Jan Łukasiewicz

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Jan Łukasiewicz

Erstveröffentlichung Do 15. Mai 2014; inhaltliche Überarbeitung Fr 6. Juni 2014

Jan Łukasiewicz (1878–1956) war ein polnischer Logiker und Philosoph, der die mathematische Logik in Polen einführte, der früheste Gründer der Warschauer Logikschule und einer der Hauptarchitekten und Lehrer dieser Schule wurde. Seine berühmteste Errungenschaft war es, die erste rigorose Formulierung einer vielwertigen Logik zu geben. Er führte viele Verbesserungen in der Aussagenlogik ein und war der erste Logikhistoriker, der die Geschichte des Subjekts vom Standpunkt der modernen formalen Logik aus behandelte.

• 1. Leben
• 2. Der Einfluss von Twardowski
• 3. Frühe Arbeit

• 4. Aussagenlogik

  • 4.1 Entdeckungen in der Aussagenlogik
  • 4.2 Variable Satzfunktionen
  • 4.3 Intuitionistische Logik

• 5. Vielwertige Logik

  • 5.1 Möglichkeit und der dritte Wert
  • 5.2 Indeterminismus und der dritte Wert
  • 5.3 Mehr als drei Werte
  • 5.4 Axiome und Definitionen
  • 5.5 Zweite Gedanken zur Modalität: System Ł

• 6. Geschichte der Logik

  • 6.1 Stoische Aussagenlogik
  • 6.2 Aristoteles
• 7. Philosophische Positionen
• 8. Vermächtnis

• Literaturverzeichnis

  • Allgemeine Bemerkungen
  • Abkürzungen
  • Primärquellen: Werke von Łukasiewicz
  • Ausgewählte Sekundärliteratur
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Leben

Jan Łukasiewicz lebte in seiner Karriere als Akademiker und Gelehrter, der durch die Umwälzungen des Krieges im 20. Jahrhundert ernsthaft gestört wurde. Geboren und ausgebildet in polnischem Österreich, blühte er in der Zweiten Republik Polens auf, ertrug die Nöte des Krieges, floh vor der Roten Armee nach Deutschland und fand einen letzten Zufluchtsort in der Republik Irland.

Jan Leopold Lukasiewicz wurde am 21. Dezember 1878 in Lwów geboren ^[1], historisch eine polnische Stadt, zu dieser Zeit die Hauptstadt des österreichischen Galizien. Łukasiewicz 'Vater Paweł war Hauptmann des österreichischen Militärs, seine Mutter Leopoldine, geborene Holtzer, Tochter eines österreichischen Beamten. Jan war ihr einziges Kind. Die Familie sprach Polnisch. Łukasiewicz besuchte ab 1890 die Schule (klassisches Gimnazjum oder Gymnasium mit Schwerpunkt auf klassischen Sprachen), schloss sie 1897 ab und begann sein Jurastudium an der Universität von Lwów. Unter österreichischer Herrschaft erlaubte die Universität den Unterricht in Polnisch. 1898 wechselte er zu Mathematik, studierte bei Józef Puzyna und Philosophie, studierte bei Kazimierz Twardowski, der dort 1895 zum außerordentlichen (außerordentlichen) Professor ernannt worden war, und auch zu Wojciech Dzieduszycki.1902 promovierte Łukasiewicz bei Twardowski in Philosophie mit der Dissertation „Über Induktion als Umkehrung des Abzugs“. Nachdem er zwischen seinen Schulabschlussprüfungen und seiner Dissertation in allen Prüfungen nur Bestnoten erzielt hatte, erhielt er die Promotion sub auspiciis Imperatoris, eine seltene Auszeichnung, und erhielt von Kaiser Franz Josef einen Diamantring.

Ab 1902 war er als Privatlehrer und als Angestellter in der Universitätsbibliothek beschäftigt. 1904 erhielt er ein Stipendium der galizischen Autonomen Regierung und studierte in Berlin und anschließend in Louvain. 1906 erhielt er seine Habilitation mit einem Stück über „Analyse und Konstruktion des Ursachenbegriffs“. Als Privatdozent in Philosophie konnte er Vorlesungen an der Universität halten und war damit der erste von Twardowskis Studenten, der sich ihm anschloss. Sein erster Vorlesungskurs, der im Herbst 1906 gehalten wurde, befasste sich mit der von Couturat formulierten Algebra der Logik. 1908 und 1909 erhielt er ein Stipendium, das es ihm ermöglichte, Graz zu besuchen, wo er Alexius Meinong und seine Schule kennenlernte. 1911 wurde er zum außerordentlichen Professor ernannt und lehrte bis zum Ausbruch des Krieges 1914 in Lwów. Zu seinen Schülern gehörten in dieser Zeit Kazimierz Ajdukiewicz und Tadeusz Kotarbiński, die später selbst zu berühmten Philosophen wurden. Er lernte auch 1912 Stanisław Leśniewski kennen, der jedoch nach einem Auslandsstudium nach Lwów gekommen war und nicht als sein Schüler gezählt werden kann.

1915 brachte das Kriegsglück Deutschland unter die Kontrolle über Warschau und sie beschlossen, die Universität wieder zu eröffnen, die unter russischer Herrschaft nicht als polnischsprachige Universität fungieren durfte. Łukasiewicz wurde dort Professor für Philosophie. 1916 war er Dekan der Philosophischen Fakultät und 1917 Prorektor der Universität. 1918 verließ er die Universität und wurde zum Leiter der Abteilung für höhere Schulen im neuen polnischen Bildungsministerium ernannt. Nach der vollständigen Unabhängigkeit Polens wurde er von Januar bis Dezember 1919 Bildungsminister im Kabinett von Paderewski. Von 1920 bis 1939 Er war ebenso wie Leśniewski Professor an der Fakultät für Naturwissenschaften der Universität Warschau. 1922/23 und erneut 1931/32 war er Rektor der Universität. 1929 heiratete er Regina Barwińska.

Die Zwischenkriegszeit war für Łukasiewicz am fruchtbarsten. Mit Leśniewski und Tarski war er eine führende Figur in der sogenannten Warschauer Logikschule. Er freundete sich mit dem einzigen deutschen Professor für mathematische Logik, Heinrich Scholz, an und wurde 1938 von der Universität Münster mit der Ehrendoktorwürde ausgezeichnet. Weitere Auszeichnungen in dieser Zeit waren der Großkommandeur des Ordens von Polonia Restituta (1923)., Großkommandeur des Ungarischen Verdienstordens, ein Geldpreis der Stadt Warschau (1935) und Mitgliedschaften der Polnischen Akademie der Künste und Wissenschaften in Krakau und der polnischen Wissenschaftsgesellschaften in Lwów und Warschau.

Studenten, die er durch ihre Doktorarbeiten betreute, waren: Mordechaj Wajsberg, Zygmunt Kobrzyński, Stanisław Jaśkowski, Bolesław Sobociński und Jerzy Słupecki.

Bei Kriegsausbruch im September 1939 wurde das Haus der Łukasiewiczes von der Luftwaffe bombardiert: Alle seine Bücher, Papiere und Korrespondenz wurden bis auf einen Band seiner gebundenen Abdrücke zerstört. Die Łukasiewiczes lebten in provisorischen Unterkünften für Akademiker. Die deutschen Besatzer schlossen die Universität und Łukasiewicz fand eine Anstellung für ein dürftiges Gehalt im Warschauer Stadtarchiv. Zusätzliche finanzielle Unterstützung kam von Scholz. Łukasiewicz lehrte an der Untergrunduniversität. Ab Ende 1943 drückte Łukasiewicz aus Angst vor der bevorstehenden Ankunft und Besetzung Polens durch die Rote Armee und unter dem Verdacht einiger Kollegen, pro-deutsch und antijüdisch zu sein, Scholz den Wunsch aus, dass er und seine Frau Polen verlassen sollten. Als ersten Schritt zu ihrer Reise in die SchweizScholz gelang es, die Erlaubnis für die Łukasiewiczes zu erhalten, nach Münster zu reisen. Sie verließen Warschau am 17. Juli 1944, nur zwei Wochen vor dem Ausbruch des Warschauer Aufstands. Nach dem Bombenanschlag vom 20. Juli 1944 gegen Hitler gab es keine Hoffnung mehr, dass sie die Erlaubnis erhalten würden, in die Schweiz abzureisen. Sie blieben bis Januar 1945 in Münster und wurden von Jürgen von Kempski auf seinem Hof in Hembsen (Kreis Höxter, Westfalen) untergebracht, wo sie am 4. April von amerikanischen Truppen befreit wurden.als ihnen von Jürgen von Kempski eine Unterkunft auf seinem Hof in Hembsen (Kreis Höxter, Westfalen) angeboten wurde, wo sie am 4. April von amerikanischen Truppen befreit wurden.als ihnen von Jürgen von Kempski eine Unterkunft auf seinem Hof in Hembsen (Kreis Höxter, Westfalen) angeboten wurde, wo sie am 4. April von amerikanischen Truppen befreit wurden.

Ab Sommer 1945 unterrichtete Łukasiewicz Logik an einer polnischen Sekundarschule in einem ehemaligen polnischen Kriegsgefangenenlager in Dössel. Im Oktober 1945 durften sie nach Brüssel reisen. Dort unterrichtete Łukasiewicz erneut Logik an einem provisorischen polnischen wissenschaftlichen Institut. Da Łukasiewicz nicht bereit war, unter kommunistischer Kontrolle nach Polen zurückzukehren, suchte er sich anderswo einen Posten. Im Februar 1946 erhielt er ein Angebot, nach Irland zu gehen. Am 4. März 1946 kamen die Łukasiewiczes in Dublin an, wo sie vom Außenminister und dem Taoiseach Eamon de Valera empfangen wurden. Im Herbst 1946 wurde Łukasiewicz zum Professor für Mathematische Logik an der Royal Irish Academy (RIA) ernannt, wo er zunächst einmal und dann zweimal pro Woche Vorlesungen hielt.

In seinen letzten Jahren in Irland nahm Łukasiewicz wieder Kontakte zu Kollegen im Ausland auf, insbesondere zu Scholz, mit dem er in ständigem Briefwechsel stand. Er nahm an Konferenzen in Großbritannien, Frankreich und Belgien teil, sandte Papiere nach Polen, bevor er (mit 15 anderen im Exil lebenden Polen) von der polnischen Akademie in Krakau ausgewiesen wurde. Er hielt Vorträge über mathematische Logik an der Queen's University in Belfast und über Aristoteles 'Syllogistik am University College Dublin. Sein Gesundheitszustand verschlechterte sich und er hatte mehrere Herzinfarkte: Bis 1953 konnte er keine Vorlesungen mehr an der Akademie halten. 1955 erhielt er eine Ehrendoktorwürde vom Trinity College Dublin. Am 13. Februar 1956 erlitt er nach einer Operation zur Entfernung von Gallensteinen eine dritte große Koronarthrombose und starb im Krankenhaus. Er wurde auf dem Mount Jerome Cemetery in Dublin beigesetzt, „weit weg vom lieben Lwów und Polen“.wie sein Grabstein liest. Regina hinterlegte die meisten seiner wissenschaftlichen Arbeiten und Korrespondenz bei der RIA. 1963 übertrug die Akademie ihre Bestände in die Bibliothek der Universität von Manchester, wo sie unkatalogisiert verbleiben. Die Wahl von Manchester war auf die Anwesenheit eines Dozenten von Czesław Lejewski zurückzuführen, der bei Łukasiewicz in Warschau studiert hatte und von diesem zweimal auf Doktorarbeiten untersucht wurde, einmal 1939, als der Krieg intervenierte, ein zweites Mal 1954 in London Lejewski hatte die zweite Ausgabe von Łukasiewicz 'Buch über Aristoteles' Syllogistik durch die Presse gesehen: Es erschien posthum im Jahr 1957. Die Wahl von Manchester war auf die Anwesenheit eines Dozenten von Czesław Lejewski zurückzuführen, der bei Łukasiewicz in Warschau studiert hatte und von diesem zweimal auf Doktorarbeiten untersucht wurde, einmal 1939, als der Krieg intervenierte, ein zweites Mal 1954 in London Lejewski hatte die zweite Ausgabe von Łukasiewicz 'Buch über Aristoteles' Syllogistik durch die Presse gesehen: Es erschien posthum im Jahr 1957. Die Wahl von Manchester war auf die Anwesenheit eines Dozenten von Czesław Lejewski zurückzuführen, der bei Łukasiewicz in Warschau studiert hatte und von diesem zweimal auf Doktorarbeiten untersucht wurde, einmal 1939, als der Krieg intervenierte, ein zweites Mal 1954 in London Lejewski hatte die zweite Ausgabe von Łukasiewicz 'Buch über Aristoteles' Syllogistik durch die Presse gesehen: Es erschien posthum im Jahr 1957.

2. Der Einfluss von Twardowski

Łukasiewicz war einer von Twardowskis ersten Schülern in Lwów und wurde von seinem Lehrer in seinen Einstellungen und Methoden beeinflusst. Twardowski wurde in Wien geboren und studierte dort, wo er ein Schüler von Franz Brentano wurde, und war von dessen leidenschaftlichem Eintreten für die Philosophie als strenge Disziplin durchdrungen, die mit der gleichen Sorgfalt und Liebe zum Detail wie jede empirische Wissenschaft untersucht werden sollte mit äußerster Transparenz kommuniziert werden. 1895 wurde Twardowski zum außerordentlichen Professor in Lwów ernannt. Er fand das polnische philosophische Leben ruhend und drittklassig und machte sich daran, das Thema zu vitalisieren und seine polnischen Institutionen auf Kosten seiner eigenen akademischen Leistung aufzubauen. Wie Brentano glaubte er, dass eine solide deskriptive Psychologie für die Philosophie methodisch grundlegend sei, und befürwortete wie Brentano bescheidene Reformen der formalen Logik. Łukasiewicz lehnte unter dem Einfluss von Husserl, Russell und Frege jede grundlegende Rolle für die Psychologie ab und führte die Reform der Logik, insbesondere inspiriert von den beiden letzteren, weit über alles hinaus, was Twardowski sich vorgestellt hatte. Er las 1904 Russells The Principles of Mathematics und es beeinflusste ihn erheblich. Die allgemeine Haltung, die die Philosophie als wissenschaftlich genau anstreben könnte und sollte, blieb bei Łukasiewicz, obwohl seine Einschätzung des Zustands des Themas eher pessimistisch als optimistisch wurde, und er befürwortete eine grundlegende Reform der Philosophie nach logischen Gesichtspunkten. Er las 1904 Russells The Principles of Mathematics und es beeinflusste ihn erheblich. Die allgemeine Haltung, die die Philosophie als wissenschaftlich genau anstreben könnte und sollte, blieb bei Łukasiewicz, obwohl seine Einschätzung des Zustands des Themas eher pessimistisch als optimistisch wurde, und er befürwortete eine grundlegende Reform der Philosophie nach logischen Gesichtspunkten. Er las 1904 Russells The Principles of Mathematics und es beeinflusste ihn erheblich. Die allgemeine Haltung, die die Philosophie als wissenschaftlich genau anstreben könnte und sollte, blieb bei Łukasiewicz, obwohl seine Einschätzung des Zustands des Themas eher pessimistisch als optimistisch wurde, und er befürwortete eine grundlegende Reform der Philosophie nach logischen Gesichtspunkten.

Ein weiterer Aspekt, in dem Łukasiewicz die Tradition der Brentano-Schule fortsetzte, war sein Respekt für die Geschichte der Philosophie, insbesondere die des Aristoteles und der britischen Empiriker. (Er und Twardowski übersetzten Humes erste Untersuchung ins Polnische.) Twardowski, der Bozen gut kannte, wies auf Ähnlichkeiten zwischen Konzepten in den Wahrscheinlichkeitstheorien von Bozen und Łukasiewicz hin. Der Respekt vor der Geschichte lag auch hinter Łukasiewicz 'bahnbrechenden Studien zur Geschichte der Logik, insbesondere seinen Berichten über die stoische Aussagenlogik und Aristoteles' Syllogistik.

Łukasiewicz emulierte und übertraf Twardowski in seiner Aufmerksamkeit für die Klarheit des Ausdrucks. Qualifizierte Experten sind sich einig, dass Łukasiewicz 'wissenschaftliche Prosa, in welcher der drei Sprachen er auch schrieb, von unübertroffener Klarheit und Schönheit ist.

3. Frühe Arbeit

In den Jahren vor dem Ersten Weltkrieg beschäftigte sich Łukasiewicz hauptsächlich mit Fragen der Wissenschaftsmethodik. Seine 1903 als „Über Induktion als Umkehrung des Abzugs“veröffentlichte Promotion untersuchte die Beziehung zwischen den beiden Argumentationsformen im Lichte der Arbeit von Jevons, Sigwart und Erdmann. Induktives Denken, ausgehend von singulären empirischen Aussagen, versucht nach seiner frühen Auffassung, zu einer allgemeinen Schlussfolgerung zu gelangen, der eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zugeschrieben werden kann. Bald wechselte er jedoch zu der Ansicht, dass es unmöglich ist, einer allgemeinen Aussage auf der Grundlage der Induktion eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zuzuschreiben. Vielmehr besteht die Methode der empirischen Wissenschaften darin, den Gedanken, dass eine bestimmte Verallgemeinerung wahr ist, kreativ zu gefährden, daraus singuläre Schlussfolgerungen abzuleiten und dann zu prüfen, ob diese wahr sind. Wenn eine Schlussfolgerung nicht ist,dann wird die allgemeine Aussage widerlegt. Dies, eine frühe Formulierung der hypothetisch-deduktiven Methode der Wissenschaft, nimmt die Ideen von Popper um mehr als zwei Jahrzehnte vorweg, wenn auch weniger eindringlich ausgedrückt. Łukasiewicz nahm Popper auch vorweg, indem er das betonte, was er als „kreative Elemente in der Wissenschaft“bezeichnete, gegen die Idee, dass es die Aufgabe des Wissenschaftlers sei, die Fakten zu reproduzieren oder zu replizieren.

Das Interesse an der Wahrscheinlichkeit lag hinter einer der beiden vor dem Krieg veröffentlichten Monographien von Łukasiewicz, nämlich den logischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie, die nicht in polnischer, sondern in deutscher Sprache verfasst und veröffentlicht wurden. In den Jahren 1908 und 1909 besuchte Łukasiewicz Graz, wo zu dieser Zeit sowohl Alexius Meinong als auch Ernst Mally an der Wahrscheinlichkeitstheorie arbeiteten. Daher ist es wahrscheinlich, dass das Buch in deutscher Sprache verfasst wurde, weil ihre Diskussionssprache Deutsch war, und auch um a breiteres Publikum. Łukasiewicz 'Theorie verwendet konstruktiv Ideen, die von anderswoher gepflückt wurden: von Frege nahm er die Idee eines Wahrheitswertes, von Whitehead und Russell die Idee eines unbestimmten Satzes und von Bozen die Idee des Verhältnisses von wahren Werten zu allen Werten für a Vorschlag. Betrachten Sie das klassische Urnenbeispiel,wo eine Urne m schwarze Kugeln und n weiße Kugeln enthält. Der unbestimmte Satz '(x) ist eine schwarze Kugel in dieser Urne' soll so sein, dass die Variable '(x)' jeden Ausdruck als Wert annehmen kann, der eine Kugel in der Urne benennt: Die Variable soll dann reichen über die einzelnen Bälle und verschiedene Ausdrücke, die denselben Ball benennen, um denselben Wert zu haben. (Beachten Sie, dass Łukasiewicz tatsächlich die später mit Quine assoziierte Terminologie einer Variablen verwendet, die Werte annimmt, hier Ausdrücke, und sich über Objekte erstreckt, die durch diese Ausdrücke bezeichnet werden.) Ein unbestimmter Satz gilt als wahr, wenn er einen wahren Satz ergibt (sagt Łukasiewicz) 'Urteil' für einen bestimmten Satz) für alle Werte seiner Variablen, es ist falsch, wenn es ein falsches Urteil für alle Werte ergibt,und ist weder wahr noch falsch, wenn es wahre Urteile für einige Werte und falsche Urteile für andere liefert. Das Verhältnis wahre Werte / alle Werte wird dann von Łukasiewicz der Wahrheitswert des unbestimmten Satzes genannt. Für wahre Unbestimmtheiten ist es 1, für falsche Unbestimmtheiten ist es 0 und für andere ist es eine rationale Zahl zwischen 0 und 1 (rational, weil nur endliche Domänen berücksichtigt werden). In unserem Urnenfall ist der Wahrheitswert des unbestimmten Satzes 'x ist eine schwarze Kugel in dieser Urne' (frac {m} {m + n}). In unserem Urnenfall ist der Wahrheitswert des unbestimmten Satzes 'x ist eine schwarze Kugel in dieser Urne' (frac {m} {m + n}). In unserem Urnenfall ist der Wahrheitswert des unbestimmten Satzes 'x ist eine schwarze Kugel in dieser Urne' (frac {m} {m + n}).

Auf dieser Basis entwickelt Łukasiewicz einen Kalkül von Wahrheitswerten, in dem er sich mit logisch komplexen Aussagen, bedingter Wahrscheinlichkeit, probabilistischer Unabhängigkeit befassen und den Bayes-Satz ableiten kann. Der Kalkül der Wahrheitswerte wird als logische Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet, die uns im Umgang mit der bestimmten Realität unterstützt: Łukasiewicz bestreitet, dass es eine Theorie der objektiven oder der subjektiven Wahrscheinlichkeit als solche geben kann. Zwei Ideen aus dieser kurzen, aber bemerkenswerten Arbeit sind hervorzuheben, da sie mit späteren von Łukasiewicz in Resonanz stehen. Erstens gibt es die Idee, dass ein Satz (in diesem Fall ein unbestimmter Satz) weder wahr noch falsch ist; zweitens und damit verbunden, von einem solchen Satz mit einem numerischen Wahrheitswert, der richtig zwischen 0 (falsch) und 1 (wahr) liegt. Die Theorie von Łukasiewicz verdient es, besser bekannt zu sein:es setzt frühere Ideen von Bozen fort und erweitert sie, wobei seine Wahrscheinlichkeit dem Grad der Gültigkeit eines Satzes (in Bezug auf variable Komponenten) entspricht. Sein Hauptnachteil ist, dass es nur für endliche Domänen formuliert ist.

Von allen Werken, die Łukasiewicz vor dem Ersten Weltkrieg veröffentlichte, nahm eines seine späteren Bedenken am deutlichsten vorweg. Dies war die Monographie von 1910 über das Prinzip des Widerspruchs bei Aristoteles. Es war ein entscheidender Wendepunkt in der Entwicklung der Schule in Lwów-Warschau. Für Łukasiewicz war dies die erste anhaltende Infragestellung der Annahmen der traditionellen aristotelischen Logik.

Łukasiewicz stellt das Projekt seiner Monographie vor, eine kritische Untersuchung der Legitimität des von Aristoteles unterschiedlich formulierten Widerspruchsprinzips (PC), im Kontext seiner Kritik von Hegel und der Gelegenheit, den PC im Lichte der Entwicklung der mathematischen Logik von Boole bis Russell. Łukasiewicz 'Quellen für die posthegelsche Diskussion der „logischen Frage“sind Überweg, Trendelenburg und Sigwart. Ein lokalerer Hintergrund war wahrscheinlich Twardowskis Bericht über die absolute und zeitlose Natur der Wahrheit.

Łukasiewicz unterscheidet drei verschiedene, nicht äquivalente PC-Versionen in Aristoteles: eine ontologische Version, eine logische Version und eine psychologische Version wie folgt:

Ontologisch (OPC): Kein Objekt darf gleichzeitig dieselbe Eigenschaft besitzen und nicht besitzen.

Logisch (LPC): Widersprüchliche Aussagen sind nicht gleichzeitig wahr.

Psychologisch (PPC): Niemand kann gleichzeitig widersprüchliche Dinge glauben.

Łukasiewicz kritisiert Aristoteles, weil er einerseits behauptet, der PC könne nicht bewiesen werden, und andererseits einen indirekten oder pragmatischen „Beweis“versuche. In teilweiser Übereinstimmung mit der Tradition, nach der PC nicht der Eckpfeiler oder das Grundprinzip der Logik ist, behauptet Łukasiewicz, dass sein Status weniger sicher ist als einige andere logische Sätze und dass seine Funktion hauptsächlich darin besteht, als pragmatische Norm zu dienen. In einem Anhang zum Buch gibt er jedoch eine formale Ableitung einer PC-Version von anderen Annahmen an. Dies zeigt, dass PC sozusagen nur ein logischer Satz ist, eine Aussage, die heute nur wenige Augenbrauen hochziehen würde, aber zu ihrer Zeit ziemlich radikal war. Zu den Annahmen, die bei der Ableitung verwendet werden, gehört eine Version des Prinzips der Bivalenz, wonach jeder Satz entweder wahr oder falsch ist und keiner beides ist. Die Ableitung von PC ist also doch keine solche Überraschung.

Łukasiewicz beschrieb sich später als Versuch in der Monographie, eine „nicht-aristotelische Logik“zu entwickeln, gibt jedoch zu, dass er keinen Erfolg hatte, hauptsächlich weil er zu diesem Zeitpunkt nicht bereit war, das Prinzip der Bivalenz abzulehnen. Es könnte durchaus Meinongs Einfluss bei der Arbeit sein, wenn Łukasiewicz kommt, um seine natürlichsprachlichen Darstellungen der Symbolik von Couturats Algebra der Logik im Anhang zu geben. Es gibt wenig oder keine Spur von der Satzlogik, die Łukasiewicz sich zu eigen machen sollte: Die Darstellungen sind ungeschickt objekttheoretisch: zum Beispiel die Konstante '0', die natürlich als konstanter falscher Satz ausgelegt werden könnte (und so ist) in später wird Łukasiewicz) als „das Objekt, das nicht existiert“gerendert. Dies ist ein Grund, warum Łukasiewicz 'formale Arbeit im Anhang zur Arbeit von 1910 relativ archaisch erscheint. Während die variablen Buchstaben wie (a, b) usw. "positive Aussagen bedeuten" und ihre Negationen (a ', b') usw. "negative Aussagen bedeuten" und in der Praxis wie Aussagenvariablen und ihre Negationen funktionieren In der modernen Aussagenlogik sind die Darstellungen von Łukasiewicz seltsamerweise hybride: '(a)' wird gerendert als '(X) enthält (a)' und '(a') 'als' (X.) enthält kein (a) ', während' 1 'bedeutet' (X) ist ein Objekt 'und' 0 'bedeutet' (X) ist kein Objekt '. Dies ist alles sehr verwirrt und keineswegs eine klassische sententiale Logik in der Absicht, selbst wenn sie in der Praxis wie eine funktioniert.und in der Praxis funktionieren sie wie Aussagenvariablen und ihre Negationen in der modernen Aussagenlogik. asukasiewicz 'Darstellungen sind seltsamerweise hybride:' (a) 'wird gerendert, wenn' (X) (a) 'und' / enthält (a ')' als '(X) enthält kein (a)', während '1' bedeutet '(X) ist ein Objekt' und '0' bedeutet '(X) nicht ein Objekt'. Dies ist alles sehr verwirrt und keineswegs eine klassische sententiale Logik in der Absicht, selbst wenn sie in der Praxis wie eine funktioniert.und in der Praxis funktionieren sie wie Aussagenvariablen und ihre Negationen in der modernen Aussagenlogik. asukasiewicz 'Darstellungen sind seltsamerweise hybride:' (a) 'wird gerendert, wenn' (X) (a) 'und' / enthält (a ')' als '(X) enthält kein (a)', während '1' bedeutet '(X) ist ein Objekt' und '0' bedeutet '(X) nicht ein Objekt'. Dies ist alles sehr verwirrt und keineswegs eine klassische sententiale Logik in der Absicht, selbst wenn sie in der Praxis wie eine funktioniert.

Obwohl das Buch an sich kein Erfolg ist, zeigt es Łukasiewicz an der Schwelle seiner späteren logischen Durchbrüche. Es wurde 1911 von dem jungen Leśniewski gelesen, der gegen Łukasiewicz versuchte, OPC zu beweisen, und der sich 1912 erstmals vor Łukasiewicz 'Haustür mit den Worten vorstellte: „Ich bin Leśniewski, und ich bin gekommen, um Ihnen die Beweise eines Artikels I zu zeigen habe gegen dich geschrieben. Das Buch enthält auch eine kurze Diskussion über Russells Paradoxon. Diese Lektüre inspirierte Leśniewski, Logiker zu werden, um eine paradoxe logische Grundlage für die Mathematik zu schaffen. Das Buch förderte die weitere Diskussion in Lwów: Kotarbiński schrieb zur Verteidigung von Aristoteles 'Idee, die von Łukasiewicz diskutiert wurde, dass eine Aussage über zukünftige zufällige Ereignisse vor dem Ereignis möglicherweise keinen Wahrheitswert hat und erst danach einen gewinnt.während Leśniewski dagegen schrieb und Kotarbiński zu seiner eigenen Ansicht brachte (die mit früheren Ansichten von Twardowski und späteren von Tarski übereinstimmte), dass die Wahrheit zeitlos oder, wie Leśniewski es ausdrückte, sowohl ewig als auch sempiternal ist. Łukasiewicz war bald auf der Seite des früheren Kotarbiński und machte damit seine berühmteste Entdeckung, die der viel geschätzten Logik.

4. Aussagenlogik

4.1 Entdeckungen in der Aussagenlogik

Łukasiewicz stieß in ihrer Arbeit und auch in der von Frege auf Aussagenlogik, der er ursprünglich Whitehead und Russell folgte, um sie als "Theorie der Deduktion" zu bezeichnen. 1921 veröffentlichte Łukasiewicz einen bahnbrechenden Artikel mit dem Titel „Zwei-Werte-Logik“, in dem er die Algebra der Logik zusammenführte, die die beiden Wahrheitswerte wahr und falsch regelt, die Freukasiewicz wie Frege als welche Sätze oder Sätze interpretierte bezeichnet, aber für die er im Gegensatz zu Frege konstante Satzsymbole '1' und '0' einführte. Er beabsichtigte es als ersten Teil einer Monographie über dreiwertige Logik, die jedoch nie abgeschlossen wurde, wahrscheinlich weil Łukasiewicz mit dem eher hybriden Ansatz unzufrieden wurde, der durch seine rasche Entwicklung bereits veraltet war. Der Artikel zeichnet sich durch mehrere Neuerungen aus. Unter Verwendung einer Symbolik, die von denen von Couturat und Peirce abgeleitet ist, wird neben der axiomatischen Behauptung die Idee der axiomatischen Ablehnung eingeführt, die letztere natürlich von Frege, Whitehead und Russell kannte. Die Konstanten '0' und '1' kommen auch in bestätigten und zurückgewiesenen Formeln vor, wodurch eine objektsprachliche Version von Wahrheitstabellen erstellt wird. Um dies zu zeigen, verwenden wir die spätere klammerfreie Notation von Łukasiewicz (siehe das ergänzende Dokument (Parentukasiewicz 'klammerfreie oder polnische Notation) und seine Symbole' (vdash) 'für die Behauptung und' (dashv) 'für die Ablehnung). zu lesen als "Ich behaupte" bzw. "Ich lehne ab". Die ersten Prinzipien der Logik sind einfach ({ vdash} 1) und ({ dashv} 0), geben aber die folgende Tabelle für die Implikation an Grundsätze müssen eingehalten werden: ({ vdash} C00, { vdash} C01, { dashv} C10,{ vdash} C11). Wenn Łukasiewicz Aussagenvariablen verwendete, quantifizierte er sie nach Peirce-Art, wobei er '(Pi)' für den universellen und '(Sigma)' für den jeweiligen Quantifizierer verwendete.

Łukasiewicz und seine Schüler haben sich das Studium der Aussagenkalküle sehr zu eigen gemacht: Die zwischen 1920 und 1930 erzielten Ergebnisse wurden 1930 in einer gemeinsamen Arbeit von Łukasiewicz und Tarski „Untersuchungen über den gleichenkalkül“veröffentlicht. Es wurde sowohl an klassischen (zweiwertigen) als auch an vielwertigen Kalkülen gearbeitet. Die klarste und vollständigste Demonstration, wie Łukasiewicz in seiner Reife die klassische Aussagenrechnung behandelte, findet sich in seinem Lehrbuch von 1929, das auf Vorlesungsskripten, Elemente der mathematischen Logik, basiert. Das System, das Frege folgt, basiert allein auf Implikation ((C)) und Negation ((N)), wobei das elegante Axiom festgelegt ist

) begin {align} & CCpqCCqrCpr \& CCNppp \& CpCNpq / end {align})

und drei Inferenzregeln: modus ponens, eine Regel der einheitlichen Substitution von Formeln für Satzvariablen und eine Regel der definitorischen Ersetzung. Auf dieser Grundlage und unter Verwendung einer extrem komprimierten linearen Notation für Beweise, die das entgegengesetzte Extrem von Freges raumgreifenden Beweisen darstellt, beweist Łukasiewicz auf nur 19 Seiten etwa 140 Theoreme.

Łukasiewicz, unterstützt und unterstützt von Studenten und Kollegen, nicht nur Tarski, sondern auch Adolf Lindenbaum, Jerzy Słupecki, Bolesław Sobociński, Mordechaj Wajsberg und andere, untersuchte nicht nur den vollständigen (funktional vollständigen) Satzkalkül mit verschiedenen Konnektivitätssätzen als Grundlage, einschließlich der Sheffer-Funktor D, aber auch Teilkalküle, insbesondere der reine Implikationskalkül (basierend auf C allein) und der reine Äquivalenzkalkül (basierend auf E allein). Sie bemühten sich, Axiomsätze zu finden, die eine Reihe normativer Kriterien erfüllen: Axiome sollten so wenig wie möglich, so kurz wie möglich, unabhängig und mit so wenig Primitiven wie möglich sein. Zweifellos war die Suche nach immer besseren Axiomensystemen ein Wettbewerbselement, insbesondere bei dem Versuch, einzelne Axiome für verschiedene Systeme zu finden.und die Übung wurde als bloßer „Sport“belächelt oder sogar herabgesetzt, aber die polnische Beschäftigung mit der Verbesserung von Axiomensystemen war eine Suche nach logischer Perfektion, ein Beispiel dafür, was Jan Woleński als „Logik um der Logik willen“bezeichnet hat. Früher glaubte man nicht ohne Begründung, nur Polen könnten mithalten. Als Tarski dem amerikanischen Logiker Emil Post einmal gratulierte, dass er der einzige Nicht-Pole war, der grundlegende Beiträge zur Aussagenlogik leistete, antwortete Post, er sei in Augustów geboren worden und seine Mutter stamme aus Białystok. Später sollte Łukasiewicz im irischen Mathematiker Carew Meredith einen würdigen Nichtpol finden, der in der Kürze seiner Axiome sogar die Polen übertreffen konnte.eine Illustration dessen, was Jan Woleński als „Logik um der Logik willen“bezeichnet hat. Früher glaubte man nicht ohne Begründung, nur Polen könnten mithalten. Als Tarski dem amerikanischen Logiker Emil Post einmal gratulierte, dass er der einzige Nicht-Pole war, der grundlegende Beiträge zur Aussagenlogik leistete, antwortete Post, er sei in Augustów geboren worden und seine Mutter stamme aus Białystok. Später sollte Łukasiewicz im irischen Mathematiker Carew Meredith einen würdigen Nichtpol finden, der in der Kürze seiner Axiome sogar die Polen übertreffen konnte.eine Illustration dessen, was Jan Woleński als „Logik um der Logik willen“bezeichnet hat. Früher glaubte man nicht ohne Begründung, nur Polen könnten mithalten. Als Tarski dem amerikanischen Logiker Emil Post einmal gratulierte, dass er der einzige Nicht-Pole war, der grundlegende Beiträge zur Aussagenlogik leistete, antwortete Post, er sei in Augustów geboren worden und seine Mutter stamme aus Białystok. Später sollte Łukasiewicz im irischen Mathematiker Carew Meredith einen würdigen Nichtpol finden, der in der Kürze seiner Axiome sogar die Polen übertreffen konnte. Post antwortete, dass er in Augustów geboren wurde und seine Mutter aus Białystok stammte. Später sollte Łukasiewicz im irischen Mathematiker Carew Meredith einen würdigen Nichtpol finden, der in der Kürze seiner Axiome sogar die Polen übertreffen konnte. Post antwortete, dass er in Augustów geboren wurde und seine Mutter aus Białystok stammte. Später sollte Łukasiewicz im irischen Mathematiker Carew Meredith einen würdigen Nichtpol finden, der in der Kürze seiner Axiome sogar die Polen übertreffen konnte.

Łukasiewicz verwendete vielwertige Matrizen, um die Unabhängigkeit logischer Axiome in Systemen von Frege, Russell und anderen festzustellen. Er bewies die Vollständigkeit vollständiger, impliziter und äquivalenter Kalküle und bewies, dass der Äquivalenzkalkül auf dem einzelnen Axiom (EEpqErqEpr) mit Substitution und Ablösung der Äquivalenz basieren konnte, und zeigte weiter, dass kein kürzeres Axiom das einzige Axiom sein konnte vom System. Tarski zeigte 1925, dass die reine Implikationsrechnung auf einem einzigen Axiom basieren konnte, aber eine Reihe von Verbesserungen von Wajsberg und Łukasiewicz führte 1936 zu dessen Entdeckung, dass die Formel (CCCpqrCCrpCsp) als einzelnes Axiom dienen konnte und dass nicht kürzer Axiom würde ausreichen, obwohl die Veröffentlichung dieses Ergebnisses bis 1948 warten musste.

4.2 Variable Satzfunktionen

Standard-Satzrechnung verwendet weder Quantifizierer noch variable Funktoren, dh Funktoren einer oder mehrerer Stellen, die Satzargumente verwenden, aber im Gegensatz zu konstanten Funktoren wie (N) oder (C) keine feste Bedeutung haben. Solche variablen Funktoren wirken wie die Prädikate der Prädikatenlogik erster Ordnung, außer dass sie eher Aussagen als nominelle Argumente verwenden. Sie tragen somit zur Ausdruckskraft der Logik bei. Leśniewski fügte der Aussagenlogik sowohl Quantifizierer als auch gebundene Aussagen- und Funktionsvariablen hinzu und nannte die resultierende Theorie Protothetik. Wenn man vorangestellte universelle Quantifizierer stillschweigend lässt, ist es eine These der Protothetik, dass

) begin {align} & CEpqC / delta p / delta q / end {align})

Dabei ist (delta) ein Ein-Platz-Satzfunktor, der aus demselben syntaktischen Stall wie Negation oder Notwendigkeit stammt. Diese These ist Ausdruck des Gesetzes der Extensionalität für Satzausdrücke. Wenn (p) und (q) durch komplexe Ausdrücke (x) und (y) ersetzt werden, kann die These verwendet werden, um Definitionen in der impliziten Form (C / delta x) zu ermöglichen Delta y).

Wenn (delta) durch den ersten Teil eines komplexen Ausdrucks ersetzt wird, z. B. (Cq) oder (CCq0), dann wird einfach eine Variable wie (p) angehängt, um (Cqp) zu erhalten), (CCq0p) ist unkompliziert. Wenn jedoch die „Lücke“, in die die Variable gehen soll, nicht am Ende ist, wie z. B. (Cpq), oder wenn die Variable mehrmals eingefügt werden soll, wie (CCp0p), wird dieses einfache Ersetzungsverfahren durchgeführt nicht arbeiten. Leśniewski umging das Problem, indem er Hilfsdefinitionen einführte, die den erforderlichen Variablenschlitz mit nur einem Vorkommen in die richtige Position manövrierten. Aber Łukasiewicz fand dieses Verfahren nicht intuitiv und verschwenderisch. Seine Präferenz - die in der Tat die Praxis von Frege widerspiegelt - war es, jeden Kontext, in dem eine einzelne Satzvariable frei ist, als Substituenten für einen Funktor wie (delta) zuzulassen.und markieren Sie die Stellen, an denen das Argument von (delta) mit einem Apostroph eingefügt werden soll, also in unseren Beispielen (C / apos q), (CC / apos 0 / apos). Diese liberalere „Substitution durch Apostroph“ermöglicht es, Definitionen eine befriedigend einfache Implikationsform zu geben. Zum Beispiel kann in der Satzrechnung, die auf der Implikation und der Satzkonstante 0 basiert, die Negation einfach durch (C / delta Np / delta Cp0) definiert werden. Die Verwendung variabler Funktoren mit liberaler Substitution ermöglicht es, eine Reihe von Prinzipien der Aussagenlogik mit überraschend komprimierten und eleganten Formulierungen zu versehen, beispielsweise das Prinzip der Bivalenz in der FormDiese liberalere „Substitution durch Apostroph“ermöglicht es, Definitionen eine befriedigend einfache Implikationsform zu geben. Zum Beispiel kann in der Satzrechnung, die auf der Implikation und der Satzkonstante 0 basiert, die Negation einfach durch (C / delta Np / delta Cp0) definiert werden. Die Verwendung variabler Funktoren mit liberaler Substitution ermöglicht es, eine Reihe von Prinzipien der Aussagenlogik mit überraschend komprimierten und eleganten Formulierungen zu versehen, beispielsweise das Prinzip der Bivalenz in der FormDiese liberalere „Substitution durch Apostroph“ermöglicht es, Definitionen eine befriedigend einfache Implikationsform zu geben. Zum Beispiel kann in der Satzrechnung, die auf der Implikation und der Satzkonstante 0 basiert, die Negation einfach durch (C / delta Np / delta Cp0) definiert werden. Die Verwendung variabler Funktoren mit liberaler Substitution ermöglicht es, eine Reihe von Prinzipien der Aussagenlogik mit überraschend komprimierten und eleganten Formulierungen zu versehen, beispielsweise das Prinzip der Bivalenz in der Formzum Beispiel das Prinzip der Bivalenz in der Formzum Beispiel das Prinzip der Bivalenz in der Form

) begin {align} & C / delta 0C / delta C00 / delta p / end {align})

was gelesen werden kann als "wenn etwas für einen falschen Satz wahr ist, dann wenn es für einen wahren Satz wahr ist, ist es für jeden Satz wahr" (C 00 ist ein wahrer Satz). Die höchsten Errungenschaften der Komprimierung mit variablen Funktoren wurden von Meredith erzielt, die zeigte, dass die gesamte klassische Aussagenlogik mit variablen Funktoren auf dem einzelnen Axiom basieren kann

) begin {align} & C / delta pC / delta Np / delta q. / end {align})

Erstaunlicherweise zeigte Meredith 1951, dass die gesamte zweiwertige Aussagenrechnung mit Quantifizierern und variablen Funktoren unter Verwendung von Substitutions-, Ablösungs- und Quantifiziererregeln aus der einzelnen axiomatischen Formel abgeleitet werden kann

) begin {align} & C / delta / delta 0 / delta p. / end {align})

Łukasiewicz beschrieb dieses Kunststück bewundernd als „ein Meisterwerk der Kunst des Abzugs“.

4.3 Intuitionistische Logik

Łukasiewicz interessierte sich für intuitionistische Logik, nicht zuletzt, weil sie wie seine eigene das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte ablehnte. In einem späten Artikel, der 1952 veröffentlicht wurde, gab er eine elegante Axiomatisierung mit zehn Axiomen unter Verwendung der Buchstaben (F), (T) und (O) für die intuitionistischen Konnektiva von Implikation, Konjunktion bzw. Disjunktion in um Zusammenstöße zu vermeiden, die durch „Konkurrenz“um die Konnektiva verursacht wurden, behielt er interessanterweise die für beide Systeme übliche Verneinung bei. Anschließend zeigte er, wie man klassische Implikationen als (NTpNq) definiert, formulierte diese Definition unter Verwendung eines variablen Funktors als Implikation

) begin {align} & F / delta NTpNq / delta Cpq / end {align})

und bewiesen, dass in dieser Version die klassische zweiwertige Logik, die auf (C) und (N) basiert, in der intuitionistischen Logik enthalten ist, vorausgesetzt, die Ablösung beschränkt sich nur auf (C) - (N) -Formeln. Klassische Konjunktion und Disjunktion können auf übliche Weise als (NCpNq) bzw. (CNpq) definiert werden. Durch die Unterscheidung zwischen intuitionistischen und klassischen Konnektiven kehrt seine Perspektive die übliche um, dass die intuitionistische Aussagenrechnung in Theoremen schlechter ist als in der Klassik: In Łukasiewicz 'Formulierung ist es umgekehrt.

5. Vielwertige Logik

5.1 Möglichkeit und der dritte Wert

Łukasiewicz 'berühmteste Leistung war die Entwicklung vieler wertvoller Logiken. Diese revolutionäre Entwicklung erfolgte im Zusammenhang mit der Erörterung der Modalität, insbesondere der Möglichkeit. Für moderne Logiker, die an die Idee gewöhnt sind, modale Logik auf klassische zweiwertige Logik zu übertragen, mag dies seltsam erscheinen. Aber lassen Sie uns überlegen, wie Łukasiewicz zu dieser Idee gekommen ist. Wenn (p) ein Satz ist, soll (Lp) notieren, dass es notwendig ist, dass (p) und (Mp), dass es möglich ist, dass (p). Die beiden Modaloperatoren sind durch die übliche Äquivalenz (ENLpMNp) verbunden. Jeder akzeptiert die Implikationen (CLpp) und (CpMp). Łukasiewicz nimmt an, dass man auch die umgekehrten Implikationen (CpLp) und (CMpp) akzeptiert, wie man es aus deterministischer Sicht tun würde. Dies ergibt die Äquivalenzen (EpLp) und (EpMp), die die Modalunterscheidungen effektiv aufheben. Fügen Sie nun die Idee hinzu, dass die Möglichkeit zweiseitig ist: Wenn etwas möglich ist, ist auch seine Negation: (EMpMNp). Daraus folgt unmittelbar das (EpNp), und dies ist in der zweiwertigen Logik paradox. Der Ausweg, wie Łukasiewicz es darstellt, besteht darin, die Modalunterscheidungen aufzuheben, indem nicht eines der oben genannten Prinzipien abgelehnt wird, sondern ein Fall gefunden wird, in dem (EpNp) wahr ist. Wir unterhalten die Idee, dass der Satz (Mp) wahr ist, wenn (p) weder wahr noch falsch ist. Neben den Wahrheitswertennicht indem man eines der oben genannten Prinzipien ablehnt, sondern indem man einen Fall findet, in dem (EpNp) wahr ist. Wir unterhalten die Idee, dass der Satz (Mp) wahr ist, wenn (p) weder wahr noch falsch ist. Neben den Wahrheitswertennicht indem man eines der oben genannten Prinzipien ablehnt, sondern indem man einen Fall findet, in dem (EpNp) wahr ist. Wir unterhalten die Idee, dass der Satz (Mp) wahr ist, wenn (p) weder wahr noch falsch ist. Neben den Wahrheitswerten true (1) und false (0) erlauben dann einen dritten möglichen Wert, den wir '(tfrac {1} {2})' schreiben, so dass, wenn (p) weder wahr noch falsch ist, es ist möglich, und ebenso seine Negation (Np), denn wenn (Np) wahr wäre, wäre (p) falsch und umgekehrt. Wenn (Epq) wahr ist, wenn (p) und (q) den gleichen Wahrheitswert haben, dann ist (p) möglich (wir schreiben '(tval {p})' für den Wahrheitswert von (p) haben wir also (tval {p} = / tfrac {1} {2}))

) begin {align} & / tval {EpNp} = / tval {E / tfrac {1} {2} tfrac {1} {2}} = 1 / end {align})

Dies ist mit geringfügigen Änderungen die Art und Weise, wie Łukasiewicz den dritten Wert in seinem ersten veröffentlichten Artikel zu diesem Thema einführt, der den Titel „Über das Konzept der Möglichkeit“trägt. Dieses kurze Papier basiert auf einem Vortrag, der am 5. Juni 1920 in Lwów gehalten wurde. Zwei Wochen später wurde ein zweiter Vortrag am selben Ort transparenter mit dem Titel „On Three-Valued Logic“versehen. In diesem Artikel legt Łukasiewicz Grundsätze für die Implikation und Äquivalenz des dritten Werts fest. Diese bestimmen tatsächlich die Wahrheitstabellen ^[2] für diese Konnektiva:

(C) 1 ½ 0 1 1 ½ 0 ½ 1 1 ½ 0 1 1 1

(E) 1 ½ 0 1 1 ½ 0 ½ ½ 1 ½ 0 0 ½ 1

Zusammen mit den angenommenen Definitionen von Negation, Konjunktion und Disjunktion als

) begin {align} Np & = Cp0 \\ Apq & = CCpqq \\ Kpq & = NANpNq / end {align})

Dies ergibt Wahrheitstabellen für diese Konnektiva als

(N) 1 0 ½ ½ 0 1

(EIN) 1 ½ 0 1 1 1 1 ½ 1 ½ ½ 0 1 ½ 0

(K) 1 ½ 0 1 1 ½ 0 ½ ½ ½ 0 0 0 0 0

Łukasiewicz erklärt stolz, „dass die dreiwertige Logik vor allem als erster Versuch, eine nicht-aristotelische Logik zu schaffen, theoretische Bedeutung hat“(PL, 18; SW, 88). Was seine praktische Bedeutung ist, wartet seiner Meinung nach darauf, gesehen zu werden, und dafür müssen wir „die Konsequenzen der unbestimmten Sichtweise, die die metaphysische Grundlage der neuen Logik darstellt, mit der Erfahrung vergleichen“(ebenda).

5.2 Indeterminismus und der dritte Wert

Diese letzte Bemerkung zeigt die Motivation von Łukasiewicz 'Bestreben, die alte zweiwertige Logik durch die neue dreiwertige zu ersetzen. Es war, um Indeterminismus und Freiheit zu verteidigen. Tatsächlich war die Idee etwa drei Jahre zuvor verwirklicht worden. Nachdem Łukasiewicz 1918 in eine Verwaltungsposition im Bildungsministerium berufen worden war und kurz davor stand, das akademische Leben auf unbestimmte Zeit zu verlassen, hielt er am 17. März einen „Abschiedsvortrag“an der Universität Warschau, in dem er dramatisch verkündete: „ Ich habe allen Zwängen einen geistigen Krieg erklärt, der die freie schöpferische Tätigkeit des Menschen einschränkt. “Die logische Form dieses Zwangs war nach Ansicht von Łukasiewicz die aristotelische Logik, die Sätze auf wahr oder falsch beschränkte. Seine eigene Waffe in diesem Krieg war eine dreiwertige Logik. Er erinnert sich an seine Monographie von 1910 und stellt fest, dass:

Schon damals bemühte ich mich, nicht-aristotelische Logik zu konstruieren, aber vergebens. Jetzt glaube ich, dass mir das gelungen ist. Mein Weg wurde mir durch Antinomien angezeigt, die beweisen, dass es eine Lücke in Aristoteles 'Logik gibt. Das Füllen dieser Lücke führte mich zu einer Transformation der traditionellen Prinzipien der Logik. Die Prüfung dieses Themas war Gegenstand meiner letzten Vorlesungen. Ich habe bewiesen, dass es neben wahren und falschen Sätzen auch mögliche Sätze gibt, denen die objektive Möglichkeit als drittes zusätzlich zum Sein und Nichtsein entspricht. Daraus entstand ein System dreiwertiger Logik, das ich letzten Sommer ausführlich ausgearbeitet habe. Dieses System ist so kohärent und selbstkonsistent wie Aristoteles 'Logik und viel reicher an Gesetzen und Formeln. Diese neue Logik, durch die Einführung des Konzepts der objektiven Möglichkeit,zerstört das frühere Konzept der Wissenschaft, basierend auf der Notwendigkeit. Mögliche Phänomene haben keine Ursachen, obwohl sie selbst der Beginn einer kausalen Sequenz sein können. Ein Akt eines kreativen Individuums kann frei sein und gleichzeitig den Lauf der Welt beeinflussen. (SW, 86)

Da Łukasiewicz bis Ende 1919 an der Regierung beteiligt war, dauerte es bis 1920, bis seine Entdeckungen von 1917 einer breiteren akademischen Öffentlichkeit zugänglich gemacht wurden. Łukasiewicz kehrte am 16. Oktober 1922 für seine Antrittsvorlesung als Rektor der Universität Warschau zum Thema Determinismus zurück. Diese Vorlesung, die ohne Notizen gehalten, aber später niedergeschrieben wurde, wurde bis 1946 überarbeitet, wenn auch nicht im Wesentlichen. Sie wurde nur veröffentlicht posthum 1961 als "On Determinism". Łukasiewicz unterscheidet zwischen logischem und kausalem Determinismus und behauptet, dass das Ereignis eintreten muss, wenn eine Vorhersage eines zukünftigen zufälligen Ereignisses wie einer Aktion zum Zeitpunkt der Vorhersage wahr ist. Die einzige Möglichkeit, die Handlungsfreiheit des Agenten zu retten, besteht darin, sie zu leugnen dass die Vorhersage wahr ist, und weisen Sie ihr stattdessen den dritten Wahrheitswert der Möglichkeit zu.

Hier ist nicht der richtige Ort, um auf die Probleme mit der Argumentation von Łukasiewicz einzugehen. Es genügt zu sagen, dass das Prinzip EpLp von Deterministen nicht akzeptiert werden muss und dass andere Logiker, die erwogen haben, der Logik einen dritten Wert hinzuzufügen, wie (von Łukasiewicz unbekannt) William von Ockham, zu dem Schluss kamen, dass es keinen Grund gab, die Bivalenz abzulehnen Wahrung der Freiheit. Dies ohne Berücksichtigung kompatibilistischer Ansichten.

5.3 Mehr als drei Werte

Sobald der Zauber der Bivalenz gebrochen war, bestand ein natürlicher nächster Schritt darin, Logik mit mehr als drei Werten zu betrachten. 1922 gab Łukasiewicz an, wie Wahrheitstabellen für die Standardverbindungen in Systemen mit endlich oder unendlich vielen Wahrheitswerten nach den folgenden Prinzipien angegeben werden können, wobei die Wahrheitswerte Zahlen im Intervall [0,1] sind:

) begin {align} tval {Cpq} & = / begin {case} 1, & / text {if} tval {p} le / tval {q} (1 - / tval {p}) + / tval {q}, & / text {if} tval {p} gt / tval {q} end {Fälle} / \ tval {Np} & = 1 - / tval {p} end {ausgerichtet })

Als Łukasiewicz Logik mit unendlich vielen Werten vorschlug, war er damit der Erfinder dessen, was viel später (genauer gesagt 43 Jahre später) als "Fuzzy-Logik" bezeichnet wurde. 1930 kommentierte Łukasiewicz diese Systeme

Mir war von Anfang an klar, dass von allen vielwertigen Systemen nur zwei eine philosophische Bedeutung beanspruchen können: das dreiwertige und das unendlichwertige. Wenn andere Werte als "0" und "1" als "das Mögliche" interpretiert werden, können nur zwei Fälle vernünftigerweise unterschieden werden: Entweder nimmt man an, dass es keine Variationen in den Graden des Möglichen gibt, und gelangt folglich zum dreiwertigen System;; oder man nimmt das Gegenteil an, in welchem Fall es am natürlichsten wäre, wie in der Wahrscheinlichkeitstheorie anzunehmen, dass es unendlich viele Grade von Möglichkeiten gibt, was zu dem unendlich wertigen Satzkalkül führt. Ich glaube, dass das letztere System allen anderen vorzuziehen ist. Leider wurde dieses System noch nicht ausreichend untersucht;Insbesondere die Beziehungen des unendlich bewerteten Systems zur Wahrscheinlichkeitsrechnung müssen noch untersucht werden. “(SW, 173)

Wir werden diese philosophische Haltung weiter unten diskutieren.

5.4 Axiome und Definitionen

Sobald der Wahrheitstabellen- oder Matrixansatz für vielwertige Logiken festgelegt war, war es naheliegend, ihre Axiomatisierung in Betracht zu ziehen. Die Schüler von Łukasiewicz halfen dabei. 1931 axiomatisierte Wajsberg das dreiwertige System Ł (_ 3) durch die Thesen

) begin {align} & CpCqp \& CCpqCCqrCpr \& CCNpNqCqp \& CCCpNppp / end {align})

Wajsberg bewies auch eine Vermutung von Łukasiewicz, dass das unzählig unendlich wertvolle System Ł (_ { aleph_0}) durch axiomatisiert werden kann

) begin {align} & CpCqp \& CCpqCCqrCpr \& CCCpqqCCqpp \& CCCpqCqpCqp \& CCNpNqCqp / end {align})

Keines dieser Systeme ist funktional vollständig: Es gibt Verbindungen, die nicht allein aufgrund von C und N definiert werden können. Unter den definierbaren ist die Möglichkeit M: Bereits 1921 zeigte Tarski, dass sie als CNpp definiert werden kann. 1936 zeigte Słupecki, dass durch Hinzufügen eines Funktors (T), der als (tval {Tp} = / tfrac {1} {2}) für alle Werte von p spezifizierbar ist, alle Verbindungen in Ł ₃ definiert werden können. Um diese funktional vollständigen Systeme zu axiomatisieren, werden die Formeln verwendet

) begin {align} & CTpNTp \& CNTpTp / end {align})

müssen zu Wajsbergs Axiomen hinzugefügt werden.

Adolf Lindenbaum hat gezeigt, dass Ł (_ n) genau dann in Ł (_ m) ((n / lt m)) enthalten ist, wenn (n - 1) ein Teiler von (m - 1) ist), also wenn keiner den anderen teilt, überlappen sich ihre jeweiligen Tautologien richtig, aber keiner der Sätze ist im anderen enthalten. Tautologien des unendlichen Systems Ł (_ { aleph_0}) sind in denen aller endlichen Systeme enthalten.

5.5 Zweite Gedanken zur Modalität: System Ł

Ab 1917 war Łukasiewicz mit der dreiwertigen Logik als Formulierung angemessener Modalitätsvorstellungen zufrieden, wobei die festgestellte Präferenz für das unendlichwertige System als optimal präzise angesehen wurde. Irgendwann, wahrscheinlich zwischen 1951 und 1952, als er an Aristoteles 'Modallogik arbeitete, änderte Łukasiewicz seine Meinung. Es gibt eine Reihe von Gründen für die Änderung der Meinung, aber am einfachsten zu identifizieren ist die Besorgnis von Łukasiewicz, dass es in Ł (_ 3) Theoreme der Form (L / alpha) gibt, zum Beispiel (LCpp). Warum sollte dies ein Problem sein, da die meisten "Standard" -Modallogiken das Prinzip erkennen, dass wenn (alpha) ein Theorem ist, dies auch (L / alpha) ist? Łukasiewicz gibt zwei Beispiele, um die Sorge zu rechtfertigen. Wenn ({=} ab) der Satz ist, dass (a) mit (b) identisch ist, dann basiert die Identität auf den beiden Axiomen Selbstidentität und Extensionalität

) begin {align} & {=} aa \& C {=} abC { phi} a { phi} b / end {align})

dann ergibt das Instanziieren von (L {=} a / apos) für (phi)

) begin {align} & C {=} abCL {=} aaL {=} ab / end {align})

und wenn wir (L {=} aa) akzeptieren, müssen wir zu dem Schluss kommen, dass (L {=} ab), was Łukasiewicz für falsch hält (SW 392, AS 171), unter Berufung auf Quines (1953) Beispiel (jetzt) veraltet, weil sich die Anzahl geändert hat), dass 9 zwar die Anzahl der Planeten ist, dies aber nicht unbedingt wahr ist, obwohl notwendigerweise 9 = 9. Dually haben wir

) begin {align} & CMN {=} abN {=} ab / end {align})

das heißt, wenn (MN {=} ab) dann (N {=} ab). Angenommen, a wird durch "die Zahl, die auf diesen Wurf dieses Würfels geworfen wird" und b durch "die Zahl, die auf den nächsten Wurf dieses Würfels geworfen wird" ersetzt. Der Vorgänger kann wahr und der daraus resultierende falsch sein.

Nach der anschließenden Diskussion solcher Beispiele durch Quine, Kripke und andere überzeugen diese Beispiele kaum, aber es gibt noch einen allgemeineren Grund, warum Łukasiewicz Notwendigkeiten als Theoreme ablehnt:

Es wird allgemein angenommen, dass apodeiktische Sätze eine höhere Würde haben und zuverlässiger sind als entsprechende assertorische. Diese Konsequenz ist für mich keineswegs offensichtlich. […] Ich neige dazu zu denken, dass alle Systeme der Modallogik, die behauptete apodeiktische Sätze akzeptieren, falsch sind. (SW 395-6).

Da (LCpp) ein Theorem aller Systeme der vielwertigen Logik ist, musste sich Łukasiewicz etwas Neues einfallen lassen. Dies tat er 1953 in seiner Arbeit „A System of Modal Logic“.

Łukasiewicz beginnt das Papier mit der Festlegung der Bedingungen, die eine modale Logik erfüllen muss. Dazu gehören axiomatische Ablehnungen sowie Behauptungen wie folgt:

) begin {align} & / vdash CpMp \& / dashv CMpp \& / dashv Mp \& / vdash CLpp \& / dashv CpLp \& / dashv NLp \& / vdash EMpNLNp \& / vdash ELpNMNp / end {align})

Um ein System der Modallogik zu erhalten, das die Extensionalität für Satzfunktoren berücksichtigt, verwendet Łukasiewicz Merediths Axiom für (C) - (N) - (Delta) Satzrechnung

) begin {align} & / vdash C / delta pC / delta Np / delta q / end {align})

und fügt eine weitere axiomatische Behauptung und zwei axiomatische Ablehnungen hinzu

) begin {align} & / vdash CpMp \& / dashv CMpp \& / dashv Mp / end {align})

zusammen mit Regeln der Substitution und Loslösung für Behauptung und Ablehnung, um seine Logik zu erhalten. Die Grundsätze für die Behauptung sind wie üblich, während die für die Ablehnung sind:

(dashv) Substitution: Jede Formel mit einer abgelehnten Substitutionsinstanz wird abgelehnt.

(dashv) Detachment: Wenn (Cab) aktiviert und (b) abgelehnt wird, wird (a) abgelehnt.

Daraus kann er alle gewünschten Prinzipien und Erweiterungen ableiten.

Dies ist die Logik Ł. Im Gegensatz zu Standard-Modallogiken hat es eine endliche charakteristische Matrix wie folgt, wobei wir wie Łukasiewicz jetzt '(M)' durch ein neues Symbol '(Delta)' ersetzen, wobei 1 der festgelegte (wahre) Wert ist und 4 der antidesignierte (falsche) Wert:

(C)	1	2	3	4	(N)	({Delta})
1	1	2	3	4	4	1
2	1	1	3	3	3	1
3	1	2	1	2	2	3
4	1	1	1	1	1	3

Die Matrix wurde 1961 von Smiley als charakteristisch erwiesen. Funktoren der Notwendigkeit ((Gamma)) und Konjunktion sind auf übliche Weise definierbar. Interessanter ist, dass Łukasiewicz feststellt, dass es einen anderen Möglichkeitsoperator (nabla) mit der ebenfalls unten angegebenen Wahrheitstabelle gibt:

(K)	1	2	3	4	(Gamma)	({ nabla})
1	1	2	3	4	2	1
2	2	2	4	4	2	2
3	1	4	3	4	4	1
4	4	4	4	4	4	2

Für sich genommen ist dies nicht von (Delta) zu unterscheiden, aber die beiden Operatoren interagieren unterschiedlich miteinander, während (dashv / Delta / Delta p) und (dashv / nabla / nabla p) beide (vdash / Delta / nabla p) und (vdash / nabla / Delta p). Łukasiewicz vergleicht sie mit Zwillingen, die nicht getrennt, aber zusammen unterscheidbar sind. Ähnliche Zwillinge sind der Notwendigkeitsoperator (Gamma) und sein Gegenstück (mit den Werten 3434) sowie die beiden mittleren Wahrheitswerte 2 und 3.

Die Logik unterscheidet sich sehr von den früheren multivalenten Systemen von Łukasiewicz und auch von anderen modalen Systemen. Es unterscheidet sich von seinen eigenen Systemen darin, dass es eine Erweiterung der klassischen zweiwertigen Logik darstellt und alle zweiwertigen Tautologien umfasst. Dies ist weniger überraschend, wenn wir feststellen, dass die vierwertigen Matrizen für die Standardverbindungen einfach das kartesische Produkt der zweiwertigen Standardmatrizen mit sich selbst sind. Es sind die Modaloperatoren, die den Unterschied machen. Mehrere Merkmale machen dies sehr anders als Standard-Modalsysteme. Eines ist das völlige Fehlen jeglicher Wahrheiten, geschweige denn Theoreme, der Form (Gamma a) im Einklang mit Łukasiewicz 'Ablehnung von Wahrheiten von „höherer Würde“. Andere seltsame Sätze sind:

(vdash CK { Delta} p { Delta} q { Delta} Kpq)

Alle möglichen Sätze sind möglich

(vdash CEpqC { Delta} p { Delta} q)

materiell äquivalente Sätze sind beide möglich, wenn einer ist

(vdash C { Delta} pC { Delta} Np { Delta} q)

Wenn ein Satz und seine Negation beide möglich sind, ist alles möglich

Łukasiewicz war sich vieler dieser seltsamen Konsequenzen bewusst, hielt aber weiterhin an seinem System fest. Trotz einer Reihe von Versuchen, das System zu verstehen, wurde allgemein der Schluss gezogen, dass es sich aufgrund dieser Kuriositäten nicht wirklich um ein System modaler Logik handelt. Wenn es einen dominanten Grund dafür gibt, ist es Łukasiewicz 'Festhalten am Prinzip der Extensionalität (Wahrheitsfunktionalität), selbst für Modaloperatoren, was seine Darstellung der Modalität in erster Linie dazu zwang, multivalent zu werden.

6. Geschichte der Logik

6.1 Stoische Aussagenlogik

Łukasiewicz 'dritte Signalleistung ist zusammen mit seinen Untersuchungen der vielwertigen und aussagekräftigen Logik seine Arbeit in der Geschichte der Logik. In der Tat kann er vernünftigerweise als der Vater der modernen Art angesehen werden, die Geschichte der Logik zu betreiben, die verfolgt wird, um den Untertitel seines Buches über Aristoteles 'Syllogistik "vom Standpunkt der modernen formalen Logik" zu zitieren. Wir haben gesehen, dass sein frühes Buch über das Prinzip des Widerspruchs bei Aristoteles an sich relativ erfolglos war, obwohl es seine Fähigkeit demonstrierte, den antiken griechischen Texten auf den Grund zu gehen.

Ein entscheidendes Ereignis in Łukasiewicz 'Entwicklung als Historiker der Logik war seine Entdeckung der alten stoischen Logik. Es scheint, dass er eine Dissertation über die Stoiker prüfte und zur Vorbereitung Originaltexte las. Daraufhin entdeckte er, dass die stoische Logik entgegen der damaligen Standardmeinung, die von Prantl, Zeller und anderen geäußert wurde, keine bowdlerisierte und fehlerhafte aristotelische Syllogistik war, sondern eine frühe Aussagenlogik, so dass zum Beispiel die erste stoische Entschädigung „wenn die erste dann der zweite; aber das erste, also das zweite “ist einfach modus ponens oder Ablösung für das bedingte„ Wenn “, und die Variablen, die nicht durch Buchstaben, sondern durch Ordnungszahlen dargestellt werden, sind Satzvariablen, keine Termvariablen. Diese Ansicht, die heute natürlich Standard ist, äußerte er erstmals 1923 bei einem Treffen in Lwów. Eine systematischere Behandlung von 1934, "Über die Geschichte der Logik der Sätze", ist eine entzückende Vignette, die den weiten Bereich der Stoiker, alte Streitigkeiten über die Bedeutung der Bedingung, Petrus Hispanus und Ockham über die De Morgan-Gesetze, aufgreift. die mittelalterliche Konsequenztheorie, die mit Frege und modernen Aussagenkalkülen gipfelt. Die moderne Wertschätzung der Errungenschaften der stoischen Logik ergibt sich aus Łukasiewicz 'Klarstellung und seinem unermüdlichen Lob der Stoiker, insbesondere von Chrysippus. Łukasiewicz erkannte, dass Prantl nicht den Vorteil hatte, die post-fregäische Logik zu kennen, und trotz Prantls irrtümlicher Ablehnung der „Dummheit“vieler stoischer Logik zumindest hilfreiche Quellen lieferte. Trotzdem ist Łukasiewicz 'Urteil über frühere Logikhistoriker vernichtend:"Über die Geschichte der Logik der Sätze" ist eine entzückende Vignette, die den weiten Bereich der Stoiker, alte Streitigkeiten über die Bedeutung des Bedingten, Petrus Hispanus und Ockham über die De Morgan-Gesetze, die mittelalterliche Konsequenztheorie und Höhepunkt sind Frege und moderne Aussagenkalküle. Die moderne Wertschätzung der Errungenschaften der stoischen Logik ergibt sich aus Łukasiewicz 'Klarstellung und seinem unermüdlichen Lob der Stoiker, insbesondere von Chrysippus. Łukasiewicz erkannte, dass Prantl nicht den Vorteil hatte, die post-fregäische Logik zu kennen, und trotz Prantls irrtümlicher Ablehnung der „Dummheit“vieler stoischer Logik zumindest hilfreiche Quellen lieferte. Trotzdem ist Łukasiewicz 'Urteil über frühere Logikhistoriker vernichtend:"Über die Geschichte der Logik der Sätze" ist eine entzückende Vignette, die den weiten Bereich der Stoiker, alte Streitigkeiten über die Bedeutung des Bedingten, Petrus Hispanus und Ockham über die De Morgan-Gesetze, die mittelalterliche Konsequenztheorie und Höhepunkt sind Frege und moderne Aussagenkalküle. Die moderne Wertschätzung der Errungenschaften der stoischen Logik ergibt sich aus Łukasiewicz 'Klarstellung und seinem unermüdlichen Lob der Stoiker, insbesondere von Chrysippus. Łukasiewicz erkannte, dass Prantl nicht den Vorteil hatte, die post-fregäische Logik zu kennen, und trotz Prantls irrtümlicher Ablehnung der „Dummheit“vieler stoischer Logik zumindest hilfreiche Quellen lieferte. Trotzdem ist Łukasiewicz 'Urteil über frühere Logikhistoriker vernichtend:alte Streitigkeiten über die Bedeutung des Bedingten Petrus Hispanus und Ockham über die De Morgan-Gesetze, die mittelalterliche Konsequenztheorie und den Höhepunkt mit Frege und modernen Aussagenkalkülen. Die moderne Wertschätzung der Errungenschaften der stoischen Logik ergibt sich aus Łukasiewicz 'Klarstellung und seinem unermüdlichen Lob der Stoiker, insbesondere von Chrysippus. Łukasiewicz erkannte, dass Prantl nicht den Vorteil hatte, die post-fregäische Logik zu kennen, und trotz Prantls irrtümlicher Ablehnung der „Dummheit“vieler stoischer Logik zumindest hilfreiche Quellen lieferte. Trotzdem ist Łukasiewicz 'Urteil über frühere Logikhistoriker vernichtend:alte Streitigkeiten über die Bedeutung des Bedingten Petrus Hispanus und Ockham über die De Morgan-Gesetze, die mittelalterliche Konsequenztheorie und den Höhepunkt mit Frege und modernen Aussagenkalkülen. Die moderne Wertschätzung der Errungenschaften der stoischen Logik ergibt sich aus Łukasiewicz 'Klarstellung und seinem unermüdlichen Lob der Stoiker, insbesondere von Chrysippus. Łukasiewicz erkannte, dass Prantl nicht den Vorteil hatte, die post-fregäische Logik zu kennen, und trotz Prantls irrtümlicher Ablehnung der „Dummheit“vieler stoischer Logik zumindest hilfreiche Quellen lieferte. Trotzdem ist Łukasiewicz 'Urteil über frühere Logikhistoriker vernichtend:Die moderne Wertschätzung der Errungenschaften der stoischen Logik ergibt sich aus Łukasiewicz 'Klarstellung und seinem unermüdlichen Lob der Stoiker, insbesondere von Chrysippus. Łukasiewicz erkannte, dass Prantl nicht den Vorteil hatte, die post-fregäische Logik zu kennen, und trotz Prantls irrtümlicher Ablehnung der „Dummheit“vieler stoischer Logik zumindest hilfreiche Quellen lieferte. Trotzdem ist Łukasiewicz 'Urteil über frühere Logikhistoriker vernichtend:Die moderne Wertschätzung der Errungenschaften der stoischen Logik ergibt sich aus Łukasiewicz 'Klarstellung und seinem unermüdlichen Lob der Stoiker, insbesondere von Chrysippus. Łukasiewicz erkannte, dass Prantl nicht den Vorteil hatte, die post-fregäische Logik zu kennen, und trotz Prantls irrtümlicher Ablehnung der „Dummheit“vieler stoischer Logik zumindest hilfreiche Quellen lieferte. Trotzdem ist Łukasiewicz 'Urteil über frühere Logikhistoriker vernichtend:Das Urteil über frühere Historiker der Logik ist vernichtend:Das Urteil über frühere Historiker der Logik ist vernichtend:

Die Geschichte der Logik muss neu geschrieben werden und von einem Historiker, der die moderne mathematische Logik gründlich beherrscht. Wertvoll wie Prantls Werk ist eine Zusammenstellung von Quellen und Materialien, aus logischer Sicht ist es praktisch wertlos […] Heutzutage reicht es nicht aus, nur ein Philosoph zu sein, um seine Meinung zur Logik zu äußern. (SW, 198)

6.2 Aristoteles

In Łukasiewicz 'Logiklehrbuch von 1929 geht er nach der Behandlung des Satzkalküls nicht wie heutzutage auf die Prädikatenlogik ein, sondern gibt eine kurze formale Darstellung von Aristoteles' kategorialer (nicht modaler) Syllogistik, wobei zwölf Sätze des Satzkalküls vorausgesetzt werden. Dies ließ sein Buch von 1951, Aristoteles 'Syllogistic, um 22 Jahre ahnen. Dieses Buch, das das Studium von Aristoteles 'Logik revolutionierte, hatte eine lange und unterbrochene Entstehung. Ein Vortrag zu diesem Thema, der 1939 in Krakau gehalten wurde, wurde erst 1946 in polnischer Sprache veröffentlicht. 1939 erstellte Łukasiewicz eine polnische Monographie, aber die Teilbeweise und das Manuskript wurden bei den Bombenangriffen auf Warschau zerstört. 1949 wurde er eingeladen, am University College Dublin einen Vortrag über Aristoteles 'Syllogistik zu halten, und diese Vorträge bildeten die Grundlage des Buches:1950 fertiggestellt und im folgenden Jahr seine erste in englischer Sprache veröffentlicht. Die erste Ausgabe befasste sich nur mit kategorialer Syllogistik. Für die zweite Ausgabe, die 1955, weniger als ein Jahr vor seinem Tod, fertiggestellt wurde, fügte asukasiewicz drei Kapitel der modalen Syllogistik hinzu und verwendete dabei die modale Logik Ł, die er in der Zwischenzeit entwickelt hatte. Die zweite Ausgabe wurde von Lejewski Korrektur gelesen und indexiert und erschien 1957.

Łukasiewicz 'Verständnis von Aristoteles' Syllogistik basiert auf zwei spezifischen Interpretationsprinzipien und einer allgemeinen Haltung. Das erste Prinzip ist, dass Aristoteles 'Syllogismen nicht, wie traditionell angenommen, Inferenzschemata der Form' p, q, also r 'sind, sondern bedingte Sätze der Form' wenn p und q, dann r '. Dies führt direkt zum zweiten Prinzip, nämlich dass hinter der syllogistischen Behandlung des Begriffs Logik eine tiefere Logik, die der Sätze und insbesondere eine Logik der Opposition, 'und' und 'wenn' sowie (modal) steckt Syllogistik) "notwendig" und "möglicherweise". Łukasiewicz geht davon aus, dass Aristoteles diese Satzgrundlage gelegentlich anführt, beispielsweise bei der Behandlung indirekter Beweise, die jedoch größtenteils stillschweigend bleibt.und er hält es daher für legitim, Aristoteles (im Gegensatz zu den Stoikern) dafür zu kritisieren, dass er die zugrunde liegende Aussagenlogik nicht explizit formuliert. Łukasiewicz 'scharfsinnige und kontroverse Ansichten lösten eine Kontroverse darüber aus, wie die Syllogistik zu interpretieren ist. Während die Prinzipien in Patzig (1968) einen frühen Anhänger fanden, stellten spätere Kritikpunkte von Corcoran (1972, 1974) und unabhängig davon von Smiley (1974) klar, dass Syllogismen keine Sätze, sondern Schlussfolgerungen sind und dass Aristoteles keinen Prior benötigt Logik der Sätze. Diese Ansicht ist heute unter Gelehrten der Aristoteles-Logik universell. Rückblickend scheint es so, als wollte Łukasiewicz Aristoteles seine eigene (fregeanische) Auffassung von Logik als einem auf einer Aussagenlogik basierenden Satzsystem wünschen.

Die allgemeine Haltung, die während der gesamten Behandlung von Łukasiewicz herrscht, ist, dass Aristoteles 'Arbeit von ausreichender Präzision und Statur ist, um eine Darstellung unter Verwendung der strengsten modernen logischen Methoden und Konzepte zu rechtfertigen und zu widerstehen. Mit anderen Worten, die Entwicklung der modernen Logik bringt zwar Lücken und Defizite in Aristoteles 'Logik hervor, bringt jedoch ihre Vorzüge, Innovationen und ihr Genie deutlicher zur Geltung als frühere traditionelle oder philologische Studien. Die Haltung von Łukasiewicz hat sich durchgesetzt und ist heute unter denjenigen, die Aristoteles 'Logik studieren, allgegenwärtig, unabhängig davon, ob sie mit seinen spezifischen Interpretationsprinzipien übereinstimmen oder nicht.

Nach einer Darstellung der Grundlagen von Aristoteles 'Behandlung der Syllogistik, in der er frühere Kommentatoren kritisiert und feststellt, dass Aristoteles die Methode der abgelehnten Formen entwickelt hat, um nicht nur zu zeigen, welche Syllogismen gültig sind, sondern auch um zu beweisen, dass die ungültigen Formen solche sind, Łukasiewicz präsentiert seine Formalisierung der kategorialen Syllogistik basierend auf den folgenden logischen Ausdrücken

Ausdruck	Bedeutung
(Aab)	Alles (a) ist (b) (oder (b) gehört zu allen (a))
(Eab)	Nein (a) ist (b) (oder (b) gehört zu no (a))
(Iab)	Einige (a) sind (b) (oder (b) gehört zu einigen (a))
(Oab)	Einige (a) sind nicht (b) (oder (b) gehört nicht zu einigen (a))

Wenn man (A) und (I) als primitiv nimmt und (E = NI) und (O = NA) definiert, sind die Axiome, die der Satzrechnung hinzugefügt werden,

(vdash Aaa)
(vdash Iaa)
(vdash CKAbcAabAac)	(Barbara in der ersten Figur)
(vdash CKAbcIbaIac)	(Datisi in der zweiten Abbildung)

zusammen mit modus ponens und einer Substitutionsregel für Termvariablen. Dies war in der Tat das System, das Łukasiewicz in seinem Lehrbuch von 1929 vorgeschlagen hatte. Wie das zweite Axiom andeutet, folgt Łukasiewicz hier Aristoteles, indem er annimmt, dass alle Begriffe bezeichnen. Abgelehnte Formulare können hinzugefügt werden: Łukasiewicz gibt aus der zweiten Figur

) begin {align} & / dashv CKAcbAabIac & / text {und} & / dashv CKEcbEabIAc & / end {align})

die zusammen mit Loslösung und Ersatz für Ablehnung alle 232 abgelehnten Stimmungen von Aristoteles liefern. Łukasiewicz 'Urteil über Aristoteles' kategorische Syllogistik lautet, dass es trotz seiner Enge „ein System ist, dessen Genauigkeit sogar die Genauigkeit einer mathematischen Theorie übertrifft, und dies ist sein ewiger Verdienst“. (AS, 131)

Die modale Syllogistik hingegen ist laut Łukasiewicz wenig erforscht, sowohl weil sie weit unter den Perfektionsstandards der Kategorie liegt, als auch mangels eines „universell akzeptablen Systems der modalen Logik“, das Łukasiewicz mit Ł nimmt, jetzt zur Verfügung gestellt zu haben. Die Behandlung von Łukasiewicz ist nicht endgültig, obwohl sie Material für spätere Studien liefert, und wir werden sie hier nicht weiter verfolgen. Interessanterweise in Aristoteles 'Versuchen in Buch I, Kapitel 15 der Prior Analytics, die Thesen zu etablieren

) begin {align} & CCpqCLpLq \& CCpqCMpMq / end {align})

Łukasiewicz sieht eine aristotelische Bestätigung für die Idee eines Extensionalitätsprinzips sowohl für modale als auch für kategoriale Operatoren.

7. Philosophische Positionen

In seiner frühen Philosophie ist die wichtigste und einflussreichste Position, die Łukasiewicz einnimmt, sein Antipsychologismus in der Logik. Dies wurde von Frege, Husserl und Russell beeinflusst. Es manifestierte sich terminologisch in Łukasiewicz 'Ersetzung des von Twardowski verwendeten traditionellen Begriffs sąd (Urteil) durch den Begriff zdanie (Satz). Dieser Perspektiv- und Terminologiewechsel wurde von nachfolgenden polnischen Logikern massenhaft übernommen. Nach 1920 ist Łukasiewicz in seinen Aussagen zur Philosophie und zu philosophischen Problemen sehr sparsam. Sein beständiges Bekenntnis zum Indeterminismus haben wir zur Kenntnis genommen. Seine Hauptkommentare und in der Tat sein Zorn sind denen vorbehalten, die den Platz der mathematischen Logik (oder Logistik, wie sie damals genannt wurde) in der Philosophie und im Denken im Allgemeinen kritisieren. Er stellte gewisse methodische und stilistische Konvergenzen zwischen der Lwów-Warschau-Schule und dem Wiener Kreis fest, kritisierte diese jedoch für ihren Konventionalismus und die Ablehnung aller Metaphysik und für ihren Versuch, inhaltliche Probleme in sprachliche umzuwandeln. Trotz ihrer Abstraktheit ist die Logik nicht mehr von der Realität losgelöst als jede andere Wissenschaft, und sie ist gezwungen, sich an Aspekte der Welt anzupassen. Es war seine Überzeugung, dass Determinismus falsch war, was seine Ablehnung der zweiwertigen Logik trieb. Während er die metaphysische Neutralität der Logik beibehielt, gab er später in den 1930er Jahren zu, dass er, obwohl er früher ein Nominalist gewesen war, jetzt ein Platonist war. Die Quelle dieser Überzeugung ist am Ende seiner Polemik von 1937 „Zur Verteidigung der Logistik“angegeben:Letztere kritisierten sie jedoch für ihren Konventionalismus und die Ablehnung aller Metaphysik und für ihren Versuch, inhaltliche Probleme in sprachliche zu verwandeln. Trotz ihrer Abstraktheit ist die Logik nicht mehr von der Realität losgelöst als jede andere Wissenschaft, und sie ist gezwungen, sich an Aspekte der Welt anzupassen. Es war seine Überzeugung, dass Determinismus falsch war, was seine Ablehnung der zweiwertigen Logik trieb. Während er die metaphysische Neutralität der Logik beibehielt, gab er später in den 1930er Jahren zu, dass er, obwohl er früher ein Nominalist gewesen war, jetzt ein Platonist war. Die Quelle dieser Überzeugung ist am Ende seiner Polemik von 1937 „Zur Verteidigung der Logistik“angegeben:Letztere kritisierten sie jedoch für ihren Konventionalismus und die Ablehnung aller Metaphysik und für ihren Versuch, inhaltliche Probleme in sprachliche zu verwandeln. Trotz ihrer Abstraktheit ist die Logik nicht mehr von der Realität losgelöst als jede andere Wissenschaft, und sie ist gezwungen, sich an Aspekte der Welt anzupassen. Es war seine Überzeugung, dass Determinismus falsch war, was seine Ablehnung der zweiwertigen Logik trieb. Während er die metaphysische Neutralität der Logik beibehielt, gab er später in den 1930er Jahren zu, dass er, obwohl er früher ein Nominalist gewesen war, jetzt ein Platonist war. Die Quelle dieser Überzeugung ist am Ende seiner Polemik von 1937 „Zur Verteidigung der Logistik“angegeben:und es ist gezwungen, sich an Aspekte der Welt anzupassen. Es war seine Überzeugung, dass Determinismus falsch war, was seine Ablehnung der zweiwertigen Logik trieb. Während er die metaphysische Neutralität der Logik beibehielt, gab er später in den 1930er Jahren zu, dass er, obwohl er früher ein Nominalist gewesen war, jetzt ein Platonist war. Die Quelle dieser Überzeugung ist am Ende seiner Polemik von 1937 „Zur Verteidigung der Logistik“angegeben:und es ist gezwungen, sich an Aspekte der Welt anzupassen. Es war seine Überzeugung, dass Determinismus falsch war, was seine Ablehnung der zweiwertigen Logik trieb. Während er die metaphysische Neutralität der Logik beibehielt, gab er später in den 1930er Jahren zu, dass er, obwohl er früher ein Nominalist gewesen war, jetzt ein Platonist war. Die Quelle dieser Überzeugung ist am Ende seiner Polemik von 1937 „Zur Verteidigung der Logistik“angegeben:

Wenn ich selbst an dem am wenigsten bedeutenden logistischen Problem arbeite, zum Beispiel wenn ich nach dem kürzesten Axiom des Satzkalküls suche, habe ich immer den Eindruck, dass ich vor einer mächtigen, kohärentesten und widerstandsfähigsten Struktur stehe. Ich spüre diese Struktur, als wäre es ein konkreter, greifbarer Gegenstand aus dem härtesten Metall, hundertmal stärker als Stahl und Beton. Ich kann daran nichts ändern; Ich erschaffe nichts aus eigenem Willen, aber durch anstrengende Arbeit entdecke ich darin immer neue Details und komme zu unerschütterlichen und ewigen Wahrheiten. (SW, 249)

Selten wurde die Motivation zum Platonismus so eloquent formuliert.

In der Philosophie der Logik war eine der tiefsten Überzeugungen von Łukasiewicz, die er mit den anderen Logikern der Warschauer Schule teilte, dass Logik logisch sein muss, dass es sich um das Studium der Kalküle handelt, nicht um sprachliche oder psychologische Bedeutungen Urteile aber über die Wahrheitswerte, ob nur die klassischen zwei oder mehr. Seine Ansicht ist, dass Sätze Wahrheitswerte bezeichnen und dass Logik die Wissenschaft solcher logischen Werte ist, nicht von Sätzen (was Grammatik ist) oder von Urteilen (was Psychologie ist) oder von Inhalten, die durch Sätze ausgedrückt werden, oder von Objekten im Allgemeinen (Ontologie). Er rechtfertigt diese Position nicht, sondern akzeptiert sie einfach und nimmt sie an. Wie wir gesehen haben, hat dies weitreichende Konsequenzen für seine Behandlung der Modallogik und zwingt sie zu vielen Werten.

Neben der allgemeinen Einstellung zum wissenschaftlichen Philosophieren, die er von Twardowski abgeleitet hat, gibt es eine identifizierbare Quelle für eine andere philosophische Haltung von Łukasiewicz in Bezug auf Logik oder, wenn nicht eine Quelle, zumindest einen Punkt konvergenter Überzeugungen. Eine ist die Ablehnung einer „Superwahrheit“über der gewöhnlichen Wahrheit. Dies zeigt sich besonders deutlich in der Modallogik Ł. Der andere ist seine Vorliebe für Wahrscheinlichkeitsgrade zwischen Wahrheit (1) und Falschheit (0), im Gegensatz zum nicht quantitativen dritten Fall der Möglichkeit (oder in Ł zwei Dritteln). Eine genau ähnliche Unterscheidung zwischen zwei Arten von Möglichkeiten, "nicht erhöhbar" ohne Grad und "erhöhbar" mit unendlichen Graden, findet sich in Meinongs massiver Abhandlung von 1915 über mögliche und Wahrscheinlichkeit. Wie Łukasiewicz,Meinong räumt den Sätzen keine Würde der Notwendigkeit ein, die höher ist als die Wahrheit, und obwohl Meinongs Objekttheorie über die umfassendste Ontologie verfügt, die der Philosophie bekannt ist, fehlen ihm Objekte, die als notwendig beschrieben werden: Er erwähnt Gott niemals, und ideale Objekte wie Zahlen werden von ihm als existent angesehen nicht unbedingt existieren oder existieren. Es ist vielleicht kein Zufall, dass Łukasiewicz bei seiner Rückkehr nach Lemberg nach seinem Besuch in Graz 1910 über das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte sprach und zu dem Schluss kam, dass es wie das Prinzip des Widerspruchs nicht grundlegend ist und eher praktische als logische Bedeutung hat. Er vermutete, dass dies bei allgemeinen Objekten wie dem Dreieck im Allgemeinen fehlschlug, das weder gleichseitig noch nicht gleichseitig ist. Meinong akzeptierte solche Objekte, die er als "unvollständig" bezeichnete, und hatte tatsächlich die Idee von Łukasiewicz 'übernommen.s Lehrer Twardowski. Łukasiewicz betrachtete die Anwendung des Prinzips auch auf reale Objekte als „verbunden mit dem universellen Determinismus von Phänomenen, nicht nur gegenwärtigen und vergangenen, sondern auch zukünftigen. Würde jemand leugnen, dass alle zukünftigen Phänomene heute bereits in jeder Hinsicht vorbestimmt sind, wäre er wahrscheinlich nicht in der Lage, das fragliche Prinzip zu akzeptieren. “Die Keime der dreiwertigen Logik keimten bereits 1910 nach dem Besuch in Graz. Die Keime der dreiwertigen Logik keimten bereits 1910 nach dem Besuch in Graz. Die Keime der dreiwertigen Logik keimten bereits 1910 nach dem Besuch in Graz.

Meinong nutzte die vielen Werte der zunehmenden Möglichkeit, um über die Wahrscheinlichkeit zu berichten. Während Łukasiewicz 'Verfahren in seiner Monographie von 1913 auf einer anderen Idee beruhte, wurde er weiterhin zu der Idee hingezogen, dass eine unendlich wertvolle Logik möglicherweise Licht in die Wahrscheinlichkeit bringen könnte. Spätestens 1935, als Tarski einen kurzen Artikel über Wahrscheinlichkeit und vielwertige Logik veröffentlichte, wusste er, dass der einfachste Ansatz, Wahrscheinlichkeiten mit Wahrheitswerten zwischen 0 und 1 zu identifizieren, nicht funktionieren würde. Der Grund ist, dass aufgrund der probabilistischen Abhängigkeit die Wahrscheinlichkeit nicht dehnbar ist: Wenn (p) der Vorschlag ist, dass es morgen in Dublin regnen wird, und (Np) seine Negation ist, die Wahrscheinlichkeit der widersprüchlichen Konjunktion (KpNp)) ist 0, aber wenn (p) einen Wahrheitsgrad hat (tfrac {1} {2}), dann auch (Np),und so (tval {KpNp} = / tfrac {1} {2}) sowohl in Ł (_ 3) als auch in Ł (_ { aleph_0}). Trotzdem konnte Łukasiewicz noch 1955 nachdenken,

Ich habe immer gedacht, dass nur zwei Modalsysteme von möglicher philosophischer und wissenschaftlicher Bedeutung sind: das einfachste Modalsystem, bei dem die Möglichkeit als überhaupt nicht graduiert angesehen wird, nämlich unser vierwertiges Modellsystem, und das ℵ ₀ -bewertete System in denen es unendlich viele Möglichkeiten gibt. Es wäre interessant, dieses Problem weiter zu untersuchen, da wir hier möglicherweise einen Zusammenhang zwischen der Modallogik und der Wahrscheinlichkeitstheorie finden. (AS, 180)

8. Vermächtnis

Łukasiewicz erklärte einmal etwas unbescheiden, dass die Entdeckung vielwertiger Logiken mit der nichteuklidischer Geometrie vergleichbar sei (SW 176). Unabhängig von ihrer Bedeutung wurden Łukasiewicz 'Hoffnungen auf eine solche Logik nicht so verwirklicht, wie er es erwartet hatte. Die Semantik und reine Mathematik der mehrwertigen Logik hat floriert und zur Entwicklung von MV-Algebren geführt, die für die algebraische Semantik der Logik von Łukasiewicz verwendet werden. Unendliche oder unscharfe Logik hat ihre eigene Mathematik, und unter den Entwicklern ist der tschechische mathematische Logiker Petr Hájek hervorzuheben, dessen Arbeit von der von Łukasiewicz beeinflusst wird. Fuzzy-Logik findet sich in vielen praktischen Anwendungen, wo sie verwendet wird, um mit Unbestimmtheit, Ungenauigkeit oder Unwissenheit umzugehen, unabhängig davon, ob diese gleich oder verschieden sind. Aber Łukasiewicz 's Verfechter der Multivalenz bei der Analyse der Modalität wurde fast allgemein abgelehnt, und die Logik der Modalität ist unaufhaltsam anderen Wegen gefolgt, meist zweiwertigen, nicht erweiterenden. Seine letzte Logik hat sich der einvernehmlichen Interpretation widersetzt und wird bestenfalls als Kuriosität und schlimmstenfalls als Sackgasse angesehen.

Die herausragende Arbeit, die Łukasiewicz und seine Schüler in der Logik und Metallogik der Aussagenrechnung, der polnischen Spezialität immer kürzerer Axiome usw. geleistet haben, gehört heute zum vergangenen heroischen Zeitalter der Logistik. Seine Ergebnisse wurden in der Tat nur gelegentlich durch automatisierte Theoremprüfer verbessert. Andererseits hat die Betonung der logischen Semantik, ungeachtet der häufigen Verwendung von Wahrheitswerten durch Łukasiewicz, das Interesse von der axiomatischen Virtuosität wegbewegt.

In der Geschichte der Logik eröffneten die bahnbrechenden Studien von Łukasiewicz eine neue und fruchtbarere Interaktion zwischen Vergangenheit und Gegenwart, und die Wiederentdeckung und neue Wertschätzung von Figuren aus der Vergangenheit der Logik „im Lichte der modernen formalen Logik“wurde bis heute fortgesetzt. obwohl nicht alle von Łukasiewicz 'eigenen Ansichten darüber, wie man sich Aristoteles oder den Stoikern nähert, den Test der Zeit bestanden haben. Seine Arbeit hat auch dazu beigetragen, jene Logikhistoriker aus der katholischen Tradition in Krakau zu inspirieren, insbesondere Jan Salamucha und Józef Bocheński, die moderne Methoden zur Untersuchung logischer Probleme und Argumente aus der Geschichte der Philosophie anwendeten.

Während der Blütezeit der Warschauer Schule (1920–1939) spielte Łukasiewicz eine Schlüsselrolle bei der Ausbildung der nächsten Generation logischer Forscher und deren Inspiration mit Methoden, Ergebnissen und Problemen. Sogar Ideen, die er als Übungen verwarf, haben die Logik verändert, zum Beispiel ein Vorschlag von 1929, das informelle Beweisverfahren anhand von Annahmen zu formalisieren, führte zu Stanisław Jaśkowskis System der natürlichen Ableitung von 1934, im Wesentlichen die Art und Weise, wie Logik heute hauptsächlich den Schülern beigebracht wird. Der Krieg unterbrach unwiderruflich ihre Arbeit. Einige der besten Schüler von Łukasiewicz waren Juden und wurden in Todeslagern der Nazis getötet. In seinem polnischen Exil nach 1944 hatte Łukasiewicz kaum Gelegenheit, diese pädagogische Arbeit fortzusetzen, indem er eine Forschungsstelle in einer nicht lehrenden Einrichtung in einem Land ohne logische Tradition innehatte. Seine Interaktionen mit Zeitgenossen waren viel spärlicher, und zwar hauptsächlich durch Korrespondenz. Der einzige bemerkenswerte Logiker, der zu dieser Zeit mit Łukasiewicz interagierte und dessen Arbeit sich sowohl in seinen Interessen (Zeit, Modalität, Vielwertigkeit) als auch in seinen Einstellungen (die Bedeutung der Logik für die Philosophie) überschneidet, ist Arthur Prior, der der einzige große Logiker war polnische Notation annehmen und auch mehr Mühe aufwenden als jeder andere, um eine plausible Interpretation für das System zu finden Ł. Man kann auch sagen, dass Łukasiewicz von den Hauptfiguren der Warschauer Logiker die geringste Aufmerksamkeit von Kommentatoren und Historikern erhalten hat. Es gibt relativ weniger Monographien und Papiere über fewerukasiewicz als über andere bedeutende Persönlichkeiten der Lwów-Warschau-Schule. Der einzige bemerkenswerte Logiker, der zu dieser Zeit mit Łukasiewicz interagierte und dessen Arbeit sich sowohl in seinen Interessen (Zeit, Modalität, Vielwertigkeit) als auch in seinen Einstellungen (die Bedeutung der Logik für die Philosophie) überschneidet, ist Arthur Prior, der der einzige große Logiker war polnische Notation annehmen und auch mehr Mühe aufwenden als jeder andere, um eine plausible Interpretation für das System zu finden Ł. Man kann auch sagen, dass Łukasiewicz von den Hauptfiguren der Warschauer Logiker die geringste Aufmerksamkeit von Kommentatoren und Historikern erhalten hat. Es gibt relativ weniger Monographien und Papiere über fewerukasiewicz als über andere bedeutende Persönlichkeiten der Lwów-Warschau-Schule. Der einzige bemerkenswerte Logiker, der zu dieser Zeit mit Łukasiewicz interagierte und dessen Arbeit sich sowohl in seinen Interessen (Zeit, Modalität, Vielwertigkeit) als auch in seinen Einstellungen (die Bedeutung der Logik für die Philosophie) überschneidet, ist Arthur Prior, der der einzige große Logiker war polnische Notation annehmen und auch mehr Mühe aufwenden als jeder andere, um eine plausible Interpretation für das System zu finden Ł. Man kann auch sagen, dass Łukasiewicz von den Hauptfiguren der Warschauer Logiker die geringste Aufmerksamkeit von Kommentatoren und Historikern erhalten hat. Es gibt relativ weniger Monographien und Papiere über fewerukasiewicz als über andere bedeutende Persönlichkeiten der Lwów-Warschau-Schule. Vielwertigkeit) und Einstellungen (die Bedeutung der Logik für die Philosophie) ist Arthur Prior, der als einziger großer Logiker die polnische Notation übernahm und der sich mehr als jeder andere Mühe gab, um eine plausible Interpretation für das System zu finden Ł. Man kann auch sagen, dass Łukasiewicz von den Hauptfiguren der Warschauer Logiker die geringste Aufmerksamkeit von Kommentatoren und Historikern erhalten hat. Es gibt relativ weniger Monographien und Papiere über fewerukasiewicz als über andere bedeutende Persönlichkeiten der Lwów-Warschau-Schule. Vielwertigkeit) und Einstellungen (die Bedeutung der Logik für die Philosophie) ist Arthur Prior, der als einziger großer Logiker die polnische Notation übernahm und der sich mehr als jeder andere Mühe gab, um eine plausible Interpretation für das System zu finden Ł. Man kann auch sagen, dass Łukasiewicz von den Hauptfiguren der Warschauer Logiker die geringste Aufmerksamkeit von Kommentatoren und Historikern erhalten hat. Es gibt relativ weniger Monographien und Papiere über fewerukasiewicz als über andere bedeutende Persönlichkeiten der Lwów-Warschau-Schule. Łukasiewicz hat die geringste Aufmerksamkeit von Kommentatoren und Historikern erhalten. Es gibt relativ weniger Monographien und Papiere über fewerukasiewicz als über andere bedeutende Persönlichkeiten der Lwów-Warschau-Schule. Łukasiewicz hat die geringste Aufmerksamkeit von Kommentatoren und Historikern erhalten. Es gibt relativ weniger Monographien und Papiere über fewerukasiewicz als über andere bedeutende Persönlichkeiten der Lwów-Warschau-Schule.

Trotz dieser Enttäuschungen sichern ihm die Leistungen und Erfindungen von achievementsukasiewicz einen dauerhaften und ehrenwerten Platz in der Geschichte der mathematischen und philosophischen Logik. Łukasiewicz war zu Recht stolz auf die Bedeutung, die polnische Logiker zwischen den Kriegen erlangten, und verdient sein Gedenken an eine der vier Statuen von Adam Myjak prominenter Mitglieder der Lwów-Warschau-Schule am Eingang zur Universitätsbibliothek Warschau.

Literaturverzeichnis

Allgemeine Bemerkungen

Die Titel wurden in ihrer Originalsprache angegeben, gefolgt von Stücken in polnischer Sprache mit dem Titel einer veröffentlichten englischen Übersetzung, sofern vorhanden, oder unserer englischen Übersetzung, sofern keine vorhanden ist. Die Bibliographie von Łukasiewicz 'veröffentlichten Schriften ist nicht vollständig, da eine große Anzahl seiner veröffentlichten Stücke aus ein- oder zweiseitigen Zusammenfassungen oder Zusammenfassungen von Vorträgen besteht, die an verschiedenen Orten gehalten wurden, wie es die polnische Praxis der Zeit war. Von dieser Art wurden nur diejenigen aufgenommen, die für die Entwicklung von Łukasiewicz oder die Darstellung seiner Ansichten wichtig sind. Übersetzungen in andere Sprachen als Englisch wurden mit einer Ausnahme, der Monographie über Aristoteles von 1910, nicht aufgenommen.

Eine umfassende polnische Bibliographie, zusammengestellt vom Herausgeber Jacek Juliusz Jadacki, ist in der Sammlung Logika i Metafizyka (1998) veröffentlicht, in der die meisten Aufsätze von Łukasiewicz zusammen mit einer Reihe von zufällig interessanten Reden, Rezensionen und Auszügen aus der Korrespondenz, einer Biografie, nachgedruckt sind Chronologie und eine große Anzahl von Fotografien.

Abkürzungen

• (AS) Aristoteles 'Syllogistik vom Standpunkt der modernen formalen Logik, 2. Aufl.
• (PF) Przegl ą d Filozoficzny
• (PL) Polish Logic, 1920–1939, hrsg. S. McCall.
• (PWN) Państwowe Wydawnictwo Naukowe
• (RF) Ruch Filozoficzny
• (SW) Ausgewählte Werke, hrsg. L. Borkowski.
• (Z) Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma Wybrane, hrsg. J. Słupecki.

Primärquellen: Werke von Łukasiewicz

Sammlungen

• Z zagadnień logiki i filozofii. Pisma Wybrane. Themen in Logik und Philosophie Ausgewählte Schriften], hrsg. J. Słupecki. Warschau: PWN, 1961.
• Ausgewählte Werke, hrsg. L. Borkowski. Amsterdam: Nordholland, 1970.
• Logika i Metafizyka. Verschiedenes. Logik und Metaphysik A Miscellany], hrsg. JJ Jadacki. Warschau: Towarzystwo Naukowe Warszawskie, 1998.
• Pamiętnik. [Tagebuch], hrsg. JJ Jadacki und P. Surma. Warschau: Wydawnictwo Naukowe Semper, 2013. [Enthält Tagebucheinträge von Łukasiewicz und eine Reihe von beiläufigen biografischen Notizen von ihm und anderen.]

Monographien

• O zasadzie sprzeczności u Arystotelesa, Studium krytyczne. Über das Prinzip des Widerspruchs bei Aristoteles. Eine kritische Studie.] Krakau: Akademia Umiejętności, 1910. 2. Aufl., Aufl. J. Woleński, Warschau: PWN, 1987. Übersetzungen: Über den Satz vom Widerspruch bei Aristoteles. Hildesheim: Olms, 1993; Del principio di contraizzione in Aristoteles. Macerata: Quodlibet, 2003.
• Die logischen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Krakau: Spółka Wydawnicza Polska, 1913. Übersetzung: Logische Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie, in SW, 16–63.
• Elementy logiki matematycznej. Skrypt autoryzowany, hrsg. M. Presburger. Warschau: Wydawnictwo Koła Matematyczno-Fizycznego Słuchaczów Uniwersytetu Warszawskiego, 1929. 2. Aufl., Aufl. J. Słupecki, Warschau: PWN, 1958. Übersetzung: Elemente der mathematischen Logik. Oxford: Pergamon Press, 1966.
• Aristoteles 'Syllogistik vom Standpunkt der modernen formalen Logik. Oxford: Clarendon Press, 1951. 2., erweiterte Ausgabe, 1957.

Papiere

• O indukcji jako inwersji dedukcji [Bei Induktion als Umkehrung des Abzugs]. PF 6 (1903), 9–24, 138–152.
• Analiza i konstrukcja pojęcia przyczyna [Analyse und Konstruktion des Begriffs der Ursache]. PF 9 (1906), 105–179.
• O zasadzie wyłączonego środka. PF 13 (1910), 372–3. Übersetzung: Nach dem Prinzip der ausgeschlossenen Mitte. Geschichte und Philosophie der Logik 8 (1987), 67–9.
• Über den Satz von Widerspruch bei Aristoteles. Bulletin Internationale de l'Académie des Sciences de Cracovie, Classe de Philosophie (1910), 15–38. Übersetzung: Über das Prinzip des Widerspruchs bei Aristoteles. Review of Metaphysics 24 (1970/71), 485–509; Aristoteles über das Gesetz des Widerspruchs, in: J. Barnes, M. Schofield und R. Sorabji, Hrsg., Artikel über Aristoteles 3. Metaphysik. London: Duckworth, 1979, 50–62.
• O twórczości w nauce, Księga pamiątkowa ku uczczeniu 250-tej rocznicy zalożenia Uniwersytetu Lwowskiego przez Króla Jana Kazimierza r. 1661. Lwów: Uniwersytet Lwowski, 1912, 3–15. Übersetzung: Kreative Elemente in der Wissenschaft, in SW, 1–15.
• W sprawie odwracalności stosunku racji i następstwa [Zur Umkehrbarkeit der Beziehung zwischen Vernunft und Konsequenz], PF 26 (1913), 298–314.
• O nauce i filozofii [Über Wissenschaft und Philosophie], PF 28 (1915), 190–196.
• O pojęciu wielkości, PF 19 (1916), 1–70. Übersetzung: Zum Konzept der Größe. in SW 64–83.
• Treść wykładu pożegnalnego wygłoszonego w auli Uniwersytetu Warszawskiego 7 marca 1918 r. Pro arte et studio 3 (1918), 3–4. Übersetzung: Abschiedsvorlesung im Hörsaal der Warschauer Universität am 7. März 1918 in SW, 84–6.
• O pojęciu możliwości, RF 5 (1920), 169–170. Übersetzung: Zum Konzept der Möglichkeit in PL, 15–16.
• O logice trójwartościowej, RF 5 (1920), 170–1. Übersetzung: Zur dreiwertigen Logik in PL 16–18 und in SW 87–8.
• Logika dwuwartościowa, PF 23 (1921), 189–205. Übersetzung: Zweiwertige Logik, in SW, 89–109.
• Interpretacja liczbowa teorii zdań, RF 7 (1922/23), 92–3. Übersetzung: Eine numerische Interpretation der Satztheorie in SW, 129–30.
• O logice stoikow [Über stoische Logik], PF 30 (1927), 278–9.
• O znaczeniu i potrzebach logiki matematycznej [Zur Bedeutung und zu den Bedürfnissen der mathematischen Logik], Nauka Polska 10 (1929), 604–20.
• (mit A. Tarski) Untersuchungen über den Gesprächkalkül, Comptes rendus de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, cl. iii, 23 (1930), 1–21. Übersetzung: Untersuchungen zur Satzrechnung, in SW, 131–52.
• Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Managern des Redenkalküls, Comptes rendus de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, cl. iii, 23 (1930), 51–77. Übersetzung: Philosophische Bemerkungen zu vielwertigen Systemen der Aussagenlogik in PL, 40–65 und in SW, 153–78.
• Uwagi o aksjomacie Nicoda i „dedukcji uogólniającej“, Księga pamiątkowa Polskiego Towarzystwa Filozoficznego, Lwów, 1931, 366–83. Übersetzung: Kommentare zu Nicods Axiom und zur „Verallgemeinerung des Abzugs“in SW, 179–96.
• Ein Vollstandigkeitsbeweis des zweiwertigen gesprochenkalküls, Comptes rendus de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, cl. iii, 24 (1931), 153–83.
• Z historii logiki zdań, PF 37 (1934), 417–37. Übersetzung: Zur Geschichte der Satzlogik in PL 66–87 und in SW 197–217.
• Znaczenie analizy logoznej dla poznania [Die Bedeutung der logischen Analyse für die Wahrnehmung], PF 37 (1934), 369–77.
• Bedeutung der logischen Analyse für die Erkenntnis, Actes du VIII Congrès International de Philosophie, Prag (1936), 75–84.
• W obronie logistyki. Myśl katolicka wobec logiki wspólczesnej, Studia Gnesnensia 15 (1937), 12–26. Übersetzung: Zur Verteidigung der Logistik, in SW, 236–49.
• Kartezjusz [Descartes], Kwartalnik Filozoficzny 15 (1938), 123–8.
• Geneza logiki trójwartościowej [Die Ursprünge der dreiwertigen Logik]. Nauka Polska 24 (1939). 215–223.
• O sylogistyce Arystotelesa [Über Aristoteles 'Syllogistik], Sprawozdania PAU, 44 (1939), 220–7. Veröffentlicht 1946.
• Der Unterschiedivalenzkalkül, Collectanea logica 1 (1939), 145–69. Ist damals nicht erschienen. Ein Sonderdruck überlebte in Münster und diente der Übersetzung: The Equivalential Calculus, in PL, 88–115, und in SW, 250–77.
• Die Logik und das Grundlagenproblem, Die Entretiens de Zürich über die Fondements und die Methodik der Naturwissenschaften 6–9. XII.1938, Zürich: Leemann, 1941, 82–100.
• Das kürzeste Axiom der impliziten Satzrechnung, Proceedings of the Royal Irish Academy, Sect. A, 52 (1948), 25–33.
• W sprawie aksjomatyki implikacyjnego rachunku zdań [Über das Axiomsystem der impliziten Präpositionalrechnung], Annales de la Société Polonaise de Mathématique 22 (1950), 87–92.
• Über variable Funktoren von Aussagenargumenten, Verfahren der Royal Irish Academy, Abschn. A, 54 (1951), 25–35.
• Zur intuitionistischen Deduktionstheorie, Indagationes Mathematicae. Koninklijke Nederlandse Academie van Wetenschappen, Proceedings Series A 14 (1952), 201–212, Repr. in SW 325–40.
• Sur la formalization des théories mathématiques. Colloques internationaux du Centre National de la Recherche Scientifique, 36: Les méthodes formelles en axiomatique, Paris, 1953, 11-19. Übersetzung: Formalisierung mathematischer Theorien, in SW, 341–51.
• Ein System der Modallogik, The Journal of Computing Systems, 1 (1953), 111–49, Repr. in SW 352–90.
• Arithmetik und Modallogik, The Journal of Computing Systems, 1 (1954), 213–9, Repr. in SW 391–400.
• Das Prinzip der Individuation, Proceedings of the Aristotelian Society, Ergänzungsband XXVII (Berkeley und moderne Probleme) (1953), 69–82.
• Zu einem kontroversen Problem von Aristoteles 'modaler Syllogistik, Dominican Studies 7 (1954), 114–28.
• Lebenslauf [1953], Philosophical Studies 6 (1956), 43–6.
• O determinizmie, in Z, 114–26. Übersetzung: Zum Determinismus in PL 19–39 und in SW 110–28.

Übersetzung

David Hume, Badania dotycące rozumu ludzkiego [Eine Untersuchung zum menschlichen Verständnis]; Übersetzung von Jan L. Łukasiewicz und Kazimierz Twardowski. Lwów: Nakładem Polskiego Towarzystwa Filozoficznego, 1905

Ausgewählte Sekundärliteratur

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• Sinowjew, AA, 1963, Philosophische Probleme vielwertiger Logik. Dordrecht: Reidel.

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