Geometrie Des 19. Jahrhunderts

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Geometrie des 19. Jahrhunderts

Erstveröffentlichung Montag, 26. Juli 1999; inhaltliche Überarbeitung Do 20.10.2016

Im neunzehnten Jahrhundert erlebte die Geometrie, wie die meisten akademischen Disziplinen, eine Phase des Wachstums, die an eine Katastrophe grenzte. In dieser Zeit nahmen der Inhalt der Geometrie und ihre innere Vielfalt fast bis zur Unkenntlichkeit zu; Die seit der Antike von den Bewunderern der Geometrie gepriesene axiomatische Methode erreichte schließlich eine echte logische Hinlänglichkeit, und der Grundstein wurde gelegt, um bei der Beschreibung physikalischer Phänomene die Standardgeometrie von Euklid durch Riemanns wunderbar biegsames System zu ersetzen. Moderne Philosophen aller Tendenzen - Descartes und Hobbes, Spinoza und Locke, Hume und Kant - hatten die euklidische Geometrie als Paradigma epistemischer Gewissheit angesehen. Das plötzliche Schrumpfen der euklidischen Geometrie auf eine Unterart der großen Familie der mathematischen Theorien des Weltraums zerstörte einige Illusionen und führte zu wichtigen Änderungen in der philosophischen Konzeption des menschlichen Wissens. So können beispielsweise Philosophen, die von einer völlig bestimmten Kenntnis von Recht und Unrecht träumen, die durch logische Folgerung aus selbstverständlichen Prinzipien gesichert ist, nach diesen Entwicklungen des 19. Jahrhunderts die euklidische Geometrie nicht mehr als einen Fall vorschlagen, in dem sich ein ähnliches Ziel als erreichbar erwiesen hat. Der vorliegende Artikel befasst sich mit den Aspekten der Geometrie des 19. Jahrhunderts, die für die Philosophie von großem Interesse sind, und gibt nebenbei Hinweise auf ihre philosophische Bedeutung. Philosophen, die von einer völlig bestimmten Kenntnis von Recht und Unrecht träumen, die durch logische Folgerung aus selbstverständlichen Prinzipien gesichert ist, können die euklidische Geometrie nicht länger als einen Fall vorschlagen, in dem sich ein ähnliches Ziel als erreichbar erwiesen hat. Der vorliegende Artikel befasst sich mit den Aspekten der Geometrie des 19. Jahrhunderts, die für die Philosophie von großem Interesse sind, und gibt nebenbei Hinweise auf ihre philosophische Bedeutung. Philosophen, die von einer völlig bestimmten Kenntnis von Recht und Unrecht träumen, die durch logische Folgerung aus selbstverständlichen Prinzipien gesichert ist, können die euklidische Geometrie nicht länger als einen Fall vorschlagen, in dem sich ein ähnliches Ziel als erreichbar erwiesen hat. Der vorliegende Artikel befasst sich mit den Aspekten der Geometrie des 19. Jahrhunderts, die für die Philosophie von großem Interesse sind, und gibt nebenbei Hinweise auf ihre philosophische Bedeutung.

  • 1. Lobachevskianische Geometrie
  • 2. Projektive Geometrie
  • 3. Kleins Erlangen-Programm
  • 4. Axiomatik perfektioniert
  • 5. Die Differentialgeometrie von Riemann
  • 6. Lügengruppen

    Beilage: Eine moderne Formulierung von Riemanns Theorie

  • Literaturverzeichnis

    • Primäre Quellen
    • Sekundärliteratur
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Lobachevskianische Geometrie

Euklid (fl. 300 v. Chr.) Stellte an die Spitze seiner Elemente eine Reihe von "Definitionen" (z. B. "Ein Punkt ist das, was keinen Teil hat") und "gemeinsame Begriffe" (z. B. "Wenn Gleiches zu Gleichem hinzugefügt wird"). die Summen sind gleich”) und fünf 'Anfragen'. Angeblich haben diese Elemente alle Informationen übermittelt, die erforderlich sind, um auf die Theoreme zu schließen und die Probleme der Geometrie zu lösen, aber tatsächlich nicht. Die Anfragen (aitemata) - auf Englisch üblicherweise als "Postulate" bezeichnet - müssen jedoch auf jeden Fall bewilligt werden, da sonst die Beweise von Euklid nicht durchlaufen werden. Einige von ihnen sind einfach praktisch:

1. Zeichnen Sie eine gerade Linie von einem beliebigen Punkt zu einem beliebigen Punkt. 3. Zeichnen Sie einen Kreis mit einem beliebigen Mittelpunkt und einem beliebigen Radius.

Der fünfte klingt jedoch eher nach einer Tatsachenfeststellung. Euklids Text kann wie folgt auf Englisch wiedergegeben werden: „Wenn eine gerade Linie [c], die auf zwei gerade Linien [a und b] fällt, die Innenwinkel auf derselben Seite kleiner als zwei rechte Winkel macht, sind die beiden geraden Linien [a und b], wenn auf unbestimmte Zeit produziert, treffen Sie sich auf der Seite, auf der die Winkel kleiner als die beiden rechten Winkel sind “(Begriffe in Klammern zur besseren Übersicht hinzugefügt). Das klingt weit hergeholt. Dennoch kann es leicht als Rezept für die Konstruktion von Dreiecken umschrieben werden (siehe Abbildung 1). Jedes Dreieck besteht aus drei koplanaren Geraden, die sich paarweise an drei Punkten treffen. Zeichnen Sie für jedes Segment PQ eine gerade Linie a bis P und eine gerade Linie b bis Q, so dass a und b auf derselben Ebene liegen. Stellen Sie sicher, dass die Winkel, die a und b mit PQ auf einer der beiden Seiten von PQ bilden, weniger als zwei rechte Winkel ergeben. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, sollte gewährt werden, dass a und b sich an einem Punkt R auf derselben Seite von PQ treffen und so das Dreieck PQR bilden. Diese Anfrage wird als "Euklids Postulat" bezeichnet. Wenn die Anfrage abgelehnt wird - sagen wir, weil wir glauben, dass die Welt endlich ist und kein Platz darin ist, um den Scheitelpunkt R aufzunehmen, wenn die fraglichen Innenwinkel nur sehr wenig weniger als zwei rechte Winkel ergeben -, dann ist ein Großteil von Euklids System von Geometrie wird nicht durchlaufen. Weil wir glauben, dass die Welt endlich ist und es keinen Raum gibt, um den Scheitelpunkt R aufzunehmen, wenn die fraglichen Innenwinkel nur sehr wenig weniger als zwei rechte Winkel ergeben, wird ein Großteil von Euklids Geometriesystem nicht durchlaufen. Weil wir glauben, dass die Welt endlich ist und es keinen Raum gibt, um den Scheitelpunkt R aufzunehmen, wenn die fraglichen Innenwinkel nur sehr wenig weniger als zwei rechte Winkel ergeben, wird ein Großteil von Euklids Geometriesystem nicht durchlaufen.

Abbildung 1

Abbildung 1
Abbildung 1

In den folgenden dunkleren Zeitaltern ging Euklids Sinn für mathematische Freiheit verloren und Philosophen und Mathematiker erwarteten, dass die Geometrie auf selbstverständlichen Gründen ruht. Wenn nun a senkrecht und b fast senkrecht zu PQ ist, nähern sich a und b auf einer Seite von PQ sehr langsam und es ist nicht selbstverständlich, dass sie sich irgendwann irgendwo auf dieser Seite treffen müssen. Schließlich nähert sich die Übertreibung auf unbestimmte Zeit ihren Asymptoten und trifft sie nachweislich nie. Im Laufe der Jahrhunderte forderten und versuchten mehrere Autoren einen Beweis für Euklids Postulat. John Wallis (geb. 1616, gest. 1703) leitete es aus der Annahme ab, dass es Polygone unterschiedlicher Größe gibt, die dieselbe Form haben. Aber dann muss diese Annahme wiederum bewiesen werden. Girolamo Saccheri (geb. 1667, gest. 1733) versuchte es mit reductio. Er schloss aus der Negation von Euklids Postulat eine lange Reihe von Aussagen ab, bis er eine erreichte, die er als „abstoßend gegen die Natur der geraden Linie“bezeichnete. Aber Saccheris Verständnis dieser „Natur“wurzelte in der euklidischen Geometrie und seine Schlussfolgerung warf die Frage auf.

In den 1820er Jahren haben Nikolai I. Lobachevsky (geb. 1793, gest. 1856) und Janos Bolyai (geb. 1802, gest. 1860) diese Frage unabhängig voneinander auf radikal neue Weise angegangen. Lobachevsky baute auf der Negation von Euklids Postulat ein alternatives Geometriesystem auf, das er als „imaginär“bezeichnete und unschlüssig versuchte, die Gültigkeit auf astronomischer Ebene zu testen, indem er die Summe der Innenwinkel von Dreiecken berechnete, die von Sternen am Himmel gebildet wurden. Bolyai entfernte das Postulat aus Euklids System; Der verbleibende Rumpf ist die „absolute Geometrie“, die weiter spezifiziert werden kann, indem entweder Euklids Postulat oder seine Negation hinzugefügt werden. Ab den 1790er Jahren hatte Carl Friedrich Gauss (geb. 1777, gest. 1855) in die gleiche Richtung an dem Thema gearbeitet, jedoch aus Angst vor Skandalen keine Veröffentlichungen veröffentlicht. Da Lobachevsky der erste war, der veröffentlichte,Das Geometriesystem, das auf der genannten „absoluten Geometrie“plus der Negation von Euklids Postulat basiert, wird zu Recht als Lobachevsksche Geometrie bezeichnet.

Die oben eingeführte Konstruktion zur Erklärung von Euklids Postulat kann auch zur Aufklärung seiner Negation verwendet werden. Zeichnen Sie die gerade Linie a durch den Punkt P im rechten Winkel zum Segment PQ. Wenn Euklids Postulat abgelehnt wird, gibt es unzählige gerade Linien durch Q, koplanar mit a, die mit PQ spitze Winkel bilden, aber niemals a treffen. Betrachten Sie die Menge der reellen Zahlen, die die Größen dieser spitzen Winkel sind. Die größte Untergrenze dieser Menge sei μ. Offensichtlich ist μ> 0. Es gibt genau zwei gerade Linien durch Q, koplanar mit a, die mit PQ einen Winkel der Größe μ bilden. (Siehe Abbildung 2.) Nennen Sie sie b 1 und b 2. Weder b 1 noch b 2trifft a, aber a trifft jede Linie durch Q, die koplanar mit a ist und mit PQ einen Winkel von weniger als μ bildet. Gauß, Lobatschewski und Boljai - ohne dass sie es voneinander wussten - nannten b 1 und b 2 die Parallelen zu a bis Q. μ wird als Parallellismuswinkel für das Segment PQ bezeichnet. Seine Größe hängt von der Länge des PQ ab und nimmt mit zunehmendem letzteren ab.

Figur 2

Figur 2
Figur 2

Angenommen, der Parallellismuswinkel für PQ beträgt einen halben rechten Winkel. In diesem Fall bilden b 1 und b 2 bei Q einen rechten Winkel, und wir haben somit zwei zueinander senkrechte gerade Linien auf derselben Ebene wie a, die a nicht erfüllen.

Lobachevskys Geometrie ist reich an überraschenden Theoremen (von denen viele bereits von Saccheri gefunden wurden). Hier einige Beispiele: Die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben weniger als zwei rechte Winkel. Die Differenz oder der „Defekt“ist proportional zur Fläche des Dreiecks. Daher sind in der Lobatschewski-Geometrie ähnliche Dreiecke kongruent. Wenn ein Dreieck in kleinere Dreiecke unterteilt wird, entspricht der Defekt des Ganzen der Summe der Defekte der Teile. Da der Defekt nicht größer als zwei rechte Winkel sein kann, hat die Fläche der Dreiecke ein endliches Maximum. Wenn ein Viereck konstruktionsbedingt drei rechte Winkel hat, ist der vierte Winkel notwendigerweise spitz. In der Lobatschewskschen Geometrie gibt es also keine Rechtecke.

Es gibt eine einfache formale Entsprechung zwischen den Gleichungen der Lobatschewskschen Trigonometrie und denen der sphärischen Standardtrigonometrie. Auf dieser Grundlage argumentierte Lobachevsky, dass jeder Widerspruch in seiner Geometrie unweigerlich mit einem Widerspruch in der euklidischen Geometrie einhergehen würde. Dies scheint das früheste Beispiel für einen angeblichen Beweis der relativen Konsistenz zu sein, bei dem gezeigt wird, dass eine Theorie konsistent ist, damit eine andere Theorie - deren Konsistenz normalerweise als selbstverständlich angesehen wird - nicht inkonsistent ist.

Die Lobatschewski-Geometrie fand vor den späten 1860er Jahren wenig Beachtung. Als die Philosophen es endlich bemerkten, waren ihre Meinungen geteilt. Einige betrachteten es als eine formale Übung in logischer Folgerung ohne physische oder philosophische Bedeutung, bei der gewöhnliche Wörter wie "gerade" und "eben" mit einer verdeckt veränderten Bedeutung verwendet wurden. Andere begrüßten es als ausreichenden Beweis dafür, dass die euklidische Geometrie entgegen der einflussreichen These von Kant keine Voraussetzungen menschlicher Erfahrung vermittelt und dass die geometrische Struktur des physischen Raums für experimentelle Untersuchungen offen ist. Wieder andere waren sich einig, dass nichteuklidische Geometrien legitime Alternativen seien, wiesen jedoch darauf hin, dass die Gestaltung und Interpretation physikalischer Experimente im Allgemeinen eine bestimmte Geometrie voraussetzt und dass diese Rolle durch das euklidische System vorweggenommen wurde.

Egal was Philosophen sagen mögen, für Mathematiker wäre die Lobachevskianische Geometrie wahrscheinlich nur eine seltsame Neugier gewesen, wenn nicht sowohl in der projektiven als auch in der Differentialgeometrie eine Nische dafür gefunden worden wäre, die beiden Hauptströme der geometrischen Forschung des 19. Jahrhunderts (§ § 2 und 5).

2. Projektive Geometrie

Heute spielt die projektive Geometrie in der Mathematik keine große Rolle, aber im späten neunzehnten Jahrhundert wurde sie zum Synonym für moderne Geometrie. Projektive Methoden wurden von Desargues (geb. 1591, gest. 1661) und Pascal (geb. 1623, gest. 1662) angewendet, später jedoch von Descartes 'Koordinatenmethode verdunkelt. Sie gediehen jedoch, nachdem Jean-Victor Poncelet (geb. 1788, gest. 1867) gezeigt hatte, dass die projektiven Eigenschaften von Figuren Beweisgrundlagen lieferten, die mindestens so mächtig und sicherlich intuitiver und scheinbar überzeugender waren als das kartesische Verfahren von Aufstellen und Lösen von Gleichungen zwischen Zahlen, die Punkte darstellen.

Projektive Eigenschaften sind solche, die durch Projektionen erhalten bleiben. Nehmen Sie zum Beispiel zwei Ebenen Γ und H und einen Punkt P außerhalb davon. Sei Φ eine beliebige Zahl auf Γ. Zeichnen Sie gerade Linien von P durch jeden Punkt von Φ. Die Figur, die durch die Punkte gebildet wird, an denen diese Linien auf H treffen, ist die Projektion von Φ auf H von P. Im Allgemeinen unterscheidet sich diese Zahl von Φ in Größe und Form. Die Projektion einer beliebigen Anzahl von Geraden auf Γ, die sich an bestimmten Punkten treffen, besteht im Allgemeinen aus einer gleichen Anzahl von Geraden auf H, die sich bei der Projektion dieser Punkte treffen. Was passiert jedoch, wenn die gerade Linie, die P mit einem Punkt Q von Γ verbindet, niemals auf H trifft, weil PQ zufällig auf einer Ebene parallel zu H liegt? (Siehe Abbildung 3.)

Figur 3

Figur 3
Figur 3

Um solche lästigen Ausnahmen zu vermeiden, fügte die projektive Geometrie jeder geraden Linie im Raum einen idealen Punkt hinzu, der von jeder parallel dazu verlaufenden Linie geteilt wird. Kontinuität erfordert dann, dass alle idealen Punkte auf einer einzigen idealen Ebene liegen, die jede Familie paralleler Ebenen entlang einer anderen idealen Linie trifft. Fundamentalisten mögen bei dieser scheinbar mutwilligen Multiplikation von Entitäten schaudern. Es wurde jedoch seit Jahrhunderten in der Arithmetik praktiziert, da der anfängliche Bestand an natürlichen Zahlen 1, 2, 3, … durch Null, die negativen ganzen Zahlen, die nichtintegralen Rationalen, die Irrationalen und das sogenannte Imaginäre ergänzt wurde Zahlen.

Die Punkte einer geraden Linie stehen in gegenseitigen Beziehungen von Nachbarschaft und Ordnung. Um zu sehen, wie der ideale Punkt in diese Beziehungen passt, lassen Sie H kontinuierlich um die gerade Linie m drehen, wo er Γ schneidet. (Siehe Abbildung 4.) Wenn H parallel zu PQ ist, ist zum Zeitpunkt t die Projektion von Q auf H von P der ideale Punkt der Geraden durch P und Q. Unmittelbar vor t ist diese Projektion ein gewöhnlicher Punkt von H, sehr weit von m entfernt. Unmittelbar nach t ist die Projektion wieder ein gewöhnlicher Punkt von H, sehr weit von m entfernt, aber am gegenüberliegenden Ende der Ebene. Wenn man die kontinuierliche Verschiebung der Projektion während eines kurzen Zeitintervalls um t untersucht, kommt man zu dem Schluss, dass wenn A und B zwei beliebige Punkte von H sind, die jeweils auf beiden Seiten von m stehen, der ideale Punkt der geraden Linie durch A und B. muss zwischen A und B platziert werden. So,In der projektiven Geometrie sind die Punkte einer geraden Linie zyklisch geordnet, dh wie die Punkte eines Kreises. Infolgedessen unterscheiden sich die Nachbarschaftsbeziehungen zwischen Punkten im projektiven Raum und auf projektiven Ebenen drastisch von denen, die aus der Standardgeometrie bekannt sind, und sind äußerst eingängig. Man kann mit Recht sagen, dass die projektive Geometrie eine viel tiefere und weitreichendere Revolution im menschlichen Denken bedeutete als die bloße Ablehnung von Euklids Postulat. Man kann mit Recht sagen, dass die projektive Geometrie eine viel tiefere und weitreichendere Revolution im menschlichen Denken bedeutete als die bloße Ablehnung von Euklids Postulat. Man kann mit Recht sagen, dass die projektive Geometrie eine viel tiefere und weitreichendere Revolution im menschlichen Denken bedeutete als die bloße Ablehnung von Euklids Postulat.

Figur 4

Figur 4
Figur 4

In der neuen Einstellung können die projektiven Eigenschaften von Figuren ausnahmslos definiert werden. Eine Eins-Eins-Abbildung f des projektiven Raums auf sich selbst ist eine Kollineation, wenn drei beliebige kollineare Punkte A, B und C an drei Punkte (A), (B) und (C) gesendet werden, die ebenfalls kollinear sind. Projektive Eigenschaften (und Beziehungen) sind solche, die durch Kollineationen erhalten bleiben. Hier einige Beispiele für projektive Eigenschaften. Von drei oder mehr Punkten: auf derselben geraden Linie liegen; im selben Flugzeug liegen. Von drei oder mehr geraden Linien: sich am selben Punkt treffen; im selben Flugzeug liegen. Von drei oder mehr Ebenen: entlang derselben geraden Linie schneiden; den gleichen Punkt zu teilen. Von Kurven: ein Kegel sein. Von Flächen: ein Quadrat sein.

3. Kleins Erlangen-Programm

Felix Klein (geb. 1849, gest. 1925) zog in einer Broschüre, die er an der Fakultät in Erlangen (1872) herausgab, eine Bestandsaufnahme des enormen Wachstums und der Diversifizierung der Geometrie vor und schlug einen Standpunkt vor, von dem aus die vielen Zweige in a organisiert werden könnten System. Unter diesem Gesichtspunkt kann die Aufgabe eines Geometriezweigs folgendermaßen angegeben werden:

Gegeben eine Mannigfaltigkeit und eine Gruppe von Transformationen der Mannigfaltigkeit, um die Mannigfaltigkeitskonfigurationen in Bezug auf diejenigen Merkmale zu untersuchen, die durch die Transformationen der Gruppe nicht verändert werden. (Klein 1893, S. 67)

In der Mathematik des 19. Jahrhunderts bezeichnete "Mannigfaltigkeit" oft das, was wir heute als Menge bezeichnen, aber Klein hatte anscheinend etwas Spezifischeres im Sinn:

Wenn n Variablen x 1,…, x n gegeben sind, bilden die… Wertesysteme, die wir erhalten, wenn wir die Variablen x unabhängig voneinander die reellen Werte von −∞ bis + ∞ annehmen lassen, das, was wir nennen werden… eine Mannigfaltigkeit von n Dimensionen. Jedes bestimmte Wertesystem (x 1,…, x n) wird als Element der Mannigfaltigkeit bezeichnet. (Klein 1873, S. 116)

Wenn S in beiden Richtungen eine Mannigfaltigkeit ist, meinen wir mit einer Transformation von S eine Eins-Eins-Abbildung von S auf sich selbst. Es ist klar, dass

  1. Wenn T 1 und T 2 Transformationen von S sind, ist die zusammengesetzte Abbildung T 2  O T 1, die aus T 1 gefolgt von T 2 besteht, auch eine Transformation von S;
  2. die Zusammensetzung der Transformationen ist assoziativ, so dass, wenn T 1, T 2 und T 3 Transformationen von S sind, (T 3  ○ T 2) ○ T 1 = T 3  ○ (T 2  ○ T 1);
  3. Die Identitätsabbildung I, die jeden Punkt von S an sich selbst sendet, ist eine Transformation von S, so dass für jede Transformation T T I = I T = T ist;
  4. Für jede Transformation T gibt es eine Transformation T −1, die Umkehrung von T, so dass T −1  ○ T = I (T −1 sendet jeden Punkt von S dorthin zurück, wo er von T hergebracht wurde).

Aufgrund der Bedingungen (i) - (iv) bilden die Transformationen von S eine Gruppe G S in dem genauen Sinne, den dieser Term in der Algebra hat. G S umfasst Untergruppen, dh Untergruppen, die I enthalten und die Bedingungen (i) und (iv) erfüllen. Wenn H eine Untergruppe von G S ist und Φ ein Merkmal von S oder seiner Elemente oder Teile ist, das von den Transformationen von Φ nicht beeinflusst wird, sagen wir, dass Φ eine H-Variante ist. Der einzige G S.-invariante ist die Kardinalität von S (dh die Anzahl der Elemente in der Mannigfaltigkeit). Andererseits bewahrt die Gruppe {I}, die nur aus der Identität besteht, trivial jedes denkbare Merkmal. Zwischen diesen beiden Extremen kann es je nach Gruppenstruktur viele verschiedene Untergruppen mit allen möglichen interessanten Invarianten geben. Wenn S keine willkürliche (strukturlose) Menge ist, sondern eine von Klein beschriebene numerische Mannigfaltigkeit, erbt es die Struktur vom reellen Zahlenfeld, was zur Charakterisierung der verschiedenen Untergruppen von G S und ihrer Invarianten beiträgt. Somit behält die Gruppe der kontinuierlichen Transformationen die topologischen Eigenschaften (Nachbarschaftsbeziehungen) bei, und die Gruppe der linearen Transformationen bewahrt die projektiven Eigenschaften.

Können metrische Eigenschaften auf diese Weise festgelegt werden? Traditionell definiert man den Abstand zwischen zwei Punkten (x 1,…, x n) und (y 1,…, y n) einer numerischen Mannigfaltigkeit als positive Quadratwurzel von (x 1  - y 1) 2 +… + (x n  - y n) 2. Die Gruppe der Isometrien besteht aus den Transformationen, die diese Funktion beibehalten. Dies ist jedoch nur eine Konvention, die verabschiedet wurde, um sicherzustellen, dass die Geometrie euklidisch ist. Mit projektiver Geometrie dachte Klein an etwas Besseres. Keine reelle Funktion von Punktpaaren, die im gesamten Projektionsraum definiert ist, ist eine Invariante der Projektionsgruppe, aber es gibt eine Funktion von kollinearen Punktvierfachen, die als Kreuzverhältnis bezeichnet wird und eine solche Invariante ist. Klein (1871, 1873) stützte sich auf Arbeiten von Arthur Cayley (geb. 1821, gest. 1895) und betrachtete das Kreuzverhältnis der Punktvierfachen <P 1, P 2, P 3, P 4 >. so dass P 3 und P 4 zu einem gegebenen Kegel κ auf einer projektiven Ebene gehören, während P.1 und P 2 erstrecken sich über einen Bereich R, der durch κ begrenzt oder anderweitig durch κ fixiert ist. Da P 3 und P 4 die Punkte sein müssen, an denen die gerade Linie durch P 1 und P 2 auf κ trifft, kann das Kreuzverhältnis als Funktion des Punktpaars <P 1, P 2 > angesehen werden. Die Kollineationen, die einen gegebenen Kegel auf sich selbst abbilden, bilden eine Gruppe, und diese Funktion ist eindeutig eine Invariante dieser Gruppe. Klein zeigte, dass sich eine bestimmte Funktion dieser Funktion wie eine gewöhnliche Distanzfunktion auf R verhält. Entsprechend der Natur des Kegels κ erfüllt die durch diese Funktion bestimmte Struktur entweder (i) alle Sätze der euklidischen Ebenengeometrie oder (ii) alle Sätze der Lobachevskschen Ebenengeometrie oder (iii) alle Sätze einer dritten Geometrie, die Klein selbst entdeckt und "elliptisch" genannt. (In der elliptischen Geometrie trifft jede gerade Linie aufeinander, und die drei Innenwinkel eines Dreiecks ergeben immer mehr als zwei rechte Winkel. Kleins Namen für die Geometrien von Euklid und Lobatschewski waren "parabolisch" bzw. "hyperbolisch".)

So funktioniert Kleins Ansatz für die Lobachevsksche Geometrie in der Ebene. Sei κ ein realer Kegel - ein Kegel, der nur reale Punkte enthält - auf der Projektionsebene. Sei G κ die Menge aller Kollineationen, die κ auf sich selbst abbilden. G κ ist eine Untergruppe der projektiven Gruppe. Betrachten Sie nun das Kreuzverhältnis der Punktvierfachen <P 1, P 2, P 3, P 4 >, so dass P 3 und P 4 zu κ gehören, während P 1 und P 2Bereich über das Innere Int (κ) des durch κ begrenzten Bereichs der realen Ebene. (P ∈ Int (κ) genau dann, wenn P ein realer Punkt ist und keine reale Tangente an κ durch P verläuft.) Wie oben erwähnt, fixiert die Wahl der Punkte P 1 und P 2 P 3 und P 4, so das Gesagte Das Kreuzverhältnis kann nur als Funktion des ersten Punktepaars angesehen werden, beispielsweise f κ (P 1, P 2). Die Funktion f κ ist eindeutig G κ -invariant. Setze d κ (P 1, P 2) = c log f κ (P 1, P 2)), wobei c eine beliebige Konstante mit reellem Wert ist, die sich von 0 unterscheidet, und log x den Hauptwert des natürlichen Logarithmus von x bezeichnet. Klein konnte zeigen, dass sich d κ genau wie eine Lobachevsksche Distanzfunktion auf Int (κ) verhält. Mit anderen Worten, jeder Satz der Lobachevskschen Geometrie gilt für geeignete Figuren, die aus Punkten von Int (κ) gebildet werden, wenn der Abstand zwischen zwei dieser Punkte durch die Funktion d κ gegeben ist. Betrachten Sie zum Beispiel vier Punkte P 1, P 2, P 3 und P 4 in Int (κ), so dass d κ (P 1, P 2) = d κ (P 2, P 3)) = d & kgr; (P 3, P 4) = d & kgr; (P 4, P 1). Sie sind die Eckpunkte eines Lobachevskschen gleichseitigen Vierecks Q, das höchstens drei rechte Winkel haben kann. In diesem Fall muss der vierte Innenwinkel von Q spitz sein. (Wobei "rechter Winkel" wie üblich einen Winkel bedeutet, der seinem benachbarten Winkel entspricht, und zwei Winkel in Int (κ) als gleich bezeichnet werden, wenn einer durch eine Transformation der Gruppe G κ das Bild des anderen ist).

Wenn κ für eine andere Art von Kegel steht, nicht für eine gewöhnliche reale, verhält sich die durch das obige Verfahren erhaltene Funktion d κ in geeignet definierten Bereichen der Projektionsebene wie eine euklidische Distanzfunktion oder wie die Distanzfunktion der elliptischen Geometrie (dies hängt davon ab über die Natur des Kegels κ). Abhängig davon, ob κ zu der einen oder der anderen von drei Arten von Kegeln gehört, ist die Gruppe von Kollineationen, die κ auf sich selbst abbilden, strukturell identisch mit einer der drei Gruppen von Lobachevskian-, euklidischen oder elliptischen Isometrien. Ähnliche Ergebnisse gelten für den dreidimensionalen Fall, wobei κ eine quadratische Fläche ist.

Kleins Ergebnis veranlasste Bertrand Russell (geb. 1873, gest. 1970) in seinem neokantianischen Buch über die Grundlagen der Geometrie (1897) zu behaupten, dass uns die allgemeine „Form der Äußerlichkeit“a priori in der projektiven Geometrie offenbart wird. aber seine metrische Struktur - die nur Lobachevskian, Euklidisch oder elliptisch sein kann - muss a posteriori durch Experiment bestimmt werden. Henri Poincaré (geb. 1854, gest. 1912) nahm eine radikalere Haltung ein: Wenn Geometrie nichts anderes ist als das Studium einer Gruppe,

man kann sagen, dass die Wahrheit der Geometrie von Euklid nicht mit der Wahrheit der Geometrie von Lobatschewski unvereinbar ist, denn die Existenz einer Gruppe ist nicht unvereinbar mit der einer anderen Gruppe. (Poincaré 1887, S. 290)

Die Anwendung auf die Physik ist unmittelbar: „Unter allen möglichen Gruppen haben wir insbesondere eine ausgewählt, um auf alle physikalischen Phänomene Bezug zu nehmen, genauso wie wir drei Koordinatenachsen wählen, um auf sie eine geometrische Figur zu beziehen“(ebenda). S. 291). Die Wahl dieser bestimmten Gruppe wird durch ihre mathematische Einfachheit motiviert, aber auch durch die Tatsache, dass „in der Natur einige bemerkenswerte Körper existieren, die Festkörper genannt werden, und die Erfahrung zeigt, dass die verschiedenen möglichen Bewegungen dieser Körper stark miteinander zusammenhängen auf die gleiche Weise wie die verschiedenen Operationen der gewählten Gruppe “(ebd.). Diese Bemerkungen von Poincaré signalisierten den Beginn des Konventionalismus in der Wissenschaftsphilosophie und lieferten seine anfängliche Motivation.

Kleins gruppentheoretische Sicht der Geometrie fand bei Mathematikern und Philosophen großen Anklang. Es war ein großer Erfolg, als Minkowski (1909) zeigte, dass der Kern von Einsteins spezieller Relativitätstheorie die (Raumzeit-) Geometrie der Lorentz-Gruppe war, ein wesentliches Ergebnis, das Klein (1911) genoss. Dies impliziert, dass die jüngste Debatte über die Priorität der Minkowski-Chronogeometrie gegenüber der Lorentz-Invarianz oder umgekehrt völlig untätig ist, da diese logisch äquivalent sind und somit tatsächlich zwei Seiten derselben Medaille (wie von Acuña (2016) erläutert). Kleins Erlangen-Programm deckte jedoch nicht die Differentialgeometrie von Riemann (§5) ab, die Einstein (1915, 1916) in den Mittelpunkt seiner allgemeinen Relativitätstheorie stellte.

4. Axiomatik perfektioniert

Nach Aristoteles müssen wissenschaftliche Erkenntnisse (Episteme) in Aussagen ausgedrückt werden, die deduktiv aus einer endlichen Liste selbstverständlicher Aussagen (Axiome) folgen und nur Begriffe verwenden, die aus einer endlichen Liste selbstverständlicher Begriffe (Primitive) definiert sind. Über zwei Jahrtausende wurde allgemein angenommen, dass Aristoteles 'Ideal tatsächlich in Euklids Elementen verwirklicht wird. Tatsächlich gibt es bereits in Euklid I.1 eine logische Lücke (die Lösung dieses Problems beruht auf einer unausgesprochenen Annahme der Kontinuität), und es ist nicht klar, dass Euklid seine Postulate als selbstverständlich ansah (indem er sie nannte). Anfragen 'schlug er vor, dass er es nicht tat). Die Idee, Wissen durch logische Ableitung von unbestreitbaren Prinzipien zu sichern, faszinierte moderne Wissenschaftler wie Galileo und Newton, die beide gern Axiomatik praktizierten.jedenfalls als literarische Form, wie Spinoza in seiner Ethik. Ein wirklich zufriedenstellender und, wenn man so sagen darf, ernsthafter Fall der Axiomatisierung eines Wissenszweigs war jedoch erst 1882 in gedruckter Form verfügbar, als Moritz Pasch (geb. 1843, gest. 1930) seine Lectures on Modern Geometry veröffentlichte.

Pasch betrachtete die Geometrie als eine Naturwissenschaft, deren erfolgreiche Nutzung durch andere Wissenschaften und im praktischen Leben „ausschließlich auf der Tatsache beruht, dass geometrische Konzepte ursprünglich genau mit empirischen Objekten übereinstimmten“(Pasch 1882, S. iii). Die Geometrie unterscheidet sich von anderen Naturwissenschaften dadurch, dass sie nur sehr wenige Konzepte und Gesetze direkt aus der Erfahrung erhält und darauf abzielt, die Gesetze komplexerer Phänomene mit rein deduktiven Mitteln daraus zu gewinnen. Die empirische Grundlage der Geometrie wurde von Pasch in einen Kern grundlegender Konzepte und grundlegender Aussagen oder Axiome eingekapselt. Die Grundkonzepte beziehen sich auf die Form und Größe von Körpern und ihre Positionen relativ zueinander. Sie sind nicht definiert, denn keine Definition könnte die „Ausstellung geeigneter natürlicher Objekte“ersetzen, die der einzige Weg ist, um solch einfache,irreduzible Begriffe (ebenda, S. 16). Alle anderen geometrischen Konzepte müssen letztendlich anhand der Grundkonzepte definiert werden. Die Grundbegriffe sind durch die Axiome miteinander verbunden, die „angeben, was in bestimmten sehr einfachen Diagrammen beobachtet wurde“(S. 43). Alle anderen geometrischen Aussagen müssen aus den Axiomen mit strengsten deduktiven Methoden bewiesen werden. Alles, was benötigt wird, um sie zu beweisen, muss ausnahmslos in den Axiomen festgehalten werden. Diese müssen daher das gesamte empirische Material der Geometrie verkörpern, damit „nach ihrer Festlegung nicht mehr auf Sinneswahrnehmungen zurückgegriffen werden muss“(S. 17). „Jede Schlussfolgerung, die in einem Beweis vorkommt, muss ihre Bestätigung im Diagramm finden, aber sie wird nicht durch das Diagramm gerechtfertigt, sondern durch eine bestimmte frühere Aussage (oder Definition)“(S. 43). Pasch verstand die Implikationen seiner Methode klar. Er schreibt (S. 98):

Wenn Geometrie wirklich deduktiv sein soll, muss der Inferenzprozess in allen seinen Teilen unabhängig von der Bedeutung der geometrischen Konzepte sein, ebenso wie er unabhängig von den Diagrammen sein muss. Alles, was berücksichtigt werden muss, sind die Beziehungen zwischen den geometrischen Konzepten, die in den Aussagen und Definitionen aufgezeichnet sind. Im Zuge des Abzugs ist es sowohl zulässig als auch nützlich, die Bedeutung der darin vorkommenden geometrischen Konzepte zu berücksichtigen, dies ist jedoch überhaupt nicht erforderlich. In der Tat zeigt dies, wenn es tatsächlich notwendig wird, dass es eine Lücke im Beweis gibt und - wenn die Lücke nicht durch Modifikation des Arguments beseitigt werden kann - dass die Prämissen zu schwach sind, um sie zu stützen.

Paschs Vorlesungen über moderne Geometrie befassten sich mit projektiver Geometrie. Die erste Axiomatisierung der euklidischen Geometrie, die Paschs Maßstäben entsprach - Grundlagen der Geometrie von David Hilbert (geb. 1862, gest. 1943) - erschien 1899 und übte einen enormen Einfluss auf die Mathematik und Philosophie des 20. Jahrhunderts aus. Hilbert lädt den Leser ein, drei beliebige Sammlungen von Objekten zu betrachten, die er "Punkte", "gerade Linien" und "Ebenen" nennt, und fünf undefinierte Beziehungen zwischen (i) einem Punkt und einer geraden Linie, (ii) einer geraden Linie und eine Ebene, (iii) drei Punkte, (iv) zwei Punktepaare ("Segmente") und (v) zwei Äquivalenzklassen von Punkttripeln ("Winkel"). Die in Hilbert 's 20 Axiome - einschließlich des in der zweiten Ausgabe hinzugefügten Axioms der Vollständigkeit - reichen aus, um die genannten Objekte und Beziehungen bis zum Isomorphismus zu charakterisieren. Isomorphismus, dh strukturelle Äquivalenz, kann jedoch zwischen verschiedenen, intuitiv unterschiedlichen Objektsystemen bestehen. Hilbert nutzte dieses Merkmal axiomatischer Theorien, um die Unabhängigkeit einiger Axiome von den anderen zu untersuchen. Um dies zu beweisen, schlug er tatsächliche Instanzen (Modelle) der Struktur vor, die durch alle Axiome außer einem bestimmt wurden, plus die Negation des ausgelassenen. Frege beklagte sich darüber, dass die in diesen Übungen beibehaltenen geometrischen Axiome nur durch Manipulation der natürlichen Bedeutung von Wörtern auf Hilberts weit hergeholte Modelle angewendet werden könnten (vgl. Alices Gespräch mit Humpty Dumpty). Hilbert antwortete am 29. Dezember 1899:strukturelle Äquivalenz - kann jedoch zwischen verschiedenen, intuitiv unterschiedlichen Objektsystemen bestehen. Hilbert nutzte dieses Merkmal axiomatischer Theorien, um die Unabhängigkeit einiger Axiome von den anderen zu untersuchen. Um dies zu beweisen, schlug er tatsächliche Instanzen (Modelle) der Struktur vor, die durch alle Axiome außer einem bestimmt wurden, plus die Negation des ausgelassenen. Frege beklagte sich darüber, dass die in diesen Übungen beibehaltenen geometrischen Axiome nur durch Manipulation der natürlichen Bedeutung von Wörtern auf Hilberts weit hergeholte Modelle angewendet werden könnten (vgl. Alices Gespräch mit Humpty Dumpty). Hilbert antwortete am 29. Dezember 1899:strukturelle Äquivalenz - kann jedoch zwischen verschiedenen, intuitiv unterschiedlichen Objektsystemen bestehen. Hilbert nutzte dieses Merkmal axiomatischer Theorien, um die Unabhängigkeit einiger Axiome von den anderen zu untersuchen. Um dies zu beweisen, schlug er tatsächliche Instanzen (Modelle) der Struktur vor, die durch alle Axiome außer einem bestimmt wurden, plus die Negation des ausgelassenen. Frege beklagte sich darüber, dass die in diesen Übungen beibehaltenen geometrischen Axiome nur durch Manipulation der natürlichen Bedeutung von Wörtern auf Hilberts weit hergeholte Modelle angewendet werden könnten (vgl. Alices Gespräch mit Humpty Dumpty). Hilbert antwortete am 29. Dezember 1899:Um dies zu beweisen, schlug er tatsächliche Instanzen (Modelle) der Struktur vor, die durch alle Axiome außer einem bestimmt wurden, plus die Negation des ausgelassenen. Frege beklagte sich darüber, dass die in diesen Übungen beibehaltenen geometrischen Axiome nur durch Manipulation der natürlichen Bedeutung von Wörtern auf Hilberts weit hergeholte Modelle angewendet werden könnten (vgl. Alices Gespräch mit Humpty Dumpty). Hilbert antwortete am 29. Dezember 1899:Um dies zu beweisen, schlug er tatsächliche Instanzen (Modelle) der Struktur vor, die durch alle Axiome außer einem bestimmt wurden, plus die Negation des ausgelassenen. Frege beklagte sich darüber, dass die in diesen Übungen beibehaltenen geometrischen Axiome nur durch Manipulation der natürlichen Bedeutung von Wörtern auf Hilberts weit hergeholte Modelle angewendet werden könnten (vgl. Alices Gespräch mit Humpty Dumpty). Hilbert antwortete am 29. Dezember 1899:

Jede Theorie ist nur ein Gerüst oder Schema von Konzepten zusammen mit ihren notwendigen gegenseitigen Beziehungen, und die Grundelemente können auf jede von Ihnen gewünschte Weise konzipiert werden. Wenn ich für meine Punkte ein System von Dingen nehme, zum Beispiel das System Liebe, Gesetz, Schornsteinfeger, … und ich nehme einfach alle meine Axiome als Beziehungen zwischen diesen Dingen an, meine Theoreme - zum Beispiel das Theorem von Pythagoras - auch Halten Sie diese Dinge. … Dieses Merkmal von Theorien kann niemals ein Mangel sein und ist auf jeden Fall unvermeidlich.

All dies ergibt sich natürlich aus der Natur der Axiomatik, wie in der aus Pasch zitierten Passage erläutert. In der Tat waren solche wahrheitsbewahrenden semantischen Permutationen keine Neuigkeit in der Geometrie, nachdem Gergonne (1771–1859) 1825 auf das folgende Prinzip der Dualität aufmerksam gemacht hatte: Jede wahre Aussage der projektiven Ebenengeometrie führt zu einer anderen, ebenso wahren, doppelten Aussage, die von erhalten wurde Ersetzen Sie "Linie" durch "Punkt", "Gleichzeitig" durch "Kollinear", "Verbinden" durch "Treffen" und umgekehrt, wo immer diese Wörter im ersteren vorkommen. (In der projektiven Raumgeometrie gilt die Dualität für Punkte und Ebenen.) Das gleiche Ergebnis wird natürlich dadurch sichergestellt, dass nicht die Wörter, sondern ihre Bedeutungen ausgetauscht werden.

5. Die Differentialgeometrie von Riemann

In einem Vortrag „Über die Hypothesen, die der Geometrie zugrunde liegen“, der 1854 an der Philosophischen Fakultät in Göttingen gehalten und 1867 posthum veröffentlicht wurde, präsentierte Bernhard Riemann (geb. 1826, gest. 1866) einige radikal innovative Ansichten dazu Angelegenheit. Er stellte fest, dass die messbaren Eigenschaften eines diskreten Verteilers leicht durch Zählen bestimmt werden können. (Denken Sie an die Bevölkerung eines Landes und an den Anteil wiedergeborener Christen oder an Paare, die sich im ersten Jahr ihrer Ehe geschieden haben.) Aber kontinuierliche Mannigfaltigkeiten lassen diesen Ansatz nicht zu. Insbesondere die messbaren Eigenschaften des physikalischen Raums, die Gegenstand der Geometrie sind, hängen von den auf ihn einwirkenden Bindungskräften ab. Der Abstand zwischen zwei Punkten im Raum kann mit einem Stab oder einem Klebeband oder mit optischen Mitteln bestimmt werden.und das Ergebnis hängt im Wesentlichen vom physikalischen Verhalten der verwendeten Instrumente ab. Bisher wurden die messbaren Eigenschaften des Raumes erfolgreich in Übereinstimmung mit der euklidischen Geometrie beschrieben. „Die empirischen Konzepte, auf denen die metrischen Bestimmungen des Raums beruhen - die Konzepte eines starren Körpers und eines Lichtstrahls - verlieren jedoch ihre Gültigkeit im unendlich Kleinen; Es ist daher sehr wahrscheinlich, dass die metrischen Beziehungen des Raums im unendlich Kleinen nicht mit den Annahmen der Geometrie übereinstimmen, und tatsächlich müsste man dies akzeptieren, sobald die Phänomene dadurch auf einfachere Weise erklärt werden können “(Riemann 1854) S. 149). Um die Physiker auf diese Möglichkeit vorzubereiten, schlug Riemann eine allgemeinere Konzeption der Geometrie vor. Riemanns Grundschema berücksichtigt eine viel größere Allgemeinheit, als er tatsächlich anstrebt; aber,Seines Erachtens sollte es vorerst ausreichen, die Geometrie kontinuierlicher Mannigfaltigkeiten so zu charakterisieren, dass sie in einer kleinen Nachbarschaft jedes Punktes optimal mit der euklidischen Geometrie übereinstimmt.

Riemann erweitert die von Gauß (1828) in seiner Untersuchung der intrinsischen Geometrie gekrümmter Oberflächen, die in den euklidischen Raum eingebettet sind, verwendeten Methoden auf n Dimensionen (als "intrinsisch" bezeichnet, da sie die metrischen Eigenschaften beschreibt, die die Oberflächen unabhängig von ihrer Art für sich selbst aufweisen im Raum liegen). Wenn man auf Gauß 'Arbeit zurückblickt, bekommt man ein besseres intuitives Gefühl für Riemanns Konzepte (siehe Torretti 1978, S. 68–82). Aus Gründen der Prägnanz und Übersichtlichkeit ist es jedoch ratsam, nach vorne zu schauen und bestimmte Konzepte zu nutzen, die von späteren Mathematikern eingeführt wurden, als sie versuchten, Riemanns Vorschlag zu verstehen. Betrachten Sie die moderne Formulierung von Riemanns Theorie in der Beilage Eine moderne Formulierung von Riemanns Theorie.

In seiner Untersuchung gekrümmter Oberflächen führte Gauß eine reelle Funktion ein, die Gaußsche Krümmung, die die lokale Abweichung einer Oberfläche von der Ebenheit in Bezug auf die intrinsische Geometrie der Oberfläche misst. Riemann erweiterte dieses Konzept der Krümmung auf Riemannsche n-Mannigfaltigkeiten. Mit seinem erweiterten Krümmungskonzept konnte er die metrischen Mannigfaltigkeiten, in denen sich alle Figuren frei bewegen können, ohne ihre Größe und Form zu verändern, mit großer Eleganz charakterisieren. Sie sind die Riemannschen Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung. Diese Idee kann gut mit Kleins Klassifizierung metrischer Geometrien kombiniert werden. Als riemannsche 3-Mannigfaltigkeiten betrachtet, weist der euklidische Raum eine konstante Krümmung von Null auf, der Lobachevskian-Raum eine konstante negative Krümmung und der elliptische Raum eine konstante positive Krümmung. Gemäß dem Erlangen-Programm,Jede dieser Geometrien konstanter Krümmung ist durch eine eigene Gruppe von Isometrien gekennzeichnet. Kleins Konzeption ist jedoch zu eng, um alle Riemannschen Geometrien zu erfassen, zu denen Räume mit variabler Krümmung gehören. In der Tat ist im allgemeinen Fall die Gruppe der Isometrien einer Riemannschen n-Mannigfaltigkeit die triviale Gruppe, die nur aus der Identität besteht, deren Struktur überhaupt keine Informationen über die jeweilige Geometrie liefert.

6. Lügengruppen

Für einen Philosophen war das befriedigendste Merkmal der enormen Komplikation, die die Mathematik des 19. Jahrhunderts erreichte, vielleicht die Schnelligkeit, mit der die neu geschaffenen (oder entdeckten?) Mathematischen Strukturen ihren Weg in die empirische Wissenschaft fanden und das intellektuelle Erfassen und Behandeln tatsächlicher Phänomene ermöglichten. Wir werden diese Untersuchung der Geometrie des 19. Jahrhunderts mit ein paar leichten Bemerkungen zu einer besonders reichen und fruchtbaren Struktur abschließen, die in der gegenwärtigen Physik einen hohen Stellenwert hat, nämlich zu Lie-Gruppen, die nach Sophus Lie (1842–1899), dem Norweger, benannt wurden Mathematiker, der sie nach 1870 eingehend studierte. Eine Lie-Gruppe ist natürlich eine Gruppe im algebraischen Sinne, die wir in §3 getroffen haben, dh eine Menge G, so dass (i) jedes geordnete Paar <x, y> ∈ G. ist einem eindeutigen Element x · y ∈ G zugeordnet (bekannt als Produkt oder Summe von x und y);(ii) die Produktoperation ist assoziativ, dh (x · y) · z = x · (y · z) für jedes x, y, z ∈ G; (iii) es gibt ein und nur ein Element 0 ∈ G, so dass für jedes x ∈ G x · 0 = 0 · x = x (0 ist die Identität oder das neutrale Element von G); (iv) Für jedes x ∈ G gibt es ein und nur ein Element x−1 ∈ G, so dass x · x −1 = 0 ist (x −1 ist als Inverse von x bekannt). Eine Lie-Gruppe ist aber auch eine glatte Mannigfaltigkeit, wie in der Beilage Eine moderne Formulierung von Riemanns Theorie beschrieben: Die Menge G kann durch Systeme von reellen (oder alternativ komplexwertigen) Koordinaten, die durch gut definierte miteinander verbunden sind, fleckweise dargestellt werden differenzierbare Koordinatentransformationen, wo immer sich ihre jeweiligen Patches überlappen. Die Gruppen- und Mannigfaltigkeitsstrukturen von G sind durch die Bedingung miteinander verzahnt, dass die Produktoperation eine differenzierbare Abbildung von G × G in G ist.

Ein einfaches, aber wichtiges Beispiel für eine Lie-Gruppe ist die Gruppe SO (2), die durch die Drehung der Ebene um einen beliebigen Fixpunkt instanziiert wird. Der Verteiler ist topologisch kompakt und kann daher nicht von einem einzigen Koordinatenfeld abgedeckt werden, aber drei reichen aus: eines umfasst beispielsweise alle Drehungen gegen den Uhrzeigersinn um mehr als drei Bogenmaß und weniger als vier, die natürlich anhand der reellen Zahlen in der Koordinate koordiniert werden können offenes Intervall (3,4); ein weiteres Patch, das die Umkehrungen des ersteren umfasst, die auf das offene Intervall (–4, –3) abgebildet werden können, und ein drittes, das alle Umdrehungen gegen den Uhrzeigersinn um weniger als zwei rechte Winkel abdeckt, sowie deren Umkehrungen im Uhrzeigersinn, die auf das Intervall abgebildet werden können offenes Intervall (−π, π). In der Tat sind alle Gruppen, denen wir in §3 begegnet sind,Klein verwendete zur Charakterisierung der euklidischen Geometrie des Raumes und der klassischen nichteuklidischen Geometrien Lie-Gruppen, und ihre jeweiligen glatten vielfältigen Strukturen lassen topologische Macken zu. Somit bilden die euklidischen Isometrien eine getrennte Mannigfaltigkeit, wobei die Spiegelreflexion nicht in derselben Komponente wie die Untergruppe der euklidischen Bewegungen enthalten ist.

Wie alle glatten Mannigfaltigkeiten hat eine Lie-Gruppe G einen Tangentenvektorraum, der an jedes Element angehängt ist. Insbesondere wird der Tangentenraum am neutralen Element 0 von G zur Lie-Algebra von G durch die Definition der sogenannten Lie-Klammer, einer bilinearen Abbildung von T 0 G × T 0 G in T 0 G, die für alle gilt u, v, w in T 0 G erfüllt die Bedingung [u, u] = 0 und die Jacobi-Identität: [u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0. Die Lie-Algebra von G wirft viel Licht auf die Struktur von G durch die homöomorphe ("exponentielle") Abbildung einer Nachbarschaft von 0 ∈ T 0 G in eine Nachbarschaft von 0 ∈ G.

In der Beilage Eine moderne Formulierung von Riemanns Theorie berühren wir die Idee eines Faserbündels, das aus zwei glatten Verteilern F und M besteht, die durch eine „Projektion“verbunden sind, die π von F auf M abbildet und den Verteiler F in „Fasern“unterteilt”, Durch π auf die verschiedenen Punkte von M abgebildet. Ein Faserbündel <F, M, π> wird zu einem Hauptfaserbündel <F, M, π, G>, wenn eine Lie-Gruppe G, die als Strukturgruppe des Bündels bekannt ist, so auf F einwirkt, dass jede Faser von F ist Eine Umlaufbahn der Aktion und einige andere Bedingungen sind erfüllt. Zum Beispiel ist die Lorentz-Gruppe die Strukturgruppe des Hauptfaserbündels von Tetraden (orthonormale 4-Tupel von Tangentenvektoren an jedem Punkt) in jeder relativistischen Raumzeit, egal wie bizarr. Auf diese WeiseLügengruppen bieten ein Mittel, um die vielen Modelle, die eine physikalische Theorie zulässt, zu vereinheitlichen und ein gewisses Maß an Homogenität zwischen ihnen einzuführen.

Im letzten Drittel des 20. Jahrhunderts haben Faserbündel und ihre Lie-Gruppen die grundlegende Physik praktisch übernommen. Dies ist nicht der Ort, um zu erklären, wie oder warum, aber die unaufhaltsame Entwicklung der Physik hin zu immer mathematisch anspruchsvolleren, auf den ersten Blick weniger einfachen Darstellungen ihres Gegenstands verdient die Aufmerksamkeit der Philosophen. Es ist klar, dass das Konzept einer bestimmten stabilen Sache da draußen, die zumindest im Prinzip gehalten und manipuliert werden könnte, für uns nicht mehr so nützlich ist wie früher für unsere Vorfahren, die Feuerstein schnitzen.

Literaturverzeichnis

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