Erstveröffentlichung Mi 6. September 2017; inhaltliche Überarbeitung Fr 19. Januar 2018
"Currys Paradoxon", wie der Begriff heute von Philosophen verwendet wird, bezieht sich auf eine Vielzahl von Paradoxien der Selbstreferenz oder Zirkularität, die ihre modernen Vorfahren auf Curry (1942b) und Löb (1955) zurückführen. [1]Das gemeinsame Merkmal dieser sogenannten Curry-Paradoxe ist die Art und Weise, wie sie einen Begriff von Implikation, Konsequenz oder Konsequenz entweder in Form eines Konnektivs oder in Form eines Prädikats ausnutzen. Currys Paradoxon tritt in verschiedenen Bereichen auf. Wie Russells Paradoxon kann es die Form eines Paradoxons der Mengenlehre oder der Eigenschaftstheorie annehmen. Es kann aber auch die Form eines semantischen Paradoxons annehmen, das dem Lügnerparadoxon sehr ähnlich ist. Currys Paradoxon unterscheidet sich sowohl von Russells Paradoxon als auch vom Lügnerparadoxon darin, dass es nicht wesentlich den Begriff der Negation beinhaltet. Gängige wahrheitstheoretische Versionen beinhalten einen Satz, der von sich selbst sagt, dass, wenn er wahr ist, eine willkürlich gewählte Behauptung wahr ist, oder - um eine düsterere Instanz zu verwenden - von sich selbst sagt, dass, wenn er wahr ist, jede Falschheit wahr ist. Das Paradoxe ist, dass die Existenz eines solchen Satzes die Wahrheit der willkürlich gewählten Behauptung oder - im unheimlicheren Fall - jeder Falschheit zu implizieren scheint. In diesem Beitrag zeigen wir, wie die verschiedenen Curry-Paradoxe konstruiert werden können, untersuchen den Raum verfügbarer Lösungen und erläutern, wie das Curry-Paradox von Bedeutung ist und besondere Herausforderungen mit sich bringt.
1. Einleitung: Zwei Gestalten des Paradoxons
1.1 Ein informelles Argument
1.2 Eine Einschränkung der Theorien
1.3 Übersicht
2. Curry-Sätze konstruieren
2.1 Currys erste Methode und satztheoretische Curry-Sätze
2.2 Currys zweite Methode und wahrheitstheoretische Curry-Sätze
3. Das Paradox ableiten
3.1 Das Curry-Paradox-Lemma
3.2 Alternative Voraussetzungen
4. Antworten auf Currys Paradoxon
4.1 Curry-Unvollständigkeitsantworten
4.2 Curry-Vollständigkeitsantworten
4.2.1 Kontraktionsfreie Antworten
4.2.2 Ablösungsfreie Antworten
4.2.3 Anwendung auf das informelle Argument
5. Die Bedeutung von Currys Paradoxon
5.1 Hoffnungen auf Lösungen für Negationsparadoxien
5.1.1 Parakonsistente Lösungen frustriert
5.1.2 Parakomplette Lösungen frustriert
5.2 Hinweis auf eine allgemeine paradoxe Struktur
6. Gültigkeits-Curry
6.1 Verbindungsformular
6.2 Prädikatform
6.3 Bedeutung
Literaturverzeichnis
Wichtige historische Quellen
Andere Referenzen
Akademische Werkzeuge
Andere Internetquellen
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1. Einleitung: Zwei Gestalten des Paradoxons
1.1 Ein informelles Argument
Angenommen, Ihr Freund sagt Ihnen: „Wenn das, was ich mit diesem Satz sage, wahr ist, ist die Zeit unendlich.“Es stellt sich heraus, dass es ein kurzes und scheinbar überzeugendes Argument für die folgende Schlussfolgerung gibt:
(P) Die bloße Existenz der Behauptung Ihres Freundes hat (oder hat zur Folge), dass die Zeit unendlich ist
Viele halten (P) für unglaublich (und in diesem Sinne paradox), auch wenn die Zeit tatsächlich unendlich ist. Oder, wenn das nicht schlimm genug ist, ziehen Sie eine andere Version in Betracht, diesmal mit einer Behauptung, die als falsch bekannt ist. Lassen Sie stattdessen Ihren Freund sagen: "Wenn das, was ich mit diesem Satz sage, wahr ist, dann sind alle Zahlen Primzahlen." Nun, mutatis mutandis, ergibt dasselbe kurze und scheinbar überzeugende Argument (Q):
(F) Die bloße Existenz der Behauptung Ihres Freundes hat (oder hat zur Folge), dass alle Zahlen Primzahlen sind
Hier ist das Argument für (P). Sei (k) der selbstreferenzielle Satz, den Ihr Freund ausgesprochen hat, etwas vereinfacht, so dass er lautet: "Wenn (k) wahr ist, ist die Zeit unendlich". In Anbetracht dessen, was (k) sagt, wissen wir so viel:
(1) Unter der Annahme, dass (k) wahr ist, ist die Zeit unendlich, wenn k wahr ist
Aber natürlich haben wir auch
(2) Unter der Annahme, dass (k) wahr ist, ist es der Fall, dass k wahr ist
Unter der Annahme, dass (k) wahr ist, haben wir also eine Bedingung zusammen mit ihrem Vorgänger abgeleitet. Unter Verwendung von Modus Ponens im Rahmen der Annahme leiten wir nun die Konsequenz der Bedingung unter derselben Annahme ab:
(3) Unter der Annahme, dass (k) wahr ist, ist die Zeit unendlich
Die Regel des bedingten Beweises berechtigt uns nun, eine Bedingung mit unserer Annahme als Vorgeschichte zu bestätigen:
(4) Wenn (k) wahr ist, ist die Zeit unendlich
Aber da (4) nur (k) selbst ist, haben wir also
(5) (k) ist wahr
Wenn wir schließlich (4) und (5) nach Modus Ponens zusammensetzen, erhalten wir
(6) Die Zeit ist unendlich
Wir scheinen festgestellt zu haben, dass die Zeit unendlich ist, indem wir keine Annahmen verwenden, die über die Existenz des selbstreferenziellen Satzes (k) hinausgehen, zusammen mit den scheinbar offensichtlichen Prinzipien über die Wahrheit, die uns zu (1) und auch von (4) zu (4) geführt haben 5). Gleiches gilt für (Q), da wir dieselbe Argumentationsform hätten verwenden können, um zu der falschen Schlussfolgerung zu gelangen, dass alle Zahlen Primzahlen sind.
1.2 Eine Einschränkung der Theorien
Eine Herausforderung, die sich aus Currys Paradox ergibt, besteht darin, genau zu bestimmen, was in dem vorstehenden informellen Argument für (P), (Q) oder dergleichen schief geht. Beginnend mit Currys erster Präsentation in Curry 1942b (siehe das ergänzende Dokument zu Curry über Currys Paradoxon) hatte die Diskussion über Currys Paradoxon normalerweise einen anderen Schwerpunkt. Es hat verschiedene formale Systeme betroffen - meistens festgelegte Theorien oder Theorien der Wahrheit. In dieser Einstellung ist das Paradoxe ein Beweis dafür, dass das System eine bestimmte Funktion aufweist. In der Regel handelt es sich um eine Trivialität. Eine Theorie gilt als trivial oder absolut inkonsistent, wenn sie jede Behauptung bestätigt, die in der Sprache der Theorie ausgedrückt werden kann. [2]
Ein Argument, das feststellt, dass eine bestimmte formale Theorie trivial ist, stellt ein Problem dar, wenn eine der folgenden Situationen der Fall ist: (i) Wir möchten die formale Theorie in unseren Untersuchungen verwenden, da wir bei der Mathematik die Mengenlehre verwenden, oder (ii) Wir möchten die formale Theorie verwenden, um Merkmale der Sprache oder des Denkens zu modellieren, insbesondere die Ansprüche, denen sich einige Sprecher oder Denker verpflichtet fühlen. In jedem Fall würde die Trivialität der Zieltheorie zeigen, dass sie für den beabsichtigten Zweck nicht geeignet ist. Dies ist also eine zweite Herausforderung, die sich aus Currys Paradox ergibt.
Um den Sinn zu formulieren, in dem Currys Paradoxon Theorien einschränkt, müssen wir sagen, was ein Curry-Satz ist. Informell gesehen ist ein Curry-Satz ein Satz, der nach den Erkenntnissen einer Theorie einer Bedingung entspricht, die mit sich selbst als Vorgänger verbunden ist. Zum Beispiel könnte man sich das Argument von Abschnitt 1.1 als ansprechend für eine informelle Wahrheitstheorie vorstellen. Dann dient der Satz "(k) ist wahr" als Curry-Satz für diese Theorie. Das liegt daran, dass angesichts dessen, was unsere informelle Theorie über die Wahrheit von (k) sagt, "(k) ist wahr" gleichbedeutend sein sollte mit "Wenn (k) wahr ist, dann ist die Zeit unendlich."”(Da diese Bedingung (k) selbst ist).
Im Folgenden wird die Notation (vdash _ { mathcal {T}} alpha) verwendet, um zu sagen, dass die Theorie (mathcal {T}) den Satz (alpha) und (Gamma enthält \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) wird verwendet, um zu sagen, dass (alpha) aus den in (Gamma) gesammelten Prämissen gemäß (mathcal {T}) (dh) folgt. gemäß der Konsequenzrelation von (mathcal {T}) (vdash _ { mathcal {T}})). [3] Außer in Abschnitt 4.2.1 werden wir uns jedoch nur mit Behauptungen über das befassen, was gemäß der Theorie aus einer einzigen Prämisse folgt, dh Behauptungen, die durch Sätze der Form (gamma \ vdash _ { mathcal {T ausgedrückt werden }} alpha). (Wir verlassen uns auf den Kontext, um zu verdeutlichen, wo ein solcher Satz verwendet wird und wo er nur erwähnt wird.)
Zwei Sätze (in der Sprache der Theorie (mathcal {T})) werden gemäß (mathcal {T}) als intersubstituierbar bezeichnet, vorausgesetzt, die Wahrheit eines Anspruchs der Form (Gamma \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) wird durch Ersetzungen des einen für das andere innerhalb von (alpha) oder innerhalb eines der Sätze in (Gamma) nicht beeinflusst. Schließlich nehmen wir an, dass die Sprache einen Konnektiv ({ rightarrow}) enthält, der in einem geeigneten Sinne als Bedingung dient. Für die Zwecke der folgenden Definition stellen wir keine spezifischen Anforderungen an das Verhalten dieser Bedingung. Wir können nun den Begriff eines Curry-Satzes für ein Satz-Theorie-Paar definieren.
Definition 1 (Curry-Satz) Sei (pi) ein Satz der Sprache von (mathcal {T}). Ein Curry-Satz für (pi) und (mathcal {T}) ist ein beliebiger Satz (kappa), so dass (kappa) und (kappa { rightarrow} pi) sind gemäß (mathcal {T}) intersubstituierbar. [4]
Die verschiedenen Versionen von Currys Paradoxon ergeben sich aus der Existenz von Argumenten für die folgende sehr allgemeine Behauptung. (Diese Argumente, die auf Annahmen über die Bedingung ({ rightarrow}) beruhen, werden in Abschnitt 3 ausführlich erörtert.)
Beunruhigender Anspruch Für jede Theorie (mathcal {T}) und jeden Satz (pi) in der Sprache von (mathcal {T}), wenn es einen Curry-Satz für (pi \ gibt)) und (mathcal {T}), dann (vdash _ { mathcal {T}} pi).
Ein Argument, das die beunruhigende Behauptung zu begründen scheint, gilt als paradox, vorausgesetzt, es gibt auch zwingenden Grund zu der Annahme, dass diese Behauptung falsch ist. Ein Gegenbeispiel zum Troubling Claim wäre eine Theorie (mathcal {T}) und ein Satz (pi), so dass es einen Curry-Satz für (pi) und (mathcal {T} gibt) aber es ist nicht der Fall, dass (vdash _ { mathcal {T}} pi).
Wie oben erwähnt, wird Currys Paradoxon oft als Herausforderung für die Existenz nichttrivialer Theorien verstanden. In Anbetracht des Troubling Claim ist eine Theorie trivial, wenn ein Curry-Satz für einen beliebigen Satz in der Sprache der Theorie formuliert werden kann. In der Tat folgt Trivialität aus einer schwächeren Bedingung, die in der folgenden Definition explizit angegeben wird.
Definition 2 (Curry-vollständige Theorie) Eine Theorie (mathcal {T}) ist Curry-vollständig, vorausgesetzt, dass es für jeden Satz (pi) in der Sprache von (mathcal {T}) eine gibt einige (pi '), so dass (i) es einen Curry-Satz für (pi') und (mathcal {T}) gibt und (ii) wenn (vdash _ { mathcal {T. }} pi ') dann (vdash _ { mathcal {T}} pi).
Während eine Instanz von (pi '), die die Bedingung (ii) erfüllt, (pi) selbst wäre, wäre eine andere Instanz ein "explosiver" Satz (bot), der nur dann in einer Theorie enthalten ist, wenn Jeder Satz ist in der Theorie enthalten. [5]
Die beunruhigende Behauptung hat jetzt eine unmittelbare Konsequenz: Eine Curry-vollständige Theorie muss jeden Satz in seiner Sprache enthalten.
Beunruhigende Folgerung Jede Curry-vollständige Theorie ist trivial.
Auch hier gilt jedes Argument, das die beunruhigende Folgerung zu begründen scheint, als paradox, vorausgesetzt, es gibt zwingenden Grund zu der Annahme, dass es nichttriviale Theorien (in der Tat wahre Theorien) gibt, die Curry-vollständig sind.
1.3 Übersicht
Für den Rest dieses Eintrags wird Currys Paradoxon so verstanden, dass es den Theorien eine paradoxe Einschränkung auferlegt, nämlich die, die in der obigen beunruhigenden Folgerung angegeben ist. Die Präsentation einer Version von Currys Paradoxon, die so verstanden wird, beinhaltet zwei Dinge:
argumentieren, dass (mathcal {T}) Curry-vollständig ist, für einige scheinbar nicht triviale Zieltheorie (mathcal {T}), und
Argumentation für den Troubling Claim. [6]
In den Abschnitten 2 und 3 werden diese beiden Aufgaben in dieser Reihenfolge erläutert. Im Moment kann die Grundidee am Beispiel des selbstreferenziellen Satzes (k) vermittelt werden, der lautet: "Wenn (k) wahr ist, ist die Zeit unendlich". Erstens erkennen wir angesichts unseres Verständnisses der Wahrheit, dass der Satz „(k) ist wahr“mit „Wenn (k) wahr ist, dann ist die Zeit unendlich“austauschbar ist. Zweitens leitet das informelle Argument von Abschnitt 1.1 aus dieser Äquivalenz eine paradoxe Schlussfolgerung ab. Leser, die hauptsächlich an den logischen Prinzipien interessiert sind, die mit diesem und verwandten Argumenten verbunden sind, und an den Möglichkeiten, sich solchen Argumenten zu widersetzen, sollten sich Abschnitt 3 zuwenden.
2. Curry-Sätze konstruieren
Wie es heute üblich ist, betrifft Currys Paradoxon „naive“Wahrheitstheorien (solche mit einem „transparenten“Wahrheitsprädikat) und „naive“Mengen-Theorien (solche mit uneingeschränkter Mengenabstraktion). In diesem Abschnitt wird erklärt, wie aus jeder Art von Theorie Curry-Sätze entstehen können. Wir beginnen jedoch mit einer Version, die Theorien über Eigenschaften betrifft, eine Version, die Currys Formulierung ähnlicher ist. (Das ergänzende Dokument Curry über Currys Paradoxon beschreibt kurz die Ziele von Currys eigenen Versionen des Paradoxons.)
Eine Eigenschaftentheorie weist eine uneingeschränkte Eigenschaftsabstraktion auf, vorausgesetzt, dass für jede in der Sprache der Theorie feststellbare Bedingung eine Eigenschaft existiert, die (gemäß der Theorie) durch genau die Dinge veranschaulicht wird, die diese Bedingung erfüllen. Betrachten Sie eine Theorie (mathcal {T_P}), die in einer Sprache mit einem Eigenschaftsabstraktionsgerät ([x: \ phi x]) und einer beispielhaften Beziehung (epsilon) formuliert ist. Wenn zum Beispiel (phi (t)) sagt, dass das Objekt, für das der Begriff (t) steht, dreieckig ist, sagt (t \ \ epsilon [x: \ phi x]), dass dieses Objekt veranschaulicht die Eigenschaft der Dreieckigkeit. Dann sollten wir angesichts der uneingeschränkten Eigenschaftsabstraktion das folgende Prinzip haben.
(Eigenschaft) Für jeden offenen Satz (phi) mit einer freien Variablen und für jeden Term (t) die Sätze (t \ \ epsilon [x: \ phi x]) und (phi t) sind gemäß (mathcal {T_P}) intersubstituierbar.
Tatsächlich skizziert Curry (1942b) zwei „Methoden zur Konstruktion“von Curry-Sätzen unter Verwendung seines Gegenstücks zu (Eigenschaft). Er sagt, dass das erste "auf dem Russell-Paradoxon basiert", während das zweite "auf dem Epimenides-Paradoxon basiert". Obwohl beide Methoden eigenschaftstheoretisch sind, liefert die erste Methode einen Vorläufer satztheoretischer Versionen von Currys Paradoxon, während die zweite einen Vorläufer wahrheitstheoretischer Versionen liefert.
2.1 Currys erste Methode und satztheoretische Curry-Sätze
Die Version von Russells Paradoxon, der Currys erste Methode ähnelt, betrifft die Veranschaulichung von Eigenschaften. Sein Thema ist die Eigenschaft, so zu sein, dass man sich nicht selbst veranschaulichen kann. Wir erhalten einen eigenschaftstheoretischen Curry-Satz, indem wir stattdessen die Eigenschaft betrachten, so zu sein, dass man sich nur dann beispielhaft darstellt, wenn die Zeit unendlich ist. Angenommen, wir führen den Namen (h) für diese Eigenschaft ein, indem wir (h = _ {def} [x: x \ \ epsilon \ x { rightarrow} pi]) angeben, wobei der Satz (pi) sagt, dass die Zeit unendlich ist. [7] Wenn wir das Prinzip (Eigenschaft) auf den Satz (h \ \ epsilon \ h) anwenden, finden wir:
(h \ \ epsilon \ h) und (h \ \ epsilon \ h { rightarrow} pi) sind gemäß (mathcal {T_P}) intersubstituierbar.
Mit anderen Worten, (h \ \ epsilon \ h) ist ein Curry-Satz für (pi) und (mathcal {T_P}).
Currys erste Methode führte später zu satztheoretischen Curry-Sätzen. Eine Mengenlehre weist eine uneingeschränkte Mengenabstraktion auf, vorausgesetzt, dass es für jede Bedingung, die in der Sprache der Theorie angegeben werden kann, eine Menge gibt, die (gemäß der Theorie) alle und nur die Dinge enthält, die diese Bedingung erfüllen. Sei (mathcal {T_S}) unsere Theorie der Mengen, formuliert in einer Sprache, die die Mengenabstraktion mit ({x: \ phi x }) und die Mengenmitgliedschaft mit (in) ausdrückt. Dann ist das Gegenstück zu (Eigentum)
(Set) Für jeden offenen Satz (phi) mit einer freien Variablen und jeden Term (t) die Sätze (t \ in {x: \ phi x }) und (phi t) sind gemäß (mathcal {T_S}) intersubstituierbar.
Um einen satztheoretischen Curry-Satz zu erhalten, betrachten Sie die Menge, die nur dann aus etwas besteht, das ein Mitglied von sich selbst ist, wenn die Zeit unendlich ist. Angenommen, wir führen den Namen (c) für diese Menge ein, indem wir (c = _ {def} {x: x \ in x { rightarrow} pi }) festlegen. Wenn wir das Prinzip (Set) auf den Satz (c \ in c) anwenden, finden wir:
(c \ in c) und (c \ in c { rightarrow} pi) sind gemäß (mathcal {T_S}) intersubstituierbar.
Mit anderen Worten, (c \ in c) ist ein Curry-Satz für (pi) und (mathcal {T_S}).
Die satztheoretische Version von Currys Paradoxon wurde in Fitch 1952 [8] eingeführt und wird auch in Moh 1954 und Prior 1955 vorgestellt.
2.2 Currys zweite Methode und wahrheitstheoretische Curry-Sätze
Trotz seiner Bemerkung zum „Epimenides-Paradoxon“, einer Form des Lügner-Paradoxons, ist Currys zweite Methode eine Variante eines verwandten semantischen Paradoxons, Grellings Paradoxon. [9]In seiner ursprünglichen Form betrachtet Grellings Paradoxon eine Eigenschaft, die viele Wörter besitzen, nämlich die Eigenschaft, die ein Wort hat, wenn es die Eigenschaft, für die es steht, nicht veranschaulicht (Grelling & Nelson 1908). Zum Beispiel hat das Wort „Offensivität“diese Eigenschaft: Es kann die Eigenschaft, für die es steht, nicht veranschaulichen, da es nicht anstößig ist (siehe Eintrag zu Paradoxien und zeitgenössischer Logik). Tatsächlich betrachtet Curry stattdessen die Eigenschaft, die ein Wort bereitgestellt hat, als Beispiel für die Eigenschaft, für die es steht, nur wenn die Zeit unendlich ist. Nehmen wir nun an, dass unsere Theorie einen Namen (u) für diese Eigenschaft einführt. Curry zeigt dann, wie man einen Satz konstruiert, der (informell) besagt, dass der Name (u) die Eigenschaft darstellt, für die er steht. Er zeigt, dass dieser Satz als Curry-Satz für eine Theorie der Eigenschaften und die Bezeichnung von Namen dienen wird.[10]
Obwohl diese Methode zum Erhalten eines Curry-Satzes auf einem semantischen Merkmal von Ausdrücken basiert, beruht sie immer noch auf der Eigenschaftsabstraktion. Dennoch kann es als Vorläufer einer vollständig semantischen Version angesehen werden. (Anstatt die oben eingeführte Eigenschaft zu betrachten, könnte man das Prädikat „gilt nur für sich selbst, wenn die Zeit unendlich ist“betrachten.) Dementsprechend können Curry-Sätze erhalten werden, wie Geach (1955) und Löb (1955) als erste zeigten allein mit semantischen Prinzipien, ohne auf Eigenschaftsabstraktion angewiesen zu sein. Ihre Route entspricht dem informellen Argument in Abschnitt 1.1, das den selbstreferenziellen Satz (k) beinhaltet, der lautet: "Wenn (k) wahr ist, ist die Zeit unendlich."
Zu diesem Zweck sei (mathcal {T_T}) eine Wahrheitstheorie, wobei (T) das Wahrheitsprädikat ist. Nehmen Sie das Prinzip „Transparenz“an
(Wahrheit) Für jeden Satz (alpha) sind die Sätze (T \ langle \ alpha \ rangle) und (alpha) gemäß (mathcal {T_T}) intersubstituierbar.
Um einen Curry-Satz nach diesem Prinzip zu erhalten, nehmen wir an, dass es einen Satz (xi) gibt, der (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi) ist. [11] Dann folgt unmittelbar aus (Wahrheit), dass
(T \ langle \ xi \ rangle) und (T \ langle \ xi \ rangle { rightarrow} pi) sind gemäß (mathcal {T_T}) intersubstituierbar.
Mit anderen Worten, (T \ langle \ xi \ rangle) ist ein Curry-Satz für (pi) und (mathcal {T_T}).
Geach stellt fest, dass das semantische Paradoxon, das sich aus einem Satz wie (T \ langle \ xi \ rangle) ergibt, dem „Curry-Paradoxon in der Mengenlehre“ähnelt. Löb, der Currys Arbeit nicht erwähnt, schreibt das Paradox der Beobachtung eines Schiedsrichters über den Beweis des heute als Löbs Theorem bekannten Satzes über die Beweisbarkeit zu (siehe Eintrag zu Gödels Unvollständigkeitssätzen). Der Schiedsrichter, von dem jetzt bekannt ist, dass er Leon Henkin war (Halbach & Visser 2014: 257), schlug vor, dass die in seinem Beweis verwendete Methode Löb „zu einer neuen Ableitung von Paradoxien in natürlicher Sprache führt“, nämlich dem informellen Argument von Abschnitt 1.1 oben. [12]
3. Das Paradox ableiten
Angenommen, wir haben eine der oben genannten Methoden verwendet, um für eine Theorie der Wahrheit, Mengen oder Eigenschaften zu zeigen, dass die Theorie Curry-vollständig ist (z. B. indem wir für jeden Satz der Sprache einen Curry-Satz enthalten, oder für einen explosiven Satz). Um zu dem Schluss zu kommen, dass die fragliche Theorie trivial ist, genügt es nun, ein Argument für den Troubling Claim zu liefern. Dies ist die Behauptung, dass für jede Theorie (mathcal {T}), wenn es einen Curry-Satz für (pi) und (mathcal {T}) gibt, dann (vdash _ { mathcal {T}} pi). Bei einem solchen Argument werden Annahmen über das logische Verhalten der in Definition 1 erwähnten Bedingung ({ rightarrow}) verwendet. Unter der Annahme, dass dem störenden Anspruch widerstanden werden muss, werden dem Verhalten dieser Bedingung dementsprechend Einschränkungen auferlegt.
3.1 Das Curry-Paradox-Lemma
Zu Beginn ist hier ein sehr allgemeines einschränkendes Ergebnis, eine enge Variante des Lemma in Curry 1942b. [13]
Curry-Paradox-Lemma Angenommen, Theorie (mathcal {T}) und Satz (pi) sind so, dass (i) es einen Curry-Satz für (pi) und (mathcal {T} gibt.), (ii) alle Instanzen der Identitätsregel (Id) (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha) gelten, und (iii) die Bedingung ({ rightarrow}) erfüllt beide der folgenden Prinzipien:
Hier ist MP eine Version des Modus Ponens, und Cont ist ein Prinzip der Kontraktion: Zwei Vorkommen des Satzes (alpha) werden zu einem "zusammengezogen". (Wir werden bald auf verwandte Prinzipien stoßen, die allgemein als Kontraktion bezeichnet werden. [14]) Das Curry-Paradox-Lemma beinhaltet, dass jede Curry-vollständige Theorie eine oder mehrere von Id, MP oder Cont in Bezug auf Schmerz der Trivialität verletzen muss.
Um das Lemma zu beweisen, zeigt man, dass Id, MP und Cont zusammen mit der "Curry-Intersubstitutivität" von (kappa) mit (kappa { rightarrow} pi) ausreichen, um (vdash_ { mathcal {T}} pi). Die folgende Ableitung ähnelt dem informellen Argument von Abschnitt 1.1. Dieses Argument enthielt auch ein Unterargument für den Grundsatz Cont, auf das weiter unten eingegangen wird.
In Abschnitt 4 wird erörtert, wie jedes der beiden im Curry-Paradox-Lemma angenommenen Prinzipien in Bezug auf ({ rightarrow}) gerechtfertigt oder abgelehnt werden kann.
3.2 Alternative Voraussetzungen
Es gibt Gegenstücke zum Curry-Paradox-Lemma, die sich auf alternative logische Prinzipien berufen (siehe z. B. Rogerson & Restall 2004 und Bimbó 2006). Die wahrscheinlich häufigste Version ersetzt die Regeln Id und Cont durch entsprechende Gesetze:
Ein zweites gemeinsames Gegenstück zum Curry-Paradox-Lemma ist Meyer, Routley und Dunn (1979) zu verdanken. [15] In Bezug auf die Konjunktion werden zwei Prinzipien verwendet: die Rechtsform des Modus Ponens und die Idempotenz der Konjunktion.
Wenn Sie das Curry-Paradox-Lemma nicht mit ContL oder MPL, sondern mit Cont formulieren, können Sie (im nächsten Abschnitt) leichter auf signifikante Unterschiede innerhalb der Klasse der Antworten aufmerksam machen, die beide letztgenannten Prinzipien ablehnen. [16]
4. Antworten auf Currys Paradoxon
Die Antworten auf Currys Paradoxon können in zwei Klassen unterteilt werden, je nachdem, ob sie die beunruhigende Folgerung akzeptieren, dass alle Curry-vollständigen Theorien trivial sind.
Curry-Unvollständigkeitsantworten akzeptieren die beunruhigende Folgerung. Sie bestreiten jedoch, dass die Zieltheorien von Eigenschaften, Mengen oder Wahrheiten Curry-vollständig sind. Curry-Unvollständigkeitsantworten können und werden normalerweise die klassische Logik umfassen.
Curry-Vollständigkeitsantworten lehnen die beunruhigende Folgerung ab; Sie bestehen darauf, dass es nicht triviale Curry-vollständige Theorien geben kann. Jede solche Theorie muss gegen eines oder mehrere der im Curry-Paradox-Lemma angenommenen logischen Prinzipien verstoßen. Da die klassische Logik diese Prinzipien validiert, rufen diese Antworten eine nicht-klassische Logik hervor. [17]
Es besteht auch die Möglichkeit, eine Curry-Unvollständigkeitsreaktion auf Curry-Paradoxe zu befürworten, die in einem Bereich auftreten, beispielsweise in der Mengenlehre, während eine Curry-Vollständigkeitsreaktion auf Curry-Paradoxe, die in einem anderen Bereich auftreten, beispielsweise in der Eigenschaftstheorie, befürwortet wird (z. B. Field 2008; Beall 2009)).
4.1 Curry-Unvollständigkeitsantworten
Beispiele für herausragende Wahrheitstheorien, die Curry-Unvollständigkeitsantworten auf Currys Paradox liefern, sind Tarskis hierarchische Theorie, die Revisionstheorie der Wahrheit (Gupta & Belnap 1993) und die kontextualistischen Ansätze (Burge 1979, Simmons 1993 und Glanzberg 2001, 2004). Diese Theorien beschränken alle das „naive“Transparenzprinzip (Wahrheit). Eine Übersicht finden Sie im Eintrag zum Lügner-Paradoxon. Im Kontext der Mengenlehre umfassen Curry-Unvollständigkeitsantworten Theorien vom Russellschen Typ und verschiedene Theorien, die das Prinzip der „naiven“Mengenabstraktion (Menge) einschränken. Siehe die Einträge zu Russells Paradoxon und alternativen axiomatischen Mengen-Theorien.
Im Allgemeinen scheinen die Überlegungen, die für die Bewertung der meisten Curry-Unvollständigkeitsantworten relevant sind, nicht spezifisch für Currys Paradoxon zu sein, sondern beziehen sich gleichermaßen auf das Lügnerparadoxon (im wahrheitstheoretischen Bereich) und Russells Paradoxon (im Mengen- und Eigenschafts-). theoretische Bereiche). [18] Aus diesem Grund wird sich der Rest dieses Eintrags auf Curry-Vollständigkeitsantworten konzentrieren, obwohl Abschnitt 6.3 kurz auf die Unterscheidung im Zusammenhang mit sogenannten Validitäts-Curry-Paradoxien zurückkommt.
4.2 Curry-Vollständigkeitsantworten
Curry-Vollständigkeitsantworten auf Currys Paradoxon besagen, dass es Theorien gibt, die Curry-vollständig und doch nicht trivial sind; Eine solche Theorie muss gegen eines oder mehrere der im Curry-Paradox-Lemma angenommenen logischen Prinzipien verstoßen. Da die Regel-ID im Allgemeinen nicht in Frage gestellt wurde (siehe jedoch Französisch 2016 und Nicolai & Rossi in Kürze), bedeutet dies, zu leugnen, dass die bedingte ({ rightarrow}) einer nichttrivialen Curry-vollständigen Theorie sowohl MP als auch Cont erfüllt. Dementsprechend wurden die Antworten in zwei Kategorien unterteilt.
(I) Die gängigste Strategie bestand darin, zu akzeptieren, dass die Bedingung einer solchen Theorie MP gehorcht, aber zu leugnen, dass sie Cont gehorcht. Da Cont ein Kontraktionsprinzip ist, können solche Reaktionen als kontraktionsfrei bezeichnet werden. Diese Strategie wurde zuerst von Moh (1954) vorgeschlagen, der von Geach (1955) und Prior (1955) zustimmend zitiert wird
(II) Eine zweite und viel neuere Strategie besteht darin, zu akzeptieren, dass die Bedingung einer solchen Theorie Cont gehorcht, aber zu leugnen, dass sie MP gehorcht (manchmal als Regel der „Ablösung“bezeichnet). Solche Reaktionen können als ablösungsfrei bezeichnet werden. Diese Strategie wird von Ripley (2013) und Beall (2015) auf unterschiedliche Weise vertreten
Jede Kategorie von Curry-Vollständigkeitsantworten kann wiederum danach unterteilt werden, wie angebliche Ableitungen von Cont und MP blockiert werden.
4.2.1 Kontraktionsfreie Antworten
Das Prinzip Cont, das durch kontraktionsfreie Antworten abgelehnt wird, folgt aus zwei Standardprinzipien. Hierbei handelt es sich um einen bedingten Beweis für eine einzelne Prämisse und eine etwas allgemeinere Version von modus ponens, die höchstens eine Prämisse (gamma) umfasst:
Kontraktionsfreie Antworten müssen daher das eine oder andere dieser beiden Prinzipien für die Bedingung einer nichttrivialen Curry-vollständigen Theorie ablehnen. Dementsprechend können zwei Unterkategorien von Theoretikern in Kategorie (I) identifiziert werden:
(Ia) Eine stark kontraktionsfreie Antwort bestreitet, dass ({ rightarrow}) MP 'gehorcht (z. B. Mares & Paoli 2014; Slaney 1990; Weir 2015; Zardini 2011)
(Ib) Eine schwach kontraktionsfreie Antwort akzeptiert, dass ({ rightarrow}) MP 'gehorcht, bestreitet jedoch, dass es CP gehorcht (z. B. Field 2008; Beall 2009; Nolan 2016)
Der Grund, warum Antworten in Kategorie (Ib) nur als schwach kontraktionsfrei gelten, besteht darin, dass sie, wie die Schritte 1 bis 3 zeigen, das Kontraktionsprinzip akzeptieren, nach dem if (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta) dann (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta).
Befürworter stark kontraktionsfreier Reaktionen sind der Ansicht, dass MP 'die relevante Form von Modus Ponens nicht richtig ausdrückt. Sie präsentieren in der Regel ihre eigene Form dieser Regel in einem „substrukturellen“Rahmen, insbesondere einem, mit dem wir unterscheiden können, was aus einer einmal genommenen Prämisse und was aus derselben zweimal genommenen Prämisse folgt. (Siehe Eintrag zur Unterstrukturlogik.) Dementsprechend muss MP 'durch ersetzt werden
Weil sie strukturelle Kontraktionen ablehnen, können stark kontraktionsfreie Ansätze behaupten, Modus Ponens trotz Ablehnung von MP 'zu erhalten (siehe Shapiro 2011, Zardini 2013 und Ripley 2015a).
Stark kontraktionsfreie Reaktionen müssen auch eine Ableitung von MP 'unter Verwendung eines Paares von Prinzipien blockieren, die Konjunktion beinhalten:
Um diese Ableitung von MP 'zu vermeiden, muss geleugnet werden, dass es eine Konjunktion (wedge) gibt, die sowohl MP' (_ { wedge}) als auch Idem (_ { wedge}) gehorcht. Nach vielen stark kontraktionsfreien Antworten (z. B. Mares & Paoli 2014; Zardini 2011) befolgt eine Art von Konjunktion - die "multiplikative" Art oder "Fusion" - MP '(_ { wedge}), aber nicht Idem (_ { wedge}), während eine andere Art - die "additive" Art - Idem (_ { wedge}) gehorcht, aber nicht MP '(_ { wedge}) (siehe Eintrag auf linear Logik und Ripley 2015a). Wenn das oben diskutierte Unterstrukturgerüst verwendet wird, läuft der Fehler von MP '(_ { wedge}) auf die Tatsache hinaus, dass für die additive Konjunktion (gamma, \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta) ist nicht gleichbedeutend mit (gamma \ wedge \ delta \ vdash _ { mathcal {T}} beta).
Bei schwach kontraktionsfreien Reaktionen wurde das Versagen von CP manchmal durch die Verwendung von "Welten" -Semantik motiviert, bei der zwischen logisch möglichen und unmöglichen Welten unterschieden wird (z. B. Beall 2009; Nolan 2016). Um CP zu widerlegen, benötigen wir die Wahrheit von (alpha \ vdash_ \ mathcal {T} beta) und die Falschheit von (vdash_ \ mathcal {T} alpha { rightarrow} beta). Auf dem Ziel werden "Welten" -Ansätze (vdash_ \ mathcal {T}) als Wahrheitserhaltung über eine geeignete Teilmenge von Welten (in einem Modell) definiert, nämlich die "möglichen Welten" des Modells. Damit (alpha \ vdash_ \ mathcal {T} beta) wahr ist, gibt es keine mögliche Welt (in irgendeinem Modell), in der (alpha) wahr ist und (beta)) unwahr. Um (vdash_ \ mathcal {T} alpha { rightarrow} beta) zu widerlegen, brauchen wir eine mögliche Welt, in der (alpha { rightarrow} beta) nicht wahr ist. Wie passiert das? Da Konnektive so definiert sind, dass alle (Arten von) Welten im Modell berücksichtigt werden (möglich und, falls vorhanden, unmöglich), kann (alpha { rightarrow} beta) nicht wahr sein in einer möglichen Welt, weil (alpha) wahr ist und (beta) in einer unmöglichen Welt nicht wahr ist. Und genau das passiert bei den Zielansätzen. (Wie genau man die Bedingungen für die Wahrheit in einer Welt und die Falschheit in einer Welt für den Pfeil definiert, hängt vom genauen Ansatz der „Welten“ab.)Und genau das passiert bei den Zielansätzen. (Wie genau man die Bedingungen für die Wahrheit in einer Welt und die Falschheit in einer Welt für den Pfeil definiert, hängt vom genauen Ansatz der „Welten“ab.)Und genau das passiert bei den Zielansätzen. (Wie genau man die Bedingungen für die Wahrheit in einer Welt und die Falschheit in einer Welt für den Pfeil definiert, hängt vom genauen Ansatz der „Welten“ab.)
4.2.2 Ablösungsfreie Antworten
Ablösungsfreie Antworten müssen eine einfache Ableitung von MP auf der Grundlage eines Transitivitätsprinzips zusammen mit der Umkehrung eines bedingten Beweises mit nur einer Prämisse blockieren:
(Trans) Wenn (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta) und (vdash _ { mathcal {T}} alpha), dann (vdash _ { mathcal {T}} Beta)
(CCP) Wenn (vdash _ { mathcal {T}} alpha { rightarrow} beta), dann (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta)
Es gibt zwei Unterkategorien von Theoretikern in Kategorie (II):
(IIa) Eine stark ablösungsfreie Antwort bestreitet, dass ({ rightarrow}) der KPCh gehorcht (Goodship 1996; Beall 2015).
(IIb) Eine schwach ablösungsfreie Antwort akzeptiert, dass ({ rightarrow}) der KPCh gehorcht, lehnt jedoch Trans ab (Ripley 2013).
Der Grund, warum Antworten in Kategorie (IIb) nur schwach ablösungsfrei sind, ist, dass die KPCh, die diese Antworten akzeptieren, als eine Art Ablösungsprinzip für die Bedingung angesehen werden kann.
Eine Strategie zur Beantwortung der Anschuldigung, dass ablösungsfreie Antworten nicht intuitiv sind, bestand darin, einen Zusammenhang zwischen der Konsequenz und unserer Annahme und Ablehnung von Urteilen herzustellen. Entsprechend dieser Verbindung bedeutet (oder impliziert) (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} beta), dass es im Licht der Theorie (mathcal) inkohärent ist {T}), um (alpha) zu akzeptieren, während (beta) abgelehnt wird (siehe Restall 2005). Nehmen wir nun an, dass es im Licht einer Theorie (mathcal {T}) inkohärent ist, (alpha) abzulehnen, und es auch inkohärent ist, (alpha) zu akzeptieren, während (beta abgelehnt wird)). Dann, so argumentiert Ripley (2013), muss es in den Lichtern der Theorie nichts Inkohärentes geben, (beta) abzulehnen, solange man nicht auch (alpha) akzeptiert. Es gibt also Raum, Trans aufzugeben und eine schwach ablösungsfreie Reaktion auf Currys Paradoxon anzunehmen. Bealls Verteidigung des stark ablösungsfreien Ansatzes beruht auf verwandten Überlegungen. Tatsächlich argumentiert er, dass ein Prinzip, das schwächer als die KPCh ist, die relevante Rolle bei der Einschränkung der Kombinationen von Akzeptanz und Ablehnung von Sätzen wie (alpha), (beta) und (alpha { rightarrow) spielen kann }\Beta).
4.2.3 Anwendung auf das informelle Argument
Die soeben unterschiedenen Ansätze zum Curry-Paradoxon bemängeln unterschiedliche Schlussfolgerungen und Unterschlussfolgerungen des informellen paradoxen Arguments in Abschnitt 1.1. Eine stark kontraktionsfreie Antwort entspricht dem Blockierungsschritt (3) dieses Arguments, da es MP 'ablehnt. Eine schwach kontraktionsfreie Antwort blockiert stattdessen Schritt (4), da sie CP ablehnt. Keine der beiden ablösungsfreien Antworten akzeptiert die Argumentation in Schritt (3). Da sie Cont akzeptieren, erlauben uns ablösungsfreie Antworten, die Schlussfolgerung von (4) abzuleiten, woraus schwach ablösungsfreie Antworten es uns weiterhin ermöglichen, die Schlussfolgerung von (3) durch die KPCh abzuleiten. Beide Arten der ablösungsfreien Reaktion bemängeln jedoch den endgültigen Schritt von MP nach (6).
5. Die Bedeutung von Currys Paradoxon
In diesem Abschnitt erklären wir einige charakteristische Lektionen, die unter Berücksichtigung des Curry-Paradoxons gelernt werden können. In den Einträgen zu Russells Paradoxon und dem Lügnerparadoxon wird erläutert, welche Bedeutung Versionen von Currys Paradoxon mit verwandten Paradoxien teilen.
5.1 Hoffnungen auf Lösungen für Negationsparadoxien
Beginnend mit Church (1942), Moh (1954), Geach (1955), Löb (1955) und Prior (1955) hat die Diskussion über Currys Paradoxon betont, dass es sich von Russells Paradoxon und dem Lügnerparadoxon dadurch unterscheidet, dass es dies nicht tut. t "involv [e] negation im Wesentlichen" (Anderson 1975: 128). [19] Ein Grund für den negationsfreien Status von Currys Paradoxon ist, dass das Paradoxon gegen einige Resolutionen resistent ist, die für solche „Negationsparadoxien“angemessen sein könnten.
Geach argumentiert, dass Currys Paradoxon ein Problem für alle Befürworter der naiven Wahrheitstheorie oder der naiven Mengenlehre darstellt, die angesichts von Negationsparadoxien
könnte… hoffen, [diese Paradoxien] zu vermeiden, indem ein logisches System verwendet wird, in dem '(p) genau dann ein Satz für einige Interpretationen von' (p) 'ohne unser ist in der Lage sein, daraus eine willkürliche Aussage abzuleiten…. (Geach 1955: 71)
Das Problem, sagt er, ist, dass Currys Paradoxon "nicht einfach durch die Einführung eines Systems gelöst werden kann, das eine seltsame Art von Negation enthält". Vielmehr müssen wir, wenn wir die naive Sicht der Wahrheit oder die naive Sicht der Klassen beibehalten wollen, die elementaren Inferenzregeln in Bezug auf das Wenn ändern (1955: 72). Geachs Ansicht über die Bedeutung von Currys Paradoxon wird von Meyer, Routley und Dunn (1979: 127) genau bestätigt. Sie kommen zu dem Schluss, dass Currys Paradoxon diejenigen frustriert, die "gehofft hatten, dass eine Schwächung der klassischen Negationsprinzipien" Russells Paradoxon lösen würde. [20]
Kurz gesagt, der Punkt ist, dass es nicht-klassische Logiken mit schwachen Negationsprinzipien gibt, die Russells Paradoxon und den Lügner auflösen, aber dennoch anfällig für Currys Paradoxon bleiben. Dies sind Logiken mit folgenden Funktionen:
(a) Sie können als Grundlage für eine nichttriviale Theorie dienen, nach der ein Satz mit seiner eigenen Negation intersubstituierbar ist.
(b) Sie können nicht als Grundlage für eine nichttriviale Theorie dienen, die Curry-vollständig ist.
Während es unklar ist, welche Logik Geach im Sinn hatte, gibt es tatsächlich nicht-klassische Logiken, die diese beiden Bedingungen erfüllen. Theorien, die auf diesen Logiken basieren, bleiben dementsprechend anfällig für Currys Paradoxon.
5.1.1 Parakonsistente Lösungen frustriert
Meyer, Routley und Dunn (1979) machen auf eine Klasse von Logiken aufmerksam, die die Bedingungen (a) und (b) erfüllen. Sie gehören zu den parakonsistenten Logiken, bei denen es sich um Logiken handelt, nach denen ein Satz zusammen mit seiner Negation keinen willkürlichen Satz enthält. Parakonsistente Logik kann verwendet werden, um Theorien zu erhalten, die Russells Paradoxon und den Lügner auflösen, indem Negationsinkonsistenz akzeptiert wird, ohne der Trivialität zu erliegen.
Nach einer solchen Theorie (mathcal {T}) können Sätze (lambda) und (lnot \ lambda) intersubstituierbar sein, solange beide (vdash _ { mathcal {T} } lambda) und (vdash _ { mathcal {T}} lnot \ lambda). Solche Theorien sind „voll“in dem Sinne, dass sie einen Satz zusammen mit seiner Negation bestätigen (siehe Eintrag zum Dialetheismus). Eine Reihe prominenter parakonsistenter Logiken kann jedoch nicht als Grundlage für Curry-vollständige Theorien über den Schmerz der Trivialität dienen. Man sagt manchmal, dass solche Logiken nicht „Curry paraconsistent“sind (Slaney 1989). [21]
5.1.2 Parakomplette Lösungen frustriert
Viele der nicht-klassischen Logiken, die vorgeschlagen wurden, um Antworten auf Russells Paradoxon und das Lügnerparadoxon zu zeichnen, sind parakomplette Logiken, Logiken, die das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte ablehnen. Diese Logik ermöglicht "gappy" Theorien. Insbesondere wenn (lambda) und (lnot \ lambda) nach einer solchen Theorie (mathcal {T}) intersubstituierbar sind, ist es nicht der Fall, dass (vdash _ { mathcal {T}} lambda \ lor \ lnot \ lambda). Einige dieser parakompletten Logiken erfüllen ebenfalls die Bedingungen (a) und (b).
Ein Beispiel ist die Logik Ł (_ {3}), die auf den dreiwertigen Wahrheitstabellen von Łukasiewicz basiert (siehe z. B. Priest 2008). Da es die Bedingung (a) erfüllt, bietet Ł (_ {3}) eine mögliche Antwort auf Russells Paradoxon und insbesondere auf den Lügner, insbesondere eine glückliche Antwort. Betrachten Sie jedoch die iterierte Bedingung (alpha { rightarrow} (alpha { rightarrow} beta)), die wir als (alpha \ Rightarrow \ beta) abkürzen. Angenommen, ein Curry-Satz für (pi) und eine auf Ł (_ {3}) basierende Theorie (mathcal {T}) wird neu definiert, um ein Satz (kappa) zu sein, der mit \ intersubstituierbar ist (kappa \ Rightarrow \ pi). Dann wird (mathcal {T}) alle Bedingungen des Curry-Paradox-Lemmas erfüllen, wie zuerst von Moh (1954) festgestellt wurde. Solange es also ein (kappa) gibt, das gemäß (mathcal {T}) mit (kappa \ Rightarrow \ pi) intersubstituierbar ist, dann (vdash _ { mathcal { T}} pi). Folglich wird Ł (_ {3}) keine Antwort auf Currys Paradoxon unterschreiben.[22]
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Currys Paradoxon einigen ansonsten verfügbaren Möglichkeiten zur Lösung semantischer Paradoxien mithilfe von Völlerei- oder Gappy-Theorien im Wege steht. Infolgedessen hat die Notwendigkeit, Currys Paradoxon zu umgehen, eine bedeutende Rolle bei der Entwicklung nicht klassischer Logik gespielt (z. B. Priest 2006; Field 2008).
5.2 Hinweis auf eine allgemeine paradoxe Struktur
Der negationsfreie Status von Currys Paradoxon ist aus einem zweiten Grund von Bedeutung. Prior macht folgenden wichtigen Punkt:
Wir können… nicht nur sagen, dass Currys Paradoxon keine Negation beinhaltet, sondern dass sogar Russells Paradoxon nur die Eigenschaften der Negation voraussetzt, die es implizit teilt. (Vor 1955: 180) [23]
Was er im Sinn hat, ist, dass Russells Paradoxon und Currys Paradoxon als Ergebnis derselben allgemeinen Struktur verstanden werden können, die entweder durch Negation oder durch Verwendung einer Bedingung instanziiert werden kann. [24]
Die allgemeine Struktur kann explizit gemacht werden, indem ein Typ eines unären Konnektivs definiert wird, der zu Currys Paradoxon führt, und gezeigt wird, wie dieser Typ sowohl durch Negation als auch durch einen unären Konnektiv veranschaulicht wird, der als Bedingung definiert ist.
Definition 3 (Curry-Konnektiv) Sei (pi) ein Satz in der Sprache der Theorie (mathcal {T}). Der unäre Konnektiv (odot) ist ein Curry-Konnektiv für (pi) und (mathcal {T}), sofern er zwei Prinzipien erfüllt:
Verallgemeinertes Curry-Paradox-Lemma Angenommen, (mathcal {T}) ist so, dass Id gilt, und für einige Satzpaare (pi) und (mu) (i) (mu)) und (odot \ mu) sind gemäß (mathcal {T}) intersubstituierbar und (ii) (odot) ist ein Curry-Konnektiv für (pi) und (mathcal { T}). In diesem Fall (vdash _ { mathcal {T}} pi). [25]
Beweis:
) begin {array} {rll} 1 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {Id} \ 2 & \ mu \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {1 Curry-intersubstitutivity} \ 3 & \ vdash _ { mathcal {T}} odot \ mu & \ textrm {2 P2} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T}} mu & \ textrm {3 Curry-intersubstitutivity} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T}} pi & \ textrm {3, 4 P1} \ \ end {array})
Das verallgemeinerte Curry-Paradoxon-Lemma kann nun auf zwei verschiedene Arten instanziiert werden, um entweder Currys Paradoxon oder ein Negationsparadoxon zu erhalten:
Um Currys Paradoxon zu erhalten, sei der unäre Konnektiv (odot) so, dass (odot \ alpha) (alpha { rightarrow} pi) ist, und sei (mu) a Satz intersubstituierbar mit (mu { rightarrow} pi) gemäß (mathcal {T}). Dann entspricht P1 der Instanz von MP, die bei unserer Ableitung des Curry-Paradox-Lemmas verwendet wird, während P2 nichts anderes als unsere Regel Cont ist.
Um ein Negationsparadoxon zu erhalten, sei (odot \ alpha) (lnot \ alpha) und (mu) ein Satz, der gemäß (lnot \ mu) gemäß (lnot \ mu) intersubstituierbar ist \ mathcal {T}). [26] Dann handelt es sich bei P1 um einen Fall von Ex-Contradictione Quodlibet (oder „Explosion“), während P2 ein Reduktionsprinzip ist.
Prior meint, dass die Merkmale der Negation, die für Russells Paradoxon oder das Lügnerparadoxon relevant sind, durch seinen Status als Curry-Konnektiv erschöpft sind. Dies macht deutlich, warum diese Paradoxien nicht von Negationsmerkmalen wie der ausgeschlossenen Eliminierung der mittleren oder doppelten Negation abhängen, die in nichtklassischen Theorien, in denen die Negation ein Curry-Bindeglied bleibt, nicht zutreffen (z. B. in intuitionistischen Theorien, in denen ECQ und Red beide gelten).. [27]
Darüber hinaus muss ein Curry-Konnektiv überhaupt nicht sehr negationsartig sein. Es kann sein, dass es sich nicht einmal um eine minimale Negation handelt (siehe Eintrag zur Negation), da das Gesetz der doppelten Einführung nicht eingehalten werden muss:
Angenommen, (odot \ alpha) ist (alpha { rightarrow} pi). Damit (odot) DI gehorchen kann, muss (alpha \ vdash _ { mathcal {T}} (alpha { rightarrow} pi) { rightarrow} Pi). Dieses Prinzip wird durch eine Reihe nicht klassischer Theorien verletzt, für die (odot), wenn es auf diese Weise definiert wird, als Curry-Konnektivität gilt. [28]
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Currys Paradoxon auf eine allgemeine Struktur hinweist, die durch eine Vielzahl von Paradoxien instanziiert wird. Diese Struktur selbst beinhaltet keine Negation, aber sie wird auch durch Paradoxe dargestellt, die (im Gegensatz zu Currys Paradoxon) im Wesentlichen Negation beinhalten, wie Russells Paradoxon und das Lügnerparadoxon.
Die Frage, welche Paradoxien eine gemeinsame Struktur aufweisen, wird angesichts des von Priest (1994) einflussreich vertretenen „Prinzips der einheitlichen Lösung“wichtig. Nach diesem Prinzip sollten Paradoxe, die zur „gleichen Art“gehören, die „gleiche Art von Lösung“erhalten. Angenommen, wir grenzen eine Art von Paradox wie folgt ab:
Definition 4 (verallgemeinertes Curry-Paradoxon) Wir haben in jedem Fall ein verallgemeinertes Curry-Paradoxon, in dem die im verallgemeinerten Curry-Paradoxon-Lemma angegebenen Annahmen zu gelten scheinen.
Unter der Annahme, dass man das Prinzip der einheitlichen Lösung akzeptiert, stellt sich die Frage, was als Vorschlag einer einheitlichen Lösung für alle verallgemeinerten Curry-Paradoxien gilt. Reicht es insbesondere aus, für jede Instanz der so abgegrenzten Art zu zeigen, dass das, was als Curry-Konnektivität erscheint, tatsächlich keine ist? Es scheint, dass dies tatsächlich ausreichen sollte. Es ist unklar, warum die Einheitlichkeit zusätzlich erfordern sollte, dass alle scheinbaren Curry-Konnektiva aufgrund eines Verstoßes gegen dieselbe Bedingung nicht als solche qualifiziert werden. Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Negation und unser unärer Konnektiv, der mit ({ rightarrow}) definiert wurde, beide das verallgemeinerte Prinzip P2 zu erfüllen scheinen, im ersteren Fall, weil ({ lnot}) Rot zu gehorchen scheint und im letzteren Fall, weil ({ rightarrow}) Cont zu gehorchen scheint. Es sei denn, diese beiden Erscheinungen haben eine gemeinsame Quelle (z.eine implizite Abhängigkeit von struktureller Kontraktion, wie von Zardini 2011 behauptet), muss es nichts Unangenehmes an sich geben, ein Erscheinungsbild zum Nennwert zu nehmen, während das andere als trügerisch abgetan wird. (Zur Diskussion des philosophischen Themas hier, das auf eine andere Klasse von Paradoxien angewendet wird, siehe den Austausch in Smith 2000 und Priest 2000.)
Wenn dies richtig ist, muss das Desiderat, dass verallgemeinerte Curry-Paradoxe einheitlich gelöst werden, nicht zwischen den verschiedenen logisch revisionären Lösungen unterscheiden, die verfolgt wurden. Dazu gehören die folgenden drei Optionen:
Man könnte annehmen, dass es das Prinzip P1 allein ist, das fehlschlägt, wenn (odot \ alpha) als (lnot \ alpha) instanziiert wird (um ein Negationsparadoxon zu erhalten), während es P2 allein ist, das fehlschlägt, wenn (odot \ alpha) wird als (alpha { rightarrow} pi) instanziiert (um ein Curry-Paradoxon zu erhalten). Bei diesem Ansatz scheitern ECQ und Cont, während Red und MP halten (Priest 1994, 2006).
Man könnte annehmen, dass P2 allein für beide Instanziierungen von (odot) fehlschlägt. Bei diesem Ansatz scheitern Red und Cont, während ECQ und MP gelten (Field 2008; Zardini 2011).
Man könnte annehmen, dass P1 alleine für beide Instanziierungen von (odot) fehlschlägt. Bei diesem Ansatz scheitern ECQ und MP, während Red und Cont halten (Beall 2015; Ripley 2013).
So würde zum Beispiel Priesters eigener Ansatz als Lösung des Curry-Paradoxons und des Lügner-Paradoxons gelten, die einheitlich als Beispiele für ein verallgemeinertes Curry-Paradoxon gelten. Dies wäre der Fall, obwohl Priest Lügner-Sätze sowohl als wahr als auch als falsch bewertet, während er die Behauptung zurückweist, dass Curry-Sätze wahr sind.
In jedem Fall wirft Currys Paradoxon Herausforderungen im Zusammenhang mit der Frage auf, welche Art von Einheitlichkeit für Lösungen für verschiedene Paradoxien erforderlich sein sollte (siehe auch Zardini 2015). Priest selbst macht auf eine Art Paradoxon aufmerksam, das enger ist als die verallgemeinerten Curry-Paradoxe, eine Art, deren Instanzen die Negationsparadoxe einschließen, aber Currys Paradox ausschließen. Diese Art wird von Priest's "Inclosure Schema" (2002) herausgegriffen; siehe den Eintrag zur Selbstreferenz. Ein anhaltender Streit betrifft die Frage, ob es eine Version von Currys Paradoxon geben könnte, die als „Einschlussparadoxon“gilt, obwohl sie Priesters einheitlicher dialetheischer Lösung für solche Paradoxien widersteht (siehe den Austausch in Beall 2014b, Weber et al. 2014 und Beall 2014a) sowie Pleitz 2015).
6. Gültigkeits-Curry
Das letzte Jahrzehnt (zum Datum dieser Version dieses Eintrags) hat einen Boom in der Aufmerksamkeit für Curry-Paradoxe und möglicherweise insbesondere für sogenannte Validitäts-Curry- oder V-Curry-Paradoxe erlebt (Whittle 2004; Shapiro 2011; Beall & Murzi) 2013). [29] V-Curry beinhaltet Curry-Sätze, die speziell die Konsequenz oder "Gültigkeits" -Relation einer Theorie aufrufen, indem sie entweder eine Bedingung oder ein Prädikat verwenden, das vorgibt, die Beziehung der Theorie (mathcal {T}) (vdash_) auszudrücken. \ mathcal {T}) in der Sprache von (mathcal {T}) selbst.
6.1 Verbindungsformular
Für eine Form des v-Curry-Paradoxons sei die in der Definition eines Curry-Satzes (Definition 1) erwähnte Bedingung eine Folgeverbindung ({ Rightarrow}). Ein Satz mit ({ Rightarrow}) als Hauptoperator ist folgendermaßen zu interpretieren: "Das (p) beinhaltet (gemäß (mathcal {T})) das (q)". Wir erhalten jetzt sofort eigenschaftstheoretische, satztheoretische oder wahrheitstheoretische Versionen von Currys Paradoxon, vorausgesetzt nur, dass ({ Rightarrow}) die Bedingungen MP und Cont des Curry-Paradoxon-Lemmas erfüllt.
Was diese Instanz des Curry-Paradox-Lemmas besonders problematisch macht, ist, dass sie ein Hindernis für eine gemeinsame Reaktion auf Currys Paradox darstellt, nämlich die in Abschnitt 4.2.1 diskutierte schwach kontraktionsfreie Reaktion. Diese Antwort hing davon ab, die Regel CP des bedingten Beweises für eine einzelne Prämisse abzulehnen, eine Richtung des „Abzugssatzes“für eine einzelne Prämisse. Dies ist jedoch eine Regel, der sich für eine Konsequenzkonnektivität nur schwer widersetzen konnte (Shapiro 2011; Weber 2014; Zardini 2013). Wenn (beta) eine Konsequenz von (alpha) gemäß der Konsequenzrelation der Theorie (mathcal {T}) ist, hat diese Theorie ({ Rightarrow}) als eigene Konsequenz Konnektiv, dann muss (mathcal {T}) sicher den Konsequenzanspruch (alpha { Rightarrow} beta) enthalten. Ebenso stellt diese Vielfalt des Curry-Paradoxons ein Hindernis für ablösungsfreie Reaktionen dar.die erfordern, die Regel MP abzulehnen. Wenn eine Theorie mit einem eigenen Konsequenzkonnektiv sowohl (alpha) als auch die Konsequenzbedingung (alpha { Rightarrow} beta) enthält, muss sie sicherlich auch (beta) enthalten. Zumindest schien es so. Zugegebenermaßen wird der Befürworter einer schwach ablösungsfreien Antwort argumentieren, dass MP für ({ Rightarrow}) die Transitivität illegal erhöht (siehe Abschnitt 4.2.2). Was jedoch unausweichlich erscheint, ist die Umkehrung von CP, der Regel CCP, die die andere Richtung des Abzugssatzes für eine einzelne Prämisse darstellt. Wenn eine Theorie die Konsequenz bedingt (alpha { Rightarrow} beta) enthält, dann folgt nach der Theorie sicherlich (beta) aus (alpha). Das würde eine stark ablösungsfreie Reaktion immer noch ausschließen. Wenn eine Theorie mit einem eigenen Konsequenzkonnektiv sowohl (alpha) als auch die Konsequenzbedingung (alpha { Rightarrow} beta) enthält, muss sie sicherlich auch (beta) enthalten. Zumindest schien es so. Zugegebenermaßen wird der Befürworter einer schwach ablösungsfreien Antwort argumentieren, dass MP für ({ Rightarrow}) die Transitivität illegal erhöht (siehe Abschnitt 4.2.2). Was jedoch unausweichlich erscheint, ist die Umkehrung von CP, der Regel CCP, die die andere Richtung des Abzugssatzes für eine einzelne Prämisse darstellt. Wenn eine Theorie die Konsequenz bedingt (alpha { Rightarrow} beta) enthält, dann folgt nach der Theorie sicherlich (beta) aus (alpha). Das würde eine stark ablösungsfreie Reaktion immer noch ausschließen. Wenn eine Theorie mit einem eigenen Konsequenzkonnektiv sowohl (alpha) als auch die Konsequenzbedingung (alpha { Rightarrow} beta) enthält, muss sie sicherlich auch (beta) enthalten. Zumindest schien es so. Zugegebenermaßen wird der Befürworter einer schwach ablösungsfreien Antwort argumentieren, dass MP für ({ Rightarrow}) die Transitivität illegal erhöht (siehe Abschnitt 4.2.2). Was jedoch unausweichlich erscheint, ist die Umkehrung von CP, der Regel CCP, die die andere Richtung des Abzugssatzes für eine einzelne Prämisse darstellt. Wenn eine Theorie die Konsequenz bedingt (alpha { Rightarrow} beta) enthält, dann folgt nach der Theorie sicherlich (beta) aus (alpha). Das würde eine stark ablösungsfreie Reaktion immer noch ausschließen.es schien. Zugegebenermaßen wird der Befürworter einer schwach ablösungsfreien Antwort argumentieren, dass MP für ({ Rightarrow}) die Transitivität illegal erhöht (siehe Abschnitt 4.2.2). Was jedoch unausweichlich erscheint, ist die Umkehrung von CP, der Regel CCP, die die andere Richtung des Abzugssatzes für eine einzelne Prämisse darstellt. Wenn eine Theorie die Konsequenz bedingt (alpha { Rightarrow} beta) enthält, dann folgt nach der Theorie sicherlich (beta) aus (alpha). Das würde eine stark ablösungsfreie Reaktion immer noch ausschließen.es schien. Zugegebenermaßen wird der Befürworter einer schwach ablösungsfreien Antwort argumentieren, dass MP für ({ Rightarrow}) die Transitivität illegal erhöht (siehe Abschnitt 4.2.2). Was jedoch unausweichlich erscheint, ist die Umkehrung von CP, der Regel CCP, die die andere Richtung des Abzugssatzes für eine einzelne Prämisse darstellt. Wenn eine Theorie die Konsequenz bedingt (alpha { Rightarrow} beta) enthält, dann folgt nach der Theorie sicherlich (beta) aus (alpha). Das würde eine stark ablösungsfreie Reaktion immer noch ausschließen. Wenn eine Theorie die Konsequenz bedingt (alpha { Rightarrow} beta) enthält, dann folgt nach der Theorie sicherlich (beta) aus (alpha). Das würde eine stark ablösungsfreie Reaktion immer noch ausschließen. Wenn eine Theorie die Konsequenz bedingt (alpha { Rightarrow} beta) enthält, dann folgt nach der Theorie sicherlich (beta) aus (alpha). Das würde eine stark ablösungsfreie Reaktion immer noch ausschließen.
6.2 Prädikatform
Eine zweite Form des v-Curry-Paradoxons ergibt sich für eine Theorie (mathcal {T} _V), deren Gegenstand die Konsequenzrelation einer einzelnen Prämisse (vdash _ { mathcal {T} _ {V}}) enthält. das ergibt sich nach dieser Theorie zwischen Sätzen in seiner Sprache. [30] Lassen Sie diese Beziehung durch das Prädikat (Val (x, y)) ausgedrückt werden und nehmen Sie weiter an, dass es einen Satz (chi) gibt, der entweder (Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle)) oder ist zumindest gemäß (mathcal {T} _V) mit letzterem austauschbar. Eine Form des v-Curry-Paradoxons verwendet zwei Prinzipien für (Val), die wir nach Beall & Murzi (2013) als "Gültigkeitsablösung" und "Gültigkeitsnachweis" bezeichnen.
Unter Verwendung dieser Prinzipien erhalten wir das folgende schnelle Argument für (vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi).
) begin {array} {rll} 1 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {Id} \ 2 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {2 Curry-Intersubstitutivität} \ 3 & \ chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & \ textrm {1, 2 VD} \ 4 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} Val (langle \ chi \ rangle, \ langle \ pi \ rangle) & \ textrm {3 VP} \ 5 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} chi & \ textrm {4 Curry-intersubstitutivity} \ 6 & \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi & \ textrm { 4, 5 VD} \ \ end {array})
Bei Anwendung auf diese Prädikatform von v-Curry würde eine schwach kontraktionsfreie Antwort der „Kontraktion“von Schritt 2 zu Schritt 4 widerstehen, indem die Regel VP abgelehnt wird, und eine ablösungsfreie Antwort würde VD sogar im Nullpunkt ablehnen. Prämissenform, die in Schritt 6 verwendet wurde. Wiederum schienen sowohl VP als auch Null-Prämissen-VD angesichts der beabsichtigten Interpretation des Prädikats (Val) unausweichlich zu sein (Beall & Murzi 2013; Murzi 2014; Murzi & Shapiro 2015; Priester) 2015; Zardini 2014). [31] Selbst wenn VD als illegal mit Transitivität verbunden abgelehnt wird, scheint das Gegenteil von VP unausweichlich. Wenn ja, würde dies zumindest eine stark ablösungsfreie Reaktion ausschließen.
Eine wohl leistungsfähigere Version des v-Curry-Denkens wird von Shapiro (2013) und Field (2017: 7) vorgestellt. Diese Argumentation kann entweder konnektiv oder prädikativ sein, hängt jedoch nicht von CP oder VP ab. Hier geben wir die Prädikatform mit (Val) an. Wie oben leiten wir zuerst (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) mit VD ab. In Anbetracht der Bedeutung von (Val) zeigt die Schlussfolgerung, dass (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) (Val (langle \ chi \ rangle,) langle \ pi \ rangle)) ist wahr, dh dass (chi) wahr ist. Aber wenn (chi) wahr ist und (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi), dann scheint es, dass (pi) auch wahr sein muss. Da schwach ablösungsfreie (nichttransitive) Antworten auf v-Curry die Ableitung von (chi \ vdash _ { mathcal {T} _ {V}} pi) ermöglichen, ist diese Argumentation ebenfalls ein Einwand gegen solche Antworten.
6.3 Bedeutung
Wenn v-Curry-Paradoxe tatsächlich nicht für schwach kontraktionsfreie oder stark ablösungsfreie Antworten geeignet sind, ist der Raum für Curry-vollständige Antworten (unter der Annahme, dass die Regel-ID beibehalten wird) auf stark kontraktionsfrei und schwach beschränkt ablösungsfreie Antworten. Die früheren Antworten, wie in Abschnitt 4.2.1 erläutert, werden typischerweise dargestellt, indem der Modus ponens (oder die Ablösung für das Gültigkeitsprädikat) in einem substrukturellen Abzugssystem neu formuliert und die strukturelle Kontraktionsregel sCont abgelehnt wird. Die letztgenannten Antworten lehnen, wie in Abschnitt 4.2.2 erläutert, das Strukturprinzip der Transitivität ab. Aus diesem Grund wurden manchmal v-Curry-Paradoxe herangezogen, um substrukturelle Konsequenzbeziehungen zu motivieren (z. B. Barrio et al. In Kürze; Beall & Murzi 2013; Ripley 2015a; Shapiro 2011, 2015). [32]
Die lebhafte und weitreichende Debatte über V-Curry-Paradoxe hat zu echten Fortschritten bei unserem Verständnis der Curry-Paradoxe geführt. Am Ende ist klar geworden, dass V-Curry-Paradoxe zwar andere Auflösungen als Nicht-V-Curry-Paradoxe einladen können, aber in derselben Form bleiben wie verallgemeinerte Curry-Paradoxe. Insbesondere kann man in der allgemeinen Vorlage von Abschnitt 5.2 (odot) verwenden, um (entweder als Prädikat oder als Konnektiv) die Konsequenz im Lichte von (vdash_ \ mathcal {T}) selbst auszudrücken. Dies ist das Herz von V-Curry. Insofern es (viele) verschiedene (formale) Konsequenzbeziehungen gibt, die über unsere Sprache definierbar sind (z. B. logische Konsequenz aufgrund des logischen Vokabulars, epistemische Konsequenz aufgrund des logisch-plus-epistemischen Vokabulars usw.), gibt es dabei viele verschiedene v -Curry-Paradoxe, die auftreten können. Immer noch,Der Raum der Lösungen für diese Paradoxe ist der Raum der Lösungen für die verallgemeinerten Curry-Paradoxe, die in diesem Eintrag behandelt werden.
Es gibt jedoch noch mindestens zwei Gründe, warum V-Curry-Paradoxe besondere Aufmerksamkeit verdienen. Erstens sind, wie oben erwähnt, zwei Kategorien von Curry-Komplettlösungen - die schwach kontraktionsfreien und stark ablösungsfreien Optionen - bei v-Curry-Paradoxien besonders problematisch erschienen. Nehmen wir zweitens an, man behandelt ein gewöhnliches Curry-Paradoxon (eigenschaftstheoretisch, satztheoretisch oder semantisch) auf Curry-vollständige Weise. Es kann immer noch Grund geben, das entsprechende (konnektive oder Prädikat) v-Curry-Paradoxon in einer Curry-unvollständigen Weise zu behandeln, möglicherweise weil die Konsequenzbeziehung einer Theorie als wesentlich über die Erfassung durch einen Konnektiv oder Prädikat in der Sprache der Theorie hinausgehend angesehen wird (siehe z. B. Myhill 1975; Whittle 2004). So,Eine „ungleichmäßige“Lösung für gewöhnliche Curry-Paradoxe und ihre V-Curry-Gegenstücke kann wiederum eine motivierte Ungleichmäßigkeit sein.[33]
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