Bayesianische Erkenntnistheorie

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Bayesianische Erkenntnistheorie

Erstveröffentlichung Do 12. Juli 2001; inhaltliche Überarbeitung Mi 26. März 2008

‚Bayesian Epistemologie‘ wurde eine epistemologische Bewegung im 20 - ^ten Jahrhundert, obwohl seine zwei Hauptfunktionen zurück zu dem gleichnamigen Reverend Thomas Bayes (c. 1701-1761) zurückgeführt werden können. Diese beiden Merkmale sind: (1) die Einführung eines formalen Apparats für induktive Logik; (2) die Einführung eines pragmatischen Selbstniederlage-Tests (wie in den niederländischen Buchargumenten dargestellt) für epistemische Rationalität, um die Rechtfertigung der Gesetze der deduktiven Logik um eine Rechtfertigung für die Gesetze der induktiven Logik zu erweitern. Der formale Apparat selbst hat zwei Hauptelemente: die Verwendung der Wahrscheinlichkeitsgesetze als Kohärenzbeschränkungen für rationale Glaubensgrade (oder Vertrauensgrade) und die Einführung einer Regel der probabilistischen Folgerung, einer Regel oder eines Prinzips der Konditionalisierung.

Bayesian Epistemologie hat als philosophisches Programm, bis die ersten formalen Axiomatisierungen der Wahrscheinlichkeitstheorie in der ersten Hälfte des 20. nicht entstehen ^ten Jahrhunderts. Eine wichtige Anwendung der Bayes'schen Erkenntnistheorie war die Analyse der wissenschaftlichen Praxis in der Bayes'schen Bestätigungstheorie. Darüber hinaus basiert ein wichtiger Zweig der Statistik, die Bayes'sche Statistik, auf Bayes'schen Prinzipien. In der Psychologie basiert ein wichtiger Zweig der Lerntheorie, die Bayes'sche Lerntheorie, ebenfalls auf Bayes'schen Prinzipien. Schließlich führte die Idee, rationale Glaubensgrade im Hinblick auf rationales Wettverhalten zu analysieren, zum 20 ^..Jahrhundert Entwicklung einer neuen Art von Entscheidungstheorie, der Bayes'schen Entscheidungstheorie, die heute das dominierende theoretische Modell sowohl für die deskriptive als auch für die normative Analyse von Entscheidungen ist. Die Kombination aus seinem präzisen formalen Apparate und seinen neuen pragmatischen Selbst Niederlage Test für die Rechtfertigung macht Bayesian Epistemologie eine der wichtigsten Entwicklungen in der Erkenntnistheorie im 20. ^ten Jahrhundert und einer der vielversprechendsten Wege für weitere Fortschritte in der Erkenntnistheorie in dem 21 ^st Jahrhundert.

• 1. Deduktive und probabilistische Kohärenz sowie deduktive und probabilistische Inferenzregeln
• 2. Ein einfaches Prinzip der Konditionalisierung
• 3. Niederländische Buchargumente

• 4. Bayes-Theorem und Bayes'sche Bestätigungstheorie

  • Bayes 'Theorem und eine Folgerung
  • Bayesianische Bestätigungstheorie
• 5. Bayesianische soziale Erkenntnistheorie

• 6. Mögliche Probleme

  • 6.1 Einwände gegen die Wahrscheinlichkeitsgesetze als Standards der synchronen Kohärenz
  • 6.2 Einwände gegen das einfache Prinzip der Konditionalisierung als Inferenzregel und andere Einwände gegen die Bayes'sche Bestätigungstheorie
• 7. Andere Prinzipien der Bayesianischen Erkenntnistheorie
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Deduktive und probabilistische Kohärenz sowie deduktive und probabilistische Inferenzregeln

Es wurde auf zwei Arten angenommen, dass die Gesetze der deduktiven Logik rationale Einschränkungen des Glaubens bieten: (1) Synchron können die Gesetze der deduktiven Logik verwendet werden, um den Begriff der deduktiven Konsistenz und Inkonsistenz zu definieren. Die so definierte deduktive Inkonsistenz bestimmt eine Art von Inkohärenz im Glauben, die ich als deduktive Inkohärenz bezeichne. (2) Diachronisch können die Gesetze der deduktiven Logik zulässige Glaubensänderungen durch Bereitstellung der deduktiven Inferenzregeln einschränken. Zum Beispiel ist modus ponens eine deduktive Inferenzregel, die erfordert, dass man Q aus den Prämissen P und P → Q ableitet.

Die Bayesianer schlagen zusätzliche Standards für die synchrone Kohärenz vor - Standards für die probabilistische Kohärenz - und zusätzliche Inferenzregeln - probabilistische Inferenzregeln -, um in beiden Fällen nicht auf Überzeugungen, sondern auf Glaubensgrade (Vertrauensgrade) anzuwenden. Für die Bayesianer sind die Wahrscheinlichkeitsgesetze die wichtigsten Standards für die probabilistische Kohärenz. Weitere Informationen zu den Wahrscheinlichkeitsgesetzen finden Sie im folgenden ergänzenden Artikel:

Ergänzung zu Wahrscheinlichkeitsgesetzen

Für die Bayesianer ist die wichtigste probabilistische Inferenzregel ein Prinzip der Konditionalisierung.

2. Ein einfaches Prinzip der Konditionalisierung

Wenn bedingungslose Wahrscheinlichkeiten (z. B. P (S)) als primitiv angenommen werden, kann die bedingte Wahrscheinlichkeit von S auf T wie folgt definiert werden:

Bedingte Wahrscheinlichkeit:

P (S / T) = P (S & T) / P (T).

Die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist für sich genommen von geringer erkenntnistheoretischer Bedeutung. Sie gewinnt erkenntnistheoretische Bedeutung nur in Verbindung mit einer weiteren erkenntnistheoretischen Annahme:

Einfaches Prinzip der Konditionalisierung:

Wenn man mit anfänglichen oder vorherigen Wahrscheinlichkeiten P _i beginnt und neue Beweise erwirbt, die als sicher einer Beweisaussage E dargestellt werden können (angenommen, dass sie die Gesamtheit der neuen Beweise angeben und eine anfängliche Wahrscheinlichkeit größer als haben Null), dann erfordert Rationalität, dass man seine Anfangswahrscheinlichkeiten systematisch transformiert, um endgültige oder hintere Wahrscheinlichkeiten P _f durch Bedingung von E zu erzeugen - das heißt: Wenn S eine Aussage ist, ist P _f (S) = P _i (S / E). ^[1]

In erkenntnistheoretischer Hinsicht erfordert dieses einfache Prinzip der Konditionalisierung, dass die Auswirkungen von Beweisen auf rationale Grade in zwei Stufen analysiert werden: Die erste ist nicht inferentiell. Es ist die Änderung der Wahrscheinlichkeit der Beweisaussage E von P _i (E), die als größer als Null und kleiner als Eins angenommen wird, zu P _f (E) = 1. Die zweite ist eine probabilistische Folgerung der Konditionalisierung auf E von Anfangswahrscheinlichkeiten (z. B. P _i (S)) bis Endwahrscheinlichkeiten (z. B. P _f (S) = P _i (S / E)).

Probleme mit dem einfachen Prinzip (weiter unten zu diskutieren) haben viele Bayesianer dazu veranlasst, das einfache Prinzip zu qualifizieren, indem sie seinen Anwendungsbereich einschränkten. Darüber hinaus folgen einige Bayesianer Jeffrey bei der Verallgemeinerung des einfachen Prinzips, um es auf Fälle anzuwenden, in denen die neuen Beweise weniger sicher sind (siehe auch unten). Was die Bayes'sche Erkenntnistheorie vereint, ist die Überzeugung, dass eine Konditionalisierung (möglicherweise verallgemeinert) in einigen wichtigen Kontexten rational erforderlich ist - das heißt, dass eine Art Konditionalisierungsprinzip ein wichtiges Prinzip für rationale Änderungen des Glaubensgrades ist.

3. Niederländische Buchargumente

Es wurden viele Argumente dafür angeführt, die Wahrscheinlichkeitsgesetze als Kohärenzbedingungen für Glaubensgrade zu betrachten und ein Prinzip der Konditionalisierung als Regel der probabilistischen Folgerung zu betrachten. Die ausgeprägtesten Bayesianer sind diejenigen, die als niederländische Buchargumente bezeichnet werden. Niederländische Buchargumente stellen die Möglichkeit einer neuen Art der Rechtfertigung erkenntnistheoretischer Prinzipien dar.

Ein niederländisches Buchargument stützt sich auf einige deskriptive oder normative Annahmen, um den Grad des Glaubens mit der Bereitschaft zum Wetten zu verbinden. Beispielsweise wird angenommen, dass eine Person mit dem Grad des Glaubens p in Satz S bereit ist, bis zu $ p für eine Einheit zu zahlen Wette auf S (dh eine Wette, die 1 $ zahlt, wenn S wahr ist) und bereit ist, eine solche Wette zu einem Preis zu verkaufen, der gleich oder größer als $ p ist (es wird angenommen, dass man gleichermaßen bereit ist, eine solche Wette zu kaufen oder zu verkaufen, wenn Der Preis beträgt genau $ p). ^[2]Ein niederländisches Buch ist eine Kombination von Einsätzen, die allein aufgrund deduktiver Logik einen sicheren Verlust nach sich ziehen können. Ein synchrones niederländisches Buch ist eine niederländische Buchkombination von Wetten, die alle gleichzeitig annehmen würden. Ein diachronisches niederländisches Buch ist eine niederländische Buchkombination von Wetten, zu deren unterschiedlichen Zeiten man motiviert wird.

Ramsey und de Finetti verwendeten zunächst synchrone niederländische Buchargumente zur Unterstützung der Wahrscheinlichkeitsgesetze als Standards für die synchrone Kohärenz für Glaubensgrade. Das erste diachrone niederländische Buchargument zur Unterstützung eines Konditionalisierungsprinzips wurde von Teller berichtet, der David Lewis gutschrieb. Das Lewis / Teller-Argument hängt von einer weiteren deskriptiven oder normativen Annahme über bedingte Wahrscheinlichkeiten aufgrund von de Finetti ab: Es wird angenommen, dass ein Agent mit der bedingten Wahrscheinlichkeit P (S / T) = p bereit ist, einen Preis bis einschließlich $ p zu zahlen ein Einheitseinsatz auf S abhängig von T. (Eine Einheitswette auf S, die von T abhängig ist, wird abgesagt, wobei der Kaufpreis an den Käufer zurückgegeben wird, wenn T nicht wahr ist. Wenn T wahr ist, wird die Wette nicht abgesagt und die Wette zahlt 1 $, wenn S wahr ist auch wahr.) Bei dieser Interpretation der bedingten Wahrscheinlichkeiten konnte Lewis, wie von Teller berichtet, zeigen, wie man ein diachrones niederländisches Buch gegen jeden konstruiert, der, wenn er nur dieses T lernt, seinen Grad an Glauben an S vorhersehbar in P ändert_f (S)> P _i (S / T); und wie man ein diachrones niederländisches Buch gegen jeden konstruiert, der, wenn er nur dieses T lernt, vorhersehbar seinen / ihren Glaubensgrad an S in P _f (S) <P _i (S / T) ändert. Illustrationen der Strategie der Argumente Ramsey / de Finetti und Lewis / Teller finden Sie im folgenden ergänzenden Artikel:

Beilage zu niederländischen Buchargumenten

Es wurde viel darüber diskutiert, was niederländische Buchargumente genau zeigen sollen. Bei der wörtlich gesinnten Interpretation ist ihre Bedeutung, dass sie zeigen, dass diejenigen, deren Glaubensgrad gegen die Wahrscheinlichkeitsgesetze verstößt oder deren probabilistische Schlussfolgerungen vorhersehbar gegen ein Prinzip der Konditionalisierung verstoßen, dazu neigen, Wetten abzuschließen, bei denen sie mit Sicherheit verlieren werden. Für die wörtliche Interpretation ist sehr wenig zu sagen, da es keine Grundlage für die Behauptung gibt, dass Rationalität erfordert, dass man bereit ist, gemäß den oben beschriebenen Verhaltensannahmen zu wetten. Ein Agent könnte sich einfach weigern, niederländische Buchkombinationen von Wetten anzunehmen.

Eine der Hauptmotive für Jeffreys neuen Ansatz zu den Grundlagen der Entscheidungstheorie in Logic of Decision war seine Unzufriedenheit mit der Identifizierung der subjektiven Wahrscheinlichkeit mit den Wettquoten. Unabhängig davon, wie stark man an die Annahme glaubt, dass das gesamte menschliche Leben in den nächsten zehn Jahren zerstört wird, wäre es nicht vernünftig, eine Wette auf seine Wahrheit zu kaufen. Williamson erweitert de Finettis niederländisches Buchargument für eine endliche Additivitätsbeschränkung für rationale Glaubensgrade, um ein Argument für eine zählbare Additivitätsbeschränkung für Glaubensgrade zu liefern, aber das Argument wird besser als Reduktion der wörtlich gesinnten Interpretation niederländischer Buchargumente interpretiert als als Argument für die Rationalität einer zählbaren Additivitätsbeschränkung. Die rationale Antwort auf Angebote, auf den Vorschlag zu wetten, dass alles Leben innerhalb der nächsten zehn Jahre zerstört wird, oder auf ein einziges mögliches Ergebnis in einer unendlich vielen Menge gleichwahrscheinlicher möglicher Ergebnisse zu wetten, ist einfach nicht.

Eine plausibelere Interpretation der niederländischen Buchargumente ist, dass sie hypothetisch als symptomatisch für das zu verstehen sind, was als pragmatische Selbstniederlage bezeichnet wurde. Nach dieser Interpretation sind niederländische Buchargumente eine Art Heuristik, um festzustellen, wann der Grad des Glaubens das Potenzial hat, sich pragmatisch selbst zu besiegen. Das Problem ist nicht, dass jemand, der gegen die Bayes'schen Beschränkungen verstößt, wahrscheinlich eine Kombination von Wetten eingeht, die ein niederländisches Buch ausmachen, sondern dass bei jeder vernünftigen Art und Weise, seinen Glaubensgrad in Handeln umzusetzen, ein Potenzial für seinen Grad besteht der Glaube, einen zu motivieren, auf eine Weise zu handeln, die die Dinge schlimmer macht als sie vielleicht gewesen wären, wenn allein aus logischen Gründen festgestellt werden kann, dass alternative Handlungen die Dinge besser gemacht hätten (auf einen Fall)eigene Bewertungen von besser und schlechter).

Eine andere Möglichkeit, das Problem der Anfälligkeit für ein niederländisches Buch zu verstehen, ist Ramsey zu verdanken: Jemand, der für ein niederländisches Buch anfällig ist, bewertet identische Wetten je nach Beschreibung unterschiedlich. Wenn man es so ausdrückt, klingt die Anfälligkeit für niederländische Bücher irrational. Aber dieser Rationalitätsstandard würde es irrational machen, nicht alle logischen Konsequenzen dessen zu erkennen, was man glaubt. Dies ist die Annahme einer logischen Allwissenheit (siehe unten).

Im Erfolgsfall würden niederländische Buchargumente die Rechtfertigung der Prinzipien der Bayes'schen Erkenntnistheorie auf zwei Elemente reduzieren: (1) eine Darstellung der angemessenen Beziehung zwischen Glaubensgraden und Wahlmöglichkeiten; und (2) die Gesetze der deduktiven Logik. Da es den Anschein hat, dass die Wahrheit über die angemessene Beziehung zwischen dem Grad des Glaubens und der Wahl unabhängig von der Erkenntnistheorie ist, bieten niederländische Buchargumente das Potenzial, die Prinzipien der Bayesianischen Erkenntnistheorie auf eine Weise zu rechtfertigen, die keine anderen erkenntnistheoretischen Ressourcen als die Gesetze von erfordert deduktive Logik. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, niederländische Buchargumente als indirekte, pragmatische Argumente zu betrachten, die nach den Prinzipien der Bayes'schen Erkenntnistheorie den gleichen erkenntnistheoretischen Status haben wie die Gesetze der deduktiven Logik. Niederländische Buchargumente sind ein wirklich charakteristischer Beitrag der Bayesianer zur Methodik der Erkenntnistheorie.

Es sollte auch erwähnt werden, dass einige Bayesianer ihre Prinzipien direkter mit nicht pragmatischen Argumenten verteidigt haben. Teller berichtet nicht nur über Lewis 'niederländisches Buchargument, sondern bietet auch eine nicht pragmatische Verteidigung der Konditionalisierung. Es wurden viele nicht pragmatische Verteidigungen der Wahrscheinlichkeitsgesetze vorgeschlagen (z. B. van Fraassen; Shimony). Das überzeugendste ist Joyce zu verdanken. Alle diese Abwehrmechanismen, ob pragmatisch oder nicht pragmatisch, ergeben ein Rätsel für die Bayes'sche Erkenntnistheorie: Die Prinzipien der Bayes'schen Erkenntnistheorie werden typischerweise als Prinzipien des induktiven Denkens vorgeschlagen. Aber wenn die Prinzipien der Bayes'schen Erkenntnistheorie letztendlich für ihre Rechtfertigung ausschließlich von den Gesetzen der deduktiven Logik abhängen, welchen Grund gibt es zu der Annahme, dass sie einen induktiven Inhalt haben? Das heißt,Welchen Grund gibt es zu glauben, dass sie mehr tun, als die Gesetze der deduktiven Logik von Überzeugungen auf Glaubensgrade auszudehnen? Es sollte jedoch erwähnt werden, dass selbst wenn die Bayes'sche Erkenntnistheorie die Gesetze der deduktiven Logik nur auf Glaubensgrade ausdehnte, dies allein einen äußerst wichtigen Fortschritt in der Erkenntnistheorie darstellen würde.

4. Bayes-Theorem und Bayes'sche Bestätigungstheorie

In diesem Abschnitt werden einige der wichtigsten Ergebnisse der Bayes'schen Analyse der wissenschaftlichen Praxis - der Bayes'schen Bestätigungstheorie - vorgestellt. Es wird angenommen, dass alle zu bewertenden Aussagen eine vorherige Wahrscheinlichkeit von mehr als null und weniger als eins haben.

4.1 Satz von Bayes und eine Folgerung

Der Satz von Bayes ist eine einfache Folge der Wahrscheinlichkeitsaxiome und der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

Satz von Bayes:

P (S / T) = P (T / S) × P (S) / P (T) [wobei angenommen wird, dass P (T) größer als Null ist]

Die erkenntnistheoretische Bedeutung des Satzes von Bayes besteht darin, dass er eine einfache Folge des einfachen Prinzips der Konditionalisierung darstellt. Wenn die endgültige Wahrscheinlichkeit einer Hypothese H durch Konditionalisierung auf Beweis E erzeugt wird, liefert der Bayes-Satz eine Formel für die endgültige Wahrscheinlichkeit von H in Bezug auf die vorherige oder anfängliche Wahrscheinlichkeit von H auf E (P _i (E / H)) und die vorherigen oder anfänglichen Wahrscheinlichkeiten von H und E:

Folgerung aus dem einfachen Prinzip der Konditionalisierung:

P _f (H) = P _i (H / E) = P _i (E / H) × P _i (H) / P _i (E).

Aufgrund des Einflusses des Bayesianismus ist Wahrscheinlichkeit heute ein Fachbegriff in der Bestätigungstheorie. In diesem technischen Sinne können Wahrscheinlichkeiten sehr nützlich sein. Wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit von H auf E zweifelhaft ist, kann die Wahrscheinlichkeit von H auf E häufig aus den theoretischen Annahmen von H berechnet werden.

4.2 Bayesianische Bestätigungstheorie

A. Bestätigung und Nichtbestätigung. In der Bayes'schen Bestätigungstheorie wird gesagt, dass Beweise die Hypothese H (zumindest zu einem gewissen Grad) bestätigen (oder bestätigen würden), nur für den Fall, dass die vorherige Wahrscheinlichkeit von H, die von E abhängig ist, größer ist als die vorherige unbedingte Wahrscheinlichkeit von H: P _i (H. / E)> P _i (H). E bestätigt H nicht (oder würde es nicht bestätigen), wenn die vorherige Wahrscheinlichkeit von H, die von E abhängig ist, geringer ist als die vorherige unbedingte Wahrscheinlichkeit von H.

Dies ist eine qualitative Konzeption der Bestätigung. In der Literatur gibt es keine allgemeine Übereinstimmung über ein quantitatives Maß für den Grad der Bestätigung oder den Grad der Beweisunterstützung. Earman (Kap. 5) und Fitelson bieten beide einen guten Überblick über die verschiedenen Vorschläge. Es könnte angenommen werden, dass der Grad, in dem Beweise E die Hypothese H unterstützen (oder unterstützen würden), als P _i (H / E) - P _{i definiert werden könnte}(H). Ein mögliches Problem bei diesem Vorschlag besteht darin, dass keine Beweise eine Hypothese liefern können, die zuvor sehr wahrscheinlich war, da die Differenz gegen Null geht, wenn sich die Wahrscheinlichkeit von H eins nähert. Eells und Fitelson haben argumentiert, dass diese scheinbar kontraintuitive Konsequenz vermieden werden kann, indem die historische Frage unterschieden wird, inwieweit ein Beweisstück E tatsächlich zur Bestätigung von H beigetragen hat (was natürlich klein sein müsste, wenn H vorher sehr wahrscheinlich wäre) aus der Frage nach dem Grad der Beweisunterstützung, die E für H liefert, deren Antwort, so schlagen sie vor, relativ zu den Hintergrundinformationen ist. Selbst wenn H zum Zeitpunkt der Beweisaufnahme E sehr wahrscheinlich ist,wir können fragen, wie viel Beweisunterstützung E für H liefern würde, wenn wir keine anderen Beweise hätten, die H unterstützen. Eells und Fitelson haben auch einen nützlichen Rahmen für die Bewertung der verschiedenen Vorschläge in der Literatur bereitgestellt, einen Rahmen, in dem die meisten von ihnen als mangelhaft befunden werden.

B. Bestätigung und Nichtbestätigung durch Folge. Immer wenn eine Hypothese H logischerweise Beweise E beinhaltet, bestätigt E H. Dies folgt aus der Tatsache, dass zur Bestimmung der Wahrheit von E eine Möglichkeit ausgeschlossen werden muss, von der angenommen wird, dass sie eine vorherige Wahrscheinlichkeit ungleich Null hat, die mit H nicht kompatibel ist - die Möglichkeit, dass ~ E. Eine Konsequenz ist, dass, wenn H E beinhaltet, ~ E H nicht bestätigen würde, indem seine Wahrscheinlichkeit auf Null reduziert wird. Das einflussreichste Erklärungsmodell in der Wissenschaft ist das hypothetisch-deduktive Modell (z. B. Hempel). Eine der wichtigsten Quellen für die Unterstützung der Bayes'schen Bestätigungstheorie ist daher, dass sie die Rolle der hypothetisch-deduktiven Erklärung bei der Bestätigung erklären kann.

C. Bestätigung logischer Äquivalente. Wenn zwei Hypothesen H1 und H2 logisch äquivalent sind, bestätigt der Beweis E beide gleichermaßen. Dies folgt aus der Tatsache, dass logisch äquivalenten Aussagen immer die gleiche Wahrscheinlichkeit zugewiesen wird.

D. Die bestätigende Wirkung überraschender oder vielfältiger Beweise. Aus der obigen Folgerung folgt, dass die Frage, ob E H bestätigt (oder nicht bestätigt), davon abhängt, ob E wahrscheinlicher (oder weniger wahrscheinlich) von H abhängig ist als bedingungslos - das heißt, ob:

(b1) P (E / H) / P (E)> 1.

Eine intuitive Art zu verstehen (b1) besteht darin, zu sagen, dass E mehr erwartet (oder weniger überraschend) wäre, wenn bekannt wäre, dass H wahr ist. Wenn also E überraschend ist, aber nicht überraschend wäre, wenn wir wüssten, dass H wahr ist, dann wird E H signifikant bestätigen. So erklären die Bayesianer die Tendenz überraschender Beweise, Hypothesen zu bestätigen, bei denen die Beweise erwartet würden.

In ähnlicher Weise werden andere Beweise der gleichen Art E ₂ im Allgemeinen die Hypothese H im Allgemeinen nicht so sehr bestätigen, da es vernünftig ist zu glauben, dass der Beweis E ₁ andere Beweise der gleichen Art viel wahrscheinlicher macht, nachdem E ₁ als wahr bestimmt wurde andere vielfältige Beweise E ₃, auch wenn H sowohl für E ₂ als auch für E ₃ gleich wahrscheinlich ist. Die Erklärung ist, dass wenn E ₁ E ₂ viel wahrscheinlicher macht als E ₃ (P _i (E ₂ / E ₁) >> P _i (E ₃ / E ₁₎) gibt es weniger Potenzial für die Entdeckung, dass E ₂ wahr ist, um die Wahrscheinlichkeit von H zu erhöhen, als für die Entdeckung, dass E ₃ wahr ist, dies zu tun.

E. Relative Bestätigungs- und Wahrscheinlichkeitsverhältnisse. Oft ist es wichtig, die Wirkung des Beweises E auf zwei konkurrierende Hypothesen, H _j und H _k, vergleichen zu können, ohne auch die Wirkung auf andere Hypothesen berücksichtigen zu müssen, die möglicherweise nicht so einfach zu formulieren oder mit H _j und zu vergleichen sind H _k. Aus der obigen ersten Folgerung wäre das Verhältnis der Endwahrscheinlichkeiten von H _j und H _k gegeben durch:

Verhältnisformel:

P _f (H _j) / P _f (H _k) = [P _i (E / H _j) × P _i (H _j)] / [P _i (E / H _k) × P _i (H _k)]

Wenn die Chancen von H _j relativ zu H _k als Verhältnis ihrer Wahrscheinlichkeiten definiert sind, folgt aus der Verhältnisformel, dass in einem Fall, in dem eine Änderung des Glaubensgrades aus der Konditionalisierung auf E resultiert, die endgültigen Chancen (P _f (H _j) / P _f (H _k)) ergeben sich aus der Multiplikation der Anfangschancen (P _i (H _j) / P _i (H _k)) mit dem Wahrscheinlichkeitsverhältnis (P _i (E / H _j) / P _i (E. / H _k)). Bei paarweisen Vergleichen der Wahrscheinlichkeit von Hypothesen ist das Wahrscheinlichkeitsverhältnis somit die entscheidende Determinante für die Auswirkung der Beweise auf die Wahrscheinlichkeit.

F. Subjektiver und objektiver Bayesianismus. Gibt es andere Einschränkungen für frühere Wahrscheinlichkeiten als die Wahrscheinlichkeitsgesetze? Stellen Sie sich eine Situation vor, in der Sie einen Ball aus einer Urne mit roten und schwarzen Bällen ziehen sollen. Angenommen, Sie haben keine weiteren Informationen über die Urne. Wie hoch ist die vorherige Wahrscheinlichkeit (vor dem Ziehen eines Balls), dass der gezogene Ball schwarz ist, wenn ein Ball aus der Urne gezogen wird? Die Frage teilt die Bayesianer in zwei Lager:

(a) Subjektive Bayesianer betonen das relative Fehlen rationaler Einschränkungen früherer Wahrscheinlichkeiten. Im Urnenbeispiel würden sie zulassen, dass jede vorherige Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 rational sein könnte (obwohl einige subjektive Bayesianer (z. B. Jeffrey) die beiden Extremwerte 0 und 1 ausschließen würden). Die extremsten subjektiven Bayesianer (z. B. de Finetti) sind der Ansicht, dass die einzige rationale Einschränkung früherer Wahrscheinlichkeiten die probabilistische Kohärenz ist. Andere (z. B. Jeffrey) klassifizieren sich als Subjektivisten, obwohl sie eine relativ geringe Anzahl zusätzlicher rationaler Einschränkungen für frühere Wahrscheinlichkeiten zulassen. Da Subjektivisten sich über bestimmte Einschränkungen nicht einig sein können, verbindet sie, dass ihre Einschränkungen sehr wenig ausschließen. Für subjektive Bayesianer,Unsere tatsächlichen vorherigen Wahrscheinlichkeitszuweisungen sind größtenteils das Ergebnis nicht rationaler Faktoren - zum Beispiel unserer eigenen uneingeschränkten, freien Wahl oder Evolution oder Sozialisation.

(b) Objektive Bayesianer (z. B. Jaynes und Rosenkrantz) betonen, inwieweit frühere Wahrscheinlichkeiten rational eingeschränkt sind. Im obigen Beispiel würden sie behaupten, dass Rationalität das Zuweisen einer vorherigen Wahrscheinlichkeit von 1/2 zum Ziehen einer schwarzen Kugel aus der Urne erfordert. Sie würden argumentieren, dass jede andere Wahrscheinlichkeit den folgenden Test nicht bestehen würde: Da Sie überhaupt keine Informationen darüber haben, welche Bälle rot und welche Bälle schwarz sind, müssen Sie vorherige Wahrscheinlichkeiten auswählen, die bei einer Änderung der Bezeichnung („rot“oder „rot“unveränderlich sind) schwarz"). Die einzige vorherige Wahrscheinlichkeitszuweisung, die auf diese Weise unveränderlich ist, ist die Zuordnung der vorherigen Wahrscheinlichkeit von 1/2 zu jeder der beiden Möglichkeiten (dh, dass der gezogene Ball schwarz oder rot ist).

In der Grenze würde ein objektiver Bayesianer behaupten, dass rationale Zwänge unter allen Umständen die vorherigen Wahrscheinlichkeiten eindeutig bestimmen. Dies würde die logischen Wahrscheinlichkeiten der vorherigen Wahrscheinlichkeiten rein a priori bestimmbar machen. Keiner von denen, die sich als objektive Bayesianer identifizieren, vertritt diese extreme Form der Ansicht. Sie sind sich auch nicht alle einig, was genau die rationalen Einschränkungen für den Grad des Glaubens sind. Zum Beispiel akzeptiert Williamson die Konditionalisierung in keiner Form als rationale Einschränkung des Glaubensgrades. Was alle objektiven Bayesianer vereint, ist ihre Überzeugung, dass Symmetrieüberlegungen unter vielen Umständen die relevanten vorherigen Wahrscheinlichkeiten eindeutig bestimmen und dass selbst wenn sie die relevanten vorherigen Wahrscheinlichkeiten nicht eindeutig bestimmen,Sie schränken häufig den Bereich der rational zulässigen vorherigen Wahrscheinlichkeiten so ein, dass eine Konvergenz der relevanten hinteren Wahrscheinlichkeiten gewährleistet ist. Jaynes identifiziert vier allgemeine Prinzipien, die frühere Wahrscheinlichkeiten, Gruppeninvarianz, Maximiumentropie, Marginalisierung und Codierungstheorie einschränken, hält die Liste jedoch nicht für erschöpfend. Er erwartet, dass in Zukunft weitere Grundsätze hinzugefügt werden. Kein Ziel Bayesian behauptet jedoch, dass es Prinzipien gibt, die in allen Fällen die rationalen vorherigen Wahrscheinlichkeiten eindeutig bestimmen. Er erwartet, dass in Zukunft weitere Grundsätze hinzugefügt werden. Kein Ziel Bayesian behauptet jedoch, dass es Prinzipien gibt, die in allen Fällen die rationalen vorherigen Wahrscheinlichkeiten eindeutig bestimmen. Er erwartet, dass in Zukunft weitere Grundsätze hinzugefügt werden. Kein Ziel Bayesian behauptet jedoch, dass es Prinzipien gibt, die in allen Fällen die rationalen vorherigen Wahrscheinlichkeiten eindeutig bestimmen.

Durch die Einführung von Symmetrieeinschränkungen für frühere Wahrscheinlichkeiten erben die objektiven Bayesianer die Schwierigkeiten des klassischen Gleichgültigkeitsprinzips, das von Keynes so genannt, aber normalerweise Laplace zugeschrieben wird. Das einfache Beispiel der Urne zeigt, wie Invarianzüberlegungen verwendet werden können, um dem Prinzip der Gleichgültigkeit Inhalt zu verleihen. Dort kann der Objektivist die vorherigen Wahrscheinlichkeiten eindeutig aus der Anforderung bestimmen, dass die rationalen vorherigen Wahrscheinlichkeiten unter Umschalten der zur Klassifizierung der Kugeln in der Urne verwendeten Bezeichnungen unveränderlich sein sollten.

Sowohl Objektivisten als auch Subjektivisten sind sich jedoch im Allgemeinen einig, dass Unwissenheit allein nicht die Grundlage für die Zuweisung früherer Wahrscheinlichkeiten sein kann. Der Grund ist, dass es in einem bestimmten Fall einige Informationen geben muss, um herauszufinden, welche Parameter oder welche Transformationen diejenigen sind, unter denen man gleichgültig sein soll. Ohne solche Informationen führen Gleichgültigkeitsüberlegungen zu einem Paradoxon. Ziel Bayesianer waren sehr kreativ bei der Suche nach Wegen, um viele der Paradoxien zu lösen (z. B. Jeffreys 'Lösung für Bertrands Pardox, Jaynes' Lösung für Buffons Nadelparadoxon oder Mikkelsons Lösung für van Mises 'Paradoxon). Aber es gibt immer mehr Paradoxe. Charles, Höcker, Lacker, Le Diberder und T 'Jampens (Other Internet Resources) liefert ein aktuelles Beispiel aus der Physik, bei dem die maximale Entropie je nach Parametrisierung zu widersprüchlichen Ergebnissen führt und bei dem ein frequentistischer Ansatz jedem objektiven Bayes'schen Ansatz überlegen zu sein scheint, der jede Form der Konditionalisierung verwendet.

G. Der typische unterschiedliche Effekt von positiven und negativen Beweisen. Hempel wies zunächst darauf hin, dass wir typischerweise erwarten, dass die Hypothese, dass alle Raben schwarz sind, bis zu einem gewissen Grad durch die Beobachtung eines schwarzen Raben bestätigt wird, nicht jedoch durch die Beobachtung eines nicht schwarzen, nicht rabenartigen. Sei H die Hypothese, dass alle Raben schwarz sind. Es sei E ₁ die Beobachtung eines nicht schwarzen, nicht rabenhaften Menschen. Es sei E ₂ die Beobachtung eines schwarzen Raben. Die Bayes'sche Bestätigungstheorie besagt tatsächlich, dass sowohl E ₁ als auch E ₂ eine Bestätigung für H liefern können. Denken Sie daran, dass E ₁ H nur für den Fall P _i (E ₁ / H) / P _i (E) unterstützt₁)> 1. Es ist plausibel zu glauben, dass dieses Verhältnis etwas größer als eins ist. Andererseits scheint E ₂ H eine viel größere Bestätigung zu liefern, da in diesem Beispiel erwartet werden würde, dass P _i (E ₂ / H) / P _i (E ₂) >> P _i (E ₁₎ / H) / P _i (E ₁).

Dies ist nur eine Auswahl der Ergebnisse, die die Bayes'sche Bestätigungstheorie als Theorie der rationalen Folgerung für die Wissenschaft unterstützt haben. Weitere Beispiele finden Sie unter Howson und Urbach. Es sollte auch erwähnt werden, dass die Bayes'sche Statistik, ein wichtiger Zweig der Statistik, auf den Prinzipien der Bayes'schen Erkenntnistheorie basiert.

5. Bayesianische soziale Erkenntnistheorie

Eine der wichtigsten Entwicklungen in der Bayes'schen Erkenntnistheorie war die Erforschung der zu untersuchenden sozialen Dimension. Das offensichtliche Beispiel ist die wissenschaftliche Untersuchung, denn es ist eher die Gemeinschaft der Wissenschaftler als jeder einzelne Wissenschaftler, die bestimmt, was in der Disziplin akzeptiert wird oder nicht. Darüber hinaus arbeiten Wissenschaftler in der Regel in Forschungsgruppen, und selbst diejenigen, die alleine arbeiten, verlassen sich auf die Berichte anderer Wissenschaftler, um ihre eigene Arbeit entwerfen und ausführen zu können. Weitere wichtige Beispiele für die soziale Dimension des Wissens sind der Einsatz von Jurys, um sachliche Feststellungen im Rechtssystem zu treffen, und die Dezentralisierung des Wissens über das Internet.

Es gibt zwei Möglichkeiten, wie die Bayes'sche Erkenntnistheorie auf soziale Untersuchungen angewendet werden kann:

(1) Bayesianische Erkenntnistheorie des Zeugnisses (allgemein verstanden, um nicht nur persönliches Zeugnis, sondern alle medialen Informationsquellen einzuschließen). Goldman hat eine Bayes'sche Erkenntnistheorie entwickelt und auf soziale Einheiten wie die Wissenschaft und das Rechtssystem angewendet. Bei einem solchen Ansatz ist es entscheidend, wie die Zuverlässigkeit der erhaltenen Berichte bewertet wird. Goldmans Ansatz besteht darin, sich auf das institutionelle Design zu konzentrieren, um die Erstellung zuverlässiger Berichte zu motivieren. Bovens und Hartmann versuchen stattdessen zu modellieren, wie ein Bayes'scher Agent bei Berichten aus mehreren Quellen probabilistische Argumente verwenden kann, um die Zuverlässigkeit der Berichte und damit die Glaubwürdigkeit zu beurteilen. Die Idee, dass wir bei der Bewertung der Wahrscheinlichkeit eines Berichts implizit die Zuverlässigkeit des Reporters bewerten, wird von Barnes als mögliche Erklärung für die Vorhersage- / Akkommodationsasymmetrie entwickelt, die im nächsten Abschnitt erörtert wird.

(2) Aggregierter Bayesianismus. Wenn wissenschaftliche Erkenntnisse oder Überlegungen der Jury zu einem Gruppenprodukt führen, ist es selbstverständlich zu prüfen, ob das Wissen der Gruppe in aggregierter Form dargestellt werden kann. In Bayes'schen Begriffen stellt sich die Frage, ob die Wahrscheinlichkeitszuweisungen der Personen sinnvoll zu einer einzigen Wahrscheinlichkeitszuordnung zusammengefasst werden können, die das Wissen der Gruppe widerspiegelt. Obwohl Seidenfeld, Kadane und Schervish gezeigt haben, dass es im Allgemeinen keine Möglichkeit gibt, einen aggregierten Bayes'schen erwarteten Nutzenmaximierer zu definieren, um die Pareto-Präferenzen einer Gruppe von zwei oder mehr einzelnen Bayes'schen erwarteten Nutzenmaximierern darzustellen, gibt es kein Unmöglichkeitsergebnis, das die Aggregation von ausschließt individuelle Wahrscheinlichkeitszuordnungen in eine Gruppenwahrscheinlichkeitszuordnung. Es gibt jedoch keine allgemein vereinbarte Regel dafür. Wenn eine Gruppe von Bayes-Individuen alle mit denselben Anfangswahrscheinlichkeiten begonnen hätte, würde das einfache Teilen ihrer Beweise sie alle zu denselben Endwahrscheinlichkeiten führen. Es mag bedauerlich erscheinen, dass Einstimmigkeit in der Wissenschaft und andere soziale Bestrebungen nicht so einfach erreicht werden können, aber Kitcher hat argumentiert, dass dies ein Fehler ist, da kognitive Vielfalt eine wichtige Rolle für den wissenschaftlichen Fortschritt spielt.

Die Fruchtbarkeit der Bayes'schen sozialen Erkenntnistheorie kann letztendlich davon abhängen, ob die Idealisierungen der Bayes'schen Theorie zu unrealistisch sind oder nicht. Wenn zum Beispiel eine der wichtigen Auswirkungen von Jury-Überlegungen darin besteht, dass sie der Gruppe tendenziell die Möglichkeit bieten, die Irrationalität einzelner Mitglieder zu korrigieren, kann wahrscheinlich kein Modell von Juroren als ideale Bayesianer dieses Merkmal erklären das Jury-System.

6. Mögliche Probleme

In diesem Abschnitt werden einige der wichtigsten potenziellen Probleme für die Bayes'sche Bestätigungstheorie und für die Bayes'sche Erkenntnistheorie im Allgemeinen behandelt. Es wird hier kein Versuch unternommen, ihre Ernsthaftigkeit zu bewerten, obwohl für keinen von ihnen eine allgemein vereinbarte Bayes'sche Lösung besteht.

6.1 Einwände gegen die Wahrscheinlichkeitsgesetze als Standards der synchronen Kohärenz

A. Die Annahme logischer Allwissenheit. Die Annahme, dass Glaubensgrade die Wahrscheinlichkeitsgesetze erfüllen, impliziert Allwissenheit über deduktive Logik, da die Wahrscheinlichkeitsgesetze erfordern, dass alle deduktiven logischen Wahrheiten die Wahrscheinlichkeit eins haben, alle deduktiven Inkonsistenzen die Wahrscheinlichkeit Null haben und die Wahrscheinlichkeit einer Satzverbindung nicht größer als eine ist seiner deduktiven Konsequenzen. Dies scheint ein unrealistischer Standard für den Menschen zu sein. Hacking und Garber haben Vorschläge gemacht, um die Annahme logischer Allwissenheit zu lockern. Da die Lockerung dieser Annahme die Ableitung fast aller wichtigen Ergebnisse der Bayes'schen Erkenntnistheorie blockieren würde, halten die meisten Bayesianer die Annahme der logischen Allwissenheit aufrecht und behandeln sie als ein Ideal, dem sich der Mensch nur mehr oder weniger annähern kann.

B. Der besondere erkenntnistheoretische Status der Gesetze der klassischen Logik. Auch wenn die Annahme einer logischen Allwissenheit keine allzu große Idealisierung darstellt, um ein nützliches Modell für menschliches Denken zu liefern, hat sie eine weitere potenziell beunruhigende Konsequenz. Es verpflichtet die Bayes'sche Erkenntnistheorie zu einer Art a priori / a posteriori Unterscheidung, da es keinen Bayes'schen Bericht darüber geben könnte, wie empirische Beweise es rational machen könnten, eine Theorie mit einer nicht-klassischen Logik anzunehmen. In dieser Hinsicht überträgt die Bayes'sche Erkenntnistheorie die Vermutung der traditionellen Erkenntnistheorie, dass die Gesetze der Logik auf der Grundlage empirischer Beweise gegen eine Revision immun sind.

Es steht dem Bayesianer offen, zu versuchen, die Bedeutung dieser Konsequenz herunterzuspielen, indem er eine a priori / a posteriori-Unterscheidung formuliert, die eher pragmatisch als metaphysisch sein soll (z. B. Carnaps analytische / synthetische Unterscheidung). Ein solcher Bericht muss sich jedoch mit Quines bekannter ganzheitlicher Herausforderung für die analytisch-synthetische Unterscheidung befassen.

6.2 Einwände gegen das einfache Prinzip der Konditionalisierung als Inferenzregel und andere Einwände gegen die Bayes'sche Bestätigungstheorie

A. Das Problem unsicherer Beweise. Das einfache Prinzip der Konditionalisierung erfordert, dass die Erlangung von Beweisen als Änderung des Glaubensgrades an eine Aussage E in eine - dh in Gewissheit - darstellbar ist. Viele Philosophen würden es jedoch ablehnen, einer zufälligen Aussage, sogar einer Beweisaussage, eine Wahrscheinlichkeit von eins zuzuweisen, da beispielsweise bekannt ist, dass Wissenschaftler manchmal zuvor akzeptierte Beweise aufgeben. Jeffrey hat eine Verallgemeinerung des Prinzips der Konditionalisierung vorgeschlagen, die dieses Prinzip als Sonderfall ergibt. Jeffreys Idee ist, dass es bei der Beobachtung nicht darauf ankommt, dass sie Gewissheit gibt.aber dass es eine nicht-inferentielle Änderung der Wahrscheinlichkeit einer Beweisaussage E und ihrer Negation ~ E (angenommen als der Ort aller nicht-inferentiellen Änderungen der Wahrscheinlichkeit) von anfänglichen Wahrscheinlichkeiten zwischen null und eins zu P erzeugt_f (E) und P _f (~ E) = [1 - P _f (E)]. Dann würde nach Jeffreys Ansicht nach der Beobachtung der rationale Grad des Glaubens an eine Hypothese H durch das folgende Prinzip gegeben sein:

Prinzip der Jeffrey-Konditionalisierung:

P _f (H) = P _i (H / E) × P _f (E) + P _i (H / ~ E) × P _f (~ E) [wobei sowohl E als auch H angenommen werden frühere Wahrscheinlichkeiten zwischen null und eins]

Für Jeffreys Prinzip gilt seine theoretische Eleganz. Dagegen zu zählen ist das praktische Problem, dass es erforderlich ist, dass man die direkten nicht-inferentiellen Auswirkungen einer Beobachtung vollständig spezifizieren kann, was zweifelhaft ist, was jemals jemand getan hat. Skyrms hat ihm eine niederländische Buchverteidigung gegeben.

B. Das Problem alter Beweise. Aus Bayes'scher Sicht ist die Wirkung des Beweises E bei der Bestätigung (oder Nichtbestätigung) einer Hypothese ausschließlich eine Funktion der Zunahme der Wahrscheinlichkeit, die E entsteht, wenn zum ersten Mal festgestellt wird, dass sie wahr ist. Dies wirft das folgende Rätsel für die von Glymour ausführlich diskutierte Bayes'sche Bestätigungstheorie auf: Angenommen, E ist eine seit einiger Zeit bekannte Beweisaussage - das heißt, es handelt sich um alte Beweise; und nehmen wir an, dass H eine wissenschaftliche Theorie ist, die seit einiger Zeit in Betracht gezogen wird. Eines Tages wird entdeckt, dass H E impliziert. In der wissenschaftlichen Praxis wird die Entdeckung, dass H E impliziert, typischerweise als ein gewisses Maß an bestätigender Unterstützung für H angesehen. Die Bayes'sche Bestätigungstheorie scheint jedoch nicht in der Lage zu sein, zu erklären, wie eine zuvor bekannte Beweisaussage E eine neue Unterstützung für H liefern könnte. Damit die Konditionalisierung ins Spiel kommt, muss sich die Wahrscheinlichkeit der Beweisaussage E ändern. Wenn E ein alter Beweis ist, ändert sich seine Wahrscheinlichkeit nicht. Einige Bayesianer, die versucht haben, dieses Problem zu lösen (z. B. Garber), haben typischerweise versucht, die Annahme der logischen Allwissenheit zu schwächen, um die Möglichkeit zu ermöglichen, logische Beziehungen zu entdecken (z. B. dass H und geeignete Hilfsannahmen E implizieren). Wie oben erwähnt, droht die Lockerung der Annahme der logischen Allwissenheit die Ableitung fast aller wichtigen Ergebnisse der Bayes'schen Erkenntnistheorie zu blockieren. Andere Bayesianer (z. B. Lange) verwenden den Bayes'schen Formalismus als Werkzeug für die rationale Rekonstruktion der Beweisunterstützung für eine wissenschaftliche Hypothese.wo es für die rationale Rekonstruktion irrelevant ist, ob die Beweise vor oder nach der ursprünglichen Formulierung der Theorie entdeckt wurden. Joyce und Christensen sind sich einig, dass die Entdeckung neuer logischer Beziehungen zwischen zuvor akzeptierten Beweisen und einer Theorie die Wahrscheinlichkeit der Theorie nicht erhöhen kann. Sie schlagen jedoch vor, dass die Verwendung von P._i (H / E) - P _i (H / -E) als Maß für die Unterstützung kann zumindest erklären, wie Beweise, die eine Wahrscheinlichkeit haben, eine Theorie noch unterstützen könnten. Eells und Fitelson haben diesen Vorschlag kritisiert und argumentiert, dass das Problem besser gelöst werden kann, indem zwei Maßnahmen unterschieden werden, das historische Maß für den Grad, in dem ein Beweisstück E tatsächlich eine Hypothese H bestätigte, und das ahistorische Maß dafür, wie viel ein Beweisstück E ist würde eine Hypothese H zu gegebenen Hintergrundinformationen B unterstützen. Die zweite Maßnahme ermöglicht es uns, die ahistorische Frage zu stellen, wie viel E H unterstützen würde, wenn wir keine anderen Beweise hätten, die H unterstützen.

C. Das Problem der starren bedingten Wahrscheinlichkeiten. Wenn man konditioniert, wendet man die anfänglichen bedingten Wahrscheinlichkeiten an, um die endgültigen unbedingten Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Währenddessen ändern sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten selbst nicht. sie bleiben starr. Beispiele für das Problem der alten Beweise sind nur einer von vielen Fällen, in denen es vernünftig erscheint, die anfänglichen bedingten Wahrscheinlichkeiten zu ändern. Daher lehnen viele Bayesianer das einfache Prinzip der Konditionalisierung zugunsten eines qualifizierten Prinzips ab, das auf Situationen beschränkt ist, in denen man seine anfänglichen bedingten Wahrscheinlichkeiten nicht ändert. Es gibt keine allgemein anerkannte Darstellung, wann es rational ist, starre anfängliche bedingte Wahrscheinlichkeiten beizubehalten, und wann nicht.

D. Das Problem der Vorhersage vs. Akkommodation. Im Zusammenhang mit dem Problem der alten Evidenz steht das folgende potenzielle Problem: Betrachten Sie zwei verschiedene Szenarien. In der ersten wurde die Theorie H teilweise entwickelt, um einige zuvor bekannte Beweise E aufzunehmen (dh zu implizieren). In der zweiten wurde die Theorie H zu einer Zeit entwickelt, als E nicht bekannt war. Weil E als Vorhersage von H abgeleitet wurde, wurde ein Test durchgeführt und E wurde als wahr befunden. Es scheint, dass E's Wahrheit ein höheres Maß an Bestätigung für H liefern würde, wenn die Wahrheit von E von H vorhergesagt worden wäre, als wenn H entwickelt worden wäre, um die Wahrheit von E aufzunehmen. Unter den Bayesianern besteht keine allgemeine Übereinstimmung darüber, wie dieses Problem gelöst werden kann. Einige (z. B. Horwich) argumentieren, dass der Bayesianismus impliziert, dass es keinen wichtigen Unterschied zwischen Vorhersage und Anpassung gibt, und versuchen, diese Implikation zu verteidigen. Andere (z. Maher) argumentieren, dass es einen Weg gibt, den Bayesianismus zu verstehen, um zu erklären, warum es einen wichtigen Unterschied zwischen Vorhersage und Anpassung gibt.

E. Das Problem neuer Theorien. Angenommen, es gibt eine Theorie H ₁, die im Allgemeinen durch die verfügbaren Beweise E als hoch bestätigt angesehen wird. Es ist möglich, dass allein die Einführung einer alternativen Theorie H ₂ zu einer Erosion von H _{1 führen kann}Unterstützung. Es ist plausibel zu glauben, dass Copernicus 'Einführung der heliozentrischen Hypothese diesen Effekt auf die zuvor unangefochtene ptolemäische erdzentrierte Astronomie hatte. Diese Art von Änderung kann nicht durch Konditionalisierung erklärt werden. Aus diesem Grund konzentrieren sich viele Bayesianer lieber auf Wahrscheinlichkeitsverhältnisse von Hypothesen (siehe die Verhältnisformel oben) als auf ihre absolute Wahrscheinlichkeit; Es ist jedoch klar, dass die Einführung einer neuen Theorie auch das Wahrscheinlichkeitsverhältnis zweier Hypothesen verändern könnte - zum Beispiel, wenn eine davon als Sonderfall impliziert wird.

F. Das Problem der Prioren. Gibt es andere Einschränkungen für frühere Wahrscheinlichkeiten als die Wahrscheinlichkeitsgesetze? Dies ist das Problem, das das Subjektive von den objektiven Bayesianern trennt, wie oben diskutiert. Betrachten Sie Goodmans „neues Rätsel der Induktion“: In der Vergangenheit waren alle beobachteten Smaragde grün. Bieten diese Beobachtungen mehr Unterstützung für die Verallgemeinerung, dass alle Smaragde grün sind, als für die Verallgemeinerung, dass alle Smaragde grün sind (grün, wenn sie vorher beobachtet wurden; blau, wenn sie später beobachtet wurden); oder bieten sie mehr Unterstützung für die Vorhersage, dass der nächste beobachtete Smaragd grün sein wird, als für die Vorhersage, dass der nächste beobachtete Smaragd grue (dh blau) sein wird? Fast alle sind sich einig, dass es irrational wäre, frühere Wahrscheinlichkeiten zu haben, die zwischen Grün und Grün gleichgültig waren.und machte so Vorhersagen von Grün nicht wahrscheinlicher als Vorhersagen von Grausamkeit. Es gibt jedoch keine allgemein vereinbarte Erklärung für diese Einschränkung.

Das Problem der Priors identifiziert ein wichtiges Problem zwischen den subjektiven und objektiven Bayesianern. Wenn die Einschränkungen der rationalen Folgerung so schwach sind, dass sie eine oder fast jede probabilistisch kohärente vorherige Wahrscheinlichkeit zulassen, dann gibt es nichts, was Rückschlüsse in den Wissenschaften rationaler machen könnte als Rückschlüsse in der Astrologie oder Phrenologie oder in der Verschwörungsüberlegung eines paranoiden Schizophrenen, weil alle von ihnen als Schlussfolgerungen aus probabilistisch kohärenten früheren Wahrscheinlichkeiten rekonstruiert werden können. Einige subjektive Bayesianer glauben, dass ihre Position nicht zu beanstanden ist, da die Ergebnisse (z. B. Doob oder Gaifman und Snir) belegen, dass selbst Probanden, die mit sehr unterschiedlichen vorherigen Wahrscheinlichkeiten beginnen, bei einer angemessen langen Reihe gemeinsamer Wahrscheinlichkeiten dazu neigen, in ihren endgültigen Wahrscheinlichkeiten zu konvergieren Beobachtungen. Diese Konvergenzergebnisse sind jedoch nicht vollständig beruhigend, da sie nur für Agenten gelten, die bereits eine signifikante Übereinstimmung in ihren Prioritäten haben, und sie gewährleisten keine Konvergenz in angemessener Zeit. Außerdem garantieren sie typischerweise nur eine Konvergenz hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit von Vorhersagen, nicht hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit theoretischer Hypothesen. Zum Beispiel bevorzugte Carnap frühere Wahrscheinlichkeiten, die die Wahrscheinlichkeit einer Verallgemeinerung über eine möglicherweise unendliche Anzahl von Instanzen (z. B. dass alle Krähen schwarz sind) niemals über Null erhöhen würden, unabhängig davon, wie viele Beobachtungen positiver Instanzen (z. B. schwarze Krähen) eins sind könnte machen, ohne negative Instanzen zu finden (dh nicht schwarze Krähen). Zusätzlich,Die Konvergenzergebnisse hängen von der Annahme ab, dass die einzigen Änderungen der Wahrscheinlichkeiten auftreten, die die nicht-inferentiellen Ergebnisse der Beobachtung von Beweisaussagen sind, und diejenigen, die sich aus der Konditionalisierung solcher Beweisaussagen ergeben. Aber fast alle Subjektivisten lassen zu, dass es manchmal rational sein kann, die vorherigen Wahrscheinlichkeitszuweisungen zu ändern.

Da es keine allgemein vereinbarte Lösung für das Problem der Priors gibt, ist es eine offene Frage, ob die Bayes'sche Bestätigungstheorie induktiven Inhalt hat oder ob sie lediglich den Rahmen für rationalen Glauben, der durch deduktive Logik bereitgestellt wird, in einen entsprechenden Rahmen für rationale Grade von übersetzt Glauben.

7. Andere Prinzipien der Bayesianischen Erkenntnistheorie

Andere Prinzipien der Bayes'schen Erkenntnistheorie wurden vorgeschlagen, aber keines hat bei den Bayesianern annähernd die Mehrheit der Unterstützung gefunden. Die wichtigsten Vorschläge werden hier lediglich erwähnt. Es würde den Rahmen dieses Eintrags sprengen, sie detailliert zu erörtern.

A. Andere Prinzipien der synchronen Kohärenz. Sind die Wahrscheinlichkeitsgesetze die einzigen Standards für die synchrone Kohärenz für Glaubensgrade? Van Fraassen hat ein zusätzliches Prinzip (Reflexion oder Sonderreflexion) vorgeschlagen, das er nun als Sonderfall eines noch allgemeineren Prinzips (Allgemeine Reflexion) betrachtet. ^[3]

B. Andere probabilistische Inferenzregeln. Es scheint mindestens zwei verschiedene Wahrscheinlichkeitskonzepte zu geben: die Wahrscheinlichkeit, die an Glaubensgraden beteiligt ist (epistemische oder subjektive Wahrscheinlichkeit), und die Wahrscheinlichkeit, die an zufälligen Ereignissen beteiligt ist, wie z. B. das Werfen einer Münze (Zufall). De Finetti hielt dies für einen Fehler und es gab nur eine Art von Wahrscheinlichkeit, die subjektive Wahrscheinlichkeit. Für Bayesianer, die an beide Arten von Wahrscheinlichkeiten glauben, ist eine wichtige Frage: Wie ist (oder sollte) die Beziehung zwischen ihnen? Die Antwort findet sich in den verschiedenen Vorschlägen für Prinzipien der direkten Folgerung in der Literatur. Typischerweise werden Prinzipien der direkten Inferenz als Prinzipien vorgeschlagen, um subjektive oder epistemische Wahrscheinlichkeiten aus Überzeugungen über den objektiven Zufall abzuleiten (z. B. Pollock). Lewis kehrt die Richtung der Folgerung um,und schlägt vor, Überzeugungen über den objektiven Zufall aus subjektiven oder epistemischen Wahrscheinlichkeiten über sein (reformuliertes) Hauptprinzip abzuleiten.^[4] Strevens argumentiert, dass es Lewis 'Hauptprinzip ist, das dem Bayesianismus seinen induktiven Inhalt verleiht.

C. Grundsätze der rationalen Akzeptanz. Welche Beziehung besteht zwischen Überzeugungen und Glaubensgraden? Jeffrey schlägt vor, den Begriff des Glaubens aufzugeben (zumindest für empirische Aussagen) und nur mit Grad des Glaubens auszukommen. Andere Autoren (z. B. Levi, Maher, Kaplan) schlagen Prinzipien der rationalen Akzeptanz als Teil von Berichten vor, wann es rational ist, eine Aussage als wahr zu akzeptieren, nicht nur als wahrscheinlich.

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Andere Internetquellen

Charles, J., Hocker, A., Lacker, H., Le Diberder, FR, T'Jampens, S., 2006, „Bayesian Statistics at Work: Die problematische Extraktion der CKM-Phase Alpha“, Preprint bei ArXiv.org