Erstveröffentlichung Mi 20.11.1996; inhaltliche Überarbeitung Di 21. Mai 2019
Der Begriff „logische Konstruktion“wurde von Bertrand Russell verwendet, um eine Reihe ähnlicher philosophischer Theorien zu beschreiben, beginnend mit der „Frege-Russell“-Definition von Zahlen als Klassen von 1901 bis hin zu seiner „Konstruktion“der Begriffe Raum, Zeit und Materie danach 1914. Philosophen haben seit den 1920er Jahren über die Bedeutung der „logischen Konstruktion“als Methode in der analytischen Philosophie gestritten und verschiedene Arten der Interpretation von Russells Begriff vorgeschlagen. Einige wurden inspiriert, ihre eigenen Projekte anhand von Konstruktionsbeispielen zu entwickeln. Russells Begriff der logischen Konstruktion beeinflusste sowohl Carnaps Projekt, die physische Welt aus Erfahrung zu konstruieren, als auch Quines Begriff der Erklärung und war ein Modell für die Verwendung satztheoretischer Rekonstruktionen in der formalen Philosophie im späteren 20. Jahrhundert.
Erst als Russell im programmatischen Aufsatz „Logischer Atomismus“von 1924 auf seine Arbeit zurückblickte, beschrieb er verschiedene logische Definitionen und philosophische Analysen als „logische Konstruktionen“. Er führte als Beispiele die Frege-Russell-Definition von Zahlen als Klassen, die Theorie bestimmter Beschreibungen, die Konstruktion von Materie aus Sinnesdaten und dann Reihen, Ordnungszahlen und reellen Zahlen auf. Aufgrund der besonderen Natur von Russells Verwendung von "kontextuellen" Definitionen von Ausdrücken für Klassen und der Unterscheidungskraft der Theorie bestimmter Beschreibungen nannte er die Ausdrücke für solche Entitäten regelmäßig "unvollständige Symbole" und die Entitäten selbst "logische Fiktionen".
Logische Konstruktionen unterscheiden sich darin, ob es sich um explizite Definitionen oder kontextbezogene Definitionen handelt und inwieweit ihr Ergebnis so beschrieben werden sollte, dass das konstruierte Objekt eine bloße „Fiktion“ist. Russells Definition von Zahlen von 1901 als Klassen von äquinumerösen Klassen ist ein einfacher Fall, bei dem eine Art von Entität als eine Klasse von anderen mit einer expliziten Definition konstruiert wird. Es folgten die Theorie der definitiven Beschreibungen im Jahr 1905 und die Theorie der „Nichtklassen“zur Definition von Klassen in Principia Mathematica im Jahr 1910, die beide die charakteristische Technik der kontextuellen Definition beinhalteten. In einer kontextuellen Definition werden scheinbare singuläre Begriffe (entweder bestimmte Beschreibungen oder Klassenbegriffe) durch Regeln zum Definieren der gesamten Sätze, in denen sie vorkommen, eliminiert. Konstruktionen, die denen ähneln, die kontextbezogene Definitionen verwenden, werden im Allgemeinen als „unvollständige Symbole“bezeichnet, während Konstruktionen wie die Klassentheorie als „Fiktionen“bezeichnet werden. Russell hat die Konstruktion von Materie, Raum und Zeit als Klassen von Sinnesdaten am Ende seiner Liste von 1924 aufgenommen. Das Hauptproblem bei der Interpretation des Begriffs der logischen Konstruktion besteht darin, zu verstehen, was diese verschiedenen Beispiele gemeinsam haben und wie die Konstruktion der Materie entweder mit den frühen Konstruktionen von Zahlen als Klassen oder mit der Theorie bestimmter Beschreibungen und „Nichtklassen“vergleichbar ist Klassentheorie. Keiner der Ausdrücke "Fiktion", "unvollständiges Symbol" oder "konstruiert aus" scheint für eine Analyse der grundlegenden Merkmale der vertrauten physischen Welt und der materiellen Objekte, die sie besetzen, geeignet zu sein.
1. Ehrliche Mühe
2. Logische Analyse und logische Konstruktion
3. Natürliche Zahlen
4. Bestimmte Beschreibungen
5. Klassen
6. Reihen, Ordnungszahlen und reelle Zahlen
7. Mathematische Funktionen
8. Sätze und Satzfunktionen
9. Die Konstruktion der Materie
10. Nachfolger der logischen Konstruktion
Literaturverzeichnis
Akademische Werkzeuge
Andere Internetquellen
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1. Ehrliche Mühe
Die früheste Konstruktion auf Russells Liste von 1924 ist die berühmte "Frege / Russell-Definition" von Zahlen als Klassen von zahlreichen Klassen aus dem Jahr 1901 (Russell 1993, 320). Die Definition folgt dem Beispiel der Definitionen der Begriffe Grenze und Kontinuität, die im vorigen Jahrhundert für den Kalkül vorgeschlagen wurden. Russell begnügte sich nicht damit, die Peano-Axiome als Grundlage für die Theorie der natürlichen Zahlen zu verwenden und dann zu zeigen, wie die Eigenschaften der Zahlen logisch aus diesen Axiomen abgeleitet werden können. Stattdessen definierte er die Grundbegriffe „Zahl“, „Nachfolger“und „0“und schlug vor, mit sorgfältig ausgewählten Definitionen ihrer Grundbegriffe in Bezug auf logische Begriffe zu zeigen, dass diese Axiome allein aus Prinzipien der Logik abgeleitet werden könnten.
Russell definierte natürliche Zahlen als Klassen von unzähligen Klassen. Jedes Paar, eine Klasse mit zwei Mitgliedern, kann in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit jedem anderen gebracht werden, daher sind alle Paare gleich zahlreich. Die Nummer zwei wird dann mit der Klasse aller Paare identifiziert. Die Beziehung zwischen unzähligen Klassen, wenn es eine solche Eins-zu-Eins-Zuordnung gibt, die sie in Beziehung setzt, wird als "Ähnlichkeit" bezeichnet. Ähnlichkeit wird ausschließlich durch logische Begriffe von Quantifizierern und Identität definiert. Mit den so definierten natürlichen Zahlen können Peano-Axiome nur mit logischen Mitteln abgeleitet werden. Nach natürlichen Zahlen fügt Russell seiner Liste der Konstruktionen „Reihen, Ordnungszahlen und reelle Zahlen“(1924, 166) hinzu und schließt dann mit der Konstruktion der Materie.
Russell schreibt AN Whitehead die Lösung des Problems des Verhältnisses von Sinnesdaten zur Physik zu, das er 1914 übernahm:
Ich wurde von meinem Freund und Mitarbeiter Dr. Whitehead auf die Bedeutung dieses Problems aufmerksam gemacht, dem fast alle Unterschiede zwischen den hier vertretenen und den in den Problemen der Philosophie vorgeschlagenen Ansichten zu verdanken sind. Ich schulde ihm die Definition von Punkten und den Vorschlag für die Behandlung von Augenblicken und „Dingen“sowie die gesamte Konzeption der Welt der Physik als Konstruktion und nicht als Folgerung. (Russell 1914b, vi)
Erst später, in einem Aufsatz, in dem Russell über seine Philosophie nachdachte, beschrieb er seine früheren logischen Vorschläge auch als „logische Konstruktionen“. Die erste spezifische Formulierung dieser Methode, Inferenz durch Konstruktion als allgemeine Methode in der Philosophie zu ersetzen, findet sich im Aufsatz „Logischer Atomismus“:
Eine sehr wichtige heuristische Maxime, die Dr. Whitehead und ich erfahrungsgemäß in der mathematischen Logik anwendbar fanden und seitdem auf verschiedene andere Bereiche angewendet haben, ist eine Form von Occams Rasiermesser. Wenn ein Satz vermeintlicher Entitäten ordentliche logische Eigenschaften hat, stellt sich in sehr vielen Fällen heraus, dass die vermeintlichen Entitäten durch rein logische Strukturen ersetzt werden können, die aus Entitäten bestehen, die nicht so ordentliche Eigenschaften haben. In diesem Fall können wir bei der Interpretation eines Satzkörpers, von dem bisher angenommen wurde, dass er sich auf die vermeintlichen Entitäten bezieht, die logischen Strukturen ersetzen, ohne das Detail des fraglichen Satzkörpers zu verändern. Dies ist eine Ökonomie, weil Entitäten mit ordentlichen logischen Eigenschaften immer abgeleitet werden und wenn die Sätze, in denen sie vorkommen, interpretiert werden können, ohne diese Schlussfolgerung zu ziehen,Der Grund für die Folgerung versagt, und unser Satz von Sätzen ist gegen die Notwendigkeit eines zweifelhaften Schritts gesichert. Das Prinzip kann in folgender Form angegeben werden: "Ersetzen Sie nach Möglichkeit Konstruktionen aus bekannten Entitäten durch Rückschlüsse auf unbekannte Entitäten." (Russell 1924, 160)
Russell bezog sich in dieser häufig zitierten Passage aus seiner Einführung in die mathematische Philosophie auf logische Konstruktionen. Er lehnt es ab, Entitäten mit impliziten Definitionen einzuführen, dh solche Dinge, die bestimmten Axiomen oder „Postulaten“gehorchen:
Die Methode, das zu postulieren, was wir wollen, hat viele Vorteile. Sie sind die gleichen wie die Vorteile des Diebstahls gegenüber ehrlicher Arbeit. Überlassen wir sie anderen und machen wir mit unserer ehrlichen Arbeit weiter. (Russell 1919, 71)
Er behauptet, wir brauchen eine Demonstration, dass es Objekte gibt, die diese Axiome erfüllen. Die „Mühe“hier besteht darin, Definitionen der Zahlen so zu formulieren, dass gezeigt werden kann, dass sie die Axiome nur durch logische Folgerung erfüllen.
Die Beschreibung logischer Konstruktionen als „unvollständige Symbole“ergibt sich aus der Verwendung von Kontextdefinitionen, die eine Analyse oder einen Ersatz für jeden Satz liefern, in dem ein definiertes Symbol vorkommen kann. Die Definition enthält keine explizite Definition, z. B. eine Gleichung mit dem definierten Ausdruck auf der einen Seite, die auf der anderen Seite mit einem Definiendum gekennzeichnet ist, oder eine universelle Aussage, die die notwendigen und ausreichenden Bedingungen für die isolierte Anwendung des Begriffs enthält. Der Zusammenhang zwischen Fiktion und Ausdruck durch ein „unvollständiges Symbol“zeigt sich in Russells Konstruktionen endlicher Kardinal- und Ordnungszahlen anhand der Klassentheorie. Diese Theorie ohne Klassen macht über die Kontextdefinitionen für Klassenbegriffe alle Zahlen zu „unvollständigen Symbolen“, sodass Zahlen als „logische Fiktionen“angesehen werden können.
Die Begriffe Konstruktion und logische Fiktion erscheinen in diesem Bericht zusammen aus Russells Vorlesungen „Philosophie des logischen Atomismus“:
Sie finden, dass eine bestimmte Sache, die als metaphysische Einheit eingerichtet wurde, entweder dogmatisch als real angenommen werden kann, und dann werden Sie weder für ihre Realität noch gegen ihre Realität ein mögliches Argument haben; oder stattdessen können Sie eine logische Fiktion konstruieren, die dieselben formalen Eigenschaften hat oder vielmehr formal analoge formale Eigenschaften zu denen der vermeintlichen metaphysischen Entität hat und selbst aus empirisch gegebenen Dingen besteht, und die logische Fiktion kann Ihre ersetzen angenommene metaphysische Einheit und wird alle wissenschaftlichen Zwecke erfüllen, die sich jeder wünschen kann. (Russell 1918, 144)
Unvollständige Symbole, Beschreibungen, Klassen und logische Fiktionen werden untereinander und dann mit den „vertrauten Objekten des täglichen Lebens“in der folgenden Passage aus früheren Vorlesungen identifiziert:
Neben den Beschreibungen gibt es noch viele andere Arten unvollständiger Symbole. Es gibt Klassen… und Beziehungen, die erweitert werden, und so weiter. Solche Aggregationen von Symbolen sind wirklich die gleichen wie das, was ich "logische Fiktionen" nenne, und sie umfassen praktisch alle bekannten Objekte des täglichen Lebens: Tische, Stühle, Piccadilly, Sokrates und so weiter. Die meisten von ihnen sind entweder Klassen oder Serien oder Klassenreihen. In jedem Fall handelt es sich um unvollständige Symbole, dh um Aggregationen, die nur eine verwendete Bedeutung haben und an sich keine Bedeutung haben. (Russell 1918, 122)
Im Folgenden werden diese verschiedenen Merkmale logischer Konstruktionen entwirrt. Das Ergebnis scheint eine zusammenhängende Reihe von Analysen zu sein, die zumindest eine Familienähnlichkeit miteinander aufweisen. Das gemeinsame Merkmal ist, dass jeweils einige formale oder „ordentliche“Eigenschaften von Objekten, die zuvor in Axiomen postuliert werden mussten, nun als logische Konsequenzen von Definitionen abgeleitet werden konnten. Die ersetzten Entitäten sind je nach Form der Definitionen verschiedene „Fiktionen“, „unvollständige Symbole“oder einfach „Konstruktionen“.
2. Logische Analyse und logische Konstruktion
Es wäre ein Fehler, Russells logische Konstruktionen als das Produkt der umgekehrten Operation einer Methode zu betrachten, die mit der logischen Analyse beginnt. Die Analyse war in der Tat die charakteristische Methode von Russells realistischer und atomistischer Philosophie, wobei die Konstruktionsmethode erst später auftauchte. Russells neue Philosophie war selbstbewusst gegen den Hegelianismus, der Ende des 19. Jahrhunderts in Cambridge in der Philosophie vorherrschte (Russell 1956, 11–13). Russell musste zunächst den Analyseprozess verteidigen und gegen die Ansicht der Idealisten argumentieren, dass komplexe Einheiten tatsächlich „organische Einheiten“sind und dass jede Analyse dieser Einheiten etwas verliert, da der Slogan „Analyse ist Fälschung“lautete. (1903, §439) Das Thema unserer Analyse ist die Realität und nicht nur unsere eigenen Ideen:
Jede Komplexität ist konzeptuell in dem Sinne, dass sie auf einem logisch analysierbaren Ganzen beruht, aber real in dem Sinne, dass sie nicht vom Verstand abhängig ist, sondern nur von der Natur des Objekts. Wo der Geist Elemente unterscheiden kann, müssen verschiedene Elemente unterschieden werden. aber leider! Es gibt oft verschiedene Elemente, die der Geist nicht unterscheidet. (1903, § 439)
Da die letzten Bestandteile der Realität das sind, was durch die logische Analyse entdeckt wird, kann die logische Konstruktion nicht die umgekehrte Operation sein, denn das Rückgängigmachen der Analyse durch Zusammensetzen der Dinge bringt uns nur zu den komplexen Entitäten zurück, mit denen wir begonnen haben. Was bringt es dann, das zu konstruieren, was bereits analysiert wurde?
Die Unterscheidung, die hier zwischen Analyse und Konstruktion getroffen wird, ist ein bewusster Nebenschritt und eine wichtige Diskussion unter Frege und Russell über die Natur der Analyse. Frege vertrat in seinen Foundations of Arithmetic (1884, §64) die Auffassung, dass ein Satz über die Identität von Zahlen auch als ein Satz über die Ähnlichkeit von Klassen analysiert werden könne. Er beschreibt dies als „Wiederherstellen“ein und desselben Inhalts auf unterschiedliche Weise. Später behauptete Frege, dass der gleiche Gedanke als Ergebnis der Anwendung einer Funktion auf ein Argument auf unterschiedliche Weise angesehen werden könne. Da die logische Form eines Gedankens das Ergebnis der Anwendung von Konzepten auf Argumente ist, bedeutet dies, dass demselben Gedanken unterschiedliche logische Formen zugewiesen werden. Um den offensichtlichen Konflikt mit Freges berühmter These der Kompositionalität zu lösen,Michael Dummett (1981, Kapitel 15) unterscheidet aus seinen Bestandteilen auf eine Weise, die im Großen und Ganzen seiner syntaktischen Form folgt. Er unterscheidet zwei Begriffe der Analyse in Frege, einen als eigentliche „Analyse“und einen als „Zerlegung“.. Peter Hylton (2005, 43) argumentiert, dass es in Russell einen problematischen Begriff der Analyse gibt, wobei es sehr schwierig ist zu sagen, dass Sätze mit bestimmten Beschreibungen die komplizierten quantitativen Strukturen haben, die ihnen in „On Denoting“(1905) als „ echte Struktur “. Michael Beaney gibt in seiner Einführung zu (2007, 8) in seiner Einführung zu Artikeln, in denen die Bedeutung dieser Unterscheidung für Russell erörtert wird, zwei Arten von Analysen die Namen "zerlegbar" und "transformativ". James Levine behauptet, dass in der Tat die erste Form der Analyse,Das Projekt, mit dem die endgültigen Bestandteile von Aussagen gefunden werden sollen, gehört zu einem frühen Projekt der „maurischen Analyse“, das Russell frühzeitig aufgegeben hat. In der Tat hatte Russell zum Zeitpunkt der Darstellung von Zahlen als Klassen von unzähligen Klassen bereits das übernommen, was Levine "Russells Post-Peano-Analyse" nennt.
Diese Debatte ist sicherlich relevant für das Studium von Freges Philosophie und ihre Verbindungen zu Russells Rolle als Begründer der analytischen Philosophie als Bewegung, aber sie entspricht möglicherweise nicht Russells eigener Verwendung der Terminologie der „Analyse“. Während Peter Strawson in seinem "On Referring" (1950) zahlreiche Anspielungen auf Russells "Analyse" bestimmter Beschreibungen macht, erscheint der Begriff tatsächlich nicht in "On Denoting". Russell bezieht sich auf seine „Theorie“der Beschreibungen und räumt ein, dass es sich nicht um einen Vorschlag handelt, der sofort als das erkannt wird, was wir immer mit solchen Sätzen gemeint haben, sondern dass er über seine etwas komplizierte Verwendung von Quantifizierern und Identitätssymbolen Folgendes sagt:
Dies mag eine etwas unglaubliche Interpretation sein: aber ich bin kein Geschenk, das Gründe angibt, ich sage nur die Theorie. (Russell 1905, 482)
Anschließend verteidigt er seine Theorie, indem er sich mit den drei Rätseln „befasst“, einschließlich des berühmten Beispiels, ob „Der gegenwärtige König von Frankreich hat eine Glatze“wahr oder falsch ist. Zu keinem Zeitpunkt appelliert er an das, was ein Sprecher beim Aussprechen eines dieser Sätze im Sinn haben könnte. Aufgrund dieser Tatsachen scheint Russells Methodik am besten in Analogie zur logischen Herangehensweise an wissenschaftliche Theorien zu verstehen. Nach diesem Modell werden das Ergebnis der „logischen Analyse“die Definitionen und primitiven Sätze oder Axiome sein, aus denen die Gesetze einer formalisierten wissenschaftlichen Theorie durch logische Folgerung abgeleitet werden können. Die Reduktion einer Theorie auf eine andere besteht darin, die Axiome der Zieltheorie unter Verwendung der Sprache der Reduktionstheorie neu zu schreiben und sie dann als Theoreme dieser Reduktionstheorie zu beweisen. Bau also,wird am besten als der Prozess der Auswahl von Definitionen angesehen, damit zuvor primitive Aussagen als Theoreme abgeleitet werden können. (Siehe Hager 1994 und Russell 1924.)
Dieses Bild passt am besten zu diesem sprachlich orientierten Begriff der „Theoriekonstruktion“und nicht zum Projekt der philosophischen Analyse. Es folgt auch die Verwendung des Begriffs Konstruktion in der Tradition der Mathematik. Euklid geht jeder Demonstration eine „Konstruktion“einer Figur voran, die im folgenden Beweis enthalten ist. Gottlob Frege beginnt jeden Beweis in seinen Grundgesetzen der Arithmetik (1893) mit einer „Analyse“, die informell die in den Theoremen verwendeten Begriffe und die Strategie der Ableitung erklärt, gefolgt von dem tatsächlichen, lückenlosen Beweis, der als „Konstruktion“bezeichnet wird”. Historisch gesehen gibt es also keine Vorstellung von einer Konstruktion als synthetischer Stufe nach einer analytischen Stufe als zwei Prozesse vergleichbarer Natur, die jedoch in entgegengesetzte Richtungen führen.
Selbst wenn sie in Stufen der Theoriekonstruktion beschrieben werden, sind Analyse und logische Konstruktion nicht einfach umgekehrte Operationen. Russell betont, dass die in der Analyse entdeckten und unterscheidbaren Objekte „real“sind, ebenso wie ihre Unterschiede zueinander. Daher gibt es eine Einschränkung für die „Wahl“von Definitionen und primitiven Sätzen, mit denen begonnen werden soll. Die Beziehungen zwischen einem deduktiven System und einer realistischen Ontologie unterscheiden sich zwischen den verschiedenen Fällen, die Russell als Beispiele für logische Konstruktionen auflistet. Sätze und „Komplexe“wie Fakten werden analysiert, um die realen Objekte und Beziehungen zu finden, aus denen sie bestehen. Eine logische Konstruktion führt dagegen zu einer Theorie, aus der Wahrheiten durch logische Schlussfolgerungen folgen. Die Wahrheiten, die Teil eines deduktiven Systems sind, das sich aus der logischen Konstruktion ergibt, sind nur „Rekonstruktionen“einiger der „vor-theoretischen“Wahrheiten, die analysiert werden sollen. Nur ihre deduktiven Beziehungen, insbesondere ihre Ableitbarkeit von den Axiomen der Theorie, sind für den Erfolg einer Konstruktion relevant. Logische Konstruktionen erfassen nicht alle Merkmale der vortheoretischen Entitäten, mit denen man beginnt.
Ein Großteil der Aufmerksamkeit für die logische Konstruktion hat sich darauf konzentriert, ob es sich tatsächlich um eine einheitliche Methodik für die Philosophie handelt, die eine „wissenschaftliche Methode in der Philosophie“einführt, wie Russell im Untertitel von (Russell 1914b) sagt. Kommentatoren von Fritz (1952) bis Sainsbury (1979) haben bestritten, dass Russells verschiedene Konstruktionen in eine einheitliche Methodik passen, und die Anwendbarkeit der Sprache „Fiktion“und „unvollständiges Symbol“auf alle Beispiele in Frage gestellt. Im Folgenden wird gezeigt, wie Konstruktionen dennoch in mehrere natürliche Familien fallen, die durch verschiedene dieser Begriffe mit einem beträchtlichen Maß an Genauigkeit beschrieben werden.
3. Natürliche Zahlen
Russells Definition natürlicher Zahlen als Klassen ähnlicher oder gleichzähliger Klassen, die erstmals in (Russell 1901) veröffentlicht wurde, war seine erste logische Konstruktion und das Modell für die folgenden. Ähnliche Klassen sind solche, die durch eine Beziehung eins zu eins aufeinander abgebildet werden können. Der Begriff einer "Eins-zu-Eins-Beziehung" wird mit logischen Begriffen definiert: R ist Eins-Eins, wenn es für jedes (x) ein eindeutiges (y) gibt, so dass (x \ rR y) und für jedes solche (y) im Bereich von (rR) gibt es ein eindeutiges solches (x). Diese Begriffe von Existenz und Einzigartigkeit stammen aus der Logik, und so wird der Begriff der Zahl nur in Bezug auf Klassen und logische Begriffe definiert. Russell kündigte das Ziel seines Logikprogramms in The Principles of Mathematics an:"Der Beweis, dass sich jede reine Mathematik ausschließlich mit Konzepten befasst, die anhand einer sehr kleinen Anzahl grundlegender logischer Konzepte definiert werden können, und dass alle ihre Sätze aus einer sehr kleinen Anzahl grundlegender logischer Prinzipien ableitbar sind …" (Russell 1903, xv). Wenn gezeigt wird, dass Klasse auch ein logischer Begriff ist, würde diese Definition das Logikprogramm für die Mathematik natürlicher Zahlen vervollständigen.
Giuseppe Peano (Peano 1889, 94) hatte Axiome für die Elementararithmetik angegeben, die später von Russell (1919, 8) wie folgt formuliert wurden:
0 ist eine Zahl.
Der Nachfolger einer beliebigen Zahl ist eine Zahl.
Keine zwei Zahlen haben den gleichen Nachfolger.
0 ist nicht der Nachfolger einer Zahl.
Wenn eine Eigenschaft zu 0 gehört und zum Nachfolger von (x) gehört, wann immer sie zu (x) gehört, dann gehört sie zu jeder Zahl.
Für Peano waren dies die Axiome der Zahl, die zusammen mit den Axiomen der Klassen und Sätze die Eigenschaften dieser Entitäten beschreiben und zur Ableitung von Theoremen führen, die die anderen wichtigen Eigenschaften dieser Entitäten ausdrücken.
Richard Dedekind (Dedekind 1887) hatte auch die Eigenschaften von Zahlen mit ähnlich aussehenden Axiomen aufgelistet, wobei er den Begriff der Kette verwendete, eine unendliche Folge von Mengen, jede eine Teilmenge der nächsten, die gut geordnet ist und die Struktur der natürlichen Zahlen aufweist. Dedekind beweist dann, dass das Induktionsprinzip (Axiom 5 oben) für Ketten gilt. (Siehe Eintrag auf Dedekind). Obwohl Russell es "am bemerkenswertesten findet, dass Dedekinds frühere Annahmen ausreichen, um diesen Satz zu demonstrieren" (Russell 1903, §236), vergleicht er die beiden Ansätze von Peano und Dedekind hinsichtlich der Einfachheit und ihrer unterschiedlichen Art der Behandlung der mathematischen Induktion und kommt zu dem Schluss, dass:
Aus rein logischer Sicht scheinen die beiden Methoden jedoch gleichermaßen zutreffend zu sein. und es ist daran zu erinnern, dass mit der logischen Theorie der Kardinäle sowohl Peanos als auch Dedekinds Axiome nachweisbar werden. (Russell 1903, §241)
Es waren Peano und Dedekind, an die Russell dachte, als er später von der „Methode des Postulierens“sprach, als er die „Vorteile“ihrer Methode gegenüber dem Bau mit denen des Diebstahls gegenüber ehrlicher Arbeit verglich.
Um sein Projekt abzuschließen, musste Russell Definitionen und einige „sehr kleine logische Grundprinzipien“(Russell 1903, xv) finden und dann die erforderlichen Ableitungen erstellen. Eine adäquate Definition von Klassen mit der „No-Class-Theorie“und den Prinzipien der Logik zu finden, die erforderlich sind, um die Eigenschaften von Zahlen und Klassen abzuleiten, wurde nur mit Principia Mathematica (Whitehead und Russell 1910–13) abgeschlossen. Diese Konstruktion von Zahlen war ein klares Beispiel für die Definition von Entitäten als Klassen anderer, um bestimmte Eigenschaften als Theoreme der Logik beweisen zu können, anstatt sich auf den Diebstahl von Hypothesen stützen zu müssen. Mit dem Gerät der kontextuellen Definition aus der Beschreibungstheorie eliminierte Russell dann auch Klassen,den logischen Begriff einer Satzfunktion als grundlegend zu nehmen und so zu zeigen, dass die Prinzipien von Klassen Teil der Logik waren.
4. Bestimmte Beschreibungen
Bestimmte Beschreibungen sind die logischen Konstruktionen, an die Russell denkt, wenn er sie als „unvollständige Symbole“beschreibt. Der Begriff einer „logischen Fiktion“gilt dagegen am einfachsten für Klassen. Andere Konstruktionen, wie die Begriffe der Domäne und des Bereichs einer Beziehung sowie von Eins-zu-Eins-Abbildungen, die für die Entwicklung der Arithmetik von entscheidender Bedeutung sind, sind nur indirekt „unvollständig“, da sie als Klassen einer bestimmten definiert werden sortieren, die wiederum Konstruktionen sind.
Russells Beschreibungstheorie wurde in seinem in der Zeitschrift Mind veröffentlichten Artikel „On Denoting“(Russell 1905) vorgestellt. Russells Theorie liefert die logische Form von Sätzen der Form 'The (F) is (G)', wobei 'The (F)' eine eindeutige Beschreibung genannt wird, im Gegensatz zu 'An F', das unbestimmt ist Beschreibung. Die Analyse schlägt vor, dass 'Das (F) ist (G)' gleichbedeutend ist mit 'Es gibt nur ein (F) und es ist (G)'. In Anbetracht dieses Kontos können die logischen Eigenschaften von Beschreibungen nur unter Verwendung der Logik von Quantifizierern und Identität abgeleitet werden. Unter den Theoremen in * 14 von Principia Mathematica sind diejenigen, die zeigen, dass (1) wenn es nur ein (F) gibt, dann 'Das (F) ist (F)' wahr ist und wenn es nicht gibt, dann ist 'Das (F) ist (G)' immer falsch und dann (2) wenn das (F = \ text {das} G) und das (F) (H), dann ist (G) (H). Diese Theoreme zeigen, dass sich richtige (eindeutig verweisende) Beschreibungen wie Eigennamen verhalten, die „singulären Begriffe“der Logik. Einige dieser Ergebnisse waren kontrovers - Strawson (1950) behauptete, dass eine Äußerung von "Der gegenwärtige König von Frankreich ist kahl" wahrheitslos sein sollte, da es keinen gegenwärtigen König von Frankreich gibt, anstatt "eindeutig" falsch, wie Russells Theorie vorhersagt. Russells Antwort auf Strawson in (Russell 1959, 239–45) ist hilfreich, um Russells philosophische Methodik zu verstehen, deren logische Konstruktion nur ein Teil ist. Indem jedoch die logischen Konsequenzen einer Konstruktion bewertet werden, ist sie zu beurteilen, und so forderte Strawson Russell in angemessener Weise heraus. Einige dieser Ergebnisse waren kontrovers - Strawson (1950) behauptete, dass eine Äußerung von "Der gegenwärtige König von Frankreich ist kahl" wahrheitslos sein sollte, da es keinen gegenwärtigen König von Frankreich gibt, anstatt "eindeutig" falsch, wie Russells Theorie vorhersagt. Russells Antwort auf Strawson in (Russell 1959, 239–45) ist hilfreich, um Russells philosophische Methodik zu verstehen, deren logische Konstruktion nur ein Teil ist. Indem jedoch die logischen Konsequenzen einer Konstruktion bewertet werden, ist sie zu beurteilen, und so forderte Strawson Russell in angemessener Weise heraus. Einige dieser Ergebnisse waren kontrovers - Strawson (1950) behauptete, dass eine Äußerung von "Der gegenwärtige König von Frankreich ist kahl" wahrheitslos sein sollte, da es keinen gegenwärtigen König von Frankreich gibt, anstatt "eindeutig" falsch, wie Russells Theorie vorhersagt. Russells Antwort auf Strawson in (Russell 1959, 239–45) ist hilfreich, um Russells philosophische Methodik zu verstehen, deren logische Konstruktion nur ein Teil ist. Indem jedoch die logischen Konsequenzen einer Konstruktion bewertet werden, ist sie zu beurteilen, und so forderte Strawson Russell in angemessener Weise heraus.239–45) ist hilfreich, um Russells philosophische Methodik zu verstehen, deren logische Konstruktion nur ein Teil ist. Indem jedoch die logischen Konsequenzen einer Konstruktion bewertet werden, ist sie zu beurteilen, und so forderte Strawson Russell in angemessener Weise heraus.239–45) ist hilfreich, um Russells philosophische Methodik zu verstehen, deren logische Konstruktion nur ein Teil ist. Indem jedoch die logischen Konsequenzen einer Konstruktion bewertet werden, ist sie zu beurteilen, und so forderte Strawson Russell in angemessener Weise heraus.
Die Beschreibungstheorie führt Russells Begriff des unvollständigen Symbols ein. Dies liegt daran, dass in der formalen Analyse von Sätzen, in denen die Beschreibung vorkommt, kein Definitionsäquivalent von 'The F' erscheint. Der Satz 'Das (F) ist (H)' wird:
) existiert x) für alle y (Fy \ leftrightarrow y = x) & \ Hx])
von denen keine Subformel oder sogar ein zusammenhängendes Segment als Analyse von 'The F' identifiziert werden kann. In ähnlicher Weise wird die Rede von „der durchschnittlichen Familie“wie in „Die durchschnittliche Familie hat 2,2 Kinder“zu „Die Anzahl der Kinder in Familien geteilt durch die Anzahl der Familien = 2,2“. Es gibt kein Segment dieser Formel, das der „durchschnittlichen Familie“entspricht. Stattdessen erhalten wir ein Verfahren zum Entfernen solcher Ausdrücke aus Kontexten, in denen sie vorkommen. Daher ist dies ein weiteres Beispiel für ein „unvollständiges Symbol“, und die Definition eines Durchschnitts ist ein Beispiel für eine „Kontextdefinition“.
Es ist anzunehmen, dass Russells Definition bestimmter Beschreibungen das prominenteste frühe Beispiel für die philosophische Unterscheidung zwischen oberflächlicher grammatikalischer Form und logischer Form war und somit die Anfänge der sprachlichen Analyse als Methode in der Philosophie markiert. Die sprachliche Analyse beginnt mit einem Blick über die oberflächliche sprachliche Form hinaus, um eine zugrunde liegende philosophische Analyse zu erkennen. Frank Ramsey beschrieb die Beschreibungstheorie als „Paradigma der Philosophie“(Ramsey 1929, 1). Obwohl es an sich sicherlich kein Modell für die gesamte Philosophie ist, war es zumindest ein Paradigma für die anderen Beispiele logischer Konstruktionen, die Russell im Rückblick auf die Entwicklung seiner Philosophie im Jahr 1924 auflistete. Die Beschreibungstheorie wurde von einigen Linguisten und Philosophen kritisiert, die Beschreibungen und andere Nominalphrasen als vollwertige sprachliche Bestandteile von Sätzen betrachten und die scharfe Unterscheidung zwischen grammatikalischer und logischer Form als Fehler betrachten. (Siehe den Eintrag in den Beschreibungen.)
Nach Gilbert Ryles (1931) einflussreicher Kritik an Meinongs Theorie nicht existierender Objekte wurde die Beschreibungstheorie als Modell zur Vermeidung der ontologischen Bindung an Objekte herangezogen, weshalb logische Konstruktionen im Allgemeinen häufig hauptsächlich zur Beseitigung angeblicher Objekte verwendet werden Entitäten. Tatsächlich ist dieses Ziel für viele Konstruktionen höchstens peripher. Das Hauptziel dieser Konstruktionen ist es, den Beweis von Aussagen zu ermöglichen, die sonst als Axiome oder Hypothesen angenommen werden müssten. Die Einführung von Konstruktionen muss auch nicht immer zur Beseitigung problematischer Einheiten führen. Wieder andere Konstruktionen sollten eher als Reduktion einer Entitätsklasse auf eine andere oder als Ersetzung eines Begriffs durch einen genaueren mathematischen Ersatz angesehen werden.
5. Klassen
Russells "No-Class" -Theorie der Klassen aus * 20 von Principia Mathematica liefert eine kontextbezogene Definition wie die der Theorie bestimmter Beschreibungen. Eine von Russells frühen Diagnosen des Paradoxons der Klasse aller Klassen, die nicht Mitglieder ihrer selbst sind, war, dass es zeigte, dass Klassen keine Individuen sein konnten. In der Tat scheint Russell auf sein Paradox gestoßen zu sein, indem er Cantors berühmtes diagonales Argument angewendet hat, um zu zeigen, dass es mehr Klassen von Individuen als Individuen gibt. Daher, schloss er, könnten Klassen keine Individuen sein, und Ausdrücke für Klassen wie '({x: Fx })' können nicht die singulären Begriffe sein, die sie zu sein scheinen. Inspiriert von der Beschreibungstheorie schlug Russell vor, etwas (G) aus der Klasse der (F) s, (G) ({x: Fx }) zu sagen.ist zu sagen, dass es eine (prädikative) Eigenschaft (H) gibt, die mit (wahr für die gleichen Dinge wie) (F) koextensiv ist, so dass (H) (G) ist. Die Beschränkung auf prädikative Eigenschaften oder solche, die nicht in Bezug auf die Quantifizierung gegenüber anderen Eigenschaften definiert sind, war eine Folge der Verzweigung der Typentheorie, um intensive oder „epistemische“Paradoxien zu vermeiden, die die Typentheorie zusätzlich zur Menge motivierten theoretisches „Russell-Paradoxon“(siehe Whitehead und Russell 1910–13, Einführung, Kapitel II). Diese prädikativen Eigenschaften sind jedoch in dem Sinne intensiv, dass zwei unterschiedliche Eigenschaften für dieselben Objekte gelten können. (Siehe den Eintrag zur Notation in Principia Mathematica.) Dass so definierte Klassen das Merkmal der Extensionalität aufweisen, ist daher eher ableitbar als postuliert. Wenn (F) und (H) koextensiv sind, gilt alles, was für ({x: Fx }) gilt, für ({x: Hx }). Merkmale von Klassen folgen dann aus den Merkmalen der Logik von Eigenschaften.
Da Klassen auf den ersten Blick Individuen zu sein scheinen, die Analyse jedoch nicht als solche betrachtet, spricht Russell von ihnen als „logischen Fiktionen“, einem Ausdruck, der Jeremy Benthams Vorstellung von „legalen Fiktionen“widerspiegelt. (Hart 1994, 84) (Siehe Eintrag zu Recht und Sprache). Dass ein Unternehmen eine „Person“im Gesetz ist, war für Bentham lediglich eine Fiktion, die im Hinblick auf den Begriff der rechtlichen Stellung und der Begrenzung der finanziellen Haftung realer Personen ausgezahlt werden konnte. Somit könnte jede Sprache über solche „juristischen Fiktionen“in andere Begriffe übersetzt werden, um sich auf reale Personen und ihre Rechtsbeziehungen zu beziehen. Da Aussagen, die eine Eigenschaft bestimmten Klassen zuordnen, durch existenzielle Sätze ersetzt werden, die besagen, dass es eine Satzfunktion mit dieser Eigenschaft gibt,Diese Konstruktion kann auch so charakterisiert werden, dass Klassenausdrücke wie '({x: Fx })' unvollständige Symbole sind. Sie werden nicht durch eine längere Formel ersetzt, die einen Begriff ausdrückt. Andererseits sollte die Definition nicht so gesehen werden, dass ontologisches Engagement vollständig vermieden wird, sondern dass etwas buchstäblich eine „Fiktion“ist. Es zeigt vielmehr, wie Klassen auf Satzfunktionen reduziert werden können. Die Eigenschaften von Klassen sind wirklich Eigenschaften von Satzfunktionen, und für jede Klasse, von der gesagt wird, dass sie eine Eigenschaft hat, gibt es wirklich eine Satzfunktion mit dieser Eigenschaft. Es zeigt vielmehr, wie Klassen auf Satzfunktionen reduziert werden können. Die Eigenschaften von Klassen sind wirklich Eigenschaften von Satzfunktionen, und für jede Klasse, von der gesagt wird, dass sie eine Eigenschaft hat, gibt es wirklich eine Satzfunktion mit dieser Eigenschaft. Es zeigt vielmehr, wie Klassen auf Satzfunktionen reduziert werden können. Die Eigenschaften von Klassen sind wirklich Eigenschaften von Satzfunktionen, und für jede Klasse, von der gesagt wird, dass sie eine Eigenschaft hat, gibt es wirklich eine Satzfunktion mit dieser Eigenschaft.
6. Reihen, Ordnungszahlen und reelle Zahlen
Whitehead und Russell definieren eine Reihe in Band II von Principia Mathematica bei * 204.01 als die Klasse Ser aller Beziehungen, die transitiv, verbunden und irreflexiv ist. Eine Beziehung (R) ist transitiv, wenn (xRy) und (yRz) dann (xRz). Es ist verbunden, wenn für jedes (x) und (y), für das es definiert ist, entweder (xRy) oder (yRx). Schließlich ist eine irreflexive Beziehung eine solche, dass für alle (x) (xRx) nicht der Fall ist. Jede Beziehung, die diese Eigenschaften hat, bildet eine Reihe der Dinge, die sie in Beziehung setzt. Solche Beziehungen werden jetzt "lineare Ordnungen" oder einfach "Ordnungen" genannt. Hier besteht die „logische Konstruktion“einfach aus einer impliziten Definition einer bestimmten Eigenschaft von Beziehungen. Es gibt sicherlich keinen Gedanken daran, dass Serien lediglich erfundene „Fiktionen“sind und das Symbol „ Ser'für sie ist nur insofern "unvollständig", als es explizit als Schnittpunkt anderer Klassen (einer Klasse von Klassen) definiert werden kann und Klassen selbst "unvollständig" sind.
Russells Definitionen von Ordnungszahlen und reellen Zahlen ähneln den Definitionen von natürlichen Zahlen. Ordnungszahlen sind ein Sonderfall von Beziehungsnummern. So wie eine Kardinalzahl als eine Klasse ähnlicher Klassen definiert werden kann, bei der die Ähnlichkeit einfach Äquinumerosität ist, das Vorhandensein einer Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen den beiden Klassen, ist eine Beziehungsnummer eine Klasse ähnlicher Klassen, die nach einer Beziehung geordnet sind. Ordnungszahlen sind die Beziehungsnummern geordneter Klassen. "Beziehungsarithmetik" ist das Thema von Teil IV von Band II der Principia Mathematica, Kapitel * 150 bis * 186. Alle Eigenschaften der Arithmetik von Ordnungszahlen leiten sich aus der allgemeineren Arithmetik von Beziehungszahlen ab. So ist beispielsweise die Addition von Ordnungszahlen nicht kommutativ. Die erste unendliche Ordnungszahl (omega) ist die Beziehungsnummer der geordneten Klassen ähnlich wie (1, 2, 3, \ ldots) usw. Die Summe (1 + \ omega) ist die Beziehung Anzahl der geordneten Klassen, die sich aus dem Hinzufügen eines Elements zu Beginn der Bestellung ergeben, z. B. (0, 1, 2, 3, \ ldots) usw., das dieselbe Ordnungszahl (omega) hat. Also (1 + \ omega = \ omega). Wenn Sie dagegen ein Element am „Ende“einer so gut geordneten Klasse hinzufügen, erhalten Sie eine Reihenfolge, die nicht ähnlich ist: (1, 2, 3, \ ldots \ text {etc.}, 0). Folglich (1 + \ omega \ ne \ omega + 1). Andererseits ist die Addition von Ordnungszahlen und tatsächlich von Beziehungszahlen im Allgemeinen assoziativ, dh ((alpha + \ beta) + \ gamma = \ alpha + (beta + \ gamma)), was bewiesen ist mit gewissen Einschränkungen in * 174. Ordnungszahlen werden also genau als natürliche Zahlen definiert,als Klassen ähnlicher Klassen, so dass alle gewünschten Theoreme bewiesen werden können. Die Beschreibung von Ordnungszahlen als „Fiktionen“, „unvollständige Symbole“und „Konstruktionen“gilt auf die gleiche Weise wie bei natürlichen Zahlen.
Die Klasse der reellen Zahlen Θ ist in Band III der Principia Mathematica unter * 310.01 definiert und besteht aus einer „dedekindischen Reihe“rationaler Zahlen, die wiederum Beziehungszahlen von „Verhältnissen“natürlicher Zahlen sind. Whitehead und Russell folgen der Darstellung von reellen Zahlen als Dedekind-Schnitte der rationalen Zahlen und unterscheiden sich nur von Standardentwicklungen der Zahlen in der zeitgenössischen Mengenlehre, indem sie rationale Zahlen als Beziehungszahlen einer bestimmten Art behandeln und nicht als geordnete Paare von und ganze Zahlen (der "Zähler" und "Nenner"). Wie die Konstruktion von Beziehungszahlen als Klassen ähnlicher Klassen unterscheidet sich die „logische Konstruktion“von reellen Zahlen von der Theorie bestimmter Beschreibungen und Klassen im Allgemeinen darin, dass sie „unvollständige Symbole“nicht definiert oder zeigt, dass diese Zahlen wirklich „Fiktionen“sind. Sie lassen sich am besten als Definitionen charakterisieren, die den Beweis von Theoremen über diese Zahlen ermöglichen, die sonst als Axiome postuliert werden müssten. Sie sind das Produkt der „ehrlichen Arbeit“, die Russell bevorzugt.
7. Mathematische Funktionen
Mathematische Funktionen werden von Russell in der Liste der „logischen Konstruktionen“von 1924 nicht erwähnt, obwohl die Analyse mathematischer Funktionen die Hauptanwendung der Theorie bestimmter Beschreibungen in PM ist. Die grundlegenden "Funktionen" von PM sind Satzfunktionen. Die griechischen Buchstaben (phi, \ psi, \ theta, \ ldots) sind Variablen für Satzfunktionen und bilden mit einzelnen Variablen (x, y, z, \ ldots) zusammen offene Sätze (phi (x), \ psi (x, y)) usw. Dies ist die bekannte Syntax der modernen Prädikatenlogik. Mathematische Funktionen wie die Sinusfunktion und die Addition werden als Termbildungsoperatoren wie (sin x) oder (x + y) dargestellt. In der heutigen Logik werden sie durch Funktionsbuchstaben symbolisiert, denen die entsprechende Anzahl von Argumenten folgt, (f (x), g (x, y)) usw. In Kapitel * 30 schlagen Whitehead und Russell eine direkte Interpretation solcher Ausdrücke für mathematische Funktionen in Form bestimmter Beschreibungen vor, die sie als „beschreibende Funktionen“bezeichnen. Betrachten Sie die Beziehung zwischen einer Zahl und ihrem Sinus, die Beziehung, die zwischen (x) und (y) erhalten wird, wenn (y = \ sin x). Nennen Sie diese Beziehung "(text {Sinus} (x, y))" oder einfacher "(bS (x, y))" als Beziehung mit zwei Stellen. Die mathematische Funktion kann dann mit einer bestimmten Beschreibung ausgedrückt werden, wobei unser Ausdruck "der Sinus von (x)" nicht als "(sin (x))" interpretiert wird, sondern wörtlich als "der Sinus von (x ")) “Mit einer bestimmten Beschreibung oder„ das (y) so, dass (text {Sinus} (x, y)) “. Unter Verwendung der Notation der Theorie bestimmter Beschreibungen ist dies '((iota x) bS (x, y))'. Diese Analyse bewirkt, dass Whitehead und Russell alle Ausdrücke für mathematische Funktionen durch eindeutige Beschreibungen ersetzen können, die auf Beziehungen basieren. Diese Definition beinhaltet Erweiterungsrelationen, die mit römischen Großbuchstaben und mit dem Beziehungssymbol zwischen den Variablen dargestellt werden. Die Definition in PM lautet: * 30.01. (R`y = (iota x) xRy), wobei die Notation (R`y) als "das (R) von (y)" zu lesen ist. Wie bei der Beschreibungstheorie besteht das Ergebnis dieser Definition darin, die Beweise von Theoremen zu erleichtern, die die logischen Eigenschaften mathematischer Funktionen erfassen, die für die weitere Arbeit von PM benötigt werden.die mit römischen Großbuchstaben und mit dem Beziehungssymbol zwischen den Variablen dargestellt werden. Die Definition in PM lautet: * 30.01. (R`y = (iota x) xRy), wobei die Notation (R`y) als "das (R) von (y)" zu lesen ist. Wie bei der Beschreibungstheorie besteht das Ergebnis dieser Definition darin, die Beweise von Theoremen zu erleichtern, die die logischen Eigenschaften mathematischer Funktionen erfassen, die für die weitere Arbeit von PM benötigt werden.die mit römischen Großbuchstaben und mit dem Beziehungssymbol zwischen den Variablen dargestellt werden. Die Definition in PM lautet: * 30.01. (R`y = (iota x) xRy), wobei die Notation (R`y) als "das (R) von (y)" zu lesen ist. Wie bei der Beschreibungstheorie besteht das Ergebnis dieser Definition darin, die Beweise von Theoremen zu erleichtern, die die logischen Eigenschaften mathematischer Funktionen erfassen, die für die weitere Arbeit von PM benötigt werden.
Die logische Analyse von Funktionsausdrücken in PM präsentiert sie als Sonderfall bestimmter Beschreibungen, "das (R) von (x)". In der Zusammenfassung von * 30 finden wir:
Beschreibende Funktionen haben wie Beschreibungen im Allgemeinen keine isolierte Bedeutung, sondern nur als Bestandteile von Sätzen. (Whitehead und Russell 1910–13, 232)
Mathematische oder beschreibende Funktionen gehören daher ausdrücklich zu den unvollständigen Symbolen der Principia Mathematica.
8. Sätze und Satzfunktionen
In Principia Mathematica wird Russells Theorie des Urteils in mehreren Beziehungen eingeführt, indem eine ontologische Vision vorgestellt wird:
Das Universum besteht aus Objekten mit verschiedenen Eigenschaften, die in verschiedenen Beziehungen stehen. (Whitehead und Russell 1910–13, 43)
Russell erklärt weiter die Multiple-Relations-Theorie des Urteils, die den Platz von Sätzen in dieser Welt von Objekten und Qualitäten findet, die in Beziehungen stehen. (Siehe den Eintrag zu Vorschlägen.)
Russells Multiple-Relations-Theorie, die er von 1910 bis etwa 1919 vertrat, argumentierte, dass die Bestandteile von Sätzen, sagen 'Desdemona liebt Cassio', auf eine Weise vereinheitlicht sind, die es nicht so macht, dass sie eine Tatsache für sich darstellen. Diese Bestandteile treten nur im Zusammenhang mit Überzeugungen auf, beispielsweise "Othello urteilt, dass Desdemona Cassio liebt". Die wirkliche Tatsache besteht in einer Beziehung des Glaubens zwischen den Bestandteilen Othello, Desdemona und Cassio; (B (o, d, L, c)). Da man auch an Sätze anderer Strukturen wie (B (o, F, a)) geglaubt haben könnte, muss es viele solcher Beziehungen (B), unterschiedlicher „Aritäten“oder Anzahl von Argumenten geben der Name "Multiple Relations" -Theorie. Wie die Konstruktion von Zahlen abstrahiert diese Konstruktion von dem, was eine Reihe von Vorkommen eines Glaubens gemeinsam haben, nämlicheine Beziehung zwischen einem Gläubigen und verschiedenen Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Der Bericht macht den Satz auch zu einem unvollständigen Symbol, da es keinen Bestandteil in der Analyse von '(x) gibt, der glaubt, dass (p)' '(p)' entspricht. Infolgedessen kommt Russell zu dem Schluss, dass:
Es ist ersichtlich, dass gemäß der obigen Darstellung ein Urteil kein einziges Objekt hat, nämlich einen Satz, sondern mehrere miteinander verbundene Objekte. Das heißt, die Beziehung, die das Urteil ausmacht, ist keine Beziehung zweier Begriffe, nämlich des urteilenden Geistes und des Satzes, sondern eine Beziehung mehrerer Begriffe, nämlich des Geistes und dessen, was wir die Bestandteile des Satzes nennen …
Aufgrund der Vielzahl der Objekte eines einzigen Urteils folgt, dass das, was wir einen „Satz“nennen (in dem er von dem Ausdruck zu unterscheiden ist, der ihn ausdrückt), überhaupt keine Einheit ist. Das heißt, der Ausdruck, der einen Satz ausdrückt, ist das, was wir als „unvollständiges“Symbol bezeichnen. es hat an sich keine Bedeutung, erfordert aber eine Ergänzung, um eine vollständige Bedeutung zu erlangen. (Whitehead und Russell 1910–13, 43–44)
Obwohl gebundene Variablen, die sich über Sätze erstrecken, in Principia Mathematica kaum vorkommen (mit einer prominenten Ausnahme in * 14.3), scheint es, dass die gesamte Theorie der Typen eine Theorie der Satzfunktionen ist. Russell folgt jedoch der Behauptung, dass Sätze „überhaupt keine einzelnen Einheiten“sind, und sagt dasselbe für Satzfunktionen. In der Einführung in die mathematische Philosophie sagt Russell, dass Aussagenfunktionen wirklich „nichts“sind, aber „dennoch wichtig dafür“(Russell 1919, 96). Dieser Kommentar ist am sinnvollsten, wenn wir Satzfunktionen als irgendwie konstruiert betrachten, indem wir sie von ihren Werten abstrahieren, die Sätze sind. Die Satzfunktion "(x) ist menschlich" wird von ihren Werten "Sokrates ist menschlich", "Platon ist menschlich" usw. abstrahiert. Betrachten von Satzfunktionen als Konstruktionen aus Sätzen,Dies sind wiederum Konstruktionen der Mehrfachbeziehungstheorie, die dazu beitragen, bestimmte Merkmale der Theorie der Arten von Satzfunktionen in Principia Mathematica zu verstehen. Wir können verstehen, wie Satzfunktionen von ihren Werten, nämlich Sätzen, abzuhängen scheinen, und wie Sätze wiederum selbst logische Konstruktionen sein können. Das Verhältnis dieser Abhängigkeit zur Typentheorie wird in der Einführung in Principia Mathematica anhand des Begriffs „Voraussetzung“erläutert:Das Verhältnis dieser Abhängigkeit zur Typentheorie wird in der Einführung in Principia Mathematica anhand des Begriffs „Voraussetzung“erläutert:Das Verhältnis dieser Abhängigkeit zur Typentheorie wird in der Einführung in Principia Mathematica anhand des Begriffs „Voraussetzung“erläutert:
Es scheint jedoch, dass das wesentliche Merkmal einer Funktion Mehrdeutigkeit ist … Wir können dies ausdrücken, indem wir sagen, dass "(phi x)" mehrdeutig (phi a, \ phi b, \ phi c,) bedeutet. usw., wobei (phi a, \ phi b, \ phi c,) usw. die verschiedenen Werte von "(phi x)" sind. … Es ist ersichtlich, dass gemäß der obigen Darstellung die Werte einer Funktion von dieser Funktion vorausgesetzt werden, nicht umgekehrt. In jedem Einzelfall ist hinreichend offensichtlich, dass ein Wert einer Funktion die Funktion nicht voraussetzt. So kann zum Beispiel der Satz „Sokrates ist menschlich“perfekt verstanden werden, ohne ihn als Wert der Funktion „(x) ist menschlich“zu betrachten. Es ist wahr, dass umgekehrt eine Funktion erfasst werden kann, ohne dass es notwendig ist, ihre Werte einzeln und individuell zu erfassen. Wenn dies nicht der Fall wäre,Es konnte überhaupt keine Funktion erfasst werden, da die Anzahl der Werte (wahr und falsch) einer Funktion notwendigerweise unbestimmt ist und es notwendigerweise mögliche Argumente gibt, mit denen wir nicht vertraut sind. (Russell 1910–13, 39–40)
Der Begriff „unvollständiges Symbol“erscheint bei Satzfunktionen und -sätzen weniger angemessen als der Begriff „Konstruktion“. Um Sätze und sogar Satzfunktionen als Instanzen desselben logischen Phänomens wie bestimmte Beschreibungen zu klassifizieren, muss der Begriff erheblich erweitert werden.
Der ontologische Status von Sätzen und Satzfunktionen innerhalb von Russells Logik und insbesondere in Principia Mathematica ist derzeit Gegenstand erheblicher Debatten. Eine Interpretation, die wir als "realistisch" bezeichnen könnten, wird in dieser Fußnote von Alonzo Church in seiner 1976 durchgeführten Studie über die verzweigte Typentheorie zusammengefasst:
Daher nehmen wir Sätze als Werte der Satzvariablen, mit der Begründung, dass dies eindeutig vom Hintergrund und Zweck von Russells Logik verlangt wird, und trotz dessen, was Whitehead und Russell in PM, pp. 43–44.
Tatsächlich behaupten Whitehead und Russell: „Was wir einen‚ Satz 'nennen (in dem Sinne, in dem dies von dem Ausdruck unterschieden wird, der ihn ausdrückt), ist überhaupt keine Einheit. Das heißt, der Ausdruck, der einen Satz ausdrückt, ist das, was wir als „unvollständiges Symbol“bezeichnen… “Sie scheinen sich bewusst zu sein, dass diese Fragmentierung von Sätzen eine ähnliche Fragmentierung von Satzfunktionen erfordert. Die kontextbezogene Definition oder Definitionen, die implizit durch die Charakterisierung des „unvollständigen Symbols“versprochen werden, werden jedoch niemals vollständig geliefert, und insbesondere so würden sie die Verwendung gebundener Aussagen- und Funktionsvariablen erklären. Wenn einige Dinge, die Russell in IV und V seiner Einführung in die zweite Ausgabe sagt, als Hinweis darauf verstanden werden können, was beabsichtigt ist,Es ist wahrscheinlich, dass die kontextbezogenen Definitionen nicht geprüft werden können.
Viele Passagen in [(Russell 1908)] und [(Whitehead und Russell 1910–13)] können so verstanden werden, dass sie sagen oder die Konsequenz haben, dass die Werte von Satzfunktionen Sätze sind. Eine kohärente Semantik von Russells formalisierter Sprache kann auf dieser Grundlage jedoch kaum bereitgestellt werden (beachten Sie insbesondere, dass es notwendig wäre, Sätze als Namen von Sätzen zu verwenden, da Sätze auch Satzvariablen ersetzen.) Und da die fraglichen Passagen scheinen Verwechslungen von Gebrauch und Erwähnung oder verwandte Verwirrungen zu beinhalten, die nur nachlässig sein können, es ist nicht sicher, ob sie als genaue Aussagen einer Semantik anzusehen sind. (Church 1976, Nr. 4)
Gregory Landini (1998) hat vorgeschlagen, dass es tatsächlich eine kohärente Semantik für Sätze und Satzfunktionen in PM gibt, die Funktionen und Sätze als sprachliche Einheiten behandelt. Landini schlägt vor, dass diese „nominalistische Semantik“die beabsichtigte Interpretation von PM ist und von Russells früherer „Substitutionstheorie“übrig bleibt. Er argumentiert, dass Russell zu diesem Nominalismus geführt wurde, nachdem er zuerst die Realität der Klassen, dann der Satzfunktionen und schließlich die Realität der Sätze abgelehnt hatte. Diese Ablehnung lässt laut Landini nur eine nominalistische Metaphysik von Individuen und Ausdrücken als Interpretation von Russells Logik übrig. Siehe auch Cocchiarella (1980), der eine „nominalistische Semantik“für die verzweigte Typentheorie beschreibt, diese jedoch als Russells beabsichtigte Interpretation ablehnt. Sainsbury (1979) beschreibt eine "substituierende" Interpretation der Quantifizierer über Aussagenfunktionen, kombiniert diese jedoch mit einer wahrheitsbedingten Semantik, die keine Verzweigung der Theorie der Typen erfordert, die für Russells Interpretation in PM von zentraler Bedeutung ist.
Sätze und Satzfunktionen unterscheiden sich von bestimmten Beschreibungen und Klassen darin, dass es in PM keine expliziten Definitionen dafür gibt. Es ist unklar, was es bedeutet zu sagen, dass ein Symbol für einen Satz, wie eine Variable (p) oder (q), "keine isolierte Bedeutung" hat und dass die Bedeutung jedoch gegeben werden kann " im Kontext “, da es den Anschein hat, dass keine Definition möglich ist, scheint es in einer Logik, in der Sätze und Satzfunktionen als primitive Begriffe in der Aussage der Axiome und Definitionen der Logik erscheinen.
9. Die Konstruktion der Materie
Unabhängig davon, ob sie von Whitehead und Russell mit kontextuellen Definitionen versehen sind oder nicht, erscheinen logische Konstruktionen nicht als Referenz für logisch Eigennamen, und daher sind Kontokonstruktionen kein Teil der grundlegenden „Möbel“der Welt. Frühe kritische Diskussionen über Konstruktionen wie Wisdom (1931) betonten den Kontrast zwischen logischen Eigennamen, die sich beziehen, und Konstruktionen, die daher als ontologisch unschuldig angesehen wurden.
Beginnend mit den Problemen der Philosophie im Jahr 1912 wandte sich Russell wiederholt dem Problem der Materie zu. Wie von Omar Nasim (2008) beschrieben, trat Russell in eine laufende Diskussion über das Verhältnis von Sinnesdaten zu Materie ein, die von TP Nunn (1910), Samuel Alexander (1910), GF Stout (1914), und GE Moore (1914) unter anderem. Die Teilnehmer dieser „Edwardianischen Kontroverse“, wie Nasim es nennt, teilten die Überzeugung, dass direkte Wahrnehmungsobjekte mit ihren sensorischen Qualitäten dennoch außermental waren. Das Konzept der Materie war also das Ergebnis einer lose beschriebenen sozialen oder psychologischen „Konstruktion“, die über das hinausging, was direkt wahrgenommen wurde. Ein Projekt, das von den Teilnehmern der Kontroverse geteilt wurde, war die Suche nach einer Widerlegung von George Berkeleys Idealismus.das würde zeigen, wie die Existenz und die reale Natur der Materie entdeckt werden können. In The Problems of Philosophy (Russell 1912) argumentiert Russell, dass der Glaube an die Existenz von Materie eine gut unterstützte Hypothese ist, die unsere Erfahrungen erklärt. Materie ist nur indirekt „durch Beschreibung“als Ursache unserer Sinnesdaten bekannt, die wir direkt durch „Bekanntschaft“kennen. Dies ist ein Beispiel für die Art von Hypothese, die Russell in der berühmten Passage über „Diebstahl“und „ehrliche Arbeit“mit der Konstruktion kontrastiert. Russell sah eine Analogie zwischen dem Fall der einfachen Hypothese der Existenz von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften, die durch Axiome beschrieben werden, und der Hypothese der Existenz von Materie. In The Problems of Philosophy (Russell 1912) argumentiert Russell, dass der Glaube an die Existenz von Materie eine gut unterstützte Hypothese ist, die unsere Erfahrungen erklärt. Materie ist nur indirekt „durch Beschreibung“als Ursache unserer Sinnesdaten bekannt, die wir direkt durch „Bekanntschaft“kennen. Dies ist ein Beispiel für die Art von Hypothese, die Russell in der berühmten Passage über „Diebstahl“und „ehrliche Arbeit“mit der Konstruktion kontrastiert. Russell sah eine Analogie zwischen dem Fall der einfachen Hypothese der Existenz von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften, die durch Axiome beschrieben werden, und der Hypothese der Existenz von Materie. In The Problems of Philosophy (Russell 1912) argumentiert Russell, dass der Glaube an die Existenz von Materie eine gut unterstützte Hypothese ist, die unsere Erfahrungen erklärt. Materie ist nur indirekt „durch Beschreibung“als Ursache unserer Sinnesdaten bekannt, die wir direkt durch „Bekanntschaft“kennen. Dies ist ein Beispiel für die Art von Hypothese, die Russell in der berühmten Passage über „Diebstahl“und „ehrliche Arbeit“mit der Konstruktion kontrastiert. Russell sah eine Analogie zwischen dem Fall der einfachen Hypothese der Existenz von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften, die durch Axiome beschrieben werden, und der Hypothese der Existenz von Materie. Dies ist ein Beispiel für die Art von Hypothese, die Russell in der berühmten Passage über „Diebstahl“und „ehrliche Arbeit“mit der Konstruktion kontrastiert. Russell sah eine Analogie zwischen dem Fall der einfachen Hypothese der Existenz von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften, die durch Axiome beschrieben werden, und der Hypothese der Existenz von Materie. Dies ist ein Beispiel für die Art von Hypothese, die Russell in der berühmten Passage über „Diebstahl“und „ehrliche Arbeit“mit der Konstruktion kontrastiert. Russell sah eine Analogie zwischen dem Fall der einfachen Hypothese der Existenz von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften, die durch Axiome beschrieben werden, und der Hypothese der Existenz von Materie.
Die Notwendigkeit einer Art Darstellung der logischen Merkmale der Materie, was er als „Problem der Materie“bezeichnete, hatte Russell bereits viel früher beschäftigt. Während wir das bestimmte Wissen, das wir über mathematische Entitäten haben können, vom zufälligen Wissen über materielle Objekte unterscheiden, sagt Russell, dass es bestimmte „ordentliche“Merkmale der Materie gibt, die einfach zu ordentlich sind, um sich zufällig herausgestellt zu haben. Beispiele hierfür sind die allgemeinsten raumzeitlichen Eigenschaften von Objekten, dass keine zwei gleichzeitig denselben Platz einnehmen können, was er als „Undurchdringlichkeit“bezeichnet, und so weiter. In den Prinzipien der Mathematik (Russell 1903, §453) gibt es eine Liste dieser Merkmale der Materie, einschließlich "Unzerstörbarkeit", "Unerzeugbarkeit" und "Undurchdringlichkeit", die alle für die Atomtheorie des Tages charakteristisch waren. Russell verfolgte den Fortschritt durch die exakten Wissenschaften von der Logik über die Arithmetik und dann über reelle Zahlen bis hin zu unendlichen Kardinälen. Es folgte eine Diskussion über Raum und Zeit, wobei das Buch mit einem letzten Teil (VII) über Materie und Bewegung, Kapitel §53 bis §59, endete. In ihnen diskutiert Russell, was er "rationale Dynamik als Zweig der reinen Mathematik" nennt (Russell 1903, §437). Diese rationale Dynamik würde beinhalten, viele der Grundprinzipien der Physik allein mit reiner Mathematik zu rechtfertigen, und zwar anhand von Definitionen, die die Geometrie von Raum und Zeit und die formalen Eigenschaften ihrer Bewohner, Mengen an Materie und Energie ergeben. In dieser Hinsicht ähnelt die Konstruktion von Materie am ehesten der Konstruktion von Zahlen als Klassen, um den „Diebstahl“postulierender Axiome durch die „ehrliche Mühe“zu ersetzen, Definitionen zu entwickeln, die diese Postulate validieren.
In dem späteren Projekt der Konstruktion von Materie werden ab 1914, beginnend mit Unser Wissen über die Außenwelt (Russell 1914b), materielle Objekte als Sammlungen von Sinnesdaten und dann von „Sensibilia“angesehen. Sensibilia sind potenzielle Sensationsobjekte, die, wenn sie wahrgenommen werden, zu „Sinnesdaten“für den Wahrnehmenden werden. Von William James beeinflusst, verteidigte Russell einen neutralen Monismus, durch den Materie und Geist aus Sensibilität konstruiert werden sollten, jedoch auf unterschiedliche Weise. Intuitiv sind die Sinnesdaten, die auftreten, wie sie "in" einem Geist auftreten, wesentlich für die Konstruktion dieses Geistes, die Sinnesdaten, die von einem Objekt aus verschiedenen Blickwinkeln abgeleitet wurden, um dieses Objekt zu konstruieren. Russell sah eine gewisse Unterstützung dafür in der Relativitätstheorie und der grundlegenden Bedeutung von Referenzrahmen in der neuen Physik.
10. Nachfolger der logischen Konstruktion
In den 1930er Jahren widmeten Susan Stebbing und John Wisdom, die die sogenannte „Cambridge School of Analysis“gründeten, dem Begriff der logischen Konstruktion große Aufmerksamkeit (siehe Beaney 2003). Stebbing (1933) befasste sich mit der Unklarheit darüber, ob es sich um Ausdrücke oder Entitäten handelt, die logische Konstruktionen sind, und wie man eine Behauptung wie „diese Tabelle ist eine logische Konstruktion“versteht und was es überhaupt bedeuten könnte, logische Konstruktionen gegenüberzustellen abgeleitete Entitäten. Russell war durch das logistische Projekt motiviert worden, Definitionen und elementare Prämissen zu finden, anhand derer mathematische Aussagen bewiesen werden konnten. Stebbing und Weisheit befassten sich vielmehr damit, den Begriff der Konstruktion mit der philosophischen Analyse der gewöhnlichen Sprache in Verbindung zu bringen. Wisdom (1931) interpretierte logische Konstruktionen in Form von Ideen aus Wittgensteins Tractatus (1921).
Demopoulos und Friedman (1985) finden in (Russell 1927), The Analysis of Matter, eine Antizipation der jüngsten "strukturell-realistischen" Sichtweise wissenschaftlicher Theorien. Sie argumentieren, dass die logischen Konstruktionen von Sinnesdaten in Russells früheren Überlegungen zum „Problem der Materie“durch Rückschlüsse auf die strukturellen Eigenschaften von Raum und Materie aus Mustern von Sinnesdaten ersetzt wurden. Wir können Farbflecken in unserem Gesichtsfeld nebeneinander wahrnehmen, aber was uns über die Ursachen dieser Sinnesdaten und über Materie sagt, zeigt sich nur in der Struktur dieser Beziehungen. Die Farbe eines Patches in unserem Gesichtsfeld sagt also nichts über die intrinsischen Eigenschaften der Tabelle aus, die diese Erfahrung verursachen. Stattdessen sind es die strukturellen Eigenschaften unserer Erfahrungen, wie ihre relative zeitliche Reihenfolge,und welche zwischen denen anderen im Gesichtsfeld liegen, gibt uns einen Hinweis auf die strukturellen Beziehungen von Zeit und Raum innerhalb der materiellen Welt, die die Erfahrung verursachen. Die zeitgenössische Version dieses Berichts, genannt "struktureller Realismus", besagt, dass es nur die strukturellen Eigenschaften und Beziehungen sind, die eine wissenschaftliche Theorie der Welt zuschreibt, über die wir wissenschaftliche Realisten sein sollten. (Siehe den Eintrag zum strukturellen Realismus.)
Demnach bestand Russells ursprüngliches Projekt, Inferenz durch logische Konstruktion zu ersetzen, darin, für jedes Muster von Sinnesdaten eine logische Konstruktion zu finden, die ein Muster isomorpher Strukturbeziehungen trägt. Dieses Projekt wurde transformiert, argumentieren Demopoulos und Friedman, indem sie den Rückschluss von der gegebenen Erfahrung auf die Ursache dieser Erfahrung durch einen Rückschluss auf die eher verarmte, strukturelle Realität der Ursachen dieser Erfahrungen ersetzten. Russells Materieprojekt wurde von anderen auf diese Weise interpretiert und führte 1928 zu GH Newmans anscheinend verheerendem Einwand. Newman (1928) wies darauf hin, dass es immer eine Struktur willkürlich „konstruierter“Beziehungen zu einer bestimmten Struktur gibt, wenn nur die Anzahl der Basisentitäten, in diesem Fall Sinnesdaten, groß genug ist. Nach Demopoulos und Friedman,Newman zeigt, dass wissenschaftliche Theorien mehr beinhalten müssen als triviale Aussagen darüber, dass Materie einige strukturelle Eigenschaften hat, die denen unserer Sinnesdaten isomorph sind. Das Projekt von The Analysis of Matter hat tatsächlich ernsthafte Schwierigkeiten mit „Newmans Problem“, unabhängig davon, ob diese Schwierigkeiten für das frühere Projekt der logischen Konstruktion auftreten oder nicht (siehe Linsky 2013).
Der Begriff der logischen Konstruktion hatte großen Einfluss auf den zukünftigen Verlauf der analytischen Philosophie. Ein Einflussbereich war der Begriff einer kontextuellen Definition oder Paraphrase, die das ontologische Engagement minimieren und ein Modell für die philosophische Analyse sein sollte. Die Unterscheidung zwischen dem Oberflächenerscheinen bestimmter Beschreibungen als singuläre Begriffe und den vollständig interpretierten Sätzen, aus denen sie zu verschwinden scheinen, wurde als Modell dafür angesehen, dass problematische Begriffe bei der Analyse verschwinden. Wisdom (1931) schlug diese Anwendung der logischen Konstruktion im Geiste Wittgensteins vor. Auf diese Weise wurde die Beschreibungstheorie als Paradigma der philosophischen Analyse dieser „therapeutischen“Art angesehen, die logische Probleme auflösen will.
Ein eher technischer Aspekt der analytischen Philosophie wurde durch die Konstruktion von Materie beeinflusst. Rudolf Carnap zitiert (Russell 1914a, 11) als Motto für seinen „Aufbau“, die logische Struktur der Welt (1967):
Die höchste Maxime im wissenschaftlichen Philosophieren lautet: Wenn immer möglich, sollen abgeleitete Entitäten durch logische Konstruktionen ersetzt werden. (Carnap 1967, 6)
Im Aufbau setzte die Konstruktion von Materie aus „elementaren Erfahrungen“und später Nelson Goodman (1951) das Projekt fort. Michael Friedman (1999) und Alan Richardson (1998) haben argumentiert, dass Carnaps Bauprojekt viel mehr seinem Hintergrund in neokantianischen Fragen zur „Konstitution“empirischer Objekte zu verdanken ist als mit Russells Projekt. Siehe jedoch Pincock (2002) für eine Antwort, die für die Bedeutung von Russells Projekt zur Rekonstruktion wissenschaftlicher Erkenntnisse in (Carnap 1967) spricht. Allgemeiner wurde die Verwendung satztheoretischer Konstruktionen unter Philosophen weit verbreitet und setzt sich bei der Konstruktion satztheoretischer Modelle fort, sowohl im Sinne der Logik, in der sie formale Theorien modellieren, als auch zur Beschreibung von Wahrheitsbedingungen für Sätze über Entitäten.
Willard van Orman Quine sah in seiner Vorstellung von „Explikation“eine Entwicklung logischer Konstruktion. Quine präsentiert seine Methodik in Word and Object (1960), beginnend mit einer Anspielung auf Ramseys Bemerkung im Titel von Abschnitt 53: „Das geordnete Paar als philosophisches Paradigma“. Das Problem, offenbar Ausdrücke zu referenzieren, die Russells Beschreibungstheorie motivieren, wird als allgemeines Problem dargestellt:
Ein Muster, das in den letzten Abschnitten wiederholt dargestellt wurde, ist das des fehlerhaften Substantivs, das sich als unverdient von Objekten erweist und als irreferentielles Fragment einiger weniger enthaltender Phrasen abgetan wird. Manchmal ist das fehlerhafte Substantiv jedoch gegensätzlich: Es wird festgestellt, dass seine Nützlichkeit die Zulassung von bezeichneten Objekten als Werte der Quantifizierungsvariablen aktiviert. In einem solchen Fall ist es unsere Aufgabe, Interpretationen für ihn in den Begriffspositionen zu entwickeln, in denen er aufgrund seiner Mängel früher nicht aufgetreten war. (Quine 1960, 257)
Der Begriff eines „fehlerhaften Substantivs“, das als „irreferentielles Fragment“abgetan werden soll, spiegelt eindeutig die Beschreibung von Konstruktionen als logische Fiktionen und ihre Ausdrücke als bloße unvollständige Symbole wider, die die kontextuellen Definitionen für bestimmte Beschreibungen und Klassen so treffend beschreiben. Die Aufgabe, „Interpretationen zu entwickeln“, ähnelt eher dem positiven Aspekt, der durch den Begriff „Konstruktion“vorgeschlagen und in den Fällen der Konstruktion von Zahlen und Materie veranschaulicht wird. Nach dem Schluss, dass der Ausdruck "geordnetes Paar" ein solches "fehlerhaftes Substantiv" war, sagt Quine, dass der Begriff eines geordneten Paares (langle x, y \ rangle) zweier Entitäten (x) und (y)) hat „Nutzen“und ist nur darauf beschränkt, ein „Postulat“erfüllen zu müssen:
(1) Wenn (langle x, y \ rangle = \ langle z, w \ rangle), dann (x = z) und (y = w)
Mit anderen Worten, diese geordneten Paare unterscheiden sich durch eindeutige erste und zweite Elemente. Quine fährt dann fort:
Das Problem der geeigneten Verwendung dieser fehlerhaften Substantive kann ein für alle Mal gelöst werden, indem systematisch ein geeignetes, bereits erkanntes Objekt für jedes (x) und (y) fixiert wird, mit dem (identifiziert werden soll) langle x, y \ rangle). Das Problem ist ordentlich, denn wir haben in (1) einen einzigen expliziten Standard, anhand dessen beurteilt werden kann, ob eine Version geeignet ist. (Quine 1960, 258)
Wiederum wiederholt Quine Russells Sprache mit seiner Erwähnung einer „ordentlichen“Eigenschaft, die eine „Konstruktion“von bekannten Entitäten fordert. Quine unterscheidet sein Projekt, das er "Explikation" nennt, durch die Tatsache, dass es alternative Möglichkeiten gibt, den Begriff zu reparieren. Obwohl Whitehead und Russell in PM * 55 einen Bericht geben, in dem sie als „ordinale Paare“bezeichnet werden, stammt der erste Vorschlag, geordnete Paare als Klassen ihrer Mitglieder zu behandeln, von Norbert Wiener (1914), der (langle x, y \ identifiziert) rangle) mit ({ {x }, {y, \ Lambda } }), wobei (Lambda) die leere Klasse ist. Aus dieser Definition ist es leicht, das erste und das zweite Element des Paares wiederherzustellen, und so ist Quines (1) ein Elementarsatz. Später schlug Kuratowski die Definition ({ {x }, {x, y } }) vor, aus der auch (1) folgt. Für Quine ist es eine Frage der Wahl, welche Definition verwendet werden soll, da die Punkte, in denen sie sich unterscheiden, „egal“sind, Fragen, die eine genaue Antwort auf Fragen geben, über die unser vortheoretischer Bericht stumm ist. Eine Erklärung unterscheidet sich daher erheblich von einer „Analyse“der gewöhnlichen oder vortheoretischen Sprache, indem sie dem Ausdruck, in dem er möglicherweise dunkel oder vielleicht einfach still war, eine genaue Bedeutung gibt und sich möglicherweise von der prätheoretischen Verwendung unterscheidet vorgeschlagen durch den Namen. Dies passt gut zu den Asymmetrien, die wir zwischen Analyse und Konstruktion festgestellt haben, wobei die Analyse auf die Entdeckung der Bestandteile und der Struktur der uns gegebenen Sätze abzielt und die Konstruktion eher eine Frage der Wahl ist, mit dem Ziel, die Wiederherstellung von besondere "ordentliche" Merkmale der Konstruktion in einer formalen Theorie. Das geordnete Paar ist somit ein "philosophisches Paradigma" für Quine, genau wie Russells Beschreibungstheorie ein Paradigma der Philosophie für Ramsey war, und jedes ist eine "logische Konstruktion".
Literaturverzeichnis
Primärliteratur: Werke von Russell
1901, "Die Logik der Beziehungen", (auf Französisch) Rivista di Matematica, Vol. VII, 115–48. Englische Übersetzung in Russell 1956, 3–38 und Russell 1993, 310–49.
1903, The Principles of Mathematics, Cambridge: Cambridge University Press; 2 nd edition, 1937, London: Allen & Unwin.
1905, "On Denoting", Mind 14 (Okt.), 479–93. In Russell 1956, 39–56 und Russell 1994, 414–27.
1908, „Mathematische Logik basierend auf der Typentheorie“, American Journal of Mathematics 30, 222–62. In van Heijenoort 1967, 150–82 und Russell 2014, 585–625.
1910–13, AN Whitehead und BA Russell, Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press; 2 nd Edition, 1925-1927.
1912, Die Probleme der Philosophie, London: Williams und Norgate. Nachdruck 1967 Oxford: Oxford University Press.
1914a, „Das Verhältnis von Sinnesdaten zur Physik“, Scientia, 16, 1–27. In Mysticism and Logic, Longmans, Green and Co. 1925, 145–179 und Russell 1986, 3–26.
1914b, Unser Wissen über die Außenwelt: Als Feld für wissenschaftliche Methoden in der Philosophie, Chicago und London: Open Court.
1918, „Die Philosophie des logischen Atomismus“in The Monist, 28 (Okt. 1918): 495–527, 29 (Jan., April, Juli 1919): 32–63, 190–222, 345–80. Seitenverweise auf die Philosophie des logischen Atomismus, DF Pears (Hrsg.), La Salle: Open Court, 1985, 35–155. Auch in Russell 1986, 157–244 und Russell 1956, 175–281.
1919, Einführung in die mathematische Philosophie, London: Routledge.
1924, „Logischer Atomismus“, in The Philosophy of Logical Atomism, DF Pears (Hrsg.), La Salle: Open Court, 1985, 157–181. Russell 2001, 160–179.
1927, Die Analyse der Materie, London: Kegan Paul, Trench, Trubner & Co.
1956, Logik und Wissen: Essays 1901–1950, RC Marsh (Hrsg.), London: Allen & Unwin.
1959, Meine philosophische Entwicklung, London: George Allen & Unwin.
1973, Essays in Analysis, D. Lackey (Hrsg.), London: Allen & Unwin.
1986, The Collected Papers von Bertrand Russell, vol. 8, Die Philosophie des logischen Atomismus und andere Aufsätze: 1914–1919, JG Slater (Hrsg.), London: Allen & Unwin.
1993, The Collected Papers von Bertrand Russell, vol. 3, Auf dem Weg zu den "Prinzipien der Mathematik", Gregory H. Moore (Hrsg.), London und New York: Routledge.
1994, The Collected Papers von Bertrand Russell, vol. 4, Foundations of Logic: 1903–1905, A. Urquhart (Hrsg.), London und New York: Routledge.
2001, The Collected Papers von Bertrand Russell, vol. 9, Essays on Language, Mind and Matter: 1919–1926, JG Slater (Hrsg.), London und New York.
2014, The Collected Papers von Bertrand Russell, vol. 5, Towards Principia Mathematica, 1905–1908, GH Moore (Hrsg.), London und New York: Routledge.
Sekundärliteratur
Alexander, S., 1910, „Über Empfindungen und Bilder“, Proceedings of the Aristotelian Society, X: 156–78.
Beaney, M., 2003, „Susan Stebbing über Cambridge und die Wiener Analyse“, Der Wiener Kreis und logischer Empirismus, F. Stadler (Hrsg.), Dordrecht: Kluwer, 339–50.
Beaney, M. (Hrsg.), 2007, The Analytic Turn: Analyse in der frühen analytischen Philosophie und Phänomenologie, New York: Routledge.
Carnap, R., 1967, Die logische Struktur der Welt & Pseudoprobleme in der Philosophie, trans. R. George, Berkeley: University of California Press. Ursprünglich Der Logische Aufbau der Welt, Berlin: Welt-Kreis, 1928.
Church, A., 1976, „Vergleich von Russells Auflösung der semantischen Antinomien mit der von Tarski“, Journal of Symbolic Logic, 41: 747–760.
Cocchiarella, N., 1980, „Nominalismus und Konzeptualismus als prädikative Prädikationstheorien zweiter Ordnung“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 21 (3): 481–500.
Dedekind, R., 1887. Was sind und war soll die Zahlen?, Übersetzt als "Die Natur und Bedeutung von Zahlen" in Aufsätzen über die Theorie der Zahlen, New York: Dover, 1963.
Demopolous, W. und Friedman, M., 1985, „Bertrand Russells Die Analyse der Materie: ihr historischer Kontext und ihr zeitgenössisches Interesse“, Philosophy of Science, 52 (4): 621–639.
Dummett, M., 1981, Die Interpretation von Freges Philosophie, Cambridge, Messe: Harvard University Press.
Friedman, M., 1999, Überdenken des logischen Positivismus, Cambridge: Cambridge University Press.
Frege, G., 1893/1903, Grundgesetze der Arithmetik, Jena: Pohle, 2 Bände, trans. P. Ebert & M. Rossberg, Oxford: Oxford University Press, 2013.
Frege, G., 1884, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau: Koebner, trans. JL Austin, Oxford: Basil Blackwell, 1950.
Fritz, Jr., CA, 1952, Bertrand Russells Konstruktion der Außenwelt, London: Routledge & Kegan Paul.
Goodman, N., 1951, Die Struktur des Aussehens, Cambridge Mass: Harvard University Press.
Hager, P., 1994, Kontinuität und Wandel in der Entwicklung von Russells Philosophie, Dordrecht: Kluwer.
Hart, HLA, 1994 Das Konzept des Gesetzes, 2 nd Edition, Oxford: Clarendon Press.
Hylton, P., 2005, „Beginnend mit der Analyse“, in Propositions, Functions and Analysis, Oxford: Clarendon Press, 30–48.
Landini, G., 1998, Russells versteckte Substitutionstheorie, Oxford: Oxford University Press.
Levine, J., 2016, „Der Ort der Unbestimmtheit in Russells philosophischer Entwicklung“, in Sorin Costreie (Hrsg.), Frühe analytische Philosophie - Neue Perspektiven auf die Tradition (Western Ontario Series in der Philosophie der Wissenschaft 80), Dordrecht Springer, 161–212.
–––, 2004, „Russells Anmerkungen zu Frege für Anhang A der Prinzipien der Mathematik“, Russell: The Journal of Bertrand Russell Studies, 24: 133–72.
–––, 2007, „Logische Analyse und logische Konstruktion“, The Analytic Turn, M. Beaney (Hrsg.), New York: Routledge, 107–122.
–––, 2013, „Russells Theorie bestimmter Beschreibungen und die Idee der logischen Konstruktion“, in M. Beaney (Hrsg.), Oxford Handbook of the History of Analytic Philosophy, Oxford: Oxford University Press, 407–429.
Moore, GE, 1914, „Symposium: Der Status von Sinnesdaten“, Proceedings of the Aristotelian Society, XIV: 335–380.
Nasim, OW, 2008, Bertrand Russell und die Edwardianischen Philosophen: Aufbau der Welt, Houndsmill, Basingstoke: Palgrave Macmillan.
Newman, HA, 1928, „Mr. Russells „Kausale Wahrnehmungstheorie“, Mind, 37: 137–148.
Nunn, TP, 1910, „Symposium: Sind Sekundärqualitäten unabhängig von der Wahrnehmung?”, Proceedings of the Aristotelian Society, X: 191–218.
Peano, G., 1889, „Die Prinzipien der Arithmetik; Präsentiert nach einer neuen Methode “, übersetzt von J. van Heijenoort, Von Frege nach Gödel, Cambridge, Messe: Harvard University Press, 1967, 81–97.
Richardson, A., 1998, Carnaps Konstruktion der Welt: Der Aufbau und die Entstehung des logischen Empirismus, Cambridge: Cambridge University Press.
Quine, WVO, 1960, Wort und Objekt, Cambridge Mass: The MIT Press.
Ramsey, Frank, 1929, "Philosophy", in FP Ramsey, Philosophical Papers, DH Mellor (Hrsg.), Cambridge: Cambridge University Press, 1990, 1–7.
Ryle, G., 1931, „Systematisch führende Ausdrücke“, Proceedings of the Aristotelian Society, 32: 139–70; Nachdruck in The Linguistic Turn: Essays in Philosophical Method, RM Rorty (Hrsg.), Chicago: University of Chicago Press, 1992, 85–100.
Sainsbury, M., 1979, Russell, London: Routledge & Kegan Paul.
Stebbing, S., 1933, Eine moderne Einführung in die Logik, London: Methuen and Company, 2. Auflage.
Stout, GF, 1914, „Symposium: Der Status von Sinnesdaten“, Proceedings of the Aristotelian Society, XIV: 381–406.
Strawson, PF, 1950, "On Referring", Mind LIX (235): 320–344.
van Heijenoort, J. (Hrsg.), 1967, Frege to Gödel: Ein Quellenbuch in mathematischer Logik, 1879–1931, Cambridge, Messe: Harvard University Press.
Wiener, N., 1914, „Eine Vereinfachung der Logik der Beziehungen“, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 17: 387–390; Nachdruck in van Heijenoort 1967, 224–227.
