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Alte Logik

Erstveröffentlichung Mi 13.12.2006; inhaltliche Überarbeitung Mi 15. April 2020

Logik als Disziplin beginnt mit dem Übergang von der mehr oder weniger unreflektiven Verwendung logischer Methoden und Argumentationsmuster zur Reflexion und Untersuchung dieser Methoden und Muster und ihrer Elemente, einschließlich der Syntax und Semantik von Sätzen. In der griechischen und römischen Antike, Diskussionen einiger Elemente der Logik und ein Fokus auf Methoden der Folgerung aus dem späten 5 zurückgeführt werden können th Jahrhundert BCE. Die Sophisten, und später Plato (early 4 th c.) Zeigten ein Interesse an der Satzanalyse, Wahrheit und Täuschungen und Eubulides von Milet (Mitte 4 thc.) ist als Erfinder sowohl des Lügner- als auch des Soriten-Paradoxons bekannt. Die Logik als vollständig systematische Disziplin beginnt jedoch mit Aristoteles, der einen Großteil der logischen Untersuchung seiner Vorgänger systematisierte. Seine Hauptleistungen waren seine Theorie der logischen Wechselbeziehung von positiven und negativen existenziellen und universellen Aussagen und basierend auf dieser Theorie seine Syllogistik, die als System deduktiver Folgerung interpretiert werden kann. Aristoteles 'Logik ist als Begriffslogik bekannt, da sie sich mit den logischen Beziehungen zwischen Begriffen wie "Mensch", "Tier", "Weiß" befasst. Es teilt Elemente sowohl mit der Mengenlehre als auch mit der Prädikatenlogik. Aristoteles 'Nachfolger in seiner Schule, die Peripatos, insbesondere Theophrastus und Eudemus, erweiterten den Umfang der deduktiven Folgerung und verbesserten einige Aspekte von Aristoteles' Logik.

In der hellenistischen Zeit und anscheinend unabhängig von Aristoteles 'Errungenschaften erarbeiteten der Logiker Diodorus Cronus und sein Schüler Philo (siehe Eintrag Dialektische Schule) die Anfänge einer Logik, deren Grundelemente eher Sätze als Begriffe waren. Sie beeinflussten den zweiten großen Theoretiker der Logik in der Antike, die stoische Chrysipp (Mitte 3 rdc.), dessen Hauptleistung die Entwicklung einer Aussagenlogik ist, die von einem deduktiven System gekrönt wird. Von vielen in der Antike als der größte Logiker angesehen, war er in einer Vielzahl von Themen innovativ, die für die zeitgenössische formale und philosophische Logik von zentraler Bedeutung sind. Besonders auffällig sind die vielen engen Ähnlichkeiten zwischen Chrysippus 'philosophischer Logik und der von Gottlob Frege. Chrysippus 'stoische Nachfolger systematisierten seine Logik und nahmen einige Ergänzungen vor.

Die Entwicklung der Logik aus c. 100 v. Chr. Bis c. 250 CE bleibt größtenteils im Dunkeln, aber es besteht kein Zweifel daran, dass Logik eines der Themen war, die regelmäßig untersucht und erforscht wurden. Irgendwann bemerkten Peripatetics und Stoics die logischen Systeme des anderen, und wir erleben eine gewisse Verschmelzung von Terminologien und Theorien. Die aristotelische Syllogistik wurde als "kategoriale Syllogistik" und die peripatetische Anpassung der stoischen Syllogistik als "hypothetische Syllogistik" bekannt. Im 2. Jahrhundert n. Chr. Versuchte Galen, die beiden Traditionen zu synthetisieren. Er gab auch vor, eine dritte Art von Syllogismus eingeführt zu haben, den "relationalen Syllogismus", der offenbar dazu beitragen sollte, das mathematische Denken zu formalisieren. Der Versuch einiger Mittel Platoniker (1 st c. BCE-2 ndc. CE) eine spezifisch platonische Logik nicht, und an ihrer Stelle die Neuplatonikern (Anspruch 3 rd -6 th c. CE) nahm eine scholasticized Version der aristotelischen Logik als ihre eigenen. In den monumentalen - wenn auch selten kreativen - Bänden der griechischen Kommentatoren zu Aristoteles 'logischen Werken finden wir Elemente der stoischen und späteren peripatetischen Logik sowie des Platonismus und der alten Mathematik und Rhetorik. Ähnliches gilt für die lateinischen logischen Schriften von Apuleius (2 nd c. CE) und Boethius (6 th c. CE), das den Weg für die aristotelische Logik ebnen, so ergänzt, auf das Mittelalter ein.

  • 1. Präaristotelische Logik

    • 1.1 Syntax und Semantik
    • 1.2 Argumentmuster und gültige Inferenz
  • 2. Aristoteles

    • 2.1 Dialektik
    • 2.2 Sub-sententiale Klassifikationen
    • 2.3 Syntax und Semantik von Sätzen
    • 2.4 Nichtmodale Syllogistik
    • 2.5 Modale Logik
  • 3. Die frühen Peripatetika: Theophrastus und Eudemus

    • 3.1 Verbesserungen und Modifikationen der Aristoteles-Logik
    • 3.2 Prosleptische Syllogismen
    • 3.3 Vorläufer von Modus Ponens und Modus Tollens
    • 3.4 Vollständig hypothetische Syllogismen
  • 4. Diodorus Cronus und Philo der Logiker
  • 5. Die Stoiker

    • 5.1 Logische Erfolge neben der Aussagenlogik
    • 5.2 Syntax und Semantik komplexer Sätze
    • 5.3 Argumente
    • 5.4 Stoische Syllogistik
    • 5.5 Logische Paradoxe
  • 6. Epikur und die Epikureer
  • 7. Spätere Antike
  • Literaturverzeichnis

    • Griechische und lateinische Texte
    • Übersetzungen von griechischen und lateinischen Texten
    • Sekundärliteratur
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Präaristotelische Logik

1.1 Syntax und Semantik

Einige der Sophisten klassifizierten Arten von Sätzen (logoi) nach ihrer Kraft. So Protagoras (485-415 BCE), die enthalten Wunsch, Frage, Antwort und Befehl (Diels Kranz (DK) 80. A1, Diogenes Laertius (DL) 9,53-4) und Alkidamas (Schüler des Gorgias, fl. 4 th BCE), der Behauptung (Phasis), Verleugnung (Apophasis), Frage und Adresse (Prosagoreusis) unterschied (DL 9.54). Antisthenes (Mitte 5 th -Mid-4 thcent.) definierte einen Satz als "das, was angibt, was eine Sache war oder ist" (DL 6.3, DK 45) und erklärte, dass jemand, der sagt, was ist, wirklich spricht (DK49). Die vielleicht früheste erhaltene Passage zur Logik findet sich in den Dissoi Logoi oder Double Arguments (DK 90.4, ca. 400 v. Chr.). Es ist ein Beweis für eine Debatte über Wahrheit und Falschheit. Gegenläufig waren die Ansichten (i), dass Wahrheit eine zeitliche Eigenschaft von Sätzen ist und dass ein Satz wahr ist (wenn er gesagt wird), genau dann, wenn die Dinge so sind, wie der Satz sagt, dass sie sind, wenn sie gesagt werden, und falsch wenn nicht; und (ii) dass Wahrheit eine atemporale Eigenschaft dessen ist, was gesagt wird, und dass das, was gesagt wird, genau dann wahr ist, wenn die Dinge der Fall sind, falsch, wenn sie nicht der Fall sind. Dies sind rudimentäre Formulierungen zweier alternativer Korrespondenztheorien der Wahrheit. Dieselbe Passage zeigt das Bewusstsein für die Tatsache, dass die selbstreferenzielle Verwendung des Wahrheitsprädikats problematisch sein kann - eine Erkenntnis, die auch durch die Entdeckung des Lügnerparadoxons durch Eubulides von Milet (Mitte 4) dokumentiert wirdth c. BCE) kurz danach.

Einige platonische Dialoge enthalten Passagen, deren Thema zweifellos logisch ist. Im Sophist analysiert Platon einfache Aussagen so, dass sie ein Verb (Rhêma) enthalten, das die Handlung anzeigt, und ein Substantiv (Onoma), das den Agenten anzeigt (Soph. 261e - 262a). In Erwartung der modernen Unterscheidung logischer Typen argumentiert er, dass weder eine Reihe von Substantiven noch eine Reihe von Verben zu einer Aussage kombiniert werden können (Soph. 262a - d). Platon trennt auch die Syntax ('Was ist eine Aussage?') Von der Semantik ('Wann ist sie wahr?'). Etwas (z. B. 'Theaetetus sitzt') ist eine Aussage, wenn es sowohl gelingt, ein Thema zu spezifizieren, als auch etwas über dieses Thema sagt. Platon bestimmt also Subjekt und Prädikat als relationale Elemente in einer Anweisung und schließt als Aussagen Subjekt-Prädikat-Kombinationen aus, die leere Subjektausdrücke enthalten. Etwas ist eine wahre Aussage, wenn es in Bezug auf sein Thema (Theaetetus) sagt, was es ist (z. B. sitzen), was es ist. Etwas ist eine falsche Aussage, wenn es in Bezug auf sein Thema von etwas anderem sagt als dem, was ist (z. B. Fliegen), dass es ist. Hier erstellt Platon eine Skizze einer deflationistischen Wahrheitstheorie (Soph. 262e - 263d; vgl. Crat. 385b). Er unterschied auch Negationen von Affirmationen und nahm das Negationsteilchen als eng gefasst: Es negiert das Prädikat, nicht den ganzen Satz (Soph. 257b - c). Es gibt viele Stellen in Platon, an denen er Schwierigkeiten hat, bestimmte logische Zusammenhänge zu erklären: Zum Beispiel entspricht seine Theorie, dass Dinge an Formen teilnehmen, einer rudimentären Prädikationstheorie; im Sophisten und anderswo setzt er sich mit den Klassenverhältnissen von Ausgrenzung, Vereinigung und Koextension auseinander;auch mit dem Unterschied zwischen dem 'Ist' der Prädikation (Sein) und dem 'Ist' der Identität (Gleichheit); und in Republik 4, 436bff., nimmt er das Gesetz der Widerspruchsfreiheit vorweg. Aber seine Erklärungen zu diesen logischen Fragen sind metaphysisch formuliert und können daher höchstens als protologisch angesehen werden.

1.2 Argumentmuster und gültige Inferenz

Präaristotelische Beweise für die Reflexion über Argumentationsformen und gültige Schlussfolgerungen sind schwerer zu finden. Sowohl Zeno von Elea (geb. um 490 v. Chr.) Als auch Sokrates (470–399) waren berühmt dafür, wie sie die Ansicht eines Gegners widerlegten. Ihre Methoden weisen Ähnlichkeiten mit reductio ad absurdum auf, aber keiner von ihnen scheint über ihre logischen Verfahren theoretisiert zu haben. Zeno brachte Argumente (logoi) hervor, die Variationen des Musters 'dies (dh die Ansicht des Gegners) nur dann manifestieren. Das ist aber unmöglich. Das ist also unmöglich. Die sokratische Widerlegung war ein Austausch von Fragen und Antworten, bei dem die Gegner auf der Grundlage ihrer Antworten zu einer Schlussfolgerung geführt wurden, die mit ihrer ursprünglichen Behauptung unvereinbar war. Platon institutionalisierte solche Disputationen in strukturierte, regelgesteuerte verbale Wettbewerbe, die als dialektisches Argument bekannt wurden. Die Entwicklung eines grundlegenden logischen Vokabulars für solche Wettbewerbe zeigt eine gewisse Reflexion über die Argumentationsmuster.

Die 5 - ten und Anfang bis Mitte der 4 - ten Jahrhundert auch großes Interesse an Täuschungen und logischen Paradoxien sieht BCE. Neben dem Lügner soll Eubulides der Urheber mehrerer anderer logischer Paradoxien gewesen sein, einschließlich der Soriten. Platons Euthydemus enthält eine große Sammlung zeitgenössischer Irrtümer. Bei Versuchen, solche logischen Rätsel zu lösen, entwickelt sich auch hier eine logische Terminologie, und der Fokus auf den Unterschied zwischen gültigen und ungültigen Argumenten bildet die Grundlage für die Suche nach einem Kriterium gültiger Folgerung. Schließlich ist es möglich, dass die Gestaltung des Abzugs und der Nachweis in der griechischen Mathematik, die in der später 5 beginnt th als Inspiration Jahrhundert BCE für Aristoteles syllogistic serviert.

2. Aristoteles

(Eine ausführlichere Darstellung finden Sie im Eintrag zu Aristoteles 'Logik in dieser Enzyklopädie.) Aristoteles ist der erste große Logiker in der Geschichte der Logik. Seine Logik wurde gelehrt, im Großen und Ganzen ohne Rivalen aus dem 4 - ten bis 19 - tenJahrhunderte CE. Aristoteles 'logische Werke wurden von späteren Peripatetikern gesammelt und in eine systematische Reihenfolge gebracht, die sie als Organon oder "Werkzeug" bezeichneten, weil sie Logik nicht als Teil, sondern als Instrument der Philosophie betrachteten. Das Organon enthält in traditioneller Reihenfolge die Kategorien De Interpretatione, Prior Analytics, Posterior Analytics, Topics und Sophistical Refutations. Darüber hinaus ist die Metaphysik Γ eine logische Abhandlung, in der das Prinzip der Widerspruchsfreiheit erörtert wird, und einige weitere logische Einsichten finden sich in Aristoteles 'anderen Werken wie Poetik, Rhetorik, De Anima, Metaphysik Δ und Θ und einigen der Werke biologische Werke. Einige Teile der Kategorien und der posterioren Analytik würden heute eher als Metaphysik, Erkenntnistheorie oder Wissenschaftstheorie als als Logik angesehen. Die traditionelle Anordnung der Werke im Organon ist weder chronologisch noch Aristoteles eigen. Die ursprüngliche Chronologie kann nicht vollständig wiederhergestellt werden, da Aristoteles zu einem späteren Zeitpunkt häufig Ergänzungen in frühere Schriften eingefügt zu haben scheint. Wenn wir jedoch logische Fortschritte als Kriterium verwenden, können wir vermuten, dass die meisten Themen, Sophistischen Widerlegungen, Kategorien und Metaphysik vor der De Interpretatione liegen, die wiederum vor der Prior Analytics und Teilen der Posterior Analytics liegt. Kategorien und Metaphysik Γ vor der De Interpretatione, die wiederum vor der Prior Analytics und Teilen der Posterior Analytics liegt. Kategorien und Metaphysik Γ vor der De Interpretatione, die wiederum vor der Prior Analytics und Teilen der Posterior Analytics liegt.

2.1 Dialektik

Die Themen bieten ein Handbuch für Teilnehmer an den Wettbewerben der dialektischen Argumentation, wie sie von Platon in der Akademie eingeführt wurden. Die Bücher 2–7 enthalten allgemeine Verfahren oder Regeln (Topoi), wie ein Argument gefunden werden kann, um eine bestimmte These zu begründen oder zu widerlegen. Die Beschreibungen dieser Verfahren - von denen einige so allgemein sind, dass sie logischen Gesetzen ähneln - setzen eindeutig einen Begriff der logischen Form voraus, und Aristoteles 'Themen können daher als die früheste erhaltene logische Abhandlung gelten. Die Sophistischen Widerlegungen sind die erste systematische Klassifizierung von Irrtümern, sortiert nach dem logischen Fehler, den jeder Typ aufweist (z. B. Zweideutigkeit, Fragestellung, Bestätigung der Konsequenz, secundum quid) und wie man sie aufdeckt.

2.2 Sub-sententiale Klassifikationen

Aristoteles unterscheidet Dinge, die eine sententiale Einheit haben, durch eine Kombination von Ausdrücken ("ein Pferd läuft") von solchen, die dies nicht tun ("Pferd", "läuft"); Letztere werden in den Kategorien behandelt (der Titel bedeutet wirklich "Prädikationen" [1]). Sie haben keinen Wahrheitswert und bedeuten eines der folgenden: Substanz (ousia), Quantität (poson), Qualität (poion), Beziehung (pros ti), Ort (pou), Zeit (pote), Position (keisthai), Besitz (echein), tun (poiein) und durchmachen (paschein). Es ist unklar, ob Aristoteles diese Klassifikation als einen sprachlichen Ausdruck ansieht, der auf etwas anderem beruhen kann; oder von Arten von Prädikation; oder von höchsten Gattungen. In Thema 1 unterscheidet Aristoteles vier Beziehungen, die ein Prädikat zum Subjekt haben kann: Es kann seine Definition, Gattung, einzigartige Eigenschaft oder zufällige Eigenschaft angeben. Diese werden als Vorhersagen bezeichnet.

2.3 Syntax und Semantik von Sätzen

Beim Schreiben der De Interpretatione hatte Aristoteles die folgende Theorie einfacher Sätze ausgearbeitet: Ein (deklarativer) Satz (apophantikos logos) oder eine Erklärung (apophansis) wird von anderen Diskursen wie Gebet, Befehl und Frage durch seine Wahrheit abgegrenzt. Wert. Die Wahrheitsträger, die in Aristoteles 'Logik vorkommen, sind somit sprachliche Elemente. Es sind gesprochene Sätze, die Gedanken (die von allen Menschen geteilt werden) und indirekt durch diese Dinge bedeuten. Geschriebene Sätze bedeuten wiederum gesprochene. (Einfache) Sätze bestehen aus zwei Bedeutungsausdrücken, die in Subjekt-Prädikat-Beziehung zueinander stehen: einem Namen und einem Verb ('Callias Walks') oder zwei Namen, die durch die Kopula 'ist' verbunden sind, was die Verbindung mit bedeutet ("Freude ist gut") (Int. 3). Namen sind entweder einzelne Begriffe oder gebräuchliche Substantive (An. Pr. I 27). Beide können leer sein (Kat. 10, Int. 1). Einzelne Begriffe können nur eine Fachposition einnehmen. Verben bedeuten Zeit. Ein Name-Verb-Satz kann mit der Kopula umformuliert werden ('Callias ist (a) Gehen (Ding)') (Int. 12). In Bezug auf ihre Qualität ist ein (deklarativer) Satz entweder eine Bestätigung oder eine Negation, je nachdem, ob er sein Prädikat seines Subjekts bestätigt oder negiert. Das Negationsteilchen in einer Negation hat einen weiten Anwendungsbereich (Kat. 10). Aristoteles definierte die Wahrheit getrennt für Affirmationen und Negationen: Eine Affirmation ist wahr, wenn sie von dem sagt, was ist, dass es ist; Eine Negation ist wahr, wenn sie von dem sagt, was nicht ist, dass es nicht ist (Met. Γ.7 1011b25ff). Diese Formulierungen oder auf jeden Fall ihre griechischen Gegenstücke können so interpretiert werden, dass sie entweder eine Entsprechung oder eine deflationistische Auffassung von Wahrheit ausdrücken. In jedem Fall,Wahrheit ist eine Eigenschaft, die zu einem bestimmten Zeitpunkt zu einem Satz gehört. In Bezug auf ihre Menge sind Sätze singulär, universell, besonders oder unbestimmt. So erhält Aristoteles acht Arten von Sätzen, die später als "kategoriale Sätze" bezeichnet werden. Die folgenden Beispiele sind gepaart mit der Qualität:

Singular: Callias ist gerecht. Callias ist nicht nur.
Universal: Jeder Mensch ist gerecht. Kein Mensch ist gerecht.
Besonders: Ein Mensch ist gerecht. Ein Mensch ist nicht gerecht.
Unbestimmt: (A) Mensch ist gerecht. (A) Mensch ist nicht gerecht.

Universelle und bestimmte Sätze enthalten einen Quantifizierer, und sowohl universelle als auch bestimmte Affirmative wurden als existenziell wichtig angesehen. (Siehe Eintrag Der traditionelle Platz der Opposition). Der logische Status der Unbestimmten ist mehrdeutig und kontrovers (Int. 6–7).

Aristoteles unterscheidet zwei Arten von sententialer Opposition: Gegensätze und Widersprüche. Ein widersprüchliches Satzpaar (eine Antiphase) besteht aus einer Bestätigung und ihrer Negation (dh der Negation, die das Subjekt negiert, was die Affirmation davon bestätigt). Aristoteles geht davon aus, dass normalerweise eines davon wahr sein muss, das andere falsch. Gegensätze sind so, dass sie nicht beide wahr sein können. Der Widerspruch einer universellen Bestätigung ist das entsprechende besondere Negativ; das des universellen Negativs die entsprechende besondere Bestätigung. Ein universelles Affirmativ und sein entsprechendes universelles Negativ sind Gegensätze. Aristoteles hat damit die grundlegenden logischen Beziehungen zwischen monadischen Quantifizierern erfasst (Int. 7).

Da Aristoteles die Zeitform als Teil des Wahrheitsträgers betrachtet (im Gegensatz zu lediglich einem grammatikalischen Merkmal), entdeckt er ein Problem in Bezug auf zukünftige Zeitformsätze über zufällige Angelegenheiten: Muss das Prinzip einer Bestätigung und ihrer Verneinung falsch sein, das andere wahr, auf diese anwenden? Was ist zum Beispiel der Wahrheitswert des Satzes "Es wird morgen eine Seeschlacht geben"? Aristoteles könnte vorgeschlagen haben, dass der Satz jetzt keinen Wahrheitswert hat und dass die Bivalenz daher nicht gilt - trotz der Tatsache, dass es notwendig ist, dass es morgen entweder eine Seeschlacht gibt oder nicht, so dass das Prinzip des Ausschlusses Mitte bleibt erhalten (Int. 9).

2.4 Nichtmodale Syllogistik

Aristoteles 'nichtmodale Syllogistik (Prior Analytics A 1–7) ist der Höhepunkt seiner Logik. Aristoteles definiert einen Syllogismus als "ein Argument (Logos), in dem, nachdem bestimmte Dinge festgelegt wurden, etwas anderes als das, was festgelegt wurde, notwendigerweise folgt, weil diese Dinge so sind". Diese Definition scheint zu erfordern, (i) dass ein Syllogismus aus mindestens zwei Prämissen und einer Schlussfolgerung besteht, (ii) dass die Schlussfolgerung notwendigerweise aus den Prämissen folgt (so dass alle Syllogismen gültige Argumente sind) und (iii) dass die Schlussfolgerung unterscheidet sich von den Räumlichkeiten. Aristoteles 'Syllogistik deckt nur einen kleinen Teil aller Argumente ab, die diese Bedingungen erfüllen.

Aristoteles beschränkt und regimentiert die Arten von kategorialen Sätzen, die in einem Syllogismus vorkommen können. Die zulässigen Wahrheitsträger sind nun so definiert, dass sie jeweils zwei verschiedene Begriffe (horoi) enthalten, die durch die Kopula verbunden sind, von denen einer (der Prädikatbegriff) vom anderen (der Subjektbegriff) entweder positiv oder negativ gesagt wird. Aristoteles kommt nie klar auf die Frage, ob Begriffe Dinge (z. B. nicht leere Klassen) oder sprachliche Ausdrücke für diese Dinge sind. Es werden nur universelle und bestimmte Sätze diskutiert. Einzelne Sätze scheinen ausgeschlossen zu sein und unbestimmte Sätze werden meistens ignoriert. Eine Lohe. Pr. A 7 Aristoteles erwähnt, dass man durch Ersetzen einer bestimmten durch eine unbestimmte Prämisse einen Syllogismus der gleichen Art erhält.

Eine weitere Neuerung in der Syllogistik ist die Verwendung von Buchstaben durch Aristoteles anstelle von Begriffen. Die Buchstaben können ursprünglich lediglich als Abkürzungen für Begriffe gedient haben (z. B. An. Post. A 13); In der Syllogistik scheinen sie jedoch meistens die Funktion von schematischen Termbuchstaben oder von Termvariablen zu haben, wobei universelle Quantifizierer angenommen, aber nicht angegeben werden. Wenn Aristoteles Buchstaben verwendet, tendiert er dazu, die vier Arten von kategorialen Sätzen folgendermaßen auszudrücken (mit üblichen späteren Abkürzungen in Klammern):

'A hält von (lit., gehört zu) jedem B' (A a B)
'A hält kein B' (A e B)
'A hält etwas B' (A i B)
'A hält kein B' (A o B)

Anstelle von "Holds" verwendet er auch "ist prädiziert".

Alle grundlegenden Syllogismen bestehen aus drei kategorialen Sätzen, in denen die beiden Prämissen genau einen Begriff teilen, der als Mittelbegriff bezeichnet wird, und die Schlussfolgerung die beiden anderen Begriffe enthält, die manchmal als Extreme bezeichnet werden. Basierend auf der Position des Mittelterms klassifizierte Aristoteles alle möglichen Prämissenkombinationen in drei Figuren (schêmata): Die erste Figur hat den Mittelterm (B) als Subjekt in der ersten Prämisse und prädiziert in der zweiten; Die zweite Figur hat es in beiden Prämissen vorausgesagt, die dritte hat es als Subjekt in beiden Prämissen:

ich II III
A hält von B. B hält von A. A hält von B.
B hält von C. B hält von C. C gilt für B.

A wird auch als Hauptbegriff bezeichnet, C als Nebenbegriff. Jede Figur kann weiter danach klassifiziert werden, ob beide Prämissen universell sind oder nicht. Aristoteles ging systematisch die achtundfünfzig möglichen Prämissenkombinationen durch und zeigte, dass vierzehn eine Schlussfolgerung aus der Notwendigkeit daraus ziehen, dh Syllogismen sind. Sein Verfahren war folgendes: Er nahm an, dass die Syllogismen der ersten Figur vollständig sind und keinen Beweis benötigen, da sie offensichtlich sind. Im Gegensatz dazu sind die Syllogismen der zweiten und dritten Figur unvollständig und müssen nachgewiesen werden. Er beweist sie, indem er sie auf Syllogismen der ersten Figur reduziert und sie dadurch „vervollständigt“. Dafür verwendet er drei Methoden:

  1. Konvertierung (antistrophê): Ein kategorialer Satz wird konvertiert, indem seine Begriffe ausgetauscht werden. Aristoteles erkennt drei Umwandlungsregeln an und legt sie fest: 'aus A e B schließen B e A' 'von A i B schließen B i A' und 'von A a B schließen B i A'. Alle bis auf zwei Syllogismen der zweiten und dritten Figur können durch Prämissenumwandlung bewiesen werden.
  2. reductio ad apoptibile (apagôgê): Die beiden verbleibenden werden durch Reduktion auf das Unmögliche bewiesen, wobei der Widerspruch einer angenommenen Schlussfolgerung zusammen mit einer der Prämissen verwendet wird, um durch einen Syllogismus der ersten Figur eine Schlussfolgerung abzuleiten, die mit der anderen Prämisse unvereinbar ist. Unter Verwendung der zuvor festgelegten semantischen Beziehungen zwischen Gegensätzen wird somit die angenommene Schlussfolgerung hergestellt.
  3. Exposition oder Darstellung (Ekthesis): Diese Methode, die Aristoteles zusätzlich zu (i) und (ii) verwendet, beinhaltet die Auswahl oder "Darstellung" eines zusätzlichen Begriffs, z. B. D, der in den durch nicht begrenzten Schnittpunkt fällt zwei Prämissen, sagen wir A x B und A x C, und verwenden D, um die Schlussfolgerung aus den Prämissen zu einer bestimmten Schlussfolgerung zu rechtfertigen, B x C. Es wird diskutiert, ob 'D' einen singulären oder einen allgemeinen Begriff darstellt und ob die Darstellung einen Beweis darstellt.

Für jede der vierunddreißig Prämissenkombinationen, die keine Schlussfolgerung zulassen, beweist Aristoteles anhand eines Gegenbeispiels, dass sie keine Schlussfolgerung zulassen. Als Gesamtergebnis erkennt er vier Syllogismen der ersten Figur (später Barbara, Celarent, Darii, Ferio genannt), vier Syllogismen der zweiten Figur (Camestres, Cesare, Festino, Baroco) und sechs Syllogismen der dritten Figur (Darapti, Felapton, Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison); Diese wurden später als Modi oder Stimmungen der Figuren bezeichnet. (Die Namen sind Mnemoniken: zB jeder Vokal oder die ersten drei in Fällen, in denen der Name mehr als drei hat, gibt in der Reihenfolge an, ob die erste und zweite Prämisse und die Schlussfolgerung Sätze vom Typ a, e, i oder o waren.) Aristoteles implizit anerkannt, dass wir durch Verwendung der Umrechnungsregeln für die Schlussfolgerungen acht weitere Syllogismen erhalten (An. Pr. 53a3–14),und die der Prämissenkombinationen, die als nicht-syllogistisch abgelehnt wurden, werden einige (tatsächlich fünf) zu einer Schlussfolgerung führen, in der der Nebenbegriff des Dur vorausgesagt wird (An. Pr. 29a19–27). Darüber hinaus akzeptierte Aristoteles in den Themen die Regeln "von A a B infer A i B" und "von A e B infer A o B". Indem diese auf die Schlussfolgerungen angewendet wurden, konnten fünf weitere Syllogismen bewiesen werden, obwohl Aristoteles dies nicht erwähnte.

Jenseits seiner Grund syllogistic, reduziert Aristoteles den 3 rd und 4 thSyllogismen der ersten Figur zu Syllogismen der zweiten Figur, wodurch de facto alle Syllogismen auf Barbara und Celarent reduziert werden; und später in der Prior Analytics beruft er sich auf eine Art Schnittregel, mit der ein Syllogismus mit mehreren Prämissen auf zwei oder mehr grundlegende Syllogismen reduziert werden kann. Aus heutiger Sicht kann Aristoteles 'System als sequentielle Logik im Stil der natürlichen Deduktion und als Fragment der Logik erster Ordnung verstanden werden. Es hat sich als solide und vollständig erwiesen, wenn man die durch die kategorisch gesetzten kategorialen Sätze ausgedrückten Beziehungen wie folgt als ein System nicht leerer Klassen interpretiert: A a B ist genau dann wahr, wenn die Klasse A die Klasse B enthält. A e B ist genau dann wahr, wenn die Klassen A und B disjunkt sind. A i B ist genau dann wahr, wenn die Klassen A und B nicht disjunkt sind. A o B ist genau dann wahr, wenn die Klasse A die Klasse B nicht enthält. Es besteht jedoch allgemein Einigkeit darüber, dass Aristoteles 'Syllogistik eher eine Art Relevanzlogik als eine klassische ist. Die ärgerliche Textfrage, was genau Aristoteles mit "Syllogismen" meinte, hat mehrere rivalisierende Interpretationen erhalten, darunter eine, dass es sich um eine bestimmte Art von bedingter Satzform handelt. Am plausibelsten ist vielleicht, dass Aristoteles 'vollständige und unvollständige Syllogismen zusammen als formal gültige Argumente für die Schlussfolgerung von Prämissen verstanden werden sollten. und seine vollständigen und vollständigen Syllogismen zusammengenommen als (gesunde) Abzüge.einschließlich einer, dass sie eine bestimmte Art von bedingter Satzform sind. Am plausibelsten ist vielleicht, dass Aristoteles 'vollständige und unvollständige Syllogismen zusammen als formal gültige Argumente für die Schlussfolgerung von Prämissen verstanden werden sollten. und seine vollständigen und vollständigen Syllogismen zusammengenommen als (gesunde) Abzüge.einschließlich einer, dass sie eine bestimmte Art von bedingter Satzform sind. Am plausibelsten ist vielleicht, dass Aristoteles 'vollständige und unvollständige Syllogismen zusammen als formal gültige Argumente für die Schlussfolgerung von Prämissen verstanden werden sollten. und seine vollständigen und vollständigen Syllogismen zusammengenommen als (gesunde) Abzüge.

2.5 Modale Logik

Aristoteles ist auch der Urheber der Modallogik. Zusätzlich zu Qualität (als Bestätigung oder Negation) und Quantität (als singulär, universell, besonders oder unbestimmt) nimmt er kategorische Sätze, um einen Modus zu haben; dies besteht in der Tatsache, dass das Prädikat das Subjekt entweder tatsächlich oder notwendigerweise oder möglicherweise oder zufällig oder unmöglich halten soll. Die letzten vier werden durch Modaloperatoren ausgedrückt, die das Prädikat modifizieren, z. B. "Es ist möglich, dass A etwas B hält"; 'A gilt notwendigerweise für jedes B'.

In De Interpretatione 12–13 kommt Aristoteles (i) zu dem Schluss, dass Modaloperatoren das gesamte Prädikat (oder die Kopula, wie er es ausdrückt) modifizieren, nicht nur den Prädikatbegriff eines Satzes. (ii) Er gibt die logischen Beziehungen an, die zwischen Modaloperatoren bestehen, wie zum Beispiel, dass "es nicht möglich ist, dass A B nicht hält" impliziert, dass "es notwendig ist, dass A B hält". (iii) Er untersucht die Widersprüche modalisierter Sätze und entscheidet, dass sie erhalten werden, indem der Negator vor den modalen Operator gestellt wird. (iv) Er setzt die Ausdrücke "möglich" und "kontingent" gleich, schwankt jedoch zwischen einer einseitigen Interpretation (wo Notwendigkeit die Möglichkeit impliziert) und einer zweiseitigen Interpretation (wo die Möglichkeit die Nicht-Notwendigkeit impliziert).

Aristoteles entwickelt seine modale Syllogistik in Prior Analytics 1.8–22. Er entscheidet sich für eine zweiseitige Möglichkeit (Kontingenz) und testet alle möglichen Kombinationen von Prämissenpaaren von Sätzen mit Notwendigkeit (N), Kontingenz (C) oder keinem (U) Modaloperator auf Nyllogismus: NN, CC, NU / UN, CU / UC und NC / CN. Syllogismen mit den letzten drei Arten von Prämissenkombinationen werden als gemischte modale Syllogismen bezeichnet. Mit Ausnahme der NN-Kategorie, die unmodalisierte Syllogismen widerspiegelt, enthalten alle Kategorien zweifelhafte Fälle. Zum Beispiel akzeptiert Aristoteles:

A gilt notwendigerweise für alle B.

B gilt für alle C.

Daher gilt A notwendigerweise für alle C.

Dieser und andere problematische Fälle waren bereits in der Antike umstritten und haben in jüngerer Zeit eine Vielzahl komplexer formalisierter Rekonstruktionen von Aristoteles 'modaler Syllogistik ausgelöst. Da Aristoteles 'Theorie möglicherweise intern inkonsistent ist, sind die vorgeschlagenen formalen Modelle möglicherweise alle erfolglos.

3. Die frühen Peripatetika: Theophrastus und Eudemus

Aristoteles 'Schüler und Nachfolger Theophrastus von Eresus (ca. 371 - ca. 287 v. Chr.) Schrieb logischere Abhandlungen als sein Lehrer, mit einer großen thematischen Überschneidung. Eudemus von Rhodes (später 4 th Jh. VuZ) schrieb Bücher Kategorien berechtigt, Analytics und On Speech. Von all diesen Werken sind nur einige Fragmente und spätere Zeugnisse erhalten, hauptsächlich in Kommentatoren zu Aristoteles. Theophrast und Eudemus vereinfachten einige Aspekte von Aristoteles 'Logik und entwickelten andere, bei denen Aristoteles uns nur Hinweise hinterließ.

3.1 Verbesserungen und Modifikationen der Aristoteles-Logik

Die beiden Peripatetiker scheinen Aristoteles 'erste Figur neu definiert zu haben, so dass sie jeden Syllogismus einschließt, in dem der Mittelbegriff einer Prämisse und einem Prädikat der anderen unterliegt. Auf diese Weise werden fünf Arten von nichtmodalen Syllogismen eingeschlossen, die Aristoteles erst später in seinen früheren Analysen angedeutet hat (Baralipton, Celantes, Dabitis, Fapesmo und Frisesomorum), aber Aristoteles 'Kriterium, dass Syllogismen der ersten Figur offensichtlich sind, wird aufgegeben (Theophrastus fr. 91, Fortenbaugh). Theophrastus und Eudemus verbesserten auch Aristoteles 'Modaltheorie. Theophrast ersetzte Aristoteles 'zweiseitige Kontingenz durch einseitige Möglichkeit, so dass diese Möglichkeit nicht länger die Nicht-Notwendigkeit mit sich bringt. Beide erkannten, dass das problematische universelle Negativ ('A hält möglicherweise kein B') einfach konvertierbar ist (Theophrastus fr. 102A Fortenbaugh). Außerdem,Sie führten das Prinzip ein, dass in gemischten modalen Syllogismen die Schlussfolgerung immer den gleichen modalen Charakter hat wie die schwächere der Prämissen (Theophrastus frs. 106 und 107 Fortenbaugh), wo die Möglichkeit schwächer als die Wirklichkeit und die Wirklichkeit als die Notwendigkeit ist. Auf diese Weise wird Aristoteles 'modale Syllogistik deutlich vereinfacht und viele unbefriedigende Thesen, wie die oben erwähnte (aus "Notwendig A a B" und "B a C" kann man "Notwendig A a C" schließen) verschwinden.wie die oben erwähnte (die aus 'Notwendig A a B' und 'B a C' auf 'Notwendig A a C' schließen kann) verschwinden.wie die oben erwähnte (die aus 'Notwendig A a B' und 'B a C' auf 'Notwendig A a C' schließen kann) verschwinden.

3.2 Prosleptische Syllogismen

Theophrastus führte die sogenannten prosleptischen Prämissen und Syllogismen ein (Theophrastus fr. 110 Fortenbaugh). Eine prosleptische Prämisse hat folgende Form:

Wenn für alle X Φ (X) ist, dann ist Ψ (X)

wobei Φ (X) und Ψ (X) für kategoriale Sätze stehen, in denen die Variable X anstelle eines der Begriffe vorkommt. Beispielsweise:

  1. A [hält] von all dem, von dem B [hält].
  2. A [hält] von nichts von dem, was [hält] von allem B.

Theophrastus betrachtete solche Prämissen als drei Terme enthaltend, von denen zwei definitiv (A, B), einer unbestimmt ('das' oder die gebundene Variable X) sind. Wir können (1) und (2) als darstellen

∀ X (B a X → A a X)

∀ X (X a B → A e X)

Prosleptische Syllogismen ergeben sich dann wie folgt: Sie setzen sich aus einer prosleptischen Prämisse und der kategorialen Prämisse zusammen, die durch Instanziieren eines Ausdrucks (C) im vorangegangenen "offenen kategorialen Satz" als Prämissen erhalten wird, und den kategorialen Sätzen, die man erhält, wenn man denselben Begriff einfügt (C) im folgenden "offenen kategorialen Satz" als Schlussfolgerung. Beispielsweise:

A [hält] von all dem, von dem B [hält].

B gilt für alle C.

Daher gilt A für alle C.

Theophrastus unterschied drei Figuren dieser Syllogismen, abhängig von der Position des unbestimmten Ausdrucks (auch "Mittelbegriff" genannt) in der prosleptischen Prämisse; Zum Beispiel erzeugt (1) einen Syllogismus der dritten Figur, (2) einen Syllogismus der ersten Figur. Die Anzahl der prosleptischen Syllogismen entsprach vermutlich der Anzahl der Arten von prosleptischen Sätzen: Mit Theophrastus 'Konzept der ersten Figur wären dies vierundsechzig (dh 32 + 16 + 16). Theophrastus vertrat die Auffassung, dass bestimmte prosleptische Prämissen bestimmten kategorialen Sätzen entsprechen, z. B. (1) zu „A ist von allem B abhängig“. Für viele, einschließlich (2), kann jedoch kein solches Äquivalent gefunden werden, und prosleptische Syllogismen erhöhten somit die Inferenzkraft der peripatetischen Logik.

3.3 Vorläufer von Modus Ponens und Modus Tollens

Theophrastus und Eudemus betrachteten komplexe Prämissen, die sie "hypothetische Prämissen" nannten und die eine der folgenden zwei (oder ähnliche) Formen hatten:

Wenn etwas F ist, ist es G.

Entweder ist etwas F oder es ist G (mit exklusivem 'oder')

Sie entwickelten mit ihnen Argumente, die sie "gemischt aus einer hypothetischen Prämisse und einer probativen Prämisse" nannten (Theophrastus fr. 112A Fortenbaugh). Diese Argumente wurden von Aristoteles 'Syllogismen "aus einer Hypothese" inspiriert (An. Pr. 1.44); Sie waren Vorläufer des Modus Ponens und des Modus Tollens und hatten die folgenden Formen (Theophrastus Frs. 111 und 112 Fortenbaugh), wobei sie das exklusive 'oder' verwendeten:

Wenn etwas F ist, ist es G.

a ist F.

Daher ist a G.

Wenn etwas F ist, ist es G.

a ist nicht G.

Daher ist a nicht F.

Entweder ist etwas F oder es ist G.

a ist F.

Daher ist a nicht G.

Entweder ist etwas F oder es ist G.

a ist nicht F.

Daher ist a G.

Theophrastus erkannte auch, dass das Bindepartikel 'oder' inklusive sein kann (Theophrastus fr. 82A Fortenbaugh); und er betrachtete relativ quantifizierte Sätze wie jene, die "mehr", "weniger" und "dasselbe" enthielten (Theophrastus fr. 89 Fortenbaugh), und schien Syllogismen diskutiert zu haben, die aus solchen Sätzen aufgebaut waren, und folgte erneut dem, was Aristoteles sagte Syllogismen aus einer Hypothese (Theophrastus fr. 111E Fortenbaugh).

3.4 Vollständig hypothetische Syllogismen

Theophrastus wird ferner die Erfindung eines Systems der späteren sogenannten "vollständig hypothetischen Syllogismen" zugeschrieben (Theophrastus fr. 113 Fortenbaugh). Diese Syllogismen waren ursprünglich abgekürzte termlogische Argumente dieser Art

Wenn [etwas] A ist, [ist es] B.

Wenn [etwas] B ist, [ist es] C.

Wenn also [etwas] A ist, ist [es] C.

und zumindest einige von ihnen wurden als auf Aristoteles 'kategorische Syllogismen reduzierbar angesehen, vermutlich aufgrund der Äquivalenzen zu "Jedes A ist B" usw. Parallel zu Aristoteles' Syllogistik unterschied Theophrast drei Figuren; Jeder hatte 16 Modi. Die ersten acht Modi der ersten Figur werden erhalten, indem alle Permutationen mit 'nicht X' anstelle von 'X' durchlaufen werden (mit X für A, B, C); Die zweiten acht Modi werden unter Verwendung einer Kontrapositionsregel für die Schlussfolgerung erhalten:

(CR)
Aus 'wenn X, Y' schließen 'wenn der Widerspruch von Y dann der Widerspruch von X'

Die sechzehn Modi der zweiten Figur wurden erhalten, indem (CR) für das Schema der ersten Prämisse der Argumente der ersten Figur verwendet wurde, z

Wenn [etwas] nicht B ist, ist [es] nicht A.

Wenn [etwas] B ist, [ist es] C.

Wenn also [etwas] A ist, ist [es] C.

Die sechzehn Modi der dritten Figur wurden erhalten, indem (CR) für das Schema der zweiten Prämisse der Argumente der ersten Figur verwendet wurde, z

Wenn [etwas] A ist, [ist es] B.

Wenn [etwas] nicht C ist, [ist es] nicht B.

Wenn also [etwas] A ist, ist [es] C.

Theophrastus behauptete, dass alle Syllogismen der zweiten und dritten Figur auf Syllogismen der ersten Figur reduziert werden könnten. Wenn Alexander von Aphrodisias (2 nd c. CE Peripatetic) getreulich berichtet, jegliche Verwendung von (CR), die einen Syllogismus in eine erste Figur Syllogismus verwandelt war eine solche Reduktion. Die große Anzahl von Modi und Reduktionen kann durch die Tatsache erklärt werden, dass Theophrast nicht über die logischen Mittel verfügte, um positive Komponenten in einem Argument durch negative zu ersetzen. In der späteren Antike wurden die vollständig hypothetischen Syllogismen nach einigen Zwischenstadien und möglicherweise unter stoischem Einfluss als aussagekräftige Argumente dieser Art interpretiert

Wenn p, dann q.

Wenn q, dann r.

Wenn also p, dann r.

4. Diodorus Cronus und Philo der Logiker

Im späteren 4 - ten bis Mitte 3 rd Jahrhundert BCE, zeitgenössische mit Theophrast und Eudemos eine lose verbundene Gruppe von Philosophen, die manchmal als Dialektiker (siehe Eintrag ‚dialektische Schule‘) und möglicherweise durch Eubulides beeinflusst, konzipiert von Logik als logische von Sätzen. Ihre bekanntesten Vertreter waren Diodorus Cronus und sein Schüler Philo (manchmal auch "Philo von Megara" genannt). Obwohl keine ihrer Schriften erhalten sind, gibt es eine Reihe späterer Berichte über ihre Lehren. Sie leisteten jeweils bahnbrechende Beiträge zur Entwicklung der Aussagenlogik, insbesondere zu den Theorien der Bedingungen und Modalitäten.

Eine Bedingung (sunêmmenon) wurde als nicht einfacher Satz angesehen, der sich aus zwei Sätzen und dem verbindenden Teilchen 'if' zusammensetzt. Philo, dem die Einführung der Wahrheitsfunktionalität in die Logik zugeschrieben werden kann, lieferte das folgende Kriterium für ihre Wahrheit: Eine Bedingung ist genau dann falsch, wenn ihre Vorgeschichte wahr ist und ihre Konsequenz falsch ist, und sie ist wahr in den drei verbleibenden Wahrheiten. Wertekombinationen. Die philonische Bedingung ähnelt der materiellen Implikation, außer dass - da Sätze als Funktionen der Zeit konzipiert wurden, die zu verschiedenen Zeiten unterschiedliche Wahrheitswerte haben können - sie ihren Wahrheitswert im Laufe der Zeit ändern kann. Für Diodorus ist ein bedingter Satz wahr, wenn es weder möglich noch möglich war, dass sein Vorgänger wahr und sein konsequenter falsch ist. Die zeitlichen Elemente in diesem Bericht legen nahe, dass die Möglichkeit einer Änderung des Wahrheitswertes in Philos Bedingungen verbessert werden sollte. Mit seinen eigenen modalen Begriffen (siehe unten) ist eine Bedingung jetzt genau dann Diodorean-wahr, wenn sie zu allen Zeiten Philonian-wahr ist. Die Bedingung von Diodorus erinnert somit an eine strikte Implikation. Philos und Diodorus 'Konzeptionen von Bedingungen führen zu Varianten der' Paradoxe 'des Materials und der strengen Implikation - eine Tatsache, die den Alten bewusst war (Sextus Empiricus [SE] M. 8.109–117). Philos und Diodorus 'Konzeptionen von Bedingungen führen zu Varianten der' Paradoxe 'des Materials und der strengen Implikation - eine Tatsache, die den Alten bewusst war (Sextus Empiricus [SE] M. 8.109–117). Philos und Diodorus 'Konzeptionen von Bedingungen führen zu Varianten der' Paradoxe 'des Materials und der strengen Implikation - eine Tatsache, die den Alten bewusst war (Sextus Empiricus [SE] M. 8.109–117).

Philo und Diodorus betrachteten jeweils die vier Modalitäten Möglichkeit, Unmöglichkeit, Notwendigkeit und Nicht-Notwendigkeit. Diese wurden als modale Eigenschaften oder modale Werte von Sätzen konzipiert, nicht als modale Operatoren. Philo definierte sie wie folgt: „Möglich ist das, was aufgrund der eigenen Natur des Satzes wahr sein kann… notwendig ist das, was wahr ist und was, soweit es an sich ist, nicht falsch sein kann. Nicht notwendig ist das, was, soweit es an sich ist, falsch sein kann, und unmöglich ist das, was von Natur aus nicht wahr sein kann. ' Diodorus 'Definitionen waren folgende:' Möglich ist das, was entweder [wahr] ist oder sein wird; unmöglich das, was falsch ist und nicht wahr sein wird; notwendig das, was wahr ist und nicht falsch sein wird; nicht notwendig das, was entweder schon falsch ist oder falsch sein wird.„Beide Definitionssätze erfüllen die folgenden Standardanforderungen der Modallogik: (i) Notwendigkeit beinhaltet Wahrheit und Wahrheit beinhaltet Möglichkeit; (ii) Möglichkeit und Unmöglichkeit sind Widersprüche, ebenso wie Notwendigkeit und Nicht-Notwendigkeit; (iii) Notwendigkeit und Möglichkeit sind definierbar; (iv) jeder Satz ist entweder notwendig oder unmöglich oder sowohl möglich als auch nicht notwendig. Philos Definitionen scheinen lediglich konzeptuelle Modalitäten einzuführen, während bei Diodorus 'Definitionen einige Sätze ihren Modalwert ändern können (Boeth. In Arist. De Int., Sek., 234–235 Meiser).(iii) Notwendigkeit und Möglichkeit sind definierbar; (iv) jeder Satz ist entweder notwendig oder unmöglich oder sowohl möglich als auch nicht notwendig. Philos Definitionen scheinen lediglich konzeptuelle Modalitäten einzuführen, während bei Diodorus 'Definitionen einige Sätze ihren Modalwert ändern können (Boeth. In Arist. De Int., Sek., 234–235 Meiser).(iii) Notwendigkeit und Möglichkeit sind definierbar; (iv) jeder Satz ist entweder notwendig oder unmöglich oder sowohl möglich als auch nicht notwendig. Philos Definitionen scheinen lediglich konzeptuelle Modalitäten einzuführen, während bei Diodorus 'Definitionen einige Sätze ihren Modalwert ändern können (Boeth. In Arist. De Int., Sek., 234–235 Meiser).

Diodorus 'Definition der Möglichkeit schließt zukünftige Kontingente aus und impliziert die kontraintuitive These, dass nur das Tatsächliche möglich ist. Diodorus versuchte, diese Behauptung mit seinem berühmten Meisterargument zu beweisen, das die Unvereinbarkeit von (i) "jede vergangene Wahrheit ist notwendig", (ii) "das Unmögliche folgt nicht aus dem Möglichen" und (iii) aufzeigt. etwas ist möglich, was weder wahr ist noch wahr sein wird “(Epict. Diss. II.19). Das Argument hat nicht überlebt, aber verschiedene Rekonstruktionen wurden vorgeschlagen. Eine gewisse Affinität zu den Argumenten für logischen Determinismus in Aristoteles 'De Interpretatione 9 ist wahrscheinlich.

Zum Thema Mehrdeutigkeit vertrat Diodorus die Auffassung, dass kein sprachlicher Ausdruck mehrdeutig ist. Er unterstützte dieses Diktum durch eine Bedeutungstheorie, die auf der Absicht des Sprechers beruhte. Die Sprecher beabsichtigen im Allgemeinen, nur eines zu sagen, wenn sie sprechen. Was gesagt wird, wenn sie sprechen, ist das, was sie sagen wollen. Jede Diskrepanz zwischen Sprecherabsicht und Hörerdecodierung hat ihre Ursache in der Dunkelheit des Gesagten, nicht in seiner Mehrdeutigkeit (Aulus Gellius 11.12.2–3).

5. Die Stoiker

Der Gründer der Stoa, Zeno of Citium (335–263 v. Chr.), Studierte bei Diodorus. Sein Nachfolger Cleanthes (331–232) versuchte, das Hauptargument zu lösen, indem er leugnete, dass jede vergangene Wahrheit notwendig ist, und schrieb Bücher über Paradoxien, Dialektik, Argumentationsmodi und Prädikate. Beide Philosophen betrachteten das Wissen über Logik als Tugend und schätzten es hoch, aber sie scheinen keine kreativen Logiker gewesen zu sein. Im Gegensatz dazu ist Cleanthes 'Nachfolger Chrysippus von Soli (ca. 280–207) ohne Zweifel der zweite große Logiker in der Geschichte der Logik. Es wurde von ihm gesagt, dass wenn die Götter irgendeine Logik verwenden würden, es die von Chrysippus (DL 7.180) sein würde, und sein Ruf als brillanter Logiker wird reichlich bestätigt. Chrysippus schrieb über 300 Bücher über Logik, zu praktisch jedem Thema, mit dem sich Logik heute befasst, einschließlich Sprechakttheorie, Satzanalyse,Singular- und Pluralausdrücke, Arten von Prädikaten, Indexicals, existenzielle Sätze, sententiale Konnektiva, Negationen, Disjunktionen, Bedingungen, logische Konsequenzen, gültige Argumentformen, Theorie der Deduktion, Aussagenlogik, Modallogik, Zeitlogik, epistemische Logik, Logik der Vermutungen, Logik der Imperative, Ambiguität und logischen Paradoxien, insbesondere des Lügners und der Soriten (DL 7.189–199). Von all diesen sind nur zwei stark beschädigte Papyri erhalten, die glücklicherweise durch eine beträchtliche Anzahl von Fragmenten und Zeugnissen in späteren Texten ergänzt wurden, insbesondere in Diogenes Laertius (DL), Buch 7, Abschnitte 55–83, und Sextus Empiricus Outlines of Pyrrhonism (SE) PH) Buch 2 und Gegen die Mathematiker (SE M) Buch 8. Chrysippus 'Nachfolger, darunter Diogenes von Babylon (ca. 240–152) und Antipater von Tarsus (2)240–152) und Antipater von Tarsus (2nd cent. BCE) scheinen einige seiner Ideen systematisiert und vereinfacht zu haben, aber ihre ursprünglichen Beiträge zur Logik scheinen gering zu sein. Viele Zeugnisse der stoischen Logik nennen keinen bestimmten Stoiker. Daher sprechen die folgenden Absätze einfach über "die Stoiker" im Allgemeinen; aber wir können sicher sein, dass ein großer Teil dessen, was überlebt hat, auf Chrysippus zurückgeht.

5.1 Logische Erfolge neben der Aussagenlogik

Das Thema der stoischen Logik sind die sogenannten Sayables (Lekta): Sie sind die zugrunde liegenden Bedeutungen in allem, was wir sagen und denken, aber - wie Freges 'Sinne' - existieren sie auch unabhängig von uns. Sie unterscheiden sich von gesprochenen und geschriebenen sprachlichen Ausdrücken: Was wir aussprechen, sind diese Ausdrücke, aber was wir sagen, sind die Sprichwörter (DL 7.57). Es gibt vollständige und mangelhafte Aussagen. Wenn unzureichende Aussagen gemacht werden, fühlt sich der Hörer aufgefordert, um eine Vervollständigung zu bitten. zB wenn jemand sagt "schreibt", fragen wir "wer?". Vollständige Sayables, falls gesagt, lassen Sie den Hörer nicht um eine Vervollständigung bitten (DL7.63). Dazu gehören Aussagen (das stoische Äquivalent von Sätzen), Imperativale, Fragestellungen, Anfragen, Ausrufezeichen, Hypothesen oder Vermutungen, Bestimmungen, Eide, Flüche und mehr. Die Berichte über die verschiedenen vollständigen Sprichwörter hatten alle die allgemeine Form "ein so und so sagbares ist eines, wenn wir sagen, dass wir einen Akt von so und so ausführen". Zum Beispiel: "Ein imperativales Sprichwort ist eines, wenn wir sagen, dass wir einen Befehl erteilen", "ein fragendes Sprichwort ist eines, wenn wir sagen, dass wir eine Frage stellen", "ein deklaratorisches Sprichwort (dh ein Durchsetzbares) ist eines, wenn wir sagen, was wir machen Behauptung'. So führen wir nach Ansicht der Stoiker jedes Mal, wenn wir ein vollständiges Sprichwort sagen, drei verschiedene Handlungen aus: Wir sprechen einen sprachlichen Ausdruck aus; wir sagen das Sagbare; und wir führen einen Sprechakt durch. Chrysippus war sich der Unterscheidung zwischen Verwendung und Erwähnung bewusst (DL 7.187). Er scheint der Ansicht zu sein, dass jeder bezeichnende Ausdruck insofern mehrdeutig ist, als er sowohl seine Bezeichnung als auch sich selbst bezeichnet (Galen, On ling. Soph. 4; Aulus Gellius 11.12.1). Somit würde der Ausdruck "ein Wagen" sowohl einen Wagen als auch den Ausdruck "ein Wagen" bezeichnen.[2]

Assertibles (Axiômata) unterscheiden sich von allen anderen vollständigen Sayables darin, dass sie einen Wahrheitswert haben: Sie sind zu jeder Zeit entweder wahr oder falsch. Die Wahrheit ist zeitlich begrenzt und die Durchsetzbaren können ihren Wahrheitswert ändern. Das stoische Prinzip der Bivalenz ist daher auch zeitlich begrenzt. Die Wahrheit wird durch ein Beispiel eingeführt: Das aussagekräftige „Es ist Tag“ist wahr, wenn es Tag ist, und zu allen anderen Zeiten falsch (DL 7.65). Dies deutet auf eine Art deflationistische Sicht der Wahrheit hin, ebenso wie die Tatsache, dass die Stoiker wahre Aussagen mit Fakten identifizieren, aber falsche Aussagen einfach als Widersprüche wahrer definieren (SE M 8.85).

Assertibles sind einfach oder nicht einfach. Ein einfaches aussagekräftiges Prädikativ wie "Dion geht" wird aus dem Prädikat "geht" generiert. Dies ist ein mangelhaftes Assertible, da es die Frage "Wer?" Zusammen mit einem Nominativfall (Dions individuelle Qualität oder das korrelierte Sprichwort) aufwirft. was das Assertible als unter das Prädikat fallend darstellt (DL 7.63 und 70). Es gibt also keine Austauschbarkeit von Prädikat- und Subjektbegriffen wie bei Aristoteles; Vielmehr werden Prädikate - aber nicht die Dinge, die unter sie fallen - als mangelhaft definiert und ähneln daher Aussagenfunktionen. Es scheint, dass während einige Stoiker den Fregean-Ansatz verfolgten, dass singuläre Begriffe Sprichwörter korreliert hatten, andere den Begriff der direkten Bezugnahme vorwegnahmen. In Bezug auf Indexicals,Die Stoiker nahmen eine einfache eindeutige Aussage wie "dieser geht", um wahr zu sein, wenn die Person, auf die der Sprecher zeigt, geht (SE M 100). Wenn das Ding, auf das gezeigt wird, aufhört zu sein, tut dies auch das Durchsetzbare, obwohl der Satz, der verwendet wird, um es auszudrücken, erhalten bleibt (Alex. Aphr. An. Pr. 177–8). Eine einfache unbestimmte Aussage wie "jemand geht" gilt als wahr, wenn eine entsprechende bestimmte Aussage wahr ist (SE M 98). Aristotelische universelle Bejahungen („Jedes A ist B“) sollten als Bedingungen umformuliert werden: „Wenn etwas A ist, ist es B“(SE M 9.8–11). Negationen einfacher Aussagen sind selbst einfache Aussagen. Die stoische Negation von "Dion geht" ist "(es ist) nicht (der Fall, dass) Dion geht" und nicht "Dion geht nicht". Letzteres wird auf Russellsche Weise analysiert als "Beide Dion existieren und nicht: Dion geht" (Alex. Aphr. Ein. Pr. 402). Es gibt Präsens-, Vergangenheits- und Zukunfts-Assertibles. Das zeitlich begrenzte Prinzip der Bivalenz gilt für alle. Die Vergangenheitsform "Dion ging" ist wahr, wenn es mindestens eine vergangene Zeit gibt, zu der "Dion geht" wahr war.

5.2 Syntax und Semantik komplexer Sätze

Daher beschäftigten sich die Stoiker mit mehreren Fragen, die wir unter die Überschrift der Prädikatenlogik stellen würden; Ihre Hauptleistung war jedoch die Entwicklung einer Aussagenlogik, dh eines Ableitungssystems, in dem die kleinsten wesentlichen nicht analysierten Ausdrücke Sätze oder vielmehr Durchsetzbare sind.

Die Stoiker definierten Negationen als Assertibles, die aus einem negativen Partikel und einem von diesem Partikel kontrollierten Assertible bestehen (SE M 8.103). In ähnlicher Weise wurden nicht einfache Assertibles als Assertibles definiert, die entweder aus mehr als einem Assertible oder aus einem Assertible bestehen, das mehr als einmal genommen wurde (DL 7.68–9) und die von einem Verbindungsteilchen gesteuert werden. Beide Definitionen können als rekursiv verstanden werden und ermöglichen Aussagen von unbestimmter Komplexität. In der stoischen Syllogistik gibt es drei Arten von nicht einfachen Aussagen. Konjunktionen sind nicht einfache Aussagen, die durch den konjunktiven Konnektiv „sowohl… als auch…“zusammengesetzt werden. Sie haben zwei Verbindungen. [3]Disjunktionen sind nicht einfache Aussagen, die durch den disjunktiven Konnektiv „entweder… oder… oder…“zusammengesetzt werden. Sie haben zwei oder mehr Disjunkte, alle gleich. Bedingungen sind nicht einfache Aussagen, die mit dem Konnektiv 'if…,…' gebildet werden; Sie bestehen aus Antezedenz und Konsequenz (DL 7.71–2). Welche Art von Assertible ein Assertible ist, wird durch das verbindende oder logische Teilchen bestimmt, das es steuert, dh das den größten Umfang hat. 'Sowohl nicht p als auch q' ist eine Konjunktion, 'Nicht sowohl p als auch q' eine Negation. Die stoische Sprachregimentierung verlangt, dass Sätze, die Assertibles ausdrücken, immer mit dem logischen Partikel oder Ausdrucksmerkmal beginnen, das für das Assertible charakteristisch ist. So erfanden die Stoiker eine implizite Belichtungsreihe, die der in der polnischen Notation von Łukasiewicz verwendeten ähnelt.

Stoische Negationen und Konjunktionen sind wahrheitsfunktional. Stoische (oder zumindest Chrysippeanische) Bedingungen sind wahr, wenn der Widerspruch des Konsequenten mit seinem Vorgänger nicht vereinbar ist (DL 7.73). Zwei Assertibles sind Widersprüche, wenn eines die Negation des anderen ist (DL 7.73); das heißt, wenn eines das andere um ein vorab festgelegtes Negationsteilchen übersteigt (SE M 8,89). Die wahrheitsfunktionale philonische Bedingung wurde als Negation einer Konjunktion ausgedrückt: das heißt nicht als 'wenn p, q', sondern als 'nicht beide p und nicht q'. Stoische Disjunktion ist exklusiv und nicht wahrheitsfunktional. Es ist wahr, wenn notwendigerweise genau eines seiner Disjunkte wahr ist. Später führten Stoiker eine nicht wahrheitsfunktionale inklusive Disjunktion ein (Aulus Gellius, NA 16.8.13–14).

Wie Philo und Diodorus unterschied Chrysippus vier Modalitäten und betrachtete sie eher als modale Werte von Sätzen als als modale Operatoren. Sie erfüllen die gleichen Standardanforderungen der Modallogik. Chrysippus 'Definitionen sind (DL 7.75): Ein Durchsetzbares ist möglich, wenn es sowohl wahr sein kann als auch nicht durch äußere Dinge daran gehindert wird, wahr zu sein. Ein Durchsetzbares ist unmöglich, wenn es [entweder] nicht wahr sein kann [oder wahr sein kann, sondern durch äußere Dinge daran gehindert wird, wahr zu sein]. Ein Durchsetzbares ist notwendig, wenn es, wenn es wahr ist, entweder nicht falsch oder falsch sein kann, sondern durch äußere Dinge daran gehindert wird, falsch zu sein. Ein Durchsetzbares ist nicht notwendig, wenn es sowohl falsch sein kann als auch nicht durch äußere Dinge behindert wird. Chrysippus 'Modalbegriffe unterscheiden sich von Diodorus darin, dass sie zukünftige Kontingente zulassen, und von Philos darin, dass sie über die bloße konzeptionelle Möglichkeit hinausgehen.

5.3 Argumente

Argumente sind normalerweise Verbindungen von Assertibles. Sie sind definiert als ein System von mindestens zwei Prämissen und einer Schlussfolgerung (DL 7.45). Syntaktisch wird jede Prämisse außer der ersten durch "jetzt" oder "aber" und die Schlussfolgerung durch "deshalb" eingeführt. Ein Argument ist gültig, wenn die (Chrysippean) Bedingung, die mit der Verbindung seiner Prämissen als Vorgänger gebildet wird, und ihre Schlussfolgerung als Folge korrekt sind (SE PH 2.137; DL 7.77). Ein Argument ist 'gesund' (wörtlich: 'wahr'), wenn es nicht nur gültig ist, sondern auch wahre Prämissen hat. Die Stoiker definierten sogenannte Argumentmodi als eine Art Schema eines Arguments (DL 7.76). Die Art eines Arguments unterscheidet sich vom Argument selbst dadurch, dass Ordnungszahlen anstelle von Assertibles auftreten. Der Modus des Arguments

Wenn es Tag ist, ist es leicht.

Aber es ist nicht so, dass es leicht ist.

Daher ist es nicht der Fall, dass es Tag ist.

ist

Wenn der 1 st, der 2 nd.

Aber nicht: die 2 nd.

Daher nicht: die 1 st.

Die Modi fungierten zunächst als Abkürzungen für Argumente, die ihre logisch relevante Form hervorhoben. und zweitens scheint es als Vertreter der Form einer Klasse von Argumenten.

5.4 Stoische Syllogistik

In Bezug auf die zeitgenössische Logik wird die stoische Syllogistik am besten als ein substrukturelles, rückwärts arbeitendes natürliches Deduktionssystem im Gentzen-Stil verstanden, das aus fünf Arten von axiomatischen Argumenten (den Wiedergutmachungen) und vier Inferenzregeln besteht, die als Themata bezeichnet werden. Ein Argument ist ein Syllogismus, gerade wenn es entweder entschädigungsfähig ist oder durch die Themen auf eins reduziert werden kann (DL 7.78). Syllogismen sind also bestimmte Arten formal gültiger Argumente. Die Stoiker haben ausdrücklich anerkannt, dass es gültige Argumente gibt, die keine Syllogismen sind. aber angenommen, dass diese irgendwie in Syllogismen umgewandelt werden könnten.

Alle grundlegenden Schadensersatzansprüche bestehen aus einer nicht einfachen Behauptung als Leitprämisse und einer einfachen Behauptung als Mitannahme und haben eine andere einfache Behauptung als Schlussfolgerung. Sie wurden durch fünf standardisierte meta-linguistische Beschreibungen der Argumentationsformen definiert (SE M 8.224–5; DL 7.80–1):

  • Eine erste Entschädigung ist ein Argument, das aus einer Bedingung und ihrer Vorgeschichte die Konsequenz schließt
  • Eine zweite Entschädigung ist ein Argument, das aus einer Bedingung und dem Widerspruch des Konsequenten den Widerspruch des Vorgängers schließt.
  • Eine dritte Entschädigung ist ein Argument, das aus der Negation einer Konjunktion und einer der Konjunktionen den Widerspruch der anderen Konjunktion schließt.
  • Eine vierte Entschädigung ist ein Argument, das aus einer Disjunktion und einem der Disjunkte den Widerspruch zum anderen Disjunkt schließt.
  • Eine fünfte Entschädigung ist ein Argument, das aus einer Disjunktion und dem Widerspruch einer ihrer Disjunktionen die andere Disjunktion schließt.

Ob ein Argument entschädigungsfähig ist, kann durch Vergleich mit diesen meta-linguistischen Beschreibungen überprüft werden. Zum Beispiel,

Wenn es Tag ist, ist es nicht Nacht.

Aber es ist Nacht.

Daher ist es nicht der Fall, dass es Tag ist.

kommt als zweite entschädigungspflichtig heraus, und

Wenn fünf eine Zahl ist, ist entweder fünf ungerade oder fünf gerade.

Aber fünf ist eine Zahl.

Daher ist entweder fünf ungerade oder fünf gerade.

als erste entschädigungspflichtig. Zum Testen kann auch ein geeigneter Argumentmodus als Ersatz verwendet werden. Ein Modus ist syllogistisch, wenn ein entsprechendes Argument mit derselben Form ein Syllogismus ist (aufgrund dieser Form). In der stoischen Logik gibt es jedoch keine fünf Modi, die als Inferenzschemata verwendet werden können, die die fünf Arten von Wiedergutmachungen darstellen. Zum Beispiel sind die folgenden zwei der vielen Modi der vierten Entschädigung:

Entweder der 1 st oder der 2 nd.

Aber die 2 nd.

Daher nicht die 1 st.

Entweder die 1 st oder nicht der 2 nd.

Aber die 1 st.

Deshalb ist die 2 nd.

Obwohl beide von der meta-linguistischen Beschreibung abgedeckt werden, kann keiner als Modus der vierten Wiedergutmachung herausgegriffen werden: Wenn wir komplexe Argumente außer Acht lassen, gibt es zweiunddreißig Modi, die den fünf meta-linguistischen Beschreibungen entsprechen; Letztere erweisen sich somit als spürbar wirtschaftlicher. Die fast universelle Annahme unter Logikhistorikern, dass die Stoiker ihre fünf (Arten von) Entschädigungsmöglichkeiten durch fünf Modi darstellten, ist falsch und wird nicht durch Textnachweise gestützt. [4]

Von den vier Themen sind nur die erste und die dritte erhalten. Auch sie wurden meta-linguistisch formuliert. Das erste Thema in seiner Grundform war:

Wenn aus zwei [Assertibles] ein dritter folgt, dann folgt aus einem von beiden zusammen mit dem Widerspruch der Schlussfolgerung der Widerspruch des anderen (Apuleius Int. 209.9–14)

Dies ist eine Folgerungsregel, wie sie heute als Antilogismus bezeichnet wird. Das dritte Thema in einer Formulierung war:

Wenn aus zwei [Assertibles] ein dritter folgt und aus dem einen, der [dh dem dritten] zusammen mit einer anderen externen Annahme folgt, folgt eine andere, dann folgt diese andere aus den ersten beiden und der extern mit angenommenen (Simplicius Cael). 237,2–4)

Dies ist eine Inferenzregel, wie sie heute als Cut-Regel bezeichnet wird. Es wird verwendet, um Kettensyllogismen zu reduzieren. Das zweite und vierte Thema waren ebenfalls Schnittregeln, und Rekonstruktionen davon können bereitgestellt werden, da wir wissen, welche Argumente sie zusammen mit dem dritten Thema reduzieren sollten, und wir haben einige der Argumente, die durch das zweite Thema reduziert werden sollen. Eine mögliche Rekonstruktion des zweiten Themas ist:

Wenn aus zwei Behauptungen ein dritter folgt und aus dem dritten und einem (oder beiden) der beiden ein anderer folgt, dann folgt dieser andere aus den ersten beiden

Eine mögliche Rekonstruktion des vierten Themas ist:

Wenn aus zwei Assertibles ein dritter folgt und aus dem dritten und einem (oder beiden) der zwei und einem (oder mehreren) externen Assertible (s) ein anderer folgt, dann folgt dieser andere aus den ersten beiden und den externen Assertibles. (Vgl. Bobzien 1996.)

Eine stoische Reduktion zeigt die formale Gültigkeit eines Arguments, indem die Themen in einem oder mehreren Schritten so angewendet werden, dass alle resultierenden Argumente entschädigungspflichtig sind. Dies kann entweder mit den Argumenten oder ihren Modi erfolgen (SE M 8.230–8). Zum Beispiel der Argumentationsmodus

Wenn die 1 st und 2 nd, der 3 rd.

Aber nicht die 3 rd.

Darüber hinaus ist die 1 st.

Daher nicht: die 2 nd.

kann durch das dritte Thema auf (die Modi von) einem zweiten und einem dritten entschädigungsbar wie folgt reduziert werden:

Wenn von zwei assertibles (‚Wenn die 1 st und der 2 nd das 3 rd ‘ und ‚ aber nicht das 3 rd ‚) eine dritte folgt (‘Nicht: Sowohl die 1 st und der 2 nd ‘ -Diese folgt ein zweiter unbeweisbar) und aus dem dritten und einem externen (‚The 1 st ‚) folgt ein weitere (‘Nicht: die 2 nd ‚-Diese folgt einer dritten unbeweisbar), dann ist diese andere (‘Nicht: die 2 nd ‘) folgt auch, von den beiden Assertibles und dem externen.

Das zweite Thema reduzierte unter anderem Argumente mit den folgenden Modi (Alex. Aphr. An. Pr. 164.27–31):

Entweder ist die 1 st oder nicht die 1 st.

Aber die 1 st.

Deshalb ist die 1 st.

Wenn die erste, wenn der 1 st, der 2 nd.

Aber die 1 st.

Deshalb ist die 2 nd.

Die Peripatetiker beschuldigten die Stoiker, solche nutzlosen Argumente zugelassen zu haben. In Übereinstimmung mit der zeitgenössischen Logik bestanden die Stoiker darauf, dass die Argumente gültig sind, wenn sie reduziert werden können.

Die vier Themen können wiederholt und in beliebiger Kombination in einer Reduktion verwendet werden. Somit können Aussagenargumente von unbestimmter Länge und Komplexität reduziert werden. Die stoische Syllogistik wurde formalisiert, und es wurde gezeigt, dass das stoische deduktive System starke Ähnlichkeiten mit relevanten logischen Systemen wie denen von Storrs McCall aufweist. Wie Aristoteles zielten die Stoiker darauf ab, nicht offensichtliche formal gültige Argumente zu beweisen, indem sie sie durch akzeptierte Inferenzregeln auf offensichtlich gültige Argumente reduzierten. Obwohl ihre Logik eine Aussagenlogik ist, wollten sie kein System bereitstellen, das die Ableitung aller aussagenlogischen Wahrheiten ermöglicht, sondern ein System gültiger aussagelogischer Argumente mit mindestens zwei Prämissen und einer Schlussfolgerung. Dennoch,Wir haben Beweise dafür, dass die Stoiker viele einfache logische Wahrheiten ausdrücklich erkannt haben. Zum Beispiel akzeptierten sie die folgenden logischen Prinzipien: das Prinzip der doppelten Negation, das besagt, dass eine doppelte Negation ('nicht: nicht: p') der Behauptung entspricht, die doppelt negiert ist (dh p) (DL 7.69); das Prinzip, dass jede Bedingung, die durch die Verwendung derselben Behauptung als Vorgänger und als Konsequenz („wenn p, p“) gebildet wird, wahr ist (SE M 8.281, 466); das Prinzip, dass alle Zweistellendisjunktionen, die durch Verwendung widersprüchlicher Disjunkte („entweder p oder nicht: p“) gebildet werden, wahr sind (SE M 8.282, 467); und das Prinzip der Kontraposition, dass wenn 'wenn p, q' dann 'wenn nicht: q, nicht: p' (DL 7.194, Philodemus Sign., PHerc. 1065, XI.26 - XII.14). Feststellung, dass eine doppelte Negation ('not: not: p') der Behauptung entspricht, die doppelt negiert ist (dh p) (DL 7.69); das Prinzip, dass jede Bedingung, die durch die Verwendung derselben Behauptung als Vorgänger und als Konsequenz („wenn p, p“) gebildet wird, wahr ist (SE M 8.281, 466); das Prinzip, dass alle Zweistellendisjunktionen, die durch Verwendung widersprüchlicher Disjunkte („entweder p oder nicht: p“) gebildet werden, wahr sind (SE M 8.282, 467); und das Prinzip der Kontraposition, dass wenn 'wenn p, q' dann 'wenn nicht: q, nicht: p' (DL 7.194, Philodemus Sign., PHerc. 1065, XI.26 - XII.14). Feststellung, dass eine doppelte Negation ('not: not: p') der Behauptung entspricht, die doppelt negiert ist (dh p) (DL 7.69); das Prinzip, dass jede Bedingung, die durch die Verwendung derselben Behauptung als Vorgänger und als Konsequenz („wenn p, p“) gebildet wird, wahr ist (SE M 8.281, 466); das Prinzip, dass alle durch die Verwendung widersprüchlicher Disjunkte („entweder p oder nicht: p“) gebildeten Zweistellendisjunktionen wahr sind (SE M 8.282, 467); und das Prinzip der Kontraposition, dass wenn 'wenn p, q' dann 'wenn nicht: q, nicht: p' (DL 7.194, Philodemus Sign., PHerc. 1065, XI.26 - XII.14).das Prinzip, dass alle Zweistellendisjunktionen, die durch Verwendung widersprüchlicher Disjunkte („entweder p oder nicht: p“) gebildet werden, wahr sind (SE M 8.282, 467); und das Prinzip der Kontraposition, dass wenn 'wenn p, q' dann 'wenn nicht: q, nicht: p' (DL 7.194, Philodemus Sign., PHerc. 1065, XI.26 - XII.14).das Prinzip, dass alle durch die Verwendung widersprüchlicher Disjunkte („entweder p oder nicht: p“) gebildeten Zweistellendisjunktionen wahr sind (SE M 8.282, 467); und das Prinzip der Kontraposition, dass wenn 'wenn p, q' dann 'wenn nicht: q, nicht: p' (DL 7.194, Philodemus Sign., PHerc. 1065, XI.26 - XII.14).

5.5 Logische Paradoxe

Die Stoiker erkannten die Bedeutung sowohl des Lügner- als auch des Soriten-Paradoxons (Cicero Acad. 2.95–8, Plut. Comm. Not. 1059D - E, Chrys. Log. Zet. Col. IX). Chrysippus hat möglicherweise versucht, den Lügner wie folgt zu lösen: Der Satz des Lügners („Ich spreche falsch“, isoliert gesprochen) enthält eine unauslöschliche Zweideutigkeit zwischen den Aussagen (i) „Ich sage fälschlicherweise, ich spreche falsch“und (ii) "Ich spreche falsch" (dh ich tue, was ich sage, nämlich falsch spreche), von dem zu jeder Zeit, wenn der Lügner-Satz ausgesprochen wird, genau einer wahr ist, aber es ist willkürlich, welcher. (i) beinhaltet (iii) "Ich spreche wirklich" und ist nicht kompatibel mit (ii) und mit (iv) "Ich sage wirklich, dass ich falsch spreche". (ii) beinhaltet (iv) und ist nicht kompatibel mit (i) und (iii). So bleibt die Bivalenz erhalten (vgl. Cavini 1993). Chrysippus 'Standpunkt zu den Soriten scheint gewesen zu sein, dass vage Grenzsätze, die im Rahmen einer Soriten-Reihe ausgesprochen wurden, keine entsprechenden Aussagen haben und dass es für uns unklar ist, wo die Grenzfälle beginnen, so dass es für uns rational ist Hören Sie auf zu antworten, während Sie sich noch auf sicherem Boden befinden (dh bevor wir anfangen, Äußerungen zu machen, für die keine Zusicherung vorliegt). Die letztere Bemerkung legt nahe, dass Chrysippus sich des Problems der Unbestimmtheit höherer Ordnung bewusst war. Auch hier bleibt die Bivalenz von Assertibles erhalten (vgl. Bobzien 2002). Die Stoiker diskutierten auch verschiedene andere bekannte Paradoxe. Insbesondere für die Paradoxe der Voraussetzung, die in der Antike als Horned One bekannt waren, erstellten sie eine Lösung vom Russellschen Typ, die auf einer verborgenen Ambiguität der Negation im verborgenen Bereich basiert (vgl. Bobzien 2012). Bobzien 2012)Bobzien 2012)und dass es für uns unklar ist, wo die Grenzfälle beginnen, so dass es für uns vernünftig ist, nicht mehr zu antworten, während wir uns noch auf sicherem Boden befinden (dh bevor wir anfangen könnten, Äußerungen zu machen, ohne dass dies behauptet werden kann). Die letztere Bemerkung legt nahe, dass Chrysippus sich des Problems der Unbestimmtheit höherer Ordnung bewusst war. Auch hier bleibt die Bivalenz von Assertibles erhalten (vgl. Bobzien 2002). Die Stoiker diskutierten auch verschiedene andere bekannte Paradoxe. Insbesondere für die Paradoxe der Voraussetzung, die in der Antike als Horned One bekannt waren, erstellten sie eine Lösung vom Russellschen Typ, die auf einer verborgenen Ambiguität der Negation im verborgenen Bereich basiert (vgl. Bobzien 2012).und dass es für uns unklar ist, wo die Grenzfälle beginnen, so dass es für uns vernünftig ist, nicht mehr zu antworten, während wir uns noch auf sicherem Boden befinden (dh bevor wir anfangen könnten, Äußerungen zu machen, ohne dass dies behauptet werden kann). Die letztere Bemerkung legt nahe, dass Chrysippus sich des Problems der Unbestimmtheit höherer Ordnung bewusst war. Auch hier bleibt die Bivalenz von Assertibles erhalten (vgl. Bobzien 2002). Die Stoiker diskutierten auch verschiedene andere bekannte Paradoxe. Insbesondere für die Paradoxe der Voraussetzung, die in der Antike als Horned One bekannt waren, erstellten sie eine Lösung vom Russellschen Typ, die auf einer verborgenen Ambiguität der Negation im verborgenen Bereich basiert (vgl. Bobzien 2012). Die letztere Bemerkung legt nahe, dass Chrysippus sich des Problems der Unbestimmtheit höherer Ordnung bewusst war. Auch hier bleibt die Bivalenz von Assertibles erhalten (vgl. Bobzien 2002). Die Stoiker diskutierten auch verschiedene andere bekannte Paradoxe. Insbesondere für die Paradoxe der Voraussetzung, die in der Antike als Horned One bekannt waren, erstellten sie eine Lösung vom Russellschen Typ, die auf einer verborgenen Ambiguität der Negation im verborgenen Bereich basiert (vgl. Bobzien 2012). Die letztere Bemerkung legt nahe, dass Chrysippus sich des Problems der Unbestimmtheit höherer Ordnung bewusst war. Auch hier bleibt die Bivalenz von Assertibles erhalten (vgl. Bobzien 2002). Die Stoiker diskutierten auch verschiedene andere bekannte Paradoxe. Insbesondere für die Paradoxe der Voraussetzung, die in der Antike als Horned One bekannt waren, erstellten sie eine Lösung vom Russellschen Typ, die auf einer verborgenen Ambiguität der Negation im verborgenen Bereich basiert (vgl. Bobzien 2012).

6. Epikur und die Epikureer

Epikur (Ende 4 th -Early 3 rdc. BCE) und die Epikureer sollen die Logik als unnötige Disziplin abgelehnt haben (DL 10.31, Usener 257). Ungeachtet dessen zwangen oder veranlassten einige Aspekte ihrer Philosophie sie, zu einigen Fragen der philosophischen Logik Stellung zu beziehen. (1) Sprachbedeutung und -definition: Die Epikureer vertraten die Auffassung, dass natürliche Sprachen nicht durch die Festlegung von Wortbedeutungen entstanden sind, sondern als Ergebnis der angeborenen Fähigkeit des Menschen, Zeichen und Artikulationsgeräusche zu verwenden und der menschlichen sozialen Interaktion (DL 10.75–6).;; diese Sprache wird im Kontext gelernt (Lucretius 5.1028ff); und dass sprachliche Ausdrücke natürlicher Sprachen klarer und auffälliger sind als ihre Definitionen; selbst diese Definitionen würden ihre Auffälligkeit zerstören (Usener 258, 243);und dass Philosophen daher eher die gewöhnliche Sprache verwenden sollten, als technische Ausdrücke einzuführen (Epicurus On Nature 28). (2) Wahrheitsträger: Die Epikureer leugnen die Existenz unkörperlicher Bedeutungen wie stoischer Sprichwörter. Ihre Wahrheitsträger sind sprachliche Gegenstände, genauer gesagt Äußerungen (phônai) (SE M 8.13, 258; Usener 259, 265). Die Wahrheit besteht in der Entsprechung von Dingen und Äußerungen, in der Falschheit eines Mangels an solcher Entsprechung (SE M 8.9, Usener 244), obwohl die Details hier unklar sind. (3) Ausgeschlossene Mitte: Mit Äußerungen als Wahrheitsträger stehen die Epikureer vor der Frage, was die Wahrheitswerte zukünftiger Kontingente sind. Es werden zwei Ansichten aufgezeichnet. Eine davon ist die Ablehnung des Prinzips der ausgeschlossenen Mitte ('p oder nicht p') für zukünftige Kontingente (Usener 376, Cicero Acad. 2.97, Cicero Fat. 37). Der andere, interessanter,man lässt die ausgeschlossene Mitte für alle Äußerungen intakt, hält aber fest, dass im Fall zukünftiger Kontingente die Komponentenäußerungen 'p' und 'nicht p' weder wahr noch falsch sind (Cicero Fat. 37), aber es scheint unbestimmt zu sein. Dies könnte als Vorwegnahme des Supervaluationismus angesehen werden. (4) Induktion: Die induktive Logik war in der Antike vergleichsweise wenig entwickelt. Aristoteles diskutiert Argumente vom Besonderen zum Universellen (epagôg ê) in den Themen und der hinteren Analytik, liefert jedoch keine Theorie darüber. Einige spätere Epikureer entwickelten eine Theorie der induktiven Inferenz, die die Inferenz auf der empirischen Beobachtung basiert, dass bestimmte Eigenschaften ausnahmslos übereinstimmen (Philodemus De Signis). Die Komponentenäußerungen 'p' und 'nicht p' sind weder wahr noch falsch (Cicero Fat. 37), aber anscheinend unbestimmt. Dies könnte als Vorwegnahme des Supervaluationismus angesehen werden. (4) Induktion: Die induktive Logik war in der Antike vergleichsweise wenig entwickelt. Aristoteles diskutiert Argumente vom Besonderen zum Universellen (epagôg ê) in den Themen und der hinteren Analytik, liefert jedoch keine Theorie darüber. Einige spätere Epikureer entwickelten eine Theorie der induktiven Inferenz, die die Inferenz auf der empirischen Beobachtung basiert, dass bestimmte Eigenschaften ausnahmslos übereinstimmen (Philodemus De Signis). Die Komponentenäußerungen 'p' und 'nicht p' sind weder wahr noch falsch (Cicero Fat. 37), aber anscheinend unbestimmt. Dies könnte als Vorwegnahme des Supervaluationismus angesehen werden. (4) Induktion: Die induktive Logik war in der Antike vergleichsweise wenig entwickelt. Aristoteles diskutiert Argumente vom Besonderen zum Universellen (epagôg ê) in den Themen und der hinteren Analytik, liefert jedoch keine Theorie darüber. Einige spätere Epikureer entwickelten eine Theorie der induktiven Inferenz, die die Inferenz auf der empirischen Beobachtung basiert, dass bestimmte Eigenschaften ausnahmslos übereinstimmen (Philodemus De Signis). Aristoteles diskutiert Argumente vom Besonderen zum Universellen (epagôg ê) in den Themen und der hinteren Analytik, liefert jedoch keine Theorie darüber. Einige spätere Epikureer entwickelten eine Theorie der induktiven Inferenz, die die Inferenz auf der empirischen Beobachtung basiert, dass bestimmte Eigenschaften ausnahmslos übereinstimmen (Philodemus De Signis). Aristoteles diskutiert Argumente vom Besonderen zum Universellen (epagôg ê) in den Themen und der hinteren Analytik, liefert jedoch keine Theorie darüber. Einige spätere Epikureer entwickelten eine Theorie der induktiven Inferenz, die die Inferenz auf der empirischen Beobachtung basiert, dass bestimmte Eigenschaften ausnahmslos übereinstimmen (Philodemus De Signis).

7. Spätere Antike

Über die Entwicklung der Logik aus c ist sehr wenig bekannt. 100 v. Chr. Bis c. 250 CE. Es ist unklar, wann Peripatetics und Stoics die logischen Errungenschaften der anderen zur Kenntnis nahmen. Irgendwann in dieser Zeit erhielt die terminologische Unterscheidung zwischen "kategorialen Syllogismen", die für aristotelische Syllogismen verwendet wurden, und "hypothetischen Syllogismen", die nicht nur für diejenigen verwendet wurden, die von Theophrastos und Eudemus eingeführt wurden, sondern auch für die stoischen propositionell-logischen Syllogismen Fuß fassen. Im ersten Jahrhundert v. Chr. Schrieben die Peripatetiker Ariston von Alexandria und Boethus von Sidon über Syllogistik. Ariston soll die sogenannten "subalternen" Syllogismen (Barbari, Celaront, Cesaro, Camestrop und Camenop) in die aristotelische Syllogistik (Apuleius Int. 213.5–10) eingeführt haben, d. H.die Syllogismen, die man durch Anwendung der Subalternationsregeln gewinnt (die von Aristoteles in seinen Themen anerkannt wurden)

Aus 'A hält von jedem B' schließen Sie 'A hält von etwas B'

Aus 'A hält kein B' schließen 'A hält kein B'

zu den Schlussfolgerungen der relevanten Syllogismen. Boethus schlug wesentliche Änderungen an Aristoteles 'Theorien vor: Er behauptete, dass alle kategorialen Syllogismen vollständig sind und dass die hypothetische Syllogistik vor der kategorialen steht (Galen Inst. Log. 7.2), obwohl uns nicht gesagt wird, woraus diese Priorität bestehen soll. The Stoic Posidonius (c. 135 c. 51 BCE) verteidigte die Möglichkeit, logische oder mathematische Abzug gegen die Epikureer und diskutiert einige Schlüsse er schlüssig durch die Kraft eines Axiom genannt, die offenbar Argumente des Typs enthalten‚Als 1 st ist an die 2 nd, so dass der 3 rd zum 4 th; das Verhältnis von 1 st an die 2 ndist doppelt; also das Verhältnis der 3 rd zum 4 - ten doppelt so hoch ist‘, die durch die Kraft des Axiom schlüssig angesehen wurde‚Dinge, die in der Regel aus dem gleichen Verhältnis sind, sind ebenfalls aus dem gleichen bestimmten Verhältnis‘(Galen Inst. Log. 18.8). Mindestens zwei Stoiker in dieser Zeit schrieben eine Arbeit über Aristoteles 'Kategorien. Aus seinen Schriften wissen wir, dass Cicero (1. Jh. V. Chr.) Sowohl über peripatetische als auch über stoische Logik Bescheid wusste; und Epiktet Diskurse (späte 1 st -Early 2 nd c. CE) beweisen, dass er mit einigen der Besteuerung Teile Chrysipp bekannt war Logik. Höchstwahrscheinlich gab es in dieser Zeit mindestens einige kreative Logiker, aber wir wissen nicht, wer sie waren oder was sie geschaffen haben.

Der nächste Logiker von Rang, wenn auch von niedrigerem Rang, von dem wir genügend Beweise haben, um zu sprechen, ist Galen (129–199 oder 216 CE), der als Arzt größeren Ruhm erlangte. Er studierte Logik sowohl bei peripatetischen als auch bei stoischen Lehrern und empfahl, Teile beider Doktrinen in Anspruch zu nehmen, solange sie für wissenschaftliche Demonstrationen verwendet werden konnten. Er verfasste Kommentare zu logischen Werken von Aristoteles, Theophrastos, Eudemus und Chrysippus sowie Abhandlungen zu verschiedenen logischen Problemen und ein Hauptwerk mit dem Titel Über Demonstration. All dies geht verloren, bis auf einige Informationen in späteren Texten, aber seine Einführung in die Logik ist fast vollständig auf uns gekommen. In On Demonstration entwickelte Galen unter anderem eine Theorie zusammengesetzter kategorialer Syllogismen mit vier Begriffen, die in vier Ziffern fallen, aber wir kennen die Details nicht. Er führte auch die sogenannten relationalen Syllogismen ein, von denen Beispiele sind: 'A ist gleich B, B ist gleich C; deshalb ist A gleich C 'und' Dio besitzt halb so viel wie Theo; Theo besitzt halb so viel wie Philo. Daher besitzt Dio ein Viertel dessen, was Philo besitzt “(Galen Inst. Log, 17–18). Allen relationalen Syllogismen, die Galen erwähnt, ist gemeinsam, dass sie weder in Aristoteles noch in der stoischen Syllogistik reduzierbar sind, aber es ist schwierig, weitere formale Merkmale zu finden, die sie vereinen. Im Allgemeinen verbindet Galen in seiner Einführung in die Logik die aristotelische Syllogistik mit einer stark peripatetischen Neuinterpretation der stoischen Aussagenlogik. Dies zeigt sich insbesondere in Galens nachdrücklicher Ablehnung, dass die Wahrung der Wahrheit für die Gültigkeit oder Syllogität eines Arguments ausreicht, und in seiner Beharrlichkeit, dass stattdessenWissenseinführung oder Wissenserweiterung ist eine notwendige Voraussetzung, damit etwas als Syllogismus gilt.[5]

Die zweite alte Einführung in die Logik, die überlebt hat, ist Apuleius '(2. Jh. N. Chr.) De Interpretatione. Auch dieser lateinische Text zeigt Kenntnisse der stoischen und peripatetischen Logik; Es enthält die erste vollständige Darstellung des Quadrats der Opposition, die die logischen Beziehungen zwischen kategorialen Sätzen anhand eines Diagramms veranschaulicht. Der Platonist Alcinous (2. Jh. N. Chr.) Ist in seinem Handbuch zum Platonismus, Kapitel 5, Zeuge der Entstehung einer spezifisch platonistischen Logik, die auf den platonischen Begriffen und Verfahren der Teilung, Definition, Analyse und Hypothese beruht, aber es gibt wenig das würde das Herz eines Logikers schneller schlagen lassen. Irgendwann zwischen den 3 rd und 6 thJahrhundert CE stoische Logik in Vergessenheit geraten, nur in den 20 wiederbelebt wird th Jahrhundert, im Zuge des (Wieder-) -Discovery der Aussagenlogik.

Der überlebende, oft voluminös, griechische Kommentare zu Aristoteles logische Werke von Alexander von Aphrodisias (fl. C. 200 CE), Porphyr (234-c. 305), Ammonios Hermeiou (5 th Jahrhundert), Philoponus (c. 500) und Simplicius (6 thJahrhundert) und die lateinischen von Boethius (ca. 480–524) sind hauptsächlich wichtig, um alternative Interpretationen von Aristoteles 'Logik zu bewahren und als Quellen für verlorene peripatetische und stoische Werke. Sie ermöglichen es uns auch, die allmähliche Entwicklung von einer peripatetischen Exegese von Aristoteles 'Organon zu einer vielseitigeren Logik zu verfolgen, die sich aus der Aufnahme und Einbeziehung von Elementen nicht nur aus stoischen und platonistischen Theorien, sondern auch aus Mathematik und Rhetorik ergibt. Insbesondere zwei der Kommentatoren verdienen besondere Erwähnung: Porphyr für das Schreiben der Isagoge oder Einführung (dh zu Aristoteles 'Kategorien), in dem er die fünf Begriffe Gattung, Art, Differenz, Eigentum und Unfall als Grundbegriffe erörtert muss wissen, um die Kategorien zu verstehen. Seit Jahrhunderten,Die Isagoge war der erste Logiktext, mit dem sich ein Schüler befassen würde, und Porphyrs fünf Prädikablen (die sich von Aristoteles 'vier unterscheiden) bildeten die Grundlage für die mittelalterliche Doktrin der Quinque Voces. Der zweite ist Boethius. Neben Kommentaren verfasste er eine Reihe logischer Abhandlungen, meist einfache Erklärungen der aristotelischen Logik, aber auch zwei sehr interessante: (i) Seine On Topical Differentiae zeugen von dem ausgearbeiteten System aktueller Argumente, das Logiker der späteren Antike entwickelt hatten aus Aristoteles 'Themen unter dem Einfluss der Bedürfnisse römischer Anwälte. (ii) His On Hypothetical Syllogisms präsentiert systematisch vollständig hypothetische und gemischte hypothetische Syllogismen, wie sie aus der frühen Peripatetik bekannt sind; es kann von Porphyr abgeleitet sein. Boethius 'Beharren darauf, dass die Negation von' Wenn es A ist,es ist B 'ist' Wenn es A ist, ist es nicht B 'legt ein vermeintliches Verständnis der Bedingung nahe, eine Ansicht, für die es auch einige Beweise in Ammonius gibt, die aber für frühere Logiker nicht bestätigt werden. Historisch gesehen ist Boethius am wichtigsten, weil er das gesamte Organon von Aristoteles ins Lateinische übersetzt hat und diese Texte (mit Ausnahme der Posterior Analytics) Philosophen des Mittelalters zur Verfügung gestellt hat.

Literaturverzeichnis

Griechische und lateinische Texte

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