Erkenntnistheorie Der Geometrie

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-05-24 11:17

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Erkenntnistheorie der Geometrie

Erstveröffentlichung Montag, 14. Oktober 2013; inhaltliche Überarbeitung Mo 31.07.2017

Geometrisches Wissen betrifft typischerweise zwei Arten von Dingen: theoretisches oder abstraktes Wissen, das in den Definitionen, Theoremen und Beweisen in einem System der Geometrie enthalten ist; und etwas Wissen über die Außenwelt, wie es in Begriffen aus einem Geometriesystem ausgedrückt wird. Die Art der Beziehung zwischen der abstrakten Geometrie und ihrem praktischen Ausdruck muss ebenfalls berücksichtigt werden.

Dieser Aufsatz hält verschiedene Theorien der Geometrie, ihre Gründe für die Verständlichkeit, für die Gültigkeit und für physikalische Interpretierbarkeit in der Zeit weitgehend vor dem Aufkommen der Theorien von speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie im 20. ^ten Jahrhundert. Es stellt sich heraus, dass in vielen Phasen ein kompliziertes Zusammenspiel zwischen dem kürzesten und dem geradesten am Werk ist.

Vor dem 19 - ^ten Jahrhundert nur eine Geometrie wurde in jeder Tiefe untersucht oder gedacht, um eine genaue oder korrekte Beschreibung des physischen Raumes zu sein, und das war die euklidische Geometrie. Die 19 - ^ten Jahrhundert selbst eine Fülle von neuen Geometrien sah, von denen das wichtigste der projektive Geometrie und nicht-euklidische oder hyperbolische Geometrie war. Projektive Geometrie kann als Vertiefung der nichtmetrischen und formalen Seiten der euklidischen Geometrie betrachtet werden. nichteuklidische Geometrie als Herausforderung für ihre metrischen Aspekte und Implikationen. In den Eröffnungsjahren des 20 ^..Jahrhundert wurde eine Vielzahl von Riemannschen Differentialgeometrien vorgeschlagen, die der nichteuklidischen Geometrie einen strengen Sinn gaben. Es gab auch bedeutende Fortschritte im Bereich der abstrakten Geometrien, wie sie von David Hilbert vorgeschlagen wurden. Daraus folgt, dass die Begriffe ‚Geometrie‘ und ‚physischer Raum‘ haben keine einfache Bedeutungen im 19 - ^ten Jahrhundert und Vorstellungen dieser Bedingungen zu ändern folgen nicht einem einfaches Muster der Verfeinerung. Ihre Wechselbeziehungen haben daher auch eine komplizierte Geschichte.

• 1. Erkenntnistheoretische Probleme in Euklids Geometrie

• 2. Erkenntnistheoretische Probleme in der angewandten Geometrie

  2.1 Auswirkungen der Mechanik

• 3. Projektive Geometrie

  • 3.1 Koordinatentransformationen; Kleinsche Geometrie
  • 3.2 Hilbert und andere zur axiomatischen projektiven Geometrie
• 4. Nichteuklidische Geometrie

• 5. Riemannsche Geometrie

  • 5.1 Geodäten und Verbindungen
  • 5.2 Riemann und Beltrami und strenge nichteuklidische Geometrie

• 6. Die Verständlichkeit nichteuklidischer Geometrie

  • 6.1 Herbarts Philosophie
  • 6.2 Helmholtz und Poincaré
  • 6.3 Poincaré gegen Russell
• 7. Schlussbemerkungen
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Erkenntnistheoretische Probleme in Euklids Geometrie

Eine detaillierte Untersuchung der Geometrie, wie sie von Euklid vorgestellt wurde, zeigt eine Reihe von Problemen. Es lohnt sich diese im Detail, weil die erkenntnistheoretisch zu überzeugen Status von Euklids Elemente unter Berücksichtigung von fast jeder bis in die späteren Jahrzehnten des 19. unangefochten wurde ^th Jahrhundert. Zu den Hauptproblemen zählen ein Mangel an Klarheit bei der Definition von Geraden und Ebenen sowie eine Verwechslung zwischen kürzesten und geradesten als grundlegende geometrische Eigenschaft. (Siehe die vielen Kommentare, die in Heaths Ausgabe von Euklids Elementen gesammelt wurden.) Die Auswirkungen auf das parallele Postulat werden separat behandelt, siehe Abschnitt über nichteuklidische Geometrie.

Die ersten vier Bücher der Euklidischen Elemente handeln von geraden Linien und Kreisen, aber es ist bekannt, dass das Konzept einer geraden Linie nur eine äußerst unbefriedigende Definition erhält. Eine Linie wird als "breitlose Länge" bezeichnet, und eine gerade Linie als "Linie, die gleichmäßig mit den Punkten auf sich selbst liegt". Dies mag helfen, die Leser davon zu überzeugen, dass sie eine gemeinsame Auffassung von der geraden Linie teilen, aber es nützt nichts, wenn unerwartete Schwierigkeiten bei der Erstellung einer Theorie auftreten - wie wir sehen werden.

Für diejenigen, die beschlossen haben, die Elemente sorgfältig zu lesen und zu sehen, wie die entscheidenden Begriffe verwendet werden, wurde deutlich, dass der Bericht sowohl in gewisser Weise bemerkenswert gewissenhaft als auch in anderer Hinsicht fehlerhaft ist. Gerade Linien entstehen fast immer als endliche Segmente, die auf unbestimmte Zeit erweitert werden können. Wie viele Kommentatoren feststellten, hat Euklid jedoch nicht ausdrücklich gesagt, dass dieses Segment eindeutig ist, obwohl es ein Segment gibt, das zwei beliebige Punkte verbindet. Dies ist ein Fehler im Beweis des ersten Kongruenzsatzes (I.4), der besagt, dass wenn zwei Dreiecke zwei Seitenpaare gleich haben und der eingeschlossene Winkel gleich ist, die verbleibenden Seiten der Dreiecke gleich sind.

Satz I.4 ist auf andere Weise interessant. Satz I.2 enthält einen gewissenhaften und keineswegs offensichtlichen Beweis dafür, dass ein gegebenes Liniensegment in einer Ebene an jedem vorgeschriebenen Punkt in der Ebene genau mit einem seiner Endpunkte kopiert werden kann. Satz I.4 erfordert zu Recht den Beweis, dass ein Winkel ebenfalls genau an einem beliebigen Punkt kopiert werden kann, aber dieser Euklid kann zu diesem Zeitpunkt nicht liefern (einer ist in I.23 angegeben, der jedoch auf diesen früheren Ergebnissen aufbaut). Er gab daher eine kahle Behauptung ab, dass ein Dreieck genau in einer beliebigen Position kopiert werden könne, was einen wundern lässt, warum solche Sorgfalt auf I.2 angewendet wurde. Tatsächlich sollte das gesamte Konzept der Bewegung von Figuren in arabisch-islamischen Zeiten zu einem längeren Diskussionsthema werden. (zum Abzug in Euklid siehe Müller 1981).

Eine plausible Lektüre von Elements Book I ist, dass eine gerade Linie so verstanden werden kann, dass sie eine Richtung hat, so dass es an jedem Punkt in jeder Richtung eine gerade Linie und an einem bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung nur eine gerade Linie gibt. Das parallele Postulat besagt dann, dass Linien, die eine bestimmte Linie in gleichen Winkeln kreuzen, in die gleiche Richtung zeigen und sich nicht treffen. Dies muss jedoch als eine Interpretation angesehen werden, die einige Arbeit erfordert, um präzise zu sein.

Die Richtung ist jedoch ein plausiblerer Kandidat als die Entfernung; Euklid begann nicht mit der Idee, dass die gerade Linie, die zwei verschiedene Punkte verbindet, die kürzeste Kurve ist, die sie verbindet. Das relevante primitive Konzept in den Elementen ist das der Gleichheit von Segmenten, wie beispielsweise alle Radien eines gegebenen Kreises. Euklid stellte als Common Notion 4 fest, dass, wenn zwei Segmente zusammenfallen können, sie gleich sind, und (in der problematischen I.4) er das Gegenteil verwendete, dass wenn zwei Segmente gleich sind, sie zusammenfallen können. Segmente sind so, dass entweder eines kleiner als das andere ist oder sie gleich sind, und in I.20 hat Euklid gezeigt, dass „in jedem Dreieck zwei Seiten, die auf irgendeine Weise zusammengenommen werden, größer sind als die verbleibende“. Dieses Ergebnis ist als Dreiecksungleichung bekannt geworden.und es ist ein langer Weg, um zu beweisen, dass das Liniensegment, das zwei verschiedene Punkte verbindet, die kürzeste Kurve durch diese Punkte ist. Sobald das parallele Postulat eingeführt ist, hat Euklid gezeigt, dass die gegenüberliegenden Seiten eines Parallelogramms gleich sind und der Abstand zwischen zwei parallelen Linien konstant ist.

Aber es gibt noch eine andere Schwäche in den Elementen, die ebenfalls erwähnenswert ist, obwohl sie weniger Aufmerksamkeit auf sich gezogen hat, und dies ist die Natur des Flugzeugs. Die Ebene hat eine andere unterdurchschnittliche Definition, die offensichtlich der der Linie nachempfunden ist: „Eine ebene Fläche ist eine Fläche, die gleichmäßig mit den geraden Linien auf sich selbst liegt“(und, nicht überraschend, „eine Fläche ist diejenige, die nur Länge und Breite hat”). Danach wird das Wort "Ebene" in den ersten vier Büchern nicht erwähnt, obwohl sie sich ausschließlich mit der Ebenengeometrie befassen. Als sich Euklid in Buch IX der festen Geometrie zuwandte, begann er mit drei Theoremen, um nacheinander zu zeigen, dass eine gerade Linie nicht teilweise in einer Ebene liegen kann und teilweise nicht, dass wenn sich zwei gerade Linien schneiden, sie in einer Ebene liegen und jedes Dreieck darin liegt ein Flugzeug, und wenn sich zwei Flugzeuge treffen, dann tun sie dies in einer Linie. Jedoch,Man kann nur sagen, dass er diese Ergebnisse behauptet und plausibel macht, weil er seine Definition eines Flugzeugs nicht verwenden kann, um eines von ihnen zu beweisen. Sie bilden jedoch die Grundlage für die nächsten Sätze: An jedem Punkt der Ebene gibt es eine Senkrechte zu einer Ebene, und alle Linien senkrecht zu einer bestimmten Linie an einem bestimmten Punkt bilden eine Ebene.

Auch hier ist I.4 problematisch. Betrachten Sie zum Zweck einer Reduktion ad absurdum, dass man zwei Dreiecke (ABC) und (A'BC) auf derselben Seite ihrer gemeinsamen Basis (BC) hat und dass (BA = BA ') und (CA = CA'). Es soll zeigen, dass daher die Eckpunkte (A) und (A ') zusammenfallen, und dafür muss man, wie Gauss bemerkte (in unveröffentlichten Bemerkungen siehe Gauss Werke 8, 193), die Tatsache verwenden, dass die Dreiecke liegen in derselben Ebene. Es ist eine gute Definition einer Ebene erforderlich, mit der dieses Ergebnis bewiesen werden kann.

Nehmen wir an, eine rein synthetische Geometrie befasst sich mit primitiven Konzepten wie geraden Linien und Ebenen auf die oben beschriebene Weise. Das heißt, es nimmt die Geradheit der Geraden und die Ebenheit der Ebene als grundlegend und appelliert an die eben beschriebenen Inzidenz-Eigenschaften. Es widersteht der Idee, Distanz als grundlegendes Konzept zu nehmen oder Aussagen in der Geometrie durch Aussagen über Zahlen (z. B. als Koordinaten) zu ersetzen, obwohl es nicht feindlich ist, darauf aufbauende Koordinatengeometrie zu verwenden.

Nehmen wir für die vorliegenden Zwecke auch an, dass eine metrische Geometrie eine ist, bei der Abstand ein primitives Konzept ist, so dass Liniensegmente dieselbe Länge haben können, kongruente Figuren entsprechende Seiten gleicher Länge haben und geometrische Transformationen Längen beibehalten. Wir können auch zulassen, dass Ähnlichkeiten zulässig sind: Dies sind Transformationen, die maßstabsgetreue Kopien von Figuren erzeugen. (Kein Satz in Euklids Elementen hängt von der tatsächlichen Größe einer Figur ab: Jeder Satz, der für eine Figur gilt, gilt für alle ihre Skalenkopien.)

Die Elementargeometrie im modernen Westen bewegte sich auf verwirrte Weise, um Distanz zum primären primitiven Konzept zu machen, während häufig die euklidische Betonung der Geradheit beibehalten wurde, wodurch die Implikationen der verschiedenen Konzepte häufig durcheinander gebracht wurden. Ein bemerkenswertes Beispiel dafür, dass dies dennoch produktiv ist, war John Wallis 'Argument zur Verteidigung des Parallelpostulats (1665 als Vortrag gehalten und 1693 in Wallis veröffentlicht). Wie er erkannte, beruhte es auf der Fähigkeit, Kopien eines Dreiecks in beliebigem Maßstab anzufertigen, und dies scheint das erste Mal zu sein, dass die Äquivalenz zwischen diesen beiden Systemen erkannt wurde:

1. Euklids Elemente
2. Euklids Elemente mit entferntem Parallelpostulat und der Annahme, dass willkürlich ähnliche Zahlen existieren, wurden hinzugefügt.

In der Encylopédie Méthodique (1784: Bd. 2, 132) definierte d'Alembert die Geometrie als die Wissenschaft, die uns lehrt, das Ausmaß, die Position und die Festigkeit von Körpern zu kennen. Seine Prinzipien gründen sich auf Wahrheiten, die so offensichtlich sind, dass es nicht möglich ist, sie anzufechten. Eine Linie (im Sinne einer Kurve) ist eindimensional, und die kürzeste Linie, die zwei Punkte verbindet, ist die gerade Linie. Parallele Linien sind Linien, die sich, egal wie weit sie verlängert sind, niemals treffen werden, da sie überall gleich weit voneinander entfernt sind.

Joseph Fourier nahm in einer Diskussion mit Monge auch das Konzept der Distanz als grundlegend, begann jedoch mit dem dreidimensionalen Raum. Anschließend definierte er nacheinander die Kugel, die Ebene (als Punkte mit gleichem Abstand von zwei gegebenen Punkten) und die Linie (als Punkte mit gleichem Abstand von drei gegebenen Punkten). Dies gab ihm zumindest Definitionen dieser zuvor beunruhigenden Konzepte (siehe Bonola 1912, 54).

Adrien-Marie Legendre war ein Mathematiker, der mit den didaktischen Zielen der Elemente einverstanden war, aber nicht mit ihren ursprünglichen Formulierungen. Er schrieb verschiedene Versionen seiner Éléments de géométrie (1794), um die euklidische Strenge in der Lehre der Geometrie wiederherzustellen, die seiner Ansicht nach durch Texte korrodiert worden war, wie eine von Clairaut (1741), die sich auf Begriffe von stützte Selbstbeweis. Sie unterscheiden sich, wie er zugeben musste, stark in ihren erfolglosen Versuchen, das Parallelpostulat abzuleiten.

In all diesen Ausgaben vertrat Legendre einen festen metrischen Standpunkt. In seiner Eröffnungsdefinition der ersten Ausgabe wurde verkündet, dass „Geometrie eine Wissenschaft ist, deren Ziel das Maß der Ausdehnung ist“. Das Ausmaß, erklärte er, habe drei Dimensionen: Länge, Breite und Höhe; Eine Linie ist eine Länge ohne Breite, ihre Enden werden Punkte genannt und ein Punkt hat daher keine Ausdehnung. Eine gerade Linie ist der kürzeste Weg von einem Punkt zum anderen. Oberflächen haben Länge und Breite, aber keine Höhe oder Tiefe; und eine Ebene ist eine Oberfläche, in der, wenn zwei beliebige Punkte durch eine gerade Linie verbunden sind, diese Linie vollständig in der Oberfläche liegt.

Legendre machte sich dann daran, die Sätze der Elemente zusammen mit einigen Ergebnissen zu beweisen, die Euklid bevorzugt angenommen hatte, wie zum Beispiel (Legendres erstes Ergebnis): Zwei beliebige rechte Winkel sind gleich. Sein Satz 3 bewies, dass die Linie, die zwei verschiedene Punkte verbindet, einzigartig ist (ihre Existenz wurde stillschweigend als Folge der Definition einer geraden Linie angenommen). In jeder Ausgabe folgen bekannte Kongruenzsätze, bis das parallele Postulat nicht mehr ignoriert werden konnte. Sobald die Existenz paralleler Linien sichergestellt war, zeigte Legendre, dass sie äquidistant waren.

Tatsächlich waren Legendres Versuche, die Behandlung der Elementargeometrie wieder strenger zu gestalten, nicht besser als die von Euklid und in gewisser Weise schlechter, nicht nur, weil seine Versuche, das parallele Postulat zu beweisen, unvermeidlich fehlschlugen, sondern weil er mehr in sein Konto schmuggelte, als er erkannte. Seine Hauptbedeutung für die gegenwärtigen Zwecke besteht jedoch darin, dass es den Versuch veranschaulicht, die Elementargeometrie auf einem Konzept der Entfernung zu gründen, oder genauer gesagt auf der Idee, dass eine gerade Linie die Kurve der kürzesten Entfernung zwischen einem ihrer Punkte ist. Die Entfernung selbst ist nicht definiert.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass zu dieser Zeit eine vernünftige Ansicht gewesen wäre, dass die metrische Geometrie erforderlich wäre, um das Haus in Ordnung zu bringen, und dass dies wahrscheinlich nicht möglich wäre, indem das Konzept der Distanz auf eine Struktur übertragen wurde, die Euklids Elementen nachempfunden ist. Dies ist eine schwierige Position für die traditionelle Geometrie und hat möglicherweise den Geist der Menschen für die Möglichkeiten von Alternativen geöffnet. Sicherlich sollten zwei produziert werden. Eine projektive Geometrie verstärkte und verbesserte die synthetische Seite der Geometrie. Die andere, nichteuklidische Geometrie war eine neue und herausfordernde metrische Geometrie. Bevor wir sie jedoch betrachten, wenden wir uns zeitgenössischen philosophischen Diskussionen über Geometrie zu.

2. Erkenntnistheoretische Probleme in der angewandten Geometrie

Es ist eine nützliche Vereinfachung zu sagen, dass um 1800 die Ansicht war, dass es einen physischen Raum (das Universum) gab und dass dieser Raum durch die Geometrie in Euklids Elementen beschrieben wurde, die der einzige Kandidat für eine solche Aufgabe war. Streitigkeiten betrafen die rigorose Darstellung dieser Geometrie und ihre genaue Anwendung auf die physische Welt. Die Art des Wissens, das die Geometrie lieferte, war ebenfalls Gegenstand einiger Diskussionen.

Locke (siehe den Eintrag über Locke) übernahm aus der aristotelischen Tradition die Idee, dass euklidische Geometrie und rationale Theologie Beispiele für wissenschaftliche Erkenntnisse sind, versuchte jedoch, seine Philosophie auf intuitive, demonstrative und sensible Arten von Wissen zu gründen. Intuitives Wissen wird sofort erfasst; demonstratives Wissen bedient sich der Zwischenschritte eines Beweises wie in der Geometrie. Beide Wissensformen sind sicher. Sensibles Wissen ist nicht sicher: Es ist das, was wir durch unsere Sinne lernen, es zeigt Wirkungen, aber keine Ursachen, es ist bestenfalls teilweise und kann täuschen. Aber weil Locke bestimmtes Wissen auf das Wissen über Essenzen stützte, von dem er glaubte, dass es für immer vor uns verborgen war, war er gezwungen, diese schwächere Form des Wissens entsprechend dem menschlichen Wissen zu verteidigen. Der Raum kann als aus allen (tatsächlichen und möglichen) Positionen von Objekten zusammengesetzt betrachtet werden. reiner Raum ist Raum, in dem alle festen Körper entfernt sind, und distanziert das primitive Konzept, mit dem wir die Trennung zwischen Körpern diskutieren.

In seinem Essay über menschliches Verständnis (1690) behauptete Locke dies

Wenn wir uns mit der größtmöglichen Sicherheit der Demonstration besitzen, dass die drei Winkel eines Dreiecks gleich zwei rechten sind, was wir mehr als wahrnehmen, dass die Gleichheit mit zwei rechten notwendigerweise mit dem übereinstimmt und untrennbar mit dem ist drei Winkel eines Dreiecks? (Aufsatz IV.i.2)

und später das

… Die Idee eines rechtwinkligen Dreiecks bringt notwendigerweise die Gleichheit seiner Winkel mit zwei rechten mit sich. Wir können uns diese Beziehung, diese Verbindung dieser beiden Ideen auch nicht als möglicherweise veränderlich vorstellen oder von einer willkürlichen Macht abhängen, die sie so gewählt hat oder anders machen könnte. (Essay IV.iii.29, S. 559–560)

Sensibles Wissen über die entsprechenden Objekte könnte jedoch niemals diesen Grad an Sicherheit haben, und da unser Wissen aus unserem Wissen über Objekte stammt, scheint es, dass das wissenschaftliche Wissen über den Raum von einer anderen Art ist als unser Wissen über die Geometrie. Für Locke lieferte die euklidische Geometrie eine Art von Wissen und Erfahrung und wissenschaftliches Experiment, eine andere. In der Tat könnte man sagen, dass eine erkenntnistheoretische Lücke in der Philosophie bis heute in Form einer Unterscheidung zwischen empirischem und a priori Wissen besteht, die immer noch weithin anerkannt ist.

Die Situation mit Hume ist komplizierter, aber auch klarer, weil die Lücke direkt geschlossen wird. In seiner Abhandlung über die menschliche Natur (1739–1740) verteidigte er die Gewissheit von Arithmetik und Algebra, hielt sie jedoch der Geometrie vor, da unser Wissen über Punkte und Linien von Natur aus ungenau ist. Die Wahrheiten der euklidischen Geometrie waren keine Wahrheiten über die Welt, sondern eines abstrakten Systems und würden wahr bleiben, wenn es keine Figuren auf der Welt gäbe, die ihren euklidischen Äquivalenten entsprechen. Der gleichschenklige Dreieckssatz, der die Gleichheit zweier Seiten eines Dreiecks mit zwei gleichen Winkeln behauptet, ist zu verstehen, schlug Hume als die Behauptung vor, dass unter den gegebenen Umständen zwei Seiten eines Dreiecks ungefähr gleich sind und auf diese Weise interpretiert werden Die Behauptung ist sicher (siehe Badici 2011 und de Pierris 2012).

In Kants Metaphysik (siehe seine Kritik der reinen Vernunft (1781/1787) und den Eintrag Kants Ansichten über Raum und Zeit) ist die Situation wieder komplizierter oder raffinierter. Kant führte den Begriff des a priori Wissens im Gegensatz zum a posteriori und des synthetischen Wissens im Gegensatz zum analytischen Wissen ein, um die Existenz von Wissen zu ermöglichen, das nicht auf Erfahrung beruhte (und somit a priori war), aber keinen tautologischen Charakter hatte (und daher synthetisch und nicht analytisch). Analytische Aussagen sind a priori, die umstrittene Klasse der a priori nicht analytischen Aussagen enthält diejenigen, die nicht anders sein könnten und daher bestimmte Kenntnisse vermitteln. Darunter sind die Aussagen der euklidischen Geometrie; Kant schrieb der Raumkenntnis einen synthetischen a priori Status zu. Er schrieb auch der euklidischen Geometrie Gewissheit zu. Aber, schrieb Kant,Es ist nicht der Philosoph, der weiß, dass die Winkelsumme eines Dreiecks zwei rechte Winkel ist, sondern der Mathematiker, weil der Mathematiker eine bestimmte Konstruktion herstellt, die die Wahrheit der Behauptung nachweisbar macht (siehe Kritik, A 716, B 744).

Unter den französischen Philosophien war die dominierende Position in den 1770er Jahren die kartesische, die, wie Clairauts Élémens de géométrie (1741) veranschaulicht, in ihrem Bestehen auf klaren und unmittelbaren Ideen möglicherweise übermäßig naiv war. Die Position von d'Alembert war in seinen Artikeln in der Encylopédie Méthodique (1784) differenzierter. Die Objekte der Geometrie sind so zu verstehen, dass von Körpern jede Qualität abstrahiert wird, außer die, durchdringbar, teilbar und figürlich zu sein. Unter diesen Objekten befinden sich Linien, denen die Breite fehlt, und Oberflächen, denen die Tiefe fehlt. Wahrheiten, die über die Objekte der Geometrie aufgestellt wurden, sind rein abstrakt und hypothetisch, weil es zum Beispiel keinen perfekten Kreis gibt. Die demonstrierten Eigenschaften können von tatsächlichen Kreisen nur insoweit gelten, als sich das tatsächliche Objekt dem Zustand eines perfekten Kreises nähert.

Sie sind in gewissem Sinne eine Grenze und, wenn man es so ausdrücken kann, die Asymptote der physischen Wahrheiten, der Begriff für jene Objekte, die sich so nah nähern, wie man es wünscht, ohne jemals genau dazu zu gelangen. (siehe Encylopédie Méthodique II, 132)

Wenn jedoch mathematische Theoreme nicht genau der Natur entsprechen, dienen diese Theoreme in der Praxis zumindest mit ausreichender Genauigkeit. Um mit völliger Genauigkeit demonstriert zu werden, müssen sie als Halten von Körpern in einem Zustand abstrakter Perfektion betrachtet werden, den sie nicht wirklich haben.

Die in der Geometrie untersuchten Kurven sind weder perfekt gerade noch perfekt gekrümmt, die Oberflächen sind weder perfekt flach noch perfekt gekrümmt, aber je näher sie kommen, desto mehr nähern sie sich dem Zustand, jene Eigenschaften zu haben, die man über Linien beweist, die genau gerade oder gekrümmt sind und von Oberflächen, die genau flach oder gekrümmt sind.

Diese Überlegungen, so d'Alembert weiter, würden ausreichen, um die Skeptiker zu widerlegen, die sich darüber beschweren, dass geometrische Objekte nicht wirklich existieren, und andere, die die Mathematik nicht kennen und sie als nutzloses und sinnloses Spiel betrachten.

Es scheint daher, dass Philosophen in Euklids Elementen keine Probleme fanden, aber Hume, d'Alembert und andere einer empiristischen Überzeugung bestritten die Anwendbarkeit der Theoreme mit der Begründung, dass die Objekte der Geometrie möglicherweise keine entsprechenden Objekte auf der Welt haben. Philosophen, die offener für die Idee eines breiten Spektrums bestimmter Kenntnisse sind (wie zum Beispiel Kant), könnten geometrischen Theoremen den Status von a priori Wahrheiten verleihen, die nicht anders sein können als sie sind.

2.1 Auswirkungen der Mechanik

Der physische Raum war die naive, dreidimensionale Version des Raums von Euklids Elementen und der kartesisch koordinierten dreidimensionalen Geometrie, und so hatte Newton ihn in seiner Principia Mathematica (1687) gesehen. Es wurde als neutrale Arena ohne eigene Eigenschaften konzipiert, die von verschiedenen Arten von Kräften durchdrungen war, die von physischen Körpern erzeugt und wiederum beeinflusst wurden. Unter diesen befand sich vor allem die Schwerkraft, die Mathematiker in der kartesischen Tradition bei ihrer Einführung als mysteriöses, sogar inakzeptables Konzept betrachteten, das jedoch zu Beginn des 19. ^{Jahrhunderts eingeführt wurde}Laplace hatte gezeigt, dass das Jahrhundert in der Lage ist, mit allen bekannten Bewegungen des Sonnensystems gut umzugehen. Infolgedessen war die Schwerkraft zu einem natürlichen, primitiven Konzept geworden, das keiner weiteren Erklärung mehr bedurfte, und nach 1800 war es für Menschen, die an den neuen Theorien von Magnetismus und Elektrizität arbeiteten, vernünftig, sie als Kräfte zu betrachten und gegebenenfalls zu modellieren auf die Newtonsche Schwerkraft.

Der physikalische Raum, wie er von Newton in seiner Principia beschrieben wurde, soll untersucht werden, indem Beobachtungen von Körpern, die sich relativ zueinander bewegen und von einer beliebigen Uhr zeitgesteuert werden, zur entsprechenden wahren Bewegung in absolutem Raum und absoluter Zeit übergehen. Wie Newton es am Ende seines ersten Scholiums ausdrückte, war der Zweck seiner Abhandlung zu zeigen

wie man wahre Bewegungen aus ihren Ursachen, Wirkungen und offensichtlichen Unterschieden bestimmt und umgekehrt, wie man aus Bewegungen, ob wahr oder offensichtlich, ihre Ursachen und Wirkungen bestimmt.

Es war eindeutig kein Zweifel in Newtons Meinung über die euklidische Natur des physischen Raumes, und in der Tat scheint es unter den Astronomen in dem 17 keine Zweifel gewesen zu seinen ^th Jahrhundert, dass der Raum in den Begriffen beschreibbar war in Euklids Elementen verwendet. Es ist auch wahrscheinlich, dass die zunehmende Anerkennung der Vorzüge der Newtonschen Physik die Annahme festigte, dass der Raum dreidimensional, homogen und isotrop ist und als ein unendliches Koordinatengitter beschrieben werden kann, wodurch die Theoreme veranschaulicht werden - wenn nicht genau die Definitionen der Elemente.

Zu den geometrischen Aspekten des physischen Raums, die Newton festgelegt hat, gehört die Aussage seines ersten Gesetzes:

Jeder Körper bleibt in seinem Ruhezustand oder bewegt sich gleichmäßig geradeaus, es sei denn, er ist gezwungen, seinen Zustand durch eingeprägte Kräfte zu ändern.

Es gibt auch das Ergebnis, dass ein homogener kugelförmiger Feststoff auf andere Körper den gleichen Gravitationseffekt ausübt wie eine gleiche Masse, die im Zentrum des Körpers konzentriert ist. Das heißt, solche Körper verhalten sich nachweislich und nicht nur annähernd so wie Punktmassen. Auf diese Weise erhalten Punkte und Linien in seiner Theorie der Dynamik physikalische Bedeutung.

Es war Laplace, der das stärkste Argument dafür lieferte, dass der physische Raum der euklidischen Geometrie gehorcht. In seiner Exposition du système du monde von 1796 (siehe Buch V, Kap. V, S. 472) fügte er eine interessante Notiz hinzu (zitiert in Bonola 1912: 54), um dies zu sagen

Die Versuche von Geometern, Euklids Postulat über Parallelen zu beweisen, waren bisher erfolglos. An diesem Postulat und den daraus abgeleiteten Theoremen kann jedoch niemand zweifeln. Der Raumbegriff beinhaltet also eine besondere Eigenschaft, die selbstverständlich ist und ohne die die Eigenschaften von Parallelen nicht konsequent festgelegt werden können. Die Idee einer begrenzten Region, z. B. des Kreises, enthält nichts, was von seiner absoluten Größe abhängt. Wenn wir uns jedoch vorstellen, dass sich sein Radius verringert, werden wir unbedingt im gleichen Verhältnis von Umfang und Seiten aller eingeschriebenen Figuren zur Verringerung gebracht. Diese Verhältnismäßigkeit erscheint mir als ein natürlicheres Postulat als das von Euklid, und es ist bemerkenswert, dass sie in den Ergebnissen der Theorie der universellen Gravitation neu entdeckt wird.

Dies ähnelt auffallend der Ansicht von Wallis vor mehr als einem Jahrhundert, obwohl Laplace Wallis nicht erwähnte und möglicherweise nicht von seiner Diskussion über das Parallelpostulat gewusst hat.

Um 1800 war es daher allgemein richtig, dass Probleme mit den Wahrheitsansprüchen der euklidischen Geometrie zu den allgemeinen Problemen bezüglich unserer Kenntnis der Außenwelt gehörten. Das Vertrauen in philosophischen und wissenschaftlichen Kreisen in die Gültigkeit der euklidischen Geometrie an sich war hoch.

3. Projektive Geometrie

Nach Meinung viele im 19 - ^ten Jahrhundert verlor die euklidische Geometrie seinen grundlegenden Status zu einer Geometrie, die als allgemeinen betrachtet wurden: projektiven Geometrie. (Für eine Einführung in die Geometrie im 19 ^..Jahrhundert, siehe Gray 2011. Projektive Geometrie wird im Eintrag Geometrie des 19. Jahrhunderts beschrieben, siehe auch die Aufsätze verschiedener Autoren in Bioesmat-Martagon 2011.) Die projektive Geometrie hat ein eigenes Grundproblem, das dem der Distanz in der euklidischen Geometrie ähnelt betrifft das Konzept des Kreuzverhältnisses, und wir müssen den Schritten folgen, um projektive Geometrie als unabhängiges Subjekt zu erstellen, das Kreuzverhältnis in dieser Umgebung zu definieren und die aufgeworfenen erkenntnistheoretischen Probleme zu lösen (eine Leistung, die mit Kleins Erlangen-Programm verbunden ist). Wir werden auch sehen, dass das Wachstum der projektiven Geometrie die Arena für Hilberts Axiomatisierung der Geometrie schafft.

Die projektive Geometrie der Ebene erhielt einen besonderen Schub aus Jean Victor Poncelets Buch von 1822 Traité des propriétés projectives des figuren, in dem er die Kraft projektiver Methoden unter der provokativen Formulierung nichtmetrischer Geometrie demonstrierte. Der grundlegende Charakter der neuen Geometrie liegt in der Art und Weise, wie man sich vorstellen kann, die einfachsten Eigenschaften der geraden Linie zu erfassen - zwei verschiedene Punkte definieren eine eindeutige Linie, zwei verschiedene Linien treffen sich in höchstens einem Punkt - und verwerfen dabei die metrischen Konzepte von Abstand und Winkel.

Poncelets Behauptungen für Transformationen der Ebene, die Linien auf Linien abbilden, wurden von Chasles (1837) strenger umgeschrieben, wobei die Invarianz des Kreuzverhältnisses hervorgehoben wurde. Das Kreuzverhältnis von vier Punkten (A), (B), (C), (D) auf einer Linie wird als (AB {.} CD \ mathbin {/} AD definiert {.} CB), und wenn die Punkte durch eine projektive Transformation auf (A '), (B'), (C '), (D') abgebildet werden, dann

[AB {.} CD \ mathbin {/} AD {.} CB = A'B '{.} C'D' \ mathbin {/} A'D '{.} C'B'.)

Dies ließ das Subjekt jedoch in der unangenehmen Position zurück, allgemeiner zu sein als die euklidische Geometrie, da euklidische, metrische Transformationen projektive Transformationen sind, aber nicht umgekehrt, während es bei der Definition seiner fundamentalen Invariante immer noch auf einem metrischen Konzept zu beruhen scheint.

Dieses Problem wurde in den 1840er und 1850er Jahren von Georg Karl Christian von Staudt angegangen. Seine beiden Bücher (1847, 1856–1860) versuchten, Grundlagen für projektive Geometrie zu schaffen, die es zu einem autonomen Thema machten, unabhängig von der euklidischen Geometrie. Sie waren schwer zu lesen und in vielerlei Hinsicht unvollkommen, aber die Aufgabe, eine strenge Theorie zu erstellen, konnte zum ersten Mal als eine Aufgabe gesehen werden, eine bereits begonnene Aufgabe zu erfüllen. Von Staudt argumentierte, dass die Transformationen der ebenen projektiven Geometrie jedes Dreifache kollinearer Punkte auf jedes andere und jedes Vierfache von Punkten (von denen keine drei kollinear waren) auf jedes andere abbilden könnten, aber kein Vierfaches kollinearer Punkte auf ein anderes. Anschließend untersuchte er detailliert kollineare Vierfache. Er machte auch kurze Bemerkungen darüber, wie euklidische Geometrie aus projektiver Geometrie erhalten werden kann.und aus diesen war ersichtlich, dass seine Theorie der kollinearen Vierfachen auf die bekannte Theorie des Kreuzverhältnisses reduziert wurde, sobald das Konzept der euklidischen Distanz zur projektiven Geometrie hinzugefügt wurde. Diese Einsicht wurde von Klein in einer Reihe von Veröffentlichungen in den frühen 1870er Jahren klar und deutlich gemacht. Das erste lesbare Lehrbuch über projektive Geometrie und dasjenige, das ihm seinen Namen gab, war Cremonas Elementi di geometria projettiva von 1873, und danach stieg das Thema schnell zur grundlegenden klassischen Geometrie auf.und derjenige, der ihm seinen Namen gab, war Cremonas Elementi di geometria projettiva von 1873, und danach stieg das Thema schnell zur grundlegenden klassischen Geometrie auf.und derjenige, der ihm seinen Namen gab, war Cremonas Elementi di geometria projettiva von 1873, und danach stieg das Thema schnell zur grundlegenden klassischen Geometrie auf.

Seine Grundkonzepte waren die Punkte, Linien und Ebenen eines Raumes, der (mathbb {R} ^ 3) mit einer sogenannten Ebene im Unendlichen angereichert war, so dass sich zwei beliebige koplanare Linien treffen. Vor axiomatisations der Theorie am Ende des 19. - ^ten Jahrhunderts, Punkt, Linie und Fläche wurden Konzepte nicht definiert, mit einer intuitiven Interpretation, dass für einen leichten Durchtritt zwischen projektiven und der euklidischen Geometrie erlaubt. Die zulässigen Transformationen der Geometriekarte zeigen auf Punkte, Linien auf Linien und Ebenen auf Ebenen und behalten das Querverhältnis bei. Sie wirken transitiv auf den Raum, sodass kein Punkt, keine Linie oder Ebene etwas Besonderes ist. Daher können Linien, die in einem endlichen Teil des Raums parallel sind, auf Schnittlinien abgebildet werden und umgekehrt.

In seiner synthetischen Form beschränkten sich die Erfolge der projektiven Geometrie weitgehend auf die Vereinfachung der Untersuchung von Kegeln - alle nicht entarteten Kegel (Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel) sind projektiv äquivalent. In seiner algebraischen Form erwies sich die projektive Geometrie als nahezu wesentlich für die Untersuchung ebener algebraischer Kurven jeglichen Grades und, erweitert auf projektive Räume höherer Dimensionen, für die Untersuchung algebraischer Oberflächen. All dies trug zu der zentralen Bedeutung bei, die einer nichtmetrischen Geometrie beigemessen wird, die nur auf dem Konzept der geraden Linie und den Einfallseigenschaften von Linien und Ebenen basiert.

Die projektive Geometrie besaß auch ein überraschendes Merkmal, das als Dualität bezeichnet wurde und von Cremona als Gesetz der Logik angesehen wurde. In der ebenen projektiven Geometrie ist es möglich, die Begriffe "Punkt" und "Linie", "koinzident" und "gleichzeitig" auszutauschen und auf diese Weise gültige Aussagen auszutauschen. Infolgedessen haben alle Definitionen, Theoreme und Beweise in der projektiven Geometrie einen doppelten Charakter. Das Duale der Aussage des Desargues-Theorems und seines Beweises ist zum Beispiel die Umkehrung des Theorems und seines Beweises. In drei Dimensionen können die Begriffe "Punkt" und "Ebene" auf die gleiche Weise ausgetauscht werden, und Linien werden mit anderen Linien ausgetauscht. Dies wirft ein faszinierendes erkenntnistheoretisches Problem auf: Es ist leicht, sich den Raum als aus Punkten zusammengesetzt vorzustellen, aber es ist unmöglich, ihn intuitiv als aus Linien zusammengesetzt zu betrachten. Es noch schlimmer machen,Raum ist dreidimensional, wenn er aus Punkten besteht, aber vierdimensional, wenn er aus Linien besteht.

3.1 Koordinatentransformationen; Kleinsche Geometrie

Kleins Erlangen-Programm und die so genannte kleinianische Sicht der Geometrie werden im Eintrag Geometrie des 19. Jahrhunderts beschrieben. Es hat sich als Hauptquelle der Ansicht herausgestellt, dass Geometrie als eine Gruppe definiert werden kann, die auf einen Raum einwirkt, und eine geometrische Eigenschaft ist jede Eigenschaft, die unter allen Transformationen der entsprechenden Gruppe unveränderlich ist.

Klein befürwortete diese Ansicht in einer Broschüre, die veröffentlicht wurde, als er 1872 Professor an der Universität Erlangen wurde, und in anderen Veröffentlichungen in Fachzeitschriften in den 1870er Jahren, um die Geometrie wieder zu vereinheitlichen. Er präsentierte eine Möglichkeit zu zeigen, dass metrische Geometrien wie euklidische und nichteuklidische Geometrie und andere Geometrien wie inversive Geometrie und birationale Geometrie als Sonderfälle projektiver Geometrie angesehen werden können (ebenso wie affine Geometrie, die er nicht tat wissen über im Jahr 1872).

Die Grundgeometrie war echte projektive Geometrie, etwa in zwei Dimensionen. In dieser Geometrie ist der Raum ein realer projektiver Raum, und die Gruppe ist die Gruppe aller projektiven Transformationen. Diese Gruppe ordnet Punkte zu Punkten, Linien zu Linien, Kurven vom Grad (n) zu Kurven vom Grad (n) zu, und vor allem bleibt das Kreuzverhältnis von vier kollinearen Punkten durch jede projektive Transformation unverändert. In der Kleinschen Sichtweise stellt dies fest, dass Punkte, Linien, Gradkurven (n) und das Kreuzverhältnis von vier kollinearen Punkten Eigenschaften der Geometrie sind.

Die projektive Geometrie hat die anderen Geometrien auf verschiedene Weise berücksichtigt. Klein gab an, dass man versuchen könnte, der Liste der Konfigurationen etwas hinzuzufügen. In diesem Fall ist die Gruppe, die sie invariant hält, im Allgemeinen kleiner als die Hauptgruppe, oder man könnte versuchen, die Gruppe zu vergrößern. In diesem Fall wird die Klasse der invarianten Konfigurationen im Allgemeinen schrumpfen. Klein war es erst kürzlich gelungen zu zeigen, dass nichteuklidische Geometrie als Untergeometrie entsteht, indem die Aufmerksamkeit auf das Innere eines Kegels im projektiven Raum und auf die Untergruppe beschränkt wurde, die das Innere dieses Kegels auf sich selbst abbildet (siehe Klein 1871, 1873)..

Der erkenntnistheoretische Charakter von Kleins Erlangen-Programm wird klarer, wenn man sich ansieht, wie es den bekannten nagenden Zweifel an der Definition des Kreuzverhältnisses in der projektiven Geometrie gelöst hat. Kleins Antwort erfolgte analog zu Längen in euklidischer oder nichteuklidischer Geometrie. In diesen Geometrien behält die entsprechende Gruppe gerade Linien bei, und jeder Punkt kann auf einen anderen Punkt abgebildet werden. Es gibt jedoch keine Transformation in der Gruppe, die ein Liniensegment auf ein geeignetes Untersegment von sich selbst abbilden kann. Jedes beliebige, aber feste Liniensegment kann daher als Längeneinheit verwendet und zum Messen von Liniensegmenten verwendet werden, indem beliebige Vielfache und Untermultiplikatoren davon konstruiert und wie ein Lineal angeordnet werden. Um nun die Länge eines Segments (AB) zu messen,man legt einfach den Punkt (A) an ein Ende des Lineals und sieht, wo der Punkt (B) auf das Lineal fällt.

Kleins Erkenntnis nach Staudt war, dass ein genau ähnliches Argument mit vierfachen kollinearen Punkten verwendet werden kann, um das Kreuzverhältnis in der projektiven Geometrie zu definieren. Die projektive Gruppe behält gerade Linien bei, und jedes geordnete Dreifach kollinearer Punkte kann auf jedes geordnete Dreifach kollinearer Punkte abgebildet werden, und die Karte, die ein bestimmtes geordnetes Dreifach unterschiedlicher Punkte an ein anderes geordnetes Dreifach unterschiedlicher Punkte sendet, ist eindeutig Keine Transformation in der Gruppe, die ein Vierfach von vier kollinearen Punkten auf ein beliebiges solches Vierfach abbilden kann. Jedes beliebige, aber feste kollineare Vierfache kann daher als Einheit der 'Größe' genommen werden, und ein kompliziertes, aber nicht schwieriges Argument erlaubt es, beliebige Vielfache und Untermultiplikatoren davon zu erzeugen, die zum Messen von Kreuzverhältnissen verwendet werden können, indem man sie als eins anordnet würde ein Herrscher. Anstatt die Details anzugeben, ist es besser, diese suggestive Illustration zu geben, warum dies getan werden kann. Das Kreuzverhältnis der vier kollinearen Punkte (P), (Q), (R), (S) soll gemessen werden, indem die Punkte auf die Punkte (A), (abgebildet werden) B), (C), (D) auf der realen Linie, wobei (A) am Ursprung liegt, (C) um (infty) und (D) bei 1 ist es also die Position von (B), die das Kreuzverhältnis bestimmt. Dies ist eindeutig bestimmt, und wenn die Länge von (AB) (x) ist, finden wir, dass (AB {.} CD \ mathbin {/} AD {.} CB = x).es ist also die Position von (B), die das Querverhältnis bestimmt. Dies ist eindeutig bestimmt, und wenn die Länge von (AB) (x) ist, finden wir, dass (AB {.} CD \ mathbin {/} AD {.} CB = x).es ist also die Position von (B), die das Querverhältnis bestimmt. Dies ist eindeutig bestimmt, und wenn die Länge von (AB) (x) ist, finden wir, dass (AB {.} CD \ mathbin {/} AD {.} CB = x).

In der Sprache der Zeit ist die Länge eine Zweipunktinvariante der euklidischen oder nichteuklidischen Gruppe, und das Kreuzverhältnis ist eine Vierpunktinvariante der projektiven Gruppe.

3.2 Hilbert und andere zur axiomatischen projektiven Geometrie

Probleme mit einigen technischen Problemen in der projektiven Geometrie und die steigenden Anforderungen an Strenge am Ende des 19. ^ten Jahrhunderts provozierten Versuche, das Thema zu axiomatise. Die Aufgabe wurde energetisch von Pieri, Peano aufgenommen und eine Reihe von anderen italienischen Geometer in der zweiten Hälfte des 19. - ^ten Jahrhunderts, und es gelang ihnen eine strenge Rechnung reellen und komplexen projektiven Geometrie in zwei und drei Dimensionen zu geben (siehe Marchisotto und Smith 2007). Gleichzeitig gelang es ihnen jedoch, das Fach auf eine strenge Ausbildung für Geometrielehrer zu reduzieren, und sie schätzten die von ihnen eröffneten Forschungsmöglichkeiten nicht. Es wurde David Hilbert überlassen, den axiomatischen Ansatz zur Geometrie wiederzubeleben (siehe Hallett und Majer 2004).

Hilbert war in eine Reihe von Kontroversen über elementare projektive Geometrie eingeführt worden, die sich darauf bezogen, welche Ergebnisse in welchen Einstellungen welche anderen Ergebnisse implizierten. Am bemerkenswertesten war der Satz von Desargues. In der dreidimensionalen projektiven Geometrie ist der Satz von Desargues eine Folge der Einfallsaxiome allein, aber es ist ein Satz über Punkte und Linien in einer projektiven Ebene (und damit in der zweidimensionalen Geometrie), den jedoch niemand ableiten konnte aus den Inzidenzaxiomen der zweidimensionalen projektiven Geometrie. Es wurde vermutet, dass es nicht allein aus diesen Axiomen ableitbar ist, und Giuseppe Peano konnte zeigen, dass es tatsächlich nicht ohne zusätzliche Annahmen abgeleitet werden konnte. Unabhängig,Hilbert gab auch ein Beispiel für eine Geometrie, die alle Inzidenzaxiome der zweidimensionalen projektiven Geometrie erfüllt, in der jedoch der Satz von Desargues falsch war. Es wurde später durch das einfachere Beispiel ersetzt, das der amerikanische Mathematiker und Astronom FR Moulton in allen späteren Ausgaben von Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899) gefunden hatte.

In den von Hilbert vorgebrachten axiomatischen Geometrien sind die grundlegenden Objekte (Punkte, Linien, Ebenen) nicht definiert. Stattdessen gab Hilbert an, wie sie verwendet werden können und was über sie gesagt werden kann. Er stellte fünf Axiomfamilien vor, die nach den von ihnen verwendeten oder kodifizierten Konzepten sortiert waren. Anschließend erstellte er eine Vielzahl von Geometrien, die einer Vielzahl von Axiomensystemen gehorchten, und stellte deren Konsistenz fest, indem er ihnen Koordinaten über geeignete Ringe und Felder gab. Oft lassen seine Geometrien viele Interpretationen oder Modelle zu. Dies gab diesen Geometrien die gesamte Konsistenz der Arithmetik und führte zu Hilberts Interesse an Versuchen, die Arithmetik in irgendeiner Form von Mengenlehre und Logik zu begründen.

Hilberts Ansatz gedieh, weil er erkannt hatte, dass es eine Mathematik der Axiome gab, eine Untersuchung verschiedener, aber miteinander verbundener Axiomschemata und ihrer Implikationen. Poincaré akzeptierte in seiner Rezension (1902) von Hilberts Buch die neuen Geometrien als gültig, bedauerte jedoch, dass sie, wie er es ausdrückte, unvollständig waren, weil ihnen eine psychologische Komponente fehlte. Damit meinte er, dass sie in seiner Erklärung, wie wir etwas über die Geometrie des physischen Raums wissen, nicht berücksichtigt werden konnten, weil sie nicht von Natur aus erworben werden konnten.

4. Nichteuklidische Geometrie

Die Untersuchungen des Parallelpostulats begannen in griechischer Zeit, wurden in der islamischen Welt fortgesetzt und im frühneuzeitlichen Westen durchgeführt. Aus noch unklaren Gründen wurde es den Menschen nach 1800 leichter, sich vorzustellen, dass Euklids Elemente möglicherweise nicht das einzig mögliche System der metrischen Geometrie sind. Zu den Faktoren, die erklären können, wie das Undenkbare auch außerhalb der Gemeinschaft der Mathematiker denkbar wurde, gehörte die Anhäufung von Theoremen, die auf anderen Annahmen als dem parallelen Postulat beruhten. Es scheint, dass die Produktion neuartiger, konsequenter Konsequenzen einer solch radikalen Annahme und das Versäumnis, einen Widerspruch zu finden, einige Leute dazu veranlassten, darüber nachzudenken, dass es tatsächlich eine ganze Geometrie geben könnte, die sich von der von Euklid unterscheidet.

Das Signalbeispiel für diese Verschiebung ist der Rechtsprofessor FK Schweikart, der 1818 Gauß über Gerling, einen seiner Kollegen an der Universität Marburg, einen Bericht über eine ganz andere Geometrie als Euklids schickte. Schweikarts Geometrie wurde von Gauß akzeptiert, der antwortete, dass alle Eigenschaften der neuen Geometrie abgeleitet werden könnten, sobald ein Wert für eine Konstante angegeben wurde, die in Schweikarts Bericht erschien. Aber was Gauß akzeptiert hatte und aus welchen Gründen, ist weniger klar. Gauß hatte bereits mehrere Verteidigungen von Euklids Elementen beanstandet, und im Laufe der Jahre wurde er völlig zuversichtlich, dass es eine neue zweidimensionale Geometrie gab, die sich von der Geometrie der euklidischen Ebene unterschied. Diese Geometrie könnte durch Formeln beschrieben werden, von denen er gesehen hätte, dass sie denen der sphärischen Geometrie ähneln. Eine solche dreidimensionale Geometrie beschrieb er jedoch nicht und ließ die Möglichkeit offen, dass die zweidimensionale Geometrie eine Art formale, bedeutungslose Kuriosität war. Andererseits machte er in Korrespondenz mit Bessel deutlich, dass er der euklidischen Geometrie nicht die Gewissheit zuschreiben konnte, die er der a priori gegebenen Arithmetik gab, und sowohl er als auch Bessel hielten die Möglichkeit offen, dass astronomische Regionen des Weltraums dies nicht könnten sei euklidisch.

Die ersten vollständig mathematischen Beschreibungen des Raums in anderen Begriffen als Euklids müssen daher unabhängig an János Bolyai in Ungarn und Nicolai Ivanovich Lobachevskii in Russland gehen. Bolyai ersetzte in seinem „Anhang Scientiam Spatii Absolut Veram Exhibens“(1832) und Lobachevskii in seinen „Neuen Anfangsbedingungen der Geometrie“(1835) und erneut in seinen Geometrischen Untersuchungen (1840) das parallele Postulat durch die Annahme, dass eine Linie und ein Punkt gegeben sind Nicht auf dieser Linie gibt es viele Linien durch den Punkt, die in der durch den gegebenen Punkt und die gegebene Linie definierten Ebene liegen und die der gegebenen Linie nicht entsprechen. Von diesen ist, wie sie dann zeigten, eine Linie in jeder Richtung asymptotisch zu der gegebenen Linie, und diese asymptotischen Linien teilen die Familie aller anderen Linien in der gegebenen Ebene und durch den gegebenen Punkt in zwei Familien:diejenigen, die die vorgegebene Linie erfüllen, und diejenigen, die dies nicht tun. Es folgten dann viele Arbeiten, die in jedem Fall bekanntermaßen ähnlich waren, insbesondere um zu zeigen, dass es in dem durch ihre Annahmen beschriebenen dreidimensionalen Raum eine Oberfläche gibt, auf der die euklidische Geometrie gilt, und um die Existenz trigonometrischer Formeln abzuleiten, die Dreiecke in der Ebene beschreiben. Diese Formeln ähneln den entsprechenden Formeln für Dreiecke auf der Kugel.

All dies überzeugte sowohl Bolyai als auch Lobachevskii, dass die neue Geometrie eine Beschreibung des physischen Raums sein könnte und es fortan eine empirische Aufgabe wäre, zu entscheiden, ob die euklidische Geometrie oder die nichteuklidische Geometrie wahr ist. Lobachevskii versuchte sogar, die Angelegenheit mit astronomischen Mitteln zu bestimmen, aber seine Ergebnisse waren absolut nicht schlüssig.

Es ist natürlich richtig, dass keine Menge konsistenter Ableitungen in der neuen Geometrie die Möglichkeit eines Widerspruchs ausschließt, sondern die faszinierende Beziehung der neuen Geometrie zur sphärischen Geometrie und die Existenz trigonometrischer Formeln für Dreiecke, die stark nahegelegt werden dass die neue Geometrie zumindest konsistent war. Diejenigen, die es akzeptiert haben und vor den 1860er Jahren nur sehr wenige waren, haben möglicherweise einen besseren Bericht begrüßt als den von Bolyai und Lobachevskii. Bevor wir uns jedoch dem Thema zuwenden, lohnt es sich, eine Pause einzulegen, um die Formeln zu verstehen, denn viele Geometer sollten sie auch nach den Umformulierungen von Riemann und Beltrami (zum Beispiel Enriques in seinem Hauptaufsatz) als überzeugende Beweise für die Gültigkeit der neuen Geometrie finden (1907) über die Prinzipien der Geometrie).

Es gibt nicht nur Formeln, sondern sie deuten auch auf eine alternative Formulierung der Geometrie hin, bei der sich die in Euklids Elementen beschriebene Geometrie als Sonderfall erweisen könnte. Wenn es einen anderen Weg geben könnte, Geometrie zu definieren, der in verschiedenen Fällen zu diesen Formeln führen würde, wäre der Weg offen, alle Fragen zur Geometrie zu überdenken, die die kritische Prüfung eröffnet hatte. Die Person, die in den 1830er und 1840er Jahren am besten dafür geeignet war, war Gauß. Er wusste sehr gut, was Bolyai und Lobachevskii getan hatten, und seine unterschiedliche Geometrie gab ihm die Möglichkeit, fortzufahren, aber seltsamerweise tat er dies nicht. In den frühen 1840er Jahren schrieb er einige Notizen, die zeigten, dass er die neue zweidimensionale Geometrie mit der Geometrie auf einer Oberfläche mit konstanter negativer Krümmung verbinden konnte, aber er tat nichts mit dieser Beobachtung.

Andererseits würde die bloße Existenz von Formeln nicht ausreichen, um sie geometrisch zu machen. Diese Notwendigkeit, ihnen eine geometrische Grundlage zu geben, wurde von Lobachevskii in seinen frühesten Veröffentlichungen erkannt, aber weil sie auf Russisch waren, wurden sie nicht außerhalb Russlands gelesen (noch wurden sie von russischen Mathematikern geschätzt). Er ließ seine Überlegungen dieser Art in seiner Broschüre von 1840 fallen, von der ein Großteil seines Rufs bis heute abhängt, brachte sie aber in seiner letzten Präsentation, der Pangéométrie (1856), zurück, die jedoch nicht besser war als die früheren Versionen.

Lobachevskii argumentierte zunächst, dass Geometrie eine Wissenschaft von Körpern im Raum sei und dass der Raum dreidimensional sei. Das primitivste Konzept war das des Kontakts und sein Gegenteil, ein Schnitt, der zwei Körper trennt. Zwei Körper, die nicht in Kontakt stehen, werden getrennt, und ein geeigneter dritter Körper, der mit beiden in Kontakt steht, misst den Abstand zwischen ihnen, ein Konzept, das ansonsten nicht definiert war. Er könnte daher eine Kugel mit ihrem Mittelpunkt an einem bestimmten Punkt als die Sammlung aller Punkte definieren, die von einem bestimmten Punkt gleich weit entfernt sind. Anschließend zeigte er, wie man eine Ebene definiert, indem er die Intuition erfasst, dass bei zwei unterschiedlichen Punkten eine Ebene die Sammlung von Punkten im Raum ist, die den gleichen Abstand von jedem der beiden angegebenen Punkte haben. In seinen Begriffen ist eine Ebene bei zwei Punkten die Menge von Punkten, die zwei Kugeln mit gleichem Radius gemeinsam sind.einer zentrierte sich auf einen der Punkte und der andere auf den anderen. Eine Linie kann ähnlich definiert werden.

Mit der Intuition, dass Distanz das primitive Konzept ist, kommt eine größere Wertschätzung der Bewegung oder zumindest das Ergebnis der Fähigkeit, Objekte zu bewegen, ohne sie zu verändern. Man kann sich vorstellen, einen starren Körper herum zu transportieren, beispielsweise einen Würfel mit Seiten mit Längeneinheiten, und eine seiner Seiten zu verwenden, um Längen zu markieren. Wir werden später sehen, dass die Möglichkeiten, die in diesem Prozess eine Huhn-Ei - Debatte zwischen Bertrand Russell und Henri Poincaré am Ende des 19. verursachten ^ten Jahrhunderts.

Die neue Geometrie stellte eine radikale Herausforderung für die euklidische Geometrie dar, da sie der traditionellen Geometrie ihren besten Anspruch auf Gewissheit verweigerte, dass sie das einzig logische System zur Diskussion der Geometrie überhaupt war. Es nutzte auch die den Experten bekannte Spannung zwischen den Konzepten des Geradesten und des Kürzesten. Aber auf andere Weise war es konventionell. Es bot keine neuen Definitionen bekannter Konzepte wie Geradheit oder Entfernung, es stimmte mit der euklidischen Geometrie über Winkel überein, es bot lediglich eine andere Intuition über parallele Linien, basierend auf einer anderen Intuition über das entfernte Verhalten von geraden Linien. Ihre Befürworter haben keine skeptische Schlussfolgerung gezogen. Bolyai und Lobachevskii sagten nicht: "Sehen Sie, es gibt zwei logische, aber inkompatible Geometrien, so dass wir nie wissen können, was wahr ist." Stattdessen,Sie hofften, dass Experimente und Beobachtungen entscheiden würden. Der erkenntnistheoretische Preis, den die Menschen zahlen müssten, wenn astronomische Beobachtungen zugunsten der neuen Geometrie gefallen wären, wäre in gewissem Sinne gering gewesen: Man hätte sagen müssen, dass gerade Linien doch eine unerwartete Eigenschaft haben, aber nur eine in großen Entfernungen oder mit bemerkenswerten Mikroskopen nachweisbar. Natürlich müssten dann viele der Sätze der euklidischen Geometrie überarbeitet werden, und ihre bekannten euklidischen Gegenstücke würden nur als sehr gute Annäherungen erscheinen. Dies ist jedoch weitgehend vergleichbar mit der Situation, in der sich die Newtonsche Mechanik nach dem Aufkommen der speziellen Relativitätstheorie befand. In gewissem Sinne war es gering: Man hätte sagen müssen, dass gerade Linien eine unerwartete Eigenschaft haben, die aber nur über große Entfernungen oder mit bemerkenswerten Mikroskopen nachweisbar ist. Natürlich müssten dann viele der Sätze der euklidischen Geometrie überarbeitet werden, und ihre bekannten euklidischen Gegenstücke würden nur als sehr gute Annäherungen erscheinen. Dies ist jedoch weitgehend vergleichbar mit der Situation, in der sich die Newtonsche Mechanik nach dem Aufkommen der speziellen Relativitätstheorie befand. In gewissem Sinne war es gering: Man hätte sagen müssen, dass gerade Linien eine unerwartete Eigenschaft haben, die aber nur über große Entfernungen oder mit bemerkenswerten Mikroskopen nachweisbar ist. Natürlich müssten dann viele der Sätze der euklidischen Geometrie überarbeitet werden, und ihre bekannten euklidischen Gegenstücke würden nur als sehr gute Annäherungen erscheinen. Dies ist jedoch weitgehend vergleichbar mit der Situation, in der sich die Newtonsche Mechanik nach dem Aufkommen der speziellen Relativitätstheorie befand.und ihre bekannten euklidischen Gegenstücke würden nur als sehr gute Annäherungen erscheinen. Dies ist jedoch weitgehend vergleichbar mit der Situation, in der sich die Newtonsche Mechanik nach dem Aufkommen der speziellen Relativitätstheorie befand.und ihre bekannten euklidischen Gegenstücke würden nur als sehr gute Annäherungen erscheinen. Dies ist jedoch weitgehend vergleichbar mit der Situation, in der sich die Newtonsche Mechanik nach dem Aufkommen der speziellen Relativitätstheorie befand.

5. Riemannsche Geometrie

Die viel bedeutendere Änderung kam mit der Ankunft von Bernhard Riemanns großer Erweiterung der Gaußschen Differentialgeometrie. Viele der erkenntnistheoretischen Fragen werden bereits in Gauß 'Werk (1828) aufgeworfen, daher wenden wir uns zunächst diesem Thema zu.

Gauß dachte tief darüber nach, was es heißt, eine Oberfläche zu definieren, und fand heraus, dass drei Definitionen aufeinanderfolgender Allgemeinheit möglich sind. Man kann annehmen, dass zumindest lokal die Oberfläche in der Form (z = f (x, y)) für eine Funktion (f) von (x) und (y) angegeben werden kann. Dies gilt für Regionen der Sphäre, aber nicht für alle auf einmal. Allgemeiner kann man annehmen, dass die Oberfläche aus den Punkten ((x, y, z)) besteht, die eine Gleichung der Form (f (x, y, z) = 0) erfüllen Kugel ist. Noch allgemeiner, sagte Gauß, könnte es sein, dass eine Oberfläche lokal durch drei Funktionen von jeweils zwei Variablen (u) und (v) gegeben wurde. Diese beiden Variablen sind als die Koordinaten von Punkten in einer Ebene und die Funktionen (x (u, v), y (u, v)) und (z (u, v)) zusammen zu betrachten Geben Sie die Koordinaten der Punkte auf der Oberfläche im Raum an. In dieser Einstellung,Jeder Punkt eines Flächenstücks hat (u) - und (v) -Koordinaten in der Ebene. Der Abstand zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche, der ((u, v)) und ((u + du, v + dv)) in der Ebene entspricht, wird durch eine Version des Satzes von Pythagoras durch eine Formel von gegeben bilden

) tag {*} ds ^ 2 = E (u, v) du ^ 2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv ^ 2)

wobei (E, F) und (G) durch die Funktionen (x, y) und (z) bestimmt werden und (EG - F ^ 2 \ gt 0) erfüllen.

Gauß war in der Lage, ein Maß für die Krümmung der Oberfläche an einem Punkt zu definieren, und er fand etwas Bemerkenswertes daran: Das Maß für die Krümmung hängt nur von (E, F) und (G) und ihren Ableitungen mit ab in Bezug auf (u) und (v), jedoch nicht direkt auf die Funktionen (x (u, v), y (u, v)) und (z (u, v)). Der genaue Ausdruck ist lang und kompliziert, aber die Implikation ist, wie Gauß betonte, dass sein Maß für die Krümmung einer Oberfläche an einem Punkt intrinsisch ist: Es wird vollständig durch Messungen in der Oberfläche bestimmt und beinhaltet keine Frage von a dritte Dimension im rechten Winkel zur Oberfläche. Bei einer Metrik, einer Formel (*) für den Abstand, kann die Krümmung gefunden werden. Wenn zum Beispiel die Formel für die Entfernung die für eine Karte der Kugel in der Ebene ist,Die Krümmung ist der Kehrwert des Quadrats des Radius der Kugel.

Gauß untersuchte auch, wann eine Oberfläche so auf eine andere abgebildet werden kann, dass die Abstände nicht verändert werden: Wenn zwei Punkte (P) und (Q) auf der einen Oberfläche einen Abstand (d) voneinander haben, dann so sind ihre Bilder auf der anderen Oberfläche. Gauß konnte zeigen, dass eine notwendige Voraussetzung dafür ist, dass die Krümmungen an den entsprechenden Punkten gleich sind. Zum Beispiel sind der Zylinder und die Ebene lokal isometrisch; Obwohl der Zylinder gekrümmt ist, hat er ebenso wie die Ebene eine Krümmung von Null im Sinne von Gauß, weshalb das Drucken von einer rotierenden Trommel aus möglich ist.

Dies bedeutet, dass es geometrische Eigenschaften gibt, die aus einer Karte einer Oberfläche abgeleitet werden können, die unabhängig von den Details der Karte sind und sich auf die Oberfläche selbst beziehen. Die Gaußsche Krümmung an jedem Punkt ist bekannt, und es gibt andere Eigenschaften, die man aus der Kenntnis von (ds ^ 2) ableiten kann, beispielsweise die Kurve mit der kürzesten Länge zwischen zwei Punkten (unter bestimmten Bedingungen).

Es wurde nicht sofort erkannt, dass Gauß 'Ansatz es Mathematikern ermöglichte, Oberflächen als Bereiche der Ebene mit einer bestimmten Metrik zu definieren, die nicht aus Oberflächen im euklidischen dreidimensionalen Raum erhalten werden können. Wenn man eine Oberfläche als das Bild einer Karte von (mathbb {R} ^ 2) nach (mathbb {R} ^ 3) definiert, dann ist sie natürlich in (mathbb {R} ^ 3). Wenn man jedoch eine Oberfläche als einen Bereich von (mathbb {R} ^ 2) mit einer bestimmten Metrik definiert, gibt es möglicherweise keine Oberfläche in (mathbb {R} ^ 3), der sie entspricht. Die erste Person, die dies zu schätzen wusste, schien Riemann gewesen zu sein, der diese Idee auch auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen ausgedehnt hat.

Riemanns Ideen waren sowohl tiefgreifend als auch naiv, und aus diesem Grund erwiesen sie sich als schwierig zu präzisieren, aber wir können uns damit begnügen, zunächst naiv zu sein. Er nahm an, dass ihm ein Raum gegeben wurde (er nannte es eine "Mannigfaltigkeit"), in dem man an jedem Punkt ein Koordinatensystem zumindest an allen Punkten in der Nähe eines beliebigen Anfangspunkts auferlegen kann, und wenn man das tut, ist jeder Punkt Bezogen auf den Anfangspunkt durch eine Liste von (n) Zahlen sagte er, dass der Raum (n) - dimensional ist. Wir können uns diesen Prozess als eine Karte von mindestens dem Teil des Raums in der Nähe des Anfangspunkts auf (mathbb {R} ^ n) vorstellen. Bisher unterscheidet sich dies vom Oberflächengehäuse nur dadurch, dass zwei Dimensionen durch (n) ersetzt wurden.

Er nahm dann an, dass es ein Mittel gab, um zu sagen, wie groß der Abstand infinitesimal war, indem er die Formel für (ds ^ 2) von 2 auf (n) Variablen verallgemeinerte. (Er erlaubte sogar, dass völlig andere Formeln verwendet wurden, aber wir werden nicht den Teil seiner Theorie beschreiben, der viele Jahre brach lag).

Als nächstes überprüfte er, ob diese intrinsische Eigenschaft der Krümmung in höheren Dimensionen bestehen blieb, was auch der Fall ist. Dies liegt im Wesentlichen daran, dass das (n) - dimensionale Objekt viele zweidimensionale Oberflächen hat, für die die Gaußsche Theorie gilt, so dass ein Krümmungsbegriff eines (n) - dimensionalen Objekts an einem Punkt von a abgeleitet werden kann Berücksichtigung der zweidimensionalen Flächen, die durch den Punkt verlaufen.

Nun fragte er, was wollen wir noch in der Lage sein, Geometrie zu machen? Es gibt Eigenschaften des Raums, die vom Koordinatensystem unabhängig sind. Wenn zwei verschiedene Koordinatensysteme unterschiedliche Koordinaten ausgeben, dies jedoch so, dass der Abstand zwischen den Punkten erhalten bleibt, können wir mit beiden Systemen Geometrie erstellen, und wenn wir dies tun, stellen wir fest, dass die beiden Koordinatensysteme mit den Krümmungen übereinstimmen an jedem Punkt auf den Abständen zwischen Punkten und so weiter.

Da die Formel für (ds ^ 2) mit nur wenigen Einschränkungen niedergeschrieben wurde, gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass eine Riemannsche Geometrie in Bezug auf eine vorangegangene euklidische Geometrie definiert ist. Es besteht kein Anspruch darauf, dass eine (n) - dimensionale Riemannsche Geometrie durch eine Karte aus einer (n) - dimensionalen Teilmenge eines euklidischen (N) - dimensionalen euklidischen Raums erhalten werden soll. Dies bedeutet, dass Geometrie ohne Bezugnahme auf eine euklidische Geometrie erstellt werden kann: Die euklidische Geometrie ist nicht mehr erkenntnistheoretisch, bevor andere Geometrien untersucht werden. Die Regierungszeit von Euklid war theoretisch vorbei.

5.1 Geodäten und Verbindungen

Bei einem Konzept der Entfernung auf einer Mannigfaltigkeit ist es möglich, über Geodäten zu sprechen - eine geodätische Verbindung zweier Punkte ist eine Kurve mit der kürzesten Länge zwischen diesen beiden Punkten. Existenz- und Einzigartigkeitsfragen können aufgeworfen und oft beantwortet werden. Ein bedeutender Fortschritt wurde unabhängig von Tullio Levi-Civita im Jahr 1917 und Hermann Weyl im Jahr 1918 erzielt, inspiriert von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie, als sie zeigten, wie Parallelität auf einer gekrümmten Mannigfaltigkeit definiert werden kann (zu Levi-Civitas Beitrag siehe Bottazzini 1999 und weiter) Weyls Beitrag siehe Scholz 2001). Grob gesagt sind in Weyls Darstellung (1918) zwei Vektoren an verschiedenen Punkten parallel, wenn sie zu einer Familie von Vektoren entlang einer Kurve gehören, die entlang der Kurve nicht variieren. Es ist ein Krümmungseffekt, dass diese Definition unabhängig von der Familie der Vektoren ist, aber von der Kurve abhängt, es sei denn, die Krümmung ist Null; Vektoren auf einem typischen Verteiler können nur als parallel entlang einer Kurve bezeichnet werden.

Das Konzept der Fernparallelität ermöglicht es, einen Vektor entlang einer beliebigen Kurve so zu bewegen, dass er an jedem Punkt parallel zu sich selbst bleibt. Dies wurde als ein Weg bezeichnet, eine Verbindung zwischen verschiedenen Punkten herzustellen, und die Theorie wurde als Theorie der Verbindungen auf Mannigfaltigkeiten bezeichnet. Insbesondere kann gefragt werden, ob eine Familie von Tangentenvektoren zu einer Kurve aus Vektoren besteht, die am Startpunkt parallel zum Tangentenvektor sind. In diesem Fall ist die Kurve ein natürlicher Kandidat, der als die geradeste Kurve zwischen ihren Endpunkten betrachtet werden kann, da der Tangentenvektor niemals entlang der Kurve beschleunigt.

Verbindungen können unabhängig von der Metrik definiert werden. Wenn jedoch die Metrik und die Verbindung kompatibel sind, kann gezeigt werden, dass jedes kleine Stück dieser Kurve die kürzeste Kurve ist, die ihre Endpunkte verbindet. Die geradesten Kurven auf einem Verteiler sind also die Geodäten. In der modernen Differentialgeometrie wird die Geodäten über Verbindungen definiert.

5.2 Riemann und Beltrami und strenge nichteuklidische Geometrie

Riemanns „Ueber die Hypothesen…“(1854 als Vortrag gehalten, 1867 posthum veröffentlicht) und Beltramis „Saggio“(1868) gaben unterschiedliche, aber äquivalente Darstellungen der zweidimensionalen nichteuklidischen Geometrie, indem sie sie als Geometrie im Inneren beschrieben einer Scheibe mit einer neuartigen Metrik. Riemanns Bericht, der in (n) Dimensionen angegeben wurde, stimmt mit dem überein, den Poincaré 1880 und 1881 in vielen Kurzpublikationen verwenden sollte, beschreibt ihn jedoch nur explizit in seiner Hauptarbeit (Poincaré 1882). In dieser Metrik sind Geodäten Kreisbögen senkrecht zur Grenze der Scheibe, und Winkel werden korrekt dargestellt. In Beltramis Version werden Geodäten durch gerade Liniensegmente dargestellt, die Akkorde der Scheibe sind. Die Scheiben von Riemann und Beltrami überzeugten die Mathematiker schnell davon, dass die nichteuklidische Geometrie von Bolyai und Lobachevskii dies tat. Machen Sie schließlich einen strengen mathematischen Sinn. Ein Jahrzehnt später trug Poincaré dazu bei, die nichteuklidische Geometrie zur natürlichen Geometrie für bestimmte Themen an anderer Stelle in der Mathematik zu machen, hauptsächlich für das sich entwickelnde und wichtige Thema der Riemannschen Oberflächen.

Die Bedeutung einer strengen Darstellung eines Teils der Mathematik sollte nicht ignoriert werden, aber die Akzeptanz der Riemannschen Geometrie bei der Festlegung der nichteuklidischen Geometrie ging über die Darstellung eines konsistenten Formalismus hinaus. Es markiert die Akzeptanz der Ansicht, dass Geometrie alles ist, was im Riemannschen Formalismus beschrieben werden kann. Die Tür öffnet sich für die Ansicht, dass es viele Geometrien gibt, von denen jede konsistent sein muss und von denen sich keine auf die euklidische Geometrie beziehen muss. Die Anzahl der Dimensionen des diskutierten "Raums", der topologische Charakter dieses "Raums" und die genaue Metrik sind alle gleichgültig. Es gibt eine zweidimensionale Geometrie dieser und jener Art, weil eine geeignete Metrik gefunden werden kann; weil es sozusagen eine Karte davon gibt,nicht, weil in (mathbb {R} ^ 3) eine Oberfläche mit den richtigen Eigenschaften gefunden wurde. In der Tat wurde später gezeigt (Hilbert 1901), dass es in (mathbb {R} ^ 3) keine Oberfläche gibt, die genau dem nichteuklidischen zweidimensionalen Raum entspricht.

Riemann war klar, dass die erkenntnistheoretischen Implikationen dieser Art der Geometrie immens waren. Mathematiker sollten nicht länger einige grundlegende Intuitionen von dem, was sie über den physischen Raum glauben, wie die Natur und Eigenschaften von geraden Linien oder Kreisen, abstrahieren müssen, und versuchen, eine wahre Geometrie auf der Grundlage eines axiomatischen Ausdrucks dieser Intuitionen aufzubauen. Vielmehr sollte die Richtung des Denkens in die entgegengesetzte Richtung gehen: Die Mathematiker konnten unendlich viele Geometrien konstruieren und sehen, welche auf den physischen Raum zutrafen. In diesem Zusammenhang wurde bald gezeigt, dass es möglich ist, theoretische Mechaniken in der Einstellung der nichteuklidischen Geometrie durchzuführen.

6. Die Verständlichkeit nichteuklidischer Geometrie

Die erkenntnistheoretische Bedeutung der projektiven Geometrie beruht auf ihren Auswirkungen auf die Natur und Genauigkeit der klassischen Geometrie. Die erkenntnistheoretische Bedeutung der nichteuklidischen Geometrie beruht eher auf der Möglichkeit, dass sie auf irgendeine Weise wahr sein könnte, wie die euklidische Geometrie wahr sein könnte. Wir wenden uns daher auf 19 ^th Jahrhundert Untersuchungen der Verständlichkeit der Geometrie.

6.1 Herbarts Philosophie

Johann Friedrich Herbart wurde 1808 Kants Nachfolger in Königsberg, wo er blieb, bis er 1833 nach Göttingen ging, wo er 1841 starb, aber er war kein orthodoxer Kantianer. Sein Hauptwerk, die zweibändige Psychologie als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik und Mathematik von 1824–1825, versuchte, die Psychologie in der Philosophie zu verankern und behandelte Erfahrung und Metaphysik gleichermaßen. Mit etwas phantasievoller Mathematik versuchte er zu zeigen, wie das Gedächtnis funktioniert und wie wiederholte Reize bestimmter Art das Gehirn dazu bringen, beispielsweise Linien, parallele Linien, sich kreuzende Linien und Oberflächen wahrzunehmen. Nach Herbarts Meinung gibt es keine angeborenen Ideen; Der visuelle Raum wird aus Erfahrung konstruiert, vor allem durch den konzeptuellen Akt der Schlussfolgerung der Kontinuität in räumlichen Prozessen. Und Konzepte werden durch Cluster von Erinnerungen erzeugt, auf die die Logik dann unabhängig von ihrer Herkunft einwirkt. Dies war Herbarts Weg, die Grundlogik in der Psychologie zu vermeiden.

Herbarts Ideen beeinflussten Riemann (siehe Scholz 1982). Riemann betrachtete die Naturwissenschaft als den Versuch, die Natur durch die Verwendung präziser Konzepte zu verstehen, die im Lichte unserer Erfahrungen mit ihnen modifiziert werden sollen. Er erwartete, dass die erfolgreichsten Konzepte ziemlich abstrakt sein würden, und stimmte Herbart zu, dass sie nicht a priori in der kantischen Weise sein könnten. Darüber hinaus war es ihr Ursprung in der Wahrnehmung, der diesen Konzepten ihre Bedeutung für die Wissenschaft verlieh. In Notizen, die er für sich selbst schrieb (siehe Riemann Werke 1990: 539), sagte Riemann, er stimme Herbart in Fragen der Psychologie und Erkenntnistheorie zu, nicht jedoch der Ontologie oder seinen Vorstellungen über die Konstruktion der Konzepte von Raum, Zeit und Bewegung. Die Meinungsverschiedenheit verbirgt ein tieferes Mitgefühl. Herbart hatte eine dreidimensionale reale Welt von kausal verbundenen, aber diskreten Monaden befürwortet,was der Geist über das Konzept eines Kontinuums behandelt, das er liefert, wodurch seine diskreten Erfahrungen in Spektren von Möglichkeiten umgewandelt werden. Riemann sah keinen Grund, die Aufmerksamkeit auf drei Dimensionen zu beschränken, und verschob die kontinuierlichen Spektren der Möglichkeiten in die sehr allgemeinen geometrischen Konzepte, die er schuf.

Dies verringerte oder ließ vielleicht die Rolle der Erfahrung zurück, die Herbart betont hatte. Riemann machte sich bewusst, was Herbart gesagt hatte: Wenn Erfahrung Konzepte generiert, mit denen wir die Welt gestalten, dann, so Riemann, lasse die Mathematik präzisere und flexiblere Konzepte generieren, mit denen Wissenschaft betrieben werden kann.

6.2 Helmholtz und Poincaré

Riemanns Ideen beeinflussten wiederum Hermann von Helmholtz, der mehrere einflussreiche Aufsätze darüber veröffentlichte, wie unser Wissen über Geometrie möglich ist. In seiner „Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie“(1868) wollte er zeigen, wie nur eine begrenzte Anzahl von Riemannschen Geometrien konstruiert werden kann, in denen es ein Konzept der Starrkörperbewegung gibt. Er argumentierte, dass es unsere Erfahrung mit starren Körpern ist, die uns lehrt, wie Raum ist und insbesondere wie weit er entfernt ist. Er behauptete weiter, dass ein zweidimensionaler Raum, der starre Körperbewegungen zulässt, entweder die euklidische Ebene oder die Kugel sein würde. Beltrami schrieb ihm, um darauf hinzuweisen, dass er die Möglichkeit einer nichteuklidischen Geometrie übersehen habe, und Helmholtz stimmte nicht nur zu,schrieb aber einen weiteren Aufsatz (1870), in dem er erklärte, wie es uns möglich sein würde, diese Geometrie im kantischen Sinne zu kennen (synthetisch a priori). Viele Kantianer ließen sich nicht überzeugen, höchstwahrscheinlich aus dem Gefühl heraus, dass Kant sicherlich geglaubt hatte, wir hätten einwandfreies Wissen über die euklidische Geometrie, aber eine Person, die diese Ideen sehr wahrscheinlich beeinflussten, war Henri Poincaré (siehe Gray 2012).

Sobald Poincaré begann, seine populären philosophischen Essays über Geometrie zu schreiben, machte er deutlich, dass sein Hauptanliegen darin bestand, wie wir uns überhaupt auf jede Geometrie verlassen können. Er war sich der großen Bandbreite der Riemannschen Geometrien und der Schlussfolgerung von Helmholtz 'Spekulationen bewusst, die bis dahin in der Arbeit von Sophus Lie rigoros gemacht wurden, dass eine sehr begrenzte Anzahl von Geometrien Bewegungen des starren Körpers zuließ. In seinem Buch „Auf den Grundlagen der Geometrie“(1898) beschäftigte er sich mit der Erkenntnistheorie.

Poincaré argumentierte, dass der Geist schnell erkennt, dass er bestimmte Arten von Bewegungen, die er sieht, kompensieren kann. Wenn ein Glas auf Sie zukommt, können Sie so rückwärts gehen, dass das Glas unverändert erscheint. Sie können dasselbe tun, wenn es kippt oder sich dreht. Der Geist enthält einen Speicher dieser Ausgleichsbewegungen, und er erkennt, dass er aufeinander folgen kann und das Ergebnis eine dritte Ausgleichsbewegung sein wird. Diese mentalen Handlungen bilden ein mathematisches Objekt, das als Gruppe bezeichnet wird. Der Geist kann jedoch keine Ausgleichsbewegungen für andere Bewegungen erzeugen, die er sieht, wie z. B. die Bewegung des Weins im Glas, wenn er herumwirbelt. Auf diese Weise bildet der Geist das Konzept einer starren Körperbewegung, dh genau die Bewegung, für die der Geist eine Ausgleichsbewegung bilden kann.

Poincaré überlegte dann, welche Gruppe die Gruppe der Ausgleichsbewegungen sein könnte, und stellte fest, dass es, wie Helmholtz vorgeschlagen und Lie dann bewiesen hatte, eine streng begrenzte Sammlung solcher Gruppen gab. Unter ihnen befanden sich vor allem die Gruppen, die aus der euklidischen und der nichteuklidischen Geometrie stammen, und als abstrakte Gruppen unterscheiden sie sich. Aber welches war richtig?

Poincarés kontroverse Ansicht war, dass man es nie erfahren könne. Menschen wählen durch Evolution und durch unsere Erfahrung als Säuglinge die euklidische Gruppe aus und sagen so, dass der Raum euklidisch ist. Aber eine andere Art, die sich auf unterschiedliche Erfahrungen stützt, könnte die nichteuklidische Gruppe auswählen und so sagen, dass der Raum nichteuklidisch ist. Wenn wir eine solche Art treffen würden, gäbe es kein Experiment, das das Problem entscheiden würde.

Man könne sich vorstellen, große Dreiecke zu machen und die Winkel zu messen. Die Seiten des Dreiecks bestehen aus Lichtstrahlen. Nehmen wir an, dass innerhalb der Grenzen des experimentellen Fehlers das Ergebnis des Experiments ist, dass die Winkelsumme des Dreiecks kleiner als (pi) ist, ein Ergebnis, das mit der nichteuklidischen Geometrie übereinstimmt, aber nicht mit der euklidischen Geometrie übereinstimmt. Die einzige Schlussfolgerung, die man ziehen kann, sagte Poincaré, ist, dass entweder Lichtstrahlen entlang gerader Linien wandern und der Raum nicht euklidisch ist oder dass der Raum euklidisch ist und Lichtstrahlen entlang Kurven wandern.

Wir können seine Argumentation so zusammenfassen. Unser Wissen über die Geometrie der Außenwelt basiert auf unserer mentalen Fähigkeit, mit einer Gruppe von Bewegungen des starren Körpers umzugehen. Es gibt nur einen sehr begrenzten Vorrat dieser Gruppen, aber kein Experiment kann sich zwischen ihnen entscheiden. Wir können nur eine Wahl treffen, und wir werden die einfachste wählen. Das war übrigens die euklidische Gruppe, denn laut Poincaré hatten wir festgestellt, dass eine ihrer Eigenschaften, die nicht mit der nichteuklidischen Gruppe geteilt wurde, besonders einfach war. Aber die menschliche Spezies hatte sozusagen eine Wahl getroffen, und diese Wahl war nun dem menschlichen Geist angeboren. Aufgrund der Art und Weise, wie Wissen erworben wird und dass es mehr als eine geeignete Gruppe gibt, können wir niemals wissen, ob der Raum euklidisch oder nichteuklidisch ist, sondern nur, dass wir ihn als euklidisch konstruieren.

Diese Wendung der kantischen Lehre von der Unkenntnis des Ding an sich und unserer Beschränkung auf die Welt der Erscheinungen war für Poincaré als arbeitenden Physiker kongenial, aber es gibt eine wichtige Unterscheidung zu treffen. Der gerade erläuterte Standpunkt ist Poincarés Philosophie des geometrischen Konventionalismus. Er befürwortete den Konventionalismus in anderen Bereichen der Wissenschaft und argumentierte, dass das, was wir Naturgesetze nennen (Newtons Gesetze, Energieerhaltung usw.), weder empirische Fragen waren, die revidiert werden konnten, noch absolute Wahrheiten, sondern gut etablierte Ergebnisse, die erhöht worden waren auf die Rolle von Axiomen in gegenwärtigen wissenschaftlichen Theorien. Sie konnten in Frage gestellt werden, aber nur, wenn eine ganze wissenschaftliche Theorie in Frage gestellt wurde, nicht untätig, wenn einige unangenehme Beobachtungen gemacht wurden. Angesichts eines Satelliten, der Newtons Gesetzen nicht zu gehorchen schien, sollte man, sagte Poincaré, eine noch unbemerkte Kraft bei der Arbeit in Betracht ziehen und nicht versuchen, Newton neu zu schreiben. Es kann jedoch eine neue Theorie vorgeschlagen werden, die auf verschiedenen Annahmen basiert, die ein Naturgesetz umschreiben, da diese Gesetze keine ewigen Wahrheiten sind - wir könnten solche Dinge niemals wissen. Und wenn eine neue Theorie vorgeschlagen werden sollte, kann man nur aus Bequemlichkeitsgründen zwischen der neuen und der alten wählen.man kann nur aus Bequemlichkeitsgründen zwischen Neuem und Altem wählen.man kann nur aus Bequemlichkeitsgründen zwischen Neuem und Altem wählen.

Der entscheidende Unterschied besteht darin, dass der wissenschaftliche Konventionalismus auf hohem Niveau arbeitet. Die Entscheidungen werden bewusst und intellektuell getroffen, die Debatte steht nur Menschen mit einem beträchtlichen Maß an Fachausbildung offen. Der geometrische Konventionalismus wirkt auf den Geist ein, bevor er zu irgendeiner formalen Anweisung fähig ist, und wenn er nicht funktioniert, wäre das unglückliche Subjekt nicht in der Lage, die Außenwelt zu kennen.

6.3 Poincaré gegen Russell

Poincarés Ansichten brachten ihn in den 1890er Jahren in eine Kollision mit Bertrand Russell, als er aus seiner kurzen Hegelschen Phase hervorging und in seine Kantische Phase eintrat. Russell versuchte, den Kantian a priori zu etablieren, indem er argumentierte, dass es eine grundlegende Geometrie gibt, nämlich die projektive Geometrie, und wir haben synthetisches a priori Wissen darüber (siehe Griffin 1991 zu Russell und Nabonnand 2000 zur Kontroverse).

Es kann kaum Zweifel geben, dass Poincaré mit seinen viel besseren Kenntnissen der Mathematik einen Großteil der Debatte gewonnen hat, da Russell mit seiner charakteristischen Bereitschaft, seine Fehler zuzugeben, bereit war, zuzugeben. Ein signifikanter Unterschied in der Herangehensweise zwischen ihnen sollte jedoch niemals gelöst werden. Poincarés Analyse begann mit der Idee starrer Körper, aus denen ein Konzept der Distanz entsteht. Russell argumentierte im Gegenteil, was auch immer wir das Konzept der Entfernung entdecken mögen, wir wissen, bevor wir beginnen, dass die Entfernung von London nach Paris mehr als einen Meter beträgt. Dieser Poincaré bestritt in seinen "Des Fondements de la Géométrie: Ein Vorschlag für das Leben von M. Russell" (1899).

Nach Ansicht von Poincaré wissen wir erst, wie weit ein Punkt vom anderen entfernt ist, wenn wir herausgefunden haben, was starre Körper tun, und dieses Wissen ist uns angeboren. Nach Russells Ansicht könnte keine Diskussion über das Konzept der Entfernung auch nur in Betracht ziehen, dass die Entfernung von London nach Paris weniger als einen Meter beträgt - wir würden wissen, dass wir nicht über Entfernung sprechen, wenn wir so etwas sagen. Poincaré bestand darauf, dass die Rede von dem, was wir wissen, immer davon abhängen sollte, wie wir es wissen; Ohne eine solche Analyse waren die Ansprüche überhaupt keine Wissensansprüche. Russell wollte, dass Distanz als grundlegende Intuition angesehen wird.

Eine mathematische Darstellung kann die Meinungsverschiedenheit beleuchten. Sprechen Sie für Poincaré über das, was wir als gewöhnliche Geometrie bezeichnen könnten. Das Raumgefühl, das wir vor dem fortgeschrittenen Unterricht haben, ist wirklich die Fähigkeit, Dinge zu messen. Wir können einen starren Körper herumtragen und ihn als Lineal verwenden. Weil wir das können, können wir von der Entfernung zwischen Orten sprechen. Wenn Sie das Setup abstrakter gestalten möchten, müssen ein Raum und eine Gruppe vorhanden sein, die auf den Raum einwirken und Punkte im Raum verschieben. Wenn diese Gruppe die Eigenschaft hat, dass ein Bereich dieses Raums, um den er sich bewegt, niemals auf eine geeignete Teilmenge von sich selbst abgebildet wird, kann man starre Körper konstruieren und über Distanz sprechen.

Für Russell steht es frei, ein Leerzeichen einzunehmen und jedem Punktpaar einen Abstand zuzuweisen (vorbehaltlich einiger einfacher Regeln, die ich weglasse). In Bezug auf dieses Gefühl der Distanz kann man sagen, ob beim Bewegen einer Region Punkte darin gleich weit voneinander entfernt bleiben oder nicht. Wir haben dies für unser Gefühl der Distanz auf der Erdoberfläche getan, und wir können dies tun, unabhängig davon, ob wir auch einige Bewegungen des starren Körpers haben oder nicht. In mathematischen Begriffen würde Russell mit einem sogenannten metrischen Raum zufrieden sein. Der Punkt ist nicht, dass man der Erdoberfläche eine Metrik auferlegen könnte, in der ein bestimmtes Punktpaar, etwa in Cambridge, einen Meter voneinander entfernt war und London und Paris nur einen halben Meter voneinander entfernt waren - man könnte -, aber das kann man Sprechen Sie über Distanz, ohne die Aktion einer Gruppe vorauszusetzen. Einige metrische Räume lassen die Aktion von Gruppen zu, die Abstand bewahren.andere nicht, aber die Entfernung kann definiert werden, ohne über eine Gruppe zu sprechen. Poincaré wurde nie mit genau diesem Argument konfrontiert - metrische Räume sind eine Erfindung der 20^ten Jahrhundert, aber wir wissen, was er gesagt hätte. Er hätte gesagt, dass es gültige Mathematik war, aber völlig formal und nicht als echtes Wissen angesehen werden konnte, weil es keine psychologische Dimension hatte. Wir wissen das, weil es seine Kritik an den von Hilbert konstruierten axiomatischen Geometrien war (siehe unten).

Poincarés Argumente stießen auch auf Einwände des italienischen Mathematikers Federigo Enriques. Poincaré hatte argumentiert, dass eine Möglichkeit, die Gültigkeit des geometrisch-konventionellen Arguments zu erkennen, darin bestand, eine Scheibe zu betrachten, bei der alles aus demselben Material bestand, das sich beim Erhitzen ausdehnte und bei der die Temperatur eine besondere Funktion des Abstands der war Mitte der Scheibe. Diese von Poincaré spezifizierte Funktion stellte sicher, dass die Metrik in der Scheibe, gemessen an Stäben aus demselben Material wie die Scheibe, die der nichteuklidischen Geometrie war. Kreaturen, die auf der Scheibe leben, würden berichten, dass ihr Raum nichteuklidisch war; Wir würden antworten, dass der Raum euklidisch ist, aber dem verzerrenden Effekt des Temperaturfeldes unterliegt. Natürlich kann jede Seite ihre Position frei von Selbstwiderspruch halten.

Enriques argumentierte in seiner Problemi della Scienza (1906), dass dies unvernünftig sei. Die Kreaturen würden ihrem Raum (und in der Tat der nichteuklidischen Geometrie) zu Recht eine Geometrie zuschreiben, da die Verzerrungskraft außerhalb ihrer Kontrolle liegt. Ihre Geodäten sind in den Raum eingebaut, und es wäre unvernünftig, die Wege der Geodäten dem Betrieb einer "Kraft" zuzuschreiben, da diese "Kraft" nicht einmal im Prinzip manipuliert werden konnte. Hitze, der Gravitationseffekt massiver Objekte, all diese verzerrenden Einflüsse sind Dinge, die berücksichtigt werden können, weil sie verändert werden können. Wenn im obigen Experiment behauptet werden sollte, dass der Raum euklidisch ist, unsere Kandidaten für gerade Linien jedoch deformiert sind, sollte es möglich sein, den Grad der Deformation zu variieren. Man könnte das Experiment weiter entfernt von massiven Objekten in leeren Regionen des Weltraums durchführen. Wenn verschiedene Experimente sogar leicht unterschiedliche Ergebnisse liefern würden, würde man gemäß Poincarés eigenen Kriterien zur Änderung wissenschaftlicher Konventionen unter den Umständen nach etwas suchen, das für die Abweichung der Lichtstrahlen von der Geradheit verantwortlich ist. Wenn jedoch alle Experimente übereinstimmten, argumentierte Enriques, dass es vernünftig wäre zu folgern, dass Lichtstrahlen, die sich auf der Geodäsie ausbreiteten, und die Geometrie des Raums nichteuklidisch waren. Wenn jedoch alle Experimente übereinstimmten, argumentierte Enriques, dass es vernünftig wäre zu folgern, dass Lichtstrahlen, die sich auf der Geodäsie ausbreiteten, und die Geometrie des Raums nichteuklidisch waren. Wenn jedoch alle Experimente übereinstimmten, argumentierte Enriques, dass es vernünftig wäre zu folgern, dass Lichtstrahlen, die sich auf der Geodäsie ausbreiteten, und die Geometrie des Raums nichteuklidisch waren.

Es ist auch erwähnenswert, dass die zunehmende Verfeinerung von Ideen darüber, wie theoretische Geometrie mit praktischer Erfahrung zusammenhängt, und über die Art des Wissens, das Geometrie liefert, bis 1900 zu einer Familie von Veränderungen in der gesamten Mathematik gehört. Eine autonome Disziplin der Mathematik entstand das legte einen zunehmenden Schwerpunkt auf formale Aspekte des Themas und bot eine komplizierte und oft entfernte Beziehung zur Erfahrungswelt. Diese modernistische Wendung in der Mathematik wird an verschiedenen Stellen diskutiert (siehe Gray 2008 und die dort zitierte Literatur).

7. Schlussbemerkungen

Dieser Aufsatz hat die wichtigsten Zweige in der Entwicklung der Geometrie bis in den frühen Jahren des 20. sucht ^ten Jahrhundert unter den Überschriften der theoretischen oder abstrakten Wissens, empirischen und anderen Analysen der Verständlichkeit dieser Kenntnisse und der deduktiven Charakters dieses Wissens.

Der Status der Geraden in der elementaren euklidischen Geometrie als kürzeste Kurve, die zwei ihrer Punkte verbindet, und als Kurve, die immer in dieselbe Richtung zeigt, wurde entwirrt. Eine Untersuchungslinie führte zu Geometrien, die die Geradheit als grundlegende Eigenschaft (typischerweise projektive Geometrie) betonten, und die andere zu Geometrien, die den kürzesten Aspekt betonten. Der erstere Ansatz wurde von Anfang an als nicht metrisch angesehen und wurde zum bevorzugten Schauplatz für formale, sogar axiomatische Untersuchungen der Geometrie als deduktives Unternehmen. Der Preis hatte immer weniger über den physischen Raum zu sagen (wie Poincaré bemerkte). Das Konzept der Geometrie wurde radikal erweitert, jedoch auf eine Weise, die nicht als Darstellung eines verständlichen Raums gedacht war.

Die metrische Darstellung führte zu einer fortschreitenden Aufklärung einer signifikanten Dunkelheit in Euklids Elementen: dem parallelen Postulat. Für einen Großteil des 19 - ^ten Jahrhunderts war dies die einzige Alternative zu Euklids, die als eine verständliche Geometrie vorgeschlagen wurden, obwohl es in der Regel nur vereinbart wurde, dass die heikelsten Versuche, die Angelegenheit zu entscheiden, hoffen können. Poincarés umstrittene Ansicht war, dass kein Experiment so entscheiden könne, und dies warf wichtige Fragen hinsichtlich der Art und Weise auf, wie abstrakte Begriffe zu interpretieren sind.

Abgesehen von der auffälligen Idee einer Alternative zu Euklids Geometriesystem, die seit zweitausend Jahren besteht, gab es eine Vielzahl metrischer Geometrien, die in Gauß 'Arbeit zur Differentialgeometrie angedeutet und von Riemann ausgearbeitet wurden. Hier erwies es sich schließlich als möglich, die Beziehung zwischen dem Geradesten und dem Kürzesten in einer angemessen allgemeinen Umgebung zu erklären. Es wurde auch möglich, Geometrie als einen Ideenkörper zu diskutieren, der aus naiven Ideen von Länge, Winkel, Form und Größe hervorgegangen war, und dies auf raffinierte und rigorose Weise, ohne Axiome anzusprechen, unabhängig davon, ob diese Axiome beabsichtigt waren oder nicht als Destillationen verständlicher Erfahrung. Auf diese Weise wurde es möglich, geometrische Ideen in neuartigen Umgebungen und auf neuartige Weise anzuwenden.

Bis zum Ende des ersten Jahrzehnts des 20. - ^ten Jahrhunderts, war es klar, daß die euklidische Geometrie seine herausragende Stellung verloren hatte. Es gab bessere formale, axiomatische Systeme (wie die von Hilbert und einigen Mathematikern in der Schule um Peano vorgeschlagenen). Es gab reichhaltigere Systeme, die grundlegender waren, da weniger Eigenschaften der Figuren der traditionellen Geometrie wie die gerade Linie (die vielen Versionen der projektiven Geometrie) verwendet wurden. Und es gab eine Fülle metrischer Geometrien mit natürlicheren Ausgangspunkten und tieferen Theorien.

Infolgedessen waren die Vorstellungen darüber, wie sich theoretische Geometrie jeglicher Art auf den Raum um uns herum bezieht, viel komplexer geworden. Die Wahrheit der Geometrie war nicht mehr selbstverständlich, sondern in gewissem Maße empirisch geworden, und auch die philosophischen Vorstellungen über die Verständlichkeit der Geometrie hatten sich vertieft.

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Andere Internetquellen

• Dynamische Version von Euclid's Elements von DE Joyce, Clark University
• Englische Übersetzung von Gauß (1828) im Internetarchiv.