Schema

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

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Schema

Erstveröffentlichung am 28. Mai 2004; inhaltliche Überarbeitung Di 2. August 2016

Ein Schema (Plural: Schemata oder Schemas), auch als Schema (Plural: Schemata) bezeichnet, ist eine sprachliche „Vorlage“, ein „Rahmen“oder ein „Muster“zusammen mit einer Regel, mit der eine potenziell unendliche Menge angegeben werden kann von Phrasen, Sätzen oder Argumenten, die als Instanzen des Schemas bezeichnet werden. Schemata werden in der Logik verwendet, um Inferenzregeln zu spezifizieren, in der Mathematik, um Theorien mit unendlich vielen Axiomen zu beschreiben, und in der Semantik, um Angemessenheitsbedingungen für Definitionen der Wahrheit zu geben.

• 1. Was ist ein Schema?
• 2. Verwendung von Schemata
• 3. Ontologischer Status von Schemata
• 4. Schemata in der Geschichte der Logik
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Was ist ein Schema?

Ein Schema ist ein komplexes System bestehend aus

1. ein Vorlagentext oder eine Schema-Vorlage: eine syntaktische Zeichenfolge, die aus signifikanten Wörtern und / oder Symbolen sowie aus Platzhaltern besteht (Buchstaben, Leerzeichen, eingekreiste Zahlen, Ellipsen, Ordnungszahlausdrücke wie "die erste" und "die zweite" usw.).), und
2. eine Nebenbedingung, die angibt, wie die Platzhalter gefüllt werden sollen, um Instanzen zu erhalten, und manchmal auch, wie die signifikanten Wörter oder Symbole zu verstehen sind (Tarski 1933/1983: 155; Church 1956: 172). Insbesondere gibt die Nebenbedingung die Sprache an, ob natürlich oder formal, zu der die Instanzen des Schemas gehören sollen.

Zu den bekanntesten Schemata gehört Tarskis Schema T, dessen Vorlagentext die aus acht Wörtern bestehende Zwei-Ellipsen-Zeichenfolge ist:

… Ist genau dann ein wahrer Satz, wenn….

Die Nebenbedingung erfordert, dass das zweite Leerzeichen mit einem (deklarativen) englischen Satz ausgefüllt wird und das erste Leerzeichen mit einem Namen dieses Satzes ausgefüllt wird (Tarski 1933/1983: 155). Die folgende Zeichenfolge ist eine Instanz:

'Null ist Eins' ist genau dann ein wahrer Satz, wenn Null Eins ist.

Weitere aufschlussreiche Beispiele werden erhalten, indem ein Satz verwendet wird, von dem nicht bekannt ist, dass er wahr und von dem nicht bekannt ist, dass er falsch ist:

"Jede perfekte Zahl ist gerade" ist genau dann ein wahrer Satz, wenn jede perfekte Zahl gerade ist.

Der Satz mit vierzehn Wörtern

Entweder ist Null gerade oder es ist nicht der Fall, dass Null gerade ist.

ist eine Instanz des Schemas für den ausgeschlossenen mittleren Satz für Englisch, das die Vorlage enthält

Entweder (A) oder es ist nicht der Fall, dass (A).

Die Nebenbedingung ist, dass die beiden Vorkommen von '(A)' durch Vorkommen desselben wohlgeformten englischen deklarativen Satzes gefüllt werden sollen, dass der diskontinuierliche Ausdruck 'Entweder… oder…' drückt die klassische nicht ausschließliche Disjunktion aus und dass das aus sechs Wörtern bestehende Satzpräfix "es ist nicht der Fall, dass"; drückt klassische Negation aus. Beachten Sie, dass diese Schema-Vorlage kein englischer Satz ist. Es wäre streng genommen inkohärent, es als Satz in einer versuchten Behauptung zu verwenden. Es wäre auch falsch, es wahr oder falsch zu nennen, obwohl es im angemessenen Sinne dieser mehrdeutigen Wörter als gültig oder ungültig charakterisiert werden kann.

Einige Logiker scheinen das Schema nur mit der Vorlage zu identifizieren. (Tarskis Wortlaut von 1933/1983: 155–6 legt diese Identifizierung nahe, während der von Church von 1956: 149 darauf ausgelegt zu sein scheint, dies zu vermeiden.) Ein und dieselbe Schema-Vorlage kann jedoch je nach Seite Bestandteil einer beliebigen Anzahl unterschiedlicher Schemata sein Bedingung oder die zugrunde liegende Sprache. Da außerdem verschiedene Zeichen oder Zeichenfolgen als Platzhalter verwendet werden können (siehe oben) und selbst eine Änderung der Notation eine andere syntaktische Zeichenfolge im engeren Sinne erzeugt (Corcoran et al. 1974), kann ein und derselbe Satz von Instanzen durch bestimmt werden Unterschiedliche Paarungen von Schema-Vorlage und Nebenbedingung, selbst wenn eine feste Sprache angegeben ist. Es kann diese Tatsache sein, die einige Autoren dazu veranlasst, so zu schreiben, als ob das Schema mit der Menge der Instanzen identifiziert werden soll. Für viele Zwecke ist die Menge spezifizierter Instanzen von vorrangiger Bedeutung, und die Frage, was genau bei der Spezifikation erforderlich ist, wird als bloße technische Angelegenheit angesehen.

Manchmal (wie oben im ausgeschlossenen mittleren Schema) werden die Platzhalter in einer Schema-Vorlage durch Buchstaben markiert. Es ist wichtig, die Unterscheidung zwischen einerseits einem offenen Satz wie '((x + y) = (y + x))' zu berücksichtigen. deren objektsprachliche numerische Variablen '(x)' und '(y)' über den Zahlen liegen und andererseits ein Schema wie das zahlentheoretische Kommutativitätsschema, dessen Vorlagentext '((X + Y) = (Y + X)) ' und dessen Nebenbedingung ist, dass die zwei Vorkommen von '(X)' durch zwei Vorkommen mit ein und derselben Ziffer und ebenso für die zwei Vorkommen von '(Y)' ersetzt werden sollen. Die Ziffern gehören zur Objektsprache, während die Platzhalter zur Metasprache gehören. Die Variablen in der Objektsprache erstrecken sich über eine Domäne von Objekten.während die 'Dummy-Buchstaben' im Vorlagentext nur Platzhalter für syntaktische Substituenten sind. (Für eine sorgfältige Darstellung der Unterscheidung siehe Quine 1945: Abschnitt 1.)

Schemata können nach dem syntaktischen Typ ihrer Instanzen als Satzschemata, Subsententialschemata oder Argumenttextschemata klassifiziert werden. Wir haben bereits zwei Beispiele für Satzschemata gesehen. Die Saite

der Nachfolger von (A)

ist der Vorlagentext für ein Subsententialschema, wobei die Nebenbedingung angibt, dass der Buchstabe '(A)' durch eine arabische Ziffer ersetzt wird. Die definitive Beschreibung

der Nachfolger von 9

wäre eine Instanz. Beachten Sie, dass sich dieses Schema stark vom offenen Begriff unterscheidet

der Nachfolger von (x),

Dabei ist '(x)' eine objektsprachliche Variable. Das Schema ist im Wesentlichen ein Rezept zum Generieren syntaktischer Instanzen. Der 'Dummy-Buchstabe' '(A)' in seinem Vorlagentext ist nur ein Platzhalter für Substituenten (hier Ziffern). Das '(x)' im offenen Begriff ist dagegen eine Variable, die sich über Objekte erstreckt (hier Zahlen).

Ein Argument-Text-Schema ist ein Schema, dessen Instanzen Argument-Texte sind. Ein Argumenttext ist ein zweiteiliges System, das aus einer Reihe von Sätzen besteht, die als Prämissen bezeichnet werden, und einem einzelnen Satz, der als Schlussfolgerung bezeichnet wird. (Ein Argument ist das, was durch einen Argumenttext ausgedrückt wird, während ein Satz das ist, was durch einen Satz ausgedrückt wird.) Von den verschiedenen Arten der Darstellung eines Argumenttextes ist die Prämissenlinie vielleicht diejenige, die am wenigsten für Fehlinterpretationen offen ist. Abschlussformat, das darin besteht, die Prämissen aufzulisten, gefolgt von einer Zeile gefolgt von der Schlussfolgerung. Beispielsweise:

) begin {align} & / textrm {Jeder Kreis ist ein Polygon.} & / textrm {Jedes Dreieck ist ein Kreis.} & / textrm {Jedes Quadrat ist ein Dreieck.} \\ hline & / textrm {Jedes Quadrat ist ein Polygon.} end {align})

Ein Beispiel für ein Argument-Text-Schema ist der Inferenzregelmodus ponens:

) begin {align} & A \& / textrm {if} A / textrm {then} B \\\ hline & B / end {align})

Die Nebenbedingung gibt an, dass '(A)' und '(B)' durch deklarative Sätze des Englischen ersetzt werden und dass beide Vorkommen von '(A)' (und ebenfalls von '(B) ') durch denselben Satz oder dieselbe Formel ersetzt werden.

Axiomschemata können als Null-Prämissen-Argumenttextschemata betrachtet werden.

2. Verwendung von Schemata

Schemata werden zur Formalisierung von Logik, Mathematik und Semantik verwendet. In der Logik werden sie verwendet, um die Axiome und Inferenzregeln eines Systems anzugeben. Zum Beispiel besagt eine Formalisierung der Logik erster Ordnung (in Shapiro 1991: 65), dass

Jede Formel, die durch Ersetzen der griechischen Buchstaben durch Formeln erhalten wird, ist ein Axiom:

) begin {align} Phi & / rightarrow (Psi / rightarrow / Phi) (Phi / rightarrow (Psi / rightarrow / Xi)) & / rightarrow ((Phi / rightarrow / Psi) rightarrow (Phi / rightarrow / Xi)) (neg / Phi / rightarrow / neg / Psi) & / rightarrow (Psi / rightarrow / Phi) / \ forall x / Phi (x) & / rightarrow / Phi (t) end {align})

wobei (t) ein Begriff ist, der für (x) in (Phi) frei ist,

und dass jede Schlussfolgerung der Form

) begin {align} & / Phi \& / Phi / rightarrow / Psi \\\ hline & / Psi \\ / end {align})

oder (wobei (x) in (Phi) nicht frei vorkommt)

) begin {align} Phi & / rightarrow / Psi (x) \\ hline / Phi & / rightarrow / forall x / Psi (x), / end {align})

ist gültig.

Einige mathematische Theorien können in einer Sprache erster Ordnung endlich axiomatisiert werden, bestimmte historisch wichtige Zahlentheorien und Mengen-Theorien jedoch nicht. Die Axiome dieser Theorien können manchmal mithilfe von Schemata spezifiziert werden. Beispielsweise wird in der Zahlentheorie erster Ordnung das Induktionsprinzip unter Verwendung des Schemas spezifiziert

[F (0) mathbin { &} forall x ((textit {Num} (x) mathbin { &} F (x)) rightarrow F (sx)] rightarrow / forall x (textit {Num} (x) rightarrow F (x)))

wobei die beiden mit '(F (x))' gekennzeichneten Leerzeichen mit einer Formel erster Ordnung mit einem oder mehreren freien Vorkommen der Variablen '(x)' gefüllt werden sollen, wobei das mit '(F (0)) 'ist mit der gleichen Formel zu füllen, nachdem jedes freie Vorkommen von' (x) 'durch ein Vorkommen von' 0 'ersetzt wurde und das Leerzeichen mit der Bezeichnung' (F (sx)) ' ist mit der gleichen Formel zu füllen, nachdem jedes freie Vorkommen von '(x)' durch ein Vorkommen von '(sx)' ersetzt wurde.

Wenn wir zum Beispiel die beiden mit '(F (x))' gekennzeichneten Lücken mit '(x / ne sx)' füllen, haben wir:

[0 / ne s0 / mathbin { &} forall x ((textit {Num} (x) mathbin { &} x / ne sx) rightarrow sx / ne ss x)] rightarrow / forall x (textit {Num} (x) rightarrow x / ne sx))

Unter Verwendung von Englisch als zugrunde liegende Objektsprache könnte der folgende Vorlagentext verwendet werden.

Wenn Null (F) ist und der Nachfolger jeder Zahl, die (F) ist, auch (F) ist, dann ist jede Zahl (F), wobei die vier Vorkommen von '(F)' mit ein und demselben arithmetischen Prädikat ausgefüllt werden sollen (z. B. 'kleiner als eine Primzahl').

In einer Formalisierung zweiter Ordnung der Zahlentheorie kann dagegen ein einziges Induktionsaxiom angegeben werden:

) forall F {[F (0) mathbin { &} forall x ((textit {Num} (x) mathbin { &} F (x)) rightarrow F (sx)] rechter Pfeil / für alle x (textit {Num} (x) rechter Pfeil F (x)) })

Wenn für jedes (F) Null (F) ist und der Nachfolger jeder Zahl, die (F) ist, auch (F) ist, dann ist jede Zahl (F).

Hier ist '(F)' kein Platzhalter in einem Schema, sondern eine echte Variable, die sich über Eigenschaften oder Klassen erstreckt (oder bei einigen Interpretationen mehrere Personen umfasst). Für Vergleiche zwischen Logik erster und zweiter Ordnung siehe Corcoran 1998.

Die orthographischen Ähnlichkeiten zwischen dem Induktionsschema erster Ordnung und dem Induktionsaxiom zweiter Ordnung haben eine unglückliche Tendenz, die wichtigen Unterschiede zwischen ihnen zu verschleiern. Letzteres ist ein Satz in der Sprache, während Ersteres nur ein Rezept zur Erzeugung von Sätzen ist. Sie sind auch nicht inferentiell äquivalent: Die Menge der Instanzen des Induktionsschemas erster Ordnung ist logisch schwächer als das Induktionsaxiom zweiter Ordnung. Das heißt, es gibt Sätze der Arithmetik erster Ordnung, die aus dem Induktionsaxiom zweiter Ordnung (zusammen mit den anderen Axiomen der Arithmetik, die der Arithmetik erster und zweiter Ordnung gemeinsam sind) abgeleitet werden können, jedoch nicht aus den Instanzen von das Induktionsschema erster Ordnung (siehe Shapiro 1991: 110).

Schemata haben auch in der Semantik eine herausragende Rolle gespielt. Tarski vertrat die Auffassung, dass eine Instanz seines "T-Schemas" (das er als "Schema" bezeichnet) als "teilweise Definition der Wahrheit" oder vielmehr als "wahrer Satz" angesehen werden könnte:

Das allgemeine Schema dieser Art von Satz kann folgendermaßen dargestellt werden:

(2) (x) ist genau dann ein wahrer Satz, wenn (p)

Um konkrete Definitionen zu erhalten, ersetzen wir in diesem Schema anstelle des Symbols '(p)' einen Satz und anstelle von '(x)' einen einzelnen Namen dieses Satzes. (Tarski 1933/1983: 155–6)

Er betrachtete es als ein Kriterium für die Angemessenheit einer Definition des „wahren Satzes“für eine Sprache, die alle „Teildefinitionen“als Konsequenzen hat (Tarski 1933/1983: 187–8).

3. Ontologischer Status von Schemata

Es ist wichtig, sich über den gemischten ontologischen Status von Schemata im Klaren zu sein. Der Vorlagentext des Schemas ist ein syntaktisches Objekt, eine Zeichenfolge und hat dieselben ontologischen Voraussetzungen wie Ziffern, Wörter, Formeln und dergleichen. Zum Beispiel ist der Vorlagentext für das englische Namensschema - "Der Ausdruck … benennt die Entität …" - ein Ausdruck mit vierzig Zeichen, der siebenundzwanzig Buchstaben, sechs Vorkommen des Leerzeichens und sieben Vorkommen des Zeitraums umfasst. Andererseits ist die Nebenbedingung eine Intensionseinheit, die mit einem Satz vergleichbar ist.

Eine Schema-Vorlage ist ein Zeichenfolgentyp mit unbegrenzt vielen Token im Sinne von Peirce (Peirce 1906; Corcoran et al. 1974: 638 n. 5). Aber keines der Token einer Schema-Vorlage ist eine Instanz des Schemas. Tatsächlich ist jede Instanz eines Schemas ein Zeichenfolgentyp mit eigenen Token. Das Wort 'Instanz' ist ein Beziehungsnomen für eine Beziehung, die bestimmte Zeichenfolgentypen zu bestimmten Schemata haben. Das Wort "Token" ist ein Beziehungsnomen für eine Beziehung, die bestimmte makroskopische physische Objekte zu bestimmten abstrakten Objekten haben. Weder ein Schema noch eine Schema-Vorlage ist ein allgemeines Substantiv, das die Instanzen bezeichnet, und auch kein Eigenname einer Gruppe von Instanzen.

Einige Philosophen betonen die ontologischen Ökonomien, die durch die Verwendung von Schemata anstelle von Axiomen zweiter Ordnung möglich sind (z. B. Quine 1970/1986). Aber selten, wenn überhaupt, präsentieren diese Philosophen eine vollständige und objektive Diskussion der „ontologischen Verpflichtungen“, die mit der Verwendung von Schemata verbunden sind. Zum Beispiel setzt die Zahlentheorie an sich die Existenz von Zahlen und vielleicht numerischen Funktionen und numerischen Eigenschaften voraus, aber sie setzt nicht die Existenz der mathematischen Notation voraus, und sie setzt erst recht nicht die Existenz des riesigen, komplizierten Notationssystems voraus, das wir nennen die Sprache der Zahlentheorie. Manchmal kann die Verwendung von Schemata die ontologischen Verpflichtungen der Objektsprache verringern, während die der Metasprache erhöht werden, oder zumindest keine Nettoeinsparungen erzielen.

4. Schemata in der Geschichte der Logik

Das griechische Wort "Schema"; wurde in Platons Akademie für "[geometrische] Figur" und in Aristoteles 'Lyzeum für "[syllogistische] Figur" verwendet. Obwohl Aristoteles 'syllogistische Figuren oder „Schemata“keine Schemata im modernen Sinne waren, waren es Aristoteles' Stimmungen. Zum Beispiel ist der Vorlagentext der Stimmung BARBARA

) begin {align} & P / textrm {gehört zu jedem} M. \& M / textrm {gehört zu jedem} S. \\\ hline & P / textrm {gehört zu jedem} S. / end {align})

Die damit verbundene Nebenbedingung ist, dass (1) beide Vorkommen von '(P)' mit Vorkommen ein und desselben gemeinsamen Substantivs gefüllt werden sollen, (2) beide Vorkommen von '(M)' gefüllt werden sollen bei Vorkommen ein und desselben gemeinsamen Substantivs, das nicht für '(P)' verwendet wird, (3) sind beide Vorkommen von '(S)' mit Vorkommen ein und desselben gemeinsamen Substantivs zu füllen als diejenigen, die für '(P)' und '(M)' verwendet werden, und dass (4) der Ausdruck 'zu jedem gehört' verwendet wird, um eine universelle positive Prädikation wie in der vorherigen Analyse auszudrücken. Die Regeln der stoischen Aussagenlogik wurden als Schemata angesehen.

Es ist schwer, die selbstbewusste Verwendung des Wortes "Schema" zu datieren. im modernen Sinne. Russells Einführung in die mathematische Philosophie (1919) verwendet sie beiläufig, um Aussagenfunktionen zu beschreiben:

Eine Satzfunktion… kann als bloßes Schema, als bloße Hülle, als leeres Gefäß für Bedeutung verstanden werden, nicht als etwas, das bereits bedeutsam ist. (1919: 157)

Satzfunktionen sind jedoch keine syntaktischen Schemata im modernen Sinne. Tarskis Wahrheitsdefinitionspapier von 1933 (Tarski 1933/1983: 157, 160, 172) war eine der ersten prominenten Veröffentlichungen, in denen das Wort "Schema" in einem Sinn verwendet wurde, der dem dieses Artikels nahe kommt (Tarski 1933/1983: 155, 156)). Tarski verwendet auch das Wort "Schema" und seinen Plural "Schemata" in der Zeit vor dem Zweiten Weltkrieg (1983: 63–64, 114, 310, 386, 423).

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts verwendeten Formalisierungen der Logik sogenannte „Substitutionsregeln“mit endlichen Axiomen anstelle von Schemata, die unendlich viele Axiome spezifizierten. Diese „Substitutionsregeln“waren nicht die bekannten Regeln für das „Ersetzen von Gleichen durch Gleiche“. Vielmehr waren sie näher an den heutigen Instanziierungsregeln. Die intuitive Motivation für „Substitutionsregeln“war sehr einfach, aber die syntaktischen Details für deren Implementierung waren „unerträglich komplex“- um die Worte von Paul Rosenbloom (1950: 109) zu verwenden. Tatsächlich wurden mehrere erstklassige Logiker dazu gebracht, peinliche Fehler zu machen, wie Rosenbloom an der gerade zitierten Stelle dokumentiert. Church (1956: 158) schreibt von Neumann „das Mittel zur Verwendung von Axiomschemata“zu, was die (notorisch schwer zu formulierende) Substitutionsregel unnötig machte.

Wie Church betont hat (z. B. 1956: 59), erfordert die metamathematische Behandlung von Schemata die Verwendung formalisierter oder logisch perfekter Sprachen und eine axiomatisierte Stringtheorie, wie sie erstmals in Tarskis Wahrheitsdefinitionspapier von 1933 (1933/1983: 152–) zu finden ist 256). Weitere Informationen zur Geschichte, Philosophie und Mathematik dieses wichtigen, aber etwas vernachlässigten Gebiets finden Sie bei Corcoran et al. 1974; Corcoran 2006).

Literaturverzeichnis

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• Corcoran, J., 1998, "Logik zweiter Ordnung", in CS Anderson und M. Zeleny (Hrsg.), Logik, Bedeutung und Berechnung: Essays in Erinnerung an die Alonzo-Kirche, Dordrecht: Kluwer.
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• van Heijenoort, J., 1967, Von Frege nach Gödel, Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Zygmunt, J. (Hrsg.), 1995, Alfred Tarski, Pisma Logiczno-Filozoficzne, 1 Prawda, Warschau: Wydawnictwo Naukowe PWN.

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