Erstveröffentlichung Di 24. September 1996; inhaltliche Überarbeitung Fr 18. Mai 2018
Die zeitgenössische logische Orthodoxie besagt, dass aus widersprüchlichen Prämissen alles folgt. Eine logische Konsequenzbeziehung ist explosiv, wenn demnach eine willkürliche Schlussfolgerung (B) mit einem willkürlichen Widerspruch (A), (neg A) (ex contraictione quodlibet (ECQ)) verbunden ist. Klassische Logik und die meisten Standard-Nicht-Klassik-Logiken wie die intuitionistische Logik sind explosiv. Inkonsistenz kann nach erhaltener Weisheit nicht kohärent begründet werden.
Parakonsistente Logik stellt diese Orthodoxie in Frage. Eine logische Konsequenzbeziehung gilt als parakonsistent, wenn sie nicht explosiv ist. Wenn also eine Konsequenzbeziehung parakonsistent ist, explodiert die Konsequenzbeziehung selbst unter Umständen, in denen die verfügbaren Informationen inkonsistent sind, nicht in Trivialität. Parakonsistente Logik berücksichtigt Inkonsistenzen auf kontrollierte Weise, wobei inkonsistente Informationen als potenziell informativ behandelt werden.
Das Präfix 'para' im Englischen hat zwei Bedeutungen: 'quasi' (oder 'ähnlich, nach dem Vorbild') oder 'jenseits'. Als Miró Quesada 1976 auf der dritten lateinamerikanischen Konferenz über mathematische Logik den Begriff „parakonsistent“prägte, schien er die erste Bedeutung im Sinn zu haben. Viele parakonsistente Logiker haben es jedoch als die zweite verstanden, die verschiedene Gründe für die Entwicklung der parakonsistenten Logik lieferte, wie wir weiter unten sehen werden.
Parakonsistente Logik wird negativ definiert: Jede Logik ist parakonsistent, solange sie nicht explosiv ist. Dies bedeutet, dass es in der parakonsistenten Logik keinen einzigen Satz offener Probleme oder Programme gibt. Daher ist dieser Eintrag keine vollständige Übersicht über die parakonsistente Logik. Ziel ist es, einige philosophisch herausragende Merkmale eines vielfältigen Feldes zu beschreiben.
1. Parakonsistenz
1.1 Dialetheismus
1.2 Eine kurze Geschichte des Ex-Widerspruchs-Quodlibets
1.3 Moderne Geschichte der parakonsistenten Logik
2. Motivationen
2.1 Inkonsistenz ohne Trivialität
2.1.1 Nicht-triviale Theorien
2.1.2 Wahre Widersprüche
2.1.3 Sprachwissenschaft
2.2 Künstliche Intelligenz
2.2.1 Automatisiertes Denken
2.2.2 Glaubensrevision
2.3 Formale Semantik und Mengenlehre
2.3.1 Wahrheitstheorie
2.3.2 Mengenlehre
2.3.3 Mathematik im Allgemeinen
2.4 Satz von Arithmetik und Gödel
2.5 Unbestimmtheit
3. Systeme parakonsistenter Logik
3.1 Diskussionslogik
3.2 Nichtadjunktive Systeme
3.3 Bewahrungismus
3.4 Adaptive Logik
3.5 Logik formaler Inkonsistenz
3.6 Vielwertige Logik
3.7 Relevante Logik
Literaturverzeichnis
Akademische Werkzeuge
Andere Internetquellen
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1. Parakonsistenz
Eine Logik ist parakonsistent, wenn ihre logische Konsequenzbeziehung ((vDash), entweder semantisch oder beweistheoretisch) nicht explosiv ist. Parakonsistenz ist eine Eigenschaft einer Konsequenzbeziehung. Das Argument ex contraictione quodlibet (ECQ) ist parakonsistent ungültig: Im Allgemeinen ist es nicht so, dass (A), (neg A \ vDash B).
Die Rolle, die der Begriff der Konsistenz in der orthodoxen Logik häufig spielt, nämlich die grundlegendste Anforderung, die eine Theorie erfüllen muss, wird auf den Begriff der Kohärenz gelockert: Keine Theorie kann jeden Satz enthalten, wenn er als haltbar angesehen werden soll. Die einfache Konsistenz einer Theorie (keine Widersprüche) ist ein Sonderfall der absoluten Konsistenz oder Nicht-Trivialität (nicht jeder Satz ist Teil der Theorie). Wie wir weiter unten sehen werden, validieren viele parakonsistente Logiken das Gesetz des Widerspruchs (LNC) (vDash \ neg (A \ wedge \ neg A)), obwohl sie ECQ ungültig machen.
Abgesehen von der grundlegenden, definitorischen Anforderung, dass eine parakonsistente Konsequenzbeziehung nicht explosiv sein muss, gibt es eine große Divergenz der parakonsistenten Logik. In diesem Entwicklungsstadium, bis weit in das 21. Jahrhundert hinein, scheint es fair zu sein zu sagen, dass „Parakonsistenz“nicht einen bestimmten Ansatz zur Logik herausgreift, sondern eine Eigenschaft ist, die einige Logiken haben und andere nicht (wie zum Beispiel), Kompaktheit oder mehrere Schlussfolgerungen).
1.1 Dialetheismus
In der Literatur, insbesondere in dem Teil, der Einwände gegen parakonsistente Logik enthält, gab es eine Tendenz, Parakonsistenz mit Dialetheismus zu verwechseln, die Ansicht, dass es wahre Widersprüche gibt (siehe den Eintrag zum Dialetheismus). Die Ansicht, dass eine Konsequenzbeziehung parakonsistent sein sollte, beinhaltet nicht die Ansicht, dass es wahre Widersprüche gibt. Parakonsistenz ist eine Eigenschaft einer Konsequenzbeziehung, während Dialetheismus eine Sicht auf die Wahrheit ist. Die Tatsache, dass man eine nicht explosive Konsequenzbeziehung definieren kann, bedeutet nicht, dass einige Sätze wahr sind. Die Tatsache, dass man ein Modell konstruieren kann, in dem ein Widerspruch gilt, aber nicht jeder Satz der Sprache gilt (oder in dem dies in einer bestimmten Welt der Fall ist), bedeutet nicht, dass der Widerspruch per se wahr ist. Daher muss Parakonsistenz vom Dialetheismus unterschieden werden (siehe jedoch Asmus 2012).
Wenn der Dialetheismus kohärent sein soll, muss die bevorzugte Logik eines Dialethiest parakonsistent sein. Der Dialetheismus ist die Ansicht, dass ein gewisser Widerspruch wahr ist, was eine andere These als der „Trivialismus“ist, die Ansicht, dass alles (einschließlich jedes Widerspruchs) wahr ist. Ein parakonsistenter Logiker mag eine gewisse Anziehungskraft auf den Dialetheismus verspüren, aber die meisten parakonsistenten Logiken sind keine "dialetheischen" Logiken. Bei einer Diskussion der parakonsistenten Logik liegt der Hauptfokus nicht auf der Erreichbarkeit von Widersprüchen, sondern auf der explosiven Natur einer Konsequenzbeziehung.
1.2 Eine kurze Geschichte des Ex-Widerspruchs-Quodlibets
Es ist jetzt Standard, Ex-Widerspruch-Quodlibet als gültig anzusehen. Diese zeitgenössische Sichtweise sollte jedoch in eine historische Perspektive gestellt werden. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts, als das Studium der Logik eine mathematische Artikulation erreichte, wurde eine explosive logische Theorie zum Standard. Mit der Arbeit von Logikern wie Boole, Frege, Russell und Hilbert wurde die klassische Logik zum orthodoxen logischen Bericht.
In der Antike scheint jedoch niemand die Gültigkeit von ECQ befürwortet zu haben. Aristoteles stellte das vor, was manchmal als konnexives Prinzip bezeichnet wird: „Es ist unmöglich, dass dasselbe durch das Sein und das Nicht-Sein derselben Sache notwendig wird“(Prior Analytic II 4 57b3). (Die konnexive Logik wurde kürzlich von Wansing neu belebt. Siehe den Eintrag zur konnexiven Logik, der auf der Grundlage dieses Prinzips entwickelt wurde.) Dieses Prinzip wurde im Mittelalter oder im Mittelalter zum Thema von Debatten. Obwohl die mittelalterlichen Debatten im Kontext von Bedingungen geführt worden zu sein scheinen, können wir sie auch als Debatten über Konsequenzen betrachten. Das Prinzip wurde von Boethius (480–524 oder 525) und Abaelard (1079–1142) aufgegriffen, die zwei Berichte über die Konsequenzen betrachteten. Der erste ist ein vertrauter:Es ist unmöglich, dass die Prämissen wahr sind, aber die Schlussfolgerung falsch. Der erste Bericht ähnelt somit dem zeitgenössischen Begriff der Wahrung der Wahrheit. Der zweite wird in letzter Zeit weniger akzeptiert: Der Sinn der Prämissen enthält den der Schlussfolgerung. Dieser Bericht erlaubt, wie in relevanten Logiken, keine Schlussfolgerung, deren Schlussfolgerung willkürlich ist. Abaelard vertrat die Auffassung, dass das erste Konto das Konnexionsprinzip nicht erfüllt und dass das zweite Konto (das Konto der Eindämmung) das Prinzip von Aristoteles erfasst. Abaelard vertrat die Auffassung, dass das erste Konto das Konnexionsprinzip nicht erfüllt und dass das zweite Konto (das Konto der Eindämmung) das Prinzip von Aristoteles erfasst. Abaelard vertrat die Auffassung, dass das erste Konto das Konnexionsprinzip nicht erfüllt und dass das zweite Konto (das Konto der Eindämmung) das Prinzip von Aristoteles erfasst.
Abaelards Position wurde von Alberic von Paris in den 1130er Jahren als schwierig empfunden. Die meisten mittelalterlichen Logiker haben jedoch die auf Eindämmung oder Ähnlichem beruhende Gültigkeit nicht aufgegeben (siehe zum Beispiel Martin 1987). Eine Möglichkeit, mit der Schwierigkeit umzugehen, besteht darin, das Konnexionsprinzip abzulehnen. Dieser Ansatz, die einflussreichsten worden ist, von den Anhängern von Adam Balsham oder Parvipontanus (oder manchmal auch bekannt als Adam von The Little Brücke [12 angenommen wurde th century]). Die Parvipontaner befürworteten die Wahrung der Wahrheit über die Folgen und die damit verbundenen „Paradoxien“. Tatsächlich war es ein Mitglied der Parvipontaner, William von Soissons, der im zwölften Jahrhundert entdeckte, was wir heute das CI Lewis (unabhängige) Argument für ECQ nennen (siehe Martin 1986).
Das Containment-Konto ist jedoch nicht verschwunden. John Duns Scotus (1266–1308) und seine Anhänger akzeptierten das Containment-Konto (siehe Martin 1996). Die Kölner Schule des späten 15. Jahrhunderts sprach sich gegen ECQ aus, indem sie disjunktiven Syllogismus ablehnte (siehe Sylvan 2000).
In der Geschichte der Logik in Asien gibt es eine Tendenz (zum Beispiel in jainischen und buddhistischen Traditionen), die Möglichkeit zu betrachten, dass Aussagen sowohl wahr als auch falsch sind. Darüber hinaus sind die von den großen Logiker entwickelte Logiken Buddhist, Dignäga (5 th Jahrhundert) und Dharmakīrti (7 th Jahrhundert) nicht QFD umarmen. Ihre logische Darstellung basiert in der Tat auf der Beziehung „Durchdringung“(Skt: vyāpti, Tib: khyab pa) zwischen den Elementen eines Arguments. Genau wie das Eindämmungskonto von Abaelard muss es eine engere Verbindung zwischen den Prämissen und der Schlussfolgerung geben, als es das Wahrheitserhaltungskonto zulässt. Zur Logik von Dharmakīrti und seiner anschließenden Entwicklung siehe beispielsweise Dunne 2004 und Tillemans 1999.
1.3 Moderne Geschichte der parakonsistenten Logik
Im zwanzigsten Jahrhundert gab es für verschiedene Menschen zu unterschiedlichen Zeiten und an verschiedenen Orten unabhängig voneinander Alternativen zu einer explosiven Darstellung logischer Konsequenzen. Sie wurden oft durch unterschiedliche Überlegungen motiviert. Die frühesten parakonsistenten Logiken in der heutigen Zeit scheinen von zwei Russen gegeben worden zu sein. Ab etwa 1910 schlug Vasil'év eine modifizierte aristotelische Syllogistik vor, die Aussagen der Form enthält: (S) ist sowohl (P) als auch nicht (P). Im Jahr 1929 gab Orlow die erste Axiomatisierung der relevanten Logik (R), die parakonsistent ist. (Zu Vasil'év siehe Arruda 1977 und Arruda 1989: 102f; zu Orlov siehe Anderson, Belnap & Dunn 1992: xvii.)
Die Arbeit von Vasil'év oder Orlov hatte zu dieser Zeit keine Auswirkungen. Der erste (formale) Logiker, der parakonsistente Logik entwickelt hat, war Jaśkowski in Polen, ein Schüler von Łukasiewicz, der selbst in seiner Kritik an Aristoteles am LNC parakonsistente Logik ins Auge gefasst hatte (Łukasiewicz 1951). Fast zur gleichen Zeit präsentierte Halldén (1949) Arbeiten zur Logik des Unsinns, aber auch dies blieb größtenteils unbemerkt.
Parakonsistente Logiken wurden in Südamerika von Florencio Asenjo und insbesondere Newton da Costa in ihren Dissertationen 1954 bzw. 1963 unabhängig entwickelt, wobei der Schwerpunkt auf mathematischen Anwendungen lag (siehe Asenjo 1966, da Costa 1974). Eine aktive Gruppe von Logikern erforscht seitdem kontinuierlich die parakonsistente Logik, insbesondere in Campinas und São Paulo, Brasilien, mit einem Schwerpunkt auf Logik formaler Inkonsistenz. Carnielli und Coniglio (2016) geben einen umfassenden aktuellen Bericht über diese Arbeit.
Parakonsistente Logiken in Form relevanter Logiken wurden 1959 in England von Smiley und ungefähr zur gleichen Zeit in einer viel weiter entwickelten Form in den Vereinigten Staaten von Anderson und Belnap vorgeschlagen. In Pittsburgh wuchs eine aktive Gruppe relevanter Logiker auf, darunter Dunn und Meyer. Die Entwicklung parakonsistenter Logiken (in Form relevanter Logiken) wurde nach Australien transportiert. R. Routley (später Sylvan) und V. Routley (später Plumwood) entdeckten eine absichtliche Semantik für einige der für Anderson / Belnap relevanten Logiken. Um sie herum entwickelte sich in Canberra eine Schule, zu der Brady und Mortensen und später Priest gehörten, die zusammen mit R. Routley den Dialetheismus in die Entwicklung einbezogen haben.
Seit den 1970er Jahren ist die Entwicklung parakonsistenter Logik international. Einige der wichtigsten Denkschulen werden im Folgenden vorgestellt, darunter adaptive Logik (wie in Batens 2001) und Konservierungismus (wie in Schotch, Brown & Jennings 2009). In Argentinien, Australien, Belgien, Brasilien, Kanada, der Tschechischen Republik, England, Deutschland, Indien, Israel, Japan, Mexiko, Neuseeland, Polen, Schottland, Spanien, den Vereinigten Staaten und anderen Ländern wird gearbeitet. Es gab eine Reihe wichtiger internationaler Konferenzen über parakonsistente Logik. 1997 fand an der Universität Gent in Belgien der Erste Weltkongress für Parakonsistenz statt. Der Zweite Weltkongress fand im Jahr 2000 in São Sebastião (São Paulo, Brasilien) statt, der Dritte in Toulous (Frankreich) im Jahr 2003 und der Vierte in Melbourne (Australien) im Jahr 2008.2013 fand in Kolkata, Indien, ein fünfter Weltkongress statt. 2014 fand in München eine weitere große Parakonsistenzkonferenz statt (Andreas & Verdée 2016). Siehe den Abschnitt mit der Bibliographie zu den Proceedings des Weltkongresses.
2. Motivationen
Die vorgebrachten Gründe für die Parakonsistenz sind spezifisch für die Entwicklung der besonderen formalen Systeme der parakonsistenten Logik. Es gibt jedoch mehrere allgemeine Gründe zu der Annahme, dass Logik parakonsistent sein sollte. Bevor wir die Systeme der parakonsistenten Logik zusammenfassen, präsentieren wir einige Motivationen für die parakonsistente Logik.
2.1 Inkonsistenz ohne Trivialität
Ein äußerst aussagekräftiger Grund für parakonsistente Logik ist auf den ersten Blick die Tatsache, dass es Theorien gibt, die inkonsistent, aber nicht trivial sind. Wenn wir die Existenz solcher Theorien zugeben, muss ihre zugrunde liegende Logik parakonsistent sein (siehe jedoch Michael 2016).
2.1.1 Nicht-triviale Theorien
Beispiele für inkonsistente, aber nicht triviale Theorien sind leicht zu erstellen. Ein Beispiel kann aus der Wissenschaftsgeschichte abgeleitet werden. Betrachten Sie Bohrs Theorie des Atoms. Demnach umkreist ein Elektron den Atomkern, ohne Energie auszustrahlen. Nach den Maxwellschen Gleichungen, die einen integralen Bestandteil der Theorie bildeten, muss ein Elektron, das sich im Orbit beschleunigt, Energie ausstrahlen. Daher war Bohrs Bericht über das Verhalten des Atoms inkonsistent. Offenbar wurde jedoch nicht alles, was das Verhalten von Elektronen betrifft, daraus abgeleitet, und es hätte auch nicht so sein dürfen. Unabhängig davon, welcher Inferenzmechanismus zugrunde lag, muss dies parakonsistent gewesen sein (Brown & Priest 2015).
2.1.2 Wahre Widersprüche
Trotz der Tatsache, dass Dialetheismus und Parakonsistenz unterschieden werden müssen, kann Dialetheismus eine Motivation für parakonsistente Logik sein. Ein Kandidat für eine Dialetheie (ein wahrer Widerspruch) ist das Lügnerparadoxon. Betrachten Sie den Satz: 'Dieser Satz ist nicht wahr'. Es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder ist der Satz wahr oder nicht. Angenommen, es ist wahr. Dann ist das, was es sagt, der Fall. Daher ist der Satz nicht wahr. Angenommen, es ist nicht wahr. Das steht darin. Daher ist der Satz wahr. In beiden Fällen ist es sowohl wahr als auch nicht wahr. (Siehe den Eintrag zum Dialetheismus.)
2.1.3 Sprachwissenschaft
Natürliche Sprachen sind ein weiterer möglicher Ort nicht trivialer Inkonsistenz. In der Linguistik wurde beobachtet, dass normale lexikalische Merkmale auch in inkonsistenten Kontexten erhalten bleiben. Zum Beispiel haben Wörter wie "nah" räumliche Konnotationen, die auch beim Umgang mit unmöglichen Objekten nicht gestört werden (McGinnis 2013):
Wenn ich Ihnen sage, dass ich einen kugelförmigen Würfel braun gestrichen habe, nehmen Sie das Äußere als braun an… und wenn ich mich darin befinde, wissen Sie, dass ich nicht in der Nähe bin. (Chomsky 1995: 20)
Wenn also gesagt werden kann, dass natürliche Sprache eine Logik hat, könnte parakonsistente Logik ein Kandidat für deren Formalisierung sein.
2.2 Künstliche Intelligenz
Parakonsistente Logik wird nicht nur durch philosophische Überlegungen motiviert, sondern auch durch ihre Anwendungen und Implikationen.
2.2.1 Automatisiertes Denken
Eine der Anwendungen ist das automatisierte Denken (Informationsverarbeitung). Stellen Sie sich einen Computer vor, auf dem eine große Menge an Informationen gespeichert ist, wie in Belnap 1992. Während der Computer die Informationen speichert, wird er auch verwendet, um ihn zu bearbeiten und vor allem daraus zu schließen. Heutzutage ist es durchaus üblich, dass der Computer inkonsistente Informationen enthält, aufgrund von Fehlern der Dateneingabebetreiber oder aufgrund von Mehrfachbeschaffung. Dies ist sicherlich ein Problem für Datenbankoperationen mit Theoremprüfern und hat daher bei Informatikern große Aufmerksamkeit erregt. Techniken zum Entfernen inkonsistenter Informationen wurden untersucht. Alle sind jedoch nur begrenzt anwendbar und es wird auf keinen Fall garantiert, dass sie Konsistenz erzeugen. (Es gibt keinen Algorithmus für logische Falschheit.) Selbst wenn Schritte unternommen werden, um Widersprüche zu beseitigen, wenn sie gefunden werden,Eine zugrunde liegende parakonsistente Logik ist wünschenswert, wenn versteckte Widersprüche keine falschen Antworten auf Fragen erzeugen sollen.
Nelsons parakonsistente (vierwertige) Logik N4 wurde speziell für Anwendungen in der Informatik untersucht (Kamide & Wansing 2012). Kommentierte Logiken wurden von Subrahmanian (1987) und dann von da Costa, Subrahmanian und Vago (1991) vorgeschlagen; Diese Werkzeuge werden jetzt auf Robotik, Expertensysteme für die medizinische Diagnose und Ingenieurwesen ausgeweitet. Die jüngsten Arbeiten wurden in den von Abe, Akama, Nakamatsu (2015) und Akama (2016) herausgegebenen Bänden zusammengefasst.
2.2.2 Glaubensrevision
Die Glaubensrevision ist das Studium der rationalen Revision von Glaubenskörpern im Lichte neuer Beweise. Bekanntlich haben die Menschen inkonsistente Überzeugungen. Sie können dabei sogar rational sein. Zum Beispiel kann es anscheinend überwältigende Beweise für etwas und seine Negation geben. Es kann sogar Fälle geben, in denen es grundsätzlich unmöglich ist, solche Inkonsistenzen zu beseitigen. Betrachten Sie zum Beispiel das "Paradox des Vorworts". Eine vernünftige Person schreibt nach gründlicher Recherche ein Buch, in dem sie (A_1),…, (A_n) behauptet. Sie sind sich aber auch bewusst, dass kein Buch irgendeiner Komplexität nur Wahrheiten enthält. Sie glauben also rational (neg (A_1 \ wedge \ ldots \ wedge A_n)) auch. Daher müssen Prinzipien der rationalen Glaubensrevision auf inkonsistenten Glaubenssätzen wirken. Standardberichte zur Glaubensrevision, z. B. die Hauptversammlungstheorie (siehe Logik der Glaubensrevision),Alle tun dies nicht, da sie auf klassischer Logik basieren (Tanaka 2005). Ein angemesseneres Konto kann auf einer parakonsistenten Logik beruhen. siehe Girard und Tanaka 2016.
2.3 Formale Semantik und Mengenlehre
Parakonsistenz kann als Antwort auf logische Paradoxe in der formalen Semantik und der Mengenlehre verstanden werden.
2.3.1 Wahrheitstheorie
Semantik ist die Studie, die darauf abzielt, ein theoretisches Verständnis von Bedeutung zu formulieren. Die meisten Berichte über Semantik bestehen darauf, dass die Bedeutung eines Satzes in gewissem Sinne seine Wahrheitsbedingungen zu formulieren bedeutet. Nun, zumindest auf den ersten Blick, ist die Wahrheit ein Prädikat, das durch das Tarski-T-Schema gekennzeichnet ist:
[T (boldsymbol {A}) leftrightarrow A)
Dabei ist (A) ein Satz und (boldsymbol {A}) sein Name. Aber mit jedem Standardmittel der Selbstreferenz, z. B. Arithmetisierung, kann man einen Satz (B) konstruieren, der besagt, dass (neg T (boldsymbol {B})). Das T-Schema ergibt (T (boldsymbol {B}) leftrightarrow \ neg T (boldsymbol {B})). Daraus folgt (T (boldsymbol {B}) wedge \ neg T (boldsymbol {B})). (Dies ist natürlich nur das Lügnerparadoxon.) Eine vollständige Entwicklung einer Wahrheitstheorie in parakonsistenter Logik liefert Beall (2009).
2.3.2 Mengenlehre
In der Mengenlehre ist die Situation ähnlich. Die naiven und intuitiv korrekten Axiome der Mengenlehre sind das Verständnisschema und das Extensionalitätsprinzip:
) begin {align *} & \ existiert y \ für alle x (x \ in y \ leftrightarrow A) & \ forall x (x \ in y \ leftrightarrow x \ in z) rightarrow y = z \ end { ausrichten*})
wobei (x) in (A) nicht frei vorkommt. Wie Russell herausgefunden hat, ist jede Theorie, die das Verständnisschema enthält, inkonsistent. Um '(y \ not \ in y)' für (A) in das Verständnisschema einzufügen und den existenziellen Quantifizierer für ein beliebiges solches Objekt zu instanziieren, ergibt '(r)':
) forall y (y \ in r \ leftrightarrow y \ not \ in y))
Wenn Sie also den universellen Quantifizierer auf '(r)' instanziieren, erhalten Sie:
[r \ in r \ leftrightarrow r \ not \ in r)
Daraus folgt (r \ in r \ Keil r \ nicht \ in r).
Die Standardansätze für diese Inkonsistenzprobleme sind im Großen und Ganzen zweckmäßig. Ein parakonsistenter Ansatz ermöglicht es, Theorien über Wahrheit und Heiligkeit zu haben, in denen die mathematisch fundamentalen Intuitionen über diese Begriffe respektiert werden. Zum Beispiel können, wie Brady (1989; 2006) gezeigt hat, Widersprüche in einer parakonsistenten Mengenlehre auftreten, aber diese müssen nicht die gesamte Theorie infizieren.
Es gibt verschiedene Ansätze, um die Theorie mit naivem Verständnis über parakonsistente Logik zu setzen. Die Theorien der Ordinal- und Kardinalzahlen werden axiomatisch unter Verwendung der relevanten Logik in Weber 2010b, 2012 entwickelt. Die Möglichkeit, einen Konsistenzoperator hinzuzufügen, um nicht paradoxe Fragmente der Theorie zu verfolgen, wird in Omori 2015 unter Berücksichtigung der Tradition von da Costa betrachtet. Die naive Mengenlehre unter Verwendung adaptiver Logik wird von Verdée (2013) vorgestellt. Modelle für die parakonsistente Mengenlehre werden von Libert (2005) beschrieben.
2.3.3 Mathematik im Allgemeinen
Nach da Costa (1974: 498),
Es wäre ebenso interessant, die inkonsistenten Systeme zu untersuchen, wie zum Beispiel die nichteuklidischen Geometrien: Wir würden eine bessere Vorstellung von der Natur der Paradoxien erhalten und könnten einen besseren Einblick in die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen logischen Prinzipien erhalten, die zur Bestimmung erforderlich sind Ergebnisse usw.… Es ist nicht unser Ziel, die Inkonsistenzen zu beseitigen, sondern sie zu analysieren und zu untersuchen.
Weitere Entwicklungen der Mathematik in der parakonsistenten Logik finden Sie im Eintrag zur inkonsistenten Mathematik.
2.4 Satz von Arithmetik und Gödel
Anders als in der formalen Semantik und der Mengenlehre gibt es möglicherweise keine offensichtlichen arithmetischen Prinzipien, die zu Widersprüchen führen. Dennoch gibt es genau wie bei den klassischen Nicht-Standardmodellen der Arithmetik eine Klasse inkonsistenter Modelle der Arithmetik (oder genauer Modelle inkonsistenter Arithmetik), die eine interessante und wichtige mathematische Struktur aufweisen.
Eine interessante Implikation der Existenz inkonsistenter Modelle der Arithmetik ist, dass einige von ihnen endlich sind (im Gegensatz zu den klassischen Nicht-Standardmodellen). Dies bedeutet, dass es einige signifikante Anwendungen in den metamathematischen Theoremen gibt. Zum Beispiel besagt das klassische Löwenheim-Skolem-Theorem, dass (Q) (Robinsons Arithmetik, die ein Fragment der Peano-Arithmetik ist) Modelle jeder unendlichen Kardinalität hat, aber keine endlichen Modelle. Es kann jedoch gezeigt werden, dass (Q) auch Modelle endlicher Größe hat, indem auf die inkonsistenten Modelle der Arithmetik Bezug genommen wird.
Es ist nicht nur das Löwenheim-Skolem-Theorem, sondern auch andere metamathematische Theoreme können parakonsistent behandelt werden. Bei anderen Theoremen können jedoch die negativen Ergebnisse, die häufig durch die Grenzsätze der Metamathematik gezeigt werden, nicht mehr gelten. Ein wichtiger Satz dieser Art ist der Satz von Gödel.
Eine Version von Gödels erstem Unvollständigkeitssatz besagt, dass es für jede konsistente axiomatische Theorie der Arithmetik, die als solide erkannt werden kann, eine arithmetische Wahrheit geben wird, nämlich ihren Gödel-Satz, der darin nicht beweisbar ist, der aber als festgelegt werden kann wahr durch intuitiv korrektes Denken. Das Herzstück von Gödels Theorem ist in der Tat ein Paradoxon, das den Satz (G) "Dieser Satz ist nicht beweisbar" betrifft. Wenn (G) beweisbar ist, dann ist es wahr und daher nicht beweisbar. Damit ist (G) bewiesen. Daher ist (G) wahr und so unbeweisbar. Wenn eine zugrunde liegende parakonsistente Logik verwendet wird, um die Arithmetik zu formalisieren, und die Theorie daher inkonsistent sein darf, kann der Gödel-Satz in der Theorie durchaus beweisbar sein (im Wesentlichen durch die obige Argumentation). Ein parakonsistenter Ansatz zur Arithmetik überwindet also die Grenzen der Arithmetik, die (von vielen) aus Gödels Theorem folgen sollen. (Für andere 'begrenzende' Theoreme der Metamathematik siehe Priester 2002.)
2.5 Unbestimmtheit
Parakonsistente Logik sollte sich von Anfang an teilweise mit Problemen der Unbestimmtheit und dem Paradoxon der Soriten befassen (Jaśkowski 1948 [1969]). Einige empirische Belege legen nahe, dass Unbestimmtheit in der natürlichen Sprache ein guter Kandidat für eine parakonsistente Behandlung ist (Ripley 2011).
Es wurden einige verschiedene parakonsistente Ansätze zur Unbestimmtheit vorgeschlagen. Subvaluationismus ist das logische Doppel zum Supervaluationismus: Wenn eine Behauptung über eine akzeptable Schärfung eines vagen Prädikats wahr ist, dann ist es wahr. Wo der Supervaluationist Unbestimmtheit oder Wahrheitslücken sieht, sieht der Subvaluationist Überbestimmtheit, Wahrheitswertschwankungen. Eine Subbewertungslogik bewahrt wie ihre aufsichtsrechtliche Dualität alle klassischen Tautologien, solange die Definition der Gültigkeit auf die nicht überfüllten Fälle beschränkt ist. Da der Subvaluationismus strukturell dem Supervaluationismus so ähnlich ist, wird er auch größtenteils kritisiert (Hyde 1997).
Im weiteren Sinne wurde (dialetheische) Parakonsistenz in einfachen dreiwertigen wahrheitsfunktionalen Ansätzen zur Unbestimmtheit verwendet. Ziel ist es, die beiden folgenden intuitiven Behauptungen beizubehalten:
Toleranz: Für vage (F) ist es nicht so, dass (x) (F) ist, aber einige sehr (F) - ähnliche (x) sind nicht (F)
Cutoffs: Für alle (F), wenn einige (x) (F) und einige (y) nicht sind und es eine geordnete (F) - Progression von (x) gibt) bis (y), dann gibt es einige letzte (F) und einige erste nicht - (F)
Wiederum besteht der Schlüssel zur Analyse darin, Grenzwerte als Orte für Inkonsistenzen für Objekte sowohl F als auch nicht F zu verwenden. Dann werden alle Toleranzansprüche (über vages F) als wahr angenommen; Da jedoch die Schlussfolgerung des disjunktiven Syllogismus parakonsistent nicht allgemein gültig ist, implizieren diese Behauptungen keine Absurditäten wie „Jeder hat eine Glatze“. Parakonsistente Modelle legen großen Wert auf Grenzwerte vager Prädikate und führen einen Großteil der Probleme mit dem Paradies der Einsätze auf die zugrunde liegende Inkonsistenz vager Prädikate zurück (Weber 2010a).
Es wird diskutiert, ob das Ausfallparadoxon mit den anderen bekannten semantischen und theoretischen Paradoxien wie Russells und dem Lügner vergleichbar ist. Wenn dies der Fall ist, wäre eine parakonsistente Herangehensweise an das eine so natürlich wie an das andere.
3. Systeme parakonsistenter Logik
Eine Reihe formaler Techniken zur Ungültigmachung der ECQ wurde entwickelt. Die meisten Techniken wurden an anderer Stelle zusammengefasst (Brown 2002, Priest 2002). Als das Interesse an parakonsistenter Logik zunahm, entwickelten sich in verschiedenen Teilen der Welt verschiedene Techniken. Infolgedessen hat die Entwicklung der Techniken einen regionalen Charakter (obwohl es natürlich Ausnahmen gibt und die regionalen Unterschiede übertrieben sein können; siehe Tanaka 2003).
Die meisten parakonsistenten Logiker schlagen keine umfassende Ablehnung der klassischen Logik vor. Sie akzeptieren normalerweise die Gültigkeit klassischer Schlussfolgerungen in konsistenten Kontexten. Es ist die Notwendigkeit, eine Inkonsistenz zu isolieren, ohne sie überall zu verbreiten, was die Ablehnung von ECQ motiviert. Je nachdem, wie viel Revision benötigt wird, haben wir eine Technik für Parakonsistenz. Die hier angegebene Taxonomie basiert auf dem Grad der Überarbeitung der klassischen Logik. Da die logische Neuheit auf der Propositionsebene gesehen werden kann, werden wir uns auf die parakonsistente Aussagenlogik konzentrieren.
3.1 Diskussionslogik
Die erste formale parakonsistente Logik, die entwickelt wurde, war die diskussive (oder diskursive) Logik des polnischen Logikers Jaśkowski (1948). Der Gedanke hinter der Diskussionslogik ist, dass jeder Teilnehmer in einem Diskurs einige Informationen, Überzeugungen oder Meinungen vorbringt. Jede Behauptung trifft auf den Teilnehmer zu, der sie in einem Diskurs vorbringt. Was jedoch in einem Diskurs insgesamt zutrifft, ist die Summe der von den Teilnehmern vorgebrachten Behauptungen. Die Meinungen jedes Teilnehmers können selbstkonsistent sein, jedoch nicht mit denen anderer. Jaśkowski formalisierte diese Idee in Form einer Diskussionslogik.
Eine Formalisierung der Diskussionslogik erfolgt durch Modellierung eines Diskurses in einer Modallogik. Der Einfachheit halber wählte Jaśkowski S 5. Wir betrachten die Glaubenssätze jedes Teilnehmers als die Menge von Sätzen, die in einer Welt in einem S 5 -Modell (M) wahr sind. Somit wird ein Satz (A), der von einem Teilnehmer an einem Diskurs behauptet wird, als "es ist möglich, dass (A)" oder ein Satz (Diamant A) von S 5 interpretiert. Dann (A) gilt in einem Diskurs, wenn (A) in einer Welt in (M) wahr ist. Da (A) in einer Welt, aber nicht in einer anderen Welt gelten kann, können sowohl (A) als auch (neg A) in einem Diskurs enthalten sein. In der Tat sollte man erwarten, dass sich die Teilnehmer in einem rationalen Diskurs über ein Thema nicht einig sind. Die Idee ist also, dass (B) eine diskussive Konsequenz von (A_1, \ ldots, A_n) ist, wenn (Diamond B) eine S 5-Konsequenz von (Diamond A_ {1} ist) ldots \ Diamond A_ {n}).
Um zu sehen, dass die Diskussionslogik parakonsistent ist, betrachten Sie ein S 5 -Modell (M), so dass (A) bei (w_1) und (neg A) bei einer anderen Welt (w_2) gilt), aber (B) gilt für einige (B) in keiner Welt. Dann halten sowohl (A) als auch (neg A), aber (B) hält nicht in (M). Daher macht die Diskussionslogik die ECQ ungültig.
Es gibt jedoch kein S 5 -Modell, in dem (A \ wedge \ neg A) in irgendeiner Welt gilt. Eine Folgerung der Form ({A \ wedge \ neg A } vDash B) ist also in der Diskussionslogik gültig. Dies bedeutet, dass in der Diskussionslogik die Adjunktion (({A, \ neg A } vDash A \ wedge \ neg A)) fehlschlägt. Aber man kann eine diskussive Konjunktion (wedge_d) als (A \ wedge \ Diamond B) (oder (Diamond A \ wedge B)) definieren. Dann gilt die Adjunktion für (wedge_d) (Jaśkowski 1949).
Eine Schwierigkeit ist die Formulierung einer Bedingung. In S 5 schlägt die Folgerung von (Diamond p) und (Diamond (p \ supset q)) nach (Diamond q) fehl. Jaśkowski entschied sich für die Einführung eines Konnektivs, das er als diskutierende Implikation bezeichnete, (supset_d), definiert als (Diamond A \ supset B). Unter diesem Zusammenhang kann verstanden werden, dass „wenn ein Teilnehmer (A) angibt, dann (B)“. Da die Folgerung von (Diamond A \ supset B) und (Diamond A) nach (Diamond B) in S 5 gültig ist, gilt der Modus ponens für (supset_d) in der Diskussionslogik. Eine diskutierende Doppelimplikation, (equiv_d), kann auch definiert werden als ((Diamant A \ supset B) Keil \ Diamant (Diamant B \ supset A)) (oder (Diamant () Diamant A \ Supset B) Keil (Diamant B \ Supset A))). Für eine Geschichte der Arbeit an Jaśkowskis Logik und deren Axiomatisierungen siehe Omori und Alama (in Vorbereitung).
3.2 Nichtadjunktive Systeme
Ein nicht-adjunktives System ist ein System, das die Adjunktion nicht validiert (dh ({A, B } not \ vDash A \ Wedge B)). Wie wir oben gesehen haben, ist Diskussionslogik ohne Diskussionskonjunktion kein Zusatz. Eine andere nicht-zusätzliche Strategie wurde von Rescher und Manor (1970) vorgeschlagen. Tatsächlich können wir Prämissen verbinden, aber nur bis zur maximalen Konsistenz. Insbesondere wenn (Sigma) eine Menge von Prämissen ist, ist eine maximal konsistente Teilmenge eine konsistente Teilmenge (Sigma '), so dass wenn (A \ in \ Sigma - \ Sigma') dann (Sigma '\ cup {A }) ist inkonsistent. Dann sagen wir, dass (A) eine Folge von (Sigma) ist, wenn (A) eine klassische Folge von (Sigma ') für eine maximal konsistente Teilmenge (Sigma') ist. Dann ({p, q } vDash p \ wedge q) aber ({p, \ neg p } not \ vDash p \ wedge \ neg p).
3.3 Bewahrungismus
Im nicht-zusätzlichen System von Rescher und Manor wird eine Konsequenzbeziehung über eine maximal konsistente Teilmenge der Räumlichkeiten definiert. Dies kann als eine Möglichkeit angesehen werden, den Grad der Konsistenz in der Prämissenmenge zu "messen". Die Ebene von ({p, q }) ist 1, da die maximal konsistente Teilmenge die Menge selbst ist. Die Ebene von ({p, \ neg p }) beträgt jedoch 2: ({p }) und ({ neg p }).
Wenn wir eine Konsequenzbeziehung über eine maximal konsistente Teilmenge definieren, kann davon ausgegangen werden, dass die Beziehung die Ebene konsistenter Fragmente beibehält. Dies ist der Ansatz, der als Konservierungismus bezeichnet wird. Es wurde zuerst von den kanadischen Logikern Ray Jennings und Peter Schotch entwickelt.
Genauer gesagt kann ein (endlicher) Satz von Formeln (Sigma) in klassisch konsistente Fragmente unterteilt werden, deren Vereinigung (Sigma) ist. Sei (vdash) die klassische Konsequenzrelation. Eine Abdeckung von (Sigma) ist eine Menge ({ Sigma_i: i \ in I }), in der jedes Mitglied konsistent ist, und (Sigma = \ bigcup_ {i \ in I} Sigma_i). Die Ebene von (Sigma, l (Sigma)) ist die geringste (n), so dass (Sigma) in (n) Mengen aufgeteilt werden kann, wenn es solche (n \ gibt)) oder (infty), wenn es kein solches (n) gibt. Eine Konsequenzbeziehung, die als Forcen (Vdash) bezeichnet wird, ist wie folgt definiert. (Sigma \ Vdash A) iff (l (Sigma) = \ infty) oder (l (Sigma) = n) und für jede Abdeckung der Größe (n) gibt es ein (j \ in I) so dass (Sigma_j \ vdash A). Wenn (l (Sigma) = 1) oder (infty), dann stimmt die Forcierungsrelation mit der klassischen Konsequenzrelation überein. In dem Fall, in dem (l (Sigma) = \ infty) ist, muss ein Satz der Form (A \ wedge \ neg A) vorhanden sein, damit die Forcierungsbeziehung explodiert.
Eine Chunking-Strategie wurde auch angewendet, um den Inferenzmechanismus zu erfassen, der einigen Theorien in Naturwissenschaften und Mathematik zugrunde liegt. In der Mathematik war die beste verfügbare Theorie bezüglich Infinitesimalen inkonsistent. In der Infinitesimalrechnung von Leibniz und Newton mussten bei der Berechnung einer Ableitung Infinitesimale sowohl Null als auch Nicht-Null sein. Um den Inferenzmechanismus zu erfassen, der der Infinitesimalrechnung von Leibniz und Newton (und Bohrs Theorie des Atoms) zugrunde liegt, müssen wir dem Chunking einen Mechanismus hinzufügen, der es ermöglicht, dass eine begrenzte Menge an Informationen zwischen den konsistenten Fragmenten dieser inkonsistenten aber fließt nicht triviale Theorien. Das heißt, bestimmte Informationen von einem Block können in andere Blöcke eindringen. Das den Theorien zugrunde liegende Inferenzverfahren muss Chunk und Permeate sein.
Sei (C = { Sigma_i: i \ in I }) und (varrho) eine Permeabilitätsbeziehung auf (C), so dass (varrho) eine Karte von (I \ ist) mal I) zu Teilmengen von Formeln der Sprache. Wenn (i_0 \ in I), wird jede Struktur (langle C, \ varrho, i_0 \ rangle) als C & P-Struktur auf (Sigma) bezeichnet. Wenn (mathcal {B}) eine C & P-Struktur auf (Sigma) ist, definieren wir die C & P-Konsequenzen von (Sigma) in Bezug auf (mathcal {B}) wie folgt. Für jedes (i \ in I) wird eine Reihe von Sätzen (Sigma_i ^ n) durch Rekursion auf (n) definiert:
) begin {align *} Sigma_i ^ {0} & = \ Sigma_i ^ { vdash} \ \ Sigma_i ^ {n + 1} & = \ left (Sigma_i ^ n \ cup \ bigcup_ {j \ in I} left (Sigma_j ^ n \ cap \ rho (j, i) right) right) ^ { vdash} \ \ end {align *})
Das heißt, (Sigma_i ^ {n + 1}) umfasst die Konsequenzen von (Sigma_i ^ n) zusammen mit den Informationen, die vom anderen Block auf Ebene (n) in den Block (i) eindringen). Wir sammeln dann alle endlichen Stufen:
Die C & P-Konsequenzen von (Sigma) können anhand der Sätze definiert werden, die im bezeichneten Block (i_0) abgeleitet werden können, wenn alle geeigneten Informationen entlang der Permeabilitätsbeziehungen fließen dürfen (siehe Brown & Priest 2004), 2015.)
3.4 Adaptive Logik
Man kann nicht nur denken, dass eine Inkonsistenz isoliert werden muss, sondern auch, dass ein ernstes Bedürfnis nach Berücksichtigung von Inkonsistenzen selten vorkommt. Der Gedanke könnte sein, dass Konsistenz die Norm ist, bis das Gegenteil bewiesen ist: Wir sollten einen Satz oder eine Theorie so konsequent wie möglich behandeln. Dies ist im Wesentlichen die Motivation für adaptive Logik, die von Diderik Batens in Belgien entwickelt wurde.
Eine adaptive Logik ist eine Logik, die sich an die Situation zum Zeitpunkt der Anwendung von Inferenzregeln anpasst. Es modelliert die Dynamik unserer Argumentation. Es gibt zwei Sinne, in denen das Denken dynamisch ist: extern und intern. Das Denken ist extern dynamisch, wenn, sobald neue Informationen verfügbar werden und die Prämissenmenge erweitert wird, die zuvor abgeleiteten Konsequenzen möglicherweise zurückgezogen werden müssen. Die äußere Dynamik ist somit der nicht monotone Charakter einiger Konsequenzbeziehungen: (Gamma \ vdash A) und (Gamma \ cup \ Delta \ nicht \ vdash A) für einige (Gamma, \ Delta)) und ein). Selbst wenn die Prämissenmenge konstant bleibt, können einige zuvor abgeleitete Schlussfolgerungen zu einem späteren Zeitpunkt als nicht ableitbar angesehen werden. Wenn unsere Argumentation von einer Prämisse ausgeht, können wir auf eine Situation stoßen, in der wir auf eine Konsequenz schließen, vorausgesetzt, dass keine Anomalie vorliegt.insbesondere kein Widerspruch, ergibt sich zu einem bestimmten Zeitpunkt des Argumentationsprozesses. Wenn wir zu einem späteren Zeitpunkt gezwungen sind, auf einen Widerspruch zu schließen, muss sich unsere Argumentation anpassen, damit eine Anwendung der zuvor verwendeten Inferenzregel zurückgezogen wird. In einem solchen Fall ist das Denken intern dynamisch. Unsere Argumentation kann intern dynamisch sein, wenn die Menge der gültigen Schlussfolgerungen nicht rekursiv aufzählbar ist (dh es gibt kein Entscheidungsverfahren, das nach endlich vielen Schritten zu "Ja" führt, wenn die Schlussfolgerung tatsächlich gültig ist). Es ist die interne Dynamik, für deren Erfassung adaptive Logiken entwickelt wurden. Das Denken ist intern dynamisch. Unsere Argumentation kann intern dynamisch sein, wenn die Menge der gültigen Schlussfolgerungen nicht rekursiv aufzählbar ist (dh es gibt kein Entscheidungsverfahren, das nach endlich vielen Schritten zu "Ja" führt, wenn die Schlussfolgerung tatsächlich gültig ist). Es ist die interne Dynamik, für deren Erfassung adaptive Logiken entwickelt wurden. Das Denken ist intern dynamisch. Unsere Argumentation kann intern dynamisch sein, wenn die Menge der gültigen Schlussfolgerungen nicht rekursiv aufzählbar ist (dh es gibt kein Entscheidungsverfahren, das nach endlich vielen Schritten zu "Ja" führt, wenn die Schlussfolgerung tatsächlich gültig ist). Es ist die interne Dynamik, für deren Erfassung adaptive Logiken entwickelt wurden.
Um die Idee hinter der adaptiven Logik zu veranschaulichen, betrachten Sie die Prämissenmenge (Gamma = {p, \ neg p \ vee r, \ neg r \ vee s, \ neg s, s \ vee t }). Man kann anfangen, mit (neg s) und (s \ vee t) zu argumentieren, indem man den Disjunctive Syllogism (DS) verwendet, um (t) abzuleiten, vorausgesetzt, dass (s \ wedge \ neg s) dies tut nicht erhalten. Wir argumentieren dann mit (p) und (neg p \ vee r), um (r) mit dem DS abzuleiten, da (p \ wedge \ neg p) nicht erhalten wird. Jetzt können wir den DS auf (neg r \ vee s) und (r) anwenden, um (s) abzuleiten, vorausgesetzt, (r \ wedge \ neg r) erhält nicht. Durch Verbinden von (s) und (neg s) können wir jedoch (s \ wedge \ neg s) erhalten. Daher müssen wir die erste Anwendung von DS zurückziehen, und so verfällt der Beweis von (t). Eine Konsequenz dieser Argumentation ist, was in keiner Phase des Prozesses besiegt werden kann.
Ein System der adaptiven Logik kann allgemein als aus drei Elementen bestehend charakterisiert werden:
Eine untere Grenzwertlogik (LLL)
Eine Reihe von Anomalien
Eine adaptive Strategie
LLL ist der Teil einer adaptiven Logik, die keiner Anpassung unterliegt. Es besteht im Wesentlichen aus einer Reihe von Inferenzregeln (und / oder Axiomen), die man gerne akzeptiert, unabhängig von der Situation in einem Argumentationsprozess. Eine Reihe von Anomalien ist eine Reihe von Formeln, die zu Beginn der Argumentation als nicht haltbar (oder absurd) vorausgesetzt werden, bis sich herausstellt, dass sie anders sind. Für viele adaptive Logiken hat eine Formel in diesem Satz die Form (A \ wedge \ neg A). Eine adaptive Strategie spezifiziert eine Strategie zum Behandeln der Anwendungen von Inferenzregeln basierend auf dem Satz von Anomalien. Wenn LLL mit der Anforderung erweitert wird, dass keine Abnormalität logisch möglich ist, erhält man die Obergrenzenlogik (ULL). ULL enthält im Wesentlichen nicht nur die Inferenzregeln (und / oder Axiome) von LLL, sondern auch ergänzende Regeln (und / oder Axiome), die angewendet werden können, wenn keine Anomalie vorliegt, wie z. B. DS. Durch Angabe dieser drei Elemente erhält man ein System adaptiver Logik.
3.5 Logik formaler Inkonsistenz
Die Ansätze zur Motivation der Systeme parakonsistenter Logik, die wir bisher gesehen haben, isolieren Inkonsistenzen von konsistenten Teilen der gegebenen Theorie. Ziel ist es, so viel klassische Maschinerie wie möglich bei der Entwicklung eines Systems parakonsistenter Logik beizubehalten, das bei Explosionen dennoch eine Explosion vermeidet. Eine Möglichkeit, dieses Ziel explizit zu machen, besteht darin, die Ausdruckskraft unserer Sprache zu erweitern, indem die metatheoretischen Begriffe der Konsistenz (und Inkonsistenz) in der Objektsprache codiert werden. Die Logik der formalen Inkonsistenz (LFIs) ist eine Familie parakonsistenter Logik, die konsistente Fragmente der klassischen Logik darstellt, jedoch das Explosionsprinzip ablehnt, wenn ein Widerspruch vorliegt. Die Untersuchung dieser Logikfamilie wurde von Newton da Costa in Brasilien eingeleitet.
Ein Effekt der Codierung von Konsistenz (und Inkonsistenz) in der Objektsprache besteht darin, dass wir Inkonsistenz explizit von Trivialität trennen können. Mit einer Sprache, die reich genug ist, um Inkonsistenz (und Konsistenz) auszudrücken, können wir inkonsistente Theorien studieren, ohne davon auszugehen, dass sie notwendigerweise trivial sind. Dies macht deutlich, dass das Vorhandensein eines Widerspruchs ein anderes Thema ist als die nicht triviale Natur parakonsistenter Schlussfolgerungen.
Der Gedanke hinter LFIs ist, dass wir die klassische Logik so weit wie möglich respektieren sollten. Nur wenn es einen Widerspruch gibt, sollte die Logik davon abweichen. Dies bedeutet, dass wir die Gültigkeit von ECQ ohne Widersprüche zugeben können. Dazu codieren wir 'Konsistenz' in unsere Objektsprache mit (circ). Dann ist (vdash) eine Konsequenzbeziehung eines LFI iff
(existiert \ Gamma \ existiert A \ existiert B (Gamma, A, \ neg A \ nicht \ vdash B)) und
(forall \ Gamma \ forall A \ forall B (Gamma, \ circ A, A, \ neg A \ vdash B)).
Sei (vdash_C) die klassische Konsequenz- (oder Ableitungs-) Beziehung und (circ (Gamma)) drücke die Konsistenz des Satzes von Formeln (Gamma) so aus, dass wenn (circ A) und (circ B) dann (circ (A * B)) wobei (*) eine beliebige logische Verbindung mit zwei Stellen ist. Dann können wir die Ableitbarkeit im konsistenten Kontext in Bezug auf die Äquivalenz erfassen: (forall \ Gamma \ forall B \ existiert \ Delta (Gamma \ vdash_C B) iff (circ (Delta), \ Gamma \ vdash B)).
Nehmen wir nun das positive Fragment der klassischen Logik mit Modus Ponens plus Eliminierung der doppelten Negation ((neg \ neg A \ rightarrow A)) als Axiom und einige Axiome, die (circ) regieren:
) begin {align *} circ A & \ rightarrow (A \ rightarrow (neg A \ rightarrow B)) (circ A \ wedge \ circ B) & \ rightarrow \ circ (A \ wedge B) (circ A \ rightarrow \ circ B) & \ rightarrow \ circ (A \ rightarrow B) end {align *})
Dann stellt (vdash) das System von da Costa (C_1) bereit. Wenn wir (A ^ 1) die Formel (neg (A \ Keil \ neg A)) und (A ^ {n + 1}) die Formel ((neg (A ^ n) abkürzen lassen) wedge \ neg A ^ n)) ^ 1), dann erhalten wir (C_i) für jede natürliche Zahl (i) größer als 1.
Um das System von da Costa (C _ { omega}) anstelle des positiven Fragments der klassischen Logik zu erhalten, beginnen wir stattdessen mit der positiven intuitionistischen Logik. (C_i) Systeme für endliche (i) schließen nicht aus, dass ((A ^ n \ Keil \ neg A ^ n \ Keil A ^ {n + 1})) an einer Theorie festhält. Wenn Sie die Hierarchie auf (omega) erhöhen, schließt (C _ { omega}) diese Möglichkeit aus. Beachten Sie jedoch, dass (C _ { omega}) kein LFC ist, da es keine klassische positive Logik enthält.
Zur Semantik der (C) - Systeme von da Costa siehe beispielsweise da Costa und Alves 1977 und Loparic 1977. Zum Stand der Technik siehe Carnielli und Coniglio 2016.
3.6 Vielwertige Logik
Der vielleicht einfachste Weg, eine parakonsistente Logik zu erzeugen, die Asenjo zuerst in seiner Dissertation vorgeschlagen hat, ist die Verwendung einer vielwertigen Logik. Klassischerweise gibt es genau zwei Wahrheitswerte. Der vielwertige Ansatz besteht darin, diese klassische Annahme fallen zu lassen und mehr als zwei Wahrheitswerte zuzulassen. Die einfachste Strategie besteht darin, drei Wahrheitswerte zu verwenden: wahr (nur), falsch (nur) und beide (wahr und falsch) für die Bewertung von Formeln. Die Wahrheitstabellen für logische Verknüpfungen können, außer bedingt, wie folgt angegeben werden:
(neg)
(t)
(f)
(b)
(b)
(f)
(t)
\(Keil)
(t)
(b)
(f)
(t)
(t)
(b)
(f)
(b)
(b)
(b)
(f)
(f)
(f)
(f)
(f)
(vee)
(t)
(b)
(f)
(t)
(t)
(t)
(t)
(b)
(t)
(b)
(b)
(f)
(t)
(b)
(f)
Diese Tabellen sind im Wesentlichen die der drei Wertlogiken von Kleene und Łukasiewicz, bei denen der Mittelwert als unbestimmt oder weder (wahr noch falsch) angesehen wird.
Für eine Bedingung (supset) können wir nach Kleenes dreiwertiger Logik eine Wahrheitstabelle wie folgt angeben:
(supset)
(t)
(b)
(f)
(t)
(t)
(b)
(f)
(b)
(t)
(b)
(b)
(f)
(t)
(t)
(t)
Sei (t) und (b) die angegebenen Werte. Dies sind die Werte, die in gültigen Schlussfolgerungen erhalten bleiben. Wenn wir eine Konsequenzbeziehung in Bezug auf die Erhaltung dieser bezeichneten Werte definieren, dann haben wir die parakonsistente Logik LP (Priest 1979). In LP ist ECQ ungültig. Um dies zu sehen, weisen wir (p) (b) und (q) (f) zu. Dann wird (neg p) auch als (b) ausgewertet und so werden sowohl (p) als auch (neg p) bezeichnet. (Q) wird jedoch nicht als mit einem bestimmten Wert bewertet. Daher ist ECQ in LP ungültig.
Wie wir sehen können, macht LP ECQ ungültig, indem einem Widerspruch ein bestimmter Wert zugewiesen wird, sowohl wahr als auch falsch. Daher weicht LP mehr von der klassischen Logik ab als die Systeme, die wir zuvor gesehen haben. Umstrittener ist es aber natürlich auch der Dialetheismus. Wir können Wahrheitswerte jedoch nicht im aletheischen, sondern im epistemischen Sinne interpretieren: Wahrheitswerte (oder bezeichnete Werte) drücken epistemische oder doxastische Verpflichtungen aus (siehe zum Beispiel Belnap 1992). Oder wir denken, dass der Wert beider aus einem semantischen Grund benötigt wird: Wir müssen möglicherweise den Widerspruch einiger unserer Überzeugungen, Behauptungen usw. zum Ausdruck bringen (siehe Dunn 1976: 157). Wenn diese Interpretationsstrategie erfolgreich ist, können wir LP von der Notwendigkeit trennen, notwendigerweise unter Dialetheismus zu fallen.
Ein Merkmal von LP, das einige Aufmerksamkeit erfordert, ist, dass im LP-Modus Ponens ungültig wird. Denn wenn (p) sowohl wahr als auch falsch ist, aber (q) falsch (nur), dann ist (p \ supset q) sowohl wahr als auch falsch und wird daher bezeichnet. Es werden also sowohl (p) als auch (p \ supset q) bezeichnet, die Schlussfolgerung (q) jedoch nicht. Daher ist der Modus ponens für (supset) in LP ungültig. (Eine Möglichkeit, das Problem zu beheben, besteht darin, eine geeignete bedingte Verbindung hinzuzufügen, wie wir im Abschnitt über relevante Logiken sehen werden.)
Eine andere Möglichkeit, eine vielwertige parakonsistente Logik zu entwickeln, besteht darin, sich die Zuweisung eines Wahrheitswertes nicht als Funktion, sondern als Beziehung vorzustellen. Sei (P) der Satz von Satzparametern. Dann ist eine Auswertung (eta) eine Teilmenge von (P \ times {0, 1 }). Ein Satz darf sich nur auf 1 (wahr) beziehen, er darf sich nur auf 0 (falsch) beziehen, er darf sich sowohl auf 1 als auch auf 0 beziehen oder er darf sich weder auf 1 noch auf 0 beziehen. Die Bewertung wird auf eine Beziehung für alle Formeln durch erweitert die folgenden rekursiven Klauseln:
) begin {align *} neg A \ eta 1 & \ textrm {iff} A \ eta 0 \\ \ neg A \ eta 0 & \ textrm {iff} A \ eta 1 \[1ex] A \ wedge B \ eta 1 & \ textrm {iff} A \ eta 1 \ textrm {und} B \ eta 1 \\ A \ wedge B \ eta 0 & \ textrm {iff} A \ eta 0 \ textrm {oder} B \ eta 0 \[1ex] A \ vee B \ eta 1 & \ textrm {iff} A \ eta 1 \ textrm {oder} B \ eta 1 \\ A \ vee B \ eta 0 & \ textrm {iff} A \ eta 0 \ textrm {und} B \ eta 0 \\ \ end {align *})
Wenn wir die Gültigkeit in Bezug auf die Wahrung der Wahrheit unter allen relationalen Bewertungen definieren, erhalten wir First Degree Entailment (FDE), ein Fragment relevanter Logiken. Diese relationale Semantik für FDE geht auf Dunn 1976 zurück.
Ein anderer Ansatz wird durch die Idee nicht deterministischer Matrizen untersucht, die von Avron und seinen Mitarbeitern untersucht wurden (z. B. Avron & Lev 2005).
3.7 Relevante Logik
Die von uns untersuchten Ansätze zur Parakonsistenz konzentrieren sich vor allem auf die unvermeidliche Präsenz oder die Wahrheit einiger Widersprüche. Eine Ablehnung der ECQ bei diesen Ansätzen hängt von einer Analyse der Prämissen ab, die einen Widerspruch enthalten. Man könnte denken, dass das eigentliche Problem mit ECQ nicht in den widersprüchlichen Prämissen liegt, sondern in der mangelnden Verbindung zwischen den Prämissen und der Schlussfolgerung. Der Gedanke ist, dass die Schlussfolgerung für die Prämissen in einer gültigen Schlussfolgerung relevant sein muss.
Relevante Logiken wurden entwickelt, um die Relevanz der Schlussfolgerung in Bezug auf die Prämissen von Anderson und Belnap (1975) in Pittsburgh zu untersuchen. Anderson und Belnap motivierten die Entwicklung relevanter Logiken unter Verwendung natürlicher Abzugssysteme; Dennoch entwickelten sie eine Familie relevanter Logiken in axiomatischen Systemen. Mit fortschreitender Entwicklung, die auch in Australien durchgeführt wurde, wurde der Semantik mehr Aufmerksamkeit geschenkt.
Die Semantik für relevante Logiken wurde von Fine (1974), Routley und Routley (1972), Routley und Meyer (1993) und Urquhart (1972) entwickelt. (Es gibt auch algebraische Semantik; siehe zum Beispiel Dunn & Restall 2002: 48ff.) Die Routley-Meyer-Semantik basiert auf der Semantik der möglichen Welt, der am besten untersuchten Semantik für relevante Logiken, insbesondere in Australien. In dieser Semantik verhalten sich Konjunktion und Disjunktion wie gewohnt. Aber jede Welt, (w), hat eine assoziierte Welt, (w ^ *), und die Negation wird bewertet als (w ^ *: \ neg A) ist wahr bei (w) iff (A) ist falsch, nicht bei (w), sondern bei (w ^ *). Wenn also (A) bei (w) wahr ist, aber bei (w ^ *) falsch, dann ist (A \ wedge \ neg A) bei (w) wahr. Um die standardrelevante Logik zu erhalten, muss die Einschränkung (w ^ {**} = w) hinzugefügt werden. Wie klar ist,Die Negation in dieser Semantik ist ein Intensionsoperator.
Das Hauptanliegen bei relevanten Logiken ist weniger die Negation als vielmehr eine bedingte Verbindung (rightarrow) (die den Modus ponens erfüllt). Wenn in relevanten Logiken (A \ rightarrow B) eine logische Wahrheit ist, dann ist (A) für (B) in dem Sinne relevant, dass (A) und (B) sich teilen mindestens eine Satzvariable.
Die Semantik für die relevante Bedingung wird erhalten, indem jedes Routley-Meyer-Modell mit einer ternären Beziehung versehen wird. In der vereinfachten Semantik von Priest und Sylvan (1992) und Restall (1993, 1995) werden Welten in normale und nicht normale Welten unterteilt. Wenn (w) eine normale Welt ist, ist (A \ rightarrow B) wahr bei (w), wenn in allen Welten, in denen (A) wahr ist, (B) wahr ist. Wenn (w) nicht normal ist, ist (A \ rightarrow B) bei (w) iff für alle (x, y) wahr, so dass (Rwxy), wenn (A.) ist wahr bei (x, B) ist wahr bei (y). Wenn (B) bei (x) wahr ist, aber nicht bei (y), wobei (Rwxy), dann ist (B \ rightarrow B) bei (w) nicht wahr. Dann kann man zeigen, dass (A \ rightarrow (B \ rightarrow B)) keine logische Wahrheit ist. (Gültigkeit ist definiert als Wahrung der Wahrheit über normale Welten.) Dies ergibt die grundlegende relevante Logik (B). Stärkere Logik, wie die Logik (R),werden durch Hinzufügen von Einschränkungen für die ternäre Beziehung erhalten.
Es gibt auch Versionen der Weltsemantik für relevante Logiken, die auf Dunns relationaler Semantik für FDE basieren. Dann ist die Negation eine Erweiterung. Ein bedingter Zusammenhang muss nun sowohl Wahrheits- als auch Falschheitsbedingungen gegeben werden. Wir haben also: (A \ rightarrow B) ist wahr bei (w) iff für alle (x, y), so dass (Rwxy), wenn (A) wahr ist bei (x, B) ist wahr bei (y); und (A \ rightarrow B) ist bei (w) iff für einige (x, y) falsch, so dass (Rwxy), wenn (A) bei (x, B wahr ist) ist bei (y) falsch. Das Hinzufügen verschiedener Einschränkungen für die ternäre Beziehung bietet eine stärkere Logik. Diese Logiken sind jedoch nicht die von Anderson und Belnap entwickelten standardrelevanten Logiken. Um die Standardfamilie relevanter Logiken zu erhalten, benötigt man Nachbarschaftsrahmen (siehe Mares 2004). Weitere Details finden Sie im Eintrag zu den relevanten Logiken.
Literaturverzeichnis
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Weltkongress der Parakonsistenzvolumina
[Erster Kongress] Batens, Diderik, Chris Mortensen, Graham Priest und Jean-Paul van Bendegem (Hrsg.), 2000, Frontiers of Paraconsistent Logic (Studien zu Logik und Berechnung 8), Baldock, England: Research Studies Press.
[Zweiter Kongress] Carnielli, Walter A., M. Coniglio und Itala Maria Lof D'ottaviano (Hrsg.), 2002, Parakonsistenz: Der logische Weg zum Inkonsistenten (Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics: Band 228), Boca Raton: CRC Press.
[Dritter Kongress] Beziau, Jean-Yves, Walter A. Carnielli und Dov M. Gabbay (Hrsg.), 2007, Handbuch der Parakonsistenz (Studies in Logic 9), London: College Publications.
[Vierter Kongress] Tanaka, Koji, Francesco Berto, Edwin Mares und Francesco Paoli (Hrsg.), 2013, Parakonsistenz: Logik und Anwendungen (Logik, Erkenntnistheorie und die Einheit der Wissenschaft 26), Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-94-007-4438-7
[Fünfter Kongress] Beziau, Jean-Yves, Mihir Chakraborty und Soma Dutta (Hrsg.), 2015, New Directions in Paraconsistent Logic, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007 / 978-81-322-2719-9
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