Inkonsistente Mathematik

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Inkonsistente Mathematik

Erstveröffentlichung Di 2. Juli 1996; inhaltliche Überarbeitung Fr 18. August 2017

Inkonsistente Mathematik ist das Studium der mathematischen Theorien, die sich ergeben, wenn klassische mathematische Axiome im Rahmen einer (nicht klassischen) Logik behauptet werden, die das Vorhandensein eines Widerspruchs tolerieren kann, ohne jeden Satz in einen Satz zu verwandeln.

• 1. Grundlagen der Mathematik
• 2. Arithmetik
• 3. Analyse
• 4. Geometrische Inkonsistenz
• 5. Stück und Permeat
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Grundlagen der Mathematik

Inkonsistente Mathematik begann historisch mit grundlegenden Überlegungen. Von Russell und anderen festgestellte satztheoretische Paradoxe führten zu Versuchen, eine konsistente Mengenlehre als Grundlage für die Mathematik zu erstellen. Aber bekanntlich waren Set-Theorien wie ZF, NBG und dergleichen auf verschiedene Weise ad hoc. Eine Reihe von Menschen, darunter da Costa (1974), Brady (1971, 1989), Priest, Routley & Norman (1989, S. 152, 498), hielten es daher für vorzuziehen, die volle Kraft des Prinzips des natürlichen Verständnisses beizubehalten (Jedes Prädikat bestimmt eine Menge) und toleriert einen gewissen Grad an Inkonsistenz in der Mengenlehre. Insbesondere Brady hat diese Ergebnisse der naiven Mengenlehre in seinem Buch (2006) erweitert, gestrafft und vereinfacht. Für eine klare Darstellung siehe auch Restalls Review (2007).

Diese Konstruktionen erfordern natürlich, dass man zumindest auf das logische Prinzip ex widersprüchlich quodlibet (ECQ) (aus einem Widerspruch kann jeder Satz abgeleitet werden, auch kürzlich Explosion genannt), sowie auf jedes Prinzip, das dazu führt, wie z disjunktiver Syllogismus (DS) (von A -oder- B und nicht-A ableiten B). ECQ trivialisiert jede inkonsistente Theorie (Trivialität = jeder Satz ist beweisbar), was sie für die mathematische Berechnung unbrauchbar macht. Eine beträchtliche Debatte (Burgess 1981, Mortensen 1983) machte jedoch deutlich, dass der Verzicht auf ECQ und DS nicht so kontraintuitiv war, insbesondere wenn eine plausible Geschichte über die besonderen Bedingungen auftauchte, unter denen sie weiterhin gelten.

Es sollte auch beachtet werden, dass Bradys Konstruktion der naiven Mengenlehre die Tür zu einer Wiederbelebung des Frege-Russell-Logikismus öffnet, der selbst von Frege selbst als vom Russell-Paradoxon schwer beschädigt angesehen wurde. Wenn sich der Russell-Widerspruch nicht ausbreitet, gibt es keinen offensichtlichen Grund, warum man nicht die Ansicht vertreten sollte, dass die naive Mengenlehre eine angemessene Grundlage für die Mathematik bietet und dass die naive Mengenlehre über das naive Verständnisschema aus der Logik ableitbar ist. Die einzige Änderung, die erforderlich ist, ist die Umstellung auf eine inkonsistenztolerante Logik. Noch radikaler hat Weber in verwandten Arbeiten (2010), (2012) die Inkonsistenz als positive Tugend angesehen, da sie es uns ermöglicht, mehrere Fragen zu klären, die Cantor offen gelassen hat, nämlich den Satz der Ordnung und das Axiom der Wahl sind beweisbar,und dass die Kontinuumshypothese falsch ist (2012, 284). Einige davon kommen nachweislich sowohl als wahr als auch als falsch heraus; Dabei geht es Weber darum, Beweise für die klassische Wiedereroberung vorzulegen, mit der gezeigt werden soll, dass traditionelle Ergebnisse wahr bleiben (2010, 72). Dies belebt Neuland. Weber zeigte auch etwas Wesentliches für dieses Projekt, nämlich, dass Cantors Theorem weiterhin gilt; Das heißt, es hängt nicht von zu starken logischen Prinzipien ab, die von Parakonsistentisten bestritten werden. Die Beibehaltung des Cantor-Theorems ist nach Webers Ansicht wichtig, da in der inkonsistenten Mengenlehre unterschiedliche Ordnungen der Unendlichkeit verfügbar bleiben. Dies ist das Projekt, um zu zeigen, dass traditionelle Ergebnisse wahr bleiben (2010, 72). Dies belebt Neuland. Weber zeigte auch etwas Wesentliches für dieses Projekt, nämlich, dass Cantors Theorem weiterhin gilt; Das heißt, es hängt nicht von zu starken logischen Prinzipien ab, die von Parakonsistentisten bestritten werden. Die Beibehaltung des Cantor-Theorems ist nach Webers Ansicht wichtig, da in der inkonsistenten Mengenlehre unterschiedliche Ordnungen der Unendlichkeit verfügbar bleiben. Dies ist das Projekt, um zu zeigen, dass traditionelle Ergebnisse wahr bleiben (2010, 72). Dies belebt Neuland. Weber zeigte auch etwas Wesentliches für dieses Projekt, nämlich, dass Cantors Theorem weiterhin gilt; Das heißt, es hängt nicht von zu starken logischen Prinzipien ab, die von Parakonsistentisten bestritten werden. Die Beibehaltung des Cantor-Theorems ist nach Webers Ansicht wichtig, da in der inkonsistenten Mengenlehre unterschiedliche Ordnungen der Unendlichkeit verfügbar bleiben.da in der inkonsistenten Mengenlehre unterschiedliche Ordnungen der Unendlichkeit verfügbar bleiben.da in der inkonsistenten Mengenlehre unterschiedliche Ordnungen der Unendlichkeit verfügbar bleiben.

Darüber hinaus hat die Mathematik eine Metasprache, um über die Mathematik selbst zu sprechen. Dies schließt die Konzepte ein: (i) Namen für mathematische Aussagen und andere Teile der Syntax, (ii) Selbstreferenz, (iii) Beweis und (iv) Wahrheit. Gödels Beitrag zur Philosophie der Mathematik bestand darin zu zeigen, dass die ersten drei davon in arithmetischen Theorien rigoros ausgedrückt werden können, wenn auch in Theorien, die entweder inkonsistent oder unvollständig sind. Die Möglichkeit eines gut strukturierten Beispiels für die erstere dieser beiden Alternativen, die Inkonsistenz, wurde wiederum aufgrund des Glaubens an ECQ nicht ernst genommen. Darüber hinaus scheinen natürliche Sprachen jedoch ein eigenes Wahrheitsprädikat zu haben. In Kombination mit Selbstreferenz ergibt sich das Lügner-Paradoxon „Dieser Satz ist falsch“, eine Inkonsistenz. Priest (1987) und Priest, Routley und Norman (1989, p.154) argumentierte, dass der Lügner als eine Aussage angesehen werden müsse, die sowohl wahr als auch falsch sei, ein wahrer Widerspruch. Dies ist ein weiteres Argument für das Studium inkonsistenter Theorien, nämlich die Behauptung, dass einige Widersprüche wahr sind, auch als Dialetheismus bekannt. Kripke (1975) schlug stattdessen vor, ein Wahrheitsprädikat in einer konsistenten unvollständigen Theorie anders zu modellieren. Wir sehen unten, dass Unvollständigkeit und Inkonsistenz eng miteinander verbunden sind.

2. Arithmetik

Bei diesen Bemerkungen ging es jedoch um Grundlagen, und die Mathematik ist nicht ihre Grundlage. Daher gibt es ein weiteres unabhängiges Motiv, um zu sehen, welche mathematische Struktur dort verbleibt, wo die Konsistenzbeschränkung gelockert wird. Es wäre jedoch falsch, dies in irgendeiner Weise als Ablehnung der in der klassischen Mathematik untersuchten Strukturen zu betrachten: Inkonsistente Strukturen stellen eine Ergänzung zu bekannten Strukturen dar.

Robert K. Meyer (1976) scheint der erste gewesen zu sein, der an eine inkonsistente arithmetische Theorie gedacht hat. Zu diesem Zeitpunkt interessierte er sich mehr für das Schicksal einer konsistenten Theorie, seiner relevanten Arithmetik R #. Dies entspricht den Axiomen für die Peano-Arithmetik mit einer Basis der quantifizierten relevanten Logik RQ, und Meyer hoffte, dass die schwächere Basis der relevanten Logik mehr Modelle ermöglichen würde. Er hatte recht. Es gab eine ganze Klasse inkonsistenter arithmetischer Theorien; siehe zum Beispiel Meyer und Mortensen (1984). Parallel zu den obigen Ausführungen zur Rehabilitierung des Logikismus argumentierte Meyer, dass diese arithmetischen Theorien die Grundlage für ein wiederbelebtes Hilbert-Programm bilden. Hilberts Programm war das Projekt, die Mathematik rigoros zu formalisieren und ihre Konsistenz durch einfache endliche / induktive Verfahren zu beweisen. Es wurde allgemein angenommen, dass es durch Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz ernsthaft beschädigt wurde, wonach die Konsistenz der Arithmetik innerhalb der Arithmetik selbst nicht beweisbar war. Eine Konsequenz von Meyers Konstruktion war jedoch, dass es innerhalb seiner arithmetischen R # mit endlichen Mitteln nachweisbar war, dass alle möglichen Widersprüche keine numerischen Berechnungen nachteilig beeinflussen konnten. Hilberts Ziel, schlüssig zu demonstrieren, dass Mathematik problemlos ist, ist daher weitgehend erreichbar, solange inkonsistenztolerante Logiken verwendet werden. Eine Konsequenz von Meyers Konstruktion war jedoch, dass es innerhalb seiner arithmetischen R # mit endlichen Mitteln nachweisbar war, dass alle möglichen Widersprüche keine numerischen Berechnungen nachteilig beeinflussen konnten. Hilberts Ziel, schlüssig zu demonstrieren, dass Mathematik problemlos ist, ist daher weitgehend erreichbar, solange inkonsistenztolerante Logiken verwendet werden. Eine Konsequenz von Meyers Konstruktion war jedoch, dass es innerhalb seiner arithmetischen R # mit endlichen Mitteln nachweisbar war, dass alle möglichen Widersprüche keine numerischen Berechnungen nachteilig beeinflussen konnten. Hilberts Ziel, schlüssig zu demonstrieren, dass Mathematik problemlos ist, ist daher weitgehend erreichbar, solange inkonsistenztolerante Logiken verwendet werden.

Die von Meyer und Mortensen verwendeten arithmetischen Modelle ermöglichten später eine inkonsistente Darstellung des Wahrheitsprädikats. Sie ermöglichen auch die Darstellung von Strukturen jenseits der natürlichen Zahlenarithmetik wie Ringe und Felder, einschließlich ihrer Ordnungseigenschaften. Axiomatisierungen wurden ebenfalls bereitgestellt. In jüngster Zeit wurden die endlichen inkonsistenten arithmetischen Kollapsmodelle, eine streng größere Klasse als die von Meyer und Mortensen untersuchten, vollständig von Graham Priest charakterisiert. Kollapsmodelle werden aus klassischen Modellen erhalten, indem die Domäne auf Kongruenzklassen reduziert wird, die durch verschiedene Kongruenzbeziehungen erzeugt werden. Wenn Mitglieder derselben Kongruenzklasse identifiziert werden, sind die erstellten Theorien inkonsistent. Zum Beispiel kollabierte Meyers ursprüngliche Konstruktion die ganzen Zahlen unter dem Kongruenzmodulo 2. Dies setzt 0 und 2 in dieselbe Kongruenzklasse und in einer geeigneten dreiwertigen Logik gelten sowohl 0 = 2 als auch not- (0 = 2). Priest zeigte, dass diese Modelle eine bestimmte allgemeine Form annehmen, siehe Priest (1997) und (2000). Genau genommen ging Priest etwas zu weit, um „Cliquenmodelle“aufzunehmen. Dies wurde von Paris und Pathmanathan (2006) korrigiert und von Paris und Sirokfskich (2008) ins Unendliche erweitert. Noch in jüngerer Zeit erhielt Tedder (2015) Axiomatisierungen für die Klasse der endlichen Kollapsmodelle mit einer anderen Hintergrundlogik, dem A3 von Avron.und von Paris und Sirokfskich (2008) ins Unendliche erweitert. Noch in jüngerer Zeit erhielt Tedder (2015) Axiomatisierungen für die Klasse der endlichen Kollapsmodelle mit einer anderen Hintergrundlogik, dem A3 von Avron.und von Paris und Sirokfskich (2008) ins Unendliche erweitert. Noch in jüngerer Zeit erhielt Tedder (2015) Axiomatisierungen für die Klasse der endlichen Kollapsmodelle mit einer anderen Hintergrundlogik, dem A3 von Avron.

3. Analyse

Man kann die Beispiele der Analyse und ihren Sonderfall, den Kalkül, kaum ignorieren. Für einen modelltheoretischen Ansatz siehe Mortensen (1990, 1995)

Nun war Meyers ursprüngliche Herangehensweise an die natürlichen Zahlen, dh R #, eher axiomatisch als modelltheoretisch. Der axiomatische Ansatz wurde auch von McKubre-Jordens und Weber (2012) analysiert. In der Axiomatisierungsanalyse mit einer Basis parakonsistenter Logik treibt ihre Arbeit Meyers Ansatz zur Arithmetik über R # weit voran. Dieselben Autoren (in Kürze) überarbeiten die Integrationstheorie wie in Archimedes 'Händen, die die Methode der Erschöpfung unter Verwendung parakonsistenter Argumentation anwendet. Dies ergibt ein Ergebnis „bis zur Inkonsistenz“, was bedeutet, dass man „klassisches Ergebnis oder Widerspruch“nachweisen kann. Das klassische Ergebnis kann dann durch den klassischen bewegungsdisjunktiven Syllogismus, der auf das klassisch falsche (inkonsistente) zweite Disjunkt angewendet wird, als wiedererfassbar angesehen werden.

Es ist sicherlich wichtig und würdig, diese Richtung zu verfolgen, aber hier wird eine leichte Vorsicht geboten: Das axiomatische Projekt unterscheidet sich ein wenig von der inkonsistenten Mathematik. Wie bereits erwähnt, war Meyer in dieser Phase konsistent - er suchte eine konsistente Theorie mit einer inkonsistenztoleranten Logik. Mit ähnlicher Motivation war er auch bemüht, das zu lösen, was er "das Gamma-Problem" nannte, was im Wesentlichen die Frage war, ob gezeigt werden konnte, dass die axiomatische Theorie R # die klassische Peano-Arithmetik als Subtheorie enthält. Wenn dies so wäre, würde sein Beweis der Nichttrivialität für R # sofort einen neuen Beweis für die Negationskonsistenz der klassischen Peano-Arithmetik liefern! Beachten Sie, dass dies nicht im Widerspruch zu Gödels zweitem Satz stehen würde, da sich der Beweis des Gamma-Ergebnisses vermutlich nicht auf Endtechniken beschränken würde.(Im Fall von Meyers Theorie stellte sich heraus, dass dies nicht der Fall war.)

Es hat sich gezeigt, dass es während der Analyse viele Stellen gibt, an denen es eindeutige inkonsistente Einsichten gibt. Die Beispiele im Rest dieses Abschnitts stammen von Mortensen (1995). Zum Beispiel: (1) Robinsons (1974) Nicht-Standard-Analyse basierte auf Infinitesimalen, Mengen, die kleiner als jede reelle Zahl sind, sowie deren Kehrwerten, den unendlichen Zahlen. Dies hat eine inkonsistente Version, die einige Vorteile für die Berechnung hat, da Infinitesimale höherer Ordnung verworfen werden können. Interessanterweise stellte sich heraus, dass die Differenzierungstheorie diese Vorteile hatte, die Integrationstheorie jedoch nicht. Ein ähnliches Ergebnis unter Verwendung einer anderen Hintergrundlogik wurde von Da Costa (2000) erhalten. (2) Ein weiterer Ort, um Anwendungen von Inkonsistenz in der Analyse zu finden, ist die Topologie.wo man leicht die Praxis des Ausschneidens und Einfügens von Räumen beobachtet, die als "Identifikation" einer Grenze mit einer anderen beschrieben werden. Man kann zeigen, dass dies in einer inkonsistenten Theorie beschrieben werden kann, in der die beiden Grenzen identisch und nicht identisch sind, und es kann weiter argumentiert werden, dass dies die natürlichste Beschreibung der Praxis ist. (3) Eine weitere Anwendung ist die Klasse inkonsistenter kontinuierlicher Funktionen. Nicht alle Funktionen, die klassisch diskontinuierlich sind, können inkonsistent behandelt werden. aber einige sind zum Beispiel f (x) = 0 für alle x <0 und f (x) = 1 für alle x ≥ 0. Die inkonsistente Erweiterung ersetzt die erste <durch ≤ und weist charakteristische strukturelle Eigenschaften auf. Diese inkonsistenten Funktionen können durchaus in dynamischen Systemen Anwendung finden, in denen es diskontinuierliche Sprünge gibt.wie Quantenmesssysteme. Die Differenzierung solcher Funktionen führt zu den Delta-Funktionen, die Dirac zur Untersuchung der Quantenmessung anwendet. (4) Als nächstes gibt es den bekannten Fall inkonsistenter linearer Gleichungssysteme, wie das System (i) x + y = 1 plus (ii) x + y = 2. Solche Systeme können möglicherweise im Rahmen einer automatisierten Steuerung entstehen. Klassisch wurde wenig Arbeit geleistet, um solche Systeme zu lösen, aber es kann gezeigt werden, dass es in inkonsistenten Vektorräumen gut erzogene Lösungen gibt. (5) Schließlich kann man eine weitere Anwendung in Topologie und Dynamik feststellen. Unter der Annahme, dass es denkbar erscheint, dass alles, was passiert oder wahr ist, auf einer offenen Menge von (Raumzeit-) Punkten passiert oder wahr ist, hat man die Logik dynamisch möglicher Pfade als offene Mengenlogik, dh als Intuitionist Logik,das unterstützt unvollständige Theorien par excellence. Dies liegt daran, dass die natürliche Darstellung der Negation eines Satzes in einem solchen Raum besagt, dass er sich auf die größte offene Menge bezieht, die im Booleschen Komplement der Menge von Punkten enthalten ist, auf die sich der ursprüngliche Satz bezieht, der im Allgemeinen kleiner als der Boolesche ist ergänzen. Die Angabe eines topologischen Raums durch seine geschlossenen Mengen ist jedoch genauso sinnvoll wie die Angabe durch seine offenen Mengen. Es ist jedoch bekannt, dass die Logik geschlossener Mengen parakonsistent ist, d. H. unterstützt inkonsistente nichttriviale Theorien; siehe zum Beispiel Goodman (1981). Angesichts der (alternativen) Annahme, die ebenfalls denkbar erscheint, nämlich dass alles, was wahr ist, auf einer geschlossenen Menge von Punkten wahr ist, hat man, dass inkonsistente Theorien durchaus gelten können. Dies liegt daran, dass die natürliche Darstellung der Negation eines Satzes,Das heißt, dass es an der kleinsten geschlossenen Menge gilt, die die Boolesche Negation des Satzes enthält, bedeutet, dass an der überlappenden Grenze sowohl der Satz als auch seine Negation gelten. So bestimmen dynamische Theorien ihre eigene Logik möglicher Sätze und entsprechende Theorien, die inkonsistent sein können und sicherlich so natürlich sind wie ihre unvollständigen Gegenstücke.

Zu Logik und Grenzen geschlossener Mengen als natürlicher Rahmen für widersprüchliche Theorien siehe Mortensen (2003, 2010). Weber und Cotnoir (2015) untersuchen auch die Inkonsistenz von Grenzen, die sich aus der Inkompatibilität der drei Prinzipien ergibt: (i) es gibt Grenzen, (ii) der Raum ist topologisch verbunden und (iii) diskrete Einheiten können in Kontakt sein (dh nein Raum zwischen ihnen). Dies ist ein sehr interessantes Problem, da alle drei plausibel sind; Insbesondere scheint es in unserer Welt Grenzen zu geben. Ein anfangs überraschendes Merkmal dieses Berichts ist, dass Grenzen als „leer“erscheinen. Null-Entitäten widersprechen schließlich dem Geist der Mereologie. Dies ist jedoch nicht so schockierend, da sich herausstellt, dass sie nur in dem Sinne leer sind, dass sie Mitglieder inkonsistent haben.

Die Kategorietheorie beleuchtet viele mathematische Strukturen. Es wurde sicherlich als alternative Grundlage für die Mathematik vorgeschlagen. Eine solche Allgemeinheit stößt unweigerlich auf ähnliche Probleme wie das Verständnis in der Mengenlehre; siehe z. B. Hatcher 1982 (S. 255–260). Daher gibt es die gleiche mögliche Anwendung inkonsistenter Lösungen. Es gibt auch eine wichtige Sammlung von kategorialen Strukturen, die Topos, die die Logik offener Mengen genau parallel zur Art und Weise unterstützen, wie Mengen die Boolesche Logik unterstützen. Dies wurde von vielen als Rechtfertigung für den grundlegenden Standpunkt des mathematischen Intuitionismus angesehen. Es kann jedoch bewiesen werden, dass Topos die Logik geschlossener Mengen genauso gut unterstützen wie die Logik offener Mengen, bis heute die einzige kategorietheoretische Semantik für eine parakonsistente Logik. Dies sollte jedoch nicht als Einwand gegen den Intuitionismus angesehen werden, sondern vielmehr als Argument dafür, dass inkonsistente Theorien ebenso vernünftig sind wie mathematische Studien. Siehe Mortensen (1995, Kap. 11, Co-Autor Lavers). Diese Position wurde nun von Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b) eingenommen, erweitert und geschickt verteidigt. Der gleiche Autor (2016) verpflichtet sich, eine kategorietheoretische Beschreibung trivialer Theorien zu liefern, um zu zeigen, dass Trivialität für mathematische Theorien kein so uninteressantes Merkmal ist. Der vorliegende Autor bleibt nicht überzeugt, da eine triviale Theorie für die mathematische Berechnung sicherlich unbrauchbar ist; aber der Einfallsreichtum der Argumente muss eingeräumt werden. Co-Autor Lavers). Diese Position wurde nun von Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b) eingenommen, erweitert und geschickt verteidigt. Der gleiche Autor (2016) verpflichtet sich, eine kategorietheoretische Beschreibung trivialer Theorien zu liefern, um zu zeigen, dass Trivialität für mathematische Theorien kein so uninteressantes Merkmal ist. Der vorliegende Autor bleibt nicht überzeugt, da eine triviale Theorie für die mathematische Berechnung sicherlich unbrauchbar ist; aber der Einfallsreichtum der Argumente muss eingeräumt werden. Co-Autor Lavers). Diese Position wurde nun von Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b) eingenommen, erweitert und geschickt verteidigt. Der gleiche Autor (2016) verpflichtet sich, eine kategorietheoretische Beschreibung trivialer Theorien zu liefern, um zu zeigen, dass Trivialität für mathematische Theorien kein so uninteressantes Merkmal ist. Der vorliegende Autor bleibt nicht überzeugt, da eine triviale Theorie für die mathematische Berechnung sicherlich unbrauchbar ist; aber der Einfallsreichtum der Argumente muss eingeräumt werden. Der vorliegende Autor bleibt nicht überzeugt, da eine triviale Theorie für die mathematische Berechnung sicherlich unbrauchbar ist; aber der Einfallsreichtum der Argumente muss eingeräumt werden. Der vorliegende Autor bleibt nicht überzeugt, da eine triviale Theorie für die mathematische Berechnung sicherlich unbrauchbar ist; aber der Einfallsreichtum der Argumente muss eingeräumt werden.

Die Dualität zwischen Unvollständigkeit / Intuitionismus und Inkonsistenz / Parakonsistenz hat mindestens zwei Aspekte. Erstens gibt es die obige topologische (offene / geschlossene) Dualität. Zweitens gibt es Routley * Dualität. Der Routley Star * einer Menge von Sätzen S ist definiert als S * = _df {A: ~ A ist nicht in S}. Von den Routleys (1972) als semantisches Werkzeug für relevante Logiken entdeckt, verdoppelt sich die * Operation zwischen inkonsistenten und unvollständigen Theorien der großen natürlichen Klasse der de Morgan-Logiken. Beide Arten der Dualität interagieren auch, wobei das * unterschiedliche Dualitäts- und Invarianzsätze für arithmetische Theorien mit offener und geschlossener Menge liefert. Auf der Grundlage dieser Ergebnisse kann man mit Recht argumentieren, dass beide Arten der Mathematik, intuitionistisch und parakonsistent, gleichermaßen vernünftig sind.

4. Geometrische Inkonsistenz

Eine neuere Entwicklung ist die Anwendung zur Erklärung des Phänomens inkonsistenter Bilder. Die bekanntesten davon sind vielleicht MC Eschers Meisterwerke Belvedere, Waterfall und Ascending and Descending. Tatsächlich reicht die Tradition Jahrtausende nach Pompeji zurück. Escher scheint viele seiner Intuitionen vom schwedischen Künstler Oscar Reutersvärd abgeleitet zu haben, der 1934 seine inkonsistente Arbeit begann. Escher arbeitete auch aktiv mit dem englischen Mathematiker Roger Penrose zusammen. Es gab mehrere Versuche von Theoretikern wie Cowan, Francis und Penrose, die mathematische Struktur inkonsistenter Bilder unter Verwendung der klassischen konsistenten Mathematik zu beschreiben. Wie in Mortensen (1997) dargelegt, kann jedoch keine konsistente mathematische Theorie das Gefühl erfassen, dass man etwas Unmögliches sieht. Nur eine inkonsistente Theorie kann den Inhalt dieser Wahrnehmung erfassen. Dies ist ein Appell an eine kognitive Rechtfertigung der Parakonsistenz. Man kann dann fortfahren, inkonsistente Theorien anzuzeigen, die Kandidaten für solche inkonsistenten Inhalte sind. In diesem Punkt gibt es eine Analogie zur klassischen Mathematik: Projektive Geometrie ist eine klassische konsistente mathematische Theorie, die interessant ist, weil wir Wesen mit einem Auge sind, da sie erklärt, warum die Dinge so aussehen, wie sie in der Perspektive aussehen. Die projektive Geometrie ist eine klassische konsistente mathematische Theorie, die interessant ist, weil wir Wesen mit einem Auge sind, da sie erklärt, warum die Dinge so aussehen, wie sie in der Perspektive aussehen. Die projektive Geometrie ist eine klassische konsistente mathematische Theorie, die interessant ist, weil wir Wesen mit einem Auge sind, da sie erklärt, warum die Dinge so aussehen, wie sie in der Perspektive aussehen.

Inkonsistente geometrische Studien werden in Mortensen (2002a) weiterentwickelt, wo die Kategorietheorie angewendet wird, um eine allgemeine Beschreibung der Beziehungen zwischen den verschiedenen Theorien und ihren konsistenten Kürzungen und unvollständigen Dualen zu geben. Für eine informelle Darstellung, die den Unterschied zwischen visuellen „Paradoxien“und den philosophisch häufigeren Paradoxien der Sprache wie dem Lügner hervorhebt, siehe Mortensen (2002b).

In jüngerer Zeit wurden inkonsistente mathematische Beschreibungen für mehrere Klassen inkonsistenter Figuren erhalten, beispielhaft dargestellt durch Eschers Würfel (gefunden in seinem Druck Belvedere), das Reutersvärd-Penrose-Dreieck und andere. Siehe Mortensen (2010).

5. Stück und Permeat

In letzter Zeit hat sich eine alternative Technik zum allgemeinen Umgang mit Widersprüchen herausgebildet. Brown und Priest (2004) haben eine Technik vorgeschlagen, die sie "Chunk and Permeate" nennen. Bei dieser Argumentation aus inkonsistenten Prämissen werden die Annahmen in konsistente Theorien (Chunks) aufgeteilt, geeignete Konsequenzen abgeleitet und diese Konsequenzen dann an eine andere weitergegeben (durchdrungen) Chunk für weitere Konsequenzen abgeleitet werden. Sie legen nahe, dass Newtons ursprüngliche Argumentation bei der Verwendung von Derivaten im Kalkül von dieser Form war. Dies ist ein interessanter und neuartiger Ansatz, der jedoch den Einwand erfüllen muss, dass man, um eine auf dieser Grundlage gewonnene Schlussfolgerung zu glauben, alle Prämissen gleichermaßen glauben sollte; und so sollte irgendwann ein Argument der allgemeineren Form auftauchen, das alle Prämissen anspricht, ohne sie zu fragmentieren. Der Einwand ist daher, dass Chunk and Permeate eher Teil des Entdeckungskontexts als des Rechtfertigungskontexts ist.

Kürzlich haben Benham et. al. (2014) haben diese Methoden auf die Dirac-Delta-Funktion erweitert. Dies erweitert die Anwendungsklasse und stärkt so die Technik. Dort wird jedoch auch deutlich, dass es eine enge Parallele zwischen (einer großen Klasse von) Chunk- und Permeat-Anwendungen und einer (konsistenten) Nicht-Standard-Analyse gibt: Überall dort, wo Chunk und Permeate eine Ableitung vornehmen, indem Chunks auf eine verschoben werden, in der sich Infinitesimale befinden Bei einer Nicht-Standard-Analyse von Null wird eine Ableitung verwendet, indem Ableitungen als „nur Standardteile“definiert werden. Natürlich zeigt die Äquivalenz zwischen diesen beiden Techniken nicht, was erklärend tiefer ist. Entwicklungen sind mit Interesse zu erwarten.

6. Fazit

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass in letzter Zeit einiges an philosophischem Material aufgetaucht ist, das mit der Ursache inkonsistenter Mathematik sympathisiert. Colyvan (2000) befasst sich mit dem Problem, dass inkonsistente mathematische Theorien inkonsistente mathematische Objekte als Gegenstand implizieren. Er übernimmt auch die wichtige Aufgabe, einen Bericht darüber zu liefern, wie inkonsistente Mathematik einen Zweig haben kann, der angewandte Mathematik ist. Priest (2013) stellt wie Colyvan fest, dass inkonsistente Mathematik den platonistischen Mix verstärkt. Berto (2007) untersucht in nützlicher Weise Paradoxien und grundlegende Fragen und legt einige der arithmetischen Ergebnisse dar, die wichtige philosophische Fragen wie die Unvollständigkeitssätze betreffen. Van Bendegem (2014) verfolgt die interessante Motivation, dass Veränderung immer ein Zustand der Anomalie ist, so dass immer Veränderung immer Anomalie impliziert. Beispiele sind Infinitesimale, komplexe Zahlen und Unendlichkeit. Vorsicht ist geboten, wenn man bedenkt, dass Inkonsistenzen immer anomal sind, schon allein deshalb, weil sie für mathematische Studien einfach mehr Material sind.

Es sollte noch einmal betont werden, dass diese Strukturen die bestehende Mathematik in keiner Weise in Frage stellen oder ablehnen, sondern vielmehr unsere Vorstellung davon erweitern, was mathematisch möglich ist. Dies wiederum schärft das Problem des mathematischen Pluralismus; siehe z. B. Davies (2005), Hellman und Bell (2006) oder Priest (2013). Verschiedene Autoren haben unterschiedliche Versionen des mathematischen Pluralismus, aber es ist etwas in dieser Richtung, dass inkompatible mathematische Theorien gleichermaßen wahr sein können. Der Fall des mathematischen Pluralismus beruht auf der Beobachtung, dass es verschiedene mathematische „Universen“gibt, in denen unterschiedliche, tatsächlich inkompatible mathematische Theoreme oder Gesetze gelten. Bekannte Beispiele sind die Inkompatibilität zwischen klassischer Mathematik und intuitionistischer Mathematik sowie die Inkompatibilität zwischen ZF-ähnlichen Mengenuniversen mit bzw. ohnedas Axiom der Wahl. Es erscheint absurd zu sagen, dass ZF mit Wahl wahre Mathematik und ZF ohne Wahl falsche Mathematik ist, wenn beide legitime Beispiele für mathematisch gut erzogene Theorien sind.

Die Hauptfrage für die Philosophie der Mathematik ist sicherlich, was Mathematik ist. Dualitätsoperationen wie topologische Dualität oder Routley * verstärken den Punkt, dass unvollständige / inkonsistente Duale als Beispiele für Mathematik gleichermaßen sinnvoll sind. Unter diesem Gesichtspunkt erscheinen Streitigkeiten darüber, welche intuitionistische oder klassische oder inkonsistente Mathematik zu akzeptieren ist, sinnlos; Sie sind alle Teil des Fachs Mathematik. Dieser Punkt wird effektiv von Shapiro (2014, im Gegensatz zu seinem 2002) gemacht. Shapiros unverwechselbare Position hat andere Bestandteile: Mathematik als Strukturwissenschaft und mathematischer Pluralismus, der logischen Pluralismus impliziert (zum logischen Pluralismus siehe auch Beall und Restall 2006); aber wir nehmen diese hier nicht auf.

Für das, was es wert ist, glaubt der gegenwärtige Schriftsteller, dass eine Version des mathematischen Pluralismus offensichtlich wahr ist, wenn man Mathematik als erstens für mathematische Theorien betrachtet, die Inkonsistenz zulassen, und nur zweitens für die Objekte, die in diesen Theorien enthalten sind. Es gibt natürlich kein Problem damit, dass inkompatible Theorien als Strukturen von Sätzen nebeneinander existieren. Das Primat der Theorien passt auch zu der natürlichen Beobachtung, dass die Erkenntnistheorie der Mathematik ein deduktiver Beweis ist. Nur wenn man den Primat des mathematischen Objekts als Wahrheitsmacher von Theorien als Ausgangspunkt nimmt, muss man sich Gedanken darüber machen, wie es ihren Objekten gelingt, nebeneinander zu existieren.

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