Die Unabhängigkeit führt zu Arithmetik und Mengenlehre, was zu einer Verbreitung mathematischer Systeme führte. Ein sehr allgemeiner Weg, den Raum möglicher mathematischer Systeme zu untersuchen, ist das Verhältnis der Interpretierbarkeit. Unter dieser Beziehung bildet der Raum möglicher mathematischer Systeme eine komplizierte Hierarchie immer stärker werdender Systeme. Große Kardinalaxiome bieten ein kanonisches Mittel zum Klettern in dieser Hierarchie und spielen eine zentrale Rolle beim Vergleich von Systemen aus konzeptionell unterschiedlichen Bereichen.
Dieser Artikel ist eine Einführung in Unabhängigkeit, Interpretierbarkeit, große Kardinäle und ihre Wechselbeziehungen. Abschnitt 1 untersucht die klassischen Ergebnisse der Unabhängigkeit in Arithmetik und Mengenlehre. In Abschnitt 2 wird die Interpretierbarkeitshierarchie vorgestellt und einige ihrer Grundfunktionen beschrieben. In Abschnitt 3 wird der Begriff eines großen Kardinalaxioms vorgestellt und einige der zentralen Beispiele erörtert. In Abschnitt 4 werden die vorherigen Themen zusammengefasst, indem die Art und Weise erörtert wird, in der große Kardinalaxiome ein kanonisches Mittel zum Klettern der Hierarchie der Interpretierbarkeit darstellen und als Vermittler beim Vergleich von Systemen aus konzeptionell unterschiedlichen Bereichen dienen. Abschnitt 5 geht kurz auf einige philosophische Überlegungen ein.
1. Unabhängigkeit
2. Die Interpretierbarkeitshierarchie
3. Große Kardinalaxiome
4. Große Kardinalaxiome und die Interpretierbarkeitshierarchie
5. Einige philosophische Überlegungen
Literaturverzeichnis
Akademische Werkzeuge
Andere Internetquellen
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1. Unabhängigkeit
Beginnen wir mit dem Begriff eines Axiomensystems. Um diesen Begriff zu motivieren, sollten Sie die Art und Weise berücksichtigen, in der die Rechtfertigung in der Mathematik traditionell abläuft. Wenn man über einen bestimmten Bereich der Mathematik (oder tatsächlich einen beliebigen Bereich) nachdenkt, wird die Frage der Rechtfertigung sukzessive immer weiter zurückgedrängt, bis man letztendlich zu Prinzipien gelangt, die keine grundlegendere Rechtfertigung zulassen. Die Aussagen in dieser Endphase werden als Axiome gewählt, und das Subjekt wird dann in Bezug auf die Ableitbarkeit von der Basis der Axiome organisiert. Bei der Arithmetik führte dies zum Axiomensystem PA (Peano-Arithmetik) und bei der Mengenlehre zum Axiomensystem ZFC (Zermelo-Frankel-Mengenlehre mit dem Axiom der Wahl).
Zwei natürliche Fragen stellen sich: (1) Wenn die Axiome keine grundlegendere Rechtfertigung zulassen, wie rechtfertigt man sie dann? (2) Ist die Basis der Axiome so reich, dass man jeden Satz auf dieser Grundlage festlegen kann?
Es gibt zwei traditionelle Ansichten zum erkenntnistheoretischen Status von Axiomen. Auf den ersten Blick lassen die Axiome keine weitere Rechtfertigung zu, da sie selbstverständlich sind. In der zweiten Sichtweise lassen die Axiome keine weitere Rechtfertigung zu, da sie für den Gegenstand endgültig sind. Jede dieser Ansichten bezüglich unserer ersten Frage führt zu einer damit verbundenen optimistischen Ansicht bezüglich unserer zweiten Frage - gemäß der ersten optimistischen Ansicht sind alle mathematischen Wahrheiten (in der Logik erster Ordnung) von selbstverständlichen Wahrheiten ableitbar, während sie gemäß der zweiten optimistisch sind Alle mathematischen Wahrheiten lassen sich (in der Logik erster Ordnung) aus Aussagen ableiten, die für den Gegenstand maßgeblich sind. Sollte sich eine dieser optimistischen Ansichten als richtig herausstellen, würde die Frage der Rechtfertigung in der Mathematik eine besonders einfache Form annehmen:Entweder wäre eine Aussage ein Axiom (in diesem Fall wäre sie selbstverständlich oder endgültig für den Gegenstand (abhängig von der betrachteten Ansicht)) oder sie wäre in der Logik erster Ordnung aus einigen solchen Aussagen ableitbar.
Leider wurden diese optimistischen Ansichten 1931 durch Gödels Unvollständigkeitssätze in Frage gestellt. Hier ist eine Version des zweiten Unvollständigkeitssatzes:
Satz 1.1 (Gödel, 1931). Angenommen, PA ist konsistent. Dann beweist PA Con (PA) nicht.
Hier ist Con (PA) eine arithmetische Aussage, die die informelle Aussage ausdrückt, dass PA konsistent ist. [1] Unter etwas stärkeren Annahmen (zum Beispiel, dass PA Σ01-Sound ist [2]) kann man die Schlussfolgerung stärken, indem man hinzufügt, dass PA ¬Con (PA) nicht beweist; Mit anderen Worten, unter dieser stärkeren Annahme ist Con (PA) unabhängig von PA. Wir haben hier also einen Fall einer arithmetischen Aussage (und tatsächlich eine sehr einfache), die nicht auf der Grundlage der Standardaxiome geregelt werden kann. Darüber hinaus ist der Satz völlig allgemein gehalten - er gilt nicht nur für PA, sondern für jedes ausreichend starke formale System T.
Dies stellt die beiden oben genannten optimistischen Ansichten bezüglich der Natur der mathematischen Wahrheit vor eine Herausforderung. Zunächst zeigt sich, dass wir mit einem festen Axiomensystem T nicht arbeiten können. Wir werden immer neue Axiome einführen müssen. Noch wichtiger ist, dass es die Frage aufwirft, wie man diese neuen Axiome rechtfertigen soll, denn wenn man immer stärkere Axiome hinzufügt, wird die Behauptung, dass sie entweder selbstverständlich oder endgültig für das Thema sind, immer schwieriger zu verteidigen sein.
Bereits 1931 wies Gödel auf einen natürlichen Weg hin, um neue Axiome zu rechtfertigen. Er weist darauf hin, dass, wenn man sich bewegt über die natürlichen Zahlen und die Hierarchie von Typen steigt (die Sätze von natürlichen Zahlen, die Mengen von Mengen der natürlichen Zahlen, etc.) eine an Axiome ankommt (die Axiome der zweiten Ordnung arithmetische PA 2, die Axiome der arithmetischen PA 3 dritter Ordnung usw.), die die von ihm entdeckten unentschlossenen Aussagen regeln. Das Axiomensystem für die zweite Ebene, PA 2, regelt die auf der ersten Ebene unentschlossene Aussage, nämlich Con (PA); Tatsächlich beweist PA 2 Con (PA), was das gewünschte Ergebnis ist. Aber jetzt haben wir ein Problem auf der zweiten Ebene. Für den zweiten Unvollständigkeitssatz zeigt sich, dass (unter ähnlichen Hintergrundannahmen wie oben) PA2 setzt Con (PA 2) nicht ab. Glücklicherweise regelt das Axiomensystem für die dritte Ebene, PA 3, die auf der zweiten Ebene unentschlossene Aussage, nämlich Con (PA 2). Dieses Muster setzt sich fort. Für jedes Problem gibt es eine Lösung und für jede Lösung gibt es ein neues Problem. Auf diese Weise gelangt man durch Klettern der Hierarchie der Typen zu Systemen, die die dabei auftretenden Konsistenzaussagen sukzessive regeln.
Die obige Hierarchie von Typen kann in der einheitlichen Einstellung der Mengenlehre neu gefasst werden. Die satztheoretische Hierarchie wird induktiv definiert, indem mit dem Leersatz begonnen wird, der Potenzsatz in den Nachfolgestufen α + 1 genommen wird und die Vereinigung auf den Grenzwerten λ genommen wird:
V 0
= ∅
V α + 1
= P (Vα)
V λ
= ∪ α <λ V α
Das Universum der Mengen V ist die Vereinigung aller dieser Stufen: V = ∪ α∈On V α, wobei On die Klasse der Ordnungszahlen ist. Die erste unendliche Ebene V ω besteht aus allen erblich endlichen Mengen [3] und diese Ebene erfüllt die ZFC-Unendlichkeit. Die Mengen auf dieser Ebene können durch natürliche Zahlen codiert werden und auf diese Weise kann gezeigt werden, dass PA und ZFC-Infinity gegenseitig interpretierbar sind. [4] Die zweite unendliche Ebene V ω + 1 ist im Wesentlichen P (ℕ) (oder äquivalent ℝ), und diese Ebene erfüllt (eine Theorie, die mit beiden gegenseitig interpretierbar ist) PA 2. Die dritte unendliche Ebene V ω + 2ist im Wesentlichen P (P (ℕ)) (oder äquivalent als die Menge von Funktionen reeller Zahlen) und diese Ebene erfüllt (eine Theorie, die mit beiden interpretierbar ist) PA 3. Die ersten drei unendlichen Ebenen umfassen somit Arithmetik, Analyse und Funktionsanalyse und damit den größten Teil der Standardmathematik. Auf diese Weise umfasst die Hierarchie von Mengen und zugehörigen satztheoretischen Systemen die Objekte und Systeme der Standardmathematik.
Sollte sich nun herausstellen, dass die Konsistenzsätze (und die anderen verwandten Sätze, die Gödel 1931 entdeckte) die einzigen Fälle unentscheidbarer Aussagen waren, würde die Abfolge der Systeme in der obigen Hierarchie jedes auftretende Problem erfassen. Und obwohl wir niemals ein einziges System haben würden, das uns eine vollständige Axiomatisierung der mathematischen Wahrheit ermöglicht, hätten wir eine Reihe von Systemen, die gemeinsam die Gesamtheit der mathematischen Wahrheiten abdecken.
Leider sollten die Dinge nicht so einfach sein. Das Problem ist, dass, wenn man die Hierarchie der Mengen auf diese Weise erklimmt, die größeren Ausdrucksressourcen, die verfügbar werden, zu unlösbareren Instanzen unentscheidbarer Sätze führen, und dies gilt bereits für die zweite und dritte unendliche Ebene. Zum Beispiel kann man auf der zweiten unendlichen Ebene die Aussage PM formulieren (dass alle projektiven Mengen Lebesgue-messbar sind) und auf der dritten unendlichen Ebene kann man CH formulieren (Cantors Kontinuumshypothese). [5] Diese Aussagen wurden in der frühen Ära der Mengenlehre intensiv untersucht, es wurden jedoch nur geringe Fortschritte erzielt. Die Erklärung lieferte letztendlich die nachfolgenden Unabhängigkeitstechniken von Gödel und Cohen.
Gödel erfand (1938) die Methode der inneren Modelle, indem er das minimale innere Modell L definierte. Dieses Modell wird genau so definiert, wie V definiert ist, außer dass in Nachfolgestufen anstelle des vollen Potenzsatzes der vorherigen Stufe der definierbare Potenzsatz der vorherigen Stufe verwendet wird, wobei für eine gegebene Menge X der definierbare Potenzsatz Def (X) von X ist die Menge aller Teilmengen von X, die über X mit Parametern von X definierbar sind:
L 0
= ∅
L α + 1
= Def (L α)
L λ
= ∪ α <λ L α
Das innere Modell L ist die Vereinigung aller dieser Stufen: L = ∪ α∈On L α. Gödel zeigte, dass L zusammen mit CH (beliebig große Fragmente von) ZFC erfüllt. Daraus folgt, dass ZFC CH nicht widerlegen kann. Cohen ergänzte dieses Ergebnis, indem er (1963) die Methode des Erzwingens (oder der äußeren Modelle) erfand. Bei gegebener vollständiger Boolescher Algebra B definierte er ein Modell V B und zeigte, dass ¬CH in V B gilt. [6] Dies hatte zur Folge, dass ZFC CH nicht nachweisen konnte. Somit zeigten diese Ergebnisse zusammen, dass CH unabhängig von ZFC ist. Ähnliche Ergebnisse gelten für PM und eine Vielzahl anderer Fragen in der Mengenlehre.
Diese Fälle von Unabhängigkeit sind insofern unlösbarer, als keine einfache Iteration der Typhierarchie zu ihrer Auflösung führt. Sie führten zu einer tieferen Suche nach neuen Axiomen.
Wieder einmal lieferte Gödel die ersten Schritte bei der Suche nach neuen Axiomen. 1946 schlug er als neue Axiome große Kardinalaxiome vor - Axiome der Unendlichkeit, die behaupten, dass es sehr große Ebenen der Hierarchie der Typen gibt - und ging so weit, einen verallgemeinerten Vollständigkeitssatz für solche Axiome zu unterhalten, nach dem alle Aussagen von Die Mengenlehre könnte durch solche Axiome geregelt werden (Gödel 1946, 151).
Der Rest dieses Eintrags soll die Art der Unabhängigkeit (zusammen mit der Hierarchie der Interpretierbarkeit) und den Zusammenhang zwischen Unabhängigkeit und großen Kardinalaxiomen beschreiben.
Weiterführende Literatur: Weitere Informationen zu den Unvollständigkeitssätzen finden Sie in Smoryński (1977), Buss (1998a) und Lindström (2003). Weitere Informationen zu den Unabhängigkeitstechniken in der Mengenlehre finden Sie in Jech (2003) und Kunen (1980).
2. Die Interpretierbarkeitshierarchie
Unser Ziel ist es, den Raum mathematischer Theorien zu untersuchen (ausgelegt als rekursiv aufzählbare Axiomensysteme). Die Reihenfolge auf dem Raum solcher Theorien, die wir betrachten werden, ist die der Interpretierbarkeit. Der informelle Begriff der Interpretierbarkeit ist in der Mathematik allgegenwärtig; Zum Beispiel lieferte Poincaré eine Interpretation der zweidimensionalen hyperbolischen Geometrie in der euklidischen Geometrie des Einheitskreises. Dedekind lieferte eine Interpretation der Analyse in der Mengenlehre; und Gödel lieferte eine Interpretation der Theorie der formalen Syntax in der Arithmetik.
Wir werden eine genaue formale Reglementierung dieses informellen Begriffs verwenden. Sei T 1 und T 2 rekursiv aufzählbare Axiomensysteme. Wir sagen, dass T 1 in T 2 interpretierbar ist (T 1 ≤ T 2), wenn grob gesagt eine Übersetzung τ von der Sprache von T 1 in die Sprache von T 2 vorliegt, so dass für jeden Satz φ der Sprache von T 1, wenn T 1 ⊢φ, dann T 2 ⊢τ (φ). [7] Wir werden T 1 <T 2 schreiben, wenn T 1 ≤ T 2 und T 2≰ T 1 und wir werden T 1 ≡ T 2 schreiben, wenn sowohl T 1 ≤ T 2 als auch T 2 ≤ T 1 sind. Im letzteren Fall sollen T 1 und T 2 gegenseitig interpretierbar sein. Die Äquivalenzklasse aller mit T gegenseitig interpretierbaren Theorien wird als Interpretierbarkeitsgrad von T bezeichnet.
Zur Vereinfachung der Darstellung werden wir drei vereinfachende Annahmen bezüglich der betrachteten Theorien treffen. Zunächst nehmen wir an, dass alle unsere Theorien in der Sprache der Mengenlehre formuliert sind. Diese Annahme geht nicht an Allgemeinheit verloren, da jede Theorie mit einer Theorie in dieser Sprache gegenseitig interpretierbar ist. Wie bereits erwähnt, sind PA und ZFC-Infinity beispielsweise gegenseitig interpretierbar. Zweitens nehmen wir an, dass alle unsere Theorien ZFC-Infinity enthalten. Drittens nehmen wir an, dass alle unsere Theorien Σ01-Sound sind.
Die Interpretierbarkeitshierarchie ist die Sammlung aller Theorien (die unsere drei vereinfachenden Annahmen erfüllen), die unter der Beziehung ≤ geordnet sind. Wir wenden uns nun einer Diskussion der Struktur dieser Hierarchie zu.
Zunächst gibt es eine nützliche Charakterisierung der Beziehung ≤. Schreiben wir T 1 ⊆ Π01 T 2, um anzuzeigen, dass jede in T 1 nachweisbare Π01-Aussage auch in T 2 beweisbar ist. Ein zentrales Ergebnis der Interpretierbarkeitstheorie ist, dass (unter Berücksichtigung unserer vereinfachenden Annahmen) T 1 ≤ T 2 ist, wenn T 1 ⊆ Π 01 T 2 ist. Aus dieser Charakterisierung und dem zweiten Unvollständigkeitssatz folgt, dass für jede Theorie T die Theorie T + Con (T) streng stärker ist als T, dh T <T + Con (T). Darüber hinaus folgt aus dem arithmetisierten Vollständigkeitssatz, dass die Theorie T + ¬Con (T) in T interpretierbar ist, daher T ≡ T + ¬Con (T).
In Bezug auf die Interpretierbarkeit gibt es drei Möglichkeiten, wie eine Aussage φ unabhängig von einer Theorie T sein kann.
Einzelsprung. Nur eines von φ oder ¬φ führt zu einem Kraftsprung, d. H.
T + φ> T und T + ¬φ ≡ T.
(oder ebenfalls mit φ und ¬φ vertauscht).
Kein Sprung. Weder φ noch ¬φ führen zu einem Kraftsprung, d. H.
T + φ ≡ T und T + ¬φ ≡ T.
Doppelsprung. Sowohl φ als auch ¬φ führen zu einem Kraftsprung, d. H.
T + φ> T und T + ¬φ> T.
Es stellt sich heraus, dass jede dieser Möglichkeiten realisiert wird. Zum ersten genügt es, den Π01-Satz Con (T) zu nehmen. Für das zweite ist leicht zu erkennen, dass es kein Beispiel gibt, das Π01 ist; Die einfachste mögliche Komplexität eines solchen Satzes ist Δ02, und es stellt sich heraus, dass es solche Beispiele gibt. Beispiele für diese Art der Unabhängigkeit werden Orey-Sätze genannt. Für die dritte Art der Unabhängigkeit gibt es instances01 Instanzen. (Dies ist eine Folge von Lemma 14 auf den Seiten 128–129 von Lindström (2003).)
Dies sind alles metamathematische Beispiele, wie sie nur ein Logiker konstruieren würde. Es ist natürlich zu fragen, ob es „natürliche“Beispiele gibt, ungefähr so, wie es im normalen Mathematikkurs vorkommt. Im satztheoretischen Fall sind solche Beispiele für die ersten beiden Fälle reichlich vorhanden. Zum Beispiel ist PM ein Beispiel für die erste Art von Unabhängigkeit und CH ist ein Beispiel für die zweite Art von Unabhängigkeit. Es sind keine „natürlichen“Beispiele für die dritte Art der Unabhängigkeit bekannt. Im arithmetischen Fall sind solche Beispiele selten. Es gibt Beispiele für die erste Art der Unabhängigkeit (von denen die bekannteste ein klassisches Beispiel für Paris und Harrington ist), aber keine für die zweite oder dritte Art der Unabhängigkeit.
Beachten Sie, dass im Fall des dritten Beispiels die beiden Theorien über T in der Interpretierbarkeitsreihenfolge unvergleichbar sind. Um ein Paar solcher Π01-Anweisungen zu konstruieren, verwendet man eine reziproke Form des diagonalen Lemmas, um zwei Π01-Anweisungen zu konstruieren, die aufeinander verweisen. Die Verwendung solcher Techniken kann zeigen, dass die Interpretierbarkeitsreihenfolge ziemlich komplex ist. Zum Beispiel gibt es für zwei beliebige Theorien T 1 und T 2, so dass T 1 <T 2 ist, eine dritte Theorie T, so dass T 1 <T <T 2. Somit ist die Reihenfolge der Interpretierbarkeitsgrade weder linear geordnet noch begründet. (Siehe Feferman (1960).)
Bemerkenswerterweise stellt sich heraus, dass die Interpretierbarkeitsreihenfolge recht einfach ist, wenn man sich auf jene Theorien beschränkt, die „in der Natur entstehen“: Es gibt keine absteigenden Ketten und keine unvergleichlichen Elemente - die Interpretierbarkeitsreihenfolge für Theorien, die „in der Natur entstehen“, ist a gut ordnen. Insbesondere, obwohl es natürliche Beispiele für die erste und zweite Art der Unabhängigkeit gibt (z. B. PM bzw. CH, worauf wir weiter unten zurückkommen werden), sind keine natürlichen Beispiele für die dritte Art der Unabhängigkeit bekannt.
Für Theorien, die „in der Natur entstehen“, haben wir eine geordnete Hierarchie unter der Interpretierbarkeitsreihenfolge. An der Basis der Bestellung steht der Grad, der durch unsere Minimaltheorie ZFC-Infinity dargestellt wird, und es gibt nur einen Weg, um fortzufahren, nämlich in Bezug auf die Stärke nach oben.
Wir haben bereits einen Weg gesehen, die Hierarchie der Interpretierbarkeitsgrade zu erklimmen, nämlich das Hinzufügen von Konsistenzaussagen. Dieser Ansatz weist zwei Nachteile auf. Erstens, wenn man mit einer Theorie beginnt, die „in der Natur entsteht“und die Konsistenzerklärung hinzufügt, landet man in einem Grad, der keinen bekannten Vertreter hat, der „in der Natur entsteht“. Zweitens nimmt die Konsistenzangabe die Hierarchie nicht sehr weit nach oben. Diese beiden Nachteile werden durch eine sehr natürliche Klasse von Axiomen behoben - die großen Kardinalaxiome.
Weiterführende Literatur: Weitere Informationen zur Struktur der Interpretierbarkeitshierarchie finden Sie in den Kapiteln 6–8 von Lindström (2003).
3. Große Kardinalaxiome
Sei Z 0 die Theorie ZFC-Infinity-Replacement. (Diese Theorie ist logisch äquivalent zu unserer Basistheorie ZFC-Infinity.) Wir werden Z 0 sukzessive stärken, indem wir reflektierend Axiome hinzufügen, die behaupten, dass bestimmte Ebenen des Universums von Mengen existieren.
Das Standardmodell der Z 0 ist, V ω. Das Axiom der Unendlichkeit (in einer Formulierung) behauptet einfach, dass diese Menge existiert. Wenn wir also das Axiom der Unendlichkeit hinzufügen, beweist die resultierende Theorie Z 1 (bekannt als Zermelo-Mengen-Theorie mit Wahl) nicht nur die Konsistenz von Z 0; es beweist, dass es ein Standardmodell von Z 0 gibt. Das Standardmodell von Z 1 ist nun V ω + ω. Das Axiom der Ersetzung impliziert, dass diese Menge existiert. Wenn wir also das Axiom der Ersetzung hinzufügen, beweist die resultierende Theorie Z 2 (bekannt als ZFC) nicht nur die Konsistenz von Z 1; es beweist, dass es ein Standardmodell von Z 1 gibt.
Ein Standardmodell von Z 2 hat die Form V κ, wobei κ ein regulärer Kardinal ist, so dass für alle α <κ 2 α <κ gilt. Ein solcher Kardinal wird als (stark) unzugänglicher Kardinal bezeichnet. Das nächste Axiom in der betrachteten Hierarchie ist die Aussage, dass ein solcher Kardinal existiert. Die resultierende Theorie ZFC + „Es gibt einen stark unzugänglichen Kardinal“beweist, dass es eine Ebene des Universums gibt, die ZFC erfüllt. Wenn man auf diese Weise fortfährt, gelangt man zu immer stärkeren Axiomen, die die Existenz immer größerer Ebenen des Universums der Mengen behaupten. Bevor wir mit einem Überblick über solche Axiome fortfahren, wollen wir zunächst den Zusammenhang mit der Hierarchie der Interpretierbarkeit herstellen.
Erinnern Sie sich an unsere Klassifizierung der drei Arten der Unabhängigkeit. Wir haben festgestellt, dass keine natürlichen Beispiele für die dritte Art der Unabhängigkeit bekannt sind, sondern dass es natürliche Beispiele für die erste und zweite Art der Unabhängigkeit gibt.
Natürliche Beispiele für die zweite Art der Unabhängigkeit liefert die duale Methode der inneren und äußeren Modelle. Diese Methoden zeigen beispielsweise, dass die Theorien ZFC + CH und ZFC + ¬CH mit ZFC gegenseitig interpretierbar sind, dh alle drei Theorien liegen in gleichem Maße. Mit anderen Worten, CH ist ein Orey-Satz in Bezug auf ZFC. Was ist mit dem anderen Satz, den wir eingeführt haben: PM?
Mit der Methode der inneren Modelle zeigte Gödel, dass ¬PM in L gilt. Daraus folgt, dass ZFC + ¬PM mit ZFC gegenseitig interpretierbar ist. Aber was ist mit PM? Um zu zeigen, dass ZFC + PM mit ZFC gegenseitig interpretierbar ist, wäre es ein natürlicher Ansatz, dem für CH verwendeten Ansatz zu folgen und ein äußeres Modell von ZFC zu erstellen, das PM erfüllt. Es ist jedoch bekannt, dass dies nicht allein mit ZFC möglich ist. Denn es stellt sich (nach einem Ergebnis von Shelah (1984)) heraus, dass ZFC + PM die Konsistenz von ZFC impliziert, und dies impliziert nach dem zweiten Unvollständigkeitssatz, dass ZFC + PM in ZFC nicht interpretierbar ist. In gewissem Sinne haben wir hier einen Fall von Unabhängigkeit von Unabhängigkeit. Genauer gesagt, selbst wenn wir davon ausgehen, dass ZFC konsistent ist, können wir (im Gegensatz zu CH) nicht beweisen, dass PM unabhängig von ZFC ist. Um die Unabhängigkeit von PM von ZFC festzustellen, müssen wir die Konsistenz einer stärkeren Theorie annehmen, nämlich der von ZFC + „Es gibt einen stark unzugänglichen Kardinal“. Denn es stellt sich heraus, dass ZFC + PM nicht im Interpretierbarkeitsgrad von ZFC liegt, sondern im von ZFC + „Es gibt einen stark unzugänglichen Kardinal“. Zusammenfassend: Während CH ein Fall der Unabhängigkeit des zweiten Typs ist, ist PM ein Fall der Unabhängigkeit des ersten Typs; es ist Con (ZFC) insofern ähnlich, als es ein Satz φ ist, so dass nur einer von φ oder ¬φ zu einem Kraftsprung führt, nur dass es jetzt zwei Unterschiede gibt; Der Sprung landet in einem Grad, der viel stärker ist und durch eine natürliche Theorie dargestellt wird. Denn es stellt sich heraus, dass ZFC + PM nicht im Interpretierbarkeitsgrad von ZFC liegt, sondern im von ZFC + „Es gibt einen stark unzugänglichen Kardinal“. Zusammenfassend: Während CH ein Fall der Unabhängigkeit des zweiten Typs ist, ist PM ein Fall der Unabhängigkeit des ersten Typs; es ist Con (ZFC) insofern ähnlich, als es ein Satz φ ist, so dass nur einer von φ oder ¬φ zu einem Kraftsprung führt, nur dass es jetzt zwei Unterschiede gibt; Der Sprung landet in einem Grad, der viel stärker ist und durch eine natürliche Theorie dargestellt wird. Denn es stellt sich heraus, dass ZFC + PM nicht im Interpretierbarkeitsgrad von ZFC liegt, sondern im von ZFC + „Es gibt einen stark unzugänglichen Kardinal“. Zusammenfassend: Während CH ein Fall der Unabhängigkeit des zweiten Typs ist, ist PM ein Fall der Unabhängigkeit des ersten Typs; es ist Con (ZFC) insofern ähnlich, als es ein Satz φ ist, so dass nur einer von φ oder ¬φ zu einem Kraftsprung führt, nur dass es jetzt zwei Unterschiede gibt; Der Sprung landet in einem Grad, der viel stärker ist und durch eine natürliche Theorie dargestellt wird. Der Sprung landet in einem Grad, der viel stärker ist und durch eine natürliche Theorie dargestellt wird. Der Sprung landet in einem Grad, der viel stärker ist und durch eine natürliche Theorie dargestellt wird.
Im Allgemeinen sind die (bekannten) Sätze der Mengenlehre entweder wie CH oder PM. Einige sind insofern wie CH, als sowohl ZFC + φ als auch ZFC + ¬φ im Grad von ZFC liegen. Andere sind insofern wie PM, als einer von ZFC + φ und ZFC + ¬φ im Grad von ZFC liegt, während der andere im Grad einer Erweiterung von ZFC über ein großes Kardinalaxiom liegt.
Kehren wir nun zu unserer Übersicht über große Kardinalaxiome zurück. Nach stark unzugänglichen Kardinälen gibt es Mahlo-Kardinäle, unbeschreibliche Kardinäle und unbeschreibliche Kardinäle. Alle diese großen Kardinalaxiome können auf einheitliche Weise unter Verwendung der traditionellen Vielfalt von Reflexionsprinzipien abgeleitet werden (siehe Tait 2005), es gibt jedoch Einschränkungen, wie weit diese Vielfalt von Reflexionsprinzipien reichen kann. Denn unter einer sehr allgemeinen Charakterisierung solcher Prinzipien ist bekannt, dass sie nicht den Erdős-Kardinal κ (ω) ergeben können. Siehe Koellner (2009).
Die bisher betrachteten großen Kardinäle (einschließlich κ (ω)) sind als kleine große Kardinäle bekannt. Ein großer Kardinal ist klein, wenn das zugehörige große Kardinalaxiom in Gödels konstruierbarem Universum L gelten kann, dh wenn „V ⊨ κ ist ein φ-Kardinal“konsistent ist, dann ist „L ⊨ κ ein φ-Kardinal“konsistent. Ansonsten ist der große Kardinal groß.
Es gibt eine einfache Vorlage für die Formulierung (großer) großer Kardinalaxiome in Bezug auf elementare Einbettungen. Im Allgemeinen behauptet ein solches Axiom, dass es eine transitive Klasse M und eine nicht triviale elementare Einbettung gibt
j: V → M.
Zu sagen, dass die Einbettung nicht trivial ist, bedeutet nur zu sagen, dass es nicht die Identität ist. In diesem Fall muss eine kleinste Ordnungszahl verschoben werden. Diese Ordnungszahl wird als kritischer Punkt von j bezeichnet und als krit (j) bezeichnet. Der kritische Punkt ist (typischerweise) der große Kardinal, der mit der Einbettung verbunden ist. Ein Kardinal κ gilt als messbar, wenn er der kritische Punkt einer solchen Einbettung ist. [8]
Es ist leicht zu erkennen, dass für jede solche Einbettung V κ + 1 ⊆ M gilt, wobei κ = krit (j) ist. Diese Übereinstimmung ermöglicht es zu zeigen, dass κ stark unzugänglich ist, Mahlo, unbeschreiblich, unbeschreiblich usw. Um dies zu veranschaulichen, nehmen wir an, dass wir gezeigt haben, dass κ stark unzugänglich ist, und zeigen wir, dass κ viel stärkere große Kardinaleigenschaften hat. Da κ in V stark unzugänglich ist und da (V κ + 1) M = V κ + 1 ist, M denkt auch, dass κ stark unzugänglich ist. Insbesondere glaubt M, dass es unter j (κ) einen stark unzugänglichen Kardinal (nämlich κ) gibt. Aber dann muss V durch die Elementarität von j dasselbe über das Vorbild von j (κ) denken, nämlich κ, dh V muss denken, dass es unter κ ein stark unzugängliches gibt. Κ kann also nicht der am wenigsten stark unzugängliche Kardinal sein. Wenn man auf diese Weise fortfährt, kann man zeigen, dass es unter κ viele stark unzugängliche gibt und dass κ tatsächlich Mahlo ist, unbeschreiblich, unbeschreiblich usw. So fassen messbare Kardinäle die kleinen großen Kardinäle zusammen.
Tatsächlich zeigte Scott, dass (im Gegensatz zu den kleinen großen Kardinälen) messbare Kardinäle in Gödels konstruierbarem Universum nicht existieren können. Lassen Sie uns das genau sagen. Sei V = L die Aussage, die behauptet, dass alle Mengen konstruierbar sind. Wenn dann für jedes kleine große Kardinalaxiom φ (genauer gesagt die oben aufgeführten) die Theorie ZFC + φ konsistent ist, gilt auch die Theorie ZFC + φ + V = L. Im Gegensatz dazu beweist die Theorie ZFC + „Es gibt einen messbaren Kardinal“¬ V = L. Dies mag etwas uninteressant erscheinen, da L alle Ordnungszahlen enthält. Wenn also κ ein messbarer Kardinal ist, ist κ eine Ordnungszahl in L. Der Punkt ist, dass L nicht „erkennen“kann, dass κ ein messbarer Kardinal ist, da es zu „dünn“ist, um den Ultrafilter aufzunehmen, der die Messbarkeit von κ bezeugt.
Eine Möglichkeit, ein großes Kardinalaxiom basierend auf der obigen Vorlage zu stärken, besteht darin, eine größere Übereinstimmung zwischen M und V zu fordern. Wenn man zum Beispiel verlangt, dass V κ + 2 ⊆ M ist, dann kann die Tatsache, dass κ messbar ist (etwas, das durch eine Teilmenge von P (κ) beobachtet wird), von M erkannt werden. Und genau nach dem gleichen Argument, das wir oben verwendet haben, muss es einen messbaren Kardinal unter κ geben.
Dies führt zu einem Fortschreiten zunehmend starker großer Kardinalaxiome. Es wird nützlich sein, einige der wichtigsten Sprungbretter in dieser Hierarchie zu diskutieren.
Wenn κ ein Kardinal ist und η> κ eine Ordinalzahl ist, dann ist κ η-stark, wenn es eine transitive Klasse M und eine nicht triviale elementare Einbettung j gibt: V → M, so dass krit (j) = κ, j (κ) > η und V η ⊆ M. Ein Kardinal κ ist stark, wenn er für alle η> κ η-stark ist. Man kann auch verlangen, dass die Einbettung bestimmte Klassen beibehält: Wenn A eine Klasse ist, κ ein Kardinal ist und η> κ eine Ordnungszahl ist, dann ist κ η-A - stark, wenn es aj: V → M gibt, was bezeugt, dass κ ist η-stark und hat das zusätzliche Merkmal, dass j (A ∩ V κ) ∩ V η = A ∩ V η. Der folgende große Kardinalbegriff spielt eine zentrale Rolle bei der Suche nach neuen Axiomen.
Definition 3.1. Ein Kardinal κ ist ein Woodin-Kardinal, wenn κ stark unzugänglich ist und für alle A ⊆ V κ gibt es einen Kardinal κ A <κ, so dass
κ A ist η-A-stark,
für jedes η so, dass κ A <η <κ. [9]
Man kann stärkere große Kardinalaxiome erhalten, indem man eine Verbindung zwischen der Einbettung j und dem Ausmaß der Ähnlichkeit zwischen M und V herstellt. Zum Beispiel ist ein Kardinal κ sehr stark, wenn es eine transitive Klasse M und eine nicht triviale elementare Einbettung j: V → M gibt, so dass krit (j) = κ und V j (κ) ⊆ M. Wenn κ superstark ist, dann ist κ ein Woodin-Kardinal und es gibt beliebig große Woodin-Kardinäle unter κ.
Man kann auch starke große Kardinalaxiome erhalten, indem man Verschlussbedingungen auf das Zielmodell M legt. Zum Beispiel ist es γ-superkompakt, γ ≥ κ einen Kardinal κ zu lassen, wenn es eine transitive Klasse M und eine nicht triviale elementare Einbettung j: V → M gibt, so dass krit (j) = κ und γ M ⊆ M, d. H. M ist unter γ-Sequenzen geschlossen. (Es ist leicht zu erkennen, dass H (γ +) ist, wenn M unter γ-Sequenzen geschlossen ist) ⊆ M; Dieser Ansatz fasst also den vorherigen Ansatz zusammen.) Ein Kardinal κ ist superkompakt, wenn er für alle γ ≥ κ γ-superkompakt ist. Nun, genau wie beim vorherigen Ansatz, kann man diese Axiome stärken, indem man eine Verbindung zwischen der Einbettung j und den Verschlussbedingungen im Zielmodell herstellt. Ein Kardinal κ ist n-riesig, wenn es eine transitive Klasse M und eine nicht triviale elementare Einbettung j: V → M gibt, so dass j n (κ) M ⊆ M ist, wobei κ = krit (j) und j i + 1 (κ) ist definiert als j (j i (κ)).
Man kann in diesem Sinne weitermachen und eine größere Übereinstimmung zwischen M und V fordern. Das ultimative Axiom in dieser Richtung würde natürlich verlangen, dass M = V ist. Dieses Axiom wurde von Reinhardt vorgeschlagen und kurz darauf von Kunen als inkonsistent (in ZFC) gezeigt. Tatsächlich zeigte Kunen, dass es unter der Annahme von ZFC eine transitive Klasse M und eine nicht triviale elementare Einbettung j: V → M geben kann, so dass j '' λ ∈ M, wobei λ = sup n <ω j n (κ) und κ = krit (j). Insbesondere kann es kein solches M und j geben, so dass V λ + 1 ⊆ M ist. Dies begrenzte den Grad der Schließung des Zielmodells (in Bezug auf die Einbettung). [10]
Trotzdem ist unterhalb der oberen Obergrenze viel Platz. Ein sehr starkes Axiom ist beispielsweise die Aussage, dass es eine nicht triviale elementare Einbettung j gibt: V λ + 1 → V λ + 1. Das stärkste große Kardinalaxiom in der aktuellen Literatur ist das Axiom, das behauptet, dass es eine nicht triviale elementare Einbettung j gibt: L (V λ + 1) → L (V λ + 1), so dass krit (j) <λ. In jüngster Zeit hat Woodin Axiome entdeckt, die viel stärker sind als diese.
Weiterführende Literatur: Weitere Informationen zu großen Kardinalaxiomen finden Sie in Kanamori (2003).
4. Große Kardinalaxiome und die Interpretierbarkeitshierarchie
Die oben diskutierten großen Kardinalaxiome sind natürlich in Bezug auf die Stärke gut geordnet. [11] Dies bietet eine natürliche Möglichkeit, die Hierarchie der Interpretierbarkeit zu verbessern. An der Basis beginnen wir mit der Theorie ZFC-Infinity und steigen dann zu ZFC und durch ZFC + Φ für verschiedene große Kardinalaxiome Φ auf. Beachten Sie, dass für zwei große Kardinalaxiome Φ und Ψ, wenn Ψ stärker als Φ ist, Ψ impliziert, dass es ein Standardmodell von Φ gibt, und wir daher eine natürliche Interpretation von ZFC + Φ in ZFC + Ψ haben.
Wir haben bereits festgestellt, dass ZFC + ¬PM mit ZFC + LC gegenseitig interpretierbar ist, wobei LC das große Kardinalaxiom „Es gibt einen stark unzugänglichen Kardinal“ist und dass dies unter Verwendung der dualen Techniken der inneren und äußeren Modelltheorie gezeigt wird. Es ist eine bemerkenswerte empirische Tatsache, dass man für jede „natürliche“Aussage in der Sprache der Mengenlehre φ im Allgemeinen ein großes Kardinalaxiom Φ finden kann, so dass ZFC + φ und ZFC + Φ gegenseitig interpretierbar sind. Dies wird wiederum unter Verwendung der dualen Techniken der inneren und äußeren Modelltheorie festgestellt, erst jetzt treten große Kardinäle in die Mischung ein. Um festzustellen, dass ZFC + Φ ZFC + φ interpretiert, beginnt man im Allgemeinen mit einem Modell von ZFC + Φ und verwendet Forcen, um ein Modell von ZFC + φ zu konstruieren. In vielen Fällen besteht die Forcierungskonstruktion darin, den mit Φ verbundenen großen Kardinal zu "kollabieren" und den Kollaps so anzuordnen, dass φ in den "Trümmern" bleibt. In der anderen Richtung beginnt man im Allgemeinen mit einem Modell von ZFC + φ und konstruiert dann ein inneres Modell (ein Modell, das L ähnelt, aber große Kardinalaxiome aufnehmen kann), das den großen Kardinal enthält, von dem behauptet wird, dass er durch Φ existiert. Der als innere Modelltheorie bekannte Zweig der Mengenlehre widmet sich der Konstruktion solcher "L-ähnlichen" Modelle für immer stärkere große Kardinalaxiome. Der als innere Modelltheorie bekannte Zweig der Mengenlehre widmet sich der Konstruktion solcher "L-ähnlichen" Modelle für immer stärkere große Kardinalaxiome. Der als innere Modelltheorie bekannte Zweig der Mengenlehre widmet sich der Konstruktion solcher "L-ähnlichen" Modelle für immer stärkere große Kardinalaxiome.
Auf diese Weise liefern die Theorien der Form ZFC + LC, wobei LC ein großes Kardinalaxiom ist, einen Maßstab für die Messung der Stärke von Theorien. Sie fungieren auch als Vermittler für den Vergleich von Theorien aus konzeptionell unterschiedlichen Bereichen: Bei gegebenen ZFC + φ und ZFC + ψ findet man große Kardinalaxiome Φ und Ψ, so dass (unter Verwendung der Methoden des inneren und äußeren Modells) ZFC + φ und ZFC + Φ sich gegenseitig sind interpretierbar und ZFC + ψ und ZFC + Ψ sind gegenseitig interpretierbar. Man vergleicht dann ZFC + φ und ZFC + ψ (in Bezug auf die Interpretierbarkeit), indem man durch die natürliche Interpretierbarkeitsbeziehung zwischen ZFC + Φ und ZFC + Ψ vermittelt. So bilden große Kardinalaxiome (in Verbindung mit der dualen Methode der inneren und äußeren Modelle) das Herzstück der bemerkenswerten empirischen Tatsache, dass Naturtheorien aus völlig unterschiedlichen Bereichen hinsichtlich ihrer Interpretierbarkeit verglichen werden können.
5. Einige philosophische Überlegungen
Die Hauptfrage, die sich angesichts der Ergebnisse der Unabhängigkeit stellt, ist, ob man neue Axiome rechtfertigen kann, die die Aussagen regeln, die von den Standardaxiomen unentschlossen bleiben. Es gibt zwei Ansichten. Auf den ersten Blick wird die Antwort als negativ angesehen, und man befürwortet eine radikale Form des Pluralismus, in der man eine Vielzahl gleichermaßen legitimer Erweiterungen der Standardaxiome hat. In der zweiten Ansicht wird die Antwort (zumindest teilweise) als positiv angesehen, und die Ergebnisse zeigen lediglich, dass ZFC zu schwach ist, um die mathematischen Wahrheiten zu erfassen. Dieses Thema ist sehr kompliziert und liegt außerhalb des Rahmens dieses Artikels.
Es gibt aber auch andere philosophische Fragen, die direkter mit den Themen dieses Artikels zusammenhängen. Erstens, welche Bedeutung hat die empirische Tatsache, dass die großen Kardinalaxiome unter Interpretierbarkeit gut geordnet zu sein scheinen? Zweitens, welche Bedeutung hat die empirische Tatsache, dass große Kardinalaxiome eine zentrale Rolle beim Vergleich vieler Theorien aus konzeptionell unterschiedlichen Bereichen spielen? Betrachten wir diese beiden Fragen nacheinander.
Man könnte versuchen zu argumentieren, dass die Tatsache, dass die großen Kardinalaxiome unter Interpretierbarkeit gut geordnet sind, eine Überlegung zu ihren Gunsten ist. Dies wäre jedoch ein schwaches Argument. Denn wie oben erwähnt, scheinen alle „natürlichen“Theorien unter Interpretierbarkeit gut geordnet zu sein, und dies schließt Theorien ein, die nicht miteinander kompatibel sind. Zum Beispiel ist es einfach, „natürliche“Theorien aus immer höheren Theorien in der geordneten Reihenfolge auszuwählen, die nicht miteinander kompatibel sind. Daraus folgt, dass das Merkmal, unter Interpretierbarkeit gut geordnet zu sein, zwar bemerkenswert, aber kein Punkt für die Wahrheit sein kann.
Große Kardinalaxiome weisen jedoch zusätzliche Merkmale auf, die sie in der geordneten Gradfolge aus der Klasse der Naturtheorien herausheben. Zunächst bieten sie den natürlichsten Weg, um die Hierarchie der Interpretierbarkeit zu erklimmen - sie sind die einfachste und natürlichste Manifestation reiner mathematischer Stärke. Wichtiger ist jedoch die oben erwähnte zweite Komponente, nämlich die großen Kardinalaxiome, die als Vermittler beim Vergleich von Theorien aus konzeptionell unterschiedlichen Bereichen fungieren. Um sich daran zu erinnern, wie dies funktioniert: Wenn ZFC + φ und ZFC + ψ gegeben sind, findet man große Kardinalaxiome Φ und Ψ, so dass (unter Verwendung der Methoden der inneren und äußeren Modelle) ZFC + φ und ZFC + Φ gegenseitig interpretierbar sind und ZFC + ψ und ZFC + Ψ sind gegenseitig interpretierbar. Man vergleicht dann ZFC + φ und ZFC + ψ (in Bezug auf die Interpretierbarkeit), indem man durch die natürliche Interpretierbarkeitsbeziehung zwischen ZFC + Φ und ZFC + Ψ vermittelt.
Es stellt sich heraus, dass dies in vielen Fällen die einzige bekannte Methode ist, um ZFC + φ und ZFC + ψ zu vergleichen, dh in vielen Fällen gibt es keine direkte Interpretation in beide Richtungen, sondern man muss die großen Kardinalaxiome durchlaufen. Kann diese zusätzliche Funktion verwendet werden, um für große Kardinalaxiome einzutreten? Die Antwort ist unklar. Klar ist jedoch die absolute Zentralität großer Kardinalaxiome in der Mengenlehre.
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