Formalismus In Der Philosophie Der Mathematik

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Formalismus in der Philosophie der Mathematik

Erstveröffentlichung Mi 12. Januar 2011; inhaltliche Überarbeitung Fr 23. August 2019

Ein allgemeines Verständnis des Formalismus in der Philosophie der Mathematik geht davon aus, dass Mathematik kein Satzkörper ist, der einen abstrakten Sektor der Realität darstellt, sondern einem Spiel viel ähnlicher ist und kein Engagement mehr für eine Ontologie von Objekten oder Eigenschaften mit sich bringt als Ludo oder Schach. Diese Idee hat eine intuitive Plausibilität: Betrachten Sie die Tyro-Arbeit an Multiplikationstabellen oder den Schüler, der einen Standardalgorithmus zur Differenzierung oder Integration einer Funktion verwendet. Es entspricht auch einigen Aspekten der Praxis fortgeschrittener Mathematiker in bestimmten Zeiträumen - zum Beispiel der Behandlung imaginärer Zahlen für einige Zeit nach Bombellis Einführung und vielleicht der Haltung einiger zeitgenössischer Mathematiker gegenüber den höheren Flügen der Mengenlehre. Schließlich,Es ist oft die Position, auf die philosophisch naive Befragte zeigen, wenn sie von Fragen nach der Natur der Mathematik belästigt werden. Kein Wunder also, dass viele Philosophen der Mathematik den „Spielformalismus“als hoffnungslos unplausibel betrachten. Dieser Artikel befasst sich mit dem Spielformalismus, seinen nahen Verwandten und späteren Entwicklungen, von denen viele versucht haben, die wahrgenommenen Einschränkungen der gröberen Sorten zu überwinden.

• 1. Einleitung
• 2. Spiel- und Termformalismus
• 3. Traktarischer Formalismus
• 4. Formalismus und die Positivisten
• 5. Nominalistischer Formalismus
• 6. Begriff Formalismus: Curry
• 7. Die Curry-Howard-Korrespondenz
• 8. Zeitgenössischer Formalismus
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Einleitung

Der locus classicus des Spielformalismus ist keine Verteidigung der Position durch einen überzeugten Anwalt, sondern ein Abrissjob eines großen Philosophen, Gottlob Frege. Nicht, dass er eine Strohmannposition angegriffen hätte: Die einflussreiche Diatribe von Frege in Band II seiner Grundgesetze der Arithmetik (Frege, 1903) ist ein Angriff auf die Arbeit zweier echter Mathematiker, HE Heine und Johannes Thomae. Darüber hinaus behaupten Mathematikphilosophen gewöhnlich, dass die Position von Mathematikern immer noch weit verbreitet ist. Es muss jedoch betont werden, dass der „Formalismus“in diesem Sinne - die von Frege interpretierte Heine / Thomae-Position und ihre Nachkommen - von einer differenzierteren Position (wie behauptet wird), dem Hilbertschen Formalismus, zu unterscheiden ist. Für weitere Informationen zu letzterem siehe Detlefsen,1993 oder konsultieren Sie die Einträge zu Hilberts Programm und der Frege-Hilbert-Kontroverse.) Detlefsen (2005) bietet auch eine detaillierte historische Behandlung formalistischer Themen in Denkern von den alten Griechen bis zur Zeit von Frege und Hilbert und darüber hinaus, die hier im Mittelpunkt stehen.

Obwohl es sich um den nicht-Hilbertschen Ansatz handelt, mit dem wir uns in diesem Beitrag befassen werden, diskutieren wir kurz den Hilbertschen Ansatz. Die Hilbertsche Position unterscheidet sich, weil sie von einer Unterscheidung innerhalb der mathematischen Sprache zwischen einem endlichen Sektor, dessen Sätze inhaltliche Sätze ausdrücken, und einem idealen oder unendlichen Sektor abhängt. Wo genau Hilbert die Unterscheidung getroffen hat oder wo sie getroffen werden sollte, ist umstritten. Entscheidend war jedoch, dass Hilbert eine instrumentalistische Haltung gegenüber dem idealen Sektor einnahm. Die Formeln dieser Sprache sind oder werden so behandelt, als wären sie nicht interpretiert und haben die syntaktische Form von Sätzen, auf die wir formale Regeln der Transformation und Inferenz anwenden können, aber keine Semantik. Dennoch sind oder können sie nützlich sein, wenn der ideale Sektor das Finanzministerium konservativ erweitert,das heißt, wenn kein Beweis von endlichen Prämissen zu einer endlichen Schlussfolgerung, die einen Umweg durch die unendliche Sprache macht, eine Schlussfolgerung ergibt, die wir nicht hätten erreichen können, obwohl vielleicht (hier liegt der Nutzen) durch einen längeren, unhandlicheren Beweis. Ziel des Hilbert-Programms war es, einen endgültigen Beweis für dieses konservative Erweiterungsergebnis zu liefern. Die meisten, wenn auch nicht alle, glauben, dass dieses Ziel durch Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz unmöglich war. Ich denke, dieses Ziel wurde durch Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz als unmöglich erwiesen. Ich denke, dieses Ziel wurde durch Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz als unmöglich erwiesen.

Zurück zu unserem nicht-hilbertschen Fokus: Der frühere Formalismus, den Frege angegriffen hat, unterteilt die Mathematik nicht in die oben genannten doppelten Kategorien des Endlichen / Inhaltsvollen und des Unendlichen / im Wesentlichen Bedeutungslosen, sondern behandelt im Gegenteil die gesamte Mathematik in einem einheitlichen und homogene Mode. Von nun an werde ich den "Formalismus" verwenden, um mich auf die nicht-Hilbertschen Positionen zu beziehen, und mit einem Bericht über die formalistischen Ansichten beginnen, die Frege von Heine und Thomae destilliert hat, und über die Kritik, die er an ihnen geäußert hat. Es wird allgemein angenommen, dass diese Kritik schlüssige Widerlegungen des Heine / Thomae-Ansatzes enthält. Es gibt jedoch eine Reihe von post-fregäischen Ansichten, die stark vom Formalismus beeinflusst oder stark analog zu diesem zu sein scheinen. Ich werde diese der Reihe nach durchgehen:

• Wittgensteins Ansichten zur Mathematik, vor allem die Konzeption, die in seinem Tractatus Logico-Philosophicus zu finden ist;
• Formalismus, wie er in den logischen Positivisten, insbesondere in Carnap, zu finden ist;
• Goodman und Quines nominalistischer Formalismus;
• Haskell Currys Version des Formalismus und
• formalistische Interpretationen der Curry-Howard-Korrespondenz.

Ich werde mit einem Blick auf neuere formalistische Philosophen und einer Gesamtbewertung der Perspektiven des Formalismus in der zeitgenössischen Philosophie der Mathematik schließen.

2. Spiel- und Termformalismus

Frege extrahiert keine einheitliche, konsistente Position aus der Arbeit von Heine und Thomae, und ein Großteil seiner Kritik widmet sich dem Nachweis, dass sie uneinheitlich in Denkweisen abrutschen, die nur für eine „inhaltliche“Arithmetik geeignet sind, die Frege als eine betrachtet Körper von Wahrheiten, ausgedrückt durch Äußerungen, in denen numerische Ausdrücke abstrakte Referenzen unabhängig vom Geist (oder zumindest dem Geist eines bestimmten Individuums) bezeichnen. Heine und Thomae sprechen von mathematischen Domänen und Strukturen, von Verboten dessen, was ausgesprochen werden darf (z. B. gegen das Schreiben von '(3 \ div 0)', das in einem besonderen Sinne als bedeutungslos angesehen wird), von Zahlen, die größer oder kleiner sind als einander (anstatt dass physische Markierungen größer oder kleiner sind,dunkler oder heller) - alle Dinge, die keinen Sinn ergeben, wenn Arithmetik eine Theorie der Zeichen und ihrer physikalischen Eigenschaften ist oder nur ein Körper von Transformationen referenzloser Symbole. (Heine behält sich jedoch mit Kronecker einen besonderen Ort für Arithmetik vor, der nicht formalistisch behandelt wird. Diese Position ist daher möglicherweise kohärenter als die von Thomae. Siehe Simons, 2009, insbesondere 293–6.)

Dennoch ergeben sich aus dem Material, über das Frege arbeitet, zwei unterschiedliche Positionen: Lehren, die Resnik (1980: 54) und Shapiro (2000: 41–48) als Begriff Formalismus bzw. Spielformalismus beschreiben. Der Begriff Formalist betrachtet die Ausdrücke von Mathematik und Arithmetik Zum Beispiel, als bedeutungsvoll, beziehen sich die singulären Begriffe auf Symbole wie sich selbst und nicht auf Zahlen, die als von Symbolen verschiedene Einheiten ausgelegt werden. So schreibt Heine:

Ich definiere vom Standpunkt des reinen Formalisten aus und nenne bestimmte greifbare Zeichen Zahlen. (Frege, 1903/80, §87: 183).

Der Spielformalist bleibt der Ansicht, dass mathematische Äußerungen keine Bedeutung haben; oder auf jeden Fall wählen die darin vorkommenden Begriffe keine Objekte und Eigenschaften aus, und die Äußerungen können nicht zur Feststellung von Tatsachen verwendet werden. Vielmehr ist Mathematik ein Kalkül, in dem 'leere' Symbolzeichenfolgen nach festen Regeln transformiert werden. Thomae drückt es so aus:

Arithmetik ist für den Formalisten ein Spiel mit Zeichen, die als leer bezeichnet werden. Das bedeutet, dass sie keinen anderen Inhalt (im Berechnungsspiel) haben, als sie durch ihr Verhalten in Bezug auf bestimmte Kombinationsregeln (Spielregeln) zugewiesen werden (Frege, 1903/80 §95: 190).

Thomae bemerkt auch, "der formale Standpunkt befreit uns von allen metaphysischen Schwierigkeiten" (ebd.: 184). Eine Hauptmotivation scheint dann darin zu bestehen, jede ontologische Verpflichtung gegenüber einem problematischen Bereich abstrakter Objekte zu blockieren, zu vermeiden oder (auf irgendeine Weise) zu umgehen. Für die Standardmathematik gibt es eine Vielzahl von Theoremen, die die Existenz unendlicher Bereiche von Entitätszahlen, Funktionen, Mengen usw. bestätigen, Entitäten, die nicht konkret zu sein scheinen. Formalisten möchten sich im Allgemeinen von jeglichem Engagement für diese Bereiche trennen, die tatsächlich schwer in eine durch und durch naturalistische Auffassung der Realität zu passen scheinen.

Frege konzentriert den größten Teil seines Feuers auf den Begriff formalistische Äußerungen seiner Ziele; Aber der Spielformalismus ist das einzige Spiel in der Stadt für den Anti-Platoniker, der sich Sorgen über das ontologische Engagement für ein Reich abstrakter Objekte macht. Für den Begriff Formalismus wird Mathematik als Inhalt behandelt, als eine Art syntaktische Theorie; und die syntaktische Standardtheorie beinhaltet die Existenz einer Unendlichkeit von Entitäten - Ausdruckstypen -, die genauso abstrakt erscheinen wie Zahlen. Wie Gödels Arithmetisierung der Syntax gezeigt hat, können die Elemente und Wechselbeziehungen der formalen Standardsyntax als unendliche Unterstruktur innerhalb des Standardmodells der Arithmetik modelliert werden.

Frege enthüllt gnadenlos die Unzulänglichkeiten der Position von Heine und Thomae - ihre Verwirrungen, wenn sie vom Begriff zum Spielformalismus übergehen; ihre Verschmelzung von Zeichen und Bedeutung; die Tatsache, dass sie keine Darstellung der Syntax und der Beweistheorie enthalten, die als Darstellung der Mathematik, mit der sie sich befassen, aus der Ferne angemessen ist; ihre hoffnungslosen Versuche, ihre Position von der Arithmetik auf die Behandlung von Analysen und reellen Zahlen auszudehnen, in dieser Phase der mathematischen Geschichte, die von Weierstrass, Cantor und anderen nicht geometrisch, sondern als unendliche Folgen ausgelegt wurde. So schreibt Frege:

Um es zu produzieren [eine unendliche Reihe], würden wir eine unendlich lange Tafel, einen unendlichen Vorrat an Kreide und eine unendliche Zeitdauer benötigen. Wir können als zu grausam zensiert werden, um zu versuchen, einen so hohen Flug des Geistes durch solch einen heimeligen Einwand zu zerschlagen; aber das ist keine Antwort. (219)

Nun hatte Frege selbst ironischerweise die Mathematik revolutioniert, indem er bisher beispiellose Maßstäbe bei der Formalisierung mathematischer Theorien eingeführt hatte. Er erkannte (§90: 185–6), dass man Heine und Thomae erheblich verbessern kann, indem man mathematische Theorien, ihre Sprache, Axiome und Regeln als eigenständige formale mathematische Objekte behandelt. Genau das wollte das Hilbert-Programm erfolgreich erreichen und den neuen Schüler der Metamathematik hervorbringen.

Frege stellt jedoch selbst für einen rigorosen Spielformalisten, der mit den Techniken und Ergebnissen der Metamathematik voll ausgestattet ist, sehr schwierige Herausforderungen. Ein solcher Theoretiker gibt uns eine Charakterisierung einer Sprache, indem er beispielsweise darlegt, was die Grundelemente sind - primitive Symbole und Zeichenfolgen davon - und dann eine rekursive Spezifikation gibt, welche Zeichenfolgen als wohlgeformt gelten. In ähnlicher Weise erhalten wir eine genaue Spezifikation, welche Anordnungen wohlgeformter Formeln als Beweise in einem gegebenen System gelten und welchen Satz sie jeweils beweisen. Wenn Zeichenfolgen wie '(3 + 1 = 0)' oder '(3 \ gt 2)' im System als nachweisbar herauskommen (z. B. arithmetisches Modulo 4), reicht dies aus, um sie als korrekte Äußerungen zu zählen vom System. Es muss keine weitere Frage der Wahrheit gestellt werden. Wir müssen auch nicht davon ausgehen, dass es für einen bestimmten Satz von Symbolen nur ein System gibt. Wir müssen auch nicht davon ausgehen, dass jedes dieser Systeme vollständig ist (obwohl Frege Thomae wegen der Unvollständigkeit seiner arithmetischen Rechnung, die massiv, aber leicht zu korrigieren ist, zur Verantwortung gezogen hat). Wir müssen nicht davon ausgehen, dass sich die Ziffern in diesen Zeichenfolgen auf etwas außerhalb des Systems beziehen, und wir müssen auch nicht davon ausgehen, dass sie sich überhaupt auf etwas beziehen. (Dieser Spielformalist unterliegt also nicht dem Einwand, dass '3 (gt 2)' bei jeder legitimen formalistischen Lesart von '(gt)' als falsch herauskommen sollte; kein Grund zum Nachdenken Die Ziffern beziehen sich auf konkrete Markierungen und '(gt)' bedeutet physikalisch größer.)Wir müssen nicht davon ausgehen, dass sich die Ziffern in diesen Zeichenfolgen auf etwas außerhalb des Systems beziehen, und wir müssen auch nicht davon ausgehen, dass sie sich überhaupt auf etwas beziehen. (Dieser Spielformalist unterliegt also nicht dem Einwand, dass '3 (gt 2)' bei jeder legitimen formalistischen Lesart von '(gt)' als falsch herauskommen sollte; kein Grund zum Nachdenken Die Ziffern beziehen sich auf konkrete Markierungen und '(gt)' bedeutet physikalisch größer.)Wir müssen nicht davon ausgehen, dass sich die Ziffern in diesen Zeichenfolgen auf etwas außerhalb des Systems beziehen, und wir müssen auch nicht davon ausgehen, dass sie sich überhaupt auf etwas beziehen. (Dieser Spielformalist unterliegt also nicht dem Einwand, dass '3 (gt 2)' bei jeder legitimen formalistischen Lesart von '(gt)' als falsch herauskommen sollte; kein Grund zum Nachdenken Die Ziffern beziehen sich auf konkrete Markierungen und '(gt)' bedeutet physikalisch größer.)

Ein solcher Spielformalist ist ein würdigerer Gegner für die platonistische Frege, aber es gibt zwei Hauptgründe, die er darlegt und die immer noch für diese anspruchsvollere Position gelten. Das erste ist die Frage der Anwendbarkeit: Wenn Mathematik nur ein Kalkül ist, in dem wir nicht interpretierte Symbole mischen (oder Symbole, deren Interpretation keine Rolle spielt), warum wurde sie dann so erfolgreich und auf so viele Arten angewendet? viele verschiedene Dinge - gewöhnliche physikalische Objekte, subatomare Objekte, Felder, Eigenschaften und tatsächlich von einem Teil der Mathematik zum anderen (wir können die Anzahl der Dimensionen in einem reinen geometrischen Raum zählen)? Frege schreibt:

Es ist allein die Anwendbarkeit, die die Arithmetik von einem Spiel zum Rang einer Wissenschaft erhebt. (§ 91 in Frege 1903/1980: 187)

Zweitens unterscheidet Frege zu Recht und beharrlich einerseits die Spielarithmetik, die Mengenlehre, die Topologie oder was auch immer, die einfach als eigenständiges mathematisches Objekt, als formales System und zum anderen als Theorie von behandelt wird das Spiel. "Denken wir daran, dass die Theorie des Spiels vom Spiel selbst unterschieden werden muss" (§ 107, S. 203). So könnten wir im "Spiel" der Trigonometrie ableiten

) sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1)

aus dem Satz von Pythagoras. In der Metatheorie können wir beweisen:

) vdash \ langle \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 \ rangle,)

die Behauptung, dass die Formel mit so und so einem Code in der mathematischen Darstellung der Syntax (der Code, der in der Meta-Meta-Theorie hier durch '(langle \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = dargestellt wird) 1 \ rangle) ') ist nachweisbar. Ebenso können wir in der Meta-Theorie viele andere Dinge über Beweis und Widerlegung beweisen, zum Beispiel können wir möglicherweise zeigen, dass viele Sätze weder beweisbar noch widerlegbar sind.

Das Problem, das dies für den Formalisten aufwirft, ist folgendes: Die Metatheorie ist selbst ein wesentliches Stück Mathematik, das angeblich einem unendlichen Bereich von Objekten verpflichtet ist, die auf den ersten Blick nicht konkret sind. Token der Ausdrücke des Objektsprachen-Spielkalküls können endliche Tintenmarkierungen und dergleichen sein; aber da es unendlich viele Ausdrücke, Theoreme und Beweise gibt, müssen diese selbst als abstrakte Typen angesehen werden. Bestenfalls kann der Formalist nur eine Reduzierung des Engagements von den transfiniten Bereichen einiger mathematischer Theorien wie der Mengenlehre auf den zählbar unendlichen, aber vermutlich immer noch abstrakten Bereich der Arithmetik erreichen, in dem die Syntax- und Beweistheorie des Standards Zählbare Sprachen wie die der Standard-Mengenlehre können, wie Gödel gezeigt hat, modelliert werden.

Kann der Formalismus so entwickelt werden, dass diese beiden entscheidenden Einwände, das Problem der Anwendbarkeit und das Problem der Metatheorie, wie ich es nennen werde, überwunden werden? (Nicht dass dies die einzigen Einwände gegen den Formalismus sind, aber es sind zwei grundlegende Einwände.) Da Freges Kritik nicht alle formalistischen Impulse in späteren Mathematikphilosophen unterdrückte, werden wir uns jetzt zukünftige Entwicklungen ansehen, um zu sehen, wie sie sich entwickeln.

3. Traktarischer Formalismus

Wittgenstein war ein begeisterter Schüler von Freges Arbeit, der von Frege selbst während eines Besuchs bei Frege in Jena geleitet wurde, um sein Studium bei Bertrand Russell fortzusetzen. Man könnte also denken, er sei gegen den Formalismus geimpft. In Wittgensteins Tractatus tauchen jedoch bestimmte formalistische Elemente auf.

Der Tractatus ist zwar ein notorisch schwer zu interpretierendes Werk. Selbst die Frage, ob der Hauptteil des Buches, im Wesentlichen alles andere als der „Rahmen“des Vorworts und des Endes, als ernsthafter Versuch zu verstehen ist, eine Metaphysik zu präsentieren, ist umstritten. Wenn wir diese hermeneutische Kontroverse beiseite lassen und die Metaphysik betrachten, die uns angeboten wird, gibt es zwei formalistische Aspekte. Erstens wird gesagt, dass mathematische Sätze "Pseudosätze" ausdrücken und daher keinen Wahrheitswert haben (nur zufällige Sätze haben einen Wahrheitswert). Zweitens wird die Mathematik als "Kalkül" beschrieben, der nicht dazu verwendet werden soll, die Welt so darzustellen, wie sie an sich ist, sondern dessen Wert ausschließlich maßgeblich ist. Um sicher zu sein,Die expliziteste Aussage dazu findet sich nicht im Tractatus, sondern in Kommentaren, die Wittgenstein auf Ramseys Kopie schrieb:

Die Grundidee der Mathematik. ist die Idee des Kalküls, die hier durch die Idee der Operation dargestellt wird. Der Beginn der Logik setzt die Berechnung und damit die Zahl voraus. Die Zahl ist die Grundidee des Kalküls und muss als solche eingeführt werden (Lewy, 1967: 421–2).

Im eigentlichen Tractatus kommen wir auf die Idee, dass mathematische Sätze bloße Instrumente sind (die gesamte Mathematik, nicht nur ein "ideales" Fragment wie in Hilbert):

In der Tat ist ein mathematischer Satz im wirklichen Leben niemals das, was wir wollen. Vielmehr verwenden wir mathematische Sätze nur in Schlussfolgerungen aus Sätzen, die nicht zur Mathematik gehören, zu anderen, die ebenfalls nicht zur Mathematik gehören. (In der Philosophie führt die Frage „Wofür verwenden wir dieses Wort oder diesen Satz tatsächlich?“Immer wieder zu wertvollen Erkenntnissen.) Tractatus ¶6.211.)

Dieser Idee gehen folgende Aussagen voraus:

Mathematik ist eine logische Methode. Die Sätze der Mathematik sind Gleichungen und daher Pseudosätze. (ebd., ¶6.2)

Ein Satz der Mathematik drückt keinen Gedanken aus. (ebd., ¶6.21)

Vorsicht ist jedoch geboten. Wittgenstein unterscheidet sinnlos äußerliche Äußerungen (einschließlich logischer Tautologien und Widersprüche) von unsinnigen, unsinnigen Äußerungen; Es ist nicht klar, in welche Klasse mathematische Äußerungen fallen. Man könnte durchaus denken, dass der Spielformalist mathematische Äußerungen behandeln sollte, aus dieser Sicht nur Zeichenfolgen bedeutungsloser Zeichen, als unsinnig, nicht nur sinnlos. Ein klarer Unterschied zum Spielformalismus ist jedoch folgender: Für Wittgenstein sollte Mathematik nicht als ein von anderen Sprachgebrauch getrennter Kalkül verstanden werden. Vielmehr versucht er zu zeigen, dass zumindest Teile der Arithmetik als auf nicht-mathematischen Sprachgebrauch begründet angesehen werden können. Frege dagegen,Während argumentiert wurde, dass eine korrekte Darstellung der Arithmetik (und Analyse) zeigen sollte, wie ihre Allgemeingültigkeit es ermöglicht, eine einheitliche Darstellung vielfältiger verschiedener Anwendungen zu geben (vgl. Dummett, Kapitel 20, 1991), wurde auch stark für die Ansicht argumentiert, dass mathematische Äußerungen eine unabhängige Bedeutung haben konzeptionell vor ihrer Verwendung in Anwendungen.

Wittgenstein versucht im Tractatus keine Theorie der Mathematik jenseits der Arithmetik, ein ziemlich enges Fragment der Arithmetik. Die Theorie teilt eindeutig den Anti-Platonismus des Spielformalisten. Es gibt keine Zahlen, Arithmetik ist als Kalkül zu verstehen, in dem man Exponenten oder Indizes von Operatoren manipuliert. Was ist ein Operator? Wittgenstein unterscheidet Operatorbegriffe von Funktionsbegriffen, aber Kommentatoren haben sich schwer getan, zu erklären, worauf es ankommt. Es ist klar, dass Wittgenstein der Ansicht war, dass zwei Vorkommen eines Funktionsbegriffs (f), der auf verschiedene Zeichenfolgen (t) und (u) angewendet wird, unterschiedliche Bedeutungen haben, wobei Wittgenstein mit "Bedeutung" Referent bedeutet, so etwas wie Freges Bedeutung. Somit bezieht sich '(f)' in "(f (t))" nicht auf dieselbe Entität wie das äußerste (f) in "(f (f (t))";Dies soll die Grundlage für die Lösung von Russells Paradoxon sein (¶3.333). Insbesondere "der Vater von" in "der Vater von John" bedeutet dort etwas anderes als das äußerste Vorkommen in "der Vater des Vaters von John". Mit anderen Worten, es kann keine echte iterierte Anwendung von Funktionen geben, ein Heilmittel für Russells Paradoxon, das viele als so schlimm wie die Krankheit empfinden.

Operatoren sind jedoch zumindest in diesem Aspekt von Funktionen zu unterscheiden: Eine echte Iteration von Operatoren - die sententialen Operatoren der Aussagenlogik sind ein Paradebeispiel - ist möglich, ohne eine Änderung des Sinns oder der Referenz von einem Token zum anderen anzunehmen. Was ist ihre Bedeutung oder Referenz dann? Wittgenstein bestreitet, dass sie Referenzen haben. Dies ist eine Verallgemeinerung seiner Behauptung, dass die logischen Konstanten keine Repräsentanten sind. Peter Hylton (1997: 96–98) argumentiert, dass Wittgenstein im Tractatus Russellsche Satzfunktionen im Auge hat, wenn er von „Funktionen“spricht, und sich bemüht, Operatoren von diesen „wesentlichen“Entitäten zu unterscheiden. Russellsche Satzfunktionen sind nicht dasselbe wie gewöhnliche mathematische Funktionen, das Modell für Freges Funktionsbegriff. Sie sind vielmehr strukturierte Einheiten,strukturell mit den Aussagen verbunden zu sein, die ihre Werte sind - glückliche Zustände könnten eine Möglichkeit sein, sie zu betrachten. Im Gegensatz dazu stehen die Betreiber nicht für eine solche Einheit, sie sind weder Teile noch Bestandteile von Aussagen, sie „hinterlassen keine Spuren“in ihnen.

Sententialoperatoren werden so konzipiert, dass sie weder Zeichen noch Inschriften anderen Zeichen und Zuschreibungen zuordnen, sondern Sätze (in Wittgensteins eher körnigem Sinne) auf Sätze. Nach Wittgensteins Aussage kann die wiederholte Anwendung einer Operation wie Negation (ldots p, { sim} p, { sim} { sim} p \ ldots) zu einem früheren Punkt führen. Trotzdem versucht Wittgenstein, die Arithmetik in Bezug auf sententiale Operatoren zu erklären, die auf die nichtmathematische Sprache angewendet werden. (Man kann hier Andeutungen von Churchs späterer rigoroser Ausarbeitung einer ähnlichen Idee in seiner Behandlung von Zahlen im Lambda-Kalkül als Funktionen sehen, die wiederholt Eingabefunktionen anwenden.) In Sloganform sind Zahlen Exponenten von Operationen (ebenda, ¶6.021).. Wenn also (Omega) für einen Operator schematisch und (Omega p) (oder (Omega (p))) für seine Anwendung auf einen Satz ist, können wir die Reihe anzeigen

[p, \ Omega p, \ Omega \ Omega p, \ Omega \ Omega \ Omega p, \ Omega \ Omega \ Omega \ Omega p, \ ldots)

als Ausgangspunkt für eine 'Definition' von Zahlen, die durch Umschreiben als

) Omega ^ 0 p, \ Omega ^ {0 + 1} p, \ Omega ^ {0 + 1 + 1} p, \ Omega ^ {0 + 1 + 1 + 1} p, \ Omega ^ {0+ 1 + 1 + 1 + 1} p, \ ldots.)

Hier haben wir also unendlich viele schematische Umschreiberegeln. Indizes wie '(^ {0 + 1 + 1 + 1 + 1})' können auf offensichtliche Weise mit '(^ {0 + 1 + 1 + 1 + 1})' durch Zahlen abgekürzt werden. mit '4' abgekürzt und so weiter.

Wittgensteins Beispiele zeigen (obwohl er dies nicht ausdrücklich angegeben hat), dass zwei Zahlen / Exponenten (Omega ^ {n} p + \ Omega ^ {m} p) (ebenfalls (Omega ^ {n + m}) addiert werden. p)) ist gegeben durch die Regel:

) Omega ^ {n} p + \ Omega ^ mp \ Rightarrow \ Omega ^ {n} (Omega ^ mp))

Wenn Sie uns sagen, dass wir den Ausdruck links in einer Formel durch den Ausdruck rechts ersetzen können.

Dies ist es, was der 'Korrektheit' von Identitäten wie (n + m = r) zugrunde liegt, außer dass für Wittgenstein keine solche Identität eine Wahrheit ausdrückt. Seiner Ansicht nach verschwindet das Identitätszeichen in einer vollständigen Analyse der Sprache, wobei Gleichheit und Unterscheidung durch Gleichheit und Unterscheidbarkeit von Namen gezeigt werden, von denen sich keine zwei in vollständig analysierter Sprache auf dasselbe Objekt beziehen (diese Ansicht gibt Anlass zur Interpretation mathematische Äußerungen im Tractatus als unsinnig). Wittgenstein selbst bemühte sich nicht zu zeigen, dass das Aufgeben eines Identitätszeichens die Ausdruckskraft der Sprache nicht lähmen würde, aber andere wie Hintikka (1956) und Wehmeier (2004) haben dies getan. Was in der zugrunde liegenden Sprache mit herausgeschnittener Identität übrig bleibt, sind Substitutionsregeln (Tractatus ¶ 6.23).

Diese müssen allgemein und schematisch interpretiert werden. Wenn wir also ({ sim}) für (Omega) einstecken, stellen wir fest, dass (Wittgenstein hatte hier keine intuitionistischen Skrupel) eine doppelte Anwendung ({ sim} { sim} p) uns führt zurück zu (hat den gleichen Sinn wie) (p). Dies begründet jedoch nicht die Wahrheit von (2 = 0), da für viele andere Operationen (Omega \ Omega p) nicht gleichbedeutend mit (p) ist. Andererseits

) Omega \ Omega (Omega \ Omega \ Omega p) text {hat immer den gleichen Sinn wie} Omega \ Omega \ Omega (Omega \ Omega p))

Wittgenstein geht implizit von geeigneten Regeln für die Interaktion von Klammern mit Operatoren aus, insbesondere von generalisierter Assoziativität. (Tatsächlich verwendet er eine Mischung aus Klammern und der Notation (Omega 'p), um (Omega (p)) auszudrücken.)

Da eine Gleichung (Omega ^ {n} p = \ Omega ^ {m} p) in ihrer zugrunde liegenden logischen Form keine universelle Verallgemeinerung ist (forall n, m (Omega ^ {n} p =) Omega ^ {m} p)) aber eine rein schematische Verallgemeinerung, es gibt keine Form (existiert n, m (Omega ^ {n} p \ ne \ Omega ^ {m} p)) mit der wir kann Ungleichheit ausdrücken, auch wenn wir '(ne)' verstehen können. Wir können die Ungleichung (n \ ne m) auch nicht schematisch als das Halten der Ungleichung von (Omega ^ np) von (Omega ^ mp) für jede Wahl für (Omega) ausdrücken. Andernfalls würde (2 \ ne 0) fehlschlagen, da ({ sim} { sim} p) (p) entspricht. Die Tractarian-Theorie kann nicht mit Ungleichheiten umgehen.

Soviel zum Hinzufügen und zu den Einschränkungen seiner Darstellung dieser Operation. Was ist mit Multiplikation? Wittgenstein definiert es bei ¶6.241 durch:

) Omega ^ {n \ times m} p \ Rightarrow (Omega ^ n) ^ mp)

aber um dies als allgemeines Prinzip zu verstehen, müssen wir wissen, wie man die Notation ((Omega ^ n) ^ m) interpretiert. In der konventionelleren Mathematik könnte man ((x ^ n) ^ m) einfach als (x ^ {n \ times m}) definieren, aber dies würde eindeutig (oder vielmehr das Äquivalent für die Interaktion von Exponenten von Operatoren) sein eine Zirkularität in Wittgensteins Bericht einführen. Alternativ könnte man sich auf eine rekursive Exponententheorie berufen - (a ^ {m \ mal 0} = a, a ^ {m \ mal (n + 1)} = a ^ m + a ^ {m \ mal n}). Da das Induktionsprinzip zeigen muss, dass die Rekursion nirgends in Wittgensteins System kohärente Merkmale aufweist, müssten diese Regeln vermutlich als primitiv angesehen werden.

Insgesamt gibt uns Wittgenstein im Tractatus also keine andere Darstellung der Mathematik im Allgemeinen als ein Fragment arithmetischer, im Grunde positiver Identitäten, die nur Addition beinhalten. Und dort bestreitet er, dass die Sätze Sätze mit Wahrheitswerten ausdrücken. Natürlich wurde das Buch unter außerordentlich schwierigen Umständen geschrieben. Vielleicht hätte sein Bericht trotz der oben festgestellten Schwierigkeiten weiterentwickelt und plausibler entwickelt werden können - aber für einige Skepsis in dieser Hinsicht siehe Landini, 2007. Wittgenstein unternahm sicherlich keinen Versuch, dies zu tun, während er sich mit FP Ramsey und dem Wiener Kreis in der USA beschäftigte 1920er Jahre. Wenn Wittgensteins Standpunkt nicht viel weiterentwickelt werden konnte, haben wir die Wahl, entweder die gesamte Mathematik aufzugeben, außer höchstens ein Fragment der Additionsarithmetik;oder auch das Tractarian-Konto abzulehnen. Man muss der zeitgenössischen Mathematik nicht sklavisch unkritisch gegenüberstehen, um zu sehen, was hier die vernünftige Option ist. Zugegebenermaßen ist die Ablehnung des Tractatus-Kontos auch die Option, die Wittgenstein selbst am Ende des Buches zu ergreifen scheint. Hier kommen wir dann zu der Frage, worum es geht, uns durch eine so bizarre und nicht überzeugende Theorie zu führen, um sie am Ende wegzuwerfen. (Für eine positivere Einschätzung von Wittgensteins Traktatsposition siehe Floyd (2002). Hier kommen wir dann zu der Frage, worum es geht, uns durch eine so bizarre und nicht überzeugende Theorie zu führen, um sie am Ende wegzuwerfen. (Für eine positivere Einschätzung von Wittgensteins Traktatsposition siehe Floyd (2002). Hier kommen wir dann zu der Frage, worum es geht, uns durch eine so bizarre und nicht überzeugende Theorie zu führen, um sie am Ende wegzuwerfen. (Für eine positivere Einschätzung von Wittgensteins Traktatsposition siehe Floyd (2002).

Wittgensteins spätere Arbeiten zur Philosophie der Mathematik, wie die Bemerkungen zu den Grundlagen der Mathematik (1956/1978), fanden lange Zeit noch weniger Anerkennung als der Bericht der Traktarier, obwohl kürzlich Philosophen wie Juliet Floyd und Hilary Putnam zu ihrer Verteidigung gekommen sind als interessante und informierte Darstellung der Mathematik (Floyd / Putnam, 2000). Zu seinen Themen gehört die Ablehnung des tatsächlichen Unendlichen (tatsächlich ist die Tendenz in seinen Schriften stark finitistisch); die Ablehnung, dass unentscheidbare Sätze bedeutungsvoll sind; eine Ablehnung von Cantors Powerset-Beweis; die Idee, dass die Entdeckung von Beweisen die Bedeutung der beteiligten Begriffe ändert; und andere sehr radikale Ideen. Unter ihnen finden wir eine fortgesetzte Einhaltung formalistischer Motive:

In der Mathematik ist alles Algorithmus und nichts ist Bedeutung; (Philosophische Grammatik: 468).

Ein weiteres hartnäckiges Thema in Wittgensteins Gedanken ist, dass die Bedeutung der Mathematik vollständig in ihrer Nützlichkeit in nichtmathematischen Anwendungen liegt. Es gibt jedoch keine systematische Theorie darüber, wie diese Anwendbarkeit zustande kommt, keinen Beweis für einen konservativen Erweiterungssatz, der beispielsweise zeigt, wie die Anwendung mathematischer Kalküle auf empirische Prämissen niemals zu einer empirischen Schlussfolgerung führen wird, die sich nicht aus diesen Prämissen ergibt. Und es gibt keine Lösung für das Problem der Metatheorie. Andererseits sollten wir beachten, dass diese Notizen von Wittgenstein zur Philosophie der Mathematik nicht von ihm, sondern von anderen nach seinem Tod veröffentlicht wurden. Für einen Gesamtüberblick über Wittgensteins Philosophie der Mathematik insgesamt siehe Wittgensteins Philosophie der Mathematik.

4. Formalismus und die Positivisten

Wittgenstein hat den Wiener Kreis stark beeinflusst. Die "offizielle" positivistische Theorie der Mathematik ist sozusagen keine formalistische. Mathematische Theoreme drücken Wahrheiten aus, wenn auch auf besondere Weise: wahr allein aufgrund der Bedeutung. Der einflussreichste Positivist war Carnap, wenn man Quine nicht als Positivisten einstuft (aber Quines Ansichten waren jedenfalls in den 1930er Jahren Carnaps sehr nahe, tatsächlich blieb Quine Carnaps radikalem Empirismus wahrer als Carnap). Und man kann sicherlich starke Elemente des Formalismus in einigen Schriften von Carnap erkennen, zum Beispiel in Logische Syntax der Sprache (1934 [1937]) und 'Empiricism, Semantics and Ontology' (1950 [1956]).

Das frühere Buch wurde 1937 als The Logical Syntax of Language ins Englische übersetzt. Darin argumentierte Carnap, dass die richtige Methode in der Philosophie darin besteht, sich auf konzeptuelle Analysen einzulassen, die als „logische Syntax“konzipiert sind, grob gesagt die eigentliche Syntax und die Beweistheorie. Um philosophische Unterschiede anzugehen, schlägt man vor, die umstrittenen Positionen in formalen Sprachen oder „Rahmenbedingungen“zu regimentieren, die ein System von Axiomen und Beweisregeln enthalten. In Anbetracht dessen sind einige Sätze "bestimmt", beweisbar oder widerlegbar. Dies sind die analytischen und widersprüchlichen Sätze in Bezug auf diesen Rahmen. Wie wählen wir das System aus? Das Toleranzprinzip von Carnap (1934 [1937], S. 52) ermöglicht es uns, jedes gewünschte System anzuwenden:

In der Logik gibt es keine Moral. Es steht jedem frei, seine eigene Logik aufzubauen, dh seine eigene Sprachform, wie er es wünscht. [Kursiv im Original]

Carnaps erweitert diese ungezügelte Zulässigkeit auf die Mathematik:

Die hier vorgeschlagene tolerante Haltung ist, soweit es spezielle mathematische Berechnungen betrifft, die Haltung, die die Mehrheit der Mathematiker stillschweigend teilt.

Jeder solche Kalkül kann als ein Stück Mathematik gelten, sogar als ein inkonsistentes. Indem wir semantische Begriffe herunterspielen oder völlig verwerfen, umgehen wir einfach traditionelle ontologische Streitigkeiten über die Natur der Entitäten, um die es in der Mathematik geht. Das einzige Problem ist die pragmatische Nützlichkeit oder eine andere mathematische Berechnung.

Hier gibt es eine Reihe von Bedenken. Wie kann Carnap zwischen empirischen, wissenschaftlichen und mathematischen Theorien unterscheiden? Zweitens, wenn pragmatischer Nutzen in erster Linie eine Frage empirischer Anwendungen ist, woher weiß der Carnapianische Formalist, dass ein gegebener Kalkül die empirische Theorie konservativ erweitert, wie kann dies erkannt werden, ohne auf aussagekräftige mathematische Ergebnisse zurückzugreifen? Carnap schreibt:

Die formalistische Ansicht ist zu Recht der Ansicht, dass der Aufbau des Systems rein formal erfolgen kann, dh ohne Bezug auf die Bedeutung der Symbole; … Aber die so skizzierte Aufgabe wird sicherlich nicht allein durch die Konstruktion eines logisch-mathematischen Kalküls erfüllt. Denn dieser Kalkül enthält nicht… jene Sätze, die sich mit der Anwendung der Mathematik befassen… Zum Beispiel kann der Satz „In diesem Raum sind jetzt zwei Personen anwesend“nicht aus dem Satz „Charles und Peter sind jetzt in diesem Raum und sonst niemand “mit Hilfe des logisch-mathematischen Kalküls allein, wie es normalerweise von den Formalisten konstruiert wird; aber es kann mit Hilfe des logistischen Systems abgeleitet werden, und zwar auf der Grundlage von Freges Definition von '2'. (Carnap 1934 [1937], S. 326)

Hinzufügen (kursiv ist Carnaps) "Eine Struktur dieser Art erfüllt gleichzeitig die Anforderungen sowohl des Formalismus als auch des Logikismus."

Aber was soll uns davon abhalten, gemäß dem Toleranzprinzip frei Brückenprinzipien für Operatoren festzulegen, die sich nachweislich wie numerische Operatoren verhalten - die Anzahl der (phi) 's - über ihr definitorisches Auftreten in Formulierungen von arithmetischen Axiomen und wo die Brückenprinzipien Folgendes umfassen:

) begin {align} text {die Anzahl von} phi \ text {'s} & = 0 \ leftrightarrow \ existiert x (phi x \ amp { sim} existiert y (phi y \ amp y) ne x)) \ \ text {die Anzahl von} phi \ text {'s} & = 1 \ leftrightarrow { sim} existiert x \ phi x \,? \ end {align})

Das heißt, wir verknüpfen die Zahl für Null mit einem Satz, der besagt, dass es genau eine Entität des entsprechenden Typs gibt, die Zahl für Eins mit einem Satz, der angibt, dass es keine solchen Entitäten gibt. Wenn wir dies tun, fügen Sie die Regeln für die Standard-Dezimalarithmetik hinzu und versuchen Sie dann, diesen Kalkül anzuwenden. Dies führt zu einer Katastrophe. Aber brauchen wir kein inhaltliches konservatives Erweiterungsergebnis, um zu zeigen, dass für die von uns verwendeten Kalküle keine Katastrophe eintreten kann?

Gödels Unvollständigkeitssätze stellen Carnap in dieser und anderer Hinsicht vor sehr schwierige Probleme. Der erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in jeder ((omega) -) konsistenten formalen Theorie, deren Sätze rekursiv aufzählbar sind und die eine bestimmte (eher begrenzte) Menge an Arithmetik beinhaltet, einen arithmetischen Satz geben wird, der weder ihn noch seine Verneinung ist nachweisbar. In Carnaps Terminologie scheint dies zu nicht bestimmten Sätzen zu führen, was für ihn ein Problem ist, wenn wir davon überzeugt sind, dass dennoch einige dieser Sätze wahr sind; und tatsächlich ist der Schlüsseltyp von Sätzen, der verwendet wird, um das Unvollständigkeitsergebnis zu beweisen - 'Gödel-Sätze' - im Standardmodell der Arithmetik tatsächlich wahr, wenn diese Sätze auf eine geeignete Weise (es gibt verschiedene Arten, dies zu tun) aus einer Theorie konstruiert werden selbst wahr in diesem Modell.

Gödel selbst schrieb eine publizistische Kritik an Carnaps Position, veröffentlichte sie jedoch nicht (Gödel, 1953–9). Gödel konzentriert sich nicht auf seinen ersten Unvollständigkeitssatz, sondern auf die Folgerung, die er in seinem zweiten Satz gezogen hat: dass unter einer bestimmten natürlichen Charakterisierung der Eigenschaft der Konsistenz eine Charakterisierung, die mathematisch über seine Arithmetisierung der Syntax gegeben werden kann, keine formale Theorie der Typ Gödel könnte seine eigene Konsistenz beweisen. Er argumentierte, dass Carnap, um seine positivistische These, dass mathematische Theoreme keinen Inhalt haben, zu bestätigen, einen Konsistenznachweis für mathematische Kalküle liefern müsse, um zu zeigen, dass sie keinen empirischen Inhalt haben, eine Fülle davon tatsächlich aufgrund von mit allen empirischen Sätzen. Warren Goldfarb stellt jedoch fest (1995:328), dass dieser Punkt den tiefen Holismus von Carnaps Position von 1937 nicht anerkennt, in dem die Unterscheidung zwischen analytisch und synthetisch relativ zu dem fraglichen System, dem „sprachlichen Rahmen“, ist. (Dieser tiefe Holismus hat natürlich die kontraintuitive Konsequenz, dass es keine rahmenübergreifende Unterscheidung zwischen Mathematik und empirischen Wissenschaften gibt.)

Carnap verstand tatsächlich die Bedeutung von Gödels Theoremen (Tennant, 2008); Er wusste von den Ergebnissen direkt von Gödel, der tatsächlich Entwürfe der logischen Syntax las. Trotzdem zeigte er eine bemerkenswerte Unbekümmertheit in Bezug auf die Auswirkungen auf seine Position. Er erkannte die Notwendigkeit an, bei der Demonstration der Beständigkeit zu einer stärkeren Sprache überzugehen (§ 60c), und half sich frei mit mathematischen Techniken, die in keiner Weise als endgültig eingestuft werden konnten (in § 14 verwendete er beispielsweise Regeln mit unendlich vielen Prämissen, insbesondere eine, die später als (omega) - Regel bezeichnet wurde). Auf diese Weise kann er zumindest für die Arithmetik leugnen, dass es nicht bestimmte Sätze gibt, da jeder wahre arithmetische Satz mit der (omega) - Regel beweisbar ist (relativ zu einer ziemlich schwachen endlichen Logik,erheblich schwächer als die klassische Logik).

Carnaps entspannte Haltung beruht darauf, dass er die Suche nach erkenntnistheoretischen Grundlagen aufgegeben hat. Wenn man unser mathematisches Wissen durch Berufung auf eine formalistische Interpretation sichern will, dann ist die Suche nach einem Konsistenznachweis des von Hilbert angestrebten Typs sinnvoll, und man wird innerhalb eines begrenzten Fragments nach einer Rechtfertigung der Mathematik als Ganzes suchen Unser Wissen scheint schwer zu bestreiten. Aber Carnap, vielleicht als Ergebnis von Gödels tiefen Theoremen, scheint dieses Ziel aufgegeben zu haben und dachte, dass das Prinzip der Toleranz ihn von einem solchen Bedürfnis befreit. Man kann festlegen, was man mag, einschließlich stärkerer Axiomensysteme, aus denen man die Konsistenz einer schwächeren Theorie beweisen kann. Dies gibt keinen festeren Grund, die schwächere Theorie zu glauben oder zu akzeptieren, aber man braucht solche Gründe sowieso nicht.

Heutzutage suchen nur wenige nach kartesischer Gewissheit in der Mathematik, so dass Carnaps Position hier vernünftig erscheinen mag. Es ist jedoch nicht so klar, dass er das Problem der Anwendbarkeit beantwortet hat. Selbst wenn ein konservatives Erweiterungsergebnis nur in einem leistungsfähigeren System gegeben werden kann, muss das Ergebnis eine inhaltliche Wahrheit sein, nicht nur eine Folge von Symbolen, die wir aus einem System ableiten können, wenn wir die Gewissheit haben wollen, dass ein bestimmter Kalkül wir sind sind im Begriff, Brücken oder Computer zu entwerfen, werden pragmatisch nützlich sein. Und wenn der Carnapianer zugibt, dass das Ergebnis eine umstrittene Wahrheit ist, können wir fragen, was nach dieser formalistischen Position diese Wahrheit ausmacht. Carnap war freilich von dem Schrecken motiviert, in metaphysische Disputationen verwickelt zu sein. Wenn sein Standpunkt jedoch nicht nur von erkenntnistheoretischen Ambitionen entleert wird, sondern so deflationistisch ist, dass kaum mehr gesagt wird, als dass metamathematische Techniken auf Formalisierungen mathematischer und wissenschaftlicher Theorien angewendet werden können, dann wird er auch von jeglichem philosophischen Interesse entleert und hört auf, einzugreifen die Debatten in der Philosophie der Mathematik.

Nicht, dass Carnap die Metaphysik wirklich aufgibt: Dieser ehemalige Gegner der Metaphysik ist wirklich ein Bruder-Metaphysiker mit einer eigenen Rivalen-Theorie, wie FH Bradley vielleicht gesagt hat. Daher ist die Hauptbedeutung des späteren "Empirismus, der Semantik und der Ontologie" die Abweisung ontologischer Sorgen als Pseudoprobleme aufgrund der (höchst umstrittenen) Unterscheidung zwischen "internen" Fragen, die durch die Regeln des Rahmens zu regeln sind. von Mathematik, gewöhnlichen "Ding" -Gesprächen oder was auch immer - und "externen" Fragen wie "Welcher Rahmen soll übernommen werden?". Diesen äußeren Fragen entsprechen, behauptete Carnap, keine Sätze mit Wahrheitswerten; Auf keine solche Frage gibt es zum Beispiel eine wahre Antwort der Form: "Ja, es gibt unendlich viele abstrakte Zahlen". Sie sollen vielmehr durch Entscheidungen beantwortet werden,Entscheidungen, die auf pragmatischen Kriterien hinsichtlich der Effizienz, Fruchtbarkeit und Nützlichkeit des Rahmens in Bezug auf die Ziele des betreffenden Diskurses beruhen oder nicht. Aber welche Ziele könnten diese sein? Den Fluss von 'Sinnesdaten' vorhersagen, der als das ultimative Möbelstück der Welt angesehen wird? Wenn ja, sehen wir, dass die gepriesene ontologische Neutralität eine Täuschung ist und wir eine radikale Form der empiristischen anti-realistischen Metaphysik haben.

Das Überbleibsel des Formalismus liegt darin: Carnap nimmt an, dass „Korrektheit“durch Regeln bestimmt wird, die ein System regeln, und nicht beispielsweise in Übereinstimmung mit einem vom Regelsystem unabhängigen Bereich von Tatsachen besteht. Und er glaubt, dass dieser Ansatz ontologische Sorgen auflöst und uns von jeglicher Verpflichtung befreit, zu erklären, wie endliche Wesen aus Fleisch und Blut wie wir zu detailliertem Wissen über diesen unabhängigen Bereich von Tatsachen, diesen Bereich von Konfigurationen abstrakter, nicht-zeitlicher, gelangen könnten, nicht kausale Objekte und Eigenschaften, ein Bereich, der von Carnap als metaphysische Illusion entlarvt wird. Eine starke Disanalogie mit dem Formalismus ist, dass Carnap diese Linie mit allen Bereichen des Diskurses einnimmt, nicht nur mit der Mathematik.

5. Nominalistischer Formalismus

WV Quine lehnte die Wahrheitslehre des Positivisten aufgrund ihrer Bedeutung und der quasi-logistischen Auffassung von Mathematik als einem Körper analytischer Wahrheiten ab (und lehnte teilweise auch die interne / externe Unterscheidung seines Mentors Carnap ab). Quine produzierte in Zusammenarbeit mit Nelson Goodman stattdessen ein formalistisches Manifest. Seine formalistische Phase scheint nicht lange gedauert zu haben: Später entschied er sich für eine Form des mathematischen Platonismus und spielte seinen relativ jugendlichen Flirt mit dem „Nominalismus“herunter, wenn nicht sogar weitgehend ignorierend. Aber solange es dauerte, haben er und Goodman die Diskussion über den Formalismus erheblich vorangetrieben, indem sie sich direkt mit den Fragen befassten, die andere Formalisten vermieden oder ignoriert hatten.

Goodmans und Quines "Schritte zu einem konstruktiven Nominalismus" (1947) beschreibt einen kompromisslosen Spielformalismus:

Die Gewinne, die der Naturwissenschaft durch die Verwendung mathematischer Formeln entstanden zu sein scheinen, implizieren nicht, dass diese Formeln wahre Aussagen sind. Niemand, nicht einmal der härteste Pragmatiker, wird die Perlen eines Abakus wahrscheinlich als wahr betrachten; und unsere Position ist, dass die Formeln der platonistischen Mathematik, wie die Perlen eines Abakus, bequeme Rechenhilfen sind, die keine Frage der Wahrheit beinhalten müssen. (S. 122).

Sie betrachten

die Sätze der Mathematik nur als Zeichenfolgen ohne Bedeutung

damit

Eine solche Verständlichkeit, wie sie die Mathematik besitzt, ergibt sich aus den syntaktischen oder metamathematischen Regeln, die diese Marken regeln. (S. 111)

Lobenswerterweise scheuen Goodman und Quine das Metatheorie-Problem nicht, die Schwierigkeit, dass Syntax und Metamathematik selbst ebenso ontologisch reich und abstrakten Objekten verpflichtet zu sein scheinen wie Arithmetik. Im Gegenteil, sie sehen es direkt an und versuchen, mit einer Ontologie konkreter Objekte, endlich vieler solcher Objekte, ganz auszukommen. (Sie gehen jedoch von ziemlich mächtigen mereologischen Prinzipien aus, die im Wesentlichen universell zusammengesetzt sind: Sie gehen davon aus, dass jede Verschmelzung von Objekten, wie verstreut oder diffus sie auch sein mögen, auch ein Objekt von gutem Status ist.)

Mit viel Einfallsreichtum versuchen sie, eine Syntax zu entwickeln, die „mathematische Ausdrücke als konkrete Objekte behandelt“(ebenda) - als tatsächliche Zeichenfolgen physikalischer Zeichen - und konkrete Ersatzzeichen für Begriffe wie „Formel“, „Axiom“und „Beweis“gibt. wie platonistisch definiert. Sie befassen sich jedoch nicht mit der Frage der Anwendung der Mathematik, die auf diese konkrete, formalistische Weise ausgelegt wird.

Neben dem Anwendbarkeitsproblem gibt es zwei weitere entscheidende Probleme für den Formalismus, wie sie von Goodman und Quine entwickelt wurden. Erstens ist nicht klar, ob sie Anspruch auf die allgemeinen Ansprüche haben, die sie an die Syntax stellen, die als Theorie über bestimmte konkrete Marken und Verschmelzungen von Marken ausgelegt sind. Wenn sie argumentieren, dass ihre Definition der Formel in Form einer „Quasi-Formel“uns die gewünschten Ergebnisse liefert, sagen sie:

Indem auch die nächst komplexeren alternativen Ablehnungen in (x) alternative Ablehnungen von Quasi-Formeln sein müssen, garantiert die Definition, dass dies auch Formeln im intuitiv beabsichtigten Sinne sind; und so weiter zu (x) selbst. (S. 116)

('Alternative Verweigerung' ist die Sheffer-Strichoperation (P | Q), die genau dann wahr ist, wenn eine Komponente falsch ist.) Das Problem liegt bei 'und so weiter'. Goodman und Quine versuchen, sich durch eine beliebige Formel nach oben zu arbeiten, die zeigt, dass ihre Definition sicherstellt, dass jede größere Komponente eine Formel ist. Es ist nicht klar, wie wir dies für willkürliches (x) garantieren können, ohne so etwas wie Induktion über Formelkomplexität; Dies ist jedoch nicht verfügbar, da Formeln nicht in der üblichen induktiven satztheoretischen Weise erzeugt werden. Ähnliche Bemerkungen gelten für den Nachweis, dass Beweise, wie sie nominalistisch auf S. 22 definiert sind. 120, haben die interne Rangfolge unter den unmittelbaren Unterprämissen und Schlussfolgerungen, die wir intuitiv erwarten. Die Demonstration wird mit einer Verallgemeinerung über alle Zahlen (k) fortgesetzt, die die Axiome in einem konkreten Beweis nummerieren, und führt dann eine Folge von Auswahlen an ihnen durch. Dies scheint die Wahrheit von Verallgemeinerungen über alle Zahlen und tatsächlich zählbare Wahlmöglichkeiten vorauszusetzen, Ressourcen, die einem strengen Nominalisten nicht zur Verfügung stehen.

Zweitens, was können Goodman und Quine über einen Satz wie sagen

[2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ {2 ^ 2}}} + 1 \ text {is prime},?)

(Das heißt, '2 ^ (n)' steht für '2 zur Potenz (n)' - '[2 ^ (2 ^ (2 ^ (2 ^ (2 ^ 2)))]] (+1) is prime ' vgl. Tennant, 1997, S. 152.) Sie können nicht leugnen, dass der Satz existiert, denn vor unseren Augen liegt das Zeichen. Es gibt jedoch starke Gründe zu der Annahme, dass es keinen konkreten Beweis oder Beweis geben wird, da die einzigen verfügbaren Methoden mehr Zeit, Raum und Material verbrauchen können, als jeder Mensch zu ihrer Verfügung haben könnte, vielleicht als tatsächlich existiert. Es gibt unzählige Sätze mit dieser Eigenschaft: Es gibt konkrete Zeichen dafür, aber es gibt tatsächlich keinen konkreten Beweis oder keine Widerlegung, keinen, den ein Mensch ohnehin als sinnvolle Äußerung manipulieren könnte. (Vgl. Boolos, 1987.) Formalisten der Überzeugung von Goodman und Quine scheinen zu dem Schluss gezwungen zu sein, dass Sätze wie die oben genannten, Sätze, die im üblichen formalen Sinne entscheidbar sind, weder wahr noch falsch sind.da weder (konkret) nachweisbar noch widerlegbar. Diese Ansicht zu vertreten, würde jedoch bedeuten, die derzeit praktizierte Mathematik zu schlachten; Eine solche Konsequenz sollte eher als eine Reduktion ad absurdum ihrer Position angesehen werden.

6. Begriff Formalismus: Curry

Der inhaltlichste Versuch einer nicht-hilbertschen formalistischen Philosophie der Mathematik ist Haskell Currys Buch Outline of a Formalist Philosophy of Mathematics (Curry, 1951). Curry ist kein Spielformalist, seine Position ist näher am Begriff Formalismus, von den beiden Ansichten, von denen wir ausgegangen sind. Currys Philosophie der Mathematik ist jedoch eine höchst antimetaphysische, zumindest insofern, als er glaubt, in Bezug auf die ontologischen Verpflichtungen der Mathematik neutral bleiben zu können.

Mathematik kann als Wissenschaft so konzipiert werden, dass sie von allen außer den rudimentärsten philosophischen Hypothesen unabhängig ist. (S. 3)

Daher ist er nicht von einem anti-platonistischen Horror abstrakter Objekte motiviert. Seine Neutralität wird in der Tat durch die Tatsache etwas beeinträchtigt, dass Curry sich vollkommen gerne einer unendlichen Ontologie vermutlich abstrakter Ausdruckstypen verpflichtet fühlt. Offiziell zeigt er Desinteresse an dem, was die Primitiven - er nennt sie irreführend "Token" - seiner formalen Systeme sind

Wir können für diese Token alle Objekte verwenden, die wir möchten, und wir können für Operatoren auch alle Möglichkeiten zum Kombinieren dieser Objekte verwenden, die die erforderlichen formalen Eigenschaften aufweisen. (S. 28)

Da es für viele Systeme unendlich viele primitive "Token" gibt, können sie nicht alle mit konkreten Markierungen identifiziert werden, die Mathematiker tatsächlich erzeugt haben.

Wie der Begriff Formalist verwendet Curry Mathematik, die nach philosophischer Reflexion richtig rekonstruiert wurde, um ein im Wesentlichen syntaktisches Thema zu haben, nämlich formale Systeme. Im Gegensatz zu Freges Gegnern kann Curry, der nach der Entwicklung der Disziplin der Metamathematik schreibt, eine weitaus strengere (wenn auch in seinem Fall etwas exzentrische) Darstellung eines formalen Systems geben.

Es gibt keine Einschränkungen hinsichtlich der Form der Axiome, Regeln und damit Theoreme eines formalen Systems. Die Wahrheit für elementare Sätze eines formalen Systems besteht einfach in ihrer Beweisbarkeit im System. Eines seiner formalen Systeme (Beispiel 7, S. 23) hat nur ein Prädikat „ein unäres Prädikat, das von Gödel durch die Worte 'ist beweisbar' ausgedrückt wird“(S. 23), dh ein Beweisbarkeitsprädikat. Die elementaren Wahrheiten dieses Systems können als Behauptungen über die Beweisbarkeit im zugrunde liegenden System interpretiert werden. Jedes formale System der üblichen Art könnte in ein System "reduziert" werden, in dem es nur ein Beweisbarkeitsprädikat gibt und die Wahrheit (= Beweisbarkeit) im Reduktionssystem des Elementarsatzes (vdash \ langle \ phi \ rangle) nur gilt wenn (phi) im reduzierten System nachweisbar ist (S. 34–35). Curry erlaubt es, mit den üblichen logischen Operatoren Verbindungen aus Elementarsätzen zu bilden, um komplexe Sätze in der Sprache der Beweistheorie auszudrücken (Kapitel IX).

Das Ergebnis ist, dass Mathematik im Allgemeinen zur Metamathematik wird, eine inhaltliche Theorie - Currys Sätze drücken Sätze mit Wahrheitswerten aus -, die die Wahrheiten darüber darlegen, was aus dem, was in zugrunde liegenden formalen Systemen beweisbar ist, deren Interpretation oder vielmehr Interpretationen nicht als mathematisch wichtig angesehen werden. Dieser Standpunkt droht jedoch, in den Strukturalismus zusammenzubrechen und mathematische Äußerungen als Schemata zu betrachten, die implizit über eine Reihe von (allgemein) abstrakten Strukturen verallgemeinern, die die Schemata erfüllen. In Bezug auf das Problem der Metatheorie versucht Curry nicht, dies zu beantworten. Es gibt keinen wirklichen Versuch, die Verpflichtung zu einer reichhaltigen Ontologie von Objekten zu vermeiden, außer dass man, wenn man nur formale Standardsysteme betrachtet, mit einer zählbaren Ontologie auskommen könnte, die die Rolle sprachlicher Ausdrücke spielen kann. Nur jedochauf Kosten einer grob verzerrten mathematischen Praxis. Set-Theoretiker, Topologen, Analysten et al. Unterhalten Sie Vermutungen und versuchen Sie, Dinge über Mengen, topologische Räume, Funktionen auf den komplexen Zahlen usw. zu beweisen. In ihren philosophischen Momenten mögen sie sich fragen, worum es bei den Konzepten geht, mit denen sie ringen, aber sie unterhalten im Allgemeinen keine Vermutungen oder versuchen, Dinge über Ausdrucksstrings zu beweisen, es sei denn, sie sind für sie von instrumentellem Wert, um sie zu beweisen Dinge über Mengen, Räume, die komplexe Ebene usw. (vgl. Resnik S. 70–71). In ihren philosophischen Momenten mögen sie sich fragen, worum es bei den Konzepten geht, mit denen sie ringen, aber sie unterhalten im Allgemeinen keine Vermutungen oder versuchen, Dinge über Ausdrucksstrings zu beweisen, es sei denn, sie sind für sie von instrumentellem Wert, um sie zu beweisen Dinge über Mengen, Räume, die komplexe Ebene usw. (vgl. Resnik S. 70–71). In ihren philosophischen Momenten mögen sie sich fragen, worum es bei den Konzepten geht, mit denen sie ringen, aber sie unterhalten im Allgemeinen keine Vermutungen oder versuchen, Dinge über Ausdrucksstrings zu beweisen, es sei denn, sie sind für sie von instrumentellem Wert, um sie zu beweisen Dinge über Mengen, Räume, die komplexe Ebene usw. (vgl. Resnik S. 70–71).

7. Die Curry-Howard-Korrespondenz

Haskell Curry sollte auch eine wichtige Rolle bei Entwicklungen spielen, die Logik mit Informatik verbinden, von denen einige behaupten, dass sie den Formalismus in der Mathematik unterstützen können. Seine Arbeit zur kombinatorischen Logik zusammen mit der Arbeit von WA Howard führte zur "Curry-Howard-Korrespondenz" ("Curry-Howard", fortan "CH" geschrieben) oder zum "CH-Isomorphismus", der Logik, Beweistheorie und Informatik verbindet.

Curry beabsichtigte, eine allgemeine Theorie der Funktionalität als Teil einer Grundlage für Logik, „Vorlogik“, wie Curry es nannte, bereitzustellen. Siehe insbesondere (Curry 1934) und mit Robert Feys (Curry und Feys 1958). Etwa zur gleichen Zeit wie Currys erste Veröffentlichungen in diesem Bereich entwickelte Alonzo Church seinen untypisierten (lambda) - Kalkül, der auch eine Grundlage für Logik, ja Mathematik im Allgemeinen, bilden und auch Funktionen übernehmen sollte, die sehr allgemein anwendbar sind. als grundlegend. In diesen Funktionskalkülen (für eine umfassende Darstellung siehe Barendregt (1984), auch der Eintrag in der Lambda-Rechnung) wird eine Verkettung (fg) verwendet, um die Anwendung der Funktion (f) auf das Argument (g \ darzustellen)) einen Ausgabewert ergeben, bei dem sowohl Argument als auch Wert selbst Funktionen sein können und bei dem eine Selbstanwendung zulässig ist. Während Currys System variablenfrei ist, erfolgt die Variablenbindung in Churchs durch den Begriff (lambda), wobei die Variable (x), wenn und wo sie in (N) vorkommt, in (lambda) gebunden wird xN). Die grundlegende Operation in (lambda) - Kalkül ist (beta) - Reduktion, die Transformation, die uns von ((lambda xN) M) nach (N [x: = M] führt.) Hier ist (N [x: = M]) das Ergebnis des Ersetzens von (M) für alle freien Vorkommen von (x) in (N).^[1] So reduziert sich beispielsweise ((lambda x.xx) f) (beta) - auf (ff). Wir können dies schreiben als:

[(lambda x.xx) f \ rhd ff)

Somit erreichen diese Kalküle das, was Wittgenstein im Tractatus (siehe oben) in seiner Operation / Funktionsunterscheidung zu gestikulieren scheint, denn in Church und Curry haben wir eine voll entwickelte Theorie von 'Operationen', dh Funktionen, die Funktionen als Argumente annehmen können und Werte. Natürlich Selbstanwendung, wie in der Endlosschleife (beta) - Reduktion:

) begin {align} (lambda x.xx) (lambda x.xx) & \ rhd (lambda x.xx) (lambda x.xx) & \ rhd (lambda x.xx) (lambda x.xx) & \ vdots \ end {align})

wirft Bedenken auf, dass ein Paradoxon entstehen könnte. Church glaubte, dass die Vermeidung der Verwendung freier Variablen und die Einschränkung der ausgeschlossenen Mitte (Church, 1932: 346–7) das Paradoxon blockierten, aber Kleene und Rosser zeigten (1935) anhand einer Strategie, die auf Richards Paradoxon basierte, dass das System trivial war: Jede Formel konnte unter Verwendung der Regeln abgeleitet werden. Church korrigierte dies, um einen konsistenten untypisierten (lambda) Kalkül zu erzeugen, aber der wichtige Schritt in Bezug auf die CH-Korrespondenz war die Entwicklung typisierter (lambda) Kalküle.

Jetzt ist 'Typ' ein sehr überarbeitetes Wort. Token dieses Typs, um eine seiner Bedeutungen zu verwenden (ungefähr als abstraktes syntaktisches Objekt), wurden manchmal verwendet, um für Eigenschaften zu stehen, einschließlich Eigenschaften höherer Ordnung, wie in Russells verschiedenen Typentheorien. Church sollte diese Tradition in seiner einfachen typisierten Version von (lambda) - Kalkül (Church, 1940) fortsetzen. Bei dieser Verwendung haben Typen wie die Eigenschaft der Caninität oder der Form eine Instanz wie Fido im ersten Fall oder die Eigenschaft niedrigerer Ordnung, im zweiten Fall quadratisch zu sein. Instanzen von Typen in diesem Sinne müssen also keine abstrakten Entitäten sein. Eine andere Verwendung ist syntaktisch, da die grundlegenden Ausdrücke einer Sprache in verschiedene disjunkte Kategorien ('Typen') unterteilt werden und Formationsregeln zum Erzeugen wohlgeformter Ausdrücke unter Verwendung der Typunterscheidungen festgelegt werden. In dieser Verwendung ist 'Typ' ein Ausdruck in der syntaktischen Metatheorie der Sprache einer Objekttheorie. In einigen Fällen ist die syntaktische Theorie tatsächlich Teil der diskutierten Objekttheorie. Unabhängig davon "drücken" einige Präsentationen syntaktischer Typentheorien die syntaktische Metatheorie in die diskutierte Objekttheorie, indem sie festlegen, dass die wohlgeformten Ausdrücke der Objektsprache syntaktische Eigenteile enthalten, sozusagen Tags, die mit dem korrelieren metatheoretischer Typ des Ausdrucks und haben keine semantische Rolle. In Howard (1969) wird zum Beispiel die wohlgeformte Formel des bedingten Fragments der Aussagenlogik als Typensymbole verwendet, die Begriffe der Typentheorie überschreiben. In einigen Fällen ist die syntaktische Theorie tatsächlich Teil der diskutierten Objekttheorie. Unabhängig davon "drücken" einige Präsentationen syntaktischer Typentheorien die syntaktische Metatheorie in die diskutierte Objekttheorie, indem sie festlegen, dass die wohlgeformten Ausdrücke der Objektsprache syntaktische Eigenteile enthalten, sozusagen Tags, die mit dem korrelieren metatheoretischer Typ des Ausdrucks und haben keine semantische Rolle. In Howard (1969) wird zum Beispiel die wohlgeformte Formel des bedingten Fragments der Aussagenlogik als Typensymbole verwendet, die Begriffe der Typentheorie überschreiben. In einigen Fällen ist die syntaktische Theorie tatsächlich Teil der diskutierten Objekttheorie. Unabhängig davon "drücken" einige Präsentationen syntaktischer Typentheorien die syntaktische Metatheorie in die diskutierte Objekttheorie, indem sie festlegen, dass die wohlgeformten Ausdrücke der Objektsprache syntaktische Eigenteile enthalten, sozusagen Tags, die mit dem korrelieren metatheoretischer Typ des Ausdrucks und haben keine semantische Rolle. In Howard (1969) wird zum Beispiel die wohlgeformte Formel des bedingten Fragments der Aussagenlogik als Typensymbole verwendet, die Begriffe der Typentheorie überschreiben. Einige Präsentationen syntaktischer Typentheorien "drücken" die syntaktische Metatheorie in die diskutierte Objekttheorie hinein, indem sie festlegen, dass die wohlgeformten Ausdrücke der Objektsprache syntaktische Eigenteile enthalten, sozusagen Tags, die mit dem metatheoretischen Typ der korrelieren Ausdruck und haben keine semantische Rolle. In Howard (1969) wird zum Beispiel die wohlgeformte Formel des bedingten Fragments der Aussagenlogik als Typensymbole verwendet, die Begriffe der Typentheorie überschreiben. Einige Präsentationen syntaktischer Typentheorien "drücken" die syntaktische Metatheorie in die diskutierte Objekttheorie hinein, indem sie festlegen, dass die wohlgeformten Ausdrücke der Objektsprache syntaktische Eigenteile enthalten, sozusagen Tags, die mit dem metatheoretischen Typ der korrelieren Ausdruck und haben keine semantische Rolle. In Howard (1969) wird zum Beispiel die wohlgeformte Formel des bedingten Fragments der Aussagenlogik als Typensymbole verwendet, die Begriffe der Typentheorie überschreiben.

Der Ausdruck «(N: \ tau)», der normalerweise wie folgt gelesen wird:

) text {term} N \ text {ist vom Typ} tau)

kann daher auf verschiedene Arten gelesen werden, zum Beispiel:

I: Nicht syntaktisch: Die Entität, auf die sich (N) bezieht, ist eine Instanz der Klasse / Menge / Eigenschaft, auf die sich (tau) bezieht, eine Instanz, die weder syntaktisch noch allgemeiner abstrakt sein muss.

II: Metasyntaktisch: Der Ausdruck, auf den sich (N) bezieht, ist eine Instanz der syntaktischen Kategorie (tau). Die syntaktische Theorie, in der die Zuordnung des Begriffs zum Typ erfolgt, ist "Meta" in Bezug auf einen intellektuellen Hintergrundkontext, da sie dort nicht als (unter ihrer beabsichtigten Interpretation) Teil einer allgemeineren, nicht syntaktischen Theorie dargestellt wird, die in ausgedrückt wird eine Sprache, für die sie selbst die Syntax bereitstellt.

III: Syntaktisch: Der Ausdruck (N) ist eine Instanz der syntaktischen Kategorie (tau) und die Typentheorie (ist) eine syntaktische Theorie für die Sprache, zu der sie selbst gehört.

Während einige Lehrbücher zur Typentheorie für den Logiker ziemlich verschwommen erscheinen können, um welche der oben genannten Interpretationen von "Typ" es sich handelt, ist dies bei den Pionieren dieser Theorien sicherlich im Allgemeinen nicht der Fall. Howard schreibt zum Beispiel in seiner klassischen Arbeit 'The Formula-as-Types Notion of Construction':

Der Titel hat einen zweiten Mangel; Ein Typ sollte nämlich als abstraktes Objekt betrachtet werden, während eine Formel der Name eines Typs ist. (1969: 479)

und unterscheidet zwischen Typen und Typensymbolen (480).

Es gibt nicht-syntaktische Modelle verschiedener Typentheorien, obwohl diese beispielsweise später entwickelt wurden (Scott, 1970) und ziemlich starke satztheoretische Kardinalitätsannahmen treffen, wie beispielsweise die Existenz unzugänglicher Kardinäle. Viel relevanter für den Formalisten sind "Termmodelle", syntaktische Modelle ähnlich den Interpretationen von Sprachen, die ihre eigenen Symbole als Mitglieder der Domäne verwenden, Interpretationen, die in Henkin-Vollständigkeitsnachweisen zu finden sind; und insbesondere 'syntaktische semantische' Ansätze, wie in einigen Interpretationen der intuitionistischen Typentheorie von Per Martin-Löf (siehe den Eintrag zur intuitionistischen Typentheorie) oder der 'beweistheoretischen Semantik' von Peter Schroeder-Heister (siehe den Eintrag zum Beweis- theoretische Semantik), die versucht, Typen und Begriffen durch Bezugnahme auf 'äußere' Wahrheitsbedingungen Bedeutungen zu geben:Die mathematische Sprache ist nicht als Repräsentation einer unabhängigen Realität zu verstehen.

In einem solchen Kontext ist die Unterscheidung zwischen metasyntaktischen und syntaktischen Lesarten vom Typ 'Typ' nicht sehr wichtig. Selbst wenn 'Typ' als rein metatheoretischer Begriff angesehen wird, ermöglichen uns die Axiome und Inferenzregeln der Typentheorie, Metasätze über Typen zu beweisen. Die Situation kann mit der Beziehung zwischen sequentiellem Kalkül und natürlichem Abzug verglichen werden, wobei das Drehkreuz (vdash) des ersteren als Beziehung der Ableitbarkeit in einem zugrunde liegenden natürlichen Abzugssystem interpretierbar ist und der sequentielle Kalkül Sätze höherer Ordnung liefert Ableitbarkeit der Objektsprache. Unabhängig davon, ob man Typen als metatheoretische Begriffe betrachtet oder nicht, sind die Kalküle der Typentheorie so, dass man Theoreme dahingehend beweisen kann, dass der Begriff (N) vom Typ (tau) ist.

Nun hatte Currys Arbeit in (1934) und vollständiger mit Feys in (1958) eine gewisse Entsprechung zwischen nachweisbaren Formeln in der Theorie der Bedingung und den Typen grundlegender Kombinatoren in der Typentheorie gezeigt. Insbesondere mit (rightarrow) als Bedingung und (alpha \ Rightarrow \ beta), die Funktionstypen darstellen, dh Typen (nicht syntaktisch ausgelegt), deren Eingaben Funktionen und Ausgaben vom Typ (alpha) sind Typ (beta) -Funktionen haben wir (hier bedeutet (vdash_ {T \ rightarrow}) Beweisbarkeit in der positiven (nicht relevantistischen) Theorie der bedingten und (vdash_ {CL}) Mittel Beweisbarkeit in einer geeigneten kombinatorischen Logik):

) vdash_ {T \ rightarrow} mathrm {A} rightarrow \ mathrm {B} text {iff für einige} N, \ vdash_ {CL} N: \ alpha \ Rightarrow \ beta)

Dabei ist (N) ein Begriff, der aus grundlegenden Kombinatoren aufgebaut ist, und (alpha) ist strukturell isomorph zu A (ebenfalls (beta) zu B). Das heißt, man kann A (Rightarrow) B aus A (rightarrow) B erzeugen, indem man jedes Vorkommen von (rightarrow) durch (Rightarrow) ersetzt, wenn eine einheitliche Substitution vorliegt (möglicherweise die triviale) Identität eins) von sententialen Buchstaben in den Formeln der Satzsprache durch Namen für Grundtypen.

Curry und Feys (1958) erweiterten die Korrespondenzidee auf eine zwischen Typentheorie und Gentzens sequentiellem Kalkül. In dem bereits zitierten Artikel, der 1969 in Umlauf gebracht wurde, aber erst 1980 in einem Band in einer Festschrift für Curry veröffentlicht wurde, vertiefte WA Howard (1969) die CH-Korrespondenz, indem er eine Korrespondenz zwischen intuitionistischer sequentieller Form natürlicher Ableitung und Typentheorie in (demonstrierte lambda) - Kalkülformat, das verallgemeinert wird, um intuitionistische Arithmetik zu umfassen - 'Heyting-Arithmetik' (HA) - (was eine Erweiterung von der gesamten Aussagen- zur Prädikatenlogik erfordert), alles als Teil eines Projekts zur Untersuchung des konstruktivistischen Begriffs einer Konstruktion. Howard vertiefte die Ergebnisse, indem er nicht nur eine Entsprechung zwischen nachweisbaren Formeln in der sequentiellen Berechnung und Typzuschreibungen deutlich machte.sondern auch zwischen den Begriffen in den Typzuschreibungen und Nachweisen der entsprechenden Formeln.^[2] Zum Beispiel ist (zum Entsetzen der Relevanten) A (rightarrow) (B (rightarrow) A) in T (_ { rightarrow}) nachweisbar. Der entsprechende Typ ist (alpha \ Rightarrow (beta \ Rightarrow \ alpha)), der Typ des Basisoperators K, dessen Aktion ist

[NM \ rhd N)

und dessen (lambda) Darstellung ((lambda x. (lambda yx))) (normalerweise abgekürzt (lambda xy.x)) ist, wie aus dem (beta \ ersichtlich ist)) -Reduktionskette: ^[3]

[(Lambda x. (Lambda yx) N) M \ rhd (Lambda yN) M \ rhd N.)

Der einfachste Beweis für A (rightarrow) (B (rightarrow) A) in T (_ { rightarrow}) ist:

) dfrac { dfrac { dfrac {} {A} scriptsize {1}} {B \ to A}} {A \ to (B \ to A)} scriptsize {1})

Abbildung 1

in dem der zweite Schritt bis zur Zwischenschlussfolgerung B (rightarrow) A eine Instanz von (rightarrow) I (ntroduction) mit leerer Entladung des nicht angenommenen Antezedens B ist (in einer sequentiellen Kalkülversion die Regel) der Ausdünnung, Hinzufügen zusätzlicher Annahmen im sequentiellen Antezedenz, würde verwendet werden). Der typentheoretische Beweis in der Typentheorie TT ^[4] für die Konstruktion eines Begriffs, der den Typ (alpha \ Rightarrow (beta \ Rightarrow \ alpha)) "bewohnt", hat folgende Form:

) dfrac { dfrac { dfrac {} {x: a} scriptsize {x}} { lambda yx: \ beta \ Rightarrow \ alpha}} { lambda xy.x: \ alpha \ Rightarrow (beta \ Rightarrow \ alpha)} scriptsize {x})

Figur 2

Hier entspricht die (lambda) Abstraktion, die Einführung von (lambda) Begriffen, (rightarrow) I, also der (lambda) Begriff (lambda xy.x) gezeigt, dass Typ (alpha \ Rightarrow (beta \ Rightarrow \ alpha)) 'Codes' zwei Schritte des Typs korrelieren von (rightarrow) I, nämlich die Regel (Rightarrow) I, die Funktion einführt Typen, und wir können den obigen Beweis des Satzsatzes wiederherstellen. Darüber hinaus können wir angesichts der engen Verbindung zwischen typentheoretischen Berechnungen und Programmen in bestimmten Arten von Programmiersprachen den TT-Beweis auch als ein Programm von Schritten bei der Konstruktion einer bestimmten Art von Rechenobjekt sehen.

In natürlichen Deduktionssystemen ist Normalisierung das Verfahren, mit dem redundante Inferenzschleifen eliminiert werden. In bestimmten Logiken (wie der intuitionistischen Logik) gilt ein Normalisierungsmetatheorem und sagt uns, dass jeder Beweis seiner Redundanz beraubt und auf eine normale Form reduziert werden kann. Eine weitere von Howard herausgegebene Korrespondenzebene verbindet die Normalisierung mit der "Bewertung" von Programmen, bei denen komplexe Begriffe auf ihre einfachsten Formen reduziert werden (dies ist in den ausdrucksstärkeren Typsystemen nicht immer möglich).

Es scheint Kreisel zu sein, der den Slogan „Formeln als Typen“eingeführt hat, wobei Martin-Löf für den weiter verbreiteten Slogan „Sätze als Typen“verantwortlich ist (siehe erneut Wadler, 2015). Im philosophischen Kontext wird "Satz" oft verwendet, um so etwas wie die Bedeutung eines Satzes zu bedeuten, dh einer Formel einer bestimmten Art. Unter Verwendung dieser Terminologie ist eine weit verbreitete intuitionistische Position, dass der durch eine Formel ausgedrückte Satz die Menge (oder Spezies für den Intuitionisten) aller Beweise der Formel ist. Angesichts der Tatsache, dass unterschiedliche nachweisbare Formeln unterschiedlichen Typen entsprechen, können wir diese Position der 'syntaktisch-semantischen' Position wie folgt umformulieren: Der Satz, der durch eine Formel von HA ausgedrückt wird, ist die Art seiner Beweise, wobei 'Typ' nicht einfach ist Synonym für "Menge" oder "Art", aber der Begriff aus (lambda) - Kalkül. Wie bereits erwähnt, handelt es sich bei diesem Kalkül um ein formales System mit umfangreichen Verbindungen zu Programmierung und Informatik sowie zu Lesungen, bei denen die Instanzen von Typen rein syntaktisch sind, beispielsweise beweistheoretische Einheiten. Daher stellt die Bedeutung einer Formel, der in solchen Lesarten ausgedrückte Satz, keine Realität dar, die sich von dem Sprachsystem unterscheidet, in dem die Formel vorkommt.

Der Zusammenhang mit dem Intuitionismus ist also klar: Aber welche Relevanz hat die CH-Korrespondenz für den Formalismus? Erstens gibt es deutliche Überschneidungen zwischen einigen Formen des Intuitionismus und bestimmten formalistischen Positionen. Natürlich nicht der philosophische Intuitionismus des Gründervaters Brouwer mit seiner Ontologie mathematischer Objekte als mentale Konstruktionen und einer Erkenntnistheorie, in der mathematisches Wissen auf interner Reflexion über die Abfolge von Ideen beruht; Dies ist eine mathematische Metaphysik, die weit vom Formalismus entfernt ist. Aber viele Konstruktivisten haben die Brouwersche Identifikation oder enge Verknüpfung der mathematischen Korrektheit (Wahrheit, wenn man bereit ist, von mathematischer Wahrheit zu sprechen) mit Beweisbarkeit aufgenommen, ohne seine Metaphysik zu akzeptieren. Diese Art der Identifizierung ist für eine bestimmte Art von Formalismus mehr als kongenial.eine, die die Idee ablehnt, dass mathematische Thesen eine geistesunabhängige Realität darstellen, und die auch die Schafe von den Ziegen auf der Grundlage derjenigen trennt, die in einem formalen System nachweisbar sind, im Vergleich zu denen, die widerlegbar sind.

Es gibt aber auch erhebliche Unterschiede zwischen dem Intuitionisten und dem Formalisten. Zum einen weigern sich nicht nur Brouwer, sondern auch viele spätere Konstruktivisten, Beweisbarkeit mit Beweisbarkeit in einem formalen System zu identifizieren. Zum anderen haben sich Formalisten im Allgemeinen frei gefühlt, sich der klassischen Logik zu bedienen, und die freie Kreativität der Mathematikerin betont: Sie sollte frei sein, beliebige mathematische Theorien zu generieren, die sie wünscht, und sie nur dann zurückziehen, wenn sie sich als inkonsistent herausstellen (in der gewählten Hintergrundlogik).

Im ersten Punkt wird der Formalist natürlich ein Formalist sein! Sie wird die Korrektheit zumindest auf der grundlegendsten Ebene mit formalen Beweisen verknüpfen. Hier ist also die CH-Korrespondenz oder besser die Korrespondenz für den Formalisten sicherlich sehr attraktiv. Die Verknüpfung von Sätzen und Berechnungen, insbesondere die algorithmische Reduktion von Begriffen, die Beweise für irreduzible Normalformen codieren, passt sehr gut zu jenen Versionen des Formalismus, bei denen die Mathematik im Kern das Mischen von Symbolen ohne externen Bezug ist.

Zum zweiten Punkt verallgemeinerten weitere Arbeiten an den CH-Entsprechungen die Ergebnisse der intuitionistischen Logik auf eine Vielzahl anderer Logiken, insbesondere auf die klassische Logik (Griffin, 1990) sowie auf andere logische Rahmenbedingungen wie modale Logik und lineare Logik. Es gibt also keine lästige logische Einschränkung, die durch "Formeln als Typen" auferlegt wird, und es ist nicht erforderlich, dass die Formalistin mit einer Hand kämpft, die hinter ihrem Rücken gebunden ist.

Was ist mit der freien Kreativität, die der Formalist schätzt? Die konstruktivistische Typentheorie wurde natürlich weit über die Heyting-Arithmetik hinaus erweitert. Besonders ehrgeizige Erweiterungen finden sich im Projekt der einwertigen Grundlagen, das auf der Homotopietypentheorie basiert (Awodey, 2014). Dies ist also ein Weg, den ein Formalismus auf der Grundlage von Formeln als Typen verfolgen könnte. Aber für einen Formalisten, der in Bezug auf nichtkonstruktivistische Mathematik nicht revisionistisch sein möchte, sind die Aussichten vielleicht weniger klar. Es reicht nicht aus, nur die zusätzlichen Axiome oder Inferenzregeln hinzuzufügen, die die jeweilige Theorie in einem Standardrahmen ergeben, z. B. einer Sprache erster oder höherer Ordnung. Denn man muss die weitere Arbeit erledigen, um zu zeigen, dass in diesem System eine Erweiterung der CH-Korrespondenz erzielt wird.

Darüber hinaus gibt es auch ein Problem mit der Primheit im Sinne der beweistheoretischen Eigenschaft (die die intuitionistische Logik erfüllt), dass wenn (vdash) A (vee) B dann entweder (vdash) A oder (vdash) B. Klassische Theorien haben normalerweise diese Eigenschaft nicht und dies wird Probleme bei der Verallgemeinerung der CH-Korrespondenz und bei der Rechtfertigung der ausgeschlossenen Mitte aufwerfen (vorausgesetzt, der Formalist nimmt nicht einfach alle nicht trivialen Kalküle als legitim an, ohne dass es einer Begründung bedarf).. Wenn die Richtigkeit einer mathematischen Behauptung in Bezug auf einen bestimmten Rahmen mit Beweisbarkeit identifiziert wird und wenn eine Disjunktion korrekt sein kann, wenn keine Disjunktion nachweisbar ist, dann scheint der Formalist eine ausgefallene Beinarbeit zu erfordern - Supervaluationalismus ist hier offensichtlich nicht angemessen, um die Verwendung zu rechtfertigen klassische Logik.

Es gibt auch das Problem der Anwendbarkeit, das Frege für Formalisten für unüberwindlich hielt. Welche Bedeutung können angewandte mathematische Begriffe wie «die Anzahl der (phi) s» haben, in denen mathematischer und nichtmathematischer Diskurs miteinander vermischt sind? Wenn die Formalistin nicht den Weg des Dummettschen Anti-Realisten beschreiten und den Begriff des Beweises auf einen für die empirische Sprache geeigneten Verifizierungsbegriff verallgemeinern möchte, muss sie einen Weg finden, eine beweistheoretische Semantik ohne allzu große Ad-hoc-Fähigkeit zu kombinieren für reine Mathematik mit einer anderen, vielleicht realistischen, wahrheitsbedingten Semantik, für empirische Sprache.

Schließlich sollte angemerkt werden, dass der CH-Formalismus, wenn wir ihn so nennen können, für den Formalisten inakzeptabel ist, der durch antiplatonische Bedenken motiviert ist und abstrakte Objekte aus der gesamten Mathematik, einschließlich der Metamathematik, ausschließen möchte. Denn die Bedeutungen konkreter Äußerungen mathematischer Formeln sind nach dem CH-Formalismus Mengen / Arten / Arten von Beweisen, und letztere sind abstrakte Objekte, unendlich viele von ihnen, von beliebig langer endlicher Länge. Das Problem der Metatheorie ist mit anderen Worten nicht gelöst worden. Der Anti-Platoniker kann die Ideen der syntaktischen Semantik nicht einfach aufheben und die CH-Korrespondenz zur Unterstützung des Anti-Platonismus anwenden. Es ist viel mehr philosophische Arbeit erforderlich.

8. Zeitgenössischer Formalismus

Spätere Entwicklungen waren hauptsächlich im "Hilbertschen" Flügel der formalistischen Bewegung. PJ Cohens Arbeit an der verallgemeinerten Kontinuumshypothese zeigte zusammen mit Gödels relativem Konsistenzbeweis, dass sie und unzählige verwandte satztheoretische Aussagen über die Beziehungen der Kardinalität einer Menge zu der ihres Powersets durch aktuelle Axiome unentscheidbar sind. Einige Mathematiker wie Cohen selbst (Cohen, 1971) und Abraham Robinson (Robinson, 1965; 1969) hatten keine offensichtlichen, nicht ad-hoc-Möglichkeiten, die Axiome zu erweitern, um diese Fragen zu entscheiden, und verzweifelten an einer realistischen Interpretation der höheren Mengenlehre. Sie behandeln daher Zweige der Mathematik, in denen kein plausibler Axiomsatz die Schlüsselfragen als "ideale" Teile der Mathematik entscheidet, da der Inhalt in anderen Bereichen fehlt.

In Bezug auf den Spielformalismus, obwohl Philosophen Mathematiker der Tendenz beschuldigen mögen, in diese scheinbar diskreditierte Position zu verfallen, vertreten nur sehr wenige Philosophen Ansichten, die den Spielformalisten ähneln. Gabbay (2010) und Azzouni (2004; 2005; 2006; 2009) sind unter der formalistischen Flagge geflogen. Gabbays Formalismus (den er nur in Bezug auf die Arithmetik in dem zitierten Artikel entwickelt) nimmt einen „üppigen Mittelweg zwischen traditionellem Formalismus, Fiktionalismus, Logikismus und Realismus“ein (Gabbay, 2010: 219). Darüber hinaus schreibt er: "Im Gegensatz zum traditionellen (Spiel-) Formalismus soll mein Vorschlag nicht den Versuch beinhalten, formale Ableitungen jeder einzelnen arithmetischen Wahrheit bereitzustellen" (Gabbay, 2010: 221).

Azzouni beschreibt seine "Version des Formalismus" (Azzouni, 2004: 105) als eine, in der gewöhnliche mathematische Beweise formale Ableitungen "anzeigen". Die Indikationsbeziehung bleibt eher offen: Azzouni behauptet nicht, dass die angegebenen Ableitungen alle zu einem einzigen formalen System gehören; eher gewöhnliche Beweise können Ableitungen aus einer 'Familie' formaler Ableitungen anzeigen. Die angegebenen Ableitungen müssen jedoch laut Azzouni nicht existieren; sicherlich müssen konkrete Token von ihnen nicht im gleichen Zeitraum wie die informellen Beweise existieren, die sie anzeigen. Beweise in der antiken griechischen Geometrie weisen auf Ableitungen des 21. Jahrhunderts oder später hin. Sie können tatsächlich nie existieren - sie können zu lang sein, um jemals niedergeschrieben zu werden (Azzouni, 2006: 154), obwohl diese nicht existierenden Beweise den Konsens unter Mathematikern erklären sollen, welche informellen Beweise korrekt sind!In späteren Arbeiten scheint sich Azzouni von dieser (oder einer anderen) Form des Formalismus zurückzuziehen:

Ich fiel (gegen meinen Willen) immer wieder in die Ansicht, dass Mathematiker sich mit so etwas wie einer ausgeklügelten syntaktischen Mustererkennung beschäftigen mussten, während sie informelle mathematische Beweise durchgesehen hatten, damit sie für einen Hintergrund nicht existierender formaler Ableitungen sensibel waren (ohne es zu merken). (Azzouni, 2009: 25)

Übergang zu einer "Inferenzpaket" -Ansicht des mathematischen Denkens, die nicht formalistisch erscheint: siehe noch einmal Azzouni (2009).

Es gibt jedoch eine andere Gruppe zeitgenössischer Mathematikphilosophen, deren Ansichten dem Formalismus nahe zu sein scheinen, nämlich (einige unter den) Fiktionalisten. Jetzt kann der Begriff "Fiktionalist" irreführen, da nicht alle Fiktionalisten Mathematik und Fiktion gleichsetzen. Und selbst wenn man es tun würde, würde sich die Frage stellen: "Welchen philosophischen Bericht über Fiktion und Diskurs über Fiktion nimmt man an?" Viele Philosophen widersetzen sich einer realistischen Ontologie fiktiver Figuren, ebenso wie viele eine realistisch-platonistische Ontologie für die Mathematik ablehnen. Ein sehr simpler Antirealismus über Fiktionalismus könnte Aussagen wie "Oliver Twist wurde in London geboren" als wahr (oder richtig) analysieren, nur für den Fall, dass dieser Satz oder ein Synonym in Dickens 'Roman vorkommt (Field, 1989: 3). Auch wenn dies für Fiktion funktionierte, was es ziemlich eindeutig nicht tut, ^[5]Ein paralleler Ansatz für die Mathematik ist offensichtlich absurd. Wenn eine mathematische These in einem Tagebuch als Satz mit oder ohne Beweis proklamiert wird, sei dies jedoch respektabel, auch wenn diese Behauptung niemals in Frage gestellt wird und die Behauptung von der mathematischen Gemeinschaft akzeptiert wird, bedeutet dies keineswegs, dass die These wahr ist (oder richtig, wenn man es nicht mag, Wahrheitsprädikate auf mathematische Sätze anzuwenden). Angesichts der Anzahl der „Theoreme“, deren angebliche Beweise später als falsch entdeckt wurden, können wir ziemlich sicher sein, dass einige Unwahrheiten wie bewiesen fälschlicherweise für alle Zeiten akzeptiert bleiben. Darüber hinaus wird es kein Ende der mathematischen Behauptungen geben, einige wahr, andere falsch, die es niemals in die mathematische Literatur schaffen und von tatsächlichen Mathematikern niemals berücksichtigt werden.

Jetzt ist das Beispiel von Oliver Twist Hartry Field zu verdanken, dem Gründer der Schule des Fiktionalismus, wenn wir es so nennen dürfen. Aber er qualifiziert seine Position wie folgt:

Die meisten von uns glauben, dass Oliver Twist nur in dem Sinne in London gelebt hat, dass wir glauben, dass der Roman dies sagt oder infolgedessen hat, dass Oliver Twist in London gelebt hat (1989, 3) [Schwerpunkt meiner].

Ob dies für die Fiktion funktioniert oder nicht (Was ist, wenn die Arbeit inkonsistent ist: Muss man eine relevante Konsequenzbeziehung verwenden? Wie kann man Vergleiche zwischen verschiedenen Werken wie im obigen Beispiel von Tolstoi / Dostojewski behandeln?) Dies ist eine interessante Position zur Mathematik mit bestimmte formalistische Obertöne. Die Mathematikerin kann jede (konsistente) Theorie aufstellen, die sie mag. Die Wahrheiten der Theorie sind dann nur die Konsequenzen der Theorie, es besteht kein Grund zu der Annahme, dass die Theorie eine äußere Realität darstellt. Der Fiktionalismus in dieser Richtung wurde von Mary Leng (2010) untersucht. Eine Schlüsselfrage ist jedoch: Wie liest man "Konsequenz"? Für einen Formalisten muss dies eine Konsequenz als Ableitbarkeit sein. Aber Leng lehnt eine solche Lesart ab: Ihr Fiktionalismus ist einer, in dem die logische Konsequenz nicht syntaktisch, sondern modal interpretiert wird.mit der fraglichen Notwendigkeit als primitiv genommen. Daher kann diese Unterart des Fiktionalismus nicht als formalistisch eingestuft werden.

Weir hingegen befasst sich ausdrücklich mit dem Formalismus (1991; 1993; 2010; 2016) und dem Formalismus in der Tradition des Spielformalismus. Wenn seine Position in Bezug auf den Fiktionalismus liegt, kann sie als eine angesehen werden, in der "Konsequenz" in der formalistischen Tradition syntaktisch in Bezug auf formale Ableitbarkeit gelesen wird. In erster Näherung ist die Position, dass ein mathematischer Satz wahr ist, wenn es eine konkrete Ableitung eines Tokens davon gibt, falsch, wenn es eine konkrete Ableitung eines Tokens seiner Negation gibt. Da Wahrheits- und Falschheitsbedingungen abstrakte Beweise nicht ansprechen, ist diese Art von Formalismus fest anti-platonistisch.

Dieser unverblümt konkretistische Formalismus scheint mit unüberwindlichen Problemen konfrontiert zu sein: zum Beispiel in Form der "konkret unentscheidbaren", jener kurzen Thesen mit undurchführbar langen Beweisen oder Widerlegungen, die oben im Zusammenhang mit dem Nominalismus von Goodman und Quine erwähnt wurden. Weirs Versuch, solche Probleme anzugehen, basiert auf einer ziemlich verbreiteten "post-fregeanischen" oder "neo-fregeanischen" Perspektive auf Sprache. Frege war zumindest zu Beginn seiner Karriere der Ansicht, dass der Wahrheitswert eines Satzes durch zwei Faktoren bestimmt wird: den Sinn, den Sinn, die wörtliche Bedeutung oder den Informationsgehalt des Satzes; und wie die Welt ist. Die Indexikalität und die Kontextrelativität von Sätzen, die er ursprünglich angenommen hatte, konnten erreicht werden, indem angenommen wurde, dass Sprecher, die solche Sätze aussprachen und verstanden, sie als elliptisch für vollständigere Äußerungen betrachteten, deren Sinn in Kombination mit der Welt feststand.ein einzigartiger Wahrheitswert.

Spätere Arbeiten (einschließlich Freges eigener) enthüllten die Unzulänglichkeit dieses Bildes und zeigten, dass beispielsweise eine gewisse Indexikalität in John Perrys Satz für den geäußerten Gedanken „wesentlich“ist. Ich kann sagen, dass es jetzt heiß ist, ohne zu wissen, wo, wann oder sogar wer ich bin (wenn ich ausreichend desorientiert bin oder aus meinem Kopf bin). Diejenigen, die nicht so skeptisch sind wie radikale Kontextualisten systematischer Bedeutungstheorien, werden Freges Ansicht in eine dreigliedrige ändern. Der Wahrheitswert eines Satzes in einem bestimmten Kontext wird durch seinen Informationsgehalt, durch kontextbezogene Umstände bestimmt, die sich auf die Äußerung durch Aspekte der Praxis der Sprecher und schließlich durch den Geist und die sprachunabhängige Welt beziehen. Die kontextuellen Umstände müssen nicht im Sinne oder Informationsgehalt der Äußerung liegen;Daher kann eine Spezifikation von ihnen Daten und Orte enthalten, obwohl dies nicht Teil des Gefühls von "es ist jetzt heiß" ist (vergleiche Kaplans Charakter mit der Unterscheidung zwischen Inhalt und Inhalt, insbesondere den zweiten Sinn von "Inhalt", der in seinem 1989 diskutierten Fn 28: 503))).

Dieses Bild legt wiederum die Idee nahe, dass die kontextuellen Umstände, die in Verbindung mit der unabhängigen Realität, einer Äußerung, „wahr werden“, sie auf nicht-realistische Weise wahr machen können. In Weirs Version des Spielformalismus besteht die Grundidee darin, dass das, was wahr (oder falsch) (text {'} sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 \ text {'}) in a macht Ein bestimmtes System ist das Vorhandensein eines konkreten Beweises oder einer Widerlegung, obwohl die Aussage, dass ein solcher konkreter Beweis vorliegt, nicht Teil der wörtlichen Bedeutung oder des Sinns des Anspruchs ist.

Der Vorteil dieser Art von Formalismus besteht darin, dass er nicht nur die Sinnhaftigkeit, den Sinnesbesitz und die mathematischen Äußerungen bestätigt; in scharfem Gegensatz zum traditionellen Spielformalismus besagt es, dass solche Äußerungen Wahrheitswerte haben, wo Beweise oder Widerlegungen existieren. Das Problem der Metatheorie ist gelöst, wenn man nach Goodman und Quine 1947 eine nichtmathematische Darstellung konkreter Beweise geben kann. Wie oben erwähnt, bleiben natürlich schwerwiegende Probleme bestehen. Das Problem der Anwendbarkeit muss gelöst werden, indem beispielsweise konservative Erweiterungsnachweise erbracht werden. Und natürlich ist die Theorie nicht nur durch die Unvollständigkeit vom Gödel-Typ und die unentscheidbaren, sondern intuitiv wahrheitsgemäßen Sätze bedroht, die sie aufwirft;Noch verheerendere Unbestimmtheit zeichnet sich in Form von „konkret unentscheidbaren“Sätzen wie Tennants Primalitätsanspruch in Abschnitt 5 ab.

Eine Strategie zur Bewältigung dieser Probleme besteht darin, Formalismus mit striktem Finitismus zu kombinieren (für eine Marke siehe Yessinin-Volpin (1961; 1970) und für Kritik Dummett (1975): nur machbar lange „verdauliche“Token von Formeln und Beweisen -existieren. Formeln ohne machbare Beweise oder Widerlegungen fehlt einfach der Wahrheitswert. Da wir aus Gödelschen Überlegungen zur Beschleunigung wissen, dass für viele nachweisbare Sätze die kürzesten Ableitungen davon oder seine Negation weitaus länger sind als der Satz selbst, dieser Finitist / Formalismus Die Position droht in weiten Bereichen der ganz normalen Mathematik Chaos zu verursachen.

Weir argumentiert (2010; 2016), dass der finitistische Formalismus nicht nur extrem radikal, sondern auch inkohärent ist. Der Grund ist die allgegenwärtige Rolle der Abkürzung, die komplexe Token erzeugt, bei denen die meisten ihrer Unterteile niemals existieren werden, zum Beispiel Abkürzungen, die Zahlen erzeugen, die willkürlich hohe Zahlen benennen (im Gespräch mit dem Platoniker). Infolgedessen können strenge finitistische Spezifikationen nicht auf die übliche induktive Weise angegeben werden, da der Schnittpunkt aller induktiven Mengen, die die Basismenge enthalten und unter den komplexitätsbildenden Operationen geschlossen sind. Und dies bedeutet wiederum, dass wir nicht einmal sehr einfache Fakten über wffs und Beweise beweisen können.

Idealisierung ist daher in der Metamathematik von wesentlicher Bedeutung, einschließlich der idealisierten Vorstellungen von Wahrheit und Beweis, die in der Metamathematik zu finden sind. Wenn die Formalistin das Recht hat zu behaupten, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, während sie abstrakte Objekte leugnet, scheint es keinen Grund zu geben, warum sie nicht behaupten kann, dass es unendlich viele Formeln oder unendlich viele Beweise gibt, während sie gleichzeitig leugnet, dass abstrakte Objekte existieren. Weir (2016: 38–39) argumentiert daher, dass der Formalist das Problem der konkreten Unentscheidbaren beantworten kann, solange es konkrete Beweise (oder Beweisskizzen) für Ergebnisse gibt, die bewirken, dass die formale Wahrheit für eine bestimmte Sprache oder Subsprache fällt mit der formalen Beweisbarkeit zusammen, und es gibt keinen Grund, die Idealisierung für Endsprachen einzuschränken.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der Formalist, der sich für die Aussagekraft und Wahrheit der mathematischen Standardtheorien, einschließlich der Beweistheorie, einsetzt, über mehr Ressourcen verfügt, um solche Behauptungen zu erfüllen als der klassische Spielformalismus. Die Frage ist, ob dies ausreicht, um eine Position zu retten, die die meisten Philosophen der Mathematik immer noch für hoffnungslos halten. Auf der anderen Seite gibt es sicherlich keinen allgemeinen Konsens darüber, dass der Formalismus tot und begraben ist, und Anzeichen einer starken Sympathie für den Formalismus bei einigen Mathematikern und Informatikern.

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Andere Internetquellen

"Braucht Mathematik eine Philosophie?", Von dem Mathematiker Timothy Gowers, der einen hoch formalistischen Ansatz für die Mathematik vorstellt

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