Beschreibende Entscheidungstheorie

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Beschreibende Entscheidungstheorie

Erstveröffentlichung Di 26. September 2017

Die deskriptive Entscheidungstheorie befasst sich mit der Charakterisierung und Erklärung von Regelmäßigkeiten bei den Entscheidungen, zu denen Menschen bereit sind. Es unterscheidet sich standardmäßig von einer normativen Entscheidungstheorie eines Parallelunternehmens, die versucht, einen Bericht über die Entscheidungen zu liefern, zu denen die Menschen bereit sein sollten. Ein Großteil der Arbeit in diesem Bereich war der Erstellung und Erprobung formaler Modelle gewidmet, die darauf abzielen, die deskriptive Angemessenheit eines als „Subjektiv erwarteter Nutzen“(SEU) bekannten Rahmens zu verbessern. Diese Angemessenheit wurde erstmals Mitte des letzten Jahrhunderts in Frage gestellt und ab Mitte der 1960er Jahre durch eine Reihe experimenteller Arbeiten in Psychologie und Wirtschaft weiter in Frage gestellt.

In diesem Beitrag werden zunächst die grundlegenden Verpflichtungen der SEU skizziert, bevor auf einige ihrer bekanntesten empirischen Mängel und eine kleine Auswahl der Modelle eingegangen wird, die vorgeschlagen wurden, um sie zu ersetzen. Anschließend wird die Beziehung zwischen der deskriptiven Entscheidungstheorie und ihrem normativen Gegenstück diskutiert, wobei einige Zusammenhänge mit einer Reihe verwandter Themen in der philosophischen Literatur hergestellt werden. ^[1]

• 1. Das Standardmodell: Subjektiver erwarteter Nutzen

  • 1.1 Savages Repräsentationssatz
  • 1.2 Savages Beweis
  • 1.3 Das Wahrscheinlichkeitsdreieck

• 2. Die Frage der Unabhängigkeit

  • 2.1 Allais 'Paradoxe

  • 2.2 Theoretische Antworten

    • 2.2.1 Probabilistische Raffinesse
    • 2.2.2 Modelle mit Zwischengleichheit
    • 2.2.3 Modelle ohne Zwischenbindung

• 3. Die Frage des probabilistischen Glaubens

  • 3.1 Ellsbergs Drei-Farben-Paradoxon

  • 3.2 Theoretische Antworten

    • 3.2.1 Nichtadditive „Wahrscheinlichkeiten“
    • 3.2.2 Mehrere Prioritäten

• 4. Die Frage der schwachen Ordnung

  • 4.1 Transitivität
  • 4.2 Vollständigkeit
• 5. Deskriptive vs. normative Entscheidungstheorie
• 6. Weiterführende Literatur
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Das Standardmodell: Subjektiver erwarteter Nutzen

Die kanonische Theorie der Wahl - Subjektiver erwarteter Nutzen (SEU) - beginnt mit der Arbeit von Savage (1954) und baut auf früheren Beiträgen von De Finetti (1937), Ramsey (1931) sowie von Neumann und Morgenstern (1947) auf. Es bietet eine homogene Behandlung sowohl von Entscheidungen unter „Risiko“-Situationen, in denen der Entscheidungsträger die objektiven Wahrscheinlichkeiten aller Ereignisse kennt oder fest davon überzeugt ist, die für den Erfolg seiner Handlungen relevant sind, als auch von Entscheidungen unter „Unsicherheit“”-In dem er oder sie es nicht tut. In seiner nicht normativen Inkarnation schlägt es zumindest vor, dass Agenten so beschrieben werden können, als ob:

1. im Zusammenhang mit den möglichen Folgen der ihnen zur Verfügung stehenden Handlungen zwei numerische Größen:

   1. ein „Nutzen“, der dem Grad entspricht, in dem das Ergebnis eintreten soll, und
   2. eine „subjektive Wahrscheinlichkeit“, die ihrem Grad an Vertrauen in das Auftreten des Ergebnisses angesichts der Ausführung der Handlung entspricht, ein Grad an Vertrauen, das durch eine entsprechende Bewertung der objektiven Wahrscheinlichkeiten gegeben sein kann oder nicht;
2. so zu sein, dass ihre Präferenzen zwischen Handlungen und damit ihre Neigung, bestimmte Handlungen gegenüber anderen zu wählen, durch diese Größen so bestimmt werden, dass Handlungen nach ihrem subjektiven erwarteten Nutzen, dh der subjektiven wahrscheinlichkeitsgewichteten Summe der Nutzen von ihre möglichen Ergebnisse.

Ontologisch kühnere Inkarnationen der Ansicht besagen, dass Agenten so beschreibbar sind, weil sie wirklich Grad an Glauben und Wünschen haben, introspektiv vertraute psychologische Zustände, die ihre Vorlieben und Entscheidungen auf diese Weise bestimmen.

Eine Reihe wichtiger formaler Ergebnisse, die als „Repräsentationssätze“bekannt sind, zeigen, dass diese Behauptung über die Beschreibbarkeit aus einer Reihe von auf den ersten Blick plausiblen allgemeinen Prinzipien abgeleitet werden kann, die auch als „Postulate“oder „Axiome“bezeichnet werden und sich auf die Präferenzen der Agenten gegenüber Handlungen beziehen. Darüber hinaus reichen diese Axiome nicht nur zusammen aus, um die Behauptung der SEU abzuleiten, sondern eine signifikante richtige Teilmenge davon erweist sich auch als individuell notwendig. Es ist daher nicht überraschend, dass sich ein Großteil der Arbeiten zur Bewertung der empirischen Angemessenheit der SEU auf die Prüfung der oben genannten Axiome konzentriert hat. Solche Tests könnten im besten Fall einen Hauptgrund für die Bestätigung der Behauptung untergraben und im schlimmsten Fall Gründe für die Ablehnung liefern. Dementsprechend ist eine kurze Skizze von Savages frühem Ergebnis angebracht.

1.1 Savages Repräsentationssatz

In Savages Rahmen werden Handlungen als Funktionen modelliert, die mögliche Zustände der Welt auf Ergebnisse abbilden, die Konsequenzen, wenn Sie dies wünschen, wenn die betreffende Handlung im relevanten Naturzustand ausgeführt wird. Die Menge der Akte wird mit (mathcal {A} = {f_1, f_2, \ ldots g_1, g_2 \ ldots }) bezeichnet, die Menge der Zustände mit (mathcal {S} = {s_1, s_2, \ ldots }) und die Menge der Ergebnisse nach (mathcal {X} = {x_1, x_2, \ ldots, x_n }). Für die vorliegenden Zwecke kann davon ausgegangen werden, dass die betrachteten Handlungen einfach sind, dh dass ihre Reichweite endlich ist. Eine Handlung wird genau dann als „konstant“bezeichnet, wenn alle Zustände auf dasselbe Ergebnis abgebildet werden. Sätze von Zuständen, auch als Ereignisse bezeichnet, werden mit Großbuchstaben (A_1, A_2, \ ldots, B_1, B_2, \ ldots) usw. bezeichnet. Die Menge solcher Ereignisse wird mit (mathcal {bezeichnet E}).(E_i ^ f) bezeichnet die Menge von Zuständen, die der Akt (f) auf das Ergebnis (x_i) abbildet, dh ({s \ in \ mathcal {S}: f (s) = x_i }). Es wird auch nützlich sein, mit (fAg) die Handlung zu bezeichnen, die die Zustände in (A) denselben Ergebnissen wie (f) und die Zustände außerhalb von (A) denselben Ergebnissen zuordnet das (g) tut.

Es wird davon ausgegangen, dass die von dem Agenten zu einem bestimmten Zeitpunkt gewählten Dispositionen durch seine oder ihre Präferenzen so bestimmt werden, dass der Agent aus einer Reihe bestimmter Handlungen alle und nur diejenigen Handlungen auswählen kann, für die keine andere Handlung gilt wird strikt bevorzugt. (f \ succeq g) bezeichnet die Tatsache, dass ein Agent act (f) als nicht weniger wünschenswert erachtet als act (g). (succ) (strikte Präferenz) und (sim) (Gleichgültigkeit) stehen jeweils für die asymmetrischen und symmetrischen Teile von (succeq), so dass (f \ succ g) iff (f \ succeq g) aber nicht (g \ succeq f) und (f \ sim g), wenn sowohl (f \ succeq g) als auch (g \ succeq f). Es ist zweckmäßig, diese Präferenzbeziehung auf die Menge der Ergebnisse zu erweitern, indem für alle Ergebnisse (x_1) und (x_2) Folgendes festgelegt wird:(x_1 \ succeq x_2) wenn der konstante Akt, der in allen Zuständen (x_1) ergibt, demjenigen, der in allen Zuständen (x_2) ergibt, schwach vorgezogen wird.

Savage beweist, dass es bestimmte spezifische Einschränkungen für Präferenzreihenfolgen gegenüber Handlungen gibt, die nur dann erfüllt werden, wenn diese Reihenfolge durch eine reelle Funktion (U) mit Domäne (mathcal {A}) darstellbar ist. (so dass (f \ succeq g) iff (U (f) succeq U (g))), so dass

) tag {1} U (f) = \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i))

Dabei ist (u: \ mathcal {X} mapsto \ mathbb {R}) eine Konsequenz-Utility-Funktion, die bis zur positiven linearen Transformation eindeutig ist, und (P: \ mathcal {S} mapsto [0,1]) eine eindeutige subjektive Wahrscheinlichkeitsfunktion, die (P (varnothing) = 0), (P (mathcal {S}) = 1) und die endliche Additivitätseigenschaft (P (A \ cup B) = P erfüllt (A) + P (B)) für alle disjunkten Ereignisse (A, B). Mit anderen Worten, (U) gibt die Summe der Nutzen der möglichen Ergebnisse zurück, jeweils multipliziert mit der subjektiven Wahrscheinlichkeit der Menge von Zuständen, die auf dieses Ergebnis abgebildet werden.

Für den Fall, dass (mathcal {X}) endlich ist, ist Savages Axiomensatz sechs. Nur drei davon tauchen jedoch in der nachfolgenden Diskussion auf. Der erste erfordert keinen Kommentar:

Schwache Ordnung (succeq) ist eine schwache Ordnung, das heißt: Sie ist sowohl transitiv (für alle Handlungen (f, g, h): wenn (f \ succeq g) als auch (g \ succeq h)), dann (f \ succeq h)) und vollständig (für alle Handlungen (f, g): entweder (f \ succeq g) oder (g \ succeq f)).

Die zweite sagt uns, dass man beim Vergleich zweier Handlungen ihr Verhalten in Bezug auf die Zustände ignoriert, in denen sie identische Konsequenzen haben:

Sicheres Für alle Handlungen (f, g, h, h ') und jedes Ereignis (A): (fAh \ succeq gAh) iff (fAh' \ succeq gAh ').

Der dritte ist wie folgt gegeben:

Schwache Vergleichswahrscheinlichkeit Für alle Ergebnisse (x_1, x_2, x_3, x_4) und Ereignisse (A, B): Wenn (x_1 \ succ x_2) und (x_3 \ succ x_4), dann (x_1Ax_2 \ succeq x_1Bx_2) iff (x_3Ax_4 \ succeq x_3Bx_4).

Der Grund für seinen Vorschlag liegt in der Idee, dass, wenn (x_1 \ succ x_2), dann (x_1Ax_2 \ succeq x_1Bx_2) eine Verpflichtung gegenüber der Behauptung widerspiegelt, dass (A) mindestens so wahrscheinlich ist wie (B) und damit auch (x_3Ax_4 \ succeq x_3Bx_4), wenn (x_3 \ succ x_4).

Es sollte angemerkt werden, dass diese drei Bedingungen für die Darstellbarkeit der SEU individuell erforderlich sind, so dass jeder SEU-Maximierer sie erfüllen muss. Darüber hinaus schlägt Savage zwei weitere nicht notwendige, auch als "strukturell" bezeichnete Bedingungen vor, die als "Nicht-Entartung" bzw. "Kontinuität kleiner Ereignisse" bekannt sind, sowie eine weitere notwendige Bedingung für "ereignisweise Monotonie" uns, dass unter bestimmten milden Umständen das Ergebnis des Ersetzens eines oder mehrerer Vorkommen eines bestimmten Ergebnisses durch ein anderes nur dann zu einer bevorzugten Handlung führt, wenn das neue Ergebnis dem ursprünglichen vorgezogen wird.

1.2 Savages Beweis

Mit all dem kann das Ergebnis von Savage wie folgt ermittelt werden. Zunächst führt man eine Beziehung der "subjektiven Vergleichswahrscheinlichkeit" (unrhd) ein, so dass (A \ unrhd B) iff für alle Ergebnisse (x_1) und (x_2) so ist, dass (x_1) succ x_2), (x_1Ax_2 \ succeq x_2Ax_1) iff (x_1Bx_2 \ succeq x_2Bx_1). Die Axiome von Savage können dann gezeigt werden, um sicherzustellen, dass (unrhd) eine Reihe geeigneter Eigenschaften erfüllt, wobei die Kontinuität kleiner Ereignisse sicherstellt, dass (unrhd) durch eine subjektive Wahrscheinlichkeitsfunktion (P) dargestellt werden kann, die eindeutig ist. Es ist erwähnenswert, dass bei Vorhandensein einer schwachen Vergleichswahrscheinlichkeit hauptsächlich das Sure-Thing-Prinzip die Ableitung der Additivitätseigenschaft von (P) ermöglicht.

Zweitens kann unter erneuter Verwendung dieser Axiome festgestellt werden, dass ein Agent zwischen zwei beliebigen Handlungen gleichgültig ist, die für jedes Ergebnis den jeweiligen Mengen von Zuständen, die sie jeweils auf dieses Ergebnis abbilden, gleiche Wahrscheinlichkeiten zuweisen. Mit anderen Worten:

Zustandsneutralität Wenn (P_f = P_g), dann (f \ sim g), wobei (P_f (x_i) = P (E ^ f_i)).

Da auch gezeigt werden kann, dass für jede Lotterie (P) in (mathcal {P}) eine Handlung (f) existiert, so dass (P_f = P) das wichtige Ergebnis von Dieses Ergebnis ist, dass man die Darstellung der Präferenzen des Agenten gegenüber Handlungen effektiv vereinfachen kann, indem man sie als Präferenzen gegenüber der kleineren Menge (mathcal {P}) sogenannter subjektiver Lotterien, dh subjektiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Ergebnisse, neu formuliert. Um die Notation zu vereinfachen, wird die Präferenzbeziehung gegenüber (mathcal {P}) mit demselben Symbol (succeq) gekennzeichnet, sodass der Kontext eindeutig sein kann.

Eine weitere Anwendung der Axiome lässt uns feststellen, dass diese Präferenzen gegenüber Lotterien drei wichtige Eigenschaften erfüllen: (i) eine Bedingung für eine „schwache Mischungsordnung“, bei der die Präferenzen gegenüber Lotterien transitiv und vollständig sein müssen, (ii) eine Bedingung für „Mischungskontinuität“, deren Einzelheiten hier nicht von Bedeutung sind, und schließlich (iii) eine "Unabhängigkeitsbedingung", die neben der Bestellbedingung im Folgenden Gegenstand erheblicher Diskussionen sein wird.

Um diese letzte Bedingung darzustellen, ist neben einer Notation eine weitere Definition erforderlich: Für zwei beliebige Lotterien (P_f) und (P_g) und (lambda \ in [0,1]) kann man Definieren Sie eine dritte einfache Lotterie (lambda P_f + (1- \ lambda) P_g) in (mathcal {P}), der (lambda) - Mischung aus (P_f) und (P_g) durch Setzen von ((lambda P_f + (1- \ lambda) P_g) (x)) die Wahrscheinlichkeit, die dem Ergebnis (x) durch die Mischlotterie zugewiesen wird, gleich (lambda P_f (x)) + (1- \ Lambda) P_g (x)). Es ist heuristisch nützlich, sich (lambda P_f + (1- \ lambda) P_g) als eine Lotterie höherer Ordnung vorzustellen, die eine Wahrscheinlichkeit von (lambda) ergibt, Lotto zu spielen (P_f) und eine Ergänzung Wahrscheinlichkeit zu spielen (P_g). Die Bedingung lautet dann:

Unabhängigkeit Für alle Handlungen (f, g) und (h) und alle (lambda \ in (0,1]): (P_f \ succeq P_g) iff (lambda P_f + (1) - \ lambda) P_h \ succeq \ lambda P_g + (1- \ lambda) P_h).

Der Beweis wird dann durch Berufung auf ein Ergebnis von Neumann und Morgenstern (1947) vervollständigt, das zeigt, dass das oben erwähnte Trio von Eigenschaften notwendig und ausreichend ist, um (succeq) durch eine Funktion (U) wie z Das

[U (P_f) = \ sum \ limit_ {i = 1} ^ {n} P_f (x_i) u (x_i),)

Dabei ist (u: \ mathcal {X} mapsto \ mathbb {R}) eine Konsequenz-Utility-Funktion, die bis zur positiven linearen Transformation einzigartig ist.

1.3 Das Wahrscheinlichkeitsdreieck

Das Wahrscheinlichkeitsdreieck (auch bekannt als "Marschak-Machina-Dreieck") bietet eine hilfreiche visuelle Darstellung der Präferenzen gegenüber dem Raum der Lotterien über ({x_1, x_2, x_3 }) mit (x_3 \ succ x_2 \ succ x_1)). Da für jedes (P \ in \ mathcal {P}) (P (x_2) = 1-P (x_1) -P (x_3)) die Situation zweidimensional dargestellt werden kann, wobei Lotterien erscheinen als Punkte in einem Einheitsdreieck, in dem die horizontale Achse (P (x_1)) und die vertikale Achse (P (x_3)) ergibt. Die nordwestlichen, südwestlichen und südöstlichen Ecken entsprechen jeweils den Lotterien, die mit Sicherheit (x_3, x_2) und (x_1) ergeben.

Nun, wie leicht zu demonstrieren ist, ist SEU verpflichtet

Stochastische Dominanz Für alle Handlungen (f) und (g): Wenn für ein Ergebnis (x) die Wahrscheinlichkeit gemäß (P_f), ein Ergebnis zu erhalten, das (x) schwach vorgezogen wird) ist mindestens so groß wie die entsprechende Wahrscheinlichkeit gemäß (P_g) (mit anderen Worten: (sum _ { {y \ in \ mathcal {X}: y \ succeq x }} P_f (y)) (geq) (sum _ { {y \ in \ mathcal {X}: y \ succeq x }} P_g (y))), dann (P_f \ succeq P_g).

In der Tat folgt das obige Prinzip aus der Unabhängigkeit und ist in Anbetracht der anderen bestehenden Bedingungen (Grant 1995) tatsächlich gleichbedeutend mit Savages Eventwise Monotonicity-Bedingung (Grant 1995). Daher werden Lotterien sowohl bei der Bewegung nach Norden als auch bei der Bewegung nach Westen zunehmend bevorzugt, da bei beiden Bewegungen die Wahrscheinlichkeit von einem weniger zu einem bevorzugteren Ergebnis (von (x_2) zu (x_3) verschoben wird, wenn man sich nach Norden bewegt und von (x_1) nach (x_2) bei Bewegung nach Westen). Die Indifferenzkurven sind daher nach oben geneigt. Steilere Steigungen entsprechen einer größeren Risikoaversion im folgenden Sinne: Nordöstliche Bewegungen erhöhen die Ausbreitung der Verteilung, dh den Grad des Risikos, und verschieben die Wahrscheinlichkeiten vom mittleren Ergebnis ((x_2)) zum extremen Ergebnis (() x_1) und (x_3)). Je steiler die Indifferenzkurve,Je größer die Wahrscheinlichkeit des besten Ergebnisses ist, desto höher ist das erhöhte Risiko. SEU erfordert natürlich auch, dass Indifferenzkurven sowohl linear als auch parallel sind.^[2] Zur Veranschaulichung:

Abbildung 1

Obwohl die SEU als normatives Modell des Wahlverhaltens weiterhin breite Unterstützung findet (siehe Abschnitt 5 unten), wird sie im Allgemeinen nicht mehr als beschreibend angemessen angesehen. Bereits in den 1950er und frühen 1960er Jahren wurde von Allais (1953a, b) und Ellsberg (1961) eine Reihe erheblicher Abweichungen von seinen Vorhersagen festgestellt und in den 1970er Jahren weiter untersucht. Diese Beobachtungen führten zur Entwicklung alternativer Modelle, deren eigene prädiktive Konsequenzen in den letzten drei Jahrzehnten in den Mittelpunkt umfangreicher Tests gerückt sind. ^[3]

2. Die Frage der Unabhängigkeit

2.1 Allais 'Paradoxe

Allais (1953a: 527) betrachtete hypothetische Präferenzen, die sich aus Entscheidungen aus zwei jeweiligen Lotteriemenüs ergaben, die verschiedene Vermögenszuwächse mit verschiedenen objektiven Wahrscheinlichkeiten ergaben, von denen eine (P_1) und (P_2) unten und die andere (P_3) enthielt) und (P_4):

(ein)

(b)

(c)

(d)

Figur 2

Er behauptete, dass man für einen wesentlichen Teil der Agenten feststellen würde, dass (P_ {1} succ P_ {2}) und (P_ {4} succ P_ {3}) (nennen diese diese "Allais" Vorlieben”). Unter der Annahme, dass (i) die Glaubensgrade der Probanden mit den angegebenen objektiven Wahrscheinlichkeiten übereinstimmen und (ii) die Ergebnisse vollständig in Bezug auf die damit verbundenen Veränderungen des Wohlstandsniveaus angemessen charakterisiert werden können, läuft eine solche Kombination von Präferenzen ab im Gegensatz zur Unabhängigkeit. Insbesondere widerspricht es dem Sonderfall des Prinzips, wonach die Substitution einer gemeinsamen „Konsequenz“, dh Lotterie, in ein Paar von Gemischen die Reihenfolge der Präferenzen unverändert lässt:

Gemeinsame Konsequenz Für alle Handlungen (f, g, h, h ') und (lambda \ in (0,1]):

) begin {split} Lambda P_f + (1- \ Lambda) P_h \ succeq \ Lambda P_g + (1- \ Lambda) P_h \\ \ textrm {iff} Lambda P_f + (1- \ Lambda) P_ { h '} succeq \ lambda P_g + (1- \ lambda) P_ {h'}. \ end {split})

Um zu sehen warum, sei (lambda = 0.11), (Q_1) (die "Konsequenz", die (P_1) und (P_2) gemeinsam haben) eine Lotterie, die $ (1) M für ergibt sicher, (Q_2) ist eine Lotterie, die $ (5) M mit der Wahrscheinlichkeit (10/11) und ($ 0) ansonsten ergibt, und schließlich (Q_3) (die "Konsequenz", die gemeinsam ist (P_3) und (P_4)) eine Lotterie, die mit Sicherheit ($ 0) ergibt. (P_1) stellt sich als (lambda) - Mischung aus (Q_1) und (Q_1), (P_2) einer von (Q_2) und (Q_1) heraus. (P_3) einer von (Q_1) und (Q_3) und (P_4) einer von (Q_2) und (Q_3). Dies lässt sich wahrscheinlich am besten anhand der Entscheidungsbäume erkennen, die die entsprechenden zusammengesetzten Lotterien darstellen:

(ein)

(b)

(c)

(d)

Figur 3

Das Ergebnis davon ist dann nach allgemeiner Konsequenz, dass (P_1 \ succeq P_2) iff (P_3 \ succeq P_4). ^[4]

Das Wahrscheinlichkeitsdreieck liefert ein hilfreiches Beispiel für die Inkompatibilität der Allais-Präferenzen mit SEU. In der Tat sind die Segmente, die (P_1) und (P_2) einerseits und (P_3) und (P_4) andererseits verbinden, parallel, so dass ein EU-Maximierer, dessen Indifferenzkurven sind auch parallel wäre nicht in der Lage, die Modalpräferenzen aufzuweisen, da kein Paar von Indifferenzkurven nach Bedarf so sein könnte, dass einer das Segment ([P_1, P_2]) von unten kreuzt, während der andere ([P_3, P_4]) von oben:

Figur 4

Zusätzlich zu dem oben Gesagten, das als Common Consequence-Problem bekannt geworden ist, schlug Allais (1953a: 529–530) ein weiteres Problem vor, das Common Ratio-Problem. Die Schwierigkeit betraf diesmal eine weitere Konsequenz der Unabhängigkeit, die uns sagt, dass die Präferenzreihenfolge zwischen zwei identisch gewichteten Gemischen, die eine gemeinsame Komponentenlotterie teilen, von einer Änderung des Mischungsgewichts nicht beeinflusst wird:

Gemeinsames Verhältnis Für alle Akte (f, g, h) und (lambda, \ gamma \ in (0,1]):

) begin {split} lambda P_f + (1- \ lambda) P_h \ succeq \ lambda P_g + (1- \ lambda) P_h \\ \ textrm {iff} gamma P_f + (1- \ gamma) P_h \ succeq \ gamma P_g + (1- \ gamma) P_h. \ end {split})

Eine Darstellung der relevanten Optionspaare wird hier nicht gegeben. Man beachte einfach, dass sich auch hier herausstellt, dass die problematischen Entscheidungen zwei Optionspaare umfassen, deren jeweilige entsprechende Segmente im Wahrscheinlichkeitsdreieck parallel verlaufen. ^[5]

Eine Reihe von experimentellen Studien in den 1960er und 1970er Jahren bestätigte anschließend die Robustheit der von Allais aufgedeckten Effekte. Slovic & Tversky (1974) berichten beispielsweise, dass 17 von 29 (59%) der Probanden in ihrer Studie Allais-Präferenzen bei der Untersuchung des Common Consequence-Problems aufweisen. Siehe MacCrimmon & Larson (1979) für eine hilfreiche Zusammenfassung dieser und anderer früherer Arbeiten und weiterer eigener Daten.

Seit den späten 1970er Jahren wurde eine beträchtliche Anzahl von Verallgemeinerungen der SEU entwickelt, um den problematischen Präferenzmustern Rechnung zu tragen. Eine kurze Übersicht darüber finden Sie im folgenden Unterabschnitt.

2.2 Theoretische Antworten

2.2.1 Probabilistische Raffinesse

Ein wesentlicher Teil der Reaktionen auf Phänomene vom Allais-Typ betraf Verallgemeinerungen der SEU, die konservativ genug bleiben, um die Forderung von Machina & Schmeidler (1992) als „probabilistische Raffinesse“zu bewahren: Präferenzen gegenüber Handlungen reduzieren sich auf Präferenzen gegenüber Lotterien und diese Befolgen Sie wiederum die schwache Reihenfolge der Mischung, die Kontinuität der Mischung und die stochastische Dominanz, wenn nicht die Unabhängigkeit. ^[6]Machina & Schmeidler bieten eine axiomatische Charakterisierung probabilistisch ausgefeilter Präferenzen, die Savages Sure-Thing-Zustand aufgibt, der eine entscheidende Rolle bei der Ableitung der Unabhängigkeit spielt, und den Rest seiner Zustände beibehält. Da das Sure-Thing-Prinzip jedoch auch eine wichtige Rolle bei der Sicherstellung der Existenz einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der Ereignisse spielt, verstärken sie die Bedingung der schwachen vergleichenden Wahrscheinlichkeit auf Folgendes:

Starke Vergleichswahrscheinlichkeit Für alle Ergebnisse (x_1, x_2, x_3, x_4), Handlungen (f, g) und disjunkte Ereignisse (A, B): if (x_1 \ succ x_2) und (x_3 \ succ x_4), dann (x_1Ax_2Bf \ succeq x_2Ax_1Bf) iff (x_3Ax_4Bg \ succeq x_4Ax_3Bg).

wobei (x_1Ax_2Bf) die Handlung bezeichnet, die (x_1) für alle (s \ in A), Ergebnis (x_2) für alle (s \ in B) und (f (s) ergibt.) für alle anderen (s). Sie bieten dann eine entsprechend geänderte Darstellung der vorgeschlagenen Entsprechung zwischen den subjektiven qualitativen Wahrscheinlichkeits- und Präferenzrelationen und schlagen vor, dass, wenn (x_1 \ succ x_2), dann (A \ unrhd B) iff (x_1Ax_2Bf \ succeq x_2Ax_1Bf).

2.2.2 Modelle mit Zwischengleichheit

Unter den Modellen probabilistisch ausgefeilter Präferenzen, die die Unabhängigkeit nicht erfüllen und insbesondere nicht die Eigenschaft der Parallelität von Indifferenzkurven auferlegen, erfüllt eine Zahl immer noch ein schwächeres Prinzip, das Linearität auferlegt, nämlich:

Zwischeneinander Für alle Handlungen (f) und (g) und (lambda \ in [0,1]): wenn (P_f \ sim P_g), dann (P_f \ sim \ lambda P_f + (1- \ Lambda) P_g).

Dies ist insbesondere der Fall bei Weighted Utility (WU) (Chew & MacCrimmon 1979; Chew 1983), bei dem vorgeschlagen wird, die Summanden in der erwarteten Nutzenformel jeweils mit einem entsprechenden Gewicht zu multiplizieren, damit die Präferenzen zwischen Lotterien durch die allgemeineren dargestellt werden können funktional

) tag {2} U (f) = \ Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ {n} P_f (x_i) u (x_i) Bigg (w (x_i) / \ Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ {n} w (x_i) P_f (x_i) Bigg))

Dabei ist (w) eine positive reelle Funktion für (mathcal {X}). Wenn (w) konstant ist, stellt man die EU-Funktion wieder her. Die Einbeziehung von Gewichten berücksichtigt die Allais-Präferenzen, indem Indifferenzkurven von einem einzelnen Schnittpunkt im Quadranten südwestlich des Wahrscheinlichkeitsdreiecks „aufgefächert“werden. Diese Kurven werden steiler und stellen daher ein höheres Maß an Risikoaversion dar, wenn man sich nach Nordwesten in Richtung zunehmend bevorzugter Lotterien bewegt. Ein geeignet platzierter Schnittpunkt ermöglicht es Indifferenzkurven, je nach Bedarf sowohl ([P_1, P_2]) von unten als auch ([P_3, P_4]) von oben zu kreuzen. ^[7]

2.2.3 Modelle ohne Zwischenbindung

Es gibt jedoch substanzielle Hinweise darauf, dass die Linearität von Indifferenzkurven empirisch nicht adäquater ist als ihre Parallelität (siehe Camerer & Ho 1994 für eine Umfrage) und eine Reihe von Modellen probabilistisch ausgefeilter Präferenzen auch Betweenness aufgeben. Das bekannteste davon ist zweifellos das Rank Dependent Utility (RDU), dessen Version erstmals von Quiggin (1982) vorgeschlagen wurde. ^[8] Um den Vorschlag in funktionaler Form zu präsentieren, wird angenommen, dass die jedem Ergebnis in (mathcal {X}) zugeordneten Indizes eine zunehmende Präferenzreihenfolge anzeigen, so dass (x_1 \ preceq x_2 \ preceq \ ldots \ preceq x_n) und damit (bigcup \ border_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j}) ist das gegebene Ereignis, bei dem (f) ein mindestens ebenso bevorzugtes Ergebnis liefert als (x_i). RDU schlägt vor:

) tag {3} U (f) = u (x_1) + \ sum \ limit_ {i = 2} ^ {n} Big (u (x_i) -u (x_ {i-1}) Big) w \ Bigg (P \ bigg (bigcup \ limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j} bigg) Bigg))

wobei (w: [0,1] mapsto [0,1]) eine streng ansteigende Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion ist, so dass (w (0) = 0) und (w (1) = 1). Mit anderen Worten: Der Nutzen einer Lotterie ist gleich der Summe der Grenznutzenbeiträge der Ergebnisse, jeweils multipliziert mit der gewichteten Wahrscheinlichkeit, ein mindestens ebenso bevorzugtes Ergebnis zu erzielen (der Grenzbeitrag von (x_1) ist (u (x_1)) und der zugehörige Multiplikator ist (w \ big (P ({ mathcal {S} }) big) = w (1) = 1)). Wenn (w) die Identitätsfunktion ist, so dass (w \ circ P = P), stellt sich heraus, dass man die erwartete Dienstprogrammfunktion wiederherstellt. Wenn nicht, können Sie mit einer geeigneten Auswahl von (w) die Allais-Einstellungen wiederherstellen. Um zu sehen, wie, nehmen Sie der Einfachheit halber an, dass (u (0) = 0). Man hat dann (P_1 \ succ P_2) iff

[u (1) w (1)> u (1) w (0,99) + \ big (u (5) -u (1) big) w (0,1))

und (P_4 \ succ P_3) iff (u (5) w (0,1)> u (1) w (0,11)). Dies impliziert, dass die Präferenzen wiederhergestellt werden, indem (w) so ist, dass (w (1) -w (0,99)> w (0,11) -w (0,1)), so dass ein Unterschied in der Wahrscheinlichkeit von (0,01) hat am oberen Ende der Wahrscheinlichkeitsskala einen größeren Einfluss als am relativ unteren Ende. ^[9]

Es ist anzumerken, dass RDU selbst ein Sonderfall der vielleicht bekanntesten Alternative zu SEU ist, Kahneman & Tverskys kumulative Prospekttheorie (Tversky & Kahneman 1992), die Kahneman 2002 einen Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften einbrachte. Dieses Modell verallgemeinert RDU durch Einführung eines Referenzpunkts, eines Ergebnisses, das die Menge der Ergebnisse in positive und negative Teilmengen aufteilt, je nachdem, ob diese strikt bevorzugt oder strikt abgelehnt werden. Zwei Wahrscheinlichkeitstransformationsfunktionen, (w ^ +) und (w ^ -), sind dann an der Präferenzfunktion beteiligt: (w ^ +) bei der Bestimmung der Nutzenbeiträge der negativen Ergebnisse und (w ^ -) eine analoge Rolle in Bezug auf die der positiven spielen. RDU wird wiederhergestellt, wenn (w ^ +) das Dual von (w ^ +) ist.

Während RDU die Unabhängigkeit nicht erfüllt, erfüllt es eine Schwächung dieses als "Ordinale Unabhängigkeit" bekannten Prinzips (Green & Jullien 1988). Dieses Prinzip wird als Einschränkung der kumulativen Verteilungsfunktionen (cdf) dargestellt, die verschiedenen Lotterien entsprechen, die für jedes (x_i) die Wahrscheinlichkeit zurückgeben, ein Ergebnis zu erzielen, das nicht besser als (x_i) ist (dh) ein Ergebnis (x_j) mit (j \ leq i)). Das cdf, das (P_f) entspricht, wird mit (F) bezeichnet. Wir haben dann

Ordinale Unabhängigkeit Für alle Handlungen (f, f ', g) und (g') und Teilmengen (A) von (mathcal {X}): Wenn (P_f \ succeq P_g), und

1. für alle (x \ in A), (F (x) = G (x)) und (F '(x) = G' (x))
2. für alle (x \ notin A), (F (x) = F '(x)) und (G' (x) = G '(x))

dann (P_ {f '} succeq P_ {g'}). ^[10]

Die Einschränkung kann hilfreicher wie folgt formuliert werden: Beim Vergleich zweier Akte ignoriert man die Werte ihrer jeweiligen PDFs in Bezug auf die Ergebnisse, mit denen sie übereinstimmen. Es ist leicht zu überprüfen, ob die Allais-Präferenzen mit diesem Prinzip übereinstimmen. In Anbetracht der probabilistischen Raffinesse kann die ordinale Unabhängigkeit selbst aus einer Einschränkung der Präferenzen gegenüber Handlungen abgeleitet werden, die als „Comonotonic Independence“bekannt sind und in Abschnitt 3.2.1 dargestellt sind. Wakker (2010) bietet eine Lehrbucheinführung in die RDU und die kumulative Prospekttheorie sowie in verwandte Behandlungen der im nächsten Abschnitt behandelten Themen.

3. Die Frage des probabilistischen Glaubens

3.1 Ellsbergs Drei-Farben-Paradoxon

In einer weiteren klassischen Herausforderung für die SEU forderte Ellsberg (1961) die Probanden auf, einen Aufbau in Betracht zu ziehen, in dem eine Urne 30 rote und 60 schwarze oder gelbe Kugeln in unbekannten relativen Anteilen enthält, und ihre Präferenzen zwischen verschiedenen Wetten auf die Farbe eines gezogenen Balls anzugeben zufällig aus der Urne. Die hervorgerufenen Präferenzen waren diejenigen, die zwischen (f_1) und (g_1) unten einerseits und (f_2) und (g_2) andererseits lagen:

	(overbrace { phantom {30 Bälle}} ^ { textrm {30 Bälle}})	(overbrace { phantom {45630 Bälle}} ^ { textrm {60 Bälle}})
	r	b	y
(f_1)	100 $	$ 0	$ 0
(g_1)	$ 0	100 $	$ 0
(f_2)	100 $	$ 0	100 $
(g_2)	$ 0	100 $	100 $

Ellsberg berichtete, dass die Mehrheit der Probanden die Präferenzen (f_1 \ succ g_1), aber (g_2 \ succ f_2) aufwies, ein Beispiel für ein Phänomen, das als Ambiguitätsaversion bekannt geworden ist: eine relative Präferenz für Wetten auf Ereignisse mit bekannter statt unbekannter ("mehrdeutiger") Wahrscheinlichkeit.

Wenn man zugibt, dass die Ergebnisse allein in Bezug auf die damit verbundenen Veränderungen des Wohlstandsniveaus angemessen charakterisiert sind, stehen diese „Ellsberg-Präferenzen“in direktem Widerspruch zu Savages Sure-Thing-Prinzip. Diese Präferenzen verstoßen auch gegen das Prinzip der starken vergleichenden Wahrscheinlichkeit von Machina & Schmeidler, unter der natürlichen Annahme, dass die Probanden das Ergebnis ($ 100) dem Ergebnis ($ 0) strikt vorziehen. Und in der Tat ist leicht zu erkennen, dass die Ellsberg-Präferenzen nicht mit der probabilistischen Raffinesse vereinbar sind. Insbesondere sind sie nicht damit vereinbar, dass sowohl (i) die Präferenzen des Entscheidungsträgers gegenüber Handlungen auf Präferenzen gegenüber entsprechenden Lotterien gegenüber Ergebnissen reduziert werden können,erzeugt durch eine Zuordnung subjektiver Wahrscheinlichkeiten zu der Menge von Ereignissen und (ii) er oder sie ordnet diese Lotterien teilweise durch stochastische Dominanz erster Ordnung an. Um zu sehen, warum, nehmen Sie an, dass diese Bedingungen gelten. Beachten Sie zunächst, dass (P_ {g_1}) genau dann stochastisch dominieren würde (P_ {f_1}), wenn (P ({b }) geq P ({r })) und das (P_ {f_2}) würde genau dann stochastisch dominieren (P_ {g_2}), wenn (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 \ succ g_1) würde bedeuten, dass (P_ {g_1}) nicht stochastisch dominiert (P_ {f_1}), und daher (P ({r })> P ({ b })). Aber (g_2 \ succ f_2) würde bedeuten, dass (P_ {f_2}) nicht stochastisch dominiert (P_ {g_2}) und daher (P ({b })> P ({r })). Widerspruch. Beachten Sie zunächst, dass (P_ {g_1}) genau dann stochastisch dominieren würde (P_ {f_1}), wenn (P ({b }) geq P ({r })) und das (P_ {f_2}) würde genau dann stochastisch dominieren (P_ {g_2}), wenn (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 \ succ g_1) würde bedeuten, dass (P_ {g_1}) nicht stochastisch dominiert (P_ {f_1}), und daher (P ({r })> P ({ b })). Aber (g_2 \ succ f_2) würde bedeuten, dass (P_ {f_2}) nicht stochastisch dominiert (P_ {g_2}) und daher (P ({b })> P ({r })). Widerspruch. Beachten Sie zunächst, dass (P_ {g_1}) genau dann stochastisch dominieren würde (P_ {f_1}), wenn (P ({b }) geq P ({r })) und das (P_ {f_2}) würde genau dann stochastisch dominieren (P_ {g_2}), wenn (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 \ succ g_1) würde bedeuten, dass (P_ {g_1}) nicht stochastisch dominiert (P_ {f_1}), und daher (P ({r })> P ({ b })). Aber (g_2 \ succ f_2) würde bedeuten, dass (P_ {f_2}) nicht stochastisch dominiert (P_ {g_2}) und daher (P ({b })> P ({r })). Widerspruch. Aber (g_2 \ succ f_2) würde bedeuten, dass (P_ {f_2}) nicht stochastisch dominiert (P_ {g_2}) und daher (P ({b })> P ({r })). Widerspruch. Aber (g_2 \ succ f_2) würde bedeuten, dass (P_ {f_2}) nicht stochastisch dominiert (P_ {g_2}) und daher (P ({b })> P ({r })). Widerspruch.

Beträchtliche empirische Beweise haben Ellsbergs informelle Beobachtungen und verwandte Phänomene bestätigt (beginnend mit Becker & Brownson 1964 und einschließlich klassischer Studien wie Slovic & Tversky 1974 und MacCrimmon & Larsson 1979; siehe den klassischen Camerer & Weber 1992 sowie die aktuelleren -Datum Trautmann & van de Kuilen 2015 (für weitere Details) und die Literatur enthält jetzt eine beträchtliche Anzahl von Verallgemeinerungen der SEU, die diese berücksichtigen können.

3.2 Theoretische Antworten

3.2.1 Nichtadditive „Wahrscheinlichkeiten“

Eine prominente Schwächung der SEU, die in der Lage ist, die Ellsberg-Fälle zu berücksichtigen, ist Choquet Expected Utility (CEU), die ursprünglich von Schmeidler (1989) vorgeschlagen wurde. Das Schlüsselkonzept bei der Darstellung von Präferenzen ist das einer Kapazität: eine Funktion (v: \ mathcal {E} mapsto [0,1]), so dass (v (varnothing) = 0), (v (mathcal {S}) = 1) und für alle (A, B \ in \ mathcal {E}) impliziert (A \ subseteq B) (v (A) leq v (B)). Man kann sich dies als eine Art nichtadditive "Wahrscheinlichkeits" -Funktion vorstellen, da die Additivitätseigenschaft, nach der (v (A \ Tasse B) = v (A) + v (B)) für disjunkte Ereignisse (A) und (B) gilt nicht. Wie bei der Präsentation von RDU ist hier die Konvention, dass die mit den Ergebnissen verbundenen Indizes eine zunehmende Präferenz anzeigen, so dass wiederum(bigcup \ limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j}) ist das gegebene Ereignis, bei dem (f) ein Ergebnis liefert, das mindestens so vorzuziehen ist wie (x_i). CEU schlägt vor:

) tag {4} U (f) = u (x_1) + \ sum \ limit_ {i = 2} ^ {n} Big (u (x_i) -u (x_ {i-1}) Big) v \ Bigg (bigcup \ limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j} Bigg))

Auf diesen Vorschlag hin wird eine Handlung durch die Summe der Grenznutzenbeiträge der Ergebnisse bewertet, jeweils multipliziert mit der Kapazität des Ereignisses, bei dem diese Handlung ein mindestens ebenso bevorzugtes Ergebnis liefern würde. Hier gibt es offensichtliche formale Ähnlichkeiten mit der RDU, und tatsächlich kann letztere als der Sonderfall der CEU angesehen werden, bei dem die Fähigkeiten des Entscheidungsträgers durch eine Wahrscheinlichkeitsgewichtungsfunktion ((v =) aus seinen probabilistischen Glaubensgraden abgeleitet werden w \ circ P)). ^[11]

Zurück zu den Ellsberg-Einstellungen im Dreifarbenproblem ist leicht zu erkennen, dass (f_1 \ succ g_1) iff (v ({r })> v ({b })) und (g_2 \ succ f_2) iff (v ({b, y })> v ({r, y })). Diese Ungleichungen können offensichtlich nicht gleichzeitig in speziellen Fällen erfüllt werden, in denen (c) additiv ist und in solchen Fällen die CEU tatsächlich auf SEU reduziert wird. Im allgemeineren Fall gibt es kein Problem: Sei (v) zum Beispiel so, dass:

) begin {align} v ({r }) & = v ({r, y }) = v ({b, y }) = \ nicefrac {1} {3} \ v ({b }) & = v ({y }) = 0 \\ v ({b, y }) & = \ nicefrac {2} {3}. \ end {align})

Gilboa (1987) und Wakker (1989) haben beide Axiomatisierungen des Vorschlags in einem Savage-Rahmen bereitgestellt. Das Hauptunterscheidungsmerkmal davon ist die wirksame Beschränkung des Savage-Sure-Thing-Prinzips auf bestimmte Arten von Handlungen:

Comonotonic Sure-Thing Für alle Handlungen (f, g, h, h ') und jedes Ereignis (A): if (fAh), (gAh), (fAh') und (fAh ') sind comonoton, dann (fAh \ succeq gAh) iff (fAh' \ succeq gAh ').

Wenn zwei Akte (f) und (g) comonotonisch sind, gibt es keine zwei Zustände (s_1) und (s_2), so dass (f (s_1) succ f (s_2)) aber (g (s_2) succ g (s_1)) oder wieder iff (f) und (g) ergeben Ordnungen von Zuständen durch Erwünschtheit der damit verbundenen Konsequenz, die gemeinsam konsistent sind (Chew & Wakker 1996). Die Ellsberg-Präferenzen sind eindeutig perfekt mit dieser Schwächung des Sure-Thing-Prinzips vereinbar, da die beteiligten Handlungen nicht komonoton sind. Zum Beispiel (f_1 (r) succ f_1 (b)) aber (f_2 (b) succ f_2 (r)). ^[12]

3.2.2 Mehrere Prioritäten

Die Kapazität, die oben verwendet wurde, um die Konsistenz der CEU mit den Präferenzen im Ellsberg-Stil zu veranschaulichen, hat eine bemerkenswerte Eigenschaft: Sie ist konvex, was bedeutet, dass für alle (A, B \ in \ mathcal {E})

[v (A \ Tasse B) + v (A \ Kappe B) geq v (A) + v (B).)

Schmeidler (1986) hat gezeigt, dass die CEU bei Auferlegung einer Konvexität der Kapazitäten zu einem Sonderfall eines Ansatzes wird, der als Maxmin Expected Utility (MEU) bekannt ist (Gilboa & Schmeidler 1989) und den Entscheidungsträger als maximiertes erwartetes Minimum darstellt Dienstprogramm für einen nicht leeren Satz von Wahrscheinlichkeitsfunktionen (Gamma) auf (mathcal {X}), so dass:

) tag {5} U (f) = \ inf \ Grenzen_ {P \ in \ Gamma} Big (Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big) label {eq: MEU})

Die spezifische Verbindung ist die folgende: Ein CEU-Maximierer in Bezug auf eine konvexe Kapazität (v) ist ein EU-Maxminer über dem sogenannten Kern von (v), definiert als der Satz von Wahrscheinlichkeitsfunktionen, die für jeden zugewiesen werden Ereignis, eine Wahrscheinlichkeit, die mindestens so groß ist wie die Kapazität, die diesem Ereignis von (v) zugewiesen wurde: ({P \ in \ mathcal {P}: P (A) geq v (A), \ forall A \ in \ mathcal {E} }).

Nun ist eine übliche, aber nicht obligatorische Interpretation von (Gamma), dass sie dem Satz objektiver Wahrscheinlichkeitszuweisungen entspricht, die der Entscheidungsträger für konsistent mit seinen Beweisen hält. In Anbetracht des gerade ausgezeichneten Ergebnisses führt dies wiederum zu einer Interpretation der Kapazitäten als niedrigere Schätzungen der objektiven Wahrscheinlichkeiten. Insbesondere kann ein CEU-Maximierer, dessen Kapazität konvex ist, so interpretiert werden, dass er alle und nur die Zuordnungen objektiver Wahrscheinlichkeiten berücksichtigt, die mit den niedrigeren Schätzungen dieser Kapazität übereinstimmen. Diese Interpretation der Kapazität in dem vorliegenden Beispiel ist offensichtlich besonders verlockend, da (nicefrac {1} {3}) und (nicefrac {2} {3}) plausible Untergrenzen für den Entscheidungsträger darstellen Schätzungen der Wahrscheinlichkeiten von ({r }) und ({b, y }),beziehungsweise.

Wenn man (Gamma) auf diese Weise interpretiert, wird die Lockerung der CEU mit konvexen Kapazitäten für MEU zu einer attraktiven Option, da man damit nicht nur Ellsberg-Präferenzen modellieren kann, sondern auch die Präferenzen von Entscheidungsträgern berücksichtigen kann, deren Ansichten zu objektiven Wahrscheinlichkeiten nicht einfach sein können erfasst in Bezug auf niedrigere Schätzungen (z. B. solche, die Verpflichtungen zu bestimmten Fakten über Wahrscheinlichkeitsverhältnisse beinhalten). Aus Platzgründen werden hier die Details der axiomatischen Behandlung von MEU weggelassen. ^[13]

Dennoch bleibt die MEU eher restriktiv, da sie eine ziemlich radikale Form der Ambiguitätsaversion erzwingt. Eine populäre Verallgemeinerung des Modells, (alpha-) MEU (Ghirardato et al. 2004), schlägt vor, dass die von MEU auferlegten Präferenzen nur an einem Ende eines Spektrums möglicher Ambiguitätsaversion liegen, das durch die folgende Schwächung von \ erfasst wird ((ref {eq: MEU})):

) tag {6} U (f) = \ alpha \ inf \ Grenzen_ {P \ in \ Gamma} Big (Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Groß) + (1- \ alpha) sup \ Grenzen_ {P \ in \ Gamma} Groß (Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Groß))

wo (alpha \ in [0,1]). Mit (alpha = 1) stellt man die stark mehrdeutigkeitsaverse MEU wieder her. Mit (alpha = 0) haben wir stark mehrdeutigkeitsliebende Vorlieben. Der Parameter (alpha) ist somit gewissermaßen als Maß für die Ambiguitätsaversion interpretierbar. ^[14], ^[15]

Genau wie bei MEU beschränkt (alpha) - MEU seine Aufmerksamkeit jedoch auf extrem erwartete Dienstprogramme (in diesem Fall sowohl im besten als auch im schlechtesten Fall). Eine beliebte Klasse von Vorschlägen ermöglicht es, die gesamte Bandbreite der erwarteten Dienstprogramme in (Gamma) zu berücksichtigen, indem das mehrfache Vorgängermodell durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung höherer Ordnung (mu) ergänzt wird. Eine bekannte funktionale Form, die insbesondere im „Smooth Model“von Klibanoff et al. (2005) beinhaltet die Annahme der gewichteten erwarteten Dienstprogramme in Bezug auf (mu) in Bezug auf die Mitglieder von (Gamma):

) tag {7} U (f) = \ Summe \ Grenzen_ {P \ in \ Gamma} mu (P) Phi \ Big (Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big))

Ein konkaves (Phi) überwiegt niedrig erwartete Dienstprogramme, was zu relativ mehrdeutigkeitsabneigenden Präferenzen führt.

4. Die Frage der schwachen Ordnung

4.1 Transitivität

Während alle oben genannten Modelle Präferenzen Transitivität auferlegen, gibt es eine lange Geschichte der Untersuchung möglicher Verstöße gegen das Prinzip, sowohl in Bezug auf die Wahl unter Gewissheit als auch in Bezug auf die Wahl unter Risiko. In Bezug auf Letzteres schlug Tversky (1969) in einer klassischen frühen Studie signifikante systematische Verstöße gegen die Transitivität der strengen Präferenz vor, die durch die der schwachen Präferenz in Bezug auf eine Reihe von Lotterien (P_1) - (P_5), wobei jeder eine Chance (p_i) bietet, einen Preis (x_i) zu erhalten, und eine ergänzende Chance, nichts zu erhalten:

	\(Pi)	(x_i)
(P_1)	(nicefrac {7} {24})	$ (5)
(P_2)	(nicefrac {8} {24})	$ (4.75)
(P_3)	(nicefrac {9} {24})	$ (4.5)
(P_4)	(nicefrac {10} {24})	$ (4.25)
(P_5)	(nicefrac {11} {24})	$ (4)

Tversky nahm seine Daten, um darauf hinzuweisen, dass eine signifikante Anzahl von Probanden dazu neigte, strenge Präferenzen für jede Lotterie gegenüber ihrem unmittelbaren Nachfolger auszudrücken, aber eine strikte Präferenz für die letzte Lotterie gegenüber der ersten. Er schlug vor, dass diese Probanden benachbarte Lotterien nach bloßer Auszahlung einstuften, da die Unterschiede in den Gewinnwahrscheinlichkeiten kaum wahrnehmbar waren, berücksichtigte jedoch die Gewinnwahrscheinlichkeit im Vergleich zwischen (P_1) und (P_5), da der Unterschied in Werte dort war groß. Obwohl die Ergebnisse von Tversky später wiederholt wurden, sollte angemerkt werden, dass es weiterhin Kontroversen um das Ausmaß der empirischen Unterstützung für intransitive Präferenzen gibt (siehe Regenwetter et al. 2011 für eine aktuelle Literaturübersicht).

Intransitivitäten einer etwas anderen Art werden auch von Loomes & Sugdens (1982, 1987) Regret Theory vorhergesagt. ^[16] Die Leitidee hinter diesem Vorschlag ist, dass die Bewertung eines bestimmten Ergebnisses in einem bestimmten Zustand eine im Wesentlichen vergleichende Angelegenheit ist. Es wird durch das Bedauern (oder die Freude) bestimmt, das mit dem Gedanken verbunden ist, dass die alternativ verfügbaren Handlungen unter den gleichen Umständen zu einer bestimmten Reihe alternativer Ergebnisse geführt hätten. Im speziellen Fall von binären Alternativen führt diese Intuition zu folgenden menüabhängigen Präferenzfunktionen:

) tag {8} label {eqn: RT} U _ { {f, g }} (f) = \ sum \ limit_ {s \ in \ mathcal {S}} P \ big ({s } big) M \ big (f (s), g (s) big))

Dabei ist (M: \ mathcal {X} times \ mathcal {X} mapsto \ mathbb {R}) eine vergleichende Dienstprogrammfunktion, die im ersten Argument zunimmt und im zweiten Argument nicht abnimmt. In ihrer Diskussion über das Framework präsentieren Loomes & Sugden die Dinge gleichwertig wie folgt:

) tag {9} label {eqn: RT '} f \ succeq g \ text {iff} sum \ limit_ {s \ in \ mathcal {S}} P \ big ({s } big) Psi \ big (f (s), g (s) big) geq 0)

wobei (Psi \ big (f (s), g (s) big)) definiert ist als (M \ big (f (s), g (s) big) -M \ big (g () s), f (s) big)). Diese Menge entspricht somit dem Nettoguthaben von Bedauern / Freude, das mit der Wahl von (f) gegenüber (g) in Zuständen (s) verbunden ist. Abhängig von den Eigenschaften von (Psi) können Entscheidungsträger als "bedauernsneutral", "bedauernavers" oder sogar "bedauernd" charakterisiert werden. Bedauern Neutralität entspricht dem Fall, in dem für alle (x_1, x_2, x_3 \ in \ mathcal {X}),) Psi (x_1, x_3) = \ Psi (x_1, x_2) + \ Psi (x_2, x_3).)

Unter diesen Bedingungen stimmt das Auswahlverhalten mit der SEU überein. Bedauern Abneigung entspricht der Situation, in der (Psi) die folgende Konvexitätsanforderung erfüllt: für (x_1 \ succ x_2 \ succ x_3),) Psi (x_1, x_3)> \ Psi (x_1, x_2) + \ Psi (x_2, x_3).)

Loomes & Sugden (1982) haben gezeigt, dass diese Art der Disposition zumindest unter der Annahme einer probabilistischen Unabhängigkeit der beteiligten Lotterien sowohl die Common Consequence- als auch die Common Ratio-Effekte vorhersagen kann: Regret Theory bedeutet keine Unabhängigkeit. ^[17]

Um ein Gefühl für die von der Regret-Theorie vorhergesagten Verstöße gegen die Transitivität zu erhalten, ist hier ein Beispiel von Loomes & Sugden 1987. Nehmen Sie die Konvexität von (Psi) an und betrachten Sie das folgende Entscheidungsproblem, wobei (x_1 \ prec x_2 \ prec x_3) und (P (A_i) = \ nicefrac {1} {3}):

	(A_1)	(A_2)	(A_3)
(f)	(x_1)	(x_2)	(x_3)
\(G)	(x_3)	(x_1)	(x_2)
(h)	(x_2)	(x_3)	(x_1)

Nach der Regret Theory ist (f \ succ g) iff

) Psi (x_1, x_3) + \ Psi (x_2, x_1) + \ Psi (x_3, x_2)> 0.)

Die Konvexität von (Psi) stellt sicher, dass diese Ungleichung gilt. Durch ähnliche Überlegungen kann dann festgestellt werden, dass (g \ succ h) und (h \ succ f). ^[18]

Das obige Beispiel zeigt auch deutlich, dass die Regret-Theorie Verstöße gegen die staatliche Neutralität zulässt, da die verschiedenen Handlungen die gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Ergebnisse ergeben. Loomes & Sugden (1987) zeigen ferner, dass Verstöße gegen die stochastische Dominanz durch ihr Modell lizenziert werden. Trotz dieser Abweichungen von der Orthodoxie sollte angemerkt werden, dass die Regret-Theorie eine Reihe anderer starker Konsequenzen der SEU beibehält, einschließlich des Sure-Thing-Prinzips sowie der Verflechtung für probabilistisch unabhängige Verteilungen. Eine lehrreiche Axiomatisierung einer Verallgemeinerung von ((ref {eqn: RT})) auf endliche Menüs wird in Sugden 1993 angeboten. Siehe Bleichrodt & Wakker 2015 für einen klaren Überblick über das Framework und seine Beziehung zu den experimentellen Daten.

4.2 Vollständigkeit

Obwohl das Thema in diesem Katalog empirischer Herausforderungen an die SEU an letzter Stelle steht, haben die Architekten des Frameworks, darunter von Neumann & Morgenstern (1947: 630) und Savage (1954: 21), frühzeitig Zweifel an der empirischen Angemessenheit der Vollständigkeitsannahme geäußert). Zum Beispiel schreiben von Neumann & Morgenstern:

Es ist sehr zweifelhaft, ob die Idealisierung der Realität, die dieses Postulat als gültig behandelt, angemessen oder sogar zweckmäßig ist.

Es wurde behauptet, dass die Unvollständigkeit sowohl auf (i) Unvollständigkeit bei der Beurteilung der Vergleichswahrscheinlichkeit als auch auf (ii) Unvollständigkeit der Präferenzen zwischen den Ergebnissen zurückzuführen ist. Beide Ursachen für Unvollständigkeit können in Modellen mit „Multi-Prior Expected Multi Utility“behandelt werden, die eine so genannte „Supervaluationist“-Darstellung von Präferenzen gegenüber Handlungen bieten:

[f \ succeq g \ text {iff, für alle} langle P, u \ rangle \ in \ Phi, \ sum \ limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) geq \ Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ g) u (x_i))

Dabei ist (Phi) eine Menge von Paaren von Wahrscheinlichkeits- und Nutzenfunktionen. Aus Platzgründen werden hier axiomatische Details weggelassen. Der interessierte Leser wird auf die jüngste allgemeine Behandlung von Galaabaatar & Karni (2013) verwiesen, die ihre Ergebnisse mit wichtigen früheren Arbeiten von Bewley (1986), Seidenfeld et al. (1995), Ok et al. (2012) und Nau (2006) unter anderem.

5. Deskriptive vs. normative Entscheidungstheorie

Obwohl ziemlich sofort erkannt wurde, dass Allais einen empirischen Mangel an SEU nachgewiesen hatte, ist es wichtig anzumerken, dass seine Ambitionen diese Leistung etwas übertrafen. Er schlug ferner vor, dass seine Ergebnisse auch Anlass geben, die normative Angemessenheit der Theorie anzuzweifeln. Seiner Ansicht nach können bei der Bewertung einer Theorie der rationalen Wahl zwei Arten von Überlegungen an den Tisch gebracht werden. Die erste ist eine Demonstration, dass die Theorie deduktiv aus verschiedenen allgemeinen Prinzipien des sicheren epistemischen Ansehens folgt oder in logischem Konflikt mit diesen steht. Die zweite ist eine Reihe von experimentellen Beweisen in Bezug auf

das Verhalten von Personen, die in anderer Hinsicht Grund haben [(„das ist nach Kriterien, die frei von jeglichem Hinweis auf eine Überlegung einer zufälligen Wahl sind.“)] zu glauben, rational zu handeln. (Allais 1953b: 34) ^[19]

Er fand jedoch keine adäquaten Beweise der ersten Art, die zusammengestellt werden könnten, um etwas so Starkes wie SEU zu unterstützen. Er wies beispielsweise Marschaks (1951) Argument „Langfristiger Erfolg“für die erwartete Maximierung des Nutzens in Risikosituationen zurück (Allais 1953b: 70–73). Er gewährte das Bestehen einer „Konsistenz“-Anforderung, nach der

Es wird davon ausgegangen, dass ein Mann rational handelt (a) wenn er Ziele verfolgt, die miteinander vereinbar sind (dh nicht widersprüchlich), (b) wenn er Mittel einsetzt, die diesen Zielen angemessen sind. (Allais 1953b: 78)

Diese Forderung habe jedoch lediglich dazu geführt, dass die Präferenzen gegenüber Lotterien schwach geordnet seien und die stochastische Dominanz befriedigten. Dies ließ Daten zum Wahlverhalten übrig, um über die weiteren Verpflichtungen der SEU zu entscheiden. Diese Daten stützten seiner Ansicht nach eindeutig die rationale Zulässigkeit einer Verletzung der Unabhängigkeit.

Savage diskutierte nicht explizit die Beweiskraft der kollektiven Präferenzen seiner Kollegen in Bezug auf Allais 'Fälle. Er äußerte sich jedoch zu seiner persönlichen Präferenz, die Allais 1952 auf einem Pariser Symposium bekanntermaßen gegen ihn erhoben hatte und die gegen die Empfehlungen der SEU verstieß. Er räumte ein, dass es für ihn irrational gewesen wäre, sowohl diese Präferenzen als auch die Verpflichtung zur normativen Angemessenheit seiner Axiome beizubehalten, und berichtete, dass weitere „Überlegungen“ihn dazu veranlassten, die ersteren zu überarbeiten, wobei er diese als fehlerhaft beurteilte eine logische Inkonsistenz in Überzeugungen. Diese Tatsache berechtigte ihn, seine normativen Verpflichtungen einzuhalten (siehe Savage 1952: 101–103). ^[20]Da es leicht zu vermuten ist, dass Savage seine eigenen Neigungen als repräsentativ für die Bevölkerung insgesamt ansah, wurden seine Kommentare weit verbreitet, um implizit einen alternativen experimentellen Weg zur Prüfung von Theorien rationaler Wahl vorzuschlagen. (Siehe Slovic & Tversky 1974 und Jallais & Pradier 2005. Dies ist auch die Ansicht von Ellsberg, der in Kapitel 1 seiner als Ellsberg 2001 abgedruckten Dissertation von 1961 mit Zappia eine lohnende Diskussion über die Themen von gegenwärtigem Interesse anbietet 2016 bietet eine aktuelle philosophisch orientierte Diskussion.). Dieses Verfahren würde beinhalten, nicht zu bestimmen, ob bestimmte Entscheidungsträger Präferenzmuster aufweisen, die von der Theorie verboten sind, sondern ob sie solche Muster noch aufweisen, nachdem sie über ihren Konflikt mit den Grundaxiomen der Theorie nachgedacht haben.

In einer Reihe von Studien wurde versucht, die normative Angemessenheit der SEU in der vorgeschlagenen Richtung zu testen. MacCrimmon (1968) berichtete in einer Stichprobe erfahrener Führungskräfte über Verstöße gegen eine Vielzahl von Konsequenzen der SEU, von denen einige fortbestanden, nachdem den Probanden insbesondere Überlegungen zur Unterstützung und Untergrabung dieser Grundsätze vorgelegt wurden. Zu den Grundsätzen, in denen später beleidigende Präferenzen korrigiert wurden, gehörten insbesondere Transitivität und stochastische Dominanz. Präferenzen im Allais- oder Ellsberg-Stil waren jedoch wesentlich widerstandsfähiger, was in einer späteren Studie von Slovic & Tversky (1974) bestätigt wurde. Eine andere Art der Resilienz von Präferenzen, die von Savage nicht berücksichtigt wurde, wurde kürzlich von van de Kuilen & Wakker (2006) untersucht. Sie untersuchten die Auswirkungen der Rückmeldung von Entscheidungsergebnissen auf die Prävalenz häufiger Konsequenzwirkungen in Auswahlsequenzen und stellten jedoch eine signifikante Verringerung der SEU-Verstöße fest.

Trotz einer langjährigen Tradition, Theorien der rationalen Wahl zu verschiedenen philosophischen Problemen zur Geltung zu bringen ^[21], scheint die Frage nach der möglichen Relevanz der deskriptiven Entscheidungstheorie für ihr normatives Gegenstück kein großes Interesse an der philosophischen Gemeinschaft geweckt zu haben. Allais 'Herausforderung an Savage wurde in der philosophischen Literatur weitgehend ignoriert. ^[22]

Trotzdem wurde der damit verbundenen Frage der Verbindung zwischen Argumentationsnormen und beobachteten Folgerungsmustern einiges an philosophischer Aufmerksamkeit gewidmet. Ein einflussreicher Gedankengang, der für Allais 'Behauptungen relevant zu sein scheint, stammt aus Goodmans Diskussion über die Rechtfertigung des induktiven Denkens. Aus seiner Sicht

Die Aufgabe, Regeln zu formulieren, die den Unterschied zwischen gültigen und ungültigen induktiven Schlussfolgerungen definieren, ähnelt der Aufgabe, einen Begriff mit einer festgelegten Verwendung zu definieren. (Goodman 1965: 66)

So wie semantische Analysen auf der Grundlage einer guten Systematisierung einer Reihe von Intuitionen hinsichtlich der Anwendbarkeit bestimmter Begriffe in bestimmten Situationen gebilligt werden können, so behaupten Goodman, können normative Argumentationstheorien auch durch ihre gute Übereinstimmung mit „den bestimmten… Schlussfolgerungen“gerechtfertigt werden wir machen und sanktionieren tatsächlich “(Goodman 1965: 63): Es sind keine weiteren Überlegungen erforderlich, um ein bestimmtes Prinzip als rational verbindlich bestätigen zu können.

Goodmans Diskussion ist kurz und lässt zumindest bei unserer Lektüre eine Reihe von Fragen offen. Sollten wir Überlegungen berücksichtigen, die über die beobachteten Inferenzmuster hinausgehen, wie z. B. Eigenschaften der langfristigen Konvergenz mit der Wahrheit usw.? Auf wen bezieht sich „wir“, wenn Goodman von „den besonderen… Schlussfolgerungen spricht, die wir tatsächlich ziehen und sanktionieren“? Experten? Die menschliche Bevölkerung insgesamt? Sollten wir die Klasse der relevanten Schlussfolgerungen auf jene Urteile umschreiben, die man als "überlegt" bezeichnen möchte? Dies sind wichtige Angelegenheiten, die zu klären sind. Tatsächlich,Eine bestimmte Kombination von Antworten auf diese Fragen, die zur Folge haben, dass die Rechtfertigung normativer Argumentationstheorien ausschließlich von ihrer Fähigkeit abhängt, „unmittelbare und nicht unterrichtete“inferentielle Dispositionen zu systematisieren, die in der allgemeinen Bevölkerung beobachtet wurden, führte Cohen (1981) notorisch dazu, die überraschende Behauptung zu unterstützen, dass Da normative und deskriptive Modelle aus demselben Datensatz stammen, sind Verhaltensnachweise grundsätzlich nicht in der Lage, menschliche Irrationalität festzustellen. Zur weiteren Diskussion dieses allgemeinen Themas siehe beispielsweise Stich (1990: Kap. 4), Stein (1996: Kap. 5), Stanovich (1999: Kap. 1) und Thagard (1982).siehe zum Beispiel Stich (1990: Ch. 4), Stein (1996: Ch. 5), Stanovich (1999: Ch. 1) und Thagard (1982).siehe zum Beispiel Stich (1990: Ch. 4), Stein (1996: Ch. 5), Stanovich (1999: Ch. 1) und Thagard (1982).^[23]

Obwohl weder Allais noch Goodman den Zusammenhang herstellen, kann in der Literatur zum Satz der Condorcet-Jury und den damit verbundenen Ergebnissen möglicherweise nach einer möglichen Rechtfertigung für die offensichtliche Relevanz experimenteller Daten für die Erstellung normativer Theorien gesucht werden. ^[24]Dieser Satz sagt uns, dass unter bestimmten Bedingungen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mehrheitsurteil in Bezug auf eine bestimmte Angelegenheit in einer Gruppe von (n) minimal zuverlässigen Personen, die Ja / Nein-Stimmen zu einer bestimmten Frage abgeben, gegen 1 als \ konvergiert (n) tendiert zur Unendlichkeit und konvergiert schneller, je größer die individuelle Zuverlässigkeit ist. Darüber hinaus erreicht die Mehrheitszuverlässigkeit selbst bei sehr begrenzter individueller Zuverlässigkeit bei relativ bescheidenen Gruppengrößen ein signifikantes Niveau. Natürlich passt die Frage des Interesses nicht ganz zu diesem spezifischen Modell: Während der Ausdruck von Allais-Präferenzen wohl als „Abstimmung“gegen die normative Angemessenheit der Unabhängigkeit interpretiert werden kann, kann der Ausdruck von Präferenzen, die mit diesem Prinzip übereinstimmen, kaum als interpretiert werden eine Stimme dafür.

Während sich dieser Abschnitt auf die Frage der Bedeutung der deskriptiven Entscheidungstheorie für das normative Gegenstück konzentriert hat, sollte angemerkt werden, dass die umgekehrte Richtung des Einflusses diskutiert wurde. Sowohl Guala (2000) als auch Starmer (2005) haben argumentiert, dass die Entwicklung deskriptiver Theorien der Wahl von einer Tendenz geleitet wurde, einen Kern von Prinzipien beizubehalten, die als normativ angemessen angesehen werden. Bei Entscheidungen, die einem Risiko ausgesetzt sind, handelt es sich im Wesentlichen um die Transitivitätskomponente der schwachen Ordnung und der stochastischen Dominanz, die gemäß der überwiegenden Mehrheit der bisher entwickelten Nicht-SEU-Theorien erfüllt sind. ^[25]Starmer behauptet, in einem bekannten Artikel von Friedman und Savage (1952) ein Argument zu finden, das diese Praxis rechtfertigt. Dieser Gedankengang, mit dem sich Starmer auseinandersetzt, geht von der Annahme aus, dass echte Prinzipien der Rationalität für die meisten Subjekte als solche offensichtlich sind und dass sich Entscheidungsträger dementsprechend entsprechend verhalten.

6. Weiterführende Literatur

Während die philosophische Literatur zu diesem Thema eher spärlich bleibt, mangelt es nicht an erstklassigen Zusammenfassungen in der wirtschafts- und psychologischen Literatur. Für eine gründliche Darstellung der in Abschnitt 1 genannten technischen Ergebnisse siehe Fishburn (1970: Kap. 14) oder das etwas weniger detaillierte Kreps (1988: Kap. 9). CH. 3 von Joyce (1999) ist auch hier hilfreich. Bezüglich der in Abschnitt 2 diskutierten Literatur zur Unabhängigkeit siehe Machina (1987), Starmer (2000) und Weber & Camerer (1987). Bezüglich des in Abschnitt 3 diskutierten Problems des probabilistischen Glaubens siehe Camerer & Weber (1992), Etner et al. (2012), Gilboa & Marinacci (2013), Machina & Siniscalchi (2014) und Trautmann & van de Kuilen (2015). Eine Reihe umfassenderer Umfragen decken sowohl die oben genannten als auch einige der oben genannten Themen ab. Dazu gehören vor allem Camerer (1995) und der ausgezeichnete Sugden (2004). Für eine klare und detaillierte historische Darstellung der Entwicklung der experimentellen Literatur zur Entscheidungsfindung siehe Heukelom (2014).

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	Erweiterte Bibliographie für diesen Eintrag bei PhilPapers mit Links zu seiner Datenbank.

Andere Internetquellen

• Bibliographie, kommentiert in Word von Peter Wakker; Eine nützliche Ressource, die mit einer Liste von Schlüsselwörtern und Abkürzungen beginnt, aber hauptsächlich aus einer kommentierten Liste von Referenzen mit Links zum Artikel besteht, sofern verfügbar.
• Entscheidungstheorie-Forum in Google Groups; Enthält regelmäßige Beiträge führender Entscheidungstheoretiker, einschließlich Konferenzankündigungen und dergleichen.