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Logische Konsequenz
Erstveröffentlichung am 7. Januar 2005; inhaltliche Überarbeitung Do 21. Februar 2019
Ein gutes Argument ist eines, dessen Schlussfolgerungen sich aus seinen Prämissen ergeben; seine Schlussfolgerungen sind Konsequenzen seiner Prämissen. Aber inwiefern ergeben sich aus den Prämissen Schlussfolgerungen? Was ist es für eine Schlussfolgerung, eine Konsequenz von Prämissen zu sein? Diese Fragen stehen in vielerlei Hinsicht im Zentrum der Logik (als philosophische Disziplin). Betrachten Sie das folgende Argument:
Wenn wir hohe Gebühren für die Universität erheben, werden sich nur die Reichen einschreiben.
Wir berechnen hohe Gebühren für die Universität.
Daher werden sich nur die Reichen einschreiben.
Es gibt viele verschiedene Dinge, die man zu diesem Argument sagen kann, aber viele sind sich einig, dass, wenn wir nicht eindeutig sind (wenn die Begriffe in den Prämissen und in der Schlussfolgerung dasselbe bedeuten), das Argument gültig ist, dh die Schlussfolgerung folgt deduktiv aus die Räumlichkeiten. Dies bedeutet nicht, dass die Schlussfolgerung wahr ist. Vielleicht sind die Prämissen nicht wahr. Wenn jedoch die Prämissen wahr sind, dann ist die Schlussfolgerung logisch auch wahr. In diesem Eintrag geht es um die Beziehung zwischen Prämissen und Schlussfolgerungen in gültigen Argumenten.
Zeitgenössische Analysen des Konzepts der Konsequenz - das Folgende aus der Beziehung - halten es für notwendig und formal, wobei solche Antworten häufig über Beweise oder Modelle (oder in einigen Fällen beides) erläutert werden. Unser Ziel in diesem Artikel ist es, einige der Begriffe, die in zeitgenössischen Berichten von logischer Konsequenz eine zentrale Rolle spielen, kurz zu charakterisieren.
Wir sollten beachten, dass wir nur einige der philosophischen Aspekte der logischen Konsequenz hervorheben, fast alle technischen Details auslassen und auch eine große Anzahl von philosophischen Debatten über das Thema auslassen. Unser Grund dafür ist, dass man die technischen Details und die besonderen philosophischen Probleme, die sie motiviert haben, aus der Betrachtung spezifischer logikspezifischer Theorien mit logischer Konsequenz (z. B. relevante Logik, substrukturelle Logik, nicht monotone Logik, Dynamik) erhält Logik, Modallogik, Quantifizierungstheorien usw.). (Darüber hinaus sind Debatten über fast jedes Merkmal der Sprachstruktur gegenüber der Form von Sätzen, Aussagen, Kontextsensitivität, Bedeutung und sogar Wahrheit für Debatten über logische Konsequenzen relevant, was eine erschöpfende Diskussion praktisch unmöglich macht.) Unser Ziel ist es hier lediglich, einige der grundlegenden Fragen anzusprechen, die für die logische Konsequenz von zentraler Bedeutung sind.
1. Deduktive und induktive Konsequenz
2. Formale und materielle Konsequenz
3. Mathematische Werkzeuge: Modelle und Beweise
3.1 Die modelltheoretische Darstellung der logischen Konsequenz
3.2 Die beweistheoretische Darstellung der logischen Konsequenz
3.3 Zwischen Modellen und Proofs
4. Voraussetzungen und Schlussfolgerungen
5. Einer oder viele?
Literaturverzeichnis
Geschichte der logischen Konsequenz
Entwicklungen des 20. Jahrhunderts
Philosophie der logischen Konsequenz
Akademische Werkzeuge
Andere Internetquellen
Verwandte Einträge
1. Deduktive und induktive Konsequenz
Einige Argumente sind derart, dass die (gemeinsame) Wahrheit der Prämissen notwendigerweise für die Wahrheit der Schlussfolgerungen ausreicht. Im Sinne einer logischen Konsequenz, die für die gegenwärtige Tradition von zentraler Bedeutung ist, unterscheidet eine solche „notwendige Genügsamkeit“die deduktive Gültigkeit von der induktiven Gültigkeit. In induktiv gültigen Argumenten ist die (gemeinsame) Wahrheit der Prämissen sehr wahrscheinlich (aber nicht unbedingt) ausreichend für die Wahrheit der Schlussfolgerung. Ein induktiv gültiges Argument ist derart, dass seine Prämissen, wie es oft gesagt wird, seine Schlussfolgerung wahrscheinlicher oder vernünftiger machen (auch wenn die Schlussfolgerung angesichts der gemeinsamen Wahrheit der Prämissen durchaus falsch sein kann). Das Argument
Alle bisher beobachteten Schwäne waren weiß.
Smoothy ist ein Schwan.
Daher ist Smoothy weiß.
ist nicht deduktiv gültig, da die Prämissen für den Abschluss nicht unbedingt ausreichen. Smoothy kann durchaus ein schwarzer Schwan sein.
Es kann zwischen verschiedenen induktiven Argumenten unterschieden werden. Einige induktive Argumente scheinen durchaus vernünftig zu sein, andere weniger. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, um zu versuchen, die induktiven Konsequenzen zu analysieren. Wir könnten überlegen, inwieweit die Prämissen die Schlussfolgerung wahrscheinlicher machen (eine probabilistische Lesart), oder wir könnten prüfen, ob die normalsten Umstände, unter denen die Prämissen wahr sind, die Schlussfolgerung auch wahr machen. (Dies führt zu einigen Arten von Standard- oder nicht monotonen Inferenzen.) Das Feld der induktiven Konsequenz ist schwierig und wichtig, aber wir werden dieses Thema hier belassen und uns auf die deduktive Validität konzentrieren.
(Weitere Informationen zu diesen Themen finden Sie in den Einträgen zur induktiven Logik und zur nicht monotonen Logik.)
Die Einschränkung der Notwendigkeit reicht nicht aus, um den Begriff der deduktiven Gültigkeit zu regeln, da der Begriff der Notwendigkeit auch auf verschiedene Weise konkretisiert werden kann. Zu sagen, dass eine Schlussfolgerung notwendigerweise aus den Prämissen folgt, bedeutet zu sagen, dass das Argument irgendwie außergewöhnlich ist, aber es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, diese Idee präzise zu machen.
Ein erster Versuch könnte das verwenden, was wir jetzt metaphysische Notwendigkeit nennen. Vielleicht ist ein Argument gültig, wenn es (metaphysisch) unmöglich ist, dass die Prämissen wahr sind und die Schlussfolgerung nicht wahr ist, und wenn die Interpretationen von Prämissen und Schlussfolgerungen in jeder möglichen Welt, in der die Prämissen gelten, festgelegt sind, gilt dies auch für die Fazit. Diese Einschränkung wird plausibel als notwendige Bedingung für die logische Konsequenz angesehen (wenn es sein könnte, dass die Prämissen wahr sind und die Schlussfolgerung nicht, dann besteht kein Zweifel daran, dass die Schlussfolgerung nicht aus den Prämissen folgt); In den meisten Fällen mit logischer Konsequenz ist dies jedoch keine ausreichende Bedingung für die Gültigkeit. Viele geben die Existenz a posteriori Notwendigkeiten zu, wie die Behauptung, dass Wasser H (_ 2) O ist. Wenn diese Behauptung notwendig ist, dann das Argument:
(x) ist Wasser.
Daher ist (x) H (_ 2) O.
ist notwendigerweise wahrheitsbewusst, aber es scheint weit davon entfernt, deduktiv gültig zu sein. Es war eine echte Entdeckung, dass Wasser H (_ 2) O ist, eine, die signifikante empirische Untersuchungen erforderte. Während es echte Entdeckungen gültiger Argumente geben mag, die wir zuvor nicht als solche erkannt hatten, ist es eine andere Sache zu glauben, dass diese Entdeckungen empirische Untersuchungen erfordern.
Eine alternative Linie über die erforderliche Art von Notwendigkeit wendet sich der konzeptuellen Notwendigkeit zu. In dieser Zeile ist die Schlussfolgerung von (3) keine Folge seiner Prämisse, da es keine begriffliche Wahrheit ist, dass Wasser H (_ 2) O ist. Das Konzept Wasser und das Konzept (H_2O) wählen zufällig dieselbe Eigenschaft aus, aber diese Vereinbarung wird teilweise von der Welt bestimmt.
Ein ähnliches Bild der Logik hat zur Folge, dass es sich um eine analytische Wahrheit handelt, und es ist keine analytische Wahrheit, dass Wasser H (_ 2) O ist. Das Wort "Wasser" und die Formel "H (_ 2) O" stimmen in der Erweiterung überein (und notwendigerweise auch), aber sie stimmen in der Bedeutung nicht überein.
Wenn die metaphysische Notwendigkeit ein zu grober Begriff ist, um die logische Konsequenz zu bestimmen (da davon ausgegangen werden kann, dass zu viele Argumente deduktiv gültig sind), scheint ein Appell an die konzeptionelle oder analytische Notwendigkeit ein besserer Weg zu sein. Das Problem ist, wie Quine argumentierte, dass die Unterscheidung zwischen analytischen und synthetischen (und ähnlich konzeptuellen und nicht-konzeptuellen) Wahrheiten nicht so einfach ist, wie wir zu Beginn des 20. Jahrhunderts gedacht haben könnten. (Siehe den Eintrag zur analytischen / synthetischen Unterscheidung.) Darüber hinaus scheinen viele Argumente allein aufgrund der Analyse wahrheitsbewusst zu sein:
Peter ist der Sohn des Bruders von Gregs Mutter.
Deshalb ist Peter Gregs Cousin.
Man kann verstehen, dass die Schlussfolgerung aus den Prämissen auf der Grundlage des Verständnisses der beteiligten Konzepte folgt. Man muss nichts über die Identität von Peter, Gregs Cousin, wissen. Dennoch haben viele gedacht, dass (4) trotz seiner Berechtigung als wahrheitsbewahrend aus analytischen oder konzeptuellen Gründen nicht deduktiv gültig ist. Es ist nicht ganz so allgemein wie es sein könnte, weil es nicht so formal ist wie es sein könnte. Das Argument ist nur aufgrund der besonderen Details der beteiligten Familienkonzepte erfolgreich.
Eine weitere Möglichkeit, den charakteristischen Begriff der Notwendigkeit, der die logische Konsequenz begründet, herauszuarbeiten, ist der Begriff der Apriorität. Deduktiv gültige Argumente, was auch immer sie sind, können ohne Rückgriff auf Erfahrung als solche bekannt sein, daher müssen sie a priori erkennbar sein. Eine Einschränkung der Priorität scheint Argument (3) zu Recht als deduktiv gültig auszuschließen. Es reicht jedoch nicht aus, das Argument (4) auszuschließen. Wenn wir Argumente wie (4) verwenden, um nicht Fragen der deduktiven Gültigkeit, sondern etwas anderes, wie eine a priori erkennbare Definition, anzusprechen, müssen wir anderswo nach einer Charakterisierung der logischen Konsequenz suchen.
2. Formale und materielle Konsequenz
Der stärkste und am weitesten verbreitete Vorschlag, ein engeres Kriterium für die logische Konsequenz zu finden, ist der Aufruf zur Formalität. Der Schritt in (4) von „Peter ist der Sohn des Bruders von Gregs Mutter“zu „Peter ist mein Cousin“ist eine materielle Konsequenz und keine formale, denn um den Schritt von der Prämisse zum Schluss zu machen, brauchen wir mehr als die Struktur oder Form der Ansprüche: Wir müssen auch deren Inhalt verstehen.
Was könnte die Unterscheidung zwischen Form und Inhalt bedeuten? Wir wollen damit sagen, dass die Konsequenz formal ist, wenn sie von der Form und nicht vom Inhalt der betreffenden Ansprüche abhängt. Aber wie ist das zu verstehen? Wir werden höchstens eine Skizze geben, die wiederum auf verschiedene Arten ausgefüllt werden kann.
Der offensichtliche erste Schritt besteht darin, festzustellen, dass alle Darstellungen der Regeln mit logischer Konsequenz auf Schemata beruhen. Aristoteles 'Syllogistik ist ein stolzes Beispiel.
F er io: Nein (F) ist (G). Einige (H) ist (G). Daher ist etwas (H) nicht (F).
Inferenzschemata wie das obige zeigen die Struktur gültiger Argumente an. Zu sagen, dass ein Argument formal gültig ist, bedeutet vielleicht, dass es unter ein allgemeines Schema fällt, für das jede Instanz gültig ist, wie z. B. F er io.
Auch das ist eine unvollständige Spezifikation der Formalität. Das materielle Argument (4) ist ein Beispiel für:
(x) ist der Sohn des Bruders der Mutter von (y).
Daher ist (x) der Cousin von (y).
Jede Instanz davon ist gültig. Wir müssen mehr sagen, um zu erklären, warum einige Schemata als richtig formal gelten (und daher ein ausreichender Grund für logische Konsequenzen sind) und andere nicht. Eine allgemeine Antwort wird den Begriff der logischen Form artikulieren, der für sich genommen ein wichtiges Thema ist (unter anderem den Begriff der logischen Konstanten). Anstatt die Details verschiedener Kandidaten für die logische Form zu untersuchen, werden wir verschiedene Vorschläge zum Punkt der Übung erwähnen.
Was bringt es, zu fordern, dass die Gültigkeit durch einen Begriff der logischen Form untermauert wird? Es gibt mindestens drei verschiedene Vorschläge für den erforderlichen Begriff der Formalität, und jeder gibt eine andere Art der Antwort auf diese Frage.
Wir könnten die formalen Regeln der Logik als völlig neutral in Bezug auf bestimmte Merkmale von Objekten betrachten. Aus dieser Sicht müssen die Gesetze der Logik von bestimmten Merkmalen von Objekten abstrahieren. Logik ist insofern formal, als sie völlig allgemein ist. Eine Möglichkeit zu charakterisieren, was als ganz allgemeiner Begriff zählt, sind Permutationen. Tarski schlug (1986) vor, dass eine Operation oder ein Prädikat für eine Domäne als allgemein (oder logisch) gilt, wenn sie unter Permutationen von Objekten unveränderlich ist. (Eine Permutation einer Sammlung von Objekten weist jedem Objekt ein eindeutiges Objekt in dieser Sammlung zu, so dass kein Objekt mehr als einmal zugewiesen wird. Eine Permutation von ({a, b, c, d }) kann z Beispiel: Weisen Sie (b) (a, d) (b, c) (c) und (a) (d) zu.) A (2) -place Prädikat (R) ist unter Permutation unveränderlich, wenn für eine Permutation (p),wann immer (Rxy) gilt, gilt auch (Rp (x) p (y)). Sie können sehen, dass die Identitätsbeziehung permutationsinvariant ist - wenn (x = y) dann (p (x) = p (y)) -, aber die Mutter der Beziehung nicht. Wir können Permutationen (p) haben, so dass, obwohl (x) die Mutter von (y) ist, (p (x)) nicht die Mutter von (p (y)) ist. Wir können die Permutation verwenden, um die Logik für mehr als nur Prädikate zu charakterisieren: Wir können sagen, dass ein einseitiger sententialer Konnektiv '(bullet)' genau dann permutationsinvariant ist, wenn für alle (A) (p (Punkt A)) ist genau dann wahr, wenn (Punkt p (A)) wahr ist. Um dies genau zu definieren, muss festgelegt werden, wie Permutationen mit Sätzen funktionieren, und dies führt uns über den Rahmen dieses Artikels hinaus. Es genügt zu sagen, dass eine Operation wie Negation den Invarianztest besteht, aber eine Operation wie 'JC glaubt, dass' fehlschlägt.(Rp (x) p (y)) gilt auch. Sie können sehen, dass die Identitätsbeziehung permutationsinvariant ist - wenn (x = y) dann (p (x) = p (y)) -, aber die Mutter der Beziehung nicht. Wir können Permutationen (p) haben, so dass, obwohl (x) die Mutter von (y) ist, (p (x)) nicht die Mutter von (p (y)) ist. Wir können die Permutation verwenden, um die Logik für mehr als nur Prädikate zu charakterisieren: Wir können sagen, dass ein einseitiger sententialer Konnektiv '(bullet)' genau dann permutationsinvariant ist, wenn für alle (A) (p (Punkt A)) ist genau dann wahr, wenn (Punkt p (A)) wahr ist. Um dies genau zu definieren, muss festgelegt werden, wie Permutationen mit Sätzen funktionieren, und dies führt uns über den Rahmen dieses Artikels hinaus. Es genügt zu sagen, dass eine Operation wie Negation den Invarianztest besteht, aber eine Operation wie 'JC glaubt, dass' fehlschlägt.(Rp (x) p (y)) gilt auch. Sie können sehen, dass die Identitätsbeziehung permutationsinvariant ist - wenn (x = y) dann (p (x) = p (y)) -, aber die Mutter der Beziehung nicht. Wir können Permutationen (p) haben, so dass, obwohl (x) die Mutter von (y) ist, (p (x)) nicht die Mutter von (p (y)) ist. Wir können die Permutation verwenden, um die Logik für mehr als nur Prädikate zu charakterisieren: Wir können sagen, dass ein einseitiger sententialer Konnektiv '(bullet)' genau dann permutationsinvariant ist, wenn für alle (A) (p (bull A)) ist genau dann wahr, wenn (bull p (A)) wahr ist. Um dies genau zu definieren, muss festgelegt werden, wie Permutationen mit Sätzen funktionieren, und dies führt uns über den Rahmen dieses Artikels hinaus. Es genügt zu sagen, dass eine Operation wie Negation den Invarianztest besteht, aber eine Operation wie 'JC glaubt, dass' fehlschlägt. Sie können sehen, dass die Identitätsbeziehung permutationsinvariant ist - wenn (x = y) dann (p (x) = p (y)) -, aber die Mutter der Beziehung nicht. Wir können Permutationen (p) haben, so dass, obwohl (x) die Mutter von (y) ist, (p (x)) nicht die Mutter von (p (y)) ist. Wir können die Permutation verwenden, um die Logik für mehr als nur Prädikate zu charakterisieren: Wir können sagen, dass ein einseitiger sententialer Konnektiv '(bullet)' genau dann permutationsinvariant ist, wenn für alle (A) (p (Punkt A)) ist genau dann wahr, wenn (Punkt p (A)) wahr ist. Um dies genau zu definieren, muss festgelegt werden, wie Permutationen mit Sätzen funktionieren, und dies führt uns über den Rahmen dieses Artikels hinaus. Es genügt zu sagen, dass eine Operation wie Negation den Invarianztest besteht, aber eine Operation wie 'JC glaubt, dass' fehlschlägt. Sie können sehen, dass die Identitätsbeziehung permutationsinvariant ist - wenn (x = y) dann (p (x) = p (y)) -, aber die Mutter der Beziehung nicht. Wir können Permutationen (p) haben, so dass, obwohl (x) die Mutter von (y) ist, (p (x)) nicht die Mutter von (p (y)) ist. Wir können die Permutation verwenden, um die Logik für mehr als nur Prädikate zu charakterisieren: Wir können sagen, dass ein einseitiger sententialer Konnektiv '(bullet)' genau dann permutationsinvariant ist, wenn für alle (A) (p (Punkt A)) ist genau dann wahr, wenn (Punkt p (A)) wahr ist. Um dies genau zu definieren, muss festgelegt werden, wie Permutationen mit Sätzen funktionieren, und dies führt uns über den Rahmen dieses Artikels hinaus. Es genügt zu sagen, dass eine Operation wie Negation den Invarianztest besteht, aber eine Operation wie 'JC glaubt, dass' fehlschlägt.
Eine eng verwandte Analyse der Formalität ist, dass formale Regeln völlig abstrakt sind. Sie abstrahieren vom semantischen Inhalt von Gedanken oder Behauptungen, um nur die semantische Struktur zu belassen. Die Begriffe „Mutter“und „Cousine“gehen im Wesentlichen in das Argument ein (5). Aus dieser Sicht fügen Ausdrücke wie Satzkonnektiva und Quantifizierer Ausdrücken keinen neuen semantischen Inhalt hinzu, sondern nur Möglichkeiten, semantischen Inhalt zu kombinieren und zu strukturieren. Ausdrücke wie "Mutter" und "Cousine" fügen dagegen neue semantische Inhalte hinzu.
Eine andere Möglichkeit, die Unterscheidung zu treffen (oder vielleicht eine andere Unterscheidung zu treffen), besteht darin, die formalen Regeln der Logik als konstitutive Normen für das Denken zu betrachten, unabhängig von ihrem Gegenstand. Es ist plausibel zu behaupten, dass es unabhängig davon, woran wir denken, sinnvoll ist, unsere Gedanken zu verbinden, zu trennen und zu negieren, um neue Gedanken zu machen. Es könnte auch sinnvoll sein, zu quantifizieren. Das Verhalten des logischen Vokabulars kann also verwendet werden, um jede Art von Theorie zu strukturieren und zu regulieren, und die Normen, die das logische Vokabular regeln, gelten völlig universell. Die Normen eines gültigen Arguments auf diesem Bild sind jene Normen, die für das Denken gelten, unabhängig vom besonderen Inhalt dieses Gedankens. [1]
3. Mathematische Werkzeuge: Modelle und Beweise
Die technische Arbeit des 20. Jahrhunderts zum Begriff der logischen Konsequenz konzentrierte sich auf zwei verschiedene mathematische Werkzeuge, die Beweistheorie und die Modelltheorie. Jedes von diesen kann als Erklärung verschiedener Aspekte des Konzepts der logischen Konsequenz angesehen werden, die durch unterschiedliche philosophische Perspektiven gestützt werden.
3.1 Die modelltheoretische Darstellung der logischen Konsequenz
Wir haben die logische Konsequenz als notwendige Wahrung der Wahrheit aufgrund der Form charakterisiert. Diese Idee kann formal erläutert werden. Man kann mathematische Strukturen verwenden, um die Bandbreite der Möglichkeiten zu berücksichtigen, über die die Wahrheit bewahrt werden muss. Die Formalität der logischen Konsequenz kann formal erklärt werden, indem dem logischen Vokabular, das als Satzform angesehen wird, eine besondere Rolle eingeräumt wird. Lassen Sie uns sehen, wie sich die Modelltheorie um diese beiden Aufgaben kümmert.
Der modellzentrierte Ansatz zur logischen Konsequenz setzt voraus, dass die Gültigkeit eines Arguments kein Gegenbeispiel ist. Ein Gegenbeispiel zu einem Argument ist im Allgemeinen eine Art und Weise, wie die Prämissen des Arguments nicht zu einer Schlussfolgerung führen. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, ein Argument derselben Form vorzulegen, für das die Prämissen eindeutig zutreffen und die Schlussfolgerung eindeutig falsch ist. Eine andere Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, einen Umstand anzugeben, in dem die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch sind. In der zeitgenössischen Literatur wird die intuitive Idee eines Gegenbeispiels zu einer Modelltheorie entwickelt.
Die genaue Struktur eines Modells hängt von der Art der Sprache ab (Extensions- / Intensions-, erste / höhere Ordnung usw.). Ein Modell für eine Erweiterungssprache erster Ordnung besteht aus einer nicht leeren Menge, die die Domäne bildet, und einer Interpretationsfunktion, die jedem nichtlogischen Begriff eine Erweiterung über die Domäne zuweist - jede Erweiterung, die mit ihrem semantischen Typ übereinstimmt (einzelnen Konstanten werden Elemente zugewiesen) Von der Domäne werden Funktionssymbolen Funktionen von der Domäne zu sich selbst zugewiesen, Prädikate erster Ordnung mit einer Stelle werden Teilmengen der Domäne zugewiesen usw.).
Die zeitgenössische modelltheoretische Definition der logischen Konsequenz geht auf Tarski (1936) zurück. Es baut auf der Definition der Wahrheit in einem Modell auf, das Tarski (1935) gegeben hat. Tarski definiert einen wahren Satz in einem Modell rekursiv, indem er dem logischen Vokabular Wahrheits- (oder Zufriedenheits-) Bedingungen gibt. Eine Konjunktion ist beispielsweise in einem Modell genau dann wahr, wenn beide Konjunktionen in diesem Modell wahr sind. Ein universell quantifizierter Satz (forall xFx) ist in einem Modell genau dann wahr, wenn jede Instanz im Modell wahr ist. (Oder auf dem Tarskschen Bericht über die Zufriedenheit, wenn und nur wenn der offene Satz (Fx) von jedem Objekt in der Domäne des Modells erfüllt wird. Einzelheiten dazu finden Sie im Eintrag zu Tarskis Wahrheitsdefinitionen.) Nun können wir logische Konsequenz als Wahrung der Wahrheit über Modelle definieren:Ein Argument ist gültig, wenn in einem Modell, in dem die Prämissen wahr sind (oder in einer Interpretation der Prämissen, nach denen sie wahr sind), auch die Schlussfolgerung wahr ist.
Die modelltheoretische Definition ist eine der erfolgreichsten mathematischen Erklärungen eines bisherigen philosophischen Konzepts. Es verspricht, sowohl die Notwendigkeit logischer Konsequenzen zu erfassen, indem die Wahrheit über alle Modelle betrachtet wird, als auch die Formalität logischer Konsequenzen, indem die Interpretationen des nichtlogischen Vokabulars modellübergreifend variiert werden: Ein Argument ist gültig, unabhängig davon, was das nichtlogische Vokabular bedeutet. Modelle sind jedoch nur Mengen, die lediglich mathematische Objekte sind. Wie berücksichtigen sie die verschiedenen Möglichkeiten oder Umstände? John Etchemendy (1990) bietet zwei Perspektiven zum Verständnis von Modellen. Beim Repräsentationsansatz wird jedes Modell verwendet, um eine mögliche Welt darzustellen. Wenn ein Argument die Wahrheit über Modelle bewahrt, wird uns garantiert, dass es die Wahrheit über mögliche Welten bewahrt.und wenn wir die Identifikation der Notwendigkeit mit der Wahrheit in allen möglichen Welten akzeptieren, haben wir die notwendige Wahrung der Wahrheit mit logischer Konsequenz. Das Problem bei diesem Ansatz besteht darin, dass er logische Konsequenzen mit metaphysischen Konsequenzen identifiziert und die Formalität der logischen Konsequenzen nicht berücksichtigt. Beim gegenständlichen Ansatz gibt es keine Grundlage für eine Unterscheidung zwischen dem logischen und dem nichtlogischen Vokabular, und es gibt keine Erklärung dafür, warum die Interpretationen des nichtlogischen Vokabulars maximal variieren. Die zweite Perspektive auf Modelle bietet der Interpretationsansatz, mit dem jedes Modell dem nichtlogischen Vokabular der tatsächlichen Welt Erweiterungen zuweist: Was zwischen den Modellen variiert, ist nicht die dargestellte Welt, sondern die Bedeutung der Begriffe. Hier besteht die Sorge darin, dass die Notwendigkeit nicht erfasst wird. Zum Beispiel wird bei der üblichen Aufteilung des Vokabulars in logisch und nichtlogisch Identität als logischer Begriff betrachtet und kann verwendet werden, um Aussagen über die Kardinalität der Domäne zu bilden (z. B. gibt es mindestens zwei Dinge), die sind bei jeder Neuinterpretation wahr, aber vielleicht nicht unbedingt wahr. Bei diesem Ansatz gibt es keine Grundlage für die Betrachtung von Modellen mit anderen Domänen als dem Universum dessen, was tatsächlich existiert, und insbesondere gibt es keine Erklärung für die Verwendung von Domänen unterschiedlicher Größe durch die Modelltheorie. Jeder Ansatz, wie hier beschrieben, ist in Bezug auf unsere Analyse der logischen Konsequenz als notwendig und formal fehlerhaft. Der Interpretationsansatz, bei dem nur die tatsächliche Welt betrachtet wird, berücksichtigt nicht die Notwendigkeit, und der Repräsentationsansatz berücksichtigt nicht die Formalität (Einzelheiten siehe Etchemendy 1990,Sher 1996 und Shapiro 1998 sowie Verfeinerungen siehe Etchemendy 2008). Eine mögliche Antwort auf Etchemendy wäre, die Repräsentations- und die Interpretationsperspektive zu mischen und jedes Modell als eine mögliche Welt unter einer Neuinterpretation des nichtlogischen Vokabulars zu betrachten (Shapiro 1998, siehe auch Sher 1996 und Hanson 1997 für alternative Antworten).
Eine der Hauptherausforderungen der modelltheoretischen Definition der logischen Konsequenz besteht darin, zwischen dem logischen und dem nichtlogischen Vokabular zu unterscheiden. Das logische Vokabular wird in allen Modellen durch die rekursiven Klauseln definiert (wie die oben für die Konjunktion und den universellen Quantifizierer erwähnten), und in diesem Sinne ist seine Bedeutung festgelegt. Die Wahl des logischen Vokabulars bestimmt die Klasse der Modelle, die bei der Bewertung der Gültigkeit berücksichtigt werden, und somit die Klasse der logisch gültigen Argumente. Während nun jede formale Sprache typischerweise mit einer Auswahl eines logischen Vokabulars definiert wird, kann man nach einer prinzipielleren Charakterisierung des logischen Vokabulars fragen. Tarski ließ die Frage nach einer prinzipiellen Unterscheidung in seinem Jahr 1936 offen und gab nur die Linien einer relativistischen Haltung an,durch die unterschiedliche Auswahlmöglichkeiten des logischen Vokabulars zulässig sein können. Andere haben Kriterien für die Logik vorgeschlagen und gefordert, dass logische Konstanten angemessen formal, allgemein oder themenneutral sind (Referenzen und Details finden Sie im Eintrag zu logischen Konstanten). Beachten Sie, dass die Auswahl des logischen Vokabulars ein Sonderfall ist, bei dem Einschränkungen für die zu verwendende Modellklasse festgelegt werden. Es wurde vorgeschlagen, dass der Fokus auf Kriterien für das logische Vokabular diesen Punkt verfehlt und dass allgemein die Frage lautet, welche semantischen Einschränkungen angewendet werden sollten, um die zulässigen Modelle für eine Sprache einzuschränken (Sagi 2014a, Zinke 2017). Beachten Sie, dass die Auswahl des logischen Vokabulars ein Sonderfall ist, bei dem Einschränkungen für die zu verwendende Modellklasse festgelegt werden. Es wurde vorgeschlagen, dass der Fokus auf Kriterien für das logische Vokabular diesen Punkt verfehlt und dass allgemein die Frage lautet, welche semantischen Einschränkungen angewendet werden sollten, um die zulässigen Modelle für eine Sprache einzuschränken (Sagi 2014a, Zinke 2017). Beachten Sie, dass die Auswahl des logischen Vokabulars ein Sonderfall ist, bei dem Einschränkungen für die zu verwendende Modellklasse festgelegt werden. Es wurde vorgeschlagen, dass der Fokus auf Kriterien für das logische Vokabular diesen Punkt verfehlt und dass allgemein die Frage lautet, welche semantischen Einschränkungen angewendet werden sollten, um die zulässigen Modelle für eine Sprache einzuschränken (Sagi 2014a, Zinke 2017).
Eine weitere Herausforderung für die modelltheoretische Darstellung besteht in den Einschränkungen ihrer satztheoretischen Grundlage. Denken Sie daran, dass Modelle Sets sind. Die Sorge ist, dass die Wahrung der Wahrheit gegenüber Modellen möglicherweise nicht die notwendige Wahrung der Wahrheit garantiert - außerdem garantiert sie möglicherweise nicht einmal die materielle Wahrung der Wahrheit (Wahrung der Wahrheit in der tatsächlichen Welt). Der Grund ist, dass jede Modelldomäne eine Menge ist, aber die tatsächliche Welt vermutlich alle Mengen enthält, und da eine Sammlung, die alle Mengen enthält, zu groß ist, um eine Menge zu sein (sie bildet eine richtige Klasse), die tatsächliche Welt wird von keinem Modell berücksichtigt (siehe Shapiro 1987).
Eine Möglichkeit, mit dieser Sorge umzugehen, besteht darin, externe Mittel wie die Beweistheorie zur Unterstützung der modelltheoretischen Definition einzusetzen. Dies tut Georg Kreisel in seinem „Quetschargument“, das wir in Abschnitt 3.3 vorstellen. Kreisels Argument hängt entscheidend davon ab, ob die betreffende Sprache über ein solides und vollständiges Beweissystem verfügt. Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung satztheoretischer Reflexionsprinzipien. Im Allgemeinen besagen Reflexionsprinzipien, dass alles, was für das Universum der Mengen gilt, bereits in einem anfänglichen Segment davon (das immer eine Menge ist) wahr ist. Wenn Reflexionsprinzipien akzeptiert werden, kann man zumindest in Bezug auf die relevante Sprache argumentieren, dass ein Argument genau dann gültig ist, wenn es kein Gegenmengenmodell gibt (siehe Kreisel 1967, Shapiro 1987, Kennedy & Väänänen 2017).
Schließlich wird die Erklärung der logischen Konsequenz in Bezug auf die Wahrheit in Modellen typischerweise von „Realisten“bevorzugt, die die Wahrheit von Sätzen als unabhängig von dem betrachten, was bekannt sein kann. Die Erklärung der logischen Konsequenz in Bezug auf die Wahrheit in Modellen kommt der Erklärung der logischen Konsequenz in Bezug auf die Wahrheit ziemlich nahe, und die Analyse der Wahrheit in einem Modell wird manchmal als eine Erklärung der Wahrheit in Bezug auf die Entsprechung angesehen, eine typisch realistische Vorstellung. Einige sehen in der logischen Konsequenz jedoch eine unverzichtbare epistemische Komponente, die damit zu tun hat, wie wir die Schlussfolgerung auf der Grundlage der Prämissen ziehen. „Anti-Realisten“, die es vermeiden, die Wahrheit (oder zumindest die Korrespondenz-Wahrheit) als erklärenden Begriff zu betrachten, werden es normalerweise vorziehen, die logischen Konsequenzen anhand von Beweisen zu erklären, auf die wir uns als nächstes beziehen.
3.2 Die beweistheoretische Darstellung der logischen Konsequenz
Bei der beweiszentrierten Herangehensweise an die logische Konsequenz bedeutet die Gültigkeit eines Arguments, dass ein Beweis für die Schlussfolgerungen aus den Prämissen vorliegt. Was genau Beweise sind, ist ein großes Problem, aber die Idee ist ziemlich klar (zumindest, wenn Sie einem Beweissystem oder einem anderen ausgesetzt waren). Beweise bestehen aus kleinen Schritten, den primitiven Inferenzprinzipien des Beweissystems. Im 20. Jahrhundert gab es sehr viele verschiedene Arten von Beweissystemen, von sogenannten Hilbert-Beweisen mit einfachen Regeln und komplexen Axiomen bis zu natürlichen Deduktionssystemen mit wenigen (oder sogar keinen) Axiomen und sehr vielen Regeln.
Der beweiszentrierte Ansatz hebt epistemische Aspekte logischer Konsequenz hervor. Ein Beweis bestätigt nicht nur die Gültigkeit des Arguments, sondern liefert auch die Schritte, mit denen wir diese Gültigkeit feststellen können. Wenn also ein Denker Gründe für die Prämissen eines Arguments hat und die Schlussfolgerung über eine Reihe von Anwendungen gültiger Inferenzregeln ableitet, erhält er dadurch Gründe für die Schlussfolgerung (siehe Prawitz 2012). Man kann noch weiter gehen und dem Inferentialismus zustimmen, der Ansicht, nach der die Bedeutung von Ausdrücken durch ihre Rolle bei der Inferenz bestimmt wird. Die Idee ist, dass unsere Verwendung eines sprachlichen Ausdrucks durch Regeln geregelt wird und die Beherrschung der Regeln ausreicht, um den Ausdruck zu verstehen. Dies gibt uns eine vorläufige Einschränkung, welche semantischen Werte von Ausdrücken sein können:Sie können keine Unterscheidungen treffen, die nicht durch die Regeln berücksichtigt werden. Man kann dann noch weiter gehen und jede Art von Bedeutung ablehnen, die über die Regeln hinausgeht und den späteren Wittgensteinschen Slogan „Bedeutung ist Gebrauch“übernimmt. Diese Ansicht wird von Anti-Realisten über die Bedeutung favorisiert, da die Bedeutung dieser Ansicht vollständig durch das Erkennbare erklärt wird.
Die Bedingung der Notwendigkeit der logischen Konsequenz erhält eine neue Interpretation im beweiszentrierten Ansatz. Die Bedingung kann folgendermaßen umformuliert werden: In einem gültigen Argument folgt die Wahrheit der Schlussfolgerung aus der Wahrheit der Prämissen durch die Notwendigkeit des Denkens (Prawitz 2005). Lassen Sie uns diese Formulierung analysieren. Wahrheit wird konstruktiv verstanden: Sätze sind aufgrund möglicher Beweise für sie wahr, und die durch wahre Sätze beschriebenen Tatsachen werden daher als konstruiert als potenzielle Beweise verstanden. (Beachten Sie, dass man vollständig auf die Bezugnahme auf die Wahrheit verzichten und stattdessen von Durchsetzbarkeit oder Akzeptanz von Sätzen sprechen kann.) Die Notwendigkeit des Denkens, nach der ein Argument gültig ist, wird nun durch die Bedeutung der beteiligten Begriffe erklärt, die uns dazu zwingt, die zu akzeptieren Wahrheit der Schlussfolgerung angesichts der Wahrheit der Prämissen. Bedeutungen von Ausdrücken,wiederum werden durch die Regeln verstanden, die ihre Verwendung regeln: Die üblichen Wahrheitsbedingungen weichen den Beweisbedingungen von Formeln, die einen Ausdruck enthalten.
Man kann also eine beweistheoretische Semantik für eine Sprache liefern (Schroeder-Heister 1991). Bei der Darstellung seines natürlichen Deduktionssystems bemerkte Gentzen, dass die Einführungsregeln für die logischen Ausdrücke ihre „Definitionen“darstellen und die Eliminierungsregeln Konsequenzen dieser Definitionen sind (Gentzen 1933). Beispielsweise schreibt die Einführungsregel für die Konjunktion vor, dass eine Konjunktion (A \ amp B) aus beiden Konjunktionen (A) und (B) abgeleitet werden kann, und diese Regel erfasst die Bedeutung des Konnektivs. Umgekehrt besagt die Eliminierungsregel für die Konjunktion, dass man aus (A \ amp B) sowohl (A) als auch (B) schließen kann. Die universellen Quantifiziererregeln sagen uns, dass wir aus der universell quantifizierten Behauptung (forall xFx) jede Instanz (Fa) und (forall xFx) aus der Instanz (Fa) schließen können.vorausgesetzt, es wurde keine andere Annahme getroffen, die den Namen (a) betrifft. Unter bestimmten Voraussetzungen kann nachgewiesen werden, dass die Eliminierungsregel durch die Einführungsregel validiert wird.
Eine der Hauptherausforderungen für den beweiszentrierten Ansatz besteht darin, zwischen Regeln zu unterscheiden, die wirklich bedeutungsbestimmend sind, und solchen, die es nicht sind. Einige Regeln für Konnektiva würden, wenn sie einem System hinzugefügt würden, zu Trivialität führen. Prior (1960) bot die folgenden Regeln für eine Verbindung "(tonk)" an. Seine Einführungsregel besagt, dass man aus (A) (A \ tonk B) schließen kann, und seine Eliminierungsregel besagt, dass man aus (A \ tonk B) (B) schließen kann. Mit der Einführung dieser Regeln wird das System trivial, solange mindestens eines nachweisbar ist, da aus jeder Annahme (A) jede Schlussfolgerung (B) abgeleitet werden kann. Einige Einschränkungen müssen den Inferenzregeln auferlegt werden, und ein Großteil der nachfolgenden Literatur hat sich mit diesen Einschränkungen befasst (Belnap 1962, Dummett 1991, Prawitz 1974).
Um die Begriffe Beweis und Gültigkeit systematischer zu gestalten, hat Prawitz den Begriff eines kanonischen Beweises eingeführt. Ein Satz kann auf verschiedene Arten bewiesen werden, aber es ist der direkte oder kanonische Beweis, der seine Bedeutung ausmacht. Ein kanonischer Beweis ist ein Beweis, dessen letzter Schritt die Anwendung einer Einführungsregel ist und dessen unmittelbare Unterbeweise kanonisch sind (es sei denn, sie haben freie Variablen oder ungelöste Annahmen - Einzelheiten siehe Prawitz 2005). Ein kanonischer Beweis wird als direkter Beweis für den bewiesenen Satz verstanden, da er die Wahrheit des Satzes durch die Regel feststellt, die die Bedeutung seiner Konnektiva konstitutiv macht. Weitere Informationen zu kanonischen Beweisen und den Möglichkeiten, wie andere Beweise auf sie reduziert werden können, finden Sie im Eintrag zur beweistheoretischen Semantik.
Wir haben aufgezeigt, wie der Zustand der Notwendigkeit im beweiszentrierten Ansatz interpretiert werden kann. Die Bedingung der Formalität kann ebenfalls berücksichtigt werden. Beachten Sie, dass auch in der gegenwärtigen Perspektive das Vokabular in logische und nicht logische unterteilt ist. Diese Unterteilung kann verwendet werden, um Substitutionen eines Arguments zu definieren. Eine Ersetzung eines Arguments ist ein Argument, das aus dem ursprünglichen Argument erhalten wurde, indem die nichtlogischen Begriffe auf einheitliche Weise durch Begriffe derselben syntaktischen Kategorie ersetzt wurden. Eine Definition der Gültigkeit, die die Bedingung der Formalität respektiert, beinhaltet, dass ein Argument genau dann gültig ist, wenn alle seine Substitutionen gültig sind, und im vorliegenden Kontext ist dies eine Voraussetzung dafür, dass es einen Beweis für alle seine Substitutionen gibt. Diese Bedingung ist in jedem Beweissystem erfüllt, in dem Regeln nur für das logische Vokabular angegeben werden. Natürlich geht es auch beim beweiszentrierten Ansatz darum, das logische Vokabular zu unterscheiden (siehe den Eintrag zu logischen Konstanten).
Schließlich ist anzumerken, dass eine beweistheoretische Semantik sowohl für die klassische Logik als auch für eine Vielzahl nicht klassischer Logiken angegeben werden kann. Aufgrund der epistemischen anti-realistischen Haltung, die dem beweiszentrierten Ansatz zugrunde liegt, haben seine Befürworter jedoch typischerweise eine intuitionistische Logik befürwortet (siehe Dummett 1991).
Weitere Informationen zur beweiszentrierten Perspektive und zur beweistheoretischen Semantik finden Sie im Eintrag zur beweistheoretischen Semantik.
3.3 Zwischen Modellen und Proofs
Die beweistheoretischen und modelltheoretischen Perspektiven wurden als konkurrierende Berichte mit logischer Konsequenz angesehen. Man kann jedoch auch "logische Konsequenz" und "Gültigkeit" als Ausdruck von Clusterkonzepten ansehen: "Eine Reihe verschiedener, eng verwandter Begriffe werden unter diesen Namen geführt. Sie berufen sich auf Fragen der Modalität, Bedeutung, Wirksamkeit, Rechtfertigung, Rationalität und Form “(Shapiro 2014). Man kann auch feststellen, dass die Trennung zwischen der modelltheoretischen und der beweistheoretischen Perspektive eine moderne ist und erst möglich wurde, als Werkzeuge für metamathematische Untersuchungen entwickelt wurden. Freges Begriffsschrift zum Beispiel, die vor der Entwicklung dieser Werkzeuge liegt, wird als axiomatisches Beweissystem formuliert, aber die Bedeutungen der Konnektiva werden über Wahrheitsbedingungen angegeben.
Sobald es zwei verschiedene Analysen einer Beziehung mit logischer Konsequenz gibt, kann man nach möglichen Wechselwirkungen fragen, und das werden wir als nächstes tun. Man kann sich auch fragen, welche allgemeinen Merkmale eine solche Beziehung unabhängig von ihrer Analyse als beweistheoretisch oder modelltheoretisch aufweist. Eine Möglichkeit zur Beantwortung dieser Frage geht auf Tarski zurück, der den Begriff der Konsequenzoperationen einführte. Für unsere Zwecke stellen wir nur einige Merkmale solcher Operationen fest. Sei (Cn (X)) die Konsequenz von (X). (Man kann sich den Operator (Cn) als eine Ableitung aus einer vorherigen Konsequenzbeziehung vorstellen, die, wenn man (X) als 'Eingabe (oder Prämisse)' nimmt, sagt, was aus (X) folgt man kann den 'Prozess' auch umgekehrt sehen, und eine wichtige Erkenntnis ist, dass Konsequenzbeziehungen und entsprechende Operationen tatsächlich interdefinierbar sind. Einzelheiten finden Sie im Eintrag zur algebraischen Aussagenlogik.) Unter den minimalen Bedingungen, die man einer Konsequenzbeziehung auferlegen könnte, sind die folgenden zwei (von Tarski):
(X) ist eine Teilmenge von (Cn (X)).
(Cn (Cn (X)) = Cn (X)).
Wenn Sie sich (X) als eine Reihe von Ansprüchen vorstellen, sagt Ihnen die erste Bedingung, dass die Konsequenzen einer Reihe von Ansprüchen die Ansprüche selbst umfassen. Die zweite Bedingung verlangt, dass die Konsequenzen von (X) nur die Konsequenzen der Konsequenzen von (X) sind. Beide Bedingungen können durch Reflexion über die modelltheoretischen und beweistheoretischen Ansätze motiviert werden; und es gibt auch andere solche Bedingungen. (Eine allgemeine Diskussion finden Sie im Eintrag zur algebraischen Aussagenlogik.) Aber wie bei vielen grundlegenden Fragen (z. B. "Was sind die wesentlichen Merkmale von Konsequenzbeziehungen im Allgemeinen?") Sind auch solche minimalen Bedingungen in der philosophischen Logik und der Philosophie der Logik. Zum Beispiel könnten einige die Bedingung (2) als unzulässig ansehen, weil aus Gründen der Unbestimmtheit (oder mehr)Wichtige Konsequenzbeziehungen über natürliche Sprachen (wie formalisiert sie auch sein mögen) sind im Allgemeinen nicht transitiv in einer Weise, die sich in (2) widerspiegelt. (Siehe Tennant 1994, Cobreros et al. 2012 und Ripley 2013 für philosophische Motivationen gegen transitive Konsequenzen.) Wir überlassen diese Fragen jedoch einer weitergehenden Diskussion.
Während die philosophische Kluft zwischen Realisten und Antirealisten nach wie vor groß ist, wurden in vielen Fällen beweiszentrierte und modellzentrierte Konsequenzberichte (zumindest in Bezug auf die Erweiterung) vereint. Die großen Soliditäts- und Vollständigkeitssätze für verschiedene Beweissysteme (oder aus dem anderen Blickwinkel für verschiedene modelltheoretische Semantiken) zeigen, dass die beiden Ansätze in einem wichtigen Sinne häufig zumindest in ihrer Ausdehnung zusammenfallen. Ein Beweissystem ist in Bezug auf eine modelltheoretische Semantik solide, wenn jedes Argument, das einen Beweis im System hat, modelltheoretisch gültig ist. Ein Beweissystem ist in Bezug auf eine modelltheoretische Semantik vollständig, wenn jedes modelltheoretisch gültige Argument einen Beweis im System hat. Während Solidität eine Hauptbedingung für jedes Beweissystem ist, das seinen Namen verdient, kann Vollständigkeit nicht immer erwartet werden. Freilich,Diese Definitionen sind auf die modelltheoretische Perspektive ausgerichtet: Die modelltheoretische Semantik setzt den Standard auf das, was „Klang“und „Vollständigkeit“ist. Abgesehen von terminologischen Fragen stimmen das Beweissystem und die modelltheoretische Semantik überein, wenn ein Beweissystem in Bezug auf eine modelltheoretische Semantik sowohl solide als auch vollständig ist (wie dies im Fall der Prädikatenlogik erster Ordnung von Bedeutung ist) Argumente sind gültig.dann stimmen das Beweissystem und die modelltheoretische Semantik überein, welche Argumente gültig sind.dann stimmen das Beweissystem und die modelltheoretische Semantik überein, welche Argumente gültig sind.
Vollständigkeitsergebnisse können auch die Angemessenheit der modelltheoretischen Darstellung unterstützen, wie in Kreisels „Quetschargument“. Wir haben eine Schwäche der modelltheoretischen Darstellung festgestellt: Alle Modelle sind Mengen, und so könnte es sein, dass kein Modell die tatsächliche Welt darstellt. Kreisel hat gezeigt, dass wir keine Modelle vermissen werden, wenn wir ein Beweissystem haben, das „intuitiv fundiert“und in Bezug auf die modelltheoretische Semantik vollständig ist: Jedes intuitiv gültige Argument wird ein Gegenmodell haben. Sei (L) eine Sprache erster Ordnung. (Val) bezeichne die Menge der intuitiv gültigen Argumente in (L). Kreisel nimmt intuitive Gültigkeit als Wahrung der Wahrheit über alle Strukturen (ob Mengen oder nicht). Seine Analyse bevorzugt die modale Analyse logischer Konsequenzen - aber beachten Sie, dass die Schwäche, die wir ansprechen, darin besteht, dass die Berücksichtigung satztheoretischer Strukturen möglicherweise nicht ausreicht. (V) bezeichne die Menge der modelltheoretischen Validitäten in (L): Argumente, die die Wahrheit über Modelle bewahren. Sei (D) die Menge deduktiv gültiger Argumente eines akzeptierten Beweissystems für Logik erster Ordnung. Ein solches Beweissystem ist nun „intuitiv einwandfrei“, was bedeutet, dass das, was vom System deduktiv gültig ist, intuitiv gültig ist. Dies gibt uns (D \ subseteq Val). Und offensichtlich wird nach den Definitionen, die wir gegeben haben, (Val \ subseteq V), da ein Argument, das die Wahrheit über alle Strukturen bewahrt, die Wahrheit über Mengenstrukturen bewahren wird. Sei (D) die Menge deduktiv gültiger Argumente eines akzeptierten Beweissystems für Logik erster Ordnung. Ein solches Beweissystem ist nun „intuitiv einwandfrei“, was bedeutet, dass das, was vom System deduktiv gültig ist, intuitiv gültig ist. Dies gibt uns (D \ subseteq Val). Und offensichtlich wird nach den Definitionen, die wir gegeben haben, (Val \ subseteq V), da ein Argument, das die Wahrheit über alle Strukturen bewahrt, die Wahrheit über Mengenstrukturen bewahren wird. Sei (D) die Menge deduktiv gültiger Argumente eines akzeptierten Beweissystems für Logik erster Ordnung. Ein solches Beweissystem ist nun „intuitiv einwandfrei“, was bedeutet, dass das, was vom System deduktiv gültig ist, intuitiv gültig ist. Dies gibt uns (D \ subseteq Val). Und offensichtlich wird nach den Definitionen, die wir gegeben haben, (Val \ subseteq V), da ein Argument, das die Wahrheit über alle Strukturen bewahrt, die Wahrheit über Mengenstrukturen bewahren wird.
Durch das Vollständigkeitsergebnis für die Logik erster Ordnung haben wir: (V) ⊆ (D). Wenn wir die drei Einschlüsse zusammenfügen (das „Drücken“), erhalten wir, dass alle drei Sätze gleich sein müssen, insbesondere: (V = Val). Auf diese Weise haben wir bewiesen, dass es eine satztheoretische Struktur gibt, wenn es eine Struktur gibt, die ein Gegenbeispiel zu einem Argument erster Ordnung ist.
Ein weiterer Bereich für die Interaktion zwischen der beweistheoretischen und der modelltheoretischen Perspektive hat mit der Definition des logischen Vokabulars zu tun. Zum Beispiel kann man eine „gemäßigte“inferentialistische Sichtweise vertreten, die die Bedeutung logischer Konnektiva durch ihre Semantik (dh Wahrheitsbedingungen) definiert, aber verlangt, dass die Bedeutung einer Konnektivität durch Inferenzregeln bestimmt wird. Carnap hat bekanntlich gezeigt, dass die klassischen Inferenzregeln nicht standardmäßige Interpretationen der logischen Ausdrücke erlauben (Carnap 1943). Viele neuere Arbeiten auf diesem Gebiet haben sich mit der genauen Art und dem Ausmaß des Kategorisierungsproblems von Carnap befasst (Raatikainen 2008, Murzi und Hjortland 2009, Woods 2012, Garson 2013, Peregrin 2014, Bonnay und Westerståhl 2016. Siehe auch den Eintrag zu Satzkonnektiven in formale Logik).
Schließlich ist anzumerken, dass während Modelltheorie und Beweistheorie die wichtigsten Kandidaten für die Erklärung logischer Konsequenzen sind, es jedoch alternative Rahmenbedingungen für formale Semantik wie algebraische Semantik, spieltheoretische Semantik und dynamische Semantik gibt (siehe Wansig 2000).
4. Voraussetzungen und Schlussfolgerungen
Auch zu Aristoteles 'Zeiten gab es Meinungsverschiedenheiten über die „Form“der logischen Konsequenz. Insbesondere besteht kein fester Konsens über die Anzahl der Prämissen oder Schlussfolgerungen, die geeignet sind, um die Konsequenzbeziehung „zusammenzubinden“.
In Aristoteles 'Syllogistik bezieht sich ein Syllogismus auf zwei oder mehr Prämissen und eine einzige Schlussfolgerung. Tatsächlich konzentriert sich Aristoteles auf Argumente mit genau zwei Prämissen (die Hauptprämisse und die Nebenprämisse), aber nichts in seiner Definition verbietet Argumente mit drei oder mehr Prämissen. Sicherlich sollten solche Argumente zulässig sein: Wenn wir zum Beispiel einen Syllogismus von zwei Prämissen (A) und (B) zu einer Schlussfolgerung (C) haben, und wir einen anderen aus den Prämissen (C.) und (D) zur Schlussfolgerung (E), dann ist in gewissem Sinne das längere Argument von den Prämissen (A, B) und (D) zur Schlussfolgerung (E) gut einer. Es wird gefunden, indem die beiden kleineren Argumente miteinander verkettet werden. Wenn die beiden ursprünglichen Argumente formal gültig sind, gilt dies auch für das längere Argument aus drei Prämissen. Auf der anderen Seite, auf einer gemeinsamen Lesart von Aristoteles 'Definition des Syllogismus,Ein - Prämissenargumente sind ausgeschlossen - aber dies scheint willkürlich, da selbst Aristoteles 'eigene "Konversions" -Inferenzen ausgeschlossen sind.
Aus solchen Gründen haben viele das Verhältnis der logischen Konsequenz genommen, um eine willkürliche (möglicherweise unendliche) Sammlung von Prämissen mit einer einzigen Schlussfolgerung zu verbinden. Dieses Konto hat den zusätzlichen Vorteil, dass es sich um eine leere Sammlung von Räumlichkeiten handelt. Argumente für eine Schlussfolgerung aus keinerlei Prämissen sind solche, bei denen die Schlussfolgerung allein durch die Logik wahr ist. Solche „Schlussfolgerungen“sind logische Wahrheiten (manchmal Tautologien) oder, nach dem beweiszentrierten Ansatz, Theoreme.
Vielleicht gibt es einen Grund, den Begriff der logischen Konsequenz noch weiter zu übertragen. In Gentzens Beweistheorie für die klassische Logik wird ein Konsequenzbegriff definiert, der zwischen mehreren Prämissen und mehreren Schlussfolgerungen besteht. Das Argument von einer Menge (X) von Prämissen zu einer Menge (Y) von Schlussfolgerungen ist gültig, wenn die Wahrheit jedes Mitglieds von (X) (im relevanten Sinne) die Wahrheit eines Mitglieds von \ garantiert (Y). Es besteht kein Zweifel, dass dies formal übersichtlich ist, aber die philosophische Anwendbarkeit des Sinnes für logische Konsequenzen mit mehreren Prämissen und mehreren Schlussfolgerungen bleibt ein offenes philosophisches Thema. Insbesondere diejenigen Anti-Realisten, deren logische Konsequenz als Beweis definiert werden soll (wie Michael Dummett), lehnen eine Analyse der logischen Konsequenz mit mehreren Schlussfolgerungen ab. Für einen Anti-RealistenWer eine gute Schlussfolgerung zieht, um durch die Art und Weise charakterisiert zu werden, wie der Haftbefehl von der Prämisse zur Schlussfolgerung übertragen wird, scheint eine Analyse der logischen Konsequenz mit mehreren Schlussfolgerungen nicht in Frage zu stellen. In einem Argument mit mehreren Schlussfolgerungen von (A) bis (B, C) wird jede Garantie, die wir für (A) haben, nicht unbedingt an (B) oder (C) übertragen: die einzige Schlussfolgerung Es ist gerechtfertigt, dass wir die Disjunktion (B) oder (C) zeichnen. Für eine Analyse der Konsequenz in Bezug auf die Garantie scheint es daher erforderlich zu sein, ein logisches Vokabular (in diesem Fall Disjunktion) zu verstehen, um zu verstehen die Konsequenzbeziehung. Dies ist nicht akzeptabel, wenn wir hoffen, die logische Konsequenz als Werkzeug zur Definition dieses logischen Vokabulars zu verwenden. In einer einzigen Schlussfolgerung scheinen keine derartigen Probleme aufzutreten. (Jedoch,siehe Restall (2005) für eine Verteidigung der Konsequenz mehrerer Schlussfolgerungen für Anti-Realisten; und siehe Beall (2011) für eine Verteidigung bestimmter subklassischer Mehrfachschlusslogiken im Dienste nicht klassischer Lösungen für das Paradoxon.)
Eine andere Linie, entlang derer der Begriff erweitert wurde (oder entlang derer einige versucht haben, ihn zu erweitern), beinhaltet neuere Arbeiten zur Substrukturlogik. Der Vorschlag hier ist, dass wir erwägen könnten, auf einige der Standardregeln zu verzichten, die regeln, wie Prämissen (oder Schlussfolgerungen) eines Arguments kombiniert werden können. Strukturregeln befassen sich mit der Form oder Struktur eines Arguments im Sinne der Art und Weise, wie die Prämissen und Schlussfolgerungen zusammengetragen werden, und nicht mit der Art und Weise, wie diese Aussagen konstruiert werden. Die strukturelle Schwächungsregel besagt beispielsweise, dass, wenn ein Argument aus einer Sammlung von Prämissen (X) zu einer Schlussfolgerung (C) gültig ist, das Argument aus (X) zusammen mit einer anderen Prämisse (A.) zum Schluss (C) gilt auch. Diese Regel erschien einigen problematisch (hauptsächlich mit der Begründung, dass die zusätzliche Prämisse (A) nicht für die Ableitung der Schlussfolgerung (C) verwendet werden muss und daher (C) nicht aus dem folgt Räumlichkeiten (X, A) im entsprechenden Sinne). Relevante Logiken sollen diesen Gedanken respektieren und auf die strukturelle Regel der Schwächung verzichten. (Für das beweistheoretische Bild siehe Negri und von Plato (2001).)
Andere strukturelle Regeln werden ebenfalls in Frage gestellt. Eine weitere mögliche Anwendung der Substrukturlogik findet sich in der Analyse von Paradoxien wie dem Curry-Paradoxon. Ein entscheidender Schritt in der Argumentation in Currys Paradoxon und anderen Paradoxien, wie es scheint, erfordert den Schritt, zwei Anwendungen einer Annahme auf eine einzige zu reduzieren (die dann entladen wird). Einigen zufolge ist dieser Schritt problematisch, und daher müssen sie ein Argument von (A) bis (B) und ein Argument von (A, A) bis (B) unterscheiden. Die Kontraktionsregel wird abgelehnt.
In noch anderen Beispielen ist die Reihenfolge, in der Prämissen verwendet werden, wichtig und ein Argument von (A, B) bis (C) ist von einem Argument von (B, A) bis (C zu unterscheiden). (Weitere Einzelheiten finden Sie im Eintrag zur Substrukturlogik.) Es besteht kein Zweifel daran, dass die formalen Systeme der Substrukturlogik elegant und interessant sind, aber der Fall für die philosophische Bedeutung und Anwendbarkeit der Substrukturlogik ist nicht abgeschlossen.
5. Einer oder viele?
Wir haben nur einige zentrale Aspekte des Begriffs der logischen Konsequenz angesprochen und weitere Themen, Debatten und insbesondere Details aus bestimmten Berichten (Konten, die in dieser Enzyklopädie gut vertreten sind) hervorgehen lassen. Aber selbst ein kurzer Blick auf den Abschnitt über verwandte Links (unten) wird eine ziemlich große Anzahl unterschiedlicher logischer Theorien bestätigen, unterschiedliche Darstellungen dessen, was (logisch) aus was folgt. Und diese Beobachtung wirft eine Frage auf, mit der wir schließen werden: Gibt es einen Begriff der logischen Konsequenz, der das Ziel all dieser Theorien ist, oder gibt es viele?
Wir sind uns alle einig, dass es viele verschiedene formale Techniken zum Studium der logischen Konsequenz gibt und sehr viele verschiedene formale Systeme, die jeweils unterschiedliche Beziehungen der logischen Konsequenz vorschlagen. Aber ist bei einem bestimmten Argument die Frage, ob es deduktiv gültig ist, eine Alles-oder-Nichts-Angelegenheit? Die Orthodoxie, der logische Monismus, antwortet bejahend. Es gibt eine Beziehung mit deduktiver Konsequenz, und verschiedene formale Systeme können diese Beziehung besser oder schlechter modellieren. (Siehe zum Beispiel Priest 1999 zur Verteidigung des Monismus.) Der logische Kontextualist oder Relativist sagt, dass die Gültigkeit eines Arguments vom Gegenstand oder vom Bezugsrahmen oder einem anderen Bewertungskontext abhängt. (Zum Beispiel könnte eine Verwendung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte in einem klassischen Mathematiklehrbuch gültig sein.aber nicht in einem intuitionistischen Mathematiklehrbuch oder in einem Kontext, in dem wir über Fiktion oder vage Dinge nachdenken.) Der logische Pluralist sagt andererseits, dass es manchmal ein und dasselbe Argument in ein und demselben Kontext gibt verschiedene Dinge sollte man in Bezug auf seine Gültigkeit sagen. Zum Beispiel sollte man vielleicht sagen, dass das Argument von einer widersprüchlichen Sammlung von Prämissen zu einer nicht verwandten Schlussfolgerung in dem Sinne gültig ist, dass es aufgrund seiner Form nicht der Fall ist, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch sind (also ist es gültig) in einem genauen Sinne), aber dass in einem anderen Sinne die Form des Arguments nicht sicherstellt, dass die Wahrheit der Prämissen zur Wahrheit der Schlussfolgerung führt. Der Monist oder der Kontextualist ist der Ansicht, dass im Fall des einen Arguments eine einzige Antwort auf die Frage seiner Gültigkeit gefunden werden muss. Der Pluralist bestreitet dies. Der Pluralist ist der Ansicht, dass der Begriff der logischen Konsequenz selbst auf mehr als eine Weise präzisiert werden kann, ebenso wie die ursprüngliche Idee eines „guten Arguments“in deduktive und induktive Gültigkeit zerfällt (siehe Beall und Restall 2000 zur Verteidigung des Pluralismus)..
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Andere Internetquellen
MacFarlane, John, 2000, Was bedeutet es zu sagen, dass Logik formal ist?, Dissertation, Abteilung Philosophie, Universität Pittsburgh
