Naturalismus In Der Philosophie Der Mathematik

Eintragsnavigation

• Eintragsinhalt
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Freunde PDF Vorschau
• Autor und Zitierinfo
• Zurück nach oben

Naturalismus in der Philosophie der Mathematik

Erstveröffentlichung am 24. August 2008; inhaltliche Überarbeitung Di 26. März 2013

Die drei wichtigsten Naturalismen der zeitgenössischen Philosophie sind methodisch, ontologisch und erkenntnistheoretisch. Der methodologische Naturalismus besagt, dass die einzigen maßgeblichen Standards die der Wissenschaft sind. Der ontologische und der erkenntnistheoretische Naturalismus besagen, dass alle Entitäten und alle gültigen Untersuchungsmethoden in gewissem Sinne natürlich sind. In der Philosophie der Mathematik der letzten Jahrzehnte hat der methodologische Naturalismus den Löwenanteil der Aufmerksamkeit erhalten, deshalb konzentrieren wir uns darauf. Der ontologische und erkenntnistheoretische Naturalismus in der Philosophie der Mathematik wird in Abschnitt 6 näher erläutert.

• 1. Methodologischer Naturalismus

  1.1 Mathematischer Anti-Revisionismus

• 2. Jüngste Geschichte des methodologischen Naturalismus

  • 2.1 Aktueller Hintergrund
  • 2.2 Gegenwärtiger Kontext

• 3. Aufklärung des methodologischen Naturalismus

  • 3.1 maßgeblich
  • 3.2 Das Grenzproblem und die wissenschaftliche Methode
  • 3.3 Methodische Einheit?
  • 3.4 Grad der Sanktion
  • 3.5 Standards und Praktiker
  • 3.6 Breitere Naturalismen

• 4. Naturalismus motivieren

  • 4.1 Der Naturalismus ist in mancher Hinsicht revolutionär
  • 4.2 Mangel an Argumenten in der Literatur
  • 4.3 Aktueller Erfolg
  • 4.4 Vereinbarung
  • 4.5 Historischer Erfolg

• 5. Heterogener Naturalismus

  • 5.1 Ist Mathematik methodisch autonom?
  • 5.2 Wenn Mathematik methodisch autonom ist, begründet das Maddys Naturalismus?

• 6. Ontologischer Naturalismus

  • 6.1 Naturwissenschaft als Schiedsrichter der Ontologie
  • 6.2 Alle Entitäten sind raumzeitlich
  • 6.3 Naturalistischer Anti-Platonismus und erkenntnistheoretischer Naturalismus
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Methodologischer Naturalismus

Der methodologische Naturalismus hat drei Haupt- und verwandte Sinne in der Philosophie der Mathematik. Das erste ist, dass die einzigen maßgeblichen Standards in der Philosophie der Mathematik die der Naturwissenschaften (Physik, Biologie usw.) sind. Das zweite ist, dass die einzigen maßgeblichen Standards in der Philosophie der Mathematik die der Mathematik selbst sind. Das dritte, ein Amalgam der ersten beiden, ist, dass die maßgeblichen Standards die der Naturwissenschaften und der Mathematik sind. Wir bezeichnen diese drei Naturalismen als wissenschaftlich, mathematisch und mathematisch-wissenschaftlich. Beachten Sie, dass in diesem Eintrag "Wissenschaft" und verwandte Begriffe nur die Naturwissenschaften umfassen.

1.1 Mathematischer Anti-Revisionismus

Der Naturalismus - "methodologisch" und "in der Philosophie der Mathematik" im Folgenden verstanden - scheint antirevisionäre Konsequenzen für die Mathematik zu haben. Der Mathematiker-Philosoph LEJ Brouwer entwickelte eine intuitionistische Mathematik, die die Standardmathematik ("klassische" Mathematik) stürzen und ersetzen wollte. Brouwer versuchte, die intuitionistische Mathematik mit einer auf Intuition basierenden Darstellung der mathematischen Wahrheit philosophisch zu motivieren. Ein neuerer Vertreter der intuitionistischen Mathematik ist Michael Dummett, der in seinem Namen Argumente aus der Sprachphilosophie, insbesondere der Bedeutungstheorie, entwickelt hat. Wissenschaftliche Standards dulden jedoch eher die klassische als die intuitionistische Mathematik:Selbst wenn die heutige Wissenschaft vollständig intuitiv neu formuliert werden könnte - ein großes Wenn -, wäre sie weniger einfach und umständlicher als ihre derzeitige klassisch basierte Version. Mathematiker neigen auch dazu, die intuitionistische Mathematik als der klassischen Mathematik unterlegen anzusehen, wenn sie als Rivale dazu ausgelegt wird. Daher wird weder Brouwer noch Dummetts Intuitionismus offenbar durch wissenschaftliche oder mathematische Standards sanktioniert, so dass der Naturalismus sie außergerichtlich ausschließt. In der Tat ist dies für viele seiner Anhänger genau der Punkt des Naturalismus. Es wird oft angenommen, dass es darum geht, phantasievolle Angriffe auf etablierte Disziplinen wie Mathematik durch Disziplinen mit weniger sicheren Methoden zu blockieren. Daher wird weder Brouwer noch Dummetts Intuitionismus offenbar durch wissenschaftliche oder mathematische Standards sanktioniert, so dass der Naturalismus sie außergerichtlich ausschließt. In der Tat ist dies für viele seiner Anhänger genau der Punkt des Naturalismus. Es wird oft angenommen, dass es darum geht, phantasievolle Angriffe auf etablierte Disziplinen wie Mathematik durch Disziplinen mit weniger sicheren Methoden zu blockieren. Daher wird weder Brouwer noch Dummetts Intuitionismus offenbar durch wissenschaftliche oder mathematische Standards sanktioniert, so dass der Naturalismus sie außergerichtlich ausschließt. In der Tat ist dies für viele seiner Anhänger genau der Punkt des Naturalismus. Es wird oft angenommen, dass es darum geht, phantasievolle Angriffe auf etablierte Disziplinen wie Mathematik durch Disziplinen mit weniger sicheren Methoden zu blockieren.

2. Jüngste Geschichte des methodologischen Naturalismus

2.1 Aktueller Hintergrund

Das zeitgenössische Interesse am Naturalismus stammt von Quine, dessen Naturalismus in seinen späteren Arbeiten eine herausragende Rolle spielt. Ein repräsentatives Zitat ist, dass Naturalismus "die Erkenntnis ist, dass die Realität innerhalb der Wissenschaft selbst und nicht in irgendeiner früheren Philosophie zu identifizieren und zu beschreiben ist" (Quine 1981, 21). Ein weiterer wichtiger Einfluss ist Hilary Putnam, die seinen wissenschaftlichen Naturalismus wie folgt artikuliert:

… Es ist albern zuzustimmen, dass ein Grund zu der Annahme besteht, dass p die Annahme von p unter allen wissenschaftlichen Umständen rechtfertigt, und dann hinzuzufügen, „aber trotzdem ist es nicht gut genug“. Ein solches Urteil könnte nur gefällt werden, wenn man eine transwissenschaftliche Methode als der wissenschaftlichen Methode überlegen anerkennt; aber zumindest dieser Philosoph hat kein Interesse daran. (Putnam 1971, 356)

Aus dieser Perspektive wird die Mathematik nach wissenschaftlichen Maßstäben beurteilt, weil alles so ist. Darüber hinaus behaupten Quine und Putnam, dass diese Standards die platonistische Mathematik sanktionieren, da die Mathematik und ihre platonistische Konstruktion ein unverzichtbarer Bestandteil unserer besten wissenschaftlichen Theorien sind.

Obwohl der Naturalismus als selbstbewusste Position in der Philosophie der Mathematik bei Quine am vollständigsten zum Vorschein kommt, gibt es wie immer Vorläufer. Die empiristische Tradition in ihren verschiedenen Erscheinungsformen (logischer Positivismus, Mill, Hume usw.) ist der offensichtlichste Vorläufer, obwohl es signifikante Unterschiede zwischen vorchinesischen Empirikern und zeitgenössischen Naturforschern gibt. Der Aufstieg des wissenschaftlichen Naturalismus in der Philosophie der Mathematik fällt auch mit dem Aufstieg eines breiteren wissenschaftlichen Naturalismus zusammen, der teilweise auch Quine zuzuschreiben ist, der die gesamte Philosophie - nicht nur die Philosophie der Mathematik - als innerhalb der Naturwissenschaften stattfindet. Der Naturalismus geht auch einher mit einem heute allgemein vorherrschenden Pessimismus über traditionelle philosophische Argumentationsweisen.

Eine Version des Naturalismus ist heute für praktisch alle Philosophen attraktiv. Dass die Methoden der Mathematik und der Naturwissenschaften die besten sind, die wir haben, scheint eine Plattheit zu sein, die die Philosophie anerkennen und darauf aufbauen sollte, anstatt sie zu ignorieren. Die Frage ist, wie genau das geht.

2.2 Gegenwärtiger Kontext

In den letzten Jahrzehnten hat das Interesse am Naturalismus stark zugenommen. 1997 war ein wichtiges Jahr in der neueren Philosophie der Mathematik, da vier Bücher veröffentlicht wurden, in denen die Positionen von fünf führenden Mathematikphilosophen dargelegt wurden: John Burgess und Gideon Rosens A Subject with No Object, Penelope Maddys Naturalism in Mathematics, Michael Resniks Mathematics as die Wissenschaft der Muster und Stewart Shapiros Philosophie der Mathematik. Alle vier Bücher sind in unterschiedlichem Maße und unter anderem naturalistisch: Die ersten beiden sind naturalistische Manifeste, das dritte befürwortet einen wissenschaftlichen Naturalismus in China und das letzte, obwohl es sich hauptsächlich mit anderen Themen befasst, ist mit dem Naturalismus sympathisch. John Burgess 'Naturalismus,Das erste Mal in seinem (1983) dargelegt und in den letzten Jahren mit seinem Kollegen Gideon Rosen (1997, 2005) ausgearbeitet, wird vielleicht am natürlichsten als eine Version des mathematisch-wissenschaftlichen Naturalismus (1997, 211) ausgelegt. Penelope Maddys Naturalismus ist eine heterogene Form des Naturalismus, die zwischen der eigentlichen Mathematik und der Philosophie der Mathematik unterscheidet und den mathematischen Naturalismus über den ersteren und den wissenschaftlichen Naturalismus über den letzteren umfasst (Abschnitt 5). Eine andere von Maddy (1997) vorgeschlagene Position ist ein gründlicher mathematischer Naturalismus, der mathematische Standards sowohl in der Mathematik als auch in ihrer Philosophie als maßgeblich ansieht. Der Naturalismus ist eine heterogene Form des Naturalismus, die zwischen der eigentlichen Mathematik und der Philosophie der Mathematik unterscheidet und den mathematischen Naturalismus über den ersteren und den wissenschaftlichen Naturalismus über den letzteren umfasst (Abschnitt 5). Eine andere von Maddy (1997) vorgeschlagene Position ist ein gründlicher mathematischer Naturalismus, der mathematische Standards sowohl in der Mathematik als auch in ihrer Philosophie als maßgeblich ansieht. Der Naturalismus ist eine heterogene Form des Naturalismus, die zwischen der eigentlichen Mathematik und der Philosophie der Mathematik unterscheidet und den mathematischen Naturalismus über den ersteren und den wissenschaftlichen Naturalismus über den letzteren umfasst (Abschnitt 5). Eine andere von Maddy (1997) vorgeschlagene Position ist ein gründlicher mathematischer Naturalismus, der mathematische Standards sowohl in der Mathematik als auch in ihrer Philosophie als maßgeblich ansieht.

Ohne Berücksichtigung von Qualifikationen können die wichtigsten zeitgenössischen Versionen des Naturalismus mit ihren repräsentativen Befürwortern wie folgt tabellarisch aufgeführt werden:

	Mathematik richtig	Philosophie der Mathematik
Wissenschaftlich (Quine)	Wissenschaftlich	Wissenschaftlich
Mathematical-Cum-Scientific (Burgess)	Mathematisch- wissenschaftlich	Mathematisch- wissenschaftlich
Mathematisch (?)	Mathematisch	Mathematisch
Heterogen (Maddy 1997)	Mathematisch	Wissenschaftlich

Um den Unterschied zwischen Aussagen in der eigentlichen Mathematik und der Philosophie der Mathematik zu veranschaulichen, betrachten wir als Beispiel des ersteren das 2004 bewiesene Green-Tao-Theorem, das besagt, dass die Folge von Primzahlen beliebig lange arithmetische Progressionen enthält (aber natürlich nein unendlich lang); Als Beispiele für Letzteres nehmen wir die platonistische Behauptung an, dass die Nummer zwei existiert und abstrakt ist, oder die Behauptung, dass improvisatorische Definitionen nicht zulässig sind, weil mathematische Entitäten eher geschaffen als entdeckt werden. Für jeden Philosophen sind das Green-Tao-Theorem und sein Beweis nach den Maßstäben der ersten Spalte zu bewerten. Beispielsweise,Quine akzeptiert den Satz genau dann, wenn er Teil der besten Systematisierung der Wissenschaft ist (wobei davon ausgegangen wird, dass die Prinzipien, aus denen er abgeleitet wird, und die Logik, nach der er aus diesen Prinzipien abgeleitet wird, sind). Ebenso sind für jeden Philosophen der Platonismus und die Strenge in Bezug auf die Impredikativität nach den Standards der zweiten Spalte zu bewerten. Zum Beispiel akzeptiert Quine den Platonismus, weil er ihn als wissenschaftlich sanktionierte Interpretation der Mathematik ansieht: Seiner Ansicht nach ist die Mathematik, die in der besten Systematisierung der Wissenschaft enthalten ist, platonisch. Quine akzeptiert den Platonismus, weil er ihn als wissenschaftlich anerkannte Interpretation der Mathematik ansieht: Seiner Ansicht nach ist die in der besten Systematisierung der Wissenschaft enthaltene Mathematik platonisch. Quine akzeptiert den Platonismus, weil er ihn als wissenschaftlich anerkannte Interpretation der Mathematik ansieht: Seiner Ansicht nach ist die in der besten Systematisierung der Wissenschaft enthaltene Mathematik platonisch.

Es gibt keine klaren Beispiele für die Ansicht, dass mathematische Standards in der Philosophie der Mathematik maßgeblich sein sollten, daher das Fragezeichen. David Lewis flirtete mit dieser Position in seiner Monographie über die Mengenlehre (1991, viii - ix, 54), hatte sie aber zu seiner Zeit (1993) bereits abgelehnt. Die Position wird durch Bemerkungen in Maddy (1997) nahegelegt, obwohl Maddy (1997), wie wir in Abschnitt 5 sehen werden, natürlicher als Fortschritt einer heterogenen Form des Naturalismus interpretiert wird. Einige andere Philosophen der Mathematik sind ebenfalls bekannte Naturforscher, insbesondere Alan Baker (2001) und Mark Colyvan (2001).

3. Aufklärung des methodologischen Naturalismus

Wie viele –ismen wird Naturalismus vielleicht besser als Orientierung mit doktrinellen Implikationen gedacht als als Doktrin an sich. Trotzdem können wir versuchen, es in mehreren Dimensionen aufzuklären.

3.1 maßgeblich

Wie sollen wir die Behauptung verstehen, dass einige Standards in der Philosophie der Mathematik maßgeblich sein sollten? Wir können die Allgemeinheit bewahren, indem wir uns auf X-Standards beziehen, wobei die für uns interessanten Fälle "wissenschaftlich", "mathematisch" oder "wissenschaftlich-mathematisch" sind. Hier sind einige (nicht erschöpfende) Lesarten des Autoritätsanspruchs:

1. Bikonditionaler Naturalismus: Akzeptiere p, wenn p durch X-Standards sanktioniert wird
2. Trumping Naturalism: Akzeptiere p, wenn p durch X-Standards sanktioniert wird.
3. Schwerpunkt Naturalismus: Bei der Beurteilung, ob p, X-Standards stärker hervorheben.
4. Kompatibilitäts-Naturalismus: Akzeptiere p nicht, wenn p nicht mit X-Standards kompatibel ist.

Das bikonditionale Lesen ist das stärkste der vier. Es drückt den Gedanken aus, dass gültige Standards nur X-Standards sind. Im Gegensatz zum bikonditionalen Naturalismus erlaubt die Trumpffassung offenbar, dass eine Aussage in der Philosophie der Mathematik akzeptabel sein kann, selbst wenn X-Standards dies nicht sanktionieren. Zum Beispiel drücken Burgess und Rosen ihren Naturalismus wie folgt aus:

Das Bekenntnis der Naturforscher ist… zu der vergleichsweise bescheidenen These, dass der Philosoph, wenn die Wissenschaft [einschließlich Mathematik] mit fester und einheitlicher Stimme spricht, entweder verpflichtet ist, ihre Schlussfolgerungen zu akzeptieren oder erkennbar wissenschaftliche Gründe für ihren Widerstand anzugeben (1997) 65).

Dies wird natürlich als trumpfende Version des wissenschaftlich-mathematischen Naturalismus beschönigt. Es scheint zuzulassen, dass wir das Urteil einer anderen Disziplin akzeptieren können, wenn Mathematik und Naturwissenschaften nicht mit fester Stimme zu einer Frage sprechen.

Betonung Naturalismus ist eine vage Lehre. Je nachdem, wie viel Wert auf X-Standards gelegt wird, ergeben sich verschiedene Versionen. Eine bescheidene Version erfasst die Position naturalistisch veranlagter, aber nicht geradezu naturalistischer Philosophen. Wir stellen den bikonditionalen Naturalismus wieder her, wenn X-Standards so weit betont werden, dass keine anderen mehr eine Rolle spielen.

Der Naturalismus der Kompatibilität ist nicht so stark wie der Trumpf des Naturalismus. Wenn p durch X-Standards sanktioniert wird, bedeutet Kompatibilitäts-Naturalismus die Nichtakzeptanz von ¬ p, aber nicht notwendigerweise die Akzeptanz von p. Die Nichtakzeptanz von ¬ p bleibt hinter der Akzeptanz von p zurück, da immer die Möglichkeit besteht, das Urteil über p auszusetzen. Die Kompatibilitätsansicht wird von den meisten zeitgenössischen Philosophen allgemein akzeptiert. Um ein Beispiel von außerhalb der Philosophie der Mathematik zu nehmen, würden die meisten Philosophen eine Zeitphilosophie ablehnen, die mit der Relativitätstheorie kollidiert (in diesem Fall X = Wissenschaft). Innerhalb der Philosophie der Mathematik würden die meisten Philosophen eine Philosophie der Mathematik ablehnen, die zum Beispiel impliziert, dass komplexe Analysen abgeworfen werden sollten (in diesem Fall könnte X Wissenschaft, Mathematik oder Mathematik-mit-Wissenschaft sein).

Verschiedene schwächere methodologische Thesen werden manchmal als "naturalistisch" bezeichnet, zum Beispiel die Ablehnung des kartesischen Fundamentalismus, aber hier verstehen wir den Begriff robuster. Welche der oben genannten Varianten der richtige Weg ist, um Naturalismus zu entwickeln, hängt natürlich davon ab, wie Naturalismus motiviert ist (Abschnitt 4).

3.2 Das Grenzproblem und die wissenschaftliche Methode

Der Naturalismus stellt einen Gegensatz zwischen X-Standards (wissenschaftlich, mathematisch oder wissenschaftlich-mathematisch) und anderen Arten von Standards her, z. B. astrologischen, theologischen oder Standards des gesunden Menschenverstandes. Ein weiteres Beispiel für Standards, die der Naturforscher als falsch ansieht, sind "grundlegende" philosophische. Goodman und Quine (in seiner vornatürlichen Phase) begannen einen Artikel mit der Erklärung, dass die Grundlage für ihren Nominalismus eine grundlegende philosophische Intuition sei, die aus wissenschaftlichen Gründen nicht reduzierbar sei (1947). Naturforscher lehnen die Berufung auf solche Standards ab.

Ein offensichtliches Problem des Naturalismus besteht darin, dass es keine scharfen Grenzen zwischen Wissenschaft und Nichtwissenschaft sowie zwischen Mathematik und Nichtmathematik zu geben scheint. Zum Beispiel scheint der Übergang von der Physik zur Philosophie der Physik zur physiklastigen Metaphysik zur Common-or-Garden-Metaphysik schrittweise zu sein. Wenn ein Mathematiker einen Forschungsartikel, ein Lehrbuch für Studenten, ein populäres Buch über Mathematik, ein Buch über seine persönliche Philosophie der Mathematik und seine psychologischen Assoziationen mit verschiedenen mathematischen Theorien schreibt, an welchem Punkt hat er genau aufgehört, Mathematik zu betreiben? Wenn Forschungsmathematiker nach dem Seminar zusammenkommen und sich beim Kaffee einig sind, dass die Riemann-Hypothese das wichtigste offene Problem in der Mathematik ist,Ist dies eine streng mathematische Behauptung oder ein persönliches Urteil, das von Mathematikern als außerhalb der eigentlichen Provinz der Mathematik anerkannt anerkannt wird?

Viele Philosophen folgen Quine, indem sie eine Standardgruppe von Prinzipien zitieren, die mutmaßlich für wissenschaftliche Standards konstitutiv sind: empirische Angemessenheit, ontologische Ökonomie, Einfachheit, Fruchtbarkeit usw. (Quine 1955, 247; Quine und Ullian 1970, Kapitel 5). Listen dieser Art sind jedoch aus mehreren Gründen unbefriedigend. Zum einen gibt es die Prinzipien in verschiedenen Versionen. Es ist jedoch zweifelhaft, ob die allgemeinen Versionen die wissenschaftlich sanktionierten sind. Einige Autoren behaupten beispielsweise, dass sich der wissenschaftliche Appell an die ontologische Sparsamkeit nicht auf die Postulierung abstrakter Objekte erstreckt (Burgess 1998). Andere behaupten, dass wissenschaftliche Appelle an die Einfachheit nicht am besten durch den ganz allgemeinen Slogan „Bevorzugen Sie eine Theorie T ₁ gegenüber einer weniger einfachen Theorie T _2“ erfasst werden(in dieser Hinsicht) “(Paseau 2007). Darüber hinaus sagen uns Listen dieser Art nicht, wie Desiderata gegeneinander abgewogen werden sollen.

Seit der Explosion der naturwissenschaftlichen Studien in den 1960er Jahren wird den Nuancen der wissenschaftlichen Praxis mehr Aufmerksamkeit geschenkt. Eine genauere Formulierung der wissenschaftlichen Standards und ihrer Gewichte bleibt jedoch schwer möglich. Die Existenz eines Algorithmus, der die wissenschaftliche Methode einschließt, wird im Allgemeinen in Frage gestellt (obwohl es vielen Menschen anscheinend gelingt, die wissenschaftliche Methode zu implementieren. Wenn die Methode also nicht algorithmisch ist, sind wir es auch nicht). Was jedoch nicht fraglich ist, ist, dass seine Ausstellung uns derzeit entgeht.

Allerdings ist nicht klar, wie ernst das Grenzproblem für Naturforscher ist. Vielleicht können sie argumentieren, dass es eine ziemlich scharfe Grenze gibt, die jedoch schwer zu definieren ist. Vielleicht wissen Mathematiker implizit, wann etwas als ein Stück Mathematik zählt und wann es ein nicht-mathematischer Kommentar zur Mathematik ist. In jedem Fall scheint der Naturalismus das Fehlen einer scharfen Grenze zu überleben. Der Naturalismus kann seine Ansprüche offenbar auf eine Reihe von Standards mit unscharfen Grenzen stützen.

3.3 Methodische Einheit?

Was ist, wenn es keine globalen wissenschaftlichen Standards gibt, sondern nur die Standards dieses oder jenes Teils der Wissenschaft (z. B. Physik oder Biologie oder Teilchenphysik oder Strömungsmechanik) oder sogar nur die Standards dieser oder jener Gruppe von Wissenschaftlern? In diesem Fall würde der wissenschaftliche Naturalismus in mehrere Versionen fragmentiert (z. B. Physik-Naturalismus oder Biologie-Naturalismus). Wenn die Motivation für den wissenschaftlichen Naturalismus auf einen dieser feinkörnigeren Naturalismen gegenüber den anderen hinweist (z. B. Physik-Naturalismus) oder wenn alle dieselben Urteile in der Philosophie der Mathematik zurückgeben, ist die mögliche Fragmentierung nicht besorgniserregend. Wenn nicht, ist der wissenschaftliche Naturforscher in Schwierigkeiten, da alle diese konkurrierenden Naturalismen unter der Annahme gleichermaßen gültig sind. Bisher gingen wissenschaftliche Naturforscher eher davon aus, dass die Wissenschaft mit einem einzigen Satz von Standards arbeitet. Obwohl diese Annahme plausibel ist, wird ein strenger Naturforscher sie mit detaillierten Fallstudien untermauern wollen. Ähnliches gilt für den mathematischen Naturalismus und den mathematisch-wissenschaftlichen Naturalismus.

3.4 Grad der Sanktion

Wissenschaftliche Standards sanktionieren Vorschläge bis zu einem gewissen Grad und nicht direkt. Die jüngste Hypothese, die einige Experten vorläufig an der Forschungskohle aufgestellt haben, hat nicht den gleichen Stellenwert wie eine lange verwurzelte Theorie. Daher reicht die Schwarz-Weiß-Vorstellung von wissenschaftlichen Standards, die p sanktionieren oder nicht sanktionieren, nicht aus. (Dies ist eine Idee, die die Bayes'sche Bestätigungstheorie ernst nimmt.) Es könnte auch argumentiert werden, dass dies auch für mathematische Standards gilt, beispielsweise indem nicht deduktive Gründe für den Glauben an mathematische Sätze berücksichtigt werden. Es erscheint vernünftig, Goldbachs Vermutung zu sehen, die Behauptung, dass jede gerade Zahl größer als 4 die Summe zweier Primzahlen ist, was in hohem Maße durch die derzeit dafür verfügbaren nicht-deduktiven Beweise gestützt wird. In Ermangelung eines Beweises für Goldbachs Vermutung jedochDieser Grad unterschreitet 1. Eine genauere Aussage des Glaubensbekenntnisses des Naturforschers muss daher Richtlinien für die Aufteilung der Glaubwürdigkeit in p in Übereinstimmung mit dem Grad und der Art des Engagements für p wissenschaftliche oder mathematische Standards herausgeben.

3.5 Standards und Praktiker

Es wäre falsch, die Sanktion der X-Standards mit der der X-Praktiker gleichzusetzen (für X = Wissenschaft oder Mathematik oder allgemeiner). Zum einen haben X-Praktiker möglicherweise nicht über eine bestimmte Frage nachgedacht. Zum anderen könnten sich X-Praktiker alle irren. Darüber hinaus könnten X-Praktiker selbstbewusst das Gegenteil von oder jedenfalls etwas anderes als die Sanktion von X-Standards behaupten. Zum Beispiel kann ein Wissenschaftler p glauben, vielleicht aufgrund eines „Bauchgefühls“oder aufgrund einiger übergeordneter religiöser Überzeugungen oder aus irgendeinem nichtwissenschaftlichen Grund, während er dennoch anerkennt, dass wissenschaftliche Standards nicht p unterstützen. Oder ein Mathematiker kann glauben, dass die Zahl 7 mystische Eigenschaften hat, aber nicht, dass es sich um einen Mathematiker handelt. Eine engere Verbindung zwischen Praktikern und Standards könnte also folgende sein:Was X-Standards Sanktion ist, was X-Praktiker bereit sind, als X-Praktiker richtig zu glauben. (Dies ist nicht als reduktive Analyse gedacht.)

Trotzdem ist ein besonderes Plädoyer erforderlich, um der Gemeinschaft der X-Praktiker einen weit verbreiteten Fehler in Bezug auf die Sanktionierung von X-Standards zuzuschreiben. Was X-Praktiker tatsächlich glauben, dient normalerweise als guter, wenn auch nicht durchführbarer Beweis dafür, welche X-Standards sanktioniert werden.

3.6 Breitere Naturalismen

Der hier definierte wissenschaftliche Naturalismus umfasst nur die Naturwissenschaften (und ebenso den wissenschaftlich-mathematischen Naturalismus). Breitere Naturalismen umfassen nicht nur die traditionelle Naturwissenschaft, sondern auch einige der anderen Wissenschaften: vielleicht die gesamte Sozialwissenschaft, vielleicht nur einen Teil davon, vielleicht die Linguistik, vielleicht die Kognitionswissenschaft. Beachten Sie, dass Quine selbst in späteren Schriften eine breite Version des Naturalismus annimmt (1995, 49). Penelope Maddy hat in jüngerer Zeit deutlich gemacht, dass die Form des wissenschaftlichen Naturalismus, für die sie sich einsetzt - "Zweite Philosophie", wie sie es jetzt lieber nennt -, in der Tat sehr weit gefasst ist und nicht nur die Naturwissenschaften, sondern auch Psychologie, Linguistik, Soziologie usw. (2007, 2).

Die Ausweitung des wissenschaftlichen oder wissenschaftlich-mathematischen Naturalismus auf diese Disziplinen hat möglicherweise erhebliche Konsequenzen für die Philosophie der Mathematik. Wenn beispielsweise die Semantik unter das Dach der Naturforscher fällt, kann sie eine naturalistische Sanktion für den mathematischen Realismus oder Platonismus darstellen, da die Nennwertsemantik für die Mathematik sie an die unumstritten wörtlichen Teile der Sprache anzupassen scheint - ein Punkt, der in Benacerraf (1973) bekannt ist..

Ob der Naturalismus breit oder eng ausgelegt werden soll, hängt von seiner Motivation ab. Die Anziehungskraft des wissenschaftlichen oder mathematischen oder wissenschaftlich-mathematischen Naturalismus liegt im unvergleichlichen Erfolg der Disziplinen (auf ein gewisses Verständnis dessen, was dieser Erfolg bringt, siehe Abschnitt 4). Zu diesem Zeitpunkt sind die Nicht-Naturwissenschaften jedoch weniger erfolgreich als die Naturwissenschaften. Je weniger erfolgreich man die Nicht-Naturwissenschaften im Vergleich zu den Naturwissenschaften hält, desto weniger attraktiv wird ein breiterer wissenschaftlicher oder wissenschaftlich-mathematischer Naturalismus im Vergleich zu einem streng naturwissenschaftlichen.

Alle Naturforscher, insbesondere diejenigen der breiteren Vielfalt, müssen potenziell konkurrierende Standards ausgleichen. Ein breiter Naturforscher könnte beispielsweise beschließen, den Naturwissenschaften eine 2/3-Gewichtung und der Semantik eine 1/3-Gewichtung zu geben. Oder sie könnte behaupten, dass ein Satz in der Philosophie der Mathematik akzeptabel ist, wenn (oder sogar: wenn und nur wenn) alle natürlichen oder nicht natürlichen Wissenschaften dies sanktionieren - das heißt, wenn alle Wissenschaften mit einer Stimme sprechen. Diese ausgleichenden Fragen wurden von Naturforschern leider nicht viel angesprochen. Vielleicht liegt das daran, dass Fragen dieser Art für alle auftauchen: Unabhängig davon, welche berechtigten Standards man akzeptiert, stellt sich das Problem, wie zwischen ihnen zu entscheiden ist. In dem Maße, in dem der Naturalismus eine Vorschrift ist und sich nicht auf ein implizites Verfahren stützen kann, das bereits vorhanden ist,es schuldet uns eine Artikulation, wie man verschiedene Standardsätze ausbalanciert.

Das Balancierproblem ist besonders für mathematisch-wissenschaftliche Naturforscher dringlich. Ein wissenschaftlicher Naturwissenschaftler ist grundsätzlich glücklich, das zu sagen, wenn eine mathematische Theorie M ist wissenschaftlich überlegen, aber mathematisch schlechter als eine andere mathematische Theorie M ^* dann sollte M M bevorzugt werden ^* (der nächste Absatz enthält ein Beispiel). Mathematisch-wissenschaftliche Naturforscher können jedoch je nach den Einzelheiten der jeweiligen Theorien auf beiden Seiten auftreten: Es hängt alles davon ab, ob Ms wissenschaftliche Vorteile im Vergleich zu M ^*werden durch seine mathematischen Nachteile aufgewogen. Jetzt hat die Philosophie der Mathematik keine etablierte Tradition darin, die wissenschaftlichen und mathematischen Vor- und Nachteile mathematischer Theorien gegeneinander abzuwägen. noch irgendeine andere Disziplin. Das Problem, wie mathematische und wissenschaftliche Standards in Einklang gebracht werden können, ist für den mathematisch-wissenschaftlichen Naturforscher besonders dringlich.

Nehmen wir zur Veranschaulichung dieses Problems an, wie viele Philosophen behaupten, dass das allgemeine Prinzip der ontologischen Ökonomie - so wenig Entitäten wie möglich - ein wissenschaftlicher Standard ist. Nehmen wir auch an, wie Penelope Maddy behauptet, dass eine satztheoretische Version der ontologischen Verschwendung - so viele Mengen wie möglich - ein mathematischer Standard ist (dies ist eine Möglichkeit, die satztheoretische Maxime, die Maddy MAXIMIZE nennt, auszuzahlen). Diese beiden Standards kollidieren, wie Maddy erkennt (1997, 131). Angesichts dieser Annahmen könnte eine prädikativistische Mengenlehre, die eine relativ kleine Anzahl von Mengen enthält, wie sie beispielsweise in Hermann Weyls Das Kontinuum entwickelt wurde, der ZFC, die mehr Mengen setzt, wissenschaftlich überlegen sein. Es wird jedoch allgemein angenommen, dass ZFC einer prädikativistischen Mengenlehre mathematisch überlegen ist. Vielleicht ist die richtige Diagnose, dass der Konflikt nur oberflächlich ist, da die korrekte wissenschaftliche Version der ontologischen Ökonomie "so wenig konkrete Entitäten wie möglich" und die korrekte mathematische Version der ontologischen Verschwendung "so viele abstrakte Entitäten wie möglich" ist. In diesem Fall muss der mathematisch-wissenschaftliche Naturforscher jedoch eine allgemeine Richtlinie für den Umgang mit potenziellen Zusammenstößen ausarbeiten oder argumentieren, dass solche Zusammenstöße nicht möglich sind. Der mathematisch-wissenschaftliche Naturforscher muss eine allgemeine Politik für den Umgang mit möglichen Zusammenstößen entwickeln oder argumentieren, dass solche Zusammenstöße nicht möglich sind. Der mathematisch-wissenschaftliche Naturforscher muss eine allgemeine Politik für den Umgang mit möglichen Zusammenstößen entwickeln oder argumentieren, dass solche Zusammenstöße nicht möglich sind.

4. Naturalismus motivieren

Man kann einfach Naturalismus annehmen, ohne ein Argument oder eine Motivation dafür zu liefern. Aber Motivationen für den Naturalismus stützen ihn, machen ihn innerlich stärker und geben ihm dialektische Stärke, was seine Anziehungskraft auf Nicht-Naturforscher erhöht. Sie beantworten die grundlegende Frage: Warum genau diese Standards?

(Gleiches gilt für Naturalismen, die in erster Linie als Ansätze oder Standpunkte und nicht als Lehren gedacht sind. Seit der Veröffentlichung ihres Buches von 1997 hat Penelope Maddy klargestellt, dass ihre Version des Naturalismus eine Haltung (Maddy 2001) oder ein stückweiser Ansatz / eine stückweise Untersuchungsmethode (2007) ist siehe z. B. S. 19 fn. 15, S. 403). Standpunkte und Untersuchungsansätze sind jedoch insofern attraktiv, als sie gut motiviert sind.)

4.1 Der Naturalismus ist in mancher Hinsicht revolutionär

Der Naturalismus wird oft als konservative Philosophie der Mathematik angesehen, wie wir in Abschnitt 1 vorgeschlagen haben. Tatsächlich sind die Dinge jedoch komplizierter. Jeder der drei interessierenden Naturalismen ist in gewisser Hinsicht revolutionär.

Unsere Standardansicht ist, dass mathematische Standards Fragen in der eigentlichen Mathematik entscheiden, zum Beispiel Fragen, ob Fermats letzter Satz oder das Axiom der Wahl wahr ist. Es wird angenommen, dass wissenschaftliche Standards dies nicht beeinflussen: Als Andrew Wiles Mitte der neunziger Jahre Fermats letzten Satz bewies, war er nicht besonders besorgt darüber, wie sein Beweis in den Physikabteilungen oder allgemeiner seine Auswirkungen auf die empirische Wissenschaft sinken würde. Ebenso ist die Behauptung, dass es keinen guten Grund gibt, dies zu akzeptieren, wenn ein großes Kardinalaxiom nicht wissenschaftlich sanktioniert wird (vielleicht weil es zu keinen neuen empirischen Konsequenzen führt), wie Maddy betont, mit der tatsächlichen Praxis von nicht im Einklang zu stehen Mengenlehre “(1997, 132) und in der Tat nicht mit der tatsächlichen Praxis vieler Philosophie Schritt halten. Wir beurteilen große Kardinalaxiome normalerweise nicht nach wissenschaftlichen Maßstäben; Wir beurteilen sie nach mathematischen Maßstäben. Quine ging selbstbewusst gegen den Strich, als er die höheren Flüge der Mengenlehre aus wissenschaftlichen Gründen ablehnte (1986, 400).

Der wissenschaftliche Naturalismus über die eigentliche Mathematik ist daher eine philosophisch revolutionäre Sichtweise, da er eine andere Reihe von Standards befürwortet, anhand derer die Mathematik (wissenschaftliche) als die traditionellen (mathematischen) beurteilt werden kann. Es ist auch möglicherweise revolutionär in Bezug auf die Mathematik selbst, da es zu einer Überarbeitung der Mathematik führen könnte. (Beachten Sie, dass der wissenschaftliche Naturalismus, selbst wenn er keine Überarbeitung der Mathematik beinhaltet, immer noch als philosophisch revolutionär gilt: Die Befürwortung der Ersetzung von Y-Standards durch X-Standards als die richtigen Schiedsrichter in einem bestimmten Bereich ist philosophisch revolutionär, selbst wenn die Y-Standards und X-Standards bestätigen zufällig die gleichen Behauptungen in diesem Bereich.)Neuere wissenschaftliche Naturforscher tendierten dazu, im Temperament mathematisch konservativ zu sein, und befürworteten eine geringe oder keine Überarbeitung der Mathematik.

Diese Moral gilt auch für den mathematisch-wissenschaftlichen Naturalismus, jedoch in geringerem Maße, da dieser den mathematischen Standards in der mathematischen Rechtfertigung ein gewisses Gewicht beimisst.

Der dritte der drei interessierenden Naturalismen, der mathematische Naturalismus, ist philosophisch, aber nicht mathematisch revolutionär. Mathematisch ist es so konservativ wie möglich: Für die Beurteilung mathematischer Ansprüche sind keine anderen als mathematischen Standards relevant. Somit wird keine akzeptierte Mathematik von außen umgeworfen. Der mathematische Naturalismus ist jedoch eine revolutionäre Haltung in der Philosophie der Mathematik. Um dies zu sehen, nehmen wir an, dass der Platonismus Teil der üblichen mathematischen Praxis ist. In diesem Fall bedeutet der mathematische Naturalismus, dass es keine weitere Frage nach seiner Wahrheit gibt. Einfach ausgedrückt, einfach weil Mathematiker (qua Mathematiker) Platoniker sind, ist Platonismus die richtige Philosophie der Mathematik. Dies steht eindeutig nicht im Einklang mit der philosophischen Praxis: Philosophen schauen auf MathematikerAnsichten (qua Mathematiker) als nicht durchführbare Daten für die Philosophie der Mathematik, nicht deren Schlussfolgerung. Wir sehen also, dass die einfache Charakterisierung des mathematischen Naturalismus als konservativ nicht ganz richtig ist: Obwohl mathematisch konservativ, ist sie philosophisch revolutionär.

Insgesamt sind der wissenschaftliche, mathematische und mathematisch-wissenschaftliche Naturalismus in gewisser Hinsicht revolutionär und unterliegen einer entsprechenden Beweislast. Wir können jetzt den Sinn verstehen, in dem die in Abschnitt 1 zum Ausdruck gebrachte allgemeine Behauptung, der Naturalismus sei antirevisionär, wahr ist und in welchem Sinne er nicht wahr ist.

Dies zeigt auch, dass sich der zeitgenössische Naturalismus von der oberflächlich ähnlichen Metaphilosophie des letzteren Wittgenstein unterscheidet. Wittgensteins Anti-Philosophie hindert die Philosophie ebenso wie der Naturalismus daran, die Mathematik zu verändern: „Die Philosophie darf den tatsächlichen Sprachgebrauch in keiner Weise beeinträchtigen… Sie lässt alles so, wie es ist. Es lässt auch die Mathematik so wie sie ist “(1953, §163). Der revolutionäre Tenor des Naturalismus bedeutet jedoch, dass er nicht alles so lässt, wie es ist.

4.2 Mangel an Argumenten in der Literatur

Argumente für Naturalismus fehlen in der Literatur. Die meisten Naturforscher setzen einfach ihren Naturalismus voraus und arbeiten stromabwärts davon, in der Hoffnung, dass sich seine Folgen für die Anfälligen als attraktiv erweisen (Maddy 2007, 3). Der Naturalismus wird so effektiv zu einem persönlichen Credo mit wenig direktem Versuch, andere an Bord zu bringen: Ich akzeptiere in einigen Bereichen nur X-Standards, weil ich sie glaubwürdiger finde als andere. Jetzt kann man es vielleicht am Ende des Tages nicht besser machen. Aber das sollten wir von Anfang an nicht annehmen. Dies ist umso wichtiger angesichts der revolutionären Merkmale des Naturalismus, wie bereits erläutert. Eine konservative Rechtfertigungstheorie könnte den Naturalismus unter einem weitgehend naturalistischen Ausgangspunkt sanktionieren. Aber unser Ausgangspunkt ist, wie wir gesehen haben, nicht der Trumpf des Naturalismus: Es ist höchstens Kompatibilitäts-Naturalismus. Ein Argument für mehr als die mildeste Version des Naturalismus wäre also willkommen.

4.3 Aktueller Erfolg

Naturforscher sind motiviert von dem Gedanken, dass wissenschaftliche oder mathematische Standards die erfolgreichsten Standards sind, die wir besitzen. Aber woher kommt der Erfolg? Sehr grob könnte das Folgende als Zeichen für den Erfolg einer Disziplin angesehen werden: (i) Unter ihren Praktikern gibt es eine weit verbreitete Auffassung der Leitfragen und der zulässigen Methodik der Disziplin; und (ii) es gibt Fortschritte innerhalb der Disziplin bei der Beantwortung ihrer Leitfragen. Man kann dann versuchen, in diesem Sinne zu argumentieren, dass Physik erfolgreicher ist als Metaphysik, dass Psychologie erfolgreicher ist als Parapsychologie und dass Astronomie erfolgreicher ist als Astrologie.

Ein solcher Ansatz steht vor einem doppelten Problem. Wenn es um Methodik geht, können alle Arten von Disziplinen Erfolg haben, ohne dabei Glaubwürdigkeit zu erlangen. Betrachten Sie die Guru-ologie, die Disziplin, deren Leitfragen die von einem Guru ausgesprochenen sind, und legen als Methodik fest, dass akzeptable Antworten alle und nur die Aussagen des Gurus sind (vielleicht unter der Annahme von Konsistenz - nehmen wir also für ein gutes Maß an, dass die Guru ist konsistent und allgemein probabilistisch kohärent). Diese Antworten könnten so phantasievoll sein, wie Sie möchten: Wir überlassen es der Vorstellungskraft des Lesers, Beispiele für ausgefallene Behauptungen des Gurus zu entwickeln. Wenn wir annehmen, dass der Guru jede der Fragen beantwortet, die er aufwirft,Die Guru-ologie ist daher fortschrittlich - sie beantwortet alle Fragen, die sie aufwirft - und sie ist daher erfolgreich. Ihr Erfolg spricht jedoch nichts für seine Glaubwürdigkeit.

Wenn der Erfolg eines bestimmten Satzes von Standards S an seinen eigenen Bedingungen gemessen wird, dh unter Verwendung von S-Standards, gelten im Allgemeinen mehrere selbsttragende, aber intuitiv inakzeptable Sätze von Standards als erfolgreich. Dieser Relativismus ist eindeutig nicht das, was der Naturforscher will. Ebenso für den Gedanken, dass Erfolg davon abhängt, wie gut die Standards uns helfen, mit der Realität umzugehen; Mehrere nichtwissenschaftliche und nichtmathematische Naturalismen rechtfertigen sich unter diesem Kriterium ebenfalls selbst. Vielleicht sollte der Erfolg stattdessen daran gemessen werden, wie gut die Standards Naturphänomene erklären und vorhersagen, dh wie sie mit dem naturwissenschaftlichen Thema umgehen. Aber unsere übliche Ansicht darüber, wie man den Erfolg in dieser Hinsicht beurteilt, zu übernehmen, wäre fragend zugunsten des wissenschaftlichen Naturalismus.da wissenschaftliche Standards genau die Standards sind, die wir entwickelt haben, um diesen Teil der Realität zu bewältigen. Vergleichen Sie einen astrologischen Naturalismus, der von der Idee motiviert ist, dass der Erfolg daran gemessen werden soll, wie gut die Standards "astrologische Phänomene" erklären und vorhersagen, wie es die Astrologen verstehen. Wenn also ein auf Erfolg basierendes naturalistisches Argument Erfolg haben soll, muss ein anderes naturalistisch akzeptables, aber nicht fragendes Verständnis für „Erfolg“gefunden werden. Es muss ein anderes naturalistisch akzeptables, aber nicht fragendes Verständnis für „Erfolg“gefunden werden. Es muss ein anderes naturalistisch akzeptables, aber nicht fragendes Verständnis für „Erfolg“gefunden werden.

Das zweite Problem mit einem Erfolgsargument ist, dass Erfolg in einer Sphäre kein Hinweis auf Erfolg in einer anderen ist. Die Biologie ist ziemlich erfolgreich darin, biologische Phänomene zu erklären und vorherzusagen. Aber warum sollte das ihm Autorität über Fragen der Mathematik oder der Philosophie der Mathematik geben? Ebenso für andere Naturwissenschaften. Wie wir sehen werden, verallgemeinert sich dieser Punkt.

4.4 Vereinbarung

Traditionelle Philosophie, könnte ein Naturforscher sagen, führt zu endlosen Meinungsverschiedenheiten. Wissenschaft und Mathematik hingegen erzielen in der Regel eine breite Übereinstimmung - häufig Konsens - über Fragen in ihrem Bereich. Daher sind wissenschaftliche oder mathematische Standards anderen vorzuziehen. (Solche Argumente aus Meinungsverschiedenheiten und mangelnder Meinungskonvergenz haben in anderen Bereichen der Philosophie, insbesondere in der Metaethik, eine herausragende Rolle gespielt.)

Die Moral, die der Naturforscher aus Mustern der Übereinstimmung und Nichtübereinstimmung ziehen möchte, scheint jedoch nicht gerechtfertigt. Zustimmung oder Nichtübereinstimmung in einer Gemeinschaft ist eine bedingte Angelegenheit. Ein totalitärer Staat könnte eine gemeinschaftsweite Übereinstimmung mit der Wirksamkeit der Kühle erzielen, indem er seinen Themen einige bevorzugte Standards auferlegt. Im Allgemeinen gibt es unzählige nicht-epistemische Gründe für Übereinstimmung oder Nichtübereinstimmung. Es kommt also nicht auf eine Einigung an, sondern auf die Erklärung, warum eine Einigung erzielt wird.

Eine differenziertere Version dieses Arguments könnte daher eher auf der Nachvollziehbarkeit von Meinungsverschiedenheiten als auf ihrer bloßen Anwesenheit beruhen. Meinungsverschiedenheiten sind sowohl in der Philosophie als auch in der Wissenschaft weit verbreitet, aber nur in letzterer, so könnte man sagen, sind Meinungsverschiedenheiten nachvollziehbar. Zumindest können Fortschritte erzielt werden, und vielleicht kann im Prinzip immer eine Einigung erzielt werden. Tatsächliche Muster der Übereinstimmung und Nichtübereinstimmung könnten dann als Beweis für die jeweilige Nachvollziehbarkeit oder Unlösbarkeit von Debatten angeführt werden, die beispielsweise von wissenschaftlichen und nichtwissenschaftlichen philosophischen Standards geleitet werden.

Es liegt außerhalb des Rahmens dieses Eintrags, diese differenziertere Version des Arguments zu bewerten, die in der einen oder anderen Form in jüngster Zeit außerhalb der Philosophie der Mathematik erhebliche Aufmerksamkeit erregt hat. Beachten Sie jedoch einige Anscheinsschwierigkeiten.

Um von den Eventualitäten unserer epistemischen Situation zu abstrahieren, werden Argumente über die Traktierbarkeit normalerweise unter Berücksichtigung stark idealisierter Themen vorgebracht, insbesondere von Themen, deren sachliches, logisches usw. Wissen unser Wissen bei weitem übertrifft. Das Problem bei solchen Idealisierungen ist jedoch, dass sie fragend erscheinen. Zum Beispiel würde ein theologischer Anti-Naturforscher behaupten, dass sachlich gut informierte Subjekte über Tatsachen über die übernatürliche Realität informiert werden. Unser Griff nach idealisierten Themen und wie sich Meinungsverschiedenheiten zwischen ihnen wahrscheinlich von selbst auflösen, ist daher möglicherweise zu locker, um aus solchen Gedankenexperimenten eine substanzielle Moral zu ziehen. Entweder das oder solche Argumente sind wahrscheinlich fragwürdig.

Zweitens können wir zugeben, dass Überlegungen zur Traktierbarkeit zeigen, dass wissenschaftliche und mathematische Standards in ihren jeweiligen Bereichen wahrheitsfördernder sind. Dies scheint jedoch keinen Grund zu der Annahme zu geben, dass sie in anderen Bereichen erfolgreich sein werden. (Dies ist der gleiche Punkt, den wir im Zusammenhang mit dem Argument des Erfolgs angesprochen haben.)

4.5 Historischer Erfolg

Das vielleicht vielversprechendste Argument für Naturalismus basiert auf dem historischen Erfolg. Wissenschaftliche und mathematische Standards haben eine bessere Erfolgsbilanz als andere; Daher sollten wissenschaftliche und mathematische Standards in der Philosophie der Mathematik und anderswo als maßgeblich angesehen werden. Beachten Sie, dass dieses Argument für den Naturalismus in der Philosophie der Mathematik wie die beiden vorhergehenden Argumente ein Argument für den globalen Naturalismus ist.

Einige Naturforscher haben sich ausdrücklich auf diese Motivation verlassen. Zum Beispiel verwendet Lewis es, um den Strukturalismus als die richtige Philosophie der Mengenlehre in Parts of Classes (1991, 58–9) abzulehnen, selbst wenn er ihn als Argument ablehnt; siehe auch Colyvan (2001, 33), Shapiro (1997, 30) und Burgess (1998, 197). Zu dem in Paseau (2005) untersuchten Argument gibt es viel zu sagen. Hier begnügen wir uns mit zwei kritischen Beobachtungen.

Da Philosophen anscheinend unterschiedliche Standards anwenden, ist nicht klar, was es bedeutet zu sagen, dass die Philosophie insgesamt eine schlechte historische Erfolgsbilanz aufweist. Betrachten Sie den frühen Popper (1935), der der Ansicht war, dass keine Menge an Beweisen eine nicht gefälschte Theorie wahrscheinlich machen kann (oder zumindest nicht wahrscheinlicher als jede andere nicht gefälschte Theorie). Dies ist ein Beispiel, mit dem sich David Lewis über die Philosophie lustig macht: Sicher - die Standards, die zu dieser Schlussfolgerung geführt haben, sind nicht vertrauenswürdig. Die Relativitätstheorie ist zweifellos wahrscheinlicher als die noch nicht gefälschte Hypothese, dass die Welt im Jahr 2525 enden wird. Wenn ich jedoch Poppers Standards von 1935 nicht teile, ist die Tatsache, dass seine damalige Wissenschaftsphilosophie aus meiner Sicht offensichtlich falsch ist tut nichts, um meinen Glauben an meine eigenen philosophischen Standards zu erschüttern. Ebenso nehmen Sie Thomas von Aquin,Zu ihren philosophischen Maßstäben gehörte die Übereinstimmung mit der Bibel und allgemeiner mit den Grundsätzen des christlichen Glaubens. Wenn ich kein Christ bin, erschüttert die Tatsache, dass die philosophische Theologie von Aquin aus meiner Sicht falsch ist, meinen Glauben an meine philosophischen Maßstäbe nicht. Dass die Standards von Sir Karl oder St. Thomas meines Erachtens kein Gut waren, untergräbt nicht meinen Glauben an meinen eigenen.

Ich kann daher dem Naturforscher zustimmen, dass die Philosophie eine schlechtere Erfolgsbilanz aufweist als Wissenschaft und Mathematik. Daraus folgt jedoch nicht, dass die von mir verwendeten (nicht wissenschaftlichen oder nicht mathematischen) Standards eine schlechte Erfolgsbilanz aufweisen. Wenn Philosophen im Laufe der Geschichte konsequent mehr oder weniger einheitliche Standards angenommen haben und wenn auch ich dieser Tradition folge, indem ich sie als meine akzeptiere, und wenn diese Standards nachweislich eine schlechtere Erfolgsbilanz aufweisen als wissenschaftliche oder mathematische Standards, Das wäre ein Grund für mich, Naturforscher zu werden. Aber die erste Annahme ist zumindest fraglich, und es ist nicht klar, was von dem Argument aus der Geschichte übrig bleibt, wenn die Vorgeschichte meiner Standards keine schlechte Erfolgsbilanz aufweist.

Ein zweites Problem mit dem Argument hat mit seiner Anwendung auf philosophische Fragen zu tun. Lassen Sie uns zustimmen, dass wissenschaftliche Standards eine gute Erfolgsbilanz bei der Beantwortung wissenschaftlicher Fragen haben, dass mathematische Standards eine gute Erfolgsbilanz bei der Beantwortung mathematischer Fragen haben und dass diese Erfolgsbilanzen besser sind als die Erfolgsbilanz philosophischer Standards in Beantwortung philosophischer Fragen. Diese Tatsachen scheinen jedoch nicht relevant für die Frage zu sein, welche Standards in Bezug auf philosophische Fragen als maßgeblich angesehen werden sollten. Eine gute Erfolgsbilanz in einer Sphäre ist an sich kein Beweis für die Wahrheitsfähigkeit in einer anderen.

Dieser inzwischen bekannte Einwand lässt sich anhand der Debatte zwischen Platonikern und Strukturalisten in der Philosophie der Mathematik veranschaulichen. Platoniker interpretieren '1 + 2 = 3' als Behauptung über abstrakte Objekte. Strukturalisten hingegen interpretieren '1 + 2 = 3' als eine Behauptung darüber, was in jeder Struktur der Fall ist, die die Axiome der Arithmetik erfüllt. (Hier denken wir an Strukturalismus als die Art von Sichtweise, die nach Charles Parsons oft als "eliminativer Strukturalismus" bezeichnet wird und deren raffinierteste Buchlängen- und Modalversion in Hellman (1989) zu finden ist.) Naturforscher behaupten, dass mathematische Standards dies haben war in der Vergangenheit erfolgreicher und sollte daher in dieser Frage vertrauenswürdig sein. Es ist jedoch keineswegs klar, dass dies die Art von Frage ist, welche mathematischen Standards eine bessere Erfolgsbilanz haben als philosophische. Mathematische Standards haben eine gute Erfolgsbilanz, wenn es um Fragen geht, z. B. ob 1 + 2 gleich 3 ist oder wo die Reihe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… konvergiert oder ob die Poincaré-Vermutung (bezüglich der Klassifizierung von 3-Mannigfaltigkeiten) ist wahr; Aber sie haben keine nachgewiesene Erfolgsbilanz, wenn es um Fragen geht, ob diese Wahrheiten platonistisch oder strukturalistisch sind. (Ein verwandter Einwand gegen das Argument ist, dass wissenschaftliche Standards nicht zu Fragen der Interpretation sprechen, wie zum Beispiel der Frage, welche des Platonismus oder Strukturalismus zu bevorzugen sind. Vgl. Paseau (2007).)Mathematische Standards haben eine gute Erfolgsbilanz, wenn es um Fragen geht, z. B. ob 1 + 2 gleich 3 ist oder wo die Reihe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… konvergiert oder ob die Poincaré-Vermutung (bezüglich der Klassifizierung von 3-Mannigfaltigkeiten) ist wahr; Aber sie haben keine nachgewiesene Erfolgsbilanz, wenn es um Fragen geht, ob diese Wahrheiten platonistisch oder strukturalistisch sind. (Ein verwandter Einwand gegen das Argument ist, dass wissenschaftliche Standards nicht zu Fragen der Interpretation sprechen, wie zum Beispiel der Frage, welche des Platonismus oder Strukturalismus zu bevorzugen sind. Vgl. Paseau (2007).)Mathematische Standards haben eine gute Erfolgsbilanz, wenn es um Fragen geht, z. B. ob 1 + 2 gleich 3 ist oder wo die Reihe 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 +… konvergiert oder ob die Poincaré-Vermutung (bezüglich der Klassifizierung von 3-Mannigfaltigkeiten) ist wahr; Aber sie haben keine nachgewiesene Erfolgsbilanz, wenn es um Fragen geht, ob diese Wahrheiten platonistisch oder strukturalistisch sind. (Ein verwandter Einwand gegen das Argument ist, dass wissenschaftliche Standards nicht zu Fragen der Interpretation sprechen, wie zum Beispiel der Frage, welche des Platonismus oder Strukturalismus zu bevorzugen sind. Vgl. Paseau (2007).)Aber sie haben keine nachgewiesene Erfolgsbilanz, wenn es um Fragen geht, ob diese Wahrheiten platonistisch oder strukturalistisch sind. (Ein verwandter Einwand gegen das Argument ist, dass wissenschaftliche Standards nicht zu Fragen der Interpretation sprechen, wie zum Beispiel der Frage, welche des Platonismus oder Strukturalismus zu bevorzugen sind. Vgl. Paseau (2007).)Aber sie haben keine nachgewiesene Erfolgsbilanz, wenn es um Fragen geht, ob diese Wahrheiten platonistisch oder strukturalistisch sind. (Ein verwandter Einwand gegen das Argument ist, dass wissenschaftliche Standards nicht zu Fragen der Interpretation sprechen, wie zum Beispiel der Frage, welche des Platonismus oder Strukturalismus zu bevorzugen sind. Vgl. Paseau (2007).)

Insgesamt bleibt die Notwendigkeit für Naturforscher, diese Argumente zu entwickeln oder bessere zu produzieren, dringend.

5. Heterogener Naturalismus

Bisher haben wir drei einheitliche Arten von methodologischem Naturalismus in Bezug auf Mathematik betrachtet: wissenschaftlich, mathematisch und mathematisch-wissenschaftlich. Stellen Sie sich nun einen heterogenen methodologischen Naturalismus vor, der mathematische Standards in Bezug auf die eigentliche Mathematik akzeptiert, aber wissenschaftliche Standards für die Philosophie der Mathematik und allgemein für die Philosophie übernimmt. Der heterogene Naturalismus wurde von Penelope Maddy (1997) vorangetrieben, deren reiche Beiträge die Debatte über den Naturalismus in der Philosophie der Mathematik in den letzten zwanzig Jahren belebt und unvergleichlich beeinflusst haben. (Maddy zieht es jetzt vor, ihren Naturalismus "Zweite Philosophie" zu nennen, wie im Titel ihres Buches von 2007, aber hier behalten wir das Label "Naturalismus" im Einklang mit dem Rest des Eintrags bei.)

Zunächst ein repräsentatives Zitat von Maddy:

Wo Quine der Ansicht ist, dass die Wissenschaft „keinem überwissenschaftlichen Gericht gegenüber verantwortlich ist und keiner Rechtfertigung bedarf, die über die Beobachtung und die hypothetisch-deduktive Methode hinausgeht“, fügt der mathematische Naturforscher hinzu, dass die Mathematik keinem außermathematischen Gericht gegenüber verantwortlich ist keine Begründung über den Beweis und die axiomatische Methode hinaus erforderlich (1997, 184).

In unserer Terminologie ist Maddys heterogener Naturalismus eine trumpfende These. Wie sie es ausdrückt: "Wenn unsere philosophische Darstellung der Mathematik mit der erfolgreichen mathematischen Praxis in Konflikt gerät, muss die Philosophie geben" (1997, 161). Weder Philosophie noch Wissenschaft können die methodischen Urteile der Mathematik (2007, 361) aufheben, da beide außermathematische Tribunale sind. Maddy nimmt jedoch die Philosophie der Mathematik im Gegensatz zur eigentlichen Mathematik als einen Zweig der Naturwissenschaften, wie sie in der folgenden Passage erklärt:

Die naturalistische Philosophie der Mathematik findet also innerhalb der Naturwissenschaften statt, wie die naturalistische Wissenschaftsphilosophie, aber im Gegensatz zur naturalistischen Wissenschaftsphilosophie nimmt sie eine natürliche Haltung gegenüber dem naturalisierten Modell der mathematischen Praxis ein (1997, 202).

Diese und ähnliche Passagen (insbesondere 1997, 200–203) weisen darauf hin, dass Maddy die Philosophie der Mathematik als (natur-) wissenschaftlich anerkennbar ansieht.

Die Besonderheit des heterogenen Naturalismus besteht darin, dass er eine Reihe von Standards (mathematisch) zur Regelung einiger Fragen zur Mathematik empfiehlt - mathematische, z. B. welche Axiome zu wählen sind - und eine andere Reihe von Standards (wissenschaftlich) zur Regelung anderer offen gelassener Fragen zur Mathematik durch die Praxis selbst-philosophische, wie man Mathematik interpretiert. Dies steht im Gegensatz zu einheitlichen Naturalismen in der Philosophie der Mathematik, zum Beispiel dem quineanischen wissenschaftlichen Naturalismus oder dem burgessischen mathematisch-wissenschaftlichen Naturalismus oder einem einheitlich mathematischen Naturalismus (ebenfalls von Maddy (1997) vorgeschlagen, aber unserer Ansicht nach dort letztendlich nicht befürwortet)..

Um zu erklären, wie diese zweiwertige Haltung in der Praxis funktionieren könnte, nehmen Sie Maddys Lieblingsbeispiel: Mengenlehre. Angenommen, ZFC + LCA ist unsere derzeit akzeptierte Mengenlehre, bei der LCA eine Sammlung großer Kardinalaxiome ist. Angesichts des mathematischen Naturalismus in Bezug auf die eigentliche Mathematik besteht keine Frage der Ablehnung von ZFC + LCA zugunsten von beispielsweise ZFC + dem Axiom, dass es keine Unzugänglichkeiten gibt, oder einer anderen Mengenlehre, sagen Quines New Foundations. Mathematische Standards sanktionieren ZFC + LCA, das ist also die Mengenlehre, die wir akzeptieren müssen. Aber wie sollen wir ZFC + LCA interpretieren? Platonistisch, strukturell oder auf andere Weise? Das ist eine philosophische Frage. Angesichts des wissenschaftlichen Naturalismus über die Philosophie der Mathematik (und der Philosophie im Allgemeinen) ist ihre richtige Antwort die nach wissenschaftlichen Maßstäben sanktionierte. Beispielsweise,Wenn ein übergeordnetes wissenschaftliches Kriterium der Einfachheit den Platonismus gegenüber allen anderen Interpretationen bevorzugt, muss dies die korrekte Interpretation von ZFC + LCA sein.

Maddy motiviert ihren Naturalismus, indem sie sich auf den „Grundgeist beruft, der jedem Naturalismus zugrunde liegt: die Überzeugung, dass ein erfolgreiches Unternehmen, sei es Wissenschaft oder Mathematik, zu seinen eigenen Bedingungen verstanden oder bewertet werden sollte, dass ein solches Unternehmen nicht kritisiert werden sollte und braucht keine Unterstützung von einem externen, angeblich höheren Standpunkt aus “(1997, 184). Eine gespannte Lesart dieses Satzes ist, dass die grundlegende Überzeugung des Naturalismus per Definition nur für Naturwissenschaften und Mathematik gilt. Eine natürlichere Lesart ist, dass sie für jede erfolgreiche Wissenschaft gilt. Maddy behauptet dann, dass tatsächlich nicht-mathematische Gründe die Mathematik nicht beeinflusst haben. Wir können dies als die These ausdrücken, dass die Mathematik autonom ist.

Die Bewertung von Maddys heterogenem Naturalismus besteht hauptsächlich in der Bewertung der Autonomie-These in Bezug auf Mathematik und ihre Auswirkungen. Eine Frage ist, ob die These wahr ist. Eine andere ist, ob die These, falls zutreffend, den heterogenen Naturalismus unterstützt.

5.1 Ist Mathematik methodisch autonom?

Maddy behauptet, dass das richtige Modell der mathematischen Rechtfertigung die Hypothese bestätigen wird, dass traditionell wissenschaftliche oder philosophische Argumente nicht zur Rechtfertigung mathematischer Aussagen beitragen. Zum Beispiel kritisierten die französischen Analysten Baire, Borel und Lebesgue das Axiom of Choice auf der Grundlage einer definabilistischen Methodik, nach der die Existenz eines Objekts von seiner Definierbarkeit abhängt: Funktionen sollten definierbare Regeln sein, die Zugehörigkeit zu einer Menge sollte gegeben sein ein definierbarer Weg usw. Aber der Definabilismus hatte letztendlich keinen Einfluss auf die Praxis der Mathematik, und seine Sympathisanten wurden zum Schweigen gebracht oder aufgegeben, als seine mathematisch unerwünschten Merkmale klar wurden. Zum Beispiel erlaubt das Axiom der Wahl die Aufnahme maximaler Ideale in Ringen und anderen Strukturen;es beinhaltet die Arten von Maximalitätsprinzipien, die sogar die Analysten bereits verwendeten; es vereinfacht die transfinite Arithmetik; und trotz seiner verdächtigen Abstraktheit entpuppt es sich als äquivalent zu "konkreten" und "mathematischen" Aussagen wie der Behauptung, dass jeder Vektorraum eine Basis hat. Die Gründe für die Annahme des Axioms der Wahl waren am Ende rein mathematisch.

Maddy bietet auch eine bewundernswert detaillierte Darstellung der mathematischen Gründe, die gegen das 'Axiom' der Konstruierbarkeit V = L sprechen, insbesondere der Tatsache, dass seine Annahme gegen die satztheoretische Maxime MAXIMIZE verstößt, die das Universum der Mengen vorschreibt sollte so expansiv wie möglich sein (indem so viele Isomorphismustypen wie möglich enthalten werden).

Die meisten Kommentatoren haben die deskriptive Komponente von Maddys Naturalismus, die Autonomie-These, durchgelassen und die Kritik stattdessen auf ihre normativen Implikationen konzentriert. Die Autonomie-These ist jedoch sehr radikal. Das übliche Bild der Wechselwirkung zwischen Mathematik und Philosophie ist eine Einbahnstraße. Insbesondere wird gewöhnlich angenommen, dass die Philosophie die mathematische Praxis bis zu einem gewissen Grad beeinflusst. Intuitionisten zum Beispiel halten die Abhängigkeit für tiefgreifend: Sie glauben, dass die gesamte mathematische Praxis auf einer falschen philosophischen Grundlage beruht und dass die Mathematik ins Wanken gerät, sobald diese Grundlage entfernt ist.

Maddy räumt bereitwillig ein, dass philosophische Lehren wie Definabilismus oder Realismus wichtige Inspirationen für die mathematische Entwicklung sind, auch wenn sie nicht gerechtfertigt sind (1997, 192). Und sie akzeptiert, dass „Theorien der mathematischen Wahrheit oder Existenz oder des Wissens tatsächlich in den meisten mathematischen Debatten über geeignete Methoden neben typischeren mathematischen Überlegungen auftauchen“(2007, 348). Sie behauptet jedoch, dass solche Theorien am Ende keine „instrumentelle Rolle“gespielt haben (2007, 359) und dass sie eine „Erfolgsbilanz der Irrelevanz“(2007, 366) in der Entwicklung der Mathematik erzielt haben.

Fallen philosophische (oder allgemein nicht mathematische) Überlegungen immer eher auf der Seite der Inspiration als der Rechtfertigung? Nun, philosophische Überlegungen werden in mathematischen Zeitschriften oder Büchern kaum jemals vorgebracht. Und wann immer sie Maddy sind, sehen sie sie als "intramathematische" Argumente an (1997, 193), von denen ein eingebürgertes Modell der Praxis aufgrund ihrer methodischen Irrelevanz "gereinigt" würde (1997, 193) 197). Wenn sie Recht hat, verallgemeinert diese Antwort von diesem bestimmten, eher eingeschränkten Kontexttyp auf alle mathematischen Kontexte.

Eine der Implikationen dieser Ansicht ist, dass die Arten von Maximen, die Maddy als rein mathematisch intern ansieht, wie MAXIMIEREN oder EINHEITEN, niemals selbst von philosophischen Überzeugungen untermauert werden. UNIFY ist eine methodologische Konsequenz des grundlegenden Ziels der Mengenlehre, „ein einziges System bereitzustellen, in dem alle Objekte und Strukturen der Mathematik modelliert oder instanziiert werden können“(1997, 208–9). Doch vielleicht sind UNIFY und die grundlegende Ambition der Mengenlehre - die Tatsache, dass, wie Maddy richtig bemerkt, „die Mengenlehre (zumindest teilweise) eine Grundlage für die klassische Mathematik bilden soll“(2007, 355) - in gewisser Weise selbst ein kleiner Grad, der durch den satztheoretischen Realismus untermauert wird, dh die Ansicht, dass es sich bei der Mengenlehre um ein einziges Universum von Mengen handelt. Ebenso für das Axiom der Wahl,was an der Oberfläche seinen Platz im satztheoretischen Kanon teilweise - vielleicht nur in geringem Maße - einem tief verwurzelten Realismus über die Mengenlehre verdankt. Es ist bekannt, dass mehrere Mengen-Theoretiker diesbezügliche Ansprüche geltend machen. Daher liegt die Beweislast bei Maddy, um diese Bemerkungen zu erläutern.

Maddy verwendet auch den folgenden problematischen Argumentationsstil. Sie glaubt, dass die Tatsache, dass philosophische Debatten (z. B. über Realismus) weit offen sind, sich aber die Mathematik auf eine bestimmte Weise entwickelt hat (z. B. um improvisatorische Methoden zuzulassen), zeigt, dass philosophische Debatten das Ergebnis der modernen Mathematik nicht beeinflusst haben (z. B. 2007) 348). Die Tatsache, dass eine Debatte über Realismus in der Philosophie weit offen ist, bedeutet jedoch nicht, dass sie in der Mathematik weit offen ist. Vielleicht haben Mathematiker implizit eine realistische Haltung eingenommen, die teilweise ihrer Akzeptanz der Impredikativität zugrunde liegt, selbst wenn Philosophen weiterhin über die Richtigkeit des Realismus als Philosophie der Mathematik debattieren. Mathematik kann philosophisch parti pris sein, weshalb sie sich so entwickelt hat, wie sie ist.

Diese Punkte gegen die Autonomie-These sind kaum schlüssig. Um es zu bewerten, ist mehr Klarheit erforderlich, wo die Grenze zwischen Rechtfertigung und Inspiration liegt und was genau es bedeutet zu sagen, dass etwas auf die eine oder andere Seite fällt. Und natürlich müssen wir dann genauer identifizieren, welche der Faktoren in der Entwicklung der Mathematik gerechtfertigt sind und welche nicht. Selbst wenn die Autonomie-These nicht wahr ist, ist sie vielleicht fast wahr. Und vielleicht ist nichts ganz so Starkes wie eine Autonomie-These erforderlich, um das Trumpfen zu unterstützen, im Gegensatz zum bikonditionalen Naturalismus.

5.2 Wenn Mathematik methodisch autonom ist, begründet das Maddys Naturalismus?

Dass eine Praxis zur Abgabe von Erklärungen tatsächlich autonom ist, bedeutet nicht, dass ihre Erklärungen dadurch akzeptabel sind. Praktiken können hermetisch vor äußeren Einflüssen geschützt sein (z. B. Astrologie, dogmatische Theologie), aber das allein macht ihre Behauptungen nicht akzeptabel. Was unterscheidet Mathematik?

Maddy erkennt dieses Problem für ihre Position (1997, 203–5; 2005, 449; 2007, 346–7), die von Überprüfungen und Diskussionen ihrer Arbeit aufgegriffen wurde (z. B. Dieterle 1999, Rosen 1999, Roland 2007; nur Tappenden (2001) ist sympathischer). Sie spricht es an, indem sie zwischen reinen und angewandten Disziplinen unterscheidet. Sie nimmt die Astrologie als Folie und stellt fest, dass angewandte Astrologie so ausgelegt werden kann, dass sie Behauptungen über die empirische Welt aufstellt. Unter Verwendung ihrer gewöhnlichen wissenschaftlichen Standards erkennt die wissenschaftliche Naturforscherin an, dass angewandte Astrologie falsch ist (da sie von der akzeptierten wissenschaftlichen Geschichte abweicht). Daher verdient die angewandte Astrologie nicht den Respekt des Naturforschers. Im Gegensatz dazu wird reine Astrologie als Behandlung von "bestimmten übernatürlichen Schwingungen, die nicht kausal mit gewöhnlichen physikalischen Phänomenen interagieren" interpretiert (1997, 204). Jedoch,Es gibt keinen Grund, an reine Astrologie zu glauben, da sie in unserer besten wissenschaftlichen Theorie der Welt nicht vorkommt. Bei beiden Interpretationen ist die Astrologie der Mathematik nicht gewachsen.

Maddy scheint ihren Kuchen haben und ihn essen zu wollen. Der Grund für die Glaubwürdigkeit der Mathematik soll ihre Anwendung in der Wissenschaft sein. Aber warum sollte die Tatsache, dass Mathematik in unserer besten Wissenschaft eine Rolle spielt, ein Grund sein, den Äußerungen von Mathematikern zu glauben - das heißt, ein Grund, sie für wahr zu halten? Der Verdacht besteht darin, dass wenn wissenschaftliche Merkmale das Zeichen der Glaubwürdigkeit sind, es wissenschaftliche Standards sein sollten, die letztendlich die Akzeptanz mathematischer Theorien bestimmen. Maddy hat tatsächlich ein Merkmal angeführt, das Mathematik von reiner Astrologie unterscheidet, wie sie betont (2007, 390); Unklar bleibt jedoch, warum dieses Merkmal die Mathematik und nicht die Naturwissenschaften in Bezug auf Fragen der eigentlichen Mathematik maßgeblich machen sollte. Es scheint also, dass sie nicht erklärt hat, wie man konsequent eine mathematische Naturforscherin über mathematische Theorien sein kann, sondern eine wissenschaftliche Naturforscherin über alles andere, einschließlich der Wahrheit und Natur der Mathematik. Allgemeiner gesagt, angesichts der Tatsache, dass eine Praxis in wahrheitsbewertbaren Aussagen vorgeht, scheint es, dass man X-Standards nicht als Schiedsrichter für die Akzeptanz dieser Aussagen befürworten kann, während man gleichzeitig einen anderen Satz von Standards, die Y-Standards, als Schiedsrichter dafür befürwortet, ob oder Nicht die Aussagen sollten als wahr angesehen werden, wie sie interpretiert werden sollten usw. Beachten Sie, dass dies ein Problem ist, mit dem ausschließlich heterogene und nicht einheitliche Naturalisten konfrontiert sind. Angesichts der Tatsache, dass eine Praxis in wahrheitsbewertbaren Aussagen auftritt, scheint es, dass man X-Standards nicht als Schiedsrichter für die Akzeptanz dieser Aussagen befürworten kann, während man gleichzeitig einen anderen Satz von Standards, die Y-Standards, als Schiedsrichter dafür befürwortet, ob die Aussagen oder nicht sollte als wahr angesehen werden, wie sie interpretiert werden sollten usw. Beachten Sie, dass dies ein Problem ist, mit dem ausschließlich heterogene im Gegensatz zu einheitlichem Naturalismus konfrontiert sind. Angesichts der Tatsache, dass eine Praxis in wahrheitsbewertbaren Aussagen auftritt, scheint es, dass man X-Standards nicht als Schiedsrichter für die Akzeptanz dieser Aussagen befürworten kann, während man gleichzeitig einen anderen Satz von Standards, die Y-Standards, als Schiedsrichter dafür befürwortet, ob die Aussagen oder nicht sollte als wahr angesehen werden, wie sie interpretiert werden sollten usw. Beachten Sie, dass dies ein Problem ist, mit dem ausschließlich heterogene im Gegensatz zu einheitlichem Naturalismus konfrontiert sind.

Die einzige Möglichkeit, diese offensichtliche Inkonsistenz zu vermeiden, besteht darin, anzunehmen, dass die Annahme einer durch die mathematische Praxis sanktionierten Aussage - eine Aussage, zu der die autonome Praxis der Mathematik die Daumen hoch gibt - nicht bedeutet, sie als wahr zu betrachten. Obwohl dies durch einige Passagen in Maddy (1997) nahegelegt wird, kann diese Interpretation nicht ernsthaft in ihr Buch aufgenommen werden. Außerdem ist es in allem außer dem Namen gleichbedeutend mit wissenschaftlichem Naturalismus. Es kommt der Behauptung gleich, dass alle Mathematiker, die ihre Zeit damit verbringen, zu sagen, zu tun und zu veröffentlichen, nicht gestört werden sollten, sondern dass wir nur daran denken sollten, diesen mathematischen Behauptungen zu glauben, die aus wissenschaftlichen Gründen sanktioniert wurden, unabhängig davon, ob sie den Daumen hoch bekommen oder nicht im Sprachspiel der Mathematiker.

Dieses Bild wurde kürzlich durch Maddys Behauptungen kompliziert, dass das, was sie Arealismus nennt - wenn man die Mengenlehre und allgemein die Mathematik nicht als wahr ansieht -, genauso wissenschaftlich respektabel sein könnte wie der Dünne Realismus - ungefähr die Ansicht, dass Mengen nur die ihnen zugeschriebenen Eigenschaften haben nach Mengenlehre (2007, IV.4). Dieser Eintrag hat keinen Raum, um dieser Wendung in Maddys Metaphilosophie gerecht zu werden. Es genügt, Folgendes zu beachten. Die gerade diskutierten Probleme scheinen für den Dünnen Realisten genauso zu entstehen wie für jede andere Art von Realisten. Und das realistische Konstrukt scheint Maddys Position in etwas ganz anderes zu verwandeln als den hier betrachteten heterogenen Naturalismus.

6. Ontologischer Naturalismus

Wenn Sie sich vom methodischen Naturalismus abwenden, betrachten Sie jetzt den ontologischen Naturalismus, die Ansicht, dass alle Entitäten natürlich sind. Eine Möglichkeit, dies zu lesen, besteht darin, dass nur die von den Naturwissenschaften gesetzten Entitäten existieren. Eine zweite und vielleicht natürlichere Lesart ist, dass nur raumzeitliche Einheiten existieren. Wir gehen in diesem letzten Abschnitt kurz auf beide Lesarten ein und gehen in 6.3 kurz auf den erkenntnistheoretischen Naturalismus ein.

6.1 Naturwissenschaft als Schiedsrichter der Ontologie

In seiner ersten Lesung ist der ontologische Naturalismus in der Philosophie der Mathematik eine direkte Folge des methodisch-wissenschaftlichen Naturalismus. Es besagt, dass die Ontologie der Mathematik die mathematische Ontologie unserer besten Naturwissenschaften ist. Wissenschaftliche Platoniker behaupten nach Quine und Putnam, dass diese Ontologie platonistisch ist, ebenso wie mathematisch-wissenschaftliche Platoniker (z. B. Burgess und Rosen (1997)). Der Widerstand gegen den wissenschaftlichen Platonismus und das damit verbundene Argument der Unentbehrlichkeit wurde an mehreren Fronten verstärkt (z. B. Field 1980, Sober 1993, Maddy 1997, Kap. II.6, Paseau 2007). Konsultieren Sie Colyvan (2011) für eine ausführliche Diskussion.

6.2 Alle Entitäten sind raumzeitlich

Die zweite Lesung des ontologischen Naturalismus, nach der alle Entitäten raumzeitlich sind, ist eine Version des Antiplatonismus in der Philosophie der Mathematik.

Die Position ist unterteilt. Aus reduktionistischer Sicht wird Mathematik mit logisch-grammatikalischem Nennwert betrachtet, aber ihre Objekte (Zahlen, Funktionen, Mengen usw.) werden als raumzeitlich angesehen. Diese Ansicht wird für Sets in Armstrong (1991) und allgemeiner in Bigelow (1988) vertreten. Nichtreduktionistische Ansichten sind vielfältig. Dazu gehört die Mathematik als bedeutungslose Symbolmanipulation (Formalismus) oder als Erforschung dessen, was in allen Strukturen wahr ist, die den Axiomen gehorchen (Strukturalismus), oder als Erforschung dessen, was in allen möglichen Strukturen wahr ist, die den Axiomen gehorchen (Modalstrukturalismus)). Bueno (in Vorbereitung) diskutiert verschiedene Nominalismen, dh Ansichten, die nur raumzeitliche Einheiten berücksichtigen. Da viele dieser Nominalismen sowohl mit nicht-naturalistischen als auch mit ontologisch naturalistischen Motivationen vereinbar sind, diskutieren wir sie hier nicht. Wir konzentrieren uns auf eine Handvoll Themen, die sich hauptsächlich auf reduktionistische Versionen des ontologischen Realismus beziehen.

Der reduktionistische ontologische Naturalismus und der nichtmodale Strukturalismus in Bezug auf die Mengenlehre stehen vor einem unmittelbaren Problem: Es gibt anscheinend weit weniger Entitäten in der Raumzeit als Mengen. Selbst unter den liberalsten Annahmen (Raumzeitpunkte und beliebige Regionen davon existieren, kann an jedem dieser Punkte oder Regionen eine kleine Unendlichkeit von Entitäten zusammengestellt werden), ist die Größe der Raumzeit und der darin enthaltenen Objekte eine relativ geringe unendliche Kardinalität (sicherlich nein mehr als

_ω- auch das ist großzügig). Es gibt also nicht genügend raumzeitliche Einheiten, um die Mengenlehre wörtlich zu interpretieren oder eine strukturelle Interpretation der Mengenlehre nicht vakuumiert wahr zu machen und damit sicherzustellen, dass satztheoretische Unwahrheiten eher falsch als wahr herauskommen. Siehe Paseau (2008) zur Diskussion dieses und anderer Probleme des satztheoretischen Reduktionismus.

Ein weiteres Problem besteht darin, dass selbst wenn die Raumzeit groß genug wäre, um entweder ein Modell für eine wörtliche Interpretation der Mengenlehre oder eine Instanz für ihre strukturelle Interpretation bereitzustellen, dies eine zufällige Tatsache über unser Universum wäre. Mengenlehre wäre wahr, aber bedingt. Da wir Mathematik normalerweise für notwendig halten, ist dies eine ungünstige Konsequenz für eine Philosophie der Mathematik. Einige nennen es vielleicht sogar eine Reduktion.

Versionen dieser Probleme wirken sich auch auf Mills Empirismus aus (1843). Für Mill sind Mathematik und Logik Naturwissenschaften, und ihre Prinzipien sind Naturgesetze. Arithmetik ist zum Beispiel die Theorie der Aggregate, dh die Theorie der Sammlungen konkreter Einheiten. Geometrie ist die Theorie idealisierter Grenzen konkreter Entitäten - Linien, Punkte, Ebenen usw. - deren Prinzipien „reale Tatsachen sind, bei denen einige ihrer Umstände übertrieben oder weggelassen sind“(Mill 1843, Bd. 1, Bk. II, Kap. V.). Die Millianische Philosophie der Mathematik ist anfällig für das gerade gegebene Kardinalitätsproblem. (Dies ist natürlich eine anachronistische Kritik, da zu Mills Zeiten noch keine Theorie der unendlichen Mengen entwickelt werden musste.) Was die Kontingenz der Mathematik betrifft, hat Mill die Kugel gebissen und akzeptiert.

Ein verwandtes Problem für eine Millian-Sichtweise, das selbst für die Mathematik von Mills Tag auftritt, ist ein Dilemma bezüglich der Existenz von Aggregaten von Aggregaten, Aggregaten von Aggregaten von Aggregaten…. Aggregate höherer Ordnung können, wenn sie existieren, nur abstrakt sein - was noch? Aber wenn sie nicht existieren - wenn es nur Aggregate erster Ordnung gibt - dann gibt es insbesondere keine Anzahl von Zahlen, zum Beispiel ist es bedeutungslos oder falsch zu sagen, dass es zwei Primzahlen zwischen 20 und 30 gibt.

Kitcher (1983) ist ein Versuch, Mills Mathematikphilosophie durch Modalisierung wiederzubeleben. Es erklärt die mathematische Wahrheit in Bezug auf die Operationen eines möglichen, aber nicht tatsächlichen idealen Agenten und fällt daher unter die Überschrift der modalistischen Philosophien der Mathematik. (Obwohl Kitcher selbst das Label nicht mag (1983, 121–2).)

Andere offensichtliche Probleme für den reduktionistischen ontologischen Naturalismus sind das Problem der Willkür und die Tatsache, dass es zutiefst gegen die mathematische Methode verstößt. Angenommen, Arithmetik ist das Studium bestimmter räumlich-zeitlicher Einheiten. Sehr gut; aber welche? Sicher ist es willkürlich, welche raumzeitliche Einheit als Zahl Null gewählt wird. Diese Kritik ist eine Version eines allgemeinen antireduktionistischen Arguments, das in Benacerraf (1965) vorgestellt wurde. Die Antwort darauf ist normalerweise, dass der Reduktionismus nicht versucht, die Bedeutung von Zahlenbegriffen aufzudecken, sondern stattdessen eine theoretische Identifizierung vorschlägt (Paseau 2009). Der Vorwurf, der mathematischen Methode zu widersprechen, ist ebenfalls schwerwiegend. Wenn mathematische Objekte raumzeitlich sind,Warum führen Mathematiker keine Experimente durch, um ihre Eigenschaften zu entdecken? Wenn sich die Mathematik wirklich mit dem Raumzeitlichen befassen würde, wäre ihre Methodik sicherlich empirischer.

Ontologische naturalistische Ansichten der diskutierten Art werden aus diesen und verwandten Gründen als problematisch angesehen und sind daher unpopulär.

6.3 Naturalistischer Anti-Platonismus und erkenntnistheoretischer Naturalismus

Unabhängig von ihrer Motivation sind sich ontologische Naturforscher per Definition (in dieser zweiten Lesung der Lehre) einig, dass Platonismus falsch ist. Manchmal wird der ontologische Naturalismus durch metaphysische Lehren motiviert, zum Beispiel durch das Prinzip, dass alles, was existiert, kausale Kräfte hat. Zu den Abonnenten dieses Prinzips gehört Armstrong (1997), der es das eleatische Prinzip nennt; Zur Kritik siehe Colyvan (2001, Kap. 3) und Papineau (2009).

Das beliebteste Argument für den ontologischen Naturalismus ist der erkenntnistheoretische, und folglich ist der ontologische Naturalismus oft mit dem erkenntnistheoretischen Naturalismus verbunden. Wenn es abstrakte Entitäten gibt, dann scheinen wir aufgrund ihrer kausalen Isolation von uns keine verlässlichen Überzeugungen über sie zu kennen oder zu bilden (Benacerraf 1973, Field 1989). Die meisten Philosophen betrachten dies als das Hauptproblem des Platonismus. Beachten Sie, dass das Argument in der Regel eher zu Agnostizismus führt als die Existenz abstrakter mathematischer Objekte zu leugnen. Dies ist nicht der richtige Ort, um sich mit dem Argument auseinanderzusetzen - für weitere Einzelheiten siehe Balaguer (2009) -, um zu skizzieren, wie ein Platoniker, der auch ein wissenschaftlicher oder mathematisch-wissenschaftlicher Naturforscher ist, z. B. Quine, darauf reagiert.

Die Antwort von Naturforschern und Platonikern ist zweigleisig (Burgess und Rosen 1997, 2005; Kritik siehe Linnebo 2006, Chihara 2006). Der erste Punkt ist, dass niemals ein einfaches Kriterium für Wissen (oder verlässlicher Glaube oder berechtigter Glaube) entwickelt wurde, das es schafft, Wissen über das Abstrakte auszuschließen, ohne dabei Arten von Wissen auszuschließen, die die meisten Naturforscher akzeptieren würden (Steiner 1975). Einige Beispiele: (i) die Bedingung, dass p eine Ursache für die Annahme ist, dass p zu stark ist, da es das Wissen über die Zukunft ausschließt; (ii) wie der Naturforscher-Platoniker es sieht, ist die abstrakte mathematische Realität so und so tatsächlich Teil der besten Erklärung für den Glauben, dass p; daher erweist sich eine solche Erklärungsbedingung als mit dem Platonismus vereinbar. Außerdem,Naturforscher-Platoniker beklagen, dass selbst wenn ein Kriterium gefunden würde, das die Grenze zieht, an der der Nominalist es ziehen möchte, die Frage gegen den Platonismus gestellt würde.

Zweitens führen Naturforscher-Platoniker eine Standard-Quinean-Linie, indem sie jede Herausforderung für die Zuverlässigkeit unserer Überzeugungen über platonische mathematische Objekte als allgemeine Herausforderung für die Zuverlässigkeit der wissenschaftlichen Methode interpretieren. (Dies ist aus der Sicht des wissenschaftlichen Naturforschers; der wissenschaftlich-mathematische Naturforscher kann dieselbe Linie mit entsprechenden Anpassungen verfolgen.) Jedoch durch unsere besten Lichter - gemäß unserer besten Theorie der Welt, dh der Naturwissenschaft Der Glaube an abstrakte mathematische Einheiten wird durch eine zuverlässige Methode erreicht, nämlich die wissenschaftliche Methode. Dies ist nicht nur eine Selbstverteidigung, da hier die wissenschaftliche Methode verwendet wird, um die Zuverlässigkeit mathematischer Überzeugungen zu erklären, wenn auch ganzheitlich. Aber wenn die Zuverlässigkeit der wissenschaftlichen Methode selbst in Frage gestellt wird, hat der Naturforscher natürlich keine andere Wahl, als die wissenschaftliche Methode selbst zu verwenden, um seine eigene Zuverlässigkeit zu erklären. Der Naturforscher-Platoniker kann hinzufügen, dass wir es nicht besser machen können und dass jeder, der die Zuverlässigkeit der wissenschaftlichen Methode in Frage stellt, das Lager der Naturforscher verlassen hat. Aus dieser Perspektive gibt es also kein erkenntnistheoretisches Problem für den Platonismus, wenn erst einmal entschieden ist, dass die platonistische Mathematik Teil der besten Wissenschaft ist. Es gibt kein erkenntnistheoretisches Problem für den Platonismus, wenn erst einmal entschieden ist, dass die platonistische Mathematik Teil der besten Wissenschaft ist. Es gibt kein erkenntnistheoretisches Problem für den Platonismus, wenn erst einmal entschieden ist, dass die platonistische Mathematik Teil der besten Wissenschaft ist.

Literaturverzeichnis

• Armstrong, DM, 1991, „Klassen sind Sachverhalte“, Mind, 100 (2): 189–200.
• –––, 1997, Eine Welt der Staaten, Cambridge: Cambridge University Press.
• Baker, A., 2001, „Mathematik, Unentbehrlichkeit und wissenschaftlicher Fortschritt“, Erkenntnis, 55: 85–116.
• Balaguer, M., 2009, "Platonism in Metaphysics", in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (Ausgabe Sommer 2009), Edward N. Zalta (Hrsg.), URL = .
• Bigelow, J., 1988, Die Realität der Zahlen, Oxford: Clarendon Press.
• Benacerraf, P., 1965, "Welche Zahlen könnten nicht sein", Philosophical Review 74, Repr. in P. Benacerraf & H. Putnam (Hrsg.), Philosophie der Mathematik: Ausgewählte Lesungen 1983, Cambridge University Press.
• –––, 1973, „Mathematical Truth“, Journal of Philosophy 70, Repr. in Benacerraf & Putnam (1983), Philosophie der Mathematik: Ausgewählte Lesungen, Cambridge: Cambridge University Press, S. 403–420.
• Bigelow, J., 1988, Die Realität der Zahlen, Oxford: Clarendon Press.
• Bueno, O, im Erscheinen, "Nominalismus in der Philosophie der Mathematik", The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Burgess, J., 1983, „Warum ich kein Nominalist bin“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 93–105.
• –––, 1990, 'Erkenntnistheorie und Nominalismus', in AD Irvine (Hrsg.), Physikalismus in der Mathematik. Dordrecht: Kluwer, S. 1–15.
• –––, 1998, „Occams Rasiermesser und wissenschaftliche Methode“, in M. Schirn (Hrsg.), Philosophy of Mathematics Today, New York: Oxford University Press, S. 195–214.
• Burgess, J. & Rosen, G., 1997, Ein Subjekt ohne Objekt, New York: Oxford University Press.
• –––, 2005, „Nominalism Reconsidered“, S. Shapiro (Hrsg.), Oxford Handbook of the Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, S. 515–535.
• Chihara, C., 2006, „Burgess 'wissenschaftliche' Argumente für die Existenz mathematischer Objekte“, Philosophia Mathematica 14: 318–37.
• Colyvan, M., 2001, Die Unentbehrlichkeit der Mathematik, New York: Oxford University Press.
• –––, 2011, „Unentbehrliche Argumente in der Philosophie der Mathematik“, Stanford Encyclopedia of Philosophy (Ausgabe Frühjahr 2011), Edward N. Zalta (Hrsg.), URL = .
• Dieterle, JM, 1999, „Mathematischer, astrologischer und theologischer Naturalismus“, Philosophia Mathematica, 7: 129–135.
• Field, H., 1980, Wissenschaft ohne Zahlen, Princeton: Princeton University Press.
• –––, 1989, Realismus, Mathematik und Modalität, Oxford: Basil Blackwell.
• Goodman, N. & Quine. WV, 1947, „Schritte zu einem konstruktiven Nominalismus“, Journal of Symbolic Logic, 12: 105–122.
• Hellman, G., 1989, Mathematik ohne Zahlen, Oxford: Oxford University Press.
• Kitcher, P., 1983, Die Natur des mathematischen Wissens, Oxford: Oxford University Press.
• Lewis, D., 1991, Parts of Classes, Oxford: Blackwell.
• –––, 1993, „Mathematik ist Megethologie“, Philosophia Mathematica, 3: 3–23.
• Linnebo, Ø, 2006, „Erkenntnistheoretische Herausforderungen an den mathematischen Platonismus“, Philosophical Studies, 129: 545–574.
• Linsky, B. und Zalta, E., 1995, "Naturalized Platonism vs. Platonized Naturalism", The Journal of Philosophy, 92 (10): 525–555 (Oktober).
• Lycan, WG, 1988, Urteil und Rechtfertigung, Cambridge: Cambridge University Press.
• Maddy, P., 1997, Naturalismus in der Mathematik, Oxford: Oxford University Press.
• –––, 2001, „Naturalismus: Freunde und Feinde“, Philosophical Perspectives, 15: 37–67.
• –––, 2005, „Drei Formen des Naturalismus“in S. Shapiro (Hrsg.), Oxford Handbook of the Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, S. 437–459.
• –––, 2007, Zweite Philosophie: Eine naturalistische Methode, Oxford University Press.
• Mill, JS, 1843, Ein System der Logik. [mehrere Ausgaben]
• Papineau, D., 2009, "Naturalism", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Ausgabe Frühjahr 2009), Edward N. Zalta (Hrsg.), URL = .
• Paseau, A., 2005, „Naturalismus in der Mathematik und die Autorität der Philosophie“, British Journal for the Philosophy of Science, 56: 399–418.
• –––, 2007, „Scientific Platonism“, in M. Leng, A. Paseau und M. Potter (Hrsg.), Mathematical Knowledge, Oxford: Oxford University Press, S. 123–149
• –––, 2008, „Motivating Reductionism about Sets“, Australasian Journal of Philosophy, 86: 295–307.
• –––, 2009, „Reduzieren der Arithmetik zur Mengenlehre“, in Ø. Linnebo & O. Bueno (Hrsg.), Neue Wellen in der Philosophie der Mathematik, Palgrave Macmillan.
• Popper, KR, 1935, Logik der Forschung, Wien: Springer.
• Putnam, H., 1971, "Philosophy of Logic", Repr. in seiner Mathematik, Materie und Methode: Philosophical Papers (Band 1), Cambridge: Cambridge UP, S. 323–57.
• Roland, Jeffrey, 2009, „Über die Einbürgerung der Erkenntnistheorie der Mathematik“, Pacific Philosophical Quarterly, 90 (1): 63–97.
• Quine, WV, 1955, "Posits and Reality", Repr. in The Ways of Paradox und anderen Essays, Cambridge, MA: Harvard University Press, S. 246–54.
• –––, 1981, „Dinge und ihre Plätze in Theorien“in seinen Theories and Things, Cambridge, MA: Harvard University Press, S. 1–23.
• –––, 1986, „Antwort an Charles Parsons“, in L. Hahn & P. Schilpp (Hrsg.), Die Philosophie von WV Quine, La Salle: Open Court, S. 396–403.
• –––, 1995, Vom Reiz zur Wissenschaft. Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Quine, WV und Ullian, J., 1970, The Web of Belief, New York: McGraw Hill.
• Roland, J., 2007, „Maddy und Mathematik: Naturalismus oder nicht“, British Journal for the Philosophy of Science, 58: 423–450.
• Rosen, G., 1999, Review of Maddy (1997), Britisches Journal für Wissenschaftstheorie, 50: 467–74.
• Shapiro, Stewart und Patrick Reeder, 2009, „Ein wissenschaftliches Unternehmen?: Penelope Maddys zweite Philosophie“, Philosophia Mathematica, 17 (2): 247–271.
• Sober, E., 1993, „Mathematik und Unentbehrlichkeit“, Philosophical Review, 102: 35–58.
• Steiner, M., 1975, Mathematisches Wissen, Princeton: Princeton University Press.
• Tappenden, J., 2001, „Review: Neueste Arbeiten in der Philosophie der Mathematik“, Journal of Philosophy, 98: 488–97.
• Wittgenstein, L., 1953, Philosophical Investigations, Oxford: Blackwell.

Akademische Werkzeuge

	Wie man diesen Eintrag zitiert.
	Vorschau der PDF-Version dieses Eintrags bei den Freunden der SEP-Gesellschaft.
	Schlagen Sie dieses Eintragsthema im Internet Philosophy Ontology Project (InPhO) nach.
	Erweiterte Bibliographie für diesen Eintrag bei PhilPapers mit Links zu seiner Datenbank.

Andere Internetquellen

[Bitte kontaktieren Sie den Autor mit Vorschlägen.]