Logik Der Glaubensrevision

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Logik der Glaubensrevision

Erstveröffentlichung am 21. April 2006; inhaltliche Überarbeitung Mo 23.10.2017

In der Logik der Glaubensrevision (Glaubensänderung) wird ein Glaubenszustand (oder eine Datenbank) durch eine Reihe von Sätzen dargestellt. Die Hauptoperationen der Veränderung sind diejenigen, die darin bestehen, einen glaubensrepräsentierenden Satz einzuführen oder zu entfernen. In beiden Fällen können Änderungen erforderlich sein, die sich auf andere Sätze auswirken (z. B. um die Konsistenz zu gewährleisten). Rationalitätspostulate für solche Operationen wurden vorgeschlagen, und Repräsentationssätze wurden erhalten, die bestimmte Arten von Operationen in Bezug auf diese Postulate charakterisieren.

In der vorherrschenden Theorie der Glaubensrevision, dem sogenannten AGM-Modell, wird angenommen, dass die Menge, die den Glaubenszustand darstellt, eine logisch geschlossene Menge von Sätzen ist (eine Glaubensmenge). Eines der am meisten diskutierten Themen in der Theorie der Glaubensrevision ist das Wiederherstellungspostulat, nach dem alle ursprünglichen Überzeugungen wiedererlangt werden, wenn einer von ihnen zuerst entfernt und dann wieder eingefügt wird. Das Erholungspostulat gilt für das Hauptversammlungsmodell, jedoch nicht für eng verwandte Modelle, die Glaubensgrundlagen verwenden. Ein weiteres viel diskutiertes Thema ist, wie wiederholte Änderungen angemessen dargestellt werden können. Es wurden mehrere alternative Modelle vorgeschlagen, die eine realistischere Darstellung der Glaubensänderung liefern sollen als das Modell der Hauptversammlung.

• 1. Einleitung

  • 1.1 Geschichte
  • 1.2 Die Darstellung von Überzeugungen und Veränderungen
  • 1.3 Formale Vorbereitungen

• 2. Kontraktion

  • 2.1 Teilkontraktion
  • 2.2 Verschanzungsbasierte Kontraktion
  • 2.3 Wiederherstellung und ihre Vermeidung
• 3. Überarbeitung
• 4. Mögliche Weltmodellierung

• 5. Glaubensgrundlagen

  • 5.1 Erhöhte Ausdruckskraft
  • 5.2 Kontraktion der Glaubensbasis
  • 5.3 Überarbeitung der Glaubensbasis
  • 5.4 Verbindungen zwischen Glaubensgrundlagen und Glaubenssätzen

• 6. Andere Operationen

  • 6.1 Update
  • 6.2 Konsolidierung
  • 6.3 Halbrevision
  • 6.4 Selektive Überarbeitung
  • 6.5 Abgeschirmte Kontraktion
  • 6.6 Austausch
  • 6.7 Zusammenführen
  • 6.8 Mehrfachkontraktion und Revision
  • 6.9 Indeterministische Glaubensänderung
  • 6.10 Operationen für eine erweiterte Sprache
  • 6.11 Veränderungen in der Stärke der Überzeugungen
  • 6.12 Änderungen von Normen und Präferenzen
• 7. Iterierte Änderung

• 8. Alternative Konten

  • 8.1 Lerntheorie
  • 8.2 Dynamische Logik der Glaubensänderung
  • 8.3 Deskriptorrevision
  • 8.4 Bayesianische Modelle
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Einleitung

1.1 Geschichte

Die Glaubensrevision (Glaubensänderung, Glaubensdynamik) ist ein junges Forschungsfeld, das seit Mitte der 1980er Jahre als eigenständiges Thema anerkannt ist. Das neue Thema entstand aus zwei konvergierenden Forschungstraditionen.

Eine davon entstand in der Informatik. Seit Beginn der Datenverarbeitung haben Programmierer Verfahren entwickelt, mit denen Datenbanken aktualisiert werden können. Die Entwicklung der künstlichen Intelligenz inspirierte Informatiker dazu, komplexere Modelle für die Datenbankaktualisierung zu konstruieren. Die von Jon Doyle (1979) entwickelten Wahrheitserhaltungssysteme waren für diese Entwicklung wichtig. Einer der bedeutendsten theoretischen Beiträge war ein Artikel von Ronald Fagin, Jeffrey Ullman und Moshe Vardi aus dem Jahr 1983, in dem sie den Begriff der Datenbankprioritäten einführten.

Die zweite dieser beiden Forschungstraditionen ist philosophisch. Im weitesten Sinne ist der Glaubenswandel seit der Antike Gegenstand philosophischer Reflexion. Im 20. Jahrhundert haben Philosophen die Mechanismen diskutiert, nach denen sich wissenschaftliche Theorien entwickeln, und sie haben Rationalitätskriterien für die Überarbeitung von Wahrscheinlichkeitszuweisungen vorgeschlagen. Ab den 1970er Jahren wurde eine gezieltere Diskussion über die Anforderungen eines rationalen Glaubenswandels geführt. Zwei Meilensteine können aufgezeigt werden. Das erste war eine Reihe von Studien, die Isaac Levi in den 1970er Jahren durchführte (Levi 1977, 1980). Levi warf viele der Probleme auf, die seitdem in diesem Forschungsbereich ein großes Problem darstellen. Er lieferte auch einen Großteil des formalen Grundrahmens. Auch die Arbeiten von William Harper (1977) aus derselben Zeit haben nachhaltig Einfluss genommen.

Der nächste Meilenstein war das Hauptversammlungsmodell, das nach seinen drei Urhebern Carlos Alchourrón, Peter Gärdenfors und David Makinson (1985) benannt wurde. Alchourrón und Makinson hatten zuvor bei Studien über Änderungen der Rechtsvorschriften zusammengearbeitet (Alchourrón und Makinson 1981, 1982). Gärdenfors 'frühes Werk befasste sich mit den Zusammenhängen zwischen Glaubensänderung und bedingten Sätzen (Gärdenfors 1978, 1981). Mit vereinten Kräften schrieben die drei ein Papier, das einen neuen, viel allgemeineren und vielseitigeren formalen Rahmen für Studien über Glaubensänderungen bot. (Zur Geschichte ihrer gemeinsamen Arbeit siehe Makinson 2003 und Gärdenfors 2011.) Seit der Veröffentlichung des Papiers im Journal of Symbolic Logic im Jahr 1985 wurden seine wichtigsten Konzepte und Konstruktionen ausführlich ausgearbeitet und weiterentwickelt. Das Modell der Hauptversammlung und die daraus gewachsenen Entwicklungen bilden immer noch den Kern der Glaubensrevisionstheorie.

1.2 Die Darstellung von Überzeugungen und Veränderungen

Im Hauptversammlungsmodell und den meisten anderen Modellen der Glaubensänderung werden Überzeugungen durch Sätze in einer bestimmten formalen Sprache dargestellt. Sätze erfassen nicht alle Aspekte des Glaubens, aber sie sind die beste allgemeine Darstellung, die derzeit verfügbar ist.

Die Überzeugungen eines Agenten werden durch eine Reihe solcher Glaubenssätze dargestellt. Es wird normalerweise angenommen, dass diese Menge unter logischen Konsequenzen geschlossen wird, dh jeder Satz, der logisch aus dieser Menge folgt, ist bereits in der Menge enthalten. Dies ist eindeutig eine unrealistische Idealisierung, da dies bedeutet, dass der Agent als „logisch allwissend“angesehen wird. Es ist jedoch eine nützliche Idealisierung, da es die logische Behandlung vereinfacht; in der Tat scheint es schwierig zu sein, eine interessante formale Behandlung ohne sie zu erhalten. In der Logik werden logisch geschlossene Mengen als „Theorien“bezeichnet. In der formalen Erkenntnistheorie werden sie auch als "Korpora", "Wissenssätze" oder (häufiger) "Glaubenssätze" bezeichnet.

Isaac Levi (1991) hat die Natur dieser Idealisierung klargestellt, indem er darauf hinwies, dass ein Glaubenssatz aus den Sätzen besteht, an die jemand glaubt, und nicht an die, an die er tatsächlich glaubt. Laut Levi sind wir doxastisch verpflichtet, an alle zu glauben Die logischen Konsequenzen unserer Überzeugungen, aber in der Regel wird unsere Leistung dieser Verpflichtung nicht gerecht. Der Glaubenssatz ist der Satz der epistemischen Verpflichtungen der Agentin und daher größer als der Satz ihres tatsächlich vertretenen Glaubens.

Im Rahmen der Hauptversammlung gibt es drei Arten von Glaubensänderungen. Bei der Kontraktion wird ein bestimmter Satz (p) entfernt, dh eine Glaubenssatz (K) wird durch eine andere Glaubenssatz (K \ div p) ersetzt, die eine Teilmenge von (K) ist, die nicht enthält (p). In der Erweiterung wird ein Satz (p) zu (K) hinzugefügt und nichts wird entfernt, dh (K) wird durch eine Menge (K + p) ersetzt, die die kleinste logisch geschlossene Menge ist, die enthält sowohl (K) als auch (p). In der Revision wird ein Satz (p) zu (K) hinzugefügt, und gleichzeitig werden andere Sätze entfernt, wenn dies erforderlich ist, um sicherzustellen, dass die resultierende Glaubenssatz (K * p) konsistent ist.

Es ist wichtig, den spezifischen Charakter dieser Modelle zu beachten. Sie assimilieren den Input. Dies bedeutet, dass das Objekt der Veränderung, der Glaubenssatz, einer Eingabe ausgesetzt ist und sich dadurch ändert. Eine explizite Darstellung der Zeit ist nicht enthalten. Stattdessen ist der charakteristische mathematische Bestandteil eine Funktion, die jedem Paar eines Glaubenssatzes und einer Eingabe einen neuen Glaubenssatz zuweist.

1.3 Formale Vorbereitungen

Die glaubensrepräsentierenden Sätze bilden eine Sprache. (Wie in der Logik üblich, wird die Sprache mit der Menge aller darin enthaltenen Sätze identifiziert.) Sätze, dh Elemente dieser Sprache, werden durch Kleinbuchstaben ((p, q \ ldots)) und Sätze von Sätzen dargestellt durch Großbuchstaben. Diese Sprache enthält die üblichen wahrheitsfunktionalen Verbindungen: Negation ((neg)), Konjunktion ((amp)), Disjunktion ((vee)), Implikation ((rightarrow)), und Äquivalenz ((leftrightarrow)). (smbot) bezeichnet einen willkürlichen Widerspruch ("Falsum") und (smtop) eine willkürliche Tautologie.

Um die Logik auszudrücken, wird ein Tarskian-Konsequenzoperator verwendet. Intuitiv gesehen ist für jede Menge (A) von Sätzen (Cn (A)) die Menge der logischen Konsequenzen von (A). Formal gesehen ist eine Konsequenzoperation für eine bestimmte Sprache eine Funktion (Cn) von Satzmengen zu Satzmengen. Es erfüllt die folgenden drei Bedingungen:

Einschluss:

(A \ subseteq \ Cn (A))

Monotonie:

Wenn (A \ subseteq B), dann (Cn (A) subseteq \ Cn (B))

Iteration:

(Cn (A) = \ Cn (Cn (A)))

(Cn) wird als überklassisch angenommen, dh wenn (p) durch klassische wahrheitsfunktionale Logik von (A) abgeleitet werden kann, dann (p \ in \ Cn (A)). (A) ist genau dann ein Glaubenssatz, wenn (A = \ Cn (A)). Im Folgenden bezeichnet (K) einen Glaubenssatz. (X \ vdash p) ist eine alternative Notation für (p \ in \ Cn (X)) und (X \ not \ vdash p) für (p \ not \ in \ Cn (X)). (Cn (varnothing)) ist die Menge der Tautologien.

Die Erweiterung von (K) um einen Satz (p), dh die Operation, die nur (p) hinzufügt und nichts entfernt, wird mit (K + p) bezeichnet und wie folgt definiert: (K + p = \ Cn (K \ cup {p })).

2. Kontraktion

2.1 Teilkontraktion

Das Ergebnis der Kontraktion von (K) durch (p) sollte eine Teilmenge von (K) sein, die nicht (p) impliziert, aus der jedoch keine Elemente von (K) unnötig entfernt wurden. Daher ist es von Interesse, die einschlussmaximalen Teilmengen von (K) zu berücksichtigen, die nicht (p) implizieren.

Für jede Menge (A) und jeden Satz (p) ist die Restmenge (A \ bot p) ("(A) Rest (p)") die Menge der einschlussmaximalen Teilmengen von (A), die nicht (p) implizieren. Mit anderen Worten, eine Menge (B) ist genau dann ein Element von (A \ bot p), wenn es sich um eine Teilmenge von (A) handelt, die nicht (p) impliziert, und zwar dort ist keine Menge (B '), die (p) nicht impliziert, so dass (B \ Teilmenge B' \ Teilmenge A). Die Elemente von (A \ bot p) werden "Reste" genannt.

Wenn der Vorgang der Kontraktion den Informationsverlust kompromisslos minimiert, ist (K \ div p) einer der verbleibenden. Es kann jedoch gezeigt werden, dass diese Konstruktion unplausible Eigenschaften aufweist. Ein vernünftigeres Rezept für die Kontraktion besteht darin, (K \ div p) den Schnittpunkt einiger der verbleibenden Reste zu lassen. Dies ist eine teilweise Kontraktion, die Hauptinnovation in der klassischen Zeitung von 1985 von Carlos Alchourrón, Peter Gärdenfors und David Makinson. Eine Operation der partiellen Meet-Kontraktion verwendet eine Auswahlfunktion, die die "besten" Elemente von (K \ bot p) auswählt. Genauer gesagt ist eine Auswahlfunktion für (K) eine Funktion (gamma), so dass wenn (K \ bot p) nicht leer ist, dann (gamma (K \ bot p)) ist eine nicht leere Teilmenge von (K \ bot p). Im Grenzfall, wenn (K \ bot p) leer ist, wird (gamma (K \ bot p)) als gleich ({K }) definiert.

Das Ergebnis der partiellen Meet-Kontraktion ist gleich dem Schnittpunkt der Menge ausgewählter Elemente von (K \ bot p), dh (K \ div p = \ bigcap \ gamma (K \ bot p)).

Der Grenzfall, in dem für alle Sätze (p) (gamma (K \ bot p)) genau ein Element hat, wird als Maxichoice-Kontraktion bezeichnet. Der andere Grenzfall, in dem (gamma (K \ bot p) = K \ bot p) immer dann ist, wenn (K \ bot p) nicht leer ist, wird als vollständige Kontraktion bezeichnet. Beide Grenzfälle sind technisch nützlich, haben aber auch höchst unrealistische Eigenschaften.

Die teilweise Kontraktion eines Glaubenssatzes erfüllt sechs Postulate, die als grundlegende Gärdenfors-Postulate (oder grundlegende AGM-Postulate) bezeichnet werden. Wenn ein Glaubenssatz (K) durch einen Satz (p) kontrahiert wird, sollte das Ergebnis zunächst logisch geschlossen werden.

Abschluss:

(K \ div p = \ Cn (K \ div p))

Die Kontraktion sollte erfolgreich sein, dh (K \ div p) sollte nicht (p) implizieren (oder nicht (p) enthalten, was dasselbe ist, wenn der Abschluss erfüllt ist). Es wäre jedoch zu viel, (p \ nicht \ in \ Cn (K \ div p)) für alle Sätze (p) zu verlangen, da es nicht gelten kann, wenn (p) eine Tautologie ist. Das Erfolgspostulat muss davon abhängig gemacht werden, dass (p) nicht logisch wahr ist.

Erfolg:

Wenn (p \ nicht \ in \ Cn (varnothing)), dann (p \ nicht \ in \ Cn (K \ div p)).

Das Erfolgspostulat wurde in Zweifel gezogen, da es möglicherweise andere Sätze als Tautologien gibt, die ein epistemischer Erreger möglicherweise ablehnen kann, sich zurückzuziehen. (Informationen zu Vorgängen, die nicht erfolgreich sind, finden Sie in Abschnitt 6.5.)

Es wird angenommen, dass die vertraglich vereinbarte Menge eine Teilmenge der ursprünglichen ist:

Einschluss:

(K \ div p \ subseteq K)

Inklusion wird normalerweise als konstitutive Eigenschaft der Kontraktion angesehen. Es wurde jedoch auch mit dem Argument in Frage gestellt, dass wenn die epistemische Agentin nicht mehr an (p) glaubt, dies normalerweise daran liegt, dass sie einige neue Informationen erhält, die (p) widersprechen. Diese Informationen sollten wohl in (K \ div p) enthalten sein.

Wenn der zu vertragliche Satz nicht im ursprünglichen Glaubenssatz enthalten ist, bedeutet die Kontraktion durch diesen Satz überhaupt keine Änderung. Solche Kontraktionen sind Leerlaufoperationen und sollten den ursprünglichen Satz unverändert lassen.

Leere:

Wenn (p \ nicht \ in \ Cn (K)), dann (K \ div p = K).

Logisch äquivalente Sätze sollten bei der Kontraktion gleich behandelt werden:

Extensionalität:

Wenn (p \ leftrightarrow q \ in \ Cn (varnothing)), dann (K \ div p = K \ div q).

Die Extensionalität garantiert, dass die Logik der Kontraktion in dem Sinne dehnbar ist, dass logisch äquivalente Sätze frei gegeneinander ausgetauscht werden können.

Die Kontraktion des Glaubens sollte nicht nur erfolgreich sein, sondern auch in dem Sinne minimal sein, dass so wenige frühere Überzeugungen wie möglich verloren gehen. Der epistemische Erreger sollte seine Überzeugungen nur dann aufgeben, wenn er dazu gezwungen wird, und dann so wenige wie möglich aufgeben. Dies wird durch folgendes Postulat sichergestellt:

Wiederherstellung:

(K \ subseteq (K \ div p) + p)

Laut Recovery bleibt nach dem Entfernen von (p) so viel erhalten, dass alles durch erneutes Einschließen (durch Erweiterung) von (p) wiederhergestellt wird.

Eines der zentralen Ergebnisse des AGM-Modells ist ein Repräsentationssatz für die partielle Meet-Kontraktion. Nach diesem Theorem ist eine Operation (div) genau dann eine partielle Begegnungskontraktion für eine Glaubenssatz (K), wenn sie die sechs oben genannten Postulate erfüllt, nämlich Abschluss, Erfolg, Inklusion, Leere, Extensionalität und Wiederherstellung.

Eine Auswahlfunktion für einen Glaubenssatz (K) sollte für alle Sätze (p) die Elemente von (K \ bot p) auswählen, die "am besten" oder am wertvollsten sind, beibehalten zu werden. Die Definition einer Auswahlfunktion ist jedoch sehr allgemein und ermöglicht ziemlich ungeordnete Auswahlmuster. Eine geordnete Auswahlfunktion sollte immer die besten Elemente des Restsatzes gemäß einer gut erzogenen Präferenzbeziehung auswählen. Eine Auswahlfunktion (gamma) für eine Glaubensmenge (K) ist genau dann relational, wenn es eine binäre Beziehung (mathbf {R}) gibt, so dass für alle Sätze (p), wenn (K \ bot p) ist nicht leer, dann (gamma (K \ bot p) = {B \ in K \ bot p \ mid C \ mathbf {R} B) für alle (C. \ in K \ bot p }). Wenn (mathbf {R}) transitiv ist (dh erfüllt: Wenn (A \ mathbf {R} B) und (B \ mathbf {R} C), dann (A \ mathbf {R} C)),dann sind (gamma) und die partielle Kontraktion, die sie hervorruft, transitiv relational.

Um die transitiv relationale partielle Meet-Kontraktion zu charakterisieren, werden Postulate benötigt, die sich auf die Kontraktion durch Konjunktionen beziehen.

Um eine Konjunktion (p \ amp q) aufzugeben, muss die Agentin entweder ihren Glauben an (p) oder ihren Glauben an (q) (oder beides) aufgeben. Angenommen, das Zusammenziehen durch (p \ amp q) führt zum Verlust des Glaubens an (p), dh, dass (p \ nicht \ in K \ div (p \ amp q)). Es ist zu erwarten, dass in diesem Fall die Kontraktion um (p \ amp q) zum Verlust aller Überzeugungen führen sollte, die verloren gegangen wären, um sich durch (p) zusammenzuziehen. Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, besteht darin, dass alles, was in (K \ div (p \ amp q)) enthalten ist, auch in (K \ div p) beibehalten wird:

Konjunktiver Einschluss:

Wenn (p \ nicht \ in K \ div (p \ amp q)), dann (K \ div (p \ amp q) subseteq K \ div p).

Ein anderes ziemlich vernünftiges Prinzip für die Kontraktion durch Konjunktionen ist, dass alles, was sowohl der Kontraktion durch (p) als auch der Kontraktion durch (q) standhalten kann, auch der Kontraktion durch (p \ amp q) standhalten kann. Mit anderen Worten, was auch immer ein Element von (K \ div p) und (K \ div q) ist, ist auch ein Element von (K \ div (p \ amp q)).

Konjunktivüberlappung:

((K \ div p) cap (K \ div q) subseteq K \ div (p \ amp q))

Konjunktive Überlappung und konjunktive Inklusion werden allgemein als Gärdenfors 'ergänzende Postulate für die Kontraktion des Glaubens bezeichnet. Eine Operation (div) für (K) ist genau dann eine transitiv relationale Teilkontraktion, wenn sie die sechs Grundpostulate erfüllt und zusätzlich sowohl die konjunktive Überlappung als auch die konjunktive Inklusion.

2.2 Verschanzungsbasierte Kontraktion

Wenn der Epistemiker gezwungen ist, frühere Überzeugungen aufzugeben, sollte er Überzeugungen aufgeben, die so wenig Erklärungskraft und allgemeinen Informationswert wie möglich haben. Als Beispiel hierfür sollte bei der Wahl zwischen dem Aufgeben des Glaubens an Naturgesetze und dem Glauben an einzelne Tatsachenaussagen der Glaube an die Naturgesetze, die eine viel höhere Erklärungskraft haben, im Allgemeinen beibehalten werden. Dies war die Grundidee hinter Peter Gärdenfors Vorschlag, die Kontraktion von Überzeugungen durch eine binäre Beziehung, eine epistemische Verankerung, zu regieren. (Gärdenfors 1988, Gärdenfors und Makinson 1988) Von zwei Elementen (p) und (q) des Glaubenssatzes zu sagen, dass "(q) fester verwurzelt ist als (p)" bedeutet, dass (q) ist bei Nachforschungen oder Überlegungen nützlicher oder hat einen höheren „epistemischen Wert“als (p). In Glaubenskontraktion,Die Überzeugungen mit der niedrigsten Verankerung sollten diejenigen sein, die am leichtesten aufgegeben werden.

Die folgenden Symbole werden für die epistemische Verankerung verwendet:

(p \ le q: p) ist höchstens so fest verwurzelt wie (q).

(p \ lt q: p) ist weniger verwurzelt als (q). (((p \ le q) amp \ neg (q \ le p))))

(p \ equiv q: p) und (q) sind gleichermaßen verankert. (((p \ le q) amp (q \ le p)))

Gärdenfors hat die folgenden fünf Postulate zur epistemischen Verankerung vorgeschlagen. Sie werden oft als Standardpostulate für die Verankerung bezeichnet:

Transitivität:

Wenn (p \ le q) und (q \ le r), dann (p \ le r).

Dominanz:

Wenn (p \ vdash q), dann (p \ le q).

Konjunktiv:

Entweder (p \ le (p \ amp q)) oder (q \ le (p \ amp q)).

Minimalität:

Wenn die Glaubensmenge (K) konsistent ist, dann (p \ nicht \ in K) genau dann, wenn (p \ le q) für alle (q).

Maximalität:

Wenn (q \ le p) für alle (q), dann (p \ in \ Cn (varnothing)).

Aus den ersten drei dieser Postulate folgt, dass eine Verschanzungsbeziehung die Konnektivität (Vollständigkeit) erfüllt, dh für alle (p) und (q) gilt, die entweder (p \ le q) oder (q) le p).

Eine Verschanzungsbeziehung (le) führt zu einer Operation (div) einer verschanzungsbasierten Kontraktion gemäß der folgenden Definition:

(q \ in K \ div p) genau dann, wenn (q \ in K) und entweder (p \ lt (p \ vee q)) oder (p \ in \ Cn (varnothing)).

Es wurde gezeigt, dass die verschanzungsbasierte Kontraktion genau mit der transitiv relationalen partiellen Kontraktion übereinstimmt. Für eine gründliche Diskussion und weitere Ergebnisse zu Verankerungsbeziehungen siehe Rott 2001.

2.3 Wiederherstellung und ihre Vermeidung

Genesung ist das am meisten diskutierte Postulat der Glaubensänderung. Es ist leicht, Beispiele zu finden, die die Wiederherstellung zu validieren scheinen. Eine Person, die zuerst verliert und dann ihren Glauben wiedererlangt, dass sie einen Dollar in der Tasche hat, scheint zu ihrem vorherigen Glaubenszustand zurückzukehren. Es können jedoch auch andere Beispiele vorgestellt werden, bei denen die Wiederherstellung unplausible Ergebnisse liefert. Das Folgende sind zwei der Beispiele, die angeboten wurden, um zu zeigen, dass die Wiederherstellung im Allgemeinen nicht gilt:

1. Ich habe in einem Buch über Cleopatra gelesen, dass sie sowohl einen Sohn als auch eine Tochter hatte. Meine Überzeugungen enthalten daher sowohl (p) als auch (q), wobei (p) bedeutet, dass Cleopatra einen Sohn hatte und (q), dass sie eine Tochter hatte. Ich erfahre dann von einem sachkundigen Freund, dass das Buch tatsächlich ein historischer Roman ist. Danach ziehe ich (p \ vee q) aus meinen Überzeugungen zusammen, dh ich glaube nicht mehr, dass Cleopatra ein Kind hatte. Bald darauf erfahre ich jedoch aus einer zuverlässigen Quelle, dass Cleopatra ein Kind hatte. Es erscheint mir völlig vernünftig, dann (p \ vee q) zu meinen Überzeugungen hinzuzufügen, ohne auch (p) oder (q) wieder einzuführen. Dies widerspricht der Wiederherstellung.

2. Ich habe zuvor die beiden Überzeugungen "George ist ein Verbrecher" ((p)) und "George ist ein Massenmörder" ((q)) unterhalten. Als ich Informationen erhielt, die mich veranlassten, den ersten dieser Glaubenssätze aufzugeben ((p)), musste auch der zweite ((q)) gehen (da (p) sonst aus () folgen würde. q)).

   Ich erhielt dann neue Informationen, die mich dazu brachten, den Glauben zu akzeptieren, dass „George ein Ladendieb ist“((r)). Der resultierende neue Glaubenssatz ist die Erweiterung von (K \ div p) um (r), ((K \ div p) + r.) Da (p) aus (r) folgt, ((K \ div p) + p) ist eine Teilmenge von ((K \ div p) + r). Durch Wiederherstellung enthält ((K \ div p) + p) (q), woraus folgt, dass ((K \ div p) + r) (q) enthält.

   Da ich George zuvor für einen Massenmörder gehalten habe, folgt aus Recovery, dass ich ihn danach nicht mehr als Ladendieb betrachten kann, ohne ihn als Massenmörder zu betrachten.

Aufgrund der Problematik dieses Postulats sollte es interessant sein, intuitiv weniger kontroverse Postulate zu finden, die unnötige Kontraktionsverluste verhindern. Das Folgende ist ein Versuch, dies zu tun:

Kernbeibehaltung:

Wenn (q \ in K) und (q \ nicht \ in K \ div p), dann gibt es eine Glaubenssatz (K '), so dass (K' \ subseteq K) und das (p \ nicht \ in K ') aber (p \ in K' + q).

Die Kernbeibehaltung erfordert von einem ausgeschlossenen Satz (q), dass er in irgendeiner Weise dazu beiträgt, dass (K) (p) impliziert. Es vermittelt den Eindruck, schwächer und plausibler zu sein als die Wiederherstellung. Es hat sich jedoch gezeigt, dass ein Operator (div) für einen Glaubenssatz (K) die Kernaufbewahrung erfüllt, dann die Wiederherstellung.

Es wurden Versuche unternommen, Kontraktionsoperationen auf Glaubenssätzen zu konstruieren, die die Wiederherstellung nicht erfüllen. Die plausibelste dieser Konstruktionen ist wohl die Operation des schweren Rückzugs, die von Hans Rott und Maurice Pagnucco (2000) gründlich untersucht wurde. Es kann aus einer Operation epistemischer Verankerung konstruiert werden, indem die Definition wie folgt geändert wird:

(q \ in K \ div p) genau dann, wenn (q \ in K) und entweder (p \ lt q) oder (p \ in \ Cn (varnothing)).

Schwerer Rückzug hat interessante Eigenschaften, aber auch die folgenden Eigenschaften:

Expulsivität:

Wenn (p \ nicht \ in \ Cn (varnothing)) und (q \ nicht \ in \ Cn (varnothing)), dann entweder (p \ nicht \ in K \ div q) oder (q \ not \ in K \ div p).

Dies ist eine höchst unplausible Eigenschaft der Glaubenskontraktion, da sie nicht zulässt, dass nicht verwandte Überzeugungen durch die Kontraktion des anderen ungestört bleiben. Stellen Sie sich eine Gelehrte vor, die glaubt, dass ihr Auto vor dem Haus geparkt ist. Sie glaubt auch, dass Shakespeare den Sturm geschrieben hat. Es sollte ihr möglich sein, den ersten dieser Überzeugungen aufzugeben und den zweiten beizubehalten. Sie sollte auch in der Lage sein, die zweite aufzugeben, ohne die erste aufzugeben. Expulsivität erlaubt dies nicht. Die Konstruktion einer plausiblen Kontraktionsoperation für Glaubenssätze, die die Genesung nicht befriedigt, ist immer noch ein offenes Thema.

3. Überarbeitung

Die zwei Hauptaufgaben einer Revisionsoperation (*) sind (1) Hinzufügen des neuen Glaubens (p) zum Glaubenssatz (K) und (2) Sicherstellen, dass der resultierende Glaubenssatz (K * p) ist konsistent (es sei denn, (p) ist inkonsistent). Die erste Aufgabe kann durch Erweiterung um (p) ausgeführt werden. Die zweite kann durch vorherige Kontraktion durch ihre Negation (neg p) erreicht werden. Wenn ein Glaubenssatz nicht (neg p) impliziert, kann (p) ohne Konsistenzverlust hinzugefügt werden. Diese Zusammensetzung der Unteroperationen führt zu der folgenden Definition der Revision (Gärdenfors 1981, Levi 1977):

Levi-Identität:

(K * p = (K \ div \ neg p) + p).

Wenn (div) eine partielle Meet-Kontraktion ist, ist die auf diese Weise definierte Operation (*) eine partielle Meet-Revision. Dies ist die Standardkonstruktion der Revision im Hauptversammlungsmodell.

Die teilweise Überarbeitung des Meet wurde axiomatisch charakterisiert. Eine Operation (*) ist genau dann eine Teilrevision, wenn sie die folgenden sechs Postulate erfüllt:

Abschluss:

(K * p = \ Cn (K * p))

Erfolg:

(p \ in K * p)

Einschluss:

(K * p \ subseteq K + p)

Leere:

Wenn (neg p \ not \ in) K, dann (K * p = K + p).

Konsistenz:

(K * p) ist konsistent, wenn (p) konsistent ist.

Extensionalität:

Wenn ((p \ leftrightarrow q) in \ Cn (varnothing)), dann (K * p = K * q).

Diese sechs Postulate werden allgemein als grundlegende Gärdenfors-Postulate zur Überarbeitung bezeichnet. Darüber hinaus gehören zwei ergänzende Postulate zum Standardrepertoire:

Übererweiterung:

(K * (p \ amp q) subseteq (K * p) + q)

Subexpansion:

Wenn (neg q \ not \ in \ Cn (K * p)), dann ((K * p) + q \ subseteq K * (p \ amp q)).

Diese Postulate sind eng mit den zusätzlichen Postulaten für die Kontraktion verwandt. Sei (*) die partielle Meet-Revision, die aus der partiellen Meet-Kontraktion (div) über die Levi-Identität definiert ist. Dann erfüllt (*) genau dann die Übererweiterung, wenn (div) die konjunktive Überlappung erfüllt. Darüber hinaus erfüllt (*) die Subexpansion genau dann, wenn (div) die konjunktive Inklusion erfüllt.

4. Mögliche Weltmodellierung

Alternative Modelle von Glaubenszuständen können aus Mengen möglicher Welten konstruiert werden (Grove 1988). Im logischen Sprachgebrauch ist unter einer möglichen Welt eine maximal konsistente Teilmenge der Sprache zu verstehen. Mit einem Satz ist eine Reihe möglicher Welten gemeint. Es gibt eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Aussagen und Glaubenssätzen. Jeder Glaubenssatz kann durch den Satz (Satz möglicher Welten) dargestellt werden, der aus den möglichen Welten besteht, die den fraglichen Glaubenssatz enthalten.

Für jede Menge (A) von Sätzen bezeichne ([A]) die Menge möglicher Welten, die (A) als Teilmenge enthalten, und in ähnlicher Weise für jeden Satz (p) let ([p]) sei die Menge möglicher Welten, die (p) als Element enthalten. Wenn (A) inkonsistent ist, dann ([A] = \ varnothing). Andernfalls ist ([A]) eine nicht leere Menge möglicher Welten. (Es wird angenommen, dass (bigcap \ varnothing) der gesamten Sprache entspricht.) Wenn (K) eine Glaubensmenge ist, dann ist (bigcap [K] = K).

Der Aussagenbericht liefert ein intuitiv klares Bild einiger Aspekte des Glaubenswandels. Es ist zweckmäßig, eine geometrische Oberfläche zu verwenden, um die Menge möglicher Welten darzustellen. In Diagramm 1 repräsentiert jeder Punkt auf der Oberfläche des Rechtecks eine mögliche Welt. Der mit ([[K]) gekennzeichnete Kreis repräsentiert jene möglichen Welten, in denen alle Sätze in (K) wahr sind, dh die Menge ([K]) möglicher Welten. Der mit ([p]) gekennzeichnete Bereich repräsentiert die möglichen Welten, in denen der Satz (p) wahr ist.

Diagramm 1. Revision von (K) durch (p).

In Diagramm 1 haben ([K]) und ([p]) einen nicht leeren Schnittpunkt, was bedeutet, dass (K) mit (p) kompatibel ist. Die Überarbeitung von (K) durch (p) verstößt daher nicht gegen den Glauben. Sein Ergebnis wird erhalten, indem die Elemente von ([K]) aufgegeben werden, die mit (p) nicht kompatibel sind. Mit anderen Worten, das Ergebnis der Überarbeitung von ([K]) um ([p]) sollte gleich ([K] cap [p]) sein.

Wenn sich ([K]) und ([p]) nicht überschneiden, muss das Ergebnis der Überarbeitung außerhalb von ([K]) gesucht werden, es sollte jedoch eine Teilmenge von ([] sein p]). Allgemein:

Das Ergebnis der Überarbeitung von ([K]) durch ([p]) ist eine Teilmenge von ([p])

1. nicht leer, wenn ([p]) nicht leer ist
2. gleich ([K] cap [p]), wenn ([K] cap [p]) nicht leer ist

Es kann gezeigt werden, dass diese einfache Regel für die Revision genau der Teilrevision entspricht.

Der überarbeitete Glaubenszustand sollte sich nicht mehr vom ursprünglichen Glaubenszustand ([K]) unterscheiden als das, was durch ([p]) motiviert ist. Dies kann erreicht werden, indem verlangt wird, dass das Ergebnis der Überarbeitung von ([K]) durch ([p]) aus den Elementen von ([p]) besteht, die so nah wie möglich an ([K] liegen).). Zu diesem Zweck kann man sich vorstellen, dass ([K]) von einem System konzentrischer Sphären umgeben ist (genau wie in David Lewis 'Bericht über kontrafaktische Bedingungen). Jede Kugel repräsentiert einen Grad an Nähe oder Ähnlichkeit mit ([K]).

In diesem Modell sollte das Ergebnis der Überarbeitung von ([K]) durch ([p]) der Schnittpunkt von ([p]) mit der engsten Kugel um ([K]) sein, die a hat nicht leerer Schnittpunkt mit ([p]) wie in Abbildung 2. Diese Konstruktion wurde von Adam Grove (1988) erfunden, der auch bewies, dass eine solche kugelbasierte Revision genau einer transitiv relationalen partiellen Meet-Revision entspricht. Daraus folgt, dass es auch genau einer verschanzungsbasierten Revision entspricht.

Diagramm 2. Kugelbasierte Überarbeitung von (K) durch (p).

Mögliche Weltmodelle können auch zur Kontraktion verwendet werden. Bei der Kontraktion wird eine Einschränkung, welche Welten „möglich“sind (kompatibel mit den Überzeugungen des Agenten), aufgehoben. Somit wird der Satz von Möglichkeiten vergrößert, so dass die Kontraktion von ([K]) um ([p]) zu einer Obermenge von ([K]) führt. Darüber hinaus sollten die neuen Möglichkeiten Welten sein, in denen (p) nicht gilt, dh sie sollten Welten sein, in denen (neg p) gilt. Im Grenzfall, wenn ([K]) und () neg p]) einen nicht leeren Schnittpunkt haben, ist keine Vergrößerung von ([K]) erforderlich, um (neg p) zu machen. möglich, und der ursprüngliche Glaubenszustand wird daher unverändert bleiben. Zusammenfassend sollte die Kontraktion gemäß der folgenden Regel durchgeführt werden:

Das Ergebnis der Kontraktion von ([K]) durch ([p]) ist die Vereinigung von ([K]) und einer Teilmenge von () neg p])

1. nicht leer, wenn () neg p]) nicht leer ist
2. gleich ([K] cap) neg p]), wenn ([K] cap) neg p]) nicht leer ist

Eine gegen den Glauben verstoßende Kontraktion ist in Abbildung 3 dargestellt. Es kann gezeigt werden, dass die nach dieser Regel durchgeführte Kontraktion genau der partiellen Kontraktion entspricht. Darüber hinaus entspricht der Sonderfall, wenn das Ganze von () neg p]) zu ([K]) addiert wird, genau der vollständigen Kontraktion. Der andere Extremfall, in dem nur ein Element von () neg p]) (ein „Punkt“auf der Oberfläche) zu ([K]) addiert wird, entspricht genau der Maxichoice-Kontraktion. Somit wird bei der Maxichoice-Kontraktion durch (p) nur eine mögliche Art hinzugefügt, in der (p) falsch sein kann ((neg p) kann wahr sein).

Diagramm 3. Kontraktion von (K) um (p).

Die Kugelsysteme von Grove können auch zur Kontraktion verwendet werden. Bei der kugelbasierten Kontraktion um (p) werden die Elemente von () neg p]) hinzugefügt, die zur nächsten Kugel um ([K]) gehören, die einen nicht leeren Schnittpunkt mit (hat)) neg p]). Die Vorgehensweise ist in Abbildung 4 dargestellt. Die kugelbasierte Kontraktion entspricht genau der transitiv relationalen partiellen Kontraktion.

Diagramm 4. Kugelbasierte Kontraktion von (K) um (p).

5. Glaubensgrundlagen

5.1 Erhöhte Ausdruckskraft

In den oben diskutierten Ansätzen werden alle Überzeugungen im Glaubenssatz in dem Sinne gleich behandelt, dass sie alle als eigenständige Überzeugungen ernst genommen werden. Aufgrund der logischen Schließung enthält der Glaubenssatz jedoch viele Elemente, die es nicht wert sind, ernst genommen zu werden. Nehmen wir daher an, dass der Glaubenssatz den Satz (p) „Shakespeare hat Hamlet geschrieben“enthält. Aufgrund der logischen Schließung enthält es dann auch den Satz (p \ vee q): "Entweder hat Shakespeare Hamlet geschrieben oder Charles Dickens hat Hamlet geschrieben". Der letztere Satz ist eine „bloße logische Konsequenz“, die kein eigenes Ansehen haben sollte.

Es wurden Glaubensgrundlagen eingeführt, um dieses Merkmal der Struktur menschlicher Überzeugungen zu erfassen. Eine Glaubensbasis ist eine Reihe von Sätzen, die nicht (außer als Grenzfall) unter logischen Konsequenzen geschlossen werden. Seine Elemente stellen Überzeugungen dar, die unabhängig von anderen Überzeugungen oder Überzeugungen gehalten werden. Diejenigen Elemente des Glaubenssatzes, die nicht in der Glaubensbasis enthalten sind, werden „lediglich abgeleitet“, dh sie haben keine unabhängige Stellung.

Änderungen werden auf der Glaubensbasis durchgeführt. Die zugrunde liegende Intuition ist, dass die lediglich abgeleiteten Überzeugungen es nicht wert sind, um ihrer selbst willen beibehalten zu werden. Wenn einer von ihnen die Unterstützung verliert, die er in Grundüberzeugungen hatte, wird er automatisch verworfen.

Für jede Glaubensbasis (A) gibt es eine Glaubenssatz (Cn (A)), die die nach (A) gehaltenen Überzeugungen darstellt. Andererseits kann ein und dieselbe Glaubensgruppe durch verschiedene Glaubensgrundlagen dargestellt werden. In diesem Sinne haben Glaubensgrundlagen mehr Ausdruckskraft als Glaubenssätze. Beispielsweise haben die beiden Glaubensbasen ({p, q }) und ({p, p \ leftrightarrow q }) denselben logischen Abschluss. Sie sind daher statisch gleichwertig im Sinne der Darstellung derselben Überzeugungen. Andererseits zeigt das folgende Beispiel, dass sie im Sinne eines gleichen Verhaltens bei Änderungsoperationen nicht dynamisch äquivalent sind. Sie können verwendet werden, um verschiedene Arten darzustellen, die gleichen Überzeugungen zu vertreten.

(P) bedeutet, dass die Liberale Partei den Vorschlag zur Subventionierung der Stahlindustrie unterstützen wird, und (q) bedeutet, dass Frau Smith, eine liberale Abgeordnete, für diesen Vorschlag stimmen wird.

Abe hat die Grundüberzeugungen (p) und (q), während Bob die Grundüberzeugungen (p) und (p \ leftrightarrow q.) Hat in Bezug auf (p) und (q) sind die gleichen.

Sowohl Abe als auch Bob empfangen und akzeptieren die Information, dass (p) falsch ist, und beide überarbeiten ihre Glaubenszustände, um den neuen Glauben aufzunehmen, dass (neg p). Danach hat Abe die Grundüberzeugungen (neg p) und (q), während Bob die Grundüberzeugungen (neg p) und (p \ leftrightarrow q) hat. Jetzt sind ihre Glaubenssätze nicht mehr dieselben. Abe glaubt, dass (q), während Bob glaubt, dass (neg q).

(In Glaubenssatzmodellen werden Fälle wie diese behandelt, indem angenommen wird, dass Abes und Bobs Glaubenszustände zwar durch denselben Glaubenssatz dargestellt werden, dieser Glaubenssatz jedoch in beiden Fällen mit unterschiedlichen Auswahlmechanismen verbunden ist. Abe verfügt über einen Auswahlmechanismus, der gibt (q) Vorrang vor (p \ leftrightarrow q), während Bobs Auswahlmechanismus die entgegengesetzten Prioritäten hat.)

Es gibt nur einen inkonsistenten Glaubenssatz (logisch geschlossener inkonsistenter Satz), nämlich die gesamte Sprache. Andererseits gibt es in jeder nicht trivialen Logik viele verschiedene inkonsistente Glaubensgrundlagen. Glaubensgrundlagen ermöglichen es daher, zwischen verschiedenen inkonsistenten Glaubenszuständen zu unterscheiden.

In der Glaubensrevisionstheorie wurde größtenteils angenommen, dass Glaubenssätze einer kohärentistischen Erkenntnistheorie entsprechen, während Glaubensgrundlagen den Fundamentalismus darstellen. Die logischen Beziehungen zwischen den Elementen einer logisch geschlossenen Menge repräsentieren jedoch die epistemische Kohärenz nicht angemessen. Obwohl Kohärentisten typischerweise behaupten, dass alle Überzeugungen zur Rechtfertigung anderer Überzeugungen beitragen, meinen sie dies kaum für lediglich abgeleitete Überzeugungen wie „entweder Paris oder Rom ist die Hauptstadt Frankreichs“, die man nur glaubt, weil man glaubt, Paris sei die Hauptstadt von Frankreich. Daher sollte die Unterscheidung zwischen Operationen auf Glaubensbasis und Operationen auf Glaubenssätzen nicht mit der zwischen Fundamentalismus und Kohärenz gleichgesetzt werden.

5.2 Kontraktion der Glaubensbasis

Partielle Meet-Kontraktion, wie in Abschnitt 2.1 definiert, gilt gleichermaßen für Glaubensgrundlagen. Beachten Sie, dass (A \ bot p) die Menge der maximalen Teilmengen von (A) ist, die nicht (p) implizieren. es reicht nicht aus, dass sie nicht (p) enthalten. Daher

) {p, p \ amp q, p \ vee q, p \ leftrightarrow q } bot p = { {p \ vee q }, {p \ leftrightarrow q } }.)

Die meisten Grundpostulate für die teilweise Kontraktion von Glaubenssätzen gelten auch für Glaubensgrundlagen. Die Wiederherstellung gilt jedoch nicht für eine teilweise Kontraktion der Glaubensgrundlagen. Dies geht aus dem folgenden Beispiel hervor (das von Isaac Levi (2004) übernommen wurde, der es für andere Zwecke verwendet hat:

Lassen Sie den Glaubenssatz (K) sowohl den Glauben enthalten, dass die Münze geworfen wurde ((c)) als auch den Glauben, dass sie Köpfe ((h)) landete. Der epistemische Agent möchte überlegen, ob die Münze unter der Annahme, dass sie geworfen worden wäre, Köpfe gelandet hätte. Um dies zu tun, erscheint es vernünftig, (c) aus dem Glaubenssatz zu entfernen und dann wieder einzufügen, dh die Reihe von Operationen (K \ div c + c) auszuführen.

(1) Wenn eine partielle Meet-Kontraktion direkt an dem Glaubenssatz durchgeführt wird, folgt aus der Wiederherstellung, dass (h \ in K \ div c + c), dh (h) mit (c) zurückkommt. Dies widerspricht vernünftigen Intuitionen.

(2) Wenn stattdessen eine partielle Meet-Kontraktion auf einer Glaubensbasis für (K) durchgeführt wird, kann eine Wiederherstellung vermieden werden. Die Glaubensbasis sei ({p_1, \ ldots, p_n, c, h }), wobei die Hintergrundglauben (p_1, \ ldots, p_n) nicht mit (c) und (h) zusammenhängen), während (h) logisch (c) impliziert. Dann (K = \ Cn ({p_1, \ ldots, p_n, c, h })). Da (h) (c) impliziert, muss es gehen, wenn (c) entfernt wird, so dass (K \ div c = \ Cn ({p_1, \ ldots, p_n })). Wenn (c) wieder eingefügt wird, ist das Ergebnis ((K \ div c) + c = \ Cn ({p_1, \ ldots, p_n, c })), das nicht (h) enthält., wie gewünscht.

Der folgende Repräsentationssatz wurde für eine partielle Kontraktion auf Glaubensbasis erhalten (Hansson 1999). Eine Operation (div) ist genau dann eine partielle Meet-Kontraktion für eine Menge (A), wenn sie die folgenden vier Postulate erfüllt:

Erfolg:

Wenn (p \ nicht \ in \ Cn (varnothing)), dann (p \ nicht \ in \ Cn (A \ div p)).

Aufnahme:

(A \ div p \ subseteq A)

Relevanz:

Wenn (q \ in A) und (q \ nicht \ in A \ div p), dann gibt es eine Menge (A '), so dass (A \ div p \ subseteq A' \ subseteq A) und das (p \ nicht \ in \ Cn (A ')) aber (p \ in \ Cn (A' \ cup {q })).

Einheitlichkeit:

Wenn es für alle Teilmengen (A ') von (A) gilt, dass (p \ in \ Cn (A')) genau dann, wenn (q \ in \ Cn (A ')), dann (A \ div p = A \ div q).

Das Relevanzpostulat hat fast die gleiche Funktion wie die Wiederherstellung für Glaubenssätze, nämlich unnötige Verluste von Überzeugungen zu verhindern.

Ein alternativer Ansatz zur Kontraktion von Glaubensgrundlagen wurde unter dem Namen Kernelkontraktion vorgeschlagen. Für jeden Satz (p) ist ein (p) - Kernel eine minimale (p) - implizite Menge, dh eine Menge, die (p) impliziert, aber keine richtige Teilmenge hat, die (p \ impliziert)). Eine Kontraktionsoperation (div) kann auf dem einfachen Prinzip basieren, dass kein (p) - Kernel in (A \ div p) enthalten sein sollte. Dies kann mit einer Inzisionsfunktion erreicht werden, einer Funktion, die mindestens ein Element aus jedem (p) - Kernel zum Entfernen auswählt. Eine Operation, bei der genau die Elemente entfernt werden, die durch eine Inzisionsfunktion zum Entfernen ausgewählt wurden, wird als Kernelkontraktion bezeichnet. Es stellt sich heraus, dass alle Teilkontraktionen auf Glaubensbasis Kernelkontraktionen sind, aber einige Kernelkontraktionen sind keine Teilkontraktionen. Mit anderen Worten,Die Kernelkontraktion ist eine Verallgemeinerung der partiellen Meet-Kontraktion.

5.3 Überarbeitung der Glaubensbasis

Die Operation der Erweiterung für Glaubenssätze (K + p = \ Cn (K \ cup {p })) wurde konstruiert, um sicherzustellen, dass das Ergebnis logisch geschlossen ist. Dies ist für Glaubensgrundlagen nicht wünschenswert, und daher muss sich die Erweiterung auf Glaubensgrundlagen von der Erweiterung auf Glaubensgrundlagen unterscheiden. Für jede Glaubensbasis (A) und jeden Satz (p,) (A + 'p) ist die (nicht schließende) Erweiterung von (A) um (p) die Menge (A \ cup {p }).

Genau wie die entsprechenden Operationen für Glaubenssätze können Revisionsoperationen für Glaubensbasen aus zwei Unteroperationen konstruiert werden: Erweiterung um (p) und Kontraktion um (neg p). Gemäß der Levi-Identität ((A * p = (A \ div \ neg p) + 'p)) sollte die kontraktive Suboperation zuerst stattfinden. Alternativ können die zwei Unteroperationen in umgekehrter Reihenfolge stattfinden, (A * p = (A + 'p) div \ neg p). Diese letztere Möglichkeit besteht für Glaubenssätze nicht. Wenn (K \ cup {p }) inkonsistent ist, dann ist (K + p) immer gleich, nämlich identisch mit der gesamten Sprache, unabhängig von der Identität von (K) und von (p), so dass alle Unterscheidungen verloren gehen. Für Glaubensgrundlagen ist diese Einschränkung nicht vorhanden, und daher gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, um eine Revision durch Kontraktion und Expansion zu erhalten:

Interne Revision:

(A * p = (A \ div \ neg p) + 'p)

Externe Revision:

(A * p = (A + 'p) div \ neg p)

Intuitiv ist eine externe Revision durch (p) eine Revision mit einem inkonsistenten Zwischenzustand, in dem sowohl (p) als auch (neg p) angenommen wird, während eine interne Revision einen nicht festgeschriebenen Zwischenzustand aufweist, in dem keiner (p) noch (neg p) wird angenommen. Externe und interne Revisionen unterscheiden sich in ihren logischen Eigenschaften, und keine von ihnen kann unter der anderen zusammengefasst werden.

5.4 Verbindungen zwischen Glaubensgrundlagen und Glaubenssätzen

Eine Kontraktion auf einer Glaubensbasis führt zu einer Kontraktion auf der entsprechenden Glaubenssatz. Sei (A) eine Glaubensbasis und (K = \ Cn (A)) ihre entsprechende Glaubensmenge. Außerdem sei (-) eine Kontraktion von (A). Es entsteht eine Operation (div) der basengenerierten Kontraktion auf (K), so dass für alle Sätze (p: K \ div p = \ Cn (Ap)) gilt. Die durch die Basis erzeugte Kontraktion wurde axiomatisch charakterisiert. Eine Operation (div) auf einem konsistenten Glaubenssatz (K) wird durch eine Operation der partiellen Meet-Kontraktion für eine endliche Basis für (K) genau dann erzeugt, wenn sie die folgenden acht Postulate erfüllt:

Abschluss:

(K \ div p = \ Cn (K \ div p))

Erfolg:

Wenn (p \ nicht \ in \ Cn (varnothing)), dann (p \ nicht \ in \ Cn (K \ div p)).

Einschluss:

(K \ div p \ subseteq K)

Leere:

Wenn (p \ nicht \ in \ Cn (K)), dann (K \ div p = K).

Extensionalität:

Wenn (p \ leftrightarrow q \ in \ Cn (varnothing)), dann (K \ div p = K \ div q).

Endlichkeit:

Es gibt eine endliche Menge (X), so dass für jeden Satz (p) (K \ div p = \ Cn (X ')) für einige (X' \ subseteq X) gilt.

Symmetrie:

Wenn es für alle (r) gilt, dass (K \ div r \ vdash p) genau dann, wenn (K \ div r \ vdash q), dann (K \ div p = K \ div q).

Konservativität:

Wenn (K \ div q) keine Teilmenge von (K \ div p) ist, gibt es einige (r), so dass (K \ div p \ subseteq K \ div r \ nicht) vdash p) und (K \ div r \ cup K \ div q \ vdash p).

Revisionsoperationen an einem Glaubenssatz können im gleichen Sinne wie Kontraktionsoperationen basengeneriert werden.

6. Andere Operationen

Das Rahmenwerk der Hauptversammlung wurde in vielerlei Hinsicht erweitert. Einige dieser Erweiterungen haben zusätzlich zu den drei Standardtypen in der Hauptversammlung neue Arten von Vorgängen eingeführt, nämlich Kontraktion, Erweiterung und Überarbeitung.

6.1 Update

Es gibt zwei Arten von Gründen, warum der epistemische Erreger möglicherweise neue Informationen zum Glaubenssatz hinzufügen möchte. Zum einen hat sie neue Informationen über die Welt erhalten, zum anderen hat sich die Welt verändert. Es ist üblich, den Begriff "Revision" für den ersten dieser Typen zu reservieren und den Begriff "Aktualisierung" für den zweiten zu verwenden. Die Logik der Aktualisierung unterscheidet sich von der der Überarbeitung. Dies ist aus folgendem Beispiel ersichtlich:

Zunächst weiß der Agent, dass entweder ein Buch auf dem Tisch ((p)) oder eine Zeitschrift auf dem Tisch ((q)) liegt, aber nicht beide.

Fall 1: Dem Agenten wird mitgeteilt, dass ein Buch auf dem Tisch liegt. Sie kommt zu dem Schluss, dass keine Zeitschrift auf dem Tisch liegt. Dies ist eine Überarbeitung.

Fall 2: Dem Agenten wird mitgeteilt, dass nach der ersten Information ein Buch auf den Tisch gelegt wurde. In diesem Fall sollte sie nicht zu dem Schluss kommen, dass keine Zeitschrift auf dem Tisch liegt. Dies wird aktualisiert.

Ein nützlicher Ansatz zur Aktualisierung besteht darin, den Sätzen Zeitindizes zuzuweisen, wie von Katsuno und Mendelzon (1992) vorgeschlagen. Dann besteht der Glaubenssatz nicht aus Sätzen (p), sondern aus Paaren (langle p, t_1 \ rangle) eines Satzes (p) und einem Zeitpunkt (t_1), was bedeutet, dass (p) gilt bei (t_1). Im Buch- und Zeitschriftenbeispiel sei (t_1) der Zeitpunkt, auf den sich die erste Aussage bezieht, und (t_2) der Zeitpunkt, zu dem die zweite Information in Fall 2 gegeben wurde. Der ursprüngliche Glaubenssatz enthielt das Paar (langle \ neg (p \ leftrightarrow q), t_1 \ rangle). ((neg (p \ leftrightarrow q)) ist die ausschließliche Disjunktion von (p) und (q).) Die Revision durch (p) kann durch die Einbeziehung von (langle p, t_1 \ rangle) und Aktualisierung durch (p) durch Einbeziehung von (langle p, t_2 \ rangle) in den Glaubenssatz. Es folgt ganz natürlich, dass (langle \ neg q, t_1 \ rangle) durch den überarbeiteten Glaubenssatz impliziert wird, nicht jedoch durch den aktualisierten Glaubenssatz.

6.2 Konsolidierung

Wenn eine Glaubensbasis inkonsistent ist, kann sie konsistent gemacht werden, indem genügend entbehrlichere Elemente entfernt werden. Dieser Vorgang wird als Konsolidierung bezeichnet. Die Konsolidierung einer Glaubensbasis (A) wird als (A!) Bezeichnet. Ein plausibler Weg, eine Konsolidierung durchzuführen, besteht darin, sich durch Falsum (Widerspruch) zusammenzuziehen, dh (A! = A \ div \ smbot).

Leider hat dieses Rezept zur Konsolidierung inkonsistenter Glaubensgrundlagen kein plausibles Gegenstück für inkonsistente Glaubenssätze. Der Grund dafür ist, dass es nur einen inkonsistenten Glaubenssatz gibt, da die Glaubensrevision innerhalb der klassischen Logik funktioniert. Sobald ein inkonsistenter Glaubenssatz erhalten wurde, sind alle Unterscheidungen verloren gegangen, und die Konsolidierung kann sie nicht wiederherstellen.

6.3 Halbrevision

Mit nicht priorisierter Glaubensänderung ist ein Prozess gemeint, bei dem neue Informationen empfangen und gegen alte Informationen abgewogen werden, wobei den neuen Informationen aufgrund ihrer Neuheit keine besondere Priorität zugewiesen wird. Eine (modifizierte) Revisionsoperation, die auf diese Weise funktioniert, wird als Halbrevision bezeichnet. Eine Halbrevision von (K) durch einen Satz (p) kann als (K? P) bezeichnet werden. Ein Satz (p), der früheren Überzeugungen widerspricht, wird nur akzeptiert, wenn er einen höheren erkenntnistheoretischen Wert hat als die ursprünglichen Überzeugungen, die ihm widersprechen. In diesem Fall werden genügend der vorherigen Sätze gelöscht, um die resultierende Menge konsistent zu machen. Andernfalls wird die Eingabe selbst abgelehnt.

Eine Möglichkeit, eine Halbrevision auf einer Glaubensbasis (A) zu konstruieren, besteht darin, sie aus zwei Unteroperationen bestehen zu lassen:

1. Erweitern Sie (A) um (p).
2. Stellen Sie die Konsistenz wieder her, indem Sie entweder (p) oder einige ursprüngliche Überzeugungen aufgeben.

Dies läuft darauf hinaus, eine Halbrevision in Bezug auf Expansion und Konsolidierung zu definieren:

[A? P = (A + 'p)!)

Diese Identität kann nicht für Glaubenssätze verwendet werden. Da alle inkonsistenten Glaubenssätze identisch sind, ist eine Operation? so dass (K? p = (K + p)!) die extrem unplausible Eigenschaft hat, dass wenn (neg p_1 \ in K_1) und (neg p_2 \ in K_2), dann (K_1 p_1 = K_2 p_2). Es wurden jedoch andere Möglichkeiten zur Durchführung einer Semirevision für Glaubenssätze vorgeschlagen, insbesondere der folgende zweistufige Prozess:

1. Entscheiden Sie, ob die Eingabe (p) akzeptiert oder abgelehnt werden soll.
2. Wenn (p) akzeptiert wurde, überarbeiten Sie mit (p).

Eine einfache Möglichkeit, dieses Rezept anzuwenden, ist die gescreente Revision von David Makinson (1997), in der es eine Reihe (X) potenzieller Grundüberzeugungen gibt, die gegen eine Revision immun sind. Die Glaubenssatz (K) sollte durch den Eingabesatz (p) überarbeitet werden, wenn (p) mit der Menge (X \ cap K) der tatsächlichen Grundüberzeugungen übereinstimmt, andernfalls nicht. Der zweite Schritt der gescreenten Revision ist eine Revision von (K) durch (p), jedoch mit der Einschränkung, dass kein Element von (X \ cap K) entfernt werden darf.

Eine andere Variante desselben Rezepts wird als glaubwürdig begrenzte Revision bezeichnet. Es wird davon ausgegangen, dass einige Eingaben akzeptiert werden, andere nicht. Diejenigen, die akzeptiert werden, bilden die Menge C glaubwürdiger Sätze. Wenn (p \ in) C, dann (K? P = K * p). Ansonsten ist (K? P = K). Diese Konstruktion kann weiter spezifiziert werden, indem eine Revisionsoperation ausgewählt und der Menge C Eigenschaften zugewiesen werden. Eine Vielzahl solcher Konstruktionen wurde untersucht (Hansson et al. 2001).

6.4 Selektive Überarbeitung

Die selektive Revision ist eine Verallgemeinerung der Halbrevision. Bei der Halbrevision werden die Eingabeinformationen entweder abgelehnt oder vollständig akzeptiert. Bei der selektiven Überarbeitung kann nur ein Teil der Eingabeinformationen akzeptiert werden. Eine Operation (circ) der selektiven Revision kann aus einer Standardrevisionsoperation (*) und einer Transformationsfunktion (f) von und zu Sätzen konstruiert werden:

[K \ circ p = K * f (p))

In den beabsichtigten Fällen enthält (f (p)) keine Informationen, die nicht in (p) enthalten sind. Dies ist gewährleistet, wenn (f (p)) eine logische Folge von (p) ist. Durch Hinzufügen weiterer Bedingungen zu (f) können verschiedene zusätzliche Eigenschaften für den Betrieb der selektiven Revision erhalten werden.

6.5 Abgeschirmte Kontraktion

Das Erfolgspostulat der Kontraktion erfordert, dass alle nicht-tautologischen Überzeugungen zurückgezogen werden können. Dies ist keine vollständig realistische Anforderung, da tatsächliche Agenten bekanntermaßen nicht logische Überzeugungen haben, dass nichts sie dazu bringen kann, aufzugeben. Bei einer abgeschirmten Kontraktion können einige nicht-tautologische Überzeugungen nicht aufgegeben werden. Sie sind vor Kontraktion geschützt. Eine abgeschirmte Kontraktion kann auf einer gewöhnlichen Kontraktion (div) und einer Menge (R) von einziehbaren Sätzen basieren. Wenn (p \ in R), dann (Kp = K \ div p). Andernfalls ist (Kp = K).

Diese Konstruktion kann weiter spezifiziert werden, indem verschiedene Anforderungen an die Struktur von (R) hinzugefügt werden. Es hat sich gezeigt, dass enge Verbindungen zwischen abgeschirmter Kontraktion und Halbrevision bestehen. (Fermé und Hansson 2001)

6.6 Austausch

Mit Ersetzen ist eine Operation gemeint, die einen Satz in einem Glaubenssatz durch einen anderen ersetzt. Es ist eine Operation mit zwei Variablen, so dass ([p / q]) (p) durch (q) ersetzt. Daher ist (K [p / q]) eine Glaubensmenge, die (q), aber nicht (p) enthält.

Das Ersetzen zielt sowohl auf das Entfernen eines Satzes (p) als auch auf das Hinzufügen eines Satzes (q) ab. Dies entspricht zwei Erfolgsbedingungen, (p \ nicht \ in K [p / q]) und (q \ in K [p / q]). Diese beiden Bedingungen können jedoch nicht ausnahmslos erfüllt sein. Erstens muss, genau wie bei der Kontraktion des Glaubens, eine Ausnahme von der ersten gemacht werden, wenn (p) eine Tautologie ist und daher nicht entfernt werden kann. Zweitens sind die beiden Bedingungen in Fällen nicht kompatibel, in denen (q) logisch (p) impliziert. Dies kann behoben werden, indem die im Erfolgspostulat für die Kontraktion vorgesehene Ausnahme von Fällen mit (p \ in \ Cn (varnothing)) auf Fälle mit (p \ in \ Cn ({q) erweitert wird })). Dies führt zu den folgenden zwei Erfolgsbedingungen:

Vertragserfolg:

Wenn (p \ nicht \ in \ Cn ({q })), dann (p \ nicht \ in \ Cn (K [p / q])).

Revisionserfolg:

(q \ in K [p / q])

Ersatz kann als eine Art „Sheffer-Strich“für die Glaubensrevision verwendet werden, dh als eine Operation, anhand derer die anderen Operationen definiert werden können. Die Kontraktion durch (p) kann als (K [p / \ smtop]) und die Revision durch (p) als (K) smbot / p]) definiert werden, wobei (smbot) ist Falsum und (smtop) ist Tautologie. Vorausgesetzt, dass die nicht ausführbare Unteroperation zum Entfernen der Tautologie (smtop) als leere Unteroperation behandelt wird, kann die Erweiterung um (p) als (K) smtop / p]) definiert werden.

6.7 Zusammenführen

Wenn die Glaubenssatz (K) eine endliche Basis hat, kann sie durch einen einzelnen Satz dargestellt werden, nämlich die Konjunktion (k) aller Elemente ihrer Basis. Dies bedeutet, dass die Revision (K * p) eines durch einen Satz gesetzten Glaubens durch eine Revision (k * p) eines Satzes durch einen anderen Satz ersetzt werden kann. Wenn diese Revision nicht priorisiert ist, können wir (k) und (p) gleich behandeln, so dass (k * p = p * k). Eine solche Operation kann als die Verschmelzung zweier Glaubensrepräsentationen beschrieben werden. Es kann einen Prozess der Konfliktlösung durch selektive Kombination von Informationen aus zwei Agenten oder Quellen darstellen. Diese Operation kann auch auf die Zusammenführung mehrerer Elemente verallgemeinert werden, die Bemühungen darstellen, Informationen aus mehreren Agenten oder Quellen zu kombinieren (Konieczny und Pino Pérez 2011).

6.8 Mehrfachkontraktion und Revision

Mit Mehrfachkontraktion ist die gleichzeitige Kontraktion von mehr als einem Satz gemeint. In ähnlicher Weise ist Mehrfachrevision eine Revision um mehr als einen Satz.

Es gibt zwei Haupttypen der Mehrfachkontraktion. Bei der Paketkontraktion werden alle Elemente des Eingabesatzes zurückgezogen: Sie müssen in ein Paket aufgenommen werden. Bei der Auswahlkontraktion reicht es aus, mindestens eine davon zu entfernen. Daher sind die Erfolgsbedingungen für die beiden Arten der Mehrfachkontraktion wie folgt:

Paketerfolg:

Wenn (B \ cap \ Cn (varnothing) = \ varnothing), dann (B \ cap \ Cn (A \ div B) = \ varnothing)

Auswahlerfolg:

Wenn (B) keine Teilmenge von (Cn (varnothing)) ist, dann ist (B) auch keine Teilmenge von (Cn (A \ div B)).

Partielle Meet-Kontraktion und Kernel-Kontraktion können beide ziemlich einfach auf Paket- und Auswahlvarianten der Mehrfachkontraktion verallgemeinert werden.

Die Konstruktion der Paketrevision führt zu einer interessanten Erweiterung des Negationsbegriffs. Der Grund, warum die Kontraktion durch (neg p) als Teiloperation der Revision durch (p) ausgeführt wird, besteht darin, dass (p) genau dann konsistent zu einer Menge hinzugefügt werden kann, wenn dies nicht (bedeutet neg p). Es stellt sich heraus, dass (in einer Logik, die die Kompaktheit erfüllt) eine Menge (B) genau dann konsistent zu einer anderen Menge hinzugefügt werden kann, wenn diese andere Menge kein Element der Menge (neg B) enthält, d. H. wie folgt definiert:

Negation einer Menge:

(p \ in \ neg B) genau dann, wenn (p) entweder eine Negation eines Elements von (B \ cup { smtop }) oder eine Disjunktion von Negationen ist von Elementen von (B \ cup { smtop }).

Daher kann eine Mehrfachrevision aus einer (Paket-) Mehrfachkontraktion und -expansion über eine verallgemeinerte Levi-Identität definiert werden:

[K * B = (K \ div \ neg B) + B)

Die meisten der wichtigsten AGM-bezogenen Kontraktionsoperationen wurden auf multiple Kontraktion verallgemeinert: multiple partielle Meet-Kontraktion (Hansson 1989, Fuhrmann und Hansson 1994, Li 1998), multiple Kernel-Kontraktion (Fermé et al. 2003), mehrfach spezifizierte Meet-Kontraktion (Hansson) 2010) und eine Mehrfachversion des Grove-Kugelsystems (Reis und Fermé 2011, Fermé und Reis 2011).

6.9 Indeterministische Glaubensänderung

Die meisten Modelle der Glaubensänderung sind deterministisch in dem Sinne, dass bei einer gegebenen Glaubensmenge und einer Eingabe die resultierende Glaubensmenge gut bestimmt ist. Es gibt keinen Zufall bei der Auswahl des neuen Glaubenssatzes. Dies ist natürlich keine realistische Funktion, aber es macht die Modelle viel einfacher und einfacher zu handhaben, nicht zuletzt aus rechnerischer Sicht. Bei einer unbestimmten Glaubensänderung hat die Unterwerfung eines bestimmten Glaubenssatzes unter einen bestimmten Input mehr als ein zulässiges Ergebnis.

Indeterministische Operationen können als Mengen deterministischer Operationen konstruiert werden. Daher ist bei drei Revisionsoperationen (*, * ') und (*' ') die Menge ({*), (*'), (* '') (}) kann als unbestimmte Operation verwendet werden. Die Erfolgsbedingung ist einfach:

[K {*, * ', *' '} p \ in {K * p, K *' p, K * '' p })

Lindström und Rabinowicz (1991) konstruierten eine unbestimmte Kontraktion, indem sie die Annahme aufgaben, dass die epistemische Verankerung die Verbundenheit befriedigt. Dies führte zu Groves Kugelsystemen mit „Fallbacks“, die nicht linear geordnet sind, aber dennoch alle den ursprünglichen Glaubenssatz enthalten.

6.10 Operationen für eine erweiterte Sprache

Die Glaubensrevisionstheorie wurde fast ausschließlich im Rahmen der klassischen sententialen (wahrheitsfunktionalen) Logik entwickelt. Die Aufnahme nicht wahrheitsfunktionaler Ausdrücke in die Sprache hat interessante und tatsächlich drastische Auswirkungen. Dies gilt insbesondere für bedingte Sätze.

Viele Arten von bedingten Sätzen, wie z. B. kontrafaktische Bedingungen, können mit wahrheitsfunktionaler Implikation (materielle Implikation) nicht angemessen ausgedrückt werden. Es wurden mehrere formale Interpretationen von bedingten Sätzen vorgeschlagen. Einer von ihnen, nämlich der Ramsey-Test, eignet sich besonders gut für den formalen Rahmen der Glaubensrevision. Es basiert auf einem Vorschlag von FP Ramsey, der von Robert Stalnaker und anderen weiterentwickelt wurde (Stalnaker 1968). Die Grundidee ist, dass "wenn (p) dann (q)" genau dann als geglaubt angesehen wird, wenn (q) nach Überarbeitung des gegenwärtigen Glaubenszustands durch (p) geglaubt wird. (P \ Rightarrow q) bezeichne "wenn (p) dann (q)" oder genauer: "wenn (p) der Fall wäre, dann wäre (q) der Fall”. Um bedingte Aussagen mit Aussagen über tatsächliche Tatsachen gleichzusetzen,Sie müssen in den Glaubenssatz aufgenommen werden, also:

Der Ramsey-Test:

((p \ Rightarrow q) in K) genau dann, wenn (q \ in K * p).

Die Aufnahme in den Glaubenssatz von Bedingungen, die den Ramsey-Test erfüllen, erfordert jedoch radikale Änderungen in der Logik der Glaubensänderung. Als ein Beispiel hierfür kann die Kontraktion dann das Einschlusspostulat ((K \ div p \ subseteq K)) nicht erfüllen. Der Grund dafür ist, dass die Kontraktion in der Regel bedingte Sätze unterstützt, die vom ursprünglichen Glaubenszustand nicht unterstützt wurden. Dies ist aus folgendem Beispiel ersichtlich:

Wenn ich meine Überzeugung aufgebe, dass John geistig zurückgeblieben ist, bekomme ich Unterstützung für den bedingten Satz „Wenn John 30 Jahre in London gelebt hat, dann versteht John die englische Sprache.“

Ein berühmter Unmöglichkeitssatz von Peter Gärdenfors (1986, 1987) zeigt, dass der Ramsey-Test nicht mit einer Reihe plausibler Postulate für eine Überarbeitung vereinbar ist. Es wurden mehrere Lösungen für den Unmöglichkeitssatz vorgeschlagen. Eine Möglichkeit besteht darin, den Ramsey-Test als Kriterium für die Gültigkeit von bedingten Sätzen abzulehnen (Rott 1986). Eine andere von Isaac Levi vorgeschlagene Methode besteht darin, den Test als Kriterium für die Gültigkeit zu akzeptieren, aber zu leugnen, dass solche bedingten Sätze in den Glaubenssatz aufgenommen werden sollten, wenn sie gültig sind (Levi 1988. Arló-Costa 1995. Arló-Costa und Levi 1996).. Es wurden mehrere andere Vorschläge unterbreitet. Man kann jedoch mit Recht sagen, dass noch keine Operationen zur Änderung der Überzeugung im Stil einer Hauptversammlung konstruiert wurden, die allgemein als in der Lage anerkannt werden, mit bedingten oder modalen Sätzen angemessen umzugehen.

6.11 Veränderungen in der Stärke der Überzeugungen

Eine Änderungsoperation kann die Position eines Satzes in der Reihenfolge erhöhen oder verringern, ohne die Glaubensmenge zu beeinflussen (aber zu beeinflussen, wie der Glaubenszustand auf neue Eingaben reagiert). Eine Verbesserungsoperation, wie sie von Konieczny und Pérez (2008) vorgeschlagen wurde, erhöht die Plausibilität eines nicht geglaubten Satzes (p), indem einige der (p) - Welten in der Präferenzordnung von Welten an eine höhere Position gebracht werden. Selbst wenn eine solche Änderung nicht dazu führt, dass (p) zu einem Glauben wird, kann ihre Akzeptanz in späteren, zusätzlichen Operationen erleichtert werden.

Eine Änderungsoperation kann so konstruiert werden, dass sie die Position des Eingabesatzes in einer Reihenfolge so anpasst, dass sie der eines Referenzsatzes entspricht. Dies bedeutet, dass in der Eingabe zwei Sätze angegeben werden müssen: der zu verschiebende (Eingabe-) Satz und der (Referenz-) Satz, der seine neue Position angibt. Hans Rott (2007, Other Internet Resources) nannte solche Operatoren zweidimensional. John Cantwell (1997) klassifizierte sie je nach Richtung des Wandels als Anheben oder Absenken. (Siehe auch Fermé und Rott 2004 und Rott 2009.)

6.12 Änderungen von Normen und Präferenzen

Es gibt enge Parallelen zwischen Änderungen der Normen und Änderungen der Überzeugungen. Um ein Normsystem mit widersprüchlichen Normen auf eine bestimmte Situation anzuwenden, müssen einige der Normen möglicherweise ignoriert werden. Das Problem, wie man unter widersprüchlichen Normen Prioritäten setzt, ähnelt der Auswahl von Sätzen zur Beseitigung der Glaubenskontraktion (Hansson und Makinson 1997). Das Modell der Hauptversammlung war in der Tat teilweise das Ergebnis von Versuchen, Änderungen von Normen und nicht von Überzeugungen zu formalisieren (Alchourrón und Makinson 1981). Trotzdem haben Autoren, die das AGM-Modell auf Normen anwenden, festgestellt, dass es ziemlich umfangreicher Modifikationen bedarf, um es für diesen Zweck geeignet zu machen. Daher haben Governatori und Rotolo (2010) in ihrem Modell der Gesetzesänderungen eine explizite Darstellung der Zeit eingeführt, um Phänomene wie Rückwirkung zu berücksichtigen.

Ein Modell für Änderungen der Präferenzen kann erhalten werden, indem die Standardsprache der Hauptversammlung durch Sätze der Form (p \ ge q) ("(p) ist mindestens so gut wie (q)") und deren ersetzt wird wahrheitsfunktionale Kombinationen. Die Annahme einer neuen Präferenz kann dann in Form einer Überarbeitung durch einen solchen Präferenzsatz erfolgen. Eine partielle Meet-Kontraktion kann verwendet werden, aber einige Modifikationen des AGM-Modells scheinen für Anwendungen auf Präferenzen erforderlich zu sein (Hansson 1995, Lang und van der Torre 2008, Grüne-Yanoff und Hansson 2009).

7. Iterierte Änderung

Die vorhergehenden Abschnitte haben sich nur mit Änderungen ein und derselben Glaubensgruppe oder Glaubensbasis befasst. Dies ist eindeutig eine schwerwiegende Einschränkung. Ein realistisches Modell der Glaubensänderung sollte wiederholte (iterierte) Änderungen ermöglichen, wie z. B. (K \ div p \ div q * r * s \ div t \ ldots) Mit anderen Worten, es sind Operationen erforderlich, die sich zusammenziehen oder überarbeiten können Glaubenssatz (Glaubensbasis) durch einen beliebigen Satz. Solche Operationen werden im Gegensatz zu lokalen Operationen, die nur für einen einzelnen angegebenen Satz definiert sind, als global bezeichnet.

Ein naheliegender Weg, um eine globale Operation der partiellen Meet-Kontraktion zu erhalten, wäre die Verwendung derselben Auswahlfunktion für alle zu kontrahierenden Sätze. Mit der Standardmethode zum Erhalten einer Teilkontraktion von einer Auswahlfunktion ist dies jedoch nicht möglich, da Auswahlfunktionen die leere Menge behandeln. Die Art und Weise, wie Auswahlfunktionen definiert wurden, ist, wenn (A \ bot p = \ varnothing), dann (gamma (A \ bot p) = {A }). Wenn (gamma) eine Auswahlfunktion für (A) und (A \ ne B) ist, dann ist (gamma) keine Auswahlfunktion für (B.). Für let (A \ bot p = B \ bot p = \ varnothing). Damit (gamma) eine Funktion ist, muss (gamma (A \ bot p) = \ gamma (B \ bot p)) sein. Damit (gamma) eine Auswahlfunktion für (A) ist, muss (gamma (A \ bot p) = {A }),und damit es eine Auswahlfunktion für (B) ist, muss es der Fall sein, dass (gamma (B \ bot p) = {B }). Da (A \ ne B), ist dies unmöglich.

Dies kann gelöst werden, wenn wir die Definition der partiellen Meet-Kontraktion wie folgt umschreiben:

Alternative Definition der partiellen Meet-Kontraktion:

((1 ')) (gamma (K \ bot p) subseteq K \ bot p), und wenn (K \ bot p \ ne \ varnothing), dann (gamma (K) bot p) ne \ varnothing).

((2 ')) (K \ div p = \ bigcap \ gamma (K \ bot p)), es sei denn (gamma (K \ bot p) = \ varnothing), in welchem Fall (K \ div p = K).

Bei Anwendung auf einen einzelnen Glaubenssatz (K) entspricht diese Definition der ursprünglichen Definition. Insbesondere liefert es das gleiche Ergebnis wie die ursprüngliche Definition, selbst im Grenzfall, wenn (p) eine Tautologie ist, aber es vermeidet die Verwendung der Auswahlfunktion in diesem Grenzfall. Mit dieser leicht angepassten Definition kann ein und dieselbe Auswahlfunktion für alle Glaubenssätze verwendet werden, und folglich können wir iterierte Änderungen mit nur einer Auswahlfunktion im AGM-Stil erstellen. Da eine teilweise Meet-Revision aus einer partiellen Meet-Kontraktion über die Levi-Identität definiert werden kann, bedeutet dies, dass wir globale Operationen sowohl für die Kontraktion als auch für die Revision haben. Diese Konstruktion ist so allgemein, dass sie der Kontraktion oder Revision keine neuen Eigenschaften auferlegt, dh keine Eigenschaften zusätzlich zu den üblichen Postulaten der Hauptversammlung (Hansson 2012).

Der größte Teil der Diskussion über iterierte Änderungen basierte jedoch auf der Annahme, dass solche zusätzlichen Eigenschaften plausibel und tatsächlich wünschenswert sind. Die sogenannten Darwiche-Pearl-Postulate zur Überarbeitung spielten bei diesen Diskussionen eine zentrale Rolle (Darwiche und Pearl 1997):

Wenn (q \ vdash p), dann ((K * p) * q = K * q). (DP1)

Wenn (q \ vdash \ neg p), dann ((K * p) * q = K * q). (DP2)

Wenn (K * q \ vdash p), dann ((K * p) * q \ vdash p). (DP3)

Wenn (K * q) ⊬ (neg p), dann ((K * p) * q) ⊬ (neg p) (DP4)

Die Darwiche-Pearl-Postulate drücken eine Intuition über die epistemische Ordnung möglicher Welten aus, nämlich dass, wenn wir durch einen Satz (p) revidieren, die Ordnung zwischen (p) - Welten unverändert bleiben sollte, ebenso wie die Ordnung unter (neg p) - Welten. Die Änderung erfolgt in Form einer Verschiebung der relativen Positionen dieser beiden Teile der ursprünglichen Ordnung der Welten. Eine große Anzahl von Vorschlägen für solche Verschiebungen wurde vorgelegt, aber die Meinungen über die Angemessenheit dieser Vorschläge sind sehr unterschiedlich.

Abhaya Nayak (1994) hat ein Modell für iterierte Glaubensänderungen vorgeschlagen, bei dem sowohl die Glaubenszustände als auch die Eingaben binäre Beziehungen sind, die die Standardverschanzungspostulate mit Ausnahme der Minimalität erfüllen. Eingaben dieses Typs können als „Fragmente“von Glaubenszuständen angesehen werden, die in den vorherigen Glaubenszustand aufgenommen werden sollen. In gleicher Weise haben Eduardo Fermé und Hans Rott (2004) die Glaubensrevision mit Eingaben der allgemeineren Form untersucht: „Akzeptiere (q) mit einem Plausibilitätsgrad, der mindestens dem von (p) entspricht“. Sie nennen diese Revision im Vergleich. Glaubenszustände werden durch Verschanzungsordnungen dargestellt. Daher wird aus einer Verschanzungsreihenfolge (le) und einer solchen verallgemeinerten Eingabe eine neue Verschanzungsreihenfolge (le ') erhalten, die die Informationen enthält, die zum Aufbau des neuen Glaubenssatzes erforderlich sind.

8. Alternative Konten

Trotz der beherrschenden Stellung des Hauptversammlungsmodells und seiner engen Varianten wurden mehrere andere formale Modelle für Glaubensänderungen vorgeschlagen.

8.1 Lerntheorie

In der Glaubensrevisionstheorie liegt der Fokus eher auf Konsistenz als auf Wahrhaftigkeit. Im Gegensatz dazu widmet sich die Lerntheorie der Induktion und dem Erreichen wahrer Überzeugungen. Eine Forschungsfrage wird als Teilung der Menge möglicher Welten dargestellt, dh als Verteilung aller möglichen Welten in nicht überlappende Mengen. Die Forschungsfrage wurde vollständig beantwortet, wenn bekannt ist, welche dieser Partitionen die tatsächliche Welt enthält. Vom Agenten empfangene Informationen schränken nacheinander die Partitionen ein, die sie enthalten können. Die zentrale Frage ist, wie eine induktive Strategie konstruiert werden kann, dh eine Strategie, für die Untersuchungen in welcher Reihenfolge durchgeführt werden sollen, und wie sie zu interpretieren sind (Kelly 1999). Obwohl dieses Problem mit der Revision des Glaubens zusammenhängt,Es hat sich gezeigt, dass Operationen, die die Standardpostulate der Hauptversammlung erfüllen, keine glaubwürdige Darstellung der in der Lerntheorie untersuchten induktiven Prozesse liefern. (Genin und Kelly im Erscheinen)

8.2 Dynamische Logik der Glaubensänderung

Die dynamische doxastische Logik (DDL) wurde von Krister Segerberg eingeführt, um einen Agenten zu vertreten, der Meinungen über die Außenwelt hat und diese Meinungen nach Erhalt neuer Informationen ändert. DDL verwendet epistemische Modaloperatoren des von Hintikka (1962) eingeführten Typs. Der Satz (B_i p) bedeutet, dass das Individuum (i) glaubt, dass (p). Wenn nur ein Agent in Betracht gezogen wird, kann der Index gelöscht werden, und der Operator (B) kann gelesen werden: "Es wird angenommen, dass" oder "Der Agent glaubt, dass" (Segerberg 1995, S. 536).

Die Formel (Bp) in DDL unterscheidet sich vom Ausdruck (p \ in K) der Hauptversammlung darin, dass sie ein Satz in derselben Sprache wie (p) ist. Dies ermöglicht es, in der Objektsprache auszudrücken, dass ein Satz geglaubt wird. Auf diese Weise versuchte Segerberg, eine Glaubensrevision „als Verallgemeinerung der gewöhnlichen doxastischen Logik vom Hintikka-Typ“zu entwickeln, während im Gegensatz dazu „Hauptversammlung nicht wirklich Logik ist; es ist eine Theorie über Theorien “(Segerberg 1999, S. 136). Im DDL-Framework ist es möglich, Überzeugungen über Überzeugungen auszudrücken. Der Satz "(i) glaubt, dass (i) nicht glaubt, dass (p)" als (B_i \ neg B_i p) ausgedrückt werden kann, während es in der Hauptversammlung keine Möglichkeit gibt, dies auszudrücken Rahmen. ((((p \ not \ in K_i) in K_i) ist keine wohlgeformte Formel.)

In DDL werden Glaubensrevisionsoperationen (Erweiterung, Revision und Kontraktion) mit dynamischen Modaloperatoren ausgedrückt, ähnlich denen, die für die Programmausführung verwendet werden. (Dieses Element von DDL war auch in früheren Veröffentlichungen mehrerer Autoren vorhanden. Siehe Fuhrmann 1991; de Rijke 1994; van Benthem 1989 und 1995.) Segerberg verwendete die folgende Notation:

() div p] q)	((q) gilt nach Kontraktion um (p))
([* p] q)	((q) gilt nach Überarbeitung durch (p))
([+ p] q)	((q) gilt nach Erweiterung um (p))

Die Kombination dieser beiden Elemente, Glaubensoperatoren und dynamische Operatoren, führt zu einem Rahmen, der sich in wichtigen Punkten von der Hauptversammlung unterscheidet. (Leitgeb und Segerberg 2007, 169)

Weitgehend ähnliche Systeme wurden unter dem Namen Dynamic Epistemic Logic, DEL, entwickelt (Plaza 1989; Baltag et al. 1998; van Ditmarsch et al. 2007; siehe Eintrag zur dynamisch-epistemischen Logik). Ein Hauptunterschied zwischen DDL und DEL besteht darin, dass letzteres hauptsächlich in Multiagent-Kontexten untersucht wurde. Die am meisten untersuchte Dynamik ist die der öffentlichen Bekanntgabe eines Satzes (van Ditmarsch et al. 2007).

8.3 Deskriptorrevision

Die Deskriptorrevision (Hansson 2014, in Vorbereitung) basiert auf zwei wesentlichen formalen Konstruktionen. Eines davon ist ein metallsprachliches Glaubensprädikat (mathfrak {B}), das auf Sätze der Objektsprache angewendet wird. (mathfrak {B} p) bedeutet, dass der Satz (p) geglaubt wird, (neg \ mathfrak {B} p), dass er nicht geglaubt wird, und (mathfrak {B} p) vee \ mathfrak {B} q) dass entweder (p) oder (q) geglaubt wird. Solche Sätze können verwendet werden, um die Erfolgsbedingungen von Glaubensänderungsoperationen auszudrücken. Somit ist (mathfrak {B} p) die Erfolgsbedingung der Revision um (p), (neg \ mathfrak {B} p) die der Kontraktion um (p) und ({ neg \ mathfrak {B} p, \ neg \ mathfrak {B} q }) die der Mehrfachkontraktion um ({p, q }). Aufgrund der Vielseitigkeit der Deskriptoren benötigen wir nur eine Operation mit der Bezeichnung (circ). Daher,(K \ circ \ mathfrak {B} p) repräsentiert die Revision durch (p) und (K \ circ \ neg \ mathfrak {B} p) die Kontraktion durch (p).

Die andere wichtige formale Konstruktion ist eine Auswahlfunktion (Auswahlfunktion), die direkt auf der Menge der potenziellen Ergebnisse einer Operation arbeitet. Daher wird die Operation (K \ circ \ mathfrak {B} p) ausgeführt, indem eine der möglichen Glaubenssätze ausgewählt wird, die (p) enthalten (vermutlich diejenige, die am besten geeignet oder am nächsten ist). Operationen, die auf diesen Prinzipien basieren, wurden axiomatisch charakterisiert. Insbesondere gilt das Wiederherstellungspostulat, das Probleme im Rahmen der Hauptversammlung verursacht, nicht im Rahmen der Deskriptorrevision. Die Anwendung einer Auswahlfunktion auf potenzielle Glaubensergebnisse ist wohl plausibler als ihre Anwendung auf mögliche Welten oder Reste, da die beiden letztgenannten Entitäten logisch unendlich sind (wenn die Sprache so ist) und daher kognitiv unzugänglich sind.

8.4 Bayesianische Modelle

Das Hauptversammlungsmodell und andere logische Rahmenbedingungen für die Glaubensrevision basieren auf einem dichotomen Glaubensansatz: Entweder wird etwas geglaubt oder nicht, in beiden Fällen ohne Abstufungen. Überzeugungen können mehr oder weniger leicht aufgegeben werden, und Nicht-Überzeugungen können mehr oder weniger leicht in Überzeugungen umgewandelt werden, aber der Akt des Glaubens lässt keine Grade zu. Im Gegensatz dazu lassen probabilistische Glaubensmodelle, die normalerweise auf einer Form des subjektiven Bayesianismus beruhen, alle Grade zwischen dem stärksten Glauben und dem stärksten Unglauben zu. Dichotome und probabilistische Modelle repräsentieren unterschiedliche Merkmale von Glaubenssystemen. Es hat sich als schwierig erwiesen, ein einigermaßen handhabbares Modell zu konstruieren, das sowohl die logischen als auch die probabilistischen Eigenschaften von Glaubensänderungen abdeckt. Diese Schwierigkeiten hängen eng mit den Lotterie- und Vorwortparadoxen zusammen (Kyburg 1961; Makinson 1965).

Die Glaubensrevisionstheorie hat sich jedoch als nützlich erwiesen, um den problematischen Grenzfall bedingter Wahrscheinlichkeiten mit einer Bedingung mit der Wahrscheinlichkeit Null zu behandeln. Erkenntnisse aus der Theorie der Glaubensrevision wurden bei der Konstruktion von nicht standardmäßigen Wahrscheinlichkeitsmodellen verwendet, bei denen auch in diesem Grenzfall eine Konditionalisierung durchgeführt werden kann (Makinson 2011).

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In kleinerem Text kommentierte Zitate beziehen sich auf Bücher oder Artikel, die zur weiteren Einführung empfohlen werden.

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Akademische Werkzeuge

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Andere Internetquellen

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