Relevanzlogik

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-05-24 11:17

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Relevanzlogik

Erstveröffentlichung Mi 17. Juni 1998; inhaltliche Überarbeitung Montag, 26. März 2012

Relevanzlogiken sind nicht klassische Logiken. Diese Systeme, die in Großbritannien und Australasien als "relevante Logik" bezeichnet werden, wurden entwickelt, um die Paradoxien von Material und strengen Implikationen zu vermeiden. Diese sogenannten Paradoxien sind gültige Schlussfolgerungen, die sich aus den Definitionen von Material und strikter Implikation ergeben, von einigen jedoch als problematisch angesehen werden.

Zum Beispiel ist die materielle Implikation (p → q) wahr, wenn p falsch ist oder q wahr ist - dh (¬ p ∨ q). Wenn also p wahr ist, dann ist die materielle Implikation wahr, wenn q wahr ist. Zu den Paradoxien der materiellen Implikation gehören die folgenden:

• p → (q → p).
• ¬ p → (p → q).
• (p → q) ∨ (q → r).

Der erste behauptet, dass jeder Satz einen wahren impliziert; das zweite, dass ein falscher Satz jeden Satz impliziert, und das dritte, dass für drei beliebige Sätze entweder der erste den zweiten oder der zweite den dritten impliziert.

In ähnlicher Weise ist die strikte Implikation (p → q) wahr, wenn es nicht möglich ist, dass p wahr und q falsch ist - dh ¬ ◇ (p & ¬ q). Zu den Paradoxien der strengen Implikation gehören die folgenden:

• (p & ¬ p) → q.
• p → (q → q).
• p → (q ∨ ¬ q).

Der erste behauptet, dass ein Widerspruch jeden Satz streng impliziert; Der zweite und dritte implizieren, dass jeder Satz streng eine Tautologie impliziert.

Viele Philosophen, beginnend mit Hugh MacColl (1908), haben behauptet, dass diese Thesen nicht intuitiv sind. Sie behaupten, dass diese Formeln nicht gültig sind, wenn wir → so interpretieren, dass sie das Konzept der Implikation darstellen, das wir haben, bevor wir die klassische Logik lernen. Relevanzlogiker behaupten, dass das Beunruhigende an diesen sogenannten Paradoxien darin besteht, dass in jedem von ihnen der Vorgänger für die Konsequenz irrelevant erscheint.

Darüber hinaus hatten Relevanzlogiker Bedenken hinsichtlich bestimmter Schlussfolgerungen, die die klassische Logik gültig macht. Betrachten Sie beispielsweise die klassisch gültige Folgerung

Der Mond besteht aus grünem Käse. Daher regnet es jetzt entweder in Ecuador oder nicht.

Auch hier scheint es einen Relevanzfehler zu geben. Die Schlussfolgerung scheint nichts mit der Prämisse zu tun zu haben. Relevanzlogiker haben versucht, Logiken zu erstellen, die Thesen und Argumente ablehnen, die „relevante Irrtümer“begehen.

Relevante Logiker weisen darauf hin, dass einige der Paradoxien (und Irrtümer) falsch sind, dass die Vorgeschichte und Konsequenzen (oder Prämissen und Schlussfolgerungen) sich auf völlig unterschiedliche Themen beziehen. Der Begriff eines Themas scheint jedoch nicht etwas zu sein, an dem ein Logiker interessiert sein sollte - er hat mit dem Inhalt und nicht mit der Form eines Satzes oder einer Folgerung zu tun. Es gibt jedoch ein formales Prinzip, das relevante Logiker anwenden, um Theoreme und Schlussfolgerungen zu zwingen, „beim Thema zu bleiben“. Dies ist das Prinzip der variablen Freigabe. Das Prinzip der Variablenfreigabe besagt, dass keine Formel der Form A → B in einer Relevanzlogik bewiesen werden kann, wenn A und B nicht mindestens eine Satzvariable (manchmal auch als Satzbuchstabe bezeichnet) gemeinsam haben und dass keine Folgerung als gültig gezeigt werden kann wenn die Prämissen und die Schlussfolgerung nicht mindestens eine Satzvariable gemeinsam haben.

An diesem Punkt ist es natürlich verwirrend, was relevante Logiker versuchen. Das Prinzip der Variablenfreigabe ist nur eine notwendige Bedingung, die eine Logik als Relevanzlogik zählen muss. Es reicht nicht aus. Darüber hinaus gibt uns dieses Prinzip kein Kriterium, das alle Paradoxien und Irrtümer beseitigt. Einige bleiben paradox oder trügerisch, obwohl sie das Teilen von Variablen erfüllen. Wie wir jedoch sehen werden, liefert uns die relevante Logik einen relevanten Beweisbegriff in Bezug auf die tatsächliche Nutzung von Prämissen (siehe Abschnitt „Beweislehre“weiter unten), aber sie sagt uns selbst nicht, was als wahr gilt (und relevante) Implikation. Dies kann nur erreicht werden, wenn die formale Theorie mit einer philosophischen Interpretation zusammengestellt wird (siehe Abschnitt „Semantik für relevante Implikationen“weiter unten).

In diesem Artikel geben wir einen kurzen und relativ nicht technischen Überblick über den Bereich der Relevanzlogik.

• 1. Semantik für relevante Implikationen
• 2. Semantik für die Negation
• 3. Beweistheorie
• 4. Relevanzsysteme Logik
• 5. Anwendungen der Relevanzlogik

• Literaturverzeichnis

  • Bücher über Relevanzlogik und Einführungen in das Feld:
  • Andere zitierte Werke:
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Semantik für relevante Implikationen

Unsere Darstellung der relevanten Logik ist rückwärts zu den meisten in der Literatur gefundenen. Wir werden mit der Semantik beginnen und nicht enden, da die meisten Philosophen derzeit semantisch geneigt sind.

Die Semantik, die ich hier präsentiere, ist die ternäre Beziehungssemantik von Richard Routley und Robert K. Meyer. Diese Semantik ist eine Weiterentwicklung von Alasdair Urquharts „Semilattice Semantics“(Urquhart 1972). Aufgrund von Kit Fine gibt es eine ähnliche Semantik (die auch auf Urquharts Ideen basiert), die zur gleichen Zeit wie die Routley-Meyer-Theorie (Fine 1974) entwickelt wurde. Und es gibt eine algebraische Semantik aufgrund von J. Michael Dunn. Die Modelle von Urquhart, Fine und Dunn sind an sich schon sehr interessant, aber wir haben hier keinen Raum, sie zu diskutieren.

Die Idee hinter der Semantik der ternären Beziehung ist ziemlich einfach. Betrachten Sie den Versuch von CI Lewis, die Paradoxien der materiellen Implikation zu vermeiden. Er fügte der klassischen Logik einen neuen Zusammenhang hinzu, den der strengen Implikation. In postkripkischen semantischen Begriffen ist A ⊰ B in einer Welt w genau dann wahr, wenn für alle w ', so dass w' für w zugänglich ist, entweder A in w 'versagt oder B dort erhält. In Kripkes Semantik für modale Logik ist die Zugänglichkeitsrelation eine binäre Relation. Es gilt zwischen Weltenpaaren. Aus relevanter Sicht ist die Theorie der strengen Implikation leider immer noch irrelevant. Das heißt, wir machen immer noch gültige Formeln wie p ⊰ (q ⊰ q). Wir können ziemlich leicht erkennen, dass die Kripke-Wahrheitsbedingung uns diese Formel aufzwingt.

Wie die Semantik der Modallogik relativiert die Semantik der Relevanzlogik die Wahrheit von Formeln zu Welten. Aber Routley und Meyer gehen eine modale Logik besser und verwenden eine Drei-Stellen-Beziehung auf Welten. Dies ermöglicht es Welten, in denen q → q versagt, und dies ermöglicht wiederum Welten, in denen p → (q → q) versagt. Ihre Wahrheitsbedingung für → in dieser Semantik ist folgende:

A → B ist in einer Welt a genau dann wahr, wenn für alle Welten b und c so, dass Rabc (R ist die Zugänglichkeitsrelation) entweder A bei b falsch ist oder B bei c wahr ist.

Für Leute, die neu auf dem Gebiet sind, dauert es einige Zeit, bis sie sich an diesen Wahrheitszustand gewöhnt haben. Aber mit ein wenig Arbeit kann man sehen, dass es nur eine Verallgemeinerung von Kripkes Wahrheitsbedingung für eine strikte Implikation ist (setzen Sie einfach b = c).

Die ternäre Beziehungssemantik kann als Semantik für einen weiten Bereich von Logiken angepasst werden. Wenn Sie der Beziehung unterschiedliche Einschränkungen auferlegen, werden unterschiedliche Formeln und Schlussfolgerungen gültig. Wenn wir zum Beispiel die Beziehung so einschränken, dass Raaa für alle Welten a gilt, dann machen wir es wahr, dass wenn (A → B) & A in einer Welt wahr ist, B auch dort wahr ist. Aufgrund anderer Merkmale der Routley-Meyer-Semantik ist die These ((A → B) & A) → B gültig. Wenn wir die ternäre Beziehung an ihren ersten beiden Stellen symmetrisch machen, das heißt, wir beschränken sie so, dass wir für alle Welten a, b und c, wenn Rabc dann Rbac, die These A → ((A → B) gültig machen) → B).

Die ternäre Zugänglichkeitsrelation benötigt eine philosophische Interpretation, um relevanten Implikationen eine echte Bedeutung für diese Semantik zu verleihen. Kürzlich wurden drei Interpretationen entwickelt, die auf Theorien über die Natur von Informationen basieren. Eine Interpretation der ternären Beziehung aufgrund von Dunn entwickelt die Idee hinter Urquharts Halbgittersemantik. In Urquharts Semantik werden Indizes nicht als mögliche (oder unmögliche) Welten behandelt, sondern als Informationen. In der Halbgittersemantik kombiniert ein Operator ° die Informationen zweier Zustände - a ° b ist die Kombination der Informationen in a und b. Die Routley-Meyer-Semantik enthält keinen Kombinations- oder Fusionsoperator für Welten, aber wir können eine Annäherung daran unter Verwendung der ternären Beziehung erhalten. Auf Dunns Lesung,'Rabc' sagt, dass "die Kombination der Informationszustände a und b im Informationszustand c enthalten ist" (Dunn 1986).

Eine andere Interpretation wird in Jon Barwise (1993) vorgeschlagen und in Restall (1996) entwickelt. Aus dieser Sicht werden Welten als informationstheoretische „Orte“und „Kanäle“angesehen. Eine Site ist ein Kontext, in dem Informationen empfangen werden, und ein Kanal ist ein Kanal, über den Informationen übertragen werden. Wenn zum Beispiel die BBC-Nachrichten in meinem Wohnzimmer im Fernsehen erscheinen, können wir das Wohnzimmer als einen Ort betrachten und die Kabel, Satelliten usw., die meinen Fernseher mit dem Studio in London verbinden, als einen Ort Kanal. Unter Verwendung der Kanaltheorie zur Interpretation der Routley-Meyer-Semantik verstehen wir unter Rabc, dass a ein informationstheoretischer Kanal zwischen den Stellen b und c ist. Wir nehmen also an, dass A → B genau dann wahr ist, wenn a immer dann, wenn a eine Stelle b verbindet, an der A eine Stelle c erhält, B an c erhält.

In ähnlicher Weise verwendet Mares (1997) eine Informationstheorie von David Israel und John Perry (1990). Neben anderen Informationen enthält eine Welt Informationslinks wie Naturgesetze, Konventionen usw. Zum Beispiel wird eine Newtonsche Welt die Information enthalten, dass alle Materie alle anderen Materie anzieht. In informationstheoretischen Begriffen enthält diese Welt die Information, dass zwei materielle Dinge die Information tragen, dass sie sich gegenseitig anziehen. Nach dieser Ansicht ist Rabc genau dann, wenn gemäß den Links in a alle Informationen, die von dem, was in b erhalten wird, enthalten sind, in c enthalten sind. Wenn beispielsweise a eine Newtonsche Welt ist und die Information, dass x und y Material sind, in b enthalten ist, dann ist die Information, dass x und y sich gegenseitig anziehen, in c enthalten.

Eine andere Interpretation wird in Mares (2004) entwickelt. Diese Interpretation betrachtet die Routley-Meyer-Semantik als eine Formalisierung des Begriffs der „lokalisierten Implikation“. Diese Interpretation nimmt die „Welten“der Routley-Meyer-Semantik als Situationen. Eine Situation ist eine vielleicht teilweise Darstellung des Universums. Die in zwei Situationen, a und b, enthaltenen Informationen könnten es uns ermöglichen, weitere Informationen über das Universum abzuleiten, die in keiner der beiden Situationen enthalten sind. Nehmen wir zum Beispiel in unserer gegenwärtigen Situation an, dass wir die Informationen haben, die in den Gesetzen der allgemeinen Relativitätstheorie enthalten sind (dies ist Einsteins Gravitationstheorie). Dann nehmen wir eine Situation an, in der sich ein Stern in einer Ellipse bewegt. Dann, auf der Grundlage der Informationen, die wir haben, und der hypothetischen Situation,Wir können daraus schließen, dass es eine Situation gibt, in der ein sehr schwerer Körper auf diesen Stern einwirkt.

Wir können lokalisierte Inferenz unter Verwendung einer Beziehung I modellieren (für „Implikation“). Dann haben wir IabP, wobei P genau dann ein Satz ist, wenn die Informationen in a und b zusammen den Rückschluss auf eine Situation zulassen, in der P gilt. Wir können uns einen Satz selbst als eine Reihe von Situationen vorstellen. Wir setzen A → B genau dann auf a, wenn für alle Situationen b, in denen A gilt, Iab | B |, wobei | B | ist die Menge von Situationen, in denen B wahr ist. Wir setzen Rabc genau dann auf Halten, wenn c zu jedem Satz P gehört, so dass IabP. Mit der Hinzufügung des Postulats, dass für jede Menge von Sätzen P, so dass IabP, der Schnittpunkt dieser Menge X so ist, dass IabX, dass die Implikationen, die in jeder Situation unter Verwendung der Wahrheitsbedingung, die mich anspricht, wahr werden, sind das gleiche wie diejenigen, die durch die Routley-Meyer-Wahrheitsbedingung wahr gemacht werden. Der Begriff der lokalisierten Inferenz gibt somit eine Möglichkeit, die Routley-Meyer-Semantik zu verstehen. (Dies ist eine sehr kurze Version der Diskussion über lokalisierte Inferenz in den Kapiteln 2 und 3 von Mares (2004).)

Die Verwendung der ternären Beziehung allein reicht nicht aus, um alle Paradoxien der Implikation zu vermeiden. Angesichts dessen, was wir bisher gesagt haben, ist nicht klar, wie die Semantik Paradoxe wie (p & ¬ p) → q und p → (q ∨ q) vermeiden kann. Diese Paradoxien werden durch die Einbeziehung inkonsistenter und nicht zweiwertiger Welten in die Semantik vermieden. Denn wenn es keine Welten gäbe, in denen p & ¬ p gilt, dann würde gemäß unserer Wahrheitsbedingung für den Pfeil (p & ¬ p) → q auch überall gelten. Ebenso wäre p → (q q q) universell wahr, wenn q ∨ q in jeder Welt gehalten würde.

Ein Ansatz zur Relevanz, der keine ternäre Beziehung erfordert, ist Routley und Loparic (1978) sowie Priest (1992) und (2008) zu verdanken. Diese Semantik verwendet eine Menge von Welten und eine binäre Beziehung, S. Welten werden in zwei Kategorien unterteilt: normale Welten und nicht normmale Welten. Eine Implikation A → B ist in einer normalen Welt a genau dann wahr, wenn für alle Welten b, wenn A in b wahr ist, dann gilt B auch in b. In nicht normalen Welten sind die Wahrheitswerte für Implikationen zufällig. Einige mögen wahr und andere falsch sein. Eine Formel ist nur dann gültig, wenn sie für jedes dieser Modelle in seinen normalen Welten gilt. Diese Aufteilung der Welten in normale und nicht normale Welten und die Verwendung zufälliger Wahrheitswerte für Implikationen in nicht normalen Welten ermöglicht es uns, Gegenmodelle für Formeln wie p → (q → q) zu finden.

Der Priester interpretiert nicht normale Welten als die Welten, die „logischen Fiktionen“entsprechen. In einer Science-Fiction können die Naturgesetze anders sein als in unserem Universum. In ähnlicher Weise können sich in einer logischen Fiktion die Gesetze der Logik von unseren Gesetzen unterscheiden. Zum Beispiel kann A → A in einigen logischen Fiktionen nicht wahr sein. Die Welten, die solche Fiktionen beschreiben, sind nicht normale Welten.

Ein Problem bei der Semantik ohne die ternäre Beziehung besteht darin, dass es schwierig ist, damit eine möglichst breite Palette logischer Systeme zu charakterisieren, wie dies mit der ternären Beziehung möglich ist. Außerdem sind die durch diese Semantik bestimmten Logiken ziemlich schwach. Zum Beispiel haben sie nicht als Satz die Transitivität der Implikation - ((A → B) & (B → C)) → (A → C).

Wie die Semantik der ternären Beziehung erfordert diese Semantik, dass einige Welten inkonsistent und andere nicht zweiwertig sind.

2. Semantik für die Negation

Die Verwendung nicht zweiwertiger und inkonsistenter Welten erfordert eine nicht klassische Wahrheitsbedingung für die Negation. In den frühen 1970er Jahren erfanden Richard und Val Routley ihren „Star Operator“, um die Negation zu behandeln. Der Operator ist ein Operator auf Welten. Für jede Welt a gibt es eine Welt a *. Und

¬ A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist *.

Wir haben wieder einmal die Schwierigkeit, einen Teil der formalen Semantik zu interpretieren. Eine Interpretation des Routley-Sterns ist die von Dunn (1993). Dunn verwendet eine binäre Beziehung C für Welten. Kabine bedeutet, dass b mit a kompatibel ist. a * ist also die maximale Welt (die Welt mit den meisten Informationen), die mit a kompatibel ist.

Es gibt andere Semantiken für die Negation. Eine von Dunn und von Routley entwickelte ist eine vierwertige Semantik. Diese Semantik wird im Eintrag zu parakonsistenten Logiken behandelt. Andere Negationsbehandlungen, von denen einige für relevante Logiken verwendet wurden, finden sich in Wansing (2001).

3. Beweistheorie

Es gibt jetzt eine Vielzahl von Ansätzen zur Beweistheorie für relevante Logiken. Es gibt eine sequentielle Berechnung für das negationsfreie Fragment der Logik R aufgrund von Gregory Mints (1972) und JM Dunn (1973) und einen eleganten und sehr allgemeinen Ansatz namens "Display Logic", der von Nuel Belnap (1982) entwickelt wurde. Für erstere siehe das ergänzende Dokument:

Logik R.

Aber hier werde ich mich nur mit dem natürlichen Abzugssystem für die relevante Logik R aufgrund von Anderson und Belnap befassen.

Das natürliche Abzugssystem von Anderson und Belnap basiert auf den natürlichen Abzugssystemen von Fitch für die klassische und intuitionistische Logik. Der einfachste Weg, diese Technik zu verstehen, ist ein Beispiel.

1. A {1}	Hyp
2. (A → B) {2}	Hyp
3. B {1,2}	1,2, → E.

Dies ist ein einfacher Fall von Modus Ponens. Die Zahlen in Klammern geben die Hypothesen an, die zum Beweis der Formel verwendet wurden. Wir werden sie "Indizes" nennen. Die Indizes in der Schlussfolgerung geben an, welche Hypothesen bei der Ableitung der Schlussfolgerung tatsächlich verwendet werden. Im folgenden „Beweis“wird die zweite Prämisse nicht wirklich verwendet:

1. A {1}	Hyp
2. B {2}	Hyp
3. (A → B) {3}	Hyp
4. B {1,3}	1,3, → E.

Dieser „Beweis“zeigt wirklich nur, dass die Folgerung von A und A → B nach B relevant gültig ist. Da die Nummer 2 am Schluss nicht im Index erscheint, zählt die zweite „Prämisse“nicht wirklich als Prämisse.

In ähnlicher Weise muss, wenn eine Implikation relevant nachgewiesen wird, die Annahme des Antezedens wirklich verwendet werden, um die Schlussfolgerung zu beweisen. Hier ist ein Beispiel für den Beweis einer Implikation:

1. A {1}	Hyp
2. (A → B) {2}	Hyp
3. B {1,2}	1,2, → E.
4. ((A → B) → B) {1}	2,3, → I.
5. A → ((A → B) → B)	1,4, → I.

Wenn wir eine Hypothese wie in den Zeilen 4 und 5 dieses Beweises entladen, muss die Nummer der Hypothese tatsächlich im Index der Formel vorkommen, die die Konsequenz der Implikation werden soll.

Nun scheint es, dass das Indexsystem das Einschleichen irrelevanter Prämissen zulässt. Eine Möglichkeit, wie es den Anschein erwecken kann, dass Irrelevanzen eindringen können, ist die Verwendung einer Konjunktionsregel. Das heißt, es scheint, dass wir immer eine irrelevante Prämisse hinzufügen können, indem wir beispielsweise Folgendes tun:

1. A {1}	Hyp
2. B {2}	Hyp
3. (A & B) {1,2}	1,2 & I.
4. B {1,2}	3, & E.
5. (B → B) {1}	2,4, → I.
6. A → (B → B)	1,5, → I.

Für einen Relevanzlogiker ist die erste Prämisse hier völlig fehl am Platz. Um solche Bewegungen zu blockieren, geben Anderson und Belnap die folgende Konjunktionseinführungsregel an:

Von A _i und B _i zu schließen (A & B) _i.

Diese Regel besagt, dass zwei zu verbindende Formeln denselben Index haben müssen, bevor die Regel zur Einführung der Konjunktion verwendet werden kann.

Das natürliche Abzugssystem hat natürlich noch viel mehr zu bieten (siehe Anderson und Belnap 1975 sowie Anderson, Belnap und Dunn 1992), aber dies wird für unsere Zwecke ausreichen. Die Relevanztheorie, die zumindest von einigen relevanten Logiken erfasst wird, kann dahingehend verstanden werden, wie das entsprechende natürliche Abzugssystem die tatsächliche Nutzung von Prämissen aufzeichnet.

4. Relevanzsysteme Logik

In der Arbeit von Anderson und Belnap waren die zentralen Systeme der Relevanzlogik die Logik E der relevanten Konsequenz und das System R der relevanten Implikation. Die Beziehung zwischen den beiden Systemen besteht darin, dass der Konnektivitätskonnektiv von E eine strenge (dh notwendige) relevante Implikation sein sollte. Um die beiden zu vergleichen, fügte Meyer R einen Notwendigkeitsoperator hinzu (um die logische NR zu erzeugen). Larisa Maksimova entdeckte jedoch, dass NR und E wesentlich unterschiedlich sind - dass es Sätze von NR (auf der natürlichen Übersetzung) gibt, die keine Sätze von E sind. Dies hat einige relevante Logiker in ein Dilemma gebracht. Sie müssen entscheiden, ob sie NR als das System der streng relevanten Implikation betrachten oder behaupten, dass NR irgendwie mangelhaft war und dass E als das System der streng relevanten Implikation steht. (Natürlich können sie beide Systeme akzeptieren und behaupten, dass E und R eine unterschiedliche Beziehung zueinander haben.)

Auf der anderen Seite gibt es solche Relevanzlogiker, die sowohl R als auch E ablehnen. Es gibt solche wie Arnon Avron, die Logik akzeptieren, die stärker als R ist (Avron 1990). Und es gibt solche wie Ross Brady, John Slaney, Steve Giambrone, Richard Sylvan, Graham Priest, Greg Restall und andere, die sich für die Akzeptanz von Systemen ausgesprochen haben, die schwächer als R oder E sind. Ein extrem schwaches System ist die Logik S von Robert Meyer und Errol Martin. Wie Martin bewiesen hat, enthält diese Logik keine Sätze der Form A → A. Mit anderen Worten, nach S., kein Satz impliziert sich selbst und kein Argument der Form 'A, daher A' ist gültig. Somit macht diese Logik keine zirkulären Argumente gültig.

Weitere Einzelheiten zu diesen Logiken siehe Ergänzungen auf der Logik E, Logik R, Logik NR und Logik S.

Zu den Punkten für schwächere Systeme gehört, dass im Gegensatz zu R oder E viele von ihnen entscheidbar sind. Ein weiteres Merkmal einiger dieser schwächeren Logiken, das sie attraktiv macht, ist, dass sie zur Konstruktion einer naiven Mengenlehre verwendet werden können. Eine naive Mengenlehre ist eine Mengenlehre, die als Satz das naive Verständnisaxiom enthält, nämlich für alle Formeln A (y),

∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ A (y)).

Wenn wir in Mengen-Theorien, die auf stark relevanten Logiken wie E und R basieren, sowie in der klassischen Mengen-Theorie das naive Verständnis-Axiom hinzufügen, können wir überhaupt eine Formel ableiten. Naive Mengen-Theorien, die auf Systemen wie E und R basieren, werden daher als „trivial“bezeichnet. Hier ist eine intuitive Skizze des Beweises der Trivialität einer naiven Mengenlehre unter Verwendung von Inferenzprinzipien aus der Logik R. Sei p ein willkürlicher Satz:

1. ∃ x ∀ y (y ∈ x ↔ (y ∈ y → p))	Naives Verständnis
2. (y (y ∈ z ↔ (y ∈ y → p))	1, Existenzinstanziierung
3. z ∈ z ↔ (z ∈ z → p)	2, universelle Instanziierung
4. z ∈ z → (z ∈ z → p)	3, df von ↔, & -Elimination
5. (z ≤ z → (z ≤ z → p)) → (z ≤ z → p)	Axiom der Kontraktion
6. z ∈ z → p	4,5, Modus Ponens
7. (z ∈ z → p)) → z ∈ z	3, df von ↔, & -Elimination
8. z ∈ z	6,7, Modus Ponens
9. p	6,8, Modus Ponens

Wir zeigen also, dass jeder beliebige Satz in dieser naiven Mengenlehre ableitbar ist. Dies ist das berüchtigte Curry-Paradoxon. Die Existenz dieses Paradoxons hat Grishen, Brady, Restall, Priest und andere dazu veranlasst, das Axiom der Kontraktion aufzugeben ((A → (A → B)) → (A → B)). Brady hat gezeigt, dass wir durch Entfernen der Kontraktion und einiger anderer Schlüsselthesen aus R eine Logik erhalten, die naives Verständnis akzeptieren kann, ohne trivial zu werden (Brady 2005).

In Bezug auf das natürliche Abzugssystem entspricht das Vorhandensein einer Kontraktion der mehrmaligen Nutzung von Räumlichkeiten. Betrachten Sie den folgenden Beweis:

1. A → (A → B) {1}	Hyp
2. A {2}	Hyp
3. A → B {1,2}	1,2, → E.
4. B {1,2}	2,3, → E.
5. A → B {1}	2–4, → I.
6. (A → (A → B)) → (A → B)	1–5, → I.

Was die Ableitung der Kontraktion ermöglicht, ist die Tatsache, dass unsere Indizes Mengen sind. Wir verfolgen nicht, wie oft (mehr als einmal) eine Hypothese bei ihrer Ableitung verwendet wird. Um eine Kontraktion abzulehnen, müssen wir die Anzahl der Verwendungen von Hypothesen zählen. Natürliche Deduktionssysteme für kontraktionsfreie Systeme verwenden daher "Multisets" von relevanten Zahlen anstelle von Mengen - dies sind Strukturen, bei denen die Anzahl der Vorkommen einer bestimmten Zahl zählt, die Reihenfolge, in der sie auftreten, jedoch nicht. Es können auch schwächere Systeme konstruiert werden, die auch die Reihenfolge verfolgen, in der Hypothesen verwendet werden (siehe Read 1986 und Restall 2000).

5. Anwendungen der Relevanzlogik

Abgesehen von den motivierenden Anwendungen, bessere Formalismen unserer vorformalen Vorstellungen von Implikation und Entailment bereitzustellen und eine Grundlage für die naive Mengenlehre zu schaffen, wurde die Relevanzlogik in der Philosophie und Informatik für verschiedene Zwecke eingesetzt. Hier werde ich nur einige auflisten.

Dunn hat eine Theorie der intrinsischen und wesentlichen Eigenschaften entwickelt, die auf relevanter Logik basiert. Dies ist seine Theorie der relevanten Prädikation. Kurz gesagt, eine Sache i hat eine relevante Eigenschaft F, wenn ∀ x (x = i → F (x)). Informell hat ein Objekt eine relevante Eigenschaft, wenn dies relevant ist und diese Eigenschaft impliziert. Da die Wahrheit der Konsequenz einer relevanten Implikation an sich für die Wahrheit dieser Implikation nicht ausreicht, können Dinge sowohl irrelevante als auch relevante Eigenschaften haben. Dunns Formulierung scheint mindestens einen Sinn zu erfassen, in dem wir den Begriff einer intrinsischen Eigenschaft verwenden. Das Hinzufügen von Modalität zur Sprache ermöglicht eine Formalisierung des Begriffs einer wesentlichen Eigenschaft als eine Eigenschaft, die sowohl notwendigerweise als auch inhärent vorhanden ist (siehe Anderson, Belnap und Dunn 1992, §74).

Relevante Logik wurde als Grundlage für andere mathematische Theorien als die Mengenlehre verwendet. Meyer hat eine Variation der Peano-Arithmetik basierend auf der Logik R erzeugt. Meyer gab einen endgültigen Beweis dafür, dass seine relevante Arithmetik nicht 0 = 1 als Theorem hat. Damit löste Meyer eines von Hilberts zentralen Problemen im Kontext der relevanten Arithmetik; er zeigte mit endlichen Mitteln, dass relevante Arithmetik absolut konsistent ist. Dies macht die relevante Peano-Arithmetik zu einer äußerst interessanten Theorie. Leider enthält die relevante Arithmetik, wie Meyer und Friedman gezeigt haben, nicht alle Sätze der klassischen Peano-Arithmetik. Daraus können wir nicht schließen, dass die klassische Peano-Arithmetik absolut konsistent ist (siehe Meyer und Friedman 1992).

Anderson (1967) formulierte ein System deontischer Logik basierend auf R. In jüngerer Zeit wurde die Relevanzlogik von Mares (1992) und Lou Goble (1999) als Grundlage für die deontische Logik verwendet. Diese Systeme vermeiden einige der Standardprobleme bei herkömmlicheren deontischen Logiken. Ein Problem, mit dem standardmäßige deontische Logiken konfrontiert sind, besteht darin, dass sie die Folgerung von A als Theorem zu OA als Theorem gültig machen, wobei "OA" bedeutet, dass es das A sein sollte. Der Grund, warum dieses Problem auftritt, ist, dass es heute Standard ist, deontische Logik als normale modale Logik zu behandeln. Wenn in der Standardsemantik für die Modallogik A gültig ist, gilt dies für alle möglichen Welten. Darüber hinaus ist OA in einer Welt genau dann wahr, wenn A in jeder Welt wahr ist, die für a zugänglich ist. Wenn also A eine gültige Formel ist, ist dies auch OA. Aber es scheint albern zu sagen, dass jede gültige Formel der Fall sein sollte. Warum sollte es so sein, dass es jetzt in Ecuador regnet oder nicht? In der Semantik für relevante Logiken macht nicht jede Welt jede gültige Formel wahr. Nur eine spezielle Klasse von Welten (manchmal als "Basiswelten" und manchmal als "normale Welten" bezeichnet) macht die gültigen Formeln wahr. Jede gültige Formel kann in einer Welt versagen. Indem wir diese „nicht normalen Welten“in unseren Modellen zulassen, machen wir diese problematische Regel ungültig.

Andere Arten von Modaloperatoren wurden ebenfalls zur relevanten Logik hinzugefügt. Siehe Fuhrmann (1990) für eine allgemeine Behandlung der relevanten Modallogik und Wansing (2002) für die Entwicklung und Anwendung der relevanten epistemischen Logik.

Routley und Val Plumwood (1989) sowie Mares und André Fuhrmann (1995) präsentieren Theorien kontrafaktischer Bedingungen, die auf relevanter Logik basieren. Ihre Semantik fügt der Standard-Routley-Meyer-Semantik eine Zugänglichkeitsbeziehung hinzu, die zwischen einer Formel und zwei Welten besteht. In der Semantik von Routley und Plumwood gilt A> B genau dann für eine Welt a, wenn für alle Welten b, so dass SAab, B für b gilt. Die Semantik von Mares und Fuhrmann ist etwas komplexer: A> B gilt für eine Welt a genau dann, wenn für alle Welten b, so dass SAab, A → B für b gilt (siehe auch Brady (Hrsg.) 2002, §10 für Details von beide Semantik). Mares (2004) präsentiert eine komplexere Theorie relevanter Bedingungen, die kontrafaktische Bedingungen umfasst. Alle diese Theorien vermeiden die Analoga der Implikationsparadoxien, die in der Standardlogik von Kontrafakten auftreten.

Relevante Logiken wurden sowohl in der Informatik als auch in der Philosophie verwendet. Die lineare Logik - ein von Jean-Yves Girard initiierter Zweig der Logik - ist eine Logik der Rechenressourcen. Lineare Logiker lesen eine Implikation A → B so, dass wir mit einer Ressource vom Typ A etwas vom Typ B erhalten können. Wenn wir A → (A → B) haben, wissen wir, dass wir ein B aus zwei Ressourcen vom Typ A erhalten können. Dies bedeutet jedoch nicht, dass wir ein B aus einer einzelnen Ressource vom Typ A erhalten können, dh wir wissen nicht, ob wir A → B erhalten können. Daher schlägt die Kontraktion in der linearen Logik fehl. Lineare Logiken sind in der Tat relevante Logiken, denen die Kontraktion und die Verteilung der Konjunktion über die Disjunktion fehlt ((A & (B ∨ C)) → ((A & B) ∨ (A & C)). Sie enthalten auch zwei Operatoren (! Und?), Die als "Exponentiale" bezeichnet werden. Wenn Sie ein Exponential vor eine Formel stellen, kann diese Formel sozusagen klassisch handeln. Zum Beispiel können wir wie in der Standardrelevanzlogik einer gültigen Folgerung normalerweise nicht einfach eine zusätzliche Prämisse hinzufügen und sie gültig bleiben lassen. Aber wir können immer eine Prämisse des Formulars hinzufügen! A zu einer gültigen Schlussfolgerung und lassen Sie es gültig bleiben. Die lineare Logik hat auch eine Kontraktion für Formeln der Form! A, dh es ist ein Satz dieser Logik, dass (! A → (! A → B)) → (! A → B) (siehe Troelstra 1992). Die Verwendung von ! ermöglicht die Behandlung von Ressourcen, „die nach Belieben dupliziert oder ignoriert werden können“(Restall 2000, S. 56). Weitere Informationen zur linearen Logik finden Sie im Eintrag zur Unterstrukturlogik. Normalerweise können wir einer gültigen Folgerung nicht einfach eine zusätzliche Prämisse hinzufügen und sie gültig bleiben lassen. Aber wir können immer eine Prämisse des Formulars hinzufügen! A zu einer gültigen Schlussfolgerung und lassen Sie es gültig bleiben. Die lineare Logik hat auch eine Kontraktion für Formeln der Form! A, dh es ist ein Satz dieser Logik, dass (! A → (! A → B)) → (! A → B) (siehe Troelstra 1992). Die Verwendung von ! ermöglicht die Behandlung von Ressourcen, „die nach Belieben dupliziert oder ignoriert werden können“(Restall 2000, S. 56). Weitere Informationen zur linearen Logik finden Sie im Eintrag zur Unterstrukturlogik. Normalerweise können wir einer gültigen Folgerung nicht einfach eine zusätzliche Prämisse hinzufügen und sie gültig bleiben lassen. Aber wir können immer eine Prämisse des Formulars hinzufügen! A zu einer gültigen Schlussfolgerung und lassen Sie es gültig bleiben. Die lineare Logik hat auch eine Kontraktion für Formeln der Form! A, dh es ist ein Satz dieser Logik, dass (! A → (! A → B)) → (! A → B) (siehe Troelstra 1992). Die Verwendung von ! ermöglicht die Behandlung von Ressourcen, „die nach Belieben dupliziert oder ignoriert werden können“(Restall 2000, S. 56). Weitere Informationen zur linearen Logik finden Sie im Eintrag zur Unterstrukturlogik.ermöglicht die Behandlung von Ressourcen, „die nach Belieben dupliziert oder ignoriert werden können“(Restall 2000, S. 56). Weitere Informationen zur linearen Logik finden Sie im Eintrag zur Unterstrukturlogik.ermöglicht die Behandlung von Ressourcen, „die nach Belieben dupliziert oder ignoriert werden können“(Restall 2000, S. 56). Weitere Informationen zur linearen Logik finden Sie im Eintrag zur Unterstrukturlogik.

Literaturverzeichnis

Eine äußerst gute, wenn auch etwas veraltete Bibliographie zur Relevanzlogik wurde von Robert Wolff zusammengestellt und befindet sich in Anderson, Belnap und Dunn (1992). Was folgt, ist eine kurze Liste von Einführungen und Büchern über relevante Logik und Werke, auf die oben Bezug genommen wurde.

Bücher über Relevanzlogik und Einführungen in das Feld:

• Anderson, AR und ND Belnap, Jr., 1975, Entailment: Die Logik der Relevanz und Notwendigkeit, Princeton, Princeton University Press, Band I. Anderson, ARND Belnap, Jr. und JM Dunn (1992) Entailment, Band II. [Dies sind beide Sammlungen leicht modifizierter Artikel zur Relevanzlogik zusammen mit viel Material, das für diese Bände einzigartig ist. Hervorragende Arbeit und immer noch die Standardbücher zu diesem Thema. Aber sie sind sehr technisch und ziemlich schwierig.]
• Brady, RT, 2005, Universal Logic, Stanford: CSLI Publications, 2005. [Ein schwieriges, aber äußerst wichtiges Buch, das Details zu Bradys Semantik und seinen Beweisen enthält, dass naive Mengenlehre und Logik höherer Ordnung basierend auf seiner schwachen relevanten Logik konsistent sind.]
• Dunn, JM, 1986, „Relevanzlogik und Entailment“in F. Guenthner und D. Gabbay (Hrsg.), Handbook of Philosophical Logic, Band 3, Dordrecht: Reidel, S. 117–24. [Dunn hat dieses Stück zusammen mit Greg Restall umgeschrieben und die neue Version ist in Band 6 der neuen Ausgabe des Handbuchs der Philosophischen Logik, Dordrecht: Kluwer, 2002, S. 1–128, erschienen.]
• Mares, ED, 2004, Relevante Logik: Eine philosophische Interpretation, Cambridge: Cambridge University Press.
• Mares, ED und RK Meyer, 2001, "Relevante Logik" in L. Goble (Hrsg.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Oxford: Blackwell.
• Paoli, F., 2002, Substructural Logics: A Primer, Dordrecht: Kluwer. [Hervorragende und klare Einführung in ein Feld der Logik, das Relevanzlogik enthält.]
• Priest, G., 2008, Eine Einführung in die nichtklassische Logik: Vom Wenn zum Ist, Cambridge: University of Cambridge Press. [Eine sehr gute und äußerst klare Darstellung relevanter und anderer nicht klassischer Logiken, die einen Tableau-Ansatz zur Beweistheorie verwendet.]
• Read, S., 1988, Relevant Logic, Oxford: Blackwell. [Ein sehr interessantes und lustiges Buch. Eigenwillig, aber philosophisch versiert und hervorragend in der Vor- und Frühgeschichte der Relevanzlogik.]
• Restall, G., 2000, Eine Einführung in die Substrukturlogik, London: Routledge. [Hervorragende und klare Einführung in ein Feld der Logik, das Relevanzlogik enthält.]
• Rivenc, François, 2005, Einführung à la logique pertinente, Paris: Presses Universitaires de France. [Auf Französisch. Gibt eine "strukturelle" Interpretation der relevanten Logik, die weitgehend beweistheoretisch ist. Die beteiligten Strukturen sind Strukturen von Prämissen in einem sequentiellen Kalkül.]
• Routley, R., RK Meyer, V. Plumwood und R. Brady, 1983, Relevante Logik und ihre Rivalen (Band I), Atascardero, CA: Ridgeview. [Ein sehr nützliches Buch für formale Ergebnisse, insbesondere zur Semantik der Relevanzlogik. Die Einleitung und die philosophischen Bemerkungen sind voll von „Richard Routleyisms“. Sie sind eher Routleys Ansichten als die Ansichten der anderen Autoren und selbst für relevante Logiker ziemlich radikal. Band II aktualisiert Band I und enthält andere Themen wie Bedingungen, Quantifizierung und Entscheidungsverfahren: R. Brady (Hrsg.), Relevante Logik und ihre Rivalen (Band II), Aldershot: Ashgate, 2003.]
• Goldblatt, R., 2011, Quantifizierer, Sätze und Identität: Zulässige Semantik für quantifizierte modale und substrukturelle Logik, Cambridge: Cambridge University Press. [Eine detaillierte Darstellung der zulässigen Semantik für quantifizierte Logik, die sowohl auf die Modal- als auch auf die Relevanzlogik angewendet wird, und eine neue Art von Semantik für die quantifizierte Relevanzlogik, die „Deckungssemantik“.]

Andere zitierte Werke:

• Anderson, AR, 1967, „Einige schlimme Probleme in der formalen Logik der Ethik“, Noûs, 1: 354–360.
• Avron, Arnon, 1990, „Relevanz und Parakonsistenz - Ein neuer Ansatz“, The Journal of Symbolic Logic, 55: 707–732.
• Barwise, J., 1993, "Constraints, Channels and the Flow of Information", in P. Aczel et al. (Hrsg.), Situationstheorie und ihre Anwendungen (Band 3), Stanford: CSLI Publications, S. 3–27.
• Belnap, ND, 1982, "Display Logic", Journal of Philosophical Logic, 11: 375–417.
• Brady, RT, 1989, „Die Nicht-Trivialität der dialektischen Mengenlehre“, in G. Priest, R. Routley und J. Norman (Hrsg.), Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag, S. 437–470.
• Dunn, JM, 1973, (Abstract) „Ein Gentzen-System für positive relevante Implikationen“, The Journal of Symbolic Logic, 38: 356–357.
• Dunn, JM, 1993, „Star and Perp“, Philosophical Perspectives, 7: 331–357.
• Fine, K., 1974, „Models for Entailment“, Journal of Philosophical Logic, 3: 347–372.
• Fuhrmann, A., 1990, „Modelle für relevante Modallogik“, Studia Logica, 49: 501–514.
• Goble, L., 1999, „Deontic Logic with Relevance“in P. McNamara und H. Prakken (Hrsg.), Normen, Logis und Informationssysteme, Amsterdam: ISO Press, S. 331–346.
• Grishin, VN, 1974, „Eine nicht standardisierte Logik und ihre Anwendung auf die Mengenlehre“, Studien zu formalisierten Sprachen und nicht klassischer Logik (Russisch), Moskau: Nauka.
• Israel, D. und J. Perry, 1990, „Was ist Information?“, In PP Hanson (Hrsg.), Information, Sprache und Kognition, Vancouver: University of British Columbia Press, S. 1–19.
• MacColl, H., 1908, „Wenn“und „implizieren“, Mind, 17: 151–152, 453–455.
• Mares, ED, 1992, „Andersonian Deontic Logic“, Theoria, 58: 3–20.
• Mares, ED, 1997, „Relevante Logik und Informationstheorie“, Synthese, 109: 345–360.
• Mares, ED und A. Fuhrmann, 1995, "A Relevant Theory of Conditionals", Journal of Philosophical Logic, 24: 645–665.
• Meyer, RK und H. Friedman, 1992, „Wohin relevante Arithmetik?“, The Journal of Symbolic Logic, 57: 824–831.
• Rantala, V., 1982, „Quantifizierte Modallogik: Nicht normale Welten und Aussageneinstellungen“, Studia Logica, 41: 41–65.
• Restall, G., 1996, „Informationsfluss und relevante Logik“, in J. Seligman und D. Westerstahl (Hrsg.), Logik, Sprache und Berechnung (Band 1), Stanford: CSLI Publications, S. 463–478.
• Routley, R. und A. Loparic, 1978, „Semantische Analyse von Arruda-da-Costa-P-Systemen und angrenzenden nicht ersatzrelevanten Systemen“, Studia Logica, 37: 301–322.
• Troelstra, AS, 1992, Lectures on Linear Logic, Stanford: CSLI Publications.
• Urquhart, A., 1972, „Semantik für relevante Logik“The Journal of Symbolic Logic, 37: 159–169.
• Wansing, H., 2001, „Negation“, in L. Goble (Hrsg.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Oxford: Blackwell, S. 415–436.
• Wansing, H., 2002, „Diamanten sind die besten Freunde eines Philosophen“, Journal of Philosophical Logic, 31: 591–612.

Akademische Werkzeuge

	Wie man diesen Eintrag zitiert.
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	Schlagen Sie dieses Eintragsthema im Internet Philosophy Ontology Project (InPhO) nach.
	Erweiterte Bibliographie für diesen Eintrag bei PhilPapers mit Links zu seiner Datenbank.

Andere Internetquellen

Eine alternative Semantik für quantifizierte relevante Logik [PDF] von Edwin D. Mares und Robert Goldblatt von der Victoria University of Wellington bietet eine neue Semantik für quantifizierte relevante Logik

[Bitte kontaktieren Sie den Autor mit anderen Vorschlägen.]