Modale Logik

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Modale Logik

Erstveröffentlichung Di 29. Februar 2000; inhaltliche Überarbeitung Sa 8. September 2018

Ein Modal ist ein Ausdruck (wie "notwendig" oder "möglicherweise"), der verwendet wird, um die Wahrheit eines Urteils zu qualifizieren. Modale Logik ist streng genommen das Studium des deduktiven Verhaltens der Ausdrücke "es ist notwendig, dass" und "es ist möglich, dass". Der Begriff "modale Logik" kann jedoch für eine Familie verwandter Systeme allgemeiner verwendet werden. Dazu gehören Logik für den Glauben, für angespannte und andere zeitliche Ausdrücke, für die deontischen (moralischen) Ausdrücke wie "es ist obligatorisch" und "es ist erlaubt, dass" und viele andere. Ein Verständnis der Modallogik ist besonders wertvoll bei der formalen Analyse philosophischer Argumente, bei denen Ausdrücke aus der Modalfamilie sowohl häufig als auch verwirrend sind. Modale Logik hat auch wichtige Anwendungen in der Informatik.

• 1. Was ist Modal Logic?
• 2. Modallogik
• 3. Deontische Logik
• 4. Zeitliche Logik
• 5. Bedingte Logik
• 6. Mögliche Weltsemantik
• 7. Modale Axiome und Bedingungen für Rahmen
• 8. Karte der Beziehungen zwischen Modallogiken
• 9. Das allgemeine Axiom
• 10. Zweidimensionale Semantik
• 11. Bereitstellungslogik
• 12. Erweiterte Modallogik
• 13. Bisimulation
• 14. Modale Logik und Spiele
• 15. Quantifizierer in Modal Logic
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Was ist Modal Logic?

Eng konstruierte, modale Logik untersucht Argumente, bei denen die Ausdrücke "notwendig" und "möglicherweise" verwendet werden. Der Begriff "modale Logik" wird jedoch allgemeiner verwendet, um eine Familie von Logiken mit ähnlichen Regeln und einer Vielzahl unterschiedlicher Symbole abzudecken.

Es folgt eine Liste, die die bekannteste dieser Logiken beschreibt.

Logik	Symbole	Ausdrücke symbolisiert
Modale Logik	(Box)	Es ist nötig dass …
	(Diamant)	Es ist möglich, dass …
Deontische Logik	(Ö)	Es ist obligatorisch, dass…
	(P)	Es ist erlaubt, dass…
	(F)	Es ist verboten, dass…
Zeitliche Logik	(G)	Es wird immer so sein, dass…
	(F)	Es wird der Fall sein, dass…
	(H)	Es war schon immer so, dass…
	(P)	Es war der Fall, dass…
Doxastische Logik	(Bx)	(x) glaubt, dass …

2. Modallogik

Die bekanntesten Logiken in der Modalfamilie basieren auf einer schwachen Logik namens (bK) (nach Saul Kripke). Bei der engen Lesart betrifft die Modallogik die Notwendigkeit und die Möglichkeit. Unter Verwendung von (bK) als Grundlage kann eine Vielzahl unterschiedlicher Systeme für solche Logiken entwickelt werden. Die Symbole von (bK) umfassen '({ sim})' für 'not', '(rightarrow)' für 'if… then' und '(Box)' für der modale Operator 'es ist notwendig, dass'. (Die Konnektiva '(amp)', '(vee)' und '(leftrightarrow)' können aus '({ sim})' und '(rightarrow' definiert werden) 'wie in der Aussagenlogik.) (bK) ergibt sich aus dem Hinzufügen des Folgenden zu den Prinzipien der Aussagenlogik.

Notwendigkeitsregel: Wenn (A) ein Satz von (bK) ist, ist dies auch (Box A).

Verteilungsaxiom: (Box (A / rechter Pfeil B) rechter Pfeil (Box A / rechter Pfeil / Box B)).

(In diesen Prinzipien verwenden wir '(A)' und '(B)' als Metavariablen, die sich über Formeln der Sprache erstrecken.) Gemäß der Notwendigkeitsregel ist jeder Satz der Logik notwendig. Das Verteilungsaxiom besagt, dass wenn es notwendig ist, dass wenn (A) dann (B), dann wenn notwendigerweise (A), dann notwendigerweise (B).

Der Operator (Diamond) (für 'möglicherweise') kann aus (Box) definiert werden, indem (Diamond A = { sim} Box { sim} A) gelassen wird. In (bK) verhalten sich die Operatoren (Box) und (Diamond) sehr ähnlich wie die Quantifizierer (forall) (alle) und (existiert) (einige). Beispielsweise spiegelt die Definition von (Diamond) aus (Box) die Äquivalenz von (forall xA) mit ({ sim} existiert x { sim} A) in der Prädikatenlogik wider. Darüber hinaus beinhaltet (Box (A / amp B)) (Box A / amp / Box B) und umgekehrt; während (Box A / vee / Box B) (Box (A / vee B)) beinhaltet, aber nicht umgekehrt. Dies spiegelt die Muster wider, die der universelle Quantifizierer aufweist: (forall x (A / amp B)) beinhaltet (forall xA / amp / forall xB) und umgekehrt, während (forall xA / vee / forall) xB) beinhaltet (für alle x (A / vee B)), aber nicht umgekehrt. Ähnliche Parallelen zwischen (Diamond) und (existiert) können gezogen werden. Die Grundlage für diese Entsprechung zwischen den Modaloperatoren und den Quantifizierern wird im Abschnitt über die Semantik möglicher Welten deutlicher.

Das System (bK) ist zu schwach, um die Notwendigkeit angemessen zu berücksichtigen. Das folgende Axiom ist in (bK) nicht beweisbar, aber es ist eindeutig wünschenswert.

) tag {(M)} Box A / rightarrow A)

((M)) behauptet, dass alles, was notwendig ist, der Fall ist. Beachten Sie, dass ((M)) falsch wäre, wenn (Box) gelesen würde: "Es sollte das sein" oder "Es war der Fall, dass". Das Vorhandensein des Axioms ((M)) unterscheidet also die Logik für die Notwendigkeit von anderen Logiken in der Modalfamilie. Eine grundlegende modale Logik (M) ergibt sich aus dem Hinzufügen von ((M)) zu (bK). (Einige Autoren nennen dieses System (mathbf {T}).)

Viele Logiker glauben, dass (M) immer noch zu schwach ist, um die Logik der Notwendigkeit und der Möglichkeit korrekt zu formalisieren. Sie empfehlen weitere Axiome, um die Iteration oder Wiederholung von Modaloperatoren zu steuern. Hier sind zwei der bekanntesten Iterationsaxiome:

) tag {4} Box A / rightarrow / Box / Box A)) tag {5} Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)

(mathbf {S4}) ist das System, das sich aus dem Hinzufügen von (4) zu (M) ergibt. In ähnlicher Weise ist (mathbf {S5}) (M) plus (5). In (mathbf {S4}) entspricht der Satz (Box / Box A) (Box A). Infolgedessen kann jede Kette von Kisten durch eine einzelne Kiste ersetzt werden, und das Gleiche gilt für Diamantenketten. Dies läuft auf die Idee hinaus, dass die Iteration der Modaloperatoren überflüssig ist. Zu sagen, dass (A) notwendigerweise notwendig ist, wird als unnötig langwierige Art angesehen, zu sagen, dass (A) notwendig ist. Das System (mathbf {S5}) hat noch stärkere Prinzipien zur Vereinfachung von Zeichenfolgen von Modaloperatoren. In (mathbf {S4}) kann eine Folge von Operatoren derselben Art für diesen Operator ersetzt werden. In (mathbf {S5}) entsprechen Zeichenfolgen, die sowohl Kästchen als auch Diamanten enthalten, dem letzten Operator in der Zeichenfolge. So zum BeispielZu sagen, dass es möglich ist, dass (A) notwendig ist, ist dasselbe wie zu sagen, dass (A) notwendig ist. Eine Zusammenfassung dieser Funktionen von (mathbf {S4}) und (mathbf {S5}) folgt.

) tag {(mathbf {S4})} Box / Box / ldots / Box = / Box / text {und} Diamond / Diamond / ldots / Diamond = / Diamond)) begin {align *} tag {(mathbf {S5})} 00 / ldots / Box & = / Box / text {und} 00 / ldots / Diamond = / Diamond, \& / text {wobei jeder} 0 / text {ist entweder} Box / text {oder} Diamond / end {align *})

Man könnte sich endlos über die Richtigkeit oder Unrichtigkeit dieser und anderer Iterationsprinzipien für (Box) und (Diamond) streiten. Die Kontroverse kann teilweise gelöst werden, indem erkannt wird, dass die Wörter "notwendig" und "möglicherweise" viele verschiedene Verwendungszwecke haben. Die Akzeptanz von Axiomen für die Modallogik hängt also davon ab, welche dieser Verwendungen wir im Auge haben. Aus diesem Grund gibt es keine einzige modale Logik, sondern eine ganze Familie von Systemen, die um (M) herum aufgebaut sind. Die Beziehung zwischen diesen Systemen ist in Abschnitt 8 dargestellt, und ihre Anwendung auf verschiedene Verwendungen von "notwendig" und "möglicherweise" kann durch Untersuchung ihrer möglichen Weltsemantik in Abschnitt 6 besser verstanden werden.

Das System (mathbf {B}) (für den Logiker Brouwer) wird durch Hinzufügen des Axioms ((B)) zu (M) gebildet.

) tag {(B)} A / rightarrow / Box / Diamond A)

Es ist interessant festzustellen, dass (mathbf {S5}) äquivalent formuliert werden kann, indem ((B)) zu (mathbf {S4}) hinzugefügt wird. Das Axiom ((B)) wirft einen wichtigen Punkt zur Interpretation von Modalformeln auf. ((B)) sagt, wenn (A) der Fall ist, dann ist (A) notwendigerweise möglich. Man könnte argumentieren, dass ((B)) immer in jede modale Logik übernommen werden sollte, denn wenn (A) der Fall ist, ist es sicher notwendig, dass (A) möglich ist. Es gibt jedoch ein Problem mit dieser Behauptung, das aufgedeckt werden kann, indem festgestellt wird, dass (Diamond / Box A / rightarrow A) aus ((B)) beweisbar ist. Also sollte (Diamond / Box A / rightarrow A) akzeptabel sein, wenn ((B)) ist. (Diamond / Box A / rightarrow A) besagt jedoch, dass (A) der Fall ist, wenn (A) möglicherweise erforderlich ist, und dies ist alles andere als offensichtlich. Warum scheint ((B)) offensichtlich,während eines der Dinge, die es beinhaltet, überhaupt nicht offensichtlich scheint? Die Antwort ist, dass die englische Interpretation von (A / rightarrow / Box / Diamond A) eine gefährliche Mehrdeutigkeit aufweist. Wir verwenden oft den Ausdruck 'Wenn (A) dann unbedingt (B)', um auszudrücken, dass die Bedingung 'wenn (A) dann (B)' notwendig ist. Diese Interpretation entspricht (Box (A / rightarrow B)). In anderen Fällen meinen wir, dass wenn (A), dann (B) notwendig ist: (A / rightarrow / Box B). Im Englischen ist 'notwendigerweise' ein Adverb, und da Adverbien normalerweise in der Nähe von Verben platziert werden, haben wir keine natürliche Möglichkeit anzugeben, ob der Modaloperator für die gesamte Bedingung oder für ihre Konsequenz gilt. Aus diesen Gründen besteht die Tendenz, ((B): A / rightarrow / Box / Diamond A) mit (Box (A / rightarrow / Diamond A)) zu verwechseln. Aber (Box (A / rightarrow / Diamond A)) ist nicht dasselbe wie ((B)), denn (Box (A / rightarrow / Diamond A)) ist bereits ein Satz von (M) und ((B)) nicht. Man muss besonders darauf achten, dass unsere positive Reaktion auf (Box (A / rightarrow / Diamond A)) unsere Bewertung von ((B)) nicht beeinflusst. Eine einfache Möglichkeit, uns zu schützen, besteht darin, (B) in äquivalenter Weise unter Verwendung des Axioms (Diamond / Box A / rightarrow A) zu formulieren, wobei diese Unklarheiten des Umfangs nicht auftreten.wo diese Unklarheiten des Geltungsbereichs nicht auftreten.wo diese Unklarheiten des Geltungsbereichs nicht auftreten.

3. Deontische Logik

Deontische Logiken führen das primitive Symbol (O) für 'es ist obligatorisch, dass' ein, aus dem Symbole (P) für 'es ist erlaubt, dass' und (F) für 'es ist verboten, dass' definiert sind: (PA = { sim} O { sim} A) und (FA = O { sim} A). Das deontische Analogon des Modalaxioms ((M): OA / rightarrow A) ist eindeutig nicht für die deontische Logik geeignet. (Leider sollte das nicht immer der Fall sein.) Ein Basissystem (mathbf {D}) der deontischen Logik kann jedoch konstruiert werden, indem das schwächere Axiom ((D)) zu (hinzugefügt wird bK).

) tag {(D)} OA / rightarrow PA)

Axiom ((D)) garantiert die Kohärenz des Systems der Verpflichtungen, indem es darauf besteht, dass (A) zulässig ist, wenn (A) obligatorisch ist. Ein System, das uns verpflichtet, (A) herbeizuführen, uns dies aber nicht erlaubt, bringt uns in eine unausweichliche Bindung. Obwohl einige argumentieren werden, dass solche Verpflichtungskonflikte zumindest möglich sind, akzeptieren die meisten deontischen Logiker ((D)).

(O (OA / rightarrow A)) ist ein weiteres deontisches Axiom, das wünschenswert erscheint. Obwohl es falsch ist zu sagen, dass wenn (A) obligatorisch ist, dann ist (A) der Fall ((OA / rightarrow A)), sollte diese Bedingung dennoch der Fall sein. Einige deontische Logiker glauben daher, dass (D) auch durch (O (OA / rightarrow A)) ergänzt werden muss.

In der deontischen Logik kommt es erneut zu Kontroversen über die Iteration (Wiederholung) von Operatoren. In einigen Vorstellungen von Verpflichtung beträgt (OOA) nur (OA). "Es sollte sein, dass es sein sollte" wird als eine Art Stottern behandelt; Die zusätzlichen sollten nichts Neues hinzufügen. Daher werden Axiome hinzugefügt, um die Äquivalenz von (OOA) und (OA) zu gewährleisten. Die allgemeinere Iterationsrichtlinie, die in (mathbf {S5}) enthalten ist, kann ebenfalls übernommen werden. Es gibt jedoch Konzepte der Verpflichtung, bei denen die Unterscheidung zwischen (OA) und (OOA) beibehalten wird. Die Idee ist, dass es echte Unterschiede zwischen den Verpflichtungen, die wir tatsächlich haben, und den Verpflichtungen gibt, die wir übernehmen sollten. So sollte beispielsweise "es sollte sein, dass (A)" die Annahme einer Verpflichtung befiehlt, die möglicherweise nicht tatsächlich besteht, mit dem Ergebnis, dass (OOA) auch dann wahr sein kann, wenn (OA) ist falsch.

4. Zeitliche Logik

In der zeitlichen Logik (auch als Zeitlogik bekannt) gibt es zwei grundlegende Operatoren: (G) für die Zukunft und (H) für die Vergangenheit. (G) wird gelesen 'es wird immer das sein' und der definierte Operator (F) (lesen 'es wird der Fall sein') kann durch (FA = { sim} G { sim }EIN). In ähnlicher Weise wird (H) gelesen: 'es war immer das' und (P) (für 'es war der Fall, dass') definiert durch (PA = { sim} H { sim} A). Ein grundlegendes System der zeitlichen Logik namens (mathbf {Kt}) ergibt sich aus der Übernahme der Prinzipien von (bK) für (G) und (H) zusammen mit zwei Axiomen zur Steuerung der Interaktion zwischen den vergangenen und zukünftigen Betreibern:

Notwendigkeitsregeln:

Wenn (A) ein Theorem ist, sind es auch (GA) und (HA).

Verteilungsaxiome:

(G (A / rechter Pfeil B) rechter Pfeil (GA / rechter Pfeil GB)) und (H (A / rechter Pfeil B) rechter Pfeil (HA / rechter Pfeil HB))

Interaktionsaxiome:

(A / rightarrow GPA) und (A / rightarrow HFA)

Die Interaktionsaxiome werfen Fragen zu Asymmetrien zwischen Vergangenheit und Zukunft auf. Eine Standardintuition ist, dass die Vergangenheit festgelegt ist, während die Zukunft noch offen ist. Das erste Interaktionsaxiom ((A / rightarrow GPA)) entspricht dieser Intuition bei der Berichterstattung, dass der Fall ((A)) zu allen zukünftigen Zeiten in der Vergangenheit liegen wird ((GPA)). (A / rightarrow HFA) scheint jedoch unannehmbar deterministische Obertöne zu haben, da es anscheinend behauptet, dass das, was jetzt wahr ist ((A)), immer so gewesen ist, dass es in Zukunft auftreten wird ((HFA))). Eine mögliche Weltsemantik für die zeitliche Logik zeigt jedoch, dass diese Sorge aus einer einfachen Verwirrung resultiert und dass die beiden Interaktionsaxiome gleichermaßen akzeptabel sind.

Beachten Sie, dass das charakteristische Axiom der Modallogik ((M): / Box A / rightarrow A) weder für (H) noch für (G) akzeptabel ist, da (A) nicht folgt von 'es war immer der Fall, dass (A)', noch von 'es wird immer der Fall sein, dass (A)'. Es ist jedoch in einer eng verwandten zeitlichen Logik akzeptabel, in der (G) gelesen wird "es ist und wird immer sein" und (H) gelesen wird "es ist und immer war".

Je nachdem, welche Annahmen man über die Struktur der Zeit macht, müssen der zeitlichen Logik weitere Axiome hinzugefügt werden. Es folgt eine Liste von Axiomen, die üblicherweise in der zeitlichen Logik verwendet werden. Eine Darstellung, wie sie von der Struktur der Zeit abhängen, finden Sie im Abschnitt Mögliche Weltsemantik.

) begin {align *} GA / rightarrow GGA & / text {und} HA / rightarrow HHA \\ GGA / rightarrow GA & / text {und} HHA / rightarrow HA \\ GA / rightarrow FA & / text {und} HA / rightarrow PA / end {align *})

Es ist interessant festzustellen, dass bestimmte Kombinationen von Operatoren der Vergangenheitsform und der Zukunftsform verwendet werden können, um komplexe Zeitformen auf Englisch auszudrücken. Zum Beispiel entspricht (FPA) dem Satz (A) in der zukünftigen Perfektform (wie in '20 Sekunden von jetzt an wird sich das Licht geändert haben '). In ähnlicher Weise drückt (PPA) die Perfektform der Vergangenheit aus.

Eine ausführlichere Beschreibung finden Sie im Eintrag zur zeitlichen Logik.

5. Bedingungs- und Relevanzlogik

Der Begründer der Modallogik, CI Lewis, definierte eine Reihe von Modallogiken, die kein (Box) als primitives Symbol hatten. Lewis war bestrebt, eine Logik von Bedingungen zu entwickeln, die frei von den sogenannten Paradoxien der materiellen Implikation war, nämlich den klassischen Theoremen (A / rightarrow ({ sim} A / rightarrow B)) und (B / rightarrow (A. / rightarrow B)). Er führte das Symbol (fishhook) für "strikte Implikation" ein und entwickelte Logiken, bei denen weder (A / fishhook ({ sim} A / fishhook B)) noch (B / fishhook (A / fishhook B)) ist nachweisbar. Die moderne Praxis bestand darin, (A / fishhook B) durch (Box (A / rightarrow B)) zu definieren und modale Logik zu verwenden, die (Box) regelt, um ähnliche Ergebnisse zu erzielen. Die Beweisbarkeit von Formeln wie ((A / amp { sim} A) fishhook B) in solchen Logiken scheint jedoch im Widerspruch zur Sorge um die Paradoxien zu stehen. Anderson und Belnap (1975) haben Systeme (mathbf {R}) (für Relevanzlogik) und (mathbf {E}) (für Entailment) entwickelt, mit denen solche Schwierigkeiten überwunden werden sollen. Diese Systeme erfordern eine Überarbeitung der Standardsysteme der Aussagenlogik. (Siehe Mares (2004) und den Eintrag zur Relevanzlogik.)

David Lewis (1973) und andere haben bedingte Logiken entwickelt, um kontrafaktische Ausdrücke zu verarbeiten, dh Ausdrücke der Form "Wenn (A) passieren würde, dann würde (B) passieren". (Kvart (1980) ist eine weitere gute Quelle zu diesem Thema.) Kontrafaktische Logiken unterscheiden sich von solchen, die auf strengen Implikationen beruhen, weil erstere ablehnen, während letztere Kontrapositionen akzeptieren.

6. Mögliche Weltsemantik

Der Zweck der Logik besteht darin, den Unterschied zwischen gültigen und ungültigen Argumenten zu charakterisieren. Ein logisches System für eine Sprache ist eine Reihe von Axiomen und Regeln, die genau die gültigen Argumente beweisen sollen, die in der Sprache angegeben werden können. Das Erstellen einer solchen Logik kann eine schwierige Aufgabe sein. Der Logiker muss sicherstellen, dass das System einwandfrei ist, dh dass jedes Argument, das anhand der Regeln und Axiome bewiesen wurde, tatsächlich gültig ist. Darüber hinaus sollte das System vollständig sein, was bedeutet, dass jedes gültige Argument einen Beweis im System hat. Der Nachweis der Solidität und Vollständigkeit formaler Systeme ist ein zentrales Anliegen eines Logikers.

Eine solche Demonstration kann erst beginnen, wenn der Begriff der Gültigkeit genau definiert ist. Die formale Semantik für eine Logik liefert eine Definition der Gültigkeit, indem das Wahrheitsverhalten der Sätze des Systems charakterisiert wird. In der Aussagenlogik kann die Gültigkeit unter Verwendung von Wahrheitstabellen definiert werden. Ein gültiges Argument ist einfach eines, bei dem jede Wahrheitstabellenzeile, die ihre Prämissen wahr macht, auch ihre Schlussfolgerung wahr macht. Wahrheitstabellen können jedoch nicht verwendet werden, um einen Bericht über die Gültigkeit in der Modallogik bereitzustellen, da es keine Wahrheitstabellen für Ausdrücke wie "es ist notwendig, dass", "es ist obligatorisch, dass" und dergleichen gibt. (Das Problem ist, dass der Wahrheitswert von (A) nicht den Wahrheitswert für (Box A) bestimmt. Wenn beispielsweise (A) 'Hunde sind Hunde' ist, (Box A.) ist wahr, aber wenn (A) 'Hunde sind Haustiere' ist, ist (Box A) falsch.) TrotzdemDie Semantik für die Modallogik kann durch Einführung möglicher Welten definiert werden. Wir werden mögliche Weltsemantiken für eine Logik der Notwendigkeit veranschaulichen, die die Symbole ({ sim}, / rightarrow) und (Box) enthält. Dann werden wir erklären, wie dieselbe Strategie an andere Logiken in der Modalfamilie angepasst werden kann.

In der Aussagenlogik weist eine Bewertung der Atomsätze (oder der Zeile einer Wahrheitstabelle) jeder Satzvariablen einen Wahrheitswert ((T) oder (F)) zu. Dann werden die Wahrheitswerte der komplexen Sätze mit Wahrheitstabellen berechnet. In der modalen Semantik wird eine Menge (W) möglicher Welten eingeführt. Eine Bewertung gibt dann jeder Satzvariablen einen Wahrheitswert für jede der möglichen Welten in (W). Dies bedeutet, dass der Wert, der (p) für die Welt (w) zugewiesen wurde, von dem Wert abweichen kann, der (p) für eine andere Welt (w ') zugewiesen wurde.

Der durch die Bewertung (v) gegebene Wahrheitswert des Atomsatzes (p) in der Welt (w) kann geschrieben werden (v (p, w)). In Anbetracht dieser Notation sind die Wahrheitswerte ((T) für wahr, (F) für falsch) komplexer Sätze der Modallogik für eine gegebene Bewertung (v) (und Mitglied (w) der Menge von Welten (W)) kann durch die folgenden Wahrheitsklauseln definiert werden. ('iff' verkürzt 'genau dann, wenn'.)

) tag {({ sim})} v ({ sim} A, w) = T / text {iff} v (A, w) = F.)) tag {(rightarrow)} v (A / rightarrow B, w) = T / text {iff} v (A, w) = F / text {oder} v (B, w) = T.)) tag {5} v (Box A, w) = T / text {iff für jede Welt} w '\ text {in} W, v (A, w') = T.)

Die Klauseln (({ sim})) und ((rightarrow)) beschreiben einfach das Standardverhalten der Wahrheitstabelle für die Negation bzw. die materielle Implikation. Gemäß (5) ist (Box A) genau dann wahr (in einer Welt (w)), wenn (A) in allen möglichen Welten wahr ist. Angesichts der Definition von (Diamond) (nämlich (Diamond A = { sim} Box { sim} A)) stellt die Wahrheitsbedingung (5) sicher, dass (Diamond A) ist wahr, nur für den Fall, dass (A) in einer möglichen Welt wahr ist. Da die Wahrheitsklauseln für (Box) und (Diamond) die Quantifizierer 'all' und 'some' (jeweils) beinhalten, sind die Parallelen im logischen Verhalten zwischen (Box) und (forall x)) und zwischen (Diamond) und (existiert x), die in Abschnitt 2 angegeben sind, wird erwartet.

Die Klauseln (({ sim}), (rightarrow)) und (5) ermöglichen es uns, den Wahrheitswert eines Satzes in einer beliebigen Welt anhand einer bestimmten Bewertung zu berechnen. Eine Definition der Gültigkeit steht jetzt vor der Tür. Ein Argument ist für eine gegebene Menge W (möglicher Welten) genau dann 5-gültig, wenn jede Bewertung der Atomsätze, die die Prämissen (T) einer Welt in (W) zuweisen, auch die Schlussfolgerung (T) zur gleichen Welt. Ein Argument gilt als 5-gültig, wenn es für jede nicht leere Menge (W) möglicher Welten gültig ist.

Es wurde gezeigt, dass (mathbf {S5}) für die 5-Gültigkeit solide und vollständig ist (daher verwenden wir das Symbol '5'). Die 5 gültigen Argumente sind genau die Argumente, die in (mathbf {S5}) nachweisbar sind. Dieses Ergebnis legt nahe, dass (mathbf {S5}) der richtige Weg ist, um eine Logik der Notwendigkeit zu formulieren.

(Mathbf {S5}) ist jedoch keine vernünftige Logik für alle Mitglieder der Modalfamilie. In der deontischen Logik, der zeitlichen Logik und anderen ist das Analogon der Wahrheitsbedingung (5) eindeutig nicht angemessen; Darüber hinaus gibt es sogar Konzepte der Notwendigkeit, bei denen (5) ebenfalls abgelehnt werden sollte. Der Punkt ist im Fall der zeitlichen Logik am einfachsten zu erkennen. Hier sind die Mitglieder von (W) Momente der Zeit oder Welten, die sozusagen „eingefroren“sind. Betrachten wir der Einfachheit halber eine zukünftige zeitliche Logik, eine Logik, in der (Box A) lautet: "Es wird immer so sein, dass". (Wir formulieren das System mit (Box) anstelle des herkömmlichen (G), damit die Verbindungen mit anderen modalen Logiken leichter zu verstehen sind.) Die korrekte Klausel für (Box) sollte lauten: (Box A) ist zum Zeitpunkt (w) wahr, wenn (A) in der Zukunft von (w) jederzeit wahr ist. Um die Aufmerksamkeit auf die Zukunft zu beschränken, muss die Beziehung (R) (für 'früher als') eingeführt werden. Dann kann die richtige Klausel wie folgt formuliert werden.

) tag {(K)} v (Box A, w) = T / text {iff für jedes} w ', / text {if} wRw', / text {dann} v (A, w ') = T.)

Dies besagt, dass (Box A) bei (w) wahr ist, nur für den Fall, dass (A) immer nach (w) wahr ist.

Die Gültigkeit für diese Marke der zeitlichen Logik kann nun definiert werden. Ein Frame (langle W, R / rangle) ist ein Paar, das aus einer nicht leeren Menge (W) (von Welten) und einer binären Beziehung (R) auf (W) besteht. Ein Modell (langle F, v / rangle) besteht aus einem Rahmen (F) und einer Bewertung (v), die jedem Atomsatz in jeder Welt in (W) Wahrheitswerte zuweist. Bei einem gegebenen Modell können die Werte aller komplexen Sätze mit (({ sim}), (rightarrow)) und ((K)) bestimmt werden. Ein Argument ist (bK) - gültig nur für den Fall, dass ein Modell, dessen Bewertung die Prämissen (T) einer Welt zuweist, auch die Schlussfolgerung (T) derselben Welt zuweist. Wie der Leser aus unserer Verwendung von '(bK)' erraten hat, wurde gezeigt, dass die einfachste modale Logik (bK) sowohl solide als auch vollständig für (bK) - Gültigkeit ist.

7. Modale Axiome und Bedingungen für Rahmen

Man könnte aus dieser Diskussion annehmen, dass (bK) die richtige Logik ist, wenn (Box) gelesen wird, dass dies immer der Fall sein wird. Es gibt jedoch Gründe zu der Annahme, dass (bK) zu schwach ist. Ein offensichtliches logisches Merkmal der Beziehung (R) (früher als) ist die Transitivität. Wenn (wRv (w) früher als (v)) und (vRu (v) früher als (u)) ist, folgt daraus, dass (wRu (w) früher als / ist (u)). Definieren wir also eine neue Art von Gültigkeit, die dieser Bedingung für (R) entspricht. Ein 4-Modell sei ein beliebiges Modell, dessen Rahmen (langle W, R / rangle) so ist, dass (R) eine transitive Beziehung zu (W) ist. Dann ist ein Argument 4-gültig, wenn ein 4-Modell, dessen Bewertung den Prämissen einer Welt (T) zuweist, der Schlussfolgerung derselben Welt auch (T) zuweist. Wir verwenden '4', um ein solches transitives Modell zu beschreiben, da die Logik, die für die 4-Gültigkeit angemessen (sowohl solide als auch vollständig) ist, (mathbf {K4}) ist, die Logik, die sich aus dem Hinzufügen des Axioms (4) ergibt: (Box A / rightarrow / Box / Box A) bis (bK).

Transitivität ist nicht die einzige Eigenschaft, die wir für den Frame (langle W, R / rangle) benötigen möchten, wenn (R) "früher als" gelesen werden soll und (W) eine Menge von ist Momente. Eine Bedingung (die nur leicht umstritten ist) ist, dass es keinen letzten Moment der Zeit gibt, dh dass es für jede Welt (w) eine Welt (v) gibt, so dass (wRv). Diese Bedingung für Frames wird als Serialität bezeichnet. Die Serialität entspricht dem Axiom ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A), genauso wie die Transitivität (4) entspricht. Ein (mathbf {D}) - Modell ist ein (bK) - Modell mit einem seriellen Rahmen. Aus dem Konzept eines (mathbf {D}) - Modells kann der entsprechende Begriff der (mathbf {D}) - Gültigkeit genauso definiert werden, wie wir es im Fall der 4-Gültigkeit getan haben. Wie Sie wahrscheinlich vermutet haben, ist das System, das in Bezug auf (mathbf {D}) - Gültigkeit angemessen ist, (mathbf {KD}),oder (bK) plus ((D)). Nicht nur das, sondern auch das System (mathbf {KD4}) (dh (bK) plus (4) und ((D))) ist in Bezug auf (mathbf {D4} angemessen)) - Gültigkeit, wobei ein (mathbf {D4}) - Modell eines ist, bei dem (langle W, R / rangle) sowohl seriell als auch transitiv ist.

Eine andere Eigenschaft, die wir für die Beziehung 'früher als' wünschen könnten, ist die Dichte, die Bedingung, die besagt, dass wir zwischen zwei beliebigen Zeiten immer eine andere finden können. Die Dichte wäre falsch, wenn die Zeit atomar wäre, dh wenn es Zeitintervalle gäbe, die nicht in kleinere Teile zerlegt werden könnten. Die Dichte entspricht dem Axiom ((C4): / Box / Box A / rightarrow / Box A), der Umkehrung von (4), also zum Beispiel dem System (mathbf {KC4}), das / ist (bK) plus ((C4)) ist in Bezug auf Modelle angemessen, bei denen der Rahmen (langle W, R / rangle) dicht ist, und (mathbf {KDC4}) in Bezug auf angemessen zu Modellen, deren Rahmen seriell und dicht sind, und so weiter.

Jedes der von uns diskutierten Modallogik-Axiome entspricht auf die gleiche Weise einer Bedingung für Frames. Die Beziehung zwischen Bedingungen auf Rahmen und entsprechenden Axiomen ist eines der zentralen Themen bei der Untersuchung der Modallogik. Sobald eine Interpretation des Intensionsoperators (Box) festgelegt wurde, können die geeigneten Bedingungen für (R) bestimmt werden, um den entsprechenden Gültigkeitsbegriff festzulegen. Dies ermöglicht es uns wiederum, den richtigen Satz von Axiomen für diese Logik auszuwählen.

Stellen Sie sich zum Beispiel eine deontische Logik vor, bei der (Box) lautet: "Es ist obligatorisch, dass". Hier verlangt die Wahrheit von (Box A) nicht die Wahrheit von (A) in jeder möglichen Welt, sondern nur in einer Teilmenge jener Welten, in denen Menschen tun, was sie sollten. Wir wollen also auch für diese Art von Logik eine Beziehung (R) einführen und die Wahrheitsklausel ((K)) verwenden, um (Box A) in einer Welt zu bewerten. In diesem Fall ist (R) jedoch nicht früher als. Stattdessen gilt (wRw ') nur für den Fall, dass world (w') eine moralisch akzeptable Variante von (w) ist, dh eine Welt, die unser Handeln hervorbringen kann und die das erfüllt, was moralisch korrekt oder richtig ist, oder gerade. Unter einer solchen Lesart sollte klar sein, dass die relevanten Rahmen der Serialität gehorchen sollten, die Bedingung, die erfordert, dass jede mögliche Welt eine moralisch akzeptable Variante hat. Die Analyse der für (R) gewünschten Eigenschaften macht deutlich, dass eine grundlegende deontische Logik durch Hinzufügen des Axioms ((D)) und zu (bK) formuliert werden kann.

Selbst in der Modallogik möchte man möglicherweise den Bereich möglicher Welten einschränken, die für die Bestimmung relevant sind, ob (Box A) in einer gegebenen Welt wahr ist. Zum Beispiel könnte ich sagen, dass ich meine Rechnungen bezahlen muss, obwohl ich genau weiß, dass es eine mögliche Welt gibt, in der ich sie nicht bezahle. In der gewöhnlichen Sprache erfordert die Behauptung, dass (A) notwendig ist, nicht die Wahrheit von (A) in allen möglichen Welten, sondern nur in einer bestimmten Klasse von Welten, die ich im Sinn habe (zum Beispiel Welten, in denen Ich vermeide Strafen für Nichtzahlung. Um eine generische Behandlung der Notwendigkeit bereitzustellen, müssen wir sagen, dass (Box A) in (w) wahr ist, wenn (A) in allen Welten wahr ist, die mit (w) in verwandt sind der richtige Weg. Für einen Operator (Box), der als Notwendigkeit interpretiert wird,Wir führen eine entsprechende Beziehung (R) auf der Menge möglicher Welten (W) ein, die traditionell als Zugänglichkeitsrelation bezeichnet wird. Die Zugänglichkeitsrelation (R) gilt zwischen den Welten (w) und (w '), wenn (w') angesichts der Tatsachen von (w) möglich ist. Unter dieser Lesart für (R) sollte klar sein, dass Frames für die Modallogik reflexiv sein sollten. Daraus folgt, dass die modale Logik auf (M) basieren sollte, dem System, das sich aus dem Hinzufügen von ((M)) zu (bK) ergibt. Abhängig davon, wie genau die Zugänglichkeitsrelation verstanden wird, können auch Symmetrie und Transitivität erwünscht sein. Es sollte klar sein, dass Frames für die modale Logik reflexiv sein sollten. Daraus folgt, dass die modale Logik auf (M) basieren sollte, dem System, das sich aus dem Hinzufügen von ((M)) zu (bK) ergibt. Abhängig davon, wie genau die Zugänglichkeitsrelation verstanden wird, können auch Symmetrie und Transitivität erwünscht sein. Es sollte klar sein, dass Frames für die modale Logik reflexiv sein sollten. Daraus folgt, dass die modale Logik auf (M) basieren sollte, dem System, das sich aus dem Hinzufügen von ((M)) zu (bK) ergibt. Abhängig davon, wie genau die Zugänglichkeitsrelation verstanden wird, können auch Symmetrie und Transitivität erwünscht sein.

Eine Liste einiger der am häufigsten diskutierten Bedingungen für Frames und ihre entsprechenden Axiome sowie eine Karte, die die Beziehung zwischen den verschiedenen Modallogiken zeigt, finden Sie im nächsten Abschnitt.

8. Karte der Beziehungen zwischen Modallogiken

Das folgende Diagramm zeigt die Beziehungen zwischen den bekanntesten Modallogiken, nämlich Logiken, die durch Hinzufügen einer Auswahl der Axiome ((D), (M)), (4), ((B)) und gebildet werden können (5) bis (bK). Eine Liste dieser (und anderer) Axiome mit ihren entsprechenden Rahmenbedingungen finden Sie unter dem Diagramm.

Diagramm der Modallogik

In dieser Tabelle werden Systeme durch die Liste ihrer Axiome angegeben. So ist beispielsweise (mathbf {M4B}) das Ergebnis des Hinzufügens von ((M)), (4) und ((B)) zu (bK). In Fettdruck haben wir traditionelle Namen einiger Systeme angegeben. Wenn das System (mathbf {S}) unten und / oder links von (mathbf {S} ') angezeigt wird, das durch eine Linie verbunden ist, ist (mathbf {S}') eine Erweiterung von (mathbf {S}). Dies bedeutet, dass jedes in (mathbf {S}) beweisbare Argument in (mathbf {S} ') beweisbar ist, aber (mathbf {S}) schwächer als (mathbf {S}) ist '), dh nicht alle in (mathbf {S}') beweisbaren Argumente sind in (mathbf {S}) beweisbar.

Die folgende Liste enthält Axiome, ihre Namen und die entsprechenden Bedingungen für die Zugänglichkeitsrelation (R) für Axiome, die bisher in diesem Enzyklopädieeintrag erörtert wurden.

Name	Axiom	Zustand auf Rahmen	R ist…
((D))	(Box A / rightarrow / Diamond A)	(existiert u wRu)	Seriennummer
((M))	(Box A / rightarrow A)	(wRw)	Reflexiv
(4)	(Box A / rightarrow / Box / Box A)	((wRv / amp vRu) Rightarrow wRu)	Transitiv
((B))	(A / rightarrow / Box / Diamond A)	(wRv / Rightarrow vRw)	Symmetrisch
(5)	(Diamond A / rightarrow / Box / Diamond A)	((wRv / amp wRu) Rightarrow vRu)	Euklidisch
((CD))	(Diamond A / rightarrow / Box A)	((wRv / amp wRu) Rightarrow v = u)	Funktionell
((Box M))	(Box (Box A / rechter Pfeil A))	(wRv / Rightarrow vRv)	Shift Reflexive
((C4))	(Box / Box A / rightarrow / Box A)	(wRv / Rightarrow / existiert u (wRu / amp uRv))	Dicht
((C))	(Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A)	(wRv / amp wRx / Rightarrow / existiert u (vRu / amp xRu))	Konvergent

In der Liste der Bedingungen für Frames und im Rest dieses Artikels die Variablen '(w)', '(v)', '(u)', '(x)' und Der Quantifizierer '(existiert u)' soll über (W) liegen. '&' abkürzt 'und' und '(Rightarrow)' verkürzt 'wenn … dann'.

Der hier in Rede stehende Begriff der Entsprechung zwischen Axiomen und Rahmenbedingungen wurde im vorherigen Abschnitt erläutert. Wenn S eine Liste von Axiomen ist und F (S) der entsprechende Satz von Rahmenbedingungen ist, dann entspricht S F (S) genau dann, wenn das System K + S für die F (S) -Gültigkeit ausreichend (gesund und vollständig) ist. Das heißt, ein Argument ist in K + S beweisbar, wenn es F (S) -valid ist. Bei der Erforschung der Modallogik sind mehrere stärkere Vorstellungen von Korrespondenz zwischen Axiomen und Rahmenbedingungen aufgetaucht.

9. Das allgemeine Axiom

Die Entsprechung zwischen Axiomen und Bedingungen auf Rahmen mag ein Rätsel sein. Ein schönes Ergebnis von Lemmon und Scott (1977) trägt wesentlich zur Erklärung dieser Beziehungen bei. Ihr Satz betraf Axiome, die die folgende Form haben:

) tag {(G)} Diamond ^ h / Box ^ i A / rightarrow / Box ^ j / Diamond ^ k A)

Wir verwenden die Notation '(Diamond ^ n)', um (n) Diamanten in einer Reihe darzustellen. So verkürzt beispielsweise '(Diamond ^ 3)' eine Folge von drei Diamanten: '(Diamond / Diamond / Diamond) '. In ähnlicher Weise repräsentiert '(Box ^ n)' eine Folge von (n) Boxen. Wenn die Werte von (h, i, j) und (k) alle 1 sind, haben wir das Axiom ((C)):

) tag {(C)} Diamond / Box A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 1 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

Das Axiom ((B)) ergibt sich aus der Einstellung von (h) und (i) auf 0, und lässt (j) und (k) 1 sein:

) tag {(B)} A / rightarrow / Box / Diamond A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 0 A / rightarrow / Box ^ 1 / Diamond ^ 1 A)

Um (4) zu erhalten, können wir (h) und (k) auf 0 setzen, (i) auf 1 und (j) auf 2 setzen:

) tag {4} Box A / rightarrow / Box / Box A = / Diamond ^ 0 / Box ^ 1 A / rightarrow / Box ^ 2 / Diamond ^ 0 A)

Viele (aber nicht alle) Axiome der Modallogik können erhalten werden, indem die richtigen Werte für die Parameter in ((G)) eingestellt werden.

Unsere nächste Aufgabe wird es sein, die Bedingung für Frames anzugeben, die ((G)) für eine gegebene Auswahl von Werten für (h, i, j) und (k) entspricht. Dazu benötigen wir eine Definition. Die Zusammensetzung zweier Beziehungen (R) und (R ') ist eine neue Beziehung (R / circ R'), die wie folgt definiert ist:

[wR / circ R'v / text {iff für einige} u, wRu / text {und} uR'v.)

Wenn zum Beispiel (R) die Beziehung eines Bruders ist und (R ') die Beziehung eines Elternteils ist, dann ist (R / circ R') die Beziehung eines Onkels, (weil (w) der Onkel von (v) ist, wenn für eine Person (u), ist sowohl (w) der Bruder von (u) als auch (u) der Elternteil von (v)). Eine Beziehung kann mit sich selbst zusammengesetzt sein. Wenn zum Beispiel (R) die Beziehung eines Elternteils ist, dann ist (R / circ R) die Beziehung eines Großelternteils und (R / circ R / circ R) die Beziehung von Urgroßeltern sein. Es ist nützlich, '(R ^ n)' zu schreiben, um (R) mit sich selbst (n) mal zu komponieren. Also ist (R ^ 2) (R / circ R) und (R ^ 4) ist (R / circ R / circ R / circ R). Wir lassen (R ^ 1) (R) sein, und (R ^ 0) wird die Identitätsbeziehung sein, dh (wR ^ 0 v) iff (w = v).

Wir können jetzt das Scott-Lemmon-Ergebnis angeben. Es ist, dass die Bedingung auf Rahmen, die genau einem Axiom der Form ((G)) entspricht, die folgende ist.

) tag {(hijk) - Konvergenz} wR ^ hv / amp wR ^ ju / Rightarrow / existiert x (vR ^ ix / amp uR ^ kx))

Es ist interessant zu sehen, wie sich die bekannten Bedingungen für (R) aus der Einstellung der Werte für (h), (i), (j) und (k) gemäß den Werten in ergeben das entsprechende Axiom. Betrachten Sie zum Beispiel (5). In diesem Fall (i = 0) und (h = j = k = 1). Die entsprechende Bedingung ist also

[wRv / amp wRu / Rightarrow / existiert x (vR ^ 0 x / amp uRx).)

Wir haben erklärt, dass (R ^ 0) die Identitätsbeziehung ist. Wenn also (vR ^ 0 x), dann (v = x). Aber (existiert x (v = x / amp uRx)) ist äquivalent zu (uRv), und so wird die euklidische Bedingung erhalten:

[(wRv / amp wRu) Rightarrow uRv.)

Im Fall von Axiom (4) sind (h = 0, i = 1, j = 2) und (k = 0). Die entsprechende Bedingung für Frames ist also

[(w = v / amp wR ^ 2 u) Rightarrow / existiert x (vRx / amp u = x).)

Das Auflösen der Identitäten bedeutet:

[vR ^ 2 u / Rightarrow vRu.)

Nach der Definition von (R ^ 2, vR ^ 2 u) iff (existiert x (vRx / amp xRu)) ergibt sich also Folgendes:

) existiert x (vRx / amp xRu) Rightarrow vRu,)

was nach Prädikatenlogik der Transitivität entspricht.

[vRx / amp xRu / Rightarrow vRu.)

Der Leser mag es als angenehme Übung empfinden, zu sehen, wie die entsprechenden Bedingungen aus der Hijk-Konvergenz herausfallen, wenn die Werte der Parameter (h), (i), (j) und (k) werden durch andere Axiome festgelegt.

Die Scott-Lemmon-Ergebnisse bieten eine schnelle Methode, um Ergebnisse über die Beziehung zwischen Axiomen und ihren entsprechenden Rahmenbedingungen zu ermitteln. Da sie die Angemessenheit jeder Logik zeigten, die (bK) mit einer Auswahl von Axiomen der Form ((G)) in Bezug auf Modelle erweitert, die die entsprechenden Rahmenbedingungen erfüllen, stellten sie eine "Großhandels" -Angemessenheit bereit Beweise für die Mehrheit der Systeme in der Modalfamilie. Sahlqvist (1975) hat wichtige Verallgemeinerungen des Scott-Lemmon-Ergebnisses entdeckt, die einen viel breiteren Bereich von Axiomtypen abdecken.

Der Leser sollte jedoch gewarnt werden, dass die saubere Entsprechung zwischen Axiomen und Bedingungen auf Rahmen untypisch ist. Es gibt Bedingungen für Frames, die keinen Axiomen entsprechen, und es gibt sogar Bedingungen für Frames, für die kein System geeignet ist. (Für ein Beispiel siehe Boolos, 1993, S. 148ff.)

10. Zweidimensionale Semantik

Die zweidimensionale Semantik ist eine Variante der möglichen Weltsemantik, bei der zwei (oder mehr) Arten von Parametern für die Wahrheitsbewertung verwendet werden und nicht nur mögliche Welten. Zum Beispiel muss eine Logik indexischer Ausdrücke wie "Ich", "Hier", "Jetzt" und dergleichen den sprachlichen Kontext (oder kurz Kontext) einbringen. In einem gegebenen Kontext (c = / langle s, p, t / rangle), in dem (s) der Sprecher, (p) der Ort und (t) die Zeit der Äußerung ist, dann 'I. 'bezieht sich auf (s),' hier 'auf (p) und' jetzt 'auf (t). Im Kontext (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15.00 Uhr CST am 03.04. (2014 / rangle) "Ich bin jetzt hier" ist T iff Jim Garson in Houston, um 15.00 Uhr CST am 03.04.2014.

In der Semantik möglicher Welten hing der Wahrheitswert eines Satzes von der Welt ab, in der er bewertet wird. Indexicals bringen jedoch eine zweite Dimension mit sich - daher müssen wir noch einmal verallgemeinern. Kaplan (1989) definiert den Charakter eines Satzes B als eine Funktion von der Menge der (sprachlichen) Kontexte bis zum Inhalt (oder der Intensität) von B, wobei der Inhalt wiederum einfach die Intensität von B ist, dh a Funktion von möglichen Welten zu Wahrheitswerten. Hier ist die Wahrheitsbewertung doppelt abhängig - sowohl von sprachlichen Kontexten als auch von möglichen Welten.

Eine der interessantesten Beobachtungen von Kaplan ist, dass einige Indexsätze kontingent sind, aber gleichzeitig analytisch wahr. Ein Beispiel ist (1).

(1) Ich bin jetzt hier

Nur an der Bedeutung der Wörter können Sie erkennen, dass (1) in jedem Kontext wahr sein muss (c = / langle s, p, t / rangle). Schließlich zählt (c) als sprachlicher Kontext, nur für den Fall, dass (s) ein Sprecher ist, der sich zum Zeitpunkt (p) am Ort (p) befindet. Daher ist (1) bei (c) wahr, und das bedeutet, dass das Muster der Wahrheitswerte (1) entlang der Kontextdimension alle Ts sein muss (vorausgesetzt, die mögliche Welt wird festgehalten). Dies legt nahe, dass die Kontextdimension geeignet ist, analytisches Wissen zu verfolgen, das aus der Beherrschung unserer Sprache gewonnen wurde. Andererseits verfolgt die Dimension der möglichen Welten, was notwendig ist. Wenn man den Kontext festhält, gibt es mögliche Welten, in denen (1) falsch ist. Wenn zum Beispiel (c = / langle) Jim Garson, Houston, 15.00 Uhr CST am 03.04. (2014 / rangle), (1) in einer möglichen Welt, in der (c) fehlschlägt Jim Garson ist um 3 Uhr in Boston:00 PM CST am 03.04.2014. Daraus folgt, dass "Ich bin jetzt hier" eine zufällige analytische Wahrheit ist. Daher kann die zweidimensionale Semantik Situationen bewältigen, in denen Notwendigkeit und Analytizität auseinanderfallen.

Ein weiteres Beispiel, bei dem das Einbringen von zwei Dimensionen nützlich ist, ist die Logik für eine offene Zukunft (Thomason, 1984; Belnap, et al., 2001). Hier verwendet man eine zeitliche Struktur, in der sich viele mögliche zukünftige Geschichten von einer bestimmten Zeit aus erstrecken. Betrachten Sie (2).

(2) Joe wird morgen eine Seeschlacht bestellen

Wenn (2) abhängig ist, gibt es eine mögliche Vorgeschichte, in der der Kampf am Tag nach dem Zeitpunkt der Bewertung stattfindet, und eine andere, in der er dann nicht stattfindet. Um (2) zu bewerten, müssen Sie zwei Dinge wissen: Was ist der Zeitpunkt t der Bewertung und welche der Geschichten h, die durch t laufen, ist die zu berücksichtigende. Ein Satz in einer solchen Logik wird also mit einem Paar (langle t, h / rangle) ausgewertet.

Ein weiteres Problem, das durch die zweidimensionale Semantik gelöst wird, ist die Wechselwirkung zwischen "Jetzt" und anderen zeitlichen Ausdrücken wie der Zukunftsform "es wird der Fall sein, dass". Dann ist es plausibel zu denken, dass sich „jetzt“auf den Zeitpunkt der Bewertung bezieht. Wir hätten also die folgende Wahrheitsbedingung:

) tag {Now} v (text {Now} B, t) = / mathrm {T} text {iff} v (B, t) = / mathrm {T}.)

Dies funktioniert jedoch nicht für Sätze wie (3).

(3) Irgendwann in der Zukunft wird jeder, der jetzt lebt, unbekannt sein

Mit (mathrm {F}) als Future-Tense-Operator könnte (3) übersetzt werden:

) tag {(3 ')} mathrm {F} forall x (text {Now} Lx / rightarrow Ux).)

(Die korrekte Übersetzung kann nicht (forall x (text {Now} Lx / rightarrow / mathrm {F} Ux)) sein, wobei (mathrm {F}) einen engen Umfang hat, da (3) dort sagt ist eine zukünftige Zeit, in der alle Dinge, die jetzt leben, zusammen unbekannt sind, nicht dass jedes Lebewesen in einer zukünftigen Zeit für sich unbekannt sein wird. Wenn die Wahrheitsbedingungen für (3) (') unter Verwendung von (Jetzt) und die Wahrheitsbedingung ((mathrm {F})) für (mathrm {F}) berechnet werden, stellt sich heraus, dass (3) (') ist zur Zeit (u) wahr, wenn es eine Zeit (t) nach (u) gibt, so dass alles, was zu (t) lebt (nicht (u))!) ist bei (t) unbekannt.

) tag {F} v (mathrm {F} B, t) = / mathrm {T} text {iff für einige Zeit} u / text {später als} t, v (B, u) = / mathrm {T}.)

Um (3) (') richtig zu bewerten, damit es mit dem übereinstimmt, was wir unter (3) verstehen, müssen wir sicherstellen, dass sich' jetzt 'immer auf die ursprüngliche Zeit der Äußerung bezieht, wenn' jetzt 'im Bereich anderer liegt Zeitoperatoren wie F. Daher müssen wir verfolgen, welche Zeit die Zeit der Äußerung ((u)) ist und welche Zeit die Zeit der Bewertung ((t)) ist. Unsere Indizes haben also die Form eines Paares (langle u, e / rangle), wobei (u) die Zeit der Äußerung und (e) die Zeit der Bewertung ist. Dann wird die Wahrheitsbedingung (Jetzt) in (2DNow) überarbeitet.

) tag {2DNow} v (text {Now} B, / langle u, e / rangle) = / mathrm {T} text {iff} v (B, / langle u, u / rangle) = / mathrm {T}.)

Dies hat zur Folge, dass das Jetzt (B) zu einem Zeitpunkt u der Äußerung und zum Zeitpunkt e der Bewertung wahr ist, vorausgesetzt, dass B wahr ist, wenn u als Zeitpunkt der Bewertung angenommen wird. Wenn die Wahrheitsbedingungen für F, (forall) und (rightarrow) auf offensichtliche Weise überarbeitet werden (ignorieren Sie einfach das u im Paar), ist (3) (') wahr bei (langle u, e / rangle) vorausgesetzt, es gibt eine Zeit (e ') später als e, so dass alles, was bei (u) lebt, bei (e') unbekannt ist. Indem wir während der Wahrheitsberechnung aufzeichnen, was (u) ist, können wir den Wert für 'jetzt' immer auf den ursprünglichen Zeitpunkt der Äußerung festlegen, selbst wenn 'jetzt' tief in andere zeitliche Operatoren eingebettet ist.

Ein ähnliches Phänomen tritt in der Modallogik mit einem Aktualitätsoperator A auf (lesen Sie "es ist tatsächlich so"). Um richtig zu bewerten (4), müssen wir verfolgen, welche Welt als die tatsächliche (oder reale) Welt angesehen wird und welche in die Welt der Bewertung aufgenommen wird.

(4) Es ist möglich, dass jeder, der tatsächlich lebt, unbekannt ist

Die Idee, verschiedene mögliche Weltdimensionen in der Semantik zu unterscheiden, hat in der Philosophie nützliche Anwendungen gefunden. Zum Beispiel hat Chalmers (1996) Argumente aus der Denkbarkeit von (sagen wir) Zombies zu dualistischen Schlussfolgerungen in der Philosophie des Geistes vorgelegt. Chalmers (2006) hat zweidimensionale Semantik eingesetzt, um einen a priori-Aspekt der Bedeutung zu identifizieren, der solche Schlussfolgerungen stützen würde.

Die Idee wurde auch in der Sprachphilosophie umgesetzt. Kripke (1980) argumentierte bekanntlich, dass "Wasser ist H2O" a posteriori ist, aber dennoch eine notwendige Wahrheit, denn angesichts der Tatsache, dass Wasser nur H20 ist, gibt es keine mögliche Welt, in der DIESES Zeug (sagen wir) ein Grundelement ist, wie die Griechen dachten. Auf der anderen Seite gibt es eine starke Intuition, dass, wenn die reale Welt etwas anders gewesen wäre als sie, die geruchlose Flüssigkeit, die als Regen vom Himmel fällt, unsere Seen und Flüsse füllt usw., durchaus ein Element gewesen sein könnte. In gewissem Sinne ist es also denkbar, dass Wasser nicht H20 ist. Die zweidimensionale Semantik schafft Raum für diese Intuitionen, indem sie eine separate Dimension bereitstellt, die eine Konzeption von Wasser verfolgt, die die chemische Natur dessen, was Wasser tatsächlich ist, außer Acht lässt. Solch ein "enger Inhalt" der Bedeutung von "Wasser" kann erklären, wie man semantische Kompetenz in der Verwendung dieses Begriffs zeigen und die Chemie des Wassers immer noch ignorieren kann (Chalmers, 2002).

11. Bereitstellungslogik

Die Modallogik war nützlich, um unser Verständnis der zentralen Ergebnisse bezüglich der Beweisbarkeit in den Grundlagen der Mathematik zu klären (Boolos, 1993). Provabilitätslogiken sind Systeme, bei denen sich die Satzvariablen (p, q, r) usw. über Formeln eines mathematischen Systems erstrecken, beispielsweise Peanos System (mathbf {PA}) für die Arithmetik. (Das für die Mathematik gewählte System kann variieren, aber für diese Diskussion wird angenommen, dass es (mathbf {PA}) ist.) Gödel zeigte, dass Arithmetik starke Ausdruckskraft hat. Mit Hilfe von Codenummern für arithmetische Sätze konnte er eine Entsprechung zwischen mathematischen Sätzen und Fakten nachweisen, welche Sätze in (mathbf {PA}) nachweisbar sind und welche nicht. Beispielsweise,er zeigte dort, dass es einen Satz (C) gibt, der wahr ist, nur für den Fall, dass in (mathbf {PA}) kein Widerspruch nachweisbar ist, und dass es einen Satz (G) (den berühmten Gödel-Satz) gibt true nur für den Fall, dass es in (mathbf {PA}) nicht nachweisbar ist.

In der Beweisbarkeitslogik wird (Box p) als eine Formel (der Arithmetik) interpretiert, die ausdrückt, dass das, was (p) bedeutet, in (mathbf {PA}) beweisbar ist. Mit dieser Notation drücken Sätze der Beweisbarkeitslogik Tatsachen über die Beweisbarkeit aus. Angenommen, (bot) ist eine Konstante der Beweisbarkeitslogik, die einen Widerspruch bezeichnet. Dann sagt ({ sim} Box / bot), dass (mathbf {PA}) konsistent ist, und (Box A / rightarrow A) sagt, dass (mathbf {PA}) gesund ist in dem Sinne, dass wenn es beweist, dass (A, A) tatsächlich wahr ist. Darüber hinaus kann die Box iteriert werden. So macht beispielsweise (Box { sim} Box / bot) die zweifelhafte Behauptung, dass (mathbf {PA}) seine eigene Konsistenz beweisen kann, und ({ sim} Box / bot / rightarrow { sim} Box { sim} Box / bot) behauptet (korrekt wie Gödel bewiesen hat), dass wenn (mathbf {PA}) konsistent ist, dann (mathbf {PA}) kann seine eigene Konsistenz nicht nachweisen.

Obwohl Beweisbarkeitslogiken eine Familie verwandter Systeme bilden, ist das System (mathbf {GL}) bei weitem das bekannteste. Es ergibt sich aus dem Hinzufügen des folgenden Axioms zu (bK):

) tag {(GL)} Box (Box A / rightarrow A) rightarrow / Box A)

Das Axiom (4): (Box A / rightarrow / Box / Box A) ist in (mathbf {GL}) beweisbar, also ist (mathbf {GL}) tatsächlich eine Verstärkung von (mathbf {K4}). Axiome wie ((M): / Box A / rightarrow A) und sogar die schwächeren ((D): / Box A / rightarrow / Diamond A) sind in (nicht verfügbar (oder wünschenswert) mathbf {GL}). In der Beweisbarkeitslogik ist Beweisbarkeit nicht als Marke der Notwendigkeit zu betrachten. Der Grund ist, dass, wenn (p) in einem beliebigen System (mathbf {S}) für Mathematik beweisbar ist, nicht folgt, dass (p) wahr ist, da (mathbf {S}) kann nicht gesund sein. Wenn (p) in (mathbf {S} (Box p)) nachweisbar ist, muss nicht einmal folgen, dass ({ sim} p) kein Beweis fehlt (({ sim}) Box { sim} p = / Diamond p). / Mathbf {S}) ist möglicherweise inkonsistent und beweist sowohl (p) als auch ({ sim} p).

Axiom ((GL)) erfasst den Inhalt von Loebs Theorem, ein wichtiges Ergebnis in den Grundlagen der Arithmetik. (Box A / rightarrow A) besagt, dass (mathbf {PA}) für (A) ein Ton ist, dh wenn (A) bewiesen wäre, wäre A wahr. (Eine solche Behauptung ist möglicherweise nicht sicher für ein willkürlich ausgewähltes System (mathbf {S}), da A in (mathbf {S}) und false nachweisbar sein kann.) ((GL)) Behauptungen Wenn es (mathbf {PA}) gelingt, den Satz zu beweisen, der für einen bestimmten Satz (A) die Richtigkeit beansprucht, ist (A) bereits in (mathbf {PA}) beweisbar. Loebs Theorem berichtet von einer Art Bescheidenheit seitens (mathbf {PA}) (Boolos, 1993, S. 55). (mathbf {PA}) besteht niemals darauf (beweist), dass ein Beweis von (A) die Wahrheit von (A) beinhaltet, es sei denn, es gibt bereits einen Beweis von (A), um diese Behauptung zu stützen.

Es wurde gezeigt, dass (mathbf {GL}) für die Beweisbarkeit im folgenden Sinne ausreichend ist. Ein Satz von (mathbf {GL}) sei immer genau beweisbar, wenn der von ihm angegebene arithmetische Satz beweisbar ist, unabhängig davon, wie seinen Variablen Sätze von (mathbf {PA}) Werte zugewiesen werden. Dann sind die beweisbaren Sätze von (mathbf {GL}) genau die Sätze, die immer beweisbar sind. Dieses Angemessenheitsergebnis war äußerst nützlich, da allgemeine Fragen zur Beweisbarkeit in (mathbf {PA}) in einfachere Fragen darüber umgewandelt werden können, was in (mathbf {GL}) demonstriert werden kann.

(mathbf {GL}) kann auch mit einer möglichen Weltsemantik ausgestattet werden, für die es solide und vollständig ist. Eine entsprechende Bedingung für Frames für (mathbf {GL}) - Gültigkeit ist, dass der Frame transitiv, endlich und irreflexiv ist.

12. Erweiterte Modallogik

Die Anwendung der Modallogik auf Mathematik und Informatik hat zunehmend an Bedeutung gewonnen. Die Bereitstellungslogik ist nur ein Beispiel für diesen Trend. Der Begriff „fortgeschrittene Modallogik“bezieht sich auf eine Tradition in der Modallogikforschung, die in den Fachbereichen Mathematik und Informatik besonders gut vertreten ist. Diese Tradition ist von Anfang an in die Geschichte der Modallogik eingebunden (Goldblatt, 2006). Die Erforschung von Beziehungen zu Topologie und Algebren ist eine der ersten technischen Arbeiten zur Modallogik. Der Begriff "fortgeschrittene modale Logik" bezieht sich jedoch im Allgemeinen auf eine zweite Arbeitswelle seit Mitte der 1970er Jahre. Einige Beispiele für die vielen interessanten Themen, die behandelt werden, sind Ergebnisse zur Entscheidbarkeit (ob es möglich ist, zu berechnen, ob eine Formel einer bestimmten Modallogik ein Theorem ist) und zur Komplexität (die Kosten für Zeit und Speicher, die erforderlich sind, um solche Fakten über Modallogiken zu berechnen)..

13. Bisimulation

Die Bisimulation ist ein gutes Beispiel für die fruchtbaren Wechselwirkungen, die zwischen Modallogik und Informatik entwickelt wurden. In der Informatik werden üblicherweise markierte Übergangssysteme (LTS) verwendet, um mögliche Berechnungspfade während der Ausführung eines Programms darzustellen. LTSs sind Verallgemeinerungen von Kripke-Frames, die aus einer Menge (W) von Zuständen und einer Sammlung von (i) - Zugänglichkeitsrelationen (R_i) bestehen, eine für jeden Computerprozess (i). Intuitiv gilt (wR_i w ') genau dann, wenn (w') ein Zustand ist, der sich aus der Anwendung des Prozesses (i) auf den Zustand (w) ergibt.

Die Sprache der poly-modalen oder dynamischen Logik führt eine Sammlung von Modaloperatoren (Box_i) ein, einen für jedes Programm (i) (Harel, 1984). Dann gibt (Box_i) A an, dass Satz (A) in jedem Ergebnis der Anwendung von (i) enthalten ist. So können Ideen wie die Richtigkeit und erfolgreiche Beendigung von Programmen in dieser Sprache ausgedrückt werden. Modelle für eine solche Sprache sind wie Kripke-Modelle, außer dass LTSs anstelle von Frames verwendet werden. Eine Bisimulation ist eine Gegenbeziehung zwischen Zuständen zweier solcher Modelle, so dass genau dieselben Satzvariablen in Gegenzuständen zutreffen, und wann immer die Welt (v) (i) ist - zugänglich von einem von zwei Gegenzuständen, dann die anderes Gegenstück trägt die (i) - Zugänglichkeitsbeziehung zu einem Gegenstück von (v). Zusamenfassend,Die (i) - Barrierefreiheitsstruktur, die man von einem bestimmten Zustand aus „sehen“kann, ahmt das nach, was man von einem Gegenstück sieht. Bisimulation ist ein schwächerer Begriff als Isomorphismus (eine Bisimulationsbeziehung muss nicht 1-1 sein), reicht jedoch aus, um die Gleichwertigkeit bei der Verarbeitung zu gewährleisten.

In den 1970er Jahren wurde bereits von Modallogikern eine Version der Bisimulation entwickelt, um die Beziehung zwischen Modallogikaxiomen und ihren entsprechenden Bedingungen auf Kripke-Frames besser zu verstehen. Kripkes Semantik bietet eine Grundlage für die Übersetzung von Modalaxiomen in Sätze einer Sprache zweiter Ordnung, wobei die Quantifizierung über einstellige Prädikatbuchstaben (P) zulässig ist. Ersetzen Sie die Metavariablen (A) durch offene Sätze (Px), übersetzen Sie (Box Px) nach (forall y (Rxy / rightarrow Py)) und schließen Sie freie Variablen (x) und Prädikat Buchstaben (P) mit universellen Quantifizierern. Zum Beispiel kommt die Prädikatenlogikübersetzung des Axiomschemas (Box A / rightarrow A) zu (forall P / forall x) forall y (Rxy / rightarrow Py) rightarrow Px)]. Angesichts dieser Übersetzung kann man die Variable (P) zu einem beliebigen Ein-Ort-Prädikat instanziieren.zum Beispiel zu dem Prädikat (Rx), dessen Erweiterung die Menge aller Welten w ist, so dass (Rxw) für einen gegebenen Wert von (x). Dann erhält man (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], was sich auf (forall xRxx) reduziert, da (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) ist eine Tautologie. Dies beleuchtet die Entsprechung zwischen (Box A / rightarrow A) und der Reflexivität von Frames ((forall xRxx)). Ähnliche Ergebnisse gelten für viele andere Axiome und Rahmenbedingungen. Das "Zusammenfallen" von Axiombedingungen zweiter Ordnung zu Rahmenbedingungen erster Ordnung ist sehr hilfreich, um Vollständigkeitsergebnisse für modale Logiken zu erhalten. Dies ist zum Beispiel die Kernidee hinter den eleganten Ergebnissen von Sahlqvist (1975). Dann erhält man (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], was sich auf (forall xRxx) reduziert, da (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) ist eine Tautologie. Dies beleuchtet die Entsprechung zwischen (Box A / rightarrow A) und der Reflexivität von Frames ((forall xRxx)). Ähnliche Ergebnisse gelten für viele andere Axiome und Rahmenbedingungen. Das "Zusammenfallen" von Axiombedingungen zweiter Ordnung zu Rahmenbedingungen erster Ordnung ist sehr hilfreich, um Vollständigkeitsergebnisse für modale Logiken zu erhalten. Dies ist zum Beispiel die Kernidee hinter den eleganten Ergebnissen von Sahlqvist (1975). Dann erhält man (forall x) forall y (Rxy / rightarrow Rxy) rightarrow Rxx)], was sich auf (forall xRxx) reduziert, da (forall y (Rxy / rightarrow Rxy)) ist eine Tautologie. Dies beleuchtet die Entsprechung zwischen (Box A / rightarrow A) und der Reflexivität von Frames ((forall xRxx)). Ähnliche Ergebnisse gelten für viele andere Axiome und Rahmenbedingungen. Das "Zusammenfallen" von Axiombedingungen zweiter Ordnung zu Rahmenbedingungen erster Ordnung ist sehr hilfreich, um Vollständigkeitsergebnisse für modale Logiken zu erhalten. Dies ist zum Beispiel die Kernidee hinter den eleganten Ergebnissen von Sahlqvist (1975). Ähnliche Ergebnisse gelten für viele andere Axiome und Rahmenbedingungen. Das "Zusammenfallen" von Axiombedingungen zweiter Ordnung zu Rahmenbedingungen erster Ordnung ist sehr hilfreich, um Vollständigkeitsergebnisse für modale Logiken zu erhalten. Dies ist zum Beispiel die Kernidee hinter den eleganten Ergebnissen von Sahlqvist (1975). Ähnliche Ergebnisse gelten für viele andere Axiome und Rahmenbedingungen. Das "Zusammenfallen" von Axiombedingungen zweiter Ordnung zu Rahmenbedingungen erster Ordnung ist sehr hilfreich, um Vollständigkeitsergebnisse für modale Logiken zu erhalten. Dies ist zum Beispiel die Kernidee hinter den eleganten Ergebnissen von Sahlqvist (1975).

Aber wann reduziert sich die Übersetzung eines Axioms zweiter Ordnung auf diese Weise auf eine Bedingung erster Ordnung für (R)? In den 1970er Jahren zeigte van Benthem, dass dies geschieht, wenn das Halten der Übersetzung in einem Modell das Halten in einem beliebigen Bisimularmodell beinhaltet, wobei zwei Modelle bisimular sind, wenn zwischen ihnen in dem speziellen Fall, in dem eine einzige Zugänglichkeitsrelation besteht, eine Bisimulation besteht. Dieses Ergebnis lässt sich leicht auf den poly-modalen Fall verallgemeinern (Blackburn et al., 2001, S. 103). Dies legt nahe, dass die poly-modale Logik genau auf der richtigen Abstraktionsebene liegt, um Berechnungen und andere Prozesse zu beschreiben und zu begründen. (Entscheidend ist schließlich die Wahrung der Wahrheitswerte von Formeln in Modellen und nicht die feineren Details der Rahmenstrukturen.) Darüber hinaus bietet die implizite Übersetzung dieser Logik in gut verstandene Fragmente der Prädikatenlogik eine Fülle von Informationen, die für Informatiker von Interesse sind. Infolgedessen hat sich ein fruchtbares Forschungsgebiet in der Informatik entwickelt, dessen Kernidee die Bisimulation ist (Ponse et al. 1995).

14. Modale Logik und Spiele

Die Wechselwirkung zwischen Spieltheorie und Modallogik ist ein florierendes neues Forschungsgebiet (van der Hoek und Pauly, 2007; van Benthem, 2011, Kap. 10 und 2014). Diese Arbeit hat interessante Anwendungen, um die Zusammenarbeit und den Wettbewerb zwischen Agenten zu verstehen, wenn sich die ihnen zur Verfügung stehenden Informationen entwickeln.

Das Gefangenendilemma veranschaulicht einige der Konzepte der Spieltheorie, die mithilfe modaler Logik analysiert werden können. Stellen Sie sich zwei Spieler vor, die entweder kooperieren oder betrügen. Wenn beide kooperieren, erhalten beide eine Belohnung von 3 Punkten, wenn sie beide betrügen, bekommen sie beide nichts, und wenn einer kooperiert und der andere betrügt, macht der Betrüger mit 5 Punkten aus und der Kooperator bekommt nichts. Wenn beide Spieler altruistisch und motiviert sind, die Summe ihrer Belohnungen zu maximieren, werden sie beide zusammenarbeiten, da dies das Beste ist, was sie gemeinsam tun können. Beide sind jedoch versucht zu betrügen, um ihre eigene Belohnung von 3 auf 5 zu erhöhen. Wenn sie jedoch rational sind, können sie erkennen, dass ihr Gegner, wenn sie betrügen, zu betrügen droht und nichts übrig lässt. Angesichts dieser Bedrohung ist Kooperation das Beste, was man tun kann. Und wenn jeder denkt, dass der andere dies erkennt, kann er motiviert sein, zusammenzuarbeiten. Eine erweiterte (oder iterierte) Version dieses Spiels bietet den Spielern mehrere Züge, dh wiederholte Möglichkeiten zum Spielen und Sammeln von Belohnungen. Wenn die Spieler Informationen über die Geschichte der Züge und ihre Ergebnisse haben, kommen neue Bedenken ins Spiel, da der Erfolg im Spiel davon abhängt, die Strategie ihres Gegners zu kennen und (zum Beispiel) zu bestimmen, wann ihm vertraut werden kann, dass er nicht schummelt. In Mehrspielerversionen des Spiels, in denen die Spieler bei jedem Zug paarweise aus einem größeren Pool gezogen werden, hängt die beste Strategie möglicherweise davon ab, ob man die Gegner erkennt und welche Strategien sie gewählt haben. (Siehe Grim et al., 1998 für faszinierende Forschungen zu Dilemmata zwischen Gefangenen.)Eine erweiterte (oder iterierte) Version dieses Spiels bietet den Spielern mehrere Züge, dh wiederholte Möglichkeiten zum Spielen und Sammeln von Belohnungen. Wenn die Spieler Informationen über die Geschichte der Züge und ihre Ergebnisse haben, kommen neue Bedenken ins Spiel, da der Erfolg im Spiel davon abhängt, die Strategie ihres Gegners zu kennen und (zum Beispiel) zu bestimmen, wann ihm vertraut werden kann, dass er nicht schummelt. In Mehrspielerversionen des Spiels, in denen die Spieler bei jedem Zug paarweise aus einem größeren Pool gezogen werden, hängt die beste Strategie möglicherweise davon ab, ob man die Gegner erkennt und welche Strategien sie gewählt haben. (Siehe Grim et al., 1998 für faszinierende Forschungen zu Dilemmata zwischen Gefangenen.)Eine erweiterte (oder iterierte) Version dieses Spiels bietet den Spielern mehrere Züge, dh wiederholte Möglichkeiten zum Spielen und Sammeln von Belohnungen. Wenn die Spieler Informationen über die Geschichte der Züge und ihre Ergebnisse haben, kommen neue Bedenken ins Spiel, da der Erfolg im Spiel davon abhängt, die Strategie ihres Gegners zu kennen und (zum Beispiel) zu bestimmen, wann ihm vertraut werden kann, dass er nicht schummelt. In Mehrspielerversionen des Spiels, in denen die Spieler bei jedem Zug paarweise aus einem größeren Pool gezogen werden, hängt die beste Strategie möglicherweise davon ab, ob man die Gegner erkennt und welche Strategien sie gewählt haben. (Siehe Grim et al., 1998 für faszinierende Forschungen zu Dilemmata zwischen Gefangenen.)Wenn die Spieler Informationen über die Geschichte der Züge und ihre Ergebnisse haben, kommen neue Bedenken ins Spiel, da der Erfolg im Spiel davon abhängt, die Strategie ihres Gegners zu kennen und (zum Beispiel) zu bestimmen, wann ihm vertraut werden kann, dass er nicht schummelt. In Mehrspielerversionen des Spiels, in denen die Spieler bei jedem Zug paarweise aus einem größeren Pool gezogen werden, hängt die beste Strategie möglicherweise davon ab, ob man die Gegner erkennt und welche Strategien sie gewählt haben. (Siehe Grim et al., 1998 für faszinierende Forschungen zu Dilemmata zwischen Gefangenen.)Wenn die Spieler Informationen über die Geschichte der Züge und ihre Ergebnisse haben, kommen neue Bedenken ins Spiel, da der Erfolg im Spiel davon abhängt, die Strategie ihres Gegners zu kennen und (zum Beispiel) zu bestimmen, wann ihm vertraut werden kann, dass er nicht schummelt. In Mehrspielerversionen des Spiels, in denen die Spieler bei jedem Zug paarweise aus einem größeren Pool gezogen werden, hängt die beste Strategie möglicherweise davon ab, ob man die Gegner erkennt und welche Strategien sie gewählt haben. (Siehe Grim et al., 1998 für faszinierende Forschungen zu Dilemmata zwischen Gefangenen.)Die eigene beste Strategie kann davon abhängen, ob man seine Gegner und die von ihnen gewählten Strategien erkennen kann. (Siehe Grim et al., 1998 für faszinierende Forschungen zu Dilemmata zwischen Gefangenen.)Die eigene beste Strategie kann davon abhängen, ob man seine Gegner und die von ihnen gewählten Strategien erkennen kann. (Siehe Grim et al., 1998 für faszinierende Forschungen zu Dilemmata zwischen Gefangenen.)

In Spielen wie Schach wechseln sich die Spieler ab und ihre Gegner können die Züge sehen. Wenn wir die Konvention übernehmen, dass die Spieler in einem Spiel abwechselnd ihre Züge machen, dann ist das Dilemma des iterierten Gefangenen ein Spiel mit fehlenden Informationen über den Spielstatus - dem Spieler in der zweiten Runde fehlen Informationen über den letzten Zug des anderen Spielers. Dies zeigt das Interesse von Spielen mit unvollständigen Informationen.

Die Anwendung von Spielen auf Logik hat eine lange Geschichte. Eine einflussreiche Anwendung mit wichtigen Auswirkungen auf die Linguistik ist die Spieltheoretische Semantik (GTS) (Hintikka et al. 1983), bei der die Gültigkeit durch das Ergebnis eines Spiels zwischen zwei Spielern definiert wird, von denen einer versucht, eine bestimmte Formel zu verifizieren, und der andere versucht, sie zu verfälschen. GTS verfügt über erheblich stärkere Ressourcen als die Standard-Semantik im Tarski-Stil, da es (zum Beispiel) verwendet werden kann, um zu erklären, wie sich die Bedeutung in einem Diskurs (einer Folge von Sätzen) entwickelt.

Die hier zu beschreibende Arbeit an Spielen und Modallogik ist jedoch etwas anders. Anstatt Spiele zur Analyse der Semantik einer Logik zu verwenden, werden die fraglichen Modallogiken zur Analyse von Spielen verwendet. Die Struktur der Spiele und ihres Spiels ist sehr reichhaltig, da sie die Art des Spiels selbst (die erlaubten Züge und die Belohnungen für die Ergebnisse), die Strategien (die Sequenzen von Zügen durch die Zeit sind) und den Informationsfluss umfasst steht den Spielern im Verlauf des Spiels zur Verfügung. Daher stützt sich die Entwicklung der Modallogik für Spiele auf Merkmale der Logik, die Konzepte wie Zeit, Entscheidungsfreiheit, Präferenz, Ziele, Wissen, Überzeugung und Zusammenarbeit umfassen.

Um einen Hinweis auf diese Vielfalt zu geben, finden Sie hier eine begrenzte Beschreibung einiger der Modaloperatoren, die bei der Analyse von Spielen auftauchen, und einiger Dinge, die mit ihnen ausgedrückt werden können. Die Grundidee in der Semantik ist, dass ein Spiel aus einer Gruppe von Spielern 1, 2, 3, … und einer Gruppe von W von Spielzuständen besteht. Für jeden Spieler i gibt es eine Zugänglichkeitsrelation (R_i), die so verstanden wird, dass (sR_i t) für die Zustände (s) und (t) gilt, wenn das Spiel den Zustand (s / erreicht hat)) Spieler (i) hat die Möglichkeit, einen Zug auszuführen, der zu (t) führt. Diese Sammlung von Beziehungen definiert einen Baum, dessen Zweige jede mögliche Abfolge von Zügen im Spiel definieren. Die Semantik weist Atomen, die die Auszahlungen verfolgen, auch Wahrheitswerte zu. So könnte es beispielsweise in einem Spiel wie Schach ein Atom (win_i) geben, so dass (v (win_i,s) = T) iff state s ist ein Gewinn für Spieler (i). Die Modelloperatoren (Box_i) und (Diamond_i) für jeden Spieler i können dann wie folgt definiert werden.

) begin {align *} v (Box_i A, s) & = T / text {iff für alle} t / text {in} W, / text {if} sR_i t, / text {then} v (A., t) = T. \\ v (Diamond_i A, s) & = T / text {iff für einige} t / text {in} W, sR_i t / text {und} v (A, t) = T. / end {align *})

Also ist (Box_i A) ((Diamond_i A)) in s wahr, vorausgesetzt, dass Satz (A) in jedem (einigen) Zustand gilt, den (i) aus Zustand (s) auswählen kann). Da (bot) ein Widerspruch ist (also ist ({ sim} bot) eine Tautologie), ist (Diamond_i { sim} bot) in einem Zustand wahr, in dem es (Ich bin an der Reihe, mich zu bewegen. Für ein Zwei-Spieler-Spiel gilt (Box_1 / bot) & (Box_2 / bot) für einen Zustand, der das Spiel beendet, da sich weder 1 noch 2 bewegen können. (Box_1 / Diamond_2) win (_ 2) behauptet, dass Spieler 1 einen Verlust hat, denn was auch immer 1 aus dem gegenwärtigen Zustand tut, 2 kann im folgenden Zug gewinnen.

Für eine allgemeinere Darstellung der Auszahlungen des Spielers können Ordnungsbeziehungen (leq_i) über die Zustände definiert werden, so dass (s / leq_i t) bedeutet, dass (i) die Auszahlung für (t) ist. ist mindestens so gut wie das für (s). Eine andere Verallgemeinerung besteht darin, Tatsachen über Sequenzen (q) von Zügen auszudrücken, indem Operatoren eingeführt werden, die durch Beziehungen (sR_q t) interpretiert werden, die angeben, dass die Sequenz (q), die von s ausgeht, schließlich zu (t) gelangt. Mit diesen und verwandten Ressourcen ist es möglich auszudrücken (zum Beispiel), dass q angesichts des gegenwärtigen Zustands die beste Strategie von (i) ist.

Für die Analyse von Spielen ist es entscheidend, eine Möglichkeit zu haben, die den Spielern zur Verfügung stehenden Informationen auszudrücken. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, besteht darin, Ideen aus der epistemischen Logik auszuleihen. Hier können wir für jeden Spieler eine Barrierefreiheitsrelation ({ sim} _i) einführen, so dass (s { sim} _i t) gilt, wenn (i) nicht zwischen den Zuständen (s) und / unterscheiden kann (t). Dann können Wissensoperatoren (rK_i) für die Spieler definiert werden, so dass (rK_i A) bei (s) sagt, dass (A) in allen Welten gilt, von denen (i) unterscheiden kann (s); Das heißt, trotz der Unkenntnis von (i) über den Stand der Dinge kann er / sie immer noch sicher sein, dass (A). (rK) Operatoren können verwendet werden, um zu sagen, dass Spieler 1 in der Lage ist, zurückzutreten, da er weiß, dass 2 sieht, dass sie einen Gewinn hat: (rK_1 / rK_2 / Box_1 / Diamond_2 / win_2).

Da die Informationen des Spielers im Verlauf des Spiels variieren, ist es nützlich, sich die Spielbewegungen als zeitlich indiziert vorzustellen und die Operatoren (O) und (U) aus der angespannten Logik für 'next' und 'till' einzuführen.. Dann drückt (K_i OA / rightarrow OK_i A) aus, dass Spieler (i) einen „perfekten Rückruf“hat, dh wenn (i) weiß, dass (A) als nächstes passiert, dann im nächsten Moment (i) hat nicht vergessen, dass (A) passiert ist. Dies zeigt, wie modale Logiken für Spiele kognitive Idealisierungen und den Erfolg (oder Misserfolg) eines Spielers bei der Erfüllung dieser Ziele widerspiegeln können.

Die technische Seite der Modallogik für Spiele ist herausfordernd. Das Projekt der Identifizierung von Regelsystemen, die für eine Sprache mit einer großen Sammlung von Operatoren solide und vollständig sind, kann von früheren Forschungen geleitet werden, aber die Wechselwirkungen zwischen den verschiedenen Zugänglichkeitsbeziehungen führen zu neuen Bedenken. Darüber hinaus ist die rechnerische Komplexität verschiedener Systeme und ihrer Fragmente eine große Landschaft, die weitgehend unerforscht ist.

Spieltheoretische Konzepte können auf überraschende Weise angewendet werden - von der Überprüfung eines Gültigkeitsarguments bis zum Erfolg in der Politik. Es gibt also starke Motivationen für die Formulierung von Logiken, die mit Spielen umgehen können. Was an dieser Forschung auffällt, ist die Kraft, die man erhält, wenn man Logik von Zeit, Entscheidungsfreiheit, Wissen, Glauben und Präferenz in einer einheitlichen Umgebung zusammenwebt. Die Lehren aus dieser Integration haben einen Wert, der weit über das hinausgeht, was sie zum Verständnis von Spielen beitragen.

15. Quantifizierer in Modal Logic

Es scheint einfach zu sein, eine modale Logik mit den Quantifizierern (forall) (all) und (existent) (some) auszustatten. Man würde einfach die Standardregeln (oder klassischen Regeln) für Quantifizierer zu den Prinzipien der von ihm gewählten aussagekräftigen Modallogik hinzufügen. Das Hinzufügen von Quantifizierern zur Modallogik bringt jedoch eine Reihe von Schwierigkeiten mit sich. Einige davon sind philosophisch. Zum Beispiel hat Quine (1953) bekanntlich argumentiert, dass die Quantifizierung in modale Kontexte einfach inkohärent ist, eine Ansicht, die eine gigantische Literatur hervorgebracht hat. Quines Beschwerden haben nicht das Gewicht, das sie einmal hatten. Siehe Barcan (1990) für eine gute Zusammenfassung, und beachten Sie Kripkes (2017) (geschrieben in den 60er Jahren für eine Klasse mit Quine), das ein starkes formales Argument dafür liefert, dass es nichts Falsches geben kann, wenn man „quantifiziert“.

Eine zweite Art von Komplikation ist technisch. Die Auswahlmöglichkeiten in der Semantik für quantifizierte Modallogik sind sehr unterschiedlich, und der Beweis, dass ein Regelsystem für eine bestimmte Auswahl korrekt ist, kann schwierig sein. Die Arbeit von Corsi (2002) und Garson (2005) trägt dazu bei, Einheit in dieses Terrain zu bringen, und Johannesson (2018) führt Einschränkungen ein, die dazu beitragen, die Anzahl der Optionen zu verringern. Trotzdem bleibt die Situation herausfordernd.

Eine weitere Komplikation besteht darin, dass einige Logiker der Ansicht sind, dass für die Modalität die klassischen Quantifiziererregeln zugunsten der schwächeren Regeln der freien Logik aufgegeben werden müssen (Garson 2001). Die Hauptstreitpunkte bezüglich der Quantifiziererregeln lassen sich auf Entscheidungen über den Umgang mit dem Bereich der Quantifizierung zurückführen. Die einfachste Alternative, der Ansatz der festen Domäne (manchmal auch als Possibilismus bezeichnet), geht von einer einzigen Quantifizierungsdomäne aus, die alle möglichen Objekte enthält. Andererseits geht die weltbezogene (oder tatsächlichistische) Interpretation davon aus, dass sich der Bereich der Quantifizierung von Welt zu Welt ändert und nur die Objekte enthält, die tatsächlich in einer bestimmten Welt existieren.

Der Fixed-Domain-Ansatz erfordert keine wesentlichen Anpassungen der klassischen Maschinerie für die Quantifizierer. Modallogiken, die für die Semantik fester Domänen geeignet sind, können normalerweise durch Hinzufügen von Prinzipien einer aussagekräftigen Modallogik zu klassischen Quantifiziererregeln zusammen mit der Barcan-Formel ((BF)) (Barcan 1946) axiomatisiert werden. (Für einige interessante Ausnahmen siehe Cresswell (1995)).

) tag {(BF)} forall x / Box A / rightarrow / Box / forall xA.)

Die Interpretation mit festem Bereich bietet die Vorteile der Einfachheit und Vertrautheit, bietet jedoch keinen direkten Überblick über die Semantik bestimmter Quantifiziererausdrücke der natürlichen Sprache. Wir glauben nicht, dass "ein Mann existiert, der die Unabhängigkeitserklärung unterzeichnet hat" wahr ist, zumindest nicht, wenn wir "existiert" in der Gegenwart lesen. Trotzdem traf dieser Satz 1777 zu, was zeigt, dass sich die Domäne für den Ausdruck der natürlichen Sprache "ein Mann existiert, der" ändert, um zu reflektieren, welche Männer zu verschiedenen Zeiten existieren. Ein verwandtes Problem ist, dass bei der Interpretation mit fester Domäne der Satz (forall y / Box / existiert x (x = y)) gültig ist. Unter der Annahme, dass (existiert x (x = y)) gelesen wird: (y) existiert, sagt (für alle y / Box / existiert x (x = y)), dass alles notwendigerweise existiert. Jedoch,Es scheint ein grundlegendes Merkmal gemeinsamer Vorstellungen von Modalität zu sein, dass die Existenz vieler Dinge abhängig ist und dass verschiedene Objekte in verschiedenen möglichen Welten existieren.

Der Verteidiger der Festdomäneninterpretation kann auf diese Einwände reagieren, indem er darauf besteht, dass die Quantifizierungsdomäne beim Lesen der Quantifizierer alle möglichen Objekte enthält, nicht nur die Objekte, die zufällig in einer bestimmten Welt existieren. Der Satz (forall y / Box / existiert x (x = y)) macht also die harmlose Behauptung, dass jedes mögliche Objekt notwendigerweise in der Domäne aller möglichen Objekte gefunden wird. Darüber hinaus können diejenigen Quantifiziererausdrücke der natürlichen Sprache, deren Domäne welt- (oder zeitabhängig) ist, unter Verwendung des Quantifizierers (existiert x) mit fester Domäne und eines Prädikatbuchstabens (E) mit der Lesung "tatsächlich existiert" ausgedrückt werden. Zum Beispiel, anstatt zu übersetzen, dass 'Some (M) an existiert, der (S) die Unabhängigkeitserklärung ignoriert hat' von

) existiert x (Mx / amp Sx),)

Der Verteidiger fester Domains kann schreiben:

) existiert x (Ex / amp Mx / amp Sx),)

Dadurch wird sichergestellt, dass die Übersetzung derzeit als falsch gezählt wird. Cresswell (1991) macht die interessante Beobachtung, dass die weltrelative Quantifizierung im Vergleich zur Quantifizierung mit fester Domäne eine begrenzte Ausdruckskraft hat. Die weltrelative Quantifizierung kann mit Quantifizierern mit fester Domäne und (E) definiert werden, es gibt jedoch keine Möglichkeit, Quantifizierer mit fester Domäne vollständig mit Quantifizierern mit relativer Domäne auszudrücken. Obwohl dies für den klassischen Ansatz der quantifizierten Modallogik spricht, ist die Übersetzungstaktik auch eine Art Zugeständnis zugunsten der freien Logik, da die so definierten weltrelativen Quantifizierer genau den Regeln der freien Logik folgen.

Ein Problem bei der Übersetzungsstrategie, die von Verteidigern der Quantifizierung fester Domänen verwendet wird, besteht darin, dass das Rendern des Englischen in Logik weniger direkt ist, da (E) zu allen Übersetzungen aller Sätze hinzugefügt werden muss, deren Quantifiziererausdrücke Domänen haben, die kontextabhängig sind. Ein schwerwiegenderer Einwand gegen die Quantifizierung fester Domänen besteht darin, dass dem Quantifizierer eine von Quine empfohlene Rolle entzogen wird, nämlich die Aufzeichnung eines robusten ontologischen Engagements. In dieser Ansicht darf die Domäne von (existiert x) nur Entitäten enthalten, die ontologisch respektabel sind, und mögliche Objekte sind zu abstrakt, um sich zu qualifizieren. Aktualisten dieses Streifens werden die Logik eines Quantifizierers (existiert x) entwickeln wollen, der die Verpflichtung zu dem widerspiegelt, was in einer gegebenen Welt tatsächlich ist, und nicht zu dem, was nur möglich ist.

Einige Arbeiten zum Aktualismus (Menzel, 1990) untergraben diesen Einwand jedoch tendenziell. Zum Beispiel argumentieren Linsky und Zalta (1994) und Williamson (2013), dass der Quantifizierer mit fester Domäne eine Interpretation erhalten kann, die für Aktualisten durchaus akzeptabel ist. Pavone (2018) behauptet sogar, dass für die haecceitistische Interpretation, die über einzelne Essenzen quantifiziert, feste Domänen erforderlich sind. Aktualisten, die die Semantik möglicher Welten anwenden, quantifizieren routinemäßig mögliche Welten in ihrer semantischen Sprachtheorie. Es scheint also, dass mögliche Welten durch die Lichter dieser Aktualisten tatsächlich sind. Indem sie die Domäne mit abstrakten Entitäten bevölkern, die nicht unangenehmer sind als mögliche Welten, können Aktualisten die Barcan-Formel und die klassischen Prinzipien verteidigen.

Beachten Sie jedoch, dass einige Aktualisten möglicherweise antworten, dass sie sich nicht auf die Aktualität möglicher Welten festlegen müssen, solange verstanden wird, dass Quantifizierer, die in ihrer Sprachtheorie verwendet werden, keine starke ontologische Bedeutung haben. Darüber hinaus argumentiert Hayaki (2006), dass die Quantifizierung über abstrakte Entitäten tatsächlich mit keiner ernsthaften Form von Aktualismus vereinbar ist. In jedem Fall steht es Aktualisten (und auch Nicht-Aktualisten) offen, die Logik von Quantifizierern mit robusteren Domänen zu untersuchen, beispielsweise Domänen, die mögliche Welten und andere solche abstrakten Entitäten ausschließen und nur die räumlich-zeitlichen Einzelheiten enthalten, die in a zu finden sind gegebene Welt. Für solche Quantifizierer sind weltbezogene Domänen geeignet.

Solche Überlegungen motivieren das Interesse an Systemen, die die Kontextabhängigkeit der Quantifizierung durch die Einführung weltbezogener Domänen anerkennen. Hier hat jede mögliche Welt ihre eigene Quantifizierungsdomäne (die Menge von Objekten, die tatsächlich in dieser Welt existieren), und die Domänen variieren von einer Welt zur nächsten. Wenn diese Entscheidung getroffen wird, ergibt sich eine Schwierigkeit für die klassische Quantifizierungstheorie. Beachten Sie, dass der Satz (existiert x (x = t)) ein Theorem der klassischen Logik ist und (Box / existiert x (x = t)) ein Theorem von (bK) von ist die Notwendigkeitsregel. Lassen Sie den Begriff (t) für Saul Kripke stehen. Dann sagt dieser Satz, dass es notwendig ist, dass Saul Kripke existiert, damit er im Bereich jeder möglichen Welt ist. Die ganze Motivation für den weltbezogenen Ansatz bestand darin, die Idee zu reflektieren, dass Objekte in einer Welt in einer anderen möglicherweise nicht existieren. Wenn jedoch Standard-Quantifizierer-Lineale verwendet werden, muss sich jeder Begriff (t) auf etwas beziehen, das in allen möglichen Welten existiert. Dies scheint mit unserer üblichen Praxis, Begriffe zu verwenden, um sich auf Dinge zu beziehen, die nur bedingt existieren, unvereinbar zu sein.

Eine Antwort auf diese Schwierigkeit besteht einfach darin, Begriffe zu entfernen. Kripke (1963) gibt ein Beispiel für ein System, das die weltbezogene Interpretation verwendet und die klassischen Regeln beibehält. Die Kosten sind jedoch hoch. Erstens ist seine Sprache künstlich verarmt, und zweitens müssen die Regeln für die Aussagenmodallogik geschwächt werden.

Unter der Annahme, dass wir eine Sprache wünschen, die Begriffe enthält, und dass klassische Regeln zu Standardsystemen der Aussagenmodallogik hinzugefügt werden sollen, entsteht ein neues Problem. In einem solchen System ist es möglich, ((CBF)), die Umkehrung der Barcan-Formel, zu beweisen.

) tag {(CBF)} Box / forall xA / rightarrow / forall x / Box A.)

Diese Tatsache hat schwerwiegende Konsequenzen für die Semantik des Systems. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass jedes weltbezogene Modell von ((CBF)) die Bedingung ((ND)) erfüllen muss (für 'verschachtelte Domänen').

((ND)) Wenn (wRv), dann ist die Domäne von (w) eine Teilmenge der Domäne von (v)

((ND)) steht jedoch im Widerspruch zu dem Punkt, weltbezogene Domänen einzuführen. Die ganze Idee war, dass die Existenz von Objekten abhängig ist, so dass es mögliche Welten gibt, in denen eines der Dinge in unserer Welt nicht existiert.

Eine einfache Lösung für diese Probleme besteht darin, die klassischen Regeln für die Quantifizierer aufzugeben und stattdessen Regeln für die freie Logik ((mathbf {FL})) zu übernehmen. Die Regeln von (mathbf {FL}) sind die gleichen wie die klassischen Regeln, außer dass Rückschlüsse von (forall xRx) (alles ist real) auf (Rp) (Pegasus ist real) blockiert sind. Dies erfolgt durch Einführen eines Prädikats '(E)' (für 'tatsächlich existiert') und Ändern der Regel der universellen Instanziierung. Von (forall xRx) darf man (Rp) nur erhalten, wenn man auch (Ep) erhalten hat. Angenommen, der universelle Quantifizierer (forall x) ist primitiv und der existenzielle Quantifizierer (existiert x) ist definiert durch (existiert xA = _ {df} { sim} forall x { sim} A), dann kann (mathbf {FL}) konstruiert werden, indem die folgenden zwei Prinzipien zu den Regeln der Aussagenlogik hinzugefügt werden

Universelle Verallgemeinerung.

Wenn (B / rightarrow (Ey / rightarrow A (y))) ein Theorem ist, ist dies auch (B / rightarrow / forall xA (x)).

Universelle Instanziierung.

(forall xA (x) rightarrow (En / rightarrow A (n)))

(Hier wird angenommen, dass (A (x)) eine wohlgeformte Formel der Prädikatenlogik ist und dass (A (y)) und (A (n)) aus dem Ersetzen von (y) resultieren) und (n) richtig für jedes Auftreten von (x) in (A (x)).) Beachten Sie, dass das Instanziierungsaxiom durch die Erwähnung von (En) im Vorgänger eingeschränkt wird. Die Regel der universellen Verallgemeinerung wird auf die gleiche Weise geändert. In (mathbf {FL}) gibt es Beweise für Formeln wie (existiert x / Box (x = t)), (für alle y / Box / existiert x (x = y)), ((CBF)) und ((BF)), die mit der weltbezogenen Interpretation unvereinbar zu sein scheinen, sind blockiert.

Ein philosophischer Einwand gegen (mathbf {FL}) ist, dass (E) ein Existenzprädikat zu sein scheint, und viele würden argumentieren, dass Existenz keine legitime Eigenschaft ist, wie grün zu sein oder mehr als vier Pfund zu wiegen. Philosophen, die die Idee ablehnen, dass Existenz ein Prädikat ist, können Einwände gegen (mathbf {FL}) erheben. In den meisten (aber nicht allen) quantifizierten Modallogiken, die Identität ((=)) enthalten, können diese Bedenken jedoch umgangen werden, indem (E) wie folgt definiert wird.

[Et = _ {df} existiert x (x = t).)

Der allgemeinste Weg, eine quantifizierte Modallogik zu formulieren, besteht darin, (mathbf {FS}) zu erstellen, indem die Regeln von (mathbf {FL}) zu einer gegebenen aussagekräftigen Modallogik (mathbf {S}) hinzugefügt werden.. In Situationen, in denen eine klassische Quantifizierung gewünscht wird, kann man einfach (Et) als Axiom zu (mathbf {FS}) hinzufügen, so dass die klassischen Prinzipien zu ableitbaren Regeln werden. Angemessenheitsergebnisse für solche Systeme können für die meisten Auswahlmöglichkeiten der Modallogik (mathbf {S}) erhalten werden, es gibt jedoch Ausnahmen.

Eine letzte Komplikation in der Semantik für die quantifizierte Modallogik ist erwähnenswert. Es entsteht, wenn nicht starre Ausdrücke wie „der Erfinder der Bifokale“in die Sprache eingeführt werden. Ein Begriff ist nicht starr, wenn er verschiedene Objekte in verschiedenen möglichen Welten auswählt. Der semantische Wert eines solchen Begriffs kann durch das gegeben werden, was Carnap (1947) als individuelles Konzept bezeichnete, eine Funktion, die die Bezeichnung des Begriffs für jede mögliche Welt herausgreift. Ein Ansatz zum Umgang mit nicht starren Begriffen besteht darin, Russells Beschreibungstheorie anzuwenden. In einer Sprache, die nicht starre Ausdrücke als echte Begriffe behandelt, stellt sich jedoch heraus, dass weder die klassischen noch die freien Logikregeln für die Quantifizierer akzeptabel sind. (Das Problem kann nicht gelöst werden, indem die Regel der Substitution der Identität geschwächt wird.) Eine Lösung für dieses Problem besteht darin, die Quantifizierer allgemeiner zu behandeln, wobei der Bereich der Quantifizierung eher einzelne Konzepte als Objekte enthält. Diese allgemeinere Interpretation bietet eine bessere Übereinstimmung zwischen der Behandlung von Begriffen und der Behandlung von Quantifizierern und führt zu Systemen, die für klassische oder freie Logikregeln geeignet sind (abhängig davon, ob die festen Domänen oder die weltbezogenen Domänen ausgewählt werden). Es bietet auch eine Sprache mit starken und dringend benötigten Ausdrucksfähigkeiten (Bressan, 1973, Belnap und Müller, 2013a, 2013b). Diese allgemeinere Interpretation bietet eine bessere Übereinstimmung zwischen der Behandlung von Begriffen und der Behandlung von Quantifizierern und führt zu Systemen, die für klassische oder freie Logikregeln geeignet sind (abhängig davon, ob die festen Domänen oder die weltbezogenen Domänen ausgewählt werden). Es bietet auch eine Sprache mit starken und dringend benötigten Ausdrucksfähigkeiten (Bressan, 1973, Belnap und Müller, 2013a, 2013b). Diese allgemeinere Interpretation bietet eine bessere Übereinstimmung zwischen der Behandlung von Begriffen und der Behandlung von Quantifizierern und führt zu Systemen, die für klassische oder freie Logikregeln geeignet sind (abhängig davon, ob die festen Domänen oder die weltbezogenen Domänen ausgewählt werden). Es bietet auch eine Sprache mit starken und dringend benötigten Ausdrucksfähigkeiten (Bressan, 1973, Belnap und Müller, 2013a, 2013b).

Literaturverzeichnis

Zu den Texten zur Modallogik für Philosophen gehören Hughes und Cresswell (1968, 1984, 1996), Chellas (1980), Fitting und Mendelsohn (1998), Garson (2013), Girle (2009) und Humberstone (2015).

Humberstone (2015) bietet einen hervorragenden Leitfaden für die Literatur zur Modallogik und ihre Anwendung auf die Philosophie. Die Bibliographie (mit über tausend Einträgen) bietet eine unschätzbare Ressource für alle wichtigen Themen, einschließlich der Logik von Zeit, Verpflichtung, Überzeugung, Wissen, Entscheidungsfreiheit und nomischer Notwendigkeit.

Gabbay und Guenthner (2001) bieten nützliche zusammenfassende Artikel zu wichtigen Themen, während Blackburn et. al. (2007) ist aus einer fortgeschritteneren Perspektive eine unschätzbare Ressource.

Eine ausgezeichnete Bibliographie historischer Quellen findet sich in Hughes und Cresswell (1968).

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Akademische Werkzeuge

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Andere Internetquellen

• Fortschritte in der Modallogik
• Liste der Ressourcen aus Wikipedia
• Modal Logic Handbook von Blackburn, Bentham und Wolter
• John McCarthys Modal Logic Page