Vielwertige Logik

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Vielwertige Logik

Erstveröffentlichung Di 25. April 2000; inhaltliche Überarbeitung Do 5. März 2015

Vielwertige Logiken sind nicht klassische Logiken. Sie ähneln der klassischen Logik, weil sie das Prinzip der Wahrheitsfunktionalität akzeptieren, nämlich dass die Wahrheit eines zusammengesetzten Satzes durch die Wahrheitswerte seiner Komponentensätze bestimmt wird (und somit unberührt bleibt, wenn einer seiner Komponentensätze durch einen anderen ersetzt wird Satz mit dem gleichen Wahrheitswert). Sie unterscheiden sich von der klassischen Logik jedoch dadurch, dass sie die Anzahl der Wahrheitswerte nicht auf nur zwei beschränken: Sie ermöglichen eine größere Menge von ((W)) Wahrheitsgraden.

Ebenso wie der Begriff "mögliche Welten" in der Semantik der Modallogik neu interpretiert werden kann (z. B. als "Zeitmomente" in der Semantik der Zeitlogik oder als "Zustände" in der Semantik der dynamischen Logik), gibt es ihn nicht eine Standardinterpretation der Wahrheitsgrade. Wie sie zu verstehen sind, hängt vom tatsächlichen Anwendungsbereich ab. Es ist jedoch allgemein üblich anzunehmen, dass es zwei bestimmte Wahrheitsgrade gibt, die normalerweise mit „0“und „1“bezeichnet werden. Diese besonderen Wahrheitsgrade wirken jeweils wie die traditionellen Wahrheitswerte „Falsum“und „Verum“- manchmal aber auch wie „absolut falsch“und „absolut wahr“, insbesondere in Fällen, in denen die traditionellen Wahrheitswerte der klassischen Logik „gespalten“sind. in eine Reihe von Wahrheitsgraden.

Viele geschätzte Logiken behandeln ihre Wahrheitsgrade als technische Werkzeuge und beabsichtigen, sie für bestimmte Anwendungen geeignet auszuwählen. Es ist ein ziemlich schwieriges philosophisches Problem, die (mögliche, nicht technische) Natur solcher "Wahrheitsgrade" oder "Wahrheitswerte" zu diskutieren. Der interessierte Leser kann die Monographie Shramko / Wansing (2011) oder den Eintrag zu Wahrheitswerten konsultieren.

Die formalisierten Sprachen für Systeme mit vielwertiger Logik (MVL) folgen den beiden Standardmustern für Aussagenlogik bzw. Prädikatenlogik:

  • es gibt Satzvariablen zusammen mit Konnektiven und (möglicherweise auch) Wahrheitsgradkonstanten bei Satzsprachen,
  • Es gibt Objektvariablen zusammen mit Prädikatsymbolen, möglicherweise auch Objektkonstanten und Funktionssymbole, sowie Quantifizierer, Konnektiva und (möglicherweise auch) Wahrheitsgradkonstanten bei Sprachen erster Ordnung.

Wie in der Logik üblich, sind diese Sprachen die Grundlage für semantisch sowie syntaktisch begründete Logiksysteme.

  • 1. Semantik

    • 1.1 Standardmäßige logische Matrizen
    • 1.2 Algebraische Semantik
    • 1.3 Spielesemantik
  • 2. Beweistheorie

    • 2.1 Hilbert-Kalküle
    • 2.2 Gentzen-Sequenzsteine
    • 2.3 Tableau-Kalküle
  • 3. Systeme der vielwertigen Logik

    • 3.1 Łukasiewicz-Logik
    • 3.2 Gödel-Logik
    • 3.3 t-Norm-basierte Systeme
    • 3.4 Dreiwertige Systeme
    • 3.5 4-wertiges System von Dunn / Belnap
    • 3.6 Produktsysteme
  • 4. Anwendungen der vielwertigen Logik

    • 4.1 Anwendungen in der Sprachwissenschaft
    • 4.2 Anwendungen für die Logik
    • 4.3 Anwendungen auf philosophische Probleme
    • 4.4 Anwendungen für das Hardware-Design
    • 4.5 Anwendungen auf künstliche Intelligenz
    • 4.6 Anwendungen in der Mathematik
  • 5. Geschichte der vielwertigen Logik
  • Literaturverzeichnis

    • Monographien und Übersichtsartikel
    • Andere zitierte Werke
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Semantik

Es gibt drei Arten von Semantik für Systeme mit vielwertiger Logik.

  • 1.1 Standardmäßige logische Matrizen
  • 1.2 Algebraische Semantik
  • 1.3 Spielesemantik

Wir diskutieren diese nacheinander.

1.1 Standardmäßige logische Matrizen

Der am besten geeignete Weg, ein System (bS) mit vielwertiger Logik zu definieren, besteht darin, die charakteristische logische Matrix für seine Sprache festzulegen, dh Folgendes festzulegen:

  • die Menge der Wahrheitsgrade,
  • die Wahrheitsgradfunktionen, die die Satzverbindungen interpretieren,
  • die Bedeutung der Wahrheitsgradkonstanten,
  • die semantische Interpretation der Quantifizierer,

und zusätzlich

  • die bezeichneten Wahrheitsgrade, die eine Teilmenge der Menge der Wahrheitsgrade bilden und als Ersatz für den traditionellen Wahrheitswert „Verum“dienen,
  • und gelegentlich auch anti-bezeichnete Wahrheitsgrade, die eine Teilmenge der Menge der Wahrheitsgrade bilden und als Ersatz für den traditionellen Wahrheitswert „Falsum“dienen.

Eine wohlgeformte Formel (A) einer Satzsprache gilt unter einer bestimmten Bewertung (alpha) als gültig (die die Menge der Satzvariablen auf die Menge der Wahrheitsgrade abbildet), wenn sie unter \ einen bestimmten Wahrheitsgrad hat (Alpha). Und (A) ist logisch gültig oder eine Tautologie, wenn es unter allen Bewertungen gültig ist.

Im Fall einer Sprache erster Ordnung gilt eine solche wohlgeformte Formel (A) als gültig unter einer Interpretation (alpha) der Sprache, wenn sie unter dieser Interpretation und allen Zuordnungen von einen bestimmten Wahrheitsgrad aufweist Objekte aus dem Diskursuniversum dieser Interpretation zu den Objektvariablen. (A) gilt als logisch gültig, wenn es unter allen Interpretationen gültig ist.

Wie in der klassischen Logik muss eine solche Interpretation liefern

  • ein (nicht leeres) Universum des Diskurses,
  • die Bedeutung der Objektkonstanten der Sprache,
  • die Bedeutung der Prädikatbuchstaben und der Funktionssymbole der Sprache.

Ein Modell einer Menge (Sigma) wohlgeformter Formeln ist eine Bewertung (alpha) oder eine Interpretation (alpha), so dass alle (A) ∈ (Sigma) sind gültig unter (alpha). Das (Sigma) bedeutet (A) bedeutet, dass jedes Modell von (Sigma) auch ein Modell von (A) ist.

1.2 Algebraische Semantik

Es gibt eine zweite Art von Semantik für Systeme (bS) mit vielwertiger Logik, die auf einer ganzen charakteristischen Klasse (bK) von (ähnlichen) algebraischen Strukturen basiert. Jede solche algebraische Struktur muss alle Daten liefern, die von einer charakteristischen logischen Matrix für die Sprache von (bS) bereitgestellt werden müssen.

Der Begriff der Gültigkeit einer Formel (A) in Bezug auf eine algebraische Struktur aus (bK) ist so definiert, als würde diese Struktur eine logische Matrix bilden. Und logische Gültigkeit bedeutet hier Gültigkeit für alle Strukturen aus der Klasse (bK).

Die Art der algebraischen Strukturen, die eine solche charakteristische Klasse (bK) für ein System (bS) von MVL bilden, kann normalerweise aus zwei verschiedenen Quellen stammen. Eine erste Quelle kann durch extralogische Überlegungen bestimmt werden, die eine solche Klasse algebraischer Strukturen unterscheiden. Wenn ein System (bS) von MVL jedoch syntaktisch oder durch eine einzelne charakteristische Matrix bestimmt wird, wird eine solche Klasse algebraischer Strukturen häufig durch die (syntaktische oder semantische) Lindenbaum-Algebra von (bS) bestimmt. und spielt in einem solchen Fall oft auch eine entscheidende Rolle innerhalb eines algebraischen Vollständigkeitsnachweises. Die algebraischen Strukturen in (bK) spielen für (bS) eine ähnliche Rolle wie die Booleschen Algebren für die klassische Logik.

Für bestimmte MVL-Systeme gibt es zB folgende charakteristische Klassen algebraischer Strukturen:

  • für unendlich wertvolle Łukasiewicz-Logik die Klasse der MV-Algebren,
  • für die unendlich wertvolle Gödel-Logik die Klasse aller Heyting-Algebren, die zusätzlich die Prelinearität erfüllen ((x \ rightarrow y) cup (y \ rightarrow x) = 1,)
  • für Hajeks grundlegende t-Norm-Logik BL die Klasse aller t-Algebren, dh all jene algebraischen Strukturen, die durch das reale Einheitsintervall zusammen mit einer linkskontinuierlichen t-Norm (T) und ihrer Restriktionsoperation (I_ gebildet werden) {T}) definiert als (I_ {T} (x, y) = \ sup {z \ mid T (x, z) le y }.)

Für die ersten beiden dieser Beispiele hat man historisch gesehen die durch eine charakteristische Matrix bestimmte Logik und die entsprechende Klasse von algebraischen Strukturen, die später bestimmt werden. Für das dritte Beispiel ist die Situation anders: BL wurde als Logik aller kontinuierlichen t-Normen entworfen, und aus diesem extralogischen Ansatz wurde die Klasse aller teilbaren Restgitter gefunden, die die Prelinearität erfüllen.

Aus philosophischer Sicht wäre es jedoch normalerweise vorzuziehen, eine semantische Grundlage für ein MVL-System zu haben, das eine einzige charakteristische logische Matrix verwendet. Aus formaler Sicht sind beide Ansätze jedoch gleich wichtig, und die algebraische Semantik erweist sich als allgemeinerer Ansatz.

1.3 Spielesemantik

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie Logik und Spiele in Beziehung gesetzt werden können. Die dialogische Logik bietet beispielsweise eine spieltheoretische Semantik sowohl für die klassische als auch für die intuitionistische Logik: Eine Formel gilt als gültig, wenn ein Befürworter, der diese Formel angibt, eine Gewinnstrategie für mögliche Angriffe hat, die ein Gegner realisieren darf.

Im Zusammenhang mit der Beziehung zwischen Fuzzy-Mengen und vielwertiger Logik bot Robin Giles einen Ansatz für einen spielorientierten Blick auf die logische Gültigkeit an. Ab 1975 schlug er in einer Reihe von Arbeiten Giles (1975, 1976, 1979) und erneut in Giles (1988) eine allgemeine Behandlung des Denkens mit vagen Prädikaten mittels eines formalen Systems vor, das auf einer bequemen Dialoginterpretation basiert. Diese Dialoginterpretation hatte er bereits in anderen Arbeiten wie Giles 1974 verwendet, die sich mit subjektivem Glauben und den Grundlagen der Physik befassen. Die Hauptidee ist, „einen Satz einen Glauben darstellen zu lassen, indem man ihn in Form einer Wette greifbar ausdrückt“. Das Wetten betrifft die tatsächlichen Ergebnisse dispersiver Experimente mit verschiedenen möglichen Ergebnissen bekannter Wahrscheinlichkeit. In dieser Einstellung wird ein "Satz (psi)" aus Sätzen (phi_ {1}, \ ldots, \ phi_ {n}) betrachtet, genau dann, wenn derjenige, der die Wetten annimmt (phi_ {1) }, \ ldots, \ phi_ {n}) können gleichzeitig (psi) ohne Angst vor Verlust wetten”.

Die auf diese Weise erhaltene (formale) Sprache ist eng verwandt mit valuedukasiewicz 'unendlich wertvoller Logik (rL _ { infty}): Tatsächlich fallen die beiden Systeme zusammen, wenn man einem Satz (phi) den Wahrheitswert zuweist (1- \ langle \ phi \ rangle), mit (langle \ phi \ rangle) für den Risikowert der Behauptung (phi). Und er fügt sogar die Bemerkung hinzu, dass die Łukasiewicz-Logik mit dieser Dialoginterpretation genau für die Formulierung der 'Fuzzy-Set-Theorie' geeignet ist, die zuerst von LA Zadeh (1965) beschrieben wurde; in der Tat ist es nicht zu viel zu behaupten, dass (rL _ { infty}) mit der Fuzzy-Mengen-Theorie zusammenhängt, genau wie die klassische Logik mit der gewöhnlichen Mengen-Theorie zusammenhängt. “

Verschiedene Versionen und Verallgemeinerungen dieser Dialogspiele wurden kürzlich untersucht. Verschiedene Aspekte dieser Entwicklungen werden beispielsweise in Fermüller (2008) und Fermüller / Roschger (2014) diskutiert. Solche Ansätze können nicht nur Spielesemantik für z. B. Gödel-Logik und Produktlogik bereitstellen. Es gibt auch Brücken, die solche Spiele mit dem Entwurf sequentieller Kalküle für vielwertige Logiken verbinden, vgl. Fermüller / Metcalfe (2009).

Es gibt auch eine weitere Art von Dialogspielen, die sich auf die (m) -bewertete Łukasiewicz-Logik beziehen: Ein Befürworter bittet um Informationen, und der antwortende Gegner darf bis zu (m) Zeiten liegen. Solche "Ulam-Spiele mit Lügen" wurden von Mundici (1992) eingeführt.

2. Beweistheorie

Die Haupttypen logischer Kalküle sind alle für MVL-Systeme verfügbar:

  • 2.1 Hilbert-Kalküle
  • 2.2 Gentzen-Sequenzsteine
  • 2.3 Tableau-Kalküle

Einige der oben genannten sind jedoch nur für Systeme mit endlichem Wert verfügbar. Der gegenwärtige Stand der Technik für eine breite Klasse von unendlich geschätzten Logiken wird in Metcalfe / Olivetti / Gabbay (2009) vorgestellt.

2.1 Hilbert-Kalküle

Diese Kalküle werden auf die gleiche Weise wie die entsprechenden Kalküle für die klassische Logik gebildet: Ein Satz von Axiomen wird zusammen mit einem Satz von Inferenzregeln verwendet. Der Begriff der Ableitung ist der übliche.

2.2 Gentzen-Sequenzsteine

Zusätzlich zu den üblichen Arten von sequentiellen Kalkülen haben Forscher kürzlich begonnen, "hypersequente" Kalküle für MVL-Systeme zu diskutieren. Hypersequenzen sind endliche Multisets, dh endliche ungeordnete Listen gewöhnlicher Sequenzen.

Für endlich bewertete Systeme, insbesondere (m) -bewertete Systeme, gibt es auch sequentielle Kalküle, die mit verallgemeinerten Sequenzen arbeiten. Im Fall mit (m) -Wert sind dies Folgen der Länge (m) von Formelsätzen.

2.3 Tableau-Kalküle

Die Baumstruktur der Tableaus bleibt in diesen Steinen dieselbe wie in den Tableau-Steinen für die klassische Logik. Die Beschriftungen der Knoten werden zu allgemeineren Objekten, nämlich signierten Formeln. Eine vorzeichenbehaftete Formel ist ein Paar, das aus einem Vorzeichen und einer wohlgeformten Formel besteht. Ein Zeichen ist entweder ein Wahrheitsgrad oder eine Reihe von Wahrheitsgraden.

Tableau-Kalküle mit vorzeichenbehafteten Formeln sind normalerweise auf MVL-Systeme mit endlichen Werten beschränkt, damit sie effektiv behandelt werden können.

3. Systeme der vielwertigen Logik

Die Hauptsysteme von MVL kommen häufig als Familien vor, die sowohl einheitlich definierte endliche als auch unendlichwertige Systeme umfassen. Hier ist eine Liste:

  • 3.1 Łukasiewicz-Logik
  • 3.2 Gödel-Logik
  • 3.3 t-Norm-basierte Systeme
  • 3.4 Dreiwertige Systeme
  • 3.5 4-wertiges System von Dunn / Belnap
  • 3.6 Produktsysteme

3.1 Łukasiewicz-Logik

Die Systeme (rL_ {m}) und (rL _ { infty}) werden durch die logische Matrix definiert, die entweder eine endliche Menge hat

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} mid 0 \ le k \ le m - 1 })

von Rationalen innerhalb des realen Einheitsintervalls oder des gesamten Einheitsintervalls

[W _ { infty} = [0,1] = {x \ in \ Re \ mid 0 \ le x \ le 1 })

als Wahrheitsgrad festgelegt. Der Grad 1 ist der einzige bezeichnete Wahrheitsgrad.

Die Hauptverbindungen dieser Systeme sind eine starke und eine schwache Konjunktion (amp) bzw. (wedge), die durch die Wahrheitsgradfunktionen gegeben sind

\ begin {align} u \ amp v & = \ max {0, u + v-1 }, \\ u \ wedge v & = \ min {u, v }, \ end {align}

eine Negationsverbindung (neg) bestimmt durch

) neg u = 1-u,)

und eine Implikationsverbindung (rightarrow) mit Wahrheitsgradfunktion

[u \ rightarrow v = \ min {1, 1-u + v }.)

Oft werden auch zwei Disjunktionsverbindungen verwendet. Diese werden in Form von (amp) bzw. (wedge) über die üblichen de Morgan-Gesetze unter Verwendung von (neg) definiert. Für die asukasiewicz-Systeme erster Ordnung addiert man zwei Quantifizierer (forall), (existiert) so, dass der Wahrheitsgrad von (forall xH (x)) das Infimum aller relevanten ist Wahrheitsgrade von (H (x)), und dass der Wahrheitsgrad von (existiert xH (x)) das Supremum aller relevanten Wahrheitsgrade von (H (x)) ist.

3.2 Gödel-Logik

Die Systeme (rG_ {m}) und (rG _ { infty}) werden durch die logische Matrix definiert, die entweder eine endliche Menge hat

[W_ {m} = { tfrac {k} {m - 1} mid 0 \ le k \ le m - 1 })

von Rationalen innerhalb des realen Einheitsintervalls oder des gesamten Einheitsintervalls

[W _ { infty} = [0,1] = {x \ in \ Re \ mid 0 \ le x \ le 1 })

als Wahrheitsgrad festgelegt. Der Grad 1 ist der einzige bezeichnete Wahrheitsgrad.

Die Hauptverbindungen dieser Systeme sind eine Konjunktion (Keil) und eine Disjunktion (vee), die durch die Wahrheitsgradfunktionen bestimmt werden

\ begin {align} u \ wedge v & = \ min {u, v }, \\ u \ vee v & = \ max {u, v }, \ end {align}

ein Implikationskonnektiv (rightarrow) mit Wahrheitsgradfunktion

(u \ rightarrow v)
(u \ le v) 1
(u \ gt v) (v)

und eine Negationsverbindung (sim) mit Wahrheitsgradfunktion

({ sim} u)
(u = 0) 1
(u \ ne 0) 0

Für die Gödel-Systeme erster Ordnung addiert man zwei Quantifizierer (forall), (existiert) so, dass der Wahrheitsgrad von (forall xH (x)) das Infimum aller relevanten ist Wahrheitsgrade von (H (x)), und dass der Wahrheitsgrad von (existiert xH (x)) das Supremum aller relevanten Wahrheitsgrade von (H (x)) ist.

3.3 t-Norm-basierte Systeme

Für unendlich bewertete Systeme mit festgelegtem Wahrheitsgrad

[W _ { infty} = [0,1] = {x \ in \ Re \ mid 0 \ le x \ le 1 })

Der Einfluss der Fuzzy-Set-Theorie seit Mitte der 1980er Jahre leitete die Untersuchung einer ganzen Klasse solcher MVL-Systeme ein.

Diese Systeme werden im Wesentlichen durch eine (möglicherweise nicht idempotente) starke Konjunktionsverbindung (amp _ { rT}) bestimmt, die als entsprechende Wahrheitsgradfunktion eine t-Norm (rT) hat, dh eine binäre Operation (rT) in dem Einheitsintervall, das assoziativ, kommutativ, nicht abnehmend ist und den Grad 1 als neutrales Element hat:

\ begin {align} & \ rT (u, \ rT (v, w)) = \ rT (rT (u, v), w), \& \ rT (u, v) = \ rT (v, u), \& u \ le v \ rightarrow \ rT (u, w) le \ rT (v, w), \& \ rT (u, 1) = u. \ end {align}

Für alle T-Normen, die die Superkonservierungseigenschaft haben

) rT (u, { sup} _ {i} v_ {i}) = { sup} _ {i} rT (u, v_ {i}),)

Es gibt eine Standardmethode, um eine verwandte Implikationsverbindung (rightarrow _ { rT}) mit der Wahrheitsgradfunktion einzuführen

[u \ rightarrow _ { rT} v = \ sup {z \ mid \ rT (u, z) le v }.)

Dieser Implikationskonnektiv ist mit der t-Norm (rT) durch die entscheidende Adjointness-Bedingung verbunden

) rT (u, v) le w \ Leftrightarrow u \ le (v \ rightarrow _ { rT} w),)

Dies bestimmt (rightarrow _ { rT}) eindeutig für jedes (rT) mit Sup-Conservation-Eigenschaft.

Die Sprache wird weiter mit einem Negationskonnektiv angereichert, (-_ { rT}), der durch die Wahrheitsgradfunktion bestimmt wird

[-_ { rT} u = u \ rightarrow _ { rT} 0.)

Dies zwingt die Sprache, auch eine Wahrheitsgradkonstante (uO) zu haben, um den Wahrheitsgrad 0 zu bezeichnen, weil dann (-_ { rT}) ein definierbarer Zusammenhang wird.

Normalerweise fügt man als zwei weitere Konnektive eine (schwache) Konjunktion (wedge) und eine Disjunktion (vee) mit Wahrheitsgradfunktionen hinzu.

\ begin {align} u \ wedge v & = \ min {u, v }, \\ u \ vee v & = \ max {u, v }, \ end {align}

Für t-Normen, die stetige Funktionen sind (im üblichen Sinne der Kontinuität für reale Funktionen zweier Variablen), werden diese zusätzlichen Konnektiva sogar definierbar. Geeignete Definitionen sind

\ begin {align} min {u, v } & = \ rT (u, (u \ rightarrow _ { rT} v)), \\ \ max {u, v } & = \ min { ((u \ rightarrow _ { rT} v) rightarrow _ { rT} v), ((v \ rightarrow _ { rT} u) rightarrow _ { rT} u) }. \ end {align}

Besondere Fälle solcher t-normbezogenen Systeme sind die unendlich bewerteten Łukasiewicz- und Gödel-Systeme (rL _ { infty}), (rG _ { infty}) sowie die Produktlogik, die das übliche arithmetische Produkt aufweist als seine grundlegende t-Norm.

Aus analytischer Sicht ist für eine t-Norm (rT) ihre Erhaltungseigenschaft die Linkskontinuität dieser Binärfunktion (rT), dh die Eigenschaft, dass jede der unären Funktionen (rT_ {a} (x) = \ rT (a, x)) ist linkskontinuierlich. Und die Kontinuität einer solchen t-Norm T kann durch die algebraische Teilbarkeitsbedingung charakterisiert werden

[u \ amp _ { rT} (u \ rightarrow _ { rT} v) = u \ wedge v.)

Die Klasse aller T-Normen ist sehr groß und bisher nicht wirklich gut verstanden. Selbst für jene t-Normen, die die Eigenschaft der Erhaltung haben, ist das strukturelle Verständnis bei weitem nicht vollständig, aber viel besser als für den allgemeinen Fall: Eine Diskussion über den jüngsten Stand der Technik gibt Jenei (2004). Ausreichend gut verstanden ist nur die weitere Unterklasse der kontinuierlichen t-Normen: Sie bestehen gut aus isomorphen Kopien der Łukasiewicz-t-Norm, der Produkt-t-Norm und der Gödel-t-Norm, dh der Min-Operation, wie erläutert zB in Gottwald (2001).

Tatsächlich ist man in der Lage, t-normbasierte Systeme für bestimmte Klassen von t-Normen zu axiomatisieren. Als grundlegendes Ergebnis hat Hájek (1998) eine Axiomatisierung der Logik BL aller kontinuierlichen t-Normen gegeben. Neben der zuvor erwähnten algebraischen Semantik hat diese Logik, wie von Hajek vermutet und in Cignoli / Esteva / Godo / Torrens (2000) bewiesen, als eine weitere algebraische Semantik die Klasse aller auf t-Norm basierenden Strukturen, deren t-Norm eine kontinuierliche Funktion ist. Basierend auf dieser Arbeit vermuteten Esteva und Godo (2001) eine Axiomatisierung für die logische MTL aller t-Normen, die die Superkonservierungseigenschaft haben, und Jenei / Montagna (2002) bewiesen, dass dies wirklich eine adäquate Axiomatisierung ist. Und Esteva / Godo / Montagna (2004) bieten eine Methode an, um die Logik jeder einzelnen kontinuierlichen t-Norm zu axiomatisieren:Sie liefern einen Algorithmus, der für jede bestimmte kontinuierliche t-Norm (rT) eine endliche Liste von Axiomschemata liefert, die, wenn sie zur logischen BL aller kontinuierlichen t-Normen hinzugefügt werden, eine angemessene Axiomatisierung der bestimmten t-Norm ergeben basierte Logik für (rT).

Die Axiomatisierung weiterer t-normbasierter Systeme sowie die Frage nach t-normbasierten Quantifizierern sind aktuelle Forschungsprobleme. Das Hauptaugenmerk liegt auf den folgenden zwei Aspekten, die Modifikationen der Ausdruckskraft dieser auf T-Norm basierenden Systeme betreffen: (i) Stärkung dieser Ausdruckbarkeit durch Bildung von Systemen mit zusätzlichen Negationsoperatoren oder mit mehreren auf T-Norm basierenden Konjunktionsoperationen; (ii) Modifikationen dieser Ausdruckbarkeit, z. B. durch Löschen der Wahrheitsgradkonstante (uO) aus der Sprache, aber Hinzufügen einer Implikation zum Grundvokabular, und (iii) Verallgemeinerungen, die die grundlegenden t-Normen in nicht kommutative modifizieren "Pseudo-t-Normen" und führen so zu Logik mit nicht kommutativen Konjunktionsverbindungen. Umfragen zu diesen Entwicklungen wurden von Gottwald / Hájek (2005), Gottwald (2008),und Cintula / Hájek (2010).

Eine fast vollständige Darstellung des Standes der Technik im Jahr 2011 ist die Monographie Cintula / Hájek / Noguera (2011). Und die besonderen Beiträge von P. Hájek zu diesen Entwicklungen werden im Buch Montagna (2015) gewürdigt.

3.4 Dreiwertige Systeme

3-wertige Systeme scheinen besonders einfache Fälle zu sein, die eine intuitive Interpretation der Wahrheitsgrade bieten. Diese Systeme enthalten neben den klassischen Wahrheitswerten nur einen zusätzlichen Grad.

Der Mathematiker und Logiker Kleene verwendete einen dritten Wahrheitsgrad für „undefiniert“im Kontext partieller rekursiver Funktionen. Seine Konnektiva waren die Negation, die schwache Konjunktion und die schwache Disjunktion des 3-wertigen Łukasiewicz-Systems zusammen mit einer definierbaren Konjunktion (wedge _ {+}) und einer definierbaren Implikation (rightarrow _ {+}), bestimmt durch Wahrheitsgradfunktionen mit den folgenden Funktionstabellen (letztere haben den Wahrheitsgrad ½, wenn einer ihrer Bestandteile den Wahrheitsgrad ½ hat):

(wedge _ {+}) 0 ½ 1
0 0 ½ 0
½ ½ ½ ½
1 0 ½ 1
(rightarrow _ {+}) 0 ½ 1
0 1 ½ 1
½ ½ ½ ½
1 0 ½ 1

Hier ist ½ der dritte Wahrheitsgrad „undefiniert“. In diesem Kleene-System ist der Grad 1 der einzige bezeichnete Wahrheitsgrad.

Blau (1978) verwendete ein anderes System als inhärente Logik der natürlichen Sprache. In Blaus System sind beide Grade 1 und ½ bezeichnet. Andere Interpretationen des dritten Wahrheitsgrades ½, zum Beispiel als „sinnlos“, „unbestimmt“oder „paradox“, motivierten das Studium anderer 3-wertiger Systeme.

3.5 4-wertiges System von Dunn / Belnap

Dieses besonders interessante MVL-System ist das Ergebnis von Untersuchungen zur Relevanzlogik, hat aber auch Bedeutung für Anwendungen in der Informatik. Sein eingestellter Wahrheitsgrad kann als angenommen werden

[W ^ * = { varnothing, { bot }, { top }, { bot, \ top } },)

und die Wahrheitsgrade, die so interpretiert werden, dass sie anzeigen (z. B. in Bezug auf eine Datenbankabfrage für einen bestimmten Sachverhalt), dass dies der Fall ist

  • keine Informationen zu diesem Sachverhalt,
  • Informationen, die besagen, dass der Sachverhalt versagt,
  • Informationen, die besagen, dass der Stand der Dinge erreicht wird,
  • widersprüchliche Informationen besagen, dass der Sachverhalt sowohl erreicht als auch fehlschlägt.

Diese Menge von Wahrheitsgraden hat zwei natürliche (Gitter-) Ordnungen:

  • eine Wahrheitsreihenfolge, die ({ top }) über den unvergleichlichen Graden (varnothing), ({ bot, \ top }) und ({ bot }) unten; dh

    4V-Wahrheit
    4V-Wahrheit
  • eine Informations- (oder: Wissens-) Reihenfolge, die ({ bot, \ top }) über den unvergleichlichen Graden ({ bot }, { top }) und \ hat (varnothing) unten; dh

    4V-Info
    4V-Info

Angesichts der inf und der sup unter der Wahrheitsreihenfolge gibt es Wahrheitsgradfunktionen für eine Konjunktion und eine Disjunktionsverbindung. Eine Negation wird auf natürliche Weise durch eine Wahrheitsgradfunktion bestimmt, die die Grade ({ bot }) und ({ top }) austauscht und die Grade ({verlässt) bot, \ top }) und (varnothing) behoben.

Tatsächlich gibt es keinen Standardkandidaten für einen Implikationskonnektiv, und die Wahl der festgelegten Wahrheitsgrade hängt von den beabsichtigten Anwendungen ab:

  • Für Informatikanwendungen ist es selbstverständlich, dass ({ top }) der einzige festgelegte Abschluss ist.
  • Für Anwendungen zur Relevanzlogik erwies sich die Wahl von ({ top }), ({ bot, \ top }) als festgelegte Grade als angemessen.

Die Wahl geeigneter Entailment-Beziehungen ist nach wie vor ein offenes Forschungsthema.

Dieses 4-wertige System hat eine interessante Interpretation im Zusammenhang mit Informationsbasen, die in einem Computer gespeichert sind, der von Belnap (1977) erklärt wurde. Eine neuere Verallgemeinerung von Shramko / Wansing (2005) auf Wissensdatenbanken in Computernetzwerken führt zu 16-wertigen Systemen, die zB auch von Odintsov (2009) untersucht werden.

Diese 16-wertigen Systeme sind auch aus philosophischer Sicht von Interesse und werden in der Monographie Shramko / Wansing (2011) ausführlich vorgestellt.

3.6 Produktsysteme

Das allgemeine Problem, ein intuitives Verständnis der Wahrheitsgrade zu finden, hat gelegentlich eine gute Lösung: Man kann davon ausgehen, dass sie verschiedene Aspekte der Bewertung von Sätzen umfassen. In einem solchen Fall von beispielsweise (k) verschiedenen Aspekten können die Wahrheitsgrade als (k) - Tupel von Werten gewählt werden, die die einzelnen Aspekte bewerten. (Und dies können z. B. Standard-Wahrheitswerte sein.)

Die Wahrheitsgradfunktionen über solche (k) - Tupel können zusätzlich "komponentenweise" aus Wahrheitsgradfunktionen (oder: Wahrheitswert) für die Werte der einzelnen Komponenten definiert werden. Auf diese Weise können (k) logische Systeme zu einem vielwertigen Produktsystem kombiniert werden.

Auf diese Weise können die Wahrheitsgrade des 4-wertigen Systems von Dunn / Belnap als Bewertung von zwei Aspekten eines Sachverhalts (SOA) in Bezug auf eine Datenbank betrachtet werden:

  1. ob es positive Informationen über die Wahrheit dieser SOA gibt oder nicht, und
  2. ob es positive Informationen über die Falschheit dieser SOA gibt oder nicht.

Beide Aspekte können Standardwahrheitswerte für diese Bewertung verwenden.

In diesem Fall sind die Konjunktion, Disjunktion und Negation des 4-wertigen Systems von Dunn / Belnap durch Konjunktion, Disjunktion bzw. Negation der klassischen Logik komponentenweise definierbar, dh dieses 4-wertige System ist ein Produkt von zwei Kopien der Klassik zweiwertige Logik.

4. Anwendungen der vielwertigen Logik

Vielwertige Logik wurde zum Teil durch philosophische Ziele motiviert, die nie erreicht wurden, und zum Teil durch formale Überlegungen zur Funktionsvollständigkeit. In den früheren Entwicklungsjahren gab dies Anlass zu Zweifeln an der Nützlichkeit von MVL. In der Zwischenzeit wurden jedoch interessante Anwendungen in verschiedenen Bereichen gefunden. Einige davon sollen nun erwähnt werden.

  • 4.1 Anwendungen in der Sprachwissenschaft
  • 4.2 Anwendungen für die Logik
  • 4.3 Anwendungen auf philosophische Probleme
  • 4.4 Anwendungen für das Hardware-Design
  • 4.5 Anwendungen auf künstliche Intelligenz
  • 4.6 Anwendungen in der Mathematik

4.1 Anwendungen in der Sprachwissenschaft

Ein herausforderndes Problem ist die Behandlung von Voraussetzungen in der Linguistik, dh von Annahmen, die nur in einem bestimmten Satz enthalten sind. So hat beispielsweise der Satz „Der gegenwärtige König von Kanada wurde in Wien geboren“die existenzielle Voraussetzung, dass es einen gegenwärtigen König von Kanada gibt.

Es ist keine einfache Aufgabe, die Satzbehandlung solcher Sätze zu verstehen, z. B. Kriterien für die Bildung ihrer Negation anzugeben oder die Wahrheitsbedingungen von Implikationen zu verstehen.

Eine Art der Lösung für diese Probleme bezieht sich auf die Verwendung vieler Wahrheitsgrade, z. B. auf Produktsysteme mit geordneten Paaren als Wahrheitsgraden: Dies bedeutet, dass ihre Komponenten parallel bewerten, ob die Voraussetzung erfüllt ist und ob der Satz wahr oder falsch ist. Es wurden aber auch 3-wertige Ansätze diskutiert.

Eine andere Art von Ideen zur Verwendung von MVL-Werkzeugen in der Linguistik besteht in Ansätzen zur Modellierung natürlicher Sprachphänomene. Grundlegende Ideen und einige Anwendungen werden zB in Novák / Perfilieva / Močkoř (1999) und Novák (2008) angeboten.

4.2 Anwendungen für die Logik

Eine erste Art der Anwendung von MVL-Systemen auf die Logik selbst besteht darin, sie zu verwenden, um ein besseres Verständnis anderer Logiksysteme zu erlangen. Auf diese Weise entstanden die Gödel-Systeme aus einem Ansatz, um zu testen, ob intuitionistische Logik als endlich bewertete Logik verstanden werden kann. Die Einführung von MVL-Systemen durch Łukasiewicz (1920) wurde zunächst von der (letztendlich erfolglosen) Idee geleitet, den Begriff der Möglichkeit, dh der modalen Logik, auf dreiwertige Weise zu verstehen.

Eine zweite Art der Anwendung auf Logik ist das Zusammenführen verschiedener Arten von logischen Systemen, z. B. die Formulierung von Systemen mit abgestuften Modalitäten. Melvin Fitting (1991/92) betrachtet Systeme, die solche Modalitäten durch Zusammenführen von modaler und vielwertiger Logik definieren, mit beabsichtigten Anwendungen auf Probleme der künstlichen Intelligenz.

Eine dritte Art der Anwendung auf die Logik ist die Modellierung von Teilprädikaten und Wahrheitslücken. Dies ist jedoch nur insoweit möglich, als sich diese Wahrheitswertlücken „wahrheitsfunktional“verhalten, dh insoweit das Verhalten der Wahrheitswertlücken in zusammengesetzten Sätzen durch geeignete Wahrheitsfunktionen beschrieben werden kann. (Dies ist nicht immer der Fall, z. B. nicht bei Formulierungen, die Überbewertungen verwenden.)

4.3 Anwendungen auf philosophische Probleme

Wie man die Bedeutung von „Wahrheit“versteht, ist ein altes philosophisches Problem. Ein logischer Ansatz für dieses Problem besteht darin, eine formalisierte Sprache (L) mit einem Wahrheitsprädikat (T) anzureichern, das auf Sätze von (L) angewendet werden soll - oder noch besser auf Sätze von \ die Erweiterung (L_ {T}) von (L) mit dem Prädikat (T).

Basierend auf dieser Idee wurde Mitte der 1930er Jahre von A. Tarski eine vernünftige Theorie solcher Sprachen entwickelt, die Wahrheitsprädikate enthalten. Eines der Ergebnisse war, dass eine solche Sprache (L_ {T}), die ihr eigenes Wahrheitsprädikat (T) enthält und einen gewissen Reichtum an Ausdruckskraft aufweist, notwendigerweise inkonsistent ist.

Ein anderer Ansatz für solche Sprachen (L_ {T}), die ihr eigenes Wahrheitsprädikat (T) enthalten, wurde von S. Kripke (1975) angeboten und basiert im Wesentlichen auf der Idee, (T) als Teil zu betrachten Prädikat, dh als Prädikat mit „Wahrheitslücken“. In einem Fall, den Kripke (1975) betrachtet, verhalten sich diese Wahrheitslücken „wahrheitsfunktional“und können daher wie ein dritter Wahrheitsgrad behandelt werden. Ihre Ausbreitung in zusammengesetzten Sätzen wird dann durch geeignete Wahrheitsgradfunktionen von dreiwertigen Systemen beschreibbar. In Kripkes (1975) Ansatz bezog sich diese Referenz auf dreiwertige Systeme, die SC Kleene (1938) im (mathematischen) Kontext von Teilfunktionen und Prädikaten in der Rekursionstheorie betrachtet hatte.

Eine zweite Anwendung von MVL innerhalb der Philosophie betrifft die alten Paradoxien wie die Soriten (Haufen) oder die Falakros (Glatzkopf). (Siehe den Eintrag Sorites-Paradoxon.) Im Fall der Sorites lautet das Paradoxon wie folgt:

(i) Ein Sandkorn ist kein Sandhaufen. Und (ii) das Hinzufügen eines Sandkorns zu etwas, das kein Haufen ist, macht es nicht zu einem Haufen. Daher kann (iii) ein einzelnes Sandkorn niemals zu einem Sandhaufen werden, egal wie viele Sandkörner hinzugefügt werden.

Somit liefert die wahre Prämisse (i) eine falsche Schlussfolgerung (iii) über eine Folge von Schlussfolgerungen unter Verwendung von (ii). Eine ziemlich natürliche Lösung innerhalb einer Erweiterung von MVL mit einem abgestuften Inferenzbegriff, der oft als Fuzzy-Logik bezeichnet wird, besteht darin, den Begriff Heap als vage zu betrachten, dh als einen Begriff, der für bestimmte Objekte nur für einige (Wahrheit) gelten kann. Grad. Zusätzlich ist es angebracht, Prämisse (ii) als nur teilweise wahr zu betrachten, jedoch bis zu einem Grad, der ziemlich nahe am maximalen Grad 1 liegt. Dann hat jeder einzelne Inferenzschritt die Form:

  • (a) (k) Sandkörner bilden keinen Haufen.
  • (ii) Das Hinzufügen eines Sandkorns zu (k) Körnern macht ((k + 1)) Körner nicht zu einem Haufen.
  • Daher
  • (b) ((k + 1)) Sandkörner bilden keinen Haufen.

Diese Schlussfolgerung muss jedoch Wahrheitsgrade für die Prämissen (a) und (ii) beinhalten und einen Wahrheitsgrad für die Schlussfolgerung (b) liefern. Die entscheidende Idee für die Modellierung dieser Art von Argumentation innerhalb von MVL besteht darin, sicherzustellen, dass der Wahrheitsgrad für (b) kleiner als der Wahrheitsgrad für (a) ist, falls der Wahrheitsgrad für (ii) kleiner als der maximale ist. Tatsächlich führt der Satz (n) Sandkörner nicht dazu, dass ein Haufen für eine zunehmende Anzahl (n) Körner falsch ist.

4.4 Anwendungen für das Hardware-Design

Die klassische Aussagenlogik wird als technisches Werkzeug für die Analyse und Synthese einiger Arten von elektrischen Schaltkreisen verwendet, die aus „Schaltern“mit zwei stabilen Zuständen, dh Spannungspegeln, aufgebaut sind. Eine ziemlich einfache Verallgemeinerung ermöglicht die Verwendung einer Logik mit (m) -Wert, um Schaltungen zu diskutieren, die aus ähnlichen "Schaltern" mit (m) stabilen Zuständen aufgebaut sind. Dieses gesamte Anwendungsgebiet der vielwertigen Logik wird als vielwertiges (oder sogar: Fuzzy-) Schalten bezeichnet. Eine gute Einführung ist Epstein (1993).

4.5 Anwendungen auf künstliche Intelligenz

AI ist tatsächlich das vielversprechendste Anwendungsgebiet, das eine Reihe verschiedener Bereiche bietet, in denen MVL-Systeme verwendet wurden.

Ein erster Anwendungsbereich betrifft vage Begriffe und vernünftige Überlegungen, z. B. in Expertensystemen. Beide Themen werden über Fuzzy-Mengen und Fuzzy-Logik modelliert und beziehen sich auf geeignete MVL-Systeme. Auch in Datenbanken und in wissensbasierten Systemen speichert man gerne vage Informationen.

Ein zweiter Anwendungsbereich ist eng mit diesem ersten verbunden: die Automatisierung des Daten- und Knowledge Mining. Hier kommen Clustering-Methoden in Betracht; Diese beziehen sich über unscharfe Cluster auf Fuzzy-Sets und MVL. In diesem Zusammenhang interessiert man sich auch für automatisierte Theoremprüftechniken für MVL-Systeme sowie für Methoden der Logikprogrammierung für MVL-Systeme. Teil dieses Trends ist die jüngste Entwicklung verallgemeinerter Beschreibungslogiken, sogenannter Fuzzy-Beschreibungslogiken, die die Einbeziehung technischer Werkzeuge (Wahrheitsgrade, Konnektiva, abgestufte Prädikate) aus dem Bereich MVL in - aus der Sicht der Vollständigkeit ermöglichen Logik erster Ordnung: rudimentär - Logiksysteme, sogenannte Beschreibungslogiken, siehe Straccia (2001), Hájek (2005), Stoilos et al. (2008).

4.6 Anwendungen in der Mathematik

Innerhalb der Mathematik gibt es drei Hauptthemen, die sich auf die vielwertige Logik beziehen. Die erste ist die mathematische Theorie der Fuzzy-Mengen und die mathematische Analyse der „Fuzzy“- oder der ungefähren Argumentation. In beiden Fällen bezieht man sich auf MVL-Systeme. Das zweite Thema waren Ansätze für Konsistenznachweise für die Mengenlehre unter Verwendung eines geeigneten MVL-Systems. Und es gibt einen - oft nur impliziten - Verweis auf die Grundideen von MVL in Unabhängigkeitsbeweisen (z. B. für Axiomensysteme), die sich oft auf logische Matrizen mit mehr als zwei Wahrheitsgraden beziehen. Hier ist MVL jedoch eher ein rein technisches Werkzeug, da man bei diesen Unabhängigkeitsnachweisen überhaupt nicht an einem intuitiven Verständnis der Wahrheitsgrade interessiert ist.

5. Geschichte der vielwertigen Logik

Vielwertige Logik als eigenständiges Thema wurde vom polnischen Logiker und Philosophen Łukasiewicz (1920) geschaffen und zunächst in Polen entwickelt. Seine erste Absicht war es, einen dritten zusätzlichen Wahrheitswert für „möglich“zu verwenden und auf diese Weise die Modalitäten „es ist notwendig, dass“und „es ist möglich, dass“zu modellieren. Diese beabsichtigte Anwendung auf die Modallogik kam nicht zustande. Das Ergebnis dieser Untersuchungen sind jedoch die Łukasiewicz-Systeme und eine Reihe theoretischer Ergebnisse zu diesen Systemen.

Im Wesentlichen parallel zum Łukasiewicz-Ansatz führte der amerikanische Mathematiker Post (1921) die Grundidee zusätzlicher Wahrheitsgrade ein und wandte sie auf Probleme der Darstellbarkeit von Funktionen an.

Später versuchte Gödel (1932), die intuitionistische Logik in Bezug auf viele Wahrheitsgrade zu verstehen. Das Ergebnis war die Familie der Gödel-Systeme, und das Ergebnis war, dass die intuitionistische Logik keine charakteristische logische Matrix mit nur endlich vielen Wahrheitsgraden hat. Einige Jahre später konstruierte Jaskowski (1936) eine unendlich wertvolle charakteristische Matrix für die intuitionistische Logik. Es scheint jedoch, dass die Wahrheitsgrade dieser Matrix keine schöne und einfache intuitive Interpretation haben.

Eine philosophische Anwendung der 3-wertigen Logik auf die Diskussion von Paradoxien wurde vom russischen Logiker Bochvar (1938) und eine mathematische auf Teilfunktionen und Beziehungen des amerikanischen Logikers Kleene (1938) vorgeschlagen. Viel später wurden Kleenes Konnektiva auch als technisches Werkzeug zur Bestimmung von Fixpunkten in der von Kripke (1975) initiierten Revisionstheorie der Wahrheit philosophisch interessant.

In den 1950er Jahren wurde (i) eine analytische Charakterisierung der Klasse der Wahrheitsgradfunktionen vorgenommen, die im unendlich bewerteten Satz-asukasiewicz-System von McNaughton (1951) definiert werden kann, (ii) ein Vollständigkeitsnachweis für dasselbe System von Chang (1958, 1959), der den Begriff einführt der MV-Algebra und einer traditionelleren von Rose / Rosser (1958) sowie (iii) einen Vollständigkeitsnachweis für das unendlich geschätzte aussagekräftige Gödel-System von Dummett (1959). In den 1950er Jahren verfolgte Skolem (1957) auch einen Ansatz, um die Konsistenz der Mengenlehre im Bereich der unendlich wertvollen Logik zu beweisen.

In den 1960er Jahren machte Scarpellini (1962) klar, dass das unendlich wertvolle Łukasiewicz-System erster Ordnung nicht (rekursiv) axiomatisierbar ist. Hay (1963) sowie Belluce / Chang (1963) haben bewiesen, dass die Hinzufügung einer unendlichen Inferenzregel zu einer Axiomatisierung von (rL _ { infty}) führt. Und Horn (1969) legte einen Vollständigkeitsnachweis für die unendlich wertvolle Gödel-Logik erster Ordnung vor. Neben diesen Entwicklungen innerhalb der reinen vielwertigen Logik begann Zadeh (1965) einen (anwendungsorientierten) Ansatz zur Formalisierung vager Begriffe durch verallgemeinerte satztheoretische Mittel, der von Goguen (1968/69) bald mit philosophischen Anwendungen in Verbindung gebracht wurde und der später inspirierte auch viele theoretische Überlegungen innerhalb von MVL.

Die 1970er Jahre markieren eine Zeit eingeschränkter Aktivität in der reinen vielwertigen Logik. Es gab jedoch viel Arbeit auf dem eng verwandten Gebiet der (Informatik-) Anwendung von vagen Begriffen, die als Fuzzy-Mengen formalisiert wurden, z. B. initiiert von Zadeh (1975, 1979). Und es gab eine wichtige Erweiterung von MVL durch einen abgestuften Begriff von Inferenz und Entailment in Pavelka (1979).

In den 1980er Jahren blieben Fuzzy-Mengen und ihre Anwendungen ein heißes Thema, das theoretische Grundlagen durch Methoden vielwertiger Logik erforderte. Darüber hinaus gab es die ersten Komplexitätsergebnisse, z. B. bezüglich der Menge logisch gültiger Formeln in der unendlichen Łukasiewicz-Logik erster Ordnung von Ragaz (1983). Mundici (1986) begann eine eingehendere Untersuchung von MV-Algebren.

Diese Trends haben sich seit den 1980er Jahren fortgesetzt. Die Forschung umfasste Anwendungen von MVL auf die Fuzzy-Set-Theorie und ihre Anwendungen, detaillierte Untersuchungen algebraischer Strukturen in Bezug auf MVL-Systeme, die Untersuchung abgestufter Begriffe von Entailment und Untersuchungen zu Komplexitätsproblemen für verschiedene Probleme in MVL-Systemen. Ergänzt wurde diese Forschung durch interessante Arbeiten zur Beweistheorie, zum automatisierten Beweis von Theoremen, durch verschiedene Anwendungen in Fragen der künstlichen Intelligenz und durch eine detaillierte Untersuchung von Systemen mit unendlichem Wert auf der Grundlage von t-Normen, die heute häufig als (mathematische) Fuzzy-Logik bezeichnet werden.

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Andere Internetquellen

  • IEEE CS Technisches Komitee für mehrwertige Logik, Yutaka Hata, Herausgeber des Bulletins.
  • Dan A. Simovici und Ivan Stojmenovic, leitende Redakteure der Zeitschrift für mehrwertige Logik und Soft Computing.

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