Die Kontinuumshypothese

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Die Kontinuumshypothese

Erstveröffentlichung Mi 22. Mai 2013

Die Kontinuumshypothesen (CH) sind eines der zentralsten offenen Probleme in der Mengenlehre, das sowohl aus mathematischen als auch aus philosophischen Gründen wichtig ist.

Das Problem trat tatsächlich mit der Geburt der Mengenlehre auf; in vielerlei Hinsicht stimulierte es die Geburt der Mengenlehre. 1874 hatte Cantor gezeigt, dass es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den natürlichen Zahlen und den algebraischen Zahlen gibt. Überraschenderweise zeigte er, dass es keine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen gibt. Ausgehend von der Existenz einer Eins-zu-Eins-Entsprechung als Kriterium dafür, wann zwei Sätze dieselbe Größe haben (was er sicherlich bis 1878 getan hat), zeigt dieses Ergebnis, dass es mehr als eine Unendlichkeitsebene gibt und somit die höhere hervorgebracht hat unendlich in der Mathematik. Cantor versuchte sofort festzustellen, ob es unendlich viele reelle Zahlen von mittlerer Größe gab, d. H.ob es eine unendliche Menge von reellen Zahlen gab, die nicht in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen und nicht in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den reellen Zahlen gebracht werden konnten. Die Kontinuumshypothese (unter einer Formulierung) ist einfach die Aussage, dass es keine solche Menge von reellen Zahlen gibt. Durch seinen Versuch, diese Hypothese zu beweisen, entwickelte Cantor die Mengenlehre zu einem hoch entwickelten Zweig der Mathematik.[1]

Trotz seiner Bemühungen konnte Cantor CH nicht lösen. Das Problem bestand und wurde so wichtig durch Hilbert ausgegangen, dass er es zuerst auf seine berühmte Liste der offenen Probleme gestellt von der 20 konfrontiert werden th Jahrhundert. Hilbert kämpfte auch darum, CH wieder ohne Erfolg zu lösen. Letztendlich wurde dieser Mangel an Fortschritt durch die kombinierten Ergebnisse von Gödel und Cohen erklärt, die zusammen zeigten, dass CH nicht auf der Grundlage der Axiome gelöst werden kann, die Mathematiker verwendeten; In modernen Begriffen ist CH unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, die mit dem Axiom of Choice (ZFC) erweitert wurde.

Diesem Unabhängigkeitsergebnis folgten schnell viele andere. Die Unabhängigkeitstechniken waren so mächtig, dass sich Set-Theoretiker bald mit dem metatheoretischen Unternehmen beschäftigten, zu beweisen, dass bestimmte grundlegende Aussagen innerhalb von ZFC nicht bewiesen oder widerlegt werden konnten. Es stellte sich dann die Frage, ob es Möglichkeiten gibt, die unabhängigen Aussagen zu regeln. Die Gemeinschaft der Mathematiker und Philosophen der Mathematik war in dieser Frage weitgehend gespalten. Die Pluralisten (wie Cohen) behaupteten, dass die Ergebnisse der Unabhängigkeit die Frage effektiv regelten, indem sie zeigten, dass sie keine Antwort hatten. Aus dieser Sicht könnte man ein System einführen, in demSagen wir, CH war ein Axiom und man könnte ein System übernehmen, in dem ¬CH ein Axiom war und das das Ende der Sache war - es gab keine Frage, welche von zwei inkompatiblen Erweiterungen die „richtige“war. Die Nicht-Pluralisten (wie Gödel) vertraten die Auffassung, dass die Ergebnisse der Unabhängigkeit lediglich auf den Mangel an Mitteln zur Umschreibung der mathematischen Wahrheit hinweisen. Aus dieser Sicht waren neue Axiome erforderlich, Axiome, die sowohl gerechtfertigt als auch für die Aufgabe ausreichend sind. Gödel ging sogar noch weiter und schlug Kandidaten für neue Axiome vor - große Kardinalaxiome - und er vermutete, dass sie CH regeln würden. Gödel ging sogar noch weiter und schlug Kandidaten für neue Axiome vor - große Kardinalaxiome - und er vermutete, dass sie CH regeln würden. Gödel ging sogar noch weiter und schlug Kandidaten für neue Axiome vor - große Kardinalaxiome - und er vermutete, dass sie CH regeln würden.

Gödels Programm für große Kardinalaxiome erwies sich als bemerkenswert erfolgreich. Im Laufe der nächsten 30 Jahre wurde gezeigt, dass große Kardinalaxiome viele der Fragen klären, die sich im Zeitalter der Unabhängigkeit als unabhängig erwiesen haben. CH blieb jedoch unberührt. Die Situation stellte sich als ziemlich ironisch heraus, da am Ende gezeigt wurde (in einem Sinne, der präzisiert werden kann), dass die Standard-Axiome des großen Kardinals zwar alle Fragen der Komplexität genau unter denen von CH regeln, dies aber nicht können (durch Ergebnisse von Levy und Solovay und andere) regeln CH selbst. Bei der Wahl von CH als Testfall für sein Programm legte Gödel seinen Finger genau auf den Punkt, an dem es fehlschlägt. Aus diesem Grund spielt CH weiterhin eine zentrale Rolle bei der Suche nach neuen Axiomen.

In diesem Beitrag geben wir einen Überblick über die wichtigsten Ansätze zur Regelung von CH und diskutieren einige der wichtigsten grundlegenden Rahmenbedingungen, nach denen CH keine Antwort hat. Das Thema ist groß und wir mussten die volle Vollständigkeit in zwei Dimensionen opfern. Erstens konnten wir die wichtigsten philosophischen Fragen, die im Hintergrund liegen, nicht diskutieren. Hierzu wird der Leser auf den Eintrag „Große Kardinäle und Bestimmtheit“verwiesen, der eine allgemeine Diskussion der Unabhängigkeitsergebnisse, der Art der Axiome, der Art der Rechtfertigung und der Erfolge großer Kardinalaxiome im Bereich „unter CH“enthält.. Zweitens konnten wir nicht jeden in der Literatur enthaltenen Ansatz zu CH diskutieren. Stattdessen haben wir uns auf jene Ansätze beschränkt, die aus philosophischer Sicht am vielversprechendsten erscheinen und bei denen die Mathematik zu einem ausreichend fortgeschrittenen Zustand entwickelt wurde. In den Ansätzen, die wir diskutieren werden - Axiome erzwingen, Theorie des inneren Modells, quasi große Kardinäle -, wurde die Mathematik im Laufe von 40 Jahren auf ein sehr fortgeschrittenes Stadium gebracht. Und das hat unsere Aufgabe etwas erschwert. Wir haben versucht, die Diskussion so zugänglich wie möglich zu halten, und wir haben die technischeren Punkte in die Endnoten aufgenommen. Der Leser sollte jedoch berücksichtigen, dass wir eine Vogelperspektive präsentieren und dass der Leser für eine höhere Auflösung an jedem Punkt in die vorgeschlagenen Messwerte eintauchen sollte, die am Ende jedes Abschnitts erscheinen. In den Ansätzen, die wir diskutieren werden - Axiome erzwingen, Theorie des inneren Modells, quasi große Kardinäle -, wurde die Mathematik im Laufe von 40 Jahren auf ein sehr fortgeschrittenes Stadium gebracht. Und das hat unsere Aufgabe etwas erschwert. Wir haben versucht, die Diskussion so zugänglich wie möglich zu halten, und wir haben die technischeren Punkte in die Endnoten aufgenommen. Der Leser sollte jedoch berücksichtigen, dass wir eine Vogelperspektive präsentieren und dass der Leser für eine höhere Auflösung an jedem Punkt in die vorgeschlagenen Messwerte eintauchen sollte, die am Ende jedes Abschnitts erscheinen. In den Ansätzen, die wir diskutieren werden - Axiome erzwingen, Theorie des inneren Modells, quasi große Kardinäle -, wurde die Mathematik im Laufe von 40 Jahren auf ein sehr fortgeschrittenes Stadium gebracht. Und das hat unsere Aufgabe etwas erschwert. Wir haben versucht, die Diskussion so zugänglich wie möglich zu halten, und wir haben die technischeren Punkte in die Endnoten aufgenommen. Der Leser sollte jedoch berücksichtigen, dass wir eine Vogelperspektive präsentieren und dass der Leser für eine höhere Auflösung an jedem Punkt in die vorgeschlagenen Messwerte eintauchen sollte, die am Ende jedes Abschnitts erscheinen. Wir haben versucht, die Diskussion so zugänglich wie möglich zu halten, und wir haben die technischeren Punkte in die Endnoten aufgenommen. Der Leser sollte jedoch berücksichtigen, dass wir eine Vogelperspektive präsentieren und dass der Leser für eine höhere Auflösung an jedem Punkt in die vorgeschlagenen Messwerte eintauchen sollte, die am Ende jedes Abschnitts erscheinen. Wir haben versucht, die Diskussion so zugänglich wie möglich zu halten, und wir haben die technischeren Punkte in die Endnoten aufgenommen. Der Leser sollte jedoch berücksichtigen, dass wir eine Vogelperspektive präsentieren und dass der Leser für eine höhere Auflösung an jedem Punkt in die vorgeschlagenen Messwerte eintauchen sollte, die am Ende jedes Abschnitts erscheinen.[2]

Es gibt zwei Arten von Ansätzen für neue Axiome - den lokalen und den globalen Ansatz. Beim lokalen Ansatz sucht man nach Axiomen, die Fragen zu einem spezifizierbaren Fragment des Universums beantworten, wie Vω + 1 oder Vω + 2, wo CH liegt. Beim globalen Ansatz sucht man nach Axiomen, die versuchen, die gesamte Struktur des Universums der Mengen zu beleuchten. Der globale Ansatz ist deutlich herausfordernder. In diesem Beitrag werden wir mit dem lokalen Ansatz beginnen und gegen Ende kurz auf den globalen Ansatz eingehen.

Hier ist eine Übersicht über den Eintrag: Abschnitt 1 untersucht die Ergebnisse der Unabhängigkeit in der Kardinalarithmetik und deckt sowohl den Fall regulärer Kardinäle (wo CH liegt) als auch singulärer Kardinäle ab. In Abschnitt 2 werden Ansätze für CH betrachtet, bei denen nacheinander eine Hierarchie von Annäherungen an CH überprüft wird, von denen jede eine „effektive“Version von CH ist. Dieser Ansatz führte zu der bemerkenswerten Entdeckung von Woodin, dass es möglich ist (in Gegenwart großer Kardinäle), ein wirksames Versagen von CH zu haben, was zeigt, dass das wirksame Versagen von CH (in Bezug auf große Kardinalaxiome) ebenso unlösbar ist wie CH selbst. Abschnitt 3 setzt die Entwicklungen fort, die sich aus dieser Entdeckung ergeben haben. Das Herzstück der Diskussion ist die Entdeckung eines „kanonischen“Modells, bei dem CH versagt. Dies bildete die Grundlage für ein Netzwerk von Ergebnissen, das Woodin gemeinsam als Argument für das Scheitern von CH vorstellte. Um diesen Fall in der optimiertesten Form darzustellen, führen wir die starke Logik Ω-Logik ein. Abschnitt 4 greift die konkurrierende grundlegende Ansicht auf, dass es keine Lösung für CH gibt. Diese Sichtweise wird im Hinblick auf die generische multiverse Konzeption der Wahrheit geschärft und diese Sichtweise wird dann hinterfragt. Abschnitt 5 setzt die Bewertung des Falls für ¬CH fort, indem ein paralleler Fall für CH untersucht wird. In den verbleibenden zwei Abschnitten wenden wir uns dem globalen Ansatz für neue Axiome zu, und hier werden wir viel kürzer sein. In Abschnitt 6 wird der Ansatz durch die Theorie des inneren Modells erörtert. In Abschnitt 7 wird der Ansatz anhand von quasi großen Kardinalaxiomen erörtert. Um diesen Fall in der optimiertesten Form darzustellen, führen wir die starke Logik Ω-Logik ein. Abschnitt 4 greift die konkurrierende grundlegende Ansicht auf, dass es keine Lösung für CH gibt. Diese Sichtweise wird im Hinblick auf die generische multiverse Konzeption der Wahrheit geschärft und diese Sichtweise wird dann hinterfragt. Abschnitt 5 setzt die Bewertung des Falls für ¬CH fort, indem ein paralleler Fall für CH untersucht wird. In den verbleibenden zwei Abschnitten wenden wir uns dem globalen Ansatz für neue Axiome zu, und hier werden wir viel kürzer sein. In Abschnitt 6 wird der Ansatz durch die Theorie des inneren Modells erörtert. In Abschnitt 7 wird der Ansatz anhand von quasi großen Kardinalaxiomen erörtert. Um diesen Fall in der optimiertesten Form darzustellen, führen wir die starke Logik Ω-Logik ein. Abschnitt 4 greift die konkurrierende grundlegende Ansicht auf, dass es keine Lösung für CH gibt. Diese Sichtweise wird im Hinblick auf die generische multiverse Konzeption der Wahrheit geschärft und diese Sichtweise wird dann hinterfragt. Abschnitt 5 setzt die Bewertung des Falls für ¬CH fort, indem ein paralleler Fall für CH untersucht wird. In den verbleibenden zwei Abschnitten wenden wir uns dem globalen Ansatz für neue Axiome zu, und hier werden wir viel kürzer sein. In Abschnitt 6 wird der Ansatz durch die Theorie des inneren Modells erörtert. In Abschnitt 7 wird der Ansatz anhand von quasi großen Kardinalaxiomen erörtert. Abschnitt 5 setzt die Bewertung des Falls für ¬CH fort, indem ein paralleler Fall für CH untersucht wird. In den verbleibenden zwei Abschnitten wenden wir uns dem globalen Ansatz für neue Axiome zu, und hier werden wir viel kürzer sein. In Abschnitt 6 wird der Ansatz durch die Theorie des inneren Modells erörtert. In Abschnitt 7 wird der Ansatz anhand von quasi großen Kardinalaxiomen erörtert. Abschnitt 5 setzt die Bewertung des Falls für ¬CH fort, indem ein paralleler Fall für CH untersucht wird. In den verbleibenden zwei Abschnitten wenden wir uns dem globalen Ansatz für neue Axiome zu, und hier werden wir viel kürzer sein. In Abschnitt 6 wird der Ansatz durch die Theorie des inneren Modells erörtert. In Abschnitt 7 wird der Ansatz anhand von quasi großen Kardinalaxiomen erörtert.

  • 1 Unabhängigkeit in der Kardinalarithmetik

    • 1.1 Regelmäßige Kardinäle
    • 1.2 Singuläre Kardinäle
  • 2 Definierbare Versionen der Kontinuumshypothese und ihrer Negation

    • 2.1 Drei Versionen
    • 2.2 Das Foreman-Magidor-Programm
  • 3 Der Fall für ¬CH

    • 3,1 ℙ max
    • 3,2 Ω-Logik
    • 3.3 Der Fall
  • 4 Das Multiversum

    • 4.1 Breite Multiversum-Ansichten
    • 4.2 Das generische Multiversum
    • 4.3 Die Ω-Vermutung und das generische Multiversum
    • 4.4 Gibt es einen Ausweg?
  • 5 Der lokale Fall überarbeitet

    • 5.1 Der Fall für ¬CH
    • 5.2 Der Parallelfall für CH
    • 5.3 Bewertung
  • 6 Das ultimative innere Modell
  • 7 Die Strukturtheorie von L (V λ + 1)
  • Literaturverzeichnis
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Unabhängigkeit in der Kardinalarithmetik

In diesem Abschnitt werden wir die Unabhängigkeitsergebnisse in der Kardinalarithmetik diskutieren. Zunächst werden wir den Fall der regulären Kardinäle behandeln, bei denen CH liegt und bei denen im Kontext von ZFC nur sehr wenig bestimmt wird. Zweitens werden wir der Vollständigkeit halber den Fall der singulären Kardinäle erörtern, bei denen im Kontext von ZFC noch viel mehr festgestellt werden kann.

1.1 Regelmäßige Kardinäle

Die Addition und Multiplikation von unendlichen Kardinalzahlen ist trivial: Für unendliche Kardinäle κ und λ,

κ + λ = κ ⋅ λ = max {κ, λ}.

Die Situation wird interessant, wenn man sich der Potenzierung und dem Versuch zuwendet, κ λ für unendliche Kardinäle zu berechnen.

Zu Beginn der Mengenlehre zeigte Cantor, dass für jeden Kardinal κ,

2 κ > κ.

Es gibt kein Rätsel um die Größe von 2 n für endliches n. Die erste natürliche Frage ist dann, wo sich 2 0 in der Aleph-Hierarchie befindet: Ist es ℵ 1, ℵ 2,…, ℵ 17 oder etwas viel Größeres ?

Der Kardinal 2 0 ist wichtig, da er die Größe des Kontinuums (die Menge der reellen Zahlen) hat. Cantors berühmte Kontinuumshypothese (CH) ist die Aussage, dass 2 0 = ℵ 1 ist. Dies ist ein Sonderfall der generalisierten Kontinuumshypothese (GCH), die besagt, dass für alle α 2 α = ℵ α + 1 gilt. Eine Tugend von GCH ist, dass es eine vollständige Lösung für das Problem der Berechnung von κ λ für unendliche Kardinäle gibt: Angenommen, GCH, wenn κ ≤ λ, dann ist κ λ = λ +; wenn cf (κ) ≤ λ ≤ κ ist, dann ist κ λ = κ +; und wenn λ <cf (κ) ist, dann ist κ λ = κ.

Bei CH und GCH wurden nur sehr geringe Fortschritte erzielt. Tatsächlich war in der frühen Ära der Mengenlehre der einzige andere Fortschritt, der über Cantors Ergebnis hinausging, dass 2 κ > κ (und das triviale Ergebnis, dass wenn κ ≤ λ, dann 2 κ ≤ 2 λ) das Ergebnis von König war, dass cf (2 κ) > κ. Die Erklärung für den mangelnden Fortschritt lieferten die Ergebnisse der Unabhängigkeit in der Mengenlehre:

Satz 1.1 (Gödel 1938a, 1938b).
Angenommen, ZFC ist konsistent. Dann sind ZFC + CH und ZFC + GCH konsistent.

Um dies zu beweisen, erfand Gödel die Methode der inneren Modelle - er zeigte, dass CH und GCH im minimalen inneren Modell L von ZFC gehalten wurden. Cohen ergänzte dieses Ergebnis:

Satz 1.2 (Cohen 1963).
Angenommen, ZFC ist konsistent. Dann sind ZFC + ¬CH und ZFC + ¬GCH konsistent.

Er tat dies, indem er die Methode der äußeren Modelle erfand und zeigte, dass CH in einer generischen Erweiterung V B von V versagte. Die kombinierten Ergebnisse von Gödel und Cohen zeigen somit, dass es unter der Annahme der Konsistenz von ZFC grundsätzlich unmöglich ist, CH oder GCH in ZFC abzuscheiden.

Im Herbst 1963 vervollständigte Easton das Bild, indem er zeigte, dass für unendliche reguläre Kardinäle κ die einzigen Einschränkungen für die Funktion κ ↦ 2 κ, die in ZFC nachweisbar sind, die triviale Einschränkung und die Ergebnisse von Cantor und König sind:

Satz 1.3 (Easton 1963).

Angenommen, ZFC ist konsistent. Angenommen, F ist eine (definierbare Klassen-) Funktion, die für unendliche reguläre Kardinäle definiert ist, so dass

  1. wenn κ ≤ λ, dann ist F (κ) ≤ F (λ),
  2. F (κ)> κ und
  3. vgl. (F (κ))> κ.
Dann ist ZFC + "Für alle unendlichen regulären Kardinäle κ, 2 κ = F (κ)" konsistent.

So hatten Mengen-Theoretiker die Kardinalarithmetik regulärer Kardinäle so weit vorangetrieben, wie es innerhalb der Grenzen von ZFC möglich war.

1.2 Singuläre Kardinäle

Der Fall der Kardinalarithmetik bei einzelnen Kardinälen ist viel subtiler. Der Vollständigkeit halber machen wir eine kurze Pause, um dies zu diskutieren, bevor wir mit der Kontinuumshypothese fortfahren.

Es wurde allgemein angenommen, dass, wie im Fall von regulären Kardinälen, das Verhalten der Funktion κ ↦ 2 κ innerhalb der Einstellung von ZFC relativ uneingeschränkt sein würde. Aber dann bewies Silber das folgende bemerkenswerte Ergebnis: [3]

Satz 1.4 (Silber 1974).
Wenn ℵ δ ein singulärer Kardinal von unzähliger Kofinalität ist, dann gilt GCH bei ℵ δ, wenn GCH unter ℵ δ liegt.

Es stellt sich heraus, dass (nach einem tiefen Ergebnis von Magidor, veröffentlicht 1977) GCH zuerst bei ℵ ω versagen kann (unter der Annahme der Konsistenz eines superkompakten Kardinals). Der Satz von Silber zeigt, dass er nicht zuerst bei ℵ ω 1 versagen kann, und dies ist in ZFC beweisbar.

Dies wirft die Frage auf, ob man die Größe von 2 δ mit einer schwächeren Annahme "steuern" kann als dass ℵ δ ein singulärer Kardinal von unzähliger Kofinalität ist, so dass GCH unter ℵ δ liegt. Die natürliche Hypothese, die zu berücksichtigen ist, ist, dass ℵ δ ein singulärer Kardinal von unzähliger Cofinalität ist, der ein starker Grenzkardinal ist, dh für alle α <ℵ δ, 2 α <ℵ δ. 1975 haben Galvin und Hajnal (unter anderem) bewiesen, dass unter dieser schwächeren Annahme tatsächlich eine Grenze besteht:

Satz 1.5 (Galvin und Hajnal 1975).

Wenn ℵ δ ein singulärer starker Grenzkardinal von unzähliger Kofinalität ist, dann

2 δ <ℵ (| δ | cf (δ)) +.

Es ist möglich, dass es einen Sprung gibt, Woodin hat gezeigt (wieder unter der Annahme großer Kardinäle), dass es möglich ist, dass für alle κ 2 κ = κ ++. Was der obige Satz zeigt, ist, dass es in ZFC eine nachweisbare Grenze dafür gibt, wie groß der Sprung sein kann.

Die nächste Frage ist, ob eine ähnliche Situation bei einzelnen Kardinälen mit zählbarer Kofinalität herrscht. 1978 zeigte Shelah, dass dies tatsächlich der Fall ist. Um Ideen zu fixieren, konzentrieren wir uns auf ℵ ω.

Satz 1.6 (Shelah 1978).

Wenn ℵ ω ein starker Grenzkardinal ist, dann

2 ω <ℵ (2 0) +.

Ein Nachteil dieses Ergebnisses besteht darin, dass die Grenze für die tatsächliche Größe von 2 0 empfindlich ist, was alles unter ℵ ω sein kann. Bemerkenswerterweise konnte Shelah dies später mit der Entwicklung seiner PCF-Theorie (mögliche Kofinalitäten) beheben. Ein sehr zitierfähiges Ergebnis dieser Theorie ist das Folgende:

Satz 1.7 (Shelah 1982).

Wenn ℵ ω ein starker Grenzkardinal ist, dann (unabhängig von der Größe von 2 0)

2 ω <ℵ ω 4.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass, obwohl die Kontinuumsfunktion bei regulären Kardinälen in ZFC relativ uneingeschränkt ist, die Kontinuumsfunktion bei singulären Kardinälen (nachweislich in ZFC) durch das Verhalten der Kontinuumsfunktion bei kleineren Kardinälen in signifikanter Weise eingeschränkt wird.

Weiterführende Literatur: Für mehr Kardinalarithmetik siehe Jech (2003). Für weitere Informationen zum Fall der singulären Kardinäle und der PCF-Theorie siehe Abraham & Magidor (2010) und Holz, Steffens & Weitz (1999).

2. Definierbare Versionen der Kontinuumshypothese und ihrer Negation

Kehren wir zur Kontinuumsfunktion regulärer Kardinäle zurück und konzentrieren uns auf den einfachsten Fall, die Größe von 2 0. Eine der ursprünglichen Herangehensweisen von Cantor an CH bestand darin, „einfache“Mengen reeller Zahlen zu untersuchen (siehe Hallett (1984), S. 3–5 und §2.3 (b)). Eines der ersten Ergebnisse in dieser Richtung ist das Cantor-Bendixson-Theorem, dass jede unendliche geschlossene Menge entweder zählbar ist oder eine perfekte Teilmenge enthält. In diesem Fall hat sie dieselbe Kardinalität wie die Menge der Realzahlen. Mit anderen Worten, CH gilt (in dieser Formulierung), wenn man seine Aufmerksamkeit auf geschlossene Mengen von Realitäten beschränkt. Im Allgemeinen sind Fragen zu „definierbaren“Realmengen leichter zu beantworten als Fragen zu beliebigen Realmengen, und dies legt nahe, definierbare Versionen der Kontinuumshypothese zu betrachten.

2.1 Drei Versionen

Es gibt drei verschiedene Formulierungen der Kontinuumshypothese - die Interpolantenversion, die gut geordnete Version und die Surjektionsversion. Diese Versionen sind in ZFC alle gleichwertig, aber wir werden eine Definierbarkeitsbeschränkung auferlegen, und in diesem Fall kann es interessante Unterschiede geben (unsere Diskussion folgt Martin (1976)). Es gibt wirklich eine Hierarchie von Begriffen der Definierbarkeit, die sich über die Borel-Hierarchie, die projektive Hierarchie, die Hierarchie in L (ℝ) und allgemeiner über die Hierarchie universeller Baire-Mengen erstreckt - und so ist jede dieser drei allgemeinen Versionen wirklich eine Hierarchie von Versionen, die jeweils einer bestimmten Ebene der Definierbarkeitshierarchie entsprechen (für eine Diskussion der Definierbarkeitshierarchie siehe §2.2.1 und §4.6 des Eintrags „Große Kardinäle und Bestimmtheit“).

2.1.1 Interpolant-Version

Die erste Formulierung von CH ist, dass es keinen Interpolanten gibt, dh es gibt keine unendliche Menge A von reellen Zahlen, so dass die Kardinalität von A genau zwischen der der natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen liegt. Um definierbare Versionen zu erhalten, wird einfach behauptet, dass es keinen "definierbaren" Interpolanten gibt, und dies führt zu einer Hierarchie definierbarer Interpolantenversionen, je nachdem, welchen Begriff der Definierbarkeit man verwendet. Genauer gesagt, für eine gegebene Punktklasse Γ in der Hierarchie definierbarer Mengen von Reals behauptet die entsprechende definierbare Interpolantenversion von CH, dass es in Γ keinen Interpolanten gibt.

Das Cantor-Bendixson-Theorem zeigt, dass es in Γ keine Interpolante gibt, wenn Γ die Punktklasse geschlossener Mengen ist, wodurch diese Version von CH verifiziert wird. Dies wurde von Suslin verbessert, der zeigte, dass diese Version von CH für Γ gilt, wobei Γ die Klasse von Σ̰11-Mengen ist. Innerhalb von ZFC kann man nicht viel weiter gehen - um stärkere Versionen zu beweisen, muss man stärkere Annahmen einbringen. Es stellt sich heraus, dass Axiome definierbarer Bestimmtheit und große Kardinalaxiome dies erreichen. Zum Beispiel zeigen die Ergebnisse von Kechris und Martin, dass, wenn die Δ̰1 n -Determinität gilt, diese Version von CH für die Punktklasse von Σ̰1n + 1 Mengen gilt. Weiter gehen, wenn man AD L (ℝ) annimmtdann gilt diese Version von CH für alle Mengen von reellen Zahlen, die in L (ℝ) erscheinen. Da diese Hypothesen aus großen Kardinalaxiomen folgen, hat man auch, dass immer stärkere große Kardinalannahmen immer stärkere Versionen dieser Version der effektiven Kontinuumshypothese sichern. In der Tat implizieren große Kardinalaxiome, dass diese Version von CH für alle Mengen von Real in der Definierbarkeitshierarchie gilt, die wir betrachten; Genauer gesagt, wenn es eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen gibt, dann gilt diese Version von CH für alle universellen Baire-Realmengen.

2.1.2 Gut geordnete Version

Die zweite Formulierung von CH besagt, dass jede Ordnung der Reals einen Ordnungstyp von weniger als ℵ 2 hat. Für eine gegebene Punktklasse Γ in der Hierarchie behauptet die entsprechende definierbare gut geordnete Version von CH, dass jede gut geordnete (durch eine Menge codierte) Ordnung in Γ einen Ordnungstyp von weniger als ℵ 2 hat.

Wiederum implizieren Axiome definierbarer Bestimmtheit und große Kardinalaxiome diese Version von CH für umfassendere Vorstellungen von Definierbarkeit. Wenn beispielsweise AD L (ℝ) gilt, gilt diese Version von CH für alle Mengen von reellen Zahlen in L (ℝ). Und wenn es eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen gibt, dann gilt diese Version von CH für alle universellen Baire-Real-Sets.

2.1.3 Surjection-Version

Die dritte Versionsformulierung von CH behauptet, dass es keine Surjektion ρ: ℝ → ℵ 2 gibt, oder äquivalent, dass es keine Vorbestellung von ℝ der Länge ℵ 2 gibt. Für eine gegebene Punktklasse Γ in der Hierarchie der Definierbarkeit behauptet die entsprechende Surjektionsversion von CH, dass es keine Surjektion ρ gibt: ℝ → ℵ 2, so dass (der Code für) ρ in Γ ist.

Hier ist die Situation interessanter. Axiome definierbarer Bestimmtheit und große Kardinalaxiome haben Einfluss auf diese Version, da sie Grenzen dafür setzen, wie lange definierbare Vorbestellungen sein können. Sei δ̰1 n das Supremum der Längen der Σ̰1 n -Prewellorderings von Reals und sei Θ L (ℝ) das Supremum der Längen von Prewellorderings von Reals, wobei die Prewellordering im Sinne von L (ℝ) definierbar ist. Es ist ein klassisches Ergebnis, dass δ̰11 = ℵ 1 ist. Martin zeigte, dass δ̰12 ≤ ℵ 2 ist und dass, wenn es einen messbaren Kardinal gibt, δ̰13 ≤ ℵ 3 ist. Kunen und Martin zeigten auch unter PD, δ̰14 ≤ ℵ 4 und Jackson zeigte, dass unter PD für jedes n <ω δ̰1 n <ℵ ω. Unter der Annahme, dass es unendlich viele Woodin-Kardinäle gibt, gelten diese Grenzen. Darüber hinaus bleiben die Grenzen unabhängig von der Größe von 2 0 bestehen. Die Frage ist natürlich, ob diese Grenzen verbessert werden können, um zu zeigen, dass die Vorbestellungen kürzer als ℵ 2 sind. 1986 initiierten Foreman und Magidor ein Programm, um dies zu etablieren. In der allgemeinsten Form wollten sie zeigen, dass große Kardinalaxiome implizierten, dass diese Version von CH für alle universellen Baire-Realmengen gilt.

2.1.4 Mögliche Auswirkung auf CH

Beachten Sie, dass im Kontext von ZFC diese drei Hierarchien von Versionen von CH alle aufeinanderfolgende Näherungen von CH sind und im Grenzfall, in dem Γ die Punktklasse aller Realmengen ist, CH entsprechen. Die Frage ist, ob diese Annäherungen einen Einblick in CH selbst geben können.

Es gibt eine Asymmetrie, auf die Martin hingewiesen hat, nämlich dass ein definierbares Gegenbeispiel zu CH ein echtes Gegenbeispiel ist, während man CH selbst berührt hat, egal wie weit man bei der Überprüfung definierbarer Versionen von CH in keinem Stadium vorgeht. Mit anderen Worten, der Definierbarkeitsansatz könnte CH widerlegen, aber nicht beweisen.

Dennoch könnte man argumentieren, dass der Definierbarkeitsansatz zwar CH nicht beweisen konnte, aber einige Beweise dafür liefern könnte. Bei den ersten beiden Versionen wissen wir jetzt, dass CH für alle definierbaren Mengen gilt. Liefert dies Hinweise auf CH? Martin wies darauf hin (bevor die vollständigen Ergebnisse bekannt waren), dass dies höchst zweifelhaft ist, da es sich jeweils um atypische Mengen handelt. In der ersten Version wird beispielsweise in jeder Phase die definierbare Version von CH gesichert, indem gezeigt wird, dass alle Mengen in der Definierbarkeitsklasse die perfekte Mengeneigenschaft haben. Solche Mengen sind jedoch insofern untypisch, als unter der Annahme von Wechselstrom leicht zu zeigen ist, dass es Mengen ohne diese Eigenschaft gibt. In der zweiten Version zeigt man in jeder Phase nicht nur, dass jede Ordnung der Reals in der Definierbarkeitsklasse einen Ordnungstyp von weniger als ℵ 2 hat, aber auch, dass es einen Auftragstyp kleiner als ℵ 1 hat. Keine dieser Versionen beleuchtet CH wirklich.

Die dritte Version hat in dieser Hinsicht tatsächlich einen Vorteil, da nicht alle Sets, mit denen sie sich befasst, untypisch sind. Während zum Beispiel alle Σ̰11-Sätze eine Länge von weniger als ℵ 1 haben, gibt es Π̰11 Sätze mit der Länge ℵ 1. Natürlich könnte sich herausstellen, dass sich die Sets selbst dann als untypisch herausstellen könnten, wenn das Foreman-Magidor-Programm erfolgreich wäre. In diesem Fall würde es wenig Licht auf CH werfen. Interessanter ist jedoch die Möglichkeit, dass es im Gegensatz zu den ersten beiden Versionen tatsächlich ein tatsächliches Gegenbeispiel zu CH liefert. Dies würde natürlich das Scheitern des Foreman-Magidor-Programms erfordern.

2.2 Das Foreman-Magidor-Programm

Das Ziel des Foreman-Magidor-Programms war es zu zeigen, dass große Kardinalaxiome auch implizierten, dass die dritte Version von CH für alle Mengen in L (ℝ) und allgemein für alle universellen Baire-Mengen gilt. Mit anderen Worten, das Ziel war zu zeigen, dass große Kardinalaxiome implizierten, dass Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 und allgemeiner, dass Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2 für jede universelle Baire-Menge A ist.

Die Motivation kam von den berühmten Ergebnisse von Foreman, Magidor Sela auf Martins Maximum (MM), die zeigten, dass unter der Annahme, große Kardinal Axiome kann man immer einen jähen ideal auf ℵ zu erhalten zwingen, 2, ohne zu kollabieren ℵ 2 (siehe Foreman, Magidor & Shelah (1988)). Das Programm umfasste eine zweiteilige Strategie:

  1. Verstärken, um dieses Ergebnis zu zeigen, dass große Kardinal unter der Annahme, Axiome man immer einen gesättigten ideal zu erhalten, auf ℵ erzwingen 2 ohne zusammenzubrechen ℵ 2.
  2. Zeigen Sie, dass die Existenz eines solchen gesättigten Ideals impliziert, dass Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 und allgemeiner Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2 für jede universelle Baire-Menge A ist.

Dies würde zeigen, dass Θ L (ℝ) ≤ ℵ 2 und allgemeiner Θ L (A, ℝ) ≤ ℵ 2 für jede universelle Baire-Menge A ist. [4]

Im Dezember 1991 zerstörte das folgende Ergebnis die Hoffnungen dieses Programms.

Satz 2.1 (Woodin).
Angenommen, das instationäre Ideal auf ℵ 1 ist gesättigt und es gibt einen messbaren Kardinal. Dann ist δ̰12 = ℵ 2.

Der Punkt ist, dass die Hypothese dieses Theorems immer unter der Annahme großer Kardinäle erzwungen werden kann. Somit ist es möglich, dass Θ L (ℝ) > ℵ 2 ist (tatsächlich ist δ̰13> ℵ 2).

Wo ist das Programm schief gelaufen? Foreman und Magidor hatten eine Annäherung an (B) und am Ende stellte sich heraus, dass (B) wahr ist.

Satz 2.2 (Woodin).
Angenommen, es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen und auf ℵ 2 ein gesättigtes Ideal. Dann für jeden A & Ggr; ∈ , Θ L (A, r) ≤ ℵ 2.

Das Problem liegt also bei (A).

Dies zeigt einen interessanten Kontrast zwischen unseren drei Versionen der effektiven Kontinuumshypothese, nämlich dass sie auseinanderfallen können. Während große Kardinäle definierbare Gegenbeispiele der ersten beiden Arten ausschließen, können sie definierbare Gegenbeispiele der dritten Art nicht ausschließen. Aber wir müssen noch einmal betonen, dass sie nicht beweisen können, dass es solche Gegenbeispiele gibt.

Es gibt jedoch einen wichtigen Punkt: Unter der Annahme großer Kardinalaxiome (AD L (ℝ) reicht aus), obwohl man äußere Modelle erzeugen kann, in denen δ̰13> ℵ 2 ist, ist derzeit nicht bekannt, wie äußere Modelle hergestellt werden sollen, in denen δ̰13> ℵ 3 oder sogar Θ L (ℝ) > ℵ 3. Somit ist es eine offene Möglichkeit, dass man aus ZFC + AD L (ℝ) Θ L (ℝ) ≤ ℵ 3 beweisen kann. Wäre dies der Fall, würde sich daraus ergeben, dass große Kardinäle zwar den definierbaren Ausfall von CH nicht ausschließen können, aber den definierbaren Ausfall von 2 0 = ℵ 2 ausschließen können. Dies könnte einen Einblick in die Größe des Kontinuums geben und die Zentralität von ℵ 2 unterstreichen.

Weiterführende Literatur: Weitere Informationen zu den drei wirksamen Versionen von CH finden Sie in Martin (1976); Weitere Informationen zum Foreman-Magidor-Programm finden Sie unter Foreman & Magidor (1995) und in der Einführung zu Woodin (1999).

3. Der Fall für ¬CH

Die obigen Ergebnisse führten Woodin zur Identifizierung eines „kanonischen“Modells, bei dem CH versagt, und dies bildete die Grundlage für sein Argument, dass CH falsch ist. In Abschnitt 3.1 werden wir das Modell beschreiben und im Rest des Abschnitts werden wir den Fall für das Versagen von CH vorstellen. In Abschnitt 3.2 werden wir die Ω-Logik und die anderen Begriffe vorstellen, die für den Fall erforderlich sind. In Abschnitt 3.3 werden wir den Fall vorstellen.

3,1 ℙ max

Das Ziel ist es, ein Modell zu finden, in dem CH falsch und kanonisch in dem Sinne ist, dass seine Theorie nicht geändert werden kann, indem in Gegenwart großer Kardinäle erzwungen wird. Die Hintergrundmotivation ist folgende: Erstens wissen wir, dass in Gegenwart großer Kardinalaxiome die Theorie der Arithmetik zweiter Ordnung und sogar die gesamte Theorie von L (ℝ) unter Mengenzwang unveränderlich ist. Die Bedeutung davon ist, dass es zeigt, dass unsere Hauptunabhängigkeitstechniken nicht verwendet werden können, um die Unabhängigkeit von Fragen zur Arithmetik zweiter Ordnung (oder zu L (ℝ)) in Gegenwart großer Kardinäle festzustellen. Zweite,Die Erfahrung hat gezeigt, dass die fraglichen großen Kardinalaxiome alle wichtigen bekannten offenen Probleme in Bezug auf Arithmetik zweiter Ordnung und L (ℝ) zu beantworten scheinen, und die Sätze, die Invarianzsätze erzwingen, geben der Behauptung, dass diese Axiome „effektiv vollständig“sind, präzisen Inhalt..[5]

Daraus folgt, dass wenn ℙ eine homogene Teilordnung in L (ℝ) ist, die generische Erweiterung L (ℝ) die generische Absolutheit von L (ℝ) erbt. Woodin entdeckte, dass es eine ganz besondere Teilreihenfolge ℙ max gibt, die diese Funktion aufweist. Darüber hinaus erfüllt das Modell L (ℝ) max ZFC + ¬CH. Das Hauptmerkmal dieses Modells ist, dass es in Bezug auf Sätze, die von einer bestimmten Komplexität sind und die durch Festlegen von Sätzen über das Modell als konsistent gezeigt werden können, „maximal“(oder „gesättigt“) ist. Mit anderen Worten, wenn diese Sätze gelten können (indem das Modell erzwungen wird), gelten sie im Modell. Um dies genauer zu formulieren, müssen wir einige eher technische Begriffe einführen.

Es gibt zwei Möglichkeiten, das Universum der Mengen zu schichten. Der erste ist in Bezug auf ⟨V α | α ∈ Auf⟩ ist die zweite in Form von ⟨H (κ) | κ ∈ Card⟩, wobei H (κ) die Menge aller Mengen ist, deren Kardinalität kleiner als κ ist und deren Mitglieder eine Kardinalität kleiner als κ haben und deren Mitglieder eine Kardinalität kleiner als κ haben, und so weiter. Beispielsweise H (ω) = V ω und die Theorien der Strukturen H (ω 1) und V ω + 1sind gegenseitig interpretierbar. Diese letztere Struktur ist die Struktur der Arithmetik zweiter Ordnung, und wie oben erwähnt, geben uns große Kardinalaxiome ein "effektiv vollständiges" Verständnis dieser Struktur. Wir möchten in Bezug auf immer größere Fragmente des Universums in der gleichen Position sein, und die Frage ist, ob wir in Bezug auf die erste oder die zweite Schichtung vorgehen sollten.

Die zweite Schichtung ist möglicherweise feinkörniger. Unter der Annahme von CH hat man, dass die Theorien von H (ω 2) und V ω + 2 gegenseitig interpretierbar sind, und unter der Annahme immer größerer Fragmente von GCH setzt sich diese Entsprechung nach oben fort. Wenn CH jedoch falsch ist, ist die Struktur H (& ohgr; 2) weniger reich als die Struktur V & ohgr; 2. In diesem Fall erfasst die letztere Struktur die vollständige Arithmetik dritter Ordnung, während die erstere nur ein kleines Fragment der Arithmetik dritter Ordnung erfasst, aber dennoch reich genug ist, um CH auszudrücken. In Anbetracht dessen ist es sinnvoll, die potenziell feinkörnigere Schichtung zu verwenden, um zu versuchen, das Universum der Mengen zu verstehen, indem man es Ebene für Ebene durcharbeitet.

Unser nächster Schritt ist daher, H (ω 2) zu verstehen. Es stellt sich tatsächlich heraus, dass wir etwas mehr verstehen können und dies ist etwas technisch. Wir mit der Struktur betroffen werden ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A G ⟩ ⊧ φ, wobei I NS ist die nicht-stationäre ideal auf ω 1 und A G ist die Interpretation (die kanonischen Darstellung) eine Menge von Real A in L (ℝ). Die Details werden nicht wichtig sein und der Leser wird gebeten, nur an H (ω 2) zusammen mit einigen „zusätzlichen Dingen“zu denken und sich nicht um die Details bezüglich der zusätzlichen Dinge zu kümmern. [6]

Wir sind jetzt in der Lage, das Hauptergebnis anzugeben:

Satz 3.1 (Woodin 1999).

Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ) und φ ist ein Π 2- Satz (in der erweiterten Sprache mit zwei zusätzlichen Prädikaten) und es gibt eine Menge, die die Erweiterung V [G] erzwingt, so dass

⟨H (ω 2), ∈, I NS, A G ⟩ ⊧ φ

(wobei A G die Interpretation von A in V [G] ist). Dann

L (ℝ) max ⊧ "⟨H (ω 2), ∈, I NS, A⟩ ⊧ φ".

Es gibt zwei Schlüsselpunkte: Erstens ist die Theorie von L (ℝ) max in dem Sinne „effektiv vollständig“, dass sie unter Mengenzwang unveränderlich ist. Zweitens ist das Modell L (ℝ) max "maximal" (oder "gesättigt") in dem Sinne, dass es alle Π 2 -Sätze (über die relevante Struktur) erfüllt, die möglicherweise gelten können (in dem Sinne, dass sie gezeigt werden können) konsistent sein, indem das Modell erzwungen wird).

Man möchte die Theorie dieser Struktur durch Axiomatisierung in den Griff bekommen. Das relevante Axiom ist das Folgende:

Definition 3.2 (Woodin 1999).
Axiom (∗): AD L (ℝ) gilt und L (P (ω 1)) ist eine ℙ max- generische Erweiterung von L (ℝ).

Schließlich setzt dieses Axiom CH fest:

Satz 3.3 (Woodin 1999).
Angenommen (∗). Dann ist 2 ω = ℵ 2.

3,2 Ω-Logik

Wir werden nun die obigen Ergebnisse in Bezug auf eine starke Logik neu formulieren. Wir werden große Kardinalaxiome voll ausnutzen und in dieser Situation sind wir an Logiken interessiert, die sich in dem Sinne „gut benehmen“, dass die Frage, was impliziert, was nicht radikal unabhängig ist. Beispielsweise ist bekannt, dass CH in vollständiger Logik zweiter Ordnung ausgedrückt werden kann. Daraus folgt, dass man in Gegenwart großer Kardinäle immer Set Forcing verwenden kann, um den Wahrheitswert einer angeblichen logischen Gültigkeit der vollständigen Logik zweiter Ordnung umzudrehen. Es gibt jedoch starke Logiken wie ω-Logik und β-Logik, die dieses Merkmal nicht aufweisen. Sie verhalten sich in dem Sinne gut, dass bei großen Kardinalaxiomen die Frage gestellt wird, was impliziert, was nicht durch Mengen geändert werden kann erzwingen. Wir werden eine sehr starke Logik einführen, die diese Funktion-Ω-Logik hat. Eigentlich,Die Logik, die wir einführen werden, kann als die stärkste Logik mit dieser Funktion charakterisiert werden (siehe Koellner (2010) für eine weitere Diskussion der starken Logik und für eine genaue Darstellung dieses Ergebnisses).

3.2.1 Ω-Logik

Definition 3.4.
Angenommen, T ist eine zählbare Theorie in der Sprache der Mengenlehre und φ ist ein Satz. Dann

T ⊧ Ω φ

wenn für alle vollständigen Booleschen Algebren B und für alle Ordnungszahlen α,

wenn VB α ⊧ T ist, dann ist VB α ⊧ φ.

Wir sagen, dass eine Aussage φ Ω-erfüllbar ist, wenn es eine Ordnungszahl α und eine vollständige Boolesche Algebra B gibt, so dass VB α ⊧ φ ist, und wir sagen, dass φ Ω- gültig ist, wenn ∅ ⊧ Ω φ. Der obige Satz besagt also, dass (unter unseren Hintergrundannahmen) die Aussage „φ ist Ω-erfüllbar“generisch unveränderlich ist und in Bezug auf die Ω-Gültigkeit einfach die folgende ist:

Satz 3.5 (Woodin 1999).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, T ist eine zählbare Theorie in der Sprache der Mengenlehre und φ ist ein Satz. Dann für alle vollständigen Booleschen Algebren B,

T ⊧ Ω φ iff V B ⊧ "T ⊧ Ω φ."

Somit ist diese Logik insofern robust, als die Frage, was impliziert, was unter gesetztem Forcen invariant ist.

3.2.2 Die Ω-Vermutung

Entsprechend der semantischen Beziehung ⊧ Ω gibt es eine quasi-syntaktische Beweisrelation ⊢ Ω. Die „Beweise“sind bestimmte robuste Mengen von Real (universell Baire-Mengen von Real), und die Teststrukturen sind Modelle, die unter diesen Beweisen „geschlossen“sind. Die genauen Begriffe „Schließung“und „Beweis“sind etwas technisch und werden daher stillschweigend behandelt. [7]

Wie die semantische Beziehung ist diese quasi-syntaktische Beweisbeziehung unter großen Kardinalannahmen robust:

Satz 3.6 (Woodin 1999).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, T ist eine zählbare Theorie in der Sprache der Mengenlehre, φ ist ein Satz und B ist eine vollständige Boolesche Algebra. Dann

T ⊢ Ω φ iff V B ⊧ 'T ⊢ Ω φ'.

Wir haben also eine semantische Konsequenzrelation und eine quasi-syntaktische Beweisrelation, die beide unter der Annahme großer Kardinalaxiome robust sind. Es ist natürlich zu fragen, ob die Soliditäts- und Vollständigkeitssätze für diese Beziehungen gelten. Es ist bekannt, dass der Satz der Solidität gilt:

Satz 3.7 (Woodin 1999).
Angenommen, ZFC. Angenommen, T ist eine zählbare Theorie in der Sprache der Mengenlehre und φ ist ein Satz. Wenn T ⊢ Ω φ ist, dann ist T ⊧ Ω φ.

Es ist offen, ob der entsprechende Vollständigkeitssatz gilt. Die Ω-Vermutung ist einfach die Behauptung, dass dies der Fall ist:

Vermutung 3.8Vermutung).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Dann für jeden Satz φ,

∅ ⊧ Ω φ iff ∅ Ω Ω φ.

Wir werden eine starke Form dieser Vermutung brauchen, die wir die starke Ω-Vermutung nennen werden. Es ist etwas technisch und so werden wir es schweigend übergehen. [8]

3.2.3 Ω-vollständige Theorien

Erinnern Sie sich daran, dass eine Schlüsseltugend großer Kardinalaxiome darin besteht, dass sie die Theorie der Arithmetik zweiter Ordnung (und tatsächlich die Theorie von L (ℝ) und mehr) in dem Sinne „effektiv festlegen“, dass sie in Gegenwart großer Kardinäle vorliegt kann die Methode des Forcierens nicht verwenden, um die Unabhängigkeit in Bezug auf Aussagen über L (ℝ) herzustellen. Dieser Begriff der Invarianz unter Set Forcing spielte in Abschnitt 3.1 eine Schlüsselrolle. Wir können diesen Begriff nun in Ω-Logik umformulieren.

Definition 3.9.
Eine Theorie T ist Ω-vollständig für eine Sammlung von Sätzen Γ, wenn für jedes φ ∈ Γ T ⊧ Ω φ oder T ⊧ Ω ¬φ.

Die Invarianz der Theorie von L (ℝ) unter Mengenzwang kann nun wie folgt umformuliert werden:

Satz 3.10 (Woodin 1999).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Dann ist ZFC Ω-vollständig für die Sammlung von Sätzen der Form „L (ℝ) ⊧ φ“.

Leider folgt aus einer Reihe von Ergebnissen, die aus Arbeiten von Levy und Solovay stammen, dass traditionelle große Kardinalaxiome keine Ω-vollständigen Theorien auf der Ebene von Σ21 liefern, da man immer einen „kleinen“(und damit großen kardinalen Erhalt) Antrieb verwenden kann den Wahrheitswert von CH zu ändern.

Satz 3.11.
Angenommen, L ist ein normales großes Kardinalaxiom. Dann ist ZFC + L für Σ21 nicht Ω-vollständig.

3.3 Der Fall

Wenn man jedoch große Kardinalaxiome ergänzt, gibt es Ω-vollständige Theorien. Dies ist das Herzstück des Falls gegen CH.

Satz 3.12 (Woodin).
Angenommen, es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen und die starke Ω-Vermutung gilt.
  1. Es gibt ein Axiom A, so dass

    1. ZFC + A ist Ω-erfüllbar und
    2. ZFC + A ist für die Struktur H (ω 2) Ω-vollständig.
  2. Jedes solche Axiom A hat die Eigenschaft, dass

    ZFC + A ⊧ Ω 'H (ω 2) ⊧ ¬CH'.

Formulieren wir dies wie folgt: Für jedes A, das (1) erfüllt, sei

T A = {φ | ZFC + A ⊧ Ω 'H (ω 2) ⊧ ¬φ'}.

Der Satz besagt, dass, wenn es eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen gibt und die Ω-Vermutung gilt, es (nicht triviale) Ω-vollständige Theorien T A von H (ω 2) gibt und alle diese Theorien ¬CH enthalten.

Es ist natürlich zu fragen, ob es eine größere Übereinstimmung zwischen den Ω-vollständigen Theorien T A gibt. Im Idealfall würde es nur einen geben. Ein aktuelles Ergebnis (basierend auf Satz 5.5) zeigt, dass es viele solcher Theorien gibt, wenn es eine solche Theorie gibt.

Satz 3.13 (Koellner und Woodin 2009).
Angenommen, es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, A ist ein Axiom, so dass

ich. ZFC + A ist Ω-zufriedenstellend und

ii. ZFC + A ist für die Struktur H (ω 2) Ω-vollständig.

Dann gibt es ein Axiom B, so dass

ich'. ZFC + B ist Ω-erfüllbar und

ii '. ZFC + B ist für die Struktur H (ω 2) Ω-vollständig.

und T A ≠ T B.

Wie soll man dann aus diesen Theorien auswählen? Woodins Arbeit in diesem Bereich geht weit über Satz 5.1 hinaus. Zusätzlich zur Isolierung eines Axioms, das (1) von Satz 5.1 erfüllt (unter der Annahme einer Ω-Erfüllbarkeit), isoliert er ein ganz besonderes Axiom, nämlich das zuvor erwähnte Axiom (∗) („Stern“).

Dieses Axiom kann ausgedrückt werden als (der Beweisbarkeitsbegriff von) Ω-Logik:

Satz 3.14 (Woodin).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Dann sind folgende äquivalent:
  1. (∗).
  2. Für jeden Π 2 -Satz φ in der Sprache für die Struktur

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ∈ (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

    wenn

    ZFC + “⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ∈ (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

    ist dann Ω-konsistent

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ∈ (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Daraus folgt, dass von den verschiedenen Theorien T A in Satz 5.1 eine auffällt: Die durch (∗) gegebene Theorie T (∗). Diese Theorie maximiert die Π 2 -Theorie der Struktur ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ∈ (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩.

Die Kontinuumshypothese schlägt in dieser Theorie fehl. Darüber hinaus ist in der durch (∗) gegebenen Maximaltheorie T (∗) die Größe des Kontinuums ℵ 2. [9]

Zusammenfassend: Unter der Annahme der starken Ω-Vermutung gibt es eine „gute“Theorie von H (ω 2), und alle diese Theorien implizieren, dass CH versagt. Darüber hinaus gibt es (wiederum unter der Annahme der starken Ω-Vermutung) eine maximale solche Theorie, und in dieser Theorie ist 2 0 = ℵ 2.

Weiterführende Literatur: Zur Mathematik zu ℙ max siehe Woodin (1999). Für eine Einführung in die Ω-Logik siehe Bagaria, Castells & Larson (2006). Weitere Informationen zu inkompatiblen Ω-vollständigen Theorien finden Sie in Koellner & Woodin (2009). Für mehr zum Fall gegen CH siehe Woodin (2001a, b, 2005a, b).

4. Das Multiversum

Der obige Fall für das Versagen von CH ist der stärkste bekannte lokale Fall für Axiome, die CH absetzen. In diesem und im nächsten Abschnitt werden wir die Seiten wechseln und die pluralistischen Argumente dahingehend betrachten, dass CH keine Antwort hat (in diesem Abschnitt) und dass es einen ebenso guten Fall für CH gibt (im nächsten Abschnitt). In den letzten beiden Abschnitten werden wir optimistische globale Szenarien untersuchen, die Hoffnung geben, das Problem zu lösen.

Der Pluralist behauptet, dass die Ergebnisse der Unabhängigkeit die unentschlossenen Fragen effektiv lösen, indem sie zeigen, dass sie keine Antwort haben. Eine Möglichkeit, einen grundlegenden Rahmen für eine solche Sichtweise zu schaffen, ist das Multiversum. Aus dieser Sicht gibt es kein einziges Universum der Mengenlehre, sondern ein Multiversum legitimer Kandidaten, von denen einige für bestimmte Zwecke anderen vorzuziehen sind, von denen jedoch keines als das „wahre“Universum bezeichnet werden kann. Das multiverse Konzept der Wahrheit ist die Ansicht, dass eine Aussage der Mengenlehre nur dann als wahrer Vereinfacher bezeichnet werden kann, wenn sie in allen Universen des Multiversums wahr ist. Für die Zwecke dieser Diskussion werden wir sagen, dass eine Aussage nach der Multiversum-Konzeption unbestimmt ist, wenn sie nach der Multiversum-Konzeption weder wahr noch falsch ist. Wie radikal eine solche Sichtweise ist, hängt von der Breite der Konzeption des Multiversums ab.

4.1 Breite Multiversum-Ansichten

Der Pluralist ist im Allgemeinen ein Nicht-Pluralist in bestimmten Bereichen der Mathematik. Zum Beispiel könnte ein strenger Finitist ein Nicht-Pluralist in Bezug auf PA sein, aber ein Pluralist in Bezug auf die Mengenlehre, und ein Nicht-Pluralist in Bezug auf ZFC und ein Pluralist in Bezug auf große Kardinalaxiome und Aussagen wie CH.

Es gibt eine Form des radikalen Pluralismus, die den Pluralismus in allen Bereichen der Mathematik befürwortet. Nach dieser Auffassung ist jede konsistente Theorie ein legitimer Kandidat, und die entsprechenden Modelle solcher Theorien sind legitime Kandidaten für den Bereich der Mathematik. Nennen wir dies die breiteste Multiversum-Sichtweise. Es ist schwierig, diese Ansicht zu artikulieren, was wie folgt herausgestellt werden kann: Zunächst muss man eine Hintergrundtheorie auswählen, in der die verschiedenen Modelle diskutiert werden, und dies führt zu einer Schwierigkeit. Zum Beispiel gibt es nach dem breiten Multiversum-Konzept Modelle von PA + ¬Con (PA), da PA Con (PA) nicht beweisen kann (nach dem zweiten Unvollständigkeitssatz unter der Annahme, dass PA konsistent ist), und diese Modelle sind legitime Kandidaten ist, sie sind Universen innerhalb des breiten Multiversums. Um zu dieser Schlussfolgerung zu gelangen, muss man (in der Hintergrundtheorie) in der Lage sein, Con (PA) zu beweisen (da diese Annahme erforderlich ist, um den zweiten Unvollständigkeitssatz in diesem speziellen Fall anzuwenden). Aus der Perspektive der Hintergrundtheorie, die verwendet wird, um zu argumentieren, dass die obigen Modelle legitime Kandidaten sind, erfüllen die fraglichen Modelle einen falschen Σ01-Satz, nämlich ¬Con (PA). Kurz gesagt, es besteht ein Mangel an Harmonie zwischen dem, was auf Metaebene gehalten wird, und dem, was auf Objektebene gehalten wird. Kurz gesagt, es besteht ein Mangel an Harmonie zwischen dem, was auf Metaebene gehalten wird, und dem, was auf Objektebene gehalten wird. Kurz gesagt, es besteht ein Mangel an Harmonie zwischen dem, was auf Metaebene gehalten wird, und dem, was auf Objektebene gehalten wird.

Der einzige Ausweg aus dieser Schwierigkeit scheint darin zu bestehen, jeden Standpunkt - jede Artikulation der Multiversum-Konzeption - als vorläufig zu betrachten und, wenn er gedrückt wird, den Pluralismus in Bezug auf die Hintergrundtheorie anzunehmen. Mit anderen Worten, man müsste eine Multiversum-Konzeption des Multiversums annehmen, eine Multiversum-Konzeption der Multiversum-Konzeption des Multiversums und so weiter bis ins Unendliche. Daraus folgt, dass eine solche Position niemals vollständig artikuliert werden kann - jedes Mal, wenn man versucht, die breite Multiversum-Konzeption zu artikulieren, muss man eine Hintergrundtheorie anwenden, aber da man ein Pluralist in Bezug auf diese Hintergrundtheorie ist, geschieht dies, indem man das breite Multiversum verwendet, um die Konzeption zu artikulieren der Vorstellung nicht voll gerecht werden. Die Position ist daher schwer zu artikulieren. Man kann sicherlich die pluralistische Haltung einnehmen und versuchen, auf die Ansicht hinzuweisen oder sie zu zeigen, die man beabsichtigt, indem man sich vorläufig auf eine bestimmte Hintergrundtheorie einlässt, aber dann den Pluralismus in dieser Hinsicht befürwortet, wenn man sie drückt. Die Ansicht ist somit so etwas wie ein „sich bewegendes Ziel“. Wir werden diese Ansicht schweigend übergehen und uns auf Ansichten konzentrieren, die innerhalb eines grundlegenden Rahmens artikuliert werden können.

Wir werden dementsprechend Ansichten betrachten, die den Nichtpluralismus in Bezug auf einen bestimmten Bereich der Mathematik und aus räumlichen Gründen umfassen, und da dies ein Eintrag in die Mengenlehre ist, werden wir die langen Debatten über strengen Finitismus, Finitismus, Prädikativismus und Start übergehen mit Ansichten, die Nicht-Pluralismus in Bezug auf ZFC umfassen.

Das breite Multiversum (basierend auf ZFC) sei die Sammlung aller ZFC-Modelle. Das breite multiverse Konzept der Wahrheit (basierend auf ZFC) ist dann einfach die Ansicht, dass eine Aussage der Mengenlehre ein wahrer Vereinfacher ist, wenn sie in ZFC beweisbar ist. Aus dieser Sicht werden die Anweisung Con (ZFC) und andere unentschlossene Π01-Anweisungen als unbestimmt eingestuft. Diese Ansicht steht somit vor einer Schwierigkeit parallel zu der oben erwähnten bezüglich des radikalen Pluralismus.

Dies motiviert die Verlagerung zu Ansichten, die die Klasse der Universen im Multiversum durch den Einsatz einer starken Logik einschränken. Zum Beispiel kann man sich auf Universen beschränken, die ω-Modelle, β-Modelle (dh gut begründet) usw. sind. In der Ansicht, in der man ω-Modelle nimmt, wird die Aussage Con (ZFC) als wahr klassifiziert (obwohl dies empfindlich ist zur Hintergrundtheorie), aber die Aussage PM (alle projektiven Mengen sind Lebesgue-messbar) wird als unbestimmt eingestuft.

Für diejenigen, die von den Argumenten (im Eintrag „Große Kardinäle und Bestimmtheit“) für große Kardinalaxiome und Axiome definierbarer Bestimmtheit überzeugt sind, sind selbst diese multiversen Vorstellungen zu schwach. Wir werden dieser Route folgen. Für den Rest dieses Beitrags werden wir uns mit dem Nicht-Pluralismus in Bezug auf große Kardinalaxiome und Axiome definierbarer Bestimmtheit befassen und uns auf die Frage der CH konzentrieren.

4.2 Das generische Multiversum

Die Motivation hinter dem generischen Multiversum besteht darin, die Argumente für große Kardinalaxiome und definierbare Bestimmtheit zu berücksichtigen, aber zu leugnen, dass Aussagen wie CH einen bestimmten Wahrheitswert haben. Um genau auf die Hintergrundtheorie einzugehen, nehmen wir ZFC + „Es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen“und erinnern uns, dass diese große Kardinalannahme Axiome definierbarer Bestimmtheit wie PD und AD L (ℝ) sichert.

Das generische Multiversum ? sei das Ergebnis des Schließens von V unter generischen Erweiterungen und generischen Verfeinerungen. Eine Möglichkeit, dies zu formalisieren, besteht darin, einen externen Standpunkt einzunehmen und mit einem zählbaren transitiven Modell M zu beginnen. Das auf M basierende generische Multiversum ist dann die kleinste Menge ? M, so dass M ∈ ∈ M und für jedes Paar zählbarer transitiver Modelle (N, N [G]), so dass N ⊧ ZFC und G ⊆ ℙ N-generisch sind einige partielle Ordnung in ℙ ∈ N, wenn entweder N oder N [G] in ? ist M dann beide N und N [G] sind in ? M.

Die generische Multiversum-Auffassung von Wahrheit sei die Ansicht, dass eine Aussage ein wahrer Vereinfacher ist, wenn sie in allen Universen des generischen Multiversums wahr ist. Wir werden eine solche Aussage eine generische multiverse Wahrheit nennen. Eine Aussage gilt nach der generischen Multiversum-Konzeption als unbestimmt, wenn sie nach der generischen Multiversum-Konzeption weder wahr noch falsch ist. Unter Berücksichtigung unserer großen Kardinalannahmen hält eine solche Ansicht beispielsweise PM (und PD und AD L (ℝ)) für wahr, hält CH jedoch für unbestimmt.

4.3 Die Ω-Vermutung und das generische Multiversum

Ist die generische multiverse Auffassung von Wahrheit haltbar? Die Antwort auf diese Frage hängt eng mit dem Thema Ω-Logik zusammen. Die grundlegende Verbindung zwischen der generischen Multiversum-Wahrheit und der Ω-Logik ist im folgenden Satz enthalten:

Satz 4.1 (Woodin).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Dann sind für jede Π 2 -Anweisung φ die folgenden äquivalent:
  1. φ ist eine generische multiverse Wahrheit.
  2. φ ist Ω-gültig.

Denken Sie nun daran, dass nach Satz 3.5 unter unseren Hintergrundannahmen die Ω-Gültigkeit generisch unveränderlich ist. Daraus folgt, dass angesichts unserer Hintergrundtheorie der Begriff der generischen Multiversum-Wahrheit in Bezug auf Π 2 -Statements robust ist. Insbesondere für Π 2 -Anweisungen ist die Aussage „φ ist unbestimmt“selbst gemäß der generischen Multiversum-Konzeption bestimmt. In diesem Sinne ist die Vorstellung von Wahrheit nicht „selbst untergraben“und man wird nicht in eine Abwärtsspirale geschickt, in der man Multiversen von Multiversen betrachten muss. Es besteht also den ersten Test. Ob es einen anspruchsvolleren Test besteht, hängt von der Ω-Vermutung ab.

Die Ω-Vermutung hat tiefgreifende Konsequenzen für die generische multiverse Wahrheitsauffassung. Lassen

? Ω = {φ | ∅ ⊧ Ω φ}

und für jeden spezifizierbaren Kardinal κ sei

? Ω (H (κ +)) = {φ | ZFC ⊧ Ω "H (κ +) ⊧ φ"},

wobei daran erinnert wird, dass H (κ +) die Sammlung von Mengen erblicher Kardinalität ist, die kleiner als κ + sind. Unter der Annahme von ZFC und der Annahme einer geeigneten Klasse von Woodin-Kardinälen entspricht die Menge ? Ω der Menge von Π 2 generischen Multiversum-Wahrheiten, und die Menge ? Ω (H (κ +)) ist genau die Menge von generischen Multiversen Wahrheiten von H (κ +).

Um die Bedeutung der Ω-Vermutung für die generisch-multiverse Wahrheitskonzeption zu beschreiben, führen wir zwei Transzendenzprinzipien ein, die als Einschränkungen für jede haltbare Wahrheitskonzeption in der Mengenlehre dienen - eine Wahrheitsbeschränkung und eine Definierbarkeitsbeschränkung.

Definition 4.2 (Wahrheitsbeschränkung).
Jede haltbare multiverse Konzeption der Wahrheit in der Mengenlehre muss so sein, dass die Π 2 -Wahrheiten (gemäß dieser Konzeption) im Universum der Mengen in den Wahrheiten über H (κ) (gemäß dieser Konzeption) für jede Spezifizierbarkeit nicht rekursiv sind Kardinal.

Diese Einschränkung entspricht den Prinzipien der Mengenlehre - insbesondere der Reflexionsprinzipien -, die darauf abzielen, die pretheoretische Idee zu erfassen, dass das Universum der Mengen so reich ist, dass es nicht „von unten beschrieben“werden kann. Genauer gesagt wird behauptet, dass jede haltbare Vorstellung von Wahrheit die Idee respektieren muss, dass das Universum der Mengen so reich ist, dass die Wahrheit (oder sogar nur die Π 2 -Wahrheit) nicht in einem spezifizierbaren Fragment beschrieben werden kann. (Beachten Sie, dass nach Tarskis Theorem über die Undefinierbarkeit der Wahrheit die Wahrheitsbeschränkung trivial durch die Standardkonzeption der Wahrheit in der Mengenlehre erfüllt wird, bei der das Multiversum ein einziges Element enthält, nämlich V.)

Es gibt auch eine damit verbundene Einschränkung hinsichtlich der Definierbarkeit der Wahrheit. Für einen spezifizierbaren Kardinal κ ist die Menge Y ⊆ ω in H (κ +) über das Multiversum definierbar, wenn Y in der Struktur H (κ +) jedes Universums des Multiversums definierbar ist (möglicherweise durch Formeln, die vom Elternuniversum abhängen)..

Definition 4.3 (Definierbarkeitsbeschränkung).
Jede haltbare multiverse Konzeption der Wahrheit in der Mengenlehre muss so sein, dass die Π 2 -Wahrheiten (gemäß dieser Konzeption) im Universum der Mengen in H (κ) im gesamten multiversen Universum für jeden spezifizierbaren Kardinal κ definierbar sind.

Beachten Sie erneut, dass nach Tarskis Theorem über die Undefinierbarkeit der Wahrheit die Definierbarkeitsbeschränkung trivial durch die entartete Multiversum-Konzeption erfüllt wird, die das Multiversum benötigt, um das einzelne Element V zu enthalten. (Beachten Sie auch, dass die Einschränkung automatisch erfüllt wird, wenn die Definierbarkeitsbeschränkung geändert wird, indem die Anforderung hinzugefügt wird, dass die Definition über das Multiversum hinweg einheitlich ist.)

Die Bedeutung der Ω-Vermutung für die Haltbarkeit der generisch-multiversen Wahrheitsauffassung ist in den folgenden beiden Theoremen enthalten:

Satz 4.4 (Woodin).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, die Ω-Vermutung gilt. Dann ist ? Ω rekursiv in ? Ω (H (δ + 0)), wobei δ 0 der kleinste Woodin-Kardinal ist.
Satz 4.5 (Woodin).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, die Ω-Vermutung gilt. Dann ist ? Ω in H (δ + 0) definierbar, wobei δ 0 der kleinste Woodin-Kardinal ist.

Mit anderen Worten, wenn es eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen gibt und wenn die Ω-Vermutung gilt, verletzt die generische Multiversum-Konzeption der Wahrheit sowohl die Wahrheitsbeschränkung (bei δ 0) als auch die Definierbarkeitsbeschränkung (bei δ 0).

Es gibt tatsächlich schärfere Versionen der obigen Ergebnisse, bei denen H (c +) anstelle von H (δ + 0) verwendet wird.

Satz 4.6 (Woodin).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, die Ω-Vermutung gilt. Dann ist ? Ω in ? Ω (H (c +)) rekursiv.
Satz 4.7 (Woodin).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, die Ω-Vermutung gilt und die AD + -Vorstellung gilt. Dann ist ? Ω in H (c +) definierbar.

Mit anderen Worten, wenn es eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen gibt und wenn die Ω-Vermutung gilt, verletzt die generisch-multiverse Wahrheitskonzeption die Wahrheitsbeschränkung auf der Ebene der Arithmetik dritter Ordnung und zusätzlich die AD + -Vermutung gilt, dann verstößt die generisch-multiverse Wahrheitskonzeption gegen die Definierbarkeitsbeschränkung auf der Ebene der Arithmetik dritter Ordnung.

4.4 Gibt es einen Ausweg?

Es scheint vier Möglichkeiten zu geben, wie der Befürworter des generischen Multiversums der obigen Kritik widerstehen könnte.

Erstens könnte man behaupten, dass die Ω-Vermutung genauso problematisch ist wie CH und daher wie CH gemäß der generisch-multiversen Wahrheitsauffassung als unbestimmt anzusehen ist. Die Schwierigkeit bei diesem Ansatz ist die folgende:

Satz 4.8 (Woodin).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Dann gilt für jede vollständige Boolesche Algebra ?,

V ⊧ Ω-Vermutung iff V ? Ω Ω-Vermutung.

Im Gegensatz zu CH kann daher nicht gezeigt werden, dass die Ω-Vermutung unabhängig von ZFC + „Es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen“ist, indem ein Satz erzwungen wird. In Bezug auf die generische multiverse Wahrheitskonzeption können wir den Punkt so formulieren: Während die generisch-multiverse Wahrheitskonzeption CH als unbestimmt erachtet, hält sie die Ω-Vermutung nicht für unbestimmt. Die obige Antwort steht dem Verfechter der generisch-multiversen Wahrheitsauffassung also nicht zur Verfügung. Der Verfechter dieser Konzeption hält die Ω-Vermutung bereits für bestimmend.

Zweitens könnte man gewähren, dass die Ω-Vermutung bestimmt ist, aber behaupten, dass sie falsch ist. Es gibt Möglichkeiten, wie man dies tun könnte, aber das untergräbt das obige Argument nicht. Der Grund ist folgender: Zunächst gibt es eine eng verwandte Σ 2 -Statement, die man in den obigen Argumenten durch die Ω-Vermutung ersetzen kann. Dies ist die Aussage, dass die Ω-Vermutung (nicht trivial) Ω-erfüllbar ist, dh die Aussage: Es gibt eine Ordnungszahl α und ein Universum V 'des Multiversums, so dass

V ' α ⊧ ZFC + "Es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen"

und

V ' α ⊧ "Die Ω-Vermutung".

Diese Σ 2 -Statement ist unter dem erzwungenen Erzwingen unveränderlich und daher muss man als Anhänger der generischen multiversen Sicht der Wahrheit bestimmen. Darüber hinaus werden die obigen Hauptargumente mit dieser Σ 2 -Statement anstelle der Ω-Vermutung behandelt. Die Person, die diese zweite Antwortlinie nimmt, müsste daher auch behaupten, dass diese Aussage falsch ist. Es gibt jedoch wesentliche Beweise dafür, dass diese Aussage wahr ist. Der Grund ist, dass es kein bekanntes Beispiel für eine Σ 2 gibt-Anweisung, die unter dem erzwungenen Erzwingen relativ zu großen Kardinalaxiomen unveränderlich ist und die nicht durch große Kardinalaxiome festgelegt werden kann. (Eine solche Aussage wäre ein Kandidat für eine absolut unentscheidbare Aussage.) Es ist also zu erwarten, dass diese Aussage durch große Kardinalaxiome gelöst wird. Die jüngsten Fortschritte in der Theorie des inneren Modells - insbesondere in Woodin (2010) - liefern jedoch Hinweise darauf, dass kein großes Kardinalaxiom diese Aussage widerlegen kann. Alles zusammenfügen: Es ist sehr wahrscheinlich, dass diese Aussage tatsächlich wahr ist; Daher ist diese Antwortlinie nicht vielversprechend.

Drittens könnte man entweder die Wahrheitsbeschränkung oder die Definierbarkeitsbeschränkung ablehnen. Das Problem ist, dass, wenn man die Wahrheitsbeschränkung ablehnt, nach dieser Ansicht (unter der Annahme der Ω-Vermutung) Π 2 die Wahrheit in der Mengenlehre im Sinne der Turing-Reduzierbarkeit zur Wahrheit in H (δ 0) (oder unter der Annahme der starken Ω-Vermutung) reduzierbar ist, H (c +)). Und wenn man die Definierbarkeitsbeschränkung ablehnt, dann ist nach dieser Ansicht (unter der Annahme der Ω-Vermutung) Π 2 die Wahrheit in der Mengenlehre im Sinne der Definierbarkeit zur Wahrheit in H (δ 0) reduzierbar (oder unter der Annahme der starken Ω-Vermutung H (c) +)). In beiden Fällen steht die Reduktion im Spannungsfeld mit der Akzeptanz des Nicht-Pluralismus in Bezug auf die Hintergrundtheorie ZFC + „Es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen“.

Viertens könnte man die Kritik annehmen, die generische multiverse Wahrheitsauffassung ablehnen und zugeben, dass es einige Aussagen über H (δ + 0) (oder H (c +) gibt, die zusätzlich die AD + -Vermutung gewähren) wahrer Vereinfacher, aber nicht wahr im Sinne des generischen Multiversums, und dennoch weiterhin behaupten, dass CH unbestimmt ist. Die Schwierigkeit besteht darin, dass ein solcher Satz φ qualitativ genau wie CH ist, da er gezwungen werden kann, zu halten und zu scheitern. Die Herausforderung für den Befürworter dieses Ansatzes besteht darin, die generisch-multiverse Wahrheitsauffassung so zu modifizieren, dass φ als bestimmt und CH dennoch als unbestimmt gilt.

Zusammenfassend: Es gibt Hinweise darauf, dass der einzige Ausweg der vierte Ausweg ist, und dies belastet den Pluralisten wieder - der Pluralist muss eine modifizierte Version des generischen Multiversums entwickeln.

Weiterführende Literatur: Weitere Informationen zum Zusammenhang zwischen Ω-Logik und dem generischen Multiversum und zur obigen Kritik am generischen Multiversum finden Sie in Woodin (2011a). Zur Bedeutung der jüngsten Ergebnisse der inneren Modelltheorie für den Status der Ω-Vermutung siehe Woodin (2010).

5. Der lokale Fall überarbeitet

Wenden wir uns nun einem zweiten Weg zu, auf dem man dem lokalen Fall des Versagens von CH widerstehen könnte. Dies beinhaltet einen Parallelfall für CH. In Abschnitt 5.1 werden wir die Hauptmerkmale des Falls für ¬CH überprüfen, um ihn mit dem Parallelfall für CH zu vergleichen. In Abschnitt 5.2 werden wir den Parallelfall für CH vorstellen. In Abschnitt 5.3 werden wir den Vergleich bewerten.

5.1 Der Fall für ¬CH

Denken Sie daran, dass es in dem in Abschnitt 3.3 dargestellten Fall zwei grundlegende Schritte gibt. Der erste Schritt beinhaltet Ω-Vollständigkeit (und dies ergibt ¬CH) und der zweite Schritt beinhaltet Maximalität (und dies ergibt die stärkere 2 0 = ℵ 2). Zum leichteren Vergleich werden wir diese Merkmale hier wiederholen:

Der erste Schritt basiert auf dem folgenden Ergebnis:

Satz 5.1 (Woodin).
Angenommen, es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen und die starke Ω-Vermutung gilt.
  1. Es gibt ein Axiom A, so dass

    1. ZFC + A ist Ω-erfüllbar und
    2. ZFC + A ist für die Struktur H (ω 2) Ω-vollständig.
  2. Jedes solche Axiom A hat die Eigenschaft, dass

    ZFC + A ⊧ Ω "H (ω 2) ⊧ ¬CH".

Formulieren wir dies wie folgt: Für jedes A, das (1) erfüllt, sei

T A = {φ | ZFC + A ⊧ Ω "H (ω 2) ⊧ ¬φ"}.

Der Satz besagt, dass, wenn es eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen gibt und die starke Ω-Vermutung gilt, es (nicht triviale) Ω-vollständige Theorien T A von H (ω 2) gibt und alle diese Theorien ¬CH enthalten. Mit anderen Worten, unter diesen Annahmen gibt es eine "gute" Theorie und alle "guten" Theorien implizieren ¬CH.

Der zweite Schritt beginnt mit der Frage, ob zwischen den Ω-vollständigen Theorien T A eine größere Übereinstimmung besteht. Im Idealfall würde es nur einen geben. Dies ist jedoch nicht der Fall.

Satz 5.2 (Koellner und Woodin 1999).
Angenommen, es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, A ist ein Axiom, so dass

ich. ZFC + A ist Ω-zufriedenstellend und

ii. ZFC + A ist für die Struktur H (ω 2) Ω-vollständig.

Dann gibt es ein Axiom B, so dass

ich'. ZFC + B ist Ω-erfüllbar und

ii '. ZFC + B ist für die Struktur H (ω 2) Ω-vollständig.

und T A ≠ T B.

Dies wirft die Frage auf, wie man aus diesen Theorien auswählen soll. Es stellt sich heraus, dass es unter den T A eine maximale Theorie gibt, die durch das Axiom (∗) gegeben ist.

Satz 5.3 (Woodin).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Dann sind folgende äquivalent:
  1. (∗).
  2. Für jeden Π 2 -Satz φ in der Sprache für die Struktur

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ∈ (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩

    wenn

    ZFC + “⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ∈ (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ”

    ist dann Ω-konsistent

    ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ∈ (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩ ⊧ φ.

Von den verschiedenen Theorien T A, die in Satz 5.1 enthalten sind, sticht eine hervor: Die durch (∗) gegebene Theorie T (∗). Diese Theorie maximiert die Π 2 -Theorie der Struktur ⟨H (ω 2), ∈, I NS, A | A ∈ ∈ (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Das grundlegende Ergebnis ist das in dieser Maximaltheorie

2 0 = ≤ 2.

5.2 Der Parallelfall für CH

Der parallele Fall für CH besteht ebenfalls aus zwei Schritten, wobei der erste die Ω-Vollständigkeit und der zweite die Maximalität umfasst.

Das erste Ergebnis im ersten Schritt ist das Folgende:

Satz 5.4 (Woodin 1985).
Angenommen, ZFC und es gibt eine geeignete Klasse messbarer Woodin-Kardinäle. Dann ist ZFC + CH für Σ21 Ω-vollständig.

Darüber hinaus ist CH bis zur Ω-Äquivalenz die eindeutige Σ21-Aussage, die für Σ21 Ω-vollständig ist; das heißt, T A sei die durch ZFC + A gegebene Ω-vollständige Theorie, wobei A Σ21 ist, alle diese T A sind Ω-äquivalent zu T CH und daher (trivial) enthalten alle diese T A CH. Mit anderen Worten, es gibt eine „gute“Theorie und alle „guten“Theorien implizieren CH.

Um den ersten Schritt abzuschließen, müssen wir feststellen, ob dieses Ergebnis robust ist. Denn es könnte der Fall sein, dass, wenn man die nächste Ebene betrachtet, Σ22 (oder weitere Ebenen, wie die Arithmetik dritter Ordnung) CH nicht mehr Teil des Bildes ist, das heißt, vielleicht implizieren große Kardinäle, dass es ein Axiom A gibt, so dass ZFC + A ist Ω-vollständig für Σ22 (oder, was noch weiter geht, alle Arithmetik dritter Ordnung) und dennoch haben nicht alle dieser A ein assoziiertes T A, das CH enthält. Wir müssen dies ausschließen, wenn wir den ersten Schritt sichern wollen.

Das optimistischste Szenario in dieser Richtung ist das folgende: Das Szenario besteht darin, dass es ein großes Kardinalaxiom L und Axiome A → gibt, so dass ZFC + L + A → für alle Arithmetiken dritter Ordnung Ω-vollständig ist und alle diese Theorien Ω sind -äquivalent und implizieren CH. Vielleicht gibt es für jedes spezifizierbare Fragment V λ des Mengenuniversums ein großes Kardinalaxiom L und Axiome A →, so dass ZFC + L + A → für die gesamte Theorie von V λ Ω-vollständig ist und darüber hinaus das solche Theorien sind Ω-äquivalent und implizieren CH. Wäre dies der Fall, würde dies bedeuten, dass für jedes solche λ ein eindeutiges Ω-vollständiges Bild von V λ vorliegtund wir hätten ein einzigartiges Ω-vollständiges Verständnis von beliebig großen Fragmenten des Universums von Mengen. Dies wäre ein starkes Argument für neue Axiome, die die Axiome von ZFC und große Kardinalaxiome vervollständigen.

Leider scheitert dieses optimistische Szenario: Unter der Annahme, dass es eine solche Theorie gibt, kann man eine andere konstruieren, die sich in Bezug auf CH unterscheidet:

Satz 5.5 (Koellner und Woodin 2009).
Angenommen, ZFC und es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, V λ ist ein spezifizierbares Fragment des Universums (das ausreichend groß ist) und es gibt ein großes Kardinalaxiom L und Axiome A →, so dass

ZFC + L + A → ist für Th (V λ) Ω-vollständig.

Dann gibt es Axiome B → so dass

ZFC + L + B → ist für Th (V λ) Ω-vollständig

und die erste Theorie Ω impliziert CH genau dann, wenn die zweite Theorie Ω CH impliziert.

Dies lässt uns immer noch mit der Frage der Existenz zurück und die Antwort auf diese Frage ist empfindlich gegenüber der Ω-Vermutung und der AD + -Vermutung:

Satz 5.6 (Woodin).
Angenommen, es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen und die Ω-Vermutung gilt. Dann gibt es keine rekursive Theorie A →, so dass ZFC + A → für die Theorie von V δ 0 +1 Ω-vollständig ist, wobei δ 0 der kleinste Woodin-Kardinal ist.

Tatsächlich muss das Szenario unter einer stärkeren Annahme auf einer viel früheren Ebene scheitern.

Satz 5.7 (Woodin).
Angenommen, es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen und die Ω-Vermutung gilt. Angenommen, die AD + -Vermutung gilt. Dann gibt es keine rekursive Theorie A →, so dass ZFC + A → für die Theorie von Σ23 Ω-vollständig ist.

Es ist offen, ob es eine solche Theorie auf der Ebene von Σ22 geben kann. Es wird vermutet, dass ZFC + ◇ für Σ22 Ω-vollständig ist (unter der Annahme großer Kardinalaxiome).

Nehmen wir an, dass es positiv beantwortet wird, und kehren wir zur Frage der Einzigartigkeit zurück. Für jedes dieser Axiome A sei T A die von ZFC + A in Ω-Logik berechnete Σ22-Theorie. Die Frage der Einzigartigkeit fragt einfach, ob T A einzigartig ist.

Satz 5.8 (Koellner und Woodin 2009).
Angenommen, es gibt eine richtige Klasse von Woodin-Kardinälen. Angenommen, A ist ein Axiom, so dass

ich. ZFC + A ist Ω-zufriedenstellend und

ii. ZFC + A ist Ω-vollständig für Σ22.

Dann gibt es ein Axiom B, so dass

ich'. ZFC + B ist Ω-erfüllbar und

ii '. ZFC + B ist Ω-vollständig für Σ22

und T A ≠ T B.

Dies ist die Parallele von Satz 5.2.

Zur Vervollständigung würde die parallel man braucht, dass CH unter allen T ist A. Dies ist nicht bekannt. Aber es ist eine vernünftige Vermutung.

Vermutung 5.9.
Nehmen Sie große Kardinalaxiome an.
  1. Es gibt ein Σ22-Axiom A, so dass

    1. ZFC + A ist Ω-erfüllbar und
    2. ZFC + A ist für Σ22 Ω-vollständig.
  2. Jedes solche Σ22-Axiom A hat die Eigenschaft, dass

    ZFC + A ⊧ Ω CH.

Sollte diese Vermutung zutreffen, würde sie ein echtes Analogon zu Satz 5.1 liefern. Dies würde die Parallele zum ersten Schritt vervollständigen.

Es gibt auch eine Parallele zum zweiten Schritt. Wir erinnern daran, dass wir für den zweiten Schritt im vorherigen Unterabschnitt hatten, dass, obwohl die verschiedenen T A nicht übereinstimmten, sie alle ¬CH enthielten und darüber hinaus unter ihnen eine hervorsticht, nämlich die durch (∗) gegebene Theorie, da diese Theorie die Π 2 -Theorie der Struktur ⟨H (ω 2) maximiert, ∈, I NS, A | A ∈ P (ℝ) ∩ L (ℝ)⟩. Im gegenwärtigen Kontext von CH haben wir wieder (unter der Annahme der Vermutung), dass obwohl die T A.stimme nicht zu, sie enthalten alle CH. Es stellt sich wieder heraus, dass unter ihnen eine hervorsticht, nämlich die maximale. Denn es ist bekannt (durch ein Ergebnis von Woodin im Jahr 1985), dass wenn es eine geeignete Klasse messbarer Woodin-Kardinäle gibt, es eine Forcierungserweiterung gibt, die alle Σ22 Sätze φ erfüllt, so dass ZFC + CH + φ Ω-erfüllbar ist (siehe Ketchersid, Larson & Zapletal (2010)). Daraus folgt, dass, wenn die Existenzfrage positiv mit einem A beantwortet wird, das Σ22 ist, T A diese maximale Σ22-Theorie sein muss und folglich alle T A übereinstimmen, wenn A Σ22 ist. Nehmen wir also an, dass es ein T A gibt, bei dem A Σ22 ist, obwohl nicht alle T A. stimme zu (wenn A willkürlich ist), es gibt einen, der auffällt, nämlich den, der für Σ22 Sätze maximal ist.

Wenn also die obige Vermutung zutrifft, dann entspricht der Fall von CH dem von ¬CH, erst jetzt tritt Σ22 an die Stelle der Theorie von H (ω 2).

5.3 Bewertung

Unter der Annahme, dass die Vermutung den Fall von CH-Parallelen zu ¬CH enthält, tritt Σ22 erst jetzt an die Stelle der Theorie von H (ω 2): Unter den Hintergrundannahmen haben wir:

    1. es gibt A, so dass ZFC + A für H (ω 2) Ω-vollständig ist
    2. für jedes solche A enthält das zugehörige T A ¬CH und
    3. es gibt ein T A, das maximal ist, nämlich T (∗), und diese Theorie enthält 2 0 = ℵ 2.
    1. Es gibt Σ22-Axiome A, so dass ZFC + A für Σ22 Ω-vollständig ist
    2. für jeden einem solchen das zugehörige T A enthält CH, und
    3. es gibt ein T A, das maximal ist.

Die beiden Situationen sind in Bezug auf die Maximalität parallel, aber in Bezug auf den Grad der Ω-Vollständigkeit ist die erste stärker. Denn im ersten Fall erhalten wir nicht nur Ω-Vollständigkeit in Bezug auf die Π 2 -Theorie von H (ω 2) (mit den zusätzlichen Prädikaten), sondern wir erhalten Ω-Vollständigkeit in Bezug auf ganz H (ω 2). Dies ist wohl ein Argument für den Fall von ¬CH, das sogar die Vermutung bestätigt.

Aber es gibt einen stärkeren Punkt. Aus der Theorie des inneren Modells (die wir im nächsten Abschnitt diskutieren werden) gibt es Hinweise darauf, dass die Vermutung tatsächlich falsch ist. Sollte sich herausstellen, dass dies der Fall ist, würde dies die Parallele brechen und den Fall für ¬CH verstärken.

Man könnte dem jedoch wie folgt entgegenwirken: Der höhere Grad an Ω-Vollständigkeit im Fall von ¬CH ist wirklich illusorisch, da es ein Artefakt der Tatsache ist, dass unter (∗) die Theorie von H (ω 2) tatsächlich wechselseitig ist interpretierbar mit dem von H (ω 1) (durch ein tiefes Ergebnis von Woodin). Darüber hinaus steht diese letztere Tatsache im Widerspruch zum Geist der in Abschnitt 4.3 erörterten Transzendenzprinzipien. Diese Grundsätze wurden in einem Argument angeführt, wonach CH keine Antwort hat. Wenn also der ganze Staub sich gelegt hat, ist die wahre Bedeutung von Woodins Arbeit an CH (so das Argument) nicht, dass CH falsch ist, sondern dass CH sehr wahrscheinlich eine Antwort hat.

Man kann mit Recht sagen, dass der Status der lokalen Ansätze zur Lösung von CH derzeit etwas ungeklärt ist. Aus diesem Grund werden wir uns im weiteren Verlauf dieses Eintrags auf globale Ansätze zur Regelung von CH konzentrieren. Wir werden zwei solcher Ansätze sehr kurz diskutieren - den Ansatz über die Theorie des inneren Modells und den Ansatz über quasi große Kardinalaxiome.

6. Das ultimative innere Modell

Die innere Modelltheorie zielt darauf ab, "L-ähnliche" Modelle zu erzeugen, die große Kardinalaxiome enthalten. Für jedes große Kardinalaxiom Φ, das durch die innere Modelltheorie erreicht wurde, hat man ein Axiom der Form V = L Φ. Dieses Axiom hat den Vorteil, dass es (genau wie im einfachsten Fall von V = L) eine „effektiv vollständige“Lösung für Fragen zu L Φ bietet (was unter der Annahme V ist). Leider stellt sich heraus, dass das Axiom V = L Φ nicht mit stärkeren großen Kardinalaxiomen Φ 'kompatibel ist. Aus diesem Grund wurden Axiome dieser Form nie als plausible Kandidaten für neue Axiome angesehen.

Die jüngsten Entwicklungen in der Theorie des inneren Modells (aufgrund von Woodin) zeigen jedoch, dass sich auf der Ebene eines superkompakten Kardinals alles ändert. Diese Entwicklungen zeigen, dass es zwei bemerkenswerte Konsequenzen gibt, wenn es ein inneres Modell N gibt, das einen superkompakten Kardinal von V „erbt“(wie man es angesichts der Flugbahn der Theorie des inneren Modells erwarten würde): Erstens ist N. nahe an V (in dem Sinne, dass N für ausreichend große singuläre Kardinäle λ λ + korrekt berechnet). Zweitens erbt N alle bekannten großen Kardinäle, die in V existieren. Im Gegensatz zu den bisher entwickelten inneren Modellen würde ein inneres Modell auf der Ebene eines Superkompakts ein Axiom liefern, das durch stärkere Annahmen großer Kardinäle nicht widerlegt werden könnte.

Die Frage ist natürlich, ob man auf dieser Ebene ein „L-ähnliches“Modell haben kann (eines, das ein „effektiv vollständiges“Axiom liefert). Es gibt Grund zu der Annahme, dass man es kann. Es gibt jetzt ein Kandidatenmodell L Ω, das ein Axiom V = L Ω mit den folgenden Merkmalen ergibt: Erstens ist V = L Ω "effektiv vollständig". Zweitens ist V = L Ω mit allen großen Kardinalaxiomen kompatibel. In diesem Szenario wäre die ultimative Theorie also die (offene) Theorie ZFC + V = L Ω + LCA, wobei LCA ein Schema ist, das für „große Kardinalaxiome“steht. Die großen Kardinalaxiome erfassen Fälle von Gödelscher Unabhängigkeit und das Axiom V = L Ωwird die verbleibenden Fälle von Unabhängigkeit erfassen. Diese Theorie würde CH implizieren und die verbleibenden unentschlossenen Aussagen regeln. Die Unabhängigkeit würde aufhören, ein Thema zu sein.

Es stellt sich jedoch heraus, dass es andere Kandidatenaxiome gibt, die diese Merkmale teilen, und so taucht das Gespenst des Pluralismus wieder auf. Zum Beispiel gibt es Axiome V = L Ω S und V = L Ω (∗). Diese Axiome wären auch „effektiv vollständig“und mit allen großen Kardinalaxiomen kompatibel. Sie würden jedoch verschiedene Fragen anders lösen als das Axiom V = L Ω. Zum Beispiel würde das Axiom V = L Ω (∗) ¬CH implizieren. Wie soll man dann zwischen ihnen entscheiden?

Weiterführende Literatur: Für eine Einführung in die Theorie des inneren Modells siehe Mitchell (2010) und Steel (2010). Weitere Informationen zu den jüngsten Entwicklungen auf der Ebene eines Superkompakts und darüber hinaus finden Sie in Woodin (2010).

7. Die Strukturtheorie von L (V λ + 1)

Dies bringt uns zum zweiten globalen Ansatz, der verspricht, das richtige Axiom aus V = , V = LΩS, V = LΩ (∗) und ihren Varianten auszuwählen. Dieser Ansatz basiert auf der bemerkenswerten Analogie zwischen der Strukturtheorie von L (ℝ) unter der Annahme von AD L (ℝ) und der Strukturtheorie von L (V λ + 1) unter der Annahme, dass es eine elementare Einbettung von L (gibt V λ + 1) in sich selbst mit einem kritischen Punkt unter λ. Diese Einbettungsannahme ist das stärkste große Kardinalaxiom, das in der Literatur vorkommt.

Die Analogie zwischen L (ℝ) und L (V λ + 1) basiert auf der Beobachtung, dass L (ℝ) einfach L (V ω + 1) ist. Somit ist λ das Analogon von ω, λ + ist das Analogon von ω 1 und so weiter. Als Beispiel für die Parallele zwischen der Strukturtheorie von L (ℝ) unter AD L (ℝ) und der Strukturtheorie von L (V λ + 1) unter dem Einbettungsaxiom sei erwähnt, dass im ersten Fall ω 1 ist ein messbarer Kardinal in L (ℝ) und im zweiten Fall das Analogon von ω 1 - namentlich λ + - ist ein messbarer Kardinal in L (V λ + 1)). Dieses Ergebnis ist Woodin zu verdanken und nur ein Beispiel aus vielen Beispielen der Parallele, die in seiner Arbeit enthalten sind.

Jetzt haben wir viele Informationen über die Strukturtheorie von L (ℝ) unter AD L (ℝ). Wie oben erwähnt, ist dieses Axiom in Bezug auf Fragen zu L (ℝ) „effektiv vollständig“. Im Gegensatz dazu reicht das Einbettungsaxiom allein nicht aus, um zu implizieren, dass L (V λ + 1) eine Strukturtheorie hat, die der von L (ℝ) unter AD L (ℝ) vollständig entspricht. Die Existenz einer bereits reichen Parallele ist jedoch ein Beweis dafür, dass sich die Parallele erstreckt, und wir können das Einbettungsaxiom durch Hinzufügen einiger Schlüsselkomponenten ergänzen. Wenn man dies tut, passiert etwas Bemerkenswertes: Die zusätzlichen Axiome werden fragil. Dies bedeutet, dass sie das Potenzial haben, die Unabhängigkeit zu löschen und nicht triviale Informationen über V λ + 1 bereitzustellen. Zum Beispiel könnten diese zusätzlichen Axiome CH und vieles mehr regeln.

Die Schwierigkeit bei der Untersuchung der Möglichkeiten für die Strukturtheorie von L (V λ + 1) besteht darin, dass wir nicht die richtigen Linsen hatten, um sie zu betrachten. Das Problem ist, dass das Modell L (V λ + 1) ein großes Stück des Universums enthält, nämlich L (V λ + 1), und die Theorie dieser Struktur radikal unterbestimmt ist. Die oben diskutierten Ergebnisse liefern uns die richtigen Linsen. Denn man kann die Strukturtheorie von L (V λ + 1) im Kontext ultimativer innerer Modelle wie L Ω, L Ω S, L Ω (∗) und ihrer Varianten untersuchen. Der Punkt ist, dass diese Modelle das Einbettungsaxiom aufnehmen können und man in jedem die Strukturtheorie von L (V λ + 1) berechnen kann.

Dies bietet eine Möglichkeit, das richtige Axiom aus V = , V = LΩS, V = LΩ (∗) und ihren Varianten auszuwählen. Man betrachtet einfach das L (V λ + 1) jedes Modells (wo das Einbettungsaxiom gilt) und prüft, welches das wahre Analogon der Strukturtheorie von L (ℝ) unter der Annahme von AD L (ℝ) hat. Es ist bereits bekannt, dass bestimmte Teile der Strukturtheorie nicht in L Ω gelten können. Es ist jedoch offen, ob sie in L Ω S halten können.

Betrachten wir ein solches (sehr optimistisches) Szenario: Das wahre Analogon der Strukturtheorie von L (ℝ) unter AD L (ℝ) gilt für L (V λ + 1) von L Ω S, jedoch nicht für eine seiner Varianten. Darüber hinaus ist diese Strukturtheorie für die Theorie von V λ + 1 „effektiv vollständig“. Unter der Annahme, dass es eine geeignete Klasse von λ gibt, in der das Einbettungsaxiom gilt, ergibt dies eine „effektiv vollständige“Theorie von V. Bemerkenswerterweise ist ein Teil dieser Theorie, dass V L Ω S sein muss. Dieses (zugegebenermaßen sehr optimistische) Szenario wäre ein sehr starkes Argument für Axiome, die alle unentschlossenen Aussagen auflösen.

Man sollte diesem speziellen Szenario nicht zu viel Gewicht beimessen. Es ist nur einer von vielen. Der Punkt ist, dass wir jetzt in der Lage sind, eine Liste bestimmter Fragen mit den folgenden Merkmalen aufzuschreiben: Erstens haben die Fragen auf dieser Liste Antworten - Unabhängigkeit ist kein Problem. Zweitens, wenn die Antworten konvergieren, wird man starke Beweise für neue Axiome haben, die die unentschlossenen Aussagen (und damit den Nicht-Pluralismus über das Universum der Mengen) regeln. Wenn die Antworten schwanken, wird man Beweise dafür haben, dass diese Aussagen „absolut unentscheidbar“sind, und dies wird das Argument für Pluralismus stärken. Auf diese Weise erhalten die Fragen der „absoluten Unentscheidbarkeit“und des Pluralismus eine mathematische Grundlage.

Weiterführende Literatur: Weitere Informationen zur Strukturtheorie von L (V λ + 1) und zur Parallele zur Determiniertheit finden Sie in Woodin (2011b).

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