Plurale Quantifizierung

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Plurale Quantifizierung

Erstveröffentlichung Mi 27. Oktober 2004; inhaltliche Überarbeitung Di 16. Mai 2017

Gewöhnliches Englisch enthält verschiedene Formen der Quantifizierung von Objekten. Neben der üblichen singulären Quantifizierung wie in

(1) Auf dem Tisch liegt ein Apfel

es gibt eine Pluralquantifizierung wie in

(2) Auf dem Tisch liegen einige Äpfel

Seit Frege hat die formale Logik die beiden singulären Quantifizierer (forall {x}) und (existiert {x}) gegenüber ihren mehreren Gegenstücken (forall {xx}) und (existiert {) bevorzugt xx}) (zu lesen wie für alle Dinge (xx) und es gibt einige Dinge (xx)). In den letzten Jahrzehnten wurde jedoch argumentiert, dass wir guten Grund haben, unter unseren primitiven logischen Begriffen auch die Pluralquantifizierer (forall {xx}) und (existiert {xx}) zuzulassen (Boolos 1984 und 1985a).

Umstrittener wurde argumentiert, dass das resultierende formale System mit Plural- und Singularquantifizierung als „reine Logik“qualifiziert ist; insbesondere, dass es universell anwendbar, ontologisch unschuldig und vollkommen gut verstanden ist. Diese These ist nicht nur für sich genommen interessant, sondern wird, wenn sie richtig ist, die Pluralquantifizierung als unschuldiges, aber äußerst leistungsfähiges Werkzeug in der Metaphysik, der Philosophie der Mathematik und der philosophischen Logik zur Verfügung stellen. Zum Beispiel hat George Boolos die Pluralquantifizierung verwendet, um monadische Logik zweiter Ordnung zu interpretieren [1].und hat auf dieser Grundlage argumentiert, dass monadische Logik zweiter Ordnung als „reine Logik“qualifiziert ist. Die plurale Quantifizierung wurde auch verwendet, um logistische Ideen zu verteidigen, die Mengenlehre zu berücksichtigen und ontologische Verpflichtungen gegenüber mathematischen Objekten und komplexen Objekten zu beseitigen.

  • 1. Die Sprachen und Theorien der Pluralquantifizierung

    • 1.1 Reglementierung der Pluralquantifizierung
    • 1.2 Die Theorien PFO und PFO +

  • 2. Plurale Quantifizierung vs. Quantifizierung zweiter Ordnung

    • 2.1 Plurale Quantifizierung und monadische Logik zweiter Ordnung
    • 2.2 Beziehungen
    • 2.3 Modale Kontexte
    • 2.4 Höhere Ebenen der Pluralquantifizierung?
  • 3. Die Logik-These

  • 4. Anwendungen der Pluralquantifizierung

    • 4.1 Festlegen der Logik der monadischen Logik zweiter Ordnung
    • 4.2 Logik
    • 4.3 Mengenlehre
    • 4.4 Mathematischer Nominalismus
    • 4.5 Komplexe Objekte beseitigen

  • 5. Ontologische Unschuld?

    • 5.1 Das satztheoretische Argument
    • 5.2 Das falsche Prädikationsargument
    • 5.3 Das direkte Argument
    • 5.4 Semantische Werte und ontologische Verpflichtungen
  • Literaturverzeichnis
  • Akademische Werkzeuge
  • Andere Internetquellen
  • Verwandte Einträge

1. Die Sprachen und Theorien der Pluralquantifizierung

Die logischen Formalismen, die seit Frege in der analytischen Tradition vorherrschen, erlauben keine pluralistische Quantifizierung. In einführenden Logikkursen wird den Schülern daher normalerweise beigebracht, mehrere Positionen zu paraphrasieren. Zum Beispiel kann ihnen beigebracht werden, „Alice und Bob haben Hunger“als „Alice hat Hunger und Bob hat Hunger“und „Es liegen einige Äpfel auf dem Tisch“als „(Exists {x} Exists { y} (x) ist ein Apfel auf dem Tisch & (y) ist ein Apfel auf dem Tisch & (x / ne y))”. Solche Paraphrasen sind jedoch nicht nur oft unnatürlich, sondern möglicherweise auch nicht verfügbar. Eines der interessantesten Beispiele für mehrere Orte, die einer singulären Paraphrase widerstehen, ist der sogenannte Geach-Kaplan-Satz:

(3) Einige Kritiker bewundern sich nur gegenseitig

Dieser Satz hat nachweislich keine singuläre Paraphrase erster Ordnung, die nur die im Satz selbst vorkommenden Prädikate verwendet. [2]

Wie sollen wir solche Sätze formalisieren? Die traditionelle Ansicht, die zum Beispiel von Quine verteidigt wird, ist, dass alle Paraphrasen in der klassischen Logik erster Ordnung angegeben werden müssen, wenn nötig, ergänzt durch die Mengenlehre. Insbesondere schlägt Quine vor, (3) als zu formalisieren

) tag {(3 ')} label {ex3prime} kern-5pt / Exists {S} (Exists {u} mstop u / in S / amp / Forall {u} (u / in S. / rightarrow Cu) amp / Forall {u} Forall {v} (u / in S / amp / textit {Auv} rightarrow v / in S / amp u / ne v)))

(1973: 111 und 1982: 293). [3]

In zwei wichtigen Artikeln aus den 1980er Jahren stellt George Boolos diese traditionelle Sichtweise in Frage (Boolos 1984 und 1985a). Er argumentiert, dass es einfach ein Vorurteil ist, darauf zu bestehen, dass die pluralistischen Orte der natürlichen Sprache weggeschrieben werden. Stattdessen schlägt er vor, dass genau wie die singulären Quantifizierer (Forall {x}) und (Exists {x}) ihre Legitimität dadurch erhalten, dass sie bestimmte Quantifizierungsgeräte in natürlicher Sprache darstellen, auch ihre pluralistischen Gegenstücke (Forall {xx}) und (Exists {xx}). Denn es kann keinen Zweifel geben, dass wir in der natürlichen Sprache die Ausdrücke „für alle Dinge“und „es gibt einige Dinge“verwenden und verstehen. [4] Da diese Quantifizierer Variablen binden, die eine Namens- (und keine Prädikat-) Position einnehmen, sind sie Quantifizierer erster Ordnung, wenn auch mehrere.

1.1 Reglementierung der Pluralquantifizierung

Ich werde nun eine einfache formale Sprache beschreiben, die verwendet werden kann, um die Pluralquantifizierung zu regulieren, wie sie in Englisch und anderen natürlichen Sprachen vorkommt.

Die formale Sprache (L _ { textrm {PFO}}). Die formale Sprache (L _ { textrm {PFO}}) (für Plural erster Ordnung) sei wie folgt.

  1. (L _ { textrm {PFO}}) hat die folgenden Begriffe (für jede natürliche Zahl (i)):

    • singuläre Variablen (x_i)
    • mehrere Variablen (xx_i)
    • singuläre Konstanten (a_i)
    • Plural Konstanten (aa_i)

  2. (L _ { textrm {PFO}}) hat die folgenden Prädikate (alle Argumentationsstellen sind singulär):

    • zwei dyadische logische Prädikate = und (prec) (als Identität zu betrachten und die Beziehung ist eine von)
    • nicht logische Prädikate (R ^ {n} _i) (für jede Adizität (n) und jede natürliche Zahl (i))

  3. (L _ { textrm {PFO}}) hat die folgenden Formeln:

    • (R ^ {n} _i (t_1, / ldots, t_n)) ist eine Formel, wenn (R ^ {n} _i) ein (n) - adisches Prädikat ist und (t_j) singulär sind Begriffe
    • (t / prec T) ist eine Formel, wenn (t) ein Singularterm und (T) ein Pluralterm ist
    • (neg / phi) und (phi / amp / psi) sind Formeln, wenn (phi) und (psi) Formeln sind
    • (Exists {v} mstop / phi) und (Exists {vv} mstop / phi) sind Formeln, wenn (phi) eine Formel und (v) eine singuläre Variable ist und (vv) ein Plural
    • Die anderen Konnektiva werden in üblicher Weise als Abkürzungen angesehen.

In (L _ { textrm {PFO}}) können wir eine Reihe englischer Ansprüche formalisieren, die Pluralformen betreffen. Zum Beispiel kann (2) als formalisiert werden

) tag {(2 ')} label {ex2prime} Exists {xx} Forall {u} (u / prec xx / rightarrow Au / amp Tu))

Und der Geach-Kaplan-Satz (3) kann als formalisiert werden

) tag {(3 '')} label {ex3pprime} Exists {xx}) Forall {u} (u / prec xx / rightarrow Cu) amp / Forall {u} Forall {v} (u / prec xx / amp / textit {Auv} rightarrow v / prec xx / amp u / ne v)].)

Die Sprache (L _ { textrm {PFO}}) weist jedoch eine schwerwiegende Einschränkung auf. Wir sehen dies, indem wir zwischen zwei Arten der Pluralprädikation unterscheiden. Ein Prädikat (P) mit mehreren Argumenten wird als verteilend bezeichnet, nur für den Fall, dass es analytisch ist, dass: (P) für einige Dinge (xx) genau dann gilt, wenn (P) für jedes / gilt (u) so dass (u / prec xx). [5] Zum Beispiel ist das Prädikat "ist auf dem Tisch" verteilend, da es analytisch ist, dass einige Dinge (xx) auf dem Tisch sind, nur für den Fall, dass sich jedes von (xx) auf dem Tisch befindet. Ein Prädikat (P), das nicht verteilend ist, wird als nicht verteilend oder kollektiv bezeichnet. [6]Zum Beispiel ist das Prädikat „einen Kreis bilden“nicht verteilend, da es nicht analytisch ist, dass jedes der Dinge ((xx) einen Kreis bildet, wenn einige Dinge (xx) einen Kreis bilden. Ein anderes Beispiel für eine nicht verteilende Pluralprädikation ist die zweite Argumentationsstelle des logischen Prädikats (prec): denn es ist nicht wahr (geschweige denn analytisch), wann immer (u) eines von (xx, u ist) ist eines von (xx). Es ist daher sowohl natürlich als auch nützlich, eine etwas reichhaltigere Sprache in Betracht zu ziehen:

Die formale Sprache (L _ { textrm {PFO} +}). Die Sprache (L _ { textrm {PFO} +}) erlaubt andere nicht verteilende Pluralprädikate als (prec). Dazu ändern wir die Definition von (L _ { textrm {PFO}}), um Prädikate (R ^ {n} _i) zuzulassen, die mehrere Argumente annehmen. Diese Prädikate können entweder logisch oder nicht logisch sein. [7]

Sollten wir auch Prädikate mit Argumentationsorten zulassen, die sowohl Singular- als auch Pluralargumente annehmen? Viele englische Prädikate funktionieren auf diese Weise, zum Beispiel „… ist / sind auf dem Tisch“. Wenn unser Hauptinteresse also die Analyse der natürlichen Sprache wäre, müssten wir wahrscheinlich solche Prädikate zulassen. Für die vorliegenden Zwecke ist es jedoch einfacher, solche Prädikate nicht zuzulassen. Wir werden sowieso bald Pluralitäten zulassen, die nur aus einer Sache bestehen. [8]

Derzeit werden die formalen Sprachen (L _ { textrm {PFO}}) und (L _ { textrm {PFO} +}) nur durch eine Übersetzung in gewöhnliches Englisch interpretiert, ergänzt durch Indizes zur Erleichterung des Querverweises (Boolos 1984: 443–5 [1998a: 67–9]; Rayo 2002: 458–9). (Schwerwiegendere semantische Fragen werden in Abschnitt 4 behandelt, in dem unsere Hauptfrage sein wird, ob unsere Theorien der Pluralquantifizierung ontologisch auf irgendeine Art von "satzartigen" Entitäten festgelegt sind.) Die beiden Klauseln dieser Übersetzung, die sich unmittelbar befassen Pluralbegriffe sind

(4) (Tr (x_i / prec xx_j) = / textrm {it} _i) ist einer von ihnen (_ j)

(5) (Tr (Exists {xx_j} mstop / phi) =) Es gibt einige Dinge (_ j), so dass (Tr (phi))

Die anderen Klauseln sind offensichtlich, zum Beispiel: (Tr (phi / amp / psi) = (Tr (phi)) und (Tr (psi))). Diese Übersetzung ermöglicht es uns, alle Sätze von (L _ { textrm {PFO}}) und (L _ { textrm {PFO} +}) zu interpretieren, wobei wir uns auf unser intuitives Verständnis des Englischen verlassen. Es ist nützlich, einige Beispiele zu betrachten. Das Anwenden von (Tr) auf (ref {ex2prime}) ergibt beispielsweise:

(2 ″) Es gibt einige Dinge (_ 1), so dass für alles (_ 2) (wenn es (_ 2) eines davon ist (_ 1), dann ist es (_ 2) ein Apfel und es ist (_ 2) auf dem Tisch)

1.2 Die Theorien PFO und PFO +

Wir werden nun eine Theorie PFO der Pluralquantifizierung erster Ordnung basierend auf der Sprache (L _ { textrm {PFO}}) beschreiben. Beginnen wir mit einer Axiomatisierung der gewöhnlichen Logik erster Ordnung mit Identität. Für unsere gegenwärtigen Zwecke ist es zweckmäßig, diese Logik als natürliches Deduktionssystem zu axiomatisieren, wobei alle Tautologien als Axiome und die bekannten natürlichen Deduktionsregeln für die singulären Quantifizierer und das Identitätszeichen als Inferenzregeln verwendet werden. Wir erweitern dann auf offensichtliche Weise die natürlichen Ableitungsregeln für die singulären Quantifizierer auf die pluralistischen. Als nächstes brauchen wir einige Axiome, die es uns ermöglichen, für geeignete Formeln (phi (x)) über die (phi) zu sprechen. Im gewöhnlichen Englisch signalisiert die Verwendung mehrerer Orte im Allgemeinen ein Problem mit zwei oder mehr Objekten. Die Existenz von zwei oder mehr Objekten ist jedoch möglicherweise nicht semantisch erforderlich. zum Beispiel,„Die Schüler, die sich für diese Klasse anmelden, werden viel lernen“scheint wahr zu sein, selbst wenn sich nur ein Schüler anmeldet. Es ist daher sowohl vernünftig als auch zweckmäßig, nur zu verlangen, dass es mindestens ein Objekt gibt, das (phi (x)) erfüllt. (Die meisten Leute, die zu diesem Thema schreiben, machen dieses Zugeständnis.) Dies führt zu den Pluralverständnisaxiomen, die die Instanzen des Schemas sind

) tag {Comp} Exists {u} phi (u) rightarrow / Exists {xx} Forall {u} (u / prec xx / leftrightarrow / phi (u)))

Dabei ist (phi) eine Formel in (L _ { textrm {PFO}}), die "(u)" und möglicherweise andere freie Variablen enthält, aber kein Vorkommen von "(xx)" enthält. (Das heißt, wenn etwas (phi) ist, dann gibt es einige Dinge, bei denen alles genau dann eines davon ist, wenn es (phi) ist.) Um die Idee, dass alle Pluralitäten sind, vollständig zu erfassen nicht leer, übernehmen wir auch das Axiom

) tag {6} Forall {xx} Exists {u} (u / prec xx).)

(Das heißt, für alle Dinge gibt es etwas, das eines davon ist.) Sei PFO + die Theorie, die auf der Sprache (L_ {PFO +}) basiert, die auf analoge Weise entsteht, aber zusätzlich Folgendes hat Axiomschema der Extensionalität:

) tag {7} Forall {xx} Forall {yy}) Forall {u} (u / prec xx / leftrightarrow u / prec yy) rightarrow (phi (xx) leftrightarrow / phi (yy))])

(Das heißt, für alle Dinge (_ 1) und alle Dinge (_ 2) (wenn etwas eines von ihnen ist (_ 1), wenn und nur es eines von ihnen ist (_ 2), dann sind sie (_1) sind genau dann (phi), wenn sie (_ 2) (phi)) sind.) Dieses Axiomschema stellt sicher, dass alle koextensiven Pluralitäten nicht erkennbar sind.

Hinweis zur Terminologie. Zur Erleichterung der Kommunikation werden wir das Wort "Pluralität" verwenden, ohne Stellung zu beziehen, ob es tatsächlich solche Entitäten wie Pluralitäten gibt. Aussagen, die das Wort „Pluralität“betreffen, können ohne Verwendung dieses Wortes immer länger umgeschrieben werden. Zum Beispiel kann die obige Behauptung, dass "alle Pluralitäten nicht leer sind" umgeschrieben werden als "wenn es einige Dinge gibt (xx), gibt es etwas (u), das eines der Dinge (xx) ist”. Wenn eine ontologische Behauptung (wird) gemacht wird, wird dies signalisiert, indem stattdessen die Lokalisierung "Pluraleinheit" verwendet wird.

2. Plurale Quantifizierung vs. Quantifizierung zweiter Ordnung

Unter "Logik zweiter Ordnung" verstehen wir eine Logik, die die gewöhnliche Logik erster Ordnung erweitert, indem sie die Quantifizierung in Prädikatposition ermöglicht. Zum Beispiel können wir aus "(a) ist ein Apfel" in der Logik zweiter Ordnung auf "(Exists {F} mstop Fa)" schließen. Die oben beschriebenen Plurallogiken erweitern jedoch die gewöhnliche Logik erster Ordnung auf eine andere Art und Weise, indem sie die Quantifizierung in die Pluralargumentposition ermöglichen. Prädikate und Plural-Nominalphrasen gehören jedoch zu verschiedenen syntaktischen und semantischen Kategorien. Zum Beispiel besteht der erstere aus Ausdrücken, die ungesättigt sind (im Sinne von Frege) - das heißt, die Lücken oder Argumentationsstellen enthalten -, während der letztere aus Ausdrücken besteht, die gesättigt sind (Higginbotham 1998: Abschn. 7; Oliver und Smiley 2001; Rayo und Yablo 2001: Abschn. X; Simons 1997; Williamson 2003: Abschn. IX; Yi 2005). Entsprechend,Quantifizierung zweiter Ordnung und Pluralquantifizierung werden im Allgemeinen als unterschiedliche Formen der Quantifizierung angesehen. In diesem Abschnitt diskutiere ich einige der Unterschiede und Ähnlichkeiten.

2.1 Plurale Quantifizierung und monadische Logik zweiter Ordnung

(Leser, die sich weniger für technische Fragen interessieren, möchten diesen Abschnitt möglicherweise überfliegen.) Boolos stellte fest, dass es möglich ist, monadische Logik zweiter Ordnung in der Theorie PFO zu interpretieren. [9] Sei MSO eine Standardaxiomatisierung der (vollständig improvisierten) monadischen Logik zweiter Ordnung in einer geeigneten Sprache (Lap {{textrm {MSO}}) (Shapiro 1991: Kap. 3; Boolos et al. 2002: Kap 22). Boolos definiert zuerst eine Übersetzung (Tr '), die eine beliebige Formel von (L _ { textrm {MSO}}) einer Formel von (L _ { textrm {PFO}}) zuordnet. Diese Definition, die durch Induktion der Komplexität der Formeln von (L _ { textrm {MSO}}) fortschreitet, enthält als einzige nicht triviale Klauseln die folgenden zwei, die sich mit den Variablen zweiter Ordnung befassen:

) tag {8} Tr '(X_jx_i) = x_i / prec xx_j)) tag {9} Tr' (Exists {X_j} mstop / phi) = / Exists {xx_j} mstop / Tr '(phi) lor Tr' (phi *))

Dabei ist (phi *) das Ergebnis der Ersetzung von (x_i / ne x_i) durch (X_j x_i) überall. Die Idee hinter diesen beiden Klauseln besteht darin, die Diskussion über Konzepte (oder welche Entitäten man auch immer verwendet, um die monadischen Variablen zweiter Ordnung zu erfassen) durch die Diskussion über die Objekte zu ersetzen, die unter diese Konzepte fallen. Anstatt zu sagen, dass (x_i) unter das Konzept (X_j) fällt, sagen wir, dass (x_i) eines von (xx_j) ist. Die einzige Schwierigkeit besteht darin, dass einige Konzepte keine Instanzen haben, während alle Pluralitäten mindestens eine Sache umfassen müssen. Die Möglichkeit, dass ein Konzept unbegründet bleibt, wird jedoch durch das zweite Disjunkt auf der rechten Seite von (9) berücksichtigt.

Durch Induktion von Ableitungen in MSO kann man leicht beweisen, dass jeder Satz von MSO auf einen Satz von PFO abgebildet ist. Darüber hinaus ist es einfach, eine "umgekehrte" Übersetzung zu definieren, die Formeln von (L _ { textrm {PFO}}) Formeln von (L _ { textrm {MSO}}) zuordnet und zu beweisen, dass diese Übersetzung zugeordnet ist Theoreme des ersteren zu Theoremen des letzteren. Dies zeigt, dass PFO und MSO gleich interpretierbar sind. Ein ähnliches Ergebnis kann für PFO + und eine Erweiterung MSO + von MSO nachgewiesen werden, die Prädikate von Konzepten (der ersten Ebene) zulässt, vorausgesetzt, MSO + enthält ein Axiomschema dahingehend, dass koextensive Konzepte nicht erkennbar sind.

Es ist wichtig, klar zu machen, was die Gleichinterpretierbarkeit von PFO und PFO + mit MSO bzw. MSO + zeigt und was nicht. Es zeigt, dass diese beiden Theorienpaare für die meisten technischen Zwecke gleichwertig sind. An sich zeigt es jedoch nichts darüber, dass diese beiden Theorienpaare in einem der anspruchsvolleren Sinne gleichwertig sind, die Philosophen häufig am Herzen liegen (z. B. mit demselben epistemischen Status, denselben ontologischen Verpflichtungen oder demselben Grad an Analytizität). (Zum Beispiel ist PFO gleichwertig mit atomarer Extensionsmereologie, die Philosophen tendenziell viel problematischer finden als PFO.) Um zu zeigen, dass die beiden Theorienpaare in einer philosophisch wichtigen Hinsicht gleichwertig sind, würden wir dies tun müssen zeigen, dass die obigen Übersetzungen (F) - ness bewahren.

2.2 Beziehungen

Obwohl die Pluralquantifizierung eine ziemlich natürliche Interpretation der Quantifizierung über (monadische) Konzepte liefert, bietet sie keine natürliche Interpretation der Quantifizierung über (polyadische) Beziehungen.

Diese Einschränkung kann (zumindest aus technischen Gründen) überwunden werden, wenn in der relevanten Domäne eine Paarungsfunktion vorhanden ist, dh wenn eine Funktion (pi) vorhanden ist, so dass (pi (u, v) = / pi (u ', v')) nur für den Fall (u = u ') und (v = v'). Denn dann kann die Quantifizierung über dyadische Beziehungen durch Pluralquantifizierung über geordnete Paare dargestellt werden. Darüber hinaus können wir durch iterierte Anwendungen der geordneten Paarfunktion (n) - Tupel und damit auch die Quantifizierung über (n) - adische Beziehungen darstellen. Die Frage ist, wie diese Paarungsfunktion zu verstehen ist. Eine Möglichkeit besteht darin, wie in der Mathematik vorzugehen und einfach die Existenz einer Paarungsfunktion als abstraktes mathematisches Objekt zu postulieren. Diese Option hat jedoch den offensichtlichen Nachteil, dass sie sich von dem entfernt, was die meisten Menschen als „reine Logik“bezeichnen wollen. Eine klügere Option,Im Anhang zu Lewis 1991 und in Hazen 1997 und 2000 wird untersucht, wie man über geordnete Paare spricht, indem man nur Ressourcen verwendet, die wohl rein logisch sind. Es stellt sich heraus, dass Gespräche über geordnete Paare in einer monadischen Logik dritter Ordnung simuliert werden können, wenn einige plausible zusätzliche Annahmen getroffen werden. Monadische Logik dritter Ordnung kann wiederum entweder in einer Theorie interpretiert werden, die Pluralquantifizierung mit Mereologie kombiniert (Lewis 1991: Kap. 3; Burgess und Rosen 1997: II. C.1) oder als Pluralquantifizierung auf höherer Ebene (Abschnitt) 2.4). Monadische Logik dritter Ordnung kann wiederum entweder in einer Theorie interpretiert werden, die Pluralquantifizierung mit Mereologie kombiniert (Lewis 1991: Kap. 3; Burgess und Rosen 1997: II. C.1) oder als Pluralquantifizierung auf höherer Ebene (Abschnitt) 2.4). Monadische Logik dritter Ordnung kann wiederum entweder in einer Theorie interpretiert werden, die Pluralquantifizierung mit Mereologie kombiniert (Lewis 1991: Kap. 3; Burgess und Rosen 1997: II. C.1) oder als Pluralquantifizierung auf höherer Ebene (Abschnitt) 2.4).

2.3 Modale Kontexte

Eine andere Art und Weise, wie Pluralquantifizierung und Quantifizierung zweiter Ordnung auseinanderfallen, ergibt sich in modalen Kontexten. Es ist oft eine zufällige Angelegenheit, ob ein Objekt unter ein Konzept fällt. Obwohl ich Schuhe trage, hätte ich das vielleicht nicht getan. Es gibt also ein Konzept (F), unter das ich falle, aber vielleicht nicht gefallen bin. Im Gegensatz dazu scheint es niemals abhängig zu sein, eines von einigen Objekten zu sein. Betrachten Sie die Personen (aa), die alle und nur die Personen sind, die derzeit Schuhe tragen. Dann bin ich nicht nur einer dieser Menschen, sondern dies scheint notwendig zu sein (vorausgesetzt, die Existenz der relevanten Objekte). Mich aus dieser Vielzahl von Menschen zu entfernen, würde nur zu einer anderen Vielzahl führen. Damit die Pluralität (aa) die Pluralität ist, die sie ist, muss sie genau die Objekte enthalten, die sie tatsächlich enthält. Also in jeder Welt, in der die Objekte (aa) überhaupt existieren,Ich muss einer von ihnen sein. Es stimmt, ich hätte vielleicht keine Schuhe getragen. Aber trotzdem wäre ich einer von (aa) gewesen, nur dann wäre (aa) nicht alles und nur die Leute gewesen, die Schuhe trugen. Pluralnamen und -variablen scheinen daher auf eine Weise starr zu sein, die der bekannten Starrheit von Singularnamen und -variablen entspricht: In jeder Welt, in der ein Pluralbegriff überhaupt bezeichnet, bezeichnet er dieselben Objekte. Insbesondere scheinen Pluralitäten den folgenden zwei Prinzipien zu unterliegen:es bezeichnet die gleichen Objekte. Insbesondere scheinen Pluralitäten den folgenden zwei Prinzipien zu unterliegen:es bezeichnet die gleichen Objekte. Insbesondere scheinen Pluralitäten den folgenden zwei Prinzipien zu unterliegen:

) tag {10} u / prec xx / rightarrow / Box (EExists xx / rightarrow u / prec xx))) tag {11} neg (u / prec xx) rightarrow / Box (EExists) u / amp / EExists xx / rightarrow / neg (u / prec xx)))

wobei (EExists xx) und (EExists u) geeignete Formalisierungen der Ansprüche sind, die jeweils (xx) und (u) existieren. [10]

2.4 Höhere Ebenen der Pluralquantifizierung?

Eine Möglichkeit, über PFO + hinauszugehen, besteht darin, die Quantifizierung in Prädikatenpositionen zuzulassen, einschließlich derjenigen von Prädikaten, die mehrere Argumente verwenden. Dies würde zu einer Erweiterung führen, die für PFO + steht, während gewöhnliche (singuläre) Logik zweiter Ordnung für gewöhnliche (singuläre) Logik erster Ordnung steht. Solche Erweiterungen werden hier nicht berücksichtigt: Ob sie legitim sind und wenn ja, welche Axiome sie unterstützen, hat weniger mit Pluralformen und Pluralquantifizierung zu tun als mit Prädikation und Quantifizierung über die semantischen Werte von Prädikaten. [11]

Was für die vorliegenden Zwecke relevant ist, ist, ob es irgendeine Form der "Super-Plural" -Quantifizierung gibt, die für eine gewöhnliche Pluralquantifizierung steht, während eine gewöhnliche Pluralquantifizierung für eine Singularquantifizierung steht. Wenn ja, nennen wir diese Pluralquantifizierung der zweiten Ebene. Allgemeiner können wir versuchen, eine Pluralquantifizierung für jede endliche Ebene einzuführen. Dies würde zu einer Theorie führen, die für technische Zwecke einer einfachen Typentheorie gleicht (Hazen 1997: 247; Linnebo 2003: Abschn. IV; Rayo 2006).

Es ist ziemlich einfach, formale Sprachen und Theorien der Pluralquantifizierung auf höherer Ebene zu entwickeln (Rayo 2006). Zum Beispiel können wir Variablen der Form xxx einführen, von denen angenommen wird, dass sie sich über Pluralitäten der zweiten Ebene erstrecken, und die Beziehung (xx / prec_2) xxx, die in Analogie zur Beziehung (x / prec xx) zu verstehen ist. (Siehe Linnebo und Rayo 2012 für Erweiterungen auf transfinite Ebenen und Vergleich der resultierenden Theorien mit denen der gewöhnlichen Mengenlehre.) Können diese formalen Theorien der Pluralquantifizierung auf höherer Ebene jedoch durch Überlegungen gerechtfertigt werden, die denen ähneln, die die Theorien PFO und PFO + rechtfertigen? ?

Boolos und viele andere Philosophen bestreiten, dass eine übergeordnete Pluralquantifizierung auf diese Weise gerechtfertigt werden kann. Für diese Ansicht werden zwei Arten von Argumenten angegeben. Erstens wird argumentiert, dass eine Pluralität immer eine Pluralität von Dingen ist. Da die Pluralquantifizierung jedoch ontologisch unschuldig ist, gibt es keine Pluralitäten. Es gibt also nichts, was zu einer Pluralität der zweiten Ebene zusammengefasst werden kann (McKay 2006: 46–53 und 137–139). Zweitens ist die gewöhnliche Quantifizierung im Plural durch die Tatsache gerechtfertigt, dass bestimmte Quantifizierungsmittel des Englischen und anderer natürlicher Sprachen erfasst werden. Englisch und andere natürliche Sprachen enthalten jedoch keine übergeordnete Pluralquantifizierung (Lewis 1991: 70–71).

Beide Argumente sind umstritten. In Bezug auf die erste ist nicht klar, warum die Ontologie für die Legitimität der Quantifizierung von Pluralformen auf höherer Ebene relevant sein sollte. Es sollte ausreichen, dass die Objekte auf Basisebene auf bestimmte komplexe Arten organisiert werden können. Zum Beispiel sollte die Pluralität der zweiten Ebene, die auf Cheerios basiert, die als oo oo oo organisiert sind, nicht ontologisch problematischer sein als die Pluralität der ersten Ebene, die auf denselben Objekten basiert, die als oooooo organisiert sind, obwohl die erstere eine zusätzliche Ebene der Struktur oder Artikulation aufweist (Linnebo) 2003: 87–8).

Das zweite der beiden oben genannten Argumente ist ebenfalls problematisch. Zunächst ist die Behauptung, dass es in der natürlichen Sprache keine übergeordneten Pluralorte gibt, mit ziemlicher Sicherheit falsch. Auf Isländisch beispielsweise haben die Zahlenwörter mehrere Formen, die zählen, nicht einzelne Objekte, sondern mehrere Objekte, die natürliche Gruppen bilden. Hier ist ein Beispiel:

einn skór meint ein Schuh
einir skór meint ein Paar Schuhe
tvennir skór meint zwei Paar Schuhe

Dies ermöglicht es uns, über Paar von Schuhen als eine Pluralität der zweiten Ebene und nicht als eine Pluralität der ersten Ebene von Objekten wie Paaren zu sprechen. Stellen Sie sich für ein englisches Beispiel ein Videospiel vor, in dem eine beliebige Anzahl von (n) Teams an einem (n) - Weg-Wettbewerb teilnehmen kann. Dann scheint der folgende Satz einen überpluralen Begriff zu beinhalten:

(12) Diese Menschen, diese Menschen und diese anderen Menschen treten gegeneinander an. (Linnebo und Nicolas 2008)

(Siehe auch Oliver und Smiley 2004: 654–656 und 2005: 1063; Ben-Yami 2013; und Simons 2016)

Darüber hinaus ist die bloße Idee, dass die Legitimität der Pluralquantifizierung auf höherer Ebene durch das Vorhandensein oder Nichtvorhandensein von Pluralorten auf höherer Ebene in Englisch und anderen natürlichen Sprachen entschieden wird, problematisch (Hazen 1993: 138 und 1997: 247; Linnebo 2003: 87; Rayo 2006). Was wirklich zählt, ist vermutlich, ob wir die Prinzipien und Überlegungen wiederholen können, auf denen unser Verständnis der gewöhnlichen Pluralquantifizierung der ersten Ebene basiert: Wenn wir können, wird die Pluralquantifizierung auf höherer Ebene auf die gleiche Weise gerechtfertigt sein wie die gewöhnliche Quantifizierung der ersten Ebene Pluralquantifizierung; und wenn nicht, dann nicht. Selbst wenn es in natürlichen Sprachen keine übergeordneten Pluralorte gäbe,Dies würde wenig oder gar keinen Beweis für die stärkere - und philosophisch interessantere - Behauptung liefern, dass es in keiner Sprache, die von intelligenten Agenten gesprochen wird, eine Wiederholung des Schrittes vom Singular zum Plural geben kann. Darüber hinaus könnten Beweise dieser Art besiegt werden, indem auf unabhängige Gründe hingewiesen wird, warum übergeordnete Pluralorte in natürlichen Sprachen selten sind. Ein solcher unabhängiger Grund kann einfach sein, dass gewöhnliche Sprecher nicht sehr besorgt über ihre ontologischen Verpflichtungen sind und es daher bequemer finden, Tatsachen auszudrücken, die Pluralitäten der zweiten Ebene betreffen, indem sie Objekte positionieren, um die Pluralitäten der ersten Ebene darzustellen (zum Beispiel indem sie über zwei sprechen Paar Schuhe), anstatt zusätzliche grammatikalische Hilfsmittel für Pluralformen der zweiten Ebene zu verfolgen (wie im obigen Beispiel aus dem Isländischen).

3. Die Logik-These

Es wird oft behauptet, dass die Theorien PFO und PFO + als „reine Logik“gelten. Wir werden diese (zugegebenermaßen vage) Behauptung als Logicality Thesis bezeichnen. Da die entsprechenden Sprachen durch die Übersetzung (Tr) in gewöhnliches Englisch interpretiert werden, ist dies eine Behauptung über die Logik bestimmter Axiome und Folgerungsregeln des gewöhnlichen Englisch. [12]

Noch bevor die Logicality Thesis präzisiert wird, ist es möglich, ihre Plausibilität für mindestens einige der Axiome und Inferenzregeln von PFO und PFO + zu bewerten. Erstens gibt es die Tautologien und die Inferenzregeln für die Identität und die singulären Quantifizierer. Es besteht ein breiter Konsens darüber, dass diese als logisch gelten. Als nächstes gibt es die Inferenzregeln, die die Pluralquantifizierer regeln. Da diese Regeln völlig analog zu den Regeln für die singulären Quantifizierer sind, kann kaum geleugnet werden, dass auch sie als logisch gelten. Dann gibt es die Extensionalitätsaxiome und das Axiom, dass alle Pluralitäten nicht leer sind. Diese Axiome sind unproblematisch, weil sie plausibel als analytisch angesehen werden können. Was bleibt, sind die Axiome des Pluralverständnisses, bei denen die Dinge viel weniger klar sind. Für diese Axiome gibt es keine offensichtlichen singulären Gegenstücke,und ihre syntaktische Form zeigt an, dass sie existenzielle Ansprüche stellen. Es ist also nicht offensichtlich, dass diese Axiome als rein logisch angesehen werden können.

Dies bedeutet nicht, dass es den Menschen nicht so offensichtlich vorgekommen ist, dass die Axiome des Pluralverständnisses rein logisch sind. Zum Beispiel behauptet Boolos ohne Argument, dass die Übersetzung jedes Axioms des Pluralverständnisses ins Englische „eine logische Wahrheit ausdrückt, wenn ein englischer Satz dies tut“(Boolos 1985b: 342 [1998a: 167]; seine Betonung).

Um die Logicality Thesis prinzipieller beurteilen zu können, muss mehr darüber gesagt werden, was es für eine Theorie bedeuten könnte, „rein logisch“zu sein. Daher werde ich nun einige der Merkmale untersuchen, von denen allgemein angenommen wird, dass sie bei einer solchen Definition eine Rolle spielen. Obwohl es den Menschen freigestellt ist, das Wort „Logik“nach Belieben zu verwenden, ist es wichtig, klar zu machen, was unterschiedliche Verwendungen bedeuten. Insbesondere wird angenommen, dass Theorien, die sich als rein logisch qualifizieren, eine Vielzahl wünschenswerter philosophischer Eigenschaften wie epistemische und ontologische Unschuld aufweisen. Im nächsten Abschnitt, in dem verschiedene Anwendungen der Pluralquantifizierung erörtert werden, werde ich sorgfältig darauf hinweisen, welche Stämme des Begriffs der Logik unsere Theorien PFO und PFO + besitzen müssen, damit die verschiedenen Anwendungen erfolgreich sind.

Der vielleicht am wenigsten kontroverse Kandidat für ein definierendes Merkmal der Logik ist ihre absolute Allgemeinheit. Ein logisches Prinzip gilt für jede Art von Diskurs, unabhängig davon, um welche Art von Objekten es sich bei diesem Diskurs handelt. Zum Beispiel gilt modus ponens nicht nur für Physik und Mathematik, sondern auch für Religion und für die Analyse von Romanen. Frege fängt die Idee gut ein, wenn er sagt, dass ein logisches Prinzip in „der breitesten Domäne von allen gültig ist; […] Nicht nur das Tatsächliche, nicht nur das Intuitive, sondern alles Denkbare “(Frege 1884: 21). Während also die Prinzipien der Physik nur in der tatsächlichen Welt und in Welten gültig sind, die ihr nomologisch ähnlich sind, regieren die Prinzipien der Logik alles Denkbare. Wenn eines dieser Prinzipien geleugnet wird, entsteht „völlige Verwirrung“(ebenda).

Ein weiteres Merkmal, von dem allgemein angenommen wird, dass es die Logik definiert, ist ihre Formalität: Die Wahrheit eines Logikprinzips wird durch die Form des Denkens und / oder der Sprache garantiert und hängt in keiner Weise von seiner Materie ab. Was dieses Merkmal bedeutet, hängt offensichtlich davon ab, wie die Unterscheidung zwischen Form und Materie verstanden wird. Die populärste Erklärung für die Unterscheidung zwischen Form und Materie ergibt sich aus der weit verbreiteten Ansicht, dass keine Objekte aus konzeptioneller Notwendigkeit existieren (Field 1993; Yablo 2000). Nach dieser Auffassung ist es selbstverständlich, dass alles, was mit der Existenz von Objekten und ihren besonderen Merkmalen zu tun hat, eher zur Sache des Denkens als zu seiner Form gehört. Dies führt zu zwei Merkmalen, die häufig als Definition der Logik angesehen werden. Erstens muss die Logik ontologisch unschuldig sein; das ist,Ein Prinzip der Logik kann keine neuen ontologischen Verpflichtungen einführen (Boolos 1997; Field 1984). Zweitens dürfen die Grundbegriffe der Logik nicht zwischen verschiedenen Objekten unterscheiden, sondern müssen sie alle gleich behandeln. Diese letztere Idee wird oft als die Anforderung formuliert, dass logische Begriffe unter Permutationen der Domäne von Objekten unveränderlich sein müssen (Tarski 1986).

Ein drittes Merkmal, das oft als Definition von Logik angesehen wird, ist sein (angeblicher) kognitiver Primat. Primitive logische Begriffe müssen vollständig verstanden werden, und unser Verständnis von ihnen muss direkt in dem Sinne sein, dass es nicht von Begriffen abhängt oder ein Verständnis von Begriffen beinhaltet, die als außerlogisch eingestuft werden müssen. Nehmen wir zum Beispiel an, dass bestimmte satztheoretische Prinzipien als außerlogisch angesehen werden müssen. Dann kann unser Verständnis der primitiven logischen Begriffe von keinem dieser Prinzipien abhängen oder diese einbeziehen.

4. Anwendungen der Pluralquantifizierung

Ich werde nun einige Anwendungen der Theorien PFO und PFO + skizzieren. Im vorigen Abschnitt wurden drei Stämme des Begriffs der Logik entwirrt. Besonderes Augenmerk wird auf die Frage gelegt, welche dieser drei Stämme PFO und PFO + besitzen müssen, damit die Anwendungen erfolgreich sind.

4.1 Festlegen der Logik der monadischen Logik zweiter Ordnung

Wie wir in Abschnitt 2.1 gesehen haben, definierte Boolos eine Interpretation der Theorie MSO der monadischen Logik zweiter Ordnung in der Theorie PFO der Pluralquantifizierung. Er versuchte, diese Übersetzung zu verwenden, um die Logik von MSO festzustellen. Dies erfordert zwei Schritte. Der erste Schritt besteht darin, zu argumentieren, dass PFO reine Logik ist, dh die vollständige Logikalitätsthese zu erstellen (wie genau sie auch interpretiert wird). Der zweite Schritt besteht darin zu argumentieren, dass die Interpretation von MSO in PFO die Logik bewahrt.

Einige der Herausforderungen, denen sich der erste Schritt gegenübersieht, werden in Abschnitt 5 untersucht. Auch der zweite Schritt sollte nicht unterschätzt werden. Die vielleicht größte Sorge hier ist, dass Boolos 'Übersetzung Ausdrücke aus einer Kategorie (die von monadischen Prädikaten) in Form von Ausdrücken aus einer anderen Kategorie (die von Plural-Nominalphrasen) wiedergibt. Zum Beispiel wird "… ist ein Apfel" als "die Äpfel" gerendert. Diese Kategorien sind jedoch sehr unterschiedlich (Abschnitt 2).

Da die These, dass MSO reine Logik ist, sehr abstrakt ist, wird ein Großteil seines Barwerts in seinen Anwendungen liegen. Und angesichts der Gleichinterpretierbarkeit von MSO und PFO ist es wahrscheinlich, dass viele Anwendungen der Logik des ersteren durch die Logik des letzteren gleich gut bedient werden können. Dies verringert die Wichtigkeit der Durchführung des zweiten Schritts etwas.

4.2 Logik

Sowohl der fregeanische als auch der post-fregeanische Logikismus nutzen die Quantifizierung zweiter Ordnung wesentlich. Frege definierte die verschiedenen Objekte der reinen Mathematik als Erweiterungen von Konzepten, und sein berühmtes Grundgesetz V stellte fest, dass zwei Konzepte (F) und (G) dieselbe Erweiterung haben, nur für den Fall, dass sie gleichzeitig umfangreich sind:

) tag {V} û / mstop Fu = û / mstop Gu / leftrightarrow / Forall {u} (Fu / leftrightarrow Gu))

Aber bekanntlich zeigt Russells Paradoxon, dass die Theorie zweiter Ordnung mit (V) als Axiom inkonsistent ist.

Philosophen haben versucht, einige Ideen des fregeanischen Logikismus zu retten, indem sie Axiome verwendeten, die schwächer als (V) waren. Einer der wichtigsten derartigen Versuche ist der Neologizismus von Bob Hale und Crispin Wright, der Freges Theorie der Erweiterungen aufgibt, aber an der zentralen Idee seiner Definition von Kardinalzahlen festhält, nämlich der Anzahl der (F) s identisch mit der Anzahl von (G) s, nur für den Fall, dass die (F) s und die (G) s eins zu eins korreliert werden können. Dies ist als Humes Prinzip bekannt geworden und kann als formalisiert werden

) tag {HP} Nu. Fu = Nu / mstop Gu / leftrightarrow F / approx G)

wobei (F / approx G) sagt, dass es eine Beziehung gibt, die eins zu eins die (F) s und die (G) s korreliert. Die Theorie zweiter Ordnung mit (HP) als Axiom ist konsistent und erlaubt es uns, alle gewöhnlichen Arithmetiken (Peano-Dedekind zweiter Ordnung) unter Verwendung einiger sehr natürlicher Definitionen abzuleiten (siehe den Eintrag zu Freges Logik, Theorem und Grundlagen für Arithmetik).

Noch bescheidener ist Boolos 'Sublogik, der die Idee (die sowohl von Logikern als auch von Neologikern befürwortet wird) ablehnt, dass es logische Objekte gibt, aber darauf besteht, dass Freges Definition des Vorfahren einer Beziehung verwendet werden kann, um gegenüber Kant zu zeigen, dass zumindest einige nicht triviale Mathematik analytisch ist (Boolos 1985b). Denken Sie daran, dass eine Beziehung (R) zu ihrem Vorfahren (Rarel) steht, da die Beziehung ein Elternteil von steht zu einem Vorfahren von steht. (Genauer gesagt gilt (Rarel) zwischen zwei Objekten (x) und (y), nur für den Fall, dass (x) und (y) durch eine endliche Folge von Objekten verbunden sind, von denen jedes trägt (R) zu seinem Nachfolger.) Frege gibt eine Definition zweiter Ordnung der Ahnenbeziehung (Rarel), indem festgelegt wird, dass (x) und (y) nur für den Fall (y) durch (Rarel) in Beziehung stehen. hat jede Eigenschaft, die von (x) 's (R) - Nachfolgern besessen und unter der (R) - Beziehung geerbt wird:

) tag {Def (Rarel)} x / Rarel y / leftrightarrow / Forall {F}) Forall {u} (x / Rrel u / rightarrow Fu) amp / Forall {u} (Fu / amp u / Rrel v / rightarrow Fv) rightarrow Fy])

Mit dieser Definition beweist Frege 1879 einige nicht triviale mathematische Wahrheiten, wie zum Beispiel, dass die Ahnen (Rarel) transitiv sind und dass für jede funktionale Beziehung (R) die (R) - Ahnen von irgendwelchen Objekt sind (Rarel) - vergleichbar (das heißt, er hat bewiesen: Funktional ((R) amp x / Rarel y / amp x / Rarel z / rechts y / Rarel z / lor z / Rarel y)).

Es wurde vorgeschlagen, PFO zu verwenden, um dem Bedürfnis der post-fregeanischen Logiker nach Quantifizierung zweiter Ordnung Rechnung zu tragen. Da die Vorfahren eines dyadischen Prädikats nur mit monadischer Quantifizierung zweiter Ordnung definiert werden können, dient PFO tatsächlich den logischen Anforderungen von Boolos 'Unterlogik. [13] Da die neo-logistische Definition von (F / approx G) eine dyadische Logik zweiter Ordnung verwendet, verfügt PFO allein nicht über eine ausreichende Ausdruckskraft, um den Anforderungen des Neo-Logikismus gerecht zu werden. Der Neologiker kann versuchen, dieses Problem zu lösen, indem er die Äquinumerosität als primitiven logischen Quantifizierer betrachtet oder die dyadische Quantifizierung zweiter Ordnung in einer geeigneten Erweiterung von PFO simuliert, wie in Abschnitt 2.2 [14] erläutert (siehe Boccuni 2010 für eine andere Option).

Welche Stämme der Logicality Thesis werden benötigt, damit diese Anwendungen erfolgreich sind? Da diese Logiker versuchen zu zeigen, dass Teile der Mathematik analytisch (oder zumindest a priori erkennbar) sind, würde dies erfordern, dass PFO analytisch (oder zumindest a priori erkennbar) ist, was wiederum wahrscheinlich erfordert, dass PFO irgendeine Form von genießt kognitiver Primat. Darüber hinaus müsste PFO entweder ontologisch unschuldig sein oder nur Unternehmen verpflichtet sein, deren Existenz konzeptionell notwendig (oder zumindest a priori feststellbar) ist.

4.3 Mengenlehre

Eine weitere Anwendung der Logicality Thesis befasst sich mit der Mengenlehre. Man kann aus verschiedenen Gründen über Sammlungen von Mengen sprechen und diese quantifizieren wollen (Linnebo 2003: 80–81). Zum Beispiel möchte man vielleicht behaupten

(13) Es gibt einige Sätze, bei denen es sich ausschließlich um nicht selbst verbundene Sätze handelt

Wenn wir dies als formalisieren

) tag {(13 ')} Exists {R} Forall {x} (Rx / leftrightarrow x / not / in x),)

Wie ist der Quantifizierer (existiert {R}) zu verstehen? Es kann eindeutig nicht angenommen werden, dass es sich über alle Mengen erstreckt, da dies direkt zu Russells Paradoxon führen würde: (13 ') würde dann die Existenz der Russell-Menge behaupten. Drei weitere Antworten sind in der Literatur prominent.

Die erste Antwort ist, dass (existiert {R}) sich über Klassen erstreckt, einige Klassen jedoch zu groß (oder auf andere Weise ungeeignet) sind, um festgelegt zu werden. Insbesondere behauptet (13) die Existenz der Russell-Klasse, die keine Menge ist. Diese Antwort wurde als problematisch befunden, da sie die Existenz verschiedener Arten von "satzartigen" Entitäten postuliert (Boolos 1984: 442 [1998a: 66] und 1998b: 35). Es wurde auch beanstandet, dass diese Antwort nur das von (13) aufgeworfene Problem verschiebt. Denn das wäre auch wahr

(14) Es gibt einige Klassen, bei denen es sich ausschließlich um nicht selbstmitgliedte Klassen handelt

Was für eine Entität wäre diese Sammlung von Klassen? Eine Superklasse? Wenn ja, werden wir gezwungen sein, immer höhere Klassenstufen zu postulieren. Lewis (1991: 68) argumentiert, dass Russells Paradoxon immer noch unvermeidlich ist, weil wir, wenn wir alle satzartigen Entitäten betrachten, erkennen, dass Folgendes wahr ist:

(15) Es gibt einige satzähnliche Dinge, die alle und nur die nicht selbstständigen satzartigen Dinge sind

Hazen (1993: 141–2) hat jedoch darauf hingewiesen, dass Lewis 'Einwand wesentliche Typbeschränkungen verletzt. Klassen verschiedener Ebenen gehören zu verschiedenen logischen Typen, genau wie Konzepte verschiedener Ebenen. Lewis 'Versuch, auf einen Schlag über alle satzartigen Entitäten zu sprechen, beinhaltet den Versuch, über verschiedene logische Typen hinweg zu quantifizieren. Dies verstößt jedoch ebenso gegen Typbeschränkungen wie der Versuch, Objekte und Konzepte aller Ebenen gleichzeitig zu quantifizieren. Obwohl wir über jede Ebene von Klassen quantifizieren können, können wir niemals über alle Ebenen gleichzeitig quantifizieren.

Die zweite Antwort ist, dass (13) die Existenz einer Menge (R) behauptet, aber dass (R) nicht im Bereich des Quantifizierers (forall {x}) liegt. Dies hindert uns daran, den Quantifizierer (forall {x}) in Bezug auf (R) zu instanziieren, was bedeutet, dass wir nicht die fatale Schlussfolgerung ziehen können, dass (R) ein Mitglied von sich selbst ist, nur für den Fall, dass dies nicht der Fall ist 't. Diese Antwort hat jedoch zur Folge, dass der Quantifizierer (forall {x}) nicht so ausgewählt werden kann, dass er sich über absolut alle Mengen erstreckt. denn wenn es so gewählt werden könnte, könnten wir nicht leugnen, dass (R) in diesem Bereich der Quantifizierung liegt. Dies bedeutet, dass das Universum der Mengen eine gewisse Unerschöpflichkeit aufweist: Wann immer wir ein Konzept der Quantifizierung über einen bestimmten Bereich von Mengen gebildet haben, können wir eine Menge definieren, die nicht in diesem Bereich liegt (Dummett 1981: Kap. 15 und 1991: Kap. 24; Glanzberg 2004; Parsons 1977). Jedoch,Diese Antwort wurde kritisiert, weil sie bestenfalls schwer zu sagen und im schlimmsten Fall selbst widerlegend ist (Boolos 1998b: 30; Lewis 1991: 68; Williamson 2003: Abschn. V). (Siehe auch Rayo und Uzquiano 2006 für eine Reihe von Aufsätzen, in denen diskutiert wird, ob eine absolut allgemeine Quantifizierung möglich ist.)

Aufgrund der Schwierigkeiten, die mit den ersten beiden Antworten verbunden sind, ist eine dritte Antwort in den letzten Jahren populär geworden (Boolos 1984 und 1985a; Burgess 2004; Cartwright 2001; Rayo und Uzquiano 1999; Uzquiano 2003). Dies ist, dass der Quantifizierer (existiert {R}) ein Pluralquantifizierer ist (und daher besser als (existiert {rr}) geschrieben werden würde) und dass die Pluralquantifizierung ontologisch unschuldig ist. Daher behauptet (13) nicht die Existenz einer "satzartigen" Entität über die Mengen hinaus im Bereich des Quantifizierers (forall {x}). Aber wie wir in Abschnitt 5 sehen werden, ist die Behauptung über die ontologische Unschuld umstritten.

4.4 Mathematischer Nominalismus

Einige der beliebtesten Anwendungen der Pluralquantifizierung betreffen die ontologische Ökonomie. Die Idee ist, den ontologischen Preis einer Theorie erster Ordnung zu zahlen und dann die Pluralquantifizierung zu verwenden, um die entsprechende monadische Theorie zweiter Ordnung kostenlos (eine Theorie mit der Kraft von) zu erhalten. Das wäre natürlich ein ontologisches Geschäft. Anwendungen dieser Art fallen in zwei Hauptklassen, die in diesem und im nächsten Unterabschnitt behandelt werden.

Eine Klasse von Anwendungen der Pluralquantifizierung zielt darauf ab, ontologische Schnäppchen in der Philosophie der Mathematik zu machen. Insbesondere haben eine Reihe von Philosophen versucht, die Pluralquantifizierung als Bestandteil nominalistischer Interpretationen der Mathematik zu verwenden. Ein schönes Beispiel ist Geoffrey Hellmans modaler Nominalismus, wonach mathematische Aussagen zur Existenz abstrakter Objekte zugunsten von Aussagen über die mögliche Existenz konkreter Objekte zu streichen sind. Anstatt beispielsweise wie der Platoniker zu behaupten, dass es eine unendliche Sammlung abstrakter Objekte gibt, die die Axiome der Peano-Arithmetik (nämlich die natürlichen Zahlen) erfüllen, behauptet Hellman, dass es eine unendliche Sammlung konkreter Objekte geben könnte, die sich darauf beziehen erfüllen diese Axiome (Hellman 1989 und 1996). Jedoch,Selbst diese modale Behauptung scheint über Sammlungen konkreter Objekte und Beziehungen zu diesen Objekten zu sprechen. Um dem Einwand zuvorzukommen, dass dies abstrakte Objekte wie Sets durch die Hintertür schmuggelt, braucht Hellman eine alternative, nominalistisch akzeptable Interpretation dieses Vortrags über Sammlungen und Beziehungen. Eine Mehrfachquantifizierung kann eine solche Interpretation bieten.

Damit diese Anwendung der Pluralquantifizierung funktioniert, muss PFO auf alle Arten von konkreten Objekten anwendbar sein und ontologisch unschuldig sein oder zumindest nicht auf Entitäten, die die Merkmale abstrakter Objekte teilen, die als nominalistisch anstößig befunden werden. Um die Quantifizierung über Beziehungen zu simulieren, benötigen wir nicht nur PFO, sondern eine Theorie, die eher der monadischen Logik dritter Ordnung ähnelt (Abschnitte 2.2 und 2.4).

4.5 Komplexe Objekte beseitigen

Eine andere Klasse von Anwendungen versucht, die Verpflichtungen der Wissenschaft und des gesunden Menschenverstandes gegenüber (einigen oder allen) komplexen Objekten zu beseitigen. Zum Beispiel wird vorgeschlagen, anstelle der üblichen singulären Quantifizierung über Tischen und Stühlen eine Pluralquantifizierung über mereologische Atome zu verwenden, die tisch- oder stuhlweise angeordnet sind (Dorr und Rosen 2002; Hossack 2000; van Inwagen 1990). Anstatt zum Beispiel zu sagen, dass sich in einem Büro ein Stuhl befindet, sollte man sagen, dass sich in einem Büro einige Atome befinden, die stuhlweise angeordnet sind. Auf diese Weise scheint man es zu vermeiden, sich auf die Existenz eines Stuhls festzulegen. Beachten Sie, dass solche Analysen PFO + erfordern, nicht nur PFO, da die neuen Prädikate "angeordnet (F) - weise" nicht verteilend sind.

Lassen Sie uns rein metaphysische Sorgen über solche Analysen beiseite lassen, die für unser gegenwärtiges Anliegen irrelevant sind. Was (wir) gerne wissen würden, ist, welche Anforderungen diese Analysen an die Theorie PFO + stellen, insbesondere welche Stämme der Logicality Thesis benötigt werden. Die offensichtlichsten Anforderungen sind, dass PFO + auf alle Arten einfacher Objekte anwendbar ist und dass es ontologisch unschuldig ist oder zumindest nicht an komplexe Objekte der Art gebunden wird, die beseitigt werden sollen.

Eine weniger offensichtliche Forderung hat mit der Notwendigkeit zu tun, beispielsweise die gewöhnliche Pluralquantifizierung über komplexe Objekte zu analysieren

(16) Es gibt einige Stühle, die in einem Kreis angeordnet sind

Wir haben bereits die gewöhnliche Quantifizierung und Prädikation im Plural „aufgebraucht“, um das offensichtliche Engagement für einzelne Lehrstühle zu beseitigen (Uzquiano 2004). Um zu analysieren (16), benötigen wir so etwas wie eine „Super-Plural“-Quantifizierung - eine Quantifizierung, die einer gewöhnlichen Pluralquantifizierung entspricht, während eine gewöhnliche Pluralquantifizierung einem Singular entspricht - und eine entsprechende nichtverteilende Prädikation. Die Legitimität solcher sprachlicher Ressourcen wurde in Abschnitt 2.4 erörtert.

5. Ontologische Unschuld?

Die traditionelle Ansicht in der analytischen Philosophie war, dass alle Pluralorte, falls erforderlich, durch Quantifizierung über Mengen weg paraphrasiert werden sollten (Abschnitt 1). George Boolos und andere beanstandeten, dass es sowohl unnatürlich als auch unnötig sei, mehrere Orte zu eliminieren. Dies führte zu den Theorien PFO und PFO +. Befürworter der Pluralquantifizierung behaupten, dass diese Theorien es ermöglichen, Pluralorte auf eine Weise zu formalisieren, die sich grundlegend von den alten satztheoretischen Paraphrasen unterscheidet. Insbesondere behaupten sie, dass diese Theorien in dem Sinne ontologisch unschuldig sind, dass sie keine neuen ontologischen Verpflichtungen gegenüber Mengen oder anderen „satzartigen“Entitäten einführen, die über die einzelnen Objekte hinausgehen, aus denen die fraglichen Pluralitäten bestehen. Nennen wir diese letztere Behauptung Ontologische Unschuld.

Andere Philosophen stellen die ontologische Unschuld in Frage. Zum Beispiel äußert Michael Resnik Bedenken hinsichtlich der angeblichen ontologischen Unschuld der Pluralformalisierung (ref {ex3pprime}) des Geach-Kaplan-Satzes (3). Wenn (ref {ex3pprime}) wie angewiesen ins Englische übersetzt wird, heißt es:

((3 '' ')) Es gibt einige Kritiker, so dass jeder von ihnen einen anderen Kritiker nur dann bewundert, wenn der letztere einer von ihnen ist, der sich vom ersteren unterscheidet

Aber ((3 '' ')), sagt Resnik,

scheint mir ganz explizit auf Sammlungen zu verweisen. Wie können wir den Ausdruck „einer von ihnen“anders verstehen, als sich auf eine Sammlung zu beziehen und zu sagen, dass der Verweis auf „einen“dazu gehört? (Resnik 1988: 77)

Verwandte Bedenken wurden in Hazen 1993, Linnebo 2003, Parsons 1990 und Rouilhan 2002 geäußert; siehe auch Shapiro 1993.

Ich werde jetzt drei Argumente für die ontologische Unschuld diskutieren.

5.1 Das satztheoretische Argument

Das erste Argument beginnt mit der Aufforderung, die Behauptung zu prüfen

(17) Es gibt einige Mengen, bei denen es sich ausschließlich um nicht selbst verbundene Mengen handelt

und zugeben, dass es wahr ist. Es wird weiter argumentiert, dass die Wahrheit von (17) direkt zu Russells Paradoxon führen würde, wenn Pluralausdrücke für Sammlungen oder andere „satzähnliche“Objekte verwendet würden. Dies wird manchmal als ein vernichtendes Argument zugunsten der ontologischen Unschuld angesehen (Boolos 1984: 440–443 [1998a: 64–67]; Lewis 1991: 65–69; McKay 2006: 31–32). Tatsächlich ist es jedoch weniger schlüssig als es scheint. Denn wie wir in Abschnitt 4.3 gesehen haben, wird Russells Paradox nur folgen, wenn zwei alternative Ansichten ausgeschlossen sind. Da diese Ansichten nicht ohne weiteres zurückgewiesen werden können, bleibt noch viel Arbeit, bevor dieses Argument als schlüssig angesehen werden kann.

5.2 Das falsche Prädikationsargument

Das zweite Argument ist gut in Boolos 'Bemerkung zusammengefasst: „Es ist verdreht zu glauben, dass man mit Cheerios ein Set isst“(1984: 448–9 [1998a: 72]). Was Boolos hier vorschlägt, ist, dass Analysen, die die ontologische Unschuld leugnen, wahrscheinlich das Thema der Pluralprädikationen falsch machen.

Die offensichtliche Antwort besteht darin, mehrere Prädikate so zu interpretieren, dass sichergestellt ist, dass das, was wir essen, die Elemente einer Menge und nicht die Menge selbst sind. Betrachten Sie den Satz:

(18) George Boolos aß am 1. Januar 1985 einige Cheerios zum Frühstück

Wenn das direkte Objekt des Verbs „ate“Plural ist, können wir das Verb beispielsweise durch die Beziehung x ate-the-elements-of y interpretieren.

Es wird beanstandet, dass diese Antwort das Verb „aß“auf unplausible Weise mehrdeutig macht (Oliver und Smiley 2001). Denn wenn das Verb ein direktes Objekt hat, das singulär ist, wird es vermutlich mittels der gewöhnlichen Beziehung x ate y interpretiert. Es gibt jedoch ziemlich starke Beweise dafür, dass das Verb „gegessen“auf diese Weise nicht mehrdeutig ist. Ein Effekt einer Mehrdeutigkeit besteht beispielsweise darin, bestimmte Arten von Auslassungspunkten nicht zuzulassen. Ein Beispiel ist die Mehrdeutigkeit von „Make“in „Make Breakfast“und „Make a Plan“, die die folgenden Auslassungspunkte nicht zulässt:

(* 19) Boolos machte Frühstück, aber sein Gast, nur ein Plan

Wenn also "aß" auf die gerade beschriebene Weise mehrdeutig wäre, wäre auch die folgende Ellipse nicht zulässig, was nicht der Fall ist:

(20) Boolos aß einige Cheerios, aber sein Gast nur einen Apfel

Es ist jedoch alles andere als klar, dass die obige Antwort auf das Argument von Boolos solchen problematischen Unklarheiten verpflichtet sein muss. Wir können zum Beispiel alle Prädikate mehrere Entitäten als Argumente nehmen lassen. Das Verb „aß“erhält dann immer als Interpretation die Beziehung der Elemente von x aß die Elemente von y, wodurch jegliche Mehrdeutigkeit beseitigt wird. Ob diese Antwort letztendlich akzeptabel ist oder nicht, zeigt, dass das fragliche Argument nicht schlüssig bleibt.

5.3 Das direkte Argument

Das vielleicht beliebteste Argument für Ontologische Unschuld ist das, an das ich mich jetzt wende. In seiner einfachsten Form basiert dieses Argument auf unseren Intuitionen über ontologische Verpflichtungen. Wenn Sie behaupten (18), haben Sie nicht das Gefühl, dass Sie sich ontologisch einer Sammlung oder einem anderen „satzartigen“Objekt verpflichten. Sie haben auch kein solches Gefühl, wenn Sie den Geach-Kaplan-Satz oder eine andere Übersetzung eines Satzes von PFO oder PFO + ins Englische behaupten. Zumindest lautet das Argument.

In dieser einfachen Form ist das Argument anfällig für den Einwand, dass die Intuitionen der Menschen eine schlechte Grundlage für die Beilegung theoretischer Streitigkeiten über ontologische Verpflichtungen darstellen. Wir haben gesehen, dass es kompetente englische Sprecher wie Michael Resnik gibt, die diese Intuitionen nicht teilen. Darüber hinaus kann, wie Davidsons populäre Analyse von Handlungssätzen in Bezug auf Ereignisse deutlich macht, der Intuition gewöhnlicher Menschen über ontologische Verpflichtungen nicht immer vertraut werden (Davidson 1967). Zum Beispiel kann jemand aufrichtig behaupten, dass John langsam ging, ohne sich bewusst zu sein, dass er sich der Existenz eines Ereignisses verpflichtet hat (nämlich eines Gehens, das von John war und das langsam war).

Obwohl dieser Einwand Kraft hat, kann das Argument geschärft werden, indem genauer untersucht wird, welche Formen existenzieller Verallgemeinerung für einen Satz mit mehreren Ausdrücken gerechtfertigt sind (Boolos 1984: 447 [1998a: 70]; McKay 2006: Kap. 2; Yi 2002: 7–15 und 2005: 469–472). Zum Beispiel können wir fragen, ob aus (18) Folgendes abgeleitet werden kann:

(21) Es gibt einen solchen Gegenstand, dass Boolos am 1. Januar 1985 alle seine Elemente (oder Bestandteile) zum Frühstück aß

Diese Schlussfolgerung wäre zweifellos ziemlich eigenartig. Dies liefert den Beweis, dass (18) keiner „satzartigen“Entität verpflichtet ist.

Dieser Beweis ist jedoch nicht unbestreitbar. Denn es gibt analoge Schlussfolgerungen, die ganz natürlich erscheinen. Zum Beispiel von

(22) Einige Studenten umstellten das Gebäude

Die meisten Englischsprachigen würden gerne darauf schließen

(23) Eine Gruppe von Studenten umgab das Gebäude

Vielleicht ist die Besonderheit der Folgerung von (18) bis (21) eher ein pragmatisches als ein semantisches Phänomen. Vielleicht hat es damit zu tun, dass es weniger natürlich ist, einige Cheerios als eine Menge (oder eine andere Art von Pluraleinheit) zu betrachten, als einige Schüler als eine Gruppe.

Nehmen wir jedoch an, dass die Verteidiger des direkten Arguments Recht haben, dass (18) nicht (21) beinhaltet. Was würde folgen? Daraus folgt, dass (18) keine zusätzlichen ontologischen Verpflichtungen der Art eingeht, die durch singuläre Quantifizierer erster Ordnung entstehen können. Diese Schlussfolgerung bleibt jedoch hinter der gewünschten Schlussfolgerung des Arguments zurück, dass (18) keine zusätzlichen ontologischen Verpflichtungen jeglicher Art beinhaltet. Um von der tatsächlichen Schlussfolgerung zur gewünschten zu gelangen, müssten wir außerdem davon ausgehen, dass alle ontologischen Verpflichtungen von der Art sind, die singuläre Quantifizierer erster Ordnung eingehen. Es gibt jedoch eine einflussreiche philosophische Tradition, die diese Annahme leugnet und stattdessen besagt, dass alle Arten von Quantifizierern ontologische Verpflichtungen eingehen, nicht nur einzelne erster Ordnung. [fünfzehn]Der berühmteste Vertreter dieser Tradition ist Frege, der behauptet, dass Quantifizierer zweiter Ordnung an Konzepte gebunden sind, ebenso wie einzelne Quantifizierer erster Ordnung an Objekte gebunden sind. Diese Tradition verbindet den Begriff des ontologischen Engagements sehr eng mit dem eines semantischen Wertes. Dies wird das Thema des nächsten und letzten Unterabschnitts sein.

5.4 Semantische Werte und ontologische Verpflichtungen

In der Semantik wird allgemein angenommen, dass jede Komponente eines komplexen Ausdrucks einen bestimmten Beitrag zur Bedeutung des komplexen Ausdrucks leistet. Dieser Beitrag wird als semantischer Wert des Komponentenausdrucks bezeichnet. Es wird auch angenommen, dass die Bedeutung des komplexen Ausdrucks funktional durch die semantischen Werte der Komponentenausdrücke und ihre syntaktische Kompositionsweise bestimmt wird. Diese Annahme wird als Kompositionalität bezeichnet.

Nach Frege ist der semantische Wert eines Satzes nur sein Wahrheitswert, und der semantische Wert eines Eigennamens ist sein Bezugspunkt (dh das Objekt, auf das er sich bezieht). Sobald wir die semantischen Werte festgelegt haben, die Sätzen und Eigennamen zugewiesen wurden, ist es einfach zu bestimmen, welche Arten von semantischen Werten Ausdrücken anderer syntaktischer Kategorien zugewiesen werden sollen. Zum Beispiel muss der semantische Wert eines monadischen Prädikats eine Funktion von Objekten zu Wahrheitswerten sein. Frege nennt solche Funktionskonzepte.

Betrachten wir als Beispiel den einfachen Subjekt-Prädikat-Satz

(24) Sokrates ist sterblich

Die logische Form von (24) ist (mathbf {M} (mathbf {s})), wobei (mathbf {M}) das Prädikat "ist sterblich" und (mathbf {s} ist)) ist der singuläre Begriff "Sokrates". Schreiben wir) (mathbf {E})] für den semantischen Wert eines Ausdrucks (mathbf {E}). In Übereinstimmung mit dem vorherigen Absatz sind die für (24) relevanten semantischen Werte wie folgt:

(25) () mathbf {s}] = / textrm {Socrates})

(26) () mathbf {M}] =) die Funktion (f) von Objekten zu Wahrheitswerten, so dass (f (x)) die wahre ist, wenn (x) sterblich ist und (f (x)) ist sonst das Falsche

Der Wahrheitswert von (24) wird somit bestimmt als

(27) [(24)] (=) mathbf {M} (mathbf {s})] =) mathbf {M}] () mathbf {s}]) = f (textrm {Socrates}) =) das Wahre (wenn Sokrates sterblich ist) oder das Falsche (sonst)

Frege hielt den Zusammenhang zwischen semantischen Werten und ontologischen Verpflichtungen für sehr eng. Für die obige Analyse unterstützt (24) zwei Arten von existenziellen Verallgemeinerungen: nicht nur zu (Exists {x} mstop / mathbf {M} (x)) (was nur für den Fall gilt, dass es ein Objekt gibt, das existiert ist sterblich), aber auch zu (Exists {F} mstop F (s)) (was nur für den Fall gilt, dass es ein Konzept gibt, unter das Sokrates fällt). Dies zeigt laut Frege, dass Sätze wie (24) nicht nur einem Objekt, sondern auch einem Konzept ontologisch verpflichtet sind.

Was für die gegenwärtigen Zwecke wichtig ist, ist nicht die Wahrheit oder Falschheit von Freges Behauptung über Konzepte, sondern ob ein schlüssiges Argument dieser Art für mehrere Ausdrücke entwickelt werden kann. Um dies zu untersuchen, betrachten wir eine einfache, nicht verteilende Pluralprädikation wie z

(28) Diese Äpfel bilden einen Kreis

Die logische Form von (28) scheint (mathbf {C} (mathbf {aa})) zu sein, wobei (mathbf {C}) das Prädikat "Form a circle" und (mathbf ist {aa}) ist der Pluralbegriff "diese Äpfel". (Wenn Sie der Meinung sind, dass komplexe Pluraldemonstrative eine interne semantische Struktur haben, verwenden Sie stattdessen einen Pluralnamen, der direkt auf die betreffenden Äpfel verweist.) Die natürliche Ansicht lautet dann wie folgt.

(29)) (mathbf {aa}] = a_1) und… und (a_n) (wobei die (a_i) alle und nur die demonstrierten Äpfel sind)

(30)) (mathbf {C}] =) die Funktion (g) von Pluralitäten zu Wahrheitswerten, so dass (g (xx)) die wahre ist, wenn (xx) einen Kreis bildet und (g (xx)) ist sonst falsch

Der Wahrheitswert von (28) wird dann bestimmt als

(31) [(28)] (=) mathbf {C} (mathbf {aa})] =) mathbf {C}] () mathbf {aa}]) = g (a_1) und… und (a_n)) = das Wahre (wenn (a_1) und… und (a_n) einen Kreis bilden) oder das Falsche (sonst)

was man angesichts der syntaktischen Ähnlichkeit zwischen (24) und (28) erwarten würde.

Angenommen, diese Analyse ist korrekt und jeder Pluralterm hat daher einige Objekte als semantischen Wert, genauso wie jeder einzelne Term ein Objekt als semantischen Wert hat. Was bedeutet das für die Frage der ontologischen Unschuld? Nach der Fregean-Tradition, die den Begriff des ontologischen Engagements mit dem eines semantischen Werts verbindet, bedeutet dies, dass Pluralausdrücke eine Bindung an mehrere Entitäten beinhalten, ähnlich wie Prädikate eine Bindung an Konzepte. Zu sagen, dass ein Satz eine Verpflichtung gegenüber einer Pluraleinheit beinhaltet, bedeutet nur zu sagen, dass die Wahrheit des Satzes erfordert, dass es einen semantischen Wert gibt, wie er für Pluralausdrücke geeignet ist. Diese Argumentation wird jedoch von anderen Philosophen abgelehnt.die glauben, dass der Begriff des ontologischen Engagements (höchstens) an singuläre Variablen erster Ordnung gebunden sein sollte.

Wie kann über diese Meinungsverschiedenheit entschieden werden? Einerseits mag es zugunsten der fregäischen Tradition zählen, dass ihre Sichtweise sehr systematisch ist. Die Idee, dass einige Arten von semantischem Wert zu ontologischen Verpflichtungen führen, mag etwas Ad-hoces sein, während andere Arten dies nicht tun. Auf der anderen Seite mag es für die alternative Ansicht sprechen, dass es der stark empfundenen Intuition vieler Menschen, dass mehrere Orte ontologisch unschuldig sind, besser gerecht wird.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, dass die gesamte Kontroverse letztendlich nur eine Pseudo-Meinungsverschiedenheit ist (siehe insbesondere Florio und Linnebo 2016, aber auch Parsons 1990; Shapiro 1993; Linnebo 2003; Rayo 2007; Linnebo und Rayo 2012). Wenn beide Parteien sich einig sind, dass Pluralausdrücke semantische Werte haben, und wenn beide sich einig sind, dass Verpflichtungen für Objekte nur durch einzelne Begriffe und Variablen erster Ordnung entstehen, spielt es möglicherweise keine Rolle, ob andere Arten von Begriffen und Variablen als Einführung ihrer Werte angesehen werden sollten eigene unverwechselbare Arten von ontologischem Engagement. Einige Philosophen sprechen über die ideologischen Verpflichtungen einer Theorie und nicht nur über ihre ontologischen Verpflichtungen. Damit sind die logischen und konzeptuellen Ressourcen gemeint, die die Theorie verwendet. Vielleicht wären Philosophen gut beraten, sich mehr auf die metaphysischen und erkenntnistheoretischen Fragen zu konzentrieren, die sich aus den ideologischen Verpflichtungen einer Theorie ergeben, und sich weniger Gedanken darüber zu machen, ob diese ideologischen Verpflichtungen auch als Einführung einer besonderen Art von ontologischem Engagement angesehen werden sollten. Schließlich ist der Begriff eines ontologischen Engagements ein theoretischer Begriff, der außerhalb der Philosophie keinen scharfen Inhalt hat. Vielleicht sollten wir den Begriff eher als Mittel zum Zweck der Bereitstellung guter philosophischer Erklärungen und weniger als Ziel an sich betrachten. Keiner, der einen scharfen Inhalt außerhalb der Philosophie hat. Vielleicht sollten wir den Begriff eher als Mittel zum Zweck der Bereitstellung guter philosophischer Erklärungen und weniger als Ziel an sich betrachten. Keiner, der einen scharfen Inhalt außerhalb der Philosophie hat. Vielleicht sollten wir den Begriff eher als Mittel zum Zweck der Bereitstellung guter philosophischer Erklärungen und weniger als Ziel an sich betrachten.

Literaturverzeichnis

  • Armstrong, David, 1978, Universals and Scientific Realism. 1, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Ben-Yami, Hanoch, 2004, Logik und natürliche Sprache: Über Pluralreferenz und ihre semantische und logische Bedeutung, Hants: Ashgate.
  • –––, 2009, „Plural Quantification Logic: A Critical Appraisal“, Review of Symbolic Logic, 2 (1): 208–232. doi: 10.1017 / S1755020309090108
  • –––, 2013, „Höhere Pluralformen versus artikulierte Referenz und eine Ausarbeitung von Salva Veritate“, Dialectica, 67 (1): 81–102. doi: 10.1111 / 1746-8361.12013
  • Black, Max, 1971, „The Elusiveness of Sets“, Review of Metaphysics, 24 (4): 614–636.
  • Boccuni, Francesca, 2010, „Plural Grundgesetze“, Studia Logica, 96 (2): 315–330. doi: 10.1007 / s11225-010-9281-3
  • Boolos, George, 1984, „Sein heißt, ein Wert einer Variablen zu sein (oder einige Werte einiger Variablen zu sein)“, Journal of Philosophy, 81 (8): 430–50; Repr. in Boolos 1998a. doi: 10.2307 / 2026308
  • –––, 1985a, „Nominalist Platonism“, Philosophical Review, 94 (3): 327–344; Repr. in Boolos 1998a. doi: 10.2307 / 2185003
  • –––, 1985b, „Reading the Begriffsschrift“, Mind, 94 (375): 331–344; Repr. in Boolos 1998a. doi: 10.1093 / mind / XCIV.375.331
  • –––, 1997, „Ist Humes Prinzip analytisch?“in Richard G. Heck, Jr. (Hrsg.), Logik, Sprache und Denken, Oxford: Oxford University Press; Repr. in Boolos 1998a.
  • –––, 1998a, Logik, Logik und Logik, Richard Jeffrey (Hrsg.), Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1998b, „Antwort auf Charles Parsons '' Sets and Classes '', in Boolos 1998a: S. 30–36.
  • Boolos, George, John P. Burgess und Richard C. Jeffrey, 2007, Computability and Logic, 5. Auflage, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Bricker, Phillip, 1989, „Quantifizierte Modallogik und der Plural De Re“, Midwest Studies in Philosophy, 14: 372–394. doi: 10.1111 / j.1475-4975.1989.tb00198.x
  • Büchi, J. Richard, 1962, "Über eine Entscheidungsmethode in eingeschränkter Arithmetik zweiter Ordnung", in E. Nagel, P. Suppes, und A. Tarski (Hrsg.), Logik, Methodik und Wissenschaftstheorie, Stanford, CA.: Stanford University Press, S. 1–11. Nachdruck in The Collected Works von J. Richard Büchi, 1990, S. 425–435. doi: 10.1007 / 978-1-4613-8928-6_23
  • Burgess, John P., 2004, „E Pluribus Unum: Plurale Logik und Mengenlehre“, Philosophia Mathematica, 12 (3): 193–221. doi: 10.1093 / philmat / 12.3.193
  • Burgess, John P. und Gideon Rosen, 1997, Ein Subjekt ohne Objekt: Strategien für die nominalistische Interpretation der Mathematik, Oxford: Clarendon Press. doi: 10.1093 / 0198250126.001.0001
  • Cartwright, Richard, 2001, "Eine Frage über Mengen", in Alex Byrne, Robert Stalnaker und Ralph Wedgwood (Hrsg.), Fakt und Wert: Essays über Ethik und Metaphysik für Judith Jarvis Thomson, Cambridge, MA: MIT Press, pp 29–46.
  • Cocchiarella, Nino B., 2002, „Über die Logik von Klassen wie vielen“, Studia Logica, 70 (3): 303–338. doi: 10.1023 / A: 1015190829525
  • Davidson, Donald, 1967, „Die logische Form von Handlungssätzen“, in The Logic of Decision and Action, Nicholas Rescher (Hrsg.), S. 81–95, Pittsburg: University of Pittsburg Press. Nachdruck in seinen Essays on Actions and Events, 1980 (nachfolgende Ausgabe, 2001: 105–148), Oxford: Clarendon. doi: 10.1093 / 0199246270.003.0006
  • Dorr, Cian und Gideon Rosen, 2002, „Komposition als Fiktion“, in Richard M. Gale (Hrsg.), The Blackwell Guide to Metaphysics, Oxford: Blackwell, S. 151–174. doi: 10.1002 / 9780470998984.ch8
  • Dummett, Michael, 1981, Frege: Philosophie der Sprache, 2. Auflage, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1991, Frege: Philosophie der Mathematik, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Field, Hartry, 1984, "Ist mathematisches Wissen nur logisches Wissen?" Philosophical Review, 93 (4): 509–552. doi: 10.2307 / 2184826
  • –––, 1993, „The Conceptual Contingency of Mathematical Objects“, Mind, 102 (406): 285–299. doi: 10.1093 / mind / 102.406.285
  • Florio, Salvatore, 2014a, „Semantik und die plurale Konzeption der Realität“, Philosophenabdruck, 14 (22): 1–20. [Florio 2014a online verfügbar]
  • –––, 2014b, „Untyped Pluralism“, Mind, 123 (490): 317–337. doi: 10.1093 / mind / fzu069
  • Florio, Salvatore und Øystein Linnebo, 2016, „Über die Unschuld und Bestimmung der Pluralquantifizierung“, Noûs, 50 (3): 565–583. doi: 10.1111 / nous.12091
  • Florio, Salvatore und Stewart Shapiro, 2014, „Mengenlehre, Typentheorie und absolute Allgemeinheit“, Mind, 123 (489): 157–174. doi: 10.1093 / mind / fzu039
  • Forbes, Graeme, 1989, Die Sprachen der Möglichkeit, Oxford: Blackwell.
  • Frege, Gottlob, 1879, Begriffsschrift, übersetzt in Jean van Heijenoort (Hrsg.), 1967, Von Frege nach Gödel, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • –––, 1884, Grundlagen der Arithmetik, übersetzt. JL Austin, Evanston, IL: Northwestern University Press.
  • –––, 1914, „Logik in der Mathematik“, in seinen posthumen Schriften, H. Hermes et al. (Hrsg.), 1979, Oxford: Blackwell, S. 203–250.
  • Glanzberg, Michael, 2004, „Quantifizierung und Realismus“, Philosophie und phänomenologische Forschung, 69 (3): 541–572. doi: 10.1111 / j.1933-1592.2004.tb00518.x
  • Hazen, AP, 1993, „Gegen den Pluralismus“, Australasian Journal of Philosophy, 71 (2): 132–144. doi: 10.1080 / 00048409312345142
  • –––, 1997, „Beziehungen in Lewis 'Rahmen ohne Atome“, Analysis, 57 (4): 243–248. doi: 10.1111 / 1467-8284.00082
  • –––, 2000, „Beziehungen in Lewis 'Rahmen ohne Atome: eine Korrektur“, Analysis, 60 (4): 351–353. doi: 10.1111 / 1467-8284.00252
  • Hellman, Geoffrey, 1989, Mathematik ohne Zahlen: Auf dem Weg zu einer modal-strukturellen Interpretation, Oxford: Clarendon Press. doi: 10.1093 / 0198240341.001.0001
  • –––, 1996, „Strukturalismus ohne Strukturen“, Philosophia Mathematica, 4 (2): 100–123. doi: 10.1093 / philmat / 4.2.100
  • Hewitt, Simon Thomas, 2012a, „Modalising Plurals“, Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 853–875. doi: 10.1007 / s10992-011-9194-2
  • –––, 2012b, „Die Logik der endlichen Ordnung“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 53 (3): 297–318. doi: 10.1215 / 00294527-1716820
  • Higginbotham, James, 1998, „Über Logik höherer Ordnung und natürliche Sprache“, Proceedings of the British Academy, 95: 1–27. [Higginbotham 1998 online verfügbar]
  • Hossack, Keith, 2000, „Plurals and Complexes“, Britisches Journal für Wissenschaftstheorie, 51 (3): 411–443. doi: 10.1093 / bjps / 51.3.411
  • Klement, Kevin C., 2014, „Early Russell on Types and Plurals“, Zeitschrift für die Geschichte der analytischen Philosophie, 2 (6): 1–21. doi: 10.15173 / jhap.v2i6.47
  • Landman, Fred, 2000, Ereignisse und Pluralität, Dordrecht: Kluwer.
  • Lewis, David, 1991, Teile der Klassen, Oxford: Blackwell.
  • Link, Godehard, 1998, Algebraische Semantik in Sprache und Philosophie, Stanford, CA: CSLI Publications.
  • Linnebo, Øystein, 2003, „Plural Quantification Exposed“, Noûs, 37 (1): 71–92. doi: 10.1111 / 1468-0068.00429
  • –––, 2016, „Plurals and Modals“, Canadian Journal of Philosophy, 46 (4–5): 654–676. doi: 10.1080 / 00455091.2015.1132975
  • Linnebo, Øystein und David Nicolas, 2008, „Superplurals in English“, Analysis, 68 (3): 186–197. doi: 10.1111 / j.1467-8284.2008.00737.x
  • Linnebo, Øystein und Agustín Rayo, 2012, „Hierarchies Ontological and Ideological“, Mind, 121 (482): 269–308. doi: 10.1093 / mind / fzs050
  • Lønning, Jan Tore, 1997, „Plurals and Collectivity“, in J. van Bentham und A. ter Meulen (Hrsg.), Handbuch für Logik und Sprache, Amsterdam: Elsevier, S. 1009–1054.
  • McKay, Thomas, 2006, Plural Predication, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199278145.001.0001
  • Morton, Adam, 1975, „Complex Individuals and Multigrade Relations“, Noûs, 9 (3): 309–318. doi: 10.2307 / 2214634
  • Nicolas, David, 2008, „Mass Nomen and Plural Logic“, Linguistik und Philosophie, 31 (2): 211–244. doi: 10.1007 / s10988-008-9033-2
  • Oliver, Alex und Timothy Smiley, 2001, „Strategien für eine Logik der Pluralformen“, Philosophical Quarterly, 51 (204): 289–306. doi: 10.1111 / j.0031-8094.2001.00231.x
  • –––, 2004, „Multigrade Predicates“, Mind, 113 (452): 609–681. doi: 10.1093 / mind / 113.452.609
  • –––, 2005, „Plural Descriptions and Many-Valued Functions“, Mind, 114 (456): 1039–1068. doi: 10.1093 / mind / fzi1039
  • Parsons, Charles, 1977, "Was ist die iterative Konzeption von Mengen?", In Logik, Grundlagen der Mathematik und Berechenbarkeitstheorie, Robert E. Butts und Jaakko Hintikka (Hrsg.), Dordrecht / Boston: D. Reidel, S. 335 –367. Nachdruck in Paul Benacerraf und Hilary Putnam (Hrsg.), Philosophie der Mathematik: Ausgewählte Lesungen, 2. Auflage, 1983, Cambridge: Cambridge University Press, S. 503–529. doi: 10.1007 / 978-94-010-1138-9_18 und doi: 10.1017 / CBO9781139171519.027
  • –––, 1990, „The Structuralist View of Mathematical Objects“, Synthese, 84 (3): 303–346. doi: 10.1007 / BF00485186
  • Quine, WV, 1973, Roots of Reference, La Salle, IL: Offenes Gericht.
  • –––, 1982, Methods of Logic, 4. Auflage, Cambridge, MA: Harvard University Press
  • –––, 1986, Philosophy of Logic, 2. Auflage, Cambridge, MA: Harvard University Press
  • Rayo, Agustín, 2002, „Word and Objects“, Noûs, 36 (3): 436–464. doi: 10.1111 / 1468-0068.00379
  • –––, 2006, „Beyond Plurals“, in Rayo und Uzquiano 2006: 220–254.
  • –––, 2007, „Plurals“, Philosophy Compass, 2 (3): 411–427. doi: 10.1111 / j.1747-9991.2007.00060.x
  • Rayo, Agustín und Gabriel Uzquiano, 1999, „Auf dem Weg zu einer Theorie der Konsequenz zweiter Ordnung“, Notre Dame Journal of Formal Logic, 40 (3): 315–325. doi: 10.1305 / ndjfl / 1022615612
  • –––, 2006 (Hrsg.), Absolute Generality, Oxford: Oxford University Press.
  • Rayo, Agustín und Stephen Yablo, 2001, „Nominalismus durch De-Nominalisierung“, Noûs, 35 (1): 74–92. doi: 10.1111 / 0029-4624.00288
  • Resnik, Michael, 1988, „Logik zweiter Ordnung noch wild“, Journal of Philosophy, 85 (2): 75–87. doi: 10.2307 / 2026993
  • Rouilhan, Philippe de, 2002, „On What There Are“, Proceedings of the Aristotelian Society, 102 (1): 183–200. doi: 10.1111 / j.0066-7372.2003.00049.x
  • Rumfitt, Ian, 2005, "Pluralbegriffe: Eine andere Referenzvielfalt?" in José Luis Bermudez (Hrsg.), Denken, Nachschlagen und Erleben: Themen aus der Philosophie von Gareth Evans, Oxford: Oxford University Press, S. 84–123. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780199248964.003.0004
  • Russell, Bertrand, 1903, Prinzipien der Mathematik, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Schein, Barry, 1993, Plurals and Events, Cambridge, MA: MIT Press.
  • –––, 2006, „Plurals“, in Ernest Lepore und Barry C. Smith (Hrsg.), Oxford Handbook of Philosophy of Language, Oxford: Oxford University Press, S. 716–767. doi: 10.1093 / oxfordhb / 9780199552238.003.0029
  • Shapiro, Stewart, 1991, Grundlagen ohne Fundamentalismus: Ein Fall für Logik zweiter Ordnung, Oxford: Clarendon. doi: 10.1093 / 0198250290.001.0001
  • –––, 1993, „Modality and Ontology“, Mind, 102 (407): 455–481. doi: 10.1093 / mind / 102.407.455
  • Simons, Peter, 1982, „Plural Reference and Set Theory“, in Barry Smith (Hrsg.), Teile und Momente: Studien zur Logik und formalen Ontologie, München: Philosophia Verlag, S. 199–260. [Simons 1982 online verfügbar]
  • –––, 1997, „Quantifizierung höherer Ordnung und ontologisches Engagement“, Dialectica, 51 (4): 255–271. doi: 10.1111 / j.1746-8361.1997.tb00032.x
  • –––, 2016, „Die Ontologie und Logik von Massen höherer Ordnung“, in Massimiliano Carrara, Alexandra Arapinis und Friederike Moltmann (Hrsg.), Einheit und Pluralität: Logik, Philosophie und Linguistik, Oxford: Oxford University Press, pp 55–69. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780198716327.003.0004
  • Stenius, Eric, 1974, „Sets“, Synthese, 27 (1–2): 161–188. doi: 10.1007 / BF00660894
  • Tarski, Alfred (und John Corcoran, trans.), 1986, „Was sind logische Begriffe?“, Geschichte und Philosophie der Logik, 7 (2): 143–154. doi: 10.1080 / 01445348608837096
  • Taylor, Barry und AP Hazen, 1992, „Flexible Structured Predication“, Logique et Analyze, 35 (139–140): 375–393.
  • Uzquiano, Gabriel, 2003, „Plural Quantification and Classes“, Philosophia Mathematica, 11 (1): 67–81. doi: 10.1093 / philmat / 11.1.67
  • –––, 2004, „Plurals and Simples“, Monist, 87 (3): 429–451. doi: 10.5840 / monist200487324
  • –––, 2011, „Plural Quantification and Modality“, Proceedings of the Aristotelian Society, 111 (2_pt_2): 219–250. doi: 10.1111 / j.1467-9264.2011.00307.x
  • van Inwagen, Peter, 1990, Material Beings, Ithaca, NY: Cornell University Press.
  • Williamson, Timothy, 2003, „Everything“, Philosophical Perspectives, 17: 415–465. doi: 10.1111 / j.1520-8583.2003.00017.x
  • –––, 2010, „Necessitism, Contingentism and Plural Quantification“, Mind, 119 (475): 657–748. doi: 10.1093 / mind / fzq042
  • –––, 2016, „Reply to Linnebo“, Canadian Journal of Philosophy, 46 (4–5): 677–682. doi: 10.1080 / 00455091.2016.1205856
  • Yablo, Stephen, 2000, „Apriority and Existence“, in Paul Boghossian und Christopher Peacocke (Hrsg.), New Essays on the A Priori, Oxford: Oxford University Press, S. 197–228. doi: 10.1093 / 0199241279.003.0009
  • Yi, Byeong-Uk, 1999, "Sind zwei ein Eigentum?" Journal of Philosophy, 96 (4): 163–190. doi: 10.2307 / 2564701
  • –––, 2002, Understanding the Many, New York, NY: Routledge.
  • –––, 2005, „Die Logik und Bedeutung von Pluralformen, Teil I“, Journal of Philosophical Logic, 34 (5): 459–506. doi: 10.1007 / s10992-005-0560-9
  • –––, 2006, „Die Logik und Bedeutung von Pluralformen, Teil II“, Journal of Philosophical Logic, 35 (3): 239–288. doi: 10.1007 / s10992-005-9015-6

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