Fuzzy Logic

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Fuzzy Logic

Erstveröffentlichung Di 15. November 2016; inhaltliche Überarbeitung Di 18.07.2017

Fuzzy-Logik soll logisches Denken mit vagen oder ungenauen Aussagen wie „Petr ist jung (reich, groß, hungrig usw.)“modellieren. Es bezieht sich auf eine Familie vielwertiger Logiken (siehe Eintrag zur vielwertigen Logik) und legt somit fest, dass der Wahrheitswert (der in diesem Fall einem Grad an Wahrheit entspricht) eines logisch zusammengesetzten Satzes wie „Carles ist groß und Chris ist reich “, wird durch den Wahrheitswert seiner Komponenten bestimmt. Mit anderen Worten, wie in der klassischen Logik erlegt man Wahrheitsfunktionalität auf.

Die Fuzzy-Logik entstand im Kontext der von Zadeh (1965) eingeführten Theorie der Fuzzy-Mengen. Eine Fuzzy-Menge weist Elementen eines Universums einen Zugehörigkeitsgrad zu, typischerweise eine reelle Zahl aus dem Intervall ([0,1]). Fuzzy-Logik entsteht durch Zuweisen von Wahrheitsgraden zu Sätzen. Der Standardsatz von Wahrheitswerten (Grad) ist ([0,1]), wobei (0) "völlig falsch" darstellt, (1) "völlig wahr" darstellt und die anderen Zahlen sich auf teilweise beziehen Wahrheit, dh mittlere Wahrheitsgrade. ^[1]

"Fuzzy-Logik" wird oft in einem sehr weiten Sinne verstanden, der alle Arten von Formalismen und Techniken umfasst, die sich auf den systematischen Umgang mit Graden irgendeiner Art beziehen (siehe z. B. Nguyen & Walker 2000). Insbesondere in technischen Kontexten (Fuzzy-Steuerung, Fuzzy-Klassifizierung, Soft-Computing) zielt es auf effiziente Berechnungsmethoden ab, die gegenüber Suboptimalität und Ungenauigkeit tolerant sind (siehe z. B. Ross 2010). Dieser Beitrag konzentriert sich auf Fuzzy-Logik im engeren Sinne, die nach der wegweisenden Monographie von Petr Hájek (1998) als Disziplin der mathematischen Logik etabliert wurde und heutzutage üblicherweise als „mathematische Fuzzy-Logik“bezeichnet wird (siehe Cintula, Fermüller, Hájek & Noguera 2011) und 2015). Es konzentriert sich auf Logik, die auf einer wahrheitsfunktionalen Darstellung der Teilwahrheit basiert, und untersucht sie im Geiste der klassischen mathematischen Logik (Syntax,modelltheoretische Semantik, Beweissysteme, Vollständigkeit usw.; sowohl auf Aussagen- als auch auf Prädikatenebene).

• 1. Fuzzy-Konnektiva basierend auf T-Normen
• 2. MTL: Eine grundlegende Fuzzy-Logik
• 3. asukasiewicz Logik
• 4. Gödel-Dummett-Logik
• 5. Andere bemerkenswerte Fuzzy-Logiken
• 6. Prädikatenlogik
• 7. Algebraische Semantik
• 8. Beweistheorie
• 9. Semantik, die die Wahrheitsfunktionalität rechtfertigt
• 10. Fuzzy-Logik und Unbestimmtheit
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Fuzzy-Konnektiva basierend auf T-Normen

Der Standardsatz von Wahrheitsgraden für Fuzzy-Logik ist das reale Einheitsintervall ([0,1]) mit seiner natürlichen Reihenfolge (leq), das von der totalen Falschheit (dargestellt durch (0)) bis zur totalen Wahrheit reicht (dargestellt durch (1)) durch ein Kontinuum von mittleren Wahrheitsgraden. Die grundlegendste Annahme der (Mainstream-) mathematischen Fuzzy-Logik ist, dass Konnektive wahrheitsfunktional über die Menge der Wahrheitsgrade interpretiert werden sollen. Es wird angenommen, dass sich solche Wahrheitsfunktionen klassisch auf die Extremwerte (0) und (1) verhalten. Ein sehr natürliches Verhalten der Konjunktion und Disjunktion wird erreicht, indem (x / land y = / min {x, y }) und (x / lor y = / max {x, y }) für auferlegt werden jedes (x, y / in [0,1]).

Eine andere, nicht idempotente Konjunktion (&) wird normalerweise hinzugefügt, um die Intuition zu berücksichtigen, dass die zweimalige Anwendung einer teilweise wahren Hypothese zu einem anderen Grad an Wahrheit führen kann als die einmalige Verwendung. Eine solche Konjunktion wird normalerweise durch eine binäre Operation auf ([0,1]) interpretiert, die nicht unbedingt idempotent ist, aber dennoch assoziativ, kommutativ, in beiden Argumenten nicht abnehmend und (1) als neutrales Element hat. Diese Operationen werden als t-Normen (Dreiecksnormen) bezeichnet und ihre mathematischen Eigenschaften wurden gründlich untersucht (z. B. von Klement, Mesiar & Pap 2000). Prominente Beispiele für t-Normen sind die bereits erwähnte Funktion (min), das Standardprodukt reeller Zahlen, und die Łukasiewicz-t-Norm: (x * _ {Ł} y = / max {x + y- 1,0 }). Diese drei t-Normen sind tatsächlich stetige Funktionen, und jede andere stetige t-Norm kann als Ordnungssumme dieser drei grundlegenden Normen beschrieben werden (siehe Ling 1965; Mostert & Shields 1957).

Negation wird durch eine nicht zunehmende Funktion interpretiert, die (0) (1) zuweist und umgekehrt; Übliche Auswahlmöglichkeiten sind die Łukasiewicz-Negation (neg_ {Ł} x = 1 - x) und die Gödel-Negation: (neg_ / mathrm {G} 0 = 1) und (neg_ / mathrm {G} x = 0) für jedes (x> 0). Es ist auch üblich, ein konstantes Symbol (overline {0}) für die totale Falschheit einzuführen, das daher als (0) interpretiert wird. Schließlich ist eine geeignete Wahl für die Implikation der Rest der t-Norm (ast), dh die eindeutige Funktion (Rightarrow), die die sogenannte Residuationsbedingung erfüllt: (x / ast y / leq z), genau dann, wenn (x / leq y / Rightarrow z). Eine solche Funktion existiert (und ist definiert als (x / Rightarrow y = / max {z / mid x / ast z / leq y })), wenn und nur wenn die t-Norm linkskontinuierlich ist.

2. MTL: Eine grundlegende Fuzzy-Logik

Die schwächste Logik mit Konnektiven, die von Wahrheitsfunktionen des oben beschriebenen Typs interpretiert werden, ist MTL (Monoidal T-Norm Based Logic, Esteva & Godo 2001). Es ist eine Logik mit den primitiven Konnektiven (mathbin { &}, / to, / wedge,) und (overline {0}) und ableitbaren Konnektiven, definiert als:) begin {align} varphi / lor / psi & = ((varphi / to / psi) to / psi) land ((psi / to / varphi) to / varphi), \\ / neg / varphi & = / varphi / to / overline {0}, \\ / varphi / leftrightarrow / psi & = (varphi / to / psi) land (psi / to / varphi) und \\ / overline {1} & = / neg / overline { 0}. / end {align}) MTL ist definiert als eine Konsequenzbeziehung über die Semantik, die durch alle linkskontinuierlichen t-Normen gegeben ist. Bei einer bestimmten linkskontinuierlichen t-Norm (ast) ist eine Bewertung (e_ / ast) eine Abbildung von Satzvariablen auf ([0,1]).erweitert auf alle Formeln durch Interpretation von (&) als (ast), der Implikation (to) als Residuum (Rightarrow) und (land) und (overline) {0}) als (min) bzw. (0).

Eine Formel (varphi) ist eine Folge einer Reihe von Formeln (Gamma) in MTL, die mit (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi) bezeichnet werden, wenn für jede linkskontinuierliche t- Norm (ast) und jede Bewertung (e_ / ast), so dass (e (psi) = 1) für jedes (psi / in / Gamma) wir (e (varphi) haben) = 1); Das heißt: Jede Bewertung, die die Prämissen vollständig wahr macht, muss auch die Schlussfolgerung vollständig wahr machen. Formeln (varphi), die immer zu (1) ((models_ / mathrm {MTL} varphi)) ausgewertet werden, werden als Tautologien von MTL bezeichnet. Beachten Sie, dass die Formel ((varphi / mathbin { &} psi) to (varphi / land / psi)) eine Tautologie in MTL ist, dh die Konjunktion (&) ist stärker als (Land).

MTL kann auch durch ein Hilbert-ähnliches Beweissystem mit den folgenden Axiomen dargestellt werden:

) begin {align} (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to / chi)) / \ varphi / mathbin { &} psi & / to / varphi \\ / varphi / mathbin { &} psi & / to / psi / mathbin { &} varphi \\ / varphi / land / psi & / to / varphi \\ / varphi / land / psi & / to / psi / land / varphi \(chi / to / varphi) & / to ((chi / to / psi) to (chi / to / varphi / wedge / psi)) (varphi / mathbin { &} psi / to / chi) & / to (varphi / to (psi / to / chi)) (varphi / to (psi / to / chi)) & / zu (varphi / mathbin { &} psi / zu / chi) ((varphi / zu / psi) zu / chi) & / zu (((psi / zu / varphi) zu / chi) to / chi) / \ overline {0} & / to / varphi \\ / end {align})

und modus ponens als einzige Inferenzregel: von (varphi) und (varphi / bis / psi), infer (psi). Dieses System ist eine vollständige Axiomatisierung der logischen MTL: (Gamma / models_ / mathrm {MTL} varphi) iff (Gamma / vdash_ / mathrm {MTL} varphi), wobei die letztere Beziehung die Ableitbarkeit von bezeichnet Instanzen der obigen Axiome und Formeln in (Gamma). Das Gültigkeitsproblem von (mathrm {MTL}) ist bekanntermaßen entscheidbar, seine Rechenkomplexität wurde jedoch noch nicht bestimmt.

3. asukasiewicz Logik

Die asukasiewicz-Logik kann definiert werden, indem [((varphi / to / psi) to / psi) to ((psi / to / varphi) to / varphi)) zum Hilbert-System für MTL hinzugefügt wird. Es entspricht der endgültigen Version der Konsequenzbeziehung, die in Bezug auf Bewertungen definiert wurde, die auf der Łukasiewicz-t-Norm basieren (in Symbolen: für jeden endlichen Satz von Formeln (Gamma) und jede Formel (varphi), die wir haben (Gamma / models_ {Ł} varphi) iff (Gamma / vdash_ {Ł} varphi)). ^[2]

Diese Logik war ein frühes Beispiel für eine vielwertige Logik, die von Łukasiewicz & Tarski (1930) lange vor Beginn der Theorie der Fuzzy-Mengen mittels eines äquivalenten axiomatischen Systems (mit modus ponens als einziger Inferenzregel) eingeführt wurde.::

) begin {align} varphi & / to (psi / to / varphi) (varphi / to / psi) & / to ((psi / to / chi) to (varphi / to) chi)) ((varphi / to / psi) to / psi) & / to ((psi / to / varphi) to / varphi) (neg / psi / to / neg / varphi) & / to (varphi / to / psi) ((varphi / to / psi) & / to (psi / to / varphi)) to (psi / to / varphi) / \ end {align })

Die asukasiewicz-Logik ist die einzige auf T-Norm basierende Fuzzy-Logik, bei der alle Konnektiva durch kontinuierliche Funktionen interpretiert werden, einschließlich der Implikation, die als Rest von (_ {Ł}) durch die Funktion (x / to_ {Ł gegeben ist } y = / min {1,1-x + y }). McNaughtons Theorem (1951) besagt, dass reelle Funktionen über [0,1], die Formeln der Łukasiewicz-Logik interpretieren, genau die kontinuierlichen stückweise linearen Funktionen mit ganzzahligen Koeffizienten sind. In Bezug auf die Rechenkomplexität ist das Gültigkeitsproblem für diese Logik asymptotisch nicht schlechter als in der klassischen Logik: Es bleibt coNP-vollständig.

4. Gödel-Dummett-Logik

Die Gödel-Dummett-Logik, auch bekannt als Dummett's LC oder einfach als Gödel-Logik, ist ein weiteres frühes Beispiel für eine vielwertige Logik mit Wahrheitswerten in ([0,1]). Es wurde von Michael Dummett (1959) als Erweiterung der intuitionistischen Logik (siehe Eintrag zur intuitionistischen Logik) durch das Axiom [(varphi / to / psi) lor (psi / to / varphi) eingeführt.) Diese Formel Erzwingt eine lineare Reihenfolge in der zugrunde liegenden (Kripke-artigen sowie algebraischen) Semantik. Es erscheint auch im Zusammenhang mit Gödels Beobachtung, dass es unmöglich ist, intuitionistische Logik durch endliche Wahrheitstabellen zu charakterisieren (Gödel 1932). Die Gödel-Dummett-Logik kann alternativ als axiomatische Erweiterung von MTL erhalten werden, indem das Axiom (varphi / zu / varphi / mathbin { &} varphi) hinzugefügt wird, was bedeutet, dass die Idempotenz von (&) erforderlich ist.,und damit die Interpretation beider Konjunktionen zusammenfallen. In der Fuzzy-Logik-Einstellung kann die Gödel-Dummett-Logik als Konsequenzrelation angesehen werden, die durch die minimale t-Norm gegeben ist. Es wird als die einzige auf t-Norm basierende Logik unterschieden, bei der die Wahrheit einer Formel in einer gegebenen Bewertung nicht von den spezifischen Werten abhängt, die den Satzvariablen zugewiesen sind, sondern nur von der relativen Reihenfolge dieser Werte. In diesem Sinne kann die Gödel-Dummett-Logik als Logik der vergleichenden Wahrheit angesehen werden. Wie bei der Łukasiewicz-Logik bleibt die rechnerische Komplexität des Testens der Gültigkeit coNP-vollständig. Es wird als die einzige auf t-Norm basierende Logik unterschieden, bei der die Wahrheit einer Formel in einer gegebenen Bewertung nicht von den spezifischen Werten abhängt, die den Satzvariablen zugewiesen sind, sondern nur von der relativen Reihenfolge dieser Werte. In diesem Sinne kann die Gödel-Dummett-Logik als Logik der vergleichenden Wahrheit angesehen werden. Wie bei der Łukasiewicz-Logik bleibt die rechnerische Komplexität des Testens der Gültigkeit coNP-vollständig. Es wird als die einzige auf t-Norm basierende Logik unterschieden, bei der die Wahrheit einer Formel in einer gegebenen Bewertung nicht von den spezifischen Werten abhängt, die den Satzvariablen zugewiesen sind, sondern nur von der relativen Reihenfolge dieser Werte. In diesem Sinne kann die Gödel-Dummett-Logik als Logik der vergleichenden Wahrheit angesehen werden. Wie bei der Łukasiewicz-Logik bleibt die rechnerische Komplexität des Testens der Gültigkeit coNP-vollständig.

5. Andere bemerkenswerte Fuzzy-Logiken

Neben MTL (der Logik aller linkskontinuierlichen t-Normen) und Łukasiewicz- und Gödel-Dummett-Logik (jeweils induziert durch eine bestimmte t-Norm) kann man Logik betrachten, die durch andere Sätze von t-Normen induziert wird oder im Allgemeinen willkürlich ist axiomatische Verlängerungen von MTL. Insbesondere wird die Logik aller kontinuierlichen t-Normen (Hájeks grundlegende Fuzzy-Logik) erhalten, indem das Axiom [(varphi / mathbin { &} (varphi / to {{ psi}})) to (psi / mathbin { &} (psi / to / varphi))) zu denen von MTL. Tatsächlich gibt es für jeden Satz kontinuierlicher t-Normen eine endliche Axiomatisierung der entsprechenden Logik (Esteva, Godo & Montagna 2003; Haniková 2014). Insbesondere ist die Logik der letzten bekannten kontinuierlichen t-Norm (algebraisches Produkt), bekannt als Produktlogik, die Erweiterung von Hájeks grundlegender Fuzzy-Logik um das Axiom:) neg / varphi / vee ((varphi / to / varphi) mathbin { &} {{ psi}}) to {{ psi}})) Andererseits können nicht alle axiomatischen Erweiterungen von MTL eine Semantik von t-Normen erhalten. Zum Beispiel kann die klassische Logik als MTL (+) (varphi / vee / neg / varphi) axiomatisiert werden, aber das Axiom der ausgeschlossenen Mitte ist keine Tautologie unter irgendeiner t-normbasierten Interpretation.

Es gibt auch Gründe, schwächere Fuzzy-Logiken in Betracht zu ziehen. Zum Beispiel kann argumentiert werden, dass die Annahmen, die die Interpretation der Konjunktion als t-Norm erzwingen, zu stark sind. Insbesondere die Annahme, dass (1) das neutrale Element der Konjunktion ist, erzwingt eine Definition der Tautologie als Formel, die immer mit (1) bewertet wird, und die Konsequenzbeziehung als Erhaltung des Wertes (1) - das heißt, (1) ist der einzige festgelegte Wert in der Semantik. ^[3]Eine natürliche Möglichkeit, Logiken mit mehr als einem festgelegten Wahrheitsgrad einzuführen, besteht darin, anzunehmen, dass das neutrale Element für (ast) eine Zahl (t <1) ist. (Es kann gezeigt werden, dass in dieser Situation die bezeichneten Wahrheitsgrade genau diejenigen sind, die größer oder gleich (t) sind.) Solche Interpretationen von Konjunktionen werden Uninorms genannt. Die resultierende Logik wurde von Metcalfe & Montagna (2007) axiomatisiert.

Analog kann man gegen die Kommutativität oder sogar gegen die Assoziativität der Konjunktion argumentieren. Axiomatisierungen der resultierenden Logik sind in der Literatur beschrieben (siehe Cintula, Horčík & Noguera 2013; Jenei & Montagna 2003); Eine Ausnahme bildet die Logik nichtkommutativer Uninorms, für die ein natürliches axiomatisches System nicht bekannt ist.

Wenn man berücksichtigt, dass Fuzzy-Logiken im Gegensatz zur klassischen Logik normalerweise nicht vollständig sind, kann man ihre Ausdruckskraft durch Hinzufügen neuer Konnektiva erhöhen. Die am häufigsten berücksichtigten Konnektiva sind: Wahrheitskonstanten (bar r) für jede rationale Zahl (r / in (0,1)); unäre Verbindungen (sim) und (Dreieck) interpretiert als ({ sim} x = 1-x) und (Dreieck x = 1), wenn (x = 1) und (0) sonst; ein binärer Konnektiv (odot), der als das übliche algebraische Produkt usw. interpretiert wird (Baaz 1996; Esteva, Gispert, Godo & Noguera 2007; Esteva, Godo & Montagna 2001; Esteva, Godo, Hájek & Navara 2000).

Einen umfassenden Überblick über alle in diesem Abschnitt erwähnten Arten von Satz-Fuzzy-Logik (und eine allgemeine Theorie davon) finden Sie im Handbuch der mathematischen Fuzzy-Logik (3 Bände, Cintula et al. 2011a, b, 2015).

6. Prädikatenlogik

Bei jeder Satz-Fuzzy-Logik L gibt es eine einheitliche Möglichkeit, das Gegenstück erster Ordnung L (forall) in eine Prädikatsprache (mathcal {P \! L}) einzuführen (definiert wie im klassischen Fall). In diesem Abschnitt stellen wir es der Einfachheit halber für t-normbasierte Logiken vor.

Die Semantik ist durch Strukturen gegeben, in denen Prädikatsymbole als Funktionen interpretiert werden, die Tupel von Domänenelementen in Wahrheitswerte abbilden. Genauer gesagt besteht eine Struktur ({ mathbf M}) aus einer nicht leeren Domäne von Elementen (M), einer Funktion (f _ { mathbf M} Doppelpunkt M ^ n / bis M) für jedes (n) - Funktionssymbol (f / in / mathcal {P \! L}) und eine Funktion (P _ { mathbf M} Doppelpunkt M ^ n / bis [0,1]) für jedes (n) - Prädikatsymbol (P / in / mathcal {P \! L}). Wenn man eine Auswertung ({ mathrm v}) von Objektvariablen in (M) festlegt, definiert man Werte von Begriffen ((| f (t_1, / dots, t_n) | _ { mathrm v} = f _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / dots, / | t_n / | _ { mathrm v}))) und Wahrheitswerte von Atomformeln ((| P (t_1, / dots, t_n) | _ { mathrm v} = P _ { mathbf M} (| t_1 / | _ { mathrm v}, / dots, / | t_n / | _ { mathrm v}))). Wahrheitswerte einer universell / existenziell quantifizierten Formel werden als Infimum / Supremum der Wahrheitswerte von Instanzen der Formel berechnet, in denen die quantifizierte Variable über alle Elemente der Domäne (M) läuft. Formal:) begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M } / \ | (existiert x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M }, \\ / end {align}) wobei ({ mathrm v} [x {:} a]) die Auswertung ist, die (x / sendet)) bis (a) und Werte anderer Variablen unverändert lassen. Die Werte anderer Formeln werden unter Verwendung der Wahrheitsfunktionen für die Satzverbindungen von L berechnet.) begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } mid a / in M } / \ | (existiert x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M }, \\ / end {align}) wobei ({ mathrm v} [x {:} a]) die Auswertung ist, an die (x) gesendet wird (a) und Werte anderer Variablen unverändert lassen. Die Werte anderer Formeln werden unter Verwendung der Wahrheitsfunktionen für die Satzverbindungen von L berechnet.) begin {align} | (forall x) varphi / | _ { mathrm v} & = / inf { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a] } mid a / in M } / \ | (existiert x) varphi / | _ { mathrm v} & = / sup { | / varphi / | _ {{ mathrm v} [x {:} a]} mid a / in M }, \\ / end {align}) wobei ({ mathrm v} [x {:} a]) die Auswertung ist, an die (x) gesendet wird (a) und Werte anderer Variablen unverändert lassen. Die Werte anderer Formeln werden unter Verwendung der Wahrheitsfunktionen für die Satzverbindungen von L berechnet. Die Werte anderer Formeln werden unter Verwendung der Wahrheitsfunktionen für die Satzverbindungen von L berechnet. Die Werte anderer Formeln werden unter Verwendung der Wahrheitsfunktionen für die Satzverbindungen von L berechnet.

Die Logik erster Ordnung L (forall) wird dann als die Konsequenzbeziehung definiert, die durch die Wahrung der Gesamtwahrheit (Wert (1)) gegeben ist, wie im Satzfall. Genauer gesagt sagen wir, dass eine Formel erster Ordnung (varphi) eine Folge einer Reihe von Formeln (Gamma) ist (in Symbolen: (Gamma / models _ { mathrm {L} forall}) varphi)) wenn (| / varphi / | _ { mathrm v} = 1) für jede Auswertung v, wann immer (| / psi / | _ { mathrm v} = 1) für jede Auswertung v und jedes (psi / in / Gamma).

L (forall) kann ein Hilbert-Kalkül mit den folgenden Axiomen gegeben werden:

• (P) Die Instanzen (erster Ordnung) der Axiome der Aussagenlogik L.
• ((forall1)) ((forall x) varphi (x) bis / varphi (t)), wobei der Begriff (t) (x) in ersetzt
• ((exist1)) (varphi (t) bis (existiert x) varphi (x)), wobei der Begriff (t) (x) in ersetzt
• ((forall2)) ((forall x) (chi / to / varphi) to (chi / to (forall (x) varphi)), wobei (x) nicht ist frei in (chi)
• ((existiert2)) ((für alle x) (varphi / zu / chi) zu ((existiert x) varphi / zu / chi)), wobei (x) nicht frei ist in (chi)
• ((forall3)) ((forall x) (chi / vee / varphi) bis / chi / vee (forall x) varphi), wobei (x) in / nicht frei ist (chi).

Die Abzugsregeln von L (forall) sind die von L plus die Regel der Verallgemeinerung: von (varphi) infer ((forall x) varphi).

Für viele bemerkenswerte Aussagen-Fuzzy-Logiken (einschließlich MTL- und Gödel-Logik) ist das obige axiomatische System in Bezug auf die Semantik solide und vollständig (dh (Gamma / models _ { mathrm {L} forall} varphi) iff (Gamma / vdash _ { mathrm {L} forall} varphi) für jedes (Gamma) und jedes (varphi); Cintula, Horčík & Noguera 2014).

Die Łukasiewicz-Logik erster Ordnung ist jedoch nicht rekursiv axiomatisierbar, wie Scarpellini (1962; Ragaz (1981) gezeigt hat, dass die Menge der Tautologien tatsächlich (Sigma_2) ist - vollständig im Sinne einer arithmetischen Hierarchie). Die Vollständigkeit kann entweder durch Aufnahme einer unendlichen Inferenzregel (Hay 1963) oder durch Verallgemeinerung der Menge der Wahrheitswerte erreicht werden (siehe nächster Abschnitt). Noch komplizierter ist die Situation bei Hájeks Basic Fuzzy Logic, bei der die Menge der Tautologien erster Ordnung aller Strukturen, die durch kontinuierliche t-Normen gegeben sind, so komplex ist wie die wahre Arithmetik (Montagna 2001).

7. Algebraische Semantik

Eines der Hauptwerkzeuge beim Studium der Fuzzy-Logik ist das der algebraischen Semantik (siehe Eintrag zur algebraischen Semantik). Grob gesagt besteht die Idee darin, das reale Einheitsintervall durch eine beliebige Menge zu ersetzen und die Konnektiva als Operationen entsprechender Aritäten auf dieser Menge zu interpretieren.

Eine MTL-Algebra (eingeführt von Esteva & Godo (2001)) ist ein Tupel ({ mathbf A} = / langle A, &, / to, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline { 1} rangle) wo

• (langle A, / wedge, / vee, / overline {0}, / overline {1} rangle) ist ein begrenztes Gitter
• (langle A, &, / overline {1} rangle) ist ein kommutatives Monoid
• ((x / bis y) vee (y / bis x) = / overline {1})
• (x / mathbin { &} y / leq z) iff (x / leq y / bis z) (wobei (leq) die durch (wedge) oder (vee)).

MTL-Algebren sind eine Verallgemeinerung der oben erläuterten Semantik auf T-Norm-Basis und bieten eine solide und vollständige Semantik für MTL. ^[4]

MTL-Ketten sind solche, deren Gitterordnung total ist, und sie sind die Grundbausteine der gesamten Klasse von Algebren in dem Sinne, dass jede MTL-Algebra als untergeordnetes Produkt von Ketten zerlegt werden kann. Dies impliziert, dass die Logik auch in Bezug auf die Semantik von MTL-Ketten vollständig ist, was dann als erster Schritt zum Nachweis ihrer Vollständigkeit in Bezug auf die auf T-Norm basierende Semantik verwendet wird (Jenei & Montagna 2002).

Die algebraische Semantik ist ein universelles Werkzeug, das für jede Logik verwendet werden kann. Insbesondere kann für jede in der Literatur untersuchte willkürliche Fuzzy-Logik (selbst für diejenigen, die keine auf T-Norm basierende Semantik wie endliche Fuzzy-Logik oder die Logik nichtkommutativer Uninorms unterstützen) eine entsprechende Klasse von Algebren gefunden werden zerlegt als untergeordnete Produkte von Ketten. Diese Tatsache hat Běhounek & Cintula (2006) veranlasst, eine Definition von Fuzzy-Logik als Logik vorzuschlagen, die in Bezug auf vollständig geordnete algebraische Strukturen vollständig ist.

Die Verwendung der algebraischen Semantik für Logiken erster Ordnung führt normalerweise zu einer geringeren Komplexität beim Testen der Gültigkeit oder Erfüllbarkeit als die Standardsemantik (Montagna & Noguera 2010).

8. Beweistheorie

Es war eine erhebliche Herausforderung, analytische Proofsysteme für Fuzzy-Logiken zu entwickeln. Dies sind Systeme, die wichtige Merkmale wie die Eliminierbarkeit von Schnitten und die Subformeleigenschaft mit Gentzens sequentiellen Berechnungen für die klassische und intuitionistische Logik gemeinsam haben (siehe Eintrag zur Entwicklung der Beweistheorie). Ein großer Durchbruch wurde mit der Einführung eines sogenannten hypersequenten Kalküls für die Gödel-Dummett-Logik von Arnon Avron (1991) erzielt. Hypersequente Kalküle entstehen aus sequentiellen Kalkülen, indem endliche Multisets oder Sequenzen von Sequenzen, die als Disjunktionen von Sequenzen interpretiert werden, als Hauptinferenzobjekt betrachtet werden. Im Fall der Gödel-Dummett-Logik hebt man die Regeln von Gentzens intuitionistischem Sequenzkalkül auf, indem man einfach Seitenhypersequenzen zu den oberen und unteren Sequenzen hinzufügt. Beispielsweise,die sequentielle Regel zum Einführen einer Disjunktion auf der rechten Seite) frac { Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} Gamma_2 / Rightarrow / psi} { Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}] wobei (Gamma_1) und (Gamma_2) endliche Folgen von Formeln sind, wird in die folgende hypersequente Regel umgewandelt:) frac {H / mid / Gamma_1 / Rightarrow / phi / hspace {3ex} H ' / mid / Gamma_2 / Rightarrow / psi} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / phi / vee / psi}) wobei (H) und (H') die Seite bezeichnen Hypersequenzen, dh endliche Sequenzen oder mehrere Sätze von Sequenzen. Dies allein ändert nichts an der entsprechenden Logik (in diesem Fall an der intuitionistischen Logik). Die entscheidende zusätzliche Strukturregel ist die sogenannte Kommunikationsregel:) frac {H / mid / Gamma_1, / Pi_1 / Rightarrow / Delta_1 / hspace {3ex} H '\ mid / Gamma_2,\ Pi_2 / Rightarrow / Delta_2} {H / mid H '\ mid / Gamma_1, / Gamma_2 / Rightarrow / Delta_1 / mid / Pi_2, / Pi_2 / Rightarrow / Delta_2}) Hier (Gamma_1, / Gamma_2, / Pi_1, / Pi_2) sind endliche Listen von Formeln; (Delta_1) und (Delta_2) sind entweder einzelne Formeln oder bleiben leer; (H) und (H ') bezeichnen die Seitenhypersequenzen wie oben.

Um einen hypersequenten Kalkül für die grundlegende Fuzzy-Logik-MTL zu erhalten, muss die Kommunikationsregel einem sequentiellen System für eine kontraktionsfreie Version der intuitionistischen Logik hinzugefügt werden. Analytische Beweissysteme für andere Fuzzy-Logiken, insbesondere für die Łukasiewicz-Logik, erfordern eine radikalere Abkehr von traditionellen Kalkulen, bei denen die sequentiellen Komponenten von Hypersequenzen anders interpretiert werden als intuitionistische oder klassische Sequenzen. Es wurden auch sogenannte markierte Beweissysteme und verschiedene Tableau-Kalküle vorgeschlagen. Eine detaillierte Darstellung des entsprechenden Standes der Technik finden Sie in Metcalfe, Olivetti & Gabbay 2008 und Metcalfe 2011.

9. Semantik, die die Wahrheitsfunktionalität rechtfertigt

Es ist nicht nur aus philosophischer Sicht wünschenswert, potenzielle Anwendungen der Fuzzy-Logik besser in den Griff zu bekommen, um die Bedeutung von zwischengeschalteten Wahrheitswerten und entsprechenden logischen Verknüpfungen mit grundlegenden Argumentationsmodellen mit vagen und ungenauen Begriffen in Beziehung zu setzen. Eine Reihe solcher Semantiken, die bestimmte Entscheidungen von wahrheitsfunktionalen Konnektiven rechtfertigen sollen, wurden eingeführt. Nur zwei davon werden hier kurz beschrieben.

Die Abstimmungssemantik basiert auf der Idee, dass verschiedene Agenten (Wähler) denselben Satz kohärent unterschiedlich beurteilen können. Der Anteil der Agenten, die einen Satz (varphi) als wahr akzeptieren, kann als Wahrheitswert angesehen werden. Ohne weitere Einschränkungen führt dies nicht zu einer wahrheitsfunktionalen Semantik, sondern zu einer Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten zu Sätzen. Wenn man jedoch jedem Agenten ein festes Maß an Skepsis zuweist und einige natürliche Bedingungen auferlegt, die die Beurteilung logisch komplexer Aussagen mit diesen Maßstäben in Einklang halten, kann man (min), (max) und / wiederherstellen (1-x) als Wahrheitsfunktionen für Konjunktion, Disjunktion bzw. Negation. Details finden Sie in Lawry 1998.

Ein weiteres faszinierendes Argumentationsmodell, das alle Aussagen der Standard-Łukasiewicz-Logik rechtfertigt, wurde von Giles (1974) eingeführt. Es besteht aus einem Spiel, in dem zwei Spieler, ich und Sie, logisch komplexe Behauptungen (Formeln) nach folgenden Regeln systematisch auf einfachere reduzieren:

• Wenn ich (varphi / lor / psi) bestätige, muss ich entweder (varphi) oder (psi) bestätigen.
• Wenn ich (varphi / land / psi) behaupte, wählen Sie eine der Konjunktionen aus und ich muss entweder (varphi) oder (psi) entsprechend behaupten.
• Wenn ich (varphi / bis / psi) bestätige, muss ich (psi) bestätigen, wenn Sie (varphi) bestätigen.

Die Regeln für quantifizierte Anweisungen beziehen sich auf eine feste Domäne, vorausgesetzt, es gibt ein konstantes Symbol für jedes Domänenelement, das festgelegt wird:

• Wenn ich ((forall x) varphi (x)) behaupte, muss ich (varphi (c)) für eine von Ihnen gewählte Konstante (c) behaupten.
• Wenn ich ((existiert x) varphi (x)) behaupte, muss ich (varphi (c)) für eine von mir gewählte Konstante (c) behaupten.

Die Regeln für Ihre Behauptungen sind doppelt. In jedem Zustand des Spiels wird ein Auftreten einer nichtatomaren Formel entweder im Multiset der aktuellen Behauptungen von mir oder von Ihnen ausgewählt und durch Unterformeln ersetzt, wie in diesen Regeln angegeben, bis nur noch atomare Behauptungen übrig bleiben. Ein endgültiger Spielzustand wird dann gemäß dem folgenden Wettschema bewertet.

Für jede Atomformel gibt es ein entsprechendes Experiment, das entweder fehlschlagen oder erfolgreich sein kann, aber Dispersion zeigen kann, dh bei Wiederholung unterschiedliche Ergebnisse liefern kann. Jedem Experiment und damit jeder Atomformel wird eine feste Ausfallwahrscheinlichkeit zugeordnet, die als Risikowert bezeichnet wird. Die Spieler müssen dem anderen Spieler für jede ihrer atomaren Behauptungen, bei denen die zugehörigen Experimente fehlschlagen, ($) 1 zahlen. Für jedes Spiel, das mit meiner Behauptung von (varphi) beginnt, kann gezeigt werden, dass mein erwarteter Gesamtgeldverlust, wenn wir beide rational spielen, umgekehrt dem Wahrheitswert von (varphi) entspricht, der in einer Interpretation der Łukasiewicz-Logik bewertet wurde weist Atomformeln die Umkehrung der Risikowerte als Wahrheitswerte zu. Insbesondere ist eine Formel in der Łukasiewicz-Logik genau dann gültig, wenn für jede RisikowertzuweisungIch habe eine Strategie, die garantiert, dass mein erwarteter Gesamtverlust am Ende des Spiels (0) oder negativ ist.

Fermüller & Metcalfe (2009) haben eine Entsprechung zwischen optimalen Strategien in Giles 'Spiel und schnittfreien Beweisen in einem hypersequenten System für die Łukasiewicz-Logik aufgezeigt. Das Spiel wurde auch von Fermüller & Roschger (2014) erweitert, um verschiedene Arten von (Halb-) Fuzzy-Quantifizierern zu charakterisieren, die natürliche Sprachausdrücke wie „etwa die Hälfte“oder „fast alle“modellieren sollen.

Paris (2000) bietet einen Überblick über andere Semantiken, die verschiedene Auswahlmöglichkeiten von Wahrheitsfunktionen unterstützen. insbesondere Re-Randomisierung der Semantik (Hisdal 1988), Ähnlichkeitssemantik (z. B. Ruspini 1991), Akzeptanzsemantik (Paris 1997) und Approximationssemantik (Paris 2000). Erwähnen wir auch die ressourcenbasierte Semantik von Běhounek (2009). Darüber hinaus gibt es neben der oben beschriebenen Logik von Giles für Łukasiewicz verschiedene Formen von Bewertungsspielen für verschiedene Fuzzy-Logiken. Eine Übersicht über diese semantischen Spiele finden Sie in Fermüller 2015.

10. Fuzzy-Logik und Unbestimmtheit

Die Modellierung von Argumenten mit vagen Prädikaten und Aussagen wird häufig als Hauptmotivation für die Einführung von Fuzzy-Logik angeführt. Es gibt viele alternative Theorien der Unbestimmtheit (siehe Eintrag zur Unbestimmtheit), aber es besteht allgemeine Übereinstimmung darüber, dass die Anfälligkeit für das Soriten-Paradoxon (siehe Eintrag zum Soriten-Paradoxon) ein Hauptmerkmal der Unbestimmtheit ist. Betrachten Sie die folgende Version des Paradoxons:

• (1) (10 ^ {100}) ist eine riesige Zahl.
• (2) Wenn (n) eine große Zahl ist, dann ist (n-1) auch eine große Zahl.

Auf den ersten Blick erscheint es nicht unangemessen, diese beiden Annahmen zu akzeptieren. Indem wir (n) mit (10 ^ {100}) in (2) instanziieren und modus ponens mit (1) als anderer Prämisse anwenden, schließen wir, dass (10 ^ {100} -1) riesig ist. Indem wir diese Art von Folgerung einfach wiederholen, gelangen wir zu der unvernünftigen Aussage

(3) (0) ist eine riesige Zahl

Die Fuzzy-Logik schlägt eine Analyse des Soriten-Paradoxons vor, die die Intuition respektiert, dass Aussage (2), obwohl sie wohl nicht ganz wahr ist, fast wahr ist.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Form des Denkens in t-normbasierten Fuzzy-Logiken zu modellieren, die das Paradoxon auflösen. Zum Beispiel kann man erklären, dass jeder Fall von Modus Ponens gesund ist, wenn der Wahrheitsgrad der Schlussfolgerung nicht niedriger ist als der der starken Verbindung seiner Prämissen. ^[5]Wie angegeben, legt man fest, dass jede Instanz von (2) für eine sehr kleine Anzahl (epsilon) dem Grad (1- / epsilon) entspricht. Selbst wenn wir (1) für vollkommen wahr erklären, könnte die Aussage, dass (10 ^ {100} -1) ebenfalls riesig ist, weniger als vollkommen wahr sein, ohne die Solidität von Instanziierung und Modus Ponens zu beeinträchtigen. Wenn darüber hinaus der Wahrheitsgrad der Konjunktion zweier nicht vollkommen wahrer (oder nicht vollkommen falscher) Aussagen geringer ist als der jeder Konjunktion, können wir sicher erklären, dass die Aussage (3) vollkommen falsch ist und dennoch auf der Richtigkeit von bestehen jeder Schritt in der angegebenen Inferenzkette. Informell gesehen verschwindet das Paradoxon, indem angenommen wird, dass das wiederholte Verringern einer vollkommen großen Zahl um einen kleinen Betrag zu Zahlen führt, von denen es immer weniger wahr ist, dass sie auch riesig sind.

Eine alternative, auf Wahrheitsgrad basierende Lösung für das Soriten-Paradoxon wurde von Hájek & Novák (2003) vorgeschlagen. Sie führen eine neue Wahrheitsfunktion ein, die den Ausdruck „es ist fast wahr, dass“modelliert. Auf diese Weise formalisieren sie das Denken im Soriten-Stil innerhalb einer axiomatischen Theorie einer geeigneten T-Norm-basierten Fuzzy-Logik.

Smith (2008; siehe auch 2005) hat argumentiert, dass das sogenannte Näheprinzip das Wesen der Unbestimmtheit erfasst. Es drückt aus, dass Aussagen derselben Form über nicht unterscheidbare Objekte in Bezug auf die Wahrheit nahe bleiben sollten. Es ist ein Kennzeichen vieler Herangehensweisen an das Paradoxon, die Fuzzy-Logik verwenden, dass sie mit diesem Prinzip kompatibel sind. ^[6]

Literaturverzeichnis

Ergänzungsdokument:

Bibliographie Nach Themen sortiert

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