Modelltheorie

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

Eintragsnavigation

• Eintragsinhalt
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Freunde PDF Vorschau
• Autor und Zitierinfo
• Zurück nach oben

Modelltheorie

Erstveröffentlichung am 10. November 2001; inhaltliche Überarbeitung Mi 17.07.2013

Die Modelltheorie begann mit dem Studium formaler Sprachen und ihrer Interpretationen sowie der Arten der Klassifizierung, die eine bestimmte formale Sprache vornehmen kann. Die Mainstream-Modelltheorie ist heute ein hochentwickelter Zweig der Mathematik (siehe den Eintrag zur Modelltheorie erster Ordnung). Im weiteren Sinne ist die Modelltheorie das Studium der Interpretation jeder formalen oder natürlichen Sprache mittels satztheoretischer Strukturen mit Alfred Tarskis Wahrheitsdefinition als Paradigma. In diesem weiteren Sinne trifft die Modelltheorie an mehreren Stellen auf die Philosophie, beispielsweise in der Theorie der logischen Konsequenz und in der Semantik natürlicher Sprachen.

• 1. Grundbegriffe der Modelltheorie
• 2. Modelltheoretische Definition
• 3. Modelltheoretische Konsequenz
• 4. Ausdruckskraft
• 5. Modelle und Modellierung
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Grundbegriffe der Modelltheorie

Manchmal schreiben oder sprechen wir einen Satz (S), der weder wahr noch falsch ausdrückt, weil einige wichtige Informationen darüber fehlen, was die Wörter bedeuten. Wenn wir diese Informationen hinzufügen, so dass (S) eine wahre oder falsche Aussage ausdrückt, wird gesagt, dass wir (S) interpretieren, und die hinzugefügten Informationen werden als Interpretation von (S) bezeichnet.. Wenn die Interpretation (I) dazu führt, dass (S) etwas wahr macht, sagen wir, dass (I) ein Modell von (S) ist oder dass (I) (S / erfüllt)), in Symbolen '(I / vDash S)'. Eine andere Art zu sagen, dass (I) ein Modell von (S) ist, ist zu sagen, dass (S) in (I) wahr ist, und so haben wir den Begriff der modelltheoretischen Wahrheit, die ist Wahrheit in einer bestimmten Interpretation. Man sollte sich jedoch daran erinnern, dass die Aussage '(S) in (I)' nur eine Paraphrase von '(S) ist, wenn sie wie in (I) interpretiert wird, wahr ist'Die modelltheoretische Wahrheit ist also parasitär gegenüber der einfachen gewöhnlichen Wahrheit, und wir können sie immer wegschreiben.

Zum Beispiel könnte ich sagen

Er tötet sie alle,

und bieten die Interpretation an, dass "er" Alfonso Arblaster von 35 The Crescent, Beetleford, ist und dass "sie" die Tauben in seinem Schlag sind. Diese Interpretation erklärt (a) auf welche Objekte sich einige Ausdrücke beziehen und (b) über welche Klassen sich einige Quantifizierer erstrecken. (In diesem Beispiel gibt es einen Quantifizierer: 'alle von ihnen'). Interpretationen, die aus den Punkten (a) und (b) bestehen, kommen in der Modelltheorie sehr häufig vor und werden als Strukturen bezeichnet. Bestimmte Arten der Modelltheorie verwenden bestimmte Arten von Strukturen; Beispielsweise verwendet die mathematische Modelltheorie tendenziell sogenannte Strukturen erster Ordnung, die Modelltheorie der Modallogik Kripke-Strukturen usw.

Die Struktur (I) im vorherigen Absatz umfasst ein festes Objekt und eine feste Klasse. Da wir die Struktur heute beschrieben haben, ist die Klasse heute die Klasse der Tauben in Alfonsos Schlag, nicht die, die morgen kommen werden, um sie zu ersetzen. Wenn Alfonso Arblaster heute alle Tauben in seinem Schlag tötet, erfüllt (I) den heute zitierten Satz, wird ihn aber morgen nicht erfüllen, da Alfonso nicht zweimal dieselben Tauben töten kann. Je nachdem, wofür Sie die Modelltheorie verwenden möchten, können Sie Sätze heute (die Standardzeit) bewerten oder aufzeichnen, wie sie zu einem Zeitpunkt und nicht zu einem anderen Zeitpunkt erfüllt sind. Im letzteren Fall können Sie den Begriff des Modells relativieren und '(I / vDash_t S)' schreiben, um zu bedeuten, dass (I) zum Zeitpunkt (t) ein Modell von (S) ist. Gleiches gilt für Orte,oder zu irgendetwas anderem, das von anderen impliziten Indexmerkmalen im Satz aufgegriffen werden könnte. Wenn Sie beispielsweise an mögliche Welten glauben, können Sie (vDash) nach der möglichen Welt indizieren, in der der Satz ausgewertet werden soll. Abgesehen von der Verwendung der Mengenlehre ist die Modelltheorie völlig unabhängig davon, welche Arten von Dingen existieren.

Beachten Sie, dass die Objekte und Klassen in einer Struktur Beschriftungen tragen, die sie zu den richtigen Ausdrücken im Satz lenken. Diese Beschriftungen sind ein wesentlicher Bestandteil der Struktur.

Wenn dieselbe Klasse zur Interpretation aller Quantifizierer verwendet wird, wird die Klasse als Domäne oder Universum der Struktur bezeichnet. Aber manchmal gibt es Quantifizierer, die sich über verschiedene Klassen erstrecken. Zum Beispiel wenn ich sage

Eine dieser Dummy-Krankheiten ist das Töten aller Vögel.

Sie werden nach einer Interpretation suchen, die eine Klasse von Krankheiten zu "diesen Dingkrankheiten" und eine Klasse von Vögeln zu "den Vögeln" zuordnet. Interpretationen, die zwei oder mehr Klassen für verschiedene Quantifizierer angeben, werden als vielfach sortiert bezeichnet, und die Klassen werden manchmal als Sortierungen bezeichnet.

Die obigen Ideen können immer noch nützlich sein, wenn wir mit einem Satz (S) beginnen, der entweder wahr oder falsch sagt, ohne dass eine weitere Interpretation erforderlich ist. (Modelltheoretiker sagen, dass ein solcher Satz vollständig interpretiert wird.) Zum Beispiel können wir Fehlinterpretationen (I) eines vollständig interpretierten Satzes (S) betrachten. Eine Fehlinterpretation von (S), die es wahr macht, ist als nicht standardmäßiges oder unbeabsichtigtes Modell von (S) bekannt. Der Zweig der Mathematik, der als Nichtstandardanalyse bezeichnet wird, basiert auf Nichtstandardmodellen mathematischer Aussagen über die reellen oder komplexen Zahlensysteme. siehe Abschnitt 4 unten.

Man spricht auch von der modelltheoretischen Semantik natürlicher Sprachen, mit der die Bedeutungen von Sätzen natürlicher Sprache beschrieben und nicht mit Bedeutungen versehen werden können. Der Zusammenhang zwischen dieser Semantik und der Modelltheorie ist etwas indirekt. Es liegt in Tarskis Wahrheitsdefinition von 1933. Weitere Einzelheiten finden Sie im Eintrag zu Tarskis Wahrheitsdefinitionen.

2. Modelltheoretische Definition

Ein Satz (S) unterteilt alle möglichen Interpretationen in zwei Klassen, diejenigen, die Modelle davon sind, und diejenigen, die es nicht sind. Auf diese Weise definiert es eine Klasse, nämlich die Klasse aller ihrer Modelle, geschrieben (Mod (S)). Um ein rechtliches Beispiel zu nehmen, der Satz

Die erste Person hat das Eigentum an die zweite Person übertragen, die damit das Eigentum zugunsten der dritten Person hält.

definiert eine Klasse von Strukturen, die beispielsweise die Form von beschrifteten 4-Tupeln haben (schreiben Sie das Etikett links):

• die erste Person = Alfonso Arblaster;
• das Eigentum = das verlassene Land hinter Alfonsos Haus;
• die zweite Person = John Doe;
• die dritte Person = Richard Roe.

Dies ist eine typische modelltheoretische Definition, die eine Klasse von Strukturen definiert (in diesem Fall die Klasse, die den Anwälten als Trusts bekannt ist).

Wir können die Idee der modelltheoretischen Definition von einem einzelnen Satz (S) auf eine Menge (T) von Sätzen erweitern; (Mod (T)) ist die Klasse aller Interpretationen, die gleichzeitig Modelle aller Sätze in (T) sind. Wenn eine Menge (T) von Sätzen verwendet wird, um eine Klasse auf diese Weise zu definieren, sagen Mathematiker, dass (T) eine Theorie oder eine Menge von Axiomen ist und dass (T) die Klasse (axiomatisiert Mod (T)).

Nehmen Sie zum Beispiel die folgenden Sätze erster Ordnung:

) begin {align *} & / forall x / forall y / forall z (x + (y + z) = (x + y) + z). \& / für alle x (x + 0 = x). \& / für alle x (x + (-x) = 0). \& / für alle x / für alle y (x + y = y + x). / end {align *})

Hier sind die Bezeichnungen das Additionssymbol '+', das Minuszeichen '(-)' und das konstante Symbol '0'. Eine Interpretation muss auch eine Domäne für die Quantifizierer angeben. Mit einem Vorbehalt sind die Modelle dieser Satzmenge genau die Strukturen, die Mathematiker als abelsche Gruppen kennen. Die Maßgabe ist, dass in einer abelschen Gruppe (A) die Domäne die Interpretation des Symbols 0 enthalten sollte und unter den Interpretationen der Symbole + und (-) geschlossen werden sollte. In der mathematischen Modelltheorie baut man diese Bedingung (oder die entsprechenden Bedingungen für andere Funktionen und konstante Symbole) in die Definition einer Struktur ein.

Jede mathematische Struktur ist an eine bestimmte Sprache erster Ordnung gebunden. Eine Struktur enthält Interpretationen bestimmter Prädikat-, Funktions- und Konstantensymbole. Jedes Prädikat oder Funktionssymbol hat eine feste Arität. Die Sammlung (K) dieser Symbole wird als Signatur der Struktur bezeichnet. Symbole in der Signatur werden oft als nichtlogische Konstanten bezeichnet, und ein älterer Name für sie sind Primitive. Die Signatursprache erster Ordnung (K) ist die Sprache erster Ordnung, die unter Verwendung der Symbole in (K) zusammen mit dem Gleichheitszeichen = aufgebaut wird, um ihre Atomformeln aufzubauen. (Siehe den Eintrag zur klassischen Logik.) Wenn (K) eine Signatur ist, ist (S) ein Satz der Signatursprache (K) und (A) eine Struktur, deren Signatur / ist (K), weil die Symbole übereinstimmen, wissen wir, dass (A) (S) entweder wahr oder falsch macht. Man definiert also die Klasse der abelschen Gruppen als die Klasse all jener Signaturstrukturen (+), (-), (0), die Modelle der obigen Sätze sind. Abgesehen von der Tatsache, dass eine formale Sprache erster Ordnung verwendet wird, ist dies genau die übliche Definition der Algebraisten für die Klasse der abelschen Gruppen. Die Modelltheorie formalisiert eine Art Definition, die in der Mathematik äußerst verbreitet ist.

Nun haben die definierenden Axiome für abelsche Gruppen drei Arten von Symbolen (abgesehen von Interpunktion). Zuerst gibt es das logische Symbol = mit einer festen Bedeutung. Zweitens gibt es die nichtlogischen Konstanten, die ihre Interpretation erhalten, indem sie auf eine bestimmte Struktur angewendet werden; man sollte die Quantifizierersymbole mit ihnen gruppieren, da die Struktur auch den Bereich bestimmt, über den sich die Quantifizierer erstrecken. Und drittens gibt es die Variablen (x, y) usw. Dieses dreistufige Symbolmuster ermöglicht es uns, Klassen auf eine zweite Weise zu definieren. Anstatt nach den Interpretationen der nichtlogischen Konstanten zu suchen, die einen Satz wahr machen, korrigieren wir die Interpretationen der nichtlogischen Konstanten durch Auswahl einer bestimmten Struktur (A) und suchen nach Zuordnungen von Elementen von (A) zu Variablen, die eine gegebene Formel in (A) wahr machen.

Zum Beispiel sei (mathbb {Z}) die additive Gruppe von ganzen Zahlen. Seine Elemente sind die ganzen Zahlen (positiv, negativ und 0), und die Symbole (+), (-), (0) haben ihre übliche Bedeutung. Betrachten Sie die Formel

[v_1 + v_1 = v_2.)

Wenn wir (v_1) die Nummer (- 3) und (v_2) die Nummer (- 6) zuweisen, funktioniert die Formel in (mathbb {Z}) als wahr. Wir drücken dies aus, indem wir sagen, dass das Paar ((- 3, -6)) diese Formel in (mathbf {Z}) erfüllt. Ebenso erfüllen (15,30) und (0,0) es, aber ((2, -4)) und (3,3) nicht. Somit definiert die Formel eine binäre Beziehung für die ganzen Zahlen, nämlich die Menge von Paaren von ganzen Zahlen, die sie erfüllen. Eine auf diese Weise in einer Struktur (A) definierte Beziehung wird als definierbare Beziehung erster Ordnung in (A) bezeichnet. Eine nützliche Verallgemeinerung besteht darin, der Definitionsformel zu erlauben, hinzugefügte Namen für bestimmte Elemente von (A) zu verwenden. Diese Elemente werden als Parameter bezeichnet und die Beziehung kann dann mit Parametern definiert werden.

Diese zweite Art der Definition, die Beziehungen innerhalb einer Struktur anstelle von Strukturklassen definiert, formalisiert auch eine gängige mathematische Praxis. Diesmal gehört die Praxis jedoch eher zur Geometrie als zur Algebra. Sie können die Beziehung im Feld der durch die Formel definierten reellen Zahlen erkennen

[v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 = 1.)

Es ist der Kreis mit dem Radius 1 um den Ursprung in der realen Ebene. Die algebraische Geometrie ist voll von Definitionen dieser Art.

In den 1940er Jahren kam mehreren Menschen der Gedanke (hauptsächlich Anatolii Mal'tsev in Russland, Alfred Tarski in den USA und Abraham Robinson in Großbritannien), dass die Metatheoreme der klassischen Logik verwendet werden könnten, um mathematische Theoreme über Klassen zu beweisen, die auf zwei Arten definiert sind gerade beschrieben. 1950 wurden sowohl Robinson als auch Tarski eingeladen, vor dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge Mass. Zu dieser neuen Disziplin zu sprechen (die noch keinen Namen hatte - Tarski schlug 1954 den Namen "Theorie der Modelle" vor). Die Schlussfolgerung von Robinsons Ansprache an diesen Kongress ist zu zitieren:

[Die] konkreten Beispiele, die in der vorliegenden Arbeit erstellt wurden, werden gezeigt haben, dass die zeitgenössische symbolische Logik nützliche - wenn auch keineswegs allmächtige - Werkzeuge für die Entwicklung der tatsächlichen Mathematik hervorbringen kann, insbesondere für die Entwicklung der Algebra und, wie es scheint, von algebraische Geometrie. Dies ist die Verwirklichung eines Ehrgeizes, das Leibniz bereits 1679 in einem Brief an Huyghens zum Ausdruck brachte.

Tatsächlich hatte Mal'tsev die Modelltheorie bereits einige Jahre zuvor in der Gruppentheorie ziemlich tiefgreifend angewendet, aber unter den politischen Bedingungen der damaligen Zeit war seine Arbeit in Russland im Westen noch nicht bekannt. Bis zum Ende des 20. Jahrhunderts hatten sich Robinsons Hoffnungen reichlich erfüllt; siehe den Eintrag zur Modelltheorie erster Ordnung.

Neben diesen beiden oben genannten gibt es in der Modelltheorie mindestens zwei weitere Arten der Definition. Die dritte ist als Interpretation bekannt (ein Sonderfall der Interpretationen, mit denen wir begonnen haben). Hier beginnen wir mit einer Struktur (A) und bauen eine andere Struktur (B) auf, deren Signatur nicht mit der von (A) in Beziehung gesetzt werden muss, indem wir die Domäne (X) von (B) definieren) und alle markierten Relationen und Funktionen von (B) sind die Relationen, die in (A) durch bestimmte Formeln mit Parametern definierbar sind. Eine weitere Verfeinerung besteht darin, eine definierbare Äquivalenzbeziehung auf (X) zu finden und die Domäne von (B) nicht als (X) selbst zu betrachten, sondern als die Menge der Äquivalenzklassen dieser Beziehung. Die so gebaute Struktur (B) soll in der Struktur (A) interpretiert werden.

Ein einfaches Beispiel, wiederum aus der Standardmathematik, ist die Interpretation der Gruppe (mathbb {Z}) von ganzen Zahlen in der Struktur (mathbb {N}), die aus den natürlichen Zahlen 0, 1, 2 usw. besteht. mit Beschriftungen für 0, 1 und +. Um die Domäne von (mathbb {Z}) zu konstruieren, nehmen wir zuerst die Menge (X) aller geordneten Paare natürlicher Zahlen (eindeutig eine definierbare Beziehung in (mathbb {N})) und weiter Mit dieser Menge (X) definieren wir die Äquivalenzbeziehung (sim) durch

[(a, b) sim (c, d) text {genau dann, wenn} a + d = b + c)

(wieder definierbar). Die Domäne von (mathbb {Z}) besteht aus den Äquivalenzklassen dieser Beziehung. Wir definieren Addition auf (mathbb {Z}) durch

[(a, b) + (c, d) = (e, f) text {genau dann, wenn} a + c + f = b + d + e.)

Die Äquivalenzklasse von ((a, b)) wird zur ganzen Zahl (a - b).

Wenn eine Struktur (B) in einer Struktur (A) interpretiert wird, kann jede Aussage erster Ordnung über (B) zurück in eine Aussage erster Ordnung über (A) übersetzt werden, und zwar in dieser So können wir die vollständige Theorie von (B) von der von (A) ablesen. Wenn wir diese Konstruktion nicht nur für eine einzelne Struktur (A), sondern für eine Familie von Modellen einer Theorie (T) ausführen, wobei immer dieselben Definitionsformeln verwendet werden, sind die resultierenden Strukturen alle Modelle von eine Theorie (T '), die aus (T) und den definierenden Formeln abgelesen werden kann. Dies gibt der Aussage, dass die Theorie (T ') in der Theorie (T) interpretiert wird, einen genauen Sinn. Wissenschaftsphilosophen haben manchmal mit diesem Begriff der Interpretation experimentiert, um genau zu machen, was es bedeutet, dass eine Theorie auf eine andere reduzierbar ist. Aber realistische Beispiele für Reduktionen zwischen wissenschaftlichen Theorien scheinen im Allgemeinen viel subtiler zu sein, als es diese einfältige modelltheoretische Idee zulässt. Siehe den Eintrag über intertheoretische Beziehungen in der Physik.

Die vierte Art der Definierbarkeit ist ein Paar von Begriffen, implizite Definierbarkeit und explizite Definierbarkeit einer bestimmten Beziehung in einer Theorie. Siehe Abschnitt 3.3 des Eintrags zur Modelltheorie erster Ordnung.

Leider gab es früher eine sehr verwirrte Theorie über modelltheoretische Axiome, die auch unter dem Namen implizite Definition bekannt war. Bis zum Ende des neunzehnten Jahrhunderts war die mathematische Geometrie im Allgemeinen kein Raumstudium mehr und wurde zum Studium von Klassen von Strukturen, die bestimmte „geometrische“Axiome erfüllen. Geometrische Begriffe wie "Punkt", "Linie" und "zwischen" haben überlebt, aber nur als primitive Symbole in Axiomen; Sie hatten keine Bedeutung mehr. Die alte Frage, ob Euklids paralleles Postulat (als Aussage über den Raum) aus Euklids anderen Annahmen über den Raum ableitbar war, war für Geometer nicht mehr interessant. Stattdessen zeigten Geometer, dass, wenn man eine aktuelle Version von Euklids anderen Annahmen in Form einer Theorie (T) aufschrieb,dann war es möglich, Modelle von (T) zu finden, die das parallele Postulat nicht erfüllen. (Siehe den Eintrag über Geometrie im 19. Jahrhundert für die Beiträge von Lobachevski und Klein zu dieser Leistung.) 1899 veröffentlichte David Hilbert ein Buch, in dem er solche Modelle unter Verwendung genau der soeben beschriebenen Interpretationsmethode konstruierte.

Probleme entstanden aufgrund der Art und Weise, wie Hilbert und andere beschrieben, was sie taten. Die Geschichte ist kompliziert, aber ungefähr das Folgende ist passiert. Um die Mitte des neunzehnten Jahrhunderts bemerkten die Menschen zum Beispiel, dass in einer abelschen Gruppe die Minusfunktion in Form von 0 und + definierbar ist (nämlich: (- a) ist das Element (b), so dass (a + b = 0)). Da diese Beschreibung von Minus tatsächlich eines der Axiome ist, die abelsche Gruppen definieren, können wir (unter Verwendung eines Begriffs von JD Gergonne, der nicht für die spätere Verwendung verantwortlich gemacht werden sollte) sagen, dass die Axiome für abelsche Gruppen implizit definieren Minus. Im Jargon der Zeit sagte man nicht, dass die Axiome die Funktion minus definieren, sondern dass sie das Konzept minus definieren. Nehmen wir nun an, wir wechseln um und versuchen, Plus als Minus und 0 zu definieren. Auf diese Weise ist dies nicht möglich, da zwei abelsche Gruppen mit derselben 0 und Minus, aber unterschiedlichen Plusfunktionen vorhanden sein können. Anstatt dies zu sagen, kamen die Mathematiker des 19. Jahrhunderts zu dem Schluss, dass die Axiome Plus nur teilweise als Minus und 0 definieren. Nachdem sie so viel geschluckt hatten, sagten sie weiter, dass die Axiome zusammen eine implizite Definition der Begriffe Plus, Minus und 0 bilden zusammen, und dass diese implizite Definition nur teilweise ist, aber sie sagt über diese Konzepte genau so viel aus, wie wir wissen müssen. Sie sagten weiter, dass die Axiome zusammen eine implizite Definition der Begriffe Plus, Minus und 0 bilden und dass diese implizite Definition nur teilweise ist, aber genau so viel über diese Konzepte aussagt, wie wir wissen müssen. Sie sagten weiter, dass die Axiome zusammen eine implizite Definition der Begriffe Plus, Minus und 0 bilden und dass diese implizite Definition nur teilweise ist, aber genau so viel über diese Konzepte aussagt, wie wir wissen müssen.

Man fragt sich, wie es passieren konnte, dass fünfzig Jahre lang niemand diesen Unsinn in Frage stellte. Tatsächlich haben einige Leute es in Frage gestellt, insbesondere der Geometer Moritz Pasch, der in Abschnitt 12 seiner Vorlesungen über Neuere Geometrie (1882) darauf bestand, dass geometrische Axiome nichts über die Bedeutung von 'Punkt', 'Linie' usw. aussagen. Stattdessen er sagte, die Axiome geben uns Beziehungen zwischen den Konzepten. Wenn man sich eine Struktur als eine Art geordnetes (n) - Tupel von Mengen usw. vorstellt, dann wird eine Klasse (Mod (T)) zu einer (n) - Beziehung, und Paschs Bericht stimmt zu mit unseren. Aber er war nicht in der Lage, die Details zu formulieren, und es gibt Hinweise darauf, dass seine Zeitgenossen (und einige neuere Kommentatoren) dachten, er sagte, dass die Axiome möglicherweise nicht die Bedeutung von "Punkt" und "Linie" bestimmen.aber sie bestimmen die von relationalen Begriffen wie "zwischen" und "Vorfall mit"! Freges Abriss der impliziten Definitionslehre war meisterhaft, aber es war zu spät, um Hilbert davon abzuhalten, zu Beginn seiner Grundlagen der Geometrie zu sagen, dass seine Axiome "die genaue und mathematisch angemessene Beschreibung" der Beziehungen "Lüge" geben. zwischen 'und' kongruent '. Glücklicherweise spricht Hilberts Mathematik für sich selbst, und man kann diese philosophischen Fauxpas einfach umgehen. Die modelltheoretische Darstellung, die wir jetzt als korrekte Beschreibung dieser Arbeit betrachten, scheint in der Gruppe um Giuseppe Peano in den 1890er Jahren zuerst aufgetaucht zu sein und erreichte 1903 durch Bertrand Russells Prinzipien der Mathematik die englischsprachige Welt.aber es war zu spät, um Hilbert davon abzuhalten, zu Beginn seiner Grundlagen der Geometrie zu sagen, dass seine Axiome "die genaue und mathematisch angemessene Beschreibung" der Beziehungen "Lüge", "zwischen" und "kongruent" geben. Glücklicherweise spricht Hilberts Mathematik für sich selbst, und man kann diese philosophischen Fauxpas einfach umgehen. Die modelltheoretische Darstellung, die wir jetzt als korrekte Beschreibung dieser Arbeit betrachten, scheint in der Gruppe um Giuseppe Peano in den 1890er Jahren zuerst aufgetaucht zu sein und erreichte 1903 durch Bertrand Russells Prinzipien der Mathematik die englischsprachige Welt.aber es war zu spät, um Hilbert davon abzuhalten, zu Beginn seiner Grundlagen der Geometrie zu sagen, dass seine Axiome "die genaue und mathematisch angemessene Beschreibung" der Beziehungen "Lüge", "zwischen" und "kongruent" geben. Glücklicherweise spricht Hilberts Mathematik für sich selbst, und man kann diese philosophischen Fauxpas einfach umgehen. Die modelltheoretische Darstellung, die wir jetzt als korrekte Beschreibung dieser Arbeit betrachten, scheint in der Gruppe um Giuseppe Peano in den 1890er Jahren zuerst aufgetaucht zu sein und erreichte 1903 durch Bertrand Russells Prinzipien der Mathematik die englischsprachige Welt. Glücklicherweise spricht Hilberts Mathematik für sich selbst, und man kann diese philosophischen Fauxpas einfach umgehen. Die modelltheoretische Darstellung, die wir jetzt als korrekte Beschreibung dieser Arbeit betrachten, scheint in der Gruppe um Giuseppe Peano in den 1890er Jahren zuerst aufgetaucht zu sein und erreichte 1903 durch Bertrand Russells Prinzipien der Mathematik die englischsprachige Welt. Glücklicherweise spricht Hilberts Mathematik für sich selbst, und man kann diese philosophischen Fauxpas einfach umgehen. Die modelltheoretische Darstellung, die wir jetzt als korrekte Beschreibung dieser Arbeit betrachten, scheint in der Gruppe um Giuseppe Peano in den 1890er Jahren zuerst aufgetaucht zu sein und erreichte 1903 durch Bertrand Russells Prinzipien der Mathematik die englischsprachige Welt.

3. Modelltheoretische Konsequenz

Angenommen, (L) ist eine Signatursprache (K, T) ist eine Menge von Sätzen von (L) und (phi) ist ein Satz von (L). Dann die Beziehung

) Mod (T) subseteq / Mod (phi))

drückt aus, dass jede Struktur der Signatur (K), die ein Modell von (T) ist, auch ein Modell von (phi) ist. Dies ist als modelltheoretische Konsequenzbeziehung bekannt und wird kurz als geschrieben

[T / vDash / phi)

Die doppelte Verwendung von (vDash) ist ein Unglück. In dem speziellen Fall, in dem (L) erster Ordnung ist, sagt der Vollständigkeitssatz (siehe den Eintrag zur klassischen Logik), dass '(T / vDash / phi)' genau dann gilt, wenn es einen Beweis gibt von (phi) aus (T), eine häufig geschriebene Beziehung

[T / vdash / phi)

Da (vDash) und (vdash) in diesem Fall genau dieselbe Beziehung ausdrücken, vermeiden Modelltheoretiker häufig die doppelte Verwendung von (vDash), indem sie (vdash) für modelltheoretische Konsequenzen verwenden. Da sich das Folgende jedoch nicht auf Sprachen erster Ordnung beschränkt, schlägt die Sicherheit vor, dass wir uns hier an (vDash) halten.

Vor der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts lehrten Lehrbücher der Logik den Schüler gewöhnlich, die Gültigkeit eines Arguments (etwa auf Englisch) zu überprüfen, indem sie zeigten, dass es eine von mehreren Standardformen hat, oder indem sie es in eine solche Form umschrieben. Die Standardformen waren syntaktische und / oder semantische Argumentationsformen in Englisch. Der Prozess war gefährlich: Semantische Formen sind per Definition an der Oberfläche fast nicht sichtbar, und es gibt keine rein syntaktische Form, die die Gültigkeit eines Arguments garantiert. Aus diesem Grund hatten die meisten alten Lehrbücher einen langen Abschnitt über "Irrtümer" - Wege, auf denen ein ungültiges Argument gültig zu sein scheint.

1847 änderte George Boole diese Anordnung. Zum Beispiel, um das Argument zu validieren

Alle Monarchen sind Menschen. Kein Mensch ist unfehlbar. Daher sind keine unfehlbaren Wesen Monarchen.

Boole würde die Symbole (P, Q, R) als Namen von Klassen interpretieren:

(P) ist die Klasse aller Monarchen.

(Q) ist die Klasse aller Menschen.

(R) ist die Klasse aller unfehlbaren Wesen.

Dann würde er darauf hinweisen, dass das ursprüngliche Argument in eine satztheoretische Konsequenz umschreibt:

[(P / subseteq Q), (Q / cap R = 0) vDash (R / cap P = 0))

(Dieses Beispiel stammt von Stanley Jevons, 1869. Booles eigener Bericht ist eigenwillig, aber ich glaube, Jevons Beispiel repräsentiert Booles Absichten genau.) Heute würden wir (forall x (Px / rightarrow Qx)) anstatt (P schreiben / subseteq Q), aber dies ist im Wesentlichen die Standarddefinition von (P / subseteq Q), so dass der Unterschied zwischen uns und Boole gering ist.

Soweit sie Boole folgen, stellen moderne Lehrbücher der Logik fest, dass englische Argumente gültig sind, indem sie sie auf modelltheoretische Konsequenzen reduzieren. Da die Klasse der modelltheoretischen Konsequenzen, zumindest in der Logik erster Ordnung, keine der Unbestimmtheiten der alten Argumentationsformen aufweist, haben Lehrbücher der Logik in diesem Stil längst kein Kapitel über Irrtümer mehr.

Es gibt jedoch eine Warnung, die aus den alten Lehrbüchern erhalten bleibt: Wenn Sie Ihr Argument auf eine Weise formalisieren, die keine modelltheoretische Konsequenz ist, bedeutet dies nicht, dass das Argument nicht gültig ist. Dies kann nur bedeuten, dass Sie die Konzepte im Argument vor Ihrer Formalisierung nicht gründlich genug analysiert haben. Die alten Lehrbücher haben dies in einem Ragbag-Abschnitt namens "Themen" diskutiert (dh Hinweise zum Auffinden von Argumenten, die Sie möglicherweise übersehen haben). Hier ist ein Beispiel aus Summulae Logicales von Peter von Spanien aus dem 13. Jahrhundert:

'Es gibt einen Vater. Deshalb gibt es ein Kind. ' … Woher kommt die Gültigkeit dieses Arguments? Aus der Beziehung. Die Maxime lautet: Wenn eines von einem korrelierten Paar gesetzt ist, ist es auch das andere.

Hilbert und Ackermann, möglicherweise das Lehrbuch, das am meisten zur Etablierung des modernen Stils beigetragen hat, diskutieren in ihrem Abschnitt III.3 ein sehr ähnliches Beispiel: „Wenn es einen Sohn gibt, gibt es einen Vater“. Sie weisen darauf hin, dass jeder Versuch, dies durch die Verwendung der Symbolik zu rechtfertigen

) existiert xSx / rightarrow / existiert xFx)

ist zum Scheitern verurteilt. „Ein Beweis dieser Aussage ist nur möglich, wenn wir die Bedeutung der beiden auftretenden Prädikate konzeptionell analysieren“, wie sie weiter veranschaulichen. Und natürlich findet die Analyse genau die Beziehung, auf die sich Peter von Spanien bezog.

Wenn Ihr englisches Argument jedoch zu einer ungültigen modelltheoretischen Konsequenz führt, kann ein Gegenbeispiel zur Konsequenz durchaus Hinweise darauf geben, wie Sie eine Situation beschreiben können, die die Prämissen Ihres Arguments wahr und die Schlussfolgerung falsch macht. Dies ist jedoch nicht garantiert.

Man kann eine Reihe von Fragen aufwerfen, ob das moderne Lehrbuchverfahren wirklich einen vernünftigen Begriff der logischen Konsequenz erfasst. Zum Beispiel sind in Booles Fall die satztheoretischen Konsequenzen, auf die er sich stützt, alle leicht durch formale Beweise in der Logik erster Ordnung zu beweisen, selbst wenn keine satztheoretischen Axiome verwendet werden; und nach dem Vollständigkeitssatz (siehe den Eintrag zur klassischen Logik) gilt das Gleiche für die Logik erster Ordnung. Aber für einige andere Logiken ist es sicherlich nicht wahr. Zum Beispiel setzt die modelltheoretische Konsequenzbeziehung für einige Zeitlogiken einige Fakten über die physikalische Struktur der Zeit voraus. Wie Boole selbst betonte, erfordert seine Übersetzung von einem englischen Argument in seine satztheoretische Form, dass wir glauben, dass für jede in dem Argument verwendete EigenschaftEs gibt eine entsprechende Klasse aller Dinge, die die Eigenschaft haben. Dies kommt dem inkonsistenten Verständnisaxiom von Frege gefährlich nahe!

1936 schlug Alfred Tarski eine Definition der logischen Konsequenz für Argumente in einer vollständig interpretierten formalen Sprache vor. Sein Vorschlag war, dass ein Argument genau dann gültig ist, wenn: unter einer erlaubten Neuinterpretation seiner nichtlogischen Symbole, wenn die Prämissen wahr sind, dann ist dies auch die Schlussfolgerung. Tarski ging davon aus, dass die Klasse der erlaubten Neuinterpretationen aus der Semantik der Sprache abgelesen werden kann, wie in seiner Wahrheitsdefinition dargelegt. Er ließ es unbestimmt, welche Symbole als nicht logisch gelten; Tatsächlich hoffte er, dass diese Freiheit es einem ermöglichen würde, verschiedene Arten von Notwendigkeiten zu definieren und vielleicht "logisch" von "analytisch" zu trennen. Eine Sache, die es schwierig macht, Tarskis Vorschlag zu bewerten, ist, dass er die oben diskutierte Frage, die Konzepte zu analysieren, um alle logischen Verbindungen zwischen ihnen zu erreichen, völlig ignoriert. Die einzige plausible Erklärung, die ich dafür sehen kann, liegt in seiner Bemerkung in Klammern über

die Notwendigkeit, definierte Zeichen, die möglicherweise in den betreffenden Sätzen vorkommen, zu beseitigen, dh sie durch primitive Zeichen zu ersetzen.

Dies legt mir nahe, dass er möchte, dass seine primitiven Zeichen durch Bestimmung nicht analysiert werden können. Aber dann wird es nach Vorgabe rein zufällig sein, wenn sein Begriff der logischen Konsequenz alles erfasst, was man normalerweise als logische Konsequenz zählen würde.

Historiker stellen eine Ähnlichkeit zwischen Tarskis Vorschlag und einem in Abschnitt 147 der Wissenschaftslehre von Bernard Bozen von 1837 fest. Wie Tarski definiert Bozen die Gültigkeit eines Satzes in Bezug auf die Wahrheit einer Familie verwandter Sätze. Im Gegensatz zu Tarski macht Bozen seinen Vorschlag für Sätze in der Landessprache, nicht für Sätze einer formalen Sprache mit einer genau definierten Semantik.

Zu diesem Abschnitt siehe auch den Eintrag zur logischen Konsequenz.

4. Ausdruckskraft

Ein Satz (S) definiert seine Klasse (Mod (S)) von Modellen. Bei zwei Sprachen (L) und (L ') können wir sie vergleichen, indem wir fragen, ob jede Klasse (Mod (S)) mit (S) einen Satz von (L) hat. ist auch eine Klasse der Form (Mod (S ')), wobei (S') ein Satz von (L ') ist. Wenn die Antwort Ja lautet, sagen wir, dass (L) auf (L ') reduzierbar ist oder dass (L') mindestens so ausdrucksstark ist wie (L).

Zum Beispiel, wenn (L) eine Sprache erster Ordnung mit Identität ist, deren Signatur aus 1-ary Prädikatsymbolen besteht, und (L ') die Sprache ist, deren Sätze aus den vier syllogistischen Formen bestehen (Alle (A.) sind (B), Einige (A) sind (B), Nein (A) sind (B), Einige (A) verwenden nicht (B)) die gleichen Prädikatsymbole, dann ist (L ') auf (L) reduzierbar, weil die syllogistischen Formen in Logik erster Ordnung ausgedrückt werden können. (Es gibt einige Streitigkeiten darüber, wie man sie richtig ausdrücken kann; siehe den Eintrag auf dem traditionellen Quadrat der Opposition.) Aber die Sprache erster Ordnung (L) ist sicherlich nicht auf die Sprache (L ') reduzierbar. von Syllogismen, da wir in (L) einen Satz aufschreiben können, der besagt, dass genau drei Elemente (Px) erfüllen, und es gibt keine Möglichkeit, dies nur mit den syllogistischen Formen zu sagen. Oder sich in die andere Richtung bewegen,Wenn wir eine dritte Sprache (L '') bilden, indem wir zu (L) den Quantifizierer (Qx) mit der Bedeutung "Es gibt unzählige Elemente (x), so dass …" addieren, dann trivial (L) ist auf (L '') reduzierbar, aber der abwärts gerichtete Loewenheim-Skolem-Satz zeigt sofort, dass (L '') nicht auf (L) reduzierbar ist.

Diese Begriffe sind nützlich, um die Stärke von Datenbankabfragesprachen zu analysieren. Wir können uns die möglichen Zustände einer Datenbank als Strukturen vorstellen, und eine einfache Ja / Nein-Abfrage wird zu einem Satz, der die Antwort Ja hervorruft, wenn die Datenbank ein Modell davon ist, und andernfalls Nein. Wenn eine Datenbankabfragesprache nicht auf eine andere reduzierbar ist, kann die erste eine Abfrage ausdrücken, die in der zweiten nicht ausgedrückt werden kann.

Wir brauchen also Techniken, um die Ausdrucksstärken von Sprachen zu vergleichen. Eine der mächtigsten verfügbaren Techniken sind die Hin- und Her-Spiele von Ehrenfeucht und Fraïssé zwischen den beiden Spielern Spoiler und Duplicator. Einzelheiten finden Sie im Eintrag zu Logik und Spielen. Stellen Sie sich zum Beispiel vor, wir spielen das übliche Hin- und Her-Spiel erster Ordnung (G) zwischen zwei Strukturen (A) und (B). Die Theorie dieser Spiele legt fest, dass, wenn ein Satz erster Ordnung (phi) in genau einem von (A) und (B) wahr ist, es eine Zahl (n) gibt, aus der berechnet werden kann (phi), mit der Eigenschaft, dass Spoiler eine Strategie für (G) hat, die garantiert, dass er in höchstens (n) Schritten gewinnt. Um zu zeigen, dass die Logik erster Ordnung nicht zwischen (A) und (B) unterscheiden kann, genügt es zu zeigen, dass für jedes endliche (n)Duplicator hat eine Strategie, die garantiert, dass sie in den ersten (n) Schritten nicht (G) verliert. Wenn es uns gelingt, dies zu zeigen, folgt daraus, dass jede Sprache, die zwischen (A) und (B) unterscheidet, nicht auf die Sprache erster Ordnung der Strukturen (A) und (B) reduziert werden kann..

Diese Hin- und Her-Spiele sind immens flexibel. Zunächst einmal machen sie bei endlichen Strukturen genauso viel Sinn wie bei unendlichen; Viele andere Techniken der klassischen Modelltheorie gehen davon aus, dass die Strukturen unendlich sind. Sie können auch problemlos an viele Sprachen nicht erster Ordnung angepasst werden.

1969 verwendete Per Lindström Hin- und Her-Spiele, um einige abstrakte Charakterisierungen der Logik erster Ordnung hinsichtlich ihrer Ausdruckskraft zu geben. Einer seiner Sätze besagt, dass, wenn (L) eine Sprache mit einer Signatur ist, (K, L) unter allen syntaktischen Operationen erster Ordnung geschlossen ist und (L) dem abwärts gerichteten Loewenheim-Skolem-Satz für folgt einzelne Sätze und der Kompaktheitssatz, dann ist (L) auf die Signatursprache erster Ordnung (K) reduzierbar. Diese Sätze sind sehr attraktiv; siehe Kapitel XII von Ebbinghaus, Flum und Thomas für eine gute Darstellung. Aber sie haben ihr Versprechen nie ganz eingehalten. Es war schwierig, ähnliche Charakterisierungen anderer Logiken zu finden. Selbst für die Logik erster Ordnung ist es ein wenig schwierig, genau zu sehen, was die Charakterisierungen uns sagen. Aber sehr grob gesagt,Sie sagen uns, dass Logik erster Ordnung die eindeutige Logik mit zwei Eigenschaften ist: (1) wir können sie verwenden, um willkürlich komplizierte Dinge über endliche Muster auszudrücken, und (2) es ist hoffnungslos, zwischen einem unendlichen Kardinal und einem anderen zu unterscheiden.

Diese beiden Eigenschaften (1) und (2) sind nur die Eigenschaften der Logik erster Ordnung, die es Abraham Robinson ermöglichten, seine nicht standardmäßige Analyse zu erstellen. Der Hintergrund ist, dass Leibniz, als er die Differential- und Integralrechnung erfand, Infinitesimale verwendete, dh Zahlen, die größer als 0 und kleiner als alle 1/2, 1/3, 1/4 usw. sind. Leider gibt es keine solchen reellen Zahlen. Während des neunzehnten Jahrhunderts wurden alle Definitionen und Beweise im Leibniz-Stil umgeschrieben, um von Grenzen anstelle von Infinitesimalen zu sprechen. Nun sei (mathbb {R}) die Struktur, die aus dem Feld der reellen Zahlen zusammen mit allen Strukturmerkmalen besteht, denen wir Namen geben möchten: sicherlich Plus und Zeiten, vielleicht die Reihenfolge, die Menge der ganzen Zahlen, die Funktionen sin und log usw. Sei (L) die Sprache erster Ordnung, deren Signatur die von (mathbb {R}) ist. Aufgrund der Ausdrucksstärke von (L) können wir eine beliebige Anzahl von Theoremen des Kalküls als Sätze von (L) aufschreiben. Aufgrund der Ausdrucksschwäche von (L) können wir in (L) auf keinen Fall ausdrücken, dass (mathbb {R}) keine Infinitesimale hat. Tatsächlich verwendete Robinson den Kompaktheitssatz, um eine Struktur (mathbb {R} ') zu erstellen, die ein Modell aus genau den gleichen Sätzen von (L) wie (mathbb {R}) ist, aber hat Infinitesimale. Wie Robinson gezeigt hat, können wir Leibniz 'Argumente mit den Infinitesimalen in (mathbb {R}') kopieren und so beweisen, dass verschiedene Theoreme der Analysis in (mathbb {R} ') wahr sind. Diese Sätze sind jedoch in (L) ausdrückbar, daher müssen sie auch in (mathbb {R}) wahr sein. Es gibt keine Möglichkeit, in (L) auszudrücken, dass (mathbb {R}) keine Infinitesimale hat. Tatsächlich verwendete Robinson den Kompaktheitssatz, um eine Struktur (mathbb {R} ') zu erstellen, die ein Modell aus genau den gleichen Sätzen von (L) wie (mathbb {R}) ist, aber hat Infinitesimale. Wie Robinson gezeigt hat, können wir Leibniz 'Argumente mit den Infinitesimalen in (mathbb {R}') kopieren und so beweisen, dass verschiedene Theoreme der Analysis in (mathbb {R} ') wahr sind. Diese Sätze sind jedoch in (L) ausdrückbar, daher müssen sie auch in (mathbb {R}) wahr sein. Es gibt keine Möglichkeit, in (L) auszudrücken, dass (mathbb {R}) keine Infinitesimale hat. Tatsächlich verwendete Robinson den Kompaktheitssatz, um eine Struktur (mathbb {R} ') zu erstellen, die ein Modell aus genau den gleichen Sätzen von (L) wie (mathbb {R}) ist, aber hat Infinitesimale. Wie Robinson gezeigt hat, können wir Leibniz 'Argumente mit den Infinitesimalen in (mathbb {R}') kopieren und so beweisen, dass verschiedene Theoreme der Analysis in (mathbb {R} ') wahr sind. Diese Sätze sind jedoch in (L) ausdrückbar, daher müssen sie auch in (mathbb {R}) wahr sein. Wir können Leibniz 'Argumente mit den Infinitesimalen in (mathbb {R}') kopieren und so beweisen, dass verschiedene Theoreme der Analysis in (mathbb {R} ') wahr sind. Diese Sätze sind jedoch in (L) ausdrückbar, daher müssen sie auch in (mathbb {R}) wahr sein. Wir können Leibniz 'Argumente mit den Infinitesimalen in (mathbb {R}') kopieren und so beweisen, dass verschiedene Theoreme der Analysis in (mathbb {R} ') wahr sind. Diese Sätze sind jedoch in (L) ausdrückbar, daher müssen sie auch in (mathbb {R}) wahr sein.

Da Argumente mit Infinitesimalen normalerweise einfacher zu visualisieren sind als Argumente mit Grenzwerten, ist die Nichtstandardanalyse ein hilfreiches Werkzeug für mathematische Analysten. Jacques Fleuriot in seiner Doktorarbeit Thesis (2001) automatisierte die Beweistheorie der Nichtstandardanalyse und verwendete sie, um einige der Beweise in Newtons Principia zu mechanisieren.

5. Modelle und Modellierung

Ein Phänomen zu modellieren bedeutet, eine formale Theorie zu konstruieren, die es beschreibt und erklärt. In einem eng verwandten Sinne modellieren Sie ein System oder eine Struktur, die Sie erstellen möchten, indem Sie eine Beschreibung davon schreiben. Dies sind ganz andere Sinne von "Modell" als in der Modelltheorie: Das "Modell" des Phänomens oder des Systems ist keine Struktur, sondern eine Theorie, oft in einer formalen Sprache. Die Universal Modeling Language, kurz UML, ist eine formale Sprache, die genau für diesen Zweck entwickelt wurde. Es wird berichtet, dass die australische Marine einmal einen Modelltheoretiker für einen Job zur Modellierung hydrodynamischer Phänomene engagiert hat. (Bitte erleuchten Sie sie nicht!)

Eine kleine Geschichte wird zeigen, wie das Wort "Modell" zu diesen beiden unterschiedlichen Verwendungszwecken kam. Im späten Latein war ein "Modellus" ein Messgerät, zum Beispiel um Wasser oder Milch zu messen. Durch die Launen der Sprache erzeugte das Wort drei verschiedene Wörter auf Englisch: Schimmel, Modul, Modell. Oft legt ein Gerät, das eine Menge eines Stoffes misst, dem Stoff auch eine Form auf. Wir sehen dies an einer Käseform und auch an den Metallbuchstaben (im frühen 17. Jahrhundert als "Module" bezeichnet), die beim Drucken Tinte auf Papier transportieren. Unter „Modell“versteht man also ein Objekt in der Hand, das das Design einiger anderer Objekte auf der Welt zum Ausdruck bringt: Das Modell des Künstlers trägt die vom Künstler dargestellte Form, und Christopher Wren's „Modul“der St. Pauls Kathedrale dient als Leitfaden für die Bauherren.

Bereits im späten 17. Jahrhundert könnte das Wort "Modell" ein Objekt bedeuten, das die Form nicht realer Objekte, sondern mathematischer Konstrukte zeigt. Leibniz prahlte, dass er keine Modelle brauchte, um Mathematik zu machen. Andere Mathematiker verwendeten gerne Gips- oder Metallmodelle mit interessanten Oberflächen. Die Modelle der Modelltheorie erschienen zuerst als abstrakte Versionen dieser Art von Modell, mit Theorien anstelle der definierenden Gleichung einer Oberfläche. Auf der anderen Seite könnte man bei realen Objekten bleiben, aber ihre Form eher durch eine Theorie als durch eine physische Kopie in der Hand zeigen; 'Modellierung' baut eine solche Theorie auf.

Wir haben eine verwirrende Situation auf halbem Weg, wenn ein Wissenschaftler ein Phänomen in der Welt durch eine Gleichung beschreibt, zum Beispiel eine Differentialgleichung mit Exponentialfunktionen als Lösungen. Ist das Modell die Theorie, die aus der Gleichung besteht, oder sind diese Exponentialfunktionen selbst Modelle des Phänomens? Beispiele dieser Art, bei denen Theorie und Strukturen im Wesentlichen die gleichen Informationen liefern, stützen Patrick Suppes 'Behauptung, dass „die Bedeutung des Modellbegriffs in der Mathematik und den empirischen Wissenschaften dieselbe ist“(Seite 12 seines zitierten Buches von 1969) unten). Mehrere Wissenschaftsphilosophen haben die Idee verfolgt, eine informelle Version modelltheoretischer Modelle für die wissenschaftliche Modellierung zu verwenden. Manchmal werden die Modelle als nicht sprachlich beschrieben - dies ist möglicherweise schwer mit unserer Definition von Modellen in Abschnitt 1 oben zu vereinbaren.

Die Kognitionswissenschaft ist ein Bereich, in dem der Unterschied zwischen Modellen und Modellierung tendenziell verschwimmt. Eine zentrale Frage der Kognitionswissenschaft ist, wie wir Fakten oder Möglichkeiten in unserem Geist darstellen. Wenn man diese mentalen Repräsentationen formalisiert, werden sie so etwas wie "Modelle von Phänomenen". Es ist jedoch eine ernsthafte Hypothese, dass unsere mentalen Repräsentationen tatsächlich viel mit einfachen satztheoretischen Strukturen gemeinsam haben, so dass sie auch im modelltheoretischen Sinne „Modelle“sind. 1983 wurden zwei einflussreiche Werke der Kognitionswissenschaft veröffentlicht, beide unter dem Titel Mental Models. Die erste, herausgegeben von Dedre Gentner und Albert Stevens, befasste sich mit den 'Konzeptualisierungen' der elementaren Tatsachen der Physik; es gehört genau in die Welt der "Modellierung von Phänomenen". Bei der zweiten von Philip Johnson-Laird geht es hauptsächlich um Argumentation.und appelliert mehrfach an die "modelltheoretische Semantik" in unserem Sinne. Forscher in der Johnson-Laird-Tradition neigen dazu, ihren Ansatz als "Modelltheorie" zu bezeichnen und ihn in gewissem Sinne als mit dem verbunden zu betrachten, was wir Modelltheorie genannt haben.

Bilder und Diagramme scheinen zunächst im Mittelweg zwischen Theorien und Modellen zu schweben. In der Praxis zeichnen sich Modelltheoretiker oft selbst Bilder von Strukturen und verwenden die Bilder, um über die Strukturen nachzudenken. Andererseits tragen Bilder im Allgemeinen nicht die Beschriftung, die ein wesentliches Merkmal modelltheoretischer Strukturen ist. Es gibt eine schnell wachsende Zahl von Arbeiten zum Denken mit Diagrammen, und die überwältigende Tendenz dieser Arbeit besteht darin, Bilder und Diagramme eher als eine Form der Sprache als als eine Form der Struktur zu betrachten. Zum Beispiel beschreiben Eric Hammer und Norman Danner (in dem von Allwein und Barwise herausgegebenen Buch, siehe Bibliographie) eine 'Modelltheorie von Venn-Diagrammen' Die Venn-Diagramme selbst sind die Syntax, und die Modelltheorie ist eine satztheoretische Erklärung ihrer Bedeutung.

Der Modelltheoretiker Yuri Gurevich führte abstrakte Zustandsmaschinen (ASMs) ein, um modelltheoretische Ideen für die Spezifikation in der Informatik zu verwenden. Laut der Abstract State Machine-Website (siehe Andere Internetquellen unten)

Jeder Algorithmus kann auf seiner natürlichen Abstraktionsebene durch ein geeignetes ASM modelliert werden. … ASMs verwenden klassische mathematische Strukturen, um Zustände einer Berechnung zu beschreiben. Strukturen sind gut verstandene, präzise Modelle.

Das unten zitierte Buch von Börger und Stärk ist ein maßgeblicher Bericht über ASMs und ihre Verwendung.

Heute können Sie sich einen Namen machen und ein Vermögen machen, indem Sie ein gutes Repräsentationssystem finden. Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass jedes dieser Systeme genau in das Syntax- / Semantik-Framework der Modelltheorie passt, aber es wird überraschend sein, wenn modelltheoretische Ideen in diesem Bereich keinen wesentlichen Beitrag leisten.

Literaturverzeichnis

Einführungstexte

• Doets, K., 1996, Basic Model Theory, Stanford: CSLI Publications.
• Hodges, W., 1997, Eine kürzere Modelltheorie, Cambridge: Cambridge University Press.
• Manzano, M., 1999, Modelltheorie, Oxford: Oxford University Press.
• Rothmaler, P., 2000, Einführung in die Modelltheorie, Amsterdam: Gordon and Breach.

Modelltheoretische Definition

• Frege, G., 1906, „Grundlagen der Geometrie“, Jahresbericht der deutschen Mathematikervereinigung, 15: 293–309, 377–403, 423–430.
• Gergonne, J., 1818, „Essai sur la théorie de la définition“, Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, 9: 1–35.
• Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Leipzig: Teubner.
• Hodges, W., 2008, „Tarskis Definitionstheorie“, in Patterson, D. Neue Aufsätze zu Tarski und Philosophie, Oxford: Oxford University Press, S. 94–132.
• Lascar, D., 1998, „Perspective historique sur les rapports entre la théorie des modèles et l'algèbre“, Revue d'histoire des mathématiques, 4: 237–260.
• Mancosu, P., Zach, R. und Badesa, C., 2009, "Die Entwicklung der mathematischen Logik von Russell zu Tarski", in L. Haaparanta (Hrsg.), Die Entwicklung der modernen Logik, Oxford: Oxford University Press, S. 318–470.
• Pasch, M., 1882, Vorlesungen über Neuere Geometrie, Berlin: Springer-Verlag.
• Robinson, A., 1952, „Zur Anwendung der symbolischen Logik auf die Algebra“, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Cambridge, MA, 1950, Band 1), Providence, RI: American Mathematical Society, S. 686–694.
• Suppes, P., 1957, "Theory of Definition" in Einführung in die Logik (Kapitel 8), Princeton, NJ: Van Nostrand.
• Tarski, A., 1954, „Beiträge zur Modelltheorie, I“, Indagationes Mathematicae, 16: 572–581.

Modelltheoretische Konsequenz

• Blanchette, P., 1996, „Frege und Hilbert über Konsistenz“, The Journal of Philosophy, 93: 317–336.
• Blanchette, P., 2012, Freges Konzeption der Logik, New York: Oxford University Press.
• Boole, G., 1847, The Mathematical Analysis of Logic, Cambridge: Macmillan, Barclay und Macmillan.
• Etchemendy, J., 1990, The Concept of Logical Consequence, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Frege, G., 1971, Über die Grundlagen der Geometrie und formale Theorien der Arithmetik, E. Kluge (trans.), New Haven: Yale University Press.
• Gómez-Torrente, M., 1996, „Tarski über die logische Konsequenz“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 37: 125–151.
• Hodges, W. 2004, „Die Bedeutung und Vernachlässigung der konzeptuellen Analyse: Hilbert-Ackermann iii.3“, in V. Hendricks et al. (Hrsg.), First-Order Logic Revisited, Berlin: Logos, S. 129–153.
• Kreisel, G., 1969, „Informelle Strenge und Vollständigkeitsnachweise“, in J. Hintikka (Hrsg.), The Philosophy of Mathematics, London: Oxford University Press, S. 78–94.
• Tarski, A., 1983, „Über das Konzept der logischen Konsequenz“, übersetzt in A. Tarski, Logik, Semantik, Metamathematik, J. Corcoran (Hrsg.), Indianapolis: Hackett, S. 409–420.
• Van Benthem, J., 1991 [1983], The Logic of Time: Eine modelltheoretische Untersuchung der Vielfalt der zeitlichen Ontologie und des zeitlichen Diskurses, Dordrecht: Reidel, 1983; zweite Ausgabe, Springer, 1991.

Ausdruckskraft

• Cutland, N., 2009, Nichtstandardanalyse und ihre Anwendungen, Cambridge: Cambridge University Press.
• Ebbinghaus, H.-D. und Flum, J., 1999, Finite Model Theory, Berlin: Springer-Verlag.
• Ebbinghaus, H.-D., Flum, J. und Thomas, W., 1984, Mathematical Logic, New York: Springer-Verlag.
• Fleuriot, J., 2001, Eine Kombination aus Geometrie-Theorem-Beweis und Nicht-Standard-Analyse mit Anwendung auf Newtons Principia, New York: Springer-Verlag.
• Immerman, N., 1999, Descriptive Complexity, New York: Springer-Verlag.
• Libkin, L., 2004, Elemente der endlichen Modelltheorie, Berlin: Springer-Verlag.
• Loeb, P. und Wolff, M. (Hrsg.), 2000, Nichtstandardanalyse für den Arbeitsmathematiker, Dordrecht: Kluwer.
• Robinson, A., 1967, „Die Metaphysik des Kalküls“, in Probleme in der Philosophie der Mathematik, I. Lakatos (Hrsg.), Amsterdam: Nordholland, S. 28–40.

Modelle und Modellierung

• Allwein, G. und Barwise, J. (Hrsg.), 1996, Logical Reasoning with Diagrams, New York: Oxford University Press.
• Börger, E. und Stärk, R., 2003, Abstract State Machines: Eine Methode für das Design und die Analyse von Systemen auf hoher Ebene, Berlin: Springer-Verlag.
• Fowler, M., 2000, UML Distilled, Boston: Addison-Wesley.
• Garnham, A., 2001, Mentale Modelle und die Interpretation von Anaphora, Philadelphia: Taylor und Francis.
• Gentner, D. und Stevens, A. (Hrsg.), 1983, Mental Models, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
• Johnson-Laird, P., 1983, Mentale Modelle: Auf dem Weg zu einer kognitiven Wissenschaft von Sprache, Folgerung und Bewusstsein, Cambridge: Cambridge University Press.
• Meijers, A. (Hrsg.), 2009, Philosophie der Technologie- und Ingenieurwissenschaften, Amsterdam: Elsevier; siehe Kapitel W. Hodges, „Funktionsmodellierung und mathematische Modelle“; R. Müller, „Der Begriff eines Modells, Theorien von Modellen und Geschichte“; und N. Nersessian, "Modellbasiertes Denken in interdisziplinärem Engineering".
• Moktefi, A. und Shin, S.-J. (Hrsg.), 2013, Visual Reasoning with Diagrams, Basel: Birkhäuser.
• Morgan, MS und Morrison, M. (Hrsg.), 1999, Models as Mediators, Cambridge: Cambridge University Press.
• Pullum, GK und Scholz, BC, 2001, „Zur Unterscheidung zwischen modelltheoretischen und generativ-enumerativen syntaktischen Rahmenbedingungen“, in Logische Aspekte der Computerlinguistik (Lecture Notes in Computer Science: Band 2099), P. De Groote et al. (Hrsg.), Berlin: Springer-Verlag, S. 17–43.
• Stenning, K., 2002, Seeing Reason, Oxford: Oxford University Press.
• Suppes, P., 1969, Studien zur Methodik und zu den Grundlagen der Wissenschaft, Dordrecht: Reidel.

Akademische Werkzeuge

	Wie man diesen Eintrag zitiert.
	Vorschau der PDF-Version dieses Eintrags bei den Freunden der SEP-Gesellschaft.
	Schlagen Sie dieses Eintragsthema im Internet Philosophy Ontology Project (InPhO) nach.
	Erweiterte Bibliographie für diesen Eintrag bei PhilPapers mit Links zu seiner Datenbank.

Andere Internetquellen

• mentalmodelsblog: Mentale Modelle im menschlichen Denken und Denken, von Ruth Byrne.
• Algorithmische Modelltheorie von E. Graedel, D. Berwanger und M. Hoelzel (Mathematische Grundlagen der Informatik, RWTH Aachen)
• Abstrakte Zustandsmaschinen, von Jim Huggins