Unentbehrliche Argumente In Der Philosophie Der Mathematik

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Unentbehrliche Argumente in der Philosophie der Mathematik

Erstveröffentlichung Montag, 21. Dezember 1998; inhaltliche Überarbeitung Do 28. Februar 2019

Eines der faszinierendsten Merkmale der Mathematik ist ihre Anwendbarkeit auf die empirische Wissenschaft. Jeder Wissenschaftszweig stützt sich auf große und oft unterschiedliche Teile der Mathematik, von der Verwendung von Hilbert-Räumen in der Quantenmechanik bis zur Verwendung der Differentialgeometrie in der allgemeinen Relativitätstheorie. Es sind nicht nur die Naturwissenschaften, die die Dienste der Mathematik in Anspruch nehmen. In der Biologie werden beispielsweise Differenzgleichungen und Statistiken in großem Umfang verwendet. Die Rolle, die die Mathematik in diesen Theorien spielt, ist ebenfalls vielfältig. Mathematik hilft nicht nur bei empirischen Vorhersagen, sondern ermöglicht auch eine elegante und wirtschaftliche Darstellung vieler Theorien. In der Tat ist die Sprache der Mathematik für die Wissenschaft so wichtig.dass es schwer vorstellbar ist, wie Theorien wie die Quantenmechanik und die allgemeine Relativitätstheorie überhaupt aufgestellt werden könnten, ohne einen wesentlichen Teil der Mathematik einzusetzen.

Aus der bemerkenswerten, aber scheinbar unumstrittenen Tatsache, dass Mathematik für die Wissenschaft unverzichtbar ist, haben einige Philosophen ernsthafte metaphysische Schlussfolgerungen gezogen. Insbesondere Quine (1976; 1980a; 1980b; 1981a; 1981c) und Putnam (1979a; 1979b) haben argumentiert, dass die Unentbehrlichkeit der Mathematik für die empirische Wissenschaft uns guten Grund gibt, an die Existenz mathematischer Einheiten zu glauben. Nach dieser Argumentation ist die Bezugnahme auf (oder die Quantifizierung über) mathematische Entitäten wie Mengen, Zahlen, Funktionen und dergleichen für unsere besten wissenschaftlichen Theorien unverzichtbar, und daher sollten wir uns der Existenz dieser mathematischen Entitäten verpflichtet fühlen. Andernfalls bedeutet, sich dessen schuldig zu machen, was Putnam als „intellektuelle Unehrlichkeit“bezeichnet hat (Putnam 1979b, S. 347). Außerdem,Mathematische Entitäten werden als epistemisch mit den anderen theoretischen Entitäten der Wissenschaft gleichgesetzt, da der Glaube an die Existenz der ersteren durch dieselben Beweise gerechtfertigt ist, die die Theorie als Ganzes bestätigen (und damit an die letztere). Dieses Argument ist als das Quine-Putnam-Unentbehrlichkeitsargument für den mathematischen Realismus bekannt. Es gibt andere Argumente für die Unentbehrlichkeit, aber dieses ist bei weitem das einflussreichste, und deshalb werden wir uns im Folgenden hauptsächlich darauf konzentrieren. Im Folgenden konzentrieren wir uns hauptsächlich darauf. Im Folgenden konzentrieren wir uns hauptsächlich darauf.

Im Allgemeinen ist ein Argument der Unentbehrlichkeit ein Argument, das vorgibt, die Wahrheit eines Anspruchs auf der Grundlage der Unentbehrlichkeit des fraglichen Anspruchs für bestimmte Zwecke festzustellen (durch das jeweilige Argument anzugeben). Wenn zum Beispiel eine Erklärung als Zweck angegeben ist, haben wir ein erklärendes Argument für die Unentbehrlichkeit. Wir sehen also, dass der Rückschluss auf die beste Erklärung ein Sonderfall eines Unentbehrlichkeitsarguments ist. In der Einleitung von Field (1989, S. 14–20) finden Sie eine schöne Diskussion der Argumente für die Unentbehrlichkeit und den Rückschluss auf die beste Erklärung. Siehe auch Maddy (1992) und Resnik (1995a) für Variationen der Quine-Putnam-Version des Arguments. Wir sollten hinzufügen, dass, obwohl die hier vorgestellte Version des Arguments im Allgemeinen Quine und Putnam zugeschrieben wird,Es unterscheidet sich in vielerlei Hinsicht von den Argumenten von Quine oder Putnam.^[1]

• 1. Das Argument der Unentbehrlichkeit von Quine-Putnam formulieren
• 2. Was ist es, unverzichtbar zu sein?
• 3. Naturalismus und Holismus
• 4. Einwände
• 5. Erklärende Versionen des Arguments
• 6. Fazit
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Das Argument der Unentbehrlichkeit von Quine-Putnam formulieren

Das Argument der Unentbehrlichkeit von Quine-Putnam hat viel Aufmerksamkeit auf sich gezogen, auch weil viele es als das beste Argument für mathematischen Realismus (oder Platonismus) ansehen. Daher müssen Anti-Realisten über mathematische Entitäten (oder Nominalisten) herausfinden, wo das Quine-Putnam-Argument falsch ist. Viele Platoniker hingegen stützen sich sehr stark auf dieses Argument, um ihren Glauben an mathematische Einheiten zu rechtfertigen. Das Argument bringt Nominalisten, die in Bezug auf andere theoretische Einheiten der Wissenschaft (Quarks, Elektronen, Schwarze Löcher usw.) realistisch sein wollen, in eine besonders schwierige Position. Normalerweise akzeptieren sie so etwas wie das Quine-Putnam-Argument ^[2].) als Rechtfertigung für Realismus über Quarks und Schwarze Löcher. (Dies nennt Quine (1980b, S. 45) eine „Doppelmoral“in Bezug auf die Ontologie.)

Zum späteren Nachschlagen geben wir das Quine-Putnam-Unentbehrlichkeitsargument in der folgenden expliziten Form an:

(P1) Wir sollten uns ontologisch allen und nur den Entitäten verpflichtet fühlen, die für unsere besten wissenschaftlichen Theorien unverzichtbar sind.

(P2) Mathematische Einheiten sind für unsere besten wissenschaftlichen Theorien unverzichtbar.

(C) Wir sollten uns ontologisch für mathematische Einheiten engagieren.

So formuliert ist das Argument gültig. Dies zwingt den Fokus auf die beiden Prämissen. Insbesondere stellen sich natürlich einige wichtige Fragen. Der erste betrifft das Verständnis der Behauptung, dass Mathematik unverzichtbar ist. Wir werden dies im nächsten Abschnitt ansprechen. Die zweite Frage betrifft die erste Prämisse. Es ist bei weitem nicht so selbstverständlich wie das zweite und es braucht eindeutig etwas Verteidigung. Wir werden seine Verteidigung im folgenden Abschnitt diskutieren. Wir werden dann einige der wichtigeren Einwände gegen das Argument präsentieren, bevor wir die Rolle des Quine-Putnam-Arguments im größeren Schema der Dinge betrachten - wo es im Verhältnis zu anderen einflussreichen Argumenten für und gegen den mathematischen Realismus steht.

2. Was ist es, unverzichtbar zu sein?

Die Frage, wie wir "Unentbehrlichkeit" im gegenwärtigen Kontext verstehen sollen, ist für das Argument von Quine-Putnam von entscheidender Bedeutung und hat dennoch überraschend wenig Beachtung gefunden. Quine spricht tatsächlich von den Entitäten, die in der kanonischen Form unserer besten wissenschaftlichen Theorien quantifiziert wurden, und nicht von der Unentbehrlichkeit. Trotzdem wird die Debatte in Bezug auf die Unentbehrlichkeit fortgesetzt, daher wäre es gut, wenn wir diesen Begriff klarstellen würden.

Das erste, was zu beachten ist, ist, dass "Entbehrlichkeit" nicht dasselbe ist wie "Eliminierbarkeit". Wenn dies nicht so wäre, wäre jede Entität entbehrlich (aufgrund eines Satzes von Craig). ^[3]Was wir benötigen, damit eine Entität "entbehrlich" ist, ist, dass sie eliminierbar ist und dass die Theorie, die sich aus der Eliminierung der Entität ergibt, eine attraktive Theorie ist. (Vielleicht, noch stärker, verlangen wir, dass die resultierende Theorie attraktiver ist als das Original.) Wir müssen darlegen, was als attraktive Theorie gilt, aber dafür können wir uns auf die Standard-Desideraten für gute wissenschaftliche Theorien berufen: empirischer Erfolg; vereinheitlichende Kraft; Einfachheit; Erklärungskraft; Fruchtbarkeit und so weiter. Natürlich wird darüber diskutiert, welche Desiderata angemessen sind und welche relativen Gewichtungen sie haben, aber solche Probleme müssen unabhängig von Fragen der Unentbehrlichkeit angegangen und gelöst werden. (Weitere Informationen zu diesen Themen finden Sie in Burgess (1983) und Colyvan (1999).)

Diese Fragen werfen natürlich die Frage auf, wie viel Mathematik unverzichtbar ist (und wie viel Mathematik ontologisches Engagement mit sich bringt). Es scheint, dass das Argument der Unentbehrlichkeit nur den Glauben an genügend Mathematik rechtfertigt, um den Bedürfnissen der Wissenschaft gerecht zu werden. So spricht Putnam von „den satztheoretischen 'Bedürfnissen' der Physik“(Putnam 1979b, S. 346) und Quine behauptet, die höheren Bereiche der Mengenlehre seien „mathematische Erholung… ohne ontologische Rechte“(Quine 1986, S. 400)), da sie keine physischen Anwendungen finden. Man könnte eine weniger restriktive Linie einschlagen und behaupten, dass die höheren Bereiche der Mengenlehre, obwohl ohne physikalische Anwendungen, ein ontologisches Engagement aufweisen, da sie Anwendungen in anderen Teilen der Mathematik haben. Solange die Anwendungskette in der Physik irgendwann ihren Tiefpunkt erreicht, können wir zu Recht behaupten, dass die gesamte Kette ein ontologisches Engagement aufweist. Quine selbst rechtfertigt eine transfinite Mengenlehre in dieser Richtung (Quine 1984, S. 788), sieht jedoch keinen Grund, über die konstruierbaren Mengen hinauszugehen (Quine 1986, S. 400). Seine Gründe für diese Einschränkung haben jedoch wenig mit dem Argument der Unentbehrlichkeit zu tun, weshalb die Befürworter dieses Arguments in dieser Frage nicht auf der Seite von Quine stehen müssen.haben wenig mit dem Argument der Unentbehrlichkeit zu tun, und deshalb müssen die Befürworter dieses Arguments in dieser Frage nicht auf der Seite von Quine stehen.haben wenig mit dem Argument der Unentbehrlichkeit zu tun, und deshalb müssen sich die Befürworter dieses Arguments in dieser Frage nicht auf die Seite von Quine stellen.

3. Naturalismus und Holismus

Obwohl beide Prämissen des Quine-Putnam-Unentbehrlichkeitsarguments in Frage gestellt wurden, ist dies die erste Prämisse, die am offensichtlichsten Unterstützung benötigt. Diese Unterstützung kommt von den Lehren des Naturalismus und des Holismus.

Nach Quine wird Naturalismus gewöhnlich als die philosophische Lehre angesehen, dass es keine erste Philosophie gibt und dass das philosophische Unternehmen kontinuierlich mit dem wissenschaftlichen Unternehmen ist (Quine 1981b). Damit bedeutet Quine, dass die Philosophie weder vor noch vor der Wissenschaft privilegiert ist. Darüber hinaus wird die so konstruierte Wissenschaft (dh die Philosophie als kontinuierlicher Teil) als die vollständige Geschichte der Welt angesehen. Diese Doktrin ergibt sich aus einem tiefen Respekt vor der wissenschaftlichen Methodik und der Anerkennung des unbestreitbaren Erfolgs dieser Methodik als Antwort auf grundlegende Fragen über alle Natur der Dinge. Wie Quine vorschlägt, liegt seine Quelle im „nicht wiedergeborenen Realismus, dem robusten Geisteszustand des Naturwissenschaftlers, der über die verhandelbaren Unsicherheiten innerhalb der Wissenschaft hinaus keine Bedenken verspürt hat“(Quine 1981b, S. 72). Für den Metaphysiker bedeutet dies, nach unseren besten wissenschaftlichen Theorien zu suchen, um festzustellen, was existiert oder genauer gesagt, was wir für existent halten sollten. Kurz gesagt, der Naturalismus schließt unwissenschaftliche Wege aus, um festzustellen, was existiert. Zum Beispiel schließt der Naturalismus aus mystischen Gründen den Glauben an die Seelenwanderung aus. Der Naturalismus würde jedoch die Seelenwanderung nicht ausschließen, wenn unsere besten wissenschaftlichen Theorien die Wahrheit dieser Lehre verlangen würden.die Seelenwanderung ausschließen, wenn unsere besten wissenschaftlichen Theorien die Wahrheit dieser Lehre verlangen würden.die Seelenwanderung ausschließen, wenn unsere besten wissenschaftlichen Theorien die Wahrheit dieser Lehre verlangen würden.^[4]

Der Naturalismus gibt uns also einen Grund, an die Entitäten in unseren besten wissenschaftlichen Theorien und an keine anderen Entitäten zu glauben. Abhängig davon, wie Sie sich Naturalismus genau vorstellen, kann es Ihnen sagen oder auch nicht, ob Sie an alle Entitäten Ihrer besten wissenschaftlichen Theorien glauben sollen. Wir gehen davon aus, dass der Naturalismus uns einen Grund gibt, an all diese Entitäten zu glauben, aber dass dies nicht realisierbar ist. Hier tritt der Holismus in den Vordergrund: insbesondere der bestätigende Holismus.

Konfirmationsholismus ist die Ansicht, dass Theorien als Ganzes bestätigt oder nicht bestätigt werden (Quine 1980b, S. 41). Wenn also eine Theorie durch empirische Befunde bestätigt wird, wird die gesamte Theorie bestätigt. Insbesondere wird auch bestätigt, welche Mathematik in der Theorie verwendet wird (Quine 1976, S. 120–122). Darüber hinaus werden dieselben Beweise zur Rechtfertigung des Glaubens an die mathematischen Komponenten der Theorie herangezogen, die zur Rechtfertigung des empirischen Teils der Theorie herangezogen werden (wenn tatsächlich das Empirische überhaupt vom Mathematischen getrennt werden kann). Naturalismus und Holismus zusammen rechtfertigen dann P1. Der Naturalismus gibt uns ungefähr das „Einzige“und der Holismus gibt uns das „Alles“in P1.

Es ist erwähnenswert, dass es in Quines Schriften mindestens zwei ganzheitliche Themen gibt. Der erste ist der oben diskutierte Bestätigungsholismus (oft als Quine-Duhem-These bezeichnet). Der andere ist der semantische Holismus, der die Ansicht ist, dass die Bedeutungseinheit nicht der einzelne Satz ist, sondern Satzsysteme (und in einigen extremen Fällen die gesamte Sprache). Dieser letztere Holismus steht in engem Zusammenhang mit Quines bekannter Ablehnung der analytisch-synthetischen Unterscheidung (Quine 1980b) und seiner ebenso berühmten Unbestimmtheit der Übersetzungsthese (Quine 1960). Obwohl für Quine der semantische Holismus und der bestätigende Holismus eng miteinander verbunden sind, gibt es gute Gründe, sie zu unterscheiden, da der erstere allgemein als sehr kontrovers angesehen wird, während der letztere als relativ unumstritten angesehen wird.

Für die gegenwärtige Debatte ist dies wichtig, weil Quine ausdrücklich den umstrittenen semantischen Holismus zur Unterstützung des Unentbehrlichkeitsarguments anführt (Quine 1980b, S. 45–46). Die meisten Kommentatoren sind jedoch der Ansicht, dass nur ein bestätigender Holismus erforderlich ist, um das Argument der Unentbehrlichkeit zum Fliegen zu bringen (siehe beispielsweise Colyvan (1998a); Field (1989, S. 14–20); Hellman (1999); Resnik (1995a; 1997); Maddy (1992)) und meine Darstellung hier folgt dieser akzeptierten Weisheit. Es sollte jedoch bedacht werden, dass das so konstruierte Argument zwar quineanisch ist, aber streng genommen nicht Quines Argument ist.

4. Einwände

Es gab viele Einwände gegen das Argument der Unentbehrlichkeit, einschließlich der Besorgnis von Charles Parsons (1980), dass die Offensichtlichkeit grundlegender mathematischer Aussagen durch das quineanische Bild nicht berücksichtigt wird, und Philip Kitchers (1984, S. 104–105) befürchten, dass das Argument der Unentbehrlichkeit erklärt nicht, warum Mathematik für die Wissenschaft unverzichtbar ist. Die Einwände, die am meisten Beachtung fanden, sind jedoch die von Hartry Field, Penelope Maddy und Elliott Sober. Insbesondere das Nominalisierungsprogramm von Field hat die jüngsten Diskussionen über die Ontologie der Mathematik dominiert.

Field (1980) argumentiert, die zweite Prämisse des Quine-Putnam-Arguments zu leugnen. Das heißt, er schlägt vor, dass Mathematik trotz des Auftretens für die Wissenschaft nicht unverzichtbar ist. Das Projekt von Field besteht aus zwei Teilen. Das erste ist zu argumentieren, dass mathematische Theorien nicht wahr sein müssen, um in Anwendungen nützlich zu sein, sondern lediglich konservativ sein müssen. (Dies bedeutet ungefähr, dass, wenn eine mathematische Theorie zu einer nominalistischen wissenschaftlichen Theorie hinzugefügt wird, keine nominalistischen Konsequenzen folgen, die sich nicht allein aus der nominalistischen wissenschaftlichen Theorie ergeben würden.) Dies erklärt, warum Mathematik in der Wissenschaft verwendet werden kann, aber es erklärt nicht warum es verwendet wird. Letzteres beruht auf der Tatsache, dass die Mathematik die Berechnung und Aussage verschiedener Theorien viel einfacher macht. Für FieldDer Nutzen der Mathematik ist nur pragmatisch - Mathematik ist schließlich nicht unverzichtbar.

Der zweite Teil des Field-Programms soll zeigen, dass unsere besten wissenschaftlichen Theorien angemessen nominiert werden können. Das heißt, er versucht zu zeigen, dass wir auf die Quantifizierung mathematischer Einheiten verzichten könnten und dass das, was uns übrig bleiben würde, einigermaßen attraktive Theorien wären. Zu diesem Zweck begnügt er sich damit, ein großes Fragment der Newtonschen Gravitationstheorie zu nominalisieren. Obwohl dies weit davon entfernt ist zu zeigen, dass alle unsere derzeit besten wissenschaftlichen Theorien nominalisiert werden können, ist dies sicherlich nicht trivial. Die Hoffnung ist, dass, sobald man sieht, wie die Beseitigung der Bezugnahme auf mathematische Einheiten für eine typische physikalische Theorie erreicht werden kann, es plausibel erscheint, dass das Projekt für den Rest der Wissenschaft abgeschlossen werden könnte. ^[5]

Über die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs des Field-Programms wurde viel diskutiert, aber nur wenige haben an seiner Bedeutung gezweifelt. Kürzlich hat Penelope Maddy jedoch darauf hingewiesen, dass sich Field's Projekt als irrelevant für die Realismus / Anti-Realismus-Debatte in der Mathematik herausstellen könnte, wenn P1 falsch ist.

Maddy erhebt einige ernsthafte Einwände gegen die erste Prämisse des Unentbehrlichkeitsarguments (Maddy 1992; 1995; 1997). Insbesondere schlägt sie vor, dass wir uns nicht ontologisch für alle Entitäten engagieren sollten, die für unsere besten wissenschaftlichen Theorien unverzichtbar sind. Ihre Einwände machen auf Probleme der Vereinbarkeit von Naturalismus und konfirmatorischem Holismus aufmerksam. Insbesondere weist sie darauf hin, dass eine ganzheitliche Betrachtung wissenschaftlicher Theorien Probleme hat, die Legitimität bestimmter Aspekte wissenschaftlicher und mathematischer Praktiken zu erklären. Praktiken, die angesichts der hohen Wertschätzung der vom Naturalismus empfohlenen wissenschaftlichen Praxis vermutlich legitim sein sollten. Es ist wichtig zu wissen, dass ihre Einwände größtenteilsbefassen sich mit methodischen Konsequenzen der Akzeptanz der quineanischen Doktrinen des Naturalismus und des Holismus - der Doktrinen, die zur Unterstützung der ersten Prämisse verwendet wurden. Die erste Prämisse wird somit in Frage gestellt, indem ihre Unterstützung untergraben wird.

Maddys erster Einwand gegen das Argument der Unentbehrlichkeit ist, dass die tatsächlichen Einstellungen der arbeitenden Wissenschaftler zu den Komponenten gut bestätigter Theorien von Glauben über Toleranz bis hin zu völliger Ablehnung variieren (Maddy 1992, S. 280). Der Punkt ist, dass der Naturalismus uns rät, die Methoden der arbeitenden Wissenschaftler zu respektieren, und dennoch sagt uns der Holismus anscheinend, dass arbeitende Wissenschaftler die Entitäten in ihren Theorien nicht so unterschiedlich unterstützen sollten. Maddy schlägt vor, dass wir uns hier auf die Seite des Naturalismus und nicht des Holismus stellen sollten. Daher sollten wir die Einstellungen von arbeitenden Wissenschaftlern unterstützen, die anscheinend nicht an alle Entitäten glauben, die von unseren besten Theorien aufgestellt wurden. Wir sollten daher P1 ablehnen.

Das nächste Problem folgt aus dem ersten. Wenn man das Bild wissenschaftlicher Theorien als homogene Einheiten ablehnt, stellt sich die Frage, ob die mathematischen Teile der Theorien in die wahren Elemente der bestätigten Theorien oder in die idealisierten Elemente fallen. Maddy schlägt letzteres vor. Ihr Grund dafür ist, dass die Wissenschaftler selbst die unverzichtbare Anwendung einer mathematischen Theorie nicht als Hinweis auf die Wahrheit der fraglichen Mathematik zu betrachten scheinen. Beispielsweise wird bei der Analyse von Wasserwellen häufig die falsche Annahme angeführt, dass Wasser unendlich tief ist, oder die Annahme, dass Materie kontinuierlich ist, wird in der Fluiddynamik häufig gemacht (Maddy 1992, S. 281–282). Solche Fälle deuten darauf hin, dass Wissenschaftler sich auf die Mathematik berufen, die für die Erledigung der Aufgabe erforderlich ist.ohne Rücksicht auf die Wahrheit der fraglichen mathematischen Theorie (Maddy 1995, S. 255). Wiederum scheint der konfirmatorische Holismus im Widerspruch zur tatsächlichen wissenschaftlichen Praxis und damit zum Naturalismus zu stehen. Und wieder setzt sich Maddy für Naturalismus ein. (Siehe auch Parsons (1983) für einige verwandte Sorgen über den holischen Quinismus.) Der Punkt hier ist, dass, wenn der Naturalismus uns rät, uns auf die Seite der arbeitenden Wissenschaftler in solchen Fragen zu stellen, es so scheint, als sollten wir die Unentbehrlichkeit einiger mathematischer Aspekte nicht in Betracht ziehen Theorie in einer physikalischen Anwendung als Hinweis auf die Wahrheit der mathematischen Theorie. Da wir keinen Grund zu der Annahme haben, dass die fragliche mathematische Theorie wahr ist, haben wir auch keinen Grund zu der Annahme, dass die von der (mathematischen) Theorie gesetzten Entitäten real sind. Also sollten wir noch einmal P1 ablehnen.p. 255). Wiederum scheint der konfirmatorische Holismus im Widerspruch zur tatsächlichen wissenschaftlichen Praxis und damit zum Naturalismus zu stehen. Und wieder setzt sich Maddy für Naturalismus ein. (Siehe auch Parsons (1983) für einige verwandte Sorgen über den holischen Quinismus.) Der Punkt hier ist, dass, wenn der Naturalismus uns rät, uns auf die Seite der arbeitenden Wissenschaftler in solchen Fragen zu stellen, es so scheint, als sollten wir die Unentbehrlichkeit einiger mathematischer Aspekte nicht in Betracht ziehen Theorie in einer physikalischen Anwendung als Hinweis auf die Wahrheit der mathematischen Theorie. Da wir keinen Grund zu der Annahme haben, dass die fragliche mathematische Theorie wahr ist, haben wir auch keinen Grund zu der Annahme, dass die von der (mathematischen) Theorie gesetzten Entitäten real sind. Also sollten wir noch einmal P1 ablehnen.p. 255). Wiederum scheint der konfirmatorische Holismus im Widerspruch zur tatsächlichen wissenschaftlichen Praxis und damit zum Naturalismus zu stehen. Und wieder setzt sich Maddy für Naturalismus ein. (Siehe auch Parsons (1983) für einige verwandte Sorgen über den holischen Quinismus.) Der Punkt hier ist, dass, wenn der Naturalismus uns rät, uns auf die Seite der arbeitenden Wissenschaftler in solchen Fragen zu stellen, es so scheint, als sollten wir die Unentbehrlichkeit einiger mathematischer Aspekte nicht in Betracht ziehen Theorie in einer physikalischen Anwendung als Hinweis auf die Wahrheit der mathematischen Theorie. Da wir keinen Grund zu der Annahme haben, dass die fragliche mathematische Theorie wahr ist, haben wir auch keinen Grund zu der Annahme, dass die von der (mathematischen) Theorie gesetzten Entitäten real sind. Also sollten wir noch einmal P1 ablehnen.und damit mit Naturalismus. Und wieder setzt sich Maddy für Naturalismus ein. (Siehe auch Parsons (1983) für einige verwandte Sorgen über den holischen Quinismus.) Der Punkt hier ist, dass, wenn der Naturalismus uns rät, uns auf die Seite der arbeitenden Wissenschaftler in solchen Fragen zu stellen, es so scheint, als sollten wir die Unentbehrlichkeit einiger mathematischer Aspekte nicht in Betracht ziehen Theorie in einer physikalischen Anwendung als Hinweis auf die Wahrheit der mathematischen Theorie. Da wir keinen Grund zu der Annahme haben, dass die fragliche mathematische Theorie wahr ist, haben wir auch keinen Grund zu der Annahme, dass die von der (mathematischen) Theorie gesetzten Entitäten real sind. Also sollten wir noch einmal P1 ablehnen.und damit mit Naturalismus. Und wieder setzt sich Maddy für Naturalismus ein. (Siehe auch Parsons (1983) für einige verwandte Sorgen über den holischen Quinismus.) Der Punkt hier ist, dass, wenn der Naturalismus uns rät, uns auf die Seite der arbeitenden Wissenschaftler in solchen Fragen zu stellen, es so scheint, als sollten wir die Unentbehrlichkeit einiger mathematischer Aspekte nicht in Betracht ziehen Theorie in einer physikalischen Anwendung als Hinweis auf die Wahrheit der mathematischen Theorie. Da wir keinen Grund zu der Annahme haben, dass die fragliche mathematische Theorie wahr ist, haben wir auch keinen Grund zu der Annahme, dass die von der (mathematischen) Theorie gesetzten Entitäten real sind. Also sollten wir noch einmal P1 ablehnen.) Der Punkt hier ist, dass, wenn der Naturalismus uns rät, uns den Einstellungen der arbeitenden Wissenschaftler in solchen Fragen anzuschließen, wir die Unentbehrlichkeit einer mathematischen Theorie in einer physikalischen Anwendung nicht als Hinweis auf die Wahrheit der mathematischen Theorie betrachten sollten. Da wir keinen Grund zu der Annahme haben, dass die fragliche mathematische Theorie wahr ist, haben wir auch keinen Grund zu der Annahme, dass die von der (mathematischen) Theorie gesetzten Entitäten real sind. Also sollten wir noch einmal P1 ablehnen.) Der Punkt hier ist, dass, wenn der Naturalismus uns rät, uns den Einstellungen der arbeitenden Wissenschaftler in solchen Fragen anzuschließen, wir die Unentbehrlichkeit einer mathematischen Theorie in einer physikalischen Anwendung nicht als Hinweis auf die Wahrheit der mathematischen Theorie betrachten sollten. Da wir keinen Grund zu der Annahme haben, dass die fragliche mathematische Theorie wahr ist, haben wir auch keinen Grund zu der Annahme, dass die von der (mathematischen) Theorie gesetzten Entitäten real sind. Also sollten wir noch einmal P1 ablehnen. Wir haben keinen Grund zu der Annahme, dass die von der (mathematischen) Theorie gesetzten Entitäten real sind. Also sollten wir noch einmal P1 ablehnen. Wir haben keinen Grund zu der Annahme, dass die von der (mathematischen) Theorie gesetzten Entitäten real sind. Also sollten wir noch einmal P1 ablehnen.

Maddys dritter Einwand ist, dass es schwierig ist zu verstehen, was arbeitende Mathematiker tun, wenn sie versuchen, unabhängige Fragen zu klären. Dies sind Fragen, die unabhängig von den Standardaxiomen der Mengenlehre sind - den ZFC-Axiomen. ^[6]Um einige dieser Fragen zu klären, wurden neue Axiomkandidaten als Ergänzung zu ZFC vorgeschlagen und Argumente zur Unterstützung dieser Kandidaten vorgebracht. Das Problem ist, dass die vorgebrachten Argumente nichts mit Anwendungen in der Physik zu tun zu haben scheinen: Sie sind typischerweise intramathematische Argumente. Nach der Unentbehrlichkeitstheorie sollten die neuen Axiome jedoch dahingehend bewertet werden, wie gut sie mit unseren derzeit besten wissenschaftlichen Theorien übereinstimmen. Das heißt, Mengen-Theoretiker sollten die neuen Axiom-Kandidaten mit einem Blick auf die neuesten Entwicklungen in der Physik bewerten. Angesichts der Tatsache, dass Mengen-Theoretiker dies nicht tun, scheint der konfirmatorische Holismus erneut eine Überarbeitung der mathematischen Standardpraxis zu befürworten, und auch dies steht laut Maddy im Widerspruch zum Naturalismus (Maddy 1992, S. 286–289).

Obwohl Maddy diesen Einwand nicht in einer Weise formuliert, die direkt mit P1 in Konflikt steht, zeigt er sicherlich eine Spannung zwischen Naturalismus und konfirmatorischem Holismus. ^[7] Und da beide zur Unterstützung von P1 erforderlich sind, wirft der Einwand indirekt Zweifel an P1 auf. Maddy befürwortet jedoch den Naturalismus und erhebt daher den Einwand, zu zeigen, dass der bestätigende Holismus falsch ist. Wir werden die Diskussion über die Auswirkungen der Ablehnung des konfirmatorischen Holismus auf das Argument der Unentbehrlichkeit verlassen, bis wir den Einwand von Sober skizzieren, da Sober zu fast der gleichen Schlussfolgerung gelangt.

Elliott Sobers Einwand hängt eng mit Maddys zweitem und drittem Einwand zusammen. Sober (1993) stellt die Behauptung in Frage, dass mathematische Theorien die empirische Unterstützung teilen, die unsere besten wissenschaftlichen Theorien liefern. Im Wesentlichen argumentiert er, dass mathematische Theorien nicht auf die gleiche Weise getestet werden wie die eindeutig empirischen Theorien der Wissenschaft. Er weist darauf hin, dass Hypothesen im Vergleich zu konkurrierenden Hypothesen bestätigt werden. Wenn also die Mathematik zusammen mit unseren besten empirischen Hypothesen bestätigt wird (wie die Unentbehrlichkeitstheorie behauptet), muss es mathematikfreie Konkurrenten geben. Sober weist jedoch darauf hin, dass alle wissenschaftlichen Theorien einen gemeinsamen mathematischen Kern verwenden. Da es keine konkurrierenden Hypothesen gibt, ist es ein Fehler zu glauben, dass die Mathematik durch empirische Beweise wie andere wissenschaftliche Hypothesen eine bestätigende Unterstützung erhält.

Dies ist an sich kein Einwand gegen P1 des Unentbehrlichkeitsarguments, wie Sober schnell betont (Sober 1993, S. 53), obwohl es einen Einwand gegen Quines Gesamtauffassung darstellt, dass Mathematik Teil der empirischen Wissenschaft ist. Wie bei Maddys drittem Einwand gibt es uns Anlass, einen bestätigenden Holismus abzulehnen. Die Auswirkung dieser Einwände auf P1 hängt davon ab, wie wichtig Ihrer Meinung nach der bestätigende Holismus für diese Prämisse ist. Sicherlich wird ein Großteil der intuitiven Anziehungskraft von P1 untergraben, wenn der Bestätigungsholismus abgelehnt wird. In jedem Fall bedeutet es, die Schlussfolgerung des Unentbehrlichkeitsarguments angesichts der Einwände von Sober oder Maddy zu unterschreiben, die Position zu vertreten, dass es zumindest zulässig ist, sich ontologisch für Unternehmen zu engagieren, die keine empirische Unterstützung erhalten. Dies, wenn nicht geradezu unhaltbar,ist sicherlich nicht im Sinne des ursprünglichen Quine-Putnam-Arguments.

5. Erklärende Versionen des Arguments

Die Argumente gegen den Holismus von Maddy und Sober führten zu einer Neubewertung des Unentbehrlichkeitsarguments. Wenn Wissenschaftler nicht alle Entitäten unserer besten wissenschaftlichen Theorien akzeptieren, wo bleiben wir dann? Wir brauchen Kriterien, wann wir Positionen realistisch behandeln können. Hier nahm die Debatte über das Argument der Unentbehrlichkeit eine interessante Wendung. Zumindest wissenschaftliche Realisten akzeptieren die Positionen unserer besten wissenschaftlichen Theorien, die zu wissenschaftlichen Erklärungen beitragen. Nach diesem Gedankengang sollten wir beispielsweise an Elektronen glauben, nicht weil sie für unsere besten wissenschaftlichen Theorien unverzichtbar sind, sondern weil sie auf ganz bestimmte Weise unverzichtbar sind: Sie sind erklärend unverzichtbar. Wenn gezeigt werden könnte, dass Mathematik auf diese Weise zu wissenschaftlichen Erklärungen beiträgt,Der mathematische Realismus wäre wieder auf dem Niveau des wissenschaftlichen Realismus. In der Tat ist dies der Schwerpunkt der meisten zeitgenössischen Diskussionen über das Argument der Unentbehrlichkeit. Die zentrale Frage lautet: Trägt die Mathematik zu wissenschaftlichen Erklärungen bei und wenn ja, tut sie dies auf die richtige Art und Weise?

Ein Beispiel dafür, wie Mathematik als erklärend angesehen werden kann, findet sich im Fall der periodischen Zikade (Yoshimura 1997 und Baker 2005). Nordamerikanische Magicicadas haben Lebenszyklen von 13 oder 17 Jahren. Einige Biologen schlagen vor, dass solche evolutionären Lebenszyklen einen evolutionären Vorteil haben. Primzahlige Lebenszyklen bedeuten, dass die Magicicadas Konkurrenz, potenzielle Raubtiere und Hybridisierung vermeiden. Die Idee ist ganz einfach: Da Primzahlen keine nicht trivialen Faktoren haben, gibt es nur sehr wenige andere Lebenszyklen, die mit einem Lebenszyklus mit Primzahlen synchronisiert werden können. Die Magicicadas haben somit eine effektive Vermeidungsstrategie, für die unter bestimmten Bedingungen ausgewählt wird. Während die vorgebrachte Erklärung die Biologie umfasst (z. B. Evolutionstheorie, Theorien des Wettbewerbs und der Raubtiere),Ein entscheidender Teil der Erklärung stammt aus der Zahlentheorie, nämlich der fundamentalen Tatsache über Primzahlen. Baker (2005) argumentiert, dass dies eine wirklich mathematische Erklärung einer biologischen Tatsache ist. Es gibt andere Beispiele für angebliche mathematische Erklärungen in der Literatur, aber dies bleibt das am häufigsten diskutierte und ist so etwas wie ein Aushängeschild für mathematische Erklärungen.

Fragen zu diesem Fall konzentrieren sich darauf, ob die Mathematik wirklich zur Erklärung beiträgt (oder ob sie nur für die biologischen Tatsachen steht und diese wirklich erklären), ob die angebliche Erklärung überhaupt eine Erklärung ist und ob Die betreffende Mathematik ist auf die richtige Art und Weise an der Erklärung beteiligt. Abschließend ist zu erwähnen, dass das jüngste Interesse an mathematischen Erklärungen zwar aus Debatten über das Argument der Unentbehrlichkeit hervorgegangen ist, der Status mathematischer Erklärungen in den empirischen Wissenschaften jedoch auch für sich genommen Interesse geweckt hat. Außerdem,Solche Erklärungen (manchmal als „extra-mathematische Erklärungen“bezeichnet) führen ganz natürlich dazu, über Erklärungen mathematischer Tatsachen nachzudenken, indem man sich auf weitere mathematische Tatsachen beruft (manchmal als „intramathematische Erklärung“bezeichnet). Diese beiden Arten der mathematischen Erklärung hängen natürlich zusammen. Wenn zum Beispiel ein Theorem der Mathematik seine Erklärung in einem erklärenden Beweis hat, dann würde jede Anwendung dieses Theorems im empirischen Bereich zu einem Anscheinsfall führen, dass die vollständige Erklärung des fraglichen empirischen Phänomens das Intra- mathematische Erklärung des Satzes. Aus diesen und anderen Gründen haben beide Arten der mathematischen Erklärung in den letzten Jahren großes Interesse bei Mathematikphilosophen und Wissenschaftsphilosophen gefunden. Diese beiden Arten der mathematischen Erklärung hängen natürlich zusammen. Wenn zum Beispiel ein Theorem der Mathematik seine Erklärung in einem erklärenden Beweis hat, dann würde jede Anwendung dieses Theorems im empirischen Bereich zu einem Anscheinsfall führen, dass die vollständige Erklärung des fraglichen empirischen Phänomens das Intra- mathematische Erklärung des Satzes. Aus diesen und anderen Gründen haben beide Arten der mathematischen Erklärung in den letzten Jahren großes Interesse bei Mathematikphilosophen und Wissenschaftsphilosophen gefunden. Diese beiden Arten der mathematischen Erklärung hängen natürlich zusammen. Wenn zum Beispiel ein Theorem der Mathematik seine Erklärung in einem erklärenden Beweis hat, dann würde jede Anwendung dieses Theorems im empirischen Bereich zu einem Anscheinsfall führen, dass die vollständige Erklärung des fraglichen empirischen Phänomens das Intra- mathematische Erklärung des Satzes. Aus diesen und anderen Gründen haben beide Arten der mathematischen Erklärung in den letzten Jahren großes Interesse bei Mathematikphilosophen und Wissenschaftsphilosophen gefunden.dann würde jede Anwendung dieses Theorems im empirischen Bereich zu einem Anscheinsfall führen, dass die vollständige Erklärung des fraglichen empirischen Phänomens die intramathematische Erklärung des Theorems beinhaltet. Aus diesen und anderen Gründen haben beide Arten der mathematischen Erklärung in den letzten Jahren großes Interesse bei Mathematikphilosophen und Wissenschaftsphilosophen gefunden.dann würde jede Anwendung dieses Theorems im empirischen Bereich zu einem Anscheinsfall führen, dass die vollständige Erklärung des fraglichen empirischen Phänomens die intramathematische Erklärung des Theorems beinhaltet. Aus diesen und anderen Gründen haben beide Arten der mathematischen Erklärung in den letzten Jahren großes Interesse bei Mathematikphilosophen und Wissenschaftsphilosophen gefunden.

6. Fazit

Es ist nicht klar, wie schädlich die obigen Kritikpunkte für das Argument der Unentbehrlichkeit sind und ob die erklärende Version des Arguments erhalten bleibt. In der Tat ist die Debatte sehr lebendig, mit vielen neueren Artikeln, die sich dem Thema widmen. (Siehe Anmerkungen zur Bibliographie weiter unten.) In engem Zusammenhang mit dieser Debatte steht die Frage, ob es noch andere vernünftige Argumente für Platonismus gibt. Wenn, wie manche glauben, das Argument der Unentbehrlichkeit das einzige Argument für einen erwägenswerten Platonismus ist, dann scheint der Platonismus in der Philosophie der Mathematik bankrott zu sein, wenn er fehlschlägt. Von Bedeutung ist dann der Status anderer Argumente für und gegen den mathematischen Realismus. In jedem Fall ist anzumerken, dass das Argument der Unentbehrlichkeit eines von wenigen Argumenten ist, die die Diskussion über die Ontologie der Mathematik dominiert haben. Es ist daher wichtig, dass dieses Argument nicht isoliert betrachtet wird.

Die beiden wichtigsten Argumente gegen den mathematischen Realismus sind das erkenntnistheoretische Problem des Platonismus - wie kommen wir zur Kenntnis kausal inerter mathematischer Einheiten? (Benacerraf 1983b) - und das Unbestimmtheitsproblem für die Reduktion von Zahlen auf Mengen - wenn Zahlen Mengen sind, welche Mengen sind sie (Benacerraf 1983a)? Neben dem Argument der Unentbehrlichkeit spricht das andere Hauptargument für den mathematischen Realismus den Wunsch nach einer einheitlichen Semantik für alle Diskurse an: mathematisch und nicht mathematisch gleichermaßen (Benacerraf 1983b). Der mathematische Realismus begegnet dieser Herausforderung natürlich leicht, da er die Wahrheit mathematischer Aussagen genauso erklärt wie in anderen Bereichen. ^[8] Es ist jedoch nicht so klar, wie der Nominalismus eine einheitliche Semantik liefern kann.

Abschließend ist hervorzuheben, dass das Scheitern dieses Arguments nicht unbedingt den Nominalismus autorisiert, auch wenn das Argument der Unentbehrlichkeit das einzig gute Argument für den Platonismus ist, da auch letzteres möglicherweise nicht unterstützt wird. Es scheint jedoch fair zu sein zu sagen, dass eines der wichtigsten Argumente für den Platonismus untergraben wird, wenn die Einwände gegen das Argument der Unentbehrlichkeit aufrechterhalten werden. Dies würde den Platonismus auf ziemlich wackeligem Boden lassen.

Literaturverzeichnis

Obwohl das Argument der Unentbehrlichkeit an vielen Stellen in Quines Schriften zu finden ist (einschließlich 1976; 1980a; 1980b; 1981a; 1981c), ist der locus classicus Putnams kurze Monographie Philosophy of Logic (als Kapitel der zweiten Ausgabe des dritten Bandes enthalten) seiner gesammelten Papiere (Putnam, 1979b)). Siehe auch Putnam (1979a) und die Einführung von Field (1989), die einen hervorragenden Überblick über das Argument bietet. Colyvan (2001) ist eine nachhaltige Verteidigung des Arguments.

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Für Varianten des Quinean Unentbehrlichkeitsarguments siehe Maddy (1992) und Resnik (1995a).

In jüngster Zeit wurde viel Literatur zur erklärenden Version des Unentbehrlichkeitsarguments veröffentlicht. Frühe Darstellungen eines solchen Arguments finden sich in Colyvan (1998b; 2002) und am explizitesten in Baker (2005), obwohl diese Arbeit von Steiner (1978a; 1978b) zur mathematischen Erklärung und Smart zur geometrischen Erklärung (1990) vorweggenommen wurde. Einige der wichtigsten Artikel zur erläuternden Version des Arguments sind Baker (2005; 2009; 2012; 2017), Bangu (2008; 2013), Baron (2014), Batterman (2010), Bueno und French (2012), Colyvan (2002; 2010; 2012; 2018), Lyon (2012), Rizza (2011), Saatsi (2011; 2016) und Yablo (2012).

Aus dieser Debatte über die Rolle der mathematischen Erklärung in Unentbehrlichkeitsargumenten ist ein erneutes Interesse an der mathematischen Erklärung um ihrer selbst willen entstanden. Dies beinhaltet Arbeiten zur Vereinbarkeit von mathematischen Erklärungen in der Wissenschaft mit anderen Formen der wissenschaftlichen Erklärung sowie zur Untersuchung von Erklärungen in der Mathematik selbst. Einige dieser Arbeiten umfassen: Baron (2016) Baron et al. (2017), Colyvan et al. (2018), Lange (2017), Mancosu (2008) und Pincock (2011).

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