Zenos Paradoxe

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Zenos Paradoxe

Erstveröffentlichung Di 30. April 2002; inhaltliche Überarbeitung Mo 11. Juni 2018

Fast alles, was wir über Zeno von Elea wissen, finden Sie auf den ersten Seiten von Platons Parmenides. Dort erfahren wir, dass Zeno fast 40 Jahre alt war, als Sokrates ein junger Mann war, sagen wir 20. Seit Sokrates 469 v. Chr. Geboren wurde, können wir ein Geburtsdatum für Zeno um 490 v. Chr. Schätzen. Darüber hinaus wissen wir wirklich nur, dass er Parmenides nahe stand (Plato berichtet von dem Klatsch, dass sie Liebhaber waren, als Zeno jung war) und dass er ein Buch mit Paradoxien schrieb, die Parmenides 'Philosophie verteidigten. Leider hat dieses Buch nicht überlebt, und was wir über seine Argumente wissen, ist aus zweiter Hand, hauptsächlich durch Aristoteles und seine Kommentatoren (hier stützen wir uns besonders auf Simplicius, der, obwohl er tausend Jahre nach Zeno schrieb, anscheinend zumindest einige seiner besaß Buch). Es gab anscheinend 40 "Paradoxe der Pluralität",Der Versuch zu zeigen, dass der ontologische Pluralismus - ein Glaube an die Existenz vieler Dinge und nicht nur eines - zu absurden Schlussfolgerungen führt; Von diesen Paradoxien überleben definitiv nur zwei, obwohl ein drittes Argument wahrscheinlich Zeno zugeschrieben werden kann. Aristoteles spricht von weiteren vier Argumenten gegen Bewegung (und damit allgemeiner Änderung), die er alle vorbringt und zu widerlegen versucht. Darüber hinaus schreibt Aristoteles Zeno zwei weitere Paradoxe zu. Leider wird fast keines dieser Paradoxe in Zenos ursprünglichen Worten von ihren verschiedenen Kommentatoren zitiert, aber in Paraphrase. Aristoteles spricht von weiteren vier Argumenten gegen Bewegung (und damit allgemeiner Änderung), die er alle vorbringt und zu widerlegen versucht. Darüber hinaus schreibt Aristoteles Zeno zwei weitere Paradoxe zu. Leider wird fast keines dieser Paradoxe in Zenos ursprünglichen Worten von ihren verschiedenen Kommentatoren zitiert, aber in Paraphrase. Aristoteles spricht von weiteren vier Argumenten gegen Bewegung (und damit allgemeiner Änderung), die er alle vorbringt und zu widerlegen versucht. Darüber hinaus schreibt Aristoteles Zeno zwei weitere Paradoxe zu. Leider wird fast keines dieser Paradoxe in Zenos ursprünglichen Worten von ihren verschiedenen Kommentatoren zitiert, aber in Paraphrase.

• 1. Hintergrund

• 2. Die Paradoxien der Pluralität

  • 2.1 Das Argument der Dichte
  • 2.2 Das Argument der endlichen Größe
  • 2.3 Das Argument der vollständigen Teilbarkeit

• 3. Die Paradoxe der Bewegung

  • 3.1 Die Dichotomie
  • 3.2 Achilles und die Schildkröte
  • 3.3 Der Pfeil
  • 3.4 Das Stadion

• 4. Zwei weitere Paradoxe

  • 4.1 Das Paradox des Ortes
  • 4.2 Das Hirsekorn
• 5. Zenos Einfluss auf die Philosophie
• Weitere Lesungen
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Hintergrund

Bevor wir uns die Paradoxien selbst ansehen, wird es nützlich sein, einige ihrer historischen und logischen Bedeutungen zu skizzieren. Zunächst versuchte Zeno, Parmenides zu verteidigen, indem er seine Kritiker angriff. Parmenides lehnte den Pluralismus und die Realität jeglicher Art von Veränderung ab: Für ihn war alles eine unteilbare, unveränderliche Realität, und alle gegenteiligen Erscheinungen waren Illusionen, die durch Vernunft und Offenbarung zerstreut werden sollten. Es überrascht nicht, dass diese Philosophie viele Kritiker fand, die den Vorschlag lächerlich machten; Immerhin widerspricht es einigen unserer grundlegendsten Überzeugungen über die Welt. (Interessanterweise liefert die allgemeine Relativitätstheorie - insbesondere die allgemeine Quantenrelativitätstheorie - wohl ein neuartiges Argument für die Verweigerung der Veränderung durch die Parmeniden: Belot und Earman, 2001.) Als Reaktion auf diese Kritik tat Zeno etwas, das offensichtlich klingen könnte.aber das hatte einen tiefgreifenden Einfluss auf die griechische Philosophie, die bis heute zu spüren ist: Er versuchte zu zeigen, dass gleiche Absurditäten logischerweise aus der Ablehnung von Parmenides 'Ansichten resultierten. Sie denken, dass es viele Dinge gibt? Dann müssen Sie daraus schließen, dass alles unendlich klein und unendlich groß ist! Sie denken, dass Bewegung unendlich teilbar ist? Dann folgt, dass sich nichts bewegt! (Dies ist, was ein "Paradoxon" ist: eine Demonstration, dass ein Widerspruch oder eine absurde Konsequenz aus scheinbar vernünftigen Annahmen folgt.)Sie denken, dass Bewegung unendlich teilbar ist? Dann folgt, dass sich nichts bewegt! (Dies ist, was ein "Paradoxon" ist: eine Demonstration, dass ein Widerspruch oder eine absurde Konsequenz aus scheinbar vernünftigen Annahmen folgt.)Sie denken, dass Bewegung unendlich teilbar ist? Dann folgt, dass sich nichts bewegt! (Dies ist, was ein "Paradoxon" ist: eine Demonstration, dass ein Widerspruch oder eine absurde Konsequenz aus scheinbar vernünftigen Annahmen folgt.)

Beim Lesen der Argumente ist es wichtig, diese Methode im Auge zu behalten. Sie sind immer auf ein mehr oder weniger spezifisches Ziel gerichtet: die Ansichten einer Person oder Schule. Wir müssen bedenken, dass die Argumente "ad hominem" im wörtlichen lateinischen Sinne sind, "auf (die Ansichten von) Personen gerichtet" zu sein, aber nicht "ad hominem" im traditionellen technischen Sinne, den (Charakter des) anzugreifen. Menschen, die die Ansichten vertreten, anstatt sie selbst anzugreifen. Sie arbeiten, indem sie vorübergehend "um der Argumentation willen" annehmen, dass diese Behauptungen wahr sind, und dann argumentieren, dass, wenn sie absurde Konsequenzen sind, sich nichts bewegt, zum Beispiel: Sie sind "reductio ad absurdum" -Argumente (oder "Dialektik" im Sinne des Zeitraums). Wenn dann das Argument logisch gültig und die Schlussfolgerung wirklich inakzeptabel ist,Die Behauptungen müssen doch falsch sein. Wenn wir uns also Zenos Argumente ansehen, müssen wir zwei verwandte Fragen stellen: Wen oder welche Position greift Zeno an und was genau wird aus Gründen der Argumentation angenommen? Wenn wir feststellen, dass Zeno versteckte Annahmen macht, die über das hinausgehen, wozu sich die angegriffene Position verpflichtet, kann die absurde Schlussfolgerung vermieden werden, indem eine der versteckten Annahmen geleugnet wird, während die Position beibehalten wird. In der Tat haben Kommentatoren zumindest seit Aristoteles auf diese Weise auf Zeno reagiert.unter Beibehaltung der Position. In der Tat haben Kommentatoren zumindest seit Aristoteles auf diese Weise auf Zeno reagiert.unter Beibehaltung der Position. In der Tat haben Kommentatoren zumindest seit Aristoteles auf diese Weise auf Zeno reagiert.

Wessen Ansichten greifen Zenos Argumente an? Es gibt eine riesige Literatur, die über Zenos genaues historisches Ziel diskutiert. Wie wir weiter unten kurz diskutieren werden, sagen einige, dass das Ziel eine technische Doktrin der Pythagoreer war, aber die meisten sehen Zeno heute als gegen den gesunden Menschenverstand gerichtete Vorstellungen von Pluralität und Bewegung. Wir werden uns in diesem Sinne den Paradoxien nähern und den Leser auf die Literatur zur Interpretationsdebatte verweisen.

Es ist jedoch auch die Mehrheitsmeinung, dass Zenos Paradoxe mit bestimmten Qualifikationen einige Probleme aufdecken, die ohne die vollen Ressourcen der Mathematik, wie sie im 19. Jahrhundert (und vielleicht darüber hinaus) ausgearbeitet wurden, nicht gelöst werden können. Dies bedeutet nicht (notwendigerweise), dass die moderne Mathematik erforderlich ist, um eines der Probleme zu beantworten, die Zeno ausdrücklich ansprechen wollte. wohl hatten Aristoteles und andere Alte Antworten, die Zeno befriedigten oder hätten befriedigen sollen. (Wir werden auch keine besonderen Aussagen über Zenos Einfluss auf die Geschichte der Mathematik machen.) Als sich jedoch die Mathematik entwickelte und mehr über die Paradoxien nachgedacht wurde, ergaben sich daraus neue Schwierigkeiten. Diese Schwierigkeiten erfordern moderne Mathematik für ihre Lösung. Diese neuen Schwierigkeiten entstehen teilweise als Reaktion auf die Entwicklung unseres Verständnisses dessen, was mathematische Strenge erfordert: Lösungen, die Zenos Strenge-Standards erfüllen würden, würden unsere nicht erfüllen. Daher werden wir einige der Paradoxien von ihren Common-Sense-Formulierungen zu ihrer Auflösung in der modernen Mathematik bringen. (Eine weitere Qualifikation: Wir werden Auflösungen in Bezug auf "Standard" -Mathematik anbieten, aber auch andere moderne Formulierungen können mit Zeno umgehen, und zwar auf eine Weise, die seine mathematischen Konzepte besser repräsentiert.)Aber auch andere moderne Formulierungen können mit Zeno umgehen, und zwar auf eine Weise, die seine mathematischen Konzepte besser repräsentiert.)Aber auch andere moderne Formulierungen können mit Zeno umgehen, und zwar auf eine Weise, die seine mathematischen Konzepte besser repräsentiert.)

2. Die Paradoxien der Pluralität

2.1 Das Argument der Dichte

Wenn es viele gibt, müssen sie so viele sein wie sie sind und weder mehr noch weniger. Aber wenn sie so viele sind wie sie, wären sie begrenzt. Wenn es viele gibt, sind die Dinge unbegrenzt. Denn es gibt immer andere zwischen den Dingen, die sind, und wieder andere zwischen diesen, und so sind die Dinge, die unbegrenzt sind. (Simplicius (a) Über Aristoteles 'Physik, 140.29)

Dieses erste Argument, das Simplicius in Zenos Worten gegeben hat, versucht zu zeigen, dass es bei Schmerz des Widerspruchs nicht mehr als eine Sache geben kann: Wenn es viele Dinge gibt, dann sind sie beide "begrenzt" und "unbegrenzt", ein Widerspruch. Einerseits sagt er, dass jede Sammlung eine bestimmte Anzahl von Dingen enthalten muss, oder in seinen Worten "weder mehr noch weniger". Aber wenn Sie eine bestimmte Anzahl von Dingen haben, schließt er, müssen Sie eine endliche Anzahl von Dingen haben; Wenn er diese Schlussfolgerung zieht, geht er davon aus, dass unendlich viele Dinge eine unbestimmte Anzahl davon haben. Stellen Sie sich andererseits jede Sammlung von 'vielen' Dingen vor, die im Raum angeordnet sind und sich zur Bestimmtheit in einer Dimension aneinanderreihen. Zwischen zwei von ihnen, behauptet er, ist ein dritter; und zwischen diesen drei Elementen noch zwei;und weitere vier zwischen diesen fünf; und so weiter ohne Ende. Daher ist die Sammlung auch "unbegrenzt". Unsere ursprüngliche Annahme einer Pluralität führt also zu einem Widerspruch und ist daher falsch: Es gibt schließlich nicht viele Dinge. Zumindest läuft Zenos Argumentation so.

Betrachten wir die beiden Unterargumente in umgekehrter Reihenfolge. Erstens gibt es "immer andere zwischen den Dingen, die sind"? (Warum müssen Objekte in der modernen Terminologie immer "dicht" geordnet sein?) Nehmen wir an, wir hätten uns eine Sammlung von zehn aufgereihten Äpfeln vorgestellt. dann gibt es zwar einen anderen Apfel zwischen dem sechsten und achten, aber keinen zwischen dem siebten und achten! Unter der Annahme, dass Zeno nicht einfach nur verwirrt ist, was hat er vor? Die Texte sagen nichts, aber hier sind zwei Möglichkeiten: Erstens könnte man annehmen, dass für jedes Paar physischer Objekte (sagen zwei Äpfel) zwei verschiedene Objekte und nicht nur eines (ein „Doppelapfel“) ein Objekt sein muss drittens zwischen ihnen, physisch trennend, auch wenn es nur Luft ist. Und man könnte denken, dass diese drei Objekte zwei weitere Objekte voneinander trennen müssen, um sich zu unterscheiden.und so weiter (diese Ansicht setzt voraus, dass ihre Herstellung aus verschiedenen Substanzen nicht ausreicht, um sie voneinander zu unterscheiden). Vielleicht argumentiert Zeno angesichts einer bestimmten Vorstellung von physischer Unterscheidbarkeit gegen die Pluralität. Aber zweitens könnte man auch sagen, dass jeder Körper Teile hat, die dicht geordnet werden können. Natürlich sind 1 / 2s, 1 / 4s, 1 / 8s usw. von Äpfeln nicht dicht - solche Teile können benachbart sein -, aber es können ausreichend kleine Teile vorhanden sein, die als "Punktteile" bezeichnet werden. In der Tat, wenn zwischen zwei beliebigen Punktteilen ein endlicher Abstand liegt und wenn Punktteile beliebig nahe sein können, dann sind sie dicht; ein dritter liegt auf halber Strecke von zwei. Insbesondere bekannte geometrische Punkte sind so und daher dicht. Vielleicht bietet Zeno ein Argument bezüglich der Teilbarkeit von Körpern an. In jedem Fall,Zenos Annahme der Dichte erfordert eine weitere Annahme über die fragliche Pluralität und fokussiert entsprechend das Ziel seines Paradoxons.

Nehmen wir jedoch an, man hält eine Sammlung (etwa die Punkte in einer Linie) für dicht, daher "unbegrenzt" oder unendlich. Der erste Pfeiler von Zenos Angriff soll zeigen, dass er, weil er eine bestimmte Anzahl von Elementen enthält, auch "begrenzt" oder endlich ist. Kann man diesem Widerspruch entkommen? Die Annahme, dass eine bestimmte Zahl endlich ist, scheint intuitiv zu sein, aber dank der Arbeit von Cantor im 19. Jahrhundert wissen wir jetzt, wie man unendliche Zahlen so versteht, dass sie genauso eindeutig sind wie endliche Zahlen. Das zentrale Element dieser Theorie der "transfiniten Zahlen" ist eine genaue Definition, wann zwei unendliche Sammlungen gleich groß sind und wann eine größer als die andere ist. Mit einer solchen Definition ist es dann möglich, die unendlichen Zahlen so zu ordnen, wie die endlichen Zahlen geordnet sind: zum Beispiel gibt es verschiedene,bestimmte unendliche Anzahl von Brüchen und geometrischen Punkten in einer Linie, obwohl beide dicht sind. (Weitere Informationen zu Einführungen in diese mathematischen Ideen und ihre Geschichte finden Sie weiter unten.) Entgegen der Annahme von Zeno ist es daher sinnvoll, unendliche Sammlungen hinsichtlich der Anzahl ihrer Elemente zu vergleichen, um zu sagen, ob zwei mehr als oder haben weniger als oder "so viele wie" einander: Es gibt zum Beispiel mehr Dezimalzahlen als ganze Zahlen, aber so viele gerade Zahlen wie ganze Zahlen. Mathematisch gesehen ist Zenos Argumentation nicht stichhaltig, wenn er sagt, dass eine Sammlung, weil sie eine bestimmte Zahl hat, endlich sein muss und das erste Unterargument trügerisch ist. (Obwohl dies natürlich nur zeigt, dass unendliche Sammlungen mathematisch konsistent sind, nicht dass physikalische existieren.)))obwohl beide dicht sind. (Weitere Informationen zu Einführungen in diese mathematischen Ideen und ihre Geschichte finden Sie weiter unten.) Entgegen der Annahme von Zeno ist es daher sinnvoll, unendliche Sammlungen hinsichtlich der Anzahl ihrer Elemente zu vergleichen, um zu sagen, ob zwei mehr als oder haben weniger als oder "so viele wie" einander: Es gibt zum Beispiel mehr Dezimalzahlen als ganze Zahlen, aber so viele gerade Zahlen wie ganze Zahlen. Mathematisch gesehen ist Zenos Argumentation nicht stichhaltig, wenn er sagt, dass eine Sammlung, weil sie eine bestimmte Zahl hat, endlich sein muss und das erste Unterargument trügerisch ist. (Obwohl dies natürlich nur zeigt, dass unendliche Sammlungen mathematisch konsistent sind, nicht dass physikalische existieren.)obwohl beide dicht sind. (Weitere Informationen zu Einführungen in diese mathematischen Ideen und ihre Geschichte finden Sie weiter unten.) Entgegen der Annahme von Zeno ist es daher sinnvoll, unendliche Sammlungen hinsichtlich der Anzahl ihrer Elemente zu vergleichen, um zu sagen, ob zwei mehr als oder haben weniger als oder "so viele wie" einander: Es gibt zum Beispiel mehr Dezimalzahlen als ganze Zahlen, aber so viele gerade Zahlen wie ganze Zahlen. Mathematisch gesehen ist Zenos Argumentation nicht stichhaltig, wenn er sagt, dass eine Sammlung, weil sie eine bestimmte Zahl hat, endlich sein muss und das erste Unterargument trügerisch ist. (Obwohl dies natürlich nur zeigt, dass unendliche Sammlungen mathematisch konsistent sind, nicht dass physikalische existieren.)und ihre Geschichte.) Entgegen Zenos Annahme ist es sinnvoll, unendliche Sammlungen in Bezug auf die Anzahl ihrer Elemente zu vergleichen, um zu sagen, ob zwei mehr als oder weniger als oder "so viele wie" einander haben: es gibt Zum Beispiel mehr Dezimalzahlen als ganze Zahlen, aber so viele gerade Zahlen wie ganze Zahlen. Mathematisch gesehen ist Zenos Argumentation nicht stichhaltig, wenn er sagt, dass eine Sammlung, weil sie eine bestimmte Zahl hat, endlich sein muss und das erste Unterargument trügerisch ist. (Obwohl dies natürlich nur zeigt, dass unendliche Sammlungen mathematisch konsistent sind, nicht dass physikalische existieren.)und ihre Geschichte.) Entgegen Zenos Annahme ist es sinnvoll, unendliche Sammlungen in Bezug auf die Anzahl ihrer Elemente zu vergleichen, um zu sagen, ob zwei mehr als oder weniger als oder "so viele wie" einander haben: es gibt Zum Beispiel mehr Dezimalzahlen als ganze Zahlen, aber so viele gerade Zahlen wie ganze Zahlen. Mathematisch gesehen ist Zenos Argumentation nicht stichhaltig, wenn er sagt, dass eine Sammlung, weil sie eine bestimmte Zahl hat, endlich sein muss und das erste Unterargument trügerisch ist. (Obwohl dies natürlich nur zeigt, dass unendliche Sammlungen mathematisch konsistent sind, nicht dass physikalische existieren.)Zum Beispiel mehr Dezimalzahlen als ganze Zahlen, aber so viele gerade Zahlen wie ganze Zahlen. Mathematisch gesehen ist Zenos Argumentation nicht stichhaltig, wenn er sagt, dass eine Sammlung, weil sie eine bestimmte Zahl hat, endlich sein muss und das erste Unterargument trügerisch ist. (Obwohl dies natürlich nur zeigt, dass unendliche Sammlungen mathematisch konsistent sind, nicht dass physikalische existieren.)Zum Beispiel mehr Dezimalzahlen als ganze Zahlen, aber so viele gerade Zahlen wie ganze Zahlen. Mathematisch gesehen ist Zenos Argumentation nicht stichhaltig, wenn er sagt, dass eine Sammlung, weil sie eine bestimmte Zahl hat, endlich sein muss und das erste Unterargument trügerisch ist. (Obwohl dies natürlich nur zeigt, dass unendliche Sammlungen mathematisch konsistent sind, nicht dass physikalische existieren.)

2.2 Das Argument der endlichen Größe

… Wenn es zu etwas anderem hinzugefügt werden sollte, würde es es nicht größer machen. Wenn es keine Größe hat und hinzugefügt wurde, kann es nicht größer werden. Und so folgt sofort, dass das, was hinzugefügt wird, nichts ist. Aber wenn, wenn es subtrahiert wird, das andere Ding nicht kleiner ist, noch wenn es addiert wird, ist es eindeutig nichts, was addiert oder subtrahiert wird. (Simplicius (a) Über Aristoteles 'Physik, 139.9)

Aber wenn es existiert, muss jedes Ding eine gewisse Größe und Dicke haben, und ein Teil davon muss vom Rest getrennt sein. Und die gleiche Argumentation gilt für den Teil, der vor uns liegt. Auch dafür wird Größe haben und ein Teil davon wird vorne sein. Jetzt ist es dasselbe, dies einmal zu sagen und es für immer zu sagen. Denn kein solcher Teil wird der letzte sein, noch wird es einen Teil geben, der nicht mit einem anderen verwandt ist. Wenn es also viele Dinge gibt, müssen sie sowohl klein als auch groß sein. so klein, dass sie keine Größe haben, aber so groß, dass sie unbegrenzt sind. (Simplicius (a) Über Aristoteles 'Physik, 141.2)

Wir haben wieder Zenos eigene Worte. Nach seiner Schlussfolgerung besteht dieses Argument aus drei Teilen, aber nur zwei überleben. Das erste fehlende Argument soll zeigen, dass viele Dinge, wenn sie existieren, überhaupt keine Größe haben dürfen. Zweitens argumentiert Zeno daraus, dass sie überhaupt nicht existieren; Da das Ergebnis des Verbindens (oder Entfernens) eines großen Objekts mit irgendetwas überhaupt keine Änderung darstellt, kommt er zu dem Schluss, dass das hinzugefügte (oder entfernte) Ding buchstäblich nichts ist. Das Argument bis zu diesem Punkt ist eine in sich geschlossene Widerlegung des Pluralismus, aber Zeno erzeugt weiterhin ein weiteres Problem für jemanden, der weiterhin auf die Existenz einer Pluralität drängt. Dieser dritte Teil des Arguments ist ziemlich schlecht formuliert, aber es scheint ungefähr so zu laufen: Angenommen, es gibt eine Vielzahl, so dass ein räumlich ausgedehntes Objekt existiert (schließlich,Er hat nur argumentiert, dass es keine erweiterten Dinge gibt. Da es erweitert ist, hat es zwei räumlich getrennte Teile (einen "vor" dem anderen). Und die Teile existieren, so dass sie eine Ausdehnung haben, und so haben sie auch jeweils zwei räumlich getrennte Teile; und so weiter ohne Ende. Und daher scheint die letzte Argumentationslinie zu schließen, dass das Objekt, wenn es überhaupt erweitert wird, unendlich groß ist.

Aber was könnte diesen letzten Schritt rechtfertigen? Es scheint nicht so, dass ein Objekt, das aus zwei Teilen besteht, unendlich groß sein muss! Und es folgt auch nicht aus einer anderen der Abteilungen, die Zeno hier beschreibt; vier, acht, sechzehn oder was auch immer endliche Teile ein endliches Ganzes bilden. Auch hier ist sich Zeno dieser Tatsachen sicherlich bewusst und muss daher etwas anderes im Sinn haben, vermutlich das Folgende: Er geht davon aus, dass eine bestimmte Sammlung von Teilen resultieren würde, wenn die von ihm beschriebene unendliche Reihe von Unterteilungen unendlich oft wiederholt würde. Und beachten Sie, dass er nicht davon ausgehen muss, dass irgendjemand die Teilung tatsächlich durchführen könnte - es gibt nicht genug Zeit und Messer sind nicht scharf genug -, nur dass ein Objekt geometrisch in solche Teile zerlegt werden kann (und er geht auch nicht davon aus, dass diese Teile vorhanden sind sind das, was wir natürlich als unterschiedliche physikalische Objekte wie Äpfel, Zellen, Moleküle, Elektronen usw. kategorisieren würden, aber nur, dass sie geometrische Teile dieser Objekte sind. Wenn nun - wie ein Pluralist durchaus akzeptieren könnte - solche Teile existieren, folgt aus dem zweiten Teil seines Arguments, dass sie erweitert sind, und er nimmt anscheinend an, dass eine unendliche Summe endlicher Teile unendlich ist. Aus dem zweiten Teil seiner Argumentation folgt, dass sie erweitert sind, und er nimmt anscheinend an, dass eine unendliche Summe endlicher Teile unendlich ist. Aus dem zweiten Teil seiner Argumentation folgt, dass sie erweitert sind, und er nimmt anscheinend an, dass eine unendliche Summe endlicher Teile unendlich ist.

Hier sollten wir beachten, dass es zwei Möglichkeiten gibt, wie er sich das Ergebnis der unendlichen Teilung vorstellen kann.

Zuerst könnte man ihn so lesen, als würde er zuerst das Objekt in 1 / 2s teilen, dann eines der 1 / 2s - sagen wir das zweite - in zwei 1 / 4s, dann eines der 1 / 4s - sagen wir das zweite - wieder in zwei 1 / 8s und so weiter. In diesem Fall führt das Ergebnis der unendlichen Teilung zu einer endlosen Folge von Stücken der Größe 1/2 der Gesamtlänge, 1/4 der Länge, 1/8 der Länge…. Und dann ist die Gesamtlänge (1/2 + 1/4 + 1/8 +… der Länge, von der Zeno schlussfolgert, dass sie eine unendliche Distanz ist, so dass der Pluralist der Absurdität verpflichtet ist, dass endliche Körper so groß sind wie unbegrenzt sein '.

Als Antwort wird oft darauf hingewiesen, dass Zeno uns keinen Grund zu der Annahme gibt, dass die Summe eher unendlich als endlich ist. Er könnte die Intuition gehabt haben, dass jede unendliche Summe endlicher Mengen, da sie mit jedem neuen Begriff endlos wächst, unendlich sein muss, aber man könnte diese Art von Beispiel auch nehmen, um zu zeigen, dass einige unendliche Summen schließlich endlich sind. So hat Zeno entgegen seiner Meinung nicht bewiesen, dass die absurde Schlussfolgerung folgt. Was jedoch nicht immer gewürdigt wird, ist, dass die Pluralistin nicht so leicht vom Haken ist, denn es reicht nicht aus, nur zu sagen, dass die Summe endlich sein könnte, sie muss auch zeigen, dass sie endlich ist - ansonsten bleiben wir unsicher über die Haltbarkeit ihrer Position. Betrachten Sie zur Veranschaulichung der hier auftretenden Schwierigkeiten Folgendes:Viele Kommentatoren sprechen so, als ob es einfach offensichtlich wäre, dass die unendliche Summe der Brüche 1 ist, dass es nichts zu unendlicher Summierung gibt. Aber was ist mit der folgenden Summe: (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - / ldots). Offensichtlich kann die Summe umgeschrieben werden ((1 - 1) + (1 - 1) + / ldots = 0 + 0 + / ldots = 0). Sicherlich scheint diese Antwort so intuitiv zu sein wie die Summe der Brüche. Diese Summe kann aber auch umgeschrieben werden (1 - (1 - 1 + 1 - 1 + / ldots) = 1 - 0) - da wir gerade gezeigt haben, dass der Begriff in Klammern verschwindet - (= 1). Wenn man sich auf Intuitionen stützt, wie man unendliche Summen ausführt, kommt man zu dem Schluss, dass (1 = 0). Bis man eine Theorie von unendlichen Summen geben kann, die eine zufriedenstellende Antwort auf jedes Problem geben kann, kann man nicht sagen, dass Zenos unendliche Summe offensichtlich endlich ist. Eine solche Theorie wurde erst im 19. Jahrhundert von Cauchy vollständig ausgearbeitet.(In Cauchys System (1/2 + 1/4 + / ldots = 1), aber (1 - 1 + 1 - / ldots) ist undefiniert.)

Zweitens könnte es sein, dass Zeno bedeutet, dass das Objekt in zwei Hälften geteilt wird, dann werden beide 1 / 2s in zwei Hälften geteilt, dann werden die 1 / 4s alle in zwei Hälften geteilt und so weiter. In diesem Fall haben die Stücke in einem bestimmten Stadium alle die gleiche endliche Größe, und man könnte daraus schließen, dass das Ergebnis der unendlichen Fortsetzung des Verfahrens Stücke der gleichen Größe wären, die, wenn sie existieren - nach Zeno - größer als Null sind;; aber eine Unendlichkeit von gleich ausgedehnten Teilen ist in der Tat unendlich groß.

Diesem Gedankengang kann jedoch widerstanden werden. Angenommen, die gerade beschriebene Prozedur unterteilt das Objekt vollständig in nicht überlappende Teile. (Es gibt ein Problem mit dieser Annahme, die wir gleich unten sehen werden.) Es geht darum, die Anzahl der Teile nach jeder Teilung zu verdoppeln, und so gibt es nach (N) Teilungen (2 ^ N) Teile. Es stellt sich jedoch heraus, dass für jede natürliche oder unendliche Zahl (N), (2 ^ N / gt N) die Anzahl der (angenommenen) Teile, die durch die Unendlichkeit der beschriebenen Unterteilungen erhalten werden, eine noch größere Unendlichkeit ist. Dieses Ergebnis stellt keine unmittelbare Schwierigkeit dar, da, wie oben erwähnt, Unendlichkeiten in verschiedenen Größen vorliegen. Die Häufigkeit, mit der alles in zwei Teile geteilt wird, wird als "zählbar unendlich" bezeichnet: Es gibt eine zählbare Unendlichkeit von Dingen in einer Sammlung, wenn sie mit den Zahlen 1, 2, 3, gekennzeichnet werden können.… Ohne Rest auf beiden Seiten. Aber die Anzahl der Stücke, die die unendliche Teilung hervorbringt, ist "unzählig unendlich", was bedeutet, dass es keine Möglichkeit gibt, sie als 1, 2, 3, … zu bezeichnen, ohne einige von ihnen zu verpassen - tatsächlich unendlich viele von ihnen. Cauchys Definition einer unendlichen Summe gilt jedoch nur für zählbar unendliche Zahlenreihen und gilt daher nicht für die Stücke, die wir betrachten. Wir könnten jedoch nur zählbar viele von ihnen in Betracht ziehen, deren Länge nach Zeno - da er behauptet, sie seien alle gleich und ungleich Null - sich zu einer unendlichen Länge summieren wird; Die Länge aller Teile könnte nicht geringer sein. Cauchys Definition einer unendlichen Summe gilt nur für zählbar unendliche Zahlenreihen und gilt daher nicht für die Stücke, die wir betrachten. Wir könnten jedoch nur zählbar viele von ihnen in Betracht ziehen, deren Länge nach Zeno - da er behauptet, sie seien alle gleich und ungleich Null - sich zu einer unendlichen Länge summieren wird; Die Länge aller Teile könnte nicht geringer sein. Cauchys Definition einer unendlichen Summe gilt nur für zählbar unendliche Zahlenreihen und gilt daher nicht für die Stücke, die wir betrachten. Wir könnten jedoch nur zählbar viele von ihnen in Betracht ziehen, deren Länge nach Zeno - da er behauptet, sie seien alle gleich und ungleich Null - sich zu einer unendlichen Länge summieren wird; Die Länge aller Teile könnte nicht geringer sein.

An diesem Punkt könnte der Pluralist, der glaubt, dass Zenos Unterteilung Objekte vollständig in nicht überlappende Teile unterteilt (siehe nächster Absatz), antworten, dass die Teile tatsächlich keine Erweiterung haben, obwohl sie existieren. Das würde die Schlussfolgerung blockieren, dass endliche Objekte unendlich sind, aber es scheint sie zum anderen Horn von Zenos Argumentation zurückzudrängen, denn wie können all diese Stücke mit der Länge Null ein Ganzes ungleich Null bilden? (Beachten Sie, dass nach Cauchy (0 + 0 + 0 + / ldots = 0) dieses Ergebnis hier jedoch nichts zeigt, denn wie wir gesehen haben, gibt es unzählige Stücke, die addiert werden müssen - mehr als in dieser Summe.) Wir soll diese Frage für die Diskussion des nächsten Paradoxons verschieben, wo es explizit auftaucht.

Das zweite Problem bei der Interpretation der unendlichen Teilung als wiederholte Teilung aller Teile besteht darin, dass ein Objekt nicht in verschiedene Teile geteilt wird, wenn Objekte auf natürliche Weise zusammengesetzt sind. Um dies zu sehen, stellen wir die Frage, welche Teile durch diese Unterteilung in 1 / 2s, 1 / 4s, 1 / 8s,… erhalten werden. Da die Teilung ohne Ende wiederholt wird, gibt es kein letztes Stück, das wir als Antwort geben können, und deshalb müssen wir die Frage anders betrachten. Wenn wir annehmen, dass ein Objekt durch ein Liniensegment mit Längeneinheiten dargestellt werden kann, erzeugt die Division Sammlungen von Segmenten, wobei die erste entweder die erste oder zweite Hälfte des gesamten Segments ist, die zweite das erste oder zweite Quartal ist oder drittes oder viertes Quartal, und im Allgemeinen ist das von (N) Divisionen produzierte Segment entweder die erste oder die zweite Hälfte des vorherigen Segments. Wenn Sie beispielsweise das Segment mit den Endpunkten (a) und (b) als ([a, b]) schreiben, werden einige dieser Sammlungen (technisch als "Ketten" bezeichnet, da die Elemente der Sammlung nach geordnet sind Größe) würde ({[0,1], [0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [1 / 4,3 / 8], / ldots }) beginnen. (Als wir zuvor argumentierten, dass die Division von Zeno unzählige Teile des Objekts produziert hat, hätten wir genauer sagen müssen, dass sie unzählige Ketten wie diese produziert.)Was wir genauer hätten sagen sollen, ist, dass es unzählige Ketten wie diese produziert.)Was wir genauer hätten sagen sollen, ist, dass es unzählige Ketten wie diese produziert.)

Die Frage, welche Teile die Division auswählt, ist dann die Frage, welchen Teil eine bestimmte Kette auswählt; Es ist natürlich zu sagen, dass eine Kette den Teil der Linie auswählt, der in jedem ihrer Elemente enthalten ist. Betrachten Sie zum Beispiel die Kette ({[0,1 / 2], [1 / 4,1 / 2], [3 / 8,1 / 2], / ldots }), mit anderen Worten die Kette, die beginnt mit der linken Hälfte der Zeile und für die jedes andere Element die rechte Hälfte des vorherigen ist. Der halbe Punkt liegt in jedem der Segmente dieser Kette; Es ist der rechte Endpunkt eines jeden. Aber kein anderer Punkt ist in all seinen Elementen: klar ist kein Punkt jenseits des halben Weges; und wählen Sie einen beliebigen Punkt (p) vor der Hälfte aus. Wenn Sie die rechte Hälfte von [0,1 / 2] genügend oft nehmen, befindet sich das linke Ende des Segments rechts von (p). Somit ist der einzige Teil der Linie, der sich in allen Elementen dieser Kette befindet, der halbe Punkt, und das ist der Teil der Linie, der von der Kette ausgewählt wird. (Tatsächlich folgt aus einem Postulat der Zahlentheorie, dass es genau einen Punkt gibt, den alle Mitglieder einer solchen Kette gemeinsam haben.) Das Problem ist, dass durch paralleles Denken auch der halbe Punkt von ausgewählt wird die unterschiedliche Kette ({[1 / 2,1], [1 / 2,3 / 4], [1 / 2,5 / 8], / ldots }), wobei jedes Segment nach dem ersten das ist linke Hälfte der vorhergehenden. Und so wählen beide Ketten das gleiche Stück der Linie aus: den halben Punkt. Und so weiter für viele andere Kettenpaare. Somit teilt Zenos Argument, interpretiert als wiederholte Aufteilung aller Teile in zwei Hälften, die Linie nicht in verschiedene Teile. Wenn wir also glauben, dass Objekte auf die gleiche Weise wie die Linie zusammengesetzt sind,Daraus folgt, dass diese Version des Arguments trotz des Auftretens keine Objekte in Teile schneidet, deren Gesamtgröße wir richtig diskutieren können.

(Sie könnten denken, dass dieses Problem behoben werden könnte, indem Sie die Elemente der Ketten als Segmente ohne Endpunkt rechts betrachten. Dann hat die erste der beiden Ketten, die wir in Betracht gezogen haben, in keinem ihrer Segmente mehr den halben Punkt. und so wird dieser Punkt nicht herausgegriffen. Das Problem ist nun, dass es keinen Teil der Linie heraussucht: Die vorherige Überlegung hat gezeigt, dass es keinen Punkt heraussucht, der größer oder kleiner als der halbe Punkt ist, und jetzt wird dieser Punkt auch nicht herausgegriffen!)

2.3 Das Argument der vollständigen Teilbarkeit

… Wenn ein Körper von Natur aus durch und durch teilbar ist, sei es durch Halbierung oder allgemein durch irgendeine Methode, hat sich nichts Unmögliches ergeben, wenn er tatsächlich geteilt wurde… obwohl vielleicht niemand es tatsächlich so teilen könnte.

Was bleibt dann? Eine Größe? Nein, das ist unmöglich, da es dann etwas gibt, das nicht geteilt ist, während der Körper ex hypothesi durch und durch teilbar war. Aber wenn man zugibt, dass weder ein Körper noch eine Größe übrig bleiben werden … wird der Körper entweder aus Punkten bestehen (und seine Bestandteile werden ohne Größe sein) oder es wird absolut nichts sein. Wenn letzteres der Fall ist, dann könnte es sowohl aus dem Nichts entstehen als auch als Komposit aus dem Nichts existieren; und somit wird vermutlich der ganze Körper nichts als eine Erscheinung sein. Aber wenn es aus Punkten besteht, wird es keine Größe besitzen. (Aristoteles über Generation und Korruption, 316a19)

Diese Worte sind Aristoteles nicht Zenos, und tatsächlich wird das Argument von Aristoteles nicht einmal Zeno zugeschrieben. Wir haben jedoch Simplicius 'Meinung ((a) Über Aristoteles' Physik, 139.24), dass es von Zeno stammt, weshalb es hier enthalten ist. Aristoteles beginnt mit der Hypothese, dass ein Körper "durch und durch" vollständig teilbar ist; Der zweite Schritt des Arguments macht deutlich, dass er damit meint, dass es in Teile teilbar ist, die selbst keine Größenteile haben, deren Größe unvollständig geteilt bleibt. (Noch einmal, was zählt, ist, dass der Körper wirklich aus solchen Teilen besteht, nicht dass irgendjemand die Zeit und die Werkzeuge hat, um die Teilung vorzunehmen; und sich aus dem vorherigen Abschnitt daran zu erinnern, dass man solche Teile nicht erhält, indem man alle Teile wiederholt in zwei Hälften teilt.) Nehmen wir also an, der Körper ist in seine dimensionslosen Teile unterteilt. Diese Teile könnten entweder gar nichts sein - wie Zeno oben dargelegt hat - oder "Punktteile". Wenn die Teile nichts sind, ist es auch der Körper: Es ist nur eine Illusion. Und das Argument kommt zu dem Schluss, dass, selbst wenn es sich um Punkte handelt, der Körper selbst nicht erweitert wird, da diese nicht erweitert sind: Sicherlich ist jede Summe - sogar eine unendliche Eins von Nullen - Null.

Könnte diese endgültige Annahme in Frage gestellt werden? Es ist (wie oben erwähnt) eine Folge der Cauchy-Definition einer unendlichen Summe; Grünbaum (1967) wies jedoch darauf hin, dass diese Definition nur für zählbare Summen gilt, und Cantor gab einen schönen, erstaunlichen und äußerst einflussreichen „diagonalen“Beweis dafür, dass die Anzahl der Punkte im Segment unzählig unendlich ist. Es gibt keine Möglichkeit, alle Punkte in der Linie mit der Unendlichkeit der Zahlen 1, 2, 3, … zu kennzeichnen. Daher gibt es in einem Liniensegment mehr Punkte als Summanden in einer Cauchy-Summe. Kurz gesagt, die Analyse, die für eine zählbar unendliche Teilung verwendet wird, gilt hier nicht.

Angenommen, Sie erhalten nur die Anzahl der Punkte in einer Linie und ihre Längen sind alle Null. Wie würden Sie die Länge bestimmen? Brauchen wir eine neue Definition, die Cauchys auf unzählige unendliche Summen erweitert? Es stellt sich heraus, dass dies nicht helfen würde, da Cauchy weiter gezeigt hat, dass jedes Segment jeglicher Länge (und tatsächlich eine ganze unendliche Linie) genau die gleiche Anzahl von Punkten hat wie unser Einheitensegment. Die Kenntnis der Anzahl der Punkte bestimmt also nicht die Länge der Linie, und so ist nichts wie eine vertraute Addition, bei der das Ganze durch die Teile bestimmt wird, möglich. Stattdessen müssen wir uns die Abstandseigenschaften einer Linie als logisch hinter ihrer Punktzusammensetzung betrachten: Zuerst haben wir eine Reihe von Punkten (die auf eine bestimmte Weise geordnet sind, so dass es zum Beispiel eine Tatsache gibt, z.über welche der drei zwischen den anderen liegt) definieren wir dann eine Funktion von Punktpaaren, die angibt, wie weit sie voneinander entfernt sind (wobei Bedingungen wie der Abstand zwischen (A) und (B) plus der Abstand zwischen erfüllt sind (B) und (C) entsprechen dem Abstand zwischen (A) und (C) - wenn (B) zwischen (A) und (C) liegt. Daher antworten wir Zeno wie folgt: Das Argument ging davon aus, dass die Größe des Körpers eine Summe der Größen von Punktteilen ist, aber das ist nicht der Fall; Nach der modernen Mathematik ist ein geometrisches Liniensegment eine unzählige Unendlichkeit von Punkten plus eine Abstandsfunktion. (Beachten Sie, dass Grünbaum die Tatsache, dass die Punktzusammensetzung keine Länge bestimmt, verwendet hat, um seine "konventionelle" Ansicht zu stützen, dass eine Linie unabhängig von einem Messstandard überhaupt keine bestimmte Länge hat.)))))Daher antworten wir Zeno wie folgt: Das Argument ging davon aus, dass die Größe des Körpers eine Summe der Größen von Punktteilen ist, aber das ist nicht der Fall; Nach der modernen Mathematik ist ein geometrisches Liniensegment eine unzählige Unendlichkeit von Punkten plus eine Abstandsfunktion. (Beachten Sie, dass Grünbaum die Tatsache, dass die Punktzusammensetzung keine Länge bestimmt, verwendet hat, um seine "konventionelle" Ansicht zu stützen, dass eine Linie unabhängig von einem Messstandard überhaupt keine bestimmte Länge hat.)Daher antworten wir Zeno wie folgt: Das Argument ging davon aus, dass die Größe des Körpers eine Summe der Größen von Punktteilen ist, aber das ist nicht der Fall; Nach der modernen Mathematik ist ein geometrisches Liniensegment eine unzählige Unendlichkeit von Punkten plus eine Abstandsfunktion. (Beachten Sie, dass Grünbaum die Tatsache, dass die Punktzusammensetzung keine Länge bestimmt, verwendet hat, um seine "konventionelle" Ansicht zu stützen, dass eine Linie unabhängig von einem Messstandard überhaupt keine bestimmte Länge hat.)(Beachten Sie, dass Grünbaum die Tatsache, dass die Punktzusammensetzung keine Länge bestimmt, verwendet hat, um seine "konventionelle" Ansicht zu stützen, dass eine Linie unabhängig von einem Messstandard überhaupt keine bestimmte Länge hat.)(Beachten Sie, dass Grünbaum die Tatsache, dass die Punktzusammensetzung keine Länge bestimmt, verwendet hat, um seine "konventionelle" Ansicht zu stützen, dass eine Linie unabhängig von einem Messstandard überhaupt keine bestimmte Länge hat.)

Wie Ehrlich (2014) betont, könnten wir sogar festlegen, dass eine „unzählige Summe“von Nullen Null ist, da die Länge einer Linie nicht gleich der Summe der Längen der darin enthaltenen Punkte ist (siehe Sherry's, 1988) Die Weigerung, die Definition zu erweitern, wäre ad hoc. Wenn man also festlegt, dass die Länge einer Linie die Summe einer vollständigen Sammlung geeigneter Teile ist, folgt daraus, dass Punkte nicht richtig Teile einer Linie sind (im Gegensatz zu Hälften, Vierteln usw. einer Linie). In einem strengen Sinne in der modernen Maßtheorie (die Grünbaums Rahmen verallgemeinert) sind die Punkte in einer Linie nicht mit ihr vereinbar, und der von Aristoteles gegebene Aufbau, in dem die Länge des Ganzen in Bezug auf seine Punkte analysiert wird, ist unzulässig.

3. Die Paradoxe der Bewegung

3.1 Die Dichotomie

Der erste behauptet, dass es keine Bewegung auf dem Boden gibt, dass das, was sich in der Fortbewegung befindet, auf halber Strecke ankommen muss, bevor es das Ziel erreicht. (Aristoteles-Physik, 239b11)

Dieses Paradoxon ist als "Dichotomie" bekannt, da es eine wiederholte Aufteilung in zwei Teile beinhaltet (wie das zweite Paradoxon der Pluralität). Wie die anderen Paradoxe der Bewegung haben wir es von Aristoteles, der versuchte, es zu widerlegen.

Angenommen, ein sehr schneller Läufer - wie der mythische Atalanta - muss für den Bus laufen. Klar, bevor sie die Bushaltestelle erreicht, muss sie auf halbem Weg laufen, wie Aristoteles sagt. Da gibt es kein Problem; Wenn sie eine konstante Bewegung annimmt, braucht sie die Hälfte der Zeit, um auf halbem Weg dorthin zu laufen, und die Hälfte der Zeit, um den Rest des Weges zu laufen. Jetzt muss sie auch auf halber Strecke bis zur Hälfte laufen, dh ein Viertel der Gesamtstrecke, bevor sie die halbe Strecke erreicht, aber auch hier bleibt ihr eine endliche Anzahl endlicher Längen zum Laufen. und viel Zeit dafür. Und bevor sie 1/4 des Weges erreicht, muss sie (1/2) von (1/4 = 1/8) des Weges erreichen; und davor ein 1/16; und so weiter. Es gibt kein Problem an einem endlichen Punkt in dieser Reihe, aber was ist, wenn die Halbierung unendlich oft durchgeführt wird? Die resultierende Serie enthält keine erste Laufstrecke.denn jede mögliche erste Distanz könnte in zwei Hälften geteilt werden und wäre daher doch nicht die erste. Es enthält jedoch eine endgültige Entfernung, nämlich die Hälfte des Weges; und eine vorletzte Entfernung, 1/4 des Weges; und eine dritte bis letzte Strecke, 1/8 des Weges; und so weiter. Die Reihe von Strecken, die Atalanta zurücklegen muss, ist also:…, dann 1/16 des Weges, dann 1/8 des Weges, dann 1/4 des Weges und schließlich 1/2 des Weges (vorerst) Wir schlagen nicht vor, dass sie am Ende jedes Segments anhält und dann am Anfang des nächsten beginnt - wir denken daran, dass ihr kontinuierlicher Lauf aus solchen Teilen besteht. Und jetzt gibt es ein Problem, denn diese Beschreibung ihres Laufs führt dazu, dass sie eine unendliche Anzahl endlicher Entfernungen zurücklegt, was, wie Zeno schließen würde, eine unendliche Zeit in Anspruch nehmen muss, das heißt, es wird niemals abgeschlossen. Und da das Argument nicht von der Entfernung abhängt oder davon, wer oder was der Beweger ist, folgt, dass niemals eine endliche Entfernung zurückgelegt werden kann, das heißt, dass jede Bewegung unmöglich ist. (Beachten Sie, dass das Paradox leicht in die andere Richtung erzeugt werden kann, so dass Atalanta zuerst auf halber Strecke, dann auf halber Strecke, dann auf halber Strecke usw. laufen muss, damit sie die folgende endlose Folge von Brüchen der Gesamtmenge ausführen muss Entfernung: 1/2, dann 1/4, dann 1/8, dann….)so dass sie die folgende endlose Folge von Brüchen der Gesamtstrecke laufen muss: 1/2, dann 1/4, dann 1/8, dann….)so dass sie die folgende endlose Folge von Brüchen der Gesamtstrecke laufen muss: 1/2, dann 1/4, dann 1/8, dann….)

Einige häufige Antworten sind nicht ausreichend. Man könnte - wie Simplicius ((a) On Aristotle's Physics, 1012.22) uns sagt, dass Diogenes der Zyniker durch stilles Stehen und Gehen darauf hingewiesen hat, dass es eine Frage der häufigsten Erfahrung ist, dass sich Dinge tatsächlich bewegen und dass wir es wissen Sehr gut, dass Atalanta keine Probleme haben würde, ihre Bushaltestelle zu erreichen. Dies würde Zeno jedoch nicht beeindrucken, der als bezahlter Parmenideaner der Ansicht war, dass viele Dinge nicht so sind, wie sie erscheinen: Es mag den Anschein haben, dass Diogenes geht oder Atalanta rennt, aber der Schein kann täuschen, und wir haben sicherlich einen logischen Beweis dass sie sich tatsächlich überhaupt nicht bewegen. Alternativ, wenn man nicht akzeptiert, dass Zeno einen Beweis dafür erbracht hat, dass Bewegung illusorisch ist - wie wir es hoffentlich nicht tun -, schuldet man einen Bericht darüber, was mit seiner Argumentation falsch ist: Er hat Gründe angegeben, warum Bewegung unmöglich ist,Daher muss eine angemessene Antwort zeigen, warum diese Gründe nicht ausreichen. Und es reicht nicht aus, nur darauf hinzuweisen, dass es einige Möglichkeiten gibt, Atalantas Run-in nur zwei Hälften zu zerschneiden, in denen es kein Problem gibt. Wenn Sie alle Schritte in Zenos Argumentation akzeptieren, müssen Sie seine Schlussfolgerung akzeptieren (vorausgesetzt, er hat logisch deduktiv argumentiert): Es reicht nicht aus, eine unproblematische Teilung zu zeigen, Sie müssen auch zeigen, warum die gegebene Teilung unproblematisch ist. Es reicht nicht aus, eine unproblematische Unterteilung zu zeigen, Sie müssen auch zeigen, warum die gegebene Unterteilung unproblematisch ist. Es reicht nicht aus, eine unproblematische Unterteilung zu zeigen, Sie müssen auch zeigen, warum die gegebene Unterteilung unproblematisch ist.

Eine andere Antwort, die Aristoteles selbst gegeben hat, besteht darin, darauf hinzuweisen, dass wir beim Teilen der zurückgelegten Strecken auch die Gesamtzeit teilen sollten: Es gibt die Hälfte der Zeit für die letzte Hälfte, ein Viertel der Zeit für das vorherige 1/4 ein 1/8 der Zeit für das 1/8 des Laufs und so weiter. Somit hat jede Bruchdistanz genau den richtigen Bruchteil der endlichen Gesamtzeit, die Atalanta benötigt, um sie zu vervollständigen, und somit kann die Distanz in einer endlichen Zeit zurückgelegt werden. Aristoteles war der Ansicht, dass diese Antwort Zeno befriedigen sollte, erkannte jedoch auch (Physik, 263a15), dass dies nicht das Ende der Angelegenheit sein könnte. Im Moment sagen wir, dass die Zeit, die Atalanta benötigt, um die Bushaltestelle zu erreichen, aus einer unendlichen Anzahl endlicher Teile besteht -…, 1/8, 1/4 und 1/2 der Gesamtzeit - und ist das nicht eine Unendliche Zeit?

Natürlich könnte man wieder behaupten, dass einige unendliche Summen endliche Summen haben, und insbesondere, dass die Summe dieser Stücke (1 / mal) die Gesamtzeit ist, was natürlich endlich ist (und wiederum würde eine vollständige Lösung a erfordern strenge Darstellung der unendlichen Summe, wie bei Cauchy). Aristoteles machte jedoch keinen solchen Schritt. Stattdessen machte er eine scharfe Unterscheidung zwischen einer so genannten "durchgehenden" Linie und einer in Teile unterteilten Linie. Stellen Sie sich eine einfache Unterteilung einer Linie in zwei vor: Auf der einen Seite befindet sich die ungeteilte Linie und auf der anderen Seite die Linie mit einem Mittelpunkt, der als Grenze der beiden Hälften ausgewählt ist. Aristoteles behauptet, dass dies zwei verschiedene Dinge sind: und dass das letztere nur "potentiell" von dem ersteren ableitbar ist. Als nächstes vertritt Aristoteles den gesunden Menschenverstand, dass Zeit wie eine geometrische Linie ist.und berücksichtigt die Zeit, die benötigt wird, um den Lauf abzuschließen. Wir können die beiden Fälle noch einmal unterscheiden: Es gibt das kontinuierliche Intervall von Anfang bis Ende, und es gibt das Intervall, das in Zenos Unendlichkeit von Halbläufen unterteilt ist. Ersteres ist "potentiell unendlich" in dem Sinne, dass es in letzteres "tatsächliche Unendlichkeit" unterteilt werden könnte. Hier ist der entscheidende Schritt: Aristoteles glaubt, dass diese Intervalle, da sie geometrisch verschieden sind, physikalisch verschieden sein müssen. Aber wie könnte das sein? Er behauptet, dass der Läufer am Ende jedes halben Laufs etwas tun muss, um ihn vom nächsten zu unterscheiden: Sie muss anhalten und den Lauf selbst diskontinuierlich machen. (Es ist nicht klar, warum eine andere Aktion nicht ausreichen würde, um das Intervall zu teilen.) Dann lautet Aristoteles 'vollständige Antwort auf das Paradoxon, dass die Frage, ob die unendliche Reihe von Läufen möglich ist oder nicht, nicht eindeutig ist:Die potenziell unendliche Reihe von Hälften in einem kontinuierlichen Lauf ist möglich, während eine tatsächliche Unendlichkeit von diskontinuierlichen halben Läufen nicht möglich ist. Zeno erkennt zwar eine Unmöglichkeit, beschreibt jedoch nicht die übliche Art, Spuren herunterzulaufen!

Aus unserer modernen Sicht ist es schwer zu erkennen, wie diese Antwort völlig zufriedenstellend sein könnte. Erstens wird davon ausgegangen, dass eine klare Unterscheidung zwischen potenziellen und tatsächlichen Unendlichkeiten getroffen werden kann, was nie vollständig erreicht wurde. Zweitens, nehmen wir an, dass Zenos Problem die Behauptung aufwirft, dass unendliche Summen endlicher Mengen immer unendlich sind. Dann hilft Aristoteles 'Unterscheidung nur, wenn er erklären kann, warum potenziell unendliche Summen tatsächlich endlich sind (könnten wir nicht potenziell (1 + 1 + 1 + / ldots) hinzufügen, das keine endliche Summe hat); oder ob er einen Grund angeben kann, warum potenziell unendliche Summen einfach nicht existieren. Oder vielleicht sah Aristoteles nicht unendlich viele Summen als Problem, sondern ob es metaphysisch, konzeptuell und physikalisch möglich ist, eine Unendlichkeit endlicher Handlungen zu vollenden. Wir werden diese Ausgabe von 'Supertasks' im Folgenden kurz diskutieren, aber beachten Sie, dass es einen genau definierten Lauf gibt, in dem die Phasen von Atalantas Lauf durch endliche Pausen unterbrochen werden, was wohl die Möglichkeit zeigt, eine unendliche Reihe endlicher Aufgaben in zu erledigen eine endliche Zeit (Huggett 2010, 21–2). Schließlich hat die Unterscheidung zwischen potentiellen und tatsächlichen Unendlichkeiten in der Mathematik keine Rolle gespielt, seit Cantor die transfiniten Zahlen gezähmt hat - sicherlich hat das potentielle Unendliche in den hier diskutierten modernen mathematischen Lösungen keine Rolle gespielt. Die Unterscheidung zwischen potentiellen und tatsächlichen Unendlichkeiten hat in der Mathematik keine Rolle gespielt, seit Cantor die transfiniten Zahlen gezähmt hat - sicherlich hat das potentielle Unendliche in den hier diskutierten modernen mathematischen Lösungen keine Rolle gespielt. Die Unterscheidung zwischen potentiellen und tatsächlichen Unendlichkeiten hat in der Mathematik keine Rolle gespielt, seit Cantor die transfiniten Zahlen gezähmt hat - sicherlich hat das potentielle Unendliche in den hier diskutierten modernen mathematischen Lösungen keine Rolle gespielt.

3.2 Achilles und die Schildkröte

Das [zweite] Argument wurde dementsprechend "Achilles" genannt, weil Achilles [als Charakter] darin aufgenommen wurde, und das Argument besagt, dass es ihm unmöglich ist, die Schildkröte zu überholen, wenn er sie verfolgt. Denn in der Tat ist es notwendig, dass das, was [etwas] überholen soll, vor dem Überholen [es] zuerst die Grenze erreicht, von der aus das, was flieht, festgelegt ist. In der Zeit, in der das, was verfolgt wird, dazu kommt, wird das, was flieht, ein bestimmtes Intervall vorrücken, auch wenn es weniger ist als das, was das, was verfolgt wird, vorantreibt. Und in der Zeit, in der das, was verfolgt wird, dieses [Intervall] durchquert, in dem das, was flieht, fortgeschritten ist, wird in dieser Zeit wieder, was flieht, eine gewisse Menge durchlaufen … Und so wird in jeder Zeit, in der das, was verfolgt wird, das [Intervall] durchlaufen, in dem das, was flieht und langsamer ist, bereits vorgerückt ist. Was flieht, wird auch einen gewissen Betrag voranbringen. (Simplicius (b) Über Aristoteles 'Physik, 1014.10)

Dieses Paradoxon basiert auf den gleichen Überlegungen wie das letzte. Stellen Sie sich vor, Achilles jagt eine Schildkröte und nehmen an, dass Achilles mit 1 m / s läuft, dass die Schildkröte mit 0,1 m / s kriecht und dass die Schildkröte 0,9 m vor Achilles startet. Auf den ersten Blick sollte Achilles die Schildkröte nach 1 s in einem Abstand von 1 m von seinem Startpunkt (und damit 0,1 m von dem Startpunkt der Schildkröte) fangen. Wir könnten Achilles 'Bewegung wie die von Atalanta in zwei Hälften teilen oder wir könnten es wie folgt tun: Bevor Achilles die Schildkröte fangen kann, muss er den Punkt erreichen, an dem die Schildkröte begann. Aber in der Zeit, die er dafür braucht, kriecht die Schildkröte etwas weiter nach vorne. Als nächstes muss Achilles diesen neuen Punkt erreichen. Aber in der Zeit, die Achilles braucht, um dies zu erreichen, kriecht die Schildkröte ein kleines Stück weiter vorwärts. Und so weiter bis ins Unendliche:Jedes Mal, wenn Achilles den Ort erreicht, an dem sich die Schildkröte befand, hatte die Schildkröte genug Zeit, um ein Stück weiter zu kommen, und so muss Achilles einen weiteren Lauf machen, und so hat Achilles unendlich viele endliche Aufholjagden vor sich kann die Schildkröte fangen, und so, schließt Zeno, fängt er die Schildkröte nie.

Ein Aspekt des Paradoxons ist daher, dass Achilles die folgenden unendlichen Entfernungen überwinden muss, bevor er die Schildkröte fängt: zuerst 0,9 m, dann weitere 0,09 m, dann 0,009 m,…. Dies sind die Entfernungen, die die Schildkröte zu Beginn jedes Achilles-Aufholprozesses erreicht. So gesehen ist das Rätsel identisch mit der Dichotomie, denn es heißt nur, dass "das, was sich in der Fortbewegung befindet, [neun Zehntel des Weges] ankommen muss, bevor es das Ziel erreicht". Und so gilt auch hier alles, was wir oben gesagt haben.

Was das Paradoxon in dieser Form am deutlichsten hervorhebt, ist das Problem, eine Reihe von Aktionen abzuschließen, die kein endgültiges Mitglied haben - in diesem Fall die unendliche Reihe von Aufholjagden, bevor Achilles die Schildkröte erreicht. Aber was ist das Problem? Vielleicht das Folgende: Achilles 'Lauf bis zu dem Punkt, an dem er die Schildkröte erreichen sollte, kann anscheinend vollständig in eine Reihe von Aufholjagden zerlegt werden, von denen keiner ihn zur Schildkröte führt. Deshalb erreicht er doch nirgends in seinem Lauf die Schildkröte. Aber wenn Zeno dies im Sinn hat, geht es nicht. Natürlich erreicht Achilles die Schildkröte zu keinem Zeitpunkt der Sequenz, denn jeder Lauf in der Sequenz findet statt, bevor wir erwarten, dass Achilles sie erreicht! Wenn man an die Punkte denkt, die Achilles in seinem Lauf erreichen muss, tritt 1 m nicht in der Reihenfolge 0,9 m, 0,99 m, 0,999 m,… auf. Natürlich fängt er die Schildkröte während dieser Abfolge von Läufen nie! (Und die gleiche Situation ergibt sich bei der Dichotomie: Keine erste Distanz in der Serie, also enthält sie nicht Atalantas Start!) Somit zerlegt die Aufholserie den Lauf doch nicht vollständig: den Endpunkt, an dem Achilles tut fangen Sie die Schildkröte - muss hinzugefügt werden. Gibt es also ein Rätsel? Wohl ja.

Achilles 'Lauf verläuft durch die Folge von Punkten 0,9 m, 0,99 m, 0,999 m,…, 1 m. Aber macht solch eine seltsame Sequenz, die aus einer Unendlichkeit von Mitgliedern besteht, gefolgt von einer weiteren, mathematisch Sinn? Wenn nicht, kann unsere mathematische Beschreibung des Laufs nicht korrekt sein, aber was ist es dann? Glücklicherweise versichert uns die von Cantor entwickelte Theorie der Transfiniten, dass eine solche Reihe absolut respektabel ist. Es wurde erkannt, dass die Ordnungseigenschaften von unendlichen Reihen viel ausgefeilter sind als die von endlichen Reihen. Jede Art, die Zahlen 1, 2 und 3 anzuordnen, ergibt beispielsweise eine Reihe im gleichen Muster, aber es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, die natürlichen Zahlen zu ordnen: 1, 2, 3, … zum Beispiel. Oder…, 3, 2, 1. Oder…, 4, 2, 1, 3, 5,…. Oder 2, 3, 4,…, 1, was genau die gleiche Art von Serie ist wie die Positionen, die Achilles durchlaufen muss. Die Theorie der Transfiniten behandelt also nicht nur "Kardinalzahlen", die nur davon abhängen, wie viele Dinge es gibt, sondern auch "Ordnungszahlen", die weiter davon abhängen, wie die Dinge angeordnet sind. Da die Ordnungszahlen normalerweise als mathematisch legitime Zahlen angesehen werden und die Reihe von Punkten, die Achilles bestehen muss, eine Ordnungszahl hat, nehmen wir an, dass die Reihe mathematisch legitim ist. (Weitere Informationen zu Problemen, die bei Achilles auftreten können, finden Sie weiter unten unter "Supertasks".)Wir gehen davon aus, dass die Reihe mathematisch legitim ist. (Weitere Informationen zu Problemen, die bei Achilles auftreten können, finden Sie weiter unten unter "Supertasks".)Wir gehen davon aus, dass die Reihe mathematisch legitim ist. (Weitere Informationen zu Problemen, die bei Achilles auftreten können, finden Sie weiter unten unter "Supertasks".)

3.3 Der Pfeil

Der dritte ist… dass der fliegende Pfeil in Ruhe ist, was sich aus der Annahme ergibt, dass die Zeit aus Momenten besteht…. er sagt, wenn alles, wenn es einen gleichen Raum einnimmt, in Ruhe ist und wenn das, was sich in der Fortbewegung befindet, immer in einem Jetzt ist, ist der fliegende Pfeil daher bewegungslos. (Aristoteles-Physik, 239b30)

Zeno hebt die Bewegung auf und sagt: "Was in Bewegung ist, bewegt sich weder an dem Ort, an dem es ist, noch an einem Ort, an dem es nicht ist." (Diogenes Laertius lebt von berühmten Philosophen, ix.72)

Dieses Argument gegen die Bewegung dreht sich explizit um eine bestimmte Art der Annahme der Pluralität: Diese Zeit setzt sich aus Momenten (oder "Jetzt") und nichts anderem zusammen. Stellen Sie sich jeden Moment einen Pfeil vor, der anscheinend in Bewegung ist. Erstens geht Zeno davon aus, dass es in diesem Moment keine Strecke zurücklegt - es nimmt für den gesamten Moment den gleichen Raum ein. Aber die gesamte Periode seiner Bewegung enthält nur Momente, die alle einen Pfeil in Ruhe enthalten, und so kann Zeno, wie Zeno schlussfolgert, den Pfeil nicht bewegen.

Eine unmittelbare Sorge ist, warum Zeno zu Recht davon ausgeht, dass der Pfeil zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist. Es folgt sofort, wenn man annimmt, dass ein Moment 0s dauert: Unabhängig von der Geschwindigkeit des Pfeils kommt er nirgendwo hin, wenn er überhaupt keine Zeit hat. Aber was wäre, wenn man der Meinung wäre, dass die kleinsten Teile der Zeit endlich sind - wenn auch winzig -, so dass sich ein sich bewegender Pfeil in einem Augenblick tatsächlich um eine Strecke bewegen könnte? Eine Möglichkeit, die Annahme zu unterstützen, die viel Lesen in den Text erfordert, beginnt mit der Annahme, dass Augenblicke unteilbar sind. Nehmen wir dann an, dass sich ein Pfeil tatsächlich während eines Augenblicks bewegt hat. Es würde sich zu Beginn und am Ende des Augenblicks an verschiedenen Stellen befinden, was impliziert, dass der Augenblick einen "Anfang" und ein "Ende" hat, was wiederum impliziert, dass er mindestens zwei Teile hat und daher im Gegensatz zu teilbar ist unsere Annahme.(Beachten Sie, dass dieses Argument nur feststellt, dass sich während eines Augenblicks nichts bewegen kann, nicht dass Augenblicke nicht endlich sein können.)

Dann bewegt sich zu keinem Zeitpunkt etwas, aber die Zeit besteht ausschließlich aus Augenblicken, sodass sich nie etwas bewegt. Eine erste Antwort besteht darin, darauf hinzuweisen, dass das Bestimmen der Geschwindigkeit des Pfeils das Teilen der in einer bestimmten Zeit zurückgelegten Strecke durch die Länge dieser Zeit bedeutet. Unter der Annahme, dass die Momente von nun an eine Dauer von Null haben, macht diese Formel im Falle eines Augenblicks keinen Sinn: Der Pfeil bewegt sich in den Nullen, die der Augenblick dauert, um 0 m, aber 0/0 m / s ist überhaupt keine Zahl. Es ist daher trügerisch, aus der Tatsache zu schließen, dass der Pfeil in dem Moment, in dem er sich in Ruhe befindet, keine Strecke zurücklegt. Ob es zu einem bestimmten Zeitpunkt in Bewegung ist oder nicht, hängt davon ab, ob es in einem endlichen Intervall, das den betreffenden Zeitpunkt enthält, eine Strecke zurücklegt.

Die Antwort ist richtig, aber sie impliziert die kontraintuitive Implikation, dass Bewegung nicht zu jedem Zeitpunkt stattfindet, sondern nur über endliche Zeiträume. Stellen Sie sich das so vor: Die Zeit besteht, wie gesagt, nur aus Augenblicken. Zu keinem Zeitpunkt wird eine Entfernung zurückgelegt. Wann bewegt sich der Pfeil tatsächlich? Wie kommt es zu einem späteren Zeitpunkt von einem Ort zum anderen? Es gibt nur eine Antwort: Der Pfeil gelangt zum Zeitpunkt 1 von Punkt (X) zu Punkt (Y) zum Zeitpunkt 2, einfach weil er sich zu aufeinanderfolgenden Zwischenzeiten an aufeinanderfolgenden Zwischenpunkten befindet - der Pfeil ändert während einer Zeit nie seine Position augenblicklich, aber nur über Intervalle, die aus Augenblicken bestehen, durch die Besetzung verschiedener Positionen zu verschiedenen Zeiten. In Bergsons denkwürdigen Worten - die er für absurd hielt - setzt sich Bewegung aus Immobilitäten zusammen (1911, 308):Um von (X) nach (Y) zu gelangen, muss zu jedem Zeitpunkt genau ein Platz dazwischen belegt werden (natürlich in der richtigen Reihenfolge). Zur weiteren Erörterung dieser "at-at" -Konzeption der Zeit siehe Arntzenius (2000) und Salmon (2001, 23-4).

3.4 Das Stadion

Das vierte Argument bezieht sich auf gleiche Körper, die sich neben gleichen Körpern im Stadion aus entgegengesetzten Richtungen bewegen - diejenigen vom Ende des Stadions, die anderen von der Mitte - mit gleichen Geschwindigkeiten, bei denen er glaubt, dass sich daraus die Hälfte der Zeit ergibt gleich seinem doppelten…. (Aristoteles-Physik, 239b33)

Aristoteles führt ein Argument für Zenos letztes Bewegungsparadoxon aus und widerlegt es. Der Text ist ziemlich kryptisch, wird aber normalerweise wie folgt interpretiert: Stellen Sie sich drei Sätze berührender Würfel vor - alle genau gleich - in Relativbewegung. Ein Satz - die (A) s - ruhen, und die anderen - die (B) s und (C) s - bewegen sich mit konstanter gleicher Geschwindigkeit nach rechts bzw. links. Und nehmen wir an, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt das am weitesten rechts stehende (B) und das am weitesten links stehende (C) wie gezeigt mit dem mittleren (A) ausgerichtet sind (drei davon sind der Einfachheit halber jeweils abgebildet).

	(EIN)	(EIN)	(EIN)
(B)	(B)	(B)
		(C)	(C)	(C)

Da sich die (B) und (C) mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, werden sie gleichzeitig mit den (A) ausgerichtet.

	(EIN)	(EIN)	(EIN)
	(B)	(B)	(B)
	(C)	(C)	(C)

In diesem Moment ist das am weitesten rechts stehende (B) an allen (C) s vorbeigefahren, aber nur an der Hälfte der (A) s; da sie gleich groß sind, hat sie sowohl eine Strecke als auch die Hälfte dieser Strecke zurückgelegt. Der mutmaßliche Widerspruch wird hier jedoch nicht gezogen, vermutlich weil klar ist, dass diese entgegengesetzten Abstände relativ zu den (C) s bzw. (A) s sind; Es ist im Allgemeinen kein Widerspruch, in unterschiedlichen Beziehungen zu unterschiedlichen Dingen zu stehen. Stattdessen werden die Entfernungen in Zeiten umgewandelt, indem die Entfernungen durch die Geschwindigkeit der (B) s dividiert werden. Die halbe Strecke bei einer bestimmten Geschwindigkeit dauert die halbe Zeit. Dann droht ein Widerspruch, weil die Zeit zwischen den Zuständen eindeutig und nicht relativ ist - der Prozess dauert einige (nicht Null) Zeit und die Hälfte dieser Zeit.

Das allgemeine Urteil lautet, dass Zeno in diesem Paradox hoffnungslos über die relativen Geschwindigkeiten verwirrt war. Wenn sich die (B) s mit der Geschwindigkeit S m / s nach rechts in Bezug auf die (A) s bewegen und wenn sich die (C) s mit der Geschwindigkeit S m / s nach links bewegen in Bezug auf die (A) s bewegen sich dann die (C) s mit der Geschwindigkeit (S + S = 2) S m / s nach links in Bezug auf die (B) s. Während sich die (B) relativ zu den (C) s doppelt so weit bewegen wie die (A) s, tun sie dies natürlich mit der doppelten relativen Geschwindigkeit, und so sind die Zeiten das gleiche so oder so. Aber hätte Zeno so verwirrt sein können? (Sattler, 2015, spricht sich gegen diese und andere gängige Lesarten des Stadions aus.)

Vielleicht (Davey, 2007) hatte er stattdessen Folgendes im Sinn (während Zeno nach dieser Lesart schlauer ist, passt es nicht so gut zu Aristoteles 'Worten): Nehmen wir die (A) s, (B) s an und (C) s haben die kleinste räumliche Ausdehnung, "Punktgröße", wobei "Punkte" die Größe Null haben, wenn der Raum kontinuierlich ist, oder endlich, wenn der Raum "atomar" ist. Angenommen, es gibt keine Leerzeichen zwischen den (A) s oder zwischen den (B) s oder zwischen den (C) s. Während der Bewegung über dem führenden (B) passieren alle (C) s und die Hälfte der (A) s, also halb so viele (A) s wie (C) s. Wenn sich ein Punkt kontinuierlich entlang einer Linie ohne Lücken bewegt, besteht eine 1: 1-Entsprechung zwischen den Zeitpunkten und den Punkten auf der Linie - zu jedem Zeitpunkt ein Punkt und zu jedem Punkt ein Moment. Deshalb,Die Anzahl der '(A) - Momente', die der führende (B) benötigt, um die (A) s zu bestehen, ist die Hälfte der Anzahl der '(C) - Momente', die benötigt werden, um die / zu bestehen (C) s - obwohl diese Prozesse die gleiche Zeit in Anspruch nehmen. Wenn wir dann entscheidend davon ausgehen, dass die Hälfte der Momente die Hälfte der Zeit bedeutet, schließen wir, dass die Hälfte der Zeit der gesamten Zeit entspricht, ein Widerspruch.

Wir haben oben in unserer Diskussion über die vollständige Teilbarkeit das Problem mit solchen Überlegungen gesehen, die auf durchgehende Linien angewendet wurden: Jedes Liniensegment hat die gleiche Anzahl von Punkten, so dass aus der Anzahl der Punkte auf diese Weise nichts abgeleitet werden kann - sicherlich nicht die Hälfte der Punkte (hier Augenblicke) bedeuten die halbe Länge (oder Zeit). Das Paradoxon scheitert wie gesagt. Aber widerspricht nicht die Behauptung, dass die Intervalle die gleiche Anzahl von Augenblicken enthalten, dem Schritt des Arguments, das zu dem Schluss kommt, dass es halb so viele (A) - Augenblicke wie (C) - Augenblicke gibt? Dieses Problem ist für unendliche Mengen subtil: Um ein anderes Beispiel zu nennen: 1, 2, 3,… entspricht 1: 1 2, 4, 6,…, und daher gibt es jeweils die gleiche Anzahl. Es ist in diesem Sinne von 1:1 Entsprechung - der genaue Sinn der in der Mathematik verwendeten 'gleichen Zahl' -, dass jede endliche Linie die gleiche Anzahl von Punkten hat wie jede andere. Informell gesehen gibt es jedoch auch "halb so viele" gerade Zahlen wie ganze Zahlen: Die Paare (1, 2), (3, 4), (5, 6), … können auch in 1: 1-Korrespondenz mit gesetzt werden 2, 4, 6,…. In ähnlicher Weise gibt es informell gesehen halb so viele (A) - Momente wie (C) - Momente: (A) - Momente entsprechen 1: 1 mit Paaren von (C) - Momenten. Es gibt also keinen Widerspruch in der Anzahl der Punkte: Die informelle Hälfte entspricht dem strengen Ganzen (für eine Atomtheorie ist eine andere Lösung erforderlich, wie im letzten Absatz dieses Abschnitts dargestellt).1 Korrespondenz mit 2, 4, 6,…. In ähnlicher Weise gibt es informell gesehen halb so viele (A) - Momente wie (C) - Momente: (A) - Momente entsprechen 1: 1 mit Paaren von (C) - Momenten. Es gibt also keinen Widerspruch in der Anzahl der Punkte: Die informelle Hälfte entspricht dem strengen Ganzen (für eine Atomtheorie ist eine andere Lösung erforderlich, wie im letzten Absatz dieses Abschnitts dargestellt).1 Korrespondenz mit 2, 4, 6,…. In ähnlicher Weise gibt es informell gesehen halb so viele (A) - Momente wie (C) - Momente: (A) - Momente entsprechen 1: 1 mit Paaren von (C) - Momenten. Es gibt also keinen Widerspruch in der Anzahl der Punkte: Die informelle Hälfte entspricht dem strengen Ganzen (für eine Atomtheorie ist eine andere Lösung erforderlich, wie im letzten Absatz dieses Abschnitts dargestellt).

(Lassen Sie mich ein ähnliches Bewegungsparadoxon erwähnen - den 'Mühlstein', der Maimonides zugeschrieben wird. Stellen Sie sich zwei Räder vor, eines doppelt so groß wie der Radius und Umfang des anderen, die an einer einzigen Achse befestigt sind. Lassen Sie sie mit angehobener Schiene über eine Schiene laufen Um die Achse horizontal zu halten, für eine Umdrehung beider Räder [sie drehen sich aufgrund der Achse mit der gleichen Geschwindigkeit]: Jeder Punkt jedes Rades berührt genau einen Punkt seiner Schiene und jeder Punkt jeder Schiene mit genau einem Punkt Fährt die Baugruppe eine Strecke, die dem Umfang des großen Rades entspricht? Von dem kleinen? Beiden? Etwas anderem? Wie? Auch dieses Problem erfordert das Verständnis des Kontinuums, aber es ist kein Paradoxon von Zeno, also werden wir es tun überlasse es dem Einfallsreichtum des Lesers.)

Eine endgültige mögliche Rekonstruktion von Zenos Stadion ist ein Argument gegen eine atomare Theorie von Raum und Zeit, was interessant ist, weil die zeitgenössische Physik eine solche Sichtweise untersucht, wenn sie versucht, die Raumzeit zu "quantisieren". Angenommen, die Seiten jedes Würfels entsprechen dem 'Quantum' der Länge und die beiden betrachteten Momente sind durch ein einziges Zeitquantum getrennt. Dann muss etwas Seltsames passieren, denn das am weitesten rechts stehende (B) und das mittlere (C) passieren sich während der Bewegung, und doch gibt es keinen Moment, in dem sie eben sind: da die beiden Momente durch den kleinsten getrennt sind mögliche Zeit, es kann keinen Moment zwischen ihnen geben - es wäre eine Zeit kleiner als die kleinste Zeit von den beiden Momenten, die wir betrachtet haben. Umgekehrt, wenn man darauf bestand, dass wenn sie passen, dann muss es einen Moment geben, in dem sie eben sind,dann zeigt es, dass es kein kürzestes endliches Intervall sein kann - was auch immer es ist, führen Sie einfach dieses Argument dagegen aus. Warum sollte man jedoch auf dieser Annahme bestehen? Das Problem ist, dass man sich den quantisierten Raum natürlich als ein Schachbrett vorstellt, auf dem die Schachfiguren während jeder Zeitspanne eingefroren werden. Dann fragt man sich, wann die rote Königin zum Beispiel von einem Feld zum nächsten kommt oder wie sie an der weißen Königin vorbei kommt, ohne mit ihr gleich zu sein. Aber die Analogie ist irreführend. Es ist besser, sich den quantisierten Raum als eine riesige Lichtmatrix vorzustellen, die für jedes Zeitquant ein Muster von beleuchteten Lichtern enthält. In dieser Analogie repräsentiert eine beleuchtete Glühbirne das Vorhandensein eines Objekts: Beispielsweise repräsentiert eine Reihe von Glühbirnen in einer Linie, die nacheinander aufleuchtet, einen Körper, der sich in einer geraden Linie bewegt. In diesem Fall besteht keine Versuchung zu fragen, wann das Licht von einer Glühbirne zur nächsten "kommt" - oder in Analogie, wie sich der Körper von einem Ort zum nächsten bewegt. (Hier berühren wir Fragen zeitlicher Teile und ob Objekte "aushalten" oder "aushalten".)

4. Zwei weitere Paradoxe

Zwei weitere Paradoxe werden Zeno von Aristoteles zugeschrieben, aber sie werden im Zusammenhang mit anderen Punkten angegeben, die er vorbringt, so dass Zenos Absicht nicht mit Sicherheit bestimmt werden kann: selbst wenn sie gegen Pluralität und Bewegung argumentieren sollen. Wir werden sie der Vollständigkeit halber kurz diskutieren.

4.1 Das Paradox des Ortes

Zenos Schwierigkeit erfordert eine Erklärung; denn wenn alles, was existiert, einen Platz hat, wird auch der Ort einen Platz haben und so weiter bis ins Unendliche. (Aristoteles-Physik, 209a23)

Wenn Aristoteles seine Ortslehre aufstellt - der entscheidende räumliche Begriff in seiner Bewegungstheorie -, listet er verschiedene Theorien und Probleme auf, die seine Vorgänger, einschließlich Zeno, zu diesem Thema formuliert haben. Das Argument wirft erneut Fragen des Unendlichen auf, da der zweite Schritt des Arguments für eine unendliche Regression von Orten spricht. Aristoteles präsentiert es jedoch eher als Argument gegen die Idee des Ortes als gegen die Pluralität (wodurch es wahrscheinlich aus dem Zusammenhang gerissen wird). Es ist schwer, die Kraft der Schlussfolgerung zu spüren, denn warum sollte es nicht eine unendliche Reihe von Orten von Orten von Orten von … geben? Vermutlich wäre die Sorge für jemanden größer, der (wie Aristoteles) glaubte, dass es keine wirkliche Unendlichkeit der Dinge geben könnte, denn das Argument scheint zu zeigen, dass es solche gibt. Aber wie wir oben besprochen haben, brauchen wir heute keine solchen Bedenken zu haben;Es scheint nichts Problematisches mit einer tatsächlichen Unendlichkeit von Orten zu geben.

Der einzige andere Weg, den man als problematisch empfinden könnte, ist, wenn man der Meinung ist, dass Körper "absolute" Orte haben, in dem Sinne, dass es immer eine einzigartige privilegierte Antwort auf die Frage gibt, wo sie ist. Das Problem ist dann nicht, dass es unendlich viele Orte gibt, sondern nur, dass es viele gibt. Und Aristoteles könnte diese Sorge gehabt haben, denn in seiner Bewegungstheorie wird die natürliche Bewegung eines Körpers durch das Verhältnis seines Ortes zum Zentrum des Universums bestimmt: ein Bericht, der erfordert, dass der Ort bestimmt wird, weil natürliche Bewegung es ist. (Siehe Sorabji 1988 und Morrison 2002 für allgemeine, konkurrierende Berichte über Aristoteles 'Ansichten vor Ort; Kapitel 3 des letzteren, insbesondere für eine Diskussion über Aristoteles' Behandlung des Paradoxons.) Aber anzunehmen, dass man diesen Platz innehat, ist aus irgendeinem Grund absolut, dann für Beispiel,Wo bin ich, während ich schreibe? Wenn das Paradoxon richtig ist, bin ich an meiner Stelle und ich bin auch an meiner Stelle und an der Stelle meines Ortes und an meiner Stelle. Da ich an all diesen Orten bin, scheint jede eine angemessene Antwort auf die Frage zu sein. Es sind verschiedene Antworten denkbar: Verweigern Sie absolute Orte (zumal unsere Physik sie nicht benötigt), definieren Sie einen in allen Fällen einzigartigen Ortsbegriff (wohl Aristoteles 'Lösung) oder behaupten Sie, dass Orte ihre eigenen Orte sind, wodurch der Rückschritt abgeschnitten wird !Definieren Sie einen Ortsbegriff, der in allen Fällen einzigartig ist (wohl Aristoteles 'Lösung), oder behaupten Sie vielleicht, dass Orte ihre eigenen Orte sind, wodurch der Regress abgeschnitten wird!Definieren Sie einen Ortsbegriff, der in allen Fällen einzigartig ist (wohl Aristoteles 'Lösung), oder behaupten Sie vielleicht, dass Orte ihre eigenen Orte sind, wodurch der Regress abgeschnitten wird!

4.2 Das Hirsekorn

… Zenos Argumentation ist falsch, wenn er argumentiert, dass es keinen Teil der Hirse gibt, der kein Geräusch macht; denn es gibt keinen Grund, warum ein Teil nicht in irgendeiner Zeit die Luft bewegen sollte, die der ganze Scheffel beim Fallen bewegt. (Aristoteles-Physik, 250a19)

Im Zusammenhang erklärt Aristoteles, dass ein Bruchteil einer Kraft, die viele nicht den gleichen Bruchteil der Bewegung erzeugen. Während zum Beispiel 100 Stauer einen Lastkahn ziehen können, kann es sein, dass er sich überhaupt nicht bewegt, geschweige denn 1/100 der Geschwindigkeit; Wenn Sie so viel Zeit haben, wie Sie möchten, bewegt er sie möglicherweise nicht bis zur 100. (Wir beschreiben diese Tatsache als den Effekt der Reibung.) Ebenso, nur weil ein fallender Scheffel Hirse ein rauschendes Geräusch macht, wenn er fällt Folgen Sie nicht dem, was jedes einzelne Korn tun würde oder tut: Wenn Sie so viel Zeit haben, wie Sie möchten, bewegt es nicht die gleiche Luftmenge wie der Scheffel. Obwohl Aristoteles diese Prämisse widerlegt, erklärt er nicht, welche Rolle sie für Zeno gespielt hat, und wir können nur spekulieren. Es ist nicht einmal klar, ob es Teil eines Paradoxons oder eines anderen Streits ist:Hat Zeno auch behauptet zu zeigen, dass ein einzelnes Hirsekorn kein Geräusch macht? Eine Spekulation ist, dass unsere Sinne offenbaren, dass dies nicht der Fall ist, da wir kein einziges Korn fallen hören können. Dann ist Aristoteles 'Antwort passend; und so ist die ähnliche Reaktion, dass das Hören selbst eine Bewegung in der Luft über einer bestimmten Schwelle erfordert.

5. Zenos Einfluss auf die Philosophie

In diesem letzten Abschnitt sollten wir kurz auf die Auswirkungen eingehen, die Zeno auf verschiedene Philosophen hatte. Eine Suche in der Literatur wird zeigen, dass diese Debatten fortgesetzt werden.

• Die Pythagoräer: In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts war die Mehrheit, die nach Gerberei (1885) von Zeno las, der Ansicht, dass seine Argumente gegen eine technische Doktrin der Pythagoräer gerichtet waren. Nach dieser Lesart waren alle Dinge aus Elementen zusammengesetzt, die die Eigenschaften einer Einheitszahl, eines geometrischen Punktes und eines physikalischen Atoms hatten: Diese Art von Position würde zu ihrer Lehre passen, dass die Realität grundsätzlich mathematisch ist. In der Mitte des Jahrhunderts argumentierten jedoch eine Reihe von Kommentatoren (Vlastos, 1967, fasst das Argument zusammen und enthält Referenzen) eindringlich, dass Zenos Ziel stattdessen ein gesunder Menschenverstand von Pluralität und Bewegung sei - einer, der auf vertrauten geometrischen Begriffen beruht - und tatsächlich das Die Lehre war kein wesentlicher Bestandteil des pythagoreischen Denkens. Wir haben implizit angenommen, dass diese Argumente in unseren Lesarten der Paradoxien richtig sind. Die Interpretation von Tannery hat jedoch immer noch ihre Verteidiger (siehe z. B. Matson 2001).
• Die Atomisten: Aristoteles (Über Generation und Korruption 316b34) behauptet, dass unser drittes Argument - das bezüglich der vollständigen Teilbarkeit - die Atomisten davon überzeugt hat, dass es kleinste, unteilbare Teile der Materie geben muss. Siehe Abraham (1972) für eine weitere Diskussion von Zenos Verbindung zu den Atomisten.
• Zeitliches Werden: Zu Beginn des 20. Jahrhunderts versuchten mehrere einflussreiche Philosophen, Zenos Argumente in den Dienst einer Metaphysik des „zeitlichen Werdens“zu stellen, dem (vermeintlichen) Prozess, durch den die Gegenwart entsteht. Denker wie Bergson (1911), James (1911, Kapitel 10–11) und Whitehead (1929) argumentierten, dass Zenos Paradoxe zeigen, dass Raum und Zeit nicht als mathematisches Kontinuum strukturiert sind: Sie argumentierten, dass der Weg, die Realität der Bewegung zu bewahren war zu leugnen, dass Raum und Zeit aus Punkten und Augenblicken bestehen. Wir haben jedoch deutlich gesehen, dass die Werkzeuge der modernen Standardmathematik in der Lage sind, die Paradoxien zu lösen. Daher scheint eine solche Schlussfolgerung nicht gerechtfertigt zu sein: Wenn die Gegenwart tatsächlich „wird“, gibt es keinen Grund zu der Annahme, dass der Prozess nicht erfasst wird durch das Kontinuum.

• Anwendung des mathematischen Kontinuums auf physikalischen Raum und Zeit: Nach einer Aussage von Russell (1929, 182–198) übernahmen eine Reihe von Philosophen - insbesondere Grünbaum (1967) - die Aufgabe, zu zeigen, wie die moderne Mathematik alle Zenos lösen kann Paradoxe; Ihre Arbeit hat unsere Diskussion der Argumente stark beeinflusst. Sie erkannten, dass eine rein mathematische Lösung nicht ausreichte: Die Paradoxien stellen nicht nur die abstrakte Mathematik in Frage, sondern auch die Natur der physischen Realität. Sie suchten also nicht nur ein Argument dafür, dass Zeno keine Bedrohung für die Mathematik der Unendlichkeit darstellt, sondern auch, dass die Mathematik Objekte, Zeit und Raum korrekt beschreibt. Es würde Zenos Paradoxien nicht beantworten, wenn der von uns aufgerufene mathematische Rahmen keine gute Beschreibung des tatsächlichen Raums, der Zeit und der Bewegung wäre!Die Idee, dass ein mathematisches Gesetz - sagen wir Newtons Gesetz der universellen Schwerkraft - die Dinge möglicherweise richtig beschreibt oder nicht, ist bekannt, aber einige Aspekte der Mathematik der Unendlichkeit - die Natur des Kontinuums, die Definition unendlicher Summen usw. - scheinen so grundlegend zu sein dass es zunächst schwer zu erkennen sein mag, dass auch sie bedingt zutreffen. Aber sicherlich tun sie das: Nichts garantiert a priori, dass der Raum die Struktur des Kontinuums hat oder dass sich Teile des Raums gemäß Cauchys Definition summieren. (Lachs bietet ein gutes Beispiel, um den Punkt zu verdeutlichen: Da sich Alkohol in Wasser löst, erhalten Sie beim Mischen der beiden weniger als die Summe ihrer Volumina, was zeigt, dass selbst eine gewöhnliche Zugabe nicht für jede Art von System gilt.) Unsere Überzeugung, dass die mathematische Theorie der Unendlichkeit Raum und Zeit beschreibt, ist insofern gerechtfertigt, als die Gesetze der Physik dies voraussetzen und diese Gesetze selbst durch Erfahrung bestätigt werden. Zwar gehen fast alle physikalischen Theorien davon aus, dass Raum und Zeit tatsächlich die Struktur des Kontinuums haben, doch ist es auch so, dass Quantentheorien der Schwerkraft wahrscheinlich implizieren, dass dies nicht der Fall ist. Obwohl niemand wirklich weiß, wohin diese Forschung letztendlich führen wird, ist es durchaus möglich, dass sich Raum und Zeit auf der grundlegendsten Ebene als ganz anders herausstellen als das mathematische Kontinuum, das wir hier angenommen haben. Zwar gehen fast alle physikalischen Theorien davon aus, dass Raum und Zeit tatsächlich die Struktur des Kontinuums haben, doch ist es auch so, dass Quantentheorien der Schwerkraft wahrscheinlich implizieren, dass dies nicht der Fall ist. Obwohl niemand wirklich weiß, wohin diese Forschung letztendlich führen wird, ist es durchaus möglich, dass sich Raum und Zeit auf der grundlegendsten Ebene als ganz anders herausstellen als das mathematische Kontinuum, das wir hier angenommen haben. Zwar gehen fast alle physikalischen Theorien davon aus, dass Raum und Zeit tatsächlich die Struktur des Kontinuums haben, doch ist es auch so, dass Quantentheorien der Schwerkraft wahrscheinlich implizieren, dass dies nicht der Fall ist. Während niemand wirklich weiß, wohin diese Forschung letztendlich führen wird, ist es durchaus möglich, dass sich Raum und Zeit auf der grundlegendsten Ebene als ganz anders herausstellen als das mathematische Kontinuum, das wir hier angenommen haben.

  Man sollte auch beachten, dass Grünbaum es sich zur Aufgabe gemacht hat zu zeigen, dass die moderne Mathematik Raum und Zeit beschreibt, um etwas ganz anderes einzubeziehen als zu argumentieren, dass dies durch Erfahrung bestätigt wird. Die vorherrschende Ansicht zu dieser Zeit (wenn auch derzeit nicht) war, dass wissenschaftliche Begriffe insofern eine Bedeutung hatten, als sie sich direkt auf Erfahrungsobjekte wie „1m Herrscher“bezogen oder, wenn sie sich eher auf „theoretische“als auf „beobachtbare“Entitäten bezogen - wie "ein Raumpunkt" oder "1/2 von 1/2 von … 1/2 einer Rennstrecke" - dann erhielten sie durch ihre logischen Beziehungen - über Definitionen und theoretische Gesetze - Bedeutung zu solchen Beobachtungsbegriffen. So unternahm Grünbaum ein beeindruckendes Programm, um allen Begriffen der modernen Unendlichkeitstheorie, die als Darstellung von Raum und Zeit interpretiert werden, Bedeutung zu verleihen.

• Supertasks: Ein weiterer Gedankengang betrifft das, was Black (1950–51) als „Unendlichkeitsmaschinen“bezeichnete. Black und seine Anhänger wollten zeigen, dass Zenos Paradoxe zwar kein Problem für die Mathematik darstellten, sie jedoch zeigten, dass Mathematik schließlich nicht auf Raum, Zeit und Bewegung anwendbar war. Am schlimmsten war, dass unsere Entschließung zu Dichotomie und Achilles davon ausging, dass der gesamte Lauf in eine unendliche Reihe von halben Läufen unterteilt werden konnte, die summiert werden konnten. Aber ist es wirklich möglich, eine unendliche Reihe von Aktionen auszuführen: eine sogenannte "Supertask" abzuschließen? Wenn nicht, und unter der Annahme, dass Atalanta und Achilles ihre Aufgaben erfüllen können, können ihre vollständigen Läufe nicht korrekt als unendliche Reihe von halben Läufen beschrieben werden, obwohl die moderne Mathematik sie so beschreiben würde. Was Unendlichkeitsmaschinen etablieren sollen, ist, dass eine unendliche Reihe von Aufgaben nicht erledigt werden kann - so kann jede abschließbare Aufgabe nicht in unendlich kleinere Aufgaben zerlegt werden, was auch immer die Mathematik vorschlägt.
• Infinitesimale: Schließlich haben wir gesehen, wie wir die Paradoxien mit den im 19. Jahrhundert entwickelten mathematischen Ressourcen angehen können. Lange Zeit galt es als eine der großen Tugenden dieses Systems, dass es schließlich zeigte, dass infinitesimale Größen, die kleiner als jede endliche Zahl, aber größer als Null sind, unnötig sind. (Newtons Kalkül zum Beispiel nutzte solche Zahlen effektiv und behandelte sie manchmal als Null und manchmal als endlich. Das Problem bei einem solchen Ansatz ist, dass die Behandlung der Zahlen eine Frage der Intuition und nicht der Strenge ist.) Im 20. Jahrhundert jedoch Robinson zeigte, wie man infinitesimale Zahlen in die Mathematik einführt: Dies ist das System der "Nicht-Standard-Analyse" (das bekannte System der reellen Zahlen, das von Dedekind auf eine strenge Grundlage gestellt wurde, ist im Gegensatz dazu nur "Analyse"). Analog dazuBell (1988) erklärt, wie infinitesimale Liniensegmente in die Geometrie eingeführt werden können, und kommentiert ihre Beziehung zu Zeno. Darüber hinaus zeigt McLaughlin (1992, 1994), wie Zenos Paradoxe in nicht standardmäßigen Analysen gelöst werden können. Sie sprechen nicht mehr gegen Nicht-Standard-Analysen als gegen die hier angenommene Standard-Mathematik. Es sollte jedoch betont werden, dass - entgegen McLaughlins Vorschlägen - keine nicht standardmäßige Analyse erforderlich ist, um die Paradoxien zu lösen: Beide Systeme sind gleichermaßen erfolgreich. (Reeder, 2015, argumentiert, dass eine Nicht-Standard-Analyse in Bezug auf den Pfeil unbefriedigend ist, und bietet eine alternative Darstellung unter Verwendung einer anderen Konzeption von Infinitesimalen.) Die Konstruktion einer Nicht-Standard-Analyse wirft jedoch eine weitere Frage nach der Anwendbarkeit der Analyse auf die physikalische Analyse auf Raum und Zeit:Es erscheint plausibel, dass alle physikalischen Theorien in beiden Begriffen formuliert werden können, und soweit unsere Erfahrung reicht, scheinen beide gleichermaßen bestätigt zu sein. Aber sie können nicht beide für Raum und Zeit gelten: Entweder hat der Raum infinitesimale Teile oder nicht.

Weitere Lesungen

Nach den relevanten Einträgen in dieser Enzyklopädie ist der Ort, an dem weitere Untersuchungen beginnen können, Salmon (2001), das einige der wichtigsten Artikel über Zeno bis 1970 enthält, und eine beeindruckend umfassende Bibliographie der Werke in englischer Sprache im 20. Jahrhundert.

Man könnte auch Huggett (1999, Kap. 3) und Huggett (2010, Kap. 2–3) für weitere Quellenpassagen und Diskussionen betrachten. Für die Einführung in die mathematischen Ideen hinter den modernen Resolutionen sind der Anhang zu Salmon (2001) oder Stewart (2017) ein guter Anfang. Russell (1919) und Courant et al. (1996, Kap. 2 und 9) sind ebenfalls wunderbare Quellen. Schließlich enthalten drei Sammlungen von Originalquellen für Zenos Paradoxe: Lee (1936 [2015]) enthält alles Bekannte, Kirk et al. (1983, Kap. 9) enthalten viel Material (auf Englisch und Griechisch) mit nützlichen Kommentaren und Cohen et al. (1995) hat auch die Hauptpassagen.

Literaturverzeichnis

• Abraham, WE, 1972, „Die Natur von Zenos Argument gegen die Pluralität in DK 29 B I“, Phronesis, 17: 40–52.
• Aristoteles, "Über Generation und Korruption", AA Joachim (trans), in Das Gesamtwerk von Aristoteles, J. Barnes (Hrsg.), Princeton: Princeton University Press, 1984.
• Aristoteles, "Physik", WD Ross (trans), in den Gesamtwerken von Aristoteles, J. Barnes (Hrsg.), Princeton: Princeton University Press, 1984.
• Arntzenius, F., 2000, „Gibt es wirklich augenblickliche Geschwindigkeiten?“, The Monist, 83: 187–208.
• Bell, JL, 1988, "Infinitesimals", Synthese, 75 (3): 285–315.
• Belot, G. und Earman, J., 2001, "Vorsokratische Quantengravitation", in Physik trifft Philosophie auf der Planck-Skala: Zeitgenössische Theorien in der Quantengravitation, C. Callender und N. Huggett (Hrsg.), Cambridge: Cambridge University Drücken Sie.
• Bergson, H., 1911, Creative Evolution, A. Mitchell (trans.), New York: Holt, Reinhart und Winston.
• Black, M., 1950, „Achilles und die Schildkröte“, Analysis, 11: 91–101.
• Cohen, SM, Curd, P. und Reeve, CDC (Hrsg.), 1995, Lesungen in der antiken griechischen Philosophie von Thales bis Aristoteles, Indianapolis / Cambridge: Hackett Publishing Co. Inc.
• Courant, R., Robbins, H. und Stewart, I., 1996, Was ist Mathematik? Ein elementarer Ansatz für Ideen und Methoden, 2. Auflage, New York, Oxford: Oxford University Press.
• Davey, K., 2007, „Aristoteles, Zeno und das Stadionparadoxon“, History of Philosophy Quarterly, 24: 127–146.
• Diogenes Laertius, 1983, "Leben berühmter Philosophen", S.273 der präsokratischen Philosophen: Eine kritische Geschichte mit einer Auswahl von Texten, 2. Auflage, GS Kirk, JE Raven und M. Schofield (Hrsg.), Cambridge: Cambridge University Press.
• Ehrlich, P., 2014, „Ein Essay zu Ehren von Adolf Grünbaums neunzigstem Geburtstag: Eine Überprüfung von Zenos Paradox der Erweiterung“, Philosophy of Science, 81 (4): 654–675.
• Grünbaum, A., 1967, Moderne Wissenschaft und Zenos Paradoxe, Middletown: Connecticut Wesleyan University Press.
• Huggett, N. (Hrsg.), 1999, Raum von Zeno bis Einstein: Klassische Lesungen mit einem zeitgenössischen Kommentar, Cambridge, MA: MIT Press.
• Huggett, N., 2010, Überall und überall: Abenteuer in Physik und Philosophie, Oxford: Oxford University Press.
• James, W., 1911, Einige Probleme der Philosophie, New York: Longmans, Green & Co.
• Kirk, GS, Raven JE und Schofield M. (Hrsg.), 1983, The Presocratic Philosophers: Eine kritische Geschichte mit einer Auswahl von Texten, 2. Auflage, Cambridge: Cambridge University Press.
• Lee, HDP (Hrsg.), 1936 [2015], Zeno of Elea: Ein Text mit Übersetzung und Notizen, Cambridge: Cambridge University Press, Nachdruck 2015.
• Matson, WI, 2001, "Zeno Moves!", In Aufsätzen zur antiken griechischen Philosophie VI: Vor Platon, A. Preus (Hrsg.), Albany: State University of New York Press.
• McLaughlin, WI, 1994, "Resolving Zeno's Paradoxes", Scientific American, 271 (5): 84–89.
• McLaughlin, WI, und Miller, SL, 1992, "Eine erkenntnistheoretische Verwendung der Nichtstandardanalyse zur Beantwortung von Zenos Einwänden gegen die Bewegung", Synthese, 92: 371–384.
• Morison, B, 2002, Vor Ort: Aristoteles 'Ortskonzept, Oxford: Oxford University Press.
• Newton, I., The Principia: Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie, IB Cohen und AM Whitman (trans.), Berkeley: University of California Press, 1999.
• Plato, 1997, "Parmenides", ML Gill und P. Ryan (trans), in Plato: Complete Works, JM Cooper (Hrsg.), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.
• Reeder, P., 2015, „Zenos Pfeil und der Infinitesimalstein“, Synthese, 192: 1315–1335.
• Russell, B., 1919, Einführung in die mathematische Philosophie, London: George Allen und Unwin Ltd.
• Russell, B., 1929, Unser Wissen über die Außenwelt, New York: WW Norton & Co. Inc.
• Salmon, WC, 2001, Zeno's Paradoxes, 2. Auflage, Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc.
• Sattler, B., 2015, „Zeit ist das doppelte Problem: Zenos bewegte Reihen“, Ancient Philosophy, 35: 1–22.
• Sherry, DM, 1988, "Zeno's Metrical Paradox Revisited", Philosophy of Science, 55: 58–73.
• Simplicius (a), „Über Aristoteles 'Physik“, in Lesungen der antiken griechischen Philosophie von Thales bis Aristoteles, SM Cohen, P. Curd und CDC Reeve (Hrsg.), Indianapolis: Hackett Publishing Co. Inc., S. 58–59, 1995.
• Simplicius (b), Über Aristoteles 'Physik 6, D. Konstan (trans.), London: Gerald Duckworth & Co. Ltd., 1989.
• Sorabji, R., 1988, Materie-, Raum- und Bewegungstheorien in der Antike und ihre Fortsetzung, Ithaca: Cornell University Press.
• Stewart, I., 2017, Infinity eine sehr kurze Einführung, Oxford: Oxford University Press.
• Tannery, P., 1885, "Le Concept Scientifique du Continuous: Zenon d'Elee und Georg Cantor", Revue Philosophique de la France und de l'Etranger, 20: 385–410.
• Vlastos, G., 1967, "Zeno of Elea", in der Encyclopedia of Philosophy, P. Edwards (Hrsg.), New York: The Macmillan Co. und The Free Press.
• Whitehead, AN, 1929, Prozess und Realität, New York: Macmillan Co.

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