Die Frege-Hilbert-Kontroverse

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Die Frege-Hilbert-Kontroverse

Erstveröffentlichung am 23. September 2007; inhaltliche Überarbeitung Do 9. August 2018

In den frühen Jahren des 20. Jahrhunderts führten Gottlob Frege und David Hilbert, zwei Titanen der mathematischen Logik, eine Kontroverse über das richtige Verständnis der Rolle von Axiomen in mathematischen Theorien und den richtigen Weg, um Konsistenz- und Unabhängigkeitsergebnisse für solche zu demonstrieren Axiome. Die Kontroverse berührt eine Reihe schwieriger Fragen der Logik und der Philosophie der Logik und markiert einen wichtigen Wendepunkt in der Entwicklung der modernen Logik. Dieser Eintrag gibt einen Überblick über diese Kontroverse und ihre philosophischen Grundlagen.

  • 1. Einleitung
  • 2. Hilberts Grundlagen der Geometrie
  • 3. Frege-Hintergrund und anfängliche Unterschiede
  • 4. Die tiefere Meinungsverschiedenheit
  • 5. Bleibende Probleme
  • 6. Fazit
  • Literaturverzeichnis

    • Primäre Quellen
    • Sekundärquellen
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Einleitung

Im Juni 1899 hielt David Hilbert bei einer Zeremonie zur Installation des neuen Gauß-Weber-Denkmals in Göttingen einen Vortrag über die Grundlagen der Geometrie. Das später in diesem Jahr von Teubner unter dem Titel „Grundlagen der Geometrie“veröffentlichte Stück ist ein Wendepunkt in der Entwicklung der modernen Mathematik und Logik. Obwohl der Gegenstand der Arbeit die Geometrie ist, betrifft ihr dauerhafter Einfluss die Rolle von Axiomen in mathematischen Theorien und die systematische Behandlung solcher metatheoretischer Fragen wie Konsistenz und Unabhängigkeit. Hilbert zeigt hier die Kraft des „formalen“Ansatzes für Axiome und legt den Grundstein für das, was bald zu unserem eigenen zeitgenössischen modelltheoretischen Ansatz für formale Systeme wird.(Zum historischen Hintergrund von Hilberts Behandlung von Axiomen siehe Hallett 2012 und Geometrie des 19. Jahrhunderts; zur Rolle von Hilberts Arbeit bei der Entwicklung der Modelltheorie siehe Modelltheorie und Eder & Schiemer 2018.)

Hilberts Vortrag und Monographie lösten eine scharfe Reaktion seines Zeitgenossen Gottlob Frege aus, der sowohl Hilberts Verständnis von Axiomen als auch seine Herangehensweise an Konsistenz- und Unabhängigkeitsdemonstrationen als praktisch unverständlich und jedenfalls ernsthaft fehlerhaft empfand. Freges Reaktion wird zuerst in seiner Korrespondenz mit Hilbert von Dezember 1899 bis September 1900 und anschließend in zwei 1903 und 1906 veröffentlichten Aufsatzreihen (beide mit dem Titel „Über die Grundlagen der Geometrie“) dargelegt. Hilbert ließ sich von Freges Kritik nie rühren. und reagierte nicht auf sie nach 1900. Frege seinerseits war nie von der Zuverlässigkeit von Hilberts Methoden überzeugt und hielt bis zum Ende fest, dass dessen Konsistenz- und Unabhängigkeitsbeweise fatal fehlerhaft waren. [1]

In dieser philosophischen Debatte zwischen den beiden Mathematikern sehen wir einen Konflikt zwischen zwei ganz unterschiedlichen Arten, die Natur mathematischer Theorien und ihre Rechtfertigung zu verstehen. Der Meinungsunterschied über den Erfolg von Hilberts Konsistenz- und Unabhängigkeitsbeweisen ist, wie nachstehend ausgeführt, das Ergebnis signifikanter Meinungsverschiedenheiten über grundlegende Fragen wie: Wie kann man den Inhalt einer mathematischen Theorie verstehen, woraus besteht eine erfolgreiche Axiomatisierung, woraus besteht Die „Wahrheiten“einer mathematischen Theorie sind wirklich und schließlich das, was man wirklich fragt, wenn man nach der Konsistenz einer Reihe von Axiomen oder der Unabhängigkeit einer bestimmten mathematischen Aussage von anderen fragt.

Im Folgenden betrachten wir kurz Hilberts Technik in Foundations of Geometry, erläutern Freges verschiedene Kritikpunkte und skizzieren schließlich die Gesamtkonzepte der Logik, die zu den Unterschieden führen.

2. Hilberts Grundlagen der Geometrie

Hilberts Arbeit in Foundations of Geometry (im Folgenden als „FG“bezeichnet) besteht hauptsächlich darin, einen klaren und präzisen Satz von Axiomen für die euklidische Geometrie zu erstellen und die Beziehungen dieser Axiome untereinander und zu einigen der Grundlagen detailliert zu demonstrieren Theoreme der Geometrie. Insbesondere zeigt Hilbert die Konsistenz verschiedener Untergruppen der Axiome, die Unabhängigkeit einer Reihe von Axiomen von anderen und verschiedene Beziehungen der Beweisbarkeit und der Unabhängigkeit wichtiger Theoreme von bestimmten Untergruppen der Axiome. Enthalten sind neue Demonstrationen der Konsistenz des gesamten Satzes von Axiomen für die euklidische Geometrie und der Unabhängigkeit des Axioms von Parallelen von den anderen euklidischen Axiomen.

Der Begriff der „Unabhängigkeit“, um den es hier geht, ist der der Nichtbeweisbarkeit: Zu sagen, dass eine bestimmte Aussage unabhängig von einer Sammlung von Aussagen ist, bedeutet zu sagen, dass sie nicht von ihnen beweisbar ist, oder gleichwertig, dass die Sammlung dies nicht logisch beinhaltet Aussage. Konsistenz wird auch als Beweisbarkeit verstanden: Zu sagen, dass eine Sammlung von Aussagen konsistent ist, bedeutet zu sagen, dass daraus kein Widerspruch nachweisbar ist. Daher sind die beiden Begriffe Konsistenz und Unabhängigkeit miteinander definierbar: Eine Menge von Aussagen ist konsistent, wenn ein willkürlich gewählter Widerspruch unabhängig davon ist, und eine Aussage S ist unabhängig von einer Menge C, wenn die Menge (C \ cup { sim} S) ist konsistent.

Hilberts Konsistenzdemonstrationen in FG sind alle Demonstrationen der relativen Konsistenz, das heißt, dass in jedem Fall die Konsistenz einer Menge AX von geometrischen Axiomen auf die einer bekannten Hintergrundtheorie B reduziert wird, was zeigt, dass AX konsistent ist, wenn B ist. Die wichtige Technik, die Hilbert anwendet, ist die Neuinterpretation der in AX vorkommenden geometrischen Begriffe, so dass die Mitglieder von AX, wie neu interpretiert, die Sätze von B ausdrücken. Zum Beispiel interpretiert Hilberts erster konsistenzsicherer Beweis die Begriffe "Punkt", "Linie" und "Liegt auf" als jeweils für eine bestimmte Sammlung geordneter Paare reeller Zahlen, für eine Sammlung von Verhältnissen reeller Zahlen und für eine algebraisch definierte Beziehung zwischen solchen Paaren und Verhältnissen; unter dieser Neuinterpretation,Die fraglichen geometrischen Sätze drücken Sätze der Hintergrundtheorie der reellen Zahlen aus.

Dass eine solche Neuinterpretationsstrategie eine relative Konsistenz garantiert, lässt sich anhand der folgenden Argumentation erkennen: Wenn die eingestellte AX inkonsistent wäre, würde dies logischerweise einen Widerspruch bedeuten. Da die logische Implikation jedoch unabhängig von der spezifischen Bedeutung von Begriffen wie „Punkt“und „Linie“ist, würde AX bei seiner Neuinterpretation weiterhin einen Widerspruch implizieren. Das heißt aber nur, dass eine Reihe von Theoremen von B einen Widerspruch implizieren würde, daher wäre B selbst inkonsistent.

Die Unabhängigkeit wird genauso demonstriert. Um zu zeigen, dass eine Aussage I unabhängig von einer Menge AX von Aussagen ist (relativ zur Konsistenz von B), interpretiert man die relevanten geometrischen Terme so, dass die Mitglieder von AX, wie sie interpretiert werden, Theoreme von B ausdrücken, während ich sie ausdrücke die Negation eines Satzes von B. Das heißt, die Unabhängigkeit von I von AX (relativ zur Konsistenz von B) wird demonstriert, indem die Konsistenz von (textit {AX} cup {{ sim} I }) relativ zu der von B nachgewiesen wird.

Die allgemeine Idee, Interpretation zum Nachweis der Konsistenz zu verwenden, war in FG nicht neu. Ähnliche Strategien wurden kürzlich in verschiedenen mathematischen Schulen angewendet, um Konsistenz und Unabhängigkeit in der Arithmetik und in der Klassentheorie sowie in der Geometrie zu zeigen. [2] Die Technik hat auch Vorboten bei der früheren Verwendung geometrischer Modelle, um die Konsistenz nichteuklidischer Geometrien zu beweisen. [3]Hilberts Arbeit in FG bringt jedoch einen signifikanten Fortschritt in Bezug auf die Klarheit und systematische Anwendung der Technik und eine einflussreiche Darstellung der Art der metatheoretischen Argumentation, die erforderlich ist, um Konsistenz und Unabhängigkeit durch Neuinterpretation zu demonstrieren. Sobald Hilberts Technik auf die Sätze einer vollständig formalisierten Sprache angewendet wird, eine Entwicklung, die in den drei Jahrzehnten nach FG schrittweise stattfand, erhalten wir im Wesentlichen das moderne Verständnis von Modellen, deren Verwendung heute bei Demonstrationen von Konsistenz und Unabhängigkeit nur im Detail unterschiedlich ist von der von Hilberts Technik. [4]

Hilberts zentrale Idee ist es wiederum, sich nicht auf bestimmte geometrische Konzepte wie Punkt und Linie zu konzentrieren, sondern stattdessen auf die logischen Beziehungen zu achten, die nach den Axiomen zwischen diesen Konzepten bestehen sollen. Die Frage nach der Unabhängigkeit des Parallelaxioms von den anderen euklidischen Axiomen hat ganz mit der logischen Struktur dieser Axiome zu tun und nichts damit, ob es sich um geometrische Punkte und Linien handelt oder um einen anderen Gegenstand insgesamt. Wie Hilbert sagt,

[I] t ist sicherlich offensichtlich, dass jede Theorie nur ein Gerüst oder ein Schema von Konzepten zusammen mit ihren notwendigen Beziehungen zueinander ist und dass die Grundelemente auf jede Art und Weise gedacht werden können, die man mag. Wenn ich bei meinen Punkten an ein System von Dingen denke, z. B. an das System: Liebe, Gesetz, Schornsteinfeger … und dann alle meine Axiome als Beziehungen zwischen diesen Dingen annehme, dann sind meine Sätze, z. B. der Satz von Pythagoras auch gültig für diese Dinge. Mit anderen Worten: Jede Theorie kann immer auf unendlich viele Systeme von Grundelementen angewendet werden. (Brief an Frege vom 29. Dezember 1899, wie von Frege [Auslassungspunkte Hilberts oder Freges] in Frege 1980: 40)

Dieses Verständnis der geometrischen Begriffe als anfällig für Mehrfachinterpretationen ermöglicht es, die geometrischen Sätze selbst und ihre Sätze als Definitionen einer bestimmten Art zu betrachten, eine Art, die typischerweise als "implizite Definition" bezeichnet wird. Speziell: Eine Menge AX von Sätzen, die n neu interpretierbare Begriffe enthalten, definiert implizit eine n-Platz-Beziehung (R _ { textit {AX}}), die nur jene n-Tupel enthält, die jeweils als Interpretation der neu interpretierbaren Begriffe von AX genommen werden Begriffe, machen die Mitglieder von AX wahr. (Zum Beispiel: Wenn AX die Menge ist {Es gibt mindestens zwei Punkte; Jeder Punkt liegt auf mindestens zwei Linien}, dann ist (R _ { textit {AX}}) die Beziehung, die für jedes Tripel gilt (langle P, \ textit {LO}, L \ rangle) so, dass P mindestens zwei Mitglieder hat, L mindestens zwei Mitglieder hat,und LO ist eine Beziehung, die zwischen jedem Mitglied von P und mindestens zwei Mitgliedern von L besteht.) Die definierte Beziehung ist einfach die abstrakte Struktur oder, wie Hilbert es ausdrückt, das "Gerüst", das von einem solchen n-Tupel geteilt wird.[5]

Wenn eine Menge von Sätzen eine implizite Definition einer Beziehung liefert, kann man fragen, ob diese Beziehung (und im weiteren Sinne die Menge von Sätzen selbst) erfüllbar ist. Das heißt, man kann fragen, ob es ein n-Tupel gibt, das, wenn es als Interpretation der relevanten Begriffe in den Sätzen dient, jeden Satz wahr macht. Jede von Hilberts Konsistenzdemonstrationen in FG liefert ein n-Tupel, das die relevante definierte Beziehung erfüllt, und liefert somit einen Beweis für die Erfüllbarkeit dieser Beziehung. Die Erfüllbarkeit in diesem Sinne ist aus Gründen der Konsistenz für die Konsistenz ausreichend. [6]

Wir können nun Hilberts Technik kurz und bündig wie folgt umschreiben: Angesichts einer Menge von AX-Sätzen appelliert Hilbert an eine Hintergrundtheorie B, um eine Interpretation der geometrischen Terme von AX zu konstruieren, unter denen die Mitglieder von AX Sätze von B ausdrücken. Diese Interpretation ist unter der Annahme der Konsistenz von B ein n-Tupel, das die von AX definierte Beziehung (R _ { textit {AX}}) erfüllt. Seine Existenz zeigt die Erfüllbarkeit von (R _ { textit {AX}}) und folglich die Konsistenz von AX relativ zu der von B. Ähnliches gilt für die Unabhängigkeit von I von AX.

3. Frege-Hintergrund und anfängliche Unterschiede

Für Frege sieht das radikal anders aus. Frege geht davon aus, dass die Sätze, die wir in der Mathematik verwenden, nur wegen der nichtsprachlichen Sätze (oder, wie er sagt, der „Gedanken“), die sie ausdrücken, wichtig sind. Mathematiker, die auf Französisch und Deutsch arbeiten, arbeiten an demselben Thema, weil ihre Sätze, wie Frege es sieht, dieselben Gedanken ausdrücken. Jeder Gedanke handelt von einem bestimmten Gegenstand und sagt etwas Wahres oder Falsches über diesen Gegenstand aus. [7] Gedanken sind auch in dieser Sichtweise die Dinge, die sich logisch implizieren oder widersprechen, die Dinge, die wahr oder falsch sind, und die Dinge, die zusammen mathematische Theorien bilden. Nach Freges Ansicht sind daher eher Gedanken als Sätze die Punkte, über die sich die Fragen der Beständigkeit und Unabhängigkeit stellen.

Da jeder Gedanke einen bestimmten Gegenstand hat, macht es keinen Sinn, über die „Neuinterpretation“von Gedanken zu sprechen. Die Art der Neuinterpretation, die Hilbert vornimmt, dh bestimmten Wörtern unterschiedliche Bedeutungen zuzuweisen, kann aus fregäischer Sicht nur auf Sätze angewendet werden. Dementsprechend besteht die erste Schwierigkeit, die Frege bei Hilberts Ansatz feststellt, darin, dass nicht klar ist, was Hilbert unter „Axiomen“versteht: Wenn er die Art von Dingen meint, für die Fragen der Beständigkeit und Unabhängigkeit auftreten können, dann muss er über Gedanken sprechen, während Wenn er die Art von Dingen meint, die für mehrere Interpretationen anfällig sind, dann muss er über Sätze sprechen.

Die Schwierigkeiten vervielfachen sich von hier aus. Wenn Hilbert eine spezifische Neuinterpretation der geometrischen Begriffe auf dem Weg zum Nachweis der relativen Konsistenz einer Menge AX von Sätzen vorsieht, stellt Frege fest, dass wir jetzt zwei verschiedene Sätze von Gedanken im Spiel haben: die Menge, die wir "(textit {AX" nennen könnten } _ {G}) “von Gedanken, die ausgedrückt werden, wenn die Begriffe von AX ihre gewöhnliche geometrische Bedeutung haben (z. B. auf welcher„ Punkt “Punkt bedeutet) und die Menge, die wir als„ (textit {AX} _ {R} “bezeichnen könnten.) “Von Gedanken, die ausgedrückt werden, wenn die Begriffe von AX die durch Hilberts Neuinterpretation zugewiesenen Bedeutungen annehmen (wobei z. B.„ Punkt “ein Paar reeller Zahlen bedeutet). Hilberts Neuinterpretationsstrategie beinhaltet aus Freges Sicht:Verschieben Sie einfach unsere Aufmerksamkeit von der Menge (textit {AX} _ {G}) der Gedanken, die normalerweise durch die Sätze AX ausgedrückt werden (und an deren Konsistenz wir interessiert sind), auf die neue Menge (textit {AX} _ { R}) von Gedanken, die von AX unter der Neuinterpretation ausgedrückt wurden. Und die Tatsache, dass die neu interpretierten Sätze Wahrheiten über reelle Zahlen ausdrücken, hat aus Freges Sicht wenig mit den Konsistenz- und Unabhängigkeitsfragen zu tun, die sich für die ursprünglichen Gedanken über Punkte, Linien und Ebenen ergeben.

Neben der verwirrenden (wie Frege es sieht) Praxis, zwischen verschiedenen Gedankengängen hin und her zu wechseln, während ein bestimmter Satz von Sätzen diskutiert wird, beinhaltet Hilberts Verfahren, wie Frege es sieht, zwei weitere fragwürdige Aspekte.

Der erste betrifft die Notwendigkeit von Konsistenznachweisen. Nach Freges Ansicht bilden die Axiome einer Theorie immer eine Sammlung wahrer Gedanken; und da Wahrheit Konsistenz impliziert, muss die Konsistenz einer Sammlung von Axiomen niemals demonstriert werden. Für Hilbert hingegen ist die Tatsache, dass eine Sammlung von Sätzen als axiomatisch angesehen wird, keine Garantie für die Wahrheit (oder für die Wahrheit unter einer bestimmten Interpretation), und ein Nachweis der Konsistenz ist oft ein entscheidender Schritt, um die mathematische Seriosität dieser Sätze festzustellen Sammlung von Axiomen.

Zweitens unterscheiden sich Hilbert und Frege in der Verbindung zwischen Wahrheit und Beständigkeit erheblich. Hilberts Ansicht ist, dass die Konsistenz einer solchen Menge für die Existenz der (oder einer) Sammlung mathematischer Einheiten, die in der Theorie erwähnt werden, ausreicht, wenn eine Theorie durch eine Menge mehrfach interpretierbarer Sätze axiomatisiert wird. Die Konsistenz beispielsweise einer Theorie komplexer Zahlen ist alles, was erforderlich ist, um die mathematische Praxis des Denkens in Bezug auf solche Zahlen zu rechtfertigen. Für Frege hingegen kann Konsistenz niemals die Existenz garantieren. Sein bevorzugtes Beispiel, um diesen Punkt zu verdeutlichen, ist die Konsistenz (im Sinne von Hilbert) des Satztrios

  • A ist ein intelligentes Wesen
  • A ist allgegenwärtig
  • A ist allmächtig

reicht nicht aus, um ihre Instanziierung zu gewährleisten. (Siehe z. B. Freges Brief an Hilbert vom 6. Januar 1900; Frege 1980: 47.)

Der zentrale Unterschied zwischen Frege und Hilbert über die Natur der Axiome, dh über die Frage, ob Axiome bestimmte Aussagen über einen festen Gegenstand oder neu interpretierbare Sätze sind, die mehrfach instanziierbare Bedingungen ausdrücken, liegt im Kern des Unterschieds zwischen einem älteren Weg über Theorien nachzudenken, beispielhaft dargestellt durch Frege, und einen neuen Weg, der am Ende des neunzehnten Jahrhunderts an Stärke gewann. Vielleicht am deutlichsten in Dedekind 1888 dargestellt, besteht die zentrale Idee des neuen Ansatzes darin, mathematische Theorien als Charakterisierung allgemeiner „struktureller“Bedingungen zu verstehen, die von einer beliebigen Anzahl unterschiedlich geordneter Bereiche gemeinsam sein könnten. So wie in der Algebra die Axiome für eine Gruppe allgemeine Bedingungen geben, die von jeder Art von Objekt unter geeigneten Beziehungen erfüllt werden können,Auch in der neuen Ansicht geben die Axiome der Geometrie mehrfach instanziierbare Bedingungen an. Wenn man Theorien aus dieser modernen Perspektive betrachtet, ist es durchaus angebracht, Axiome wie Hilbert zu verwenden, da neu interpretierbare Sätze die richtigen Mittel sind, um die fraglichen mehrfach instanziierbaren Bedingungen auszudrücken.[8] Unter dem Gesichtspunkt der früheren Konzeption von Theorien mit festem Bereich sind solche neu interpretierbaren Sätze als Axiome völlig unangemessen, da sie keinen bestimmten Gegenstand festlegen. Bei dieser Frage, dh der Frage der Konzeption mathematischer Theorien mit fester Domäne (Fregean) und multiplizierbarer Struktur (Hilbert), ist die Jury immer noch unschlüssig: Diese Debatte belebt weiterhin die zeitgenössische Philosophie der Mathematik (siehe Eintrag zur Philosophie) der Mathematik).

Das zweite Problem, das Frege und Hilbert hinsichtlich der Rechtfertigung der Folgerung von Konsistenz zu Existenz trennt, ist ebenfalls noch lebendig. Während alle (einschließlich vermutlich Hilbert) Frege zustimmen würden, dass wir außerhalb des mathematischen Bereichs die Existenz nicht sicher aus der Konsistenz ableiten können, bleibt die Frage, ob wir dies innerhalb der Mathematik tun können (oder müssen). Der fregeanische Standpunkt ist, dass die Existenz mathematischer Objekte (wenn überhaupt) nur unter Berufung auf grundlegendere Prinzipien bewiesen werden kann, während der hilbertsche Standpunkt lautet, dass in geeigneten rein mathematischen Fällen nichts mehr nachgewiesen werden kann, um die Existenz zu begründen, als die Konsistenz einer Theorie (siehe Einträge zur Philosophie der Mathematik und zum Platonismus in der Philosophie der Mathematik).

Trotz dieser Unterschiede sind sich Frege und Hilbert einig, dass wichtige mathematische Fragen in Bezug auf Konsistenz und Unabhängigkeit zu stellen sind, und sie sind sich einig, dass beispielsweise die klassische Frage der Unabhängigkeit des Parallelaxioms vom Rest der euklidischen Geometrie von Bedeutung ist. Wie oben erwähnt, sind sie sich jedoch nicht einig darüber, ob Hilberts Verfahren ausreicht, um diese Fragen zu klären. Wir wenden uns nun der Frage zu, wie Frege Hilberts Methode zum Nachweis von Konsistenz und Unabhängigkeit ablehnt.

4. Die tiefere Meinungsverschiedenheit

Wie oben erwähnt, betrachtet Frege Hilberts Neuinterpretationen als eine Verlagerung der Aufmerksamkeit von geometrischen Gedanken (deren Konsistenz und Unabhängigkeit in Frage stehen) zu Gedanken ganz anderer Art, jenen über die Hintergrundtheorie B (deren Konsistenz und Unabhängigkeit nicht in Frage stehen).. In Bezug auf Konsistenzbeweise ist Hilbert der Ansicht, dass ein unzulässiger Rückschluss auf die Konsistenz einer Sammlung von Gedanken über reelle Zahlen (textit {AX} _ {R}) auf die Konsistenz einer Sammlung (textit {AX} _ {G}) von Gedanken über geometrische Punkte, Linien und Ebenen. Frege erkennt an, dass Hilberts Menge AX von Sätzen so verstanden werden kann, dass sie eine implizite Definition einer abstrakten Beziehung (R _ { textit {AX}}) liefert, die von Hilberts konstruierten n-Tupeln erfüllt wird, und dass die Konsistenz (dh,Die Erfüllbarkeit von (textit {AX} _ {R}) beinhaltet die Konsistenz dieser definierten Beziehung. Aber auch hier geht Frege davon aus, dass Hilberts entscheidende Folgerung von der Konsistenz von (R _ { textit {AX}}) zur Konsistenz von (textit {AX} _ {G}) problematisch ist. Wie Frege selbst sagt, bezieht er sich auf (textit {AX} _ {R}) und (textit {AX} _ {G}) als "spezielle Geometrien" und auf (R _ { textit { AX}}) als "allgemeiner Fall:"

[G] Da die Axiome in speziellen Geometrien alle Sonderfälle allgemeiner Axiome sind, kann man aus einem Mangel an Widerspruch in einer speziellen Geometrie auf einen Mangel an Widerspruch im allgemeinen Fall schließen, aber nicht auf einen Mangel an Widerspruch in einem anderen speziellen Fall. (Schreiben vom 6. Januar 1900 in Frege 1980: 48)

Nachdem er darauf hingewiesen hat, was er für die fragwürdige Folgerung hält, geht Frege davon aus, dass die Argumentationslast genau bei Hilbert liegt: Wenn Hilbert der Ansicht ist, dass die Konsistenz von (textit {AX} _ {G}) aus beiden folgt die Konsistenz von (textit {AX} _ {R}) oder aus der Erfüllbarkeit von (R _ { textit {AX}}), dann ist es an Hilbert, dies zu zeigen. Frege tut nicht alles, um zu beweisen, dass die entscheidende Folgerung ungültig ist, sondern scheint seinen Standpunkt als wesentlich zu betrachten, wenn er hier auf die Notwendigkeit einer Rechtfertigung hingewiesen hat.

Aus Hilberts Sicht besteht natürlich keine Notwendigkeit für eine solche Rechtfertigung. Die Unterschiede, auf denen Frege immer wieder besteht, zwischen den Sätzen (AX) und den verschiedenen Gedankensätzen ((textit {AX} _ {G}), (textit {AX} _ {R})) etc.) sind aus Hilberts Sicht völlig belanglos. Da Konsistenz, wie Hilbert versteht, für das „Gerüst“von Konzepten und Beziehungen gilt, die von AX definiert werden, wenn seine geometrischen Begriffe als Platzhalter verwendet werden, gilt die Konsistenz, die er im Sinn hat (um es in Gedanken auszudrücken) von (textit {AX} _ {G}), wenn es (textit {AX} _ {R}) enthält, da beide Gedankengänge Instantiierungen desselben „Gerüsts“sind. Der gleiche Punkt kann in Form von Sätzen ausgedrückt werden:Frege besteht darauf, dass die Konsistenzfrage, die sich für die Sätze unter ihrer geometrischen Interpretation stellt, ein anderes Thema ist als die, die sich für diese Sätze unter ihrer reellen Zahleninterpretation ergibt; Für Hilbert hingegen gibt es nur eine Frage, die bejaht wird, wenn es eine Interpretation gibt, unter der die Sätze Wahrheiten ausdrücken. Während Frege davon ausgeht, dass Hilbert eine Erklärung der Folgerung von der Konsistenz von (textit {AX} _ {R}) zu der von (textit {AX} _ {G}) für Hilbert dort schuldet ist einfach keine Folgerung. Während Frege davon ausgeht, dass Hilbert eine Erklärung der Folgerung von der Konsistenz von (textit {AX} _ {R}) zu der von (textit {AX} _ {G}) für Hilbert dort schuldet ist einfach keine Folgerung. Während Frege davon ausgeht, dass Hilbert eine Erklärung der Folgerung von der Konsistenz von (textit {AX} _ {R}) zu der von (textit {AX} _ {G}) für Hilbert dort schuldet ist einfach keine Folgerung.

Freges Unklarheit über seine Gründe für die Ablehnung von Hilberts Verfahren hinterlässt eine Interpretationslücke, in Bezug auf die Raum für Kontroversen besteht. Wir sollten uns zunächst daran erinnern, dass Hilbert eindeutig Recht hat, dass seine eigene Neuinterpretationsstrategie für die von ihm behaupteten Ergebnisse der relativen Konsistenz und Unabhängigkeit ausreicht. Wenn Konsistenz und Unabhängigkeit wie oben als Nichtbeweisbarkeit verstanden werden und wenn der Beweis, wie Hilbert annimmt, unabhängig von der Bedeutung geometrischer Begriffe ist, dann (textit {AX} _ {R}), (textit {AX} _ {G}) und sogar AX selbst sind alle konsistent, wenn einer von ihnen konsistent ist. Freges Ablehnung von Hilberts Technik muss also entweder eine gewisse Verwirrung darüber beinhalten, was Hilbert festgestellt hat, oder ein anderes Verständnis dessen, worum es bei Ansprüchen auf Beständigkeit und Unabhängigkeit geht.

Ein Weg, um Freges Beitrag zur Frege-Hilbert-Debatte zu verstehen, besteht darin, die Beiträge anzuerkennen, die Frege zur Klärung von Hilberts eigener Herangehensweise an Axiome leistet, aber zu behaupten, dass Freges negative Einschätzung von Hilberts Technik zum Nachweis von Konsistenz und Unabhängigkeit falsch ist. Aus diesem Grund zeigt die Erfüllbarkeit von (R _ { textit {AX}}) trotz des Unterschieds zwischen Frege und Hilbert hinsichtlich der Natur der Axiome die Konsistenz der Sammlung der fraglichen Axiome, ob man sich diese vorstellt Axiome in Hilberts Art als Sätze (dh als Sammlung AX) oder in Freges Art als Gedanken (dh als Sammlung (textit {AX} _ {G})). Ähnliches gilt für die Unabhängigkeit. Freges Fehler besteht in dieser Ansicht darin, nicht bemerkt zu haben, dass die Art der Nichtbeweisbarkeit resultiert (dhKonsistenz oder Unabhängigkeit), die Hilbert in seinen Neuinterpretationen für geometrische Sätze demonstriert, führt zu einem entsprechenden Ergebnis für geometrische Gedanken, das nicht beweisbar ist (Konsistenz oder Unabhängigkeit) (siehe Resnik 1974, Currie 1982, Dummett 1975).

Die alternative Interpretation argumentiert, dass Freges Verständnis von Konsistenz und Unabhängigkeit sich hinreichend von Hilberts unterscheidet, so dass die fragliche Folge nicht gilt: dass die Erfüllbarkeit von (R _ { textit {AX}}) und die daraus resultierende Konsistenz in Hilberts Sinn von AX bedeutet nicht die Konsistenz im Sinne von Frege von (textit {AX} _ {G}). Ähnliches gilt für die Unabhängigkeit. Nach dieser Interpretation behauptet Frege zu Recht, dass Hilberts Demonstrationen keine Konsistenz und Unabhängigkeit in dem Sinne zeigen, in dem er, Frege, diese Begriffe versteht. [9]

Die zentrale Idee der alternativen Interpretation ist, dass für Frege die Frage, ob ein bestimmter Gedanke logisch mit einer Sammlung von Gedanken verbunden ist, nicht nur für die formale Struktur der Sätze, die zum Ausdruck dieser Gedanken verwendet werden, sondern auch für den Inhalt des Satzes von Bedeutung ist einfache (z. B. geometrische) Begriffe, die in diesen Sätzen vorkommen. Wenn dies korrekt ist, sehen wir sofort, dass die Konsistenz von (textit {AX} _ {R}) nicht die Konsistenz von (textit {AX} _ {G}) beinhalten muss, da die Frage, ob (textit {AX} _ {G}) führt logischerweise dazu, dass sich ein Widerspruch teilweise auf die spezifisch geometrischen Teile der fraglichen Gedanken bezieht, dh auf die üblichen geometrischen Bedeutungen der geometrischen Begriffe von AX. Um ein anschauliches Beispiel zu wählen, das Frege selbst nicht gibt, betrachten Sie das Satzpaar

  • Punkt B liegt auf einer Linie zwischen den Punkten A und C;
  • Punkt B liegt nicht auf einer Linie zwischen den Punkten C und A.

Dieses Satzpaar ist nachweislich in Hilberts Sinne konsistent. Bei der hier vorgeschlagenen Interpretation von Frege stellt diese Konsistenz (im Sinne von Hilbert) jedoch nicht sicher, dass die Gedanken, die diese Sätze unter ihrer gewöhnlichen Interpretation ausdrücken, eine konsistente Sammlung bilden. Wenn Frege zum Beispiel die Beziehung 'zwischen' als anfällig für konzeptuelle Analysen versteht, nach der der erste Gedanke logisch die Negation des zweiten beinhaltet, dann sind die Gedankenpaare auf einfache Weise inkonsistent Sinn für einen logischen Widerspruch.

Die Idee, dass Frege eine logische Konsequenz hat, um auf die soeben vorgeschlagene Weise sensibel für konzeptuelle Analysen zu sein, wird aus diesem Grund in der Strategie deutlich, die Frege in seinem lebenslangen Versuch anwendet, seine logistische These, die These, dass die Wahrheiten, zu demonstrieren der Arithmetik sind aus reiner Logik beweisbar. Im Verlauf dieses Projekts demonstriert Frege regelmäßig, dass ein gegebener Gedanke τ logisch aus einer Menge T von Gedanken folgt, und zwar auf eine Weise, die zwei Schritte umfasst. Erstens unterzieht Frege τ und / oder die Mitglieder von T einer konzeptuellen Analyse, wodurch in diesen Gedanken eine zuvor nicht erkannte konzeptionelle Komplexität hervorgehoben wird. Zweitens beweist er die so analysierte Version von τ aus den so analysierten Mitgliedern von T. Zum Beispiel nimmt sich Frege selbst, um zu demonstrieren, dass der Gedanke durch ausgedrückt wird

(i) Die Summe von zwei Vielfachen einer Zahl ist ein Vielfaches dieser Zahl

folgt logisch aus den Gedanken von

(ii) (für alle m \; \ für alle n \; \ für alle p ((m + n) + p = m + (n + p)))

und von

(ii) (für alle n (n = n + 0).)

Die Demonstration wird fortgesetzt, indem eine sorgfältige Analyse des Begriffs „Vielfaches von“in Bezug auf die Addition bereitgestellt wird, wobei anstelle von (i) ein komplexeres (i ') erhalten wird, das dann aus (ii) und (iii) bewiesen wird. [10] In ähnlicher Weise besteht ein wesentlicher Teil von Freges logistischem Projekt in der sorgfältigen Analyse von arithmetischen Begriffen wie Null und Nachfolger, einer Analyse, die bisher unbemerkte Komplexität hervorhebt und den Beweis arithmetischer Wahrheiten erleichtert. (Eine Diskussion des Logistikprojekts finden Sie in den Einträgen zu Frege und Logik und Neologismus.)

Wie Frege es auf den frühen Seiten seiner Grundlagen der Arithmetik ausdrückt, wenn wir versuchen, die Wahrheiten der Arithmetik von den einfachsten möglichen Ausgangspunkten aus zu beweisen,

… Wir kommen sehr bald zu Aussagen, die nicht bewiesen werden können, solange es uns nicht gelingt, in ihnen vorkommende Konzepte in einfachere Konzepte zu analysieren oder auf etwas Allgemeineres zu reduzieren. (Frege 1884: §4)

Kurz gesagt: Die Komponenten von Gedanken können manchmal im Hinblick auf einfachere oder allgemeinere Bestandteile analysiert werden, so dass zuvor verborgene Beziehungen logischer Konsequenzen ans Licht kommen. Wenn wir also wissen wollen, ob ein bestimmter Gedanke logisch mit einer Reihe von Gedanken verbunden ist, müssen wir aus Freges Sicht nicht nur auf die Gesamtstruktur achten, die die Sätze aufweisen, die diese Gedanken ausdrücken, sondern auch auf den Inhalt der einzelnen Begriffe, die in diesen Sätzen erscheinen.

Der Zusammenhang zwischen diesem Aspekt von Freges Arbeit und seinen Ansichten zur Unabhängigkeit in Bezug auf die fragliche Interpretation ist wie folgt. Da wir manchmal feststellen können, dass ein Gedanke τ nur nach einer sorgfältigen Analyse einiger der scheinbar einfachen Komponenten dieser Gedanken logisch durch eine Menge T von Gedanken hervorgerufen wird, können wir manchmal auch feststellen, dass es sich um eine Menge von Gedanken handelt inkonsistent, dh dass es sich auf der Grundlage einer solchen konzeptuellen Analyse logischerweise um einen Widerspruch handelt. Daher ist die Konsistenz der Gedankenmenge, die durch eine Menge von Sätzen ausgedrückt wird, etwas, das sich nicht nur auf die Gesamtstruktur der Sätze in Σ bezieht, sondern auch auf die Bedeutung der Begriffe, die in den Sätzen von Σ vorkommen.

Um diesen letzten Punkt zu verdeutlichen, schauen wir uns ein nicht-mathematisches Beispiel an, auf das weder Hilbert noch Frege explizit eingegangen sind. Betrachten Sie die Sätze {Jones hatte einen Albtraum, Jones hatte keinen Traum} oder gleichwertig die Wiedergabe erster Ordnung ({Nj, {{ sim} Dj} }). Die Menge ist in dem von Hilbert in FG verwendeten Sinne eindeutig konsistent; Es ist unkompliziert, „Jones“, „x hatte einen Albtraum“und „x hatte einen Traum“(oder „j“, „N“und „D“) so zu interpretieren, dass die so interpretierten Sätze Wahrheiten ausdrücken. (Betrachten Sie zum Beispiel eine Interpretation, bei der „j“die Zahl 7, „N“die Menge der Primzahlen und „D“die Menge der Zahlen größer als 12 zugewiesen wird.) Aus fregeanischer Sicht ist die Die zum Ausdruck gebrachten Gedanken sind wohl inkonsistent, da es ein Teil dessen ist, einen Albtraum zu haben, einen Traum zu haben. Die Inkonsistenz aus Freges Sicht kann demonstriert werden, indem eine Analyse der geäußerten Gedanken bereitgestellt wird und festgestellt wird, dass die Ergebnisse dieser Analyse die Menge ergeben {Jones hatte einen verstörenden Traum, Jones hatte keinen Traum}.

Aus dem gleichen Grund können sich zwei Sätze von Gedanken, die strukturell ähnlich sind, in dem Sinne, dass sie unter verschiedenen Interpretationen durch denselben Satz von Sätzen ausgedrückt werden können, in Bezug auf die Frege-Konsistenz unterscheiden. In Bezug auf den geometrischen Kontext besteht die zentrale Idee in diesem Zusammenhang mit Freges Einwand gegen Hilbert darin, dass die Art der Neuinterpretation, mit der sich Hilbert befasst, aus einem konsistenten Satz von Gedanken (z. B. (textit {AX) stammen kann } _ {R})) zu einem inkonsistenten (z. B. (textit {AX} _ {G})) aufgrund der Verschiebung des Themas, wodurch die Folgerung von der Konsistenz des ersten zum ersten ungültig wird Konsistenz der zweiten.

Frege behauptet nicht, in der Lage zu sein, spezifische geometrische Analysen zu geben, die bestimmten Konsistenzansprüchen von Hilbert widersprechen, und es gibt keine Beweise dafür, dass er eine dieser Behauptungen für falsch hält. Dass er einige solcher Analysen im Sinn gehabt haben könnte, wird in einem Brief an Hilbert angedeutet, in dem er behauptet, dass er in seinen eigenen unvollendeten Untersuchungen der Grundlagen der Geometrie „mit weniger primitiven Begriffen auskommen konnte“, was vermutlich der Fall war bedeutet, dass er einige der von Hilbert als primitiv behandelten Begriffe für eine Analyse über andere hält (siehe den Brief an Hilbert vom 27. Dezember 1899 in Frege 1980: 34). Eine solche Analyse würde logische Abhängigkeitsbeziehungen (aus Freges Sicht) aufzeigen, in denen Hilbert Unabhängigkeit finden würde.

Da keine von Freges Arbeiten zu diesem Thema erhalten geblieben ist, haben wir keine Details zu den spezifischen Analysen, die er möglicherweise gegeben hat. Der entscheidende Punkt in Freges Kritik an Hilbert ist jedoch nicht die Meinungsverschiedenheit über bestimmte Analysen oder das daraus resultierende Versagen bestimmter Konsistenz- und Unabhängigkeitsansprüche, sondern die allgemeine Methodik der Konsistenz- und Unabhängigkeitsnachweise. Denn für Hilbert hängt die Konsistenz einer Reihe von Sätzen vollständig von der Gesamtstruktur ab, die sie aufweisen, während für Frege die Konsistenz der Menge der zum Ausdruck gebrachten Gedanken zusätzlich vom Inhalt der nicht logischen Begriffe abhängt, die in den Sätzen erscheinen. Hilbert-Konsistenz bedeutet nicht Frege-Konsistenz.

5. Bleibende Probleme

Wir haben zwei Möglichkeiten untersucht, um Freges Einwände gegen Hilberts Techniken zum Nachweis von Konsistenz und Unabhängigkeit zu verstehen. Der erste geht davon aus, dass Frege grundlegend falsch ist, wobei der Fehler darin besteht, dass er den Zusammenhang zwischen der Erfüllbarkeit einer Reihe neu interpretierbarer Sätze und den damit verbundenen Unabhängigkeits- / Konsistenzansprüchen nicht richtig eingeschätzt hat. Der zweite geht davon aus, dass Frege in dem Sinne grundlegend korrekt ist, dass (i) er die Konsistenz und Unabhängigkeit von Gedanken versteht, um sich nicht nur auf die Oberflächensyntax der Sätze zu beziehen, die sie ausdrücken, sondern auch auf den Inhalt der einfachen Begriffe, die in ihrem Ausdruck verwendet werden und (ii) Konsistenz und Unabhängigkeit, so verstanden, sind auf Hilberts Weise nicht nachweisbar.

Keine dieser Interpretationsmöglichkeiten ist völlig unproblematisch. Eine wichtige Schwierigkeit bei der ersten ist die Zuschreibung eines starken Maßes an Verwirrung über die Kraft von Hilberts Neuinterpretationen an Frege, was wohl in gewissem Maße mit der Tatsache zusammenhängt, dass Freges Bericht über Hilberts methodisches Verfahren in FG im Allgemeinen beträchtlich ist klarer als Hilberts. Eine weitere Quelle der Schwierigkeit besteht darin, dass das Verständnis der Unabhängigkeit, das Frege aus diesem Grund zugeschrieben wird, im Spannungsfeld mit dem Verständnis der logischen Konsequenz steht, das in seiner logistischen Arbeit eine zentrale Rolle spielt. Dieses Verständnis, bei dem der Inhalt mathematischer Begriffe für logische Fragen von entscheidender Bedeutung sein kann Folge. Die zweite Interpretation, obwohl für Frege wohltätiger,leidet wohl daran, dass Frege die Relevanz der konzeptuellen Analyse für Fragen der Konsistenz und Unabhängigkeit nicht ausdrücklich erwähnt.

Eine letzte Quelle potenzieller Schwierigkeiten für eine Darstellung von Freges Ansichten über Unabhängigkeit und Beständigkeit ist der sehr interessante Teil (iii) des Aufsatzes „Grundlagen der Geometrie“von 1906. Die Bedeutung dieses Textes und die damit verbundenen Interpretationsschwierigkeiten können wie folgt skizziert werden.

Der Aufsatz „Grundlagen der Geometrie“von 1906 ist in erster Linie eine Wiederholung von Freges früheren (oben diskutierten) Einwänden gegen Hilberts Behandlung von Konsistenz und Unabhängigkeit. Nach einer Wiederholung dieser Einwände wendet sich Frege in Teil III dem Problem zu, eine positive Methode zum Nachweis der Unabhängigkeit zu geben. Wie, fragt er, könnte man einen bestimmten Gedanken unabhängig von einer Sammlung von Gedanken beweisen? Als Antwort liefert Frege eine Skizze einer möglichen Methode und beendet die Diskussion mit der Feststellung, dass die skizzierte Methode noch unvollständig ist und mit einigen Schwierigkeiten konfrontiert ist. Trotz der offensichtlichen Unvollständigkeit kehrt Frege (soweit wir das beurteilen können) nie zu dem Vorschlag zurück und scheint ihn am Ende als unbefriedigend empfunden zu haben. Dass er es im Prinzip für unbefriedigend hielt, zeigt seine Behauptung vier Jahre später in einer Notiz an Jourdain:dass die Unbeweisbarkeit des Parallelenaxioms nicht bewiesen werden kann (siehe Frege 1980: 183n). Das heißt, er scheint bis 1910 der Ansicht zu sein, dass es keine systematische Methode zum Nachweis der Unabhängigkeit gibt.[11]

Der Vorschlag von 1906 selbst kann wie folgt umrissen werden. Nehmen wir an, sagt Frege, wir haben eine Sammlung C von Sätzen, von denen jeder einen bestimmten Gedanken ausdrückt, und einen Satz S, der auf ähnliche Weise einen bestimmten Gedanken ausdrückt. Das Herzstück der vorgeschlagenen Methode zum Nachweis der Unabhängigkeit des S-Gedankens von den C-Gedanken besteht darin, dass wir eine Zuordnung μ von Begriffen zu Begriffen (und damit auch von Sätzen zu Sätzen) verwenden, die den syntaktischen Typ (Zuordnung von Namen zu Namen, Ein-Ort-Prädikate zu Ein-Ort-Prädikaten usw.) und ordnet sich 'logische' Begriffe zu. Dann: Der S-Gedanke ist unabhängig von den C-Gedanken, wenn μ S einem falschen Satz zuordnet, während alle Mitglieder von C wahren Sätzen zugeordnet werden. (Zur Diskussion und Entwicklung des Vorschlags von Frege siehe Antonelli & Mai 2000, Eder 2016. Zur Diskussion der Gründe von Frege für die Ablehnung des Vorschlags,siehe Ricketts 1997, Eder 2013, Blanchette 2014.)

Das erste Interessante an dem Vorschlag ist seine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit Hilberts Methode. Unter der Annahme, dass Freges Sprache so umfangreich ist, dass sie Begriffe für alle Objekte, Funktionen und Mengen enthält, die Hilbert bei Neuinterpretationen verwenden könnte, wird es wahrscheinlich eine Abbildung der Art geben, die Frege genau dann beschreibt, wenn es eine Neuinterpretation der Art gibt, die Hilbert verwendet um (seine Version von) Unabhängigkeit zu zeigen: Wo Hilberts Neuinterpretation einen Begriff t mit neuem Inhalt liefert, würde Freges Methode t einfach einem neuen Begriff mit genau diesem Inhalt zuordnen. Und dies würde bedeuten, dass Hilberts Methode trotz aller von Frege vorgebrachten Einwände letztendlich ausreichen würde, um zu demonstrieren, was Frege als Unabhängigkeit der Gedanken ansieht. Wenn dies korrekt ist,dann haben wir Grund, an einer Interpretation von Frege zu zweifeln, mit der seine Ablehnung von Hilberts Methode gerechtfertigt ist.

Die zentralen Gründe, warum man die soeben vorgeschlagene starke Äquivalenz zwischen Hilberts Methode und Freges Vorschlag bezweifeln könnte, sind: (i) es ist nicht klar, welche Art von Sprache Frege im Sinn hat, und (ii) es ist nicht klar, ob die Klasse der Begriffe Frege würde als "logisch" gelten, dh die Klasse, deren Mitglieder μ sich selbst zuordnen müssen, ist dieselbe wie die Klasse von Begriffen, die Hilbert als eine feste Interpretation zählen würde. Wenn Freges Klasse fester Begriffe breiter ist als die von Hilbert und / oder Freges Sprache einen Teil der Terminologie von Hilbert fehlt, dann bedeutet eine Demonstration der Unabhängigkeit im Sinne von Hilbert nicht die Existenz einer Abbildung, die die Unabhängigkeit im Sinne von Frege demonstriert. Eine Möglichkeit, sich die entscheidende Frage vorzustellen, ist die Frage, ob Begriffe wie „Zahl“oder „zwischen“Begriffe, die Frege als anfällig für konzeptionelle Analysen behandelt, werden in der Sprache zugelassen, mit der sich Frege befasst (im Gegensatz dazu, dass die Sprache nur „vollständig analysierte“Begriffe enthalten muss), und ob solche Begriffe zu diesen gehören dass μ einer beliebigen neuen Terminologie zugeordnet ist. Frege selbst weist auf die Bedeutung des gerade aufgeworfenen zweiten terminologischen Abgrenzungsproblems hin, dh auf das Problem, zu bestimmen, welche Begriffe auf sich selbst abgebildet werden, und bemerkt, dass dieses Problem angegangen werden müsste, um seine Skizze in eine praktikable Strategie umzuwandeln. Da er niemals die Frage nach der festen Terminologie oder der Art der fraglichen Sprache beantwortet, ist Freges Vorschlag für einen klaren Vergleich mit Hilberts nicht hinreichend bestimmt. Wir bleiben also übrigmit der Auslegungsfrage, Freges Vorschlag einer Methode zu verstehen und sie anschließend offensichtlich abzulehnen, während die Unvollständigkeit dieses Vorschlags anerkannt wird. (Zur weiteren Diskussion des Textes von 1906 siehe: Ricketts 1997, Tappenden 2000, Blanchette 2014.)

6. Fazit

Da Ansprüche auf Beständigkeit und Unabhängigkeit grundsätzlich Ansprüche auf Nichteinhaltung oder Unbeweisbarkeit sind, ist es nicht offensichtlich, wie man Beständigkeit und Unabhängigkeit nachweisen kann, selbst wenn wir über starke Techniken zum Nachweis mathematischer Ergebnisse verfügen. Was Hilbert uns 1899 anbietet, ist eine systematische und leistungsstarke Technik, die in allen formalisierten Disziplinen eingesetzt werden kann, um genau dies zu erreichen: um Konsistenz und Unabhängigkeit zu beweisen. Dabei legt er gemeinsam mit verschiedenen seiner Zeitgenossen den Grundstein für die Entstehung zeitgenössischer modelltheoretischer Techniken. (Weitere Informationen finden Sie in Mancosu, Zach & Badesa 2009; siehe auch Eintrag zur Geometrie des 19. Jahrhunderts.)

Was wir durch Freges Ablehnung und Hilberts Verteidigung dieser Technik finden, ist eine Klärung der Annahmen, die für ihren Erfolg wesentlich sind. Wie wir gesehen haben, ist das entscheidende Merkmal des Beweises, das angenommen werden muss, damit eine Neuinterpretation nach Hilbert-Art ein Ergebnis der Unbeweisbarkeit zeigt, dass die Beweisbarkeit unempfindlich gegenüber dem Inhalt dieser Begriffe ist, die Hilbert in diesem Fall als neu interpretierbar ansieht, die geometrischen Begriffe. Die alternative Sichtweise von Konsistenz und Unabhängigkeit, bei der Entailment und Beweisbarkeit für den Inhalt geometrischer Begriffe sensibel sind, ist eine, bei der Neuinterpretationen im Hilbert-Stil keine so verstandene Konsistenz und Unabhängigkeit demonstrieren können. Wie oben beschrieben,Die Lesart von Frege, zu der er eine solche Auffassung von Beständigkeit und Unabhängigkeit vertritt, liefert eine Begründung für seine Einwände gegen Hilbert und eine alternative Darstellung dessen, worum es bei Ansprüchen auf geometrische Beständigkeit und Unabhängigkeit geht.

Trotz des eindeutigen Versagens der Kommunikation zwischen Hilbert und Frege bringt ihre Debatte eine Reihe wichtiger Fragen ans Licht, darunter (i) die Rolle schematisch verstandener Sätze bei der Bereitstellung impliziter Definitionen, die Frege in Hilberts Namen klarer formuliert als Hilbert es bisher getan hatte, und (ii) inwieweit die logischen Beziehungen als „formal“zu behandeln sind. In dieser letzten Ausgabe ist der Unterschied zwischen Frege und Hilbert aufschlussreich. Schon lange vor der Debatte mit Hilbert war Frege der Ansicht, dass logische Strenge die Verwendung formaler Ableitungssysteme erfordert, „formal“in dem Sinne, dass alle Gedanken über genau festgelegte Sätze ausgedrückt werden und dass alle Inferenzregeln und Axiome syntaktisch dargestellt werden (siehe z. B. Frege 1879). Am wichtigsten für unsere Zwecke ist die Tatsache, dass Freges formale Systeme in dem Sinne völlig modern sind, dass die Ableitbarkeit eines Satzes aus einer Reihe von Sätzen in einem solchen System nur von der syntaktischen Form dieser Sätze abhängt. Die berühmten konzeptuellen Analysen, an denen sich ein Großteil von Freges Arbeiten dreht, werden alle vor dem Beweis vorgelegt; Auf der Grundlage konzeptioneller Analysen gelangt man zu den geeigneten Sätzen, die innerhalb des formalen Systems zu behandeln sind, aber die Analysen selbst spielen innerhalb der eigentlichen Beweise keine Rolle. Wenn es darum geht, zu demonstrieren, dass ein bestimmter Satz aus einer Reihe von Sätzen ableitbar ist, ist Frege genau wie Hilbert: Bedeutungen spielen keine Rolle. Tatsächlich war Freges Arbeit zum Zeitpunkt ihrer Korrespondenz wesentlich „formeller“als die von Hilbert.da Hilbert zu diesem Zeitpunkt kein explizites syntaktisch definiertes Abzugssystem verwendete.

Freges Konzeption der Logik hat jedoch zur Folge, dass es nur eine einseitige Verbindung zwischen logischer Implikation, wie sie zwischen Gedanken besteht, und formaler Ableitbarkeit gibt, wie dies zwischen Sätzen gilt. Bei einem guten formalen System kann ein Satz σ nur dann aus einer Menge Σ abgeleitet werden, wenn der durch σ ausgedrückte Gedanke tatsächlich logisch mit den Gedanken der Mitglieder von Σ verbunden ist. (Dies setzt lediglich voraus, dass die eigenen Axiome und Inferenzregeln gut gewählt sind.) Das Gegenteil ist jedoch falsch: Dass σ in einem solchen System nicht von Σ ableitbar ist, ist keine Garantie dafür, dass der durch σ ausgedrückte Gedanke unabhängig von der Menge der Gedanken ist ausgedrückt durch die Mitglieder von Σ. Denn es kann durchaus sein, dass, wie in den Fällen, die von Freges eigenen Analysen explizit behandelt werden, eine weitere Analyse der Gedanken und ihrer Komponenten eine komplexere Struktur ergibt. Wenn das passiert,Die Analyse kann noch komplexere (Sätze von) Sätzen σ 'und Σ' zurückgeben, so dass σ 'schließlich aus Σ' ableitbar ist. Nach der wohltätigeren der beiden oben beschriebenen Interpretationsmöglichkeiten ist dies die Erklärung für Freges Ablehnung von Hilberts Behandlung von Konsistenz und Unabhängigkeit in der Geometrie. Wie wir es ausdrücken könnten, ist die Nichtableitbarkeit im fregeanischen Schema der Dinge keine Garantie für Unabhängigkeit, da in den Gedanken, die durch relativ einfache Sätze ausgedrückt werden, eine beträchtliche logische Komplexität unentdeckt bleiben kann. Es gibt, wie man sagen könnte, eine erhebliche Lücke zwischen dem Logischen und dem Formalen. Dies ist die Erklärung für Freges Ablehnung von Hilberts Behandlung von Konsistenz und Unabhängigkeit in der Geometrie. Wie wir es ausdrücken könnten, ist die Nichtableitbarkeit im fregeanischen Schema der Dinge keine Garantie für Unabhängigkeit, da in den Gedanken, die durch relativ einfache Sätze ausgedrückt werden, eine beträchtliche logische Komplexität unentdeckt bleiben kann. Es gibt, wie man sagen könnte, eine erhebliche Lücke zwischen dem Logischen und dem Formalen. Dies ist die Erklärung für Freges Ablehnung von Hilberts Behandlung von Konsistenz und Unabhängigkeit in der Geometrie. Wie wir es ausdrücken könnten, ist die Nichtableitbarkeit im fregeanischen Schema der Dinge keine Garantie für Unabhängigkeit, da in den Gedanken, die durch relativ einfache Sätze ausgedrückt werden, eine beträchtliche logische Komplexität unentdeckt bleiben kann. Es gibt, wie man sagen könnte, eine erhebliche Lücke zwischen dem Logischen und dem Formalen.

Für Hilbert hingegen sind die logischen Beziehungen zumindest im Kontext der axiomatisierten Geometrie einfach die formal beschreibbaren Beziehungen, da sie ausschließlich mit der Struktur der fraglichen Sätze oder gleichwertig mit dem „Gerüst“zu tun haben. von Konzepten, die durch diese Sätze definiert sind. Weil Konsistenz im Sinne von Hilbert nur diese abstrakte Struktur und nicht den Inhalt der Begriffe betrifft, die die Struktur instanziieren, ist die Neuinterpretationsstrategie effektiv.

Hilbert ist eindeutig der Gewinner dieser Debatte, in dem Sinne, dass ungefähr seine Vorstellung von Konsistenz das ist, was man heute unter „Konsistenz“im Kontext formaler Theorien versteht, und ein naher Verwandter seiner Methodik für Konsistenznachweise heute Standard ist. Wir nehmen jetzt routinemäßig Konsistenz und Unabhängigkeit, wie es Hilbert tut, um unabhängig von der Bedeutung der sogenannten „nicht logischen“Begriffe zu bleiben und daher im Wesentlichen auf Hilberts Weise direkt nachweisbar zu sein. Dies bedeutet nicht, dass Freges Einwände erfüllt wurden, sondern dass sie im Wesentlichen durch die Verankerung des formalen Begriffs der Konsistenz und die mangelnde Sorge, zumindest unter diesem Titel, um das, was Frege als „Konsistenz“bezeichnete, umgangen wurden.

Literaturverzeichnis

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Andere Internetquellen

Sterrett, Susan G., 1994, "Frege und Hilbert auf den Grundlagen der Geometrie", [PDF] (1994 Talk)

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