Verallgemeinerte Quantifizierer

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Verallgemeinerte Quantifizierer

Erstveröffentlichung am 5. Dezember 2005; inhaltliche Überarbeitung Fr 26. Juli 2019

Verallgemeinerte Quantifizierer gehören heute zur Standardausrüstung in den Werkzeugkästen von Logikern und Linguisten. Der Zweck dieses Eintrags besteht darin, diese Tools zu beschreiben: Woher sie kommen, wie sie funktionieren und wofür sie verwendet werden können. Die Beschreibung ist notwendigerweise lückenhaft, es gibt jedoch mehrere umfassendere Erhebungen in der Literatur, auf die gegebenenfalls Bezug genommen wird. Um den folgenden Text vollständig zu verstehen, ist eine grundlegende Vertrautheit mit der theoretischen Terminologie elementarer Mengen und mit der Sprache der Logik erster Ordnung hilfreich.

• 1. Vorbereitungen
• 2. Aristoteles
• 3. Frege
• 4. Verallgemeinern des universellen und existenziellen Quantifizierers
• 5. Verallgemeinerte Quantifizierer beliebiger Typen
• 6. Themenneutralität
• 7. Relativierung
• 8. Ausdruckskraft
• 9. Verallgemeinerte Quantifizierer und Berechnung
• 10. Verallgemeinerte Quantifizierer und natürliche Sprache
• 11. Konservativität
• 12. Erweiterung
• 13. Symmetrie und Monotonie
• 14. Determinanten, die nicht ISOM sind
• 15. Konstanz
• 16. Polyadic Natural Language Quantifiers
• 17. GQ-Theorie und Linguistik
• 18. Quantifizierung und Erkenntnis
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Vorbereitungen

Der Begriff "verallgemeinerter Quantifizierer" spiegelt wider, dass diese Entitäten als Verallgemeinerungen der Standardquantifizierer der modernen Logik (forall) und (existent) in die Logik eingeführt wurden. ^[1] Rückblickend kann man sagen, dass (forall) und (existent) nur zwei Beispiele für ein viel allgemeineres Konzept des Quantifizierers sind, was den Begriff „verallgemeinert“überflüssig macht. Heutzutage ist es auch üblich, nur "Quantifizierer" für den allgemeinen Begriff zu verwenden, aber "verallgemeinerter Quantifizierer" ist aus historischen Gründen immer noch häufig. In diesem Artikel werden beide Begriffe verwendet, wobei die Tendenz besteht, "verallgemeinert" in logische Kontexte einzufügen und in sprachlichen Kontexten zu löschen.

Wir unterscheiden Quantifiziererausdrücke von dem, was sie bedeuten oder bezeichnen, den (verallgemeinerten) Quantifizierern selbst. In logischen Sprachen sind Quantifiziererausdrücke variable Bindungsoperatoren. Somit ist (existiert) der bekannte Operator, so dass in einer Formel (existiert x / f) ^[2] (existiert x) alle freien Vorkommen von x in (f) bindet.. Es bedeutet den Quantifizierer "es gibt" - wir werden in Kürze genau sehen, was dieses Objekt ist. Ebenso wird das Symbol (Q_0) häufig als variabel bindender Operator verwendet, der "es gibt unendlich viele" bedeutet.

In natürlichen Sprachen wurden verschiedene Ausdrücke als Quantifiziererausdrücke angesehen, beispielsweise jeder der folgenden englischen Ausdrücke:

alles, nichts, drei Bücher, die zehn Professoren, John, John und Mary, nur John, Feuerwehrmänner, jeder, mindestens fünf, die meisten, alle bis auf zehn, weniger als die Hälfte von Johns, einigen Studenten, nein … außer Mary, mehr männlich als weiblich, normalerweise nie, einander. ^[3]

Was sind dann verallgemeinerte Quantifizierer? Bevor Sie diese Frage beantworten, ist ein kurzer historischer Auftakt hilfreich.

2. Aristoteles

Aristoteles 'Syllogistik kann als formale Untersuchung der Bedeutung der vier grundlegenden Quantifiziererausdrücke alle, nein, einige, nicht alle und ihrer Eigenschaften angesehen werden. Zum Beispiel die Gültigkeit des Syllogismus nach Aristoteles

alle (A, B) alle (B, C) einige (A, C)

zeigt, dass er im Gegensatz zur modernen logischen Verwendung alle als existenziell wichtig ansah, so dass Alle A B sind, was bedeutet, dass A kein leerer Begriff ist. Ebenso die Gültigkeit des Syllogismus

einige (A, B) alle (B, C) alle (A, C)

drückt aus, dass einige im zweiten Argument monoton ansteigen (wie wir es jetzt sagen). Jeder gültige Syllogismus formalisiert einen Teil der Bedeutung dieser Quantifiziererausdrücke, aber Aristoteles 'Untersuchung ihrer Eigenschaften ging über die Syllogistik hinaus. Er beobachtete zum Beispiel, dass einige und keine konvertierbar oder, wie wir jetzt sagen könnten, symmetrisch sind, da sie das Schema erfüllen

Q (A, B) Q (B, A)

im Gegensatz zu allen und nicht allen. Weiter untersuchte er, wie verschiedene Formen der Negation mit Quantifiziererausdrücken im (was später genannt wurde) Quadrat der Opposition kombiniert wurde. ^[4]Mittelalterliche Logiker setzten die Tradition von Aristoteles fort, erweiterten aber auch das syllogistische Denken auf Fälle, in denen A, B selbst quantifizierte Ausdrücke sein könnten, und behandelten so Prämissen und Schlussfolgerungen wie Ein Esel eines jeden Mannes läuft nicht (Beispiel von John Buridan, 14. Jahrhundert). Obwohl die aristotelische Logik nicht der Ausdruckskraft und Präzision der modernen Logik entspricht, war die Syllogistik sicherlich ein entscheidender Beitrag zur Erforschung der Quantifizierung. Tatsächlich wurden in jüngster Zeit syllogistische Systeme verschiedener Ausdruckskraft in der mathematischen Logik untersucht, gerade wegen ihrer Affinität zum natürlichen Denken und ihrer einfachen rechnerischen Eigenschaften; siehe Abschnitt 18 unten.

Besonders interessant im vorliegenden Kontext ist die Tatsache, dass diese Quantifiziererausdrücke zwei Argumente oder Begriffe annehmen und daher als binäre Beziehungen angesehen werden können, sowohl syntaktisch (wie Aristoteles sie zweifellos sah) als auch semantisch: Angesichts der Tatsache, dass Begriffe Mengen von Individuen bedeuten, die Ausdruck Einige können verwendet werden, um die Beziehung der Überlappung zu bezeichnen, dh einen nicht leeren Schnittpunkt zwischen zwei Mengen zu haben, und alle bedeutet die Einschlussbeziehung. Beachten Sie, dass dies keine Beziehungen zwischen Individuen sind, sondern zwischen Gruppen von Individuen - Beziehungen zweiter Ordnung. In der Tat sind sie genau die verallgemeinerten Quantifizierer, die einige bzw. alle (in einem bestimmten Universum).

Dieser Thread - Quantifiziererausdrücke bedeuten Beziehungen zweiter Ordnung - wurde von keinem der mittelalterlichen Anhänger von Aristoteles aufgegriffen (soweit wir wissen). Stattdessen haben sie die Tatsache aufgegriffen, dass die beiden Begriffe einen unterschiedlichen Status haben: Der erste bildet zusammen mit dem Quantifiziererausdruck eine Nominalphrase (wie wir jetzt sagen), die Gegenstand des Satzes ist, während die zweite eine Verbalphrase ist das Prädikat bilden. Dies führte sie dazu, sich auf das zu konzentrieren, was das Thema - alle Männer, einige Hunde, keine Seeleute - bedeutete, was konzeptionell eine schwierigere Frage zu sein scheint. Man könnte vermuten, dass alle Männer jeden Mann (oder die Gruppe von Männern) bedeuten und dass einige Hunde einen bestimmten Hund bedeuten, aber was ist mit keinen Seeleuten? In der Tat kann man zeigen, dass Ansätze wie diese zum Scheitern verurteilt sind. ^[5] Die moderne „Lösung“besteht darin, dass Nominalphrasen Mengen von Mengen von Individuen bezeichnen, so dass beispielsweise einige Hunde die Menge von Mengen bezeichnen, die mindestens einen Hund enthalten - dies scheint jedoch einen abstrakteren und mathematischeren Ansatz für die Semantik als die Idee zu erfordern, was zumindest in Aristoteles impliziert ist, dass Quantifiziererphrasen Beziehungen zwischen (den Bezeichnungen von) Begriffen bedeuten.

3. Frege

Der zweite wichtige historische Beitrag zur Theorie der verallgemeinerten Quantifizierer kam in den 1870er Jahren vom „Erfinder“der modernen Logik, Gottlob Frege. Tatsächlich leistet Frege einen doppelten Beitrag. Wie jeder Philosophiestudent weiß, führte er die Sprache der Prädikatenlogik mit sententialen Konnektiven, Identität und dem Variablenbindungsoperator (forall) ein (obwohl seine zweidimensionale logische Notation nicht mehr verwendet wird). Dies sind die Quantifizierer, die Logiker in den 1950er Jahren zu „verallgemeinern“begannen. Frege formulierte aber auch explizit den abstrakten Begriff eines Quantifizierers als Relation zweiter Ordnung oder, wie er es nannte, als Begriff der zweiten Stufe. Er war sich bewusst, dass die vier aristotelischen Quantifizierer erstklassige Beispiele waren, aber er wollte den Fokus auf die Subjekt-Prädikat-Form vermeiden.was er (mit viel Recht) als ein großes Hindernis für die Entwicklung der Logik nach Aristoteles ansah. Es war daher eine wichtige Entdeckung, dass diese Quantifizierer alle als (forall) und sententiale Operatoren definiert werden konnten (wobei alle ((A, B)) durch (forall x (A (x) rightarrow ersetzt wurden) B (x))), einige ((A, B)) durch (neg / für alle x (A (x) rechtspfeil / neg B (x))) usw.).

Tatsächlich besteht der einzige signifikante Unterschied zwischen Freges Vorstellung eines Konzepts der zweiten Ebene und der modernen Vorstellung eines verallgemeinerten Quantifizierers darin, dass Frege nicht die Idee einer Interpretation oder eines Modells hatte, die wir jetzt (seit dem Aufkommen der Modelltheorie in der 1950er Jahre) als ein Universum, über das sich die Quantifizierer erstrecken, sowie eine Zuordnung geeigneter semantischer Objekte zu den nicht logischen Symbolen. Freges Symbole hatten alle feste Bedeutungen, und das einzige Universum, das er betrachtete, war die Gesamtheit von allem. Abgesehen davon kann man durchaus sagen, dass Frege verallgemeinerte Quantifizierer entdeckt hat. Dieser Aspekt von Freges Logik blieb jedoch lange Zeit im Hintergrund, und Modelltheoretiker in den 50er und 60er Jahren scheinen sich dessen nicht bewusst gewesen zu sein.

4. Verallgemeinern des universellen und existenziellen Quantifizierers

Die moderne Prädikatenlogik legt die Bedeutung von (forall) und (existent) mit den jeweiligen Klauseln in der Wahrheitsdefinition fest, die induktiv die Bedingungen angibt, unter denen eine Formel (f (x_1, / ldots, x_n)) (mit höchstens (x_1, / ldots, x_n) frei) wird durch entsprechende Elemente (a_1, / ldots, a_n) in einem Modell (M = (M, I)) erfüllt (wobei M ist das Universum und I die Interpretationsfunktion, die nicht logischen Symbolen geeignete Erweiterungen zuweist): (M / models / f (a_1, / ldots, a_n)). Die Klauseln sind (wobei "iff" wie üblich für "wenn und nur wenn" steht)

• (1) (M / models / forall x / p (x, a_1, / ldots, a_n)) iff für jedes (a / in M ), (M / models / p (a, a_1), / ldots, a_n))
• (2) (M / models / existiert x / p (x, a_1, / ldots, a_n)) wenn es einige (a / in M ) st (M / models / p (a, a_1, / ldots, a_n))

Um andere Quantifizierer einzuführen, muss man wissen, welche Art von Ausdrücken (forall) und (existiert) sind. Syntaktisch sind sie Operatoren, die eine Variable in einer Formel binden. Um zu sehen, wie sie semantisch funktionieren, ist es nützlich, (1) und (2) leicht umzuschreiben. Erstens bezeichnet jede Formel (p (x)) mit einer freien Variablen in einem Modell (M) eine Teilmenge von M; die Menge von Individuen in M, die (p (x)) erfüllen. Allgemeiner gesagt, wenn (p (x, x_1, / ldots, x_n) = / p (x, / xbar)) höchstens die angezeigten freien Variablen hat und (abar = a_1, / ldots, a_n) sind Elemente von M, lass

) p (x, / abar) ^ { M, x} = {a / in M: / M / models / p (a, / abar) })

sei die Erweiterung von (p (x, / xbar)) in (M) relativ zu (a_1, / ldots, a_n). Dann können wir (1) und (2) wie folgt umformulieren:

• (3) (M / models / forall x / p (x, / abar)) iff (p (x, / abar) ^ { M, x} = M)
• (4) (M / models / existiert x / p (x, / abar)) iff (p (x, / abar) ^ { M, x} neq / emp)

Somit ergeben sich die Bedingungen auf der rechten Seite als Eigenschaften der Mengen (p (x, / abar)). Tatsächlich können wir uns (forall) und (existiert) so vorstellen, dass sie diese Eigenschaften bezeichnen, dh die Eigenschaft, mit dem Universum identisch zu sein bzw. nicht leer zu sein. Und jetzt fällt es leicht, sich andere Eigenschaften von Mengen vorzustellen, die auch als Quantifizierer behandelt werden können, beispielsweise die Eigenschaft, mindestens 5 oder genau 3 Elemente zu enthalten oder unendlich zu sein. ^[6]

Beachten Sie, dass diese Eigenschaften nur vom Universum M abhängen, nicht vom Rest des Modells. Im weiteren Sinne handelt es sich einfach um Mengen von Teilmengen von M. Dies führt zu der folgenden Definition. im wesentlichen von Mostowski (1957):

Definition 1

Ein verallgemeinerter Quantifizierer Q vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) ist

• (5) a. syntaktisch ein variabler Bindungsoperator, so dass immer, wenn (f) eine Formel ist, (Qx / f) und (Qx) alle freien Vorkommen von x in (f) gebunden sind;
• b. semantisch eine Abbildung von beliebigen Universen (nicht leere Mengen) M auf eine Menge (Q_M) von Teilmengen von M, die Formeln der Form (Qx / f) gemäß der Klausel) tag {i } M / Modelle Q x / p (x, / abar) text {iff} p (x, / abar) ^ { M, x} in Q_M)

Hier verwenden wir dasselbe Symbol für den Quantifiziererausdruck und die Zuordnung, die er bedeutet oder bezeichnet. Somit bezeichnet (forall) nun den ebenfalls geschriebenen universellen Quantifizierer (forall), der die durch gegebene Abbildung ist

) forall_M = {M })

für alle M. In ähnlicher Weise bezeichnet (existiert) die durch definierte Zuordnung

) existiert_M = {A / subseteq M: A / neq / emp })

Und hier sind einige andere verallgemeinerte Quantifizierer:

) tag {6} label {ex-qlist1} begin {alignat} {2} (existiert _ { geq 5}) _ M & = {A / subseteq M: | A | / geq 5 } & (| X | / textrm {ist die Größe oder} && / textrm {Kardinalität von} X) (existiert _ {= 3}) _ M & = {A / subseteq M: | A | = 3 } (Q_0) _M & = {A / subseteq M: A / text {ist unendlich} } (Q ^ R) _M & = {A / subseteq M: | A | > | MA | } & / textrm {(der "Rescher} && / textrm {Quantifizierer")} (Q _ { text {gerade}}) _ M & = {A / subseteq M: | A | / text {ist gerade} } end {alignat})

Wir haben jetzt eine genaue Vorstellung von einem verallgemeinerten Quantifizierer, von dem (forall) und (existiert) Instanzen sind, zusammen mit unendlich vielen anderen. Darüber hinaus sehen wir, wie die Logik FO erster Ordnung auf eine Logik (FO (Q)) erweitert werden kann, indem die Klausel (5a) zu den Formationsregeln und die Klausel (5b-i) zur Wahrheitsdefinition hinzugefügt werden. Ebenso, wenn wir mehr als einen verallgemeinerten Quantifizierer hinzufügen: (FO (Q_1, / ldots, Q_n)).

In einer solchen Logik kann man Dinge sagen, die in FO nicht ausgedrückt werden können. Zum Beispiel ist bekannt, dass in FO der Begriff der Endlichkeit nicht ausgedrückt werden kann. Von einer Ordnungsbeziehung (<) kann man also nicht sagen, dass jedes Element beispielsweise nur endlich viele Vorgänger hat. Aber das ist genau das, was man in (FO (Q_0)) ausdrücken kann:

) tag {7} forall x / neg Q_0 y (y <x))

Ebenso kann man in FO nicht sagen, dass eine (endliche) Menge A genau die Hälfte der Elemente des Universums M enthält, aber das ist in (FO (Q ^ R)) ausgedrückt:

) tag {8} neg Q ^ RxA (x) Keil / neg Q ^ Rx / neg A (x))

(Die erste Konjunktion besagt, dass (| A | / leq | MA |) und die zweite, dass (| MA | / leq | A |).)

5. Verallgemeinerte Quantifizierer beliebiger Typen

Eine weitere Verallgemeinerung ist möglich. Erstens können wir Q eine Variable in zwei oder mehr Formeln binden lassen. Zweitens können wir zwei oder mehr Variablen in (einigen) dieser Formeln gleichzeitig binden lassen. Die Eingabe von Q zeigt dies an: Q ist vom Typ ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}) (wobei jedes (n_i) eine natürliche Zahl (geq 1) ist), wenn Es gilt für k Formeln und bindet (n_i) Variablen in der i-ten Formel. Dies erklärt, warum die Quantifizierer im vorherigen Abschnitt vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) waren.

Im allgemeinen Fall wählt man normalerweise verschiedene Variablen (x_ {i1},)…, (x_ {in_i} = / xbar_i) für (1 / leq i / leq k), so dass eine Formel beginnt mit Q hat die Form

[Q / xbar_1, / ldots, / xbar_k (f_1, / ldots, / f_k))

wobei alle freien Vorkommen von (x_ {i1}, / ldots, x_ {in_i}) in (f_i) gebunden werden. Nun assoziiert Q mit jedem Universum M ak -ary Beziehung (Q_M) zwischen Beziehungen über M, wobei das i-te Argument eine (n_i) - Beziehung zwischen Individuen ist. Die entsprechende Klausel in der Wahrheitsdefinition wird

) tag {9} M / models Q / xbar_1, / ldots, / xbar_k (p_1 (xbar_1, / abar), / ldots, / p_k (xbar_k, / abar)) textrm {iff} / Q_M (p_1 (xbar_1, / abar) ^ { M, / xbar_1}, / ldots, / p_k (xbar_k, / abar) ^ { M, / xbar_k}))

Hier ist (p_i (xbar_i, / ybar)) eine Formel mit höchstens den gezeigten freien Variablen, (abar) ist eine Folge von Elementen von M, die (ybar) und (entsprechen / p_i (xbar_i, / abar) ^ { M, / xbar_i}) ist die Erweiterung von (p_i (xbar_i, / ybar)) in (M) relativ zu (abar), dh die Menge von (n_i) - Tupeln (bbar_i), so dass (M / models / p_i (bbar_i, / abar)).

Dies ist das offizielle Konzept eines verallgemeinerten Quantifizierers in diesem Artikel. Es wurde von Lindström (1966) eingeführt und diese Quantifizierer werden manchmal als "Lindström-Quantifizierer" bezeichnet. ^[7] Wenn wir M auf das Universum fixieren, das „alles“enthält, haben wir im Wesentlichen Freges Vorstellung von einem Konzept der zweiten Ebene. ^[8]

Q ist monadisch, wenn es sich bei jedem Universum M um eine Beziehung zwischen Teilmengen von M handelt, dh wenn sein Typ ({ langle} 1, / ldots, 1 { rangle}) ist; sonst ist es polyadisch. Zum Beispiel sind die zuvor erwähnten aristotelischen Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}): ^[9]

) tag {10} label {ex-qlist2} begin {align} textit {all} _M (A, B) & / iff A / subseteq B \\ / textit {some} _M (A, B) & / iff A / cap B / neq / emp \\ / textit {no} _M (A, B) & / iff A / cap B = / emp \\ / textit {nicht alle} _M (A, B) & / iff A / not / subseteq B / end {align})

Hier sind einige weitere Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}): ^[10]

) tag {11} label {ex-qlist3} begin {alignat} {2} (textit {mindestens fünf}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | / geq 5 (textit {genau drei}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | = 3 \(textit {unendlich viele}) _ M (A, B) & / iff A / cap B / text {ist unendlich} / \ textit {most} _M (A, B) & / iff | A / cap B |> | AB | \(textit {eine gerade Anzahl von}) _ M (A, B) & / iff | A / cap B | / text {ist gerade} / \ textit {MO} _M (A, B) & / iff | A | > B | \\ / textit {I} _M (A, B) & / iff | A | = | B | & / textrm {(der "Härtig} && / textrm {Quantifizierer")} end {alignat})

Bei monadischen Quantifizierern ist es zweckmäßig, nur eine Variable zu verwenden und Q dieselbe Variable in jeder der Formeln binden zu lassen. Um beispielsweise zu sagen, dass die meisten As nicht B sind, kann man schreiben

) textit {most}: x (A (x), / neg B (x)))

in der entsprechenden logischen Sprache anstelle von (textit {most}: x, y (A (x), / neg B (y))).

Hier sind einige polyadische Quantifizierer:

) tag {12} label {ex-qlist4} begin {alignat} {2} W_M (R) & / iff R / text {ist eine Ordnung von} M & / textrm {type} { langle } 2 { rangle} (Q_0 ^ n) _M (R) & / iff / text {es gibt ein unendliches} & / hphantom { iff } A / subseteq M / ST A ^ n / subseteq R. & / textrm {type} { langle} n { rangle} / Res ^ k (textit {most}) _ M (R, S) & / iff | R / cap S | > | RS | & / textrm {type} { langle} k, k { rangle} / \ textit {RECIP} _M (A, R) & / iff / textrm {für alle unterschiedlichen} a, b / in A \& / hphantom { iff } textrm {es gibt} n / geq 1 \& / hphantom { iff } textrm {und} c_0, / ldots, c_n / ST c_0 = a \& / hphantom { iff } {} amp c_n = b / amp c_iRc_ {i + 1} textrm {für} i <n / quad & / textrm {type} { langle} 1,2 { rangle} end {alignat}]

W und (Q_0 ^ n) stammen aus der Logik und der Mengenlehre. (Res ^ k (textit {most})) ist die Wiederaufnahme der meisten zu k-Tupeln. Die Wiederaufnahme kann auf jeden Quantifizierer angewendet werden (in der Syntax bedeutet dies, dass jede einzelne Variable durch ein entsprechendes k-Tupel von Variablen ersetzt wird). es hat logische Verwendungen, aber ebenso wie RECIP Verwendungen bei der Interpretation bestimmter Sätze in natürlichen Sprachen; siehe Abschnitt 16 unten.

6. Themenneutralität

Sowohl Mostowski als auch Lindström hatten eine zusätzliche Bedingung in ihren Definitionen von verallgemeinerten Quantifizierern: Sie sollten keine isomorphen Modelle unterscheiden. Informell sind sie „themenneutral“: die Wahrheit einer Aussage der Form (f = Qx, yz (A (x), R (y, z))), beispielsweise in einem Modell (M) hängt nicht von den Personen ab, aus denen M besteht. Wenn die Individuen von M eins zu eins auf die Individuen eines anderen Universums abgebildet werden (M ') und wenn A und R entsprechend abgebildet werden, erhält man ein isomorphes Modell (M'). Isomorphism Closure sagt dann, dass (M / models / f) iff (M '\ models / f).

Genauer gesagt, wenn (M = (M, I)) und (M '= (M', I ')) Modelle für dasselbe Vokabular V nichtlogischer Symbole sind, ist f ein Isomorphismus von (M) bis (M '), iff

• f ist eine Bijektion (eine Eins-zu-Eins-Funktion) von M nach (M ');
• wann immer P ein n -ary Prädikatsymbol in V und (a_1, / ldots, a_n / in M ) ist, [(a_1, / ldots, a_n) in I (P) textrm {iff} (f (a_1), / ldots, f (a_n)) in I '(P);)
• wann immer c eine individuelle Konstante in V ist, ist (I '(c) = f (I (c))).

(M) und (M ') sind isomorph, in Symbolen,) M / cong / M ')

wenn es einen Isomorphismus von einem zum anderen gibt. Wenn nun Q ein verallgemeinerter Quantifizierer vom Typ ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}) ist, ist (P_i) ein (n_i) - Prädikatsymbol für (1 / leq i / leq k), (M = (M, I)) ist ein Modell für das Vokabular ({P_1, / ldots, P_k }) und (R_i = I (P_i)) schreiben wir auch

) M = (M, R_1, / ldots, R_k))

Dann erfüllt Q Isomorphism Closure oder nur Isom, wenn Folgendes zutrifft:

) tag {13} label {ex-isom} textrm {If} (M, R_1, / ldots, R_k) cong (M ', R'_1, / ldots, R'_k), / textrm { dann} / Q_M (R_1, / ldots, R_k) Leftrightarrow Q_ {M '} (R'_1, / ldots, R'_k).)

Man kann leicht überprüfen, ob alle bisher beispielhaften verallgemeinerten Quantifizierer tatsächlich Isom sind. Wir haben diese Anforderung jedoch nicht in die Definition von verallgemeinerten Quantifizierern aufgenommen, da es Quantifizierer in natürlicher Sprache gibt, die diese Anforderung nicht erfüllen. siehe unten. Aber Logik soll themenneutral sein, deshalb wird Isom fast immer auferlegt. Dann folgen zwei wichtige Dinge. Erstens unterscheiden Sätze in logischen Sprachen, wie oben angegeben, keine isomorphen Modelle. Genauer gesagt haben wir Folgendes

Fakt 2

Wenn (L = / FO (Q_1, / ldots, Q_n)), ist jedes (Q_i) Isom, (f) ist ein L-Satz und (M / cong / M '), dann (M / models / f / Leftrightarrow / M '\ models / f).

Zweitens nimmt Isom eine besonders interessante Form für monadische Quantifizierer an. Wenn (M = (M, A_1, / ldots, A_k)), wobei (A_i / subseteq M) für jedes i, dann (A_1, / ldots, A_k) M in (2 ^ k) paarweise disjunkte Teilmengen (von denen einige leer sein können); Nennen wir sie die Teile von (M). Wir veranschaulichen mit (k = 2) und (M = (M, A, B)):

Abbildung 1

Nun ist es nicht schwer zu erkennen, dass nur die Größe der Teile bestimmt, ob zwei Modelle dieser Art isomorph sind oder nicht:

Fakt 3

((M, A_1, / ldots, A_k) cong (M ', A'_1, / ldots, A'_k)) wenn die Kardinalitäten der entsprechenden Teile gleich sind.

Dies zeigt, dass monadische und Isom-verallgemeinerte Quantifizierer tatsächlich nur Größen, dh Größen von Mengen, und nicht die Mengen selbst behandeln. Die Liste / eqref {ex-qlist3} vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) verallgemeinerte Quantifizierer veranschaulicht dies deutlich, aber auch die aristotelischen Quantifizierer können in Bezug auf Kardinalitäten formuliert werden.

) begin {align} textit {all} _M (A, B) & / iff | AB | = 0 \\ / textit {some} _M (A, B) & / iff | A / cap B |> 0 / end {align})

usw. und ähnlich für die Beispiele vom Typ ({ langle} 1 { rangle}), die wir gegeben haben.

Allgemeiner gesagt können unter Isom monadische Quantifizierer als Beziehungen zwischen (Kardinal-) Zahlen angesehen werden. Wenn beispielsweise Q vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) ist, definieren Sie (unter Verwendung des gleichen Symbols Q für die Beziehung zwischen Zahlen)

[Q (kappa, / lambda) iff / text {es gibt} (M, A) ST | M \! - \! A | = / kappa / amp | A | = / lambda / amp Q_M (A.))

Isom garantiert, dass dies genau definiert ist, und das haben wir

[Q_M (A) iff Q (| M \! - \! A |, | A |))

7. Relativierung

Jede Aussage mit einem verallgemeinerten Quantifizierer Q findet in einem Universum M statt. Manchmal ist es nützlich, diese Relativierung auf ein Universum in M spiegeln zu können. Dies bedeutet, einen neuen Quantifizierer mit einem zusätzlichen Mengenargument zu definieren, das besagt, dass sich Q im Universum auf dieses Argument beschränkt verhält, genau wie es sich auf M verhält. Wenn also Q vom Typ ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}) ist, definieren wir (Q {^ { text {rel}}}) vom Typ ({ langle } 1, n_1, / ldots, n_k { rangle}) wie folgt:

) tag {14} (Q {^ { text {rel}}}) _ M (A, R_1, / ldots, R_ {n_k}) mathbin { Longleftrightarrow _ { text {def}}} Q_A (R_1 \! / Einschränkung \! A, / Punkte, R_ {n_k} ! / Einschränkung \! A))

wobei (R_i / subseteq M ^ {n_i}) und (R_i \! / Einschränkung \! A) die Einschränkung von (R_i) auf A ist, dh die Menge von (n_i) - Tupeln in (R_i / cap A ^ {n_i}).

Wir haben tatsächlich bereits einige Beispiele für Relativierung gesehen: da man dies leicht überprüfen kann (siehe die Listen / eqref {ex-qlist1} und / eqref {ex-qlist3})

) tag {15} begin {align} textit {all} & = / forall {^ { text {rel}}} / \ textit {some} & = / existiert {^ { text {rel} }} / \ textit {mindestens fünf} & = (existiert _ { geq 5}) {^ { text {rel}}} / \ textit {genau drei} & = (existiert _ {= 3}) {^ { text {rel}}} / \ textit {unendlich viele} & = (Q_o) {^ { text {rel}}} / \ textit {most} & = (Q ^ R) {^ { text {rel}}} / \ textit {eine gerade Anzahl von} & = (Q _ { text {gerade}}) {^ { text {rel}}} end {align})

8. Ausdruckskraft

Wir haben beschrieben, wie verallgemeinerte Quantifizierer zu FO hinzugefügt werden können, was zu einer aussagekräftigeren Logik führt. Eine Logik in diesem Sinne besteht ungefähr aus einer Reihe von Sätzen, einer Klasse von Modellen und einer Wahrheitsrelation (oder einer Zufriedenheitsrelation) zwischen Sätzen und Modellen. Solche Logiken werden oft als modelltheoretische Logiken bezeichnet, da sie semantisch in Bezug auf Modelle und Wahrheit definiert sind und nicht beweistheoretisch in Bezug auf ein deduktives System zur Ableitung von Theoremen. ^[11] Hier beschränken wir uns auf Logiken der Form (FO (Q_1, Q_2, / ldots)), die durch Hinzufügen verallgemeinerter Quantifizierer zu FO gebildet werden, wobei jeder Quantifizierer eine Formationsregel und eine semantische Klausel für die Wahrheit enthält Definition wie in Abschnitt 5 oben beschrieben.

Es gibt einen offensichtlichen Weg, die Ausdruckskraft modelltheoretischer Logiken zu vergleichen. (L_2) ist in Symbolen mindestens so ausdrucksstark wie (L_1)

[L_1 / leq L_2)

Wenn jeder (L_1) - Satz (f) logisch äquivalent zu einem (L_2) - Satz (p) ist, dh (f) und (p) sind wahr in den gleichen Modellen. Außerdem haben (L_1) und (L_2) die gleiche Ausdruckskraft (L_1 / äquiv. L_2), wenn (L_1 / leq L_2) und (L_2 / leq L_1) und (L_2) ist stärker als (L_1), (L_1 <L_2), wenn (L_1 / leq L_2) aber (L_2 / nicht / leq L_1). Also (L_1 <L_2), wenn alles, was in (L_1) gesagt werden kann, auch in (L_2) gesagt werden kann, aber es gibt einen (L_2) - Satz, der keinem Satz entspricht in (L_1).

Wie stellt man Fakten über Ausdruckskraft fest? Es scheint, als müsste man, um (L_1 / leq L_2) zu zeigen, alle unendlich vielen Sätze in (L_1) durchgehen und für jeden ein Äquivalent in (L_2) finden. In der Praxis genügt es jedoch zu zeigen, dass die verallgemeinerten Quantifizierer in (L_1) in (L_2) definierbar sind. Wenn Q vom Typ ({ langle} 1,2 { rangle}) ist, sagen wir, Q ist in (L_2) definierbar, wenn es einen (L_2) - Satz (p) gibt, dessen Das nicht logische Vokabular besteht genau aus einem unären und einem binären Prädikatsymbol, so dass für alle Modelle (M = (M, A, R)), [Q_M (A, R) iff (M, A, R) Modelle / p)

Ähnliches gilt für andere Typen. Zum Beispiel ist der Quantifizierer all in FO definierbar, da Folgendes gilt:

) textit {all} _M (A, B) iff (M, A, B) Modelle / für alle x (A (x) rechter Pfeil B (x)))

Ebenso ist (Q ^ R) in (FO (textit {most})) definierbar, da

[(Q ^ R) _M (A) iff (M, A, B) models / textit {most}: x (x = x, A (x)))

(Beachten Sie, dass alle unsere Logiken den logischen Apparat von FO enthalten, also alle Erweiterungen von FO). Letzteres ist ein Beispiel für die folgende Beobachtung:

(16) Für jeden verallgemeinerten Quantifizierer Q ist Q in (FO (Q {^ { text {rel}}})) definierbar

Solche Tatsachen über die Definierbarkeit können leicht oder schwer festzustellen sein, ^[12] aber sie reichen aus, um positive Tatsachen über die Ausdruckskraft festzustellen, da wir:

Fakt 4

(FO (Q_1, / ldots, Q_n) leq L) genau dann, wenn jedes (Q_i) in L definierbar ist.

Andererseits ist es schwieriger, die Unaussprechlichkeit zu beweisen, dh dass ein Satz keinem L-Satz entspricht. Eine Möglichkeit, die manchmal funktioniert, besteht darin, festzustellen, dass (L_1) eine Eigenschaft hat, die (L_2) fehlt. dann könnte man schließen, dass (L_1 / nicht / leq L_2). Einige Eigenschaften, die typisch für FO sind, aber für die meisten stärkeren Logiken fehlschlagen, sind:

• Die Löwenheim-Eigenschaft: Wenn ein Satz in einem unendlichen Modell wahr ist, gilt er auch in einem zählbaren Modell.
• Die Tarski-Eigenschaft: Wenn ein Satz in einem zählbar unendlichen Modell wahr ist, gilt er auch in einem unzähligen Modell.
• Die Kompaktheitseigenschaft: Wenn kein Modell jedes Element der Satzmenge (Phi) wahr macht, gibt es eine endliche Teilmenge (Psi) von (Phi), so dass kein Modell jeden Satz in macht (Psi) true.
• Die Vollständigkeitseigenschaft: Die Menge der gültigen Sätze ist rekursiv aufzählbar (dh kann von einem formalen System erzeugt werden).

Zum Beispiel hat (FO (Q_0)) nicht die Kompaktheitseigenschaft. ^[13] Dies lässt sich anhand der Sätze erkennen

) Phi \: = \: { neg Q_0x (x = x) cup { theta_n: n = 1,2, / ldots })

Dabei ist (theta_n) ein FO-Satz, der besagt, dass es mindestens n Elemente im Universum gibt. Wenn Sie eine endliche Teilmenge (Phi ') von (Phi) nehmen und M ein Universum ist, dessen Kardinalität das größte n ist, so dass (theta_n) zu (Phi') gehört, dann sind alle Sätze in (Phi ') in M wahr. Aber kein Universum kann alle Sätze in (Phi) wahr machen. Und dies zeigt, dass (Q_0) in FO nicht definierbar ist, dh dass (FO (Q_0) nicht / leq / FO), da wir sonst (Phi) durch eine äquivalente Menge von ersetzen könnten FO-Sätze, aber FO hat die Kompaktheitseigenschaft, so dass es unmöglich ist.

Diese Methode zum Nachweis der Unaussprechlichkeit funktioniert jedoch nur für Logiken mit Eigenschaften wie den oben genannten. Darüber hinaus funktionieren sie nur, wenn unendliche Universen erlaubt sind, aber interessante Unaussprechlichkeitsfakten gelten auch für endliche Modelle, zum Beispiel die Tatsache, dass (Q ^ R) und (Q _ { text {gerade}}) nicht definierbar sind in FO oder dass die meisten = ((Q ^ R) {^ { text {rel}}}) in (FO (Q ^ R)) nicht definierbar sind. Logiker haben viel direktere und effizientere Methoden entwickelt, um Undefinierbarkeitsergebnisse anzuzeigen, die auch für endliche Modelle funktionieren. ^[14]

Die obigen Eigenschaften charakterisieren tatsächlich FO in dem Sinne, dass keine richtige Erweiterung von FO (bestimmte Kombinationen von) sie haben kann. Dies ist der Inhalt eines berühmten Theorems über modelltheoretische Logik, Lindströms Theorem, dessen Version unten angegeben ist. Für einen zugänglichen Beweis siehe zum Beispiel Ebbinghaus, Flum und Thomas (1994). Wir sagen, dass eine Logik (L = / FO (Q_1, / ldots, Q_n)) relativiert, wenn die "Umkehrung" von (16) für jedes (Q_i) gilt, dh wenn jedes ((Q_i) { ^ { text {rel}}}) ist in L definierbar.

Satz 5 (Lindström) Wenn L kompakt ist und die Löwenheim-Eigenschaft hat, dann (L / equiv / FO). Vorausgesetzt, L relativiert, wenn L vollständig ist und die Löwenheim-Eigenschaft hat, oder wenn L sowohl die Löwenheim- als auch die Tarski-Eigenschaft hat, dann (L / equiv / FO).

9. Verallgemeinerte Quantifizierer und Berechnung

Zusätzlich zu den Wahrheitsbedingungen, die mit verallgemeinerten Quantifizierern verbunden sind, kann man die Berechnungen untersuchen, die erforderlich sind, um die Wahrheit einer quantifizierten Aussage in einem Modell festzustellen. In der Tat tauchen verallgemeinerte Quantifizierer an verschiedenen Stellen in dem Teil der Informatik auf, der die Komplexität von Berechnungen untersucht. In diesem Zusammenhang beschränken wir die Aufmerksamkeit auf endliche Universen und nehmen durchgehend Isom an. Ein Quantifizierer ist also im Wesentlichen eine Menge endlicher Modelle; Nach Isom können wir annehmen, dass Modelle der Kardinalität m alle dieselbe Domäne haben (M = {1, / ldots, m }). Solche Modelle können als Wörter codiert werden, dh als endliche Zeichenfolgen. Beispielsweise kann ein Modell ((M, A)) vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) als Binärwort (a_1 / ldots a_m) angesehen werden, wobei (a_i)) ist 1 wenn (i / in A) und sonst 0. Somit ist (| A |) die Anzahl der Einsen und (| M \! - \! A |) die Anzahl der Nullen; von Isom,Die Reihenfolge in der Zeichenfolge spielt keine Rolle. So wird Q eine Menge (W_Q) von Wörtern, dh eine formale Sprache: eine Teilmenge der Menge aller endlichen Zeichenfolgen von Codierungssymbolen.^[fünfzehn]

Wir können jetzt fragen, was nötig ist, um zu erkennen, dass ein Wort zu (W_Q) gehört. Der abstrakte Begriff eines Automaten gibt eine Antwort; Automaten sind Maschinen, die Wörter akzeptieren oder ablehnen, und sie werden nach der Komplexität der von ihnen ausgeführten Operationen klassifiziert. Die von einem Automaten erkannte Sprache ist die Menge der Wörter, die er akzeptiert. ^[16]

Ein endlicher Automat hat eine endliche Anzahl von Zuständen, einschließlich eines Startzustands und mindestens eines akzeptierenden Zustands. Es beginnt mit dem Scannen eines Wortes am linken Symbol im Startzustand, und bei jedem Schritt bewegt es ein Symbol nach rechts und tritt gemäß einer gegebenen Übergangsfunktion in einen (möglicherweise) neuen Zustand ein. Wenn es sich entlang des gesamten Wortes bewegen kann, das in einem akzeptierenden Zustand endet, wird das Wort akzeptiert. Die Anwendung der Automatentheorie auf verallgemeinerte Quantifizierer wurde in van Benthem (1986) initiiert (Kap. 7, „Semantische Automaten“). Es ist einfach, einen endlichen Automaten zu konstruieren, der (forall) (oder (forall {^ { text {rel}}} =) alle erkennt, dh überprüft, ob w nur aus Einsen besteht: Bleib einfach in Der Startzustand = Akzeptanzzustand, solange Einsen angetroffen werden, aber in einen Ablehnungszustand wechseln, sobald eine 0 gescannt wird, und dort bleiben, was auch immer danach angetroffen wird. Ein etwas komplexerer Automat erkennt (Q _ { text {gerade}}): Es gibt wieder zwei Zustände, einen Startzustand = den akzeptierenden Zustand und einen ablehnenden Zustand, und diese Zeit bleibt beim Scannen von Nullen im gleichen Zustand. Wechseln Sie jedoch in den anderen Status, wenn eine 1 gescannt wird. Um im akzeptierenden Zustand zu enden, ist es dann notwendig und ausreichend, dass es eine gerade Anzahl von Einsen gibt. Diese Maschine verwendet im Wesentlichen Zyklen der Länge 2, während das erste Beispiel nur 1 Zyklen hatte. Nennen Sie einen Automaten der letzteren Art azyklisch. Van Benthem zeigte, dass die FO-definierbaren Quantifizierer genau diejenigen sind, die von endlichen Automaten akzeptiert werden, die azyklisch und permutationsgeschlossen sind.und diese Zeit bleibt im gleichen Zustand, wenn Nullen gescannt werden, aber gehen Sie in den anderen Zustand, wenn eine 1 gescannt wird. Um im akzeptierenden Zustand zu enden, ist es dann notwendig und ausreichend, dass es eine gerade Anzahl von Einsen gibt. Diese Maschine verwendet im Wesentlichen Zyklen der Länge 2, während das erste Beispiel nur 1 Zyklen hatte. Nennen Sie einen Automaten der letzteren Art azyklisch. Van Benthem zeigte, dass die FO-definierbaren Quantifizierer genau diejenigen sind, die von endlichen Automaten akzeptiert werden, die azyklisch und permutationsgeschlossen sind.und diese Zeit bleibt im gleichen Zustand, wenn Nullen gescannt werden, aber gehen Sie in den anderen Zustand, wenn eine 1 gescannt wird. Um im akzeptierenden Zustand zu enden, ist es dann notwendig und ausreichend, dass es eine gerade Anzahl von Einsen gibt. Diese Maschine verwendet im Wesentlichen Zyklen der Länge 2, während das erste Beispiel nur 1 Zyklen hatte. Nennen Sie einen Automaten der letzteren Art azyklisch. Van Benthem zeigte, dass die FO-definierbaren Quantifizierer genau diejenigen sind, die von endlichen Automaten akzeptiert werden, die azyklisch und permutationsgeschlossen sind. Van Benthem zeigte, dass die FO-definierbaren Quantifizierer genau diejenigen sind, die von endlichen Automaten akzeptiert werden, die azyklisch und permutationsgeschlossen sind. Van Benthem zeigte, dass die FO-definierbaren Quantifizierer genau diejenigen sind, die von endlichen Automaten akzeptiert werden, die azyklisch und permutationsgeschlossen sind.^[17]

Ein etwas komplexerer Automat, der Pushdown-Automat, verfügt über rudimentäre Speicherressourcen in Form eines Symbolstapels, der von oben verschoben oder verschoben werden kann, sodass er bis zu einem gewissen Grad den Überblick über die früheren Schritte behalten kann. Ein weiteres Ergebnis von van Benthem ist, dass die von Pushdown-Automaten akzeptierten Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) genau diejenigen sind, für die die entsprechende binäre Beziehung zwischen Zahlen (mit Mitteln erster Ordnung) in additiver Arithmetik definierbar ist dh im Modell ((N, +)), wobei (N = {0,1,2, / ldots }). Ein Beispiel ist (Q ^ R) (oder seine Relativierung am meisten): Wir haben (Q ^ R (m, n) Leftrightarrow m <n), und die rechte Seite ist in ((N, +)) durch (existiert x (x / neq 0 / Keil m + x = n)). ^[18]

Somit wird eine algorithmische Charakterisierung mit einer logischen abgeglichen. Dies ist eine wichtige Richtung bei der Untersuchung der algorithmischen Komplexität. Betrachten Sie nun die allgemeinsten abstrakten Automaten oder Rechengeräte, dh Turing-Maschinen. Eine (von vielen) interessanten Komplexitätsklassen ist PTIME: Ein Problem, das mit dem entsprechenden Satz von Wörtern identifiziert wird, ist PTIME, wenn es ein Polynom (p (x)) und eine Turing-Maschine gibt, die W so akzeptiert, dass wann immer (w / in W) hat die Länge n, die akzeptierende Berechnung dauert höchstens (p (n)) Schritte. PTIME-Probleme werden normalerweise als "handhabbar" angesehen, während komplexere Probleme "unlösbar" sind, wie beispielsweise EXPTIME-Probleme, bei denen die Anzahl der erforderlichen Schritte exponentiell zunehmen kann. Ein frühes Ergebnis von Immerman und Vardi ist, dass die PTIME-Mengen von (Wortcodierungs-) endlichen Modellen genau diejenigen sind, die durch einzelne Sätze in (FO (LFP)) beschrieben werden können. Dies ist eine FO-Logik mit einem zusätzlichen Mechanismus zur Bildung der am wenigsten festen -Punkte.^[19] Hier müssen wir nicht nur monadische, sondern auch willkürliche Modelle darstellen. Zum Beispiel kann eine binäre Beziehung im Universum ({1, / ldots, m }) durch ein Wort (w_ {11} cdots w_ {1m} # / ldots / #w_ {m1 dargestellt werden } cdots w_ {mm}), wobei die Beziehung von ((i, j)) iff (w_ {ij} = 1) gilt. Aber diesmal scheint die Reihenfolge eine Rolle zu spielen, und tatsächlich gilt das gerade erwähnte Immerman- und Vardi-Ergebnis nur für Modelle mit einer bestimmten linearen Reihenfolge und einem binären Prädikatsymbol, das für diese Reihenfolge steht.

Logiken wie (FO (LFP)) können als Logiken der Form (FO (Q_1, Q_2, / ldots)) neu gefasst werden. Hier können unendlich viele Quantifizierer erforderlich sein, aber in einigen Fällen reicht ein einziger aus. In Bezug auf (FO (LFP)) reicht es aus, alle Wiederaufnahmen (siehe Ende von Abschnitt 5 oben) eines einzelnen Quantifizierers hinzuzufügen. Im Allgemeinen sei (FO ^ * (Q_1, Q_2, / ldots)) wie (FO (Q_1, Q_2, / ldots)), jedoch mit Mechanismen zur Durchführung von Relativierungen (Abschnitt 7) und zur Wiederaufnahme (Q_i) zu k-Tupeln für jedes k. Dann gibt es einen einzelnen Quantifizierer Q, so dass (FO (LFP) = / FO ^ * (Q)).

Verallgemeinerte Quantifizierer bleiben daher eine einfache und vielseitige Möglichkeit, FO Ausdruckskraft zu verleihen. Eine natürliche Frage war, ob die oben erwähnte logische Charakterisierung von PTIME unter Verwendung verallgemeinerter Quantifizierer verbessert werden könnte, insbesondere wenn man die Beschränkung auf geordnete Strukturen auf diese Weise aufheben könnte. Die Antwort erwies sich jedoch als negativ, da Hella (1989) bewies, dass die PTIME-berechenbaren Eigenschaften beliebiger endlicher Strukturen nicht durch Hinzufügen einer endlichen Anzahl verallgemeinerter Quantifizierer zu FO oder sogar zu (FO (LFP) charakterisiert werden können)). Die Frage, ob PTIME durch eine Logik der Form (FO ^ * (Q)) charakterisiert werden kann, bleibt jedoch offen (tatsächlich wäre die Lösung ein großer Durchbruch in der Komplexitätstheorie).

10. Verallgemeinerte Quantifizierer und natürliche Sprache

In den späten 1960er Jahren zeigte Richard Montague, wie die Semantik wesentlicher Teile natürlicher Sprachen mit logischen Werkzeugen gehandhabt werden kann. ^[20] Eine seiner wichtigsten Erkenntnisse war, dass Nominalphrasen (NPs) als Mengen von Teilmengen der Domäne interpretiert werden können, dh als (wie wir jetzt nennen) Typ ({ langle} 1 { rangle}) Quantifizierer. Montague arbeitete in der Typentheorie, aber um 1980 begannen eine Reihe von Linguisten und Logikern, den modelltheoretischen Rahmen der Logik mit verallgemeinerten Quantifizierern auf die Semantik natürlicher Sprache anzuwenden. ^[21] Betrachten Sie die Struktur eines einfachen englischen Satzes, dessen Thema ein quantifizierter NP ist: ^[22]

• (17)

  

Der (Subjekt-) NP besteht aus einem Bestimmer und einem Substantiv (N). Sowohl das Substantiv als auch die Verbalphrase (VP) haben Mengen als Erweiterungen, und so wird der Bestimmer natürlich verwendet, um eine binäre Beziehung zwischen Mengen zu bezeichnen, dh einen Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}). Eine Äußerung von (17) hat ein (Diskurs-) Universum im Hintergrund (z. B. die Gruppe von Menschen an einer bestimmten Universität), aber die Bedeutung der meisten, jeder, mindestens fünf und ähnlichen Ausdrücke ist nicht an bestimmte Universen gebunden. Zum Beispiel die Bedeutung von all in

• (18) a. Alle Katzen mögen Milch.
• b. Alle Elektronen sind negativ geladen.
• c. Alle natürlichen Zahlen haben einen Nachfolger.
• d. Alle Zwillinge mögen sich.
• e. Alle kompakten Teilmengen von Hausdorff-Räumen sind geschlossen.

hat nichts mit Katzen oder Elektronen oder Zahlen oder Zwillingen oder Hausdorff-Räumen zu tun, noch mit den Diskursuniversen, die mit den obigen Beispielen verbunden sein können. Es steht einfach für die Inklusionsbeziehung, unabhängig davon, wovon wir gerade sprechen. Daher ist der verallgemeinerte Quantifizierer all, der mit jedem Universum M die Einschlussbeziehung über M assoziiert, hervorragend geeignet, um alle und in ähnlicher Weise für andere Determinatoren zu interpretieren.

Es ist jedoch charakteristisch für Sätze der Form (17), dass das Nomenargument und das VP-Argument nicht gleich sind. Das Substantiv bildet zusammen mit dem Bestimmer den NP, einen separaten Bestandteil, und dieser Bestandteil kann auch als verallgemeinerter Quantifizierer bezeichnet werden, diesmal vom Typ ({ langle} 1 { rangle}). Somit bezeichnen mindestens fünf Schüler die Menge von Teilmengen des Universums, die mindestens fünf Schüler enthalten. Dieser Quantifizierer ergibt sich aus dem Einfrieren des ersten Arguments vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) drei für die Gruppe der Schüler; Wir schreiben diese drei (^ { textit {student}}). Wenn A eine feste Menge und Q ein Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) Quantifizierer ist, kann man im Allgemeinen den Typ ({ langle} 1 { rangle}) Quantifizierer / definieren (Q ^ A) von

) tag {19} label {QA} (Q ^ A) _M (B); / Longleftrightarrow _ { text {def}}; Q_ {M / Tasse A} (A, B))

für jedes M und jedes (B / subseteq M). In einer kompositorischen Semantik ist es natürlich, dass jeder Bestandteil eines Satzes eine eigene Bedeutung oder Bedeutung hat, und die Standardbedeutungen von Nominalphrasen sind Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1 { rangle}).

Dies gilt auch für einige NPs, denen Determinatoren fehlen, wie z. B. Eigennamen. Während dem lexikalischen Element John durch eine Interpretation ein einzelnes j zugewiesen wird, kann der NP John verwendet werden, um den Quantifizierer (I_j) zu bezeichnen, der für jedes M durch definiert ist

[(I_j) _M = {B / subseteq M \!: J / in B })

Dies ist in der Tat gut motiviert, nicht nur, weil die Interpretation von NPs einheitlicher wird, sondern auch, weil John mit quantifizierten NPs kombinieren kann:

(20) John und drei Professoren kamen zu dem Treffen

Hier ist es praktisch, wenn John und drei Professoren dieselbe semantische Kategorie haben. Beachten Sie, dass verallgemeinerte Quantifizierer - im Gegensatz zu Individuen! - eine klare boolesche Struktur haben; definieren (hier im Fall vom Typ ({ langle} 1 { rangle}), aber ähnlich für jeden anderen Typ)

) begin {align} (Q_1 / wedge Q_2) _M (A) & / iff (Q_1) _M (A) textrm {und} (Q_2) _M (A) (neg Q) _M (A) & / iff / textrm {not} Q_M (A) end {align})

Dann können wir den komplexen Bestimmer in (20) nehmen, um (I_j / wedge / textit {drei} ^ { textit {professor}}) zu bezeichnen. Ebenso ist der komplexe NP in

(21) John und Mary kamen zu dem Treffen

bedeutet (I_j / wedge I_m).

Das erste Argument (vom Substantiv kommend) einer Bestimmungsbezeichnung vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) wird oft als Einschränkung und das zweite als Geltungsbereich bezeichnet. Der Unterschied im syntaktischen Status zwischen diesen beiden Argumenten hat ein klares semantisches Gegenstück.

11. Konservativität

Es wurde früh beobachtet, dass Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}), die durch Determinatoren in natürlichen Sprachen bezeichnet werden, die folgende Eigenschaft haben:

• (22) Konservativität (Conserv):

  Für alle M und alle (A, B / subseteq M) [Q_M (A, B) iff Q_M (A, A / cap B).)

Dies lässt sich an Satzpaaren wie den folgenden ablesen, bei denen klar ist, dass der zweite Satz nur eine umständliche Art ist, den ersten auszudrücken:

• (23) a. Die meisten Schüler rauchen.
• b. Die meisten Studenten sind Studenten, die rauchen.
• (24) a. Mindestens fünf Professoren fehlten.
• b. Mindestens fünf Professoren waren abwesende Professoren.
• (25) a. Mehr als ein Drittel der Doktoranden sind Ausländer.
• b. Mehr als ein Drittel der Doktoranden sind ausländische Doktoranden.

Conserv sagt, dass nur der Teil von B, der A gemeinsam ist, für die Wahrheit von (Q_M (A, B)) von Bedeutung ist. Das heißt, der Teil (BA) in Abbildung 1 spielt keine Rolle. Dies scheint für alle Bestimmungsbezeichnungen zu gelten, schlägt jedoch für vollkommen natürliche logische Quantifizierer wie MO und I aus der obigen Liste / eqref {ex-qlist3} fehl. Der Grund ist, dass es für Bestimmungsbezeichnungen charakteristisch ist, dass das Restriktionsargument den Bereich der Quantifizierung auf dieses Argument beschränkt.

12. Erweiterung

Tatsächlich hat die Idee der Domänenbeschränkung einen weiteren Bestandteil. Die Quantifizierungsdomäne auf eine Teilmenge A von M zu beschränken bedeutet nicht nur, dass (BA) irrelevant ist, sondern der gesamte Teil von M, der außerhalb von A liegt, und damit auch der Teil (M- (A / Tasse B)) in Abbildung 1. Dies ist wiederum ein Beispiel für eine allgemeinere Eigenschaft, die auf beliebige verallgemeinerte Quantifizierer anwendbar ist:

• (26) Erweiterung (Ext):

  Wenn Q vom Typ ({ langle} n_1, / ldots, n_k { rangle}), (R_i / subseteq M ^ {n_i}) für (1 / leq i / leq k) und (M / subseteq M '), dann [Q_M (R_1, / ldots, R_k) iff Q_ {M'} (R_1, / ldots, R_k).)

Das heißt, nichts passiert, wenn das Universum erweitert oder verkleinert wird, solange die Argumente nicht geändert werden. Denken Sie nun daran, dass wir für Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) bereits einen logischen Mechanismus bereitgestellt haben, um die Quantifizierungsdomäne im Hinblick auf die Relativierung auf ein Subuniversum zu beschränken (Abschnitt 7). Wir können jetzt (in (b) unten) sehen, dass die Kombination von Conserv und Ext genau dasselbe ist:

Fakt 6

1. Für jeden Quantifizierer Q erfüllt (Q {^ { text {rel}}}) Ext.
2. Ein Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) ist genau dann Conserv und Ext, wenn es sich um die Relativierung eines Quantifizierers vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) handelt. ^[23]

Wiederum scheinen alle Bestimmungsbezeichnungen ext. Auf den ersten Blick scheint nichts im Prinzip eine Sprache daran zu hindern, einen Bestimmer zu enthalten, etwa evso, was bedeutet, dass jeder auf Universen mit weniger als 10 Elementen und einige auf größeren Universen. Aber es gibt nicht nur tatsächlich keinen solchen Bestimmer in irgendeiner Sprache - es könnte auch keinen geben, wenn das Substantivargument eines Bestimmers darin besteht, den Bereich der Quantifizierung auf die Bezeichnung dieses Substantivs zu beschränken.

Ein Quantifizierer wie evso ist intuitiv nicht konstant, in dem Sinne, dass er nicht in jedem Universum dasselbe bedeutet oder nicht nach derselben Regel interpretiert wird. Ext kann als starkes Erfordernis der Konstanz angesehen werden: Die Regel, die Q interpretiert, erwähnt nicht einmal das Universum. In der Tat sind viele Quantifizierer aus Sprache und Logik ext. Wie wir gesehen haben, sind alle relativierten Quantifizierer Ext und alle anderen Quantifizierer in den Listen / eqref {ex-qlist2} - / eqref {ex-qlist4} außer W. ^[24] Tatsächlich scheinen alle Quantifizierer, die mehr als ein Argument verwenden und in Kontexten natürlicher Sprache auftauchen, Ext. Und viele Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) sind auch Ext, zum Beispiel (existiert), (I_j), (Q ^ A) (wenn Q Ext ist; siehe / eqref {QA} oben) und alle in der Liste / eqref {ex-qlist1} mit Ausnahme von (Q ^ R).

Aber (forall) und (Q ^ R) sind nicht ext. Man neigt aber auch dazu, für sie zu sagen, dass sie in jedem Universum dasselbe bedeuten. Der Fall von (forall) ist besonders interessant, da man argumentieren könnte, dass er NPs wie alles oder jedes interpretiert. Der springende Punkt hier ist die Sache. Wenn dieser Ausdruck als logische Konstante angesehen wird, die immer das Universum bezeichnet, bezeichnen diese NPs (forall): für alle M und alle (B / subseteq M),) begin {align} (textit {every} ^ { textit {thing}}) _ M (B) & / iff / textit {every} _M (M, B) & / iff M / subseteq B & / iff M = B \& / iff / forall_M (B) end {align})

Wenn Ext gilt, können wir normalerweise den Index M löschen und beispielsweise schreiben

[Q (A, B))

eher als (Q_M (A, B)). Das heißt, ein geeignetes Universum kann vorausgesetzt, aber im Hintergrund belassen werden.

13. Symmetrie und Monotonie

Andere Eigenschaften werden nicht von allen Quantifizierern natürlicher Sprache geteilt, sondern es werden wichtige Unterklassen herausgegriffen. Wir haben bereits in Abschnitt 2 zwei erwähnt: Symmetrie und Monotonie. Typische symmetrische Quantifizierer sind einige, nein, mindestens fünf, genau drei, eine gerade Anzahl von unendlich vielen, während alle, die meisten, höchstens ein Drittel, nicht symmetrisch sind. Eine andere Möglichkeit, Symmetrie auszudrücken, besteht darin, zu sagen, dass der Wahrheitswert von (Q (A, B)) nur von der Menge (A / cap B) abhängt. Genauer gesagt, nenne Q intersektiv, wenn für alle M und alle (A, A ', B, B' / subseteq M):

(27) Wenn (A / cap B = A '\ cap B'), dann (Q_M (A, B) Leftrightarrow Q_M (A ', B'))

Man kann leicht überprüfen:

Fakt 7

Für konservative Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) sind Symmetrie und Intersektivität äquivalent. ^[25]

Wir haben festgestellt, dass einige der Syllogismen Monotonieeigenschaften ausdrücken. In prägnanterer Notation ist ein Quantifizierer Q vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle})

rechts ansteigend (rechts abnehmend) iff für alle M und alle (A, B / subseteq B '\ subseteq M) (alle (A, B' / subseteq B / subseteq M)), (Q_M (A, B)) impliziert (Q_M (A, B ')).

Ähnliches gilt für die Zunahme oder Abnahme der Linken und in der Tat für die Monotonie an einem bestimmten Argumentort eines verallgemeinerten Quantifizierers. Insbesondere ist klar, was es bedeutet, dass ein Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) monoton ist. Monotonie ist unter Quantifizierern natürlicher Sprache allgegenwärtig. Es scheint, dass syntaktisch einfache englische NPs alle monotone (zunehmende oder abnehmende) Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) bezeichnen, und fast alle syntaktisch einfachen englischen Determinatoren bezeichnen rechte monotone Quantifizierer. ^[26] Wir haben auch:

• (28) a. Die Quantifizierer (I_j) (Eigennamen) nehmen zu
• b. (Q ^ A) nimmt zu (ab), wenn Q richtig zunimmt (abnimmt).

Die Aristoteliker alle, einige, nein, sind in beiden Argumenten monoton (z. B. alles nimmt rechts zu und links ab), ebenso wie mindestens fünf, nicht mehr als zehn, unendlich viele, während die meisten, mindestens zwei Drittel von ihnen rechts zunehmen aber im linken Argument weder zunehmen noch abnehmen. Genau drei, zwischen zwei und sieben sind nicht monoton, obwohl beide Konjunktionen eines (rechts und links) zunehmenden und eines abnehmenden Quantifizierers (z. B. mindestens drei und höchstens drei) sind, im Gegensatz zu einer geraden Anzahl von denen ist keine (endliche) boolesche Kombination monotoner Quantifizierer.

Sowohl Symmetrie als auch Monotonie spielen für bestimmte sprachliche Phänomene eine wichtige Rolle. Symmetrie ist ein Merkmal (der meisten) der Quantifizierer, die in sogenannten existentiellen Sätzen dort erlaubt sind (z. B. Es sind mindestens fünf Männer im Garten in Ordnung, aber es gibt die meisten Männer im Garten nicht). Monotonie ist entscheidend für die Erklärung der Verteilung von Polaritätselementen (Niemand wird jemals Erfolg haben, ist in Ordnung, aber Jemand wird jemals Erfolg haben, nicht: Elemente mit negativer Polarität, wie sie jemals eine Umgebung mit abnehmender Polarität erfordern). ^[27] Darüber hinaus ist Monotonie entscheidend an natürlichen Argumentationsformen beteiligt. siehe Abschnitt 18.

14. Determinanten, die nicht ISOM sind

Erwägen

• (29) Johns Bücher wurden gestohlen.
• (30) Einige Schülerbücher wurden nicht zurückgegeben.
• (31) Kein Professor außer Mary kam zu dem Treffen.
• (32) Alle Strandgänger mit Ausnahme einiger begeisterter Schwimmer waren vollständig bekleidet.
• (33) Mehr männliche als weibliche Studenten rauchen.

Die Ausdrücke Johns, einiger Studenten, außer Mary, alle außer ein paar begeisterten Schwimmern, die mehr männlich als weiblich sind, werden ganz natürlich als Determinanten angesehen: In Kombination mit Substantiven bilden sie Phrasen, die sich wie gewöhnliche NPs verhalten. Die von ihnen bezeichneten Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) sind Conserv und Ext. Zum Beispiel sind die Sätze im folgenden Paar trivial äquivalent:

• (34) a. Johns Bücher wurden gestohlen.
• b. Johns Bücher sind Bücher, die gestohlen wurden.

Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen handelt es sich jedoch nicht um Isom, da es sich um eine feste Person oder ein festes Eigentum handelt: Wenn Johns Bücher gestohlen wurden und die Anzahl der gestohlenen Bücher der Anzahl der roten Stifte (in einem Diskursuniversum) entspricht, und die Anzahl der Bücher, die nicht gestohlen wurden, ist die gleiche wie die Anzahl der Stifte, die nicht rot sind. Daraus folgt nicht, dass Johns Stifte rot sind, wie Isom es haben würde.

Genau wie der Nicht-Isom-Quantifizierer drei (^ { textit {student}}) durch Einfrieren des Restriktionsarguments des Ext-Quantifizierers drei resultiert, resultieren die obigen Nicht-Isom-Quantifizierer durch Einfrieren von Argumenten in abstrakteren Beziehungen, die sind Isom. Wir veranschaulichen dies mit dem besitzergreifenden Bestimmer John. ^[28]

Da John ein Individuum j bezeichnet, kann der Bestimmer John für alle M und alle (A, B / subseteq M) durch ^{[29] definiert werden.}

) texttt {Johns} _M (A, B) iff / emp / neq A / cap R_j / subseteq B)

wobei (R_j = {b / in M \!: R (j, b) }) und R eine "Besitzer" -Relation ist; Es ist bekannt, dass diese Beziehung stark von den Umständen abhängt - man könnte über die Bücher sprechen, die John besitzt oder geschrieben oder ausgeliehen oder als Geschenk an Mary gekauft hat usw. Angenommen, R ist Eigentum. Dann sagt (29), dass John mindestens ein Buch besitzt und dass alle Bücher, die er besitzt, gestohlen wurden. Betrachten Sie nun den allgemeineren "Quantifizierer", der für (a / in M ), (R / subseteq M ^ 2) und (A, B / subseteq M) durch definiert ist

) mathbf {P} _M (a, R, A, B) iff / emp / neq A / cap R_a / subseteq B)

Wir könnten sagen, dass dies ein verallgemeinerter Quantifizierer vom Typ ({ langle} 0,2,1,1 { rangle}) ist, der 0 für Individuen stehen lässt. (mathbf {P}) ist Isom (Erweiterung der Definition / eqref {ex-isom} auf offensichtliche Weise auf Quantifizierer dieses Typs) und Johns Ergebnisse durch Einfrieren der ersten beiden Argumente auf geeignete Werte.

Ähnliche Konstruktionen funktionieren für andere Fälle von Quantifiziererausdrücken in natürlichen Sprachen, die Nicht-Isom-Quantifizierer bezeichnen. Zum Beispiel bezeichnet der Bestimmer no _ außer Mary (vorausgesetzt, Mary bezieht sich auf m)

[(texttt {no _ außer Mary}) _ M (A, B) iff A / cap B = {m })

Das heißt, (31) sagt, dass Mary Professorin ist, dass sie zu dem Treffen gekommen ist und dass es kein anderer Professor getan hat. Wiederum ist ein entsprechender Isom-Quantifizierer vom Typ ({ langle} 0,1,1 { rangle}) leicht zu definieren. Auf diese Weise kann Isom für Quantifizierer natürlicher Sprache abgerufen werden. Andererseits stimmt die Zuordnung von Quantifizierern vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) zu Determinatoren besser mit der Syntax überein und ermöglicht, dass viele Verallgemeinerungen in Bezug auf Bestimmungsbezeichnungen auch im Nicht-Isom-Fall gelten.

15. Konstanz

Isom, dh Themenneutralität, wird normalerweise als zumindest notwendige Bedingung angesehen, um eine logische Konstante zu sein. ^[30]Es ist möglich, Logik über Konstanz im zuvor erwähnten Sinn gleich über verschiedene Universen hinweg zu unterscheiden. Zum einen ist Logizität eine Eigenschaft, die unter Definierbarkeit geschlossen werden sollte, während es überhaupt nicht klar ist, dass Konstanz ähnlich geschlossen werden sollte. Beachten Sie beispielsweise, dass die Klasse der Ext-Quantifizierer bei Definierbarkeit erster Ordnung nicht geschlossen ist. Genauer gesagt wird es unter den üblichen Booleschen Operationen geschlossen, jedoch nicht unter innerer Negation und daher nicht unter Dualen, wobei die innere Negation eines Quantifizierers Q vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) durch / definiert ist ((Q / neg) _M (A) Leftrightarrow Q_M (M \! - \! A)) und das Dual durch (Q ^ d = / neg (Q / neg)). Zum Beispiel (existiert ^ d = / forall).

Eine Intuition könnte sein, dass Ext für die Konstanz ausreicht. Eine andere Intuition ist jedoch, dass ein Quantifizierer, der insbesondere für alle Universen die gleiche Bedeutung hat, Isom erfüllen sollte, wodurch Q gezwungen wird, für alle Universen derselben Kardinalität „gleich“zu sein. Diese beiden Ideen sind unvereinbar, da sie zusammen bedeuten würden, dass Ext Isom impliziert, was offensichtlich falsch ist. Der vage Begriff, in verschiedenen Universen dieselbe Bedeutung zu haben, lässt eindeutig unterschiedliche Präzisierungen zu. Bei näherer Betrachtung scheint es unwahrscheinlich, dass es eine genaue Version gibt, die alle Intuitionen über Gleichheit berücksichtigt.

In dieser Situation wäre ein Vorschlag, einfach festzulegen, dass die Konstanz Ext + Isom beträgt. Dies wäre eine karnapische Erklärung der Konstanz. Quantifizierer mit dieser Kombination von Eigenschaften scheinen in allen Universen mit Sicherheit die gleiche Bedeutung zu haben. Auf der anderen Seite hätten Ext-Quantifizierer wie Nicht-Isom-Quantifizierer wie drei (^ { textit {student}}) oder einige Professoren in verschiedenen Bereichen nicht die gleiche Bedeutung, was, wie wir gesehen haben, mit einer Intuition übereinstimmt. Darüber hinaus sind die wenigen natürlichen Nicht-Ext-Quantifizierer, auf die wir gestoßen sind, alle aus Ext + Isom-Quantifizierern definierbar. ^[31]

16. Polyadic Natural Language Quantifiers

Stellen Sie sich einen typischen englischen Satz vor, in dem sowohl Subjekt als auch Objekt quantifiziert werden:

(35) Die meisten Filme wurden von zwei Kritikern rezensiert

Die Wahrheitsbedingungen von (36) können in Form eines polyadischen Quantifizierers vom Typ ({ langle} 1,1,2 { rangle}) angegeben werden (ohne M):

[Q (A, B, R) iff / textit {most} (A, {a \!: / Textit {two} (B, R_a) }))

(Dies ist die Lesart mit "engem Bereich"; die Lesung mit "breitem Bereich" wäre stattdessen (textit {two} (B, {b \!: / Textit {most} (A, (R ^ {- 1})) _b))).) Dieser polyadische Quantifizierer ergibt sich jedoch aus zwei Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) Quantifizierern durch eine allgegenwärtige Konstruktion, die wir Iteration nennen. Wenn (Q, Q ') vom Typ ({ langle} 1 { rangle}) sind, definieren Sie den Quantifizierer vom Typ ({ langle} 2 { rangle}) (Q / cdot Q').) durch

) tag {36} Q / cdot Q '(R) iff Q ({a \!: Q' (R_a) }))

Dann erhalten wir die Iteration von zwei Quantifizierern vom Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) (Q_1, Q_2) wie oben mit (Q_1 ^ A / cdot Q_2 ^ B). Die Eigenschaften von Iterationen werden in van Benthem (1989), Keenan (1992), Westerståhl (1994) sowie Steinert-Threlkeld und Icard (2013) untersucht.

Keenan betrachtet Iteration als die Frege-Grenze. Wie er und andere betonten, scheint es viele Quantifizierer in natürlicher Sprache jenseits dieser Grenze zu geben, dh nicht als Iterationen definierbar. Wir geben hier einige Beispiele; viele weitere finden Sie in den gerade angegebenen Referenzen. Der nächste Satz mag so aussehen, als würde er eine Iteration ausdrücken, tut dies aber nicht.

(37) Verschiedene Schüler beantworteten bei der Prüfung unterschiedliche Fragen

Beispiel (37) hat vermutlich verschiedene Interpretationen, zum Beispiel eine, die den folgenden Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1,1,2 { rangle}) verwendet:

[Q (A, B, R) iff / für alle a, b / in A (a / neq b / rechter Pfeil B / cap R_a / neq B / cap R_b))

Dieser Quantifizierer ist immer noch definierbar erster Ordnung, aber keine Iteration. ^[32] Betrachten Sie als nächstes

• (38) a. Menschen sind normalerweise Feuerwehrleuten dankbar, die sie retten.
• b. Männer gehen selten an Mädchen vorbei, die eine Brille tragen. (Dorothy Parker)

Adverbien wie gewöhnlich, selten, immer, können niemals verwendet werden, um verallgemeinerte Quantifizierer zu bezeichnen (eine Beobachtung, die ursprünglich in Lewis (1975) gemacht wurde). Zum Beispiel ist Hunde, die niemals miauen, ungefähr gleichbedeutend mit "Keine Hunde miauen". Für (38) kann jedoch argumentiert werden, dass es eine Lesart gibt, bei der der Quantifizierer für Paare gilt: Unter den Paaren, die aus einer Person und einem Feuerwehrmann bestehen, der diese Person rettet, ist eine Mehrheit so, dass die Person dankbar ist. Dies ist nur die Wiederaufnahme der meisten Paare, die wir in / eqref {ex-qlist4} definiert haben:

[Res ^ 2 (textit {most}) (R, S) iff | R / cap S | > | RS |)

Also in (38b), (R (a, b)) iff (a / in / textit {person}) und (b / in / textit {fireman}) und (a \: / textit {gerettet} b) und (S (a, b)), wenn a b dankbar ist. Es kann gezeigt werden, dass für viele Quantifizierer, insbesondere die meisten, (Res ^ n (Q)) in (FO (Q)) nicht definierbar ist. Tatsächlich ist (Res ^ 2 (textit {most})) aus keiner endlichen Anzahl von monadischen Quantifizierern definierbar, daher ist es ein Beispiel für einen irreduzibel polyadischen Quantifizierer. ^[33]

Nächster:

• (39) a. Fünf Bostoner Krüge saßen nebeneinander.
• b. Die meisten Abgeordneten beziehen sich indirekt aufeinander.

Hier kann (39a) die Wahrheitsbedingungen haben

) existiert X / subseteq / textit {Boston Krug} [| X | = 5 / amp / textit {RECIP} (X, / textit {saß neben})])

Dabei ist RECIP der in / eqref {ex-qlist4} definierte Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1,2 { rangle}). Das heißt, es gibt einen Satz von fünf Boston-Krügen, so dass, wenn Sie zwei davon nehmen, diese entweder nebeneinander sitzen oder es einen Krug oder zwei oder höchstens drei (alle im ausgewählten Satz) gibt. zwischen ihnen. Ähnliches gilt für (39b). Dies ist nur eine von mehreren Konstruktionen polyadischer Quantifizierer, die in reziproken Sätzen vorkommen. ^[34]

Betrachten Sie zum Schluss den Satz

(40) Die meisten Jungen in Ihrer Klasse und die meisten Mädchen in meiner Klasse haben sich alle verabredet

(40) wurde als Beispiel für eine Verzweigungsquantifizierung angeführt, die in einem zweidimensionalen logischen Format als geschrieben werden kann

• (41)

  

wobei die beabsichtigte Lesart ist, dass es eine Teilmenge X von A gibt, die die meisten Elemente von A enthält, und eine ähnlich große Teilmenge Y von B, so dass jedes Paar ((a, b)) wobei (a / in X.) und (b / in Y) gehören zur Beziehung R. Im Allgemeinen haben wir einen polyadischen Quantifizierer vom Typ ({ langle} 1,1,2 { rangle}), der für jedes (Q_1, Q_2) vom Typ ({ langle} 1,1 { definiert ist) klingeln}) von

) tag {42} label {ex-br} Br (Q_1, Q_2) (A, B, R) iff \\ / existiert X / subseteq A \: / existiert Y / subseteq B \, [Q_1 (A, X) amp Q_2 (B, Y) amp X / mal Y / subseteq R])

Dies ergibt plausibel eine Lesung von (40). Beachten Sie, dass x und y hier unabhängig voneinander sind. Wenn man stattdessen einen der linearen Sätze verwenden würde

) textit {most}: x (A (x), / textit {most}: y (B (y), R (x, y))) / \ textit {most}: y (B. (y), / textit {most}: x (A (x), R (x, y))))

dann hängt entweder y von x ab oder umgekehrt. Die zweidimensionale Syntax in (41) spiegelt diese semantische Unabhängigkeit wider. ^[35]

Es kann gezeigt werden, dass (Br (textit {most}, / textit {most})) nicht allein in (FO (textit {most})) ausgedrückt werden kann; in der Tat nicht mit einer endlichen Anzahl von monadischen Quantifizierern (für einen Beweis siehe Hella, Väänänen und Westerståhl (1997)). Andererseits werden Verzweigungsquantifizierer mit einer "Hebe" -Operation erhalten, die auf monadische Quantifizierer angewendet wird, und in ähnlicher Weise zur Wiederaufnahme. Obwohl die natürliche Sprache zahlreiche polyadische Quantifizierer weit über die Frege-Grenze hinaus aufweist, könnte man dennoch die Behauptung vertreten, dass diese alle auf systematische Weise aus monadischen Quantifizierern erhalten werden.

17. GQ-Theorie und Linguistik

Das Aufkommen verallgemeinerter Quantifizierer hatte über Montagues Arbeit in den späten 60er Jahren einen großen Einfluss auf die sprachliche Semantik, was durch die Anwendung modelltheoretischer Methoden in den frühen 80er Jahren von Barwise und Cooper, Keenan und Stavi und anderen verstärkt wurde (siehe Anmerkung 21). In fast allen Beispielen dieser Werke war die natürliche Sprache Englisch. Linguisten haben seitdem die Werkzeuge und Methoden der „GQ-Theorie“auf andere Sprachen angewendet und getestet. Die Sammlung Bach et al. (1995) hat unter anderem sieben Fallstudien zur Quantifizierung in anderen Sprachen. Es wird auch die Unterscheidung zwischen D-Quantifizierung und A-Quantifizierung hervorgehoben. Bei der D-Quantifizierung, die die meisten unserer Beispiele bisher aufweisen, ist der Quantifiziererausdruck (normalerweise) ein Bestimmer, der für ein Substantiv gilt. Die A-Quantifizierung erfolgt auf andere Weise. A steht für Adverbien, Hilfsmittel,Affixe und Argumentstruktur-Einsteller. Viele Sprachen bevorzugen eine A-Quantifizierung, einige ausschließlich. Englisch hat beide Arten; Erinnern Sie sich an die Quantifizierungsadverbien in (38).^[36]

In jüngerer Zeit haben die Bände Keenan und Paperno (2012) sowie Paperno und Keenan (2017) ein separates Kapitel, in dem eine Reihe fester Fragen zum Ausdruck der Quantifizierung für jede der 34 verschiedenen Sprachen (die sich auch von den oben genannten unterscheiden) beantwortet werden eine umfangreiche Bestandsaufnahme ihrer ausdrucksstarken Ressourcen. ^[37]Der Ansatz ist semantisch: Die Fragen haben die Form „Kann man X in Ihrer Sprache ausdrücken und wenn ja auf welche Weise?“, Die präzise Fragen zu Konservativität, Monotonie, Polaritätselementen, monadischer vs. polyadischer Quantifizierung usw. zulässt in jede Sprache gebracht werden. Die Zusammenfassung im letzten Kapitel zeigt, dass viele der Verallgemeinerungen, die für Englisch gelten, in Bezug auf die Existenz von Ausdrücken, die bestimmte Quantifizierer bezeichnen, und deren Eigenschaften auch in allen oder den meisten anderen untersuchten Sprachen gelten (Keenan und Paperno listen 25 solche auf) Verallgemeinerungen).

Andererseits haben einige Linguisten ab den 1990er Jahren argumentiert, dass die GQ-Theorie eine Reihe wichtiger semantischer Phänomene - in Englisch und anderen Sprachen - im Zusammenhang mit der Quantifizierung nicht erklären kann. Szabolcsi (2010) gibt einen detaillierten Bericht über diese Entwicklungen. Ein Problem ist, dass die GQ-Theorie anscheinend nichts über die kompositorische Bedeutung komplexer Determinatoren zu sagen hat. Wie leitet sich beispielsweise die Bedeutung von mehr als fünf aus der Bedeutung ihrer Teile ab? Oder betrachten Sie die meisten, die oft als einfacher Bestimmer behandelt werden, obwohl ihre Bedeutung irgendwie aus einem Superlativ von mehr stammen muss.

Ein weiteres problematisches Phänomen ist der Umfang. Während die GQ-Theorie im Prinzip alle theoretisch möglichen Scopings verschachtelter Quantifiziererausdrücke zuzulassen scheint, unterliegen natürliche Sprachen Einschränkungen, die regeln, welche davon tatsächlich zulässig sind. In der Tat ist der Umfang ein Hauptthema in der sprachlichen Syntax und Semantik und ein komplexes. Das Problem ist auch methodisch: Wie kann festgestellt werden, ob ein gegebener Satz S tatsächlich Y bedeuten kann (wobei Y einem bestimmten Geltungsbereich entspricht)? Erstens muss man Fälle herausfiltern, in denen die Nichtverfügbarkeit von Y von Fakten über die Welt abhängt, nicht von der Sprache. Zweitens, wessen Intuitionen sollten zählen: die des Linguisten oder der Muttersprachler in einer Testsituation oder vielleicht sollten statistische Beweise eine Rolle spielen? Immer noch,Zwar sind viele Lesungen, die auf den ersten Blick unmöglich erscheinen, tatsächlich in ausreichend spezifischen Kontexten verfügbar, doch ist es plausibel, dass Sprachen Umfangsbeschränkungen aufweisen, die außerhalb der Reichweite der GQ-Theorie liegen.^[38]

Die „GQ-Theoretikerin“könnte antworten, dass ihre Werkzeuge niemals dazu gedacht waren, den Umfang vollständig zu erklären oder kompositorische Analysen jedes komplexen Ausdrucks zu ermöglichen. Das modelltheoretische Gerüst ist zunächst beschreibend: Es liefert mathematische Objekte, die als (Modelle der) Bedeutung dienen können, und formuliert Eigenschaften und Beziehungen zwischen diesen Objekten. Manchmal enthüllen Fakten über die mathematischen Objekte Einblicke in die Dinge, die sie modellieren, wie im Fall von Monotonie- und Polaritätselementen oder im Fall der Bedeutung verbundener Nominalphrasen. Es gibt jedoch keinen Grund, dies in jedem Fall zu erwarten.

Dies sind Positionen in einer laufenden Debatte über die Rolle formaler Methoden und insbesondere modelltheoretischer Werkzeuge in der Semantik; eine Debatte, die keineswegs beigelegt ist. Es scheint klar zu sein, dass die mit der Quantifizierung in natürlichen Sprachen verbundenen Phänomene weiterhin ein hervorragendes Material für diese Diskussion darstellen.

18. Quantifizierung und Erkenntnis

In den letzten Jahren gab es eine Explosion von Arbeiten, die Semantik, Argumentation und Erkenntnis miteinander verbanden. Ein Großteil davon hing damit zusammen, wie Sprecher mit quantifizierten Ausdrücken verstehen, lernen und argumentieren. Ein Hauptforschungsbereich betrifft die Monotonie (Abschnitt 13). Bereits Barwise und Cooper (1981) haben die Allgegenwart monotoner Quantifizierer in natürlichen Sprachen festgestellt und einen Weg vorgeschlagen, um zu zeigen, dass monotone Quantifizierer leichter zu verarbeiten sind als nicht monotone und dass zunehmende Quantifizierer einfacher sind als abnehmende. Sie schlugen auch vor, dass psychologische Experimente verwendet werden könnten, um ihre Hypothese zu testen. Ihr technischer Vorschlag wurde in van Benthem (1986) weiterentwickelt, der einen Begriff der Zählkomplexität einführte und zeigte, dass unter bestimmten VoraussetzungenDie Quantifizierer mit minimaler Zählkomplexität sind genau diejenigen mit einer bestimmten starken Monotonieeigenschaft.^[39]

Monotonie ist auch an dem beteiligt, was van Benthem als "Ein-Schritt" -Denken bezeichnet hat, das den Sprechern leicht zugänglich zu sein scheint. Das Monotonieverhalten grundlegender Determinatoren zeigt bereits, wie eine solche Argumentation lizenziert ist. Das Markieren von rechts zunehmenden (abnehmenden) Typ ({ langle} 1,1 { rangle}) Quantifizierern mit einem + (a (-)) nach rechts und ähnlich für die linke Monotonie haben wir zum Beispiel:

(- / textit {every} +) (+ / textit {some} +) (- / textit {no} -) (cdot \, / textit {most} +) (cdot \, / textit {genau drei}, / cdot)

Dabei markiert (cdot), dass die Position weder abnimmt noch zunimmt. Ein schönes Beispiel ist die folgende Schlussfolgerung (aus Icard und Moss (2014), die ein Beispiel in Geurts und Slik (2005) adaptiert):

(43) Die meisten Amerikaner, die eine Fremdsprache beherrschen, sprechen sie zu Hause. Die meisten Amerikaner, die eine Fremdsprache sprechen, sprechen sie zu Hause oder bei der Arbeit

Die Prämisse ist bei den meisten ein „Eselsatz“, und es ist bekanntermaßen schwierig, die genauen Wahrheitsbedingungen für diese zu bestimmen. In der Tat sind mehrere Ablesungen möglich. ^[40] Trotzdem scheinen die Sprecher kein Problem damit zu haben, diese Schlussfolgerung zu ziehen, anscheinend, da die meisten richtig zunehmen (das VP-Argument spricht es zu Hause, wird erweitert, um es zu Hause oder bei der Arbeit zu sprechen), unabhängig davon, was das Substantiv ist Phrase (in beiden Sätzen gleich) bedeutet genau.

Viele andere Ausdrücke und Phrasen neben Determinatoren zeigen feste Monotonie-Muster. Beginnend mit van Benthem (1986) hat dies zu Algorithmen geführt, wie Polaritätsmarker den Knoten von Analysebäumen von Sätzen zugewiesen werden (relativ zu einer bestimmten Grammatik) oder wie solche Marker direkt in die Typennotation aufgenommen werden; siehe Icard und Moss (2014) für eine Übersicht und weitere Referenzen. Neben ihrer Rolle bei der Inferenz kann eine solche Markierung auch die Verteilung von Elementen mit negativer Polarität in Sprachen erklären und manchmal sogar vorhersagen (Ende von Abschnitt 13). Darüber hinaus ist in vielen Fällen keine syntaktische Analyse erforderlich: Rückschlüsse können direkt auf die Oberflächenform gezogen werden und wären in diesem Sinne „spontan“für Sprecher verfügbar; vergleiche (43). Das gerade erwähnte Papier präsentiert auch eine vollständige Axiomatisierung eines formalen Monotonie-Kalküls.in denen viele Arten von Argumenten mit Monotonie zum Ausdruck gebracht werden können.^[41]

Eine etwas parallele Entwicklung war die formale Untersuchung verschiedener syllogistischer Fragmente; Wir haben in Abschnitt 2 festgestellt, dass viele Syllogismen Monotonieeigenschaften ausdrücken. Diese Fragmente, von denen die meisten von Ian Pratt-Hartmann und vor allem Larry Moss untersucht wurden, reichen von solchen, die nur einfache Sätze wie allXY oder someXY enthalten, bis zu solchen, die Komplemente, Relativsätze, transitive Verben und Quantifizierer nicht erster Ordnung wie die meisten erlauben. und andere Funktionen. Hier ist ein Beispiel (Moss pc) für eine Folgerung in einem solchen Fragment:

Jeder mag jeden, der Pat mag Pat mag jeden Klarinettisten Jeder mag jeden, der jeden mag, der jeden Klarinettisten mag

Dies zeigt, wie sehr kompliziertes Denken in einer einfachen syllogistischen Sprache ausgedrückt werden kann. Die Folgerung ist gültig, aber man muss ein bisschen nachdenken, um das zu sehen. ^[42] Ein Hauptmerkmal der meisten dieser Fragmente ist, dass im Gegensatz zur Logik erster Ordnung nicht nur explizite vollständige Axiomatisierungen vorliegen, sondern auch deren Gültigkeit entscheidend ist. Dies gilt auch für einige Fragmente mit Quantifizierern, die nicht FO-definierbar sind. Wie der Monotonie-Kalkül ist das Studium von syllogistischen Fragmenten Teil des Unternehmens, das etwas locker als natürliche Logik bezeichnet wird, was zu gut erzogenen Subsystemen vertrauterer Logik führt, die sowohl der natürlichen Sprache näher sind als auch rechnerisch besser nachvollziehbar sind. siehe Moss (2015) für eine Umfrage. ^[43]

Auf der kognitiven Seite wurden Fragen des Verstehens und Lernens im Zusammenhang mit Quantifizierung und Monotonie sowohl in der Psychologie als auch in den Neurowissenschaften untersucht. Geurts und Slik (2005) fragten die Probanden, ob bestimmte Schlussfolgerungen bezüglich der Monotonie gültig seien oder nicht. Die Ergebnisse bestätigten weitgehend die früheren Hypothesen von Barwise und Cooper. Die Bedeutung einzelner Determinatoren wurde ebenfalls empirisch untersucht; Pietroski et al. (2009) untersuchten am meisten, wo die Methode darin bestand, Probanden für eine sehr kurze Zeit ein Bild mit gelben und blauen Punkten zu zeigen (um das Zählen zu eliminieren) und beispielsweise zu fragen, ob es wahr oder falsch ist, dass die meisten Punkte gelb sind. Variationen dieser Art von Experimenten sind in der Literatur üblich; Ein neueres Beispiel ist Odic et al. (2018), in dem die Unterscheidung zwischen Masse und Anzahl in Kognition und Semantik untersucht wird. Beide Studien befassen sich mit dem menschlichen Zahlensinn und seiner Beziehung zum Verständnis der quantifizierenden Sprache. Man könnte eine "Whorfian" -Hypothese aufstellen, dass Letzteres eine Voraussetzung für Ersteres ist. Dies wurde mit neurobiologischen Methoden (Gehirn-Scan-Methoden kombiniert mit psychologischen Tests bei Patienten mit verschiedenen Hirnstörungen) in Clark und Grossman (2007) getestet. Sie fanden keine empirische Unterstützung für diese Hypothese; siehe auch Clark (2011a) für eine Beschreibung des Experiments und mehr zur Erforschung der Quantifizierung und des Zahlenverständnisses. Dies wurde mit neurobiologischen Methoden (Gehirn-Scan-Methoden kombiniert mit psychologischen Tests bei Patienten mit verschiedenen Hirnstörungen) in Clark und Grossman (2007) getestet. Sie fanden keine empirische Unterstützung für diese Hypothese; siehe auch Clark (2011a) für eine Beschreibung des Experiments und mehr zur Erforschung der Quantifizierung und des Zahlensinns. Dies wurde mit neurobiologischen Methoden (Gehirn-Scan-Methoden kombiniert mit psychologischen Tests bei Patienten mit verschiedenen Hirnstörungen) in Clark und Grossman (2007) getestet. Sie fanden keine empirische Unterstützung für diese Hypothese; siehe auch Clark (2011a) für eine Beschreibung des Experiments und mehr zur Erforschung der Quantifizierung und des Zahlensinns.

Mittlerweile gibt es eine ganze Reihe empirischer Studien darüber, wie sich verschiedene Klassen von Quantifizierern, die mit logischen oder rechnerischen Mitteln identifiziert wurden, in Bezug auf Lernen, Verstehen, kognitive Belastung usw. widerspiegeln. Umgekehrt legen sprachliche und kognitive Fakten neue theoretische Fragen nahe. In Bezug auf die Komplexität der Berechnungen hat Sevenster (2006) beispielsweise gezeigt, dass die Verzweigung der meisten wie in (40) in Abschnitt 9 nicht durchführbar ist. ^[44]Anschließend beobachtete Szymanik, dass, wenn die Operationen der Wiederaufnahme und Iteration (wie in (38) bzw. (36)) auf PTIME-Quantifizierer angewendet werden, das Ergebnis im Gegensatz zur Verzweigung wieder in PTIME ist. In ähnlicher Weise bewahren einige Formen von wechselseitigen Konstruktionen die PTIME-Berechenbarkeit, während andere dies nicht tun: mit RECIP genau fünf wie in (39a) „anheben“, aber die meisten wie in (39b) nicht.

In der semantischen Automateneinstellung von van Benthem (Abschnitt 9) haben Steinert-Threlkeld und Icard (2013) bewiesen, dass die Frege-Grenze (Abschnitt 16) in dem Sinne robust ist, dass wenn zwei Conserv- und Ext-Typen ({ langle} 1,1 { rangle}) Quantifizierer sind an endlichen (oder Push-Down-) Automaten erkennbar, ebenso wie ihre Iteration. Darüber hinaus hat Steinert-Threlkeld (2016) gezeigt, dass für große Klassen von Typ ({ langle} 1,1,2 { rangle}) Quantifizierern entscheidend ist, ob es sich um Iterationen vom Typ ({ langle} 1 handelt, 1 { rangle}) Quantifizierer oder nicht. Eine aktuelle Präsentation sowohl theoretischer als auch empirischer Ergebnisse zu den kognitiven Aspekten der Quantifizierererkennung ist Szymanik (2016).

Es wurden Computermodelle zum Erlernen der Bedeutung von Quantifizierern angegeben. Zum Beispiel von Clark (2011a) in der Einstellung für semantische Automaten. In einer jüngsten Entwicklung untersuchen Steinert-Threlkeld und Szymanik (in Kürze) die Lernfähigkeit mit der Technologie neuronaler Netze und testen, ob bestimmte Quantifizierer, die drei häufig vorgeschlagene Universalien erfüllen - einfache Bezeichnerbezeichnungen sind monoton, Isom bzw. Conserv -, leichter zu erlernen sind als Quantifizierer, die diese Eigenschaften nicht haben. Für jedes Universal wird die Zeit, die das Netzwerk benötigt, um einen Quantifizierer zu lernen, der es erfüllt, mit der Zeit verglichen, die benötigt wird, um einen Quantifizierer zu lernen, der dies nicht tut. Es stellt sich heraus, dass Monoton und Isom einfacher sind als Nicht-Monoton und Nicht-Isom, während für Conserv kein Unterschied erkennbar ist. ^[45]

Dies sind nur einige Einblicke in die laufende Forschung. Die Untersuchung, wie Sprecher quantifizierte Ausdrücke verarbeiten und die grundlegende modelltheoretische Analyse mit Methoden aus Psychologie, Neurowissenschaften und Informatik kombinieren, ist mittlerweile ein reiches Gebiet in der Untersuchung verallgemeinerter Quantifizierer.

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