Logische Wahrheit

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Logische Wahrheit

Erstveröffentlichung Di 30. Mai 2006; inhaltliche Überarbeitung Do 6. September 2018

In Standardansichten hat die Logik als eines ihrer Ziele, eine bestimmte Reihe von Wahrheiten zu charakterisieren (und uns praktische Mittel zu geben, um sie auseinander zu halten), die logischen Wahrheiten, für die die folgenden englischen Sätze paradigmatische Beispiele sind:

  • (1) Wenn der Tod nur schlecht ist, wenn das Leben gut und der Tod schlecht ist, dann ist das Leben gut.
  • (2) Wenn kein Wunsch freiwillig ist und einige Überzeugungen Wünsche sind, dann sind einige Überzeugungen nicht freiwillig.
  • (3) Wenn Drasha eine Katze ist und alle Katzen mysteriös sind, dann ist Drasha mysteriös.

Wie sich herausstellt, ist es sehr schwer, sich allgemein akzeptierte Vorstellungen darüber zu machen, was die generischen Eigenschaften logischer Wahrheiten sind oder sein sollten. Eine weit verbreitete, vielleicht allgemein akzeptierte Idee ist, dass ein Teil dessen, was logische Wahrheiten von anderen Arten von Wahrheiten unterscheiden sollte, darin besteht, dass logische Wahrheiten eine noch nicht vollständig verstandene modale Kraft haben sollten. Es ist typisch zu behaupten, dass in gewissem Sinne oder in den Sinnen von „könnte“eine logische Wahrheit nicht falsch sein könnte oder dass in gewissem Sinne oder in den Sinnen von „muss“eine logische Wahrheit wahr sein muss. Es besteht jedoch kaum Einigkeit darüber, wie die relevante Modalität zu verstehen ist.

Eine andere weit verbreitete Idee ist, dass ein Teil dessen, was logische Wahrheiten unterscheiden sollte, darin besteht, dass sie in gewissem Sinne noch „formal“verstanden werden müssen. Dass eine logische Wahrheit formal ist, impliziert zumindest, dass alle Sätze, die geeignete Ersatzinstanzen ihrer logischen Form sind, auch logische Wahrheiten sind. In diesem Zusammenhang soll die logische Form eines Satzes (S) ein bestimmtes Schema sein, das eindeutig durch (S) bestimmt wird, von dem (S) eine Ersatzinstanz ist und von dem Sätze mit Die gleiche Form wie (S) sind auch Ersatzinstanzen. Ein Formular hat zumindest die Eigenschaft, dass die darin enthaltenen Ausdrücke, die keine schematischen Buchstaben sind (die „logischen Ausdrücke“), in verschiedenen Diskursbereichen weit verbreitet sind. Unter Menschen, die die Idee der Formalität akzeptieren, besteht weitgehende Übereinstimmung darüber, dass die Formen von (1),(2) und (3) wären so etwas wie ((1 ')), ((2')) bzw. ((3 ')):

  • ((1 ')) Wenn (a) nur (P) ist, wenn (b) (Q) ist und (a) (P) ist, dann (b) ist (Q).
  • ((2 ')) Wenn kein (Q) (R) ist und einige (P) (Q) sind, dann sind einige (P) nicht (R.).
  • ((3 ')) Wenn (a) ein (P) ist und alle (P) (Q) sind, dann ist (a) (Q).

((1 ')), ((2')) und ((3 ')) scheinen logische Wahrheiten für alle angemessenen Ersetzungen der Buchstaben "(a)", " (b) "," (P) "," (Q) "und" (R) ". Und Ausdrücke wie „wenn“, „und“, „einige“, „alle“usw., die paradigmatische logische Ausdrücke sind, scheinen in verschiedenen Diskursbereichen weit verbreitet zu sein. Aber die Vorstellung, dass logische Wahrheiten formal sind oder sein sollten, wird sicherlich nicht allgemein akzeptiert. Und selbst unter denen, die es akzeptieren, gibt es kaum Übereinstimmung darüber, welche allgemeinen Kriterien die Form eines willkürlichen Satzes bestimmen. [1]

Eine bemerkenswerte Tatsache über die logische Wahrheit ist, dass viele es für plausibel gehalten haben, dass die Menge der logischen Wahrheiten bestimmter reichhaltiger formalisierter Sprachen im Sinne von Konzepten der Standardmathematik charakterisierbar ist. Insbesondere ist in einigen Ansichten die Menge der logischen Wahrheiten einer Sprache dieser Art immer die Menge der Sätze der Sprache, die in einem bestimmten Kalkül ableitbar sind. In anderen, weiter verbreiteten Ansichten kann die Menge der logischen Wahrheiten einer Sprache dieser Art mit der Menge der Sätze identifiziert werden, die für einen bestimmten Bereich mathematischer Interpretationen gültig sind (wobei die Gültigkeit etwas ist, das sich auf die Bedingung aller bezieht, sich aber von dieser unterscheidet Die Sätze, die Ersatzinstanzen seiner Form sind, sind ebenfalls wahr (siehe unten, Abschnitt 2.3). Eine Hauptleistung der frühen mathematischen Logik bestand darin, genau zu zeigen, wie Begriffe der Ableitbarkeit und Gültigkeit in Bezug auf Konzepte der Standardmathematik charakterisiert werden können. (Die Abschnitte 2.2 und 2.3 enthalten eine grundlegende Beschreibung der mathematisch charakterisierten Begriffe der Ableitbarkeit und Gültigkeit unter Bezugnahme auf andere Einträge.)

In Teil 1 dieses Eintrags werden wir die wichtigsten bestehenden Ansichten darüber, wie die für die logische Wahrheit relevanten Ideen von Modalität und Formalität zu verstehen sind, in sehr groben Umrissen beschreiben. (Eine detailliertere Behandlung dieser Ansichten finden Sie in anderen unten genannten Einträgen, insbesondere in den Einträgen zur analytischen / synthetischen Unterscheidung und zu logischen Konstanten.) In Teil 2 werden wir auch eine bestimmte Reihe von philosophischen Fragen beschreiben, die entstehen, wenn man die versuchten mathematischen Charakterisierungen der logischen Wahrheit betrachtet. Die Frage, ob oder in welchem Sinne diese Charakterisierungen korrekt sind, hängt mit der Frage zusammen, was unser spezifisches Verständnis der Ideen von Modalität und Formalität ist oder sein sollte. [2]

  • 1. Die Natur der logischen Wahrheit

    • 1.1 Modalität
    • 1.2 Formalität
  • 2. Die mathematische Charakterisierung der logischen Wahrheit

    • 2.1 Formalisierung
    • 2.2 Ableitbarkeit
    • 2.3 Modelltheoretische Gültigkeit
    • 2.4 Das Problem der Angemessenheit

      • 2.4.1 Analyse und Modalität
      • 2.4.2 Erweiterungsadäquanz: Ein allgemeines Argument
      • 2.4.3 Erweiterungsadäquanz: Sprachen höherer Ordnung
  • Literaturverzeichnis
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Die Natur der logischen Wahrheit

1.1 Modalität

Wie wir oben gesagt haben, scheint es allgemein anerkannt zu sein, dass, wenn es überhaupt logische Wahrheiten gibt, eine logische Wahrheit so sein sollte, dass sie nicht falsch sein kann, oder gleichwertig, dass sie wahr sein muss. Aber wie gesagt, es gibt praktisch keine Einigung über den spezifischen Charakter der relevanten Modalität.

Außer unter denen, die den Begriff der logischen Wahrheit insgesamt ablehnen, oder unter denen, die ihn akzeptieren, aber den Begriff der logischen Form ablehnen, besteht weitgehende Übereinstimmung darüber, dass zumindest ein Teil der modalen Kraft einer logischen Wahrheit darauf zurückzuführen ist, dass sie eine bestimmte ist Fall einer universellen Verallgemeinerung über die möglichen Werte der schematischen Buchstaben in "formalen" Schemata wie ((1 ') - (3')). (Diese Werte können, müssen aber keine Ausdrücke sein.) Auf die möglicherweise älteste Art und Weise, die logische Modalität zu verstehen, ist diese Modalkraft vollständig auf diese Eigenschaft zurückzuführen: So muss beispielsweise in dieser Ansicht gesagt werden, dass (1) sein muss true kann nur bedeuten, dass (1) ein besonderer Fall der wahren universellen Verallgemeinerung ist: „Für alle geeigneten (P), (Q), (a) und (b), wenn (a) ist nur dann ein (P), wenn (b) ein (Q) ist und (a) ein (P) ist, dann ist (b) ein (Q)”. Bei einer traditionellen (aber nicht unumstrittenen) Interpretation sollte Aristoteles 'Behauptung, dass die Schlussfolgerung eines Syllogismos wahr sein muss, wenn die Prämissen wahr sind, auf diese Weise verstanden werden. In einer berühmten Passage der Prior Analytics sagt er: „Ein Syllogismos ist eine Sprache (Logos), in der bestimmte Dinge, die angenommen werden, etwas anderes als die Dinge sind, die aus der Notwendigkeit resultieren (ex anankes), weil sie so sind“(24b18–20)). Stellen Sie sich (2) als einen Syllogismos vor, in dem die „angenommenen Dinge“(2a) und (2b) sind und in dem das, was „aus der Notwendigkeit resultiert“, (2c) ist:bestimmte Dinge werden angenommen, etwas anderes als die Dinge, die als notwendig erachtet werden (ex anankes), weil sie so sind “(24b18–20). Stellen Sie sich (2) als einen Syllogismos vor, in dem die „angenommenen Dinge“(2a) und (2b) sind und in dem das, was „aus der Notwendigkeit resultiert“, (2c) ist:bestimmte Dinge werden angenommen, etwas anderes als die Dinge, die als notwendig erachtet werden (ex anankes), weil sie so sind “(24b18–20). Stellen Sie sich (2) als einen Syllogismos vor, in dem die „angenommenen Dinge“(2a) und (2b) sind und in dem das, was „aus der Notwendigkeit resultiert“, (2c) ist:

  • (2a) Kein Wunsch ist freiwillig.
  • (2b) Einige Überzeugungen sind Wünsche.
  • (2c) Einige Überzeugungen sind nicht freiwillig.

In Bezug auf die Interpretation, die wir beschreiben, ist Aristoteles der Ansicht, dass (2c) die Notwendigkeit der Notwendigkeit aus (2a) und (2b) ergibt, dass (2) ein besonderer Fall der wahren universellen Verallgemeinerung ist: „Für alle geeigneten (P), (Q) und (R), wenn kein (Q) (R) ist und einige (P) (Q) sind, dann einige (P.) s sind nicht (R)”. Für diese Interpretation siehe zB Alexander von Aphrodisias, 208.16 (zitiert von Łukasiewicz 1957, §41), Bozen (1837, §155) und Łukasiewicz (1957, §5).

In vielen anderen alten und mittelalterlichen Logikern werden "Muss" -Ansprüche als universelle Verallgemeinerungen über tatsächliche Gegenstände verstanden (auch wenn sie nicht immer als universelle Verallgemeinerungen über "formale" Schemata verstanden werden). Besonders hervorzuheben ist Diodorus 'Ansicht, dass ein Satz für den Fall notwendig ist, dass er jederzeit wahr ist (siehe Mates 1961, III, §3). Beachten Sie, dass dies Sinn macht für die Idee, dass (2) wahr sein muss, aber sagen wir, „Menschen sehen fern“könnte falsch sein, denn dieser Satz war sicherlich zu Diodorus 'Zeiten nicht wahr. Diodorus 'Ansicht scheint im Mittelalter sehr verbreitet gewesen zu sein, als Autoren wie William of Sherwood und Walter Burley die wahrgenommene Notwendigkeit von Bedingungen wie (2) zu jeder Zeit als Wahrheit verstanden zu haben scheinen (siehe Knuuttila 1982, S. 348–) 9). Ein Verständnis der Notwendigkeit als Ewigkeit ist auch bei späteren Autoren häufig; siehe e. Kant, Kritik der reinen Vernunft, B 184. Für die erwähnte Interpretation von Aristoteles und der diodoräischen Sichtweise könnte darauf hingewiesen werden, dass wir häufig modale Positionen verwenden, um die Konsequenzen von Bedingungen hervorzuheben, die sich aus bloßen universellen Verallgemeinerungen ergeben die tatsächliche Welt, wie in "Wenn die Gaspreise steigen, verlangsamt sich notwendigerweise die Wirtschaft".

Viele Autoren haben gedacht, dass Ansichten dieser Art nicht die volle Stärke des modalen Imports logischer Wahrheiten erklären. Eine heutzutage sehr verbreitete, aber (anscheinend) späte Ansicht in der Geschichte der Philosophie ist, dass die Notwendigkeit einer logischen Wahrheit nicht nur impliziert, dass eine gewisse Verallgemeinerung über tatsächliche Gegenstände gilt, sondern auch impliziert, dass die Wahrheit insgesamt wahr gewesen wäre Reihe kontrafaktischer Umstände. Leibniz hat diese Eigenschaft notwendigen Wahrheiten wie der Logik und der Geometrie zugeordnet und scheint einer der ersten gewesen zu sein, der von den kontrafaktischen Umständen als „möglichen Universen“oder Welten gesprochen hat (siehe den Brief an Bourguet, S. 572–3). für eine klare Darstellung seiner Ansichten, die sie mit den Ansichten im vorhergehenden Absatz kontrastiert; Knuuttila 1982, S. 353 ff.erkennt die früheste transparente Rede von kontrafaktischen Umständen und von der Notwendigkeit, die zumindest in all diesen Fällen in Duns Scotus und Buridan als Wahrheit impliziert wird; siehe auch den Eintrag über mittelalterliche Modalitätstheorien). In zeitgenössischen Schriften ist das Verständnis der Notwendigkeit als Wahrheit unter allen kontrafaktischen Umständen und die Ansicht, dass logische Wahrheiten in diesem Sinne notwendig sind, weit verbreitet - obwohl viele, vielleicht die meisten Autoren, „reduktivistische“Ansichten der Modalität vertreten, die von kontrafaktischen Umständen sprechen nur getarntes Gerede über bestimmte aktualisierte (möglicherweise abstrakte) Elemente, wie z. B. sprachliche Beschreibungen. Sogar Leibniz scheint seine „möglichen Universen“als Ideen im Geist Gottes gesehen zu haben. (Siehe Lewis 1986 für eine Einführung in die zeitgenössische Polemik in diesem Bereich.)))In zeitgenössischen Schriften ist das Verständnis der Notwendigkeit als Wahrheit unter allen kontrafaktischen Umständen und die Ansicht, dass logische Wahrheiten in diesem Sinne notwendig sind, weit verbreitet - obwohl viele, vielleicht die meisten Autoren, „reduktivistische“Ansichten der Modalität vertreten, die von kontrafaktischen Umständen sprechen nur getarntes Gerede über bestimmte aktualisierte (möglicherweise abstrakte) Elemente, wie z. B. sprachliche Beschreibungen. Sogar Leibniz scheint seine „möglichen Universen“als Ideen im Geist Gottes gesehen zu haben. (Siehe Lewis 1986 für eine Einführung in die zeitgenössische Polemik in diesem Bereich.)In zeitgenössischen Schriften ist das Verständnis der Notwendigkeit als Wahrheit unter allen kontrafaktischen Umständen und die Ansicht, dass logische Wahrheiten in diesem Sinne notwendig sind, weit verbreitet - obwohl viele, vielleicht die meisten Autoren, „reduktivistische“Ansichten der Modalität vertreten, die von kontrafaktischen Umständen sprechen nur getarntes Gerede über bestimmte aktualisierte (möglicherweise abstrakte) Elemente, wie z. B. sprachliche Beschreibungen. Sogar Leibniz scheint seine „möglichen Universen“als Ideen im Geist Gottes gesehen zu haben. (Siehe Lewis 1986 für eine Einführung in die zeitgenössische Polemik in diesem Bereich.)Die Autoren vertreten „reduktivistische“Ansichten über Modalität, in denen die Rede von kontrafaktischen Umständen nur als verschleierte Rede über bestimmte aktualisierte (möglicherweise abstrakte) Elemente wie sprachliche Beschreibungen angesehen wird. Sogar Leibniz scheint seine „möglichen Universen“als Ideen im Geist Gottes gesehen zu haben. (Siehe Lewis 1986 für eine Einführung in die zeitgenössische Polemik in diesem Bereich.)Die Autoren vertreten „reduktivistische“Ansichten über Modalität, in denen die Rede von kontrafaktischen Umständen nur als verschleierte Rede über bestimmte aktualisierte (möglicherweise abstrakte) Elemente wie sprachliche Beschreibungen angesehen wird. Sogar Leibniz scheint seine „möglichen Universen“als Ideen im Geist Gottes gesehen zu haben. (Siehe Lewis 1986 für eine Einführung in die zeitgenössische Polemik in diesem Bereich.)

Doch selbst nach Leibniz und bis heute scheinen viele Logiker die Verpflichtung zu einem starken Begriff der Notwendigkeit als Wahrheit unter allen (tatsächlichen und) kontrafaktischen Umständen vermieden zu haben. So charakterisiert Bozen im Einklang mit seiner oben erwähnten Interpretation von Aristoteles notwendige Sätze als solche, deren Verneinung mit rein allgemeinen Wahrheiten unvereinbar ist (siehe Bozen 1837, §119). Frege sagt, dass „das apodiktische Urteil [dh ungefähr das Urteil, dessen Inhalt mit einem„ notwendigerweise “, das den Rest des Inhalts regelt, beginnt] von der Behauptung dadurch unterschieden wird, dass es die Existenz universeller Urteile nahe legt, aus denen der Satz abgeleitet werden kann, während im Fall der Behauptung ein solcher Vorschlag fehlt “(Frege 1879, §4). Tarski ist noch näher an der Ansicht, die traditionell Aristoteles zugeschrieben wird.denn es ist ziemlich klar, dass für ihn zu sagen, dass zB (2c) "wahr sein muss", wenn (2a) und (2b) wahr sind, bedeutet, dass (2) ein besonderer Fall der "formalen" Verallgemeinerung "Für alle" ist geeignet (P), (Q) und (R), wenn kein (Q) (R) ist und einige (P) (Q) sind, dann einige (P) s sind nicht (R)”(siehe Tarski 1936a, S. 411, 415, 417 oder die entsprechenden Passagen in Tarski 1936b; siehe auch Ray 1996). Quine ist bekannt für seine ausdrückliche Ablehnung jeglicher Modalität, die nicht als universelle Verallgemeinerungen über die tatsächliche Welt verstanden werden kann (siehe insbesondere Quine 1963). In einigen dieser Fälle erklärt sich diese Haltung aus einem Misstrauen gegenüber Begriffen, von denen angenommen wird, dass sie keinen vollständig respektablen wissenschaftlichen Status erreicht haben, wie den starken modalen Begriffen; es wird häufig von solchen Autoren begleitet, die oft praktizierende Logiker sind,durch den Vorschlag, die logische Wahrheit als eine Art der Gültigkeit zu charakterisieren (im Sinne von 2.3 unten).

Nach einer kürzlich von Beall und Restall (2000, 2006) entwickelten Sichtweise, die von ihnen als „logischer Pluralismus“bezeichnet wird, bekennt sich das Konzept der logischen Wahrheit zu der Idee, dass eine logische Wahrheit in einer Reihe von Elementen oder „Fällen“wahr ist”, Und seine Notwendigkeit besteht in der Wahrheit einer solchen allgemeinen Behauptung (siehe Beall und Restall 2006, S. 24). Das Konzept der logischen Wahrheit unterscheidet jedoch nicht einen eindeutigen Bereich von „Fällen“, die bei der Festlegung einer Erweiterung für das Konzept privilegiert sind. Stattdessen gibt es viele solcher gleichermaßen akzeptablen Bereiche und entsprechenden Erweiterungen, die in Abhängigkeit von Kontextinteressen ausgewählt werden können. Dies bedeutet, dass für den logischen Pluralisten viele Mengen das Recht haben, "die Menge der logischen Wahrheiten" (und "die Menge der logischen Notwendigkeiten") genannt zu werden, jede im entsprechenden Kontext. [3](Siehe den Eintrag zum logischen Pluralismus.) Nach einem anderen neueren Verständnis der logischen Notwendigkeit als Spezies der Allgemeinheit, das von Rumfitt (2015) vorgeschlagen wurde, besteht die Notwendigkeit einer logischen Wahrheit nur darin, dass sie unter allen Arten von fachspezifischen Methoden verwendet werden kann Zeichnen von Implikationen (vorausgesetzt, diese Mengen erfüllen bestimmte strukturelle Regeln); oder grob gesagt, nur weil es anwendbar ist, egal um welche Art von Argumentation es sich handelt. Aus dieser Sicht ist wiederum ein fundierteres Verständnis der Modalität, um die es in der logischen Wahrheit geht, nicht erforderlich. Es kann angemerkt werden, dass Rumfitt, obwohl er eine Vielzahl von themenspezifischen Implikationsbeziehungen postuliert, den Pluralismus über die logische Wahrheit im Sinne von Beall und Restall ablehnt (siehe sein 2015, S. 56, Nr. 23) und tatsächlich denkt dass die Menge der logischen Wahrheiten durch die klassische Standardlogik gekennzeichnet ist.

Ein weiterer Sinn, in dem angenommen wurde, dass Wahrheiten wie (1) - (3) und logische Wahrheiten im Allgemeinen nicht falsch sein könnten oder müssen, ist epistemisch. Es ist eine alte Beobachtung, die mindestens bis zu Platon zurückreicht, dass einige Wahrheiten von uns als intuitiv bekannt gelten, selbst in Fällen, in denen wir keine empirischen Gründe dafür zu haben scheinen. Wahrheiten, die aus nicht empirischen Gründen erkennbar sind, werden a priori genannt (ein Ausdruck, der um die Zeit Leibnizs mit dieser Bedeutung verwendet wird; siehe z. B. seine „Primæ Veritates“, S. 518). Die Axiome und Theoreme der Mathematik, die lexikographischen und stipulativen Definitionen sowie die paradigmatischen logischen Wahrheiten wurden als Beispiele angeführt. Wenn akzeptiert wird, dass logische Wahrheiten a priori sind,Es ist natürlich zu denken, dass sie wahr sein müssen oder zumindest teilweise nicht falsch sein können, in dem starken Sinne, dass ihre Negationen nicht mit dem vereinbar sind, was wir nicht empirisch wissen können.

Unter der Annahme, dass ein solches Wissen von vornherein auf die eine oder andere Weise existiert, hat sich die neuere Philosophie mit der Frage beschäftigt, wie es möglich ist. Eine traditionelle („rationalistische“) Ansicht ist, dass der Geist mit einer besonderen Fähigkeit ausgestattet ist, Wahrheiten durch die Untersuchung der Beziehungen zwischen reinen Ideen oder Konzepten wahrzunehmen, und dass die Wahrheiten, die durch die korrekte Funktionsweise dieser Fähigkeit erreicht werden, als a priori bekannt gelten. (Siehe z. B. Leibniz '"Discours de Métaphysique", §§ 23 ff.; Russell 1912, S. 105; BonJour 1998 ist ein sehr aktuelles Beispiel für eine Ansicht dieser Art.) Eine entgegengesetzte traditionelle ("empiristische") Ansicht ist dass es keinen Grund gibt, diese Fähigkeit zu postulieren, oder dass es Gründe gibt, sie nicht zu postulieren, wie zum Beispiel, dass sie „mysteriös“ist. (Siehe den Eintrag über Rationalismus vs. Empirismus.) Einige Philosophen, Empiriker und andere,haben versucht, a priori Wissen als Ergebnis einer Konvention oder stillschweigenden Vereinbarung zu erklären, um bestimmten Sätzen (wie (1)) zuzustimmen und bestimmte Regeln anzuwenden. Hobbes schlägt in seinen Einwänden gegen Descartes 'Meditationen („Dritte Einwände“, IV, S. 608) eine weitreichende konventionelle Sichtweise vor. Der spätere Wittgenstein (nach einer Interpretation) und Carnap sind ausgezeichnete Befürworter von "stillschweigender Übereinstimmung" und konventionellen Ansichten (siehe z. B. Wittgenstein 1978, I.9, I.142; Carnap 1939, §12 und 1963, S. 916, informell Darstellung der Ansichten von Carnap, siehe auch Coffa 1991, Kap. 14 und 17). Genau genommen denken Wittgenstein und Carnap, dass logische Wahrheiten überhaupt keine Sätze ausdrücken und nur leere Sätze sind, die wir aus irgendeinem Grund nützlich finden, um sie zu manipulieren.daher können wir nur in einem etwas verminderten Sinne von (a priori) Kenntnis von ihnen sprechen. In typischen neueren Vertretern der "stillschweigenden Vereinbarung" und konventionellistischen Ansichten wie Boghossian (1997) wird jedoch die Behauptung zurückgewiesen, dass logische Wahrheiten keine Aussagen ausdrücken, und es wird akzeptiert, dass die Existenz der Vereinbarung a priori vollständig ist Kenntnis dieser Sätze.

Die Sichtweise der „rationalen Kapazität“und die Sichtweise des „Konventionalismus“stimmen darin überein, dass der epistemische Grund logischer Wahrheiten im weitesten Sinne in unserer Fähigkeit liegt, die Bedeutungen ihrer Ausdrücke zu analysieren, sei es als Konventionen oder als objektive Ideen. Aus diesem Grund kann gesagt werden, dass sie die Priorität logischer Wahrheiten anhand ihrer Analytizität erklären. (Siehe den Eintrag zur analytischen / synthetischen Unterscheidung.) Kants Erklärung der Priorität logischer Wahrheiten schien schwerer zu lösen. [4]Eine lange Reihe von Kommentatoren von Kant hat festgestellt, dass, wenn Kant der Ansicht ist, dass alle logischen Wahrheiten analytisch sind, dies im Widerspruch zu seinen Charakterisierungen analytischer Wahrheiten zu stehen scheint. Kant charakterisiert analytische Wahrheiten als solche, bei denen der Begriff des Prädikats im Begriff des Subjekts enthalten oder mit diesem identisch ist, und grundlegender als diejenigen, deren Verleugnung widersprüchlich ist. Diesen Kommentatoren hat sich jedoch gezeigt, dass diese Charakterisierungen, obwohl sie auf strenge Tautologien wie „Männer sind Männer“oder „Bärtige Männer sind Männer“zutreffen, viel von dem, was Kant selbst als logisch wahr ansieht, auszulassen scheinen, einschließlich Syllogismen wie (2) (siehe z. B. Mill 1843, Bk. II, Ch. Vi, § 5; Husserl 1901, Bd. II, Punkt 2, § 66; Kneale and Kneale 1962, S. 357–8; Parsons 1967; Maddy 1999). Dies und das offensichtliche Fehlen klarer Aussagen von Kant zu diesem Thema haben zumindest Maddy (1999) und Hanna (2001) veranlasst, die Hypothese zu betrachten (wenn auch nicht zu akzeptieren), dass Kant einige logische Wahrheiten a priori als synthetisch ansah. Bei einer Interpretation dieser Art würde die Priorität vieler logischer Wahrheiten durch die Tatsache erklärt, dass sie durch die kognitive Struktur des transzendentalen Subjekts und insbesondere durch die Formen des Urteils erforderlich wären.[5]Die Standardinterpretation besteht jedoch darin, Kant die Ansicht zuzuschreiben, dass alle logischen Wahrheiten analytisch sind (siehe z. B. Capozzi und Roncaglia 2009). Bei einer Interpretation dieser Art können Kants Urteilsformen mit logischen Konzepten identifiziert werden, die einer Analyse unterliegen (siehe z. B. Allison 1983, S. 126ff.). Eine erweiterte Verteidigung der Interpretation, dass Kant alle logischen Wahrheiten als analytisch ansah, einschließlich einer Rechtfertigung Kants gegen die Einwände der oben erwähnten Kommentatorenlinie, findet sich in Hanna (2001), §3.1. Eine inhaltlich kantische zeitgenössische Theorie der Erkenntnistheorie der Logik und ihrer Wurzeln in der Erkenntnis wird in Hanna (2006) entwickelt; Diese Theorie versucht nicht, die Priorität der Logik in Bezug auf ihre Analytizität zu erklären, sondern appelliert stattdessen an eine bestimmte Art von logischer Intuition und eine bestimmte Fähigkeit zur kognitiven Logik.(Vergleichen Sie auch die unten erwähnte anti-aprioristische und anti-analytische, aber weitgehend kantische Sichtweise von Maddy 2007.)

Der frühe Wittgenstein teilt mit Kant die Idee, dass die logischen Ausdrücke keine Bedeutungen so ausdrücken wie nicht logische Ausdrücke (siehe 1921, 4.0312). In Übereinstimmung mit dieser Ansicht behauptet er, dass logische Wahrheiten nichts „sagen“(1921, 6.11). Aber er scheint konventionelle und "stillschweigende Vereinbarungen" abzulehnen (1921, 6.124, 6.1223). Es ist nicht so, dass logische Wahrheiten nichts sagen, weil sie bloße Instrumente für eine extrinsisch nützliche Manipulation sind; Vielmehr „zeigen“sie die „logischen Eigenschaften“, die die Welt unabhängig von unseren Entscheidungen hat (1921, 6.12, 6.13). Es ist unklar, wie Apriorität in diesem Rahmen erklärbar ist. Wittgenstein nennt die logischen Wahrheiten analytisch (1921, 6.11) und sagt, dass „man allein am Symbol erkennen kann, dass sie wahr sind“(1921, 6.113). Er scheint daran zu denken, dass man „sehen“kann, dass eine logische Wahrheit der wahrheitsfunktionalen Logik gültig sein muss, indem eine geeignete Darstellung ihres wahrheitsfunktionalen Inhalts überprüft wird (1921, 6.1203, 6.122). Die Ausweitung der Idee auf die Quantifizierungslogik ist jedoch problematisch, trotz Wittgensteins Bemühungen, die Quantifizierungslogik auf wahrheitsfunktionale Logik zu reduzieren. Wie wir jetzt wissen, gibt es keinen Algorithmus, um zu entscheiden, ob ein quantitativer Satz gültig ist. Was vielleicht wichtiger ist, gibt Wittgenstein keine erkennbare Erklärung dafür, warum im Prinzip alle „logischen Eigenschaften“der Welt in einer angemessenen Notation wiedergegeben werden sollten. Die Ausweitung der Idee auf die Quantifizierungslogik ist jedoch problematisch, trotz Wittgensteins Bemühungen, die Quantifizierungslogik auf wahrheitsfunktionale Logik zu reduzieren. Wie wir jetzt wissen, gibt es keinen Algorithmus, um zu entscheiden, ob ein quantitativer Satz gültig ist. Was vielleicht wichtiger ist, gibt Wittgenstein keine erkennbare Erklärung dafür, warum im Prinzip alle „logischen Eigenschaften“der Welt in einer angemessenen Notation wiedergegeben werden sollten. Die Ausweitung der Idee auf die Quantifizierungslogik ist jedoch problematisch, trotz Wittgensteins Bemühungen, die Quantifizierungslogik auf wahrheitsfunktionale Logik zu reduzieren. Wie wir jetzt wissen, gibt es keinen Algorithmus, um zu entscheiden, ob ein quantitativer Satz gültig ist. Was vielleicht wichtiger ist, gibt Wittgenstein keine erkennbare Erklärung dafür, warum im Prinzip alle „logischen Eigenschaften“der Welt in einer angemessenen Notation wiedergegeben werden sollten. Wittgenstein gibt keine erkennbare Erklärung dafür, warum im Prinzip alle „logischen Eigenschaften“der Welt in einer angemessenen Notation wiedergegeben werden sollten. Wittgenstein gibt keine erkennbare Erklärung dafür, warum im Prinzip alle „logischen Eigenschaften“der Welt in einer angemessenen Notation wiedergegeben werden sollten.

Gegen die "rationale Fähigkeit", "konventionelle", kantische und frühe Wittgensteinsche Ansichten haben andere Philosophen, insbesondere radikale Empiriker und Naturforscher (ganz zu schweigen von erkenntnistheoretischen Skeptikern) die Behauptung zurückgewiesen, dass a priori Wissen existiert (daher implizit auch die Behauptung dass analytische Sätze existieren), und sie haben stattdessen vorgeschlagen, dass es nur eine Illusion von Apriorität gibt. Oft wurde diese Ablehnung von Kritik an den anderen Ansichten begleitet. JS Mill glaubte, dass Sätze wie (2) a priori erscheinen, nur weil sie besondere Fälle früher und sehr vertrauter Verallgemeinerungen sind, die wir aus Erfahrungen ableiten, wie „Für alle geeigneten (P), (Q) und (R.), wenn kein (Q) (R) ist und einige (P) (Q) sind, dann sind einige (P) nicht (R)”(siehe Mill 1843, bk. II, ch. Viii). Bozen vertrat eine ähnliche Ansicht (siehe Bozen 1837, § 315). Quine (1936, §III) kritisierte berühmt die Hobbes'sche Ansicht und stellte fest, dass unser Grund für sie nicht nur in einer endlichen Anzahl expliziter Konventionen liegen darf, da logische Regeln vermutlich erforderlich sind, um eine unendliche Anzahl von abzuleiten logische Wahrheiten aus einer endlichen Anzahl von Konventionen (ein Punkt, der von Carroll 1895 abgeleitet wurde). Später kritisierte Quine (insbesondere 1954) Carnaps konventionelle Sichtweise, hauptsächlich mit der Begründung, dass es keine nicht vage Unterscheidung zwischen konventionellen Wahrheiten und Wahrheiten zu geben scheint, die stillschweigend zur Widerlegung offen gelassen werden, und dass in dem Maße, in dem einige Wahrheiten das Produkt von sind Konvention oder "stillschweigende Vereinbarung",Eine solche Übereinstimmung ist charakteristisch für viele wissenschaftliche Hypothesen und andere Postulationen, die paradigmatisch nicht analytisch erscheinen. (Siehe Grice und Strawson 1956 und Carnap 1963 für Reaktionen auf diese Kritik.) Quine (insbesondere 1951) argumentierte auch, dass akzeptierte Sätze im Allgemeinen, einschließlich paradigmatischer logischer Wahrheiten, am besten als Hypothesen angesehen werden können, die verwendet werden, um mit Erfahrung umzugehen. Jedes davon kann abgelehnt werden, wenn dies dazu beiträgt, die empirische Welt zu verstehen (siehe Putnam 1968 für eine ähnliche Ansicht und ein angebliches Beispiel). Nach dieser Auffassung kann es keine a priori Gründe für eine Wahrheit geben. Drei subtile anti-aprioristische Positionen der letzten Zeit sind Maddys (2002, 2007), Azzounis (2006, 2008) und Shers (2013). Für Maddy sind logische Wahrheiten a posteriori, aber sie können nicht nur durch Beobachtung und Experiment bestätigt werden.da sie Teil sehr grundlegender Denkweisen von uns sind, tief eingebettet in unsere konzeptuelle Maschinerie (eine konzeptuelle Maschinerie, die strukturell Kants postulierter transzendentaler Organisation des Verstehens ähnlich ist). In ähnlicher Weise sind logische Wahrheiten für Azzouni gleichermaßen a posteriori, obwohl unser Gefühl, dass sie wahr sein müssen, darauf zurückzuführen ist, dass sie psychologisch tief verwurzelt sind; Im Gegensatz zu Maddy glaubt Azzouni jedoch, dass die logischen Regeln, nach denen wir argumentieren, für die Selbstbeobachtung undurchsichtig sind. Sher bietet den Versuch, eine quineische Erkenntnistheorie der Logik mit einer Verpflichtung zu einer metaphysisch realistischen Sicht auf den modalen Grund der logischen Wahrheit zu verbinden.s postulierte transzendentale Organisation des Verständnisses). In ähnlicher Weise sind logische Wahrheiten für Azzouni gleichermaßen a posteriori, obwohl unser Gefühl, dass sie wahr sein müssen, darauf zurückzuführen ist, dass sie psychologisch tief verwurzelt sind; Im Gegensatz zu Maddy glaubt Azzouni jedoch, dass die logischen Regeln, nach denen wir argumentieren, für die Selbstbeobachtung undurchsichtig sind. Sher bietet den Versuch, eine quineische Erkenntnistheorie der Logik mit einer Verpflichtung zu einer metaphysisch realistischen Sicht auf den modalen Grund der logischen Wahrheit zu verbinden.s postulierte transzendentale Organisation des Verständnisses). In ähnlicher Weise sind logische Wahrheiten für Azzouni gleichermaßen a posteriori, obwohl unser Gefühl, dass sie wahr sein müssen, darauf zurückzuführen ist, dass sie psychologisch tief verwurzelt sind; Im Gegensatz zu Maddy glaubt Azzouni jedoch, dass die logischen Regeln, nach denen wir argumentieren, für die Selbstbeobachtung undurchsichtig sind. Sher bietet den Versuch, eine quineische Erkenntnistheorie der Logik mit einer Verpflichtung zu einer metaphysisch realistischen Sicht auf den modalen Grund der logischen Wahrheit zu verbinden. Sher bietet den Versuch, eine quineische Erkenntnistheorie der Logik mit einer Verpflichtung zu einer metaphysisch realistischen Sicht auf den modalen Grund der logischen Wahrheit zu verbinden. Sher bietet den Versuch, eine quineische Erkenntnistheorie der Logik mit einer Verpflichtung zu einer metaphysisch realistischen Sicht auf den modalen Grund der logischen Wahrheit zu verbinden.

Eine Möglichkeit, wie eine a priori Kenntnis einer logischen Wahrheit wie (1) möglich wäre, wäre eine a priori Kenntnis der Tatsache, dass (1) eine logische Wahrheit ist, oder der universellen Verallgemeinerung „Für alle geeigneten (a), (P), (b) und (Q), wenn (a) nur (P) ist, wenn (b) (Q) ist, und (a) ist (P), dann war (b) ist (Q)”möglich. Eine besonders bemerkenswerte Art der skeptischen Überlegung in der Erkenntnistheorie der Logik ist, dass die Möglichkeit einer a priori-Kenntnis dieser Tatsachen auf ein Problem der Zirkularität oder des unendlichen Rückschritts zu stoßen scheint. Wenn wir a priori auf diese Tatsachen schließen wollen, werden wir vermutlich irgendwann logischen Regeln folgen.einschließlich möglicherweise der Regel des Modus Ponens, deren Richtigkeit zum Teil von der Tatsache abhängen könnte, dass (1) eine logische Wahrheit ist oder von der Wahrheit der universellen Verallgemeinerung „Für alle geeigneten (a), (P), (b) und (Q), wenn (a) (P) ist, nur wenn (b) (Q) ist und (a) (P) ist, dann ist (b) (Q)”. Auf jeden Fall scheint es klar zu sein, dass nicht alle Behauptungen dieser letzteren Art, die zum Ausdruck bringen, dass eine bestimmte Wahrheit eine logische Wahrheit ist oder dass ein bestimmtes logisches Schema die Wahrheit bewahrt, ohne die Verwendung einiger von ihnen a priori inferentiell begründet werden könnten die gleichen logischen Regeln, deren Richtigkeit sie möglicherweise kodifizieren. Der Punkt kann wieder vernünftigerweise von Carroll (1895) abgeleitet werden. Einige der neueren Literatur zu dieser Überlegung und zu antiskeptischen Gegenerwiderungen umfassen Dummett (1973, 1991) und Boghossian (2000).

1.2 Formalität

Selbst wenn es wahr wäre, dass logische Wahrheiten unter allen kontrafaktischen Umständen a priori und analytisch wahr sind, würde dies in den meisten Ansichten keine ausreichenden Bedingungen dafür schaffen, dass eine Wahrheit eine logische Wahrheit ist. In den meisten Ansichten muss eine logische Wahrheit auch in gewissem Sinne „formal“sein, und dies impliziert zumindest, dass alle Wahrheiten, die Ersatzinstanzen ihrer Form sind, auch logische Wahrheiten sind (und daher unter der Annahme des vorhergehenden Satzes wahr sind) unter allen kontrafaktischen Umständen a priori und analytisch). Um eine geringfügige Modifikation eines Beispiels von Albert von Sachsen (zitiert von Bocheński 1956, §30.07) zu verwenden, sollte „Wenn eine Witwe rennt, dann rennt eine Frau“unter allen kontrafaktischen Umständen a priori zutreffen und analytisch sein, wenn eine Wahrheit vorliegt. "Wenn eine Witwe ausgeführt wird, wird ein Protokoll ausgeführt" ist jedoch eine Ersatzinstanz ihres Formulars.und in der Tat hat es sogar die gleiche Form in jeder Ansicht der logischen Form (so etwas wie "Wenn ein (P) (Q) s, dann ein (R) (Q) s"), aber es ist nicht einmal wahrer Vereinfacher. In den meisten Ansichten ist „Wenn eine Witwe rennt, dann rennt eine Frau“keine logische Wahrheit.

Für Philosophen, die, wie oben erwähnt, die Idee der Formalität akzeptieren, ist die logische Form eines Satzes ein bestimmtes Schema, in dem die Ausdrücke, die keine schematischen Buchstaben sind, in verschiedenen Diskursbereichen weit verbreitet sind. [6]Wenn das Schema die Form einer logischen Wahrheit ist, sind alle seine Ersatzinstanzen logische Wahrheiten. Die Idee, dass sich die Logik besonders mit (Ersatzinstanzen von) Schemata befasst, ist natürlich offensichtlich, beginnend mit Aristoteles und den Stoikern, in denen das Wort, das normalerweise mit „Figur“übersetzt wird, genau ein Schema ist. In Aristoteles ist eine Figur tatsächlich eine noch abstraktere Form einer Gruppe von dem, was wir jetzt "Schemata" nennen würden, wie (2 '). Unsere Schemata sind näher an dem, was in der aristotelischen Syllogistik die Stimmungen sind; aber es scheint kein Wort für „Stimmung“in Aristoteles zu geben (außer möglicherweise Ptoseon in 42b30 oder Tropon in 43a10; siehe Smith 1989, S. 148–9) und daher keine allgemeine Reflexion über den Begriff der formalen Schemata. In Alexander von Aphrodisias (53.28ff., Zitiert von Bocheński 1956, §24.06) wird der Kontrast zwischen den formalen Schemata oder Stimmungen und der Materie (hyle) des Syllogismoi explizit reflektiert, und seitdem gibt es ihn. Die Sache sind die Werte der schematischen Buchstaben.

Die Idee, dass die nicht schematischen Ausdrücke in logischen Formen, dh die logischen Ausdrücke, in verschiedenen Diskursbereichen weit verbreitet sind, ist auch von Anfang an vorhanden und wiederholt sich in allen großen Logikern. Es erscheint indirekt in vielen Passagen von Aristoteles, wie zum Beispiel den folgenden: „Alle Wissenschaften sind durch die gemeinsamen Dinge verbunden (ich nenne gemeinsame jene, die sie verwenden, um von ihnen zu demonstrieren, aber nicht jene, die in ihnen oder jenen über demonstriert werden was etwas demonstriert wird); und die Logik ist mit allen verwandt, da es sich um eine Wissenschaft handelt, die versucht, die gemeinsamen Dinge universell zu demonstrieren “(Posterior Analytics, 77a26–9); „Wir müssen nicht die Dinge aller Widerlegungen in die Hand nehmen, sondern nur die, die für die Logik charakteristisch sind.denn diese sind jeder Technik und Fähigkeit gemeinsam “(Sophistical Refutations, 170a34–5). (In diesen Texten ist „Logik“eine angemessene Übersetzung von dialektike; siehe Kneale und Kneale 1962, I, §3, die uns mitteilen, dass logike zum ersten Mal mit seiner aktuellen Bedeutung in Alexander von Aphrodisias verwendet wird.) Frege sagt, dass „ Der sicherste Beweis ist offensichtlich die rein logische, die sich aus der Besonderheit der Dinge ergibt und ausschließlich auf den Gesetzen beruht, auf denen alles Wissen beruht “(1879, S. 48; siehe auch 1885, wo die universelle Anwendbarkeit der arithmetischen Konzepte liegt als Zeichen ihrer Logik genommen). Die gleiche Idee fällt auch bei Tarski (1941, Kap. II, §6) auf.die uns mitteilen, dass logike zum ersten Mal mit seiner aktuellen Bedeutung in Alexander von Aphrodisias verwendet wird.) Frege sagt, dass „der festeste Beweis offensichtlich der rein logische ist, der, ausgehend von der Besonderheit der Dinge, ausschließlich auf den Gesetzen basiert was alles Wissen ruht “(1879, S. 48; siehe auch 1885, wo die universelle Anwendbarkeit der arithmetischen Konzepte als Zeichen ihrer Logik angesehen wird). Die gleiche Idee fällt auch bei Tarski (1941, Kap. II, §6) auf.die uns mitteilen, dass logike zum ersten Mal mit seiner aktuellen Bedeutung in Alexander von Aphrodisias verwendet wird.) Frege sagt, dass „der festeste Beweis offensichtlich der rein logische ist, der, ausgehend von der Besonderheit der Dinge, ausschließlich auf den Gesetzen basiert was alles Wissen ruht “(1879, S. 48; siehe auch 1885, wo die universelle Anwendbarkeit der arithmetischen Konzepte als Zeichen ihrer Logik angesehen wird). Die gleiche Idee fällt auch bei Tarski (1941, Kap. II, §6) auf.wo die universelle Anwendbarkeit der arithmetischen Konzepte als Zeichen ihrer Logik angesehen wird). Die gleiche Idee fällt auch bei Tarski (1941, Kap. II, §6) auf.wo die universelle Anwendbarkeit der arithmetischen Konzepte als Zeichen ihrer Logik angesehen wird). Die gleiche Idee fällt auch bei Tarski (1941, Kap. II, §6) auf.

Dass logische Ausdrücke paradigmatische Fälle wie „wenn“, „und“, „einige“, „alle“usw. umfassen und dass sie in verschiedenen Diskursbereichen weit verbreitet sein müssen, ist das, was wir als „minimale These“über logisch bezeichnen könnten Ausdrücke. Darüber hinaus gibt es kaum Übereinstimmung darüber, welche generische Eigenschaft einen Ausdruck logisch macht und daher darüber, was die logische Form eines Satzes bestimmt. Die meisten Autoren, die mit der Idee, dass Logik formal ist, einverstanden sind, haben versucht, über die minimale These hinauszugehen. Es besteht allgemein Einigkeit darüber, dass eine breite Anwendung in verschiedenen Diskursbereichen nur eine notwendige, nicht ausreichende Eigenschaft logischer Ausdrücke ist. Beispielsweise sind vermutlich die meisten Präpositionen weit verbreitet, aber sie sind keine logischen Ausdrücke für einen impliziten generischen Begriff eines logischen Ausdrucks. Versuche, den Begriff eines logischen Ausdrucks zu bereichern, haben typischerweise versucht, weitere Eigenschaften bereitzustellen, die zusammen die notwendigen und ausreichenden Bedingungen für einen logischen Ausdruck darstellen.

Eine Idee, die in solchen Charakterisierungen verwendet wurde und die auch in Aristoteles vorhanden ist, ist, dass logische Ausdrücke streng genommen nichts bedeuten; oder dass sie nichts so bedeuten, wie Substantive, Adjektive und Verben etwas bedeuten. „Logik [dialektike] ist keine Wissenschaft von bestimmten Dingen oder einer Gattung“(Posterior Analytics, 77a32–3). Wir haben gesehen, dass die Idee in Kant und im frühen Wittgenstein noch vorhanden war. Es tauchte im Mittelalter wieder auf. Der Hauptsinn des Wortes "syncategorematic" in Bezug auf Ausdrücke war ungefähr dieser semantische Sinn (siehe Kretzmann 1982, S. 212 ff.). Buridan und andere spätmittelalterliche Logiker schlugen vor, dass kategorematische Ausdrücke die „Materie“von Sätzen darstellen, während die synkategorematischen Ausdrücke ihre „Form“darstellen (siehe den von Bocheński 1956 zitierten Text,§26.11). (In einem etwas anderen, früheren grammatikalischen Sinne des Wortes wurden synkategorematische Ausdrücke als solche bezeichnet, die nicht als Subjekte oder Prädikate in kategorialen Sätzen verwendet werden können; siehe Kretzmann 1982, S. 211–2.) Die Idee der Synkategorematik ist etwas ungenau, aber es gibt ernsthafte Zweifel, dass es dazu dienen kann, die Idee eines logischen Ausdrucks zu charakterisieren, was auch immer dies sein mag. Die meisten Präpositionen und Adverbien sind vermutlich synkategorematisch, aber sie sind vermutlich auch nicht logische Ausdrücke. Umgekehrt sind Prädikate wie "sind identisch", "ist identisch mit sich selbst", "ist sowohl identisch als auch nicht identisch mit sich selbst" usw., die in der neueren Logik entschieden als logisch behandelt werden, vermutlich kategorisch. (Sie sind natürlich im grammatikalischen Sinne kategorisch,in denen Präpositionen und Adverbien gleichermaßen klar synkategorematisch sind.)

Die meisten anderen Vorschläge haben versucht, die aristotelische Idee, dass die logischen Ausdrücke eine Art „unwesentliche“Bedeutung haben, auf andere Weise zu beschreiben, um sie als notwendige und ausreichende Bedingung für die Logik zu verwenden. Ein neuerer Vorschlag ist, dass logische Ausdrücke solche sind, die es uns nicht erlauben, verschiedene Individuen zu unterscheiden. Eine Art und Weise, wie dies präzisiert wurde, besteht darin, logische Ausdrücke als solche zu charakterisieren, deren Ausdehnung oder Bezeichnung über eine bestimmte Domäne von Individuen unter Permutationen dieser Domäne unveränderlich ist. (Siehe Tarski und Givant 1987, S. 57, und Tarski 1966; verwandte Vorschläge siehe unter anderem McCarthy 1981, Sher 1991, Kapitel 3, McGee 1996, Feferman 1999, Bonnay 2008 und Woods 2016.) Eine Permutation von a Domain ist eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen der Domain und sich selbst. Wenn zum Beispiel (D) die Domäne {Aristoteles, Caesar, Napoleon, Kripke} ist, ist eine Permutation die Entsprechung, die jeden Mann sich selbst zuweist; eine andere ist die Entsprechung (P), die Caesar Aristoteles zuweist (in mathematischer Notation (P (text {Aristoteles}) = / text {Caesar})), Napoleon Caesar, Kripke Napoleon und Aristoteles to Kripke. Dass die Erweiterung eines Ausdrucks über eine Domäne unter einer Permutation dieser Domäne unveränderlich ist, bedeutet, dass das induzierte Bild dieser Erweiterung unter der Permutation die Erweiterung selbst ist (das "induzierte Bild" einer Erweiterung unter einer Permutation (Q) ist Was wird die Erweiterung, wenn anstelle des Objekts (o) das Objekt (Q (o))) platziert wird? Die Erweiterung von "Philosoph" über (D) ist unter der obigen Permutation (P) nicht unveränderlich, denn diese Erweiterung ist ({ text {Aristoteles}, / text {Kripke} }).dessen induziertes Bild unter (P) ist ({ text {Caesar}, / text {Aristoteles} }). Dies ist günstig für den Vorschlag, denn „Philosoph“ist sicherlich nicht allgemein anwendbar und daher in den meisten Ansichten nicht logisch. Andererseits hat das Prädikat "sind identisch" als Erweiterung über (D) die Menge von Paaren

({ langle / text {Aristoteles, Aristoteles} rangle, / langle / text {Caesar, Caesar} rangle, / langle / text {Napoleon, Napoleon} rangle, / langle / text {Kripke, Kripke} klingeln };)

sein induziertes Bild unter (P) und unter jeder anderen Permutation von (D) ist genau der gleiche Satz von Paaren (wie der Leser überprüfen kann); Dies ist wiederum positiv für den Vorschlag. (Andere paradigmatische logische Ausdrücke erhalten kompliziertere Erweiterungen über Domänen, aber die Erweiterungen, die sie erhalten, sind unter Permutationen unveränderlich. Bei einer üblichen Methode zum Verständnis der Erweiterung von „und“über eine Domäne ist dies die Funktion, die jeder zugewiesen wird Paar (langle S_1, S_2 / rangle), wobei (S_1) und (S_2) Mengen unendlicher Folgen von Objekten sind, die aus (D), dem Schnittpunkt von (S_1) und / gezogen wurden (S_2); und diese Funktion ist permutationsinvariant.) Ein Problem des Vorschlags besteht darin, dass viele Ausdrücke, die eindeutig nicht logisch erscheinen, weil sie nicht allgemein anwendbar sind, unter Permutationen dennoch invariant sind.und somit nicht in der Lage, verschiedene Individuen zu unterscheiden. Die einfachsten Beispiele sind möglicherweise nicht logische Prädikate, die eine leere Erweiterung über eine beliebige Domäne haben und daher auch leere induzierte Bilder haben. "Männliche Witwe" ist ein Beispiel; Versionen davon können als Gegenbeispiele zu den verschiedenen Versionen der Idee der Logik als Permutationsinvarianz verwendet werden (siehe Gómez-Torrente 2002), und es ist unklar, dass der Befürworter der Idee das Problem auf nicht ad hoc-Weise vermeiden kann. Es ist unklar, ob der Befürworter der Idee das Problem nicht ad hoc vermeiden kann. Es ist unklar, ob der Befürworter der Idee das Problem nicht ad hoc vermeiden kann.

Eine andere populäre neuere Art, die aristotelische Intuition der semantischen „Unwesentlichkeit“logischer Ausdrücke zu beschreiben, spricht das Konzept der „reinen Inferentialität“an. Die Idee ist, dass logische Ausdrücke diejenigen sind, deren Bedeutung in gewissem Sinne durch „rein inferentielle“Regeln gegeben ist. (Siehe unter anderem Kneale 1956, Hacking 1979, Peacocke 1987, Hodes 2004). Eine notwendige Eigenschaft rein inferentieller Regeln besteht darin, dass sie nur inferentielle Übergänge zwischen verbalen Elementen regeln, nicht zwischen extraverbalen Durchsetzbarkeitsbedingungen und verbalen Elementen oder zwischen verbalen Elementen Artikel und Aktionen, die von diesen Artikeln lizenziert wurden. Eine bestimmte Inferenzregel berechtigt Sie dazu, "Es regnet" zu sagen, wenn es regnet, aber es ist nicht "rein inferenziell". Eine Regel, nach der Sie sagen dürfen: "A ist eine Frau, deren Ehemann vor ihr gestorben ist", wenn jemand sagt: "A ist eine Witwe".wird nicht sofort als rein inferentiell disqualifiziert. Vermutlich in gewissem Sinne wird die Bedeutung von „Witwe“durch diese letzte Regel zusammen mit der umgekehrten Regel gegeben, die Sie dazu berechtigt, „A ist eine Witwe“zu sagen, wenn jemand sagt: „A ist eine Frau, deren Ehemann vor ihr gestorben ist“.. Aber „Witwe“ist kein logischer Ausdruck, da er nicht allgemein anwendbar ist. Man muss also notwendigere Eigenschaften postulieren, die „rein inferentielle“Regeln erfüllen sollten. Eine Reihe solcher Bedingungen wird in der einschlägigen Literatur postuliert (siehe z. B. Belnap 1962 (eine Antwort auf Prior 1960), Hacking 1979 und Hodes 2004). Selbst wenn der Begriff der reinen Inferenz auf diese Weise gestärkt wird, bleiben Probleme bestehen. Am häufigsten ist der Vorschlag, dass ein Ausdruck logisch ist, nur für den Fall, dass bestimmte rein inferentielle Regeln seine ganze Bedeutung geben, einschließlich seines Sinns,oder die Reihe von Aspekten seiner Verwendung, die beherrscht werden müssen, um es zu verstehen (wie in Kneale 1956, Peacocke 1987 und Hodes 2004). Es scheint jedoch klar zu sein, dass einige paradigmatische logische Ausdrücke einen zusätzlichen Sinn haben, der nicht rein inferentiell kodifizierbar ist. Zum Beispiel scheint induktives Denken mit „allen“Teil des Sinns dieses Ausdrucks zu sein, aber es ist schwer zu erkennen, wie es durch rein inferentielle Regeln kodifiziert werden kann (wie von Sainsbury 1991, S. 316–7 erwähnt; siehe auch Dummett 1991, Kap. 12). Eine andere Version des Vorschlags besteht darin, zu sagen, dass ein Ausdruck logisch ist, nur für den Fall, dass bestimmte rein inferentielle Regeln, die Teil seines Sinns sind, ausreichen, um seine Erweiterung zu bestimmen (wie in Hacking 1979). Aber es scheint klar, dass, wenn die Erweiterung von beispielsweise"Sind identisch" wird durch eine bestimmte Reihe von rein inferentiellen Regeln bestimmt, die Teil seines Sinnes sind. Die Erweiterung von "sind identisch und sind keine männlichen Witwen" wird ebenfalls durch dieselben Regeln bestimmt, die wohl Teil seines Sinnes sind. Dennoch ist „identisch und keine männliche Witwe“kein logischer Ausdruck (siehe Gómez-Torrente 2002).

In Anbetracht der Probleme dieser und anderer Art haben einige Philosophen vorgeschlagen, dass das Konzept eines logischen Ausdrucks nicht mit notwendigen und ausreichenden Bedingungen verbunden ist, sondern nur mit einigen notwendigen Bedingungen, die sich auf die Bedingung einer breiten Anwendbarkeit beziehen, wie z. sehr relevant für die Systematisierung des wissenschaftlichen Denkens sein “(siehe Warmbrōd 1999 für eine Position dieser Art). Andere (Gómez-Torrente 2002) haben vorgeschlagen, dass es eine Reihe notwendiger und ausreichender Bedingungen geben kann, wenn diese nicht viel mit der Idee der semantischen „Unwesentlichkeit“zu tun haben und stattdessen pragmatisch und angemessen vage sind. Beispielsweise werden viele Ausdrücke direkt durch die Bedingung einer breiten Anwendbarkeit ausgeschlossen.und Präpositionen werden vermutlich durch eine implizite Bedingung ausgeschlossen, wie „ein logischer Ausdruck muss einer sein, dessen Untersuchung zur Lösung bedeutender Probleme und Irrtümer beim Denken nützlich ist“. Allerdings geben diese Vorschläge die erweiterte Intuition der semantischen „Unwesentlichkeit“auf und können aus diesem Grund etwas unbefriedigend sein.

Einige Philosophen haben noch radikaler auf die Probleme üblicher Charakterisierungen reagiert und behauptet, die Unterscheidung zwischen logischen und nicht logischen Ausdrücken müsse leer sein, und lehnen daher den Begriff der logischen Form insgesamt ab. (Siehe z. B. Orayen 1989, Kap. 4, §2.2; Etchemendy 1990, Kap. 9; Read 1994; Priest 2001.) Diese Philosophen betrachten die logische Wahrheit typischerweise als einen Begriff, der in etwa dem des analytischen Wahrheitsvereinfachers entspricht. Sie sind jedoch noch stärker der Anklage ausgesetzt, erweiterte Intuitionen aufzugeben als die Vorschläge des vorhergehenden Absatzes.

Für eine gründlichere Behandlung der Ideen der Formalität und eines logischen Ausdrucks siehe die logischen Konstanten des Eintrags und MacFarlane 2000.

2. Die mathematische Charakterisierung der logischen Wahrheit

2.1 Formalisierung

Ein wichtiger Grund für die Erfolge der modernen Logik ist die Verwendung der sogenannten „Formalisierung“. Dieser Begriff wird normalerweise verwendet, um mehrere unterschiedliche (wenn auch verwandte) Phänomene abzudecken, die alle in Frege (1879) vorhanden sind. Eine davon ist die Verwendung eines vollständig spezifizierten Satzes künstlicher Symbole, denen der Logiker eindeutig Bedeutungen zuweist, die sich auf die Bedeutungen entsprechender Ausdrücke in natürlicher Sprache beziehen, aber viel klarer abgegrenzt und aus den Notizen entfernt sind, die in diesen Ausdrücken in natürlicher Sprache irrelevant erscheinen zu wahrheitsbedingten Inhalten; Dies gilt insbesondere für Symbole, die die logischen Ausdrücke der natürlichen Sprache darstellen sollen. Ein weiteres Phänomen ist die Festlegung einer völlig genauen Grammatik für die aus den künstlichen Symbolen konstruierten Formeln. Formeln, die "gestrippte" Versionen von Korrelationssätzen in natürlicher Sprache sind; Diese Grammatik ist ein Algorithmus zur Erzeugung von Formeln ausgehend von den Grundsymbolen. Ein drittes Phänomen ist die Postulierung eines deduktiven Kalküls mit einer sehr klaren Spezifikation von Axiomen und Inferenzregeln für die künstlichen Formeln (siehe nächster Abschnitt); Ein solcher Kalkül soll in gewisser Weise deduktives Denken mit den Korrelaten der Formeln darstellen, aber im Gegensatz zu gewöhnlichen Ableitungen enthalten Ableitungen im Kalkül keine Schritte, die keine definitiven Anwendungen der angegebenen Inferenzregeln sind. Ein drittes Phänomen ist die Postulierung eines deduktiven Kalküls mit einer sehr klaren Spezifikation von Axiomen und Inferenzregeln für die künstlichen Formeln (siehe nächster Abschnitt); Ein solcher Kalkül soll in gewisser Weise deduktives Denken mit den Korrelaten der Formeln darstellen, aber im Gegensatz zu gewöhnlichen Ableitungen enthalten Ableitungen im Kalkül keine Schritte, die keine definitiven Anwendungen der angegebenen Inferenzregeln sind. Ein drittes Phänomen ist die Postulierung eines deduktiven Kalküls mit einer sehr klaren Spezifikation von Axiomen und Inferenzregeln für die künstlichen Formeln (siehe nächster Abschnitt); Ein solcher Kalkül soll in gewisser Weise deduktives Denken mit den Korrelaten der Formeln darstellen, aber im Gegensatz zu gewöhnlichen Ableitungen enthalten Ableitungen im Kalkül keine Schritte, die keine definitiven Anwendungen der angegebenen Inferenzregeln sind.

Anstatt zu versuchen, die logischen Wahrheiten einer natürlichen Sprache wie Englisch zu charakterisieren, versucht der Fregean-Logiker, die künstlichen Formeln zu charakterisieren, die „entkleidet“sind, korreliert mit diesen logischen Wahrheiten in einer Fregean-formalisierten Sprache. In Fregean formalisierten Sprachen erster Ordnung findet man unter diesen Formeln künstliche Korrelate von (1), (2) und (3), Dinge wie

(((text {Bad} (textit {Tod}) rightarrow / text {Good} (textit {life})) & / \ text {Bad} (textit {Tod})) rightarrow / text {Good} (textit {life}).)

  • ((forall x (text {Desire} (x) rightarrow / neg / text {Voluntary} (x)) & / \ existiert x (text {Belief} (x) & / \ text {Wunsch} (x))))

    (rightarrow / existiert x (text {Glaube} (x) & / \ neg / text {Voluntary} (x)).)

  • ((text {Cat} (textit {drasha}) & / \ forall x (text {Cat} (x) rightarrow / text {Mysterious} (x)))

    (rightarrow / text {Mysterious} (textit {drasha}).)

(Siehe den Eintrag über Logik, Klassik.) Fregean formalisierte Sprachen umfassen auch klassische Sprachen höherer Ordnung. (Siehe den Eintrag über Logik, zweiter und höherer Ordnung.) Die logischen Ausdrücke in diesen Sprachen werden standardmäßig als Symbole für die Wahrheitsfunktionen, die Quantifizierer, die Identität und andere Symbole angesehen, die in Bezug auf diese (aber dort) definierbar sind sind abweichende Ansichten über den Status der Quantifizierer höherer Ordnung (siehe 2.4.3 unten).

Die Beschränkung auf künstliche Formeln wirft eine Reihe von Fragen nach dem genauen Wert des fregäischen Unternehmens für die Abgrenzung logischer Wahrheiten in natürlicher Sprache auf. Ein Großteil dieses Wertes hängt davon ab, wie viele und wie wichtig die Noten sind, die aus den natürlichen Sprachausdrücken entfernt wurden, die mit den logischen Standardausdrücken formalisierter Sprachen korrelieren. Was auch immer man vom genauen Wert der Formalisierung hält, es besteht kaum ein Zweifel daran, dass sie aus logischen Gründen sehr aufschlussreich war. Ein Grund ist, dass es oft klar ist, dass die gestrippten Notizen für den wahrheitsbedingten Inhalt wirklich irrelevant sind (dies gilt insbesondere für die Verwendung logischer Ausdrücke in natürlicher Sprache für die Mathematik). Ein weiterer Grund ist, dass die Tatsache, dass die Grammatik und Bedeutung der künstlichen Formeln so gut abgegrenzt ist, die Entwicklung vorgeschlagener Charakterisierungen der logischen Wahrheit ermöglicht hat, die nur Konzepte der Standardmathematik verwenden. Dies hat wiederum die Untersuchung der charakterisierten Begriffe mittels mathematischer Standardtechniken ermöglicht. In den nächsten beiden Abschnitten werden die beiden Hauptansätze zur Charakterisierung in groben Zügen beschrieben.[7]

2.2 Ableitbarkeit

Wir haben gerade bemerkt, dass die formalisierte Grammatik des Fregean-Logikers einen Algorithmus zur Erzeugung von Formeln aus den grundlegenden künstlichen Symbolen darstellt. Dies ist sehr wörtlich gemeint. Wie mathematischen Logikern von Anfang an klar war, können die Grundsymbole als natürliche Zahlen angesehen (oder durch diese kodifiziert) werden, und die Bildungsregeln in der künstlichen Grammatik können als einfache berechenbare arithmetische Operationen angesehen (oder durch diese kodifiziert) werden. Die grammatikalischen Formeln können dann als die Zahlen angesehen (oder durch diese kodifiziert) werden, die aus den Grundzahlen nach einer endlichen Reihe von Anwendungen der Operationen erhalten werden können, und daher ist ihre Menge in Bezug auf Konzepte der Arithmetik und der Mengenlehre charakterisierbar (tatsächlich reicht die Arithmetik aus mit Hilfe einiger Tricks).

Genau das Gleiche gilt für die Menge der Formeln, die in einem formalisierten deduktiven Kalkül ableitbar sind. Eine Formel (F) ist in einem Fregean-Kalkül (C) ableitbar, nur für den Fall, dass (F) aus den Axiomen von (C) nach einer endlichen Reihe von Anwendungen der Inferenzregeln von / erhalten werden kann (C). Aber die Axiome sind bestimmte Formeln, die durch den Prozess der grammatikalischen Bildung aufgebaut wurden, so dass sie als bestimmte Zahlen angesehen (oder durch diese kodifiziert) werden können; und die Inferenzregeln können wiederum als bestimmte berechenbare arithmetische Operationen angesehen (oder durch diese kodifiziert) werden. Die ableitbaren Formeln können also als die Zahlen angesehen (oder durch diese kodifiziert) werden, die aus den Axiomzahlen nach einer endlichen Reihe von Anwendungen der Inferenzoperationen erhalten werden können, und daher ist ihre Menge wieder in Bezug auf Konzepte der Standardmathematik charakterisierbar (wiederum reicht die Arithmetik aus)..

In der Zeit nach Freges Revolution scheint es eine weit verbreitete Überzeugung gegeben zu haben, dass die Menge der logischen Wahrheiten jeder fregeanischen Sprache als die Menge von Formeln charakterisiert werden könnte, die in einem geeignet gewählten Kalkül ableitbar sind (daher im Wesentlichen als die Menge der verfügbaren Zahlen durch bestimmte arithmetische Operationen). Frege selbst sagt über die Sprache höherer Ordnung in seiner „Begriffsschrift“, dass wir durch Formalisierung (im dritten Sinne oben) „zu einer kleinen Anzahl von Gesetzen gelangen, in denen, wenn wir die in den Regeln enthaltenen hinzufügen, der Inhalt aller Gesetze ist enthalten, wenn auch in einem unentwickelten Zustand “(Frege 1879, §13). Die Idee folgt direkt aus Russells Auffassung von Mathematik und Logik als identisch (siehe Russell 1903, Kap. I, § 10; Russell 1920, S.194–5) und seine These, dass „mit Hilfe von zehn Deduktionsprinzipien und zehn anderen Prämissen allgemeiner logischer Natur (…) die gesamte Mathematik streng und formal abgeleitet werden kann“(Russell 1903, Kap. I, §4). Siehe auch Bernays (1930, S. 239): „[durch Formalisierung] wird deutlich, dass jede logische Folgerung (…) auf eine begrenzte Anzahl logischer Elementarprozesse reduziert werden kann, die genau und vollständig aufgezählt werden können“. In den ersten Absätzen seines Aufsatzes über logische Konsequenzen sagt Tarski (1936a, 1936b), dass der Glaube vor dem Erscheinen von Gödels Unvollständigkeitssätzen vorherrschte (siehe Abschnitt 2.4.3 unten für die Bedeutung dieser Sätze zu diesem Thema). In jüngster Zeit, offenbar aufgrund des Einflusses von Tarskian-Argumenten wie dem gegen Ende von Unterabschnitt 2.4.3 erwähnten,Der Glaube an die Angemessenheit der Ableitbarkeitscharakterisierungen scheint nachgelassen zu haben (siehe z. B. Prawitz 1985 für eine ähnliche Bewertung).

2.3 Modelltheoretische Gültigkeit

Selbst auf der vorsichtigsten Art und Weise, die in logischen Wahrheiten vorhandene Modalität zu verstehen, ist ein Satz nur dann eine logische Wahrheit, wenn kein Satz, der eine Ersatzinstanz seiner logischen Form darstellt, falsch ist. (Diese Idee wird nur von denen abgelehnt, die den Begriff der logischen Form ablehnen.) Es ist eine verbreitete Beobachtung, dass diese Eigenschaft, selbst wenn sie notwendig ist, nicht eindeutig ausreicht, damit ein Satz eine logische Wahrheit ist. Vielleicht gibt es einen Satz, der diese Eigenschaft hat, aber logisch nicht wirklich wahr ist, weil man den Variablen und den schematischen Buchstaben in ihrer logischen Form einige unausgesprochene Bedeutungen zuweisen könnte, und unter diesen Bedeutungen wäre die Form ein falscher Satz. [8]Andererseits ist es nicht eindeutig falsch zu glauben, dass ein Satz eine logische Wahrheit ist, wenn keine kollektive Zuordnung von Bedeutungen zu den Variablen und den schematischen Buchstaben in ihrer logischen Form diese Form in einen falschen Satz verwandeln würde. Angenommen, ein Satz ist universell gültig, wenn er diese Eigenschaft hat. Ein Standardansatz zur mathematischen Charakterisierung der logischen Wahrheit, alternativ zum Ableitbarkeitsansatz, verwendet immer eine Version der Eigenschaft der universellen Gültigkeit und schlägt sie jeweils als notwendig und ausreichend für die logische Wahrheit vor. Beachten Sie, dass ein Satz, der universell gültig ist, auch dann wahr ist, wenn er nicht logisch wahr ist. Alle universell gültigen Sätze sind also zumindest in diesem Sinne richtig.

Anscheinend war Bozen der erste, der eine Version der universellen Gültigkeit verwendete und sie ausdrücklich als notwendig und ausreichend für die logische Wahrheit vorschlug (siehe Bozen 1837, § 148; und Coffa 1991, S. 33–4 für den Prioritätsanspruch). Die Idee ist auch in anderen Mathematikern des neunzehnten Jahrhunderts präsent (siehe z. B. Jané 2006) und war in Hilberts Schule üblich. Tarski (1936a, 1936b) war der erste, der vollständig explizit anzeigte, wie die von den Mathematikern verwendete Version der universellen Gültigkeit selbst im Fall von Fregean-formalisierten Sprachen mit einem Algorithmus in Bezug auf Konzepte der Standardmathematik charakterisiert werden kann Grammatik. Im Wesentlichen ist Tarskis Charakterisierung heute weit verbreitet in Form des sogenannten modelltheoretischen Begriffs der Gültigkeit.und es scheint fair zu sein zu sagen, dass es normalerweise akzeptiert wird, dass dieser Begriff eine einigermaßen gute Abgrenzung der Menge logischer Wahrheiten für fregäische Sprachen liefert.

Der Begriff der modelltheoretischen Gültigkeit ahmt den Begriff der universellen Gültigkeit nach, wird jedoch nur mit Hilfe des von Tarski (1935) entwickelten satztheoretischen Apparats zur Charakterisierung semantischer Konzepte wie Zufriedenheit, Definierbarkeit und Wahrheit definiert. (Siehe den Eintrag zu Tarskis Wahrheitsdefinitionen.) Bei einer fregeanischen Sprache ist eine Struktur für die Sprache ein satztheoretisches Objekt, das aus einer Mengendomäne zusammengesetzt ist, zusammen mit einer Zuordnung von Erweiterungen, die aus dieser Domäne gezogen wurden, zu ihren nicht logischen Konstanten. Unter einer Struktur verstehen die meisten Logiker eine Zuordnung von Bedeutungen: Ihre Domäne gibt den Bereich oder die „Bedeutung“der Variablen erster Ordnung an (und induziert Bereiche der Variablen höherer Ordnung) und die Erweiterungen, die die Struktur der Struktur zuweist Nicht logische Konstanten sind „Bedeutungen“, die diese Ausdrücke annehmen könnten. Unter Verwendung des Tarskian-Apparats definiert man für die Formeln der Fregean-Sprache den Begriff der Wahrheit in (oder die Befriedigung durch) eine satztheoretische Struktur (in Bezug auf eine unendliche Folge, die jeder Variablen ein Objekt der Domäne zuweist). Und schließlich definiert man eine Formel als modelltheoretisch gültig, nur für den Fall, dass sie in allen Strukturen für ihre Sprache gilt (in Bezug auf alle unendlichen Sequenzen). Lassen Sie uns "(F) ist in allen Strukturen wahr" als "MTValid ((F))" abkürzen. Die modelltheoretische Charakterisierung macht deutlich, dass „MTValid ((F))“rein konzeptionell definierbar ist. (Der Begriff der modelltheoretischen Validität für fregeanische Sprachen wird in den Einträgen zur klassischen Logik sowie zur Logik zweiter und höherer Ordnung ausführlich erläutert; siehe auch den Eintrag zur Modelltheorie.)man definiert für die Formeln der Fregean-Sprache den Begriff der Wahrheit in (oder die Befriedigung durch) eine satztheoretische Struktur (in Bezug auf eine unendliche Folge, die jeder Variablen ein Objekt der Domäne zuweist). Und schließlich definiert man eine Formel als modelltheoretisch gültig, nur für den Fall, dass sie in allen Strukturen für ihre Sprache gilt (in Bezug auf alle unendlichen Sequenzen). Lassen Sie uns "(F) ist in allen Strukturen wahr" als "MTValid ((F))" abkürzen. Die modelltheoretische Charakterisierung macht deutlich, dass „MTValid ((F))“rein konzeptionell definierbar ist. (Der Begriff der modelltheoretischen Validität für fregeanische Sprachen wird in den Einträgen zur klassischen Logik sowie zur Logik zweiter und höherer Ordnung ausführlich erläutert; siehe auch den Eintrag zur Modelltheorie.)man definiert für die Formeln der Fregean-Sprache den Begriff der Wahrheit in (oder die Befriedigung durch) eine satztheoretische Struktur (in Bezug auf eine unendliche Folge, die jeder Variablen ein Objekt der Domäne zuweist). Und schließlich definiert man eine Formel als modelltheoretisch gültig, nur für den Fall, dass sie in allen Strukturen für ihre Sprache gilt (in Bezug auf alle unendlichen Sequenzen). Lassen Sie uns "(F) ist in allen Strukturen wahr" als "MTValid ((F))" abkürzen. Die modelltheoretische Charakterisierung macht deutlich, dass „MTValid ((F))“rein konzeptionell definierbar ist. (Der Begriff der modelltheoretischen Validität für fregeanische Sprachen wird in den Einträgen zur klassischen Logik sowie zur Logik zweiter und höherer Ordnung ausführlich erläutert; siehe auch den Eintrag zur Modelltheorie.)))))man definiert eine Formel als modelltheoretisch gültig, nur für den Fall, dass sie in allen Strukturen für ihre Sprache gilt (in Bezug auf alle unendlichen Sequenzen). Lassen Sie uns "(F) ist in allen Strukturen wahr" als "MTValid ((F))" abkürzen. Die modelltheoretische Charakterisierung macht deutlich, dass „MTValid ((F))“rein konzeptionell definierbar ist. (Der Begriff der modelltheoretischen Validität für fregeanische Sprachen wird in den Einträgen zur klassischen Logik sowie zur Logik zweiter und höherer Ordnung ausführlich erläutert; siehe auch den Eintrag zur Modelltheorie.)man definiert eine Formel als modelltheoretisch gültig, nur für den Fall, dass sie in allen Strukturen für ihre Sprache gilt (in Bezug auf alle unendlichen Sequenzen). Lassen Sie uns "(F) ist in allen Strukturen wahr" als "MTValid ((F))" abkürzen. Die modelltheoretische Charakterisierung macht deutlich, dass „MTValid ((F))“rein konzeptionell definierbar ist. (Der Begriff der modelltheoretischen Validität für fregeanische Sprachen wird in den Einträgen zur klassischen Logik sowie zur Logik zweiter und höherer Ordnung ausführlich erläutert; siehe auch den Eintrag zur Modelltheorie.)(Der Begriff der modelltheoretischen Validität für Fregean-Sprachen wird in den Einträgen zur klassischen Logik und zur Logik zweiter und höherer Ordnung ausführlich erläutert; siehe auch den Eintrag zur Modelltheorie.)(Der Begriff der modelltheoretischen Validität für Fregean-Sprachen wird in den Einträgen zur klassischen Logik und zur Logik zweiter und höherer Ordnung ausführlich erläutert; siehe auch den Eintrag zur Modelltheorie.)[9]

(Wenn (F) eine Formel einer Sprache erster Ordnung ohne Identität ist, dann ist dies eine ausreichende Bedingung für das Sein von (F), wenn keine Ersatzinstanz der Form von (F) falsch ist modelltheoretisch gültig. Wenn sich herausstellt, dass (F) nicht modelltheoretisch gültig ist, ist eine Ersatzinstanz ihrer Form, deren Variablen über den natürlichen Zahlen liegen und deren nicht logische Konstanten arithmetische Ausdrücke sind, falsch. Dies kann durch eine Verfeinerung des Löwenheim-Skolem-Theorems gerechtfertigt werden. Siehe den Eintrag zu Logik, Klassik und Quine 1970, Kap. 4, für Diskussion und Referenzen. Für Sprachen höherer Ordnung gelten keine ähnlichen Ergebnisse.)

Das "MT" in "MTValid ((F))" betont die Tatsache, dass sich die modelltheoretische Validität von der universellen Validität unterscheidet. Der Begriff einer Bedeutungszuweisung, der in der Beschreibung der universellen Gültigkeit vorkommt, ist ein sehr ungenauer und intuitiver Begriff, während der Begriff einer Struktur, die in einer Charakterisierung der modelltheoretischen Gültigkeit vorkommt, ziemlich genau und technisch ist. Es scheint klar zu sein, dass der Begriff einer Struktur für Fregean-formalisierte Sprachen minimal vernünftig ist, in dem Sinne, dass eine Struktur die Fähigkeit einer oder mehrerer Bedeutungszuweisungen modelliert, einen Satz falsch (die logische Form) zu machen. Wie wir später erwähnen werden, ist die umgekehrte Eigenschaft, dass die Gültigkeit widerlegende Kraft jeder Bedeutungszuweisung durch eine Struktur modelliert wird, auch eine natürliche, aber anspruchsvollere Anforderung an einen Strukturbegriff.

2.4 Das Problem der Angemessenheit

Die Tatsache, dass die Begriffe Ableitbarkeit und modelltheoretische Validität in der Standardmathematik definierbar sind, scheint für praktizierende Logiker ein sehr attraktives Merkmal gewesen zu sein. Aber dieses attraktive Merkmal rechtfertigt es natürlich nicht, einen der beiden Begriffe als angemessene Charakterisierung der logischen Wahrheit zu betrachten. In den meisten Ansichten versuchen wir mit einer mathematischen Charakterisierung der logischen Wahrheit, eine Reihe von Formeln abzugrenzen, die eine Reihe nichtmathematischer Eigenschaften besitzen. Welche Eigenschaften dies sind, hängt von unserer pretheoretischen Konzeption ab, beispielsweise der Merkmale von Modalität und Formalität. (Mit "pretheoretisch" ist nicht "vor einer theoretischen Aktivität" gemeint; es könnte kaum eine "pretheoretische" Vorstellung von logischer Wahrheit in diesem Sinne geben. In diesem Zusammenhang was 's bedeutet "vor der theoretischen Aktivität der mathematischen Charakterisierung".) Bei einer solchen Konzeption gibt es jedoch externe, nicht mathematische Kriterien, die angewendet werden können, um die Frage zu bewerten, ob eine mathematische Charakterisierung angemessen ist. In diesem letzten Abschnitt werden einige grundlegende Fragen und Ergebnisse zur Frage skizziert, ob Ableitbarkeit und modelltheoretische Validität in diesem Sinne angemessen sind.

2.4.1 Analyse und Modalität

Ein häufiger Einwand gegen die Angemessenheit der modelltheoretischen Gültigkeit ist, dass sie selbst für Sätze fregeanischer formalisierter Sprachen keine konzeptionelle Analyse des Begriffs der logischen Wahrheit liefert (siehe z. B. Pap 1958, S. 159; Kneale und Kneale 1962, S. 159) 642; Field 1989, S. 33–4; Etchemendy 1990, Kap. 7). Diese Beschwerde ist besonders häufig bei Autoren, die sich geneigt fühlen, logische Wahrheit und Vereinfachung der Analyse zu identifizieren (siehe z. B. Kneale und Kneale, ibid., Etchemendy 1990, S. 126). Wenn man den Begriff der logischen Wahrheit einfach als den Begriff der analytischen Wahrheit betrachtet, ist es besonders vernünftig zu akzeptieren, dass der Begriff der logischen Wahrheit nicht viel mit dem Begriff der modelltheoretischen Gültigkeit zu tun hat, denn vermutlich hat dieser Begriff dies nicht haben viel mit dem Konzept der Analytizität zu tun. Zu sagen, dass eine Formel modelltheoretisch gültig ist, bedeutet, dass es keine satztheoretischen Strukturen gibt, in denen sie falsch ist. Zu sagen, dass eine Formel nicht modelltheoretisch gültig ist, bedeutet daher, dass es satztheoretische Strukturen gibt, in denen sie falsch ist. Zu sagen, dass ein Satz analytisch ist oder nicht, bedeutet vermutlich nichts über die Existenz oder Nichtexistenz satztheoretischer Strukturen. Beachten Sie, dass wir aus den gleichen Gründen Einwände gegen die Ableitbarkeit erheben könnten, denn zu sagen, dass ein Satz analytisch ist oder nicht, bedeutet vermutlich nichts darüber, ob er das Produkt eines bestimmten Algorithmus ist oder nicht (vgl. Etchemendy 1990, S. 3). (Eine weitere Besonderheit,Die viel diskutierte Behauptung in Etchemendy 1990 ist, dass wahre Behauptungen der Form "(F) logisch wahr" oder "(F) nicht logisch wahr" selbst logische Wahrheiten sein sollten (während die entsprechenden Behauptungen "MTValid ((F))”und“Not MTValid ((F))”sind keine logischen Wahrheiten). Etchemendys Behauptung ist vielleicht unter einer Vorstellung von logischer Wahrheit als Vereinfacher der Analytizität vertretbar, aber zweifellos zweifelhafter gegenüber traditionelleren Vorstellungen von logischer Wahrheit, bei denen das Prädikat „ist eine logische Wahrheit“nicht einmal ein logischer Ausdruck ist. Siehe Gómez-Torrente 1998/9 und Soames 1999, Kap. 4 zur Diskussion.)auf dem das Prädikat "ist eine logische Wahrheit" nicht einmal ein logischer Ausdruck ist. Siehe Gómez-Torrente 1998/9 und Soames 1999, Kap. 4 zur Diskussion.)auf dem das Prädikat "ist eine logische Wahrheit" nicht einmal ein logischer Ausdruck ist. Siehe Gómez-Torrente 1998/9 und Soames 1999, Kap. 4 zur Diskussion.)

Analoge Einwände gegen „keine konzeptuelle Analyse“können erhoben werden, wenn wir akzeptieren, dass das Konzept der logischen Wahrheit einige andere starke Modalnoten enthält, die nichts mit der Analytizität zu tun haben. Wenn wir zum Beispiel akzeptieren, dass es Teil des Konzepts der logischen Wahrheit ist, dass logische Wahrheiten unter allen kontrafaktischen Umständen wahr oder in einem anderen starken Sinne notwendig sind. Sher (1996) akzeptiert so etwas wie die Forderung, dass eine gute Charakterisierung der logischen Wahrheit im Sinne eines modalreichen Konzepts gegeben sein sollte. Sie argumentiert jedoch, dass der Begriff der modelltheoretischen Validität stark modal ist, und daher ist der Einwand „keine konzeptuelle Analyse“tatsächlich falsch: Zu sagen, dass eine Formel modelltheoretisch gültig ist oder nicht, bedeutet, eine mathematische Existenz zu machen oder nicht -Existenzanspruch,und laut Sher werden diese Behauptungen am besten als Behauptungen über die Möglichkeit und Notwendigkeit von Strukturen gelesen. (Shalkowski 2004 argumentiert, dass Sher's Verteidigung der modelltheoretischen Validität auf der Grundlage einer bestimmten metaphysischen Konzeption der logischen Notwendigkeit unzureichend ist. Etchemendy 2008 argumentiert in diesem Zusammenhang, dass Sher's Verteidigung auf unzureichenden Einschränkungen der für die logische Wahrheit relevanten Modalität beruht. Siehe auch die kritische Diskussion über Sher in Hanson 1997.) García-Carpintero (1993) bietet eine Ansicht in Bezug auf Sher's: Die modelltheoretische Validität liefert eine (korrekte) konzeptuelle Analyse der logischen Wahrheit für fregeanische Sprachen, da der Begriff einer satztheoretischen Struktur ist in der Tat eine subtile Verfeinerung des modalen Begriffs einer möglichen Bedeutungszuweisung. Azzouni (2006), ch. 9,verteidigt auch die Ansicht, dass die modelltheoretische Validität eine korrekte konzeptuelle Analyse der logischen Wahrheit (obwohl auf Sprachen erster Ordnung beschränkt) auf der Grundlage einer bestimmten deflationistischen Konzeption der (starken) Modalität der logischen Wahrheit liefert.

Die Standardansicht von satztheoretischen Ansprüchen sieht sie jedoch nicht als starke modale Ansprüche an - bestenfalls sind einige von ihnen in dem minimalen Sinne modal, dass es sich um universelle Verallgemeinerungen oder bestimmte Fälle davon handelt. Es ist jedoch jedenfalls unklar, dass dies die Grundlage für einen starken Einwand gegen die modelltheoretische Gültigkeit oder gegen die Ableitbarkeit ist, denn selbst wenn wir akzeptieren, dass das Konzept der logischen Wahrheit stark modal ist, ist es unklar, dass eine gute Charakterisierung der Logik vorliegt Wahrheit sollte eine konzeptionelle Analyse sein. Eine Analogie könnte helfen. Es besteht weitgehend Einigkeit darüber, dass die Charakterisierungen des Begriffs der Berechenbarkeit in der Standardmathematik, z. B. als Rekursivität, in gewissem Sinne gute Charakterisierungen sind. Beachten Sie, dass das Konzept der Rechenfähigkeit in einem mäßig starken Sinne modal ist. Es scheint darum zu gehen, was ein Wesen wie wir mit bestimmten Symbolen tun könnte, wenn es frei von bestimmten Einschränkungen wäre - nicht etwa darum, was existierende Wesen getan haben oder tun werden. Zu sagen, dass eine bestimmte Funktion rekursiv ist, bedeutet jedoch nicht, einen modalen Anspruch darauf zu erheben, sondern einen bestimmten rein arithmetischen Anspruch. Die Rekursivität ist sich daher weitgehend einig, um eine gute Charakterisierung der Berechenbarkeit zu ermöglichen, liefert jedoch eindeutig keine konzeptionelle Analyse. Vielleicht könnte argumentiert werden, dass die Situation mit modelltheoretischer Gültigkeit oder Ableitbarkeit oder beidem dieselbe ist. Die Rekursivität ist sich daher weitgehend einig, um eine gute Charakterisierung der Berechenbarkeit zu ermöglichen, liefert jedoch eindeutig keine konzeptionelle Analyse. Vielleicht könnte argumentiert werden, dass die Situation mit modelltheoretischer Gültigkeit oder Ableitbarkeit oder beidem dieselbe ist. Die Rekursivität ist sich daher weitgehend einig, um eine gute Charakterisierung der Berechenbarkeit zu ermöglichen, liefert jedoch eindeutig keine konzeptionelle Analyse. Vielleicht könnte argumentiert werden, dass die Situation mit modelltheoretischer Gültigkeit oder Ableitbarkeit oder beidem dieselbe ist.

Eine Reihe von Philosophen lehnen ausdrücklich die Forderung ab, dass eine gute Charakterisierung der logischen Wahrheit eine konzeptionelle Analyse liefern sollte, und stellen (zumindest aus Gründen der Argumentation) die übliche Auffassung von satztheoretischen Behauptungen nicht als nicht modal in Frage, sondern haben argumentiert dass das Universum satztheoretischer Strukturen irgendwie das Universum möglicher Strukturen modelliert (oder zumindest das Universum möglicher satztheoretischer Strukturen; siehe McGee 1992, Shapiro 1998, Sagi 2014). In diesem indirekten Sinne würde die Charakterisierung hinsichtlich der modelltheoretischen Gültigkeit einen Teil der starken modalen Kraft erfassen, die logische Wahrheiten häufig besitzen. McGee (1992) liefert ein elegantes Argument für diese Idee: Es ist vernünftig zu glauben, dass bei jeder satztheoretischen Struktur, selbst wenn sie aus nicht-mathematischen Individuen konstruiert ist, aktualisiert oder nicht,es gibt eine satztheoretische Struktur, die isomorph ist, aber ausschließlich aus reinen Mengen konstruiert wird; aber jede solche reine satztheoretische Struktur ist nach der üblichen Ansicht eine aktualisierte Existenz; so wird jede mögliche satztheoretische Struktur nach Wunsch durch eine satztheoretische Struktur modelliert. (Die Bedeutung davon beruht auf der Tatsache, dass in fregäischen Sprachen eine Formel in einer Struktur genau dann wahr ist, wenn sie in allen zu ihr isomorphen Strukturen wahr ist.)(Die Bedeutung davon beruht auf der Tatsache, dass in fregäischen Sprachen eine Formel in einer Struktur genau dann wahr ist, wenn sie in allen zu ihr isomorphen Strukturen wahr ist.)(Die Bedeutung davon beruht auf der Tatsache, dass in fregäischen Sprachen eine Formel in einer Struktur genau dann wahr ist, wenn sie in allen zu ihr isomorphen Strukturen wahr ist.)

Die modelltheoretische Validität (oder Ableitbarkeit) könnte jedoch in gewisser Weise theoretisch angemessen sein, selbst wenn einige mögliche Bedeutungszuweisungen nicht einfach durch (tatsächliche) satztheoretische Strukturen modelliert werden. Damit die modelltheoretische Validität theoretisch angemessen ist, reicht es möglicherweise aus, wenn wir andere Gründe haben, zu glauben, dass sie in Bezug auf die Erweiterung angemessen ist, dh dass sie in Erweiterung mit unserem bevorzugten pretheoretischen Begriff der logischen Wahrheit übereinstimmt. In den Unterabschnitten 2.4.2 und 2.4.3 werden wir einige bestehende Argumente für und gegen die einfache Angemessenheit der Ableitbarkeit und modelltheoretischen Validität für Fregean-Sprachen untersuchen.

2.4.2 Erweiterungsadäquanz: Ein allgemeines Argument

Wenn man seinen deduktiven Kalkül sorgfältig aufbaut, kann man sich davon überzeugen, dass alle im Kalkül ableitbaren Formeln logische Wahrheiten sind. Der Grund ist, dass man seine Intuition sehr systematisch verwendet haben kann, um diese Überzeugung zu erlangen: Man kann nur Axiome in seinen Kalkül aufgenommen haben, von denen man überzeugt ist, dass sie logische Wahrheiten sind; und man kann als Inferenzregeln Regeln aufgenommen haben, von denen man überzeugt ist, dass sie logische Wahrheiten erzeugen, wenn sie auf logische Wahrheiten angewendet werden. Unter Verwendung einer anderen Terminologie bedeutet dies, dass man, wenn man seinen Kalkül sorgfältig aufbaut, davon überzeugt sein wird, dass die Ableitbarkeitscharakterisierung der logischen Wahrheit für Formeln der formalisierten Sprache in Bezug auf die logische Wahrheit solide ist.

Es ist ebenso offensichtlich, dass, wenn man einen Begriff der modelltheoretischen Gültigkeit für eine formalisierte Sprache zur Hand hat, der auf einem minimal vernünftigen Begriff der Struktur basiert, alle logischen Wahrheiten (dieser Sprache) modelltheoretisch gültig sind. Der Grund ist einfach: Wenn eine Formel nicht modelltheoretisch gültig ist, gibt es eine Struktur, in der sie falsch ist; Diese Struktur muss dann jedoch eine Bedeutungszuweisung (oder Zuweisungen) modellieren, auf der die Formel (oder ihre logische Form) falsch ist. es wird also möglich sein, eine Formel mit derselben logischen Form zu konstruieren, deren nicht logische Ausdrücke durch Bestimmung die besonderen Bedeutungen haben, die aus dieser kollektiven Bedeutungszuweisung gezogen werden und die daher falsch sind. Aber dann implizieren die Idee der Formalität und die schwächste Konzeption der modalen Kraft logischer Wahrheiten unumstritten, dass die ursprüngliche Formel nicht logisch wahr ist. Mit einer anderen Terminologie können wir schließen, dass die modelltheoretische Gültigkeit in Bezug auf die logische Wahrheit vollständig ist.

Lassen Sie uns "(F) ist im Kalkül (C)" mit "DC ((F))" abkürzen und "(F) ist eine logische Wahrheit (in unserem bevorzugten pretheoretischen Sinne)" mit " LT ((F))”. Wenn dann (C) ein Kalkül ist, das nach unserer pretheoretischen Konzeption der logischen Wahrheit gebaut wurde, kann die Situation folgendermaßen zusammengefasst werden:

(4) (text {DC} (F) Rightarrow / text {LT} (F) Rightarrow / text {MTValid} (F).)

Die erste Implikation ist die Solidität der Ableitbarkeit; Das zweite ist die Vollständigkeit der modelltheoretischen Gültigkeit.

Um uns davon zu überzeugen, dass die Charakterisierungen der logischen Wahrheit in Bezug auf DC ((F)) und MTValid ((F)) im Großen und Ganzen angemessen sind, sollten wir uns davon überzeugen, dass auch die umgekehrten Implikationen gelten:

(5) (text {MTValid} (F) Rightarrow / text {LT} (F) Rightarrow / text {DC} (F).)

Es erweist sich im Allgemeinen als schwierig, diese Überzeugung zu erlangen oder die Überzeugung, dass diese Implikationen tatsächlich nicht zutreffen. Eine Bemerkung von Kreisel (1967) belegt jedoch, dass manchmal eine Überzeugung erlangt werden kann, die sie vertreten. In einigen Fällen ist es möglich, einen mathematischen Beweis dafür zu liefern, dass die Ableitbarkeit (in einem bestimmten Kalkül (C)) in Bezug auf die modelltheoretische Gültigkeit vollständig ist, dh einen Beweis von

(6) (text {MTValid} (F) Rightarrow / text {DC} (F).)

Kreisel machte darauf aufmerksam, dass (6) zusammen mit (4) impliziert, dass die modelltheoretische Gültigkeit in Bezug auf die logische Wahrheit stichhaltig ist, dh dass die erste Implikation von (5) gilt. (Genau genommen ist dies eine starke Verallgemeinerung von Kreisels Bemerkung, die anstelle von "(text {LT} (F))" so etwas wie "(F) ist in allen Klassenstrukturen wahr" (Strukturen mit eine Klasse, möglicherweise richtig, als Domäne der einzelnen Variablen).) Dies bedeutet, dass, wenn (6) der Begriff der modelltheoretischen Gültigkeit enthält, eine weitgehend korrekte Charakterisierung der logischen Wahrheit angeboten wird. (Siehe Etchemendy 1990, Kap. 11, Hanson 1997, Gómez-Torrente 1998/9 und Field 2008, Kap. 2 für Versionen dieser Beobachtung und Smith 2011 und Griffiths 2014 für Einwände.) Auch (6) zusammen mit (4),impliziert, dass der Begriff der Ableitbarkeit in Bezug auf die logische Wahrheit vollständig ist (die zweite Implikation in (5)) und bietet daher eine weitgehend korrekte Charakterisierung dieses Begriffs. Beachten Sie, dass diese Argumentation sehr allgemein und unabhängig von unserer speziellen pretheoretischen Vorstellung von logischer Wahrheit ist.

Ein besonders bedeutender Fall, in dem diese Argumentation angewendet werden kann, ist der Fall von Quantifizierungssprachen erster Ordnung unter einer Vielzahl von pretheoretischen Vorstellungen von logischer Wahrheit. Es ist typisch zu akzeptieren, dass alle Formeln, die in einem typischen Kalkül erster Ordnung abgeleitet werden können, universell gültig sind, unter allen kontrafaktischen Umständen a priori und analytisch, wenn irgendeine Formel vorliegt. [10]Also (4) gilt in diesem Fall unter einer Vielzahl von pretheoretischen Konzepten. (6) gilt auch für die fraglichen typischen Kalküle aufgrund des Vollständigkeitssatzes von Gödel, so gilt (5). Dies bedeutet, dass man sich davon überzeugen kann, dass sowohl Ableitbarkeit als auch modelltheoretische Validität weitgehend korrekte Charakterisierungen unseres bevorzugten prätheoretischen Begriffs der logischen Wahrheit für Sprachen erster Ordnung sind, wenn unsere pretheoretische Konzeption nicht zu exzentrisch ist. In anderen Sprachen, die für die Fregeanische Tradition, den Quantifizierungssprachen höherer Ordnung, von besonderer Bedeutung sind, ist die Situation nicht so klar.

2.4.3 Erweiterungsadäquanz: Sprachen höherer Ordnung

Aus Gödels erstem Unvollständigkeitssatz folgt, dass es bereits für eine Sprache zweiter Ordnung keinen Kalkül (C) gibt, in dem die Ableitbarkeit in Bezug auf die modelltheoretische Gültigkeit stichhaltig ist und der (6) (für den Begriff der Modelltheoretik) wahr macht Gültigkeit wie gewöhnlich für eine solche Sprache definiert). Wir können dieses Ergebnis die Unvollständigkeit von Kalkülen zweiter Ordnung in Bezug auf die modelltheoretische Validität nennen. Anders gesagt: Für jeden Kalkül zweiter Ordnung (C) in Bezug auf die modelltheoretische Gültigkeit gibt es eine Formel (F), so dass (text {MTValid} (F)), aber es ist nicht der Fall, dass (text {DC} (F)).

In dieser Situation ist es nicht möglich, Kreisels Argument für (5) anzuwenden. Tatsächlich zeigt die Unvollständigkeit von Kalkülen zweiter Ordnung, dass bei jedem Kalkül (C), das (4) erfüllt, eine der Implikationen von (5) falsch ist (oder beide sind): entweder Ableitbarkeit in (C) ist in Bezug auf die logische Wahrheit unvollständig oder die modelltheoretische Gültigkeit ist in Bezug auf die logische Wahrheit nicht stichhaltig.

Verschiedene Autoren haben gegensätzliche Lehren aus der Unvollständigkeit gezogen. Eine häufige Reaktion ist die Annahme, dass die modelltheoretische Gültigkeit in Bezug auf die logische Wahrheit nicht stichhaltig sein muss. Dies ist besonders häufig bei Philosophen der Fall, bei deren Konzeption logische Wahrheiten a priori oder analytisch sein müssen. Eine Idee ist, dass die Ergebnisse einer a priori Argumentation oder eines analytischen Denkens in einem Kalkül kodifizierbar sein sollten. (Siehe z. B. Wagner 1987, S. 8.) Aber selbst wenn wir dieser Idee zustimmen, ist es zweifelhaft, dass die gewünschte Schlussfolgerung folgt. Angenommen, (i) jede a priori oder analytische Argumentation muss in einem Kalkül reproduzierbar sein. Wir akzeptieren natürlich auch, dass (ii) für jeden Kalkül (C) Ton in Bezug auf die modelltheoretische Gültigkeit eine modelltheoretisch gültige Formel existiert, die in (C) nicht ableitbar ist. Von all dem tut es nichtt folgt, dass (iii) es eine modelltheoretisch gültige Formel (F) gibt, so dass für jeden Kalkül (C) Ton für die modelltheoretische Gültigkeit (F) in C nicht ableitbar ist. Aus (iii) und (i) folgt natürlich, dass es modelltheoretisch gültige Formeln gibt, die nicht durch a priori oder analytische Argumentation erhältlich sind. Der Schritt von (ii) nach (iii) ist jedoch ein typischer quantitativer Irrtum. Aus (i) und (ii) folgt nicht, dass es eine modelltheoretisch gültige Formel gibt, die nicht durch a priori oder analytische Argumentation erhältlich ist. Das einzige, was folgt (aus (ii) allein unter der Annahme, dass die modelltheoretische Gültigkeit in Bezug auf die logische Wahrheit solide ist und dass logische Wahrheiten a priori und analytisch sind), ist, dass kein Kalkülklang in Bezug auf die modelltheoretische Gültigkeit durch kann selbst modellieren alle a priori oder analytischen Überlegungen, die Menschen anstellen können. Es ist jedoch nicht klar genug, dass dies an sich problematisch sein sollte. Schließlich müssen a priori und analytische Überlegungen von grundlegenden Axiomen und Regeln ausgehen, und nach allem, was wir wissen, kann ein reflektierender Geist eine unerschöpfliche Fähigkeit haben, neue Wahrheiten und wahrheitsbewahrende Regeln durch a priori oder analytische Betrachtung selbst eines mageren Bestandes von zu finden Konzepte. Die Behauptung, dass alle analytischen Wahrheiten in einem einzigen Kalkül ableitbar sein sollten, ist vielleicht plausibel in der Ansicht, dass die Analytizität durch Konventionen oder „stillschweigende Vereinbarungen“erklärt werden soll, da diese Vereinbarungen vermutlich eine begrenzte Anzahl haben und ihre Auswirkungen vermutlich höchstens sind effektiv aufzählbar. Diese Ansicht ist jedoch nur eine problematische Vorstellung davon, wie Apriorität und Analytizität erklärt werden sollten. (Siehe auch Etchemendy (1990), Kap. 8, 9, für ein Argument für die Unklarheit der modelltheoretischen Validität höherer Ordnung, das auf der Konzeption der logischen Wahrheit als Vereinfacher der Analytizität basiert, und Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), Kap. 4 und Paseau (2014) für kritische Reaktionen.)Diese Ansicht ist jedoch nur eine problematische Vorstellung davon, wie Apriorität und Analytizität erklärt werden sollten. (Siehe auch Etchemendy (1990), Kap. 8, 9, für ein Argument für die Unklarheit der modelltheoretischen Validität höherer Ordnung, das auf der Konzeption der logischen Wahrheit als Vereinfacher der Analytizität basiert, und Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), Kap. 4 und Paseau (2014) für kritische Reaktionen.)Diese Ansicht ist jedoch nur eine problematische Vorstellung davon, wie Apriorität und Analytizität erklärt werden sollten. (Siehe auch Etchemendy (1990), Kap. 8, 9, für ein Argument für die Unklarheit der modelltheoretischen Validität höherer Ordnung, das auf der Konzeption der logischen Wahrheit als Vereinfacher der Analytizität basiert, und Gómez-Torrente (1998/9), Soames (1999), Kap. 4 und Paseau (2014) für kritische Reaktionen.)

Eine andere Art von Unsoundness-Argumenten versucht zu zeigen, dass es eine Formel höherer Ordnung gibt, die modelltheoretisch gültig ist, aber in einer Struktur, deren Domäne eine richtige Klasse ist, intuitiv falsch ist. (Die "beabsichtigte Interpretation" der Mengenlehre, falls sie überhaupt existiert, könnte eine solche Struktur sein, da es sich sicherlich nicht um eine Menge handelt; siehe den Eintrag zur Mengenlehre.) Diese Argumente stellen daher die Behauptung in Frage, dass die Gültigkeit jeder Bedeutungszuweisung Die Widerlegungskraft wird durch eine satztheoretische Struktur modelliert, eine Behauptung, die sicherlich eine Folge der ersten Implikation in (5) ist. (In McGee 1992 gibt es ein gutes Beispiel; in Gómez-Torrente 1998/9 gibt es eine kritische Diskussion.) Die unter Mengen-Theoretikern am weitesten verbreitete Ansicht scheint zu sein, dass es keine Formeln mit dieser Eigenschaft in fregäischen Sprachen gibt, aber es ist sicherlich keine absolut fester Glaube an sie. Beachten Sie, dass diese Argumente nur eine Herausforderung für die Idee darstellen, dass die universelle Gültigkeit (wie in Abschnitt 2.3 definiert) durch die satztheoretische Gültigkeit angemessen modelliert wird, nicht für die Richtigkeit einer Charakterisierung der logischen Wahrheit in Bezug auf die universelle Gültigkeit selbst oder in Bezug auf einer Art von Gültigkeit, die auf einem Begriff der „Bedeutungszuweisung“basiert, der sich vom üblichen Begriff einer satztheoretischen Struktur unterscheidet. (Die Argumente, die wir im vorhergehenden Absatz und in 2.4.1 erwähnt haben, hätten tiefere Auswirkungen, wenn sie richtig wären, da sie leicht alle Charakterisierungen hinsichtlich ihrer Gültigkeit in Frage stellen.) In der Tat haben solche Sorgen den Vorschlag einer anderen Art von Gültigkeitsvorstellungen (für fregäische Sprachen) veranlasst.in denen satztheoretische Strukturen durch geeignete Werte von Variablen höherer Ordnung in einer Sprache höherer Ordnung für die Mengenlehre ersetzt werden, z. B. durch „Pluralinterpretationen“(siehe Boolos 1985, Rayo und Uzquiano 1999, Williamson 2003; siehe auch den Eintrag am Pluralquantifizierung). Sowohl satztheoretische als auch richtige Klassenstrukturen werden durch solche Werte modelliert, so dass diese besonderen Sorgen der Unklarheit diese Art von Vorschlägen nicht beeinflussen.

Im Allgemeinen gibt es keine völlig zufriedenstellenden philosophischen Argumente für die These, dass die modelltheoretische Gültigkeit in Bezug auf die logische Wahrheit in Sprachen höherer Ordnung nicht stichhaltig ist. Gibt es dann gute Gründe zu der Annahme, dass die Ableitbarkeit (in jedem Kalkülklang für die modelltheoretische Gültigkeit) in Bezug auf die logische Wahrheit unvollständig sein muss? Auch für diese Ansicht scheint es keine absolut überzeugenden Gründe zu geben. Das Hauptargument (dessen erste Version vielleicht zuerst in Tarski 1936a, 1936b explizit gemacht wurde) scheint dies zu sein. Wie oben erwähnt, impliziert Gödels erster Unvollständigkeitssatz, dass es für jeden Kalkül für eine Sprache höherer Ordnung eine modelltheoretisch gültige Formel gibt, die im Kalkül nicht ableitbar ist. Wie sich herausstellt,Die durch die Gödel-Konstruktion erhaltene Formel ist auch in allen Bereichen (satztheoretisch oder nicht) immer intuitiv wahr, und es ist vernünftig, sie als universell gültig zu betrachten. (Es ist sicherlich keine falsche Formel in einer richtigen Klassenstruktur.) Das Argument kommt zu dem Schluss, dass es für jeden Kalkül logisch wahre Formeln gibt, die darin nicht ableitbar sind.

Daraus wurde geschlossen, dass die Ableitbarkeit (in jedem Kalkül) in Bezug auf die logische Wahrheit unvollständig sein muss. Ein grundlegendes Problem besteht jedoch darin, dass diese Schlussfolgerung auf zwei Annahmen basiert, die vom Verfechter der Ableitbarkeit nicht unbedingt gewährt werden: Erstens die Annahme, dass die Ausdrücke in Sprachen höherer Ordnung typischerweise als logisch katalogisiert sind, und insbesondere die Quantifizierer in Quantifizierungen von Die Form (forall X) (wobei (X) eine Variable höherer Ordnung ist) sind tatsächlich logische Ausdrücke. und zweitens ist die Annahme, dass die universelle Gültigkeit eine ausreichende Bedingung für die logische Wahrheit ist. Unter diesen Voraussetzungen ist es sicherlich sehr vernünftig zu glauben, dass die Ableitbarkeit in jedem Kalkül, der (4) erfüllt, in Bezug auf die logische Wahrheit unvollständig sein muss. In Ermangelung zusätzlicher ÜberlegungenEin Kritiker kann die Annahmen in Frage stellen und die Relevanz für das Argument leugnen. Die zweite Annahme würde wahrscheinlich in Frage gestellt, z. B. unter dem Gesichtspunkt, dass logische Wahrheiten analytisch sein müssen, denn es gibt keinen schlüssigen Grund zu der Annahme, dass universell gültige Formeln analytisch sein müssen. Die erste Annahme liegt tatsächlich jeder Überzeugung zugrunde, dass (4) für einen bestimmten Kalkül höherer Ordnung gilt. (Beachten Sie, dass wir, wenn wir leugnen würden, dass die Quantifizierer höherer Ordnung logische Ausdrücke sind, ebenso leugnen könnten, dass die oben vorgebrachten Argumente gegen die Richtigkeit der modelltheoretischen Gültigkeit in Bezug auf die logische Wahrheit überhaupt relevant sind.) Dass die Quantifizierer höherer Ordnung sind logisch wurde oft mit der Begründung bestritten, dass sie semantisch zu „substanziell“sind. In diesem Zusammenhang wird häufig darauf hingewiesen, dass Quantifizierungen höherer Ordnung verwendet werden können, um ausgefeilte satztheoretische Eigenschaften zu definieren, die nicht nur mit Hilfe von Quantifizierern erster Ordnung definiert werden können. (Verteidiger des logischen Status von Quantifizierungen höherer Ordnung weisen andererseits auf die breite Anwendbarkeit der Quantifizierer höherer Ordnung hin, auf die Tatsache, dass sie analog zu den Quantifizierern erster Ordnung sind, auf die Tatsache, dass sie typischerweise sind erforderlich, um kategoriale Axiomatisierungen mathematischer Strukturen usw. bereitzustellen. Siehe Quine (1970), Kapitel 5, für den Standardexponenten der restriktiven Ansicht und Boolos (1975) und Shapiro (1991) für Standardexponenten der liberalen Ansicht.)(Verteidiger des logischen Status von Quantifizierungen höherer Ordnung weisen andererseits auf die breite Anwendbarkeit der Quantifizierer höherer Ordnung hin, auf die Tatsache, dass sie analog zu den Quantifizierern erster Ordnung sind, auf die Tatsache, dass sie typischerweise sind erforderlich, um kategoriale Axiomatisierungen mathematischer Strukturen usw. bereitzustellen. Siehe Quine (1970), Kapitel 5, für den Standardexponenten der restriktiven Ansicht und Boolos (1975) und Shapiro (1991) für Standardexponenten der liberalen Ansicht.)(Verteidiger des logischen Status von Quantifizierungen höherer Ordnung weisen andererseits auf die breite Anwendbarkeit der Quantifizierer höherer Ordnung hin, auf die Tatsache, dass sie analog zu den Quantifizierern erster Ordnung sind, auf die Tatsache, dass sie typischerweise sind erforderlich, um kategoriale Axiomatisierungen mathematischer Strukturen usw. bereitzustellen. Siehe Quine (1970), Kapitel 5, für den Standardexponenten der restriktiven Ansicht und Boolos (1975) und Shapiro (1991) für Standardexponenten der liberalen Ansicht.)für den Standardexponenten der restriktiven Sichtweise und Boolos (1975) und Shapiro (1991) für Standardexponenten der liberalen Sichtweise.)für den Standardexponenten der restriktiven Sichtweise und Boolos (1975) und Shapiro (1991) für Standardexponenten der liberalen Sichtweise.)

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Andere Internetquellen

  • Logische Konsequenz und Entailment, Kategorie PhilPapers, herausgegeben von Salvatore Florio.
  • Grundlagen des logischen Konsequenzprojekts am Arché, Philosophisches Forschungszentrum für Logik, Sprache, Metaphysik und Erkenntnistheorie, Universität Saint Andrews.

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