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Intuitionismus in der Philosophie der Mathematik
Erstveröffentlichung Do 4. September 2008; inhaltliche Überarbeitung Di 11. Juni 2019
Intuitionismus ist eine Philosophie der Mathematik, die vom niederländischen Mathematiker LEJ Brouwer (1881–1966) eingeführt wurde. Der Intuitionismus basiert auf der Idee, dass Mathematik eine Schöpfung des Geistes ist. Die Wahrheit einer mathematischen Aussage kann nur durch eine mentale Konstruktion verstanden werden, die beweist, dass sie wahr ist, und die Kommunikation zwischen Mathematikern dient nur als Mittel, um denselben mentalen Prozess in verschiedenen Köpfen zu erzeugen.
Diese Sicht auf die Mathematik hat weitreichende Auswirkungen auf die tägliche Praxis der Mathematik. Eine ihrer Konsequenzen ist, dass das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte ((A \ vee \ neg A)) nicht mehr gültig ist. In der Tat gibt es Sätze wie die Riemannsche Hypothese, für die es derzeit weder einen Beweis für die Aussage noch für ihre Negation gibt. Da die Kenntnis der Negation einer Aussage im Intuitionismus bedeutet, dass man beweisen kann, dass die Aussage nicht wahr ist, impliziert dies, dass sowohl (A) als auch (neg A) nicht intuitionistisch gelten, zumindest nicht in diesem Moment. Die Abhängigkeit des Intuitionismus von der Zeit ist wesentlich: Aussagen können im Laufe der Zeit nachweisbar werden und daher intuitionistisch gültig werden, ohne dies zuvor getan zu haben.
Neben der Ablehnung des Prinzips der ausgeschlossenen Mitte weicht der Intuitionismus in der Konzeption des Kontinuums stark von der klassischen Mathematik ab, die in der ersteren Umgebung die Eigenschaft hat, dass alle Gesamtfunktionen darauf kontinuierlich sind. Im Gegensatz zu einigen anderen Theorien der konstruktiven Mathematik ist der Intuitionismus also keine Einschränkung des klassischen Denkens; es widerspricht der klassischen Mathematik in grundlegender Weise.
Brouwer widmete einen großen Teil seines Lebens der Entwicklung der Mathematik auf dieser neuen Grundlage. Obwohl der Intuitionismus die klassische Mathematik als Standardansicht der Mathematik nie ersetzt hat, hat er immer viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen und ist bis heute weit verbreitet.
In diesem Beitrag konzentrieren wir uns auf die Aspekte des Intuitionismus, die ihn von anderen Zweigen der konstruktiven Mathematik unterscheiden, und der Teil, den er mit anderen Formen des Konstruktivismus wie grundlegenden Theorien und Modellen teilt, wird nur kurz erörtert.
1. Brouwer
2. Intuitionismus
2.1 Die beiden Akte des Intuitionismus
2.2 Das Erstellungsobjekt
3. Mathematik
3.1 Die BHK-Interpretation
3.2 Intuitionistische Logik
3.3 Die natürlichen Zahlen
3.4 Das Kontinuum
3.5 Kontinuitätsaxiome
3.6 Der Balkensatz
3.7 Wahlaxiome
3.8 Deskriptive Mengenlehre, Topologie und Topos-Theorie
4. Konstruktivismus
5. Metamathematik
5.1 Arithmetik
5.2 Analyse
5.3 Gesetzlose Sequenzen
5.4 Formalisierung des erstellenden Subjekts
5.5 Fundamente und Modelle
5.6 Umgekehrte Mathematik
6. Philosophie
6.1 Phänomenologie
6.2 Wittgenstein
6.3 Dummett
6.4 Finitismus
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1. Brouwer
Luitzen Egbertus Jan Brouwer wurde in Overschie, Niederlande, geboren. Er studierte Mathematik und Physik an der Universität von Amsterdam, wo er 1907 promovierte. 1909 wurde er Dozent an derselben Universität, wo er 1912 zum ordentlichen Professor ernannt wurde, eine Position, die er bis zu seiner Pensionierung 1951 innehatte. Brouwer war ein brillanter Mathematiker, der bahnbrechende Arbeit in der Topologie leistete und bereits in jungen Jahren berühmt wurde. Sein ganzes Leben lang war er ein unabhängiger Geist, der die Dinge, an die er glaubte, mit leidenschaftlicher Kraft verfolgte, was ihn in Konflikt mit vielen Kollegen brachte, insbesondere mit David Hilbert. Er hatte auch Bewunderer und in seinem Haus „die Hütte“in Blaricum begrüßte er viele bekannte Mathematiker seiner Zeit. Bis zu seinem Lebensende wurde er isolierter, aber sein Glaube an die Wahrheit seiner Philosophie schwankte nie. Er starb bei einem Autounfall im Alter von 85 Jahren in Blaricum, sieben Jahre nach dem Tod seiner Frau Lize Brouwer.
Im Alter von 24 Jahren schrieb Brouwer das Buch Leben, Kunst und Mystik (Brouwer 1905), dessen solipsistischer Inhalt seine Philosophie der Mathematik vorwegnimmt. In seiner Dissertation werden erstmals die Grundlagen des Intuitionismus formuliert, allerdings noch nicht unter diesem Namen und nicht in ihrer endgültigen Form. In den ersten Jahren nach seiner Dissertation widmete sich Brouwers wissenschaftliches Leben hauptsächlich der Topologie, einem Bereich, in dem er noch immer für seine Dimensionstheorie und seinen Fixpunktsatz bekannt ist. Diese Arbeit ist Teil der klassischen Mathematik; Nach Brouwers späterer Ansicht gilt sein Fixpunktsatz nicht, obwohl nachgewiesen werden kann, dass ein in Annäherungen gegossenes Analogon nach seinen Prinzipien gilt.
Ab 1913 widmete sich Brouwer zunehmend der Entwicklung der in seiner Dissertation formulierten Ideen zu einer vollständigen Philosophie der Mathematik. Er verfeinerte nicht nur die Philosophie des Intuitionismus, sondern überarbeitete auch die Mathematik, insbesondere die Theorie des Kontinuums und die Theorie der Mengen, nach diesen Prinzipien. Bis dahin war Brouwer ein berühmter Mathematiker, der einflussreiche Vorträge über Intuitionismus an den damaligen wissenschaftlichen Mekkas hielt, darunter Cambridge, Wien und Göttingen. Seine Philosophie wurde von vielen als unangenehm angesehen, aber von einigen der berühmtesten Mathematiker seiner Zeit als ernsthafte Alternative zum klassischen Denken angesehen, selbst wenn sie eine andere Meinung dazu hatten. Kurt Gödel, der sein ganzes Leben lang Platoniker war, war einer von ihnen. Hermann Weyl schrieb einmal: „So gebe ich auch jetzt meinen eigenen Versuchspreis und schließe mich Brouwer an“(Weyl 1921, 56). Und obwohl er später im Leben selten intuitionistische Mathematik praktizierte, bewunderte Weyl Brouwer und seine intuitionistische Philosophie der Mathematik immer wieder.
Das Leben von Brouwer war voller Konflikte, der berühmteste war der Konflikt mit David Hilbert, der schließlich dazu führte, dass Brouwer aus dem Vorstand der Mathematischen Annalen ausgeschlossen wurde. Dieser Konflikt war Teil des Grundlagenstreits, der die mathematische Gesellschaft zu Beginn des 20. Jahrhunderts erschütterte und der sich aus dem Auftreten von Paradoxien und höchst unkonstruktiven Beweisen in der Mathematik ergab. Philosophen und Mathematiker waren gezwungen, das Fehlen einer erkenntnistheoretischen und ontologischen Grundlage für die Mathematik anzuerkennen. Brouwers Intuitionismus ist eine Philosophie der Mathematik, die eine solche Grundlage schaffen soll.
2. Intuitionismus
2.1 Die beiden Akte des Intuitionismus
Nach Brouwer ist Mathematik eine sprachlose Schöpfung des Geistes. Zeit ist der einzige a priori Begriff im kantischen Sinne. Brouwer unterscheidet zwei Akte des Intuitionismus:
Der erste Akt des Intuitionismus ist:
Die Mathematik vollständig von der mathematischen Sprache und damit von den durch die theoretische Logik beschriebenen Sprachphänomenen zu trennen und zu erkennen, dass die intuitionistische Mathematik eine im Wesentlichen sprachlose Aktivität des Geistes ist, die ihren Ursprung in der Wahrnehmung einer Zeitbewegung hat. Diese Wahrnehmung einer Zeitbewegung kann als das Auseinanderbrechen eines Lebensmoments in zwei verschiedene Dinge beschrieben werden, von denen eines dem anderen Platz macht, aber von der Erinnerung bewahrt wird. Wenn die so geborene Zweiität von jeglicher Qualität befreit wird, geht sie in die leere Form des gemeinsamen Substrats aller Zweien über. Und es ist dieses gemeinsame Substrat, diese leere Form, die die Grundintuition der Mathematik darstellt. (Brouwer 1981, 4–5)
Wie im Abschnitt über Mathematik erörtert wird, führt der erste Akt des Intuitionismus zu natürlichen Zahlen, impliziert jedoch eine starke Einschränkung der zulässigen Argumentationsprinzipien, insbesondere der Ablehnung des Prinzips der ausgeschlossenen Mitte. Aufgrund der Ablehnung dieses Prinzips und des Verschwindens der logischen Grundlage für das Kontinuum könnte man nach den Worten von Brouwer „befürchten, dass die intuitionistische Mathematik notwendigerweise arm und anämisch sein muss und insbesondere keinen Platz für Analysen hat“(Brouwer 1952, 142). Der zweite Akt begründet jedoch die Existenz des Kontinuums, eines Kontinuums mit Eigenschaften, die sein klassisches Gegenstück nicht teilt. Die Wiederherstellung des Kontinuums beruht auf dem im zweiten Akt festgelegten Begriff der Wahlsequenz, dh auf der Existenz unendlicher Sequenzen, die durch freie Wahl erzeugt werden.die daher nicht im Voraus festgelegt sind.
Der zweite Akt des Intuitionismus ist:
Zulassen von zwei Möglichkeiten zum Erstellen neuer mathematischer Entitäten: Erstens in Form von mehr oder weniger frei ablaufenden unendlichen Sequenzen von zuvor erworbenen mathematischen Entitäten…; zweitens in Form von mathematischen Spezies, dh Eigenschaften, die für zuvor erworbene mathematische Entitäten angenommen werden können und die die Bedingung erfüllen, dass sie, wenn sie für eine bestimmte mathematische Entität gelten, auch für alle mathematischen Entitäten gelten, die als „gleich“definiert wurden…. (Brouwer 1981, 8)
Die beiden Akte des Intuitionismus bilden die Grundlage von Brouwers Philosophie; Allein aus diesen beiden Akten schafft Brouwer den Bereich der intuitionistischen Mathematik, wie weiter unten erläutert wird. Bereits aus diesen Grundprinzipien kann geschlossen werden, dass sich der Intuitionismus von Platonismus und Formalismus unterscheidet, weil er weder eine mathematische Realität außerhalb von uns annimmt, noch besagt, dass Mathematik ein Spiel mit Symbolen nach bestimmten festen Regeln ist. Nach Brouwers Ansicht wird Sprache verwendet, um mathematische Ideen auszutauschen, aber die Existenz der letzteren ist unabhängig von der ersteren. Die Unterscheidung zwischen Intuitionismus und anderen konstruktiven Ansichten zur Mathematik, nach denen mathematische Objekte und Argumente berechenbar sein sollten, liegt in der Freiheit, die der zweite Akt bei der Konstruktion unendlicher Sequenzen zulässt. Tatsächlich,Wie weiter unten erläutert wird, widersprechen die mathematischen Implikationen des zweiten Aktes des Intuitionismus der klassischen Mathematik und gelten daher nicht für die meisten konstruktiven Theorien, da diese im Allgemeinen Teil der klassischen Mathematik sind.
So unterscheidet sich Brouwers Intuitionismus von anderen Philosophien der Mathematik; es basiert auf dem Bewusstsein der Zeit und der Überzeugung, dass Mathematik eine Schöpfung des freien Geistes ist, und es ist daher weder Platonismus noch Formalismus. Es ist eine Form des Konstruktivismus, aber nur im weiteren Sinne, da viele Konstruktivisten nicht alle Prinzipien akzeptieren, die Brouwer für wahr hielt.
2.2 Das Erstellungsobjekt
Die beiden Akte des Intuitionismus schließen an sich eine psychologische Interpretation der Mathematik nicht aus. Obwohl Brouwer diesen Punkt nur gelegentlich ansprach, geht aus seinen Schriften hervor, dass er den Intuitionismus als unabhängig von der Psychologie betrachtete. Brouwers Einführung des Schöpfungssubjekts (Brouwer 1948) als idealisierter Geist, in dem Mathematik stattfindet, abstrahiert bereits von unwesentlichen Aspekten des menschlichen Denkens wie räumlichen und zeitlichen Einschränkungen und der Möglichkeit fehlerhafter Argumente. Somit hört das Intersubjektivitätsproblem, das nach einer Erklärung der Tatsache fragt, dass Menschen kommunizieren können, auf zu existieren, da es nur ein Schöpfungssubjekt gibt. In der Literatur wird auch der Name Kreatives Subjekt zum Erstellen eines Subjekts verwendet, hier wird jedoch die Terminologie von Brouwer verwendet. In (Niekus 2010),Es wird argumentiert, dass Brouwers Schöpfungsfach keinen idealisierten Mathematiker beinhaltet. Für eine phänomenologische Analyse des Schöpfungssubjekts als transzendentales Subjekt im Sinne von Husserl siehe (van Atten 2007).
Brouwer verwendete Argumente, die das Erstellungssubjekt betreffen, um Gegenbeispiele zu bestimmten intuitionistisch inakzeptablen Aussagen zu erstellen. Wo die schwachen Gegenbeispiele, die weiter unten diskutiert werden sollen, nur zeigen, dass bestimmte Aussagen derzeit nicht intuitiv akzeptiert werden können, beweist der Begriff des idealisierten Geistes, dass bestimmte klassische Prinzipien falsch sind. Ein Beispiel finden Sie in Abschnitt 5.4 zur Formalisierung des Begriffs „Erstellendes Subjekt“. Dort wird auch erklärt, dass das folgende Prinzip, bekannt als Kripkes Schema, in Bezug auf das Erstellungssubjekt argumentiert werden kann:
) tag {({ bf KS})} existiert \ alpha (A \ leftrightarrow \ existiert n \, \ alpha (n) = 1).)
In KS erstreckt sich (A) über Formeln und (alpha) über Auswahlsequenzen, bei denen es sich um Sequenzen natürlicher Zahlen handelt, die vom Erstellungssubjekt erzeugt werden, das seine Elemente einzeln auswählt. Auswahlsequenzen und Kripkes Schema werden in Abschnitt 3.4 näher erläutert.
In den meisten Philosophien der Mathematik, zum Beispiel im Platonismus, sind mathematische Aussagen spannungslos. Im Intuitionismus haben Wahrheit und Falschheit einen zeitlichen Aspekt; Eine feststehende Tatsache wird so bleiben, aber einer Aussage, die zu einem bestimmten Zeitpunkt bewiesen wird, fehlt ein Wahrheitswert vor diesem Zeitpunkt. In dieser Formalisierung des Begriffs des Subjektschaffens, die nicht von Brouwer, sondern erst später von anderen formuliert wurde, ist der zeitliche Aspekt des Intuitionismus auffällig vorhanden.
So wichtig die Argumente, die den Begriff des Schaffens eines Subjekts verwenden, für das weitere Verständnis des Intuitionismus als Philosophie der Mathematik sein mögen, so war seine Rolle bei der Entwicklung des Feldes weniger einflussreich als die der beiden Akte des Intuitionismus, die direkt zum mathematische Wahrheiten Brouwer und diejenigen, die nach ihm kamen, waren bereit zu akzeptieren.
3. Mathematik
Obwohl Brouwers Entwicklung des Intuitionismus zu Beginn des 20. Jahrhunderts eine wichtige Rolle in der Grunddebatte der Mathematiker spielte, wurden die weitreichenden Auswirkungen seiner Philosophie auf die Mathematik erst nach langjähriger Forschung deutlich. Die beiden charakteristischsten Eigenschaften des Intuitionismus sind die logischen Prinzipien des Denkens, die er in Beweisen zulässt, und die vollständige Konzeption des intuitionistischen Kontinuums. Nur für letztere wird der Intuitionismus mit der klassischen Mathematik unvergleichlich. In diesem Beitrag liegt der Schwerpunkt auf den Prinzipien des Intuitionismus, die ihn von anderen mathematischen Disziplinen unterscheiden, und daher werden seine anderen konstruktiven Aspekte weniger detailliert behandelt.
3.1 Die BHK-Interpretation
Im Intuitionismus bedeutet zu wissen, dass eine Aussage A wahr ist, einen Beweis dafür zu haben. 1934 führte Arend Heyting, ein Schüler von Brouwer, eine Form der später als Brouwer-Heyting-Kolmogorov-Interpretation bekannten Interpretation ein, die die Bedeutung der logischen Symbole im Intuitionismus und im Konstruktivismus im Allgemeinen erfasst. Es definiert auf informelle Weise, woraus ein intuitionistischer Beweis bestehen soll, indem angegeben wird, wie die Konnektiva und Quantifizierer interpretiert werden sollen.
(bot) ist nicht nachweisbar.
Ein Beweis von (A \ Keil B) besteht aus einem Beweis von (A) und einem Beweis von (B).
Ein Beweis von (A \ vee B) besteht aus einem Beweis von (A) oder einem Beweis von (B).
Ein Beweis von (A \ rightarrow B) ist eine Konstruktion, die jeden Beweis von (A) in einen Beweis von (B) umwandelt.
Ein Beweis von (existiert x A (x)) wird gegeben, indem ein Element (d) der Domäne und ein Beweis von (A (d)) präsentiert werden.
Ein Beweis von (forall x A (x)) ist eine Konstruktion, die jeden Beweis, dass (d) zur Domäne gehört, in einen Beweis von (A (d)) umwandelt.
Die Negation (neg A) einer Formel (A) wird bewiesen, sobald gezeigt wurde, dass es keinen Beweis für (A) geben kann, was bedeutet, dass eine Konstruktion bereitgestellt wird, die Falsum aus einem möglichen Beweis von ableitet \(EIN). Somit entspricht (neg A) (A \ rightarrow \ bot). Die BHK-Interpretation ist keine formale Definition, da der Begriff der Konstruktion nicht definiert ist und daher für unterschiedliche Interpretationen offen ist. Dennoch ist man bereits auf dieser informellen Ebene gezwungen, eines der in der klassischen Logik allgegenwärtigen logischen Prinzipien abzulehnen: das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte ((A \ vee \ neg A)). Nach der BHK-Interpretation gilt diese Aussage intuitionistisch, wenn das schaffende Subjekt einen Beweis von (A) oder einen Beweis dafür kennt, dass (A) nicht bewiesen werden kann. Für den Fall, dass weder für (A) noch für seine Negation ein Beweis bekannt ist,Die Anweisung ((A \ vee \ neg A)) gilt nicht. Die Existenz offener Probleme wie der Goldbach-Vermutung oder der Riemann-Hypothese verdeutlicht diese Tatsache. Sobald jedoch ein Beweis für (A) oder ein Beweis für seine Negation gefunden wird, ändert sich die Situation, und für dieses spezielle (A) gilt daraus das Prinzip ((A \ vee \ neg A)) Moment auf.
3.2 Intuitionistische Logik
Brouwer lehnte das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte aufgrund seiner Philosophie ab, aber Arend Heyting war der erste, der eine umfassende Logik von Prinzipien formulierte, die aus intuitionistischer Sicht akzeptabel waren. Intuitionistische Logik, die auch die Logik der meisten anderen Formen des Konstruktivismus ist, wird oft als „klassische Logik ohne das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte“bezeichnet. Es wird mit IQC bezeichnet, was für Intuitionistic Quantifier Logic steht, aber auch andere Namen kommen in der Literatur vor. Eine mögliche Axiomatisierung im Hilbert-Stil besteht aus den Prinzipien
((A \ rightarrow C) rightarrow ((B \ rightarrow C) rightarrow (A \ vee B \ rightarrow C)))
(für alle x (B \ rechter Pfeil A (x)) rechter Pfeil (B \ rechter Pfeil \ für alle x A (x)))
(für alle x (A (x) rechter Pfeil B) rechter Pfeil (existiert x A (x) rechter Pfeil B))
mit den üblichen Nebenbedingungen für die letzten beiden Axiome und der Regel Modus Ponens,
) text {from (A) und ((A \ rightarrow B)) infer (B)},)
als einzige Regel der Folgerung. Intuitionistische Logik war ein Gegenstand der Untersuchung, seit Heyting sie formuliert hat. Bereits auf der Propositionsebene hat es viele Eigenschaften, die es von der klassischen Logik unterscheiden, wie zum Beispiel die Disjunktionseigenschaft:
) tag {({ bf DP})} { bf IQC} vdash A \ vee B \ text {impliziert} { bf IQC} vdash A \ text {oder} { bf IQC} vdash B.)
Dieses Prinzip wird in der klassischen Logik eindeutig verletzt, weil die klassische Logik ((A \ vee \ neg A)) auch für Formeln beweist, die von der Logik unabhängig sind, dh für die sowohl (A) als auch (neg A) gelten) sind keine Tautologie. Die Einbeziehung des Prinzips Ex Falso Sequitur Quodlibet ((bot \ rightarrow A)) in die intuitionistische Logik ist ein Diskussionspunkt für diejenigen, die Brouwers Bemerkungen zu diesem Thema studieren; In van Atten 2008 wird argumentiert, dass das Prinzip im Intuitionismus nicht gültig ist und dass die nach Brouwers Ansichten gültigen logischen Prinzipien diejenigen von Relevanzlogik sind. Weitere Informationen zu Brouwer und Ex Falso Sequitur Quodlibet finden Sie in van Dalen 2004.
Obwohl bis heute die gesamte Logik des intuitionistischen Denkens in IQC enthalten ist, ist es grundsätzlich denkbar, dass irgendwann ein vom intuitionistischen Standpunkt akzeptables Prinzip gefunden wird, das von dieser Logik nicht abgedeckt wird. Für die meisten Formen des Konstruktivismus ist die allgemein akzeptierte Ansicht, dass dies niemals der Fall sein wird, und daher wird IQC als die Logik des Konstruktivismus angesehen. Für den Intuitionismus ist die Situation weniger klar, da nicht ausgeschlossen werden kann, dass unser intuitionistisches Verständnis uns irgendwann zu neuen logischen Prinzipien führen könnte, die wir vorher nicht verstanden haben.
Einer der Gründe für die weit verbreitete Verwendung der intuitionistischen Logik ist, dass sie sich sowohl aus beweistheoretischer als auch aus modelltheoretischer Sicht gut verhält. Es gibt sehr viele Beweissysteme dafür, wie Gentzen-Kalküle und natürliche Deduktionssysteme, sowie verschiedene Formen der Semantik, wie Kripke-Modelle, Beth-Modelle, Heyting-Algebren, topologische Semantik und kategoriale Modelle. Einige dieser Semantiken sind jedoch nur klassische Mittel zur Untersuchung der intuitionistischen Logik, da gezeigt werden kann, dass ein intuitionistischer Vollständigkeitsnachweis in Bezug auf sie nicht existieren kann (Kreisel 1962). Es hat sich jedoch gezeigt, dass es alternative, aber etwas weniger natürliche Modelle gibt, für die die Vollständigkeit konstruktiv gilt (Veldman 1976). Der konstruktive Charakter der intuitionistischen Logik wird besonders deutlich im Curry-Howard-Isomorphismus, der eine Entsprechung zwischen Ableitungen in der Logik und Begriffen in einfach typisiertem (lambda) - Kalkül herstellt, dh zwischen Beweisen und Berechnungen. Die Korrespondenz bewahrt die Struktur dahingehend, dass die Reduzierung der Begriffe der Normalisierung der Beweise entspricht.
3.3 Die natürlichen Zahlen
Die Existenz der natürlichen Zahlen wird durch den ersten Akt des Intuitionismus gegeben, dh durch die Wahrnehmung der Bewegung der Zeit und das Auseinanderbrechen eines Lebensmoments in zwei verschiedene Dinge: Was war, 1 und was ist zusammen mit was war, 2 und von dort bis 3, 4,… Im Gegensatz zur klassischen Mathematik wird im Intuitionismus jede Unendlichkeit als potentielle Unendlichkeit betrachtet. Dies gilt insbesondere für die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Daher müssen Aussagen, die über diesen Satz quantifizieren, mit Vorsicht behandelt werden. Andererseits ist das Induktionsprinzip aus intuitionistischer Sicht völlig akzeptabel.
Aufgrund der Endlichkeit einer natürlichen Zahl im Gegensatz zu beispielsweise einer reellen Zahl sind viele arithmetische Aussagen endlicher Natur, die in der klassischen Mathematik zutreffen, auch im Intuitionismus so. Zum Beispiel hat im Intuitionismus jede natürliche Zahl eine Primfaktorisierung; Es gibt rechnerisch aufzählbare Mengen, die nicht berechenbar sind. ((A \ vee \ neg A)) gilt für alle quantifiziererfreien Anweisungen (A). Für komplexere Aussagen wie den Satz von van der Waerden oder den Satz von Kruskal ist die intuitionistische Gültigkeit nicht so einfach. Tatsächlich sind die intuitionistischen Beweise beider Aussagen komplex und weichen von den klassischen Beweisen ab (Coquand 1995, Veldman 2004).
Intuitionismus und klassische Mathematik haben also im Kontext der natürlichen Zahlen viel gemeinsam. Erst wenn andere unendliche Mengen wie die reellen Zahlen berücksichtigt werden, beginnt sich der Intuitionismus dramatischer von der klassischen Mathematik und auch von den meisten anderen Formen des Konstruktivismus zu unterscheiden.
3.4 Das Kontinuum
Im Intuitionismus ist das Kontinuum sowohl eine Erweiterung als auch eine Einschränkung seines klassischen Gegenstücks. In ihrer vollen Form sind beide Begriffe unvergleichlich, da die intuitionistischen reellen Zahlen Eigenschaften besitzen, die die klassischen reellen Zahlen nicht haben. Ein berühmtes Beispiel, das weiter unten diskutiert wird, ist der Satz, dass im Intuitionismus jede Gesamtfunktion auf dem Kontinuum stetig ist. Dass das intuitionistische Kontinuum bestimmte klassische Eigenschaften nicht erfüllt, lässt sich anhand schwacher Gegenbeispiele leicht erkennen. Dass es auch Eigenschaften enthält, die die klassischen Realitäten nicht besitzen, ergibt sich aus der Existenz von Wahlsequenzen im Intuitionismus.
Schwache Gegenbeispiele
Die schwachen Gegenbeispiele, die Brouwer 1908 einführte, sind die ersten Beispiele, mit denen Brouwer zeigte, dass der Übergang von einer klassischen zu einer intuitionistischen Konzeption der Mathematik für die mathematischen Wahrheiten, die nach diesen Philosophien aufgestellt werden können, nicht ohne Konsequenz ist. Sie zeigen, dass bestimmte klassische Aussagen derzeit aus intuitionistischer Sicht nicht akzeptabel sind. Betrachten Sie als Beispiel die Folge von reellen Zahlen, die durch die folgende Definition gegeben ist:
[r_n = \ begin {case} 2 ^ {- n} text {if} forall m \ leq n A (m) \ 2 ^ {- m} text {if} neg A (m) Keil m \ leq n \ Keil \ für alle k \ lt m A (k). \ end {Fälle})
Hier ist (A (n)) eine entscheidbare Eigenschaft, für die (forall n A (n)) nicht als wahr oder falsch bekannt ist. Entscheidbarkeit bedeutet, dass gegenwärtig für jedes gegebene (n) ein Beweis von (A (n)) oder von (neg A (n)) existiert (konstruiert werden kann). Zum Zeitpunkt dieses Schreibens könnten wir zum Beispiel (A (n)) ausdrücken lassen, dass (n), wenn es größer als 2 ist, die Summe von drei Primzahlen ist; (forall n A (n)) drückt dann die (ursprüngliche) Goldbach-Vermutung aus, dass jede Zahl größer als 2 die Summe von drei Primzahlen ist. Die Folge (langle r_n \ rangle) definiert eine reelle Zahl (r), für die die Anweisung (r = 0) der Anweisung (forall n A (n)) entspricht. Daraus folgt, dass die Aussage ((r = 0 \ vee r \ neq 0)) nicht gilt und daher das Gesetz der Trichotomie (forall x (x \ lt y \ vee x = y \ vee x) gt y)) gilt nicht für das intuitionistische Kontinuum.
Beachten Sie, dass der subtile Unterschied zwischen „(A) ist nicht intuitiv wahr“und „(A) ist intuitiv widerlegbar“: Im ersten Fall wissen wir, dass (A) keinen intuitionistischen Beweis haben kann, drückt die zweite Aussage aus dass wir einen Beweis von ¬ A haben, dh eine Konstruktion, die aus jedem möglichen Beweis von (A) Falsum ableitet. Für das Gesetz der Trichotomie haben wir gerade gezeigt, dass es nicht intuitiv wahr ist. Im Folgenden wird gezeigt, dass sogar die zweite stärkere Form, die besagt, dass das Gesetz widerlegbar ist, intuitionistisch gilt. Dies gilt jedoch nicht für alle Aussagen, für die es schwache Gegenbeispiele gibt. Zum Beispiel ist die Goldbach-Vermutung ein schwaches Gegenbeispiel zum Prinzip der ausgeschlossenen Mitte, da (für alle n A (n)) wie oben derzeit nicht als wahr oder falsch bekannt ist.und daher können wir (für alle n A (n) vee \ neg \ für alle n A (n)) nicht intuitiv behaupten, zumindest nicht in diesem Moment. Aber die Widerlegung dieser Aussage, (neg (für alle n A (n) vee \ neg \ für alle n A (n))), ist im Intuitionismus nicht wahr, wie man für jede Aussage zeigen kann (B) Ein Widerspruch kann aus der Annahme abgeleitet werden, dass (neg B) und (neg \ neg B) gelten (und somit auch aus (B) und (neg B)). Mit anderen Worten, (neg \ neg (B \ vee \ neg B)) ist intuitionistisch wahr, und obwohl es schwache Gegenbeispiele zum Prinzip der ausgeschlossenen Mitte gibt, ist seine Negation im Intuitionismus falsch, d. H. es ist intuitionistisch widerlegbar.wie man zeigen kann, dass für jede Aussage (B) ein Widerspruch aus der Annahme abgeleitet werden kann, dass (neg B) und (neg \ neg B) gelten (und damit auch aus (B) und (neg B)). Mit anderen Worten, (neg \ neg (B \ vee \ neg B)) ist intuitionistisch wahr, und obwohl es schwache Gegenbeispiele zum Prinzip der ausgeschlossenen Mitte gibt, ist seine Negation im Intuitionismus falsch, d. H. es ist intuitionistisch widerlegbar.wie man zeigen kann, dass für jede Aussage (B) ein Widerspruch aus der Annahme abgeleitet werden kann, dass (neg B) und (neg \ neg B) gelten (und damit auch aus (B) und (neg B)). Mit anderen Worten, (neg \ neg (B \ vee \ neg B)) ist intuitionistisch wahr, und obwohl es schwache Gegenbeispiele zum Prinzip der ausgeschlossenen Mitte gibt, ist seine Negation im Intuitionismus falsch, d. H. es ist intuitionistisch widerlegbar.
Die Existenz von reellen Zahlen (r), für die der Intuitionist nicht entscheiden kann, ob sie positiv sind oder nicht, zeigt, dass bestimmte klassisch Gesamtfunktionen in einer intuitionistischen Umgebung wie der stückweise konstanten Funktion nicht mehr so sind
[f (r) = \ begin {Fälle} 0 \ text {if} r \ geq 0 \\ 1 \ text {if} r \ lt 0. \ end {Fälle})
Es gibt schwache Gegenbeispiele zu vielen klassisch gültigen Aussagen. Die Konstruktion dieser schwachen Gegenbeispiele folgt häufig dem gleichen Muster wie im obigen Beispiel. Das Argument, das zeigt, dass der Zwischenwertsatz nicht intuitiv gültig ist, lautet beispielsweise wie folgt. Sei (r) eine reelle Zahl in [−1,1], für die ((r \ leq 0 \ vee 0 \ lt r)) nicht entschieden wurde, wie im obigen Beispiel. Definieren Sie die gleichmäßig stetige Funktion (f) auf ([0,3]) durch
[f (x) = \ text {min} (x-1,0) + \ text {max} (0, x-2) + r.)
Es ist klar, dass (f (0) = -1 + r) und (f (3) = 1 + r), woraus (f) an einem Punkt (x) in [0 den Wert 0 annimmt,3]. Wenn ein solches (x) bestimmt werden könnte, entweder (1 \ leq x) oder (x \ leq 2). Da (f) gleich (r) auf ([1,2]) ist, widerspricht im ersten Fall (r \ leq 0) und im zweiten Fall (0 \ leq r) die Unentscheidbarkeit der Aussage ((r \ leq 0 \ vee 0 \ leq r)).
Diese Beispiele scheinen darauf hinzudeuten, dass man beim Übergang von der klassischen zur intuitionistischen Mathematik mehrere grundlegende Theoreme der Analyse verliert. Dies ist jedoch nicht der Fall, da der Intuitionismus in vielen Fällen solche Theoreme in Form eines Analogons wiedererlangt, in dem existenzielle Aussagen durch Aussagen über die Existenz von Approximationen mit willkürlicher Genauigkeit ersetzt werden, wie dies bei dieser klassisch äquivalenten Form des Zwischenwertsatzes der Fall ist konstruktiv gültig:
Satz. Für jede stetige reelle Funktion (f) in einem Intervall ([a, b]) mit (a \ lt b), für jede (c) zwischen (f (a)) und (f (b)) gilt Folgendes:
) forall n \ existiert x \ in [a, b], | f (x) -c | \ lt 2 ^ {- n}.)
Schwache Gegenbeispiele sind ein Mittel, um zu zeigen, dass bestimmte mathematische Aussagen nicht intuitiv zutreffen, aber den Reichtum des intuitionistischen Kontinuums noch nicht offenbaren. Erst nach Brouwers Einführung von Auswahlsequenzen erhielt der Intuitionismus seinen besonderen Geschmack und wurde mit der klassischen Mathematik unvergleichlich.
Auswahlsequenzen
Auswahlsequenzen wurden von Brouwer eingeführt, um die Intuition des Kontinuums zu erfassen. Da für den Intuitionisten jede Unendlichkeit potentiell ist, können unendliche Objekte nur über einen Prozess erfasst werden, der sie Schritt für Schritt erzeugt. Was als legitime Konstruktion erlaubt ist, entscheidet daher, welche unendlichen Objekte akzeptiert werden sollen. Beispielsweise sind in den meisten anderen Formen des Konstruktivismus nur berechenbare Regeln zum Erzeugen solcher Objekte zulässig, während im Platonismus Unendlichkeiten als abgeschlossene Gesamtheiten betrachtet werden, deren Existenz auch in Fällen akzeptiert wird, in denen keine Erzeugungsregeln bekannt sind.
Brouwers zweiter Akt des Intuitionismus führt zu Auswahlsequenzen, die bestimmten unendlichen Mengen Eigenschaften verleihen, die aus klassischer Sicht nicht akzeptabel sind. Eine Auswahlfolge ist eine unendliche Folge von Zahlen (oder endlichen Objekten), die durch den freien Willen erzeugt werden. Die Folge könnte durch ein Gesetz oder einen Algorithmus bestimmt werden, beispielsweise durch die Folge, die nur aus Nullen besteht, oder durch die Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge. In diesem Fall sprechen wir von einer gesetzmäßigen Folge, oder sie könnte keinem Gesetz unterliegen In diesem Fall heißt es gesetzlos. Gesetzlose Sequenzen können zum Beispiel durch wiederholtes Werfen einer Münze oder durch Aufforderung an das Erstellungsobjekt erstellt werden, die aufeinanderfolgenden Nummern der Sequenz einzeln auszuwählen, sodass es eine beliebige Nummer nach seinen Wünschen auswählen kann. Somit ist eine gesetzlose Sequenz immer unvollendet,und die einzige verfügbare Information darüber zu irgendeinem Zeitpunkt ist das anfängliche Segment der bisher erstellten Sequenz. Es ist klar, dass wir aufgrund der Natur der Gesetzlosigkeit niemals entscheiden können, ob ihre Werte mit einer gesetzmäßigen Abfolge übereinstimmen. Der freie Wille ist auch in der Lage, Sequenzen zu erstellen, die als gesetzmäßig beginnen, für die jedoch zu einem bestimmten Zeitpunkt das Gesetz aufgehoben werden könnte und der Prozess der freien Wahl die Erzeugung der nachfolgenden Zahlen übernimmt oder umgekehrt.aber für die zu einem bestimmten Zeitpunkt das Gesetz aufgehoben werden könnte und der Prozess der freien Wahl übernimmt, um die nachfolgenden Zahlen zu generieren, oder umgekehrt.aber für die zu einem bestimmten Zeitpunkt das Gesetz aufgehoben werden könnte und der Prozess der freien Wahl übernimmt, um die nachfolgenden Zahlen zu generieren, oder umgekehrt.
Laut Brouwer wird jede reelle Zahl durch eine Auswahlsequenz dargestellt, und die Auswahlsequenzen ermöglichten es ihm, das intuitionistische Kontinuum über die umstrittenen Kontinuitätsaxiome zu erfassen. Brouwer sprach in seiner Antrittsrede (Brouwer 1912) zunächst von Wahlsequenzen, behandelte sie aber zu diesem Zeitpunkt noch nicht als wesentlichen Bestandteil seiner Mathematik. Allmählich wurden sie wichtiger und ab 1918 begann Brouwer, sie auf eine Weise zu verwenden, die im nächsten Abschnitt erläutert wird.
3.5 Kontinuitätsaxiome
Die Akzeptanz des Begriffs der Wahlfolge hat weitreichende Auswirkungen. Es rechtfertigt für den Intuitionisten die Verwendung der Kontinuitätsaxiome, aus denen klassisch ungültige Aussagen abgeleitet werden können. Das schwächste dieser Axiome ist das schwache Kontinuitätsaxiom:
) tag {({ bf WC \ mbox {-} N})} forall \ alpha \ existiert n A (alpha, n) rightarrow \ forall \ alpha \ existiert m \ existiert n \ forall \ beta \ in \ alpha (overline {m}) A (beta, n).)
Hier reichen (n) und (m) über natürliche Zahlen, (alpha) und (beta) über Auswahlsequenzen und (beta \ in \ alpha (overline {m})) bedeutet, dass die ersten (m) Elemente von (alpha) und (beta) gleich sind. Obwohl es bisher noch nie eine völlig zufriedenstellende Rechtfertigung für die meisten Kontinuitätsaxiome für willkürliche Auswahlsequenzen gegeben hat, nicht einmal von Brouwer, wenn sie auf die Klasse der gesetzlosen Sequenzargumente beschränkt sind, die die Gültigkeit des schwachen Kontinuitätsaxioms wie folgt stützen. Wann könnte der Intuitionist eine Aussage der Form (forall \ alpha \ existiert n A (alpha, n)) erstellen? Aufgrund des Begriffs der gesetzlosen Folge muss die Wahl der Zahl (n), für die (A (alpha, n)) gilt, erst nach einem endlichen Anfangssegment von (alpha) getroffen werden) ist bekannt. Denn wir wissen nicht, wie (alpha) rechtzeitig vorgehen wird,und wir müssen daher die Wahl von (n) auf dem Anfangssegment von (alpha) basieren, das zu dem Zeitpunkt bekannt ist, an dem wir (n) reparieren möchten. Dies impliziert, dass für jede gesetzlose Sequenz (beta) mit demselben Anfangssegment wie (alpha) auch (A (beta, n)) gilt.
Das schwache Kontinuitätsaxiom hat sich als konsistent erwiesen und wird häufig in einer Form angewendet, die gerechtfertigt werden kann, und zwar in dem Fall, in dem sich das Prädikat (A) nur auf die Werte von (alpha) und bezieht nicht zu den Eigenschaften höherer Ordnung, die es möglicherweise besitzt. Die Details des Arguments werden hier weggelassen, enthalten jedoch dieselben Bestandteile wie die Rechtfertigung des Prinzips für gesetzlose Sequenzen und sind in van Atten und van Dalen 2002 zu finden.
Eine schwache Kontinuität erschöpft die Intuition der Intuitionisten über das Kontinuum nicht, da angesichts des schwachen Axioms der Kontinuität anzunehmen ist, dass die Wahl der Zahl (m) so ist, dass (forall \ beta \ in \ alpha () overline {m}) A (beta, n)) könnte explizit angegeben werden. Somit existiert (forall \ alpha \ existiert n A (alpha, n)) die Existenz einer kontinuierlichen Funktion (Phi), die für jedes (alpha) das (m) erzeugt, das repariert die Länge von (alpha), auf deren Grundlage (n) gewählt wird. Genauer gesagt, sei (mathcal {CF}) die Klasse der stetigen Funktionalen (Phi), die unendlichen Sequenzen natürliche Zahlen zuweisen, dh erfüllen
Das vollständige Axiom der Kontinuität, das eine Erweiterung des Axioms der schwachen Kontinuität darstellt, kann dann ausgedrückt werden als:
) tag {({ bf C \ mbox {-} N})} forall \ alpha \ existiert n A (alpha, n) rightarrow \ existiert \ Phi \ in \ mathcal {CF}, \ forall \ alpha A (alpha, \ Phi (alpha)).)
Durch das Kontinuitätsaxiom können bestimmte schwache Gegenbeispiele in echte Widerlegungen klassisch akzeptierter Prinzipien umgewandelt werden. Zum Beispiel impliziert dies, dass die quantifizierte Version des Prinzips der ausgeschlossenen Mitte falsch ist:
) neg \ forall \ alpha (forall n \ alpha (n) = 0 \ vee \ neg \ forall n \ alpha (n) = 0).)
Hier bezeichnet (alpha (n)) das (n) - te Element von (alpha). Um zu sehen, dass diese Negationen gelten, nehmen wir im Widerspruch an, dass (neg \ forall \ alpha (forall n \ alpha (n) = 0 \ vee \ neg \ forall n \ alpha (n) = 0)) hält. Dies impliziert das
) forall \ alpha \ existiert k ((forall n \ alpha (n) = 0 \ wedge k = 0) vee (neg \ forall n \ alpha (n) = 0 \ wedge k = 1)).)
Durch das schwache Kontinuitätsaxiom existiert für (alpha), das nur aus Nullen besteht, eine Zahl (m), die die Wahl von (k) festlegt, was bedeutet, dass für alle (beta \ in \ alpha (overline {m})), (k = 0). Die Existenz von Sequenzen, deren erste (m) Elemente 0 sind und die eine 1 enthalten, zeigt jedoch, dass dies nicht möglich ist.
Dieses Beispiel, das zeigt, dass das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte im Intuitionismus nicht nur nicht gilt, sondern tatsächlich falsch ist, führt zur Widerlegung vieler grundlegender Eigenschaften des Kontinuums. Betrachten Sie zum Beispiel die reelle Zahl (r_ \ alpha), die die Grenze der Folge darstellt, die aus den Zahlen (r_n) besteht, wie im Abschnitt über schwache Gegenbeispiele angegeben, wobei die (A (m)) in der Die Definition ist die Aussage (alpha (m) = 0). Dann impliziert die obige Widerlegung (neg \ forall \ alpha (r_ \ alpha = 0 \ vee r_ \ alpha \ neq 0)) und widerlegt damit das Gesetz der Trichotomie:
) forall x (x \ lt y \ vee x = y \ vee y \ lt x).)
Der folgende Satz ist ein weiteres Beispiel dafür, wie das Kontinuitätsaxiom bestimmte klassische Prinzipien widerlegt.
In der Tat, ein klassisches Gegenbeispiel zu diesem Theorem, ist die nirgends stetige Funktion [f (x) = \ begin {case} 0 \ text {if (x) eine rationale Zahl} \ 1 \ text {if (x) ist eine irrationale Zahl} end {Fälle}) ist aus intuitionistischer Sicht keine legitime Funktion, da die Eigenschaft, rational zu sein, nicht über die reellen Zahlen entscheidbar ist. Der obige Satz impliziert, dass das Kontinuum nicht zerlegbar ist, und in van Dalen 1997 wird gezeigt, dass dies sogar für die Menge irrationaler Zahlen gilt.
Die beiden obigen Beispiele sind charakteristisch für die Art und Weise, wie die Kontinuitätsaxiome in der intuitionistischen Mathematik angewendet werden. Sie sind die einzigen Axiome im Intuitionismus, die dem klassischen Denken widersprechen und damit den farbenfrohsten und umstrittensten Teil von Brouwers Philosophie darstellen.
Nachbarschaftsfunktionen
Es gibt eine bequeme Darstellung kontinuierlicher Funktionale, die in der Literatur ausgiebig verwendet wurde, jedoch nicht von Brouwer selbst. Kontinuierliche Funktionen, die unendlichen Sequenzen Zahlen zuweisen, können durch Nachbarschaftsfunktionen dargestellt werden, wobei eine Nachbarschaftsfunktion (f) eine Funktion auf den natürlichen Zahlen ist, die die folgenden zwei Eigenschaften erfüllt ((cdot) bezeichnet Verkettung und (f ()) alpha (overline {n}))) bezeichnet den Wert von (f) im Code der endlichen Folge (alpha (overline {n}))).
) alpha \ existiert nf (alpha (overline {n})) gt 0 \ \ \ \ \ forall n \ forall m (f (n) gt 0 \ rightarrow f (n \ cdot m) = f (n)).)
Wenn (f) (Phi) darstellt, bedeutet (f (alpha (overline {n})) = 0) intuitiv, dass (alpha (overline {n})) ist nicht lang genug, um (Phi (alpha)) zu berechnen, und (f (alpha (overline {n})) = m + 1) bedeutet, dass (alpha (overline {n})) ist lang genug, um (Phi (alpha)) zu berechnen, und der Wert von (Phi (alpha)) ist (m). Wenn (mathcal {K}) die Klasse der Nachbarschaftsfunktionen bezeichnet, kann das Kontinuitätsaxiom ({ bf C \ mbox {-} N}) umformuliert werden, wenn) forall \ alpha \ n A existiert (alpha, n) rightarrow \ existiert f \ in \ mathcal {K}, \ forall m (f (m) gt 0 \ rightarrow \ forall \ beta \ in m A (beta, f (m-1)))),)
Dabei bedeutet (beta \ in m), dass der Code des Anfangssegments von (beta) (m) ist.
3.6 Der Balkensatz
Brouwer führte Auswahlsequenzen und Kontinuitätsaxiome ein, um das intuitionistische Kontinuum zu erfassen, aber diese Prinzipien allein reichen nicht aus, um den Teil der traditionellen Analyse wiederherzustellen, den Brouwer als intuitionistisch fundiert ansah, wie beispielsweise den Satz, dass jede kontinuierliche reale Funktion in einem geschlossenen Intervall einheitlich kontinuierlich ist. Aus diesem Grund hat Brouwer den sogenannten Balkensatz bewiesen. Es ist eine klassisch gültige Aussage, aber der Beweis, den Brouwer gegeben hat, wird von vielen als überhaupt kein Beweis angesehen, da er eine Annahme über die Form von Beweisen verwendet, für die kein strenges Argument geliefert wird. Aus diesem Grund wird der Balkensatz auch als Balkenprinzip bezeichnet.
Die bekannteste Konsequenz des Balkensatzes ist der Fächersatz, der ausreicht, um den oben genannten Satz über die einheitliche Kontinuität zu beweisen, und der zuerst behandelt wird. Sowohl der Fächer- als auch der Balkensatz ermöglichen es dem Intuitionisten, die Induktion entlang bestimmter fundierter Objektgruppen zu verwenden, die als Spreads bezeichnet werden. Eine Ausbreitung ist das intuitionistische Analogon einer Menge und fängt die Idee von unendlichen Objekten ein, die immer größer und nie fertig werden. Ein Spread ist im Wesentlichen ein zählbar verzweigter Baum, der mit natürlichen Zahlen oder anderen endlichen Objekten gekennzeichnet ist und nur unendliche Pfade enthält.
Ein Fächer ist eine endlich verzweigte Ausbreitung, und das Fächerprinzip drückt eine Form der Kompaktheit aus, die klassisch dem Lemma von König entspricht, dessen klassischer Beweis aus intuitionistischer Sicht nicht akzeptabel ist. Das Prinzip besagt, dass für jeden Fächer (T), in dem jeder Zweig irgendwann eine Eigenschaft (A) erfüllt, eine einheitliche Grenze für die Tiefe besteht, in der diese Eigenschaft erfüllt wird. Eine solche Eigenschaft wird als Balken für (T) bezeichnet.
) tag {({ bf FAN})} forall \ alpha \ in T \ existiert n A (alpha (overline {n})) rightarrow \ existiert m \ forall \ alpha \ in T \ existiert n \ leq m A (alpha (overline {n})).)
Hier bedeutet (alpha \ in T), dass (alpha) ein Zweig von (T) ist. Das Prinzip FAN reicht aus, um den oben genannten Satz zu beweisen:
Satz (FAN) Jede stetige reelle Funktion in einem geschlossenen Intervall ist gleichmäßig stetig.
Brouwers Rechtfertigung für den Fan-Satz ist sein Bar-Prinzip für die universelle Verbreitung:
) tag {({ bf BI})} begin {align} &) forall \ alpha \ forall n \ big (A (alpha (overline {n})) vee \ neg A (alpha (overline {n})) big) wedge \ forall \ alpha \ existiert n A (alpha (overline {n})) \ wedge \& \ quad \ forall \ alpha \ forall n \ groß (A (alpha (overline {n})) rightarrow B (alpha (overline {n})) big) \ wedge \& \ quad \ forall \ alpha \ forall n \ big (für alle mB (alpha (overline {n}) cdot m) rightarrow B (alpha (overline {n})) big)] rightarrow B (varepsilon). \ end {align})
Hier steht (varepsilon) für die leere Sequenz, (cdot) für die Verkettung, BI für die Balkeninduktion, und der Index D bezieht sich auf die Entscheidbarkeit des Prädikats (A). Das Balkenprinzip gibt dem Intuitionismus ein Induktionsprinzip für Bäume; es drückt ein fundiertes Prinzip für Spreads in Bezug auf entscheidbare Eigenschaften aus. Erweiterungen dieses Prinzips, bei denen die Entscheidbarkeitsanforderung geschwächt wird, können aus Brouwers Arbeit extrahiert werden, werden hier jedoch weggelassen. Kontinuität und das Balkenprinzip werden manchmal in einem Axiom erfasst, das als Balkenkontinuitätsaxiom bezeichnet wird.
Es besteht eine enge Verbindung zwischen dem Balkenprinzip und den Nachbarschaftsfunktionen, die im Abschnitt über Kontinuitätsaxiome erwähnt werden. Sei (mathcal {IK}) die induktiv definierte Klasse von Nachbarschaftsfunktionen, die aus allen konstanten Nicht-Null-Sequenzen (lambda m.n + 1) besteht, und zwar wenn (f (0) = 0) und (lambda mf (x \ cdot m) in \ mathcal {IK}) für alle (x), dann (f \ in \ mathcal {IK}). Die Anweisung (mathcal {K} = \ mathcal {IK}), das heißt, dass die Anweisung die Nachbarschafts Funktionen induktiv erzeugt werden können, ist äquivalent zu BI D.
Brouwers Beweis des Balkensatzes ist insofern bemerkenswert, als er gut geordnete Eigenschaften hypothetischer Beweise verwendet. Es basiert auf der Annahme, dass jeder Beweis, dass eine Eigenschaft A auf Sequenzen ein Balken ist, in einen kanonischen Beweis zerlegt werden kann, der gut geordnet ist. Obwohl es klassisch gültig ist, zeigt Brouwers Beweis des Prinzips, dass der Grund für die Akzeptanz als gültiges Prinzip im Intuitionismus sich grundlegend von dem Argument unterscheidet, das seine Akzeptanz in der klassischen Mathematik unterstützt.
3.7 Wahlaxiome
Das Axiom der Wahl in seiner vollen Form ist aus konstruktiver Sicht zumindest in Gegenwart bestimmter anderer zentraler Axiome der Mengenlehre, wie etwa der Extensionalität, nicht akzeptabel (Diaconescu 1975). Denn sei (A) eine Aussage, von der nicht bekannt ist, dass sie wahr oder falsch ist. Dann ist die Mitgliedschaft in den folgenden zwei Sätzen unentscheidbar.
) begin {align} X & = {x \ in {0,1 } mid x = 0 \ vee (x = 1 \ Wedge A) } \ Y & = {y \ in {0,1 } mid y = 1 \ vee (y = 0 \ Keil A) } end {align})
Die Existenz einer Auswahlfunktion (f: {X, Y } rightarrow {0,1 }), die ein Element aus (X) und (Y) auswählt, würde ((A) implizieren vee \ neg A)). Für wenn (f (X) neq f (Y)) folgt, dass (X \ neq Y) und damit (neg A), während (f (X) = f (Y.)) impliziert (A). Daher kann keine Auswahlfunktion für ({X, Y }) existieren.
Es gibt jedoch bestimmte Einschränkungen des Axioms, die für den Intuitionisten akzeptabel sind, beispielsweise das Axiom der zählbaren Wahl, das auch von den Semi-Intuitionisten als legitimes Prinzip akzeptiert wird, um nachstehend erörtert zu werden:
) tag {({ bf AC \ mbox {-} N})} forall R \ subseteq \ mathbb {N} times \ mathbb {N} big (forall m \ existiert n \, mRn \ rightarrow \ existiert \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ \ mathbb {N} forall m \, mR \ alpha (m) big).)
Dieses Schema kann wie folgt gerechtfertigt werden. Ein Beweis der Prämisse sollte eine Methode liefern, die (m) eine Zahl (n) liefert, so dass (mRn). Somit kann die Funktion (alpha) auf den natürlichen Zahlen (mathbb {N}) Schritt für Schritt konstruiert werden: Zuerst wird ein Element (m_0) so gewählt, dass (0Rm_0), welches wird der Wert von (alpha (0)) sein. Dann wird ein Element (m_1) so ausgewählt, dass (1Rm_1) der Wert von (alpha (1)) ist, und so weiter.
Mehrere andere Wahlaxiome können auf ähnliche Weise gerechtfertigt werden. Hier wird nur noch eines erwähnt, das Axiom der abhängigen Wahl:
) tag {({ bf DC \ mbox {-} N})} begin {align} forall R \ subseteq \ mathbb {N} times \ mathbb {N} big (forall m \ existiert n \, mRn \ rightarrow & \ forall k \ existiert \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ \ mathbb {N} big (alpha (0) = k \ \ wedge \& \ forall i \ geq 0 \, \ alpha (i) R \ alpha (i + 1) big) big). \ end {align})
Auch in der klassischen Mathematik werden die Wahlaxiome mit Sorgfalt behandelt, und es wird oft explizit erwähnt, wie viel Auswahl in einem Beweis benötigt wird. Da das Axiom der abhängigen Wahl mit einem wichtigen Axiom in der klassischen Mengenlehre (dem Axiom der Bestimmtheit) übereinstimmt, während das vollständige Axiom der Wahl nicht stimmt, wird diesem Axiom besondere Aufmerksamkeit geschenkt, und im Allgemeinen wird versucht, das Ausmaß der Wahl in zu reduzieren ein Beweis für die abhängige Wahl, wenn überhaupt eine Wahl vorliegt.
3.8 Deskriptive Mengenlehre, Topologie und Topos-Theorie
Brouwer war nicht allein in seinen Zweifeln an bestimmten klassischen Argumentationsformen. Dies zeigt sich insbesondere in der deskriptiven Mengenlehre, die als Reaktion auf die in der kantorianischen Mengenlehre vorkommenden hochgradig nichtkonstruktiven Begriffe entstand. Die Gründerväter des Feldes, darunter Émile Borel und Henri Lebesgue als zwei der Hauptfiguren, wurden als Semi-Intuitionisten bezeichnet, und ihre konstruktive Behandlung des Kontinuums führte zur Definition der Borel-Hierarchie. Aus ihrer Sicht ist ein Begriff wie die Menge aller Mengen reeller Zahlen bedeutungslos und muss daher durch eine Hierarchie von Teilmengen ersetzt werden, die eine klare Beschreibung haben.
In Veldman 1999 wird ein intuitionistisches Äquivalent zum Begriff der Borel-Menge formuliert, und es wird gezeigt, dass klassisch äquivalente Definitionen der Borel-Mengen zu einer Vielzahl von intuitionistisch unterschiedlichen Klassen führen, eine Situation, die im Intuitionismus häufig auftritt. Für die intuitionistischen Borel-Mengen ist ein Analogon des Borel-Hierarchiesatzes intuitionistisch gültig. Der Beweis dieser Tatsache nutzt im Wesentlichen die oben diskutierten Kontinuitätsaxiome und zeigt damit, wie die klassische Mathematik die Suche nach intuitionistischen Analoga leiten kann, die jedoch auf völlig andere Weise bewiesen werden müssen, manchmal unter Verwendung von Prinzipien, die aus klassischer Sicht nicht akzeptabel sind Aussicht.
Ein anderer Ansatz zur Untersuchung von Teilmengen des Kontinuums oder eines topologischen Raums im Allgemeinen ist durch die Entwicklung einer formalen oder abstrakten Topologie entstanden (Fourman 1982, Martin-Löf 1970, Sambin 1987). In dieser konstruktiven Topologie ist die Rolle offener Mengen und Punkte umgekehrt; In der klassischen Topologie wird eine offene Menge als eine bestimmte Menge von Punkten definiert, im konstruktiven Fall sind offene Mengen der Grundbegriff und Punkte werden in Bezug auf sie definiert. Daher wird dieser Ansatz manchmal als punktfreie Topologie bezeichnet.
Die intuitionistische Funktionsanalyse wurde von vielen nach Brouwer weit und breit entwickelt, aber da die meisten Ansätze nicht streng intuitionistisch, sondern auch im weiteren Sinne konstruktiv sind, wird diese Forschung hier nicht weiter behandelt.
4. Konstruktivismus
Der Intuitionismus teilt einen Kern mit den meisten anderen Formen des Konstruktivismus. Der Konstruktivismus im Allgemeinen befasst sich mit konstruktiven mathematischen Objekten und Argumenten. Aus konstruktiven Beweisen kann man zumindest im Prinzip Algorithmen extrahieren, die die Elemente berechnen und die Konstruktionen simulieren, deren Existenz im Beweis festgelegt ist. Die meisten Formen des Konstruktivismus sind mit der klassischen Mathematik kompatibel, da sie im Allgemeinen auf einer strengeren Interpretation der Quantifizierer und der Konnektiva und der zulässigen Konstruktionen beruhen, ohne dass zusätzliche Annahmen getroffen werden. Die Logik, die von fast allen konstruktiven Gemeinschaften akzeptiert wird, ist dieselbe, nämlich die intuitionistische Logik.
Viele existentielle Theoreme in der klassischen Mathematik haben ein konstruktives Analogon, bei dem die existenzielle Aussage durch eine Aussage über Approximationen ersetzt wird. Wir haben ein Beispiel dafür, den Zwischenwertsatz, im Abschnitt über schwache Gegenbeispiele oben gesehen. Große Teile der Mathematik können auf ähnliche Weise konstruktiv wiederhergestellt werden. Der Grund, sie hier nicht weiter zu behandeln, besteht darin, dass der Schwerpunkt dieses Beitrags auf den Aspekten des Intuitionismus liegt, die ihn von anderen konstruktiven Zweigen der Mathematik unterscheiden. Für eine gründliche Behandlung des Konstruktivismus wird der Leser auf den entsprechenden Eintrag in dieser Enzyklopädie verwiesen.
5. Metamathematik
Obwohl Brouwer seine Mathematik präzise und grundlegend entwickelte, wurde die Formalisierung in dem Sinne, wie wir sie heute kennen, erst später von anderen durchgeführt. Nach Brouwers Ansicht, dass sich die Mathematik intern entfaltet, ist eine Formalisierung zwar nicht inakzeptabel, aber nicht notwendig. Andere nach ihm dachten anders, und die Formalisierung der intuitionistischen Mathematik und das Studium ihrer metamathematischen Eigenschaften, insbesondere der Arithmetik und Analyse, haben viele Forscher angezogen. Die Formalisierung der intuitionistischen Logik, auf der alle Formalisierungen basieren, wurde bereits oben behandelt.
5.1 Arithmetik
Heyting Arithmetic HA, wie es von Arend Heyting formuliert wurde, ist eine Formalisierung der intuitionistischen Theorie der natürlichen Zahlen (Heyting 1956). Es hat die gleichen nicht logischen Axiome wie Peano Arithmetic PA, basiert jedoch auf intuitionistischer Logik. Somit ist es eine Einschränkung der klassischen Arithmetik, und es ist die akzeptierte Theorie der natürlichen Zahlen in fast allen Bereichen der konstruktiven Mathematik. Heyting Arithmetic hat viele Eigenschaften, die seinen konstruktiven Charakter widerspiegeln, zum Beispiel die Disjunction-Eigenschaft, die auch für die intuitionistische Logik gilt. Eine weitere Eigenschaft von HA, die PA nicht teilt, ist die numerische Existenz-Eigenschaft: ((overline {n}) ist die Zahl, die der natürlichen Zahl (n) entspricht.)
) tag {({ bf NEP})} { bf HA} vdash \ existiert x A (x) Rightarrow \ existiert n \ in { mathbb N}, { bf HA} vdash A (overline {n}).)
Dass diese Eigenschaft in PA nicht gilt, ergibt sich aus der Tatsache, dass PA beweist, dass (existiert x (A (x) vee \ für alle y \ neg A (y))). Betrachten Sie zum Beispiel den Fall, dass (A (x)) die Formel (T (e, e, x)) ist, wobei (T) das entscheidbare Kleene-Prädikat ist, das (x) ausdrückt. ist der Code einer abschließenden Berechnung des Programms mit dem Code (e) am Eingang (e). Wenn für jedes (e) eine Zahl (n) existieren würde, so dass ({ bf PA} vdash T (e, e, n) vee \ forall y \ neg T (e, e, y)), dann wird durch Prüfen, ob (T (e, e, n)) gilt, entschieden, ob ein Programm (e) bei Eingabe (e) endet. Dies ist jedoch im Allgemeinen unentscheidbar.
Markovs Regel ist ein Prinzip, das sowohl klassisch als auch intuitionistisch gilt, aber nur für HA ist der Beweis dieser Tatsache nicht trivial:
) tag {({ bf MR})} { bf HA} vdash \ für alle x (A (x) vee \ neg A (x)) Keil \ neg \ neg \ existiert x A (x) Rightarrow { bf HA} vdash \ existiert x A (x).)
Da HA das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte für jedes primitive rekursive Prädikat beweist, folgt daraus, dass für ein solches (A) die Ableitbarkeit von (neg \ neg \ x A (x)) in HA die Ableitbarkeit von \ impliziert (existiert auch x A (x)). Daraus folgt, dass PA gegenüber HA (Pi ^ 0_2) - konservativ ist. Das heißt, für primitive rekursive (A): [{ bf PA} vdash \ forall x \ existiert y A (x, y) Rechtspfeil { bf HA} vdash \ forall x \ existiert y A (x, y).) Somit fällt die Klasse der nachweislich rekursiven Funktionen von HA mit der Klasse der nachweislich rekursiven Funktionen von PA zusammen, eine Eigenschaft, die auf der Grundlage der dem Konstruktivismus und Intuitionismus zugrunde liegenden Ideen möglicherweise nicht überraschend ist.
5.2 Analyse
Die Formalisierung der intuitionistischen Mathematik umfasst mehr als nur Arithmetik. Große Teile der Analyse wurden unter konstruktiven Gesichtspunkten axiomatisiert (Kleene 1965, Troelstra 1973). Die Konstruktivität dieser Systeme kann unter Verwendung von funktionalen, typentheoretischen oder Realisierbarkeitsinterpretationen festgestellt werden, die größtenteils auf Gödels Dialectica-Interpretation (Gödel 1958, Kreisel 1959), Kleene-Realisierbarkeit (Kleene 1965) oder Typentheorien (Martin-) basieren oder diese erweitern. Löf 1984). In diesen Interpretationen werden die Funktionen, die konstruktiven Anweisungen zugrunde liegen, wie zum Beispiel die Funktion, die jedem (x) in (forall x \ existiert y A (x, y)) ein (y) zuweist, explizit angegeben auf verschiedene Arten.
In (Scott 1968 und 1970) wird ein topologisches Modell für die intuitionistische Analysetheorie zweiter Ordnung vorgestellt, bei dem die Real als kontinuierliche Funktionen vom Baire-Raum in die klassischen Real interpretiert werden. In diesem Modell gelten Kripkes Schema sowie bestimmte Kontinuitätsaxiome. In (Moschovakis 1973) wird diese Methode angepasst, um ein Modell von Theorien der intuitionistischen Analyse in Bezug auf Auswahlsequenzen zu konstruieren. Auch in diesem Modell gelten Kripkes Schema und bestimmte Kontinuitätsaxiome. In (Van Dalen 1978) werden Beth-Modelle verwendet, um ein Modell von Arithmetik- und Auswahlsequenzen bereitzustellen, die Auswahlschemata, Instanzen schwacher Kontinuität und Kripkes Schema erfüllen. In diesem Modell sind die Domänen an jedem Knoten die natürlichen Zahlen, so dass keine nicht standardmäßigen Modelle verwendet werden müssen, wie im Fall von Kripke-Modellen. Darüber hinaus die Axiome CS1–3 des erstellenden Subjekts kann darin interpretiert werden, was zeigt, dass diese Theorie konsistent ist.
5.3 Gesetzlose Sequenzen
Es gibt Axiomatisierungen der gesetzlosen Sequenzen, und alle enthalten Erweiterungen der Kontinuitätsaxiome (Kreisel 1968, Troelstra 1977). Insbesondere in Form des Axioms der offenen Daten, das besagt, dass für (A (alpha)) außer (alpha) keine anderen nicht rechtsähnlichen Parameter enthalten sind:
[A (alpha) rightarrow \ existiert n \ forall \ beta \ in \ alpha (overline {n}) A (beta).)
In (Troelstra 1977) wird im Rahmen der intuitionistischen Analyse eine Theorie gesetzloser Sequenzen entwickelt (und begründet). Neben Axiomen für die Elementaranalyse enthält es für gesetzlose Sequenzen verstärkte Formen der Axiome offener Daten, Kontinuität, Entscheidbarkeit und Dichte (Dichte besagt, dass jede endliche Sequenz das Anfangssegment einer gesetzlosen Sequenz ist). Besonders interessant ist, dass in diesen Theorien Quantifizierer über gesetzlose Sequenzen eliminiert werden können, ein Ergebnis, das auch als Modell für gesetzmäßige Sequenzen für solche Theorien angesehen werden kann. Andere klassische Modelle der Theorie gesetzloser Sequenzen wurden in der Kategorietheorie in Form von Garbenmodellen konstruiert (van der Hoeven und Moerdijk 1984). In (Moschovakis 1986) wird eine Theorie für Auswahlsequenzen relativ zu einer bestimmten Menge gesetzmäßiger Elemente eingeführt.zusammen mit einem klassischen Modell, in dem sich die gesetzlosen Sequenzen als genau die generischen herausstellen.
5.4 Formalisierung des erstellenden Subjekts
Das in Abschnitt 2.2 eingeführte Erstellungssubjekt kann Auswahlsequenzen generieren, die einige der wichtigsten und kompliziertesten mathematischen Einheiten von Brouwers Intuitionismus sind. Mehrere Philosophen und Mathematiker haben versucht, die Theorie des Schöpfungssubjekts sowohl mathematisch als auch philosophisch weiterzuentwickeln.
Bei der Formalisierung des Begriffs des Schöpfungssubjekts wird sein zeitlicher Aspekt unter Verwendung der Notation (Box_n A) formalisiert, die angibt, dass das Schöpfungssubjekt zum Zeitpunkt n einen Beweis von A hat (in einigen anderen Formulierungen: erlebt die Wahrheit von (A) zum Zeitpunkt (n)). Georg Kreisel (1967) führte die folgenden drei Axiome für das Schöpfungssubjekt ein, die zusammen mit CS bezeichnet werden:
) begin {align} tag {({ bf CS1})} & \ Box_n A \ vee \ neg \ Box_n A \& \ mbox {(zum Zeitpunkt (n) kann entschieden werden ob der Erstellungsgegenstand} & \ mbox {einen Beweis von A)} \ \ tag {({ bf CS2})} & \ Box_m A \ rightarrow \ Box_ {m + n} A \& hat \ mbox {(das Erstellungsobjekt vergisst nie, was es bewiesen hat)} \ \ tag {({ bf CS3})} & (existiert n \ Box_n A \ rightarrow A) wedge (A \ rightarrow \ neg \ neg \ existiert n \ Box_n A) & \ mbox {(der Erstellungsgegenstand beweist nur, was wahr ist und keine} & \ mbox {wahre Aussage kann für die} & \ mbox {Erstellen unmöglich zu beweisen sein Betreff)} \ \ end {align})
In der Version von Anne Troelstra (1969) wird das letzte Axiom verstärkt
) begin {align} tag {({ bf CS3} ^ +)} & \ existiert n \ Box_n A \ leftrightarrow A \& \ mbox {(der Erstellungsgegenstand beweist nur, was wahr ist und was} & \ mbox {ist wahr, wird vom Erstellungsgegenstand an einem bestimmten Punkt bewiesen.} & \ mbox {Punkt)} end {align})
Das erste Axiom CS1 ist unumstritten: Zu jedem Zeitpunkt kann festgestellt werden, ob das erstellende Subjekt einen Beweis für eine bestimmte Aussage hat oder nicht. Das zweite Axiom CS2 verwendet eindeutig die Tatsache, dass das Erstellungssubjekt eine Idealisierung ist, da es ausdrückt, dass Beweise immer in Erinnerung bleiben. Das letzte Axiom CS3ist der umstrittenste Teil der Formalisierung des Schöpfungssubjekts, oder besser, seine zweite Konjunktion ((A \ rightarrow \ neg \ neg \ existiert n \ Box_n A)) ist, die den Namen Axiom of Christian Charity von erhielt Kreisel. Göran Sundholm (2014) argumentiert beispielsweise, dass Axiom of Christian Charity aus konstruktiver Sicht nicht akzeptabel ist. Und Gödels Unvollständigkeitssatz impliziert sogar, dass das Prinzip falsch ist, wenn (Box_n A) in einem ausreichend starken Beweissystem als beweisbar interpretiert werden würde, was jedoch sicherlich nicht die Interpretation ist, die Brouwer im Sinn hatte.
Bei einer Aussage (A), die keinen Zeitbezug enthält, dh kein Auftreten von (Box_n), kann man eine Auswahlfolge nach folgender Regel definieren (Brouwer 1953):
Daraus folgt das in Abschnitt 2.2 eingeführte Prinzip, das als Kripkes Schema KS bekannt ist und im Gegensatz zu den Axiomen der Theorie des Schöpfungssubjekts keinen expliziten Bezug zur Zeit enthält: (existiert \ alpha (A \ leftrightarrow \ existiert n) alpha (n) = 1)).
Unter Verwendung des Kripke-Schemas können die schwachen Gegenbeispielargumente formal ausgedrückt werden, ohne auf das Erstellungsobjekt zu verweisen. Das folgende Beispiel stammt aus (van Atten 2018). Sei A eine Aussage, für die derzeit nicht bekannt ist, dass (neg A \ vee \ neg \ neg A) gilt. Mit KS erhält man Auswahlsequenzen (alpha_1) und (alpha_2), so dass
) neg A \ leftrightarrow \ existiert n \ alpha_1 (n) = 1 \ \ \ \ \ neg \ neg A \ leftrightarrow \ existiert n \ alpha_2 (n) = 1.)
Ordnen Sie diesen beiden Sequenzen die reellen Zahlen (r_0) und (r_1) zu, wobei für (i = 0,1):
[r_i (n) = \ begin {case} 0 & \ text {if (alpha_i (n) neq 1)} (-1) ^ i2 ^ {- m} & \ begin {align} & \ text {wenn für einige (m \ leq n), (alpha_i (m) = 1) und} & \ text {für no (k \ lt m), (alpha_i (k) = 1.)} Ende {Ausrichtung} Ende {Fälle})
Dann wird für (r = r_0 + r_1) die Anweisung (neg A \ vee \ neg \ neg A) durch ((r \ gt 0 \ vee r \ lt 0)) impliziert, was dies zeigt ((r \ gt 0 \ vee r \ lt 0)) kann nicht bewiesen werden.
In (van Dalen 1978) wird ein Modell der Axiome für das erzeugende Subjekt im Kontext von Arithmetik- und Auswahlsequenzen konstruiert, wodurch bewiesen wird, dass sie mit der intuitionistischen Arithmetik und bestimmten Teilen der Analyse übereinstimmen. In (van Dalen 1982) hat sich CS gegenüber Heyting Arithmetic als konservativ erwiesen. Mathematische Konsequenzen von Kripkes Schema finden sich in (van Dalen 1997), wo gezeigt wird, dass KS und die Kontinuitätsaxiome Markovs Prinzip ablehnen, während KS zusammen mit Markovs Prinzip das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte impliziert.
Kripke hat gezeigt, dass KS die Existenz nichtrekursiver Funktionen impliziert, ein Ergebnis, das nicht von ihm, sondern von Kreisel (1970) veröffentlicht wurde. Dies impliziert eindeutig, dass die Theorie CS auch die Existenz einer nicht rekursiven Funktion impliziert. Ein mögliches Argument für CS lautet wie folgt. Angenommen, (X) ist eine nicht berechenbare, aber berechenbar aufzählbare Menge, und definieren Sie die Funktion (f) wie folgt:
[f (m, n) = \ begin {Fälle} 0 & \ text {wenn nicht (Box_m (n \ nicht \ in X))} \ 1 & \ text {if (Box_m (n \ nicht \ in X)).} end {Fälle})
Dann folgt, dass (n \ nicht \ in X) genau dann, wenn (f (m, n) = 1) für eine natürliche Zahl (m) ist, was impliziert, dass (f) nicht sein kann berechenbar. Wenn ja, wäre das Komplement von (X) berechenbar aufzählbar, was die Berechenbarkeit von (X) impliziert. Da (f) aus intuitionistischer Sicht eine Funktion ist, stellt dies fest, dass im Intuitionismus nicht alle Funktionen berechenbar sind.
5.5 Grundlagen
Formalisierungen, die als Grundlage für die konstruktive Mathematik dienen sollen, sind entweder satztheoretisch (Aczel 1978, Myhill 1975) oder typentheoretisch (Martin-Löf 1984). Die früheren Theorien sind Anpassungen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre an eine konstruktive Umgebung, während in der Typentheorie die in konstruktiven Aussagen implizierten Konstruktionen im System explizit gemacht werden. Die Mengenlehre könnte als eine erweiterte Grundlage der Mathematik angesehen werden, während die Typentheorie im Allgemeinen eine intensive ist.
In den letzten Jahren sind viele Modelle von Teilen solcher Grundtheorien für die intuitionistische Mathematik erschienen, von denen einige oben erwähnt wurden. Insbesondere in der Topos-Theorie (van Oosten 2008) gibt es viele Modelle, die bestimmte Merkmale des Intuitionismus erfassen. Es gibt zum Beispiel Topoi, in denen alle realen Gesamtfunktionen stetig sind. Funktionale Interpretationen wie Realisierbarkeit sowie Interpretationen in der Typentheorie könnten auch als Modelle der intuitionistischen Mathematik und der meisten anderen konstruktiven Theorien angesehen werden.
5.6 Umgekehrte Mathematik
In der umgekehrten Mathematik versucht man für mathematische Theoreme festzustellen, welche Axiome benötigt werden, um sie zu beweisen. In der intuitionistischen Umkehrmathematik hat man ein ähnliches Ziel, aber dann in Bezug auf intuitionistische Theoreme: Bei der Arbeit an einer schwachen intuitionistischen Theorie werden Axiome und Theoreme miteinander verglichen. Die typischen Axiome, mit denen Theoreme verglichen werden sollen, sind das Fächerprinzip und das Balkenprinzip, das Kripke-Schema und die Kontinuitätsaxiome.
In (Veldman 2011) werden Äquivalente des Fächerprinzips gegenüber einer Grundtheorie namens Basic Intuitionistic Mathematics untersucht. Es wird gezeigt, dass das Lüfterprinzip der Aussage entspricht, dass das Einheitsintervall [0,1] die Heine-Borel-Eigenschaft hat, und daraus werden viele andere Äquivalente abgeleitet. In (Veldman 2009) wird gezeigt, dass das Lüfterprinzip auch dem ungefähren Fixpunktsatz von Brouwer entspricht. In (Lubarsky et al. 2012) wird die umgekehrte Mathematik auf eine Form des Kripke-Schemas angewendet, von der gezeigt wird, dass sie bestimmten topologischen Aussagen entspricht.
Es gibt viele weitere Beispiele aus der intuitionistischen Umkehrmathematik. Insbesondere im größeren Bereich der konstruktiven Umkehrmathematik gibt es viele Ergebnisse dieser Art, die auch aus intuitionistischer Sicht relevant sind.
6. Philosophie
Brouwer baute seinen Intuitionismus von Grund auf auf und äußerte sich nicht viel zum Verhältnis zwischen Intuitionismus und anderen existierenden Philosophien, aber andere nach ihm. Einige dieser Zusammenhänge werden in diesem Abschnitt erörtert, insbesondere die Art und Weise, wie intuitionistische Prinzipien mit anderen Philosophien gerechtfertigt werden können.
6.1 Phänomenologie
Der Zusammenhang zwischen Intuitionismus und Phänomenologie, die von Edmund Husserl entwickelte Philosophie, wurde von mehreren Autoren sowohl zu Brouwers Lebzeiten als auch Jahrzehnte später untersucht. Hermann Weyl war einer der ersten, der die Beziehung zwischen Brouwers Ideen und der phänomenologischen Sicht auf die Mathematik diskutierte. Wie Brouwer spricht Weyl in seinem Buch Das Kontinuum (Kapitel 2) über das intuitive Kontinuum, aber Weyls Vorstellung basiert auf der Phänomenologie der (des Bewusstseins der) Zeit. Weyl glaubt später, dass Brouwers Entwicklung der realen Analyse der Idee des intuitiven Kontinuums treuer ist als seine eigene (Weyl 1921) und stellt sich daher zumindest in Bezug auf diesen Aspekt an Brouwers Seite (van Atten 2002).
Van Atten (2003 und 2007) verwendet die Phänomenologie, um Auswahlsequenzen als mathematische Objekte zu rechtfertigen. Der Autor (2002) kritisiert Brouwers Rechtfertigung von Wahlsequenzen, was das Motiv ist, anderswo nach einer philosophischen Rechtfertigung zu suchen. Auswahlsequenzen kommen in den Arbeiten von Becker (1927) und Weyl vor, unterscheiden sich jedoch von Brouwers Vorstellung, und Husserl hat Auswahlsequenzen nie öffentlich diskutiert. Van Atten erklärt, wie die Homogenität des Kontinuums für seine Unerschöpflichkeit und Nichtatomizität verantwortlich ist, zwei Schlüsseleigenschaften des intuitiven Kontinuums nach Brouwer. Unter Verwendung der Tatsache, dass diese beiden wesentlichen Eigenschaften bei der Definition von Auswahlsequenzen vorhanden sind, gelangt man zu einer phänomenologischen Rechtfertigung dieser.
6.2 Wittgenstein
Am 10. März 1928 hielt Brouwer in Wien einen Vortrag über seine intuitionistischen Grundlagen der Mathematik. Ludwig Wittgenstein nahm an diesem Vortrag teil, überzeugt von Herbert Feigl, der später über die Stunden schrieb, die er nach dem Vortrag mit Wittgenstein und anderen verbracht hatte: Es fand eine großartige Veranstaltung statt. Plötzlich und sehr volubly begann Wittgenstein ausführlich über Philosophie zu sprechen. Vielleicht war dies der Wendepunkt, denn seit dieser Zeit, 1929, als er an die Universität von Cambridge zog, war Wittgenstein wieder Philosoph und begann einen enormen Einfluss auszuüben.
Andere bestreiten, dass Brouwers Vortrag Wittgensteins Denken beeinflusst hat (Hacker 1986, Hintikka 1992, Marion 2003). Inwieweit Wittgenstein, wenn überhaupt, von Brouwers Ideen beeinflusst wurde, ist nicht ganz klar, aber es gibt sicherlich interessante Vereinbarungen und Meinungsverschiedenheiten zwischen ihren Ansichten. Marion (2003) argumentiert, dass Wittgensteins Konzeption der Mathematik, wie sie im Tractatus beschrieben wird, der von Brouwer sehr nahe kommt und dass Wittgenstein der Ablehnung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte (Manuskript von 1929, S. 155–156 in Wittgenstein 1994) zustimmt, aber nicht zustimmt mit Brouwers Argumenten dagegen. Marion (2003) behauptet, dass Wittgensteins Haltung radikaler ist als die von Brouwer, da nach seiner Ansicht die mangelnde Gültigkeit des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte in der Mathematik ein Unterscheidungsmerkmal aller mathematischen Sätze ist (im Gegensatz zu empirischen Sätzen) und nicht nur a Besonderheit der Mathematik des Unendlichen, wie es für Brouwer ist.
Veldman (in Vorbereitung) diskutiert mehrere Punkte der (Nicht-) Übereinstimmung zwischen Brouwer und Wittgenstein, wie beispielsweise die Gefahr der Logik, die nach beiden zu Konstruktionen ohne mathematischen Inhalt führen kann. Eine der in dem Papier angesprochenen Meinungsverschiedenheiten betrifft Wittgensteins Ansicht, dass Mathematik ein weit verbreitetes Unterfangen ist, was in starkem Gegensatz zu Brouwers Schöpfungsfach und seiner Ansicht steht, dass Mathematik eine sprachlose Aktivität ist.
6.3 Dummett
Der britische Philosoph Michael Dummett (1975) entwickelte eine philosophische Grundlage für den Intuitionismus, insbesondere für die intuitionistische Logik. Dummett stellt ausdrücklich fest, dass seine Theorie keine Exegese von Brouwers Werk ist, sondern eine mögliche philosophische Theorie, um (in seinen Worten) das klassische Denken in der Mathematik zugunsten des intuitionistischen Denkens abzulehnen.
Dummetts Ansatz beginnt mit der Idee, dass die Wahl einer Logik gegenüber einer anderen notwendigerweise in der Bedeutung liegen muss, die man logischen Aussagen beimisst. In der von Dummett verwendeten Bedeutungstheorie, die auf Wittgensteins Vorstellungen von Sprache und insbesondere auf seiner Vorstellung, dass Bedeutung verwendet wird, basiert, wird die Bedeutung eines Satzes durch die Art und Weise bestimmt, in der der Satz verwendet wird. Die Bedeutung einer mathematischen Aussage manifestiert sich in ihrer Verwendung, und das Verständnis davon ist die Kenntnis der Fähigkeit, die Aussage zu verwenden. Diese Ansicht wird durch die Art und Weise unterstützt, wie wir mathematisches Wissen erwerben. Wenn wir einen mathematischen Begriff lernen, lernen wir, wie man ihn benutzt: wie man ihn berechnet, beweist oder daraus ableitet. Und der einzige Weg, um festzustellen, dass wir die Bedeutung einer mathematischen Aussage verstanden haben, liegt in unserer Fähigkeit, die Aussage richtig zu verwenden.
Angesichts dieser Sicht auf die Bedeutung ist der zentrale Begriff in der Bedeutungstheorie für die Mathematik nicht wie im Platonismus die Wahrheit, sondern der Beweis; Das Verständnis einer mathematischen Aussage besteht in der Fähigkeit, einen Beweis dafür zu erkennen, wenn man einen vorlegt. Dies führt dann, wie Dummett argumentiert, zur Übernahme der intuitionistischen Logik als Logik des mathematischen Denkens.
Interessanterweise ist seine Bedeutungstheorie, wie Dummett (1975) selbst bemerkt, weit entfernt von Brouwers Vorstellungen von Mathematik als einer im Wesentlichen sprachlosen Aktivität. Damit gibt es mindestens zwei ganz unterschiedliche Gedankengänge, die zur Übernahme der intuitionistischen Logik gegenüber der klassischen Logik führen, die von Brouwer entwickelte und die von Dummett vertretene. Dummetts Arbeit zum Intuitionismus wurde von verschiedenen Philosophen wie Dag Prawitz (1977), Parsons (1986) und Richard Tieszen (1994 und 2000) kommentiert.
6.4 Finitismus
Verschiedene Formen des Finitismus basieren auf einer ähnlichen Ansicht wie die von Dummett, aber in der die Konstruktionen, die mathematische Aussagen beweisen dürfen, nicht nur im Prinzip, sondern auch in der Praxis existieren müssen. Abhängig von der genauen Umsetzung des letzteren Begriffs gelangt man zu verschiedenen Formen des Finitismus, wie dem von Alexander Yessenin-Volpin (1970) entwickelten Ultra-Intuitionismus und dem von Crispin Wright (1982) entwickelten Strict Finitism.
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Andere Internetquellen
Luitzen Egbertus Jan Brouwer, Biografie auf der Website des Mac Tutor History of Mathematics
