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Definitionen

Erstveröffentlichung Do 10. April 2008; inhaltliche Überarbeitung Montag, 20. April 2015

Definitionen haben Philosophen seit der Antike interessiert. Platons frühe Dialoge stellen Sokrates dar, der Fragen zu Definitionen aufwirft (z. B. im Euthyphro „Was ist Frömmigkeit?“) - Fragen, die gleichzeitig tiefgreifend und schwer fassbar erscheinen. Der Schlüsselschritt in Anselms „Ontologischem Beweis“für die Existenz Gottes ist die Definition von „Gott“, und das Gleiche gilt für Descartes 'Version des Arguments in seiner Meditation V. In jüngerer Zeit haben die Frege-Russell-Definition von Zahl und Tarskis Definition von Wahrheit einen prägenden Einfluss auf eine breite Palette zeitgenössischer philosophischer Debatten ausgeübt. In all diesen Fällen - und vielen anderen kann zitiert werden - wurden nicht nur bestimmte Definitionen diskutiert; Die Art und die Anforderungen an Definitionen wurden ebenfalls erörtert. Einige dieser Debatten können beigelegt werden, indem die erforderlichen Unterscheidungen getroffen werden. Denn Definitionen sind nicht alle von einer Art: Definitionen erfüllen eine Vielzahl von Funktionen, und ihr allgemeiner Charakter variiert mit der Funktion. Einige andere Debatten sind jedoch nicht so einfach beizulegen, da sie umstrittene philosophische Ideen wie Essenz, Konzept und Bedeutung beinhalten.

  • 1. Einige Arten der Definition

    • 1.1 Reale und nominale Definitionen
    • 1.2 Wörterbuchdefinitionen
    • 1.3 Festlegende Definitionen
    • 1.4 Beschreibende Definitionen
    • 1.5 Erklärende Definitionen
    • 1.6 Ostensive Definitionen
    • 1.7 Eine Bemerkung
  • 2. Die Logik der Definitionen

    • 2.1 Zwei Kriterien
    • 2.2 Grundlagen des traditionellen Kontos
    • 2.3 Konservativität und Eliminierbarkeit
    • 2.4 Definitionen in normaler Form
    • 2.5 Implizite Definitionen
    • 2.6 Teufelskreisprinzip
    • 2.7 Zirkuläre Definitionen
  • Literaturverzeichnis
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Einige Arten der Definition

Der gewöhnliche Diskurs erkennt verschiedene Arten von Dingen als mögliche Definitionsobjekte und erkennt verschiedene Arten von Aktivitäten als Definition einer Sache. Um einige Beispiele zu nennen, sprechen wir von einer Kommission, die die Grenze zwischen zwei Nationen definiert; des Obersten Gerichtshofs als Definition von „Person“und „Bürger“durch seine Entscheidungen; eines Chemikers, der die Definition von Gold entdeckt, und des Lexikographen, der die Definition von "cool"; eines Teilnehmers an einer Debatte als Definition des fraglichen Punktes; und eines Mathematikers, der die Definition von „Gruppe“festlegt. Verschiedene Arten von Dingen sind hier Definitionsobjekte: Grenze, Rechtsstatus, Substanz, Wort, These und abstrakte Art. Darüber hinaus haben die verschiedenen Definitionen nicht alle dasselbe Ziel: Die Grenzkommission kann darauf abzielen, Präzision zu erreichen; der Oberste Gerichtshof, Fairness;der Chemiker und der Lexikograph, Genauigkeit; der Debattierer, Klarheit; und der Mathematiker Fruchtbarkeit. Die Standards, nach denen Definitionen beurteilt werden, können daher von Fall zu Fall variieren. Die verschiedenen Definitionen können vielleicht unter der aristotelischen Formel zusammengefasst werden, dass eine Definition die Essenz einer Sache gibt. Dies unterstreicht jedoch nur die Tatsache, dass „die Essenz einer Sache zu geben“keine einheitliche Art von Aktivität ist.

Auch in der Philosophie spielen häufig verschiedene Arten von Definitionen eine Rolle, und Definitionen können eine Vielzahl unterschiedlicher Funktionen erfüllen (z. B. um die Präzision und Klarheit zu verbessern). In der Philosophie wurden jedoch auch Definitionen herangezogen, die eine sehr unterschiedliche Rolle spielen: die Lösung erkenntnistheoretischer Probleme. Zum Beispiel wirft der erkenntnistheoretische Status mathematischer Wahrheiten ein Problem auf. Immanuel Kant hielt diese Wahrheiten für a priori synthetisch, und um ihren Status zu erklären, bot er eine Theorie von Raum und Zeit an, nämlich von Raum und Zeit als Formen des äußeren bzw. inneren Sinnes. Gottlob Frege und Bertrand Russell versuchten, Kants Theorie zu untergraben, indem sie argumentierten, dass arithmetische Wahrheiten analytisch sind. Genauer gesagt versuchten sie, eine Ableitung von arithmetischen Prinzipien aus Definitionen von arithmetischen Konzepten zu konstruieren.nur logische Gesetze verwenden. Damit das Frege-Russell-Projekt erfolgreich ist, müssen die verwendeten Definitionen einen besonderen Charakter haben. Sie müssen konzeptuell oder erklärend für die Bedeutung sein; Sie können nicht synthetisch sein. Es ist diese Art von Definition, die im letzten Jahrhundert oder so das größte Interesse und die größte Kontroverse geweckt hat. Und genau diese Definition wird unser Hauptanliegen sein. Beginnen wir mit einigen vorläufigen, aber wichtigen Unterscheidungen. Beginnen wir mit einigen vorläufigen, aber wichtigen Unterscheidungen. Beginnen wir mit einigen vorläufigen, aber wichtigen Unterscheidungen.

1.1 Reale und nominale Definitionen

John Locke unterschied in seinem Aufsatz „echte Essenz“von „nominaler Essenz“. Das nominelle Wesen ist laut Locke die „abstrakte Idee, der der Name beigefügt ist (III.vi.2)“. So ist die nominelle Essenz des Namens 'Gold', sagte Locke, "diese komplexe Idee, für die das Wort Gold steht, sei es zum Beispiel ein Körpergelb mit einem bestimmten Gewicht, formbar, schmelzbar und fest." Im Gegensatz dazu ist die wahre Essenz von Gold „die Konstitution der unempfindlichen Teile dieses Körpers, von denen diese Eigenschaften [in der nominalen Essenz erwähnt] und alle anderen Eigenschaften von Gold abhängen (III.vi.2).“Eine grobe Art, die Unterscheidung zwischen realen und nominalen Definitionen zu kennzeichnen, besteht darin, nach Locke zu sagen, dass die erstere die reale Essenz angibt, während die letztere die nominelle Essenz angibt. Der Chemiker strebt eine echte Definition an,Der Lexikograph strebt eine nominelle Definition an.

Diese Charakterisierung der Unterscheidung ist grob, da die Definition von „Tiger“durch einen Zoologen als echte Definition gelten sollte, auch wenn sie möglicherweise nicht die „Konstitution der unempfindlichen Teile“des Tigers liefert. Darüber hinaus sollte eine Darstellung der Bedeutung eines Wortes als nominelle Definition gelten, auch wenn sie möglicherweise nicht die lockesche Form der Darstellung „der abstrakten Idee, der der Name beigefügt ist“hat. Vielleicht ist es hilfreich, die Unterscheidung zwischen realen und nominalen Definitionen folgendermaßen anzugeben: Um die reale Definition eines Begriffs (X) zu entdecken, muss man das oder die mit (X) bezeichneten Dinge untersuchen; Um die nominelle Definition zu entdecken, muss man die Bedeutung und Verwendung von (X) untersuchen. Ob die Suche nach einer Antwort auf die sokratische Frage "Was ist Tugend?" Eine Suche nach einer realen Definition oder eine nach einer nominalen Definition hängt von der Vorstellung dieser bestimmten philosophischen Aktivität ab. Wenn wir der sokratischen Frage nachgehen, versuchen wir, eine klarere Sicht auf unsere Verwendung des Wortes "Tugend" zu gewinnen, oder versuchen wir, ein Ideal darzustellen, das in gewissem Maße unabhängig von diesen Verwendungen ist? Nach der früheren Auffassung streben wir eine nominelle Definition an; unter letzterem bei einer realen Definition.wir streben eine nominelle Definition an; unter letzterem bei einer realen Definition.wir streben eine nominelle Definition an; unter letzterem bei einer realen Definition.

Für eine kritische Diskussion der verschiedenen Aktivitäten, die unter "echte Definition" zusammengefasst wurden, siehe Robinson 1950. Für alte Ansichten über Definitionen siehe die Aufsätze in Charles 2010.

1.2 Wörterbuchdefinitionen

Nominaldefinitionen - Definitionen, die die Bedeutung eines Begriffs erklären - sind nicht alle von einer Art. Ein Wörterbuch erklärt die Bedeutung eines Begriffs in einem Sinne dieses Satzes. Wörterbücher zielen darauf ab, Definitionen bereitzustellen, die ausreichende Informationen enthalten, um ein Verständnis des Begriffs zu vermitteln. Es ist eine Tatsache über uns Sprachbenutzer, dass wir irgendwie eine potenzielle Unendlichkeit von Sätzen verstehen und verwenden, die einen Begriff enthalten, sobald wir eine bestimmte kleine Menge an Informationen über den Begriff erhalten. Wie genau dies geschieht, ist ein großes Rätsel. Aber es kommt vor, und Wörterbücher nutzen die Tatsache aus. Beachten Sie, dass Wörterbucheinträge nicht eindeutig sind. Unterschiedliche Wörterbücher können unterschiedliche Informationen liefern und dennoch die Bedeutung von Begriffen gleichermaßen effektiv erklären.

Von Philosophen gesuchte Definitionen sind nicht von der Art, wie sie in einem Wörterbuch zu finden sind. Freges Definition der Zahl (1884) und Alfred Tarskis Definition der Wahrheit (1983, Kap. 8) werden nicht als Kandidaten für Wörterbucheinträge angeboten. Wenn eine Erkenntnistheoretikerin nach einer Definition von „Wissen“sucht, sucht sie keinen guten Wörterbucheintrag für das Wort „Wissen“. Das philosophische Streben nach Definition kann manchmal fruchtbar als Suche nach einer Erklärung der Bedeutung charakterisiert werden. Aber der Sinn der "Erklärung der Bedeutung" unterscheidet sich sehr von dem Sinn, in dem ein Wörterbuch die Bedeutung eines Wortes erklärt.

1.3 Festlegende Definitionen

Eine festgelegte Definition verleiht dem definierten Begriff eine Bedeutung und beinhaltet keine Verpflichtung, dass die zugewiesene Bedeutung mit früheren Verwendungen (falls vorhanden) des Begriffs übereinstimmt. Stipulative Definitionen sind erkenntnistheoretisch speziell. Sie liefern Urteile mit erkenntnistheoretischen Merkmalen, die anderswo rätselhaft sind. Wenn man einen „Raimex“als ein rationales, einfallsreiches, erfahrendes Sein definiert, dann ist das Urteil „Raimexes sind rational“als notwendig, sicher und a priori gesichert. Philosophen fanden es verlockend, die rätselhaften Fälle von z. B. Apriorizität durch einen Appell an festgelegte Definitionen zu erklären.

Saul Kripke (1980) hat auf eine besondere Art der Festlegung hingewiesen. Wir können einen neuen Namen (z. B. 'Jack the Ripper') durch eine Beschreibung einführen (z. B. "der Mann, der (X, Y) und (Z) ermordet hat"). In einer solchen Bestimmung, betonte Kripke, dient die Beschreibung nur dazu, den Verweis auf den neuen Namen festzulegen; Der Name ist nicht gleichbedeutend mit der Beschreibung. Für das Urteil

(1) Jack the Ripper ist der Mann, der (X, Y) und (Z) ermordet hat, wenn ein einzigartiger Mann die Morde begangen hat

ist bedingt, obwohl das Urteil

Jack the Ripper ist Jack the Ripper, wenn ein einzigartiger Mann die Morde begangen hat

ist notwendig. Ein Name wie "Jack the Ripper", argumentierte Kripke, ist starr: Er wählt dasselbe Individuum über mögliche Welten hinweg aus; Die Beschreibung ist dagegen nicht starr. Kripke verwendete solche Bestimmungen zur Festlegung von Referenzen, um für die Existenz von a priori bedingten Wahrheiten zu argumentieren - (1) als Beispiel. Referenzbestimmende Definitionen können nicht nur für Namen, sondern auch für Begriffe in anderen Kategorien, z. B. gebräuchliche Substantive, angegeben werden.

Siehe Frege 1914 zur Verteidigung der strengen Ansicht, dass zumindest in der Mathematik nur festgelegte Definitionen berücksichtigt werden sollten. [1]

1.4 Beschreibende Definitionen

Beschreibende Definitionen, wie auch festgelegte, formulieren die Bedeutung, zielen aber auch darauf ab, der bestehenden Verwendung angemessen zu sein. Wenn Philosophen Definitionen von z. B. "wissen" und "frei" anbieten, sind sie nicht verbindlich: Eine mangelnde Übereinstimmung mit der bestehenden Verwendung ist ein Einwand gegen sie.

Es ist nützlich, drei Grade der deskriptiven Angemessenheit einer Definition zu unterscheiden: Extensions-, Intensions- und Sinnesdefinition. Eine Definition ist im Großen und Ganzen ausreichend, wenn es keine tatsächlichen Gegenbeispiele dafür gibt. es ist intensiv ausreichend, wenn es keine möglichen Gegenbeispiele dafür gibt; und es ist sinnvoll (oder analytisch), wenn es den definierten Begriff mit dem richtigen Sinn ausstattet. (Die letzte Angemessenheitsstufe selbst ist in verschiedene Begriffe unterteilt, da „Sinn“auf verschiedene Arten formuliert werden kann.) Die Definition „Wasser ist H 2 O“ist beispielsweise aufgrund der Identität von Wasser und H 2 äußerst angemessenO ist notwendig (unter der Annahme der Kripke-Putnam-Ansicht über die Starrheit natürlicher Begriffe); Die Definition ist daher auch im Großen und Ganzen angemessen. Aber es ist nicht sinnlich angemessen, denn der Sinn von "Wasser" ist überhaupt nicht der gleiche wie der von "H 2 O". Die Definition "George Washington ist der erste Präsident der Vereinigten Staaten" ist nur in größerem Umfang angemessen, aber nicht in den beiden anderen Klassen, während "Mensch ist ein lachendes Tier" in allen drei Klassen nicht angemessen ist. Wenn Definitionen erkenntnistheoretisch verwendet werden, ist die Angemessenheit der Intensität im Allgemeinen unzureichend. Denn solche Definitionen können die Rationalität oder die Apriorität eines problematischen Gegenstands nicht unterschreiben.

Siehe Quine 1951 & 1960 für Skepsis gegenüber analytischen Definitionen; siehe auch den Eintrag zur analytischen / synthetischen Unterscheidung. Horty 2007 bietet einige Denkweisen über die Sinne definierter Ausdrücke, insbesondere innerhalb einer fregeanischen semantischen Theorie.

1.5 Erklärende Definitionen

Manchmal wird eine Definition weder beschreibend noch verbindlich angeboten, sondern als eine Erklärung, wie Rudolf Carnap (1956, §2) es nannte. Eine Erklärung zielt darauf ab, einige zentrale Verwendungen eines Begriffs zu respektieren, andere jedoch zu vereinbaren. Die Erklärung kann als absolute Verbesserung eines bestehenden, unvollkommenen Konzepts angeboten werden. Oder es kann als "gute Sache" unter dem Begriff in einem bestimmten Kontext für einen bestimmten Zweck angeboten werden. (Der zitierte Satz stammt von Alan Ross Anderson; siehe Belnap 1993, 117.)

Eine einfache Illustration der Erklärung liefert die Definition des geordneten Paares in der Mengenlehre. Hier wird das Paar (langle x, y / rangle) als die Menge ({ {x }, {x, y } }) definiert. Als Erklärung betrachtet, soll diese Definition nicht alle Aspekte der vorausgehenden Verwendung von "geordnetem Paar" in der Mathematik (und im normalen Leben) erfassen. Stattdessen sollen die wesentlichen Verwendungszwecke erfasst werden. Die wesentliche Tatsache bei unserer Verwendung von "geordnetem Paar" ist, dass es dem Prinzip unterliegt, dass Paare identisch sind, wenn ihre jeweiligen Komponenten identisch sind:

) langle x, y / rangle = / langle u, v / rangle / text {iff} x = u / amp y = v.)

Und es kann überprüft werden, dass die obige Definition dem Prinzip entspricht. Die Definition hat einige Konsequenzen, die nicht mit dem gewöhnlichen Begriff übereinstimmen. Zum Beispiel impliziert die Definition, dass ein Objekt (x) ein Mitglied eines Mitglieds des Paares (langle x, y / rangle) ist, und diese Implikation ist kein Teil des gewöhnlichen Begriffs. Die Nichtübereinstimmung ist jedoch kein Einwand gegen die Erklärung. Was für die Erklärung wichtig ist, ist nicht die vorausgehende Bedeutung, sondern die Funktion. Solange das letztere erhalten bleibt, kann das erstere losgelassen werden. Es ist dieses Merkmal der Erklärung, das WVO Quine (1960, §53) dazu veranlasste, seine Tugenden zu preisen und die Definition des „geordneten Paares“als philosophisches Paradigma aufrechtzuerhalten.

Die wahrheitsfunktionale Bedingung liefert ein weiteres Beispiel für die Erklärung. Diese Bedingung unterscheidet sich von der gewöhnlichen Bedingung in einigen wesentlichen Punkten. Trotzdem kann die wahrheitsfunktionale Bedingung als Erklärung der gewöhnlichen Bedingung für bestimmte Zwecke in bestimmten Kontexten vorgebracht werden. Ob der Vorschlag angemessen ist, hängt entscheidend von den jeweiligen Zwecken und Kontexten ab. Dass sich die beiden Bedingungen in wichtigen, sogar wesentlichen Punkten unterscheiden, disqualifiziert den Vorschlag nicht automatisch.

1.6 Ostensive Definitionen

Ostensive Definitionen hängen typischerweise vom Kontext und von der Erfahrung ab. Angenommen, der Konversationskontext macht einen Hund unter mehreren sichtbaren hervorzuheben. Dann kann man den Namen 'Freddie' durch die Bedingung "Lass Freddie dieser Hund sein" einführen. Angenommen, Sie betrachten einen Zweig eines Busches und führen den Namen 'Charlie' wie folgt ein: „Lassen Sie Charlie das Insekt auf diesem Zweig sein.“Diese Definition kann einen Verweis auf 'Charlie' anheften, selbst wenn sich viele Insekten auf dem Ast befinden. Wenn Sie aufgrund Ihrer visuellen Erfahrung nur eines dieser Insekten sehen (z. B. weil die anderen zu klein sind, um sichtbar zu sein), ist dieses Insekt die Bezeichnung für Ihre Verwendung der Beschreibung „das Insekt auf diesem Zweig“. Wir können uns Erfahrung als Präsentation des Themas mit einem begrenzten Teil der Welt vorstellen. Dieser Teil kann als Bewertungspunkt für die Ausdrücke in einer ostensiven Definition dienen.[2] Folglich kann die Definition mit Hilfe von Erfahrungen einen Verweis auf den definierten Begriff festlegen, wenn dies ohne diese Hilfe nicht möglich wäre. Im vorliegenden Beispiel bedeutet die Beschreibung "das Insekt auf diesem Zweig" nicht, wenn es auf der ganzen Welt bewertet wird, sondern, wann es auf dem Teil bewertet wird, der in Ihrer visuellen Erfahrung dargestellt wird. Siehe Gupta 2019 für einen Bericht über den Beitrag der Erfahrung zur Bedeutung eines scheinbar definierten Begriffs.

Eine ostensive Definition kann eine wesentliche Bereicherung einer Sprache bewirken. Die ostensive Definition von 'Charlie' bereichert die Sprache mit einem Namen eines bestimmten Insekts, und es könnte durchaus sein, dass der Sprache vor der Anreicherung Ressourcen fehlten, um dieses bestimmte Insekt zu bezeichnen. Im Gegensatz zu anderen bekannten Definitionen können ostensive Definitionen Begriffe einführen, die nicht eliminierbar sind. (Daher können ostensive Definitionen das unten erläuterte Eliminierbarkeitskriterium nicht erfüllen; sie können auch das unten erläuterte Konservativitätskriterium nicht erfüllen.)

Die Fähigkeit ostensiver Definitionen, im Wesentlichen neues Vokabular einzuführen, hat einige Denker dazu veranlasst, sie als Quelle aller primitiven Konzepte zu betrachten. So behauptet Russell im menschlichen Wissen, dass

Alle nominalen Definitionen müssen, wenn sie weit genug zurückgedrängt werden, letztendlich zu Begriffen führen, die nur ostensive Definitionen haben, und im Fall einer empirischen Wissenschaft müssen die empirischen Begriffe von Begriffen abhängen, deren ostensive Definition in der Wahrnehmung gegeben ist. (S. 242)

In „Bedeutung und ostensive Definition“geht CH Whiteley davon aus, dass ostensive Definitionen „die Mittel sind, mit denen Männer die Bedeutungen der meisten, wenn nicht aller dieser elementaren Ausdrücke in ihrer Sprache lernen, anhand derer andere Ausdrücke definiert werden.” (332) Es ist jedoch anzumerken, dass nichts in der Logik und Semantik ostensiver Definitionen ein fundamentalistisches Bild von Konzepten oder vom Erlernen von Sprachen rechtfertigt. Solche fundamentalistischen Bilder wurden von Ludwig Wittgenstein in seinen Philosophischen Untersuchungen entscheidend kritisiert. Wittgensteins positive Ansichten zur ostensiven Definition bleiben jedoch schwer fassbar; Für eine Interpretation siehe Hacker 1975.

Ostensive Definitionen sind wichtig, aber unser Verständnis bleibt auf einem rudimentären Niveau. Sie verdienen größere Aufmerksamkeit von Logikern und Philosophen.

1.7 Eine Bemerkung

Die Arten, in die wir Definitionen sortiert haben, schließen sich weder gegenseitig aus noch erschöpfen sie. Eine festgelegte Definition eines Begriffs kann zufällig den vorangegangenen Verwendungen des Begriffs angemessen entsprechen. Ein Wörterbuch kann ostensive Definitionen einiger Wörter (z. B. von Farbwörtern) bieten. Eine ostensive Definition kann auch erklärend sein. Zum Beispiel kann man eine Verbesserung eines bereits existierenden Konzepts "ein Fuß" anbieten, also: "sei ein Fuß die gegenwärtige Länge dieser Stange." In seiner bereits bestehenden Verwendung kann das Konzept „ein Fuß“ziemlich vage sein; Die angeblich eingeführte Erklärung kann dagegen relativ genau sein. Darüber hinaus gibt es, wie wir weiter unten sehen werden, andere Arten von Definitionen als die bisher betrachteten.

2. Die Logik der Definitionen

Viele Definitionen - bestimmend, beschreibend und erklärend - können in drei Elemente analysiert werden: den Begriff ((X)), einen Ausdruck, der den definierten Begriff ((ldots X / ldots)) enthält, und einen anderen Ausdruck ((- - - - - - -)), der durch die Definition mit diesem Ausdruck gleichgesetzt wird. Solche Definitionen können folgendermaßen dargestellt werden:

) tag {2} X: / ldots X / ldots / eqdf - - - - - - - -.)

(Wir legen ostensive Definitionen beiseite, die eindeutig eine umfassendere Darstellung erfordern.) Wenn der definierte Begriff aus dem Kontext klar hervorgeht, kann die Darstellung vereinfacht werden

) ldots X / ldots / eqdf - - - - - - -.)

Der Ausdruck auf der linken Seite von '(eqdf)' (dh (ldots X / ldots)) ist das Definiendum der Definition, und der Ausdruck auf der rechten Seite ist seine Definition - es wird angenommen, dass das definiendum und das definiens zur gleichen logischen Kategorie gehören. Beachten Sie die Unterscheidung zwischen definiertem Begriff und definiendum: Der definierte Begriff im vorliegenden Beispiel ist (X); Das Definiendum ist der nicht spezifizierte Ausdruck auf der linken Seite von '(eqdf)', der mit (X) identisch sein kann oder nicht. (Einige Autoren nennen den definierten Begriff "das Definiendum"; andere verwenden den Ausdruck verwirrt, manchmal um sich auf den definierten Begriff und manchmal auf das eigentliche Definiendum zu beziehen.) Nicht alle Definitionen in der logischen und philosophischen Literatur passen unter das Schema (2).. Teildefinitionen fallen beispielsweise nicht in das Schema. Ein weiteres Beispiel sind Definitionen logischer Konstanten in Bezug auf die für sie geltenden Einführungs- und Eliminierungsregeln. Gleichwohl sind Definitionen, die (2) entsprechen, am wichtigsten und werden unser Hauptanliegen sein.

Konzentrieren wir uns auf festgelegte Definitionen und reflektieren deren Logik. Einige der wichtigen Lektionen hier übertragen sich, wie wir sehen werden, auf beschreibende und erklärende Definitionen. Betrachten wir der Einfachheit halber den Fall, in dem eine einzelne Definition einen Begriff verbindlich einführt. (Mehrere Definitionen bringen Komplexität in der Notation mit sich, werfen jedoch keine neuen konzeptionellen Probleme auf.) Nehmen wir also an, dass eine Sprache (L), die Grundsprache, durch Hinzufügen eines neuen Begriffs (X) zu einer erweiterten Sprache / erweitert wird (L ^ {+}), wobei (X) durch eine Definition (mathcal {D}) der Form (2) festgelegt ist. Welche logischen Regeln gelten für (mathcal {D})? Welche Anforderungen muss die Definition erfüllen?

Bevor wir uns mit diesen Fragen befassen, nehmen wir eine Unterscheidung zur Kenntnis, die nicht in Logikbüchern markiert ist, aber beim Nachdenken über Definitionen hilfreich ist. In einer Art von Definition - nennen wir es homogene Definition - gehören der definierte Begriff und das Definiendum zur gleichen logischen Kategorie. Ein singulärer Term wird also über einen singulären Term definiert. ein allgemeiner Begriff über einen allgemeinen Begriff; ein Satz über einen Satz; und so weiter. Nehmen wir an, eine homogene Definition ist regelmäßig, wenn ihr Definiendum mit dem definierten Begriff identisch ist. Hier einige Beispiele für reguläre homogene Definitionen:

) tag {3} begin {align *} 1: 1 & / eqdf / text {der Nachfolger von} 0, \\ / text {man}: / text {man} & / eqdf / text {rationales Tier}, \\ / text {The True}: / text {The True} & / eqdf / text {alles ist identisch mit sich selbst}. / end {align *})

Beachten Sie, dass 'The True', wie oben definiert, zur Kategorie des Satzes gehört, nicht zu der des einzelnen Begriffs.

Es wird manchmal gesagt, dass Definitionen bloße Rezepte für Abkürzungen sind. So sagen Alfred North Whitehead und Bertrand Russell über Definitionen - insbesondere die in Principia Mathematica verwendeten -, dass sie "streng genommen typografische Bequemlichkeiten sind (1925, 11)". Dieser Standpunkt ist nur für reguläre homogene Definitionen plausibel - obwohl er auch hier nicht wirklich haltbar ist. (Whiteheads und Russells eigene Beobachtungen machen deutlich, dass ihre Definitionen mehr als nur „typografische Bequemlichkeiten“sind. [3]) Die Vorstellung, dass Definitionen bloße Abkürzungen sind, ist für die zweite Art von Definition, auf die wir uns nun beziehen, überhaupt nicht plausibel.

Bei der zweiten Art der Definition - nennen wir es eine heterogene Definition - gehören der definierte Begriff und das Definiendum zu verschiedenen logischen Kategorien. So kann beispielsweise ein allgemeiner Begriff (z. B. "Mann") unter Verwendung eines sententialen Definiendums definiert werden (z. B. "(x) ist ein Mann"). Für ein anderes Beispiel kann ein singulärer Term (z. B. '1') unter Verwendung eines Prädikats definiert werden (z. B. 'ist identisch mit 1'). Heterogene Definitionen sind weitaus häufiger als homogene. In bekannten Sprachen erster Ordnung ist es beispielsweise sinnlos, beispielsweise ein Ein-Ort-Prädikat (G) durch eine homogene Definition zu definieren. Diese Sprachen haben keine Ressourcen zum Bilden zusammengesetzter Prädikate. daher müssen die Definitionen einer homogenen Definition von (G) atomar sein. In einer heterogenen Definition können die Definitionen jedoch leicht komplex sein; beispielsweise,) tag {4} Gx / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10.)

Wenn die Sprache ein Gerät zur Abstraktion hat, z. B. zur Bildung von Mengen, könnten wir eine andere Art von heterogener Definition von (G) geben:

) tag {5} text {die Menge von} G / text {s} eqdf / text {die Menge von Zahlen zwischen 3 und 10.})

Beachten Sie, dass eine heterogene Definition wie (4) keine bloße Abkürzung ist. Wenn dies der Fall wäre, wäre der darin enthaltene Ausdruck (x) keine echte Variable, und die Definition würde keine Anleitung zur Rolle von (G) in anderen Kontexten als (Gx) geben. Wenn solche Definitionen Abkürzungen wären, würden sie darüber hinaus der Anforderung unterliegen, dass das Definiendum kürzer als die Definiens sein muss, aber es gibt keine solche Anforderung. Auf der anderen Seite wären echte Anforderungen an Definitionen wenig sinnvoll. Die folgende Bestimmung ist keine legitime Definition:

) tag {6} Gx / eqdf x / gt y / amp x / lt 10.)

Aber wenn es als bloße Abkürzung angesehen wird, ist nichts Unrechtmäßiges daran.

Einige festgelegte Definitionen sind nichts anderes als bloße Abkürzungsinstrumente (z. B. die Definitionen, die das Weglassen von Klammern in Formeln regeln; siehe Kirche 1956, §11). Viele festgelegte Definitionen sind jedoch nicht von dieser Art; Sie bringen bedeutungsvolle Punkte in unseren Diskurs ein. Somit macht die Definition (4) (G) zu einem bedeutungsvollen unären Prädikat: (G) drückt aufgrund von (4) ein bestimmtes Konzept aus. Im Gegensatz dazu ist (G) unter Bedingung (6) kein aussagekräftiges Prädikat und drückt keinerlei Konzept aus. Aber woher kommt der Unterschied? Warum ist (4) legitim, aber nicht (6)? Wann ist eine Definition allgemein legitim? Welche Anforderungen müssen die definiens erfüllen? Und das definiendum? Muss das Definiendum beispielsweise atomar sein, wie in (3) und (4)? Wenn nicht, welche Einschränkungen (falls vorhanden) gibt es für das Definiendum?

2.1 Zwei Kriterien

Bei jeder Beantwortung dieser Fragen ist es plausibel, dass zwei Kriterien eingehalten werden. [4] Erstens sollte eine festgelegte Definition es uns nicht ermöglichen, im Wesentlichen neue Behauptungen aufzustellen - nennen Sie dies das Konservativitätskriterium. Wir sollten nicht in der Lage sein, durch bloße Bestimmung neue Dinge zum Beispiel über den Mond festzustellen. Es ist richtig, dass dieses Kriterium, sofern es nicht präzisiert wird, trivialen Gegenbeispielen unterliegt, da die Einführung einer Definition einige Tatsachen wesentlich beeinflusst. Trotzdem kann das Kriterium präzise und vertretbar gemacht werden, und wir werden bald einige Möglichkeiten sehen, dies zu tun.

Zweitens sollte die Definition die Verwendung des definierten Ausdrucks (X) festlegen - nennen Sie dies das Verwendungskriterium. Dieses Kriterium ist plausibel, da nur die Definition - und nichts anderes - verfügbar ist, um uns bei der Verwendung von (X) zu leiten. Hier gibt es jedoch Komplikationen. Was zählt als Verwendung von (X)? Sind Ereignisse im Rahmen von "Sagen" und "Wissen" enthalten? Was ist mit dem Auftreten von (X) in Anführungskontexten und solchen in Wörtern, zum Beispiel 'Xenophanes'? Die letzte Frage sollte eindeutig die Antwort "Nein" erhalten. Die Antworten auf die vorherigen Fragen sind jedoch nicht so klar. Es gibt noch eine weitere Komplikation: Selbst wenn wir echte Vorkommen von (X) irgendwie trennen können, kann es sein, dass einige dieser Vorkommen von der Definition zu Recht ignoriert werden. Beispielsweise,Eine Definition des Quotienten kann einige Vorkommen des Begriffs undefiniert lassen (z. B. wenn durch 0 geteilt wird). Die orthodoxe Sichtweise besteht darin, solche Definitionen als illegitim zu betrachten, aber die Orthodoxie verdient es, hier in Frage gestellt zu werden. Überlassen wir die Herausforderung jedoch einer anderen Gelegenheit und umgehen die Komplikationen durch Idealisierung. Beschränken wir uns auf Grundsprachen, die eine klar festgelegte logische Struktur besitzen (z. B. eine Sprache erster Ordnung) und die keine Vorkommen des definierten Begriffs (X) enthalten. Und beschränken wir uns auf Definitionen, die das legitime Auftreten von (X) nicht einschränken. Das Verwendungskriterium schreibt nun vor, dass die Definition die Verwendung aller Ausdrücke in der erweiterten Sprache festlegen soll, in der (X) vorkommt. Die orthodoxe Sichtweise besteht darin, solche Definitionen als illegitim zu betrachten, aber die Orthodoxie verdient es, hier in Frage gestellt zu werden. Überlassen wir die Herausforderung jedoch einer anderen Gelegenheit und umgehen die Komplikationen durch Idealisierung. Beschränken wir uns auf Grundsprachen, die eine klar festgelegte logische Struktur besitzen (z. B. eine Sprache erster Ordnung) und die keine Vorkommen des definierten Begriffs (X) enthalten. Und beschränken wir uns auf Definitionen, die das legitime Auftreten von (X) nicht einschränken. Das Verwendungskriterium schreibt nun vor, dass die Definition die Verwendung aller Ausdrücke in der erweiterten Sprache festlegen soll, in der (X) vorkommt. Die orthodoxe Sichtweise besteht darin, solche Definitionen als illegitim zu betrachten, aber die Orthodoxie verdient es, hier in Frage gestellt zu werden. Überlassen wir die Herausforderung jedoch einer anderen Gelegenheit und umgehen die Komplikationen durch Idealisierung. Beschränken wir uns auf Grundsprachen, die eine klar festgelegte logische Struktur besitzen (z. B. eine Sprache erster Ordnung) und die keine Vorkommen des definierten Begriffs (X) enthalten. Und beschränken wir uns auf Definitionen, die das legitime Auftreten von (X) nicht einschränken. Das Verwendungskriterium schreibt nun vor, dass die Definition die Verwendung aller Ausdrücke in der erweiterten Sprache festlegen soll, in der (X) vorkommt. Beschränken wir uns auf Grundsprachen, die eine klar festgelegte logische Struktur besitzen (z. B. eine Sprache erster Ordnung) und die keine Vorkommen des definierten Begriffs (X) enthalten. Und beschränken wir uns auf Definitionen, die das legitime Auftreten von (X) nicht einschränken. Das Verwendungskriterium schreibt nun vor, dass die Definition die Verwendung aller Ausdrücke in der erweiterten Sprache festlegen soll, in der (X) vorkommt. Beschränken wir uns auf Grundsprachen, die eine klar festgelegte logische Struktur besitzen (z. B. eine Sprache erster Ordnung) und die keine Vorkommen des definierten Begriffs (X) enthalten. Und beschränken wir uns auf Definitionen, die das legitime Auftreten von (X) nicht einschränken. Das Verwendungskriterium schreibt nun vor, dass die Definition die Verwendung aller Ausdrücke in der erweiterten Sprache festlegen soll, in der (X) vorkommt. Das Verwendungskriterium schreibt nun vor, dass die Definition die Verwendung aller Ausdrücke in der erweiterten Sprache festlegen soll, in der (X) vorkommt. Das Verwendungskriterium schreibt nun vor, dass die Definition die Verwendung aller Ausdrücke in der erweiterten Sprache festlegen soll, in der (X) vorkommt.

Eine abweichende Formulierung des Verwendungskriteriums lautet: Die Definition muss die Bedeutung des Definiendums festlegen. Die neue Formulierung ist weniger bestimmt und umstrittener, da sie auf „Bedeutung“beruht, einem mehrdeutigen und theoretisch umstrittenen Begriff.

Beachten Sie, dass die beiden Kriterien alle bestimmenden Definitionen regeln, unabhängig davon, ob sie einzeln oder mehrfach sind oder ob sie die Form (2) haben oder nicht.

2.2 Grundlagen des traditionellen Kontos

Die traditionelle Darstellung von Definitionen basiert auf drei Ideen. Die erste Idee ist, dass Definitionen verallgemeinerte Identitäten sind; das zweite, dass das Sentential primär ist; und das dritte, das der Reduktion. Die erste Idee - dass Definitionen verallgemeinerte Identitäten sind - motiviert die Inferenzregeln des traditionellen Kontos für Definitionen. Dies sind grob gesagt, dass (i) jedes Auftreten des Definiendums durch ein Auftreten der Definiens ersetzt werden kann (Generalized Definiendum Elimination); und umgekehrt kann (ii) jedes Auftreten der Definiens durch ein Auftreten des Definiendums ersetzt werden (Generalized Definiendum Introduction).

Die zweite Idee - das Primat des Sententials - hat ihre Wurzeln in dem Gedanken, dass die grundlegenden Verwendungen eines Begriffs in Behauptung und Argumentation liegen: Wenn wir die Verwendung eines definierten Begriffs in Behauptung und Argumentation verstehen, verstehen wir den Begriff vollständig. Das Sentential ist jedoch primär in Argumentation und Behauptung. Um die Verwendung eines definierten Begriffs (X) zu erklären, ist es nach der zweiten Idee notwendig und ausreichend, die Verwendung von sententialen Elementen zu erklären, die (X) enthalten. (Unter Sentential Items werden hier Sätze und satzähnliche Dinge mit freien Variablen verstanden, z. B. die Definiens von (4); von nun an werden diese Items Formeln genannt.) Die Probleme, die die zweite Idee aufwirft, sind natürlich groß und wichtig, aber sie können nicht in einer kurzen Umfrage behandelt werden. Lassen Sie uns die Idee einfach als gegeben akzeptieren.

Die dritte Idee - Reduktion - ist, dass die Verwendung einer Formel (Z), die den definierten Begriff enthält, durch Reduzieren von (Z) auf eine Formel in der Grundsprache erklärt wird. Diese Idee führt in Verbindung mit dem Primat des Sententials zu einer starken Version des Verwendungskriteriums, dem Eliminierbarkeitskriterium: Die Definition muss jede Formel, die den definierten Begriff enthält, auf eine Formel in der Grundsprache reduzieren, dh eine, die frei von ist der definierte Begriff. Die Eliminierbarkeit ist die charakteristische These des traditionellen Kontos und kann, wie wir weiter unten sehen werden, in Frage gestellt werden.

Beachten Sie, dass für das traditionelle Konto nicht alle Ausdrücke der erweiterten Sprache reduziert werden müssen. es erfordert nur die Reduzierung von Formeln. Die Definition eines Prädikats (G) muss beispielsweise keine Möglichkeit bieten, (G) isoliert auf ein Prädikat der Grundsprache zu reduzieren. Der traditionelle Bericht steht somit im Einklang mit dem Gedanken, dass eine festgelegte Definition der Sprache eine neue konzeptuelle Ressource hinzufügen kann, da nichts in der Grundsprache das prädikative Konzept ausdrückt, das (G) in der erweiterten Sprache ausdrückt. Dies soll nicht leugnen, dass kein neuer Satz - zumindest im Sinne der Wahrheitsbedingung - in der erweiterten Sprache ausgedrückt wird.

2.3 Konservativität und Eliminierbarkeit

Lassen Sie uns nun sehen, wie Konservativität und Eliminierbarkeit präzisiert werden können. Betrachten Sie zunächst Sprachen, die ein genaues Beweissystem der bekannten Art haben. Die Grundsprache (L) sei eine solche. Das Beweissystem von (L) kann klassisch oder dreiwertig oder modal oder relevant oder ein anderes sein; und es kann einige nicht logische Axiome enthalten oder nicht. Wir gehen lediglich davon aus, dass wir die Begriffe "Satz von (L)" und "nachweislich äquivalent in (L)" sowie die Begriffe "Satz von (L ^ {+})" und " nachweislich äquivalent in (L ^ {+})”, das sich ergibt, wenn das Beweissystem von (L) durch eine Definition (mathcal {D}) und die logischen Regeln für Definitionen ergänzt wird. Nun kann das Konservativitätskriterium wie folgt präzisiert werden.

Konservativitätskriterium (syntaktische Formulierung): Jede Formel von (L), die in (L ^ {+}) nachweisbar ist, ist in (L) nachweisbar.

Das heißt, jede Formel von (L), die mit Definition (mathcal {D}) beweisbar ist, ist auch ohne Verwendung von (mathcal {D}) beweisbar: Die Definition ermöglicht es uns nicht, etwas Neues zu beweisen in (L). Das Eliminierbarkeitskriterium kann folgendermaßen präzisiert werden:

Eliminierbarkeitskriterium (syntaktische Formulierung): Für jede Formel (A) von (L ^ {+}) gibt es eine Formel von (L), die nachweislich in (L ^ {+}) äquivalent ist. zu einem).

(Folklore schreibt dem polnischen Logiker S. Leśniewski die Formulierung der Kriterien Konservativität und Eliminierbarkeit zu, aber dies ist ein Fehler; siehe Dudman 1973, Hodges 2008, Urbaniak und Hämäri 2012 für Diskussion und weitere Referenzen.) [5]

Lassen Sie uns nun (L) mit einer modelltheoretischen Semantik ausstatten. Das heißt, wir assoziieren mit (L) eine Klasse von Interpretationen und stellen die Begriffe "gültig in (L) in der Interpretation (M)" zur Verfügung (auch bekannt als "wahr in (L)". in (M)”) und“semantisch äquivalent in (L) relativ zu (M).” Lassen Sie die Begriffe "gültig in (L ^ {+}) in (M)" und "semantisch äquivalent in (L ^ {+}) relativ zu (M)" resultieren, wenn die Semantik von (L) wird durch die Definition (mathcal {D}) ergänzt. Die Kriterien der Konservativität und Eliminierbarkeit können nun folgendermaßen präzisiert werden:

Konservativitätskriterium (semantische Formulierung): Für alle Formeln (A) von (L) und alle Interpretationen (M), wenn (A) in (L ^ {+}) in / gültig ist (M) dann (A) ist auch gültig in (L) in (M).

Eliminierbarkeitskriterium (semantische Formulierung): Für jede Formel (A) von (L ^ {+}) gibt es eine Formel (B) von (L), so dass relativ zu allen Interpretationen (M, B) ist in (L ^ {+}) semantisch äquivalent zu (A).

Die syntaktischen und semantischen Formulierungen der beiden Kriterien sind eindeutig parallel. Selbst wenn wir annehmen, dass starke Vollständigkeitssätze für (L) und (L ^ {+}) gelten, sind die beiden Formulierungen nicht äquivalent. In der Tat sind innerhalb jedes Rahmens, der syntaktischen und der semantischen, mehrere unterschiedliche, nicht äquivalente Formulierungen der beiden Kriterien möglich.

Beachten Sie, dass die Erfüllung der Kriterien für Konservativität und Eliminierbarkeit, sei es in ihrer semantischen oder ihrer syntaktischen Formulierung, keine absolute Eigenschaft einer Definition ist. Die Zufriedenheit ist relativ zur Grundsprache. Verschiedene Grundsprachen können unterschiedliche Beweissysteme und unterschiedliche Interpretationsklassen mit sich bringen. Daher kann eine Definition die beiden Kriterien erfüllen, wenn sie einer Sprache hinzugefügt wird, kann dies jedoch nicht tun, wenn sie einer anderen Sprache hinzugefügt wird. Zur weiteren Diskussion der Kriterien siehe Suppes 1957 und Belnap 1993.

2.4 Definitionen in normaler Form

Lassen Sie uns der Vollständigkeit halber die Grundsprache (L) als klassische Sprache erster Ordnung mit Identität festlegen. Das Beweissystem von (L) kann einige nicht logische Axiome (T) enthalten; Die Interpretationen von (L) sind dann die klassischen Modelle von (T). Nach wie vor ist (L ^ {+}) die erweiterte Sprache, die sich ergibt, wenn eine Definition (mathcal {D}) einer nicht logischen Konstante (X) zu (L) hinzugefügt wird. daher kann (X) ein Name, ein Prädikat oder ein Funktionssymbol sein. Nennen Sie zwei Definitionen äquivalent, wenn sie in der erweiterten Sprache dieselben Theoreme liefern. Dann kann gezeigt werden, dass (mathcal {D}), wenn (mathcal {D}) die Kriterien der Konservativität und Eliminierbarkeit erfüllt, (mathcal {D}) einer Definition in normaler Form entspricht, wie unten angegeben. [6] Da Definitionen in normaler Form den Anforderungen an Konservativität und Eliminierbarkeit entsprechen, impliziert die traditionelle Darstellung, dass wir nichts Wesentliches verlieren, wenn Definitionen in normaler Form erforderlich sind.

Die normale Form von Definitionen kann wie folgt angegeben werden. Die Definitionen der Namen (a, n) - arische Prädikate (H) und (n) - ary Funktionssymbole (f) müssen jeweils die folgenden Formen haben:

) begin {align} tag {7} a = x & / eqdf / psi (x), \\ / tag {8} H (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) & / eqdf / phi \, (x_ {1}, / ldots, x_ {n}), \\ / tag {9} f (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) = y & / eqdf / chi (x_ { 1}, / ldots, x_ {n}, y), / end {align})

wobei die Variablen (x_ {1}),…, (x_ {n}), (y) alle verschieden sind und die definiens jeweils Bedingungen erfüllen, die in eine allgemeine und eine spezifische getrennt werden können Teil. [7] Die allgemeine Bedingung für definiens ist in jedem Fall dieselbe: Sie darf weder den definierten Begriff noch andere freie Variablen als die im definiendum enthalten. Die allgemeinen Bedingungen bleiben dieselben, wenn die traditionelle Definition auf nicht-klassische Logiken angewendet wird (z. B. auf vielwertige und modale Logiken). Die spezifischen Bedingungen sind variabler. In der klassischen Logik ist die spezifische Bedingung für die Definiens (psi (x)) von (7), dass sie eine Existenz- und Eindeutigkeitsbedingung erfüllen: dass es beweisbar ist, dass etwas (psi (x)) und erfüllt dass höchstens eine Sache (psi (x)) erfüllt. [8]Es gibt keine spezifischen Bedingungen für (8), aber die Bedingung für (9) entspricht der für (7). Ein Existenz- und Einzigartigkeitsanspruch muss gelten: der universelle Abschluss der Formel

) existiert y \, / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, y) amp / forall u / forall v) chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, u) amp / chi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}, v) rightarrow u = v])

muss nachweisbar sein. [9]

In einer Logik, die leere Namen zulässt, wäre die spezifische Bedingung für die Definitionen von (7) schwächer: Die Existenzbedingung würde fallengelassen. Im Gegensatz dazu würde in einer modalen Logik, die erfordert, dass Namen nicht leer und starr sind, die spezifische Bedingung gestärkt: Es muss nicht nur gezeigt werden, dass Existenz und Einzigartigkeit notwendigerweise gelten, sondern es muss gezeigt werden, dass die Definiens von einem und dem erfüllt werden gleiches Objekt über mögliche Welten.

Definitionen, die (7) - (9) entsprechen, sind heterogen; Das Definiendum ist sentential, der definierte Begriff jedoch nicht. Eine Quelle der spezifischen Bedingungen für (7) und (9) ist ihre Heterogenität. Die spezifischen Bedingungen sind erforderlich, um sicherzustellen, dass die Definiens, obwohl sie nicht zur logischen Kategorie des definierten Begriffs gehören, ihm das richtige logische Verhalten verleihen. Die Bedingungen stellen somit sicher, dass die Logik der erweiterten Sprache dieselbe ist wie die der Grundsprache. Dies ist der Grund, warum die spezifischen Bedingungen für normale Formen mit der Logik der Grundsprache variieren können. Beachten Sie, dass unabhängig von dieser Logik keine spezifischen Bedingungen für regelmäßige homogene Definitionen erforderlich sind.

Das traditionelle Konto ermöglicht einfache logische Regeln für Definitionen sowie eine einfache Semantik für die erweiterte Sprache. Angenommen, die Definition (mathcal {D}) hat ein sententiales Definiendum. (In der klassischen Logik können alle Definitionen leicht transformiert werden, um diese Bedingung zu erfüllen.) Sei (mathcal {D})

) tag {10} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) eqdf / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}),)

Dabei sind (x_ {1}),…, (x_ {n}) alle Variablen, die entweder in (phi) oder (psi) frei sind. Und lassen Sie (phi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) und (psi (t_ {1}, / ldots, t_ {n})) durch gleichzeitiges Ersetzen von Begriffen resultieren (t_ {1}),…, (t_ {n}) für (x_ {1}),…, (x_ {n}) in (phi (x_ {) 1}, / ldots, x_ {n})) und (psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n})); Ändern der gebundenen Variablen nach Bedarf. Dann sind die Inferenzregeln für (mathcal {D}) einfach folgende:

) begin {align *} frac { phi (t_1, / ldots, t_n)} { psi (t_1, / ldots, t_n)}, \, & / textbf {Definiendum Elimination} & \\ / frac { psi (t_1, / ldots, t_n)} { phi (t_1, / ldots, t_n)}, \, & / textbf {Definiendum Introduction} end {align *})

Die Semantik für die erweiterte Sprache ist ebenfalls unkompliziert. Nehmen wir zum Beispiel an, (mathcal {D}) ist eine Definition eines Namens (a) und nehmen wir an, dass es in normaler Form äquivalent zu (7) ist. Dann erweitert sich jede klassische Interpretation (M) von (L) zu einer einzigartigen klassischen Interpretation (M ^ {+}) der erweiterten Sprache (L ^ {+}). Die Bezeichnung von (a) in (M ^ {+}) ist das eindeutige Objekt, das (psi (x)) in (M) erfüllt; Die Bedingungen für (psi (x)) stellen sicher, dass ein solches Objekt vorhanden ist. Die Semantik definierter Prädikate und Funktionssymbole ist ähnlich. Die Logik und Semantik von Definitionen in nicht-klassischer Logik wird nach der traditionellen Darstellung parallel behandelt.

Beachten Sie, dass die Inferenzkraft des Hinzufügens der Definition (10) zur Sprache dieselbe ist wie die des Hinzufügens als Axiom, des universellen Abschlusses von

) tag {11} phi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}) leftrightarrow / psi (x_ {1}, / ldots, x_ {n}).)

Diese Ähnlichkeit im logischen Verhalten von (10) und (11) sollte jedoch die großen Unterschiede zwischen der bikonditionalen ('(leftrightarrow)') und der definitiven Äquivalenz ('(eqdf)') nicht verschleiern. Ersteres ist eine sententiale Verbindung, letzteres ist jedoch transkategorisch: Auf beiden Seiten von '(eqdf)' können nicht nur Formeln, sondern auch Prädikate, Namen und Elemente anderer logischer Kategorien vorkommen. Darüber hinaus kann das Biconditional iteriert werden, z. B. (((phi / leftrightarrow / psi) leftrightarrow / chi)) - aber nicht die definitive Äquivalenz. Schließlich kann ein Begriff durch eine festgelegte Definition in eine Grundsprache eingeführt werden, deren logische Ressourcen beispielsweise auf die klassische Konjunktion und Disjunktion beschränkt sind. Dies ist durchaus machbar, obwohl das Biconditional in der Sprache nicht ausdrückbar ist. In solchen Fällen,Die inferentielle Rolle der stipulativen Definition spiegelt sich in keiner Formel der erweiterten Sprache wider.

Die traditionelle Darstellung von Definitionen sollte nicht so angesehen werden, dass Definitionen in normaler Form vorliegen müssen. Die einzigen Anforderungen, die es auferlegt, sind (i) dass das Definiendum den definierten Begriff enthält; (ii) dass das Definiendum und die Definiens derselben logischen Kategorie angehören; und (iii) die Definition erfüllt die Konservativität und Eliminierbarkeit. Solange diese Anforderungen erfüllt sind, gibt es keine weiteren Einschränkungen. Das Definiendum kann wie die Definiens komplex sein; und die definiens können wie das definiendum den definierten Begriff enthalten. So ist zum Beispiel formal nichts falsch, wenn die Definition des Funktionsausdrucks 'die Anzahl von' die Formel 'die Anzahl von (F) s ist die Anzahl von (G) s' als definiendum hat. Die Rolle normaler Formen besteht nur darin, auf einfache Weise sicherzustellen, dass Definitionen der Konservativität und Eliminierbarkeit entsprechen. Sie bieten nicht das einzig legitime Format für die verbindliche Einführung eines Begriffs. Der Grund, warum (4) ist, aber (6) nicht, ist eine legitime Definition nicht, dass (4) in normaler Form ist und (6) nicht.

) begin {align *} tag {4} Gx & / eqdf x / gt 3 / amp x / lt 10. \\ / tag {6} Gx & / eqdf x / gt y / amp x / lt 10. / end {align *})

Der Grund ist, dass (4) die beiden Kriterien respektiert, (6) jedoch nicht. (Es wird angenommen, dass die Grundsprache hier gewöhnliche Arithmetik enthält; unter dieser Annahme impliziert die zweite Definition einen Widerspruch.) Die folgenden zwei Definitionen sind ebenfalls nicht in normaler Form:

) begin {align *} tag {12} Gx & / eqdf (x / gt 3 / amp x / lt 10) amp y = y. \\ / tag {13} Gx & / eqdf [x = 0 / amp (G0 / vee G1)] vee [x = 1 / amp ({ sim} G0 / amp { sim} G1)]. / end {align *})

Beide sollten jedoch nach dem traditionellen Konto als legitim gelten, da sie die Kriterien der Konservativität und Eliminierbarkeit erfüllen. Daraus folgt, dass die beiden Definitionen in eine normale Form gebracht werden können. Definition (12) ist eindeutig äquivalent zu (4) und Definition (13) ist äquivalent zu (14):

) tag {14} Gx / eqdf x = 0.)

Beachten Sie, dass die Definitionen von (13) keiner (G) - freien Formel logisch äquivalent sind. Trotzdem hat die Definition eine normale Form.

In ähnlicher Weise ist das traditionelle Konto perfekt mit rekursiven (auch als induktiv bezeichneten) Definitionen kompatibel, wie sie in Logik und Mathematik zu finden sind. In der Peano-Arithmetik kann beispielsweise die Potenzierung durch die folgenden Gleichungen definiert werden:

) tag {15} begin {align *} m ^ {0} & = 1, \\ m ^ {n + 1} & = m ^ {n} cdot m. / end {align *})

Hier definiert die erste Gleichung, die als Basisklausel bezeichnet wird, den Wert der Funktion, wenn der Exponent 0 ist. Und die zweite Klausel, die als rekursive Klausel bezeichnet wird, verwendet den Wert der Funktion, wenn der Exponent (n) ist, um die zu definieren Wert, wenn der Exponent (n + 1) ist. Dies ist nach traditioneller Darstellung durchaus legitim, da ein Satz der Peano-Arithmetik feststellt, dass die obige Definition einer in normaler Form entspricht. [10] Rekursive Definitionen sind in ihrem Format zirkulär, und tatsächlich ist es diese Zirkularität, die sie übersichtlich macht. Aber die Zirkularität ist ganz an der Oberfläche, wie die Existenz normaler Formen zeigt. Siehe die Diskussion der zirkulären Definitionen unten.

2.5 Implizite Definitionen

Der obige Standpunkt erlaubt es dem traditionellen Bericht, Ideen in seine Falte zu bringen, die auf den ersten Blick widersprüchlich erscheinen könnten. Es wird manchmal vorgeschlagen, dass ein Begriff (X) axiomatisch eingeführt werden kann, dh indem bestimmte Sätze der erweiterten Sprache (L ^ {+}) als Axiome festgelegt werden. Die Axiome sollen dann implizit (X) definieren. Diese Idee lässt sich leicht in das traditionelle Konto integrieren. Eine Theorie sei eine Menge von Sätzen der erweiterten Sprache (L ^ {+}). Zu sagen, dass eine Theorie (T ^ *) eine implizite (festgelegte) Definition von X ist, bedeutet zu sagen, dass (X) von der Definition bestimmt wird

) phi / eqdf / text {The True},)

Dabei ist (phi) die Konjunktion der Mitglieder von (T ^ *). (Wenn (T ^ *) unendlich ist, wird für jeden Satz (psi) in (T ^ *) eine Bestimmung der obigen Form benötigt.) [11] Die Definition ist gemäß legitim das traditionelle Konto, sofern es die Kriterien für Konservativität und Eliminierbarkeit erfüllt. Wenn es diese Kriterien erfüllt, nennen wir (T ^ *) zulässig (für eine Definition von X). Der traditionelle Bericht trägt also der Idee Rechnung, dass Theorien neue Begriffe einführen können, stellt jedoch eine starke Nachfrage: Die Theorien müssen zulässig sein. [12]

Betrachten Sie der Vollständigkeit halber den Sonderfall der klassischen Sprachen erster Ordnung. Die Grundsprache (L) sei eine solche, und ihre Interpretationen seien Modelle einiger Sätze (T). Angenommen, eine Interpretation (M ^ {+}) von (L ^ {+}) ist eine Erweiterung einer Interpretation (M) von (L) iff (M) und (M. ^ {+}) haben dieselbe Domäne und weisen den nicht logischen Konstanten in (L) dieselben semantischen Werte zu. Lassen Sie uns das außerdem sagen

(T ^ *) ist eine implizite semantische Definition von X iff, für jede Interpretation (M) von (L) gibt es ein eindeutiges Modell (M ^ {+}) von (T ^ *) so dass (M ^ {+}) eine Erweiterung von (M) ist.

Dann ist der folgende Anspruch unmittelbar:

Wenn (T ^ *) zulässig ist, ist (T ^ *) eine implizite semantische Definition von (X).

Das heißt, eine zulässige Theorie legt den semantischen Wert des definierten Begriffs in jeder Interpretation der Grundsprache fest. Diese Beobachtung liefert eine natürliche Methode, um zu zeigen, dass eine Theorie nicht zulässig ist:

Padoas Methode. Um zu zeigen, dass (T ^ *) nicht zulässig ist, reicht es aus, zwei Modelle von (T ^ *) zu konstruieren, die Erweiterungen ein und derselben Interpretation der Grundsprache (L) sind. (Padoa 1900)

Hier ist eine einfache und philosophisch nützliche Anwendung der Padoa-Methode. Angenommen, das Beweissystem von (L) ist Peano-Arithmetik und (L) wird durch Hinzufügen eines unären Prädikats (Tr) erweitert (für "Gödel-Zahl eines wahren Satzes von (L)").). Sei (mathbf {H}) die Theorie, die aus allen Sätzen (den „Tarski-Biconditionals“) der folgenden Form besteht:

[Tr (s) leftrightarrow / psi,)

Dabei ist (psi) ein Satz von (L) und (s) der kanonische Name für die Gödel-Zahl von (psi). Padoas Methode impliziert, dass (mathbf {H}) für die Definition von (Tr) nicht zulässig ist. Denn (mathbf {H}) legt die Interpretation von (Tr) nicht in allen Interpretationen von (L) fest. Insbesondere im Standardmodell ist dies nicht der Fall, da (mathbf {H}) das Verhalten von (Tr) für diejenigen Zahlen, die keine Gödel-Satzzahlen sind, nicht einschränkt. (Wenn die Codierung jede natürliche Zahl zu einer Gödel-Zahl eines Satzes macht, liefert ein nicht standardmäßiges Modell der Peano-Arithmetik das erforderliche Gegenbeispiel: Es hat unendlich viele Erweiterungen, die Modelle von (mathbf {H}) sind.) A. Eine Variante dieses Arguments zeigt, dass Tarskis Wahrheitstheorie, wie sie in (L ^ {+}) formuliert ist, für die Definition von (Tr) nicht zulässig ist.

Was ist mit der Umkehrung von Padoas Methode? Nehmen wir an, wir können zeigen, dass in jeder Interpretation der Grundsprache eine Theorie (T ^ *) einen eindeutigen semantischen Wert für den definierten Begriff festlegt. Können wir daraus schließen, dass (T ^ *) zulässig ist? Diese Frage erhält für einige semantische Systeme eine negative Antwort und für andere eine positive Antwort. (Im Gegensatz dazu funktioniert Padoas Methode, solange das semantische System nicht hoch entwickelt ist.) Das Gegenteil schlägt beispielsweise für klassische Sprachen zweiter Ordnung fehl, gilt jedoch für Sprachen erster Ordnung:

Beths Definierbarkeitssatz. Wenn (T ^ *) eine implizite semantische Definition von (X) in einer klassischen Sprache erster Ordnung ist, ist (T ^ *) zulässig.

Beachten Sie, dass der Satz auch dann gilt, wenn (T ^ *) eine unendliche Menge ist. Für einen Beweis des Theorems siehe Boolos, Burgess und Jeffrey 2002; siehe auch Beth 1953.

Die Idee der impliziten Definition steht also nicht im Widerspruch zur traditionellen Darstellung. Wo Konflikte entstehen, liegt in den philosophischen Anwendungen der Idee. Das Scheitern strenger reduktionistischer Programme des späten neunzehnten und frühen zwanzigsten Jahrhunderts veranlasste die Philosophen, lockerere Arten des Reduktionismus zu erforschen. Zum Beispiel erwies sich Freges Definition der Zahl als inkonsistent und daher unfähig, die logistische These aufrechtzuerhalten, dass die Prinzipien der Arithmetik analytisch sind. Es stellt sich jedoch heraus, dass die Prinzipien der Arithmetik ohne Freges Definition abgeleitet werden können. Alles, was benötigt wird, ist eine Konsequenz davon, nämlich Humes Prinzip:

Humes Prinzip. Die Anzahl von (F) s = die Anzahl von (G) s, wenn eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den (F) s und (G) s besteht.

Wenn wir Humes Prinzip zur Logik zweiter Ordnung hinzufügen, können wir die Peano-Arithmetik (zweiter Ordnung) analytisch ableiten. (Das Wesentliche des Arguments findet sich bereits in Frege 1884.) Es ist eine zentrale These des Neo-Fregeanismus, dass Humes Prinzip eine implizite Definition des funktionalen Ausdrucks 'die Zahl von' ist (siehe Hale und Wright 2001). Wenn diese These verteidigt werden kann, kann die Logik der Arithmetik aufrechterhalten werden, während auf Freges explizite (und inkonsistente) Definition verzichtet wird. Die neofregeanische These steht jedoch im Widerspruch zur traditionellen Darstellung von Definitionen, da Humes Prinzip sowohl die Konservativität als auch die Eliminierbarkeit verletzt. Das Prinzip erlaubt es, für beliebige (n) zu beweisen, dass es mindestens (n) Objekte gibt.(Eine verwandte Anwendung zielt darauf ab, die Analytizität einer Geometrie durch die Idee aufrechtzuerhalten, dass die Axiome der Geometrie implizite Definitionen geometrischer Konzepte wie „Punkt“und „Linie“sind. Auch hier besteht ein Konflikt mit der traditionellen Darstellung der Konservativität und Eliminierbarkeit werden verletzt.)

Ein weiteres Beispiel: Das reduktionistische Programm für theoretische Konzepte (z. B. der Physik) zielte darauf ab, erkenntnistheoretische Probleme zu lösen, die diese Konzepte aufwerfen. Das Programm zielte darauf ab, theoretische Sätze auf (Klassen von) Beobachtungssätzen zu reduzieren. Die Reduzierungen erwiesen sich jedoch als schwierig, wenn nicht unmöglich, aufrechtzuerhalten. So entstand der Vorschlag, dass möglicherweise die nicht beobachtende Komponente einer Theorie ohne Anspruch auf Reduktion als implizite Definition theoretischer Begriffe angesehen werden kann. Die genaue Charakterisierung der nicht beobachtenden Komponente kann je nach spezifischem erkenntnistheoretischem Problem variieren. Es liegt jedoch zwangsläufig ein Verstoß gegen eines oder beide der beiden Kriterien Konservativität und Eliminierbarkeit vor. [13]

Ein letztes Beispiel: Wir wissen durch einen Satz von Tarski, dass keine Theorie eine zulässige Definition des Wahrheitsprädikats (Tr) für die oben betrachtete Sprache der Peano-Arithmetik sein kann. Dennoch können wir die Theorie (mathbf {H}) vielleicht immer noch als implizite Definition von (Tr) betrachten. (Paul Horwich hat einen eng verwandten Vorschlag für den gewöhnlichen Begriff der Wahrheit gemacht.) Auch hier wird Druck auf die Grenzen des traditionellen Berichts ausgeübt. (mathbf {H}) erfüllt das Konservativitätskriterium, nicht jedoch das der Eliminierbarkeit.

Um die Herausforderung zu bewerten, die diese philosophischen Anwendungen für die traditionelle Darstellung darstellen, müssen wir Probleme lösen, die derzeit in der philosophischen Debatte stehen. Einige der Probleme sind die folgenden. (i) Es ist klar, dass einige Verstöße gegen die Konservativität rechtswidrig sind: Man kann es nicht durch eine Bestimmung wahr machen, dass beispielsweise Merkur größer als Venus ist. Wenn eine philosophische Anwendung erfordert, dass einige Verstöße gegen die Konservativität legitim sind, müssen wir die Unterscheidung zwischen den beiden Arten von Fällen berücksichtigen: die legitimen Verstöße gegen die Konservativität und die nicht legitimen. Und wir müssen verstehen, was das eine legitim macht, aber nicht das andere. (ii) Ein ähnliches Problem tritt bei der Eliminierbarkeit auf. Es scheint, dass keine alte Theorie eine implizite Definition eines Begriffs (X) sein kann.(Die Theorie enthält möglicherweise nur Tautologien.) Wenn ja, dann brauchen wir wieder eine Abgrenzung der Theorien, die dazu dienen können, implizit einen Begriff von denen zu definieren, die dies nicht können. Und wir brauchen eine Begründung für die Unterscheidung. (iii) Die philosophischen Anwendungen beruhen entscheidend auf der Idee, dass eine implizite Definition die Bedeutung des definierten Begriffs festlegt. Wir brauchen daher einen Bericht darüber, was diese Bedeutung ist und wie die implizite Definition sie behebt. Nach der traditionellen Darstellung können Formeln, die den definierten Begriff enthalten, so gesehen werden, dass sie ihre Bedeutung aus den Formeln der Grundsprache erhalten. (In Anbetracht des Primats des Sententials legt dies die Bedeutung des definierten Begriffs fest.) Dieser Schritt ist jedoch unter einem liberalisierten Konzept der impliziten Definition nicht verfügbar. Wie dann,sollten wir uns die Bedeutung einer Formel unter der beabsichtigten Abweichung von der traditionellen Darstellung vorstellen? (iv) Auch wenn die drei vorhergehenden Fragen zufriedenstellend behandelt werden, bleibt ein wichtiges Anliegen bestehen. Nehmen wir an, wir erlauben, dass eine Theorie (T) der Physik beispielsweise ihre theoretischen Begriffe festlegen kann und dass sie den Begriffen bestimmte Bedeutungen verleiht. Es bleibt die Frage, ob die so verliehenen Bedeutungen mit den Bedeutungen identisch (oder ähnlich genug) sind, die die theoretischen Begriffe in ihrer tatsächlichen Verwendung in der Physik haben. Diese Frage muss positiv beantwortet werden, wenn implizite Definitionen ihrer philosophischen Funktion dienen sollen. Das Ziel der Berufung auf implizite Definitionen besteht darin, die Rationalität oder die Apriorizität oder die Analytizität unserer gewöhnlichen Urteile zu berücksichtigen.nicht von einigen außergewöhnlichen Urteilen, die irgendwie gewöhnlichen Zeichen zugeordnet sind.

Zur weiteren Erörterung dieser Fragen siehe Horwich 1998, insbesondere Kapitel 6; Hale and Wright 2001, insbesondere Kapitel 5; und die dort zitierten Werke.

2.6 Teufelskreisprinzip

Eine weitere Abweichung von der traditionellen Theorie beginnt mit der Idee, dass die Theorie nicht zu streng ist, sondern zu liberal, dass sie Definitionen zulässt, die unzulässig sind. Somit erlaubt die traditionelle Theorie die folgenden Definitionen von "Lügner" bzw. der Klasse der natürlichen Zahlen (mathbf {N}):

  • (16) (z) ist ein Lügner (eqdf) alle durch (z) behaupteten Sätze sind falsch;
  • (17) (z) gehört zu (mathbf {N}) (eqdf) (z) gehört zu jeder induktiven Klasse, wobei eine Klasse induktiv ist, wenn sie 0 enthält und unter dem geschlossen ist Nachfolgeoperation.

Russell argumentierte, dass solche Definitionen eine subtile Art von Teufelskreis beinhalten. Die Definitionen der ersten Definition berufen sich, dachte Russell, auf die Gesamtheit aller Sätze, aber die Definition würde, wenn sie legitim ist, zu Sätzen führen, die nur unter Bezugnahme auf diese Gesamtheit definiert werden können. In ähnlicher Weise versucht die zweite Definition, die Klasse (mathbf {N}) unter Bezugnahme auf alle Klassen zu definieren, einschließlich der Klasse (mathbf {N}), die definiert wird. Russell behauptete, solche Definitionen seien unzulässig. Und er hat den Definitionen und Konzepten die folgende Anforderung auferlegt, die als „Teufelskreisprinzip“bezeichnet wird. (Henri Poincaré hatte auch eine ähnliche Idee vorgeschlagen.)

Teufelskreisprinzip. "Was auch immer die gesamte Sammlung betrifft, darf nicht Teil der Sammlung sein (Russell 1908, 63)."

Eine andere Formulierung, die Russell über das Prinzip gab, lautet:

Teufelskreisprinzip (Variantenformulierung). "Wenn eine bestimmte Sammlung eine Gesamtsumme hätte, hätte sie Mitglieder, die nur in Bezug auf diese Gesamtsumme definierbar sind, dann hat diese Sammlung keine Gesamtsumme (Russell, 1908, 63)."

In einer angehängten Fußnote erklärte Russell: „Wenn ich sage, dass eine Sammlung keine Summe hat, meine ich, dass Aussagen über alle ihre Mitglieder Unsinn sind.“

Russells Hauptmotivation für das Vicious-Circle-Prinzip waren die logischen und semantischen Paradoxien. Begriffe wie „Wahrheit“, „Satz“und „Klasse“führen unter bestimmten ungünstigen Bedingungen zu paradoxen Schlussfolgerungen. Somit liefert die Behauptung „Cheney ist ein Lügner“, wobei „Lügner“wie in (16) verstanden wird, paradoxe Schlussfolgerungen, wenn Cheney behauptet hat, er sei ein Lügner, und alle anderen von ihm behaupteten Aussagen tatsächlich falsch sind. Russell nahm das Teufelskreisprinzip, um zu implizieren, dass „Cheney ist ein Lügner“, wenn er einen Satz ausdrückt, nicht in den Geltungsbereich des Quantifizierers in den Definitionen von (16) fallen kann. Im Allgemeinen vertrat Russell die Auffassung, dass die Quantifizierung über alle Sätze und über alle Klassen hinweg gegen das Teufelskreisprinzip verstößt und daher unzulässig ist. Außerdem,Er behauptete, dass Ausdrücke wie "wahr" und "falsch" kein eindeutiges Konzept ausdrücken - in Russells Terminologie eine eindeutige "Satzfunktion" -, sondern eines aus einer Hierarchie von Satzfunktionen unterschiedlicher Ordnung. Die Lehre, die Russell aus den Paradoxien gezogen hat, ist, dass der Bereich des Sinnvollen eingeschränkter ist, als es normalerweise erscheinen mag, dass die traditionelle Darstellung von Konzepten und Definitionen restriktiver gestaltet werden musste, um solche wie (16) und auszuschließen (17).dass die traditionelle Darstellung von Konzepten und Definitionen restriktiver gestaltet werden musste, um solche wie (16) und (17) auszuschließen.dass die traditionelle Darstellung von Konzepten und Definitionen restriktiver gestaltet werden musste, um solche wie (16) und (17) auszuschließen.

In Anwendung auf gewöhnliche, informelle Definitionen bietet das Teufelskreisprinzip keine klare Methode zur Abgrenzung des Sinnvollen vom Sinnlosen. Definition (16) soll unzulässig sein, da der Quantifizierer in seinen Definitionen über die Gesamtheit aller Sätze reicht. Und uns wird gesagt, dass dies verboten ist, weil, wenn es erlaubt wäre, die Gesamtheit der Vorschläge "Mitglieder haben würde, die nur in Bezug auf die Gesamtzahl definierbar sind". Wenn wir jedoch nicht mehr über die Natur der Sätze und die Mittel zu ihrer Definition wissen, ist es unmöglich festzustellen, ob (16) gegen das Prinzip verstößt. Es kann sein, dass ein Satz wie "Cheney ist ein Lügner" - oder, um ein weniger umstrittenes Beispiel zu nehmen,"Entweder ist Cheney ein Lügner oder er ist nicht" - kann eine Definition gegeben werden, die nicht die Gesamtheit aller Sätze anspricht. Wenn Sätze beispielsweise Mengen möglicher Welten sind, scheint eine solche Definition machbar zu sein.

Das Teufelskreisprinzip dient jedoch als wirksame Motivation für eine bestimmte Darstellung legitimer Konzepte und Definitionen, nämlich die in Russells Ramified Type Theory verkörperte. Die Idee hier ist, dass man mit einigen unproblematischen Ressourcen beginnt, die keine Quantifizierung über Sätze, Konzepte und dergleichen beinhalten. Diese Ressourcen ermöglichen es, beispielsweise verschiedene unäre Konzepte zu definieren, mit denen sichergestellt wird, dass das Teufelskreisprinzip erfüllt wird. Die Quantifizierung über diese Konzepte ist daher zwangsläufig legitim und kann der Sprache hinzugefügt werden. Gleiches gilt für Sätze und Konzepte, die unter andere Typen fallen: Für jeden Typ kann ein Quantifizierer hinzugefügt werden, der sich über Elemente (dieses Typs) erstreckt, die unter Verwendung der anfänglichen unproblematischen Ressourcen definiert werden können. Die neuen Quantifizierungsressourcen ermöglichen die Definition weiterer Elemente jedes Typs. Auch diese respektieren das Prinzip, und auch hier können der Sprache zu Recht Quantifizierer hinzugefügt werden, die sich über die erweiterten Gesamtheiten erstrecken. Die neuen Ressourcen ermöglichen die Definition weiterer Elemente. Und der Vorgang wiederholt sich. Das Ergebnis ist, dass wir eine Hierarchie von Sätzen und Konzepten verschiedener Ordnungen haben. Jeder Typ in der Typhierarchie verzweigt sich in eine Vielzahl von Ordnungen. Diese Verzweigung stellt sicher, dass in der resultierenden Sprache formulierte Definitionen das Teufelskreisprinzip einhalten müssen. Konzepte und Klassen, die innerhalb der Grenzen dieses Schemas definiert werden können, werden als prädikativ bezeichnet (in einem Sinne dieses Wortes). die anderen, impedicative. Quantifizierer, die sich über die erweiterten Gesamtheiten erstrecken, können der Sprache zu Recht hinzugefügt werden. Die neuen Ressourcen ermöglichen die Definition weiterer Elemente. Und der Vorgang wiederholt sich. Das Ergebnis ist, dass wir eine Hierarchie von Sätzen und Konzepten verschiedener Ordnungen haben. Jeder Typ in der Typhierarchie verzweigt sich in eine Vielzahl von Ordnungen. Diese Verzweigung stellt sicher, dass in der resultierenden Sprache formulierte Definitionen das Teufelskreisprinzip einhalten müssen. Konzepte und Klassen, die innerhalb der Grenzen dieses Schemas definiert werden können, werden als prädikativ bezeichnet (in einem Sinne dieses Wortes). die anderen, impedicative. Quantifizierer, die sich über die erweiterten Gesamtheiten erstrecken, können der Sprache zu Recht hinzugefügt werden. Die neuen Ressourcen ermöglichen die Definition weiterer Elemente. Und der Vorgang wiederholt sich. Das Ergebnis ist, dass wir eine Hierarchie von Sätzen und Konzepten verschiedener Ordnungen haben. Jeder Typ in der Typhierarchie verzweigt sich in eine Vielzahl von Ordnungen. Diese Verzweigung stellt sicher, dass in der resultierenden Sprache formulierte Definitionen das Teufelskreisprinzip einhalten müssen. Konzepte und Klassen, die innerhalb der Grenzen dieses Schemas definiert werden können, werden als prädikativ bezeichnet (in einem Sinne dieses Wortes). die anderen, impedicative. Das Ergebnis ist, dass wir eine Hierarchie von Sätzen und Konzepten verschiedener Ordnungen haben. Jeder Typ in der Typhierarchie verzweigt sich in eine Vielzahl von Ordnungen. Diese Verzweigung stellt sicher, dass in der resultierenden Sprache formulierte Definitionen das Teufelskreisprinzip einhalten müssen. Konzepte und Klassen, die innerhalb der Grenzen dieses Schemas definiert werden können, werden als prädikativ bezeichnet (in einem Sinne dieses Wortes). die anderen, impedicative. Das Ergebnis ist, dass wir eine Hierarchie von Sätzen und Konzepten verschiedener Ordnungen haben. Jeder Typ in der Typhierarchie verzweigt sich in eine Vielzahl von Ordnungen. Diese Verzweigung stellt sicher, dass in der resultierenden Sprache formulierte Definitionen das Teufelskreisprinzip einhalten müssen. Konzepte und Klassen, die innerhalb der Grenzen dieses Schemas definiert werden können, werden als prädikativ bezeichnet (in einem Sinne dieses Wortes). die anderen, impedicative.

Zur weiteren Erörterung des Teufelskreisprinzips siehe Russell 1908, Whitehead und Russell 1925, Gödel 1944 und Chihara 1973. Für eine formale Darstellung der Ramified Type Theory siehe Church 1976; Für eine informellere Darstellung siehe Hazen 1983. Siehe auch die Einträge zur Typentheorie und Principia Mathematica, die weitere Referenzen enthalten.

2.7 Zirkuläre Definitionen

Die Paradoxien können auch verwendet werden, um eine Schlussfolgerung zu motivieren, die genau das Gegenteil von Russells ist. Betrachten Sie die folgende Definition eines Ein-Ort-Prädikats (G):

) tag {18} begin {align *} Gx / eqdf x = / text {Sokrates} & / vee (x = / text {Plato} amp Gx) & / vee (x = / text {Aristoteles } amp { sim} Gx). / end {align *})

Diese Definition ist im Wesentlichen zirkulär; es ist in normaler Form nicht auf eins reduzierbar. Intuitiv bietet es jedoch wesentliche Hinweise zur Verwendung von (G). Die Definition schreibt zum Beispiel vor, dass Sokrates unter (G) fällt und dass nichts außer den drei erwähnten alten Philosophen dies tut. Die Definition lässt den Status von nur zwei Objekten, nämlich Platon und Aristoteles, ungeklärt. Wenn wir annehmen, dass Platon unter (G) fällt, ergibt die Definition, dass Platon unter (G) fällt (da Platon die Definitionen erfüllt), was unsere Annahme bestätigt. Dasselbe passiert, wenn wir das Gegenteil annehmen, nämlich dass Platon nicht unter (G) fällt; wieder wird unsere Vermutung bestätigt. Bei Aristoteles bringt uns jeder Versuch, zu entscheiden, ob er unter (G) fällt, in eine noch prekärere Situation:Wenn wir annehmen, dass Aristoteles unter (G) fällt, werden wir durch die Definition zu dem Schluss gebracht, dass er nicht unter (G) fällt (da er die definiens nicht erfüllt); und umgekehrt, wenn wir annehmen, dass er nicht unter (G) fällt, werden wir zu dem Schluss gebracht, dass er es tut. Aber selbst bei Platon und Aristoteles ist das Verhalten von (G) nicht ungewohnt: (G) verhält sich hier so, wie sich das Konzept der Wahrheit auf dem Wahrheitszähler verhält („Was ich jetzt sage, ist wahr“). und der Lügner ("Was ich jetzt sage, ist nicht wahr"). Generell gibt es eine starke Parallele zwischen dem Verhalten des Wahrheitsbegriffs und dem der durch zirkuläre Definitionen definierten Begriffe. Beide sind in der Regel in einer Reihe von Fällen gut definiert, und beide zeigen in den anderen Fällen eine Vielzahl ungewöhnlicher logischer Verhaltensweisen. Tatsächlich,Alle verschiedenen Arten von verwirrendem logischem Verhalten, die mit dem Begriff der Wahrheit zu finden sind, finden sich auch in Begriffen, die durch zirkuläre Definitionen definiert sind. Diese starke Parallelität legt nahe, dass, da Wahrheit offensichtlich ein legitimer Begriff ist, auch Begriffe durch zirkuläre Definitionen wie (18) definiert sind. Die Paradoxien werfen nach diesem Standpunkt keinen Zweifel an der Legitimität des Wahrheitsbegriffs auf. Sie zeigen nur, dass sich die Logik und Semantik kreisförmiger Konzepte von der nicht kreisförmiger Konzepte unterscheidet. Dieser Standpunkt wird in der Revisionstheorie der Definitionen entwickelt. Zweifel an der Legitimität des Wahrheitsbegriffs aufkommen lassen. Sie zeigen nur, dass sich die Logik und Semantik kreisförmiger Konzepte von der nicht kreisförmiger Konzepte unterscheidet. Dieser Standpunkt wird in der Revisionstheorie der Definitionen entwickelt. Zweifel an der Legitimität des Wahrheitsbegriffs aufkommen lassen. Sie zeigen nur, dass sich die Logik und Semantik kreisförmiger Konzepte von der nicht kreisförmiger Konzepte unterscheidet. Dieser Standpunkt wird in der Revisionstheorie der Definitionen entwickelt.

In dieser Theorie verleiht eine zirkuläre Definition dem definierten Begriff eine Bedeutung, die hypothetischen Charakter hat; Der semantische Wert des definierten Begriffs ist eine Revisionsregel, nicht wie bei nicht zirkulären Definitionen eine Anwendungsregel. Betrachten Sie noch einmal (18). Wie jede Definition legt (18) die Interpretation des Definiendums fest (wenn), werden die Interpretationen der nicht logischen Konstanten in den Definiens angegeben. Das Problem mit (18) ist, dass der definierte Term (G) in den definiens vorkommt. Nehmen wir jedoch an, wir weisen (G) willkürlich eine Interpretation zu - sagen wir, wir lassen es die Menge (U) aller Objekte im Diskursuniversum sein (dh wir nehmen an, dass (U) die Menge von ist Objekte, die (G)) erfüllen. Dann ist es leicht zu erkennen, dass das Definiens genau für Sokrates und Platon gilt. Die Definition schreibt daher vor, dass nach unserer HypotheseDie Interpretation von (G) sollte die Menge ({ text {Socrates}, / text {Plato} }) sein. Eine ähnliche Berechnung kann für jede Hypothese über die Interpretation von (G) durchgeführt werden. Wenn die Hypothese beispielsweise ({ text {Xenocrates} }) lautet, liefert die Definition das Ergebnis ({ text {Socrates}, / text {Aristoteles} }). Kurz gesagt, obwohl (18) nicht genau festlegt, welche Objekte unter (G) fallen, ergibt sich eine Regel oder Funktion, die bei einer hypothetischen Interpretation als Eingabe eine andere als Ausgabe ergibt. Die Grundidee der Revisionstheorie besteht darin, diese Regel als Revisionsregel zu betrachten: Die Output-Interpretation ist besser als die Input-Interpretation (oder sie ist mindestens so gut; diese Qualifikation wird als gelesen angesehen). Der semantische Wert, den die Definition dem definierten Begriff verleiht, ist keine Erweiterung - eine Abgrenzung des Diskursuniversums in Objekte, die unter den definierten Begriff fallen, und solche, die dies nicht tun. Der semantische Wert ist eine Revisionsregel.

Die Revisionsregel erklärt das gewöhnliche und außergewöhnliche Verhalten eines zirkulären Konzepts. Sei (delta) die Revisionsregel, die sich aus einer Definition ergibt, und sei (V) eine willkürliche hypothetische Interpretation des definierten Terms. Wir können versuchen, unsere Hypothese (V) durch wiederholte Anwendung der Regel (delta) zu verbessern. Die resultierende Sequenz, [V, / Delta (V), / Delta (Delta (V)), / Delta (Delta (Delta (V))), / ldots,)

ist eine Revisionssequenz für (delta). Die Gesamtheit der Revisionssequenzen für (delta) für alle möglichen Anfangshypothesen ist der von (delta) erzeugte Revisionsprozess. Beispielsweise generiert die Revisionsregel für (18) einen Revisionsprozess, der unter anderem aus den folgenden Revisionssequenzen besteht:

[U, { text {Sokrates}, / text {Plato} }, { text {Sokrates}, / text {Plato}, / text {Aristoteles} }, { text {Sokrates}, / text {Plato} }, / ldots)) { text {Xenocrates} }, { text {Socrates}, / text {Aristoteles} }, { text {Socrates} }, { text {Sokrates}, / text {Aristoteles} }, / ldots)

Beobachten Sie das Verhalten unserer vier alten Philosophen in diesem Prozess. Nach einigen anfänglichen Phasen der Überarbeitung fällt Sokrates immer in die überarbeiteten Interpretationen, und Xenokrates fällt immer nach draußen. (In diesem speziellen Beispiel wird das Verhalten der beiden nach der Anfangsphase festgelegt. In anderen Fällen kann es viele Revisionsstufen dauern, bis der Status eines Objekts festgelegt ist.) Der Revisionsprozess führt zu einem kategorischen Urteil über die beiden Philosophen: Sokrates fällt kategorisch unter (G) und Xenokrates fällt kategorisch unter (G). Objekte, bei denen der Prozess kein kategorisches Urteil liefert, gelten als pathologisch (in Bezug auf die Revisionsregel, die Definition oder das definierte Konzept). In unserem Beispiel sind Platon und Aristoteles relativ zu (18) pathologisch. Der Status von Aristoteles ist in keiner Revisionssequenz stabil. Es ist, als könne sich der Revisionsprozess nicht für ihn entscheiden. Manchmal wird Aristoteles als unter (G) fallend eingestuft, und dann kehrt sich der Prozess um und erklärt, dass er nicht unter (G) fällt, und dann kehrt sich der Prozess wieder um. Wenn sich ein Objekt in allen Revisionssequenzen so verhält, wird es als paradox bezeichnet. Platon ist auch pathologisch in Bezug auf (G), aber sein Verhalten im Revisionsprozess ist anders. Platon erhält in jeder Revisionssequenz einen stabilen Status, aber der Status, den er erhält, hängt von der anfänglichen Hypothese ab. Wenn sich ein Objekt in allen Revisionssequenzen so verhält, wird es als paradox bezeichnet. Platon ist auch pathologisch in Bezug auf (G), aber sein Verhalten im Revisionsprozess ist anders. Platon erhält in jeder Revisionssequenz einen stabilen Status, aber der Status, den er erhält, hängt von der anfänglichen Hypothese ab. Wenn sich ein Objekt in allen Revisionssequenzen so verhält, wird es als paradox bezeichnet. Platon ist auch pathologisch in Bezug auf (G), aber sein Verhalten im Revisionsprozess ist anders. Platon erhält in jeder Revisionssequenz einen stabilen Status, aber der Status, den er erhält, hängt von der anfänglichen Hypothese ab.

Revisionsprozesse helfen dabei, eine Semantik für zirkuläre Definitionen bereitzustellen. [14] Sie können verwendet werden, um semantische Begriffe wie „kategoriale Wahrheit“und logische Begriffe wie „Gültigkeit“zu definieren. Die Eigenschaften der logischen Begriffe, die wir erhalten, hängen entscheidend von einem Aspekt der Revision ab: der Anzahl der Stufen, bevor sich Objekte auf ihr reguläres Verhalten im Revisionsprozess einstellen. Eine Definition wird als endlich bezeichnet, wenn ihr Überarbeitungsprozess ungefähr nur endlich viele solcher Stufen erfordert. [15] Für endliche Definitionen gibt es einen einfachen logischen Kalkül (mathbf {C} _ {0}), der für die Revisionssemantik solide und vollständig ist. [16] Bei nicht endlichen Definitionen erstreckt sich der Revisionsprozess auf das Transfinite. [17]Und diese Definitionen können der Sprache eine beträchtliche Ausdruckskraft verleihen. (Wenn diese Definitionen zur Arithmetik erster Ordnung hinzugefügt werden, sind alle (Pi ^ {1} _ {2}) Mengen natürlicher Zahlen definierbar.) Aufgrund der Ausdruckskraft ist der allgemeine Begriff der Gültigkeit für nicht-endliche Kreisläufe Definitionen sind nicht axiomatisierbar (Kremer 1993). Wir können bestenfalls einen soliden logischen Kalkül geben, aber keinen vollständigen. Die Situation ist analog zu der Logik zweiter Ordnung.

Lassen Sie uns einige allgemeine Merkmale der Revisionstheorie der Definitionen beobachten. (i) Nach dieser Theorie bleiben die Logik und Semantik nicht kreisförmiger Definitionen - dh Definitionen in normaler Form - dieselben wie in der traditionellen Darstellung. Die Einführungs- und Eliminierungsregeln gelten uneingeschränkt, und Revisionsphasen sind entbehrlich. Die Abweichungen von der traditionellen Darstellung treten nur bei zirkulären Definitionen auf. (ii) Nach der Theorie stören zirkuläre Definitionen die Logik der Grundsprache nicht. Sätze, die definierte Begriffe enthalten, unterliegen denselben logischen Gesetzen wie Sätze der Grundsprache. (iii) Konservativität gilt. Keine Definition, egal wie bösartig die Zirkularität darin ist, bringt etwas Neues in der Grundsprache mit sich. Sogar die absolut paradoxe Definition

[Gx / eqdf { sim} Gx)

respektiert die Konservativitätsanforderung. (iv) Die Eliminierbarkeit hält nicht an. Sätze der erweiterten Sprache lassen sich im Allgemeinen nicht auf die der Grundsprache reduzieren. Dieser Fehler hat zwei Ursachen. Erstens legt die Revisionstheorie die Verwendung von Sätzen der erweiterten Sprache in Behauptung und Argumentation fest, ohne die Sätze jedoch auf die der Grundsprache zu reduzieren. Die Theorie erfüllt somit das Verwendungskriterium, jedoch nicht das stärkere der Eliminierbarkeit. Zweitens kann eine Definition in dieser Theorie einer Grundsprache logische und Ausdruckskraft verleihen. Das Hinzufügen einer zirkulären Definition kann zur Definierbarkeit neuer Mengen führen. Dies ist ein weiterer Grund, warum die Eliminierbarkeit fehlschlägt.

Es kann beanstandet werden, dass jedes Konzept eine Erweiterung haben muss, dass es eine bestimmte Gesamtheit von Objekten geben muss, die unter das Konzept fallen. Wenn dies richtig ist, ist ein Prädikat nur dann sinnvoll - es drückt ein Konzept aus -, wenn das Prädikat die Welt notwendigerweise scharf in die Objekte abgrenzt, für die es gilt, und für diejenigen, für die es nicht gilt. Der Einwand kommt daher zu dem Schluss, dass kein Prädikat mit einer im Wesentlichen zirkulären Definition von Bedeutung sein kann. Der Einwand ist eindeutig nicht entscheidend, da er auf einer Prämisse beruht, die viele gewöhnliche und scheinbar bedeutungsvolle Prädikate (z. B. „Glatze“) ausschließt. Es ist jedoch bemerkenswert, weil es zeigt, wie allgemeine Fragen zu Bedeutung und Konzepten in die Debatte über die Anforderungen an legitime Definitionen einfließen.

Die Hauptmotivation für die Revisionstheorie ist beschreibend. Es wurde argumentiert, dass die Theorie uns hilft, unsere gewöhnlichen Konzepte wie Wahrheit, Notwendigkeit und rationale Wahl besser zu verstehen. Das gewöhnliche wie das verwirrende Verhalten dieser Konzepte, so wird argumentiert, hat seine Wurzeln in der Zirkularität der Konzepte. Wenn dies korrekt ist, gibt es keine logische Anforderung an beschreibende und erklärende Definitionen, dass sie nicht kreisförmig sind.

Für detailliertere Behandlungen dieser Themen siehe Gupta 1988/89, Gupta und Belnap 1993 sowie Chapuis und Gupta 1999. Siehe auch den Eintrag zur Revisionstheorie der Wahrheit. Für kritische Diskussionen über die Revisionstheorie siehe die Arbeiten von Vann McGee und Donald A. Martin sowie die Antwort von Gupta in Villanueva 1997. Siehe auch Shapiro 2006.

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