Quantenlogik Und Wahrscheinlichkeitstheorie

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Quantenlogik und Wahrscheinlichkeitstheorie

Erstveröffentlichung Mo 4. Februar 2002; inhaltliche Überarbeitung Do 26.01.2017

Mathematisch kann die Quantenmechanik als eine nicht klassische Wahrscheinlichkeitsrechnung angesehen werden, die auf einer nicht klassischen Aussagenlogik beruht. Insbesondere wird in der Quantenmechanik jeder wahrscheinlichkeitstragende Satz der Form "der Wert der physikalischen Größe (A) liegt im Bereich (B)" durch einen Projektionsoperator auf einem Hilbert-Raum (mathbf {) dargestellt H}). Diese bilden ein nicht-boolesches, insbesondere nicht verteilendes, orthokomplementiertes Gitter. Quantenmechanische Zustände entsprechen genau den Wahrscheinlichkeitsmaßen (entsprechend definiert) auf diesem Gitter.

Was sollen wir daraus machen? Einige haben argumentiert, dass der empirische Erfolg der Quantenmechanik eine Revolution in der Logik selbst erfordert. Diese Ansicht ist mit der Forderung nach einer realistischen Interpretation der Quantenmechanik verbunden, dh einer, die nicht auf einem primitiven Begriff der Messung beruht. Demgegenüber gibt es eine lange Tradition, die Quantenmechanik operativ zu interpretieren, dh genau als Messtheorie. Aus dieser letzteren Sicht ist es nicht überraschend, dass sich eine „Logik“der Messergebnisse in einer Umgebung, in der nicht alle Messungen kompatibel sind, als nicht boolesch erweisen sollte. Das Rätsel ist vielmehr, warum es die besondere nicht-boolesche Struktur haben sollte, die es in der Quantenmechanik hat. Um das Programm herum, eine unabhängige Motivation für diese Struktur zu geben, ist eine umfangreiche Literatur entstanden - idealerweiseindem man es aus primitiveren und plausibleren Axiomen ableitet, die eine verallgemeinerte Wahrscheinlichkeitstheorie bestimmen.

• 1. Quantenmechanik als Wahrscheinlichkeitsrechnung

  • 1.1 Quantenwahrscheinlichkeit auf den Punkt gebracht
  • 1.2 Die „Logik“von Projektionen
  • 1.3 Wahrscheinlichkeitsmaße und Gleason-Theorem
  • 1.4 Die Rekonstruktion von QM

• 2. Interpretationen der Quantenlogik

  • 2.1 Realistische Quantenlogik
  • 2.2 Operative Quantenlogik

• 3. Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeitstheorie

  • 3.1 Diskrete klassische Wahrscheinlichkeitstheorie
  • 3.2 Testräume
  • 3.3 Kolmogorovsche Wahrscheinlichkeitstheorie
  • 3.4 Quantenwahrscheinlichkeitstheorie

• 4. Logik, die mit probabilistischen Modellen verbunden ist

  • 4.1 Betriebslogik
  • 4.2 Orthokohärenz
  • 4.3 Gitter von Eigenschaften

• 5. Satz von Piron

  5.1 Konditionierung und Deckungsgesetz

• 6. Klassische Darstellungen

  • 6.1 Klassische Einbettungen
  • 6.2 Versteckte Kontextvariablen

• 7. Verbundsysteme

  • 7.1 Das Foulis-Randall-Beispiel
  • 7.2 Satz von Aerts
  • 7.3 Auswirkungen
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Quantenmechanik als Wahrscheinlichkeitsrechnung

Es ist unumstritten (wenn auch bemerkenswert), dass sich der formale Apparat der Quantenmechanik sauber auf eine Verallgemeinerung der klassischen Wahrscheinlichkeit reduziert, bei der die Rolle einer booleschen Algebra von Ereignissen in letzterer von der „Quantenlogik“der Projektionsoperatoren auf a übernommen wird Hilbert Raum. ^[1] Darüber hinaus fordert uns die übliche statistische Interpretation der Quantenmechanik auf, diese verallgemeinerte Quantenwahrscheinlichkeitstheorie wörtlich zu nehmen - das heißt, nicht nur als formales Analogon ihres klassischen Gegenstücks, sondern als echte Doktrin der Chancen. In diesem Abschnitt untersuche ich diese Quantenwahrscheinlichkeitstheorie und ihre unterstützende Quantenlogik. ^[2]

[Weitere Hintergrundinformationen zu Hilbert-Räumen finden Sie im Eintrag zur Quantenmechanik. Weitere Hintergrundinformationen zu geordneten Mengen und Gittern finden Sie im ergänzenden Dokument: Die grundlegende Theorie der Ordnungsbeziehungen. Konzepte und Ergebnisse erklärt, dass diese Ergänzungen im Folgenden frei verwendet werden.]

1.1 Quantenwahrscheinlichkeit auf den Punkt gebracht

Der von Neumann [1932] entwickelte quantenwahrscheinliche Formalismus geht davon aus, dass jedes physikalische System einem (trennbaren) Hilbert-Raum (mathbf {H}) zugeordnet ist, dessen Einheitsvektoren möglichen physikalischen Zuständen von entsprechen das System. Jede "beobachtbare" reelle Zufallsgröße wird durch einen selbstadjunkten Operator (A) auf (mathbf {H}) dargestellt, dessen Spektrum die Menge möglicher Werte von (A) ist. Wenn (u) ein Einheitsvektor in der Domäne von (A) ist, der einen Zustand darstellt, dann ist der erwartete Wert der durch (A) in diesem Zustand dargestellten beobachtbaren Größe durch das innere Produkt (gegeben) langle Au, u / rangle). Die durch zwei Operatoren (A) und (B) dargestellten Observablen sind angemessen, wenn (A) und (B) pendeln, dh AB = BA. (Weitere Informationen finden Sie im Eintrag zur Quantenmechanik.)

1.2 Die „Logik“von Projektionen

Wie von Neumann betont, können die ({0,1 }) -wertigen Observablen als Kodierungssätze über oder, um seine Phrasierung zu verwenden, Eigenschaften des Zustands des Systems angesehen werden. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass ein selbstadjunktierter Operator (P) mit einem in der Zweipunktmenge ({0,1 }) enthaltenen Spektrum eine Projektion sein muss; dh (P ^ 2 = P). Solche Operatoren stehen in Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den geschlossenen Unterräumen von (mathbf {H}). Wenn (P) eine Projektion ist, ist ihr Bereich geschlossen, und jeder geschlossene Unterraum ist der Bereich einer eindeutigen Projektion. Wenn (u) ein Einheitsvektor ist, dann ist (langle Pu, u / rangle = / llvert Pu / rrvert ^ 2) der erwartete Wert der entsprechenden beobachtbaren Größe in dem durch (u) dargestellten Zustand. Da dieses Observable ({0,1 }) - bewertet ist,Wir können diesen erwarteten Wert als die Wahrscheinlichkeit interpretieren, dass eine Messung des Beobachtbaren die "positive" Antwort 1 ergibt. Insbesondere hat die positive Antwort genau dann die Wahrscheinlichkeit 1, wenn Pu = u; das heißt, (u) liegt im Bereich von (P). Von Neumann kommt zu dem Schluss

… Die Beziehung zwischen den Eigenschaften eines physikalischen Systems einerseits und den Projektionen andererseits ermöglicht mit diesen eine Art logischen Kalkül. Im Gegensatz zu den Konzepten der gewöhnlichen Logik wird dieses System jedoch um das für die Quantenmechanik charakteristische Konzept der „simultanen Entscheidbarkeit“erweitert. (1932: 253)

Lassen Sie uns diesen „logischen Kalkül“von Projektionen untersuchen. Nach Mengeneinschluss geordnet bilden die geschlossenen Unterräume von (mathbf {H}) ein vollständiges Gitter, in dem die Begegnung (größte Untergrenze) einer Menge von Unterräumen ihre Schnittmenge ist, während ihre Verknüpfung (kleinste Obergrenze) ist die geschlossene Spanne ihrer Vereinigung. Da ein typischer geschlossener Unterraum unendlich viele komplementäre geschlossene Unterräume hat, ist dieses Gitter nicht verteilend; Es wird jedoch durch die Zuordnung orthokomplementiert

) mathbf {M} rightarrow / mathbf {M} ^ { bot} = {v / in / mathbf {H} mid / forall u / in / mathbf {M} (langle v, u / rangle = 0) }.)

In Anbetracht der oben erwähnten Eins-Eins-Entsprechung zwischen geschlossenen Teilräumen und Projektionen können wir der Menge (L (mathbf {H})) die Struktur eines vollständigen orthokomplementierten Gitters auferlegen, das (P / le Q definiert)), wobei (rran (P) subseteq / rran (Q)) und (P '= 1 - P) (so dass (rran (P') = / rran (P) ^ { bot})). Es ist einfach, dass (P / le Q) nur für den Fall (PQ = QP = P). Allgemeiner, wenn PQ = QP, dann (PQ = P / Keil Q), das Zusammentreffen von (P) und (Q) in (L (mathbf {H})); auch in diesem Fall ist ihre Verbindung gegeben durch (P / vee Q = P + Q - PQ).

1.1 Lemma

Sei (P) und (Q) Projektionsoperatoren auf den Hilbert-Raum (mathbf {H}). Folgendes ist äquivalent:

1. (PQ = QP)
2. Das von (P, Q, P ') und (Q') erzeugte Untergitter von (L (mathbf {H})) ist Boolesch
3. (P, Q) liegen in einem gemeinsamen booleschen Unterortholattice von (L (mathbf {H})).

Wir halten an der Idee fest, dass das Pendeln von Observablen - insbesondere Projektionen - gleichzeitig messbar ist, und schließen daraus, dass die Mitglieder eines Booleschen Unterortholattices von (L (mathbf {H})) gleichzeitig testbar sind. Dies legt nahe, dass wir eine klassische logische Interpretation von Meet, Join und Orthocomplement beibehalten können, die auf Pendelprojektionen angewendet wird.

1.3 Wahrscheinlichkeitsmaße und Gleason-Theorem

Die vorstehende Diskussion motiviert Folgendes. Rufen Sie die Projektionen (P) und (Q) orthogonal auf und schreiben Sie (P / binbot Q) iff (P / le Q '). Beachten Sie, dass (P / binbot Q) iff (PQ = QP = 0). Wenn (P) und (Q) orthogonale Projektionen sind, ist ihre Verknüpfung einfach ihre Summe; traditionell wird dies als (P / oplus Q) bezeichnet. Wir bezeichnen die Identitätszuordnung auf (mathbf {H}) mit (mathbf {1}).

1.2 Definition

Ein (zählbar additives) Wahrscheinlichkeitsmaß für (L (mathbf {H})) ist eine Abbildung (mu: L / rightarrow) [0,1], so dass (mu (mathbf) {1}) = 1) und für jede Folge paarweiser orthogonaler Projektionen (P_i, i = 1,2),…

) mu (oplus_i P_i) = / sum_i / mu (P_i))

Hier ist eine Möglichkeit, wie wir ein Wahrscheinlichkeitsmaß für (L (mathbf {H})) herstellen können. Sei (u) ein Einheitsvektor von (mathbf {H}) und setze (mu_u (P) = / langle Pu, u / rangle). Dies ergibt das übliche quantenmechanische Rezept für die Wahrscheinlichkeit, dass (P) im Zustand (u) den Wert 1 hat. Beachten Sie, dass wir (mu_u) auch als (mu_u (P) = Tr (P P_u)) ausdrücken können, wobei (P_u) die eindimensionale Projektion ist, die dem Einheitsvektor (u / zugeordnet ist)), dh (P_u (x) = / langle x, u / rangle u) für alle (x / in / mathbf {H}).

Allgemeiner gesagt, wenn (mu_i, i = 1,2, / ldots) Wahrscheinlichkeitsmaße für (L (mathbf {H})) sind, dann ist dies auch eine "Mischung" oder konvexe Kombination (mu = / sum_i t_i / mu_i) wobei (0 / le t_i / le 1) und (sum_i t_i = 1). Bei einer beliebigen Folge (u_1, u_2, / ldots) von Einheitsvektoren sei (mu_i = / mu_ {u_ {i}}) und sei (P_i = P_ {u_ {i}}). Den Operator bilden

[W = t_1 P_1 + t_2P_2 + / ldots,)

man sieht, dass

) mu (P) = t_1 Tr (P P_1) + t_2 Tr (P P_2) + / ldots = Tr (WP))

Ein Operator, der auf diese Weise als konvexe Kombination eindimensionaler Projektionen ausgedrückt werden kann, wird als Dichteoperator bezeichnet. Dichteoperatoren sind die mathematische Standarddarstellung für allgemeine (reine oder „gemischte“) quantenmechanische Zustände. Wir haben gerade gesehen, dass jeder Dichteoperator (W) ein zählbar additives Wahrscheinlichkeitsmaß für (L (mathbf {H})) ergibt. Die folgende bemerkenswerte Umkehrung aufgrund von A. Gleason [1957] zeigt, dass die Theorie der Wahrscheinlichkeitsmessungen an (L (mathbf {H})) mit der Theorie der (gemischten) quantenmechanischen Zustände an / zusammenfällt (mathbf {H}):

1.3 Satz von Gleason

Lassen Sie (mathbf {H}) die Dimension (gt 2) haben. Dann hat jedes zählbar additive Wahrscheinlichkeitsmaß auf (L (mathbf {H})) die Form (mu (P) = Tr (WP)) für einen Dichteoperator (W) auf (mathbf {H}).

Eine wichtige Konsequenz des Satzes von Gleason ist, dass (L (mathbf {H})) keine Wahrscheinlichkeitsmaße mit nur den Werten 0 und 1 zulässt. Um dies zu sehen, beachten Sie, dass für jeden Dichteoperator (W), Die Zuordnung (u / rightarrow / langle Wu, u / rangle) ist auf der Einheitskugel von (mathbf {H}) kontinuierlich. Da letzteres jedoch verbunden ist, kann keine kontinuierliche Funktion nur die beiden Werte 0 und 1 annehmen. Dieses Ergebnis wird häufig verwendet, um die Möglichkeit von „versteckten Variablen“auszuschließen - ein Thema, das in Abschnitt 6 ausführlicher behandelt wird.

1.4 Die Rekonstruktion von QM

Aus der einzigen Prämisse, dass die mit einem physikalischen System verbundenen „experimentellen Sätze“durch Projektionen auf die oben angegebene Weise codiert werden, kann man den Rest des formalen Apparats der Quantenmechanik rekonstruieren. Der erste Schritt ist natürlich der Satz von Gleason, der besagt, dass Wahrscheinlichkeitsmaße für (L (mathbf {H})) Dichteoperatoren entsprechen. Es bleibt beispielsweise die Darstellung von „Observablen“durch selbstadjunkte Operatoren und die Dynamik (einheitliche Evolution) wiederherzustellen. Ersteres kann mit Hilfe des Spektralsatzes und letzteres mit Hilfe eines tiefen Satzes von E. Wigner über die projektive Darstellung von Gruppen wiederhergestellt werden. Siehe auch R. Wright [1980]. Ein detaillierter Überblick über diese Rekonstruktion (die eine eindeutig nicht triviale Mathematik beinhaltet) findet sich im Buch Varadarajan [1985]. Der zu berücksichtigende Punkt ist, dass, sobald das quantenlogische Skelett (L (mathbf {H})) vorhanden ist, der verbleibende statistische und dynamische Apparat der Quantenmechanik im Wesentlichen festgelegt ist. In diesem Sinne reduziert sich die Quantenmechanik - oder jedenfalls ihr mathematischer Rahmen - auf die Quantenlogik und die damit verbundene Wahrscheinlichkeitstheorie.

2. Interpretationen der Quantenlogik

Die Reduktion von QM auf Wahrscheinlichkeitstheorie basierend auf (L (mathbf {H})) ist mathematisch zwingend, aber was sagt es über QM aus - oder, wenn QM eine korrekte und vollständige physikalische Theorie ist, über die Welt ? Wie ist mit anderen Worten die Quantenlogik (L (mathbf {H})) zu interpretieren? Die Antwort hängt davon ab, wie wir den oben frei verwendeten Ausdruck auspacken.

(*) Der Wert des beobachtbaren (A) liegt im Bereich (B)

Eine mögliche Lesart von (*) ist betriebsbereit: "Die Messung des beobachtbaren (A) würde einen Wert in der Menge (B) ergeben (oder ergeben oder hat ergeben)". In dieser Ansicht stellen Projektionen Aussagen über die möglichen Messergebnisse dar. Dies passt schlecht zu Realisten eines bestimmten Streifens, die es vorziehen, (*) als Eigenschaftszuschreibung zu verstehen, indem sie sich auf „Messung“meiden:

Das System hat eine bestimmte kategoriale Eigenschaft, die dem beobachtbaren (A) entspricht, das unabhängig von einer Messung einen Wert in der Menge (B) hat.

(Man muss jedoch vorsichtig sein, wie man diesen letzten Satz versteht: Unvorsichtig ausgelegt, scheint er eine Interpretation der Quantenmechanik mit versteckten Variablen zu postulieren, wie sie im Satz von Gleason ausgeschlossen ist. Ich werde weiter unten mehr dazu sagen.)

2.1 Realistische Quantenlogik

Die Interpretation von Projektionsoperatoren als Repräsentanten der Eigenschaften eines physikalischen Systems ist bereits in von Neumanns Grundlagen explizit. Die dort diskutierten logischen Operationen gelten jedoch nur für Pendelprojektionen, die mit gleichzeitig entscheidbaren Sätzen identifiziert werden. 1936 gingen Birkhoff und von Neumann noch einen Schritt weiter und schlugen vor, das gittertheoretische Zusammentreffen von Projektionen als ihre Konjunktion und Disjunktion zu interpretieren, unabhängig davon, ob sie pendeln oder nicht. Dieser Vorschlag steht sofort vor dem Problem, dass das Gitter (L (mathbf {H})) nicht verteilend ist, was es unmöglich macht, diesen "Quanten" -Konnektiven eine wahrheitsfunktionale Interpretation zu geben. Unerschrocken,von Neumann und Birkhoff schlugen vor, dass der empirische Erfolg der Quantenmechanik als Rahmen für die Physik die universelle Gültigkeit der Verteilungsgesetze der Aussagenlogik in Zweifel zieht. Ihre Formulierung bleibt vorsichtig:

Während Logiker normalerweise davon ausgegangen sind, dass Eigenschaften… der Negation einer kritischen Analyse am wenigsten standhalten konnten, deutet die Untersuchung der Mechanik auf die verteilenden Identitäten… als das schwächste Glied in der Algebra der Logik hin. (1936: 837)

In den 1960er und frühen 1970er Jahren wurde diese These von einer Reihe von Autoren, darunter insbesondere David Finkelstein und Hilary Putnam, etwas aggressiver vertreten, die argumentierten, dass die Quantenmechanik eine Revolution in unserem Verständnis der Logik an sich erfordert. Putnam zufolge ist „Logik so empirisch wie Geometrie. … Wir leben in einer Welt mit einer nicht-klassischen Logik “([1968] 1979: 184).

Für Putnam repräsentieren die Elemente von (L (mathbf {H})) kategoriale Eigenschaften, die ein Objekt besitzt oder nicht, unabhängig davon, ob wir schauen oder nicht. Da dieses Bild der physikalischen Eigenschaften durch den empirischen Erfolg der Quantenmechanik bestätigt wird, müssen wir nach dieser Auffassung akzeptieren, dass die Art und Weise, wie physikalische Eigenschaften tatsächlich zusammenhalten, nicht boolesch ist. Da Logik für Putnam in hohem Maße die Untersuchung der tatsächlichen Zusammenhänge physikalischer Eigenschaften ist, kommt er zu dem Schluss, dass die klassische Logik einfach falsch ist: Das Verteilungsgesetz ist nicht universell gültig.

Wenn (S) die Menge von Zuständen eines physikalischen Systems ist, entspricht klassischerweise jede Teilmenge von (S) einer kategorialen Eigenschaft des Systems und umgekehrt. In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum die (projektive) Einheitskugel (S = S (mathbf {H})) eines Hilbert-Raums. Es entsprechen jedoch nicht alle Teilmengen von (S) den quantenmechanischen Eigenschaften des Systems. Letztere entsprechen nur Teilmengen der Sonderform (S / cap / mathbf {M}), für (mathbf {M}) einen geschlossenen linearen Unterraum von (mathbf {H}). Insbesondere werden nur Teilmengen dieser Form Wahrscheinlichkeiten zugewiesen. Dies lässt uns zwei Möglichkeiten. Eine besteht darin, nur diese speziellen Eigenschaften als "real" (oder "physikalisch" oder "sinnvoll") zu betrachten, wobei allgemeinere Teilmengen von (S) als überhaupt keine realen kategorialen Eigenschaften entsprechend angesehen werden. Die andere besteht darin, die "Quanten" -Eigenschaften als eine kleine Teilmenge der Menge aller physikalisch (oder jedenfalls metaphysisch) vernünftigen, aber nicht notwendigerweise beobachtbaren Eigenschaften des Systems zu betrachten. In dieser letzteren Ansicht ist die Menge aller Eigenschaften eines physikalischen Systems in ihrer logischen Struktur völlig klassisch, aber wir lehnen es ab, den nicht beobachtbaren Eigenschaften Wahrscheinlichkeiten zuzuweisen.^[3]

Diese zweite Position ist zwar sicherlich nicht mit dem Realismus an sich unvereinbar, bezieht sich jedoch auf eine Unterscheidung, die einen Begriff von „Beobachtung“, „Messung“, „Test“oder etwas Ähnlichem beinhaltet - einen Begriff, den Realisten oft zu vermeiden versuchen Verbindung mit der grundlegenden physikalischen Theorie. Natürlich muss jede realistische Darstellung einer statistischen physikalischen Theorie wie der Quantenmechanik letztendlich eine Erklärung dafür liefern, wie Messungen stattfinden sollen. Das heißt, es muss angegeben werden, welche physikalischen Wechselwirkungen zwischen "Objekt" - und "Sonden" -Systemen als Messungen gelten und wie diese Wechselwirkungen dazu führen, dass sich das Sondensystem zu endgültigen "Ergebniszuständen" entwickelt, die und entsprechen haben die gleichen Wahrscheinlichkeiten wie die von der Theorie vorhergesagten Ergebnisse. Dies ist das berüchtigte Messproblem.

Tatsächlich hat Putnam seine Version des quantenlogischen Realismus dahingehend weiterentwickelt, dass sie eine (radikale) Auflösung des Messproblems bietet: Laut Putnam entsteht das Messproblem (und in der Tat jedes andere quantenmechanische „Paradoxon“) durch eine unsachgemäße Anwendung des Verteilungsgesetz und verschwindet daher, sobald dies erkannt wird. Dieser Vorschlag wird jedoch allgemein als falsch angesehen. ^[4]

Wie oben erwähnt, müssen realistische Interpretationen der Quantenmechanik vorsichtig sein, wie sie den Ausdruck "das beobachtbare (A) hat einen Wert in der Menge (B)" auslegen. Der einfachste und traditionellste Vorschlag - oft als "Eigenzustand-Eigenwert-Verknüpfung" bezeichnet (Fine [1973]) - ist, dass (*) genau dann gilt, wenn eine Messung von (A) einen Wert in der Menge (B ergibt) mit Sicherheit, dh mit (quantenmechanischer!) Wahrscheinlichkeit 1. Während dies sicherlich eine realistische Interpretation von (*) ergibt, ^[5]Es bietet keine Lösung für das Messproblem. In der Tat können wir es verwenden, um eine scharfe Formulierung dieses Problems zu geben: Auch wenn (A) bei der Messung mit Sicherheit einen Wert in (B) ergibt, es sei denn, der Quantenzustand ist ein Eigenzustand des gemessenen beobachtbaren (A) besitzt das System keine kategoriale Eigenschaft, die (A) mit einem bestimmten Wert in der Menge (B) entspricht. Putnam scheint anzunehmen, dass eine realistische Interpretation von (*) darin bestehen sollte, (A) einen unbekannten Wert innerhalb von (B) zuzuweisen, für den die Quantenmechanik eine nicht triviale Wahrscheinlichkeit ergibt. Der Versuch, solche Zuordnungen gleichzeitig für alle Observablen vorzunehmen, verstößt jedoch gegen den Satz von Gleason. ^[6]

2.2 Operative Quantenlogik

Wenn wir Skrupel über "Messung" als primitiven Begriff in der physikalischen Theorie beiseite legen und eine prinzipielle Unterscheidung zwischen "testbaren" und nicht testbaren Eigenschaften akzeptieren, dann ist die Tatsache, dass (L (mathbf {H})) nicht Boolean ist unauffällig und hat keine Auswirkungen auf die Logik an sich. Die Quantenmechanik ist aus dieser Sicht eine Theorie über die möglichen statistischen Verteilungen der Ergebnisse bestimmter Messungen, und ihre nicht-klassische „Logik“spiegelt einfach die Tatsache wider, dass nicht alle beobachtbaren Phänomene gleichzeitig beobachtet werden können. Aus diesem Grund ist die Menge der wahrscheinlichkeitstragenden Ereignisse (oder Sätze) weniger reichhaltig als in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie, und die Menge der möglichen statistischen Verteilungen ist dementsprechend weniger eng begrenzt. Dass sich einige „nicht-klassische“Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die diese Theorie zulässt, tatsächlich in der Natur manifestieren, ist vielleicht überraschend, erfordert jedoch in keiner Weise eine tiefgreifende Verschiebung unseres Verständnisses der Logik oder, was das betrifft, der Wahrscheinlichkeit.

Dies ist jedoch kaum das letzte Wort. Nachdem alle oben genannten Punkte akzeptiert wurden, bleibt die Frage offen, warum die Logik der Messergebnisse die ganz besondere Form (L (mathbf {H})) und niemals etwas allgemeineres haben sollte. ^[7]Diese Frage unterhält die Idee, dass die formale Struktur der Quantenmechanik eindeutig durch eine kleine Anzahl vernünftiger Annahmen bestimmt werden kann, möglicherweise zusammen mit bestimmten offensichtlichen Regelmäßigkeiten in den beobachteten Phänomenen. Diese Möglichkeit wird bereits in von Neumanns Grundlagen (und auch in seiner späteren Arbeit in kontinuierlicher Geometrie) in Betracht gezogen, wird jedoch zunächst in der Arbeit von George Mackey [1957, 1963] explizit und programmatisch. Mackey präsentiert eine Folge von sechs Axiomen, die eine sehr konservative verallgemeinerte Wahrscheinlichkeitstheorie formulieren, die die Konstruktion einer „Logik“experimenteller Sätze oder in seiner Terminologie „Fragen“mit der Struktur eines Sigma-Orthomodulars mit teilweise geordneter Struktur untermauert set (Definitionen dieser Begriffe finden Sie in Abschnitt 4 und im Ergänzungsdokument The Basic Theory of Ordering Relations). Das herausragende Problem,für Mackey war zu erklären, warum dieses Poset isomorph zu (L (mathbf {H})) sein sollte:

Fast die gesamte moderne Quantenmechanik basiert implizit oder explizit auf der folgenden Annahme, die wir als Axiom formulieren werden:

Axiom VII: Die teilweise geordnete Menge aller Fragen in der Quantenmechanik ist isomorph zu der teilweise geordneten Menge aller geschlossenen Teilräume eines trennbaren, unendlich dimensionalen Hilbert-Raums.

Dieses Axiom hat einen anderen Charakter als die Axiome I bis VI. Diese hatten alle ein gewisses Maß an körperlicher Natürlichkeit und Plausibilität. Axiom VII scheint völlig ad hoc zu sein. Warum schaffen wir es? Können wir es rechtfertigen, es zu machen? … Idealerweise möchte man eine Liste physikalisch plausibler Annahmen haben, aus denen man Axiom VII ableiten kann. Kurz davor möchte man eine Liste, aus der man eine Reihe von Möglichkeiten für die Struktur ableiten kann… von denen bis auf eine gezeigt werden konnte, dass sie nicht mit entsprechend geplanten Experimenten vereinbar sind. [Mackey 1963: 71–72]

Seit Mackeys Schreiben ist eine umfangreiche technische Literatur entstanden, die Variationen seines axiomatischen Rahmens untersucht, um die fehlenden Annahmen zu liefern. Der Rest dieses Artikels enthält einen kurzen Überblick über den aktuellen Stand dieses Projekts.

3. Verallgemeinerte Wahrscheinlichkeitstheorie

Anstatt Mackeys Axiome wörtlich wiederzugeben, werde ich sie im Kontext eines Ansatzes zur verallgemeinerten Wahrscheinlichkeitstheorie umschreiben, da DJ Foulis und CH Randall unter den vielen mehr oder weniger analogen Ansätzen ^[8] bestimmte Vorteile der Einfachheit und Flexibilität haben. Referenzen für diesen Abschnitt sind Foulis, Greechie und Rüttimann [1992]; Foulis, Piron und Randall [1983]; Randall und Foulis [1983]; siehe auch Gudder [1989]; Wilce [2000b] und Wilce [2009] für Umfragen.

3.1 Diskrete klassische Wahrscheinlichkeitstheorie

Es wird hilfreich sein, mit einem Überblick über die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie zu beginnen. In ihrer einfachsten Formulierung befasst sich die klassische Wahrscheinlichkeitstheorie mit einer (diskreten) Menge (E) sich gegenseitig ausschließender Ergebnisse, wie bei einigen Messungen, Experimenten usw., und mit den verschiedenen Wahrscheinlichkeitsgewichten, die darauf definiert werden können, d. H. mit Zuordnungen (omega: E / rightarrow [0,1]), die über (E) zu 1 summieren. ^[9]

Beachten Sie, dass die Menge (Delta (E)) aller Wahrscheinlichkeitsgewichte auf (E) konvex ist, indem eine beliebige Folge (omega_1, / omega_2, / ldots) von Wahrscheinlichkeitsgewichten und eine beliebige Folge gegeben ist (t_1, t_2, / ldots) von nicht negativen reellen Zahlen, die zu eins summiert werden, die konvexe Summe oder "Mischung" (t_1 / omega_1 + t_2 / omega_2 + / ldots) (punktweise genommen auf (E)) ist wieder ein Wahrscheinlichkeitsgewicht. Die Extrempunkte dieser konvexen Menge sind genau die "Punktmassen" (Delta (x)), die mit den Ergebnissen (x / in E) verbunden sind:

) delta (x) (y) = 1 / textrm {wenn} x = y, / textrm {und} 0 / textrm {sonst.})

Somit ist (Delta (E)) ein Simplex: Jeder Punkt (omega / in / Delta (E)) kann auf einzigartige Weise als konvexe Kombination von Extrempunkten dargestellt werden, nämlich:

) omega = / sum / omega (x) delta (x))

Wir müssen uns auch an das Konzept einer Zufallsvariablen erinnern. Wenn (E) eine Ergebnismenge und (V) eine Menge von „Werten“(reelle Zahlen, Zeigerablesungen oder was nicht) ist, ist eine Zufallsvariable mit (V) -Wert einfach eine Abbildung (f: E / rightarrow V). Die Heuristik (aber es muss nur so verstanden werden) ist, dass man die Zufallsvariable (f) "misst", indem man das durch (E) dargestellte Experiment "durchführt" und nach Erhalt des Ergebnisses (x / in) E), Aufzeichnung (f (x)) als Messwert. Beachten Sie, dass wenn (V) eine Menge von reellen Zahlen oder allgemeiner eine Teilmenge eines Vektorraums ist, wir den erwarteten Wert von (f) in einem Zustand (omega / in / Delta definieren können) (E)) von:

[E (f, / omega) = / sum_ {x / in E} f (x) omega (x).)

3.2 Testräume

Eine sehr natürliche Richtung, um die diskrete klassische Wahrscheinlichkeitstheorie zu verallgemeinern, besteht darin, eine Vielzahl von Ergebnismengen zuzulassen, die jeweils ein anderes „Experiment“darstellen. Um dies zu formalisieren, stimmen wir zu, dass ein Testraum eine nicht leere Sammlung A von nicht leeren Mengen (E, F, / ldots) ist, die jeweils wie in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie als diskrete Ergebnismenge ausgelegt werden. Jede Menge (E / in / mathcal {A}) wird als Test bezeichnet. Die Menge (X = / cup / mathcal {A}) aller Ergebnisse aller Tests, die zu (mathcal {A}) gehören, wird als Ergebnisraum von (mathcal {A}) bezeichnet. Beachten Sie, dass wir zulassen, dass sich unterschiedliche Tests überschneiden, dh gemeinsame Ergebnisse erzielen. ^[10]

Wenn (mathcal {A}) ein Testraum mit Ergebnisraum (X) ist, ist ein Zustand auf (mathcal {A}) eine Zuordnung (omega: X / rightarrow) [0,1], so dass (sum_ {x / in E} omega (x) = 1) für jeden Test (E / in / mathcal {A}). Somit ist ein Zustand eine konsistente Zuordnung eines Wahrscheinlichkeitsgewichts zu jedem Test, der konsistent ist, indem der Zustand, wenn zwei unterschiedliche Tests ein gemeinsames Ergebnis haben, diesem Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit zuweist, unabhängig davon, ob es als Ergebnis des einen oder des anderen Tests gesichert ist. (Dies kann als normative Anforderung an die in der Struktur von (mathcal {A}) implizierten Ergebnisidentifikationen angesehen werden: Wenn die Ergebnisse zweier Tests nicht in allen Staaten gleich wahrscheinlich sind, sollten sie nicht identifiziert werden.) Die Menge aller Zustände auf (mathcal {A}) wird mit (Omega (mathcal {A})) bezeichnet. Dies ist eine konvexe Menge,Im Gegensatz zur Situation in der diskreten klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie handelt es sich jedoch im Allgemeinen nicht um einen Simplex.

Das Konzept einer Zufallsvariablen lässt verschiedene Verallgemeinerungen für die Einstellung von Testräumen zu. Lassen Sie uns zustimmen, dass eine einfache (reelle) Zufallsvariable in einem Testraum (mathcal {A}) eine Abbildung (f: E / rightarrow / mathbf {R}) ist, wobei (E) ist ein Test in (mathcal {A}). Wir definieren den erwarteten Wert von (f) in einem Zustand (omega / in / Omega (mathcal {A})) auf offensichtliche Weise, nämlich als den erwarteten Wert von (f) in Bezug auf auf das Wahrscheinlichkeitsgewicht, das durch Beschränken von (omega) auf (E) erhalten wird (vorausgesetzt natürlich, dass dieser erwartete Wert existiert). Man kann allgemeinere Klassen von Zufallsvariablen definieren, indem man geeignete Grenzen setzt (Einzelheiten siehe Younce [1987]).

In der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie (und insbesondere in der klassischen Statistik) konzentriert man sich normalerweise nicht auf die Menge aller möglichen Wahrscheinlichkeitsgewichte, sondern auf eine bestimmte Teilmenge davon (z. B. diejenigen, die zu einer bestimmten Verteilungsfamilie gehören). Dementsprechend meine ich mit einem Wahrscheinlichkeitsmodell ein Paar ((mathcal {A}, / Delta)), das aus einem Testraum (mathcal {A}) und einer bestimmten Menge von Zuständen (Delta / subseteq) besteht / Omega (mathcal {A})) on (mathcal {A}). Ich bezeichne (mathcal {A}) als Testraum und (Delta) als Zustandsraum des Modells.

Ich werde nun zeigen, wie dieser Rahmen sowohl den üblichen messungstheoretischen Formalismus der ausgewachsenen klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie als auch den Hilbert-Raum-Formalismus der Quantenwahrscheinlichkeitstheorie berücksichtigen kann.

3.3 Kolmogorovsche Wahrscheinlichkeitstheorie

Sei (S) eine Menge, die im Moment als Zustandsraum eines physikalischen Systems verstanden wird, und sei (Sigma) eine (sigma) - Algebra von Teilmengen von (S). Wir können jede Partition (E) von (S) in zählbar viele paarweise disjunkte (Sigma) - messbare Teilmengen als eine "grobkörnige" Annäherung an ein imaginiertes perfektes Experiment betrachten, das das enthüllen würde Zustand des Systems. Sei (mathcal {A} _ { Sigma}) der Testraum, der aus all diesen Partitionen besteht. Beachten Sie, dass die Ergebnismenge für (mathcal {A} _ { Sigma}) die Menge (X = / Sigma / setminus { varnothing }) von nicht leer (Sigma) - ist. messbare Teilmengen von (S). Offensichtlich entsprechen die Wahrscheinlichkeitsgewichte auf (mathcal {A} _ { Sigma}) genau den zählbar additiven Wahrscheinlichkeitsmaßen auf (Sigma).

3.4 Quantenwahrscheinlichkeitstheorie

Sei (mathbf {H}) ein komplexer Hilbert-Raum und sei (mathcal {A} _ { mathbf {H}}) die Sammlung von (ungeordneten) orthonormalen Basen von (mathbf {H. }). Somit ist der Ergebnisraum (X) von (mathcal {A} _ { mathbf {H}}) die Einheitskugel von (mathbf {H}). Beachten Sie, dass wir haben, wenn (u) ein Einheitsvektor von (mathbf {H}) ist und (E / in / mathcal {A} _ { mathbf {H}}) eine orthonormale Basis ist

) sum_ {x / in E} lvert / langle u, x / rangle / rvert ^ 2 = / llvert u / rrvert ^ 2 = 1)

Somit bestimmt jeder Einheitsvektor von (mathbf {H}) ein Wahrscheinlichkeitsgewicht für (mathcal {A} _ { mathbf {H}}). Die Quantenmechanik fordert uns auf, dies wörtlich zu nehmen: Jede „maximale“diskrete quantenmechanische Beobachtung kann auf orthonormale Basis und jeder reine quantenmechanische Zustand durch einen Einheitsvektor genau auf diese Weise modelliert werden. Umgekehrt wird verstanden, dass jede orthonormale Basis und jeder Einheitsvektor einer solchen Messung und einem solchen Zustand entsprechen.

Der Satz von Gleason kann jetzt aufgerufen werden, um die Zustände auf (mathcal {A} _ { mathbf {H}}) mit den Dichteoperatoren auf (mathbf {H}) zu identifizieren: für jeden Zustand (omega) In (Omega (mathcal {A} _ { mathbf {H}})) entspricht ein eindeutiger Dichteoperator (W), so dass für jeden Einheitsvektor (x) von (mathbf {H}, / omega (x) = / langle Wx, x / rangle = Tr (WP_x), P_x) ist die eindimensionale Projektion, die (x) zugeordnet ist. Umgekehrt definiert natürlich jeder solche Dichteoperator einen eindeutigen Zustand durch die obige Formel. Wir können auch einfache reelle Zufallsvariablen operatortheoretisch darstellen. Jede begrenzte einfache Zufallsvariable (f) führt zu einem begrenzten selbstadjunkten Operator (A = / sum_ {x / in E} f (x) P_x). Der Spektralsatz sagt uns, dass jeder selbstadjunkte Operator auf (mathbf {H}) erhalten werden kann, indem geeignete Grenzen von Operatoren dieser Form genommen werden.

4. Logik, die mit probabilistischen Modellen verbunden ist

Jedem statistischen Modell ((mathcal {A}, / Delta)) sind mehrere teilweise geordnete Mengen zugeordnet, von denen jede einen Anspruch auf den Status einer dem Modell zugeordneten „empirischen Logik“hat. In diesem Abschnitt werde ich zwei diskutieren: die sogenannte Operationslogik (Pi (mathcal {A})) und das Eigenschaftsgitter (mathbf {L} (mathcal {A}, / Delta)). Unter relativ harmlosen Bedingungen auf (mathcal {A}) ist die erstere eine Orthoalgebra. Letzteres ist immer ein vollständiges Gitter und unter plausiblen weiteren Annahmen atomar. Darüber hinaus gibt es eine natürliche Reihenfolge, bei der die Zuordnung von (Pi) zu (mathbf {L}) erhalten bleibt. Dies ist im Allgemeinen kein Ordnungsisomorphismus, aber wenn dies der Fall ist, erhalten wir ein vollständiges orthomodulares Gitter und kommen so dem Projektionsgitter eines Hilbert-Raums einen Schritt näher.

4.1 Betriebslogik

Wenn (mathcal {A}) ein Testraum ist, ist ein (mathcal {A}) -Ereignis eine Menge von (mathcal {A}) - Ergebnissen, die in einigen Tests enthalten sind. Mit anderen Worten, ein (mathcal {A}) - Ereignis ist einfach ein Ereignis im klassischen Sinne für einen der Tests, die zu (mathcal {A}) gehören. Wenn nun (A) und (B) zwei (mathcal {A}) - Ereignisse sind, sagen wir, dass (A) und (B) orthogonal sind, und schreiben (A. / binbot B), wenn sie disjunkt sind und ihre Vereinigung wieder ein Ereignis ist. Wir sagen, dass zwei orthogonale Ereignisse sich gegenseitig ergänzen, wenn ihre Vereinigung ein Test ist. Wir sagen, dass die Ereignisse (A) und (B) perspektivisch sind, und schreiben (A / sim B), wenn sie eine gemeinsame Ergänzung haben. (Beachten Sie, dass zwei beliebige Tests (E) und (F) perspektivisch sind, da beide das leere Ereignis ergänzen.)

4.1 Definition

Ein Testraum (mathcal {A}) gilt als algebraisch, wenn für alle Ereignisse (A, B, C) von (mathcal {A}) (A / sim B) gilt / binbot C) impliziert (A / binbot C).

Während es möglich ist, vollkommen plausible Beispiele für Testräume zu konstruieren, die nicht algebraisch sind, genießen viele Testräume, denen man in der Natur begegnet, diese Eigenschaft. Insbesondere sind die im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Borel- und Quantentesträume algebraisch. Der wichtigere Punkt ist, dass Algebraizität als Axiom relativ harmlos ist, in dem Sinne, dass viele Testräume „vervollständigt“werden können, um algebraisch zu werden. Insbesondere wenn jedes Ergebnis in mindestens einem Zustand eine Wahrscheinlichkeit von mehr als 1/2 aufweist, ist (mathcal {A}) in einem algebraischen Testraum (mathcal {B}) mit denselben Ergebnissen und enthalten die gleichen Zustände wie (mathcal {A}) (siehe Gudder [1989] für Details).

Es kann gezeigt werden ^[11], dass der Testraum (mathcal {A}) genau dann algebraisch ist, wenn er die Bedingung erfüllt

Für alle Ereignisse (A, B) von (mathcal {A}) ist jedes Komplement von (B) ein Komplement von (A), wenn (A / sim B).

Daraus ist nicht schwer zu erkennen, dass für einen algebraischen Testraum (mathcal {A}) die Beziehung (sim) der Perspektive dann eine Äquivalenzbeziehung auf der Menge von (mathcal {ist) A}) - Ereignisse. Wenn (mathcal {A}) algebraisch ist, dann ist (sim) eine Kongruenz für die partielle binäre Operation der Bildung von Vereinigungen orthogonaler Ereignisse: mit anderen Worten für alle (mathcal { A}) - Ereignisse (A, B) und (C, A / sim B) und (B / binbot C) implizieren, dass (A / binbot C) und (A / cup C / sim B / cup C).

Sei (Pi (mathcal {A})) die Menge der Äquivalenzklassen von (mathcal {A}) - Ereignissen unter Perspektive und bezeichne die Äquivalenzklasse eines Ereignisses (A) mit (p (A)); Wir haben dann eine natürliche partielle binäre Operation für (Pi (mathcal {A})), definiert durch (p (A) oplus p (B) = p (A / cup B)) für orthogonale Ereignisse (A und B). Wenn Sie 0: (= p (varnothing)) und 1: (= p (E), E) für jedes Mitglied von (mathcal {A}) setzen, erhalten Sie eine partiell-algebraische Struktur (() Pi (mathcal {A}), / oplus, 0,1)), genannt die Logik von (mathcal {A}). Dies erfüllt die folgenden Bedingungen:

1. (oplus) ist assoziativ und kommutativ:

   • Wenn (a / oplus (b / oplus c)) definiert ist, ist dies auch ((a / oplus b) oplus c), und die beiden sind gleich
   • Wenn (a / oplus b) definiert ist, ist dies auch (b / oplus a), und die beiden sind gleich.
2. (0 / oplus a = a) für jedes (a / in / mathbf {L})
3. Für jedes (a / in / mathbf {L}) existiert ein eindeutiges (a '\ in / mathbf {L}) mit (a / oplus a' = 1)
4. (a / oplus a) existiert nur, wenn (a = 0)

Wir können jetzt definieren:

4.2 Definition

Eine Struktur ((mathbf {L}, / oplus, 0,1)), die die obigen Bedingungen (a) - (d) erfüllt, wird als Orthoalgebra bezeichnet.

Die Logik eines algebraischen Testraums ist also eine Orthoalgebra. Man kann zeigen, dass umgekehrt jede Orthoalgebra als die Logik (Pi (mathcal {A})) eines algebraischen Testraums (mathcal {A}) entsteht (Golfin 1988). Beachten Sie, dass nicht-isomorphe Testräume isomorphe Logiken haben können.

4.2 Orthokohärenz

Jede Orthoalgebra (mathbf {L}) ist teilweise nach der Beziehung (a / le b) iff (b = a / oplus c) für einige (c / binbot a) geordnet. In Bezug auf diese Reihenfolge ist das Mapping (a / rightarrow a ') eine Orthokomplementierung und (a / binbot b) iff (a / le b'). Es kann gezeigt werden, dass (a / oplus b) immer eine minimale Obergrenze für (a) und (b) ist, aber im Allgemeinen nicht die kleinste Obergrenze. In der Tat haben wir Folgendes [ref]:

4.3 Lemma

Für eine Orthoalgebra ((mathbf {L}, / oplus, 0,1)) sind die folgenden äquivalent:

1. (a / oplus b = a / vee b), für alle (a, b) in (mathbf {L})
2. Wenn (a / oplus b, b / oplus c) und (c / oplus a) alle existieren, dann existiert auch (a / oplus b / oplus c)
3. Der Orthoposet ((mathbf {L}, / le, ')) ist orthomodular, dh für alle (a, b / in L), wenn (a / le b) dann ((b / wedge a ') vee a) existiert und ist gleich (b).

Eine Orthoalgebra, die die Bedingung (b) erfüllt, wird als orthokohärent bezeichnet. Mit anderen Worten: Eine Orthoalgebra ist genau dann orthokohärent, wenn endliche paarweise summierbare Teilmengen von (mathbf {L}) gemeinsam summierbar sind. Das Lemma sagt uns, dass jede orthokohärente Orthoalgebra unter anderem ein orthomodularer Poset ist. Umgekehrt ist ein orthokomplementiertes Poset orthomodular, wenn für alle Paare mit (a / le b ') (a / oplus b = a / vee b) definiert ist und die resultierende partielle binäre Operation assoziativ ist - in diesem Fall ist das Ergebnis Die Struktur ((mathbf {L}, / oplus, 0,1)) ist eine orthokohärente Orthoalgebra, deren kanonische Reihenfolge mit der angegebenen Reihenfolge in (mathbf {L}) übereinstimmt. Somit sind orthomodulare Posets (das Gerüst für Mackeys Version der Quantenlogik) orthokohärenten Orthoalgebren äquivalent.

Eine Bedingung, die mit der Orthokohärenz zusammenhängt, aber stärker als diese ist, ist, dass alle paarweise kompatiblen Sätze gemeinsam kompatibel sein sollten. Dies wird manchmal als Regelmäßigkeit bezeichnet. Die meisten natürlich vorkommenden orthomodularen Gitter und Posets sind regelmäßig. Insbesondere hat Harding (1996, 1998) gezeigt, dass die Direktproduktzerlegungen jeder algebraischen, relationalen oder topologischen Struktur auf natürliche Weise zu einem regulären orthomodularen Poset organisiert werden können. ^[12]

Eine Version von Orthokohärenz oder Regelmäßigkeit wurde von Mackey und vielen seiner Nachfolger als Axiom genommen. (Orthokohärenz erscheint in unendlicher Form als Mackeys Axiom V; Regelmäßigkeit erscheint in der Definition einer partiellen Booleschen Algebra in der Arbeit von Kochen und Specker (1965).) Es ist jedoch recht einfach, einfache Modellprüfräume zu konstruieren vollkommen unkomplizierte, sogar klassische Interpretationen, deren Logik nicht orthokohärent ist. Es wurde nie ein ganz zwingender Grund angegeben, Orthokohärenz als wesentliches Merkmal aller vernünftigen physikalischen Modelle zu betrachten. Darüber hinaus neigen bestimmte scheinbar recht gut motivierte Konstruktionen, die man mit Testräumen ausführen möchte, dazu, die Orthokohärenz zu zerstören (siehe Abschnitt 7).

4.3 Gitter von Eigenschaften

Die Entscheidung, Messungen und ihre Ergebnisse als primitive Konzepte in unserer Beschreibung physikalischer Systeme zu akzeptieren, bedeutet nicht, dass wir auf die physikalischen Eigenschaften eines solchen Systems verzichten müssen. In der Tat ist ein solches Gespräch im vorliegenden Rahmen leicht zu berücksichtigen. Formalismus. ^[13]In dem von uns verfolgten Ansatz wird ein physikalisches System durch ein Wahrscheinlichkeitsmodell ((mathcal {A}, / Delta)) dargestellt, und die Systemzustände werden mit den Wahrscheinlichkeitsgewichten in (Delta) identifiziert. Klassischerweise entspricht jede Teilmenge (Gamma) des Zustandsraums (Delta) einer kategorialen Eigenschaft des Systems. In der Quantenmechanik und sogar klassisch ist jedoch nicht jede solche Eigenschaft überprüfbar (oder „physikalisch“). In der Quantenmechanik sind nur Teilmengen des Zustandsraums testbar, die geschlossenen Teilräumen des Hilbert-Raums entsprechen; In der klassischen Mechanik nimmt man normalerweise nur Borel-Mengen, um testbaren Eigenschaften zu entsprechen: Der Unterschied besteht darin, dass die testbaren Eigenschaften im letzteren Fall immer noch eine Boolesche Algebra von Mengen bilden, während dies im ersteren Fall nicht der Fall ist.

Eine Möglichkeit, diese Unterscheidung zu formulieren, ist wie folgt. Die Unterstützung einer Reihe von Zuständen (Gamma / subseteq / Delta) ist die Menge

[S (Gamma) = {x / in X / mid / existiert / omega / in / Gamma / omega (x)> 0 })

von Ergebnissen, die möglich sind, wenn die Eigenschaft (Gamma) erhalten wird. In gewisser Weise sind zwei Eigenschaften empirisch nicht unterscheidbar, wenn sie dieselbe Unterstützung haben: Wir können sie nicht durch eine einzige Ausführung eines einzelnen Tests unterscheiden. Wir möchten daher möglicherweise physikalische Eigenschaften mit Klassen physikalisch nicht unterscheidbarer klassischer Eigenschaften oder gleichwertig mit den damit verbundenen Unterstützungen identifizieren. Wenn wir uns jedoch an das Programm halten möchten, physikalische Eigenschaften als Teilmengen (und nicht als Äquivalenzklassen von Teilmengen) des Zustandsraums darzustellen, können wir dies wie folgt tun. Definieren Sie eine Zuordnung (F: / wp (X) rightarrow / wp (Delta)) durch (F (J) = { omega / in / Delta / mid S (omega) subseteq J }). Das Mapping (Gamma / rightarrow F (S (Gamma))) ist dann ein Abschlussoperator auf (wp (Delta)).und die Sammlung geschlossener Mengen (dh der Bereich von (F)) ist ein vollständiges Gitter von Mengen, die unter einem beliebigen Schnittpunkt geschlossen sind.^[14] Offensichtlich haben klassische Eigenschaften-Teilmengen von (Delta) dieselbe Unterstützung, wenn sie denselben Abschluss haben, sodass wir physikalische Eigenschaften mit geschlossenen Teilmengen des Zustandsraums identifizieren können:

4.4 Definition

Das Eigenschaftsgitter des Modells ((mathcal {A}, / Delta)) ist das vollständige Gitter (mathbf {L} = / mathbf {L} (mathcal {A}, / Delta)) aller Teilmengen von (Delta) der Form (F (J), J) einer beliebigen Menge von Ergebnissen. ^[fünfzehn]

Wir haben jetzt zwei verschiedene "Logiken", die einer Entität ((mathcal {A}, / Delta)) mit (mathcal {A}) algebraisch zugeordnet sind: eine "Logik" (Pi (mathcal {) A})) von experimentellen Aussagen, die eine Orthoalgebra, aber im Allgemeinen kein Gitter sind, und eine "Logik" (mathbf {L} (mathcal {A}, / Delta)) von Eigenschaften, die ein vollständiges Gitter ist, aber selten auf natürliche Weise orthokomplementiert (Randall und Foulis 1983). Die beiden sind durch eine natürliche Zuordnung verbunden: (Pi / rightarrow / mathbf {L}), gegeben durch (p / rightarrow [p] = F (J_p)) wobei für jedes (p / in / Pi), (J_p = {x / in X / mid p (x) nleq p '}). Das heißt, (J_p) ist die Menge von Ergebnissen, die mit (p) übereinstimmen, und) (p)] ist die größte (dh schwächste) physikalische Eigenschaft, die (p) sicher macht bestätigt, wenn getestet.

Das Mapping (p / rightarrow [p)] ist auftragserhaltend. Sowohl für das oben betrachtete klassische als auch für das quantenmechanische Modell handelt es sich tatsächlich um einen Ordnungsisomorphismus. Wann immer dies der Fall ist, erbt (Pi) von (mathbf {L}) die Struktur eines vollständigen Gitters, das dann von Lemma 4.3 automatisch orthomodular wird. Mit anderen Worten, in solchen Fällen haben wir nur eine Logik, die ein vollständiges orthomodulares Gitter ist. Es ist sicherlich zu viel zu erwarten, dass ein Ordnungsisomorphismus für jedes denkbare physikalische System sein wird - tatsächlich können wir leicht gegenteilige Spielzeugbeispiele konstruieren -, aber die Bedingung ist in ihrer Bedeutung zumindest einigermaßen transparent.

5. Satz von Piron

Angenommen, die Logik- und Eigenschaftsgitter eines Modells sind isomorph, sodass die Logik der Sätze / Eigenschaften ein vollständiges orthomodulares Gitter ist. Dann stellt sich die Frage: Wie nahe bringt uns dies der Quantenmechanik, dh dem Projektionsgitter (L (mathbf {H})) eines Hilbert-Raums?

Die Antwort lautet: ohne zusätzliche Annahmen nicht sehr. Das Gitter (L (mathbf {H})) weist einige ganz besondere ordnungstheoretische Merkmale auf. Erstens ist es atomar - jedes Element ist die Verbindung von minimalen Nicht-Null-Elementen (dh eindimensionalen Teilräumen). Zweitens ist es irreduzibel - es kann nicht als nicht triviales direktes Produkt einfacherer OMLs ausgedrückt werden. ^[16] Schließlich und vor allem erfüllt es das sogenannte Atombedeckungsgesetz: Wenn (p / in L (mathbf {H})) ein Atom ist und (p / nleq q), dann (p / vee q) deckt (q) ab (kein Element von (L (mathbf {H})) liegt streng zwischen (p / vee q) und (q)).

Diese Eigenschaften reichen immer noch nicht aus, um (L (mathbf {H})) zu erfassen, aber sie bringen uns in den richtigen Ballpark. Sei (mathbf {V}) ein beliebiger innerer Produktraum über einem involutiven Teilungsring (D). Ein Unterraum (mathbf {M}) von (mathbf {V}) soll (bot) sein - geschlossen iff (mathbf {M} = / mathbf {M} ^ { bot / bot}), wobei (mathbf {M} ^ { bot} = {v / in / mathbf {V} mid / forall m / in / mathbf {M} (langle v, m / rangle = 0) }). Nach Mengeneinschluss geordnet, bildet die Sammlung (L (mathbf {V})) aller (bot) - geschlossenen Unterräume von (mathbf {V}) ein vollständiges Atomgitter, das durch das orthokomplementiert wird Zuordnung (mathbf {M} rightarrow / mathbf {M} ^ { bot}). Ein Satz von Amemiya und Araki (1966) zeigt, dass ein realer, komplexer oder quaternionischer innerer Produktraum (mathbf {V}) mit (L (mathbf {V})) orthomodular notwendigerweise vollständig ist. Deshalb,Ein innerer Produktraum (mathbf {V}) über einem involutiven Teilungsring wird als verallgemeinerter Hilbert-Raum bezeichnet, wenn sein Gitter (L (mathbf {V})) von (bot) - geschlossenen Teilräumen ist orthomodular. Der folgende Repräsentationssatz stammt von C. Piron [1964]:

5.1 Satz

Sei (L) ein vollständiges, atomares, irreduzibles orthomodulares Gitter, das das Atombedeckungsgesetz erfüllt. Wenn (L) mindestens 4 orthogonale Atome enthält, gibt es einen involutiven Teilungsring (D) und einen verallgemeinerten Hilbert-Raum (mathbf {V}) über (D), so dass (L.) ist isomorph zu (L (mathbf {V})).

Es sollte beachtet werden, dass verallgemeinerte Hilbert-Räume über ziemlich exotischen Teilungsringen konstruiert wurden. ^[17] Während es uns also verlockend nahe bringt, bringt uns der Satz von Piron nicht ganz zurück zur orthodoxen Quantenmechanik.

5.1 Konditionierung und Deckungsgesetz

Nennen wir ein vollständiges orthomodulares Gitter, das die Hypothesen des Piron-Theorems erfüllt, ein Piron-Gitter. Können wir einen allgemeinen Grund für die Annahme angeben, dass das Logik- / Eigenschaftsgitter eines physikalischen Systems (eines, für das diese isomorph sind) ein Pirongitter ist? Oder können wir, wenn dies nicht gelingt, diesen Annahmen zumindest einen klaren physischen Inhalt zuschreiben? Die Atomizität von (L) folgt, wenn wir annehmen, dass jeder reine Zustand eine „physikalische Eigenschaft“darstellt. Dies ist eine starke Annahme, aber ihr Inhalt scheint klar genug zu sein. Irreduzibilität wird normalerweise als harmlose Annahme angesehen, da ein reduzierbares System in seine irreduziblen Teile zerlegt werden kann, für die jeweils der Satz von Piron gilt.

Das Deckungsgesetz stellt ein heikleres Problem dar. Während es wahrscheinlich sicher ist zu sagen, dass kein einfaches und völlig zwingendes Argument für die Annahme seiner allgemeinen Gültigkeit angeführt wurde, haben Piron [1964, 1976] und andere (z. B. Beltrametti und Cassinelli [1981] und Guz [1978]) die Abdeckung abgeleitet Gesetz aus Annahmen über die Art und Weise, in der Messergebnisse einen Rückschluss von einem Anfangszustand in einen Endzustand rechtfertigen. Hier ist eine kurze Skizze, wie dieses Argument funktioniert. Angenommen, es gibt eine vernünftige Möglichkeit, für einen Anfangszustand (q) des Systems, der durch ein Atom des Logik- / Eigenschaftsgitters (L) dargestellt wird, einen Endzustand (phi_p (q) zu definieren) - entweder ein anderes Atom oder vielleicht 0 - abhängig davon, dass der Satz (p) bestätigt wurde. Es können verschiedene Argumente angeführt werden, die darauf hindeuten, dass der einzige vernünftige Kandidat für eine solche Abbildung die Sasaki-Projektion (phi_p: L / rightarrow L) ist, definiert durch

(phi_p (q) = (q / vee p ') wedge p). ^[18]

Es kann gezeigt werden, dass eine atomare OML das atomare Abdeckungsgesetz erfüllt, nur für den Fall, dass Sasaki-Projektionen Atome wieder zu Atomen oder zu 0 führen. Eine weitere interessante Ansicht des Abdeckungsgesetzes wird von Cohen und Svetlichny [1987] entwickelt.

6. Klassische Darstellungen

Die immerwährende Frage bei der Interpretation der Quantenmechanik ist, ob im Wesentlichen klassische Erklärungen für quantenmechanische Phänomene verfügbar sind oder nicht. Die Quantenlogik hat eine große Rolle bei der Gestaltung (und Klärung) dieser Diskussion gespielt, insbesondere indem sie es uns ermöglichte, ziemlich genau zu sagen, was wir unter einer klassischen Erklärung verstehen.

6.1 Klassische Einbettungen

Angenommen, wir erhalten ein statistisches Modell ((mathcal {A}, / Delta)). Ein sehr einfacher Ansatz zur Konstruktion einer „klassischen Interpretation“von ((mathcal {A}, / Delta)) würde mit dem Versuch beginnen, (mathcal {A}) in einen Borel-Testraum (mathcal) einzubetten {B}), mit der Hoffnung, dann die statistischen Zustände in (delta) als Mittelwerte über "versteckte" klassische, dh dispersionsfreie Zustände auf letzteren zu berücksichtigen. Daher möchten wir eine Menge (S) und eine Zuordnung (X / rightarrow / wp (S)) finden, die jedem Ergebnis (x) von (mathcal {A}) a zugeordnet sind setze (x * / subseteq S) so, dass für jeden Test (E / in / mathcal {A} {x * / mid x / in E }) eine Partition von (bildet S). Wenn dies möglich ist, zeichnet jedes Ergebnis (x) von (mathcal {A}) einfach die Tatsache auf, dass sich das System in einem bestimmten Satz von Zuständen befindet, nämlich (x) *. Wenn wir (Sigma) die (sigma) - Algebra von Mengen sein lassen, die durch Mengen der Form ({x * / mid x / in X }) erzeugt werden, finden wir, dass jedes Wahrscheinlichkeitsmaß (mu) on (Sigma) kehrt zu einem Zustand (mu) * on (mathcal {A}) zurück, nämlich (mu * (x) = / mu () x) *). Solange jeder Zustand in (delta) von dieser Form ist, können wir behaupten, eine vollständig klassische Interpretation des Modells ((mathcal {A}, / Delta)) gegeben zu haben.

Der minimale Kandidat für (S) ist die Menge aller dispersionsfreien Zustände auf (mathcal {A}). Das Setzen von (x * = {s / in S / mid s (x) = 1 }) gibt uns eine klassische Interpretation wie oben, die ich das klassische Bild von (mathcal {A}) nennen werde.. Alle anderen klassischen Interpretationsfaktoren durch diesen. Beachten Sie jedoch, dass die Zuordnung (x / rightarrow x) * nur dann injektiv ist, wenn ausreichend viele dispersionsfreie Zustände vorhanden sind, um unterschiedliche Ergebnisse von (mathcal {A}) zu trennen. Wenn (mathcal {A}) überhaupt (keine) dispersionsfreie Zustände hat, ist sein klassisches Bild leer. Der Satz von Gleason besagt, dass dies bei quantenmechanischen Modellen der Fall ist. Daher ist diese besondere Art der klassischen Erklärung für quantenmechanische Modelle nicht verfügbar.

Es wird manchmal übersehen, dass selbst wenn ein Testraum (mathcal {A}) einen trennenden Satz dispersionsfreier Zustände aufweist, statistische Zustände auf (mathcal {A}) existieren können, die nicht vorhanden sein können als Gemische davon realisiert. Das klassische Bild liefert keine Erklärung für solche Zustände. Betrachten Sie für ein sehr einfaches Beispiel dieser Art den Testraum:

) mathcal {A} = { {a, x, b }, {b, y, c }, {c, z, a } })

und der Zustand (omega (a) = / omega (b) = / omega (c) = / frac {1} {2}), (omega (x) = / omega (y) = / omega (z) = 0). Es ist eine einfache Übung, um zu zeigen, dass (omega) nicht als gewichteter Durchschnitt von ({0,1 }) - bewerteten Zuständen auf (mathcal {A}) ausgedrückt werden kann. Für weitere Beispiele und Diskussion dieses Punktes siehe Wright 1980.

6.2 Versteckte Kontextvariablen

Das Ergebnis der vorstehenden Diskussion ist, dass die meisten Testräume nicht in einen klassischen Testraum eingebettet werden können und dass selbst dort, wo eine solche Einbettung vorhanden ist, einige der Zustände des Modells normalerweise nicht berücksichtigt werden. Es gibt jedoch eine sehr wichtige Klasse von Modellen, für die eine zufriedenstellende klassische Interpretation immer möglich ist. Nennen wir einen Testraum (mathcal {A}) semi-klassisch, wenn sich seine Tests nicht überschneiden. dh wenn (E / cap F = / varnothing) für (E, F / in / mathcal {A}), mit (E / ne F).

6.1 Lemma

Sei (mathcal {A}) halbklassisch. Dann hat (mathcal {A}) einen trennenden Satz dispersionsfreier Zustände, und jeder extreme Zustand auf (mathcal {A}) ist dispersionsfrei.

Solange (mathcal {A}) lokal zählbar ist (dh kein Test (E) in (mathcal {A}) ist unzählbar), kann jeder Zustand als konvexe Kombination in dargestellt werden ein geeigneter Sinn für extreme Zustände (Wilce [1992]). Somit hat jeder Zustand eines lokal zählbaren halbklassischen Testraums eine klassische Interpretation.

Obwohl weder Borel-Testräume noch Quantentesträume semi-klassisch sind, könnte man argumentieren, dass in jeder realen Laborsituation Semiklassizität die Regel ist. Wenn man in sein Laborheft schreibt, dass man einen bestimmten Test durchgeführt und ein bestimmtes Ergebnis erzielt hat, hat man normalerweise immer eine Aufzeichnung darüber, welcher Test durchgeführt wurde. In der Tat können wir bei jedem Testraum (mathcal {A}) immer einen halbklassischen Testraum bilden, indem wir einfach das Nebenprodukt (disjunkte Vereinigung) der Tests in (mathcal {A}) bilden.. Formeller:

6.2 Definition

Für jeden Test (E) in (mathcal {A}) sei (E ^ { sim} = {(x, E) mid x / in E }). Das halbklassische Cover von (mathcal {A}) ist der Testraum

) mathcal {A} ^ { sim} = {E ^ { sim} mid E / in / mathcal {A} }.)

Wir können (mathcal {A}) als aus (mathcal {A} ^ { sim}) stammend betrachten, indem wir den Datensatz löschen, dessen Test durchgeführt wurde, um ein bestimmtes Ergebnis sicherzustellen. Beachten Sie, dass jeder Status in (mathcal {A}) einen Status (omega ^ { sim}) in (mathcal {A} ^ { sim}) durch (omega ^ {definiert) sim} (x, E) = / omega (x)). Das Mapping (omega / rightarrow / omega ^ { sim}) ist eindeutig injektiv. Somit können wir den Zustandsraum von (mathcal {A}) mit einer Teilmenge des Zustandsraums von (mathcal {A} ^ { sim}) identifizieren. Beachten Sie, dass es in der Regel viele Zustände in (mathcal {A} ^ { sim}) gibt, die nicht in Zustände in (mathcal {A}) absteigen. Wir möchten diese möglicherweise als „nicht physisch“betrachten, da sie die (vermutlich physisch motivierten) Ergebnisidentifikationen, bei denen (mathcal {A}) definiert ist, nicht berücksichtigen.

Da es halbklassisch ist, lässt (mathcal {A} ^ { sim}) eine klassische Interpretation gemäß Lemma 7.1 zu. Lassen Sie uns dies untersuchen. Ein Element von (S (mathcal {A} ^ { sim})) entspricht einer Zuordnung (f: / mathcal {A} ^ { sim} rightarrow X), die jedem Test (zugewiesen wird) E / in / mathcal {A}), ein Ergebnis (f (E) in E). Dies ist ein (ziemlich brutales) Beispiel dafür, was unter einer kontextuellen (dispersionsfreien) versteckten Variablen zu verstehen ist. Die obige Konstruktion sagt uns, dass solche kontextbezogenen versteckten Variablen für statistische Modelle ganz allgemein verfügbar sein werden. Für andere Ergebnisse mit dem gleichen Effekt siehe Kochen und Specker [1967], Gudder [1970], Holevo [1982] und in einer anderen Richtung Pitowsky [1989]. ^[19]

Beachten Sie, dass die einfachen Zufallsvariablen in (mathcal {A}) genau den einfachen Zufallsvariablen in (mathcal {A} ^ { sim}) entsprechen und dass diese wiederum einigen von entsprechen die einfachen Zufallsvariablen (im üblichen Sinne) auf dem messbaren Raum (S (mathcal {A} ^ { sim})). Wir haben also das folgende Bild: Das Modell ((mathcal {A}, / Delta)) kann immer aus einem klassischen Modell erhalten werden, indem einfach einige Zufallsvariablen weggelassen und Ergebnisse identifiziert werden, die von diesen nicht mehr unterschieden werden können das bleibt.

All dies könnte darauf hindeuten, dass unsere verallgemeinerte Wahrscheinlichkeitstheorie keine signifikante konzeptionelle Abweichung von der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie darstellt. Auf der anderen Seite haben Modelle, die entlang der vorstehenden Linien konstruiert wurden, einen deutlich ad hoc Charakter. Insbesondere wird die Menge der "physikalischen" Zustände in einem der oben konstruierten klassischen (oder halbklassischen) Modelle nicht durch ein unabhängiges physikalisches Prinzip bestimmt, sondern nur durch die Übereinstimmung mit dem ursprünglichen, nicht semiklassischen Modell. Ein weiterer Einwand ist, dass die in diesem Abschnitt eingeführten kontextbezogenen versteckten Variablen stark nicht lokal sind. Es ist mittlerweile allgemein anerkannt, dass diese Nichtlokalität der Hauptort der Nichtklassizität in Quantenwahrscheinlichkeitsmodellen (und allgemeineren Wahrscheinlichkeitsmodellen) ist. (Weitere Informationen hierzu finden Sie im Eintrag zum Satz von Bell.)

7. Verbundsysteme

Einige der rätselhaftesten Merkmale der Quantenmechanik ergeben sich im Zusammenhang mit Versuchen, zusammengesetzte physikalische Systeme zu beschreiben. In diesem Zusammenhang treten zum Beispiel sowohl das Messproblem als auch die Nichtlokalitätsergebnisse auf, die sich auf den Satz von Bell konzentrieren. Es ist interessant, dass gekoppelte Systeme auch eine Herausforderung für das quantenlogische Programm darstellen. Ich werde diesen Artikel mit einer Beschreibung von zwei Ergebnissen abschließen, die zeigen, dass die Kopplung von quantenlogischen Modellen dazu neigt, uns weiter vom Bereich der Hilbert-Raumquantenmechanik zu entfernen.

7.1 Das Foulis-Randall-Beispiel

Ein besonders auffälliges Ergebnis in diesem Zusammenhang ist die Beobachtung von Foulis und Randall [1981a], dass jedes vernünftige (und einigermaßen allgemeine) Tensorprodukt von Orthoalgebren die Orthokohärenz nicht bewahren kann. Betrachten Sie den Testraum

) mathcal {A} _5 = { {a, x, b }, {b, y, c }, {c, z, d }, {d, w, e }, {e, v, a } })

Bestehend aus fünf Tests mit drei Ergebnissen, die in einer Schleife zusammengefügt wurden. Dieser Testraum ist keineswegs pathologisch; es ist sowohl orthokohärent als auch algebraisch, und seine Logik ist ein orthomodulares Gitter. Darüber hinaus lässt es eine trennende Menge dispersionsfreier Zustände und damit eine klassische Interpretation zu. Es kann auch in den Testraum (mathcal {A} _ { mathbf {H}}) eines beliebigen dreidimensionalen Hilbert-Raums (mathbf {H}) eingebettet werden. Überlegen Sie nun, wie wir ein zusammengesetztes System modellieren könnten, das aus zwei getrennten Teilsystemen besteht, die jeweils durch (mathcal {A} _5) modelliert werden. Wir müssten einen Testraum (mathcal {B}) und eine Zuordnung (otimes: X / times X / rightarrow Y = / cup / mathcal {B}) erstellen, die mindestens Folgendes erfüllen;

1. Für alle Ergebnisse (x, y, z / in X), wenn (x / binbot y), dann (x / otimes z / binbot y / otimes z) und (z / otimes x / binbot z / otimes y),
2. Für jedes Zustandspaar (alpha, / beta / in / Omega (mathcal {A} _5)) existiert mindestens ein Zustand (omega) auf (mathcal {B}) wie z dass (omega (x / otimes y) = / alpha (x) beta (y)) für alle Ergebnisse (x, y / in X).

Foulis und Randall zeigen, dass es keine solche Einbettung gibt, für die (mathcal {B}) orthokohärent ist. Angenommen, wir haben einen Testraum (mathcal {B}) und eine Einbettung, die die Bedingungen (a) und (b) erfüllt. Betrachten Sie die Ergebnisse

[S = {a / otimes b, b / otimes e, c / otimes c, d / otimes a, e / otimes d }.)

Nach (a) ist diese Menge paarweise orthogonal. Nun sei (alpha) der Zustand auf (mathcal {A} _5), wobei der Wert 1/2 für die Ergebnisse (a, b, c, d) und (e) und der Wert 0 für (x, y, z, w) und (v). Durch Bedingung (b) existiert der Zustand (omega) auf (mathcal {B}), so dass

) omega (s / otimes t) = / alpha (s) alpha (t))

für alle Ergebnisse (s, t) in (X). Dieser Zustand nimmt jedoch den konstanten Wert 1/4 für die Menge (S) an, von wo aus er diese Menge auf (5/4 / gt 1) summiert. Daher ist (S) kein Ereignis und (mathcal {B}) ist nicht orthokohärent.

Es ist wichtig zu betonen, dass der Testraum (mathcal {A} _5) eine vollkommen unproblematische quantenmechanische Interpretation hat, da er als eine Menge orthonormaler Basen in einem dreidimensionalen Hilbert-Raum (realisiert werden kann) mathbf {H}). Der im Foulis-Randall-Beispiel dargestellte Zustand (omega) kann jedoch nicht quantenmechanisch (viel weniger klassisch) entstehen. (Dies folgt in der Tat aus dem Beispiel selbst: Die kanonische Zuordnung (mathbf {H} times / mathbf {H} rightarrow / mathbf {H} otimes / mathbf {H}) liefert eine Zuordnung, die die Bedingungen erfüllt (a) und (b) oben. Da (mathbf {L} (mathbf {H} otimes / mathbf {H})) orthokohärent ist, entspricht die Menge S einer paarweisen orthogonalen Familie von Projektionen, über die a Der quantenmechanische Zustand müsste nicht mehr als 1 ergeben.)

7.2 Satz von Aerts

Ein anderes Ergebnis mit einer etwas ähnlichen Kraft ist das von Aerts [1981]. Wenn (L_1) und (L_2) zwei Piron-Gitter sind, konstruiert Aerts auf ziemlich natürliche Weise ein Gitter (L), das zwei getrennte Systeme darstellt, die jeweils durch eines der gegebenen Gitter modelliert werden. Hier bedeutet "getrennt", dass jeder reine Zustand des größeren Systems (L) vollständig durch die Zustände der beiden Komponentensysteme (L_1) und (L_2) bestimmt wird. Aerts zeigt dann, dass (L) wieder ein Piron-Gitter ist, wenn mindestens einer der beiden Faktoren (L_1) und (L_2) klassisch ist. (Dieses Ergebnis wurde kürzlich von Ischi [2000] auf verschiedene Weise verstärkt.)

7.3 Auswirkungen

Der Kern dieser No-Go-Ergebnisse besteht darin, dass einfache Konstruktionen plausibler Modelle für Verbundsysteme die Regelmäßigkeitsbedingungen (Orthokohärenz im Fall des Foulis-Randall-Ergebnisses, Orthomodularität und das Deckungsgesetz im Fall des Aerts-Ergebnisses) zerstören, die weit verbreitet sind wurde verwendet, um Rekonstruktionen des üblichen quantenmechanischen Formalismus zu zeichnen. Dies lässt Zweifel aufkommen, ob eine dieser Bedingungen die Universalität aufweist, die die optimistischste Version von Mackeys Programm verlangt. Dies schließt natürlich nicht aus, dass diese Bedingungen bei besonders einfachen physikalischen Systemen noch motiviert sein können.

In einigen Quartalen wurde die Tatsache, dass den traditionellsten Modellen der Quantenlogik ein vernünftiges Tensorprodukt fehlt, als Auslöser für den Zusammenbruch des gesamten quantenlogischen Unternehmens angesehen. Diese Reaktion ist verfrüht. Das Foulis-Randall-Beispiel zeigt zum Beispiel, dass es kein allgemeines Tensorprodukt geben kann, das sich auf allen orthomodularen Gittern oder orthomodularen Posets (dh orthokohärenten Orthoalgebren) und auf allen Zuständen darauf richtig verhält. Dies schließt die Existenz eines zufriedenstellenden Tensorprodukts für Klassen von Strukturen nicht aus, die größer als die von orthomodularen Posets oder kleiner als die von orthomodularen Gittern sind, oder für Klassen von orthomodularen Gittern oder Posets mit eingeschränkten Zustandsräumen. Und tatsächlich, wie Foulis und Randall in Foulis und Randall [1981a] zeigten, ist die Klasse der unitalen Orthoalgebren - das heißtOrthoalgebren, in denen jeder Satz in einem bestimmten Zustand die Wahrscheinlichkeit 1 hat, unterstützen ein kanonisches Tensorprodukt, das ihre Bedingungen (a) und (b) erfüllt.

Wenn man sich in die entgegengesetzte Richtung bewegt, kann man es als axiomatische Anforderung ansehen, dass eine zufriedenstellende physikalische Theorie unter einer vernünftigen Vorrichtung zum Koppeln getrennter Systeme geschlossen wird. Dies legt nahe, Klassen von Systemen, dh physikalische Theorien, die sich von einzelnen Systemen unterscheiden, in den Mittelpunkt der Aufmerksamkeit zu stellen. Tatsächlich ist dies genau der Trend in vielen aktuellen Arbeiten zu den Grundlagen der Quantenmechanik.

Ein besonders fruchtbarer Ansatz dieser Art aufgrund von Abramsky und Coecke [2009] setzt voraus, dass eine physikalische Theorie durch eine symmetrische monoidale Kategorie dargestellt wird - ungefähr eine Kategorie, die mit einem natürlich symmetrischen und assoziativen Tensorprodukt ausgestattet ist. Vorbehaltlich einiger weiterer Einschränkungen (z. B. kompakter Verschluss) weisen solche Kategorien formale Eigenschaften auf, die auffallend an die Quantenmechanik erinnern. Interessanterweise hat Harding [2009] kürzlich gezeigt, dass in jeder stark kompakten geschlossenen Kategorie mit Nebenprodukten jedes Objekt mit einem orthomodularen Poset Proj ((A)) von „schwachen Projektionen“assoziiert ist und dass Proj ((A / otimes B)) verhält sich in vielerlei Hinsicht wie ein sensibles Tensorprodukt für Proj ((A)) und Proj ((B)).

Diese jüngste Betonung von Systemen in Interaktion ist Teil einer allgemeineren Verlagerung der Aufmerksamkeit weg von der statischen Struktur von Zuständen und Observablen hin zu den Prozessen, an denen physikalische Systeme teilnehmen können. Dieser Trend zeigt sich nicht nur in der kategorietheoretischen Formulierung von Abramsky und Coecke (siehe auch Coecke [2011]), sondern auch in mehreren neueren axiomatischen Behandlungen der Quantentheorie. Zum Beispiel verwenden Chiribella-D'Ariano-Perinotti ([2011]) und Rau ([2011]), die in einem verallgemeinerten probabilistischen Rahmen arbeiten, Postulate, die Messungen mit Dynamik in Beziehung setzen. In einer anderen Richtung bereichern Baltag und Smets ([2005]) ein gittertheoretisches Gerüst im Piron-Stil mit einem explizit dynamischen Element und gelangen zu einem Quantenanalogon der aussagekräftigen dynamischen Logik.

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Andere Internetquellen

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