Fiktionalismus In Der Philosophie Der Mathematik

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Fiktionalismus in der Philosophie der Mathematik

Erstveröffentlichung Di 22. April 2008; inhaltliche Überarbeitung Montag, 23. Juli 2018

Der mathematische Fiktionalismus (im Folgenden einfach Fiktionalismus) wird am besten als Reaktion auf den mathematischen Platonismus angesehen. Platonismus ist die Ansicht, dass (a) abstrakte mathematische Objekte existieren (dh nicht räumlich-zeitliche mathematische Objekte), und (b) unsere mathematischen Sätze und Theorien wahre Beschreibungen solcher Objekte liefern. So liefert beispielsweise aus platonistischer Sicht der Satz "3 ist Primzahl" eine einfache Beschreibung eines bestimmten Objekts, nämlich die Zahl 3, ähnlich wie der Satz "Mars ist rot" eine Beschreibung des Mars liefert. Während der Mars ein physisches Objekt ist, ist die Zahl 3 (laut Platonismus) ein abstraktes Objekt. Und abstrakte Objekte, sagen Platonisten, sind völlig nichtphysisch, nichtmental, nicht räumlich, nicht zeitlich und nicht kausal. Nach dieser Auffassung existiert die Zahl 3 also unabhängig von uns und unserem Denken.aber es existiert nicht in Raum oder Zeit, es ist kein physisches oder mentales Objekt und es geht keine kausalen Beziehungen mit anderen Objekten ein. Diese Ansicht wurde von Platon, Frege (1884, 1893–1903, 1919), Gödel (1964) und in einigen ihrer Schriften von Russell (1912) und Quine (1948, 1951) bestätigt, ganz zu schweigen von zahlreichen neueren Philosophen der Mathematik, z. B. Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998), Zalta (1988); Colyvan (2001), McEvoy (2012) und Marcus (2015). Ganz zu schweigen von zahlreichen neueren Mathematikphilosophen, z. B. Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998)), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) und Marcus (2015). Ganz zu schweigen von zahlreichen neueren Mathematikphilosophen, z. B. Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998)), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) und Marcus (2015).

Der Fiktionalismus ist andererseits die Ansicht, dass (a) unsere mathematischen Sätze und Theorien angeblich abstrakte mathematische Objekte betreffen, wie der Platonismus nahelegt, aber (b) es keine abstrakten Objekte gibt, und so (c) Unsere mathematischen Theorien sind nicht wahr. Die Idee ist also, dass Sätze wie "3 ist Primzahl" falsch oder unwahr sind, aus dem gleichen Grund, aus dem beispielsweise "Die Zahnfee ist großzügig" falsch oder unwahr ist - denn genauso wie es keine Person wie den Zahn gibt Fee, so gibt es auch keine Nummer 3. Es ist jedoch wichtig anzumerken, dass fiktive Ansichten trotz des Namens keine sehr starken Ansprüche an die Analogie zwischen Mathematik und Fiktion beinhalten müssen. Zum Beispiel gibt es hier keinen Anspruch darauf, dass der mathematische Diskurs eine Art fiktiver Diskurs ist. So,Fiktionalisten bekennen sich nicht zu der These, dass es keine wichtigen Disanalogien zwischen Mathematik und Fiktion gibt. (Wir werden weiter unten in Abschnitt 2.4 auf dieses Thema zurückkommen.) Schließlich sollte zu Beginn auch angemerkt werden, dass der Fiktionalismus eine Version des mathematischen Nominalismus ist, der Ansicht, dass es keine mathematischen Objekte gibt.

Der Fiktionalismus wurde erstmals von Field eingeführt (1980, 1989, 1998, 2016). Seitdem wurde die Ansicht von Balaguer (1996a, 1998a, 2001, 2009), Rosen (2001), Yablo (2002a, 2002b, 2005), Leng (2005a, 2005b, 2010) auf verschiedene Weise entwickelt. und Bueno (2009), obwohl, wie weiter unten deutlich wird, man sich fragen könnte, ob Bueno und Yablo am besten als Fiktionalisten interpretiert werden. Andere, die den Fiktionalismus (oder Ansichten in der Nachbarschaft des Fiktionalismus) unterstützen oder verteidigen, sind Daly (2006), Liggins (2010), Contessa (2016) und Plebani (2018). Schließlich könnte man Melia (2000) auch als Verteidigung einer fiktiven Sichtweise interpretieren, obwohl er sich nicht wirklich dazu verpflichtet.

Es ist erwähnenswert, dass Hoffman (2004) auch eine Ansicht unterstützt, die eine Art Fiktionalismus ist. Ihre Ansicht unterscheidet sich jedoch stark von der oben definierten fiktiven Ansicht, da sie keine Verpflichtung zur These (a) beinhaltet. Sie interpretiert Mathematik nach Kitcher (1984) neu und befürwortet dann eine fiktive Sichtweise dieser Neuinterpretation; Das heißt, sie behauptet, wenn die Mathematik auf diese Weise neu interpretiert wird, beziehen sich die einzelnen Begriffe nicht mehr darauf und ihre Sätze sind nicht wahr. (Es ist nicht klar, wie sehr sich diese Ansicht von Kitchers Ansicht unterscheidet; man könnte Kitcher so interpretieren, dass sie eine sehr ähnliche Ansicht befürwortet.) Auf jeden Fall ist es wichtig anzumerken, dass Hoffmans Ablehnung von These (a) ihre Ansicht radikal von einer Standardansicht unterscheidet fiktive Ansichten. Wie weiter unten deutlich wird, ist These (a) sehr plausibel,und seine Plausibilität ist einer der Hauptgründe für die Popularität des Platonismus. Eines der Hauptverkaufsargumente des Fiktionalismus - dh die oben definierte Standardart des Fiktionalismus - ist, dass er die Akzeptanz der These (a) mit einer antiplatonistischen Ontologie kombiniert.

Es ist auch erwähnenswert, dass Lear (1982) und Corkum (2012) argumentieren, dass Aristoteles eine Version des mathematischen Fiktionalismus besaß; aber wie Corkum bemerkt, ist es unwahrscheinlich, dass Aristoteles die oben definierte Version des Fiktionalismus besaß.

Wenn man die fiktive Hypothese zum ersten Mal hört, kann sie ein bisschen verrückt erscheinen. Sollen wir wirklich glauben, dass Sätze wie '3 ist Primzahl' und '2 + 2 = 4' falsch sind? Die Anziehungskraft des Fiktionalismus zeigt sich jedoch, wenn wir die Alternativen erkennen. Wenn man sorgfältig über die Fragen im Zusammenhang mit der Interpretation des mathematischen Diskurses nachdenkt, kann man den Eindruck erwecken, dass Fiktionalismus tatsächlich sehr plausibel ist und dass dies möglicherweise die am wenigsten verrückte Sichtweise ist.

Abschnitt 1 enthält eine Formulierung dessen, was als zentrales Argument für Fiktionalismus angesehen werden könnte. In Abschnitt 2 werden verschiedene Einwände gegen den Fiktionalismus sowie verschiedene Versionen des Fiktionalismus erörtert. Diese beiden Dinge passen ganz natürlich zusammen, weil die verschiedenen Versionen des Fiktionalismus im Zusammenhang mit den Antworten entstanden sind, die verschiedene Philosophen auf die verschiedenen Einwände gegen den Fiktionalismus gegeben haben.

  • 1. Das Argument für den Fiktionalismus

    • 1.1 Das Hauptargument
    • 1.2 Prämisse (1) und Paraphrase Nominalismus
    • 1.3 Prämisse (2) und Nominalismus der Deflationär-Wahrheit
    • 1.4 Prämisse (4) und Physikalismus und Psychologismus
    • 1.5 Prämisse (5) und Platonismus

  • 2. Einwände gegen Fiktionalismus und Reaktionen

    • 2.1 Das Argument der Unentbehrlichkeit
    • 2.2 Objektivität
    • 2.3 Revolutionismus und Hermeneutizismus
    • 2.4 Ähnlichkeit mit Fiktion
    • 2.5 Akzeptieren und glauben
    • 2.6 Geheimnisvoller Zusatzinhalt
    • 2.7 Sonstige Einwände
  • 3. Fazit
  • Literaturverzeichnis
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Das Argument für den Fiktionalismus

1.1 Das Hauptargument

Das Hauptargument für den Fiktionalismus besteht im Wesentlichen darin, alle Alternativen zum Fiktionalismus zu eliminieren. Das Argument kann so formuliert werden:

  1. Mathematische Sätze wie '4 ist gerade' sollten zum Nennwert gelesen werden; das heißt, sie sollten so gelesen werden, dass sie die Form 'F a' haben und daher einfache Aussagen über die Natur bestimmter Objekte machen; zB "4 ist gerade" sollte so verstanden werden, dass es einen einfachen Anspruch auf die Art der Zahl 4 erhebt. Aber
  2. Wenn Sätze wie '4 ist gerade' zum Nennwert gelesen werden sollen und wenn sie darüber hinaus wahr sind, dann müssen tatsächlich Objekte der Art existieren, um die es sich handelt; Wenn zum Beispiel '4 ist gerade' einen einfachen Anspruch auf die Natur der Zahl 4 erhebt und dieser Satz buchstäblich wahr ist, muss es tatsächlich so etwas wie die Zahl 4 geben. Daher aus (1) und (2) folgt daraus
  3. Wenn Sätze wie '4 ist gerade' wahr sind, dann gibt es solche Dinge wie mathematische Objekte. Aber
  4. Wenn es solche Dinge wie mathematische Objekte gibt, dann sind sie abstrakte Objekte, dh nicht räumlich-zeitliche Objekte; Wenn es zum Beispiel die Zahl 4 gibt, dann ist es ein abstraktes Objekt, kein physisches oder mentales Objekt. Aber
  5. Es gibt keine abstrakten Objekte. Daher folgt aus (4) und (5) durch modus tollens, dass
  6. Es gibt keine mathematischen Objekte. Und so folgt aus (3) und (6) durch modus tollens, dass
  7. Sätze wie '4 ist gerade' sind nicht wahr (in der Tat sind sie aus dem Grund, den Fiktionalisten angeben, nicht wahr, und daraus folgt, dass Fiktionalismus wahr ist).

Die drei Schlussfolgerungen in diesem Argument sind alle ziemlich eindeutig gültig, und daher ist die einzige Frage, ob die vier Grundvoraussetzungen (1), (2), (4) und (5) wahr sind. Und das Schöne an der Art und Weise, wie dieses Argument aufgestellt wird, ist, dass jede dieser Prämissen eine andere Alternative zum Fiktionalismus loswerden soll. Das Argument in (1) - (7) ist also tatsächlich eine Hülle eines viel längeren Arguments, das Unterargumente zugunsten der Grundvoraussetzungen und damit gegen die verschiedenen Alternativen zum Fiktionalismus enthält.

Angesichts dessen können wir sagen, dass es fünf Alternativen (oder, wenn Sie lieber möchten, fünf Kategorien von Alternativen) zum Fiktionalismus gibt. Diejenigen, die (1) ablehnen, können als Paraphrase-Nominalisten bezeichnet werden. diejenigen, die (2) ablehnen, können als Deflationär-Wahrheits-Nominalisten bezeichnet werden; diejenigen, die ablehnen (4), sind entweder Physiker oder Psychologen; und diejenigen, die ablehnen (5), sind Platoniker. Um ihre Ansicht zu motivieren, müssen Fiktionalisten Argumente gegen all diese Ansichten vorbringen.

Der einfachste Teil der Arbeit des Fiktionalisten besteht darin, gegen die verschiedenen anti-platonistischen Ansichten zu argumentieren. Alle diese Ansichten - Paraphrase Nominalismus, Deflationär-Wahrheit Nominalismus, Physikalismus und Psychologismus - können (wie Fiktionalismus kann) als Reaktionen auf Platonismus verstanden werden. Der Platonismus ist eine sehr attraktive Sichtweise, da er eine äußerst natürliche und ansprechende Darstellung der mathematischen Praxis und des mathematischen Diskurses bietet. Trotzdem befürworten viele Philosophen den Platonismus nicht, weil sie sich nicht dazu bringen können, seine Ontologie zu akzeptieren. Mit anderen Worten, sie glauben einfach nicht, dass es solche Dinge wie abstrakte Objekte gibt. Aus diesem Grund wurde ein Großteil der in der Philosophie der Mathematik geleisteten Arbeit den Versuchen gewidmet, Platonismus zu vermeiden. Insbesondere Paraphrase Nominalismus, Deflationär-Wahrheit Nominalismus, Physikalismus,und Psychologismus kann alle in diesen Begriffen verstanden werden. Sie alle versuchen, die platonistische Sicht auf die Wahrheitsbedingungen mathematischer Sätze zu untergraben. Wie weiter unten deutlich wird, gibt es bei all diesen Ansichten ernsthafte Probleme. Und hier kommt der Fiktionalismus ins Spiel: Er gewährt die platonistische Sicht auf die Wahrheitsbedingungen mathematischer Sätze, bestreitet aber dennoch die ontologische These des Platonikers, dass es abstrakte Objekte gibt. Dies unterscheidet den Fiktionalismus in wichtiger Weise von anderen anti-platonistischen Ansichten. Wir können dies erkennen, indem wir feststellen, dass der Platonismus zwei verschiedene Thesen beinhaltet, eine semantische und eine ontologische. Die semantische These ist eine empirische Hypothese über die Wahrheitsbedingungen gewöhnlicher mathematischer Äußerungen.und die ontologische These ist eine zutiefst metaphysische Hypothese über die Existenz abstrakter Objekte. Jede Version des Anti-Platonismus lehnt die ontologische Hypothese des Platonisten ab, und alle nicht-fiktionalistischen Versionen des Anti-Platonismus lehnen auch die semantische These ab. Der Fiktionalismus ist die einzige antiplatonische Sichtweise, die die semantische These nicht ablehnt. Und deshalb kann Fiktionalismus attraktiver erscheinen als die anderen Versionen des Anti-Platonismus - weil die semantische Hypothese des Platonikers äußerst plausibel und gut motiviert ist. Daher können die Versionen des Anti-Platonismus, die diese Hypothese ablehnen, unplausibel und unmotiviert erscheinen. Der Fiktionalismus ist die einzige antiplatonische Sichtweise, die die semantische These nicht ablehnt. Und deshalb kann Fiktionalismus attraktiver erscheinen als die anderen Versionen des Anti-Platonismus - weil die semantische Hypothese des Platonikers äußerst plausibel und gut motiviert ist. Daher können die Versionen des Anti-Platonismus, die diese Hypothese ablehnen, unplausibel und unmotiviert erscheinen. Der Fiktionalismus ist die einzige antiplatonische Sichtweise, die die semantische These nicht ablehnt. Und deshalb kann Fiktionalismus attraktiver erscheinen als die anderen Versionen des Anti-Platonismus - weil die semantische Hypothese des Platonikers äußerst plausibel und gut motiviert ist. Daher können die Versionen des Anti-Platonismus, die diese Hypothese ablehnen, unplausibel und unmotiviert erscheinen.

Der einfache Teil des Arguments für den Fiktionalismus (oder jedenfalls der einfachere Teil) wird also ausgeführt, indem Argumente für die Prämissen (1), (2) und (4) bereitgestellt werden - oder gleichwertig, indem Argumente geliefert werden gegen die verschiedenen nicht-fiktionalistischen Versionen des Anti-Platonismus, dh Paraphrase-Nominalismus, Deflationär-Wahrheits-Nominalismus, Physikalismus und Psychologismus. In den nächsten drei Unterabschnitten (1.2–1.4) werden diese vier Ansichten sowie einige Argumente erörtert, die Fiktionalisten möglicherweise gegen sie vorbringen. Abschnitt 1.5 behandelt den schwierigeren Teil der Argumentation des Fiktionalisten, dh Prämisse (5), und die Frage, wie Fiktionalisten gegen den Platonismus argumentieren könnten.

1.2 Prämisse (1) und Paraphrase Nominalismus

Der Paraphrase-Nominalismus ist die Ansicht, dass gewöhnliche mathematische Sätze wie "3 ist Primzahl" nicht zum Nennwert gelesen werden sollten - oder genauer gesagt, dass sie nicht als "Fa" angesehen werden sollten und Aussagen über mathematische Objekte machen sollten. Es gibt verschiedene Versionen dieser Ansicht. Das vielleicht berühmteste ist der Wenn-Dannismus. Aus dieser Sicht wird "3 ist Primzahl" am besten als Ausdruck einer bedingten Behauptung interpretiert, wie "Wenn es Zahlen gäbe, wäre 3 Primzahl" oder vielleicht "Notwendigerweise, wenn es Zahlen gibt, dann ist 3 Primzahl". (Versionen des Wenn-Dannismus wurden von Putnam (1967a, b), Horgan (1984), Hellman (1989), Dorr (2008) und Yablo (2017) entwickelt; außerdem wurde ein Vorläufer dieser Ansicht von Anfang an befürwortet Hilbert (siehe 1899 und seine Briefe an Frege in Frege 1980).andere Versionen des Paraphrase-Nominalismus wurden von Chihara (1990), Yi (2002), Hofweber (2005), Rayo (2008, 2013) und Moltmann (2013) gebilligt; und man könnte auch Curry (1951) und Wittgenstein (1956) so interpretieren.)

Das Problem mit nominalistischen Paraphrase-Ansichten ist sehr einfach: Sie beinhalten empirische Hypothesen über die Bedeutung gewöhnlicher mathematischer Äußerungen, die äußerst unplausibel sind. Zum Beispiel ist es im Zusammenhang mit dem Wenn-Dannismus wirklich schwer zu glauben, dass die beste Interpretation dessen, was gewöhnliche Sprecher des mathematischen Diskurses (gewöhnliche Mathematiker und gewöhnliche Leute) sagen, wenn sie sagen, z. B. "3 ist Primzahl", ist, wenn Es gab Zahlen, dann wären 3 Primzahlen. Dies scheint nur falsch zu sein, was Menschen tatsächlich meinen, wenn sie solche Sätze aussprechen. In der Tat scheint es, dass hier ein allgemeinerer Punkt gemacht werden kann. Es gibt ein gutes Interpretationsprinzip, das so etwas aussagt: Wir sollten die Äußerungen der Menschen zum Nennwert interpretieren, es sei denn, es gibt Beweise dafür, dass sie positive Absichten haben, nicht wörtlich interpretiert zu werden. Angesichts dessen und angesichts dessen (was offensichtlich erscheint), dass gewöhnliche Menschen keine positiven Absichten haben, ihre mathematischen Äußerungen nicht wörtlich zu interpretieren - z. B. als Ausdruck bedingter Sätze -, scheint es zu folgen, dass wir unsere mathematischen Äußerungen zum Nennwert interpretieren sollten. Dies bedeutet jedoch, dass wir die Prämisse (1) akzeptieren und den Paraphrase-Nominalismus ablehnen sollten.

Paraphrase-Nominalisten könnten versuchen, auf dieses Argument zu antworten, indem sie leugnen, dass sie der These verpflichtet sind, dass ihre Paraphrasen den Absichten gewöhnlicher Mathematiker und gewöhnlicher Leute entsprechen. Behauptungen dieser Art wurden sowohl von Chihara (1990, 2004) als auch von Hellman (1998) aufgestellt. Aber Paraphrase-Nominalisten können diese Haltung nicht unterstützen, denn wenn sie dies tun, wird ihre Ansicht zu einer Version des Fiktionalismus zusammenbrechen. Wenn Paraphrase-Nominalisten zugeben, dass Platoniker und Fiktionalisten in Bezug auf die Bedeutung realer mathematischer Äußerungen - dh der Äußerungen tatsächlicher Mathematiker - Recht haben, werden sie (da sie auch behaupten wollen, dass es keine abstrakten Objekte gibt) dem verpflichtet sein behaupten, dass die Äußerungen der tatsächlichen Mathematiker falsch sind. So,Wenn Paraphrase-Nominalisten nicht behaupten, dass ihre Paraphrasen die tatsächliche Bedeutung gewöhnlicher mathematischer Sätze erfassen, bietet ihre Ansicht keine echte Alternative zum Fiktionalismus. Es wird zu einer Version des Fiktionalismus zusammenbrechen. Insbesondere wäre ein Paraphrase-Nominalist nur ein Fiktionalist, der der Meinung ist, wir sollten unsere mathematische Sprache ändern oder was wir mit unseren mathematischen Äußerungen meinen. oder vielleicht wäre die Behauptung einfach, dass wir unsere mathematische Sprache ändern könnten, wenn wir wollten, und dass diese Tatsache den Fiktionalisten eine Möglichkeit bietet, auf bestimmte Einwände zu reagieren. Ein Paraphrase-Nominalist wäre nur ein Fiktionalist, der meint, wir sollten unsere mathematische Sprache ändern oder was wir mit unseren mathematischen Äußerungen meinen. oder vielleicht wäre die Behauptung einfach, dass wir unsere mathematische Sprache ändern könnten, wenn wir wollten, und dass diese Tatsache den Fiktionalisten eine Möglichkeit bietet, auf bestimmte Einwände zu reagieren. Ein Paraphrase-Nominalist wäre nur ein Fiktionalist, der meint, wir sollten unsere mathematische Sprache ändern oder was wir mit unseren mathematischen Äußerungen meinen. oder vielleicht wäre die Behauptung einfach, dass wir unsere mathematische Sprache ändern könnten, wenn wir wollten, und dass diese Tatsache den Fiktionalisten eine Möglichkeit bietet, auf bestimmte Einwände zu reagieren.

1.3 Prämisse (2) und Nominalismus der Deflationär-Wahrheit

Der Deflationär-Wahrheits-Nominalismus ist die Ansicht, dass (a), wie Platonisten und Fiktionisten behaupten, gewöhnliche mathematische Sätze wie '3 ist Primzahl' zum Nennwert gelesen werden sollten, dh als von der Form 'F a' und daher als Behauptungen über mathematische Objekte, und (b) es gibt keine mathematischen Objekte, aber (c) unsere mathematischen Sätze sind immer noch wahr. Ansichten dieser Art wurden von Azzouni (1994, 2004, 2010) und Bueno (2005, 2009) gebilligt. Es sollte jedoch beachtet werden, dass Bueno in seinem (2009) seine Version des Deflationary-Truth-Nominalismus als eine Version des Fiktionalismus bezeichnet. Das liegt nicht daran, dass er die Ansicht, die in diesem Aufsatz als Fiktionalismus bezeichnet wird, wirklich unterstützt. Das liegt daran, dass er den Begriff "Fiktionalismus" anders verwendet als in diesem Aufsatz. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass die Verwendung von Bueno nicht so unterschiedlich ist. Denn wie wir gleich sehen werden, sind Deflationär-Wahrheit-Nominalismus und Fiktionalismus (wie er hier definiert wird) ziemlich ähnliche Ansichten. (Buenos Ansicht unterscheidet sich auch in einer zweiten Hinsicht von der hier definierten fiktiven Ansicht: Er befürwortet eher Agnostizismus gegenüber abstrakten Objekten als einen vollständigen Anti-Realismus. Dieser Unterschied ist jedoch noch weniger wichtig als der erste; wenn wir (b) und umformulieren (c) In der obigen Definition des Fiktionalismus, so dass sie mit dem Agnostizismus vereinbar sind, müsste sich praktisch nichts anderes an der fiktiven Sichtweise ändern. Die Fiktionalisten können also entscheiden, ob sie in Bezug auf abstrakte Objekte agnostisch oder anti-realistisch sein wollen, und diese Entscheidung wird keinen großen Einfluss auf den Rest ihrer Sichtweise haben. In der Tat, wie in Abschnitt 3 deutlich werden wird,Buenos Agnostizismus könnte mehr oder weniger den Ansichten bestimmter Fiktionalisten entsprechen.)

Bevor die Probleme mit dem Deflationär-Wahrheits-Nominalismus beschrieben werden, ist zu beachten, dass der zentrale Anspruch hinter dieser Ansicht eine empirische Hypothese über den gewöhnlichen Diskurs ist. Insbesondere handelt es sich um eine Behauptung über die Bedeutung des Begriffs "wahr" oder über den Begriff der Wahrheit. Wenn Deflationär-Wahrheits-Nominalisten sagen, dass beispielsweise „3 ist Primzahl“wahr sein könnte, selbst wenn es die Zahl 3 nicht gäbe, erheben sie einen Anspruch auf das gewöhnliche Konzept der Wahrheit. Sie sagen, dass dieses Konzept in bestimmten Situationen gilt, in denen die meisten von uns Platonisten und Fiktionalisten und fast alle anderen denken, dass es nicht zutrifft. Wenn Nominalisten mit deflationärer Wahrheit versuchen zu leugnen, dass sie einen Anspruch auf das gewöhnliche Konzept erheben der Wahrheit, dann wird ihre Sicht in eine Version des Fiktionalismus zusammenbrechen. Denn da sie mit Fiktionalisten übereinstimmen, dass "3 ist das Wichtigste" vorgibt, sich um ein bestimmtes abstraktes Objekt zu handeln, und da sie sich auch einig sind, dass es keine abstrakten Objekte gibt, folgt daraus, dass, wenn sie eine Standardansicht der Wahrheit befürworten, dh Eine platonistisch-fiktionalistische Sichtweise, nach der ein Satz der Form 'F a' nicht wahr sein könnte, wenn sich 'a' nicht auf ein tatsächlich existierendes Objekt bezieht - dann müssten sie zugeben, dass '3 ist Primzahl' nicht wahr ist. Nun könnten sie weiter argumentieren, dass diese Sätze wahr sind * - wo dies so definiert ist, dass Sätze der Form 'F a' wahr sein können *, auch wenn es natürlich kein -aber gibt, würden Fiktionisten dem zustimmen. Wenn also der Deflationär-Wahrheits-Nominalismus wirklich vom Fiktionalismus unterschieden werden soll, muss er eine These über die Bedeutung des gewöhnlichen Wortes "wahr" beinhalten. Insbesondere muss behauptet werden, dass Sätze der Form 'F a' im gewöhnlichen Sinne des Begriffs wahr sein können, auch wenn sich der singuläre Begriff 'a' nicht auf ein tatsächlich existierendes Objekt bezieht.

Angesichts dessen würden die meisten Fiktionalisten wahrscheinlich sagen, dass das Problem des Nominalismus der Deflationär-Wahrheit darin besteht, dass er empirisch unplausibel ist. Mit anderen Worten, der Einwand wäre, dass der Deflationär-Wahrheits-Nominalismus angesichts unserer Intuitionen über die Bedeutung von „wahr“schlecht fliegt. Und es scheint eine Rechtfertigung für diese Behauptung zu geben. Zum Beispiel scheint es nur intuitiv offensichtlich zu sein, dass der Satz "Mars ist ein Planet" nicht buchstäblich wahr sein könnte, wenn es nicht wirklich so etwas wie Mars gäbe. Darüber hinaus scheint der Satz "Mars ist ein Planet, aber er existiert nicht" intuitiv wie ein Widerspruch, und diese Intuition scheint mit dem Deflationär-Wahrheits-Nominalismus unvereinbar zu sein. Wenn dies richtig ist - wenn die semantische These der Deflationär-Wahrheit unseren semantischen Intuitionen zuwiderläuft - dann liefert dies starke Beweise dafür, dass sie falsch ist.

Es gibt aber auch ein zweites Problem mit dem Deflationär-Wahrheits-Nominalismus: Er soll uns einen Weg bieten, Platonismus zu vermeiden, aber tatsächlich nicht. Auf den ersten Blick scheint es, dass der Nominalismus der deflationären Wahrheit einen Weg zur Vermeidung des Platonismus darstellt, da das Argument für den Platonismus auf der obigen Prämisse (2) zu beruhen scheint, dh es scheint sich auf die Behauptung der deflationären Wahrheit zu stützen Wenn Sätze wie '4 ist gerade' zum Nennwert gelesen werden sollten, dh als von der Form 'F a', und wenn diese Sätze buchstäblich wahr sind, dann sind wir verpflichtet, an die Objekte zu glauben, um die es sich handelt zB die Zahl 4. Tatsächlich können Platoniker ihre Argumentation so formulieren, dass sie nicht auf dieser Prämisse der Anti-Deflationär-Wahrheit beruht. Um diesen Punkt hervorzuheben, beginnen wir mit der Einführung von zwei neuen Begriffen von art-'true1 'und' wahres 2 '- und die Festlegung, dass' wahres 1 'das platonistisch-fiktionalistische Konzept der Wahrheit ausdrückt, so dass ein Satz der Form' F a 'nicht wahr sein kann 1, es sei denn,' a 'bezieht sich darauf ein tatsächlich existierendes Objekt, während 'wahr 2 ' ein deflationäres Konzept der Wahrheit ausdrückt, so dass ein Satz der Form 'F a' wahr 2 sein kann, selbst wenn 'a' sich nicht auf ein tatsächlich existierendes Objekt bezieht. Vor diesem Hintergrund können Platoniker Folgendes sagen:

Es ist uns einfach egal, ob das Wort "wahr", wie es im gewöhnlichen Englisch verwendet wird, Wahrheit 1 oder Wahrheit 2 ausdrückt (oder ob es mehrdeutig ist und manchmal das eine Konzept und manchmal das andere ausdrückt). Wir erkennen an, dass Standardformulierungen des Arguments für Platonismus Behauptungen beinhalten, dass gewöhnliche mathematische Sätze wie '3 ist Primzahl' wahr sind. Genauso gut könnten wir unser Argument auf die Behauptung stützen, dass solche Sätze wahr sind 1. Auf diese Weise würden wir unsere Argumentation in keiner Weise schwächen. Für die Argumente, die wir verwenden, um die Wahrheit der Mathematik zu motivieren - insbesondere das unten diskutierte Argument der Unentbehrlichkeit von Quine-Putnam - sind bereits Argumente für die Wahrheit 1der Mathematik. Und das sollte nicht überraschen; denn wenn wir sagen, dass gewöhnliche mathematische Sätze wie '3 ist Primzahl' wahr sind, meinen wir, dass sie wahr sind 1; Natürlich sollen die Argumente, die wir für die Wahrheit der Mathematik geben, bereits Argumente für die Wahrheit 1 der Mathematik sein.

Angesichts der Tatsache, dass Platoniker auf diese Weise vorgehen können, scheint die Frage, ob die semantische These der Deflationswahrheit richtig ist, dh ob das englische Wort "wahr" das Konzept von Wahrheit 1 oder Wahrheit 2 ausdrückt, einfach a Ablenkungsmanöver. Die eigentliche Frage ist, ob Platoniker gute Argumente für die Wahrheit 1 der Mathematik haben (und ob Anti-Platoniker natürlich gute Argumente gegen die Wahrheit 1 der Mathematik haben). Mit anderen Worten, wenn wir annehmen, dass die Prämissen (1) und (4) wahr sind, so dass wir unsere mathematischen Behauptungen so lesen müssen, dass es sich um abstrakte Objekte handelt (oder zumindest behauptet, es handelt sich um abstrakte Objekte), ist die eigentliche Frage, ob sie vorhanden sind sind gute Gründe für die Wahl zwischen Platonismus und Fiktionalismus.

1.4 Prämisse (4) und Physikalismus und Psychologismus

Der Physikalismus ist die Ansicht, dass unsere mathematischen Sätze und Theorien sich auf gewöhnliche physikalische Objekte beziehen. John Stuart Mill (1843) entwickelte eine solche Ansicht. Aus seiner Sicht ist Mathematik nur eine sehr allgemeine Naturwissenschaft. So ist beispielsweise nach Mill der Satz '2 + 3 = 5' kein Anspruch auf abstrakte Objekte (die Zahlen 2, 3 und 5); Vielmehr handelt es sich um eine Behauptung über Stapel physischer Objekte (insbesondere heißt es, dass wir einen Stapel mit fünf Objekten erhalten, wenn wir einen Stapel mit zwei Objekten zusammen mit einem Stapel mit drei Objekten schieben (Phillip Kitcher (1984)). und die frühe Penelope Maddy (1990) haben ebenfalls Ansichten mit „physikalistischen Neigungen“befürwortet, aber am Ende wird keines plausibel als in dieses Lager fallend interpretiert. Maddys frühe Ansicht wird besser als eine nicht-traditionelle Art von Platonismus angesehen, weil nach dieser Ansicht,In der Mathematik geht es um nichtphysische Objekte, die in Raum und Zeit existieren. und Kitchers Ansicht wird am besten als eine Art Paraphrase-Nominalismus angesehen, da sich seiner Ansicht nach mathematische Äußerungen nicht um tatsächlich existierende Objekte handeln.)

Es gibt zahlreiche Probleme mit physikalistischen Ansichten der Mathematik. Um nur eines dieser Probleme zu erwähnen, scheint der Physikalismus völlig unfähig zu sein, verschiedene Arten von Behauptungen über Unendlichkeiten zu erklären, die wir in der Mathematik finden. Zum Beispiel ist es ein Satz der Mengenlehre, dass es unendlich viele transfinite Kardinalzahlen gibt, die ohne Ende immer größer werden. Die Mengenlehre ist also der Existenz von unendlichen Mengen verpflichtet, die so groß sind, dass sie einfach unendliche Mengen der Zwerggartenvielfalt in den Schatten stellen, wie die Menge aller natürlichen Zahlen. Es gibt einfach keinen plausiblen Weg, diese Rede von gigantischen unendlichen Mengen als physische Objekte zu interpretieren.

Psychologismus ist die Ansicht, dass es in mathematischen Sätzen und Theorien um mentale Objekte geht. Die wahrscheinlich häufigste Version dieser Ansicht besagt, dass Zahlen so etwas wie Ideen in unseren Köpfen sind, und gewöhnliche mathematische Sätze wie „3 ist Primzahl“beschreiben diese Ideen. Diese Ansicht war Ende des 19. Jahrhunderts beliebtJahrhundert; es wurde beispielsweise von dem frühen Husserl (1891) sowie den Intuitionisten Brouwer (1912, 1948) und Heyting (1956) gebilligt. Aber Frege (1884, 1893–1903) lieferte eine Reihe von Argumenten gegen die Ansicht und begrub sie im Wesentlichen. Um hier nur ein Argument zu nennen: Der Psychologismus scheint genauso unfähig zu sein wie der Physikalismus, mit den riesigen Unendlichkeiten in der Mathematik umzugehen. Wie gerade gesehen wurde, beinhalten Standard-Mengen-Theorien, dass es tatsächlich riesige Unendlichkeiten mathematischer Objekte gibt. Aber es ist einfach nicht glaubwürdig, dass so viele Ideen in unseren Köpfen sind. In der Tat scheint es klar zu sein, dass wir nur endlich viele Ideen in unseren Köpfen haben. Es ist daher nicht plausibel zu behaupten, dass die Behauptungen der Mengenlehre durch mentale Objekte wahr werden.

Als Antwort könnte man behaupten, dass selbst wenn nicht unendlich viele Ideen in unseren Köpfen sind, es wahrscheinlich ist, dass wir Ideen von Unendlichkeiten in unseren Köpfen haben. Dies ist zweifellos wahr - es gibt solche Ideen in unseren Köpfen -, aber dies rettet den Psychologismus nicht vor dem obigen Einwand. Für unsere mathematischen Theorien bedeutet dies, dass es tatsächlich unendlich viele verschiedene mathematische Objekte gibt. Zum Beispiel beinhalten Standardtheorien der Arithmetik, dass es so etwas wie 1 gibt und dass es so etwas wie 2 gibt (und dass es sich von 1 unterscheidet) und dass es so etwas wie 3 gibt (und dass es sich von beiden unterscheidet 1 und 2) und so weiter. Unsere mathematischen Theorien sind also nur dann wahre Beschreibungen von Ideen in unseren Köpfen, wenn tatsächlich unendlich viele verschiedene Ideen in unseren Köpfen existieren. Da also nicht so viele Ideen in unseren Köpfen sind,Wir können nicht behaupten, dass unsere mathematischen Theorien wahre Beschreibungen solcher Dinge sind.

Alternativ könnte man auf das obige Argument gegen den Psychologismus reagieren, indem man zu einer Ansicht übergeht, nach der sich mathematische Behauptungen auf Ideen beziehen, die wir konstruieren könnten, oder auf mögliche mentale Objekte oder ähnliches. Dies wäre jedoch keine psychologische Sichtweise, da nach dieser Sichtweise die Objekte der Mathematik keine tatsächlichen mentalen Objekte wären; es wären mögliche Objekte, die vermutlich entweder abstrakte Objekte oder Objekte einer anderen metaphysisch zweifelhaften Art sind.

Schließlich könnte man gegen beide Argumente in diesem Unterabschnitt, dh gegen die Argumente gegen Physikalismus und Psychologismus, Einwände erheben, indem man so etwas sagt:

Die hier gegebenen Argumente sollen die Idee motivieren, dass gewöhnliche mathematische Sätze wie '4 ist gerade' nicht plausibel als physische oder mentale Objekte interpretiert werden - oder genauer gesagt, dass sie besser als ungefähr (oder zumindest als vorgeblich) interpretiert werden über) abstrakte Objekte sein. Man könnte hier jedoch einwenden, dass die platonistisch-fiktionalistische Sichtweise als Interpretation des gewöhnlichen mathematischen Diskurses nicht plausibler ist als der Physikalismus oder der Psychologismus. Man könnte es für unplausibel halten anzunehmen, dass gewöhnliche Leute, wenn sie mathematische Behauptungen aufstellen, beabsichtigen, über abstrakte Objekte zu sprechen.

Aber Platoniker und Fiktionalisten bekennen sich nicht zu der These, dass Menschen positive Absichten haben, über abstrakte Objekte zu sprechen. Sie können vielmehr Folgendes sagen: (i) Gewöhnliche mathematische Behauptungen werden am besten zum Nennwert interpretiert - und daher als Behauptungen über Objekte -, weil typische Mathematiker (und in der Tat typische Beispiele gewöhnlicher Leute) keine positiven Absichten haben nicht wörtlich sprechen, wenn sie mathematische Sätze aussprechen; und (ii) es gibt Merkmale der Absichten typischer Mathematiker und typischer Leute in Bezug auf ihre mathematischen Äußerungen, die nicht mit der Vorstellung übereinstimmen, dass es sich bei diesen Äußerungen um physische oder mentale Objekte handelt;und (iii) es gibt nichts in den Absichten typischer Mathematiker oder typischer Leute, was mit der Vorstellung unvereinbar ist, dass es in unseren mathematischen Sätzen um abstrakte Objekte geht. Aus dieser Sicht ist die platonistische / fiktionalistische semantische Theorie besser als andere semantische Theorien des mathematischen Diskurses, weil sie die einzige Theorie ist, die mit den Daten übereinstimmt - nicht, weil Mathematiker und gewöhnliche Leute positive Absichten haben, über abstrakte Objekte zu sprechen, wenn sie sprechen mathematische Sätze. Die platonistische / fiktive semantische Theorie ist besser als andere semantische Theorien des mathematischen Diskurses, weil sie die einzige Theorie ist, die mit den Daten übereinstimmt - nicht weil Mathematiker und gewöhnliche Leute positive Absichten haben, über abstrakte Objekte zu sprechen, wenn sie mathematische Sätze aussprechen. Die platonistische / fiktive semantische Theorie ist besser als andere semantische Theorien des mathematischen Diskurses, weil sie die einzige Theorie ist, die mit den Daten übereinstimmt - nicht weil Mathematiker und gewöhnliche Leute positive Absichten haben, über abstrakte Objekte zu sprechen, wenn sie mathematische Sätze aussprechen.

(Es ist erwähnenswert, bevor man fortfährt, dass man behaupten kann, dass die Existenz von mathematischen Objekten wie Zahlen von uns abhängt, ohne eine psychologische Sicht auf diese Objekte zu unterstützen. Man könnte behaupten, dass Zahlen gedankenabhängige abstrakte Objekte sind, dh nicht -Raumzeitliche Objekte, die aufgrund der Aktivitäten von Menschen entstanden sind. Ansichten dieser allgemeinen Art werden von Liston (2003–04), Cole (2009) und Bueno (2009) befürwortet.)

1.5 Prämisse (5) und Platonismus

Wenn die bisher vorgebrachten Argumente richtig sind, dann sind Platonismus und Fiktionalismus die einzigen verbleibenden Ansichten - die einzigen Philosophien der Mathematik, die nicht ausgeschlossen wurden. Um ihre Argumentation zu vervollständigen, müssen Fiktionalisten lediglich ein Argument für die Prämisse liefern (5); Mit anderen Worten, sie müssen nur gegen den Platonismus argumentieren. Dies stellt sich jedoch als viel schwieriger heraus, als gegen die verschiedenen oben genannten nicht-fiktiven Versionen des Anti-Platonismus zu argumentieren. Wie wir gesehen haben, können Fiktionalisten gegen diese Ansichten argumentieren, indem sie einfach eine Reihe empirischer Hypothesen über den gewöhnlichen mathematischen Diskurs und die gewöhnliche Bedeutung des Wortes "wahr" motivieren. Insbesondere können Fiktionalisten gegen diese Ansichten argumentieren, indem sie argumentieren, dass (a) gewöhnliche mathematische Äußerungen am besten zum Nennwert interpretiert werden können,und (b) diese Äußerungen können nicht plausibel als physische oder mentale Objekte interpretiert werden, und (c) Sätze der Form "Das Objekt a ist ein F" können im gewöhnlichen Sinne des Wortes nicht wahr sein, es sei denn, es gibt sie wirklich so etwas wie ein. Aber Fiktionisten können auf diese Weise nicht gegen Platonismus argumentieren, weil Fiktionisten und Platoniker sich über die Bedeutung gewöhnlicher mathematischer Äußerungen (und des Wortes "wahr") einig sind. In der Tat sind sich Platoniker und Fiktionisten über semantische Thesen nicht einig. In ihrer Meinungsverschiedenheit geht es um eine ontologische These: Platoniker glauben an abstrakte Objekte, Fiktionalisten nicht. Wenn Fiktionalisten also gegen Platonismus argumentieren wollen, müssen sie eine andere Art von Argument verwenden.und (c) Sätze der Form "Das Objekt a ist ein F" können im gewöhnlichen Sinne des Wortes nicht wahr sein, es sei denn, es gibt wirklich so etwas wie a. Aber Fiktionisten können auf diese Weise nicht gegen Platonismus argumentieren, weil Fiktionisten und Platoniker sich über die Bedeutung gewöhnlicher mathematischer Äußerungen (und des Wortes "wahr") einig sind. In der Tat sind sich Platoniker und Fiktionisten über semantische Thesen nicht einig. In ihrer Meinungsverschiedenheit geht es um eine ontologische These: Platoniker glauben an abstrakte Objekte, Fiktionalisten nicht. Wenn Fiktionalisten also gegen Platonismus argumentieren wollen, müssen sie eine andere Art von Argument verwenden.und (c) Sätze der Form "Das Objekt a ist ein F" können im gewöhnlichen Sinne des Wortes nicht wahr sein, es sei denn, es gibt wirklich so etwas wie a. Aber Fiktionisten können auf diese Weise nicht gegen Platonismus argumentieren, weil Fiktionisten und Platoniker sich über die Bedeutung gewöhnlicher mathematischer Äußerungen (und des Wortes "wahr") einig sind. In der Tat sind sich Platoniker und Fiktionisten über semantische Thesen nicht einig. In ihrer Meinungsverschiedenheit geht es um eine ontologische These: Platoniker glauben an abstrakte Objekte, Fiktionalisten nicht. Wenn Fiktionalisten also gegen Platonismus argumentieren wollen, müssen sie eine andere Art von Argument verwenden. Aber Fiktionisten können auf diese Weise nicht gegen Platonismus argumentieren, weil Fiktionisten und Platoniker sich über die Bedeutung gewöhnlicher mathematischer Äußerungen (und des Wortes "wahr") einig sind. In der Tat sind sich Platoniker und Fiktionisten über semantische Thesen nicht einig. In ihrer Meinungsverschiedenheit geht es um eine ontologische These: Platoniker glauben an abstrakte Objekte, Fiktionalisten nicht. Wenn Fiktionalisten also gegen Platonismus argumentieren wollen, müssen sie eine andere Art von Argument verwenden. Aber Fiktionalisten können so etwas nicht gegen Platonismus argumentieren, weil Fiktionalisten und Platoniker sich über die Bedeutung gewöhnlicher mathematischer Äußerungen (und des Wortes "wahr") einig sind. In der Tat sind sich Platoniker und Fiktionisten über semantische Thesen nicht einig. In ihrer Meinungsverschiedenheit geht es um eine ontologische These: Platoniker glauben an abstrakte Objekte, Fiktionalisten nicht. Wenn Fiktionalisten also gegen Platonismus argumentieren wollen, müssen sie eine andere Art von Argument verwenden.während Fiktionalisten nicht. Wenn Fiktionalisten also gegen Platonismus argumentieren wollen, müssen sie eine andere Art von Argument verwenden.während Fiktionalisten nicht. Wenn Fiktionalisten also gegen Platonismus argumentieren wollen, müssen sie eine andere Art von Argument verwenden.

Es gibt einige verschiedene Argumente, die gegen den mathematischen Platonismus vorgebracht wurden, aber das wichtigste - und das berühmteste - ist das sogenannte erkenntnistheoretische Argument gegen den Platonismus. Dieses Argument geht zumindest auf Platon zurück. In der heutigen Zeit erhielt es seine klassischste Aussage in einem Artikel von Paul Benacerraf (1973), obwohl die meisten Philosophen der Mathematik der Meinung sind, dass Benacerrafs Formulierung des Arguments problematisch ist, weil es sich auf eine unplausible kausale Erkenntnistheorie stützt. Eine bessere Möglichkeit, das Argument zu formulieren, ist wie folgt:

  1. Menschen existieren vollständig innerhalb der Raumzeit.
  2. Wenn es abstrakte mathematische Objekte gibt, existieren sie außerhalb der Raumzeit. Daher scheint es wahrscheinlich, dass
  3. Wenn es abstrakte mathematische Objekte gibt, können die Menschen keine Kenntnis von ihnen erlangen. Aber
  4. Es ist in die platonistische Sichtweise eingebaut, dass es abstrakte Objekte gibt und dass Menschen Wissen über sie erwerben können (nach dem Platonismus ist mathematisches Wissen schließlich nur Wissen über abstrakte Objekte). Deshalb,
  5. Platonismus ist falsch.

Platoniker haben versucht, auf dieses Argument auf verschiedene Weise zu reagieren, aber die beliebteste (und, wie man argumentieren kann, plausibelste) Antwort besteht darin, zu versuchen, die Folgerung von (i) und (ii) bis (iii) zu untergraben. durch Erklären, wie (iii) falsch sein könnte, selbst wenn (i) und (ii) wahr sind, dh wie Menschen Wissen über abstrakte Objekte erwerben könnten, obwohl sie kausal von solchen Objekten isoliert sind und dies daher nicht haben jeglicher informationsübertragende Kontakt mit solchen Objekten. Diese Strategie der Reaktion wurde von Quine (1948, 1951), Steiner (1975), Katz (1981, 1998), Resnik (1982, 1997), Shapiro (1989, 1997), Lewis (1986), Linsky und Zalta (1995), Balaguer (1995, 1998a) und Linnebo (2006). Die Frage, ob eine dieser Antworten erfolgreich ist, ist unter Mathematikphilosophen äußerst umstritten. Außerdem,Anti-Platoniker haben kein zwingendes Argument für die These, dass Platonisten hier nicht die erforderliche Erklärung liefern könnten, dh dass sie nicht erklären könnten, wie Menschen ohne Hilfe eines informationsübertragenden Kontakts Wissen über abstrakte Objekte erwerben könnten solche Objekte. Um es kurz zu machen, es scheint fair zu sein zu sagen, dass das erkenntnistheoretische Argument gegen den Platonismus bestenfalls kontrovers und nicht schlüssig ist. Man kann mit Recht sagen, dass das erkenntnistheoretische Argument gegen den Platonismus bestenfalls kontrovers und nicht schlüssig ist. Man kann mit Recht sagen, dass das erkenntnistheoretische Argument gegen den Platonismus bestenfalls kontrovers und nicht schlüssig ist.

(Eine ausführlichere Diskussion des erkenntnistheoretischen Arguments gegen den Platonismus, einschließlich der Diskussion der verschiedenen Reaktionen, die Platonisten versucht haben, finden Sie im Eintrag "Platonism in Metaphysics" der Stanford Encyclopedia of Philosophy.)

Da es dem erkenntnistheoretischen Argument nicht gelingt, den Platonismus zu widerlegen, könnten Fiktionalisten versuchen, ein anderes Argument gegen den Platonismus vorzulegen. Ein solches Argument, das beträchtliche Aufmerksamkeit erhalten hat, ist das Argument der Mehrfachreduzierung. Die klassische Aussage dieses Arguments wird erneut von Benacerraf (1965) gegeben. Das Argument kann in Verbindung mit jeder unserer mathematischen Theorien ausgeführt werden, aber der Punkt wird normalerweise im Zusammenhang mit der Arithmetik gemacht. Selbst wenn wir uns auf die Arithmetik konzentrieren, gibt es immer noch viele verschiedene Möglichkeiten, das Argument zu formulieren. Ein Weg, dies zu tun, ist wie folgt: (A) Wenn es irgendwelche Sequenzen abstrakter Objekte gibt, die unsere arithmetischen Theorien erfüllen, dann gibt es unendlich viele,und an keiner dieser Sequenzen ist etwas „metaphysisch Besonderes“, was sie als Folge natürlicher Zahlen hervorhebt; aber (B) der Platonismus ist der These verpflichtet, dass es eine einzigartige Folge von abstrakten Objekten gibt, nämlich die natürlichen Zahlen. Daher ist (C) Platonismus falsch.

Platoniker haben zahlreiche Antworten auf dieses Argument angeboten. Die wahrscheinlich häufigste Strategie bestand darin, (A) abzulehnen, dh zu argumentieren, dass Platoniker tatsächlich die Behauptung verteidigen können, dass es eine eindeutige Sequenz gibt, die als Sequenz natürlicher Zahlen hervorsticht. Diese Strategie wurde auf unterschiedliche Weise verfolgt, z. B. von Resnik (1997), Shapiro (1997), Parsons (1990) sowie Linsky und Zalta (1995). Darüber hinaus argumentiert Balaguer (1998a), dass selbst wenn (A) wahr ist, es keine Rolle spielt, weil (B) falsch ist: Platoniker können einfach zugeben, dass es zahlreiche Sequenzen gibt, die unsere arithmetischen Theorien erfüllen, und dass es möglicherweise keine gibt von ihnen ist die einzige Folge natürlicher Zahlen. Es gibt keine weit verbreitete Übereinstimmung über den Status dieser platonistischen Reaktionen, und so, wie es beim erkenntnistheoretischen Argument der Fall ist,Es wäre äußerst kontrovers, wenn nicht geradezu unplausibel zu behaupten, dass das Argument der Mehrfachreduktion den Platonismus widerlegt.

Abgesehen davon ist das einzige Argument gegen den Platonismus, das in der Philosophie der Mathematik viel Beachtung gefunden hat, ein auf Ockhams Rasiermessern basierendes Argument. Wir werden (sehr kurz) auf dieses Argument in Abschnitt 3 zurückkommen; Im Moment können wir einfach feststellen, dass das auf Ockhams Rasiermesser basierende Argument wie das erkenntnistheoretische Argument und das Argument der Mehrfachreduktion sehr kontrovers ist und die Behauptung, dass dieses Argument den Platonismus widerlegt, (zumindest) tendenziös ist. Die allgemeine Schlussfolgerung, zu der wir hier geführt zu sein scheinen, lautet daher: Selbst wenn Fiktionalisten die platonistische / fiktionalistische Semantik des mathematischen Diskurses motivieren und damit alle antiplatonischen Alternativen zum Fiktionalismus eliminieren können, haben sie kein wirklich überzeugendes Argument gegen den Platonismus oder für die Schlussfolgerung, dass der Fiktionalismus dem Platonismus überlegen ist. Mit anderen Worten,Fiktionalisten haben kein zwingendes Argument für die Prämisse (5), und daher ist das positive Argument für ihre Ansicht bestenfalls unvollständig.

2. Einwände gegen Fiktionalismus und Reaktionen

Angesichts der Tatsache, dass es keine zwingenden Argumente gegen den Platonismus gibt, könnte man sich als nächstes natürlich die Frage stellen, ob es gute Argumente gegen den Fiktionalismus gibt (und daher, wenn der Platonismus wirklich die einzig plausible Alternative zum Fiktionalismus zugunsten des Platonismus ist). In diesem Abschnitt werden mehrere solche Argumente behandelt. Wenn wir die fiktiven Antworten auf diese Argumente durchgehen, werden wir auch sehen, wie verschiedene Philosophen verschiedene Versionen des Fiktionalismus entwickelt haben.

2.1 Das Argument der Unentbehrlichkeit

Das mit Abstand wichtigste und am meisten diskutierte Argument gegen den Fiktionalismus ist das sogenannte Quine-Putnam-Unentbehrlichkeitsargument (siehe z. B. Quine (1948, 1951), Putnam (1971), Resnik (1997) und Colyvan (2001)). Dieses Argument wurde auf verschiedene Arten formuliert. Eine sehr einfache Version des Arguments kann folgendermaßen formuliert werden: (i) Mathematische Sätze bilden einen unverzichtbaren Bestandteil unserer empirischen Theorien der physikalischen Welt, dh unserer Theorien der Physik, Chemie usw.; (ii) wir haben gute Gründe zu der Annahme, dass diese empirischen Theorien wahr sind, dh dass sie uns genaue Bilder der Welt geben; Daher (iii) haben wir gute Gründe zu der Annahme, dass unsere mathematischen Sätze wahr sind und daher der Fiktionalismus falsch ist.

Fiktionalisten haben zwei verschiedene Arten von Antworten auf dieses Argument entwickelt. Die erste, aufgrund von Field (1980, 2016), kann als Nominalisierungsantwort bezeichnet werden, und die Version des Fiktionalismus, die sie uns gibt, kann als Hard-Road-Fiktionalismus bezeichnet werden. Die zweite Antwort, die von Balaguer (1996a, 1998a), Melia (2000), Rosen (2001), Yablo (2005), Bueno (2009) und Leng (2010) entwickelt wurde, kann als Antwort ohne Nominalisierung bezeichnet werden Die Version des Fiktionalismus, die es uns gibt, kann als Easy-Road-Fiktionalismus oder Wiesel-Fiktionalismus bezeichnet werden. Darüber hinaus (Die Namen hier sind Colyvan und Melia zu verdanken; der erstere spricht von "Nominalismus auf harter Straße" und "Nominalismus auf leichter Straße", und der letztere spricht von "Wiesel-Nominalismus".)

Die Reaktion von Field auf der Straße basiert auf der Ablehnung der Prämisse (i). Er argumentiert, dass Mathematik für die empirische Wissenschaft in der Tat nicht unverzichtbar ist. Field versucht, diese These zu begründen, indem er argumentiert, dass unsere empirischen Theorien nominalisiert, dh so umformuliert werden können, dass Verweise auf und existenzielle Quantifizierung über abstrakte Objekte vermieden werden. Dies ist eine äußerst kontroverse Behauptung, und es ist sehr schwierig festzustellen, denn vermutlich müsste man tatsächlich die Nominalisierung für jede unserer empirischen Theorien durchführen - daher der Name Hard-Road-Fiktionalismus. Field hat nicht versucht, dies für alle unsere empirischen Theorien zu tun. Vielmehr versuchte er, seine Position zu motivieren, indem er erklärte, wie die Nominalisierung für eine empirische Theorie, nämlich die Newtonsche Gravitationstheorie, ablaufen würde. Jetzt,Einige Leute haben sich darüber beschwert, dass selbst wenn Field's Strategie für diese eine Theorie funktionieren könnte, sie für andere Theorien möglicherweise nicht funktioniert, und insbesondere Malament (1982) hat argumentiert, dass seine Strategie nicht in Verbindung mit der Quantenmechanik funktionieren würde (siehe aber Balaguer (1996b und 1998a) für ein Argument, dass die Strategie von Field auf den Fall der Quantenmechanik ausgedehnt werden kann, und siehe Bueno (2003) für eine Antwort). Darüber hinaus gibt es mehrere andere Einwände gegen das Programm von Field, siehe z. B. Malament (1982), Shapiro (1983), Resnik (1985) und Chihara (1990, Kapitel 8, Abschnitt 5). Auf der anderen Seite gibt es andere Werke, die nominalistische Ansichten auf der Straße entwickeln oder motivieren; zB entwickeln Arntzenius und Dorr (2012) einen Weg, die Theorie differenzierbarer Mannigfaltigkeiten zu nominalisieren. Momentan,Der Status der Reaktion der Fieldianer auf das Quine-Putnam-Argument bleibt umstritten.

Balaguers einfache Antwort beginnt mit der Gewährung der Prämisse (i) des Quine-Putnam-Arguments, dh mit der Gewährung (aus Gründen der Argumentation), dass es unverzichtbare Anwendungen der Mathematik für die empirische Wissenschaft gibt. Balaguers Strategie besteht einfach darin, diese Anwendungen aus fiktiver Sicht zu berücksichtigen. Sein Argument kann wie folgt zusammengefasst werden: Wenn es solche Dinge wie abstrakte Objekte gibt, dann sind sie kausal träge. Daraus folgt jedoch, dass die Wahrheit der empirischen Wissenschaft von zwei Gruppen von Tatsachen abhängt, die unabhängig voneinander gelten oder nicht. Eine dieser Tatsachen ist rein platonistisch und mathematisch, die andere rein physikalisch (oder genauer gesagt rein anti-platonistisch). Da diese beiden Tatsachen unabhängig voneinander gelten oder nicht,Fiktionalisten können behaupten, dass (a) es eine Reihe rein physikalischer Tatsachen der hier erforderlichen Art gibt, dh die Art, die erforderlich ist, um die empirische Wissenschaft wahr zu machen, aber (b) es keine Reihe rein platonistischer Tatsachen der Sortierung erforderlich für die Wahrheit der empirischen Wissenschaft (weil es keine abstrakten Objekte gibt). Daher steht der Fiktionalismus im Einklang mit einer im Wesentlichen realistischen Sichtweise der empirischen Wissenschaft, da die Fiktionalisten behaupten können, dass selbst wenn es keine mathematischen Objekte gibt und unsere empirischen Theorien daher nicht unbedingt zutreffen, diese Theorien immer noch ein im Wesentlichen genaues Bild zeichnen der physischen Welt, weil die physische Welt genau so ist, wie sie sein muss, damit die empirische Wissenschaft wahr ist. Mit anderen Worten,Fiktionalisten können behaupten, dass die physische Welt „das Ende des empirisch-wissenschaftlichen Abkommens aufhält“. Um einen Überblick darüber zu geben, was Mathematik in der empirischen Wissenschaft tut, wird behauptet, dass sie als beschreibende oder gegenständliche Hilfe fungiert. Mit anderen Worten, es gibt uns eine einfache Möglichkeit, Aussagen über die physische Welt zu machen. Indem wir uns beispielsweise auf reelle Zahlen beziehen - oder besser, indem wir Begriffe verwenden, die angeblich auf reelle Zahlen verweisen -, geben wir uns eine einfache Möglichkeit, die Temperaturzustände physikalischer Systeme zu beschreiben. Und Balaguer argumentiert, dass Mathematik in ihrer Rolle als beschreibende Hilfe erfolgreich sein kann, auch wenn sie nicht wahr ist; in der Tat argumentiert er, dass die Wahrheit in diesem Zusammenhang einfach überhaupt keine Hilfe ist. Die Behauptung ist, dass es als beschreibende oder gegenständliche Hilfe fungiert. Mit anderen Worten, es gibt uns eine einfache Möglichkeit, Aussagen über die physische Welt zu machen. Indem wir uns beispielsweise auf reelle Zahlen beziehen - oder besser, indem wir Begriffe verwenden, die angeblich auf reelle Zahlen verweisen -, geben wir uns eine einfache Möglichkeit, die Temperaturzustände physikalischer Systeme zu beschreiben. Und Balaguer argumentiert, dass Mathematik in ihrer Rolle als beschreibende Hilfe erfolgreich sein kann, auch wenn sie nicht wahr ist; in der Tat argumentiert er, dass die Wahrheit in diesem Zusammenhang einfach überhaupt keine Hilfe ist. Die Behauptung ist, dass es als beschreibende oder gegenständliche Hilfe fungiert. Mit anderen Worten, es gibt uns eine einfache Möglichkeit, Aussagen über die physische Welt zu machen. Indem wir uns beispielsweise auf reelle Zahlen beziehen - oder besser, indem wir Begriffe verwenden, die angeblich auf reelle Zahlen verweisen -, geben wir uns eine einfache Möglichkeit, die Temperaturzustände physikalischer Systeme zu beschreiben. Und Balaguer argumentiert, dass Mathematik in ihrer Rolle als beschreibende Hilfe erfolgreich sein kann, auch wenn sie nicht wahr ist; in der Tat argumentiert er, dass die Wahrheit in diesem Zusammenhang einfach überhaupt keine Hilfe ist. Und Balaguer argumentiert, dass Mathematik in ihrer Rolle als beschreibende Hilfe erfolgreich sein kann, auch wenn sie nicht wahr ist; in der Tat argumentiert er, dass die Wahrheit in diesem Zusammenhang einfach überhaupt keine Hilfe ist. Und Balaguer argumentiert, dass Mathematik in ihrer Rolle als beschreibende Hilfe erfolgreich sein kann, auch wenn sie nicht wahr ist; in der Tat argumentiert er, dass die Wahrheit in diesem Zusammenhang einfach überhaupt keine Hilfe ist.

Andere haben ähnliche Ansichten entwickelt. Zum Beispiel argumentiert Melia (2000), dass wir unsere empirischen Theorien durchsetzen und dann einfach die platonistischen / mathematischen Konsequenzen dieser Behauptungen zurücknehmen können. Und Rosen (2001) argumentiert, dass Fiktionalismus epistemisch zulässig ist, weil eine andere Gemeinschaft von Wissenschaftlern dieselben Theorien akzeptieren könnte, die wir vertreten, während sie eine fiktionalistische Haltung gegenüber den mathematischen Komponenten ihrer Theorien befürworten - oder genauer gesagt rational befürworten. Und Bueno (2009) argumentiert, dass Mathematik in der empirischen Wissenschaft eine beschreibende Rolle spielt, und aus diesem Grund muss sie nicht wahr sein, um anwendbar zu sein. Und Leng (2010) argumentiert, dass das Argument der Unentbehrlichkeit den Fiktionalismus nicht widerlegt, weil Fiktionalisten den Erfolg der Wissenschaft angemessen beschreiben können.

Yablo (2005, 2002a, 2002b) entwickelt ebenfalls eine solche Ansicht (und es ist erwähnenswert, dass seine Ansicht hier stark von der Arbeit von Walton (1990) abhängt). Yablo behauptet, dass Mathematik in der Wissenschaft als Repräsentationshilfe erscheint und dass sie nicht wahr sein muss, um dies gut zu machen. Aber seine Version der Ansicht ist etwas anders, weil er glaubt, dass die Sätze unserer platonistisch formulierten empirischen Theorien - oder zumindest typische Äußerungen dieser Sätze - tatsächlich wahr sind, weil ihr wirklicher Inhalt nominalistisch ist. Um ein triviales Beispiel zu verwenden, betrachten Sie den Satz

(M) Die Anzahl der Marsmonde beträgt 2.

Nach Yablo sind typische Äußerungen von Sätzen wie (M) analog zu gewöhnlichen Fällen bildlicher Sprache, z. B. Sätzen wie

(A) Die durchschnittliche Mutter hat 2,4 Kinder.

Die syntaktische Form von (A) scheint darauf hinzudeuten, dass es sich um ein tatsächliches Objekt handelt, das als durchschnittliche Mutter bekannt ist. Aber es ist natürlich nicht so, es so zu lesen, würde falsch verstehen, was Menschen meinen, wenn sie Sätze wie (A) aussprechen. Laut Yablo scheint es zwar so zu sein, dass (M) teilweise einen Anspruch auf ein tatsächlich als 2 bekanntes Objekt erhebt, dies ist jedoch nicht der Fall. Vielmehr ist der wahre Inhalt von (M) - dh, was typische Äußerungen dieses Satzes wirklich sagen -, dass es zwei Marsmonde gibt. Und natürlich ist diese Behauptung - dh die Behauptung, dass es zwei Marsmonde gibt - keine Behauptung über die Nummer 2 oder ein anderes abstraktes Objekt; es ist nominalistisch koscher. Zusammenfassend ist die Idee hier also, dass Fiktionalisten über reine Mathematik eine paraphrasierte nominalistische Sichtweise gemischter mathematischer Sätze unterstützen können.

(Es ist erwähnenswert, dass Yablo auch zu denken scheint, dass zumindest manchmal reine mathematische Sätze reale Inhalte haben - dh wirklich Dinge sagen -, die nominalistisch und wahr sind. Zum Beispiel denkt er, dass zumindest manchmal Sätze wie ' 3 + 2 = 5 'sagen Dinge wie wenn es drei Fs und zwei Gs gibt, dann gibt es (abgesehen von Überlappungen) fünf Fs oder Gs. Außerdem scheint Yablo manchmal zumindest auf die Ansicht hinzuweisen, dass zumindest Manchmal, wenn wir Sätze wie "3 ist Primzahl" aussprechen, sagen wir wirklich, dass "3 ist Primzahl" gemäß der Theorie (oder der Geschichte oder dem Spiel) der Arithmetik wahr oder akzeptabel ist. Es ist nicht klar, wie Yablo nimmt diese Idee jedoch ernst, jedenfalls scheint es ziemlich klar zu sein, dass er, wenn er sie überhaupt befürwortet, glaubt, dass sie nur in einigen Kontexten wahr ist, dh nur in einigen rein mathematischen Äußerungen. Was auch immer Yablos Ansicht ist, es ist wichtig anzumerken, dass Ansichten dieser allgemeinen Art, dh Ansichten, die rein mathematische Sätze benötigen, um echten Inhalt zu haben, oder wirklich Dinge sagen, die nominalistisch und wahr sind, überhaupt keine Versionen des Fiktionalismus sind. wie diese Ansicht hier definiert wurde. Sie sind eher Versionen des Paraphrase-Nominalismus und unterliegen daher dem Argument gegen diese Ansicht in Abschnitt 1.2. Wir werden (sehr kurz) auf die Frage zurückkommen, ob Yablos Ansicht wirklich eine Version des Fiktionalismus in Abschnitt 2.3 ist.)Sie sind eher Versionen des Paraphrase-Nominalismus und unterliegen daher dem Argument gegen diese Ansicht in Abschnitt 1.2. Wir werden (sehr kurz) auf die Frage zurückkommen, ob Yablos Ansicht wirklich eine Version des Fiktionalismus in Abschnitt 2.3 ist.)Sie sind eher Versionen des Paraphrase-Nominalismus und unterliegen daher dem Argument gegen diese Ansicht in Abschnitt 1.2. Wir werden (sehr kurz) auf die Frage zurückkommen, ob Yablos Ansicht wirklich eine Version des Fiktionalismus in Abschnitt 2.3 ist.)

Weitere Informationen zu Ansichten wie Yablo finden Sie unter Plebani (2018) sowie Berto und Plebani (2015).

Es ist erwähnenswert, dass Befürworter des einfachen Nominalismus ihre Sichtweise nicht der von Field vorziehen, nur weil es „einfacher“ist oder weil es keine Verpflichtung gegenüber der umstrittenen Behauptung beinhaltet, dass unsere empirischen Theorien nominalisiert werden können. Melia, Yablo und Balaguer argumentieren alle, dass die Ansicht der Ansicht von Field unabhängig überlegen ist, weil sie besser zur tatsächlichen wissenschaftlichen Praxis passt.

Es ist auch erwähnenswert, dass einfache Antworten auf das Quine-Putnam-Argument von Menschen entwickelt wurden, die den Fiktionalismus nicht unterstützen, z. B. Sober (1993), Maddy (1995, 1997), Mortensen (1998) und Azzouni (2004)).

Eine Antwort auf die einfache Sichtweise haben Colyvan (2002, 2010) und Baker (2005, 2009) gegeben. Sie argumentieren, dass Mathematik nicht nur eine beschreibende Rolle in der Wissenschaft spielt. Es spielt auch eine erklärende Rolle. Zum Beispiel betrachtet Baker einen Fall mit verschiedenen Arten von periodischen Zikaden, bei denen das Nymphenstadium entweder 13 oder 17 Jahre beträgt. Warum sind die Nymphenstadien 13 oder 17 Jahre alt? Laut Evolutionsbiologen ist die Antwort, dass 13 und 17 Primzahlen sind, und dies minimiert Schnittpunkte mit anderen periodischen Arten. Colyvan und Baker argumentieren, dass Fälle wie dieser - Fälle, in denen mathematische Objekte eine unverzichtbare Rolle bei der Erklärung physikalischer Phänomene spielen - uns eine bessere und leistungsfähigere Version des Arguments der Unentbehrlichkeit liefern. Tatsächlich,Sie argumentieren, dass wenn es wirklich Fälle gibt, in denen es wirklich mathematische Erklärungen physikalischer Phänomene gibt, einfache Versionen des Fiktionalismus keinen Erfolg haben können. Diese Behauptung kann jedoch diskutiert werden, und Antworten auf diese erklärenden Versionen des Unentbehrlichkeitsarguments wurden von Melia (2002), Leng (2005b), Bangu (2008), Daly und Langford (2009) und Yablo (2012) gegeben.

2.2 Objektivität

Ein zweiter Einwand gegen den Fiktionalismus basiert auf der Idee, dass Fiktionalisten die Objektivität der Mathematik nicht erklären können. Es ist eine offensichtliche Tatsache in der mathematischen Praxis, dass in dieser Praxis eine Art Objektivität am Werk ist. In der Mathematik gibt es einen wichtigen Unterschied zwischen Sätzen wie '2 + 2 = 4' und '3 ist Primzahl' einerseits und '2 + 2 = 5' und '3 ist zusammengesetzt' andererseits. Es gibt offensichtlich einen Sinn, in dem die ersten beiden Sätze, aber nicht die zweiten beiden, "richtig" oder "richtig" oder "gut" oder so etwas sind. Das offensichtlichste, was hier zu sagen ist, ist, dass die ersten beiden Sätze wahr sind, während die beiden letzteren falsch sind. Aber Fiktionalisten können das nicht sagen; Sie wollen sagen, dass alle vier Sätze falsch sind. So,Es stellt sich die Frage, ob Fiktionalisten die Objektivität der Mathematik, dh die Unterschiede zwischen diesen beiden Arten von Sätzen, angemessen berücksichtigen.

Es gibt wieder zwei verschiedene Antworten, die Fiktionalisten auf dieses Problem gegeben haben. Diese beiden Antworten geben uns Versionen des Fiktionalismus, die mangels eines besseren Begriffspaares als formalistischer Fiktionalismus und nicht-formalistischer Fiktionalismus bezeichnet werden können.

Die formalistische Sichtweise wurde von Field (1980, 1989, 1998) entwickelt. Seiner Ansicht nach ist der Unterschied zwischen "3 ist Primzahl" und "3 ist zusammengesetzt" analog zu dem Unterschied zwischen "Weihnachtsmann trägt einen roten Anzug" und "Weihnachtsmann trägt einen grünen Anzug". Insbesondere ist Field's Idee, dass der Unterschied zwischen Sätzen wie "3 ist Primzahl" und "3 ist zusammengesetzt" darin besteht, dass die ersteren (aber nicht die letzteren) Teil einer bestimmten bekannten "Geschichte" sind, nämlich der Geschichte von Mathematik. Field bringt diesen Punkt auf den Punkt, indem er sagt, dass "3 ist Primzahl" und "3 ist zusammengesetzt" beide streng falsch sind, während Ersteres in der Geschichte der Mathematik zutrifft, während Letzteres nicht der Fall ist. Nun stimmt der größte Teil von Fields Ansicht hier sowohl mit dem formalistischen Fiktionalismus als auch mit dem nicht-formalistischen Fiktionalismus überein. Der Unterschied zwischen diesen beiden Ansichten hängt damit zusammen, woraus Fiktionisten die Geschichte der Mathematik verstehen. Für Field besteht die Geschichte der Mathematik im Wesentlichen aus einer Reihe formaler Systeme, nämlich denen, die wir derzeit akzeptieren. Genauer gesagt, sagt er (1998, S. 391), dass ein mathematischer Satz genau dann fiktionalistisch korrekt ist, wenn er „eine Konsequenz akzeptierter Axiome [in einem]… Sinn der Konsequenz ist, die ein wenig über die Konsequenz erster Ordnung beim Einschließen hinausgeht die Logik des Quantifizierers 'nur endlich viele' “. Aus dieser Sicht besteht der Unterschied zwischen Sätzen wie "3 ist Primzahl" und "3 ist zusammengesetzt" - der Grund, warum die ersteren "korrekt" sind und die letzteren nicht - darin, dass die ersteren aus akzeptierten mathematischen Axiomen folgen. (Diese Ansicht wurde auch von Leng (2010) bestätigt;sie sagt, dass mathematische Akzeptanz darauf zurückzuführen ist, dass man akzeptierten Axiomen folgt.)

Balaguer (2001, 2009) argumentiert, dass Field's formalistische Sichtweise nicht richtig sein kann, und entwickelt eine nicht-formalistische Alternative dazu. Sein Argument gegen die formalistische Sichtweise ist, dass sie nicht die gesamte Objektivität erklären kann, die wir in der Mathematik finden. Am wichtigsten ist, dass die formalistische Sichtweise (fälschlicherweise) beinhaltet, dass es keine objektiv korrekten Antworten auf Fragen geben kann, die nach den Wahrheitswerten mathematischer Sätze fragen, die in derzeit akzeptierten mathematischen Theorien unentscheidbar sind. Das bekannteste Beispiel ist hier wahrscheinlich die Kontinuumshypothese (CH), die in derzeit akzeptierten Mengen-Theorien, z. B. der Zermelo-Fraenkel-Mengen-Theorie (ZF), nicht zu entscheiden ist. (Mit anderen Worten, ZF ist sowohl mit CH als auch mit ~ CH konsistent, dh ZF + CH und ZF + ~ CH sind beide konsistente Mengen-Theorien.)Aus Field's Sicht folgt, dass weder CH noch ~ CH Teil der Geschichte der Mathematik sind und es daher keine objektiv korrekte Antwort auf die CH-Frage gibt. Dies scheint jedoch inakzeptabel, da sich herausstellen könnte, dass Mathematiker eine objektiv korrekte Antwort auf die CH-Frage finden werden. Nehmen wir zum Beispiel an, ein Mathematiker hat einen neuen Axiomkandidaten AX entwickelt, so dass (i) alle Mathematiker der Meinung waren, dass AX eine intuitiv offensichtliche Behauptung über Mengen ist, und (ii) ZF + AX CH mit sich brachte. In diesem Fall würden Mathematiker sagen, dass sie CH bewiesen haben und dass sie entdeckt haben, dass CH korrekt ist, und so weiter. Die Ansicht von Field würde uns zwingen zu sagen, dass CH in der Geschichte der Mathematik wahr werden würde, wenn wir AX befürworten würden. Aber das scheint etwas falsch zu machen. Angesichts der intuitiven Offensichtlichkeit von AX,Es scheint sehr natürlich zu sagen, dass in diesem Szenario Mathematiker entdeckt haben, dass CH die ganze Zeit wahr (oder „richtig“oder wahr in der Geschichte der Mathematik oder wie auch immer wir es nennen wollen) war - dh, dass wir es nicht getan haben. Machen Sie dies nicht nur durch die Billigung einer neuen Theorie wieder gut. Und wieder scheint es, dass Mathematiker dies sagen würden. Balaguer argumentiert, dass Field's formalistische Sicht auf die Objektivität der Mathematik inakzeptabel ist.

Balaguers nicht-formalistische Version des Fiktionalismus behält Field's These bei, dass mathematische „Korrektheit“damit zu tun hat, in der Geschichte der Mathematik wahr zu sein, gibt jedoch die feldianische Ansicht auf, dass die Geschichte der Mathematik aus gegenwärtig akzeptierten Axiomen besteht. Laut Balaguer besteht die sogenannte „Geschichte der Mathematik“in der These, dass es tatsächlich abstrakte mathematische Objekte gibt, wie sie Platoniker im Sinn haben, dh wie es unsere mathematischen Theorien vorgeben. Nach dieser Auffassung ist ein mathematischer Satz also genau dann fiktiv korrekt, wenn es wahr gewesen wäre, wenn es tatsächlich abstrakte mathematische Objekte gegeben hätte, wie sie Platonisten im Sinn haben. Balaguer argumentiert, dass wenn Fiktionalisten diese Ansicht vertreten, sie das obige Problem mit der Ansicht von Field und allgemeiner vermeiden könnenSie können das Problem der Objektivität vollständig lösen, weil sie alles nachahmen können, was Platoniker über Objektivität sagen.

2.3 Revolutionismus und Hermeneutizismus

Ein weiterer Einwand gegen den Fiktionalismus wird von Burgess (2004) vorgebracht - und es sollte angemerkt werden, dass das Argument hier Wurzeln in Burgess (1983) und Burgess und Rosen (1997) hat. Das Argument kann so formuliert werden:

Fiktionalisten stehen vor einem Dilemma: Sie müssen entweder hermeneutischen Fiktionalismus oder revolutionären Fiktionalismus unterstützen, aber beides ist nicht plausibel. Wir können den hermeneutischen Fiktionalismus als die Ansicht definieren, dass Mathematiker (und vielleicht gewöhnliche Leute) beabsichtigen, ihr mathematisches Gespräch als eine Form der Fiktion zu verstehen; Insbesondere ist die Ansicht hier, dass nach gewöhnlichen mathematischen Absichten singuläre Begriffe wie '3' nicht verweisen sollen und Sätze wie '3 ist Primzahl' nicht wahr sein sollen. Aber hermeneutischer Fiktionalismus ist unplausibel und unmotiviert; Als empirische Hypothese darüber, was Mathematiker beabsichtigen, gibt es einfach keine guten Beweise dafür, und es scheint offensichtlich falsch. Revolutionärer Fiktionalismus ist andererseits die Ansicht, dass (a) Mathematiker nicht beabsichtigen, ihre Äußerungen als Fiktion zu verstehen,oder als nicht wörtlich auf andere Weise; und so (b) sollten wir Mathematiker so interpretieren, dass sie wirklich behaupten, was ihre Sätze sagen, dh als Aussagen machen, die sich auf mathematische Objekte beziehen (oder vorgeben sollen); aber (c) da es keine mathematischen Objekte gibt, sind die Behauptungen von Mathematikern einfach unwahre Behauptungen. Aber auch der revolutionäre Fiktionalismus ist unplausibel. Angesichts der Erfolgsbilanz von Philosophen und Mathematikern wäre es für Philosophen „komisch unbescheiden“anzunehmen, dass sie ein Problem mit der Mathematik entdeckt haben (Burgess, 2004, S. 30). Die Behauptungen von Mathematikern sind einfach unwahre Behauptungen. Aber auch der revolutionäre Fiktionalismus ist unplausibel. Angesichts der Erfolgsbilanz von Philosophen und Mathematikern wäre es für Philosophen „komisch unbescheiden“anzunehmen, dass sie ein Problem mit der Mathematik entdeckt haben (Burgess, 2004, S. 30). Die Behauptungen von Mathematikern sind einfach unwahre Behauptungen. Aber auch der revolutionäre Fiktionalismus ist unplausibel. Angesichts der Erfolgsbilanz von Philosophen und Mathematikern wäre es für Philosophen „komisch unbescheiden“anzunehmen, dass sie ein Problem mit der Mathematik entdeckt haben (Burgess, 2004, S. 30).

Niemand hat jemals den hermeneutischen Fiktionalismus verteidigt, wie er oben definiert wurde. Yablo (2002a) behauptet, seine Ansicht sei eine Version des hermeneutischen Fiktionalismus - und Plebani (2018) folgt ihm in dieser Art zu sprechen -, aber die Ansicht, die diese Philosophen im Sinn haben, unterscheidet sich ein wenig von der oben beschriebenen hermeneutischen fiktiven Sichtweise. Yablo behauptet nicht, dass Mathematiker beabsichtigen, ihre Äußerungen von Sätzen wie '3 is prime' als fiktive Behauptungen zu verstehen. Er glaubt vielmehr, dass diese Äußerungen (zumindest manchmal oder vielleicht typisch) analog zu gewöhnlichen Beispielen für bildliche Sprache sind, z. B. Sätze wie "Der Backburner ist der Ort, an dem man Dinge zum Sieden bringt". Dieser Satz enthält einen singulären Begriff - "der Backburner" -, der (syntaktisch) ein bezeichnender Ausdruck zu sein scheint;aber es ist nicht wirklich ein bezeichnender Ausdruck (zumindest in typischen Fällen) und es als echten bezeichnenden Ausdruck in Sätzen wie den oben genannten zu interpretieren, würde bedeuten, schlecht zu verstehen, was typische Sprecher von Sätzen wie diesem sagen wollen. Yablo glaubt, dass so etwas im Zusammenhang mit typischen Äußerungen von (reinen und gemischten) mathematischen Sätzen zutrifft, z. B. Sätze wie '3 ist Primzahl' und 'Die Anzahl der Marsmonde ist 2.' Yablo schlägt also sicherlich eine hermeneutische nominalistische Sichtweise vor, aber es ist nicht klar, dass seine Sichtweise am besten als eine Art hermeneutischer Fiktionalismus angesehen werden kann. Wie oben erwähnt (Abschnitt 2.1), könnte die Ansicht besser als eine Art Paraphrase-Nominalismus klassifiziert werden. Yablo nennt seine Sichtweise Figuralismus, und er spricht, als sei es eine Version des Fiktionalismus. Aber er scheint den Begriff "Fiktionalismus" anders zu verwenden, als er hier definiert wurde. Was er wahrscheinlich im Sinn hat, ist Folgendes: Bei einer wörtlichen Lesart sind mathematische Sätze nicht wahr, wie der Fiktionalismus sagt, aber es gibt eine alternative Lesart, bei der sie sich als wahr (und nominalistisch koscher) herausstellen. Aber was es unangenehm macht, Yablos Ansicht als eine Version des Fiktionalismus zu betrachten, ist, dass er zu denken scheint, dass das, was (reine und gemischte) mathematische Sätze wirklich sagen - oder genauer gesagt, was typische Äußerungen dieser Sätze wirklich sagen - wahr und nominalistisch ist im Inhalt. Das klingt eher nach Paraphrase-Nominalismus als nach Fiktionalismus.aber es gibt eine alternative Lesart, bei der sie wahr (und nominal koscher) herauskommen. Aber was es unangenehm macht, Yablos Ansicht als eine Version des Fiktionalismus zu betrachten, ist, dass er zu denken scheint, dass das, was (reine und gemischte) mathematische Sätze wirklich sagen - oder genauer gesagt, was typische Äußerungen dieser Sätze wirklich sagen - wahr und nominalistisch ist im Inhalt. Das klingt eher nach Paraphrase-Nominalismus als nach Fiktionalismus.aber es gibt eine alternative Lesart, bei der sie wahr (und nominal koscher) herauskommen. Aber was es unangenehm macht, Yablos Ansicht als eine Version des Fiktionalismus zu betrachten, ist, dass er zu denken scheint, dass das, was (reine und gemischte) mathematische Sätze wirklich sagen - oder genauer gesagt, was typische Äußerungen dieser Sätze wirklich sagen - wahr und nominalistisch ist im Inhalt. Das klingt eher nach Paraphrase-Nominalismus als nach Fiktionalismus.

Stanley (2001) hat mehrere Argumente gegen den hermeneutischen Fiktionalismus vorgebracht. Antworten auf seine Argumente geben Yablo (2002a) und Liggins (2010).

Im Gegensatz zu Yablo reagieren Leng (2005a, 2010), Daly (2006) und Balaguer (2009) auf Burgess 'Argumentation, indem sie den revolutionären Fiktionalismus verteidigen. Lengs Version der Antwort basiert auf der Behauptung, dass es für Philosophen akzeptabel ist, die Arbeit von Mathematikern zu bewerten und zu kritisieren. Natürlich erkennt Leng an, dass Mathematik eine sehr erfolgreiche Praxis ist und dass Philosophen dies respektieren müssen, aber ihre Behauptung ist, dass wir den Erfolg der Mathematik erklären können, ohne anzunehmen, dass es wahr ist. Und angesichts dessen, argumentiert sie, können wir die mathematische Praxis von außen aus philosophischer Sicht rational bewerten und kritisieren.

Aber es gibt noch eine andere Art von revolutionärem Fiktionalismus, der keinerlei Kritik an der Mathematik beinhaltet. Wie oben formuliert, ist der revolutionäre Fiktionalismus einfach die Ansicht, dass (i) wir Mathematiker so interpretieren sollten, dass sie behaupten, was ihre Sätze sagen, so dass (ii) ihre Äußerungen unwahre Behauptungen über abstrakte Objekte sind. Daraus folgt jedoch nicht, dass mit der Mathematik etwas nicht stimmt - etwas, das es wert ist, kritisiert zu werden. Dies deutet darauf hin, dass "revolutionärer Fiktionalismus" kein sehr guter Name für die Ansicht ist. "Assertional Fictionalism" wäre ein besserer Name. Wenn wir so sprechen würden, könnten wir sagen, dass es sowohl revolutionäre als auch nichtrevolutionäre Arten von Durchsetzungsfiktionalismus gibt. Revolutionäre Behauptungstheoretiker würden sagen, wir sollten ändern, was wir in der Mathematik tun, damit wir keine unwahren Behauptungen mehr aufstellen. Zum Beispiel sollten wir anfangen, unsere mathematischen Behauptungen als Fiktionen zu verstehen, oder wir sollten anfangen, unsere mathematischen Sätze zu verwenden, um zu bedeuten, was Wenn-Dannisten denken, dass sie bedeuten, oder so etwas. Nicht-revolutionäre Behauptung-Fiktionalisten würden andererseits sagen, dass an der Mathematik, wie sie derzeit praktiziert wird, nichts falsch ist; sie würden zugeben, dass mathematische Sätze wie '4 ist gerade' nicht wahr sind; aber sie würden behaupten, dass daran nichts falsch ist, weil das Zeichen der Güte in der Mathematik nicht die Wahrheit ist - es ist die Wahrheit in der Geschichte der Mathematik oder so etwas.oder wir sollten anfangen, unsere mathematischen Sätze zu verwenden, um zu bedeuten, was Wenn-Dannisten denken, dass sie bedeuten, oder so etwas. Nicht-revolutionäre Behauptung-Fiktionalisten würden andererseits sagen, dass an der Mathematik, wie sie derzeit praktiziert wird, nichts falsch ist; sie würden zugeben, dass mathematische Sätze wie '4 ist gerade' nicht wahr sind; aber sie würden behaupten, dass daran nichts falsch ist, weil das Zeichen der Güte in der Mathematik nicht die Wahrheit ist - es ist die Wahrheit in der Geschichte der Mathematik oder so etwas.oder wir sollten anfangen, unsere mathematischen Sätze zu verwenden, um zu bedeuten, was Wenn-Dannisten denken, dass sie bedeuten, oder so etwas. Nicht-revolutionäre Behauptung-Fiktionalisten würden andererseits sagen, dass an der Mathematik, wie sie derzeit praktiziert wird, nichts falsch ist; sie würden zugeben, dass mathematische Sätze wie '4 ist gerade' nicht wahr sind; aber sie würden behaupten, dass daran nichts falsch ist, weil das Zeichen der Güte in der Mathematik nicht die Wahrheit ist - es ist die Wahrheit in der Geschichte der Mathematik oder so etwas.aber sie würden behaupten, dass daran nichts falsch ist, weil das Zeichen der Güte in der Mathematik nicht die Wahrheit ist - es ist die Wahrheit in der Geschichte der Mathematik oder so etwas.aber sie würden behaupten, dass daran nichts falsch ist, weil das Zeichen der Güte in der Mathematik nicht die Wahrheit ist - es ist die Wahrheit in der Geschichte der Mathematik oder so etwas.

Field scheint eine Ansicht in der Nachbarschaft dieser Art von Nichtrevolutionismus zu unterstützen. Bei der Erörterung von Burgess 'Argumentation im Vorwort zur zweiten Ausgabe von Science Without Numbers sagt er Folgendes: „Meiner Ansicht nach ist dies eine falsche Zweiteilung. Ich dachte sicherlich nicht, dass das Konto, das ich zur Verfügung stellte, "hermeneutisch" war, aber es war auch nicht "revolutionär": Ich nahm das, was ich tat, eher als ein Konto, das erklärt, warum gewöhnliche mathematische Praxis vollkommen in Ordnung ist.” (Field, 2016, S. 4.)

Schließlich argumentiert Balaguer (2009), dass es für Fiktionalisten Möglichkeiten gibt, sowohl Hermeneutizismus als auch Assertionalismus zu vermeiden, und dass sie daher möglicherweise das Dilemma von Burgess insgesamt vermeiden können. Darüber hinaus scheint Field (2016) eine solche Ansicht ebenfalls zu unterstützen. Aber Armor-Garb (2011) hat argumentiert, dass die Version des (nicht hermeneutischen, nicht behauptenden) Fiktionalismus, die Balaguer hier vorschlägt, unhaltbar ist.

2.4 Ähnlichkeit mit Fiktion

Einige Leute - z. B. Katz (1998), Thomas (2000 und 2002), Hoffman (2004), Burgess (2004) und Thomasson (2013) - haben Einwände gegen den Fiktionalismus erhoben, weil es offensichtliche Disanalogien zwischen Mathematik und Fiktion gibt. (Was genau die Disanalogien sind, unterscheidet sich in verschiedenen Versionen des Einspruchs. Zatz argumentiert beispielsweise, dass Konsistenz ein wichtiges Kriterium für Güte in der Mathematik ist, aber nicht in der Fiktion. Und Burgess argumentiert, dass die Frage, ob mathematische Objekte existieren, empirisch nicht aussagekräftig ist Die Frage, ob die (nicht abstrakten) Objekte in unseren fiktiven Geschichten existieren, ist empirisch bedeutsam.)

Eine Möglichkeit, wie Fiktionisten auf diesen Einwand reagieren können, besteht darin, zu behaupten, dass er einfach irrelevant ist, da der Fiktionalismus nicht die Behauptung beinhaltet, dass es keine wichtigen Disanalogien zwischen Mathematik und Fiktion gibt. Wie oben definiert, ist Fiktionalismus die Ansicht, dass (a) unsere mathematischen Sätze und Theorien angeblich abstrakte mathematische Objekte betreffen, wie der Platonismus nahelegt, aber (b) es keine abstrakten Objekte gibt, und so (c) Unsere mathematischen Theorien sind nicht wahr. Es gibt hier überhaupt keinen Anspruch auf fiktiven Diskurs, und so können Fiktionalisten einfach leugnen, dass ihre Ansicht beinhaltet, dass es keine wichtigen Disanalogien zwischen Mathematik und Fiktion gibt.

Dies bedeutet nicht, dass Fiktionalisten nicht behaupten können, dass es einige relevante Analogien zwischen Mathematik und Fiktion gibt. Sie können natürlich behaupten, dass es gibt; Zum Beispiel möchten sie vielleicht sagen, dass es, wie es in der Mathematik der Fall ist, keine fiktiven Objekte gibt und deshalb typische fiktive Sätze nicht wörtlich wahr sind. Aber durch solche Behauptungen verpflichten sich Fiktionalisten nicht zu stärkeren Behauptungen über die Analogie zwischen Mathematik und Fiktion - z. B. dass der mathematische Diskurs eine Art fiktiver Diskurs ist - und sie verpflichten sich sicherlich nicht zu der Behauptung, dass es keine gibt wichtige Disanalogien zwischen den beiden Unternehmen. Kurz gesagt, der Fiktionalismus stimmt vollkommen mit der Behauptung überein, dass es zahlreiche wichtige Disanalogien zwischen Mathematik und Fiktion gibt.

Schließlich sollte angemerkt werden, dass es einige Fiktionalisten gibt, die anscheinend stärkere Behauptungen über die Analogie zwischen Mathematik und Fiktion aufstellen wollen. Solche Leute müssen Einwände der oben genannten Art möglicherweise ernster nehmen. Aber keiner der in diesem Aufsatz diskutierten Fiktionalisten befürwortet sehr starke Behauptungen dieser Art; Insbesondere sagt keiner von ihnen etwas, was bedeutet, dass es keine wichtigen Disanalogien zwischen Mathematik und Fiktion gibt. Auf der anderen Seite sollte angemerkt werden, dass Yablo und Bueno in diesem Zusammenhang einige Behauptungen aufgestellt haben, die über das hinausgehen, was Fiktionalisten zu sagen haben. Zum Beispiel sagt Bueno (2009), dass mathematische Objekte fiktiven Zeichen insofern ähnlich sind, als sie abstrakte Artefakte sind (indem er dies sagt, folgt er Thomassons (1999) Ansicht von fiktiven Zeichen). Und Yablo hat einige relativ starke Behauptungen über eine Analogie aufgestellt, die seiner Meinung nach zwischen mathematischen Äußerungen und metaphorischen Äußerungen oder figurativen Äußerungen gilt. Daher ist Yablos spezielle Version des Fiktionalismus offen für Einwände dahingehend, dass mathematische Äußerungen tatsächlich nicht ähnlich oder analog zu metaphorischen Äußerungen sind. Einige Einwände dieser Art wurden von Stanley (2001) erhoben, und Yablo antwortet darauf in seinem (2002a). Da Yablo jedoch nicht behauptet, dass mathematische Äußerungen mit fiktiven Äußerungen vergleichbar sind, muss er nicht auf Einwände der Art reagieren, die zu Beginn dieses Unterabschnitts erwähnt wurden. Yablos spezielle Version des Fiktionalismus ist offen für Einwände dahingehend, dass mathematische Äußerungen tatsächlich nicht ähnlich oder analog zu metaphorischen Äußerungen sind. Einige Einwände dieser Art wurden von Stanley (2001) erhoben, und Yablo antwortet darauf in seinem (2002a). Da Yablo jedoch nicht behauptet, dass mathematische Äußerungen mit fiktiven Äußerungen vergleichbar sind, muss er nicht auf Einwände der Art reagieren, die zu Beginn dieses Unterabschnitts erwähnt wurden. Yablos spezielle Version des Fiktionalismus ist offen für Einwände dahingehend, dass mathematische Äußerungen tatsächlich nicht ähnlich oder analog zu metaphorischen Äußerungen sind. Einige Einwände dieser Art wurden von Stanley (2001) erhoben, und Yablo antwortet darauf in seinem (2002a). Da Yablo jedoch nicht behauptet, dass mathematische Äußerungen mit fiktiven Äußerungen vergleichbar sind, muss er nicht auf Einwände der Art reagieren, die zu Beginn dieses Unterabschnitts erwähnt wurden.er muss nicht auf Einwände der zu Beginn dieses Unterabschnitts genannten Art reagieren.er muss nicht auf Einwände der zu Beginn dieses Unterabschnitts genannten Art reagieren.

2.5 Akzeptieren und glauben

Wie in Abschnitt 2.2 deutlich wurde, denken Fiktionalisten zwar, dass Sätze wie '2 + 2 = 4' streng genommen falsch sind, sie denken jedoch, dass sie in gewissem Sinne „richtig“sind. Wie steht der Fiktionalist zu diesen Sätzen? Nach Bas van Fraassen (1980), der eine ähnliche Ansicht in Bezug auf die empirische Wissenschaft befürwortet, lautet die fiktive Standardlinie hier, dass sie Sätze wie '2 + 2 = 4' akzeptieren, ohne ihnen zu glauben. Wie genau Akzeptanz definiert werden sollte, ist umstritten, aber eine naheliegende Vorgehensweise besteht darin, zu behaupten, dass Fiktionalisten einen reinen mathematischen Satz S genau dann akzeptieren, wenn sie glauben, dass S in der Geschichte der Mathematik wahr ist.

Einige Leute lehnen die Unterscheidung zwischen Glauben und Akzeptanz ab. Horwich (1991), O'Leary-Hawthorne (1997) und Burgess und Rosen (1997) präsentieren Argumente für die Behauptung, dass es keinen wirklichen Unterschied zwischen Akzeptanz und Glauben gibt, weil (a) etwas zu glauben nur ist bereit, sich auf bestimmte Weise zu verhalten, und (b) diejenigen, die glauben, dass 2 + 2 = 4 ist, und diejenigen, die angeblich nur 2 + 2 = 4 akzeptieren, sind vermutlich bereit, sich auf genau die gleiche Weise zu verhalten.

Daly (2008) und Leng (2010) geben eine Reihe von Antworten auf dieses Argument. Ein Punkt, den Daly hervorhebt, ist, dass Fiktionalisten tatsächlich nicht bereit sind, sich so zu verhalten wie Platoniker. Sie neigen dazu, sich bei Fragen wie "Gibt es tatsächlich Zahlen?" Ganz anders zu verhalten.

2.6 Geheimnisvoller Zusatzinhalt

Thomasson (2013) erhebt Einwände gegen Yablos spezifische Version des Fiktionalismus. Wie wir oben gesehen haben, unterscheidet Yablo (2005, 2002a, 2002b) zwischen dem wörtlichen Inhalt und dem tatsächlichen Inhalt von Sätzen wie

(M) Die Anzahl der Marsmonde beträgt 2.

Thomasson argumentiert, dass Yablo der Behauptung verpflichtet ist, dass für die Wahrheit des wörtlichen Inhalts von Sätzen wie (M) etwas mehr benötigt wird als für die Wahrheit des tatsächlichen Inhalts dieser Sätze. Aber was könnte dieses Extra sein? Laut Thomasson ist dies dunkel, und wenn Yablo nicht mehr dazu sagen kann, sollten wir seine Ansicht nicht akzeptieren.

Eine Antwort von Contessa (2016, S. 771) darauf ist, dass es offensichtlich ist, was mehr benötigt wird; es muss der Fall sein, dass es „geistesunabhängige, nicht raumzeitlich lokalisierte, kausal inerte abstrakte Objekte“gibt.

Eine andere Antwort gibt Plebani (2018). Er argumentiert, dass unabhängig davon, ob yablovianische Fiktionalisten zwei unterschiedliche Wahrheitsbedingungen für Sätze wie (M) formulieren können, der reale und der wörtliche Inhalt dieser Sätze unterschieden werden können, weil sie unterschiedliche Themen haben.

2.7 Sonstige Einwände

Es gibt natürlich noch andere Einwände gegen den Fiktionalismus. Die wahrscheinlich am häufigsten diskutierte basiert auf der Behauptung, dass der Fiktionalismus keine wirklich nominalistische Sichtweise ist, da die Formulierung des Fiktionalismus Aussagen enthält, die ontologische Verpflichtungen gegenüber abstrakten Objekten beinhalten. Es wäre jedoch schwierig, diesen Einwand hier anzusprechen, da er im Zusammenhang mit jeder unterschiedlichen Version des Fiktionalismus eine andere Form annimmt und wie aus der vorstehenden Diskussion hervorgeht, gibt es viele verschiedene Versionen des Fiktionalismus (z. B. kann man beide hart unterstützen - Straßenfiktionalismus oder Straßenfiktionalismus - und beide Ansichten können entweder mit formalistischem Fiktionalismus oder nicht formalistischem Fiktionalismus kombiniert werden;und jede dieser Ansichten kann mit hermeneutischem Fiktionalismus oder revolutionärem Assertionsfiktionalismus oder nichtrevolutionärem Assertionsfiktionalismus kombiniert werden; und so weiter). Es sollte jedoch beachtet werden, dass mehrere verschiedene Verteidiger des Fiktionalismus auf Bedenken hinsichtlich des nominalistischen Status ihrer eigenen speziellen Versionen des Fiktionalismus reagiert haben. Insbesondere verteidigt Field (1989) seine Version des Fiktionalismus gegen den Vorwurf, er sei der Existenz von Raumzeitpunkten verpflichtet, die man für nicht nominalistisch koscher halten könnte; und Balaguer (1998a) verteidigt seine Version gegen den Vorwurf, dass sie (und in der Tat die Version von Field) der Existenz von Geschichten verpflichtet sind, die vermutlich abstrakte Objekte wären, wenn sie existieren würden; und schlussendlich,Rosen (2001) verteidigt seine Ansicht gegen den Vorwurf, er sei Theorien und möglichen Welten verpflichtet. Balaguer und Rosen sind beide besorgt über die Sorge, dass Ficitionalisten der Existenz von Satztypen verpflichtet sind, die vermutlich abstrakte Objekte wären. Daly präsentiert in seiner (2008) eine Version dieser Sorge, und er liefert einen Gegenpol zu Balaguers Reaktion auf die Sorge. Er liefert auch einen Gegenpol zu einer Antwort, die Rosen zuvor in seinem (1990) gegeben hatte.

Ein weiterer Einwand gegen den Fiktionalismus (oder genauer gegen den einfachen Fiktionalismus) wird von Szabo (2001) erhoben. Sei S ein mathematischer Satz wie '4 ist gerade'. Szabo argumentiert gegen einfache Fiktionalisten mit der Begründung, dass sie, wenn sie leugnen, dass S wahr ist, es aber weiterhin auf eine Weise verwenden, die nicht von der Art und Weise zu unterscheiden scheint, wie Platonisten es verwenden, im Wesentlichen verpflichtet sind, Dinge wie '4 ist gerade zu sagen, aber ich glaube es nicht - was sie laut Szabo in Schwierigkeiten mit Moores Paradoxon bringt.

Schließlich erhebt Chihara (2010) Einwände gegen die fiktiven Ansichten von Field und Balaguer.

3. Fazit

Es gibt also verschiedene Einwände gegen den Fiktionalismus, aber die Fiktionalisten haben Antworten auf alle, und es ist keineswegs offensichtlich, dass es einer der Einwände gelingt, den Fiktionalismus zu widerlegen. Daher erscheint es derzeit zumindest auf den ersten Blick plausibel anzunehmen, dass der Fiktionalismus verteidigt werden kann. Wenn andererseits die Behauptungen von Abschnitt 1 richtig sind, haben Fiktionalisten kein zwingendes positives Argument für ihre Ansicht. Die Argumente in den Abschnitten 1.2–1.4 legen nahe, dass es gute Gründe gibt, die verschiedenen antiplatonischen Alternativen zum Fiktionalismus abzulehnen und daher zu denken, dass Platonismus und Fiktionalismus die beiden besten Ansichten der Mathematik sind, aber es scheint keine guten zu geben Argument für die Bevorzugung des Fiktionalismus gegenüber dem Platonismus oder umgekehrt. Jetzt,Die meisten Fiktionalisten würden wahrscheinlich sagen - und einige haben gesagt (siehe z. B. Leng, 2010) -, dass diese Situation selbst uns bereits einen guten Grund gibt, den Fiktionalismus dem Platonismus vorzuziehen. Denn wenn wir die Behauptung aufstellen, dass es kein gutes positives Argument für Platonismus gibt, und es mit Ockhams Rasiermesser kombinieren (dh dem Prinzip, das uns sagt, dass wir, ceteris parabis, befürworten sollten, wenn zwei Theorien dieselben Tatsachen berücksichtigen Je ontologisch sparsamer die beiden sind, desto mehr scheinen wir zu dem Ergebnis geführt zu werden, dass der Fiktionalismus dem Platonismus überlegen ist. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass dieses Argument von mindestens zwei der oben diskutierten Verteidiger des Fiktionalismus ausdrücklich zurückgewiesen wird. Rosen (siehe z. B. Burgess und Rosen, 1997) bezweifelt, dass es einen guten Grund gibt, Ockhams Rasiermesser zu akzeptieren, und Balaguer (1998a) argumentiert, dass selbst wenn wir es akzeptieren,Es gibt Gründe zu der Annahme, dass dies im vorliegenden Fall nicht anwendbar ist. Rosen und Balaguer sind daher der Ansicht, dass wir derzeit keinen guten Grund haben, Platonismus oder Fiktionalismus zu befürworten. Darüber hinaus ist Bueno (2009), wie in Abschnitt 1.3 erwähnt, der Ansicht, dass Fiktionalisten in Bezug auf die Existenz abstrakter Objekte agnostisch sein sollten; dies scheint mehr oder weniger der Ansicht von Rosen zu entsprechen; Balaguers Ansicht ist etwas anders, weil er tatsächlich denkt, dass es keine Tatsache gibt, ob abstrakte Objekte existieren.dies scheint mehr oder weniger der Ansicht von Rosen zu entsprechen; Balaguers Ansicht ist etwas anders, weil er tatsächlich denkt, dass es keine Tatsache gibt, ob abstrakte Objekte existieren.dies scheint mehr oder weniger der Ansicht von Rosen zu entsprechen; Balaguers Ansicht ist etwas anders, weil er tatsächlich denkt, dass es keine Tatsache gibt, ob abstrakte Objekte existieren.

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