Hybride Logik

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Hybride Logik

Erstveröffentlichung Di 13. Juni 2006; inhaltliche Überarbeitung Fr 24. März 2017

Hybridlogiken sind Logiken, die sich ergeben, indem sie der gewöhnlichen Modallogik weitere Ausdruckskraft verleihen. Die grundlegendste hybride Logik wird erhalten, indem sogenannte Nominale hinzugefügt werden, die Satzsymbole einer neuen Art sind, die jeweils in genau einer möglichen Welt wahr sind. Die Geschichte der hybriden Logik geht auf die Arbeit von Arthur N. Prior in den 1960er Jahren zurück.

• 1. Motivationen für hybride Logik
• 2. Formale Semantik
• 3. Übersetzungen
• 4. Arthur N. Prior und hybride Logik
• 5. Die Entwicklung der hybriden Logik seit Prior
• 6. Axiome für die Hybridlogik
• 7. Analytische Beweismethoden für die Hybridlogik
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Motivationen für hybride Logik

In der Standard-Kripke-Semantik für die Modallogik ist die Wahrheit relativ zu Punkten in einer Menge. Somit könnte ein Satzsymbol unterschiedliche Wahrheitswerte in Bezug auf unterschiedliche Punkte haben. Normalerweise werden diese Punkte verwendet, um mögliche Welten, Zeiten, epistemische Zustände, Zustände in einem Computer oder etwas anderes darzustellen. Dies ermöglicht es uns, Aussagen in natürlicher Sprache zu formalisieren, deren Wahrheitswerte sich beispielsweise auf Zeiten beziehen, wie die Aussage

es regnet

das hat eindeutig unterschiedliche Wahrheitswerte zu unterschiedlichen Zeiten. Nun, bestimmte Aussagen in natürlicher Sprache sind genau zu einer Zeit, einer möglichen Welt oder etwas anderem wahr. Ein Beispiel ist die Aussage

Es ist fünf Uhr, 15. März 2006

Das ist wahr um die Zeit fünf Uhr, 15. März 2006, aber falsch zu allen anderen Zeiten. Die erste Art von Aussagen in natürlicher Sprache kann in gewöhnlicher Modallogik formalisiert werden, die zweite Art jedoch nicht.

Eine Hauptmotivation für die hybride Logik besteht darin, der gewöhnlichen Modallogik weitere Ausdruckskraft zu verleihen, um die zweite Art von Aussagen formalisieren zu können. Dies wird erhalten, indem der gewöhnlichen Modallogik eine zweite Art von Satzsymbolen hinzugefügt wird, die Nominale genannt werden, so dass in der Kripke-Semantik jeder Nominalwert relativ zu genau einem Punkt wahr ist. Eine Aussage in natürlicher Sprache der zweiten Art (wie die Beispielaussage mit der Zeit fünf Uhr, 15. März 2006) wird dann unter Verwendung eines nominalen, nicht gewöhnlichen Satzsymbols formalisiert (das verwendet würde, um die Beispielaussage bei Regenwetter zu formalisieren).. Die Tatsache, dass ein Nominalwert relativ zu genau einem Punkt wahr ist, impliziert, dass ein Nominalwert als ein Begriff betrachtet werden kann, der sich auf einen Punkt bezieht, beispielsweise wenn (mathtt {a}) ein Nominalwert ist, der für „es ist fünf o“steht 'Uhr 15. März 2006”,dann kann dieser Nominalwert als ein Begriff betrachtet werden, der sich auf die Zeit um fünf Uhr am 15. März 2006 bezieht. In der hybriden Logik ist ein Begriff also eine bestimmte Art von Satzsymbol, während er in der Logik erster Ordnung ein Argument für ein Prädikat ist.

Die meisten Hybridlogiken beinhalten weitere zusätzliche Maschinen als Nominale. Es gibt eine Reihe von Optionen zum Hinzufügen weiterer Maschinen. hier werden wir betrachten, was Zufriedenheitsoperatoren genannt werden. Die Motivation für das Hinzufügen von Zufriedenheitsoperatoren besteht darin, eine Aussage zu formalisieren, die zu einem bestimmten Zeitpunkt, in einer möglichen Welt oder in etwas anderem wahr ist. Zum Beispiel möchten wir in der Lage sein zu formalisieren, dass die Aussage „es regnet“zum Zeitpunkt des 15. März 2006, also um fünf Uhr, wahr ist

Am 15. März 2006 um fünf Uhr regnet es.

Dies wird durch die Formel (mathtt {@_ a p}) formalisiert, wobei das Nominal (mathtt {a}) wie oben für "es ist fünf Uhr, 15. März 2006" steht und wo (mathtt {p}) ist ein gewöhnliches Satzsymbol, das für „es regnet“steht. Es ist der Teil (mathtt {@_ a}) der Formel (mathtt {@_ a p}), der als Zufriedenheitsoperator bezeichnet wird. Wenn (mathtt {a}) ein Nominalwert und (mathtt { phi}) eine beliebige Formel ist, wird im Allgemeinen eine neue Formel (mathtt {@_ a / phi}) mit dem Namen a verwendet Zufriedenheitserklärung kann erstellt werden. Die Zufriedenheitserklärung (mathtt {@_ a / phi}) drückt aus, dass die Formel (mathtt { phi}) relativ zu einem bestimmten Punkt wahr ist, nämlich dem Punkt, zu dem das Nominal (mathtt {a }) bezieht sich.

Zusammenfassend haben wir der gewöhnlichen Modallogik nun weitere Ausdruckskraft in Form von Nominalen und Zufriedenheitsoperatoren hinzugefügt. Informell hat das Nominal (mathtt {a}) die Wahrheitsbedingung

(mathtt {a}) ist relativ zu einem Punkt (w)

genau dann wahr, wenn

die Referenz von (mathtt {a}) mit (w) identisch ist.

und die Zufriedenheitserklärung (mathtt {@_ a / phi}) hat die Wahrheitsbedingung

(mathtt {@_ a / phi}) ist relativ zu einem Punkt (w)

genau dann

wahr, wenn (mathtt { phi}) relativ zu der Referenz von (mathtt {a })

Beachten Sie, dass der Punkt (w) in der Wahrheitsbedingung für (mathtt {@_ a / phi}) tatsächlich keine Rolle spielt, da der Zufriedenheitsoperator (mathtt {@_ a}) den Bewertungspunkt verschiebt auf den Verweis von (mathtt {a}) unabhängig von der Identität von (w).

Es ist bemerkenswert, dass Nominale zusammen mit Zufriedenheitsoperatoren es uns ermöglichen, auszudrücken, dass zwei Punkte identisch sind: Wenn sich die Nominale (mathtt {a}) und (mathtt {b}) auf die Punkte (w) beziehen und (v), dann drückt die Formel (mathtt {@_ a b}) aus, dass (w) und (v) identisch sind. Die folgende Argumentation zeigt, warum.

(mathtt {@_ a b}) ist relativ zu einem Punkt (w)

genau dann

wahr, wenn (mathtt {b}) relativ zu der Referenz von (mathtt {a} wahr ist))

genau dann, wenn

(mathtt {b}) relativ zu (w)

genau dann wahr ist, wenn

die Referenz von (mathtt {b})

genau dann mit (w) identisch ist wenn

(v) identisch ist mit (w)

Die Identitätsbeziehung auf einer Menge hat die bekannten Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität, was sich in der Tatsache widerspiegelt, dass die Formeln

) begin {align *} & / mathtt {@_ a a} & / mathtt {@_ a b / rightarrow @_b a} & (mathtt {@_ a b / amp @_b c) rightarrow @ _a c} end {align *})

sind gültige Formeln der hybriden Logik. Auch die Formel

[(mathtt {@_ ab / amp @_a / phi) rightarrow @_b / phi})

ist gültig. Dies ist die Regel des Austauschs.

Neben Nominalen und Zufriedenheitsoperatoren werden wir im Folgenden die sogenannten Bindemittel (mathtt { forall}) und (mathtt { downarrow}) betrachten, die es uns ermöglichen, Formeln (mathtt { forall) zu erstellen a / phi}) und (mathtt {{ downarrow} a / phi}). Die Bindemittel binden Nominale auf zwei verschiedene Arten an Punkte: Der Binder (mathtt { forall}) quantifiziert über Punkte analog zum Standard-Universalquantifizierer erster Ordnung, dh (mathtt { forall a / phi}) ist in Bezug auf (w) genau dann wahr, wenn der Punkt, auf den sich das Nominal (mathtt {a}) bezieht, in Bezug auf (mathtt { phi}) in Bezug auf wahr ist (w). Der Ordner (mathtt { downarrow}) bindet ein Nominal an den Bewertungspunkt, dh (mathtt {{ downarrow} a / phi}) ist relativ zu (w) wahr, wenn und Nur wenn (mathtt { phi}) relativ zu (w) wahr ist, wenn (mathtt {a}) auf (w) verweist. Es stellt sich heraus, dass der Ordner (mathtt { downarrow}) in Bezug auf (mathtt { forall}) definierbar ist (wie unten gezeigt).

2. Formale Semantik

Die Sprache, die wir betrachten, ist die Sprache der gewöhnlichen Modallogik, die über gewöhnlichen Satzsymbolen (mathtt {p}, / mathtt {q}, / mathtt {r},…) sowie Nominalen (mathtt {a} aufgebaut ist)., / mathtt {b}, / mathtt {c},…) und erweitert um Zufriedenheitsoperatoren und Bindemittel. Wir nehmen die Satzverbindungen (mathtt { wedge}) und (mathtt { neg}) als primitiv an; andere Satzverbindungen werden wie üblich definiert. In ähnlicher Weise nehmen wir den Modaloperator (mathtt { Box}) als primitiv und definieren den Modaloperator (mathtt { Diamond}) als (mathtt { neg / Box / neg}).. Wie der Name schon sagt, binden Bindemittel Nominale, und die Begriffe des freien und gebundenen Vorkommens von Nominalen werden analog zur Logik erster Ordnung definiert. Zufriedenheitsoperatoren binden keine Nominale, d. H. Die freien nominalen Vorkommen in einer Formel (mathtt {@_ a / phi}) sind die freien nominalen Vorkommen in (mathtt { phi}) zusammen mit dem Auftreten von (mathtt {a}). Wir lassen (mathtt { phi [c / a]}) die Formel (mathtt { phi}) sein, in der alle freien Vorkommen von durch das Nominal (mathtt {c}) ersetzt wurden das nominelle (mathtt {a}). Wenn das Nominal (mathtt {a}) in (mathtt { phi}) im Bereich von (mathtt { forall c}) oder (mathtt {{ downarrow} frei vorkommt c}), dann wird das gebundene Nominal (mathtt {c}) in (mathtt { phi}) entsprechend umbenannt. Wenn das nominelle (mathtt {a}) in (mathtt { phi}) im Bereich von (mathtt { forall c}) oder (mathtt {{ downarrow} frei vorkommt c}), dann wird das gebundene Nominal (mathtt {c}) in (mathtt { phi}) entsprechend umbenannt. Wenn das Nominal (mathtt {a}) in (mathtt { phi}) im Bereich von (mathtt { forall c}) oder (mathtt {{ downarrow} frei vorkommt c}), dann wird das gebundene Nominal (mathtt {c}) in (mathtt { phi}) entsprechend umbenannt.

Wir definieren nun Modelle und Rahmen. Ein Modell für hybride Logik ist ein Tripel ((W, R, V)), wobei (W) eine nicht leere Menge ist, (R) eine binäre Beziehung zu (W) ist und (V) ist eine Funktion, die jedem Paar, das aus einem Element von (W) und einem gewöhnlichen Satzsymbol besteht, ein Element der Menge ({0,1 }) zuweist. Das Paar ((W, R)) wird als Rahmen bezeichnet. Somit sind Modelle und Rahmen dieselben wie in der gewöhnlichen Modallogik. Die Elemente von (W) werden Welten genannt und die Beziehung (R) wird die Zugänglichkeitsrelation genannt. Das Modell ((W, R, V)) soll auf dem Rahmen ((W, R)) basieren.

Eine Zuordnung für ein Modell (M = (W, R, V)) ist eine Funktion (g), die jedem Nominal ein Element von (W) zuweist. Eine Zuweisung (g ') ist eine (mathtt {a}) -Variante von (g), wenn (g') bei allen Nominalen mit (g) übereinstimmt, außer möglicherweise (mathtt) {ein}). Die Beziehung (M, g, w / vDash / phi) wird durch Induktion definiert, wobei (g) eine Zuordnung ist, (w) ein Element von (W) und (mathtt { phi}) ist eine Formel.

(M, g, w / vDash / mathtt {p}) iff (V (w, / mathtt {p}) = 1)

(M, g, w / vDash / mathtt {a}) iff (w = g (mathtt {a}))

(M, g, w / vDash / mathtt { phi / wedge / psi}) iff (M, g, w / vDash / mathtt { phi }) und (M, g, w / vDash / mathtt { psi})

(M, g, w / vDash / mathtt { neg / phi}) wenn nicht (M, g, w / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt { Box} phi) iff für ein Element (v) von (W), so dass (wRv) ist es der Fall, dass (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {@_ a / phi}) iff (M, g, g (mathtt {a}) vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt { für alle a / phi}) iff für jedes (mathtt {a}) - Variante (g ') von (g) ist es der Fall, dass (M, g', w / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {{ downarrow} a / phi}) iff (M, g ', w / vDash / mathtt { phi}) wobei (g') das ist (mathtt {a}) - Variante von (g), so dass (g '(mathtt {a}) = w).

Eine Formel (mathtt { phi}) soll bei (w) wahr sein, wenn (M, g, w / vDash / mathtt { phi}); andernfalls soll es bei (w) falsch sein. Gemäß Konvention bedeutet (M, g / vDash / mathtt { phi}) (M, g, w / vDash / mathtt { phi}) für jedes Element (w) von (W) und (M / vDash / mathtt { phi}) bedeutet (M, g / vDash / mathtt { phi}) für jede Zuordnung (g). Eine Formel (mathtt { phi}) ist in einem Frame genau dann gültig, wenn (M / vDash / mathtt { phi}) für ein Modell (M), das auf dem betreffenden Frame basiert. Eine Formel (mathtt { phi}) ist in einer Klasse von Frames (F) genau dann gültig, wenn (mathtt { phi}) in einem Frame in (F) gültig ist. Eine Formel (mathtt { phi}) ist genau dann gültig, wenn (mathtt { phi}) in der Klasse aller Frames gültig ist. Die Definition der Erfüllbarkeit bleibt dem Leser überlassen.

Beachten Sie, dass der Ordner (mathtt { downarrow}) in Form von (mathtt { forall}) als Formel (mathtt {{ downarrow} a / phi / leftrightarrow / forall a () definiert werden kann a / rightarrow / phi)}) ist in jedem Frame gültig.

Die Tatsache, dass die Hybridisierung gewöhnlicher Modallogik tatsächlich mehr Ausdruckskraft verleiht, kann zum Beispiel anhand der Formel (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) gesehen werden. Es ist einfach zu überprüfen, ob diese Formel in einem Frame genau dann gültig ist, wenn der Frame irreflexiv ist. Somit kann Irreflexivität durch eine hybridlogische Formel ausgedrückt werden, aber es ist bekannt, dass sie nicht durch irgendeine Formel gewöhnlicher modaler Logik ausgedrückt werden kann. Irreflexivität kann tatsächlich nur durch Hinzufügen von Nominalen zur gewöhnlichen Modallogik ausgedrückt werden, nämlich durch die Formel (mathtt {c / rightarrow / Box / neg c}). Andere Beispiele für Eigenschaften, die in der Hybridlogik, aber nicht in der gewöhnlichen Modallogik ausgedrückt werden können, sind Asymmetrie (ausgedrückt durch (mathtt {c / rightarrow / Box / neg / Diamond c})), Antisymmetrie (ausgedrückt durch (mathtt {) c / rightarrow / Box (Diamond c / rightarrow c)})),und Universalität (ausgedrückt durch (mathtt { Diamond c})).

Im Handbuch Kapitel Areces und Ten Cate (2006) finden Sie eine detaillierte Darstellung der Syntax und Semantik der Hybridlogik sowie viele andere grundlegende Definitionen. Die obige Syntax und Semantik kann auf verschiedene Arten erweitert werden, insbesondere können Maschinen erster Ordnung hinzugefügt werden (ein äquivalenter Weg, um eine Hybridlogik erster Ordnung zu erhalten, besteht natürlich darin, hybride logische Maschinen erster Ordnung hinzuzufügen Logik). Siehe Braüner (2014) für einen Überblick über die Hybridlogik erster Ordnung, siehe Kapitel 6 von Braüner (2011a) für eine detailliertere Darstellung und siehe Kapitel 7 von Braüner (2011a) für eine Darstellung der intensiven Hybridlogik erster Ordnung.

3. Übersetzungen

Hybridlogik kann in Logik erster Ordnung mit Gleichheit übersetzt werden, und (ein Fragment von) Logik erster Ordnung mit Gleichheit kann zurück in (ein Fragment von) Hybridlogik übersetzt werden. Die betrachtete Sprache erster Ordnung hat ein 1-stelliges Prädikatsymbol (mathtt {p ^ *}), das jedem gewöhnlichen Satzsymbol (mathtt {p}) der Modallogik entspricht, ein 2-stelliges Prädikatsymbol (mathtt {R}) und ein 2-stelliges Prädikatsymbol (mathtt {=}). Natürlich wird das Prädikatsymbol (mathtt {p ^ *}) so interpretiert, dass es die Interpretation des entsprechenden modalen Satzsymbols (mathtt {p}) auf Welten relativiert, das Prädikatsymbol (mathtt {R}) wird unter Verwendung der Barrierefreiheitsrelation interpretiert, und das Prädikatsymbol (mathtt {=}) wird unter Verwendung der Identitätsrelation auf Welten interpretiert. Wir lassen (mathtt {a}, / mathtt {b},\ mathtt {c}, / ldots) liegen über Variablen erster Ordnung. Die Sprache hat keine Konstanten- oder Funktionssymbole. Wir werden Variablen erster Ordnung mit Nominalen der Hybridlogik identifizieren.

Wir übersetzen zuerst hybride Logik in Logik erster Ordnung mit Gleichheit. Bei zwei neuen Variablen erster Ordnung (mathtt {a}) und (mathtt {b}) sind die Übersetzungen (mathrm {ST} _ / mathtt {a}) und (mathrm { ST} _ / mathtt {b}) werden durch gegenseitige Rekursion definiert. Wir geben nur die Übersetzung (mathrm {ST} _ / mathtt {a}).

) begin {align *} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {p}) & = / mathtt {p ^ * (a)} / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a } (mathtt {c}) & = / mathtt {a = c} / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi / wedge / psi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) mathtt { wedge} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { psi}) / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a } (mathtt { neg / phi}) & = / mathtt { neg} mathrm {ST} _a (phi) / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { Box / phi }) & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt { phi}) mathtt {)} / \ mathrm {ST } _ / mathtt {a} (mathtt {@_ c / phi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi})) mathtt {c} / / mathtt {a}] / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {{ downarrow} c / phi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi})) mathtt {a} / / mathtt {c}] / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { forall c / phi}) &= / mathtt { forall c} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) end {align *})

Die Definition von (mathrm {ST} _ / mathtt {b}) wird durch Austausch von (mathtt {a}) und (mathtt {b}) erhalten. Die Übersetzung ist eine Erweiterung der bekannten Standardübersetzung von der Modallogik in die Logik erster Ordnung. Als Beispiel zeigen wir Schritt für Schritt, wie die hybride logische Formel (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) in eine Formel erster Ordnung übersetzt wird:

) begin {align *} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { Box / neg c})) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt { neg c}) mathtt {)}) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt {c}) mathtt {)}) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R. (a, b) rightarrow / neg b = c)}) mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg b = ein)}. / end {align *})

Die resultierende Formel erster Ordnung entspricht (mathtt { neg R (a, a)}), was zeigt, dass (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) tatsächlich entspricht die Zugänglichkeitsrelation ist irreflexiv, vgl. über.

Logik erster Ordnung mit Gleichheit kann durch die unten angegebene Übersetzung HT zurück in hybride Logik übersetzt werden.

) begin {align *} mathrm {HT} (mathtt {p ^ * (a)}) & = / mathtt {@_ a p} / \ mathrm {HT} (mathtt {R (a, c)}) & = / mathtt {@_ a / Diamond c} / \ mathrm {HT} (mathtt {a = c}) & = / mathtt {@_ a c} / \ mathrm {HT} (mathtt { phi / wedge / psi}) & = / mathrm {HT} (mathtt { phi}) mathtt { wedge} mathrm {HT} (mathtt { psi}) / \ mathrm {HT} (mathtt { neg / phi}) & = / mathtt { neg} mathrm {HT} (mathtt { phi}) / \ mathrm {HT} (mathtt { forall a / phi}) & = / mathtt { forall a} mathrm {HT} (mathtt { phi}) end {align *})

Beachten Sie, dass der hybride logische Ordner (mathtt { forall}) benötigt wird. Die Geschichte der oben genannten Beobachtungen geht auf die Arbeit von Arthur N. Prior zurück. Wir werden später darauf zurückkommen.

In ähnlicher Weise kann das, was als begrenztes Fragment der Logik erster Ordnung bezeichnet wird, in die Hybridlogik übersetzt werden, aber hier wird nur der Binder (mathtt { downarrow}) benötigt, wie in der Veröffentlichung Areces, Blackburn und Marx ausgeführt (2001). Das begrenzte Fragment ist das Fragment der Logik erster Ordnung mit der Eigenschaft, dass Quantifizierer nur wie in der Formel (mathtt { forall c (R (a, c) rightarrow / phi)}) auftreten, wo es erforderlich ist dass die Variablen (mathtt {a}) und (mathtt {c}) unterschiedlich sind. Eine Übersetzung vom begrenzten Fragment in die Hybridlogik ohne den Binder (mathtt { forall}) kann erhalten werden, indem die letzte Klausel in der obigen Übersetzung HT durch ersetzt wird

) mathrm {HT} (mathtt { forall c (R (a, c) rightarrow / phi)}) = / mathtt {@_ a / Box { downarrow} c} mathrm {HT} (mathtt { phi}).)

In Areces, Blackburn und Marx (2001) wird eine Reihe unabhängiger semantischer Charakterisierungen des begrenzten Fragments angegeben.

Die oben angegebenen Übersetzungen sind wahrheitsbewusst. Um dies formal zu formulieren, nutzt man die bekannte Beobachtung, dass Modelle und Zuweisungen für die Hybridlogik als Modelle und Zuweisungen für die Logik erster Ordnung betrachtet werden können und umgekehrt. Diese Ergebnisse zur Wahrung der Wahrheit sind einfach zu formulieren und wir überlassen die Details dem Leser. Somit hat die Hybridlogik mit dem Binder (mathtt { forall}) die gleiche Ausdruckskraft wie die Logik erster Ordnung mit Gleichheit und die Hybridlogik ohne den Binder (mathtt { forall}) (aber mit Der Ordner (mathtt { downarrow})) hat dieselbe Ausdruckskraft wie das begrenzte Fragment der Logik erster Ordnung (beachten Sie, dass die Übersetzung (mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {) phi})) einer Formel (mathtt { phi}) ohne den Binder (mathtt { forall}) befindet sich im begrenzten Fragment).

Die obigen Übersetzungen können auf Hybridlogik erster Ordnung erweitert werden. In diesem Fall ist die relevante Ziellogik eine zweisortierte Logik erster Ordnung mit Gleichheit, eine Sortierung für Welten und eine Sortierung für Individuen, siehe Kapitel 6 von Braüner (2011a). Bei der intensiven Hybridlogik erster Ordnung werden drei Sorten verwendet, die dritte für Intensionen, siehe Kapitel 7 von Braüner (2011a).

4. Arthur N. Prior und hybride Logik

Die Geschichte der hybriden Logik geht zurück auf die hybride Zeitlogik von Arthur N. Prior, eine hybridisierte Version der gewöhnlichen Zeitlogik. Um dies weiter zu untersuchen, werden wir eine formale Definition der Hybridformlogik geben: Die Sprache der Hybridformlogik ist einfach die Sprache der oben definierten Hybridlogik, außer dass es zwei Modaloperatoren gibt, nämlich (mathtt {G}) und (mathtt {H}) anstelle des einzelnen modalen Operators (mathtt { Box}). Die beiden neuen Modaloperatoren werden als Zeitoperatoren bezeichnet. Die Semantik der Hybridformlogik ist die Semantik der Hybridlogik, vgl. zuvor wurde die Klausel für (mathtt { Box}) durch Klauseln für die angespannten Operatoren (mathtt {G}) und (mathtt {H}) ersetzt.

(M, g, w / vDash / mathtt {G / phi}) Wenn für ein Element (v) von (W), so dass (wRv), ist es der Fall, dass (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {H / phi}) iff für jedes Element (v) von (W), so dass (vRw) ist es der Fall, dass (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

Somit gibt es jetzt zwei modale Operatoren, nämlich einen, der entlang der Zugänglichkeitsrelation „nach vorne schaut“und einen, der „nach hinten schaut“. In der Zeitlogik werden die Elemente der Menge (W) Momente oder Momente genannt, und die Beziehung (R) wird die früher-spätere Beziehung genannt.

Natürlich ist es einfach, die obigen Übersetzungen (mathrm {ST} _a) und (mathrm {HT}) so zu ändern, dass Übersetzungen zwischen hybrider Zeitlogik (einschließlich (mathtt { forall) erhalten werden }) Binder) und Logik erster Ordnung mit Gleichheit. Die betrachtete Logik erster Ordnung ist die von Prior als früher-später bezeichnete Logik erster Ordnung. In Anbetracht der Übersetzungen folgt, dass die früher-später-Logik erster Ordnung von Prior dieselbe Ausdruckskraft hat wie die hybride Zeitlogik.

Nun führte Prior die hybride Zeitlogik in Verbindung mit dem ein, was er vier Grade der angespannten logischen Beteiligung nannte. Die Motivation für seine vier Grade der angespannten logischen Beteiligung war philosophisch. Die vier Noten wurden im Buch Prior (1968), Kapitel XI (auch Kapitel XI in der neuen Ausgabe Prior (2003)) vorgestellt. Siehe auch Prior (1967), Kapitel V.6 und Anhang B.3-4. Für eine allgemeinere Diskussion siehe das posthum veröffentlichte Buch Prior and Fine (1977). Die Stufen entwickeln sich von einer Logik, die als reine Logik früherer und später erster Ordnung angesehen werden kann, zu einer Logik, die als reine Zeitlogik angesehen werden kann. Ziel ist es, die angespannte Logik der vierten Stufe als die früher-spätere Logik der ersten Stufe umfassend betrachten zu können. Mit anderen Worten, das Ziel war es, die Logik erster Ordnung der früher-späteren Beziehung in eine angespannte Logik übersetzen zu können. Vor diesem Hintergrund führte Prior sogenannte Sofortvorschläge ein:

Was ich die dritte Klasse der angespannten logischen Beteiligung nennen werde, besteht darin, die Momentanvariablen (a, b, c) usw. so zu behandeln, dass sie auch Sätze darstellen. (Vor 2003, S. 124)

Im Kontext der Modallogik nannte Prior solche Sätze mögliche Weltsätze. Das nennen wir hier natürlich Nominale. Prior führte auch den Ordner (mathtt { forall}) und die hier als Zufriedenheitsoperatoren bezeichneten Operatoren ein (er verwendete die Notation (mathtt {T (a, / phi)}) anstelle von (mathtt {@ _a / phi}) für Zufriedenheitsoperatoren). Tatsächlich ist die Spannungslogik der dritten Klasse von Prior identisch mit der oben definierten hybriden Zeitlogik. Der Ordner (mathtt { downarrow}) wurde viel später eingeführt. So erhielt Prior die Ausdruckskraft seiner früher-späteren Logik erster Ordnung, indem er der gewöhnlichen Zeitlogik weitere Ausdruckskraft in Form von Nominalen, Zufriedenheitsoperatoren und dem Binder (mathtt { forall}) hinzufügte. Aus technischer Sicht hat er also sein Ziel klar erreicht.

Aus philosophischer Sicht wurde jedoch diskutiert, ob der ontologische Import seiner Zeitlogik der dritten Klasse der gleiche ist wie der ontologische Import der früher-später-Logik erster Ordnung. Zum Beispiel wird der Ordner (mathtt { forall}) von einigen Autoren als direkte Analogie zum Quantifizierer erster Ordnung (mathtt { forall}) angesehen und ist daher verdächtig; siehe zum Beispiel die Arbeit Sylvan (1996) in der Sammlung Copeland (1996). Auch eine Reihe anderer Artikel in dieser Sammlung sind relevant. Siehe Braüner (2002) für eine Diskussion der angespannten Logik der vierten Klasse von Prior. Siehe auch Øhrstrøm und Hasle (1993), Øhrstrøm und Hasle (2006), Müller (2007) und Blackburn (2007). Siehe schließlich die Diskussion der vier Noten von Prior in Kapitel 1 von Braüner (2011a).

Die oben erwähnte Arbeit Øhrstrøm and Hasle (2006) gibt einen detaillierten Überblick über die logische Arbeit von Prior. Für eine umfassende Darstellung von Prior's Leben und Werk siehe das Buch Øhrstrøm and Hasle (1995). Die Arbeit Hasle und Øhrstrøm (2016) beschreibt den methodischen Ansatz von Prior, insbesondere seine Sicht auf die Formalisierung und die Rolle der symbolischen Logik in konzeptuellen Studien.

5. Die Entwicklung der hybriden Logik seit Prior

Die erste völlig strenge Definition der hybriden Logik wurde in Bull (1970) gegeben, die in einer Sonderausgabe der Zeitschrift Theoria in Erinnerung an Prior erschien. Bull führt eine dritte Art von Satzsymbolen ein, bei der angenommen wird, dass ein Satzsymbol genau an einem Zweig („Verlauf der Ereignisse“) in einem Verzweigungszeitmodell wahr ist. Diese Idee, Satzsymbole nach Einschränkungen ihrer Interpretation zu sortieren, wurde später von einer Reihe von Autoren weiterentwickelt, siehe Abschnitt 5 der Arbeit Blackburn und Tzakova (1999) für eine Diskussion.

Die von Prior Ende der 1960er Jahre ursprünglich erfundene hybride logische Maschinerie wurde in den 1980er Jahren von Solomon Passy und Tinko Tinchev aus Bulgarien neu erfunden, siehe Passy und Tinchev (1985) sowie Passy und Tinchev (1991). Anstelle einer gewöhnlichen modalen Logik fand diese Arbeit im Zusammenhang mit der viel ausdrucksstärkeren aussagekräftigen dynamischen Logik statt.

Ein wichtiger Beitrag in den neunziger Jahren war die Einführung des Bindemittels (mathtt { downarrow}). Eine frühe Version des Downarrow-Bindemittels wurde von Valentin Goranko in den Zeitungen Goranko (1994) und Goranko (1996) eingeführt. Die Version der vorliegenden Arbeit wurde in Blackburn und Seligman (1995) eingeführt. Seitdem wurde die hybride Logik mit dem Bindemittel (mathtt { downarrow}) eingehend untersucht, siehe beispielsweise die Arbeit Areces, Blackburn und Marx (2001) zu modelltheoretischen Aspekten dieser Logik. Eine umfassende Studie zur Modelltheorie der Hybridlogik ist die Doktorarbeit von ten Cate (2004).

Auch die schwächere Hybridlogik, die durch Weglassen der beiden Ordner (mathtt { downarrow}) und (mathtt { forall}) erhalten wurde, war Gegenstand umfangreicher Untersuchungen. Es stellt sich heraus, dass diese bindemittelfreie Logik und eine Reihe von Varianten davon entscheidbar sind. In der Arbeit Areces, Blackburn und Marx (1999) werden eine Reihe von Komplexitätsergebnissen für hybride modale und angespannte Logiken über verschiedene Klassen von Rahmen angegeben, beispielsweise willkürlich, transitiv, linear und verzweigt. Es ist bemerkenswert, dass das Erfüllbarkeitsproblem der bindemittelfreien Hybridlogik über beliebige Rahmen in PSPACE entscheidbar ist, was der Komplexität der Entscheidung über die Erfüllbarkeit in gewöhnlicher modaler Logik entspricht. Die Hybridisierung gewöhnlicher Modallogik ergibt somit mehr Ausdruckskraft, aber die Komplexität bleibt gleich. Es wurden einige Arbeiten zur Simulation von Nominalen innerhalb der Modallogik durchgeführt.siehe Kracht und Wolter (1997).

Jede gewöhnliche Modalformel drückt eine monadische Eigenschaft zweiter Ordnung für Frames aus, und es ist bekannt, dass für einige Modalformeln, einschließlich der sogenannten Sahlqvist-Formeln, die Eigenschaft zweiter Ordnung einer Eigenschaft erster Ordnung entspricht. In der Arbeit Goranko und Vakarelov (2006) wird gezeigt, dass dies auch für eine Klasse von hybriden logischen Formeln gilt, einschließlich Nominalen. Es gibt verschiedene Algorithmen zur Berechnung von Äquivalenten erster Ordnung der gewöhnlichen Modalformel. Ein solcher Algorithmus, SQEMA, wurde in der Arbeit Conradie, Goranko und Vakarelov (2006) erweitert, um die in Goranko und Vakarelov (2006) berücksichtigten hybriden logischen Formeln zu umfassen.

Es ist bemerkenswert, dass die Hybridlogik erster Ordnung genau die Merkmale bietet, die zum Beweis von Interpolationssätzen erforderlich sind: Während die Interpolation in einer Reihe bekannter Modallogiken erster Ordnung fehlschlägt, haben ihre hybridisierten Gegenstücke diese Eigenschaft, siehe Areces, Blackburn und Marx (2003) sowie Blackburn und Marx (2003). Die erste Arbeit liefert einen modelltheoretischen Beweis für die Interpolation, während die zweite Arbeit einen Algorithmus zur Berechnung von Interpolanten basierend auf einem Tableausystem liefert.

Es sollte auch erwähnt werden, dass Logiken, die der Hybridlogik ähnlich sind, eine zentrale Rolle im Bereich der Beschreibungslogik spielen, bei der es sich um eine Logikfamilie handelt, die für die Wissensrepräsentation in der künstlichen Intelligenz verwendet wird, siehe die Arbeit Blackburn und Tzakova (1998) und Carlos Areces 'PhD Diplomarbeit (2000).

Wie im vorherigen Abschnitt beschrieben, führte Prior die hybride Zeitlogik ein, um sich mit einem bestimmten Thema in der Zeitphilosophie zu befassen, aber in Prior (1968), Kapitel XIV (auch Kapitel XIV in der neuen Ausgabe Prior (2003)) zeigte er dies ebenfalls Diese hybride Zeitlogik kann eine zweidimensionale zeitliche Logik ersetzen, die von Hans Kamp in Kamp (1971) eingeführt wurde. Die Dimension ist einfach die Anzahl der Momente, zu denen eine Formel relativ bewertet wird. Durch Hinzufügen einer hybridlogischen Maschinerie können also zwei Dimensionen durch eine ersetzt werden. Diese Arbeit wurde kürzlich in einer Reihe von Arbeiten von Blackburn und Jørgensen weiterverfolgt, siehe Blackburn und Jørgensen (2016a) für einen Überblick. Wir geben nun eine kurze Skizze dieser Arbeit, die an die Terminologie des vorliegenden Papiers angepasst ist. Die fragliche Version der Hybridlogik hat einen festgelegten Nennwert (mathtt {now}) und jedes Modell wird mit einer festgelegten Zeit (t_0) zusammengeführt, so dass i) jede eigenständige Formel relativ zu (t_0) bewertet wird) und ii) das Nominal (mathtt {now}) bezieht sich auf (t_0). Formal nehmen wir die Konvention an, dass ((M, t_0), g / vDash / mathtt { phi}) (M, g, t_0 / vDash / mathtt { phi}) bedeutet, und betrachten nur Zuweisungen (g) wobei (g (mathtt {now}) = t_0). Beachten Sie, dass das Nominal (mathtt {now}), das als eigenständige Formel betrachtet wird, in dieser Semantik gültig ist, dies ist jedoch bei keinem anderen Nominal der Fall. Dieser neue Begriff der Gültigkeit wird von Blackburn und Jørgensen als kontextbezogene Gültigkeit bezeichnet. Die Arbeit Blackburn and Jørgensen (2013) gibt ein Axiomensystem an, das vollständig ist. dieser Begriff der kontextuellen Gültigkeit. Das Papier Blackburn und Jørgensen (2012) liefert ein vollständiges Tableausystem, aber die Semantik dieses Papiers stimmt mit Kamps ursprünglicher zweidimensionaler Semantik überein. Beide Artikel berücksichtigen auch weitere Indexicals wie (mathtt {gestern}), (mathtt {heute}) und (mathtt {morgen}).

Die Arbeit Blackburn und Jørgensen (2016b) verwendet eine hybride Zeitlogik, um die Ideen von Prior mit denen von Hans Reichenbach zur Darstellung natürlicher Zeitformen zu kombinieren. Prior bevorzugte die oben beschriebenen bekannten Zeitoperatoren, während Reichenbach zeitliche Referenzen bevorzugte, dh Verweise auf bestimmte Zeiten, Reichenbach (1947). Es stellt sich heraus, dass die beiden Ansätze kombiniert werden können, was nicht der Weg war, den Prior selbst eingeschlagen hat - siehe die Darstellung in Blackburn und Jørgensen (2016b),

6. Axiome für die Hybridlogik

Eine Reihe von Arbeiten befasste sich mit Axiomen für die hybride Logik, beispielsweise Gargov und Goranko (1993), Blackburn (1993) sowie Blackburn und Tzakova (1999). In der Arbeit Gargov und Goranko (1993) wird ein Axiomensystem für die hybride Logik angegeben, und es wird gezeigt, dass, wenn das System um eine Reihe zusätzlicher Axiome erweitert wird, die reine Formeln sind (dh Formeln, bei denen alle Satzsymbole Nominale sind). dann ist das erweiterte Axiomensystem in Bezug auf die Klasse von Rahmen, die die fraglichen Axiome validieren, vollständig. Reine Formeln entsprechen Bedingungen erster Ordnung für die Barrierefreiheitsrelation (vgl. Die Übersetzung (mathrm {ST} _ / mathtt {a}) oben), also Axiomensysteme für neue Hybridlogiken mit Bedingungen erster Ordnung für die Barrierefreiheit Die Beziehung kann auf einheitliche Weise erhalten werden, indem gegebenenfalls Axiome hinzugefügt werden. So,Wenn zum Beispiel die Formel (mathtt {c / rightarrow / Box / neg c}) als Axiom hinzugefügt wird, ist das resultierende System in Bezug auf irreflexive Frames vollständig, vgl. vorhin. Siehe die Diskussion solcher Regeln in Abschnitt 4 des Papiers Blackburn (2000).

Das Beweissystem in Gargov und Goranko (1993) verwendet eine komplexe Regel (COV genannt), bei der das Formelschema, das den aktiven Teil der Regel enthält, beliebig groß sein kann. Tatsächlich ist der aktive Teil in beliebig tiefe Verschachtelungen von Modaloperatoren eingebettet. Blackburn und Tzakova (1999) zeigen, dass Zufriedenheitsoperatoren verwendet werden können, um ein Axiomensystem in einem Standardformat unter Verwendung einer einfacheren Regel namens PASTE zu formulieren, sodass das System bei Erweiterung mit reinen Axionen immer noch vollständig ist.

Die Arbeit Blackburn and ten Cate (2006) untersucht orthodoxe Beweisregeln (die Beweisregeln ohne Nebenbedingungen sind) in Axiomensystemen, und es wird gezeigt, dass unorthodoxe Beweisregeln unabdingbar sind, wenn man eine erweiterte Vollständigkeit unter Verwendung reiner Formeln benötigt in Axiomensystemen für bindemittelfreie Hybridlogik, aber ein Axiomensystem kann nur mit orthodoxen Beweisregeln für die stärkere Hybridlogik einschließlich des Binders (mathtt { downarrow}) angegeben werden. Siehe auch das Buch Braüner (2011a) für ein anderes Axiomensystem für Hybridlogik sowie Axiomensysteme für intuitionistische Hybridlogik und eine Hybridisierung von Nelsons parakonsistenter Logik N4 (vergleiche mit Costa und Martins (2016), wo eine andere parakonsistente Hybridlogik betrachtet wird). Eine Übersicht über die intuitionistische Hybridlogik findet sich in Braüner (2011b).

Die Arbeit Areces, Blackburn, Huertas und Manzano (2014) befasst sich mit einer hybridlogischen Version der Modallogik höherer Ordnung (dh der Modallogik, die auf der einfachen Typentheorie der Kirche aufbaut). Axiomensysteme sind gegeben und die Vollständigkeit wird nachgewiesen. Semantik vom Henkin-Typ. Die Arbeit Blackburn, Huertas, Manzano und Jørgensen (2014) erweitert diese Ergebnisse auf den Downarrow-Binder und gibt Übersetzungen zum und vom begrenzten Fragment der Logik erster Ordnung (siehe oben).

7. Analytische Beweismethoden für die Hybridlogik

Tableau-, Gentzen- und Natural-Deduction-Proof-Theorie für hybride Logik funktionieren im Vergleich zur gewöhnlichen modalen Logik sehr gut. Wenn ein Modaltableau, ein Gentzen oder ein natürliches Abzugssystem angegeben wird, handelt es sich normalerweise um eine bestimmte Modallogik, und es hat sich als problematisch herausgestellt, solche Systeme für die Modallogik auf einheitliche Weise zu formulieren, ohne metallsprachliche Maschinen einzuführen. Dies kann durch Hybridisierung behoben werden, dh die Hybridisierung modaler Logiken ermöglicht die Formulierung einheitlicher Tableau-, Gentzen- und natürlicher Deduktionssysteme für breite Klassen von Logiken. In der Arbeit Blackburn (2000) wird ein Tableausystem für die Hybridlogik vorgestellt, das dieses wünschenswerte Merkmal aufweist: Analog zum Axiomensystem von Blackburn und Tzakova (1999) bleibt die Vollständigkeit erhalten, wenn das Tableausystem um eine Reihe reiner Axiome erweitert wird,Eine Reihe von reinen Formeln, die während der Tableau-Konstruktion einem Tableau hinzugefügt werden dürfen. Das Tableausystem von Blackburn (2000) ist die Grundlage für ein Entscheidungsverfahren für das bindemittelfreie Fragment der Hybridlogik, das in Bolander und Braüner (2006) angegeben wurde. Diese Arbeit wurde in den Zeitungen Bolander und Blackburn (2007) sowie Bolander und Blackburn (2009) fortgesetzt. Die Arbeit Cerrito and Cialdea (2010) präsentiert ein weiteres tableau-basiertes Entscheidungsverfahren für hybride Logik. Weitere Entscheidungsverfahren für hybride Logiken, die ebenfalls auf der Proof-Theorie basieren, sind in der Arbeit Kaminski und Smolka (2009) angegeben. Die Verfahren der letzteren Veröffentlichung basieren auf einer Formulierung höherer Ordnung der Hybridlogik, die den einfach typisierten Lambda-Kalkül beinhaltet. Das Tableausystem von Blackburn (2000) ist die Grundlage für ein Entscheidungsverfahren für das bindemittelfreie Fragment der Hybridlogik, das in Bolander und Braüner (2006) angegeben wurde. Diese Arbeit wurde in den Zeitungen Bolander und Blackburn (2007) sowie Bolander und Blackburn (2009) fortgesetzt. Die Arbeit Cerrito and Cialdea (2010) präsentiert ein weiteres tableau-basiertes Entscheidungsverfahren für hybride Logik. Weitere Entscheidungsverfahren für hybride Logiken, die ebenfalls auf der Proof-Theorie basieren, sind in der Arbeit Kaminski und Smolka (2009) angegeben. Die Verfahren der letzteren Veröffentlichung basieren auf einer Formulierung höherer Ordnung der Hybridlogik, die den einfach typisierten Lambda-Kalkül beinhaltet. Das Tableausystem von Blackburn (2000) ist die Grundlage für ein Entscheidungsverfahren für das bindemittelfreie Fragment der Hybridlogik, das in Bolander und Braüner (2006) angegeben wurde. Diese Arbeit wurde in den Zeitungen Bolander und Blackburn (2007) sowie Bolander und Blackburn (2009) fortgesetzt. Die Arbeit Cerrito and Cialdea (2010) präsentiert ein weiteres tableau-basiertes Entscheidungsverfahren für hybride Logik. Weitere Entscheidungsverfahren für hybride Logiken, die ebenfalls auf der Proof-Theorie basieren, sind in der Arbeit Kaminski und Smolka (2009) angegeben. Die Verfahren der letzteren Veröffentlichung basieren auf einer Formulierung höherer Ordnung der Hybridlogik, die den einfach typisierten Lambda-Kalkül beinhaltet. Diese Arbeit wurde in den Zeitungen Bolander und Blackburn (2007) sowie Bolander und Blackburn (2009) fortgesetzt. Die Arbeit Cerrito and Cialdea (2010) präsentiert ein weiteres tableau-basiertes Entscheidungsverfahren für hybride Logik. Weitere Entscheidungsverfahren für hybride Logiken, die ebenfalls auf der Proof-Theorie basieren, sind in der Arbeit Kaminski und Smolka (2009) angegeben. Die Verfahren der letzteren Veröffentlichung basieren auf einer Formulierung höherer Ordnung der Hybridlogik, die den einfach typisierten Lambda-Kalkül beinhaltet. Diese Arbeit wurde in den Zeitungen Bolander und Blackburn (2007) sowie Bolander und Blackburn (2009) fortgesetzt. Die Arbeit Cerrito and Cialdea (2010) präsentiert ein weiteres tableau-basiertes Entscheidungsverfahren für hybride Logik. Weitere Entscheidungsverfahren für hybride Logiken, die ebenfalls auf der Proof-Theorie basieren, sind in der Arbeit Kaminski und Smolka (2009) angegeben. Die Verfahren der letzteren Veröffentlichung basieren auf einer Formulierung höherer Ordnung der Hybridlogik, die den einfach typisierten Lambda-Kalkül beinhaltet. Die Verfahren der letzteren Veröffentlichung basieren auf einer Formulierung höherer Ordnung der Hybridlogik, die den einfach typisierten Lambda-Kalkül beinhaltet. Die Verfahren der letzteren Veröffentlichung basieren auf einer Formulierung höherer Ordnung der Hybridlogik, die den einfach typisierten Lambda-Kalkül beinhaltet.

Der Artikel Hansen, Bolander und Braüner (2017) gibt ein tableau-basiertes Entscheidungsverfahren für eine vielwertige Hybridlogik an, dh eine Hybridlogik, bei der die zweiwertige klassische Logikbasis auf eine vielwertige Logikbasis mit a verallgemeinert wurde Wahrheitsraum mit der Struktur einer endlichen Heyting-Algebra. Hansen (2010) gibt ein Tableau-basiertes Entscheidungsverfahren für eine hybridisierte Version einer dynamischen epistemischen Logik an, die als öffentliche Ankündigungslogik bezeichnet wird. Dies ist auch ein wichtiges Thema der Doktorarbeit Hansen (2011).

Die Proof-Theorie der hybriden Logik im natürlichen Deduktionsstil wurde in dem Buch Braüner (2011a) untersucht. Dieses Buch enthält auch ein Gentzen-System für die Hybridlogik. Diese natürlichen Deduktions- und Gentzen-Systeme können um zusätzliche Beweisregeln erweitert werden, die Bedingungen erster Ordnung für die Zugänglichkeitsrelationen entsprechen, die durch sogenannte geometrische Theorien ausgedrückt werden (dies ist natürlich analog zur Erweiterung von Tableau- und Axiomensystemen mit reinen Axiomen). Siehe auch Braüner und de Paiva (2006), wo ein natürliches Deduktionssystem für die intuitionistische Hybridlogik angegeben ist (Kapitel 8 von Braüner (2011a)).

Tableau-Systeme für Hybridlogik erster Ordnung finden sich in der Arbeit Blackburn and Marx (2002). Natürliche Deduktions- und Axiomensysteme für die Hybridlogik erster Ordnung finden sich in Kapitel 6 des Buches Braüner (2011a), und Kapitel 7 des Buches befasst sich mit der natürlichen Deduktion für die intensive Hybridlogik erster Ordnung. Die Arbeit Barbosa, Martins und Carreteiro (2014) gibt eine Axiomatisierung eines Fragments der Hybridlogik erster Ordnung, das als äquationale Hybridlogik erster Ordnung bezeichnet wird.

Schonende und natürliche Abzugssysteme für Logik ähnlich der Hybridlogik wurden bereits in den 1990er Jahren von Jerry Seligman untersucht, siehe die Übersicht in Seligman (2001). Insbesondere entwickelte Seligman Proof-Systeme, die mit beliebigen Formeln arbeiten, nicht nur mit Zufriedenheitsaussagen. Letzteres gilt für die meisten Proof-Systeme für hybride Logik, bei denen Zufriedenheitsoperatoren verwendet werden, um auf Informationen zuzugreifen, die hinter Modalitäten verborgen sind. Ein natürliches Abzugssystem in diesem Stil wurde in Seligman (1997) eingeführt und dieses System wurde in Kapitel 4 des Buches Braüner (2011a) weiterentwickelt. In Blackburn, Bolander, Braüner und Jørgensen (2017) wurde ein Tableausystem in Seligmans Beweisstil in Betracht gezogen, bei dem ein syntaktischer Vollständigkeitsnachweis erbracht wird. Ein semantischer vollständiger Beweis des Tableausystems findet sich in Jørgensen, Blackburn, Bolander,Braüner (2016). Das Denken in diesen Systemen beruht nicht direkt auf den globalen Codierungen, die Zufriedenheitsoperatoren ermöglichen. Daher können diese Systeme eher im Einklang mit dem lokalen Charakter der Standard-Kripke-Semantik für die Modallogik betrachtet werden. Tatsächlich macht dieser lokalere Argumentationsstil diese Systeme zur Formalisierung des perspektivischen Denkens geeignet, das bei bestimmten psychologischen Argumentationsaufgaben stattfindet, siehe Braüner (2014b) sowie Braüner, Blackburn und Polyanskaya (2016). Dieser lokalere Argumentationsstil macht diese Systeme zur Formalisierung des perspektivischen Denkens geeignet, das bei bestimmten psychologischen Argumentationsaufgaben stattfindet, siehe Braüner (2014b) sowie Braüner, Blackburn und Polyanskaya (2016). Dieser lokalere Argumentationsstil macht diese Systeme zur Formalisierung des perspektivischen Denkens geeignet, das bei bestimmten psychologischen Argumentationsaufgaben stattfindet, siehe Braüner (2014b) sowie Braüner, Blackburn und Polyanskaya (2016).

Einige Arbeiten in Auflösungskalkülen und Modellprüfungen wurden durchgeführt, siehe Areces, de Rijke und de Nivelle (2001) sowie Areces und Gorin (2011) für Auflösungskalküle und siehe Franceschet und de Rijke (2006) sowie Lange (2009) für Ergebnisse zur Modellprüfung.

Seit Mitte der neunziger Jahre blüht die Arbeit an hybrider Logik. Wir verweisen den Leser auf die Veröffentlichungen in der Bibliographie für weitere Referenzen. Weitere Informationen finden Sie in den folgenden Internetquellen.

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