Kants Philosophie Der Mathematik

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Erstveröffentlichung am 19. Juli 2013

Kant war während seiner gesamten Karriere Schüler und Lehrer für Mathematik, und seine Überlegungen zu Mathematik und mathematischer Praxis hatten einen tiefgreifenden Einfluss auf sein philosophisches Denken. Er entwickelte überlegte philosophische Ansichten über den Status des mathematischen Urteils, die Natur mathematischer Definitionen, Axiome und Beweise sowie die Beziehung zwischen reiner Mathematik und der natürlichen Welt. Darüber hinaus seine Herangehensweise an die allgemeine Frage "Wie sind synthetische Urteile a priori möglich?" wurde von seiner Auffassung von Mathematik und ihren Errungenschaften als fundierte Wissenschaft geprägt.

Kants Philosophie der Mathematik ist aus mehreren Gründen für eine Vielzahl von Wissenschaftlern von Interesse. Erstens sind seine Gedanken zur Mathematik ein entscheidender und zentraler Bestandteil seines kritischen philosophischen Systems, und so beleuchten sie den Historiker der Philosophie, der an jedem Aspekt von Kants Korpus arbeitet. Darüber hinaus ergeben sich Fragen von zeitgenössischem Interesse und Relevanz aus Kants Überlegungen zu den grundlegendsten und elementarsten mathematischen Disziplinen, die weiterhin wichtige Fragen in der Metaphysik und Erkenntnistheorie der Mathematik aufwerfen. Schließlich haben Meinungsverschiedenheiten darüber, wie Kants Philosophie der Mathematik zu interpretieren ist, einen fruchtbaren Bereich aktueller Forschung und Debatte hervorgebracht.

1. Kants vorkritische Philosophie der Mathematik
2. Kants kritische Philosophie der Mathematik
- 2.1 Kants Theorie der Konstruktion mathematischer Konzepte in „Die Disziplin der reinen Vernunft im dogmatischen Gebrauch“
- 2.2 Kants Antwort auf seine Frage „Wie ist reine Mathematik möglich?“
- 2.3 Kants Konzeption der Rolle der Mathematik im transzendentalen Idealismus
3. Kommentar und Interpretationsdebatte
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1. Kants vorkritische Philosophie der Mathematik

1763 nahm Kant an einem Aufsatzpreiswettbewerb teil, der sich mit der Frage befasste, ob die ersten Prinzipien der Metaphysik und Moral bewiesen werden können und damit den gleichen Grad an Sicherheit wie mathematische Wahrheiten erreichen. Obwohl sein Aufsatz von der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin mit dem zweiten Preis ausgezeichnet wurde (Niederlage gegen Moses Mendelssohns „Über Beweise in den metaphysischen Wissenschaften“), wurde er dennoch als Kants „Preisaufsatz“bekannt. Der Prize Essay wurde 1764 von der Akademie unter dem Titel „Untersuchung der Unterscheidbarkeit der Prinzipien der natürlichen Theologie und Moral“veröffentlicht und ist ein Schlüsseltext in Kants vorkritischer Philosophie der Mathematik.

Kant verpflichtete sich im Prize Essay, die Methoden der Mathematik und Metaphysik zu vergleichen (Carson 1999; Sutherland 2010). Er behauptete, dass „das Geschäft der Mathematik… darin besteht, bestimmte Konzepte von Größen, die klar und sicher sind, zu kombinieren und zu vergleichen, um festzustellen, was daraus abgeleitet werden kann“(2: 278). Er behauptete weiter, dass dieses Geschäft durch eine Untersuchung von Zahlen oder „sichtbaren Zeichen“erreicht werde, die konkrete Darstellungen universeller Konzepte liefern, die synthetisch definiert wurden. Zum Beispiel definiert man das mathematische Konzept durch eine beliebige Kombination anderer Konzepte („vier gerade Linien, die eine ebene Fläche begrenzen, so dass die gegenüberliegenden Seiten nicht parallel zueinander sind“^[1]).), begleitet von einem „sinnvollen Zeichen“, das die Beziehungen zwischen den Teilen aller so definierten Objekte anzeigt. Definitionen sowie grundlegende mathematische Sätze, zum Beispiel, dass der Raum nur drei Dimensionen haben kann, müssen „konkret untersucht werden, damit sie intuitiv erkannt werden“, aber solche Sätze können niemals bewiesen werden, da sie nicht aus anderen Sätzen abgeleitet werden (2: 281). Theoreme werden aufgestellt, wenn einfache Erkenntnisse „mittels Synthese“kombiniert werden (2: 282), beispielsweise wenn gezeigt wird, dass die Produkte der Segmente, die aus zwei Akkorden bestehen, die sich innerhalb eines Kreises schneiden, gleich sind. Im letzteren FallMan beweist einen Satz über alle Linienpaare, die sich innerhalb eines Kreises schneiden, nicht indem man „alle möglichen Linien zeichnet, die sich innerhalb des Kreises schneiden könnten“, sondern indem man nur zwei Linien zeichnet und die Beziehung identifiziert, die zwischen ihnen besteht sie (2: 278). Die daraus resultierende „universelle Regel“wird über eine Synthese zwischen den angezeigten sinnlichen Zeichen und damit zwischen den Konzepten abgeleitet, die die sinnlichen Zeichen veranschaulichen.

Kant kommt zu dem Schluss, dass die mathematische Methode nicht angewendet werden kann, um philosophische (und insbesondere metaphysische) Ergebnisse zu erzielen, und zwar aus dem Hauptgrund, dass „Geometer ihre Konzepte durch Synthese erwerben, während Philosophen ihre Konzepte nur durch Analyse erwerben können - und das verändert die Denkweise völlig “(2: 289). In dieser vorkritischen Phase kommt er jedoch auch zu dem Schluss, dass die Metaphysik trotz fehlender synthetischer Definitionen ihrer primären Konzepte „ebenso sicher sein kann wie die Mathematik“(2: 296). (Später, in der kritischen Phase, wird Kant den Begriff der Synthese erweitern, um nicht nur die Entstehung und Kombination mathematischer Konzepte zu beschreiben, sondern auch den Akt der Vereinheitlichung vielfältiger Darstellungen. Er wird natürlich auchVerwenden Sie die Begriffe „synthetisch“und „analytisch“, um zwei sich gegenseitig ausschließende Arten zu unterscheiden, in denen sich Subjekt- und Prädikatkonzepte in unterschiedlichen Urteilen jeglicher Art zueinander verhalten, und er wird einen erweiterten Sinn für diese Unterscheidung hervorheben, der einen methodischen Kontrast zwischen diesen umfasst zwei Arten der Argumentation, eine synthetische oder progressive und die andere analytische oder regressive. Diese verschiedenen Sinne der analytischen / synthetischen Unterscheidung werden im Folgenden kurz angesprochen.)Diese verschiedenen Sinne der analytischen / synthetischen Unterscheidung werden im Folgenden kurz angesprochen.)Diese verschiedenen Sinne der analytischen / synthetischen Unterscheidung werden im Folgenden kurz angesprochen.)

In den Aufsätzen „Über den ultimativen Grund der Differenzierung von Richtungen im Raum“und „Über die Form und die Prinzipien der sensiblen und der verständlichen Welt [Eröffnungsarbeit]“von 1768 bzw. 1770 beginnen Kants Gedanken über Mathematik und ihre Ergebnisse sich in Richtung seiner kritischen Philosophie zu entwickeln, während er beginnt, die Rolle zu erkennen, die eine bestimmte Fähigkeit der Sensibilität in einer Darstellung der mathematischen Erkenntnis spielen wird (Carson 2004). In diesen Aufsätzen führt er den Erfolg des mathematischen Denkens auf den Zugang zu den „Prinzipien der sensiblen Form“und den „Primärdaten der Intuition“zurück, was zu „Gesetzen der intuitiven Erkenntnis“und „intuitiven Urteilen“über Größe und Ausdehnung führt. Ein solches Urteil dient dazu, die Möglichkeit eines Objekts festzustellen, das „genau gleich und einem anderen ähnlich ist,aber das kann nicht in die gleichen Grenzen wie das andere eingeschlossen werden, sein inkongruentes Gegenstück “(2: 382) (Buroker 1981; Van Cleve und Frederick 1991; Van Cleve 1999). Kant beruft sich auf solche „inkongruenten Gegenstücke“in „Richtungen im Raum“, um die Orientierbarkeit und Aktualität eines absoluten Raums im Newtonschen Stil festzustellen, dem Objekt der Geometrie, wie er es dann versteht. Er beruft sich in der „Eröffnungsarbeit“auf dasselbe Beispiel, um festzustellen, dass räumliche Beziehungen „nur durch eine bestimmte reine Intuition erfasst werden können“, und zeigt damit, dass „Geometrie Prinzipien verwendet, die nicht nur unzweifelhaft und diskursiv sind, sondern auch unter den Blick fallen aus dem Gedächtnis." Als solches ist der mathematische Beweis „das Paradigma und das Mittel aller Beweise in den anderen Wissenschaften“(2: 403). (Später, in den Prolegomena der kritischen Zeit,er wird sich auf inkongruente Gegenstücke berufen, um die transzendentale Idealität des Raums zu etablieren, und damit sein früheres Argument zur Unterstützung des absoluten Raums ablehnen.)

2. Kants kritische Philosophie der Mathematik

2.1 Kants Theorie der Konstruktion mathematischer Konzepte in „Die Disziplin der reinen Vernunft im dogmatischen Gebrauch“

Kants kritische Philosophie der Mathematik findet ihren vollsten Ausdruck in dem Abschnitt der Kritik der reinen Vernunft mit dem Titel "Die Disziplin der reinen Vernunft im dogmatischen Gebrauch", der die zweite der beiden Hauptabteilungen der Kritik, die "Transzendentale Doktrin der Methode", beginnt. In früheren Abschnitten der Kritik hat Kant die reine Vernunft „in ihrer transzendentalen Verwendung nach bloßen Konzepten“einer Kritik unterzogen, um „seine Neigung zur Expansion über die engen Grenzen möglicher Erfahrungen hinaus einzuschränken“(A711 / B739). Kant sagt uns jedoch, dass es nicht notwendig ist, die Mathematik einer solchen Kritik zu unterziehen, weil die Verwendung der reinen Vernunft in der Mathematik über die Intuition auf einer „sichtbaren Spur“gehalten wird: „[mathematische] Konzepte müssen sofort in der reinen Intuition im Konkret gezeigt werden,durch die alles Unbegründete und Willkürliche sofort offensichtlich wird “(A711 / B739). Die Praxis und Disziplin der Mathematik bedarf jedoch einer Erklärung, um sowohl ihren Erfolg bei der Demonstration inhaltlicher und notwendiger Wahrheiten zu erklären als auch ihre Berufung als Argumentationsmodell zu lizenzieren. Kant wendet sich daher wie in der vorkritischen Zeit der Frage zu, was für die „glückliche und fundierte“mathematische Methode verantwortlich ist und ob sie in einer anderen Disziplin als der Mathematik nützlich ist. Um diese letztere Frage zu verneinen, muss Kant die Einzigartigkeit des mathematischen Denkens erklären.um sowohl seinen Erfolg bei der Demonstration inhaltlicher und notwendiger Wahrheiten zu erklären als auch seine Berufung als Argumentationsmodell zu lizenzieren. Kant wendet sich daher wie in der vorkritischen Zeit der Frage zu, was für die „glückliche und fundierte“mathematische Methode verantwortlich ist und ob sie in einer anderen Disziplin als der Mathematik nützlich ist. Um diese letztere Frage zu verneinen, muss Kant die Einzigartigkeit des mathematischen Denkens erklären.um sowohl seinen Erfolg bei der Demonstration inhaltlicher und notwendiger Wahrheiten zu erklären als auch seine Berufung als Argumentationsmodell zu lizenzieren. Kant wendet sich daher wie in der vorkritischen Zeit der Frage zu, was für die „glückliche und fundierte“mathematische Methode verantwortlich ist und ob sie in einer anderen Disziplin als der Mathematik nützlich ist. Um diese letztere Frage zu verneinen, muss Kant die Einzigartigkeit des mathematischen Denkens erklären. Kant muss die Einzigartigkeit des mathematischen Denkens erklären. Kant muss die Einzigartigkeit des mathematischen Denkens erklären.

Die zentrale These von Kants Bericht über die Einzigartigkeit des mathematischen Denkens ist seine Behauptung, dass sich die mathematische Erkenntnis aus der „Konstruktion“ihrer Konzepte ergibt: „ konstruierenEin Konzept bedeutet, a priori die ihm entsprechende Intuition zu zeigen “(A713 / B741) (Friedman 1992, Friedman 2010). Während das Konzept beispielsweise diskursiv als geradlinige Figur definiert werden kann, die in drei geraden Linien enthalten ist (wie in Euklids Elementen), wird das Konzept im technischen Sinne des Kant nur dann konstruiert, wenn eine solche Definition mit a gepaart ist entsprechende Intuition, dh mit einer singulären und sofort erkennbaren Darstellung einer dreiseitigen Figur. Kant argumentiert, wenn man ein Dreieck so rendert, um die für den geometrischen Beweis notwendigen konstruktiven Hilfsschritte auszuführen, tut man dies a priori, unabhängig davon, ob das Dreieck auf Papier oder nur in der Vorstellung hergestellt wird. Dies liegt daran, dass das angezeigte Objekt in keinem Fall sein Muster aus irgendeiner Erfahrung entlehnt (A713 / B741). Außerdem,Man kann aus einer solchen singulären Darstellung eines einzelnen Dreiecks universelle Wahrheiten über alle Dreiecke ableiten, da die besonderen Bestimmungen des angezeigten Objekts, z. B. die Größe seiner Seiten und Winkel, der Fähigkeit des gerenderten Dreiecks, sich zu zeigen, „völlig gleichgültig“sind das allgemeine Konzept (A714 / B742). Kants Bericht muss daher gegen die allgemein vertretene Position verteidigt werden, dass universelle Wahrheiten nicht aus Argumenten abgeleitet werden können, die von bestimmten Darstellungen abhängen. (In ähnlicher Weise sind die weniger als perfekt geraden Seiten eines empirisch gerenderten Dreiecks ebenfalls „gleichgültig“, so dass eine solche empirische Intuition für einen geometrischen Beweis als angemessen angesehen wird. Dies wirft Fragen auf, wie man sicher sein kann, dass eine Intuition den Inhalt von a angemessen anzeigt Konzept, die Beziehung zwischen reiner und empirischer Intuition, und,insbesondere, welche der intuitiv angezeigten Funktionen sicher ignoriert werden können (Friedman 2010, Friedman 2012).)

Letztendlich behauptet Kant, dass „nur das Konzept der Größen“(Größen) in reiner Intuition konstruiert werden kann, da „Qualitäten nur in empirischer Intuition gezeigt werden können“(A714 / B742) (Sutherland 2004a; 2004b, 2005a).. Dies führt zu einer prinzipiellen Unterscheidung zwischen mathematischer und philosophischer Erkenntnis: Während die philosophische Erkenntnis auf die Ergebnisse einer abstrakten konzeptuellen Analyse beschränkt ist, ist die mathematische Erkenntnis das Ergebnis einer „Kette von Schlussfolgerungen, die immer von der Intuition geleitet wird“, dh von a konkrete Darstellung seiner Objekte (Hintikka 1967, Parsons 1969, Friedman 1992). Kant versucht etwas zu erklären, wie der Mathematiker arithmetische und algebraische Größen konstruiert, die sich von den räumlichen Figuren unterscheiden, die Gegenstand des geometrischen Denkens sind. Er unterscheidet zwischen „ostensiver“und „symbolischer“Konstruktion und identifiziert die ostensive Konstruktion mit der Praxis des Geometers, räumliche Figuren anzuzeigen oder anzuzeigen, während die symbolische Konstruktion mit der Verkettung von arithmetischen oder algebraischen Symbolen korreliert (wie zum Beispiel „eins“) Die Größe soll durch eine andere geteilt werden. [Mathematik] setzt ihre Symbole gemäß der Form der Notation für Division zusammen…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[Mathematik] setzt ihre Symbole gemäß der Form der Notation für Division zusammen…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[Mathematik] setzt ihre Symbole gemäß der Form der Notation für Division zusammen…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).

Kant behauptet weiter, dass der reine Größenbegriff für die Konstruktion geeignet ist, weil er im Gegensatz zu anderen reinen Begriffen keine Synthese möglicher Intuitionen darstellt, sondern „bereits eine reine Intuition in sich enthält“. Da jedoch die einzigen Kandidaten für solche „reinen Intuitionen“Raum und Zeit sind („die bloße Form der Erscheinungen“), können nur räumliche und zeitliche Größen in reiner Intuition gezeigt, dh konstruiert werden. Solche räumlichen und zeitlichen Größen können qualitativ dargestellt werden, indem die Formen von Dingen angezeigt werden, z. B. die Rechteckigkeit der Fensterscheiben, oder sie können nur quantitativ dargestellt werden, indem die Anzahl der Teile von Dingen angezeigt wird, z. B. die Anzahl der Fenster dass das Fenster umfasst. In beiden Fällen zählt das, was angezeigt wird, als reine und „formale Intuition“. Die Prüfung ergibt Urteile, die über den Inhalt des ursprünglichen Konzepts hinausgehen, mit dem die Intuition verbunden war. Solche Urteile sind paradigmatisch synthetische a priori Urteile (auf die weiter unten noch näher eingegangen wird), da es sich um amplitative Wahrheiten handelt, die unabhängig von der Erfahrung gerechtfertigt sind (Shabel 2006).

Kant argumentiert, dass mathematisches Denken nicht außerhalb des Bereichs der Mathematik angewendet werden kann, der für ein solches Denken, wie er es versteht, notwendigerweise auf Objekte gerichtet ist, die „a priori und ohne empirische Daten in reiner Intuition bestimmt gegeben sind“(A724 / B752). Da nur formale mathematische Objekte (dh räumliche und zeitliche Größen) angegeben werden können, ist mathematisches Denken in Bezug auf materiell gegebenen Inhalt nutzlos (obwohl die Wahrheiten, die sich aus mathematischem Denken über formale mathematische Objekte ergeben, fruchtbar auf solchen materiellen Inhalt angewendet werden, d. H. zu sagen, dass Mathematik a priori für die Erscheinungen gilt.) Folglich kann die „gründliche Grundlage“, die die Mathematik in ihren Definitionen, Axiomen und Demonstrationen findet, weder von der Philosophie noch von den Naturwissenschaften „erreicht oder nachgeahmt“werden (A727 / B755).

Während Kants Theorie der mathematischen Konzeptkonstruktion als Erklärung der mathematischen Praxis angesehen werden kann, wie Kant sie verstanden hat ^[2]Die Theorie ist mit Kants breiteren Verpflichtungen zur strengen Unterscheidung zwischen Intuitionen und Konzepten als Darstellungsweisen verflochten. zwischen den geistigen Fähigkeiten der Sensibilität und des Verstehens; zwischen synthetischen und analytischen Urteilen; und zwischen a priori und a posteriori Beweise und Argumentation. Letztendlich hängt das Bild der Mathematik, das in der Disziplin der reinen Vernunft im dogmatischen Gebrauch entwickelt wurde, von der vollständigen Urteilstheorie ab, die die Kritik liefern will, und entscheidend von der Sensibilitätstheorie, die Kant in The Transcendental Aesthetic (Parsons 1992, Carson 1997) anbietet) sowie in entsprechenden Passagen in der Haupttranszendentalen Frage des Prolegomena, Erster Teil, wo er den „Ursprung“der rein vernünftigen Konzepte der Mathematik und den „Umfang ihrer Gültigkeit“untersucht (A725 / B753).^[3]

2.2 Kants Antwort auf seine Frage „Wie ist reine Mathematik möglich?“

Kant stellt zwei verwandte Leitfragen seiner kritischen Philosophie: (1) Wie sind synthetische Urteile a priori möglich?; und (2) Wie ist Metaphysik als Wissenschaft möglich (B19; B23)? Die Mathematik bietet einen besonderen Weg, um zur Beantwortung dieser Fragen beizutragen, indem sie ein Modell einer kodifizierten wissenschaftlichen Disziplin liefert, dessen Möglichkeit klar ist und das darüber hinaus durch ihre eigene Erkenntnisleistung, die sowohl synthetisch als auch a priori ist, garantiert wird. Mit anderen Worten, eine Erklärung, wie synthetische A-priori-Urteile in mathematischen Kontexten bestätigt werden, sowie die daraus resultierende und verwandte Erklärung, wie ein systematischer Körper nachweisbaren Wissens solche Urteile umfasst, ermöglichen es, die mathematische Wahrheit als Paradigma des Substantivs heranzuziehen notwendige und universelle Wahrheiten, die die Metaphysik erreichen will. Kant 'Die oben diskutierte Theorie der mathematischen Konzeptkonstruktion kann nur in Verbindung mit seiner Behandlung derart umfassenderer Fragen nach der Natur und der Möglichkeit mathematischen und metaphysischen Wissens vollständig gewürdigt werden.

Sowohl in der Präambel der Prolegomena zu jeder zukünftigen Metaphysik als auch in der B-Einführung in die Kritik der reinen Vernunft führt Kant die analytische / synthetische Unterscheidung ein, die zwischen Urteilen unterscheidet, deren Prädikate zum Subjektkonzept gehören oder in diesem enthalten sind, und Urteilen deren Prädikate mit dem Subjektkonzept verbunden sind, aber darüber hinausgehen. In jedem Text folgt er seiner Darstellung dieser Unterscheidung mit einer Diskussion seiner Behauptung, dass alle mathematischen Urteile synthetisch und a priori sind. ^[4]Dort behauptet er zunächst, dass „richtig mathematische Urteile immer a priori Urteile sind“, weil sie notwendig sind und daher nicht aus Erfahrungen abgeleitet werden können (B14). Darauf folgt eine Erklärung, wie solche nicht-empirischen Urteile noch synthetisch sein können, dh wie sie dazu dienen können, ein Subjekt- und Prädikatkonzept zu synthetisieren, anstatt lediglich ein Subjektkonzept in seine logischen Bestandteile zu erläutern oder zu analysieren. Hier beruft er sich berühmt auf den Satz „7 + 5 = 12“und argumentiert negativ und behauptet, „egal wie lange ich mein Konzept einer solchen möglichen Summe [von sieben und fünf] analysiere, ich werde immer noch keine zwölf darin finden“und auch positiv, indem er behauptet, dass „man über diese Konzepte [von sieben und fünf] hinausgehen muss, um Unterstützung in der Intuition zu suchen, die einem der zwei, seinen fünf Fingern entspricht,sagen Sie… und fügen Sie nacheinander die Einheiten der fünf, die in der Intuition angegeben sind, zum Konzept der sieben hinzu… und sehen Sie, wie die Zahl 12 entsteht “(B15). Daraus folgt, dass die notwendige Wahrheit eines arithmetischen Satzes wie „7 + 5 = 12“durch keine Methode der logischen oder konzeptuellen Analyse (Anderson 2004), sondern durch intuitive Synthese (Parsons 1969) festgestellt werden kann. Er folgt dieser Diskussion des arithmetischen Denkens und der Wahrheit mit entsprechenden Behauptungen über die euklidische Geometrie, wonach die Prinzipien der Geometrie synthetische Beziehungen zwischen Konzepten ausdrücken (z. B. zwischen dem Konzept der geraden Linie zwischen zwei Punkten und dem Konzept der kürzesten Linie zwischen diesen gleiche zwei Punkte), von denen keiner analytisch aus dem anderen „extrahiert“werden kann. Die Prinzipien der Geometrie drücken somit Beziehungen zwischen grundlegenden geometrischen Konzepten aus, da diese „in der Intuition ausgestellt“werden können (Shabel 2003, Sutherland 2005a).

An anderer Stelle schließt Kant auch geometrische Theoreme als Arten von Sätzen (zusätzlich zu geometrischen Prinzipien) ein, die als synthetisch gelten (Friedman 1992, Friedman 2010). Aber Kants Darstellung der Synthetizität solcher Theoreme ist nicht transparent. Nachdem er bestritten hat, dass die Grundsätze aus dem Prinzip des Widerspruchs analytisch erkannt werden könnten, räumt er ein, dass die mathematische Folgerung, wie sie zur Erstellung geometrischer Theoreme erforderlich ist, „nach dem Prinzip des Widerspruchs“erfolgt und dass „ein synthetischer Satz kann natürlich nach dem Prinzip des Widerspruchs verstanden werden “, obwohl„ nur insoweit ein anderer synthetischer Satz vorausgesetzt wird, aus dem er abgeleitet werden kann, niemals an sich “(B14). Während er klar ist, dass alle mathematischen Urteile, einschließlich geometrischer Theoreme,synthetisch sind, ist ihm weniger klar, was es genau für solche Sätze oder die Schlussfolgerungen bedeutet, die sie unterstützen, dem Prinzip des Widerspruchs, dessen Ableitbarkeit er als Paradigmentest der Analytizität ansieht, „zu entsprechen“. Dies führt zu einer interpretativen Meinungsverschiedenheit darüber, ob nachweisbare mathematische Urteile aus den synthetischen Prinzipien durch streng logische oder konzeptuelle Folgerung folgen - und damit nur in strikter Übereinstimmung mit dem Prinzip des Widerspruchs - oder ob sie durch Schlussfolgerungen abgeleitet werden, die selbst auf Intuition beruhen. die aber nicht gegen das Gesetz des Widerspruchs verstoßen. Es besteht daher Uneinigkeit darüber, ob Kant sich lediglich der Synthetizität der Axiome der Mathematik verpflichtet fühlt (die die Synthetizität durch logische Folgerung auf nachweisbare Theoreme übertragen).oder ist auch der Synthetizität der mathematischen Folgerung selbst verpflichtet. Die frühere Interpretationsposition ist mit Ernst Cassirer und Lewis White Beck verbunden; die letztere Position mit Bertrand Russell (Hogan im Erscheinen). Gordon Brittan (Brittan 2006) versteht beide Positionen als „Evidentialist“. Dies ist seine Bezeichnung für jede Interpretation, nach der Intuitionen unverzichtbare Beweise für die Wahrheit der Mathematik liefern, unabhängig davon, ob diese Beweise zur Unterstützung von Axiomen oder Schlussfolgerungen oder für beides erbracht werden. Nach seiner alternativen „objektivistischen“Position liefern Intuitionen keine Beweise, sondern sind eher semantische Vehikel von singulärem Bezug und „objektiver Realität“(Brittan 2006).die letztere Position mit Bertrand Russell (Hogan im Erscheinen). Gordon Brittan (Brittan 2006) versteht beide Positionen als „Evidentialist“. Dies ist seine Bezeichnung für jede Interpretation, nach der Intuitionen unverzichtbare Beweise für die Wahrheit der Mathematik liefern, unabhängig davon, ob diese Beweise zur Unterstützung von Axiomen oder Schlussfolgerungen oder für beides erbracht werden. Nach seiner alternativen „objektivistischen“Position liefern Intuitionen keine Beweise, sondern sind eher semantische Vehikel von singulärem Bezug und „objektiver Realität“(Brittan 2006).die letztere Position mit Bertrand Russell (Hogan im Erscheinen). Gordon Brittan (Brittan 2006) versteht beide Positionen als „Evidentialist“. Dies ist seine Bezeichnung für jede Interpretation, nach der Intuitionen unverzichtbare Beweise für die Wahrheit der Mathematik liefern, unabhängig davon, ob diese Beweise zur Unterstützung von Axiomen oder Schlussfolgerungen oder für beides erbracht werden. Nach seiner alternativen „objektivistischen“Position liefern Intuitionen keine Beweise, sondern sind eher semantische Vehikel von singulärem Bezug und „objektiver Realität“(Brittan 2006). Nach seiner alternativen „objektivistischen“Position liefern Intuitionen keine Beweise, sondern sind eher semantische Vehikel von singulärem Bezug und „objektiver Realität“(Brittan 2006). Nach seiner alternativen „objektivistischen“Position liefern Intuitionen keine Beweise, sondern sind eher semantische Vehikel von singulärem Bezug und „objektiver Realität“(Brittan 2006).

Die Beachtung dieser Interpretationsfrage in Kants Philosophie der Mathematik ist entscheidend für das Licht, das sie auf die allgemeinere Frage wirft, was synthetische a priori-Erkenntnis ermöglicht, die zentrale Frage von Kants Kritik der reinen Vernunft. In Bezug auf diese allgemeinere Frage ist es wichtig, Kants Verwendung der Begriffe „analytisch“und „synthetisch“zu unterscheiden, um eine logisch-semantische Unterscheidung zwischen Arten von Urteilen zu kennzeichnen, die Kant verwendet, um die charakteristische These zu verteidigen, dass mathematische Erkenntnis synthetisch ist a priori - aus der Verwendung derselben Begriffe, um eine traditionelle mathematische Unterscheidung zwischen analytischen und synthetischen Methoden zu kennzeichnen (Beaney 2012). Er verwendet die letztere Unterscheidung, um zwei unterschiedliche Argumentationsstrategien für die Beantwortung der Frage nach der „Möglichkeit der reinen Mathematik“zu identifizieren. Die Analysemethode zeichnet sich durch Argumentation aus, die einen bestimmten Erkenntniskörper wie die Mathematik auf seinen Ursprung oder seine Quellen im Geist zurückführt. Im Gegensatz dazu zielt die Synthesemethode darauf ab, echte Erkenntnis direkt aus solchen ursprünglichen kognitiven Quellen abzuleiten, wobei diese Quellen oder Kräfte zunächst unabhängig von einem bestimmten Erkenntniskörper (einschließlich Mathematik) erklärt werden, den die Kräfte letztendlich erzeugen könnten. Kant übernimmt die frühere Methode in seinen Prolegomena und argumentiert von der synthetischen und a priori Natur des mathematischen Urteils bis zur Behauptung, dass Raum und Zeit die Formen menschlicher Sensibilität sind; Er wendet die letztere Methode in der Kritik der reinen Vernunft an und argumentiert, dass die Formen der menschlichen Sensibilität, des Raums und der Zeit die Grundlage für die Ableitung synthetischer und a priori mathematischer Urteile bilden (Shabel 2004). Diese Argumente,Geben Sie zusammen mit den Einzelheiten seiner Darstellung der synthetischen und a priori Natur aller mathematischen Urteile eine Antwort auf die Frage nach der Möglichkeit der Mathematik: Die Praktiken, die die paradigmatisch synthetischen und a priori Urteile der Wissenschaft der Mathematik ergeben, basieren auf und erklärt durch die Natur der menschlichen Sensibilität und insbesondere durch die räumlich-zeitliche Form aller (und nur) Objekte menschlicher Erfahrung (Van Cleve 1999).durch die räumlich-zeitliche Form aller (und nur) Objekte menschlicher Erfahrung (Van Cleve 1999).durch die räumlich-zeitliche Form aller (und nur) Objekte menschlicher Erfahrung (Van Cleve 1999).

2.3 Kants Konzeption der Rolle der Mathematik im transzendentalen Idealismus

Kants Theorie der mathematischen Praxis verbindet sich nicht nur mit seiner Sensibilitätstheorie (wie oben beschrieben), sondern auch mit anderen Aspekten der Lehre vom transzendentalen Idealismus, wie sie in Kants kritischen Werken artikuliert ist.

In der Transzendentalen Analytik leitet Kant die Tabelle von zwölf Kategorien oder reinen Konzepten des Verstehens ab, von denen er die ersten sechs als „mathematische“(im Gegensatz zu „dynamischen“) Kategorien beschreibt, weil sie sich mit Objekten der Intuition befassen (B110)). Der Begriff der Zahl wird als "Zugehörigkeit" zur Kategorie "Allheit" oder "Gesamtheit" behandelt, von der angenommen wird, dass sie sich aus der Kombination der Begriffe "Einheit" und "Pluralität" ergibt (Parsons 1984). Kant behauptet jedoch weiter, dass Schwierigkeiten, die bei der Darstellung von Unendlichkeiten auftreten - in denen man angeblich Einheit und Pluralität ohne daraus resultierende Darstellung von Zahlen darstellt - offenbaren, dass ein Begriff von Zahlen die Vermittlung eines „besonderen Aktes des Verstehens“erfordern muss (B111).(Dieser spezielle Akt ist vermutlich die Synthese, die Kant als eine Funktion sowohl der Vorstellungskraft als auch des Verstehens beschreibt und die es zu erklären gilt, dass die vollständige Theorie des Urteils - einschließlich der transzendentalen Deduktion und des Schematismus - zu erklären ist (Longuenesse 1998).) Obwohl er auch behauptet, dass die Arithmetik „ihre Konzepte von Zahlen durch sukzessive Addition von Zeiteinheiten bildet“(4: 283), ist es irreführend zu schließen, dass Arithmetik Zeit ist, wie Geometrie Raum ist, da eine formale Intuition der Zeit ist unzureichend, um die allgemeine und abstrakte Wissenschaft der Zahl zu erklären. Obwohl er auch behauptet, dass die Arithmetik „ihre Zahlenkonzepte durch sukzessive Addition von Zeiteinheiten bildet“(4: 283), ist es irreführend zu schließen, dass die Arithmetik zur Zeit wie die Geometrie zum Raum gehört, da eine formale Intuition der Zeit unzureichend ist die allgemeine und abstrakte Wissenschaft der Zahl zu erklären. Obwohl er auch behauptet, dass die Arithmetik „ihre Zahlenkonzepte durch sukzessive Addition von Zeiteinheiten bildet“(4: 283), ist es irreführend zu schließen, dass die Arithmetik zur Zeit wie die Geometrie zum Raum gehört, da eine formale Intuition der Zeit unzureichend ist die allgemeine und abstrakte Wissenschaft der Zahl zu erklären.^[5] (Tatsächlich erklärt Kant die Mechanik als die mathematische Wissenschaft, die der Zeit entspricht, die Geometrie dem Raum.)

Im Schematismus verpflichtet sich Kant, den besonderen Mechanismus zu identifizieren, der es den reinen Konzepten des Verstehens ermöglicht, sinnvolle Intuitionen zu subsumieren, mit denen sie heterogen sind. Die Kategorien müssen „schematisiert“werden, weil ihr nicht empirischer Ursprung im reinen Verständnis verhindert, dass sie die Art von vernünftigem Inhalt haben, der sie sofort mit den Objekten der Erfahrung verbinden würde; transzendentale Schemata sind vermittelnde Repräsentationen, die die Verbindung zwischen reinen Konzepten und Erscheinungen auf regelgesteuerte Weise herstellen sollen. Mathematische Konzepte werden in diesem Zusammenhang diskutiert, da sie als reine, aber auch als sinnvolle Konzepte einzigartig sind: Sie sind rein, weil sie streng a priori ihren Ursprung haben, und dennoch sind sie sinnvoll, da sie im Konkret konstruiert sind.(Kant verkompliziert dieses Problem weiter, indem er die Zahl als das reine Schema der Größenkategorie identifiziert (Longuenesse 1998).) Es stellt sich die interpretative Frage, ob mathematische Konzepte, deren konzeptioneller Inhalt sinnvoll gegeben ist, eine Schematisierung durch eine unterscheidbare „dritte Sache“erfordern Und wenn ja, worauf es ankommt (Young 1984). Im weiteren Sinne stellt sich die Frage, wie die transzendentale Vorstellungskraft, die für den Schematismus verantwortliche Fakultät, in mathematischen Kontexten funktioniert (Domski 2010). Es stellt sich die Frage, wie die transzendentale Vorstellungskraft, die für den Schematismus zuständige Fakultät, in mathematischen Kontexten funktioniert (Domski 2010). Es stellt sich die Frage, wie die transzendentale Vorstellungskraft, die für den Schematismus zuständige Fakultät, in mathematischen Kontexten funktioniert (Domski 2010).

Schließlich leitet Kant in der Analytik der Prinzipien die synthetischen Urteile ab, die „a priori aus reinen Begriffen des Verstehens fließen“und die alle anderen a priori-Erkenntnisse begründen, einschließlich derjenigen der Mathematik (A136 / B175). Die Prinzipien des reinen Verstehens, die mit den Kategorien der Quantität (dh Einheit, Pluralität und Totalität) verbunden sind, sind die Axiome der Intuition. Während die eigentlichen mathematischen Prinzipien „nur aus der Intuition stammen“und somit keinen Teil des Systems der Prinzipien des reinen Verstehens darstellen, muss die Erklärung für die Möglichkeit solcher mathematischen Prinzipien (siehe oben) durch eine Darstellung des höchstmöglichen ergänzt werden transzendentale Prinzipien (A148–9 / B188–9). Dementsprechend liefern die Axiome der Intuition ein Meta-Prinzip oder ein Prinzip der mathematischen Prinzipien der Quantität.nämlich, dass "alle Intuitionen ausgedehnte Größen sind" (A161 / B202). Die meisten Kommentatoren interpretieren Kant hier als Hinweis darauf, warum die Prinzipien der Mathematik, die mit reinem Raum und Zeit zu tun haben, auf die Erscheinungen anwendbar sind: Die Erscheinungen können nur „durch dieselbe Synthese dargestellt werden wie die, durch die Raum und Zeit im Allgemeinen bestimmt werden “(A161 / B202). Alle Intuitionen, ob rein oder empirisch, sind also „umfangreiche Größen“, die von den Prinzipien der Mathematik bestimmt werden. Daniel Sutherland drückt eine alternative Sichtweise aus und sieht in den Axiomen der Intuition „nicht nur die Anwendbarkeit der Mathematik, sondern auch die Möglichkeit jeglicher mathematischer Erkenntnis, ob rein oder angewendet, allgemein oder spezifisch“und damit eine größere Bedeutung als angenommen (Sutherland 2005b).

(Bemerkenswert ist auch, dass sich wichtige Passagen in der Kritik der Urteilskraft mit Mathematik und dem „mathematischen Erhabenen“befassen (Breitenbach 2015). Siehe insbesondere [5: 248ff].)

3. Kommentar und Interpretationsdebatte

Kants Konzeption der Mathematik wurde von seinen Zeitgenossen diskutiert; beeinflusst und provoziert Frege, Russell und Husserl; und lieferte Inspiration für den Brouwerianischen Intuitionismus. Sein Konzept der Mathematik wurde durch Gottfried Martins Monographie Arithmetik und Kombinatoric bei Kant (Martin 1985) von 1938 als einer engen historischen Untersuchung würdig verjüngt. Trotz der sehr unterschiedlichen Positionen, die zeitgenössische Kommentatoren entwickeln, um Kants Denken am besten zu verstehen, sind sie sich weitgehend einig, wenn es darum geht, sich einer Geschichte mit langem Standard zu widersetzen (vielleicht ursprünglich von Bertrand Russell in seinen Prinzipien der Mathematik und von Rudolph Carnap in seinen Philosophischen Grundlagen von Physik), nach der die Entwicklung der modernen Logik in dem 19 - ^ten und 20 - ^tenJahrhunderte, die Entdeckung nichteuklidischer Geometrien und die Formalisierung der Mathematik machen Kants auf Intuition basierende Theorie der Mathematik und damit verbundene philosophische Verpflichtungen obsolet oder irrelevant. Zeitgenössische Kommentatoren versuchen, Kants Philosophie der Mathematik aus dem Blickwinkel von Kants eigenem historischen Kontext zu rekonstruieren und auch die Elemente von Kants Philosophie der Mathematik zu identifizieren, die von ewigem philosophischem Interesse sind.

In jüngster Zeit wurde die Wissenschaft über Kants Philosophie der Mathematik am stärksten von einer anhaltenden Debatte zwischen Jaakko Hintikka und Charles Parsons über die sogenannten „logischen“und „phänomenologischen“Interpretationen von Kant beeinflusst. von Michael Friedmans wegweisendem Buch Kant und die exakten Wissenschaften (Friedman 1992) sowie seinen heute klassischen Artikeln „Kants Theorie der Geometrie“und „Geometrie, Konstruktion und Intuition in Kant und seinen Nachfolgern“(Friedman 1985, 2000); und durch die in Carl Posys Band Kants Philosophie der Mathematik gesammelten Arbeiten (die Beiträge von Hintikka, Parsons und Friedman sowie von Stephen Barker, Gordon Brittan, William Harper, Philip Kitcher, Arthur Melnick, Carl Posy, Manley Thompson und enthalten) J. Michael Young,alle wurden vor mehr als zwanzig Jahren veröffentlicht (Posy 1992).)^[6] Neue Generationen von Wissenschaftlern tragen zu einer lebhaften, fruchtbaren und anhaltenden Diskussion über die Interpretation und das Erbe von Kants Mathematikphilosophie bei, die aus dieser Literatur hervorgegangen ist.

Die interpretative Debatte darüber, wie Kants Sicht auf die Rolle der Intuition im mathematischen Denken zu verstehen ist, hat die Form der Wissenschaft in Kants Philosophie der Mathematik am stärksten beeinflusst. Diese Debatte steht in direktem Zusammenhang mit der oben beschriebenen Frage nach der Synthetizität mathematischer Axiome, Theoreme und Schlussfolgerungen. In seiner allgemeinen Diskussion der mentalen Repräsentation impliziert Kant, dass Unmittelbarkeit und Singularität beide Kriterien der nicht-konzeptuellen, intuitiven Repräsentation sind, der Repräsentationsart, die das synthetische Urteil begründet. In einer Reihe von Arbeiten hat Charles Parsons (Parsons 1964, 1969, 1984) argumentiert, dass die Synthetizität mathematischer Urteile davon abhängt, dass mathematische Intuitionen grundsätzlich unmittelbar sind, und er erklärt die Unmittelbarkeit solcher Darstellungen auf wahrnehmungsbezogene Weise als direkt.phänomenologische Präsenz für den Geist. Jaakko Hintikka (Hintikka 1965, 1967, 1969), der eine Idee aus EW Beths früheren Arbeiten entwickelt, kontert, dass die Synthetik mathematischer Urteile stattdessen nur von der Singularität ihrer intuitiven Bestandteile abhängt. Hintikka assimiliert mathematische Intuitionen mit singulären Begriffen oder Einzelheiten und erklärt die Verwendung der Intuition in einem mathematischen Kontext in Analogie zur logischen Bewegung der existenziellen Instanziierung. Diese beiden Positionen sind als "phänomenologische" bzw. "logische" Interpretationen bekannt geworden. Hintikka assimiliert mathematische Intuitionen mit singulären Begriffen oder Einzelheiten und erklärt die Verwendung der Intuition in einem mathematischen Kontext in Analogie zur logischen Bewegung der existenziellen Instanziierung. Diese beiden Positionen sind als "phänomenologische" bzw. "logische" Interpretationen bekannt geworden. Hintikka assimiliert mathematische Intuitionen mit singulären Begriffen oder Einzelheiten und erklärt die Verwendung der Intuition in einem mathematischen Kontext in Analogie zur logischen Bewegung der existenziellen Instanziierung. Diese beiden Positionen sind als "phänomenologische" bzw. "logische" Interpretationen bekannt geworden.

Michael Friedmans ursprüngliche Position (Friedman 1985, 1992) in Bezug auf die Rolle der Intuition im mathematischen Denken stammt von Beths und Hintikkas ab, obwohl sie sich wesentlich von ihrer unterscheidet und in seinen jüngsten Schriften modifiziert wurde. In seinem Artikel Kant and the Exact Sciences (Friedman 1992) vertritt Friedman die Auffassung, dass unsere moderne Konzeption der Logik als Werkzeug zur Interpretation (anstatt Kritik) von Kant verwendet werden sollte, wobei er feststellt, dass die explizite Darstellung einer Unendlichkeit mathematischer Objekte dies ist kann durch die polyadische Logik der modernen Quantifizierungstheorie erzeugt werden, ist für den Mathematiker und Logiker von Kants Zeit konzeptionell nicht verfügbar. Infolge der Unzulänglichkeit der monadischen Logik, eine Unendlichkeit von Objekten darzustellen,Der Mathematiker des 18. Jahrhunderts verlässt sich auf die Intuition, um die für das mathematische Denken erforderlichen Darstellungen zu liefern. Friedman erläutert anhand dieser historischen Einsicht die Details von Kants Philosophie der Mathematik.

Friedman hat seine ursprüngliche Position als Reaktion auf die Kritik von Emily Carson (Carson 1997) geändert, die eine Interpretation von Kants Geometrietheorie entwickelt hat, die in ihrer anti-formalistischen Betonung der erkenntnistheoretischen und phänomenologischen über die logische Rolle der Intuition in der Mathematik parsonsisch ist. In jüngsten Arbeiten (Friedman 2000, 2010) argumentiert Friedman, dass die Intuition, die die Geometrie begründet, grundsätzlich kinematisch ist und am besten durch die Übersetzungen und Rotationen erklärt wird, die sowohl die konstruktive Wirkung des euklidischen Geometers als auch den Wahrnehmungsgesichtspunkt des Gewöhnlichen beschreiben räumlich orientierter Beobachter. Dieser neue Bericht bietet eine Synthese zwischen den logischen und phänomenologischen Interpretationsberichten. Zum großen Teil durch die Verbindung des geometrischen Raums, den die Imagination über euklidische Konstruktionen erforscht, mit dem perspektivischen Raum, der nach Kant die Form aller äußeren Sensibilität darstellt. Insbesondere versöhnt er das Logische mit dem Phänomenologischen, indem er „das rein logische Verständnis geometrischer Konstruktionen (als Skolem-Funktionen) im Raum als reine Form unserer äußeren sinnlichen Intuition (wie in der Transzendentalen Ästhetik beschrieben) [einbettet]“(Friedman 2012) Nr. 17).er versöhnt das Logische mit dem Phänomenologischen, indem er „das rein logische Verständnis geometrischer Konstruktionen (als Skolem-Funktionen) im Raum als reine Form unserer äußeren sinnlichen Intuition (wie in der Transzendentalen Ästhetik beschrieben) [einbettet]“(Friedman 2012, n. 17).er versöhnt das Logische mit dem Phänomenologischen, indem er „das rein logische Verständnis geometrischer Konstruktionen (als Skolem-Funktionen) im Raum als reine Form unserer äußeren sinnlichen Intuition (wie in der Transzendentalen Ästhetik beschrieben) [einbettet]“(Friedman 2012, n. 17).

Literaturverzeichnis

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