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Erstveröffentlichung Di 28. August 2001; inhaltliche Überarbeitung Do 13.12.2018

Wir alle beschäftigen uns mit gültigen Argumenten und nutzen diese, aber die Argumente, die wir tatsächlich ausführen, unterscheiden sich in verschiedener Hinsicht von den Schlussfolgerungen, die von den meisten (formalen) Logikern untersucht wurden. Das Denken, wie es von Menschen durchgeführt wird, beinhaltet typischerweise Informationen, die durch mehr als ein Medium erhalten werden. Im Gegensatz dazu befasste sich die formale Logik bisher hauptsächlich mit gültigen Argumenten, die auf Informationen nur in einer Form, dh in Form von Sätzen, beruhen. In letzter Zeit sind sich viele Philosophen, Psychologen, Logiker, Mathematiker und Informatiker der Bedeutung des multimodalen Denkens zunehmend bewusst geworden, und darüber hinaus wurden im Bereich nicht symbolischer, insbesondere diagrammatischer Repräsentationssysteme umfangreiche Forschungsarbeiten durchgeführt. [1] Dieser Beitrag beschreibt die allgemeinen Richtungen dieses neuen Forschungsbereichs und konzentriert sich auf den logischen Status von Diagrammen in Beweisen, ihre Repräsentationsfunktion und -adäquanz, verschiedene Arten von Diagrammsystemen und die Rolle von Diagrammen in der menschlichen Wahrnehmung.

  • 1. Einleitung
  • 2. Diagramme als Repräsentationssysteme

    • 2.1 Euler-Diagramme
    • 2.2 Venn-Diagramme
    • 2.3 Peirces Erweiterung
    • 2.4 Diagramme als formale Systeme
    • 2.5 Euler-Kreise überarbeitet
  • 3. Konsequenzen der räumlichen Eigenschaften von Diagrammen

    • 3.1 Einschränkungen der schematischen Darstellung und Argumentation
    • 3.2 Wirksamkeit von Diagrammen
  • 4. Diagrammatische Systeme in der Geometrie

    • 4.1 Die Ansichten über Euklids Diagramme von 4 th Jahrhundert BCE zum 20 - ten Jahrhundert CE
    • 4.2 Manders exakte / co-exakte Unterscheidung und das Allgemeinheitsproblem

      • 4.2.1 Die genaue / ko-genaue Unterscheidung
      • 4.2.2 Das Allgemeinheitsproblem mit Euklids Konstruktionen
    • 4.3 Die formalen Systeme FG und Eu
  • 5. Diagramme und Erkenntnisse, Anwendungen

    • 5.1 Einige andere Diagrammsysteme
    • 5.2 Diagramme als mentale Repräsentationen
    • 5.3 Die kognitive Rolle von Diagrammen
  • Zusammenfassung
  • Literaturverzeichnis

    • Verweise
    • Relevante Literatur
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Einleitung

Diagramme oder Bilder gehören wahrscheinlich zu den ältesten Formen menschlicher Kommunikation. Sie werden nicht nur zur Darstellung verwendet, sondern können auch zur Durchführung bestimmter Argumentationstypen verwendet werden und spielen daher eine besondere Rolle in Logik und Mathematik. In der modernen Geschichte der Logik waren jedoch sententiale Repräsentationssysteme (z. B. Logik erster Ordnung) vorherrschend, während Diagramme größtenteils nur als von geringem Interesse angesehen wurden. Diagramme werden normalerweise als heuristisches Werkzeug bei der Untersuchung eines Beweises verwendet, jedoch nicht als Teil eines Beweises. [2] Es ist eine relativ junge Bewegung unter Philosophen, Logikern, Kognitionswissenschaftlern und Informatikern, sich auf verschiedene Arten von Repräsentationssystemen zu konzentrieren, und viele Forschungen haben sich insbesondere auf schematische Repräsentationssysteme konzentriert.

Diejenigen, die an multimodalem Denken arbeiten und ein langjähriges Vorurteil gegen die schematische Darstellung in Frage stellen, haben verschiedene Ansätze gewählt, die wir in drei verschiedene Gruppen einteilen können. Ein Forschungszweig liegt in der Philosophie des Geistes und der Kognitionswissenschaft. Da die Grenzen sprachlicher Formen für diejenigen klar sind, die an mentaler Repräsentation und Argumentation gearbeitet haben, haben einige Philosophen und Kognitionswissenschaftler diese neue Richtung des multimodalen Denkens mit Begeisterung angenommen und das menschliche Denken und die mentale Repräsentation mit nicht-linguistischen Formen untersucht (Cummins 1996; Chandrasekaran et al. 1995). Ein weiterer Arbeitsbereich zum diagrammatischen Denken zeigt, dass es keinen wesentlichen Unterschied zwischen symbolischen und diagrammatischen Systemen hinsichtlich ihres logischen Status gibt. Einige Logiker haben Fallstudien vorgelegt, um zu beweisen, dass Diagrammsysteme im gleichen Sinne wie symbolische Systeme solide und vollständig sein können. Diese Art von Ergebnis widerlegte direkt eine weit verbreitete Annahme, dass Diagramme von Natur aus irreführend sind, und hob theoretische Einwände gegen Diagramme auf, die in Beweisen verwendet werden (Shin 1994; Hammer 1995a). Eine dritte Richtung im multimodalen Denken haben Informatiker eingeschlagen, deren Interesse viel praktischer ist als das der anderen Gruppen. Es überrascht nicht, dass diejenigen, die in vielen Bereichen der Informatik tätig sind - zum Beispiel Wissensrepräsentation, Systemdesign, visuelle Programmierung, GUI-Design usw. - in diesem neuen Konzept des „heterogenen Systems“neue und aufregende Möglichkeiten gefunden und Diagramme implementiert haben Vertretungen in ihren Forschungsgebieten.

Wir haben die folgenden Ziele für diesen Eintrag. Zunächst möchten wir den Leser mit den Details einiger spezifischer Diagrammsysteme vertraut machen. Gleichzeitig werden in dem Beitrag theoretische Fragen behandelt, indem die Art der schematischen Darstellung und Argumentation in Bezug auf Ausdruckskraft und Korrektheit untersucht wird. Die Fallstudie des zweiten Abschnitts wird nicht nur unser erstes Ziel erfüllen, sondern uns auch solides Material für die theoretischere und allgemeinere Diskussion im dritten Abschnitt liefern. Der vierte Abschnitt enthält eine weitere Fallstudie und betrachtet sie im Lichte der allgemeinen Diskussion des dritten Abschnitts. Wie oben erwähnt, hat das Thema Diagramme mit wichtigen Ergebnissen aus vielen verschiedenen Forschungsbereichen viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen. Daher,Unser fünfter Abschnitt zielt darauf ab, verschiedene Ansätze für das diagrammatische Denken in verschiedenen Bereichen vorzustellen.

Für die weitere Diskussion müssen wir zwei verwandte, aber unterschiedliche Verwendungen des Wortes "Diagramm" klären: Diagramm als interne mentale Repräsentation und Diagramm als externe Repräsentation. Das folgende Zitat von Chandrasekaran et al. (1995: S. xvii) fasst die Unterscheidung zwischen internen und externen schematischen Darstellungen kurz zusammen:

  • Externe schematische Darstellungen: Diese werden vom Agenten in einem Medium in der Außenwelt (Papier usw.) erstellt, sind jedoch als Darstellungen des Agenten gedacht.
  • Interne Diagramme oder Bilder: Diese umfassen die (kontroversen) internen Darstellungen, von denen angenommen wird, dass sie einige Bildeigenschaften haben.

Wie wir weiter unten sehen werden, konzentrieren sich Logiker auf externe Diagrammsysteme, die Bilddebatte unter Geistesphilosophen und Kognitionswissenschaftlern befasst sich hauptsächlich mit internen Diagrammen, und die Erforschung der kognitiven Rolle von Diagrammen berührt beide Formen.

2. Diagramme als Repräsentationssysteme

Die Dominanz sententialer Repräsentationssysteme in der Geschichte der modernen Logik hat einige wichtige Fakten über Diagrammsysteme verdunkelt. Eines davon ist, dass vor der Ära der modernen Logik mehrere bekannte Diagrammsysteme als heuristisches Werkzeug verfügbar waren. Eulerkreise, Venn-Diagramme und Lewis-Carroll-Quadrate wurden häufig für bestimmte Arten des syllogistischen Denkens verwendet (Euler 1768; Venn 1881; Carroll 1896). Eine andere interessante, aber vernachlässigte Geschichte ist, dass Charles Peirce, ein Begründer der modernen symbolischen Logik, nicht nur Venn-Diagramme überarbeitete, sondern auch ein grafisches System erfand, Existential Graphs, das nachweislich einer Prädikatssprache entspricht (Peirce 1933; Roberts) 1973; Zeman 1964).

Diese vorhandenen Diagramme haben diejenigen Forscher inspiriert, die kürzlich unsere Aufmerksamkeit auf die multimodale Darstellung gelenkt haben. Logiker, die an dem Projekt teilnehmen, haben das Thema auf zwei verschiedene Arten untersucht. Erstens konzentrierte sich ihr Interesse ausschließlich auf extern gezeichnete Repräsentationssysteme im Gegensatz zu internen mentalen Repräsentationen. Zweitens bestand ihr Ziel darin, den logischen Status eines Systems zu ermitteln, anstatt seine heuristische Kraft zu erklären, indem die Richtigkeit und Ausdruckskraft selektiver Repräsentationssysteme getestet wurde. Wenn ein System seine Solidität nicht rechtfertigt oder wenn seine Ausdruckskraft zu begrenzt ist, schwindet das Interesse eines Logikers an dieser Sprache (Sowa 1984; Shin 1994).

In diesem Abschnitt untersuchen wir die historische Entwicklung von Euler- und Venn-Diagrammen als Fallstudie, um die folgenden Aspekte zu veranschaulichen: Zunächst zeigt uns dieser Prozess, wie sich die einfache Intuition eines Mathematikers zur Darstellung des syllogistischen Denkens allmählich zu einem formalen Repräsentationssystem entwickelt hat. Zweitens werden wir verschiedene Schwerpunkte beobachten, die verschiedenen Stadien der Erweiterung und Modifikation eines Diagrammsystems gegeben werden. Drittens und damit verbunden zeigt diese historische Entwicklung eine interessante Spannung und einen Kompromiss zwischen der Ausdruckskraft und der visuellen Klarheit von Diagrammsystemen. Am wichtigsten ist, dass der Leser miterlebt, wie sich Logiker mit der Frage befassen, ob es einen Grund dafür gibt, dass sententiale Systeme, aber keine diagrammatischen Systeme, uns strenge Beweise liefern könnten.und ihr Erfolg bei der Verneinung dieser Frage.

Daher wird der Leser nicht überrascht sein von der folgenden Schlussfolgerung von Barwise und Etchemendy, den ersten Logikern, die eine Untersuchung zu schematischen Beweisen in der Logik eingeleitet haben:

Es gibt keine prinzipielle Unterscheidung zwischen Inferenzformalismen, die Text verwenden, und solchen, die Diagramme verwenden. Man kann strenge, logisch solide (und vollständige) formale Systeme haben, die auf Diagrammen basieren. (Barwise & Etchemendy 1995: 214)

Diese Überzeugung war notwendig für die Geburt ihres innovativen Computerprogramms Hyperproof, das sowohl Sprachen erster Ordnung als auch Diagramme (in einem multimodalen System) verwendet, um elementare Logikkurse zu unterrichten (Barwise & Etchemendy 1993 und Barwise & Etchemendy 1994).

2.1 Euler-Diagramme

Leonhard Euler, ein Mathematiker des 18. Jahrhunderts, nahm geschlossene Kurven an, um das syllogistische Denken zu veranschaulichen (Euler 1768). Die vier Arten von kategorialen Sätzen werden von ihm dargestellt, wie in Abbildung 1 dargestellt.

Vier Fälle: Der erste mit "Alle A sind B" bezeichnete hat einen inneren Kreis mit der Bezeichnung "A" vollständig innerhalb eines äußeren Kreises mit der Bezeichnung "B"; Die zweite mit "Nein A ist B" bezeichnete zwei nicht überlappende Kreise, einer mit "A" und der andere mit "B". Das dritte mit der Bezeichnung "Einige A ist B" hat zwei überlappende Kreise, die Überlappung mit "A" und das nicht überlappende Bit eines Kreises mit "B". Der vierte Fall mit der Bezeichnung "Einige A ist nicht B" hat zwei überlappende Kreise, das nicht überlappende Bit des einen ist mit "A" und das nicht überlappende Bit des anderen mit "B" gekennzeichnet
Vier Fälle: Der erste mit "Alle A sind B" bezeichnete hat einen inneren Kreis mit der Bezeichnung "A" vollständig innerhalb eines äußeren Kreises mit der Bezeichnung "B"; Die zweite mit "Nein A ist B" bezeichnete zwei nicht überlappende Kreise, einer mit "A" und der andere mit "B". Das dritte mit der Bezeichnung "Einige A ist B" hat zwei überlappende Kreise, die Überlappung mit "A" und das nicht überlappende Bit eines Kreises mit "B". Der vierte Fall mit der Bezeichnung "Einige A ist nicht B" hat zwei überlappende Kreise, das nicht überlappende Bit des einen ist mit "A" und das nicht überlappende Bit des anderen mit "B" gekennzeichnet

Abbildung 1: Euler-Diagramme

Für die beiden universellen Aussagen übernimmt das System auf intuitive Weise räumliche Beziehungen zwischen Kreisen: Wenn der mit 'A' bezeichnete Kreis in dem mit 'B' bezeichneten Kreis enthalten ist, repräsentiert das Diagramm die Information, dass alles A B ist. Wenn es keinen überlappenden Teil zwischen zwei Kreisen gibt, vermittelt das Diagramm die Information, dass kein A B ist.

Diese Darstellung unterliegt der folgenden Konvention: [3]

Jedem Objekt x in der Domäne wird eine eindeutige Position, beispielsweise l (x), in der Ebene zugewiesen, so dass sich l (x) genau dann in der Region R befindet, wenn x ein Mitglied der Menge ist, die die Region R darstellt.

Die Kraft dieser Darstellung liegt in der Tatsache, dass ein Objekt, das Mitglied einer Menge ist, leicht als das Objekt konzipiert werden kann, das in die Menge fällt, genauso wie Orte auf der Seite als in oder außerhalb gezeichneter Kreise fallend betrachtet werden. Die Leistungsfähigkeit des Systems liegt auch in der Tatsache, dass keine zusätzlichen Konventionen erforderlich sind, um die Bedeutung von Diagrammen mit mehr als einem Kreis zu bestimmen: Beziehungen, die zwischen Mengen bestehen, werden durch dieselben Beziehungen bestätigt, die zwischen den Kreisen bestehen, die sie darstellen. Die Darstellungen der beiden universellen Aussagen "Alle A sind B" und "Kein A ist B" veranschaulichen diese Stärke des Systems.

Wenn wir zu zwei existenziellen Aussagen übergehen, bleibt diese Klarheit nicht erhalten. Euler begründet das Diagramm von „Einige A ist B“damit, dass wir visuell schließen können, dass etwas in A auch in B enthalten ist, da ein Teil von Bereich A in Bereich B enthalten ist (Euler 1768: 233). Offensichtlich glaubte Euler selbst, dass die gleiche Art der visuellen Eindämmungsbeziehung zwischen Bereichen sowohl in diesem Fall als auch im Fall universeller Aussagen verwendet werden kann. Eulers Überzeugung ist jedoch nicht richtig und diese Darstellung wirft eine schädliche Zweideutigkeit auf. In diesem Diagramm ist nicht nur ein Teil des Kreises A in Bereich B enthalten (wie Euler beschreibt), sondern es gilt auch Folgendes: (i) Ein Teil von Kreis B ist in Bereich A enthalten. (Ii) Ein Teil von Kreis A ist nicht in Bereich A enthalten Kreis B (iii) Ein Teil von Kreis B ist nicht in Kreis A enthalten. Das heißt, das dritte Diagramm könnte als „Einige B ist A,"Einige A ist nicht B" und "Einige B ist nicht A" sowie "Einige A ist B." Um diese Mehrdeutigkeit zu vermeiden, müssen wir mehrere weitere Konventionen festlegen.[4]

Eulers eigene Beispiele veranschaulichen die Stärken und Schwächen seines Diagrammsystems.

Beispiel 1. Alle A sind B. Alle C sind A. Daher sind alle C B.

Drei konzentrische Kreise, der innerste mit "C", der nächste mit "A" und der äußerste mit "B"
Drei konzentrische Kreise, der innerste mit "C", der nächste mit "A" und der äußerste mit "B"

Beispiel 2. Nein A ist B. Alle C sind B. Daher ist kein C A.

Links ein Kreis mit der Bezeichnung "A" und rechts zwei konzentrische Kreise, der innere mit der Bezeichnung "C" und der äußere mit der Bezeichnung "B"
Links ein Kreis mit der Bezeichnung "A" und rechts zwei konzentrische Kreise, der innere mit der Bezeichnung "C" und der äußere mit der Bezeichnung "B"

In beiden Beispielen kann der Leser leicht auf die Schlussfolgerung schließen, und dies veranschaulicht visuell leistungsstarke Merkmale von Euler-Diagrammen. Wenn jedoch existenzielle Aussagen dargestellt werden, werden die Dinge komplizierter, wie oben erläutert. Zum Beispiel:

Beispiel 3. Nein A ist B. Einige C ist A. Daher ist etwas C nicht B.

Kein einzelnes Diagramm kann die beiden Prämissen darstellen, da die Beziehung zwischen den Mengen B und C nicht vollständig in einem einzelnen Diagramm angegeben werden kann. Stattdessen schlägt Euler die folgenden drei möglichen Fälle vor:

Drei Fälle: Fall 1 hat links zwei überlappende Kreise, die Überlappung ist mit "C" und der nicht überlappende Abschnitt des ersten Kreises mit "A" gekennzeichnet. Rechts und getrennt befindet sich ein dritter Kreis mit der Bezeichnung "B". Fall 2 hat drei Kreise, zwei der Kreise überlappen sich und der Überlappungsabschnitt ist mit "C" und der nicht überlappende Abschnitt des ersten Kreises mit "A" bezeichnet; Im nicht überlappenden Abschnitt des zweiten Kreises befindet sich der dritte Kreis mit der Bezeichnung "B". Fall 3 ähnelt Fall 2, außer dass der dritte Kreis nicht vollständig innerhalb des nicht überlappenden Abschnitts des zweiten Kreises liegt. Der Abschnitt des dritten Kreises außerhalb des zweiten Kreises ist mit "B" gekennzeichnet
Drei Fälle: Fall 1 hat links zwei überlappende Kreise, die Überlappung ist mit "C" und der nicht überlappende Abschnitt des ersten Kreises mit "A" gekennzeichnet. Rechts und getrennt befindet sich ein dritter Kreis mit der Bezeichnung "B". Fall 2 hat drei Kreise, zwei der Kreise überlappen sich und der Überlappungsabschnitt ist mit "C" und der nicht überlappende Abschnitt des ersten Kreises mit "A" bezeichnet; Im nicht überlappenden Abschnitt des zweiten Kreises befindet sich der dritte Kreis mit der Bezeichnung "B". Fall 3 ähnelt Fall 2, außer dass der dritte Kreis nicht vollständig innerhalb des nicht überlappenden Abschnitts des zweiten Kreises liegt. Der Abschnitt des dritten Kreises außerhalb des zweiten Kreises ist mit "B" gekennzeichnet

Euler behauptet, dass der Satz "Einige C ist nicht B" aus all diesen Diagrammen abgelesen werden kann. Es ist jedoch weit davon entfernt, visuell klar zu sein, wie die ersten beiden Fälle einen Benutzer dazu veranlassen, diesen Vorschlag abzulesen, da ein Benutzer möglicherweise „Nein C ist B“aus Fall 1 und „Alle B ist C“aus Fall 2 vorliest.

Daher verdeckt die Darstellung existenzieller Aussagen nicht nur die visuelle Klarheit von Eulerkreisen, sondern wirft auch ernsthafte Interpretationsprobleme für das System auf. Euler selbst schien dieses potenzielle Problem zu erkennen und führte ein neues syntaktisches Gerät ein, '*' (das die Nicht-Leere darstellt), um diesen Fehler zu beheben (1768: Buchstabe 105).

Ein schwerwiegenderer Nachteil wird jedoch festgestellt, wenn dieses System bestimmte kompatible (dh konsistente) Informationen nicht in einem einzigen Diagramm darstellt. Zum Beispiel verhindert das Euler-System, dass wir ein einzelnes Diagramm zeichnen, das die folgenden Anweisungspaare darstellt: (i) „Alle A sind B“und „Kein A ist B“(die konsistent sind, wenn A eine leere Menge ist). (ii) "Alle A sind B" und "Alle B sind A" (die konsistent sind, wenn A = B). (iii) "Einige A sind B" und "Alle A sind B". (Angenommen, wir haben ein Euler-Diagramm für den ersteren Satz gezeichnet und versuchen, diesem vorhandenen Diagramm eine neue kompatible Information hinzuzufügen, dh die letztere.) Dieser Mangel hängt eng mit Venns Motivation für sein eigenes Diagrammsystem zusammen (siehe Abschnitt 3.1) für andere Mängel des Euler-Systems).

2.2 Venn-Diagramme

Venns Kritik an Euler Circles ist in der folgenden Passage zusammengefasst:

Der Schwachpunkt in diesen [Euler-Diagrammen] und in allen ähnlichen Schemata besteht darin, dass sie nur das tatsächliche Verhältnis der Klassen zueinander streng veranschaulichen und nicht die unvollständige Kenntnis dieser Beziehungen, die wir möglicherweise besitzen oder haben können möchte mittels des Satzes vermitteln. (Venn 1881: 510)

Aufgrund seiner Strenge kann das Euler-System manchmal keine konsistenten Informationen in einem einzigen Diagramm darstellen, wie oben gezeigt. Zusätzlich zu dieser Ausdrucksbeschränkung leidet das Euler-System aufgrund topologischer Einschränkungen für ebene Figuren auch unter anderen Ausdrucksbeschränkungen in Bezug auf nicht leere Mengen (siehe Abschnitt 3.1).

Venns neues System (1881) bestand darin, diese Ausdrucksbeschränkungen zu überwinden, damit Teilinformationen dargestellt werden können. Die Lösung war seine Idee von "Primärdiagrammen". Ein primäres Diagramm stellt alle möglichen satztheoretischen Beziehungen zwischen einer Reihe von Mengen dar, ohne existenzielle Verpflichtungen einzugehen. Zum Beispiel zeigt 2 das primäre Diagramm über die Mengen A und B.

zwei überlappende Kreise, der erste mit "A" und der zweite mit "B"
zwei überlappende Kreise, der erste mit "A" und der zweite mit "B"

Abbildung 2: Venns Primärdiagramme

Nach Venns System enthält dieses Diagramm keine spezifischen Informationen über die Beziehung zwischen diesen beiden Mengen. Dies ist der Hauptunterschied zwischen Euler- und Venn-Diagrammen.

Für die Darstellung universeller Aussagen besteht Venns Lösung im Gegensatz zu den visuell klaren räumlichen Einschlussbeziehungen bei Euler-Diagrammen darin, „sie [die entsprechenden Bereiche] abzuschatten“(Venn 1881: 122). Mit diesem syntaktischen Gerät erhalten wir Diagramme für universelle Anweisungen, wie in Abbildung 3 dargestellt.

Zwei Venn-Diagramme. Der erste Titel trägt den Titel "Alle A sind B" und besteht aus zwei überlappenden Kreisen mit den Bezeichnungen "A" und "B". Der Abschnitt von A, der sich nicht mit B überlappt, ist schattiert. Die zweite trägt den Titel "Nein A ist B" und besteht ebenfalls aus zwei überlappenden Kreisen mit der Bezeichnung "A" und "B". Die Überlappung der beiden Kreise ist schattiert
Zwei Venn-Diagramme. Der erste Titel trägt den Titel "Alle A sind B" und besteht aus zwei überlappenden Kreisen mit den Bezeichnungen "A" und "B". Der Abschnitt von A, der sich nicht mit B überlappt, ist schattiert. Die zweite trägt den Titel "Nein A ist B" und besteht ebenfalls aus zwei überlappenden Kreisen mit der Bezeichnung "A" und "B". Die Überlappung der beiden Kreise ist schattiert

Abbildung 3: Venns Schattierung

Venns Wahl der Schattierung ist möglicherweise nicht absolut willkürlich, da eine Schattierung als Visualisierung der festgelegten Leere interpretiert werden kann. Es ist jedoch zu beachten, dass eine Schattierung ein neues syntaktisches Gerät ist, das Euler nicht verwendet hat. Diese Überarbeitung gab dem System Flexibilität, so dass bestimmte kompatible Informationen in einem einzigen Diagramm dargestellt werden können. Im Folgenden kombiniert das Diagramm links zwei Informationen, "Alle A sind B" und "Kein A ist B", um die Informationen "Nichts ist A" visuell zu vermitteln. Das Diagramm auf der rechten Seite, das sowohl "Alle A sind B" als auch "Alle B sind A" darstellt, zeigt deutlich, dass A dasselbe ist wie B:

Zwei Venn-Diagramme: Das erste hat zwei überlappende Kreise mit den Bezeichnungen 'A' und 'B' Kreis A ist schattiert. Das zweite sind ebenfalls zwei überlappende Kreise mit der Bezeichnung "A" und "B". Beide Kreise sind schattiert, sofern sie sich nicht überlappen
Zwei Venn-Diagramme: Das erste hat zwei überlappende Kreise mit den Bezeichnungen 'A' und 'B' Kreis A ist schattiert. Das zweite sind ebenfalls zwei überlappende Kreise mit der Bezeichnung "A" und "B". Beide Kreise sind schattiert, sofern sie sich nicht überlappen

Tatsächlich vermeidet die Verwendung von Primärdiagrammen auch einige andere Expressivitätsprobleme (im Zusammenhang mit räumlichen Eigenschaften von Diagrammobjekten), die weiter unten in Abschnitt 3 erörtert werden. Überraschenderweise schwieg Venn über die Darstellung existenzieller Aussagen, was eine weitere Schwierigkeit von Euler-Diagrammen darstellt. Wir können uns nur vorstellen, dass Venn eine andere Art von syntaktischem Objekt eingeführt hat, das existenzielles Engagement darstellt. Dies tat Charles Peirce etwa zwanzig Jahre später.

2.3 Peirces Erweiterung

Peirce weist darauf hin, dass Venns System die folgenden Arten von Informationen nicht darstellen kann: existenzielle Aussagen, disjunktive Informationen, Wahrscheinlichkeiten und Beziehungen. Peirce zielte darauf ab, Venns System in Bezug auf die ersten beiden Arten von Sätzen, dh existenzielle und disjunktive Aussagen, in seiner Ausdruckskraft zu erweitern. Diese Erweiterung wurde mit den folgenden drei Geräten abgeschlossen. (i) Ersetzen Sie Venns Schattierung, die die Leere darstellt, durch ein neues Symbol, 'o'. (ii) Führen Sie ein Symbol 'x' für den existenziellen Import ein. (iii) Für disjunktive Informationen führen Sie ein lineares Symbol '-' ein, das die Symbole 'o' und 'x' verbindet.

Zum Beispiel zeigt Abbildung 4 die Aussage "Alle A sind B oder einige A sind B", die weder das Euler- noch das Venn-System in einem einzigen Diagramm darstellen können.

Zwei überlappende Kreise mit der Bezeichnung "A" und "B"; innerhalb der Überlappung befindet sich eine Beschriftung 'x' und innerhalb des nicht überlappenden Bits von Kreis A befindet sich eine Beschriftung 'o' Eine Linie verbindet 'x' mit 'o'
Zwei überlappende Kreise mit der Bezeichnung "A" und "B"; innerhalb der Überlappung befindet sich eine Beschriftung 'x' und innerhalb des nicht überlappenden Bits von Kreis A befindet sich eine Beschriftung 'o' Eine Linie verbindet 'x' mit 'o'

Abbildung 4: Ein Peirce-Diagramm

Der Grund, warum Peirce Venns Schattierung für Leere durch das Symbol 'o' ersetzte, scheint offensichtlich zu sein: Es wäre nicht einfach, Schattierungen oder Schattierungen und 'x' zu verbinden, um disjunktive Informationen darzustellen. Auf diese Weise erhöhte Peirce die Ausdruckskraft des Systems, aber diese Änderung war nicht ohne Kosten.

Das folgende Diagramm stellt beispielsweise den Satz dar: "Entweder sind alle A B und einige A sind B, oder kein A ist B und einige B sind nicht A":

zwei überlappende Kreise mit der Bezeichnung "A" und "B"; Erstens befindet sich innerhalb des nicht überlappenden Abschnitts von Kreis A ein 'o', das durch eine Linie mit einem 'o' innerhalb der Überlappung verbunden ist. zweitens ist auch im nicht überlappenden Abschnitt des Kreises A ein anderes 'o' durch eine Linie mit einem 'x' im nicht überlappenden Abschnitt des Kreises 'B' verbunden; drittens im überlappenden Abschnitt der beiden Kreise sind ein 'x und ein' o 'durch eine Linie verbunden; viertens ein 'x' in dem überlappenden Abschnitt, der durch eine Linie mit einem 'x' in dem nicht überlappenden Abschnitt von Kreis B verbunden ist
zwei überlappende Kreise mit der Bezeichnung "A" und "B"; Erstens befindet sich innerhalb des nicht überlappenden Abschnitts von Kreis A ein 'o', das durch eine Linie mit einem 'o' innerhalb der Überlappung verbunden ist. zweitens ist auch im nicht überlappenden Abschnitt des Kreises A ein anderes 'o' durch eine Linie mit einem 'x' im nicht überlappenden Abschnitt des Kreises 'B' verbunden; drittens im überlappenden Abschnitt der beiden Kreise sind ein 'x und ein' o 'durch eine Linie verbunden; viertens ein 'x' in dem überlappenden Abschnitt, der durch eine Linie mit einem 'x' in dem nicht überlappenden Abschnitt von Kreis B verbunden ist

Das Ablesen dieses Diagramms erfordert mehr als das Ablesen der visuellen Eingrenzung zwischen Kreisen (wie in Euler-Diagrammen) oder Schattierungen (wie in Venn-Diagrammen), erfordert jedoch auch zusätzliche Konventionen zum Lesen von Kombinationen der Symbole 'o', 'x' und Linien. Peirces neue Konventionen erhöhten die Ausdruckskraft einzelner Diagramme, aber die Willkür seiner Konventionen und verwirrenderen Darstellungen (zum Beispiel das obige Diagramm) opferten die visuelle Klarheit, die Eulers ursprüngliches System genießt. An dieser Stelle gesteht Peirce selbst, dass „der Ausdruck, der für die Bedeutung wesentlich ist, sehr komplex ist“(Peirce 1933: 4.365). Als Peirces Revision abgeschlossen war, gingen die meisten ursprünglichen Ideen von Euler zur Visualisierung verloren, mit der Ausnahme, dass ein geometrisches Objekt (der Kreis) zur Darstellung (möglicherweise leerer) Mengen verwendet wird.

Ein weiterer wichtiger Beitrag, den Peirce zum Studium von Diagrammen geleistet hat, beginnt mit der folgenden Bemerkung:

'Regel' wird hier in dem Sinne verwendet, in dem wir von den 'Regeln' der Algebra sprechen; das heißt, als Erlaubnis unter streng definierten Bedingungen. (Peirce 1933: 4,361)

Peirce war wahrscheinlich die erste Person, die Transformationsregeln in einem nicht-sententialen Repräsentationssystem diskutierte. So wie uns die Regeln der Algebra sagen, welche Transformationen von Symbolen erlaubt sind und welche nicht, sollten auch die Regeln der Diagrammmanipulation. Einige der sechs Regeln von Pierce mussten genauer geklärt werden und erwiesen sich als unvollständig - ein Problem, das Peirce selbst erwartet hatte. Noch wichtiger ist jedoch, dass Peirce kein theoretisches Werkzeug hatte - eine klare Unterscheidung zwischen Syntax und Semantik -, um den Leser davon zu überzeugen, dass jede Regel korrekt ist, oder um festzustellen, ob weitere Regeln benötigt werden. Das heißt, seine wichtige Intuition (dass es Transformationsregeln für Diagramme geben könnte) musste noch gerechtfertigt werden.

2.4 Diagramme als formale Systeme

Shin (1994) verfolgt Peirces Arbeit in zwei Richtungen. Eine besteht darin, Peirces Version der Venn-Diagramme zu verbessern, und die andere darin, die Solidität und Vollständigkeit dieses überarbeiteten Systems zu beweisen.

Shins Arbeit verändert Peirces Modifikationen von Venn-Diagrammen, um eine Steigerung der Ausdruckskraft zu erreichen, ohne dass die visuelle Klarheit so stark beeinträchtigt wird. Diese Überarbeitung erfolgt in zwei Schritten: (i) Venn-I: behält Venns Schattierungen (für Leere), Peirces 'x' (für existenziellen Import) und Peirces Verbindungslinie zwischen 'x' (für disjunktive Informationen) bei. (ii) Venn-II: Dieses System, das nachweislich der monadischen Prädikatenlogik logisch äquivalent ist, ist dasselbe wie Venn-I, außer dass eine Verbindungslinie zwischen Diagrammen neu eingeführt wird, um disjunktive Informationen anzuzeigen.

Wenn wir zu einem von Eulers Beispielen zurückkehren, werden wir den Kontrast zwischen diesen verschiedenen Versionen deutlich sehen:

Beispiel 3. Nein A ist B. Einige C ist A. Daher ist etwas C nicht B.

Euler gibt zu, dass kein einzelnes Euler-Diagramm gezeichnet werden kann, um die Prämissen darzustellen, sondern dass drei mögliche Fälle gezeichnet werden müssen. Venns System schweigt über existenzielle Aussagen. Nun repräsentieren die Systeme von Peirce und Shin diese beiden Prämissen in einem einzigen Diagramm wie folgt:

Zwei Diagramme, die beide aus drei überlappenden Kreisen mit den Bezeichnungen "A", "B" und "C" bestehen. Das erste Diagramm mit dem Titel "Peirce" hat in der Überlappung aller drei Kreise ein "x", das mit einem "x" in der Überlappung nur der Kreise A und C verbunden ist. es hat auch in der Überlappung aller drei Kreise ein 'o' und auch ein 'o' in der Überlappung nur der Kreise A und B. Das zweite Diagramm mit dem Titel 'Shin' hat in der Überlappung aller drei Kreise ein 'x 'verbunden mit einem' x 'in der Überlappung nur der Kreise A und C; Die Überlappung von A und B ist schattiert
Zwei Diagramme, die beide aus drei überlappenden Kreisen mit den Bezeichnungen "A", "B" und "C" bestehen. Das erste Diagramm mit dem Titel "Peirce" hat in der Überlappung aller drei Kreise ein "x", das mit einem "x" in der Überlappung nur der Kreise A und C verbunden ist. es hat auch in der Überlappung aller drei Kreise ein 'o' und auch ein 'o' in der Überlappung nur der Kreise A und B. Das zweite Diagramm mit dem Titel 'Shin' hat in der Überlappung aller drei Kreise ein 'x 'verbunden mit einem' x 'in der Überlappung nur der Kreise A und C; Die Überlappung von A und B ist schattiert

Im Fall von Shins Diagramm führt Venns Schattierungskonvention für Leere im Gegensatz zu Peirces 'o' den Leser viel natürlicher zu der Schlussfolgerung „Einige C ist nicht B“als im Fall von Peirces Diagramm.

Venn-I kann jedoch keine disjunktiven Informationen zwischen universellen Aussagen oder zwischen universellen und existenziellen Aussagen ausdrücken. Venn-II behält die Ausdruckskraft von Venn-I bei und ermöglicht die Verbindung von Diagrammen durch eine Linie. Das verwirrend aussehende Diagramm von Peirce oben entspricht dem folgenden Venn-II-Diagramm:

Zwei Rechtecke, die durch eine Linie verbunden sind, die jeweils zwei überlappende Kreise enthält; im ersten Rechteck enthält die Überlappung der beiden Kreise ein 'x' und der nicht überlappende Abschnitt des ersten Kreises ist schattiert; Im zweiten Rechteck ist der Überlappungsabschnitt der beiden Kreise schattiert und im nicht überlappenden Abschnitt des zweiten Kreises befindet sich ein 'x'
Zwei Rechtecke, die durch eine Linie verbunden sind, die jeweils zwei überlappende Kreise enthält; im ersten Rechteck enthält die Überlappung der beiden Kreise ein 'x' und der nicht überlappende Abschnitt des ersten Kreises ist schattiert; Im zweiten Rechteck ist der Überlappungsabschnitt der beiden Kreise schattiert und im nicht überlappenden Abschnitt des zweiten Kreises befindet sich ein 'x'

Zusätzlich zu dieser Überarbeitung präsentierte Shin (1994) jedes dieser beiden Systeme als standardmäßiges formales Repräsentationssystem, das mit einer eigenen Syntax und Semantik ausgestattet ist. Die Syntax sagt uns, welche Diagramme akzeptabel sind, dh welche wohlgeformt sind und welche Manipulationen in jedem System zulässig sind. Die Semantik definiert logische Konsequenzen zwischen Diagrammen. Mit diesen Tools wird nachgewiesen, dass die Systeme solide und vollständig sind, im gleichen Sinne wie einige symbolische Logiken.

Dieser Ansatz hat einige der Annahmen über Repräsentationssysteme vor eine grundlegende Herausforderung gestellt. Seit der Entwicklung der modernen Logik wurden wichtige Konzepte, z. B. Syntax, Semantik, Inferenz, logische Konsequenz, Gültigkeit und Vollständigkeit, nur auf sententiale Repräsentationssysteme angewendet. Es stellte sich jedoch heraus, dass keines davon nur dieser traditionellen symbolischen Logik innewohnt. Für jedes Repräsentationssystem, ob es sentential oder diagrammatisch ist, können wir zwei Ebenen diskutieren, eine syntaktische und eine semantische Ebene. Die Inferenzregeln sagen uns, wie man eine bestimmte Einheit, ob symbolisch oder diagrammatisch, zu einer anderen manipuliert. Die Definition der logischen Konsequenz ist auch frei von jeglicher spezifischen Form eines Repräsentationssystems. Das gleiche Argument gilt für die Soliditäts- und Vollständigkeitsnachweise. Wenn sich ein System als solide erwiesen hat,wir sollten es in Beweisen übernehmen können. Tatsächlich untersuchen viele aktuelle Forschungen die Verwendung von Diagrammen bei der automatisierten Theoremprüfung (siehe Barker-Plummer & Bailin 1997; und Jamnik et al. 1999).

2.5 Euler-Kreise überarbeitet

Es ist interessant und wichtig zu bemerken, dass die allmählichen Änderungen, die von Euler Circles bis zu Shins Systemen vorgenommen wurden, ein gemeinsames Thema haben: sowohl die Ausdruckskraft als auch die logische Kraft des Systems zu erhöhen, damit es solide, vollständig und logisch der monadischen Prädikatenlogik entspricht. Die Hauptrevision von Euler- zu Venn-Diagrammen, die Primärdiagramme einführt, ermöglicht es uns, Teilwissen über die Beziehungen zwischen Mengen darzustellen. Die Erweiterung von Venn auf Peirce-Diagramme erfolgt, damit existenzielle und disjunktive Informationen effektiver dargestellt werden können.

Sowohl Venn als auch Peirce haben dieselbe Lösung gewählt, um diese Verbesserungen zu erzielen: neue syntaktische Objekte einzuführen, dh Schattierungen von Venn und 'x', 'o' und Linien von Peirce. Auf der negativen Seite leiden diese überarbeiteten Systeme jedoch unter einem Verlust der visuellen Klarheit, wie oben dargestellt, hauptsächlich aufgrund der Einführung willkürlicherer Konventionen. Die Modifikationen von Peirce- zu Shin-Diagrammen konzentrieren sich auf die Wiederherstellung der visuellen Klarheit, jedoch ohne Verlust der Ausdruckskraft.

Hammer und Shin gehen einen anderen Weg als diese Revisionen: Eulers homomorphe Beziehung zwischen Kreisen und Mengen wieder aufzunehmen - die Eindämmung zwischen Kreisen stellt die Teilmengenbeziehung zwischen Mengen dar, und die Nichtüberlappung von Regionen stellt die disjunkte Beziehung dar - und gleichzeitig zu übernehmen Venns primäre Diagramme standardmäßig. Andererseits ist dieses überarbeitete Euler-System kein autarkes Werkzeug für das syllogistische Denken, da es keine existenziellen Aussagen darstellen kann. Weitere Einzelheiten zu diesem überarbeiteten System finden Sie in (Hammer & Shin 1998).

Diese Fallstudie wirft eine interessante Frage für die weitere Erforschung des schematischen Denkens auf. Während der verschiedenen Entwicklungen von Euler-Diagrammen scheinen sich die Erhöhung der Ausdruckskraft und die Verbesserung der visuellen Klarheit zu ergänzen. Je nach Zweck müssen wir einander Vorrang einräumen. Das alternative System von Hammer und Shin bietet ein einfaches Modell für die Entwicklung anderer effizienter nicht-sententialer Repräsentationssysteme, ein Thema, das in der Informatik und der Kognitionswissenschaft zunehmend Beachtung gefunden hat.

3. Konsequenzen der räumlichen Eigenschaften von Diagrammen

Während es häufig möglich ist, Diagrammen den gleichen logischen Status wie Formeln (wie oben dargelegt) zu gewähren, gibt es immer noch wichtige Unterschiede (die Auswirkungen auf die Korrektheit des Systems haben können) zwischen Diagrammen und herkömmlichen linearen Beweisberechnungen. Ein wichtiger Punkt bei Diagrammen (vgl. Russell 1923) ist, dass räumliche Beziehungen zwischen Objekten in einem Diagramm verwendet werden können, um Beziehungen zwischen Objekten in einem anderen Bereich darzustellen. Sequentielle Sprachen (z. B. symbolische Logik, natürliche Sprachen) verwenden jedoch nur die Verkettungsbeziehung, um Beziehungen zwischen Objekten darzustellen. Die eigentümliche gegenständliche Verwendung räumlicher Beziehungen bei Diagrammen ist direkt und intuitiv, wie in der obigen Entwicklung von Euler-Diagrammen zu sehen ist, hat aber auch ihre Gefahren - wie wir noch diskutieren werden. Räumliche Einschränkungen, die Diagrammsystemen eigen sind,Es ist zu erwarten, dass dies eine wichtige Quelle sowohl für ihre Stärken als auch für ihre Schwächen ist. Psychologische Überlegungen bezüglich der menschlichen Fähigkeit zur visuellen Verarbeitung von Informationen und der Fähigkeit zum qualitativen räumlichen Denken haben ebenfalls Auswirkungen auf die Wirksamkeit des Denkens mit Diagrammen, aber wir werden sie hier nicht untersuchen.

Ein besonderes Unterscheidungsmerkmal von Diagrammen besteht darin, dass sie aufgrund ihrer Verwendung ebener Flächen als Darstellungsmedium bestimmten „nomischen“oder „intrinsischen“Einschränkungen entsprechen. Die Idee ist, dass sententiale Sprachen auf akustischen Signalen basieren, die sequentieller Natur sind, und daher eine kompensierend komplexe Syntax haben müssen, um bestimmte Beziehungen auszudrücken - während Diagramme, die zweidimensional sind, einige Beziehungen ohne das Eingreifen von anzeigen können eine komplexe Syntax (Stenning & Lemon 2001). Diagramme nutzen diese Möglichkeit - die Verwendung räumlicher Beziehungen zur Darstellung anderer Beziehungen. Die Frage ist; Wie gut können räumliche Beziehungen und Objekte andere (möglicherweise abstraktere) Objekte und Beziehungen darstellen?

Das logische Denken mit Diagrammen wird häufig aufgrund der Darstellung aller möglichen Modelle einer Situation bis zur topologischen Äquivalenz der Diagramme durchgeführt (dies hängt natürlich von dem jeweils verwendeten Diagrammsystem ab). Ein einzelnes Diagramm ist häufig eine Abstraktion über eine Klasse von Situationen, und sobald ein geeignetes Diagramm erstellt wurde, können Schlussfolgerungen einfach ohne weitere Manipulation aus der Darstellung abgelesen werden. In einigen Diagrammsystemen (z. B. Euler-Kreisen) wird die Inferenz durchgeführt, indem Diagramme korrekt erstellt und Informationen daraus abgelesen werden. Die Komplexität der Verwendung von Inferenzregeln in einer symbolischen Logik wird in diesen Fällen durch das Problem des korrekten Zeichnens bestimmter Diagramme ersetzt. [5]Beispielsweise wagt ein Euler-Kreis-Diagramm, Beziehungen zwischen Mengen unter Verwendung topologischer Beziehungen zwischen ebenen Regionen so zu erfassen, dass alle möglichen Möglichkeiten dargestellt werden, wie eine bestimmte Sammlung von satztheoretischen Aussagen wahr sein könnte. Dies hat zwei wichtige Konsequenzen: (1) Wenn ein bestimmtes Diagramm nicht gezeichnet werden kann, muss die beschriebene Situation unmöglich sein (als „Selbstkonsistenz“bezeichnet), und (2) wenn eine bestimmte Beziehung zwischen Diagrammobjekten gezeichnet werden muss, dann die entsprechende Beziehung kann als logisch gültig abgeleitet werden. (Siehe die zahlreichen Beispiele in Abschnitt 2.) Dieses Phänomen wird oft als "Freeride" bezeichnet (Barwise & Shimojima 1995). Diese Art des diagrammatischen Denkens hängt daher von einer bestimmten gegenständlichen Verwendung von Diagrammen ab, die Klassen von Modellen darstellen. Wenn eine bestimmte Klasse von Modellen nicht durch ein Diagrammsystem dargestellt werden kann, werden diese Fälle bei Schlussfolgerungen mit dem System nicht berücksichtigt, und es können falsche Schlussfolgerungen gezogen werden. Diese Tatsache macht die Repräsentationsadäquanz von Diagrammsystemen, die durch ihre räumliche Natur eingeschränkt sind, von größter Bedeutung, wie wir jetzt untersuchen werden.

3.1 Einschränkungen der schematischen Darstellung und Argumentation

Die gegenständliche Verwendung der räumlichen Beziehungen in der Ebene beschränkt die schematische Darstellung und damit das Denken mit Diagrammen auf bestimmte wichtige Arten. Insbesondere gibt es topologische und geometrische (wir wollen sie als „räumlich“zusammenfassen)) Eigenschaften von Diagrammobjekten und -beziehungen, die die Ausdruckskraft von Diagrammsystemen einschränken. Beispielsweise ist in der Graphentheorie bekannt, dass einige einfache Strukturen nicht in der Ebene gezeichnet werden können. Zum Beispiel der Graph K 5ist der Graph, der aus 5 Knoten besteht, die jeweils durch einen Bogen miteinander verbunden sind. Dieser Graph ist nicht planar, was bedeutet, dass er nicht gezeichnet werden kann, ohne dass sich mindestens zwei der Bögen kreuzen. Dies ist genau die Art von Einschränkung für mögliche Diagramme, die die Ausdruckskraft von Diagrammsystemen einschränkt. Da nun diagrammatisches Denken durch Aufzählung aller möglichen Modelle einer Situation auftreten kann, macht diese Unzulänglichkeit der Darstellung (eine Art von Unvollständigkeit) viele diagrammatische Systeme falsch, wenn sie für logisches Denken verwendet werden (siehe z. B. die Kritik von Englebretsen 1992 in Lemon & Pratt 1998).

Das vielleicht einfachste Beispiel hierfür sind Lemon und Pratt [6] (siehe z. B. 1997). Betrachten Sie Euler-Kreise, bei denen konvexe Bereiche der Ebene Mengen darstellen und die Überlappung der Bereiche einen nicht leeren Schnittpunkt der entsprechenden Sätze darstellt. Ein Ergebnis der als Hellys Theorem bekannten konvexen Topologie besagt (für den zweidimensionalen Fall), dass, wenn jedes Tripel von 4 konvexen Regionen einen nicht leeren Schnittpunkt hat, alle vier Regionen einen nicht leeren Schnittpunkt haben müssen.

Betrachten Sie das folgende Problem, um die Auswirkungen zu verstehen:

Beispiel 4. Stellen Sie mit Euler Circles die folgenden Prämissen dar:

  • A ∩ B ∩ C ≠ ≠
  • B ∩ C ∩ D ≠ ≠
  • C ∩ D ∩ A ≠ ≠

Beachten Sie, dass sich aus dieser Prämisse in Bezug auf die Mengenlehre nur triviale Konsequenzen ergeben. Ein Euler-Diagramm der Prämissen wie in Abbildung 5 führt jedoch zu der falschen Schlussfolgerung, dass A ∩ B ∩ C ∩ D ≠ ≠ (aufgrund des vierfachen Überlappungsbereichs in der Mitte des Diagramms):

Vier überlappende Kreise mit den Bezeichnungen "A", "B", "C" und "D"
Vier überlappende Kreise mit den Bezeichnungen "A", "B", "C" und "D"

Abbildung 5: Eine Darstellung der Eulerkreise mit dem Satz von Helly

Mit anderen Worten, ein Benutzer von Euler Circles ist gezwungen [7], eine Beziehung zwischen den Mengen darzustellen, die logisch nicht notwendig ist. Dies bedeutet sowohl, dass es logisch mögliche Situationen gibt, die das System nicht darstellen kann, als auch, dass ein Benutzer falsche Schlussfolgerungen ziehen würde, wenn er sich auf das System als Argumentation verlassen würde. Allgemeiner kann diese Art von Ergebnis für viele verschiedene Arten von Diagrammsystemen generiert werden, abhängig von den besonderen räumlichen Beziehungen und Objekten, die sie in der Darstellung verwenden - ein laufendes Forschungsprogramm.

Zum Beispiel führt die Verwendung nicht konvexer Bereiche (z. B. „Blobs“anstelle von Kreisen) zu einem ähnlichen Problem, nur dass nicht planare Graphen anstelle von Hellys Theorem beteiligt sind. Ein ähnliches Ergebnis betrifft lineare Diagramme für Syllogismen Englebretsen 1992, bei denen Linien zur Darstellung von Mengen verwendet werden, Punkte Individuen darstellen, Punkt-Linien-Schnittmenge die Mengenzugehörigkeit darstellt und Linienschnitt die Mengenschnittstelle darstellt. Auch hier schränken Planaritätsbeschränkungen die Ausdruckskraft des Systems ein und führen zu falschen Schlussfolgerungen.

Atsushi Shimojimas „Constraint-Hypothese“fasst dies vielleicht am besten zusammen:

Repräsentationen sind Objekte in der Welt und als solche gehorchen sie bestimmten strukturellen Einschränkungen, die ihre mögliche Bildung bestimmen. Die Varianz des Inferenzpotentials verschiedener Darstellungsweisen ist größtenteils auf unterschiedliche Arten zurückzuführen, in denen diese strukturellen Einschränkungen für Repräsentationen mit den Einschränkungen für Repräsentationsziele übereinstimmen (Shimojima 1996a, 1999).

3.2 Wirksamkeit von Diagrammen

Wie oben erläutert, wurde ein Großteil des Interesses an Diagrammen durch die Behauptung erzeugt, dass sie für bestimmte Aufgabentypen irgendwie „effektiver“sind als herkömmliche logische Darstellungen. Natürlich ist eine Karte beispielsweise eine größere Navigationshilfe als eine verbale Beschreibung einer Landschaft. Obwohl die Verwendung von Diagrammen sicherlich psychologische Vorteile mit sich bringt, sind sie (wie im Fall von Eulerkreisen) als Darstellungen abstrakter Objekte und Beziehungen häufig unwirksam. Einst eine rein intuitive Vorstellung, können nicht-psychologische Behauptungen über die „Wirksamkeit“von Diagrammsystemen im Hinblick auf formale Standardeigenschaften von Sprachen untersucht werden (Lemon et al. 1999). Insbesondere sind viele Diagrammsysteme selbstkonsistent, falsch und unvollständig, und die Komplexität der Inferenz mit den Diagrammen ist NP-schwer. Im Gegensatz dazu sind die meisten sententialen Logiken zwar in der Lage, Inkonsistenzen auszudrücken, aber vollständig und korrekt[8].

Wenn wir jedoch keine Widersprüche darstellen können, können wir interessante Einblicke in die Natur der schematischen Darstellung erhalten. Wenn ein zentrales Ziel einer Sprache darin besteht, die Welt oder einen Sachverhalt darzustellen, wird die Darstellung von Widersprüchen oder Tautologien in Frage gestellt. Weder Widersprüche noch Tautologien sind Teil der Welt. Wie können wir ein Bild von dem Widerspruch zeichnen oder ein Bild machen, dass „es regnet und es nicht regnet“? Wie wäre es mit dem Bild der disjunktiven Information „es regnet oder regnet nicht“? Jetzt scheinen wir Wittgensteins klassischer Bildtheorie der Sprache (Wittgenstein 1921) viel näher zu sein.

4. Diagrammatische Systeme in der Geometrie

Mathematiker haben Diagramme ausgiebig verwendet und verwenden sie weiterhin. Die Kommunikation von mathematischen Konzepten und Beweisen - in Lehrbüchern auf Tafeln - ist nicht einheitlich sentential. Abbildungen und Bilder sind üblich. In Übereinstimmung mit der vorherrschenden Auffassung von Logik als im Wesentlichen sentential wird jedoch normalerweise nicht angenommen, dass sie eine Rolle beim strengen mathematischen Denken spielen. Ihre Verwendung beschränkt sich auf die Verbesserung des Verständnisses eines Beweises. Es wird normalerweise nicht angenommen, dass sie einen Teil des Beweises selbst bilden.

Die Haltung wird durch die Standardbewertung der Euklid-Methodik in den Elementen gut veranschaulicht. In keinem mathematischen Fach sind Diagramme prominenter als in der Elementargeometrie, die Euklid im Text entwickelt. Die Beweise des Subjekts scheinen in gewissem Sinne die Diagramme von Dreiecken und Kreisen zu sein, die mit ihnen erscheinen. Dies ist insbesondere bei den geometrischen Proofs der Elemente der Fall. Diagramme für Euklid dienen nicht nur der Veranschaulichung. Einige seiner Inferenzschritte hängen von einem entsprechend konstruierten Diagramm ab. In der Standardgeschichte weisen diese Schritte auf Lücken in Euklids Beweisen hin. Sie zeigen, wie Euklid das Projekt der axiomatischen Entwicklung der Geometrie nicht vollständig durchgeführt hat.

Ken Manders machte sich daran, diese Geschichte mit seiner wegweisenden Arbeit „The Euclidean Diagram“(2008 [1995]) zu explodieren. Seine Analyse der schematischen Beweismethode von Euclid zeigt, dass Euclid Diagramme auf kontrollierte, systematische Weise verwendet. Es stellt somit die gemeinsame negative Bewertung der Strenge der Elemente in Frage. Darüber hinaus legen die Besonderheiten der Manders-Analyse nahe, dass die Beweise des Textes so verstanden werden können, dass sie einer formalen schematischen Logik entsprechen. Dies wurde später durch die Entwicklung formaler Diagrammsysteme zur Charakterisierung einer solchen Logik bestätigt. Die erste davon war FG (vorgestellt in Miller 2007), gefolgt vom System Eu (Mumma 2010).

Dieser Abschnitt befasst sich mit der Erläuterung der Manders-Analyse und der daraus resultierenden formalen Systeme. Nach einem kurzen Überblick darüber, wie Euklids Diagramme im Laufe der Jahrhunderte betrachtet wurden, wird Manders 'Bild ihrer Rolle in geometrischen Beweisen präsentiert. Es folgt eine Beschreibung, wie die Systeme FG und Eu dieses Bild formal wiedergeben und eine Logik euklidischer Diagramme charakterisieren.

4.1 Die Ansichten über Euklids Diagramme von 4 th Jahrhundert BCE zum 20 - ten Jahrhundert CE

Die elementare Geometrie der Elemente wurde im antiken Griechenland bis 19 grundlegend für Mathematik von Anfang an seine genommen ten Jahrhundert. Dementsprechend sahen sich Philosophen, die sich mit der Natur der Mathematik befassten, gezwungen, die schematischen Beweise des Textes zu kommentieren. Ein zentrales Thema, wenn nicht das zentrale Thema, war das Allgemeinheitsproblem. Das Diagramm, das mit einem euklidischen Beweis angezeigt wird, bietet eine einzige Instanziierung der Art der geometrischen Konfigurationen, um die es beim Beweis geht. Die im Diagramm gezeigten Eigenschaften gelten jedoch für alle Konfigurationen des angegebenen Typs. Was rechtfertigt diesen Sprung vom Besonderen zum Allgemeinen?

Betrachten Sie zur Veranschaulichung den Beweis für Satz 16 von Buch I der Elemente.

Der Satz lautet:

Wenn in einem Dreieck eine der Seiten erzeugt wird, ist der Außenwinkel größer als der Innen- und der Gegenwinkel.

Euklids Beweis ist:

Ein Dreieck ABC mit dem Segment BC bis zum Punkt D und einer Linie BF, die das Segment AC schneidet
Ein Dreieck ABC mit dem Segment BC bis zum Punkt D und einer Linie BF, die das Segment AC schneidet
  • Sei ABC ein Dreieck und sei eine Seite davon BC zu D erzeugt;
  • Ich sage, dass der Winkel ACD größer ist als der innere und entgegengesetzte Winkel BAC.
  • Sei AC bei E [I, 10] halbiert und sei BE verbunden und in einer geraden Linie zu F erzeugt;
  • sei EF gleich BE [I, 3] und sei FC verbunden.
  • Da dann AE gleich EC und BE gleich EF ist, sind die beiden Seiten AE, EB gleich den beiden Seiten CE bzw. EF; und der Winkel AEB ist gleich dem Winkel FEC [I, 15].
  • Daher ist die Basis AB gleich der Basis FC und das Dreieck ABE ist gleich dem Dreieck CFE [I, 4], daher ist der Winkel BAE gleich dem Winkel ECF (der auch der Winkel ACF ist);
  • Der Winkel ACD ist jedoch größer als der Winkel ACF;
  • Daher ist der Winkel ACD größer als BAE.

Der Beweis scheint sich auf die Teile des Diagramms zu beziehen, die mit dem Beweis angegeben sind. Trotzdem soll der Beweis nicht nur etwas über das Dreieck im Diagramm sagen, sondern etwas über alle Dreiecke. Das Diagramm dient somit dazu, auf irgendeine Weise alle Dreiecke darzustellen.

Die Rolle von Diagrammen als Darstellungen wird von Aristoteles in Buch A, Kapitel 10 der Posterior Analytics, erwähnt:

Das Geometer stützt sich nicht auf die von ihm beschriebene Linie, sondern auf das, was in den Abbildungen dargestellt ist. (Die Übersetzung stammt von T. Heath, gefunden in Euklid 1956: Bd. I, S.119)

Aristoteles stellt sich im Vorbeigehen nicht der Frage, wie das Geometer Diagramme verwendet, um über das nachzudenken, was sie veranschaulichen. Einige Jahrhunderte später macht Proclus in seinem Kommentar zu den Elementen. Proclus behauptet, dass der Übergang von einer bestimmten Instanz zu einer universellen Schlussfolgerung aufgrund von Geometern gerechtfertigt ist

… Verwenden Sie die im Diagramm dargestellten Objekte nicht als diese besonderen Figuren, sondern als Figuren, die anderen der gleichen Art ähneln. Es ist nicht so und so groß, dass der Winkel vor mir halbiert wird, sondern als geradlinig und nichts weiter … Angenommen, der gegebene Winkel ist ein rechter Winkel … wenn ich seine Richtigkeit nicht nutze und nur seine geradlinige betrachte Charakter, gilt der Satz gleichermaßen für alle Winkel mit geradlinigen Seiten. (Ein Kommentar zum ersten Buch der Euklidischen Elemente, Morrow 1970: 207))

Der Platz von Diagrammen in der Geometrie blieb bis in die frühe Neuzeit ein Thema. Die wichtigste philosophische Figuren in den 17. - te und 18 - ten Jahrhundert vorgeschobene Positionen auf sie. Leibniz antizipiert die vorherrschende moderne Sichtweise und behauptet:

… Es sind nicht die Zahlen, die den Beweis mit Geometern liefern, obwohl der Stil der Ausstellung Sie dazu bringen könnte, dies zu glauben. Die Kraft der Demonstration ist unabhängig von der gezeichneten Figur, die nur gezeichnet wird, um die Kenntnis unserer Bedeutung zu erleichtern und die Aufmerksamkeit zu lenken. Es sind die universellen Sätze, dh die bereits aufgezeigten Definitionen, Axiome und Theoreme, die die Argumentation begründen und die sie stützen würden, obwohl die Figur nicht da wäre. (1704 New Essays: 403)

In der Einleitung zu seinen Prinzipien des menschlichen Wissens (1710, Abschnitt 16) bekräftigt Berkeley 13 Jahrhunderte später, dass Proclus das Problem der Allgemeinheit aufgreift. Obwohl man beim Durcharbeiten einer Demonstration über Dreiecke immer ein bestimmtes Dreieck "im Blick" hat, werden die besonderen Details des bestimmten Dreiecks in der Demonstration "nicht im geringsten erwähnt". Die Demonstration beweist somit laut Berkeley einen allgemeinen Satz über Dreiecke.

Die am weitesten entwickelte und vorhersehbar komplexeste und schwierigste Darstellung geometrischer Diagramme in der Neuzeit findet sich in Kant. Kant sah etwas von tiefer erkenntnistheoretischer Bedeutung in der Verwendung eines bestimmten Diagramms durch das Geometer, um über ein geometrisches Konzept nachzudenken. In dieser Argumentation das Geometer

betrachtet den Begriff in concreto, wenn auch nicht empirisch, sondern nur als einen, den er a priori gezeigt hat, dh konstruiert, und in dem das, was sich aus den allgemeinen Bedingungen der Konstruktion ergibt, auch allgemein vom Gegenstand des konstruierten Konzepts sein muss. (1781, Kritik der reinen Vernunft, A716 / B744.)

Für kontrastierende Ansichten darüber, welche Passagen wie diese zeigen, wo Diagramme in Kants Philosophie der Geometrie passen, siehe Shabel 2003 und Friedman 2012.

Im 19. th Jahrhundert Geometrie und Mathematik als Ganzes unterzog sich eine Revolution. Es entstanden Konzepte, die weitaus abstrakter und allgemeiner sind als die in den Elementen gefundenen (z. B. nichteuklidische Geometrien, Mengen). Fragen nach der Natur der Diagrammmethode von Euklid verloren nicht nur ihre Dringlichkeit, die Methode wurde auch als mathematisch fehlerhaft verstanden. Die letztere Ansicht fand ihren genauesten Ausdruck in der bahnbrechenden Arbeit von Moritz Pasch, der in Pasch (1882) die erste moderne Axiomatisierung der Elementargeometrie lieferte. Darin zeigte Pasch, wie das Thema ohne Bezugnahme auf Diagramme oder sogar auf die instanziierten geometrischen Konzepte entwickelt werden kann. Die methodische Norm, die die Arbeit leitet, kommt in der folgenden oft zitierten Passage gut zum Ausdruck:

Wenn die Geometrie wirklich deduktiv ist, muss der Ableitungsprozess in jeder Hinsicht unabhängig vom Sinn der geometrischen Konzepte sein, ebenso wie er unabhängig von den Figuren sein muss. es sollten nur die Beziehungen berücksichtigt werden, die zwischen den in den betreffenden Sätzen (bzw. Definitionen) verwendeten geometrischen Konzepten dargelegt sind. (Pasch 1882: 98; Hervorhebung im Original. Die Übersetzung hier stammt aus Schlimm 2010)

Die Norm hat sich seitdem sowohl in der Mathematik als auch in den philosophischen Diskussionen der Mathematik verankert. Es ist seine Verankerung in letzterem, die Manders in Manders 2008 [1995] ablehnt. In dem Bericht, den er über die alte Geometrie entwickelt, weist die Notwendigkeit, ein Diagramm in einem Beweis zu konsultieren, nicht auf eine deduktive Lücke hin. Vielmehr bilden Diagramm und Text zusammen einen strengen und deduktiven mathematischen Beweis.

4.2 Manders exakte / co-exakte Unterscheidung und das Allgemeinheitsproblem

4.2.1 Die genaue / ko-genaue Unterscheidung

Um die Arbeitsteilung zwischen Text und Diagramm in der alten Geometrie zu erklären, unterscheidet Manders in Manders 2008 [1995] zwischen den exakten und co-exakten Eigenschaften von geometrischen Diagrammen. Der Unterscheidung liegt ein Variationsbegriff zugrunde. Die durch ein Diagramm realisierten ko-exakten Bedingungen sind diejenigen Bedingungen, die von einem Bereich jeder kontinuierlichen Variation eines bestimmten Diagramms nicht beeinflusst werden. Genaue Bedingungen werden dagegen beeinflusst, sobald das Diagramm der geringsten Abweichung unterliegt. Grob gesagt umfassen die co-exakten Eigenschaften eines Diagramms die Art und Weise, wie seine Teile eine endliche Menge planarer Regionen definieren, und die Eindämmungsbeziehungen zwischen diesen Regionen. Eine herausragende exakte Beziehung ist die Gleichheit zweier Größen innerhalb eines Diagramms. Beispielsweise,Nur die geringste Änderung der Position von CF im Diagramm für Satz 16 ist erforderlich, um die Winkel BAE und ECF ungleich zu machen.

Manders wichtigste Beobachtung ist, dass die Diagramme von Euklid nur durch ihre ko-exakten Eigenschaften zu Beweisen beitragen. Euklid leitet niemals eine exakte Eigenschaft aus einem Diagramm ab, es sei denn, es folgt direkt aus einer co-exakten Eigenschaft. Beziehungen zwischen Größen, die nicht als Containment dargestellt werden, werden entweder von Anfang an angenommen oder über eine Kette von Schlussfolgerungen im Text bewiesen. Dies kann leicht mit dem Beweis von Satz 16 bestätigt werden. Die eine Folgerung, die sich auf das Diagramm stützt, ist die vorletzte Folgerung des Beweises. Die Folgerung ist insbesondere, dass der Winkel ACD größer als der Winkel ACF ist. Dies basiert entscheidend darauf, dass aus dem Diagramm ersichtlich ist, dass der Winkel ACD den Winkel ACF enthält. Es gibt viele andere Beziehungen, von denen behauptet wird, dass sie im Beweis enthalten sind. Obwohl das Diagramm sie instanziiert, sind sie im Text ausdrücklich gerechtfertigt. Und mit diesen Beziehungen,Die Relata sind räumlich getrennte Größen.

Es ist nicht schwer zu vermuten, warum Euklid sich so eingeschränkt hätte. Nur in ihrer Fähigkeit, ko-exakte Eigenschaften und Beziehungen darzustellen, scheinen Diagramme in der Lage zu sein, effektiv als Beweissymbole zu fungieren. Die genauen Eigenschaften von Diagrammen sind zu verfeinert, um leicht reproduzierbar zu sein und bestimmte Beurteilungen zu unterstützen. Wie Manders es ausdrückt

Die Praxis verfügt über Ressourcen, um das Risiko von Meinungsverschiedenheiten über (explizite) ko-exakte Zuschreibungen aus einem Diagramm zu begrenzen. aber es fehlen solche Ressourcen für genaue Zuschreibungen und könnten sie daher nicht zulassen, ohne sich in eine Unordnung von unlösbar widersprüchlichen Urteilen aufzulösen. (Manders 2008 [1995]: 91–92)

Die Erkenntnisse von Manders führen natürlich zu der Idee, dass Euklids Argumente auf ähnliche Weise formalisiert werden könnten wie Venn-Diagramme in Shin 1994. Die von Euklids Diagrammen enthaltenen genauen Informationen sind diskret. Wenn ein Diagramm für diese Informationen herangezogen wird, ist es wichtig, wie seine Linien und Kreise eine begrenzte planare Region in eine endliche Menge von Unterregionen unterteilen. Dies öffnet die Tür zur Konzeptualisierung der Euklid-Diagramme als Teil der Syntax der Euklid-Beweismethode.

4.2.2 Das Allgemeinheitsproblem mit Euklids Konstruktionen

Die Verwirklichung dieser Konzeption in einem formalen Beweissystem führt wie in Shin 1994 dazu, die Syntax und Semantik von Diagrammen zu spezifizieren. Auf der syntaktischen Seite bedeutet dies, Euklids Diagramme genau als formale Objekte zu definieren und Regeln anzugeben, nach denen Diagramme als formale Objektfiguren in Ableitungen von Euklids Aussagen dargestellt werden. Auf der semantischen Seite bedeutet dies, anzugeben, wie ableitbare Ausdrücke geometrisch zu interpretieren sind, oder mit anderen Worten, wie genau sie als Repräsentation von Euklids Aussagen zu verstehen sind.

Die semantische Situation bei Euklids Diagrammen unterscheidet sich daher von der bei Venn. Venn-Diagramme dienen zum Nachweis logischer Ergebnisse. Die mit ihnen gemachten Schlussfolgerungen sind themenneutral. Euklids Diagramme werden dagegen verwendet, um geometrische Ergebnisse zu beweisen. Die damit gemachten Schlussfolgerungen sind themenspezifisch. Insbesondere obwohl die Objekte der ebenen euklidischen Geometrie abstrakt sind (z. B. sind geometrische Linien breitelos), sind sie dennoch räumlich. Folglich treten bei Euklid-Diagrammen keine Probleme hinsichtlich der Räumlichkeit von Diagrammen und des Darstellungsumfangs auf, wie dies beispielsweise bei Euler-Diagrammen der Fall ist. Tatsächlich zählt bei der Geometrie die Räumlichkeit von Diagrammen zu ihren Gunsten. Räumliche Einschränkungen dessen, was mit geometrischen Konfigurationen möglich ist, gelten auch für räumliche euklidische Diagramme.

Dennoch gibt es, wie im philosophischen Kommentar zur Euklidischen Geometrie seit der Antike anerkannt, mit euklidischen Diagrammen Fragen des Repräsentationsumfangs zu bewältigen. Was ist die Rechtfertigung für die Behandlung der Eigenschaften eines einzelnen geometrischen Diagramms als repräsentativ für alle Konfigurationen im Bereich eines Beweises? Wie kann ein einzelnes Diagramm ein allgemeines Ergebnis beweisen? Die genaue / ko-exakte Unterscheidung von Manders bildet die Grundlage für eine teilweise Antwort. Die co-exakten Eigenschaften eines Diagramms können von allen geometrischen Konfigurationen im Bereich eines Beweises gemeinsam genutzt werden. In solchen Fällen ist es daher gerechtfertigt, die co-exakten Eigenschaften aus dem Diagramm abzulesen. Bei einem Beweis über Dreiecke ist beispielsweise eine Variation zwischen den Konfigurationen im Bereich des Beweises eine Variation der exakten Eigenschaften, z. B. das Maß der Winkel der Dreiecke.die Verhältnisse zwischen ihren Seiten. Sie haben alle die gleichen ko-exakten Eigenschaften, dh sie bestehen alle aus drei begrenzten linearen Bereichen, die zusammen eine Fläche definieren.

Dies ist keine vollständige Antwort, da die Proofs von Euclid normalerweise Konstruktionen für einen anfänglichen Konfigurationstyp umfassen. Mit dem Beweis von Satz 16 wird beispielsweise eine Konstruktion auf einem Dreieck mit einer verlängerten Seite spezifiziert. In solchen Fällen kann ein Diagramm die co-exakten Eigenschaften einer Anfangskonfiguration angemessen darstellen. Es kann jedoch nicht davon ausgegangen werden, dass das Ergebnis der Anwendung der Konstruktion eines Beweises auf das Diagramm die exakten Eigenschaften aller aus der Konstruktion resultierenden Konfigurationen darstellt. Man muss keine komplexen geometrischen Situationen berücksichtigen, um dies zu sehen. Angenommen, der anfängliche Konfigurationstyp eines Proofs ist Dreieck. Dann das Diagramm

ein Dreieck (ein spitzes Dreieck)
ein Dreieck (ein spitzes Dreieck)

dient zur Darstellung der exakten Eigenschaften dieses Typs. Nehmen wir weiter an, dass der erste Schritt der Konstruktion eines Beweises darin besteht, die Senkrechte von einem Scheitelpunkt des Dreiecks auf die Linie fallen zu lassen, die die dem Scheitelpunkt gegenüberliegende Seite enthält. Dann das Ergebnis dieser Ausführung auf dem Diagramm

das gleiche Dreieck wie das vorherige Bild mit einer Senkrechten, die von einem Scheitelpunkt abfällt
das gleiche Dreieck wie das vorherige Bild mit einer Senkrechten, die von einem Scheitelpunkt abfällt

hört auf, repräsentativ zu sein. Dass die Senkrechte in das Dreieck im Diagramm fällt, ist ein genaues Merkmal davon. Es gibt jedoch Dreiecke mit exakten Eigenschaften, die sich vom ursprünglichen Diagramm unterscheiden. Wenn der Konstruktionsschritt angewendet wird, liegt eine Senkrechte außerhalb des Dreiecks. Zum Beispiel mit dem Dreieck

Ein stumpfes Dreieck
Ein stumpfes Dreieck

Das Ergebnis der Anwendung des Konstruktionsschritts ist

Ein stumpfes Triange mit einer Senkrechten, die von einem der spitzen Winkel zur Ausdehnung der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks abfällt
Ein stumpfes Triange mit einer Senkrechten, die von einem der spitzen Winkel zur Ausdehnung der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks abfällt

4.3 Die formalen Systeme FG und Eu

Das Ausführen einer euklidischen Konstruktion in einem repräsentativen Diagramm kann daher zu einem nicht repräsentativen Diagramm führen. Eine zentrale Aufgabe bei der Formalisierung von Euklids schematischen Beweisen besteht darin, dies zu berücksichtigen, dh mit ihren Regeln eine Methode zur Unterscheidung allgemeiner ko-exakter Merkmale von nicht allgemeinen Merkmalen in schematischen Darstellungen von Konstruktionen bereitzustellen. Die Systeme FG und Eu verfolgen bei dieser Aufgabe zwei unterschiedliche Ansätze.

Unter Verwendung der Methode von FG muss jeder Fall, der sich aus der Konstruktion ergeben könnte, mit einem Diagramm erstellt werden. Eine allgemeine ko-exakte Beziehung der Konstruktion ist dann eine, die in jedem Fall auftritt. Die Forderung von FG, dass jeder Fall produziert wird, wäre natürlich von geringem Interesse, wenn es nicht auch eine Methode zur Herstellung aller Fälle gäbe. Die Methode, die FG bereitstellt, hängt davon ab, dass Linien und Kreise in den Diagrammen des Systems rein topologisch definiert sind. Ihre daraus resultierende Flexibilität ermöglicht es, eine allgemeine Methode zur Generierung von Fällen in einem Computerprogramm zu formulieren und zu implementieren. [9]

Die Linien und Kreise von EU- Diagrammen sind nicht ähnlich flexibel. Dementsprechend kann es das Allgemeinheitsproblem nicht wie FG durch Fallanalyse lösen. Die zentrale Idee seines Ansatzes besteht darin, dass Diagramme von Anfang an Teilinformationen enthalten können. Innerhalb einer EU- Ableitung hat das durch die Konstruktion eines Beweises erzeugte Diagramm einen Anfangsinhalt, der aus allen qualitativen Beziehungen des Anfangsdiagramms des Beweises besteht. Die qualitativen Beziehungen zu Objekten, die durch die Konstruktion hinzugefügt wurden, können nicht sofort aus dem Diagramm abgelesen werden. Diejenigen, die aus dem Diagramm abgelesen werden können, müssen von den Systemregeln abgeleitet werden. [10]

Die Unterschiede zwischen den FG- und Eu- Ansätzen zur Formalisierung der Euklid-Konstruktionen können so verstanden werden, dass sie unterschiedliche allgemeine Vorstellungen von der Rolle von Diagrammen in der Mathematik darstellen. FG verkörpert eine Konzeption, bei der Diagramme eine Reihe mathematischer Möglichkeiten konkret realisieren. Sie unterstützen die mathematische Folgerung, indem sie direkten Zugang zu diesen Möglichkeiten bieten. Im Gegensatz dazu verkörpert Eu eine Konzeption, bei der Diagramme dazu dienen, die verschiedenen Komponenten einer komplexen mathematischen Situation in einem einzigen Symbol darzustellen. Sie unterstützen die mathematische Folgerung, indem sie es dem mathematischen Denker ermöglichen, alle diese Komponenten an einem Ort zu betrachten und sich auf die für einen Beweis relevanten Komponenten zu konzentrieren.

5. Diagramme und Erkenntnisse, Anwendungen

Trotz der formalen Einschränkungen einiger oben erwähnter Diagrammsysteme werden derzeit viele verschiedene Systeme in einer Vielzahl von Kontexten verwendet. Logikunterricht, automatisiertes Denken, Spezifizieren von Computerprogrammen, Denken über Situationen in der Physik, grafische Benutzeroberflächen zu Computerprogrammen und so weiter. Im Allgemeinen ist noch nicht bekannt, wie effektiv (im obigen Sinne) viele dieser Diagrammsysteme sind. Wir geben nun einen kurzen Überblick über andere Diagrammsysteme und ihre Verwendung sowie über die philosophischeren Fragen, die durch die Debatte über den Status des Diagrammdenkens aufgeworfen wurden.

5.1 Einige andere Diagrammsysteme

Es ist erwähnenswert, dass viele Mathematiker und Philosophen Diagrammsysteme vorgeschlagen haben, oft mit einer didaktischen Motivation. Einige Systeme, wie Lewis Carrolls in "The Game of Logic" (1896), sind Varianten der Vorschläge von Euler und Venn. Andere, wie Frege (1879), verwendeten eher Linien als ebene Regionen. (Eine Beschreibung der Notation von Frege finden Sie im Abschnitt über komplexe Aussagen und Allgemeingültigkeit im Eintrag zu Gottlob Frege. Siehe auch Englebretsen 1992.) Carrolls System ersetzt Venns insofern, als die Komplemente von Mengen explizit als Bereiche des Diagramms dargestellt werden und nicht bleibt als Hintergrundbereich übrig, vor dem die Kreise erscheinen. Dies bedeutet, dass das Carroll-System Rückschlüsse auf die Beziehungen zwischen Komplementen von Eigenschaften ziehen kann, auf Kosten der Darstellung einiger Eigenschaften als disjunkt (dhnicht verbundene) Regionen. Diese Verschiebung spiegelt die Verschiebung der Logik von der Subjekt-Prädikat-Argumentation zu einer Funktionsargument-Darstellung wider (Stenning 1999).

Peirce, ein Begründer der modernen quantifizierten Logik, erfand auch ein grafisches System namens Existential Graphs, das logisch der Prädikatenlogik entspricht. Neben Don Roberts Pionierarbeit zu Existenzgraphen und John Sowas kreativer Anwendung von Peirces Graphen lieferte kürzlich eine Gruppe von Diagrammforschern vielfältigere Ansätze für Existenzgraphen in einem breiteren theoretischen Kontext (Shin 2003).

Zu einem praktischeren Thema diskutieren KI-Forscher, deren Hauptanliegen neben ihrer Ausdruckskraft die heuristische Kraft von Repräsentationssystemen ist, seit Jahrzehnten über verschiedene Formen der Repräsentation (Sloman 1971, 1985, 1995). Daher haben sie Diskussionen über die besondere Rolle des visuellen Denkens begrüßt und kürzlich auf AI-Konferenzen interdisziplinäre Symposien zum diagrammatischen Denken veranstaltet. [11] Gleichzeitig haben einige KI-Forscher und Designtheoretiker erkannt, dass Menschen je nach Art der Probleme unterschiedliche Darstellungsformen annehmen, und dabei domänenspezifische Ansätze zur Einführung problemspezifischer Darstellungsformen praktiziert. [12]

Zum Beispiel erfand Harel (1988) Higraphen, um Systemspezifikationen in der Informatik darzustellen. Diese Idee wurde in industriellen Anwendungen aufgegriffen (z. B. UML in Booch et al. 1998). Barker-Plummer & Bailin (1997) präsentieren eine Fallstudie zur Entwicklung von Computern, die die Art von analogem Denken ausführen kann, die Menschen beim Beweis bestimmter mathematischer Theoreme ausführen. In jüngerer Zeit präsentierte Mateja Jamnik von Alan Bundys Mathematical Reasoning Group in Edinburgh ein interessantes Ergebnis (Jamnik 2001). Jamnik zeigt, wie ein halbautomatisches formales Beweissystem einige der Wahrnehmungsinferenzen ausführen kann, die Menschen so natürlich finden. Zum Beispiel kann man leicht erkennen, dass die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen n im Quadrat ist, indem ein n × n-Gitter in „ells“zerlegt wird (Jamnik et al. 1999).

Wissenschaftler der University of Brighton haben interessante Projekte sowohl zur Entwicklung von Diagrammsystemen als auch zur Anwendung visueller Tools in der Softwareentwicklung durchgeführt (siehe Link im Abschnitt Andere Internetressourcen).

Es sollte auch erwähnt werden, dass Wissenschaftler wie Chemiker und Physiker auch Diagramme verwenden, um bestimmte Berechnungen durchzuführen. Feynman-Diagramme werden beispielsweise verwendet, um Berechnungen in der subatomaren Physik durchzuführen. In jüngerer Zeit wurde ein formales Diagramm für die Quantentheorie entwickelt (Coecke & Kissinger 2017). In der Knotentheorie (die Anwendungen in der Physik hat, Kauffman 1991) sind die drei Reidemeister-Bewegungen schematische Operationen, die einen vollständigen Kalkül zum Nachweis des Knotenäquivalents bilden. Es überrascht nicht, dass Knotendiagramme das Interesse von Forschern geweckt haben (De Toffoli & Giardino 2014). Die entscheidende Rolle von Diagrammen und schematischem Denken in der abstrakten Mathematik der Kategorietheorie wurde ebenfalls untersucht (Halimi 2012; De Toffoli 2017).

5.2 Diagramme als mentale Repräsentationen

Haben unsere mentalen Repräsentationen diagrammartige oder bildartige Entitäten als Komponenten? Diese Frage hat sowohl in der Philosophie als auch in der Psychologie eine lange Geschichte, unabhängig voneinander. In jüngerer Zeit haben jedoch einige Philosophen an dieser „Bilddebatte“teilgenommen, einer der traditionsreichsten Kontroversen in der Psychologie, und einige kognitive Psychologen finden bestimmte erkenntnistheoretische Theorien in der Philosophie nützlich, um ihre Ansichten zu diesem Thema zu stützen.

Die Natur der mentalen Repräsentation war eines der beständigen Themen in der Philosophie, und wir können philosophische Diskussionen über Bilder und mentale Repräsentation leicht bis in die Antike zurückverfolgen. [13]Die Schriften von Hobbes, Locke, Berkeley und Hume befassen sich größtenteils mit dem mentalen Diskurs, der Bedeutung von Wörtern, mentalen Bildern, bestimmten Ideen, abstrakten Ideen, Eindrücken und so weiter. Descartes 'bekannte Unterscheidung zwischen Vorstellen und Vorstellen von etwas hat viele Diskussionen über die einzigartige Rolle visueller Bilder in mentalen Repräsentationen ausgelöst. Die Entwicklung der Kognitionswissenschaft im 20. Jahrhundert hat natürlich eine bestimmte Gruppe von Philosophen und Psychologen näher gebracht, und wir finden eine Reihe von Autoren, deren Werke leicht zu beiden Disziplinen gehören (Block 1983; Dennett 1981; Fodor 1981).

Bilder, die auf Selbstbeobachtung basierten, standen im Mittelpunkt der frühen Entwicklung der Psychologie, bis der verhaltensorientierte Ansatz in der Disziplin vorherrschte. In der Ära des Behaviorismus wurde alles, was mit geistiger Inspektion zu tun hatte, einschließlich Bilder, von jeder ernsthaften Forschungsagenda ausgeschlossen. Als das Thema der mentalen Bilder in den 1960er Jahren in der Psychologie ein Comeback erlebte, verabschiedeten die Forscher eine bescheidenere Agenda für mentale Bilder als zuvor: Nicht alle mentalen Repräsentationen beinhalten Bilder, und Bilder sind eine von vielen Möglichkeiten, Informationen im Geist zu manipulieren. Dank des Einflusses des Behaviorismus wird auch anerkannt, dass Introspektion nicht ausreicht, um Bilder zu untersuchen, aber eine Behauptung über mentale Bilder muss durch Experimente bestätigt werden können, um zu zeigen, dass wir mentale Ereignisse erfolgreich externalisieren. Das ist,Wenn das, was uns eine bestimmte mentale Selbstbeobachtung sagt, echt ist, dann gibt es beobachtbare äußere Konsequenzen dieses mentalen Zustands.

In der zeitgenössischen Bilddebatte unter Kognitionswissenschaftlern geht es daher um die Behauptung, dass bildähnliche Bilder als mentale Repräsentationen existieren, und darum, wie wir bestimmte Experimente interpretieren. [14]

Kosslyn (1980, 1994) und andere Bildhauer (Shepard & Metzler 1971) präsentieren experimentelle Daten, um ihre Position zu untermauern, dass einige unserer mentalen Bilder eher Bildern als einer linearen Form der Sprache (zum Beispiel natürliche Sprachen oder künstliche symbolische Sprachen) ähneln Einige wichtige Aspekte, auch wenn nicht alle visuellen mentalen Bilder und Bilder genau gleich sind. Im Gegensatz dazu werfen Pylyshyn (1981) und andere Deskriptionalisten (Dennett 1981) Fragen zum bildähnlichen Status von mentalen Bildern auf und argumentieren, dass mentale Bilder aus strukturierten Beschreibungen gebildet werden. Für sie repräsentieren mentale Bilder eher die Art der Sprache als Bilder, und daher gibt es keine bildähnlichen visuellen mentalen Bilder.

Beide Seiten der Debatte verwendeten manchmal eine philosophische Theorie als unterstützenden Faktor. Zum Beispiel fanden Bildhauer in der Bilddebatte die moderne Sinnesdatentheorie in der Philosophie ziemlich nah an ihrem Standpunkt. Aus dem gleichen Grund argumentierten die Kritiker der Sinnesdatentheorie, dass die falsche Bildansicht von mentalen Bildern hauptsächlich aus unserer Verwirrung über die gewöhnliche Sprache herrührt, und behaupteten, dass mentale Bilder Epiphänomene sind.

5.3 Die kognitive Rolle von Diagrammen

Ohne stark in die Bilddebatte involviert zu sein, haben sich einige Forscher auf eine bestimmte Rolle konzentriert, die Diagramme oder Bilder - im Gegensatz zu traditionellen sententialen Formen - bei unseren kognitiven Aktivitäten spielen. (Shin 2015; Hamami & J. Mumma 2013) Basierend auf den Vermutungen, dass Menschen in ihren Überlegungen zu konkreten oder abstrakten Situationen schematische oder räumliche innere mentale Repräsentationen annehmen (siehe Howell 1976; Sober 1976), haben sich einige Kognitionswissenschaftler auf die Funktionen von konzentriert Bilder oder Diagramme in unseren verschiedenen kognitiven Aktivitäten, zum Beispiel Gedächtnis, Vorstellungskraft, Wahrnehmung, Navigation, Folgerung, Problemlösung und so weiter. Hier ist die Unterscheidbarkeit von „visuellen Informationen“, die entweder durch interne mentale Bilder oder durch extern gezeichnete Diagramme erhalten werden, zu einem Hauptthema der Forschung geworden. Obwohl die meisten dieser Werke davon ausgehen, dass es mentale Bilder gibt (das heißt, sie akzeptieren die Behauptung der Bildhauer), müssen sie sich streng genommen nicht der Ansicht verpflichten, dass diese Bilder als Grundeinheiten in unserer Erkenntnis existieren. Deskriptionalisten müssen Diskussionen über die Funktionen von Bildern nicht verwerfen, sondern nur hinzufügen, dass diese Bilder keine primitiven Einheiten sind, die in unserem Gedächtnis gespeichert sind, sondern aus strukturierten Beschreibungen gebildet werden, die eher den Sätzen einer Sprache ähneln (siehe Pylyshyn 1981). Es muss jedoch nur hinzugefügt werden, dass diese Bilder keine primitiven Einheiten sind, die in unserem Gedächtnis gespeichert sind, sondern aus strukturierten Beschreibungen bestehen, die eher den Sätzen einer Sprache ähneln (siehe Pylyshyn 1981). Es muss jedoch nur hinzugefügt werden, dass diese Bilder keine primitiven Einheiten sind, die in unserem Gedächtnis gespeichert sind, sondern aus strukturierten Beschreibungen bestehen, die eher den Sätzen einer Sprache ähneln (siehe Pylyshyn 1981).

Die Suche nach der unterschiedlichen Rolle von Diagrammen hat die Forscher veranlasst, die Unterschiede zwischen verschiedenen Formen externer oder interner Darstellungen und hauptsächlich zwischen diagrammatischen und sententialen Darstellungen zu untersuchen. In der Kognitionswissenschaft wurden viele wichtige Ergebnisse erzielt. Ausgehend von Larkins und Simons klassischer Fallstudie (1987) zur Veranschaulichung eines Unterschieds zwischen Informations- und Rechenäquivalenz zwischen Repräsentationssystemen lokalisiert Lindsays Arbeit, wo dieser Rechenunterschied liegt, den er als "nicht deduktive" Methode bezeichnet. Wie oben kurz ausgeführt, wird dieser Inferenzprozess von Barwise und Shimojiima (1995) als "freie Fahrt" bezeichnet, dh als eine Art Inferenz, bei der die Schlussfolgerung automatisch aus der Darstellung von Prämissen abgelesen zu werden scheint. In Gurr, Lee und Stenning (1998) und Stenning und Lemon (2001),Es gibt eine Erklärung für die Einzigartigkeit der schematischen Folgerung in Bezug auf einen Grad an "Direktheit" der Interpretation, und es wird argumentiert, dass diese Eigenschaft relativ ist und daher "einige Fahrten billiger sind als andere". Wang und Lee (1993) präsentieren die Rolle von Graphen und präsentieren einen formalen Rahmen als Leitfaden für korrekte visuelle Sprachen. An diesem Punkt sind wir den angewandten Aspekten der Forschung in der multimodalen Argumentation-Design-Theorie und der KI-Forschung sehr nahe, indem wir diesen Disziplinen rechnerische Unterstützung für visuelles Denken bieten. Wang und Lee (1993) präsentieren einen formalen Rahmen als Leitfaden für korrekte visuelle Sprachen. An diesem Punkt sind wir den angewandten Aspekten der Forschung in der multimodalen Argumentation-Design-Theorie und der KI-Forschung sehr nahe, indem wir diesen Disziplinen rechnerische Unterstützung für visuelles Denken bieten. Wang und Lee (1993) präsentieren einen formalen Rahmen als Leitfaden für korrekte visuelle Sprachen. An diesem Punkt sind wir den angewandten Aspekten der Forschung in der multimodalen Argumentation-Design-Theorie und der KI-Forschung sehr nahe, indem wir diesen Disziplinen rechnerische Unterstützung für visuelles Denken bieten.

Im Zusammenhang mit der Frage der imaginären mentalen Repräsentation steht die Untersuchung der Semantik verschiedener Diagrammsysteme und was sie uns über die Natur der Sprachen im Allgemeinen lehren können (z. B. Goodman 1968). Zum Beispiel argumentiert Robert Cummins (1996) unter anderem, dass schematischen Darstellungen zu wenig Aufmerksamkeit geschenkt wurde und dass die Konzentration auf einen Begriff der „strukturellen Darstellung“, der der schematischen Darstellung ähnlicher ist, dazu beitragen kann, die Natur der Darstellung selbst zu erklären. Wir glauben, dass die oben dargestellten Überlegungen uns zumindest einen empirischen Überblick über diese Art von Behauptung geben - abhängig von den verwendeten imaginären Objekten und Beziehungen sollten Muster falscher Folgerungen vorhersehbar und erkennbar sein. Ein wichtiger, wenn auch wenig bekannter Artikel zu diesem Thema ist Malinas 1991. Hier untersucht Malinas die Konzepte der bildlichen Darstellung und der „Wahrheit in“einem Bild über den Begriff der Ähnlichkeit und betrachtet verschiedene semantische Rätsel zur bildlichen Darstellung. Er entwickelt Peacockes „Zentrale These“der Darstellung (Peacocke 1987), in der erlebte Ähnlichkeiten zwischen den Eigenschaften von Bildobjekten und ihren Referenzen im Gesichtsfeld das Verhältnis der Darstellung hervorrufen. Er liefert eine formale Semantik für Bilder, die „analog zu einer Semantik für eine ideale Sprache“ist.wo erlebte Ähnlichkeiten zwischen Eigenschaften von Bildobjekten und ihren Referenzen im Gesichtsfeld das Verhältnis der Darstellung entstehen lassen. Er liefert eine formale Semantik für Bilder, die „analog zu einer Semantik für eine ideale Sprache“ist.wo erlebte Ähnlichkeiten zwischen Eigenschaften von Bildobjekten und ihren Referenzen im Gesichtsfeld das Verhältnis der Darstellung entstehen lassen. Er liefert eine formale Semantik für Bilder, die „analog zu einer Semantik für eine ideale Sprache“ist.

Zusammenfassung

Wir begannen damit, das philosophische Interesse von Diagrammen durch ihre Rolle beim menschlichen Denken und ihre Beziehung zum Studium der Sprache im Allgemeinen und durch die multimodale Informationsverarbeitung zu motivieren. Anschließend erklärten wir den Kompromiss zwischen Ausdruckskraft und visueller Klarheit von Diagrammsystemen, indem wir die historische Entwicklung von Diagrammsystemen von Euler und Venn über Peirces Arbeiten bis hin zu jüngsten Arbeiten von Shin und Hammer untersuchten. Es wurde argumentiert, dass Diagrammsysteme den gleichen logischen Status erhalten können wie herkömmliche lineare Beweiskalküle. Anschließend haben wir einige der potenziellen Fallstricke der schematischen Darstellung und Argumentation erläutert, indem wir räumliche Einschränkungen für schematische Systeme untersucht haben und wie sie die Korrektheit und Ausdruckskraft beeinflussen können. Wir schlossen mit der Untersuchung anderer Diagrammsysteme,das Interesse an Diagrammen, die in der Informatik und der Kognitionswissenschaft erzeugt wurden, und gab eine Einführung in die Bilddebatte in der Philosophie des Geistes.

Literaturverzeichnis

Verweise

  • Allwein, G. und J. Barwise (Hrsg.), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, Oxford: Oxford University Press.
  • Avigad, J. mit E. Dean und J. Mumma, 2009, „Ein formales System für Euklids Elemente“, Review of Symbolic Logic, 2: 700–768.
  • Barker-Plummer, D. und S. Bailin, 1997, „Die Rolle von Diagrammen in mathematischen Beweisen“, Machine GRAPHICS and VISION, 6 (1): 25–56. (Sonderausgabe zur schematischen Darstellung und Argumentation).
  • D. Barker-Plummer, J. van Benthem, D. Beaver und P. Scotto di Luzio, 2002, Words, Proofs and Diagrams, Stanford: CSLI Publications.
  • Barwise, J., 1993, "Heterogenes Denken", in G. Mineau, B. Moulin und J. Sowa, (Hrsg.), ICCS 1993: Konzeptuelle Graphen zur Wissensrepräsentation (Lecture Notes in Artificial Intelligence: Volume 699), Berlin: Springer Verlag, S. 64–74.
  • Barwise, J. und J. Etchemendy, 1989, "Information, Infons and Inference", in Cooper, Mukai und Perry, (Hrsg.), Situation Theory and its Applications, Band 1, Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 1991, „Visuelle Information und gültiges Denken“, in Zimmerman und Cunningham, (Hrsg.), Visualisierung im Lehren und Lernen von Mathematik, Seiten 9–24. Washington: Mathematische Vereinigung von Amerika.
  • –––, 1993, Die Sprache der Logik erster Ordnung, Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 1994, Hyperproof, Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 1995, „Heterogene Logik“, in J. Glasgow, N. Hari Narayanan und B. Chandrasekaran, (Hrsg.), Diagrammatic Reasoning: Cognitive and Computational Perspectives, S. 209–232. Cambridge, MA: AAAI Press / MIT Press.
  • Barwise, J. und A. Shimojima, 1995, „Surrogate Reasoning“, Cognitive Studies: Bulletin der Japanese Cognitive Science Society, 4 (2): 7–27.
  • Berkeley, G., 1710, Principles of Human Knowledge, in David Armstrong (Hrsg.), Berkeleys Philosophical Writings, London: Macmillian, 1965.
  • Block, N. (Hrsg.), 1981, Imagery, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 1983, „Mentale Bilder und Kognitionswissenschaft“, The Philosophical Review, 92: 499–541
  • Booch, G., J. Rumbaugh und I. Jacobson, 1999, The Unified Modeling Language Reference Manual, Reading, Mass.: Addison-Wesley.
  • Coecke, B. und Kissinger, A., 2017, Picturing Quantum Processes. Ein erster Kurs in Quantentheorie und Diagrammatic Reasoning, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Carroll, L., 1896, Symbolic Logic, New York: Dover.
  • Chandrasekaran, B., J. Glasgow und N. Hari Narayanan, (Hrsg.), 1995, Diagrammatic Reasoning: Cognitive and Computational Perspectives, Cambridge, MA: AAAI Press / The MIT Press.
  • Cummins, R., 1996, Darstellungen, Ziele und Einstellungen, Cambridge, MA: MIT Press.
  • De Toffoli, S., 2017, „Das Diagramm verfolgen - Die Verwendung von Visualisierungen im algebraischen Denken“, Review of Symbolic Logic, 10 (1): 158–186.
  • De Toffoli, S. und Giardino, V., 2014, „Formen und Rollen von Diagrammen in der Knotentheorie“, Erkenntnis, 79 (4): 829–842.
  • Dennett, D., 1981, „Die Natur der Bilder und die introspektive Falle“, in Block 1981, S. 87–107.
  • Englebretsen, G., 1992, „Lineare Diagramme für Syllogismen (mit Relationalen)“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 33 (1): 37–69.
  • Euklid, Die dreizehn Bücher der Elemente (zweite Ausgabe, Bd. I - III), New York, NY: Dover Publications, 1956. Übersetzt mit Einleitung und Kommentar von Sir Thomas L. Heath aus dem Text von Heiberg.
  • Euler, L., 1768, Lettres à une Princesse d'Allemagne, St. Petersburg; l'Academie Imperiale des Sciences.
  • Fodor, J., 1981, "Imagistic Representation", in Block 1981, S. 63–86.
  • Frege, G., 1879, Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildeten Formelsprache des reinen Denkens, Halle am See: Louis Nebert
  • Friedman, M., 2012, „Kant über Geometrie und räumliche Intuition“, Synthese, 186: 231–255.
  • Gardner, M., 1958, Logic Machines and Diagrams, Sussex: Harvester Press.
  • Goodman, N., 1968, Languages of Art: Eine Annäherung an eine Symboltheorie, London: Oxford University Press.
  • Greaves, M., 2002, Der philosophische Status von Diagrammen, Stanford: CSLI Publications.
  • Grigni, M., D. Papadias und C. Papadimitriou, 1995, "Topological Inference", in der Internationalen Gemeinsamen Konferenz über künstliche Intelligenz (IJCAI '95), Seiten 901–907, Cambridge, MA: AAAI Press.
  • Gurr, C., J. Lee und K. Stenning, 1998, „Theorien des diagrammatischen Denkens: Unterscheiden von Komponentenproblemen“, Minds and Machines, 8: 533–557.
  • Halimi, B., 2012, „Diagramme als Skizzen“, Synthese, 186 (1): 387–409.
  • Hamami Y. und Mumma J., 2013, „Ein Prolegomen für eine kognitive Untersuchung des euklidischen diagrammatischen Denkens“, Journal of Language, Logic and Information, 22 (4): 421–448.
  • Hammer, E., 1995a, „Argumentation mit Sätzen und Diagrammen“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 35 (1): 73–87.
  • Hammer, E. und S. Shin, 1998, „Eulers visuelle Logik“, Geschichte und Philosophie der Logik, 19: 1–29.
  • Harel, D., 1988, „On Visual Formalisms“, Communications of the ACM, 31 (5): 514–530.
  • Howell, R., 1976, „Gewöhnliche Bilder, mentale Repräsentationen und logische Formen“, Synthese, 33: 149–174.
  • Jamnik, M., 2001, Mathematisches Denken mit Diagrammen, Stanford: CSLI Publications.
  • Jamnik, M., A. Bundy und I. Green, 1999, „On Automating Diagrammatic Proofs of Arithmentic Arguments“, Journal of Logic, Language and Information, 8 (3): 297–321.
  • Kant, I., 1781, Kritik der reinen Vernunft, übersetzt und herausgegeben von P. Guyer und A. Wood, Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
  • Kauffman, L. 1991, Knots and Physics, Singapur: World Scientific.
  • Kosslyn, S., 1980, Image and Mind, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1994, Image and Brain: Die Lösung der Bilddebatte, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Lambert, JH, 1764, Neues Organon, Berlin: Akademie Verlag, 1990.
  • Larkin, J. und H. Simon, 1987, „Warum ein Diagramm (manchmal) 10.000 Wörter wert ist“, Cognitive Science, 11: 65–99.
  • Leibniz, G., 1704, Neue Aufsätze zum menschlichen Verständnis, LaSalle: Open Court Publishing, 1949.
  • Lemon, O., 2002, "Vergleich der Wirksamkeit visueller Sprachen", in Barker-Plummer et al. (Hrsg.), 2002, S. 47–69.
  • Lemon, O., M. de Rijke und A. Shimojima, 1999, „Wirksamkeit des schematischen Denkens“(Leitartikel), Journal of Logic, Language and Information, 8 (3): 265–271.
  • Lemon, O. und I. Pratt, 1997, „Spatial Logic and the Complexity of Diagrammatic Reasoning“, Machine Graphics and Vision, 6 (1): 89–108, 1997. (Sonderausgabe über Diagrammatic Representation and Reasoning).
  • –––, 1998, „Zur Unzulänglichkeit linearer Diagramme für Syllogismen“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 39 (4): 573–580.
  • Malinas, G., 1991, „Eine Semantik für Bilder“, Canadian Journal of Philosophy, 21 (3): 275–298.
  • Manders, K., 2008 [1995], „Das euklidische Diagramm“, in Philosophy of Mathematical Practice, P. Mancosu (Hrsg.), Oxford: Clarendon Press, 2008, S. 112–183. (Erstmals 1995 als Manuskript in Umlauf gebracht.)
  • Miller, Nathaniel, 2007, Euklid und seine Rivalen des 20. Jahrhunderts: Diagramme in der Logik der euklidischen Geometrie (CSLI-Studien zur Theorie und Anwendung von Diagrammen), Stanford: CSLI Publications.
  • –––, 2006, „Rechenkomplexität der Diagrammzufriedenheit in der euklidischen Geometrie“, Journal of Complexity, 22: 250–74.
  • Morrow, G., 1970, Proclus: Ein Kommentar zum ersten Buch von Euklids Elementen, Princeton: Princeton University Press, 1970.
  • Mumma, J., 2010, „Proofs, Pictures and Euclid“, Synthese, 175 (2): 255–287.
  • Narayanan, N., 1993, „Ausgabe / Forum: Die Bilddebatte überarbeitet“, Computational Intelligence, 9 (4): 303–435.
  • Pasch, M., 1882, Vorlesungen über neuere Geometrie, Teubner: Leipzig.
  • Peacocke, C., 1987, "Depiction", The Philosophical Review, 96: 383–410
  • Peirce, CS, 1933, Gesammelte Papiere, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Pylyshyn, Z., 1981, "Imagery and Artificial Intelligence", in N. Block, (Hrsg.), Readings in Philosophy of Psychology, Band 2, Seiten 170–196. Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Roberts, D., 1973, The Existential Graphs von Charles S. Peirce, Den Haag: Mouton.
  • Russell, B., 1923, „Vagueness“, in J. Slater, (Hrsg.), Essays on Language, Mind and Matter: 1919–26 (The Collected Papers of Bertrand Russell), S. 145–154. London: Unwin Hyman.
  • Schlimm, D., 2010, „Paschs Philosophie der Mathematik“, Review of Symbolic Logic, 3 (1): 93–118.
  • Shabel, L., 2003, Mathematik in Kants kritischer Philosophie: Reflexionen über die mathematische Praxis, New York: Routledge.
  • Shepard, R. und J. Metzler, 1971, „Mentale Rotation dreidimensionaler Objekte“, Science, (171): 701–3.
  • Shimojima, A., 1996a, Über die Wirksamkeit der Repräsentation, Ph. D. Diplomarbeit, Indiana University.
  • –––, 1999, „Constraint-Preserving Representations“, in L. Moss, J. Ginzburg und M. de Rijke, (Hrsg.), Logik, Sprache und Berechnung: Band 2, CSLI Lecture Notes # 96, Seiten 296– 317. Stanford: CSLI-Veröffentlichungen.
  • Shin, S., 1994, Der logische Status von Diagrammen, Cambridge: Cambridge University Press.
  • –––, 2003, Die ikonische Logik von Peirces Graphen, Cambridge: MIT Press (Bradford).
  • –––, 2015, „Das Geheimnis der Deduktion und schematische Aspekte der Repräsentation“, Review of Philosophy and Psychology: Pictorial and Spatial Representation, 6: 49–67.
  • Sloman, A., 1971, „Interaktion zwischen Philosophie und KI: Die Rolle von Intuition und nicht logischem Denken in der Intelligenz“, in Proceedings Second International Joint Conference über künstliche Intelligenz, Los Altos, Kalifornien: Morgan Kaufmann.
  • –––, 1985, „Warum wir viele Formalismen der Wissensrepräsentation brauchen“, in M. Bramer, (Hrsg.), Forschung und Entwicklung in Expertensystemen, S. 163–183.
  • –––, 1995, „Überlegungen zur Rolle logischer und nichtlogischer Darstellungen in der Intelligenz“, Chandrasekaran et al., 1995, S. 7–32.
  • Sober, E., 1976, „Mental Representations“, Synthese, 33: 101–148
  • Sowa, J., 1984, Konzeptuelle Strukturen: Informationsverarbeitung in Geist und Maschine, London: Addison Wesley.
  • Stenning, K., 1999, „Rezension von Das Spiel der Logik, von Lewis Carrol“, Journal of Symbolic Logic, 64: 1368–1370.
  • Stenning, K. und O. Lemon, 2001, „Logische und psychologische Perspektiven auf diagrammatisches Denken ausrichten“, Artificial Intelligence Review, 15 (1–2): 29–62. (Nachdruck in Denken mit Diagrammen, Kluwer, 2001.)
  • Tye, M., 1991, The Imagery Debate, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Venn, J., 1881, Symbolic Logic, London: Macmillan.
  • Wang, D. und J. Lee, 1993, „Visual Reasoning: seine formale Semantik und Anwendung“, Journal of Visual Languages and Computing, 4: 327–356.
  • Wittgenstein, L., 1921, Tractatus Logico-Philosophicus, B. Pears und B. McGuinness (trans), London: Routledge & Kegan Paul, 1961
  • Zeman, J., 1964, Die grafische Logik von CS Peirce, Ph. D. Diplomarbeit, Universität von Chicago.

Relevante Literatur

  • Barwise, J. und E. Hammer, 1994, "Diagramme und das Konzept eines logischen Systems", in Gabbay, D. (Hrsg.), Was ist ein logisches System? New York: Oxford University Press.
  • Hammer, E., 1995b, Logik und visuelle Information, Studien in Logik, Sprache und Berechnung. Stanford: CSLI Publications und FoLLI.
  • –––, 1998, „Semantik für existentielle Graphen“, Journal of Philosophical Logic, 27: 489–503
  • Hammer, E. und S. Shin, 1996, "Euler und die Rolle der Visualisierung in der Logik", in Seligman, J. und Westerståhl, D. (Hrsg.), Logik, Sprache und Berechnung: Band 1, CSLI Lecture Notes # 58, Seiten 271–286. Stanford: CSLI-Veröffentlichungen.
  • Kneale, W. und Kneale, M., 1962, The Development of Logic, Oxford: Clarendon Press.
  • Lemon, O., 1997, „Überprüfung logischer und visueller Informationen durch EM Hammer“, Journal of Logic, Language and Information, 6 (2): 213–216.
  • Roberts, D., 1992, "The Existential Graphs of Charles S. Peirce", Computer und Mathematik. Applic., (23): 639–663.
  • Shimojima, A., 1996b, „Operative Einschränkungen beim diagrammatischen Denken“, in J. Barwise und G. Allwein, (Hrsg.), Logisches Denken mit Diagrammen, New York: Oxford University Press, S. 27–48.
  • –––, 1996c, „Reasoning with Diagrams and Geometrical Constraints“, in Seligman, J. und Westerståhl, D. (Hrsg.), Logic, Language and Computation: Band 1, CSLI Lecture Notes # 58, Seiten 527–540. Stanford, CSLI-Veröffentlichungen.
  • Shin, S., 1991, "Eine situations-theoretische Darstellung des gültigen Denkens mit Venn-Diagrammen", in J. Barwise, J. Gawron, G. Plotkin und S. Tutiya (Hrsg.), Situationstheorie und ihre Anwendungen: Band 2, CSLI Lecture Notes # 26, Seiten 581–605. Stanford: CSLI-Veröffentlichungen.
  • –––, 1999, „Rekonstitution von Beta-Graphen zu einem wirksamen System“, Journal of Logic, Language and Information, 8: 273–295.
  • –––, 2000, „Reviving the Iconicity of Beta Graphs“, in Anderson, Cheng und Haarslev, (Hrsg.), Theory and Application of Diagrams, S. 58–73. Springer-Verlag.
  • –––, 2002a, Die ikonische Logik von Peirces Graphen, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 2002b, „Multiple Readings of Peirces Alpha Graphs“, in M. Anderson, B. Meyer und P. Olivier, (Hrsg.), Diagrammatic Representation and Reasoning, London: Springer-Verlag, S. 297–314.
  • Sowa, J., 2000, Wissensrepräsentation: Logische, philosophische, rechnergestützte Grundlagen, Belmont, CA: Brooks / Cole.
  • Stenning, K., 2002, Seeing Reason: Bild und Sprache beim Lernen des Denkens, Oxford: Oxford University Press.
  • Stenning, K. und J. Oberlander, 1995, „Eine kognitive Theorie des grafischen und sprachlichen Denkens: Logik und Implementierung“, Cognitive Science, 19 (1): 97–140.
  • Tufte, E., 1983, Die visuelle Anzeige quantitativer Informationen, Connecticut: Graphics Press.
  • –––, 1990, Envisioning Information, Connecticut: Graphics Press.

Akademische Werkzeuge

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Andere Internetquellen

  • Existenzgraphen (Peirces MS 514 mit Kommentar von John Sowa).
  • Edward Tuftes visuelle Anzeige.
  • Eine Übersicht über Venn-Diagramme (University of Victoria, Frank Ruskey).
  • Forscher zum Diagrammatic Reasoning, Ausgabe der Suche bei Google Scholar.
  • Diagramme 2018, Internationale Konferenz über Theorie und Anwendung von Diagrammen.

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