Die Entstehung Der Logik Erster Ordnung

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Die Entstehung der Logik erster Ordnung

Erstveröffentlichung am 17. November 2018

Für jeden, der in moderner Logik geschult ist, kann Logik erster Ordnung ein ganz natürliches Untersuchungsobjekt sein, und ihre Entdeckung ist unvermeidlich. Es ist semantisch vollständig; es ist angemessen für die Axiomatisierung aller gewöhnlichen Mathematik; und Lindströms Theorem zeigt, dass es die maximale Logik ist, die die Kompaktheit und die Löwenheim-Skolem-Eigenschaften erfüllt. Es ist daher nicht verwunderlich, dass Logik erster Ordnung seit langem als die „richtige“Logik für Untersuchungen der Grundlagen der Mathematik angesehen wird. Es nimmt den zentralen Platz in modernen Lehrbüchern der mathematischen Logik ein, während andere Systeme an den Rand gedrängt werden. Die Geschichte ist jedoch alles andere als einfach und es handelt sich sicherlich nicht um eine plötzliche Entdeckung durch einen einzelnen Forscher. Die Entstehung ist verbunden mit technischen Entdeckungen, mit unterschiedlichen Vorstellungen davon, was Logik ausmacht.mit verschiedenen Programmen der mathematischen Forschung und mit philosophischer und konzeptioneller Reflexion. Wenn also die Logik erster Ordnung „natürlich“ist, ist sie nur im Nachhinein natürlich. Die Geschichte ist kompliziert und an umstrittenen Stellen; Der folgende Eintrag kann nur einen Überblick geben. Diskussionen über verschiedene Aspekte der Entwicklung werden von Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, den Anmerkungen zu Hilbert [LFL] und dem enzyklopädisches Handbuch Gabbay & Woods 2009. Diskussionen über verschiedene Aspekte der Entwicklung werden von Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, den Anmerkungen zu Hilbert [LFL] und dem enzyklopädisches Handbuch Gabbay & Woods 2009. Diskussionen über verschiedene Aspekte der Entwicklung werden von Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, den Anmerkungen zu Hilbert [LFL] und dem enzyklopädisches Handbuch Gabbay & Woods 2009.

  • 1. George Boole
  • 2. Charles S. Peirce
  • 3. Gottlob Frege
  • 4. Ernst Schröder
  • 5. Giuseppe Peano
  • 6. Alfred North Whitehead und Bertrand Russell
  • 7. Leopold Löwenheim
  • 8. David Hilbert und Paul Bernays
  • 9. Thoralf Skolem
  • 10. Kurt Gödel
  • 11. Schlussfolgerungen
  • Literaturverzeichnis
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. George Boole

Das moderne Studium der Logik wird gewöhnlich auf 1847 datiert, mit dem Erscheinen von Booles mathematischer Analyse der Logik. Diese Arbeit stellte fest, dass Aristoteles 'syllogistische Logik in einen algebraischen Kalkül übersetzt werden kann, dessen Symbole Boole so interpretierte, dass sie sich entweder auf Klassen oder auf Sätze beziehen. Sein System umfasst die heutige sententiale (oder boolesche) Logik, kann aber auch rudimentäre Quantifizierungen ausdrücken. Zum Beispiel wird der Satz "Alle X sind Y s" in seinem System durch die Gleichung (xy = x) dargestellt, wobei die Multiplikation entweder als Schnittpunkt von Mengen oder als logische Konjunktion betrachtet wird. "Einige X sind Y" ist schwieriger und sein Ausdruck künstlicher. Boole führt eine (stillschweigend: nicht leere) Menge V ein, die die für X und Y gemeinsamen Elemente enthält. Der Satz wird dann geschrieben (xy = V) (1847: 21). Booles System kann in modernen Begriffen als Fragment einer monadischen Logik erster Ordnung angesehen werden. Es ist erster Ordnung, weil seine Notationsressourcen keine Quantifizierung ausdrücken können, die sich über Prädikate erstreckt. Es ist monadisch, weil es keine Notation für n -ary-Beziehungen hat. Und es ist ein Fragment, weil es keine verschachtelten Quantifizierungen ausdrücken kann („für jedes Mädchen gibt es einen Jungen, der sie liebt“). Aber das sind unsere Kategorien: nicht die von Boole. Sein logisches System hat keine Symbole, die den Quantifizierern entsprechen; Selbst ein eingeschränktes System quantitativer Logik zu nennen, ist anachronistisch. Es ist monadisch, weil es keine Notation für n -ary-Beziehungen hat. Und es ist ein Fragment, weil es keine verschachtelten Quantifizierungen ausdrücken kann („für jedes Mädchen gibt es einen Jungen, der sie liebt“). Aber das sind unsere Kategorien: nicht die von Boole. Sein logisches System hat keine Symbole, die den Quantifizierern entsprechen; Selbst ein eingeschränktes System quantitativer Logik zu nennen, ist anachronistisch. Es ist monadisch, weil es keine Notation für n -ary-Beziehungen hat. Und es ist ein Fragment, weil es keine verschachtelten Quantifizierungen ausdrücken kann („für jedes Mädchen gibt es einen Jungen, der sie liebt“). Aber das sind unsere Kategorien: nicht die von Boole. Sein logisches System hat keine Symbole, die den Quantifizierern entsprechen; Selbst ein eingeschränktes System quantitativer Logik zu nennen, ist anachronistisch.

Die beiden wichtigsten Erweiterungen von Booles System, die eine erkennbar moderne Logik hervorbrachten, waren (a) die Einführung von vielfach platzierten Beziehungen („x ist der Bruder von y“) zusätzlich zu einseitigen Prädikaten („x ist sterblich“); "X liegt zwischen y und z"); und (b) die Einführung einer Notation zur universellen und existenziellen Quantifizierung.

Zwei in der booleschen Tradition arbeitende Logiker führten diese Schritte aus. Der erste Schritt wurde teilweise von Augustus De Morgan (in De Morgan 1864) durchgeführt. Die zweite wurde von CS Peirce (in Peirce 1885) durchgeführt. Gottlob Frege arbeitete völlig unabhängig und führte beide Schritte in seiner Begriffsschrift von 1879 gleichzeitig aus. Die nachfolgende Geschichte über mehrere Jahrzehnte ist eine verzweigte Struktur, in der zahlreiche Forscher in unterschiedlichen Traditionen arbeiten und sich der Leistungen des anderen nur teilweise bewusst sind.

2. Charles S. Peirce

Peirce arbeitete in der algebraischen Tradition von Boole. Seine ersten Logikpapiere erschienen 1867; Sie vereinfachen das System von Boole, interpretieren die Vereinigung oder logische Addition (A + B) neu, sodass sie auch dann gilt, wenn A und B nicht disjunkt sind, korrigieren mehrere Fehler und untersuchen Zusammenhänge zwischen Logik, Arithmetik und Algebra.

Drei Jahre später brachte Peirce in seiner „Beschreibung einer Notation für die Logik der Verwandten“(1870) eine bedeutende Erweiterung von Booles System hervor. De Morgan hatte darauf hingewiesen (De Morgan 1864), dass die aristotelische Syllogistik nicht in der Lage war, mit Schlussfolgerungen wie „Wenn jeder Mensch ein Tier ist, dann ist jeder Kopf eines Menschen ein Kopf eines Tieres“umzugehen. De Morgan hatte eine Beziehungslogik eingeführt, das Gegenteil und das Gegenteil einer Beziehung definiert und für Beziehungen wie „X ist ein Liebhaber von Y“und „Z ist ein Diener von W“solche Zusammensetzungen von Beziehungen untersucht wie "X ist der Liebhaber eines Dieners von y". Diese Arbeit erweiterte erfolgreich die aristotelische Syllogistik, war aber auch in mehrfacher Hinsicht begrenzt. Erstens arbeitete De Morgan nur mit binären Beziehungen. Zweitens war seine Notation ungeschickt. (Beispielsweise:Wenn (X / pdot / pdot LY) bezeichnet, dass X ein Liebhaber von Y ist, dann bezeichnet (X / pdot LY), dass X kein Liebhaber von Y ist. De Morgan hat weder ein separates Zeichen für die Verneinung noch für die booleschen Satzverbindungen.)

Peirce bemerkte diese Mängel und zeigte 1870, wie man Booles Logik auf die gesamte Welt ausdehnt

der gesamte Bereich der formalen Logik, anstatt auf den einfachsten und am wenigsten nützlichen Teil des Themas beschränkt zu sein, die Logik der absoluten Begriffe, die, als [Boole] schrieb, die einzige bekannte formale Logik war.

Er studierte die Zusammensetzung der Beziehungen untereinander und mit Klassenbegriffen und erarbeitete die Hauptgesetze für das resultierende abstrakte algebraische System, um schließlich zu zeigen, dass die linearen assoziativen Algebren, die sein Vater (Benjamin Peirce, der Harvard-Mathematiker) studierte, alle sein könnten definiert in Bezug auf das, was er "elementare Verwandte" nannte. Sein System von 1870 ist zwar sowohl bei Boole als auch bei De Morgan ein großer Fortschritt, bleibt jedoch notatorisch umständlich, und im Nachhinein ist klar, dass es die Quantifizierungstheorie benötigt. Aber es war der erste erfolgreiche Versuch, Booles System auf die Logik der Beziehungen auszudehnen.

1880 beschrieb Peirce das Verfahren zur Reduktion der Formeln des Sententialkalküls auf die konjunktive und disjunktive Normalform und zeigte auch in unveröffentlichten Arbeiten, dass der Sententialkalkül aus dem einzigen Konnektiv der Gelenkverleugnung („weder p noch q“) erhalten werden kann. Sein 1881, "On the Logic of Number", untersuchte die Grundlagen der Arithmetik und analysierte die natürlichen Zahlen in diskreten, linear geordneten Mengen ohne maximales Element. Er gab informelle rekursive Definitionen von Addition und Multiplikation und bewies, dass beide Operationen assoziativ und kommutativ waren.

In zwei bemerkenswerten Arbeiten, der kurzen Notiz 1883 und der längeren „Über die Algebra der Logik“von 1885, führte er eine moderne Notation für das ein, was er als erster den „Quantifizierer“nannte. Er betrachtete seine Quantifizierer (für die er die Symbole (Pi) und (Sigma) verwendete) als eine Verallgemeinerung der Booleschen Konnektiva, wobei der universelle Quantifizierer (Pi) als (möglicherweise unendlich) interpretiert wurde) Konjunktion, so dass (Pi_x P (x)) verstanden wird als "a ist P und b ist P und c ist P und …". In ähnlicher Weise wird der existenzielle Quantifizierer (Sigma) als (möglicherweise unendliche) Summe verstanden: "a ist P oder b ist P oder c ist P oder …". Diese flexible (Pi) - und (Sigma) -Notation ermöglichte es ihm, verschachtelte Quantifizierungen leicht in jeder gewünschten Tiefe auszudrücken. Wenn also in seiner Notation (l_ {ij}) "i ist ein Liebhaber von j" darstellt,(Sigma_i / Sigma_j) (l_ {ij}) sagt uns, dass jemand jemanden liebt, während (Pi_i / Sigma_j) (l_ {ij}) uns sagt, dass jeder jemanden liebt. (Die Notation (Sigma) und (Pi) soll natürlich im booleschen Sinne die Analogie zu arithmetischen Summen und Produkten hervorheben.)

"Über die Algebra der Logik" ist auch aus anderen Gründen bemerkenswert. Es beginnt mit einer wichtigen Passage (§2) über die Aussagenrechnung, die die erste explizite Verwendung von zwei Wahrheitswerten enthält. Peirce beschreibt dann ein Entscheidungsverfahren für den Kalkül:

[T] um herauszufinden, ob eine Formel notwendigerweise wahr ist, ersetzen Sie die Buchstaben durch (mathbf {f}) und (mathbf {v}) und prüfen Sie, ob sie durch eine solche Zuweisung von Werten als falsch angenommen werden kann. (1885: 191)

Er verteidigt die materielle Implikation und zeigt, wie man Negation als Implikation und ein spezielles Symbol für Absurdität definiert. Im nächsten Abschnitt (§3) behandelt er das, was er nach den Schülern nennt, die „Logik der Beziehungen mit der ersten Absicht“. Hier prägt er den Begriff „Quantifizierer“; die Satzmatrix einer quantifizierten Formel nennt er "Boolian". In diesem Abschnitt erstrecken sich die Quantifizierer nur über die Individuen des Universums; Die "Logik der ersten Absicht" ist also erster Ordnung. Auch hier diskutierte er als erster die Regeln für die Umwandlung einer quantifizierten Formel in eine Prenex-Normalform. Der folgende Abschnitt (§4) trägt die Überschrift „Logik mit zweiter Absicht“. Es gibt eine klare Abgrenzung von der Logik der ersten Absicht von §3. Hier dürfen sich die Quantifizierer über Prädikate erstrecken;und er verwendet seine neue Notation, um die moderne Definition der Identität zweiter Ordnung anzugeben: Zwei Objekte sind identisch, nur für den Fall, dass sie dieselben Prädikate erfüllen.

Peirces Papier war seiner Zeit in vielerlei Hinsicht weit voraus. Seine scharfe Unterscheidung zwischen aussagekräftigen, erstabsichtlichen und zweitabsichtlichen logischen Systemen war erst in Hilbert in seinen Vorlesungen von 1917/18 in ihrer Klarheit zu übertreffen. Peirce war auch vorausschauend darin, die Quantifizierer als (möglicherweise unendliche) Summen und Produkte zu betrachten, eine Notation, die Löwenheim die Entdeckung des Löwenheim-Skolem-Theorems zu verdanken hatte und die eine bedeutende Rolle bei der Formulierung von Hilberts Beweis spielen sollte -theoretisches Programm in den 1920er Jahren. (Peirces logische Ideen waren in Kontinentaleuropa bekannt, da sie von Ernst Schröder aufgegriffen und in den drei Bänden seiner Algebra der Logik (1890–95) weit verbreitet wurden.)

Peirce hat diese verschiedenen Unterscheidungen - und insbesondere die Unterscheidung zwischen Logik erster und zweiter Ordnung - mit größerer Klarheit getroffen als jeder Logiker bis zu Hilberts Vorlesungen im Jahr 1917. Und im Gegensatz zu Hilbert war Peirce von den Schriften der mittelalterlichen Logiker durchdrungen. Er hat die philosophische Bedeutung der Argumente über die Realität der Universalien voll und ganz erkannt: Aus diesem Grund hat er klar zwischen der Logik von §2 und der von §3 unterschieden. Es stand ihm daher offen, ein nominalistisches Argument im Namen der Logik erster Ordnung und gegen die Logik zweiter Ordnung vorzubringen (oder zumindest zu prüfen). Abgesehen von einigen beiläufigen Bemerkungen hat er selbst seine Beobachtungen zur Logik der zweiten Absicht nicht weiterentwickelt.und es scheint wahrscheinlich, dass die moderne Unterscheidung zwischen Logik erster und höherer Ordnung eine Wiederentdeckung war, die Hilbert 1917/18 unabhängig gemacht hat, anstatt sich direkt von Peirce inspirieren zu lassen.

3. Gottlob Frege

Freges logische Beiträge wuchsen aus einem anderen Boden und wurden (soweit feststellbar) völlig unabhängig von der angloamerikanischen algebraischen Tradition von Boole, De Morgan und Peirce geleistet. Stattdessen haben sie ihre Wurzeln in der Arbeit an den Grundlagen der realen Analyse durch deutsche Mathematiker wie Dirichlet, Riemann, Weierstrass und Heine. Aus dieser Tradition ging Frege zunächst auf die Idee, eine strenge Grundlage für die Mathematik zu schaffen (ein Projekt, das in seinen Händen zum Projekt wurde, zu zeigen, dass Arithmetik auf den Gesetzen der Logik beruhen kann); und zweitens die zentralen mathematischen Konzepte von Funktion und Variable, die er anstelle der aristotelischen Konzepte von Prädikat und Subjekt verwendete. Dieser letzte Schritt führte ihn natürlich zu einer Logik der Beziehungen (da die in der Mathematik berücksichtigten Funktionen multivariat waren);und seine Analyse der mathematischen Folgerung führte ihn auch dazu, eine Notation für die quantifizierende Logik einzuführen. (Mathematiker wie Weierstrass waren in seiner Analyse des Grenzwertkonzepts bereits sensibel für die „Verschachtelung“von Quantifizierern und die Bedeutung ihrer Reihenfolge: für den Unterschied, zum Beispiel zwischen der Aussage „für jedes (varepsilon) es gibt ein (delta) "und" es gibt ein (delta), so dass für jedes (varepsilon) ". Was jetzt benötigt wurde und was Frege lieferte, war eine formale Sprache zum Ausdrücken und machen Sie die quantifizierenden Schlussfolgerungen deutlich, die bereits in der Arbeit der deutschen Analytiker vorhanden sind.) So unternahm Frege in der Begriffsschrift von 1879 auf einen Schlag die beiden Hauptschritte über die traditionellen logischen Beziehungen und Quantifizierer hinaus, die die algebraische Tradition eingeschlagen hatte getrennt und Jahrzehnte auseinander.

Das logische System von Frege hatte gegenüber Peirce mehrere Vorteile. Seine axiomatische Darstellung eines rein syntaktischen Kalküls war wesentlich präziser, und seine Analyse des Zahlenkonzepts ging tiefer. Sein System ermöglichte die Quantifizierung von Variablen und Funktionen. Dies war ein zentraler Bestandteil seines Programms zur Bereitstellung einer logischen Grundlage für die Arithmetik, da in seinem logischen System Identität, Kardinalzahl und mathematische Induktion über Quantifizierungen höherer Ordnung definiert wurden. In seinen Grundlagen (1884) unterscheidet er zwischen Begriffen unterschiedlicher Ordnung, so dass, wenn Begriff A unter Begriff B fällt, B „zweiter Ordnung“ist (§53). Bei der technischeren Behandlung in seinen Grundgesetzen (1893) berücksichtigte er Quantifizierungen dritter Ordnung, obwohl seine tatsächliche Ableitung der Arithmetik vollständig innerhalb der Logik zweiter Ordnung erfolgte.

Frege war damit einer der ersten Logiker, der die Bedeutung einer Hierarchie logischer Ebenen erkannte. Seine Entdeckung war praktisch zeitgleich mit der von Peirce und kam völlig unabhängig zur Verfolgung verschiedener Ziele. Freges Entdeckung sollte die größere Wirkung haben. Es bildete die Grundlage für Russells Typentheorie (und beeinflusste auch Jahrzehnte später Carnap, der bei Frege Logik studierte).

Obwohl Frege zwischen logischen Ebenen unterschied, isolierte er den Teil seines Quantifizierungssystems, der sich nur über Variablen erster Ordnung erstreckt, nicht als eigenständiges Logiksystem, und es wäre für ihn auch nicht selbstverständlich gewesen, dies zu tun. In dieser Hinsicht gibt es einen signifikanten Kontrast zu Peirce. Freges Projekt sollte zeigen, dass Arithmetik auf den Gesetzen der Logik beruhen kann: Für ihn gab es nur eine Logik, und Logik beinhaltete notwendigerweise die Logik von Konzepten höherer Ordnung. Im Gegensatz dazu lehnte Peirce die Vorstellung einer einzigen, übergreifenden Logik ab und dachte stattdessen in Logiken, die je nach „Universum des Diskurses“variieren. Vor allem aus diesem Grund kam er in seiner Arbeit von 1885 der Isolierung des Satzkalküls, der „Logik der ersten Absicht“und der „Logik der zweiten Absicht“als getrennte Systeme näher. Jeder für sich studienwürdig: In dieser Hinsicht war er den modernen Vorstellungen näher als Frege. Es gibt einen weiteren und subtileren Unterschied. Peirces (Sigma) und (Pi) Notation für die Quantifizierer wurde explizit als (möglicherweise unendliche) Konjunktionen und Disjunktionen von Aussagen über Individuen konzipiert. Dies ist eine sehr suggestive Konzeption, die in Freges Notationssystem schwer darzustellen ist. Löwenheim sollte es in seinen frühen Arbeiten in der Modelltheorie nutzen, was zu technischen Entdeckungen führte, die letztendlich die Aufmerksamkeit auf die Logik erster Ordnung lenken sollten. Aber all diese Arbeiten liegen Jahrzehnte in der Zukunft, und weder Frege noch Peirce kann ein modernes Verständnis des Unterschieds zwischen Logik erster und höherer Ordnung zugeschrieben werden. Er war modernen Vorstellungen näher als Frege. Es gibt einen weiteren und subtileren Unterschied. Peirces (Sigma) und (Pi) Notation für die Quantifizierer wurde explizit als (möglicherweise unendliche) Konjunktionen und Disjunktionen von Aussagen über Individuen konzipiert. Dies ist eine sehr suggestive Konzeption, die in Freges Notationssystem schwer darzustellen ist. Löwenheim sollte es in seinen frühen Arbeiten in der Modelltheorie nutzen, was zu technischen Entdeckungen führte, die letztendlich die Aufmerksamkeit auf die Logik erster Ordnung lenken sollten. Aber all diese Arbeiten liegen Jahrzehnte in der Zukunft, und weder Frege noch Peirce kann ein modernes Verständnis des Unterschieds zwischen Logik erster und höherer Ordnung zugeschrieben werden. Er war modernen Vorstellungen näher als Frege. Es gibt einen weiteren und subtileren Unterschied. Peirces (Sigma) und (Pi) Notation für die Quantifizierer wurde explizit als (möglicherweise unendliche) Konjunktionen und Disjunktionen von Aussagen über Individuen konzipiert. Dies ist eine sehr suggestive Konzeption, die in Freges Notationssystem schwer darzustellen ist. Löwenheim sollte es in seinen frühen Arbeiten in der Modelltheorie nutzen, was zu technischen Entdeckungen führte, die letztendlich die Aufmerksamkeit auf die Logik erster Ordnung lenken sollten. Aber all diese Arbeiten liegen Jahrzehnte in der Zukunft, und weder Frege noch Peirce kann ein modernes Verständnis des Unterschieds zwischen Logik erster und höherer Ordnung zugeschrieben werden. Peirces (Sigma) und (Pi) Notation für die Quantifizierer wurde explizit als (möglicherweise unendliche) Konjunktionen und Disjunktionen von Aussagen über Individuen konzipiert. Dies ist eine sehr suggestive Konzeption, die in Freges Notationssystem schwer darzustellen ist. Löwenheim sollte es in seinen frühen Arbeiten in der Modelltheorie nutzen, was zu technischen Entdeckungen führte, die letztendlich die Aufmerksamkeit auf die Logik erster Ordnung lenken sollten. Aber all diese Arbeiten liegen Jahrzehnte in der Zukunft, und weder Frege noch Peirce kann ein modernes Verständnis des Unterschieds zwischen Logik erster und höherer Ordnung zugeschrieben werden. Peirces (Sigma) und (Pi) Notation für die Quantifizierer wurde explizit als (möglicherweise unendliche) Konjunktionen und Disjunktionen von Aussagen über Individuen konzipiert. Dies ist eine sehr suggestive Konzeption, die in Freges Notationssystem schwer darzustellen ist. Löwenheim sollte es in seinen frühen Arbeiten in der Modelltheorie nutzen, was zu technischen Entdeckungen führte, die letztendlich die Aufmerksamkeit auf die Logik erster Ordnung lenken sollten. Aber all diese Arbeiten liegen Jahrzehnte in der Zukunft, und weder Frege noch Peirce kann ein modernes Verständnis des Unterschieds zwischen Logik erster und höherer Ordnung zugeschrieben werden. Löwenheim sollte es in seinen frühen Arbeiten in der Modelltheorie nutzen, was zu technischen Entdeckungen führte, die letztendlich die Aufmerksamkeit auf die Logik erster Ordnung lenken sollten. Aber all diese Arbeiten liegen Jahrzehnte in der Zukunft, und weder Frege noch Peirce kann ein modernes Verständnis des Unterschieds zwischen Logik erster und höherer Ordnung zugeschrieben werden. Löwenheim sollte es in seinen frühen Arbeiten in der Modelltheorie nutzen, was zu technischen Entdeckungen führte, die letztendlich die Aufmerksamkeit auf die Logik erster Ordnung lenken sollten. Aber all diese Arbeiten liegen Jahrzehnte in der Zukunft, und weder Frege noch Peirce kann ein modernes Verständnis des Unterschieds zwischen Logik erster und höherer Ordnung zugeschrieben werden.

4. Ernst Schröder

Freges Beiträge wurden nicht sofort verstanden oder gewürdigt, und im letzten Jahrzehnt des Jahrhunderts wurde die Logik von den drei Bänden von Ernst Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik (1890–95) dominiert. Schröder behandelte die logische Arbeit von Boole und Peirce enzyklopädisch und systematisierte und erweiterte ihre Ergebnisse. Peirces Quantifizierer erscheinen in Band zwei, aber die Unterscheidung zwischen Quantifizierung erster und zweiter Ordnung wird nicht mit vergleichbarer Klarheit getroffen. Wie Frege in seiner Rezension (1895) hervorhob, unterschied Schröders Notation die Mengenzugehörigkeit nicht von der Teilmengenbeziehung, und daher kann es schwierig sein zu sagen, ob er beabsichtigt, dass eine bestimmte Quantifizierung über die Teilmengen einer Domäne reicht (dh zweiter Ordnung sein) oder über seinen Elementen (dh erster Ordnung sein). Schröder verwendet sowohl Quantifizierungen zweiter als auch erster Ordnung; und in seinem dritten Band verwendete er die Technik, eine Quantifizierung zweiter Ordnung zu einem unendlichen Produkt von Quantifizierungen erster Ordnung zu erweitern - eine Technik, die eine Entwicklung der Peircian-Produktnotation war und die den Ausgangspunkt für die Untersuchungen von liefern sollte Löwenheim. Schröder extrahiert jedoch kein Teilsystem der Logik erster Ordnung aus seinem breiteren System und behandelt die Unterscheidung von Ordnungen weder mathematisch noch philosophisch als von großer Bedeutung. In diesem Sinne ist er weniger klar als Peirces Artikel von 1885. (Eine hilfreiche Analyse von Schröders logischer Arbeit ist in Brady 2000 enthalten.)und in seinem dritten Band verwendete er die Technik, eine Quantifizierung zweiter Ordnung zu einem unendlichen Produkt von Quantifizierungen erster Ordnung zu erweitern - eine Technik, die eine Entwicklung der Peircian-Produktnotation war und die den Ausgangspunkt für die Untersuchungen von liefern sollte Löwenheim. Schröder extrahiert jedoch kein Teilsystem der Logik erster Ordnung aus seinem breiteren System und behandelt die Unterscheidung von Ordnungen weder mathematisch noch philosophisch als von großer Bedeutung. In diesem Sinne ist er weniger klar als Peirces Artikel von 1885. (Eine hilfreiche Analyse von Schröders logischer Arbeit ist in Brady 2000 enthalten.)und in seinem dritten Band verwendete er die Technik, eine Quantifizierung zweiter Ordnung zu einem unendlichen Produkt von Quantifizierungen erster Ordnung zu erweitern - eine Technik, die eine Entwicklung der Peircian-Produktnotation war und die den Ausgangspunkt für die Untersuchungen von liefern sollte Löwenheim. Schröder extrahiert jedoch kein Teilsystem der Logik erster Ordnung aus seinem breiteren System und behandelt die Unterscheidung von Ordnungen weder mathematisch noch philosophisch als von großer Bedeutung. In diesem Sinne ist er weniger klar als Peirces Artikel von 1885. (Eine hilfreiche Analyse von Schröders logischer Arbeit ist in Brady 2000 enthalten.)Schröder extrahiert jedoch kein Teilsystem der Logik erster Ordnung aus seinem breiteren System und behandelt die Unterscheidung von Ordnungen weder mathematisch noch philosophisch als von großer Bedeutung. In diesem Sinne ist er weniger klar als Peirces Artikel von 1885. (Eine hilfreiche Analyse von Schröders logischer Arbeit ist in Brady 2000 enthalten.)Schröder extrahiert jedoch kein Teilsystem der Logik erster Ordnung aus seinem breiteren System und behandelt die Unterscheidung von Ordnungen weder mathematisch noch philosophisch als von großer Bedeutung. In diesem Sinne ist er weniger klar als Peirces Artikel von 1885. (Eine hilfreiche Analyse von Schröders logischer Arbeit ist in Brady 2000 enthalten.)

5. Giuseppe Peano

In seinem Jahr 1889 führte Giuseppe Peano unabhängig von Peirce und Frege eine Notation zur universellen Quantifizierung ein. Wenn a und b Sätze mit den freien Variablen (x, y, / ldots) sind, dann symbolisiert (a / mathbin { revc_ {x, y, / ldots}} b): Was auch immer (x, y, / ldots) kann sein, aus dem Satz a leitet man b ab. Man zögert, dies eine Notation für den universellen Quantifizierer zu nennen, da die Quantifizierung nicht vom Vorzeichen für die materielle Implikation trennbar ist: Notational ist dies ein beträchtlicher Rückschritt von Peirce. Peano unterscheidet außerdem nicht die Quantifizierung erster Ordnung von der Quantifizierung zweiter Ordnung. In seinem Aufsatz ging es darum, die Prinzipien der Arithmetik in logischer Symbolik darzustellen, und seine Formulierung des Prinzips der mathematischen Induktion kann von unseren Lichtern als zweitrangig angesehen werden: aber nur stillschweigend. Dies war eine Unterscheidung, der er (wiederum anders als Peirce) keine Bedeutung beigemessen zu haben scheint. Er fügte der mathematischen Logik jedoch eine Reihe neuer Symbole hinzu, die Einfluss auf die Arbeit von Whitehead und Russell in Principia Mathematica haben sollten. und eines der Symbole war die Notation (existiert) für den existenziellen Quantifizierer. (Seltsamerweise hat Peano kein paralleles Symbol für den universellen Quantifizierer eingeführt. Es scheint Whitehead gewesen zu sein, der die ((x)) - Notation in Principia eingeführt hat, und Hilbert, der das Symbol (forall) eingeführt hat.)(Seltsamerweise hat Peano kein paralleles Symbol für den universellen Quantifizierer eingeführt. Es scheint Whitehead gewesen zu sein, der die ((x)) - Notation in Principia eingeführt hat, und Hilbert, der das Symbol (forall) eingeführt hat.)(Seltsamerweise hat Peano kein paralleles Symbol für den universellen Quantifizierer eingeführt. Es scheint Whitehead gewesen zu sein, der die ((x)) - Notation in Principia eingeführt hat, und Hilbert, der das Symbol (forall) eingeführt hat.)

6. Alfred North Whitehead und Bertrand Russell

Russells Entdeckung des Russell-Paradoxons im Jahr 1901 veranlasste ihn innerhalb weniger Monate in einem Brief an Frege (Frege [PMC]: 144), eine vorläufige Version der Typentheorie vorzuschlagen. Die zentrale Idee übernahm er aus Freges Theorie der Funktionen erster, zweiter und höherer Ordnung. Russell präsentierte eine Version seiner Theorie in einem Anhang zu den Prinzipien der Mathematik (1903) und dann in einer ausgereiften Form in seiner „Mathematischen Logik auf der Grundlage der Theorie der Typen“(1908), die die konzeptionellen Grundlagen für Principia Mathematica bildete. Russell betrachtet das Universum als in Ebenen oder Typen gestreift. Der erste Typ umfasst die Individuen; der zweite Typ umfasst die Sätze "erster Ordnung", deren Quantifizierer sich über die Individuen des ersten Typs erstrecken; allgemein,Die Quantifizierer in Sätzen des n + 1. Typs liegen über Sätzen des n-ten Typs. Russells System umfasst in der Tat zwei unterschiedliche Hierarchien: eine, um die Paradoxien der Mengenlehre zu behandeln (insbesondere um zu verhindern, dass Mengen Elemente ihrer selbst sind); der andere befasst sich mit den semantischen Paradoxien (wie dem Paradox des Lügners). Diese doppelte Struktur, die in zwei Richtungen verzweigt, gibt seiner Theorie den Namen "verzweigte Typentheorie". Um eine klassische Analyse etablieren zu können, war er gezwungen, das Axiom der Reduzierbarkeit zu übernehmen, das vorsieht, dass jede Funktion der Ebene (n + 1) mit einem Prädikat der Funktion der niedrigeren Ebene koextensiv ist. Das System war immens kompliziert; mit der Zeit durch Chwistek, Ramsey, Carnap, Tarski und Church,Es wurde erkannt, dass die Hierarchie, die sich mit den semantischen Paradoxien befasst, weggeschnitten werden kann, so dass die „einfache Typentheorie“erhalten bleibt. (Eine Übersicht über diese Entwicklung findet sich in Church 1974 und detaillierte Untersuchungen von Russells Theorie in Landini 1998 und Linsky 2011.)

Russell und Whitehead besaßen somit eine Notation für die beiden Quantifizierer sowie eine Unterscheidung zwischen Quantifizierungen des ersten und höheren Typs. Dies ist jedoch nicht gleichbedeutend mit einer Konzeption der Logik erster Ordnung, die als freistehendes logisches System konzipiert ist und für sich genommen studienwürdig ist. Es gab im Wesentlichen zwei Dinge, die den Weg versperrten. Erstens (und im Gegensatz zu Peirce) war ihr Untersuchungsgegenstand nicht mehrere logische Systeme, sondern logisch vor Gericht: Sie zeigen kein Interesse daran, ein Fragment für ein separates Studium abzuspalten, geschweige denn zu argumentieren, dass das Fragment erster Ordnung ein Privileg besitzt Status. Im Gegenteil: Wie bei Frege bestand das Ziel von Principia darin zu zeigen, dass Mathematik auf Logik reduziert werden kann.und für Whitehead und Russell umfasste die Logik den gesamten Apparat der verzweigten Typentheorie (zusammen mit den Axiomen der Unendlichkeit, Wahl und Reduzierbarkeit). Zweitens, obwohl Principia eine Axiomatisierung der Typentheorie lieferte (und somit als Spezifizierung einer Konzeption deduktiver Konsequenz angesehen werden kann), betrachteten Whitehead und Russell ihr System als ein interpretiertes System, das die Wahrheiten der Logik darstellte, und nicht als einen formalen Kalkül in der Sinn von Hilbert. Hilbert sollte ihre Axiomatisierung als Ausgangspunkt für seine eigenen Axiomatisierungen verschiedener Logiksysteme verwenden; Aber bis die Unterscheidung zwischen Logik und Metalogik formuliert war, kam es natürlich niemandem in den Sinn, die metalogischen Fragen der Vollständigkeit, Konsistenz und Entscheidbarkeit zu stellen.oder solche Angelegenheiten wie die Beziehung zwischen deduktiver und semantischer Vollständigkeit oder Fehler der Kategorisierung zu untersuchen; und erst als solche Begriffe in den Mittelpunkt der Aufmerksamkeit gerieten, wurde die Bedeutung der Logik erster Ordnung offensichtlich.

7. Leopold Löwenheim

1915 veröffentlichte Löwenheim sein Wahrzeichen „Über mögliche im Relativkalkül“. Dieses Papier, das in der Tradition des Peirce-Schroeder-Kalküls der Verwandten verfasst wurde, begründete den ersten signifikanten metallogischen Satz; Unter bestimmten Gesichtspunkten markiert es den Beginn der Modelltheorie. Löwenheim betrachtete eine Klasse von Zählausweisen, deren Quantifizierer sich nur über den Bereich der Objekte im Universum erstrecken, nicht aber über Verwandte; er bewies dann, dass für jeden solchen Zählausdruck, wenn er erfüllbar ist, er in einem denumerierbaren Bereich erfüllbar ist. In der modernen Terminologie sind seine „Zählausdrücke“Formeln der Logik erster Ordnung; Seine Terminologie zeigt jedoch keinen Einfluss auf Peirces Logik der „ersten Absicht“oder auf Russells Typentheorie. Löwenheim, wie alle Logiker dieser Zeit,besaß nicht die Unterscheidung zwischen einer Objektsprache und einer Metasprache. Sein Beweis ist schwer zu verfolgen, und die genauen Einzelheiten seines Satzes - von dem, was er zu beweisen glaubte und was er tatsächlich bewiesen hatte - waren Gegenstand umfangreicher wissenschaftlicher Diskussionen. (Eine Übersicht über die unterschiedlichen Interpretationen liefern Mancosu, Zach & Badesa 2009 und eine detaillierte Rekonstruktion des Beweises selbst durch Badesa 2004.) Das Papier scheint keinen Einfluss gehabt zu haben, bis Skolem seine Ergebnisse 1920 schärfte und erweiterte. Löwenheim isolierte wie Peirce und Russell weder ein axiomatisches System, das Logik erster Ordnung umfasste, noch unterschied er zwischen Syntax und Semantik. Noch weniger argumentiert er, dass seine Klasse des „Zählens von Ausdrücken“in gewisser Weise logisch privilegiert ist und eine bevorzugte Grundlage für die Mathematik bietet. Das Löwenheim-Theorem sollte rechtzeitig als Isolation einer grundlegenden Eigenschaft der Logik erster Ordnung anerkannt werden. Die vollständigen Auswirkungen seines Ergebnisses sollten jedoch erst später klar werden, nachdem Hilbert die metamathematische Untersuchung logischer Systeme eingeführt hatte. (Übrigens schrieb Löwenheim der eleganten (Sigma) und (Pi) Symbolik von Peirce zu, die unendlichen Erweiterungen vorzuschlagen, die für seinen Beweis notwendig waren, und es ist schwer zu erkennen, wie er seinen Satz mit irgendeiner hätte erhalten können von den anderen damals angebotenen quantitativen Notationen verteidigte er noch energisch die Vorteile der Peirce-Schroeder-Notation gegen die Notation von Principia noch Löwenheim 1940.)Die vollständigen Auswirkungen seines Ergebnisses sollten jedoch erst später klar werden, nachdem Hilbert die metamathematische Untersuchung logischer Systeme eingeführt hatte. (Übrigens schrieb Löwenheim der eleganten (Sigma) und (Pi) Symbolik von Peirce zu, die unendlichen Erweiterungen vorzuschlagen, die für seinen Beweis notwendig waren, und es ist schwer zu erkennen, wie er seinen Satz mit irgendeiner hätte erhalten können von den anderen damals angebotenen quantitativen Notationen verteidigte er noch energisch die Vorteile der Peirce-Schroeder-Notation gegen die Notation von Principia noch Löwenheim 1940.)Die vollständigen Auswirkungen seines Ergebnisses sollten jedoch erst später klar werden, nachdem Hilbert die metamathematische Untersuchung logischer Systeme eingeführt hatte. (Übrigens schrieb Löwenheim der eleganten (Sigma) und (Pi) Symbolik von Peirce zu, die unendlichen Erweiterungen vorzuschlagen, die für seinen Beweis notwendig waren, und es ist schwer zu erkennen, wie er seinen Satz mit irgendeiner hätte erhalten können von den anderen damals angebotenen quantitativen Notationen verteidigte er noch energisch die Vorteile der Peirce-Schroeder-Notation gegen die Notation von Principia noch Löwenheim 1940.)und es ist schwer zu erkennen, wie er seinen Satz mit einer der anderen damals angebotenen quantitativen Notationen hätte erhalten können. Noch in Löwenheim 1940 verteidigte er energisch die Vorteile der Peirce-Schroeder-Notation gegen die Notation von Principia.)und es ist schwer zu erkennen, wie er seinen Satz mit einer der anderen damals angebotenen quantitativen Notationen hätte erhalten können. Noch in Löwenheim 1940 verteidigte er energisch die Vorteile der Peirce-Schroeder-Notation gegen die Notation von Principia.)

8. David Hilbert und Paul Bernays

Lassen Sie uns kurz eine Bestandsaufnahme der Situation von 1915 machen. Peirce hatte zwischen Logik erster und zweiter Ordnung unterschieden, aber die Unterscheidung nicht mathematisch verwendet, und sie fiel aus dem Blickfeld. Sowohl Frege als auch Russell hatten Versionen der Mehrebenentypentheorie formuliert, aber keines hatte das Fragment erster Ordnung als studienwürdiges Objekt herausgegriffen. Die amerikanischen Postulattheoretiker Edward Huntington und Oswald Veblen hatten verschiedene Vorstellungen von Vollständigkeit und Kategorisierung formuliert, und Veblen hatte bemerkt, dass die axiomatische Deduzierbarkeit von der semantischen Implikation abweichen könnte (Awodey & Reck 2002: 15–19). Aber Veblen besaß keine genaue Charakterisierung des formalen Abzugs, und seine Beobachtung blieb träge. Löwenheim hatte einen tiefen Satz darüber bewiesen, was im Nachhinein als Formeln erster Ordnung charakterisiert werden könnte.hatte aber kein System der Logik erster Ordnung isoliert. Ein ähnlicher Punkt gilt für Hermann Weyl, der 1910 (tatsächlich) vorschlug, die Logik erster Ordnung zu verwenden, um das Konzept der „bestimmten Eigenschaft“in Zermelos Axiom der Trennung zu präzisieren. Aber auch dies ist eine retrospektive Charakterisierung, und Weyls Interesse galt der Mengenlehre, nicht der Untersuchung eines Systems der Logik erster Ordnung.

Der nächste große Schritt wurde von David Hilbert in seinem Vorlesungskurs Prinzipien der Mathematik unternommen, der im Wintersemester 1917/18 in Göttingen gehalten wurde. Hilbert hatte in den Jahren 1899–1905 Vorträge gehalten und zu grundlegenden Themen veröffentlicht; In der Zwischenzeit, als er sich auf andere Themen konzentrierte, hatten die Veröffentlichungen aufgehört, obwohl die umfangreichen Vorlesungen im Klassenzimmer fortgesetzt wurden. Er hielt sich über aktuelle Entwicklungen auf dem Laufenden und wurde insbesondere über die logische Arbeit von Whitehead und Russell weitgehend durch seinen Schüler Heinrich Behmann informiert. Im September 1917 hielt er in Zürich seinen programmatischen Vortrag „Axiomatisches Denken“, in dem er eine axiomatische Behandlung der Logik nach dem Vorbild forderte, die er zuvor in seiner Axiomatisierung der Geometrie untersucht hatte, und explizit metallogische Untersuchungen vorschlug:

Wenn wir die Angelegenheit genauer betrachten, erkennen wir bald, dass die Frage der Konsistenz für ganze Zahlen und für Mengen nicht allein steht, sondern zu einem weiten Bereich schwieriger erkenntnistheoretischer Fragen gehört, die einen spezifisch mathematischen Farbton haben: zum Beispiel (um diesen Bereich von Fragen kurz zu charakterisieren), das Problem der Lösbarkeit im Prinzip jeder mathematischen Frage, das Problem der anschließenden Überprüfbarkeit der Ergebnisse einer mathematischen Untersuchung, die Frage eines Kriteriums der Einfachheit für mathematische Beweise, die Frage von die Beziehung zwischen Inhalt und Formalismus in Mathematik und Logik und schließlich das Problem der Entscheidbarkeit einer mathematischen Frage in einer endlichen Anzahl von Operationen. (Hilbert 1917: 412–413)

Auf dieser Reise nach Zürich lud er Paul Bernays ein, als sein Assistent in grundlegenden Angelegenheiten nach Göttingen zurückzukehren. Obwohl Bernays wenig Erfahrung mit Stiftungen hatte, stellte sich heraus, dass dies eine kluge Wahl war und der Beginn einer engen und fruchtbaren Forschungspartnerschaft.

Die Göttinger Vorlesungen, die kurz auf die Zürcher Ansprache folgten (und die in einem offiziellen Protokoll von Bernays aufgezeichnet wurden), sind ein bemerkenswertes Dokument und markieren die Geburt der modernen mathematischen Logik. Sie sind im Wesentlichen die gleichen wie die veröffentlichte Monographie „Hilbert und Ackermann“(1928) und könnten auch heute noch mit bescheidener Ergänzung als einführendes Lehrbuch für Logik dienen. Hilbert unterscheidet zum ersten Mal deutlich die Metasprache von der Objektsprache und präsentiert Schritt für Schritt eine Folge formaler logischer Kalküle mit allmählich zunehmender Stärke. Jeder Kalkül wird seinerseits sorgfältig studiert; Seine Stärken und Schwächen werden identifiziert und ausgewogen, und die Analyse der Schwächen wird verwendet, um den Übergang zum nächsten Kalkül vorzubereiten. Er beginnt mit dem Satzkalkül,Dann geht es zur monadischen Quantifizierungslogik (mit einer ausführlichen Diskussion des Klassenkalküls und des aristotelischen Syllogismus) und dann zum „Funktionskalkül“.

Die Funktionsrechnung ist ein System von (vielfach sortierter) Logik erster Ordnung mit Variablen für Sätze sowie für Beziehungen. Hier begegnen wir zum ersten Mal einer präzisen, modernen Formulierung der Logik erster Ordnung, die sich auf axiomatischer Grundlage klar von den anderen Kalkülen unterscheidet und deren metallogische Fragen explizit formuliert sind. Hilbert schließt seine Diskussion der Logik erster Ordnung mit der Bemerkung ab:

Die grundlegende Diskussion des logischen Kalküls könnte hier aufhören, wenn wir kein anderes Ziel für diesen Kalkül im Auge hätten als die Formalisierung der logischen Folgerung. Mit dieser Anwendung der symbolischen Logik können wir uns jedoch nicht zufrieden geben. Wir wollen nicht nur in der Lage sein, einzelne Theorien auf rein formale Weise aus ihren Prinzipien zu entwickeln, sondern wir wollen auch die Grundlagen der mathematischen Theorien selbst untersuchen und untersuchen, wie sie mit Logik zusammenhängen und wie weit sie aufgebaut werden können aus rein logischen Operationen und Konzeptbildungen; und zu diesem Zweck soll der logische Kalkül uns als Werkzeug dienen. (1917/18: 188)

Dies führt ihn als nächstes dazu, Logik höherer Ordnung einzuführen und von dort aus eine Betrachtung logischer Paradoxien und ihrer Auflösung durch Russells verzweigte Typentheorie; Das Axiom der Reduzierbarkeit wird kurz diskutiert und als Grundlage für die Mathematik übernommen. Das Vorlesungsprotokoll endet mit dem Satz:

Somit ist klar, dass die Einführung des Axioms der Reduzierbarkeit das geeignete Mittel ist, um die Berechnung der Ebenen in ein System umzuwandeln, aus dem die Grundlagen für die höhere Mathematik entwickelt werden können.

Dieser Satz erschien im Wesentlichen unverändert, als die Vorlesungen von 1917 als Monographie überarbeitet wurden (Hilbert & Ackermann 1928).

Hilbert geht in seinen Vorlesungen auf die metallogischen Fragen ein, die er im „Axiomatischen Denken“gestellt hatte, und zeigt (zumindest stillschweigend), wie die Fragen der Vollständigkeit, Konsistenz und Entscheidbarkeit für den Satzfall zu beantworten sind. Die Vollständigkeitsfrage für die Logik erster Ordnung wird in Bernays Vorlesungsprotokoll nicht explizit aufgeworfen, obwohl ein aufmerksamer Leser sie leicht als offenes Problem erkannt hätte. Im folgenden Sommer verfasste Bernays eine Habilitationsarbeit, in der er mit voller Genauigkeit eine axiomatische Analyse der Aussagenlogik nach Hilbert entwickelte. Er präsentiert das axiomatische System als einen nicht interpretierten formalen Kalkül; liefert ihm eine Semantik; und beweist dann den Vollständigkeitssatz, der die Syntax mit der Semantik in der Form „Jede nachweisbare Formel ist universell gültig und umgekehrt“verbindet. Anschließend untersucht er Fragen der Entscheidbarkeit, Konsistenz und der gegenseitigen Unabhängigkeit verschiedener Axiomkombinationen.

Die Hilbert-Vorlesungen von 1917 und die Bernays-Habilitation von 1918 sind ein Meilenstein in der Entwicklung der Logik erster Ordnung. In den Vorlesungen wird erstmals die Logik erster Ordnung als axiomatisches logisches System vorgestellt, das sich für das Studium mit den neuen metallogischen Techniken eignet. Es waren diese metallogischen Techniken, die den entscheidenden Fortschritt gegenüber Peirce und Frege und Russell darstellten und die rechtzeitig waren, um die Logik erster Ordnung in den Fokus zu rücken. Aber das geschah nicht sofort, und es lag noch viel Arbeit vor uns. In den Vorlesungen von 1917/18 wurden Hilberts Abfolge logischer Kalküle als Sprungbrett auf dem Weg zur vollständigen verzweigten Typentheorie höherer Ordnung vorgestellt, die er weiterhin als den „richtigen“logischen Rahmen für die Untersuchung der Grundlagen der Mathematik ansah. Es war für Hilbert charakteristisch, komplexe mathematische Phänomene in ihre Elemente zu zerlegen: Die Abfolge der Kalküle kann als Zerlegung der Logik höherer Ordnung in ihre einfacheren Bestandteile angesehen werden, die seinen Schülern genau die Schritte offenbaren, die zum Aufbau des Ganzen führten System. Obwohl er den Funktionskalkül diskutiert, hebt er ihn nicht für besondere Aufmerksamkeit hervor. Mit anderen Worten (und wie bei Peirce vor drei Jahrzehnten) wird die Logik erster Ordnung hauptsächlich als Expository-Gerät eingeführt: Ihre Bedeutung war noch nicht klar.er hebt es nicht für besondere Aufmerksamkeit hervor. Mit anderen Worten (und wie bei Peirce vor drei Jahrzehnten) wird die Logik erster Ordnung hauptsächlich als Expository-Gerät eingeführt: Ihre Bedeutung war noch nicht klar.er hebt es nicht für besondere Aufmerksamkeit hervor. Mit anderen Worten (und wie bei Peirce vor drei Jahrzehnten) wird die Logik erster Ordnung hauptsächlich als Expository-Gerät eingeführt: Ihre Bedeutung war noch nicht klar.

Darüber hinaus ist Hilberts eigene Behandlung der metallogischen Fragen etwas voreilig und informell. Er experimentiert mit mehreren Versionen des Konzepts der „Vollständigkeit“: Man hat das Gefühl, schnell neue Wege zu beschreiten, und war sich noch nicht sicher, welche Konzepte sich als am fruchtbarsten erweisen würden. Sein Beweis für die Vollständigkeit der Aussagenrechnung ist eine bloße Skizze und wird in eine Fußnote verwiesen; Das parallele Problem für die Logik erster Ordnung wird nicht einmal als Vermutung aufgeworfen. Noch bemerkenswerter, als Bernays schließlich 1926 seine Habilitation veröffentlichte, ließ er seinen Beweis des Vollständigkeitssatzes aus, weil (wie er später reumütig sagte) das Ergebnis zu der Zeit einfach und unwichtig schien. (Zur Diskussion dieses Punktes siehe Hilbert [LFL]: 229. Für leicht verfügbare allgemeine Diskussionen siehe Sieg 1999, Zach 1999,und die in Sieg 2013 gesammelten Aufsätze; Für die Originaldokumente und die detaillierte Analyse siehe Hilbert [LFL.]

Mit anderen Worten, selbst in Göttingen in den 1920er Jahren fehlte ein umfassendes Verständnis der Bedeutung der Ideen, die Hilbert 1917 eingeführt hatte. Die Hilbert-Schule betrachtete in den 1920er Jahren die Logik erster Ordnung als Fragment der Typentheorie und machte kein Argument dafür als ein einzigartig bevorzugtes System. Erst in der Monographie Hilbert & Ackermann 1928 (und der zeitgenössischen „Bologna Lecture“, Hilbert 1928) machte Hilbert ausdrücklich auf die Vollständigkeit der Logik erster Ordnung als offene Frage aufmerksam. Das war der Grundstein für die Arbeit von Gödel: Aber bevor wir dazu kommen, müssen wir einen chronologischen Schritt zurück machen.

9. Thoralf Skolem

Skolem besuchte im Winter 1915/16 Göttingen, wo er mit Felix Bernstein über die Mengenlehre diskutierte; Es gibt kein Anzeichen dafür, dass er Hilbert getroffen hat. Er war bereits zu diesem Zeitpunkt mit Löwenheims Theorem vertraut und wusste um seine paradoxen Implikationen für Zermelos Axiomatisierung der Mengenlehre: Insbesondere, dass eine Axiomatisierung erster Ordnung der Theorie nicht denumerierbarer Mengen ein denumerierbares Modell haben würde. Er hat zu dieser Zeit nicht zu diesen Themen veröffentlicht, weil, wie er später sagte:

Ich glaubte, dass es so klar war, dass die Axiomatisierung der Mengenlehre als ultimative Grundlage für die Mathematik nicht zufriedenstellend sein würde, dass sich Mathematiker im Großen und Ganzen nicht sehr damit beschäftigen würden. Zu meinem Erstaunen habe ich kürzlich gesehen, dass viele Mathematiker diese Axiome für die Mengenlehre als ideale Grundlage für die Mathematik betrachten. Aus diesem Grund schien es mir an der Zeit, eine Kritik zu veröffentlichen. (Skolem 1922: Anhang.)

Skolems erste Hauptarbeiten waren seine 1920er und insbesondere seine 1922. In der ersten bewies (oder erneut bewiesen) er in einer übersichtlicheren Form den abwärts gerichteten Löwenheim-Skolem-Satz. Im zweiten lieferte er einen neuen Beweis für dieses Ergebnis. Er kritisierte auch Zermelos Axiom der Trennung, das die Form angenommen hatte: Angesichts einer Menge S und eines bestimmten Satzes (phi (x)) existiert eine Menge S 'aller Elemente von S, so dass (phi (s)). Hier wurde das Konzept des „bestimmten Satzes“etwas ungenau gelassen. Skolems Vorschlag war, „bestimmte Sätze“mit den Formeln der Logik erster Ordnung (mit Identität) zu identifizieren. Obwohl Skolem diese Identifizierung als "natürlich" und "völlig klar" erklärte, sprach er sich nicht ausdrücklich für die Beschränkung der Quantifizierer auf die erste Ebene aus. Anschließend gab er die früheste zufriedenstellende Formulierung erster Ordnung von Zermelos Mengenlehre und wandte dann das Löwenheim-Skolem-Ergebnis an, um das Skolem-Paradoxon zu erhalten.

Diese technischen Ergebnisse waren für die anschließende Debatte über die Logik erster Ordnung von großer Bedeutung. Es ist jedoch wichtig, ein späteres Verständnis der Probleme nicht in Skolem 1922 einzulesen. Skolem besaß zu diesem Zeitpunkt keine Unterscheidung zwischen der Objektsprache und der Metasprache. Und obwohl seine Axiomatisierung der Mengenlehre im Nachhinein als erster Ordnung interpretiert werden kann, betont er diese Tatsache nirgends. (In der Tat liefert Eklund (1996) ein überzeugendes Argument dafür, dass Skolem die Bedeutung der Unterscheidung zwischen Logik erster und zweiter Ordnung noch nicht klar erkannt hat und dass die Neuformulierung des Axioms der Trennung tatsächlich nicht so eindeutig ist. Ordnung, wie es oft angenommen wird.)

Skolems Bemerkungen zur Logik erster Ordnung erfordern eine sorgfältige Interpretation (siehe z. B. Ferreirós 2001: 470–74), müssen jedoch eindeutig vor dem Hintergrund der Grundlagenkrise der 1920er Jahre und der Debatten zwischen Hilbert, Brouwer und Weyl gesehen werden. In diesen Jahren gibt es innerhalb der Logik zwei allgemeine Tendenzen, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Eine Tendenz besteht darin, logische und mathematische Systeme zu beschneiden, um der Kritik von Brouwer und seinen Anhängern Rechnung zu tragen. Ziel war es, die Paradoxien zu vermeiden, das Territorium der „legitimen“Mathematik abzugrenzen und auf sichere Grundlagen zu stellen. Die Mengenlehre war umstritten, und Skolem präsentierte seine Ergebnisse von 1922 ausdrücklich als Kritik an satztheoretischen Grundlagen. Weyl war bereits 1910 von seiner Untersuchung des Zermelo-Systems geleitet worden, um eine Reihe logischer Prinzipien zu formulieren, die im Nachhinein (und trotz der eigenwilligen Notation) als eine Form der Logik erster Ordnung angesehen werden können. Im Allgemeinen neigten sowohl Weyl als auch Skolem aus methodischen Gründen zu einer Art Konstruktivismus, um die Paradoxien zu vermeiden. und dies bedeutete, dass sie die Quantifizierung beispielsweise über die Gesamtheit der Teilmengen einer unendlichen Menge als etwas betrachteten, das vermieden werden sollte: Was auch immer man über den Begriff „alle ganzen Zahlen“verstand, der Begriff „alle Eigenschaften von ganzen Zahlen“war weit weniger fest. Um es etwas anders auszudrücken: Der eigentliche Punkt der Axiomatisierung der Mengenlehre bestand darin, ihre philosophisch problematischen Annahmen so darzulegen, dass man klar erkennen konnte, wozu sie kamen. Dieses Ziel wäre jedoch gefährdet, wenn man in der Hintergrundlogik bereits den problematischen Begriff „aller Teilmengen“voraussetzen würde, den man zu klären versuchte. Eine Möglichkeit bestand darin, sich auf die Logik erster Ordnung zu beschränken; eine andere, um eine Art prädikatives System höherer Ordnung zu übernehmen.

Ähnliche weitgehend konstruktivistische Tendenzen zeigten sich auch in der beweistheoretischen Arbeit von Hilbert und Bernays und ihren Anhängern in den 1920er Jahren. Bereits zu Hilberts Vorlesungen von 1921/22 hatte Hilbert die Einführung der (klassischen) Quantifizierer als den entscheidenden Schritt identifiziert, bei dem das Transfinite in die Logik eintrat. Hilbert betrachtete die Quantifizierer wie CS Peirce lange zuvor als unendliche Konjunktionen und Disjunktionen, und ab den frühen 1920er Jahren war in Göttingen klar, dass für die Durchführung der programmatischen Ziele des Hilbert-Konsistenzprogramms eine Endanalyse von Die Quantifizierer waren notwendig. Die Epsilon-Substitutionsmethode war das Hauptgerät, das Hilbert einführte, um dieses Ergebnis zu erzielen.(Eine Übersicht über diese Forschung liefert Sieg 2009 und die einleitenden Anmerkungen zu Hilbert [LFL].)

Trotz dieser konstruktiven Tendenzen betrachteten viele Logiker der 1920er Jahre (einschließlich Hilbert) weiterhin die Typentheorie höherer Ordnung und nicht ihr Fragment erster Ordnung als geeignete Logik für Untersuchungen in den Grundlagen der Mathematik. Die ultimative Hoffnung bestand darin, einen Konsistenznachweis für die gesamte klassische Mathematik (einschließlich der Mengenlehre) zu liefern. In der Zwischenzeit waren sich die Forscher über bestimmte grundlegende Unterschiede noch etwas unklar. Hilbert versäumt es manchmal, die Unterscheidung zwischen einem Axiomschema erster Ordnung und einem Axiom zweiter Ordnung zu beachten; Brouwers Intuitionismus wird manchmal mit „Finitismus“identifiziert; Die Beziehungen zwischen Vollständigkeit (in mehreren Sinnen), Kategorizität (auch in mehreren Sinnen) und Logik erster und höherer Ordnung wurden noch nicht verstanden. In der Tat weist Gregory Moore darauf hin, dass sogar Gödel,In seinem Beweis von 1929 für die Vollständigkeit der Logik erster Ordnung verstand er den Begriff der Kategorizität und ihre Beziehung zur Logik zweiter Ordnung nicht vollständig (Moore 1988: 125).

10. Kurt Gödel

So blieb die Sache in den 1920er Jahren unklar. Aber die konstruktivistischen Ambitionen der Hilbert-Schule, der Fokus auf die Analyse der Quantifizierer und das explizite Aufstellen metallogischer Fragen hatten die Entstehung der Logik erster Ordnung als eigenständiges System so gut wie unvermeidlich gemacht. Die entscheidenden technischen Durchbrüche gelang 1929 und 1931 mit der Veröffentlichung des Vollständigkeitssatzes für die Logik erster Ordnung und dann der Unvollständigkeitssätze durch Gödel. Mit diesen Ergebnissen (und anderen, die bald folgten) wurde schließlich klar, dass es wichtige metallogische Unterschiede zwischen Logik erster Ordnung und Logik höherer Ordnung gab. Am wichtigsten ist vielleicht, dass die Logik erster Ordnung vollständig ist und vollständig formalisiert werden kann (in dem Sinne, dass ein Satz aus den Axiomen abgeleitet werden kann, nur für den Fall, dass er in allen Modellen gilt). Die Logik erster Ordnung erfüllt darüber hinaus sowohl die Kompaktheit als auch die nach unten gerichtete Löwenheim-Skolem-Eigenschaft; es hat also eine nachvollziehbare Modelltheorie. Logik zweiter Ordnung nicht. Mitte der 1930er Jahre wurden diese Unterscheidungen allgemein verstanden, ebenso wie die Tatsache, dass Kategorisierung im Allgemeinen nur in Systemen höherer Ordnung erhalten werden kann. Lindström sollte später zeigen (1969), dass kein logisches System, das sowohl die Kompaktheit als auch die Löwenheim-Skolem-Eigenschaft erfüllt, eine größere Ausdruckskraft besitzen kann als die Logik erster Ordnung. In diesem Sinne ist die Logik erster Ordnung tatsächlich eine „natürliche“Einheit.ebenso wie die Tatsache, dass Kategorizität im Allgemeinen nur in Systemen höherer Ordnung erhalten werden kann. Lindström sollte später zeigen (1969), dass kein logisches System, das sowohl die Kompaktheit als auch die Löwenheim-Skolem-Eigenschaft erfüllt, eine größere Ausdruckskraft besitzen kann als die Logik erster Ordnung. In diesem Sinne ist die Logik erster Ordnung tatsächlich eine „natürliche“Einheit.ebenso wie die Tatsache, dass Kategorizität im Allgemeinen nur in Systemen höherer Ordnung erhalten werden kann. Lindström sollte später zeigen (1969), dass kein logisches System, das sowohl die Kompaktheit als auch die Löwenheim-Skolem-Eigenschaft erfüllt, eine größere Ausdruckskraft besitzen kann als die Logik erster Ordnung. In diesem Sinne ist die Logik erster Ordnung tatsächlich eine „natürliche“Einheit.

Die technischen Ergebnisse allein haben die Angelegenheit jedoch nicht zugunsten der Logik erster Ordnung geklärt. Wie Schiemer & Reck (2013) hervorhebt, verwendeten Logiker wie Gödel, Carnap, Tarski, Church und Hilbert & Bernays bis weit in die 1930er Jahre hinein Systeme höherer Ordnung (im Allgemeinen in eine Version der einfachen Typentheorie). Mit anderen Worten, selbst nach den metallogischen Ergebnissen musste eine Wahl getroffen werden, und die Wahl zugunsten der Logik erster Ordnung war nicht unvermeidlich. Schließlich können die metallogischen Ergebnisse als schwerwiegende Einschränkung der Logik erster Ordnung angesehen werden: Sie ist nicht in der Lage, selbst für die natürlichen Zahlen ein eindeutiges Modell zu spezifizieren. Hilbert hatte 1917/18 die Logik erster Ordnung als bloßes Sprungbrett betrachtet.und die metallogischen Ergebnisse können verwendet werden, um die Weisheit seines Ansatzes zu bestätigen: Wenn Sie Kategorisierung wünschen, müssen Sie zu einem System höherer Ordnung übergehen.

Zu diesem Zeitpunkt in den 1930er Jahren verschmolzen jedoch einige andere Denkstränge über Logik. Die intellektuelle Situation war sehr komplex. Die berühmten Arbeiten von Carnap, von Neumann und Heyting auf dem Königsberger Kongress 1931 hatten die logistischen, formalistischen und intuitionistischen Schulen identifiziert: Ihre Debatten sollten das Denken über die Grundlagen der Mathematik für die nächsten Jahrzehnte prägen. Die Suche nach sicheren Grundlagen und insbesondere nach einer Vermeidung der satztheoretischen Paradoxien war etwas, das sie teilten, und das half, das Gleichgewicht zugunsten der Logik erster Ordnung zu kippen. Erstens gab es (wie Weyl und Skolem bereits betont hatten und zumindest im Hilbert-Programm impliziert waren) gute konstruktivistische und philosophische Gründe, eine Quantifizierung höherer Ordnung nach Möglichkeit zu vermeiden.und um die eigene Logik auf die erste Ordnung zu beschränken. Zweitens wurden nun mehrere eindeutige Formulierungen erster Ordnung der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und auch der von-Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre (die eine endliche Axiomatisierung erlaubt) gegeben. Die Natur erster Ordnung dieser Theorien wurde in einer Reihe von Veröffentlichungen aus den 1930er Jahren hervorgehoben: von Tarski (1935), Quine (1936), Bernays (1937) und Gödel (1940). In der Praxis reichten diese Mengen-Theorien erster Ordnung aus, um alle vorhandenen mathematischen Praktiken zu formulieren. Für die Kodifizierung mathematischer Beweise war es daher nicht erforderlich, auf Logik höherer Ordnung zurückzugreifen. (Dies bestätigte eine Beobachtung, die Hilbert bereits 1917 gemacht hatte, ohne den Punkt selbst vollständig zu entwickeln.) Drittens gab es eine erhöhte Tendenz, zwischen Logik und Mengenlehre zu unterscheiden.und die Mengenlehre als einen Zweig der Mathematik zu betrachten. Die Tatsache, dass Logik höherer Ordnung als (in Quines späterem Satz) „Mengenlehre im Schafspelz“ausgelegt werden konnte, verstärkte die anderen Tendenzen: „Wahre“Logik war erster Ordnung; Logik höherer Ordnung war "wirklich" Mengenlehre. Bis zum Ende des Jahrzehnts war ein Konsens erzielt worden, dass für Forschungszwecke auf den Grundlagen der Mathematik mathematische Theorien in Begriffen erster Ordnung formuliert werden sollten. Klassische Logik erster Ordnung war zum „Standard“geworden. Für Forschungszwecke auf den Grundlagen der Mathematik sollten mathematische Theorien in Begriffen erster Ordnung formuliert werden. Klassische Logik erster Ordnung war zum „Standard“geworden. Für Forschungszwecke auf den Grundlagen der Mathematik sollten mathematische Theorien in Begriffen erster Ordnung formuliert werden. Klassische Logik erster Ordnung war zum „Standard“geworden.

11. Schlussfolgerungen

Lassen Sie uns nun versuchen, einige Lehren zu ziehen und insbesondere zu fragen, ob die Entstehung von Logik erster Ordnung unvermeidlich war. Ich beginne mit einer Beobachtung. Jede Phase dieser komplexen Geschichte ist durch zwei Arten wechselnder Hintergrundüberlegungen bedingt. Eines ist weitgehend mathematisch: die Sätze, die aufgestellt worden waren. Das andere ist weitgehend philosophisch: die Annahmen, die (explizit oder stillschweigend) über die Logik und über die Grundlagen der Mathematik getroffen wurden. Diese beiden Dinge interagierten. Jeder Denker in der Sequenz beginnt mit mehr oder weniger intuitiven Vorstellungen von Logik. Diese Ideen werfen mathematische Fragen auf: Unterscheidungen werden getroffen: Theoreme werden bewiesen: Konsequenzen werden notiert und das philosophische Verständnis wird geschärft. In jeder Phase die Frage: "Was ist Logik?" (oder:"Was ist die richtige Logik?") Muss sowohl vor dem mathematischen als auch vor dem philosophischen Hintergrund bewertet werden: Es macht wenig Sinn, die Frage abstrakt zu stellen.

Betrachten wir nun die Frage: Wann wurde die Logik erster Ordnung entdeckt? Diese Frage ist zu allgemein. Es muss in drei Nebenfragen unterteilt werden:

  • ((alpha)) Wann wurde Logik erster Ordnung erstmals explizit als eigenständiges logisches System identifiziert? Diese Frage hat eine relativ einfache Antwort. Die Logik erster Ordnung wurde 1885 von Peirce explizit identifiziert, dann aber vergessen. Es wurde in Hilberts Vorlesungen von 1917/18 unabhängig wiederentdeckt und in der Monographie von 1928, Hilbert & Ackermann, weit verbreitet. Peirce war der erste, der es identifizierte: aber es war Hilbert, der das System auf die Karte setzte.
  • ((beta)) Wann wurde erkannt, dass sich die Logik erster Ordnung wesentlich von Systemen höherer Ordnung unterscheidet? Dies ist eine kompliziertere Frage. Obwohl Hilbert die Logik erster Ordnung isolierte, behandelte er sie nicht als besonders bedeutsam und arbeitete selbst weiter in der Typentheorie. Ein Bewusstsein für die grundlegenden metallogischen Unterschiede zwischen Logik erster und höherer Ordnung begann erst in den frühen 1930er Jahren, meist, wenn auch nicht ausschließlich, durch Gödel.
  • ((gamma)) Wie kam es, dass Logik erster Ordnung als privilegiertes logisches System angesehen wurde - das heißt (in gewissem Sinne) die „richtige“Logik für Untersuchungen in Grundlagen der Mathematik? Auch diese Frage ist sehr kompliziert. Selbst nachdem die Gödel-Ergebnisse weitgehend verstanden worden waren, arbeiteten die Logiker weiter in der Typentheorie, und es dauerte Jahre, bis die Logik erster Ordnung den kanonischen Status erreichte. Der Übergang erfolgte schrittweise und kann nicht mit einem bestimmten Datum versehen werden.

Ausgestattet mit diesen Unterscheidungen fragen wir nun: Warum wurde die Logik erster Ordnung nicht früher entdeckt?

Es fällt auf, dass Peirce bereits 1885 klar zwischen Aussagenlogik, Logik erster Ordnung und Logik zweiter Ordnung unterschieden hatte. Er war sich bewusst, dass die Aussagenlogik wesentlich schwächer als die Quantifizierungslogik ist und insbesondere für eine Analyse der Grundlagen der Arithmetik nicht ausreicht. Er hätte dann feststellen können, dass die Logik zweiter Ordnung in gewisser Hinsicht philosophisch problematisch ist und dass unser Verständnis der Quantifizierung über Objekte im Allgemeinen fester ist als unser Verständnis der Quantifizierung über Eigenschaften. Das Problem entsteht auch dann, wenn das Diskursuniversum endlich ist. Wir haben zum Beispiel ein vernünftiges Verständnis dafür, was es bedeutet, (in Begriffen erster Ordnung) von allen Planeten zu sprechen oder zu sagen, dass es einen Planeten mit einer bestimmten Eigenschaft gibt. Aber was bedeutet es, (in Begriffen zweiter Ordnung) von allen Eigenschaften der Planeten zu sprechen? Was ist das Individuationskriterium für solche Eigenschaften? Ist die Eigenschaft, der äußerste Planet zu sein, dieselbe wie die Eigenschaft, der kleinste Planet zu sein? Was sollen wir über negative Eigenschaften sagen? Ist es eine Eigenschaft des Planeten Saturn, dass er nicht gleich der ganzen Zahl 17 ist? In diesem Fall müssen unsere Quantifizierer zweiter Ordnung über unendlich viele Eigenschaften reichen, obwohl es nur eine begrenzte Anzahl von Planeten gibt. Und so weiter. Die Einwände von Quinean sind bekannt.

Argumente dieser Art waren in den schulischen Auseinandersetzungen zwischen Realisten und Nominalisten vorgebracht worden: und Peirce war in der mittelalterlichen Literatur zu diesen Themen vertieft. Er muss nicht so weit gegangen sein, Punkt ((gamma)) zu machen, dh zu argumentieren, dass Logik erster Ordnung besonders privilegiert ist. Das wäre auf jeden Fall seinem logischen Pluralismus zuwidergelaufen. Aber er hatte die Werkzeuge, um Punkt ((beta)) zu machen und zu betonen, dass es eine wichtige Kluft gibt, die die Logik zweiter Ordnung von der Logik erster Ordnung trennt, genauso wie es eine wichtige Kluft gibt, die die Logik erster Ordnung trennt der Boolesche Satzkalkül. Warum machte er diese Punkte nicht schon 1885?

Jede Antwort kann nur spekulativ sein. Ein kleiner Faktor ist, dass Peirce selbst kein Nominalist war. Ein weiterer Grund ist, dass er in einer Vielzahl von logischen Systemen operierte: Er war temperamentvoll vielseitig und nicht bereit, nach der „einen wahren Logik“zu suchen. Es gibt auch technische Überlegungen. Peirce präsentiert im Gegensatz zu Hilbert weder die Logik der ersten Absicht als ein axiomatisiertes System, noch drängt er sie als Mittel, um die Grundlagen der Mathematik zu studieren. Er besitzt nicht die Unterscheidung zwischen einem nicht interpretierten, formalen, axiomatischen Kalkül und seiner Metasprache. Infolgedessen stellt er keine Fragen zu Entscheidbarkeit, Vollständigkeit oder Kategorisierung. und ohne die metamathematischen Ergebnisse stand ihm kein umfassendes Verständnis der Unterschiede in der Ausdruckskraft zwischen Logik erster und zweiter Ordnung zur Verfügung. Eines der stärksten Argumente gegen die Logik zweiter Ordnung - dass die Quantifizierung über alle Teilmengen einer denumerierbaren Sammlung eine Quantifizierung über eine nicht denumerierbare Gesamtheit beinhaltet - konnte nicht einmal formuliert werden, bis Cantors Theorem bekannt war. Die logischen und satztheoretischen Paradoxien wurden noch nicht entdeckt, und Zermelo hatte die Mengenlehre noch nicht axiomatisiert. Daher fehlte Peirce das akute Motivationsgefühl, eine „sichere Grundlage für die Mathematik“zu entdecken. Und natürlich hatte Peirce keine Ahnung von den Löwenheim-Skolem-Theoremen oder dem Skolem-Paradoxon oder der Abfolge metallogischer Theoreme, die die Logik erster Ordnung scharf fokussieren sollten. Er lieferte eine flexible und suggestive Notation, die sich als enorm fruchtbar erweisen sollte, und er war der erste, der klar zwischen Logik erster und zweiter Ordnung unterschied:Die Werkzeuge zum Verständnis der mathematischen Bedeutung der Unterscheidung existierten jedoch noch nicht. (Wie Henri Pirenne einmal bemerkte, entdeckten die Wikinger Amerika, aber sie vergaßen es, weil sie es noch nicht brauchten.)

Ein verwandter Punkt gilt für Frege und Russell. Sie besaßen die Konzeption einer Hierarchie logischer Ebenen, und im Prinzip hätten auch sie die Logik erster Ordnung isolieren und damit Schritt ((alpha)) ausführen können. Sie haben jedoch nie daran gedacht, die unterste Ebene der Hierarchie als freistehendes System zu isolieren. Dafür gibt es sowohl philosophische als auch mathematische Gründe. Als philosophische Angelegenheit sollte das logistische Projekt zeigen, dass „Mathematik auf Logik reduziert werden kann“: und sie betrachteten die gesamte Hierarchie der Typen als konstituierende Logik. Und dann war mathematisch gesehen eine Logik zweiter Ordnung für ihre Konstruktion der ganzen Zahlen notwendig. Sie hatten also keinen zwingenden Grund, weder philosophisch noch mathematisch, der sie veranlasst hätte, sich auf das Fragment erster Ordnung zu konzentrieren.

Es gibt hier einen lehrreichen Kontrast zu Peirce. Peirce, im Geist des 19 th -Jahrhundert Algebraiker, war glücklich, eine üppige Fülle von logischen Strukturen zu entdecken: seine Haltung grundsätzlich pluralistischer war. Die Logiker, die in der analytischen Tradition arbeiteten, waren mehr darum bemüht, herauszufinden, was die ganzen Zahlen tatsächlich sind: Ihre Haltung war grundsätzlich monistisch und reduktionistisch. Um jedoch die Logik erster Ordnung wie in den 1930er Jahren herauszuarbeiten, waren zwei Dinge erforderlich: das Bewusstsein, dass es unterschiedliche logische Systeme gab, und ein Argument dafür, eines dem anderen vorzuziehen. Peirce hatte den Pluralismus: Die Logiker hatten den Drang, ein „korrektes“System zu finden: aber keiner hatte beides.

Wenden wir uns nun der Frage zu: War die Entstehung von Logik erster Ordnung unvermeidlich? Es ist unmöglich, kontrafaktische Überlegungen zu vermeiden, und die Antwort muss spekulativer sein. Und auch hier muss zwischen der Unvermeidlichkeit der technischen Ergebnisse ((beta)) und der Unvermeidlichkeit von Punkt ((gamma)) unterschieden werden.

Beginnen wir mit Punkt ((beta)). Bis 1928 können die metallogischen Ergebnisse als unvermeidlich angesehen werden. Hilbert & Ackermann hatten Logik erster Ordnung isoliert und beschrieben; Die Unterscheidung zwischen Mathematik und Metamathematik war bis dahin gut verstanden. sie hatten gezeigt, wie man die Vollständigkeit des Satzkalküls beweist; und sie haben ausdrücklich die Vollständigkeit der Logik erster Ordnung als ein wichtiges offenes Problem hervorgehoben. Es war sicher, dass in den nächsten Jahren ein unternehmungslustiger Logiker eine Antwort geben würde: Als es passierte, kam Gödel zuerst dorthin. Es wäre dann ein naheliegender nächster Schritt gewesen, nach der Vollständigkeit von Systemen höherer Ordnung zu fragen. Innerhalb weniger Jahre von Hilbert & Ackermann wären also die grundlegenden metallogischen Theoreme aufgestellt worden.

Wenn das richtig ist, dann war Hilberts entscheidender Schritt in den Vorlesungen von 1917/18 nicht die Isolierung der Logik erster Ordnung, dh nicht Schritt ((alpha)). Das war eine vergleichsweise unbedeutende Angelegenheit. Dieser Schritt war bereits ausdrücklich von Peirce und stillschweigend von Weyl und Löwenheim unternommen worden. Hilbert hat es nicht als wichtig angesehen und scheint es in erster Linie als Expository-Gerät angesehen zu haben, ein Mittel zur Vereinfachung der Darstellung der Logik von Principia Mathematica. Der wichtige Schritt im Jahr 1917 war vielmehr die Einführung von Techniken der Metamathematik und die explizite Beantwortung von Fragen der Vollständigkeit, Konsistenz und Entscheidbarkeit. Diese Fragen für Logiksysteme zu stellen, war ein enormer konzeptioneller Sprung, und Hilbert verstand ihn als solchen. Seine ersten Versuche, die er 1905 in seiner Heidelberger Ansprache unternahm,war unter der Kritik von Poincaré zusammengebrochen, und er hatte sich bemüht, eine zufriedenstellende Formulierung zu finden. Und selbst nachdem er seine metallogischen Unterscheidungen in seinen Papieren der 1920er Jahre eingeführt hatte, hatten Logiker des Kalibers Russell und Brouwer und Ramsey Schwierigkeiten zu verstehen, was er versuchte zu tun. Diese Entwicklung war 1917 alles andere als unvermeidlich: Ohne die Einführung der metallogischen Techniken hätte die Geschichte der Logik und der Beweistheorie in den 1920er und 1930er Jahren ganz anders ausgesehen. Wären die Gödel-Theoreme jemals gedacht worden? Hätte die Arbeit von Löwenheim oder Skolem oder Zermelo unabhängig voneinander zu einer Untersuchung der metallogischen Eigenschaften der Logik erster Ordnung geführt? Man kann sich im Nachhinein einen alternativen Weg zu den technischen Ergebnissen vorstellen ((beta)),aber es gibt keinen Grund anzunehmen, dass sie schicksalhaft entstanden sind, entweder als sie es taten oder als sie es taten.

Ein subtileres Problem ergibt sich, wenn wir uns nun Punkt ((gamma)) zuwenden und fragen: War es unvermeidlich, dass Logik erster Ordnung als „privilegiertes“logisches System angesehen wird? Wie wir gesehen haben, regeln die metallogischen Ergebnisse der 1930er Jahre nicht den Vorrang der Logik erster Ordnung. Das „Privilegieren“kam später und scheint eher von philosophischen Überlegungen abhängig zu sein: die Notwendigkeit, die satztheoretischen Paradoxien zu vermeiden, die Suche nach sicheren Grundlagen für die Mathematik, der Wunsch, den Einwänden von Brouwer und Weyl Rechnung zu tragen, ein Gefühl, das höher ist -ordnungslogiken waren sowohl methodisch verdächtig als auch vermeidbar. All diese Dinge zeigen den anhaltenden Einfluss der Grundlagenkrise der 1920er Jahre, die so viel dazu beigetragen hat, die Bedingungen für das spätere philosophische Verständnis der Grundlagen der Mathematik festzulegen.

Es ist daher wichtig zu betonen, dass eine alternative Geschichte möglich war und dass die Grundlagenkrise 1917/18 in Hilberts logischen Schriften gänzlich fehlte. Die Namen von Brouwer und Weyl werden nirgends erwähnt. Hilbert ist sich natürlich der Paradoxien bewusst (von denen er seit 1897 wusste), hatte aber lange geglaubt, dass Zermelos Axiomatisierung gezeigt hatte, wie man sie vermeidet. Wir finden in seinen Schriften auch keine Suche nach der „einen wahren Logik“. Andererseits. Sowohl 1917/18 als auch in den unveröffentlichten Vorlesungsunterlagen aus den frühen 1920er Jahren liegt der Schwerpunkt auf der Verwendung der neuen metallogischen Techniken, um die Stärken und Schwächen einer Vielfalt logischer Systeme zu erforschen. Die Arbeit wird ausdrücklich im Geiste seiner Untersuchungen der Axiome der Geometrie durchgeführt. Er wird ein System aufnehmen, es für eine Weile erkunden und es dann fallen lassen, um etwas anderes zu untersuchen. In seinem Pluralismus und in seiner pragmatischen, experimentellen Haltung steht er Peirce näher als den Logikern.

Die Grundlagenkrise und sein öffentlicher polemischer Austausch mit Brouwer kamen später und sie gaben ein verzerrtes Bild der Motivationen hinter seinen logischen Untersuchungen. Welche Auswirkungen hatten diese philosophischen Debatten auf die technischen Aspekte seines Programms? Für die Formulierung der Logik erster Ordnung und für das Aufstellen metallogischer Fragen ist die Antwort einfach: Es gab keinerlei Auswirkungen. Die Inhalte von Hilbert & Ackermann 1928 waren bereits in den Vorlesungen 1917/18 enthalten. Was Hilberts beweistheoretische Forschung der 1920er Jahre betrifft, so entstanden die Hauptentwicklungslinien völlig unabhängig von Brouwer und Weyl. Die Polemik mag ein Gefühl der Dringlichkeit hinzugefügt haben, aber es ist schwer, einen Einfluss auf die tatsächliche Mathematik festzustellen.

Selbst wenn wir uns vorstellen, dass die philosophische Grundlagenkrise vollständig aus dem Bild entfernt ist, wären die technischen Ergebnisse der Hilbert-Schule nicht wesentlich beeinflusst worden. Die Ergebnisse der Vollständigkeit und Unvollständigkeit wären aller Wahrscheinlichkeit nach mehr oder weniger pünktlich eingetroffen. (Es ist anzumerken, dass Bernays und Hilbert bereits 1928 über die Möglichkeit verschiedener Arten von Unvollständigkeit nachgedacht hatten: siehe die Diskussion von Wilfried Sieg in Hilbert [LFL]: 792–796.) Aber diese Ergebnisse hätten sich sehr ergeben anderes philosophisches Klima. Die Unvollständigkeitssätze wären wahrscheinlich eher als wichtiger technischer Beitrag innerhalb des breiteren Hilbert-Programms als als dessen dramatische Widerlegung begrüßt worden. Vielleicht (wie Angus Macintyre 2011 vorgeschlagen hat) wären sie eher als die Ergebnisse der Unabhängigkeit in der Mengenlehre angesehen worden, wobei weniger über die Grenzen der mathematischen Kreativität gesprochen wurde.

Mit anderen Worten, weit davon entfernt, unvermeidlich zu sein, hing die Entstehung der Logik erster Ordnung gegen Ende der 1930er Jahre als privilegiertes Logiksystem von zwei Dingen ab, die voneinander unabhängig waren. Auf der mathematischen Seite hing es von Hilberts Einführung metallogischer Techniken ab; auf der philosophischen Seite hing es von den Argumenten der Grundlagenkrise ab. Weder war eines dieser Dinge unvermeidlich, noch war die Tatsache, dass sie ungefähr zur gleichen Zeit auftraten. Mit einer anderen Geschichte könnte sich Hilberts flexible Haltung durchgesetzt haben, und es könnte mehr Gewicht auf Systeme höherer Ordnung oder auf die Erforschung algebraischer Logik, unendlicher Logik, kategorietheoretischer Systeme und dergleichen gelegt worden sein: kurz gesagt auf logisch Pluralismus.

Es ist anzumerken, dass angesichts des Rückgangs der philosophischen Anliegen der Grundlagenkrise und des Eintritts neuer Ansätze aus der Richtung der Informatik und der Homotopietheorie das Primat der Logik erster Ordnung erneut überdacht werden kann.

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