Russells Paradoxon

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-05-24 11:17

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Russells Paradoxon

Erstveröffentlichung am 8. Dezember 1995; inhaltliche Überarbeitung So 9. Oktober 2016

Russells Paradoxon ist das bekannteste der logischen oder satztheoretischen Paradoxe. Das Paradoxon, auch als Russell-Zermelo-Paradoxon bekannt, entsteht innerhalb der naiven Mengenlehre, indem die Menge aller Mengen betrachtet wird, die nicht Mitglieder ihrer selbst sind. Eine solche Menge scheint genau dann ein Mitglied von sich selbst zu sein, wenn sie kein Mitglied von sich selbst ist. Daher das Paradoxon.

Einige Sets, wie das Set aller Teetassen, sind keine Mitglieder von sich. Andere Sets, wie das Set aller Nicht-Teetassen, sind Mitglieder von sich. Nennen Sie die Menge aller Mengen, die nicht Mitglieder ihrer selbst sind, "R." Wenn R ein Mitglied von sich selbst ist, darf es per Definition kein Mitglied von sich selbst sein. Wenn R kein Mitglied von sich selbst ist, muss es per Definition ein Mitglied von sich selbst sein.

Obwohl dies auch von Ernst Zermelo bemerkt wurde, wurde der Widerspruch nicht als wichtig angesehen, bis er im Frühjahr 1901 von Bertrand Russell unabhängig entdeckt wurde. Seitdem hat das Paradoxon viel Arbeit in den Bereichen Logik, Mengenlehre und Philosophie angeregt Grundlagen der Mathematik.

• 1. Das Paradoxon
• 2. Geschichte des Paradoxons
• 3. Frühe Reaktionen auf das Paradoxon
• 4. Russells Paradoxon in der zeitgenössischen Logik
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Das Paradoxon

Im Zentrum jeder Mengenlehre steht die Angabe der Bedingungen, unter denen Mengen gebildet werden. Zusätzlich zur einfachen Auflistung der Mitglieder einer Menge wurde zunächst angenommen, dass jede genau definierte Bedingung (oder genau spezifizierte Eigenschaft) zur Bestimmung einer Menge verwendet werden kann. Wenn beispielsweise T die Eigenschaft ist, eine Teetasse zu sein, kann die Menge S aller Teetassen als S = {x: T (x)} definiert werden, die Menge aller Individuen x, so dass x die hat Eigentum des Seins T. Sogar eine widersprüchliche Eigenschaft kann verwendet werden, um eine Menge zu bestimmen. Zum Beispiel würde die Eigenschaft, sowohl T als auch nicht T zu sein, die leere Menge bestimmen, wobei die Menge keine Mitglieder hat.

Genauer gesagt nimmt die naive Mengenlehre das sogenannte naive oder uneingeschränkte Verständnisaxiom an, das Axiom, dass für jede Formel φ (x), die x als freie Variable enthält, die Menge {x: φ (x)} existiert, deren Mitglieder sind genau die Objekte, die φ (x) erfüllen. Wenn also die Formel φ (x) für „x ist Primzahl“steht, ist {x: φ (x)} die Menge der Primzahlen. Wenn φ (x) für "~ (x = x)" steht, ist {x: φ (x)} die leere Menge.

Aus der Annahme dieses Axioms folgt jedoch Russells Widerspruch. Wenn wir zum Beispiel φ (x) für x ∈ x stehen lassen und R = {x: ~ φ (x)}, dann ist R die Menge, deren Mitglieder genau die Objekte sind, die keine Mitglieder von sich selbst sind.

Ist R ein Mitglied von sich selbst? Wenn dies der Fall ist, muss es die Bedingung erfüllen, kein Mitglied von sich selbst zu sein, und so ist es auch nicht. Wenn dies nicht der Fall ist, darf es nicht die Bedingung erfüllen, kein Mitglied von sich selbst zu sein, und daher muss es ein Mitglied von sich selbst sein. Da nach klassischer Logik der eine oder andere Fall gelten muss - entweder ist R ein Mitglied von sich selbst oder nicht -, folgt daraus, dass die Theorie einen Widerspruch impliziert.

Wie Russell uns erzählt, wurde er, nachdem er die gleiche Argumentation wie Cantors diagonales Argument auf eine „vermeintliche Klasse aller vorstellbaren Objekte“angewendet hatte, zum Widerspruch geführt:

Die umfassende Klasse, die wir in Betracht ziehen, um alles zu umarmen, muss sich als eines ihrer Mitglieder umarmen. Mit anderen Worten, wenn es so etwas wie "alles" gibt, dann ist "alles" etwas und gehört zur Klasse "alles". Aber normalerweise ist eine Klasse kein Mitglied von sich. Die Menschheit zum Beispiel ist kein Mann. Bilden Sie jetzt die Zusammenstellung aller Klassen, die nicht Mitglieder ihrer selbst sind. Dies ist eine Klasse: Ist es ein Mitglied von sich selbst oder nicht? Wenn es so ist, ist es eine dieser Klassen, die keine Mitglieder von sich selbst sind, dh es ist kein Mitglied von sich. Wenn dies nicht der Fall ist, ist es keine dieser Klassen, die nicht Mitglieder von sich selbst sind, dh es ist ein Mitglied von sich. Somit impliziert jede der beiden Hypothesen - dass es ein Mitglied von sich selbst ist und dass es kein Mitglied von sich selbst ist - ihren Widerspruch. Dies ist ein Widerspruch. (1919, 136)

Standardantworten auf das Paradoxon versuchen, die Bedingungen, unter denen Mengen gebildet werden, auf irgendeine Weise zu begrenzen. Das Ziel besteht normalerweise darin, sowohl R (und ähnliche widersprüchliche Mengen) zu eliminieren als auch alle anderen für die Mathematik benötigten Mengen beizubehalten. Dies geschieht häufig, indem das uneingeschränkte Verständnisaxiom durch das restriktivere Trennungsaxiom ersetzt wird, nämlich das Axiom, bei dem bei gegebener (konsistenter) Menge S und jeder Formel φ (x) mit x frei eine Menge {x ∈ S: φ vorhanden ist (x)} deren Mitglieder genau die Mitglieder von S sind, die φ (x) erfüllen. Wenn wir nun φ (x) für die Formel x ∉ x stehen lassen, stellt sich heraus, dass die entsprechende Menge {x ∈ S: x ∉ x} nicht widersprüchlich ist, da sie nur aus den in S gefundenen Elementen besteht, die es nicht sind Mitglieder von sich. Daher schließt sich die Menge nicht selbst ein.

Eine Vielzahl verwandter Paradoxien wird im zweiten Kapitel der Einführung in Whitehead und Russell (1910, 2. Aufl. 60-65) sowie im Eintrag über Paradoxien und zeitgenössische Logik in dieser Enzyklopädie erörtert.

2. Geschichte des Paradoxons

Russell scheint sein Paradoxon im späten Frühjahr 1901 entdeckt zu haben, als er an seinen Prinzipien der Mathematik (1903) arbeitete. Wann genau die Entdeckung stattfand, ist nicht klar. Russell gibt zunächst an, er sei „im Juni 1901“(1944, 13) auf das Paradox gestoßen. Später berichtet er, dass die Entdeckung „im Frühjahr 1901“(1959, 75) stattfand. Noch später berichtet er, dass er nicht im Juni, sondern im Mai dieses Jahres (1969, 221) auf das Paradox gestoßen sei. Cesare Burali-Forti, ein Assistent von Giuseppe Peano, hatte 1897 eine ähnliche Antinomie entdeckt, als er bemerkte, dass der Ordnungssatz, da er gut geordnet ist, auch eine Ordnungszahl haben muss. Diese Ordnungszahl muss jedoch sowohl ein Element der Menge aller Ordnungszahlen sein als auch größer als jedes solche Element.

Im Gegensatz zu Burali-Fortis Paradoxon beinhaltet Russells Paradoxon weder Ordnungszahlen noch Kardinäle, sondern stützt sich stattdessen nur auf die primitiven Begriffe von Menge und Mengeneinschluss. Zermelo bemerkte irgendwann zwischen 1897 und 1902 einen ähnlichen Widerspruch, der Russell möglicherweise um einige Jahre vorwegnahm (Ebbinghaus und Peckhaus 2007, 43–48; Tappenden 2013, 336), obwohl Kanamori zu dem Schluss kommt, dass die Entdeckung leicht erst 1902 hätte erfolgen können (Kanamori 2009) 411). In jedem Fall wurde das Paradoxon als von untergeordneter Bedeutung angesehen, bis erkannt wurde, wie schädlich es für Gottlob Freges Grundlagen der Mathematik war.

Russell schrieb am 16. Juni 1902 mit Nachrichten über sein Paradoxon an Frege. (Für die entsprechende Korrespondenz siehe Russell (1902) und Frege (1902) in van Heijenoort (1967).) Das Paradoxon war seitdem für Freges logische Arbeit von Bedeutung. Tatsächlich zeigte sich, dass die Axiome, mit denen Frege seine Logik formalisierte, inkonsistent waren. Insbesondere erfordert Freges Axiom V, dass ein Ausdruck wie φ (x) sowohl als Funktion des Arguments x als auch als Funktion des Arguments φ betrachtet wird. (Genauer gesagt besagt das Frege'sche Gesetz, dass der Werteverlauf eines Begriffs f genau dann mit dem Werteverlauf eines Begriffs g identisch ist, wenn f und g sich über den Wert jedes Arguments einig sind, dh wenn und Nur wenn für jedes Objekt x f (x) = g (x) ist. Weitere Informationen finden Sie in Abschnitt 2.4.1 des Eintrags zu Gottlob Frege in dieser Enzyklopädie. Es war diese Zweideutigkeit, die es Russell ermöglichte, R so zu konstruieren, dass es sowohl ein Mitglied von sich selbst sein als auch nicht sein konnte.

Russells Brief kam gerade an, als der zweite Band von Freges Grundgesetzen der Arithmetik (The Basic Laws of Arithmetic, 1893, 1903) in Druck ging. Frege erkannte sofort die Schwierigkeit, die das Paradoxon mit sich brachte, und fügte den Grundgesetzen einen hastig verfassten Anhang hinzu, in dem Russells Entdeckung erörtert wurde. Im Anhang stellt Frege fest, dass die Konsequenzen von Russells Paradoxon nicht sofort klar sind. Zum Beispiel: „Ist es immer zulässig, von der Erweiterung eines Konzepts, einer Klasse zu sprechen? Und wenn nicht, wie erkennen wir die Ausnahmefälle? Können wir aus der Erweiterung eines Konzepts, das mit der eines zweiten zusammenfällt, immer schließen, dass jedes Objekt, das unter das erste Konzept fällt, auch unter das zweite fällt? Dies sind die Fragen “, stellt Frege fest,„ die durch die Mitteilung von Herrn Russell aufgeworfen wurden “(1903, 127). Wegen dieser Sorgen,Frege fühlte sich schließlich gezwungen, viele seiner Ansichten über Logik und Mathematik aufzugeben.

Trotzdem traf Frege, wie Russell betont, die Nachricht vom Paradoxon mit bemerkenswerter Kraft:

Wenn ich über Integrität und Gnade nachdenke, stelle ich fest, dass mein Wissen nichts mit Freges Engagement für die Wahrheit zu vergleichen ist. Sein gesamtes Lebenswerk stand kurz vor dem Abschluss, ein Großteil seines Werkes war zum Nutzen der unendlich weniger fähigen Männer ignoriert worden, sein zweiter Band stand kurz vor der Veröffentlichung, und als er feststellte, dass seine Grundannahme falsch war, antwortete er mit intellektuelles Vergnügen taucht eindeutig alle Gefühle persönlicher Enttäuschung auf. Es war fast übermenschlich und ein aussagekräftiger Hinweis darauf, wozu Männer fähig sind, wenn sie sich der kreativen Arbeit und dem Wissen widmen, anstatt gröberen Bemühungen, zu dominieren und bekannt zu werden. (Zitiert in van Heijenoort (1967), 127)

Natürlich war auch Russell besorgt über die Folgen des Widerspruchs. Als er erfuhr, dass Frege mit ihm über die Bedeutung des Ergebnisses einverstanden war, begann er sofort, einen Anhang für seine eigenen, in Kürze veröffentlichten Prinzipien der Mathematik zu schreiben. Der Anhang mit dem Titel „Anhang B: Die Lehre von den Typen“stellt Russells ersten Versuch dar, eine prinzipielle Methode bereitzustellen, um das zu vermeiden, was bald als „Russells Paradoxon“bekannt werden sollte.

3. Frühe Reaktionen auf das Paradoxon

Die Bedeutung von Russells Paradoxon zeigt sich, wenn man erkennt, dass nach klassischer Logik alle Sätze aus einem Widerspruch folgen. Wenn beispielsweise sowohl P als auch ~ P angenommen werden, kann jeder beliebige Satz Q wie folgt bewiesen werden: Aus P erhalten wir P ∨ Q durch die Additionsregel; dann erhalten wir aus P ∨ Q und ~ P Q nach der Regel des disjunktiven Syllogismus. Da die Mengenlehre allen Zweigen der Mathematik zugrunde liegt, machten sich viele Menschen Sorgen, dass die Inkonsistenz der Mengenlehre bedeuten würde, dass kein mathematischer Beweis vollständig vertrauenswürdig sein könnte. Nur durch die Beseitigung von Russells Paradoxon konnte die Mathematik als Ganzes ihre Konsistenz wiedererlangen.

Russells Paradoxon beruht letztendlich auf der Idee, dass jede Bedingung oder Eigenschaft verwendet werden kann, um eine Menge zu bestimmen. Zum Beispiel unterscheidet die Eigenschaft, nur durch sich selbst und die Zahl Eins gleichmäßig teilbar zu sein, die Menge der Primzahlen von der Menge der ganzen Zahlen. Die Eigenschaft, Brustdrüsen zu haben, unterscheidet die Gruppe der Säugetiere von Reptilien, Vögeln und anderen lebenden Organismen. Die Eigenschaft, sowohl quadratisch als auch nicht quadratisch zu sein (oder eine andere Verbindung widersprüchlicher Eigenschaften), bestimmt die leere Menge und so weiter.

Ein früher Skeptiker in Bezug auf ein uneingeschränktes Verständnis (oder Abstraktion) Axiom war der Urheber der modernen Mengenlehre, Georg Cantor. Noch vor Russells Entdeckung hatte Cantor das uneingeschränkte Verständnis zugunsten einer Unterscheidung zwischen Mengen und Klassen abgelehnt und erkannt, dass einige Eigenschaften (wie die Eigenschaft, eine Ordnungszahl zu sein) Sammlungen hervorbrachten, die einfach zu groß waren, um sie zu sein setzt, und dass jede gegenteilige Annahme zu Inkonsistenz führen würde. (Details finden sich in Moore (1982), Hallett (1984) und Menzel (1984).)

Russells eigene Antwort auf das Paradoxon kam mit seiner treffend benannten Typentheorie. Russell glaubte, dass die Selbstanwendung das Herzstück des Paradoxons darstellt, und war der Grundidee, dass wir die Bindung an R (die Menge aller Mengen, die nicht Mitglieder von sich selbst sind) vermeiden können, indem wir alle Sätze (oder genauer alle Satzfunktionen) anordnen, Funktionen, die Sätze als ihre Werte angeben) in einer Hierarchie. Es ist dann nur möglich, auf alle Objekte zu verweisen, für die eine bestimmte Bedingung (oder ein bestimmtes Prädikat) gilt, wenn sie sich alle auf derselben Ebene oder vom selben „Typ“befinden.

Diese Lösung für Russells Paradoxon ist zum großen Teil durch die Übernahme des sogenannten Teufelskreisprinzips motiviert. Das geltende Prinzip besagt, dass keine Satzfunktion definiert werden kann, bevor der Anwendungsbereich der Funktion festgelegt wird. Mit anderen Worten, bevor eine Funktion definiert werden kann, muss zuerst genau angegeben werden, auf welche Objekte die Funktion angewendet werden soll (die Domäne der Funktion). Bevor Sie beispielsweise das Prädikat "ist eine Primzahl" definieren, müssen Sie zunächst die Sammlung von Objekten definieren, die möglicherweise dieses Prädikat erfüllen, nämlich die Menge N natürlicher Zahlen.

Wie Whitehead und Russell erklären,

Eine Analyse der zu vermeidenden Paradoxien zeigt, dass sie alle aus einer Art Teufelskreis resultieren. Die fraglichen Teufelskreise ergeben sich aus der Annahme, dass eine Sammlung von Objekten Elemente enthalten kann, die nur anhand der gesamten Sammlung definiert werden können. So soll beispielsweise die Sammlung von Sätzen einen Satz enthalten, der besagt, dass „alle Sätze entweder wahr oder falsch sind“. Es scheint jedoch, dass eine solche Aussage nicht legitim sein könnte, wenn sich nicht „alle Sätze“auf eine bereits bestimmte Sammlung beziehen, was nicht möglich ist, wenn neue Sätze durch Aussagen über „alle Sätze“erstellt werden. Wir müssen daher sagen, dass Aussagen über „alle Sätze“bedeutungslos sind. … Das Prinzip, das es uns ermöglicht, illegitime Gesamtheiten zu vermeiden, kann wie folgt ausgedrückt werden:"Was auch immer die gesamte Sammlung betrifft, darf nicht Teil der Sammlung sein"; oder umgekehrt: "Wenn eine bestimmte Sammlung eine Gesamtsumme hätte, hätte sie Mitglieder, die nur in Bezug auf diese Gesamtsumme definierbar sind, dann hat diese Sammlung keine Gesamtsumme." Wir werden dies das "Teufelskreisprinzip" nennen, weil es uns ermöglicht, die Teufelskreise zu vermeiden, die mit der Annahme illegitimer Gesamtheiten verbunden sind. (1910, 2. Aufl. 37)

Wenn Whitehead und Russell Recht haben, kann der Anwendungsbereich einer Funktion niemals ein Objekt enthalten, das von der Funktion selbst vorausgesetzt wird. Infolgedessen werden Satzfunktionen (zusammen mit ihren entsprechenden Sätzen) in einer Hierarchie angeordnet, wie sie Russell vorschlägt.

Obwohl Russell seine Typentheorie erstmals 1903 in seinen Prinzipien der Mathematik einführte, erkannte er sofort, dass mehr Arbeit geleistet werden musste, da sein erster Bericht einige, aber nicht alle Paradoxien zu lösen schien. Zu den Alternativen, die er in Betracht zog, gehörte eine sogenannte Substitutionstheorie (Galaugher 2013). Dies wiederum führte fünf Jahre später in Russells Artikel „Mathematische Logik als Grundlage der Typentheorie“und in der monumentalen Arbeit, die er gemeinsam mit Alfred North Whitehead, Principia Mathematica (1910, 1912) verfasste, zu einem reiferen Ausdruck der Typentheorie 1913). Russells Typentheorie erscheint daher in zwei Versionen: der "einfachen Theorie" von 1903 und der "verzweigten Theorie" von 1908. Beide Versionen wurden als zu ad hoc kritisiert, um das Paradoxon erfolgreich zu beseitigen.

Als Reaktion auf Russells Paradoxon erweiterte David Hilbert sein Programm zum Aufbau einer konsistenten, axiomatischen Grundlage für die Mathematik um eine axiomatische Grundlage für Logik und Mengenlehre (Peckhaus 2004). Diesem formalistischen Ansatz lag die Idee zugrunde, nur endliche, genau definierte und konstruierbare Objekte zusammen mit als absolut sicher geltenden Inferenzregeln zu verwenden.

Schließlich entwickelte Luitzen Brouwer den Intuitionismus, dessen Grundidee war, dass man die Existenz eines mathematischen Objekts nur behaupten kann, wenn man ein Verfahren zu seiner Konstruktion definieren kann.

Zusammen haben all diese Antworten dazu beigetragen, die Aufmerksamkeit auf die Zusammenhänge zwischen Logik, Sprache und Mathematik zu lenken. Sie halfen den Logikern auch dabei, ein explizites Bewusstsein für die Natur formaler Systeme und für die Art der metallogischen und metamathematischen Ergebnisse zu entwickeln, die sich in den letzten hundert Jahren als zentral für die Erforschung der Grundlagen von Logik und Mathematik erwiesen haben.

4. Russells Paradoxon in der zeitgenössischen Logik

Russells Paradoxon wird manchmal als negative Entwicklung angesehen - als Sturz von Freges Grundgesetzen und als eine der ursprünglichen begrifflichen Sünden, die zu unserer Vertreibung aus Cantors Paradies führen. WV Quine beschreibt das Paradoxon als eine „Antinomie“, die „eine Überraschung bietet, die durch nichts weniger als eine Ablehnung unseres konzeptuellen Erbes ausgeglichen werden kann“(1966, 11). Quine bezieht sich auf das zuvor erwähnte Prinzip des naiven Verstehens. In Symbolen besagt das Prinzip, dass

(NC) ∃ A ∀ x (x ∈ A ≡ φ),

wobei A in der Formel φ nicht frei ist. Dies besagt: "Es gibt eine Menge A, so dass für jedes Objekt x x genau dann ein Element von A ist, wenn die durch φ ausgedrückte Bedingung gilt." Russells Paradoxon entsteht, wenn φ als Formel angenommen wird: x ∉ x.

Trotz Quines Kommentar ist es möglich, Russells Paradoxon in einem positiveren Licht zu sehen. Zum einen haben spätere Untersuchungen gezeigt, dass das Paradoxon Freges Ableitung der Arithmetik nicht nur aus der Logik kurzschließt, obwohl die Angelegenheit weiterhin umstritten ist. Freges Version von NC (sein Axiom V) kann einfach aufgegeben werden. (Einzelheiten finden Sie im Eintrag zu Freges Theorem.) Zum anderen gibt Church eine elegante Formulierung der einfachen Typentheorie, die sich auch in Bereichen als fruchtbar erwiesen hat, die von den Grundlagen der Mathematik entfernt sind. (Einzelheiten finden Sie im Eintrag zur Typentheorie.)Die Entwicklung axiomatischer (im Gegensatz zu naiver) Mengen-Theorien, die verschiedene geniale und mathematisch und philosophisch bedeutsame Arten des Umgangs mit Russells Paradoxon aufweisen, ebnete den Weg für erstaunliche Ergebnisse in der Metamathematik der Mengen-Theorie. Zu diesen Ergebnissen gehörten die Sätze von Gödel und Cohen zur Unabhängigkeit des Axioms der Wahl und die Kontinuumshypothese von Cantor. Lassen Sie uns also grob sehen, wie einige dieser Methoden - insbesondere die sogenannten „untypisierten“Methoden - mit Russells Paradoxon umgehen.

Zermelo ersetzt NC durch das folgende Axiomschema der Trennung (oder Aussonderungsaxiom):

(ZA) ∀ A ∃ B ∀ x (x ∈ B ≡ (x ∈ A ∧ φ)).

Um eine Zirkularität zu vermeiden, kann B in φ nicht frei sein. Dies erfordert, dass x Mitglied einer vorhandenen Menge A sein muss, um Zugang zu B zu erhalten. Wie man sich vorstellen kann, erfordert dies eine Vielzahl zusätzlicher Axiome der Mengenexistenz, von denen keines erforderlich wäre, wenn NC gehalten hätte.

Wie vermeidet ZA Russells Paradoxon? Man könnte zuerst denken, dass dies nicht der Fall ist. Wenn wir A V - das gesamte Universum der Mengen - und φ x ∉ x sein lassen, scheint sich schließlich wieder ein Widerspruch zu ergeben. In diesem Fall zeigt sich jedoch nur, dass V keine Menge ist. Der Widerspruch zeigt nur, dass „V“ein leerer Name ist (dh dass er keinen Bezug hat, dass V nicht existiert), da die Ontologie von Zermelos System nur aus Mengen besteht.

Der gleiche Punkt kann auf eine andere Weise gemacht werden, die eine relativierte Form von Russells Argumentation beinhaltet. Sei B eine beliebige Menge. Nach ZA existiert die Menge R _B = {x ∈ B: x ∉ x}, kann aber kein Element von B sein. Denn wenn es ein Element von B ist, können wir fragen, ob es ein Element von R _B ist oder nicht; und es ist genau dann, wenn es nicht ist. Somit fehlt in jeder Menge B etwas, nämlich R _B. Auch hier ist V keine Menge, da in V nichts fehlen kann. Beachten Sie jedoch die folgende Subtilität: Im Gegensatz zu dem vorherigen Argument, das die direkte Anwendung von Aussonderungs auf V beinhaltet, deutet das vorliegende Argument auf die Idee hin, dass V kein a ist set, "V" ist kein leerer Name. Die nächste Strategie für den Umgang mit Russells Paradoxon nutzt diesen Hinweis.

John von Neumanns (1925) untypisierte Methode zum Umgang mit Paradoxien und insbesondere mit Russells Paradoxon ist einfach und genial. Von Neumann führt eine Unterscheidung zwischen Mitgliedschaft und Nichtmitgliedschaft ein und unterscheidet auf dieser Grundlage zwischen Mengen und Klassen. Ein Objekt ist ein Mitglied (Simpliciter), wenn es Mitglied einer Klasse ist. und es ist ein Nichtmitglied, wenn es kein Mitglied einer Klasse ist. (Tatsächlich entwickelt von Neumann eine Funktionstheorie, die als primitiv und nicht als Klassen betrachtet wird, wobei man entsprechend der Unterscheidung zwischen Mitgliedern und Nichtmitgliedern zwischen einem Objekt unterscheidet, das ein Argument für eine Funktion sein kann, und einem Objekt, das dies nicht kann seine moderne Form ist aufgrund von Bernays und Gödel eine einfach sortierte Klassentheorie.)

Sätze werden dann als Mitglieder definiert, und Nichtmitglieder werden als "richtige Klassen" bezeichnet. So kann beispielsweise die Russell-Klasse R kein Mitglied einer Klasse sein und muss daher eine richtige Klasse sein. Wenn angenommen wird, dass R ein Element einer Klasse A ist, folgt aus einem von Neumanns Axiomen, dass R nicht äquivalent zu V ist. Aber R ist äquivalent zu V und daher kein Element von A. Somit ist von Neumanns Methode eng mit dem oben angegebenen Ergebnis über die Menge R _B für beliebiges B verwandt. Von Neumanns Methode wurde in den letzten Jahren unterbewertet, obwohl sie von Gödel und Bernays bewundert wurde.

Quine (1937) und (1967) bieten in ähnlicher Weise eine andere untypisierte Methode (in Buchstaben, wenn nicht im Geiste), um Russells Paradoxon zu blockieren, und eine, die voller interessanter Anomalien ist. Quines Grundidee ist es, ein geschichtetes Verständnisaxiom einzuführen. Tatsächlich blockiert das Axiom die Zirkularität, indem es eine Hierarchie (oder Schichtung) einführt, die in gewisser Weise der Typentheorie ähnelt und in anderen Fällen unähnlich ist. (Details finden Sie im Eintrag zu Quines New Foundations.)

Im Gegensatz zu den Strategien von Zermelo, von Neumann und Quine, die in gewissem Sinne rein theoretisch sind, wurde auch versucht, Russells Paradoxon durch Änderung der zugrunde liegenden Logik zu vermeiden. Es gab viele solcher Versuche, und wir werden sie nicht alle überprüfen, aber einer ist im Moment sowohl radikal als auch etwas populär (wenn auch nicht mit Mengen-Theoretikern an sich): Dies ist der parakonsistente Ansatz, der die Gesamtheit einschränkt Auswirkung eines isolierten Widerspruchs auf eine ganze Theorie. Die klassische Logik verlangt, dass jeder Widerspruch eine Theorie trivialisiert, indem jeder Satz der Theorie beweisbar gemacht wird. Dies liegt daran, dass in der klassischen Logik das Folgende ein Theorem ist:

(Ex Falso Quadlibet) A ⊃ (~ A ⊃ B).

Die praktisch einzige Möglichkeit, EFQ zu vermeiden, besteht darin, den disjunktiven Syllogismus aufzugeben, dh angesichts der üblichen Definitionen der Konnektiva modus ponens! Eine grundlegende Änderung der sententialen Logik auf diese Weise ist zwar radikal - aber möglich. Leider reicht es nicht aus, EFQ aufzugeben, um einen Anschein von NC zu bewahren. Man muss auch den folgenden zusätzlichen Satz der grundlegenden sententialen Logik aufgeben:

(Kontraktion) (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

Es kann dann argumentiert werden, dass NC direkt führt, nicht nur zu einem isolierten Widerspruch, sondern zu Trivialität. (Für das Argument, dass dies so ist, siehe den Eintrag zu Currys Paradoxon, Abschnitt 2.2. Beachten Sie auch, dass es nicht ausreicht, nur den Namen „modus ponens“beizubehalten; es ist die Regel selbst, die innerhalb nicht traditioneller Logik geändert wird.) Es scheint also, dass die Leiden von NC nicht auf Russells Paradoxon beschränkt sind, sondern auch ein negationsfreies Paradoxon aufgrund von Curry beinhalten.

Ein weiterer Vorschlag könnte sein, zu dem Schluss zu kommen, dass das Paradoxon von einer Instanz des Prinzips der ausgeschlossenen Mitte abhängt, dass entweder R ein Mitglied von R ist oder nicht. Dies ist ein Prinzip, das von einigen nicht-klassischen Ansätzen der Logik, einschließlich des Intuitionismus, abgelehnt wird. Es ist jedoch möglich, das Paradoxon zu formulieren, ohne sich auf Excluded Middle zu berufen, indem man sich stattdessen auf das Gesetz der Widerspruchsfreiheit stützt. Wir tun dies wie folgt: Aus der Definition von R folgt, dass R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R) ist. Also R ∈ R ⊃ ~ (R ∈ R). Wir wissen aber auch, dass R ∈ R ⊃ R ∈ R. Also R ∈ R ⊃ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Aber durch das Gesetz der Widerspruchsfreiheit wissen wir, dass ~ (R ∈ R ∧ ~ (R ∈ R)). Aus modus tollens schließen wir also, dass ~ (R ∈ R). Gleichzeitig wissen wir auch, dass seit R ∈ R ≡ ~ (R ∈ R) folgt, dass ~ (R ∈ R) ⊃ R ∈ R und damit R ∈ R. Wir können also sowohl R ∈ R als auch seine Negation nur mit intutionistisch akzeptablen Methoden ableiten.

Es scheint daher, dass Befürworter nicht-klassischer Logik nicht behaupten können, NC in einem signifikanten Sinne erhalten zu haben, außer der rein syntaktischen Form des Prinzips, und weder Intuitionismus noch Parakonsistenz plus die Aufgabe der Kontraktion werden einen Vorteil gegenüber der bieten untypisierte Lösungen von Zermelo, von Neumann oder Quine. (Weitere Diskussionen finden sich in Meyer, Routley und Dunn (1979), Irvine (1992), Priest (2006, Kap. 18), Weber (2010), Weber (2012) und in den Einträgen zu Currys Paradoxon (Sek. 2.2) und parakonsistente Logik (Abschnitt 2.3).)

Es ist auch erwähnenswert, dass Russells Paradoxon nicht das einzige Paradoxon war, das Russell beunruhigte, und daher nicht die einzige Motivation für die Typbeschränkungen, die man in Principia Mathematica findet. In seiner früheren Arbeit The Principles of Mathematics widmet Russell ein Kapitel dem „Widerspruch“(Russells Paradoxon), präsentiert es in verschiedenen Formen und lehnt mehrere Nicht-Starter-Antworten ab. Er signalisiert dann, dass er „in Kürze“die Doktrin der Typen diskutieren wird. Dies geschieht nicht für mehrere hundert Seiten, bis wir das Ende des Buches in Anhang B erreichen! Dort präsentiert Russell eine beginnende, einfache Typentheorie, nicht die Typentheorie, die wir in Principia Mathematica finden. Warum wurde die spätere Theorie benötigt? Der Grund dafür ist, dass Russell in Anhang B auch ein anderes Paradoxon vorstellt, das seiner Meinung nach nicht mit der einfachen Typentheorie gelöst werden kann. Dieses neue Paradoxon betrifft Sätze, nicht Klassen, und es veranlasste Russell zusammen mit den semantischen Paradoxien, seine verzweigte Version der Typentheorie zu formulieren.

Die neue, aussagekräftige Version des Paradoxons hat in der späteren Entwicklung der Logik und der Mengenlehre keine herausragende Rolle gespielt, aber Russell war zutiefst verwirrt. Zum einen scheint es dem Satz von Cantor zu widersprechen. Russell schreibt: „Wir können nicht zugeben, dass es mehr Bereiche [Klassen von Aussagen] als Sätze gibt“(1903, 527). Der Grund ist, dass es scheinbar einfache Eins-zu-eins-Korrelationen zwischen Satzklassen und Sätzen gibt. Zum Beispiel kann die Klasse m von Sätzen mit dem Satz korreliert werden, dass jeder Satz in m wahr ist. Dies führt zusammen mit einem feinkörnigen Prinzip der Individuation für Sätze (das behauptet, dass, wenn sich die Klassen m und n von Sätzen unterscheiden, jeder Satz über m von jedem Satz über n abweicht) zu einem Widerspruch.

Dieses Paradoxon wurde relativ wenig diskutiert, obwohl es eine Schlüsselrolle bei der Entwicklung der Sinn- und Bezeichnungslogik der Kirche spielte. Obwohl wir mehrere festgelegte Theorien zur Auswahl haben, haben wir keine gut entwickelte Theorie der Russellschen Sätze, obwohl solche Sätze für die Ansichten von Millianern und Theoretikern mit direkter Referenz von zentraler Bedeutung sind. Man würde denken, dass eine solche Theorie für die Grundlagen der Semantik erforderlich wäre, wenn nicht für die Grundlagen der Mathematik. Während eines von Russells Paradoxien zu einer fruchtbaren Entwicklung der Grundlagen der Mathematik geführt hat, muss sein „anderes“Paradox noch zu etwas Ähnlichem in den Grundlagen der Semantik führen. Um sicher zu sein,Church (1974a) und Anderson (1989) haben versucht, eine Russellsche Intensionslogik zu entwickeln, die auf der verzweigten Typentheorie basiert, aber es kann argumentiert werden, dass die verzweigte Theorie zu restriktiv ist, um als Grundlage für die Semantik der natürlichen Sprache zu dienen. In jüngster Zeit gab es auch einige Versuche, die Anfänge einer Russellschen Intensionslogik zu erhalten, die auf untypisierten Mengen-Theorien basiert (Cantini 2004; Deutsch 2014). Es ist ziemlich ironisch, dass, obwohl feinkörnige Russellsche Sätze in der Sprachphilosophie bevorzugt werden, die formale Entwicklung der Intensionslogik von der Montague-Grammatik mit ihrer körnigen Satztheorie dominiert wird. In jüngster Zeit gab es auch einige Versuche, die Anfänge einer Russellschen Intensionslogik zu erhalten, die auf untypisierten Mengen-Theorien basiert (Cantini 2004; Deutsch 2014). Es ist ziemlich ironisch, dass, obwohl feinkörnige Russellsche Sätze in der Sprachphilosophie bevorzugt werden, die formale Entwicklung der Intensionslogik von der Montague-Grammatik mit ihrer körnigen Satztheorie dominiert wird. In jüngster Zeit gab es auch einige Versuche, die Anfänge einer Russellschen Intensionslogik zu erhalten, die auf untypisierten Mengen-Theorien basiert (Cantini 2004; Deutsch 2014). Es ist ziemlich ironisch, dass, obwohl feinkörnige Russellsche Sätze in der Sprachphilosophie bevorzugt werden, die formale Entwicklung der Intensionslogik von der Montague-Grammatik mit ihrer körnigen Satztheorie dominiert wird.

Es ist auch erwähnenswert, dass eine Reihe von scheinbar rein satztheoretischen Prinzipien tatsächlich (angewandte) Instanzen von Theoremen der reinen Logik (dh der Quantifizierungstheorie erster Ordnung mit Identität) sind! Es gibt eine (teilweise) Liste davon in Kalish, Montague und Mar (2000). Russells Paradoxon ist eine Instanz von T269 in dieser Liste:

(T269) ~ ∃ y ∀ x (Fxy ≡ ~ Fxx).

Wenn man den dyadischen Prädikatbuchstaben "F" als "Mitglied von" liest, heißt das, dass es nicht so ist, dass x für jedes x genau dann ein Mitglied von y ist, wenn x kein Mitglied von ist x. Bedeutet dies, dass sich Russells Paradoxon auf T269 reduziert?

Sicherlich destilliert der Beweis von T269 die Essenz von Russells Argumentation, sein Argumentationsmuster. Dieses Muster zeichnet aber auch eine endlose Liste von scheinbar leichtfertigen „Paradoxien“aus, wie das berühmte Paradox des Friseurs, der alle und nur diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren, oder ähnlich das Paradox des wohlwollenden, aber effizienten Gottes, der allen und nur hilft diejenigen, die sich nicht selbst helfen.

Wie unterscheiden sich diese „Pseudo-Paradoxe“, wie sie manchmal genannt werden, wenn überhaupt, von Russells Paradoxon? Das Argumentationsmuster ist das gleiche und die Schlussfolgerung - dass es keinen solchen Barbier, keinen so effizienten Gott, keine solche Gruppe von nicht selbstmitgliedenden Gruppen gibt - ist dieselbe: Solche Dinge existieren einfach nicht. (Wie von Neumann gezeigt hat, ist es jedoch nicht notwendig, so weit zu gehen. Von Neumanns Methode weist uns nicht an, dass solche Dinge wie R nicht existieren, sondern dass wir nicht viel darüber sagen können, insofern R und dergleichen nicht können in die Erweiterung eines Prädikats fallen, das sich als Klasse qualifiziert.)

Die Standardantwort auf diese Frage ist, dass der Unterschied im Thema liegt. Quine fragt: "Warum zählt [Russells Paradoxon] als Antinomie und das Barbier-Paradoxon nicht?" und er antwortet: "Der Grund ist, dass es in unseren Denkgewohnheiten eine überwältigende Vermutung gegeben hat, dass es eine solche Klasse gibt, aber keine Vermutung, dass es einen solchen Friseur gibt" (1966, 14). Trotzdem ist die psychologische Rede von „Denkgewohnheiten“nicht besonders aufschlussreich. Mehr auf den Punkt gebracht, wirft Russells Paradox vernünftigerweise die Frage auf, welche Mengen es gibt; aber es ist Unsinn, sich aus Gründen wie T269 zu fragen, welche Friseure oder Götter es gibt!

Dieses Urteil ist jedoch für Fans des Barber oder des T269 im Allgemeinen nicht ganz fair. Sie werden darauf bestehen, dass die von T269 aufgeworfene Frage nicht lautet, welche Friseure oder Götter es gibt, sondern welche nicht paradoxen Objekte es gibt. Diese Frage ist praktisch dieselbe wie die, die durch Russells Paradoxon selbst aufgeworfen wurde. Aus dieser Perspektive ist die Beziehung zwischen dem Barber- und dem Russell-Paradoxon viel enger, als viele (nach Quine) bereit waren, dies zuzulassen (Salmon 2013).

Wir stellen fest, dass es eine erste Ordnung logische Formel, das die gleiche Beziehung zu dem Prinzip über die R trägt _B ‚s, dass T269 Bären Russells Paradox. Es ist das Folgende:

(T273) ≤ z ≤ y (≤ x [Fxy ≤ (Fxz ≤ ~ Fxx)] ≤ ~ Fyz).

(Wir haben uns erlaubt, die in Kalish, Montague und Mar (2000) verwendete Nummerierung auf T273 zu erweitern.) Aber nicht alle satztheoretischen Paradoxien sind in ähnlicher Weise mit logischen Theoremen erster Ordnung verwandt. Das Burali-Forti-Paradoxon ist ein Beispiel, da der Begriff der Ordnung nicht elementar ist; das heißt, es ist nicht erster Ordnung definierbar.

Russells Paradoxon war nie passé, aber in letzter Zeit gab es eine Explosion des Interesses von Wissenschaftlern, die an der Erforschung der mathematischen Logik sowie an philosophischen und historischen Studien der modernen Logik beteiligt waren. Ein Blick auf den Inhalt des 2004 erschienenen Bandes Einhundert Jahre Russells Paradoxon zeigt prominente mathematische und philosophische Logiker und Historiker der Logik, die über das Paradoxon strömen und neue Wege zurück in Cantors Paradies oder andere Wege zur Lösung des Problems vorschlagen. Ihre Untersuchungen umfassen radikal neue Wege aus dem Dilemma des Paradoxons, neue Studien der Typentheorien (einfach und verzweigt und Erweiterungen davon), neue Interpretationen von Russells Paradoxon und konstruktiven Theorien, von Russells Paradoxon von Sätzen und von seinen eigenen Versuch einer untypisierten Theorie (der Substitutionstheorie) und so weiter.

All dies erinnert uns daran, dass fruchtbare Arbeit aus den unwahrscheinlichsten Beobachtungen entstehen kann. Dana Scott hat es so formuliert: „Es ist von Anfang an zu verstehen, dass Russells Paradoxon nicht als Katastrophe anzusehen ist. Es und die damit verbundenen Paradoxien zeigen, dass der naive Begriff der All-Inclusive-Sammlungen unhaltbar ist. Das ist zweifellos ein interessantes Ergebnis “(1974, 207).

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Andere Internetquellen

• Bertrand Russell Archiv
• Bertrand Russell Forschungszentrum
• Bertrand Russell Society
• Principia Mathematica: Band 1 (Historische Mathematik-Sammlung der Universität von Michigan)
• Principia Mathematica: Band 2 (Historische Mathematik-Sammlung der Universität von Michigan)
• Principia Mathematica: Band 3 (Historische Mathematik-Sammlung der Universität von Michigan)
• Russell: Das Journal of Bertrand Russell Studies
• Russells Antinomie (Wolfram MathWorld)