Hilberts Programm

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Erstveröffentlichung Do 31. Juli 2003; inhaltliche Überarbeitung Fr 24. Mai 2019

In den frühen 1920er Jahren legte der deutsche Mathematiker David Hilbert (1862–1943) einen neuen Vorschlag zur Gründung der klassischen Mathematik vor, der als Hilbert-Programm bekannt wurde. Es fordert eine Formalisierung der gesamten Mathematik in axiomatischer Form sowie einen Beweis dafür, dass diese Axiomatisierung der Mathematik konsistent ist. Der Konsistenznachweis selbst sollte nur mit den von Hilbert als "endlichen" bezeichneten Methoden durchgeführt werden. Der besondere erkenntnistheoretische Charakter des endlichen Denkens liefert dann die erforderliche Rechtfertigung der klassischen Mathematik. Obwohl Hilbert sein Programm erst 1921 in dieser Form vorschlug, wurzeln verschiedene Facetten in der grundlegenden Arbeit seiner Zeit bis um 1900, als er erstmals auf die Notwendigkeit hinwies, einen direkten Konsistenznachweis für die Analyse zu erbringen. Die Arbeit an dem Programm wurde in den 1920er Jahren mit Beiträgen von Logikern wie Paul Bernays, Wilhelm Ackermann, John von Neumann und Jacques Herbrand erheblich vorangetrieben. Es war auch ein großer Einfluss auf Kurt Gödel, dessen Arbeit an den Unvollständigkeitssätzen durch Hilberts Programm motiviert war. Gödels Arbeit soll allgemein zeigen, dass Hilberts Programm nicht durchgeführt werden kann. Es hat dennoch weiterhin eine einflussreiche Position in der Philosophie der Mathematik gespielt, und seit der Arbeit von Gerhard Gentzen in den 1930er Jahren war die Arbeit an sogenannten relativierten Hilbert-Programmen von zentraler Bedeutung für die Entwicklung der Beweistheorie.deren Arbeit an den Unvollständigkeitssätzen durch Hilberts Programm motiviert war. Gödels Arbeit soll allgemein zeigen, dass Hilberts Programm nicht durchgeführt werden kann. Es hat dennoch weiterhin eine einflussreiche Position in der Philosophie der Mathematik gespielt, und seit der Arbeit von Gerhard Gentzen in den 1930er Jahren war die Arbeit an sogenannten relativierten Hilbert-Programmen von zentraler Bedeutung für die Entwicklung der Beweistheorie.deren Arbeit an den Unvollständigkeitssätzen durch Hilberts Programm motiviert war. Gödels Arbeit soll allgemein zeigen, dass Hilberts Programm nicht durchgeführt werden kann. Es hat dennoch weiterhin eine einflussreiche Position in der Philosophie der Mathematik gespielt, und seit der Arbeit von Gerhard Gentzen in den 1930er Jahren war die Arbeit an sogenannten relativierten Hilbert-Programmen von zentraler Bedeutung für die Entwicklung der Beweistheorie.

1. Historische Entwicklung von Hilberts Programm
- 1.1 Frühe Arbeiten an Stiftungen
- 1.2 Der Einfluss von Principia Mathematica
- 1.3 Finitismus und das Streben nach Konsistenznachweisen
- 1.4 Die Auswirkungen von Gödels Unvollständigkeitssätzen
2. Der finanzielle Standpunkt
- 2.1 Endobjekte und finitistische Erkenntnistheorie
- 2.2 Endlich bedeutungsvolle Sätze und finitäres Denken
- 2.3 Finanzielle Operationen und finanzielle Beweise
3. Formalismus, Reduktionismus und Instrumentalismus
4. Hilberts Programm und Gödels Unvollständigkeitssätze
5. Überarbeitete Hilbert-Programme
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1. Historische Entwicklung von Hilberts Programm

1.1 Frühe Arbeiten an Stiftungen

Hilberts Arbeit über die Grundlagen der Mathematik hat ihre Wurzeln in seiner Arbeit über die Geometrie der 1890er Jahre, die in seinem einflussreichen Lehrbuch Foundations of Geometry (1899) gipfelt (siehe Geometrie des 19. Jahrhunderts). Hilbert glaubte, dass der richtige Weg, ein wissenschaftliches Thema konsequent zu entwickeln, einen axiomatischen Ansatz erforderte. Durch die Bereitstellung einer axiomatischen Behandlung würde die Theorie unabhängig von Intuitionsbedürfnissen entwickelt und eine Analyse der logischen Beziehungen zwischen den Grundkonzepten und den Axiomen erleichtert. Von grundlegender Bedeutung für eine axiomatische Behandlung ist, so Hilbert, die Untersuchung der Unabhängigkeit und vor allem der Konsistenz der Axiome. Für die Axiome der Geometrie kann die Konsistenz nachgewiesen werden, indem eine Interpretation des Systems in der realen Ebene und damitDie Konsistenz der Geometrie wird auf die Konsistenz der Analyse reduziert. Die Grundlage der Analyse selbst erfordert natürlich eine Axiomatisierung und einen Konsistenznachweis. Hilbert lieferte eine solche Axiomatisierung in (1900b), aber es wurde sehr schnell klar, dass die Konsistenz der Analyse mit erheblichen Schwierigkeiten konfrontiert war, insbesondere weil die bevorzugte Art, eine Grundlage für die Analyse in Dedekinds Arbeit zu schaffen, auf zweifelhaften Annahmen beruhte, die denen ähnelten, die dazu führten zu den Paradoxien der Mengenlehre und Russells Paradoxon in Freges Arithmetikgrundlage.insbesondere, weil die bevorzugte Art, eine Grundlage für die Analyse in Dedekinds Arbeit zu schaffen, auf zweifelhaften Annahmen beruhte, die denen ähnelten, die zu den Paradoxien der Mengenlehre und Russells Paradoxon in Freges Grundlage der Arithmetik führten.insbesondere, weil die bevorzugte Art, eine Grundlage für die Analyse in Dedekinds Arbeit zu schaffen, auf zweifelhaften Annahmen beruhte, die denen ähnelten, die zu den Paradoxien der Mengenlehre und Russells Paradoxon in Freges Grundlage der Arithmetik führten.

Hilbert erkannte somit, dass ein direkter Konsistenznachweis der Analyse erforderlich war, dh einer, der nicht auf einer Reduktion auf eine andere Theorie beruhte. In seiner Ansprache an den Internationalen Mathematikerkongress 1900 (1900a) schlug er das Problem vor, einen solchen Beweis als zweites seiner 23 mathematischen Probleme zu finden, und präsentierte in seinem Heidelberger Vortrag (1905) eine Skizze eines solchen Beweises. Mehrere Faktoren verzögerten die Weiterentwicklung des Hilbert-Grundprogramms. Eine davon war vielleicht die Kritik an Poincaré (1906) gegen das, was er als bösartig zirkuläre Verwendung der Induktion in Hilberts skizziertem Konsistenznachweis ansah (siehe Steiner 1975, Anhang). Hilbert erkannte auch, dass axiomatische Untersuchungen einen gut ausgearbeiteten logischen Formalismus erforderten. Zu dieser Zeit stützte er sich auf eine Logikkonzeption, die auf der algebraischen Tradition beruhte, insbesondere auf Schröders Werk.was als Formalismus für die Axiomatisierung der Mathematik nicht besonders geeignet war. (Siehe Peckhaus 1990 zur frühen Entwicklung von Hilberts Programm.)

1.2 Der Einfluss von Principia Mathematica

Die Veröffentlichung von Principia Mathematica von Russell und Whitehead lieferte die erforderliche logische Grundlage für einen erneuten Angriff auf grundlegende Fragen. Ab 1914 studierten Hilberts Schüler Heinrich Behmann und andere das System der Principia (siehe Mancosu 1999 zu Behmanns Rolle in Hilberts Schule). Hilbert selbst kehrte 1917 zur Arbeit an grundlegenden Fragen zurück. Im September 1917 hielt er eine Ansprache an die Schweizerische Mathematische Gesellschaft mit dem Titel „Axiomatisches Denken“(1918a). Es ist sein erster veröffentlichter Beitrag zu mathematischen Grundlagen seit 1905. Darin betont er erneut die Forderung nach Konsistenzbeweisen für axiomatische Systeme: „Die Hauptanforderung der Axiomentheorie muss weiter gehen [als nur bekannte Paradoxien zu vermeiden], nämlichzu zeigen, dass in jedem Wissensbereich Widersprüche, die auf dem zugrunde liegenden Axiomensystem beruhen, absolut unmöglich sind. “Er stellt den Beweis für die Konsistenz der Arithmetik (und der Mengenlehre) erneut als die wichtigsten offenen Probleme. In beiden Fällen scheint nichts grundlegenderes verfügbar zu sein, auf das die Konsistenz reduziert werden könnte, als die Logik selbst. Und Hilbert glaubte dann, dass das Problem im Wesentlichen durch Russells Arbeit in Principia gelöst worden war. Dennoch blieben andere grundlegende Probleme der Axiomatik ungelöst, einschließlich des Problems der „Entscheidbarkeit jeder mathematischen Frage“, das auch auf Hilberts Ansprache von 1900 zurückgeht. Es scheint nichts grundlegenderes zu geben, auf das die Konsistenz reduziert werden könnte, als die Logik selbst. Und Hilbert glaubte dann, dass das Problem im Wesentlichen durch Russells Arbeit in Principia gelöst worden war. Dennoch blieben andere grundlegende Probleme der Axiomatik ungelöst, einschließlich des Problems der „Entscheidbarkeit jeder mathematischen Frage“, das auch auf Hilberts Ansprache von 1900 zurückgeht. Es scheint nichts grundlegenderes zu geben, auf das die Konsistenz reduziert werden könnte, als die Logik selbst. Und Hilbert glaubte dann, dass das Problem im Wesentlichen durch Russells Arbeit in Principia gelöst worden war. Dennoch blieben andere grundlegende Probleme der Axiomatik ungelöst, einschließlich des Problems der „Entscheidbarkeit jeder mathematischen Frage“, das auch auf Hilberts Ansprache von 1900 zurückgeht.

Diese ungelösten Probleme der Axiomatik veranlassten Hilbert, in den folgenden Jahren erhebliche Anstrengungen zu unternehmen, um an der Logik zu arbeiten. 1917 trat Paul Bernays als sein Assistent nach Göttingen. In einer Reihe von Kursen von 1917 bis 1921 leistete Hilbert mit Unterstützung von Bernays und Behmann bedeutende neue Beiträge zur formalen Logik. Insbesondere der Kurs von 1917 (Hilbert, 1918b) enthält eine ausgefeilte Entwicklung der Logik erster Ordnung und bildet die Grundlage für Hilberts und Ackermanns Lehrbuch Principles of Theoretical Logic (1928) (siehe Ewald und Sieg 2013, Sieg 1999 und Zach 1999, 2003).

1.3 Finitismus und das Streben nach Konsistenznachweisen

In den nächsten Jahren lehnte Hilbert jedoch Russells logistische Lösung des Konsistenzproblems für die Arithmetik ab. Gleichzeitig gewann Brouwers intuitionistische Mathematik an Aktualität. Insbesondere Hilberts ehemaliger Schüler Hermann Weyl konvertierte zum Intuitionismus. Weyls Aufsatz „Die neue Grundkrise in der Mathematik“(1921) wurde von Hilbert im Sommer 1921 in drei Gesprächen in Hamburg beantwortet (1922b). Hier präsentierte Hilbert seinen eigenen Vorschlag zur Lösung des Problems der Grundlagen der Mathematik. Dieser Vorschlag bezog Hilberts Ideen aus dem Jahr 1904 in Bezug auf direkte Konsistenzbeweise, seine Konzeption axiomatischer Systeme und auch die technischen Entwicklungen bei der Axiomatisierung der Mathematik in der Arbeit von Russell sowie die von ihm und seinen Mitarbeitern durchgeführten Weiterentwicklungen ein. Neu war die Art und Weise, wie Hilbert seinem Konsistenzprojekt die philosophische Bedeutung verleihen wollte, die zur Beantwortung der Kritik von Brouwer und Weyl erforderlich ist: die endgültige Sichtweise.

Hilbert zufolge gibt es einen privilegierten Teil der Mathematik, die inhaltliche Elementarzahlentheorie, die nur auf einer „rein intuitiven Basis konkreter Zeichen“beruht. Während das Arbeiten mit abstrakten Konzepten als „unzureichend und unsicher“angesehen wurde, gibt es einen Bereich von

außerlogische diskrete Objekte, die intuitiv als unmittelbare Erfahrung vor allen Gedanken existieren. Wenn eine logische Folgerung sicher sein soll, müssen diese Objekte in all ihren Teilen vollständig vermessen werden können, und ihre Darstellung, ihr Unterschied, ihre Abfolge (wie die Objekte selbst) müssen für uns sofort und intuitiv als etwas existieren, was nicht möglich ist auf etwas anderes reduziert werden. (Hilbert 1922b, 202; die Passage wird in Hilbert 1926, 376, Hilbert 1928, 464 und Hilbert 1931b, 267 fast wörtlich wiederholt)

Diese Objekte waren für Hilbert Zeichen. Der Bereich der inhaltlichen Zahlentheorie besteht aus den Endzahlen, dh den Folgen von Strichen. Diese haben keine Bedeutung, dh sie stehen nicht für abstrakte Objekte, sondern können bearbeitet (z. B. verkettet) und verglichen werden. Die Kenntnis ihrer Eigenschaften und Beziehungen ist intuitiv und wird durch logische Folgerungen nicht vermittelt. Die so entwickelte inhaltliche Zahlentheorie ist laut Hilbert sicher: Es können keine Widersprüche entstehen, nur weil die Sätze der inhaltlichen Zahlentheorie keine logische Struktur haben.

Die intuitiv-inhaltlichen Operationen mit Zeichen bilden die Grundlage von Hilberts Metamathematik. So wie die inhaltliche Zahlentheorie mit Strichfolgen arbeitet, so arbeitet die Metamathematik mit Symbolfolgen (Formeln, Beweisen). Formeln und Beweise können syntaktisch manipuliert werden, und die Eigenschaften und Beziehungen von Formeln und Beweisen basieren auf einer logikfreien intuitiven Fähigkeit, die die Gewissheit des Wissens über Formeln und Beweise garantiert, zu denen solche syntaktischen Operationen gelangen. Die Mathematik selbst arbeitet jedoch mit abstrakten Konzepten, z. B. Quantifizierern, Mengen, Funktionen, und verwendet logische Inferenz, die auf Prinzipien wie der mathematischen Induktion oder dem Prinzip der ausgeschlossenen Mitte basiert. Diese „Konzeptbildungen“und Argumentationsweisen wurden von Brouwer und anderen mit der Begründung kritisiert, dass sie unendliche Gesamtheiten als gegeben voraussetzen oder dass sie improvisatorische Definitionen beinhalten (die von den Kritikern als bösartig zirkulär angesehen wurden). Hilberts Ziel war es, ihre Verwendung zu rechtfertigen. Zu diesem Zweck wies er darauf hin, dass sie in axiomatischen Systemen (wie dem von Principia oder den von Hilbert selbst entwickelten) formalisiert werden können und mathematische Sätze und Beweise daher nach streng umschriebenen Ableitungsregeln zu Formeln und Ableitungen von Axiomen werden. Die Mathematik, so Hilbert, "wird zu einem Inventar nachweisbarer Formeln." Auf diese Weise werden die Beweise der Mathematik einer metamathematischen, inhaltlichen Untersuchung unterzogen. Das Ziel von Hilberts Programm ist es dann, eine inhaltliche,metamathematischer Beweis, dass es keine Ableitung eines Widerspruchs geben kann, dh keine formalen Ableitungen einer Formel (A) und ihrer Negation (neg A).

Diese Skizze der Programmziele wurde von Hilbert und seinen Mitarbeitern in den folgenden 10 Jahren ausgearbeitet. Auf der konzeptionellen Seite wurden der endliche Standpunkt und die Strategie für einen Konsistenznachweis von Hilbert (1928) ausgearbeitet; Hilbert (1923); Hilbert (1926) und Bernays (1928b); Bernays (1922); Bernays (1930), von dem Hilberts Artikel „On the infinite“(1926) die detaillierteste Ausarbeitung des Endstandpunkts liefert. Neben Hilbert und Bernays waren eine Reihe weiterer Personen an der technischen Arbeit an dem Programm beteiligt. In Vorlesungen in Göttingen (Hilbert und Bernays, 1923; Hilbert, 1922a) entwickelten Hilbert und Bernays den (varepsilon) - Kalkül als ihren endgültigen Formalismus für Axiomensysteme für Arithmetik und Analyse. Dort stellte Hilbert auch seinen Ansatz vor, Konsistenznachweise mit seiner sogenannten (varepsilon) - Substitutionsmethode zu liefern. Ackermann (1924) versuchte, Hilberts Idee auf ein Analysesystem auszudehnen. Der Beweis war jedoch falsch (siehe Zach 2003). John von Neumann, der damals Göttingen besuchte, gab 1925 (korrigiert 1927) einen korrigierten Konsistenznachweis für ein System des (varepsilon) - Formalismus (der jedoch das Induktionsaxiom nicht enthielt). Aufbauend auf von Neumanns Arbeit entwickelte Ackermann ein neues (varepsilon) - Substitutionsverfahren, das er Bernays mitteilte (siehe Bernays 1928b). In seiner Ansprache „Probleme der Begründung der Mathematik“an den Internationalen Mathematikerkongress in Bologna 1928 (1929)Hilbert behauptete optimistisch, dass die Arbeit von Ackermann und von Neumann die Konsistenz der Zahlentheorie festgestellt habe und dass der Beweis für die Analyse bereits von Ackermann erbracht worden sei, „insofern die einzige verbleibende Aufgabe darin besteht, einen elementaren Endlichkeitssatz zu beweisen, dass ist rein arithmetisch. “

1.4 Die Auswirkungen von Gödels Unvollständigkeitssätzen

Gödels Unvollständigkeitssätze zeigten, dass Hilberts Optimismus unangemessen war. Im September 1930 kündigte Kurt Gödel auf einer Konferenz in Königsberg seinen ersten Unvollständigkeitssatz an. Von Neumann, der im Publikum war, erkannte sofort die Bedeutung von Gödels Ergebnis für Hilberts Programm. Kurz nach der Konferenz schrieb er an Gödel und teilte ihm mit, dass er eine Folge von Gödels Ergebnis gefunden habe. Gödel hatte das gleiche Ergebnis bereits unabhängig gefunden: Der zweite Unvollständigkeitssatz, in dem behauptet wurde, das System von Principia beweise nicht die Formalisierung der Behauptung, dass das System von Principia konsistent sei (sofern dies der Fall ist). Es wurde jedoch angenommen, dass alle bis dahin in den Konsistenznachweisen verwendeten Methoden des finitären Denkens in Principia formalisierbar sind. Daher,Wenn die Konsistenz von Principia durch die in Ackermanns Beweisen verwendeten Methoden nachgewiesen werden konnte, sollte es möglich sein, diesen Beweis in Principia zu formalisieren. aber das ist es, was der zweite Unvollständigkeitssatz unmöglich macht. Bernays erkannte auch die Bedeutung von Gödels Ergebnissen unmittelbar nach dem Studium von Gödels Arbeit im Januar 1931 und schrieb an Gödel, dass (unter der Annahme, dass das finitäre Denken in Principia formalisiert werden kann) der Unvollständigkeitssatz zeigt, dass ein Beweis der finitären Konsistenz von Principia unmöglich ist. Kurz danach zeigte von Neumann, dass Ackermanns Konsistenznachweis fehlerhaft ist, und lieferte ein Gegenbeispiel zum vorgeschlagenen (varepsilon) - Substitutionsverfahren (siehe Zach 2003).aber das ist es, was der zweite Unvollständigkeitssatz unmöglich macht. Bernays erkannte auch die Bedeutung von Gödels Ergebnissen unmittelbar nach dem Studium von Gödels Arbeit im Januar 1931 und schrieb an Gödel, dass (unter der Annahme, dass das finitäre Denken in Principia formalisiert werden kann) der Unvollständigkeitssatz zeigt, dass ein Beweis der finitären Konsistenz von Principia unmöglich ist. Kurz danach zeigte von Neumann, dass Ackermanns Konsistenznachweis fehlerhaft ist, und lieferte ein Gegenbeispiel zum vorgeschlagenen (varepsilon) - Substitutionsverfahren (siehe Zach 2003).aber das ist es, was der zweite Unvollständigkeitssatz unmöglich macht. Bernays erkannte auch die Bedeutung von Gödels Ergebnissen unmittelbar nach dem Studium von Gödels Arbeit im Januar 1931 und schrieb an Gödel, dass (unter der Annahme, dass das finitäre Denken in Principia formalisiert werden kann) der Unvollständigkeitssatz zeigt, dass ein Beweis der finitären Konsistenz von Principia unmöglich ist. Kurz danach zeigte von Neumann, dass Ackermanns Konsistenznachweis fehlerhaft ist, und lieferte ein Gegenbeispiel zum vorgeschlagenen (varepsilon) - Substitutionsverfahren (siehe Zach 2003). Schreiben an Gödel, dass (unter der Annahme, dass das finitäre Denken in Principia formalisiert werden kann) der Unvollständigkeitssatz zeigt, dass ein finitärer Konsistenznachweis von Principia unmöglich ist. Kurz danach zeigte von Neumann, dass Ackermanns Konsistenznachweis fehlerhaft ist, und lieferte ein Gegenbeispiel zum vorgeschlagenen (varepsilon) - Substitutionsverfahren (siehe Zach 2003). Schreiben an Gödel, dass (unter der Annahme, dass das finitäre Denken in Principia formalisiert werden kann) der Unvollständigkeitssatz zeigt, dass ein finitärer Konsistenznachweis von Principia unmöglich ist. Kurz danach zeigte von Neumann, dass Ackermanns Konsistenznachweis fehlerhaft ist, und lieferte ein Gegenbeispiel zum vorgeschlagenen (varepsilon) - Substitutionsverfahren (siehe Zach 2003).

In (1936) veröffentlichte Gentzen einen Konsistenznachweis der Peano-Arithmetik erster Ordnung ((PA)). Wie Gödel gezeigt hatte, verwendete Gentzens Beweis Methoden, die in (PA) selbst nicht formalisiert werden konnten, nämlich die transfinite Induktion entlang der Ordnungszahl (varepsilon_0). Gentzens Arbeit markiert den Beginn der postgödelschen Beweistheorie und der Arbeit an relativierten Hilbert-Programmen. Die Beweistheorie in der Tradition von Gentzen hat axiomatische Systeme dahingehend analysiert, welche Erweiterungen des endlichen Standpunkts notwendig sind, um ihre Konsistenz zu beweisen. Normalerweise wurde die Konsistenzstärke von Systemen durch die beweistheoretische Ordnungszahl des Systems gemessen, dh die ordinale transfinite Induktion, entlang derer die Konsistenz ausreicht. Im Fall von (PA) ist diese Ordnungszahl (varepsilon_0). (Zur weiteren Diskussion,siehe den Eintrag zur Entwicklung der Beweistheorie.)

2. Der finanzielle Standpunkt

Der Eckpfeiler von Hilberts Philosophie der Mathematik und der wesentlich neue Aspekt seines Grundgedankens ab 1922b bestand in dem, was er den endgültigen Standpunkt nannte. Dieser methodologische Standpunkt besteht in einer Beschränkung des mathematischen Denkens auf jene Objekte, die "intuitiv als unmittelbare Erfahrung vor allen Gedanken vorhanden sind", und auf jene Operationen und Argumentationsmethoden über solche Objekte, die keine Einführung abstrakter Konzepte erfordern insbesondere ohne Berufung auf abgeschlossene unendliche Gesamtheiten.

Es gibt mehrere grundlegende und miteinander verbundene Probleme beim Verständnis von Hilberts finanziellem Standpunkt:

Was sind die Ziele des finitären Denkens?
Was sind die endlich bedeutungsvollen Sätze?
Was sind die endlich akzeptablen Konstruktions- und Argumentationsmethoden?

2.1 Endobjekte und finitistische Erkenntnistheorie

Hilbert charakterisierte den Bereich des finitären Denkens in einem bekannten Absatz, der in allen philosophischeren Arbeiten von Hilbert aus den 1920er Jahren (1931b; 1922b; 1928; 1926) in ungefähr derselben Formulierung erscheint:

[A] Als Bedingung für die Verwendung logischer Schlussfolgerungen und die Durchführung logischer Operationen muss unserer Repräsentationsfähigkeit bereits etwas gegeben werden, bestimmte extralogische konkrete Objekte, die intuitiv als unmittelbare Erfahrung vor allen Gedanken vorhanden sind. Wenn eine logische Folgerung zuverlässig sein soll, muss es möglich sein, diese Objekte in allen ihren Teilen vollständig zu erfassen, und die Tatsache, dass sie auftreten, dass sie sich voneinander unterscheiden und dass sie aufeinander folgen oder verkettet sind, wird sofort gegeben intuitiv zusammen mit den Objekten als etwas, das weder auf etwas anderes reduziert werden kann noch reduziert werden muss. Dies ist die grundlegende philosophische Position, die ich für die Mathematik und allgemein für alles wissenschaftliche Denken, Verstehen und Kommunizieren als erforderlich erachte. (Hilbert, 1926, 376)

Diese Objekte sind für Hilbert die Zeichen. Für den Bereich der inhaltlichen Zahlentheorie sind die fraglichen Zeichen Ziffern wie

1, 11, 111, 11111

Die Frage, wie genau Hilbert die Ziffern verstanden hat, ist schwer zu beantworten. Sie sind keine physischen Objekte (z. B. tatsächliche Striche auf Papier), da es immer möglich sein muss, eine Ziffer durch Hinzufügen eines weiteren Strichs zu erweitern (und wie Hilbert auch in „On the Infinite“(1926) argumentiert, ist dies zweifelhaft das physikalische Universum ist unendlich). Nach Hilbert (1922b, 202) kann „ihre Form von uns allgemein und sicher erkannt werden - unabhängig von Raum und Zeit, von den besonderen Bedingungen für die Herstellung des Zeichens und von den unbedeutenden Unterschieden im Endprodukt.“Sie sind keine mentalen Konstruktionen, da ihre Eigenschaften objektiv sind, ihre Existenz jedoch von ihrer intuitiven Konstruktion abhängt (siehe Bernays 1923, 226). Was auf jeden Fall klar ist, ist, dass sie logisch primitiv sind, dhSie sind weder Konzepte (wie Freges Zahlen) noch Mengen. Was hier wichtig ist, ist nicht primär ihr metaphysischer Status (abstrakt versus konkret im gegenwärtigen Sinne dieser Begriffe), sondern dass sie keine logischen Beziehungen eingehen, z. B. können sie von nichts vorhergesagt werden. In Bernays ausgereiftesten Darstellungen des Finitismus (Hilbert und Bernays, 1939; Bernays, 1930) werden die Objekte des Finitismus als formale Objekte charakterisiert, die durch einen Wiederholungsprozess rekursiv erzeugt werden; Die Strichsymbole sind dann konkrete Darstellungen dieser formalen Objekte. In Bernays ausgereiftesten Darstellungen des Finitismus (Hilbert und Bernays, 1939; Bernays, 1930) werden die Objekte des Finitismus als formale Objekte charakterisiert, die durch einen Wiederholungsprozess rekursiv erzeugt werden; Die Strichsymbole sind dann konkrete Darstellungen dieser formalen Objekte. In Bernays ausgereiftesten Darstellungen des Finitismus (Hilbert und Bernays, 1939; Bernays, 1930) werden die Objekte des Finitismus als formale Objekte charakterisiert, die durch einen Wiederholungsprozess rekursiv erzeugt werden; Die Strichsymbole sind dann konkrete Darstellungen dieser formalen Objekte.

Ebenso schwierig ist die Frage, was Hilbert für den erkenntnistheoretischen Status der Objekte des Finitismus hielt. Um die Aufgabe zu erfüllen, eine sichere Grundlage für die infinitistische Mathematik zu schaffen, muss der Zugang zu Endobjekten unmittelbar und sicher sein. Hilberts philosophischer Hintergrund war weitgehend kantisch, ebenso wie der von Bernays, der eng mit der neokantianischen Philosophieschule um Leonard Nelson in Göttingen verbunden war. Hilberts Charakterisierung des Finitismus bezieht sich oft auf die kantische Intuition und die Objekte des Finitismus als intuitiv gegebene Objekte. In der Tat ist in Kants Erkenntnistheorie die Unmittelbarkeit ein bestimmendes Merkmal des intuitiven Wissens. Die Frage ist, welche Art von Intuition spielt eine Rolle? Mancosu (1998b) identifiziert eine Verschiebung in dieser Hinsicht. Er argumentiert, dass die Intuition in Hilberts frühen Arbeiten zwar eine Art Wahrnehmungsintuition war, in späteren Schriften (z. B. Bernays 1928a) jedoch als eine Form der reinen Intuition im kantischen Sinne identifiziert wird. Etwa zur gleichen Zeit identifiziert Hilbert (1928, 469) die Art der Intuition, die im Spiel ist, immer noch als wahrnehmbar. In (1931b, 266–267) sieht Hilbert die endliche Denkweise neben der reinen Intuition (z. B. des Raums) und der Vernunft als separate Quelle für a priori Wissen und behauptet, er habe „die dritte Quelle von erkannt und charakterisiert Wissen, das Erfahrung und Logik begleitet. “Sowohl Bernays als auch Hilbert rechtfertigen das endliche Wissen im weitesten Sinne Kantians (ohne jedoch einen transzendentalen Abzug zu liefern), indem sie das endliche Denken als die Art von Argumentation charakterisieren, die allen mathematischen Begriffen zugrunde liegt.und in der Tat wissenschaftlich, denkend und ohne die ein solches Denken unmöglich wäre. (Siehe Kitcher 1976 und Parsons 1998 zur Erkenntnistheorie des Finitismus und Patton 2014 zum historischen und philosophischen Kontext von Hilberts Zeichentheorie.)

2.2 Endlich bedeutungsvolle Sätze und finitäres Denken

Die grundlegendsten Urteile über Endzahlen sind die über Gleichheit und Ungleichheit. Darüber hinaus ermöglicht der endliche Standpunkt Operationen an endlichen Objekten. Hier ist das grundlegendste das der Verkettung. Die Verkettung der Ziffern 11 und 111 wird als "(2 + 3)" mitgeteilt, und die Aussage, dass 11 mit 111 verkettet ist, führt zu derselben Ziffer wie 111, die mit 11 durch "(2 + 3 = 3 + 2" verkettet ist).” In der tatsächlichen beweistheoretischen Praxis sowie explizit in (Hilbert und Bernays, 1934; Bernays, 1930) werden diese Grundoperationen auf Operationen verallgemeinert, die durch Rekursion, paradigmatisch primitive Rekursion, z. B. Multiplikation und Exponentiation, definiert sind (siehe Parsons 1998 für philosophische Schwierigkeiten in Bezug auf Potenzierung und 2007 für eine erweiterte Diskussion von intuitiver Mathematik und Finitismus). Ähnlich,Endurteile können nicht nur Gleichheit oder Ungleichheit beinhalten, sondern auch grundlegende entscheidbare Eigenschaften wie „ist eine Primzahl“. Dies ist endlich akzeptabel, solange die charakteristische Funktion einer solchen Eigenschaft selbst endlich ist: Zum Beispiel kann die Operation, die eine Zahl in 1 umwandelt, wenn sie Primzahl ist, und 11 ansonsten durch primitive Rekursion definiert werden und ist daher endlich. Solche endlichen Sätze können durch die üblichen logischen Operationen der Konjunktion, Disjunktion, Negation, aber auch der begrenzten Quantifizierung kombiniert werden. (Hilbert, 1926) gibt das Beispiel des Satzes, dass "es eine Primzahl zwischen (p + 1) und (p! + 1) gibt", wobei (p) eine bestimmte große Primzahl ist. Diese Aussage ist endlich akzeptabel, da sie "lediglich dazu dient, den Satz abzukürzen", dass entweder (p + 1) oder (p + 2) oder (p + 3) oder … oder (p! + 1)) ist eine Primzahl.

Die problematischen Schlusssätze sind diejenigen, die allgemeine Tatsachen über Zahlen wie die für jede gegebene Zahl (n, 1 + n = n + 1) ausdrücken. Es ist problematisch, weil es, wie Hilbert es ausdrückt, „aus finitistischer Sicht nicht negierbar ist“(1926, 378). Damit meint er, dass der widersprüchliche Satz, dass es eine Ziffer (n) gibt, für die (1 + n / ne n + 1) nicht endlich von Bedeutung ist. „Man kann doch nicht alle Zahlen ausprobieren“(1928, 470). Aus dem gleichen Grund ist ein endlicher allgemeiner Satz nicht als unendliche Konjunktion zu verstehen, sondern „nur als hypothetisches Urteil, das etwas behauptet, wenn eine Ziffer gegeben wird“(ebenda). Auch wenn sie in diesem Sinne problematisch sind, sind allgemeine Schlussaussagen für Hilberts Beweistheorie von besonderer Bedeutung.da die Konsistenzerklärung eines formalen Systems (S) eine so allgemeine Form hat: Für jede gegebene Folge von Formeln (P, P) ist keine Ableitung eines Widerspruchs in (S).

2.3 Finanzielle Operationen und finanzielle Beweise

Von entscheidender Bedeutung für das Verständnis des Finitismus und der Hilbertschen Beweistheorie ist die Frage, welche Operationen und welche Beweisprinzipien vom finitistischen Standpunkt aus zulässig sein sollten. Dass eine allgemeine Antwort notwendig ist, ergibt sich aus den Anforderungen von Hilberts Beweistheorie, dh es ist nicht zu erwarten, dass man bei einem formalen System der Mathematik (oder sogar einer einzelnen Folge von Formeln) „sehen“kann, dass es konsistent ist (oder dass es keine echte Ableitung einer Inkonsistenz sein kann), wie wir z. B. sehen können, dass (11 + 111 = 111 + 11). Was für einen Konsistenznachweis erforderlich ist, ist eine Operation, die bei einer formalen Ableitung eine solche Ableitung in eine spezielle Form umwandelt, plus Beweise, dass die Operation dies tatsächlich tut und dass Beweise der besonderen Art keine Beweise für eine Inkonsistenz sein können. Um als endgültiger Konsistenznachweis zu gelten, muss die Operation selbst vom finitistischen Standpunkt aus akzeptabel sein, und die erforderlichen Nachweise dürfen nur endlich akzeptable Prinzipien verwenden.

Hilbert hat nie allgemein dargelegt, welche Operationen und Beweismethoden vom finitistischen Standpunkt aus akzeptabel sind, sondern nur Beispiele für Operationen und Folgerungsmethoden in der inhaltlichen Finitärzahlentheorie, die er als finitär akzeptierte. Die inhaltliche Induktion wurde in ihrer Anwendung auf Endaussagen der hypothetischen, allgemeinen Art ausdrücklich in Hilbert (1922b) akzeptiert. Er (1923, 1139) sagte, dass intuitives Denken „Rekursion und intuitive Induktion für endliche existierende Totalitäten beinhaltet“und verwendete 1928 in einem Beispiel die Potenzierung. Bernays (1930) erklärte, wie Potenzierung als eine endliche Operation auf Zahlen verstanden werden kann. Hilbert und Bernays (1934) geben die einzige allgemeine Darstellung der endlichen inhaltlichen Zahlentheorie; demnachOperationen, die durch primitive Rekursion und Beweise durch Induktion definiert sind, sind endlich akzeptabel. Alle diese Methoden können in einem System formalisiert werden, das als primitive rekursive Arithmetik ((PRA)) bekannt ist und die Definition von Funktionen durch primitive Rekursion und Induktion auf quantifiziererfreien Formeln ermöglicht (ebenda). Weder Hilbert noch Bernays haben jedoch jemals behauptet, dass nur primitive rekursive Operationen als endlich gelten, und sie haben tatsächlich bereits 1923 einige nicht-primitive rekursive Methoden in angeblich endlichen konsistenten Konsistenznachweisen verwendet (siehe Tait 2002 und Zach 2003). Weder Hilbert noch Bernays haben jemals behauptet, dass nur primitive rekursive Operationen als endlich gelten, und sie haben tatsächlich bereits 1923 einige nicht-primitive rekursive Methoden in angeblich endlichen konsistenten Konsistenznachweisen verwendet (siehe Tait 2002 und Zach 2003). Weder Hilbert noch Bernays haben jemals behauptet, dass nur primitive rekursive Operationen als endlich gelten, und sie haben tatsächlich bereits 1923 einige nicht-primitive rekursive Methoden in angeblich endlichen konsistenten Konsistenznachweisen verwendet (siehe Tait 2002 und Zach 2003).

Die interessantere konzeptionelle Frage ist, welche Operationen als endgültig anzusehen sind. Da Hilbert nicht ganz klar war, worin der finanzielle Standpunkt besteht, besteht ein gewisser Spielraum bei der Festlegung der erkenntnistheoretischen und sonstigen Einschränkungen, die eine Analyse der finitistischen Operation und des Beweises erfüllen muss. Hilbert charakterisierte (siehe oben) die Objekte der Endzahlentheorie als "intuitiv gegeben", als "in all ihren Teilen überschaubar" und sagte, dass ihre grundlegenden Eigenschaften für uns "intuitiv existieren" müssen. Bernays (1922, 216) schlägt vor, dass in der Finanzmathematik nur „primitive intuitive Erkenntnisse ins Spiel kommen“, und verwendet den Begriff „Sicht der intuitiven Beweise“im Zusammenhang mit dem Finitismus 1930, 250. Diese Charakterisierung des Finitismus in erster Linie im Zusammenhang mit Intuition und intuitivem Wissen wurde insbesondere von (Parsons, 1998) hervorgehoben, der argumentiert, dass das, was für dieses Verständnis als endgültig gelten kann, nicht mehr ist als jene arithmetischen Operationen, die durch Addition und Multiplikation definiert werden können mit begrenzter Rekursion. Insbesondere sind Potenzierung und allgemeine primitive Rekursion seiner Meinung nach nicht endlich akzeptabel.

Die These, dass Finitismus mit primitivem rekursivem Denken zusammenfällt, wurde von (Tait 1981; siehe auch 2002 und 2005b) mit Nachdruck verteidigt. Im Gegensatz zu Parsons lehnt Tait den Aspekt der Repräsentierbarkeit in der Intuition als Kennzeichen des Endlichen ab. Stattdessen betrachtet er das finitäre Denken als „eine minimale Art von Argumentation, die von allen nicht trivialen mathematischen Argumenten über Zahlen vorausgesetzt wird“. und analysiert endliche Operationen und Beweismethoden als solche, die im Begriff der Zahl als Form einer endlichen Folge enthalten sind. Diese Analyse des Finitismus wird durch Hilberts Behauptung gestützt, dass das finitäre Denken eine Voraussetzung für logisches und mathematisches Denken ist, ja für jedes wissenschaftliche Denken Hilbert (1931b, 267). Da das endliche Denken der Teil der Mathematik ist, der von allen nicht trivialen Überlegungen über Zahlen vorausgesetzt wird, ist es:so Tait, im kartesischen Sinne „unzweifelhaft“, und diese Unzweifelhaftigkeit als alles, was für die finanzielle Argumentation erforderlich wäre, um die erkenntnistheoretische Grundlage der Mathematik zu schaffen, für die Hilbert sie vorgesehen hatte.

Eine weitere interessante Analyse des Endbeweises, die jedoch keine so detaillierte philosophische Rechtfertigung liefert, wurde von Kreisel (1960) vorgeschlagen. Es ergibt sich das Ergebnis, dass genau diese Funktionen endlich sind, was in der Arithmetik erster Ordnung (PA) als total nachgewiesen werden kann. Es basiert auf dem beweistheoretischen Konzept eines Reflexionsprinzips; siehe Zach (2006) für weitere Einzelheiten und Dean (2015) für eine Analyse. Kreisel (1970, Abschnitt 3.5) liefert eine weitere Analyse, indem er sich auf das konzentriert, was „visualisierbar“ist. Das Ergebnis ist das gleiche: Die finanzielle Beweisbarkeit ist gleichzeitig mit der Beweisbarkeit in (PA).

Taits technische Analyse ergibt, dass die finitistischen Funktionen genau die primitiven rekursiven sind und die finitistischen zahlentheoretischen Wahrheiten genau diejenigen sind, die in der Theorie der primitiven rekursiven Arithmetik (PRA) nachweisbar sind. Es ist wichtig zu betonen, dass diese Analyse nicht aus finitistischer Sicht selbst durchgeführt wird. Da die allgemeinen Begriffe „Funktion“und „Beweis“selbst nicht endgültig sind, kann der Finitist Taits These, dass alles, was in (PRA) beweisbar ist, endlich wahr ist, nicht verstehen. Laut Tait darf eine ordnungsgemäße Analyse der finitistischen Beweisbarkeit nicht davon ausgehen, dass der Finitismus selbst Zugang zu solchen nicht-finitistischen Begriffen hat. Kreisels Ansatz und einige Kritikpunkte an Tait, die auf Reflexionsprinzipien oder (omega) - Regeln beruhen, verstoßen gegen diese Anforderung (siehe Tait 2002, 2005b). Andererseits,Man könnte argumentieren, dass (PRA) eine zu starke Theorie ist, um als Formalisierung dessen zu gelten, was „von allen nicht trivialen mathematischen Überlegungen zu Zahlen vorausgesetzt wird“: Es gibt schwächere, aber nicht triviale Theorien, die sich auf kleinere Klassen beziehen von Funktionen als den primitiven rekursiven, wie (PV) und (EA), die sich auf die Polynomzeit- bzw. Kalmar-Elementarfunktionen beziehen (siehe Avigad 2003, wie viel Mathematik in / ausgeführt werden kann) (EA)). Mit einer Analyse nach dem Vorbild von Tait ist Ganea (2010) zu der entsprechenden Klasse von Kalmar-Elementarfunktionen gelangt, die finitistisch sind. Es gibt schwächere, aber nicht triviale Theorien, die sich auf kleinere Funktionsklassen beziehen als die primitiven rekursiven, wie (PV) und (EA), die sich auf die Polynomzeit- bzw. Kalmar-Elementarfunktionen beziehen (Siehe Avigad 2003, wie viel Mathematik in (EA) ausgeführt werden kann.) Mit einer Analyse nach dem Vorbild von Tait ist Ganea (2010) zu der entsprechenden Klasse von Kalmar-Elementarfunktionen gelangt, die finitistisch sind. Es gibt schwächere, aber nicht triviale Theorien, die sich auf kleinere Funktionsklassen beziehen als die primitiven rekursiven, wie (PV) und (EA), die sich auf die Polynomzeit- bzw. Kalmar-Elementarfunktionen beziehen (Siehe Avigad 2003, wie viel Mathematik in (EA) ausgeführt werden kann.) Mit einer Analyse nach dem Vorbild von Tait ist Ganea (2010) zu der entsprechenden Klasse von Kalmar-Elementarfunktionen gelangt, die finitistisch sind. Ganea (2010) ist zu der entsprechenden Klasse von Kalmar-Elementarfunktionen gelangt, die finitistisch sind. Ganea (2010) ist zu der entsprechenden Klasse von Kalmar-Elementarfunktionen gelangt, die finitistisch sind.

3. Formalismus, Reduktionismus und Instrumentalismus

Weyl (1925) war eine versöhnliche Reaktion auf Hilberts Vorschlag in den Jahren 1922b und 1923, der dennoch einige wichtige Kritikpunkte enthielt. Weyl beschrieb Hilberts Projekt als Ersatz der inhaltlichen Mathematik durch ein bedeutungsloses Formelspiel. Er bemerkte, dass Hilbert "nicht die Wahrheit sichern wollte, sondern die Konsistenz der Analyse" und schlug eine Kritik vor, die eine frühere von Frege widerspiegelt: Warum sollten wir die Konsistenz eines formalen Systems der Mathematik als Grund nehmen, an die Wahrheit der zu glauben? vorformale Mathematik, die es kodifiziert? Ist Hilberts bedeutungsloses Inventar von Formeln nicht nur „der unblutige Geist der Analyse“? Weyl schlug eine Lösung vor:

[I] Wenn Mathematik ein ernstes kulturelles Anliegen bleiben soll, muss Hilberts Formelspiel einen gewissen Sinn haben, und ich sehe nur eine Möglichkeit, ihm (einschließlich seiner transfiniten Komponenten) eine unabhängige intellektuelle Bedeutung zuzuweisen. In der theoretischen Physik haben wir das große Beispiel eines Wissens von völlig anderem Charakter vor uns als das gemeinsame oder phänomenale Wissen, das nur das ausdrückt, was in der Intuition gegeben ist. Während in diesem Fall jedes Urteil seinen eigenen Sinn hat, der innerhalb der Intuition vollständig realisierbar ist, ist dies bei den Aussagen der theoretischen Physik keineswegs der Fall. In diesem Fall ist es eher das Gesamtsystem, das in Frage gestellt wird, wenn es mit Erfahrung konfrontiert wird. (Weyl, 1925, 140)

Die Analogie zur Physik ist auffällig, und man kann ähnliche Ideen in Hilberts eigenen Schriften finden - vielleicht wurde Hilbert dabei von Weyl beeinflusst. Obwohl sich Hilberts erste Vorschläge ausschließlich auf Konsistenz konzentrierten, gibt es eine bemerkenswerte Entwicklung in Hilberts Denken in Richtung eines allgemeinen reduktivistischen Projekts, wie es in der damaligen Wissenschaftsphilosophie durchaus üblich war (wie Giaquinto 1983 hervorhob). In der zweiten Hälfte der 1920er Jahre ersetzte Hilbert das Konsistenzprogramm durch ein Konservativitätsprogramm: Die formalisierte Mathematik sollte analog zur theoretischen Physik betrachtet werden. Die ultimative Rechtfertigung für den theoretischen Teil liegt in seiner Konservativität gegenüber der „realen“Mathematik: Wenn die theoretische, „ideale“Mathematik einen „realen“Satz beweist, ist dieser Satz auch intuitiv wahr. Dies rechtfertigt die Verwendung der transfiniten Mathematik: Sie ist nicht nur intern konsistent, sondern beweist nur echte intuitive Sätze (und in der Tat alle, da eine Formalisierung der intuitiven Mathematik Teil der Formalisierung aller Mathematik ist).

1926 führte Hilbert eine Unterscheidung zwischen realen und idealen Formeln ein. Diese Unterscheidung war 1922b nicht vorhanden und wurde nur 1923 angedeutet. In letzterer präsentiert Hilbert zunächst ein formales System der quantifiziererfreien Zahlentheorie, über das er sagt: „Die beweisbaren Formeln, die wir auf diese Weise erwerben, haben alle den Charakter der endlich “(1139). Dann werden die transfiniten Axiome (dh Quantifizierer) hinzugefügt, um die Theorie zu vereinfachen und zu vervollständigen (1144). Hier zeichnet er erstmals die Analogie zur Methode der idealen Elemente: „In meiner Beweistheorie sind die transfiniten Axiome und Formeln an die endlichen Axiome gebunden, ebenso wie in der Theorie der komplexen Variablen die imaginären Elemente an die realen und genau wie in der Geometrie sind die idealen Konstruktionen an die tatsächlichen angrenzend “(ebenda). Wenn Hilbert,1926 führt er ausdrücklich den Begriff eines idealen Satzes ein, und 1928, wenn er zum ersten Mal zusätzlich zum Ideal von realen Sätzen spricht, ist ihm klar, dass der reale Teil der Theorie nur aus entscheidbaren, variablenfreien Formeln besteht. Sie sollen "direkt verifizierbar" sein, was Aussagen betrifft, die aus Naturgesetzen abgeleitet sind und durch Experimente überprüft werden können (1928, 475). Das neue Bild des Programms war folgendes: Die klassische Mathematik soll in einem System formalisiert werden, das Formalisierungen aller direkt überprüfbaren (durch Berechnung) Sätze der inhaltlichen Finite-Zahlen-Theorie enthält. Der Konsistenznachweis sollte zeigen, dass alle realen Aussagen, die mit idealen Methoden bewiesen werden können, wahr sind, dh direkt durch endliche Berechnung verifiziert werden können.(Tatsächliche Beweise wie die (varepsilon) - Substitution waren schon immer von solcher Art: Bereitstellung von Endverfahren, die transfinite Elemente aus Beweisen realer Aussagen, insbesondere von (0 = 1), eliminieren.) In der Tat Hilbert sah, dass etwas Stärkeres wahr ist: Ein Konsistenznachweis stellt nicht nur die Wahrheit realer Formeln fest, die durch ideale Methoden beweisbar sind, sondern liefert auch endliche Beweise für endliche allgemeine Sätze, wenn die entsprechende Formel mit freien Variablen durch ideale Methoden abgeleitet werden kann (1928, 474)..aber es liefert endliche Beweise für endliche allgemeine Sätze, wenn die entsprechende Formel mit freien Variablen durch ideale Methoden abgeleitet werden kann (1928, 474).aber es liefert endliche Beweise für endliche allgemeine Sätze, wenn die entsprechende Formel mit freien Variablen durch ideale Methoden abgeleitet werden kann (1928, 474).

Hilbert schlug neben der Konservativität weitere Einschränkungen der Theorie vor: Einfachheit, Kürze der Beweise, „Ökonomie des Denkens“und mathematische Produktivität. Das formale System der transfiniten Logik ist nicht willkürlich: „Dieses Formelspiel wird nach bestimmten Regeln durchgeführt, in denen die Technik unseres Denkens zum Ausdruck kommt. […] Die Grundidee meiner Beweistheorie besteht darin, die Aktivität unseres Verständnisses zu beschreiben und ein Protokoll der Regeln zu erstellen, nach denen unser Denken tatsächlich abläuft “(Hilbert, 1928, 475). Als Weyl (1928) sich schließlich vom Intuitionismus abwandte (siehe Mancosu und Ryckman, 2002), betonte er diese Motivation von Hilberts Beweistheorie: Mathematik nicht in ein bedeutungsloses Symbolspiel zu verwandeln,aber um daraus eine theoretische Wissenschaft zu machen, die die wissenschaftliche (mathematische) Praxis kodifiziert.

Hilberts Formalismus war daher ziemlich ausgefeilt: Er vermied zwei entscheidende Einwände: (1) Wenn die Formeln des Systems bedeutungslos sind, wie kann die Ableitbarkeit im System irgendeine Art von Glauben erzeugen? (2) Warum das System von (PA) und kein anderes konsistentes System akzeptieren? Beide Einwände sind Frege bekannt; Beide Fragen werden (teilweise) durch einen Konservativitätsnachweis für echte Aussagen beantwortet. Für (2) hat Hilbert außerdem ein naturalistisches Akzeptanzkriterium: Wir sind bei der Auswahl der Systeme durch Überlegungen zur Einfachheit, Fruchtbarkeit, Einheitlichkeit und durch das, was Mathematiker tatsächlich tun, eingeschränkt; Weyl würde hinzufügen, dass der ultimative Test einer Theorie ihre Nützlichkeit in der Physik wäre.

Die meisten Philosophen der Mathematik, die über Hilbert schreiben, haben ihn als Instrumentalisten gelesen (einschließlich Kitcher 1976, Resnik 1980, Giaquinto 1983, Sieg 1990 und insbesondere Detlefsen 1986), indem sie Hilberts Erklärung lesen, dass die idealen Sätze „an sich keine Bedeutung haben“. (Hilbert, 1926, 381) mit der Behauptung, dass die klassische Mathematik ein bloßes Instrument ist und dass Aussagen der transfiniten Mathematik keinen Wahrheitswert haben. Soweit dies zutreffend ist, muss es als methodischer Instrumentalismus verstanden werden: Eine erfolgreiche Ausführung des beweistheoretischen Programms würde zeigen, dass man so tun könnte, als wäre Mathematik bedeutungslos. Die Analogie zur Physik lautet daher nicht: Transfinite Sätze haben keine Bedeutung, ebenso wie Sätze mit theoretischen Begriffen keine Bedeutung haben, sondern:transfinite Sätze erfordern keine direkte intuitive Bedeutung, so wie man Elektronen nicht direkt sehen muss, um über sie zu theoretisieren. Hallett (1990) kommt unter Berücksichtigung des mathematischen Hintergrunds des 19. Jahrhunderts, aus dem Hilbert stammt, sowie veröffentlichter und unveröffentlichter Quellen aus Hilberts gesamter Karriere (insbesondere Hilbert 1992, die umfassendste Diskussion der Methode der idealen Elemente) zu folgendem Ergebnis::

[Hilberts Behandlung philosophischer Fragen] ist nicht als eine Art instrumentalistischer Agnostizismus über Existenz und Wahrheit usw. gedacht. Im Gegenteil, es soll eine nicht skeptische und positive Lösung für solche Probleme bieten, eine Lösung, die in kognitiv zugänglichen Begriffen formuliert ist. Und es scheint, dass die gleiche Lösung sowohl für mathematische als auch für physikalische Theorien gilt. Sobald neue Konzepte oder „ideale Elemente“oder neue theoretische Begriffe akzeptiert wurden, existieren sie in dem Sinne, in dem theoretische Einheiten existieren. (Hallett, 1990, 239)

4. Hilberts Programm und Gödels Unvollständigkeitssätze

Es gab einige Debatten über die Auswirkungen von Gödels Unvollständigkeitssätzen auf Hilberts Programm und darüber, ob es der erste oder der zweite Unvollständigkeitssatz war, der den Coup de Grâce lieferte. Zweifellos war die Meinung derjenigen, die am unmittelbarsten an den Entwicklungen beteiligt waren, davon überzeugt, dass die Theoreme einen entscheidenden Einfluss hatten. Gödel kündigte den zweiten Unvollständigkeitssatz in einer im Oktober 1930 veröffentlichten Zusammenfassung an: Mit Methoden, die in diesen Systemen formuliert werden können, ist kein Konsistenznachweis für Systeme wie Principia, die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre oder die von Ackermann und von Neumann untersuchten Systeme möglich. In der Vollversion seiner Arbeit ließ Gödel (1931) die Möglichkeit offen, dass es Endmethoden geben könnte, die in diesen Systemen nicht formalisierbar sind und die erforderlichen Konsistenznachweise liefern würden. Bernays erste Reaktion in einem Brief an Gödel im Januar 1931 war ebenfalls: „Wenn man, wie von Neumann, davon ausgeht, dass jede letzte Überlegung innerhalb des Systems formalisiert werden kann (P) - wie Sie, denke ich dass man in keiner Weise als erledigt zu dem Schluss kommt, dass eine endgültige Demonstration der Konsistenz von (P) unmöglich ist “(Gödel, 2003a, 87).

Wie wirken sich Gödels Theoreme auf Hilberts Programm aus? Durch eine sorgfältige ("Gödel" -) Codierung von Symbolsequenzen (Formeln, Beweise) zeigte Gödel, dass es in Theorien (T), die eine ausreichende Menge an Arithmetik enthalten, möglich ist, eine Formel (Pr (x) zu erzeugen, y)) was "sagt", dass (x) (der Code von) ein Beweis von (der Formel mit Code) (y) ist. Insbesondere wenn (ulcorner 0 = 1 / urcorner) der Code der Formel (0 = 1) ist, dann (Con_T = / für alle x / neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)) kann genommen werden, um zu "sagen", dass (T) konsistent ist (keine Zahl ist der Code einer Ableitung in (T) von (0 = 1)). Der zweite Unvollständigkeitssatz (G2) besagt, dass unter bestimmten Annahmen über (T) und den Codierungsapparat (T) (Con_T) nicht beweist. Nehmen wir nun an, es gäbe einen endgültigen Konsistenznachweis für (T). Die in einem solchen Beweis verwendeten Methoden wären vermutlich in (T) formalisierbar. ("Formalisierbar" bedeutet ungefähr, dass, wenn der Beweis eine Endoperation (f) für Ableitungen verwendet, die eine Ableitung (D) in eine Ableitung (f (D)) einer einfachen Form umwandelt, dann dort ist eine Formel (F (x, y)), so dass für alle Ableitungen (D, T / vdash F (ulcorner D / urcorner, / ulcorner f (D) urcorner)).) Die Konsistenz von (T) würde endlich als die allgemeine Hypothese ausgedrückt, dass (D) keine Ableitung in (T) der Formel (0 =) ist, wenn (D) eine gegebene Folge von Symbolen ist 1). Die Formalisierung dieses Satzes ist die Formel (neg Pr (x, / ulcorner 0 = 1 / urcorner)), in der die Variable (x) frei vorkommt. Wenn es einen endgültigen Beweis für die Konsistenz von (T) gäbe, würde seine Formalisierung eine Ableitung in (T) von (neg Pr_T (x,\ ulcorner 0 = 1 / urcorner)), aus dem (Con_T) durch einfache universelle Verallgemeinerung auf (x) in (T) abgeleitet werden kann. Eine Ableitung von (Con_T) in (T) wird jedoch von G2 ausgeschlossen.

Wie oben erwähnt, waren Gödel und Bernays zunächst der Ansicht, dass die Schwierigkeit für den Konsistenznachweis von (PA) durch den Einsatz von Methoden überwunden werden könnte, die zwar in (PA) nicht formalisierbar sind, aber dennoch endgültig sind. Ob solche Methoden nach dem ursprünglichen Konzept des Finitismus als endlich angesehen werden oder eine Erweiterung des ursprünglichen finitistischen Standpunkts darstellen, ist umstritten. Zu den neuen Methoden gehörte eine Endversion der von Hilbert (1931b; 1931a) vorgeschlagenen (omega) - Regel. Man kann jedoch mit Recht sagen, dass nach etwa 1934 fast allgemein anerkannt wurde, dass die vor Gödels Ergebnissen als endgültig anerkannten Beweismethoden alle in (PA) formalisierbar sind. Erweiterungen des ursprünglichen finitistischen Standpunkts wurden vorgeschlagen und aus allgemein finanziellen Gründen verteidigt, z. Gentzen (1936) verteidigte die Verwendung der transfiniten Induktion bis zu (varepsilon_0) in seinem Konsistenznachweis für (PA) als "unbestreitbar", gab Takeuti (1987) eine weitere Verteidigung. Gödel (1958) präsentierte eine weitere Erweiterung des finitistischen Standpunkts; Die oben erwähnte Arbeit von Kreisel kann als ein weiterer Versuch angesehen werden, den Finitismus zu erweitern und gleichzeitig den Geist von Hilberts ursprünglicher Konzeption beizubehalten.

Ein anderer Versuch, Gödels zweiten Satz für Hilberts Programm zu umgehen, wurde von Detlefsen (1986; 2001; 1979) vorgeschlagen. Detlefsen präsentiert mehrere Verteidigungslinien, von denen eine der gerade beschriebenen ähnlich ist: Es wird argumentiert, dass eine Version der (omega) - Regel endlich akzeptabel ist, aber nicht formalisiert werden kann (siehe jedoch Ignjatovic 1994). Detlefsens anderes Argument gegen die gemeinsame Interpretation von Gödels zweitem Theorem konzentriert sich auf den Begriff der Formalisierung: Dass die besondere Formalisierung von "(T) konsistent" durch Gödels Formel (Con_T) nicht beweisbar ist, bedeutet nicht, dass es nicht möglich ist. t sind andere Formeln, die in (T) nachweisbar sind und die ebenso das Recht haben, als "Formalisierungen der Konsistenz von (T)" bezeichnet zu werden. Diese beruhen auf anderen Formalisierungen des Beweisbarkeitsprädikats (Pr_T) als die Standardprädikate. Es ist bekannt, dass formalisierte Konsistenzaussagen nicht nachweisbar sind, wenn das Beweisprädikat bestimmten allgemeinen Ableitbarkeitsbedingungen entspricht. Detlefsen argumentiert, dass diese Bedingungen nicht erforderlich sind, damit ein Prädikat als echtes Beweisbarkeitsprädikat gilt, und tatsächlich gibt es Beweisbarkeitsprädikate, die die Beweisbarkeitsbedingungen verletzen und zu Konsistenzformeln führen, die in ihren entsprechenden Theorien nachweisbar sind. Diese hängen jedoch von nicht standardmäßigen Konzepten der Beweisbarkeit ab, die Hilbert wahrscheinlich nicht akzeptiert hätte (siehe auch Resnik 1974, Auerbach 1992 und Steiner 1991). Es ist bekannt, dass formalisierte Konsistenzaussagen nicht nachweisbar sind, wenn das Beweisprädikat bestimmten allgemeinen Ableitbarkeitsbedingungen entspricht. Detlefsen argumentiert, dass diese Bedingungen nicht erforderlich sind, damit ein Prädikat als echtes Beweisbarkeitsprädikat gilt, und tatsächlich gibt es Beweisbarkeitsprädikate, die die Beweisbarkeitsbedingungen verletzen und zu Konsistenzformeln führen, die in ihren entsprechenden Theorien nachweisbar sind. Diese hängen jedoch von nicht standardmäßigen Konzepten der Beweisbarkeit ab, die Hilbert wahrscheinlich nicht akzeptiert hätte (siehe auch Resnik 1974, Auerbach 1992 und Steiner 1991). Es ist bekannt, dass formalisierte Konsistenzaussagen nicht nachweisbar sind, wenn das Beweisprädikat bestimmten allgemeinen Ableitbarkeitsbedingungen entspricht. Detlefsen argumentiert, dass diese Bedingungen nicht erforderlich sind, damit ein Prädikat als echtes Beweisbarkeitsprädikat gilt, und tatsächlich gibt es Beweisbarkeitsprädikate, die die Beweisbarkeitsbedingungen verletzen und zu Konsistenzformeln führen, die in ihren entsprechenden Theorien nachweisbar sind. Diese hängen jedoch von nicht standardmäßigen Konzepten der Beweisbarkeit ab, die Hilbert wahrscheinlich nicht akzeptiert hätte (siehe auch Resnik 1974, Auerbach 1992 und Steiner 1991).und tatsächlich gibt es Beweisbarkeitsprädikate, die die Beweisbarkeitsbedingungen verletzen und zu Konsistenzformeln führen, die in ihren entsprechenden Theorien nachweisbar sind. Diese hängen jedoch von nicht standardmäßigen Konzepten der Beweisbarkeit ab, die Hilbert wahrscheinlich nicht akzeptiert hätte (siehe auch Resnik 1974, Auerbach 1992 und Steiner 1991).und tatsächlich gibt es Beweisbarkeitsprädikate, die die Beweisbarkeitsbedingungen verletzen und zu Konsistenzformeln führen, die in ihren entsprechenden Theorien nachweisbar sind. Diese hängen jedoch von nicht standardmäßigen Konzepten der Beweisbarkeit ab, die Hilbert wahrscheinlich nicht akzeptiert hätte (siehe auch Resnik 1974, Auerbach 1992 und Steiner 1991).

Smorynski (1977) hat argumentiert, dass bereits der erste Unvollständigkeitssatz Hilberts Programm besiegt. Hilberts Ziel war es nicht nur zu zeigen, dass formalisierte Mathematik konsistent ist, sondern dies auf spezifische Weise zu tun, indem gezeigt wird, dass ideale Mathematik niemals zu Schlussfolgerungen führen kann, die nicht mit der realen Mathematik übereinstimmen. Um erfolgreich zu sein, muss die ideale Mathematik gegenüber dem Realteil konservativ sein: Wann immer die formalisierte Idealmathematik eine reale Formel (P, P) selbst (oder den darin zum Ausdruck gebrachten Endsatz) beweist, muss sie endlich beweisbar sein. Für Smorynski umfassen die realen Formeln nicht nur numerische Gleichungen und Kombinationen davon, sondern auch allgemeine Formeln mit freien Variablen, jedoch ohne unbegrenzte Quantifizierer.

Nun besagt Gödels erster Unvollständigkeitssatz (G1), dass es für jede ausreichend starke, konsistente formale Theorie (S) einen Satz (G_S) gibt, der wahr ist, aber in (S) nicht ableitbar ist. (G_S) ist ein echter Satz nach Smorynskis Definition. Betrachten Sie nun eine Theorie (T), die die ideale Mathematik formalisiert, und ihre Untertheorie (S), die die reale Mathematik formalisiert. (S) erfüllt die Bedingungen von G1 und daher leitet (S) nicht (G_S) ab. (T) ist jedoch eine Formalisierung der gesamten Mathematik (einschließlich dessen, was erforderlich ist, um zu sehen, dass (G_S) wahr ist) und leitet (G_S) ab. Wir haben also eine echte Aussage, die in der idealen Mathematik und nicht in der realen Mathematik beweisbar ist.

Detlefsen (1986, Anhang; siehe auch 1990) hat Hilberts Programm auch gegen dieses Argument verteidigt. Detlefsen argumentiert, dass der „Hilbertsche“Instrumentalismus dem Argument von G1 entgeht, indem er leugnet, dass die ideale Mathematik gegenüber dem Realteil konservativ sein muss; Alles, was benötigt wird, ist echte Solidität. Der Hilbertsche Instrumentalismus verlangt nur, dass die ideale Theorie nichts beweist, was im Widerspruch zur realen Theorie steht; es ist nicht erforderlich, dass es nur reale Aussagen beweist, die auch die reale Theorie beweist. (Siehe Zach 2006 für weitere Informationen zum Thema Konservativität und Konsistenz, den entsprechenden Abschnitt im Eintrag zu Gödel zur weiteren Diskussion, Franks 2009 für eine entsprechende Verteidigung und Neubewertung von Hilberts Projekt und McCarthy 2016 für einen alternativen Ansatz zur Beweisbarkeit von Konsistenz und G2 aufgrund von Gödel selbst.)

5. Überarbeitete Hilbert-Programme

Auch wenn kein endlicher Konsistenznachweis für Arithmetik erbracht werden kann, ist die Frage nach Konsistenznachweisen dennoch von Wert: Die in solchen Nachweisen verwendeten Methoden können, obwohl sie über Hilberts ursprünglichen Sinn für Finitismus hinausgehen müssen, einen echten Einblick in den konstruktiven Inhalt von liefern arithmetische und stärkere Theorien. Was Gödels Ergebnis zeigte, war, dass es keinen absoluten Konsistenznachweis für die gesamte Mathematik geben kann; Daher konzentrierte sich die Arbeit in der Beweistheorie, nachdem Gödel sich auf relative Ergebnisse konzentriert hatte, sowohl auf das System, für das ein Konsistenznachweis erbracht wurde, als auch auf die verwendeten Beweismethoden.

Die reduktive Beweistheorie in diesem Sinne ist zwei Traditionen gefolgt: Die erste, die hauptsächlich von Beweistheoretikern nach Gentzen und Schütte durchgeführt wurde, hat ein Programm der sogenannten Ordnungsanalyse verfolgt und wird durch Gentzens ersten Konsistenznachweis von (PA / veranschaulicht)) durch Induktion bis (varepsilon_0. / varepsilon_0) ist eine bestimmte transfinite (wenn auch zählbare) Ordnungszahl, jedoch ist "Induktion bis (varepsilon_0)" in dem hier verwendeten Sinne kein wirklich transfinites Verfahren. Die Ordnungsanalyse arbeitet nicht mit unendlichen Ordnungszahlen, sondern mit Ordnungsnotationssystemen, die selbst in sehr schwachen (im Wesentlichen endlichen) Systemen formalisiert werden können. Eine ordinale Analyse eines Systems (T) wird gegeben, wenn:(a) man kann ein Ordnungsnotationssystem erzeugen, das die Ordnungszahlen weniger als eine Ordnungszahl ((alpha_T) nachahmt, so dass (b) endlich bewiesen werden kann, dass die Formalisierung ((TI (alpha_T)) des Prinzips von Induktion bis zu (alpha_T) impliziert die Konsistenz von (T) (dh (S / vdash TI (alpha_T) rightarrow Con_T)) und (c) (T) beweist (TI) (beta)) für alle (beta / lt / alpha_T) ((S) ist eine Theorie zur Formalisierung der endlichen Metamathematik und im Allgemeinen eine schwache Subtheorie von (T)). Um eine grundlegende Bedeutung zu haben, muss man auch ein konstruktives Argument für die transfinite Induktion bis zu (alpha_T) angeben. Wie oben erwähnt, wurde dies von Gentzen und Takeuti für (varepsilon_0), die beweistheoretische Ordnungszahl von (PA), durchgeführt.wird aber schwieriger und von zunehmend fragwürdiger philosophischer Bedeutung für stärkere Theorien.

Eine philosophisch zufriedenstellendere Fortsetzung von Hilberts Programm in beweistheoretischen Begriffen wurde von Kreisel (1983; 1968) und Feferman (Feferman, 1988; Feferman, 1993a) vorgeschlagen. Diese Arbeit geht von einer umfassenderen Konzeption von Hilberts Programm aus, um die ideale Mathematik mit eingeschränkten Mitteln zu rechtfertigen. In dieser Konzeption sollte Hilberts Beweistheorie zeigen, dass die ideale Mathematik zumindest für eine bestimmte Klasse realer Sätze nicht über die reale Mathematik hinausgeht. Ein endlicher Konsistenznachweis der von Hilbert vorgesehenen Art hätte dies erreicht: Wenn die ideale Mathematik einen realen Satz beweist, dann ist dieser Satz bereits durch reale (dh endliche) Methoden beweisbar. In gewissem Sinne reduziert dies die ideale Mathematik auf echte Mathematik. Eine beweistheoretische Reduktion einer Theorie (T) auf eine Theorie (S) zeigt, dass für eine bestimmte Klasse von Sätzen, wenn (T) einen Satz beweist, (S) beweist es auch, und der Beweis dieser Tatsache ist selbst endgültig. Hilberts beweistheoretisches Programm kann dann als Suche nach einer beweistheoretischen Reduktion der gesamten Mathematik auf die Endmathematik angesehen werden; In einem relativierten Programm sucht man nach Reduktionen von Theorien, die schwächer als die gesamte klassische Mathematik sind, auf Theorien, die oft stärker sind als die Endmathematik. Beweistheoretiker haben eine Reihe solcher Ergebnisse erzielt, einschließlich der Reduzierung von Theorien, die auf den ersten Blick eine erhebliche Menge idealer Mathematik für ihre Rechtfertigung (z. B. Teilsysteme der Analyse) für endliche Systeme erfordern. (Feferman,1993b) hat solche Ergebnisse in Kombination mit anderen Ergebnissen verwendet, die zeigen, dass die meisten, wenn nicht alle wissenschaftlich anwendbaren Mathematiken in Systemen durchgeführt werden können, für die solche Reduktionen verfügbar sind, um gegen das Argument der Unentbehrlichkeit in der Philosophie der Mathematik zu argumentieren. Die philosophische Bedeutung solcher beweistheoretischen Reduktionen ist derzeit umstritten (Hofweber, 2000; Feferman, 2000).

Das von Friedman und Simpson entwickelte Programm der sogenannten umgekehrten Mathematik ist eine weitere Fortsetzung von Hilberts Programm. Angesichts der Ergebnisse von Gödel, die zeigen, dass nicht die gesamte klassische Mathematik auf das Endliche reduziert werden kann, versuchen sie, die Frage zu beantworten: Wie viel der klassischen Mathematik kann so reduziert werden? Die Umkehrmathematik versucht, eine genaue Antwort auf diese Frage zu geben, indem untersucht wird, welche Sätze der klassischen Mathematik in schwachen Teilsystemen der Analyse nachweisbar sind, die auf die Endmathematik reduziert werden können (im Sinne des vorhergehenden Absatzes). Ein typisches Ergebnis ist, dass der Hahn-Banach-Satz der Funktionsanalyse in einer Theorie beweisbar ist, die als (WKL_0) bekannt ist (für „schwaches König-Lemma“); (WKL_0) ist konservativ gegenüber (PRA) für (Pi ^ {0} _2) Sätze (dhSätze der Form (forall x / existieren yA (x, y)). (Siehe Simpson 1988 für eine Übersicht und Simpson 1999 für eine technische Behandlung.)

Literaturverzeichnis

Eine erweiterte Version der ersten Überarbeitung dieses Eintrags findet sich in Zach (2006).

Ackermann, Wilhelm, 1924, "Begründung des tertium non datur" mittels der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit, Mathematische Annalen, 93: 1–36.
Auerbach, David, 1992, „Wie man Dinge mit Formalismen sagt“, in Proof, Logic and Formalization, Michael Detlefsen, Hrsg., London: Routledge, 77–93.
Avigad, Jeremy, 2003, „Zahlentheorie und Elementararithmetik“, Philosophia Mathematica, 11: 257–284. [Preprint online verfügbar]
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