Ramsey Und Intergenerational Welfare Economics

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Ramsey und Intergenerational Welfare Economics

Erstveröffentlichung Sa 1. Juni 2019

Wie sollten wir uns das menschliche Wohlbefinden im Laufe der Zeit und über Generationen hinweg vorstellen? Wie sollen die Interessen der Menschen in ferner Zukunft berücksichtigt werden, wenn wir unsere eigenen Entscheidungen treffen? Wie viel von seiner Produktion sollte eine Nation für die Zukunft investieren? In welche Vermögenswerte sollte diese Investition getätigt werden? Wie sollte das Gleichgewicht zwischen privaten, öffentlichen und kommunitären Investitionen in die Gesamtinvestition einer Generation für die Zukunft sein? Wie viel sollte die Welt für die Bekämpfung des globalen Klimawandels ausgeben?

In einer bemerkenswerten Arbeit entwickelte Frank Ramsey einen Rahmen, in dem jede dieser Fragen in einer Form untersucht werden kann, die präzise und nachvollziehbar genug ist, um Antworten zu finden (Ramsey, 1928). Sein Ansatz bestand darin, den klassisch-utilitären Kalkül anzuwenden, um die beste Übereinstimmung zwischen erreichbaren und wünschenswerten Nutzenströmen im Laufe der Zeit und über Generationen hinweg zu ermitteln. Obwohl das Papier heute sehr berühmt ist, hatte es keine ersten Auswirkungen. Einige Ökonomen haben das mangelnde Interesse dem technischen Charakter des Papiers zugeschrieben. Bei der Beantwortung der von ihm gestellten Frage („Wie viel von der Leistung einer Nation sollte sie sparen?“) Musste Ramsey die Variationsrechnung verwenden. Es steht außer Frage, dass damals nur wenige Ökonomen die erforderlichen technischen Details kannten. Es ist jedoch schwer vorstellbar, dass es keine Ökonomen gab, die in der Lage waren, die notwendige Mathematik zu lernen, wenn sie dies gewollt hätten. Der Grund, warum Ramseys Zeitung wenig Interesse zeigte, lag anderswo. In den Jahren nach der Veröffentlichung, einer Zeit, die heute als Weltwirtschaftskrise bekannt ist, bestand das zentrale wirtschaftliche Problem in den Industrieländern darin, Wege zur Steigerung der Beschäftigung zu finden. Fabriken standen untätig, ebenso Menschen. Die Arbeitslosenquote in Europa und den USA lag bei 25%. Die damals erforderlichen Richtlinien hatten damit zu tun, Anreize für Arbeitgeber zu schaffen, Arbeitnehmer einzustellen. Obwohl es unter Ökonomen Kontroversen darüber gab, wie diese Politik aussehen sollte, bezweifelte niemand, dass die Industriegesellschaften kurzfristig vor einem Problem standen. Im Gegensatz dazu ging Ramsey auf eine langfristige Frage ein. und um ein übersichtliches Problem zu analysieren, nahm er an, dass zu jedem Zeitpunkt sowohl des Kapitals als auch der Arbeit Vollbeschäftigung besteht.

Mit dem Aufkommen postkolonialer Nationen nach dem Zweiten Weltkrieg wurde die langfristige wirtschaftliche Entwicklung in Wirtschaftsstudien immer wichtiger. In den frühen 1960er Jahren war klar geworden, dass Ramseys Artikel der natürliche Ausgangspunkt für das Studium der Wohlfahrtsökonomie auf lange Sicht ist, nicht nur um eine optimale Entwicklung in zentral geplanten Volkswirtschaften zu erreichen (Chakravarty, 1969), sondern auch für die Verwendung in sozialen Kosten. Nutzenanalyse der öffentlichen Investitionen in gemischte Volkswirtschaften (Arrow und Kurz, 1970), der Wahl der Technologie in Volkswirtschaften mit Arbeitskräftemangel (Little und Mirrlees, 1968, 1974) und in jüngerer Zeit der Wohlfahrtsökonomie des Klimawandels (Cline, 1992; Nordhaus, 1994; Stern, 2007). Die Anzahl der von Ramsey gelegten Pfade war bemerkenswert. In der akademischen Ökonomie ist es eine der rund zehn einflussreichsten Arbeiten des 20. Jahrhunderts.

Der klassische Utilitarismus betrachtet das Gute als den erwarteten Wert der Summe der Versorgungsunternehmen im Laufe der Zeit und über die Generationen hinweg (Sidgwick, 1907). Ramseys Formulierung basierte auf dieser moralischen Argumentation. Er benutzte sogar den Begriff „Genuss“, um den Nutzen zu interpretieren. Der Artikel verkörpert die Art ethischer Überlegungen, die Sen und Williams (1982) als "Government House Utilitarianism" bezeichneten. Aber Ramseys Artikel gedeiht heute, weil das Regierungshaus eine ethische Anleitung braucht, die keine Stütze für bezahlte Beamte ist, um vetternwirtschaftlich zu handeln, egal auf räuberische Weise, sondern unparteiisch gegenüber den Bedürfnissen und Empfindlichkeiten der Menschen. Obwohl Ramsey die utilitäre Sprache verwendete, sagt eine großzügige Lektüre seines Papiers, dass viel gewonnen werden würde, wenn wir anstelle von „Genuss“mit dem umfassenderen Begriff „Wohlbefinden“arbeiten würden.„Ein solcher Schritt ermöglicht es einem, den Faktoren, ob materiell oder auf andere Weise, die für ein blühendes Leben sorgen, mehr Aufmerksamkeit zu schenken.

• 1. Produktionsmöglichkeiten in Ramseys Formulierung

• 2. Der klassisch-utilitäre Kalkül

  2.1 Nullabzinsung zukünftiger Wohlergehen

• 3. Das Problem des optimalen Speicherns

  • 3.1 Undiskontierter Utilitarismus
  • 3.2 Normalisierung des undiskontierten Utilitarismus
  • 3.3 Das Überholkriterium
  • 3.4 Diskontierter Utilitarismus

• 4. Die Ramsey-Regel und ihre Auswirkungen

  • 4.1 Das Variationsargument
  • 4.2 Unvollständigkeit in Ramseys Analyse
  • 4.3 Die Transversalitätsbedingung
  • 4.4 Numerische Schätzungen der optimalen Sparquote
  • 4.5 Kommentar
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Produktionsmöglichkeiten in Ramseys Formulierung

Ramseys Ziel war praktisch: "Wie viel von der Leistung einer Nation sollte sie für die Zukunft sparen?" Das demografische Profil im Laufe der Zeit wurde von ihm als gegeben angesehen, was bedeutet, dass die zukünftige Anzahl von Menschen als exogen und vorhersehbar angesehen wurde. Wir sollten uns daher vorstellen, dass die Wirtschaftspolitik einen vernachlässigbaren Einfluss auf das Fortpflanzungsverhalten hat (siehe jedoch Dasgupta, 1969, für eine Untersuchung des Problems der gemeinsamen Bevölkerung / Rettung unter Verwendung des klassischen Utilitarismus als Leitprinzip). Parfit (1984) taufte Entscheidungen mit demselben demografischen Profil "Same Numbers Choices".

Die Bestandteile von Ramseys Theorie sind das Lebenswohl des Einzelnen. Das Regierungshaus in seiner Welt maximiert die erwartete Summe des Lebenswohls aller, die heute hier sind und aller, die jemals geboren werden, unter Ressourcenbeschränkungen. Die optimale Verteilung des Lebenswohls über Generationen hinweg ergibt sich aus dieser Maximierungsübung. Natürlich ist der Lauf der Zeit nicht der gleiche wie der Fortschritt der Generationen. Das lebenslange Wohlbefinden eines Individuums ist ein Aggregat des Wohlfühlflusses, den es erlebt, während das Wohlbefinden zwischen den Generationen ein Aggregat des lebenslangen Wohlbefindens aller ist, die in der Szene auftreten. Es ist zweifelhaft, dass die beiden Aggregate dieselbe funktionale Form haben sollten. Auf der anderen Seite gibt es kaum Anhaltspunkte dafür, dass wir weit davon entfernt wären, anzunehmen, dass sie dieselbe Form haben. Aus praktischen Gründen hilft es enorm, sich anzunähern, indem die funktionale Form des Wohlbefindens eines Menschen im Laufe der Zeit nicht von der des Wohlbefindens über Generationen hinweg unterschieden wird. Ramsey übernahm diese Abkürzung. Es wurde auch angenommen, dass die Personen identisch sind, sodass wir genauso gut davon ausgehen können, dass es zu jedem Zeitpunkt eine einzelne Person gibt. Der Umzug beseitigt jede Unterscheidung zwischen Zeit und Generationen. Eine alternative Interpretation lässt uns vorstellen, dass die Wirtschaft aus einer einzigen Dynastie besteht, in der Eltern jeder Generation Nachlässe für ihre Kinder hinterlassen (Meade, 1966, übernahm diese Interpretation). Ramsey nahm auch an, wahrscheinlich weil die Mathematik einfacher ist, dass die Zeit eine kontinuierliche Variable ist, nicht diskret. Es hilft enorm bei der Annäherung, indem es die funktionale Form des Wohlbefindens eines Menschen im Laufe der Zeit nicht von der des Wohlbefindens über Generationen hinweg unterscheidet. Ramsey übernahm diese Abkürzung. Es wurde auch angenommen, dass die Personen identisch sind, sodass wir genauso gut davon ausgehen können, dass es zu jedem Zeitpunkt eine einzelne Person gibt. Der Umzug beseitigt jede Unterscheidung zwischen Zeit und Generationen. Eine alternative Interpretation lässt uns vorstellen, dass die Wirtschaft aus einer einzigen Dynastie besteht, in der Eltern jeder Generation Nachlässe für ihre Kinder hinterlassen (Meade, 1966, übernahm diese Interpretation). Ramsey nahm auch an, wahrscheinlich weil die Mathematik einfacher ist, dass die Zeit eine kontinuierliche Variable ist, nicht diskret. Es hilft enorm bei der Annäherung, indem es die funktionale Form des Wohlbefindens eines Menschen im Laufe der Zeit nicht von der des Wohlbefindens über Generationen hinweg unterscheidet. Ramsey übernahm diese Abkürzung. Es wurde auch angenommen, dass die Personen identisch sind, sodass wir genauso gut davon ausgehen können, dass es zu jedem Zeitpunkt eine einzelne Person gibt. Der Umzug beseitigt jede Unterscheidung zwischen Zeit und Generationen. Eine alternative Interpretation lässt uns vorstellen, dass die Wirtschaft aus einer einzigen Dynastie besteht, in der Eltern jeder Generation Nachlässe für ihre Kinder hinterlassen (Meade, 1966, übernahm diese Interpretation). Ramsey nahm auch an, wahrscheinlich weil die Mathematik einfacher ist, dass die Zeit eine kontinuierliche Variable ist, nicht diskret. Wir können also genauso gut davon ausgehen, dass es zu jedem Zeitpunkt eine einzelne Person gibt. Der Umzug beseitigt jede Unterscheidung zwischen Zeit und Generationen. Eine alternative Interpretation lässt uns vorstellen, dass die Wirtschaft aus einer einzigen Dynastie besteht, in der Eltern jeder Generation Nachlässe für ihre Kinder hinterlassen (Meade, 1966, übernahm diese Interpretation). Ramsey nahm auch an, wahrscheinlich weil die Mathematik einfacher ist, dass die Zeit eine kontinuierliche Variable ist, nicht diskret. Wir können also genauso gut davon ausgehen, dass es zu jedem Zeitpunkt eine einzelne Person gibt. Der Umzug beseitigt jede Unterscheidung zwischen Zeit und Generationen. Eine alternative Interpretation lässt uns vorstellen, dass die Wirtschaft aus einer einzigen Dynastie besteht, in der Eltern jeder Generation Nachlässe für ihre Kinder hinterlassen (Meade, 1966, übernahm diese Interpretation). Ramsey nahm auch an, wahrscheinlich weil die Mathematik einfacher ist, dass die Zeit eine kontinuierliche Variable ist, nicht diskret.nicht diskret.nicht diskret.

(T / ge 0) bezeichne die Zeit. In Ramseys Modell gibt es keine Unsicherheit (siehe jedoch Levhari und Srinivasan, 1969, für eine der ersten von vielen Erweiterungen des Ramsey-Modells, die Unsicherheit über zukünftige Möglichkeiten beinhalten). Die Wirtschaft ist mit einer einzigen, nicht abwertenden Ware ausgestattet, die zu jedem Zeitpunkt von Arbeitern zur Produktion verwendet werden kann (Gale (1967) und Brock (1973) gehörten zu den ersten von vielen Erweiterungen des Ramsey-Modells, die eine heterogene Sammlung enthalten von Investitionsgütern). Es wird angenommen, dass die Wirtschaft für den internationalen Handel geschlossen ist (die Öffnung der Wirtschaft für den Handel beinhaltet nur eine geringfügige Erweiterung von Ramseys Modell). Das bedeutet, dass ein Teil der Produktion investiert werden kann, um den Warenbestand zu erhöhen, während der Rest sofort verbraucht werden kann. Wir nennen den Bestand der Ware, die zur Produktion dient, „Kapital.„Das Problem besteht dann darin, zu jedem Zeitpunkt die optimale Verteilung der Produktion zwischen Verbrauch und Investition zu finden.

Ramsey nahm an, dass die Arbeit unangenehm ist. Aber weil die Einbeziehung der Arbeitsunfähigkeit in unseren Bericht über seine Arbeit hier nichts Wesentliches hinzufügen würde, nehmen wir an, dass das Arbeitskräfteangebot eine exogen gegebene Konstante ist (z. B. unabhängig von den Löhnen, die die Arbeit verlangen kann). Dies ermöglicht es uns, das Arbeitskräfteangebot sowohl in der Produktion als auch die das Wohlbefinden beeinflussenden Faktoren zu unterdrücken.

Wenn (K) der Kapitalbestand der einzigen Ware der Wirtschaft ist, wird die Produktion als (F (K)) angenommen, wobei (F (0) = 0) (dh die Produktion ist Null wenn es kein Kapital gibt), (dF (K) / dK / gt 0) (dh das Grenzprodukt des Kapitals ist positiv) und (d ^ 2 F (K) / dK ^ 2 / le 0)) (dh das Grenzprodukt von (K) nimmt mit (K) nicht zu). (F (K)) ist ein Fluss (Produktion zu einem bestimmten Zeitpunkt), im Gegensatz zu (K), einem Bestand (Kapitalmenge, Periode). Beachten Sie auch, dass die Produktion ausschließlich vom Kapitalbestand abhängt. Mögliche Verbesserungen der Kapital- oder Arbeitsqualität werden nicht erwähnt. Daher gibt es in Ramseys Modell keine Aussicht auf technologischen Fortschritt oder Akkumulation von Humankapital (siehe jedoch Mirrlees, 1967,für eine der ersten von vielen Erweiterungen des Ramsey-Modells, die technologische Fortschritte in der Produktion und der Bildung von Humankapital beinhalten); Das Modell enthält auch keine natürlichen Ressourcen (siehe jedoch Dasgupta und Heal, 1974, für eine der ersten von vielen Erweiterungen des Ramsey-Modells, die natürliches Kapital in die Produktion einbeziehen).

Sei (C (t)) der Verbrauch bei (t). Es ist ein Fluss (Verbrauchseinheiten pro Moment). In ähnlicher Weise schreiben wir (K (t)) für den Kapitalbestand bei (t). Da (dK (t) / dt) die Änderungsrate des Grundkapitals zu (t) ist, handelt es sich um eine „Nettoinvestition zu (t)“, die ebenfalls ein Fluss ist. Und da davon ausgegangen wird, dass das Grundkapital nicht abwertet, entspricht die Bruttoinvestition der Nettoinvestition.

In Ramseys Modell entspricht die erwartete Leistung zu jedem Zeitpunkt der Summe aus beabsichtigter Investition und beabsichtigtem Verbrauch. Absichten werden immer verwirklicht. In der Fachsprache ist die Wirtschaft in jedem Moment im Gleichgewicht, was eine andere Art zu sagen ist, dass in jedem Moment beabsichtigtes Sparen gleich beabsichtigter Investition ist. (Die Annahme bedarf keiner Erklärung in einem Modell mit einem einzelnen Agenten, hat aber in einer Welt, in der Sparer nicht dieselben Agenten wie Investoren sind, einen echten Biss.) Es wird davon ausgegangen, dass Kapital immer vollständig eingesetzt wird und Arbeitskräfte (die in der Produktion verborgen sind) Die Funktion (F (K))) wird als voll ausgelastet angesehen. Die Ausgabe bei (t) ist (F (K (t))). Daraus folgt, dass die Wirtschaft von der dynamischen Gleichung angetrieben wird

) tag {1} frac {dK (t)} {dt} = F (K (t)) - C (t))

Gleichung (1) besagt, dass, wenn der Verbrauch (C (t)) ist, die Investition das ist, was von der Produktion übrig bleibt. Ramseys Problem kann also gleichermaßen wie folgt ausgedrückt werden: "Wie viel von der Produktion einer Nation sollte sie verbrauchen?" Wenn der Verbrauch bei (t) (dh (C (t) lt F (K (t))) geringer ist als der Output, ist die Investition positiv (dh (dK (t) / dt / gt 0))) und der Kapitalbestand steigt, aber wenn der Verbrauch die Produktion bei (t) übersteigt, ist die Investition negativ, was bedeutet, dass Kapital aufgenommen wird und der Bestand sinkt (dh (dK (t) / dt / lt 0)).) Wir stellen uns nun vor, dass das Government House von einem „sozial betroffenen Bürger“beraten wird, der versucht, zu jedem Zeitpunkt das richtige Gleichgewicht zwischen Verbrauch und Investition der Wirtschaft zu finden. Wir werden diese Person die Entscheidung nennen Hersteller oder DM. Ramsey stellte sich vor, dass DM ein klassisch-utilitärer ist.

2. Der klassisch-utilitäre Kalkül

Der klassische Utilitarismus identifiziert das Gute als die erwartete Summe des Wohlbefindens im Laufe der Zeit und über Generationen hinweg. Hier ist Sidgwick (1907: 414) zu diesem Thema:

Es scheint… klar zu sein, dass die Zeit, zu der ein Mensch existiert, den Wert seines Glücks aus universeller Sicht nicht beeinflussen kann; und dass die Interessen der Nachwelt einen Utilitaristen ebenso betreffen müssen wie die seiner Zeitgenossen, außer insoweit die Auswirkungen seines Handelns auf die Nachwelt - und sogar die Existenz von Menschen, die betroffen sein sollen - notwendigerweise unsicherer sein müssen. (Kursivschrift hinzugefügt)

Um dies zu formalisieren, betrachten wir ein beliebiges Datum (t), an dem DM überlegt. (Tau) bezeichne Daten, die nicht früher als (t) sind (dh (tau / ge t)). Ramsey betrachtete eine deterministische, unendlich gelebte Welt (siehe jedoch Yaari, 1965, für die erste von vielen Erweiterungen des Ramsey-Modells, die das Risiko des individuellen oder gesellschaftlichen Aussterbens beinhalten). Wohlbefinden wird als numerische Größe angenommen. Sei (U (t)) Wohlbefinden bei (t) und sei (V (t)) ein aggregiertes Maß für den Fluss des Wohlbefindens über Zeit und Generationen, wie zum Zeitpunkt bewertet (t). Ramsey folgte Sidgwick, um das anzunehmen

) tag {2} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (tau)] d / tau)

(V (t)) ist das Wohlbefinden zwischen den Generationen bei (t). Da Ramseys Welt deterministisch ist, ist (V (t)) auch der erwartete Wert von (V (t)). Sidgwicks Kriterium ist also das (V (t)) in Gleichung (2).

Es wird davon ausgegangen, dass das Wohlbefinden zu einem bestimmten Zeitpunkt ausschließlich vom Verbrauch zu diesem Zeitpunkt abhängt. Wir schreiben daher (U (t) = U (C (t))). Ramsey nahm an, dass das marginale Wohlbefinden positiv ist (dh (dU (C) / dC / gt 0)), aber mit zunehmendem Verbrauch abnimmt (dh (d ^ 2 U (C) / dC ^ 2 / lt) 0)). Die letztere Eigenschaft impliziert, dass (U (C)) eine streng konkave Funktion ist. (Edgeworth, 1885, hatte die Idee routiniert, dass das marginale Wohlbefinden mit zunehmendem Verbrauch abnimmt.) Somit kann Gleichung (2) wie folgt geschrieben werden

) tag {3} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (C (tau))] d / tau)

Der klassische Utilitarismus, wie er sich in Gleichung (3) widerspiegelt, erfordert, dass wenn (U) ein numerisches Maß für das Wohlbefinden ist, dies auch (alpha U + / beta) ist, wobei (alpha) a ist positive Zahl und (beta) ist eine Zahl beider Zeichen. Formal sagen wir, dass (U) bis zu „positiven affinen Transformationen“einzigartig ist. Wir bestätigen derzeit, dass die Empfehlungen der Theorie bei solchen Transformationen unveränderlich sind.

2.1 Nullabzinsung zukünftiger Wohlergehen

In Gleichung (3) werden zukünftige Werte von (U) nicht diskontiert, wenn sie vom gegenwärtigen Moment (t) aus betrachtet werden. Dieser besondere Schritt hat unter Ökonomen und Philosophen mehr Debatten ausgelöst als jedes andere Merkmal von Ramseys Theorie des optimalen Sparens. Die Debatte war gelegentlich schriller als selbst wir Ökonomen es gewohnt sind (siehe insbesondere Nordhaus, 2007). Auf die Gefahr einer wilden Verallgemeinerung hin haben Ökonomen die Verwendung positiver Zinssätze zur Abzinsung künftiger Wohlergehen befürwortet (z. B. Arrow und Kurz, 1970), während Philosophen darauf bestanden haben, dass das Wohlergehen künftiger Menschen das gleiche Gewicht erhalten sollte wie das der gegenwärtigen Leute (z. B. Parfit, 1984).

Wie würde klassischer Utilitarismus mit positiver Abzinsung zukünftiger Wohlergehen aussehen? Sei (delta / gt 0) die Rate, mit der es als wünschenswert erachtet wird, zukünftige Wohlergehen abzuzinsen (der Einfachheit halber nehmen wir den Abzinsungssatz als konstant an). Anstelle der Gleichungen (2) - (3) würde dann das Wohlbefinden zwischen den Generationen bei (t) als lauten

) tag {4} begin {align} V (t) & = / int ^ { infty} _t [U (tau) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau & = / int ^ { infty} _t [U (C (tau)) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau, t / ge 0 \\ / end {align}]

In Gleichung (4) ist (Delta) der "Zeitabzinsungssatz" und (e ^ {- / Delta}) der resultierende "Zeitabzinsungsfaktor".

(delta / gt 0) impliziert (e ^ {- / delta} lt 1). Das heißt, (e ^ {- / delta (tau -t)}) tendiert exponentiell zu Null, während (tau) gegen unendlich tendiert. Im letzten Teil seiner Arbeit verwendete Ramsey (1928: 553–555) Gleichung (4), um das Problem der optimalen Einsparung zu untersuchen, aber er billigte die Formulierung nicht. Stattdessen schrieb er (S. 543), dass es „… ethisch nicht vertretbar ist und sich nur aus der Schwäche der Vorstellungskraft ergibt“, spätere (U) im Vergleich zu früheren zu diskontieren. In einem Buch, das das formale Studium der wirtschaftlichen Entwicklung einleitete, nannte Harrod (1948: 40) die Praxis einen „… höflichen Ausdruck für Vergewaltigung und die Eroberung der Vernunft durch Leidenschaft“.

Starke Worte, aber für einige Ökonomen liest sich die Ramsey-Harrod-Strenge in einer deterministischen Welt wie eine Sonntagserklärung. Solow (1974a: 9) drückte dieses Gefühl genau dann aus, als er schrieb: „Im feierlichen Konklave sollten wir sozusagen so tun, als ob der [Abzinsungssatz für zukünftige Wohlergehen] Null wäre.“

Die Angelegenheit kann jedoch nicht ohne eine Untersuchung der Produktions- und Verbrauchsmöglichkeiten einer Wirtschaft geklärt werden. Betrachten Sie die folgende Spannung zwischen zwei Überlegungen:

1. Niedrige Konsumraten von Generationen, die weit in die Zukunft reichen, würden von der gegenwärtigen DM nicht als schlecht angesehen, wenn zukünftige Wohlergehen mit einer positiven Rate abgezinst würden. Daher würde die heutige DM für jetzt und in naher Zukunft hohe Konsumraten empfehlen, selbst wenn dies bedeuten würde, dass Generationen in ferner Zukunft in Not leben würden. Wenn jedoch eine solche Politik verfolgt würde, würden die Forderungen einer weiteren moralischen Forderung an den klassischen Utilitarismus, die DM möglicherweise hat, nämlich „Gerechtigkeit zwischen den Generationen“, nicht erfüllt. Deshalb sollten wir Ramsey folgen und zukünftige Wohlergehen nicht außer Acht lassen.
2. Schreiben Sie (dF (K) / dK) als (F_K). Aus Gleichung (1) lässt sich einfach ableiten, dass (F_K) die Kapitalrendite ist. In Ramseys Wirtschaft (F_K / gt 0) bedeutet dies, dass jede eingesparte Produktionseinheit mehr als eine Einheit des zukünftigen Verbrauchs liefert, andere Dinge sind gleich. Wenn DM beispielsweise den Verbrauch bei (t) um eine Einheit reduzieren würde, würde der zusätzliche Verbrauch, der in kürzester Zeit verfügbar sein würde - wir schreiben dies als (Delta t) -, ohne den Verbrauch zu beeinflussen zukünftiges Datum wäre (1+ [dF (K (t)) / dK (t)] Delta t). Die Produktivität des Kapitals ist somit an den Pfeil der Zeit gebunden, was zu einer Tendenz zugunsten künftiger Generationen führt. Diese Tendenz gibt dem Sprichwort Biss: „Wir können etwas für die Nachwelt tun,Aber was kann die Nachwelt jemals für uns tun? “Es entsteht unweigerlich der Gedanke, dass der Tendenz in DMs Kalkül vielleicht entgegengewirkt werden sollte, wenn sie der Gleichheit zwischen den Generationen im Hinblick auf das realisierte Wohlergehen als Ergänzung zum klassischen Utilitarismus etwas Aufmerksamkeit schenken sollte. Dies wiederum legt nahe, dass DM Ramsey aufgeben und zukünftige Wohlergehen mit einer positiven Rate diskontieren sollte.

Die Kraft jeder Überlegung wurde in der Wirtschaftsliteratur gezeigt. Im Zusammenhang mit einem einfachen Modell wurde gezeigt, dass, wenn die Produktion produziertes Kapital und erschöpfbare Ressourcen erfordert, der optimale Verbrauch langfristig auf Null sinkt, wenn zukünftige Wohlergehen mit einer positiven Rate abgezinst werden (Dasgupta und Heal, 1974). aber steigt auf unbestimmte Zeit, wenn wir Ramsey folgen, um zukünftige Wohlergehen nicht zu vernachlässigen (Solow, 1974b). Die Übungen zeigen, dass die langfristigen Merkmale einer optimalen Sparpolitik von der relativen Höhe der Rate abhängen, mit der künftige Wohlergehen abgezinst werden, und von der langfristigen Produktivität des Kapitalvermögens.

Es gibt hier einen allgemeineren Punkt, der von Koopmans (1960, 1965, 1967, 1972) in einer bemerkenswerten Reihe von Veröffentlichungen zur Idee der wirtschaftlichen Entwicklung untersucht wurde. Bei solch komplexen Übungen wie Konsum und Investition über einen langen Zeithorizont ist es dumm, ethische Prinzipien (z. B. klassischer Utilitarismus) als sakrosankt anzusehen. Man kann nie im Voraus wissen, worauf es stoßen könnte. Eine vernünftigere Taktik als Ramseys wäre es, eine Reihe ethischer Annahmen in nicht unplausiblen Welten gegen eine andere auszuspielen, zu sehen, welche Auswirkungen sie auf die Verteilung des Wohlbefindens über Generationen haben, und dann unsere intuitiven Sinne anzusprechen, bevor wir darüber streiten Politik. Eine Ex-ante-Entscheidung darüber, ob ein positiver Zinssatz zur Abzinsung künftiger Wohlergehen verwendet werden soll, könnte sich selbst zunichte machen. ^[1]

3. Das Problem des optimalen Speicherns

Ramsey betrachtete eine Welt mit einer unbestimmten Zukunft. Dies könnte seltsam erscheinen, hat aber eine starke Begründung. Angenommen, DM würde einen Horizont von (T) Jahren wählen. Da sie nicht weiß, wann unsere Welt untergehen wird, möchte sie die Ressourcen angeben, die bei (T) zurückbleiben sollen, falls die Welt dann nicht endet. Um jedoch eine Rechtfertigung für den Betrag zu finden, der bei (T) zurückgelassen werden soll, benötigt DM eine Einschätzung der Welt jenseits von (T). Das würde jedoch bedeuten, die Welt jenseits von (T) einzubeziehen. Und so weiter.

Bezeichnen Sie einen Verbrauchsstrom von der Gegenwart ((t = 0)) bis unendlich als ({C (t) }.) (K (0) gt 0) umschreibt die Wirtschaft; Es ist die Menge an Kapital, die die Gesellschaft aus der Vergangenheit geerbt hat. Mathematiker würden (K (0)) als "Anfangsbedingung" bezeichnen. Das Problem, das Ramsey sich selbst stellte, bestand darin, den Verbrauchsstrom ({C (t) }) von 0 bis unendlich zu bestimmen, den DM auswählen würde, wenn sie eine klassische Utilitaristin wäre.

3.1 Undiskontierter Utilitarismus

Nennen Sie einen Verbrauchsstrom ({C (t) }) machbar, wenn er Gleichung (1) mit der Anfangsbedingung (K (0)) erfüllt. In Ramseys deterministischer Welt lautet die klassisch-utilitäre Formulierung des Problems der optimalen nationalen Ersparnis zum Zeitpunkt (t = 0) wie folgt:

„Finden Sie aus der Menge aller möglichen Verbrauchsströme das ({C (t) }), das maximiert

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t))] dt.”)

Wir werden dieses Optimierungsproblem Ramsey Mark I nennen.

Es gibt eine ernsthafte Schwierigkeit mit Ramsey Mark I: Es ist nicht kohärent. Unendliche Summen konvergieren nicht unbedingt. Für jedes ({C (t) }), für das das unendliche Integral nicht konvergiert, existiert (V (0)) nicht. Wenn das Integral nicht für alle möglichen Verbrauchsströme ({C (t) }) konvergent ist, ist das Maximierungsproblem bedeutungslos: Man kann etwas nicht maximieren, das als reelle Funktion erscheint (V (0)) wenn die Funktion tatsächlich nicht existiert.

Die Kraft dieser Beobachtung ist in zu sehen

Beispiel 1 (David Gale zugeschrieben)

Angenommen, als extremer Sonderfall der Ramsey-Wirtschaft gilt (F (K) = 0) für alle (K / ge 0). Dann reduziert sich Gleichung (1) auf

) tag {5} frac {dK (t)} {dt} = - C (t))

Die in Gleichung (5) beschriebene Wirtschaftlichkeit besteht aus einem sich nicht verschlechternden Stück Kuchen der Größe (K (0) gt 0) zum Anfangsdatum. Es ist offensichtlich, dass jeder Verbrauchsstrom ({C (t) }), der Gleichung (5) erfüllt, auf lange Sicht gegen Null tendiert. Formal ist (C (t) rightarrow 0) as (t / rightarrow / infty).

Da die (U) - Funktion bis zu positiven affinen Transformationen einzigartig ist, können wir sie ohne Verlust der Allgemeinheit normalisieren, so dass (U (0) ne 0). Es ist dann offensichtlich, dass für alle möglichen ({C (t) }) (V (0)) in Ramsey Mark I zu minus unendlich divergiert, wenn (U (0) lt 0), aber divergiert zu plus unendlich, wenn (U (0) gt 0). Dass es im Kuchenfressmodell keine optimale Politik gibt, zeigt sich, wenn wir uns jetzt daran erinnern, dass (U (C)) als streng konkav angenommen wurde. Die Annahme impliziert, dass jede nicht egalitäre Verteilung des Konsums unter den Generationen durch eine geeignete Umverteilung verbessert werden kann. Die ideale Verteilung wäre ein gleicher Verbrauch für alle Generationen. Der einzige Verbrauchsstrom mit der letzteren Eigenschaft ist (C (t) = 0) für alle (t). Aber das ist die schlechteste Verteilung. QED

3.2 Normalisierung des undiskontierten Utilitarismus

Es stellt sich die Frage, ob es Umstände gibt, unter denen es einen besten Verbrauchsstrom gibt, obwohl (V (0)) nicht für alle Verbrauchsströme konvergiert. Ramsey formulierte die Frage, indem er die Art und Weise änderte, in der das Sparproblem gestellt wird.

Stellen Sie sich vor, dass das Wohlbefinden über die Grenzen hinausgeht, egal wie hoch der Verbrauch ist. Sei (U) das numerische Maß für das Wohlbefinden, mit dem DM arbeitet. (Alle positiven affinen Transformationen von (U) wären gleichermaßen legitime Maßstäbe für das Wohlbefinden.) Sei (B) die unterste Obergrenze von (U). Ramsey taufte es "Bliss". Da die Kapitalrendite ((F_K)) in seinem Modell positiv ist, würde der Verbrauch auf unbestimmte Zeit wachsen und auf lange Sicht gegen unendlich tendieren, wenn die Sparquoten angemessen gewählt würden. Das heißt, es gibt mögliche Wege der wirtschaftlichen Entwicklung, auf denen (U (C (t))) langfristig zu (B) tendiert. Dies impliziert jedoch, dass es mögliche Wege der wirtschaftlichen Entwicklung gibt, auf denen der Mangel von (U (C (t))) von (B) auf lange Sicht gegen Null geht. Wenn der Fehlbetrag schnell genug gegen Null geht,Das undiskontierte Integral der Differenz zwischen (U (C (t))) und (B) würde existieren, und DM könnte versuchen, das modifizierte Integral zu maximieren. Wir haben also Ramsey Mark II, der lautet wie folgt

„Finden Sie aus der Menge aller möglichen Verbrauchsströme das ({C (t) }), das maximiert

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) - B] dt.”)

Beachten Sie, dass Mark II eine Transformation von Mark I ist. Die Transformation läuft darauf hinaus, das Optimalitätskriterium neu zu normalisieren. Der Wechsel von Mark I zu Mark II von Ramsey war nicht nur genial, sondern zeigte auch seine moralische Integrität. Es wäre für ihn leicht genug gewesen, DM zu bitten, stattdessen den künftigen Konsum zu reduzieren und die Bandbreite der Umstände zu erweitern, unter denen der Utilitarismus eine Antwort auf das Problem liefert, das DM zu lösen versucht. Er entschied sich, das nicht zu tun.

Ramseys Intuition beim Übergang von Mark I zu Mark II war mächtig, aber in einem Artikel, der die moderne Literatur zum Ramsey-Problem initiierte, stellte Chakravarty (1962) fest, dass er sich ausschließlich auf die Bedingung stützte, die Ramsey als notwendig für einen Konsumstrom identifiziert hatte Das Optimum sein (siehe unten) kann zu absurden Ergebnissen führen (siehe unten, Abschn. 4). Tatsächlich beobachtete Chakravarty, dass unendliche Integrale, selbst wenn sie in Ramsey Mark II in der normalisierten Form gegossen werden, nicht unbedingt zu endlichen Werten konvergieren.

3.3 Das Überholkriterium

Notwendig war es, die Frage, ob unendliche Wohlfühlintegrale konvergieren, von der Frage zu trennen, ob optimale Verbrauchsströme existieren. Diese Erkenntnis lieferten Koopmans (1965) und von Weizsacker (1965). Die letztere Erklärung des letzteren Autors zum Problem der optimalen Einsparung lautete wie folgt:

Wir sagen, dass der realisierbare Verbrauchsstrom ({C ^ * (t) }) einem realisierbaren Verbrauchsstrom ({C (t) }) überlegen ist, wenn es (T / gt 0) gibt) so dass für alle (t / ge T),) tag {6} int ^ t_0 [U (C ^ * (s))] ds / ge / int ^ t_0 [U (C (s))] ds)

Wir nennen ({C ^ * (t) }) optimal, wenn es allen anderen möglichen Verbrauchsströmen überlegen ist.

Die Bedingung, die in Ungleichung (6) dargestellt wird, ist als Überholkriterium (OC) bekannt, denn das ist es. OC vermeidet es zu fragen, ob die Integrale auf beiden Seiten der Ungleichung (6) als (t / rightarrow / infty) konvergieren. Wenn sie dies tun, reduziert sich OC auf klassischen Utilitarismus. Aber OC ist in der Lage, auf Ramseys Sparproblem in einer breiteren Klasse von Situationen zu reagieren. In seiner Arbeit identifizierte Koopmans (1965) ein kanonisches Wirtschaftsmodell, in dem die (U) - Funktion oben begrenzt ist und in dem Ramsey Mark II einem Optimierungsproblem entspricht, das sich in Bezug auf OC stellt.

Was sollen wir von der Ethik halten, das Wohlergehen künftiger Generationen zu mindern? Ramsey (1928) begann damit, es zu verwerfen, studierte es dann aber am Ende seiner Arbeit. DM könnte natürlich eine Diskontierung des künftigen Wohlbefindens rechtfertigen, wenn die Möglichkeit eines künftigen Aussterbens besteht. Sidgwick (1907) selbst bemerkte dies in der zuvor zitierten Passage. Wenn der klassische Utilitarismus die erwartete Summe des Wohlbefindens lobt, dann ist die „Gefährdungsrate“zum Zeitpunkt (t) (dh die Wahrscheinlichkeit des Aussterbens zum Zeitpunkt (t) abhängig vom Überleben der Gesellschaft bis (t))) würde im Ausdruck für das erwartete Wohlbefinden als Abzinsungssatz für das Wohlbefinden bei (t) erscheinen. Es bleibt die Frage, ob der klassische Utilitarismus darauf bestehen würde, zukünftige Versorgungsunternehmen in einer deterministischen Welt nicht zu diskontieren.

In einem bemerkenswerten Werkpaar enthüllte Koopmans (1960, 1972) interne Widersprüche im ethischen Denken in einer deterministischen Welt sowohl in Ramsey Mark I als auch in Ramsey Mark II. Er (und später Diamond, 1965) zeigte, dass die Gleichbehandlung der (U) - Funktion über Generationen hinweg aufgegeben werden muss, wenn relativ schwache normative Anforderungen an das Konzept des Wohlbefindens zwischen den Generationen in einer deterministischen Welt gestellt werden. Wir wenden uns jetzt dem zu.

3.4 Diskontierter Utilitarismus

Es stellt sich heraus, dass die Mathematik viel einfacher ist, wenn anstelle der Annahme, dass die Zeit kontinuierlich ist, die Zeit als diskret angesehen wird. Wir nehmen nun also an, dass (t = 0,1,2, / ldots). Nehmen wir auch an, dass das Wohlbefinden zwischen den Generationen bei (t = 0) anhand einer numerischen Funktion (V) gemessen werden kann. Die Idee ist, dass die Funktion, die in unendlichen Wohlfühlströmen definiert ist, Eigenschaften erfüllt, die ethische Richtlinien widerspiegeln.

Sei ({U (t) }) ein unendlicher Wohlfühlstrom, dh ({U (t) } = (U (0), U (1), / ldots, U. (t), / ldots)). Wir sagen, (V ({U (t) })) ist stetig, wenn in einem geeigneten mathematischen Sinne die Werte von (V) für Wohlfühlströme ({U (t) }) das unterscheidet sich nicht sehr im Raum von ({U (t) }) s sind nahe beieinander. Eine weitere Bedingung für die (V) - Funktion, die ethisch attraktiv ist, ist die „Monotonie“. Um den Begriff zu definieren, lassen Sie uns sagen, dass ein Wohlfühlstrom einem anderen „überlegen“ist, wenn keine Generation entlang der ersteren weniger Wohlbefinden genießt als entlang der letzteren und wenn es mindestens eine Generation gibt, die im ersteren ein größeres Wohlbefinden genießt als es in letzterem tut. Wir sagen, dass (V) monoton ist, wenn (V) für einen Wohlfühlstrom größer ist als für einen anderen, wenn der erstere dem letzteren überlegen ist.

Beide Eigenschaften sind attraktiv. Ungeachtet der lexikografischen Reihenfolge gibt es keine überzeugenden Argumente gegen die Kontinuität. Natürlich stellte Rawls (1972) Prioritätsregeln und die lexikografischen Ordnungen auf die Objekte von Interesse in seiner Vorstellung von Gerechtigkeit, die mit ihnen in den Mittelpunkt seiner Theorie stehen, aber das hat sich als einer seiner umstrittensten Schritte erwiesen. Der Reichtum und die Tiefe seiner Analyse würden nicht verringert, wenn kleine Kompromisse zwischen den Objekten der Gerechtigkeit zugelassen würden. Und es ist schwer, Gründe gegen Monotonie zu finden. Sogar Rawls, dessen Arbeit so auf Verteilungsgerechtigkeit ausgerichtet war, bestand auf Monotonie.

Es kann jedoch gezeigt werden, dass in jede (V) - Funktion, die Kontinuität und Monotonie erfüllt, eine Generierungsdiskontierung eingebaut sein muss. Es scheint, dass die reellen Zahlen nicht reich genug sind, um unendliche Wohlfühlströme auf eine Weise aufzunehmen, die Kontinuität und Monotonie respektiert und gleichzeitig das Wohl aller Generationen gleich gewichtet. Der Beweis des Satzes ist in Diamond (1965) und wurde vom Autor Menahem Yaari zugeschrieben. Deshalb führen wir jetzt in der (V) - Funktion eine positive Diskontierung des Wohlbefindens ein und formulieren Ramsey Mark III.

Kehren Sie noch einmal zu der Formulierung zurück, in der die Zeit kontinuierlich ist. Wie zuvor sagen wir, dass ein Verbrauchsstrom ({C (t) }) machbar ist, wenn er Gleichung (1) mit einem Anfangskapital von (K (0)) erfüllt. Ramsey Mark III (Ramsey, 1928, 553–555) ist dann:

„Finden Sie aus der Menge aller möglichen Verbrauchsströme das ({C (t) }), das maximiert

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) e ^ {- / delta t}] dt, / delta / gt 0.”)

In Mark III ist der Abzinsungssatz (Delta) eine positive Konstante. Dies bedeutet, dass der entsprechende Abzinsungsfaktor (e ^ {- / delta}) kleiner als 1 ist. Letzteres kann wiederum gezeigt werden, dass in einer Vielzahl von Wirtschaftsmodellen (e ^ {- / delta t})) tendiert so schnell zu Null, dass Mark III eine Antwort hat.

Sei ({C ^ * (t) }) die Lösung von Ramsey Mark III. Heuristisch ist es nützlich, sich vorzustellen, dass es zu jedem Datum eine DM gibt. Das Maß für das Wohlbefinden zwischen den Generationen für die DM zum Zeitpunkt (t) ist das (V (t)) von Gleichung (4). Beachten Sie, dass die ethischen Ansichten der aufeinanderfolgenden DMs miteinander übereinstimmen. Es ist daher nicht erforderlich, dass die DM einen „Generationenvertrag“ausarbeiten. Die DM möchte zu jedem Zeitpunkt die Höhe des Verbrauchs auswählen, die sie für optimal hält, und sich darüber im Klaren sein, dass nachfolgende DMs gemäß den von ihnen geplanten Anforderungen wählen. In der modernen spieltheoretischen Sprache ist Ramseys optimaler Verbrauchsstrom ({C ^ * (t) }) ein „nicht kooperatives“(Nash) Gleichgewicht zwischen den DMs.

4. Die Ramsey-Regel und ihre Auswirkungen

Wir konstruieren nun eine informelle Version des Variationsarguments Ramsey, das zur Bestimmung von ({C ^ * (t) }) in Mark III verwendet wird. Grob gesagt erfordern die DMs die Grenzrate der ethisch gleichgültigen Substitution zwischen dem Verbrauch zu zwei beliebigen kurzen Zeiträumen, um der Grenzrate zu entsprechen, mit der der Verbrauch zwischen demselben Paar kurzer Zeiträume transformiert werden kann. Ihre Gleichheit (dh das richtige Gleichgewicht zwischen den „Wünschenswerten“und den „Machbaren“) ist eine notwendige Eigenschaft eines optimalen Verbrauchsstroms.

Ramsey konstruierte einen mathematischen Ausdruck der Eigenschaft, suchte jedoch nicht nach Bedingungen, die zusammengenommen sowohl notwendig als auch ausreichend sind. Wir werden ein einfaches Beispiel verwenden, das auch in seiner Arbeit enthalten ist, um zu zeigen, wie eine ausreichende Bedingung erhalten werden kann.

4.1 Das Variationsargument

Schreiben Sie (dU / dC = U_C) und (d ^ 2 U / dC ^ 2 = U_ {CC}.) Sei ({C (t) }) ein realisierbarer Verbrauchsstrom. Wir leiten zunächst einen formalen Ausdruck für die Grenzrate der ethisch gleichgültigen Substitution zwischen dem Konsum in zwei kurzen Zeiträumen ab. Angenommen, die Absicht besteht darin, den Verbrauch zu einem späteren Zeitpunkt (t) um eine kleine Menge (Delta C (t)) zu reduzieren und den Verbrauch zu einem nahe gelegenen Zeitpunkt (t + / Delta t) zu erhöhen, während der Verbrauch überhaupt erhalten bleibt andere Daten sind die gleichen wie in ({C (t) }). Der Verlust an Wohlbefinden, der sich aus dem Umzug ergeben würde, ist (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)} Delta C (t)). Wir versuchen nun, den prozentualen Anstieg des Verbrauchs zu bestimmen, der bei (t + / Delta t) erforderlich wäre, wenn (V (0)) unverändert bleiben soll; denn das ist die Grenzrate der ethisch gleichgültigen Substitution zwischen Verbrauch bei (t) und Verbrauch bei (t + / Delta t). Bezeichnen Sie diese Rate mit (varrho (t)). Dann muss (varrho (t)) der Prozentsatz sein, bei dem das diskontierte marginale Wohlbefinden bei (t) abnimmt. Daraus folgt auch, dass (varrho (t)) die Rate ist, mit der der DM bei (t = 0) eine Verbrauchseinheit bei (t) diskontieren würde, um sie auf die Gegenwart zu bringen (weil Das ist gemeint mit dem Prozentsatz, mit dem das diskontierte marginale Wohlbefinden bei (t) abnimmt - für eine formelle Demonstration siehe Dasgupta, 2008). Einige Ökonomen nennen (varrho (t)) den Konsumzins (Little und Mirrlees, 1974), andere den sozialen Diskontsatz (Arrow und Kurz, 1970). (varrho (t)) ist ein grundlegendes Objekt in der sozialen Kosten-Nutzen-Analyse. Daraus folgt auch, dass (varrho (t)) die Rate ist, mit der der DM bei (t = 0) eine Verbrauchseinheit bei (t) diskontieren würde, um sie auf die Gegenwart zu bringen (weil Das ist gemeint mit dem Prozentsatz, mit dem das diskontierte marginale Wohlbefinden bei (t) abnimmt - für eine formelle Demonstration siehe Dasgupta, 2008). Einige Ökonomen nennen (varrho (t)) den Konsumzins (Little und Mirrlees, 1974), andere den sozialen Diskontsatz (Arrow und Kurz, 1970). (varrho (t)) ist ein grundlegendes Objekt in der sozialen Kosten-Nutzen-Analyse. Daraus folgt auch, dass (varrho (t)) die Rate ist, mit der der DM bei (t = 0) eine Verbrauchseinheit bei (t) diskontieren würde, um sie auf die Gegenwart zu bringen (weil Das ist gemeint mit dem Prozentsatz, mit dem das diskontierte marginale Wohlbefinden bei (t) abnimmt - für eine formelle Demonstration siehe Dasgupta, 2008). Einige Ökonomen nennen (varrho (t)) den Konsumzins (Little und Mirrlees, 1974), andere den sozialen Diskontsatz (Arrow und Kurz, 1970). (varrho (t)) ist ein grundlegendes Objekt in der sozialen Kosten-Nutzen-Analyse. Einige Ökonomen nennen (varrho (t)) den Konsumzins (Little und Mirrlees, 1974), andere den sozialen Diskontsatz (Arrow und Kurz, 1970). (varrho (t)) ist ein grundlegendes Objekt in der sozialen Kosten-Nutzen-Analyse. Einige Ökonomen nennen (varrho (t)) den Konsumzins (Little und Mirrlees, 1974), andere den sozialen Diskontsatz (Arrow und Kurz, 1970). (varrho (t)) ist ein grundlegendes Objekt in der sozialen Kosten-Nutzen-Analyse.

Sei (Delta) verschwindend klein. Dann per Definition

) tag {7} varrho (t) = - [d (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)}) / dt] / e ^ {- / delta t} U_ {C (t)})

Um die Notation zu vereinfachen, bezeichne (g (C (t))) die prozentuale Wachstumsrate in (C (t)) (dh (g (C (t)) = [dC (t)). / dt] / C (t)), was negativ sein kann), und lassen Sie (sigma (C)) die Elastizität des marginalen Wohlbefindens bezeichnen (dh (sigma (C) = -CU_ {) CC} / U_C / gt 0)). Gleichung (7) vereinfacht sich dann zu

) tag {8} varrho (t) = / delta + / sigma (C (t)) g (C (t)))

Da ({C ^ * (t) }) unter der Annahme das Optimum ist, kann keine mögliche Abweichung von ({C ^ * (t) }) (V (0)) zunehmen. Das bedeutet, dass der Konsumzins ((varrho (t))) bei jedem (t) der sozialen Kapitalrendite ((F_ {K (t)})) entsprechen muss. Um zu sehen, warum, nehmen wir in einem verschwindend kleinen Zeitintervall (F_ {K (t)} gt / varrho (t)) an. Dann könnte (V (0)) erhöht werden, indem eine Einheit weniger bei (t) verbraucht wird und die Rückkehr von ((1 + F_ {K (t)})) kurz danach genossen wird. Wenn alternativ (F_ {K (t)} lt / varrho (t), könnte V (0)) erhöht werden, indem eine Einheit mehr bei (t) verbraucht wird und der Verbrauch bald danach um einen Betrag von gleich reduziert wird die Rückgabe ((1 + F_ {K (t)})). Dies bedeutet jedoch, dass der Konsumzins (varrho (t)) der sozialen Rendite (F_ {K (t)}) entlang ({C ^ * (t) }) bei entspricht jedes Datum. Unter Verwendung von Gleichung (8) haben wir,) tag {9} delta + / sigma (C (t)) g (C (t)) = F_ {K (t)})

Gleichung (9) ist die Ramsey-Regel. Es ist eine notwendige Voraussetzung für die Optimalität in Ramsey Mark III und zweifellos die bekannteste Gleichung in der intertemporalen Wohlfahrtsökonomie. Die Regel ist eine formale Aussage über das Erfordernis von ({C ^ * (t) }), dass die marginale Substitutionsrate zwischen dem Verbrauch an zwei nahe gelegenen Daten (die linke Seite von Gleichung 9) gleich ist die marginale Transformationsrate zwischen dem Verbrauch an demselben Paar nahegelegener Daten (die rechte Seite von Gleichung (9). Es ist einfach zu bestätigen, dass Gleichung (9) unter positiven affinen Transformationen des (U) unveränderlich ist)-Funktion.

4.2 Unvollständigkeit in Ramseys Analyse

Gegenwärtig werden wir eine (U) - Funktion angeben, für die (sigma) unabhängig von (C) ist. Im Moment nehmen wir lediglich an, dass (sigma) konstant ist. In diesem Fall lautet die Ramsey-Regel wie folgt

) tag {10} delta + / sigma g (C (t)) = F_ {K (t)})

In Ramsey Mark III wird (K (0)) als Erbe der Vergangenheit angegeben. Das heißt, (F_ {K (0)}) wird als Anfangsbedingung angegeben, es ist keine Wahl für die DM bei (t = 0). Darüber hinaus sind (delta) und (sigma) Parameter, die beide ethische Werte widerspiegeln. Die DM kann daher (g (C (0))) aus Gleichung (10) bestimmen. Dies ist jedoch die optimale prozentuale Wachstumsrate des Verbrauchs zu Beginn. Die Ramsey-Regel gibt dem DM eine Gleichung zur Bestimmung der anfänglichen Wachstumsrate des Verbrauchs, sagt jedoch nicht aus, wie hoch das anfängliche Verbrauchsniveau sein sollte. Im Folgenden zeigen wir anhand eines Beispiels, dass es unendlich viele mögliche Verbrauchspfade gibt, die die Ramsey-Regel erfüllen. Daraus folgt, dass der DM bei (t = 0) eine weitere Bedingung benötigt, um (C ^ * (0)) zu bestimmen.

Beispiel 2 (die lineare Wirtschaft)

Annehmen

) begin {align} tag {11a} F (K) & = / mu K, / mu / gt 0 \\ / tag {11b} U (C) & = - C ^ {- (sigma -1)}, / sigma / gt 1 / end {align})

Aus Gleichung (11a) folgt (F_K = / mu), was bedeutet, dass die Kapitalrendite konstant ist. Aus Gleichung (11b) folgt, dass (sigma) die Elastizität des marginalen Wohlbefindens ist. Beachten Sie auch, dass (U (C) rightarrow - / infty) als (C / rightarrow 0) und dass unter der gewählten Normalisierung der (U) - Funktion (U (C) rightarrow 0) als (C / rightarrow / infty). Die Verwendung von Gleichung (11a) in Gleichung (1) ergibt:

) tag {12} frac {dK (t)} {dt} = / mu K (t) - C (t))

Schreiben Sie (m = (mu - / delta) / / sigma). Durch Anwenden der Gleichungen (11a - b) auf Gleichung (10) wird die Ramsey-Regel auf reduziert

) tag {13} frac {dC (t)} {dt} = [(mu - / delta) / / sigma] C (t) = mC (t))

Gleichung (13) besagt, dass wenn (mu / lt / delta, C (t)) mit einer exponentiellen Rate auf 0 abfällt. Empirisch ist der pausierbare Fall (mu / gt / delta), was wir hier tun werden. Dies bedeutet, dass die Kapitalrendite ((mu)) die Rate übersteigt, zu der der Zeitpunkt abgezinst wird ((delta)). Und das bedeutet wiederum (m / gt 0). Die Integration von Gleichung (13) ergibt

) tag {14} C (t) = C (0) e ^ {mt})

Gleichung (14) besagt, dass (C (t)) exponentiell mit der Rate (m) wächst. Wir bekräftigen einen zuvor gemachten Punkt, dass Gleichung (14) zwar die Wachstumsrate des optimalen Verbrauchs zum Anfangsdatum (dh (t = 0)), aber nicht das Anfangsverbrauchsniveau (dh) anzeigt, (C (0))). Das ist die Unbestimmtheit in der Ramsey-Regel.

Der einfachste Weg, den optimalen Anfangsverbrauch (C ^ * (0)) zu bestimmen, besteht darin, aus Gleichung (14) zu beobachten, dass (C ^ * (t)) mit der Geschwindigkeit (m) unbegrenzt wächst), also sollte (K (t)) erforderlich sein, um mit derselben Geschwindigkeit zu wachsen. Der Grund ist, dass, wenn die Wachstumsrate von (K (t)) kleiner als (m) wäre, Kapital aufgefressen würde, was bedeutet, dass die Aktie in endlicher Zeit erschöpft wäre. Die Wirtschaft würde dann aufhören zu existieren ((V (0)) wäre minus unendlich, wenn die zukünftige Entwicklung der Wirtschaft so wäre.) Wenn andererseits die Wachstumsrate von (K (t)) würde (m) überschreiten, würde es zu einer Überakkumulation von Kapital kommen, in dem Sinne, dass der Verbrauch zu jedem Zeitpunkt niedriger wäre als nötig. Die Situation würde einer ähneln, in der DM einen Teil des ursprünglichen Grundkapitals (K (0)) wegwirft und sich dann auf ein Sparverhalten einlässt, das die Ramsey-Regel erfüllt.

Das exponentielle Wachstum unserer linearen Wirtschaft (Gleichung 11a) sagt uns, dass die Sparquote konstant sein sollte. Definieren wir die Sparquote (s) als den Anteil der Produktion (BIP), der zu jedem Zeitpunkt investiert wird. Dann kann Gleichung (1) wie folgt umgeschrieben werden

) tag {15} frac {dK (t)} {dt} = s / mu K (t))

Gleichung (15) besagt, dass das beabsichtigte Sparen der beabsichtigten Investition entspricht. Die Integration von Gleichung (15) ergibt

) tag {16} K (t) = K (0) e ^ {s / mu t})

Wir bestehen jedoch darauf, dass sowohl (K (t)) als auch (C (t)) mit der gleichen Geschwindigkeit wachsen. Die Gleichungen (14) und (16) implizieren daher

) tag {17} m = / frac { mu - / delta} { sigma} = s / mu)

Die Sparquote in Gleichung (17) ist das Optimum. Also schreiben wir es als (s ^ *). So

) tag {18} s ^ * = / frac {m} { mu} = / frac { mu - / delta} { sigma / mu} lt 1)

Die Gleichungen (16) - (18) sagen uns, dass die optimale Wachstumsrate des Verbrauchs (g ^ *) ist

) tag {19} g ^ * = / frac { mu - / delta} { sigma} gt 0)

Beachten Sie auch, dass sich Gleichung (18) auf (delta = 0) auf reduziert

) tag {20} s ^ * = / frac {1} { sigma})

Gleichung (20) bietet eine so elegante, vereinfachte Antwort auf die Frage, mit der Ramsey seine Arbeit begonnen hat.

4.3 Die Transversalitätsbedingung

Die lineare Technologie (Gleichung 11a) und die isoelastische (U) - Funktion (Gleichung 11b) ermöglichten es uns sofort zu erkennen, dass, wenn ein Verbrauchsstrom, der die Ramsey-Regel erfüllt, das Optimum sein soll, sowohl Kapital als auch Verbrauch sollten wachsen mit der gleichen exponentiellen Rate, (m). Es ist viel schwieriger, eine ausreichende Bedingung für die Optimalität in allgemeineren Modellen zu identifizieren. Was wir brauchen, ist eine Bedingung für die langfristigen Merkmale eines Verbrauchsstroms, die die Ramsey-Regel erfüllen und sicherstellen können, dass es das Optimum ist. von Weizsacker (1965) zeigte, dass sich die erforderliche Bedingung auf das langfristige Verhalten des mit diesem Konsumstrom verbundenen sozialen Wertes des Kapitals bezieht. Wir formalisieren jetzt die Bedingung.

Sei (U) die Rechnungseinheit. Betrachten Sie einen Verbrauchsstrom ({C (t) }). Daraus folgt, dass (U_ {C (t)}) der soziale Wert einer marginalen Konsumeinheit ist. Schreiben Sie (P (t)) für (U_ {C (t)}. P (t)) wird als (Spot-) Buchhaltungspreis des Verbrauchs bezeichnet. Da (e ^ {- / delta t} P (t)) der abgezinste Wert von (P (t)) ist, wird er als Barwert des Verbrauchspreises bezeichnet. Wenn ({C (t) }) die Ramsey-Regel in Mark III erfüllt, ist (e ^ {- / delta t} P (t)) auch der Barwert des Buchwerts einer Kapitaleinheit Lager. von Weizsacker (1965) zeigte, dass eine ausreichende Bedingung für die Optimalität von ({C (t) }) (e ^ {- / delta t} P (t) K (t) rightarrow A) ist. als t (rightarrow / infty), wobei (A) eine (endliche) nicht negative Zahl ist. In Worten,Eine notwendige und ausreichende Bedingung, damit ({C (t) }) das Optimum ist, ist (i) dass es die Ramsey-Regel erfüllt und (ii) dass der Barwert des Kapitalbestands der Wirtschaft endlich ist. Die Bedingung (ii), die allgemein als "Transversalitätsbedingung" bekannt ist, eliminiert diejenigen möglichen Verbrauchsströme, die die Ramsey-Regel erfüllen, bei denen jedoch übermäßige Einsparungen erzielt werden. Eine einfache Berechnung bestätigt, dass in Beispiel 2 die Transversalitätsbedingung erfüllt ist, wenn die Sparquote (s ^ *) ist (Gleichung 18). Eine einfache Berechnung bestätigt, dass in Beispiel 2 die Transversalitätsbedingung erfüllt ist, wenn die Sparquote (s ^ *) ist (Gleichung 18). Eine einfache Berechnung bestätigt, dass in Beispiel 2 die Transversalitätsbedingung erfüllt ist, wenn die Sparquote (s ^ *) ist (Gleichung 18).

4.4 Numerische Schätzungen der optimalen Sparquote

Gleichung (18) besagt, dass (s ^ *) eine zunehmende Funktion der Kapitalrendite ((mu)), eine abnehmende Funktion des zeitlichen Abzinsungssatzes ((delta)) ist und eine abnehmende Funktion der Elastizität des marginalen Wohlbefindens ((sigma)). Jede dieser Eigenschaften ist intuitiv offensichtlich:

(1) Je höher die Kapitalrendite ((mu)) ist, desto größer ist der Gewinn für zukünftige Generationen aus einem geringfügigen Anstieg der Einsparungen durch die ersten Generationen. Das heißt, die optimale Sparquote sollte eine zunehmende Funktion von (mu) sein, andere Dinge sind gleich.

(2) Je größer der Wert des von DM gewählten Zeitabzinsungssatzes ((delta)) ist, desto geringer ist das Gewicht, das sie dem Wohl künftiger Generationen beimisst. Dies impliziert ein höheres optimales Verbrauchsniveau für frühe Generationen (Abschn. 2.1), was wiederum impliziert, dass die optimale Einsparungsrate niedriger ist, andere Dinge sind gleich.

(3) Da die Kapitalrendite positiv ist ((mu / gt 0)), zeigt der Zeitpfeil eine Tendenz zugunsten künftiger Generationen (Abschn. 2.1). Aber je größer der gewählte Wert von (sigma) ist, desto mehr DM zeigt Bedenken hinsichtlich der Gleichheit des Verbrauchs über die Generationen hinweg. Je größer diese Sorge ist, desto höher ist daher die optimale Verbrauchsrate, die die ersten Generationen genießen können. Wir sollten also erwarten, dass die optimale Sparrate eine abnehmende Funktion von (sigma) ist, andere Dinge sind gleich.

Es ist lehrreich, stilisierte Zahlen für die Parameter auf der rechten Seite der Gleichungen (18) bzw. (19) zu berücksichtigen. Obwohl stilisiert, sind sie Zahlen für das Paar ethischer Parameter (sigma) und (delta), die Ökonomen, die über die Ökonomie des Klimawandels geschrieben haben, in ihrer Arbeit angenommen haben. Die Wohlfahrtsökonomie des Klimawandels hat zwar kompliziertere Modelle verlangt als das in den Gleichungen (1) und (11a) dargestellte Modell, aber wie wir weiter unten bestätigen, hat sie keine zusätzlichen theoretischen Erkenntnisse geboten. Im Folgenden nehmen wir ein Jahr als Zeiteinheit und nehmen an, dass (mu = 0,05) (dh 5% pro Jahr). Entlang des Optimums entspricht der Konsumzins der Kapitalrendite (Ramsey-Regel), was bedeutet, dass der optimale Konsumzins konstant 5% pro Jahr beträgt.

Eine Zahl von 5% pro Jahr für (mu) impliziert eine Kapitalproduktionsquote ((1 / / mu)) von 20 Jahren, die weit über den Schätzungen der Kapitalproduktionsquoten zwischen Branchen liegt Studien, zu denen Ökonomen in verschiedenen Teilen der Welt gelangt sind (Behrman, 2001); Eine repräsentative Zahl für 1 / (mu) in dieser Literatur beträgt 3 Jahre. Ihre Schätzungen basieren jedoch auf einer Definition von „Kapital“, die sich auf „produziertes“Kapital wie Fabriken, Straßen, Häfen und Gebäude beschränkt. Ihnen fehlt das Humankapital (Bildung, Gesundheit, Wissen) sowie das Naturkapital (Ökosysteme, Untergrundressourcen). Ramseys Modell, wie es in Gleichung (11a) zusammengefasst ist, umfasst alle Formen von Investitionsgütern. Zweifellos erfordert seine Formulierung eine heldenhafte (gelesene, unmögliche!) Leistung der Aggregation, aber wenn alle Investitionsgüter, die in die Produktion gelangen, berücksichtigt werden,Wir sollten erwarten, dass eine aggregierte Kapitalproduktionsquote (die wir als (inklusive) Vermögensproduktionsquote bezeichnen sollten) viel höher als 3 Jahre ist. vielleicht sogar höher als 20 Jahre (Arrow et al., 2012, 2013). In den volkswirtschaftlichen Gesamtrechnungen fehlen große Kategorien von Investitionsgütern, die das Verständnis der Ökonomen für Produktions- und Verbrauchsmöglichkeiten beeinflussen (Dasgupta, 2019). Es scheint also, dass noch ein langer Weg vor uns liegt, bevor wir eine gute Annäherung an das erreichen können, was wir unseren Nachkommen hinterlassen sollten. In den volkswirtschaftlichen Gesamtrechnungen fehlen große Kategorien von Investitionsgütern, die das Verständnis der Ökonomen für Produktions- und Verbrauchsmöglichkeiten beeinflussen (Dasgupta, 2019). Es scheint also, dass noch ein langer Weg vor uns liegt, bevor wir eine gute Annäherung an das erreichen können, was wir unseren Nachkommen hinterlassen sollten. In den volkswirtschaftlichen Gesamtrechnungen fehlen große Kategorien von Investitionsgütern, die das Verständnis der Ökonomen für Produktions- und Verbrauchsmöglichkeiten beeinflussen (Dasgupta, 2019). Es scheint also, dass es noch ein langer Weg ist, bis wir eine gute Annäherung an das erreichen können, was wir unseren Nachkommen hinterlassen sollten.

Beispiel 3 (aus der Ökonomie des Klimawandels)

Wir wenden uns nun den Werten der beiden ethischen Parameter in Gleichung (11b) zu, die drei Ökonomen bei ihrer Untersuchung der Ökonomie des Klimawandels ausgewählt haben.

) begin {align} tag * {Cline (1992)} sigma = 1.5 / quad & / text {und} quad / delta = 0 \\ / tag * {Nordhaus (1994)} sigma = 1 / quad & / text {und} quad / delta = 0,03 / text {(3% pro Jahr)} / \ tag * {Stern (2007)} sigma = 1 / quad & / text {und} quad / delta = 0,001 / text {(0,1% pro Jahr)} end {align})

(NB: (sigma = 1) entspricht der logarithmischen Wohlfühlfunktion, dh (U (C) =) log (C), und kann als Grenze der funktionellen Form von erhalten werden (U (C)) in Gleichung (11b) als (sigma / rightarrow 1.))

Wir legen diese Parameterwerte fest, um festzustellen, dass die optimale Sparquote (s ^ *) (Gleichung 18) und die optimale Wachstumsrate des Verbrauchs (Gleichung 19) wiederum sind:

) begin {align} tag {21a} s ^ * = 67 \% / quad & / text {und} quad g ^ * = 3,3 \% / text {a year (Cline)} / \ tag { 21b} s ^ * = 40 \% / quad & / text {und} quad g ^ * = 2,0 \% / text {ein Jahr (Nordhaus)} / \ tag {21c} s ^ * = 98 \% / quad & / text {und} quad g ^ * = 4,9 \% / text {ein Jahr (Stern)} end {align})

4.5 Kommentar

Eine nationale Sparquote von 40% (Gleichung 21b) ist im Vergleich zu den heutigen westlichen Volkswirtschaften zweifellos hoch, aber es gibt Länder, die in den letzten Jahren eine Sparquote von 40–45% erreicht haben (China ist ein prominentes Beispiel). Ein Wert von 67% für (s ^ *) (Gleichung 21a) ist höher als die Sparquote in einem Land, aber nicht unglaublich. Die wirklich ausgefallenen Zahlen liegen bei 98% (Gl. 21c). Es ist besonders ausgefallen, weil die Zahl die optimale Sparquote ist, egal wie klein (K (0)) ist. Zwar ist das Modell hier (Gleichungen 11a - b) phänomenal stilisiert, aber es bringt die Beobachtung von Koopmans (1965) scharf zum Ausdruck, dass es dumm ist, (delta = 0) (oder nahe 0) anzunehmen. ohne vorher die möglichen Konsequenzen für die Verteilung des Wohlbefindens über die Generationen zu prüfen.

Gleichung (19) hat gezeigt, dass die optimale Wachstumsrate des Verbrauchs oben durch (mu) begrenzt ist, was erklärt, warum (g ^ *) für jede der drei parametrischen Spezifikationen, die wir haben, weniger als 5% pro Jahr beträgt berücksichtigt. Die Spezifikationen stammen aus drei Studien zur Wohlfahrtsökonomie des globalen Klimawandels, in denen die Autoren mit Modellen arbeiteten, die viel komplexer sind als die von Ramsey. Und doch sind ihre Ergebnisse genau das, worauf seine Formulierung hinweisen würde (Dasgupta, 2008), nämlich dass andere Dinge gleich sind, je niedriger der gewählte Wert von (delta) ist und / oder je größer der Schaden für das zukünftige Wohlbefinden ist. Da erwartet wird, dass dies durch den globalen Klimawandel verursacht wird, ist das Investitionsniveau, das DM empfehlen sollte, um den Klimawandel abzuwenden oder die Auswirkungen dieses Wandels auf das Wohlbefinden des Menschen abzuschwächen, umso höher. Die oft schrille Debatte (zB Nordhaus,2007), inwieweit globale Investitionen auf die Verringerung der schädlichen Auswirkungen des Klimawandels gerichtet sein sollten, wurde durch Unterschiede in der Modellspezifikation unter den Ökonomen des Klimawandels beflügelt.

Die lineare Technologie (Gleichung 11a) und die isoelastische (U) - Funktion (Gleichung 11b) haben zusammengenommen tiefe Einblicke geboten, obwohl wir die Diskussion hier auf Stift-Papier-Berechnungen beschränkt haben. Die funktionalen Formen sind nicht glaubwürdig; Trotzdem nutzte Ramsey sie. Sein Beitrag zeigte, dass unglaublich vereinfachte Modelle, sofern ihre Konstruktion von einer starken Intuition unterstützt wird, Fragen beleuchten können, die scheinbar unmöglich zu formulieren oder gar quantitativ zu beantworten sind. Das war Ramseys dauerhaftes Geschenk an die theoretische Ökonomie.

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