Platonismus In Der Philosophie Der Mathematik

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Platonismus in der Philosophie der Mathematik

Erstveröffentlichung am 18. Juli 2009; inhaltliche Überarbeitung Do 18.01.2018

Der Platonismus über Mathematik (oder mathematischer Platonismus) ist die metaphysische Ansicht, dass es abstrakte mathematische Objekte gibt, deren Existenz unabhängig von uns und unserer Sprache, unserem Denken und unseren Praktiken ist. So wie Elektronen und Planeten unabhängig von uns existieren, existieren auch Zahlen und Mengen. Und so wie Aussagen über Elektronen und Planeten durch die Objekte, mit denen sie sich befassen, und die perfekt objektiven Eigenschaften dieser Objekte wahr oder falsch gemacht werden, sind es auch Aussagen über Zahlen und Mengen. Mathematische Wahrheiten werden daher entdeckt, nicht erfunden.

Das wichtigste Argument für die Existenz abstrakter mathematischer Objekte stammt von Gottlob Frege und lautet wie folgt (Frege 1953). Die Sprache der Mathematik gibt vor, sich auf abstrakte mathematische Objekte zu beziehen und diese zu quantifizieren. Und eine große Anzahl mathematischer Theoreme ist wahr. Ein Satz kann jedoch nur dann wahr sein, wenn seine Unterausdrücke das tun, was sie vorgeben. Es gibt also abstrakte mathematische Objekte, auf die sich diese Ausdrücke beziehen und über die sie quantifizieren.

Ungeachtet des Arguments von Frege haben Philosophen eine Reihe von Einwänden gegen den mathematischen Platonismus entwickelt. Daher wird behauptet, dass abstrakte mathematische Objekte erkenntnistheoretisch unzugänglich und metaphysisch problematisch sind. Der mathematische Platonismus war in den letzten Jahrzehnten eines der am heißesten diskutierten Themen in der Philosophie der Mathematik.

• 1. Was ist mathematischer Platonismus?

  • 1.1 Historische Bemerkungen
  • 1.2 Die philosophische Bedeutung des mathematischen Platonismus
  • 1.3 Objektrealismus
  • 1.4 Wahrheitswertrealismus
  • 1.5 Die mathematische Bedeutung des Platonismus

• 2. Das fregeanische Argument für die Existenz

  • 2.1 Die Struktur des Arguments
  • 2.2 Verteidigung der klassischen Semantik
  • 2.3 Die Wahrheit verteidigen
  • 2.4 Der Begriff des ontologischen Engagements
  • 2.5 Von der Existenz zum mathematischen Platonismus?

• 3. Einwände gegen den mathematischen Platonismus

  • 3.1 Erkenntnistheoretischer Zugang
  • 3.2 Ein metaphysischer Einwand
  • 3.3 Andere metaphysische Einwände

• 4. Zwischen Objektrealismus und mathematischem Platonismus

  • 4.1 Wie man Unabhängigkeit versteht
  • 4.2 Plenitude Platonismus
  • 4.3 Leichte semantische Werte
  • 4.4 Zwei weitere leichte Formen des Objektrealismus
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Was ist mathematischer Platonismus?

Der mathematische Platonismus kann als die Verbindung der folgenden drei Thesen definiert werden:

Existenz.

Es gibt mathematische Objekte.

Abstraktheit.

Mathematische Objekte sind abstrakt.

Unabhängigkeit.

Mathematische Objekte sind unabhängig von intelligenten Agenten und ihrer Sprache, ihrem Denken und ihrer Praxis.

Einige repräsentative Definitionen des "mathematischen Platonismus" sind in der Ergänzung aufgeführt

Einige Definitionen des Platonismus

und dokumentieren, dass die obige Definition ziemlich Standard ist.

Platonismus im Allgemeinen (im Gegensatz zum Platonismus in Bezug auf Mathematik im Speziellen) ist jede Ansicht, die sich aus den obigen drei Behauptungen ergibt, indem das Adjektiv 'mathematisch' durch ein anderes Adjektiv ersetzt wird.

Die ersten beiden Ansprüche sind für die vorliegenden Zwecke erträglich klar. Die Existenz kann als '∃ x Mx' formalisiert werden, wobei 'Mx' das Prädikat 'x ist ein mathematisches Objekt' abkürzt, das für alle und nur die von der reinen Mathematik untersuchten Objekte wie Zahlen, Mengen und Funktionen gilt. Die Abstraktheit besagt, dass jedes mathematische Objekt abstrakt ist, wobei ein Objekt als abstrakt bezeichnet wird, nur für den Fall, dass es nicht raumzeitlich und (daher) kausal unwirksam ist. (Weitere Informationen finden Sie im Eintrag zu abstrakten Objekten.)

Die Unabhängigkeit ist weniger klar als die beiden anderen Ansprüche. Was bedeutet es, einem Objekt diese Art von Unabhängigkeit zuzuschreiben? Der offensichtlichste Glanz ist wahrscheinlich die kontrafaktische Bedingung, dass es, wenn es keine intelligenten Agenten gegeben hätte oder deren Sprache, Gedanken oder Praktiken anders gewesen wären, immer noch mathematische Objekte gegeben hätte. Es ist jedoch zweifelhaft, dass dieser Glanz die gesamte Arbeit erledigt, die Independence leisten soll (siehe Abschnitt 4.1). Die Unabhängigkeit wird vorerst etwas schematisch bleiben.

1.1 Historische Bemerkungen

Der Platonismus muss von der Ansicht des historischen Platons unterschieden werden. Nur wenige Parteien der gegenwärtigen Debatte über den Platonismus erheben starke exegetische Behauptungen über Platons Ansicht, geschweige denn verteidigen sie. Obwohl die Ansicht, die wir "Platonismus" nennen, von Platons berühmter Theorie der abstrakten und ewigen Formen inspiriert ist (siehe den Eintrag über Platons Metaphysik und Erkenntnistheorie), wird der Platonismus nun unabhängig von seiner ursprünglichen historischen Inspiration definiert und diskutiert.

Der zur Diskussion stehende Platonismus ist nicht nur nicht Platons, der oben charakterisierte Platonismus ist eine rein metaphysische Sichtweise: Er sollte von anderen Ansichten unterschieden werden, die einen wesentlichen erkenntnistheoretischen Inhalt haben. Viele ältere Charakterisierungen des Platonismus fügen starke erkenntnistheoretische Ansprüche zu dem Effekt hinzu, dass wir das Reich der abstrakten Objekte unmittelbar erfassen oder in dieses einblicken können. (Siehe z. B. Rees 1967.) Es ist jedoch nützlich (und heutzutage ziemlich üblich), den Begriff "Platonismus" für die oben beschriebene rein metaphysische Sichtweise zu reservieren. Viele Philosophen, die den Platonismus in diesem rein metaphysischen Sinne verteidigen, würden die zusätzlichen erkenntnistheoretischen Behauptungen ablehnen. Beispiele hierfür sind Quine und andere Philosophen, die sich für das sogenannte Unentbehrlichkeitsargument interessieren, mit dem eine weitgehend empirische Verteidigung des mathematischen Platonismus angestrebt wird.(Siehe den Eintrag zu Unentbehrlichkeitsargumenten in der Philosophie der Mathematik.)

Schließlich schließt die obige Definition des "mathematischen Platonismus" die Behauptung aus, dass alle Wahrheiten der reinen Mathematik notwendig sind, obwohl diese Behauptung traditionell von den meisten Platonikern aufgestellt wurde. Wiederum ist dieser Ausschluss durch die Tatsache gerechtfertigt, dass einige Philosophen, die allgemein als Platoniker angesehen werden (zum Beispiel Quine und einige Anhänger des oben genannten Unentbehrlichkeitsarguments), diese zusätzliche modale Behauptung ablehnen.

1.2 Die philosophische Bedeutung des mathematischen Platonismus

Der mathematische Platonismus hat eine beträchtliche philosophische Bedeutung. Wenn die Ansicht wahr ist, wird dies großen Druck auf die physikalistische Vorstellung ausüben, dass die Realität durch das Physische erschöpft ist. Denn Platonismus bedeutet, dass die Realität weit über die physische Welt hinausgeht und Objekte umfasst, die nicht Teil der von den Naturwissenschaften untersuchten kausalen und raumzeitlichen Ordnung sind. ^[1] Wenn der mathematische Platonismus wahr ist, wird er auch viele naturalistische Wissenstheorien stark unter Druck setzen. Denn es besteht kaum ein Zweifel daran, dass wir mathematische Kenntnisse besitzen. Die Wahrheit des mathematischen Platonismus würde daher belegen, dass wir Kenntnis von abstrakten (und damit kausal unwirksamen) Objekten haben. Dies wäre eine wichtige Entdeckung, die viele naturalistische Wissenstheorien nur schwer berücksichtigen könnten.

Obwohl diese philosophischen Konsequenzen nicht nur für den mathematischen Platonismus gelten, ist diese besondere Form des Platonismus ungewöhnlich gut geeignet, um solche Konsequenzen zu unterstützen. Denn Mathematik ist eine bemerkenswert erfolgreiche Disziplin, sowohl für sich als auch als Werkzeug für andere Wissenschaften. ^[2] Nur wenige zeitgenössische analytische Philosophen sind bereit, einem der Kernansprüche einer Disziplin zu widersprechen, deren wissenschaftliche Referenzen so stark sind wie die der Mathematik (Lewis 1991, S. 57–9). Wenn die philosophische Analyse ergeben würde, dass die Mathematik einige seltsame und überraschende Konsequenzen hat, wäre es unattraktiv, die Mathematik einfach abzulehnen. ^[3]Eine Form des Platonismus, die auf einer Disziplin basiert, deren wissenschaftliche Referenzen weniger beeindruckend sind als die der Mathematik, wäre in dieser glücklichen Situation nicht vorhanden. Wenn sich beispielsweise herausstellt, dass die Theologie einige seltsame und überraschende philosophische Konsequenzen hat, zögern viele Philosophen nicht, die relevanten Teile der Theologie abzulehnen.

1.3 Objektrealismus

Der Objektrealismus sei die Ansicht, dass es abstrakte mathematische Objekte gibt. Objektrealismus ist also nur die Verbindung von Existenz und Abstraktheit. ^{[4] Der} Objektrealismus steht dem Nominalismus entgegen, der in der zeitgenössischen Philosophie typischerweise als die Ansicht definiert wird, dass es keine abstrakten Objekte gibt. (Im traditionelleren philosophischen Sprachgebrauch bezieht sich das Wort „Nominalismus“stattdessen auf die Ansicht, dass es keine Universalien gibt. Siehe Burgess & Rosen 1997, S. 13–25 und den Eintrag über abstrakte Objekte.)

Da der Objektrealismus die Unabhängigkeit auslässt, ist diese Ansicht logisch schwächer als der mathematische Platonismus. Die philosophischen Konsequenzen des Objektrealismus sind daher nicht so stark wie die des Platonismus. Viele Physiker würden nicht-physische Objekte akzeptieren, vorausgesetzt, diese sind von physischen Objekten abhängig oder auf diese reduzierbar. Sie können beispielsweise Objekte wie Unternehmen, Gesetze und Gedichte annehmen, sofern diese in geeigneter Weise von physischen Objekten abhängig oder auf diese reduzierbar sind. Darüber hinaus scheint es kein Geheimnis über den epistemischen Zugang zu nicht-physischen Objekten zu geben, die wir irgendwie gemacht oder "konstituiert" haben. Wenn Unternehmen, Gesetze und Gedichte von uns gemacht oder "konstituiert" werden, gewinnen wir vermutlich Kenntnis davon, wenn wir sie machen oder "konstituieren".

Einige Ansichten in der Philosophie der Mathematik sind objektrealistisch, ohne platonistisch zu sein. Ein Beispiel sind traditionelle intuitionistische Ansichten, die die Existenz mathematischer Objekte bestätigen, aber behaupten, dass diese Objekte von Mathematikern und ihren Aktivitäten abhängen oder von diesen konstituiert werden. ^[5] Einige weitere Beispiele für Ansichten, die objektrealistisch sind, ohne platonistisch zu sein, werden in Abschnitt 4 erörtert.

1.4 Wahrheitswertrealismus

Wahrheitswert-Realismus ist die Ansicht, dass jede wohlgeformte mathematische Aussage einen einzigartigen und objektiven Wahrheitswert hat, der unabhängig davon ist, ob er uns bekannt ist und ob er sich logisch aus unseren aktuellen mathematischen Theorien ergibt. Die Ansicht besagt auch, dass die meisten mathematischen Aussagen, die als wahr angesehen werden, tatsächlich wahr sind. Der Wahrheitswert-Realismus ist also eindeutig eine metaphysische Sichtweise. Aber im Gegensatz zum Platonismus ist es keine ontologische Sichtweise. Denn obwohl der Wahrheitsrealismus behauptet, dass mathematische Aussagen einzigartige und objektive Wahrheitswerte haben, ist er nicht der eindeutig platonistischen Idee verpflichtet, dass diese Wahrheitswerte durch eine Ontologie mathematischer Objekte erklärt werden sollen.

Der mathematische Platonismus motiviert eindeutig den Wahrheitsrealismus, indem er einen Bericht darüber liefert, wie mathematische Aussagen ihre Wahrheitswerte erhalten. Die erstere Ansicht beinhaltet jedoch nicht die letztere, es sei denn, es werden weitere Prämissen hinzugefügt. Denn selbst wenn es mathematische Objekte gibt, kann die referenzielle und quantitative Unbestimmtheit mathematischen Aussagen einen eindeutigen und objektiven Wahrheitswert entziehen. Umgekehrt bedeutet Wahrheitsrealismus an sich keine Existenz und impliziert somit weder Objektrealismus noch Platonismus. Denn es gibt verschiedene Berichte darüber, wie mathematische Aussagen zu einzigartigen und objektiven Wahrheitswerten führen können, die keinen Bereich mathematischer Objekte darstellen. ^[6]

Tatsächlich befürworten viele Nominalisten den Wahrheitswert-Realismus, zumindest in Bezug auf grundlegendere Zweige der Mathematik wie die Arithmetik. Nominalisten dieser Art bekennen sich zu der etwas seltsam klingenden Ansicht, dass, obwohl die gewöhnliche mathematische Aussage

(1) Es gibt Primzahlen zwischen 10 und 20.

ist wahr, es gibt tatsächlich keine mathematischen Objekte und somit insbesondere keine Zahlen. Aber hier gibt es keinen Widerspruch. Wir müssen unterscheiden zwischen der Sprache L _M, in der Mathematiker ihre Ansprüche geltend machen, und der Sprache L _P, in der Nominalisten und andere Philosophen ihre Ansprüche geltend machen. Die Aussage (1) ist in L _{M gemacht}. Aber die Behauptung des Nominalisten, dass (1) wahr ist, aber dass es keine abstrakten Objekte gibt, wird in L _{P gemacht}. Die Behauptung des Nominalisten ist somit vollkommen kohärent, vorausgesetzt, (1) wird nicht homophon von L _M nach L _{P übersetzt}. Und in der Tat, wenn der Nominalist behauptet, dass die Wahrheitswerte von Sätzen von L _M.sind auf eine Weise festgelegt, die mathematische Objekte nicht anspricht, genau diese Art von nicht homophoner Übersetzung hat sie im Sinn. Die im vorherigen Hinweis erwähnte Ansicht bietet ein Beispiel.

Dies zeigt, dass der Anspruch Existenz, um seine beabsichtigte Wirkung zu entfalten, in der von uns Philosophen verwendeten Sprache L _P ausgedrückt werden muss. Wenn die Behauptung in der von Mathematikern verwendeten Sprache L _M ausgedrückt würde, könnten Nominalisten die Behauptung akzeptieren und dennoch leugnen, dass es mathematische Objekte gibt, die dem Zweck der Behauptung widersprechen.

Eine kleine, aber wichtige Tradition von Philosophen drängt darauf, dass die Debatte über den Platonismus durch eine Debatte über den Wahrheitswert-Realismus ersetzt oder zumindest in eine solche umgewandelt wird. Ein Grund für diese Ansicht ist, dass die erstere Debatte hoffnungslos unklar ist, während die letztere leichter nachvollziehbar ist (Dummett 1978a, S. 228–232 und Dummett 1991b, S. 10–15). Ein weiterer Grund ist, dass die Debatte über den Wahrheitswert-Realismus sowohl für die Philosophie als auch für die Mathematik von größerer Bedeutung ist als die über den Platonismus. ^[7]

1.5 Die mathematische Bedeutung des Platonismus

Arbeitsrealismus ist die methodologische Ansicht, dass Mathematik so praktiziert werden sollte, als ob Platonismus wahr wäre (Bernays 1935, Shapiro 1997, S. 21–27 und 38–44). Dies bedarf einiger Erklärung. In Debatten über die Grundlagen der Mathematik wurde Platonismus oft verwendet, um bestimmte mathematische Methoden zu verteidigen, wie zum Beispiel die folgenden:

1. Klassische Sprachen erster Ordnung (oder stärker), deren singuläre Begriffe und Quantifizierer sich auf mathematische Objekte zu beziehen scheinen und sich über diese erstrecken. (Dies steht im Gegensatz zu den Sprachen, die früher in der Geschichte der Mathematik dominierten und sich stärker auf konstruktives und modales Vokabular stützten.)
2. Klassische statt intuitionistische Logik.
3. Nicht konstruktive Methoden (wie nicht konstruktive Existenzbeweise) und nicht konstruktive Axiome (wie das Axiom of Choice).
4. Impredikative Definitionen (dh Definitionen, die über eine Gesamtheit quantifizieren, zu der das zu definierende Objekt gehören würde).
5. "Hilbertscher Optimismus", dh der Glaube, dass jedes mathematische Problem im Prinzip lösbar ist. ^[8]

Nach dem Arbeitsrealismus sind diese und andere klassische Methoden akzeptabel und in allen mathematischen Überlegungen verfügbar. Der funktionierende Realismus bezieht sich jedoch nicht darauf, ob diese Methoden eine philosophische Verteidigung erfordern und wenn ja, ob diese Verteidigung auf Platonismus beruhen muss. Kurz gesagt, wo Platonismus eine explizit philosophische Sichtweise ist, ist Arbeitsrealismus in erster Linie eine Sichtweise innerhalb der Mathematik selbst auf die korrekte Methodik dieser Disziplin. Platonismus und Arbeitsrealismus sind daher unterschiedliche Ansichten.

Es kann jedoch natürlich logische Beziehungen zwischen den beiden Ansichten geben. Angesichts des Ursprungs des Arbeitsrealismus ist es nicht verwunderlich, dass die Ansicht vom mathematischen Platonismus stark unterstützt wird. Angenommen, der mathematische Platonismus ist wahr. Dann sollte die Sprache der Mathematik eindeutig wie in (i) beschrieben sein. Zweitens würde (ii) auch folgen, sofern es legitim ist, klassisch über einen unabhängig existierenden Teil der Realität zu argumentieren. Drittens, da der Platonismus sicherstellt, dass die Mathematik entdeckt und nicht erfunden wird, müssten sich die Mathematiker nicht auf konstruktive Methoden und Axiome beschränken, was (iii) festlegt. Viertens gibt es ein starkes und einflussreiches Argument von Gödel (1944), dass improvisierte Definitionen immer dann legitim sind, wenn die zu definierenden Objekte unabhängig von unseren Definitionen existieren.(Zum Beispiel erscheint "der größte Junge in der Klasse" unproblematisch, obwohl er nicht aussagekräftig ist.) Wenn dies richtig ist, würde (iv) folgen. Wenn es in der Mathematik um eine unabhängig existierende Realität geht, hat jedes mathematische Problem eine eindeutige und bestimmte Antwort, die zumindest eine gewisse Motivation für den Hilbertschen Optimismus liefert. (Siehe jedoch die Diskussion des Platonismus in Fülle in Abschnitt 4.2.)

Die Wahrheit des mathematischen Platonismus hätte daher wichtige Konsequenzen für die Mathematik selbst. Es würde die klassischen Methoden des Arbeitsrealismus rechtfertigen und die Suche nach neuen Axiomen fördern, um Fragen (wie die Kontinuumshypothese) zu klären, die von unseren aktuellen mathematischen Theorien offen gelassen werden.

Arbeitsrealismus impliziert jedoch in keiner offensichtlichen Weise Platonismus. Obwohl der Arbeitsrealismus besagt, dass wir berechtigt sind, die platonistische Sprache der zeitgenössischen Mathematik zu verwenden, bleibt dies in mindestens zweierlei Hinsicht hinter dem Platonismus zurück. Wie die obige Diskussion des Wahrheitswert-Realismus gezeigt hat, kann die platonistische Sprache der Mathematik so analysiert werden, dass eine Bezugnahme auf und Quantifizierung über mathematische Objekte vermieden wird. Selbst wenn eine Nennwertanalyse der Sprache der Mathematik gerechtfertigt sein könnte, würde dies den Objektrealismus unterstützen, aber nicht den Platonismus. Für die dritte Komponente des Platonismus, nämlich die Unabhängigkeit, wäre ein zusätzliches Argument erforderlich. Die Aussichten für ein solches Argument werden in Abschnitt 4.1 erörtert.

2. Das fregeanische Argument für die Existenz

Wir beschreiben nun eine Vorlage eines Arguments für die Existenz mathematischer Objekte. Da der erste Philosoph, der ein Argument dieser allgemeinen Form entwickelte, Frege war, wird es als Fregean-Argument bezeichnet. Die Vorlage ist jedoch allgemein gehalten und abstrahiert von den spezifischsten Aspekten von Freges eigener Verteidigung der Existenz mathematischer Objekte, wie beispielsweise seiner Ansicht, dass Arithmetik auf Logik reduzierbar ist. Fregeanischer Logikismus ist nur eine Möglichkeit, diese Vorlage zu entwickeln. Einige andere Möglichkeiten werden unten erwähnt.

2.1 Die Struktur des Arguments

Das Fregean-Argument basiert auf zwei Prämissen, von denen die erste die Semantik der Sprache der Mathematik betrifft:

Klassische Semantik.

Die singulären Begriffe der Sprache der Mathematik sollen sich auf mathematische Objekte beziehen, und ihre Quantifizierer erster Ordnung sollen sich über solche Objekte erstrecken.

Das Wort "angeblich" muss erklärt werden. Wenn ein Satz S vorgibt, auf eine bestimmte Weise zu verweisen oder zu quantifizieren, bedeutet dies, dass es S gelingen muss, auf diese Weise zu verweisen oder zu quantifizieren, damit S wahr ist.

Die zweite Prämisse bedarf nicht vieler Erklärungen:

Wahrheit.

Die meisten Sätze, die als mathematische Theoreme akzeptiert werden, sind wahr (unabhängig von ihrer syntaktischen und semantischen Struktur).

Betrachten Sie Sätze, die als mathematische Theoreme akzeptiert werden und einen oder mehrere mathematische Singularbegriffe enthalten. In Wahrheit sind die meisten dieser Sätze wahr. ^[9] Sei S ein solcher Satz. Nach der klassischen Semantik erfordert die Wahrheit von S, dass es seinen singulären Begriffen gelingt, sich auf mathematische Objekte zu beziehen. Daher muss es mathematische Objekte geben, wie durch die Existenz behauptet. ^[10]

2.2 Verteidigung der klassischen Semantik

Die klassische Semantik behauptet, dass die Sprache der Mathematik semantisch ähnlich funktioniert wie die Sprache in allgemeinen Funktionen (oder zumindest traditionell als funktionierend angenommen wurde): Die semantischen Funktionen von singulären Begriffen und Quantifizierern sollen sich auf Objekte beziehen bzw. sich über Objekte erstrecken. Dies ist eine weitgehend empirische Behauptung über die Funktionsweise einer semi-formalen Sprache, die von der Gemeinschaft der professionellen Mathematiker verwendet wird. (In der weit verbreiteten Terminologie von Burgess & Rosen 1997, S. 6–7, ist die klassische Semantik eine hermeneutische Behauptung, dh eine beschreibende Behauptung darüber, wie eine bestimmte Sprache tatsächlich verwendet wird, keine normative Behauptung darüber, wie diese Sprache verwendet wird sollte verwendet werden.) Beachten Sie auch, dass klassische Semantikist mit den meisten traditionellen Ansichten zur Semantik kompatibel; Insbesondere ist es mit allen Standardansichten über die Bedeutung von Sätzen kompatibel, nämlich dass es sich um Wahrheitswerte, Sätze oder Mengen möglicher Welten handelt.

Die klassische Semantik ist auf den ersten Blick plausibel. Denn die Sprache der Mathematik scheint stark die gleiche semantische Struktur zu haben wie die gewöhnliche nichtmathematische Sprache. Wie Burgess (1999) feststellt, scheinen die folgenden beiden Sätze dieselbe einfache semantische Struktur eines Prädikats zu haben, das einem Subjekt zugeschrieben wird (S. 288):

(4) Evelyn ist prim.

(5) Elf ist Primzahl.

Dieses Erscheinungsbild wird auch durch die von Linguisten und Semantikern vorgeschlagenen semantischen Standardanalysen bestätigt.

Die klassische Semantik wurde dennoch in Frage gestellt, beispielsweise von Nominalisten wie Hellman (1989) und Hofweber (2005 und 2016). (Siehe auch Moltmann (2013) für einige Herausforderungen im Zusammenhang mit dem arithmetischen Vokabular in natürlicher Sprache.) Dies ist nicht der Ort für eine ausführliche Diskussion solcher Herausforderungen. Lassen Sie mich nur bemerken, dass viel Arbeit erforderlich ist, um diese Art von Herausforderung zu begründen. Der Herausforderer muss argumentieren, dass die offensichtlichen semantischen Ähnlichkeiten zwischen mathematischer und nichtmathematischer Sprache täuschen. Und diese Argumente müssen von der Art sein, die Linguisten und Semantiker - ohne Interesse an der Philosophie der Mathematik - als bedeutsam erkennen könnten. ^[11]

2.3 Die Wahrheit verteidigen

Die Wahrheit kann auf verschiedene Arten verteidigt werden. Allen Verteidigungen ist gemeinsam, dass sie zunächst einen Standard identifizieren, anhand dessen die Wahrheitswerte mathematischer Aussagen bewertet werden können, und dann argumentieren, dass mathematische Theoreme diesen Standard erfüllen.

Eine Möglichkeit besteht darin, sich auf einen Standard zu berufen, der grundlegender ist als der der Mathematik. Die Logik liefert ein Beispiel. Frege und andere Logiker behaupten zunächst, dass jeder Satz der reinen Logik wahr ist. Dann versuchen sie zu zeigen, dass die Sätze bestimmter Zweige der Mathematik allein aus reiner Logik und Definitionen bewiesen werden können.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, sich auf die Standards der empirischen Wissenschaft zu berufen. Das Argument der Unentbehrlichkeit von Quine-Putnam liefert ein Beispiel. Zunächst wird argumentiert, dass jeder unverzichtbare Teil der empirischen Wissenschaft wahrscheinlich wahr ist und daher etwas ist, an das wir zu Recht glauben. Dann wird argumentiert, dass große Mengen an Mathematik für die empirische Wissenschaft unverzichtbar sind. Wenn beide Behauptungen richtig sind, folgt daraus, dass die Wahrheit wahrscheinlich wahr ist und dass der Glaube an die Wahrheit daher gerechtfertigt ist. (Siehe den Eintrag zu Unentbehrlichkeitsargumenten in der Philosophie der Mathematik.)

Eine dritte Möglichkeit besteht darin, sich auf die Standards der Mathematik selbst zu berufen. Warum sollte man sich auf nichtmathematische Standards wie die der Logik oder der empirischen Wissenschaft berufen müssen, um die Wahrheit der mathematischen Theoreme zu verteidigen? Wenn wir die Wahrheit der Behauptungen von Logik und Physik verteidigen, müssen wir uns nicht auf Standards außerhalb von Logik bzw. Physik berufen. Wir gehen vielmehr davon aus, dass Logik und Physik ihre eigenen sui generis-Rechtfertigungsstandards liefern. Warum sollte Mathematik anders sein? Diese dritte Strategie hat in den letzten Jahren viel Aufmerksamkeit erhalten, häufig unter der Überschrift "Naturalismus" oder "mathematischer Naturalismus". (Siehe Burgess & Rosen 1997, Maddy 1997 und für eine kritische Diskussion den Eintrag über Naturalismus in der Philosophie der Mathematik.)

Hier ist ein Beispiel, wie eine naturalistische Strategie entwickelt werden kann. Nennen Sie die Haltung, die Mathematiker zu den Theoremen der Mathematik einnehmen, "Akzeptanz". Dann erscheinen folgende Behauptungen plausibel:

(6) Mathematiker sind berechtigt, die Sätze der Mathematik zu akzeptieren.

(7) Um eine mathematische Aussage S zu akzeptieren, muss S als wahr angesehen werden.

(8) Wenn ein Mathematiker eine mathematische Aussage S akzeptiert, ist der Inhalt dieser Haltung im Allgemeinen die wörtliche Bedeutung von S.

Aus diesen drei Behauptungen folgt, dass mathematische Experten berechtigt sind, die Sätze der Mathematik als wörtliche Wahrheiten zu betrachten. Im weiteren Sinne ist auch der Rest von uns berechtigt, an die Wahrheit zu glauben. Beachten Sie, dass die Experten, mit denen (6) befasst ist, nicht selbst (7) und (8) glauben müssen, geschweige denn in einem solchen Glauben gerechtfertigt sein müssen. Was zählt ist, dass die drei Behauptungen wahr sind. Die Aufgabe, die Wahrheit von (7) und (8) festzustellen, kann Linguisten, Psychologen, Soziologen oder Philosophen obliegen, aber sicherlich nicht den Mathematikern selbst.

2.4 Der Begriff des ontologischen Engagements

Versionen des Fregean-Arguments werden manchmal in Bezug auf den Begriff des ontologischen Engagements angegeben. Angenommen, wir arbeiten mit dem Standard-Quinean-Kriterium des ontologischen Engagements:

Quines Kriterium.

Ein Satz erster Ordnung (oder eine Sammlung solcher Sätze) ist ontologisch an solche Objekte gebunden, von denen angenommen werden muss, dass sie im Bereich der Variablen liegen, damit der Satz (oder die Sammlung von Sätzen) wahr ist.

Aus der klassischen Semantik folgt dann, dass viele Sätze der Mathematik ontologisch an mathematische Objekte gebunden sind. Um dies zu sehen, betrachten wir einen typischen mathematischen Satz S, der ein normales Auftreten von singulären Termen oder Quantifizierern erster Ordnung beinhaltet. Nach klassischer Semantik sollen diese Ausdrücke auf mathematische Objekte verweisen oder sich über diese erstrecken. Damit S wahr ist, müssen diese Ausdrücke erfolgreich das tun, was sie vorgeben zu tun. Damit S wahr ist, müssen sich folglich mathematische Objekte im Bereich der Variablen befinden. Nach Quines Kriterium bedeutet dies, dass S ontologisch an mathematische Objekte gebunden ist.

Quine und viele andere betrachten Quines Kriterium kaum mehr als eine Definition des Begriffs „ontologisches Engagement“(Quine 1969 und Burgess 2004). Das Kriterium wurde jedoch in Frage gestellt. Einige Philosophen bestreiten, dass singuläre Terme und Quantifizierer erster Ordnung automatisch zu ontologischen Verpflichtungen führen. Vielleicht ist das, was „von der Welt verlangt wird“, damit der Satz wahr ist, die Existenz einiger, aber nicht aller Objekte im Bereich der Quantifizierer (Rayo 2008). Oder vielleicht sollten wir die Verbindung zwischen dem existenziellen Quantifizierer erster Ordnung und dem Begriff des ontologischen Engagements trennen (Azzouni 2004, Hofweber 2000 und 2016).

Eine Antwort auf diese Herausforderungen ist die Feststellung, dass das oben genannte Fregean-Argument ohne Verwendung des Begriffs „ontologisches Engagement“entwickelt wurde. Jede Anfechtung der Definition des „ontologischen Engagements“durch Quines Kriterium erscheint daher für die oben entwickelte Version des Fregean-Arguments irrelevant. Es ist jedoch unwahrscheinlich, dass diese Antwort die Herausforderer zufriedenstellt, die darauf antworten, dass die Schlussfolgerung des oben entwickelten Arguments zu schwach ist, um die beabsichtigte Wirkung zu erzielen. Denken Sie daran, dass die Schlussfolgerung Existenz in unserer philosophischen Metasprache L _P formalisiert istals '∃ x Mx'. Diese Formalisierung wird also nicht ihre beabsichtigte Wirkung entfalten, es sei denn, dieser metasprachliche Satz ist von der Art, die ontologisches Engagement erfordert. Aber genau das bestreiten die Herausforderer. Diese Kontroverse kann hier nicht weiter verfolgt werden. Im Moment stellen wir lediglich fest, dass die Herausforderer einen Bericht darüber vorlegen müssen, warum ihre nicht standardmäßige Vorstellung von ontologischem Engagement besser und theoretisch interessanter ist als die übliche Vorstellung von Quinean.

2.5. Von der Existenz zum mathematischen Platonismus?

Nehmen wir an, wir akzeptieren die Existenz, vielleicht basierend auf dem Fregean-Argument. Wie wir gesehen haben, ist dies noch nicht erforderlich, um den mathematischen Platonismus zu akzeptieren, der das Ergebnis der Hinzufügung der beiden weiteren Ansprüche Abstraktheit und Unabhängigkeit zur Existenz ist. Sind diese beiden weiteren Ansprüche vertretbar?

Nach den Maßstäben der Philosophie ist die Abstraktheit relativ unumstritten geblieben. Zu den wenigen Philosophen, die dies in Frage gestellt haben, gehören Maddy (1990) (in Bezug auf unreine Mengen) und Bigelow (1988) (in Bezug auf Mengen und verschiedene Arten von Zahlen). Dieser relative Mangel an Kontroversen bedeutet, dass nur wenige explizite Verteidigungen der Abstraktheit vorliegensind entwickelt worden. Aber es ist nicht schwer zu sehen, wie eine solche Verteidigung verlaufen könnte. Hier ist eine Idee. Es ist eine plausible Anscheinsbeschränkung für jede philosophische Interpretation der mathematischen Praxis, dass sie es vermeiden sollte, der Mathematik Merkmale zuzuweisen, die die tatsächliche mathematische Praxis fehlgeleitet oder unangemessen machen würden. Diese Einschränkung macht es schwer zu leugnen, dass die Objekte der reinen Mathematik abstrakt sind. Denn wenn diese Objekte räumlich-zeitliche Orte hätten, wäre die tatsächliche mathematische Praxis fehlgeleitet und unangemessen, da reine Mathematiker sich dann für die Orte ihrer Objekte interessieren sollten, so wie Zoologen sich für die Orte von Tieren interessieren. Die Tatsache, dass reine Mathematiker sich nicht für diese Frage interessieren, legt nahe, dass ihre Objekte abstrakt sind.

Die Unabhängigkeit besagt, dass mathematische Objekte, falls vorhanden, unabhängig von intelligenten Agenten und deren Sprache, Gedanken und Praktiken sind. Wir werden in Abschnitt 4 diskutieren, was diese These bedeuten könnte und wie sie verteidigt werden könnte.

3. Einwände gegen den mathematischen Platonismus

Eine Vielzahl von Einwänden gegen den mathematischen Platonismus wurde entwickelt. Hier sind die wichtigsten.

3.1 Erkenntnistheoretischer Zugang

Der einflussreichste Einwand ist wahrscheinlich der von Benacerraf (1973) inspirierte. Was folgt, ist eine verbesserte Version von Benacerrafs Einwand gegen Field (1989). ^[12] Diese Version stützt sich auf die folgenden drei Prämissen.

Prämisse 1.	Mathematiker sind zuverlässig in dem Sinne, dass für fast jeden mathematischen Satz S, wenn Mathematiker S akzeptieren, S wahr ist.
Prämisse 2.	Damit der Glaube an die Mathematik gerechtfertigt ist, muss es zumindest prinzipiell möglich sein, die in Prämisse 1 beschriebene Zuverlässigkeit zu erklären.
Prämisse 3.	Wenn mathematischer Platonismus wahr ist, kann diese Zuverlässigkeit nicht einmal im Prinzip erklärt werden.

Wenn diese drei Prämissen richtig sind, wird der mathematische Platonismus unsere Rechtfertigung für den Glauben an die Mathematik untergraben.

Aber sind die Prämissen korrekt? Die ersten beiden Prämissen sind relativ unumstritten. Die meisten Platoniker sind bereits an Prämisse 1 gebunden. Und Prämisse 2 scheint ziemlich sicher zu sein. Wenn die Zuverlässigkeit eines Verfahrens zur Glaubensbildung nicht einmal im Prinzip erklärt werden könnte, dann scheint das Verfahren rein zufällig zu funktionieren und untergräbt damit jede Rechtfertigung, die wir für die auf diese Weise hergestellten Überzeugungen haben.

Prämisse 3 ist weitaus kontroverser. Field verteidigt diese Prämisse, indem er beobachtet, dass „die Wahrheitswerte unserer mathematischen Behauptungen von Tatsachen abhängen, an denen platonische Einheiten beteiligt sind, die sich in einem Bereich außerhalb der Raumzeit befinden“(Field 1989, S. 68) und daher selbst in kausal von uns isoliert sind Prinzip. Diese Verteidigung geht jedoch davon aus, dass jede angemessene Erklärung der fraglichen Zuverlässigkeit eine kausale Korrelation beinhalten muss. Dies wurde von einer Vielzahl von Philosophen in Frage gestellt, die minimalere Erklärungen für den Zuverlässigkeitsanspruch vorgeschlagen haben. (Siehe Burgess & Rosen 1997, S. 41–49 und Lewis 1991, S. 111–112; vgl. Auch Clarke-Doane 2016. Siehe Linnebo 2006 für eine Kritik.) ^[13]

3.2 Ein metaphysischer Einwand

Ein anderer berühmter Artikel von Benacerraf entwickelt einen metaphysischen Einwand gegen den mathematischen Platonismus (Benacerraf 1965, vgl. Auch Kitcher 1978). Obwohl sich Benacerraf auf die Arithmetik konzentriert, verallgemeinert sich der Einwand natürlich auf die meisten rein mathematischen Objekte.

Benacerraf beginnt mit der Verteidigung einer sogenannten strukturalistischen Sicht auf die natürlichen Zahlen, nach der die natürlichen Zahlen keine anderen Eigenschaften haben als die, die sie aufgrund ihrer Position in einer ω-Sequenz haben. Zum Beispiel gibt es nichts Schöneres, als die Nummer 3 zu sein, als bestimmte intrastrukturell definierte relationale Eigenschaften zu haben, wie z. B. die Nachfolge von 2, die Hälfte von 6 und die Primzahl. Egal wie intensiv wir uns mit Arithmetik und Mengenlehre beschäftigen, wir werden nie erfahren, ob 3 mit der vierten von Neumann-Ordnungszahl oder mit der entsprechenden Zermelo-Ordnungszahl oder, wie Frege vorgeschlagen hat, mit der Klasse aller dreigliedrigen Klassen identisch ist (in einem System, das solche Klassen zulässt).

Benacerraf zieht nun folgende Schlussfolgerung:

Zahlen sind also überhaupt keine Objekte, denn wenn Sie die Eigenschaften… von Zahlen angeben, charakterisieren Sie lediglich eine abstrakte Struktur - und der Unterschied liegt in der Tatsache, dass die „Elemente“der Struktur keine anderen Eigenschaften haben als diejenigen, die sie mit anderen in Beziehung setzen. “Elemente “derselben Struktur. (Benacerraf 1965, S. 291)

Mit anderen Worten, Benacerraf behauptet, dass es keine Objekte geben kann, die nur strukturelle Eigenschaften haben. Alle Objekte müssen auch einige nicht strukturelle Eigenschaften haben. (Siehe Benacerraf 1996 für einige spätere Überlegungen zu diesem Argument.)

Beide Schritte von Benacerrafs Argumentation sind umstritten. Der erste Schritt - dass natürliche Zahlen nur strukturelle Eigenschaften haben - wurde kürzlich von einer Vielzahl mathematischer Strukturalisten verteidigt (Parsons 1990, Resnik 1997 und Shapiro 1997). Dieser Schritt wird jedoch von Logikern und Neologikern abgelehnt, die behaupten, dass die natürlichen Zahlen untrennbar mit den Kardinalitäten der Sammlungen verbunden sind, die sie nummerieren. Und der zweite Schritt - dass es keine Objekte mit nur strukturellen Eigenschaften geben kann - wird von allen Strukturalisten, die den ersten Schritt verteidigen, ausdrücklich abgelehnt. (Für einige Stimmen, die mit dem zweiten Schritt einverstanden sind, siehe Hellman 2001 und MacBride 2005. Siehe auch Linnebo 2008 zur Diskussion.)

3.3 Andere metaphysische Einwände

Zusätzlich zu Benacerrafs wurden verschiedene metaphysische Einwände gegen den mathematischen Platonismus entwickelt. Eines der bekanntesten Beispiele ist ein Argument von Nelson Goodman gegen die Mengenlehre. Goodman (1956) verteidigt das Prinzip des Nominalismus, wonach zwei Entitäten immer dann identisch sind, wenn sie dieselben Grundbestandteile haben. Dieses Prinzip kann als Stärkung des bekannten satztheoretischen Axioms der Extensionalität angesehen werden. Das Axiom der Extensionalität besagt, dass wenn zwei Mengen x und y die gleichen Elemente haben, dh wenn ∀ u (u ∈ x ↔ u ∈ y), sie dann identisch sind. Das Prinzip des Nominalismus wird erhalten, indem die Mitgliedschaftsbeziehung durch ihre transitive Schließung ersetzt wird. ^[14]Das Prinzip besagt also, dass wenn x und y von denselben Individuen ∈ * getragen werden - das heißt, wenn ∀ u (u ∈ * x ↔ u ∈ * y) - dann x und y identisch sind. Indem Goodman dieses Prinzip befürwortet, verbietet er die Bildung von Mengen und Klassen und erlaubt nur die Bildung von mereologischen Summen und die Anwendung auf die üblichen mereologischen Operationen (wie in seinem „Kalkül der Individuen“beschrieben).

Goodmans Verteidigung des Prinzips des Nominalismus wird heute jedoch allgemein als nicht überzeugend angesehen, wie die weit verbreitete Akzeptanz der Mengenlehre als legitimer und wertvoller Zweig der Mathematik bei Philosophen und Mathematikern zeigt.

4. Zwischen Objektrealismus und mathematischem Platonismus

Der Objektrealismus besagt, dass es abstrakte mathematische Objekte gibt, während der Platonismus die Unabhängigkeit hinzufügt, die besagt, dass mathematische Objekte unabhängig von intelligenten Agenten und ihrer Sprache, ihrem Denken und ihren Praktiken sind. Dieser letzte Abschnitt befasst sich mit einigen leichten Formen des Objektrealismus, die kurz vor dem vollwertigen Platonismus stehen bleiben.

4.1 Unabhängigkeit verstehen

Ein natürlicher Glanz der Unabhängigkeit ist die kontrafaktische Bedingung, dass es, wenn es keine intelligenten Agenten gegeben hätte oder deren Sprache, Gedanken oder Praktiken angemessen anders gewesen wären, immer noch mathematische Objekte gegeben hätte.

Diese kontrafaktische Unabhängigkeit (wie wir sie nennen können) wird von den meisten analytischen Philosophen akzeptiert. Um zu sehen, warum, betrachten Sie die Rolle, die die Mathematik in unserer Argumentation spielt. Wir denken oft über Szenarien nach, die nicht aktuell sind. Würden wir eine Brücke über diesen Canyon bauen, sagen wir, wie stark müsste es sein, um den starken Windböen standzuhalten? Leider ist die vorherige Brücke eingestürzt. Wäre es so gewesen, wenn die Stahlträger doppelt so dick gewesen wären? Diese Form des Denkens über kontrafaktische Szenarien ist sowohl für unsere alltäglichen Überlegungen als auch für die Wissenschaft unverzichtbar. Die Zulässigkeit einer solchen Argumentation hat eine wichtige Konsequenz. Da die Wahrheiten der reinen Mathematik in unserer kontrafaktischen Argumentation frei angesprochen werden können, folgt daraus, dass diese Wahrheiten kontrafaktisch unabhängig von uns Menschen sind.und alles andere intelligente Leben für diese Angelegenheit. Wäre da kein intelligentes Leben gewesen, wären diese Wahrheiten immer noch dieselben geblieben.

Die reine Mathematik unterscheidet sich in dieser Hinsicht stark von gewöhnlichen empirischen Wahrheiten. Hätte es nie ein intelligentes Leben gegeben, wäre dieser Artikel nicht geschrieben worden. Interessanterweise steht die reine Mathematik auch im Gegensatz zu verschiedenen sozialen Konventionen und Konstruktionen, mit denen sie manchmal verglichen wird (Cole 2009, Feferman 2009, Hersh 1997). Hätte es nie ein intelligentes Leben gegeben, hätte es keine Gesetze, Verträge oder Ehen gegeben - doch die mathematischen Wahrheiten wären dieselben geblieben.

Wenn Unabhängigkeit lediglich als kontrafaktische Unabhängigkeit verstanden wird, sollte jeder, der Objektrealismus akzeptiert, auch Platonismus akzeptieren.

Es ist jedoch zweifelhaft, dass dieses Verständnis der Unabhängigkeit ausreicht. Denn Unabhängigkeit soll eine Analogie zwischen mathematischen Objekten und gewöhnlichen physischen Objekten begründen. So wie Elektronen und Planeten unabhängig von uns existieren, existieren auch Zahlen und Mengen. Und so wie Aussagen über Elektronen und Planeten durch die Objekte, mit denen sie sich befassen, und die perfekt objektiven Eigenschaften dieser Objekte wahr oder falsch gemacht werden, sind es auch Aussagen über Zahlen und Mengen. Kurz gesagt, mathematische Objekte sind genauso „real“wie gewöhnliche physische Objekte (wenn nicht noch mehr, wie Platon dachte).

Betrachten wir nun einige Ansichten, die dieses stärkere Verständnis der Unabhängigkeit in Bezug auf die erwähnte Analogie ablehnen. Diese Ansichten sind somit leichte Formen des Objektrealismus, die kurz vor dem ausgewachsenen Platonismus stehen bleiben.

4.2 Plenitude Platonismus

Eine leichte Form des Objektrealismus ist der „Vollblutplatonismus“von Balaguer 1998. Diese Ansicht ist durch ein Fülleprinzip gekennzeichnet, das besagt, dass alle mathematischen Objekte, die existieren könnten, tatsächlich existieren. Da zum Beispiel die Kontinuumshypothese unabhängig von der Standardaxiomatisierung der Mengenlehre ist, gibt es ein Universum von Mengen, in dem die Hypothese wahr ist, und ein anderes, in dem sie falsch ist. Und keines der Universen ist metaphysisch privilegiert. Im Gegensatz dazu behauptet der traditionelle Platonismus, dass es ein einzigartiges Universum von Mengen gibt, in denen die Kontinuumshypothese entweder bestimmt wahr oder bestimmt falsch ist. ^[fünfzehn]

Ein angeblicher Vorteil dieser reichhaltigen Sichtweise liegt in der Erkenntnistheorie der Mathematik. Wenn jede konsistente mathematische Theorie für ein Universum mathematischer Objekte gilt, ist mathematisches Wissen in gewissem Sinne leicht zu erlangen: Sofern unsere mathematischen Theorien konsistent sind, gilt dies garantiert für ein Universum mathematischer Objekte.

Der „Vollblut-Platonismus“hat jedoch viel Kritik erhalten. Colyvan und Zalta 1999 kritisieren es, weil es die Möglichkeit der Bezugnahme auf mathematische Objekte untergräbt, und Restall 2003, weil es keine genaue und kohärente Formulierung des Plenitude-Prinzips gibt, auf dem die Ansicht basiert. Martin (2001) schlägt vor, verschiedene Universen von Mengen zusammenzuführen, um ein einziges maximales Universum zu erhalten, das privilegiert wird, wenn unsere Vorstellung von Mengen besser als jedes andere Universum von Mengen angepasst wird.

Eine andere Version des plonitudinösen Platonismus wird in Linsky & Zalta 1995 und einer Reihe weiterer Artikel entwickelt. (Siehe zum Beispiel Linsky & Zalta 2006 und andere darin zitierte Artikel.) Der traditionelle Platonismus geht schief, indem er „abstrakte Objekte nach dem Modell physikalischer Objekte konzipiert“(Linsky & Zalta 1995, S. 533), einschließlich in insbesondere die Idee, dass solche Objekte eher „spärlich“als reichlich sind. Linsky & Zalta entwickeln einen alternativen Ansatz auf der Grundlage der „Objekttheorie“des zweiten Autors. Das Hauptmerkmal der Objekttheorie ist ein sehr allgemeines Verständnisprinzip, das die Existenz einer Fülle abstrakter Objekte behauptet: Für jede Sammlung von Eigenschaften gibt es ein abstraktes Objekt, das genau diese Eigenschaften „codiert“. In der Objekttheorie darüber hinausZwei abstrakte Objekte sind identisch, nur für den Fall, dass sie genau dieselben Eigenschaften codieren. Das Verständnisprinzip und das Identitätskriterium der Objekttheorie sollen „die Verbindung zwischen unserer kognitiven Fähigkeit des Verstehens und abstrakten Objekten herstellen“(ebd., S. 547). (Siehe Ebert & Rossberg 2007 für eine kritische Diskussion.)

4.3 Leichte semantische Werte

Angenommen, der Objektrealismus ist wahr. Nehmen Sie der Einfachheit halber auch die klassische Semantik an. Diese Annahmen stellen sicher, dass sich die singulären Begriffe und Quantifizierer der mathematischen Sprache auf abstrakte Objekte beziehen und sich über diese erstrecken. Sollte man angesichts dieser Annahmen auch ein mathematischer Platoniker sein? Mit anderen Worten, erfüllen die Objekte, auf die sich mathematische Sätze beziehen und über die sie quantifizieren, die Unabhängigkeit oder eine ähnliche Bedingung?

Es wird nützlich sein, unsere Annahmen neutraler zu formulieren. Wir können dies tun, indem wir uns auf den Begriff eines semantischen Wertes berufen, der eine wichtige Rolle in der Semantik und der Sprachphilosophie spielt. In diesen Bereichen wird allgemein angenommen, dass jeder Ausdruck einen bestimmten Beitrag zum Wahrheitswert von Sätzen leistet, in denen der Ausdruck vorkommt. Dieser Beitrag wird als semantischer Wert des Ausdrucks bezeichnet. Es wird allgemein angenommen, dass (zumindest in Erweiterungskontexten) der semantische Wert eines singulären Begriffs nur sein Bezugspunkt ist.

Unsere Annahmen können nun neutral als die Behauptung ausgedrückt werden, dass mathematische singuläre Terme abstrakte semantische Werte haben und dass ihre Quantifizierer sich über die Arten von Elementen erstrecken, die als semantische Werte dienen. Konzentrieren wir uns auf die Behauptung über einzelne Begriffe. Welche philosophische Bedeutung hat diese Behauptung? Unterstützt es insbesondere eine Version von Independence ? Die Antwort hängt davon ab, was erforderlich ist, damit ein mathematischer Singularbegriff einen semantischen Wert hat.

Einige Philosophen argumentieren, dass nicht sehr viel erforderlich ist (Frege 1953, Dummett 1981, Dummett 1991a, Wright 1983, Hale & Wright 2000, Rayo 2013 und Linnebo 2012 und 2018). Es reicht aus, wenn der Ausdruck t einen bestimmten Beitrag zu den Wahrheitswerten der Sätze leistet, in denen er vorkommt. Der gesamte Zweck des Begriffs eines semantischen Wertes bestand darin, solche Beiträge darzustellen. Es reicht daher aus, wenn ein singulärer Begriff einen semantischen Wert besitzt, um einen solchen geeigneten Beitrag zu leisten.

Dies könnte sogar den Weg für eine Form des nicht-eliminativen Reduktionismus über mathematische Objekte ebnen (Dummett 1991a, Linnebo 2018). Obwohl es vollkommen richtig ist, dass der mathematische Singularbegriff t ein abstraktes Objekt als semantischen Wert hat, kann diese Wahrheit aufgrund grundlegenderer Tatsachen erhalten werden, die das relevante abstrakte Objekt nicht erwähnen oder einbeziehen. Vergleichen Sie zum Beispiel das Eigentumsverhältnis, das zwischen einer Person und ihrem Bankkonto besteht. Obwohl es vollkommen richtig ist, dass die Person das Bankkonto besitzt, kann diese Wahrheit aufgrund grundlegenderer soziologischer oder psychologischer Tatsachen erhalten werden, die das Bankkonto nicht erwähnen oder betreffen.

Wenn eine leichte Darstellung semantischer Werte vertretbar ist, können wir die Annahmen des Objektrealismus und der klassischen Semantik akzeptieren, ohne uns auf eine traditionelle oder robuste Form des Platonismus festzulegen.

4.4 Zwei weitere leichte Formen des Objektrealismus

Wir schließen mit der Beschreibung von zwei weiteren Beispielen für leichte Formen des Objektrealismus, die die platonistische Analogie zwischen mathematischen Objekten und gewöhnlichen physischen Objekten ablehnen.

Erstens existieren mathematische Objekte vielleicht nur auf eine potentielle Weise, die im Gegensatz zur tatsächlichen Existenzweise gewöhnlicher physikalischer Objekte steht. Diese Idee steht im Mittelpunkt des alten Begriffs der potenziellen Unendlichkeit (Lear 1980, Linnebo & Shapiro 2017). Nach Aristoteles sind die natürlichen Zahlen möglicherweise unendlich in dem Sinne, dass es möglich ist, eine noch größere Zahl zu erzeugen, egal wie groß eine Zahl ist, die wir produziert haben (indem wir sie in der physischen Welt instanziieren). Aber Aristoteles bestreitet, dass die natürlichen Zahlen tatsächlich unendlich sind: Dies würde erfordern, dass die physische Welt unendlich ist, was er für unmöglich hält.

Nach Cantor verteidigen die meisten Mathematiker und Philosophen nun die tatsächliche Unendlichkeit der natürlichen Zahlen. Dies wird teilweise dadurch ermöglicht, dass die aristotelische Forderung geleugnet wird, dass jede Zahl in der physischen Welt instanziiert werden muss. Wenn dies geleugnet wird, bedeutet die tatsächliche Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nicht mehr die tatsächliche Unendlichkeit der physischen Welt.

Eine Form des Potentialismus in Bezug auf die Hierarchie von Mengen findet jedoch weiterhin erhebliche Unterstützung, insbesondere im Zusammenhang mit der iterativen Konzeption von Mengen (Parsons 1977, Jané 2010, Linnebo 2013, Studd 2013). Egal wie viele Sätze gebildet wurden, es ist möglich, noch mehr zu bilden. Wenn dies zutrifft, würde dies bedeuten, dass Mengen eine potenzielle Existenzform haben, die sie stark von gewöhnlichen physischen Objekten unterscheidet.

Zweitens sind mathematische Objekte möglicherweise in einer Weise ontologisch abhängig oder abgeleitet, die sie von unabhängig existierenden physischen Objekten unterscheidet (Rosen 2011, Donaldson 2017). Zum Beispiel hängt nach der eben erwähnten aristotelischen Sichtweise eine natürliche Zahl für ihre Existenz von irgendeiner Instanziierung in der physischen Welt ab. Es gibt auch andere Versionen der Ansicht. Zum Beispiel argumentieren Kit Fine (1995) und andere, dass eine Menge ontologisch von ihren Elementen abhängig ist. (Diese Ansicht hängt auch eng mit dem oben erwähnten satztheoretischen Potentialismus zusammen.)

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