Tarskis Wahrheitsdefinitionen

2023 Autor: Noah Black | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-11-26 16:05

Eintragsnavigation

• Eintragsinhalt
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Freunde PDF Vorschau
• Autor und Zitierinfo
• Zurück nach oben

Tarskis Wahrheitsdefinitionen

Erstveröffentlichung am 10. November 2001; inhaltliche Überarbeitung Mo 20. August 2018

1933 veröffentlichte der polnische Logiker Alfred Tarski ein Papier, in dem er die Kriterien erörterte, die eine Definition des „wahren Satzes“erfüllen sollte, und gab Beispiele für mehrere solcher Definitionen für bestimmte formale Sprachen. 1956 veröffentlichten er und sein Kollege Robert Vaught eine Überarbeitung einer der Wahrheitsdefinitionen von 1933, um als Wahrheitsdefinition für modelltheoretische Sprachen zu dienen. Dieser Eintrag wird lediglich die Definitionen überprüfen und keinen Versuch unternehmen, die Auswirkungen von Tarskis Arbeit auf die Semantik (natürliche Sprache oder Programmiersprachen) oder auf das philosophische Studium der Wahrheit zu untersuchen. (Zu diesen Implikationen siehe die Einträge zu Wahrheit und Alfred Tarski.)

• 1. Das Programm von 1933 und die semantische Konzeption

  • 1.1 Objektsprache und Metasprache
  • 1.2 Formale Korrektheit
  • 1.3 Materialadäquanz

• 2. Einige Arten der Wahrheitsdefinition nach dem Muster von 1933

  • 2.1 Die Standard-Wahrheitsdefinitionen
  • 2.2 Die Wahrheitsdefinition durch Quantifizierereliminierung
• 3. Die Definition von 1956 und ihre Nachkommen
• Literaturverzeichnis
• Akademische Werkzeuge
• Andere Internetquellen
• Verwandte Einträge

1. Das Programm von 1933 und die semantische Konzeption

In den späten 1920er Jahren startete Alfred Tarski ein Projekt, um strenge Definitionen für Begriffe zu geben, die in der wissenschaftlichen Methodik nützlich sind. 1933 veröffentlichte er (in polnischer Sprache) seine Analyse des Begriffs eines wahren Satzes. Dieses lange Papier übernahm zwei Aufgaben: erstens zu sagen, was als zufriedenstellende Definition von "wahrem Satz" für eine bestimmte formale Sprache gelten sollte, und zweitens zu zeigen, dass es zufriedenstellende Definitionen von "wahrem Satz" für eine Reihe von formalen Sprachen gibt. Wir beginnen mit der ersten Aufgabe; Abschnitt 2 wird den zweiten betrachten.

Wir sagen, dass eine Sprache vollständig interpretiert wird, wenn alle ihre Sätze Bedeutungen haben, die sie entweder wahr oder falsch machen. Alle Sprachen, die Tarski in der Arbeit von 1933 berücksichtigte, wurden vollständig interpretiert, mit einer Ausnahme, die in Abschnitt 2.2 unten beschrieben ist. Dies war der Hauptunterschied zwischen der Definition von 1933 und der späteren modelltheoretischen Definition von 1956, die wir in Abschnitt 3 untersuchen werden.

Tarski beschrieb mehrere Bedingungen, die eine zufriedenstellende Definition der Wahrheit erfüllen sollte.

1.1 Objektsprache und Metasprache

Wenn die diskutierte Sprache (die Objektsprache) (L) ist, sollte die Definition in einer anderen Sprache angegeben werden, die als Metasprache bekannt ist. Nennen Sie sie (M). Die Metasprache sollte eine Kopie der Objektsprache enthalten (damit alles, was man in (L) sagen kann, auch in (M) gesagt werden kann), und (M) sollte auch in der Lage sein, über die Sätze zu sprechen von (L) und deren Syntax. Schließlich erlaubte Tarski (M), Begriffe aus der Mengenlehre zu enthalten, und ein 1-ary Prädikatsymbol True mit der beabsichtigten Lesung 'ist ein wahrer Satz von (L)'. Der Hauptzweck der Metasprache bestand darin, das zu formalisieren, was über die Objektsprache gesagt wurde, und so forderte Tarski auch, dass die Metasprache eine Reihe von Axiomen mit sich führen sollte, die alles ausdrücken, was man zur Definition und Rechtfertigung der Wahrheitsdefinition annehmen muss. Die Wahrheitsdefinition selbst sollte eine Definition von Wahr in Bezug auf die anderen Ausdrücke der Metasprache sein. Die Definition sollte also in Bezug auf Syntax, Mengenlehre und die in (L) ausdrückbaren Begriffe erfolgen, jedoch nicht in semantischen Begriffen wie 'bezeichnen' oder 'bedeuten' (es sei denn, die Objektsprache enthielt zufällig diese Begriffe).

Tarski nahm in der Art seiner Zeit an, dass die Objektsprache (L) und die Metasprache (M) Sprachen einer Art Logik höherer Ordnung sein würden. Heutzutage ist es üblicher, eine Art informelle Mengenlehre als Metasprache zu betrachten. Dies würde einige Details von Tarskis Papier betreffen, aber nicht seinen Hauptschub. Auch heute ist es üblich, die Syntax in satztheoretischen Begriffen zu definieren, so dass beispielsweise eine Buchstabenfolge zu einer Folge wird. Tatsächlich muss man eine satztheoretische Syntax verwenden, wenn man mit einer Objektsprache arbeiten möchte, die unzählige Symbole enthält, wie es Modelltheoretiker seit über einem halben Jahrhundert frei tun.

1.2 Formale Korrektheit

Die Definition von True sollte "formal korrekt" sein. Dies bedeutet, dass es ein Satz der Form sein sollte

Für alle (x), True ((x)) genau dann, wenn (phi (x)), wobei True niemals in (phi) vorkommt; oder wenn dies nicht der Fall ist, sollte die Definition nachweislich einem Satz dieser Form entsprechen. Die Äquivalenz muss mit Axiomen der Metasprache nachweisbar sein, die True nicht enthalten. Definitionen der oben gezeigten Art werden normalerweise explizit genannt, obwohl Tarski sie 1933 als normal bezeichnete.

1.3 Materialadäquanz

Die Definition sollte „materiell angemessen“sein (Verkehr - eine bessere Übersetzung wäre „korrekt“). Dies bedeutet, dass die Objekte, die (phi) erfüllen, genau die Objekte sein sollten, die wir intuitiv als wahre Sätze von (L) betrachten würden, und dass diese Tatsache aus den Axiomen der Metasprache beweisbar sein sollte. Auf den ersten Blick ist dies eine paradoxe Voraussetzung: Wenn wir beweisen können, was Tarski verlangt, nur aus den Axiomen der Metasprache, dann müssen wir bereits eine materiell angemessene Formalisierung des 'wahren Satzes von (L)' innerhalb der Metasprache haben, was auf einen unendlichen Rückschritt hindeutet. Tatsächlich entgeht Tarski dem Paradoxon, indem er (im Allgemeinen) unendlich viele Sätze von (M) verwendet, um die Wahrheit auszudrücken, nämlich alle Sätze der Form

) phi (s) text {genau dann, wenn} psi)

wann immer (s) der Name eines Satzes (S) von (L) und (psi) die Kopie von (S) in der Metasprache ist. Das technische Problem besteht also darin, eine einzige Formel (phi) zu finden, mit der wir alle diese Sätze aus den Axiomen von (M) ableiten können. Diese Formel (phi) dient dazu, die explizite Definition von True zu geben.

Tarskis eigener Name für dieses Kriterium der materiellen Angemessenheit war Konvention T. Allgemeiner war sein Name für seinen Ansatz zur Definition der Wahrheit unter Verwendung dieses Kriteriums die semantische Konzeption der Wahrheit.

Wie Tarski selbst betonte, führt Konvention (T) schnell zum Lügnerparadoxon, wenn die Sprache (L) über genügend Ressourcen verfügt, um über ihre eigene Semantik zu sprechen. (Siehe den Eintrag zur Revisionstheorie der Wahrheit.) Tarskis eigene Schlussfolgerung war, dass eine Wahrheitsdefinition für eine Sprache (L) in einer Metasprache angegeben werden muss, die wesentlich stärker als (L) ist.

Es gibt eine Konsequenz für die Grundlagen der Mathematik. Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre erster Ordnung wird allgemein als Maßstab für die mathematische Korrektheit angesehen, in dem Sinne, dass ein Beweis genau dann richtig ist, wenn er als formaler Beweis in der Mengenlehre formalisiert werden kann. Wir möchten in der Lage sein, eine Wahrheitsdefinition für die Mengenlehre zu geben; aber nach Tarskis Ergebnis kann diese Wahrheitsdefinition nicht in der Mengenlehre selbst angegeben werden. Die übliche Lösung besteht darin, die Wahrheitsdefinition informell auf Englisch anzugeben. Es gibt jedoch eine Reihe von Möglichkeiten, begrenzte formale Wahrheitsdefinitionen für die Mengenlehre zu geben. Zum Beispiel hat Azriel Levy gezeigt, dass es für jede natürliche Zahl (n) eine (Sigma_n) Formel gibt, die von allen und nur den satztheoretischen Namen der wahren (Sigma_n) Sätze der Mengenlehre erfüllt wird. Die Definition von (Sigma_n) ist zu technisch, um sie hier anzugeben. Aber drei Punkte sind es wert, gemacht zu werden. Erstens ist jeder Satz der Mengenlehre nachweislich gleichbedeutend mit einem (Sigma_n) Satz für jeden ausreichend großen (n). Zweitens wird die Klasse der (Sigma_n) -Formeln geschlossen, wenn zu Beginn existenzielle Quantifizierer hinzugefügt werden, nicht jedoch universelle Quantifizierer. Drittens wird die Klasse nicht unter Verneinung geschlossen; So entkommt Levy Tarskis Paradoxon. (Siehe den Eintrag zur Mengenlehre.) Im Wesentlichen ermöglichen dieselben Geräte Jaakko Hintikka, eine interne Wahrheitsdefinition für seine unabhängigkeitsfreundliche Logik zu geben. Diese Logik teilt die zweite und dritte Eigenschaft der Formelklassen von Levy. Die Klasse der (Sigma_n) -Formeln wird zu Beginn durch Hinzufügen existenzieller Quantifizierer geschlossen, nicht jedoch durch Hinzufügen universeller Quantifizierer. Drittens wird die Klasse nicht unter Verneinung geschlossen; So entkommt Levy Tarskis Paradoxon. (Siehe den Eintrag zur Mengenlehre.) Im Wesentlichen ermöglichen dieselben Geräte Jaakko Hintikka, eine interne Wahrheitsdefinition für seine unabhängigkeitsfreundliche Logik zu geben. Diese Logik teilt die zweite und dritte Eigenschaft der Formelklassen von Levy. Die Klasse der (Sigma_n) -Formeln wird zu Beginn durch Hinzufügen existenzieller Quantifizierer geschlossen, nicht jedoch durch Hinzufügen universeller Quantifizierer. Drittens wird die Klasse nicht unter Verneinung geschlossen; So entkommt Levy Tarskis Paradoxon. (Siehe den Eintrag zur Mengenlehre.) Im Wesentlichen ermöglichen dieselben Geräte Jaakko Hintikka, eine interne Wahrheitsdefinition für seine unabhängigkeitsfreundliche Logik zu geben. Diese Logik teilt die zweite und dritte Eigenschaft der Formelklassen von Levy.

2. Einige Arten der Wahrheitsdefinition nach dem Muster von 1933

In seiner Arbeit von 1933 zeigte Tarski weiter, dass viele vollständig interpretierte formale Sprachen eine Wahrheitsdefinition haben, die seine Bedingungen erfüllt. Er gab vier Beispiele in diesem Papier. Eine war eine triviale Definition für eine endliche Sprache; es listete einfach die endlich vielen wahren Sätze auf. Eine war eine Definition durch Quantifizierereliminierung; siehe Abschnitt 2.2 unten. Die verbleibenden zwei für verschiedene Sprachklassen waren Beispiele für das, was die Menschen heute als Standarddefinition der Tarski-Wahrheit betrachten. Sie sind Vorläufer der modelltheoretischen Definition von 1956.

2.1 Die Standard-Wahrheitsdefinitionen

Die beiden Standard-Wahrheitsdefinitionen sind auf den ersten Blick überhaupt keine Definitionen der Wahrheit, sondern Definitionen einer komplizierteren Beziehung, die Zuweisungen von Objekten zu Variablen beinhaltet:

[a / text {erfüllt die Formel} F)

(wobei das Symbol '(F)' ein Platzhalter für einen Namen einer bestimmten Formel der Objektsprache ist). Tatsächlich reduziert sich die Zufriedenheit in diesem Sinne auf die Wahrheit: (a) erfüllt die Formel (F) genau dann, wenn jede freie Variable in (F) als Name des ihr von (a) zugewiesenen Objekts verwendet wird) macht die Formel (F) zu einem wahren Satz. Daraus folgt, dass unsere Intuitionen darüber, wann ein Satz wahr ist, unsere Intuitionen darüber leiten können, wann eine Aufgabe eine Formel erfüllt. Aber nichts davon kann in die formale Definition der Wahrheit eingehen, denn „eine Variable als Namen eines Objekts zu nehmen“ist ein semantischer Begriff, und Tarskis Wahrheitsdefinition muss nur auf Begriffen aus der Syntax und der Mengenlehre (zusammen mit diesen) aufbauen in der Objektsprache); Rückruf Abschnitt 1.1. Tatsächlich geht Tarskis Reduktion in die andere Richtung: Wenn die Formel (F) keine freien Variablen hat,dann zu sagen, dass (F) wahr ist, bedeutet zu sagen, dass jede Aufgabe es erfüllt.

Der Grund, warum Tarski Zufriedenheit direkt definiert und dann eine Definition der Wahrheit herleitet, ist, dass Zufriedenheit rekursiven Bedingungen im folgenden Sinne folgt: Wenn (F) eine zusammengesetzte Formel ist, dann um zu wissen, welche Aufgaben (F) erfüllen, Es reicht zu wissen, welche Zuordnungen die unmittelbaren Bestandteile von (F) erfüllen. Hier sind zwei typische Beispiele:

• Die Zuordnung (a) erfüllt die Formel '(F) und (G)' genau dann, wenn (a) (F) erfüllt und (a) (G) erfüllt..
• Die Zuweisung (a) erfüllt genau dann die Formel 'Für alle (x), (G)', wenn für jede Person (i), wenn (b) die Zuweisung ist, die / zuweist (i) zur Variablen (x) und ist ansonsten genau wie (a), dann erfüllt (b) (G).

Wir müssen einen anderen Ansatz für Atomformeln verwenden. Aber für diese können wir, zumindest der Einfachheit halber, dass (L) keine Funktionssymbole hat, die Metasprachkopien (# (R)) der Prädikatsymbole (R) der Objektsprache verwenden. So:

Die Zuordnung (a) erfüllt die Formel (R (x, y)) genau dann, wenn (# (R) (a (x), a (y)))

(Warnung: Der Ausdruck (#) befindet sich in der Metasprache und nicht in der Metasprache (M). Möglicherweise finden wir eine Formel von (M), die (# / \ ausdrückt)) für Prädikatsymbole; es hängt genau davon ab, was die Sprache (L) ist.)

Vorbehaltlich des milden Vorbehalts im nächsten Absatz ist Tarskis Definition von Zufriedenheit kompositorisch, was bedeutet, dass die Klasse von Zuweisungen, die eine zusammengesetzte Formel (F) erfüllen, ausschließlich durch (1) die syntaktische Regel bestimmt wird, die zur Konstruktion von (F / verwendet wird)) aus seinen unmittelbaren Bestandteilen und (2) den Klassen von Zuordnungen, die diese unmittelbaren Bestandteile erfüllen. (Dies wird manchmal lose formuliert als: Zufriedenheit wird rekursiv definiert. Diese Formulierung verfehlt jedoch den zentralen Punkt, dass (1) und (2) keine syntaktischen Informationen über die unmittelbaren Bestandteile enthalten.) Die Komposition erklärt, warum Tarski von der Wahrheit zur Wahrheit gewechselt ist Befriedigung. Sie können nicht definieren, ob 'Für alle (x, G)' wahr ist, wenn (G) wahr ist, da (G) im Allgemeinen eine freie Variable (x) hat und so weiter es ist weder wahr noch falsch.

Der Vorbehalt ist, dass Tarskis Definition der Zufriedenheit in der Arbeit von 1933 tatsächlich nicht die Klasse von Aufgaben erwähnt, die eine Formel (F) erfüllen. Stattdessen definiert er, wie wir gesehen haben, die Beziehung '(a) erfüllt (F)', die bestimmt, was diese Klasse ist. Dies ist wahrscheinlich der Hauptgrund, warum einige Leute (einschließlich Tarski selbst im Gespräch, wie von Barbara Partee berichtet) es vorgezogen haben, die Definition von 1933 nicht als kompositorisch zu bezeichnen. Aber das Klassenformat, das in jeder Hinsicht kompositorisch ist, erscheint in einer frühen Variante der Wahrheitsdefinition in Tarskis Aufsatz von 1931 über definierbare Mengen reeller Zahlen. Tarski hatte in seiner Arbeit von 1933 einen guten Grund, das Format "(a) erfüllt (F)" zu bevorzugen, nämlich dass es ihm ermöglichte, die satztheoretischen Anforderungen der Wahrheitsdefinition zu reduzieren. In den Abschnitten 4 und 5 des Papiers von 1933 formulierte er diese Anforderungen sorgfältig.

Der Name 'Komposition (ity)' taucht erstmals 1960 in Putnam (veröffentlicht 1975) und 1963 in Katz und Fodor zur Semantik natürlicher Sprache auf. Wenn wir über Komposition sprechen, haben wir uns Tarskis Definition als Semantik vorgestellt, dh als eine Möglichkeit, Formeln „Bedeutungen“zuzuweisen. (Hier nehmen wir die Bedeutung eines Satzes als seinen Wahrheitswert.) Zusammensetzung bedeutet im Wesentlichen, dass die den Formeln zugewiesenen Bedeutungen mindestens genügend Informationen liefern, um die Wahrheitswerte von Sätzen zu bestimmen, die sie enthalten. Man kann umgekehrt fragen, ob Tarskis Semantik nur so viele Informationen liefert, wie wir über jede Formel benötigen, um die Wahrheitswerte von Sätzen zu erreichen. Wenn die Antwort ja ist, sagen wir, dass die Semantik vollständig abstrakt ist (für die Wahrheit). Man kann ziemlich leicht für jede der Standardsprachen der Logik zeigen,dass Tarskis Definition von Zufriedenheit tatsächlich völlig abstrakt ist.

Derzeit ist Tarskis Definition von Zufriedenheit keine explizite Definition, da Zufriedenheit für eine Formel als Zufriedenheit für andere Formeln definiert wird. Um zu zeigen, dass es formal korrekt ist, brauchen wir eine Möglichkeit, es in eine explizite Definition umzuwandeln. Ein Weg, dies zu tun, ist wie folgt, entweder unter Verwendung einer Logik höherer Ordnung oder einer Mengenlehre. Angenommen, wir schreiben (S) für eine binäre Beziehung zwischen Zuweisungen und Formeln. Wir sagen, dass (S) eine Zufriedenheitsrelation ist, wenn für jede Formel (G, S) die Bedingungen für die Zufriedenheit von (G) nach Tarskis Definition erfüllt sind. Wenn beispielsweise (G) '(G_1) und (G_2)' ist, sollte (S) für jede Zuweisung (a) die folgende Bedingung erfüllen:

[S (a, G) text {genau dann, wenn} S (a, G_1) text {und} S (a, G_2).)

Wir können die Zufriedenheitsrelation formal definieren, indem wir die rekursiven Klauseln und die Bedingungen für Atomformeln in Tarskis rekursiver Definition verwenden. Nun beweisen wir durch Induktion der Komplexität von Formeln, dass es genau eine Zufriedenheitsrelation (S) gibt. (Es gibt einige technische Feinheiten, aber es kann getan werden.) Schließlich definieren wir

(a) erfüllt (F) genau dann, wenn: eine Zufriedenheitsrelation (S) vorliegt, so dass (S (a, F)).

Es ist dann eine technische Übung, um zu zeigen, dass diese Definition von Zufriedenheit materiell angemessen ist. Eigentlich muss man zuerst das Gegenstück zur Konvention (T) ausschreiben, um die Formeln zu erfüllen, aber das überlasse ich dem Leser.

2.2 Die Wahrheitsdefinition durch Quantifizierereliminierung

Die verbleibende Wahrheitsdefinition in Tarskis Arbeit von 1933 - die dritte, wie sie in der Arbeit erscheint - ist wirklich ein Bündel verwandter Wahrheitsdefinitionen, alle für dieselbe Objektsprache (L), aber in unterschiedlichen Interpretationen. Es wird angenommen, dass die Quantifizierer von (L) sich über eine bestimmte Klasse erstrecken, nennen wir es (A); Tatsächlich sind sie Quantifizierer zweiter Ordnung, so dass sie sich tatsächlich über die Sammlung von Unterklassen von (A) erstrecken. Die Klasse (A) wird in der Objektsprache nicht explizit benannt, und daher kann man separate Wahrheitsdefinitionen für verschiedene Werte von (A) geben, wie Tarski fortfährt. Für diesen Abschnitt des Papiers erlaubt Tarski also, ein und demselben Satz unterschiedliche Interpretationen zu geben; Dies ist die Ausnahme von der allgemeinen Behauptung, dass seine objektsprachlichen Sätze vollständig interpretiert werden. Aber Tarski bleibt gerade und eng:er spricht nur in dem speziellen Fall von 'Wahrheit', in dem (A) die Klasse aller Individuen ist. Für andere Werte von (A) spricht er nicht von 'Wahrheit', sondern von 'Korrektheit in der Domäne (A)'.

Diese Wahrheits- oder Korrektheitsdefinitionen fallen nicht aus einer Definition von Zufriedenheit heraus. Tatsächlich gehen sie einen viel weniger direkten Weg, den Tarski als "rein zufällige" Möglichkeit beschreibt, die auf den "spezifischen Besonderheiten" der jeweiligen Objektsprache beruht. Es kann hilfreich sein, ein paar mehr technische Details als Tarski in einer bekannteren Notation als die von Tarski anzugeben, um zu zeigen, worum es geht. Tarski verweist seine Leser auf ein Papier von Thoralf Skolem aus dem Jahr 1919 für die technischen Details.

Man kann sich die Sprache (L) als die Sprache erster Ordnung mit Prädikatsymbolen (subseteq) und = vorstellen. Die Sprache wird so interpretiert, dass sie über die Unterklassen der Klasse (A) spricht. In dieser Sprache können wir definieren:

• '(x) ist die leere Menge' (nämlich (x / subseteq) jede Klasse).
• '(x) ist ein Atom' (nämlich (x) ist nicht leer, aber jede Unterklasse von (x) ungleich (x) ist leer).
• '(x) hat genau (k) Mitglieder' (wobei (k) eine endliche Zahl ist, dh es gibt genau (k) verschiedene Atome (subseteq x)).
• 'Es gibt genau (k) Elemente in (A)' (dh es gibt eine Klasse mit genau (k) Mitgliedern, aber es gibt keine Klasse mit genau (k + 1) Mitgliedern).

Jetzt wollen wir beweisen:

Lemma. Jede Formel (F) von (L) entspricht (dh wird durch genau die gleichen Zuordnungen erfüllt wie) einer booleschen Kombination von Sätzen der Form 'Es gibt genau (k) Elemente in (A) 'und Formeln der Form' Es gibt genau (k) Elemente, die in (v_1), nicht in (v_2), nicht in (v_3) und in (v_4) '(oder eine andere Kombination dieses Typs, wobei nur Variablen verwendet werden, die in (F)) frei sind.

Der Beweis erfolgt durch Induktion der Komplexität von Formeln. Für Atomformeln ist es einfach. Für boolesche Kombinationen von Formeln ist es einfach, da eine boolesche Kombination von booleschen Kombinationen wiederum eine boolesche Kombination ist. Für Formeln, die mit (forall) beginnen, nehmen wir die Negation. Dies lässt nur einen Fall übrig, der irgendeine Arbeit beinhaltet, nämlich den Fall einer Formel, die mit einem existenziellen Quantifizierer beginnt. Durch die Induktionshypothese können wir den Teil nach dem Quantifizierer durch eine boolesche Kombination von Formeln der angegebenen Arten ersetzen. Ein typischer Fall könnte also sein:

(existiert z) (es gibt genau zwei Elemente in (z) und (x) und nicht in (y)).

Dies gilt genau dann, wenn mindestens zwei Elemente in (x) und nicht in (y) vorhanden sind. Wir können dies der Reihe nach schreiben als: Die Anzahl der Elemente in (x) und nicht in (y) ist nicht 0 und ist nicht 1; Dies ist eine boolesche Kombination zulässiger Formeln. Der allgemeine Beweis ist sehr ähnlich, aber komplizierter.

Wenn das Lemma bewiesen ist, schauen wir uns an, was es über einen Satz sagt. Da der Satz keine freien Variablen enthält, sagt uns das Lemma, dass er einer booleschen Kombination von Anweisungen entspricht, die besagen, dass (A) eine gegebene endliche Anzahl von Elementen hat. Wenn wir also wissen, wie viele Elemente (A) enthält, können wir sofort berechnen, ob der Satz in der Domäne (A) korrekt ist.

Noch ein Schritt und wir sind zu Hause. Wenn wir das Lemma beweisen, sollten wir alle Fakten zusammenstellen, die in (L) angegeben werden können, in jedem Bereich zutreffen und zum Beweisen des Lemmas benötigt werden. Zum Beispiel werden wir mit ziemlicher Sicherheit den Satz brauchen, der besagt, dass (subseteq) transitiv ist. Schreiben Sie (T) für die Menge all dieser Sätze. (In Tarskis Darstellung verschwindet (T), da er Logik höherer Ordnung verwendet und die erforderlichen Aussagen über Klassen zu Theoremen der Logik werden.) So erreichen wir zum Beispiel:

Satz. Wenn die Domäne (A) unendlich ist, ist ein Satz (S) der Sprache (L) in (A) genau dann korrekt, wenn (S) von (T ableitbar ist) und die Sätze, die besagen, dass die Anzahl der Elemente von (A) keine endliche Zahl ist.

Die Klasse aller Individuen ist unendlich (behauptet Tarski), daher gilt der Satz, wenn (A) diese Klasse ist. Und in diesem Fall hat Tarski keine Hemmungen, nicht nur "richtig in (A)", sondern "wahr" zu sagen; Wir haben also unsere Wahrheitsdefinition.

Die von uns beschriebene Methode dreht sich fast ausschließlich darum, existenzielle Quantifizierer aus den Anfängen von Formeln zu entfernen. so ist es als die Methode der Quantifizierereliminierung bekannt. Es ist nicht so weit, wie Sie vielleicht von den beiden Standarddefinitionen denken. In allen Fällen weist Tarski jeder Formel durch Einführung in die Komplexität der Formeln eine Beschreibung der Klasse von Zuweisungen zu, die der Formel entsprechen. In den beiden vorhergehenden Wahrheitsdefinitionen wird diese Klasse direkt beschrieben; im Fall der Quantifizierereliminierung wird es als eine boolesche Kombination von Formeln einer einfachen Art beschrieben.

Etwa zur gleichen Zeit, als er das Papier von 1933 schrieb, gab Tarski eine Wahrheitsdefinition durch Quantifizierereliminierung für die Sprache erster Ordnung des Feldes der reellen Zahlen. In seiner Arbeit von 1931 erscheint es nur als eine interessante Art, die durch Formeln definierbaren Beziehungen zu charakterisieren. Später gab er einen ausführlicheren Bericht und betonte, dass seine Methode nicht nur eine Wahrheitsdefinition lieferte, sondern auch einen Algorithmus zur Bestimmung, welche Sätze über die reellen Zahlen wahr und welche falsch sind.

3. Die Definition von 1956 und ihre Nachkommen

1933 nahm Tarski an, dass die formalen Sprachen, mit denen er sich befasste, zwei Arten von Symbolen hatten (abgesehen von Interpunktion), nämlich Konstanten und Variablen. Die Konstanten enthielten logische Konstanten, aber auch alle anderen Begriffe mit fester Bedeutung. Die Variablen hatten keine unabhängige Bedeutung und waren einfach Teil des Quantifizierungsapparats.

Die Modelltheorie arbeitet dagegen mit drei Symbolebenen. Es gibt die logischen Konstanten ((=, / neg), & zum Beispiel), die Variablen (wie zuvor) und zwischen diesen eine mittlere Gruppe von Symbolen, die keine feste Bedeutung haben, aber eine Bedeutung erhalten, indem sie auf eine bestimmte angewendet werden Struktur. Die Symbole dieser mittleren Gruppe umfassen die nichtlogischen Konstanten der Sprache, wie Beziehungssymbole, Funktionssymbole und konstante Einzelsymbole. Sie enthalten auch die Quantifizierersymbole (forall) und (existent), da wir uns auf die Struktur beziehen müssen, um zu sehen, über welche Menge sie reichen. Diese Art der dreistufigen Sprache entspricht dem mathematischen Gebrauch; Zum Beispiel schreiben wir die Additionsoperation einer abelschen Gruppe als +, und dieses Symbol steht für verschiedene Funktionen in verschiedenen Gruppen.

Man muss also ein wenig arbeiten, um die Definition von 1933 auf modelltheoretische Sprachen anzuwenden. Grundsätzlich gibt es zwei Ansätze: (1) Nehmen Sie jeweils eine Struktur (A) und betrachten Sie die nichtlogischen Konstanten als Konstanten, die in (A) interpretiert werden. (2) Betrachten Sie die nichtlogischen Konstanten als Variablen und verwenden Sie die Definition von 1933, um zu beschreiben, wann ein Satz durch Zuordnung der Bestandteile einer Struktur (A) zu diesen Variablen erfüllt wird. Bei beiden Ansätzen gibt es Probleme, wie Tarski selbst an mehreren Stellen beschreibt. Das Hauptproblem bei (1) ist, dass wir in der Modelltheorie sehr häufig dieselbe Sprache in Verbindung mit zwei oder mehr verschiedenen Strukturen verwenden möchten - zum Beispiel, wenn wir elementare Einbettungen zwischen Strukturen definieren (siehe den Eintrag zur Modelltheorie erster Ordnung)). Das Problem mit (2) ist abstrakter:Es ist störend und schlecht, von Formeln zu sprechen, bei denen freie Variablen „wahr“sind. (Wir haben in Abschnitt 2.2 gesehen, wie Tarski es vermieden hat, im Zusammenhang mit Sätzen mit unterschiedlichen Interpretationen über die Wahrheit zu sprechen.) Was Tarski in der Praxis vom Erscheinen seines Lehrbuchs im Jahr 1936 bis Ende der 1940er Jahre tat, war die Verwendung einer Version von (2). und vermeiden Sie einfach, über modelltheoretische Sätze zu sprechen, die in Strukturen wahr sind; Stattdessen gab er eine indirekte Definition dessen, was es für eine Struktur ist, ein "Modell" eines Satzes zu sein, und entschuldigte sich, dass dies streng genommen ein Missbrauch der Sprache war. (Kapitel VI von Tarski 1994 enthält noch Relikte dieses alten Ansatzes.)) Was Tarski in der Praxis vom Erscheinen seines Lehrbuchs im Jahr 1936 bis in die späten 1940er Jahre tat, war, eine Version von (2) zu verwenden und einfach zu vermeiden, über modelltheoretische Sätze zu sprechen, die in Strukturen wahr sind; Stattdessen gab er eine indirekte Definition dessen, was es für eine Struktur ist, ein "Modell" eines Satzes zu sein, und entschuldigte sich, dass dies streng genommen ein Missbrauch der Sprache war. (Kapitel VI von Tarski 1994 enthält noch Relikte dieses alten Ansatzes.)) Was Tarski in der Praxis vom Erscheinen seines Lehrbuchs im Jahr 1936 bis in die späten 1940er Jahre tat, war, eine Version von (2) zu verwenden und einfach zu vermeiden, über modelltheoretische Sätze zu sprechen, die in Strukturen wahr sind; Stattdessen gab er eine indirekte Definition dessen, was es für eine Struktur ist, ein "Modell" eines Satzes zu sein, und entschuldigte sich, dass dies streng genommen ein Missbrauch der Sprache war. (Kapitel VI von Tarski 1994 enthält noch Relikte dieses alten Ansatzes.)

In den späten 1940er Jahren war klar geworden, dass eine direkte modelltheoretische Wahrheitsdefinition erforderlich war. Tarski und Kollegen experimentierten mit verschiedenen Möglichkeiten, es zu gießen. Die Version, die wir heute verwenden, basiert auf der von Tarski und Robert Vaught im Jahr 1956 veröffentlichten. Eine Darstellung finden Sie im Eintrag zur klassischen Logik.

Der richtige Weg, um an die modelltheoretische Definition zu denken, besteht darin, dass wir Sätze haben, deren Wahrheitswert je nach der Situation variiert, in der sie verwendet werden. Die nichtlogischen Konstanten sind also keine Variablen; es sind bestimmte Beschreibungen, deren Bezug vom Kontext abhängt. Ebenso haben die Quantifizierer dieses Indexmerkmal, dass die Domäne, über die sie sich erstrecken, vom Verwendungskontext abhängt. In diesem Sinne kann man andere Arten der Indizierung hinzufügen. Beispielsweise ist eine Kripke-Struktur eine indizierte Strukturfamilie mit einer Beziehung zum Indexsatz. Diese Strukturen und ihre nahen Verwandten sind grundlegend für die Semantik der modalen, zeitlichen und intuitionistischen Logik.

Bereits in den 1950er Jahren interessierten sich Modelltheoretiker für formale Sprachen, die Ausdrucksformen enthalten, die sich von denen in Tarskis Arbeit von 1933 unterscheiden. Die Ausweitung der Wahrheitsdefinition auf unendliche Logik war überhaupt kein Problem. Auch gab es bei den meisten damals vorgeschlagenen verallgemeinerten Quantifizierern kein ernstes Problem. Zum Beispiel gibt es einen Quantifizierer (Qxy) mit der beabsichtigten Bedeutung:

(QxyF (x, y)) genau dann, wenn es eine unendliche Menge (X) von Elementen gibt, so dass für alle (a) und (b) in (X, F (a, b)).

Diese Definition selbst zeigt sofort, wie die erforderliche Klausel in der Wahrheitsdefinition lauten soll.

1961 wies Leon Henkin auf zwei Arten modelltheoretischer Sprache hin, die nicht sofort eine Wahrheitsdefinition von Tarskis Art hatten. Die erste hatte unendlich viele Quantifizierer:

) forall v_1 / existiert v_2 / forall v_3 / existiert v_4 / ldots R (v_1, v_2, v_3, v_4, / ldots).)

Die zweite hatte Quantifizierer, die nicht linear geordnet sind. Zur Vereinfachung des Schreibens verwende ich die spätere Notation von Hintikka für diese:

) forall v_1 / existiert v_2 / forall v_3 (existiert v_4 / / forall v_1) R (v_1, v_2, v_3, v_4).)

Hier bedeutet der Schrägstrich nach (existiert v_4), dass dieser Quantifizierer außerhalb des Bereichs des früheren Quantifizierers (forall v_1) (und auch außerhalb des Bereichs des früheren existentiellen Quantifizierers) liegt.

Henkin wies darauf hin, dass man in beiden Fällen eine natürliche Semantik in Bezug auf Skolem-Funktionen geben könne. Zum Beispiel kann der zweite Satz als umschrieben werden

) existiert f / existiert g / für alle v_1 / für alle v_3 R (v_1, f (v_1), v_3, g (v_3)),)

das hat eine einfache Tarski-Wahrheitsbedingung in der Logik zweiter Ordnung. Hintikka bemerkte dann, dass man die Skolem-Funktionen als Gewinnstrategien in einem Spiel lesen kann, wie im Eintrag über Logik und Spiele. Auf diese Weise kann man eine kompositorische Semantik aufbauen, indem man jeder Formel ein Spiel zuweist. Ein Satz ist genau dann wahr, wenn der Spieler selbst (in Hintikkas Nomenklatur) eine Gewinnstrategie für das dem Satz zugewiesene Spiel hat. Diese Spielsemantik stimmt mit der von Tarski in Bezug auf herkömmliche Sätze erster Ordnung überein. Aber es ist alles andere als vollständig abstrakt; wahrscheinlich sollte man es als eine operationelle Semantik betrachten, die beschreibt, wie ein Satz verifiziert wird, anstatt ob er wahr ist.

Das Problem, eine Tarski-ähnliche Semantik für Henkins zwei Sprachen zu geben, stellte sich in beiden Fällen als unterschiedlich heraus. Beim ersten ist das Problem, dass die Syntax der Sprache nicht begründet ist: Es gibt eine unendlich absteigende Folge von Unterformeln, wenn man die Quantifizierer nacheinander abstreift. Daher gibt es keine Hoffnung, eine Definition der Zufriedenheit durch Rekursion der Komplexität von Formeln zu geben. Das Mittel ist zu beachten, dass die explizite Form von Tarskis Wahrheitsdefinition in Abschnitt 2.1 oben keine rekursive Definition erforderte; es brauchte nur, dass die Bedingungen für die Zufriedenheitsrelation (S) es eindeutig festlegen. Für Henkins ersten Sprachstil gilt dies immer noch, obwohl der Grund nicht mehr in der Begründetheit der Syntax liegt.

Für Henkins zweiten Sprachstil, zumindest in Hintikkas Notation (siehe den Eintrag zur unabhängigkeitsfreundlichen Logik), ist die Syntax begründet, aber die Verschiebung der Quantifiziererbereiche bedeutet, dass die üblichen Quantifiziererklauseln in der Definition der Zufriedenheit nicht mehr funktionieren. Um eine kompositorische und vollständig abstrakte Semantik zu erhalten, muss man sich nicht fragen, welche Zuweisungen von Variablen einer Formel entsprechen, sondern welche Zuweisungssätze der Formel "einheitlich" entsprechen, wobei "einheitlich" "unabhängig von Zuweisungen zu bestimmten Variablen" bedeutet, wie durch gezeigt die Schrägstriche auf Quantifizierern innerhalb der Formel '. (Weitere Einzelheiten zu Revisionen von Tarskis Wahrheitsdefinition in dieser Richtung finden sich im Eintrag zur Abhängigkeitslogik.) Henkins zweites Beispiel ist von mehr als theoretischem Interesse.weil Zusammenstöße zwischen dem semantischen und dem syntaktischen Umfang von Quantifizierern in natürlichen Sprachen sehr häufig auftreten.

Literaturverzeichnis

• Feferman, S., 2004, "Tarskis konzeptuelle Analyse semantischer Begriffe", in Sémantique et Épistémologie, hrsg. Ali Benmakhlouf, Casablanca: Editions Le Fennec, 79–108; Nachdruck in Patterson 2008.
• Henkin, L., 1961, „Einige Bemerkungen zu unendlich langen Formeln“, in Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Oxford: Pergamon Press, 167–183.
• Hintikka, J., 1996, The Principles of Mathematics Revisited, Cambridge: Cambridge University Press.
• Hodges, W., 1997, „Kompositionssemantik für eine Sprache unvollständiger Informationen“, Logic Journal of the IGPL, 5: 539–563.
• –––, 2008, „Tarskis Definitionstheorie“, Patterson 2008, S. 94–132.
• Katz, J. und Fodor, J., 1963, „Die Struktur einer semantischen Theorie“, Language, 39: 170–210.
• Levy, A., 1965, Eine Hierarchie von Formeln in der Mengenlehre, (Memoirs of American Mathematical Society 57), Providence: American Mathematical Society.
• Patterson, D. (Hrsg.), 2008, New Essays on Tarski and Philosophy, Oxford: Oxford University Press.
• Putnam, H., 1975, „Entsprechen wahre Behauptungen der Realität?“, In Mind, Language and Reality (Philosophical Papers: Volume 2), Cambridge: Cambridge University Press, 70–84.
• Skolem, T., 1919, "Untersuchungen über das Axiome des Klassenkalküls und über Produktations- und Summationsprobleme", Videnskapsselskapets Skrifter, I. Matem.-naturv. klasse, 3; Nachdruck in T. Skolem, Ausgewählte Werke in Logik, JE Fenstad (Hrsg.), Oslo: Universitetforlaget, S. 67–101.
• Tarski, A., 1931, „Sur les ensembles définissables de nombres réels. I”, Fundamenta Mathematicae, 17: 210–239.
• –––, 1933, „Das Konzept der Wahrheit in den Sprachen der deduktiven Wissenschaften“(polnisch), Prace Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Wydzial III Nauk Matematyczno-Fizycznych 34, Warschau; Nachdruck in Zygmunt 1995, S. 13–172; erweiterte englische Übersetzung in Tarski 1983 [1956], S. 152–278.
• –––, 1944, „Die semantische Konzeption der Wahrheit“, Philosophy and Phenomenological Research, 4 (3): 341–376.
• –––, 1983 [1956], Logik, Semantik, Metamathematik: Aufsätze von 1923 bis 1938, 2. Auflage, John Corcoran (Hrsg.), Indianapolis: Hackett Publishing Company; 1. Auflage, Oxford: Oxford University Press, 1956.
• –––, 1994 [1936], Einführung in die Logik und in die Methodik der deduktiven Wissenschaften, 4. Auflage, Jan Tarski (Hrsg.), Oxford: Oxford University Press; ursprünglich veröffentlicht als O logice matematycznej i metodzie dedukcyjnej (Über mathematische Logik und die deduktive Methode), Lwów, Warschau: Książnica-Atlas, 1936; Deutsche Übersetzung, Einführung in die mathematische Logik und in die Methodik der Mathematik, Wien: Julius Springer-Verlag; erste englische Ausgabe, Oxford: Oxford University Press, 1941; 2. Auflage, 1946; 3. Auflage, 1985.
• Tarski, A. und Vaught, R., 1956, „Arithmetische Erweiterungen relationaler Systeme“, Compositio Mathematica, 13: 81–102.
• Zygmunt, J. (Hrsg.), 1995, Alfred Tarski, Pisma Logiczno-Filozoficzne, 1 Prawda, Warschau: Wydawnictwo Naukowe PWN.

Akademische Werkzeuge

	Wie man diesen Eintrag zitiert.
	Vorschau der PDF-Version dieses Eintrags bei den Freunden der SEP-Gesellschaft.
	Schlagen Sie dieses Eintragsthema im Internet Philosophy Ontology Project (InPhO) nach.
	Erweiterte Bibliographie für diesen Eintrag bei PhilPapers mit Links zu seiner Datenbank.

Andere Internetquellen

[Bitte kontaktieren Sie den Autor mit Vorschlägen.]