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Logik zur Leistungsanalyse in Normalformspielen
Erstveröffentlichung Mi 14. Juni 2017; inhaltliche Überarbeitung Di 1. August 2017
In diesem Beitrag wird die Verwendung mathematischer Sprachen zum Ausdrücken und Analysieren der formalen Eigenschaften von Macht in Spielen in normaler Form erläutert. Die in diesem Eintrag behandelten mathematischen Sprachen werden als Logik bezeichnet und nach ihrer Fähigkeit klassifiziert, spielbezogene Konzepte auszudrücken.
Das Material in diesem Beitrag beschränkt sich auf die logische Analyse von Strategien und Vorlieben von (Gruppen von) Personen in Spielen in normaler Form. Es wird weder die Verwendung der Spieltheorie zum Studium logischer Sprachen noch die Rolle epistemischer Konzepte bei strategischen Entscheidungen behandelt. Es werden auch keine Aspekte der sequentiellen Entscheidungsfindung behandelt, die für strategisches Denken in umfangreichen Spielen typisch sind. Ein Bericht darüber findet sich in den zugehörigen Einträgen Logik und Spiele, epistemischen Grundlagen der Spieltheorie (siehe auch van Benthem, Pacuit & Roy 2011 und van Benthem 2014).
1. Die Logik unter normalen Formspielen
2. Die Grundzutaten
2.1 Einstellungen
2.2 Auswahlmöglichkeiten
3. Leistung analysieren
3.1 Kooperative Spiele und ihre Logik
3.2 Strategische Spiele und ihre Logik
3.2.1 Nicht monotone Aktionslogik
3.2.2 Logikbasierte Spiele
4. Schlussfolgerungen: Auf der richtigen Analyseebene
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Verwandte Einträge
1. Die Logik unter normalen Formspielen
Ein Spiel (in normaler Form) ist eine mathematische Beschreibung der Beziehung zwischen einer Gruppe von Einzelpersonen (oder Gruppen von Einzelpersonen) und einer Reihe potenzieller Ergebnisse. Einzelpersonen wählen unabhängig und gleichzeitig eine Teilmenge der Ergebnisse aus, wobei das Endergebnis aus der Kombination jeder Auswahl ausgewählt wird. Unabhängig bedeutet, dass sich die Entscheidungen des Einzelnen nicht gegenseitig beeinflussen. Gleichzeitig bedeutet dies, dass die Entscheidungen jedes Einzelnen getroffen werden, ohne die Entscheidungen der anderen Spieler zu kennen. Es wird angenommen, dass jedes Individuum eine Präferenz gegenüber den Ergebnissen hat, dh, dass es einige Ergebnisse mehr mag als andere, und es wird normalerweise angenommen, dass es die potenziellen Entscheidungen und Präferenzen des anderen Individuums kennt und seine Entscheidungen entsprechend anpasst.
Spiele werden verwendet, um alle Arten von Situationen zu modellieren, vom Verhalten der Tiere bis zur internationalen Konfliktlösung (Osborne & Rubinstein 1994). Eine nützliche Anwendung für den Zweck dieses Eintrags ist die kollektive Entscheidungsfindung, von der eine Instanz durchgehend das Arbeitsbeispiel sein wird.
Beispiel 1: (Der Vertrag von Rom)
Mit dem Vertrag von Rom (1958–1973) wurde die Europäische Wirtschaftsgemeinschaft gegründet. Gemäß Artikel 148 des Vertrags sind für ihre Annahme Rechtsakte des Rates (eine der wichtigsten gesetzgebenden Institutionen) erforderlich:
12 Stimmen (wenn das Gesetz von der Kommission vorgeschlagen wurde) oder
12 Stimmen von mindestens 4 Mitgliedstaaten (falls das Gesetz nicht von der Kommission vorgeschlagen wurde).
Die obigen Werte beziehen sich auf die EU-6, die Gründungsmitgliedstaaten. Der Vertrag verteilte die Stimmen wie folgt:
4 Stimmen: Frankreich, Deutschland, Italien;
2 Stimmen: Belgien, Niederlande;
1 Stimme: Luxemburg.
Dieses Szenario kann als Spiel beschrieben werden.
Es gibt sechs Spieler, die Länder:
Frankreich, Deutschland, Italien, Belgien, Niederlande und Luxemburg.
Sie stimmen jeweils über ein Thema ab. Probleme können binär sein, z. B. die Einführung eines Grenzschutzsystems, oder mehrwertig, z. B. wie viele Millionen für die Einführung eines Grenzschutzsystems ausgegeben werden sollen.
Länder haben möglicherweise Präferenzen gegenüber dem Abstimmungsergebnis oder sogar gegenüber der spezifischen Abstimmung der anderen Länder, und sie stimmen normalerweise ab, ohne zu wissen, wie die anderen abgestimmt haben.
Oft sind diese Spiele so, dass kein Teilnehmer allein in der Lage ist, über das Endergebnis zu entscheiden, aber in einigen Fällen könnten sie zusammenarbeiten und sich auf eine gemeinsame Strategie einigen.
Abhängig von den Vorlieben, Kenntnissen und Fähigkeiten der Spieler werden mit größerer Wahrscheinlichkeit einige Ergebnisse ausgewählt. Um zu verstehen, welche, hat die Spieltheorie Lösungskonzepte entwickelt, die formal von der Reihe der Spiele bis zu den Ergebnissen in jedem dieser Spiele funktionieren und die Rationalität der Spieler in mathematischen Begriffen beschreiben. Lösungskonzepte können, wie wir später sehen werden, in einfachen und gut erzogenen Logiken prägnant ausgedrückt werden.
Als nächstes beschreiben wir Spiele als mathematische Strukturen, wobei wir verschiedene Schlüsselbestandteile (z. B. die Möglichkeit der Bildung von Koalitionen, die Möglichkeit, Entscheidungen rechtzeitig zu treffen usw.) und die am besten geeigneten Sprachen zum Ausdruck bringen.
2. Die Grundzutaten
Formal bestehen Spiele aus einer endlichen Menge von Spielern (N = {1,2, \ ldots, n }) und einer möglicherweise unendlichen Menge von Ergebnissen (W = {w_1, w_2, \ ldots, w_k, \ ldots }).
Beispiel 2:Im obigen Beispiel ist die Gruppe der Spieler N {Frankreich, Deutschland, Italien, Belgien, Niederlande, Luxemburg}. Wenn wir die Einführung eines Grenzschutzsystems in Betracht ziehen, gibt es zwei Ergebnisse: Ja und Nein, dh (W = { mbox {Ja, Nein} }). Wenn wir stattdessen das Problem betrachten, das Millionen für das Grenzschutzsystem ausgegeben haben, gibt es einen potenziell unendlichen Ergebnisraum, dh (W = { textrm {0M}, \ textrm {1M}, \ textrm {2M}, \ ldots }). Es ist möglich, eine Reihe von Ergebnissen zu erzielen, die noch weiter verfeinert werden, beispielsweise die Art und Weise, wie die Spieler abgestimmt haben. In diesem Fall würde sich das Ergebnis, bei dem Frankreich mit Ja, die anderen mit Nein und das Ergebnis mit Nein stimmen, von dem Ergebnis unterscheiden, bei dem Italien mit Ja, die anderen mit Nein und das Ergebnis mit Nein stimmen, obwohl das Ergebnis des Abstimmung ist das gleiche. Es ist wichtig zu betonen, dass jede Reihe von Ergebnissen eine Beschreibungsebene enthält, was in der zugrunde liegenden Interaktion geschieht. Es gibt keine a priori richtige oder falsche Beschreibungsebene, die Auswahl hängt von den Eigenschaften des Spiels ab, an dem man interessiert ist.
Zusätzlich zu den Spielern und Ergebnissen bieten Spiele zwei weitere Beziehungen:
eine Präferenzbeziehung mit der Bezeichnung (succeq), die die Präferenzen der Spieler gegenüber den Ergebnissen beschreibt;
eine mit (E) bezeichnete Aktionsbeziehung, die die Ergebnisse beschreibt, die Spieler oder Gruppen von Spielern auferlegen oder umgekehrt ausschließen können;
Eine wichtige Beziehung in Spielen ist das Wissen, das formal beschreibt, was die Spieler über das Spiel und ihre Gegner wissen. Diese Beziehung wird manchmal explizit angegeben, andere Male implizit. Der vorliegende Eintrag wird die Beziehung nicht explizit machen, sondern sie in die Formalisierung der Rationalität der Spieler einbeziehen.
Sowohl die Präferenz- als auch die Aktionsbeziehungen sammeln Familien individueller Beziehungen, eine pro Spieler. Die Präferenzbeziehung wird zum Beispiel in eine Familie ({ succeq_i } _ {i \ in N}) unterteilt, die die Präferenz gegenüber den Ergebnissen für jedes der Individuen beschreibt, während die Aktionsbeziehung eine Familie \ sammelt. ({E_C } _ {C \ subseteq N}) beschreibt jeweils, was eine bestimmte Gruppe von Spielern erreichen kann.
Insgesamt kann ein Spiel als mathematische Struktur angesehen werden
[(mathcal {N}, W, \ succeq, E))
Dabei ist (mathcal {N}) die Menge der Spieler, typischerweise endlich, (W) die Menge der Ergebnisse, (succeq) die Präferenzrelation und (E) die Aktionsrelation.
Diese mathematische Struktur ist auch als relationale Struktur bekannt (Blackburn, Rijke & Venema 2001), die das satztheoretische Äquivalent einer sogenannten modalen Logik (Blackburn et al. 2001) ist, einer mathematischen Sprache, die gut geeignet ist die mathematischen Eigenschaften von Beziehungen auszudrücken. Eine relationale Struktur wird fortan als (F) bezeichnet, was für Rahmen steht.
Die letzte Zutat, die wir benötigen, um relationale Strukturen und modale Logiken zu verknüpfen, ist die Spezifikation einer Reihe von Atomen, die die relevanten Eigenschaften der Ergebnisse ausdrücken, an denen wir interessiert sind. Diese Menge wird normalerweise als zählbar angesehen [1] und wird mittels einer Bewertungsfunktion, dh einer Funktion der Form, den Ergebnissen zugeordnet
[V: W \ bis 2 ^ \ texttt {Atome})
Zuordnen zu jedem Ergebnis die Menge der Satzatome, die bei diesem Ergebnis wahr sind.
Ein Tupel ((F, V)) wird als Modell bezeichnet, das als (M) bezeichnet wird.
Die Beziehungen in einer Spielstruktur, die sich auf einzelne Spieler (und Gruppen) beziehen, werden formal in Verbindung mit den wichtigsten Modallogiken beschrieben, mit denen ihre Eigenschaften auf verschiedenen Ebenen der Beschreibung und Granularität ausgedrückt werden.
Der folgende Absatz enthält die technischen Hintergrundbegriffe, die zur Interpretation der in diesem Eintrag verwendeten Modalsprachen erforderlich sind. Der Leser, der bereits mit der Modallogik vertraut ist, kann sie überspringen. Für eine eingehendere Untersuchung kann man den entsprechenden Eintrag zur Modallogik konsultieren (Garson 2014). Bekannte klassische Lehrbücher sind Modal Logic: An Introduction (Chellas 1980), das sich auf nicht normale Modallogiken konzentriert, und Modal Logic (Blackburn et al. 2001), die sich stattdessen auf eine mathematischere Behandlung normaler Modallogiken konzentriert. [2]
Modallogik: Hintergrundbegriffe: Eine Modallogik ist eine Erweiterung der Sprache der Aussagenlogik mit einer Reihe von Modaloperatoren (Box_1, \ ldots, \ Box_n, \ ldots), die auf einer zählbaren Menge von Atomsätzen definiert sind (texttt {Atoms} = {p_1, p_2, \ ldots }), über die der Satz wohlgeformter Formeln induktiv aufgebaut wird (für eine mathematische Behandlung von Logik und Induktion siehe zum Beispiel Dalen 1980). Jede wohlgeformte Formel (varphi) einer Modalsprache (mathcal {L}), im Folgenden einfach Formel genannt, wird unter Verwendung der folgenden Grammatik konstruiert:
Dabei (Box_i \ in { Box_1, \ ldots, \ Box_n, \ ldots }) und (p \ in \ texttt {Atoms}).
Ein Modell für diese Sprache ist eine Struktur (M = ((W, R_1, \ ldots, R_n, \ ldots), V)), die aus einer Menge von Welten oder Zuständen oder Ergebnissen (W) besteht; eine Zugänglichkeitsrelation (R_i) für jeden Modaloperator (Box_i), definiert über sogenannte Nachbarschaftsfunktionen (Chellas 1980), dh Funktionen (R_i: W \ bis 2 ^ {2 ^ {W}}); und eine Bewertungsfunktion (V: \ texttt {Atome} bis 2 ^ {W}), die jedem atomaren Satz eine Teilmenge von (W) zuweist, mit der Idee, dass jeder atomare Satz der Menge zugeordnet ist von Welten, in denen dieser Satz wahr ist.
Als allgemeine Konvention wird eine multimodale Sprache mit den Modalitäten (Box_1),…, (Box_n),… mit (mathcal {L} ^ {f (Box_1), \ ldots, f bezeichnet (Box_n), \ ldots}), wobei die Funktion (f) jeder Modalität ihre intuitive Kurzform zuordnet. Sei (Delta) eine Modalsprache bestehend aus Modalitäten (Box_1),…, (Box_n),… und sei (M = ((W, R_1, \ ldots, R_n, \ ldots))))))))))))))), V)) ein Modell für diese Sprache sein. Die Zufriedenheitsrelation einer Formel (varphi \ in \ Delta) in Bezug auf ein Paar ((M, w)), wobei (w \ in W), wird gemäß den folgenden Wahrheitsbedingungen definiert:
) begin {align *} M, w & \ models p & \ mbox {genau dann, wenn} & w \ in V (p) \ M, w & \ models \ neg \ varphi & \ mbox {genau dann, wenn } & M, w \ not \ models \ varphi \\ M, w & \ models \ varphi \ land \ psi & \ mbox {genau dann, wenn} & M, w \ models \ varphi \ mbox {und} M, w \ models \ psi \\ M, wy & \ models \ Box_i \ varphi & \ mbox {genau dann, wenn} & \ varphi ^ M \ in R_i (w) \ \ end {align *})
Dabei wird (varphi ^ {M} = {w \ in W \ mid M, w \ models \ varphi }) die Wahrheitsmenge oder die Erweiterung von (varphi) genannt.
Eine Formel (varphi) einer modalen Sprache (Delta): gilt in einem Zustand (w) des Modells (M), wann immer (M, w \ models \ varphi); ist in einem Modell (M) mit der Bezeichnung (models_ {M} varphi) genau dann gültig, wenn (M, w \ models \ varphi) für jedes (w \ in W) gilt. wobei (W) die Domäne von (M) ist; ist in einer Klasse von Modellen (mathcal {M}) mit der Bezeichnung (models _ { mathcal {M}} varphi) genau dann gültig, wenn sie in jedem (M \ in \ mathcal gültig ist) {M}); ist in einem Frame ({F}) gültig, der mit (models _ {{F}} varphi) bezeichnet wird, genau dann, wenn wir für jede Bewertung (V) das (models _ {(F., V)} varphi); ist in einer Klasse von Frames gültig (mathcal {F}), bezeichnet mit (models _ { mathcal {F}} varphi), genau dann, wenn es in jedem (F \ in \ mathcal {F}) gültig ist.
Die Menge der Formeln von (Delta), die in einer Klasse von Modellen (mathcal {M}) gültig sind, wird mit (Delta _ { mathcal {M}}) bezeichnet (für Frames lautet die Bezeichnung (Delta _ { mathcal {F}})). Für eine Reihe von Formeln (Sigma) schreiben wir (M, w \ models \ Sigma), um zu sagen, dass (M, w \ models \ sigma) für alle (sigma \ in \ Sigma). Wir sagen, dass eine Menge von Formeln (Sigma) semantisch eine Formel (varphi) in einer Klasse von Modellen (mathcal {M}) beinhaltet, die mit (Sigma \ models _ { mathcal {M bezeichnet wird }} varphi), wenn wir für jedes (M \ in \ mathcal {M}) haben, dass (models_ {M} Sigma) (models_ {M} varphi) impliziert.
Eine modale Regel
) frac { varphi_1, \ ldots, \ varphi_n} { psi})
ist Ton in einer Klasse von Modellen (mathcal {M}), wenn (varphi_1, \ ldots, \ varphi_n \ models _ { mathcal {M}} psi).
Erinnern Sie sich nach Chellas (1980) daran, dass eine modale Logik (Delta) als klassisch bezeichnet wird, wenn sie nach der Äquivalenzregel geschlossen wird, dh für jedes (Box) in der Sprache (Delta) wir haben:
Es heißt monoton, wenn es klassisch ist, und es wird außerdem unter der Regel der Monotonie geschlossen, dh für jedes (Box) in der Sprache (Delta), die wir haben:
Es heißt normal, wenn es monoton ist, es wird unter der Regel der Verallgemeinerung geschlossen und enthält das Axiom (K), dh für jedes (Box) in den Formeln von (Delta), die wir haben
) frac { varphi} { Box \ varphi})
und (Delta) enthält (Box (varphi \ to \ psi) to (Box \ varphi \ to \ Box \ psi)).
Eine normale Modallogik kann in Strukturen der Form (M = ((W, R'_1, \ ldots, R'_n, \ ldots), V)) interpretiert werden, wobei jedes (R'_i) ist ein Hauptfilter [3] oder alternativ die Form (R'_i: W \ bis 2 ^ {W}).
2.1 Einstellungen
Erinnern Sie sich an die relationale Struktur ((mathcal {N}, W, \ succeq, E)) und betrachten Sie die Beziehung (succeq). Diese Beziehung repräsentiert kompakt eine Familie ({ succeq_i } _ {i \ in N}) von individuellen Präferenzbeziehungen, die jeweils mit einem Spieler indiziert sind.
Formal ist eine Präferenz für Spieler (i) eine Beziehung
) succeq_i \ subseteq W \ times W)
Die Idee ist, dass wenn zwei Ergebnisse (w) und (w ') so sind, dass ((w, w') in \ succeq_i), Spieler (i) das Ergebnis (w) berücksichtigt. mindestens so gut wie das Ergebnis (w '). Die Tatsache, dass ((w, w ') in \ succeq_i) abgekürzt wird (w \ succeq_i w'). Seine Umkehrung ist die Beziehung (preceq_i), die für ((w, w ')) gilt, wann immer (w' \ succeq_i w). Sein striktes Gegenstück ist die Beziehung (succ_i), die für ((w, w ')) gilt, wann immer (w \ succeq_i w'), und es ist nicht der Fall, dass (w '\ succeq_i w). Darüber hinaus bezeichnet (w \ sim_i w ') die Tatsache, dass (w \ succeq_i w') und (w '\ succeq_i w), was bedeutet, dass (i) zwischen (w) und gleichgültig ist (w ').
Beispiel 3:Kehren wir zu unserem Hauptbeispiel zurück. In der Regel haben Länder Präferenzen gegenüber dem Ergebnis der Entscheidung, z. B. denken Italien, wir sollten zwischen 5 und 10 Millionen Euro für das System ausgeben, Deutschland denken, wir sollten zwischen 1 und 2 ausgeben, Belgien zwischen 4 und 5, Luxemburg, die Niederlande und Frankreich genau 5. Dies bedeutet zum Beispiel, dass Italiens Präferenzbeziehung so ist, dass (w \ succ _ { textrm {Italien}} w ') wann immer (textrm {5M} leq w \ leq \ textrm {10M}) und entweder (w '> \ textrm {10M}) oder (0 \ leq w' \ textrm {10M}) oder (0 \ leq w '<\ textrm {5M}), (w \ succ _ { textrm {Italien}} w ') wann immer (textrm {5M} leq w' <w \ leq \ textrm {10M}) während (w \ sim _ { textrm {Italien}} w '), sonst. Nicht alle Abstimmungsergebnisse werden zu einer Einigung führen. Wir definieren dann für technische Zwecke ein Hilfsergebnis (w ^ {d}),als Meinungsverschiedenheit interpretiert. Die Idee ist, dass dies ein Ergebnis der Abstimmung ist, das keinen Konsens erzielt. Wir gehen davon aus, dass jede Vereinbarung für jeden Spieler strikt besser ist als Uneinigkeit, dh (w \ succ _ {{i}} w '), wann immer (w' = w ^ {*}) und (w \ neq w ^ {*}) für jedes (i \ in N).
Die Eigenschaften dieser Beziehungen können mittels modaler Logik ausgedrückt werden. Zu diesem Zweck führen wir die Modaloperatoren (Diamond ^ { preceq} _i), (Diamond ^ { prec} _i) und (Diamond ^ { sim} _i) für jeden der entsprechenden Operatoren ein Beziehungen.
Die Interpretation für (R \ in { preceq, \ prec, \ sim }) lautet wie folgt:
[M, w \ models \ Diamond ^ {R} _i \ varphi \ enskip \ mbox {genau dann, wenn} enskip M, w ^ { prime} models \ varphi, \ mbox {für einige} w ^ { prime} mbox {with} w R_i w ^ { prime})
Die fraglichen Beziehungen haben oft zusätzliche Eigenschaften. Zum Beispiel wird (preceq_i) normalerweise verwendet, um Folgendes zu erfüllen:
Reflexivität dh (forall w \ in W, i \ in N,) wir haben das: (w \ preceq_i w);
Transitivität, dh (für alle w_1, w_2, w_3 \ in W, i \ in N,) wir haben das: ((w_1 \ preceq_i w_2) und (w_2 \ preceq_i w_3)) impliziert, dass (w_1 \ preceq_i w_3).
Verbundenheit, dh (für alle w_1, w_2 \ in W, i \ in N,) wir haben das: entweder (w_1 \ preceq_1 w_2) oder (w_2 \ preceq_i w_1).
Die ersten beiden Eigenschaften können in einer normalen Modallogik mit einem Modaloperator pro Spieler anhand der folgenden Axiome und Gültigkeiten charakterisiert werden.
Dies ist jedoch bei der Verbundenheit nicht der Fall, da Modalsprachen wie diese nur über lokale Eigenschaften von Beziehungen sprechen können (Blackburn et al. 2001).
Dazu müssen wir einen speziellen Operatortyp einführen: die universelle (oder globale) Modalität (Goranko & Passy 1992). Diese Modalität drückt Eigenschaften aller Zustände in einer Domäne (W) eines Modells (M) aus und wird wie folgt interpretiert.
[M, w \ Modelle A \ varphi \ enskip \ mbox {genau dann, wenn} enskip M, w ^ { prime} Modelle \ varphi, \ mbox {für alle} w ^ { prime} in W.)
Die Formel (neg A \ neg \ varphi) wird mit (E \ varphi) abgekürzt. Das Symbol (E) ist das existenzielle Dual von (A) und zeigt an, dass eine bestimmte Formel in einem bestimmten Zustand im Modell gilt. Mit der globalen Modalität haben wir eine echte Ergänzung der Ausdruckskraft (zusammen mit weiteren Kosten und weiteren Gewinnen, wie in Goranko & Passy 1992 gezeigt), daher können wir die Gültigkeit in einem Modell ausdrücken, indem wir die Wahrheit in einer Welt ausdrücken (M, w \ models A \ varphi) gilt genau dann, wenn (models_M \ varphi) dies tut.
Denken Sie daran, dass eine Beziehung (R) genau dann trichotom ist, wenn für alle (x, y \ in W) entweder (xRy, yRx) oder (y = x) der Fall ist. Wir können eine Kombination aus Präferenz und globalen Modalitäten verwenden, um die folgende Rahmenkorrespondenz zu erhalten.
Satz 2 Sei (F) ein Rahmen. Wir haben das:
(models_F (varphi \ wedge \ Box ^ { preceq} _i \ psi) bis A (psi \ vee \ varphi \ vee \ Diamond ^ { preceq} _i \ varphi)) genau dann, wenn (preceq_i) ist trichotom
Eine alternative und möglicherweise intuitivere Formel, die stattdessen verwendet werden kann, ist, dass (p, q) atomare Sätze sind:
[E p \ land E q \ bis E (p \ land q) lor E (p \ land \ Diamond ^ { preceq} _i q) lor E (q \ land \ Diamond ^ { preceq} _i p))
Trichotomie, Transitivität und Reflexivität von (preceq_i) entsprechen der Beziehung, die eine schwache lineare Ordnung darstellt und somit verbunden ist.
Die Beziehung (prec_i), dh die Beziehung der strengen Präferenz, kann als (preceq_i) definiert werden. (Prec_i) erfüllt jedoch die folgende Eigenschaft:
Irreflexivität dh (forall w \ in W, i \ in N,) wir haben das: es ist nicht der Fall, dass (w \ prec_i w)
Irreflexivität ist in der grundlegenden Modallogik nicht definierbar (Blackburn et al. 2001). Wenn jedoch die atomaren Sätze stark genug sind, um jedes Ergebnis voneinander zu unterscheiden, wird die Irreflexivität definierbar. Zum Beispiel sei (w_k) eine Variable, die die Welt (w_k) identifiziert. [4] Wir haben Folgendes.
Schließlich erfüllt die Indifferenzbeziehung (sim) die Eigenschaften von Reflexivität, Transitivität und Symmetrie. Während Reflexivität und Transitivität analog zu den vorherigen Modalitäten definiert sind, ist die Symmetrie wie folgt definiert.
Symmetrie dh (für alle w_1, w_2 \ in W, i \ in N,) wir haben Folgendes: (w_1 \ sim_i w_2) impliziert, dass (w_2 \ sim_i w_1)
Während die Axiome für die ersten beiden denen für (preceq_i) ähnlich sind, wird die Symmetrie wie folgt charakterisiert
Die drei obigen Eigenschaften besagen zusammen, dass jedes (sim_i) mathematisch eine Äquivalenzbeziehung ist, dh eine Beziehung, so dass
) bigcup_ {w \ in W} {[w] mid w '\ in [w] mbox {wann immer} w \ sim_i w' })
ist eine Partition von (W). Jedes Element dieser Partition ist eine Gleichgültigkeitsklasse für Spieler (i), dh eine Reihe von Ergebnissen, denen er oder sie gleichgültig gegenübersteht.
Die Logik von Äquivalenzbeziehungen wie (sim_i) wird auch als ({ bf S5}) -System bezeichnet.
Präferenzen und Dienstprogramme Aufgrund ihrer weit verbreiteten Verwendung in der Spieltheorie sind solche, die numerischen Werten oder Dienstprogrammfunktionen entsprechen, eine wichtige Klasse von Präferenzbeziehungen.
Eine Utility-Funktion ist eine Funktion
[u_i: W \ rightarrow \ mathbb {R})
Zuordnen von Ergebnissen zu reellen Zahlen, die darstellen, wie sehr ein Spieler einen bestimmten Zustand schätzt.
Nutzenfunktionen induzieren natürlich Präferenzbeziehungen im folgenden Sinne.
Definition 5 Sei (u) eine Utility-Funktion. Wir sagen, dass (succeq ^ * _ i) entspricht (u), wenn folgendes gilt:
Beachten Sie, wie jede schwache lineare Ordnung über eine endliche Menge von Ergebnissen einer Nutzenfunktion entspricht.
Wir verweisen auf die verwandten Einträge zu Präferenzen (Hansson & Grune-Yanoff 2011) und Entscheidungstheorie (Steele & Stefansson 2015) für eine detailliertere Analyse der Rolle von Präferenzen in der Philosophie und Entscheidungstheorie.
2.2 Auswahlmöglichkeiten
Ein Spiel ist auch eine Beschreibung dessen, was Spieler alleine oder innerhalb von Koalitionen erreichen können. Um dies zu formalisieren, verwenden wir Effektivitätsfunktionen, ein abstraktes Machtmodell, das eingeführt wurde, um Abstimmungsstrategien in Ausschüssen zu untersuchen (Moulin & Peleg 1982).
Eine Effektivitätsfunktion (Moulin & Peleg 1982) ist eine Funktion
[E: 2 ^ {N} bis 2 ^ {2 ^ {W}})
Zuordnen einer Reihe von Ergebnissen zu jeder Gruppe von Spielern.
Die Idee ist, dass, wenn es der Fall ist, dass (X \ in E (C)), die Koalition (C) entscheiden kann, dass das Ergebnis des Spiels innerhalb der Menge (X) liegt. und kann daher ausschließen, dass die Ergebnisse (W \ setminus X) letztendlich ausgewählt werden. Mit anderen Worten, (X) liegt in der Macht der Koalition (C).
Effektivitätsfunktionen werden unter Obermengen geschlossen, dh wir haben, dass (X \ in E (C)) und (X \ subseteq Y \ subseteq W) implizieren, dass (Y \ in E (C)). Mit anderen Worten, wenn (X) innerhalb der Macht der Koalition (C) liegt, ist dies auch für jede der Obermengen von (X) der Fall. Daraus folgt, dass eine Effektivitätsfunktion einer bestimmten Koalition, wenn sie nicht leer ist, immer die Menge aller Ergebnisse enthält.
Für (mathcal {X} subseteq {2 ^ {W}}) bezeichnen wir (mathcal {X} ^ {+}) seinen übergeordneten Abschluss.
Beispiel 4: Wenn Sie zum Hauptbeispiel zurückkehren, betrachten Sie die Macht jedes einzelnen Landes. Aufgrund der Spielregeln ist kein Land allein in der Lage, ein Ergebnis auszuschließen.
Rückgriff auf Effektivitätsfunktionen: Für jedes (i \ in N) haben wir das (E ({i }) = {W }).
Dies gilt jedoch auch für Koalitionen, die nicht groß genug sind. Nehmen Sie zum Beispiel alle Koalitionen von mindestens zwei Ländern, die zwischen den Niederlanden, Belgien und Luxemburg gebildet werden können.
) begin {align *} E ({ mbox {Luxemburg, Belgien} }) & = \\ E ({ mbox {Luxemburg, Niederlande} }) & = \\ E ({ mbox {Belgien, Niederlande} }) & = \\ E ({ mbox {Luxemburg, Belgien, Niederlande} }) & = {W }. \ end {align *})
Da ihr Gesamtgewicht höchstens 5 Stimmen beträgt, können sie sich allein nicht mit einer möglichen Einigung zufrieden geben oder diese ausschließen. Tatsächlich hat für von der Kommission vorgeschlagene Rechtsakte jede Koalition (C), deren Stimmgewicht nicht mindestens 12 beträgt, dieselbe Wirksamkeitsfunktion (E (C) = {W }).
Bei den anderen Koalitionen ist die Situation anders. Betrachten wir zum Beispiel die Koalition von Frankreich, Deutschland und Italien, die zusammen ein Stimmgewicht von 12 haben. Für sie haben wir das:
[E ({ textrm {Frankreich, Deutschland, Italien} }) = { {w } mid w \ in W } ^ {+})
Dies bedeutet, dass die drei Mitglieder selbst über das Ergebnis der Abstimmung entscheiden können. Dies gilt für jede Koalition mit einem Stimmgewicht von 12 oder mehr.
Was ist mit den von der Kommission nicht vorgeschlagenen Rechtsakten? Verwenden wir für sie eine andere Effektivitätsfunktion, die wir als (E ^ {*}) bezeichnen.
In diesem Fall muss die siegreiche Koalition aus mindestens vier Mitgliedern bestehen.
Also (E ^ {*} ({ mbox {Frankreich, Deutschland, Italien} }) = {W }) während (E ^ {*} ({) Frankreich, Deutschland, Belgien, Die Niederlande (}) = { {w } mid w \ in W } ^ {+}).
Im Allgemeinen gilt (E (C) = E ^ {*} (C)), wann immer (| C | \ geq 4). Aufgrund der Eigenschaften des Abstimmungsspiels haben wir auch (E (C) = E ^ {*} (C)), wann immer (| C | \ leq 2). Der Unterschied wird durch Koalitionen der Größe 3 gemacht: Mit (E ^ {*}) können sie niemals mehr als ({W }) erreichen, während sie mit (E) () erreichen können { {w } mid w \ in W } ^ {+}), wenn ihre Stimmrechte mindestens 12 betragen. Beachten Sie, dass Luxemburg für die von der Kommission vorgeschlagenen Gesetzentwürfe irrelevant ist, dh (E. (C) = E (C \ cup \ textrm {Luxembourg})). Dies ist bei den anderen Rechnungen nicht der Fall, wie wir beobachtet haben.
Eigenschaften von Effektivitätsfunktionen können in modaler Logik ausgedrückt werden. Dazu ist zu beachten, dass jede Effektivitätsfunktion einer (nicht normalen) Beziehung in einer relationalen Struktur entspricht. Effektivitätsfunktionen induzieren also eine spezielle Art von Nachbarschaftsstruktur, die wir als Koalitionsmodell bezeichnen.
Definition 6 [Koalitionsmodelle] Ein Koalitionsmodell ist ein Tripel ((W, E, V)) wobei:
(W) ist eine nicht leere Menge von Zuständen;
(E: W \ longrightarrow (2 ^ {N} longrightarrow 2 ^ {2 ^ W})) ist eine dynamische Effektivitätsfunktion;
(V: W \ longrightarrow 2 ^ { texttt {Atoms}}) ist eine Bewertungsfunktion.
Wie der Leser bemerken wird, ermöglichen dynamische Effektivitätsfunktionen, dass jeder Staat möglicherweise unterschiedliche Machtverteilungen zwischen Koalitionen aufweist. Dies ist streng sensu irrelevant für die Behandlung von Macht in Spielen in normaler Form (Abschnitt 3), bei denen die mit den Ergebnissen verbundenen Effektivitätsfunktionen ebenso überall im Modell als gleichwertig angesehen werden könnten, das Modell jedoch allgemein genug ist, um umfangreiche und wiederholte Behandlungen durchzuführen Interaktion, wobei die sequentielle Struktur der Interaktion explizit definiert wird. Wir werden normalerweise (E (w) (C)) als (E_w (C)) oder sogar (E (C)) abkürzen, wenn dies aus dem Kontext hervorgeht.
Die Sprache, in der über Koalitionsmodelle gesprochen wird, ist die Koalitionslogik (Pauly 2001), eine nicht normale Modallogik, um die Auswahl von Gruppen von Spielern auszudrücken. Die Koalitionslogik ist eine Erweiterung der Aussagenlogik mit (| 2 ^ {N} |) Modalitäten der Form ([C]), also einem Modaloperator, der jeweils mit einer Koalition indiziert ist.
Die Zufriedenheitsrelation der Formeln der Form ([C] varphi) in Bezug auf ein Paar (M, w) ist wie folgt definiert:
[M, w \ models [C] varphi \ enskip \ textrm {genau dann, wenn} enskip \ varphi ^ M \ in E_w (C))
Dabei ist (varphi ^ M = {w \ in W \ mid M, w \ models \ varphi }).
Intuitiv bedeutet (varphi ^ M \ in E_w (C)), dass die Koalition (C) Eigentum (varphi) erreichen kann.
Da das Schließen unter Obermenge oder Ergebnismonotonie als eine Eigenschaft aller Effektivitätsfunktionen angesehen wird, gilt die Regel der Monotonie in der Koalitionslogik, die daher eine monotone Modallogik ist (Hansen 2003).
Die Regel der Monotonie nimmt diese Form für jedes (C \ subseteq N) an:
) frac { varphi \ to \ psi} {[C] varphi \ to [C] psi})
Wenn (C) (varphi) erreichen kann und wir haben, dass (varphi) (psi) impliziert, dann kann (C) auch () erreichen psi).
Mathematische Eigenschaften der Macht Abgesehen von der Monotonie der Ergebnisse können viele andere Eigenschaften als notwendig erachtet werden, um die Koalitionsmacht in Spielen zu modellieren. Zum Beispiel hat eine Effektivitätsfunktion die Eigenschaft:
Lebendigkeit, dh (Emptyset \ not \ in E (C)) für jedes (C \ subseteq N);
Sicherheit, dh (W \ in E (C)), für jedes (C \ subseteq N);
Regelmäßigkeit, dh (X \ in E (C)) impliziert, dass (overline {X} not \ in E (overline {C})) für jedes (C \ subseteq N, X \ subseteq W);
N-Maximalität, dh (overline {X} in E (Emptyset)) impliziert, dass ({X} in E (N)) und (X \ subseteq W);
Superadditivität, dh (X \ in E (C)) und (Y \ in E (D)) impliziert, dass (X \ cap Y \ in E (C \ Tasse D)) für jedes (C), (D \ subseteq N), (C \ cap D = \ Emptyset), (X, Y \ subseteq W);
Koalitionsmonotonie, dh (X \ in E (C)) impliziert, dass (X \ in E (D)) für jedes (C \ subseteq D \ subseteq N) (X \ subseteq W));
Begründetheit, dh (X \ in E (N)) impliziert, dass ({x } in E (N)) für einige (x \ in X) für jedes (X) gilt \ subseteq W).
Eine Effektivitätsfunktion wird als spielbar bezeichnet (Pauly 2001), wenn sie Lebendigkeit, Sicherheit, N-Maximalität und Superadditivität aufweist. Es heißt wirklich spielbar (Goranko, Jamroga & Turrini 2013), wenn es spielbar und fundiert ist. Beachten Sie, dass wenn (W) endlich ist, eine Effektivitätsfunktion genau dann spielbar ist, wenn sie wirklich spielbar ist (Goranko et al. 2013).
Echte Spielbarkeit ist eine grundlegende Eigenschaft von Effektivitätsfunktionen und verbindet One-Shot-Koalitionsspiele mit One-Shot-Strategiespielen, wie später noch klar wird.
Beispiel 5: Die Effektivitätsfunktionen unseres Arbeitsbeispiels sind alle wirklich spielbar.
In Nachbarschaftsstrukturen sind die Beziehungen zwischen satztheoretischen und logischen Eigenschaften häufig unmittelbar und Standardkorrespondenzergebnisse zwischen Rahmenklassen und Nachbarschaftsfunktionen (Chellas 1980) können automatisch für die Koalitionslogik verwendet werden.
Die Koalitionslogik ist in der Tat ausdrucksstark genug, um alle bisher genannten Einschränkungen zu charakterisieren.
Satz 7 Sei (F = (W, E)) ein Koalitionsrahmen und (C, C ^ { prime}, C '') Koalitionen, so dass (C \ cap C '= \ Emptyset) und (C \ subseteq C ''). Die folgenden Ergebnisse gelten:
(models_F [C] varphi \ to \ neg) overline {C}] neg \ varphi) genau dann, wenn (E) regulär ist;
(models_F [C] top) genau dann, wenn (E) Sicherheit hat;
(models_F [C] varphi \ to [C ''] varphi) genau dann, wenn (E) eine monotone Koalition ist;
(models_F \ neg) Emptyset] neg \ varphi \ bis [N] varphi) genau dann, wenn (E) N -maximal ist;
(models_F [C ^ { prime}] varphi \ wedge [C] psi \ bis [C ^ { prime} cup C] (varphi \ wedge \ psi)) genau dann, wenn (E) ist überadditiv;
(varphi \ to \ psi \ models_F [C] varphi \ to [C] psi) genau dann, wenn (E) monoton ist.
Für die Beweise konsultieren Sie Pauly 2001.
Korrespondenzergebnisse ermöglichen es uns, eine Anzahl von Klassen von Rahmen durch modale Mittel zu unterscheiden. Die Ausdruckskraft der Modaloperatoren schränkt jedoch die Fähigkeit der Sprache, Klassen von Strukturen zu erkennen, stark ein. Insofern sollte der Leser beachten, dass die Logik sowohl spielbarer als auch wirklich spielbarer Effektivitätsrahmen die Tatsache teilt, dass (models_F) Emptyset] top). Dieser Satz, dessen Interpretation die für jedes (w \ in W, {W } in E_w (Emptyset)) ist, reicht jedoch nicht aus, um eine formale Unterscheidung zwischen (E_w (Emptyset)) zu treffen. in den zwei verschiedenen Klassen von Effektivitätsfunktionen.
In diesem Sinne zeigt das folgende Ergebnis, dass die Koalitionslogik auch gut genug ist, um über wirklich spielbare Effektivitätsfunktionen nachzudenken (oder, wenn Sie es vorziehen, zu schwach, um sie zu unterscheiden).
Satz 8 (Goranko et al. 2013) Sei (mathcal {P}) die Klasse der spielbaren Frames und (mathcal {P} ^ {*}) die Klasse der wirklich spielbaren. Dann für jede Formel der Koalitionslogik (varphi)
Dies folgt aus der Tatsache, dass Playable Coalition Logic die Eigenschaft des endlichen Modells besitzt (Pauly 2001) und in endlichen Modellen spielbare Effektivitätsfunktionen wirklich spielbar sind. [5]
Wie bereits erwähnt, wird in diesem Beitrag nur erwähnt, wie Wissen in Spielstrukturen enthalten ist, es wird jedoch nicht auf die Untersuchung epistemischer Voraussetzungen für rationales Spiel eingegangen. Verwandte Einträge zur epistemischen Logik (Hendricks & Symons 2006), zur dynamischen epistemischen Logik (Baltag & Renne 2016) und insbesondere zur epistemischen Spieltheorie (Pacuit & Roy 2015) untersuchen eingehend die Rolle des Wissens bei der Entscheidungsfindung. Eine Behandlung der Modallogik für Spiele, die sich stattdessen auf die Rolle von Informationen konzentriert, ist Hoek & Pauly 2006.
3. Leistung analysieren
Dieser Abschnitt befasst sich mit Spielen, in denen Einzelpersonen oder Gruppen ihre Entscheidungen unabhängig und gleichzeitig treffen, und wir betonen noch einmal, dass wir uns von der zeitlichen Entwicklung der Interaktion abheben. Es wird besonderes Augenmerk auf die Beziehung zwischen den Entscheidungen und Vorlieben der Spieler gelegt, wobei die Rolle des Wissens erwähnt wird, und vor allem, wie Lösungskonzepte in einer logischen Sprache ausgedrückt werden.
Der Abschnitt beschreibt zuerst die allgemeine Einstellung von kooperativen Spielen, dann betrachtet er die eingeschränktere und möglicherweise bekanntere Klasse strategischer Spiele.
3.1 Kooperative Spiele und ihre Logik
Die Beschreibung des Spiels in einer relationalen Struktur der Form ((mathcal {N}, W, \ succeq, E)) reicht nicht aus, um zu verstehen, welches genaue Ergebnis am Ende ausgewählt wird. Dafür benötigen wir ein Lösungskonzept, dh eine Zuordnung, die einem Spiel eine Reihe von Ergebnissen dieses Spiels zuordnet (Abdou & Keiding 1991).
Für Koalitionsspiele wurde eine Reihe von Lösungskonzepten eingeführt (siehe beispielsweise Osborne & Rubinstein 1994 und Apt 2009 (Other Internet Resources)). Für die vorliegenden Zwecke werden wir nur das diskutieren, was möglicherweise am bekanntesten ist: den Kern. Der Kern ist eine Sammlung stabiler Ergebnisse, dh Ergebnisse, für die es keine Koalition gibt, deren Mitglieder in der Lage und bereit sind, davon abzuweichen. Es kann als eine Reihe von Ergebnissen angesehen werden, gegen die es keinen wirksamen Widerspruch gibt (Abdou & Keiding 1991).
Formal wird bei einer relationalen Struktur (F = (mathcal {N}, W, \ succeq, E)) ein Ergebnis (w \ in W) als stabil bezeichnet, wenn es keine Koalition gibt (C.) und eine Reihe von Ergebnissen (X \ subseteq W), so dass beide der folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(X \ in E (C))
(y \ in X) und (i \ in C) implizieren, dass (y \ succ_i w)
Mit anderen Worten, ein Ergebnis ist stabil, wenn es keine Gruppe von Personen gibt, die eine Alternative erreichen können, die sie alle strikt bevorzugen.
Der Kern ist die Sammlung aller stabilen Ergebnisse.
Beispiel 6:
Betrachten Sie das Ergebnis 1M, das das einzige Ergebnis ist, das Deutschland für akzeptabel hält. Deutschland hat, wie bereits beobachtet, eine Effektivitätsfunktion von (E ({ textrm {Germany} }) = {W }), so dass es allein nicht möglich ist, seine Präferenz in ein Ergebnis umzuwandeln. Zusammen mit anderen Ländern sind sie jedoch dazu in der Lage. Angenommen, ihre Verbündeten sind Belgien, Frankreich und die Niederlande. Ist 1M dann ein gutes Ergebnis? Wenn wir uns die Präferenzen der anderen Akteure in der Koalition ansehen, dh Belgien, Frankreich, Niederlande, beobachten wir Folgendes. Belgien hatte eher ein Ergebnis zwischen 4M und 5M, Frankreich und die Niederlande genau 5M. Diese Länder könnten zusammenkommen und 5 Millionen auswählen, was für sie ein akzeptables Ergebnis ist. Die Wirksamkeitsfunktion von ({) Belgien, Frankreich, Niederlande (}) ist jedoch (E ({) Belgien, Frankreich,Die Niederlande (}) = {W }), was bedeutet, dass die drei Länder nicht ausreichen, um die 5M-Rechnung zu verabschieden. Aber die Koalition von Belgien, Frankreich, Italien und den Niederlanden wäre. Beachten Sie außerdem, dass 5M eines der bevorzugten Ergebnisse Italiens ist. 5M ist in der Tat das einzige stabile Ergebnis des Spiels: Es gibt keine Koalition, die zusammen bereit und in der Lage ist, davon abzuweichen.
Modale Logik kann verwendet werden, um den Kern darzustellen. Betrachten Sie zuerst die Formel
[p \ rightarrow \ bigvee_ {C \ subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i \ in C} Diamond ^ \ succ_i p \ right))
Dies besagt, dass, wenn (p) wahr ist, Mitglieder einer Koalition eine (p) Welt verbessern können, was nicht die richtige Formel zu sein scheint, um Stabilität in der Logik auszudrücken. Wir können jedoch die folgenden Ergebnisse beweisen, bei denen die Entsprechung zwischen der Formel und einer bestimmten Klasse von Frames verwendet wird.
Sei (E) eine (ergebnismonotone) Effektivitätsfunktion und sei (succeq_i) eine schwache lineare Ordnung. Dann:
[(F, V '), w \ Modelle p \ rightarrow \ bigvee_ {C \ subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i \ in C} Diamond ^ \ succ_i p \ right))
gilt für (w) für jedes (V '), wenn und nur ein (C \ subseteq N) und (X \ in E_w (C)) existiert, so dass für alle (i) in C), (x \ in X) haben wir das (x \ succ_i w).
Die Formel gilt also genau dann für jede Bewertung bei (w), wenn (w) nicht zum Kern gehört. Wenn die Formel bei einem Ergebnis und einer Bewertung falsch ist, bedeutet dies eindeutig, dass das Ergebnis zum Kern gehört.
Beachten Sie, dass, da Effektivitätsfunktionen monoton sind, wenn wir diese (X \ in E_w (C)) und haben
[X \ subseteq \ left (bigwedge_ {i \ in C} Diamond ^ \ succ_i p \ right) ^ {(F, V ')},)
dann
) left (bigwedge_ {i \ in C} Diamond ^ \ succ_i p \ right) ^ {(F, V ')} in E_w (C).)
Beachten Sie auch, dass das obige Ergebnis den Fall von berücksichtigt
) Emptyset = \ left (bigwedge_ {i \ in C} Diamond ^ \ succ_i p \ right) ^ {M} in E_w (C),)
das könnte nicht intuitiv sein. Das Erfordernis von (E), um Lebendigkeit zu haben, kümmert sich darum.
Beachten Sie auch, wie wir den Bewertungssätzen eine universelle Quantifizierung auferlegen mussten. Ohne diese explizite Quantifizierung würde die Formel nur für ein bestimmtes Modell gelten, was keine geeignete Lösung wäre. Wenn wir stattdessen nur wissen möchten, ob es ein stabiles Ergebnis gibt oder ob der Kern leer ist, reicht es aus, wenn die obige Formel ein Axiom ist. Dies würde bedeuten, dass kein Ergebnis stabil ist, dh dass der Kern leer ist.
Satz 10 Sei (F) ein Rahmen. Wir haben das
) models_F p \ rightarrow \ bigvee_ {C \ subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i \ in C} Diamond ^ \ succ_i p \ right))
genau dann, wenn kein Ergebnis in (F) zum Kern gehört.
Auch hier würde sich die Lebendigkeit um den trivialen Fall kümmern, in dem
) left (bigwedge_ {i \ in C} Diamond ^ \ succ_i p \ right) ^ {(F, V)} = \ Emptyset.)
Ein alternativer Ansatz besteht darin, jedes Ergebnis mit einem Namen (oder Nominal) in der Sprache zu identifizieren, dh eine hybride Logik zu verwenden. Dann haben wir folgendes.
Satz 11 Sei (w_k) ein atomarer Satz am Ergebnis (w_k) und nur am Ergebnis (w_k) wahr.
Abhängig von den Eigenschaften, an denen wir interessiert sind, sind verschiedene Erweiterungen der grundlegenden Modallogik in Kombination mit verschiedenen Gültigkeitsformen (in einer Welt gegen Modell gegen Rahmen) am besten geeignet, um sie auszudrücken.
3.2 Strategische Spiele und ihre Logik
Normalformspiele oder strategische Spiele sind eine Darstellung dessen, was Einzelpersonen anstelle von Koalitionen erreichen können und welche Vorlieben sie haben.
Formal ist eine strategische Spielform ein Tupel
[(N, W, { Sigma_i } _ {i \ in N}, o))
wobei N eine endliche Menge von Spielern ist, (W) eine Menge von Ergebnissen, ({ Sigma_i } _ {i \ in N}) eine Sammlung von Strategien, eine für jeden Spieler (i), (o: \ prod_ {i \ in N} Sigma_i \ to W) eine Ergebnisfunktion, die einem Ergebnis ein Tupel von Strategien zuordnet.
Ein strategisches Spiel ist ein Tupel ((S, { succeq_i } _ {i \ in N})), wobei (S) eine strategische Spielform ist und ({ succeq_i } _ { i \ in N}) eine Sammlung von Präferenzbeziehungen, eine für jeden Spieler (i).
Beispiel 7: Wenn wir die Länder in unserem vorherigen Beispiel als einzelne Spieler und ihre Stimmen als individuelle Strategien betrachten, können wir das Spiel des Vertrags von Rom als strategisches Spiel modellieren, bei dem jeder Einzelne einen Geldbetrag für den Grenzschutz abstimmen kann und Einstellungen sind wie oben.
Die Ergebnisfunktion sorgt dafür, dass jedem einzelnen Spieler das endgültige Ergebnis der kollektiven Entscheidung zugeordnet wird, z. B. indem ein Ergebnis ausgewählt wird, das von einer Gruppe von Ländern mit einem Stimmgewicht von mindestens 12 gewählt wurde, oder dass keine Entscheidung getroffen wird, wenn kein Konsens erzielt wird.
Zum Beispiel:
Frankreich stimmt 0M
Belgien stimmen 2M
Italien stimmt 10 Millionen
Deutschland stimmt 0M
Die Niederlande stimmen 0M
Luxemburg Abstimmung 0M
Diese Runde führt zu keiner Entscheidung, da kein Ergebnis ein Stimmgewicht von mindestens 12 erreicht hat.
Nehmen wir jedoch an, dass die zweite Runde so ist, dass alle außer Belgien an ihrer Stimme festhalten, und nehmen wir an, dass Belgien auf 0 Millionen wechselt. Jetzt hat 0M ein Aggregat von 13, was bedeutet, dass es als endgültige Entscheidung ausgewählt wird.
Betrachtet man die einheitliche Behandlung unseres Beispiels, so scheint es einen Zusammenhang zwischen Normalformspielen und Koalitionsspielen zu geben. Diese Beziehung kann formal festgelegt werden.
Betrachten wir zunächst, was eine Gruppe von Spielern in einem normalen Spiel tun kann. Dazu definieren wir die (alpha) - Effektivitätsfunktion, eine mathematische Beschreibung der Koalitionsstrategien in einem Spiel in Bezug auf die Mengenergebnisse, die sie erzwingen können.
Definition 12) (alpha) - Effektivitätsfunktion] Sei (S) ein strategisches Spiel. Wir definieren die (alpha) Effektivitätsfunktion von (S), (E ^ { alpha} _S (C)):
(E ^ { alpha} _S (C) = {X \ \ mid) existiert (sigma_C), so dass für alle (sigma '_ { overline {C}}) wir haben dass (o (sigma_C, \ sigma '_ { overline {C}}) in X })
Intuitiv sammelt die (alpha) - Effektivitätsfunktion von (S) für jede Gruppe von Spielern die Ergebnisse, die sie erzielen können, indem sie eine ihrer Strategien festlegen, unabhängig davon, wie ihre Gegner spielen.
Proposition 13 (Goranko et al. 2013)
Die (alpha) - Effektivitätsfunktion eines strategischen Spiels ist wirklich spielbar.
Das folgende Ergebnis zeigt die Beziehung zwischen Strategien und Effektivitätsfunktionen.
Satz 14 (Goranko et al. 2013)
Eine Effektivitätsfunktion ist genau dann wirklich spielbar, wenn es sich um die (alpha) - Effektivitätsfunktion eines strategischen Spiels handelt.
Dies ist eine Verallgemeinerung des Ergebnisses in Peleg 1998 für endliche Spiele, ausgehend von Modellen strategischer Spiele, die erstmals in Pauly 2001 definiert wurden. Kurz gesagt, diese Ergebnisse implizieren Folgendes.
Satz 15 Sei (F) eine relationale Spielstruktur. Dann ist (F) genau dann ein strategisches Spiel, wenn die folgenden Formeln in (F) für disjunkte (C, C ^ { prime}) gültig sind:
(varphi \ to \ psi \ models_F [C] varphi \ to [C] psi)
(models_F [C] top)
(models_F \ neg [C] bot)
(models_F \ neg) Emptyset] varphi \ bis [N] varphi)
Ebenso wie bei kooperativen Spielen können wir uns fragen, ob ein Ergebnis in einer strategischen Situation stabil oder rational ist.
Nash-Gleichgewicht und Definierbarkeit Das Hauptlösungskonzept zur Analyse strategischer Spiele ist das Nash-Gleichgewicht. Informell ist ein Nash-Gleichgewicht eine Sammlung von Strategien, eine pro Spieler, so dass kein Spieler daran interessiert ist, seine Strategie zu ändern, wenn die anderen an ihrer festhalten. Formal ist ein Strategieprofil (sigma) ein (reines Strategie-) Nash-Gleichgewicht, wenn wir das für alle Spieler (i \ in N) und für alle (sigma'_i \ in \ Sigma_i) haben
Beispiel 8: Betrachten Sie die folgende Abstimmung
Frankreich stimmt 5M
Belgien stimmen 5M
Italien stimmt 10 Millionen
Deutschland stimmt 1M
Die Niederlande stimmen 5M
Luxemburg Abstimmung 5M
In diesem Spiel gibt es keinen Konsens über ein Budget. Die Situation könnte wie ein Stillstand aussehen, da jeder nach seinen Wünschen abgestimmt hat. Das Ergebnis ist jedoch eine Meinungsverschiedenheit, die kein Spieler einer Vereinbarung vorzieht. Die einzige Möglichkeit, wie Spieler zu einer Einigung konvergieren können, besteht darin, dass Italien seine Stimme auf 5 Millionen ändert. In diesem Fall wird 5M als Ergebnis erreicht.
Beachten Sie, dass das modifizierte Spiel, in dem Italien 5 Millionen Stimmen hat, ein Nash-Gleichgewicht ist.
Betrachten Sie nun eine Modifikation des obigen Spiels, in der Italien und die Niederlande 10 Millionen Stimmen abgeben, während die anderen bei ihrer Abstimmung bleiben. Überraschenderweise ist dies trotz der Meinungsverschiedenheit das Nash-Gleichgewicht, da kein Spieler gleichzeitig zu einer Einigung gelangen kann, obwohl er dazu bereit ist.
Wie kann man Nash-Gleichgewichte in Logik ausdrücken? Erinnern Sie sich, wie die Formel
[p \ to \ bigvee_ {C \ subseteq N} [C] left (bigwedge_ {i \ in C} Diamond ^ \ succ_i p \ right))
gilt genau dann für einen Frame (F), wenn der Kern leer ist, und eine hybride Logikerweiterung kann uns sagen, ob ein bestimmtes Ergebnis zum Kern gehört. Wenn (F) auf einer wirklich spielbaren Effektivitätsfunktion basiert, haben wir bereits eine normale Formspielversion des Kerns: ein Ergebnis, von dem keine Koalition gemeinsam abweichen kann und will, ohne zu berücksichtigen, was die anderen tun. Nash Equilibrium legt jedoch ein Profil von Strategien fest, so dass kein Spieler in der Lage und bereit ist, von dort abzuweichen. Mit anderen Worten, es erfordert die Vorstellung der besten Antwort für einen Spieler in Bezug auf ein bestimmtes Profil.
Formalismen wie die Koalitionslogik sind zu schwach, um Nash-Gleichgewichte auszudrücken. Sie können jedoch die Tatsache ausdrücken, dass bestimmte Effektivitätsfunktionen die Möglichkeit eines Nash-Gleichgewichts ermöglichen. Dies wird in Hansen & Pauly 2002 als Nash-konsistente Koalitionslogik bezeichnet. Das Nash-Gleichgewicht ist in der grundlegenden Modallogik zwar nicht definierbar (Benthem et al. 2011), kann jedoch mit einer Modalität durchgeführt werden, die sowohl die Präferenz- als auch die Auswahlrelation schneidet (Benthem et al. 2011).
((F, V), w \ models \ langle \ approx_i \ cap \ succ_i \ rangle \ varphi) genau dann, wenn (w (approx_i \ cap \ succ_i) w ') impliziert, dass (w' \ models \ varphi)
Dann ist die beste Antwort für (i) definiert als (langle \ approx_i \ cap \ succ_i \ rangle \ top), da es keine Alternative gibt, die gleichzeitig erreichbar und (i) vorzuziehen ist.. Alternativ kann eine hybride Logik, die Strategieprofile in der Sprache erwähnt, eine Lösung bieten, ähnlich wie im Fall des Kerns.
3.2.1 Nicht monotone Aktionslogik
Einige Logiken nutzen eine kompaktere Darstellung jener relationalen Strukturen, die strategischen Spielen entsprechen.
Anstatt Effektivitätsfunktionen zu verwenden, ist jedem Spieler (i) eine Äquivalenzbeziehung (approx_i \ subseteq W \ times W) zugeordnet, deren induzierte Partition die Entscheidungen darstellt, die er oder sie ausführen kann. Diese Äquivalenzbeziehungen beschreiben die genauen Auswahlmöglichkeiten, die eine Gruppe von Spielern treffen kann, und die Ursprungsmodelle werden in der Literatur als konsequentialistisch bezeichnet (siehe zum Beispiel Belnap, Perloff & Ming 2001).
Definieren Sie nun eine Effektivitätsfunktion (E ^ {*}), für die sie diese enthält
[E ^ {*} (i) = {[x] mid x '\ in [x] mbox {wann immer} x \ approx_i x' } ^ {+})
Intuitiv sammelt (E ^ {*} (i)), was genau die Individuen erreichen können und alle ihre Obermengen.
(E ^ {*}) wird als Konsequentialist bezeichnet, wenn Folgendes gilt:
(E ^ {*} (C) = { bigcap_ {i \ in C} X_i \ mid \ mbox {für einige} X_i \ in E ^ {*} (i) })
(Emptyset \ not \ in E ^ {*} (C)) für jedes (C \ neq N)
(E ^ {*} (N) = { {x } mid x \ in W } ^ {+})
Beachten Sie, dass (E ^ *) eine wirklich spielbare Effektivitätsfunktion ist.
Die letzte Eigenschaft ist die Begründetheit, wie im Fall von willkürlichen Effektivitätsfunktionen. Dies ist keine Eigenschaft, die in allen Varianten angenommen wird, z. B. die Auswahlstrukturen in Kooi & Tamminga 2008 und deren zeitliche Variante STIT (Belnap et al. 2001) nicht. Wie jedoch in Turrini 2012 und Tamminga 2013 beobachtet wurde, entsprechen fundierte konsequentialistische Modelle strategischen Spielen, und die Effektivitätsfunktion (E) kann durch die Äquivalenzbeziehung (approx_i) für jeden Spieler effektiv simuliert werden. Intuitiv ist (E ^ {*} (i)) die Menge von Ergebnissätzen, die (i) auswählen kann, ohne weiter verfeinern zu können.
Um über konsequentialistische Modelle nachzudenken, verwenden wir sogenannte konsequentialistische Logiken, dh Aussagenlogik, die um Modalitäten der Form ([C] varphi) erweitert ist und wie folgt interpretiert wird:
(M, w \ models [C] varphi) genau dann, wenn (M, w '\ models \ varphi) für alle (w'), so dass (w (bigcap_ {i \ in C} approx_i) w ')
Konsequentialistische Logiken wurden entwickelt, um über Handlungen und Konsequenzen nachzudenken, und haben interessante Anwendungen in der deontischen Logik, wie Kooi & Tamminga 2008; Tamminga 2013; Turrini 2012. Sie bilden darüber hinaus die Grundlage für die später diskutierte zeitliche Logik von Strategien wie STIT und strategischem STIT. Ein Sonderfall ist die Logik der Aussagenkontrolle (Hoek & Wooldridge 2005; Troquard, Hoek & Wooldridge 2009).
3.2.2 Logikbasierte Spiele
In vielen Situationen haben Agenten die Kontrolle über bestimmte Aussagenvariablen (Hoek & Wooldridge 2005). Beispielsweise können sie für den Verkehrsfluss verantwortlich sein oder ein Veto gegen ein bestimmtes Problem einlegen. Variablen können auch gemeinsam genutzt werden (Gerbrandy 2006). Ein Beispiel hierfür ist die Abstimmung, bei der die Spieler die Kontrolle über eine Variable teilen, deren Realisierung durch eine bestimmte Aggregationsfunktion, z. B. die Mehrheit, bestimmt wird (Troquard, Hoek & Wooldridge 2011). Diese Logik der Aussagenkontrolle gibt an, welche Aussagen Agenten in ihrer Wirksamkeitsfunktion haben. Wenn beispielsweise der Agent (i) (p) steuert, befinden sich sowohl (p ^ {M}) als auch (neg p ^ {M}) in seiner Effektivitätsfunktion. In gewisser Weise handelt es sich bei diesen Modellen um ganz besondere Arten von Effektivitätsfunktionen, und welche Agentensteuerung als Auswahl oder Strategie angesehen werden kann, steht ihnen zur Verfügung.
Logiken für die Aussagenkontrolle haben Modalitäten vom Typ ([[i]] varphi), was bedeutet, dass der Spieler (i) eine "Kontroll" -Strategie hat, um dies zu gewährleisten, unabhängig davon, wie die anderen Agenten ihre Kontrolle wählen Strategien, dann gilt (varphi) am Ende. Sie haben aber auch Modalitäten vom Typ ([[C]] varphi), was bedeutet, dass die Spieler in (C) eine gemeinsame Kontrollstrategie haben, die am Ende (varphi) sicherstellt. Ein Strategieprofil entspricht somit einer Bewertungsfunktion, die jedem verfügbaren Satz einen Wahrheitswert zuweist. Eine Strategie eines Spielers (i) kann somit wiederum als Teilbewertungsfunktion angesehen werden, die nur den von (i) kontrollierten Aussagen einen Wahrheitswert zuweist.
Wenn wir die Notation leicht missbrauchen, sagen wir, dass eine Bewertung (V) eine Formel (varphi) erfüllt, die mit (V \ models \ varphi) bezeichnet wird, wenn sie (varphi) unter der aktuellen Zuweisung von wahr macht Vorschläge. Mit anderen Worten, Aussagenkontrollspiele werden in einer einzigen Welt gespielt, und die einzelnen Aufgaben bestimmen, welche Aussagen in dieser Welt wahr sind. Mit (mathcal {V}) der Menge aller Bewertungen und (mathcal {V} _i) mit den Teilbewertungen unter der Kontrolle von (i) haben wir Folgendes.
((F, V) models [[C]] varphi) genau dann, wenn für alle (i \ in C) (V'_i \ in \ mathcal {V} _i) existiert. so dass wir für alle (k \ in \ overline {C}, V '_ {k} in \ mathcal {V} _k) haben, dass ((F, V') models \ varphi)
Wenn also ([[C]] varphi) gilt, kann die Koalition (C) eine Kontrollstrategie so spielen, dass unabhängig von der Kontrollstrategie, die ihre Gegner spielen, das resultierende Ergebnis (erfüllt) varphi).
Die Logik für die Satzkontrolle kann auf zielbasierte Formalismen erweitert werden, die sogenannten Booleschen Spiele (Harrenstein, van der Hoek, Meyer & Witteveen 2001): Sätze werden unter den Spielern aufgeteilt, wobei jeder Spieler den Satz von Sätzen kontrolliert, die er oder sie hat ist zugeordnet. Darüber hinaus wird jedem Spieler eine Formel der Aussagenlogik zugewiesen, die sein oder ihr Ziel sein soll und deren Verwirklichung möglicherweise nicht nur von den Entscheidungen abhängt, die er oder sie treffen kann.
Boolesche Spiele wurden auf dem Gebiet der Multiagentensysteme als einfache und kompakte Modelle zur Darstellung strategischer Interaktion in einer logikbasierten Umgebung eingehend untersucht (Dunne & Hoek 2004; Dunne & Wooldridge 2012; Dunne, Hoek, Kraus & Wooldridge 2008)).
In ihren allgemeinsten Varianten sind sie eine Erweiterung der Logik mit Aussagenkontrolle, wobei jedem Agenten eine Zielformel zugewiesen wird. Die Zielformel ist eine zufriedenstellende Formel der Sprache und das wichtige Merkmal ist, dass das Ziel jedes Agenten nicht unter seiner Kontrolle stehen muss.
Zum Beispiel kann dem Agenten (i) nur die Kontrolle über den Satz (p) zugewiesen werden, aber er kann das Ziel haben, dass (p \ leftrightarrow q). Ob also das Ziel von (i) erreicht wird, hängt nicht nur davon ab, ob (i) Satz (p) wahr ist, sondern auch von einem anderen Agenten, beispielsweise (j), der Satz (q setzt) um wahr zu sein. Agent (j) hingegen ist möglicherweise nicht daran interessiert, (q) auf true zu setzen. Zum Beispiel möchte er oder sie vielleicht, dass der Satz (r) wahr ist und daher gleichgültig ist, ob (q) oder (overline {q}) am Ende realisiert wird. Oder könnte sogar das Ziel haben, dass (overline {q}).
In Booleschen Spielen können einige Ziele alle zusammen verwirklicht werden, zum Beispiel möchten alle Agenten, dass (p \ vee \ neg q) wahr ist, oder es kann der Fall sein, dass bestimmte Bewertungen nicht die Ziele aller Agenten verwirklichen, aber Kein unglücklicher Agent kann seine eigene Situation verbessern, indem er die Zuordnung zu den von ihm kontrollierten Aussagenvariablen ändert. Diese Situation ist eine sehr einfache Form des Nash-Gleichgewichts, die in Booleschen Spielen ausgedrückt werden kann.
Da (gamma_i) das Ziel von Spieler (i) und (v_i) eine Teilbewertung ist, die unter Kontrolle von Spieler (i) steht, sagen wir, dass Bewertung (v) ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn wir das für jedes (i) und jedes (v'_i) haben.
[(v_i, v _ {- i}) not \ models \ gamma_i \ mbox {impliziert, dass} (v'_i, v _ {- i}) not \ models \ gamma_i)
Wenn also (v) das Ziel von (i) nicht erfüllt, kann (i) nichts tun, um es zu erreichen.
Die Analyse der Nash-Gleichgewichte im Booleschen Spiel zeigt eine enge Übereinstimmung zwischen diesen Spielen und der Aussagenlogik: Unter Verwendung einer Reduktion auf das Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogikformeln das Problem der Überprüfung, ob ein Ergebnis (v) ein Nash-Gleichgewicht eines Booleschen ist Das Spiel ist Co-NP abgeschlossen (Wooldridge, Endriss, Kraus & Lang 2013).
4. Schlussfolgerungen: Auf der richtigen Analyseebene
Erinnern Sie sich an das allererste Beispiel, in dem die Ergebnisse eines Abstimmungsspiels nur unter Berücksichtigung des Gesamtergebnisses der Abstimmung oder durch explizite Beschreibung der Abstimmungen der einzelnen Länder beschrieben werden konnten.
Wenn wir mathematische Strukturen durch prägnante Sprachen beschreiben, werden wir oft mit der Frage konfrontiert, welche Sprache am besten geeignet ist. Einige sind in der Lage, Präferenzen, Wissen und Koalitionsfähigkeiten zusammen auszudrücken, andere nur etwa zwei, andere nur eine. Schließlich können einige Sprachen möglicherweise nur ausdrücken, was Einzelpersonen und nicht Koalitionen erreichen können.
Auch hier gibt es keine richtige Antwort auf diese Frage. Es hängt alles davon ab, welche grundlegenden Merkmale man zu modellieren versucht. Um Nash-Gleichgewichte in einem Koordinationsspiel auszudrücken, ist kein auf zeitlicher Logik basierender Formalismus erforderlich. Im Gegenteil, wenn man eine Rückwärtsinduktion ausdrücken möchte, ist eine Sprache, die die sequentielle Struktur des Entscheidungsproblems nicht explizit macht, wahrscheinlich nicht die richtige.
Zurück zu unserem Beispiel: Einige Länder haben möglicherweise Präferenzen gegenüber der Abstimmung anderer Länder. Dies kann sich auf ihre Entscheidungsfindung auswirken und die allgemeinen Gleichgewichtspunkte des Spiels verändern. Wenn dies der Fall ist, ist die reichhaltigere Sprache wichtig. Andernfalls scheint die prägnantere Sprache die geeignete Wahl zu sein, wenn wir diese Möglichkeit sicher ausschließen können.
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