Moderne Ursprünge Der Modallogik

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-05-24 11:17

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Moderne Ursprünge der Modallogik

Erstveröffentlichung Di 16. November 2010; inhaltliche Überarbeitung Mo 8. Mai 2017

Modale Logik kann allgemein als die Logik verschiedener Arten von Modalitäten oder Modi der Wahrheit angesehen werden: alethisch ("notwendig"), epistemisch ("es ist bekannt, dass"), deontisch ("es sollte der Fall sein, dass"), oder zeitlich ("es war der Fall, dass") unter anderem. Gemeinsame logische Merkmale dieser Operatoren rechtfertigen die gemeinsame Bezeichnung. Im engeren Sinne ist der Begriff „Modallogik“jedoch der Logik der alethischen Modalitäten vorbehalten, im Gegensatz beispielsweise zur zeitlichen oder deontischen Logik. Aus rein technischer Sicht kann jede Logik mit nicht wahrheitsfunktionalen Operatoren, einschließlich Logik erster Ordnung, als modale Logik angesehen werden: In dieser Perspektive können auch die Quantifizierer als modale Operatoren angesehen werden (wie in Montague 1960).. Trotzdem folgen wir dem traditionellen Verständnis der Modallogik, dass sie keine vollwertige Logik erster Ordnung enthält. In dieser Perspektive können die Modaloperatoren als eingeschränkte Quantifizierer angesehen werden, die sich über spezielle Entitäten wie mögliche Welten oder zeitliche Momente erstrecken. Arthur Prior war einer der ersten Philosophen / Logiker, die das modale System betonten S5 kann in ein Fragment der Logik erster Ordnung übersetzt werden, das er "den einheitlichen monadischen Prädikatenkalkül erster Ordnung" nannte (Prior and Fine 1977: 56). Monadisch, da für S5 keine Beziehungen zwischen den Welten angegeben werden müssen; und einheitlich, da nur eine Variable benötigt wird, um über Welten (Momente) zu quantifizieren, wenn sie gebunden sind, und um sich auf den privilegierten Zustand (die tatsächliche Welt oder die gegenwärtige Zeit) zu beziehen, wenn sie frei sind (siehe Prior und Fine 1977). Zur technischen Frage, welche modelltheoretischen Merkmale modale Logiken charakterisieren, die als gut erzogene Fragmente der Logik erster Ordnung verstanden werden, siehe Blackburn und van Benthems „Modal Logic: A Semantic Perspective“(2007a).

Der Umfang dieses Beitrags ist die jüngste historische Entwicklung der Modallogik, die streng als Logik der Notwendigkeit und Möglichkeit verstanden wird, und insbesondere die historische Entwicklung von Systemen der Modallogik, sowohl syntaktisch als auch semantisch, aus CI Lewis 'Pionierarbeit ab 1912 mit Die ersten Systeme wurden 1918 für S. Kripkes Arbeiten in den frühen 1960er Jahren entwickelt. In dieser kurzen Zeitspanne von weniger als fünfzig Jahren blühte die Modallogik sowohl philosophisch als auch mathematisch auf. Mathematisch wurden verschiedene Modalsysteme entwickelt und Fortschritte in der Algebra trugen dazu bei, die Modelltheorie für solche Systeme zu fördern. Dies gipfelte in der Entwicklung einer formalen Semantik, die die erfolgreichen modelltheoretischen Techniken erster Ordnung auf die Modallogik ausweitete und damit für viele, aber nicht alle Systeme Vollständigkeits- und Entscheidbarkeitsergebnisse lieferte. Philosophisch gesehen gingen die Verfügbarkeit verschiedener Systeme und die Übernahme der modelltheoretischen Semantik der möglichen Welten natürlich mit Überlegungen zur Natur der Möglichkeit und Notwendigkeit, zu verschiedenen Arten von Notwendigkeiten, zur Rolle der formalen Semantik und zur Natur der einher die möglichen Welten, um nur einige zu nennen. Insbesondere die Verfügbarkeit verschiedener Systeme bringt die philosophische Frage in den Vordergrund, welche Modallogik die richtige ist, unter einer beabsichtigten Interpretation der Modaloperatoren, z. B. als logische oder metaphysische Notwendigkeit. Fragen zur Interpretierbarkeit der Modallogik, insbesondere der quantifizierten Modallogik, wurden von Quine eindringlich gestellt. Alle diese Fragen werden in diesem Eintrag nicht weiter verfolgt, der sich hauptsächlich mit der formalen Entwicklung des Themas befasst. Die Verfügbarkeit verschiedener Systeme und die Übernahme der modelltheoretischen Semantik der möglichen Welten gingen natürlich mit Überlegungen zur Natur der Möglichkeit und Notwendigkeit, zu verschiedenen Arten von Notwendigkeiten, zur Rolle der formalen Semantik und zur Natur des Möglichen einher Welten, um nur einige zu nennen. Insbesondere die Verfügbarkeit verschiedener Systeme bringt die philosophische Frage in den Vordergrund, welche Modallogik die richtige ist, unter einer beabsichtigten Interpretation der Modaloperatoren, z. B. als logische oder metaphysische Notwendigkeit. Fragen zur Interpretierbarkeit der Modallogik, insbesondere der quantifizierten Modallogik, wurden von Quine eindringlich gestellt. Alle diese Fragen werden in diesem Eintrag nicht weiter verfolgt, der sich hauptsächlich mit der formalen Entwicklung des Themas befasst. Die Verfügbarkeit verschiedener Systeme und die Übernahme der modelltheoretischen Semantik der möglichen Welten gingen natürlich mit Überlegungen zur Natur der Möglichkeit und Notwendigkeit, zu verschiedenen Arten von Notwendigkeiten, zur Rolle der formalen Semantik und zur Natur des Möglichen einher Welten, um nur einige zu nennen. Insbesondere die Verfügbarkeit verschiedener Systeme bringt die philosophische Frage in den Vordergrund, welche Modallogik die richtige ist, unter einer beabsichtigten Interpretation der Modaloperatoren, z. B. als logische oder metaphysische Notwendigkeit. Fragen zur Interpretierbarkeit der Modallogik, insbesondere der quantifizierten Modallogik, wurden von Quine eindringlich gestellt. Alle diese Fragen werden in diesem Eintrag nicht weiter verfolgt, der sich hauptsächlich mit der formalen Entwicklung des Themas befasst.

Modale Logik ist ein reichhaltiges und komplexes Thema. Dieser Eintrag enthält keine vollständige Übersicht über alle entwickelten Systeme und alle modelltheoretischen Ergebnisse, die im Laufe der betrachteten Zeit nachgewiesen wurden. Es bietet jedoch einen aussagekräftigen Überblick über die wichtigsten Systeme und soll für diejenigen nützlich sein, die nach einem historischen Überblick über das Thema suchen, der, wenn auch nicht vollständig, die interessantesten modelltheoretischen Ergebnisse beschreibt und weitere Untersuchungslinien aufzeigt. Bull und Segerbergs (1984: 3) nützliche Unterteilung der ursprünglichen Quellen der Modallogik in drei verschiedene Traditionen - syntaktische, algebraische und modelltheoretische - wird übernommen. Für andere weniger einflussreiche Traditionen siehe Bull und Segerberg (1984: 16). Siehe auch Lindström und Segerbergs „Modal Logic and Philosophy“(2007). Das Hauptaugenmerk dieses Beitrags liegt auf der Aussagenmodallogik, während nur einige bestimmte Aspekte der Semantik der quantifizierten Modallogik diskutiert werden. Eine detailliertere Beschreibung der quantifizierten Modallogik finden Sie im SEP-Eintrag zur Modallogik. Beachten Sie in Bezug auf die Notation des Eintrags, dass (Rightarrow) anstelle von Lewis 'Angelhaken für eine strikte Implikation und (Leftrightarrow) für eine strikte Äquivalenz verwendet wird.

• 1. Die syntaktische Tradition

  • 1.1 Die Lewis-Systeme
  • 1.2 Andere Systeme und alternative Axiomatisierungen der Lewis-Systeme
• 2. Die Matrixmethode und einige algebraische Ergebnisse

• 3. Die modelltheoretische Tradition

  • 3.1 Carnap
  • 3.2 Kripkes mögliche Weltsemantik

• Literaturverzeichnis

  • Einführungstexte
  • Primärliteratur
  • Sekundärliteratur
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Die syntaktische Tradition

In einem wegweisenden Artikel von 1912 in Mind „Implikation und die Algebra der Logik“äußerte CI Lewis seine Besorgnis über die sogenannten „Paradoxe der materiellen Implikation“. Lewis weist darauf hin, dass wir in Russell und Whiteheads Principia Mathematica zwei „verblüffende Theoreme finden: (1) ein falscher Satz impliziert jeden Satz, und (2) ein wahrer Satz wird durch jeden Satz impliziert“(1912: 522). In Symbolen:

) tag {1} neg p \ rightarrow (p \ rightarrow q))

und

) tag {2} p \ rightarrow (q \ rightarrow p))

Lewis hat keine Einwände gegen diese Sätze an und für sich:

An sich sind sie weder mysteriöse Sprüche noch große Entdeckungen oder grobe Absurditäten. Sie zeigen nur in scharfen Umrissen die Bedeutung von „impliziert“, die in die Algebra aufgenommen wurde. (1912: 522)

Die Theoreme sind jedoch unzureichend gegenüber der beabsichtigten Bedeutung von „Implikation“und unseren tatsächlichen Inferenzmodi, die die beabsichtigte Bedeutung zu erfassen versucht. Lewis hat also eine beabsichtigte Bedeutung für den bedingten Zusammenhang (rightarrow) oder (supset) im Sinn, und das ist die Bedeutung des englischen Wortes "impliziert". Die Bedeutung von "impliziert" ist die von "gewöhnlicher Folgerung und Beweis" (1912: 531), wonach ein Satz einen anderen Satz impliziert, wenn der zweite logisch aus dem ersten abgeleitet werden kann. Bei einer solchen Interpretation sollten (1) und (2) keine Theoreme sein, und die Aussagenlogik kann als nicht stichhaltig gegenüber dem Lesen von (rightarrow) als logische Implikation angesehen werden. Betrachten Sie (2) zum Beispiel:Aus der bloßen Wahrheit eines Satzes (p) folgt nicht (logisch), dass (p) logisch aus irgendeinem Satz folgt. Angesichts der beabsichtigten, strengen Lesart von (rightarrow) als logische Implikation und der Äquivalenz von ((neg p \ rightarrow q)) und ((p \ vee q)) schließt Lewis diese Disjunktion Auch muss ein neuer intensiver Sinn gegeben werden, wonach ((p \ vee q)) nur für den Fall gilt, wenn (p) nicht der Fall wäre, müsste es der Fall sein, dass (q).

Überlegungen dieser Art, die auf der Unterscheidung zwischen Extensions- und Intensionslesungen der Konnektiva beruhten, waren für Lewis nicht originell. Bereits 1880 behauptete Hugh MacColl im ersten einer Reihe von acht in Mind veröffentlichten Artikeln über symbolisches Denken, dass ((p \ rightarrow q)) und ((neg p \ vee q)) nicht gleichwertig sind: ((neg p \ vee q)) folgt aus ((p \ rightarrow q)), aber nicht umgekehrt (MacColl 1880: 54). Dies ist der Fall, weil MacColl (vee) als reguläre Extensionsdisjunktion und (rightarrow) als intensive Implikation interpretiert, aber dann aus der Falschheit von (p) oder der Wahrheit von (q) folgt nicht, dass (p) ohne (q) logisch unmöglich ist. Im zweiten Artikel der Reihe unterscheidet MacColl zwischen Gewissheiten, Möglichkeiten und variablen Aussagen.und führt griechische Buchstaben als Indizes ein, um Sätze zu klassifizieren. (Alpha ^ { varepsilon}) drückt also aus, dass (alpha) eine Gewissheit ist, (alpha ^ { eta}), dass (alpha) eine Unmöglichkeit ist, und (alpha ^ { theta}) dass (alpha) eine Variable ist, dh weder eine Gewissheit noch eine Unmöglichkeit (MacColl 1897: 496–7). Mit dieser dreifachen Klassifizierung von Aussagen unterscheidet MacColl zwischen kausalen und allgemeinen Implikationen. Eine kausale Implikation besteht zwischen den Aussagen (alpha) und (beta), wenn (alpha) wahr ist (beta) wahr ist und (beta) keine Gewissheit ist. Eine allgemeine Implikation gilt zwischen (alpha) und (beta), wenn (alpha) und nicht (- \ beta) unmöglich ist, also insbesondere dann, wenn (alpha) unmöglich ist oder (beta) eine Gewissheit (1897: 498). Die Verwendung von Indizes öffnete die Tür für die Iteration von Modalitäten, und der Beginn des dritten Papiers der Reihe (MacColl 1900: 75–6) widmet sich der Klärung der Bedeutung von Aussagen mit iterierten Indizes, einschließlich (tau). für die Wahrheit und (iota) für die Verneinung. So wird beispielsweise (A ^ { eta \ iota \ varepsilon}) als "Es ist sicher, dass es falsch ist, dass A unmöglich ist" gelesen (beachten Sie, dass die Indizes von rechts nach links gelesen werden). Interessanterweise zeigt Bertrand Russells Rezension von MacColls Buch Symbolic Logic and its Applications (1906) aus dem Jahr 1906, dass Russell die modale Idee der Variabilität eines Satzes nicht verstand und MacColl daher fälschlicherweise eine Verwechslung zwischen Sätzen und Sätzen zuschrieb, die die Zuschreibung von Variabilität ermöglichte nur zu Sätzen, deren Bedeutung, also Wahrheitswert, nicht festgelegt wurde. Ähnlich,Gewissheit und Unmöglichkeit sind für Russell materielle Eigenschaften von Satzfunktionen (wahr für alles oder für nichts) und nicht modale Eigenschaften von Sätzen. Man könnte sagen, dass MacColls Arbeit zu früh kam und auf taube Ohren stieß. Tatsächlich berichtet Rescher über Russells erklärte Schwierigkeit, MacColls Symbolik zu verstehen, und argumentiert vor allem, dass Russells Sicht der Logik die Entwicklung der Modallogik negativ beeinflusst hat („Bertrand Russell and Modal Logic“in Rescher 1974: 85–96).. Trotz MacColls früherer Arbeit kann Lewis als der Vater der syntaktischen Tradition angesehen werden, nicht nur wegen seines Einflusses auf spätere Logiker, sondern insbesondere wegen seiner Einführung verschiedener Systeme, die die neuen Intensionsverbindungen enthalten.

1.1 Die Lewis-Systeme

In "The Calculus of Strict Implication" (1914) schlägt Lewis zwei mögliche Alternativen zum Erweiterungssystem von Whitehead und Russells Principia Mathematica vor. Eine Möglichkeit, ein System der strengen Implikation einzuführen, besteht darin, diejenigen Theoreme aus dem System zu streichen, die wie (1) und (2) oben nur für die materielle Implikation gelten, nicht jedoch für die strikte Implikation, wodurch ein solides System sowohl für das Material als auch für das Material erhalten wird strenge Implikation, aber in keinem Fall vollständig. Die zweite, fruchtbarere Alternative besteht darin, ein neues System der strengen Implikation einzuführen, das immer noch dem Whitehead- und Russell-System der materiellen Implikation nachempfunden ist und das (ganz oder teilweise) die erweiterte Aussagenlogik als angemessenen Teil enthält, aber nach Vollständigkeit strebt für zumindest strenge Implikation. Diese zweite Option wird in A Survey of Symbolic Logic (1918) weiterentwickelt. Dort führt Lewis ein erstes System ein, das das gewöhnliche, strenge Gefühl der Implikation erfassen soll, geleitet von der Idee, dass:

Sofern „impliziert“keine „richtige“Bedeutung hat, gibt es kein Gültigkeitskriterium, keine Möglichkeit, die Frage zu diskutieren, ob es eines gibt oder nicht. Und doch die Frage Was ist die "richtige" Bedeutung von "impliziert"? bleibt besonders schwierig. (1918: 325)

Das System von 1918 nimmt den Begriff der Unmöglichkeit ((neg \ Diamond)) als primitiv an, definiert den Operator der strengen Implikation in seinen Begriffen und verwendet immer noch einen Operator der intensiven Disjunktion. Post wird jedoch beweisen, dass dieses System zum Zusammenbruch der Notwendigkeit der Wahrheit führt - alternativ der Unmöglichkeit der Falschheit -, da aus einem seiner Sätze (((p \ Rightarrow q) Leftrightarrow (neg \ Diamond q \ Rightarrow) hervorgeht) neg \ Diamond p))) es kann bewiesen werden, dass ((neg p \ Leftrightarrow \ neg \ Diamond p)). 1920, "Strict Implication-An Emendation", repariert Lewis das System und ersetzt das alte Axiom durch das schwächere: ((((p \ Rightarrow q) Rightarrow (neg \ Diamond q \ Rightarrow \ neg \ Diamond p))). Schließlich in Anhang II des Lewis and Langford-Bandes Symbolic Logic (1932:492–502) „Die Struktur des Systems der strengen Implikation“Das System von 1918 erhält eine neue axiomatische Basis.

Im Anhang von 1932 stellt CI Lewis fünf verschiedene Systeme vor. Das modale primitive Symbol ist jetzt der Operator der Möglichkeit (Diamond), die strikte Implikation ((p \ Rightarrow q)) ist definiert als (neg \ Diamond (p \ Wedge \ neg q)) und (vee) ist eine gewöhnliche Extensionsdisjunktion. Der Notwendigkeitsoperator (Box) kann ebenfalls eingeführt und definiert werden, Lewis jedoch nicht auf die übliche Weise als (neg \ Diamond \ neg).

Wo (p, q) und (r) Aussagenvariablen sind, hat System S1 die folgenden Axiome:

Axiome für S1

) begin {align} tag {B1} (p \ wedge q) & \ Rightarrow (q \ wedge p) \ \ tag {B2} (p \ wedge q) & \ Rightarrow p \\ \ tag {B3 } p & \ Rechtspfeil (p \ Keil p) \ \ Tag {B4} ((p \ Keil q) Keil r) & \ Rechtspfeil (p \ Keil (q \ Keil r)) \ \ Tag {B5} p & \ Rightarrow \ neg \ neg p \\ \ tag {B6} ((p \ Rightarrow q) Keil (q \ Rightarrow r)) & \ Rightarrow (p \ Rightarrow r) \ \ tag {B7} (p \ Keil (p \ Rightarrow q)) & \ Rightarrow q \\ \ end {align})

Axiom B5 wurde von McKinsey (1934) als überflüssig erwiesen und kann daher ignoriert werden.

Die Regeln sind (1932: 125–6):

Regeln für S1

Einheitliche Substitution

Eine gültige Formel bleibt gültig, wenn eine Satzvariable durch eine Formel einheitlich ersetzt wird.

Substitution strenger Äquivalente Eine

der beiden streng äquivalenten Formeln kann gegeneinander ausgetauscht werden.

Adjunction

Wenn (Phi) und (Psi) abgeleitet wurden, kann (Phi \ wedge \ Psi) abgeleitet werden.

Strikte Inferenz

Wenn (Phi) und (Phi \ Rightarrow \ Psi) abgeleitet wurden, kann (Psi) abgeleitet werden.

System S2 wird aus System S1 erhalten, indem das hinzugefügt wird, was Lewis "das Konsistenzpostulat" nennt, da es offensichtlich für (Diamond) gilt, das als Konsistenz interpretiert wird:

) tag {B8} Diamond (p \ wedge q) Rightarrow \ Diamond p)

Das System S3 wird aus dem System S1 durch Hinzufügen des Axioms erhalten:

) tag {A8} ((p \ Rightarrow q) Rightarrow (neg \ Diamond q \ Rightarrow \ neg \ Diamond p)))

System S3 entspricht dem System von A Survey von 1918, das Lewis ursprünglich als das richtige System für strikte Implikationen betrachtete. Bis 1932 bevorzugt Lewis das System S2. Der Grund, wie in Lewis 1932: 496 berichtet, ist, dass sowohl Wajsberg als auch Parry im System S3 - in seiner Axiomatisierung von 1918 - den folgenden Satz abgeleitet haben:

[(p \ Rightarrow q) Rightarrow ((q \ Rightarrow r) Rightarrow (p \ Rightarrow r)),)

was nach Lewis nicht als gültiges Abzugsprinzip anzusehen ist. 1932 ist Lewis nicht sicher, ob der fragliche Satz in S2 nicht ableitbar ist. Sollte dies der Fall sein, würde er S1 als das richtige System für eine strikte Implikation beurteilen. Parry (1934) wird jedoch später beweisen, dass weder A8 noch

[(p \ Rightarrow q) Rightarrow ((q \ Rightarrow r) Rightarrow (p \ Rightarrow r)))

kann in S2 abgeleitet werden.

Allen diesen Systemen kann ein weiteres Existenzaxiom hinzugefügt werden:

) tag {B9} (existiert p, q) (neg (p \ rechter Pfeil q) Keil \ neg (p \ rechter Pfeil \ neg q)))

Die Hinzufügung von B9 macht es unmöglich, (Rightarrow) als materielle Implikation zu interpretieren, da im Fall einer materiellen Implikation bewiesen werden kann, dass für alle Sätze (p) und (q, ((p \ rightarrow q)) vee (p \ rightarrow \ neg q))) (1932: 179). Aus B9 leitet Lewis die Existenz von mindestens vier logisch unterschiedlichen Sätzen ab: einen wahren und notwendigen, einen wahren, aber nicht notwendigen, einen falschen und unmöglichen, einen falschen, aber nicht unmöglichen (1932: 184–9).

Nach Becker (1930) betrachtet Lewis drei weitere Axiome:

Drei zusätzliche Axiome

) begin {align} tag {C10} neg \ Diamond \ neg p & \ Rightarrow \ neg \ Diamond \ neg \ neg \ Diamond \ neg p \\ \ tag {C11} Diamond p & \ Rightarrow \ neg \ Diamond \ neg \ Diamond p \\ \ tag {C12} p & \ Rightarrow \ neg \ Diamond \ neg \ Diamond p \\ \ end {align})

Das System S4 fügt der Basis von S1 das Axiom C10 hinzu. Das System S5 fügt der Basis von S1 das Axiom C11 oder alternativ C10 und C12 hinzu. Lewis schließt Anhang II mit der Feststellung, dass das Studium der Logik am besten durch die Konzentration auf Systeme unterstützt wird, die schwächer als S5 und nicht ausschließlich auf S5 sind.

Es treten auch Paradoxe der strengen Implikation auf, die denen der materiellen Implikation ähnlich sind. Angesichts der Tatsache, dass die strikte Implikation ((p \ Rightarrow q)) als (neg \ Diamond (p \ wedge \ neg q)) definiert ist, folgt daraus, dass ein unmöglicher Satz alles impliziert und dass ein notwendiger Satz impliziert wird von irgendetwas. Lewis argumentiert, dass dies so ist, wie es sein sollte. Da Unmöglichkeit als logische Unmöglichkeit, dh letztendlich als Widerspruch, angesehen wird, argumentiert Lewis, dass aus einem unmöglichen Satz wie ((p \ wedge \ neg p)) sowohl (p) als auch (neg p) Folgen. Aus (p) können wir ((p \ vee q)) für jeden Satz (q) ableiten. Aus (neg p) und ((p \ vee q)) können wir (q) ableiten (1932: 250). Das Argument ist umstritten, da man denken könnte, dass das Prinzip ((p \ Rightarrow (p \ vee q))) kein Theorem eines Systems sein sollte, das darauf abzielt, gewöhnliche Implikationen auszudrücken (siehe z. B. Nelson 1930: 447). Unabhängig von den Vorzügen dieses Arguments begannen diejenigen, die mit Lewis nicht einverstanden waren, eine Logik der Konsequenz zu entwickeln, die auf der Annahme beruhte, dass die Konsequenz mehr erfordert als Lewis 'strikte Implikation. Siehe zum Beispiel Nelson 1930, Strawson 1948 und Bennett 1954. Siehe auch den SEP-Eintrag zur Relevanzlogik.

Beachten Sie, dass es Lewis 'Suche nach einem System war, das dazu geeignet war, strenge Implikationen auszudrücken, was Quine dazu veranlasste, modale Systeme aufgrund einer Verwechslung von Verwendungszwecken abzulehnen, sofern solche Systeme so formuliert wurden, dass sie auf Objektebene beweistheoretische oder semantische Begriffe wie Konsistenz, Implikation ausdrücken, Ableitbarkeit und Theoremheit (in der Tat, wenn (p \ rightarrow q) ein Satzsatz ist, kann System S1 und damit auch alle anderen stärkeren Lewis-Systeme (p \ Rightarrow q) beweisen (Parry 1939: 143))).

1.2 Andere Systeme und alternative Axiomatisierungen der Lewis-Systeme

Gödel schlägt in „Eine Interpretation des intuitionistischen Satzkalküls“(1933) als erster eine alternative Axiomatisierung des Lewis-Systems S4 vor, die die Satzbasis des Systems von den modalen Axiomen und Regeln trennt. Gödel fügt dem Satzkalkül die folgenden Regeln und Axiome hinzu.

) begin {align *} tag {Necessitation} textrm {If} mvdash \ alpha & \ textrm {dann} mvdash \ Box \ alpha, \\ \ tag {Axiom K} mvdash \ Box (p \ rechter Pfeil q) & \ rechter Pfeil (Box p \ rechter Pfeil \ Box q), \\ \ tag {Axiom T} mvdash \ Box p & \ rechter Pfeil p \ textrm {und} \ \ tag {Axiom 4} mvdash \ Box p & \ rightarrow \ Box \ Box p. \\ \ end {align *})

Zunächst verwendet Gödel einen Operator (B) der Beweisbarkeit, um Heytings primitive intuitionistische Konnektiva zu übersetzen, und stellt dann fest, dass wir das System S4 erhalten, wenn wir (B) durch einen Operator der Notwendigkeit ersetzen. Gödel behauptet auch, dass eine Formel (Box p \ vee \ Box q) in S4 nicht beweisbar ist, es sei denn, entweder (Box p) oder (Box q) ist nachweisbar, analog zur intuitionistischen Disjunktion. Gödels Behauptung wird von McKinsey und Tarski (1948) algebraisch bewiesen. Gödels kurze Anmerkung ist wichtig, um mit der fruchtbaren Praxis der Axiomatisierung modaler Systeme zu beginnen, die den Satzkalkül vom streng modalen Teil trennen, aber auch um intuitionistische und modale Logik zu verbinden.

Feys (1937) schlägt als erster das System T vor, indem er das Axiom 4 von Gödels System S4 subtrahiert (siehe auch Feys 1965: 123–124). In einem Essay in Modal Logic (1951) diskutiert von Wright alethische, epistemische und deontische Modalitäten und führt das System M ein, das Sobociński (1953) als äquivalent zu Feys 'System T erweisen wird. Von Wright (1951: 84-90) zeigt, dass das System M Lewiss enthält S2, das enthält S1 -Wo System S gesagt wird System enthalten S ‚ wenn alle Formeln in beweisbar S‘ in nachgewiesen werden kann S auch. System S3, eine Erweiterung von S2 ist nicht in M enthalten. Ebenso wenig ist M in enthaltenen S3. Von Wright findet S3 von geringem unabhängigem Interesse und sieht keinen Grund, S3 anstelle des stärkeren S4 zu übernehmen. Im Allgemeinen sind die Lewis-Systeme in der Reihenfolge ihrer Stärke nummeriert, wobei S1 das schwächste und S5 das stärkste und schwächere System in den stärkeren enthalten ist.

Lemmon (1957) folgt Gödel auch bei der Axiomatisierung modaler Systeme auf der Basis eines Satzkalküls und präsentiert eine alternative Axiomatisierung der Lewis-Systeme. Wenn PC die Basis der Aussagenrechnung ist, kann PC als die folgenden drei Regeln charakterisiert werden (1957: 177):

Eine Charakterisierung der Aussagenrechnung PC

• PCa Wenn (alpha) eine Tautologie ist, dann (mvdash \ alpha)
• PCb-Substitution für Satzvariablen
• PCc Materialablösung / Modus Ponens: Wenn (alpha) und (alpha \ rightarrow \ beta) Tautologien sind, ist dies auch (beta)

Weitere Regeln in Lemmons System sind:

• (a) Wenn (mvdash \ alpha), dann (mvdash \ Box \ alpha) (Notwendigkeit)
• (a ') Wenn (alpha) eine Tautologie oder ein Axiom ist, dann (mvdash \ Box \ alpha)
• (b) Wenn (mvdash \ Box (alpha \ rightarrow \ beta)) dann (mvdash \ Box (Box \ alpha \ rightarrow \ Box \ beta))
• (b ') Substituierbarkeit strenger Äquivalente.

Weitere Axiome in Lemmons System sind:

) begin {align} tag {1} Box (p \ rightarrow q) & \ rightarrow \ Box (Box p \ rightarrow \ Box q) \ \ tag {1 '} Box (p \ rightarrow q)) & \ rightarrow (Box p \ rightarrow \ Box q) & \ textrm {(Axiom K)} \ \ tag {2} Box p & \ rightarrow p & \ textrm {(Axiom T)} \ \ tag { 3} (Box (p \ rechter Pfeil q) Keil \ Box (q \ rechter Pfeil r)) & \ rechter Pfeil \ Box (p \ rechter Pfeil r) \ \ end {align})

Unter Verwendung der obigen Regeln und Axiome definiert Lemmon vier Systeme. Das System P1, das sich als äquivalent zum Lewis-System S1 erwiesen hat, verwendet die Satzbasis (PC), die Regeln (a ') - Notwendigkeit von Tautologien und Axiomen - und (b') sowie die Axiome (2) und (3). Das System P2, das S2 entspricht, verwendet (PC), die Regeln (a ') und (b) sowie die Axiome (2) und (1'). Das System P3, das S3 entspricht, verwendet (PC), Regel (a ') und Axiome (2) und (1). System P4, das S4 entspricht, verwendet (PC), Regel (a) und Axiome (2) und (1). In Lemmons Axiomatisierung ist leicht zu erkennen, dass S3 und von Wrights System M (Feys ' T) aufgrund der stärkeren Notwendigkeitsregel von M und des stärkeren Axioms (1) von S3 anstelle von (1' nicht ineinander enthalten sind.) = K. Im Allgemeinen macht die Axiomatisierung von Lemmon die logischen Unterscheidungen zwischen den verschiedenen Lewis-Systemen deutlicher.

Lemmon betrachtet auch einige Systeme als schwächer als S1. Von besonderem Interesse ist das System S0.5, das S1 schwächt, indem Regel (a ') durch die schwächere Regel (a' ') ersetzt wird:

(a ″) Wenn (alpha) eine Tautologie ist, dann (mvdash \ Box \ alpha)

Lemmon interpretiert das System S0.5 als eine formalisierte Metallogie des Satzkalküls, wobei (Box \ alpha) als "(alpha) ist eine Tautologie" interpretiert wird.

Wir nennen "normal" die Systeme, die PC, Axiom K und die Regel der Notwendigkeit enthalten. System K ist das kleinste normale System. System T fügt dem System K das Axiom T hinzu. System B (das Brouwersche-System) fügt Axiom B hinzu

) mvdash p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p \ quad \ textrm {(entspricht Beckers C12)})

zum System T. S4 fügt dem System T das Axiom 4 (entspricht Beckers C10) hinzu. S5 addiert die Axiome B und 4 oder alternativ das Axiom E.

) mvdash \ Diamond p \ Rightarrow \ Box \ Diamond p \ quad \ textrm {(entspricht Beckers C11)})

zum System T. Lewis 'Systeme S1, S2 und S3 sind nicht normal, da sie nicht die Regel der Notwendigkeit enthalten. Informationen zur Beziehung zwischen diesen (und anderen) Systemen und den Bedingungen für Frames, die die Axiome auferlegen, finden Sie im SEP-Eintrag zur Modallogik.

Hier werden nur einige der vielen Erweiterungen der Lewis-Systeme erwähnt, die in der Literatur diskutiert wurden. Alban (1943) führte das System S6 ein, indem er das Axiom (mvdash \ Diamond \ Diamond p) zu S2 hinzufügte. Halldén (1950) nennt S7 das System, das S3 das Axiom (mvdash \ Diamond \ Diamond p) hinzufügt, und S8 das System, das S3 um das Axiom (mvdash \ neg \ Diamond \ neg) erweitert Diamant \ Diamant p). Während die Hinzufügung eines Axioms der universellen Möglichkeit (mvdash \ Diamond p) mit allen Lewis-Systemen unvereinbar wäre, da sie alle Theoreme der Form (mvdash \ Box p) enthalten, sind die Systeme S6, S7 und S8 sind konsistent. Stattdessen führt die Addition eines dieser Axiome zu S4 und damit auch zu S5 zu einem inkonsistenten System, vorausgesetzt, dass in S4 (mvdash \ Diamond \ Diamond p \ Rightarrow \ Diamond p). Halldén hat auch bewiesen, dass eine Formel genau dann ein Satz von S3 ist, wenn es sich um einen Satz von S4 und S7 handelt (1950: 231–232), sodass S4 und S7 zwei alternative Erweiterungen von S3 sind.

2. Die Matrixmethode und einige algebraische Ergebnisse

In „Philosophische Bemerkungen zu vielwertigen Systemen der Aussagenlogik“(1930. Aber Łukasiewicz 1920 ist eine vorläufige polnische Version der Hauptideen dieses Papiers) sagt Łukasiewicz:

Als ich 1920 die Unvereinbarkeit der traditionellen Sätze über Modalsätze erkannte, beschäftigte ich mich mit der Etablierung des Systems der gewöhnlichen „zweiwertigen“Satzrechnung mittels der Matrixmethode. Ich habe mich damals davon überzeugt, dass alle Thesen des gewöhnlichen Satzkalküls unter der Annahme bewiesen werden können, dass ihre Satzvariablen nur zwei Werte annehmen können, "0" oder "das Falsche" und "1" oder "das Wahre". (1970: 164)

Diese Passage zeigt gut, wie Łukasiewicz in den frühen zwanziger Jahren über Logik nachdachte. Erstens dachte er eher algebraisch als syntaktisch und beschäftigte sich nicht so sehr mit der Konstruktion neuer Systeme, sondern mit der Bewertung der Systeme relativ zu Wertesätzen. Zweitens führte er dreiwertige Matrizen ein, um logischen Raum für den Begriff von Sätzen (vor allem über zukünftige Kontingente) zu schaffen, die weder wahr noch falsch sind und den neuen unbestimmten Wert ½ erhalten. Ironischerweise wird eine spätere Arbeit mit seiner ursprünglichen Matrixmethode zeigen, dass die Hoffnung, die modale Logik als ein dreiwertiges System zu behandeln, nicht verwirklicht werden kann. Siehe auch den SEP-Eintrag zur vielwertigen Logik.

Eine Matrix für eine Aussagenlogik L ist gegeben durch (i) eine Menge K von Elementen, die Wahrheitswerte, (ii) eine nicht leere Teilmenge (D \ subseteq K) von bezeichneten Wahrheitswerten und (iii) Operationen an der Menge K, dh Funktionen von (n) - Tupel von Wahrheitswerten zu Wahrheitswerten, die den Konnektiven von L entsprechen. Eine Matrix erfüllt eine Formel A unter einer Zuordnung (Sigma) von Elementen von K zu den Variablen von A, wenn der Wert von A unter (Sigma) ein Mitglied von D ist, dh ein bestimmter Wert. Eine Matrix erfüllt eine Formel, wenn sie bei jeder Zuweisung (sigma) erfüllt ist. Eine Matrix für eine Modallogik M erweitert eine Matrix für eine Aussagenlogik durch Hinzufügen einer unären Funktion, die dem Konnektiv (Diamond) entspricht.

Matrizen werden typischerweise verwendet, um die Unabhängigkeit der Axiome eines Systems sowie deren Konsistenz zu zeigen. Die Konsistenz zweier Formeln A und B wird durch eine Matrix hergestellt, die unter einer Zuordnung (sigma) beiden Formeln bestimmte Werte zuweist. Die Unabhängigkeit der Formel B von der Formel A wird durch eine Matrix hergestellt, die (i) die Gültigkeit der Regeln des Systems bewahrt und (ii) unter einer Interpretation (sigma) A, aber nicht B einen bestimmten Wert zuweist. Parry (1939) verwendet die Matrixmethode, um zu zeigen, dass die Anzahl der Modalitäten der Lewis-Systeme S3 und S4ist endlich. Eine Modalität ist eine Modalfunktion einer Variablen, die nur die Operatoren (neg) und (Diamond) enthält. Der Grad einer Modalität wird durch die Anzahl der enthaltenen (Diamond) -Operatoren angegeben. Eine geeignete Modalität ist um einen Grad höher als Null. Die richtigen Modalitäten können vier verschiedene Formen haben:

) begin {align} tag {1} neg \ ldots \ Diamond p \\ \ tag {2} Diamond \ ldots \ Diamond p \\ \ tag {3} neg \ ldots \ Diamond \ neg p \ \ \ tag {4} Diamond \ ldots \ neg p. \\ \ end {align})

Die unangemessenen Modalitäten sind (p) und (neg p) (1939: 144). Parry beweist, dass S3 42 verschiedene Modalitäten hat und dass S4 14 verschiedene Modalitäten hat. Es war bereits bekannt, dass das System S5 nur 6 verschiedene Modalitäten aufweist, da es alle Modalitäten auf Modalitäten vom Grad Null oder Eins reduziert. Parry führt das System S4.5 ein, indem es S4 das folgende Axiom hinzufügt:

) mvdash \ neg \ Diamond \ neg \ Diamond \ neg \ Diamond p \ Rightarrow \ neg \ Diamond p.)

Das System reduziert die Anzahl der Modalitäten von S4 von 14 auf 12 (oder 10 richtige). Die Hinzufügung des gleichen Axioms zu Lewis 'System S3 führt zu einem System mit 26 verschiedenen Modalitäten. Darüber hinaus, wenn wir hinzufügen

) mvdash \ neg \ Diamond \ neg \ Diamond \ Diamond p \ Rightarrow \ neg \ Diamond \ neg \ Diamond p)

bis S3 erhalten wir ein unterschiedliches System mit 26 Modalitäten, die ebenfalls zwischen S3 und S4 liegen. Daher bestimmt die Anzahl der Modalitäten ein System nicht eindeutig. Die Systeme S1 und S2 sowie T und B haben unendlich viele Modalitäten (Burgess 2009, Kapitel 3 zur Modallogik, erläutert die zusätzlichen Systeme S4.2 und S4.3 und erklärt die Reduzierung der Modalitäten in verschiedenen Systemen gut)..

Eine charakteristische Matrix für ein System L ist eine Matrix, die alle und nur die Sätze von L erfüllt. Eine Matrix ist endlich, wenn ihre Menge K von Wahrheitswerten endlich ist. Eine endliche charakteristische Matrix ergibt ein Entscheidungsverfahren, bei dem ein System entscheidbar ist, wenn jede Formel des Systems, die kein Theorem ist, durch eine endliche Matrix verfälscht wird (dies ist die Eigenschaft des endlichen Modells). Dugundji (1940) zeigt jedoch, dass keines von S1 - S5 eine endliche charakteristische Matrix aufweist. Daher kann keines dieser Systeme als (n) -wertige Logik für ein endliches (n) angesehen werden. Später wird Scroggs (1951) beweisen, dass jede richtige Erweiterung von S5, die die Ablösung für materielle Implikationen bewahrt und unter Substitution geschlossen wird, eine endliche charakteristische Matrix hat.

Trotz des Fehlens einer endlichen charakteristischen Matrix zeigt McKinsey (1941), dass die Systeme S2 und S4 entscheidbar sind. Um diese Ergebnisse zu beweisen, führt McKinsey Modalmatrizen ((K, D, -, *, \ times)) ein, wobei (-), (*) und (times) der Negationsmöglichkeit entsprechen bzw. Konjunktion. Eine Matrix ist normal, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:

1. wenn (x \ in D) und ((x \ Rightarrow y) in D) und (y \ in K), dann (y \ in D),
2. wenn (x \ in D) und (y \ in D), dann (x \ mal y \ in D),
3. wenn (x \ in K) und (y \ in K) und (x \ Leftrightarrow y \ in D), dann (x = y).

Diese Bedingungen entsprechen Lewis 'Regeln der strengen Folgerung, Adjunktion und Substitution strenger Äquivalente. Die Struktur von McKinseys Beweis ist wie folgt. Der Beweis besteht aus drei Schritten. Zunächst zeigt McKinsey anhand einer unveröffentlichten Methode von Lindenbaum, die ihm von Tarski erklärt wurde und die für Systeme gilt, die die Regel der Substitution von Aussagenvariablen haben, dass es eine S2- charakteristische Matrix gibt (M = (K, D, -, *, \ times)) die die Bedingung (iii) nicht erfüllt und daher nicht normal ist. M ist eine triviale Matrix, deren Domäne die Menge der Formeln des Systems ist, deren bezeichnete Elemente die Theoreme des Systems sind und deren Operationen die Konnektiva selbst sind. Die Trivialmatrix M erfüllt (iii) nicht, da für einige unterschiedliche Formeln A und B (A \ Leftrightarrow B) ein ist S2- Satz. Zweitens zeigt McKinsey, wie man aus M eine normale, aber immer noch unendliche S2- charakteristische Matrix (M_1 = (K_1, D_1, -_1, * ^ 1, \ times_1)) konstruiert, deren Elemente Äquivalenzklassen nachweislich äquivalent sind Formeln von S2, dh der Formeln A und B, so dass (A \ Leftrightarrow B) ein Satz von S2 ist und dessen Operationen entsprechend überarbeitet werden. Wenn zum Beispiel (E (A)) die Menge von Formeln ist, die nachweislich A und (E (A) in K_1) entsprechen, dann ist (-_ 1 E (A) = E (-A) = E (neg A). M_1) erfüllt genau die von M erfüllten Formeln, ohne die Bedingung (iii) zu verletzen, daher ist es eine charakteristische Normalmatrix für S2 ((M_1) ist die Lindenbaum-Algebra für S2). Schließlich wird gezeigt, dass es für jede Formel A, die kein Satz von S2 ist, eine endliche und normale Matrix (eine Subalgebra von (M_1)) gibt, die sie verfälscht. Ein ähnlicher Beweis wird für S4 gegeben.

Eine Matrix ist eine spezielle Art von Algebra. Eine Algebra ist eine Matrix ohne eine Menge D bestimmter Elemente. Boolesche Algebren entsprechen Matrizen für die Aussagenlogik. Nach Bull und Segerberg (1984: 10) könnte die Verallgemeinerung von Matrizen zu Algebren die Untersuchung dieser Strukturen unabhängig von ihren Verbindungen zu logischen und modalen Systemen gefördert haben. Die Menge der bezeichneten Elemente D erleichtert tatsächlich eine Definition der Gültigkeit, anhand derer die Theoreme eines Systems bewertet werden können. Ohne eine solche Menge wird die offensichtlichste Verbindung zur Logik unterbrochen. Eine zweite Verallgemeinerung auf Klassen von Algebren und nicht nur auf einzelne Algebren war ebenfalls entscheidend für die mathematische Entwicklung des Themas. Tarski ist die herausragende Figur in dieser Entwicklung.

Jónsson und Tarski (1951 und 1952) führen die allgemeine Idee der Booleschen Algebren mit Operatoren ein, dh Erweiterungen der Booleschen Algebren durch Hinzufügen von Operatoren, die den modalen Konnektiven entsprechen. Sie beweisen einen allgemeinen Repräsentationssatz für Boolesche Algebren mit Operatoren, der Stones Ergebnis für Boolesche Algebren erweitert (jede Boolesche Algebra kann als Mengenalgebra dargestellt werden). Diese Arbeit von Jónsson und Tarski ist aus Tarskis rein mathematischer Untersuchung der Algebra der Beziehungen hervorgegangen und enthält keinen Hinweis auf modale Logik oder gar Logik im Allgemeinen. Der Satz von Jónsson und Tarski ist ein (allgemeineres) algebraisches Analogon zu Kripkes späteren Ergebnissen der semantischen Vollständigkeit, das jedoch einige Zeit nicht realisiert wurde. Tarski war sich der Verbindung nicht nur nicht bewusst,aber es scheint, dass sowohl Kripke als auch Lemmon die Zeitungen von Jónsson und Tarski zu dem Zeitpunkt, als sie ihre modale Arbeit in den späten fünfziger und sechziger Jahren verrichteten, nicht gelesen hatten, und Kripke behauptet, unabhängig voneinander dasselbe Ergebnis erzielt zu haben.

Lemmon (1966a und 1966b) passt die algebraischen Methoden von McKinsey an, um Entscheidbarkeitsergebnisse und Repräsentationssätze für verschiedene Modalsysteme einschließlich T zu beweisen(obwohl anscheinend in Unkenntnis von Jónsson und Tarskis Arbeit). Insbesondere erweitert er McKinseys Methode um die Einführung einer neuen Technik zur Konstruktion endlicher Algebren von Teilmengen einer Kripke-Modellstruktur (siehe nächster Abschnitt dieses Eintrags). Lemmon (1966b: 191) schreibt Dana Scott das Hauptergebnis seiner zweiten Arbeit von 1966 zu. Dies ist ein allgemeiner Repräsentationssatz, der beweist, dass Algebren für modale Systeme als Algebren dargestellt werden können, basierend auf der Potenzmenge der Menge K in den entsprechenden Kripke-Strukturen. Infolgedessen übersetzt sich die algebraische Vollständigkeit in Kripkes modelltheoretische Vollständigkeit. Lemmon erklärt also sehr deutlich den Zusammenhang zwischen Kripkes Modellen, deren Elemente Welten sind, und den entsprechenden Algebren, deren Elemente Sätze von Welten sind, die als Sätze betrachtet werden können. Dies zeigt, dass die algebraischen und modelltheoretischen Ergebnisse eng miteinander verbunden sind. Kripke (1963a) ist in diesem Zusammenhang bereits explizit. In The Lemmon Notes (1977), das in Zusammenarbeit mit Dana Scott verfasst und von Segerberg herausgegeben wurde, wird die Technik von 1966 in eine rein modelltheoretische Methode umgewandelt, die für viele Systeme der Modallogik in möglichst allgemeiner Form Vollständigkeits- und Entscheidbarkeitsergebnisse liefert (1977: 29).

Siehe auch den SEP-Eintrag zur Algebra der logischen Tradition. Eine grundlegende Einführung in die Algebra der Modallogik finden Sie in Hughes und Cresswell 1968, Kapitel 17, „Boolesche Algebra und Modallogik“. Für eine umfassendere Behandlung siehe Kapitel 5 von Blackburn, de Rijke und Venema 2001. Siehe auch Goldblatt 2003.

3. Die modelltheoretische Tradition

3.1 Carnap

In den frühen 1940er Jahren führte die Anerkennung der semantischen Natur des Begriffs der logischen Wahrheit Rudolf Carnap zu einer informellen Erklärung dieses Begriffs in Bezug auf mögliche leibnizianische Welten. Gleichzeitig erkannte er, dass die vielen syntaktischen Fortschritte in der Modallogik ab 1918 immer noch nicht mit angemessenen semantischen Überlegungen einhergingen. Eine bemerkenswerte Ausnahme war Gödels Interpretation der Notwendigkeit als Beweisbarkeit und die daraus resultierende Präferenz für S4. Carnap betrachtete die Notwendigkeit stattdessen als logische Wahrheit oder Analytizität. Überlegungen zu den Eigenschaften logisch wahrer Sätze ließen ihn an S5 denkenals das richtige System, um diesen "informellen" Begriff zu formalisieren. Carnaps Arbeit in den frühen vierziger Jahren konzentrierte sich dann darauf, (1) einen formalen semantischen Begriff der L-Wahrheit zu definieren, der geeignet ist, die informellen semantischen Begriffe der logischen Wahrheit, Notwendigkeit und Analytizität darzustellen, dh der Wahrheit allein aufgrund der Bedeutung (zunächst) er machte keinen Unterschied zwischen diesen Begriffen, sondern dachte klar an Analytizität als die Hauptidee); und (2) Bereitstellen einer formalen Semantik für quantifiziertes S5 in Bezug auf den formalen Begriff der L-Wahrheit mit dem Ziel, Ergebnisse für Solidität und Vollständigkeit zu erhalten, dh zu beweisen, dass alle Sätze von quantifiziertem S5 L-wahr sind und dass alle Die L-Wahrheiten (in der Sprache des Systems ausdrückbar) sind Theoreme des Systems.

Die Idee quantifizierter Modalsysteme kam auch Ruth Barcan. In „Ein Funktionskalkül erster Ordnung basierend auf strikter Implikation“(1946a) fügte sie Lewis 'Satzsystem S2 eine Quantifizierung hinzu; Carnap (1946) fügte es S5 hinzu. Obwohl einige spezifische semantische Punkte zur quantifizierten Modallogik berücksichtigt werden, konzentriert sich dieser Eintrag nicht auf die Entwicklung der quantifizierten Modallogik, sondern auf die Entstehung der modelltheoretischen formalen Semantik für modale Logik, Aussagen oder Quantifizierung. Eine ausführlichere Beschreibung der quantifizierten Modallogik finden Sie im SEP-Eintrag zur Modallogik.

In „Modalities and Quantification“(1946) und in Meaning and Necessity (1947) interpretiert Carnap den Operator der Objektsprache der Notwendigkeit so, dass er auf Objektebene den semantischen Begriff der logischen Wahrheit ausdrückt:

[D] Die Leitidee in unseren Konstruktionen von Systemen der Modallogik ist folgende: Ein Satz (p) ist genau dann logisch notwendig, wenn ein Satz, der (p) ausdrückt, logisch wahr ist. Das heißt, das modale Konzept der logischen Notwendigkeit eines Satzes und das semantische Konzept der logischen Wahrheit oder Analytizität eines Satzes entsprechen einander. (1946: 34)

Carnap führt den Apparat der Zustandsbeschreibungen ein, um den formalen semantischen Begriff der L-Wahrheit zu definieren. Dieser formale Begriff soll dann verwendet werden, um eine formale Semantik für S5 bereitzustellen.

Eine Zustandsbeschreibung für eine Sprache L ist eine Klasse von Sätzen von L, so dass für jeden Atomsatz (p) von L entweder (p) oder (neg p), aber nicht beide, ist in der Klasse enthalten. Ein Atomsatz enthält in einer Zustandsbeschreibung R genau dann, wenn er zu R gehört. Ein Satz (neg A) (wobei A nicht atomar sein muss) gilt genau dann in R, wenn A nicht in R gilt; ((A \ Keil B)) gilt genau dann für R, wenn sowohl A als auch B für R gelten, und so weiter für die anderen Anschlüsse auf die übliche induktive Weise; ((forall x) Fx) gilt genau dann in R, wenn alle Substitutionsinstanzen von (Fx) in R gelten. Der Bereich eines Satzes ist die Klasse der Zustandsbeschreibungen, in der er enthalten ist. Carnaps Begriff der Gültigkeit oder L-Wahrheit ist ein maximaler Begriff, dh Carnap definiert einen Satz als gültig oder L-wahr, wenn und nur wenn er in allen Zustandsbeschreibungen gilt. In späteren Arbeiten übernimmt Carnap Modelle anstelle von Zustandsbeschreibungen. Modelle sind Zuweisungen von Werten zu den primitiven nicht logischen Konstanten der Sprache. In Carnaps Fall sind Prädikatenkonstanten die einzigen primitiven Konstanten, denen die Modelle Werte zuweisen, da einzelne Konstanten eine feste Interpretation vor dem Modell erhalten und die Wertzuweisungen zu Variablen unabhängig von den Modellen erfolgen (1963a).

Es ist wichtig zu beachten, dass die Definition von L-Wahrheit nicht den Begriff der Wahrheit verwendet, sondern nur den des Haltens in einer Zustandsbeschreibung. Die Wahrheit wird später als das eingeführt, was in der Beschreibung des realen Zustands gilt. Um eine adäquate formale Darstellung der Analytizität zu sein, muss die L-Wahrheit die Grundidee hinter der Analytizität respektieren: Wahrheit allein aufgrund der Bedeutung. Tatsächlich sind die L-Wahrheiten eines Systems S so, dass die semantischen Regeln von S ausreichen, um ihre Wahrheit festzustellen. Informell repräsentieren Zustandsbeschreibungen so etwas wie mögliche leibnizianische Welten oder mögliche Wittgensteinsche Sachverhalte, und das Spektrum der Zustandsbeschreibungen für eine bestimmte Sprache soll die Bandbreite alternativer Möglichkeiten erschöpfen, die in dieser Sprache beschrieben werden können.

In Bezug auf Modalsätze übernimmt Carnap die folgenden Konventionen (wir verwenden (Box) anstelle von Carnaps Operator N aus logischen Gründen). Sei S ein System:

1. Ein Satz (Box A) ist in S genau dann wahr, wenn (A) in S L-wahr ist (also ist ein Satz (Box A) in S genau dann wahr, wenn (A.) gilt in allen Zustandsbeschreibungen von S);
2. Ein Satz (Box A) ist in S genau dann L-wahr, wenn (Box A) in S wahr ist (daher stimmen alle Zustandsbeschreibungen in ihrer Bewertung von Modalsätzen überein).

Daraus folgt:

(Box A) ist in S genau dann L-wahr, wenn (A) in S L-wahr ist

Carnaps Konventionen gelten auch, wenn wir "Wahrheit in S" durch "Wahrheit in einer Zustandsbeschreibung von S" ersetzen.

Carnap nimmt für sein quantifiziertes System einen festen Quantifizierungsbereich an, den Funktionskalkül mit Identität FC, und folglich für den modalen Funktionskalkül mit Identität MFC, eine quantifizierte Form von S5. Die Sprache von FC enthält unzählige individuelle Konstanten, das Diskursuniversum enthält unzählige Individuen, jeder Konstante wird ein Individuum der Domäne zugewiesen, und keinen zwei Konstanten wird dasselbe Individuum zugewiesen. Dies macht Sätze wie (a = a) L-wahr und Sätze wie (a = b) L-falsch (1946: 49). In Bezug auf MFC sind die Barcan-Formel und ihre Umkehrung beide L-wahr, d. H.

) mvDash (forall x) Box Fx \ leftrightarrow \ Box (forall x) Fx.)

Dieses Ergebnis wird durch die Annahme eines festen Quantifizierungsbereichs garantiert. Carnap beweist, dass MFC solide ist, dh alle seine Sätze sind L-wahr, und wirft die Frage der Vollständigkeit sowohl für FC als auch für MFC auf. Gödel bewies die Vollständigkeit für die Prädikatenrechnung erster Ordnung mit Identität, aber der verwendete Begriff der Gültigkeit war die Wahrheit in jedem nicht leeren Bereich der Quantifizierung, einschließlich endlicher Bereiche. Carnap nimmt stattdessen einen einzigartigen denumerierbaren Bereich der Quantifizierung an. Die Annahme einer festen denumerierbaren Domäne von Individuen erzeugt bereits auf vormodaler Ebene einige zusätzliche Gültigkeiten, die die Vollständigkeit gefährden, beispielsweise "Es gibt mindestens zwei Individuen", ((existiert x) (existiert y) (x) ne y)) erweist sich als gültig (1946: 53).

Eine Konsequenz der Definitionen von Zustandsbeschreibungen für eine Sprache und L-Wahrheit ist, dass sich jeder Atomsatz und seine Negation bei einigen, aber nicht allen Zustandsbeschreibungen als wahr herausstellen. Wenn also (p) atomar ist, sind sowohl (Diamond p) als auch (Diamond \ neg p) L-wahr. Daher schlägt Lewis 'Regel der einheitlichen Substitution fehl (wenn (p \ wedge \ neg p) in (Diamond p) durch (p) ersetzt wird, leiten wir (Diamond (p \ wedge \ neg p) ab.), was L-falsch ist, nicht L-wahr). Dies wird von Makinson (1966a) bemerkt, der argumentiert, dass getan werden muss, um die Substituierbarkeit wiederherzustellen und Carnaps naiven Begriff der Gültigkeit (als logische Notwendigkeit) zugunsten eines schematischen quineischen Begriffs zu revidieren („Eine logische Wahrheit… ist als Satz definierbar, aus dem Wir bekommen nur Wahrheiten, wenn wir die einfachen Sätze durch Sätze ersetzen. “Quine 1970:50) das macht Sätze wie (Diamond p) nicht gültig. Trotzdem beweist Carnap die Solidität und Vollständigkeit des Satzes S5, den er nach Wajsberg " MPC " für modale Aussagenrechnung nennt. Der Beweis verwendet jedoch effektiv einen schematischen Begriff der Gültigkeit.

Es wurde bewiesen, dass Carnaps Begriff der maximalen Gültigkeit die Vollständigkeit für quantifiziertes S5 unmöglich macht, dh dass es L-Wahrheiten gibt, die keine Theoreme von Carnaps MFC sind. Sei (A) ein nichtmodaler Satz von MFC. Gemäß Konvention (1) ist (Box A) in MFC genau dann wahr, wenn (A) in MFC L-wahr ist. (A) ist aber auch ein Satz von FC. Wenn also L-wahr in MFC ist, ist es auch L-wahr in FC, da die Zustandsbeschreibungen (Modelle) der modalen Funktionslogik dieselben sind wie die der funktionalen Logik (1946): 54). Dies bedeutet, dass die Zustandsbeschreibungen die dreifache Rolle von (i) Modellen erster Ordnung von FC spielenwodurch die Gültigkeit erster Ordnung definiert wird, (ii) Welten für MFC, wodurch die Wahrheit für (Box A) Sätze von MFC definiert wird, und (iii) Modelle von MFC, wodurch die Gültigkeit für MFC definiert wird. Der Kern des Unvollständigkeitsarguments besteht in der Tatsache, dass die Nichtgültigkeit eines Satzes erster Ordnung (A) in der Modalsprache als (neg \ Box A) dargestellt werden kann, aber alle Modelle sind sich einig die Bewertung von Modalsätzen, wodurch (neg \ Box A) gültig wird. Grob gesagt und abgesehen von Komplikationen, die durch die Tatsache entstehen, dass Carnaps Semantik nur denumerable Domänen enthält, wenn (A) ein ungültiger Satz erster Ordnung von FC ist, (A) ist in einigen, aber nicht allen Modellen oder Zustandsbeschreibungen wahr. In Anbetracht der Konventionen von Carnap folgt, dass (neg \ Box A) in MFC wahr ist. Aber dann ist (neg \ Box A) in MFC L-wahr, dh in MFC (mvDash \ neg \ Box A). Da die ungültigen Sätze erster Ordnung nicht rekursiv aufzählbar sind, sind auch die Gültigkeiten für das Modalsystem MFC nicht aufzählbar. Die Klasse der Sätze von MFC ist jedoch rekursiv aufzählbar. Daher ist MFC gegenüber der maximalen Gültigkeit von Carnap unvollständig. Cocchiarella (1975b) schreibt das Ergebnis Richard Montague und Donald Kalish zu. Siehe auch Lindström 2001: 209 und Kaplan 1986: 275–276.

3.2 Kripkes mögliche Weltsemantik

Carnaps Semantik ist in der Tat ein Vorläufer der Possible Worlds Semantics (PWS). Dennoch fehlen noch einige wichtige Zutaten. Erstens muss der maximale Begriff der Gültigkeit durch einen neuen universellen Begriff ersetzt werden. Zweitens müssen Zustandsbeschreibungen Raum für mögliche Welten schaffen, die als Indizes oder Bewertungspunkte verstanden werden. Zuletzt muss ein Verhältnis der Zugänglichkeit zwischen den Welten eingeführt werden. Obwohl Kripke keineswegs der einzige Logiker in den fünfziger und frühen sechziger Jahren ist, der an diesen Ideen arbeitet, sind all diese Innovationen in Kripkes Version von PWS vorhanden. Kanger (1957), Montague (1960, aber ursprünglich 1955 vorgestellt), Hintikka (1961) und Prior (1957) dachten alle an eine Beziehung zwischen Welten, und Hintikka (1961) übernahm wie Kripke (1959a) einen neuen Begriff von Gültigkeit, die Wahrheit in allen willkürlichen Welten erfordert. Aber Kripke war der einzige, der die Welten als einfache Bewertungspunkte charakterisierte (1963a). Andere Logiker betrachteten die Welten immer noch grundlegend als Modelle der Logik erster Ordnung, obwohl Prior in seiner Entwicklung der zeitlichen Logik möglicherweise auch zu einer abstrakteren Charakterisierung von Zeitpunkten überging. Kripkes abstraktere Charakterisierung der Welten ist entscheidend für die Herstellung einer Verbindung zwischen der modelltheoretischen Semantik und der Algebra der Modallogik. Kripke erkannte diesen Zusammenhang zwischen Algebra und Semantik sehr deutlich, und dies ermöglichte es ihm, systematisch modelltheoretische Vollständigkeits- und Entscheidbarkeitsergebnisse für verschiedene Modalsysteme zu erhalten. Goldblatt (2003: Abschnitt 4.8) argumentiert überzeugend, dass Kripkes Übernahme von Bewertungspunkten in die Modellstrukturen eine besonders wichtige Neuerung ist. Eine solche Verallgemeinerung öffnet die Tür zu verschiedenen zukünftigen Entwicklungen der Modelltheorie und ermöglicht es, Modelltheorien für die Intensionslogik im Allgemeinen bereitzustellen. Aus diesen Gründen widmen wir in diesem Eintrag Kripkes Version von PWS mehr Aufmerksamkeit. Für eine umfassendere Behandlung der anfänglichen Entwicklung von PWS, einschließlich der späten fünfziger Jahre, wird daran gearbeiteteinschließlich der späten fünfziger Jahre arbeiten aneinschließlich der späten fünfziger Jahre arbeiten an S5 des französischen Logikers Bayart wird der Leser auf Goldblatt 2003 verwiesen. Zu den Unterschieden zwischen Kangers Semantik und Standard-PWS-Semantik siehe Lindström 1996 und 1998.

Kripkes 1959a „Ein Vollständigkeitssatz in der Modallogik“enthält ein modelltheoretisches Vollständigkeitsergebnis für eine quantifizierte Version von S5 mit Identität. In Kripkes semantischer Behandlung von quantifiziertem S5, das er S5 nennt * (^ =)Eine Zuweisung von Werten zu einer Formel (A) in einer Domäne von Individuen (D) weist jeder freien individuellen Variablen von (A), einem Wahrheitswert (T, ein Mitglied von (D) zu) oder (F) zu jeder Satzvariablen von (A) und eine Menge geordneter (n) - Tupel von Mitgliedern von (D) zu jeder (n) - Prädikatvariablen von (A) (die Sprache für das System enthält keine nicht logischen Konstanten). Kripke definiert ein Modell über eine nicht leere Domäne (D) von Individuen als ein geordnetes Paar ((G, K)), so dass (G \ in K, K) eine beliebige Teilmenge von Zuweisungen von ist Werte zu den Formeln von S5 * (^ =)und alle (H \ in K) stimmen den Zuordnungen zu einzelnen Variablen zu. Für jedes (H \ in K) wird der Wert, den (H) einer Formel (B) zuweist, induktiv definiert. Satzvariablen werden durch Hypothese (T) oder (F) zugewiesen. Wenn (B) (P (x_1, \ ldots, x_n)) ist, wird (B) genau dann (T) zugewiesen, wenn das (n) - Tupel der Elemente \ zugewiesen ist (x_1),…, (x_n) gehört zu der Menge von (n) - Tupeln von Personen, die (H) (P. H) (T) (T) zuweist \ neg B) genau dann, wenn es (F) (B. H) (T) (B \ Keil C) genau dann zuweist, wenn es (T) zu (B) und zu (C). Wenn (B) (x = y) ist, wird es genau dann (T) zugewiesen, wenn (x) und (y) in (D) der gleiche Wert zugewiesen wird. Wenn (B) ((für alle x) Fx) ist, wird es genau dann (T) zugewiesen, wenn (Fx) für jede Zuordnung zu (x) (T) zugewiesen wird..(Box B) wird genau dann (T) zugewiesen, wenn (B) von jedem (H \ in K) (T) zugewiesen wird.

Das Wichtigste, was in der Modelltheorie von 1959 zu beachten ist, ist die Definition der Gültigkeit. Eine Formel (A) gilt in einem Modell ((G, K)) in (D) genau dann als gültig, wenn sie (T) in (G) zugewiesen ist in einer Domäne (D) genau dann gültig sein, wenn sie in jedem Modell in (D) gültig ist, und nur dann universell gültig sein, wenn sie in jeder nicht leeren Domäne gültig ist. Kripke sagt:

Bei dem Versuch, eine Definition der universellen logischen Gültigkeit zu konstruieren, erscheint es plausibel anzunehmen, dass das Diskursuniversum nicht nur eine beliebige Anzahl von Elementen enthalten kann und dass Prädikaten eine bestimmte Interpretation in der tatsächlichen Welt zugewiesen werden kann, sondern auch eine beliebige Kombination von Mögliche Welten können in Bezug auf eine Gruppe von Prädikaten mit der realen Welt assoziiert werden. Mit anderen Worten, es ist plausibel anzunehmen, dass (D, G) und (K) keine weiteren Einschränkungen auferlegt werden müssen, außer der Standardbeschränkung, dass (D) nicht leer ist. Diese Annahme führt direkt zu unserer Definition der universellen Gültigkeit. (1959a: 3)

Dieser neue universelle Begriff der Gültigkeit ist viel allgemeiner als Carnaps maximale Gültigkeit. Die Elemente (H) von (K) entsprechen weiterhin Modellen erster Ordnung, wie die Zustandsbeschreibungen von Carnap, und in jedem Kripke-Modell werden den Elementen (H) von (K) dieselbe Domäne zugewiesen (D) von Individuen und die einzelnen Variablen haben eine feste modellübergreifende Zuordnung. Bisher besteht die einzige signifikante Abweichung von Carnap darin, dass verschiedene Kripke-Modelle Domänen unterschiedlicher Kardinalität aufweisen können. Dies allein reicht aus, um die Vollständigkeit für den nichtmodalen Teil des Systems wieder herzustellen. Die bedeutendste Entwicklung, die es ermöglicht, die Vollständigkeit des Modalsystems zu beweisen, ist jedoch die Definition der Gültigkeit nicht als Wahrheit in allen Welten einer maximalen Struktur von Welten, sondern als Wahrheit über alle Teilmengen der maximalen Struktur. Die Berücksichtigung beliebiger Teilmengen möglicher Welten ermöglicht es Kripkes Modelltheorie, die Gültigkeit von der Notwendigkeit zu trennen. Während Notwendigkeiten relativ zu einem Modell und damit zu einer Menge von Welten sind, müssen Gültigkeiten über alle diese Mengen hinweg gelten. Dies ermöglicht die Wiedereinführung der Regel der einheitlichen Substitution. Um dies in einem einfachen Fall intuitiv zu sehen, betrachten Sie einen Atomsatz (p). Die klassische Wahrheitstabelle für (p) enthält zwei Zeilen, eine, in der (p) wahr ist, und eine, in der (p) falsch ist. Jede Zeile ist wie eine mögliche Welt oder ein Element (H) von (K). Wenn wir nur diese vollständige Wahrheitstabelle betrachten, betrachten wir nur maximale Modelle, die zwei Welten enthalten (es macht keinen Unterschied, welche Welt tatsächlich ist). Nach der Definition der Wahrheit für eine Formel (Box B, \ Box p) ist in allen Welten des Maximalmodells falsch,und (Diamond p) ist in allen von ihnen wahr. Wenn Gültigkeit in allen Welten dieses Maximalmodells Wahrheit ist, wie für Carnap, folgt daraus (mvDash \ Diamond p), aber in S5(nmvdash \ Diamond p). Wenn wir stattdessen die Gültigkeit wie bei Kripke definieren, müssen wir auch die nicht maximalen Modelle berücksichtigen, die nur eine Welt enthalten, dh unvollständige Wahrheitstabellen, die einige Zeilen aufheben. Daher sind zwei weitere Modelle zu berücksichtigen: eines, das nur eine Welt (H = G) enthält, in der (p) wahr ist, also (Box p), und eines, das enthält nur eine Welt (H = G), in der (p) falsch ist, ebenso wie (Box p) sowie (Diamond p). Dank dieses letzten Modells (nmvDash \ Diamond p). Beachten Sie, dass die entscheidende Neuerung die Definition der Gültigkeit als Wahrheit über alle Teilmengen von Welten hinweg ist, nicht nur über die maximale Teilmenge. Die zusätzliche Tatsache, dass Gültigkeit in einem Modell als Wahrheit in der tatsächlichen Welt des Modells definiert wird - im Gegensatz zur Wahrheit in allen Welten des Modells -, zeigt jedoch, dass Kripke den Begriff der Notwendigkeit nicht mit dem Begriff der Gültigkeit verknüpft hat ist für dieses technische Ergebnis irrelevant.

Kripkes Vollständigkeitsnachweis verwendet Beths Methode der semantischen Tableaus. Ein semantisches Tableau wird verwendet, um zu testen, ob eine Formel (B) eine semantische Konsequenz einiger Formeln (A_1, \ ldots, A_n) ist. Das Tableau geht davon aus, dass die Formeln (A_1, \ ldots, A_n) wahr und (B) falsch sind und nach Regeln erstellt wurden, die den Definitionen der logischen Verknüpfungen folgen. Befindet sich beispielsweise eine Formel (neg A) in der linken Spalte des Tableaus (wo wahre Formeln aufgeführt sind), wird (A) in der rechten Spalte (wo falsche Formeln aufgeführt sind) platziert. Um mit modalen Formeln umgehen zu können, müssen Sätze von Tableaus berücksichtigt werden, da, wenn sich (Box A) in der rechten Spalte eines Tableaus befindet, ein neues Hilfstableau mit (A) in der rechten Spalte eingeführt werden muss. Ein Haupttableau und seine Hilfstableaus bilden eine Reihe von Tableaus. Wenn sich eine Formel (A \ Keil B) in der rechten Spalte des Haupttableaus befindet, wird die Menge der Tableaus in zwei neue Sätze von Tableaus aufgeteilt: eine, deren Haupttableau (A) in der rechten Spalte auflistet, und eine, deren Haupttableau-Listen (B) in der rechten Spalte. Wir müssen also alternative Sätze von Tableaus in Betracht ziehen. Ein semantisches Tableau wird genau dann geschlossen, wenn alle seine alternativen Mengen geschlossen sind. Ein Satz von Tableaus wird geschlossen, wenn er ein Tableau (Haupt- oder Hilfstableau) enthält, das einen Widerspruch in Form von (i) ein und derselben Formel (A) erreicht, die in beiden Spalten erscheint, oder (ii) einer Identitätsformel von die Form (a = a) auf der rechten Seite (dies ist eine übermäßige Vereinfachung der Definition eines geschlossenen Tableaus, aber für unsere Zwecke nicht schädlich). Noch einmal zu stark vereinfachen,Die Struktur von Kripkes Vollständigkeitsnachweis besteht darin, zu beweisen, dass ein semantisches Tableau, mit dem geprüft wird, ob eine Formel (B) eine semantische Konsequenz von Formeln (A_1, \ ldots, A_n) ist, genau dann geschlossen wird, wenn (i) in S5 * (^ =) (A_1, \ ldots, A_n \ vdash B) und (ii) (A_1, \ ldots, A_n \ vDash B). Dieses letzte Ergebnis wird erzielt, indem gezeigt wird, wie Modelle aus semantischen Tableaus erstellt werden. Infolge von (i) und (ii) haben wir Solidität und Vollständigkeit für S5 * (^ =), dh: (A_1, \ ldots, A_n \ vdash B) genau dann, wenn (A_1, \ ldots, A_n \ vDash B).

Die Arbeit von 1959 enthält auch einen Beweis für das modale Gegenstück des Löwenhein-Skolem-Theorems für die Logik erster Ordnung, wonach eine Formel, wenn sie in einem nicht leeren Bereich erfüllt werden kann, erfüllt werden kann und daher gültig ist (wahr in () G)) in einem Modell ((G, K)) in einer Domäne (D), wobei sowohl (K) als auch (D) entweder endlich oder denumerierbar sind; und wenn eine Formel in jeder endlichen oder denumerierbaren Domäne gültig ist, ist sie in jeder Domäne gültig.

Kripkes 1962 erschienene „Unentscheidbarkeit der monadischen Modalquantifizierungstheorie“entwickelt eine Parallele zwischen Logik erster Ordnung mit einem dyadischen Prädikat und monadischer Modallogik erster Ordnung mit nur zwei Prädikatbuchstaben, um zu beweisen, dass dieses Fragment der Modallogik erster Ordnung bereits unentscheidbar ist.

Von großer Bedeutung ist die Arbeit „Semantical Analysis of Modal Logic I“(Kripke 1963a), in der normale Systeme behandelt werden. Hier entwickelt Kripke die Analogie zu den algebraischen Ergebnissen von Jónsson und Tarski vollständig und beweist die Vollständigkeit und Entscheidbarkeit für die Satzsysteme T, S4, S5 und B.(das Brouwersche-System), das hier vorgestellt wird. Kripke behauptet, den Hauptsatz der „Booleschen Algebren mit Operatoren“durch ein algebraisches Analogon seiner eigenen semantischen Methoden selbst abgeleitet zu haben (69, Fn. 2). In diesem Artikel werden zwei entscheidende Verallgemeinerungen der Modelltheorie vorgestellt. Das erste ist das neue Verständnis der Elemente (H) von (K) als einfache Indizes, nicht als Zuweisungen von Werten. Sobald diese Änderung eingeführt ist, müssen die Modelle durch eine Hilfsfunktion (Phi) ergänzt werden, die erforderlich ist, um den Aussagenvariablen Werte in Bezug auf Welten Werte zuzuweisen. Daher während in der Modelltheorie von 1959

Es kann keine zwei Welten geben, in denen jeder Atomformel derselbe Wahrheitswert zugewiesen wird [was sich vielleicht für S5 als zweckmäßig herausstellt, aber es ist ziemlich unpraktisch, wenn wir normale MPCs im Allgemeinen behandeln (1963a: 69).

Wir können jetzt Weltduplikate haben. Das Wichtigste an der Ablösung der Elemente von (K) von der Bewertungsfunktion ist, dass sie die Tür zur allgemeinen Betrachtung von Modalrahmen, Mengen von Welten plus einer binären Beziehung zwischen ihnen und der Entsprechung solcher Rahmen öffnet zu modalen Systemen. Das zweite neue Element der Arbeit, die Einführung einer Beziehung (R) zwischen den Elementen von (K), begleitet natürlich das erste. Es sei noch einmal betont, dass die Idee einer Beziehung zwischen den Welten für Kripke nicht neu ist. Zum Beispiel ist es bereits in Montague 1960, Hintikka 1961 und Prior 1962 als alternative Beziehung vorhanden, wo die Idee Peter Geach zugeschrieben wird.

1963a stellt Kripke „verschiedene Fragen bezüglich der Beziehung (R)“(1963a: 70). Erstens zeigt er, dass jede erfüllbare Formel ein verbundenes Modell hat, dh ein Modell, das auf einer Modellstruktur ((G, K, R)) basiert, wobei für alle (H \ in K) (G \ mathrel {R *} H), wobei (R *) die Ahnenbeziehung ist, die (R) entspricht. Daher müssen nur verbundene Modelle berücksichtigt werden. Dann zeigt Kripke die heutzutage bekannten Ergebnisse, dass Axiom 4 der Transitivität der Beziehung (R) entspricht, dass Axiom (B) der Symmetrie entspricht und dass das dem System T hinzugefügte charakteristische Axiom von S5 entspricht (R) ist eine Äquivalenzbeziehung. Vollständigkeit für die modalen Satzsysteme T, S4, S5 nach der Methode der Tableausund B gegenüber der entsprechenden Klasse von Modellen (reflexive Strukturen für T) ist bewiesen. Die Entscheidbarkeit dieser Systeme, einschließlich des komplexeren Falls von S4, wird ebenfalls bewiesen. (Für eine detailliertere Behandlung von Frames konsultieren Sie den SEP-Eintrag zur Modallogik.)

In der Arbeit „Semantical Analysis of Modal Logic II“von 1965 erweitert Kripke die Modelltheorie auf die Behandlung nicht normaler modaler Systeme, einschließlich Lewis ' S2 und S3. Obwohl diese Systeme als etwas unnatürlich angesehen werden, wird ihre Modelltheorie als elegant angesehen. Die Ergebnisse der Vollständigkeit und Entscheidbarkeit werden gegenüber der richtigen Klasse von Strukturen nachgewiesen, einschließlich der Vollständigkeit von S2 und S3 und der Entscheidbarkeit von S3. Um diese Ergebnisse zu erzielen, wird die Modelltheorie durch die Einführung eines neuen Elements (N \ subseteq K) in die Modellstrukturen erweitert ((G, K, R, N). N) ist die Teilmenge der normalen Welten dh Welten (H), so dass (H \ mathrel {R} H). Ein weiterer interessanter Aspekt der nicht normalen Systeme ist, dass in den sie betreffenden modelltheoretischen Ergebnissen (G) (die tatsächliche Welt) eine wesentliche Rolle spielt, insbesondere in den Modellstrukturen S2 und S3, die die tatsächliche Welt haben muss sei normal. Stattdessen macht die für normale Systeme geltende Notwendigkeitsregel die Wahl des (G) -Modells theoretisch irrelevant.

Ungeachtet des großen Erfolgs der Kripkean-Modelltheorie ist hervorzuheben, dass nicht alle Modallogiken vollständig sind. Für Unvollständigkeitsergebnisse siehe Makinson 1969 für ein System, das schwächer als S4 ist; und Fine 1974, S. Thomason 1974, Goldblatt 1975 und van Benthem 1978 für Systeme zwischen S4 und S5. Einige Modalformeln legen Rahmenbedingungen fest, die nicht in einer Sprache erster Ordnung ausgedrückt werden können, so dass selbst die Aussagenmodallogik grundsätzlich zweiter Ordnung ist. Soweit der Begriff der Gültigkeit eines Rahmens von der Interpretationsfunktion abstrahiert, handelt es sich implizit um eine Quantifizierung höherer Ordnung über Sätze. Zur Entsprechung zwischen Rahmenvalidität und Logik zweiter Ordnung und zu den modelltheoretischen Kriterien, die die Modalsätze erster Ordnung von denen unterscheiden, die im Wesentlichen zweiter Ordnung sind, siehe Blackburn und van Benthems „Modallogik: Eine semantische Perspektive“. (2007a).

1963b führt „Semantical Considerations on Modal Logic“(Semantische Überlegungen zur Modallogik) eine neue Verallgemeinerung der Modelle quantifizierter Modalsysteme ein. 1959 wurde ein Modell in einer Domäne (D) definiert. Infolgedessen hatten alle Welten in einem Modell die gleiche Kardinalität. In 1963b werden Modelle nicht in einer Domäne angegeben, daher können Welten im selben Modell durch eine Funktion (Psi), die den Elementen (H) von (K) Domänen zuweist, unterschiedliche Domänen zugewiesen werden. Angesichts der Variabilität der Domänen zwischen den Welten kann Kripke nun Gegenbeispiele sowohl zur Barcan-Formel erstellen

[(forall x) Box Fx \ rightarrow \ Box (forall x) Fx)

und seine Umkehrung

) Box (forall x) Fx \ rightarrow (forall x) Box Fx.)

Die Barcan-Formel kann in Strukturen mit wachsenden Domänen verfälscht werden. Zum Beispiel ein Modell mit zwei Welten, (G) und einer anderen möglichen Welt (H), die es erweitert. Die Domäne von (G) ist ({a }) und (Fa) ist wahr in (G). Die Domäne von (H) ist die Menge ({a, b }) und (Fa), aber nicht (Fb), ist wahr in (H). In diesem Modell ist ((forall x) Box Fx), aber nicht (Box (forall x) Fx) in (G) wahr. Um die Umkehrung der Barcan-Formel zu widerlegen, benötigen wir Modelle mit abnehmenden Domänen. Zum Beispiel ein Modell mit zwei Welten (G) und (H), wobei die Domäne von (G) ({a, b }) und die Domäne von (H) ist. ist ({a }), wobei (Fa) und (Fb) wahr in (G, Fa) wahr in (H), aber (Fb) falsch in (H). Dieses Modell erfordert, dass wir der Formel (Fb) in der Welt (H), in der das Individuum (b) nicht existiert (nicht im Bereich von (H) liegt), einen Wahrheitswert zuweisen.. Kripke weist darauf hin, dass dies aus modelltheoretischer Sicht nur eine technische Entscheidung ist.

Kripke rekonstruiert einen Beweis der umgekehrten Barcan-Formel in quantifiziertem T und zeigt, dass der Beweis nur durchläuft, indem die Notwendigkeit eines Satzes mit einer freien Variablen zugelassen wird. Wenn jedoch freie Variablen als universell gebunden betrachtet werden sollen, ist dieser Schritt illegal. Wenn eine offene Formel direkt benötigt wird, ohne sie zuerst zu schließen, muss davon ausgegangen werden, was bewiesen werden soll. Vor 1956 enthält ein Beweis der Barcan-Formel

) Diamond (existiert x) Fx \ rightarrow (existiert x) Diamond Fx.)

Kripke geht nicht auf die Einzelheiten des Beweises von Prior ein. Der Beweis von Prior für die Barcan-Formel übernimmt die Regeln von Łukasiewicz für die Einführung des existenziellen Quantifizierers. Die zweite dieser Regeln besagt, dass wenn (mvdash A \ rightarrow B) dann (mvdash A \ rightarrow (existiert x) B). Prior verwendet die Regel zum Ableiten

) mvdash \ Diamond Fx \ rightarrow (existiert x) Diamond Fx)

von

) mvdash \ Diamond Fx \ rightarrow \ Diamond Fx.)

Dies scheint uns der "illegitime" Schritt im Beweis zu sein, da

) Diamond Fx \ rightarrow (existiert x) Diamond Fx)

gilt nicht in einem Modell mit zwei Welten (G) und (H), in denen die Domäne von (G) ({a }) und die Domäne von (H) ist ({a, b }) und wobei (Fa) sowohl in (G) als auch in (H) falsch ist, aber (Fb) in (H) wahr ist. In diesem Modell ist (Diamond Fx) wahr, aber ((existiert x) Diamond Fx) ist falsch in (G). In diesem Gegenmodell wird (Diamond Fx) in (G) durch das Individuum (b) wahr gemacht, das nicht in der Domäne von (G) liegt. Im Allgemeinen behält die Regel, dass wenn (mvdash A \ rightarrow B) dann (mvdash A \ rightarrow (existiert x) B) nicht die Gültigkeit, wenn wir zulassen, dass (Fx) wahr gemacht wird in einer Welt von einem Individuum, das dort nicht existiert. Wir schließen daraus, dass die Regel abgelehnt werden muss, um die Solidität von S5 relativ zu dieser modelltheoretischen Annahme zu erhalten.

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Bitte beachten Sie, dass die Unterscheidung in der Bibliographie zwischen Einführungstexten, Primär- und Sekundärliteratur teilweise künstlich ist.

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Andere Internetquellen

• Grundlegende Konzepte in der Modallogik, von Edward N. Zalta (Kursnotizen)
• Modal Logic Handbook von Blackburn, van Benthem und Wolter