Konstruktive Mathematik

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Konstruktive Mathematik

Erstveröffentlichung Di 18.11.1997; inhaltliche Überarbeitung Mi 30. Mai 2018

Die konstruktive Mathematik unterscheidet sich von ihrem traditionellen Gegenstück, der klassischen Mathematik, durch die strikte Interpretation des Ausdrucks „es gibt“als „wir können konstruieren“. Um konstruktiv arbeiten zu können, müssen wir nicht nur den existenziellen Quantifizierer, sondern alle logischen Konnektiva und Quantifizierer als Anweisungen zur Erstellung eines Beweises für die Aussage mit diesen logischen Ausdrücken neu interpretieren.

In diesem Artikel stellen wir die moderne konstruktive Mathematik vor, die auf der BHK-Interpretation der logischen Konnektiva und Quantifizierer basiert. Wir diskutieren vier Hauptvarianten der konstruktiven Mathematik, wobei der Schwerpunkt auf den beiden Varietäten von Errett Bishop und Per Martin-Löf liegt, die als minimale konstruktive Systeme angesehen werden können. Anschließend skizzieren wir Fortschritte in der (informellen) konstruktiven Umkehrmathematik, einem Forschungsprogramm zur Identifizierung von Prinzipien wie Brouwers Fan-Theorem, das zusätzlich zu den minimalen konstruktiven Varietäten den Nachweis wichtiger analytischer Theoreme erleichtert. Nach einer kurzen Diskussion über konstruktive Algebra, Wirtschaft und Finanzen endet der Eintrag mit zwei Anhängen: einem zu bestimmten logischen Prinzipien, die in der klassischen, intuitionistischen und rekursiven Mathematik gelten und die Bishop hinzugefügt wurden.s konstruktive Mathematik den Nachweis bestimmter nützlicher Theoreme der Analyse erleichtern; und eine, die Ansätze für eine konstruktive Entwicklung der allgemeinen Topologie diskutiert.

  • 1. Einleitung
  • 2. Die konstruktive Interpretation von Logik
  • 3. Sorten konstruktiver Mathematik

    • 3.1 Intuitionistische Mathematik
    • 3.2 Rekursive Konstruktive Mathematik
    • 3.3 Konstruktive Mathematik des Bischofs
    • 3.4 Martin-Löfs konstruktive Typentheorie
  • 4. Das Axiom der Wahl
  • 5. Konstruktive Umkehrmathematik

    5.1 Fan-Theoreme in CRM

  • 6. Konstruktive Topologie
  • 7. Konstruktive mathematische Wirtschaft und Finanzen
  • 8. Schlussbemerkungen
  • Literaturverzeichnis

    • Verweise
    • Ähnliche Literatur
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Einleitung

Bevor Mathematiker etwas (außer einem Axiom) behaupten, sollen sie es als wahr erwiesen haben. Was bedeuten Mathematiker dann, wenn sie eine Disjunktion (P / vee Q) behaupten, wobei (P) und (Q) syntaktisch korrekte Aussagen in einer (formalen oder informellen) mathematischen Sprache sind? Eine natürliche - obwohl, wie wir sehen werden, nicht einzigartige - Interpretation dieser Disjunktion ist, dass nicht nur (mindestens) eine der Aussagen (P, Q) gilt, sondern wir auch entscheiden können, welche gilt. So wie Mathematiker (P) nur dann behaupten, wenn sie entschieden haben, dass (P) durch Beweis gilt, können sie (P / vee Q) nur dann behaupten, wenn sie entweder einen Beweis von (P) vorlegen können) oder erzeugen Sie eines von (Q).

Bei dieser Interpretation stoßen wir jedoch auf ein ernstes Problem in dem speziellen Fall, in dem (Q) die Negation (neg P) von (P) ist. (Neg P) zu behaupten bedeutet zu zeigen, dass (P) einen Widerspruch impliziert (wie (0 = 1)). Aber es wird oft sein, dass Mathematiker weder einen Beweis von (P) noch einen von (neg P) haben. Um dies zu sehen, müssen wir nur über die folgende Goldbach-Vermutung (GC) nachdenken:

Jede gerade ganze Zahl (gt 2) kann als Summe von zwei Primzahlen geschrieben werden.

Dies bleibt trotz der besten Bemühungen vieler führender Mathematiker seit seiner erstmaligen Erwähnung in einem Brief von Goldbach an Euler im Jahr 1742 weder bewiesen noch widerlegt. Wir sind gezwungen, daraus zu schließen, dass P (vee Q), nur ein hartnäckiger Optimist kann an das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte (LEM) glauben:

Für jede Anweisung (P) gilt entweder (P) oder (neg P).

Die klassische Logik umgeht dies, indem sie die Interpretation der Disjunktion erweitert: Sie interpretiert (P / vee Q) als (neg (neg P / wedge / neg Q)) oder mit anderen Worten: „Es ist widersprüchlich, dass sowohl (P) als auch (Q) sind falsch”. Dies führt wiederum zu einer idealistischen Interpretation der Existenz, in der (existiert xP (x)) (neg / für alle x / neg P (x)) bedeutet („es ist widersprüchlich, dass (P (x)) sei für jedes (x) falsch”). Auf diesen Interpretationen von Disjunktion und Existenz haben Mathematiker das große und anscheinend uneinnehmbare Gebäude der klassischen Mathematik aufgebaut, das eine Grundlage für die physikalischen, sozialen und (zunehmend) biologischen Wissenschaften bildet. Die umfassenderen Interpretationen sind jedoch mit Kosten verbunden: Wenn wir beispielsweise von unserer anfänglichen natürlichen Interpretation von (P / vee Q) zur uneingeschränkten Verwendung der idealistischen übergehen,(neg (neg P / wedge / neg Q)) kann die resultierende Mathematik im Allgemeinen nicht in Rechenmodellen wie der rekursiven Funktionstheorie interpretiert werden.

Dieser Punkt wird durch ein abgenutztes Beispiel veranschaulicht, den Satz:

Es gibt irrationale Zahlen (a, b), so dass (a ^ b) rational ist.

Ein guter klassischer Beweis lautet wie folgt. Entweder ist (sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) rational. In diesem Fall nehmen wir (a = b = / sqrt {2}); oder (sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) ist irrational. In diesem Fall nehmen wir (a = / sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) und (b = / sqrt {2}) (siehe Dummett 1977 [2000], 6). Mit diesem Beweis können wir jedoch nicht genau bestimmen, welche der beiden Auswahlmöglichkeiten des Paares ((a, b)) die erforderliche Eigenschaft hat. Um die richtige Wahl von ((a, b)) zu bestimmen, müssten wir entscheiden, ob (sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) rational oder irrational ist, was genau zu ist Verwenden Sie unsere anfängliche Interpretation der Disjunktion mit (P). Die Aussage "(sqrt {2} ^ { sqrt {2}}) ist rational".

Hier ist eine weitere Illustration des Unterschieds zwischen Interpretationen. Betrachten Sie die folgende einfache Aussage über die Menge (bR) reeller Zahlen:

) tag {*} forall x / in / bR (x = 0 / vee x / ne 0),)

wobei aus Gründen, die wir kurz preisgeben, (x / ne 0) bedeutet, dass wir eine rationale Zahl (r) mit (0 / lt r / lt / abs {x}) finden können. Eine natürliche rechnerische Interpretation von (*) ist, dass wir eine Prozedur haben, die, angewendet auf eine beliebige reelle Zahl (x), entweder sagt, dass (x = 0) oder uns sagt, dass (x / ne 0)). (Zum Beispiel könnte eine solche Prozedur 0 ausgeben, wenn (x = 0), und 1, wenn (x / ne 0).) Da der Computer jedoch reelle Zahlen nur mit endlichen rationalen Näherungen verarbeiten kann, verwenden wir das Problem des Unterlaufs haben, bei dem eine ausreichend kleine positive Zahl vom Computer als 0 falsch gelesen werden kann; Es kann also kein Entscheidungsverfahren geben, das die Aussage rechtfertigt (*). Mit anderen Worten, wir können nicht erwarten, dass (*) unter unserer natürlichen rechnerischen Interpretation des Quantifizierers (forall) und des Konnektivs (vee) bleibt.

Lassen Sie uns dies aus einem anderen Blickwinkel untersuchen. Sei (G (n)) eine Abkürzung für die Aussage "(2n + 2) ist eine Summe von zwei Primzahlen", wobei (n) über den positiven ganzen Zahlen liegt, und definiere eine unendliche binäre Folge (ba = (a_1, a_2, / ldots)) wie folgt:

[a_n = / begin {case} 0 & / text {if} G (n) text {gilt für alle} k / le n \\ 1 & / text {if} neg G (n) text {gilt für einige} k / le n \\ / end {Fälle})

Es steht außer Frage, dass (ba) eine rechnerisch genau definierte Sequenz ist, in dem Sinne, dass wir für jedes (n) einen Algorithmus zur Berechnung von (a_n) haben: Überprüfen Sie die geraden Zahlen (4, 6,8, / ldots, 2n + 2), um zu bestimmen, ob jede von ihnen eine Summe von zwei Primzahlen ist; in diesem Fall setze (a_n = 0) und im gegenteiligen Fall setze (a_n = 1). Betrachten Sie nun die reelle Zahl, deren (n) -te Binärziffer (a_n) ist:

) begin {align *} x & = (0 / cdot a_1 a_2 / cdots) _ {2} & = 2 ^ {- 1} a_1 + 2 ^ {- 2} a_2 + / cdots \& = / sum_ {n = 1} ^ { infty} 2 ^ {- n} a_n. / end {align *})

Wenn (*) unter unserer rechnerischen Interpretation gilt, können wir zwischen den folgenden zwei Alternativen entscheiden:

  • (2 ^ {- 1} a_1 + 2 ^ {- 2} a_2 + / cdots = 0), was impliziert, dass (a_n = 0) für jedes (n);
  • wir können eine positive ganze Zahl (N) finden, so dass (2 ^ {- 1} a_1 + 2 ^ {- 2} a_2 + / cdots / gt 2 ^ {- N}).

Im letzteren Fall können wir durch Testen von (a_1, / ldots, a_N) (n / le N) so finden, dass (a_n = 1). Die rechnerische Interpretation von (*) ermöglicht es uns daher zu entscheiden, ob es (n) gibt, so dass (a_n = 1); Mit anderen Worten, es ermöglicht uns, den Status der Goldbach-Vermutung zu bestimmen. Ein Beispiel dieser Art, das zeigt, dass ein konstruktiver Beweis eines klassischen Ergebnisses (P) es uns ermöglichen würde, die Goldbach-Vermutung (und durch ähnliche Argumente viele andere bisher offene Probleme wie die Riemann-Hypothese) zu lösen, wird genannt ein Brouwer'sches Beispiel für oder sogar ein Brouwer'sches Gegenbeispiel zu der Aussage (P) (obwohl es kein Gegenbeispiel im normalen Sinne dieses Wortes ist).

Die Verwendung der Goldbach-Vermutung ist hier rein dramatisch. Denn das Argument des vorhergehenden Absatzes kann geändert werden, um zu zeigen, dass (*) nach unserer rechnerischen Interpretation das begrenzte Prinzip der Allwissenheit (LPO) impliziert:

Für jede Binärsequenz ((a_1, a_2, / ldots)) entweder (a_n = 0) für alle (n) oder es existiert (n), so dass (a_n = 1), Dies wird im Allgemeinen aus mehreren Gründen als im Wesentlichen nicht konstruktives Prinzip angesehen. Erstens seine rekursive Interpretation, Es gibt einen rekursiven Algorithmus, der, angewendet auf jede rekursiv definierte Binärsequenz ((a_1, a_2, / ldots)), 0 if (a_n = 0) für alle (n) und 1 if / ausgibt (a_n = 1) für einige (n), ist innerhalb der rekursiven Funktionstheorie selbst mit klassischer Logik nachweislich falsch (siehe Bridges & Richman [1987], Kapitel 3); Wenn wir also eine rekursive Interpretation all unserer Mathematik zulassen wollen, können wir LPO nicht verwenden. Zweitens gibt es eine Modelltheorie (Kripke-Modelle), in der gezeigt werden kann, dass LPO nicht konstruktiv ableitbar ist (Bridges & Richman [1987], Kapitel 7).

2. Die konstruktive Interpretation von Logik

Es sollte inzwischen klar sein, dass eine vollblütige rechnerische Entwicklung der Mathematik die idealistischen Interpretationen von Disjunktion und Existenz, von denen die meisten klassischen Mathematiken abhängen, nicht zulässt. Um konstruktiv arbeiten zu können, müssen wir von den klassischen Interpretationen zu den natürlichen konstruktiven zurückkehren:

(vee) (oder): Um (P / vee Q) zu beweisen, müssen wir entweder einen Beweis von (P) oder einen Beweis von (Q) haben.
(wedge) (und): Um (P / Wedge Q) zu beweisen, müssen wir sowohl einen Beweis von (P) als auch einen Beweis von (Q) haben.
(Rightarrow) (impliziert): Ein Beweis von (P / rightarrow Q) ist ein Algorithmus, der jeden Beweis von (P) in einen Beweis von (Q) umwandelt.
(neg) (nicht): Um (neg P) zu beweisen, müssen wir zeigen, dass (P) (0 = 1) impliziert.
(existiert) (es existiert): Um zu beweisen, dass (existiert xP (x)), müssen wir ein Objekt (x) konstruieren und beweisen, dass (P (x)) gilt.
(forall) (für jeden / alle): Ein Beweis von (forall x / in SP (x)) ist ein Algorithmus, der, angewendet auf ein beliebiges Objekt (x) und auf die Daten, die beweisen, dass (x / in S) beweist, dass (P. (x)) gilt.

Diese BHK-Interpretationen (der Name spiegelt ihren Ursprung in der Arbeit von Brouwer, Heyting und Kolmogorov wider) können mit Kleenes Begriff der Realisierbarkeit präzisiert werden; siehe (Dummett [1977/2000], 222–234; Beeson [1985], Kapitel VII).

Nach was für Dingen suchen wir, wenn wir es ernst meinen, die Mathematik so zu entwickeln, dass, wenn ein Satz die Existenz eines Objekts (x) mit einer Eigenschaft (P) behauptet, der Beweis des Satzes verkörpert Algorithmen zum Konstruieren von (x) und zum Demonstrieren, durch welche Berechnungen auch immer, dass (x) die Eigenschaft (P) hat. Hier einige Beispiele für Theoreme, denen jeweils eine informelle Beschreibung der Anforderungen an den konstruktiven Beweis folgt.

  1. Für jede reelle Zahl (x) entweder (x = 0) oder (x / ne 0). Beweisanforderung: Ein Algorithmus, der auf eine gegebene reelle Zahl (x) angewendet wird, entscheidet, ob (x = 0) oder (x / ne 0). Beachten Sie, dass der Algorithmus, um diese Entscheidung zu treffen, möglicherweise nicht nur die Daten verwendet, die (x) beschreiben, sondern auch die Daten, die zeigen, dass (x) tatsächlich eine reelle Zahl ist.
  2. Jede nicht leere Teilmenge (S) von (bR), die oben begrenzt ist, hat eine kleinste Obergrenze.

    Beweisanforderung: Ein Algorithmus, der auf eine Menge (S) reeller Zahlen, ein Mitglied (s) von (S) und eine Obergrenze für (S) angewendet wird.

    1. berechnet ein Objekt (b) und zeigt, dass (b) eine reelle Zahl ist;
    2. zeigt, dass (x / le b) für jedes (x / in S); und
    3. berechnet bei gegebener reeller Zahl (b '\ lt b) ein Element (x) von (S) so, dass (x / gt b').
  3. Wenn (f) eine kontinuierliche reelle Abbildung auf das geschlossene Intervall ([0,1]) ist, so dass (f (0) cdot f (1) lt 0), dann existiert (x) so dass (0 / lt x / lt 1) und (f (x) = 0).

    Beweisanforderung: Ein Algorithmus, der auf die Funktion (f), einen Kontinuitätsmodul für (f) und die Werte (f (0)) und (f (1)) angewendet wird.

    1. berechnet ein Objekt (x) und zeigt, dass (x) eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist; und
    2. zeigt, dass (f (x) = 0).
  4. Wenn (f) eine kontinuierliche reelle Abbildung auf das geschlossene Intervall ([0,1]) ist, so dass (f (0) cdot f (1) lt 0), dann für jedes (varepsilon / gt 0) gibt es (x), so dass (0 / lt x / lt 1) und (abs {f (x)} lt / varepsilon).

    Beweisanforderung: Ein Algorithmus, der auf die Funktion (f) einen Kontinuitätsmodul für (f), die Werte (f (0)) und (f (1)) und a anwendet positive Zahl (varepsilon),

    1. berechnet ein Objekt (x) und zeigt, dass (x) eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ist; und
    2. zeigt, dass (abs {f (x)} lt / varepsilon).

Wir haben bereits Gründe zu bezweifeln, dass (A) einen konstruktiven Beweis hat. Wenn die Beweisanforderungen für (B) erfüllt werden können, können wir bei jeder mathematischen Aussage (P) unseren Beweis von (B) anwenden, um eine rationale Annäherung (z) an das Supremum (Sigma) zu berechnen) des Sets

[S = {0 } cup {x / in / bR: P / wedge x = 1 })

mit dem Fehler (lt / bfrac {1} {4}). Wir können dann bestimmen, ob (z / gt / bfrac {1} {4}), in welchem Fall (sigma / gt 0) oder (z / lt / bfrac {3} {4}), wenn (sigma / lt 1). Im ersten Fall existiert (x / in S) mit (x / gt 0), also müssen wir (x = 1) und daher (P) haben. Im Fall (sigma / lt 1) haben wir (neg P). Somit impliziert (B) das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte.

In Bishops konstruktiver Theorie der reellen Zahlen, die auf Cauchy-Sequenzen mit einer vorab zugewiesenen Konvergenzrate basiert, können wir jedoch das folgende konstruktive Prinzip der kleinsten Obergrenze beweisen:

Sei (S) eine nicht leere Teilmenge von (bR), die oben begrenzt ist. Dann hat (S) genau dann eine kleinste Obergrenze, wenn sie sich in der oberen Ordnung befindet, in dem Sinne, dass für alle reellen Zahlen (alpha, / beta) mit (alpha / lt / beta) entweder ist (beta) eine Obergrenze für (S) oder es existiert (x / in S) mit (x / gt / alpha) (Bishop & Bridges [1985], p. 37, Satz (4.3)).

Nebenbei erwähnen wir eine alternative Entwicklung der konstruktiven Theorie von (bR) basierend auf Intervallarithmetik; siehe Kapitel 2 von Bridges & Vîță [2006].

Jede der klassisch äquivalenten Aussagen (C) und (D) ist eine Version des Zwischenwertsatzes. In diesen Aussagen ist ein Kontinuitätsmodul für (f) eine Menge (Omega) geordneter Paare ((varepsilon, / delta)) positiver reeller Zahlen mit den folgenden zwei Eigenschaften:

  • Für jedes (varepsilon / gt 0) existiert (delta / gt 0), so dass ((varepsilon, / delta) in / Omega)
  • für jedes ((varepsilon, / delta) in / Omega) und für alle (x, y / in [0,1]) mit (abs {x - y} lt / delta) haben wir (abs {f (x) - f (y)} lt / varepsilon).

Aussage (C) beinhaltet ein weiteres im Wesentlichen nicht konstruktives Prinzip, das weniger begrenzte Prinzip der Allwissenheit (LLPO):

Für jede Binärsequenz ((a_1, a_2, / ldots)) mit höchstens einem Term gleich 1 entweder (a_n = 0) für alle geraden (n) oder sonst (a_n = 0) für alle ungeraden (n).

Aussage (D), eine schwache Form von (C), kann konstruktiv unter Verwendung eines Intervallhalbierungsarguments eines Standardtyps bewiesen werden. Der folgende stärkere konstruktive Zwischenwertsatz, der für die meisten praktischen Zwecke ausreicht, wird unter Verwendung eines ungefähren Intervallhalbierungsarguments bewiesen:

Sei (f) eine kontinuierliche reelle Abbildung auf das geschlossene Intervall ([0,1]), so dass (f (0) cdot f (1) lt 0). Nehmen wir auch an, dass (f) lokal ungleich Null ist, in dem Sinne, dass für jedes (x / in [0,1]) und jedes (r / gt 0) (y) existiert, so dass (abs {x - y} lt r) und (f (y) ne 0). Dann existiert (x), so dass (0 / lt x / lt 1) und (f (x) = 0).

Die Situation des Zwischenwertsatzes ist typisch für viele in der konstruktiven Analyse, wo wir einen klassischen Satz mit mehreren konstruktiven Versionen finden, von denen einige oder alle nach klassischer Logik äquivalent sein können.

Es gibt ein Allwissenheitsprinzip, dessen konstruktiver Status weniger klar ist als der von LPO und LLPO - nämlich Markovs Prinzip (MP):

Wenn es für jede Binärsequenz ((a_n)) widersprüchlich ist, dass alle Terme (a_n) gleich 0 sind, existiert ein Term gleich 1.

Dieses Prinzip entspricht einer Reihe einfacher klassischer Sätze, darunter die folgenden:

  • Wenn es für jede reelle Zahl (x) widersprüchlich ist, dass (x) gleich 0 ist, dann (x / ne 0) (in dem zuvor erwähnten Sinne).
  • Wenn es für jede reelle Zahl (x) widersprüchlich ist, dass (x) gleich 0 ist, existiert (y / in / bR), so dass (xy = 1).
  • Wenn für jede Eins-Eins-kontinuierliche Zuordnung (f: [0,1] rechter Pfeil / bR) (x / ne y), dann (f (x) ne f (y)).

Markovs Prinzip stellt eine unbegrenzte Suche dar: Wenn Sie den Beweis haben, dass alle Begriffe (a_n) 0 sind, führt dies zu einem Widerspruch, indem Sie die Begriffe (a_1, a_2, a_3, / ldots) nacheinander testen garantiert auf einen Begriff von 1 stoßen; Diese Garantie erstreckt sich jedoch nicht auf die Zusicherung, dass Sie den gewünschten Begriff vor dem Ende des Universums finden. Die meisten Praktiker der konstruktiven Mathematik betrachten Markovs Prinzip zumindest misstrauisch, wenn nicht geradezu ungläubig. Solche Ansichten werden durch die Beobachtung untermauert, dass es ein Kripke-Modell gibt, das zeigt, dass MP nicht konstruktiv ableitbar ist (Bridges & Richman [1987], 137–138.)

3. Sorten konstruktiver Mathematik

Der Wunsch, die Möglichkeit einer rechnerischen Interpretation beizubehalten, ist eine Motivation für die Verwendung der konstruktiven Neuinterpretationen der oben angegebenen logischen Konnektiva und Quantifizierer. aber es ist nicht gerade die Motivation der Pioniere des Konstruktivismus in der Mathematik. In diesem Abschnitt betrachten wir einige der verschiedenen Ansätze des Konstruktivismus in der Mathematik in den letzten 130 Jahren.

3.1 Intuitionistische Mathematik

Im späten neunzehnten Jahrhundert hatten bestimmte Personen - insbesondere Kronecker und Poincaré - Zweifel an den idealistischen, nicht konstruktiven Methoden einiger ihrer Zeitgenossen geäußert oder diese sogar missbilligt. In den polemischen Schriften von LEJ Brouwer (1881–1966), beginnend mit seiner Amsterdamer Doktorarbeit Brouwer [1907] und in den nächsten siebenundvierzig Jahren, sind es die Grundlagen eines präzisen, systematischen Ansatzes für die konstruktive Mathematik wurde gelegt. In Brouwers Philosophie, bekannt als Intuitionismus, ist Mathematik eine freie Schöpfung des menschlichen Geistes, und ein Objekt existiert genau dann, wenn es (mental) konstruiert werden kann. Wenn man diese philosophische Haltung einnimmt, wird man unaufhaltsam von der vorstehenden konstruktiven Interpretation der logischen Konnektiva und Quantifizierer angezogen:denn wie könnte ein Beweis für die Unmöglichkeit der Nichtexistenz eines bestimmten Objekts (x) eine mentale Konstruktion von (x) beschreiben?

Brouwer war nicht der klarste Vertreter seiner Ideen, wie das folgende Zitat zeigt:

Mathematik entsteht, wenn das Thema der Zweiheit, das sich aus dem Lauf der Zeit ergibt, von allen besonderen Ereignissen abstrahiert wird. Die verbleibende leere Form [das Verhältnis von (n) zu (n + 1)] des gemeinsamen Inhalts all dieser beiden Wesen wird zur ursprünglichen Intuition der Mathematik und schafft unbegrenzt wiederholt neue mathematische Fächer. (zitiert in Kline [1972], 1199–2000)

Eine moderne Version von Brouwers Ansicht wurde von Errett Bishop (Bishop [1967], S. 2) gegeben:

Das Hauptanliegen der Mathematik ist die Zahl, und dies bedeutet die positiven ganzen Zahlen. Wir empfinden die Zahl so wie Kant den Raum. Die positiven ganzen Zahlen und ihre Arithmetik werden von der Natur unserer Intelligenz vorausgesetzt, und wir sind versucht zu glauben, von der Natur der Intelligenz im Allgemeinen. Die Entwicklung der positiven ganzen Zahlen aus dem primitiven Konzept der Einheit, dem Konzept der Anschließung einer Einheit und dem Prozess der mathematischen Induktion ist völlig überzeugt. Nach den Worten von Kronecker wurden die positiven ganzen Zahlen von Gott geschaffen.

So dunkel Brouwers Schriften auch sein mögen, eines war immer klar: Für ihn hatte die Mathematik Vorrang vor der Logik. Man könnte sagen, wie Hermann Weyl es in der folgenden Passage getan hat, dass Brouwer die klassische Mathematik als fehlerhaft in der Verwendung der klassischen Logik ohne Bezugnahme auf die zugrunde liegende Mathematik ansah:

Nach [Brouwers] Ansicht und Lesart der Geschichte wurde die klassische Logik von der Mathematik endlicher Mengen und ihrer Teilmengen abstrahiert. … Da man diesen begrenzten Ursprung vergaß, verwechselte man diese Logik später mit etwas über und vor aller Mathematik und wandte sie schließlich ohne Begründung auf die Mathematik unendlicher Mengen an. Dies ist der Fall und die Erbsünde der Mengenlehre, für die sie zu Recht von den Antinomien bestraft wird. Es ist nicht überraschend, dass solche Widersprüche aufgetaucht sind, sondern dass sie zu einem so späten Zeitpunkt des Spiels aufgetaucht sind. (Weyl [1946])

Insbesondere führte dieser Missbrauch der Logik zu nichtkonstruktiven Existenzbeweisen, die nach Weyls Worten „die Welt darüber informieren, dass ein Schatz existiert, ohne seinen Standort preiszugeben“.

Um die vom intuitionistischen Mathematiker verwendete Logik zu beschreiben, mussten zunächst die mathematischen Prozesse des Geistes analysiert werden, aus denen die Logik extrahiert werden konnte. 1930 veröffentlichte Brouwers berühmtester Schüler, Arend Heyting, eine Reihe formaler Axiome, die die vom Intuitionisten verwendete Logik so klar charakterisieren, dass sie allgemein als Axiome für intuitionistische Logik bekannt geworden sind (Heyting [1930]). Diese Axiome haben die informelle BHK-Interpretation der Konnektiva und Quantifizierer erfasst, die wir zuvor angegeben haben.

Die intuitionistische Mathematik unterscheidet sich von anderen Arten der konstruktiven Mathematik in ihrer Interpretation des Begriffs „Sequenz“. Normalerweise wird eine Sequenz in der konstruktiven Mathematik durch eine Regel gegeben, die im Voraus festlegt, wie jeder ihrer Begriffe konstruiert werden soll. Man kann sagen, dass eine solche Sequenz gesetzmäßig oder vorbestimmt ist. Brouwer verallgemeinerte diesen Begriff einer Sequenz, um die Möglichkeit einzuschließen, die Begriffe einzeln zu konstruieren, wobei die Wahl jedes Begriffs frei getroffen werden kann oder nur bestimmten im Voraus festgelegten Einschränkungen unterliegt. Die meisten Manipulationen von Sequenzen erfordern nicht, dass sie vorbestimmt sind, und können an diesen allgemeineren Sequenzen freier Wahl durchgeführt werden.

Für den Intuitionisten muss also eine reelle Zahl (bx = (x_1, x_2, / ldots)) - im Wesentlichen eine Cauchy-Folge rationaler Zahlen - nicht durch eine Regel gegeben werden: ihre Terme (x_1, x_2, / ldots) sind einfach rationale Zahlen, die nacheinander konstruiert werden und nur einer Art Cauchy-Beschränkung unterliegen, wie der folgenden, die von Bischof [1967] verwendet wird:

) forall m / forall n / left) abs {x_m - x_n} le / left (frac {1} {m} + / frac {1} {n} right) right])

Sobald Sequenzen der freien Wahl in die Mathematik aufgenommen wurden, sind dies, vielleicht zu seiner anfänglichen Überraschung, bestimmte Prinzipien der starken Wahl. Sei (P) eine Teilmenge von (bN ^ { bN} times / bN) (wobei (bN) die Menge natürlicher Zahlen bezeichnet und für Mengen (A) und (B, B ^ A) bezeichnet die Menge der Zuordnungen von (A) zu (B)) und nimmt an, dass für jedes (ba / in / bN ^ { bN}) existiert. (n / in / bN) so dass ((ba, n) in P). Aus konstruktiver Sicht bedeutet dies, dass wir eine auf Sequenzen anwendbare Prozedur haben, die (n) für jedes gegebene (ba) berechnet. Laut Brouwer ist die Konstruktion eines Elements von (bN ^ { bN}) für immer unvollständig: Eine generische Sequenz (ba) ist rein erweiterungsfähig, in dem Sinne, dass wir zu jedem Zeitpunkt nichts wissen können über (ba) anders als eine endliche Menge seiner Begriffe. Daraus folgt, dass unsere Prozedur in der Lage sein muss, aus einer endlichen Anfangssequenz ((a_0, / ldots, a_N)) von Begriffen von (ba) eine natürliche Zahl (n) zu berechnen, so dass (P (ba, n)). Wenn (bb / in / bN ^ { bN}) eine beliebige Sequenz ist, so dass (b_ {k} = a_ {k}) für (0 / le k / le N), dann unsere Prozedur muss für (bb) dasselbe (n) zurückgeben wie für (ba). Dies bedeutet, dass (n) eine stetige Funktion von (ba) in Bezug auf die durch die Metrik gegebene Topologie auf (bN ^ { bN}) istDies bedeutet, dass (n) eine stetige Funktion von (ba) in Bezug auf die durch die Metrik gegebene Topologie auf (bN ^ { bN}) istDies bedeutet, dass (n) eine stetige Funktion von (ba) in Bezug auf die durch die Metrik gegebene Topologie auf (bN ^ { bN}) ist

) varrho: (ba, / bb) rightsquigarrow / inf {2 ^ {- n}: a_k = b_k / text {für} 0 / le k / le n }.)

Wir werden daher zu dem folgenden Prinzip der kontinuierlichen Wahl geführt, das wir in einen Kontinuitätsteil und einen Auswahlteil unterteilen.

CC1: Jede Funktion von (bN ^ { bN}) bis (bN) ist kontinuierlich.

CC2: Wenn (P / subseteq / bN ^ { bN} times / bN) und für jedes (ba / in / bN ^ { bN}) (n / in / bN) existiert) so dass ((ba, n) in P), dann gibt es eine Funktion (f: / bN ^ { bN} rightarrow / bN), so dass ((ba, f (ba)) in P) für alle (ba / in / bN ^ { bN}).

Wenn (P) und (f) wie in CC2 sind, dann sagen wir, dass (f) eine Auswahlfunktion für (P) ist.

Die Allwissenheitsprinzipien LPO und LLPO sind unter den Hypothesen CC1–2 nachweislich falsch; aber MP stimmt damit überein. Zu den bemerkenswerten Konsequenzen von CC1–2 gehören die folgenden.

  • Jede Funktion von (bN ^ { bN}) oder (2 ^ { bN}) bis zu einem metrischen Raum ist punktweise stetig.
  • Jede Zuordnung von einem nicht leeren, vollständig trennbaren Metrikraum zu einem Metrikraum ist punktweise kontinuierlich.
  • Jede Karte von der realen Linie (bR) zu sich selbst ist punktweise kontinuierlich.
  • Sei (X) ein vollständig trennbarer normierter Raum, (Y) ein normierter Raum und ((u_n)) eine Folge linearer Abbildungen von (X) bis (Y), so dass z jeder Einheitsvektor (x) von (X),) phi (x) = / sup { Vert u_n (x) rVert: n / in / bN }) existiert. Dann existiert (c / gt 0), so dass (lVert u_n (x) rVert / le c) für alle (n / in / bN) und alle Einheitsvektoren (x) von (X) (Prinzip der einheitlichen Begrenzung).

Jede dieser Aussagen scheint bekannten klassischen Theoremen zu widersprechen. Der Vergleich mit der klassischen Mathematik sollte jedoch nicht oberflächlich erfolgen: Um zu verstehen, dass es hier keinen wirklichen Widerspruch gibt, müssen wir verstehen, dass die Bedeutung von Begriffen wie „Funktion“und sogar „reelle Zahl“in der intuitionistischen Mathematik ganz anders ist davon in der klassischen Umgebung. (In der Praxis kann intuitionistische Mathematik nicht einfach und direkt mit klassischer Mathematik verglichen werden.)

Brouwers Selbstbeobachtung über die Natur der Funktionen und das Kontinuum führte ihn zu einem zweiten Prinzip, das im Gegensatz zu dem der kontinuierlichen Wahl klassisch gültig ist. Dieses Prinzip erfordert etwas mehr Hintergrund für seine Erklärung.

Für jede Menge (S) bezeichnen wir mit (S ^ *) die Menge aller endlichen Folgen von Elementen von (S), einschließlich der leeren Folge (()). Wenn sich (alpha = (a_1, / ldots, a_n)) in (S ^ *) befindet, wird (n) als Länge von (alpha) bezeichnet und mit (bezeichnet abs { alpha}). Wenn (m / in / bN) und (alpha) eine endliche oder unendliche Folge in (S) mit einer Länge von mindestens (m) ist, dann bezeichnen wir mit (bar { alpha} (m)) die endliche Folge, die aus den ersten (m) Termen von (alpha) besteht. Beachten Sie, dass (bar { alpha} (0) = ()) und (abs { bar { alpha} (0)}) = 0. Wenn (alpha / in S ^ *) und (beta = / bar { alpha} (m)) für einige (m), sagen wir, dass (alpha) eine Erweiterung von ist (beta), und das (beta) ist eine Einschränkung von (alpha).

Eine Teilmenge (sigma) von (S) soll ablösbar sein (von (S)), wenn

) forall x / in S (x / in / sigma / vee x / not / in / sigma).)

Eine abnehmbare Teilmenge (sigma) von (bN ^ *) wird als Fan bezeichnet, wenn

  • es wird unter Einschränkung geschlossen: für jedes (alpha / in / bN ^ *) und jedes (n), wenn (bar { alpha} (n) in S), dann (Balken { alpha} (k) in S) wann immer (0 / le k / le n); und
  • für jedes (alpha / in / sigma) die Menge) { alpha ^ * n / in S: n / in / bN }) ist endlich oder leer, wobei (alpha ^ * n) die endliche Folge bezeichnet, die durch Anhängen der natürlichen Zahl (n) an die Terme von (alpha) erhalten wird.

Ein Pfad in einem Fan (sigma) ist eine Folge (alpha), endlich oder unendlich, so dass (bar { alpha} (n) in / sigma) für jedes anwendbare (n). Wir sagen, dass ein Pfad (alpha) durch eine Teilmenge (B) blockiert wird, wenn eine Einschränkung von (alpha) in (B) liegt; Wenn in (B) keine Einschränkung von (alpha) besteht, sagen wir, dass (alpha) (B) fehlt. Eine Teilmenge (B) eines Lüfters (sigma) wird als Balken für (sigma) bezeichnet, wenn jeder unendliche Pfad von (sigma) durch (B) blockiert wird. Ein Balken (B) für (sigma) ist einheitlich, wenn (n / in / bN) existiert, so dass jeder Pfad der Länge (n) durch (B) blockiert wird.

Endlich können wir Brouwers nächstes Prinzip des Intuitionismus darlegen, den Fächersatz für abnehmbare Stangen (FT (_ D)):

Jede abnehmbare Stange eines Lüfters ist einheitlich.

In seiner klassischen kontrapositiven Form ist FT (_D) als König's Lemma bekannt: Wenn für jedes (n) ein Pfad der Länge (n) existiert, der (B) verfehlt, dann existiert ein Unendliches Pfad, der (B) verfehlt (siehe Dummett 1977 [2000], 49–53). (Natürlich ist die Bedingung der Ablösbarkeit klassisch überflüssig.) Es ist einfach, ein Brouwer'sches Gegenbeispiel zu König's Lemma zu konstruieren.

Brouwer stellte tatsächlich den Fan-Satz ohne die Einschränkung der Abnehmbarkeit der Stange auf. Versuche zu beweisen, dass ein allgemeinerer Fan-Satz konstruktiv auf einer Analyse beruht, wie wir wissen könnten, dass eine Teilmenge ein Takt ist, und führten Brouwer zu einem Begriff der Balkeninduktion; Dies wird in Abschnitt 3.6 des Eintrags über Intuitionismus in der Philosophie der Mathematik erörtert. Eine weitere gute Referenz für die Stabinduktion ist van Atten (2004). Wir werden auf die Fan-Theoreme in Abschnitt 4 zurückkommen.

Von den vielen Anwendungen von Brouwers Prinzipien ist die bekannteste sein einheitlicher Kontinuitätssatz (der aus den punktweisen Kontinuitätsfolgen von CC1-2 zusammen eine Form des Fan-Theorems ergibt, die allgemeiner ist als FT (_ D)):

Jede Zuordnung von einem kompakten (dh vollständigen, vollständig begrenzten) Metrikraum zu einem Metrikraum ist gleichmäßig kontinuierlich.

Der Leser wird erneut gewarnt, dies im intuitionistischen Rahmen von Brouwer sorgfältig zu interpretieren und nicht zu der falschen Schlussfolgerung zu gelangen, dass der Intuitionismus der klassischen Mathematik widerspricht. Es ist sinnvoller, die beiden Arten der Mathematik als unvergleichlich anzusehen. Weitere Informationen finden Sie im Eintrag zur intuitionistischen Logik.

Leider - und vielleicht unvermeidlich angesichts des Widerstands von Mathematikern von solcher Statur wie Hilbert - wurde Brouwers intuitionistische Schule für Mathematik und Philosophie immer mehr in etwas verwickelt, was zumindest für klassische Mathematiker quasi-mystische Spekulationen über die Natur zu sein schienen des konstruktiven Denkens zum Nachteil der Praxis der konstruktiven Mathematik selbst. Diese unglückliche Polarisierung zwischen den Brouwerianern und den Hilbertianern gipfelte im berüchtigten Grundlagenstreit der 1920er Jahre, dessen Einzelheiten in den Brouwer-Biografien von van Dalen [1999, 2005] und van Stigt [1990] zu finden sind.

3.2 Rekursive Konstruktive Mathematik

In den späten 1940er Jahren begann der russische Mathematiker AA Markov mit der Entwicklung einer alternativen Form der konstruktiven Mathematik (RUSS), bei der es sich im Wesentlichen um eine rekursive Funktionstheorie mit intuitionistischer Logik handelt (Markov [1954], Kushner [1985]). In dieser Variante werden die Objekte mittels Gödel-Nummerierungen definiert, und die Prozeduren sind alle rekursiv; Der Hauptunterschied zwischen RUSS und der klassischen rekursiven Analyse, die nach der Arbeit von Turing, Church und anderen im Jahr 1936 entwickelt wurde, verdeutlichte die Natur berechenbarer Prozesse darin, dass die in RUSS verwendete Logik intuitionistisch ist.

Ein Hindernis für den Mathematiker, der versucht, sich mit RUSS auseinanderzusetzen, besteht darin, dass es in der Sprache der Rekursionstheorie nicht leicht lesbar ist. Wenn man eine Seite von Kushners hervorragenden Vorträgen [1985] öffnet, kann man sich tatsächlich fragen, ob dies Analyse oder Logik ist. (Diese Bemerkung sollte unter Bezugnahme auf die beiden relativ lesbaren Bücher über klassische rekursive Analyse von Aberth [1980, 2001] gemildert werden.) Glücklicherweise kann man RUSS durch einen axiomatischen Ansatz von Richman [1983] auf den Punkt bringen (siehe auch) Kapitel 3 von Bridges & Richman [1987]).

Zunächst definieren wir eine Menge (S) als zählbar, wenn eine Zuordnung von einer abnehmbaren Teilmenge von (bN) zu (S) vorliegt. Mit intuitionistischer Logik können wir nicht beweisen, dass jede Teilmenge von (bN) abnehmbar ist (der Leser wird gebeten, ein Brouwer'sches Beispiel zu liefern, um dies zu demonstrieren). Zählbare Teilmengen von (bN) in Richmans axiomatischem Ansatz sind die Gegenstücke zu rekursiv aufzählbaren Mengen in der normalen Entwicklung von RUSS.

Mit einer Teilfunktion von (bN) meinen wir eine Zuordnung, deren Domäne eine Teilmenge von (bN) ist; Wenn die Domäne (bN) selbst ist, nennen wir die Funktion eine totale Teilfunktion für (bN). Richmans Ansatz für RUSS basiert auf intuitionistischer Logik und einem einzigen Axiom berechenbarer Teilfunktionen (CPF):

Es gibt eine Aufzählung (phi_0, / phi_1, / ldots) der Menge aller Teilfunktionen von (bN) bis (bN) mit zählbaren Domänen.

Es ist bemerkenswert, was mit diesem Prinzip sauber und schnell abgeleitet werden kann. Zum Beispiel können wir das folgende Ergebnis beweisen, das fast sofort zeigt, dass LLPO und damit LPO in der rekursiven Einstellung falsch sind.

Es gibt eine totale Teilfunktion (f: / bN / times / bN / rightarrow {0,1 }), so dass

  • für jedes (m) existiert höchstens eines (n), so dass (f (m, n) = 1); und
  • Für jede Gesamtteilfunktion (f: / bN / rightarrow {0,1 }) existiert (m, k) in (bN), so dass (f (m, 2k + f) (m)) = 1).

Interessanter sind jedoch Ergebnisse wie die folgenden innerhalb von RUSS.

  • Speckers Theorem (Specker [1949]): Es gibt eine streng zunehmende Folge ((r_1, r_2, / ldots)) rationaler Zahlen im geschlossenen Intervall ([0,1]), so dass für jedes (x / in / bR) gibt es (N / in / bN) und (delta / gt 0), so dass (abs {x - r_n} ge / delta) für alle (n / ge N).
  • Für jedes (varepsilon / gt 0) existiert eine Folge ((I_1, I_2, / ldots)) von begrenzten offenen Intervallen in (bR), so dass) begin {align} tag {i} bR & / subseteq / bigcup_ {n = 1} ^ { infty} I_n, / text {und} / \ tag {ii} sum_ {n = 1} ^ N / abs {I_n} & / lt / varepsilon / text {für jedes} N. / end {align}) (Eine solche Folge von Intervallen wird als (varepsilon) - singuläre Abdeckung von (bR) bezeichnet.)
  • Es gibt eine punktweise stetige Funktion (f: [0,1] rightarrow / bR), die nicht gleichmäßig stetig ist.
  • Es gibt eine positiv bewertete gleichmäßig stetige Funktion (f: [0,1] rightarrow / bR), deren Infimum 0 ist.

Aus klassischer Sicht passen diese Ergebnisse zusammen, wenn man erkennt, dass Wörter wie "Funktion" und "reelle Zahl" als "rekursive Funktion" bzw. "rekursive reelle Zahl" interpretiert werden sollten. Es ist zu beachten, dass der zweite der obigen vier rekursiven Sätze ein starkes rekursives Gegenbeispiel zur Open-Cover-Kompaktheitseigenschaft der (rekursiven) reellen Linie ist; und das vierte ist ein rekursives Gegenbeispiel zum klassischen Theorem, dass jede gleichmäßig kontinuierliche Abbildung einer kompakten Menge in (bR) ihr Infimum erreicht.

3.3 Konstruktive Mathematik des Bischofs

Die Fortschritte in allen Bereichen der konstruktiven Mathematik waren in den nächsten anderthalb Jahrzehnten relativ langsam. Um das Profil des Konstruktivismus in der Mathematik zu schärfen, war ein hochrangiger klassischer Mathematiker erforderlich, um zu zeigen, dass eine gründliche konstruktive Entwicklung der Tiefenanalyse möglich war, ohne sich Brouwers nicht-klassischen Prinzipien oder der Maschinerie der rekursiven Funktionstheorie zu verpflichten. Dieses Bedürfnis wurde 1967 mit dem Erscheinen von Errett Bishops Monographie Foundations of Constructive Analysis [1967] erfüllt, die das Ergebnis erstaunlicher Jahre war, in denen Bishop in dem informellen, aber strengen Stil, den normale Analysten verwendeten, eine konstruktive Entwicklung lieferte eines großen Teils der Analyse des 20. Jahrhunderts, einschließlich des Stone-Weierstrass-Theorems, des Hahn-Banach- und des Trennungssatzes,das Spektralsatz für selbstadjunkte Operatoren auf einem Hilbert-Raum, die Lebesgue-Konvergenzsätze für abstrakte Integrale, das Haar-Maß und die abstrakte Fourier-Transformation, ergodische Sätze und die Elemente der Banach-Algebra-Theorie. (Siehe auch Bishop & Bridges [1985].) So lügte er auf einen Schlag die von Hilbert so eindringlich geäußerte Ansicht:

Das Prinzip der ausgeschlossenen Mitte vom Mathematiker zu nehmen, wäre beispielsweise dasselbe, als würde man dem Astronomen oder dem Boxer das Teleskop die Verwendung seiner Fäuste verbieten. (Hilbert [1928])

Bishops Mathematik- BISH hatte nicht nur den Vorteil der Lesbarkeit - wenn Sie Bishops Buch auf einer beliebigen Seite öffnen, ist das, was Sie sehen, eindeutig als Analyse erkennbar, auch wenn seine Bewegungen im Verlauf eines Beweises von Zeit zu Zeit seltsam erscheinen man schulte in der Anwendung des Gesetzes der ausgeschlossenen Mitte - aber im Gegensatz zu intuitionistischer oder rekursiver Mathematik lässt es viele verschiedene Interpretationen zu. Intuitionistische Mathematik, rekursive konstruktive Mathematik und sogar klassische Mathematik liefern Modelle von BISH. Tatsächlich können die Ergebnisse und Beweise in BISH mit höchstens geringfügigen Änderungen in jedem vernünftigen Modell berechenbarer Mathematik interpretiert werden, wie zum Beispiel in Weihrauchs Typ-Zwei-Effektivitätstheorie (Weihrauch [2000]; Bauer [2005]).

Wie wird diese mehrfache Interpretierbarkeit erreicht? Zumindest teilweise durch Bishops Weigerung, seinen primitiven Begriff „Algorithmus“oder in seinen Worten „endliche Routine“festzuhalten. Diese Ablehnung hat zu der Kritik geführt, dass seinem Ansatz die Präzision fehlt, die ein Logiker normalerweise von einem grundlegenden System erwarten würde. Diese Kritik kann jedoch überwunden werden, indem man sich genauer ansieht, was BISH-Praktiker tatsächlich tun, wenn sie Theoreme beweisen: In der Praxis machen sie Mathematik mit intuitionistischer Logik. Die Erfahrung zeigt, dass die Beschränkung auf intuitionistische Logik Mathematiker immer dazu zwingt, auf eine Weise zu arbeiten, die zumindest informell als algorithmisch bezeichnet werden kann; Die algorithmische Mathematik scheint also der Mathematik zu entsprechen, die nur intuitionistische Logik verwendet. Wenn das der Fall ist,Dann können wir konstruktive Mathematik unter Verwendung intuitionistischer Logik an allen vernünftig definierten mathematischen Objekten üben, nicht nur an einer Klasse von „konstruktiven Objekten“.

Diese Ansicht scheint mehr oder weniger zuerst von Richman [1990, 1996] vertreten worden zu sein. Die Logik als Hauptmerkmal der konstruktiven Mathematik betrachtet, spiegelt sie nicht den Vorrang der Mathematik vor der Logik wider, der Teil des Glaubens von Brouwer, Heyting, Markov, Bishop und anderen Pionieren des Konstruktivismus war. Andererseits erfasst es die Essenz der konstruktiven Mathematik in der Praxis.

Man könnte also zwischen dem ontologischen Konstruktivismus von Brouwer und anderen, die durch die Überzeugung, dass mathematische Objekte geistige Schöpfungen sind, zur konstruktiven Mathematik geführt werden, und dem erkenntnistheoretischen Konstruktivismus von Richman und jenen unterscheiden, die die konstruktive Mathematik aufgrund ihrer Methodik als charakteristisch ansehen der intuitionistischen Logik. Natürlich führt der erstere Ansatz zum Konstruktivismus unweigerlich zum letzteren; und letzteres steht sicherlich nicht im Widerspruch zu einer brouwerschen Ontologie.

Für die eigentliche Mathematik brauchen wir mehr als nur intutionistische Logik. Für Bishop waren die Bausteine der Mathematik die positiven ganzen Zahlen (siehe das Zitat von Bishop [1967] in Abschnitt 3.1 oben). Zu den frühen formalen Systemen für BISH gehörte Myhills axiomatische Grundlage [1975], die auf primitiven Begriffen von Zahl, Menge und Funktion beruhte; Fefermans [1975] System für explizite Mathematik; und Friedmans [1977] intuitionistische ZF-Mengenlehre. Die beiden derzeit am meisten bevorzugten formalen Grundlagen von BISH sind die CZF-Mengenlehre von Aczel und Rathjen [2000] und die intuitionistische Typentheorie von Martin-Löf [1975, 1984].

3.4 Martin-Löfs konstruktive Typentheorie

Bevor wir unsere Tour durch Varietäten der modernen konstruktiven Mathematik beenden, besuchen wir eine vierte Varietät, die auf Per Martin-Löfs intuitionistischer Typentheorie (ML) basiert. Martin-Löf veröffentlichte seine Notizen zur konstruktiven Mathematik [1968], basierend auf Vorlesungen, die er 1966–68 in Europa gehalten hatte; Daher geht seine Beschäftigung mit dem Konstruktivismus in der Mathematik zumindest auf die Zeit zurück, in der Bishop die Grundlagen der konstruktiven Analyse verfasst hat. Martin-Löfs Buch ist eher im Geiste von RUSS als von BISH; in der Tat hatte sein Autor keinen Zugang zu Bishops Buch, bis sein eigenes Manuskript fertig war. Martin-Löf wandte sich später seiner Typentheorie als Grundlage für die konstruktive Mathematik im Bischofsstil zu.

Hier ist in seinen eigenen Worten eine informelle Erklärung der Ideen, die ML zugrunde liegen:

Wir werden an mathematische Objekte oder Konstruktionen denken. Jedes mathematische Objekt ist von einer bestimmten Art oder einem bestimmten Typ [… und] wird immer zusammen mit seinem Typ angegeben. … Ein Typ wird definiert, indem beschrieben wird, was zu tun ist, um ein Objekt dieses Typs zu erstellen. … Anders ausgedrückt, ein Typ ist gut definiert, wenn wir verstehen… was es bedeutet, ein Objekt dieses Typs zu sein. So ist beispielsweise (bN / rightarrow / bN) [Funktionen von (bN) bis (bN)] ein Typ, nicht weil wir bestimmte zahlentheoretische Funktionen wie die primitiven rekursiven kennen, sondern weil wir glauben, den Begriff der zahlentheoretischen Funktion im Allgemeinen zu verstehen. (Martin-Löf [975])

Insbesondere kann in diesem System jeder Satz als eine Art dargestellt werden: nämlich die Art der Beweise des Satzes. Umgekehrt bestimmt jeder Typ einen Satz: nämlich den Satz, dass der betreffende Typ bewohnt ist. Wenn wir uns also einen bestimmten Typ (T) als Satz vorstellen, interpretieren wir die Formel

[x / in T)

als "(x) ist ein Beweis für den Satz (T)".

Martin-Löf baut aus alten Typen neue Typen wie kartesische Produkte und disjunkte Gewerkschaften auf. Zum Beispiel das kartesische Produkt

[(Pi x / in A) B (x))

ist die Art von Funktionen, die ein beliebiges Objekt (x) vom Typ (A) in ein Objekt vom Typ (B (x)) aufnehmen. In der Satz-als-Beweis-Interpretation, in der (B (x)) einen Satz darstellt, entspricht das obige kartesische Produkt dem universellen Satz

[(für alle x / in A) B (x).)

Martin-Löf unterscheidet sorgfältig zwischen Beweisen und Ableitungen: Ein Beweisobjekt ist ein Zeuge dafür, dass ein Satz bewiesen wurde; Eine Ableitung ist die Aufzeichnung der Konstruktion eines Beweisobjekts. Außerdem übt er zwei Grundformen des Urteils aus (eine darf hier nicht „Typen“sagen). Das erste ist eine Beziehung zwischen Beweisobjekten und Sätzen, das zweite eine Eigenschaft einiger Sätze. Im ersten Fall ist das Urteil entweder eines, dass ein Beweisobjekt (a) ein Zeuge eines Satzes (A) ist, oder eines, dass zwei Beweisobjekte (a) und (b) sind gleich und beide bezeugen, dass (A) bewiesen wurde. Der erste Fall der zweiten Form des Urteils besagt, dass ein Satz (A) wohlgeformt ist, und der zweite Fall, dass zwei Sätze (A) und (B) gleich sind.

Es gibt ein sorgfältiges und sehr detailliertes Regelwerk für die Formalisierung von ML. Wir werden hier nicht darauf eingehen, sondern den Leser auf andere Quellen wie Sambin & Smith [1998] verweisen.

Wenn man tatsächlich konstruktive Mathematik in der Typentheorie macht, muss man häufig vollständig präsentierte Mengen (Typen) mit einer Äquivalenzbeziehung ausstatten, wobei die Kombination als Setoid bekannt ist. Zuordnungen sind dann Funktionen, die diese Äquivalenzbeziehungen berücksichtigen. Dies steht in enger Übereinstimmung mit der Art und Weise, wie Bischof seine informelle Mengenlehre vorstellte. Die abhängigen Typen von Martin-Löf sind nützlich für die Erstellung von Teilmengen. Zum Beispiel können die reellen Zahlen mit dem Typ (Sigma) - konstruiert werden (siehe Martin-Löf [1984]):

[(Sigma x / in / bN _ + / rightarrow / bQ) (Pi m / in / bN _ +) (Pi n / in / bN _ +) left) abs {x_ {m} - x_ {n }} le / left (frac {1} {m} + / frac {1} {n} right) right],)

Ein Element dieses Typs (B) ist dabei ein Paar, das aus einer konvergenten Folge (bx) von Rationalen und einem Beweis (p) besteht, dass es konvergent ist. Eine geeignete Äquivalenzbeziehung ({ sim}) auf (R) wird definiert, indem ((x, p) sim (y, q)) als Mittelwert genommen wird

) forall m / in / bN_ + / left (abs {x_ {m} - y_ {m}} le / frac {2} {m} right).)

Der resultierende Satz von reellen Zahlen ist (bR = (R, { sim})). Das können wir leicht beweisen

) forall x / in / bR \, / existiert n / in Z (n / lt x / lt n + 2))

und dann unter Verwendung des typentheoretischen Axioms der Wahl (siehe Abschnitt 4 unten) eine Funktion (f: / bR / rightarrow / bZ) finden, so dass (f (x) lt x / lt f (x) +2). Es gibt jedoch keinen Grund zu der Annahme, dass die Funktion (f) die Äquivalenzbeziehungen respektiert - das heißt, dass (f (x) = f (y)) gilt, wenn (x / sim y).

Jeder konstruktive Beweis verkörpert einen Algorithmus, der im Prinzip als Computerprogramm extrahiert und neu gefasst werden kann. Darüber hinaus ist der konstruktive Beweis selbst eine Bestätigung, dass der Algorithmus korrekt ist - dh seine Spezifikation erfüllt. Ein wesentlicher Vorteil von Martin-Löfs formalem Ansatz zur konstruktiven Mathematik besteht darin, dass er das Extrahieren von Programmen aus Beweisen erheblich erleichtert. Dies hat zu ernsthaften Arbeiten zur Implementierung konstruktiver Mathematik an verschiedenen Orten geführt (siehe Martin-Löf [1980], Constable [1986], Hayashi & Nakano [1988], Schwichtenberg [2009]). Einige neuere Implementierungen der Typentheorie zur Proof-Extraktion sind Coq und Agda (siehe die Links in Andere Internet-Ressourcen).

4. Das Axiom der Wahl

Das vollständige Axiom der Wahl kann wie folgt angegeben werden:

Wenn (A, B) bewohnte Mengen sind, und (S) eine Teilmenge von (A / mal B), so dass

) für alle x / in A \, / existiert y / in B ((x, y) in S),)

dann gibt es eine Auswahlfunktion (f: A / rightarrow B), so dass

) für alle x / in A ((x, f (x)) in S).)

Wenn dies nun unter einer konstruktiven Interpretation gelten soll, dann hängt für ein gegebenes (x / in A) der Wert (f (x)) der Auswahlfunktion nicht nur von (x) ab, sondern auch von auch auf den Daten, die beweisen, dass (x) zu (A / gehört). Im Allgemeinen können wir nicht erwarten, eine Auswahlfunktion dieser Art zu erzeugen. Die BHK-Interpretation der Hypothesen im Axiom ist jedoch, dass es einen Algorithmus (mathcal {A}) gibt, der, angewendet auf ein gegebenes (x / in A), ein Element (y / in B erzeugt)) so dass ((x, y) in S). Wenn (A) eine vollständig präsentierte Menge ist, für die keine Arbeit über die Konstruktion jedes Elements in der Menge hinaus erforderlich ist, um zu beweisen, dass das Element tatsächlich zu (A) gehört, können wir den Algorithmus vernünftigerweise erwarten (mathcal {A}) soll eine Auswahlfunktion sein. In der Typentheorie von Martin-Löf wird jede Menge vollständig dargestellt undIn Übereinstimmung mit der BHK-Interpretation ist das Axiom der Wahl ableitbar.

Andererseits sind in der Mathematik im Bischofsstil vollständig präsentierte ––– oder in seiner Terminologie grundlegende ––– Mengen selten, ein Beispiel ist (bN); Wir könnten also erwarten, dass das Axiom der Wahl nicht ableitbar ist. Wie Diaconescu [1975] und Goodman & Myhill [1978] gezeigt und von Bischof selbst in Problem 2 auf Seite 58 von Bischof 1967 vorgezeichnet haben, impliziert das Axiom der Wahl das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte. Das Diaconescu-Goodman-Myhill-Theorem gilt eindeutig nur unter der Annahme, dass nicht jede Menge vollständig dargestellt wird.

Konstruktive Mathematiker, die nicht in ML arbeiten, lehnen normalerweise das vollständige Axiom der Wahl ab, sondern akzeptieren das Axiom der zählbaren Wahl, in der der Bereich der Wahl (bN) ist, und die abhängige Wahl. Einige bevorzugen es jedoch, ohne zählbare Auswahl zu arbeiten, da die Rede von einer Unendlichkeit von Entscheidungen ohne Angabe einer Regel eine ebenso große Schwierigkeit darstellt, unabhängig davon, ob die Unendlichkeit denumerierbar ist oder nicht. Interessanterweise machte Lebesgue genau diesen Punkt in einem Brief an Borel (siehe Moore [2013], Seite 316):

Ich stimme Hadamard voll und ganz zu, wenn er feststellt, dass es eine ebenso große Schwierigkeit darstellt, von einer Unendlichkeit von Entscheidungen zu sprechen, ohne eine Regel anzugeben, unabhängig davon, ob die Unendlichkeit denumerierbar ist oder nicht.

Der Effekt des Verzichts auf selbst zählbare Entscheidungen ist der Ausschluss vieler Theoreme, die in ihrer jetzigen Form durch sequentielle, wahlbasierte Argumente bewiesen werden. Aber diejenigen, die sich dafür einsetzen, Entscheidungen zu vermeiden, würden argumentieren, dass das Vermeiden von Entscheidungen Sie dazu zwingt, die Dinge besser zu formulieren.

Ein besonderer interessanter Fall ist der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes komplexe Polynom hat mindestens eine Wurzel in der komplexen Ebene. Richman [2000] hat gezeigt, dass wir ohne zählbare Auswahl, obwohl wir nur isolierte (möglicherweise mehrere) Wurzeln konstruieren können, willkürlich enge Annäherungen an das Multiset von Wurzeln konstruieren können. Ein solcher Ansatz konzentriert sich darauf, eine ungefähre lineare Faktorisierung des Polynoms zu finden, anstatt separate Annäherungen an jede seiner Wurzeln zu finden.

Zur weiteren Analyse des Axioms der Wahl in der Mengen- und Typentheorie siehe Martin-Löf [2006] und die SEP-Einträge zur Kategorietheorie, Typentheorie und intuitionistischen Typentheorie.

5. Konstruktive Umkehrmathematik

In den 1970er Jahren initiierte Harvey Friedman ein Forschungsprogramm für umgekehrte Mathematik, das darauf abzielte, mathematische Theoreme nach ihrer Äquivalenz zu einem von wenigen satztheoretischen Prinzipien zu klassifizieren (Friedman 1975). Diese Klassifikation zeigt interessante, manchmal bemerkenswerte Unterschiede in der beweistheoretischen Komplexität. Obwohl das Ascoli-Arzelà-Theorem im Standardbeweis des Peano-Existenzsatzes für Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen verwendet wird (Hurewicz [1958], Seite 10), zeigt eine umgekehrt mathematische Analyse, dass das erstere einem streng stärkeren entspricht satztheoretisches Prinzip als dasjenige, das dem Satz von Peano entspricht (Simpson [1984], Theoreme 3.9 und 4.2). Die Standardabhandlung zur klassischen Umkehrmathematik ist (Simpson [1999/2009]).

Um die Jahrhundertwende initiierten Veldman (siehe Andere Internetquellen) in den Niederlanden und Ishihara [2005, 2006] in Japan unabhängig voneinander ein Programm für konstruktive Umkehrmathematik (CRM), das eher auf Intuition als auf Klassik basiert. Logik. (Beachten Sie jedoch, dass die erste veröffentlichte Arbeit in der modernen Ära des CRM wahrscheinlich die von Julian und Richman [1984] ist, die ihrer Zeit zwanzig Jahre voraus war.) In diesem Abschnitt des Artikels beschreiben wir einen weniger formalen Ansatz zu CRM im Stil und Rahmen von BISH. Ziel dieses CRM-Programms ist es, die Theoreme in die drei Standardmodelle CLASS, INT und RUSS zu klassifizieren, nach welchen Prinzipien wir BISH ergänzen müssen und müssen, um sie zu beweisen.

Wir betonen, dass wir uns hier auf informelles CRM beschränken, bei dem wir die in den ersten Kapiteln von Bishop [1967] oder Bishop & Bridges [1985] beschriebenen Prinzipien der Funktions- und Mengenkonstruktion für selbstverständlich halten und im informellen Bereich arbeiten, obwohl streng, Stil des praktizierenden Analytikers, Algebraisten, Topologen,….

In der Praxis teilt sich CRM natürlich in zwei Teile. Im ersten betrachten wir einen Satz (T) von INT oder RUSS und versuchen, ein Prinzip zu finden, das in diesem Modell gültig ist und nicht (T) selbst, für dessen Hinzufügung zu BISH notwendig und ausreichend ist ein konstruktiver Beweis von (T). Im zweiten Teil von CRM beschäftigen wir uns mit einem Satz (T) von CLASS, von dem wir vermuten, dass er nicht konstruktiv ist, und wir versuchen zu beweisen, dass (T) über BISH einem von mehreren bekannten im Wesentlichen äquivalenten entspricht. nichtkonstruktive Prinzipien wie MP, LLPO, LPO oder LEM. Als Beispiel für diesen Teil von CRM erwähnen wir unseren früheren Beweis, dass das klassische Prinzip der kleinsten Obergrenze LEM impliziert und daher diesem entspricht.

Übrigens gibt es ein starkes Argument dafür, dass Brouwer [1921] sich als erster mit umgekehrt-mathematischen Ideen befasst: Seine Brouwerschen Gegenbeispiele (siehe das mit der Goldbach-Vermutung in Abschnitt 1 oben) liegen direkt im zweiten Teil von CRM. Auch wenn Brouwer diese Beispiele nicht als logische Äquivalenzen, sondern als Implikationen des Typs angegeben hat

[P / Rightarrow / text {ein nichtkonstruktives Prinzip},)

es ist kaum zu glauben, dass er nicht wusste, dass die rechte Seite in solchen Fällen die linke implizierte.

5.1 Fan-Theoreme in CRM

Um den ersten Teil von CRM zu veranschaulichen, konzentrieren wir uns nun auf Theoreme dieses Typs

) text {BISH} vdash / text {FT} _? / Leftrightarrow T,)

wobei FT (_?) eine Form von Brouwers Fan-Theorem ist und (T) ein Theorem von INT ist. Dazu müssen wir zwischen bestimmten Balkentypen für den gesamten binären Lüfter (2 ^ *) (die Menge aller endlichen Sequenzen in ({0,1 })) unterscheiden.

Sei (alpha / equiv (alpha_1, / alpha_2, / ldots)) eine endliche oder unendliche binäre Folge. Die Verkettung von (alpha) mit einer anderen Zeichenfolge (beta) ist

) alpha ^ { frown} beta / equiv (alpha_1, / alpha_2, / ldots, / alpha_n, / beta_1, / ldots, / beta_m).)

Für (b) in ({0,1 }) schreiben wir (alpha ^ { frown} b) anstatt (alpha ^ { frown} (b)). Mit einer (mathsf {c}) - Teilmenge von (2 ^ *) meinen wir eine Teilmenge (B) von (2 ^ *), so dass

) tag {1} B = {u / in 2 ^ *: / forall v / in 2 ^ * (u ^ { frown} v / in D) })

für eine abnehmbare Teilmenge (D) von (2 ^ *). Jede abnehmbare Teilmenge von (2 ^ *) ist eine (mathsf {c}) - Teilmenge. Andererseits meinen wir mit einer (Pi ^ {0} _1) - Teilmenge von (2 ^ *) eine Teilmenge (B) von (2 ^ *) mit der folgenden Eigenschaft: Es gibt eine abnehmbare Teilmenge (S) von (2 ^ * / times / bN), so dass

) forall u / in 2 ^ * \, / forall n / in / bN \, ((u, n) in S / Rightarrow (u ^ { frown} 0, n) in S / wedge (u ^ { Stirnrunzeln} 1, n) in S))

und

[B = {u / in 2 ^ *: / forall n / in / bN ((u, n) in S) }.)

Jede (mathsf {c}) - Teilmenge (B) von (2 ^ *) ist eine (Pi ^ {0} _1) - Teilmenge: nimm einfach (S = D / mal / bN), wobei (D) eine abnehmbare Teilmenge von (2 ^ *) ist, so dass (1) gilt.

Wenn (?) Eine Eigenschaft von Teilmengen von (2 ^ *) bezeichnet, sagt uns Brouwers Fan-Theorem für (?) - Balken, dass jeder Balken mit der Eigenschaft (?) Ein einheitlicher Balken ist. Wir interessieren uns besonders für den Lüftersatz für abnehmbare Stangen (bereits in Abschnitt 3.1 besprochen):

FT (_ D): Jeder abnehmbare Balken des gesamten Binärlüfters ist einheitlich.

das Fan-Theorem für (mathsf {c}) - Balken (dh Balken, die (mathsf {c}) - Teilmengen sind):

FT (_ { mathsf {c}}): Jeder C-Balken des gesamten Binärlüfters ist einheitlich.

das Fan-Theorem für (Pi ^ {0} _1) - Balken (dh Balken, die (Pi ^ {0} _1) - Teilmengen sind):

FT (_ { Pi ^ {0} _1}): Jeder (Pi ^ {0} _1) - Balken des gesamten binären Lüfters ist einheitlich;

und das vollständige Fan-Theorem:

FT: Jeder Balken des gesamten Binärlüfters ist einheitlich.

Beachten Sie, dass relativ zu BISH, FT (Rightarrow) FT (_ { Pi ^ {0} _1} Rightarrow) FT (_ c / Rightarrow) FT (_ D).

Lubarsky und Diener [2014] haben gezeigt, dass diese Implikationen streng sind.

Typischerweise wollen wir beweisen, dass FT (_?) Über BISH dem Satz entspricht, dass für jede Menge (S) einer geeigneten Art eine punktweise Eigenschaft der Form vorliegt

) tag {2} forall x / in S / existiert t / in TP (s, t))

tatsächlich hält einheitlich in der Form

) tag {3} existiert t / in T / forall s / in SP (s, t).)

Unsere Strategie zur Bekämpfung dieses Problems ist zweifach. Zunächst konstruieren wir bei gegebener Menge (S) der entsprechenden Art eine? -Submenge (N) von (2 ^ *) so, dass

  • Wenn (2) gilt, ist (B) ein Balken, und
  • Wenn (B) ein einheitlicher Balken ist, gilt (3).

Dies ist jedoch nur die Hälfte der Lösung. Um zu beweisen, dass die Implikation von (3) nach (2) FT (_?) Impliziert, betrachten wir eine? -Submenge (B) von (2 ^ *) und konstruieren eine entsprechende Menge (S)) so dass

  • Wenn (B) ein Balken ist, gilt (2) und
  • Wenn (3) gilt, ist (B) ein einheitlicher Balken.

Das kanonische Beispiel für solche Ergebnisse ist das von Julian und Richman [1984], in dem (S) die Menge der Werte einer gegebenen gleichmäßig kontinuierlichen Abbildung (f: [0,1] rightarrow / bR, T) ist) ist die Menge der positiven reellen Zahlen und

[P (s, t) equiv (s / ge t).)

Die punktweise Eigenschaft, die wir betrachten, ist

) forall x / in [0,1] existiert t / gt 0 (f (x) ge t),)

seine einheitliche Version ist

) existiert t / gt 0 / für alle x / in [0,1] (f (x) ge t).)

Die Julian-Richman-Ergebnisse sind wie folgt.

Satz 1: Sei (f: [0,1] rightarrow / bR) gleichmäßig stetig. Dann existiert eine abnehmbare Teilmenge (B) von (2 ^ *), so dass

  • wenn (f (x) gt 0) für jedes (x / in [0,1]), dann ist (B) ein Balken und
  • Wenn (B) ein einheitlicher Balken ist, dann (inf f / gt 0).

Satz 2: Sei (B) eine abnehmbare Teilmenge von (2 ^ *). Dann existiert ein gleichmäßig kontinuierliches (f: [0,1] rightarrow / bR), so dass

  • Wenn (B) ein Balken ist, dann (f (x) gt 0) für jedes (x / in [0,1]) und
  • Wenn inf (f / gt 0), dann ist (B) ein einheitlicher Balken.

Die Beweise dieser beiden Sätze sind subtil und knifflig; siehe Julian & Richman [1984].

Die beiden Julian-Richman-Sätze zusammen zeigen, dass der Fan-Satz FT (_ D) in Bezug auf BISH dem Positivitätsprinzip POS entspricht:

Jede positiv bewertete, gleichmäßig kontinuierliche Funktion von ([0,1]) hat ein positives Infimum.

Daraus folgt, dass POS in INT ableitbar ist, wobei der vollständige Lüftersatz, nicht nur FT (_ D), ein Standardprinzip ist. In RUSS ist die Situation im Gegenteil ruhig, wo es sowohl einen abnehmbaren Balken von (2 ^ *) gibt, der nicht einheitlich ist, als auch eine positiv bewertete, gleichmäßig kontinuierliche Funktion auf ([0,1]), die ein Infimum hat gleich 0; siehe Kapitel 5 und 6 von Bridges & Richman [1987].

Berger und Ishihara [2005] haben einen anderen indirekten Weg eingeschlagen, um die Äquivalenz von POS und FT (_ c) festzustellen. Sie bilden eine Äquivalenzkette zwischen POS, FT (_ c) und vier Prinzipien des Typs "Wenn es höchstens ein Objekt mit der Eigenschaft (P) gibt, gibt es ein solches Objekt". Die vier Prinzipien der einzigartigen Existenz sind:

CIN!: Jede absteigende Folge von bewohnten geschlossenen Teilmengen eines kompakten metrischen Raums mit höchstens einem gemeinsamen Punkt hat einen Schnittpunkt bewohnt (Cantors Schnittpunktsatz mit Eindeutigkeit). Beachten Sie, dass eine Teilmenge (S) eines metrischen Raums ((X,) rho)) befindet sich, wenn für jedes (x) in (X) der minimale Abstand von (x) zu (S) existiert.

MINDEST!: Jede gleichmäßig kontinuierliche, reelle Funktion auf einem kompakten metrischen Raum mit höchstens einem Mindestpunkt hat einen Mindestpunkt.

WKL! Jeder unendliche Baum mit höchstens einem unendlichen Zweig hat einen unendlichen Zweig (das schwache König-Lemma mit Einzigartigkeit).

FIX!: Jede gleichmäßig stetige Funktion aus einem kompakten metrischen Raum in sich mit höchstens einem Fixpunkt und mit ungefähren Fixpunkten hat einen Fixpunkt.

In der letzten davon sagen wir zum Beispiel, dass eine Karte (f) eines metrischen Raums ((X, / varrho)) in sich selbst

  • hat höchstens einen festen Punkt, wenn (varrho (f (x), x) + / varrho (f (y), y) gt 0) wann immer (varrho (x, y) gt 0);;
  • hat ungefähre Fixpunkte, wenn für jedes (varepsilon / gt 0) (x / in X) existiert, so dass (varrho (f (x), x) lt / varepsilon).

Ein großes offenes Problem in CRM besteht darin, eine Form des Fan-Theorems zu finden, die über BISH dem einheitlichen Kontinuitätssatz für ([0,1]) entspricht.

UCT (_ {[0,1]}): Jede punktweise kontinuierliche Abbildung von ([0,1]) in (bR) ist gleichmäßig kontinuierlich.

der Satz, für den Brouwer ursprünglich seinen Beweis des Fan-Theorems entwickelte. (Beachten Sie, dass UCT (_ {[0,1]}) relativ zu BISH dem allgemeinen einheitlichen Kontinuitätssatz für metrische Räume entspricht: Jede punktweise kontinuierliche Abbildung eines vollständigen, vollständig begrenzten metrischen Raums in einen metrischen Raum ist gleichmäßig kontinuierlich. Siehe zum Beispiel Loeb [2005].)

Aus den Ergebnissen von Berger [2006] folgt, dass

BISH (vdash) UCT (_ {[0,1]} Rightarrow) FT (_ c).

Auch Diener und Loeb (2008) haben dies bewiesen

BISH (vdash) FT (_ { Pi ^ {0} _1} Rightarrow) UCT (_ {[0,1]}).

Wir wissen jedoch nicht, ob eine dieser Implikationen durch eine Doppelimplikation ersetzt werden kann. Vielleicht entspricht UCT (_ {[0,1]}) und damit der vollständige einheitliche Kontinuitätssatz für kompakte metrische Räume relativ zu BISH einer natürlichen, aber noch nicht identifizierten Version des Fächersatzes.

Für zusätzliches Material zum Fan-Theorem in der konstruktiven Umkehrmathematik siehe beispielsweise Berger & Bridges [2007]; Diener [2008, 2012]; Diener & Loeb [2009]; und Diener & Lubarsky [2014]. In Dent [2013] gibt es ein klares, wenn auch komplexes Diagramm, das die Zusammenhänge zwischen Fan-Theoremen, Kontinuität und Allwissenheitsprinzipien veranschaulicht (siehe Andere Internet-Ressourcen).

Interessierte Leser können das Thema der konstruktiven Umkehrmathematik im folgenden ergänzenden Dokument genauer verfolgen:

Ishiharas Prinzip (BDN) und die Anti-Specker-Eigenschaft

6. Konstruktive Algebra und Topologie

Konstruktive Mathematiker tendierten dazu, ihre Bemühungen auf das Gebiet der Analyse zu konzentrieren, mit beachtlichem Erfolg - zeugen von der Fülle der in Bishop [1967] entwickelten Funktionsanalyse. Dies bedeutet nicht, dass beispielsweise die Algebra vom konstruktiven Unternehmen ausgeschlossen wurde: Das Material in der Monographie von Mines et al. [1986] kann als wesentliches algebraisches Gegenstück zu der von Bishop durchgeführten konstruktiven Analyse angesehen werden. In jüngerer Zeit haben Lombardi und Quitté [2011] den ersten großen Band einer vorgeschlagenen zweibändigen Arbeit zur konstruktiven Algebra veröffentlicht. Da wir jedoch kein Experte für Algebra sind und uns der Gefahr bewusst sind, diesen Artikel zu lang zu machen, um die Aufmerksamkeit des Lesers auf sich zu ziehen, entscheiden wir uns, konstruktive Analyse oder Algebra nicht im Detail zu diskutieren. im folgenden ergänzenden DokumentWir wenden uns der konstruktiven Topologie zu und beschreiben einige ziemlich unterschiedliche Ansätze für dieses Thema:

Ansätze zur konstruktiven Topologie

7. Konstruktive mathematische Wirtschaft und Finanzen

Untersuchungen zur konstruktiven mathematischen Ökonomie gehen auf eine Reihe von Arbeiten zu Präferenz, Nutzen und Nachfrage ab 1982 zurück; siehe Bridges [1999]. In seiner Doktorarbeit hat Hendtlass [2013] die Bedingungen für die Existenz einer Nachfragefunktion erheblich geschwächt; Er lieferte auch eine Fülle von Ergebnissen in der Festkomma-Theorie und ihren Anwendungen, insbesondere zur Konstruktivierung zweier klassischer Beweise für die Existenz eines wirtschaftlichen Gleichgewichts.

Berger und Svindland haben 2015 an der Ludwig-Maximilians-Universität in München ein Forschungsprojekt zur konstruktiven mathematischen Finanzierung begonnen. Sie haben erstmals gezeigt, dass der Grundsatz zur Preisgestaltung von Vermögenswerten, der Satz zur Trennung von Hyperebenen und das Markov-Prinzip konstruktiv gleichwertig sind (Berger & Svindland) [2016]). Ihre neueren Arbeiten haben sich darauf konzentriert, wie die Nichtkonstruktivität des klassischen Extremwertsatzes umgangen werden kann, um die Existenz von Extrempunkten für Funktionen in Gegenwart auch relativ schwacher Konvexitätseigenschaften zu beweisen (Berger & Svindland [2016a]). Ihr Projekt legt nahe, dass die mathematische Finanzierung ebenso wie die mathematische Ökonomie eine reiche Quelle eleganter, praktischer konstruktiver Theoreme sein kann.

8. Schlussbemerkungen

Der traditionelle Weg von Mathematikern, die den konstruktiven Inhalt der Mathematik analysieren wollen, folgt der klassischen Logik. Um Entscheidungen zu vermeiden, beispielsweise, ob eine reelle Zahl gleich 0 ist oder nicht, die von einem realen Computer nicht getroffen werden können, muss der Mathematiker dann strenge algorithmische Grenzen einhalten, wie sie durch die rekursive Funktionstheorie gebildet werden. Im Gegensatz dazu folgt der Weg des konstruktiven Mathematikers der intuitionistischen Logik, die sich automatisch um rechnerisch unzulässige Entscheidungen kümmert. Diese Logik (zusammen mit einem geeigneten satz- oder typentheoretischen Rahmen) reicht aus, um die Mathematik innerhalb konstruktiver Grenzen zu halten. Somit steht es dem Mathematiker frei, im natürlichen Stil eines Analytikers, Algebraisten (z. B. Mines et al. [1988]), Geometers, Topologen (z. B. Bridges &Vîță [2011], Sambin im Erscheinen) oder ein anderer normaler Mathematiker, wobei die einzigen Einschränkungen diejenigen sind, die durch die intuitionistische Logik auferlegt werden. Wie Bishop und andere gezeigt haben, ist der von Hilbert verkündete und bis heute weit verbreitete traditionelle Glaube, dass die intuitionistische Logik solche Einschränkungen auferlegt, die die Entwicklung einer ernsthaften Mathematik unmöglich machen, offensichtlich falsch: Große Teile der tiefmodernen Mathematik können und haben wurde durch rein konstruktive Methoden hergestellt. Darüber hinaus ist die Verbindung zwischen konstruktiver Mathematik und Programmierung vielversprechend für die zukünftige Implementierung und Entwicklung der abstrakten Mathematik am Computer. Die von Hilbert verkündete und bis heute weit verbreitete traditionelle Überzeugung, dass die intuitionistische Logik solche Einschränkungen auferlegt, die die Entwicklung einer ernsthaften Mathematik unmöglich machen, ist offensichtlich falsch: Große Teile der tiefmodernen Mathematik können und wurden mit rein konstruktiven Methoden hergestellt. Darüber hinaus ist die Verbindung zwischen konstruktiver Mathematik und Programmierung vielversprechend für die zukünftige Implementierung und Entwicklung der abstrakten Mathematik am Computer. Die von Hilbert verkündete und bis heute weit verbreitete traditionelle Überzeugung, dass die intuitionistische Logik solche Einschränkungen auferlegt, die die Entwicklung einer ernsthaften Mathematik unmöglich machen, ist offensichtlich falsch: Große Teile der tiefmodernen Mathematik können und wurden mit rein konstruktiven Methoden hergestellt. Darüber hinaus ist die Verbindung zwischen konstruktiver Mathematik und Programmierung vielversprechend für die zukünftige Implementierung und Entwicklung der abstrakten Mathematik am Computer. Die Verbindung zwischen konstruktiver Mathematik und Programmierung ist vielversprechend für die zukünftige Implementierung und Entwicklung der abstrakten Mathematik am Computer. Die Verbindung zwischen konstruktiver Mathematik und Programmierung ist vielversprechend für die zukünftige Implementierung und Entwicklung der abstrakten Mathematik am Computer.

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  • Weyl, H., 1946, „Mathematics and Logic“, American Mathematical Monthly, 53 (1): 2–13.
  • Whitehead, AN, 1919, Eine Untersuchung über die Prinzipien des Naturwissens, Cambridge: Cambridge University Press, zweite Ausgabe, 1925.

Ähnliche Literatur

  • Heijenoort, Jean van, 1967, Von Frege nach Gödel: Ein Quellenbuch in mathematischer Logik 1879–1931, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Hilbert, David, 1928, „Die Grundlagen der Mathematik“, Hamburger Mathematische Einzelschriften 5, Teubner, Leipzig. Nachdruck in englischer Übersetzung in van Heijenoort 1967.

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Andere Internetquellen

  • Das Agda-Wiki, eine typisierte funktionale Programmiersprache und Proof-Assistentin, Göteborg University und Chalmers University of Technology.
  • Agda, Eintrag in Wikipedia.
  • Der Coq Proof Assistant, Inria, 1984-2017.
  • Coq, Eintrag in Wikipedia.
  • James Dents Diagramm.
  • Aczel, P. und Rathjen, M., 2018, Konstruktive Mengenlehre, Online-PDF.
  • Bauer, A., 2005, „Realisierbarkeit als Verbindung zwischen berechenbarer und konstruktiver Mathematik“.
  • Veldman, W., 2014, „Brouwers Fan-Theorem als Axiom und als Kontrast zu Kleenes Alternative“, arxiv: 1106.2738https://arxiv.org/abs/1106.2738.

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