Mathematischer Stil

Inhaltsverzeichnis:

Mathematischer Stil
Mathematischer Stil

Video: Mathematischer Stil

Video: Mathematischer Stil
Video: Mathematischer Modellierungskreislauf einfach 2024, March
Anonim

Eintragsnavigation

  • Eintragsinhalt
  • Literaturverzeichnis
  • Akademische Werkzeuge
  • Freunde PDF Vorschau
  • Autor und Zitierinfo
  • Zurück nach oben

Mathematischer Stil

Erstveröffentlichung Do 2. Juli 2009; inhaltliche Überarbeitung Mi Aug 9, 2017

Der Aufsatz beginnt mit einer Taxonomie der wichtigsten Kontexte, in denen der Begriff „Stil“in der Mathematik seit dem frühen 20. Jahrhundert angesprochen wird. Dazu gehört die Verwendung des Stilbegriffs in vergleichenden Kulturgeschichten der Mathematik, bei der Charakterisierung nationaler Stile und bei der Beschreibung der mathematischen Praxis. Diese Entwicklungen beziehen sich dann auf die bekanntere Behandlung des Stils in der Geschichte und Philosophie der Naturwissenschaften, wobei zwischen „lokalen“und „methodischen“Stilen unterschieden wird. Es wird argumentiert, dass der natürliche Ort des "Stils" in der Mathematik zwischen dem "lokalen" und dem "methodischen" Stil liegt, die von Historikern und Wissenschaftsphilosophen beschrieben wurden. Schließlich werden im letzten Teil des Aufsatzes einige der wichtigsten Berichte über Stil in der Mathematik besprochen, die auf Hacking und Granger zurückzuführen sind.und untersucht ihre erkenntnistheoretischen und ontologischen Implikationen.

  • 1. Einleitung
  • 2. Stil als zentrales Konzept in der vergleichenden Kulturgeschichte
  • 3. Nationale Stile in der Mathematik
  • 4. Mathematiker über Stil
  • 5. Der Ort des Stils
  • 6. Auf dem Weg zu einer Erkenntnistheorie des Stils
  • 7. Schlussfolgerung
  • Literaturverzeichnis
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Einleitung

Ziel dieses Aufsatzes ist es, die Literatur zum Stil in der Geschichte und Philosophie der Mathematik zu untersuchen und zu analysieren. Insbesondere das Problem, wie man sich dem Begriff "Stil" in der Mathematik philosophisch nähern kann, wird gegen Ende angesprochen. Obwohl dies nicht zu den kanonischen Themen der Philosophie der Mathematik gehört, werden in der Präsentation relevante Diskussionen über den Stil in der Geschichte und Philosophie der Wissenschaft geführt.

Stilistisch über Mathematik zu sprechen, ist ein Phänomen, das häufig genug ist. Man trifft bereits im frühen 17. Jahrhundert auf solche Appelle an Stilmerkmale in der Mathematik. So kontrastiert Bonaventura Cavalieri bereits 1635 seine unteilbaren Techniken mit dem archimedischen Stil:

Ich weiß in der Tat, dass alle oben genannten Dinge [Cavalieris eigene Theoreme, die durch unteilbare Beweise erhalten wurden] auf den archimedischen Stil reduziert werden können. (Im lateinischen Original: "Scio autem praefata omnia ad stylum Archimedeum reduci posse" (Cavalieri 1635, 235)).

Später im Jahrhundert ist es einfacher, Beispiele zu finden. Zum Beispiel schreibt Leibniz (1701, 270–71): „Die Analyse unterscheidet sich nicht von Archimedes 'Stil, außer von den Ausdrücken, die direkter und angemessener für die Kunst der Entdeckung sind“(Französisch: „L'analyse ne diffère du style d "Archimède que dans les Ausdrücke, qui sont plus directes et plus entspricht à l'art d'inventer"). Es ist eine interessante Tatsache, dass solche Vorkommnisse vor der allgemeinen Verwendung des Begriffs Stil in der Malerei liegen, der erst aus den 1660er Jahren stammt (sporadische Vorkommen, wie in Sauerländer 1983 erwähnt, finden sich auch im 16. Jahrhundert). Zu Beginn des 17. Jahrhunderts war das Wort der Wahl in der Malerei „Manière“(siehe Panofsky 1924; englische Übersetzung (1968, 240)). Hier einige zusätzliche Beispiele aus dem neunzehnten und zwanzigsten Jahrhundert. Chasles in seiner Aperçu historique (1837) über Monge sagt:

Er initiierte eine neue Art zu schreiben und über diese Wissenschaft zu sprechen. Tatsächlich ist der Stil so eng mit dem Geist einer Methodik verbunden, dass er im Gleichschritt mit ihm voranschreiten muss. Ebenso muss der Stil, wenn er es vorausgesehen hat, notwendigerweise einen starken Einfluss darauf und auf den allgemeinen Fortschritt der Wissenschaft haben. (Chasles, 1837, §18, 207)

Ein weiteres Beispiel stammt aus Edwards Bewertung von Dedekinds Ansatz zur Mathematik:

Kroneckers Brillanz kann nicht bezweifelt werden. Hätte er ein Zehntel von Dedekinds Fähigkeit gehabt, seine Ideen klar zu formulieren und auszudrücken, wäre sein Beitrag zur Mathematik möglicherweise noch größer gewesen als der von Dedekind. Wie es jedoch ist, starb seine Brillanz größtenteils mit ihm. Dedekinds Vermächtnis bestand andererseits nicht nur aus wichtigen Theoremen, Beispielen und Konzepten, sondern aus einem ganzen Stil der Mathematik, der jede nachfolgende Generation inspirierte. (Edwards 1980, 20)

Offensichtlich könnte man Zitate der gleichen Art stapeln (siehe unter anderem Cohen 1992, de Gandt 1986, Dhombres 1993, Epple 1997, Fleckenstein 1955, Granger 2003, Høyrup 2005, Laugwitz 1993, Novy 1981, Reck 2009, Tappenden 2005), Weiss 1939, Wisan 1981), aber das wäre nicht sehr interessant. Auch in der Mathematik reicht der Stil unter anderem von "individuellen Stilen" über "nationale Stile" bis zu "epistemischen Stilen". Was benötigt wird, ist zunächst ein Verständnis der Hauptkontexte, in denen der Appell an "Stil" in der Mathematik auftritt, obwohl dieser Aufsatz nicht viel Diskussion über "einzelne Stile" enthalten wird (Beispiele hierfür wären, einem Vorschlag von Enrico zu folgen Bombieri, die „sehr persönlichen“Stile von Euler, Ramanujan, Riemann, Serre und A. Weil).

In vielen Fällen wird die Berufung auf den Begriff des Stils als aus der bildenden Kunst entlehnt angesehen, und einige Fälle werden unverzüglich erörtert. Harwood 1993 behauptet, dass "das Konzept des Stils entwickelt wurde, um kulturelle Muster zu klassifizieren, die beim Studium der schönen Künste beobachtet wurden". Wessely 1991 spricht davon, „dieses Konzept [des Stils] auf die Wissenschaftsgeschichte zu übertragen“(265). Während dies vielleicht für das 20. Jahrhundert zutrifft (siehe auch Kwa 2012), sollte man, wie oben ausgeführt, bedenken, dass diese Behauptung für das 17. Jahrhundert qualifiziert sein muss.

2. Stil als zentrales Konzept in der vergleichenden Kulturgeschichte

Ungeachtet der vorherigen Vorbehalte ist es eine Tatsache, dass einige wichtige Appelle des 20. Jahrhunderts an die Kategorie des Stils in der Mathematik dies in Bezug auf die Künste getan haben. Dies gilt insbesondere für diejenigen Autoren, die motiviert waren, die kulturelle Produktion der Menschheit auf einheitliche Weise zu berücksichtigen, und die somit eine Einheitlichkeit in den Prozessen der wissenschaftlichen und künstlerischen Produktion sahen. In diesem Zusammenhang versuchte Oswald Spengler in The Decline of the West (1919, 1921) eine Morphologie der Weltgeschichte und behauptete, die Geschichte der Mathematik sei durch verschiedene Stilepochen gekennzeichnet, die von der Kultur abhingen, die sie hervorbrachte:

Der Stil jeder Mathematik, die entsteht, hängt ganz von der Kultur ab, in der sie verwurzelt ist, von der Art der Menschheit, die darüber nachdenkt. Die Seele kann ihre inhärenten Möglichkeiten in die wissenschaftliche Entwicklung einbringen, sie praktisch verwalten, die höchsten Ebenen in ihrer Behandlung erreichen - ist aber ziemlich machtlos, sie zu verändern. Die Idee der euklidischen Geometrie wird in den frühesten Formen der klassischen Ornamentik und die des Infinitesimalkalküls in den frühesten Formen der gotischen Architektur aktualisiert, Jahrhunderte bevor die ersten gelehrten Mathematiker der jeweiligen Kulturen geboren wurden. (Spengler 1919, 59)

Es gibt nicht nur Parallelen zwischen Mathematik und anderen künstlerischen Produktionen einer Kultur. Unter Berufung auf Goethes Aussage, dass der gesamte Mathematiker „die Schönheit des Wahren in sich fühlt“und auf Weierstrass 'Aussage, dass „wer nicht gleichzeitig ein bisschen ein Dichter ist, niemals ein wahrer Mathematiker sein wird“, charakterisierte Spengler die Mathematik selbst als Kunst:

Mathematik ist also eine Kunst. Als solches hat es seine Stile und Stilperioden. Es ist nicht, wie sich der Laie und der Philosoph (der auch in dieser Angelegenheit ein Laie ist) vorstellen, wesentlich unveränderlich, sondern unterliegt wie jede Kunst unbemerkten Veränderungen von Epoche zu Epoche. (Spengler 1919, 62)

Die umfangreichste Behandlung, die auf der Parallele zwischen Kunst und Mathematik aufbaut und den Begriff des Stils als zentrale Kategorie für eine Analyse der Geschichte der Mathematik nutzt, ist die von Max Bense. In einem Buch mit dem passenden Titel Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik (1946) widmete Bense ein ganzes Kapitel (Kap. 2) der Formulierung, wie der Begriff des Stils auf die Mathematik zutrifft. Für Bense ist Stil Form:

Denn Stil ist Form, wesentliche Form, und wir bezeichnen diese Form als „Ästhetik“, wenn sie das Sinnliche, ein Material, kategorisch kontrolliert. (Bense 1946, 118)

Bense betrachtete die Kunstgeschichte und die Geschichte der Mathematik als Aspekte der Geistesgeschichte. Tatsächlich ist „Stil überall dort gegeben, wo die menschliche Vorstellungskraft und die Ausdrucksfähigkeit zur Schöpfung gelangen“. Bense neigte sicherlich dazu, Parallelen zwischen kunstgeschichtlichen und mathematischen Stilen zu ziehen (er behandelte in seinem Buch insbesondere den barocken und den romantischen Stil), hielt jedoch im Gegensatz zu Spengler die Natur von Kunst und Mathematik getrennt. In der Tat erkannte er, dass eine stilistische Geschichte der Mathematik nicht „auf ein Zusammentreffen bestimmter mathematischer formaler Tendenzen und der großen künstlerisch-weltanschauenden-spirituellen Stile einzelner Epochen wie der Renaissance, des Klassizismus, des Barock oder der Romantik“reduziert werden konnte (S.132);;siehe Fleckenstein 1955 und Wisan 1981 für neuere Parallelen zwischen dem Barock in der Kunst und der Mathematik des 17. Jahrhunderts). Er verwies auf Felix Kleins „Elementarmathematik vom vollständigen Standpunkte aus“, um darauf hinzuweisen, dass bestimmte von Klein charakterisierte Entwicklungslinien als Hinweis auf Stile in der Geschichte der Entwicklung der Mathematik angesehen werden könnten (siehe Klein 1924, 91).

Versuche wie Spenglers und Benses appellieren sicherlich an jene Theoretiker, die die Stilkategorie als Werkzeug zur Beschreibung und vielleicht zur Berücksichtigung kultureller Muster verwenden möchten. Sie lassen jedoch den Leser, der sich mit Mathematik und / oder Kunstgeschichte auskennt, wegen der normalerweise weit hergeholten Parallelen, die Beweise für den Bericht liefern sollen, skeptisch zurück. Dies bedeutet natürlich nicht, letztendlich den Ansatz oder die Nützlichkeit der Angemessenheit der Stilkategorie in der Mathematik abzulehnen, aber man möchte, dass ihre Verwendung direkter mit Aspekten der mathematischen Praxis zusammenhängt.

Im Allgemeinen kann man zwei Arten von Theorien unterscheiden, die mit solchen Versuchen verbunden sein können. Die erste ist rein beschreibend oder taxonomisch und befriedigt sich damit, bestimmte gemeinsame Muster zwischen einem bestimmten Denkbereich wie der Mathematik und anderen kulturellen Produkten einer bestimmten Gesellschaft aufzuzeigen. Der zweite Ansatz setzt den ersten voraus, fragt aber auch nach den Ursachen, die für das Vorhandensein eines bestimmten Denk- oder Produktionsstils verantwortlich sind, und versucht normalerweise, ihn psychologischen oder soziologischen Faktoren zuzuschreiben. In Spengler und Bense gibt es Elemente von beiden, obwohl der Schwerpunkt mehr auf den Parallelen als auf den Ursachen liegt, die den Parallelen zugrunde liegen oder diese erklären.

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts gab es zahlreiche Versuche, den Begriff des Stils in der Kunst auf andere Bereiche menschlicher Bestrebungen auszudehnen. Ein bekannter Fall ist Mannheims soziologischer Versuch, Denkstile innerhalb verschiedener sozialer Gruppen zu charakterisieren (Mannheim 1928). Während Mannheim das wissenschaftliche Denken nicht aus dem Bereich der soziologischen Wissensanalyse ausgeschlossen hatte, verfolgte er eine solche Analyse nicht aktiv. Im Gegensatz dazu praktizierte Ludwik Fleck eine soziologische Analyse der Wissenschaft, in der „Denkstile“eine zentrale Rolle spielten. Fleck konzentrierte sich jedoch auf die Medizin (Fleck 1935).

Hier ist darauf hinzuweisen, dass der Begriff des Denkstils im Großen und Ganzen zwei unterschiedliche Entwicklungen in der zeitgenössischen Forschung erhalten hat, die sich auch auf die Mathematik auswirken. Erstens gibt es den Begriff, der in Fleck anzutreffen ist. Je nachdem, wie großzügig man beim Zeichnen von Verbindungen sein möchte, könnte man sehen, dass diese Herangehensweise an Denkstile mit der späteren Arbeit von Kuhn, Foucault und Hacking zusammenhängt (siehe unten für eine Diskussion über Hacking). Es gibt jedoch eine andere Denkweise über Denkstile, die normalerweise unter dem Namen kognitive Stile geführt wird. Dies ist ein Bereich, der für Kognitionspsychologen und Mathematikpädagogen von Interesse ist (für einen Überblick über die psychologische Forschung in diesem Bereich siehe Riding 2000 und Stenberg und Grigorenko 2001). Hier liegt der Fokus auf der psychologischen Zusammensetzung des Individuums, das einen bestimmten kognitiven Stil bevorzugt, entweder beim Lernen, Verstehen oder Nachdenken über Mathematik (dh beim Verarbeiten und Organisieren mathematischer Informationen). Die alte Unterscheidung zwischen visuellen und analytischen Mathematikern, die von Poincaré hervorgehoben wurde (siehe Poincaré 1905), ist immer noch Teil des Bildes, obwohl es eine große Vielfalt von Modellen und Klassifikationen gibt. Für einen historischen Überblick und einen theoretischen Vorschlag zur Mathematik siehe Borromeo Ferri 2005. Die alte Unterscheidung zwischen visuellen und analytischen Mathematikern, die von Poincaré hervorgehoben wurde (siehe Poincaré 1905), ist immer noch Teil des Bildes, obwohl es eine große Vielfalt von Modellen und Klassifikationen gibt. Für einen historischen Überblick und einen theoretischen Vorschlag zur Mathematik siehe Borromeo Ferri 2005. Die alte Unterscheidung zwischen visuellen und analytischen Mathematikern, die von Poincaré hervorgehoben wurde (siehe Poincaré 1905), ist immer noch Teil des Bildes, obwohl es eine große Vielfalt von Modellen und Klassifikationen gibt. Für einen historischen Überblick und einen theoretischen Vorschlag zur Mathematik siehe Borromeo Ferri 2005.

Auf dem Gebiet der Geschichte und Philosophie der Mathematik gibt es keine Buchlängenberichte über mathematische Stile, die die Entstehung eines bestimmten Stils mit soziologischen oder psychologischen Kategorien erklären (obwohl Netz 1999 für Stiltheoretiker als Versuch einer kognitiven Geschichte von Interesse war eines wichtigen Abschnitts der griechischen Mathematik). Dies steht im Gegensatz zu naturwissenschaftlichen Büchern wie Harwood 1993, deren Ziel es ist, die Entstehung des Denkstils der deutschen Genetikgemeinschaft durch soziologische Argumente zu erklären. Am nächsten an einem solchen Bericht ist Bieberbachs Konzeption des Stils in der Mathematik als abhängig von psychologischen und rassistischen Faktoren. Er wird im nächsten Abschnitt über nationale Stile erörtert.

3. Nationale Stile in der Mathematik

Etwas weniger Ehrgeiziges als die früheren Versuche einer allgemeinen Geschichte menschlicher Kulturproduktionen oder weitreichender Parallelen zwischen Kunst und Mathematik besteht darin, den Begriff des Stils als historiographische Kategorie in der Geschichte der Mathematik ohne besonderen Bezug zur Kunst oder zu anderen Menschen zu verwenden kulturelle Aktivitäten. Wenn man auf den Beginn des 20. Jahrhunderts zurückgeht, stellt man fest, dass häufig auf „nationale Stile“Bezug genommen wurde, um bestimmte Merkmale der mathematischen Produktion zu kategorisieren, die genau in die nationalen Grenzen zu fallen schienen. In der Wissenschaftsgeschichte wurden solche Fälle von „nationalen Stilen“oft untersucht. Man sollte sich hier an J. Harwoods Buch Styles of Scientific Thought (1993) und die Beiträge Nye 1986, Maienschein 1991 und Elwick 2007 erinnern. Ein Fall von Interesse für die Mathematik ist der von Herbert Mehrtens untersuchte Gegensatz zwischen französischem und deutschem Stil in der Mathematik.

Mehrtens (1990a, 1990b, 1996) beschreibt stilistisch den Konflikt in der Mathematik zwischen „Formalisten“und „Logikisten“einerseits und „Intuitionisten“andererseits als Kampf zwischen zwei Vorstellungen von Mathematik (siehe auch) Gray 2008 für eine kritische Auseinandersetzung mit Mehrtens 'Ansatz unter Betonung der „modernistischen“Transformation der Mathematik). Hilbert und Poincaré werden als Paradigmen für die Quellen der Opposition verwendet, die später in den 1920er Jahren zur Hilbert-Brouwer-Grunddebatte führten (zur Geschichte der Brouwer-Hilbert-Debatte siehe Mancosu 1998). Mehrtens weist auch darauf hin, dass diese Opposition nicht unbedingt auf nationaler Ebene verlief, da beispielsweise Klein als nah an Poincaré angesehen werden könnte. Tatsächlich,Am Ende des 19. Jahrhunderts und zu Beginn des 20. Jahrhunderts dominierte ein gewisser Internationalismus in der Mathematik. Der Erste Weltkrieg sollte jedoch die Situation ändern und zu starken nationalistischen Konflikten führen. Ein zentraler Akteur bei der "Verstaatlichung" der Opposition war Pierre Duhem, der den Esprit de Finesse der Franzosen gegen den Esprit de Géométrie der Deutschen stellte:

Um von klaren Prinzipien auszugehen… und dann Schritt für Schritt geduldig und akribisch Fortschritte zu machen, in einem Tempo, das den Regeln der deduktiven Logikdisziplin mit äußerster Strenge entspricht: Das ist es, was das deutsche Genie auszeichnet; der deutsche Esprit ist im Wesentlichen esprit de géométrie… Die Deutschen sind Geometer, sie sind nicht subtil [fin]; Den Deutschen fehlt es völlig an Finesse. (Duhem 1915, 31–32)

Duhem beabsichtigte, sein Modell auf die Naturwissenschaften, aber auch auf die Mathematik anzuwenden. Kleinert 1978 zeigte, dass Duhems Buch nur ein Teil einer Reaktion französischer Wissenschaftler auf die von 93 prominenten deutschen Intellektuellen unterzeichnete Erklärung „Aufruf an die Kulturwelt“von 1914 war. Dies führte zu dem sogenannten „Krieg der Geister“, in dem die Polarisierung zwischen Deutschland und Frankreich nicht nur die spezifischen Arten der Nutzung der Wissenschaft kritisierte (etwa das Praktizieren von Wissenschaft mit militärischen Zielen), sondern auch zu einer Charakterisierung der Wissenschaft führte Wissen, wie es im Wesentlichen durch nationale Merkmale bestimmt wird. Tatsächlich wurde diese Strategie von den Franzosen im Grunde genommen bei der Kritik an "La Science Allemande" verwendet, aber sie wird zwanzig Jahre später von den Deutschen angewendet, wobei "national" durch "rassisch" ersetzt wird. Der bekannteste Fall ist der der „Deutschen Physik“, hier liegt der Schwerpunkt jedoch auf der „Deutschen Mathematik“(siehe auch Segal 2003 und Peckhaus 2005).

Die extremste Form dieser ideologischen Konfrontation, die die Rolle von Deutschen und Franzosen im Vergleich von Duhem ironischerweise umkehrte, findet sich in den Schriften von Ludwig Bieberbach, dem Begründer der sogenannten „Deutschen Mathematik“. Bieberbach ging von der Entlassung von Landau aus der mathematischen Fakultät in Göttingen aus und versuchte zu erklären, warum die Studenten die Entlassung von Landau erzwungen hatten. In einem Kurzreferat für seinen Vortrag fasste er seine Ziele wie folgt zusammen:

Meine Überlegungen zielen darauf ab, den Einfluss von Volkstum, Blut und Rasse auf den Schöpfungsstil für meine eigene Wissenschaft, Mathematik, anhand mehrerer Beispiele zu beschreiben. Für einen Nationalsozialisten erfordert dies natürlich überhaupt keinen Beweis. Es ist eher eine Einsicht von großer Offensichtlichkeit. Denn alle unsere Handlungen und Gedanken wurzeln in Blut und Rasse und erhalten von ihnen ihre Spezifität. Dass es solche Stile gibt, ist auch jedem Mathematiker bekannt. (Bieberbach, 1934a, 235)

In seinen beiden Arbeiten 1934b und 1934c behauptete er, die von Landau praktizierte Mathematik sei dem deutschen Geist fremd. Er verglich Erhard Schmidt und Landau und behauptete dies im ersten Fall

Das System ist auf die Objekte gerichtet, die Konstruktion ist organisch. Im Gegensatz dazu ist Landaus Stil der Realität fremd, dem Leben entgegengesetzt, anorganisch. Der Stil von Erhard Schmidt ist konkret, intuitiv und erfüllt gleichzeitig alle logischen Anforderungen. (Bieberbach 1934b, 237)

Andere wichtige Oppositionen, die Bieberbach als „Beweis“für seine Behauptungen vorbrachte, waren Gauß gegen Cauchy-Goursat in komplexen Zahlen; Poincaré gegen Maxwell in der mathematischen Physik; Landau gegen Schmidt; und Jacobi gegen Klein.

Indem er sich auf die Psychologie der Typen des berüchtigten Marburger Psychologen Jaensch stützte, widersetzte er sich dann jüdischen / lateinischen und deutschen psychologischen Typen. Die Bruchlinie lag sozusagen zwischen einer für die deutsche Mathematik typischen, von Intuition getriebenen Mathematik und dem Formalismus, für den die jüdisch-lateinischen Mathematiker angeblich eintraten. Offensichtlich war Bieberbach gezwungen, viel herumzuwandern, um sicherzustellen, dass wichtige deutsche Mathematiker nicht auf der falschen Seite der Gleichung landeten (siehe, was er über Weierstrass, Euler und Hilbert sagt). Die Grundlage dieser mathematischen Unterschiede lag in den Rassenmerkmalen:

In meinen Überlegungen habe ich versucht zu zeigen, dass es in der mathematischen Tätigkeit Stilprobleme gibt und dass daher Blut und Rasse Einfluss auf die Art und Weise der mathematischen Schöpfung haben. (Bieberbach 1934c, 358–359)

Der Grund für die Erörterung von Bieberbach in diesem Zusammenhang ist, dass sein Fall einen Versuch darstellt, den Begriff des Stils in etwas Grundlegenderem zu verwurzeln, beispielsweise in nationalen Merkmalen, die in Bezug auf Psychologie und Rassenmerkmale interpretiert werden. Darüber hinaus ist sein Fall auch von Interesse, da seine Herangehensweise an den Stil zeigt, wie eine solche Theoretisierung in den Dienst eines verdrehten politischen Programms gestellt werden kann.

Glücklicherweise muss die Rede von nationalen Stilen in der Mathematik nicht alle Implikationen mit sich bringen, die in Bieberbach gefunden wurden. Wenn sich Historiker heute auf nationale Stile beziehen, tun sie dies ohne den Nationalismus, der die älteren Beiträge motiviert hat. Sie befassen sich vielmehr mit der Beschreibung, wie „lokale“Kulturen eine Rolle bei der Konstitution von Wissen spielen (siehe auch Larvor 2016). Während eine erhöhte Mobilität und E-Mail-Kommunikation das Gedeihen nationaler Stile erschweren, könnten besondere politische Bedingungen auch das Fortbestehen eines solchen Stils begünstigen. Dies ist beispielsweise beim russischen Stil in der algebraischen Geometrie und Darstellungstheorie der Fall. Wie Robert MacPherson den Autor darauf hingewiesen hat,Dieser Fall des nationalen Stils würde eine eingehendere Untersuchung verdienen, und es wäre interessant zu untersuchen, wie sich der Fall der Sowjetunion auf diesen Stil auswirkte. Im Gegensatz dazu ist ein Beispiel für einen Nationalstil, der ausführlich untersucht wurde, der der algebraischen Geometrie im italienischen Stil. Dieser Fall wurde von einer Reihe von Mathematikhistorikern und insbesondere von Aldo Brigaglia mit Sorgfalt untersucht (siehe auch Casnati et al. 2016). Zum Beispiel schreibt Brigaglia in einem kürzlich erschienenen Artikel:

Darüber hinaus war die italienische Schule keine rein nationale „Schule“, sondern ein Arbeitsstil und eine Methodik, die hauptsächlich in Italien angesiedelt waren, aber Vertreter hatten, die anderswo auf der Welt zu finden waren. (Brigaglia 2001, 189)

Die Angstzitate heben das Problem hervor, den Unterschied zwischen "Schulen", "Stilen", "Methoden" usw. zu erfassen (siehe Rowe 2003). Es wurde kein Versuch unternommen, den Begriff "nationaler Stil" für die Geschichte von "Schulen" analytisch zu diskutieren Mathematik - jedenfalls nichts Vergleichbares zu dem, was Harwood 1993 im ersten Kapitel seines Buches tut. Die Situation wird auch durch die Tatsache kompliziert, dass verschiedene Autoren unterschiedliche Terminologien verwenden und sich möglicherweise auf dasselbe Thema beziehen. Zum Beispiel wurde in letzter Zeit viel über "Bilder der Mathematik" gesprochen (Corry 2004a, 2004b, Bottazzini und Dahan Dalmedico, 2001). Im letzten Abschnitt werden wir zurückkehren, um über diese unterschiedlichen Stilverwendungen in der historiographischen Literatur zur Mathematik nachzudenken und wie sie mit denen in den Naturwissenschaften verglichen werden.

4. Mathematiker über Stil

Bisher konzentrierte sich die Diskussion auf den Stil als Werkzeug für Kulturphilosophen und für Historiker der Mathematik. Aber erkennen Mathematiker die Existenz von Stilen in der Mathematik? Auch hier wäre es nicht schwierig, isolierte Zitate zu geben, in denen Mathematiker über den Stil der Alten oder den abstrakten algebraischen Stil oder den kategorialen Stil sprechen könnten. In der logischen Arbeit findet man Stilvorkommen in Konfessionen wie der konstruktiven Mathematik im Bischofsstil. Was schwer zu finden ist, sind systematische Diskussionen von Mathematikern über den Begriff des Stils. Der Fall Bieberbach wurde oben erwähnt, aber es wurde dort keine ausführliche Diskussion der Beispiele gegeben, die er als Beweis für Stilunterschiede angeführt hatte. Zum Teil, weil sie von seinem Wunsch, seinen ideologischen Standpunkt zu unterstützen, so verdreht sind, dass es Gründe gibt, daran zu zweifeln, dass man durch eine Analyse seiner Fallstudien viel gewinnen würde.

Ein interessanter Beitrag ist ein Artikel von Claude Chevalley aus dem Jahr 1935 mit dem Titel „Variations du style mathématique“. Chevalley hält die Existenz von Stil für selbstverständlich. Er beginnt wie folgt:

Der mathematische Stil unterliegt ebenso wie der literarische Stil erheblichen Schwankungen beim Übergang von einem historischen Zeitalter in ein anderes. Ohne Zweifel besitzt jeder Autor einen individuellen Stil; man kann aber auch in jedem historischen Zeitalter eine allgemeine Tendenz feststellen, die durchaus erkennbar ist. Dieser Stil unter dem Einfluss mächtiger mathematischer Persönlichkeiten unterliegt hin und wieder Revolutionen, die das Schreiben und damit das Denken für die folgenden Zeiträume beeinflussen. (Chevalley 1935, 375)

Chevalley versuchte jedoch nicht, über den hier enthaltenen Stilbegriff nachzudenken. Vielmehr ging es ihm darum, anhand eines wichtigen Beispiels die Merkmale des Übergangs zwischen zwei mathematischen Stilen aufzuzeigen, die den Übergang von der Mathematik des 19. Jahrhunderts zu den Ansätzen des 20. Jahrhunderts charakterisiert hatten. Der erste von Chevalley beschriebene Stil ist der Weierstrassianische Stil, der "Stil von ε". Es findet seine "Daseinsberechtigung" in der Notwendigkeit, den Kalkül zu rigoros zu machen, weg von den Unklarheiten, die mit Begriffen wie "unendlich kleine Menge" usw. verbunden sind. Die Entwicklung der Analyse im neunzehnten Jahrhundert (analytische Funktionen, Fourier-Reihen, Gauß ' Theorien über Oberflächen, Lagrange-Gleichungen in der Mechanik usw.) führten zu einer kritischen Analyse

des algebraisch-analytischen Rahmens, vor dem sie sich befanden; und aus dieser kritischen Prüfung sollte ein völlig neuer mathematischer Stil hervorgehen. (Chevalley 1935, 377)

Chevalley fuhr fort, die Entdeckung einer kontinuierlichen, nirgends differenzierbaren Funktion aufgrund von Weierstrass als wichtigstes Element dieser Revolution herauszustellen. Da die Funktion von Weierstrass in Form einer Fourier-Erweiterung mit einem ganz normalen Erscheinungsbild angegeben werden kann, wurde deutlich, dass viele Demonstrationen in der Mathematik eine Abschlussbedingung voraussetzten, die rigoros festgelegt werden musste. Das von Weierstrass definierte Konzept der Begrenzung war das mächtige Werkzeug, das solche Untersuchungen ermöglichte. Die von Weierstrass und seinen Anhängern verfolgte Rekonstruktion der Analyse erwies sich nicht nur als grundlegend erfolgreich, sondern auch als mathematisch fruchtbar. So nah kommt Chevalley der Charakterisierung dieses Stils:

Die Verwendung der Definition der Grenze durch Weierstrass durch die Mathematiker dieser Schule ist am äußeren Erscheinungsbild ihrer Schriften zu erkennen. Zuallererst in der intensiven und manchmal maßlosen Verwendung des mit verschiedenen Indizes ausgestatteten "ε" (dies ist der Grund, warum wir oben von einem Stil der "ε" gesprochen haben). Zweitens beim fortschreitenden Ersetzen der Gleichheit durch Ungleichheit in den Demonstrationen sowie in den Ergebnissen (Approximationssätze; Sätze der oberen Grenze; Theorie der Zunahme usw.). Dieser letzte Aspekt wird uns beschäftigen, denn er wird uns die Gründe verständlich machen, die die Überwindung des Weierstrassschen Denkstils erzwungen haben. Während Gleichheit eine Beziehung ist, die für mathematische Wesen überhaupt von Bedeutung ist, kann Ungleichheit nur auf Objekte angewendet werden, die mit einer Ordnungsbeziehung ausgestattet sind.praktisch nur auf den reellen Zahlen. Auf diese Weise wurde man veranlasst, die gesamte Analyse zu erfassen und sie vollständig aus den reellen Zahlen und aus Funktionen reeller Zahlen zu rekonstruieren. (Chevalley 1935, 378–379)

Aus diesem Ansatz könnte man auch das System komplexer Zahlen als Paar von Real und die Punkte von Räumen in n Dimensionen als n-Tupel von Real aufbauen. Dies erweckte den Eindruck, dass die Mathematik durch konstruktive Definitionen ausgehend von den reellen Zahlen vereinheitlicht werden könnte. Die Dinge liefen jedoch anders und Chevalley versucht, die Gründe zu erklären, die dazu führten, dass man diesen „konstruktiven“Ansatz zugunsten eines axiomatischen Ansatzes aufgab. Verschiedene algebraische Theorien wie die Gruppentheorie führten zu Beziehungen, die ausgehend von den reellen Zahlen nicht konstruiert werden konnten. Darüber hinaus war die konstruktive Definition komplexer Zahlen gleichbedeutend mit der Festlegung eines beliebigen Bezugssystems und damit der Ausstattung dieser Objekte mit Eigenschaften, die ihre wahre Natur verbargen. Andererseits war man mit Hilberts Axiomatisierung der Geometrie vertraut, dieObwohl streng, hatte es nicht den Charakter der Künstlichkeit der konstruktiven Theorien. In diesem Fall werden die Entitäten nicht konstruiert, sondern durch die Axiome definiert. Dieser Ansatz wurde entwickelt, um die Analyse selbst zu beeinflussen. Chevalley erwähnte die Theorie des Lebesgue-Integrals, die erhalten wurde, indem zuerst festgelegt wurde, welche Eigenschaften das Integral erfüllen musste, und dann gezeigt wurde, dass eine Domäne von Objekten existiert, die diese Eigenschaften erfüllen. Die gleiche Idee wurde von Frechet verwendet, indem die Eigenschaften festgelegt wurden, die den Betrieb der Grenze charakterisieren sollten, wodurch zu einer allgemeinen Theorie der topologischen Räume gelangt wurde. Ein weiteres von Chevalley genanntes Beispiel ist die von Steinitz 1910 gegebene Axiomatisierung der Feldtheorie. Chevalley schloss darausIn diesem Fall werden die Entitäten nicht konstruiert, sondern durch die Axiome definiert. Dieser Ansatz wurde entwickelt, um die Analyse selbst zu beeinflussen. Chevalley erwähnte die Theorie des Lebesgue-Integrals, die erhalten wurde, indem zuerst festgelegt wurde, welche Eigenschaften das Integral erfüllen musste, und dann gezeigt wurde, dass eine Domäne von Objekten existiert, die diese Eigenschaften erfüllen. Die gleiche Idee wurde von Frechet verwendet, indem die Eigenschaften festgelegt wurden, die den Betrieb der Grenze charakterisieren sollten, wodurch zu einer allgemeinen Theorie der topologischen Räume gelangt wurde. Ein weiteres von Chevalley genanntes Beispiel ist die von Steinitz 1910 gegebene Axiomatisierung der Feldtheorie. Chevalley schloss darausIn diesem Fall werden die Entitäten nicht konstruiert, sondern durch die Axiome definiert. Dieser Ansatz wurde entwickelt, um die Analyse selbst zu beeinflussen. Chevalley erwähnte die Theorie des Lebesgue-Integrals, die erhalten wurde, indem zuerst festgelegt wurde, welche Eigenschaften das Integral erfüllen musste, und dann gezeigt wurde, dass eine Domäne von Objekten existiert, die diese Eigenschaften erfüllen. Die gleiche Idee wurde von Frechet verwendet, indem die Eigenschaften festgelegt wurden, die den Betrieb der Grenze charakterisieren sollten, wodurch zu einer allgemeinen Theorie der topologischen Räume gelangt wurde. Ein weiteres von Chevalley genanntes Beispiel ist die von Steinitz 1910 gegebene Axiomatisierung der Feldtheorie. Chevalley schloss darausChevalley erwähnte die Theorie des Lebesgue-Integrals, die erhalten wurde, indem zuerst festgelegt wurde, welche Eigenschaften das Integral erfüllen musste, und dann gezeigt wurde, dass eine Domäne von Objekten existiert, die diese Eigenschaften erfüllen. Die gleiche Idee wurde von Frechet verwendet, indem die Eigenschaften festgelegt wurden, die den Betrieb der Grenze charakterisieren sollten, wodurch zu einer allgemeinen Theorie der topologischen Räume gelangt wurde. Ein weiteres von Chevalley genanntes Beispiel ist die von Steinitz 1910 gegebene Axiomatisierung der Feldtheorie. Chevalley schloss darausChevalley erwähnte die Theorie des Lebesgue-Integrals, die erhalten wurde, indem zuerst festgelegt wurde, welche Eigenschaften das Integral erfüllen musste, und dann gezeigt wurde, dass eine Domäne von Objekten existiert, die diese Eigenschaften erfüllen. Die gleiche Idee wurde von Frechet verwendet, indem die Eigenschaften festgelegt wurden, die den Betrieb der Grenze charakterisieren sollten, wodurch zu einer allgemeinen Theorie der topologischen Räume gelangt wurde. Ein weiteres von Chevalley genanntes Beispiel ist die von Steinitz 1910 gegebene Axiomatisierung der Feldtheorie. Chevalley schloss darausEin weiteres von Chevalley genanntes Beispiel ist die von Steinitz 1910 gegebene Axiomatisierung der Feldtheorie. Chevalley schloss darausEin weiteres von Chevalley genanntes Beispiel ist die von Steinitz 1910 gegebene Axiomatisierung der Feldtheorie. Chevalley schloss daraus

Die Axiomatisierung von Theorien hat den Stil zeitgenössischer mathematischer Schriften sehr stark verändert. Zunächst muss man für jedes erzielte Ergebnis immer herausfinden, welche Eigenschaften unbedingt erforderlich sind, um es zu ermitteln. Man wird sich ernsthaft mit dem Problem befassen, ein solches Ergebnis nur minimal zu demonstrieren, und zu diesem Zweck muss man genau abgrenzen, in welchem Bereich der Mathematik man arbeitet, um Methoden abzulehnen, die diesem Bereich fremd sind, da letztere es sind wahrscheinlich die Einführung nutzloser Hypothesen bewirken. (Chevalley 1935, 382)

Darüber hinaus erlaubt die Konstitution von Domänen, die für bestimmte Operationen perfekt geeignet sind, allgemeine Theoreme zu den betrachteten Objekten aufzustellen. Auf diese Weise kann man die Operationen der Infinitesimalanalyse algebraisch charakterisieren, jedoch ohne die Naivität, die die bisherigen algebraischen Ansätze charakterisiert hatte.

Chevalleys Artikel ist eine wertvolle Quelle eines zeitgenössischen Mathematikers zum Thema Stil. Er zeigt eindringlich den Unterschied zwischen der Arithmetisierung der Analyse im späten 19. Jahrhundert und dem axiomatisch-algebraischen Ansatz des frühen 20. Jahrhunderts. Es hat jedoch seine Grenzen. Der Begriff des Stils wird nicht als solcher thematisiert, und es ist nicht klar, dass die zur Erklärung der besonderen historischen Ereignisse angeführten Merkmale die allgemeinen Werkzeuge für die Analyse anderer Übergänge im mathematischen Stil darstellen könnten. Aber vielleicht sollte das, wenn überhaupt, die Aufgabe eines Philosophen der Mathematik sein (für eine detaillierte Analyse von Chevalleys Stilansatz siehe Rabouin 2017).

5. Der Ort des Stils

In einem Buch mit dem Titel „Introducción al estilo matematico“(1971) versuchte der spanische Philosoph Javier de Lorenzo, eine (zugegebenermaßen teilweise) Geschichte der Mathematik stilistisch zu schreiben. Obwohl Grangers Werk, das in Abschnitt 5 erörtert werden soll, bereits 1971 erschienen war, war sich de Lorenzo dessen nicht bewusst, und die einzige Quelle für Stil, die er verwendet, ist Chevalleys Artikel. In der Tat ist dieses Buch lediglich eine Erweiterung von Chevalleys Studie, um viele weitere „Stile“aufzunehmen, die in der Geschichte der Mathematik aufgetaucht sind. Die Liste der von de Lorenzo untersuchten mathematischen Stile lautet wie folgt:

  • Geometrischer Stil;
  • Poetischer Stil;
  • Cossic Stil;
  • Kartesisch-algebraischer Stil;
  • Der Stil der Unteilbaren;
  • Betriebsstil;
  • Epsilon-Stil;
  • Synthetische und analytische Stile in der Geometrie;
  • Axiomatischer Stil;
  • Formeller Stil.

Der allgemeine Aufbau erinnert stark an Chevalleys Ansatz, und man würde in de Lorenzos Buch vergeblich nach einer zufriedenstellenden Darstellung des Stils suchen. Es gibt zwar einige interessante Beobachtungen über die Rolle der Sprache bei der Bestimmung eines Stils, aber eine allgemeine philosophische Analyse fehlt. In Bezug auf die Behandlung durch Chevalley und de Lorenzo ist jedoch ein wichtiger Punkt hervorzuheben, der auf ein wichtiges Merkmal der Verwendung von „Stil“in der Mathematik hinzuweisen scheint.

In seiner Arbeit „Die Geschichte des Stils in der Geschichte der Wissenschaften“(Gayon 1996) und im späteren Gayon 1999 stellt Jean Gayon die unterschiedlichen Verwendungen von „Stil“in der Geschichtsschreibung der Wissenschaft als in gewisser Weise zwischen zwei Lagern liegend vor er folgt Hacking 1992 hier). Erstens gibt es die Verwendung des "wissenschaftlichen Stils" seitens derer, die eine "lokale Wissenschaftsgeschichte" verfolgen. Normalerweise konzentriert sich diese Art der Analyse auf "lokale Gruppen oder Schulen" oder "Nationen". Zum Beispiel betont diese Art von Geschichte die universelle Komponente des Wissens und betont die Schwierigkeiten bei der Übersetzung von Experimenten von einer Umgebung in eine andere. Es zeigt sich, dass solche Schwierigkeiten von den „lokalen“Traditionen abhängen, zu denen spezifisches technisches und theoretisches Know-how gehört, das „grundlegend für die Einrichtung, Realisierung,und das Ergebnis dieser Experimente zu analysieren “(Corry 2004b) Zweitens gibt es die Verwendung des„ wissenschaftlichen Stils “, der in Werken wie Crombies 1994er„ Styles of Scientific Thinking in the European Tradition “veranschaulicht wird. Crombie zählt die folgenden wissenschaftlichen Stile auf:

  1. Postulation in den axiomatischen mathematischen Wissenschaften
  2. experimentelle Erforschung und Messung komplexer nachweisbarer Beziehungen
  3. hypothetische Modellierung
  4. Bestellung einer Sorte durch Vergleich und Taxonomie
  5. statistische Analyse der Populationen und
  6. historische Ableitung der genetischen Entwicklung (zitiert nach Hacking 1996, 65)

Gayon bemerkt, dass dieser letztere Begriff von "Stil" durch "Methode" ersetzt werden könnte und dass "die hier diskutierten Stile nichts mit lokalen Stilen zu tun haben". Er merkt auch an, dass die Gruppen, die als soziologische Unterstützung für solche Analysen dienen, in Bezug auf lokale Stile entweder „Forschungsgruppen“oder „Nationen“sind. In der jüngeren Geschichte der experimentellen Wissenschaften wurde viel Wert auf solche lokalen Faktoren gelegt (siehe beispielsweise Gavroglu 1990 für die "Argumentationsstile" zweier Niedertemperaturlabors, des von Dewar (London) und des von Kamerlingh Onnes (Leiden))).

Historiker der Mathematik versuchen nun, solche historiographischen Ansätze auch auf die reine Mathematik anzuwenden. Ein jüngster Versuch in diese Richtung ist die Arbeit von Epple in Bezug auf "epistemische Konfigurationen", wie sein kürzlich veröffentlichter Artikel über die frühen Arbeiten von Alexander und Reidemeister in der Knotentheorie (Epple 2004; siehe aber auch Rowe 2003 und 2004 sowie Epple 2011). Die Selbsthilfegruppen für solche Untersuchungen werden nicht als "Schulen", sondern als "mathematische Traditionen" oder "mathematische Kulturen" bezeichnet.

Was ist mit dem 'methodischen' Begriff des Stils à la Crombie? Haben Mathematikhistoriker davon viel Gebrauch gemacht? Abgesehen von zahlreichen Behandlungen des ersten Stils (axiomatische Methode) gibt es auf diesem Gebiet nicht viel, aber ein interessanter historischer Beitrag ist Goldsteins Arbeit über Frenicle de Bessy (2001). Sie argumentiert, dass die reine Mathematik, wie sie von Frenicle de Bessy praktiziert wird, viel mit dem baconianischen Stil der experimentellen Wissenschaft gemein hat. Vielleicht sollte man hier erwähnen, dass die experimentelle Mathematik jetzt ein blühendes Feld ist, das bald seinen Historiker finden könnte (siehe Baker 2008 für eine philosophische Darstellung der experimentellen Mathematik und Sørensen 2016 für eine Analyse in Bezug auf mathematische Kulturen). Dies ist in der Regel ein Thema von großem Interesse für Philosophen, da es sich auf Fragen der mathematischen Methode auswirkt. Das Problem kann einfach wie folgt ausgedrückt werden: Zusätzlich zu dem, was Crombie als methodischen Stil (a) [axiomatisch] auflistet, welche anderen Stile werden in der mathematischen Praxis verfolgt? Corfield 2003 geht in der Einleitung zu seinem Buch „Auf dem Weg zu einer Philosophie der„ echten “Mathematik“auf das Problem ein, als er unter Bezugnahme auf die obige Crombie-Liste sagt:

Hacking begrüßt Crombies Aufnahme von (a) als "Wiederherstellung der Mathematik in den Wissenschaften" (Hacking 1996) nach der Trennung der logischen Positivisten und erweitert die Anzahl seiner Stile auf zwei, indem er den algorithmischen Stil der indischen und arabischen Mathematik zulässt. Ich bin mit dieser Argumentation zufrieden, insbesondere wenn sie verhindert, dass Mathematik als eine Aktivität angesehen wird, die mit keiner anderen vergleichbar ist. In der Tat beschäftigen sich Mathematiker auch mit den Stilen (b) (siehe Kapitel 3), (c) und (d) [7] und analysieren nach dem Vorbild von (e) derzeit die Statistik der Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion. (Corfield 2003, 19)

In Anmerkung 7 erwähnt Corfield John Thompsons Kommentar dahingehend, dass die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen eine Übung in der Taxonomie ist.

Es ist nicht das Ziel dieses Aufsatzes, die zahlreichen Probleme, die sich aus den vorherigen Zitaten ergeben, genau anzusprechen. Es sollte jedoch darauf hingewiesen werden, dass diese Themen ein neues und anregendes Gebiet für eine deskriptive Erkenntnistheorie der Mathematik darstellen und dass bereits einige Arbeiten in dieser Richtung durchgeführt wurden (siehe Etcheverría 1996; van Bendegem 1998; Baker 2008).

Wie kann man schließlich die "lokalen" und "methodischen" Stile mit den Zusammenhängen von Chevalley und de Lorenzo zusammenstellen? In der Mathematik gibt es gute Beweise dafür, dass der natürlichste Ort für „Stile“sozusagen zwischen diesen beiden Kategorien liegt. In der Tat gehen mathematische Stile im Großen und Ganzen über jede lokale Gemeinschaft hinaus, die in einfacheren soziologischen Begriffen (Nationalität, direkte Mitgliedschaft in einer Schule usw.) definiert ist, und sind so beschaffen, dass die Selbsthilfegruppe nur durch die spezifische Untersuchungsmethode charakterisiert werden kann. Andererseits ist die Methode nicht so universell, dass sie als eine der sechs von Crombie oder in der von Hacking angegebenen erweiterten Liste beschriebenen Methoden identifiziert werden kann. Hier sind einige mögliche Beispiele, bei denen die Namen, die jeder Position zugeordnet sind, den Leser nicht irreführen sollten, zu denken, dass es sich lediglich um "individuelle" Stile handelt.

  1. Direkte vs. indirekte Techniken in der Geometrie (Cavalieri und Torricelli vs. Archimedes)
  2. Algebraische vs. geometrische Ansätze in der Analyse im 17. und 18. Jahrhundert (Euler vs. McLaurin)
  3. Geometrische vs. analytische Ansätze in der komplexen Analyse im 19. Jahrhundert (Riemann vs. Weierstrass)
  4. Konzeptionelle vs. rechnerische Ansätze in der algebraischen Zahlentheorie (Dedekind vs. Kronecker)
  5. strukturelle vs intuitive Stile in algebraischer Geometrie (deutsche Schule vs. italienische Schule)

Natürlich könnte es auch der Fall sein, dass es auch in der Geschichte und Philosophie der Wissenschaft "mittlere" Stilebenen gibt, wie die hier beschriebenen (ein Beispiel, das mir in den Sinn kommt, ist der "Newtonsche Stil" in der mathematischen Physik), aber die Die Tatsache, dass Jean Gayon sie nicht als zentral erkannt hat, scheint darauf hinzudeuten, dass die Situation in der Geschichte und Philosophie der Mathematik ganz anders ist, da diese „Zwischenstile“diejenigen sind, die eingehender diskutiert wurden und den analysierten Stilen entsprechen von Chevalley und de Lorenzo. Darüber hinaus verzichten Diskussionen über lokale mathematische Kulturen in der Regel auf das Konzept des Stils.

6. Auf dem Weg zu einer Erkenntnistheorie des Stils

Das Problem einer Erkenntnistheorie des Stils kann vielleicht grob wie folgt formuliert werden. Sind die im mathematischen Diskurs vorhandenen Stilelemente ohne kognitiven Wert und daher nur ein Teil der Färbung des mathematischen Diskurses oder können sie als enger mit seinem kognitiven Inhalt verbunden angesehen werden? Der Begriff der Färbung stammt von Frege, der in „Der Gedanke“zwischen dem Wahrheitszustand einer Aussage und jenen Aspekten der Aussage unterschied, die möglicherweise Informationen über den Geisteszustand des Sprechers oder Hörers liefern, aber nicht zu dessen Wahrheitsbedingungen beitragen. In der natürlichen Sprache sind typische Farbelemente Ausdruck von Bedauern wie „leider“. "Leider schneit es" hat die gleichen Wahrheitsbedingungen wie "es schneit" und "leider" ist im ersten Satz nur ein Teil der Färbung. Jacques und Monique Dubucs haben diese Unterscheidung auf Beweise in „La couleur des preuves“(Dubucs und Dubucs 1994) verallgemeinert, wo sie sich mit dem Problem einer „Rhetorik der Mathematik“befassen, einem Problem, das dem einer Stilanalyse ziemlich nahe kommt. Die traditionelle Rhetorik als "Residualist" zu bezeichnen, da sie nur Phänomene von nichtkognitiver Bedeutung wie Ornamentik usw. des mathematischen Textes berücksichtigt, das Objekt (wie den Inhalt einer Demonstration) jedoch unberührt lässt, untersuchten sie die Optionen für a ehrgeizigere "Rhetorik der Mathematik". Da es nur Phänomene von nichtkognitiver Bedeutung wie Ornamentik usw. des mathematischen Textes berücksichtigt, das Objekt (wie den Inhalt einer Demonstration) jedoch unberührt lässt, untersuchten sie die Optionen für eine ehrgeizigere „Rhetorik der Mathematik“. Da es nur Phänomene von nichtkognitiver Bedeutung wie Ornamentik usw. des mathematischen Textes berücksichtigt, das Objekt (wie den Inhalt einer Demonstration) jedoch unberührt lässt, untersuchten sie die Optionen für eine ehrgeizigere „Rhetorik der Mathematik“.

Man kann also beginnen, die erste Position zu artikulieren, die in Bezug auf die erkenntnistheoretische Bedeutung des Stils verteidigt werden kann. Es ist eine Position, die dem Stil jede wesentliche kognitive Rolle verweigert und sie auf ein Phänomen subjektiver Färbung reduziert. Nach dieser Position würden stilistische Variationen nur oberflächliche Ausdrucksunterschiede aufdecken, die den Inhalt des Diskurses unberührt lassen.

In der Literatur wurden zwei weitere ehrgeizige Positionen in Bezug auf den kognitiven Inhalt des Stils verteidigt. Der erste scheint mit einer Form des Platonismus oder Realismus in der Mathematik vereinbar zu sein, während der zweite definitiv dagegen ist. Es wird auf die beiden in der Literatur verfügbaren Hauptvorschläge hingewiesen, nämlich die von Granger 1968 und Hacking 1992, die nun kurz beschrieben werden.

Grangers Essay über eine Philosophie des Stils (Essai d'une philosophie du style 1968) ist die systematischste und ausgearbeiteteste Anstrengung, um eine Stiltheorie für die Mathematik zu entwickeln. Grangers Programm ist so ehrgeizig und reichhaltig, dass eine gründliche Diskussion der Struktur seines Buches und seiner detaillierten Analysen ein eigenes Papier erfordern würde. Aufgrund der räumlichen Begrenzung soll hier nur eine grobe Vorstellung davon gegeben werden, woraus das Projekt besteht, und gezeigt werden, dass die erkenntnistheoretische Rolle des von Ganger verteidigten Stils mit einem Realismus über mathematische Entitäten oder Strukturen vereinbar ist.

Grangers Ziel ist es, eine Analyse der "wissenschaftlichen Praxis" zu liefern. Er definiert Praxis als „eine Aktivität, die mit ihrem komplexen Kontext betrachtet wird, und insbesondere die sozialen Bedingungen, die ihr in einer effektiv erlebten Welt (vécu) Bedeutung verleihen“(1968, 6). Wissenschaft definiert er als „Konstruktion abstrakter, konsistenter und effektiver Modelle der Phänomene“(13). Eine wissenschaftliche Praxis hat also sowohl "universelle" oder "allgemeine" Komponenten als auch "individuelle" Komponenten. Die Analyse der wissenschaftlichen Praxis erfordert mindestens drei Arten von Untersuchungen:

  1. Es gibt viele Möglichkeiten, ein bestimmtes Phänomen mithilfe von Modellen zu strukturieren. und die gleichen Modelle können auf verschiedene Phänomene angewendet werden. Darüber hinaus offenbaren wissenschaftliche Konstruktionen, einschließlich mathematischer, eine gewisse „strukturelle Einheit“. Beide Aspekte werden Gegenstand einer stilistischen Analyse sein.
  2. Die zweite Untersuchung betrifft eine "wissenschaftliche Charakteriologie", die darauf abzielt, die psychologischen Komponenten zu untersuchen, die für die Individualisierung der wissenschaftlichen Praxis relevant sind.
  3. Die dritte Untersuchung betrifft die Untersuchung der "Kontingenz" des wissenschaftlichen Schaffens, die sich immer in Raum und Zeit befindet.

Alle drei Aspekte wären für eine Analyse der 'wissenschaftlichen Praxis' notwendig, aber in seinem Buch konzentriert sich Granger nur auf 1. Wo kommen Stil und Mathematik ins Spiel? Die Mathematik ist einer der Untersuchungsbereiche, die einer stilistischen Analyse der Wissenschaft unterzogen werden können (Grangers Buch bietet Anwendungen nicht nur für die Mathematik, sondern auch für die Linguistik und die Sozialwissenschaften). Was ist mit Stil? Jede soziale Praxis kann laut Granger unter dem Gesichtspunkt des Stils untersucht werden. Dies beinhaltet politisches Handeln, künstlerisches Schaffen und wissenschaftliche Tätigkeit. Es gibt also eine allgemeine Stilistik, die versucht, die allgemeinsten Stilmerkmale solcher Aktivitäten zu erfassen, und dann mehr "lokale" Stilanalysen, wie sie von Granger für wissenschaftliche Aktivitäten bereitgestellt werden. Offensichtlich,Das hier angeführte Konzept des Stils muss viel umfassender sein als das, das normalerweise mit diesem Begriff verbunden ist, und in der Tat eine Anwendung auf Bereiche wie politische Aktivität oder wissenschaftliche Aktivität, die nicht nur metaphorisch, sondern für solche Aktivitäten „konnaturiert“sind.

Grangers Analyse des mathematischen Stils greift die Kapitel 2, 3 und 4 seines Buches auf. Kapitel 2 befasst sich mit dem euklidischen Stil und dem Begriff der Größe; Kapitel 3 mit dem Gegensatz zwischen 'kartesischem Stil und desarguianischem Stil' (zum kartesischen Stil siehe auch Rabouin 2017); Schließlich befasst sich Kapitel 4 mit der „Geburt des Vektorstils“. Alle diese Analysen konzentrieren sich auf das Konzept der „geometrischen Größe“.

Man bekommt ein gutes Gefühl dafür, wonach Granger sucht, indem man sich einfach ein Beispiel ansieht, das er in seinem Vorwort beschreibt. Dies ist ein Beispiel für die komplexen Zahlen.

Stil ist laut Granger eine Möglichkeit, einem Erlebnis Struktur zu verleihen. Hier muss Erfahrung gesammelt werden, um über empirische Erfahrung hinauszugehen. Im Allgemeinen ist die Art der Erfahrung, auf die sich der Mathematiker beruft, nicht empirisch. Aus dieser Erfahrung ergeben sich die „intuitiven“Komponenten, die in mathematischen Aktivitäten strukturiert sind. Man sollte aber nicht denken, dass es eine „Intuition“gibt, auf die man dann sozusagen äußerlich eine Form anwendet. Die mathematische Aktivität führt gleichzeitig zu Form und Inhalt im Hintergrund einer bestimmten Erfahrung.

Stil erscheint uns hier einerseits als ein Weg, die Konzepte einer Theorie einzuführen, sie zu verbinden, sie zu vereinen; und andererseits, um zu begrenzen, was die Intuition zur Bestimmung dieser Konzepte beiträgt. (Granger 1968, 20)

Als Beispiel gibt Granger drei Möglichkeiten an, die komplexen Zahlen einzuführen. Alle drei Möglichkeiten berücksichtigen die strukturellen Eigenschaften, die die betreffende algebraische Struktur charakterisieren. Der erste Weg führt die komplexen Zahlen durch trigonometrische Darstellung unter Verwendung von Winkeln und Richtungen ein. Die zweite führt sie als Operatoren ein, die auf Vektoren angewendet werden. Im ersten Fall definiert man eine komplexe Zahl als ein Paar reeller Zahlen, und die additiven Eigenschaften sind dann unmittelbar. Im zweiten Fall werden dagegen die multiplikativen Eigenschaften sofort erfasst. Aber, und dies ist der dritte Weg, man kann komplexe Zahlen auch durch reguläre quadratische Matrizen einführen. Dies führt dazu, dass die komplexen Zahlen als ein System von Polynomen in x modulo x 2 +1 gesehen werden.

Diese verschiedenen Arten, ein Konzept zu erfassen, es in ein operatives System zu integrieren und ihm einige intuitive Implikationen zuzuordnen, von denen man das genaue Ausmaß abgrenzen muss, bilden das, was wir als Aspekte des Stils bezeichnen. Es ist offensichtlich, dass der strukturelle Inhalt des Begriffs hier nicht beeinflusst wird, dass das Konzept als mathematisches Objekt durch diese Stileffekte identisch existiert. Es ist jedoch nicht immer so und wir werden auf stilistische Positionen stoßen, die echte konzeptionelle Variationen erfordern. Was sich auf jeden Fall immer ändert, ist die Ausrichtung des Konzepts auf diese oder jene Verwendung, diese oder jene Erweiterung. Stil spielt also eine Rolle, die vielleicht sowohl für die Dialektik der inneren Entwicklung der Mathematik als auch für die Beziehung zu Welten konkreterer Objekte von wesentlicher Bedeutung ist. (Granger 1968, 21).

In Grangers Theorie sind mathematische Stile also Darstellungsweisen oder Arten des Erfassens der mathematischen Strukturen. Zumindest in einigen Fällen lassen diese Stileffekte die mathematischen Objekte oder Strukturen unberührt, obwohl sie den kognitiven Modus beeinflussen, in dem sie erfasst werden, und somit beeinflussen, wie sie einer Erweiterung unterzogen werden können, die in verschiedenen Bereichen angewendet wird usw. Auch wenn Granger dies möglicherweise getan hat Mit einem Kantianismus ohne transzendentales Subjekt sympathisiert und den Stil daher als konstitutiv zu betrachten, scheint seine Position zumindest mit einer Form des Realismus über mathematische Einheiten vereinbar zu sein. Dies scheint nicht der Fall zu sein, wenn die dritte und letzte erkenntnistheoretische Position diskutiert wird, die Ian Hacking zu verdanken ist.

Wie bereits erwähnt, hat Hacking nach Crombie vorgeschlagen, den Begriff des Stils als „neues analytisches Werkzeug“für die Geschichte und Philosophie der Wissenschaft zu untersuchen. Seine Präferenz ist es, von Denkstilen zu sprechen (siehe auch Mancosu 2005), im Gegensatz zu Flecks Denkstilen oder Crombies Denkstilen (seine jüngste Präferenz ist es, von 'Stilen des wissenschaftlichen Denkens und Handelns' zu sprechen; Hackings Programm zum Zeitpunkt des Schreibens siehe Kusch 2010 und die Sonderausgabe Studien in Geschichte und Wissenschaftstheorie (Ausgabe 43, 2012), einschließlich Hacking 2012 und mehrerer anderer Beiträge). Der Grund dafür ist, dass Hacking sich von der psychologischen Ebene des Denkens entfernen und mit der objektiveren Ebene der Argumente arbeiten möchte. Er definiert sein Projekt ausdrücklich als Fortsetzung von Kants Projekt, das erklären soll, wie Objektivität möglich ist. In der Tat lehnt Hackings Position den Realismus ab und nimmt eine stark konstitutive Rolle für den Stil ein. Laut Hacking werden Stile durch eine Reihe notwendiger Bedingungen definiert (er versucht nicht mit Bedacht, ausreichende Bedingungen bereitzustellen):

Es gibt weder Sätze, die Kandidaten für die Wahrheit sind, noch unabhängig identifizierte Objekte, bei denen es vor der Entwicklung eines Denkstils richtig ist. Jeder Argumentationsstil führt eine Vielzahl von Neuheiten ein, einschließlich neuer Arten von: Objekten; Beweise; Sätze, neue Wege, ein Kandidat für Wahrheit oder Falschheit zu sein; Gesetze oder jedenfalls Modalitäten; Möglichkeiten. Gelegentlich sollte man auch neue Arten der Klassifizierung und neue Arten der Erklärung bemerken. (Hacking 1992, 11)

Es sollte klar sein, dass dieser Stilbegriff genau wie der von Granger dem Stil eine sehr wichtige Rolle als Grundlage für die Objektivität eines ganzen Bereichs wissenschaftlicher Tätigkeit zuschreibt, dass er sich jedoch im Gegensatz zu Granger ontologisch einer Ablehnung des Realismus verpflichtet fühlt. Stile sind für die Konstitution mathematischer Objekte von wesentlicher Bedeutung, und letztere haben keine von ihnen unabhängige Existenzform. Hacking hat Fallstudien aus der Geschichte der Mathematik nicht ausführlich diskutiert, obwohl sich eine seiner Arbeiten (Hacking 1995) mit vier konstruktivistischen Bildern der Mathematik befasst (das Wort „Konstruktionalismus“stammt von Nelson Goodman) und zeigt, wie gut sie zu seinem Bild von passen 'Denkstile'. Implizit ist auch klar, dass robuster festgelegte realistische Positionen nicht gut zu Hackings Darstellung von Argumentationsstilen passen.

Daher wurden drei mögliche Modelle zur Erklärung der erkenntnistheoretischen Rolle von "Stilen" in der Mathematik in Betracht gezogen. Es gibt sicherlich noch viele weitere mögliche Positionen, die darauf warten, artikuliert zu werden, aber bisher ist dies alles, was in der Literatur zu finden ist.

7. Schlussfolgerung

Wie eingangs erwähnt, gehört das Thema des mathematischen Stils nicht zu den kanonischen Untersuchungsgebieten in der Philosophie der Mathematik. In der Tat ist dieser Eintrag der erste Versuch, die vielfältigen Beiträge zu diesem Thema in einem einzigen Artikel zusammenzufassen. Dennoch sollte inzwischen klar sein, dass die Reflexion über den mathematischen Stil in der zeitgenössischen philosophischen Tätigkeit vorhanden ist und es verdient, ernst genommen zu werden. Aber die Arbeit fängt gerade erst an. Man braucht viel mehr Fallstudien mathematischer Stile und eine klarere Artikulation der erkenntnistheoretischen und ontologischen Konsequenzen, die sich aus verschiedenen Konzeptualisierungen des Stils ergeben. Darüber hinaus wünscht man sich eine bessere Integration all dieser Arbeiten in die Arbeiten zu kognitiven Stilen, die in der kognitiven Psychologie und im mathematischen Unterricht zu finden sind. Schließlich Standard philosophische Kastanien,wie das Verhältnis von Form und Inhalt zu Stil und das Verhältnis von Stil zu Normativität und Intentionalität müssten ebenfalls angesprochen werden (für eine sehr gute Diskussion solcher Themen in der Ästhetik siehe Meskin 2005).

Literaturverzeichnis

  • Baker, A., 2008, „Experimental Mathematics“, Erkenntnis, 68: 331–344.
  • Bense, M., 1946, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. Die Mathematik und die Wissenschaften, Hamburg: Claassen & Goverts. Jetzt in Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (siehe Kap. 2 „Stilgeschichte in der Mathematik“).
  • –––, 1949, Konturen einer Geistesgeschichte der Mathematik. II. Die Mathematik in der Kunst, Hamburg: Claassen & Goverts. Jetzt in Max Bense, Ausgewählte Schriften, Band 2, Philosophie der Mathematik, Naturwissenschaft und Technik, Weimar: Verlag JB Metzler, Stuttgart, 1998 (siehe Kap. 1 „Zum Begriff des Stils“).
  • Bieberbach, L., 1934a, Kurzreferat, Forschungen und Fortschritte, 10: 235–237.
  • –––, 1934b, „Persönlichkeitsstruktur und mathematisches Schaffen“, Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften, 40: 236–243.
  • –––, 1934c, „Stilarten mathematischen Schaffens“, Sitzungsbericht der preußischen Akademie der Wissenschaften, 351–360.
  • Borromeo Ferri, R., 2005, Mathematische Denkstile. Ergebnisse einer empirischen Studie, Hildesheim: Verlag Franzbecker.
  • Bottazzini, U., 2001, „Von Paris nach Berlin: Kontrastbilder der Mathematik des 19. Jahrhunderts“, in U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (Hrsg.), 2001, S. 31–47.
  • Bottazzini, U. und Dahan Dalmedico, A. (Hrsg.), 2001, Changing Images of Mathematics, London: Routledge.
  • Brigaglia, A., 2001, „Die Schaffung und das Fortbestehen nationaler Schulen: der Fall der italienischen algebraischen Geometrie“, in U. Bottazzini, A. Dahan Dalmedico, (Hrsg.), 2001, S. 187–206.
  • Casnati, G. et al. (Hrsg.), 2016, Von der klassischen zur modernen algebraischen Geometrie. Corrado Segre Meisterschaft und Vermächtnis, Cham: Birkhäuser.
  • Cavalieri, B., 1635, Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota, Bologna: Clemente Ferroni.
  • Chasles, M., 1837, Aperçu Historique sur l'Origine et le Développement des Méthodes en Géométrie, Brüssel: M. Hayez.
  • Chevalley, C., 1935, „Variations du style mathématique“, Revue de Metaphysique et de Morale, 3: 375–384.
  • Cohen, IB, 1992, "Die Principia, die universelle Gravitation und der" Newtonsche Stil "in Bezug auf die Newtonsche Revolution in der Wissenschaft", in Bechler, Z., (Hrsg.), Contemporary Newtonian Research, Dordrecht: Reidel, pp. 21–108.
  • Corfield, D., 2003, Auf dem Weg zu einer Philosophie der "echten" Mathematik, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Corry, L., 2004a, Moderne Algebra und der Aufstieg der mathematischen Struktur, Basel: Birkhäuser; 2. Auflage.
  • Corry, L., 2004b, „Introduction“, Science in Context, 17: 1–22.
  • Crombie, A., 1994, Stile des wissenschaftlichen Denkens in der europäischen Tradition, London: Duckworth.
  • de Gandt, F., 1986, "Le style mathématique des" Principia "de Newton", Revue d'Histoire des Sciences, 39 (3): 195–222.
  • de Lorenzo, J., 1971, Introducción al estilo matematico, Madrid: Editorial Tecnos.
  • Dhombres, J., 1993, Die Figur der Diskurse: Les façonnages d'un style, Nantes: Université de Nantes.
  • Dubucs, J. und Dubucs, M., 1994, "La couleur des preuves", in V. de Coorebyter, (Hrsg.), Structures rhétorique en science, Paris: PUF, S. 231–249.
  • Duhem, P., 1915, La Science Allemande, Paris: Hermann. Englische Übersetzung: German Science, Chicago: Carus Publishing, 2000.
  • Edwards, HM, 1987, „Dedekinds Erfindung der Ideale“, in Phillips, E., Studien zur Geschichte der Mathematik, Washington: The Mathematical Association of America, S. 8–20.
  • Elwick, J., 2007, Denkstile in den britischen Biowissenschaften: Gemeinsame Annahmen, 1820–1858, London: Pickering & Chatto.
  • Epple, M., 1997, „Arten der Argumentation im späten 19. th Jahrhundert Geometrie und die Struktur der mathematischen Moderne“, in M. Otte und M. Panza (Hrsg.), Analyse und Synthese in Mathematik, Dordrecht: Kluwer, S. 177–198.
  • –––, 2004, „Knoteninvarianten in Wien und Princeton in den 1920er Jahren: Epistemische Konfigurationen der mathematischen Forschung“, Science in Context, 17: 131–164.
  • –––, 2011, „Zwischen Zeitlosigkeit und Historialität: Zur Dynamik epistemischer Objekte der Mathematik“, Isis, 102: 481–493.
  • Etcheverría, J., 1996, „Empirische Methoden in der Mathematik. Eine Fallstudie: Goldbachs Vermutung “, in G. Munévar (Hrsg.), Spanisch in der Wissenschaftstheorie, Dordrecht: Kluwer, S. 19–55.
  • Fleck, L., 1935, Entstehung und Entwicklung einer wissenschaftlichen Tatsache. Einführung in die Lehre vom Denkstil und Denkkollektiv, Basel: Schwabe. Englische Übersetzung: Entstehung und Entwicklung einer wissenschaftlichen Tatsache (übersetzt von Frederick Bradley ins Englische), Chicago: University of Chicago Press, 1979.
  • Fleckenstein, JO, 1955, „Stilprobleme des Barock bei der Entdeckung der Infinitesimalrechnung“, Studium Generale, 8: 159–166.
  • Freudenthal, H., 1975, Mathematik als pädagogische Aufgabe, Dordrecht: Reidel.
  • Gavroglu, K., 1990, „Stilunterschiede als Möglichkeit, den Kontext der Entdeckung zu untersuchen“, Philosophia, 45: 53–75.
  • Gayon, J., 1996, „Die Geschichte des Stils in der Geschichte der Wissenschaften“, Alliage, 26: 13–25.
  • –––, 1998, „Die Verwendung des Stils und der Geschichte der Wissenschaften“, in J. Gayon et al. (Hrsg.), La Rhétorique: Enjeux de ses Résurgences, Brüssel: OUSIA, S. 162–181.
  • Goldstein, C., 2001, "L'expérience des nombres de Bernard Frenicle de Bessy", Revue de Synthèse, 122: 425–454.
  • Granger, GG, 1968, Essai d'une philosophie du style, Paris: Armand Colin, nachgedruckt mit Korrekturen von Paris: Odile Jacob.
  • –––, 2003, „Le style mathématique de l'Académie platonicienne“, in GG Granger, Philosophie, Langage, Wissenschaft, Les Ulis: EDV Science, S. 267–294.
  • Gray, J., 2008, Platons Geist: Die modernistische Transformation der Mathematik, Princeton: Princeton University Press.
  • Hacking, I., 1992, „Stil für Historiker und Philosophen“, Studies in History and Philosophy of Science, 23: 1–20.
  • –––, 1995, „Immagini radikalmente costruzionaliste del progresso matematico“, in A. Pagnini, Realismo / Antirealismo, Florenz: La Nuova Italia, S. 59–92.
  • –––, 1996, „The Disunities of Science“, in P. Galison und D. Stump, The Disunity of Science: Grenzen, Kontext und Macht, Stanford: Stanford University Press, S. 37–74.
  • –––, 2002, Historische Ontologie, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 2012, „Sprache, Wahrheit und Vernunft“30 Jahre später “, Studies in History and Philosophy of Science, 43: 599–609.
  • Harwood, J., 1993, Styles of Scientific Thought - Die deutsche Genetikgemeinschaft, 1900–1933, Chicago: The University of Chicago Press.
  • Høyrup, J., 2005, "Tertium non datur: Über Argumentationsstile in der frühen Mathematik", in P. Mancosu et al. (Hrsg.), Visualisierungs-, Erklärungs- und Argumentationsstile in der Mathematik, Dordrecht: Springer, S. 91–121.
  • Katz, S., 2004, „Berliner Wurzeln-zionistische Inkarnation: Das Ethos der reinen Mathematik und der Beginn des Einstein-Instituts für Mathematik an der Hebräischen Universität Jerusalem“, Science in Context, 17: 199–234.
  • Klein, F., 1924, Elementarmathematik vom vollständigen Standpunkte aus. Erster Band. Arithmetik, Algebra, Analysis, 3 rd Edition, Berlin: Julius Springer.
  • Kleinert, A., 1978, „Von der Wissenschaft Allemande zur Deutschen Physik“, Forschungen zur westeuropäischen Geschichte, 6: 509–525.
  • Kusch, M., 2010, „Hackings historische Erkenntnistheorie: eine Kritik der Argumentationsstile“, Studies in History and Philosophy of Science, 41: 158–173.
  • Kwa, C., 2012, „Eine„ ökologische “Sicht auf Wissenschafts- und Kunststile: Alois Riegls Erkundungen des Stilkonzepts“, Studies in History and Philosophy of Science, 43: 610–618.
  • Larvor, B. (Hrsg.), 2016, Mathematical Cultures. Die Londoner Treffen 2012–2014, Cham: Birkhäuser.
  • Laugwitz, D., 1993, Zur Genese des Denkens in mathematischen Begriffen: Bernhard Riemanns neuer Stil in der Analyse, Darmstadt.
  • Leibniz, GW, 1701, Journal of Trévoux, 270–272. Nachdruck in GW Leibniz, Mathematische Schriften (Herausgegeben von CI Gerhardt), Hildesheim: Georg Olms, 1962, vol. IV, S. 95–96.
  • Maienschein, J., 1991, „Epistemic Styles in German and American Embryology“, Science in Context, 4: 407–427.
  • Mancosu, P. (Hrsg.), 1998, Von Brouwer nach Hilbert, New York und Oxford: Oxford University Press.
  • Mancosu, P. et al. (Hrsg.), 2005, Visualisierungs-, Erklärungs- und Argumentationsstile in der Mathematik, Dordrecht: Springer.
  • Mannheim, K., 1929, Ideologie und Utopie, Bonn: F. Cohen. Englische Übersetzung: Ideologie und Utopie: eine Einführung in die Wissenssoziologie, New York: Harcourt, Brace and World, 1968.
  • Mehrtens, H., 1987, „Ludwig Bieberbach und die Deutsche Mathematik“, in ER Philipps, Studien zur Geschichte der Mathematik, Washington: The Mathematical Association of America, S. 195–241.
  • –––, 1990a, „Der französische Stil und der deutsche Stil. Nationalismus, Nationalsozialismus und Mathematik, 1900–1940”, in Y. Cohen und K. Manfrass (Hrsg.), Frankreich und Deutschland: Forschung, Technologie und industrielle Entwicklung im 19. und 20. Jahrhundert, München: CH Beck.
  • –––, 1990b, Moderne, Sprache, Mathematik, Frankfurt: Suhrkamp.
  • –––, 1996, „Modernismus gegen Gegenmodernismus, Nationalismus gegen Internationalismus: Stil und Politik in der Mathematik, 1900–1950“, in C. Goldstein et al. (Hrsg.), L'Europe Mathématique. Histoires, Mythen, Identités, Éditions de la Maison de Sciences de l'Homme, Paris, S. 519–530.
  • Meskin, A., 2005, „Style“, in B. Gout und DM Lopes (Hrsg.), The Routledge Companion Ästhetik, 2 nd Edition, London: Routledge, S. 489-500..
  • Netz, R., 1999, The Shaping of Deduction in der griechischen Mathematik, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Novy, L., 1981, „Anmerkungen zum Stil des mathematischen Denkens in Bozen“, Acta Historiae Rerum Naturalium nec non Technicarum, 16: 9–28.
  • Nye, MJ, 1993, „National Styles? Französische und englische Chemie im 19. und frühen 20. Jahrhundert “, Osiris, 8: 30–49.
  • Panofsky, E., 1924, Idee, Berlin: Erwin Panofsky und Bruno Hessling Verlag. Englische Übersetzung: Idea, New York: Harper and Row, 1968.
  • Peckhaus, V., 2007, „Stilarten mathematischen Schaffens“, in K. Robering (Hrsg.), „Stil“in den Wissenschaften, Münster: Nodus-Verlag, S. 39–49.
  • JH Poincaré, 1905, La Valeur de la Science, Paris: Flammarion. Englische Übersetzung: The Value of Science, New York: Dover Publications, 1958.
  • Rabouin, D., 2017, „Stile in der mathematischen Praxis“, in K. Chemla und E. Fox-Keller (Hrsg.), Kulturen ohne Kulturalismus bei der Herstellung wissenschaftlicher Erkenntnisse, Durham: Duke University Press, S. 262–306.
  • Reck, E., 2009, „Dedekind, Structural Reasoning and Mathematical Understanding“, in B. van Kerkhove (Hrsg.), New Perspectives on Mathematical Practices, Singapur: WSPC Press, S. 150–173
  • Riding, R., 2000, "Cognitive Style: a Review", in RJ Riding und SG Rayner, Internationale Perspektiven auf individuelle Unterschiede, vol. 1, Cognitive Styles, Stamford (CT): Ablex, S. 315–344
  • Rowe, D., 2003, "Mathematische Schulen, Gemeinschaften und Netzwerke", in Cambridge History of Science, vol. 5, Moderne physikalische und mathematische Wissenschaften, Mary Jo Nye (Hrsg.), Cambridge: Cambridge University Press, S. 113–132.
  • –––, 2004, „Mathematik in einer mündlichen Kultur machen: Göttingen im Zeitalter von Klein und Hilbert“, Science in Context, 17: 85–129.
  • Sauerländer, W., 1983, „Vom Stilus zum Stil: Reflexionen über das Schicksal eines Begriffs“, Art History, 6 (3): 253–270.
  • Segal, S., 2003, Mathematiker unter den Nazis, Princeton: Princeton University Press.
  • Sørensen, HK, 2016, „Das Ende des Beweises“? Die Integration verschiedener mathematischer Kulturen als experimentelle Mathematik wird erwachsen “, in B. Larvor (Hrsg.), Mathematical Cultures. The London Meetings 2012-2014, Cham: Birkhäuser, 2016, S. 139–160.
  • Spengler, O., 1918 (1921) Der Untergang des Abenlandes, Wien: Verlag Braumüller. Englische Übersetzung: Niedergang des Westens: Form und Aktualität, 2 Bde., London: Allen und Unwin.
  • Sternberg, RJ und Grigorenko, EL, 2001, „Eine Kapselgeschichte der Theorie und Erforschung von Stilen“, in Sternberg und Zhang 2001, S. 1–22.
  • Sternberg, RJ und Zhang, LF (Hrsg.), 2001, Perspektiven auf Denken, Lernen und kognitive Stile, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
  • Tappenden, J., 2005, „Beweisstil und Verständnis in Mathematik I: Visualisierung, Vereinheitlichung und Axiomwahl“, in Mancosu 2005, S. 147–214.
  • van Bendegem, JP, 1998, "Was, wenn überhaupt, ist ein Experiment in Mathematik?", in Anapolitanos, D. et al. (Hrsg.), Philosophie und die vielen Gesichter der Wissenschaft, Lanham: Rowman und Littlefeld, S. 172–182.
  • Weiss, EA, 1939, „Über den mathematischen Stil von Poncelet“, Deutsche Mathematik, 4: 126–127.
  • Wessely, A., 1991, „Transponieren des Stils von der Kunstgeschichte in die Wissenschaftsgeschichte“, Science in Context, 4: 265–278.
  • Wisan, W., 1981, "Galileo und die Entstehung eines neuen wissenschaftlichen Stils", in Theory Change, Ancient Axiomatics and Galileo's Methodology, vol. 1, J. Hintikka, D. Gruender und E. Agazzi (Hrsg.), Dordrecht: Reidel, S. 311–339

Akademische Werkzeuge

Sep Mann Symbol
Sep Mann Symbol
Wie man diesen Eintrag zitiert.
Sep Mann Symbol
Sep Mann Symbol
Vorschau der PDF-Version dieses Eintrags bei den Freunden der SEP-Gesellschaft.
Inpho-Symbol
Inpho-Symbol
Schlagen Sie dieses Eintragsthema im Internet Philosophy Ontology Project (InPhO) nach.
Phil Papers Ikone
Phil Papers Ikone
Erweiterte Bibliographie für diesen Eintrag bei PhilPapers mit Links zu seiner Datenbank.

Andere Internetquellen

[Bitte kontaktieren Sie den Autor mit Vorschlägen.]