Epistemische Logik

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Epistemische Logik

Erstveröffentlichung am 7. Juni 2019

Die erkenntnistheoretische Logik ist ein Teilgebiet der Erkenntnistheorie, das sich mit logischen Ansätzen zu Wissen, Glauben und verwandten Begriffen befasst. Obwohl jede Logik mit einer epistemischen Interpretation als epistemische Logik bezeichnet werden kann, sind die derzeit am weitesten verbreiteten epistemischen Logiken modale Logiken. Wissen und Überzeugung werden über die Modaloperatoren K und B dargestellt, häufig mit einem Index, der den Agenten angibt, der die Einstellung innehat. Die Formeln (K_ {a} varphi) und (B_ {a} varphi) lauten dann "Agent a weiß, dass Phi" bzw. "Agent a glaubt, dass Phi". Die epistemische Logik ermöglicht die formale Untersuchung der Implikationen epistemischer Prinzipien. Zum Beispiel besagt die Formel (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi), dass das, was bekannt ist, wahr ist, während (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi) gibt an, dass das, was bekannt ist, als bekannt bekannt ist. Die Semantik der epistemischen Logik wird typischerweise in Form möglicher Welten über Kripke-Modelle angegeben, so dass die Formel (K_ {a} varphi) gelesen wird, um zu behaupten, dass (varphi) in allen Welten wahr ist, die Agent a epistemisch betrachtet möglich relativ zu seinen aktuellen Informationen. Zu den zentralen Problemen, die epistemische Logiker betroffen haben, gehört beispielsweise die Bestimmung, welche epistemischen Prinzipien für die Charakterisierung von Wissen und Glauben am besten geeignet sind, die logischen Beziehungen zwischen verschiedenen Vorstellungen von Wissen und Glauben und die epistemischen Merkmale von Gruppen von Agenten. Über die eigentliche Philosophie hinaus blüht die epistemische Logik in der theoretischen Informatik, der Wirtschaft und verwandten Bereichen auf.

  • 1. Einleitung
  • 2. Der modale Ansatz zum Wissen

    • 2.1 Die formale Sprache der epistemischen Logik
    • 2.2 Einstellungen höherer Ordnung
    • 2.3 Das Partitionsprinzip und die Modalsemantik
    • 2.4 Kripke-Modelle und die Ununterscheidbarkeitsinterpretation von Wissen
    • 2.5 Erkenntnistheoretische Prinzipien in der erkenntnistheoretischen Logik
    • 2.6 Grundsätze des Wissens und des Glaubens
  • 3. Wissen in Gruppen

    • 3.1 Multi-Agent-Sprachen und -Modelle
    • 3.2 Vorstellungen von Gruppenwissen
  • 4. Logische Allwissenheit
  • Literaturverzeichnis
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Einleitung

Aristotelische Texte bilden die Grundlage für Diskussionen über die Logik des Wissens und des Glaubens, insbesondere über De Sophisiticis Elenchis sowie die Prior- und Posterior-Analytik. Während Aristoteles die vier alethischen Modi von Möglichkeit, Notwendigkeit, Unmöglichkeit und Kontingenz ansprach, halfen Buridan, Pseudo Scotus, Ockham und Ralph Strode, Aristoteles 'Einsichten auf epistemische Themen und Probleme auszudehnen (Boh 1993; Knuuttila 1993). Während dieser Zeit ergänzten Pseudo-Scot und William of Ockham Aristoteles 'Studie über geistige Erkenntnis- und Willensakte (siehe Boh 1993: 130). Ivan Bohs Studien zur Geschichte der epistemischen Logik des 14. und 15. Jahrhunderts bieten eine hervorragende Berichterstattung über das Thema, insbesondere seine epistemische Logik im Spätmittelalter (1993).

Laut Boh formulierte der englische Philosoph Ralph Strode in seinem einflussreichen 1387-Buch Consequences (Boh 1993: 135) ein vollständig allgemeines System propositioneller epistemischer Regeln. Strodes Präsentation baut auf den früheren logischen Abhandlungen von Ockham und Burley auf. Probleme der epistemischen Logik wurden zwischen den 1330er und 1360er Jahren auch von den sogenannten Oxford Calculators diskutiert, am prominentesten von William Heytesbury und Richard Kilvington. Im fünfzehnten Jahrhundert beschäftigten sich Paulus von Venedig und andere italienische Philosophen auch intensiv mit der Beziehung zwischen Wissen, Wahrheit und Ontologie.

Diskussionen über epistemische Logik im Mittelalter teilen ähnliche Grundannahmen mit zeitgenössischen Diskussionen. Vor allem untersuchten mittelalterliche Philosophen den Zusammenhang zwischen Wissen und Wahrhaftigkeit: Wenn ich p kenne, dann ist p wahr. Darüber hinaus beginnen viele mittelalterliche Diskussionen mit einer Annahme, die der Beobachtung von GE Moore ähnelt, dass ein epistemischer Erreger „p nicht kohärent behaupten kann, aber ich glaube nicht (weiß) p“. Sätze dieser Form werden allgemein als Moore-Sätze bezeichnet.

Moderne Behandlungen der Logik des Wissens und des Glaubens sind aus der Arbeit von Philosophen und Logikern hervorgegangen, die von 1948 bis in die 1950er Jahre geschrieben haben. Rudolf Carnap, Jerzy śoś, Arthur Prior, Nicholas Rescher, GH von Wright und andere erkannten, dass unser Diskurs über Wissen und Glauben eine axiomatisch-deduktive Behandlung zulässt. Unter den vielen wichtigen Veröffentlichungen, die in den 1950er Jahren erschienen sind, wird von Wrights wegweisender Arbeit (1951) allgemein anerkannt, dass sie das formale Studium der epistemischen Logik, wie wir sie heute kennen, initiiert hat. Von Wrights Einsichten wurden von Jaakko Hintikka in seinem Buch Knowledge and Belief: Eine Einführung in die Logik der beiden Begriffe (1962) erweitert. Hintikka bot eine Möglichkeit, epistemische Konzepte im Hinblick auf eine mögliche Weltsemantik zu interpretieren, und diente als solcher seitdem als Grundlagentext für das Studium der epistemischen Logik.

In den 1980er und 1990er Jahren konzentrierten sich epistemische Logiker auf die logischen Eigenschaften von Systemen, die Gruppen von Wissenden enthielten, und später noch auf die epistemischen Merkmale sogenannter „multimodaler“Kontexte. Seit den 1990er Jahren hat die Arbeit in der dynamischen epistemischen Logik die traditionelle epistemische Logik erweitert, indem der dynamische Prozess des Wissenserwerbs und der Glaubensrevision modelliert wurde. In den letzten zwei Jahrzehnten hat die epistemische Logik eine breite Palette formaler Ansätze für das interdisziplinäre Studium von Wissen und Glauben umfasst.

Das Interesse an epistemischer Logik geht weit über Philosophen hinaus. In den letzten Jahrzehnten wurde der epistemischen Logik viel interdisziplinär Aufmerksamkeit geschenkt, wobei Ökonomen und Informatiker gemeinsam mit Logikern und Philosophen das Gebiet aktiv entwickelten. 1995 signalisierten zwei wichtige Bücher das fruchtbare Zusammenspiel von Informatik und erkenntnistheoretischer Logik: Fagin, Halpern, Moses und Vardi (1995) sowie Meyer und van der Hoek (1995). Die Arbeit von Informatikern ist in den vergangenen Jahren immer zentraler für die epistemische Logik geworden.

Unter Philosophen wird dem Zusammenspiel dieser formalen Ansätze und traditionellen erkenntnistheoretischen Problemen zunehmend Aufmerksamkeit geschenkt (siehe beispielsweise van Benthem 2006; Hendricks & Symons 2006; Stalnaker 2006; Holliday 2018).

Es gibt mehrere Einführungstexte zur epistemischen Logik, z. B. van Benthem (2011); Ditmarsch, Hoek und Kooi (2007); Ditmarsch et al. (2015); Gochet und Gribomont (2006); und Meyer (2001) mit Lenzen (1980), die einen Überblick über frühe Entwicklungen geben.

2. Der modale Ansatz zum Wissen

Bis vor relativ kurzer Zeit konzentrierte sich die epistemische Logik fast ausschließlich auf Aussagenwissen. In Fällen von Satzwissen trägt ein Agent oder eine Gruppe von Agenten die Satzhaltung des Wissens gegenüber einem Satz. Wenn man zum Beispiel sagt: "Zoe weiß, dass es eine Henne auf dem Hof gibt", behauptet man, dass Zoe die Agentin ist, die die Satzhaltung trägt, die dem Satz entspricht, der durch den englischen Satz "Es gibt eine Henne auf dem Hof" ausgedrückt wird.. Stellen Sie sich nun vor, Zoe weiß nicht, ob sich auf dem Hof eine Henne befindet. Zum Beispiel kann es sein, dass sie keinen Zugang zu Informationen darüber hat, ob sich eine Henne auf dem Hof befindet oder nicht. In diesem Fall bedeutet ihr Mangel an Informationen, dass sie zwei Szenarien als möglich betrachtet, eines, in dem sich eine Henne auf dem Hof befindet, und eines, in dem es keine gibt.

Vielleicht hat sie eine praktische Entscheidung, die nicht nur Hühner betrifft, sondern auch die Anwesenheit von erschreckenden Hunden auf dem Hof. Sie möchte vielleicht die Hühner füttern, tut dies aber nur, wenn sich kein Hund auf dem Hof befindet. Wenn sie nicht wusste, ob sich ein Hund auf dem Hof befindet, steigt die Anzahl der Szenarien, die sie bei ihren Überlegungen berücksichtigen muss, auf vier. Es ist klar, dass man epistemische Alternativen in Betracht ziehen muss, wenn man keine vollständigen Informationen über die Situationen hat, die für seine Entscheidungen relevant sind. Wie wir weiter unten sehen werden, hat die Semantik möglicher Welten einen nützlichen Rahmen für das Verständnis der Art und Weise geliefert, in der Agenten über epistemische Alternativen nachdenken können.

Während sich epistemische Logiker traditionell darauf konzentriert hatten, dies zu wissen, findet man eine Reihe anderer Verwendungen von Wissen in natürlicher Sprache. Wie Wang (2015) hervorhebt, sind die Ausdrücke, die wissen, wie, was, und warum, sehr häufig, in gesprochener und geschriebener Sprache fast genauso häufig (manchmal häufiger) wie das Wissen darüber. Kürzlich wurden nicht standardisierte epistemische Logiken solcher Ausdrücke entwickelt, obwohl bekannt ist, welche Konstruktionen in Hintikkas Knowledge and Belief (1962; siehe auch Boër & Lycan 1986; Rendsvig 2012) vorhanden sind. Über das Aussagenwissen hinaus schlägt die epistemische Logik auch Möglichkeiten vor, die Logik von Fragen und Antworten zu systematisieren (Brendan weiß, warum der Hund bellte). Es bietet auch Einblick in die Beziehungen zwischen mehreren Arten der Identifizierung (Zoe weiß, dass dieser Mann der Präsident ist). Hier kann gesagt werden, dass die Agentin eine Tatsache kennt, die mehrere Arten der Identifizierung betrifft, sofern sie den Präsidenten korrekt identifiziert, den sie möglicherweise aus Zeitungsberichten mit dem Mann kennt, den sie vor sich stehen sieht und den sie als Objekt identifiziert in ihrem Gesichtsfeld (Hintikka & Symons 2003). Die epistemische Logik kann auch Einblick in Fragen des prozeduralen „Know-hows“geben (Brendan weiß, wie man eine Sicherung austauscht). Zum Beispiel kann das Wissen, wie man (varphi) macht, als äquivalent zu der Behauptung verstanden werden, dass es einen Weg gibt, auf dem ein Agent weiß, dass es ein Weg ist, um sicherzustellen, dass (varphi) (siehe Wang 2015, 2018). Arbeiten zur Rechtfertigung von Wissen wurden auch durch Kombinationen von Rechtfertigungslogik mit epistemischer Logik durchgeführt (siehe z. B. Artemov & Nogina 2005; Renne 2008). An diesen und anderen Themen wird derzeit gearbeitet, und es treten ständig neue Entwicklungen auf.

2.1 Die formale Sprache der epistemischen Logik

Neuere Arbeiten in der epistemischen Logik beruhen auf einer modalen Konzeption von Wissen. Um die Rolle der Modalität in der epistemischen Logik klar zu machen, ist es hilfreich, die Grundelemente des modernen Formalismus einzuführen. Der Einfachheit halber beginnen wir mit dem Fall von Wissen und Überzeugung für einen einzelnen Agenten, wobei die Prüfung mehrerer Agenten auf Abschnitt 3 verschoben wird.

Eine prototypische epistemische Logiksprache wird gegeben, indem zuerst eine Reihe von Satzvariablen (p_ {1}), (p_ {2}), … festgelegt werden. In Anwendungen der epistemischen Logik werden Satzvariablen spezifisch interpretiert: Zum Beispiel könnte (p_ {1}) verwendet werden, um den Satz „es gibt eine Henne auf dem Hof“und (p_ {2}) die darzustellen Satz „Es gibt einen Hund auf dem Hof“usw. Die Satzvariablen stellen Sätze dar, die in der formalen Sprache nicht detaillierter dargestellt werden. Als solche werden sie daher oft als atomare Sätze oder einfach als Atome bezeichnet. Atom bezeichne die Menge der atomaren Sätze.

Abgesehen von den atomaren Sätzen ergänzt die epistemische Logik die Sprache der Aussagenlogik durch einen Modaloperator (K_ {a}) für Wissen und (B_ {a}) für Glauben.

(K_ {a} varphi) lautet "Agent a weiß, dass (varphi)"

und ähnlich

(B_ {a} varphi) lautet "Agent a glaubt, dass (varphi)".

In vielen neueren Veröffentlichungen zur epistemischen Logik wird der vollständige Satz von Formeln in der Sprache unter Verwendung einer sogenannten Backus-Naur-Form angegeben. Dies ist einfach eine aus der Informatik abgeleitete Notationstechnik, die eine rekursive Definition der Formeln liefert, die als grammatikalisch „korrekt“angesehen werden, dh der Menge wohlgeformter Formeln:

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / mid B_ {a} varphi, / text {for} p / in / textit {Atom}.)

Dies besagt, dass (varphi) p ist, wenn p ein Atom ist. (neg / varphi) ist eine wohlgeformte Formel, wenn (varphi) bereits eine wohlgeformte Formel ist. Das Symbol '(neg)' ist eine Negation und '(wedge)' eine Konjunktion: (neg / varphi) lautet 'not (varphi)', während ((varphi) Keil / psi)) liest '(varphi) und (psi)'. Wir werden diese Grundsprache, die sowohl einen K nowledge- als auch einen B elief-Operator enthält, (mathcal {L} _ {KB}) nennen. Wie in der Aussagenlogik werden zusätzliche Konnektive aus (neg) und (wedge) definiert: Typische Notation ist '(vee)' für 'oder', '(rightarrow)' für ' wenn …, dann … 'und' (leftrightarrow) 'für' … wenn und nur wenn, … '. Typischerweise werden auch (top) ('top') und (bot) ('bottom') verwendet, um den ständig wahren Satz bzw. den ständig falschen Satz zu bezeichnen.

Wie wir weiter unten sehen werden, wird (K_ {a} varphi) so gelesen, dass (varphi) in allen Welten gilt, die für a zugänglich sind. In diesem Sinne kann K als ähnlich wie der 'Box'-Operator (square) angesehen werden, der häufig zur Bezeichnung der Notwendigkeit verwendet wird. Bei der Bewertung von (K_ {a} varphi) in einer möglichen Welt w bewertet man tatsächlich eine universelle Quantifizierung über alle von w aus zugänglichen Welten. Der universelle Quantifizierer (forall) in der Logik erster Ordnung hat den existentiellen Quantifizierer (existent) als Dual: Dies bedeutet, dass die Quantifizierer gegenseitig definierbar sind, indem entweder (forall) als primitiv genommen und / definiert wird (existiert x / varphi) als Abkürzung für (neg / forall x / neg / varphi) oder indem Sie (existiert) als primitiv nehmen und (forall x / varphi) als (definieren) neg / existiert x / neg / varphi). Im Fall von (K_ {a}),Es ist zu sehen, dass die Formel (neg K_ {a} neg / varphi) eine existenzielle Quantifizierung durchführt: Sie besagt, dass es eine zugängliche Welt gibt, die (varphi) erfüllt. In der Literatur wird häufig ein Doppeloperator für (K_ {a}) eingeführt. Die typische Notation für (neg K_ {a} neg) umfasst (langle K_ {a} rangle) und (widehat {K} _ {a}). Diese Notation ahmt die Rautenform (lozenge) nach, die der Standard-Doppeloperator für die Box (square) ist, die wiederum die Standardnotation für den universell quantifizierenden Modaloperator ist (siehe den Eintrag zur Modallogik).. Die typische Notation für (neg K_ {a} neg) umfasst (langle K_ {a} rangle) und (widehat {K} _ {a}). Diese Notation ahmt die Rautenform (lozenge) nach, die der Standard-Doppeloperator für die Box (square) ist, die wiederum die Standardnotation für den universell quantifizierenden Modaloperator ist (siehe den Eintrag zur Modallogik).. Die typische Notation für (neg K_ {a} neg) umfasst (langle K_ {a} rangle) und (widehat {K} _ {a}). Diese Notation ahmt die Rautenform (lozenge) nach, die der Standard-Doppeloperator für die Box (square) ist, die wiederum die Standardnotation für den universell quantifizierenden Modaloperator ist (siehe Eintrag zur Modallogik)..

Ausdrucksstärkere Sprachen in der epistemischen Logik beinhalten das Hinzufügen von Operatoren für verschiedene Begriffe des Gruppenwissens (siehe Abschnitt 3). Zum Beispiel sind, wie wir unten diskutieren, der Common-Knowledge-Operator und sogenannte dynamische Operatoren wichtige Ergänzungen zur Sprache der epistemischen Logik. Dynamische Operatoren können beispielsweise die wahrheitsgemäße öffentliche Ankündigung von (varphi): () varphi!]) Angeben. Eine Formel () varphi!] Psi) lautet: "Wenn (varphi) wahrheitsgemäß allen angekündigt wird, ist nach der Ankündigung (psi) der Fall". Die Frage, welche Arten von Ausdruckskraft durch Hinzufügen von Operatoren hinzugefügt werden, ist ein Forschungsthema, das in der dynamischen epistemischen Logik aktiv untersucht wird. Wenn Sie beispielsweise () varphi!]) Allein zu (mathcal {L} _ {KB}) hinzufügen, wird die Ausdruckskraft nicht erhöht.aber in einer Sprache, die auch allgemein bekannt ist, tut es.

2.2 Einstellungen höherer Ordnung

Beachten Sie, dass zum Beispiel (K_ {a} K_ {a} p) eine Formel in der oben eingeführten Sprache ist. Es besagt, dass Agent a weiß, dass Agent a weiß, dass p der Fall ist. Formeln mit verschachtelten epistemischen Operatoren dieser Art drücken eine Haltung höherer Ordnung aus: eine Haltung, die die Haltung eines Agenten betrifft.

Einstellungen höherer Ordnung sind ein wiederkehrendes Thema in der epistemischen Logik. Die oben erwähnten Moore-Sätze, z. B. (B_ {a} (p / Keil B_ {a} neg p)), drücken eine Haltung höherer Ordnung aus. So auch viele der epistemischen Prinzipien, die in der Literatur und unten diskutiert werden. Betrachten Sie das folgende herausragende epistemische Prinzip, das Wissen höherer Ordnung beinhaltet: (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi). Ist es vernünftig zu verlangen, dass Wissen dieses Schema erfüllt, dh wenn jemand (varphi) kennt, dann weiß er, dass er (varphi) kennt? Zum Teil könnten wir zögern, dieses Prinzip aufgrund der Haltung höherer Ordnung zu akzeptieren. Dies ist eine Frage der laufenden Diskussion in der erkenntnistheoretischen Logik und Erkenntnistheorie.

2.3 Das Partitionsprinzip und die Modalsemantik

Die oben eingeführte Semantik der formalen Sprache wird im Allgemeinen in Form von sogenannten möglichen Welten dargestellt. In der epistemischen Logik werden mögliche Welten als epistemische Alternativen interpretiert. Hintikka war der erste, der einen solchen Ansatz explizit artikulierte (1962). Dies ist ein weiteres zentrales Merkmal seines Ansatzes zur Erkenntnistheorie, der die Entwicklungen bis heute beeinflusst. Es kann vereinfacht [1] wie folgt angegeben werden:

Partitionsprinzip: Jede Satzhaltung unterteilt die Menge möglicher Welten in solche, die der Haltung entsprechen, die es nicht sind.

Das Partitionsprinzip kann verwendet werden, um eine Semantik für den Wissensoperator bereitzustellen. Informell, (K_ {a} varphi) ist in der Welt w genau dann wahr, wenn (varphi) in jeder Welt wahr ist (w ') kompatibel mit dem, was a bei w weiß.

Hier weiß Agent a, dass (varphi) nur für den Fall, dass der Agent Informationen hat, die jede Möglichkeit eines Fehlers ausschließen, jeden Fall ausschließt, in dem (neg / varphi).

2.4 Kripke-Modelle und die Ununterscheidbarkeitsinterpretation von Wissen

Seit den 1960er Jahren dienen die unten definierten Kripke-Modelle als Grundlage für die am weitesten verbreitete Semantik für alle Arten der Modallogik. Die Verwendung von Kripke-Modellen bei der Darstellung epistemischer Konzepte erfordert eine philosophische Haltung in Bezug auf diese Konzepte. Eine weit verbreitete Interpretation, insbesondere in der theoretischen Ökonomie und der theoretischen Informatik, versteht Wissen in Bezug auf informative Ununterscheidbarkeit zwischen möglichen Welten. Was wir hier als Ununterscheidbarkeitsinterpretation bezeichnen werden, geht zumindest auf Lehmann (1984) zurück.

Da die Interpretation der Ununterscheidbarkeit Wissen, aber nicht Glauben betrifft, werden wir mit einer Sprache ohne Glaubensoperatoren arbeiten. Lassen Sie daher die Sprache (mathcal {L} _ {K}) durch das Backus-Naur-Formular angegeben werden

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / text {für} p / in / textit {Atom}.)

Wie wir sehen werden, beinhaltet die Interpretation der Ununterscheidbarkeit sehr strenge Anforderungen, damit etwas als Wissen qualifiziert werden kann. Wir führen es hier zu pädagogischen Zwecken ein und setzen die formalen Details der Interpretation ein, um danach relativ weniger extreme Positionen einzuführen und zu erklären.

Betrachten Sie noch einmal den Fall von Zoe, der Henne und dem Hund. Das Beispiel beinhaltet zwei Sätze, die wir mit den formalen Atomen identifizieren werden:

p lesen als "es gibt eine Henne im Hof".

und

q Lesen Sie als "Es gibt einen Hund im Hof".

Es ist hervorzuheben, dass für die Zwecke unserer Formalisierung dieses Szenarios diese beiden Vorschläge die einzigen von Interesse sind. Wir beschränken unsere Aufmerksamkeit auf (textit {Atom} = {p, q }). In frühen Darstellungen der epistemischen Logik und in einem Großteil der derzeit üblichen epistemischen Logik sind von Anfang an alle interessierenden Atome enthalten. Dies ist offensichtlich ein idealisiertes Szenario. Es ist wichtig zu beachten, was dieser Ansatz auslässt. Überlegungen, die nicht auf diese Weise erfasst werden, umfassen das Auftreten neuer Atome; die Idee, dass andere atomare Sätze in einem zukünftigen Zustand beispielsweise durch einen Lernprozess eingeführt werden könnten, oder die Frage, ob ein Agent sich der Sätze bewusst ist;das Szenario, in dem ein Agent aufgrund eines psychologischen oder anderen Faktors vorübergehend kein Atom wahrnimmt (siehe Abschnitt 4 für Verweise auf die sogenannte Bewusstseinslogik). Im Moment geht es hauptsächlich darum, dass die epistemische Standardlogik mit der Annahme beginnt, dass die Menge Atom den Satzraum für den Agenten erschöpft.

Mit zwei Atomen gibt es vier verschiedene Möglichkeiten, wie eine Welt konsequent sein könnte. Wir können jedes durch eine Box darstellen:

Grundlegende vier Welten: vier Kästchen hintereinander mit etwas Platz dazwischen. Das erste ist mit w1 bezeichnet und enthält das Paar: p, q. Die zweite beschriftete w2 mit dem Paar: p nicht q. Der dritte, w3, mit dem Paar: nicht p, q. Das vierte, w4, mit dem Paar: nicht p, nicht q. Fast alle nachfolgenden Bilder enthalten das gleiche mit einigen geringfügigen Änderungen
Grundlegende vier Welten: vier Kästchen hintereinander mit etwas Platz dazwischen. Das erste ist mit w1 bezeichnet und enthält das Paar: p, q. Die zweite beschriftete w2 mit dem Paar: p nicht q. Der dritte, w3, mit dem Paar: nicht p, q. Das vierte, w4, mit dem Paar: nicht p, nicht q. Fast alle nachfolgenden Bilder enthalten das gleiche mit einigen geringfügigen Änderungen

Die vier Kästchen können formal durch eine Menge (W = {w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4} }) dargestellt werden, die typischerweise eine Menge möglicher Welten genannt wird. Jede Welt ist weiter mit den Atomen gekennzeichnet, die in dieser Welt wahr sind. Sie sind durch eine Funktion V, die Bewertung, gekennzeichnet. Die Bewertung gibt auf folgende Weise an, welche Atome in jeder Welt wahr sind: Bei einem Atom p ist (V (p)) die Teilmenge der Welten, in denen p wahr ist. [2] Dass (w_ {1}) mit p und q markiert ist, bedeutet somit, dass (w_ {1} in V (p)) und (w_ {1} in V (q)). In der Abbildung ist (V (p) = {w_ {1}, w_ {2} }) und (V (q) = {w_ {1}, w_ {3} }).

Nehmen Sie zu Präsentationszwecken an, dass sich wirklich eine Henne auf dem Hof befindet, aber kein Hund. Dann würde (w_ {2}) die tatsächliche Welt des Modells darstellen. In Abbildungen wird die tatsächliche Welt häufig hervorgehoben:

Grundlegende vier Welten außer w2 werden mit einer doppelten Linie anstelle einer einzelnen Linie für das Feld hervorgehoben
Grundlegende vier Welten außer w2 werden mit einer doppelten Linie anstelle einer einzelnen Linie für das Feld hervorgehoben

Nehmen wir nun an, dass die Henne immer gluckst, der Hund aber nie bellt und dass Zoe, obwohl sie ein akutes Gehör hat, den Hof nicht sehen kann. Dann gibt es bestimmte mögliche Welten, die Zoe nicht unterscheiden kann: mögliche Arten von Dingen, die sie nicht unterscheiden kann. Wenn Zoe zum Beispiel nur mit einer Henne auf der Welt ist ((p, / neg q)), kann sie nicht sagen, ob sie mit Henne und Hund auf der Welt ist ((p, q)): Ihre Situation ist so dass Zoe sich zweier Möglichkeiten bewusst ist, aber ihre Informationen erlauben es ihr auch nicht, sie zu eliminieren.

Um zu veranschaulichen, dass eine mögliche Welt nicht von einer anderen unterschieden werden kann, wird typischerweise ein Pfeil von der ersteren zur letzteren gezogen:

Grundlegende vier Welten außer w2 werden hervorgehoben und ein Pfeil zeigt von w2 nach w1
Grundlegende vier Welten außer w2 werden hervorgehoben und ein Pfeil zeigt von w2 nach w1

Hier repräsentieren Pfeile eine binäre Beziehung zu möglichen Welten. In der Modallogik wird sie allgemein als Zugänglichkeitsrelation bezeichnet. Unter der Ununterscheidbarkeitsinterpretation der epistemischen Logik wird sie manchmal als Ununterscheidbarkeitsrelation bezeichnet. Formell bezeichnen Sie die Beziehung (R_ {a}), wobei der Index zeigt, dass die Beziehung zu Agent a gehört. Die Beziehung ist eine Teilmenge der Menge geordneter Paare möglicher Welten ({(w, w ') Doppelpunkt w, w' / in W }). Eine Welt w "zeigt" auf eine andere (w ') wenn ((w, w') in R_ {a}). In diesem Fall soll (w ') von w zugänglich (nicht unterscheidbar) sein. In der Literatur wird dies oft geschrieben (wR_ {a} w ') oder (R_ {a} ww'). Die Notation '(w' / in R_ {a} (w)) 'ist ebenfalls gebräuchlich: Die Menge (R_ {a} (w)) ist dann die Welt, auf die von w aus zugegriffen werden kann, dh

[R_ {a} (w): = {w '\ in W: (w, w') in R_ {a} }.)

Eine letzte Anmerkung: Die Menge ({(w, w ') Doppelpunkt w, w' / in W }) wird oft geschrieben (W / mal W), das kartesische Produkt von W mit sich selbst.

Welche Welten sollte sich darauf beziehen, dass (R_ {a}) ein Verhältnis der Ununterscheidbarkeit getreu darstellt? Wenn Zoe zum Beispiel in (w_ {1}) getaucht wurde, könnte sie dann sagen, dass sie nicht in (w_ {2}) ist? Nein: Das Verhältnis der Ununterscheidbarkeit ist symmetrisch, wenn man a nicht von b unterscheiden kann, und man b auch nicht von a unterscheiden kann. Dass eine Beziehung symmetrisch ist, wird normalerweise dadurch gezeichnet, dass Pfeilspitzen ganz weggelassen oder in beide Richtungen gebracht werden:

Grundlegende vier Welten außer w2 werden hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1
Grundlegende vier Welten außer w2 werden hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1

Welche der verbleibenden Welten sind nicht zu unterscheiden? Da die Henne immer gluckst, verfügt Zoe über Informationen, mit denen sie (w_ {1}) und (w_ {2}) von (w_ {3}) und (w_ {4} unterscheiden kann)) und umgekehrt, vgl. Symmetrie. Daher keine Pfeile zwischen diesen. Die Welten (w_ {3}) und (w_ {4}) sind nicht zu unterscheiden. Dies bringt uns zu folgender Darstellung:

Grundlegende vier Welten außer w2 sind hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1 und ein weiterer Doppelpfeil verbindet w3 und w4
Grundlegende vier Welten außer w2 sind hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1 und ein weiterer Doppelpfeil verbindet w3 und w4

Da keine Information es Zoe jemals erlauben wird, etwas von sich selbst zu unterscheiden, ist jede mögliche Welt mit sich selbst verbunden. Die ununterscheidbare Beziehung ist reflexiv:

Grundlegende vier Welten außer w2 sind hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1 und ein weiterer Doppelpfeil verbindet w3 und w4. Jede Welt hat auch einen Pfeil, der zur gleichen Welt zurückkehrt
Grundlegende vier Welten außer w2 sind hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1 und ein weiterer Doppelpfeil verbindet w3 und w4. Jede Welt hat auch einen Pfeil, der zur gleichen Welt zurückkehrt

Die Standardinterpretation des Zoe-Beispiels in Bezug auf ein mögliches Weltenmodell ist nun abgeschlossen. Bevor wir uns einer allgemeinen Darstellung der Ununterscheidbarkeitsinterpretation zuwenden, schauen wir uns an, was Zoe weiß.

Erinnern Sie sich an die informelle modale Semantik des Wissensoperators von oben:

(K_ {a} varphi) ist in der Welt w genau dann wahr, wenn (varphi) in jeder Welt wahr ist (w '), die mit den Informationen kompatibel ist, die a bei w hat.

Um sich einer formalen Definition zu nähern, nehmen Sie '(w / vDash / varphi)', um zu bedeuten, dass (varphi) in der Welt w wahr ist. Somit können wir die Wahrheit von (K_ {a} varphi) in w durch definieren

(w / vDash K_ {a} varphi) iff (w '\ vDash / varphi) für alle (w') so dass (wR_ {a} w ').

Diese Definition besagt, dass a (varphi) in der Welt w genau dann kennt, wenn (varphi) in allen Welten (w ') der Fall ist, die a nicht von w unterscheiden kann.

Also, wo bleibt Zoe? Zunächst einmal erlaubt uns die Definition, ihr Wissen in jeder der Welten zu bewerten, aber da (w_ {2}) die tatsächliche Welt ist, ist es die Welt von Interesse. Hier sind einige Beispiele dafür, was wir über Zoes Wissen in (w_ {2}) sagen können:

  1. (w_ {2} vDash K_ {a} p). Zoe weiß, dass die Henne im Hof ist, da alle Welten, die nicht von (w_ {2}) zu unterscheiden sind, die (w_ {1}) und (w_ {2}) sind, p wahr machen.
  2. (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q). Zoe weiß nicht, dass der Hund im Hof ist, da eine der ununterscheidbaren Welten tatsächlich (w_ {2}) selbst q falsch macht.
  3. (w_ {2} vDash K_ {a} K_ {a} p). Zoe weiß, dass sie p kennt, weil (a)) (w_ {2} vDash K_ {a} p) (vgl. 1.) und (b)) (w_ {1} vDash K_ {a} p).
  4. (w_ {2} vDash K_ {a} neg K_ {a} q). Zoe weiß, dass sie q nicht kennt, weil (a)) (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q) (vgl. 2.) und (b)) (w_ {1 } vDash / neg K_ {a} q).

Wir könnten viel mehr über Zoes Wissen sagen: Jede Formel der epistemischen Sprache ohne Glaubensoperatoren kann im Modell bewertet werden. Es repräsentiert somit alle übergeordneten Informationen von Zoe über ihr eigenes Wissen, von denen die Punkte 3. und 4. die ersten Beispiele sind.

Eine letzte Zutat ist erforderlich, bevor wir die Ununterscheidbarkeitsinterpretation in ihrer vollen Allgemeinheit angeben können. Im obigen Beispiel wurde gezeigt, dass die Ununterscheidbarkeitsbeziehung sowohl symmetrisch als auch reflexiv war. Formal können diese Eigenschaften wie folgt definiert werden:

Definition: Eine binäre Beziehung (R / subseteq W / times W) ist

  1. reflexives iff für alle (w / in W, wRw),
  2. symmetrisches iff für alle (w, w '\ in W,) wenn (wRw'), dann (w'Rw).

Die fehlende Zutat ist dann die relationale Eigenschaft der Transitivität. 'Kürzer als' ist ein Beispiel für eine transitive Eigenschaft: Sei x kürzer als y und sei y kürzer als z. Dann muss x kürzer als z sein. Also, gegeben (w_ {1}, w_ {2}) und (w_ {3}), wenn die Beziehung R zwischen (w_ {1}) und (w_ {2}) und gilt zwischen (w_ {2}) und (w_ {3}) ist der Pfeil zwischen (w_ {1}) und (w_ {3}) die Folge der Anforderung, dass die Beziehung transitiv sein muss::

Ein Diagramm von drei Knoten: w1, w2 und w3. Ein Pfeil mit der Bezeichnung "angenommen" geht von w1 nach w2 und ein anderer Pfeil mit der gleichen Bezeichnung geht von w2 nach w3. Ein dritter Pfeil mit der Bezeichnung "impliziert" geht von w1 nach w3
Ein Diagramm von drei Knoten: w1, w2 und w3. Ein Pfeil mit der Bezeichnung "angenommen" geht von w1 nach w2 und ein anderer Pfeil mit der gleichen Bezeichnung geht von w2 nach w3. Ein dritter Pfeil mit der Bezeichnung "impliziert" geht von w1 nach w3

Formal ist Transitivität wie folgt definiert:

Definition: Eine binäre Beziehung (R / subseteq W / times W) ist transitiv iff für alle (w, w ', w' '\ in W,) if (wRw') und (w'Rw ''), dann (wRw '')

Eine Beziehung, die sowohl reflexiv als auch symmetrisch und transitiv ist, wird als Äquivalenzbeziehung bezeichnet.

Definieren wir nun mit allen vorhandenen Komponenten das Kripke-Modell:

Definition: Ein Kripke-Modell für (mathcal {L} _ {K}) ist ein Tupel (M = (W, R, V)) wobei

  • W ist eine nicht leere Menge möglicher Welten,
  • R ist eine binäre Beziehung zu W und
  • (V / Doppelpunkt / Textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) ist eine Bewertung.

In der Definition bezeichnet '(mathcal {P} (W))' die Potenzmenge von W: Sie besteht aus allen Teilmengen von W. Daher ist (V (p)), die Bewertung des Atoms p im Modell M, eine Teilmenge der möglichen Welten: Diejenigen, in denen p wahr ist. In dieser allgemeinen Definition kann R eine beliebige Beziehung zu W sein.

Um anzugeben, welche Welt aktuell ist, wird dem Modell ein letzter Parameter hinzugefügt. Wenn die tatsächliche Welt spezifiziert ist, wird ein Kripke-Modell allgemein als spitz bezeichnet:

Definition: Ein spitzes Kripke-Modell für (mathcal {L} _ {K}) ist ein Paar ((M, w)) wobei

  • (M = (W, R, V)) ist ein Kripke-Modell und
  • (w / in W).

Schließlich können wir formal die Semantik definieren, die oben etwas lose ausgedrückt wurde. Dazu wird eine Beziehung zwischen spitzen Kripke-Modellen und den Formeln der formalen Sprache definiert. Die Beziehung wird als "(vDash)" bezeichnet und häufig als Zufriedenheitsrelation bezeichnet.

Die Definition lautet dann wie folgt:

Definition: Sei (M = (W, R_ {a}, V)) ein Kripke-Modell für (mathcal {L} _ {K}) und sei ((M, w)) a spitzes Kripke-Modell. Dann für alle (p / in / textit {Atom}) und alle (varphi, / psi / in / mathcal {L} _ {K})

) begin {align} (M, w) & / vDash p & / textrm {iff} & w / in V (p) (M, w) & / vDash / neg / varphi & / textrm {iff} & / textrm {not} (M, w) vDash / varphi \(M, w) & / vDash (varphi / wedge / psi) & / textrm {iff} & (M, w) vDash / varphi / textrm {und} (M, w) vDash / psi \(M, w) & / vDash K_ {a} varphi & / textrm {iff} & (M, w ') vDash / varphi / textrm {für alle } w '\ in W / textrm {so dass} wR_ {a} w'. / end {align})

Die Formel (varphi) wird erfüllt in dem spitzen Modell ((M, w)) iff ((M, w) vDash / varphi).

Im Allgemeinen besagt die Ununterscheidbarkeitsinterpretation, dass für (K_ {a}), um Wissen zu erfassen, die Beziehung (R_ {a}) eine Äquivalenzbeziehung sein muss. Ein spitzes Kripke-Modell, für das dies erfüllt ist, wird oft als epistemischer Zustand bezeichnet. In epistemischen Zuständen wird die Beziehung durch eine Tilde mit dem Index (sim_ {a}) bezeichnet.

Angesichts gezielter Kripke-Modelle und der Interpretation der Ununterscheidbarkeit haben wir eine semantische Spezifikation eines Wissenskonzepts. Mit diesem Ansatz können wir Modelle von Situationen erstellen, die Wissen beinhalten, wie wir es am Spielzeugbeispiel von Zoe und den Hühnern getan haben. Wir können diese Modelle verwenden, um zu bestimmen, was der Agent weiß oder nicht weiß. Wir haben auch die formalen Grundlagen, um Fragen zu stellen, wie sich das Wissen oder die Unsicherheit des Agenten entwickelt, wenn er neue Informationen erhält, ein Thema, das in der dynamischen epistemischen Logik untersucht wird.

Wir können auch allgemeinere Fragen zum Konzept des Wissens stellen, das unter Verwendung von spitzen Kripke-Modellen mit ununterscheidbaren Beziehungen modelliert wurde: Anstatt ein bestimmtes Modell zu betrachten und zu fragen, welche Formeln das Modell wahr macht, können wir fragen, welche allgemeinen Prinzipien alle diese Modelle übereinstimmen auf.

2.5 Erkenntnistheoretische Prinzipien in der erkenntnistheoretischen Logik

Um die richtige formale Repräsentation von Wissen zu erreichen, müssen die erkenntnistheoretischen Prinzipien, denen man sich verpflichtet fühlt, sorgfältig reflektiert werden. Ein unumstrittenes Beispiel für ein solches Prinzip, das die meisten Philosophen akzeptieren werden, ist die Wahrhaftigkeit:

Wenn ein Satz bekannt ist, dann ist es wahr.

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi.)

In einem formalen Kontext kann dieses Prinzip so verstanden werden, dass wenn (varphi) bekannt ist, es in den eigenen Modellen immer erfüllt sein sollte. Wenn sich herausstellt, dass einige der von Ihnen gewählten Modelle das Prinzip der Wahrhaftigkeit verfälschen, würden die meisten Philosophen diese Modelle einfach für inakzeptabel halten.

Zurück zu den spitzen Kripke-Modellen können wir nun fragen, welchen Prinzipien diese Modelle verpflichtet sind. Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir die allgemeinsten Merkmale unseres Formalismus verstehen. Die Strategie in der Modallogik im Allgemeinen (siehe Blackburn, de Rijke & Venema 2001) besteht darin, von den kontingenten Merkmalen eines bestimmten Modells zu abstrahieren. Zu den möglichen Merkmalen gehören beispielsweise die spezifische Anzahl der betrachteten Welten, die spezifische Bewertung der Atome und die Wahl einer tatsächlichen Welt. In diesem Fall sind die einzigen Merkmale, die nicht abhängig sind, diejenigen, die für die allgemeine Definition eines spitzen Kripke-Modells erforderlich sind.

Um angemessen zu abstrahieren, nehmen Sie ein spitzes Kripke-Modell ((M, w) = (W, R, V, w)). Um festzustellen, ob die Beziehung dieses Modells eine Äquivalenzbeziehung ist, müssen wir nur die Welten und die Beziehung betrachten. Das Paar dieser Elemente bildet die grundlegende Ebene des Modells und wird als Rahmen des Modells bezeichnet:

Definition: Sei ((M, w) = (W, R, V, w)) ein spitzes Kripke-Modell. Dann heißt das Paar ((W, R)) der Rahmen von ((M, w)). Jedes Modell ((M ', w')), das den Rahmen ((W, R)) teilt, soll auf ((W, R)) aufgebaut sein.

Betrachten Sie noch einmal den epistemischen Zustand für Zoe von oben:

Grundlegende vier Welten außer w2 sind hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1 und ein weiterer Doppelpfeil verbindet w3 und w4. Jede Welt hat auch einen Pfeil, der zur gleichen Welt zurückkehrt
Grundlegende vier Welten außer w2 sind hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1 und ein weiterer Doppelpfeil verbindet w3 und w4. Jede Welt hat auch einen Pfeil, der zur gleichen Welt zurückkehrt

Mehrere andere Modelle können auf demselben Rahmen gebaut werden. Das Folgende sind zwei Beispiele:

Grundlegende vier Welten außer w3 (anstelle von w2) werden hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1 und ein weiterer Doppelpfeil verbindet w3 und w4. Jede Welt hat auch einen Pfeil, der zur gleichen Welt zurückkehrt. Zusätzlich hat w2 das Paar: p, q anstelle von p, nicht q
Grundlegende vier Welten außer w3 (anstelle von w2) werden hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1 und ein weiterer Doppelpfeil verbindet w3 und w4. Jede Welt hat auch einen Pfeil, der zur gleichen Welt zurückkehrt. Zusätzlich hat w2 das Paar: p, q anstelle von p, nicht q
Grundlegende vier Welten außer w4 (anstelle von w2 oder w3) werden hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1 und ein weiterer Doppelpfeil verbindet w3 und w4. Jede Welt hat auch einen Pfeil, der zur gleichen Welt zurückkehrt. Zusätzlich hat w1 das Paar: nicht p, nicht q; w2, w3 und w4 haben jeweils das Paar: p, q
Grundlegende vier Welten außer w4 (anstelle von w2 oder w3) werden hervorgehoben und ein Doppelpfeil verbindet w2 und w1 und ein weiterer Doppelpfeil verbindet w3 und w4. Jede Welt hat auch einen Pfeil, der zur gleichen Welt zurückkehrt. Zusätzlich hat w1 das Paar: nicht p, nicht q; w2, w3 und w4 haben jeweils das Paar: p, q

Mit dem Begriff eines Rahmens können wir den Begriff der Gültigkeit von Interesse definieren. Es ist der zweite Begriff, der im Folgenden definiert wird:

Definition: Eine Formel (varphi) gilt im Rahmen (F = (W, R)) als gültig, wenn jedes auf F aufgebaute spitze Kripke-Modell (varphi) erfüllt, dh iff für jedes ((M, w) = (F, V, w) = (W, R, V, w)), ((M, w) vDash / varphi). Eine Formel (varphi) ist gültig für die Klasse der Frames (mathsf {F}) (geschrieben (mathsf {F} vDash / varphi)), wenn (varphi) gültig ist in jeder Frame F in (mathsf {F}).

Der Satz von Formeln, die für eine Klasse von Frames (mathsf {F}) gültig sind, wird als Logik bezeichnetvon (mathsf {F}). Bezeichnen Sie diese Logik, dh die Menge ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} Doppelpunkt / mathsf {F} vDash / varphi }) mit (Lambda _ { mathsf {F. }}). Dies ist ein semantischer Ansatz zur Definition von Logiken, die jeweils nur aus einer Reihe von Formeln bestehen. Man kann Logik auch beweistheoretisch definieren, indem man eine Logik als die Menge von Formeln definiert, die in einem System nachweisbar sind. Mit Logik als reinen Formelsätzen können die Ergebnisse der Solidität und Vollständigkeit dann unter Verwendung der Mengeneinbeziehung ausgedrückt werden. Als Beispiel sei (mathsf {A}) eine Menge von Axiomen und schreibe (mathsf {A} vdash / varphi), wenn (varphi) aus (mathsf {A} beweisbar ist) unter Verwendung eines bestimmten Satzes von Abzugsregeln. Lassen Sie die resultierende Logik die Menge der Sätze mit (Lambda _ { mathsf {A}}) bezeichnen. Es ist die Menge von Formeln aus (mathcal {L} _ {K}), die aus (mathsf {A}) beweisbar sind, dhdie Menge ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} Doppelpunkt / mathsf {A} vdash / varphi }). Die Logik (Lambda _ { mathsf {A}}) ist in Bezug auf (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {A}} subseteq / Lambda _ { mathsf {F. }}) und vervollständigen in Bezug auf (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {F}} subseteq / Lambda _ { mathsf {A}}).[3]

Wenn wir zur ununterscheidbaren Interpretation von Wissen zurückkehren, können wir versuchen, die erkenntnistheoretischen Prinzipien zu finden, denen die Interpretation verpflichtet ist. Es gibt eine triviale Antwort von geringem direktem Interesse: Sei (mathsf {EQ}) die Klasse von Frames mit Äquivalenzrelationen. Dann ist die Logik der Ununterscheidbarkeitsinterpretation die Menge von Formeln von (mathcal {L} _ {K}), die über (mathsf {EQ}) gültig sind, dh die Menge (Lambda _ { mathsf {EQ}}: = { varphi / in / mathcal {L} _ {K} Doppelpunkt / mathsf {EQ} vDash / varphi }). Nicht sehr informativ.

Ein axiomatischer Ansatz zur Spezifizierung der Logik ergibt jedoch eine Darstellung in Bezug auf leicht verständliche Prinzipien. Um mit dem Einfachsten zu beginnen, besagt das Prinzip T, dass Wissen sachlich ist: Wenn der Agent (varphi) kennt, muss (varphi) wahr sein. Je umständlicher K angibt, dass der Agent, wenn er eine Implikation kennt, wenn er den Vorgänger kennt, auch die Konsequenz kennt. Das heißt, wenn wir den Ableitungsregelmodus ponens (von (varphi / rightarrow / psi) und (varphi) als Regel unserer Wissenslogik einschließen, schließt K dieses Wissen aus ist implizit geschlossen. Das Prinzip B besagt, dass wenn (varphi) wahr ist, der Agent weiß, dass er (varphi) für möglich hält. Schließlich gibt 4 an, dass der Agent, wenn er (varphi) kennt, weiß, dass er (varphi) kennt. T,B und 4 in der folgenden Tabelle (die Namen sind historisch und nicht alle aussagekräftig).

) begin {align} textrm {K} & & (K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) & / rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi) / \ textrm {T} & & K_ {a} varphi & / rightarrow / varphi \\ / textrm {B} & & / varphi & / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi \\ / textrm { 4} & & K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

Anstelle erkenntnistheoretischer Intuitionen könnten wir ein Konzept des Wissens diskutieren, indem wir diese und andere Prinzipien diskutieren. Sollten wir T als ein Prinzip akzeptieren, dem Wissen folgt? Was ist mit den anderen? Bevor wir fortfahren, lassen Sie uns zunächst klarstellen, wie sich die vier oben genannten Prinzipien auf die Interpretation der Ununterscheidbarkeit beziehen. Dazu benötigen wir den Begriff einer normalen Modallogik. In der folgenden Definition verwenden wir wie in den obigen Prinzipien technisch Formelschemata. Zum Beispiel ist in (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) (varphi) eine Variable, die sich über Formeln in (mathcal {L} _ {K}) erstreckt. Streng genommen ist (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) also keine Formel, sondern ein Schema zum Erhalten einer Formel. Eine modale Instanz von (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) ist dann die Formel, die erhalten wird, indem (varphi) eine konkrete Formel aus (mathcal {L} _ {K}) ist. Zum Beispiel sind (K_ {a} p / rechter Pfeil p) und (K_ {a} (p / Keil K_ {a} q) rechter Pfeil (p / Keil K_ {a} q)) beide modale Instanzen von T.

Definition: Sei (Lambda / subseteq / mathcal {L} _ {K}) eine Menge von Modalformeln. Dann ist (Lambda) eine normale Modallogik, wenn (Lambda) alle folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. (Lambda) enthält alle modalen Instanzen der klassischen Satztautologien.
  2. (Lambda) enthält alle modalen Instanzen von K.
  3. (Lambda) wird unter modus ponens geschlossen: Wenn (varphi / in / Lambda) und (varphi / rightarrow / psi / in / Lambda), dann (psi / in / Lambda).
  4. (Lambda) wird unter Generalisierung geschlossen (auch bekannt als Notwendigkeit): Wenn (varphi / in / Lambda), dann (K_ {a} varphi / in / Lambda).

Es gibt eine eindeutige kleinste normale modale Logik (angesichts der Menge Atom), die genau das enthält, was die Definition erfordert, und nichts weiter. Es wird oft als minimale normale Modallogik bezeichnet und mit dem Fettdruck K bezeichnet (nicht zu verwechseln mit dem Nicht-Fettdruck K, der das Schema bezeichnet).

Die Logik K ist nur eine Menge von Formeln aus (mathcal {L} _ {K}). Dh K (subseteq / mathcal {L} _ {K}). Punkte 1.4. gibt eine Perspektive auf dieses Set: Sie bieten eine Axiomatisierung. Wie unten wird das Schema K oft als Axiom bezeichnet, obwohl die Instanziierungen von K tatsächlich Axiome sind.

Zu K können wir zusätzliche Prinzipien als Axiome (Axiomschemata) hinzufügen, um stärkere Logiken zu erhalten (Logiken mit zusätzlichen Theoremen: Logics (Lambda), für die K (subseteq / Lambda)). Von unmittelbarem Interesse ist die Logik S5:

Definition: Die Logik S5 ist die kleinste normale Modallogik, die alle Modalinstanzen von T, B und 4 enthält.

Hier ist also die Beziehung zwischen den obigen vier Prinzipien und der Ununterscheidbarkeitsinterpretation:

Satz 1: Die Logik S5 ist die Logik der Klasse der spitzen Kripke-Modelle, die auf Rahmen mit Äquivalenzbeziehungen aufbauen. Dh (textbf {S5} = / Lambda _ { mathsf {EQ}}).

Was sagt uns dieser Satz in Bezug auf die Prinzipien des Wissens? In einer Richtung sagt es uns, dass man, wenn man die ununterscheidbare Interpretation akzeptiert, die Prinzipien K, T, B und 4 implizit als für das Wissen vernünftig akzeptiert hat. In der anderen Richtung heißt es, dass man eine Äquivalenzbeziehung verwenden muss, wenn man feststellt, dass S5 die geeignete Logik des Wissens ist und dass spitze Kripke-Modelle der richtige Weg sind, Wissen semantisch darzustellen. Ob man diese Beziehung jedoch als nicht unterscheidbar interpretieren sollte, ist eine Frage, über die die Logik schweigt.

Bei der Erörterung von Prinzipien für Wissen kann es sein, dass einige der vier oben genannten akzeptabel erscheinen, während andere dies nicht tun: Man kann der Akzeptanz von B und 4 nicht zustimmen, wenn man beispielsweise K und T akzeptiert. Beim Verständnis der Beziehung zwischen S5 und Äquivalenz Beziehungen ist eine feinkörnigere Perspektive von Vorteil: Satz 1 kann in kleinere Teile zerlegt werden, die den Beitrag der einzelnen Prinzipien K, T, 4 und B zur Äquivalenzanforderung widerspiegeln, d. h., dass die Beziehung gleichzeitig sein sollte reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Satz 2: Sei (F = (W, R)) ein Rahmen. Dann:

  • Alle modalen Instanzen von K sind in F gültig.
  • Alle modalen Instanzen von T sind in F gültig, wenn R reflexiv ist.
  • Alle modalen Instanzen von B sind in F gültig, wenn R symmetrisch ist.
  • Alle modalen Instanzen von 4 sind in F gültig, wenn R transitiv ist.

Es gibt eine Reihe von Erkenntnissen aus Satz 2. Erstens, wenn man irgendeine Art von Kripke-Modell verwenden möchte, um Wissen zu erfassen, muss man K akzeptieren. Wenn man einige Details überspringt, muss man tatsächlich die vollständige Logik K akzeptieren, wie dies ist die Logik der Klasse aller Kripke-Modelle (siehe z. B. Blackburn, de Rijke & Venema 2001).

Zweitens zeigt der Satz, dass es eine enge Beziehung zwischen den einzelnen epistemischen Prinzipien und den Eigenschaften der Beziehung gibt. Dies bedeutet wiederum, dass man sich der „Logik“in der epistemischen Logik im Allgemeinen von zwei Seiten aus Intuitionen über die Zugänglichkeitsbeziehung oder aus Intuitionen über epistemische Prinzipien nähern kann.

In der Literatur wurden mehrere normale modale logische Systeme vorgeschlagen, die schwächer als S5 sind. Hier spezifizieren wir die Logik durch die Menge ihrer Modalaxiome. Zum Beispiel ist die Logik K gegeben durch ({ text {K} }), während S5 gegeben ist durch ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }). Zur Festlegung der Nomenklatur enthält die folgende Tabelle eine Auswahl von Prinzipien aus der Literatur mit den von ihnen charakterisierten Rahmeneigenschaften, vgl. Aucher (2014) und Blackburn, de Rijke & Venema (2001) in der Zeile darunter. Die Rahmenbedingungen sind nicht alle einfach.

In Tabelle 1 wird der Index für (R_ {a}) weggelassen, um die Lesbarkeit zu erleichtern, ebenso wie der Bereich der Quantifizierung W, über den sich die Weltvariablen (x, y, z) erstrecken.

K.

(K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi))

Keine: Nicht anwendbar

D.

(K_ {a} varphi / rightarrow / widehat {K} _ {a} varphi)

Seriell: (forall x / existiert y, xRy).

T.

(K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

Reflexiv: (forall x, xRx).

4

(K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi)

Transitiv: (für alle x, y, z, / text {if} xRy / text {und} yRz / text {, dann} xRz).

B.

(varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Symmetrisch: (für alle x, y, / text {wenn} xRy / text {, dann} yRx).

5

(neg K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} neg K_ {a} varphi)

Euklidisch: (für alle x, y, z, / text {if} xR_ {a} y / text {und} xR_ {a} z / text {, dann} yRz).

.2

(widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Confluent: (forall x, y, / text {if } xRy / text {und} xRy ', / text {dann} existiert z, yRz / text {und} y'Rz).

.3

((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} psi) rightarrow (widehat {K} _ {a} (varphi / wedge / widehat {K}) _ {a} psi) vee / widehat {K} _ {a} (varphi / wedge / psi) vee / widehat {K} _ {a} (psi / wedge / widehat {K} _ {a } varphi)))

Keine Verzweigung nach rechts: (für alle x, y, z, / text {wenn} xRy / text {und} xRz, / text {dann} yRz / text {oder} y = z / text {oder} zRy)

.3.2

((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} psi) rightarrow K_ {a} (widehat {K} _ {a} varphi / vee / psi))

Semi-Euklidisch: (für alle x, y, z,) wenn (xRy) und (xRz), dann (zRx) oder (yRz).

.4

((varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi) rightarrow K_ {a} varphi)

Unbekannt für Autoren: Nicht zutreffend

Tabelle 1. Epistemische Prinzipien und ihre Rahmenbedingungen.

Das Hinzufügen epistemischer Prinzipien als Axiome zur grundlegenden minimalen normalen Modallogik K ergibt neue, normale Modallogiken. Eine Auswahl ist:

K. ({ text {K} })
T. ({ text {K}, / text {T} })
D. ({ text {K}, / text {D} })
KD4 ({ text {K}, / text {D}, / text {4} })
KD45 ({ text {K}, / text {D}, / text {4}, / text {5} })
S4 ({ text {K}, / text {T}, / text {4} })
S4.2 ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.2} })
S4.3 ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.3} })
S4.4 ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.4} })
S5 ({ text {K}, / text {T}, / text {5} })

Tabelle 2. Logiknamen und Axiome

Unterschiedliche axiomatische Spezifikationen können dieselbe Logik erzeugen. Beachten Sie beispielsweise, dass die axiomatische Spezifikation der Tabelle ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }) von S5 nicht mit der in der Definition vor Satz 1, () angegebenen übereinstimmt. { text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }). Es ist auch zu beachten, dass es mehr als eine Axiomatisierung von S5 gibt: die Axiome ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }), ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }), ({ text {K}, / text {D}, / text {B}, / text {4} }) und ({ text {K}, / text {D}, / text {B}, / text {5} }) geben alle den S5 anLogik (vgl. z. B. Chellas 1980). Eine häufig gesehene Variante ist ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {5} }). Es ist jedoch überflüssig, es hinzuzufügen, da alle seine Instanzen aus K, T und 5 bewiesen werden können. Da jedoch sowohl 4 als auch 5 wichtige epistemische Prinzipien erfassen (siehe Abschnitt 2.6), wird 4 manchmal aus Gründen der philosophischen Transparenz eingeschlossen. Für mehr Äquivalenzen zwischen Modallogiken siehe z. B. den Eintrag über Modallogik oder Chellas (1980) oder Blackburn, de Rijke und Venema (2001).

Logik kann stärker oder schwächer sein als die andere, und die Kenntnis der Rahmeneigenschaften ihrer Axiome kann uns helfen, ihre Beziehung zu verstehen. Da beispielsweise 4 von ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }) ableitbar ist, sind alle Sätze von S4 in S5 ableitbar. S5 ist also mindestens so stark wie S4. Tatsächlich ist S5 auch streng stärker: Es kann Dinge beweisen, die S4 nicht kann.

Dieser S5 kann sowohl durch ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }) als auch durch ({ text {K}, / axiomatisiert werden Text {T}, / Text {5} }) kann durch die Rahmeneigenschaften der Axiome gesehen werden: Jede reflexive und euklidische Beziehung (T und 5) ist eine Äquivalenzbeziehung (T, B und 4). Dies zeigt auch die Redundanz von 4: Wenn man eine reflexive und euklidische Beziehung angenommen hat, fügt man nichts Neues hinzu, um zusätzlich anzunehmen, dass sie transitiv ist. Im Allgemeinen ist ein Verständnis des Zusammenspiels zwischen relationalen Eigenschaften eine große Hilfe, um Beziehungen zwischen modalen Logiken zu erkennen. Wenn Sie beispielsweise feststellen, dass jede reflexive Beziehung auch seriell ist, bedeutet dies, dass alle Formeln, die für die Klasse der seriellen Modelle gültig sind, auch für die Klasse der reflexiven Modelle gültig sind. Daher ist jeder Satz von D ein Satz von T. Daher ist T mindestens so stark wie D (dh (textbf {D} subseteq / textbf {T})). Dass T auch streng stärker ist (nicht (textbf {T} subseteq / textbf {D})), kann gezeigt werden, indem ein serielles, nichtreflexives Modell gefunden wird, das einen Satz von T nicht erfüllt (zum Beispiel (K_ {a} p / rightarrow p)).

2.6 Grundsätze des Wissens und des Glaubens

Mit dem formalen Hintergrund der epistemischen Logik ist es einfach, den Rahmen leicht zu variieren, um dem Konzept des Glaubens Rechnung zu tragen. Kehren Sie zur Sprache (mathcal {L} _ {KB}) des Wissens und des Glaubens zurück:

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} psi / mid B_ {a} psi, / text {for} p / in / textit {Atom}.)

Um Wissens- und Glaubensformeln zusammen in spitzen Kripke-Modellen zu interpretieren, ist lediglich eine zusätzliche Beziehung zwischen möglichen Welten erforderlich:

Definition: Ein spitzes Kripke-Modell für (mathcal {L} _ {KB}) ist ein Tupel ((M, w) = (W, R_ {K}, R_ {B}, V, w)) wo

  • W ist eine nicht leere Menge möglicher Welten,
  • (R_ {K}) und (R_ {B}) sind binäre Beziehungen auf W,
  • (V / Doppelpunkt / Textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) ist eine Bewertung, und
  • (w / in W).

(R_ {K}) ist die Beziehung für den Wissensoperator und (R_ {B}) die Beziehung für den Glaubensoperator. Die Definition macht keine weiteren Annahmen über ihre Eigenschaften. In der folgenden Abbildung sehen Sie eine Abbildung, in der die Pfeile entsprechend der Beziehung, der sie entsprechen, gekennzeichnet sind. Die Reflexionsschleife bei (w_ {3}) ist eine Bezeichnung, die angibt, dass sie zu beiden Beziehungen gehört, dh ((w_ {3}, w_ {3}) in R_ {K}) und (() w_ {3}, w_ {3}) in R_ {B}).

Vier Kästchen mit der Bezeichnung w1 (enthält 'p'), w2 (enthält 'nicht p'), w3 (enthält 'p') und w4 (enthält 'nicht p'). w1 wird hervorgehoben und ein Pfeil mit der Bezeichnung 'K' geht von dort zu w2. w2 hat Pfeile mit der Bezeichnung 'B', die auf w3 und w4 zeigen. w3 hat einen Pfeil mit der Bezeichnung 'K, B', der zurück zu ihm führt
Vier Kästchen mit der Bezeichnung w1 (enthält 'p'), w2 (enthält 'nicht p'), w3 (enthält 'p') und w4 (enthält 'nicht p'). w1 wird hervorgehoben und ein Pfeil mit der Bezeichnung 'K' geht von dort zu w2. w2 hat Pfeile mit der Bezeichnung 'B', die auf w3 und w4 zeigen. w3 hat einen Pfeil mit der Bezeichnung 'K, B', der zurück zu ihm führt

Das Zufriedenheitsverhältnis ist wie oben definiert, jedoch mit den offensichtlichen Änderungen für Wissen und Glauben:

((M, w) vDash K_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) für alle (w' / in W), so dass (wR_ {K. } w ').

((M, w) vDash B_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) für alle (w' / in W), so dass (wR_ {B. } w ').

Die Ununterscheidbarkeitsinterpretation stellt sehr hohe Anforderungen an die Zugänglichkeitsrelation für Wissen. Diese wurden nun entfernt, ebenso wie die Verpflichtung zu den Prinzipien T, B, D, 4 und 5. Wenn wir Kripke-Modelle als grundlegende Semantik betrachten, sind wir immer noch K verpflichtet, obwohl dieses Prinzip nicht unproblematisch ist, wie wir weiter unten sehen werden unsere Diskussion über das Problem der logischen Allwissenheit.

Von den Prinzipien aus Tabelle 1 wurden T, D, B, 4 und 5 in der Literatur zur epistemischen Logik sowohl als Prinzipien für Wissen als auch als Prinzipien für Glauben am ausführlichsten diskutiert. Das Prinzip T für Wissen

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

wird allgemein akzeptiert. Wissen wird allgemein als wahr angesehen, nur wahrer Satz kann bekannt sein. Zum Beispiel Hintikka (1962) und Fagin et al. (1995) ist das Versagen von T für den Glauben der entscheidende Unterschied zwischen den beiden Begriffen.

Obwohl der Glaube nicht allgemein als wahr angesehen wird, wird der Glaube typischerweise als konsistent angesehen. Das heißt, Agenten glauben niemals an den Widerspruch, dh an eine Formel, die kurz mit ((p / wedge / neg p)) oder (bot) äquivalent ist. Dass glaubt, konsistent sein sollte, wird dann vom Prinzip erfasst

) neg B_ {a} bot.)

Das Prinzip (neg B_ {a} bot) entspricht bei Kripke-Modellen dem Prinzip D (B_ {a} varphi / rightarrow / widehat {B} _ {a} varphi). Daher erfordert die Gültigkeit von (neg B_ {a} bot) serielle Frames. Erleben Sie z. B. sein Versagen in (w_ {1}) oben: Da es keine Welten gibt, auf die über (R_ {B}) zugegriffen werden kann, erfüllen alle zugänglichen Welten (bot). Daher erfüllt (w_ {1}) (B_ {a} bot) und verletzt die Konsistenz. Beachten Sie auch, dass (neg B_ {a} bot) möglicherweise in (widehat {B} _ {a} top) umgeschrieben wird, was in einer Welt der Fall ist, nur für den Fall, dass eine Welt zugänglich ist durch (R_ {B}). Ihre Gültigkeit sichert somit die Serialität.

Beachten Sie, dass die Richtigkeit des Wissens seine Konsistenz gewährleistet: Jeder reflexive Rahmen ist automatisch seriell. Das Akzeptieren von (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) impliziert daher das Akzeptieren von (neg K_ {a} bot).

Von den Prinzipien D, 4 und 5 haben die beiden letzteren sowohl für das Wissen als auch für den Glauben die größte Aufmerksamkeit erhalten. Sie werden allgemein als Regelung des prinzipiellen Zugangs zu eigenen mentalen Zuständen interpretiert. Die 4 Prinzipien

) begin {align} K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi \\ B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} B_ {a} varphi \\ / end {align})

werden oft als Prinzipien der positiven Selbstbeobachtung oder zur Kenntnisnahme als "KK" -Prinzip bezeichnet. Beide Prinzipien werden beispielsweise von Hintikka (1962) aus Gründen, die sich von der Selbstbeobachtung unterscheiden, als akzeptabel angesehen. Er argumentiert basierend auf einer autoepistemischen Analyse des Wissens unter Verwendung einer nicht-kripkischen Semantik möglicher Welten, die als Modellsysteme bezeichnet wird. Hintikka ist der Ansicht, dass ein Agent, wenn er sich verpflichtet, (varphi) zu kennen, sich dazu verpflichtet, dieselbe Haltung beizubehalten, unabhängig davon, auf welche neuen Informationen der Agent in Zukunft stoßen wird. Dies bedeutet, dass in allen epistemischen Alternativen des Agenten für Hintikka alle Modellsätze (Teilbeschreibungen möglicher Welten), in denen der Agent mindestens so viel weiß, wie er jetzt tut, der Agent noch (varphi) kennt. Da (K_ {a} varphi) somit in allen epistemischen Alternativen des Agenten enthalten ist, kommt Hintikka zu dem Schluss, dass (K_ {a} K_ {a} varphi). Ebenso befürwortet Hintikka 4 für den Glauben, aber Lenzen erhebt Einwände (Lenzen 1978: Kap. 4).

Williamson spricht sich gegen die allgemeine Akzeptanz des Prinzips (Williamson 2000: Kap. 5) für ein Wissenskonzept aus, das auf leicht ungenauen Beobachtungen basiert, einem sogenannten Margin-of-Error-Prinzip (siehe z. B. Aucher 2014 für eine kurze Zusammenfassung).

Die 5 Prinzipien

) begin {align} neg K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} neg K_ {a} varphi \\ / neg B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} neg B_ {a} varphi \\ / end {align})

werden oft als Prinzipien der negativen Selbstbeobachtung bezeichnet. Negative Selbstbeobachtung ist ziemlich kontrovers, da sie sehr hohe Anforderungen an Wissen und Glauben stellt. Das Schema 5 kann als Annahme einer geschlossenen Welt angesehen werden (Hendricks 2005): Der Agent hat einen vollständigen Überblick über alle möglichen Welten und eigene Informationen. Wenn (neg / psi) als möglich angesehen wird ((widehat {K} _ {a} neg / psi), dh (neg K_ {a} psi)), dann der Agent weiß, dass dies als möglich angesehen wird ((K_ {a} neg K_ {a} psi)). Eine solche Annahme einer geschlossenen Welt ist natürlich, wenn hyperrationale Agenten konstruiert werden, z. B. in der Informatik oder in der Spieltheorie, bei denen angenommen wird, dass die Agenten bei Entscheidungen so hart wie möglich über ihre eigenen Informationen nachdenken.

Gegen 5 argumentiert Hintikka (1962) mit seiner Konzeption epistemischer Alternativen. Nachdem T für Wissen akzeptiert wurde, steht oder fällt 5 unter der Annahme einer symmetrischen Zugänglichkeitsrelation. Hintikka argumentiert jedoch, dass die Barrierefreiheitsrelation nicht symmetrisch ist: Wenn der Agent eine bestimmte Menge an Informationen im Modellsatz (s_ {1}) besitzt, dann im Modellsatz (s_ {2}), in dem der Agent etwas gelernt hat mehr wird eine epistemische Alternative zu (s_ {1}) sein. Aber (s_ {1}) ist keine epistemische Alternative zu (s_ {2}), da der Agent in (s_ {1}) hypothetisch nicht so viel weiß wie in (s_ {2}). Daher ist die Beziehung nicht symmetrisch, so dass 5 nach Hintikkas Ansicht kein Prinzip des Wissens ist.

Angesichts der nicht standardmäßigen Semantik von Hintikka ist es etwas schwierig festzustellen, ob er eine normale Modallogik als Logik des Wissens und des Glaubens akzeptieren würde, aber wenn ja, dann wären S4 und KD4 die engsten Kandidaten (siehe Hendricks & Rendsvig 2018) für diesen Punkt). Im Gegensatz dazu argumentierte von Kutschera für S4.4 (1976), Lenzen schlug S4.2 (1978) vor, van der Hoek argumentierte für S4.3 (1993) und Fagin, Halpern, Moses und Vardi (1995) und Viele andere verwenden S5 für Wissen und KD45 für Glauben.

Über die Prinzipien des Wissens und die Prinzipien des Glaubens hinaus kann man auch Prinzipien betrachten, die das Zusammenspiel von Wissen und Glauben regeln. Drei Prinzipien von Interesse sind

) begin {align} tag * {KB1} K_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} varphi \\ / tag * {KB2} B_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} B_ {a} varphi \\ / tag * {KB3} B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

Die Prinzipien KB1 und KB2 wurden von Hintikka eingeführt, der beide Hintikka (1962) unterstützt und feststellt, dass Platon auch in Theatetus KB1 verpflichtet ist. Das erste Prinzip, KB1, erfasst die Intuition, dass Wissen eine stärkere Vorstellung als Glaube ist. Das zweite wie 4 und 5 fängt die Idee ein, dass man privilegierten Zugang zu seinen eigenen Überzeugungen hat. Der dritte, der aus Lenzen (1978) stammt, fängt die Vorstellung ein, dass Überzeugungen mit einer Art Überzeugung vertreten werden: Wenn etwas geglaubt wird, wird angenommen, dass es bekannt ist.

Obwohl die Interaktionsprinzipien KB1KB3 für sich genommen unschuldig aussehen mögen, können sie in Kombination mit spezifischen Wissens- und Glaubenslogiken zu kontraintuitiven Schlussfolgerungen führen. Erstens zeigt Voorbraak (1993), dass die Kombination von 5 für Wissen und D für Glauben mit KB1 dies impliziert

[B_ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} varphi)

ist ein Satz der resultierenden Logik. Unter der Annahme, dass Wissen wahr ist, beinhaltet dieser Satz, dass Agenten nicht glauben können, etwas zu wissen, was zufällig falsch ist.

Wenn zusätzlich KB3 hinzugefügt wird, brechen die Begriffe Wissen und Glauben zusammen. Das heißt, es kann bewiesen werden, dass (B_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} varphi), was in Kombination mit KB1 dies mit sich bringt

[B_ {a} varphi / leftrightarrow K_ {a} varphi.)

Daher sind die beiden Begriffe zu einem zusammengebrochen. Dies wurde 1986 von Kraus und Lehmann festgestellt.

Wenn man nicht daran interessiert ist, dass Wissen und Glaube zusammenbrechen, muss man etwas aufgeben: Man kann nicht beide 5 für Wissen, D für Glauben und KB1 und KB3 für ihre Interaktion haben. Auch hier können Ergebnisse bezüglich der Korrespondenz zwischen Prinzipien und Beziehungseigenschaften hilfreich sein: 1993 zeigte van der Hoek auf der Grundlage einer semantischen Analyse, dass dort, wo die vier Prinzipien gemeinsam für den Zusammenbruch ausreichen, auch keine Teilmenge davon vorhanden ist. Wenn Sie ein Prinzip aufgeben, wird der Zusammenbruch beseitigt. Es reicht auch aus, KB1 nur für nichtmodale Formeln zu schwächen, um einen Zusammenbruch zu vermeiden (vgl. Halpern 1996).

Weitere Informationen zu epistemischen Interaktionsprinzipien finden Sie in den Prinzipien.2,.3,.3.2. und.4 und Beziehungen zu sogenannten bedingten Überzeugungen, siehe Aucher (2014). Eine Einführung in bedingte Überzeugungen und Beziehungen zu verschiedenen anderen Arten von Wissen aus der philosophischen Literatur finden Sie in Baltag und Smets (2008). Letzteres beinhaltet auch die Diskussion über die Interdefinierbarkeit verschiedener Begriffe, ebenso wie Halpern, Samet und Segev (2009) für Wissen und (nicht bedingten) Glauben.

3. Wissen in Gruppen

Wir Menschen sind mit den epistemischen Zuständen anderer Agenten beschäftigt. Im normalen Leben denken wir mit unterschiedlichem Erfolg darüber nach, was andere wissen. Wir sind besonders besorgt darüber, was andere über uns wissen, und oft speziell darüber, was sie über das wissen, was wir wissen.

Weiß sie, dass ich weiß, wo sie den Schatz vergraben hat?

Weiß sie, dass ich weiß, dass sie es weiß?

Und so weiter.

Die epistemische Logik kann interessante epistemische Merkmale von Systemen aufdecken, an denen Gruppen von Agenten beteiligt sind. In einigen Fällen hängen beispielsweise aufkommende soziale Phänomene davon ab, dass Agenten in besonderer Weise über das Wissen und die Überzeugungen anderer Agenten nachdenken. Wie wir gesehen haben, galten traditionelle Systeme der epistemischen Logik nur für Fälle mit nur einem Agenten. Sie können jedoch relativ einfach auf Gruppen oder Multiagentensysteme erweitert werden.

Wie David Lewis in seinem Buch Convention (1969) feststellte, hängen viele herausragende Merkmale des sozialen Lebens von Agenten ab, die davon ausgehen, dass die Regeln einiger Praktiken allgemein bekannt sind. Zum Beispiel wissen die Fahrer, dass eine rote Ampel anzeigt, dass sie an einer Kreuzung anhalten sollen. Damit die Konvention für Ampeln überhaupt vorhanden ist, müssen die Fahrer zunächst wissen, dass andere Fahrer wissen, dass Rot Stopp bedeutet. Darüber hinaus müssen die Fahrer wissen, dass jeder weiß, dass jeder das weiß…. Die herkömmliche Rolle von Ampeln beruht darauf, dass alle Fahrer wissen, dass alle Fahrer die Regel kennen, dass die Regel allgemein bekannt ist.

Eine Vielzahl von Normen, sozialen und sprachlichen Praktiken, Agenteninteraktionen und Spielen setzen allgemeines Wissen voraus, das zuerst von Aumann (1976) und mit den frühesten epistemischen logischen Behandlungen von Lehmann (1984) sowie von Halpern und Moses (1984) formalisiert wurde. Um zu sehen, wie die epistemische Logik diese Phänomene beleuchtet, muss etwas mehr Formalismus eingeführt werden. Nach der Standardbehandlung (siehe z. B. Fagin et al. 1995) können wir die Sprache der Aussagenlogik mit n Wissensoperatoren syntaktisch erweitern, einen für jeden Agenten, der an der betrachteten Gruppe von Agenten beteiligt ist. Der Hauptunterschied zwischen der für eine Mono-Agent- und eine Multi-Agent-Semantik angegebenen Semantik besteht ungefähr darin, dass n Zugänglichkeitsrelationen eingeführt werden. Ein Modalsystem für n Agenten wird erhalten, indem n Modallogiken zusammengefügt werden, wobei der Einfachheit halber angenommen werden kann, dass die Agenten in dem Sinne homogen sind, dass sie alle durch dasselbe logische System beschrieben werden können. Eine epistemische Logik für n Agenten besteht aus n Kopien einer bestimmten Modallogik. In einer solch erweiterten epistemischen Logik kann ausgedrückt werden, dass ein Agent in der Gruppe eine bestimmte Tatsache kennt, dass ein Agent weiß, dass ein anderer Agent eine Tatsache kennt usw. Es ist möglich, die Logik noch weiter zu entwickeln: Nicht nur ein Agent kann das wissen Ein anderer Agent kennt eine Tatsache, aber alle kennen diese Tatsache möglicherweise gleichzeitig. In einer solch erweiterten epistemischen Logik kann ausgedrückt werden, dass ein Agent in der Gruppe eine bestimmte Tatsache kennt, dass ein Agent weiß, dass ein anderer Agent eine Tatsache kennt usw. Es ist möglich, die Logik noch weiter zu entwickeln: Nicht nur ein Agent kann das wissen Ein anderer Agent kennt eine Tatsache, aber alle kennen diese Tatsache möglicherweise gleichzeitig. In einer solch erweiterten epistemischen Logik kann ausgedrückt werden, dass ein Agent in der Gruppe eine bestimmte Tatsache kennt, dass ein Agent weiß, dass ein anderer Agent eine Tatsache kennt usw. Es ist möglich, die Logik noch weiter zu entwickeln: Nicht nur ein Agent kann das wissen Ein anderer Agent kennt eine Tatsache, aber alle kennen diese Tatsache möglicherweise gleichzeitig.

3.1 Multi-Agent-Sprachen und -Modelle

Um das Wissen für eine Menge (mathcal {A}) von n Agenten darzustellen, legen wir zunächst eine Sprache fest. Sei (mathcal {L} _ {Kn}) durch die Backus-Naur-Form gegeben

) varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {i} varphi \, / text {für} p / in / textit {Atom}, i / in / mathcal {A}.)

Um das Wissen für alle n Agenten gemeinsam in spitzen Kripke-Modellen darzustellen, müssen lediglich entsprechend viele Beziehungen hinzugefügt werden:

Definition: Ein spitzes Kripke-Modell für (mathcal {L} _ {Kn}) ist ein Tupel ((M, w) = (W, {R_ {i} } _ {i / in / mathcal { A}}, V, w)) wo

  • W ist eine nicht leere Menge möglicher Welten,
  • Für jedes (i / in / mathcal {A}) ist (R_ {i}) eine binäre Beziehung auf W,
  • (V / Doppelpunkt / Textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) ist eine Bewertung, und
  • (w / in W).

Um auch Überzeugungen einzubeziehen, wenden Sie einfach den gleichen Schritt wie im Fall eines einzelnen Agenten an: Erweitern Sie die Sprache und lassen Sie für jeden Agenten zwei Beziehungen bestehen.

Die Definition verwendet eine Beziehungsfamilie ({R_ {i} } _ {i / in / mathcal {A}}). In der Literatur wird dasselbe als ((W, R_ {i}, V, w) _ {i / in / mathcal {A}}) bezeichnet. Alternativ wird R als eine Funktion angesehen, die Agenten an Beziehungen sendet, dh (R: / mathcal {A / rightarrow} mathcal {P} (W / times W)). Dann ist für jedes (i / in / mathcal {A}) (R (i)) eine Beziehung auf W, die oft als (R_ {i}) bezeichnet wird. Dies sind stilistische Entscheidungen.

Wenn nur ein einziger Agent betrachtet wird, ist es normalerweise nicht relevant, mehr Welten in W aufzunehmen, als es mögliche Bewertungen von Atomen gibt. In Fällen mit mehreren Agenten ist dies nicht der Fall: Um die verschiedenen Formen des verfügbaren Wissens höherer Ordnung auszudrücken, werden viele Kopien „derselben“Welt benötigt. Lassen Sie uns ein Beispiel für (mathcal {A} = {a, b }), (textit {Atom} = {p }) und jedes (R_ {i}, i / in) geben mathcal {A},) eine Äquivalenzbeziehung. Stellen wir dar, dass sowohl a als auch b p kennen, aber b nicht weiß, dass a p kennt, dh (K_ {a} p / Keil K_ {b} p / Keil / neg K_ {b} K_ {a} p). Dann brauchen wir drei Welten:

Drei Kästchen mit der Bezeichnung w1 (enthält 'p'), w2 (enthält 'p') und w3 (enthält 'nicht p'). Jedes Feld ist mit einem Pfeil mit der Bezeichnung "a, b" versehen. w1 ist hervorgehoben und durch einen Doppelpfeil mit der Bezeichnung 'b' mit w2 verbunden. w2 ist durch einen Doppelpfeil mit der Bezeichnung 'a' mit w3 verbunden
Drei Kästchen mit der Bezeichnung w1 (enthält 'p'), w2 (enthält 'p') und w3 (enthält 'nicht p'). Jedes Feld ist mit einem Pfeil mit der Bezeichnung "a, b" versehen. w1 ist hervorgehoben und durch einen Doppelpfeil mit der Bezeichnung 'b' mit w2 verbunden. w2 ist durch einen Doppelpfeil mit der Bezeichnung 'a' mit w3 verbunden

Wenn wir versuchen, (w_ {1}) die Rolle von (w_ {2}) spielen zu lassen, würde a das Wissen in p verlieren: Beide p-Welten werden benötigt. Wenn angenommen wird, dass W eine feste, endliche Größe hat, gibt es im Allgemeinen eine Informationsformel höherer Ordnung, die darin nicht erfüllt werden kann.

3.2 Vorstellungen von Gruppenwissen

Multiagentensysteme sind aus anderen Gründen interessant, als um Informationen höherer Ordnung darzustellen. Die Informationen der einzelnen Agenten können auch zusammengefasst werden, um das, was die Agenten gemeinsam wissen, als Gruppenwissen zu erfassen (siehe Baltag, Boddy & Smets 2018 für eine aktuelle Diskussion). Ein Standardbegriff ist, dass dieser Stil verteiltes Wissen ist: Das Wissen, über das die Gruppe verfügen würde, wenn die Agenten ihr gesamtes individuelles Wissen teilen würden. Um dies darzustellen, erweitern Sie die Sprache (mathcal {L} _ {Kn}) mit Operatoren

[D_ {G} text {für} G / subseteq / mathcal {A},)

um (D_ {G} varphi) zu einer wohlgeformten Formel zu machen. Wenn (G / subseteq / mathcal {A}) eine Gruppe von Agenten ist, lautet die Formel (D_ {G} varphi), dass es sich um verteiltes Wissen in der Gruppe G handelt, das (varphi).

Um (D_ {G} varphi) auszuwerten, definieren wir eine neue Beziehung zu den bereits im Modell vorhandenen. Die Idee hinter der Definition ist, dass wenn jemand eine Welt als epistemische Alternative eliminiert hat, dies auch für die Gruppe der Fall ist. Definieren Sie die Beziehung als Schnittpunkt der Beziehungen der einzelnen Agenten:

[R_ {G} ^ {D} = / bigcap_ {i / in G} R_ {i})

Im Drei-Zustands-Modell enthält (R_ {G} ^ {D}) nur die drei Schleifen. Verwenden Sie zum Auswerten einer verteilten Wissensformel dasselbe Formular wie für andere Modaloperatoren:

[(M, w) vDash D_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {für alle} w' / in W / text {so dass} wR_ {G. } ^ {D} w '.)

Es kann sein, dass ein sehr wissender Agent alles weiß, was in G verteiltes Wissen ist, aber es ist nicht garantiert. Um zu erfassen, dass alle Agenten (varphi) kennen, können wir die Konjunktion der Formeln (K_ {i} varphi) für (in / mathcal {A}) verwenden, dh (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi). Dies ist eine genau definierte Formel, wenn (mathcal {A}) endlich ist (was normalerweise der Fall ist). Wenn (mathcal {A}) nicht endlich ist, dann ist (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi) keine Formel in (mathcal {L} _ {Kn}), da es nur endliche Konjunktionen hat. Als Abkürzung für (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi) ist es Standard, den bekannten Operator (E_ {G}) einzuführen:

[E_ {G} varphi: = / bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi.)

Im Drei-Welt-Modell (K_ {a} p / Keil K_ {b} p), also (E _ { {a, b }} p).

Dass jeder etwas weiß, bedeutet nicht, dass dieses Wissen zwischen den Mitgliedern der Gruppe geteilt wird. Das Drei-Welt-Modell veranschaulicht dies: Obwohl (E _ { {a, b }} p), ist es auch der Fall, dass (neg K_ {b} E _ { {a, b }} p).

Um zu erfassen, dass es in der Gruppe keine Unsicherheit über (varphi) oder eine Unsicherheit höherer Ordnung darüber gibt, dass (varphi) allen Agenten bekannt ist, gibt es keine Formel in der Sprache (mathcal {L} _ { Kn}) ist genug. Betrachten Sie die Formel

[E_ {G} ^ {k} varphi)

Dabei steht (E_ {G} ^ {k}) für k Iterationen des Operators (E_ {G}). Dann wird für keine natürliche Zahl k die Formel (E_ {G} ^ {k} varphi) ausreichen: Es könnte der Fall sein, dass b es nicht weiß! Um diese Situation zu korrigieren, könnte man versuchen

) bigwedge_ {k / in / mathbb {N}} E_ {G} ^ {k} varphi)

Dies ist jedoch keine Formel, da (mathcal {L} _ {Kn}) nur endliche Konjunktionen enthält.

Obwohl der Operator (E_ {G}) in der Sprache (mathcal {L} _ {Kn}) definierbar ist, ist dies daher kein geeigneter Begriff des Allgemeinwissens. Dazu müssen wir erneut eine neue Beziehung in unserem Modell definieren. Dieses Mal sind wir daran interessiert zu erfassen, dass niemand (varphi) irgendwo epistemisch für möglich hält. Um die Beziehung aufzubauen, nehmen wir daher zuerst die Vereinigung der Beziehungen aller Agenten in G, aber dies reicht nicht aus: Um die standardmäßige modale semantische Klausel zu verwenden, müssen wir auch in der Lage sein, alle Welten in dieser Beziehung in zu erreichen ein einziger Schritt. Daher lassen Sie

[R_ {G} ^ {C}: = / left (bigcup_ {i / in G} R_ {i} right) ^ {*})

Dabei ist ((cdotp) ^ {*}) die Operation des transitiven Abschlusses. Wenn R eine Beziehung ist, dann ist ((R) ^ {*}) R plus alle fehlenden Paare, um R zu einer transitiven Beziehung zu machen. Betrachten Sie das Drei-Welt-Modell: Mit der Beziehung (bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}) können wir (w_ {3}) von (w_ {1} aus erreichen)) in zwei Schritten bei (w_ {2}) vorbeischauen. Mit ((bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}) ^ {*}) ist (w_ {3}) in einem Schritt erreichbar: Über die neu hinzugefügte transitive Verbindung von (w_ {1}) bis (w_ {3}).

Um allgemein bekannt zu sein, erweitern Sie die Backus-Naur-Form von (mathcal {L} _ {Kn}) mit Operatoren

[C_ {G} text {für} G / subseteq / mathcal {A},)

um (C_ {G} varphi) zu einer wohlgeformten Formel zu machen. Bewerten Sie solche Formeln durch die semantische Klausel

[(M, w) vDash C_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {für alle} w' / in W / text {so dass} wR_ {G. } ^ {C} w '.)

Das Variieren der Eigenschaften der Zugänglichkeitsrelationen (R_ {1}, R_ {2}, / ldots, R_ {n}), wie oben beschrieben, führt zu unterschiedlichen epistemischen Logiken. Zum Beispiel wird das System K mit allgemeinem Wissen von allen Rahmen bestimmt, während das System S4 mit allgemeinem Wissen von allen reflexiven und transitiven Rahmen bestimmt wird. Ähnliche Ergebnisse können für die verbleibenden epistemischen Logiken erhalten werden (Fagin et al. 1995). Weitere Informationen finden Sie im Eintrag zu allgemeinem Wissen.

4. Logische Allwissenheit

Die Hauptbeschwerde gegen den Ansatz epistemischer Logiker ist, dass er sich einem übermäßig idealisierten Bild menschlichen Denkens verschrieben hat. Kritiker haben befürchtet, dass die relationale Semantik der epistemischen Logik eine Schließungseigenschaft für das Wissen eines Agenten festlegt, das angesichts der tatsächlichen menschlichen Argumentationsfähigkeiten unplausibel stark ist. Die Verschlusseigenschaften führen zu dem, was als Problem der logischen Allwissenheit bezeichnet wird:

Immer wenn ein Agent c alle Formeln in einer Menge (Gamma) kennt und A logisch aus (Gamma) folgt, kennt c auch A.

Insbesondere kennt c alle Sätze (Let (Gamma = / Emptyset)) und kennt alle logischen Konsequenzen jeder Formel, die der Agent kennt (Let (Gamma) besteht aus einer einzigen Formel). Hier besteht die Sorge, dass endliche Agenten durch Grenzen ihrer kognitiven Fähigkeiten und Denkfähigkeiten eingeschränkt werden. Der Bericht über Wissen und Glauben, dem die epistemische Logik verpflichtet zu sein scheint, beinhaltet übermenschliche Fähigkeiten wie das Kennen aller Tautologien. Die Sorge ist daher, dass die epistemische Logik einfach nicht dazu geeignet ist, tatsächliches Wissen und Glauben zu erfassen, wie diese Begriffe im normalen menschlichen Leben vorkommen.

Hintikka erkannte eine Diskrepanz zwischen den Regeln der epistemischen Logik und der Art und Weise, wie das Verb „wissen“normalerweise bereits auf den frühen Seiten von Wissen und Glauben verwendet wird. Er wies darauf hin

Es ist eindeutig unzulässig, "er weiß, dass q" aus "er weiß, dass p" nur auf der Grundlage zu schließen, dass q logisch aus p folgt, da die betreffende Person möglicherweise nicht erkennt, dass p q beinhaltet, insbesondere wenn p und q sind relativ komplizierte Aussagen. (1962: 30-31)

Hintikkas erste Reaktion auf das, was als Problem der logischen Allwissenheit bezeichnet wurde, bestand darin, die Diskrepanz zwischen der gewöhnlichen Verwendung von Begriffen wie „Konsistenz“und formalen Behandlungen des Wissens als Hinweis auf ein Problem mit unserer gewöhnlichen Terminologie zu betrachten. Wenn eine Person die Axiome einer mathematischen Theorie kennt, aber nicht in der Lage ist, die entfernten Konsequenzen der Theorie darzulegen, bestritt Hintikka, dass es angemessen ist, diese Person als inkonsistent zu bezeichnen. In gewöhnlichen menschlichen Angelegenheiten, so Hintikka, habe die Anklage der Inkonsistenz, wenn sie an einen Agenten gerichtet sei, die Konnotation, irrational oder unehrlich zu sein. Aus Hintikkas Sicht sollten wir daher einen anderen Begriff wählen, um die Situation von jemandem zu erfassen, der rational und überzeugend oder korrigierbar ist, aber nicht logisch allwissend. Nicht allwissend,rationale Agenten können in der Lage sein zu sagen, dass "ich weiß, dass p, aber ich weiß nicht, ob q", selbst wenn q p kann. Er schlägt dann vor, dass q angesichts des Wissens des Agenten als vertretbar angesehen werden sollte und die Verweigerung von q als nicht vertretbar angesehen werden sollte. Diese Wahl der Terminologie wurde insofern kritisiert, als sie das Pejorativ mit einer Reihe von Aussagen nicht vertretbar macht, obwohl der Fehler tatsächlich in den kognitiven Fähigkeiten des Agenten liegt (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).obwohl der Fehler tatsächlich in den kognitiven Fähigkeiten des Agenten liegt (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).obwohl der Fehler tatsächlich in den kognitiven Fähigkeiten des Agenten liegt (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).

Hintikkas frühe epistemische Logik kann als eine Möglichkeit verstanden werden, darüber nachzudenken, was im Wissen eines Agenten impliziert ist, selbst in Fällen, in denen der Agent selbst nicht in der Lage ist, zu bestimmen, was implizit ist. Ein solcher Ansatz könnte übermäßig idealisiert werden, und seine Relevanz für das Verständnis der epistemischen Umstände des Menschen kann aus diesen Gründen in Frage gestellt werden.

Nur wenige Philosophen waren zufrieden mit Hintikkas Versuch, unsere gewöhnliche Verwendung des Begriffs „konsequent“zu überarbeiten, wie er ihn in Wissen und Glauben darstellte. Er und andere boten jedoch bald populärere Möglichkeiten, mit logischer Allwissenheit umzugehen. In den 1970er Jahren führten Antworten auf das Problem der logischen Allwissenheit semantische Entitäten ein, die erklären, warum der Agent zu sein scheint, aber tatsächlich nicht wirklich der logischen Allwissenheit schuldig ist. Hintikka nannte diese Entitäten „unmögliche mögliche Welten“(1979; siehe auch den Eintrag über unmögliche Welten und Jago 2014). Die Grundidee ist, dass ein Agent fälschlicherweise zu den Welten zählt, die seinem Wissen entsprechen, wobei einige Welten logische Widersprüche enthalten. Der Fehler ist einfach ein Produkt der begrenzten Ressourcen des Agenten. Der Agent ist möglicherweise nicht in der Lage, den Widerspruch zu erkennen, und zählt sie fälschlicherweise als echte Möglichkeiten. In mancher Hinsicht kann dieser Ansatz als Erweiterung der oben erwähnten Antwort auf logische Allwissenheit verstanden werden, die Hintikka bereits in Wissen und Glauben skizziert hatte.

In diesem Sinne werden Entitäten, die als „scheinbar mögliche“Welten bezeichnet werden, von Rantala (1975) in seiner Urnenmodellanalyse der logischen Allwissenheit eingeführt. Das Zulassen unmöglicher möglicher Welten oder scheinbar möglicher Welten, in denen die semantische Bewertung der Formeln bis zu einem gewissen Grad willkürlich ist, bietet eine Möglichkeit, den Anschein logischer Allwissenheit weniger bedrohlich zu machen. Schließlich wird der Agent unter realistischen Gesichtspunkten der epistemischen Entscheidungsfreiheit wahrscheinlich (wenn auch versehentlich) Welten berücksichtigen, in denen die Gesetze der Logik nicht gelten. Da keine wirklichen epistemischen Prinzipien allgemein genug sind, um unmögliche und scheinbar mögliche Welten zu erfassen, müssen einige Bedingungen auf epistemische Modelle angewendet werden, so dass sie mit epistemischen Prinzipien übereinstimmen (zur Kritik dieses Ansatzes siehe Jago 2007: 336-337).

Alternativ zum Entwerfen von Logiken, in denen die Wissensoperatoren keine logische Allwissenheit aufweisen, bietet die Bewusstseinslogik eine Alternative: Ändern Sie die Interpretation von (K_ {a} varphi) von "a weiß das (varphi)" in "a weiß implizit, dass (varphi)”und explizites Wissen, dass (varphi) implizites Wissen ist, dass (varphi) und Bewusstsein für (varphi). Wenn das Bewusstsein nicht unter logischen Konsequenzen geschlossen wird, ermöglicht ein solcher Schritt die Vorstellung von explizitem Wissen, das nicht logisch allwissend ist. Da Agenten weder ihr implizites Wissen berechnen müssen noch für die Beantwortung von Fragen verantwortlich gemacht werden können, ist logische Allwissenheit nur für explizites Wissen problematisch, so dass das Problem der logischen Allwissenheit abgewendet wird. Obwohl logische Allwissenheit eine erkenntnistheoretische Bedingung für implizites Wissen ist,Der Agent selbst kann diesen Zustand möglicherweise tatsächlich nicht erkennen. Weitere Informationen zur Bewusstseinslogik finden Sie beispielsweise in den wegweisenden Übersichten von Fagin & Halpern (1987) oder Velazquez-Quesada (2011) und Schipper (2015).

Die Debatten über die verschiedenen Arten der Idealisierung in der epistemischen Logik dauern sowohl im philosophischen als auch im interdisziplinären Kontext an.

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Andere Internetquellen

  • Hintikkas Welt, ein grafisches, pädagogisches Werkzeug zum Erlernen der epistemischen Logik, des Denkens höherer Ordnung und der Wissensdynamik.
  • Modal Logic Playground, eine grafische Oberfläche zum Zeichnen und Bewerten von Formeln der modalen Aussagenlogik.
  • Hendricks, Vincent und John Symons, "Epistemic Logic", Stanford Encyclopedia of Philosophy (Ausgabe Frühjahr 2019), Edward N. Zalta (Hrsg.), URL = . [Dies war der vorherige Eintrag zu diesem Thema in der Stanford Encyclopedia of Philosophy - siehe Versionsgeschichte.]

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