Normative Theorien Rationaler Wahl: Erwarteter Nutzen

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Normative Theorien rationaler Wahl: Erwarteter Nutzen

Erstveröffentlichung am 8. August 2014; inhaltliche Überarbeitung Do 15. August 2019

Wir müssen oft Entscheidungen unter Bedingungen der Unsicherheit treffen. Ein Abschluss in Biologie kann zu einer lukrativen Beschäftigung oder zu Arbeitslosigkeit und Schuldenabbau führen. Ein Arzttermin kann zur Früherkennung und Behandlung einer Krankheit führen oder eine Geldverschwendung sein. Die erwartete Nützlichkeitstheorie ist ein Bericht darüber, wie Sie rational wählen können, wenn Sie nicht sicher sind, welches Ergebnis aus Ihren Handlungen resultieren wird. Sein grundlegender Slogan lautet: Wählen Sie die Handlung mit dem höchsten erwarteten Nutzen.

In diesem Artikel wird die erwartete Nützlichkeitstheorie als normative Theorie erörtert, dh als Theorie, wie Menschen Entscheidungen treffen sollten. In der klassischen Ökonomie wird die erwartete Nützlichkeitstheorie häufig als beschreibende Theorie verwendet, dh als Theorie, wie Menschen Entscheidungen treffen, oder als prädiktive Theorie, dh als Theorie, die zwar die psychologischen Mechanismen von nicht genau modelliert Entscheidungsfindung, sagt die Entscheidungen der Menschen richtig voraus. Die Theorie des erwarteten Nutzens macht fehlerhafte Vorhersagen über die Entscheidungen der Menschen in vielen realen Entscheidungssituationen (siehe Kahneman & Tversky 1982); Dies regelt jedoch nicht, ob Menschen Entscheidungen auf der Grundlage erwarteter Nutzenüberlegungen treffen sollten.

Der erwartete Nutzen einer Handlung ist ein gewichteter Durchschnitt der Nutzen jedes ihrer möglichen Ergebnisse, wobei der Nutzen eines Ergebnisses das Ausmaß misst, in dem dieses Ergebnis den Alternativen vorgezogen oder vorzuziehen ist. Der Nutzen jedes Ergebnisses wird nach der Wahrscheinlichkeit gewichtet, dass die Handlung zu diesem Ergebnis führt. In Abschnitt 1 wird diese grundlegende Definition des erwarteten Nutzens genauer konkretisiert und das Verhältnis zur Wahl erörtert. In Abschnitt 2 werden zwei Arten von Argumenten für die erwartete Nützlichkeitstheorie erörtert: Repräsentationssätze und langfristige statistische Argumente. Abschnitt 3 befasst sich mit Einwänden gegen die erwartete Nützlichkeitstheorie; In Abschnitt 4 werden seine Anwendungen in der Philosophie der Religion, der Wirtschaft, der Ethik und der Erkenntnistheorie erörtert.

• 1. Definieren des erwarteten Dienstprogramms

  • 1.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten
  • 1.2 Ergebnisdienstprogramme

• 2. Argumente für die erwartete Nützlichkeitstheorie

  • 2.1 Langfristige Argumente
  • 2.2 Repräsentationssätze

• 3. Einwände gegen die erwartete Nützlichkeitstheorie

  • 3.1 Das Maximieren des erwarteten Nutzens ist nicht möglich
  • 3.2 Das Maximieren des erwarteten Nutzens ist irrational

• 4. Anwendungen

  • 4.1 Wirtschaft und öffentliche Ordnung
  • 4.2 Ethik
  • 4.3 Erkenntnistheorie
  • 4.4 Gesetz
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Definieren des erwarteten Dienstprogramms

Das Konzept des erwarteten Nutzens lässt sich am besten anhand eines Beispiels veranschaulichen. Angenommen, ich plane einen langen Spaziergang und muss entscheiden, ob ich meinen Regenschirm mitbringe. Ich würde den Regenschirm lieber nicht an einem sonnigen Tag tragen, aber ich würde lieber mit dem Regenschirm Regen sehen als ohne. Mir stehen zwei Akte zur Verfügung: Ich nehme meinen Regenschirm und lasse ihn zu Hause. Welche dieser Handlungen soll ich wählen?

Diese informelle Problembeschreibung kann etwas formeller in Bezug auf drei Arten von Entitäten neu formuliert werden. Erstens gibt es Ergebnisse - Objekte nicht instrumenteller Präferenzen. Im Beispiel können wir drei Ergebnisse unterscheiden: Entweder bin ich trocken und unbelastet; Am Ende bin ich trocken und von einem unhandlichen Regenschirm belastet. oder ich werde nass. Zweitens gibt es Zustände, die außerhalb der Kontrolle des Entscheidungsträgers liegen und die das Ergebnis der Entscheidung beeinflussen. Im Beispiel gibt es zwei Zustände: Entweder regnet es oder nicht. Schließlich gibt es Handlungen - Objekte der instrumentellen Vorlieben der Entscheidungsträgerin und in gewissem Sinne Dinge, die sie tun kann. Im Beispiel gibt es zwei Handlungen: Ich kann entweder den Regenschirm mitbringen; oder lass es zu Hause. Die Theorie des erwarteten Nutzens bietet eine Möglichkeit, die Handlungen nach ihrer Auswahl zu ordnen:Je höher der erwartete Nutzen, desto besser ist es, die Handlung zu wählen. (Es ist daher am besten, die Handlung mit dem höchsten erwarteten Nutzen zu wählen - oder eine davon, falls mehrere Handlungen miteinander verbunden sind.)

Nach allgemeiner Konvention werde ich die folgenden Annahmen über die Beziehungen zwischen Handlungen, Zuständen und Ergebnissen treffen.

• Zustände, Handlungen und Ergebnisse sind Sätze, dh Sätze von Möglichkeiten. Es gibt eine maximale Menge von Möglichkeiten, (Omega), von denen jeder Zustand, jede Handlung oder jedes Ergebnis eine Teilmenge ist.
• Die Menge der Handlungen, die Menge der Zustände und die Menge der Ergebnisse sind alle Partitionen auf (Omega). Mit anderen Worten, Handlungen und Zustände werden individualisiert, so dass jede Möglichkeit in (Omega) eine ist, bei der genau ein Zustand erreicht wird, der Agent genau eine Handlung ausführt und genau ein Ergebnis folgt.
• Handlungen und Zustände sind logisch unabhängig, so dass kein Staat die Ausführung einer Handlung ausschließt.
• Ich gehe für den Moment davon aus, dass bei einem Zustand der Welt jede Handlung genau ein mögliches Ergebnis hat. (In Abschnitt 1.1 wird kurz erörtert, wie man diese Annahme schwächen könnte.)

Das Beispiel des Regenschirms kann also in der folgenden Matrix dargestellt werden, wobei jede Spalte einem Zustand der Welt entspricht; jede Zeile entspricht einer Handlung; und jeder Eintrag entspricht dem Ergebnis, das sich ergibt, wenn die Handlung im Zustand der Welt ausgeführt wird.

		Zustände
		es regnet	es regnet nicht
handelt	Regenschirm nehmen	belastet, trocken	belastet, trocken
	Regenschirm verlassen	nass	frei, trocken

Nachdem ich das Grundgerüst eingerichtet habe, kann ich nun den erwarteten Nutzen genau definieren. Der erwartete Nutzen einer Handlung (A) (zum Beispiel unter meinem Regenschirm) hängt von zwei Merkmalen des Problems ab:

• Der Wert jedes Ergebnisses, gemessen anhand einer reellen Zahl, die als Dienstprogramm bezeichnet wird.
• Die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses hängt von (A) ab.

Angesichts dieser drei Informationen ist der erwartete Nutzen von (A) wie folgt definiert:

[EU (A) = \ sum_ {o \ in O} P_ {A} (o) U (o))

Dabei ist (O) die Menge der Ergebnisse, (P_ {A} (o)) die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses (o) abhängig von (A) und (U (o)) ist das Dienstprogramm von (o).

Die nächsten beiden Unterabschnitte entpacken die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion (P_A) und die Dienstprogrammfunktion (U).

1.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Der Ausdruck (P_ {A} (o)) repräsentiert die Wahrscheinlichkeit von (o) gegeben (A) - ungefähr, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ergebnis (o) unter der Annahme auftritt, dass die Agent wählt act (A). (Für die Axiome der Wahrscheinlichkeit siehe den Eintrag über Interpretationen der Wahrscheinlichkeit.) Um zu verstehen, was dies bedeutet, müssen wir zwei Fragen beantworten. Erstens, welche Interpretation der Wahrscheinlichkeit ist angemessen? Und zweitens, was bedeutet es, eine Wahrscheinlichkeit für die Annahme zuzuweisen, dass der Agent act (A) wählt?

Erwartete Nützlichkeitstheoretiker interpretieren Wahrscheinlichkeit wahrscheinlich als Messung des individuellen Glaubensgrades, so dass ein Satz (E) (für einen Agenten) in dem Maße wahrscheinlich ist, in dem dieser Agent von (E) überzeugt ist (siehe zum Beispiel Ramsey) 1926, Savage 1972, Jeffrey 1983). Aber nichts im Formalismus der erwarteten Nützlichkeitstheorie zwingt uns diese Interpretation auf. Wir könnten Wahrscheinlichkeiten stattdessen als objektive Chancen (wie bei von Neumann und Morgenstern 1944) oder als Grad des Glaubens interpretieren, der durch die Beweise gerechtfertigt ist, wenn wir der Meinung wären, dass dies ein besserer Leitfaden für rationales Handeln ist. (Weitere Informationen zu diesen und anderen Optionen finden Sie im Eintrag zur Interpretation der Wahrscheinlichkeit.)

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Agent (A) wählt? Hier gibt es zwei grundlegende Arten von Antworten, die der Beweisentscheidungstheorie und der Kausalentscheidungstheorie entsprechen.

Gemäß der von Jeffrey (1983) gebilligten Theorie der Beweisentscheidung ist die relevante vermutete Wahrscheinlichkeit (P_ {A} (o)) die bedingte Wahrscheinlichkeit (P (o \ mid A)), definiert als das Verhältnis von zwei bedingungslose Wahrscheinlichkeiten: (P (A \ amp o) / P (A)).

Gegen Jeffreys Definition des erwarteten Nutzens wenden sich Spohn (1977) und Levi (1991) dagegen, dass ein Entscheidungsträger den betreffenden Handlungen keine Wahrscheinlichkeiten zuweisen sollte: Wenn Sie frei entscheiden, ob eine Handlung ausgeführt werden soll, sollten Sie dies nicht tun. Berücksichtigen Sie nicht Ihre Überzeugungen darüber, ob Sie (A) ausführen werden. Wenn Spohn und Levi Recht haben, ist Jeffreys Verhältnis undefiniert (da sein Nenner undefiniert ist).

Nozick (1969) wirft einen weiteren Einwand auf: Jeffreys Definition liefert seltsame Ergebnisse im Newcomb-Problem. Ein Prädiktor gibt Ihnen eine geschlossene Box mit 0 oder 1 Million US-Dollar und bietet Ihnen eine offene Box mit zusätzlichen 1.000 US-Dollar an. Sie können entweder die offene Box ablehnen („One-Box“) oder die offene Box nehmen („Two-Box“). Aber es gibt einen Haken: Der Prädiktor hat Ihre Wahl im Voraus vorhergesagt, und alle ihre Vorhersagen sind zu 90% genau. Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Box haben, vorausgesetzt, dass sie Sie eine Box vorhersagt, beträgt 90%, und die Wahrscheinlichkeit, dass Sie zwei Boxen haben, vorausgesetzt, dass sie Sie zwei Boxen vorhersagt, beträgt 90%. Schließlich hängt der Inhalt der geschlossenen Box von der Vorhersage ab: Wenn der Prädiktor dachte, Sie würden zwei Boxen verwenden, legte sie nichts in die geschlossene Box, während sie, wenn sie dachte, Sie würden eine Box, 1 Million US-Dollar in die geschlossene Box steckte. Die Matrix für Ihre Entscheidung sieht folgendermaßen aus:

		Zustände
		1 Million US-Dollar in geschlossener Box	$ 0 in geschlossener Box
handelt	eine Schachtel	1.000.000 US-Dollar	$ 0
	Zwei-Box	1.001.000 USD	1.000 US-Dollar

Zwei-Boxen dominiert das Ein-Boxen: In jedem Zustand liefert Zwei-Boxen ein besseres Ergebnis. Nach Jeffreys Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit hat One-Boxing jedoch einen höheren erwarteten Nutzen als Two-Boxing. Es besteht eine hohe bedingte Wahrscheinlichkeit, dass 1 Million US-Dollar in der geschlossenen Box gefunden werden, vorausgesetzt, Sie haben eine Box, sodass One-Boxing einen hohen erwarteten Nutzen hat. Ebenso besteht eine hohe bedingte Wahrscheinlichkeit, dass in der geschlossenen Box nichts gefunden wird, vorausgesetzt, Sie haben zwei Boxen, sodass Zwei-Boxen einen geringen erwarteten Nutzen haben.

Die kausale Entscheidungstheorie ist ein alternativer Vorschlag, der diese Probleme umgeht. Es erfordert keine Handlungen (aber erlaubt sie dennoch), um Wahrscheinlichkeiten zu haben, und es wird empfohlen, im Newcomb-Problem zwei Boxen zu verwenden.

Die kausale Entscheidungstheorie gibt es in vielen Varianten, aber ich werde eine repräsentative Version betrachten, die von Savage (1972) vorgeschlagen wurde und die (P_ {A} (o)) berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten von Zuständen summiert werden, die in Kombination mit der Handlung (A) führen zum Ergebnis (o). Sei (f_ {A, s} (o)) eines der Ergebnisse, das (o) auf 1 abbildet, wenn (o) aus der Ausführung von (A) in Zustand s, Abbildungen (o) resultiert) sonst auf 0. Dann

[P_ {A} (o) = \ sum_ {s \ in S} P (s) f_ {A, s} (o))

Auf Savages Vorschlag hin bietet Two-Boxing einen höheren erwarteten Nutzen als One-Boxing. Dieses Ergebnis gilt unabhängig davon, welche Wahrscheinlichkeiten Sie den Zuständen vor Ihrer Entscheidung zuweisen. Sei (x) die Wahrscheinlichkeit, die Sie dem Zustand zuweisen, dass die geschlossene Box 1 Million US-Dollar enthält. Laut Savage sind die erwarteten Dienstprogramme für Ein-Boxen bzw. Zwei-Boxen:

[x { cdot} U ({$ 1,000,000}) + (1 - x) { cdot} U ($ 0))

und

[x { cdot} U ({$ 1,001,000}) + (1 - x) { cdot} U ({$ 1,000}))

Solange den größeren Geldbeträgen streng größere Dienstprogramme zugewiesen werden, ist die zweite Summe (der Nutzen des Zwei-Boxens) garantiert größer als die erste (der Nutzen des Ein-Boxens).

Savage geht davon aus, dass jede Handlung und jeder Zustand ausreicht, um ein Ergebnis eindeutig zu bestimmen. Es gibt jedoch Fälle, in denen diese Annahme zusammenbricht. Angenommen, Sie bieten an, mir das folgende Glücksspiel zu verkaufen: Sie werfen eine Münze; Wenn die Münze Köpfe landet, gewinne ich 100 $; und wenn die Münze Schwänze landet, verliere ich 100 Dollar. Aber ich lehne das Glücksspiel ab und die Münze wird niemals geworfen. Es gibt kein Ergebnis, das sich ergeben hätte, wenn die Münze geworfen worden wäre - ich hätte möglicherweise 100 Dollar gewonnen und ich hätte 100 Dollar verloren.

Wir können Savages Vorschlag verallgemeinern, indem wir (f_ {A, s}) eine Wahrscheinlichkeitsfunktion sein lassen, die Ergebnisse auf reelle Zahlen im Intervall ([0, 1]) abbildet. Lewis (1981), Skyrms (1980) und Sobel (1994) setzen (f_ {A, s}) mit der objektiven Chance gleich, dass (o) das Ergebnis wäre, wenn der Zustand (s) erhalten würde und der Agent wählte Aktion (A).

In einigen Fällen - am bekanntesten beim Newcomb-Problem - fallen die Jeffrey-Definition und die Savage-Definition des erwarteten Nutzens auseinander. Wenn jedoch die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind, stimmen sie überein.

• Handlungen sind wahrscheinlich unabhängig von Staaten. In formalen Begriffen gilt für alle Handlungen (A) und Zustände (s) [P (s) = P (s \ mid A) = \ frac {P (s \ amp A)} {P (A.)}.) (Dies ist die Bedingung, die im Newcomb-Problem verletzt wird.)
• Für alle Ergebnisse (o), Handlungen (A) und Zustände (s) ist (f_ {A, s} (o)) gleich der bedingten Wahrscheinlichkeit von (o) (A) und (s); in formalen Begriffen ist [f_ {A, s} (o) = P (o \ mid A \ amp s) = \ frac {P (o \ amp A \ amp s)} {P (A \ amp s)}.) (Die Notwendigkeit für diese Bedingung entsteht, wenn Handlungen und Zustände ein Ergebnis nicht eindeutig bestimmen können; siehe Lewis 1981.)

1.2 Ergebnisdienstprogramme

Der Begriff (U (o)) repräsentiert den Nutzen des Ergebnisses (o) - ungefähr, wie wertvoll (o) ist. Formal ist (U) eine Funktion, die jedem der Ergebnisse eine reelle Zahl zuweist. (Die mit (U) verknüpften Einheiten werden normalerweise als Dienstprogramme bezeichnet. Wenn also (U (o) = 2) ist, sagen wir, dass (o) 2 Dienstprogramme wert ist.) Je größer das Dienstprogramm, desto mehr wertvoll das Ergebnis.

Welche Art von Wert wird in Utiles gemessen? Utiles werden normalerweise nicht als Währungseinheiten wie Dollar, Pfund oder Yen angesehen. Bernoulli (1738) argumentierte, dass Geld und andere Güter einen geringeren Grenznutzen haben: Wenn eine Agentin reicher wird, ist jeder aufeinanderfolgende Dollar (oder jede goldene Uhr oder jeder Apfel) für sie weniger wertvoll als der letzte. Er gibt das folgende Beispiel: Es ist vernünftig für einen reichen Mann, aber nicht für einen Armen, 9.000 Dukaten im Austausch für einen Lottoschein zu bezahlen, der eine 50% ige Chance auf 20.000 Dukaten und eine 50% ige Chance auf nichts ergibt. Da die Lotterie den beiden Männern bei jedem Geldpreis die gleiche Chance gibt, müssen die Preise unterschiedliche Werte haben, je nachdem, ob der Spieler arm oder reich ist.

Klassische Utilitaristen wie Bentham (1789), Mill (1861) und Sidgwick (1907) interpretierten den Nutzen als Maß für Freude oder Glück. Für diese Autoren bedeutet zu sagen, dass (A) einen größeren Nutzen hat als (B) (für einen Agenten oder eine Gruppe von Agenten), dass (A) zu mehr Vergnügen oder Glück führt als (B)) (für diesen Agenten oder diese Gruppe von Agenten).

Ein Einwand gegen diese Interpretation des Nutzens ist, dass es möglicherweise kein einziges Gut (oder gar kein Gut) gibt, nach dessen Rationalität wir suchen müssen. Wenn wir jedoch den „Nutzen“so weit verstehen, dass er alle potenziell wünschenswerten Ziele umfasst - Vergnügen, Wissen, Freundschaft, Gesundheit usw. -, ist es nicht klar, dass es einen einzigartigen richtigen Weg gibt, um die Kompromisse zwischen verschiedenen Waren so zu treffen, dass jedes Ergebnis eine Bewertung erhält Nützlichkeit. Es mag keine gute Antwort auf die Frage geben, ob das Leben eines asketischen Mönchs mehr oder weniger gut ist als das Leben eines glücklichen Libertins - aber die Zuordnung von Dienstprogrammen zu diesen Optionen zwingt uns, sie zu vergleichen.

Zeitgenössische Entscheidungstheoretiker interpretieren den Nutzen typischerweise als ein Maß für die Präferenz, so dass zu sagen, dass (A) einen größeren Nutzen hat als (B) (für einen Agenten), einfach zu sagen, dass der Agent (A) bevorzugt (B). Für diesen Ansatz ist es entscheidend, dass Präferenzen nicht nur zwischen Ergebnissen (z. B. Vergnügen oder Kombinationen von Vergnügen und Wissen), sondern auch zwischen unsicheren Perspektiven (z. B. einer Lotterie, die 1 Million Dollar zahlt, wenn eine bestimmte Münze den Kopf landet) gelten. und führt zu einer Stunde schmerzhafter Stromschläge, wenn die Münze den Schwanz landet. Abschnitt 2 dieses Artikels befasst sich ausführlich mit der formalen Beziehung zwischen Präferenz und Auswahl.

Die erwartete Nützlichkeitstheorie erfordert nicht, dass Präferenzen egoistisch oder eigennützig sind. Jemand kann es vorziehen, Geld für wohltätige Zwecke zu geben, anstatt es für verschwenderische Abendessen auszugeben, oder sein eigenes Leben zu opfern, anstatt sein Kind sterben zu lassen. Sen (1977) schlägt vor, dass die Psychologie jeder Person am besten anhand von drei Ranglisten dargestellt wird: eine, die das enge Eigeninteresse der Person darstellt, eine zweite, die das Eigeninteresse der Person darstellt, die breiter ausgelegt ist, um Sympathiegefühle zu berücksichtigen (z. B. Leiden, wenn man eine andere Person beobachtet leiden), und ein Drittel repräsentiert die Verpflichtungen der Person, die es erforderlich machen können, dass sie gegen ihr Eigeninteresse handelt, das allgemein ausgelegt wird.

Broome (1991) interpretiert Dienstprogramme als Messvergleiche zwischen objektiver Betterness und Verschlechterung und nicht als persönliche Präferenzen: Zu sagen, dass (A) einen größeren Nutzen hat als (B), bedeutet, dass (A) objektiv besser ist als (B), oder dass eine vernünftige Person (A) gegenüber (B) vorziehen würde. So wie es im Formalismus der Wahrscheinlichkeitstheorie nichts gibt, was erfordert, dass wir eher subjektive als objektive Wahrscheinlichkeiten verwenden, so gibt es nichts im Formalismus der erwarteten Nützlichkeitstheorie, was erfordert, dass wir eher subjektive als objektive Werte verwenden.

Diejenigen, die Dienstprogramme nach persönlichen Vorlieben interpretieren, stehen vor einer besonderen Herausforderung: dem sogenannten Problem der Vergleiche zwischenmenschlicher Dienstprogramme. Wenn wir Entscheidungen darüber treffen, wie gemeinsam genutzte Ressourcen verteilt werden sollen, möchten wir oft wissen, ob Alice durch unsere Handlungen besser dran ist als Bob - und wenn ja, wie viel besser. Wenn der Nutzen jedoch ein Maß für die individuelle Präferenz ist, gibt es keinen klaren und aussagekräftigen Weg, um diese Vergleiche anzustellen. Die Dienstprogramme von Alice bestehen aus den Einstellungen von Alice, die Dienstprogramme von Bob bestehen aus den Einstellungen von Bob, und es gibt keine Einstellungen, die sich über Alice und Bob erstrecken. Wir können nicht davon ausgehen, dass Alices Dienstprogramm 10 dem Dienstprogramm 10 von Bob entspricht, genauso wenig wie wir davon ausgehen können, dass das Erreichen einer A-Note in Differentialgleichungen dem Erreichen einer A-Note beim Korbflechten entspricht.

Jetzt ist ein guter Zeitpunkt, um zu überlegen, welche Funktionen der Utility-Funktion aussagekräftige Informationen enthalten. Vergleiche sind informativ: Wenn (U (o_1) gt U (o_2)) (für eine Person), dann ist (o_1) besser als (oder bevorzugt) (o_2). Aber nicht nur Vergleiche sind informativ - die Nutzfunktion muss andere Informationen enthalten, wenn die erwartete Nützlichkeitstheorie aussagekräftige Ergebnisse liefern soll.

Um zu sehen, warum, betrachten Sie das Beispiel des Regenschirms noch einmal. Dieses Mal habe ich für jeden Zustand eine Wahrscheinlichkeit und für jedes Ergebnis einen Nutzen angegeben.

		Zustände
		es regnet ((P = 0,6))	es regnet nicht ((P = 0,4))
handelt	Regenschirm nehmen	belastet, trocken ((U = 5))	belastet, trocken ((U = 5))
	Regenschirm verlassen	nass ((U = 0))	frei, trocken ((U = 10))

Der erwartete Nutzen des Regenschirms ist

) begin {align} EU (take) & = P _ { take} (belastet, \ trocken) cdot 5 \& \ quad + P _ { take} (nass) cdot 0 \& \ quad + P _ { take} (frei, trocken) cdot 10 \& = 5 \ end {align})

während der erwartete Nutzen des Verlassens des Regenschirms ist

) begin {align} EU (verlassen) & = P _ { verlassen} (belastet, \ trocken) cdot 5 \& \ quad + P _ { verlassen} (nass) cdot 0 \& \ quad + P _ { Leave} (frei, trocken) cdot 10 \& = 4 \ end {align})

Seit (EU (take) gt EU (Leave)) sagt mir die erwartete Nützlichkeitstheorie, dass es besser ist, den Regenschirm zu nehmen, als ihn zu verlassen.

Nehmen wir nun an, wir ändern die Dienstprogramme der Ergebnisse: Anstatt (U) zu verwenden, verwenden wir (U ').

		Zustände
		es regnet ((P = 0,6))	es regnet nicht ((P = 0,4))
handelt	Regenschirm nehmen	belastet, trocken ((U '= 4))	belastet, trocken ((U '= 4))
	Regenschirm verlassen	nass ((U '= 2))	frei, trocken ((U '= 8))

Der neue erwartete Nutzen des Regenschirms ist

) begin {align} EU '(take) & = P _ { take} (belastet, \ trocken) cdot 4 \& \ quad + P _ { take} (nass) cdot 2 \& \ quad + P _ { take} (frei, trocken) cdot 8 \& = 4 \ end {align})

während der neue erwartete Nutzen des Verlassens des Regenschirms ist

) begin {align} EU '(verlassen) & = P _ { verlassen} (belastet, \ trocken) cdot 4 \& \ quad + P _ { verlassen} (nass) cdot 2 \& \ quad + P _ { Leave} (frei, trocken) cdot 8 \& = 4.4 \ end {align})

Seit (EU '(take) lt EU' (Leave)) sagt mir die erwartete Nützlichkeitstheorie, dass es besser ist, den Regenschirm zu verlassen, als ihn zu nehmen.

Die Utility-Funktionen (U) und (U ') ordnen die Ergebnisse genauso: frei, trocken ist am besten; belastete, trockene Reihen in der Mitte; und nass ist am schlimmsten. Die erwartete Nützlichkeitstheorie gibt jedoch in beiden Versionen des Problems unterschiedliche Ratschläge. Es muss also einen wesentlichen Unterschied zwischen Präferenzen geben, die von (U) angemessen beschrieben werden, und Präferenzen, die von (U ') angemessen beschrieben werden. Andernfalls ist die erwartete Nützlichkeitstheorie unbeständig und kann ihren Rat ändern, wenn unterschiedliche Beschreibungen desselben Problems verwendet werden.

Wann repräsentieren zwei Dienstprogrammfunktionen den gleichen Grundzustand? Die Messtheorie beantwortet die Frage, indem sie die zulässigen Transformationen eines Dienstprogramms charakterisiert, um es zu ändern, wobei alle seine bedeutungsvollen Merkmale intakt bleiben. Wenn wir die zulässigen Transformationen einer Dienstprogrammfunktion charakterisieren, haben wir damit angegeben, welche ihrer Merkmale von Bedeutung sind.

Verteidiger der erwarteten Nützlichkeitstheorie verlangen typischerweise, dass der Nutzen durch eine lineare Skala gemessen wird, wobei die zulässigen Transformationen alle und nur die positiven linearen Transformationen sind, dh Funktionen (f) der Form

[f (U (o)) = x { cdot} U (o) + y)

für reelle Zahlen (x \ gt 0) und (y).

Positive lineare Transformationen von Ergebnisdienstprogrammen wirken sich niemals auf die Urteile der erwarteten Nützlichkeitstheorie aus: Wenn (A) einen größeren erwarteten Nutzen hat als (B), wobei der Nutzen durch die Funktion (U) gemessen wird, dann (A) wird auch einen größeren erwarteten Nutzen haben als (B), wobei der Nutzen durch jede positive lineare Transformation von (U) gemessen wird.

2. Argumente für die erwartete Nützlichkeitstheorie

Warum sollten Sie Handlungen wählen, die den erwarteten Nutzen maximieren? Eine mögliche Antwort ist, dass die erwartete Nützlichkeitstheorie ein rationales Fundament ist - das bedeutet, dass die Rationalität des Endes im Wesentlichen die Maximierung des erwarteten Nutzens beinhaltet. Für diejenigen, die diese Antwort als unbefriedigend empfinden, gibt es jedoch zwei weitere Rechtfertigungsquellen. Erstens gibt es langfristige Argumente, die auf Beweisen beruhen, dass die Maximierung des erwarteten Nutzens auf lange Sicht eine rentable Politik ist. Zweitens gibt es Argumente, die auf Repräsentationssätzen basieren und darauf hindeuten, dass bestimmte rationale Präferenzbeschränkungen dazu führen, dass alle rationalen Agenten den erwarteten Nutzen maximieren.

2.1 Langfristige Argumente

Ein Grund für die Maximierung des erwarteten Nutzens besteht darin, dass dies langfristig zu einer guten Politik führt. Feller (1968) gibt eine Version dieses Arguments. Er stützt sich auf zwei mathematische Fakten über Wahrscheinlichkeiten: die starken und schwachen Gesetze großer Zahlen. Diese beiden Tatsachen betreffen Sequenzen unabhängiger, identisch verteilter Versuche - die Art von Setup, die sich aus wiederholten Wetten auf dieselbe Weise auf eine Sequenz von Roulette-Spins oder Craps-Spielen ergibt. Sowohl die schwachen als auch die starken Gesetze einer großen Anzahl besagen ungefähr, dass auf lange Sicht die durchschnittliche Menge an Nutzen, die pro Versuch erzielt wird, mit überwältigender Wahrscheinlichkeit nahe am erwarteten Wert eines einzelnen Versuchs liegt.

Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt, dass dort, wo jeder Versuch einen erwarteten Wert von (mu) für beliebig kleine reelle Zahlen (epsilon \ gt 0) und (delta \ gt 0) hat ist eine endliche Anzahl von Versuchen (n), so dass für alle (m) größer oder gleich (n) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens (1- \ delta) der durchschnittliche Gewinn des Spielers für Die ersten (m) Versuche fallen unter (epsilon) von (mu). Mit anderen Worten, auf lange Sicht wird der durchschnittliche Gewinn pro Versuch höchstwahrscheinlich innerhalb einer begrenzten Zeitspanne willkürlich nahe an den erwarteten Wert des Glücksspiels heranreichen. Auf lange Sicht ist es also überwältigend wahrscheinlich, dass der mit einem Glücksspiel verbundene Durchschnittswert nahe an seinem erwarteten Wert liegt.

Das starke Gesetz der großen Zahlen besagt, dass, wenn jeder Versuch einen erwarteten Wert von (mu) für jede beliebig kleine reelle Zahl (epsilon \ gt 0) hat, die Wahrscheinlichkeit steigt, dass die Der durchschnittliche Gewinn eines Spielers pro Versuch liegt innerhalb von (epsilon) von (mu) und konvergiert gegen 1. Mit anderen Worten, wenn die Anzahl der Wiederholungen eines Glücksspiels gegen unendlich geht, wird der durchschnittliche Gewinn pro Versuch willkürlich nahe an dem liegen Der erwartete Wert des Glücksspiels mit der Wahrscheinlichkeit 1. Auf lange Sicht entspricht der mit einem Glücksspiel verbundene Durchschnittswert mit ziemlicher Sicherheit dem erwarteten Wert.

Gegen diese langfristigen Argumente gibt es mehrere Einwände. Erstens können viele Entscheidungen nicht über unbegrenzt viele ähnliche Versuche wiederholt werden. Entscheidungen darüber, welche Karriere man verfolgen, wen man heiraten und wo man leben soll, werden bestenfalls eine begrenzte Anzahl von Malen getroffen. Wenn diese Entscheidungen mehr als einmal getroffen werden, beinhalten verschiedene Studien unterschiedliche mögliche Ergebnisse mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten. Es ist nicht klar, warum langfristige Überlegungen zu wiederholten Glücksspielen diese Einzelfallentscheidungen beeinflussen sollten.

Zweitens stützt sich das Argument auf zwei Unabhängigkeitsannahmen, von denen eine oder beide fehlschlagen können. Eine Annahme besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Versuche unabhängig sind. Dies gilt für Casino-Glücksspiele, aber nicht für andere Entscheidungen, bei denen wir die Entscheidungstheorie anwenden möchten, z. B. Entscheidungen über die medizinische Behandlung. Mein Verbleib nach einer Antibiotikakur macht es wahrscheinlicher, dass ich nach der nächsten Krankheit krank bleibe, da dies die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass sich antibiotikaresistente Bakterien in meinem Körper ausbreiten. Das Argument erfordert auch, dass die Nutzen verschiedener Versuche unabhängig sind, so dass der Gewinn eines Preises für einen Versuch den gleichen Beitrag zum Gesamtnutzen der Entscheidungsträgerin leistet, unabhängig davon, was sie bei anderen Versuchen gewinnt. Diese Annahme wird jedoch in vielen Fällen der realen Welt verletzt. Aufgrund des abnehmenden Grenznutzens von Geld ist der Gewinn von 10 Millionen US-Dollar bei zehn Roulette-Spielen nicht zehnmal so viel wert wie der Gewinn von 1 Million US-Dollar bei einem Roulette-Spiel.

Ein drittes Problem ist, dass die starken und schwachen Gesetze großer Zahlen modal schwach sind. Keines der beiden Gesetze sieht vor, dass bei einer unbegrenzten Wiederholung eines Glücksspiels (unter den entsprechenden Annahmen) der durchschnittliche Nutzengewinn pro Versuch nahe am erwarteten Nutzen des Spiels liegt. Sie stellen nur fest, dass der durchschnittliche Nutzengewinn pro Versuch mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe am erwarteten Nutzen des Spiels liegt. Eine hohe Wahrscheinlichkeit - sogar Wahrscheinlichkeit 1 - ist jedoch keine Gewissheit. (Die Standardwahrscheinlichkeitstheorie lehnt das Cournot-Prinzip ab, wonach Ereignisse mit geringer oder null Wahrscheinlichkeit nicht eintreten werden. Siehe jedoch Shafer (2005) zur Verteidigung des Cournot-Prinzips.) Für jede Folge unabhängiger, identisch verteilter Versuche ist es für den Durchschnitt möglich Nutzenauszahlung pro Versuch, um willkürlich weit vom erwarteten Nutzen eines einzelnen Versuchs abzuweichen.

2.2 Repräsentationssätze

Eine zweite Art von Argument für die erwartete Nützlichkeitstheorie beruht auf sogenannten Repräsentationssätzen. Wir folgen Zyndas (2000) Formulierung dieses Arguments - leicht modifiziert, um die Rolle von Versorgungsunternehmen sowie Wahrscheinlichkeiten widerzuspiegeln. Das Argument hat drei Prämissen:

Die Rationalitätsbedingung.

Die Axiome der erwarteten Nützlichkeitstheorie sind die Axiome der rationalen Präferenz.

Repräsentierbarkeit.

Wenn die Präferenzen einer Person den Axiomen der erwarteten Nützlichkeitstheorie gehorchen, kann sie so dargestellt werden, dass sie einen Grad an Glauben hat, der den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung gehorcht [und eine Nutzfunktion, die sie bevorzugt, handelt mit höherem erwarteten Nutzen].

Der Realitätszustand.

Wenn eine Person so dargestellt werden kann, dass sie Glaubensgrade hat, die der Wahrscheinlichkeitsrechnung gehorchen [und eine Nutzenfunktion, bei der sie Handlungen mit höherem erwarteten Nutzen bevorzugt], dann hat die Person tatsächlich Glaubensgrade, die den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung gehorchen [und bevorzugt wirklich Handlungen mit höherem erwarteten Nutzen].

Diese Prämissen beinhalten die folgende Schlussfolgerung.

Wenn eine Person [Handlungen mit höherem erwarteten Nutzen nicht bevorzugt], verstößt diese Person gegen mindestens eines der Axiome rationaler Präferenz.

Wenn die Prämissen wahr sind, zeigt das Argument, dass etwas mit Menschen nicht stimmt, deren Präferenzen im Widerspruch zur erwarteten Nützlichkeitstheorie stehen - sie verletzen die Axiome der rationalen Präferenz. Lassen Sie uns jede der Prämissen genauer betrachten, beginnend mit der Schlüsselprämisse Repräsentierbarkeit.

Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion und eine Nutzenfunktion stellen zusammen eine Reihe von Präferenzen dar, nur für den Fall, dass die folgende Formel für alle Werte von (A) und (B) im Bereich der Präferenzbeziehung gilt

[EU (A) gt EU (B) text {genau dann, wenn} A \ text {B vorgezogen wird.)

Mathematische Repräsentabilitätsbeweise werden Repräsentationssätze genannt. In Abschnitt 2.1 werden drei der einflussreichsten Repräsentationssätze untersucht, von denen jeder auf einem anderen Satz von Axiomen beruht.

Unabhängig davon, welche Axiome wir verwenden, ist die Rationalitätsbedingung umstritten. In einigen Fällen verletzen Präferenzen, die rational zulässig erscheinen - vielleicht sogar rational erforderlich -, die Axiome der erwarteten Nützlichkeitstheorie. In Abschnitt 3 werden solche Fälle ausführlich erörtert.

Die Realitätsbedingung ist ebenfalls umstritten. Hampton (1994), Zynda (2000) sowie Meacham und Weisberg (2011) weisen alle darauf hin, dass die Darstellung mit einer Wahrscheinlichkeits- und Nutzenfunktion keine Wahrscheinlichkeits- und Nutzenfunktion hat. Schließlich kann ein Agent, der als erwarteter Nutzenmaximierer mit Glaubensgraden dargestellt werden kann, die der Wahrscheinlichkeitsrechnung entsprechen, auch als jemand dargestellt werden, der den erwarteten Nutzen nicht mit Glaubensgraden maximiert, die gegen die Wahrscheinlichkeitsrechnung verstoßen. Warum sollte die erwartete Darstellung des Versorgungsunternehmens die richtige sein?

Es gibt mehrere Möglichkeiten. Vielleicht kann der Verteidiger von Repräsentationssätzen festlegen, dass es nur darum geht, die entsprechenden Präferenzen zu haben, wenn man einen bestimmten Grad an Glauben und Nutzen hat. Die größte Herausforderung für die Verteidiger dieser Antwort besteht darin, zu erklären, warum Darstellungen im Hinblick auf den erwarteten Nutzen erklärend nützlich sind und warum sie besser sind als alternative Darstellungen. Oder vielleicht sind Wahrscheinlichkeiten und Nutzen ein gut aufgeräumter theoretischer Ersatz für unsere Volksvorstellungen von Glauben und wunschgenaue wissenschaftliche Ersatz für unsere Volkskonzepte. Meacham und Weisberg stellen diese Antwort in Frage und argumentieren, dass Wahrscheinlichkeiten und Nutzen für unsere Volksvorstellungen schlecht sind. Eine dritte Möglichkeit, die von Zynda vorgeschlagen wurde, besteht darin, dass Tatsachen über Glaubensgrade unabhängig von den Präferenzen des Agenten wahr gemacht werden.und bieten eine prinzipielle Möglichkeit, den Bereich akzeptabler Darstellungen einzuschränken. Die Herausforderung für Verteidiger dieser Art von Reaktion besteht darin, diese zusätzlichen Fakten anzugeben.

Ich komme nun zu drei einflussreichen Repräsentationssätzen. Diese Repräsentationssätze unterscheiden sich in drei philosophisch bedeutsamen Punkten.

Erstens sind sich verschiedene Repräsentationssätze über die Objekte der Präferenz und Nützlichkeit nicht einig. Sind sie wiederholbar? Müssen sie vollständig unter der Kontrolle des Agenten sein?

Zweitens unterscheiden sich Repräsentationssätze in ihrer Behandlung der Wahrscheinlichkeit. Sie sind sich nicht einig darüber, welche Entitäten Wahrscheinlichkeiten haben und ob dieselben Objekte sowohl Wahrscheinlichkeiten als auch Dienstprogramme haben können.

Drittens, während jeder Repräsentationssatz beweist, dass es für eine geeignete Präferenzreihenfolge eine Wahrscheinlichkeits- und Nutzenfunktion gibt, die die Präferenzreihenfolge darstellt, unterscheiden sie sich darin, wie einzigartig diese Wahrscheinlichkeits- und Nutzenfunktion ist. Mit anderen Worten, sie unterscheiden sich darin, welche Transformationen der Wahrscheinlichkeits- und Nutzenfunktionen zulässig sind.

2.2.1 Ramsey

Die Idee eines Repräsentationssatzes für den erwarteten Nutzen geht auf Ramsey (1926) zurück. (Seine Skizze eines Repräsentationssatzes wird anschließend von Bradley (2004) und Elliott (2017) ausgefüllt.) Ramsey geht davon aus, dass Präferenzen über einen Bereich von Glücksspielen definiert sind, die einen Preis unter der Bedingung ergeben, dass ein Satz (P) ist wahr und ein anderer Preis unter der Bedingung, dass (P) falsch ist. (Beispiele für Glücksspiele: Sie erhalten einen Strampler, wenn Sie ein Baby und eine Flasche Scotch haben. Andernfalls erhalten Sie 20 Dollar, wenn Bojack das Kentucky Derby gewinnt und ansonsten einen Dollar verliert.)

Ramsey nennt einen Satz ethisch neutral, wenn „zwei mögliche Welten, die sich nur in Bezug auf [seine Wahrheit] unterscheiden, immer von gleichem Wert sind“. Für einen ethisch neutralen Satz kann die Wahrscheinlichkeit 1/2 als Präferenz definiert werden: Ein solcher Satz hat die Wahrscheinlichkeit 1/2, nur für den Fall, dass Sie gleichgültig sind, auf welche Seite Sie setzen. (Wenn Bojack also das Kentucky Derby gewinnt, ist dies eine ethisch neutrale Angelegenheit, hat es eine Wahrscheinlichkeit von 1/2, nur für den Fall, dass es Ihnen gleichgültig ist, ob Sie zwanzig Dollar gewinnen, wenn es wahr ist, oder einen Dollar zu verlieren, und zwanzig Dollar, wenn es falsch ist und einen Dollar verlieren Andernfalls.)

Durch die Aufstellung eines ethisch neutralen Satzes mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 zusammen mit einer Vielzahl von Preisen definiert Ramsey numerische Dienstprogramme für Preise. (Die grobe Idee ist, dass, wenn es Ihnen gleichgültig ist, ob Sie mit Sicherheit einen mittleren Preis (m) erhalten oder ein Glücksspiel, das einen besseren Preis (b) ergibt, wenn der ethisch neutrale Satz wahr ist, und einen schlechteren Preis (w) Wenn es fällt, liegt das Dienstprogramm von (m) auf halbem Weg zwischen den Dienstprogrammen von (b) und (w).) Mit diesen numerischen Dienstprogrammen nutzt er dann die Definition des erwarteten Dienstprogramms aus, um es zu definieren Wahrscheinlichkeiten für alle anderen Sätze.

Die grobe Idee ist es, den Reichtum des Preisraums auszunutzen, der sicherstellt, dass für jedes Glücksspiel (g) ein besserer Preis (b) erzielt wird, wenn (E) wahr ist und ein schlechterer Preis (w) Wenn (E) falsch ist, ist der Agent zwischen (g) und einem mittleren Preis (m) gleichgültig. Dies bedeutet, dass (EU (g) = EU (m)). Mit etwas Algebra und der Tatsache, dass (EU (g) = P (E) U (b) + (1-P (E)) U (w)), zeigt Ramsey dies

[P (E) = \ frac {(1 - U (m)} {(U (b) - U (w))})

2.2.2 Von Neumann und Morgenstern

Von Neumann und Morgenstern (1944) behaupten, dass Präferenzen gegenüber einem Bereich von Lotterien definiert werden. Einige dieser Lotterien sind konstant und bringen mit Sicherheit einen einzigen Preis. (Zu den Preisen können eine Banane, eine Million Dollar, eine Million Dollar Schulden, der Tod oder ein neues Auto gehören.) Lotterien können auch andere Lotterien als Preise haben, so dass man eine Lotterie mit einer 40% igen Gewinnchance haben kann eine Banane und eine 60% ige Chance, ein 50: 50-Glücksspiel zwischen einer Million Dollar und dem Tod zu erzielen.) Der Bereich der Lotterien wird unter einem Mischvorgang geschlossen, so dass wenn (L) und (L ') sind Lotterien und (x) ist eine reelle Zahl im Intervall ([0, 1]), dann gibt es eine Lotterie (x L + (1-x) L '), die (L) ergibt. mit der Wahrscheinlichkeit (x) und (L ') mit der Wahrscheinlichkeit (1-x). Sie zeigen, dass jede Präferenzbeziehung, die bestimmten Axiomen gehorcht, durch die Wahrscheinlichkeiten dargestellt werden kann, die zur Definition der Lotterien verwendet werden, zusammen mit einer Nutzenfunktion, die bis zur positiven linearen Transformation einzigartig ist.

2.2.3 Savage

Anstatt Wahrscheinlichkeiten als selbstverständlich zu betrachten, wie es von Neumann und Morgenstern tun, definiert Savage (1972) sie als Präferenzen gegenüber Handlungen. Savage setzt drei separate Domänen. Wahrscheinlichkeit hängt mit Ereignissen zusammen, die wir als Disjunktionen von Zuständen betrachten können, während Nützlichkeit und intrinsische Präferenz mit Ergebnissen verbunden sind. Der erwartete Nutzen und die nicht intrinsische Präferenz hängen mit Handlungen zusammen.

Für Savage müssen Handlungen, Zustände und Ergebnisse bestimmte Einschränkungen erfüllen. Handlungen müssen vollständig unter der Kontrolle des Agenten stehen (daher ist die Veröffentlichung meiner Arbeit in Mind keine Handlung, da dies teilweise von der Entscheidung des Herausgebers abhängt, die ich nicht kontrolliere). Ergebnisse müssen den gleichen Nutzen haben, unabhängig davon, welchen Staat sie erhalten (daher ist "Ich gewinne ein schickes Auto" kein Ergebnis, da der Nutzen des schicken Autos in Staaten größer ist, in denen die Person, die ich am meisten beeindrucken möchte, Wünsche hat, die ich mir vorgestellt habe Auto und weniger in Staaten, in denen ich meinen Führerschein verliere). Kein Staat kann die Ausführung einer Handlung ausschließen, und eine Handlung und ein Staat müssen zusammen mit Sicherheit ein Ergebnis bestimmen. Für jedes Ergebnis (o) gibt es eine konstante Handlung, die in jedem Zustand (o) ergibt. (Wenn also der Weltfrieden ein Ergebnis ist, gibt es eine Handlung, die zum Weltfrieden führt.egal wie der Zustand der Welt ist.) Schließlich geht er davon aus, dass es für zwei beliebige Akte (A) und (B) und für jedes Ereignis (E) einen gemischten Akt (A_E \ amp B_ {gibt). \ sim E}), das das gleiche Ergebnis wie (A) liefert, wenn (E) wahr ist, und das gleiche Ergebnis wie (B) ansonsten. (Wenn also der Weltfrieden und das Ende der Welt beide Ergebnisse sind, dann gibt es einen gemischten Akt, der zum Weltfrieden führt, wenn eine bestimmte Münze den Kopf landet, und das Ende der Welt anders.)))

Savage postuliert eine Präferenzbeziehung gegenüber Handlungen und gibt Axiome an, die diese Präferenzbeziehung regeln. Anschließend definiert er subjektive Wahrscheinlichkeiten oder Glaubensgrade in Bezug auf Präferenzen. Der Schlüsselschritt besteht darin, eine "mindestens so wahrscheinliche" Beziehung zwischen Ereignissen zu definieren. Ich paraphrasiere hier.

Angenommen, (A) und (B) sind konstante Handlungen, so dass (A) (B) vorgezogen wird. Dann ist (E) mindestens so wahrscheinlich wie (F), nur für den Fall, dass der Agent entweder (A_E \ amp B _ { sim E}) bevorzugt (die Handlung, die (A) ergibt, wenn (E) erhält und (B) sonst) zu (A_F \ amp B _ { sim F}) (die Handlung, die (A) ergibt, wenn (F) erhält, und (B)) andernfalls) oder ist gleichgültig zwischen (A_E \ amp B _ { sim E}) und (A_F \ amp B _ { sim F}).

Der Gedanke hinter der Definition ist, dass die Agentin (E) für mindestens so wahrscheinlich hält wie (F), nur für den Fall, dass sie nicht lieber auf (F) als auf (E) setzen möchte.

Savage gibt dann Axiome an, die die rationale Präferenz einschränken, und zeigt, dass jeder Satz von Präferenzen, die diese Axiome erfüllen, eine "mindestens ebenso wahrscheinliche" Beziehung ergibt, die durch eine Wahrscheinlichkeitsfunktion eindeutig dargestellt werden kann. Mit anderen Worten, es gibt eine und nur eine Wahrscheinlichkeitsfunktion (P), so dass für alle (E) und (F) (P (E) ge P (F)) genau dann wenn (E) mindestens so wahrscheinlich ist wie (F). Jede Präferenzbeziehung, die Savages Axiomen folgt, wird durch diese Wahrscheinlichkeitsfunktion (P) zusammen mit einer Nutzenfunktion dargestellt, die bis zur positiven linearen Transformation eindeutig ist.

Der Repräsentationssatz von Savage liefert starke Ergebnisse: Ausgehend von einer Präferenzreihenfolge können wir eine einzelne Wahrscheinlichkeitsfunktion und eine enge Klasse von Nutzenfunktionen finden, die diese Präferenzreihenfolge darstellen. Der Nachteil ist jedoch, dass Savage unplausibel starke Annahmen über den Bereich der Handlungen treffen muss.

Luce und Suppes (1965) weisen darauf hin, dass Savages ständige Handlungen unplausibel sind. (Erinnern Sie sich daran, dass konstante Handlungen in jedem Zustand das gleiche Ergebnis und den gleichen Wert bringen.) Nehmen Sie für alle ein sehr gutes Ergebnis - totale Glückseligkeit. Gibt es wirklich eine ständige Handlung, die dieses Ergebnis in jedem möglichen Zustand hat, einschließlich der Zustände, in denen die Menschheit von einem Meteor ausgelöscht wird? Problematisch ist auch Savages Vertrauen in einen reichen Raum gemischter Akte. Savage musste davon ausgehen, dass es zwei beliebige Ergebnisse und ein beliebiges Ereignis gibt. Es gibt einen gemischten Akt, der das erste Ergebnis liefert, wenn das Ereignis eintritt, und das zweite Ergebnis ansonsten? Gibt es wirklich eine Handlung, die völlige Glückseligkeit bringt, wenn jeder von einer antibiotikaresistenten Pest getötet wird, und sonst totales Elend? Luce und Krantz (1971) schlagen Wege zur Neuformulierung von Savage vor.s Repräsentationssatz, der diese Annahmen schwächt, aber Joyce (1999) argumentiert, dass selbst bei den geschwächten Annahmen der Bereich der Handlungen unplausibel reich bleibt.

2.2.4 Bolker und Jeffrey

Bolker (1966) beweist einen allgemeinen Repräsentationssatz über mathematische Erwartungen, den Jeffrey (1983) als Grundlage für eine philosophische Darstellung der erwarteten Nützlichkeitstheorie verwendet. Bolkers Theorem geht von einer einzigen Domäne von Sätzen aus, die Objekte der Präferenz, des Nutzens und der Wahrscheinlichkeit gleichermaßen sind. Der Vorschlag, dass es heute regnen wird, hat also sowohl einen Nutzen als auch eine Wahrscheinlichkeit. Jeffrey interpretiert dieses Dienstprogramm als den Nachrichtenwert des Satzes - ein Maß dafür, wie glücklich oder enttäuscht ich wäre, zu erfahren, dass der Satz wahr ist. Konventionell setzt er den Wert des notwendigen Satzes auf 0 - der notwendige Satz ist überhaupt keine Neuigkeit! Ebenso hat der Vorschlag, dass ich meinen Regenschirm zur Arbeit nehme, was eine Handlung ist, sowohl eine Wahrscheinlichkeit als auch einen Nutzen. Jeffrey interpretiert dies so, dass ich ein gewisses Maß an Überzeugung darüber habe, was ich tun werde.

Bolker gibt Axiome an, die die Präferenz einschränken, und zeigt, dass alle Präferenzen, die seine Axiome erfüllen, durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß (P) und ein Nutzenmaß (U) dargestellt werden können. Bolkers Axiome stellen jedoch nicht sicher, dass (P) eindeutig ist oder dass (U) bis zur positiven linearen Transformation eindeutig ist. Sie erlauben uns auch nicht, die Vergleichswahrscheinlichkeit in Bezug auf die Präferenz zu definieren. Stattdessen zeigt Bolker, dass (P) und (U) gemeinsam eine Präferenzreihenfolge darstellen, dass das Paar (langle P, U \ rangle) bis zu einer gebrochenen linearen Transformation eindeutig ist.

In technischer Hinsicht ist (U) eine Dienstfunktion, die so normalisiert ist, dass (U (Omega) = 0), (inf) die größte Untergrenze der durch (U) zugewiesenen Werte ist. (sup) ist die kleinste Obergrenze der durch (U) zugewiesenen Werte, und (lambda) ist ein Parameter, der zwischen (- 1 / inf) und (- 1 / sup \ liegt)) ist die gebrochene lineare Transformation (langle P _ { lambda}, U _ { lambda} rangle) von (langle P, U \ rangle) entsprechend (lambda) gegeben durch:

) begin {align} P _ { lambda} & = P (x) (1 + \ lambda U (x)) \ U _ { lambda} & = U (x) ((1+ \ lambda) / (1 + \ lambda U (x)) end {align})

Beachten Sie, dass fraktionierte lineare Transformationen eines Wahrscheinlichkeits-Nutzen-Paares nicht mit dem ursprünglichen Paar übereinstimmen können, welche Sätze wahrscheinlicher sind als welche anderen.

Joyce (1999) zeigt, dass mit zusätzlichen Ressourcen das Bolker-Theorem modifiziert werden kann, um ein eindeutiges (P) und ein (U) festzulegen, das bis zur positiven linearen Transformation eindeutig ist. Wir müssen die Präferenzreihenfolge nur durch eine primitive Beziehung „wahrscheinlicher als“ergänzen, die von ihren eigenen Axiomen bestimmt wird und durch mehrere zusätzliche Axiome mit dem Glauben verbunden ist. Joyce modifiziert Bolkers Ergebnis, um zu zeigen, dass angesichts dieser zusätzlichen Axiome die Beziehung „wahrscheinlicher als“durch ein eindeutiges (P) dargestellt wird und die Präferenzreihenfolge durch (P) zusammen mit einer eindeutigen Dienstprogrammfunktion dargestellt wird bis zur positiven linearen Transformation.

2.2.5 Zusammenfassung

Zusammen können diese vier obigen Repräsentationssätze in der folgenden Tabelle zusammengefasst werden.

Satz	Objekte der Präferenz	Reihenfolge der Konstruktion	Zulässige Transformationen: Wahrscheinlichkeit	Zulässige Transformationen: Dienstprogramm
Ramsey	Glücksspiele	Präferenz → Nutzen → Wahrscheinlichkeit	Identität	positiv linear
von Neumann / Morgenstern	Lotterien	(Präferenz & Wahrscheinlichkeit) → Nutzen	N / A	positiv linear
Wild	handelt	Präferenz → Wahrscheinlichkeit → Nutzen	Identität	positiv linear
Jeffrey / Bolker	Vorschläge	Präferenz → (Wahrscheinlichkeit & Nutzen)	- gebrochen linear -

Beachten Sie, dass die Reihenfolge der Konstruktion zwischen den Theoremen unterschiedlich ist: Ramsey konstruiert eine Darstellung der Wahrscheinlichkeit unter Verwendung des Nutzens, während von Neumann und Morgenstern mit Wahrscheinlichkeiten beginnen und eine Darstellung des Nutzens konstruieren. Obwohl die Pfeile eine mathematische Repräsentationsbeziehung darstellen, können sie keine metaphysische Erdungsbeziehung darstellen. Die Realitätsbedingung muss unabhängig von einem Repräsentationssatz begründet werden.

Geeignete strukturierte Ordnungswahrscheinlichkeiten (die Beziehungen, die durch "mindestens so wahrscheinlich wie", "wahrscheinlicher als" und "gleich wahrscheinlich" ausgewählt wurden) stehen in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den Kardinalwahrscheinlichkeitsfunktionen. Schließlich zeigt die graue Linie von Präferenzen zu Ordinalwahrscheinlichkeiten, dass jede Wahrscheinlichkeitsfunktion, die Savages Axiome erfüllt, durch eine eindeutige Kardinalwahrscheinlichkeit dargestellt wird - dieses Ergebnis gilt jedoch nicht für Jeffreys Axiome.

Beachten Sie, dass es häufig möglich ist, den Pfeilen in Kreisen zu folgen - von der Präferenz zur Ordnungswahrscheinlichkeit, von der Ordnungswahrscheinlichkeit zur Kardinalwahrscheinlichkeit, von der Kardinalwahrscheinlichkeit und -präferenz zum erwarteten Nutzen und vom erwarteten Nutzen zurück zur Präferenz. Obwohl die Pfeile eine mathematische Repräsentationsbeziehung darstellen, repräsentieren sie keine metaphysische Erdungsbeziehung. Diese Tatsache macht deutlich, wie wichtig es ist, die Theoreme der Darstellung von Realitätsbedingungen unabhängig zu rechtfertigen, ohne dass die erwartete Nützlichkeitstheorie ohne zusätzliche Annahmen gerechtfertigt werden kann.

3. Einwände gegen die erwartete Nützlichkeitstheorie

3.1 Das Maximieren des erwarteten Nutzens ist nicht möglich

Sollte impliziert kann, aber ist es menschlich möglich, den erwarteten Nutzen zu maximieren? March und Simon (1958) weisen darauf hin, dass ein Agent zur Berechnung der erwarteten Versorgungsleistungen ein äußerst komplexes Verständnis der verfügbaren Handlungen, der möglichen Ergebnisse und der Werte dieser Ergebnisse benötigt und dass die Auswahl der besten Handlung viel anspruchsvoller ist als Wählen Sie eine Handlung, die nur gut genug ist. Ähnliche Punkte erscheinen in Lindblom (1959), Feldman (2006) und Smith (2010).

McGee (1991) argumentiert, dass die Maximierung des erwarteten Nutzens selbst für einen idealen Computer mit unbegrenztem Speicher mathematisch nicht möglich ist. Um den erwarteten Nutzen zu maximieren, müssten wir jede Wette annehmen, die uns auf die Wahrheiten der Arithmetik angeboten wurde, und jede Wette ablehnen, die uns auf falsche Sätze in der Sprache der Arithmetik angeboten wurde. Die Arithmetik ist jedoch unentscheidbar, sodass keine Turing-Maschine feststellen kann, ob ein bestimmter arithmetischer Satz wahr oder falsch ist.

Eine Antwort auf diese Schwierigkeiten ist der Ansatz der begrenzten Rationalität, der darauf abzielt, die erwartete Nützlichkeitstheorie durch einige besser handhabbare Regeln zu ersetzen. Ein weiterer Grund ist zu argumentieren, dass die Anforderungen der erwarteten Nützlichkeitstheorie besser nachvollziehbar sind als sie erscheinen (Burch-Brown 2014; siehe auch Greaves 2016) oder dass das relevante Prinzip „sollte impliziert kann“falsch ist (Srinivasan 2015).

3.2 Das Maximieren des erwarteten Nutzens ist irrational

Eine Vielzahl von Autoren hat Beispiele angegeben, in denen die erwartete Nützlichkeitstheorie die falschen Vorschriften zu geben scheint. In den Abschnitten 3.2.1 und 3.2.2 werden Beispiele erörtert, bei denen die Rationalität Präferenzen zuzulassen scheint, die nicht mit der erwarteten Nützlichkeitstheorie vereinbar sind. Diese Beispiele legen nahe, dass die Maximierung des erwarteten Nutzens für die Rationalität nicht erforderlich ist. In Abschnitt 3.2.3 werden Beispiele erörtert, bei denen die erwartete Nützlichkeitstheorie Präferenzen zulässt, die irrational erscheinen. Diese Beispiele legen nahe, dass die Maximierung des erwarteten Nutzens für die Rationalität nicht ausreicht. In Abschnitt 3.2.4 wird ein Beispiel erörtert, in dem die Theorie des erwarteten Nutzens Präferenzen erfordert, die rational verboten erscheinen - eine Herausforderung sowohl für die Notwendigkeit als auch für die Hinlänglichkeit des erwarteten Nutzens für die Rationalität.

3.2.1 Gegenbeispiele zu Transitivität und Vollständigkeit

Die erwartete Nützlichkeitstheorie impliziert, dass die Struktur der Präferenzen die Struktur der Beziehung zwischen reellen Zahlen widerspiegelt, die größer als ist. Entsprechend der erwarteten Nützlichkeitstheorie müssen Präferenzen also transitiv sein: Wenn (A) gegenüber (B) bevorzugt wird (so dass (U (A) gt U (B))) und (B.) wird (C) vorgezogen (so dass (U (B) gt U (C))), dann muss (A) (C) vorgezogen werden (da es das sein muss (U (A) gt U (C))). Ebenso müssen die Einstellungen vollständig sein: Für zwei Optionen muss entweder eine der anderen vorgezogen werden, oder der Agent muss zwischen ihnen gleichgültig sein (aufgrund ihrer beiden Dienstprogramme muss entweder eine größer oder die beiden gleich sein). Es gibt jedoch Fälle, in denen Rationalität Transitivitätsfehler und Vollständigkeitsfehler zuzulassen scheint (oder vielleicht sogar erfordert).

Ein Beispiel für Präferenzen, die nicht transitiv sind, aber dennoch rational zulässig erscheinen, ist Quinns Rätsel des Selbstquälers (1990). Der Selbstquäler ist an eine Maschine mit einem Zifferblatt mit den Einstellungen 0 bis 1.000 angeschlossen, wobei die Einstellung 0 nichts bewirkt und jede nachfolgende Einstellung einen etwas stärkeren elektrischen Schlag liefert. Das Setzen von 0 ist schmerzlos, während das Setzen von 1.000 unerträgliche Qualen verursacht, aber der Unterschied zwischen zwei benachbarten Einstellungen ist so gering, dass er nicht wahrgenommen werden kann. Das Zifferblatt ist mit einer Ratsche ausgestattet, so dass es nach oben, aber niemals nach unten gedreht werden kann. Angenommen, dem Selbstquäler werden bei jeder Einstellung 10.000 US-Dollar angeboten, um zur nächsten überzugehen, sodass er für die Tolerierung der Einstellung (n) eine Auszahlung von (n { cdot} {10.000 $}) erhält. Es ist zulässig, dass der Selbstquäler die Einstellung (n + 1) der Einstellung (n) für jedes (n) zwischen 0 und 999 vorzieht (da der Unterschied im Schmerz nicht wahrnehmbar ist, während der Unterschied im Geld Auszahlungen sind signifikant), aber nicht lieber 1.000 als 0 zu setzen (da der Schmerz, 1.000 zu setzen, so unerträglich sein kann, dass kein Geldbetrag dies wieder wettmachen kann.

Es erscheint auch rational zulässig, unvollständige Präferenzen zu haben. Bei einigen Aktionspaaren hat eine Agentin möglicherweise keine überlegte Ansicht, die sie bevorzugt. Stellen Sie sich Jane vor, eine Elektrikerin, die noch nie darüber nachgedacht hat, professionelle Sängerin oder professionelle Astronautin zu werden. (Vielleicht sind beide Optionen nicht realisierbar, oder vielleicht hält sie beide für viel schlimmer als ihren festen Job als Elektriker). Es ist falsch, dass Jane lieber Sängerin wird als Astronautin, und es ist falsch, dass sie lieber Astronautin wird als Sängerin. Es ist aber auch falsch, dass es ihr gleichgültig ist, Sängerin und Astronautin zu werden. Sie zieht es vor, Sängerin zu werden und einen Bonus von 100 US-Dollar zu erhalten, anstatt Sängerin zu werden, und wenn es ihr gleichgültig wäre, Sängerin zu werden und Astronautin zu werden,Sie wäre rational gezwungen, lieber Sängerin zu sein und einen Bonus von 100 Dollar zu erhalten, als Astronautin zu werden.

Es gibt einen wesentlichen Unterschied zwischen den beiden oben betrachteten Beispielen. Die Einstellungen von Jane können erweitert werden, indem neue Einstellungen hinzugefügt werden, ohne dass die von ihr vorhandenen entfernt werden, sodass wir sie als erwarteten Dienstprogrammmaximierer darstellen können. Andererseits gibt es keine Möglichkeit, die Präferenzen des Selbstquälers so zu erweitern, dass er als erwarteter Nutzenmaximierer dargestellt werden kann. Einige seiner Vorlieben müssten geändert werden. Eine populäre Antwort auf unvollständige Präferenzen ist die Behauptung, dass rationale Präferenzen zwar die Axiome eines gegebenen Repräsentationssatzes nicht erfüllen müssen (siehe Abschnitt 2.2), es jedoch möglich sein muss, sie so zu erweitern, dass sie die Axiome erfüllen. Aus dieser schwächeren Anforderung an Präferenzen - dass sie auf eine Präferenzreihenfolge erweiterbar sind, die die relevanten Axiome erfüllt - kann man die Existenzhälften der relevanten Repräsentationssätze beweisen. Es kann jedoch nicht mehr festgestellt werden, dass jede Präferenzreihenfolge eine Darstellung aufweist, die bis zu zulässigen Transformationen eindeutig ist.

Eine solche Antwort ist im Fall des Selbstquälers nicht verfügbar, dessen Präferenzen nicht erweitert werden können, um die Axiome der erwarteten Nützlichkeitstheorie zu erfüllen. Weitere Informationen zum Fall der Selbstquälerei finden Sie im Eintrag zu den Präferenzen.

3.2.2 Gegenbeispiele zur Unabhängigkeit

Allais (1953) und Ellsberg (1961) schlagen Beispiele für Präferenzen vor, die nicht durch eine erwartete Nutzenfunktion dargestellt werden können, aber dennoch rational erscheinen. Beide Beispiele beinhalten Verstöße gegen Savages Unabhängigkeits-Axiom:

Unabhängigkeit. Angenommen, (A) und (A ^ *) sind zwei Handlungen, die für den Fall, dass (E) falsch ist, zu denselben Ergebnissen führen. Dann muss man für jede Handlung (B) haben

• (A) wird genau dann (A ^ *) vorgezogen, wenn (A_E \ amp B _ { sim E}) (A ^ * _ E \ amp B _ { sim E} vorgezogen wird))
• Die Agentin ist zwischen (A) und (A ^ *) genau dann gleichgültig, wenn sie zwischen (A_E \ amp B _ { sim E}) und (A ^ * _ E \ amp B_ {gleichgültig ist \ sim E})

Mit anderen Worten, wenn zwei Handlungen die gleichen Konsequenzen haben, wenn (E) falsch ist, sollten die Präferenzen des Agenten zwischen diesen beiden Handlungen nur von ihren Konsequenzen abhängen, wenn (E) wahr ist. Nach Savages Definition des erwarteten Nutzens beinhaltet die Theorie des erwarteten Nutzens Unabhängigkeit. Und nach Jeffreys Definition beinhaltet die erwartete Nützlichkeitstheorie Unabhängigkeit in Gegenwart der Annahme, dass die Staaten wahrscheinlich unabhängig von den Handlungen sind.

Das erste Gegenbeispiel, das Allais-Paradoxon, beinhaltet zwei separate Entscheidungsprobleme, bei denen ein Ticket mit einer Zahl zwischen 1 und 100 zufällig gezogen wird. Im ersten Problem muss der Agent zwischen diesen beiden Lotterien wählen:

• Lotterie (A)
• • 100 Millionen US-Dollar mit Sicherheit

• Lotterie (B)
• • 500 Millionen US-Dollar, wenn eines der Tickets 1–10 gezogen wird
• • 100 Millionen US-Dollar, wenn eines der Tickets 12 bis 100 gezogen wird
• • Nichts, wenn Ticket 11 gezogen wird

Beim zweiten Entscheidungsproblem muss der Agent zwischen diesen beiden Lotterien wählen:

• Lotterie (C)
• • 100 Millionen US-Dollar, wenn eines der Tickets 1–11 gezogen wird
• • Sonst nichts

• Lotterie (D)
• • 500 Millionen US-Dollar, wenn eines der Tickets 1–10 gezogen wird
• • Sonst nichts

Es erscheint vernünftig, (A) (das sicher 100 Millionen US-Dollar bietet) gegenüber (B) vorzuziehen (wobei die zusätzliche 10% ige Chance von 500 Millionen US-Dollar durch das Risiko, nichts zu bekommen, mehr als ausgeglichen wird). Es erscheint auch vernünftig, (D) (eine 10% ige Chance bei einem Preis von 500 Millionen US-Dollar) gegenüber (C) (eine etwas größere 11% ige Chance bei einem viel kleineren Preis von 100 Millionen US-Dollar) vorzuziehen. Aber zusammen verletzen diese Präferenzen (nennen sie die Allais-Präferenzen) die Unabhängigkeit. Lotterien (A) und (C) bringen den gleichen Preis von 100 Millionen US-Dollar für die Tickets 12 bis 100 ein. Sie können in Lotterien (B) und (D) umgewandelt werden, indem dieser 100-Millionen-Dollar-Preis durch 0-Dollar ersetzt wird.

Da sie die Unabhängigkeit verletzen, sind die Allais-Präferenzen nicht mit der erwarteten Nützlichkeitstheorie vereinbar. Diese Inkompatibilität erfordert keine Annahmen über die relativen Versorgungsleistungen der 0 USD, der 100 Mio. USD und der 500 Mio. USD. Wenn 500 Millionen US-Dollar den Nutzen (x), 100 Millionen US-Dollar den Nutzen (y) und 0 US-Dollar den Nutzen (z) haben, sind die erwarteten Nutzen der Lotterien wie folgt.

) begin {align} EU (A) & = 0,11y + 0,89y \\ EU (B) & = 0,10x + 0,01z + 0,89y \\ EU (C) & = 0,11y + 0,89z \\ EU (D) & = 0,10x + 0,01z + 0,89z \ end {align})

Es ist leicht zu erkennen, dass die Bedingung, unter der (EU (A) gt EU (B)) genau die gleiche ist wie die Bedingung, unter der (EU (C) gt EU (D)): beide Ungleichungen erhalten Sie nur für den Fall (0,11y \ gt 0,10x + 0,01z)

Das Ellsberg-Paradoxon beinhaltet auch zwei Entscheidungsprobleme, die einen Verstoß gegen das Sicherheitsprinzip hervorrufen. In jedem von ihnen wird eine Kugel aus einer Urne gezogen, die 30 rote Kugeln und 60 Kugeln enthält, die entweder weiß oder gelb in unbekannten Anteilen sind. Beim ersten Entscheidungsproblem muss der Agent zwischen den folgenden Lotterien wählen:

• Lotterie (R)
• • Gewinnen Sie 100 $, wenn ein roter Ball gezogen wird
• • Verlieren Sie andernfalls 100 US-Dollar

• Lotterie (W)
• • Gewinnen Sie 100 $, wenn ein weißer Ball gezogen wird
• • Verlieren Sie andernfalls 100 US-Dollar

Beim zweiten Entscheidungsproblem muss der Agent zwischen den folgenden Lotterien wählen:

• Lotterie (RY)
• • Gewinnen Sie 100 $, wenn ein roter oder gelber Ball gezogen wird
• • Verlieren Sie andernfalls 100 US-Dollar

• Lotterie (WY)
• • Gewinnen Sie 100 $, wenn ein weißer oder gelber Ball gezogen wird
• • Verlieren Sie andernfalls 100 US-Dollar

Es erscheint vernünftig, (R) (W) vorzuziehen, gleichzeitig aber (WY) (RY) vorzuziehen. (Nennen Sie diese Kombination von Einstellungen die Ellsberg-Einstellungen.) Wie die Allais-Einstellungen verletzen die Ellsberg-Einstellungen die Unabhängigkeit. Lotterien (W) und (R) ergeben einen Verlust von 100 USD, wenn ein gelber Ball gezogen wird. Sie können in Lotterien (RY) und (WY) umgewandelt werden, indem dieser Verlust von 100 $ durch einen sicheren Gewinn von 100 $ ersetzt wird.

Da sie die Unabhängigkeit verletzen, sind die Ellsberg-Präferenzen nicht mit der erwarteten Nützlichkeitstheorie vereinbar. Auch diese Inkompatibilität erfordert keine Annahmen über die relativen Nutzen des Gewinnens von 100 $ und des Verlierens von 100 $. Wir brauchen auch keine Annahmen darüber, wo zwischen 0 und 1/3 die Wahrscheinlichkeit fällt, einen gelben Ball zu ziehen. Wo das Gewinnen von 100 $ den Nutzen (w) und das Verlieren von 100 $ den Nutzen (l) hat,) begin {align} EU (R) & = \ tfrac {1} {3} w + P (W) l + P (Y) l \\ EU (W) & = \ tfrac {1} {3} l + P (W) w + P (Y) l \\ EU (RY) & = \ tfrac {1} {3} w + P (W) l + P (Y) w \\ EU (WY) & = \ tfrac {1} {3} l + P (W) w + P (Y) w \ end {align})

Es ist leicht zu erkennen, dass die Bedingung, unter der (EU (R) gt EU (W)) genau die gleiche ist wie die Bedingung, unter der (EU (RY) gt EU (WY)): beide Ungleichungen erhalten Sie nur für den Fall (1/3 \, w + P (W) l \ gt 1/3 \, l + P (W) w).

Es gibt drei bemerkenswerte Antworten auf die Paradoxe von Allais und Ellsberg. Erstens könnte man Savage (101 ff) und Raiffa (1968, 80–86) folgen und die erwartete Nützlichkeitstheorie mit der Begründung verteidigen, dass die Präferenzen von Allais und Ellsberg irrational sind.

Zweitens könnte man Buchak (2013) folgen und behaupten, dass die Präferenzen von Allais und Ellsberg rational zulässig sind, so dass die erwartete Nützlichkeitstheorie als normative Rationalitätstheorie versagt. Buchak entwickelt eine freizügigere Rationalitätstheorie mit einem zusätzlichen Parameter, der die Einstellung des Entscheidungsträgers zum Risiko darstellt. Dieser Risikoparameter interagiert mit den Nutzen von Ergebnissen und ihren bedingten Wahrscheinlichkeiten für Handlungen, um die Werte von Handlungen zu bestimmen. Eine Einstellung des Risikoparameters ergibt die erwartete Nützlichkeitstheorie als Sonderfall, andere „risikoaverse“Einstellungen rationalisieren die Allais-Präferenzen.

Drittens könnte man Loomes und Sugden (1986), Weirich (1986) und Pope (1995) folgen und argumentieren, dass die Ergebnisse in den Allais- und Ellsberg-Paradoxien neu beschrieben werden können, um den Präferenzen von Allais und Ellsberg Rechnung zu tragen. Der angebliche Konflikt zwischen den Präferenzen von Allais und Ellsberg einerseits und der erwarteten Nützlichkeitstheorie andererseits beruhte auf der Annahme, dass eine bestimmte Geldsumme unabhängig von ihrer Erlangung denselben Nutzen hat. Einige Autoren stellen diese Annahme in Frage. Loomes und Sugden schlagen vor, dass die Ergebnisse der Glücksspiele zusätzlich zu den Geldbeträgen das Gefühl der Enttäuschung (oder Hochstimmung) beinhalten, weniger (oder mehr) als erwartet zu bekommen. Papst unterscheidet das Gefühl der Hochstimmung oder Enttäuschung nach dem Ergebnis von dem Gefühl der Aufregung, Angst, Langeweile oder Sicherheit vor dem Ergebnis.und weist darauf hin, dass beide die Ergebnisdienstprogramme beeinflussen können. Weirich schlägt vor, dass der Wert einer Geldsumme teilweise von den Risiken abhängt, mit denen sie verbunden ist, unabhängig von den Gefühlen des Spielers, so dass (zum Beispiel) 100 Millionen Dollar als Ergebnis einer sicheren Wette mehr als 100 Millionen Dollar aus einem Glücksspiel sind könnte nichts bezahlt haben.

Broome (1991) macht sich Sorgen über diese Umbeschreibungslösung. Alle Präferenzen können gerechtfertigt werden, indem der Raum der Ergebnisse neu beschrieben wird, wodurch die Axiome der erwarteten Nützlichkeitstheorie inhaltslos werden. Broome weist diesen Einwand zurück, indem er eine zusätzliche Einschränkung der Präferenz vorschlägt: Wenn (A) (B) vorgezogen wird, müssen sich (A) und (B) in einer Weise unterscheiden, die es rechtfertigt, eine gegenüber der zu bevorzugen andere. Ein erwarteter Nützlichkeitstheoretiker kann dann die Präferenzen von Allais und Ellsberg als rational betrachten, wenn und nur wenn es einen nicht monetären Unterschied gibt, der es rechtfertigt, Ergebnisse mit gleichem Geldwert an verschiedenen Stellen in der Präferenzreihenfolge zu platzieren.

3.2.3 Gegenbeispiele mit Ereignissen der Wahrscheinlichkeit 0

Oben haben wir angebliche Beispiele für rationale Präferenzen gesehen, die gegen die erwartete Nützlichkeitstheorie verstoßen. Es gibt auch angebliche Beispiele für irrationale Präferenzen, die die erwartete Nützlichkeitstheorie erfüllen.

Nach einem typischen Verständnis der Theorie des erwarteten Nutzens müssen Agenten zwischen ihnen gleichgültig sein, wenn zwei Handlungen mit dem höchsten erwarteten Nutzen verbunden sind. Skyrms (1980, S. 74) weist darauf hin, dass wir aus dieser Ansicht seltsame Schlussfolgerungen über Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 0 ableiten können. Nehmen wir beispielsweise an, Sie werfen einen punktgroßen Pfeil auf eine runde Dartscheibe. Die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie berücksichtigt Situationen, in denen der Pfeil die Wahrscheinlichkeit 0 hat, einen bestimmten Punkt zu treffen. Sie bieten mir den folgenden miesen Deal an: Wenn der Pfeil genau in der Mitte auf das Brett trifft, berechnen Sie mir 100 US-Dollar. Andernfalls wechselt kein Geld den Besitzer. Mein Entscheidungsproblem kann mit der folgenden Matrix erfasst werden:

		Zustände
		Trefferzentrum ((P = 0))	Miss Center ((P = 1))
handelt	Deal annehmen	\(-100)	(0)
	Deal ablehnen	(0)	(0)

Die erwartete Nützlichkeitstheorie besagt, dass es für mich zulässig ist, zu akzeptieren, dass der Deal-Accepting einen erwarteten Nutzen von 0 hat. (Dies gilt sowohl für die Jeffrey-Definition als auch für die Savage-Definition, wenn wir davon ausgehen, dass die Art und Weise, wie der Pfeil landet, wahrscheinlich unabhängig von Ihnen ist Wette.) Aber der gesunde Menschenverstand sagt, dass es für mich nicht zulässig ist, den Deal anzunehmen. Das Ablehnen dominiert schwach das Akzeptieren: Es führt in einigen Staaten zu einem besseren Ergebnis und in keinem Staat zu einem schlechteren Ergebnis.

Skyrms schlägt vor, die Gesetze der klassischen Wahrscheinlichkeit um eine zusätzliche Anforderung zu erweitern, dass nur Unmöglichkeiten der Wahrscheinlichkeit 0 zugewiesen werden. Easwaran (2014) argumentiert, dass wir stattdessen die Ansicht ablehnen sollten, dass die erwartete Nützlichkeitstheorie die Gleichgültigkeit zwischen Handlungen mit gleichem erwarteten Nutzen befiehlt. Stattdessen ist die Theorie des erwarteten Nutzens keine vollständige Theorie der Rationalität: Wenn zwei Handlungen den gleichen erwarteten Nutzen haben, sagt sie uns nicht, welche wir bevorzugen sollen. Wir können nicht erwartete Nutzenüberlegungen wie schwache Dominanz als Tiebreaker verwenden.

3.2.4 Gegenbeispiele mit ungebundenem Dienstprogramm

Eine Utility-Funktion (U) ist oben begrenzt, wenn es eine Grenze dafür gibt, wie gut Dinge gemäß (U) sein können, oder formeller, wenn es eine am wenigsten natürliche Zahl (sup) gibt, so dass für jeden (A) in der Domäne von (U), (U (A) le sup). Ebenso ist (U) unten begrenzt, wenn es eine Grenze dafür gibt, wie schlimm Dinge gemäß (U) sein können, oder formeller, wenn es eine größte natürliche Zahl (inf) gibt, so dass für jedes (A) in der Domäne von (U), (U (A) ge inf). Die erwartete Nützlichkeitstheorie kann in Schwierigkeiten geraten, wenn die Nützlichkeitsfunktionen oben, unten oder beides unbegrenzt sind.

Ein problematisches Beispiel ist das ursprünglich von Bernoulli veröffentlichte Spiel in St. Petersburg. Angenommen, eine Münze wird geworfen, bis sie zum ersten Mal den Schwanz landet. Wenn es beim ersten Wurf Schwänze landet, gewinnen Sie $ 2; Wenn es beim zweiten Wurf Schwänze landet, gewinnen Sie $ 4; Wenn es beim dritten Wurf Schwänze landet, gewinnt man $ 8, und wenn es beim (n) -ten Wurf Schwänze landet, gewinnt man $ (2 ^ n). Angenommen, jeder Dollar ist ein Utile wert, dann ist der erwartete Wert des Spiels in St. Petersburg

[(tfrac {1} {2} cdot 2) + (tfrac {1} {4} cdot 4) + (tfrac {1} {8} cdot 8) + \ cdots + (tfrac {1} {2 ^ n} cdot 2 ^ n) + \ cdots) oder [1 + 1 + 1 + \ cdots = \ infty)

Es stellt sich heraus, dass diese Summe divergiert; Das Spiel in St. Petersburg hat unendlich viel erwarteten Nutzen. Entsprechend der erwarteten Nützlichkeitstheorie sollten Sie daher die Möglichkeit, das Spiel in St. Petersburg zu spielen, einer endlichen Geldsumme vorziehen, egal wie groß diese ist. Da ein unendlicher erwarteter Nutzen multipliziert mit einer Chance ungleich Null immer noch unendlich ist, hat alles, was eine positive Wahrscheinlichkeit hat, das Spiel in St. Petersburg zu liefern, einen unendlichen erwarteten Nutzen. Entsprechend der erwarteten Nützlichkeitstheorie sollten Sie daher jede Chance, das noch so schlanke Spiel in St. Petersburg zu spielen, einer endlichen Geldsumme vorziehen, wie groß sie auch sein mag.

Nover und Hájek (2004) argumentieren, dass es neben dem Spiel in St. Petersburg, das einen unendlichen erwarteten Nutzen hat, auch andere unendliche Spiele gibt, deren erwarteter Nutzen nicht definiert ist, obwohl die Rationalität bestimmte Präferenzen unter ihnen vorschreibt.

Eine Antwort auf diese problematischen unendlichen Spiele besteht darin, zu argumentieren, dass die Entscheidungsprobleme selbst schlecht gestellt sind (Jeffrey (1983, 154)), eine andere darin, eine modifizierte Version der erwarteten Nützlichkeitstheorie zu übernehmen, die im Normalfall mit ihren Urteilen übereinstimmt, aber nachgibt intuitiv vernünftige Urteile über die unendlichen Spiele (Thalos und Richardson 2013) (Fine 2008) (Colyvan 2006, 2008) (Easwaran 2008).

4. Anwendungen

4.1 Wirtschaft und öffentliche Ordnung

In den 1940er und 50er Jahren gewann die erwartete Nützlichkeitstheorie in den USA an Bedeutung, da sie einen Mechanismus liefern konnte, der das Verhalten makroökonomischer Variablen erklären würde. Als sich herausstellte, dass die erwartete Nützlichkeitstheorie das Verhalten realer Menschen nicht genau vorhersagte, vertraten ihre Befürworter stattdessen die Ansicht, dass sie stattdessen als Theorie dienen könnte, wie rationale Menschen auf Unsicherheit reagieren sollten (siehe Herfeld 2017).

Die erwartete Nützlichkeitstheorie hat eine Vielzahl von Anwendungen in der öffentlichen Ordnung. In der Wohlfahrtsökonomie begründet Harsanyi (1953) die erwartete Nützlichkeitstheorie mit der Behauptung, dass die sozial gerechteste Regelung diejenige ist, die die gesamte Wohlfahrt maximiert, die über eine Gesellschaftsgesellschaft verteilt ist. Die Theorie des erwarteten Nutzens hat auch direktere Anwendungen. Howard (1980) führt das Konzept eines Mikromortes oder einer Eins-zu-eine-Million-Todeswahrscheinlichkeit ein und verwendet erwartete Nutzenberechnungen, um zu beurteilen, welche Mortalitätsrisiken akzeptabel sind. In der Gesundheitspolitik sind qualitätsangepasste Lebensjahre oder QALYs Messgrößen für den erwarteten Nutzen verschiedener Gesundheitsmaßnahmen, die als Leitfaden für die Gesundheitspolitik dienen (siehe Weinstein et al. 2009). McAskill (2015) verwendet die erwartete Nützlichkeitstheorie, um die zentrale Frage des effektiven Altruismus anzusprechen:"Wie kann ich das Beste tun?" (Dienstprogramme in diesen Anwendungen werden am natürlichsten so interpretiert, dass sie etwas wie Glück oder Wohlbefinden messen und nicht die subjektive Präferenzzufriedenheit für einen einzelnen Agenten.)

Ein weiterer Bereich, in dem die erwartete Nützlichkeitstheorie Anwendung findet, ist der Versicherungsverkauf. Wie Casinos übernehmen Versicherungsunternehmen kalkulierte Risiken mit dem Ziel eines langfristigen finanziellen Gewinns und müssen die Chance berücksichtigen, kurzfristig pleite zu gehen.

4.2 Ethik

Utilitaristen und ihre Nachkommen, zeitgenössische Konsequentialisten, sind der Ansicht, dass die Richtigkeit oder Falschheit einer Handlung durch die moralische Güte oder Schlechtigkeit ihrer Folgen bestimmt wird. Einige Konsequentialisten wie (Railton 1984) interpretieren dies so, dass wir alles tun sollten, was tatsächlich die besten Konsequenzen hat. Es ist jedoch schwierig - vielleicht unmöglich -, die langfristigen Folgen unserer Handlungen zu kennen (Lenman 2000, Howard-Snyder 2007). In Anbetracht dieser Beobachtung argumentiert Jackson (1991), dass die richtige Handlung diejenige mit dem größten erwarteten moralischen Wert ist und nicht diejenige, die tatsächlich die besten Konsequenzen bringt.

Wie Jackson bemerkt, hängt der erwartete moralische Wert einer Handlung davon ab, mit welcher Wahrscheinlichkeitsfunktion wir arbeiten. Jackson argumentiert, dass, während jede Wahrscheinlichkeitsfunktion mit einem „Soll“verbunden ist, das „Soll“, das für das Handeln am wichtigsten ist, dasjenige ist, das mit dem Glaubensgrad des Entscheidungsträgers zum Zeitpunkt des Handelns verbunden ist. Andere Autoren beanspruchen Priorität für andere „Gedanken“: Mason (2013) bevorzugt die Wahrscheinlichkeitsfunktion, die die Agentin aufgrund ihrer epistemischen Einschränkungen als Reaktion auf ihre Beweise am vernünftigsten annehmen kann, während Oddie und Menzies (1992) die objektive Zufallsfunktion bevorzugen als Maß für die objektive Richtigkeit. (Sie appellieren an eine kompliziertere Wahrscheinlichkeitsfunktion, um einen Begriff der „subjektiven Richtigkeit“für Entscheidungsträger zu definieren, die die objektiven Chancen nicht kennen.)

Wieder andere (Smart 1973, Timmons 2002) argumentieren, dass die erwartete Nützlichkeitstheorie die Rolle eines Entscheidungsverfahrens spielen kann, wenn wir uns nicht sicher sind, welche Konsequenzen unsere Handlungen haben werden, selbst wenn wir das tun sollten, was die besten Konsequenzen hat. Feldman (2006) Objekte, die Nutzenberechnungen erwarteten, sind schrecklich unpraktisch. Bei den meisten Entscheidungen im wirklichen Leben liegen die Schritte, die zur Berechnung der erwarteten Nutzen erforderlich sind, außerhalb unseres Wissens: Auflisten der möglichen Ergebnisse unserer Handlungen, Zuweisen eines Nutzens und einer bedingten Wahrscheinlichkeit für jede Handlung und Durchführen der für erwartete Nutzenberechnungen erforderlichen Arithmetik.

Die Version des Konsequentialismus, die den erwarteten Nutzen maximiert, ist streng genommen keine Theorie der rationalen Wahl. Es ist eine Theorie der moralischen Entscheidung, aber ob wir aufgrund der Rationalität das tun müssen, was moralisch am besten ist, steht zur Debatte.

4.3 Erkenntnistheorie

Die erwartete Nützlichkeitstheorie kann verwendet werden, um praktische Fragen der Erkenntnistheorie zu beantworten. Eine solche Frage ist, wann eine Hypothese zu akzeptieren ist. In typischen Fällen ist die Evidenz logisch kompatibel mit mehreren Hypothesen, einschließlich Hypothesen, für die sie wenig induktive Unterstützung bietet. Darüber hinaus akzeptieren Wissenschaftler normalerweise nicht nur die Hypothesen, die aufgrund ihrer Daten am wahrscheinlichsten sind. Wann ist eine Hypothese wahrscheinlich genug, um Akzeptanz zu verdienen?

Bayesianer wie Maher (1993) schlagen vor, diese Entscheidung aus Gründen des erwarteten Nutzens zu treffen. Ob eine Hypothese akzeptiert wird, ist ein Entscheidungsproblem mit Akzeptanz und Ablehnung als Handlungen. Es kann durch die folgende Entscheidungsmatrix erfasst werden:

		Zustände
		Hypothese ist wahr	Hypothese ist falsch
handelt	akzeptieren	richtig akzeptieren	fälschlicherweise akzeptieren
	ablehnen	fälschlicherweise ablehnen	richtig ablehnen

Nach Savages Definition wird der erwartete Nutzen der Annahme der Hypothese durch die Wahrscheinlichkeit der Hypothese zusammen mit den Nutzen jedes der vier Ergebnisse bestimmt. (Wir können erwarten, dass Jeffreys Definition mit der von Savage unter der plausiblen Annahme übereinstimmt, dass die Hypothese angesichts der in unserem Besitz befindlichen Beweise wahrscheinlich unabhängig davon ist, ob wir sie akzeptieren oder ablehnen.) Hier können die Dienstprogramme als rein epistemische Werte verstanden werden, da Es ist erkenntnistheoretisch wertvoll, interessante Wahrheiten zu glauben und Unwahrheiten abzulehnen.

Kritiker des Bayes'schen Ansatzes wie Mayo (1996) beanstanden, dass wissenschaftlichen Hypothesen keine vernünftigen Wahrscheinlichkeiten gegeben werden können. Mayo argumentiert, dass wir statistische Belege über die Häufigkeit ähnlicher Ereignisse benötigen, um einem Ereignis eine nützliche Wahrscheinlichkeit zuzuweisen. Aber wissenschaftliche Hypothesen sind entweder ein für alle Mal wahr oder ein für alle Mal falsch - es gibt keine Population von Welten wie unsere, aus denen wir aussagekräftige Statistiken ziehen können. Wir können subjektive Wahrscheinlichkeiten auch nicht für wissenschaftliche Zwecke verwenden, da dies inakzeptabel willkürlich wäre. Daher sind die erwarteten Vorteile der Akzeptanz und Ablehnung nicht definiert, und wir sollten die Methoden der traditionellen Statistik anwenden, die auf dem Vergleich der Wahrscheinlichkeiten unserer Beweise beruhen, die von jeder der Hypothesen abhängig sind.

Die erwartete Nützlichkeitstheorie gibt auch Hinweise dazu, wann Beweise gesammelt werden müssen. Good (1967) argumentiert aus Gründen des erwarteten Nutzens, dass es immer vernünftig ist, Beweise vor dem Handeln zu sammeln, vorausgesetzt, Beweise sind kostenlos. Die Handlung mit dem höchsten erwarteten Nutzen nach Eingang der zusätzlichen Beweise ist immer mindestens so gut wie die Handlung mit dem höchsten erwarteten Nutzen im Voraus.

In der epistemischen Entscheidungstheorie werden erwartete Nutzen verwendet, um Glaubenszustände als rational oder irrational zu bewerten. Wenn wir die Glaubensbildung als eine mentale Handlung, Fakten über den Inhalt der Überzeugungen des Agenten als Ereignisse und die Nähe zur Wahrheit als ein wünschenswertes Merkmal der Ergebnisse betrachten, können wir die erwartete Nützlichkeitstheorie verwenden, um den Grad des Glaubens im Hinblick auf ihre erwarteten Werte zu bewerten Nähe zur Wahrheit. Der Eintrag zu epistemischen Nutzenargumenten für Probabilismus enthält einen Überblick über die erwarteten Nutzenargumente für eine Vielzahl von epistemischen Normen, einschließlich der Konditionalisierung und des Hauptprinzips.

4.4 Gesetz

Kaplan (1968) argumentiert, dass erwartete Überlegungen zum Nutzen verwendet werden können, um einen Beweisstandard in Gerichtsverfahren festzulegen. Eine Jury, die entscheidet, ob sie freigesprochen oder verurteilt wird, steht vor dem folgenden Entscheidungsproblem:

		Zustände
		schuldig	unschuldig
handelt	überführen	wahre Überzeugung	falsche Überzeugung
	freisprechen	falscher Freispruch	wahrer Freispruch

Kaplan zeigt, dass (EU (Verurteilter)> EU (Freispruch)) wann immer

[P (schuldig)> \ frac {1} {1+ \ frac {U (mathrm {wahr ~ Überzeugung}) - U (mathrm {falsch ~ Freispruch})} {U (mathrm {wahr ~ Freispruch})) -U (mathrm {falsche Überzeugung})}})

Qualitativ bedeutet dies, dass der Beweisstandard mit zunehmender Unfähigkeit, eine unschuldige Person zu verurteilen ((U (mathrm {wahre ~ Überzeugung}) - U (mathrm {falsch ~ Freispruch}))) oder mit der Die Unfähigkeit, eine schuldige Person freizusprechen ((U (mathrm {wahrer ~ Freispruch}) - U (mathrm {falsche ~ Überzeugung}))) nimmt ab.

Kritiker dieses entscheidungstheoretischen Ansatzes wie Laudan (2006) argumentieren, dass es schwierig oder unmöglich ist, die Lücke zwischen den vor Gericht zulässigen Beweisen und der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit der Schuld des Angeklagten zu schließen. Die Wahrscheinlichkeitsschuld hängt von drei Faktoren ab: der Verteilung der offensichtlichen Schuld unter den wirklich Schuldigen, der Verteilung der offensichtlichen Schuld unter den wirklich Unschuldigen und dem Verhältnis von wirklich Schuldigen zu wirklich unschuldigen Angeklagten, die vor Gericht stehen (siehe Bell 1987). Hindernisse bei der Berechnung eines dieser Faktoren blockieren den Rückschluss von der Wahrnehmung einer offensichtlichen Schuld durch einen Richter oder eine Jury auf eine wahre Schuldwahrscheinlichkeit.

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Akademische Werkzeuge

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Andere Internetquellen

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• Wahl unter Unsicherheit, Vorlesungsunterlagen von Jonathan Levin.
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• Die Ursprünge der erwarteten Nützlichkeitstheorie, Aufsatz von Yvan Lengwiler.