Mallys Deontische Logik

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Mallys deontische Logik

Erstveröffentlichung am 5. April 2002; inhaltliche Überarbeitung Di 26. März 2019

1926 präsentierte Mally das erste formale System der deontischen Logik. Sein System hatte mehrere Konsequenzen, die Mally als überraschend, aber vertretbar ansah. Es hatte auch eine Konsequenz („A ist genau dann obligatorisch, wenn A der Fall ist“), die Menger (1939) und fast alle späteren deontischen Logiker als inakzeptabel angesehen haben. Wir werden nicht nur Mallys System beschreiben, sondern auch diskutieren, wie es repariert werden kann.

  • 1. Einleitung
  • 2. Mallys formale Sprache
  • 3. Mallys Axiome
  • 4. Mallys Sätze
  • 5. Überraschende Folgen
  • 6. Mengers Kritik
  • 7. Wo ist Mally schief gelaufen?
  • 8. Alternative nicht-deontische Grundlagen 1: Relevanzlogik
  • 9. Alternative nicht-deontische Grundlagen 2: Intuitionistische Logik
  • 10. Alternative deontische Prinzipien
  • 11. Schlussfolgerung
  • Literaturverzeichnis
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Einleitung

1926 schlug der österreichische Philosoph Ernst Mally (1879-1944) das erste formale System der deontischen Logik vor. In dem Buch, in dem er dieses System vorstellte, The Basic Laws of Ought: Elemente der Logik des Willens, gab Mally die folgende Motivation für sein Unternehmen:

1919 benutzten alle das Wort Selbstbestimmung. Ich wollte ein klares Verständnis für dieses Wort erlangen. Aber dann bin ich natürlich sofort auf die Schwierigkeiten und Unklarheiten gestoßen, die mit dem Konzept von Ought verbunden sind, und das Problem hat sich geändert. Das Konzept von Ought ist das Grundkonzept der gesamten Ethik. Es kann nur dann als brauchbare Grundlage für die Ethik dienen, wenn es in einem Axiomensystem erfasst wird. Im Folgenden werde ich ein solches axiomatisches System vorstellen. [1]

Wie Mallys Worte zeigen, war er nicht in erster Linie um seiner selbst willen an deontischer Logik interessiert: Er wollte hauptsächlich den Grundstein für ein „exaktes System der reinen Ethik“legen. Mehr als die Hälfte seines Buches widmet sich der Entwicklung dieses exakten Ethiksystems. Im Folgenden konzentrieren wir uns jedoch auf den formalen Teil seines Buches, sowohl weil es sein „harter Kern“ist als auch weil es der Teil ist, der das größte Interesse auf sich gezogen hat.

2. Mallys formale Sprache

Mally stützte sein formales System auf die klassische Aussagenrechnung, wie sie in Whiteheads und Russells Principia Mathematica (Bd. 1, 1910) formuliert ist.

Der nicht-deontische Teil von Mallys System hatte das folgende Vokabular: die sententialen Buchstaben A, B, C, P und Q (diese Symbole beziehen sich auf Sachverhalte), die sententialen Variablen M und N, die sententialen Konstanten V (das Verum, Wahrheit) und Λ (das Falsum, die Falschheit), die Satzquantifizierer ∃ und ∀ und die Konnektiva ¬, &, ∨, → und ↔. Λ ist definiert durch Λ = ¬V.

Der deontische Teil von Mallys Vokabular bestand aus dem unären Konnektiv!, Den binären Konnektiven f und ∞ und den sententialen Konstanten U und ∩.

  • Mally read! A als "A soll der Fall sein" (A soll sein) oder als "lass A der Fall sein" (es sei A).
  • Er las A f B als „A erfordert B“(A fordert B).
  • Er las A ∞ B als "A und B brauchen einander".
  • Er las U als „das bedingungslose Pflicht“.
  • Er las ∩ als das bedingungslose Verbotene.

f, ∞ und ∩ sind definiert durch:

Def. f. A f B = A →! B (Mally 1926, S. 12)
Def. ∞. A ∞ B = (A f B) & (B f A)
Def. ∩. ∩ = ¬U

Mally las nicht nur! A als "es sollte der Fall sein, dass A." Weil eine Person bereit ist, dass ein bestimmter Sachverhalt A der Fall ist, wird dies oft durch Sätze der Form „A sollte der Fall sein“ausgedrückt (zum Beispiel könnte jemand sagen: „Es sollte der Fall sein, dass ich reich und berühmt bin "Um anzuzeigen, dass sie reich und berühmt sein will), las er auch! A als" A ist wünschenswert "oder" Ich möchte, dass es so ist, dass A. " Infolgedessen war sein formales System ebenso eine Theorie über Wollen (willig) wie eine Theorie über Sollen (sollte der Fall sein). Dies erklärt den Untertitel seines Buches. In der modernen deontischen Logik wird das grundlegende deontische Bindeglied O selten auf diese Weise gelesen.

Wir haben gerade einen Aspekt beschrieben, in dem sich Mallys deontische Logik von moderneren Vorschlägen unterschied. Es gibt zwei weitere auffällige Unterschiede:

  • Mally interessierte sich nur für den deontischen Status von Sachverhalten; Er achtete nicht besonders auf den deontischen Status von Handlungen. So war seine Deontik eher eine Theorie über Seinsollen (was der Fall sein sollte) als über Tunsollen (was getan werden sollte). Moderne Autoren betrachten das Konzept von Tunsollen oft als grundlegend.
  • In der modernen deontischen Logik werden die Begriffe Verbot F, Erlaubnis P und Verzicht W üblicherweise als Verpflichtung O definiert: FA = O¬A, PA = ¬FA, WA = ¬OA. Solche Definitionen sind in Mallys Buch nicht zu finden.

3. Mallys Axiome

Mally übernahm die folgenden informellen deontischen Prinzipien (Mally 1926, S. 15-19):

(ich) Wenn A B benötigt und wenn B dann C, dann erfordert A C.
(ii) Wenn A B benötigt und wenn A C benötigt, dann benötigt A B und C.
(iii) A benötigt B genau dann, wenn es obligatorisch ist, dass wenn A dann B.
(iv) Das unbedingt ist obligatorisch.
(v) Die bedingungslose Verpflichtung bedarf keiner eigenen Verneinung.

Mally bot nicht viel Unterstützung für diese Prinzipien. Sie schienen ihm einfach intuitiv plausibel.

Mally formalisierte seine Prinzipien wie folgt (Mally 1926, S. 15-19):

ICH. ((A f B) & (B → C)) → (A f C)
II. ((A f B) & (A f C)) → (A f (B & C))
III. (A f B) ↔! (A → B)
IV. ∃U! U.
V. V. ¬ (U f ∩)

Axiom IV ist seltsam:

  • ! U ist eine natürlichere Formalisierung von (iv).
  • Axiom IV scheint überflüssig:! A →! A ist eine Tautologie, also haben wir! A f A von Def. f, woher! (! A → A) nach Axiom III (→), woher ∃M! M nach existenzieller Verallgemeinerung. Axiom IV scheint dem nichts hinzuzufügen.
  • Axiom IV ist das einzige von Mally erwähnte Axiom oder Theorem, in dem U als gebundene Variable vorkommt: in Axiom V und in den Theoremen (15) - (17), (20) - (21), (23), (23 ') und (27) - (35) (unten anzuzeigen) ist U entweder eine Konstante oder eine freie Variable. Man sollte es bei der Formalisierung von (iv) genauso behandeln.

Aus diesen Gründen ersetzen wir Axiom IV durch das folgende Axiom: [2]

IV. ! U.

Mally hätte gegen diese Version von Axiom IV kaum Einwände erheben können, da sie seinem Satz (23 '), dh V f U, aufgrund von Def entspricht. f. Im Folgenden bezieht sich „Axiom IV“immer auf unsere Version von Axiom IV und nicht auf die von Mally.

Verwenden von Def. f, Axiome IV können auch wie folgt geschrieben werden (Mally 1926, S. 15-19 und S. 24):

ICH'. ((A →! B) & (B → C)) → (A →! C)
II '. ((A →! B) & (A →! C)) → (A →! (B & C))
III '. (A →! B) ↔! (A → B)
IV '. V f U.
V '. ¬ (U →! ∩)

4. Mallys Sätze

Mally leitete die folgenden Sätze aus seinen Axiomen ab (Mally 1926, S. 20-34). [3]

(1) (A f B) → (A f V)
(2) (A f Λ) ↔ (M (A f M)
(3) ((M f A) ∨ (M f B)) → (M f (A ∨ B))
(4) ((M f A) & (N f B)) → ((M & N) f (A & B))
(5) ! P ↔ ∀ M (M f P)
(6) (! P & (P → Q)) →! Q.
(7) ! P →! V.
(8) ((A f B) & (B f C)) → (A f C)
(9) (! P & (P f Q)) →! Q.
(10) (! A &! B) ↔! (A & B)
(11) (A ∞ B) ↔! (A ↔ B)
(12) (A f B) A (A →! B) ↔! (A → B) ↔! ¬ (A & ¬B) ↔! (¬A ∨ B)
(13) (A →! B) A ¬ (A & ¬! B) ↔ (¬A ∨! B)
(14) (A f B) ↔ (¬B f ¬A)
(fünfzehn) ∀M (M f U)
(16) (U → A) →! A.
(17) (U f A) →! A.
(18) !! A →! A.
(19) !! A ↔! A.
(20) (U f A) ↔ (A ∞ U)
(21) ! A ↔ (A ∞ U)
(22) ! V.
(23) V ∞ U.
(23 ') V f U.
(24) A f A.
(25) (A → B) → (A f B)
(26) (A ↔ B) → (A ∞ B)
(27) ∀M (∩f ¬M)
(28) ∩ f ∩
(29) ∩ f U.
(30) ∩ f Λ
(31) ∩ ∞ Λ
(32) ¬ (U f Λ)
(33) ¬ (U → Λ)
(34) U ↔ V.
(35) ∩ ↔ Λ

5. Überraschende Folgen

Mally nannte die Sätze (1), (2), (7), (22) und (27) - (35) "überraschend" (freundemisch) oder sogar "paradox" (paradox). Er betrachtete (34) und (35) als das überraschendste seiner überraschenden Theoreme. Aber Mallys Gründe, diese Theoreme als überraschend zu bezeichnen, sind rätselhaft, wenn nicht verwirrt.

Betrachten Sie zum Beispiel Satz (1). Mally interpretierte diesen Satz wie folgt: „Wenn A B benötigt, dann benötigt A alles, was der Fall ist“(Mally 1926, S. 20). Er betrachtete dies als eine überraschende Behauptung, und wir sind uns einig. Mallys Interpretation von (1) ist jedoch nicht gerechtfertigt. (1) sagt nur, dass wenn A B benötigt, A das Verum benötigt. Der Ausdruck "wenn A B benötigt, dann erfordert A alles, was der Fall ist" ist als zu formalisieren

(1 ') (A f B) → (C → (A f C))

Diese Formel ist eine unmittelbare Folge von (1) aufgrund von Axiom I. Mit anderen Worten, Mally hätte wie folgt argumentieren müssen: (1 ') ist überraschend; aber (1 ') ist eine unmittelbare Folge von (1) aufgrund von Axiom I; Axiom 1 ist unumstritten; daher ist (1) als überraschend anzusehen.

Ein ähnliches Muster ist in vielen anderen Bemerkungen von Mally zu Theoremen zu sehen, die ihn überraschten. Er las im Allgemeinen zu viel in sie hinein und verwechselte sie mit einigen der Konsequenzen, die sie in seinem System hatten:

  • Mally war von (2) überrascht, weil er der Meinung war, dass wenn A B erfordert und B nicht der Fall ist, A jeden Sachverhalt benötigt (Mally 1926, S. 21). Aber (2) sagt so etwas nicht. Mallys Paraphrase ist eher eine Paraphrase von (A f B) → (¬B → (A f C)) (eine Folge von (2) aufgrund von Axiom I) als von (2).
  • Mally umschrieb (7) als „wenn etwas erforderlich ist, dann ist alles erforderlich, was der Fall ist“(Mally 1926, S. 28), was in der Tat überraschend ist. Mallys Paraphrase entspricht jedoch eher! A → (B →! B) (eine Folge von (7) aufgrund von Axiom I) als (7).
  • Mally umschrieb (22) als „die Tatsachen sollten der Fall sein“(Mally 1926, S. 24). Wir geben zu, dass dies eine überraschende Behauptung ist. Aber die entsprechende Formel in Mallys Sprache ist A →! A (eine Folge von (22) aufgrund von Axiom I), nicht (22).
  • Mally las (27) als „wenn etwas der Fall sein sollte, was nicht der Fall sein sollte, dann sollte alles der Fall sein“(Mally 1926, S. 24, 33), aber dies ist eine Umschreibung von! ¬A → (A →! B) (ein Satz von Mallys System) statt (27).
  • Mally umschrieb (33) als „was nicht der Fall ist, ist nicht obligatorisch“(Mally 1926, S. 25) und als „alles, was obligatorisch ist, ist der Fall“(Mally 1926, S. 34). Diese Behauptungen sind in der Tat überraschend, aber Mallys Lesarten von (33) sind nicht gerechtfertigt. Sie sind eher Paraphrasen von! A → A als von (33).
  • Mally machte die folgende Bemerkung zu (34) und (35):

    Die letzteren Sätze, die zu identifizieren scheinen, dass sie obligatorisch sind, sind sicherlich die überraschendsten unserer „überraschenden Konsequenzen“. [4]

    (34) und (35) behaupten jedoch nicht, dass eine Verpflichtung gleichbedeutend mit dem Fall ist, da die letztere Aussage als A ↔! A formalisiert werden sollte. Die letztere Formel ist ein Satz von Mallys System, wie gleich gezeigt wird, aber sie ist in Mallys Buch nicht zu finden.

Mally betrachtete die Theoreme (28) - (32) aufgrund ihrer Beziehung zu bestimmten anderen überraschenden Theoremen als überraschend:

  • (28) - (30) sind Instanziierungen von (27). Dies reicht jedoch nicht aus, um diese Sätze als überraschend zu bezeichnen. Mally sah (28) tatsächlich als weniger überraschend an als (27): Man könnte es verwenden, um Vergeltung und Rache zu rechtfertigen (Mally 1926, S. 24).
  • (31) impliziert (28) - (30) und ist daher mindestens so überraschend wie diese Sätze.
  • Mally sah (32) als überraschend an, weil der überraschende Satz (33) eine unmittelbare Folge von (32) und dem scheinbar nicht überraschenden Satz (25) ist.

Mallys Liste überraschender Theoreme scheint zu kurz: Zum Beispiel ist (24) aufgrund von Def äquivalent zu A →! A. f. Aber A →! A kann umschrieben werden als "die Tatsachen sollten der Fall sein", eine Behauptung, die Mally als überraschend ansah (Mally 1926, S. 24). Warum rief er dann nicht (24) überraschend an? Hat es ihn nach (22) nicht überrascht?

Obwohl Mally viele seiner Theoreme als überraschend ansah, glaubte er, ein interessantes Konzept des „richtigen Willens“oder des „Willens in Übereinstimmung mit den Tatsachen“entdeckt zu haben, das nicht mit den Begriffen der Verpflichtung und des Willens verwechselt werden sollte im gewöhnlichen Diskurs verwendet. Mallys „genaues System der reinen Ethik“befasste sich hauptsächlich mit diesem Konzept, aber wir werden dieses System nicht beschreiben, da es eher zum Bereich der Ethik als zur deontischen Logik gehört.

6. Mengers Kritik

Mallys Unternehmen wurde mit wenig Begeisterung aufgenommen. Bereits 1926 wurde festgestellt, dass „Mr. Mallys Schlussfolgerungen sind häufig so erstaunlich stumpf und irrelevant, dass (trotz seines ausgeklügelten symbolischen Apparats) nur ein oder zwei von ihnen angegeben werden müssen, um zu zeigen, wie weit seine Diskussion von ihrer selbsternannten Aufgabe abgewichen ist “(Laird 1926, S. 395)).

1939 veröffentlichte Karl Menger einen verheerenden Angriff auf Mallys System. Er wies zuerst darauf hin, dass A ↔! A ein Satz dieses Systems ist. Mit anderen Worten, wenn A der Fall ist, dann ist A obligatorisch, und wenn A der Fall sein sollte, dann ist A tatsächlich der Fall. Wie wir bereits im Zusammenhang mit den Theoremen (34) und (35) festgestellt haben, machte Mally informell dieselbe Behauptung, aber die Formel A ↔! A kommt in seinem Buch nicht vor.

Mengers Satz A ↔! A kann wie folgt bewiesen werden (Mengers Beweis war anders; PC bezeichnet den Satzkalkül).

Erstens ist A →! A ein Satz:

1. A → ((! B →! B) & (B → A)) [ PC] [5]
2. ((! B →! B) & (B → A)) → (! B →! A) [ICH']
3. A → (! B →! A) [1, 2, PC]
4. ! B → (A →! A) [3, PC]
5a. ! U. [Ax. IV]
5b. ! (! A → A) [III '(→), PC]
6. A →! A. [4, entweder 5a oder 5b, PC]

Zweitens! A → A ist ein Satz:

1. ((U →! A) & (A → ∩)) → (U →! ∩) [ICH']
2. ¬ ((U →! A) & (A → ∩)) [1, V ', PC]
3. ¬ ((U →! A) & (A → ∩)) → (! A → A) [ PC] [6]
4. ! A → A. [2, 3, PC]

Da A →! A und! A → A Sätze sind, ist A ↔! A ebenfalls ein Satz.

Menger gab folgenden Kommentar ab:

Dieses Ergebnis scheint mir jedoch für Mallys Theorie nachteilig zu sein. Es zeigt an, dass die Einführung des Zeichens! ist in dem Sinne überflüssig, dass es an jeder von uns gewünschten Stelle storniert oder in eine Formel eingefügt werden kann. Aber dieses Ergebnis (trotz Mallys philosophischer Rechtfertigung) widerspricht eindeutig nicht nur unserer Verwendung des Wortes "sollte", sondern auch einigen von Mallys eigenen korrekten Bemerkungen zu diesem Konzept, z. B. der zu Beginn seiner Entwicklung dahingehend, dass p → (! q oder! r) und p →! (q oder r) sind nicht äquivalent. Mally hat völlig Recht, dass diese beiden Sätze nach der gewöhnlichen Verwendung des Wortes "sollte" nicht gleichwertig sind. Aber sie sind nach seiner Theorie aufgrund der Äquivalenz von p und! P gleichwertig (Menger 1939, S. 58).

Fast alle deontischen Logiker haben Mengers Urteil akzeptiert. Nach 1939 wurde Mallys deontisches System selten ernst genommen.

7. Wo ist Mally schief gelaufen?

Wo ist Mally schief gelaufen? Wie könnte man ein System deontischer Logik konstruieren, das dem im gewöhnlichen Diskurs verwendeten Begriff der Verpflichtung mehr gerecht wird? Drei Arten von Antworten sind möglich:

  • Mally hätte seine deontischen Axiome nicht zur klassischen Aussagenlogik hinzufügen dürfen;
  • Einige seiner deontischen Prinzipien sollten modifiziert werden; und
  • Beide der oben genannten. Menger vertrat die letztere Ansicht: „Einer der Gründe für das Scheitern von Mallys interessantem Versuch ist, dass er auf der 2-wertigen Satzrechnung basiert“(Menger 1939, S. 59).

Die ersten beiden Vorschläge erweisen sich als ausreichend, so dass der dritte Vorschlag übertrieben ist.

Im Folgenden werden wir auf drei Tatsachen hinweisen:

Erstens, wenn Mallys deontische Prinzipien zu einem System hinzugefügt werden, in dem die sogenannten Paradoxien des Materials und der strengen Implikation vermieden werden, sind viele der „überraschenden“Theoreme (wie (34) und (35)) nicht mehr ableitbar und A. ↔! A ist auch nicht mehr ableitbar (Abschnitt 8).

Zweitens, wenn Mallys deontische Prinzipien zu einem System hinzugefügt werden, in dem das sogenannte Gesetz der ausgeschlossenen Mitte vermieden wird, ist die inakzeptable Konsequenz A ↔! A nicht mehr ableitbar, aber fast alle Sätze, die Mally selbst abgeleitet hat, sind immer noch ableitbar (Abschnitt 9).

Drittens, wenn Mallys deontische Prinzipien, z. f und Axiom I sind leicht modifiziert, das resultierende System ist fast identisch mit dem System, das heutzutage als Standard-Deontielogik bekannt ist (Abschnitt 10).

8. Alternative nicht-deontische Grundlagen 1: Relevanzlogik

Mallys informelle Postulate (i) - (iii) und (v) sind Bedingungen oder Negationen von Bedingungen, dh der Form „wenn… dann -“oder „nicht: wenn… dann -“. Føllesdal und Hilpinen (1981, S. 5-6) haben vorgeschlagen, solche Bedingungen nicht in Bezug auf materielle Implikationen zu formalisieren, und dass eine Art strikte Implikation angemessener wäre. Dieser Vorschlag ist jedoch insgesamt nicht zufriedenstellend, da sowohl A →! A als auch A ↔! A im sehr schwachen System S0.9 0 plus I 'und III' ableitbar sind, wobei → das Symbol der strengen Implikation ist. [7]

In Systemen der strengen Implikation werden die sogenannten Paradoxe der materiellen Implikation (wie A → (B → A)) vermieden, aber die sogenannten Paradoxe der strengen Implikation (wie (A & A) → B) bleiben bestehen. Was würde mit Mallys System passieren, wenn beide Arten von Paradoxien vermieden würden? Diese Frage kann beantwortet werden, indem Mallys Axiome zu einem System hinzugefügt werden, in dem keiner der sogenannten „relevanten Irrtümer“abgeleitet werden kann (siehe den Eintrag zur Relevanzlogik).

Im Folgenden werden wir Mallys Axiome zur herausragenden Relevanzlogik R hinzufügen. Das Ergebnis ist besser als bei strikter Implikation: Die meisten Theoreme, die Mally als überraschend ansah, sind nicht mehr ableitbar, und Mengers Theorem A ↔! A ist ebenfalls nicht ableitbar. Es können jedoch noch viele „plausible“Theoreme abgeleitet werden.

Das relevante System R mit der Satzkonstante t ("die Verbindung aller Wahrheiten") hat die folgenden Axiome und Regeln (Anderson & Belnap 1975, Kap. V; ↔ ist definiert durch A ↔ B = (A → B) & (B →) EIN)):

Selbstimplikation. A → A.
Präfix. (A → B) → ((C → A) → (C → B))
Kontraktion. (A → (A → B)) → (A → B)
Permutation. (A → (B → C)) → (B → (A → C))
& Beseitigung. (A & B) → A, (A & B) → B.
& Einführung. ((A → B) & (A → C)) → (A → (B & C))
∨ Einführung. A → (A ∨ B), B → (A ∨ B)
∨ Beseitigung. ((A → C) & (B → C)) → ((A ∨ B) → C)
Verteilung. (A & (B ∨ C)) → ((A & B) ∨ C)
Doppelte Verneinung. A → A.
Widerspruch. (A → ¬B) → (B → ¬A)
Axt. t. A ↔ (t → A)
Modus Ponens. A, A → B / B.
Adjunktion. A, B / A & B.

Eine relevante Version RD von Mallys deontischem System kann wie folgt definiert werden:

  • Die Sprache ist dieselbe wie die Sprache von R, außer dass wir V anstelle von t schreiben, die Satzkonstante U und den unären Konnektiv addieren! Und Λ, ∩, f und ∞ wie in Mallys System definieren.
  • Axiomatization: add Mallys Axiome IV auf die Axiome und Regeln von R.

RD hat die folgenden Eigenschaften.

  • Die Axiome I, II und III können durch die folgenden drei einfacheren Axiome ersetzt werden: [8]

    ICH*. (A → B) → (! A →! B)
    II *. (! A &! B) →! (A & B)
    III *. ! (! A → A)
  • Die Formeln I - V ', (3), (4), (6), (8) - (11), (14), (16) - (18), (23') und (30) sind Sätze von RD. [9]
  • Formeln (1), (2), (5), (7), (12), (13), (15), (19) - (23), (24) - (29), (31) - (35), A →! A und! A → A sind nicht ableitbar. [10]
  • Es gibt 12 Fehlpaarungen zwischen RD und Mallys Erwartungen: (5), (12) - (13), (15), (19) - (21), (23) und (24) - (26) sind nicht ableitbar, obwohl Mally betrachtete diese Formeln nicht als überraschend, und (30) ist ein Satz, obwohl Mally ihn als überraschend ansah.
  • Die Formeln (34) und (35) (die Formeln, die Mally als die überraschendsten Theoreme seines Systems ansah) sind in gewissem Sinne seltsamer als Mengers Theorem A ↔! A, da das letztere Theorem in RD ableitbar ist, ergänzt durch (34) oder (35), während weder (34) noch (35) in RD, ergänzt mit A ↔! A, ableitbar sind. [11]

Obwohl die meisten überraschenden Theoreme von Mally in RD nicht ableitbar sind, hat dies nichts mit Mallys eigenen Gründen zu tun, diese Theoreme als überraschend anzusehen. Sie sind in RD nicht ableitbar, da sie von relevanten Irrtümern abhängen. Mally hat sich nie auf solche Irrtümer bezogen, um seine Überraschung zu erklären. Seine Überlegungen waren ganz anders, wie wir bereits beschrieben haben.

RD ist eng verwandt mit Andersons relevanter deontischer Logik- ARD, die als R definiert ist und durch die folgenden zwei Axiome ergänzt wird (Anderson 1967, 1968, McArthur 1981; Anderson verwendete das unäre Konnektiv O anstelle von!):

ARD1. ! A ↔ (¬A → ∩)
ARD2. ! A → ¬! ¬A
  • Alle Sätze von RD sind Sätze von ARD. [12]
  • ARD1 (→) ist kein Satz von RD + ARD2. [13] Diese Formel kommt in Mallys Buch nicht vor. Laut Anderson war Bohnert (1945) der erste, der dies vorschlug. [14]
  • ARD2 ist kein Satz von RD + ARD1. [15] Diese Formel kommt in Mallys Buch nicht vor, aber Mally befürwortete das entsprechende informelle Prinzip: „Eine Person, die richtig will, will nicht (nicht einmal implizit) die Negation dessen, was sie will; Richtiges Wollen ist frei von Widersprüchen. “[16]
  • RD ergänzt mit ARD1 (→) und ARD2 hat die gleichen Sätze wie ARD. [17]

Andersons System weist mehrere problematische Merkmale auf (McArthur 1981, Goble 1999, 2001), und RD teilt die meisten dieser Merkmale. Aber wir werden hier nicht auf dieses Thema eingehen. Es ist jedenfalls klar, dass RD besser ist als Mallys ursprüngliches System.

9. Alternative nicht-deontische Grundlagen 2: Intuitionistische Logik

Kürzlich wurde darauf hingewiesen, dass es auch möglich ist, Mallys deontische Logik auf intuitionistische Aussagenlogik IPC anstatt auf klassische Aussagenlogik zu stützen (Lokhorst 2013; siehe auch Centrone 2013).

Heytings intuitionistischer Aussagenkalkül IPC hat die folgenden Axiome und Regeln (siehe Van Dalen 2002 und den Eintrag zur intuitionistischen Logik):

A → (B → A)
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
(A & B) → A.
(A & B) → B.
A → (B → (A & B))
A → (A ∨ B)
B → (A ∨ B)
(A → C) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C))
⊥ → A.
Modus Ponens
Auswechslung

Wenn wir diesen Axiomen und Regeln Folgendes hinzufügen:

Abkürzungen: ¬ A = A → ⊥, A ↔ B = (A → B) & (B → A), T = A → A, dann können wir ID (eine intuitionistische Neuformulierung von Mallys deontischer Logik) als IPC plus Mallys Axiome I - V und formulieren

(34) U ↔ T.
VI ! (A ∨ ¬ A)

Axiom VI folgt aus Mallys Theorem (12d) (siehe Mally 1926, Kap. 2, Abs. 5, S. 29 und Morscher 1998, S. 122). [18]

FAKT 1. ID kann alternativ als IPC plus Axiome axiomatisiert werden ! A ↔ ¬ ¬ A und (34). [19]

Die klassische Aussagenlogik CPC ist IPC plus A ¬ A. MD („Mallys Deontik“) ist ID plus CPC.

Tatsache 2. A ↔! A ist ein Satz von MD. [20]

In der modernen deontischen Logik ist PA ("es ist erlaubt, dass A") definiert als PA = ¬! ¬ A. Wenn wir diese Definition übernehmen, liefert ID ! A ↔ PA (weil IPC ¬ A ↔ ¬ ¬ A liefert). Mally diskutierte nicht über die Erlaubnis. Seine Zustimmung zu! A → ¬! ¬ A (was normalerweise als charakteristisch für die deontische Logik angesehen wird) geht aus Mally 1926, Kap. 4, sek. 10, p. 49, ad (V).

Mally widersprach! (A ∨ B) → (! A ∨! B) und Menger widersprach A ↔! A (siehe Mally 1926, Kap. 2, Abs. 4, S. 27, ad (II) und das Zitat in Abschnitt 6 oben). ID vermeidet diese Einwände:

FAKT 3. Weder! (A ∨ B) → (! A ∨! B) noch! A → A ist ein Satz von ID. [21]

Nur einer der von Mally vorgestellten Sätze ist in ID nicht ableitbar, nämlich (13b): ¬ (A & ¬! B) ↔ (¬ A ∨! B). [22]

FAKT 4. Für jede Erweiterung X von ID (in der Sprache von ID): X liefert (13b) genau dann, wenn X liefert! (A ∨ B) → (! A ∨! B). [23]

ID plus (13b) liefert nicht! A → A. [24]

Die von uns vorgeschlagene intuitionistische Neuformulierung von Mallys deontischer Logik ist insofern erfolgreich, als sie sowohl Mengers als auch Mallys eigene Einwände vermeidet und fast alle Theoreme bewahrt, die Mally selbst bemerkt hat. Es ist jedoch als eigenständiges System deontischer Logik nicht akzeptabel. Wir erwähnen nur zwei Gründe:

1. Satz A →! A ist intuitiv ungültig. Kein deontisches System außer Mallys hat diesen Satz.

2. Es ist unklar, wie die Erlaubnis dargestellt werden soll. Wenn wir die Standarddefinition verwenden (PA = ¬! ¬ A), dann ist PA ↔! A ein Theorem, aber PA und! A sind gemäß der gewöhnlichen Verwendung der Wörter "erlaubt" und "obligatorisch" nicht äquivalent.

Die oben diskutierte relevantistische Neuformulierung von Mallys System weist diese Mängel nicht auf.

Obwohl ID als System der deontischen Logik nicht akzeptabel ist, ist es als System der laxen Logik sinnvoll, wie wir jetzt zeigen werden. Lax Logic wird in den Bereichen Hardware-Verifikation in digitalen Schaltkreisen und Zugriffskontrolle in sicheren Systemen eingesetzt, wo! drückt einen Begriff der Korrektheit bis zu Einschränkungen aus. Der Begriff „lax“wurde gewählt, „um die Lockerheit anzuzeigen, die mit dem Begriff der Korrektheit bis hin zu Einschränkungen verbunden ist“(Fairtlough und Mendler 1997, S. 3). Es gibt eine beträchtliche Literatur zur laxen Logik (Goldblatt 2011).

Propositional Lax Logic PLL ist definiert als IPC plus (A →! B)! (! A →! B) (Fairtlough und Mendler 1997, S. 4, Lemma 2.1). Lax Logic PLL * ist PLL plus! A A ¬ ¬ A (Fairtlough und Mendler 1997, S. 23).

FAKT 5. ID ist eine alternative Axiomatisierung der laxen Logik PLL * plus (34). [25]

Mallys deontische Logik und laxe Logik ergaben sich aus ganz unterschiedlichen Überlegungen. Es ist daher bemerkenswert, dass die von uns diskutierte intuitionistische Neuformulierung von Mallys Logik mit der laxen Logik PLL * plus (34) identisch ist.

10. Alternative deontische Prinzipien

Anstatt die nicht-deontische Satzbasis von Mallys System zu ändern, könnte man auch die spezifisch deontischen Axiome und Regeln modifizieren. Dies kann natürlich auf verschiedene Arten geschehen, aber der folgende Ansatz funktioniert gut, ohne zu sehr von Mallys ursprünglichen Annahmen abzuweichen. [26]

Betrachten Sie f zunächst als primitiv und ersetzen Sie Mallys Definition von f durch → und! (Def. F, das allererste spezifisch deontische Postulat in Mallys Buch) durch die folgende Definition von! in Bezug auf V und f:

Def. !. ! A = V f A.

Zweitens ersetzen Sie Axiom I, das auch als (B → C) → ((A f B) → (A f C)) geschrieben werden kann, durch die folgende Inferenzregel:

Regel f. B → C / (A f B) → (A f C)

Wir können dann ableiten:

1. B → C /! B →! C. [Def. !, R f]
2. (! A &! B) →! (A & B) [Def. !, Axe. II]
3. ! V. [1, Ax. IV, PC]
4. ¬! Λ [1, Ax. III (←), Ax. V, PC (ex falso)]

Das sogenannte Standardsystem der deontischen Logik KD ist definiert als PC, ergänzt durch 1-4 (außer dass! Normalerweise als O geschrieben wird: siehe Eintrag zur deontischen Logik), daher ist das neue System mindestens so stark wie KD. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass es tatsächlich mit KD identisch ist, das mit OU (Mallys Axiom IV) und der folgenden Definition von f ergänzt ist: A f B = O (A → B). In der modernen deontischen Logik wird der Begriff des Engagements manchmal so definiert.

Im neuen System haben Mallys Theoreme den folgenden Status.

  • II ', IV', (1) - (5), (7) - (11), (13) - (15), (17), (20) - (24) und (27) - (32) sind ableitbar.
  • I ', III', V ', (6), (12), (16), (18) - (19), (25) - (26), (33) - (35), A →! A und ! A → A sind nicht ableitbar.
  • Es gibt 20 Fehlpaarungen mit Mallys deontischen Erwartungen: 10 „plausible“Formeln sind nicht mehr ableitbar, nämlich I ', III', V ', (6), (12), (16), (18) - (19) und (25) - (26) und 10 "überraschende" Sätze sind noch ableitbar, nämlich (1), (2), (7), (22) und (27) - (32).
  • Obwohl (34) und (35) nicht ableitbar sind, würde ihre Addition keinesfalls zur Theoremität von A ↔! A führen.

Im Fall von RD gab es nur 12 Fehlpaarungen, sodass das neue System den deontischen Erwartungen von Mally weniger gerecht wird als RD. Aber es stimmt besser mit seiner allgemeinen Sichtweise überein, da es immer noch auf der klassischen Aussagenlogik basiert, einem System, gegen das Mally nichts einzuwenden hatte (nicht, dass er in den 1920er Jahren eine große Auswahl hatte).

Viele von Mallys überraschenden Theoremen sind in KD ableitbar, aber sie haben sozusagen ihren Stich verloren: Diese Theoreme führen zu überraschenden Konsequenzen, wenn sie mit Mallys Axiom I und seiner Definition von f kombiniert werden, aber ohne diese Postulate sind sie völlig harmlos.

Das Standardsystem der deontischen Logik weist mehrere problematische Merkmale auf. Die Tatsache, dass jede nachweisbare Aussage obligatorisch ist, wird oft als nicht intuitiv angesehen, und es gibt viele andere bekannte „Paradoxe“. Die überarbeitete Version von Mallys System teilt diese problematischen Merkmale. Wir werden diese Themen hier jedoch nicht diskutieren. Das Standardsystem ist jedenfalls besser als Mallys ursprünglicher Vorschlag.

11. Schlussfolgerung

Mallys deontische Logik ist aus den von Menger (1939) genannten Gründen nicht akzeptabel. Aber es ist nicht so schlimm, wie es auf den ersten Blick scheinen mag. Es sind nur relativ geringfügige Änderungen erforderlich, um daraus ein akzeptableres System zu machen. Man kann entweder die nicht-deontische Basis ändern, um entweder ein System zu erhalten, das Andersons System ähnlich ist, oder ein System, das mit der intuitionistischen oder konstruktiven Aussagenlogik mit doppelter Negation als obligatorischer Operator identisch ist, oder zwei Patches auf die deontischen Postulate anwenden um ein System zu erhalten, das der deontischen Standardlogik ähnlich ist.

Einige Autoren haben sich geweigert, Mallys deontische Logik als ein „echtes“deontisches System anzusehen und sagen, dass sie es „nur aus Neugier erwähnen“(Meyer und Wieringa 1993, S. 4). Das Obige zeigt, dass dieses Urteil zu hart ist. Es ist nur ein kleiner Schritt, kein großer Sprung von Mallys System zu modernen Systemen deontischer Logik, daher verdient Mallys Pionierarbeit eher Rehabilitation als Verachtung.

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Andere Internetquellen

  • Grundlegende Informationsseite zu Ernst Mally (Edward Zalta, Stanford University).
  • MaGIC 2.2. MaGIC (Matrix Generator for Implication Connectives) ist ein Programm, das Matrizen für Implication Connectives für eine Vielzahl von Aussagenlogiken findet. MaGIC wurde von John Slaney von der Automated Reasoning Group der Research School für Informationswissenschaften und -technik der Australian National University geschrieben. MaGIC wurde für Unix geschrieben und kann problemlos unter Linux, FreeBSD, Mac OS X und ähnlichen Betriebssystemen kompiliert werden. Es gibt auch eine Version für Windows (Cygwin).

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