Mengenlehre

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Mengenlehre

Erstveröffentlichung Mi 8. Oktober 2014; inhaltliche Überarbeitung Di 12. Februar 2019

Die Mengenlehre ist die mathematische Theorie gut bestimmter Sammlungen, die als Mengen bezeichnet werden, von Objekten, die als Mitglieder oder Elemente der Menge bezeichnet werden. Die reine Mengenlehre befasst sich ausschließlich mit Mengen, daher werden nur solche Mengen in Betracht gezogen, deren Mitglieder ebenfalls Mengen sind. Die Theorie der erblich-endlichen Mengen, nämlich jener endlichen Mengen, deren Elemente auch endliche Mengen sind, deren Elemente ebenfalls endlich sind usw., ist formal äquivalent zur Arithmetik. Das Wesen der Mengenlehre ist also das Studium unendlicher Mengen, und daher kann sie als die mathematische Theorie der tatsächlichen - im Gegensatz zur potentiellen - unendlichen Menge definiert werden.

Der Begriff der Menge ist so einfach, dass er normalerweise informell eingeführt und als selbstverständlich angesehen wird. In der Mengenlehre werden Mengen jedoch wie in der Mathematik üblich axiomatisch angegeben, so dass ihre Existenz und ihre grundlegenden Eigenschaften durch die entsprechenden formalen Axiome postuliert werden. Die Axiome der Mengenlehre implizieren die Existenz eines satztheoretischen Universums, das so reich ist, dass alle mathematischen Objekte als Mengen ausgelegt werden können. Die formale Sprache der reinen Mengenlehre erlaubt es auch, alle mathematischen Begriffe und Argumente zu formalisieren. Somit ist die Mengenlehre zur Standardgrundlage für die Mathematik geworden, da jedes mathematische Objekt als Menge betrachtet werden kann und jeder Satz der Mathematik im Prädikatenkalkül logisch aus den Axiomen der Mengenlehre abgeleitet werden kann.

Beide Aspekte der Mengenlehre, nämlich als mathematische Wissenschaft des Unendlichen und als Grundlage der Mathematik, sind von philosophischer Bedeutung.

• 1. Die Ursprünge

• 2. Die Axiome der Mengenlehre

  2.1 Die Axiome von ZFC

• 3. Die Theorie der transfiniten Ordnungszahlen und Kardinäle

  3.1 Kardinäle

• 4. Das Universum (V) aller Mengen

• 5. Setzen Sie die Theorie als Grundlage der Mathematik

  • 5.1 Metamathematik
  • 5.2 Das Phänomen der Unvollständigkeit

• 6. Die Mengenlehre des Kontinuums

  • 6.1 Deskriptive Mengenlehre
  • 6.2 Bestimmtheit
  • 6.3 Die Kontinuumshypothese
• 7. Gödels konstruierbares Universum

• 8. Erzwingen

  8.1 Andere Anwendungen des Forcierens

• 9. Die Suche nach neuen Axiomen

• 10. Große Kardinäle

  • 10.1 Innere Modelle großer Kardinäle
  • 10.2 Folgen großer Kardinäle
• 11. Axiome erzwingen
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Die Ursprünge

Die Mengenlehre als eigenständige mathematische Disziplin beginnt in der Arbeit von Georg Cantor. Man könnte sagen, dass die Mengenlehre Ende 1873 geboren wurde, als er die erstaunliche Entdeckung machte, dass das lineare Kontinuum, dh die reale Linie, nicht zählbar ist, was bedeutet, dass seine Punkte nicht mit den natürlichen Zahlen gezählt werden können. Obwohl sowohl die Menge der natürlichen Zahlen als auch die Menge der reellen Zahlen unendlich sind, gibt es mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen, was die Tür zur Untersuchung der verschiedenen Größen der Unendlichkeit öffnete. Im Eintrag zur frühen Entwicklung der Mengenlehre finden Sie eine Diskussion über den Ursprung satztheoretischer Ideen und deren Verwendung durch verschiedene Mathematiker und Philosophen vor und um Cantors Zeit.

Laut Cantor haben zwei Mengen (A) und (B) die gleiche Größe oder Kardinalität, wenn sie bijektierbar sind, dh die Elemente von (A) können eins zu eins gesetzt werden Entsprechung mit den Elementen von (B). Somit haben die Menge (mathbb {N}) natürlicher Zahlen und die Menge (mathbb {R}) reeller Zahlen unterschiedliche Kardinalitäten. 1878 formulierte Cantor die berühmte Kontinuumshypothese (CH), die besagt, dass jede unendliche Menge reeller Zahlen entweder zählbar ist, dh dieselbe Kardinalität wie (mathbb {N}) oder dieselbe Kardinalität wie \ hat (mathbb {R}). Mit anderen Worten, es gibt nur zwei mögliche Größen von unendlichen Mengen reeller Zahlen. Der CH ist das bekannteste Problem der Mengenlehre. Cantor selbst widmete sich viel Mühe, ebenso wie viele andere führende Mathematiker der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts, wie Hilbert,der die CH als erstes Problem in seiner berühmten Liste von 23 ungelösten mathematischen Problemen auflistete, die 1900 auf dem Zweiten Internationalen Mathematikerkongress in Paris vorgestellt wurden. Die Versuche, die CH zu beweisen, führten zu bedeutenden Entdeckungen in der Mengenlehre, wie der Theorie der konstruierbaren Mengen und der Forciertechnik, die zeigten, dass die CH gegenüber den üblichen Axiomen der Mengenlehre weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Bis heute bleibt der CH geöffnet. Bis heute bleibt der CH geöffnet. Bis heute bleibt der CH geöffnet.

Schon früh ergaben sich einige Inkonsistenzen oder Paradoxien aus einer naiven Verwendung des Mengenbegriffs; insbesondere aus der täuschend natürlichen Annahme, dass jede Eigenschaft eine Menge bestimmt, nämlich die Menge von Objekten, die die Eigenschaft haben. Ein Beispiel ist Russells Paradoxon, das auch Zermelo bekannt ist:

Betrachten Sie die Eigenschaft von Gruppen, nicht Mitglieder von sich selbst zu sein. Wenn die Eigenschaft eine Menge bestimmt, nennen Sie sie (A), dann ist (A) genau dann ein Mitglied von sich selbst, wenn (A) kein Mitglied von sich selbst ist.

Daher sind einige Sammlungen, wie die Sammlung aller Mengen, die Sammlung aller Ordnungszahlen oder die Sammlung aller Kardinalzahlen, keine Mengen. Solche Sammlungen werden als richtige Klassen bezeichnet.

Um die Paradoxien zu vermeiden und auf eine solide Grundlage zu stellen, musste die Mengenlehre axiomatisiert werden. Die erste Axiomatisierung ging auf Zermelo (1908) zurück und ergab sich aus der Notwendigkeit, die satztheoretischen Grundprinzipien zu formulieren, die seinem Beweis des Cantor-Ordnungsprinzips zugrunde liegen. Die Axiomatisierung von Zermelo vermeidet Russells Paradoxon durch das Trennungsaxiom, das als Quantifizierung über Eigenschaften von Mengen formuliert ist, und ist daher eine Aussage zweiter Ordnung. Weitere Arbeiten von Skolem und Fraenkel führten zur Formalisierung des Trennungsaxioms in Form von Formeln erster Ordnung anstelle des informellen Begriffs des Eigentums sowie zur Einführung des Axioms der Ersetzung, das auch als Axiom formuliert wird Schema für Formeln erster Ordnung (siehe nächster Abschnitt). Das Axiom der Ersetzung wird für eine ordnungsgemäße Entwicklung der Theorie der transfiniten Ordnungszahlen und Kardinäle unter Verwendung der transfiniten Rekursion benötigt (siehe Abschnitt 3). Es ist auch erforderlich, die Existenz solcher einfachen Mengen wie der Menge erblich endlicher Mengen zu beweisen, dh jener endlichen Mengen, deren Elemente endlich sind, deren Elemente auch endlich sind, und so weiter; oder um grundlegende satztheoretische Tatsachen zu beweisen, wie zum Beispiel, dass jede Menge in einer transitiven Menge enthalten ist, dh einer Menge, die alle Elemente ihrer Elemente enthält (siehe Mathias 2001 für die Schwächen der Zermelo-Mengenlehre). Eine weitere Hinzufügung des Axioms der Stiftung durch von Neumann führte zum Standard-Axiomensystem der Mengenlehre, bekannt als Zermelo-Fraenkel-Axiome plus Axiom of Choice oder ZFC. Es ist auch erforderlich, die Existenz solcher einfachen Mengen wie der Menge erblich endlicher Mengen zu beweisen, dh jener endlichen Mengen, deren Elemente endlich sind, deren Elemente auch endlich sind, und so weiter; oder um grundlegende satztheoretische Tatsachen zu beweisen, wie zum Beispiel, dass jede Menge in einer transitiven Menge enthalten ist, dh einer Menge, die alle Elemente ihrer Elemente enthält (siehe Mathias 2001 für die Schwächen der Zermelo-Mengenlehre). Eine weitere Hinzufügung des Axioms der Stiftung durch von Neumann führte zum Standard-Axiomensystem der Mengenlehre, bekannt als Zermelo-Fraenkel-Axiome plus Axiom of Choice oder ZFC. Es ist auch erforderlich, die Existenz solcher einfachen Mengen wie der Menge erblich endlicher Mengen zu beweisen, dh jener endlichen Mengen, deren Elemente endlich sind, deren Elemente auch endlich sind, und so weiter; oder um grundlegende satztheoretische Tatsachen zu beweisen, wie zum Beispiel, dass jede Menge in einer transitiven Menge enthalten ist, dh einer Menge, die alle Elemente ihrer Elemente enthält (siehe Mathias 2001 für die Schwächen der Zermelo-Mengenlehre). Eine weitere Hinzufügung des Axioms der Stiftung durch von Neumann führte zum Standard-Axiomensystem der Mengenlehre, bekannt als Zermelo-Fraenkel-Axiome plus Axiom of Choice oder ZFC.oder um grundlegende satztheoretische Tatsachen zu beweisen, wie zum Beispiel, dass jede Menge in einer transitiven Menge enthalten ist, dh einer Menge, die alle Elemente ihrer Elemente enthält (siehe Mathias 2001 für die Schwächen der Zermelo-Mengenlehre). Eine weitere Hinzufügung des Axioms der Stiftung durch von Neumann führte zum Standard-Axiomensystem der Mengenlehre, bekannt als Zermelo-Fraenkel-Axiome plus Axiom of Choice oder ZFC.oder um grundlegende satztheoretische Tatsachen zu beweisen, wie zum Beispiel, dass jede Menge in einer transitiven Menge enthalten ist, dh einer Menge, die alle Elemente ihrer Elemente enthält (siehe Mathias 2001 für die Schwächen der Zermelo-Mengenlehre). Eine weitere Hinzufügung des Axioms der Stiftung durch von Neumann führte zum Standard-Axiomensystem der Mengenlehre, bekannt als Zermelo-Fraenkel-Axiome plus Axiom of Choice oder ZFC.

Andere Axiomatisierungen der Mengenlehre, wie die von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) oder Morse-Kelley (MK), ermöglichen ebenfalls eine formale Behandlung geeigneter Klassen.

2. Die Axiome der Mengenlehre

ZFC ist ein Axiomensystem, das in einer Logik erster Ordnung mit Gleichheit und nur einem binären Beziehungssymbol (in) für die Mitgliedschaft formuliert ist. Daher schreiben wir (A \ in B), um auszudrücken, dass (A) ein Mitglied der Menge (B) ist. Siehe die

Ergänzung zur grundlegenden Mengenlehre

für weitere Details. Siehe auch die

Beilage zur Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

für eine formalisierte Version der Axiome und weitere Kommentare. Wir geben unter den Axiomen von ZFC informell an.

2.1 Die Axiome von ZFC

• Extensionalität: Wenn zwei Mengen (A) und (B) dieselben Elemente haben, sind sie gleich.
• Nullmenge: Es gibt eine Menge, die mit ({ varnothing}) bezeichnet und als leere Menge bezeichnet wird und keine Elemente enthält.
• Paar: Bei allen Mengen (A) und (B) existiert eine Menge, die mit ({A, B }) bezeichnet wird und (A) und (B) als enthält seine einzigen Elemente. Insbesondere gibt es die Menge ({A }), deren einziges Element (A) ist.
• Potenzmenge: Für jede Menge (A) gibt es eine Menge, die mit (mathcal {P} (A)) bezeichnet wird und als Potenzmenge von (A) bezeichnet wird, deren Elemente alle Teilmengen von \ sind (EIN).
• Vereinigung: Für jede Menge (A) gibt es eine Menge, die mit (bigcup A) bezeichnet wird und die Vereinigung von (A) genannt wird, deren Elemente alle Elemente der Elemente von (A \ sind)).

• Unendlichkeit: Es gibt eine unendliche Menge. Insbesondere gibt es eine Menge (Z), die ({ varnothing}) enthält, und zwar wenn (A \ in Z), dann (bigcup {A, {A } } in Z).

• Trennung: Für jede Menge (A) und jede gegebene Eigenschaft gibt es eine Menge, die genau die Elemente von (A) enthält, die diese Eigenschaft haben. Eine Eigenschaft wird durch eine Formel (varphi) der Sprache erster Ordnung der Mengenlehre gegeben.

  Somit ist die Trennung kein einzelnes Axiom, sondern ein Axiomschema, dh eine unendliche Liste von Axiomen, eines für jede Formel (varphi).

• Ersetzung: Für jede gegebene definierbare Funktion mit der Domäne a set (A) gibt es eine Menge, deren Elemente alle Werte der Funktion sind.

  Das Ersetzen ist auch ein Axiomschema, da definierbare Funktionen durch Formeln gegeben sind.

• Grundlage: Jede nicht leere Menge (A) enthält ein (in) - minimales Element, dh ein Element, zu dem kein Element von (A) gehört.

Dies sind die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre oder ZF. Die Axiome von Null Set und Pair folgen aus den anderen ZF-Axiomen, sodass sie möglicherweise weggelassen werden. Ersetzen bedeutet auch Trennung.

Schließlich gibt es das Axiom of Choice (AC):

• Auswahl: Für jede Menge (A) paarweise disjunkter nicht leerer Mengen gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jeder Menge in (A) enthält.

Der AC war lange Zeit ein umstrittenes Axiom. Einerseits ist es sehr nützlich und in der Mathematik von großem Nutzen. Auf der anderen Seite hat es eher unintuitive Konsequenzen, wie das Banach-Tarski-Paradoxon, das besagt, dass der Einheitskugel in endlich viele Teile aufgeteilt werden kann, die dann neu angeordnet werden können, um zwei Einheitskugeln zu bilden. Die Einwände gegen das Axiom ergeben sich aus der Tatsache, dass es die Existenz von Mengen behauptet, die nicht explizit definiert werden können. Aber Gödels Beweis seiner Konsistenz von 1938 im Verhältnis zur Konsistenz von ZF zerstreute jeden Verdacht, der darüber hinterlassen wurde.

Das Axiom der Wahl entspricht modulo ZF dem Prinzip der Ordnung, das besagt, dass jede Menge gut geordnet sein kann, dh linear geordnet werden kann, so dass jede nicht leere Teilmenge ein minimales Element hat.

Obwohl formal nicht notwendig, verwendet man neben dem Symbol (in) normalerweise der Einfachheit halber andere zusätzliche definierte Symbole. Zum Beispiel drückt (A \ subseteq B) aus, dass (A) eine Teilmenge von (B) ist, dh jedes Mitglied von (A) ist ein Mitglied von (B). Andere Symbole werden verwendet, um Mengen zu bezeichnen, die durch Ausführen grundlegender Operationen erhalten werden, wie (A \ cup B), die die Vereinigung von (A) und (B) bezeichnen, dh die Menge, deren Elemente diejenigen von sind \(A und B); oder (A \ cap B), was den Schnittpunkt von (A) und (B) bezeichnet, dh die Menge, deren Elemente diejenigen sind, die (A) und (B) gemeinsam sind. Das geordnete Paar ((A, B)) ist definiert als die Menge ({ {A }, {A, B } }). Somit sind zwei geordnete Paare ((A, B)) und ((C, D)) genau dann gleich, wenn (A = C) und (B = D). Und das kartesische Produkt (A \ mal B) ist definiert als die Menge aller geordneten Paare ((C,D)) so dass (C \ in A) und (D \ in B). Mit einer beliebigen Formel (varphi (x, y_1, \ ldots, y_n)) und Mengen (A, B_1, \ ldots, B_n) kann man die Menge all dieser Elemente von (A) bilden. die die Formel (varphi (x, B_1, \ ldots, B_n)) erfüllen. Diese Menge wird mit ({a \ in A: \ varphi (a, B_1, \ ldots, B_n) }) bezeichnet. In ZF kann man leicht beweisen, dass alle diese Mengen existieren. Weitere Informationen finden Sie im Anhang zur grundlegenden Mengenlehre.

3. Die Theorie der transfiniten Ordnungszahlen und Kardinäle

In ZFC kann man die Cantorianische Theorie der transfiniten (dh unendlichen) Ordnungs- und Kardinalzahlen entwickeln. Nach der Definition von Von Neumann in den frühen 1920er Jahren werden die Ordnungszahlen, kurz Ordnungszahlen, erhalten, indem mit der leeren Menge begonnen und zwei Operationen ausgeführt werden: Nehmen des unmittelbaren Nachfolgers und Überschreiten der Grenze. Somit ist die erste Ordnungszahl ({ varnothing}). Bei einer Ordnungszahl (alpha) ist ihr unmittelbarer Nachfolger, der mit (alpha +1) bezeichnet wird, die Menge (alpha \ cup { alpha }). Und wenn eine nicht leere Menge (X) von Ordnungszahlen gegeben ist, so dass für jedes (alpha \ in X) der Nachfolger (alpha +1) auch in (X) ist, erhält man die Grenze Ordnungszahl (bigcup X). Man zeigt, dass jede Ordnungszahl (streng) nach (in) geordnet ist, dh linear nach (in) geordnet ist und es keine unendliche (in) - absteigende Folge gibt. Außerdem ist jede gut geordnete Menge isomorph zu einer eindeutigen Ordnungszahl, die als Ordnungsart bezeichnet wird.

Beachten Sie, dass jede Ordnungszahl die Menge ihrer Vorgänger ist. Die Klasse (ON) aller Ordnungszahlen ist jedoch keine Menge. Andernfalls wäre (ON) eine Ordnungszahl, die größer ist als alle Ordnungszahlen, was unmöglich ist. Die erste unendliche Ordnungszahl, die die Menge aller endlichen Ordnungszahlen ist, wird mit dem griechischen Buchstaben Omega ((omega)) bezeichnet. In ZFC identifiziert man die endlichen Ordnungszahlen mit den natürlichen Zahlen. Somit ist ({ varnothing} = 0), ({{ varnothing} } = 1), ({{ varnothing}, {{ varnothing} } } = 2) usw., daher ist (omega) nur die Menge (mathbb {N}) natürlicher Zahlen.

Man kann die Operationen der Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen auf alle Ordnungszahlen ausweiten. Zum Beispiel ist die Ordnungszahl (alpha + \ beta) der Reihenfolge-Typ der Ordnung, die durch Verketten eines gut geordneten Satzes von Ordnungstyp (alpha) und eines gut geordneten Satzes von Ordnungen erhalten wird -Typ (beta). Die nach (in) geordnete Ordnungsfolge beginnt wie folgt

0, 1, 2,…, (n),…, (Omega), (Omega + 1), (Omega + 2),…, (Omega + \ Omega),…, (N \ cdot \ omega),…, (omega \ cdot \ omega),…, (omega ^ n),…, (omega ^ \ omega),…

Die Ordnungszahlen erfüllen das Prinzip der transfiniten Induktion: Nehmen wir an, dass (C) eine Klasse von Ordnungszahlen ist, so dass immer dann, wenn (C) alle Ordnungszahlen (beta) enthält, die kleiner als eine Ordnungszahl (alpha) sind (alpha) ist auch in (C). Dann enthält die Klasse (C) alle Ordnungszahlen. Mit der transfiniten Induktion kann man in ZFC (und man braucht das Axiom der Ersetzung) das wichtige Prinzip der transfiniten Rekursion beweisen, das besagt, dass man bei jeder definierbaren Klassenfunktion (G: V \ bis V) eine Klasse definieren kann -Funktion (F: ON \ bis V), so dass (F (alpha)) der Wert der Funktion (G) ist, die auf die Funktion (F) angewendet wird, die auf (alpha \ beschränkt ist)). Man verwendet zum Beispiel die transfinite Rekursion, um die arithmetischen Operationen der Addition, des Produkts und der Potenzierung auf den Ordnungszahlen richtig zu definieren.

Denken Sie daran, dass eine unendliche Menge zählbar ist, wenn sie bijektierbar ist, dh in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit (omega) gestellt werden kann. Alle oben angezeigten Ordnungszahlen sind entweder endlich oder zählbar. Die Menge aller endlichen und zählbaren Ordnungszahlen ist aber auch eine Ordnungszahl, die (omega_1) genannt wird und nicht zählbar ist. In ähnlicher Weise ist die Menge aller Ordnungszahlen, die mit einer Ordnungszahl kleiner oder gleich (omega_1) bijektierbar sind, auch eine Ordnungszahl, die als (omega_2) bezeichnet wird, und ist mit (omega_1) und nicht bijektierbar demnächst.

3.1 Kardinäle

Ein Kardinal ist eine Ordnungszahl, die mit keiner kleineren Ordnungszahl bijektierbar ist. Somit ist jede endliche Ordnungszahl ein Kardinal, und (omega), (omega_1), (omega_2) usw. sind ebenfalls Kardinäle. Die unendlichen Kardinäle werden durch den Buchstaben aleph ((aleph)) des hebräischen Alphabets dargestellt, und ihre Reihenfolge wird durch die Ordnungszahlen indiziert. Es beginnt so

(aleph_0), (aleph_1), (aleph_2),…, (aleph_ \ omega), (aleph _ { omega +1}),…, (aleph _ { omega + \ omega}),…, (aleph _ { omega ^ 2}),…, (aleph _ { omega ^ \ omega}),…, (aleph _ { omega_1}),…, (aleph _ { omega_2}),…

Also (omega = \ aleph_0), (omega_1 = \ aleph_1), (omega_2 = \ aleph_2) usw. Für jeden Kardinal gibt es eine größere und die Grenze einer zunehmenden Folge von Kardinälen ist auch ein Kardinal. Somit ist die Klasse aller Kardinäle keine Menge, sondern eine richtige Klasse.

Ein unendlicher Kardinal (kappa) wird als regulär bezeichnet, wenn es sich nicht um die Vereinigung von weniger als (kappa) kleineren Kardinälen handelt. Somit ist (aleph_0) regulär, ebenso wie alle unendlichen Nachfolgekardinäle wie (aleph_1). Nicht reguläre unendliche Kardinäle werden Singular genannt. Der erste singuläre Kardinal ist (aleph_ \ omega), da es sich um die Vereinigung von zählbar vielen kleineren Kardinälen handelt, nämlich (aleph_ \ omega = \ bigcup_ {n <\ omega} aleph_n).

Die Kofinalität eines Kardinals (kappa), bezeichnet mit (cf (kappa)), ist der kleinste Kardinal (lambda), so dass (kappa) die Vereinigung von (lambda \ ist)) -Viele kleinere Ordnungszahlen. Somit ist (vgl. (Aleph_ \ omega) = \ aleph_0).

Durch die AC (in Form des Well-Ordering-Prinzips) kann jede Menge (A) gut geordnet werden, daher kann sie mit einem eindeutigen Kardinal, der Kardinalität von (A) genannt wird, bijektiert werden. Bei zwei Kardinälen (kappa) und (lambda) ist die Summe (kappa + \ lambda) definiert als die Kardinalität der Menge, die aus der Vereinigung zweier beliebiger disjunkter Mengen besteht, eine der Kardinalität (kappa) und eine der Kardinalität (lambda). Und das Produkt (kappa \ cdot \ lambda) ist definiert als die Kardinalität des kartesischen Produkts (kappa \ times \ lambda). Die Operationen von Summe und Produkt unendlicher Kardinäle sind trivial, denn wenn (kappa) und (lambda) unendliche Kardinäle sind, dann (kappa + \ lambda = \ kappa \ cdot \ lambda = maximal { kappa, \ lambda }).

Im Gegensatz dazu ist die Kardinalexponentiation höchst nicht trivial, da selbst der Wert des einfachsten nicht trivialen unendlichen Exponentials, nämlich (2 ^ { aleph_0}), nicht bekannt ist und in ZFC nicht bestimmt werden kann (siehe unten). Der Kardinal (kappa ^ \ lambda) ist definiert als die Kardinalität des kartesischen Produkts von (lambda) Kopien von (kappa); äquivalent als Kardinalität der Menge aller Funktionen von (lambda) nach (kappa). Der Satz von König besagt, dass (kappa ^ {cf (kappa)}> \ kappa), was impliziert, dass die Kofinalität des Kardinals (2 ^ { aleph_0}), was auch immer dieser Kardinal ist, unzählig sein muss. Dies ist jedoch im Wesentlichen alles, was ZFC über den Wert des Exponentials (2 ^ { aleph_0}) beweisen kann.

Im Falle der Potenzierung einzelner Kardinäle hat ZFC noch viel mehr zu sagen. Im Jahr 1989 bewies Shelah das bemerkenswerte Ergebnis, dass wenn (aleph_ \ omega) eine starke Grenze ist, dh (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ \ omega) für jedes (n <\ omega)), dann (2 ^ { aleph_ \ omega} <\ aleph _ { omega_4}) (siehe Shelah (1994)). Die von Shelah entwickelte Technik, um diese und ähnliche Theoreme in ZFC zu beweisen, wird als PCF-Theorie (für mögliche Kofinalitäten) bezeichnet und hat in anderen Bereichen der Mathematik viele Anwendungen gefunden.

4. Das Universum (V) aller Mengen

A posteriori können die anderen ZF-Axiome als Extensionalität - die keiner Begründung bedürfen, weil sie nur eine definierende Eigenschaft von Mengen angeben - durch ihre Verwendung beim Aufbau der kumulativen Hierarchie von Mengen gerechtfertigt sein. In ZF definieren wir nämlich unter Verwendung der transfiniten Rekursion die Klassenfunktion, die jeder Ordnungszahl (alpha) die Menge (V_ \ alpha) zuweist, wie folgt:

• (V_0 = { varnothing})
• (V _ { alpha +1} = \ mathcal {P} (V_ \ alpha))
• (V_ \ alpha = \ bigcup _ { beta <\ alpha} V_ \ beta), wann immer (alpha) eine Grenzwert-Ordnungszahl ist.

Das Power Set-Axiom wird verwendet, um (V _ { alpha +1}) von (V_ \ alpha) zu erhalten. Durch Ersetzen und Vereinigen kann (V_ \ alpha) für (alpha) eine Grenzwert-Ordnungszahl gebildet werden. Betrachten Sie in der Tat die Funktion, die jedem (beta <\ alpha) die Menge (V_ \ beta) zuweist. Durch Ersetzen ist die Sammlung aller (V_ \ beta) für (beta <\ alpha) eine Menge, daher ergibt das auf diese Menge angewendete Unionsaxiom (V_ \ alpha). Das Axiom der Unendlichkeit wird benötigt, um die Existenz von (omega) und damit der transfiniten Folge von Ordnungszahlen zu beweisen. Schließlich entspricht das Axiom der Grundlage unter der Annahme der anderen Axiome der Aussage, dass jede Menge zu einer (V_ \ alpha) gehört, für eine Ordnungszahl (alpha). Somit beweist ZF, dass das mit (V) bezeichnete satztheoretische Universum die Vereinigung aller (V_ \ alpha), (alpha) einer Ordnungszahl ist.

Die richtige Klasse (V) erfüllt zusammen mit der Beziehung (in) alle ZFC-Axiome und ist somit ein Modell von ZFC. Es ist das beabsichtigte Modell von ZFC, und man kann sich vorstellen, dass ZFC eine Beschreibung von (V) liefert, eine Beschreibung, die jedoch sehr unvollständig ist, wie wir weiter unten sehen werden.

Eine wichtige Eigenschaft von (V) ist das sogenannte Reflexionsprinzip. Für jede Formel (varphi (x_1, \ ldots, x_n)) beweist ZFC nämlich, dass es einige (V_ \ alpha) gibt, die dies widerspiegeln, dh für jedes (a_1, \ ldots, a_n \ in V_ \ alpha),

(varphi (a_1, \ ldots, a_n)) gilt genau dann für (V), wenn (varphi (a_1, \ ldots, a_n)) für (V_ \ alpha) gilt.

Somit kann (V) nicht durch einen Satz charakterisiert werden, da jeder Satz, der in (V) wahr ist, auch in einem Anfangssegment (V_ \ alpha) wahr sein muss. Insbesondere ist ZFC nicht endlich axiomatisierbar, da ZFC sonst beweisen würde, dass (V_ \ alpha) für unbegrenzt viele Ordnungszahlen (alpha) ein Modell von ZFC ist, was Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz widerspricht (siehe Abschnitt 5.2)..

Das Reflexionsprinzip fasst die Essenz der ZF-Mengenlehre zusammen, denn wie von Levy (1960) gezeigt, werden die Axiome der Extensionalität, Trennung und Grundlage zusammen mit dem Reflexionsprinzip als Axiomschema formuliert, das besagt, dass jede Formel von einer Menge reflektiert wird das alle Elemente und alle Teilmengen seiner Elemente enthält (beachten Sie, dass (V_ \ alpha) so sind), entspricht ZF.

5. Setzen Sie die Theorie als Grundlage der Mathematik

Jedes mathematische Objekt kann als Menge betrachtet werden. Zum Beispiel werden die natürlichen Zahlen mit den endlichen Ordnungszahlen identifiziert, also (mathbb {N} = \ omega). Die Menge von ganzen Zahlen (mathbb {Z}) kann als die Menge von Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen unter der Äquivalenzrelation ((n, m) äquiv (n ', m')) definiert werden, wenn und nur wenn (n + m '= m + n'). Indem man jede natürliche Zahl (n) mit der Äquivalenzklasse des Paares ((n, 0)) identifiziert, kann man die Operationen der Summe und des Produkts natürlicher Zahlen natürlich auf (mathbb {Z}) erweitern. (Einzelheiten siehe Enderton (1977) und Levy (1979) für eine andere Konstruktion). Ferner kann man die Rationalen (mathbb {Q}) als die Menge von Äquivalenzklassen von Paaren ((n, m)) von ganzen Zahlen definieren, wobei (m \ ne 0) unter der Äquivalenzbeziehung ((n, m) equiv (n ', m')) genau dann, wenn (n \ cdot m '= m \ cdot n'). Auch hier können die Operationen (+) und (cdot) für (mathbb {Z}) natürlich auf (mathbb {Q}) erweitert werden. Darüber hinaus ist die Reihenfolge (leq _ { mathbb {Q}}) auf den Rationalen gegeben durch: (r \ leq _ { mathbb {Q}} s) genau dann, wenn es (t \ in gibt) mathbb {Q}) so dass (s = r + t). Die reellen Zahlen können als Dedekind-Schnitte von (mathbb {Q}) definiert werden, dh eine reelle Zahl wird durch ein Paar ((A, B)) nicht leerer disjunkter Mengen gegeben, so dass (A. \ cup B = \ mathbb {Q}) und (a \ leq _ { mathbb {Q}} b) für jedes (a \ in A) und (b \ in B). Man kann dann die Operationen von (+) und (cdot) auf (mathbb {Q}) sowie die Reihenfolge (leq _ { mathbb {Q}}) erneut erweitern. auf die Menge der reellen Zahlen (mathbb {R}). Die Operationen (+) und (cdot) für (mathbb {Z}) können natürlich auf (mathbb {Q}) erweitert werden. Darüber hinaus ist die Reihenfolge (leq _ { mathbb {Q}}) auf den Rationalen gegeben durch: (r \ leq _ { mathbb {Q}} s) genau dann, wenn es (t \ in gibt) mathbb {Q}) so dass (s = r + t). Die reellen Zahlen können als Dedekind-Schnitte von (mathbb {Q}) definiert werden, dh eine reelle Zahl wird durch ein Paar ((A, B)) nicht leerer disjunkter Mengen gegeben, so dass (A. \ cup B = \ mathbb {Q}) und (a \ leq _ { mathbb {Q}} b) für jedes (a \ in A) und (b \ in B). Man kann dann die Operationen von (+) und (cdot) auf (mathbb {Q}) sowie die Reihenfolge (leq _ { mathbb {Q}}) erneut erweitern. auf die Menge der reellen Zahlen (mathbb {R}). Die Operationen (+) und (cdot) für (mathbb {Z}) können natürlich auf (mathbb {Q}) erweitert werden. Darüber hinaus ist die Reihenfolge (leq _ { mathbb {Q}}) auf den Rationalen gegeben durch: (r \ leq _ { mathbb {Q}} s) genau dann, wenn es (t \ in gibt) mathbb {Q}) so dass (s = r + t). Die reellen Zahlen können als Dedekind-Schnitte von (mathbb {Q}) definiert werden, dh eine reelle Zahl wird durch ein Paar ((A, B)) nicht leerer disjunkter Mengen gegeben, so dass (A. \ cup B = \ mathbb {Q}) und (a \ leq _ { mathbb {Q}} b) für jedes (a \ in A) und (b \ in B). Man kann dann die Operationen von (+) und (cdot) auf (mathbb {Q}) sowie die Reihenfolge (leq _ { mathbb {Q}}) erneut erweitern. auf die Menge der reellen Zahlen (mathbb {R}).(r \ leq _ { mathbb {Q}} s) genau dann, wenn es (t \ in \ mathbb {Q}) gibt, so dass (s = r + t). Die reellen Zahlen können als Dedekind-Schnitte von (mathbb {Q}) definiert werden, dh eine reelle Zahl wird durch ein Paar ((A, B)) nicht leerer disjunkter Mengen gegeben, so dass (A. \ cup B = \ mathbb {Q}) und (a \ leq _ { mathbb {Q}} b) für jedes (a \ in A) und (b \ in B). Man kann dann die Operationen von (+) und (cdot) auf (mathbb {Q}) sowie die Reihenfolge (leq _ { mathbb {Q}}) erneut erweitern. auf die Menge der reellen Zahlen (mathbb {R}).(r \ leq _ { mathbb {Q}} s) genau dann, wenn es (t \ in \ mathbb {Q}) gibt, so dass (s = r + t). Die reellen Zahlen können als Dedekind-Schnitte von (mathbb {Q}) definiert werden, dh eine reelle Zahl wird durch ein Paar ((A, B)) nicht leerer disjunkter Mengen gegeben, so dass (A. \ cup B = \ mathbb {Q}) und (a \ leq _ { mathbb {Q}} b) für jedes (a \ in A) und (b \ in B). Man kann dann die Operationen von (+) und (cdot) auf (mathbb {Q}) sowie die Reihenfolge (leq _ { mathbb {Q}}) erneut erweitern. auf die Menge der reellen Zahlen (mathbb {R}).sowie die Reihenfolge (leq _ { mathbb {Q}}) zur Menge der reellen Zahlen (mathbb {R}).sowie die Reihenfolge (leq _ { mathbb {Q}}) zur Menge der reellen Zahlen (mathbb {R}).

Lassen Sie uns betonen, dass nicht behauptet wird, dass beispielsweise reelle Zahlen Dedekind-Schnitte von Rationalen sind, wie sie auch unter Verwendung von Cauchy-Sequenzen oder auf andere Weise definiert werden könnten. Aus grundlegender Sicht ist es wichtig, dass die satztheoretische Version von (mathbb {R}) zusammen mit den üblichen algebraischen Operationen die kategorialen Axiome erfüllt, die die reellen Zahlen erfüllen, nämlich die von a vollständiges bestelltes Feld. Die metaphysische Frage, was die reellen Zahlen wirklich sind, spielt hier keine Rolle.

Algebraische Strukturen können auch als Mengen betrachtet werden, da jede (n) - Beziehung zu den Elementen einer Menge (A) als eine Menge von (n) - Tupeln ((a_1,) betrachtet werden kann Punkte, a_n)) von Elementen von (A). Und jede (n) - Funktion (f) auf (A) mit Werten auf einer Menge (B) kann als die Menge von (n + 1) - Tupeln \ angesehen werden (((a_1, \ ldots, a_n), b)), so dass (b) der Wert von (f) auf ((a_1, \ ldots, a_m)) ist. So ist beispielsweise eine Gruppe nur ein Tripel ((A, +, 0)), wobei (A) eine nicht leere Menge ist, (+) eine Binärfunktion für (A) ist) das ist assoziativ, (0) ist ein Element von (A), so dass (a + 0 = 0 + a = a) für alle (a \ in A) und für jedes (a \ in A) gibt es ein Element von (A), das mit (- a) bezeichnet wird, so dass (a + (- a) = (- a) + a = 0). Außerdem ist ein topologischer Raum nur eine Menge (X) zusammen mit einer Topologie (tau) darauf, dh(tau) ist eine Teilmenge von (mathcal {P} (X)), die (X) und ({ varnothing}) enthält und unter beliebigen Vereinigungen und endlichen Schnittpunkten geschlossen ist. Jedes mathematische Objekt kann immer als eine Menge oder eine richtige Klasse angesehen werden. Die Eigenschaften des Objekts können dann in der Sprache der Mengenlehre ausgedrückt werden. Jede mathematische Aussage kann in die Sprache der Mengenlehre formalisiert werden, und jeder mathematische Satz kann unter Verwendung des Kalküls der Logik erster Ordnung aus den Axiomen von ZFC oder aus einer Erweiterung von ZFC abgeleitet werden. In diesem Sinne bildet die Mengenlehre eine Grundlage für die Mathematik. Die Eigenschaften des Objekts können dann in der Sprache der Mengenlehre ausgedrückt werden. Jede mathematische Aussage kann in die Sprache der Mengenlehre formalisiert werden, und jeder mathematische Satz kann unter Verwendung des Kalküls der Logik erster Ordnung aus den Axiomen von ZFC oder aus einer Erweiterung von ZFC abgeleitet werden. In diesem Sinne bildet die Mengenlehre eine Grundlage für die Mathematik. Die Eigenschaften des Objekts können dann in der Sprache der Mengenlehre ausgedrückt werden. Jede mathematische Aussage kann in die Sprache der Mengenlehre formalisiert werden, und jeder mathematische Satz kann unter Verwendung des Kalküls der Logik erster Ordnung aus den Axiomen von ZFC oder aus einer Erweiterung von ZFC abgeleitet werden. In diesem Sinne bildet die Mengenlehre eine Grundlage für die Mathematik.

Die grundlegende Rolle der Mengenlehre für die Mathematik ist zwar von Bedeutung, aber keineswegs die einzige Rechtfertigung für ihr Studium. Die Ideen und Techniken, die innerhalb der Mengenlehre entwickelt wurden, wie die unendliche Kombinatorik, das Forcen oder die Theorie der großen Kardinäle, haben sie zu einer tiefen und faszinierenden mathematischen Theorie gemacht, die es wert ist, selbst studiert zu werden und wichtige Anwendungen für praktisch alle Bereiche der Mathematik zu haben.

5.1 Metamathematik

Die bemerkenswerte Tatsache, dass praktisch die gesamte Mathematik innerhalb des ZFC formalisiert werden kann, ermöglicht ein mathematisches Studium der Mathematik selbst. Somit können alle Fragen über die Existenz eines mathematischen Objekts oder die Beweisbarkeit einer Vermutung oder Hypothese einer mathematisch präzisen Formulierung gegeben werden. Dies ermöglicht Metamathematik, nämlich das mathematische Studium der Mathematik selbst. Die Frage nach der Beweisbarkeit oder Unbeweisbarkeit einer bestimmten mathematischen Aussage wird also zu einer vernünftigen mathematischen Frage. Bei einem offenen mathematischen Problem oder einer offenen Vermutung ist es sinnvoll, nach seiner Beweisbarkeit oder Unbeweisbarkeit im formalen ZFC-System zu fragen. Leider kann die Antwort keine sein, da ZFC, wenn es konsistent ist, unvollständig ist.

5.2 Das Phänomen der Unvollständigkeit

Gödels Vollständigkeitssatz für die Logik erster Ordnung impliziert, dass ZFC konsistent ist - dh es kann kein Widerspruch daraus abgeleitet werden -, wenn und nur wenn es ein Modell hat. Ein Modell von ZFC ist ein Paar ((M, E)), wobei (M) eine nicht leere Menge ist und (E) eine binäre Beziehung zu (M) ist, so dass alle Axiome von ZFC sind wahr, wenn sie in ((M, E)) interpretiert werden, dh wenn die Variablen, die in den Axiomen erscheinen, sich über Elemente von (M) erstrecken, und (in) als (E) interpretiert wird). Wenn also (varphi) ein Satz der Sprache der Mengenlehre ist und man ein ZFC-Modell finden kann, in dem (varphi) gilt, kann seine Negation (neg \ varphi) nicht bewiesen werden in ZFC. Wenn man also ein Modell von (varphi) und auch ein Modell von (neg \ varphi) finden kann, dann ist (varphi) in ZFC weder beweisbar noch widerlegbar. In diesem Fall sagen wir das (varphi) ist unentscheidbar in,oder unabhängig von ZFC.

1931 kündigte Gödel seine auffälligen Unvollständigkeitssätze an, die besagen, dass jedes vernünftige formale System für die Mathematik notwendigerweise unvollständig ist. Insbesondere wenn ZFC konsistent ist, gibt es in ZFC unentscheidbare Aussagen. Darüber hinaus impliziert Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz, dass die formale (arithmetische) Aussage (CON (ZFC)), die besagt, dass ZFC konsistent ist, obwohl sie wahr ist, in ZFC nicht bewiesen werden kann. Und seine Negation kann es auch nicht. Somit ist (CON (ZFC)) in ZFC unentscheidbar.

Wenn ZFC konsistent ist, kann es die Existenz eines ZFC-Modells nicht beweisen, da ZFC sonst seine eigene Konsistenz beweisen würde. Somit ist ein Beweis der Konsistenz oder der Unentscheidbarkeit eines gegebenen Satzes (varphi) immer ein relativer Konsistenzbeweis. Das heißt, man nimmt an, dass ZFC konsistent ist, daher hat es ein Modell, und dann konstruiert man ein anderes Modell von ZFC, in dem der Satz (varphi) wahr ist. Wir werden in den nächsten Abschnitten einige Beispiele sehen.

6. Die Mengenlehre des Kontinuums

Von Cantor bis etwa 1940 entwickelte sich die Mengenlehre hauptsächlich um das Studium des Kontinuums, dh der realen Linie (mathbb {R}). Das Hauptthema war die Untersuchung der sogenannten Regelmäßigkeitseigenschaften sowie anderer struktureller Eigenschaften einfach definierbarer Mengen reeller Zahlen, einem Bereich der Mathematik, der als Descriptive Set Theory bekannt ist.

6.1 Deskriptive Mengenlehre

Deskriptive Mengenlehre ist die Untersuchung der Eigenschaften und der Struktur definierbarer Mengen reeller Zahlen und allgemeiner definierbarer Teilmengen von (mathbb {R} ^ n) und anderen polnischen Räumen (dh topologischen Räumen, die homöomorph zu sind ein trennbarer vollständiger metrischer Raum), wie der Baire-Raum (mathcal {N}) aller Funktionen (f: \ mathbb {N} bis \ mathbb {N}), der Raum komplexer Zahlen, Hilbert Raum und trennbare Banach-Räume. Die einfachsten Mengen reeller Zahlen sind die offenen Grundmengen (dh die offenen Intervalle mit rationalen Endpunkten) und ihre Ergänzungen. Die Mengen, die in einer zählbaren Anzahl von Schritten erhalten werden, indem von den offenen Grundmengen ausgegangen wird und die Operationen angewendet werden, das Komplement zu nehmen und eine zählbare Vereinigung zuvor erhaltener Mengen zu bilden, sind die Borel-Mengen. Alle Borel-Sets sind regulär, dhSie genießen alle klassischen Regelmäßigkeitseigenschaften. Ein Beispiel für eine Regelmäßigkeitseigenschaft ist die Lebesgue-Messbarkeit: Eine Menge von Realwerten ist Lebesgue-messbar, wenn sie sich von einer Borel-Menge durch eine Nullmenge unterscheidet, nämlich eine Menge, die durch Mengen von offenen Grundintervallen mit beliebig kleiner Gesamtlänge abgedeckt werden kann. Somit ist trivialerweise jeder Borel-Satz Lebesgue-messbar, aber Sätze, die komplizierter sind als die Borel-Sätze, möglicherweise nicht. Andere klassische Regelmäßigkeitseigenschaften sind die Baire-Eigenschaft (eine Menge von Real hat die Baire-Eigenschaft, wenn sie sich von einer offenen Menge durch eine magere Menge unterscheidet, nämlich eine Menge, die eine zählbare Vereinigung von Mengen ist, die in keinem Intervall dicht sind) und die perfekte Mengeneigenschaft (eine Menge von Reals hat die perfekte Mengeneigenschaft, wenn sie entweder zählbar ist oder eine perfekte Menge enthält, nämlich eine nicht leere geschlossene Menge ohne isolierte Punkte). In ZFC kann man beweisen, dass es nicht reguläre Mengen von Reals gibt, aber der AC ist dafür notwendig (Solovay 1970).

Die analytischen Mengen, auch (mathbf { Sigma} ^ 1_1) genannt, sind die kontinuierlichen Bilder von Borel-Mengen. Und die co-analytischen oder (mathbf { Pi} ^ 1_1) Mengen sind die Ergänzungen der analytischen Mengen.

Ausgehend von den analytischen (oder co-analytischen) Sätzen und Anwenden der Projektionsoperationen (vom Produktraum (mathbb {R} times \ mathcal {N}) bis (mathbb {R})) und Ergänzung erhält man die projektiven Mengen. Die projektiven Mengen bilden eine Hierarchie mit zunehmender Komplexität. Wenn beispielsweise (A \ subseteq \ mathbb {R} times \ mathcal {N}) coanalytisch ist, existiert die Projektion ({x \ in \ mathbb {R}: \ y \ in \ mathcal {N} ((x, y) in A) }) ist eine projektive Menge in der nächsten Komplexitätsstufe über den coanalytischen Mengen. Diese Mengen heißen (mathbf { Sigma} ^ 1_2) und ihre Ergänzungen heißen (mathbf { Pi} ^ 1_2).

Die projektiven Mengen kommen in der mathematischen Praxis sehr natürlich vor, denn es stellt sich heraus, dass eine Menge (A) von Reals genau dann projektiv ist, wenn sie in der Struktur definierbar ist

) mathcal {R} = (mathbb {R}, +, \ cdot, \ mathbb {Z}).)

Das heißt, es gibt eine Formel erster Ordnung (varphi (x, y_1, \ ldots, y_n)) in der Sprache für die Struktur, so dass für einige (r_1, \ ldots, r_n \ in \ mathbb {R. }), [A = {x \ in \ mathbb {R}: \ mathcal {R} models \ varphi (x, r_1, \ ldots, r_n) }.)

ZFC beweist, dass jeder analytische Satz und damit jeder co-analytische Satz Lebesgue-messbar ist und die Baire-Eigenschaft besitzt. Es zeigt auch, dass jede analytische Menge die perfekte Mengeneigenschaft hat. Die perfekte Mengeneigenschaft für coanalytische Mengen impliziert jedoch, dass der erste unzählige Kardinal (aleph_1) ein großer Kardinal im konstruierbaren Universum (L) ist (siehe Abschnitt 7), nämlich ein sogenannter unzugänglicher Kardinal (siehe Abschnitt 10), was impliziert, dass man in ZFC nicht beweisen kann, dass jede coanalytische Menge die perfekte Mengeneigenschaft hat.

Die Theorie projektiver Komplexitätssätze, die größer als die Co-Analyse sind, ist von ZFC völlig unbestimmt. Zum Beispiel gibt es in (L) eine (mathbf { Sigma} ^ 1_2) Menge, die nicht Lebesgue-messbar ist und nicht die Baire-Eigenschaft hat, wohingegen, wenn Martins Axiom gilt (siehe Abschnitt 11), jede Ein solcher Satz hat diese Regelmäßigkeitseigenschaften. Es gibt jedoch ein Axiom, das als Axiom der projektiven Determiniertheit oder PD bezeichnet wird und mit ZFC übereinstimmt. Es moduliert die Konsistenz einiger großer Kardinäle (tatsächlich folgt es aus der Existenz einiger großer Kardinäle) und impliziert dies alles Projektive Mengen sind regelmäßig. Darüber hinaus regelt PD im Wesentlichen alle Fragen zu den projektiven Mengen. Weitere Einzelheiten finden Sie im Eintrag über große Kardinäle und Bestimmtheit.

6.2 Bestimmtheit

Eine Regelmäßigkeitseigenschaft von Mengen, die alle anderen klassischen Regelmäßigkeitseigenschaften zusammenfasst, ist die Bestimmung. Der Einfachheit halber werden wir mit dem Baire-Raum (mathcal {N}) arbeiten. Denken Sie daran, dass die Elemente von (mathcal {N}) Funktionen (f: \ mathbb {N} bis \ mathbb {N}) sind, dh Sequenzen natürlicher Längenzahlen (omega). Der Raum (mathcal {N}) ist topologisch äquivalent (dh homöomorph) zu der Menge irrationaler Punkte von (mathbb {R}). Da wir also an den Regelmäßigkeitseigenschaften von Teilmengen von (mathbb {R}) interessiert sind und zählbare Mengen wie die Menge der Rationalen in Bezug auf diese Eigenschaften vernachlässigbar sind, können wir auch mit \ arbeiten (mathcal {N}) anstelle von (mathbb {R}).

Bei (A \ subseteq \ mathcal {N}) hat das mit (A) verbundene Spiel, das mit ({ mathcal G} _A) bezeichnet wird, zwei Spieler, I und II, die abwechselnd spielen (n_i \ in \ mathbb {N}): Ich spiele (n_0), dann spiele ich (n_1), dann spiele ich (n_2) und so weiter. Auf der Stufe (2k) spielt Spieler I (n_ {2k}) und auf der Stufe (2k + 1) spielt Spieler II (n_ {2k + 1}). Wir können uns einen Lauf des Spiels wie folgt vorstellen:

(mathbf {I})

(n_0)

(n_2)

(n_4)

(cdots)

(n_ {2k})

(cdots)

(mathbf {II})

(n_1)

(n_3)

(cdots)

(cdots)

(n_ {2k + 1})

(cdots)

Nach unendlich vielen Zügen erzeugen die beiden Spieler eine unendliche Folge (n_0, n_1, n_2, \ ldots) natürlicher Zahlen. Spieler I gewinnt das Spiel, wenn die Sequenz zu (A) gehört. Ansonsten gewinnt Spieler II.

Das Spiel ({ mathcal {G}} _ A) wird bestimmt, ob es für einen der Spieler eine Gewinnstrategie gibt. Eine Gewinnstrategie für einen der Spieler, beispielsweise für Spieler II, ist eine Funktion (sigma) aus der Menge endlicher Folgen natürlicher Zahlen in (mathbb {N}), so dass, wenn der Spieler entsprechend spielt Für diese Funktion, dh sie spielt (sigma (n_0, \ ldots, n_ {2k})) in der (k) - Runde, gewinnt sie immer das Spiel, egal was der andere Spieler tut.

Wir sagen, dass eine Teilmenge (A) von (mathcal {N}) genau dann bestimmt wird, wenn das Spiel ({ mathcal {G}} _ A) bestimmt wird.

In ZFC kann man nachweisen - und die Verwendung des AC ist notwendig -, dass es nicht bestimmte Mengen gibt. Somit ist das Axiom of Determinacy (AD), das behauptet, dass alle Teilmengen von (mathcal {N}) bestimmt sind, mit dem AC nicht kompatibel. Aber Donald Martin hat in ZFC bewiesen, dass jeder Borel-Satz bestimmt ist. Ferner zeigte er, dass, wenn es einen großen Kardinal gibt, der als messbar bezeichnet wird (siehe Abschnitt 10), sogar die analytischen Mengen bestimmt werden. Das Axiom der projektiven Bestimmung (PD) besagt, dass jede projektive Menge bestimmt wird. Es stellt sich heraus, dass PD impliziert, dass alle projektiven Mengen von Reals regelmäßig sind, und Woodin hat gezeigt, dass PD in gewissem Sinne im Wesentlichen alle Fragen zu den projektiven Mengen regelt. Darüber hinaus scheint PD dafür notwendig zu sein. Ein anderes Axiom, (AD ^ {L (Bbb R)}), behauptet, dass die AD in (L (Bbb R)) gilt,Dies ist die am wenigsten transitive Klasse, die alle Ordnungszahlen und alle reellen Zahlen enthält und die ZF-Axiome erfüllt (siehe Abschnitt 7). (AD ^ {L (Bbb R)}) impliziert also, dass jede Menge von Real, die zu (L (Bbb R)) gehört, regulär ist. Da (L (Bbb R)) alle projektiven Mengen enthält, impliziert (AD ^ {L (Bbb R)}) PD.

6.3 Die Kontinuumshypothese

Die Kontinuumshypothese (CH), die 1878 von Cantor formuliert wurde, besagt, dass jede unendliche Menge reeller Zahlen entweder eine Kardinalität (aleph_0) oder dieselbe Kardinalität wie (mathbb {R}) hat. Somit ist der CH äquivalent zu (2 ^ { aleph_0} = \ aleph_1).

Cantor bewies 1883, dass geschlossene Mengen von reellen Zahlen die perfekte Mengeneigenschaft haben, woraus folgt, dass jede unzählige geschlossene Menge von reellen Zahlen dieselbe Kardinalität wie (mathbb {R}) hat. Somit gilt der CH für geschlossene Sätze. Mehr als dreißig Jahre später erweiterte Pavel Aleksandrov das Ergebnis auf alle Borel-Sets und dann Mikhail Suslin auf alle analytischen Sets. Somit erfüllen alle analytischen Mengen die CH. Die Bemühungen, zu beweisen, dass co-analytische Sets den CH erfüllen, würden jedoch nicht erfolgreich sein, da dies in ZFC nicht nachweisbar ist.

1938 bewies Gödel die Konsistenz des CH mit ZFC. Unter der Annahme, dass ZF konsistent ist, baute er ein Modell von ZFC, das als konstruierbares Universum bekannt ist und in dem der CH enthalten ist. Der Beweis zeigt also, dass, wenn ZF konsistent ist, ZF zusammen mit dem AC und dem CH konsistent ist. Unter der Annahme, dass ZF konsistent ist, kann der Wechselstrom in ZF nicht widerlegt werden, und der CH kann in ZFC nicht widerlegt werden.

Im Eintrag zur Kontinuumshypothese finden Sie den aktuellen Status des Problems, einschließlich der neuesten Ergebnisse von Woodin.

7. Gödels konstruierbares Universum

Gödels konstruierbares Universum, bezeichnet mit (L), wird durch transfinite Rekursion auf den Ordnungszahlen definiert, ähnlich wie (V), jedoch in Nachfolgeschritten, anstatt die Potenzmenge von (V_ \ alpha) zu erhalten (V _ { alpha +1}) nimmt man nur die Teilmengen von (L_ \ alpha), die in (L_ \ alpha) definierbar sind, wobei Elemente von (L_ \ alpha) als Parameter verwendet werden. Lassen Sie also (mathcal {P} ^ {Def} (X)) die Menge aller Teilmengen von (X) bezeichnen, die in der Struktur ((X, \ in)) durch definierbar sind Eine Formel der Sprache der Mengenlehre, die Elemente von (X) als Parameter der Definition verwendet, lassen wir

• (L_0 = { varnothing})
• (L _ { alpha +1} = \ mathcal {P} ^ {Def} (L_ \ alpha))
• (L_ \ lambda = \ bigcup _ { alpha <\ lambda} L_ \ alpha), wann immer (lambda) eine Grenzwert-Ordnungszahl ist.

Dann ist (L) die Vereinigung aller (L_ \ alpha) für (alpha) eine Ordnungszahl, dh (L = \ bigcup _ { alpha \ in ON} L_ \ alpha).

Gödel zeigte, dass (L) alle ZFC-Axiome und auch die CH erfüllt. Tatsächlich erfüllt es die Generalisierte Kontinuumshypothese (GCH), nämlich (2 ^ { aleph_ \ alpha} = \ aleph _ { alpha +1}) für jede Ordnungszahl (alpha).

Die Aussage (V = L), das Axiom der Konstruierbarkeit genannt, behauptet, dass jede Menge zu (L) gehört. Es gilt für (L), ist also mit ZFC konsistent und impliziert sowohl den AC als auch den GCH.

Die richtige Klasse (L) ist zusammen mit der auf (L) beschränkten Beziehung (in) ein inneres Modell von ZFC, dh ein Transitiv (dh es enthält alle Elemente seiner Elemente). Klasse, die alle Ordnungszahlen enthält und alle ZFC-Axiome erfüllt. Es ist in der Tat das kleinste innere Modell von ZFC, wie jedes andere innere Modell es enthält.

Allgemeiner gesagt kann man bei jeder Menge (A) das kleinste transitive Modell von ZF erstellen, das (A) und alle Ordnungszahlen auf ähnliche Weise wie (L) enthält, aber jetzt mit dem transitiven Abschluss beginnt von ({A }), dh der kleinsten transitiven Menge, die (A) anstelle von ({ varnothing}) enthält. Das resultierende Modell (L (A)) muss jedoch kein Modell des Wechselstroms sein. Ein sehr wichtiges solches Modell ist (L (mathbb {R})), das kleinste transitive Modell von ZF, das alle Ordnungszahlen und alle reellen Zahlen enthält.

Die Theorie der konstruierbaren Mengen hat viel mit der Arbeit von Ronald Jensen zu tun. Er entwickelte die sogenannte Feinstrukturtheorie von (L) und isolierte einige kombinatorische Prinzipien wie den Diamanten ((Diamondsuit)) und das Quadrat ((Box)), die zum Tragen verwendet werden können komplizierte Konstruktionen unzähliger mathematischer Objekte. Die Feinstrukturtheorie spielt auch eine wichtige Rolle bei der Analyse größerer (L) -ähnlicher Modelle wie (L (mathbb {R})) oder der inneren Modelle für große Kardinäle (siehe Abschnitt 10.1).

8. Erzwingen

1963, fünfundzwanzig Jahre nach Gödels Beweis der Konsistenz von CH und AC in Bezug auf die Konsistenz von ZF, bewies Paul Cohen (1966) die Konsistenz der Negation des CH und auch der Negation des AC relativ zur Konsistenz von ZF. Wenn also ZF konsistent ist, ist der CH in ZFC unentscheidbar und der Wechselstrom in ZF unentscheidbar. Um dies zu erreichen, entwickelte Cohen eine neue und äußerst leistungsfähige Technik namens Forcen, um zählbare transitive Modelle von ZF zu erweitern.

Da das Axiom (V = L) den AC und den CH impliziert, muss jedes Modell der Negation des AC oder des CH (V = L) verletzen. Lassen Sie uns also die Idee des Erzwingens veranschaulichen, wenn ein Modell für die Negation von (V = L) erstellt wird. Wir beginnen mit einem transitiven Modell (M) von ZFC, von dem wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen können, dass es ein Modell von (V = L) ist. Um (V = L) zu verletzen, müssen wir (M) erweitern, indem wir eine neue Menge (r) hinzufügen, damit (r) im erweiterten Modell nicht konstruierbar ist. Da alle erblich endlichen Mengen konstruierbar sind, wollen wir eine unendliche Menge natürlicher Zahlen hinzufügen. Das erste Problem ist, dass (M) möglicherweise bereits alle Teilmengen von (omega) enthält. Glücklicherweise hat (M) nach dem Löwenheim-Skolem-Theorem für Logik erster Ordnung ein zählbares elementares Submodell (N). Da wir also nur an den Aussagen interessiert sind, die in (M) gelten,und nicht in (M) selbst können wir auch mit (N) anstelle von (M) arbeiten, und so können wir annehmen, dass (M) selbst zählbar ist. Da (mathcal {P} (omega)) unzählig ist, gibt es viele Teilmengen von (omega), die nicht zu (M) gehören. Leider können wir nicht einfach eine unendliche Teilmenge (r) von (omega) auswählen, die nicht zu (M) gehört, und sie zu (M) hinzufügen. Der Grund ist, dass (r) viele Informationen codieren kann, so dass (M) beim Hinzufügen zu (M) kein Modell von ZFC mehr ist oder immer noch ein Modell von (V. = L). Um dies zu vermeiden, muss man (r) mit großer Sorgfalt auswählen. Die Idee ist, (r) generic über (M) zu wählen, was bedeutet, dass (r) aus seinen endlichen Näherungen so aufgebaut ist, dass es keine Eigenschaft hat, die in (M \ definierbar ist)) und kann vermieden werden. Beispielsweise,Durch Betrachten von (r) als eine unendliche Folge natürlicher Zahlen in aufsteigender Reihenfolge kann die Eigenschaft von (r), die nur endlich viele gerade Zahlen enthält, vermieden werden, da bei endlicher Annäherung an (r) - dh jede endlich zunehmende Folge natürlicher Zahlen - man kann sie immer erweitern, indem man mehr gerade Zahlen hinzufügt, so dass (r) am Ende der Konstruktion unendlich viele gerade Zahlen enthält; Während die Eigenschaft, die Zahl 7 zu enthalten, nicht vermieden werden kann, denn wenn eine endliche Annäherung an (r) die Zahl 7 enthält, bleibt sie dort, unabhängig davon, wie die Konstruktion von (r) abläuft. Da (M) zählbar ist, gibt es solche generischen (r). Dann wird das erweiterte Modell (M [r]), das (M) enthält und die neue Menge (r) enthält, als generische Erweiterung von (M) bezeichnet. Da wir angenommen haben, dass (M) ein transitives Modell von (V = L) ist,das Modell (M [r]) ist nur (L_ \ alpha (r)), wobei (alpha) das Supremum der Ordnungszahlen von (M) ist. Dann kann man anhand der Forcierungsbeziehung zwischen endlichen Approximationen an (r) und Formeln in der Sprache der Mengenlehre, die mit sogenannten Namen für Mengen in der generischen Erweiterung erweitert wurde, zeigen, dass (M [r]) a ist Das Modell von ZFC und (r) ist in (M [r]) nicht konstruierbar, daher versagt das Axiom der Konstruierbarkeit (V = L).

Im Allgemeinen wird eine forcierende Erweiterung eines Modells (M) erhalten, indem zu (M) eine generische Teilmenge (G) einer teilweise geordneten Menge (mathbb {P}) hinzugefügt wird, die zu \ gehört (M). Im obigen Beispiel wäre (mathbb {P}) die Menge aller endlichen ansteigenden Folgen natürlicher Zahlen, die als endliche Annäherungen an die unendliche Folge (r) angesehen werden, geordnet nach (subseteq); und (G) wäre die Menge aller endlichen Anfangssegmente von (r).

Im Fall des Konsistenznachweises der Negation des CH geht man von einem Modell (M) aus und fügt (aleph_2) neue Teilmengen von (omega) hinzu, so dass in der generischen Erweiterung der CH schlägt fehl. In diesem Fall muss eine geeignete Teilreihenfolge (mathbb {P}) verwendet werden, damit das (aleph_2) von (M) nicht reduziert wird, dh es ist dasselbe wie das (aleph_2) der generischen Erweiterung und damit der generischen Erweiterung (M [G]) erfüllt den Satz, der besagt, dass es (aleph_2) reelle Zahlen gibt.

8.1 Andere Anwendungen des Forcierens

Neben dem CH wurden viele andere mathematische Vermutungen und Probleme über das Kontinuum und andere unendliche mathematische Objekte in ZFC unter Verwendung der Forciertechnik als unentscheidbar gezeigt.

Ein wichtiges Beispiel ist Suslins Hypothese (SH). Cantor hatte gezeigt, dass jede linear geordnete Menge (S) ohne Endpunkte, die dicht ist (dh zwischen zwei verschiedenen Elementen von (S) gibt es ein anderes), vollständig ist (dh jede Teilmenge von (S)) das oben begrenzte hat ein Supremum) und ist mit einer zählbaren dichten Teilmenge isomorph zur reellen Linie. Suslin vermutete, dass dies immer noch zutrifft, wenn man die Anforderung, eine zählbare dichte Teilmenge zu enthalten, auf ccc lockert, dh jede Sammlung von paarweise disjunkten Intervallen ist zählbar. In den frühen 1970er Jahren produzierte Thomas Jech ein konsistentes Gegenbeispiel unter Verwendung von Forcing, und Ronald Jensen zeigte, dass ein Gegenbeispiel in (L) existiert. Ungefähr zur gleichen ZeitRobert Solovay und Stanley Tennenbaum (1971) entwickelten und verwendeten zum ersten Mal die iterierte Forciertechnik, um ein Modell zu erstellen, in dem der SH gilt, und zeigten damit seine Unabhängigkeit vom ZFC. Um sicherzustellen, dass der SH in der generischen Erweiterung bleibt, muss man alle Gegenbeispiele zerstören, aber durch das Zerstören eines bestimmten Gegenbeispiels kann man versehentlich neue erstellen, und so muss man immer wieder erzwingen; Tatsächlich muss man mindestens (omega_2) weitermachen - viele Schritte. Aus diesem Grund ist eine erzwungene Iteration erforderlich. Tatsächlich muss man mindestens (omega_2) weitermachen - viele Schritte. Aus diesem Grund ist eine erzwungene Iteration erforderlich. Tatsächlich muss man mindestens (omega_2) weitermachen - viele Schritte. Aus diesem Grund ist eine erzwungene Iteration erforderlich.

Neben anderen bekannten mathematischen Problemen, die sich in ZFC dank der Forciertechnik als unentscheidbar erwiesen haben, insbesondere durch iteriertes Forcen und manchmal in Kombination mit großen Kardinälen, können wir das Measure-Problem und die Borel-Conjecture in der Measure-Theorie, Kaplanskys Conjecture on Banach-Algebren und Whiteheads Problem in der Gruppentheorie.

9. Die Suche nach neuen Axiomen

Als Ergebnis der 50-jährigen Entwicklung der Forciertechnik und ihrer Anwendung auf viele offene Probleme in der Mathematik gibt es nun buchstäblich Tausende von Fragen in praktisch allen Bereichen der Mathematik, die unabhängig von ZFC gestellt wurden. Dazu gehören fast alle Fragen zur Struktur unzähliger Mengen. Man könnte sagen, dass das Phänomen der Unentscheidbarkeit so weit verbreitet ist, dass die Untersuchung des Unzählbaren allein in ZFC nahezu unmöglich geworden ist (siehe jedoch Shelah (1994) für bemerkenswerte Ausnahmen).

Dies wirft die Frage nach dem Wahrheitswert der Aussagen auf, die von ZFC nicht entschieden werden. Sollte man sich damit zufrieden geben, dass sie unentscheidbar sind? Ist es überhaupt sinnvoll, nach ihrem Wahrheitswert zu fragen? Darauf gibt es mehrere mögliche Reaktionen. Eine ist die Position des Skeptikers: Die Aussagen, die in ZFC unentscheidbar sind, haben keine eindeutige Antwort; und sie können sogar von Natur aus vage sein. Eine andere, die unter Mathematikern häufig vorkommt, ist Gödels Position: Die Unentscheidbarkeit zeigt nur, dass das ZFC-System zu schwach ist, um diese Fragen zu beantworten, und daher sollte man nach neuen Axiomen suchen, die, sobald sie zu ZFC hinzugefügt wurden, sie beantworten würden. Die Suche nach neuen Axiomen wurde als Gödel-Programm bezeichnet. Siehe Hauser (2006) für eine gründliche philosophische Diskussion des Programms,und auch der Eintrag über große Kardinäle und die Bestimmtheit für philosophische Überlegungen zur Rechtfertigung neuer Axiome für die Mengenlehre.

Ein zentrales Thema der Mengenlehre ist daher die Suche und Klassifizierung neuer Axiome. Diese fallen derzeit in zwei Haupttypen: die Axiome großer Kardinäle und die Zwangsaxiome.

10. Große Kardinäle

Man kann in ZFC nicht beweisen, dass es ein reguläres Limit Kardinal (kappa) gibt, denn wenn (kappa) ein solcher Kardinal ist, dann ist (L_ \ kappa) ein Modell von ZFC, und so würde ZFC beweisen ihre eigene Konsistenz und widersprechen Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz. Daher muss die Existenz eines regulären Grenzkardinals als neues Axiom postuliert werden. Ein solcher Kardinal wird als schwach unzugänglich bezeichnet. Wenn zusätzlich (kappa) eine starke Grenze ist, dh (2 ^ \ lambda <\ kappa), für jeden Kardinal (lambda <\ kappa), dann ist (kappa) stark unzugänglich genannt. Ein Kardinal (kappa) ist genau dann stark unzugänglich, wenn er regulär ist und (V_ \ kappa) ein Modell von ZFC ist. Wenn der GCH hält, ist jeder schwach unzugängliche Kardinal stark unzugänglich.

Große Kardinäle sind unzählige Kardinäle, die einige Eigenschaften erfüllen, die sie sehr groß machen und deren Existenz in ZFC nicht nachgewiesen werden kann. Der erste schwach unzugängliche Kardinal ist nur der kleinste aller großen Kardinäle. Über unzugängliche Kardinäle hinaus gibt es eine reiche und komplexe Vielfalt großer Kardinäle, die eine lineare Hierarchie hinsichtlich der Konsistenzstärke und in vielen Fällen auch hinsichtlich der direkten Implikation bilden. Weitere Informationen finden Sie im Eintrag über Unabhängigkeit und große Kardinäle.

Um den nächststärkeren Großkardinalbegriff zu formulieren, nehmen wir an, dass eine Teilmenge (C) eines unendlichen Kardinals (kappa) geschlossen ist, wenn jede Grenze von Elementen von (C) auch in (C liegt); und ist unbegrenzt, wenn für jedes (alpha <\ kappa) (beta \ in C) größer als (alpha) existiert. Zum Beispiel ist der Satz von Grenzordnungszahlen kleiner als (kappa) geschlossen und unbegrenzt. Außerdem wird eine Teilmenge (S) von (kappa) als stationär bezeichnet, wenn sie jede geschlossene unbegrenzte Teilmenge von (kappa) schneidet. Wenn (kappa) regulär und unzählbar ist, ist die Menge aller Ordnungszahlen, die kleiner als (kappa) der Kofinalität (omega) sind, ein Beispiel für eine stationäre Menge. Ein regulärer Kardinal (kappa) heißt Mahlo, wenn die Menge stark unzugänglicher Kardinäle kleiner als (kappa) stationär ist. So,Der erste Mahlo-Kardinal ist viel größer als der erste stark unzugängliche Kardinal, da es (kappa) gibt - viele stark unzugängliche Kardinäle, die kleiner als (kappa) sind.

Viel stärkere große Kardinalvorstellungen ergeben sich aus der Berücksichtigung starker Reflexionseigenschaften. Denken Sie daran, dass das Reflexionsprinzip (Abschnitt 4), das in ZFC nachweisbar ist, besagt, dass jeder wahre Satz (dh jeder Satz, der in (V) enthalten ist) in einigen (V_ \ alpha) wahr ist. Eine Stärkung dieses Prinzips auf Sätze zweiter Ordnung bringt einige große Kardinäle hervor. Zum Beispiel ist (kappa) genau dann stark unzugänglich, wenn jeder (Sigma ^ 1_1) Satz (dh ein existenzieller Satz zweiter Ordnung in der Sprache der Mengenlehre mit einem zusätzlichen Prädikatsymbol) in einem beliebigen Satz wahr ist Struktur der Form ((V_ \ kappa, \ in, A)), wobei (A \ subseteq V_ \ kappa) in einigen ((V_ \ alpha, \ in, A \ cap V_) wahr ist alpha)) mit (alpha <\ kappa). Dieselbe Art der Reflexion, aber jetzt für (Pi ^ 1_1) Sätze (dh universelle Sätze zweiter Ordnung),ergibt eine viel stärkere große Kardinaleigenschaft von (kappa), die als schwache Kompaktheit bezeichnet wird. Jeder schwach kompakte Kardinal (kappa) ist Mahlo, und die Menge der Mahlo-Kardinäle, die kleiner als (kappa) sind, ist stationär. Indem man Reflexion für komplexere Sätze zweiter oder sogar höherer Ordnung zulässt, erhält man große Kardinalbegriffe, die stärker sind als schwache Kompaktheit.

Die berühmtesten großen Kardinäle, messbar genannt, wurden 1930 von Stanisław Ulam als Ergebnis seiner Lösung des Messproblems entdeckt. Ein (zweiwertiges) Maß oder ein Ultrafilter auf einem Kardinal (kappa) ist eine Teilmenge (U) von (mathcal {P} (kappa)) mit den folgenden Eigenschaften: (i) der Schnittpunkt zweier beliebiger Elemente von (U) liegt in (U); (ii) wenn (X \ in U) und (Y) eine Teilmenge von (kappa) ist, so dass (X \ subseteq Y), dann (Y \ in U); und (iii) für jedes (X \ subseteq \ kappa) entweder (X \ in U) oder (kappa -X \ in U), aber nicht beide. Ein Maß (U) heißt (kappa) - vollständig, wenn sich jeder Schnittpunkt von weniger als (kappa) Elementen von (U) auch in (U) befindet. Und ein Maß wird als Nicht-Prinzipal bezeichnet, wenn es kein (alpha <\ kappa) gibt, das zu allen Elementen von (U) gehört. Ein Kardinal (kappa) wird als messbar bezeichnet, wenn für (kappa) ein Maß existiert, das (kappa) ist - vollständig und nicht prinzipiell.

Messbare Kardinäle können durch elementare Einbettungen des Universums (V) in eine transitive Klasse (M) charakterisiert werden. Dass eine solche Einbettung (j: V \ zu M) elementar ist, bedeutet, dass (j) die Wahrheit bewahrt, dh für jede Formel (varphi (x_1, \ ldots, x_n)) der Sprache der Menge Theorie, und jedes (a_1, \ ldots, a_n), der Satz (varphi (a_1, \ ldots, a_n)) gilt genau dann in (V), wenn (varphi (j (a_1)), \ ldots, j (a_n))) gilt in (M). Es stellt sich heraus, dass ein Kardinal (kappa) genau dann messbar ist, wenn eine elementare Einbettung (j: V \ zu M) mit (M) transitiv existiert, so dass (kappa) ist die erste Ordnungszahl, die von (j) verschoben wird, dh die erste Ordnungszahl, so dass (j (kappa) ne \ kappa). Wir sagen, dass (kappa) der kritische Punkt von (j) ist, und schreiben (krit (j) = \ kappa). Die Einbettung (j) ist definierbar aus einer (kappa) - vollständigen nicht-prinzipiellen Maßnahme auf (kappa) unter Verwendung der sogenannten Ultrapower-Konstruktion. Wenn umgekehrt (j: V \ bis M) eine elementare Einbettung mit (M) transitiv und (kappa = krit (j)) ist, dann ist die Menge (U = {X \ subseteq \ kappa: \ kappa \ in j (X) }) ist ein (kappa) - vollständiger nicht-prinzipieller Ultrafilter auf (kappa). Ein auf diese Weise aus (j) erhaltenes Maß (U) wird als normal bezeichnet.

Jeder messbare Kardinal (kappa) ist schwach kompakt, und es gibt viele schwach kompakte Kardinäle, die kleiner als (kappa) sind. Tatsächlich gibt es unter (kappa) viele Kardinäle, die völlig unbeschreiblich sind, dh sie spiegeln alle Sätze jeder Komplexität und in jeder Sprache höherer Ordnung wider.

Wenn (kappa) messbar ist und (j: V \ bis M) durch die Ultrapower-Konstruktion gegeben ist, dann (V_ \ kappa \ subseteq M) und jede Sequenz mit einer Länge kleiner oder gleich (kappa) von Elementen von (M) gehört zu (M). Somit ist (M) ziemlich ähnlich zu (V), kann aber nicht (V) selbst sein. In der Tat zeigt ein berühmter Satz von Kenneth Kunen, dass es keine elementare Einbettung (j: V \ bis V) geben kann, außer der trivialen, dh der Identität. Alle bekannten Beweise für dieses Ergebnis verwenden das Axiom der Wahl, und es ist eine herausragende wichtige Frage, ob das Axiom notwendig ist. Der Satz von Kunen öffnet die Tür zur Formulierung großer Kardinalbegriffe, die stärker als messbar sind, indem verlangt wird, dass (M) näher an (V) liegt.

Zum Beispiel wird (kappa) als stark bezeichnet, wenn für jede Ordnungszahl (alpha) eine elementare Einbettung (j: V \ zu M) für einige (M) Transitive existiert, so dass (kappa = krit (j)) und (V_ \ alpha \ subseteq M).

Ein weiterer wichtiger und viel stärkerer Begriff des großen Kardinals ist die Superkompaktheit. Ein Kardinal (kappa) ist superkompakt, wenn für jedes (alpha) eine elementare Einbettung (j: V \ bis M) mit (M) transitivem und kritischem Punkt (kappa) existiert), so dass (j (kappa)> \ alpha) und jede Folge von Elementen von (M) der Länge (alpha) zu (M) gehört.

Woodin Kardinäle fallen zwischen stark und superkompakt. Jeder superkompakte Kardinal ist Woodin, und wenn (delta) Woodin ist, dann ist (V_ \ delta) ein Modell von ZFC, in dem es eine richtige Klasse starker Kardinäle gibt. Während ein Woodin-Kardinal (delta) selbst nicht sehr stark sein muss - der erste ist nicht einmal schwach kompakt -, impliziert dies die Existenz vieler großer Kardinäle in (V_ \ delta).

Über superkompakte Kardinäle hinaus finden wir die erweiterbaren Kardinäle, die riesigen, die super großen usw.

Kunens Satz über die Nichtexistenz einer nicht trivialen elementaren Einbettung (j: V \ zu V) zeigt tatsächlich, dass es keine elementare Einbettung (j: V _ { lambda +2} zu V _ { lambda geben kann +2}) unterscheidet sich von der Identität für jedes (lambda).

Die stärksten großen Kardinalbegriffe, von denen nicht bekannt ist, dass sie inkonsistent sind, Modulo ZFC, sind die folgenden:

• Es gibt eine elementare Einbettung (j: V _ { lambda +1} zu V _ { lambda +1}), die sich von der Identität unterscheidet.
• Es gibt eine elementare Einbettung (j: L (V _ { lambda +1}) zu L (V _ { lambda +1})), die sich von der Identität unterscheidet.

Große Kardinäle bilden eine lineare Hierarchie mit zunehmender Konsistenzstärke. Tatsächlich sind sie die Sprungbretter der Interpretierbarkeitshierarchie mathematischer Theorien. Weitere Informationen finden Sie im Eintrag über Unabhängigkeit und große Kardinäle. Bei jedem Satz (varphi) gilt genau eine der folgenden drei Möglichkeiten für die Theorie ZFC plus (varphi):

• ZFC plus (varphi) ist inkonsistent.
• ZFC plus (varphi) entspricht ZFC.
• ZFC plus (varphi) stimmt mit ZFC plus der Existenz eines großen Kardinals überein.

Somit können große Kardinäle verwendet werden, um zu beweisen, dass ein gegebener Satz (varphi) keinen anderen Satz (psi), modulo ZFC, impliziert, indem gezeigt wird, dass ZFC plus (psi) die Konsistenz einiger impliziert großer Kardinal, während ZFC plus (varphi) unter der Annahme der Existenz eines kleineren großen Kardinals oder nur unter der Annahme der Konsistenz von ZFC konsistent ist. Mit anderen Worten, (psi) hat eine höhere Konsistenzstärke als (varphi), modulo ZFC. Dann kann ZFC plus (varphi) nach Gödels zweitem Unvollständigkeitssatz (psi) nicht beweisen, vorausgesetzt, ZFC plus (varphi) ist konsistent.

Wie wir bereits betont haben, kann man in ZFC nicht beweisen, dass es große Kardinäle gibt. Aber alles deutet darauf hin, dass ihre Existenz nicht nur nicht widerlegt werden kann, sondern dass die Annahme ihrer Existenz tatsächlich ein sehr vernünftiges Axiom der Mengenlehre ist. Zum einen gibt es viele Belege für ihre Konsistenz, insbesondere für jene großen Kardinäle, für die es möglich ist, ein inneres Modell zu konstruieren.

10.1 Innere Modelle großer Kardinäle

Ein inneres Modell von ZFC ist eine transitive Eigenklasse, die alle Ordnungszahlen enthält und alle ZFC-Axiome erfüllt. Somit ist (L) das kleinste innere Modell, während (V) das größte ist. Einige große Kardinäle, wie unzugänglich, Mahlo oder schwach kompakt, können in (L) existieren. Das heißt, wenn (kappa) eine dieser großen Kardinaleigenschaften hat, dann hat es auch die Eigenschaft in (L). Einige große Kardinäle können jedoch nicht in (L) existieren. In der Tat zeigte Scott (1961), dass, wenn es einen messbaren Kardinal (kappa) gibt, dann (V \ ne L). Es ist wichtig zu beachten, dass (kappa) zu (L) gehört, da (L) alle Ordnungszahlen enthält, aber in (L) nicht messbar ist, weil a (kappa) - Eine vollständige nicht-prinzipielle Maßnahme für (kappa) kann dort nicht existieren.

Wenn (kappa) ein messbarer Kardinal ist, kann man ein (L) -ähnliches Modell konstruieren, in dem (kappa) messbar ist, indem man ein (kappa) - vollständiges Nicht-Prinzipal und nimmt normales Maß (U) auf (kappa) und wie in der Definition von (L) verfahren, aber jetzt (U) als zusätzliches Prädikat verwenden. Das resultierende Modell, genannt (L [U]), ist ein inneres Modell von ZFC, in dem (kappa) messbar ist, und tatsächlich ist (kappa) der einzige messbare Kardinal. Das Modell ist kanonisch in dem Sinne, dass jedes andere normale Maß, das die Messbarkeit von (kappa) bezeugt, dasselbe Modell ergeben würde und viele der Eigenschaften von (L) aufweist. Zum Beispiel hat es eine projektive Ordnung der Reals und erfüllt die GCH.

Es ist viel schwieriger, ähnliche (L) - ähnliche Modelle für stärkere große Kardinäle wie Strong oder Woodin zu bauen. Diese Modelle haben die Form (L [E]), wobei (E) eine Folge von Extendern ist, wobei jeder Extender ein Maßsystem ist, das die relevanten elementaren Einbettungen codiert.

Die größten (L) -ähnlichen inneren Modelle für große Kardinäle, die bisher erhalten wurden, können Woodin-Grenzwerte von Woodin-Kardinälen enthalten (Neeman 2002). Das Erstellen eines (L) - ähnlichen Modells für einen superkompakten Kardinal ist jedoch immer noch eine Herausforderung. Die superkompakte Barriere scheint die entscheidende zu sein, denn Woodin hat gezeigt, dass für eine Art (L) - ähnliches inneres Modell für einen superkompakten Kardinal, den er Ultimate - (L) nennt, alle stärkeren großen Kardinäle das sind kann in (V) existieren, wie z. B. erweiterbar, riesig, I1 usw. würde auch im Modell existieren. Die Konstruktion von Ultimate - (L) ist noch unvollständig und es ist noch nicht klar, ob sie erfolgreich sein wird, da sie auf einigen technischen Hypothesen beruht, die bestätigt werden müssen.

10.2 Folgen großer Kardinäle

Die Existenz großer Kardinäle hat dramatische Konsequenzen, selbst für einfach definierbare kleine Mengen wie die projektiven Mengen reeller Zahlen. Zum Beispiel hat Solovay (1970) unter der Annahme, dass es einen messbaren Kardinal gibt, bewiesen, dass alle (mathbf { Sigma} ^ 1_2) Mengen von Real Lebesgue-messbar sind und die Baire-Eigenschaft haben, die in ZFC allein nicht bewiesen werden kann. Und Shelah und Woodin (1990) zeigten, dass die Existenz einer geeigneten Klasse von Woodin-Kardinälen impliziert, dass die Theorie von (L (mathbb {R})) selbst mit reellen Zahlen als Parametern nicht durch Erzwingen geändert werden kann, was impliziert, dass alle Mengen von reellen Zahlen, die zu (L (mathbb {R})) gehören, regulär sind. Ferner haben Martin und Steel (1989) unter einer schwächeren Hypothese eines großen Kardinals, nämlich der Existenz unendlich vieler Woodin-Kardinäle, bewiesen, dass jede projektive Menge reeller Zahlen bestimmt wird, d.h.das Axiom von PD gilt, daher sind alle projektiven Mengen regelmäßig. Darüber hinaus zeigte Woodin, dass die Existenz von unendlich vielen Woodin-Kardinälen und vor allem eines messbaren Kardinals impliziert, dass jede Menge von Real in (L (mathbb {R})) bestimmt wird, dh das Axiom (AD ^ {L (mathbb {R})}) gilt, daher sind alle Mengen von reellen Zahlen, die zu (L (mathbb {R})) gehören, und daher alle projektiven Mengen regulär. Er zeigte auch, dass Woodin-Kardinäle die optimalen Annahmen für große Kardinäle liefern, indem er die folgenden zwei Aussagen nachweist:daher sind alle Mengen von reellen Zahlen, die zu (L (mathbb {R})) gehören, und daher alle projektiven Mengen, regulär. Er zeigte auch, dass Woodin-Kardinäle die optimalen Annahmen für große Kardinäle liefern, indem er die folgenden zwei Aussagen nachweist:daher sind alle Mengen von reellen Zahlen, die zu (L (mathbb {R})) gehören, und daher alle projektiven Mengen, regulär. Er zeigte auch, dass Woodin-Kardinäle die optimalen Annahmen für große Kardinäle liefern, indem er die folgenden zwei Aussagen nachweist:

1. Es gibt unendlich viele Woodin-Kardinäle.
2. (AD ^ {L ({ Bbb R})}).

sind gleichkonsistent, dh ZFC plus 1 ist genau dann konsistent, wenn ZFC plus 2 konsistent ist. Weitere Einzelheiten und zugehörige Ergebnisse finden Sie im Eintrag zu großen Kardinälen und Bestimmtheit.

Ein weiterer Bereich, in dem große Kardinäle eine wichtige Rolle spielen, ist die Potenzierung einzelner Kardinäle. Die sogenannte Singular Cardinal Hypothesis (SCH) bestimmt das Verhalten der Exponentiation für Singular Cardinals vollständig, modulo die Exponentiation für reguläre Cardinals. Der SCH folgt aus dem GCH und gilt daher in (L). Eine Konsequenz des SCH ist, dass wenn (2 ^ { aleph_n} <\ aleph_ \ omega) für alle endlichen (n), dann (2 ^ { aleph _ { omega}} = \ aleph_ { omega +1}). Wenn also das GCH für Kardinäle gilt, die kleiner als (aleph_ \ omega) sind, gilt es auch für (aleph_ \ omega). Der SCH hält über dem ersten superkompakten Kardinal (Solovay). Aber Magidor (1977) hat gezeigt, dass es bemerkenswerterweise unter der Annahme großer Kardinäle möglich ist, ein ZFC-Modell zu erstellen, bei dem der GCH zuerst bei (aleph_ \ omega) versagt, daher der SCH versagt. Dafür werden tatsächlich große Kardinäle benötigt, die stärker als messbar sind. Im Gegensatz dazu reicht ZFC allein aus, um zu beweisen, dass wenn der SCH für alle Kardinäle gilt, die kleiner als (aleph _ { omega_1}) sind, er auch für (aleph _ { omega_1}) gilt. Wenn der SCH für alle singulären Kardinäle mit zählbarer Kofinalität gilt, gilt er außerdem für alle singulären Kardinäle (Silber).

11. Axiome erzwingen

Forcierungsaxiome sind Axiome der Mengenlehre, die behaupten, dass bestimmte existenzielle Aussagen zwischen dem Universum (V) aller Mengen und seinen (idealen) Forcierungserweiterungen absolut sind, dh einige existenzielle Aussagen, die in einigen Forcierungserweiterungen von (V) enthalten sind) sind in (V) bereits wahr. Das erste zwingende Axiom wurde von Donald Martin nach dem Solovay-Tennenbaum-Beweis für die Konsistenz von Suslins Hypothese formuliert und ist jetzt als Martins Axiom (MA) bekannt. Bevor wir es sagen, nehmen wir an, dass eine Teilordnung eine nicht leere Menge (P) zusammen mit einer binären Beziehung (leq) auf (P) ist, die reflexiv und transitiv ist. Zwei Elemente (p) und (q) von (P) werden als kompatibel bezeichnet, wenn (r \ in P) vorhanden ist, so dass (r \ leq p) und (r \ leq q). Eine Antichain von (P) ist eine Teilmenge von (P), deren Elemente paarweise inkompatibel sind. Eine Teilordnung (P) heißt ccc, wenn jede Antichain von (P) zählbar ist. Eine nicht leere Teilmenge (G) von (P) wird als Filter bezeichnet, wenn (i) alle zwei Elemente von (G) kompatibel sind, und (ii) wenn (p \ in G) und (p \ leq q), dann auch (q \ in G). Schließlich wird eine Teilmenge (D) von (P) als dicht bezeichnet, wenn es für jedes (p \ in P) (q \ in D) gibt, so dass (q \ leq p).

MA behauptet Folgendes:

Für jede ccc-Teilreihenfolge (P) und jede Menge ({D_ \ alpha: \ alpha <\ omega_1 }) dichter Teilmengen von (P) existiert ein Filter (G \ subseteq P.) das ist generisch für die Menge, dh (G \ cap D_ \ alpha \ ne { varnothing}) für alle (alpha <\ omega_1).

Martin und Solovay (1970) haben bewiesen, dass MA mit ZFC übereinstimmt, indem sie iteriertes Forcen mit der ccc-Eigenschaft verwendeten. Auf den ersten Blick mag MA nicht wie ein Axiom aussehen, nämlich eine offensichtliche oder zumindest vernünftige Behauptung über Mengen, sondern eher wie eine technische Aussage über ccc-Teilordnungen. In topologischer Hinsicht sieht es jedoch natürlicher aus, denn es ist lediglich eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes der Baire-Kategorie, der besagt, dass in jedem kompakten topologischen Hausdorff-Raum der Schnittpunkt von zählbar vielen dichten offenen Mengen nicht ist leer. In der Tat ist MA gleichbedeutend mit:

In jedem kompakten topologischen Raum von Hausdorff ccc ist der Schnittpunkt von (aleph_1) - viele dichte offene Mengen nicht leer.

MA hat viele verschiedene äquivalente Formulierungen und wurde sehr erfolgreich eingesetzt, um eine große Anzahl offener Probleme in anderen Bereichen der Mathematik zu lösen. Zum Beispiel impliziert es Suslins Hypothese und dass jede (mathbf { Sigma} ^ 1_2) Menge von Real Lebesgue messbar ist und die Baire-Eigenschaft hat. Es impliziert auch die Negation des CH und dass (2 ^ { aleph_0}) ein regulärer Kardinal ist, aber es entscheidet nicht, welcher Kardinal es ist. Siehe Fremlin (1984) für viele weitere Konsequenzen von MA und anderen äquivalenten Formulierungen. Trotzdem ist der Status von MA als Axiom der Mengenlehre noch unklar. Die vielleicht grundlegendste Formulierung von MA ist unter fundamentalen Gesichtspunkten die Reflexion. Schreiben von HC für die Menge erblich zählbarer Mengen (dh zählbare Mengen, deren Elemente zählbar sind, deren Elemente auch zählbar sind,und so weiter), MA ist äquivalent zu:

Wenn für jede ccc-Teilreihenfolge (P) eine existenzielle Aussage über (HC) eine (ideale) generische Erweiterung von (V) enthält, die durch Erzwingen mit (P) erhalten wird, ist die Aussage wahr dh es gilt in (V). Mit anderen Worten, wenn eine Menge mit einer Eigenschaft, die nur von Mengen in (HC) abhängt, in einer (idealen) generischen Erweiterung von (V) existiert, die durch Erzwingen mit einer ccc-Teilreihenfolge erhalten wird, dann eine Menge mit dieser Eigenschaft existiert bereits in (V).

Der Begriff der idealen generischen Erweiterung von (V) kann in Form von sogenannten Booleschen Modellen präzisiert werden, die eine alternative Version des Forcierens darstellen.

In den 1980er Jahren wurden viel stärkere Forcierungsaxiome als MA eingeführt, wie das richtige Forcing Axiom (PFA) von J. Baumgartner und das stärkere Martin's Maximum (MM) von Foreman, Magidor und Shelah (1988), das im Wesentlichen das stärkste Forcieren ist Axiom. Sowohl die PFA als auch die MM sind in Bezug auf die Existenz eines superkompakten Kardinals konsistent. Die PFA behauptet dasselbe wie MA, jedoch für Teilbestellungen, deren Eigenschaft schwächer ist als die von Shelah eingeführte ccc, die als Properness bezeichnet wird. Und MM behauptet dasselbe für die breitere Klasse von Teilordnungen, die beim Erzwingen mit ihnen keine stationären Teilmengen von (omega_1) zerstören.

Starke Forcierungsaxiome wie PFA und MM implizieren, dass alle projektiven Mengen von Real bestimmt werden (PD) und viele andere starke Konsequenzen in der unendlichen Kombinatorik haben. Insbesondere implizieren sie, dass die Kardinalität des Kontinuums (aleph_2) ist.

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Andere Internetquellen

Jech, Thomas, "Set Theory", Stanford Encyclopedia of Philosophy (Ausgabe Herbst 2014), Edward N. Zalta (Hrsg.), URL = . [Dies war der vorherige Eintrag zur Mengenlehre in der Stanford Encyclopedia of Philosophy - siehe Versionsgeschichte.]