Finitismus In Der Geometrie

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Finitismus in der Geometrie

Erstveröffentlichung Mi 3. April 2002; inhaltliche Überarbeitung Do 12. September 2019

In unseren Darstellungen der Welt, insbesondere in der Physik, spielen (mathematische) Unendlichkeiten eine entscheidende Rolle. Das Kontinuum der reellen Zahlen (Re) als Darstellung der Zeit oder des eindimensionalen Raums ist sicherlich das bekannteste Beispiel und im weiteren Sinne das (n) - faltbare kartesische Produkt (Re ^ {n}) für (n) - dimensionaler Raum. Dieselben Unendlichkeiten verursachen jedoch auch Probleme. Man muss nur über Zenos Paradoxe oder die heutige Fortsetzung dieser Diskussion nachdenken, nämlich über die Diskussion über Supertasks, um die Schwierigkeiten zu erkennen (eine vollständige Behandlung finden Sie im Eintrag zu Supertasks in dieser Enzyklopädie). Daher ist es eine sehr verlockende Idee zu untersuchen, ob es möglich ist, diese Unendlichkeiten zu beseitigen und dennoch Physik zu betreiben. Der erste Schritt zur Beantwortung dieser Frage besteht darin, zu untersuchen, ob eine diskrete Geometrie möglich ist oder nicht, die sich der klassischen kontinuierlichen Geometrie so genau wie möglich annähern kann. Wenn dies der Fall ist, kann die letztere Geometrie in jeder physikalischen Theorie, die diesen speziellen mathematischen Hintergrund verwendet, leicht durch eine diskrete Version ersetzt werden.

So einfach die Aufgabe auch erscheinen mag, es gibt jedoch mindestens zwei Möglichkeiten, wie das Konzept der Approximation verstanden werden kann. Angenommen, (T) ist eine physikalische Theorie, die auf der klassischen Geometrie basiert. Dann kann eine Annäherung an (T) zwei verschiedene Dinge bedeuten:

1. Für alle Konzepte in (T), einschließlich der geometrischen Konzepte, wird ein diskretes Analogon vorgeschlagen (falls so etwas existiert), oder
2. Eine zugrunde liegende Theorie (T ^ \ prime) wird unter Verwendung möglicherweise unterschiedlicher Konzepte so formuliert, dass die klassischen Konzepte von (T ^ \ prime) abgeleitet werden können.

In den folgenden Abschnitten wird ein Überblick über (einige) der verschiedenen Versuche gegeben, die unter (a) oder (b) fallen. Bevor Sie sich jedoch auf diese Reise begeben, müssen einige Einschränkungen erwähnt werden.

• 1. Einige allgemeine Überlegungen

  • 1.1 Logiker
  • 1.2 Mathematiker
  • 1.3 Informatiker
  • 1.4 Physiker
  • 1.5 Philosophen

• 2. Diskrete Geometrien als direkte Analoga

  • 2.1 Eine Standardaxiomatisierung für die Geometrie der euklidischen Ebene
  • 2.2 Die finnische Schule und natürliche Geometrie
  • 2.3 Ein konstruktiver Ansatz
  • 2.4 Ein direktes physikalisches Beispiel: eine diskrete Version der speziellen Relativitätstheorie
  • 2.5 Einige Teillösungen und Probleme, mit denen man sich befassen muss

• 3. Diskrete Geometrien als Generatoren der klassischen Geometrie

  • 3.1 Der allgemeine Rahmen
  • 3.2 Ein prototypisches Beispiel anhand von Grafiken
  • 3.3 Ein Sonderfall: die kombinatorische Hierarchie
  • 3.4 Kann es ein empirisches Problem sein?
• 4. Was muss als nächstes getan werden?
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Einige allgemeine Überlegungen

Das Wichtigste, was zu berücksichtigen ist, ist angesichts eines bestimmten Vorschlags für eine diskrete Geometrie, welchen wissenschaftlichen und / oder philosophischen Hintergrund die Autoren haben und welche Absichten sie damit haben. Sind sie Logiker, Mathematiker, Informatiker, Physiker oder Philosophen (um die fünf am häufigsten auftretenden Fälle aufzulisten)? Wollen sie ein rein technisches, ein physikalisches oder ein philosophisches Problem lösen? Sind sie besorgt über grundlegende Aspekte oder ist das Ziel ihrer Forschung, bestehende Theorien weiterzuentwickeln? Es lohnt sich, auf jeden der fünf genannten Autorentypen näher einzugehen, um diese Fragen zu veranschaulichen.

1.1 Logiker

Logiker sind häufig daran interessiert, die zugrunde liegende logische Struktur einer Theorie darzustellen, physikalisch oder mathematisch, und zu untersuchen, ob es Alternativen gibt oder nicht, normalerweise durch Ändern der zugrunde liegenden logischen Prinzipien. Man könnte sich eine Geometrie vorstellen, die nicht auf klassischer Logik basiert, sondern z. B. auf intuitionistischer Logik, bei der Prinzipien wie das ausgeschlossene Drittel, dh (p) oder nicht - (p), für jede Aussage (p)) oder doppelte Negation, dh wenn nicht-nicht - (p) dann (p), gilt nicht mehr. Oft ist das Ziel, eine vollständige Klassifizierung aller Möglichkeiten zu finden. Dieser Ansatz impliziert, dass der Logiker, der an diskreten Modellen arbeitet und diese entwickelt, nicht unbedingt glaubt, dass diese Modelle in gewissem Sinne korrekt oder wahr sind. Sie helfen lediglich, die klassische Geometrie besser zu verstehen.

Ein perfektes Beispiel für einen solchen Ansatz ist die Arbeit zur räumlichen Logik, siehe Aiello et al. (2007) für einen hervorragenden Überblick. Die Autoren vergleichen ihre Herangehensweise mit der Arbeit in der zeitlichen Logik (siehe den Eintrag zur zeitlichen Logik in dieser Enzyklopädie). Es gibt viele Möglichkeiten, die Zeit zu modellieren: mit einem Start- und / oder Endpunkt, diskret oder kontinuierlich, linear, zyklisch oder verzweigt,…. Die logische Aufgabe besteht darin, eine Sprache zu konstruieren, die es einem ermöglicht, über all diese Strukturen zu „sprechen“und zwischen ihnen unterscheiden zu können. In der zeitlichen Logik verwendet eine solche Sprache die Operatoren (Fp) ("Ich werde der Fall sein, dass (p)") und (Pp) ("Es war der Fall, dass (p)"). Ein Beispiel: Wenn die Zeit in der Zukunft linear ist, kann diese Eigenschaft wie folgt ausgedrückt werden. Angenommen, (Fp) und (Fq) sind gegeben, dann sind nur drei Dinge möglich:entweder (F (p \ amp q)), dh (p) und (q) ist der Fall, oder (F (p \ amp Fq)), dh (p) wird zuerst geschehen und dann (q) oder (F (Fp \ amp q)), dh umgekehrt. In einer Formel: ((Fp \ amp Fq) rechter Pfeil (F (p \ amp q)) oder (F (p \ amp Fq)) oder (F (Fp \ amp q))). In ganz ähnlicher Weise ist die Konstruktion einer solchen Sprache das, was die räumliche Logik für die Geometrie erreichen möchte, und hängt daher mit den Vorschlägen zusammen, die wir in Abschnitt 3 erörtern werden. Eine solche Sprache zu konstruieren, ist das, was die räumliche Logik für die Geometrie erreichen will und hängt daher mit den Vorschlägen zusammen, die wir in Abschnitt 3 diskutieren werden. Eine solche Sprache zu konstruieren, ist das, was die räumliche Logik für die Geometrie erreichen will und steht daher im Zusammenhang mit den Vorschlägen, die wir in Abschnitt 3 diskutieren werden.

1.2 Mathematiker

Ein Mathematiker könnte ein diskretes oder endliches Gegenstück einer bestehenden Theorie betrachten oder studieren, um beispielsweise zu sehen, welche Theoreme in beiden Fällen beweisbar bleiben. Dies ist an sich aus Sicht der sogenannten Umkehrmathematik interessant. Die Kernfrage ist herauszufinden, was notwendig ist, um bestimmte Theoreme zu beweisen. Siehe z. B. Simpson (2005) und Stillwell (2016). Beweise, die auch in einer diskreten Geometrie gelten, sind somit unabhängig von jeglicher Annahme über Diskretion oder Kontinuität. Man könnte jedoch tiefer in die Grundlagen der Mathematik einsteigen und endliche Geometrien aus einer grundlegenden Perspektive untersuchen. Ein solcher Ansatz ist der strenge Finitismus (obwohl manchmal auch die Begriffe Ultra-Finitismus oder Ultra-Intuitionismus verwendet werden), der nicht als Untertheorie anderer grundlegender Theorien gedacht ist, sondern als Alternative für sich. Es teilt mit den vielen Formen des Konstruktivismus die grundlegende Ansicht, dass mathematische Objekte und Konzepte dem Mathematiker in Bezug auf Konstruktionen zugänglich sein müssen, die ausgeführt oder ausgeführt werden können. Die verschiedenen Formen unterscheiden sich darin, wie die Begriffe „Ausführung“oder „Leistung“zu verstehen sind. Die meisten Konstruktivisten lassen das potenziell Unendliche zu, dh wenn eine Prozedur oder ein Algorithmus (nachweislich) zu einem späteren Zeitpunkt beendet wird, wird das Ergebnis als konstruierbar akzeptiert. Siehe Bridges & Richman (1987) für eine Übersicht und den Eintrag zur konstruktiven Mathematik. Strenger Finitismus will noch einen Schritt weiter gehen und argumentiert, dass ein unbestimmtes Ergebnis nicht als Ergebnis akzeptiert wird, da alle Rechenressourcen endlich sind,Es könnte sehr gut sein, dass diese Ressourcen aufgebraucht wurden, bevor das Ergebnis erreicht wurde. Die zusätzliche Qualifikation dient dazu, mit Hilberts Finitismus zu unterscheiden, der grob gesagt als eine Form des Finitismus auf Metaebene angesehen werden kann (z. B. obwohl mathematische Theorien über unendliche Strukturen sprechen können, müssen die Beweise in solchen Theorien dennoch eine haben endliche Länge). Wie zu erwarten ist, ist strenger Finitismus in der Philosophie der Mathematik keine populäre Ansicht. Dennoch wurde eine Reihe von Vorschlägen unterbreitet. Eine Geschichte und ein Bericht über den tatsächlichen (wenn auch etwas veralteten) Zustand finden sich in Welti (1987). In Abschnitt 2 wird mehr über solche Vorschläge gesagt.kann als eine Form des Finitismus auf der Metaebene angesehen werden (z. B. obwohl mathematische Theorien über unendliche Strukturen sprechen können, müssen die Beweise in solchen Theorien dennoch eine endliche Länge haben). Wie zu erwarten ist, ist strenger Finitismus in der Philosophie der Mathematik keine populäre Ansicht. Dennoch wurde eine Reihe von Vorschlägen unterbreitet. Eine Geschichte und ein Bericht über den tatsächlichen (wenn auch etwas veralteten) Zustand finden sich in Welti (1987). In Abschnitt 2 wird mehr über solche Vorschläge gesagt.kann als eine Form des Finitismus auf der Metaebene angesehen werden (z. B. obwohl mathematische Theorien über unendliche Strukturen sprechen können, müssen die Beweise in solchen Theorien dennoch eine endliche Länge haben). Wie zu erwarten ist, ist strenger Finitismus in der Philosophie der Mathematik keine populäre Ansicht. Dennoch wurde eine Reihe von Vorschlägen unterbreitet. Eine Geschichte und ein Bericht über den tatsächlichen (wenn auch etwas veralteten) Zustand finden sich in Welti (1987). In Abschnitt 2 wird mehr über solche Vorschläge gesagt. Eine Geschichte und ein Bericht über den tatsächlichen (wenn auch etwas veralteten) Zustand finden sich in Welti (1987). In Abschnitt 2 wird mehr über solche Vorschläge gesagt. Eine Geschichte und ein Bericht über den tatsächlichen (wenn auch etwas veralteten) Zustand finden sich in Welti (1987). In Abschnitt 2 wird mehr über solche Vorschläge gesagt.

1.3 Informatiker

In den Informatik sind die vorgebrachten Theorien und Vorschläge ganz anderer Natur als die logischen und mathematischen, obwohl sie sich gegenseitig inspirieren. Das Problem, mit dem man hier konfrontiert ist, besteht genau darin, eine Übersetzung von einem klassischen geometrischen, analogen Modell in ein Modell zu erstellen, dessen Domäne (normalerweise) aus der endlichen Menge von Pixeln oder Zellen besteht, aus denen der (Computer-) Bildschirm besteht. Der offensichtliche Nachteil (aus der Perspektive dieses Eintrags) besteht darin, dass fast alle diese Modelle das klassische (unendliche) Modell im Hintergrund annehmen und daher keine eigene Grundlage haben - eine Situation, die der numerischen Analyse, die sich stützt, ziemlich analog ist zur klassischen Analyse zum Nachweis der Richtigkeit der Verfahren. Die größte Aufmerksamkeit wird dem Problem gewidmet, Entsprechungen zwischen dem Original und dem diskreten Modell nachzuweisen, um sicherzustellen, dass das erhaltene Bild in gewisser Hinsicht dem Original treu bleibt. Ein einfaches mathematisches Beispiel betrifft die Anzahl der Löcher in einer dreidimensionalen euklidischen Oberfläche. Man möchte sicher sein, dass jedes Loch, das im digitalen Bild auftaucht, tatsächlich einem Loch im ursprünglichen mathematischen Objekt entspricht. Siehe Borwein & Devlin (2009) für weitere Beispiele. Allerdings werden einige Arbeiten durchgeführt, die sich nicht auf den klassischen kontinuierlichen Hintergrund stützen wollen, sondern nach „richtigen“Axiomatisierungen und / oder Formalisierungen einer Pixelgeometrie suchen. Siehe Kulpa (1979) und in jüngerer Zeit Danielsson (2002) für einige schöne Beispiele.originalgetreu. Ein einfaches mathematisches Beispiel betrifft die Anzahl der Löcher in einer dreidimensionalen euklidischen Oberfläche. Man möchte sicher sein, dass jedes Loch, das im digitalen Bild auftaucht, tatsächlich einem Loch im ursprünglichen mathematischen Objekt entspricht. Siehe Borwein & Devlin (2009) für weitere Beispiele. Allerdings werden einige Arbeiten durchgeführt, die sich nicht auf den klassischen kontinuierlichen Hintergrund stützen wollen, sondern nach „richtigen“Axiomatisierungen und / oder Formalisierungen einer Pixelgeometrie suchen. Siehe Kulpa (1979) und in jüngerer Zeit Danielsson (2002) für einige schöne Beispiele.originalgetreu. Ein einfaches mathematisches Beispiel betrifft die Anzahl der Löcher in einer dreidimensionalen euklidischen Oberfläche. Man möchte sicher sein, dass jedes Loch, das im digitalen Bild auftaucht, tatsächlich einem Loch im ursprünglichen mathematischen Objekt entspricht. Siehe Borwein & Devlin (2009) für weitere Beispiele. Allerdings werden einige Arbeiten durchgeführt, die sich nicht auf den klassischen kontinuierlichen Hintergrund stützen wollen, sondern nach „richtigen“Axiomatisierungen und / oder Formalisierungen einer Pixelgeometrie suchen. Siehe Kulpa (1979) und in jüngerer Zeit Danielsson (2002) für einige schöne Beispiele. Man möchte sicher sein, dass jedes Loch, das im digitalen Bild auftaucht, tatsächlich einem Loch im ursprünglichen mathematischen Objekt entspricht. Siehe Borwein & Devlin (2009) für weitere Beispiele. Allerdings werden einige Arbeiten durchgeführt, die sich nicht auf den klassischen kontinuierlichen Hintergrund stützen wollen, sondern nach „richtigen“Axiomatisierungen und / oder Formalisierungen einer Pixelgeometrie suchen. Siehe Kulpa (1979) und in jüngerer Zeit Danielsson (2002) für einige schöne Beispiele. Man möchte sicher sein, dass jedes Loch, das im digitalen Bild auftaucht, tatsächlich einem Loch im ursprünglichen mathematischen Objekt entspricht. Siehe Borwein & Devlin (2009) für weitere Beispiele. Allerdings werden einige Arbeiten durchgeführt, die sich nicht auf den klassischen kontinuierlichen Hintergrund stützen wollen, sondern nach „richtigen“Axiomatisierungen und / oder Formalisierungen einer Pixelgeometrie suchen. Siehe Kulpa (1979) und in jüngerer Zeit Danielsson (2002) für einige schöne Beispiele.

Beachten Sie auch, dass diese Theorien nicht mit Computerprogrammen verwechselt werden sollten, die in der Lage sind, über geometrische Objekte nachzudenken. Dies ist Teil des Forschungsbereichs des automatisierten Denkens - siehe Chou et al. (1994) für eine schöne Einführung - und seine Grundobjekte sind Beweise, nicht unbedingt die mathematischen Objekte, um die es bei den Beweisen geht.

1.4 Physiker

Eines der heißesten Themen in der Physik ist bekanntlich die Suche nach einer Vereinheitlichung der Quanten- (Feld-) Theorie und der allgemeinen Relativitätstheorie. Bei Erfolg würde sich die berühmte „Theorie von allem“ergeben. Bekanntlich ist das schwierigste zu lösende Problem der Umgang mit Raum-Zeit. Die Quanten- (Feld-) Theorie benötigt Raum und Zeit als Hintergrund, während in der allgemeinen Relativitätstheorie die Struktur der Raumzeit weitgehend von den Massen und der vorhandenen Energie bestimmt wird. Ein Ausweg - und der größte Teil von Abschnitt 3 befasst sich mit solchen Beispielen - besteht darin, eine „tiefere“Struktur zu finden, die beiden Theorien zugrunde liegt und in gewissem Sinne Raum und Zeit aus grundlegenderen Konzepten erzeugt. Wenn eine solche Theorie gefunden würde, würde sie natürlich nicht nur „nur“ein Modell hervorbringen, sondern tatsächlich als echte Repräsentation der Realität betrachtet werden. Die meisten dieser Modelle, so spekulativ sie derzeit auch sein mögen, erweisen sich als diskret, und daher behaupten diese Vorschläge im Widerspruch, z. B. mit den Logikern, eine korrekte Beschreibung zu sein. Für einen aktuellen informellen Überblick siehe Rovelli (2016), insbesondere Kapitel 11, „Das Ende der Unendlichkeit“.

Aus historischer Sicht muss hinzugefügt werden, dass ein Physiker immer wieder versuchte herauszufinden, wie diskrete Gegenstücke bestehender klassischer physikalischer Theorien aussehen könnten. Normalerweise sind die philosophischen Grundlagen eines solchen Versuchs eher eigenwillig. In Abschnitt 2 wird ein solches Beispiel vorgestellt. Typischerweise sorgten solche Versuche nicht für großes Aufsehen, sie verschwanden schnell im Hintergrund, enthielten jedoch einige interessante und relevante Ideen.

1.5 Philosophen

In einem ziemlich einfachen Sinne sind an all dem auch Philosophen beteiligt. Diskussionen über logische Systeme, über grundlegende mathematische Theorien, über Zeno-Paradoxe, über Supertasks, darüber, was ein Modell und eine Darstellung sind, … sind typischerweise Themen, die zum Bereich der Philosophen gehören. Darüber hinaus bringen sie Argumente aus anderen philosophischen und / oder wissenschaftlichen Bereichen ein. Angenommen, es gibt ausgezeichnete Argumente aus erkenntnistheoretischer oder ontologischer Sicht, die behaupten, dass die Welt als diskret betrachtet werden sollte, dann können diese Argumente die Suche nach einer solchen diskreten Weltanschauung unterstützen, einschließlich der Ausarbeitung einer diskreten Geometrie. Auch wenn die Theorie aus mathematischer Sicht eher ungeschickt oder schwierig zu bearbeiten ist, muss dies aufgrund der philosophischen Überlegungen der Fall sein. Ohne solche Argumente wäre die Position in einem solchen Fall viel schwächer. Schließlich achten sie auch auf die historische Seite der Sache. Es ist ziemlich auffällig, aber dies wird hier nicht vorgestellt, um zu sehen, dass im Laufe unserer Geschichte viele Vorschläge gemacht wurden, um zu demonstrieren, dass Raum, Zeit und Mensch als endlich und / oder diskret betrachtet werden sollten. Siehe z. B. Sorabji (1983) und Moore (1993) für hervorragende historische Übersichten, White (1992) für Entwicklungen des 20. Jahrhunderts und Franklin (2017) und Lyons (2017) für einige neuere Beiträge.zu sehen, dass im Laufe unserer Geschichte viele Vorschläge gemacht wurden, um zu demonstrieren, dass Raum, Zeit und Mensch als endlich und / oder diskret betrachtet werden sollten. Siehe z. B. Sorabji (1983) und Moore (1993) für hervorragende historische Übersichten, White (1992) für Entwicklungen des 20. Jahrhunderts und Franklin (2017) und Lyons (2017) für einige neuere Beiträge.zu sehen, dass im Laufe unserer Geschichte viele Vorschläge gemacht wurden, um zu demonstrieren, dass Raum, Zeit und Mensch als endlich und / oder diskret betrachtet werden sollten. Siehe z. B. Sorabji (1983) und Moore (1993) für hervorragende historische Übersichten, White (1992) für Entwicklungen des 20. Jahrhunderts und Franklin (2017) und Lyons (2017) für einige neuere Beiträge.

Wie gesagt, diese fünf Gruppen sind die wichtigsten, so dass weder Vollständigkeit noch gegenseitige Ausschließlichkeit nachgewiesen wurden. Diese kurze Übersicht sollte nur die verschiedenen Absichten, Motivationen, Zwecke und Methoden der beteiligten Parteien auflisten.

2. Diskrete Geometrien als direkte Analoga

Die erste zu klärende Frage ist, wie die klassische Theorie aussehen wird. Da der größte Teil der geleisteten Arbeit auf die Ebene beschränkt war, wird diese Darstellung auch auf diesen speziellen Fall beschränkt sein (in den meisten Vorschlägen wird die Erweiterung auf höherdimensionale Geometrien als völlig unkompliziert angesehen). Dies reicht jedoch nicht aus, da hinsichtlich der Darstellung der Ebenengeometrie unterschiedliche Wege eingeschlagen werden müssen. Eine Möglichkeit besteht darin, eine Axiomatisierung der (euklidischen) Ebene vorzunehmen, beispielsweise Hilberts Formulierung von 1899 in seinen Grundlagen der Geometrie, und zu zeigen, welche Änderungen erforderlich sind, um (a) endliche Modelle der axiomatischen Theorie und (b) endliche Modelle zu haben das kommt den klassischen (unendlichen, euklidischen) Modellen so nahe wie möglich. Einer der allerersten Versuche geht auf die späten 40er Jahre zurück. Anfang der 50er Jahre und wird daher hier als Beispiel vorgestellt (in dem Sinne, dass es sowohl alle erforderlichen positiven Eigenschaften als auch die Kuriositäten aufweist, die mit solchen Versuchen einherzugehen scheinen). Insbesondere geht es um die Arbeit von Paul Kustaanheimo in teilweiser Zusammenarbeit mit G. Järnefelt in der Zeit zwischen 1949 und 1957. Als nächstes wird ein neuerer Vorschlag von Patrick Suppes und ein etwas älterer Vorschlag von Ludwik Silberstein in völlig anderen Richtungen erörtert. wo die Geometrie direkt in eine physikalische Theorie eingebettet ist, genauer gesagt in die spezielle Relativitätstheorie. Der abschließende Abschnitt dieses Teils befasst sich mit einigen spezifischen Problemen und vorläufigen Lösungen. Es handelt sich um die Arbeit von Paul Kustaanheimo in teilweiser Zusammenarbeit mit G. Järnefelt in der Zeit zwischen 1949 und 1957. Als nächstes wird ein neuerer Vorschlag von Patrick Suppes und ein etwas älterer Vorschlag von Ludwik Silberstein, in dem die Geometrie enthalten ist, in völlig anderen Richtungen erörtert ist direkt in eine physikalische Theorie eingebettet, genauer gesagt in eine spezielle Relativitätstheorie. Der abschließende Abschnitt dieses Teils befasst sich mit einigen spezifischen Problemen und vorläufigen Lösungen. Es handelt sich um die Arbeit von Paul Kustaanheimo in teilweiser Zusammenarbeit mit G. Järnefelt in der Zeit zwischen 1949 und 1957. Als nächstes wird ein neuer Vorschlag von Patrick Suppes und ein etwas älterer Vorschlag von Ludwik Silberstein, in dem die Geometrie enthalten ist, in völlig anderen Richtungen erörtert ist direkt in eine physikalische Theorie eingebettet, genauer gesagt in eine spezielle Relativitätstheorie. Der abschließende Abschnitt dieses Teils befasst sich mit einigen spezifischen Problemen und vorläufigen Lösungen. Der abschließende Abschnitt dieses Teils befasst sich mit einigen spezifischen Problemen und vorläufigen Lösungen. Der abschließende Abschnitt dieses Teils befasst sich mit einigen spezifischen Problemen und vorläufigen Lösungen.

2.1 Eine Standardaxiomatisierung für die Geometrie der euklidischen Ebene

Wie sieht eine Hilbert-Axiomatisierung aus? Das erste, was man tun muss, ist eine (formale) Sprache zu fixieren. Normalerweise wählt man Prädikatenlogik erster Ordnung mit Identität, dh eine Sprache, die Namen für Variablen (und möglicherweise für Konstanten), Namen für Funktionen (falls erforderlich), Namen für Prädikate einschließlich des Identitätsprädikats, logische Verknüpfungen und Quantifizierer enthält, und eine Reihe von grammatikalischen Regeln, um Sätze zu bilden. Die Beschränkung auf Logik erster Ordnung bedeutet, dass nur Variablen quantifiziert werden können. Ohne auf Details einzugehen, sollte angemerkt werden, dass eine ausdrucksstärkere Sprache gewählt werden kann, z. B. wobei auch die Quantifizierung über Prädikate zulässig ist.

Sobald eine Sprache ausgewählt wurde, besteht das nächste Problem darin, die primitiven Begriffe der Sprache zu bestimmen. Bei der ebenen euklidischen Geometrie sind dies Punkte und Linien, obwohl Linien manchmal als bestimmte Punktmengen definiert werden. Als nächstes müssen die grundlegenden Prädikate ausgewählt werden. Gegenwärtig gibt es eine Reihe verschiedener Axiomatisierungen. Die am häufigsten verwendeten Prädikate sind: Die Inzidenzrelation ("ein Punkt (a) liegt auf einer Linie (A)"), die Zwischenbeziehung ("Punkt (a) liegt zwischen Punkten (b)" und (c)”), die Äquidistanzbeziehung (“der Abstand von Punkt (a) zu (b) ist der gleiche wie der Abstand von Punkt (c) zu (d)”) ist die Kongruenzbeziehung ("ein Teil einer Linie, bestimmt durch zwei Punkte (a) und (b)) kongruent zu einem Teil einer Linie, bestimmt durch zwei Punkte (c) und (d))”). Beachten Sie, dass nicht alle bei einer Axiomatisierung auftreten müssen. Wenn beispielsweise Linien nicht als primitive Begriffe eingeführt werden, gibt es normalerweise keine Inzidenzbeziehung.

Der nächste Schritt ist die Einführung einer Reihe von Axiomen, um bestimmte Eigenschaften der oben genannten Beziehungen zu bestimmen. Wenn die Axiomatisierung beispielsweise die Inzidenzrelation verwendet, sind die typischen Axiome für diese Relation:

• Durch zwei Punkte kann genau eine gerade Linie gezogen werden.
• Auf jeder geraden Linie befinden sich mindestens zwei Punkte.
• Es gibt mindestens drei Punkte, die nicht auf derselben geraden Linie liegen.

Schließlich sucht man nach einer Interpretation oder einem Modell der Axiomatisierung. Dies bedeutet, dass wir nach einer Bedeutung der primitiven Begriffe wie Punkte und Linien, der Funktionen (falls vorhanden) und der Prädikate suchen, so dass die Axiome zu wahren Aussagen in Bezug auf die Interpretation werden. Obwohl wir bei der Entwicklung einer Axiomatisierung häufig eine bestimmte Interpretation im Auge haben, schließt dies die Möglichkeit der Existenz eher unerwarteter Modelle nicht aus. In gewisser Weise stützen sich finitistische Modelle auf genau diese Möglichkeit, wie der nächste Absatz zeigt.

2.2 Die finnische Schule und natürliche Geometrie

Paul Kustaanheimo war Mitglied einer Gruppe von Mathematikern in Helsinki, die sich alle für eine Form endlicher Geometrie interessierten. Die bekanntesten Mitglieder waren G. Järnefelt, P. Kustaanheimo und R. Lehti. Der Ursprung ihrer Inspiration liegt in der Arbeit von JT Hjelmslev, der die sogenannte „natürliche“Geometrie („Die natürliche Geometrie“, siehe sein Buch von 1923) entwickelte, die manchmal auch als „physikalische“Geometrie bezeichnet wird. Ihr Ansatz hat keine Fortsetzung gekannt, eine Ausnahme bilden Reisler und Smith (1969). Auf seltsame Weise besteht jedoch ein Zusammenhang mit Suppes 'Ansatz, der später in dem Sinne diskutiert werden soll, dass Geometrie in erster Linie als (fast) experimentelle Wissenschaft angesehen wird, dh das Geometer befasst sich mit Linealen und Kompassen und erzeugt flache Oberflächen zum Messen. und so weiter. Natürlich,Da wir Menschen endliche Objekte nur auf endliche Weise manipulieren können, muss sich eine diskrete Geometrie ergeben.

Kustaanheimos Vorschlag - ich wiederhole hier grob die hervorragende Darstellung seines Vorschlags in Welti (1987: 487–521), die weitaus zugänglicher ist als das ursprüngliche Werk - basiert auf der folgenden Argumentation. Ein Standardmodell für die klassische axiomatische Theorie der euklidischen Geometrie besteht aus dem kartesischen Produkt der reellen Zahlen mit sich selbst. Oder, wie es normalerweise formuliert wird, wird ein Punkt in der Ebene auf ein paar reelle Zahlen, seine Koordinaten, abgebildet. Die reellen Zahlen haben die mathematische Struktur eines unendlichen Feldes. Es gibt aber auch endliche Felder. Warum also nicht das unendliche reelle Zahlenfeld durch ein endliches Feld ersetzen, ein sogenanntes Galois-Feld?

Das beste Ergebnis wäre, dass jedes endliche Galois-Feld die meisten Axiome der euklidischen Geometrie erfüllt. Dies ist jedoch nicht der Fall. Das Ergebnis von Kustaanheimos Forschungen ist etwas komplizierter:

• Nicht alle endlichen Felder reichen aus. Wenn wir (p) die Anzahl der Elemente in der Domäne des endlichen Feldes nennen, muss (p) einige Bedingungen erfüllen. Dies bedeutet, dass nur endliche Felder einer bestimmten Größe, dh ein bestimmter Wert für (p), potenzielle Kandidaten sind.
• Für die "guten" Werte von (p) reicht das vollständige Modell nicht aus. Nehmen Sie als Beispiel gerade Linien. Nach ihrer Definition in einem endlichen Feld stellt sich heraus, dass es zwei Arten von geraden Linien gibt: offene und geschlossene. Letztere verletzen einige der Axiome, daher beschränken Sie das Modell auf die offenen. Diese Einschränkung des Modells wird als euklidischer „Kernel“des Modells bezeichnet.

Kurz gesagt, man kann nicht behaupten, dass ein endliches Feld ausreicht, sondern nur einige und im Übrigen nur einen Teil davon.

Dieser Ansatz wirft einige wichtige philosophische Fragen auf:

• Es ist klar, dass die Größe des Modells ein wichtiges Merkmal ist. Hat das eine Bedeutung? Oder was bedeutet es negativ, dass Felder unterschiedlicher Größe nicht als Modelle geeignet sind? Nehmen wir als Gedankenexperiment an, dass die euklidische Geometrie ein gutes Modell für die geometrische Struktur des Universums ist. Ist es sinnvoll zu behaupten, dass das Universum genau (p) Punkte enthalten muss (nicht (p-1), nicht (p + 1))? Eine neue Art von Pythagoräismus scheint hier um die Ecke zu lauern.
• Das Beispiel der geraden Linien zeigt, dass es „schöne“geometrische Objekte (solche, die die meisten Axiome erfüllen) und „schlechte“geometrische Objekte gibt. Das Ignorieren der schlechten ist vielleicht eine mathematisch interessante Strategie, aber sie eliminiert sie nicht aus dem vollständigen Modell. Mit anderen Worten, obwohl sie im „Kernel“des Modells keine relevante Rolle spielen, sind sie da. Was bedeutet das? Um das obige Gedankenexperiment fortzusetzen, stellt sich die Frage, was den „schlechten“Objekten im Universum entspricht. Wenn sie nichts entsprechen, warum brauchen wir sie dann überhaupt, um die „guten“Objekte zu finden?

Zur Verteidigung von Kustaanheimos Ansatz muss gesagt werden, dass die Verbindungen zwischen unendlichen und endlichen Modellen normalerweise weitaus komplexer sind, als man erwartet. Ein endliches Modell ist nicht nur eine verkleinerte Version eines unendlichen Modells. Sehr oft erscheint eine andere Struktur. Als Analogie nehmen wir die (unendliche Menge) natürlicher Zahlen. Nehmen Sie einen endlichen Teil, sagen Sie die Zahlen 1 bis (L). Im endlichen Fall ist es sinnvoll, über kleine und große Zahlen im Vergleich zu (L) zu sprechen. Dies ist klassisch nicht möglich. So findet man zusätzliche Struktur. Metaphorisch gesehen erscheint durch die Endlichkeit der Dinge eine detailliertere oder „feinkörnigere“Struktur, die in Gegenwart von Unendlichkeiten ausgelöscht wird. Vielleicht ist die Unterscheidung zwischen „guten“und „schlechten“geometrischen Objekten ein solches zusätzliches Merkmal, das im klassischen euklidischen Modell verschwindet. Vielleicht haben die Primzahlen also eine Bedeutung. Dennoch bleibt die Frage: Ist dies eine neue Art von Pythagoräismus? Weitere Einzelheiten zu Kustaanheimos Ansatz finden Sie im ergänzenden Dokument: Endliche Felder als Modelle für die euklidische Ebenengeometrie.

2.3 Ein konstruktiver Ansatz

Die Originalität von Suppes 'Ansatz beruht auf der Tatsache, dass er vorschlägt, Geometrie als eine Praxis von Konstruktionen zu formulieren, vergleichbar mit Hjelmslevs Arbeit, aber ziemlich verschieden. Eine Konstruktion ist hier im elementaren Sinne der Erstellung von Zeichnungen oder Diagrammen unter Verwendung bestimmter Instrumente wie eines Lineals und / oder eines Kompasses zu verstehen und nicht im modernen Sinne im Grundgedanken, dh einer konstruktiven, axiomatischen Grundlage für die Geometrie.

Zwei Elemente sind aus der (strengen) finitistischen Perspektive wichtig. Erstens können Konstruktionen quantifiziererfrei formuliert werden; Der Ausdruck „eine Linie zeichnen“bedeutet nicht, dass wir über den vollständigen Satz von Linien in einer Ebene sprechen müssen. "Eine Linie zeichnen" führt zu einem bestimmten endlichen Objekt, nämlich einem Linienfragment auf z. B. einem Stück Papier. Zweitens sind alle betrachteten Modelle endlich, denn unabhängig davon, welche Konstruktionen ausgeführt werden, ist der Ausgangspunkt immer eine endliche Menge von Punkten.

Suppes betrachtet zwei grundlegende Operationen: die Operation (B), die der Halbierung einer Linie (ab) entspricht, und die Operation (D), die der Verdoppelung einer Linie (ab) entspricht. Ein Schritt (C_ {i}) in einer Konstruktion besteht aus drei Elementen: Das erste Element ist der (neue) zu konstruierende Punkt, das zweite Element ist ein Paar von Punkten, die bereits vorhanden sind, und das dritte Element ist eines davon (B) oder (D), je nachdem, welche Operation ausgewählt ist. Die Startposition besteht aus drei gegebenen Punkten, (a, b) und (c).

Beispiel: Betrachten Sie die Konstruktion (((d, ac, B), (e, bd, D))), die aus zwei Schritten besteht. Der erste Schritt besagt, mit (ac) zu beginnen und den Mittelpunkt (d) zu konstruieren, und im zweiten Schritt nehmen wir das Segment (bd) und verdoppeln es. Eine schematische Darstellung macht deutlich, was passiert:

Abbildung 1

Ausgehend vom Tripel (a, b) und (c) haben wir das Parallelogramm abce konstruiert.

Natürlich reicht es nicht aus, nur eine Reihe von Konstruktionen aufzulisten, um über eine geometrische Theorie zu sprechen. Daher muss, wie es Suppes tatsächlich tut, gezeigt werden, dass eine formal-axiomatische Behandlung möglich ist. Es reicht aus, eine Reihe notwendiger Axiome über die Operationen (B) und (D) aufzulisten, damit man beweisen kann, dass die im obigen Beispiel gezeichnete Figur tatsächlich ein Parallelogramm ist. Zusätzlich wird ein Repräsentationssatz so bewiesen, dass Punkten rationale Koordinaten zugeordnet werden.

Zwei wichtige Kommentare müssen gemacht werden. Zunächst bleibt zu zeigen, dass diese elementare geometrische Theorie bis zu einer vollwertigen geometrischen Theorie erweitert werden kann, die als plausible Alternative zur klassischen Geometrie angesehen werden kann. Suppes selbst scheint ziemlich zuversichtlich zu sein, als er schreibt:

Ich bin der Überzeugung, dass man die gesamte Strecke oder sicherlich fast die gesamte Strecke auf rein finitistische Weise zurücklegen kann… (2001: 136)

Zweitens eröffnet der Fokus auf Konstruktionen eine neue Möglichkeit, mit dem Problem der Distanzfunktion umzugehen. Wir brauchen keine allgemeine Distanzfunktion, aber für jeden einzelnen Fall müssen wir in der Lage sein, den im Diagramm vorhandenen Punkten Koordinaten zuzuweisen, und nicht mehr. Es bleibt jedoch abzuwarten, ob die Grundoperationen (B) und (D) erweitert werden können, ohne diese wichtige Eigenschaft zu verlieren.

In Abschnitt 2.5 werde ich auf das Entfernungsproblem zurückkommen, um einige andere Lösungen vorzustellen, die vorgeschlagen wurden. Zunächst jedoch ein ganz anderer Ansatz von der physischen Seite.

2.4 Ein direktes physikalisches Beispiel: eine diskrete Version der speziellen Relativitätstheorie

1936 schlägt Silberstein eine ziemlich einfache diskrete Theorie vor. Das einzige, was wir in der Physik verwenden, sind Bezeichnungen (x, y, z, t), und wenn sie diskret sind, können diese immer mit ganzen Zahlen beschriftet werden. In der kurzen Broschüre, in der die fünf Vorträge zu diesem Thema zusammengefasst sind, beschränkt sich Silberstein auf einen räumlichen und einen zeitlichen Parameter. Obwohl er das Problem (1936: 15) höherer Dimensionen anerkennt, befasst er sich nicht damit. Das Entfernungsproblem wird also ziemlich trivial, da auf einer Linie die diskrete Entfernungsfunktion und die euklidische Entfernungsfunktion zusammenfallen. Sein Vorschlag ist elementar in dem Sinne, dass die kleinste Entfernung, nämlich. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Punkten (x_ {i}) und (x_ {i + 1}) ist gleich 1 und ebenso für die Zeitkoordinate, so dass 1 die maximale Geschwindigkeit wird, gleich (c), also (c = 1). Analoge für Ableitungen werden definiert, Differentialgleichungen werden durch Differenzgleichungen ersetzt, ein Analogon in Bezug auf endliche Differenzen wird aus der Taylor-Reihe abgeleitet und der größte Teil der klassischen Physik kann nachgeahmt werden. Es ist erwähnenswert, dass die Vorlesungen eine grobe Berechnung der Größe der Chrononen, dh der kleinsten Zeiteinheit, und der Hodons, dh der kleinsten Einheit des (eindimensionalen) Raums, enthalten. Angenommen, (a) ist die Anzahl der Hodons in einem Zentimeter und (b) die Anzahl der Chrononen in einer Sekunde, dann ist) frac {(1 / a)} {(1 / b)} = \ frac {b} {a} = c = 3,10 ^ {10} text {cm / s,} quad \ text {oder} quad b = 3,10 ^ {10} cdot a.) Wenn wir einen niedrigeren Wert festlegen Limit für (a), sagen wir (10 ^ {- 8}) cm (das ist eigentlich Silbersteins Vorschlag!), dann (b = 3.10 ^ {10} cdot a \ geq 3.10 ^ {18}), wobei es sich um die Anzahl der Chrononen in einer Sekunde handelt. Er wendet das diskrete Raumzeitgerüst ferner auf die spezielle Relativitätstheorie an, und auch hier findet sich ein Analogon. Sehr interessant bei diesem Ansatz ist die Tatsache, dass zusätzliche Bedingungen auftreten, die im klassischen Fall nicht benötigt werden. Hier ist eine Illustration.

Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf dem Ausdruck, der hier auf eine räumliche Dimension beschränkt ist, nämlich (x ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2}). Daher muss jede Änderung der neuen Koordinaten (x '), (t') (x ^ {2} - c ^ {2} t ^ {2} = x '^ {2} - c erfüllen ^ {2} t '^ {2}). Angenommen, wir schreiben (x = ax '+ bt') und (t = cx '+ dt'), dann sind die inversen Beziehungen [x '= \ frac {(dx' - bt ')} {(ad - bc)} quad \ text {und} quad t '= \ frac {(ax' - ct ')} {(ad - bc)}.) Wenn jedoch (x), (x '), (t) und (t') müssen alle ganze Zahlen sein, dann unbedingt (ad - bc = 1). Diese letzte Bedingung ist eine reine Folge der Tatsache, dass wir diskret mit ganzen Zahlen denken.

2.5 Einige Teillösungen und Probleme, mit denen man sich befassen muss

In diesem Abschnitt werden drei spezifische Probleme erörtert, die gelöst werden müssen, wenn ein Vorschlag für eine diskrete Geometrie ernst genommen werden soll: das Distanzfunktionsproblem, das Dimensionsproblem, das Anisotropieproblem und das Identifikationsproblem.

Das Distanzfunktionsproblem. Es gibt ein ziemlich verheerendes Argument, das die Unmöglichkeit einer echten Distanzfunktion für eine diskrete Geometrie zeigt. Es stammt aus dem Jahr 1949 und wurde zuerst von Hermann Weyl formuliert:

Wenn ein Quadrat aus Miniaturkacheln besteht, gibt es entlang der Diagonale so viele Kacheln wie an den Seiten. daher sollte die Diagonale gleich lang zur Seite sein. (Weyl 1949: 43)

Es wurden mindestens drei Lösungen für dieses Problem formuliert.

Van Bendegem (1987) argumentierte, dass es in einer endlichen Geometrie eine grundlegende Tatsache sein sollte, dass Linien und Punkte Erweiterungen haben. Insbesondere sollen Linien eine konstante Breite haben (unabhängig von der Ausrichtung der Linie) (N_ {D}) Somit repräsentiert (N_ {D}) eine große (endliche) Zahl, die der Anzahl von entspricht Quadrate, die (N_ {D}) bilden. Bei einer gegebenen Linie wird die Breite immer als senkrecht zu dieser Linie definiert. Angenommen, die Linie hat eine Ausrichtung, die einem Winkel (alpha) zwischen der Linie und der (x) - Achse entspricht. Dann ist die Breite (N_ {D}) dieser Linie, wenn sie auf die (x) - Achse projiziert wird, (left) frac {N_ {D}} { sin \ alpha} right]) wobei der Ausdruck ([x]) die größte Ganzzahl angibt, die kleiner oder gleich (x) ist.

Figur 2

Der Abstand (d) zwischen zwei Punkten (p) und (q) wird dann als die Anzahl der Quadrate in dem Rechteck definiert, das durch die Linie von (p) nach (q) und dem gebildet wird Breite (N_ {D}), geteilt durch (N_ {D}). Die Idee ist, dass Linien in einer diskreten Geometrie zwar notwendigerweise eine Breite haben müssen, dies jedoch kein wesentliches Merkmal ist, sodass sie aufgeteilt werden können. Daher:

[d (p, q) = N_ {L} cdot \ left) frac {N_ {D}} { sin \ alpha} right] (mathrm {div}, N_ {D}).]]

(N_ {L}) entspricht hier der Anzahl der Schichten parallel zur (x) - Achse zwischen (p) und (q) und (n (mathrm {div}, m))) ist der Quotient der Division von (n) durch (m.)

Betrachten Sie zur Veranschaulichung das Weyl-Problem.

Figur 3.

Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck pqr, so dass der Einfachheit halber die rechten Seiten (pq) und (qr) gleich sind und mit den Achsen des Gitters ausgerichtet sind. Angenommen, die Anzahl der Quadrate auf der rechten Seite ist (N_ {L}). Dann

) begin {align *} d (p, q) & = d (q, r) & = N_ {L} cdot [N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L}, \\ \ end {align *})

da natürlich ([N_ {D}]) = (N_ {D}). Die Hypotenuse hat jedoch einen Winkel von (alpha = \ frac { sqrt {2}} {2}). So,) begin {align *} d (p, r) & = N_ {L} cdot \ left) frac {N_ {D}} { sin \ alpha} right] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot) sqrt {2} cdot N_ {D}] (mbox {div}, N_ {D}) & = N_ {L} cdot) sqrt {2}] _ {n}, \ end {align *})

Dabei bedeutet ([r] _ {n}) die Zahl (r) bis zu (n) Dezimalstellen. Es sind keine Berechnungen erforderlich, um zu zeigen, dass (eine enge Annäherung an) der Satz von Pythagoras gilt, dh (d ^ {2} (p, q) + d ^ {2} (q, r) = d ^ {2} (p, r)). Schließlich gibt es eine einfache Erklärung, warum das Weyl-Problem auftritt: Es entspricht dem Grenzfall (N_ {D} = 1). Wenn (N_ {D} = 1), dann ist () sqrt {2} cdot N_ {D}] =) sqrt {2}] = 1), also (d (p, r) = N_ {L} cdot 1 = N_ {L}) und der Satz von Pythagoras schlägt fehl.

Obwohl die Einführung einer Breite (N_ {D}) das Problem anscheinend löst, ist ebenso klar, welche Nachteile bestehen. Ohne die klassische euklidische Geometrie im Hintergrund gibt es wirklich keine Möglichkeit, die Konstruktion in Gang zu bringen. Es gibt keine Definition einer Linie in Bezug auf die diskrete Geometrie selbst, und vor allem die projizierte Breite auf der (x) - Achse einer Linie (L) wird gemäß einer euklidischen Abstandsfunktion berechnet nicht ausdrücklich erwähnt. Kurz gesagt, es gibt eine Mischung aus zwei Distanzfunktionen.

Peter Forrest (1995) präsentiert eine andere Lösung. Er beginnt mit der Einführung einer Familie diskreter Räume (E_ {n, m}), wobei (n) der „klassischen“Dimension des Raums entspricht und (m) ein Skalierungsfaktor ist, der als zu verstehen ist folgt: (m) ist ein Parameter, um zu entscheiden, ob zwei Punkte benachbart sind oder nicht, was das grundlegende (und einzige) Konzept seiner Geometrie ist. Somit werden im Fall (n = 2) Punkte durch Paare von ganzen Zahlen ((i, j)) und zwei Punkten ((i, j)) und ((i ', j') gekennzeichnet.) sind benachbart, wenn sie verschieden sind, und ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}).

Sobald die Nachbarschaft festgelegt wurde, kann eine Abstandsfunktion leicht abgeleitet werden: Der Abstand zwischen (p) und (q), (d (p, q)) ist die kleinste Anzahl von "Verbindungen" in a Kette von Punkten, die (p) und (q) so verbinden, dass jeder neben dem vorherigen liegt. Als nächstes ist es kein Problem zu zeigen, dass eine gerade Linie, die durch zwei Punkte verläuft, die Kette von Punkten ist, die den kürzesten Abstand hat.

Wenn der Parameter (m) einen kleinen Wert hat, ist die resultierende Distanzfunktion nicht euklidisch. Genauer gesagt, wenn (m = 1), dann haben wir wieder die von Weyl dargestellte Situation. Aber wenn zum Beispiel (m = 10 ^ {30}) (die von Forrest selbst vorgeschlagene Zahl), ändert sich die Situation. Dann kann gezeigt werden, dass die Distanzfunktion auf dem diskreten Raum der euklidischen Distanzfunktion so nahe kommt, wie man möchte. Ohne alle Details darzustellen, kann man zeigen, dass eine euklidische Distanzfunktion (d_ {E}) und die diskrete Distanzfunktion (d) durch einen Skalierungsfaktor in Beziehung stehen, dh (d_ {E} frac { (p, q)} {d (p, q)} = \ mbox {Konstante} (m)), wobei die Konstante durch den Wert von (m) bestimmt wird. Es sind keine weiteren Berechnungen erforderlich, um zu zeigen, dass die ursprüngliche Distanzfunktion (d) den Satz von Pythagoras erfüllt.

Wenn man nach einer Schwachstelle in diesem Ansatz sucht, muss man unweigerlich mit dem Grundbegriff der Nachbarschaft enden. Was ist der Grund für die Definition der Nachbarschaft in euklidischen Begriffen? Denn eine Bedingung wie ((i-i ') ^ {2} + (j-j') ^ {2} le m ^ {2}) sieht so euklidisch wie möglich aus. Ein möglicher Ausweg wird in Van Bendegem (1997) vorgeschlagen. Einer der Vorteile eines diskreten Ansatzes - und tatsächlich scheint dies im Allgemeinen für strenge finitistische Vorschläge zu gelten - besteht darin, dass sich Definitionen, die klassisch äquivalent sind, in einem strengen finitistischen Rahmen als unterschiedlich herausstellen. Insbesondere kann ein Kreis auf (mindestens) zwei Arten definiert werden:

1. als die Menge von Punkten (p), die einen festen Abstand zu einem festen Punkt haben,
2. als die Menge von Punkten (p), so dass bei einem festen Liniensegment (ab) der durch (apb) gebildete Winkel ein rechter Winkel ist.

Klassischerweise sind diese beiden Definitionen gleichwertig. Sie befinden sich jedoch nicht in einer diskreten Geometrie. Wenn beispielsweise die Abstandsfunktion als die niedrigste Anzahl von Hodons definiert ist, die zwei gegebene Punkte verbinden, sind die beiden Definitionen nicht äquivalent. Unter Verwendung der Definition (a) hat der Kreis die Form eines Quadrats (eine bekannte Tatsache in der sogenannten Taxigeometrie) und ist daher nutzlos, um die Nachbarschaft wie oben beschrieben zu definieren. Definition (b) erzeugt andererseits eine Figur, die sich einem euklidischen Kreis annähern kann, so nah wie man möchte. Auf diese Weise ist Forrests Definition für Adjazenz in einem diskreten Rahmen akzeptabel, da nicht auf eine euklidische Distanzfunktion Bezug genommen wird.

Die dritte Lösung findet sich in Crouse und Skufca (2019), die eine interessante Synthese der beiden vorherigen Vorschläge zur Lösung des Distanzfunktionsproblems darstellen. Was sie vorschlagen, ist eine Art physikalische Interpretation, die drei Dinge ermöglicht. Erstens können die niedrigsten Größen für Hodons und Chronons in Bezug auf Planck-Länge und -Zeit ermittelt werden. Zweitens wird eine Definition der Entfernung von A nach B in Bezug auf die von einem „Test“-Hodon zurückgelegte Entfernung vorgeschlagen (natürlich in diskreten minimalen Schritten). Dies löst sofort das Anisotropieproblem, da keine Richtungen privilegiert sind. Drittens wird die a priori Existenz eines Gitters (oder einer ähnlichen Struktur) nicht als absoluter Bezugsrahmen angenommen. Dies eröffnet die Möglichkeit, die spezielle Relativitätstheorie neu zu formulieren, was sie auch tun. Obwohl Silbersteins Ansatz (siehe Abschnitt 2.4 oben) nicht erwähnt wird, ist er eindeutig verwandt und kann als Verbesserung angesehen werden, da die physikalische Basis philosophisch besser motiviert ist.

Wenn diese Vorschläge und Vorschläge als angemessene Antworten auf das Kachelproblem von Weyl angesehen werden können, findet sich in Fritz (2013) ein weiteres gutes Beispiel für einen No-Go-Ansatz (und den dazugehörigen Satz). Beginnen Sie mit einer abstrakten Formulierung eines periodischen Graphen, dh einer Reihe von Eckpunkten und einer Reihe von Kanten. Aus praktischen Gründen kann die Periodizität als kristalline Struktur angesehen werden. Dies bedeutet, dass wir eine endliche Grundeinheit haben, die den gesamten Graphen durch iterierte Kopien dieser Grundeinheit abdecken kann. Nehmen Sie als Beispiel eine zweidimensionale Struktur. Die Eckpunkte können mit zwei Zahlen ((i, j)) beschriftet oder "gewichtet" werden. Eine Trajektorie ((f_ {n}) _ {n \ in N}) ist eine Folge von Gewichten von Scheitelpunkten, so dass die Scheitelpunkte (f_ {n}) und (f_ {n + 1} tragen) sind durch eine Kante verbunden. Als nächstes definieren wir die (makroskopische) Geschwindigkeit einer solchen Flugbahn als

[u = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} frac {(f_n - f_0)} {n},)

das klingt vollkommen akzeptabel. Beispiel: Die Flugbahn, so dass (f_ {n} = (n, 0)), beginnend mit (f_ {0} = (0, 0)), die makroskopische Geschwindigkeit 1 hat, als (f_ {n}) - f_ {0} = (n, 0)) und geteilt durch (n) ergibt dies (1, 0). Ohne auf die Details einzugehen, zeigt er dann, dass die geometrische Struktur aller (makroskopischen) Geschwindigkeiten in einem solchen Graphen nicht der des euklidischen Raums entsprechen kann. Der Grund ist recht einfach (obwohl die Beweise nicht vorhanden sind): In der Grafik werden immer herausgegriffen, „spezielle“Richtungen und Anisotropie bleiben auch auf makroskopischer Ebene erkennbar. Daher ist ein Übergang von der diskreten Ebene zur makroskopischen, kontinuierlichen, euklidischen und isotropen Ebene ausgeschlossen. Dies ist ein wirklich interessantes Ergebnis, da es alle Versuche, ein direktes, zu verwenden, in den Schatten stellt.oft eher naiver Übergang von der diskreten zur kontinuierlichen Ebene. Gleichzeitig plädiert es für komplexere Übergänge von der mikroskopischen zur makroskopischen Ebene, z. B. unter Berücksichtigung der Breite einer Linie.

Das Dimensionsproblem. Diesem Problem wurde nicht viel Aufmerksamkeit geschenkt, obwohl es von grundlegender Bedeutung ist. Wenn die Ebene aus einer diskreten Menge von Elementen, Hodons oder Atomen besteht, muss diese Menge die Dimension Null haben. Denn um die Dimension zu bestimmen, muss dieser Satz mit einer Topologie ausgestattet sein und der einzig mögliche Kandidat ist die diskrete Topologie. Dies bedeutet, dass die Dimension Null ist. Entweder hat man die Möglichkeit, den Begriff der Dimension einfach auf der Grundlage des Arguments fallen zu lassen, dass der Begriff der Dimension einen Begriff der Kontinuität und Topologie voraussetzt und daher keine finitistische Bedeutung hat. Oder man sucht nach einem Analogon, aber es ist überhaupt nicht klar, was das sein könnte. Man sollte nicht versuchen, aus einer Ordnungsbeziehung einen Dimensionsbegriff abzuleiten. Angenommen, die Hodons sind mit ganzen Zahlen ((i,j)) in einem geeigneten Koordinatensystem, so dass (- L \ le i), (j \ le L), wobei (L) eine Obergrenze ist. Dann sind ganz andere Ordnungsbeziehungen möglich. Eine Möglichkeit besteht darin, ((i, j) lt (k, l)) genau dann zu definieren, wenn (i + j \ lt k + l). Eine andere Möglichkeit besteht darin, ((i, j) lt (k, l)) genau dann zu definieren, wenn entweder (i \ lt k) oder, wenn (i = k), dann (j \ lt l). Es sind daher zusätzliche Argumente erforderlich, um zu behaupten, dass unter allen möglichen Ordnungsbeziehungen für eine bestimmte Menge nur eine einen besonderen Status hat. In Abschnitt 3 werden wir jedoch sehen, dass mit den Werkzeugen der Graphentheorie tatsächlich eine Definition der Dimension gegeben werden kann.l)) genau dann, wenn (i + j \ lt k + l). Eine andere Möglichkeit besteht darin, ((i, j) lt (k, l)) genau dann zu definieren, wenn entweder (i \ lt k) oder, wenn (i = k), dann (j \ lt l). Es sind daher zusätzliche Argumente erforderlich, um zu behaupten, dass unter allen möglichen Ordnungsbeziehungen für eine bestimmte Menge nur eine einen besonderen Status hat. In Abschnitt 3 werden wir jedoch sehen, dass mit den Werkzeugen der Graphentheorie tatsächlich eine Definition der Dimension gegeben werden kann.l)) genau dann, wenn (i + j \ lt k + l). Eine andere Möglichkeit besteht darin, ((i, j) lt (k, l)) genau dann zu definieren, wenn entweder (i \ lt k) oder, wenn (i = k), dann (j \ lt l). Es sind daher zusätzliche Argumente erforderlich, um zu behaupten, dass unter allen möglichen Ordnungsbeziehungen für eine bestimmte Menge nur eine einen besonderen Status hat. In Abschnitt 3 werden wir jedoch sehen, dass mit den Werkzeugen der Graphentheorie tatsächlich eine Definition der Dimension gegeben werden kann.

Das Isotropieproblem. Wenn die Ebene wie im obigen Absatz aus quadratischen Hodons aufgebaut ist, sind die Hodons so angeordnet, dass jeder Hodon vier andere Hodons berührt, dh die Ebene kann als quadratisches Gitter modelliert werden, dann ist es offensichtlich, dass Es gibt Vorzugsrichtungen. In diesem Fall gibt es zwei Vorzugsrichtungen. Wenn jedoch anstelle von Quadraten Sechsecke als Hodons verwendet werden, gibt es drei bevorzugte Richtungen. Unabhängig von der Form des Hodons gibt es also bevorzugte Richtungen, und dies impliziert, dass der Raum anisotrop ist. Beachten Sie, dass diese Fälle nichts anderes als spezielle Beispiele für den oben diskutierten allgemeinen Ansatz von Tobias Fritz sind. Für physikalische Anwendungen möchte man jedoch eine Isotropie haben (oder zumindest so nahe wie möglich).

Es sind zwei Ansätze möglich, die nicht unter den Fritz-No-Go-Satz fallen. Entweder haben die Hodons eine bestimmte Form oder sie haben keine. Im ersten Fall wurde vorgeschlagen, anstelle einer regelmäßigen periodischen Kachelung des Flugzeugs nach einer unregelmäßigen aperiodischen Kachelung wie der Penrose-Kachelung zu suchen.

Figur 4

Obwohl keine ausgearbeiteten Beispiele verfügbar sind, scheint dies eine vielversprechende Angriffslinie zu sein. Bei den Penrose-Kacheln ist es interessant zu sehen, dass es gerade wegen der Aperiodizität keine klassisch geraden Linien mehr gibt. Im zweiten Fall ist Unbestimmtheit ein möglicher Ausweg. Wie Peter Forrest in seinem (1995) und Crouse und Skufca in ihrem (2019) verteidigen, ist die ganze Idee einer spezifischen Darstellung eines diskreten Raums, z. B. wie er aus winzigen Quadraten aufgebaut ist, grundlegend falsch. Wenn ein Hodon eine bestimmte Form hat, kann man es nicht vermeiden, Fragen zu Teilen eines Hodons zu stellen, wie z. B. seiner Grenze. Dies ist jedoch nicht sinnvoll, wenn Hodons die kleinstmöglichen räumlichen Einheiten sind. Eine in Van Bendegem (1997) verteidigte Zwischenposition besteht darin, eine Reihe diskreter Geometrien (G_ {i}) mit jeweils einem Hodon einer bestimmten Größe (h_ {i}) zu betrachten.so dass (h_ {i} ne h_ {j}) für (i \ ne j) und zusätzlich gibt es (M) und (N), so dass (M \ Es ist h_ {i} lt N) für alle (i). Man kann dann eine Supervaluationstechnik auf die Serie anwenden. Dies bedeutet, dass eine Aussage wahr (falsch) ist, wenn sie in jeder Geometrie wahr (falsch) ist (G_ {i}). In allen anderen Fällen ist es unentschlossen, dh in einigen wahr und in anderen falsch. Wenn nun (A) die Aussage "Hodons haben Größe (alpha)" ist (wobei (alpha) eine bestimmte Zahl ist), ist dies unentschlossen, wenn a mindestens einem der \ entspricht (Hallo}). Ein solcher Ansatz führt jedoch alle mit der Unbestimmtheit verbundenen Probleme in die Diskussion ein, was nicht unbedingt eine ermutigende Situation ist. Auch für dieses Problem kann im Rahmen der Graphentheorie eine originelle Antwort gegeben werden. Es gibt (M) und (N), so dass (M \ lt h_ {i} lt N) für alle (i). Man kann dann eine Supervaluationstechnik auf die Serie anwenden. Dies bedeutet, dass eine Aussage wahr (falsch) ist, wenn sie in jeder Geometrie wahr (falsch) ist (G_ {i}). In allen anderen Fällen ist es unentschlossen, dh in einigen wahr und in anderen falsch. Wenn nun (A) die Aussage "Hodons haben Größe (alpha)" ist (wobei (alpha) eine bestimmte Zahl ist), ist dies unentschlossen, wenn a mindestens einem der \ entspricht (Hallo}). Ein solcher Ansatz führt jedoch alle mit der Unbestimmtheit verbundenen Probleme in die Diskussion ein, was nicht unbedingt eine ermutigende Situation ist. Auch für dieses Problem kann im Rahmen der Graphentheorie eine originelle Antwort gegeben werden. Es gibt (M) und (N), so dass (M \ lt h_ {i} lt N) für alle (i). Man kann dann eine Supervaluationstechnik auf die Serie anwenden. Dies bedeutet, dass eine Aussage wahr (falsch) ist, wenn sie in jeder Geometrie wahr (falsch) ist (G_ {i}). In allen anderen Fällen ist es unentschlossen, dh in einigen wahr und in anderen falsch. Wenn nun (A) die Aussage "Hodons haben Größe (alpha)" ist (wobei (alpha) eine bestimmte Zahl ist), ist dies unentschlossen, wenn a mindestens einem der \ entspricht (Hallo}). Ein solcher Ansatz führt jedoch alle mit der Unbestimmtheit verbundenen Probleme in die Diskussion ein, was nicht unbedingt eine ermutigende Situation ist. Auch für dieses Problem kann im Rahmen der Graphentheorie eine originelle Antwort gegeben werden. Man kann dann eine Supervaluationstechnik auf die Serie anwenden. Dies bedeutet, dass eine Aussage wahr (falsch) ist, wenn sie in jeder Geometrie wahr (falsch) ist (G_ {i}). In allen anderen Fällen ist es unentschlossen, dh in einigen wahr und in anderen falsch. Wenn nun (A) die Aussage "Hodons haben Größe (alpha)" ist (wobei (alpha) eine bestimmte Zahl ist), ist dies unentschlossen, wenn a mindestens einem der \ entspricht (Hallo}). Ein solcher Ansatz führt jedoch alle mit der Unbestimmtheit verbundenen Probleme in die Diskussion ein, was nicht unbedingt eine ermutigende Situation ist. Auch für dieses Problem kann im Rahmen der Graphentheorie eine originelle Antwort gegeben werden. Man kann dann eine Supervaluationstechnik auf die Serie anwenden. Dies bedeutet, dass eine Aussage wahr (falsch) ist, wenn sie in jeder Geometrie wahr (falsch) ist (G_ {i}). In allen anderen Fällen ist es unentschlossen, dh in einigen wahr und in anderen falsch. Wenn nun (A) die Aussage "Hodons haben Größe (alpha)" ist (wobei (alpha) eine bestimmte Zahl ist), ist dies unentschlossen, wenn a mindestens einem der \ entspricht (Hallo}). Ein solcher Ansatz führt jedoch alle mit der Unbestimmtheit verbundenen Probleme in die Diskussion ein, was nicht unbedingt eine ermutigende Situation ist. Auch für dieses Problem kann im Rahmen der Graphentheorie eine originelle Antwort gegeben werden. Wenn nun (A) die Aussage "Hodons haben Größe (alpha)" ist (wobei (alpha) eine bestimmte Zahl ist), ist dies unentschlossen, wenn a mindestens einem der \ entspricht (Hallo}). Ein solcher Ansatz führt jedoch alle mit der Unbestimmtheit verbundenen Probleme in die Diskussion ein, was nicht unbedingt eine ermutigende Situation ist. Auch für dieses Problem kann im Rahmen der Graphentheorie eine originelle Antwort gegeben werden. Wenn nun (A) die Aussage "Hodons haben Größe (alpha)" ist (wobei (alpha) eine bestimmte Zahl ist), ist dies unentschlossen, wenn a mindestens einem der \ entspricht (Hallo}). Ein solcher Ansatz führt jedoch alle mit der Unbestimmtheit verbundenen Probleme in die Diskussion ein, was nicht unbedingt eine ermutigende Situation ist. Auch für dieses Problem kann im Rahmen der Graphentheorie eine originelle Antwort gegeben werden.

Das Identifikationsproblem. Nehmen wir an, wir haben eine vollwertige diskrete Geometrie und ersetzen die klassische Geometrie einer physikalischen Theorie durch die diskrete Version. Wir werden jetzt über Hodons und Chronons sprechen. Die "natürliche" Frage, die sich stellt, ist, was mit was zu identifizieren ist. Stellen Sie sich vor, wir sind in Übereinstimmung mit Silberstein ein bisschen naiv und wären versucht, den Hodon mit der Planck-Länge (l_ {p} = 10 ^ {- 35} text {m}) und der Chronon mit zu identifizieren Planck-Zeit, (t_ {p} = 10 ^ {- 43} text {s}). Wenn man jetzt akzeptiert, dass die maximale Geschwindigkeit ein Hodon pro Chronon beträgt, ergibt sich aus dieser Identifizierung, dass die maximale Geschwindigkeit tatsächlich (c = 3,10 ^ {8} text {m / s}) ist. (Hinweis: Hier passiert nichts Erstaunliches, da in der klassischen Physik (l_ {p}) definiert ist als (sqrt { hbar G / c ^ 3},) und (t_ {p}) als (sqrt { hbar G / c ^ 5},) so dass sofort ersichtlich ist, dass (l_ {p} / t_ {p} = c). Stellen Sie nun die einfache Frage, wie hoch die nächste Geschwindigkeit sein wird, direkt unter (c). Die Antwort muss sein: ein Hodon pro zwei Chrononen, aber das bedeutet eine Geschwindigkeit von (c / 2). Wir scheinen den gesamten Bereich zwischen (c / 2) und (c) verpasst zu haben. Es gibt einen Ausweg, aber es wird angenommen, dass eine „ruckartige“Bewegung als möglich angesehen wird, eine ästhetisch ziemlich hässliche Idee. Ein Objekt bewegt zwei Hodons in zwei Chronons und wartet dann auf eine Chronon und wiederholt dann dieselbe Bewegung. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist dann (2c / 3). Ein möglicher Ausweg, der in Abschnitt 3.2 kurz erwähnt wird, besteht darin, ein Element der Zufälligkeit in die Struktur einzuführen. Eine Einschätzung der vollen Komplexität dieses Themas, die über rein numerische Beziehungen hinausgeht, finden Sie in der hervorragenden Übersicht und Diskussion von Hagar (2014).

3. Diskrete Geometrien als Generatoren der klassischen Geometrie

3.1 Der allgemeine Rahmen

Wie in Abschnitt 1 dargelegt, werden wir hier Vorschläge diskutieren, die nach einer Theorie oder einem Modell suchen, die einer geometrischen Theorie zugrunde liegen, so dass daraus die klassischen geometrischen Konzepte abgeleitet werden können. Offensichtlich muss man äußerst vorsichtig sein, da ständig die „Gefahr“besteht, dass Unendlichkeiten irgendwo unsichtbar oder unbemerkt ins Bild kommen. Nehmen wir an, um ein einfaches Beispiel zu geben, dass nur eine Menge endlicher Punkte zulässig ist, aber auch eine Operation, die zwischen einem beliebigen Punktepaar einen dritten Punkt erzeugt, der sich von allen vorhandenen Punkten unterscheidet, und es gibt keine Einschränkungen hinsichtlich der Häufigkeit der Operation angewendet werden kann, dann haben wir hier eindeutig eine unendliche Anzahl von Punkten "in Verkleidung". Ein solches Modell als diskretes geometrisches Modell zu bezeichnen, erscheint ziemlich unangemessen.

Man muss auch sehr vorsichtig sein, z. B. mit Behauptungen, dass die Quantenmechanik sich mit diskreten Werten befasst, normalerweise in Bezug auf Heisenberg-Unsicherheitsprinzipien, daher ist die Physik auf der Basisebene eine diskrete Theorie. Das ist jedoch äußerst irreführend. Es reicht aus, ein Handbuch zur Quantenmechanik zu konsultieren, um festzustellen, dass die verwendete Mathematik die vollständige Nutzung von Unendlichkeiten erfordert. Unabhängig davon, ob man Heisenbergs Matrixansatz, Hilberts Operatorformalismus, Schrödingers Wellengleichung oder einen anderen Formalismus verwendet, umfasst die Mathematik Integrale, Ableitungen, unendliche (konvergente) Summen, Räume mit unendlicher Dimension usw. (siehe den Eintrag zur Quantenmechanik).. Hier ist nicht viel Diskretion zu finden. Dies impliziert, dass es auch für die Quantenmechanik ein echtes Problem ist, ein diskretes Gegenstück zu finden. Dies wird deutlich durch die Versuche von Gerard 't Hooft, die Quantenmechanik auf wirklich diskrete Weise neu zu formulieren, siehe' t Hooft (2014). Interessant ist, dass es Themen wie Determinismus versus Indeterminismus betrifft.

Aus historischer Sicht kann die Arbeit von Tullio Regge zweifellos als erster Versuch angesehen werden, ein Modell zu entwickeln, aus dem geometrische Konzepte entwickelt werden könnten. Das Originalpapier stammt aus dem Jahr 1961, siehe Regge (1961). Insbesondere befassen wir uns hier mit der Allgemeinen Relativitätstheorie (GRT). Obwohl die ursprüngliche Absicht von Regge darin bestand, Techniken zur Lösung der GRT-Gleichungen in den „schwierigen“Fällen zu konstruieren, dh wenn keine Symmetrie vorliegt und die Störungstheorie nicht anwendbar ist. Anstatt die Differentialgleichungen von GRT in Differenzgleichungen zu transkribieren, suchte Regge nach einer Technik, die insgesamt zu unterschiedlichen Gleichungen führt. Ohne die vollständigen Details darzustellen, ist das Kernkonzept seines Ansatzes der „Defizitwinkel“. In GRT haben wir es mit gekrümmten Räumen zu tun. Nehmen Sie eine zweidimensional gekrümmte Oberfläche. Wenn es flach ist, kann es mit Dreiecken bedeckt werden. Wenn es gekrümmt ist, kann es mit Dreiecken angenähert werden, aber mit einem wichtigen Unterschied. Angenommen, Dreiecke treffen sich an Eckpunkten, dann können wir einen bestimmten Punkt und alle Dreiecke betrachten, die sich an diesem Punkt treffen. Wenn dieser Teil der Oberfläche abgeflacht ist, entsteht irgendwo eine Lücke. Dieser Lücke entspricht ein Winkel und das ist genau der Defizitwinkel. Je größer die Krümmung ist, desto größer ist der Defizitwinkel. Die gleiche Technik funktioniert für den vierdimensionalen Fall, bei dem anstelle von Dreiecken Simplexe verwendet werden. Das Schöne an diesem Ansatz ist, dass die GRT-Gleichungen in Bezug auf Defizitwinkel und Längen der Kanten der Simplexe umgeschrieben und in Bezug auf diese Konzepte gelöst werden können. Misner et al. (1973) enthält ein Kapitel (42:„The Regge Calculus“), das den Ansatz von Regge auf kompakte und perfekt zugängliche Weise erklärt.

Heute werden ziemlich viele Versuche unternommen. Die meisten von ihnen sind als hochspekulativ anzusehen, da sie den gegenwärtigen Stand der Dinge in voller Entwicklung widerspiegeln. Es gibt jedoch noch eine Reihe von Ansätzen, die sich langsam herausbilden und die als brauchbare Kandidaten und für eine finitistische Sicht der Geometrie (in Bezug auf die Raumzeit) von Interesse erscheinen. Es ist anzumerken, dass für die betroffenen Autoren ihr Hauptziel nicht so sehr darin besteht, eine diskrete Form der Geometrie zu formulieren, sondern vielmehr festzustellen, ob dieses oder jenes Modell als gemeinsame Grundlage für die Quantentheorie (Feldtheorie) und die GRT dienen wird, daher für die sozusagen die ganze Physik oder, wenn man möchte, die „Theorie von allem“. Unsere Sorge hier ist eigentlich bescheidener:Sagen uns diese Modelle etwas darüber, wie diskrete Geometrien so formuliert werden können, dass sie klassische Geometrie erzeugen? Selbst wenn die Physiker ein solches Modell aus guten soliden physikalischen Gründen ablehnen würden, könnte es dennoch für die Frage nach der Möglichkeit einer diskreten Geometrie von Interesse sein.

Huggett & Wuthrich (2013a) geben einen schönen Überblick über die aktuelle Situation in Bezug auf den verbleibenden Satz. Es ist erwähnenswert, dass dieses Papier Teil einer Sonderausgabe, Huggett & Wuthrich (2013b), über die Entstehung der Raumzeit in Quantentheorien der Schwerkraft ist. Insgesamt diskutieren und bewerten sie sechs Arten von Vorschlägen, aber wir werden hier nur drei betrachten. Die verbleibenden drei sind derzeit entweder zu spekulativ oder beinhalten keine diskreten Raumzeiten (wie Stringtheorie und nicht kommutative Geometrie). Die drei für unser Thema relevanten Ansätze sind:

• Gitterraumzeit: Dies kommt Regges Ansatz in dem Sinne nahe, dass der kontinuierliche Raum (und die Zeit) durch eine diskrete Struktur ersetzt werden, in diesem Fall ein Gitter. Wenn diese Gitter mit einer offensichtlich diskreten Metrik ausgestattet sind, werden die Verbindungen zwischen kontinuierlichem und diskretem Raum (und Zeit) sehr eng. Im nächsten Abschnitt wird ein solcher Vorschlag vorgestellt (ohne die Physik).
• Nichtmetrische Gitter: Das bekannteste Beispiel unter dieser Überschrift sind kausale Gitter. Die Verbindungen zwischen den „Punkten“im Gitter sind kausale Beziehungen, und dies erfordert viel mehr Arbeit, um daraus eine Raum-Zeit-Struktur abzuleiten. Tatsächlich haben wir in vielen Fällen No-Go-Theoreme in dem Sinne, dass die diskreten Gitter „keine gut erzogenen Kontinuumsgrenzen haben, die relativistischen Raumzeiten ähneln“(S. 278), wodurch das bereits erwähnte negative Ergebnis von Fritz „wiederholt“wird (S. 278). 2013),

• Schleifenquantengravitation: Diese Theorie ist einer der ernst genommenen Versuche, die Quanten- (Feld-) Theorie und die allgemeine Relativitätstheorie zu vereinen. Die Grundstrukturen sind sogenannte dreidimensionale Spin-Netzwerke. Wenn sich diese Netzwerke im Laufe der Zeit entwickeln dürfen, entsteht eine vierdimensionale Struktur, der sogenannte Spin-Schaum, der im Grenzfall die relativistische Raum-Zeit-Struktur erzeugen sollte. Hier sollte eine Einschränkung eingefügt werden: Obwohl die Struktur eines Spin-Netzwerks die eines Graphen mit einer Reihe von Knoten und einer Reihe von Kanten ist, sind diese Knoten und Kanten dennoch durch physikalisch bedeutsame Größen gekennzeichnet, die kontinuierliche Strukturen wie Lie-Gruppen beinhalten. Ohne ins Detail zu gehen, ist dieser kurze Auszug von Reisenberger (1999) sehr anschaulich:

  Im Allgemeinen tragen die Kanten eines Spin-Netzwerks nicht triviale irreduzible Darstellungen (Irreps) der Eichgruppe, und die Eckpunkte tragen Verflechtungen. Der Verflechtungspunkt für einen Scheitelpunkt kann ein beliebiger invarianter Tensor der Produktdarstellung (R) sein, der durch das Produkt der von den ankommenden Kanten getragenen Irreps und den Dualen der Irreps an den ausgehenden Kanten gebildet wird. (S. 2047)

Um zu verstehen, wie schnell sich die Dinge in diesem Forschungsbereich entwickeln, sollte man einen Vergleich zwischen Huggett & Wüthrich (2013a) und Meschini et al. (2005), auch als Umfragepapier gedacht. Interessanterweise beschreiben Huggett und Wüthrich ihre Umfrage als Ergänzung zur anderen. In der letztgenannten Arbeit wird die Arbeit von Manfred Requardt kurz vorgestellt, und dies wird als prototypisches Beispiel dienen, da es nicht von Anfang an die physische Seite der Dinge einführt. Um einen Eindruck von komplexeren Ansätzen zu bekommen, die von Anfang an die Physik betreffen, siehe Smolin (2018), wo auch die direkt erwähnte Quantenschleifengravitation diskutiert wird. Obwohl solche Ansätze, sowohl die grundlegenden als auch die anspruchsvollen Fälle, in der Literatur zur räumlichen Logik nicht erwähnt werden,Dennoch sind die Verbindungen zwischen den beiden sehr tief und eng und müssen unbedingt weiter untersucht werden.

3.2 Ein prototypisches Beispiel anhand von Grafiken

Der Ausgangspunkt ist ein diskreter Graph (G = \ langle N, C \ rangle), der aus einer Menge (N) von Knoten (n_ {i}) und einer Menge (C) von besteht Verbindungen (c_ {ij}), so dass kein Knoten mit sich selbst verbunden ist und die Knoten (n_ {i}) und (n_ {j}) höchstens eine Verbindung haben. Am offensichtlichsten erscheint die Definition einer Distanzfunktion, und in fast allen Vorschlägen ist dies tatsächlich die verfolgte Strategie (ähnlich den in Abschnitt 2.5 vorgeschlagenen Definitionen):

(D (n_ {i}, n_ {j})) = die kleinste Anzahl von Verbindungen, die von (n_ {i}) nach (n_ {j}) führen.

Es ist leicht zu erkennen, dass die klassischen Eigenschaften einer Distanzfunktion erfüllt sind:

• (D (n_i, n_i) = 0,)
• (D (n_i, n_j) = D (n_j, n_i),)
• (D (n_i, n_j) + D (n_j, n_k) ge D (n_i, n_k).)

Auf den ersten Blick ist es überhaupt nicht klar, wie man weiter vorgehen soll, aber wenn man (n_ {i}) und (c_ {ij}) als eine Art Vektor liest, können lineare Kombinationen sein gebildet, wobei (f_ {i}) und (g_ {ij}) zB natürliche oder rationale Zahlen sind:

[f = \ sum_i f_i n_i \ quad \ mbox {und} quad g = \ sum_ {ik} g_ {ik} c_ {ik}.)

Diese beiden Ausdrücke können als Funktionen über (n_ {i}) und (c_ {ij}) gelesen werden. Was man jetzt braucht, ist eine Beziehung zwischen Knoten und Verbindungen, also führe eine spezielle Funktion (d) ein:

[d: n_i \ rightarrow \ sum_k c_ {ik}.)

Es ist sehr interessant zu sehen, was passiert, wenn wir die Funktion (d) linear erweitern, damit sie auf beliebige Funktionen (f) angewendet werden kann:

[df = \ sum_i f_i \ sum_k c_ {ik}.)

Wenn wir nun festlegen, dass (c_ {ik} = -c_ {ki}) (als eine Art Vektorgleichung, die besagt, dass die Verbindungen eine Richtung haben), kann der obige Ausdruck wie folgt umgeschrieben werden (berücksichtigen Sie, dass, da keine Schleifen erlaubt sind, (c_ {ii} = 0)):

[df = \ frac {1} {2} sum_ {ik} (f_k-f_i) c_ {ik})

Obwohl es noch ein langer Weg ist, hat dieser Ausdruck (df) bereits einige nette Eigenschaften, die an eine Ableitung einer Funktion (f) erinnern:

• Es ist linear: (d (f + g) = df + dg),
• Wenn (f) eine konstante Funktion in dem Sinne ist, dass an jedem Knoten (f_ {i}) der gleiche Wert vorliegt, ist es unmittelbar, dass (df) für (f) konstant ist 0,
• Wenn (f) so ist, dass an zwei direkt verwandten Knoten (n_ {i}) und (n_ {i + 1}) (f_ {i + 1}) = (f_ {i } + 1), mit anderen Worten, dies drückt aus, dass (f (i) = i), dann ist (df) 1, wobei 1 die durch (sum_i n_i) dargestellte Funktion ist. Die Ableitung der Identitätsfunktion ist also die konstante Funktion 1.

Wie mit den obigen Definitionen leicht zu überprüfen ist, schlägt die Produktregel jedoch fehl, dh (d (f \ cdot g)) ist nicht gleich (df \ cdot g + f \ cdot dg).

Bis zu einem gewissen Grad ist es also möglich, eine Grundform der Analysis auf diskreten Graphen zu konstruieren. Es erfordert etwas Einfallsreichtum und kreatives Denken, um die „richtigen“Gegenstücke zu finden, aber dieses einfache Beispiel zeigt, dass aus einem diskreten Graphen ziemlich viel Struktur abgeleitet werden kann. Es gibt tatsächlich mehr. Diskrete Diagramme ermöglichen eine gute Lösung für das in Abschnitt 2.5 erwähnte Dimensionsproblem. Dies ist der grobe Umriss der Idee:

Betrachten Sie einen Knoten (n_ {i}), dann ist (U_ {1}) die Menge der Knoten (n_ {j}), so dass (D (n_ {i}, n_ {j}) = 1), dh (U_ {1}) bringt die nächsten Nachbarn von (n_ {i}) zusammen. Ebenso können wir (U_ {2}) als die Menge von Knoten (n_ {k}) definieren, so dass (D (n_ {i}, n_ {k})) höchstens 2 ist folgt (U_ {n} subseteq U_ {n + 1}) und so erhalten wir eine verschachtelte Reihe von Nachbarschaften von (n_ {i}). Wenn man die Dimension als Maß für das „Wachstum“der Nachbarschaften versteht, kann die Dimension definiert werden als:

) mbox {Dim} = \ lim_ {m \ rightarrow \ infty} frac { ln \ lvert U_m \ rvert} { ln m})

Eines der interessanten Merkmale dieser Definition ist, dass sie nicht über den gesamten Graphen einheitlich sein muss, da alle von der Wahl des Anfangsknotens (n_ {i}) abhängen. In dem Fall, in dem der Graph ausreichend gleichmäßig ist, ist die Dimension eine Konstante. Wenn wir einen klassischen Fall wie den dreidimensionalen euklidischen Raum nehmen, stimmen die Dimensionen überein. Angenommen, wir haben ein reguläres Gitter als zugrunde liegenden Graphen, dann hat ein bestimmter Knoten einen Würfel als die Menge der nächsten Nachbarn (U_ {1}), bestehend aus (3 ^ {3} = 27) Punkten und einer Nachbarschaft (U_ {m}) zählt ((m + 2) ^ {3}) Knoten. Deshalb

) mbox {Dim} = \ lim_ {m \ rightarrow \ infty} frac { ln (m + 2) ^ 3} { ln m} quad \ mbox {oder} quad \ mbox {Dim} = \ lim_ {m \ rightarrow \ infty} 3 \ cdot \ frac { ln (m + 2)} { ln m})

Da für (m) ausreichend groß (frac { ln (m + 2)} { ln m}) ungefähr 1 ist, folgt daraus, dass (mbox {Dim} = 3). Dies zeigt, dass wir ausgehend von diskreten Graphen eine Erweiterung des Dimensionskonzepts erhalten haben. Man kann bemerkt haben, dass diese Art der Definition einigen der Definitionen, die zur Definition der Dimension fraktaler Bilder verwendet werden, ziemlich ähnlich ist.

Darüber hinaus ermöglichen diskrete Diagramme die Behandlung des Anisotropieproblems. Es reicht aus, ein Element der Zufälligkeit in das Netzwerk einzuführen, indem beispielsweise Durchschnittswerte über einen verbundenen Satz von Knoten ermittelt werden, um privilegierte Richtungen zu vermeiden. Hier gibt es eindeutig Ähnlichkeiten mit dem unregelmäßigen Kachelschema oder der Einführung von Unbestimmtheit, aber der wichtige Unterschied besteht darin, dass statistische und probabilistische Konzepte (ziemlich) gut verstanden werden, während das Kachelproblem, wie erwähnt, ein offenes Problem ist und die Unbestimmtheit a bleibt notorisch schwer zu fassendes Konzept (siehe den Eintrag zur Unbestimmtheit in dieser Enzyklopädie).

3.3 Ein Sonderfall: die kombinatorische Hierarchie

Es wäre ein Fehler zu glauben, dass die verschiedenen oben aufgeführten Versuche irgendwie einen vollständigen Katalog bilden, der es ermöglicht, alle möglichen Ansätze zu klassifizieren. In diesem Absatz ein solches exotisches Beispiel, nämlich. Die kombinatorische Hierarchie wird kurz vorgestellt. Bei diesem Ansatz liegt der Fokus nicht auf den Gleichungen der Physik selbst, sondern auf den darin vorkommenden physikalischen Konstanten wie der Lichtgeschwindigkeit (c), der Planck-Konstante (h) und der Masse des Elektrons (m_ {e}) und so weiter. Da diese Werte notwendigerweise endlich sind, erscheint es sinnvoll zu untersuchen, ob ein finitistischer Ansatz erklären kann, warum diese Konstanten die Werte haben, die sie zufällig haben. Solche Ansätze werden manchmal als "Zahlenspiele" bezeichnet.

Lassen Sie mich ein sehr einfaches Beispiel geben. Ausgehend von einem Universum, das aus einer endlichen Anzahl von Bits besteht, dh entweder 0 oder 1, wird eine Grundoperation eingeführt, nämlich eine "Unterscheidung". Um diese Operation auszudrücken, ist eine andere Operation erforderlich: Addition Modulo 2: (0 + 0 = 1 + 1 = 0) und (0 + 1 = 1 + 0 = 1). Wenn das Ergebnis 0 ist, werden die Elemente der Summe nicht unterschieden, sonst sind sie es. Schauen Sie sich jetzt Mengen an, die 0 und / oder 1 enthalten, und so, dass, wenn zwei Elemente unterscheidbar sind, dieses Element auch zur Menge gehört. Es gibt genau 3 ((= 2 ^ {2} -1)) solcher Mengen: ({0 }, {1 }) und ({0,1 }). Wenn diese 3 Elemente nun anstelle von 0 und 1 als neue Basis verwendet werden, zeigt eine clevere Konstruktion, dass 7 ((= 2 ^ {3} -1)) solche Mengen existieren und in einem nächsten Schritt 127 ((= 2 ^ {7} -1)) wird angezeigt. Jetzt (3 + 7 + 127 = 137) und diese Zahl liegt nahe an der elektromagnetischen Kopplungskonstante.

Der Erfolg dieses Programms war eher bescheiden, da sich diese Modelle nicht leicht mit bestehenden physikalischen Theorien verbinden lassen. Eine in sich geschlossene Präsentation dieses Programms findet sich in Bastin & Kilmister (1995). Es gibt eine sehr starke Ähnlichkeit mit der Arbeit von AS Eddington. Es überrascht nicht, dass Kilmister (1994) eine Präsentation der Arbeit von Eddington zu seiner fundamentalen Theorie verfasst hat.

3.4 Kann es ein empirisches Problem sein?

Bisher haben wir verschiedene theoretische Möglichkeiten einer diskreten Geometrie als Gegenstück zur klassischen Geometrie untersucht. Angesichts der Beispiele, die wir in den vorhergehenden Abschnitten besprochen haben, scheint die Relevanz für die Physik offensichtlich. Obwohl man versucht sein könnte zu glauben, dass die Diskretion von Raum und / oder Zeit eine rein theoretische Angelegenheit ist, ist es dennoch eine faszinierende Frage, ob die Angelegenheit auch empirischer Natur sein könnte. Konkret: Ist es vorstellbar, dass wir ein Experiment so gestalten könnten, dass das Ergebnis entweder diskret oder kontinuierlich ist? Dies mag sehr weit hergeholt klingen, aber dennoch hat die Angelegenheit die Aufmerksamkeit der Philosophen auf sich gezogen, und es wurde tatsächlich ein spezifisches Experiment vorgeschlagen, obwohl die Umstände für die Durchführung des Experiments derzeit leider nicht durchführbar sind.

Es ist sehr interessant zu sehen, dass Paul Feyerabend bereits 1961 eine solche Möglichkeit vorgeschlagen hat. Es wird jedoch nicht viel mehr gesagt, als

Die Schwierigkeit der gegenwärtigen Situation scheint darin zu liegen, dass diskrete Alternativen für die Mathematik, die gegenwärtig in der Physik verwendet wird, fehlen. (1961: 160)

Ebenso interessant ist die Tatsache, dass auch Feyerabend das Standardargument erwähnt, dass das Fehlen eines pythagoreischen Theorems ein echtes Problem ist. Sein Vorschlag ist das

wir müssen nur annehmen, dass Messungen in verschiedene Richtungen nicht pendeln; und dann können wir vielleicht den Satz als Operatorgleichung beibehalten. (1961: 161)

Auch hier wird leider nichts mehr gesagt. Peter Forrest (1995) behauptet, dass ein solches Experiment möglich ist. Der grundlegende Grund ist, dass die klassische Mathematik kontinuierliche Variablen verwendet, während die strenge finitistische Mathematik diskrete Variablen verwendet. Für die Differenzierung und Integration müssen also endliche Analoga gefunden werden, die sich dem klassischen Fall annähern, aber niemals damit übereinstimmen. Daher wird es immer kleine Unterschiede geben, und es kann nicht ausgeschlossen werden, dass diese nachweisbar sind.

Eine solche Möglichkeit zur Erkennung betrifft das folgende merkwürdige Phänomen. Nehmen Sie die Differentialgleichung (df / dx = ax (1 - x)). Es ist eine einfache Übung, sie zu lösen, und man wird eine sehr saubere kontinuierliche Lösung finden, während, wenn man für den diskreten Fall die entsprechende Differenzgleichung (Delta f / \ Delta x = ax (1 - x)) nimmt, Abhängig vom Wert des Parameters (a) erzeugt das Verhalten der Funktion (f) chaotische Effekte, die im kontinuierlichen Fall fehlen. Siehe Van Bendegem (2000) und Welti (1987: 516–518). Das Ergebnis eines solchen Experiments wäre nicht so eindeutig wie gewünscht, aber chaotische Effekte zu beobachten bedeutet, dass der Raum diskret ist, während keine chaotischen Effekte zu beobachten bedeutet, dass entweder der Raum kontinuierlich ist oder die Hodons weitaus kleiner sind, als wir es uns vorgestellt haben. Derzeit sind keine weiteren Fortschritte zu verzeichnen.

In diesem Lemma wurde mehrfach darauf hingewiesen, dass verschiedene Wissenschaftler mit unterschiedlichen Absichten und Zielen und mit unterschiedlichem Hintergrund gleichermaßen unterschiedliche Vorstellungen von diskreter Geometrie als Alternative zur klassischen Geometrie vorgeschlagen oder vorgeschlagen haben. Viele Autoren präsentieren nicht unbedingt mehr oder weniger vollständige Theorien, sondern beschränken sich darauf, Vorschläge zu machen und eine bestimmte Idee zu untersuchen. Diese Arbeiten sind als Inspirationsquellen für die Suche nach einer vollwertigen Theorie zu verstehen. Einige Beispiele sind: Hahn (1934), Biser (1941), Coish (1959), Ahmavaara (1965a, b), Finkelstein (1969) (dies ist die erste von fünf Papierserien mit demselben Titel in derselben Zeitschrift), Dadić & Pisk (1979), Finkelstein & Rodriguez (1986), Meessen (1989), Buot (1989), um nur einige zu nennen. Für den Zeitraum 1925-1936Kragh und Carazza (1994) bieten einen hervorragenden Überblick darüber, dass viele Physiker mit finitistischen Ideen herumgespielt haben.

4. Was muss als nächstes getan werden?

Die erste Aufgabe scheint recht einfach zu sein: Nehmen Sie einen der hier vorgestellten Vorschläge und arbeiten Sie sie zu einer vollwertigen Geometrie aus. Dann wird es möglich sein, einen Vergleich mit beispielsweise der erwähnten Hilbertschen Axiomatisierung anzustellen. Die zweite Aufgabe scheint eher abschreckend: Zeigen Sie anhand dieser diskreten Geometrie, wie man Physik macht. Im Allgemeinen ist dies zwar ein großes Unterfangen, aber es gibt zwei mögliche Wege. Der erste Weg besteht darin zu zeigen, dass dieser Ansatz beispielsweise für die klassische Mechanik funktioniert. Im Erfolgsfall würde dies sicherlich als Hauptargument für diskrete Vorschläge gelten. Zufällig wurden bereits einige sehr wichtige Arbeiten durchgeführt, denn wir werden eine vollständig formalisierte Version der klassischen Mechanik benötigen, nicht die Lehrbuchversionen, die viele Dinge unerwähnt lassen. Dies könnte sich jedoch als entscheidend für die zugrunde liegende Geometrie erweisen. Solche Versionen existieren gegenwärtig, siehe z. B. Axe (1978), Andréka et al. (2008), Benda (2008), nur einige Beispiele. Eine der frühesten Versionen betrifft Patrick Suppes, siehe McKinsey, Sugar & Suppes (1953). Somit scheint das Unternehmen eine echte Möglichkeit zu sein. Der zweite Weg besteht darin, die Grundlagenforschung zu erforschen, die auf der Suche nach einer Vereinheitlichung von QFT und GRT stattfindet. Bis vor einigen Jahren war dies alles sehr spekulativ, heute tauchen einige ernsthafte Kandidaten auf und es lohnt sich, sie weiterzuverfolgen. Davon abgesehen bleibt sowohl auf mathematischer als auch auf physikalischer Ebene eine enorme Menge an Arbeit zu erledigen. Der wahrscheinlich beste Weg, um die heutige Situation zu charakterisieren, besteht darin, dass einige „berühmte“Einwände gegen einen diskreten oder finitistischen Ansatz in der Geometrie (teilweise) beantwortet wurden und dass eine Vielzahl von mathematischen, physikalischen und philosophischen Vorschlägen und Ideen vorgelegt wurden Teilmodelle wurden entwickelt oder werden ausgearbeitet. Mit anderen Worten, die Bedingungen sind erfüllt, die es interessant machen, dieses Forschungsprogramm fortzusetzen.

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Andere Internetquellen

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